5-amaliy mashg’ulot.
Nochiziqli tenglamalar sistamasini yechish usullari. Oddiy iteratsiyalar, Zeydel, Nyuton
usullari.
Ishning maqsadi: Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasining yechimlarini taqribiy
hisoblash usullarini o’rganish, hisoblash ishlarini bajarish, hisoblash dasturini tuzish va
natijalarni tahlil qilish.
Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini taqribiy yechishda Nyuton va oddiy iterasiya
usullari qo’llaniladi. Nyuton va oddiy iterasiya usullarinng chiziqli bo’lmagan ikkita tenglama
sistemasi uchun qo’llanilishini qaraylik.
F  x, y   0 
(1)

G  x, y   0 
tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin. Nyuton usuliga ko’ra taqribiy hisoblashlar

nx
xn 1  xn 

J xn , y n  
(2)
ny 
y n 1  y n 
J  xn , y n 
iterasion formulalardan hisoblanadi.
Bu yerda
 
n
x
F xn , y n  Fy' xn , y n 
Gxn , y n  G y' xn , y n 
J  x, y  
,
Fx' xn , y n 
ny 
Fx' xn , y n  F xn , y n 
G x' xn , y n  Gxn , y n 
Fy' xn , y n 
G x' xn , y n  G y' xn , y n 
,
0
Dastlabki yaqinlashish x0 , y 0  grafik yoki boshqa usullar yordamida aniqlanadi.
Misol. Quyidagi
F  x, y   2 x 3  y 2  1  0 

Gx, y   xy 3  y  4  0 
sistemaning yechimini Nyuton usulida taqribiy hisoblang.
Yechish. Grafik usulda dastlabki yaqinlashish x0  1,2 y0  1,7 aniqlangan bo’lsin.
U holda
J  x0 , y 0  
6x 2
 2y
y3
3xy 2  1
, demak
J 1,2; 1,7  
8,64  3,40
 97,910
4,91 9,40
(2) formulaga ko’ra

1  0,434  3,40
 1,2  0,0349  1,2349
97,91 0,1956 9,40


1 8,64  0,434
y1  1,7 
 1,7  0,0390  1,6610 

97,91 4,91 0,1956
Hisoblashlarni shu singari davom qilib x2  1,2343 y2  1,6615 topamiz va hisoblashlarni
x1  1,2 
talab qilingan aniqlikkacha davom ettiramiz.
Ushbu misolda berilgan tenglamalar sistemasi 1 ta haqiqiy yechimga ega ekanligini quyidagi
Maple dastur va grafiklardan ko’rish mumkin:
> plots[implicitplot]({2*x^3-y^2-1=0,x*y^3-y-4=0},x=-2..2,y=3..3);
solve({2*x^3-y^2-1=0,x*y^3-y-4=0},{x,y});
allvalues(%);
evalf(%);
{ x1.234274484, y1.661526467 }
Oddiy iterasiya usuli.
(1) sistemani
x  1 x, y  
(3)

y   2 x, y 
ko’rinishda yozib olamiz. 1 x, y ,  2 x, y  funkiyalar iterasiyalovchi funksiyalar deb yuritiladi.
Taqribiy yechimni topish algoritmi
xn1  1 xn , y n  
 n  0,1,2,3,.....
y n1   2 xn , y n  
(4)

1 1

 q1  1 
x
y


 2  2

 q2  1 

x
y
(5)
ko’rinishda beriladi. Bu yerda x0 , y 0  - birinchi yaqinlashish qiymatlari.
(4) iterasion hisoblash jarayoni yaqinlashuvchi bo’ladi, agarda
tengsizliklar bajarilsa.
Misol. Quyidagi
x3  y 3  6x  3  0 

x3  y3  6 y  2  0 
sistemaning yechimini oddiy iterasiya usulida 0,001 aniqlikda taqribiy hisoblang.
Yechish. Iterasiya usulini qo’llash uchun berilgan sistemani
x3  y3 1
x

6
2
3
3
x y
1
y

6
3





ko’rinishda yozib olamiz.
0  x  1, 0  y  1 kvadrat sohani qaraylik. Agar x0 , y0  shu sohaga qarashli bo’lsa,
u holda 0  1 x0 , y0   1, 0   2 x0 , yo   1 o’rinli bo’ladi. Demak shu sohadan x0 , y 0 
ixtiyoriy tanlaganimizda ham xn , y n  ham o’sha sohaga tegishli bo’ladi. Bundan esa (5)
yaqinlashish shartining bajarilishi kelib chiqadi, ya’ni

1 1 x 2 y 2



1 
x
y
2
2


 2  2 x 2
y2



1 

x
y
2
2
o’rinli bo’ladi. Demak, qaralayotgan kvadrat sohada yagona yechim mavjud va uni iterasiya usuli
yordamida taqribiy hisoblash mumkin. Dastlabki yaqinlashishni x0 
1
1
, y0  deb olaylik.
2
2
1 1
1 1


1 8 8
1 8 8
x1  
 0,542 ; y1  
 0,333;
2
6
3
6
1 0,19615
1 0,1233
x2  
 0,533; y2  
 0,354;
2
6
3
6
Hisoblashlarni shu singari davom ettirib
x3  0,533; y3  0,351; x4  0,532 ; y4  0,351;
34
 0,5 bo’lganligidan va uchinchi va to’rtinchi taqribiy
bo’lishini aniqlaymiz. q1  q2 
72
yechimlarning kasr qismidagi uchta raqamining mos kelishi talab qilingan aniqlikka erishilganini
bildiradi. Taqribiy yechim sifatida x  0,532 ; y  0,351; qiymatlarni olish mumkin.
Ushbu misolda berilgan tenglamalar sistemasi 3 ta haqiqiy yechimga ega ekanligini quyidagi
Maple dastur va grafiklardan ko’rish mumkin:
> plots[implicitplot]({x^3+y^3-6*x+3=0,x^3-y^3-6*y+2=0},x=3..3,y=-3..3);
solve({x^3+y^3-6*x+3=0,x^3-y^3-6*y+2=0},{x,y});
allvalues(%);
evalf(%);
{ y.3512574476, x.5323703724 }
{ x1.882719112, y1.175129224 }
{ y-1.489322079, x-2.423800711 }
Misollar
1. Dastlabki yaqinlashishni grafik usulda aniqlang.
2. Yaqinlashish sharti bajarilishini tekshiring.
3. Nyuton va iterasiya usullarini qo’llab chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasining
taqribiy yechimlarini 0,001 aniqlikda hisoblang.
№1
sin x  1  y  1,2

2 x  cos y  2
№2
cosx  1  y  0,5

 x  cos y  3
№3
sin x  2 y  2

cos y  1  x  0,7
№4
cos x  y  1,5

2 x  sin  y  0,5  1
№5
№7
№9
sin x  0,5  y  1

cos y  2  x  0
sin x  1  1,3  y

 x  sin  y  1  0,8
cosx  0,5  y  2

sin y  2 x  1
№6
№8
№ 10
cosx  0,5  y  0,8

sin y  2 x  1,6
2 y  cosx  1  0

 x  sin y  0,4
sin x  2  y  1,5

 x  cos y  2  0,5
№ 11
sin  y  1  x  1,2

2 y  cos x  2
№ 12
sin x  1  1,3  y

 x  sin  y  1  0,8
№ 13
sin y  2 x  2

cosx  1  y  0,7
№ 14
cos y  x  1,5

2 y  sin x  0,5  1
№ 15
№ 17
№ 19
sin  y  0,5  x  1

cosx  2  y  0
sin  y  1  x  1,3

 y  sin x  1  0,8
cos y  0,5  x  2

sin x  2 y  1
№ 16
№ 18
№ 20
cos y  0,5  x  0,8

sin x  2 y  1,6
2 x  cos y  1  0

 y  sin x  0,4
sin  y  2  x  1,5

 y  cosx  2  0,5
№ 21
sin x  1  y  1

2 x  cos y  2
№ 22
cosx  1  y  0,8

 x  cos y  2
№ 23
sin x  2 y  1,6

cos  y  1  x  1
№ 24
cos x  1,2  y

2 x  sin  y  0,5  2
№ 25
sin x  0,5  y  1,2

cos y  2  x  0
№ 26
cosx  0,51  1  y

sin y  2 x  20,8
1-misol. Ushbu 1-misolda berilgan tenglamalar sistemasi 1 ta haqiqiy yechimga ega
ekanligini quyidagi Maple dastur va grafiklardan ko’rish mumkin:
> plots[implicitplot]({sin(x+1)-y=1.2,2*x+cos(y)=2},x=-3..3,y=3..3);
solve({sin(x+1)-y=1.2,2*x+cos(y)=2},{x,y});
allvalues(%);
evalf(%);
{ y-.2018384154, x.5101501574 }
2-misol. Ushbu
tg ( xy  0.1)  x 2  0,

0.5 x 2  2 y 2  1  0
nochiziqli tenglamalar sistemasining yechimini Maple dasturida yechaylik:
> plots[implicitplot]({tan(x*y+0.1)-x^2=0,0.5*x^2+2*y^2-1=0},x=1.5..1.5,y=-0.8..0.8);
solve({tan(x*y+0.1)-x^2=0,0.5*x^2+2*y^2-1=0},{x,y});
allvalues(%);
evalf(%);
Mustaqil ishlash bo’yicha savollar
1. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasining dastlabki yaqinlashishi qanday aniqlanadi?
2. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini taqribiy yechish usullari ni tushuntirib
bering?
3. Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni taqribiy yechish usullari xatoligi va yaqinlashishi
qanday aniqlanadi?