22
ПЕДАГОГИК ТЕХНОЛОГИЯЛАР / ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ
Нажмиддинова Ҳ.,
Наманган давлат университети ўқитувчиси,
педагогика фанлари номзоди
ИККИНЧИ ТАРТИБЛИ ЧИЗИҚЛАР ВА
СИРТЛАРНИНГ КЛАССИФИКАЦИЯСИНИ
ЎРГАНИШДА АЛГЕБРА ЭЛЕМЕНТЛАРИДАН
ФОЙДАЛАНИШ
НАЖМИДДИНОВА Ҳ. ИККИНЧИ ТАРТИБЛИ ЧИЗИҚЛАР ВА СИРТЛАРНИНГ
КЛАССИФИКАЦИЯСИНИ ЎРГАНИШДА АЛГЕБРА ЭЛЕМЕНТЛАРИДАН
ФОЙДАЛАНИШ
Ушбу мақолада олий таълим муассасаларида ўқитиладиган алгебра ва аналитик геометрия
фанларини ўқитишдаги фанлараро алоқадорлик, узвийлик иккинчи тартибли чизиқлар ва
сиртлар ҳамда квадратик формалар ўртасидаги боғланиш орқали очиб берилган.
Таянч сўз ва тушунчалар: алгебраик тенглама, функция, геометрик чизиқ, геометрик сирт,
иккинчи тартибли эгри чизиқ, координаталарни алмаштириш, тенгламанинг дискриминанти,
эллипс, гипербола, парабола, мавҳум эллипс, квадратик форма.
НАЖМИДДИНОВА Х. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ АЛГЕБРЫ ПРИ ИЗУЧЕНИИ
КЛАССИФИКАЦИИ ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В данной статье через взаимосвязь линий и поверхностей второго порядка, с одной стороны, и квадратичных форм, с другой стороны, раскрыты взаимосвязь и неразрывное единство
научных дисциплин в процессе преподавания алгебры и аналитической геометрия в ВУЗах.
Ключевые слова и понятия: алгебраические уравнения, функция, геометрическая линия, геометрическая поверхность, кривая линия второго порядка, замена координат, дискриминанта
уравнения, эллипс, гипербола, парабола, абстрактный эллипс, квадратная форма.
NAJMIDDINOVA H. IMPLEMENTATION OF ALGEBRA ELEMENTS IN STUDYING THE
CLASSIFICATION OF LINE AND SURFACE OF SECOND ORDER
In the article is examined a problem associated with teaching of mathematical disciplines algebra
and analytical geometry in higher education instituties, on the example of intercommunication of
line and surface the second order and quadratic forms.
Keywords: equilibriums of algebra, functions, geometrical line, second degree curve line,
substitution of coordination, equilibrium discriminator, ellipsis, parabola, square form.
Азалдан алгебраик тенгламалар (функциялар) билан геометрик чизиқлар (сиртлар) ўртасида боғлиқлик ўрнатилиб,
чизиқларнинг хусусиятлари функциялар ёрдамида ўрга­
нилади ва аксинча, фунцияларнинг хоссалари геометрик
чизиқ (сирт)лар хусусиятлари орқали очиб берилади.
ЗАМОНАВИЙ ТАЪЛИМ / СОВРЕМЕННОЕ ОБРАЗОВАНИЕ 2014, 5
23
ПЕДАГОГИК ТЕХНОЛОГИЯЛАР / ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ
M<0
эллипс
мавҳум эллипс
иккита бир-бирини
кесувчи мавҳум
тўғри чизиқ
Масалан, y=x – энг содда бир ўзгарувчили
функциялардан биридир. Бу тенглик x–y=0
кўринишда ёзилса, унинг чап томони f(x,y)=x–y
икки номаълумли чизиқли функциядан иборат
бўлиб, бу функциянинг нолга тенг бўлиши
икки
номаълумли
чизиқли
тенгламани
ифодалайди. Бу тенглама текисликда I ва III
координата чоракларининг биссектрисаси,
яъни тўғри чизиқни ифодалайди.
Функция y= –x кўринишида бўлганда эса у
x+y=0 тенглама кўринишига эга бўлиб, x ва
y ўзгарувчилар фақат ноль нуқтадагина бир
хил қийматлар қабул қилади. x+y=0 тенглама
текисликда II ва IV координата чоракларининг
биссектрисасини ифодалайди.
Маълумки, х2+а=0 тенглама ҳақиқий
сонлар тўпламида ечимга эга эмас, яъни
х нинг ҳеч бир ҳақиқий қиймати бу тенгликни
қаноатлантирмайди. Бироқ, бу тенгликнинг
чап томонини y=х2+а функция сифатида
қарасак, бу функция учи (0,a) нуқтада бўлган
параболани ифодалайди.
y2=x2
тенгликни
қаноатлантирадиган
ҳақи­қий сонлар |y|=|x| тенгликни ҳам
қаноатлантириши керак. Бу тенгликни x2– y2=0
кўринишида ёзсак, у (x–y)(x+y)=0 тенгламага
тенг кучли бўлади. Бундан, y=x ва y=–x тенг­
ликлар келиб чиқади. Бу тенгликлар эса, мос
равишда, юқорида келтирилган I ва III ҳамда
II ва IV координата чоракларининг биссектрисасини, яъни ўзаро тик жойлашган тўғри
чизиқларни ифодалайди.
Бу каби маълумотлар элементар математикага оид маълумотлар бўлиб, улар келгусида
абстракт алгебрага оид тушунчаларга геомет­
рик мазмун бериш, чизиқлар ва сиртларнинг
хусусиятларини ўрганиш ва шу кабиларда
муҳим асос бўлиб хизмат қилади.
Хусусан, иккинчи тартибли эгри чизиқлар
ва сиртларнинг классификацияси аналитик
геометрия фани орқали атрофлича таҳлил
қилинади.
M>0
M=0
гипербола
парабола
иккита бир-бирини
кесувчи ҳақиқий
тўғри чизиқ
иккита параллел
тўғри чизиқ
Маълумки,
иккинчи
тартибли
эгри
чизиқнинг умумий тенгламаси қуйидаги
кўринишга эга:
(1)
(1) тенгламанинг фақат ўзгарувчиларнинг
квадратлари қатнашган ҳадлардан иборат кўриниши унинг каноник (энг содда)
кўриниши дейилади. (1) тенгламанинг координаталарини алмаштириш (координата бошини кўчириш ва буриш) орқали унинг
каноник кўриниши топилади, бунда
(2)
бўлиб, уни (1) тенгламанинг дискриминанти
деб аталади. М нинг қиймати эса
детерминант қийматига тенг. (1) тенгламанинг
каноник кўринишидан, яъни коэффициентлар,
D ва M детерминантларнинг қийматлари ва
ишораларидан фойдаланиб, (1) тенглама ифодалайдиган иккинчи тартибли чизиқлар классификация қилинади:
(3)
Тенглама иккинчи тартибли сирт тенгламасидир. Бу тенглама устида ҳам юқоридаги
каби алмаштиришлар ва таҳлиллар ўтказиш
натижасида (3) тенглама қуйидаги
ЗАМОНАВИЙ ТАЪЛИМ / СОВРЕМЕННОЕ ОБРАЗОВАНИЕ 2014, 5
24
ПЕДАГОГИК ТЕХНОЛОГИЯЛАР / ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ
ларнинг
ишоралари
эллипсоид
бир хил
мавҳум
конус
мавҳум
эллипсоид
эллиптик
параболоид
эллиптик цилиндр
(мавҳум ёки ҳақиқий)
икки ковакли
гиперболоид
ҳар хил
гиперболик
цилиндр
гиперболик
параболоид
конус
бир ковакли
гиперболоид
ё
параболик цилиндр
ё
(4)
каноник кўринишга келтирилади, бу ерда
чизиқли алмаштиришлар бажарилса, эгри
чизиқнинг (1) тенгламаси қуйидаги кўринишни
олади:
(5)
бўлиб, уни иккинчи тартибли сирт (3) тенгламасининг дискриминанти ва унинг a44 элементининг минори бўлган
детерминант сирт тенгламаси икки ўлчовли
ҳадларининг
дискриминанти
дейилади.
Юқоридаги каби (3) тенгламанинг каноник
кўринишидан, яъни D ва d детерминантларнинг қийматлари ҳамда ишораларидан фойдаланиб, (3) тенглама ифодалайдиган иккинчи тартибли сиртлар ҳам классификация
қилинади (жадвалга қ.).
Иккинчи тартибли эгри чизиқлар ва сиртларнинг тенгламаларини каноник кўринишга
келтириш масаласи абстракт алгебра тушунчаларидан бири бўлган квадратик форма тушунчаси билан узвий боғланган.
Агар иккинчи тартибли чизиқнинг (1) тенг­
ламасида координаталарга нисбатан
Бу тенглама x1, x2 ва x3 ўзгарувчиларга нисбатан бир жинсли бўлиб, яна Декарт координаталарига ўтиш учун x3=1 деб олинса, кифоя.
(3) тенгламанинг чап томони уч ўзгарув­
чининг квадратик формасидир.
Худди шу каби, иккинчи тартибли сиртнинг
(3) тенгламасида ҳам координаталарга нисбатан
чизиқли алмаштиришлар бажарилса, сиртнинг
(3) тенгламаси қуйидаги кўринишни олади:
(6)
(6) тенгламанинг чап томони тўртта
ўзгарувчининг квадратик формасидир.
Умуман, n та
ўзгарувчиларнинг F сонли майдон устида олинган квад­
ратик формаси деб, aij коэффициентлари F
майдонга тегишли бўлган ушбу
(7)
кўринишдаги кўпҳадга айтилади.
ЗАМОНАВИЙ ТАЪЛИМ / СОВРЕМЕННОЕ ОБРАЗОВАНИЕ 2014, 5
ПЕДАГОГИК ТЕХНОЛОГИЯЛАР / ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ
Кўриниб турибдики, бу кўпҳад симметрик
кўпҳаддир. Уни
(7')
кўринишда ёзиб, мос коэффициентлардан матрица тузсак, ҳосил бўлган
матрица (7) квадратик форманинг матрицаси дейилади. A матрицанинг ранги эса (7)
квадратик форманинг ранги дейилади ва r
билан белгиланади.
Хусусан, уч ўзгарувчили квадратик форманинг матрицаси қуйидагига тенг:
25
мас алмаштиришлар бажарилган ҳолда ва
бу алмаштиришнинг коэффициентлари ҳам
ҳақиқий бўлгандагина ўринлидир.
Ҳақиқий квадратик форманинг каноник
шак­лидаги мусбат ҳадларнинг сони бу квад­
ратик форманинг кўрсатувчиси дейилади ва p
билан белгиланади.
Шундай қилиб, ҳар қандай ҳақиқий квадратик форма иккита сон – ранг ва кўрсатувчи
орқали аниқланади. Бу сонлар ҳақиқий хосмас чизиқли алмаштиришларга боғлиқ эмас,
яъни улар шундай алмаштиришларга нисбатан инвариантдир.
Агар ҳақиқий квадратик форманинг каноник шаклида барча коэффициентлар 1 га тенг
бўлса, у ҳолда бу шакл квадратик форманинг
нормал шакли дейилади.
Ҳар қандай ҳақиқий квадратик формани
ўзгарувчиларнинг хосмас ҳақиқий чизиқли
алмаштириши ёрдамида нормал кўринишга
келтириш мумкин. Аммо нормал кўринишдаги
ҳақиқий квадратик формалар кўп эмас. Масалан, 3 ўзгарувчили ранги 3 га тенг бўлган барча квадратик формалар 4 синфга бўлинади:
кўрсатувчиси 0 га тенг,
кўрсатувчиси 1 га тенг,
Фақат ўзгарувчиларнинг квадратларига эга
бўлган ҳадлардангина иборат бўлган квадратик форма каноник шаклдаги квадратик форма дейилади.
Масалан, уч ўзгарувчили квадратик форманинг каноник шакли қуйидаги кўринишда
бўлади:
(8)
Майдон устидаги ҳар қандай квадратик
формани ўзгарувчилар устида чекли сондаги
хосмас чизиқли алмаштиришларни кетма-кет
бажариш орқали каноник кўринишга келтириш мумкин.
Маълумки, квадратик форманинг каноник
кўриниши бир қийматли эмас, яъни квадратик форма устида турли хосмас чизиқли алмаштиришлар бажарилса, у турли каноник
кўринишларга эга бўлади. Бироқ, инерция
қонунига кўра, битта квадратик форма турли
усуллар билан каноник кўринишларга келтирилганда ҳам мусбат ҳадларнинг сони бир
хил бўлади. Лекин бу қонун фақат ҳақиқий
коэффициентли квадратик форма устида хос-
кўрсатувчиси 2 га тенг,
кўрсатувчиси 3 га тенг.
Биринчи ва тўртинчи синфга кирувчи формалар аниқ, иккинчи ва учинчи синфга кирувчи формалар эса аниқмас формалар дейилади.
Умуман, агар ҳақиқий квадратик формада
ва
бўлса, бундай форма аниқмас,
ёки
бўлса, у ҳолда у аниқ форма
дейилади. Аниқ форма
бўлганда манфий аниқланган,
бўлган ҳолда эса мусбат аниқланган дейилади.
Агар иккинчи тартибли эгри чизиқнинг (1)
тенгламасини каноник кўринишга келтирилса, бу тенгламага мос (5) квадратик форма
ҳам каноник кўринишга келади. Бу каноник
шаклда Декарт координаталарига ўтиш учун
деб олиб, яна тенгламага қайтилса, каноник кўринишдаги
(9)
тенглама ҳосил бўлади. Бу тенгламани
(10)
ЗАМОНАВИЙ ТАЪЛИМ / СОВРЕМЕННОЕ ОБРАЗОВАНИЕ 2014, 5
26
ПЕДАГОГИК ТЕХНОЛОГИЯЛАР / ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ
кўринишида ёзиб, каноник шаклдаги иккинчи
тартибли эгри чизиқ тенгламаси устида олиб
борилган юқоридаги каби таҳлиллар амалга оширилса, (1) тенглама орқали ифодаланган эгри чизиқнинг геометрик маъноси ҳосил
бўлади. Каноник шаклдаги квадратик формани нормал кўринишга келтириш у ифодалаган геометрик чизиқ ёки сиртнинг типини
ўзгартирмайди. Нормал кўринишга келтириш
учун бажариладиган чизиқли алмаштириш
эгри чизиқ ёки сиртни координата ўқларига
нисбатан сиқади (ёки кенгайтиради), холос.
Шундай қилиб, аналитик геометриянинг
муҳим тушунчалари бўлмиш иккинчи тартибли эгри чизиқлар ва сиртлар абстракт алгеб­
ранинг квадратик форма тушунчалари билан
чамбарчас боғлиқ экан. Агар бу боғлиқлик
аналитик геометрия ва алгебра фанларини
ўқитишда эътиборга олинса, яъни бу фанларни ўқитишда фанлараро боғланиш яна ҳам кучайтирилса, талабалар онгида чизиқлар ва
сиртларнинг хусусиятларини уларнинг тенгламалари ёки улар аниқлаган функцияларнинг хоссалари орқали ўрганиш, функцияларга, кўпҳадларга, квадратик формаларга геомет­рик мазмун бериш ва натижада абстракциядан аниқлаштиришга, умумийликдан хусусийликка ўтиш жараёни осон кечади.
Бу эса, охир-оқибат, талабаларнинг шу фан
материал­ларини ўзлаштиришларига ижобий
таъсир кўрсатади.
Адабиётлар:
1. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – М.: “Наука”, 1968.
2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: "Наука”– “Физматлит”, 1999.
3. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: “Физматлит”, 2000.
4. Кирсанов А.А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Курс лекций. –
Псков, ПГПИ, 2003.
ЗАМОНАВИЙ ТАЪЛИМ / СОВРЕМЕННОЕ ОБРАЗОВАНИЕ 2014, 5