Елементи комбінаторики.
Комбінаторика вивчає кількість комбінацій (наборів), які задовольняють
певним умовам, які можна скласти з елементів заданої кінцевої множини.
При безпосередньому обчисленні ймовірностей
формули комбінаторики часто використовуються. З кінцевої безлічі
Е = {е1, e2,..., en}, що складається з n різних елементів, можна утворювати
різні набори, що складаються з m (m < n) елементів.
Перестановками з n різних елементів називаються набори,
елементів, що містять n елементів і відрізняються лише порядком їх
розташування (впорядковані набори без повторень з n елементів по n).
Число всіх таких перестановок позначають Р і визначають за формулою
Р = n!
Кінцевий натовп називається впорядкованим, якщо його елементи
перенумеровані деяким чином. Кожне впорядкування полягає в тому,
що якийсь елемент отримує номер 1, якийсь - номер 2,..., якийсь номер
– n. Номер 1 може отримати будь-який елемент безлічі Е; значити, вибір
першого елемента можна зробити n способами. Якщо перший елемент
обраний, то на друге місце залишається лише (n-1) кандидат, так як
повторити зроблений вибір не можна. Третій елемент можна вибрати (n-2)
способами тощо.
Останній елемент можна вибрати лише одним способом, він і займе n-е
місце. Загальна кількість способів впорядкування дорівнює:
n(n - 1)(n - 2) ... 2 · 1 = n!
Тут ми скористалися правилом добутку: якщо елемент x можна
вибрати m способами, а елемент y можна вибрати n способами, то
впорядковану пару (х, у) можна вибрати m · n способами.
Приклад 1. Скількома способами можна трьох студентів розсадити на
трьох стільцях?
Рішення. Шукане число:
Розміщеннями називаються набори з n різних елементів по m
елементів, які відрізняються або складом елементів, або їх порядком
(впорядковані набори без повторень з n елементів по m). Кількість всіх
розміщень дорівнює:
An m =n(n-1)(n-2)...(n-m+1)=n! / (n-m)!
Приклад 2. Скількома способами з 7 студентів групи можна відібрати
для участі в олімпіадах з математики та фізики по одному студенту.
Рішення.
Поєднаннями називаються набори, складені з n різних елементів
за m (неупорядковані набори без повторень з n елементів за m). Їх число
позначається
Оскільки кожен набір можна впорядкувати Pm = m!
способами, то маємо
Приклад 3. Скількома способами з 6 студентів можна відібрати для
участі в змаганнях 2 студенти?
Рішення.
Для чисел званих також біноміальними коефіцієнтами,
справедливі наступні тотожності, що часто виявляються корисними при
вирішенні завдань.
Якщо вибір m елементів з n різних елементів проводиться з
поверненням (відібраний елемент повертається у вихідну множину і
може бути знову обраний - схема вибору з поверненням) і з
впорядкуванням, то різні набори будуть з повтореннями, відрізняючись або
складом елементів, або порядком їх прямування. Отримані в результаті
комбінації називаються розміщеннями з повтореннями, а їх загальне число
визначається формулою
Якщо серед n елементів є n1 елементів одного виду, n2 елементів
іншого виду тощо, то число перестановок з повтореннями визначаються
формулою
Під час вирішення завдань комбінаторики використовують такі правила:
Правило суми. Якщо певний об'єкт А можна вибрати з
безлічі об'єктів m способами, а інший об'єкт В може бути обрано n
способами, то вибрати або А, або В можна m + n способами.
Правило добутку. Якщо об'єкт А можна вибрати з множини
m способами і після кожного такого вибору об'єкт В можна вибрати n
способами, пара об'єктів (А, В) в зазначеному порядку може бути обрана
у m · n спосіб.
Приклад 4. Кодовий замок має чотири диски, посаджених на одну вісь.
Кожен диск розбитий на сектори з номерами 0, 1, 2, 3, 4. Замок відкривається
при встановленні однієї певної комбінації цифр. Знайти загальну кількість
комбінацій, з яких тільки одна відкриє замок ?
Рішення. Маємо схему урн. Загальна кількість випадків дорівнює числу
розміщень з повтореннями з 5 елементів за 4, тобто 54.
Приклад 5. Скільки різних шестизначних чисел можна записати з
допомогою цифр 1; 1; 1; 2; 2; 2?
Рішення. Тут потрібно знайти число перестановок з повтореннями, яке
визначається формулою (1.7). За k = 2, n1 = 3, n2 = 3, n = 6 за формулою
отримуємо
P(3;3) = 6! (3!× 3!) = 1× 2 × 3× 4 × 5× 6 1× 2 × 3×1× 2 × 3 = 20 .
Приклад 6. З літер слова РОТОР, складеного за допомогою розрізної
азбуки, навмання послідовно витягують 3 букви і складають в ряд.
Скільки ввріантів отримаємо ?
Рішення. Щоб відрізнити однакові літери один від одного, забезпечимо їх
номерами:
p1,
p2,
o1,
o2.
Загальна
кількість
випадків
Приклад 7. У коробці 6 куль, пронумерованих від 1 до 6. З коробки
виймаються один за одним 3 кулі і в цьому ж порядку записують
отримані цифри. Скільки тризначних чисел можна таким чином
записати?
Рішення: За умовою завдання підмножини {1; 2; 3} і {3; 2; 1} -
дорівнює:
різні. Повторів у підмножині бути не може, так як кулі не
повертаються в коробку. n = 6; k = 3.
Приклад 8. У коробці 6 куль пронумерованих від 1 до 6. З коробки
виймаються 3 кулі і записують число в порядку зростання цифр. Скільки
тризначних чисел можна таким чином записати?
Рішення: За умовою завдання підмножини {1; 2; 3} і {3; 2; 1} дають число
123, тобто не є різними.
Приклад 9. Умова завдання 7 (кульки повертаються в коробку)
Рішення:
Приклад 10. Умова завдання 8 (кульки повертаються в коробку)
Рішення:
Приклад 11. Скільки різних перестановок можна скласти з букв
слова «комар»?
Рішення: P5 = 5!=1× 2 × 3 × 4 × 5 =120 .
Приклад 12. Скільки різних перестановок можна скласти з букв
слова «задача» ?
Рішення: Якби всі шість букв слова були різні, то число
перестановок було б 6! Але буква «а» зустрічається в даному слові три рази, і
перестановки тільки цих трьох букв «а» не дають нових способів
розташування
літер. Тому число перестановок літер слова «завдання» буде не 6!, а в 3! Рази
менше