O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY TA’LI FAN VA INOVATSIYALAR
VAZIRLIG
O’ZBEKISTON-FINLANDIYA
PEDAGOGIKA INSTITUTI
AMALIY MATEMATIKA VA FIZIKA
FAKULTETI
Matematika
yo’nalishi
va
informatika
101-guruh(kechki)talabasi
Asatullayeva Sadoqatning Algebra va sonlar
nazariyasi fanidan
Kurs ishi
Bajardi:Asatullayeva . S
Tekshirdi:Pulatov. O
SAMARQAND 2024
Reja:
Kirish:
.Bob.To'plamlar va ular ustida
amallar
1
1.1 . To‘plam tushunchasi
1.2 To'plam va uning elementi.
Chekli va cheksiz to'plamlar.
1.3 Totplamlar va ular ustida amallar
2. Bob. Toʻplamlarustida bajariladigan
amallar va xossalari
2.1 . Toʻplamlar turlari va ular ustida
amallar
2.2 Qism to'plamlar
2.3 Sonli toʻplamlar
Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar
To'plam haqida tushuncha.To'plamni berilish usullari.
To'plam matematikaning boshlang'ich tushunchalaridan biri. Bu tushunchani o'zidan soddaroq tushunchalar
orqali (bunday tushunchalar yo'q) ta•riflab bo•lmaydi. Ayni paytda, "to •plam" tushunchasini misollar orqali anglash
qiyin emas. Masalan, kutubxonadagi kitoblar to•plami, ushbu —6.v:
tenglamaning ildizlari to'plami, bitta nuqtadan o•tuvchi to •g •ri chiziqlar to•plami.
Demak, to •plam deganda, biror umumiy xususiyatga ega bo•lgan narsalar (predmetlar) guruhi, majmuasi, yig•ilmasi
tushiniladi.
To•plamni tashkil etgan narsalar uning elementlari deyiladi. Odatda, to•plamlar, bosh harflar (malasan, A.B.C.D....)
bilan, uning elementlari esa kichik hartlar (masalan,
bilan belgilanadi.
Biror to'plamni olaylik. Uni A bilan belgilaylik. Agar a narsa (predrnet) A to •plamning elementi boilsa, a c A , b narsa
(predmet) B to•plamning elementi bo•lmasa. b eB kabi belgilanadi va "a element A to•plamga tegishli "b element B
tosplamga tegishli emus" deb o•qiladi. Misol tariqasida barcha natural sonlardan tashkil topgan to•plamni olaylik.
Odatda. bu to•plam N harfi bilan belgilanadi va N
bo•ladi.
kabi yoziladi. Ravshanki. 5eN. lekin 7.05eN
To'plamlar ikki Kil - chekli hamda cheksiz to'plamlar bo'ladi.
Agar to 'plamni tashkil etgan elementlar soni chekli son bo 'Isa, u chekli to 'plam
deyiladi. Chekli bo 'Imagan to 'plamlarni cheksiz to 'plamlar deh qaraladi.
Masalan. —6? +1 Ix —6—0 tenglamaning yechimlar to'plami E = {x! x' —6x2 +1
Ix —
chekli to'plam bo'ladi. aaqiqatdan ham, x' -6ŕ+11x-6-o , ya'ni
tenglamaniyechib , x, = l,X2 —3 bo'lishini topami'. Demak. N bo'lib,
u chekli to'plamdir. Natural sonlarto'plami N cheksiz to'plamga misol bo'ladi. Aytaylik, E
to'plam ushbu
tenglamaning haqiqiy yechimlaridan iborat to'plam bo'lsin:
E to'plamning elementlarini topish maqsadida +2? +
tenglamani yechamiz. Ravshanki,
Demak, (x:
+1—0
bo•ladi. Keyingi tenglikdan, x:
bo•lishi kelib chiqadi. Bu kvadrat tenglamalarning diskriminatlari manfiy bo'lganligi
sababli, ular haqiqiy yechimlarga ega emas. Binobarin, berilgan ltenglama haqiqiy
yechimlarga ega emas. Demak, E to'plamning elementlari yo•q ekan. Bunday vaziyat
"bo•sh to•plam•• tushunchasi kiritilishini taqozo etadi.
Birorta ham elementga ega bo 'Imagan har qanday to 'plam bo 'sh to 'plam deyiladi
va u O kabi belgilanadi.
Yuqorida keltirilgan E bo•sh to'plam bo'ladi: E
kkkita A va B to 'plamlari
berilgan bo Agar A to •plamning har bir element/ B to plamning ham elementi bo 'Isa, A
to 'plam B ning qismi (qismiy to•plami; to 'plam Osti) deyilodi va A c B kabi belgilanadi.
A va B to'plamlarning umumiy elementlaridan tashkil topgan to•plam
A va B to'plarning kesishmasi (ko•payrmasi) deyiladi va AnB kabi belgilanadi (2•chizma).
Masalan,
bo•łsa,
Yuqoridagi N, va N, to•plamlar uchun N. AN: —O bo•ladi.
Ikki to•plam kesishmasi bo•sh to•plam bo•lsa, bu to•plamlar kesishmaydigan (diz•yunkt)
to•plamlar deyiladi.
Masalan, yuqoridagi A va C hamda Ni va N: to•plamlar diz'yunkt to•plamlarga misol
bo•ladi.
Aytaylik.
to'plamlar berilgan bcŕlsin. Bu to'plamlarning kesishmasi:
yuqoridagiga o•xshash ta•riflanadi. Quyidagi
xossalar o•rinli:
1.5.
(kesishmaning idempotentligi)
1.6.AnB— BAA (kesishmaning kommutativligi)
1.7. Agar A r: B bo•lsa. u holda AnB—A bo'ladi.
(AnB)nC (kesishmaning assotsiativligi)
1.
9.Au(Bn C) — (Au
(birlashmaning kesishmaga nisbatan
distributivligi)
1.10. An(BuC) — (An
distributivligi)
1.11.
kesishmaning
birlashmaga
nisbatan
1.12.
Bu xossalar isboti birlashma va kesishma ta'riflaridan kelib chiqadi.
1.3-ța'rir. A to•plamning B to•plamga tegishli bo 'lmagan barcha elementlaridan
tashkil topgan to'plam A to'plamdan B to 'plamning ayirmasi deyiladi va A kabi
belgilanadi (3-chiona)
IXmisol. A
(A \
\ C) o'rinli ekanligini ko'rsating. Yechish.
A ekanligidan
Eslatma.
unumli foydalandik.
Biz A —
Tosplamlarning dekart ko'paytmasi
Ikkita- A va B to'plam berilgan bo'lib, A 'O. BŕO bo'lsin. A to'plamga tegishli
bo•lgan birora elementni va B to•plamga tegishli boilgan birorb elementni olamiz. Birinchi
elementi a. ikkinchi elementi b bo 'Igan tartiblangan juftlik deb la.la,b)) to 'plamga aytami:
va kabi belgilanadi.
1.6•tn'rif. Barcha (a.b) ko 'rinishdagi tartiblangan juftliklardan tashkil topgan
to'plam A va to 'plamlarning dekart (to •g•ri)
ko •paytmasi doiladi va Ax B kabi belgilanadi.
Demak, A XB
B}
B — ța,b} to'plamlarning dekart ko'paytmasi
quyidagieha:
bo•ladi, BxA esa ushbu
(b, l)) bo'ladi,
Demak, umuman aytganda. A x
ekan.
Keyingi misol tariqasida A to•plam deb 10,11
segment nuqtalaridan iborat
to'plamni. B to'plam deb [1,2] segment nuqtalaridan
iborat to'plamni olaylik. Bu to'plamlarning dekart
ko'paytmasi to•plam 5-chizmada tasvirlangan kvadrat
nuqtalardan iborat to'plam bo' ladi:
TO'PI.AM IIAQIDA TUSIIUNCIIA
To'plamlar nazariyasi deyarli barcha matematik fanlarnining asosida yotadi.
Masalan. I kurs talabalari to•plami, futbol maydonidagi o'yinchilar to'plami.
kesmadagi nuqtalar to'plami, natural sonlar to'plami. firma xodimlari to'plami, korxonada
ishlab chiqarilgan mahsulotlar to'plami va hokazo. Matematikada to'plamlar
kabi bosh harfiar bilan belgilanadi.
to'plamlarga kiruvchi obektlar ularning elementlari deyiladi va odatda mos ravishda kichik
kabi harfiar bilan belgilanadi. Bunda element A to'plamga tegishli (tegishli emas)» degan
tasdiq aeA (aeA) kabi yoziladi.
Birorta ham elementga ega bo'lmagan to•plam bo 'sh to•plam deyiladi va O
Ta
kabi
belgilanadi.
Ta'rit: Agar A to'plamga tegishli har bir a element boshqa bir B to'plamga ham tegishli
bo'lsa (aeA aeB), u hołda A to'plam B to•plamining qismi deyiladi va Ac:B (yoki kabi
belgilanadi.
Quyidagi l-rasmda B kvadratdagi, A esa uning ichida joylashgan doiradagi nuqtalar
to'plamimni ifodalasa, unda Ac:B bo'ladi.
Masalan, "Bunyodkor" futbol klubida to•p suradigan futbolchilar to'plamini A,
mamlakatdagi barcha futbolchilar to'plamini esa B deb olsak, unda AcB bo'ladi.
Ta •rif: Agarda A va B to'plamlar uehun Ac:B va BcA shartlar bir paytda bajarilsa, bu
to'plamlar teng deyiladi va AZB kabi yoziladi.
bo' ladi.
Agarda A va B to•plamlar uchun Ac::B va BCA shartlar bir paytda bajarilsa.
bu to'plamlar teng deyiladi va AZB kabi yoziladi.
Masalan. va
tenglama ildizlari), Cs (badiiy asami yozish uchun
ishlatilgan harflarț va D—talfavitdagi harflar} to'plamlari uchun A••B, bo 'ladi.
Chekli tosplamlar. To'plamlar nazariyasida barcha to'plamlar chekli va cheksiz
to'plarnlarga ajratiladi. Bu to•plarnlarni ta'riflash uchun quyidagi tushunchalarni kiritamiz.
ta
qoida
Agar A va B to'plamlar berilgan bo•lib, har bir aeA elementga biror f qonunasosida bitta va faqat bitta beB element mos qo•yilgan bo•lsa
A to•plam B to'plamga aks ettirilgan deyiladi va f: A —ș B kabi ifodalanadi.
Masalan, f(x) = Sinx akslantirishda
m) haqiqiy sonlar to•plami Y—l—
l. II kesmaga (f X —• Y). akslantirishda esa Ț) to'plamni o•ziga (g: X —ș X) akslantiriladi.
Agar f : X —ș Y akslantirish berilgan bo'lsa, Y to'plamning y=flx) elementi
X to ' plamning x elementining tasviri, x esa y elementning asti deyiladi.
Agarf : X Y akslantirishda har bir yeY tasvirga uning faqat bitta xeX asli mos
kelsa (buni XC.șy kabi ifodalaymiz), bu akslantirish X va Y to•plamlar orasidagi o 'zaro
bir qiymatli moslik deyiladi.
Masalan. f(x) = sin.r: Ț) II akslantirish o•zaro bir qiymatli moslik bo'lmaydi, chunki
y = sin.k. tenglama cv) haqiqiy sonlar to'plamida cheksiz ko'p yechimga egadir. X —ș X
akslantirish esa o'zaro bir qiymatli moslikdir, chunki y=x3 tenglama Ț) haqiqiy son Iar
to•plamida faqat bitta yeehimga egadir
Ta 'rit: Agar A to•plamning elementlari bilan natural sonlar to•plami N tung dastlabki
biror m ta elementlari orasida o•z.aro bir qiymatli moslik o•rnatib bo•łsa, unda A ehekli to
•plam deyiladi.
Masalan.
yuzidagi barcha odamlar).
vanqlar),
C—țSport zalidagi snaryadlar:, D—țFutbol federatsiyasidagi a'znlar: kabi to'plamlar chekli
bo'ladi.
Ba'zi hollarda chekli to•plamdagi elementlar sonini aniq ko'rsatib bo'ladi. ba'zi
hollarda esa bu sonni aniq ko•rsatib bo'lmaydi. Masalan.
to'plami chekli va uning elementlari soni
viloyatlarț
deb ko•rsatish mumkin, Ammo B—
țYer yuzidagi barcha daraxtlar) to'plarni ham chekli bo'lsada, undagi elementlar soni m(B)
ni aniq ko•rsata olrnaymiz.
Umumiy holda chekli A to'plamning elementlar soni
bo'lsa, bu to'plamni
ko•rinishda yozish mumkin.
Agarda chekli A va B to'plamlarning elementlari soni mos ravishda m(A)
va m(B) bo'lsa, unda ularning birlashmasi AuB va kesishmasi A,AB elementlarining soni
o•zaro
tenglik bilan bog'langan
Faqat A yoki B to'plamga tegishli elementlar sonini rnA yoki mn deb
belgilaymiz. Faqat A to'plamga tegishli elementlar undagi barcha elementlar orasidan
uning B to'plamga kiradłgan elementlarini chiqarib tashlashdan hosil bo' ladi va shu
sababli — m(AnB) tenglikni yoza olamiz. Xuddi shunday
bo'ladi. AuB to'plamdagi elementlar faqat A to'plamga, faqat
B to•plamga va ularning ikkalasiga ham, ya'ni AnB to'plamga tegishli elementlardan
tashkil topadi. Demak,
m(AuB
AAB):;
Masala: Futbol akademiyasi tarbiyalanuvchilaridan 300 nafarining sifati tekshirildi.
Bunda futbolchi oliy toifali, I toifali, Il toifali y0ki sifatsiz bo'lishi mumkin deb
hisoblanadi. Tekshiruv natijalaridan 270 nafar futbolchi sifatli va 150 nafar futbolchi oliy
toifali emasligi ma'lum, I va Il toifali futbolchilarning umumiy sonini toping.
Tekshiruvda sifatli deb topilgan futbolchilarning to•plamini A, Oliy
bo•lmagan
futbolchilarning to•plamini B kabi belgilaymiz, Masala shartiga
asosan,
va
ekanligi ma'lum. To'plamlar birlashmasi ta•rifiga
asosan, AUB futbol akademiyasi tarbiyalanuvchilari to'plamini ifodalaydi, shu sababli
bo'ladi. To'plamlar kesishmasi ta'rifiga asosan, AnB tekshiruv natijasida
sifatli Va oliy toifali bo'lmagan, ya'ni I yoki Il toifali deb baholangan futbolchilar
to'plamini ifodalaydi. Unda, yuqorida isbotlangan formuladan foydalanib, masala javobini
quyidagicha topamiz:
m(AnB
-270+150-300=120.
Demak, I va Il toifali futbolchilarning umumiy soni 120 nafar ekan.
Cheksiz to' plamlar. Endi cheksiz to'plam tushunchasini kiritamiz va u bilan bog' liq
tasdiqlar bilan tanishamiz.
Ta 'rif: Chekli bo'lmagan A to'plam cheksiz to'plam deyiladi.
Masalan, natural sonlar to'plami Nz:l, 2, 3, n, Qz{Ratsional ,
nuqtalar),
(lal S l) tenglama ildizlari) va
kesmadagi
barcha to'g'ri chiziqlart
kabi to•plamlar cheksiz bo'ladi.
(a 'rif: Agar A va B to'plamlar orasida O'zaro bir qiymatli moslik O'rnatib bo'lsa, bu
to'plamlar ekvivalent deyiladi va kabi belgilanadi.
Masalan, A—Itoq sonlarl, B—ljuft sonlart bo'lsin. Unda A. 2n—le2n€B, ya'ni 1—2,
5—6,
ko'rinishda A va B to'plam elementlari o'rtasida o'zaro bir qiymatli
moslik o'rnatish mumkin va shu sababli bo'ladi. Demak A va B to'plamlar ekvivalent, ya'ni
bo'lsa, ularni elementlar soni bo'yicha bir xil deb qarash mumkin,
Ta'ri(: Natural sonlar to'plami N va unga ekvivalent barcha cheksiz to' plamlar
sanoqli to'plam deyiladi.
Agarda A sanoqli to'plam bo•lsa, uning elementlarini natural sonlar yordamida
belgilab (nomerlab) chiqish mumkin. ya'ni A—tat . az . as , ,
Endi sanoqli to'plamlarga misollar keltiramiz.
deb yozish mumkin.
1) sanoqli to'plam bo'ladi, Bunga Z3n—2n+1 eN, agar bo'lsa va Z3n—2 In I eN, agar
bo'lsa, ya'ni nomanfiy butun sonlarga toq natural sonlarni, manfiy butun sonlarga esa juft
natural sonlarni mos qo'yish bilan ishonch hosil qilish mumkin. Bunda NcZ bo'lsada N—
Z ekanligini ta'kidlab o'tamiz.
2) A—Ouft
2n, •••I—N. Bunga A32n n eN O'nlro bir qiymatli
moslik O'rnatish orqali ishonch hosil etish mumkin.
Sanoqli to' plamlar quyidagi xossalarga ega bo'lishini ko'rsatish mumkln:
l. aar qanday sanoqli to'plamning qiSm to'plaml Chekli yoki sanoqli bo'ladi_ ll.
Sanoqli va Chekli to 'plam birlashmasi sanoqli to 'plam bo'ladi.
Ill. Chekli yoki sanoqli sondagi sanoqli to'plamlar birlashmasi sanoqlidir.
IV. Barcha sanoqli to'plamlar O'zaro ekvivalent bo'ladi.
Oxirgi tasdiqdan barcha sanoqli to'plamlar bir xil quvvatga ega ekanligi kelib chiqadi.
Teorema: Ratsional sonlar to'plami Q sanoqli.
Q• va Q- orqali mos ravishda musbat va manfiy ratsional sonlar to'plamini
belgilab, Q— Q-u (O) u Q4 deb yozish mumkin. Bunda r —re Q' deb. Q' - Q' ekanligini
ko'ramiz. Shu sababli, Il va Ill xossalarga asosan, Q' to'plamni sanoqli ekanligini ko'rsatish
kifoya. aar qanday reQ4 ratsional sonni r—p/q ko'rinishda yozish mumkin, Bu yerda p va
q — natural sonlar bo'lib, ularni O'zaro tub deb hisoblash mumkin. r—p/q sonning
balandligi deb h—lpl+q songa aytiladi. Balandligi h—m22 bo'lgan ratsional sonlar
cheklita va ularni balandligi oshib borishi bo'yicha birin-ketin nomerlab chiqish mumkin.
Masalan, balandligi 11—2 bo'lgan bitta ratsional sonni 11—3 bo'lgan ikkita ratsional
sonlarni r2=l/2 va rsz2/l, 11—2, bo'lgan ratsional sonlarni ra=l/3 va kabi nomerlaymiz.
Demak, har bir musbat ratsional sonni rn, n e N, kabi belgilab chiqish mumkin va shu
sababli bo
Sanoqsiz to'plamlar. aar qanday cheksiz to'plam sanoqli bo'lavermaydi. Ta 'rif:
Sanoqli bo'lmagan cheksiz to'plam sanoqsiz to 'plam deb aytiladi.
Sanoqsiz to'plamlar. aar qanday eheksiz to ' plam sanoqli bo'lavermaydi.
Ta 'rif.• Sanoqli bo'lmagan eheksiz to'plam sanoqsiz to 'plam deb aytiladi.
Ushbu teorema sanoqsiz to ' plamlar mavjudligini ko vrsatadi.
[0,1 | kesmaga tegishli barcha nuqtalar (haqiqiy sonlar) to'plami
sanoqsizdir.
Teoremani isbotsiz qabul etamiz.
Ta 10, I l kesma va unga ekvivalent barcha to'plamlar kontinuum quvvatli deyiladi.
Ixtiyoriy a. b (ba) haqiqiy sonlar uchun la,bl 10,11, ya'ni ixtiyoriy kesmadagi nuqtalar
(haqiqiy sonlar) kontinuum quwatli sanoqsi7 to'plam bo'ladi. Bunga
(yela,bl,
xe10,ll) 0'zaro bir qiymatli akslantirish orqali ishonch hosil qilish mumkin.
lxtiyoriy ikkita la,bl va [c.dl kesmalar ekvivalent, ya'ni [a.hl lc,dl bo'ladi.
aaqiqatan ham, yuqorida ko'rsatilganga asosan, la.hl va Ic,dl — 10,11. Bu yerdan,
I -teoremaga asosan. la,bl — [c.dl ekanligi kelib chiqadi.
Xuddi shunday tarzda ixtiyoriy chekli yoki cheksiz oraliq (a,b) — 10. I l, ya'ni
kontinuum quvvatli sanoqsiz to'plam bo'lishini isbotlash mumkin. Jumladan, barcha
haqiqiy sonlar to'plami T) kontinuum quvvatli sanoqsiz to'plam bo'ladi.
aar qanday chekli to•plamning quwati sanoqli to'plam quvvatidan kichik,
navbatida sanoqli to'plam quvvati kontinuum quvvatidan kichikdir. Unda quwati
kontinuumdan katta to'plamni mavjud yoki mavjud emasligini aniqlash masalasi paydo
bo'ladi. Bu masala 0'z yechimini quyidagi teorema orqali topadi.
A to'plam
quvvati m(A) bo'lsin. U holda A to'plamning barcha qism to•plamlaridan iborat B to•plam
quvvati
bo'ladi.
Bu teoremadan quvvati eng katta bo'lgan eheksiz to'plam mavjud emasligi kelib
chiqadi. jumladan, quvvati kontinuumdan katta bo'lgan sanoqsiz to'plamlar mavjud,
Agar A va B cheksiz to'plamlar quvvati m(A) va m(B) bo•lsa, bu yerda yoki
yoki
yoki
munosabatlardan biri o'rinli
TO'PLAM USTIDA AMALLAR
Algebrada a va b sonlar ustida qo'shish va ko'paytirish amallari kiritilgan bo'lib, ular
a+h=h+a va ah—ba (kommutativlik, ya•ni 0'rin almashtirish),
(assotsiativlik, ya'ni guruhlash),
4 ac (distributivlik, ya'ni taqsimot) qonunlariga bo'ysunadilar. Bulardan
tashqari har qanday a soni uchun
va a *04) tengliklar ham 0' rinli bo'ladi.
Endi to'plamlar ustida algebraik amallar kiritamiz.
Ta 'rif: A va B to'plamlarning birlnshmasi (yig'indisi) deb shunday C to'plamga
aytiladiki, u A va B to'plamlardan kamida bittasiga tegishli bo'lgan elementlardan tashkil
topgan bo'ladi va AuB kabi belgilanadi.
2.
Agar A kvadratdagi, B esa uchburchakdagi nuqtalar to'plamidan iborat bo'lsa. unda
ularning birlashmasi AuB quyidagi 2-rasmdagi shtrixlangan sohadan iborat bo'ladi.
Shunday qilib AuB to'plam yoki A to'plamga, yoki B to'plamga, yOki A va
B to•plamlarning ikkalasiga ham tegishli elementlardan iboratdir.
Masalan,
va
bo'lsa
c=ll
razryadli sportchilarț va razryadli sportehilar} bo'lsa. onda
yoki Il razryadli
sportchilar} to'plamni ifodalaydi.
To•plamlarni birlashtirish amali. sonlarni qo•shish amali Singari,
AVB = BuA (kommutativlik),
(AuB)uC = Au(BuC) (assosiativlik) qonunlarga bo'ysunadi.
Bulardan tashqari Au O va sonlardan farqli ravishda, BcA bo•lsa tengliklar ham o•rinli
bo•ladi. Bu tasdiqlarning barchasi to•plamlar tengligi ta'rifidan foydalanib isbotlanadi.
Misol sifatida, oxirgi tenglikni isbotlaymiz:
yoki
Demak, (A u B) cA. A
c
(A
B) va ta'rifga asosan, AuB
Bir nechta Al A2. As , , Av to'plamlarning yig'indisi
kabi belgilanadi va ulardan kamida bittasiga tegishli bo'lgan elementlar to'plami
sifatida aniqlanadi.
Ta 'rif: A va B to'plamlarning kesishmasi (ko'paytmasi) deb shunday C to'plamga
aytiladiki. u A va B to'plamlarning ikkalasiga ham tegishli bo'lgan elementlardan tashkil
topgan bo'ladi va AnB kabi belgilanadi.
Agar A kvadratdagi, B esa uchburchakdagi nuqtalar to•plamini belgilasa, unda
ularning AnB kesishmasi 3-rasmdagi shtrixlangan soha kabi ifodalanadi:
Shunday qilib AO,B to'plam A va B to'plamlarning umumiy elementlaridan tashkil
topgan bo•ladi. Shu sababli agar ular umumiy elementlarga ega bo'lmasa. ya'ni
kesishmasa, unda AAB=O bo'ladi.
Masalan,
va
C=CFutbol
boȚicha O•zbekiston terma jamoa a'zolariț va
davlat jismoniy tarbiya
instituti talabalariț bo'lsa, unda CAD—țO'zbekiston davlat jismoniy tarbiya institutida
o'qiyotgan futbol bo'yicha (Yzbekiston terma jamoa a'zolari} to'plamni ifodalaydi.
To'plamlarni kesihmasi amali quyidagi qonunlarga bo'ysunadi:
AnB
=BnA
(kommutativlik),
(AnB)
nC=An (BOC) (assotsiativlik),
An u (AnC),
Au
n (AuC) (distributivlik)
Shu bilan birga AnA=A, An O = O va BcA bo'lsa tengliklar ham o'rinli bo'ladi. Bu
tasdiqlarning o'rinli ekanligiga yuqorida ko'rsatilgan usulda ishonch hosil etish mumkin.
Bir nechta A, , A2, A3 ,
, A l, to'plamlarning kesishmasi
kabi belgilanadi va barcha A, (k—l n) to•plamlarga tegishli bo'lgan urnumiy
elementlardan tuzilgan to'plam kabi aniqlanadi.
Ta 'ri(.• A va B to•plamlarning ayirmasi deb A to•plamga tegishli. ammo B to•plamga
tegishli bo•łmagan elementlardan tashkil topgan to•plamga aytiladi va
belgilanadi.
Agar A uchburchakdagi, B esa kvadratdagi nuqtalar to'plamini belgilasa.
unda ularning
ayirmasi 4-rasmdagi shtrixlangan sohadan iborat bo 'ladi:
kabi
Masalan,
bo'lsa, unda
7,9);
akademiyasida
tarbiyalanayotgan
futbolchilar)
va
{Sifatli futbolchilart
Isa,
akademiyasida
tarbiyalanayotgan
sifatsiz
futbolchilar),
Demak, ANB to•plam A to•plamning B to'plamga tegishli bo'lmagan elementlaridan
hosil bo•ladi. To•plamlar ayirmasi uchun
va ACB bo'lsa
Ta'rif: Agar ko•rilayotgan barcha to•plamalarni biror Q to'plamning qism to'plamlari
kabi qarash mumkin bo'lsa, unda Q universal to•p/am deb ataladi,
Masalan, sonlar bilan bog'liq barcha to'plamlar uchun m), insonlardan iborat
to'plamlar uchun Q—tBarcha odamlar} universal to•plam bo'ladi.
Ta•rif: Agar A to'plam Q universal to'plamning qismi bo'lsa, unda QIA to'plam A to
•plamning to 'Idiruvchisi deb ataladi va C(A) kabi belgilanadi.
5.
c
Agar yuqoridagi chizmada Q universal to'plam doiradagi, A to'plam esa uning ichida
joylashgan to'g'ri to'rtburchakdagi nuqtalardan iborat bo'lsa, uning to'ldiruvchisi C(A) 5rasmdagi shtrixlangan sohadan iborat bo'ladi,
Demak, C(A) to'
bo'ladi, ya'ni x e A x C(A),
A to'plamga kirmaydigan elementlardan tashkil topgan
A
C(A) .
Masalan, sportchilar}, {Natijaga erishgan sportchilar} bo'lsa, unda {Natijaga
erishmagan sponchilarl to'plami bo'ladi; •
to'plami,
— natural sonlar to'plami, 2n, —juft sonlar
n, — 4dan katta natural sonlar to'plami bo'lsa, unda
2n—l, — toq sonlar,
•o,
— 5 dan kichik natural sonlar to'plamlarini
ifodalaydi.
Tg'rif; A va B to'plamlarning Dekart kofraytmasi deb AxB kabi belgilanadigan va (x,
u) (XEA, ueB) ko'rinishdagi juftliklardan tuzilgan yangi to'plamga aytiladi
tekislikdagi
MI(2.l) va
nuqtalardajoylashgan to'g'ri to'rtburchakdan iborat bo•ladi (6-rasm).
Agar CATajribali o'yinchilarl va D—lYosh o'yinchilarl bo•lsa, unda CxD tajribali va
Yosh ishchidan iborat bo'lgan turli •sustoz•shogir€r• junliklaridan iborat to•plamni
ifodalaydi.
FOYDAL.ANILGAN ADABIYOTLAR
l. aoward Anton. Chris Rorres. Elementary Linear Algebra: Applications Version.
10th. — USA: Lehigh University. John Wiley & Sons, 2010, — 1276 p.
2, Ion Goian, Raisa Grigor, Vasile Marin, Florentin Smarandache. Algebraic
problems and exercises for high school. — USA: The FAIucational Publisher Columbus,
2015. — 146 p.
3.
Jabborov N.M. Oliy matematika va uning tatbiqlariga doir masalalar
to'plami. l.2-qism. 2014,
4.
Karimov M. Oliy matematika. O'quv qo'llanma (I-qism). — T.:
IqtisodMoliya. 2005.- 110 b. 5, Karimov M. Oliy matematika. O'quv qo'llanma (2-qism).
— T.: IqtisodMoliya. 2006. - 125 b.
6.
Konev V.V. Limits of Sequences and Functions. Textbook. The second
edition.Tomsk. TPU Press, 2009.
7.
Muminova R.. Turdaxunova S. Oliy matematika, Masalalar to'plami. — T.:
"Iqtisod-Moliya" nashriyoti, 2007. — 204 b.
8.
Rajabov F Masharipova S. Oliy matematika asoslari. O 'quv qo•llanma.
9.
Rajabov F,, Masharipova S Madrahimov R. Oliy matematika, O 'quv
2008. - 343 b.
qo'llanma. — T.: Turon-lqbol, 2007.—400 b.
10.
Rasulov N.p.. Safarov Ll.. Muxitdinov R.T. Oliy matematika. (Iqtisodchi
va muhandis-texnologlar uchun). Darslik. — T.: 2012. — 554 b.
I l, Rupinder Sekhon. Applied Finite Mathematics. — USA: Rice University.
Connexions. 2011.-341 p.
12.
Soatov YO.U. Oliy matematika kursi, Ill tom. — Toshkent: O 'qituvchi.
1999.
13.
Sultonov J.S. Oliy matematika (Funksiya limitlar), Uslubiy qo'llanma. —
Samarqand: 2010. — 73 b
14.
Sultonov J.S, Oliy matematika (aosila Va differnsial). Uslubiy qo'llanma.
— Samarqand: 2010, — 89 b
15.
Sultonov J.S. Oliy matematika (Integrallar), Uslubiy qo'llanma. —
Samarqand: 2009. — 121 b.