TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA TOÁN - TIN HỌC
———————o0o——————–
TIỂU LUẬN
NHỮNG TÍNH CHẤT CƠ BẢN
CỦA ĐẠI SỐ LIE
HỌC PHẦN: SẢN PHẨM NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: TS. HUỲNH VIỆT KHÁNH
Ngày 25 tháng 11 năm 2023
2
THÀNH VIÊN NHÓM
STT
1
2
3
4
Tên thành viên
Nguyễn Ngọc Như Tâm
Nguyễn Phạm Minh Trúc
Lê Công Trường
Nguyễn Xuân Vi
Mã số sinh viên
46.01.101.137
46.01.101.179
46.01.101.182
46.01.101.191
Mục lục
1 Mở đầu
1.1 Định nghĩa của đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Đại số con và Iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Phép lấy đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Hằng số cấu trúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
6
6
7
8
9
2
12
12
13
14
Iđêan và đồng cấu
2.1 Xây dựng cấu trúc Iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Đại số thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Sự tương ứng giữa các Iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 1
Mở đầu
Chúng ta bắt đầu bằng việc định nghĩa đại số Lie và đưa ra một loạt các ví dụ
điển hình mà chúng ta sẽ tham khảo trong suốt cuốn sách này. Các phần còn lại trong
chương này giới thiệu từ vựng cơ bản của đại số Lie. Người đọc được nhắc nhở rằng
đại số tuyến tính và song tuyến tính tiên quyết được tóm tắt trong Phụ lục A.
1.1
Định nghĩa của đại số Lie
Cho F là một trường. Một đại số Lie trên F là một F -không gian vecto L, cùng với
ánh xạ song tuyến tính, tích Lie
L × L → L,
(x, y) 7→ [x, y],
Thoả các tính chất sau:
[x, x] = 0 với mọi x ∈ L,
(L1)
[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 với mọi x, y, z ∈ L. (L2)
Tích lie [x, y] thường được gọi là giao hoán tử của x và y. Điều kiện (L2) được gọi
là đồng nhất thức Jacobi. Vì móc Lie [−, −] song tuyến tính, ta có
0 = [x + y, x + y] = [x, x] + [x, y] + [y, x] + [y, y] = [x, y] + [y, x]
Do đó điều kiện (L1) kéo theo
[x, y] = −[y, x] với mọi x, y ∈ L.
(L1′ )
Nếu trường F không có đặc số 2, thì việc đặt x = y vào (L1’) cho thấy rằng (L1’) kéo
theo (L1).
Trừ khi có phát biểu cụ thể khác, tất cả các đại số Lie trong cuốn sách này phải
được coi là hữu hạn chiều. (Trong Chương 15, chúng tôi giới thiệu ngắn gọn về lý
thuyết tinh vi hơn của đại số Lie vô hạn chiều.)
Bài tập 1.1
(i) Chứng minh [v, 0] = 0 = [0, v] với mọi v ∈ L.
(ii) Giả sử x, y ∈ L thỏa [x, y] ̸= 0. Chứng minh x và y độc lập tuyến tính trên F .
1.2. MỘT SỐ VÍ DỤ
1.2
5
Một số ví dụ
(1) Cho F = R. Tích vector (x, y) 7→ x ∧ y định nghĩa cấu trúc của đại số Lie trên
R3 . Chúng ta ký hiệu đại số Lie này bằng R3∧ . Rõ ràng, nếu x = (x1 , x2 , x3 ) và
y = (y1 , y2 , y3 ), thì
x ∧ y = (x2 y3 − x3 y2 , x3 y1 − x1 y3 , x1 y2 − x2 y1 ) .
Bài tập 1.2
Chứng minh ∧ là một song tuyến tính . Sau đó kiểm tra đồng nhất thức Jacobi.
Gợi ý: nếu x · y kí hiệu là tích vô hướng của vecto x, y ∈ R3 , thì
x ∧ (y ∧ z) = (x · z)y − (x · y)z với mọi x, y, z ∈ R3 .
(2) Mỗi không gian vecto V có một tích Lie được xác định bởi [x, y] = 0 với mọi
x, y ∈ V . Đây là cấu trúc đại số Lie Abel trên V . Đặc biệt, trường F có thể được
coi là đại số Lie Abelian 1 chiều.
(3) Giả sử V là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên F . Viết gl(V ) là tập hợp
tất cả các ánh xạ tuyến tính từ V đến V . Đây lại là một không gian vectơ trên F
và nó trở thành đại số Lie, được gọi là đại số tuyến tính tổng quát, nếu chúng ta
xác định tích Lie [−, −] bằng
[x, y] := x ◦ y − y ◦ x với x, y ∈ gl(V ),
trong đó ◦ kí hiệu phép hợp các ánh xạ.
Bài tập 1.3
Kiểm tra đẳng thức Jacobi có đúng không. (Bài tập này nổi tiếng là bài tập mà
mọi nhà toán học nên làm ít nhất một lần trong đời.)
(3’) Đây là một phiên bản ma trận. Viết gl(n, F ) cho không gian vectơ của tất cả các
ma trận n × n trên F với tích Lie được xác định bởi
[x, y] := xy − yx,
trong đó xy là tích thông thường của ma trận x và y. Là một không gian vectơ,
gl(n, F ) có cơ sở bao gồm các ma trận đơn vị eij với 1 ≤ i, j ≤ n. Ở đây eij là ma
trận n × n có số 1 ở vị trí ij-th và tất cả các mục khác là 0 . Chúng tôi coi đó là
một bài tập để kiểm tra xem
[eij , ekl ] = δjk eil − δil ekj
trong đó δ là Kronecker delta, được xác định bởi δij = 1 nếu i = j và δij = 0 nếu
ngược lại. Công thức này thường có ích khi tính toán bằng gl(n, F ).
(4) Nhắc lại vết của ma trận vuông là tổng các phần tử đường chéo của nó. Đặt
sl(n, F ) là không gian con của gl(n, F ) bao gồm tất cả các ma trận có vết 0 . Đối
với các ma trận vuông tùy ý x và y, ma trận xy−yx có vết 0 , do đó [x, y] = xy−yx
xác định cấu trúc đại số Lie trên sl(n, F ) : tính chất (L1) và (L2) được kế thừa từ
gl(n, F ). Đại số Lie này được gọi là đại số tuyến tính đặc biệt. Là một không gian
vectơ, sl(n, F ) có cơ sở bao gồm eij cho i ̸= j cùng với eii − ei+1,i+1 với 1 ≤ i < n.
6
CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU
(5) Giả sử b(n, F ) là ma trận tam giác trên của gl(n, F ). (Ma trận x được gọi là tam
giác trên nếu xij = 0 bất cứ khi nào i > j.) Đây là đại số Lie có cùng tích Lie
như gl(n, F ). Tương tự, cho n(n, F ) là các ma trận tam giác trên nghiêm ngặt
của gl(n, F ). (Ma trận x được cho là hoàn toàn là tam giác trên nếu xij = 0
bất cứ khi nào i ≥ j.) Một lần nữa, đây là đại số Lie có cùng tích Lie như gl(n, F ).
Bài tập 1.4
Kiểm tra các khẳng định trong (5).
1.3
Đại số con và Iđêan
Hai ví dụ cuối cho thấy rằng, với một đại số Lie L, chúng ta có thể định nghĩa một
đại số Lie con của L là một không gian con vectơ K ⊆ L sao cho
[x, y] ∈ K
với mọi x, y ∈ K.
Các đại số Lie con có thể dễ dàng được coi là đại số Lie theo đúng nghĩa của chúng.
Trong ví dụ (4) và (5) ở trên, chúng ta thấy ba đại số con Lie của gl(n, F ).
Chúng ta cũng định nghĩa một ideal của đại số Lie L là một không gian con I của
L sao cho
[x, y] ∈ I với mọi x ∈ L, y ∈ I.
Vì (L′ ) , [x, y] = −[y, x], nên chúng ta không cần phân biệt ideal trái và phải. Ví dụ,
sl(n, F ) là một ideal của gl(n, F ), và n(n, F ) là một ideal của b(n, F ).
Một ideal luôn là một đại số con. Mặt khác, một đại số con không nhất thiết phải
là một ideal. Ví dụ: b(n, F ) là đại số con của gl(n, F ), nhưng với n ≥ 2, nó không phải
là ideal. Để thấy điều này, hãy lưu ý rằng e11 ∈ b(n, F ) và e21 ∈ gl(n, F ). Tuy nhiên,
[e21 , e11 ] = e21 ∈
/ b(n, F ).
Đại số Lie L bản thân nó là một ideal của L. Mặt khác, {0} là một ideal của L.
Chúng ta gọi đây là những ideal tầm thường của L. Một ví dụ quan trọng về một iđêan
không tầm thường là tâm của L, được xác định bởi
Z(L) := {x ∈ L : [x, y] = 0 với mọi y ∈ L}.
Chúng ta biết chính xác L = Z(L) khi và chỉ khi L là Abel. Mặt khác, có thể phải cần
một số bước để quyết định rằng có hay không Z(L) = {0}.
Bài tập 1.5
Tìm Z(L) khi L = sl(2, F ). Bạn sẽ thấy rằng câu trả lời phụ thuộc vào đặc số của
F.
1.4
Đồng cấu
Nếu L1 và L2 là đại số Lie trên trường F , khi đó ta nói rằng ánh xạ φ : L1 → L2 là
một đồng cấu nếu φ là một ánh xạ tuyến tính và
φ([x, y]) = [φ(x), φ(y)] với mọi x, y ∈ L1
1.5. ĐẠI SỐ
7
Chú ý rằng trong phương trình này, tích Lie đầu tiên được lấy trong L1 và tích Lie thứ
hai được lấy trong L2 . Chúng ta nói rằng φ là một đẳng cấu nếu φ là song ánh.
Một đồng cấu cực kỳ quan trọng là đồng cấu liên hợp. Nếu L là đại số Lie, chúng
ta định nghĩa
ad : L → gl(L)
bởi(ad x)(y) := [x, y] với x, y ∈ L. Theo sự song tuyến tính của tích Lie, ánh xạ ad x
tuyến tính với mỗi x ∈ L. Tương tự, ánh xạ x 7→ ad x tuyến tính. Vì vậy để chứng
minh rằng ad là một đồng cấu, tất cả những gì chúng ta cần kiểm tra là
ad([x, y]) = ad x ◦ ad y − ad y ◦ ad x
for all x, y ∈ L
Điều này hóa ra tương đương với đồng nhất thức Jacobi. Nhân của ad là tâm của L.
Bài tập 1.6
Chứng minh rằng φ : L1 → L2 là một đồng cấu, thì nhân của φ, ker φ, là một ideal
của L1 , và ảnh của φ, im φ, là một đại số Lie con của L2 .
Nhận xét 1.1
Bất cứ khi nào người ta có một đối tượng toán học, chẳng hạn như không gian
vectơ, nhóm hoặc đại số Lie, người ta sẽ có các đồng cấu đi kèm. Những ánh xạ như
vậy được quan tâm chính xác bởi vì chúng bảo toàn cấu trúc - đồng nhất, giống nhau;
hình thái, hình dạng. Ví dụ: khi làm việc với các không gian vectơ, nếu chúng ta cộng
hai vectơ và sau đó áp dụng phép đồng cấu của các không gian vectơ (còn được gọi là
ánh xạ tuyến tính), kết quả sẽ giống như khi chúng ta áp dụng phép đồng cấu trước và
sau đó tìm ảnh của vecto.
Với một lớp các đối tượng toán học, người ta có thể (với một chút suy nghĩ) tìm ra
các phép đồng cấu có liên quan sẽ như thế nào. Việc nghiên cứu các hiện tượng đồng
cấu này cung cấp một thông tin quan trọng về cấu trúc của các đối tượng liên quan.
Mục đích chung là phân loại tất cả các đối tượng thuộc một loại nhất định; từ quan
điểm này, chúng tôi coi các đối tượng đẳng cấu về cơ bản là giống nhau. Ví dụ, hai
không gian vectơ trên cùng một trường là đẳng cấu khi và chỉ khi chúng có cùng chiều.
1.5
Đại số
Một đại số trên trường F là không gian vectơ A trên F cùng với ánh xạ song tuyến
tính,
A × A → A, (x, y) 7→ xy.
Ta nói rằng xy là tích của x và y. Thông thường người ta nghiên cứu đại số trong đó
tích thỏa mãn một số tính chất khác. Cụ thể, đại số Lie là đại số thỏa mãn đẳng thức
(L1) và (L2). (Và trong trường hợp này chúng ta viết tích xy là [x, y].)
Một đại số A được gọi là đại số kết hợp nếu
(xy)z = x(yz) với mọi x, y, z ∈ A
và có đơn vị nếu có một phần tử 1A trong A sao cho 1A x = x = x1A với tất cả các
phần tử khác 0 của A. Ví dụ: gl(V ), không gian vectơ của các phép biến đổi tuyến
8
CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU
tính của không gian vectơ V , có cấu trúc của một đại số kết hợp đơn vị trong đó
tích được cho bởi tổ hợp các ánh xạ. Phép biến đổi đồng nhất là phần tử đồng nhất
trong đại số này. Tương tự gl(n, F ), tập hợp các ma trận n × n trên F , là một đại
số kết hợp có đơn vị đối với phép nhân ma trận. Ngoài đại số Lie, hầu hết các đại số
người ta gặp đều có xu hướng vừa có tính kết hợp vừa có đơn vị. Điều quan trọng
là không nên nhầm lẫn giữa hai loại đại số này. Một cách để nhấn mạnh sự khác
biệt mà chúng tôi đã áp dụng là luôn viết tích dưới dạng đại số Lie với dấu ngoặc vuông.
Bài tập 1.7
Cho L là một đại số Lie. Chứng minh rằng tích Lie có tính kết hợp, nghĩa là
[x, [y, z]] = [[x, y], z] với mọi x, y, z ∈ L, nếu và chỉ nếu với tất cả a, b ∈ L thì giao hoán
tử [a, b] nằm trong Z(L).
Nếu A là một đại số kết hợp trên F , thì chúng ta định nghĩa một phép toán song
tuyến tính mới [−, −] trên A bởi
[a, b] := ab − ba for all a, b ∈ A.
Khi đó A cùng với [−, −] là đại số Lie; điều này không khó để chứng minh. Đại số
Lie gl(V ) và gl(n, F ) là những trường hợp đặc biệt của cách xây dựng này. Trên thực
tế, nếu bạn làm Bài tập 1.3 thì bạn đã chứng minh được rằng tích [−, −] thỏa mãn
đồng nhất thức Jacobi.
1.6
Phép lấy đạo hàm
Cho A là một đại số trên trường F . Phép lấy đạo hàm của A là một ánh xạ tuyến
tính F D : A → A sao cho
D(ab) = aD(b) + D(a)b với mọi a, b ∈ A.
Gọi Der A là tập hợp các phép lấy đạo hàm của A. Tập hợp này được đóng dưới phép
cộng và nhân vô hướng và chứa ánh xạ 0. Do đó Der A là không gian con vectơ của
gl(A). Hơn nữa, A là một đại số con Lie của gl(A).
Bài tập 1.8
Cho D và E là phép lấy đạo hàm của một đại số A.
(i) Chứng minh rằng [D, E] = D ◦ E − E ◦ D cũng là một phép lấy đạo hàm.
(ii) Chứng minh rằng D ◦ E không nhất thiết phải là phép lấy đạo hàm. (Ví dụ sau
đây có thể hữu ích.)
Ví dụ 1.2
(1) Đặt A = C ∞ R là không gian vectơ của tất cả các hàm khả vi vô hạn R → R.
Đối với f, g ∈ A, chúng ta xác định tích f g bằng cách nhân từng điểm:
(f g)(x) = f (x)g(x). Với định nghĩa này, A là một đại số kết hợp. Đạo hàm
thông thường, Df = f ′ , là phép lấy đạo hàm của A vì theo quy tắc nhân
D(f g) = (f g)′ = f ′ g + f g ′ = (Df )g + f (Dg).
1.7. HẰNG SỐ CẤU TRÚC
9
(2) Cho L là đại số Lie và cho x ∈ L. ánh xạ ad x : L → L là một phép lấy đạo hàm
của L vì theo đồng nhất thức Jacobi
(ad x)[y, z] = [x, [y, z]] = [[x, y], z] + [y, [x, z]] = [(ad x)y, z] + [y, (ad x)z]
với mọi y, z ∈ L.
1.7
Hằng số cấu trúc
Nếu L là đại số Lie trên trường F với cơ sở (x1 , . . . , xn ), thì [−, −] hoàn toàn được
xác định bởi tích [xi , xj ]. Chúng ta định nghĩa các đại lượng vô hướng akij ∈ F sao cho
[xi , xj ] =
n
X
akij xk .
k=1
akij là các hằng số cấu trúc của L đối với cơ sở này. Chúng tôi nhấn mạnh rằng akij
phụ thuộc vào sự lựa chọn cơ sở của L : Các cơ sở khác nhau nói chung sẽ cho các
hằng số cấu trúc khác nhau. Bởi (L1) và hệ quả của nó (L1 ′ ) , [xi , xi ] = 0 với mọi i và
[xi , xj ] = − [xj , xi ] cho tất cả i và j. Vì vậy, chỉ cần biết các hằng số cấu trúc akij với
1 ≤ i < j ≤ n.
Bài tập 1.9
Cho L1 và L2 là đại số Lie. Chứng minh rằng L1 đẳng cấu với L2 khi và chỉ khi có
một cơ sở B1 của L1 và một cơ sở B2 của L2 sao cho hằng số cấu trúccủa L1 đối với
B1 bằng các hằng số cấu trúc của L2 đối với B2 .
Bài tập 1.10
Cho L là một đại số Lie với cơ sở (x1 , . . . , xn ). Đồng nhất thức Jacobi đặt điều kiện
gì lên các hằng số cấu trúc akij ?
10
CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU
BÀI TẬP
1.11. † Cho L1 và L2 là hai đại số Lie Abel. Chứng minh rằng L1 và L2 là đẳng cấu
khi và chỉ khi chúng có cùng chiều.
1.12. †Tìm các hằng số cấu trúc của sl(2, F ) đối với cơ sở của ma trận
0 1
0 0
1 0
e=
,f =
,h =
.
0 0
1 0
0 −1
1.13. Chứng minh rằng sl(2, C) không có các ideal không tầm thường.
1.14. † Giả sử L là đại số Lie phức 3 chiều với cơ sở (x, y, z) và tích Lie được xác
định bởi
[x, y] = z, [y, z] = x, [z, x] = y.
(Ở đây L là "sự phức hóa" của đại số Lie thực 3 chiều R3∧ .)
(i) Chứng minh rằng L đẳng cấu với đại số con Lie của gl(3, C) bao gồm tất cả các
ma trận phản đối xứng 3 × 3 với các phần tử trong C.
(ii) Tìm một đẳng cấu rõ ràng sl(2, C) ∼
= L.
1.15. Cho S là một ma trận n × n với các phần tử trong trường F . Định nghĩa
glS (n, F ) = x ∈ gl(n, F ) : xt S = −Sx .
(i) Chứng minh rằng glS (n, F ) là một đại số Lie con gl(n, F ).
0 1
(ii) Tìm glS (2, R) nếu S =
.
0 0
(iii) Liệu có tồn tại ma trận S sao cho glS (2, R) bằng tập hợp tất cả các ma trận đường
chéo trong gl(2, R) ?
(iv) Tìm ma trận S sao cho glS (3, R) đẳng cấu với đại số Lie R3∧ được xác định trong
§1, 2, Ví dụ 1 .
Gợi ý: Phần (i) của Bài tập 1.14 có liên quan.
1.16. † Bằng cách đưa ra một ví dụ, hãy chỉ ra rằng nếu F là trường có đặc số 2 thì
có các đại số trên F thỏa mãn (L′ ) và (L2) nhưng không phải là đại số Lie.
1.17. Cho V là một không gian vectơ phức n chiều và đặt L = gl(V ). Giả sử rằng
x ∈ L có thể chéo hóa được, với các giá trị riêng λ1 , . . . , λn . Chứng minh rằng quảng
cáo x ∈ gl(L) cũng có thể chéo hóa và các giá trị riêng của nó là λi −λj cho 1 ≤ i, j ≤ n.
1.18. Cho L là một đại số Lie. Chúng ta đã thấy trong §1.6, Ví dụ 1.2(2) rằng ánh
xạ ad x : L → L cho x ∈ L là phép lấy đạo hàm của L; chúng được gọi là phép lấy đạo
hàm bên trong. Chứng minh rằng nếu IDer L là tập các phép lấy đạo hàm bên trong
1.7. HẰNG SỐ CẤU TRÚC
11
của L thì IDer L là một ideal của Der L.
1.19. Cho A là một đại số và cho δ : A → A là phép lấy đạo hàm. Chứng minh δ
thỏa mãn quy tắc Leibniz
n X
n
n
δ (xy) =
δ r (x)δ n−r (y) với mọi x, y ∈ A.
r
r=0
Chương 2
Iđêan và đồng cấu
Trong chương này, chúng ta sẽ khám phá một số cấu trúc mà trong đó ideal được
liên quan. Chúng ta sẽ thấy rằng trong lý thuyết của đại số Lie, Iđêan đóng vai trò
tương tự như vai trò của nhóm con chuẩn tắc trong lý thuyết nhóm. Ví dụ, chúng ta
đã thấy trong Bài tập 1.6 rằng hạt nhân của phép đồng cấu đại số Lie là một Iđêan,
giống như hạt nhân của phép đồng cấu nhóm là một nhóm con chuẩn tắc.
2.1
Xây dựng cấu trúc Iđêan
Giả sử I và J là các Iđêan của một đại số Lie L. Có một số cách để xây dựng các
Iđêan mới từ I và J. Đầu tiên, chúng ta sẽ chỉ ra rằng I ∩ J là một Iđêan của L. Chúng
ta biết rằng I ∩ J là một không gian con của L, vì vậy tất cả những gì chúng ta cần
kiểm tra là nếu x ∈ L và y ∈ I ∩ J, thì [x, y] ∈ I ∩ J: Điều này ngay lập tức là đúng vì
I và J là các Iđêan.
Bài tập 2.1
Chứng minh rằng I + J là một Iđêan của L trong đó
I + J := {x + y : x ∈ I, y ∈ J}.
Chúng ta cũng có thể định nghĩa một tích các Iđêan. Đặt
[I, J] := Span{[x, y] : x ∈ I, y ∈ J}.
Chúng ta khẳng định rằng [I, J] là một Iđêan của L. Thứ nhất, theo định nghĩa, nó là
một không gian con. Thứ hai, nếu x ∈ I, y ∈ J, và u ∈ L, thì công thức Jacobi cho
[u, [x, y]] = [x, [u, y]] + [[u, x], y].
Ở đây [u, y] ∈ J vì J là một Iđêan, nên [x, [u, y]] ∈ [I, J]. Tương tự, [[u, x], y] ∈ [I, J].
Do đó, tổng của chúng thuộc [I, J].
Một phần tử chung
P t của [I, J] là một tổ hợp tuyến tính của tích [x, y] với x ∈ I,
y ∈ J, ta nói t =
ci [xi , yi ], trong đó ci là đại lượng vô hướng và xi ∈ I và yi ∈ J.
Khi đó với mọi u ∈ L, chúng ta có
h X
i X
[u, t] = u,
ci [xi , yi ] =
ci [u, [xi , yi ]] ,
2.2.
ĐẠI SỐ THƯƠNG
13
với [u, [xi , yi ]] ∈ [I, J] như đã được chứng minh ở trên. Do đó,[u, t] ∈ [I, J] và vì vậy
[I, J] là một Iđêan của L.
Nhận xét 2.1
Việc định nghĩa [I, J] là khoảng của các giao hoán tử của các phần tử trong I và J
thay vì chỉ là tập hợp các giao hoán tử đó là cần thiết. Xem Bài tập 2.14 dưới đây để
xem ví dụ trong đó tập hợp của các giao hoán tử không phải là một Iđêan.
Một ví dụ quan trọng của cách xây dựng này xảy ra khi chúng ta lấy I = J = L.
Chúng ta viết L′ cho [L, L]: Mặc dù là một Iđêan của L, L′ thường được biết đến là
đại số dẫn xuất của L′ . Thuật ngữ đại số giao hoán tử cũng đôi khi được sử dụng.
Bài tập 2.2
Chứng minh rằng sl(2, C)′ = sl(2, C).
2.2
Đại số thương
Nếu I là một Iđêan của đại số Lie L, thì I là một không gian con của L, và do đó,
chúng ta có thể xem xét các lớp z + I = z + x : x ∈ I với z ∈ L và không gian vector
thương
L/I = {z + I : z ∈ L}.
Chúng ta xem xét cấu trúc không gian vector của L/I trong Phụ lục A. Chúng ta
khẳng định rằng tích Lie trên L/I có thể được định nghĩa bởi
[w + I, z + I] := [w, z] + I với w, z ∈ L.
Ở đây, tích ở phía bên phải là tích Lie trong L. Để chắc chắc rằng tích Lie trên L/I
được xác định rõ ràng, chúng ta phải kiểm tra xem [w, z] + I chỉ phụ thuộc vào các lớp
chứa w và z chứ không phụ thuộc vào lớp cụ thể đại diện w và z. Giả sử w + I = w′ + I
và z + I = z ′ + I. Khi đó w − w′ ∈ I và z − z ′ ∈ I. Bởi tính song tuyến tính của tích
Lie trong L,
[w′ , z ′ ] = [w′ + (w − w′ ), z ′ + (z − z ′ )]
= [w, z] + [w − w′ , z ′ ] + [w′ , z − z ′ ] + [w − w′ , z − z ′ ],
trong đó ba số hạng cuối cùng đều thuộc I. Do đó [w′ + I, z ′ + I] = [w, z] + I, như
chúng ta cần. Bây giờ, từ phần (i) của bài tập dưới đây, L/I là một đại số Lie. Nó
được gọi là đại số thương hoặc đại số nhân tử của L bởi I.
Bài tập 2.3
(i) Chứng minh rằng tích Lie được xác định trên L/I là song tuyến tính và thỏa mãn
các tiên đề (L1 ) và (L2 ).
(ii) Chứng minh rằng phép biến đổi tuyến tính π : L → L/I lấy một phần tử z ∈ L
vào lớp z + I của nó là một phép đồng cấu của đại số Lie.
14
CHƯƠNG 2.
IĐÊAN VÀ ĐỒNG CẤU
Người đọc sẽ không ngạc nhiên khi biết rằng có các định lý đẳng cấu cho đại số Lie
cũng như cho các không gian vecto và cho nhóm.
Định lý 2.2: (Định lý đẳng cấu)
(a) Cho φ : L1 → L2 là một đồng cấu của đại số Lie. Khi đó kerφ là một ideal của
L1 và imφ là một đại số con của L2 , và
L1 /kerφ ∼
= imφ.
(b) Nếu I và J là các ideal của đại số Lie, thì (I + J)/J ∼
= I/(I ∩ J).
(c) Giả sử rằng I và J là các ideal của đại số Lie L sao cho I ⊆ J. Khi đó J/I là một
ideal của L/I và (L/I)/(J/I) ∼
= L/J.
Ví dụ 2.3
Hãy nhớ lại rằng vết của ma trận n × n là tổng các phần tử đường chéo của nó. Cố
định trường F và xem xét ánh xạ tuyến tính tr : gl(n, F ) → F biến ma trận thành vết
của nó. Đây là phép đồng cấu đại số Lie, vì nếu x, y ∈ gl(n, F ) thì
tr[x, y] = tr(xy − yx) = trxy − tryx = 0,
vì vậy tr[x, y] = [trx, try] = 0. Ở đây tích Lie đầu tiên được lấy trong gl(n, F ) và tích
Lie thứ hai trong đại số Lie Abel F .
Không khó để thấy rằng tr là toàn ánh. Hạt nhân của nó là sl(n, F ), đại số Lie của
ma trận có vết 0. Áp dụng định lý đẳng cấu thứ nhất ta có
gl(n, F )/sl(n, F ) ∼
= F.
Chúng ta có thể mô tả các phần tử của đại số Lie một cách rõ ràng: Lớp x + sln (F )
bao gồm các ma trận n × n có vết là trx.
Bài tập 2.4
Chứng minh rằng nếu L là một đại số Lie thì L/Z(L) đẳng cấu với đại số con của
gl(L).
2.3
Sự tương ứng giữa các Iđêan
Giả sử rằng I là một Iđêan của đại số Lie L. Có một sự tương ứng song ánh giữa
các Iđêan của đại số nhân tố L/I và các Iđêan của L có chứa I. Sự tương ứng này như
sau. Nếu J là một Iđêan của L chứa I, thì J/I là một Iđêan của L/I. Ngược lại, nếu
K là Iđêan của L/I, thì hãy đặt J := zinL : z + IinK. Người ta có thể dễ dàng kiểm
tra xem J đ là Iđêan của L và J chứa I. Hai ánh xạ này là nghịch đảo của nhau.
Ví dụ 2.4
Giả sử rằng L là Iđêan Lie và I là một Iđêan trong L sao cho L/I có tính chất Abel.
Trong trường hợp này, các Iđêan của L/I chỉ là các không gian con của L/I. Theo sự
tương ứng Iđêan, các Iđêan của L có chứa I chính xác là các không gian con của L có
chứa I.
2.3. SỰ TƯƠNG ỨNG GIỮA CÁC IĐÊAN
15
BÀI TẬP
2.5. † Chỉ ra rằng nếu z ∈ L′ thì tr ad z = 0.
2.6. Giả sử L1 và L2 là đại số Lie. Cho L := {(x1 , x2 ) : xi ∈ Li } là tổng trực tiếp
của các không gian vectơ cơ bản của chúng. Chỉ ra rằng nếu chúng ta xác định
[(x1 , x2 ) , (y1 , y2 )] := ([x1 , y1 ] , [x2 , y2 ])
thì L trở thành đại số Lie, tổng trực tiếp của L1 và L2 . Đối với không gian vector,
chúng ta biểu thị tổng trực tiếp của đại số Lie L1 và L2 bằng L = L1 oplusL2 .
(i) Chứng minh rằng gl(2, C) đẳng cấu với tổng trực tiếp của sl(2, C) với C, đại số
Lie Abel phức 1 chiều.
(ii) Hiển thị rằng nếu L = L1 ⊕ L2 thì Z(L) = Z (L1 ) ⊕ Z (L2 ) và L′ = L′1 ⊕ L′2 . Xây
dựng một phiên bản chung cho một tổng trực tiếp sum L1 ⊕ . . . ⊕ Lk .
(iii) Các tổng kết trong phân tích tổng trực tiếp của đại số Lie có được xác định duy
nhất không? Gợi ý: Nếu bạn nghĩ rằng câu trả lời là có, bây giờ có thể là thời
điểm tốt để đọc 16, 4 trong Phụ lục A về "ngụy biện chéo". Câu hỏi tiếp theo xem
xét điểm này chi tiết hơn.
2.7. Giả sử L = L1 ⊕ L2 là tổng trực tiếp của hai đại số Lie.
(i) Chỉ ra rằng {(x1 , 0) : x1 ∈ L1 } là một Iđêan của L đẳng cấu với {(0, x2 ) : x2 ∈ L2 }
là một Iđêan đẳng cấu L với L2 . Chỉ ra rằng các phép chiếu p1 (x1 , x2 ) = x1 and
p2 (x1 , x2 ) = x2 là đồng cấu đại số Lie.
Bây giờ giả sử rằng L1 và L2 không có bất kỳ Iđêan riêng không tầm thường nào.
(ii) Hãy để J là một Iđêan thích hợp của L. Chỉ ra rằng nếu J ∩ L1 = 0 và J ∩ L2 = 0,
thì các phép chiếu p1 : J → L1 và p2 : J → L2 là đẳng cấu.
(iii) Suy luận rằng nếu L1 và L2 không đẳng cấu như đại số Lie, thì L1 ⊕ L2 chỉ có hai
Iđêan riêng không tầm thường.
(iv) Giả sử rằng trường cơ sở là vô hạn. Chỉ ra rằng nếu L1 ∼
= L2 và L1 là 1 chiều, thì
L1 ⊕ L2 có vô số Iđêan khác nhau.
2.8. Cho L1 và L2 là đại số Lie, và để φ : L1 → L2 là một đơn ánh đồng cấu đại số
Lie. Đúng hay sai:
(a) † φ(L′1 ) = L′2 ;
(b) φ(Z(L1 )) = Z(L2 );
(c) Nếu h ∈ L1 và ad h chéo hóa được thì ad φ(h) chéo hóa được.
Điều gì khác nếu φ là đẳng cấu?
2.9. Với mỗi cặp đại số Lie trên R sau đây, hãy kiểm tra tính đẳng cấu của chúng:
(i) Đại số Lie R3∧ trong đó tích Lie được cho bởi tích vector;
16
CHƯƠNG 2.
IĐÊAN VÀ ĐỒNG CẤU
(ii) Ma trận tam giác trên 2 × 2 trên R;
(iii) Các ma trận tam giác trên nghiêm ngặt 3 × 3 trên R;
(iv) L = {x ∈ gl(3, R) : xt = −x}.
Gợi ý: Sử dụng bài tập 1.15 và 2.8.
2.10. Cho F là một trường. Chứng minh rằng đại số dẫn xuất của gl(n, F ) là sl(n, F ).
2.11.† Trong Bài tập 1.15, chúng ta đã định nghĩa đại số Lie glS(n, F ) trên trường
F trong đó S là ma trận n × n với các phần tử trong F .
Giả sử T ∈ gl(n, F ) là một ma trận n × n khác sao cho T = P t SP đối với một số
ma trận n × n khả nghịch P ∈ gl(n, F ). (Tương đương, các dạng song tuyến tính được
xác định bởi S và T là đồng dạng.) Chứng minh rằng đại số Lie glS (n, F ) và glT (n, F )
là đẳng cấu.
2.12. Cho S là một ma trận khả nghịch n × n với các phần tử thuộc C. Chứng
minh rằng nếu x ∈ glS (n, C), khi đó tr x = 0.
2.13. Cho I là iđêan của đại số Lie L, B là nhóm con trung tâm của I trong L; đó
là,
B = CL (I) = {x ∈ L : [x, a] = 0 với mọi a ∈ I}.
Chứng minh rằng B là một iđêan của L. Giả sử rằng
(1) Z(I) = 0, và
(2) Nếu D : I → I là đạo hàm thì D = ad x với một số x ∈ I.
Chứng minh rằng L = I ⊕ B.
2.14.† Nhắc lại rằng nếu L là đại số Lie thì ta định nghĩa L là không gian con được
cho bởi các giao hoán tử [x, y] với x, y ∈ L. Mục đích của bài tập này, có thể bỏ qua
một cách an toàn, để chỉ ra rằng tập hợp các giao hoán tử có thể không phải là không
gian vector (không phải là iđêan của L).
Gọi R[x, y] biểu thị vành của tất cả các đa thức thực hai biến.
Gọi L là tập hợp tất cả các ma trận có dạng


0 f (x) h(x, y)
0
g(y)  .
A(f (x), g(y), h(x, y)) = 0
0
0
0
(i) Chứng minh L là đại số Lie với tích giao hoán tử thông thường. (Ngược lại với
tất cả các đại số Lie đã thấy cho đến nay, L là vô số chiều.)
(ii) Chứng minh rằng
[A(f1 (x), g1 (y), h1 (x, y)), A(f2 (x), g2 (y), h2 (x, y))] = A(0, 0, f1 (x)g2 (y)−f2 (x)g1 (y)).
Hãy mô tả L′ .
2.3. SỰ TƯƠNG ỨNG GIỮA CÁC IĐÊAN
17
(iii) Chứng minh rằng nếu h(x, y) = x2 + xy + y 2 thì A(0, 0, h(x, y)) không là giao hoán
tử.