1-ma'ruza. Laplas almashtirilishi, uning xossalari Originallar sinfi,
tasvirlar sinfi. Operatsion hisobning asosiy teoremalari
Reja:
1. Laplas almashtirilishi, uning xossalari.
2. Originallar sinfi, tasvirlar sinfi.
3. Operatsion hisobning asosiy teoremalari.
1. Laplas almashtirilishi, uning xossalari.
Bizga quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi t haqiqiy o'zgaruvchili funksiya
berilgan bo'lsin:
0    t  0
 f (t ) t  0
1) f (t )  
2) f(t) funksiya bo'lakli-uzluksiz ( chekli sondagi 1-tur uzilish nuqtalarga ega)
3) t>0 parametrning ixtiyoriy qiymatlari uchun shunday M>0 va s0≥ 0 haqiqiylar
sonlar mavjudki: |f(t)|< 𝑀𝑒 𝑡𝑠0 shart bajariladi, s0 ni f(t) funksiyani o'sish
ko'rsatkichi deyiladi
f(t) ∙ e -pt funksiyani ko'raylik, bu yerda р – komplels son р=а + i b.
f (t )  e  pt  f (t )e ( aib)t  f (t )e  at f (t )e ibt
(1)
Eyler formylasini qo'llasak:
f (t )e  pt  f (t )e  at (cos bt  i sin bt )
Bu tenglikni integralasak quyidagiga ega bo'lamiz::


 f (t )e dt   f (t )e
0
 pt
 at

cos btdt  i  f (t )e at sin btdt
0
(2)
0
Bu integral p kompleks parametrning funksiyasini aniqlaydi.

F ( p)   e  pt f (t )dt
(3)
0
F(p) funksiya f(t) ning Laplas almashtirilishi yoki tasviri deyiladi, f(t) funksiya
esa F(p) ga nisbatan originali deb ataladi. f(t) ► F(p), bu yerda F(p)- f(t)
funksiyani Laplas tasviri ( yoki F(p)→ f(t) ko'rinishda yozilali)

L[ f (t )]   e  pt f (t )dt - Laplas operatori.
0
Teorema (orginalni yagonalagi haqidgi teorema) Agar F(p) funksiya ikkita f1(t) va
f2(t) orginallarning tasviri bo'lsa, u holda bu orginallar o'zlarining barch
uzluksizlik nuqtalarida ustma-ust utshadi
σ0(t), sin (t), cos (t) funksiyalar tasvirlari
0 t  0
birlik. funksiya deyiladi.
1 t  0
1) Ta'rif:  0 (t )  
Birlik funksiya Laplas tasviri mavjudligi shartlarini qanoatlantiradi. Bu
tasvirni topamiz:


L[ 0 (t )]   e  0 (t )dt   e
 pt
0
0
 pt
 e  pA 1  1
dt  lim  e  pt dt  lim  
  
p
p p
A 0
A 
A
Birlik. funksiyani tasviri  0 (t ) 
1
p
2) sint funksiya uchun shu kabi fikr- mulohazalar bilan uning tasviriga ega
bo'lamiz:

L[sin( t )]   e
 pt
A
sin( t )dt  lim  e
 pt
A 0
0
 u  e  pt
sin( t )dt 
 pt
du   pe
v  cos t 

dv  sin( t )dt 
bo'laklab integrallab :
 e  pt cos(t )  p  e  pt cos(t )dt 
1
1
т.е. sin( t )  2
p 1
p 1
2
3) Xuddi shuningdek, cost ni almashtirishlar sohasida
isbotlash: cos(t ) 
sin( at ) 
p
funksiyaga o'tishni
p 1
2
p
p 1
2
a
p
va cos( at )  2 2
2
p a
p a
2
Originallar o'ramasi (kompozitsiyasi yoki o’ramasi)
f(t) va g(t) originallarni o'ramasi deb
t
 f  g  t    f  s  g  t  s  ds
0
funksiyaga aytiladi
Agar f (t )  F ( p) и g (t )  G ( p ) , u holda
( f  g )(t )  F ( p)G ( p) .
Operatsion hisobning asosiy qoidalari (teoremalari)
№
f (t )  F ( p)
Nomlanishi
1
𝛼f1(t)+𝛽f2(t)<= 𝛼𝐹1 (p)+𝛽𝐹2 (p)
chiziqlilik
1 𝑝
𝐹( )
𝑎 𝑎
o'xshashlik
2
𝑓(𝑎𝑡) <=
𝑓(𝑡 − 𝜏) <= 𝑒 −𝑝𝜏 𝐹(𝑝)
3
kechikish
4
𝑒 𝑎𝑡 𝑓(𝑡) <=F(p−𝑎)
siljish
5
𝑓 ′ (t) <= 𝑝𝐹(𝑝) − 𝑓(0)
orginalni
differensiallash
6
−𝑡𝑓(𝑡) <= 𝐹 ′ (𝑡)
tasvirni
differensiallash
7
𝑡
orginalni
integrallash
∫ 𝑓(𝜏)𝑑𝜏 <=
0
𝐹(𝑝)
𝑝
∞
8
𝑓(𝑡)
<= ∫ 𝐹(𝜏)𝑑𝜏
𝑡
tasvirni ntegrallash
𝑝
Asosiy tasvirlar jadvali
F(p)-tasvir
f(t)-original
F(p) -tasvir
f(t) original
1
p
1
a
( p   )2  a2
e t sin( t )

p 
2
p 
( p   )2  a2
sin( t )
2
p
p  2
cos(t )
1
p 
e  t
2 p
( p   2 )2
t sin( t )
a
2
p  2
sh (at )
p2  2
( p2   2 )2
t cos(t )
p
p  2
ch(at )
1
( p   )2
te t
2
2
Misol, Agar x(0)=0
n!
e t cos(t )
p
tn
( n 1)
2
va x’(0)=0 bo'lsa
d 2x
 9x  1
dt 2
differensial nenglavani
yeching.
Faraz qilamiz, x(t) -originallar sohasida yechim bo'lsin va
x(t )  x ( p )
x (t )  px ( p)  x(0)  px ( p)
x(t )  p 2 x ( p)  px(0)  x(0)  p 2 x ( p)
1
1
p
Tasvir tenglamasi (Изображающее уравнение) :
p 2 x ( p)  9 x ( p) 
1
p
x ( p)[ p 2  9] 
x ( p) 
1
p( p  9)
2

1
p
1 1
p
1 1
  2
 [  cos 3t ]  x(t )
9p 9 p  9
9 9
Sodda funksiyalarning tasviri
Хевисайд ning kechikish argumentli H (t  ) funksiyasi uchun kechikish
qoidasiga H (t   )  e
 p
1
ga ega bo'lamiz.
p
Экспонента. Siljish qoidasiga ko'ra
e at  e at H (t )  H ( p  a) 
1
.
pa
Giporbolik va trigonometrik funksiyalar.
Laplas almashishining chiziqliligiga ko'ra quyidagiga ega bo'lamiz:
e bt  e bt 1 bt
1 1
1 
p
  2
chbt 
 e  e bt  

;
2
2
2  p  b p  b  p  b2


e bt  e bt 1 bt
1 1
1 
b
  2
shbt 
 e  e bt  

;
2
2
2  p  b p  b  p  b2

sin bt 

e ibt  e ibt 1 ibt ibt
1 1
1 
b
  2

e e
 

;
2i
2i
2i  p  ib p  ib  p  b 2


e ibt  e ibt 1 ibt ibt
1 1
1 
p
  2
cos bt 

e e
 

2i
2i
2i  p  ib p  ib  p  b 2


Natural ko'rsatkichli darajali funksiya.
fn (t )  t n , где n  0,1,2,
Aytaylik

f n ( p)   t e
n  pt
0
berilgan bo'lsin. U holda

e pt n  n n 1  pt
dt  
t 0   t e dt .
p
p 0
Rep>0 bo'lganda lim 𝑡 𝑛−1 𝑒 −𝑝𝑡 𝑑𝑡, shu sababli
𝑛→∞

n
n
f n  p    t n 1e  pt dt  f n 1 ( p).
p 0
p
Bu yerdan
fn  p  
n  n  1
n
f n 1  p  
f n2  p  
p
p2

n  n  1 n  2  1
f 0  p   H  p   1/ p bo'lgani uchun, u holda
pn
f0  p  .
t n  fn  p  
n!
.
p n 1
Asosiy adabiyotlar
1.Claudio Canuto, Anita Tabacco. Mathematical Analysis I, II. Springer-Verlag
Italia, Milan 2015, 2010.
2.Д.Писменный. «Конспект лекции по высшей математике», 1,2,3 часть. -M.:
Айрис Пресс, 2008.
3. Ю.Ф. Сенчук. Математический анализ для инженеров. 1,2 часть-Харков:
НТУ «ХПИ», 2003.-408 с.
4.Axmedov A.B., SHodmonov G., Esonov E.E., Abdukarimov A.A., SHamsiyev
D.N. Oliy matematikadan individual topshririqlar. –Toshkent: O’zbekiston
ensiklopediyasi, 2014.
5.Xurramov
SH.
R.
Oliy
matematika.1,2,3-qism.
–
Toshkent:
“Tafakkur”nashriyoti, 2018.
6.Xolmurodov E., Yusupo A.I., Aliqulov T.A. Oliy matematika. 1,2,3-qismlar. –
Toshkent: “NEXT MEDIA GROUP”, 2017.
7.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов.
2 частях -М.: Наука, 2001.