SOLUCIONARIO: ÁLGEBRA DE BALDOR
www.cienciamatematica.com
EJERCICIO 1
1. Una deuda se expresa en sentido
negativo. Luego inicalmente el estado
económico de Pedro es - 60 bs.
Al recibir 320 bs. Aumenta su capital
tantos bs. como ha recibido; entonces
la operaciòn queda expresada como
se indica
− 60 + 320 = + 260 bs.
EJERCICIO 3
1. + 32 m ; − 16 m
2. + 10 m ; − 4 m
3. 50 − 85 = − 35 m
4. − 6 ⋅11= − 66m
2. 1.170 − 1. 515 = − 345 sucres
3. 200 + 56 − 189 = + $ 67
5. -8 × 6 =-48 m
9 × 6 =+ 54 m
4. − 665 − 1.178 + 2 . 280 = + 437 soles
5. 20 − 15 + 40 − 75 = − $ 30
6. − 67 + 72 − 16 + 2 = − $ 9
7. 200 − 78 − 81− 93 + 41− 59 = − 70 colones
8. − 45 − 66 − 79 + 200 − 10 = 0
EJERCICIO 2
1. 12 − 15 = − 3!
6.
400 ⋅ 2 = + 800 m → corredor
− 400 ⋅ 3 = − 1. 200 m → yo
7. Los 40 pies de longitud del poste
se reparten asi: 15 pies que sobresalen
- se asumen en sentido positivo- .
25 pies que se encuentran enterrados.
- se asumen en sentido negativo - .
Al introducir 3 pies màs, se adicionan
a los que estan bajo el suelo y se deben
descontar de los que estan por encima.
Aritmèticamente significa:
40 = 15 + 25
− 25 − 3 = − 28 pies
+ 15 − 3 = + 12 pies
2. − 3 + 8 − 6 = − 1!
3. 15 − ( − 3) = 15 + 3 = 18!
( )
4. − − 8 + 5 = 8 + 5 = 13!
8. 55 − 52 = + 3 m
5. − 4 + 7 + 2 − 11= − 6!
6. − 8 + 4 ⋅1 = − 8 + 4 = − 4! → 7 am
− 8 + 4 ⋅ 2 = − 8 + 8 = 0!
→ 8 am
− 8 + 4 ⋅ 5 = − 8 + 20 = + 12! → 11am
9. − 32 + 15 = − 17m
10. 35 − 47 = − 12 m
11. − 39 + 56 = + 17m
12. 90 − 58 − 36 = − 4 m
7. − 1− 2 ⋅ 2 = − 1− 4 = − 5! → 10 am
− 1− 2 ⋅ 3 = − 1− 6 = − 7! → 11am
− 1− 2 ⋅ 3 + 3 ⋅1= − 1− 6 + 3 = − 4! → 12 am
− 1− 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 3 = − 1− 6 + 9 = + 2! → 2 pm
8. − 56 + 7 = − 49!
9. − 71 + 5 = − 66! long
− 15 + (− 5) = − 20! lat.
10. 18 + 3 =+ 21! long
65 -4 =+ 61! lat.
11. -75 +135 =+ 60 años
13. 72 − 30 ⋅1= 72 − 30 = + 42 m
72 − 30 ⋅ 2 = 72 − 60 = + 12 m
72 − 30 ⋅ 3 = 72 − 90 = − 18 m
72 − 30 ⋅ 4 = 72 − 120 = − 48 m
14. − 120 − (− 60) ⋅ 1 = − 120 + 60 = − 60 Km
− 120 − (− 60) ⋅ 2 = − 120 + 120 = 0
− 120 − (− 60) ⋅ 3 = − 120 + 180 = + 60 Km
− 120 − (− 60) ⋅ 4 = − 120 + 240 = + 120 Km
EJERCICIO 7.
1. x + 2x = 3x
27. 11a + 8a + 9a + 11a = 39a
28. mx + 1 + 3mx + 1 + 4mx + 1 + 6mx + 1 = 14mx + 1
2. 8a + 9a = 17a
29. − x2 y − 8x2 y − 9x2 y − 20x2 y = − 38x 2 y
3. 11b + 9b = 20b
30. − 3am − 5am − 6am − 9am = − 23am
4. − b − 5b = − 6b
31.
1
1
1
4 + 2 +1 + 8
15
a+ a+ a+a =
a=
a
2
4
8
8
8
7. 4a x + 5a x = 9a x
32.
2
1
1
1
8 + 10 + 2 + 1
21
ax + ax +
ax +
ax =
ax =
ax
5
2
10
20
20
20
8. 6a x + 1 + 8a x + 1 = 14a x + 1
33. 0,5m + 0,6m + 0,7m + 0,8m = 2,6m
9. − mx + 1 − 5mx + 1 = − 6mx + 1
34. −
5. − 8m − m = − 9m
6. − 9m − 7m = − 16m
1
1
1
ab −
ab −
ab − ab
7
14
28
− 4 − 2 − 1− 28
35
5
=
ab = −
ab = − ab
28
28
4
10. −3a x − 2 − a x − 2 = − 4a x − 2
11.
1
1
1+ 1
2
a+ a=
a = a =a
2
2
2
2
3
1
6ab + ab 7
ab +
ab =
=
ab
12.
5
10
10
10
13.
1
1
2 +1
3
1
xy + xy =
xy = xy = xy
3
6
6
6
2
14. −
1
4
− 1− 4
5
xy − xy =
= − xy = − xy
5
5
5
5
15. −
5 2
1
− 20 − 3 2
23 2
a b − a 2b =
a b =−
ab
6
8
24
24
7
−8−7
15
16. − a − 8 a = 8 a = − 8 a
17. 8a + 9a + 6a = 23a
2 3
1
1
1 3
x y − x 3y − x3y −
x y
3
6
9
12
−2 4 − 6 − 4 − 3 3
37 3
x y=−
x y
=
36
36
35. −
36. ab 2 + ab 2 + 7ab 2 + 9ab 2 + 21ab 2 = 39ab 2
37. − m − m − 8m − 7m − 3m = − 20m
38. − x a + 1 − 8x a + 1 − 4x a + 1 − 5x a + 1 − x a + 1 = − 19x a + 1
39.
1
1
1
1
1
a+ a+ a+ a+ a
2
3
4
5
6
30 + 20 + 15 + 12 + 10
87
29
a=
a=
a
=
60
60
20
1
1
1
1
1
ab − ab − ab −
ab − ab
3
6
2
12
9
−12 − 6 − 18 − 3 − 4
43
=
ab = −
ab
36
36
40. −
18. 15x + 20x + x = 36x
19. − 7m − 8m − 9m = − 24m
20. − a 2b − a 2b − 3a 2b = − 5a 2b
21. a x + 3 a x + 8a x = 12a x
22. − 5a x + 1 − 3a x + 1 − 5a x + 1 = − 13a x + 1
EJERCICIO 8
1
2
6+3+4
13
a=
a
23. a + a + a =
2
3
6
6
1. 8a − 6a = 2a
24. − x −
25.
2
1
− 6 − 4 −1
11
x− x=
x=− x
3
6
6
6
1
3
2 + 3 + 10
15
3
ax +
ax + ax =
ax =
ax = ax
5
10
10
10
2
3
4
5
6
2
2
2
26. − a x − a x − a x =
−9 − 10 − 12 2
31 2
a x=−
a x
12
12
2. 6a − 8a = − 2a
3. 9ab − 15ab = − 6ab
4. 15ab − 9ab = 6ab
5. 2a − 2a = 0
6. − 7b + 7b = 0
7. − 14xy + 32xy = 18xy
8. − 25x 2 y + 32x 2 y = 7x 2 y
35.
9. 40x 3 y − 51x 3 y = − 11x 3y
10. −m2n + 6m2n = 5m2n
11. − 15xy + 40xy = 25xy
12. 55a 3b 2 − 81a 3b 2 = − 26a 3b 2
5 m + 1 7 m + 1 10 − 7 m +1 3 m + 1 1 m + 1
a −
a =
a =
a = a
6
12
12
12
4
2
36. 4a −
1 2
12 − 1 2 11 2
a =
a = a
3
3
3
37. − 5mn +
3
− 20 + 3
17
mn =
mn = −
mn
4
4
4
13. − x 2 y + x 2 y = 0
38. 8a x + 2b x + 3 − 25a x + 2b x + 3 = − 17a x + 2b x + 3
14. −9ab 2 + 9ab2 = 0
39. −
15. 7x2 y − 7x2 y = 0
16. − 101mn + 118mn = 17mn
7 m n m n −7+8 m n 1 m n
a b +a b =
a b = a b
8
8
8
40. 0,85mxy − 0,5mxy = 0,35mxy
17. 502ab − 405ab = 97ab
18. − 1024 x + 1018x = − 6x
19. −15ab + 15ab = 0
EJERCICIO 9
20.
1
3
2−3
1
a− a=
a=− a
2
4
4
4
1. 9a − 3a + 5a = 11a
21.
3
1
3−2
1
a− a=
a= a
4
2
4
4
3. 12mn − 23mn − 5mn = − 16mn
22.
5 2
5 2 10 − 5 2
5 2
a b−
a b=
a b=
a b
6
12
12
12
5. 19m − 10m + 6m = 15m
4 2
9 2
−8+ 9 2
1 2
x y=
x y=
x y
23. − x y +
7
14
14
14
3
5
3 − 10
7
am − am =
am = − am
24.
8
4
8
8
25. − am +
26.
3
−5+3
2
am =
am = − am
5
5
5
5
7
20 − 21
1
mn − mn =
mn = −
mn
6
8
24
24
27. − a b +
2
− 11+ 3 2
3 2
8
a b=
a b = − a 2b
11
11
11
28. 3,4a 4b3 − 5,6a 4b 3 = − 2,2a 4b 3
29. − 12
, yz + 3,4yz = 2,2yz
30. 4a x − 2a x = 2a x
31. − 8a x + 1 + 8a x + 1 = 0
32. 25ma − 1 − 32ma − 1 = − 7ma − 1
33. − x a + 1 + x a + 1 = 0
34. −
1 m − 2 1 m − 2 − 1+ 2 m − 2 1 m − 2
a
a
+ a
=
= a
4
2
4
4
2. − 8x + 9x − x = 0
4. − x + 19x − 18x = 0
6. −11ab − 15ab + 26ab = 0
7. − 5a X + 9a X − 35a X = − 31a X
8. − 24a X + 2 − 15a X + 2 + 39a X + 2 = 0
9.
2
1
2 + 1− 3
0
y+ y−y=
y= y=0
3
3
3
3
10. −
11.
3
1
1
− 12 + 5 − 10
17
m+ m− m =
m =−
m
5
4
2
20
20
3 2
1
3+2− 8 2
3
a b + a 2b − a 2b =
a b = − a 2b
8
4
8
8
12. − a + 8a + 9a − 15a = a
13. 7ab − 11ab + 20ab − 31ab = − 15ab
14. 25x 2 − 50x 2 + 11x 2 + 14x 2 = 0
15. − xy − 8xy − 19xy + 40xy = 12xy
16. 7ab + 21ab − ab − 80ab = − 53ab
17. − 25xy 2 + 11xy 2 + 60xy 2 − 82xy 2 = − 36xy 2
18. −72ax + 87ax − 101ax + 243ax = 157ax
19. − 82bx − 71bx − 53bx + 206bx = 0
20. 105a 3 − 464a 3 + 58a 3 + 301a 3 = 0
21.
1
1
1
1
30 − 20 + 15 − 12
13
x− x+ x− x=
x=
x
2
3
4
5
60
60
EJERCICIO 10
22.
1
1
1
1
4 − 4 + 2 −1
1
y− y+ y−
y=
y=
y
3
3
6
12
12
12
1. 7a + 6a − 9b − 4b
− 9b − 4b = − 13b
7a + 6a = 13a
= 13a − 13b
3 2
1 2
1 2
2
23. 5 a b − 6 a b + 3 a b − a b
=
18 − 5 + 10 − 30 2
7 2
a b=−
a b
30
30
5 2 1 2
3 2
2
24. − 6 ab − 6 ab + ab − 8 ab
=
− 20 − 4 + 24 − 9 2
9
3
ab = −
ab 2 = − ab2
24
24
8
25. − a + 8a − 11a + 15a − 75a = − 64a
26. − 7c + 21c + 14c − 30c + 82c = 80c
27. − mn + 14mn − 31mn − mn + 20mn = mn
28. a 2 y − 7a 2 y − 93a 2 y + 51a 2 y + 48a 2 y = 0
29. − a + a − a + a − 3a + 6a = 3a
30.
1
2
7
1
x+ x− x+ x−x
2
3
6
2
3+4−7+3−6
3
1
x=− x= − x
=
6
6
2
3
1
5
31. − 2x + 4 x + 4 x + x − 6 x
− 48 + 18 + 6 + 24 − 20
20
5
=
x=−
x= − x
24
24
6
32. 7a x − 30 a x − 41a x − 9a x + 73a x = 0
33. − a x + 1 + 7a x + 1 − 11a x + 1 − 20a x + 1 + 26a x + 1 = a x + 1
34. a + 6a − 20a + 150a − 80a + 31a = 88a
35. − 9b − 11b − 17b − 81b − b + 110b = − 9b
36. − a 2b + 15 a 2b + a 2 b − 85 a 2b − 131a 2b + 39 a 2b = − 162 a 2b
37. 84m2 x − 501m2 x − 604m2 x − 715m2 x + 231m2 x + 165m2 x
= − 1340m2 x
38.
5 3 2 2 3 2 1 3 2 5 3 2
a b + a b − a b − a b + 4a 3b 2
6
3
4
8
20 + 16 − 6 − 15 + 96 3 2 111 3 2
=
ab =
ab
24
24
37 3 2
=
a b = 4 58 a 3b 2
8
39. 40a − 81a + 130a + 41a − 83a − 91a + 16a = − 28a
40. − 21ab + 52ab − 60ab + 84ab − 31ab − ab − 23ab = 0
2. a + b − c − b − c + 2c − a
a−a =0
b −b =0
=0
− c − c + 2c = 0
3. 5x − 11y − 9 + 20x − 1− y
5x + 20x = 25x − 11y − y = − 12y
= 25x − 12y − 10
− 9 − 1 = − 10
4. − 6m + 8n + 5 − m − n − 6m − 11
− 6m − m − 6m = − 13m 8n − n = 7n
= − 13m + 7n − 6
5 − 11= − 6
5. − a + b + 2b − 2c + 3a + 2c − 3b
− a + 3a = 2a b + 2b − 3b = 0
= 2a
− 2c + 2c = 0
6. − 81x + 19y − 30z + 6y + 80x + x − 25y
− 81x + 80x + x = 0 19y + 6y − 25y = 0
= − 30z
− 30z
7. 15a 2 − 6ab − 8a 2 + 20 − 5ab − 31+ a 2 − ab
15a 2 − 8a 2 + a 2 = 8a 2
− 6ab − 5ab − ab = − 12ab
20 − 31= − 11
= 8a − 12ab − 11
2
8. − 3a + 4b − 6a + 81b − 114b + 31a − a − b
−3a − 6a + 31a − a = 21a
4b + 81b − 114b − b = − 30b
= 21a − 30b
9. − 71a b − 84a b + 50a b + 84a b − 45a b + 18a b
− 71a 3b + 50a 3b − 45a 3b + 18a 3b = − 48a 3b
3
4 2
3
4 2
3
3
− 84a 4b 2 + 84a 4b2 = 0
= − 48a 3b
10. − a + b − c + 8 + 2a + 2b − 19 − 2c − 3a − 3 − 3b + 3c
−a + 2a − 3a = − 2a b + 2b − 3b = 0
− c − 2c + 3c = 0
8 − 19 − 3 = − 14
= − 2a − 14
11. m + 71mn − 14m − 65mn + m − m − 115m + 6m
m3 + 6m3 = 7m3
m2 − 14m2 − m2 − 115m2 = − 129m2
2
2
3
2
2
3
71mn − 65mn = 6mn
= 7m3 − 129m2 + 6mn
4
3 2
2
4
2
3 2
3 2
4
3
12. x y − x y + x y − 8x y − x y − 10 + x y − 7x y − 9 + 21x y − y + 50
− x 3 y 2 + x 3 y 2 − 7x 3 y 2 = − 7x 3y 2
x 4 y − 8x 4 y + 21x 4 y = 14x 4 y
x 2y − x2y = 0
− y3
− 10 − 9 + 50 = 31
= 14x y − 7x y − y + 31
4
3 2
3
13. 5a x + 1 − 3b x + 2 − 8c x + 3 − 5a x + 1 − 50 + 4b x + 2 − 65 − b x + 2 + 90 + c x + 3 + 7c x + 3
− 8c x + 3 + c x + 3 + 7c x + 3 = 0
= − 25
− 3b x + 2 + 4b x + 2 − b x + 2 = 0
5a x + 1 − 5a x + 1 = 0
− 50 − 65 + 90 = − 25
14. am + 2 − xm + 3 − 5 + 8 − 3am + 2 + 5xm + 3 − 6 + am + 2 − 5xm + 3
− x m + 3 + 5 x m + 3 − 5x m + 3 = − x m + 3
=−x
m+3
−a
m+2
am + 2 − 3am + 2 + am + 2 = − am + 2
−3
15. 0,3a + 0,4b + 0,5c − 0,6a − 0,7b − 0,9c + 3a − 3b − 3c
0,3a − 0,6a + 3a = 2,7a
0,4b − 0,7b − 3b = − 3,3b
= 2,7a − 3,3b − 3,4c
16.
17.
−5+8−6= −3
1
1
3
1
3 1
a + b + 2a − 3b − a − b + −
4
6
4 2
2
3
1
3
2+8−3
7
a + 2a − a =
a= a
2
4
4
4
7
17
1
= a−
b+
4
6
4
0,5c − 0,9c − 3c = − 3,4c
1
1
2 − 18 − 1
17
b − 3b − b =
b=−
b
3
6
6
6
3 2
1
1
m − 2mn + m2 − mn + 2mn − 2m2
5
10
3
3 2
1
6 + 1− 20 2
13
m + m2 − 2m2 =
m = − m2
5
10
10
10
13 2 1
= − m − mn
10
3
− 2mn −
3 1 3−2 1
− =
=
4 2
4
4
− 6 − 1+ 6
1
1
mn + 2mn =
mn = − mn
3
3
3
18. − 3 a 2 + 1 ab − 5 b 2 + 2 1 a 2 − 3 ab + 1 b 2 − 1 b 2 − 2ab
3
4
2
6
4
6
3
2−3−8
9
3 2 7 2 − 9 + 28 2 19 2
1
3
a =
a
ab − ab − 2ab =
ab = − ab
− a + a =
4
4
4
3
12
12
2
4
5 2 1 2 1 2 − 5 + 1− 2 2
6 2
2
b =− b =−b
− b + b − b =
6
6
3
6
6
19 2 9
2
a − ab − b
=
12
4
3 2
2
1
xy − 0,6y 3 − x 2 y − 0,2xy 2 + y 3 − 6
8
5
4
2
2−2 2
x y=0
0,4x 2 y − x 2 y =
5
5
, 3
1
14
− 2,4 + 1 3
− 0,6y 3 + y 3 =
y =−
y = − 0,35y 3
4
4
4
= 0,175xy 2 − 0,35y 3 + 25
19. 0,4x y + 31+
2
3
7 m − 2 3 m−1 1 m− 2
1
+ a −
− 0,2a m − 1 + b m − 2
b
b
50
5
25
5
3 m − 1 3 m −1
3 + 15 − 5 m − 1 13 m − 1
a + a − 0,2a m − 1 =
a =
a
25
5
25
25
13 m − 1 1 m − 2
=
a +
b
25
50
20. 25 a
m−1
,
,
3 2
3 − 16
14
xy − 0,2xy 2 =
xy 2 =
xy 2 = 0,175xy 2
8
8
8
31− 6 = 25
−
−
7 m − 2 1 m − 2 1 m − 2 − 7 − 2 + 10 m − 2 1 m − 2
−
+ b
=
=
b
b
b
b
50
25
5
50
50
EJERCICIO 11
Para resolver los problemas del 1 al 18 las literales toman los siguientes valores:
a = 1 b = 2 c = 3 m = 1/2 n = 1/3 p = 1/4
1. 3ab = 3 ⋅1⋅ 2 = 6
2. 5a 2b3 c = 5 ⋅12 ⋅ 23 ⋅ 3 = 5 ⋅ 8 ⋅ 3 = 120
4 2
2
2 1 1
3. b mn = 2 ⋅ ⋅ = =
2 3 6 3
12.
4a
4 ⋅1
4 2
=
=
=
3bc 3 ⋅ 2 ⋅ 3 18 9
2
 1
1
5⋅ 2 2 ⋅  
20 ⋅
 2
5
b
m
5
4
13.
=
=
=
= 60
1 1
1
1
np
⋅
3 4
12
12
2
2
 1   1
 2   3
3
4. 24m n p = 24     ⋅
2
3
1
1 1 6
1
= 6⋅ ⋅ =
=
4
27 4 108 18
3
5.
2 4 2 3 2 4 2  1 2 1 8 1
a b m = ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅   = ⋅ 4⋅ =
=
 2
3
3
3 8 24 3
6.
7 3 2
7
 1  1 189 1 1 189 63
⋅ ⋅ =
=
c p m = ⋅ 33 ⋅   ⋅ =
 4  2 12 16 2 384 128
12
12
14.
2
2
 1   1
 2   3
3
b c a
7. m n p =     ⋅
1 1 1 1
1
= ⋅ ⋅ =
4 4 27 4 432
3− 2
8.
5 b −1 c − 2 5 2 −1  1 
a ⋅ m = ⋅1 ⋅  
 2
6
6
9.
2bc 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 32 = 4 ⋅ 9 = 36 = 6
3
2
10. 4m ⋅ 12bc = 4 ⋅
4 3
11. mn ⋅ 8a b =
15.
5 1 5
= ⋅ =
6 2 12
1 3
⋅ 12 ⋅ 2 ⋅ 32 = 2 ⋅ 3 216 = 2 ⋅ 6 = 12
2
1 1
1
8 4
⋅ ⋅ 8 ⋅14 ⋅ 23 = ⋅ 64 = =
2 3
6
6 3
16.
2
3 3 3 3 3 ⋅ 8 24
b
⋅2
6
4
=4
= 4 = 4 = =1
2 2 2 2 2 ⋅ 9 18 6
c
⋅3
3
3
3
3
1
1
1
2
=
=
= =3
2
1 1
n2
 1
 
9 3
 3
2m
2⋅
1 1
24
24 ⋅ ⋅
4
2
3
6
=
=
=
2
2
1
1
1
2 ⋅ n2 p2
 1  1 
2⋅
2⋅
⋅
2⋅    
9 16
144
 3  4 
24mn
=
4
4
= = 24
1 1
2⋅
12 6
3 6
3 ⋅ 3 64 ⋅ 2 ⋅ 3
17. 3 ⋅ 64b c =
= 3 ⋅ 3 64 ⋅ 8 ⋅ 729 = 3 ⋅ 3 373.248 = 3 ⋅ 72 = 216
1
2m
2⋅
2
3
3
18.
6
3
1
3 4
3
3
3
3
⋅ 1⋅ ⋅ 2 2
⋅
⋅ apb 2
⋅ 1
6
2
5
4
5 4
5
5
5
=
=
=
=
= 5 =
=
3 3
3 3
3
15 75 25
3
1
3
250
⋅ 125bm
⋅ 125
⋅5
⋅ 3 125 ⋅ 2 ⋅
⋅3
2
2
2
2
2
2 2
2
EJERCICIO 12
Para resolver los problemas del 1 al 18 las literales toman los siguientes valores:
a = 3 b = 4 c = 1/3 d = 1/2 m = 6 n = 1/4
1. a 2 − 2ab + b 2 = 32 − 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 42 = 9 − 24 + 16 = 1
 1
 3
2
1 1  1
3 2  2
2
2
2
2. c + 2cd + d =   + 2 ⋅ ⋅ +   =
3.
1 1 1 4 + 12 + 9 25
+ + =
=
9 3 4
36
36
a b 3 4
+ =
+ = 9 + 8 = 17
1
c d 1
3 2
1
c m
3 − 6 + 2 = 2 − 24 + 2 = 2 − 72 + 6 = − 64
−
+
2
=
4.
1 1
3
3
d n
3
2 4
5.
a 2 b 2 m2 32 42 62 9 16 36
−
+
=
−
+
= −
+
= 3 − 8 + 6 =1
3
2
6
3
2
6 3 2
6
6.
3
1
3 1 1
1 1
1− 10 + 5
4
c − b + 2d = ⋅ − ⋅ 4 + 2 ⋅ = − 2 + 1=
=−
5
2
5 3 2
2 5
5
5
1
1
3⋅
4⋅
1 144 + 6 − 1 149
12 1 2
ab ac bd 3 ⋅ 4
3
2
+
−
=
+
−
=
+ − = 48 + 2 − =
=
= 49 23
1 1 6
1
1
7. n
3
3
3
6
d m
4 2
2
4
8.
b + n + 6m = 4 +
1
1
4 + 1+ 12 17
+ 6⋅6 = 2 + + 6 =
=
= 8 21
4
2
2
2
1
3
1
2
1
4
2
2
9. c 3a − d 16b + n 8d = ⋅ 3 ⋅ 3 − ⋅ 16 ⋅ 4 + ⋅ 8 ⋅
10.
ma
63
216
=
= 216 ⋅ 16 = 3.456
4 =
b
1
d
 1
 
16
 2
1 1
1
1
1 2 − 16 + 1
13
= ⋅ 3 − ⋅16 + ⋅ 2 = 1− 8 + =
=−
= − 6 21
2 3
2
4
2
2
2
2
2
 1
 1
1 1
3 
4 
 3
 4
1
1 2+1 3 1
11. 3 2 4n
c +
=
+
= 3+ 4= +
=
=
=
4
4
6
4 6 12 24 24 24 8
m
2
2
2
12.
4d 2 16n 2
2 8
1 1
 1
 1
+
− 1= 2 ⋅   + 8 ⋅   − 1 = + − 1 = + − 1= 1 − 1 = 0
 2
 4
2
2
4 16
2 2
13.
a + b b + m 3 + 4 4 + 6 7 10
−
=
−
= −
= 21− 20 = 1
1 1
1
1
c
d
3 2
2
3
14.
1 2
b−a m−b
4−3 6−4
+
+ 5a =
+
+ 5 ⋅ 3 = + + 15 = 4 + 4 + 15 = 23
1 1
1
1
n
d
4 2
2
4
12c − a 16n − a 1
−
+ =
15.
m
d
2b
1
1
− 3 16 ⋅ − 3
1 1
3 − 4 + 48 47
1 4−3 4−3
3
4
−
+ =
−
+2= − +2=
=
= 1 23
24
1
8
6
8 6
24
24
2⋅4
6
2
12 ⋅
3⋅ 3
6⋅6
3a
6m
9
−
= 4⋅4 +
−
= 16 +
−
3
6
3
6
3
16.
4b +
17.
b + 2d
3c + 8d
−
=
2
4
2 ⋅ a b 3⋅ 2 + d
18.
+
3
4
2 2
2
4 + 2⋅
2
1
2
3⋅
−
36
3 6
= 4 + − = 4 + 1− 1= 4
6
3 6
1
1
+ 8⋅
3
2 2 + 1 1+ 2 3 3 6 − 3 3
=
−
= − =
=
4
2
4
2 4
4
4
 1
3⋅ 2 +  
 2
2
9
3⋅
2⋅ 3 ⋅4
1 2 ⋅ 144
1
4
− a⋅ n =
+
− 3⋅
=
+
− 3⋅
3
4
4
3
4
2
3
9
2 ⋅ 12 3⋅ 2 3 24 2 3
9 3 64 + 9 − 12 61 5
=
+
−
= + − = 8+ − =
= =78
3
4 2
3 4 2
8 2
8
8
2
2
EJERCICIO 13
Para los problemas 1 al 24 las literales toman los siguientes valores:
a = 1 b = 2 c = 3 d = 4 m = 1/2 n = 2/3 p = 1/4 x = 0
1. (a + b)⋅ c − d = (1 + 2)⋅ 3 − 4 = 3 ⋅ 3 − 4 = 9 − 4 = 5
(
)(
) (
)(
)
(
)(
)

1 
2. a + b b − a = 1 + 2 2 − 1 = 3 ⋅ 1 = 3
 4 − 1  9 − 2 
2
3 7
7
7+8
2
2

 + 4= ⋅ + 4= + 4=
3. b − m c − n + 4a =  2 −   3 −  + 4 ⋅ 1 = 
2
3
2  3 
2 3
2
2
4.
(2m + 3n)(4 p + b ) =  2 ⋅ 21 + 3⋅ 23  4 ⋅ 41 + 2  = (1+ 2)(1+ 4) = 3⋅ 5 = 15
2
(
)(
)(
2
) 
1
1
(
) 2

(
)
2
2
2
2
5. 4m + 8 p a + b 6n − d =  4 ⋅ + 8  1 + 2  6 ⋅ − 4 = 2 + 2 ⋅ 3⋅ 0 = 0
2
4
3
=
15 1
=72
2
(
)(
)(
)(
) (
)(
 2 − 1 1
 =
4  4
)  21 41 
)(
6. c − b d − c b − a m − p = 3 − 2 4 − 3 2 − 1  −  = 1⋅ 1⋅ 1
(
)
(
)
(
7 168 − 7 161
 1 2
 3+ 4
+  + 2⋅ 0 = 4⋅ 7 − 
=
= 26 56
 = 28 − =
 6 
2 3
6
6
6
)
2
2
2
2
7. b c + d − a m + n + 2 x = 2 3 + 4 − 1 
(
)
(
1
2
)
(
)
2
2
2
2
2
2
8. 2mx + 6 b + c − 4d = 2 ⋅ ⋅ 0 + 6 2 + 3 − 4 ⋅ 4 = 6 4 + 9 − 4 ⋅ 16 = 6 ⋅ 13 − 64 = 78 − 64 = 14
1
 1
16 ⋅ 
 8⋅
4 4 4
2
2+ 6 8
 8m 16 p 
2
4

 ⋅1 =
+
+ = + 2 = + 2=
= = 2 23
9.  9n + b  a =
18 2 6
2 
3
3
3
 9⋅ 2
 3

3
(
)
b
c
a
10. x + m a + d − c = 0 +
(
)
1 2 3 1 1
(1 + 4 − 3 ) = 2 (1+ 64 − 3) = 21 ⋅ 62 = 31
2
 1 1
4 + 
2
2
3 5 3 27
4 1 + 2
 2 + 1 1 + 4
÷
= 4
÷
= 4⋅ ÷ = =
= 5 25
2
 4 
1
3
9
4 9 5 5
9
2
2
11. 4 m + p ÷ a + b =  2
2
a
c
(
)(
)(
12. 2m + 3n + 4 p 8 p + 6n − 4m 9n + 20 p
)
1  1
2
1  2
1
2
 1
=  2 ⋅ + 3⋅ + 4 ⋅   8 ⋅ + 6 ⋅ − 4 ⋅   9 ⋅ + 20 ⋅  = ( 1 + 2 + 1)(2 + 4 − 2)(6 + 5) = 4 ⋅ 4 ⋅ 11 = 176
 2
2  3
4
3
4  4
3
(
)
(
)
(
2
2
2
13. c m + n − d m + p + b n + p
)
7
3
11 21
44 126 − 144 + 44 26
 1 2
 1 1
 2 1
= 32  +  − 4 2  +  + 2 2  +  = 9 ⋅ − 16 ⋅ + 4 ⋅ = − 12 +
=
=
= 2 122 = 2 16
 2 3
 2 4
 3 4
6
4
12 2
12
12
12
 c2 + d 2
 32 + 4 2 2  1  9 + 16 2  1  25 2  1
2 
1 5


⋅ =
m
÷
=
÷
÷  ⋅ = 
÷  ⋅ = 5⋅ = = 2 12
14. 




1
2 2  1 2 2
2 2
a
4 2  1
d


15. (4 p + 2b)(18n − 24 p) + 2 (8m + 2)(40 p + a )
2
1
1 
 1

 1 
=  4 ⋅ + 2 ⋅ 2  18 ⋅ − 24 ⋅  + 2  8 ⋅ + 2  40 ⋅ + 1 = (1 + 4)(12 − 6) + 2 (4 + 2) (11) = 5⋅ 6 + 2 ⋅ 66 = 30 + 132 = 162
 4

 2 
3
4
4 
2
2
2
5+
 1
d
2
4
2+ 4
1 6
 
a+
5 + 2 1+
 2
5 + 8 3 5 + 8 3 13 3
624
b⋅
m =
2⋅
2
4
=
⋅
= 2⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅ 208 =
= 312
16.
1
d −b
p2
4 − 2  1 2
2
2 1
2 1
2 1 2
2
 
16
16
16
16
 4
5+
(
)
( )
1
2
 2
 3
2
1 2
2 3
2
6
2 90 − 2 88
= = 14 46 = 14 23
6
6
6
2
2
2
17. a + b ⋅ c + 8b − m ⋅ n = 1 + 2 ⋅ 3 + 8 ⋅ 2 − ⋅   = 3⋅ 25 − ⋅ = 3⋅ 5 − = 15 − =

2
 1+ 3
6⋅ 
 a+c
6n 
1  4
4
1 2 4
3

 ÷ (c + d )⋅ p = 
 ÷ 7⋅ = =
+
+
÷ (3 + 4)⋅
=
+
18.  2
 2
2 
4  2
2 
2 7 7
b 


2


(
)
(
)
2
n
6
1
1 2
= 3 (3 − 2)⋅ 32 ⋅ − 2 (4 − 1)⋅ 16 ⋅ − = 3⋅ 16 − 6 ⋅ 4 − = 3⋅ 4 − 6 ⋅ 2 − 3 = 12 − 12 − 3 = − 3
2
2
4 2
3
19. 3 c − b ⋅ 32m − 2 d − a ⋅ 16 p −
20.
6abc
3mn cdnp
+
−
2 ⋅ 8b 2(b − a ) abc
1 2
2 1
3⋅ ⋅
3⋅ 4 ⋅ ⋅
2 3
3 4 = 36 + 1 − 2 = 6 + 1 − 1 = 18 + 12 − 8 = 22 = 11
=
+
−
1⋅ 2 ⋅ 3
24
24 12
2 ⋅ 8⋅ 2
2 ⋅ 16 2 6 8 2 3
2(2 − 1)
6 ⋅ 1⋅ 2 ⋅ 3
21.
a 2 + b2
12 + 2 2
5
5
5 + 216 221
+ 3 (1 + 2)(2 ⋅ 1 + 3⋅ 2) = + 3⋅ 3⋅ 8 = + 72 =
=
= 73 23
2
2 + 3 (a + b)(2a + 3b) = 2
b −a
2 − 12
3
3
3
3
 1 1   1 1  1 1 
+  +  + + 
 a b   b c   n m
2
22. b 2 + 
2


2
2
5  7
21 49 70 35
 3 5  3 
 1 1   1 1  1 1 
2
= = = 17 21
= 2 +  +   +  +  +  = 4 +  ⋅  +  + 2 = 4 + +   = +
 2 6  2 
 1 2   2 3  2 1 
4  2
4 4 4 2
 3 2
(2m + 3n)(4 p + 2c) − 4m n
2
23.
2
2  1
1 4
4
4 189 − 4 185
 1

 1  2
=  2 ⋅ + 3⋅   4 ⋅ + 2 ⋅ 3 − 4     = (1 + 2)(1 + 6 ) − 4 ⋅ ⋅ = 3⋅ 7 − = 21 − =
=
= 20 95
 2

 2   3
3  4
4 9
9
9
9
9
2
2
c
2
2
3
22 −
3 − 3 = 3 − 3 = 3 − 4 = 6 − 4 = 54 − 28 = 26
3 − n =
1 3 7 9 7 9
1
1
24. 2ab − m b − m
63
63
4−
2−
2 ⋅1⋅ 2 −
2 2 2
2
2
b2 −
EJERCICIO 14
(
)
10. $ x + a − m
1. a + b + m
2. m2 + b3 + x 4
(
)
11. m − a − b − c Km
3. a + 1 ; a + 2
12. $ (n − 300)
4. x − 1 ; x − 2
13.
5. y + 2 ; y + 4 ; y + 6
14. $ 8a ; $15a ; $ ma
(
)
6. $ a + x + m
7. m − n
(
(365− x) días
15. 2a + 3b +
)
16. a ⋅ b m2
9. x − m Km
17. 23n m2
8. bs. x − 6
(
)
c
2
18. x 2 m2
(
) (
20. (a + b)( x + y )
21. $ (8 x + 48)
22. bs. (a − 8)(x + 4)
19. $ 3a + 6b ; $ ax + bm
23.
75
sucres
x
24. $
a
m
)
3.000
25. n − 1 colones
a +b
29. $ m − 2
x
26. a − 3 soles
27.
m
m
14
28.
x +1 km
h
a

30.  x + 2 x +

x
 hab.
2

.
− a+
31. 1000


a 2a  
+  sucres
3 4  
EJERCICIO 15
3 2
x y
8
− 32 + 3 2
3
29 2
x y=−
x y
− 4x 2 y + x 2 y =
8
8
8
1. m, n → m + n
20. − 4x 2 y ,
( )
2. m , − n → m + − n = m − n
3. − 3a , 4b → − 3a + 4b
4. 5b , 6a → − 6a + 5b
( )
5. 7 , − 6 → 7 + − 6 = 7 − 6 = 1
21.
6. − 6 , 9 → − 6 + 9 = 3
7. − 2x , 3y → − 2x + 3y
8. 5mn , − m → 5mn + (− m) = 5mn − m
9. 5a , 7a → 5a + 7a = 12a
(
)
3
3
mn , − mn
8
4
3
3
3−6
3
mn − mn =
mn = − mn
8
4
8
8
22. a , b , c → a + b + c
23. a , − b , c → a − b + c
24. a , − b , 2c → a − b + 2c
10. − 8 x , − 5x → − 8 x + − 5x = − 8 x − 5x = − 13x
25. 3m , − 2n , 4p → 3m − 2n + 4p
11. − 11m , 8m → − 11m + 8m = − 3m
26. a 2 , − 7ab , − 5b2 → a 2 − 7ab − 5b2
12. 9ab , − 15ab → 9ab − 15ab = − 6ab
13. − xy , − 9xy → − 9xy − xy = − 10xy
(
)
14. mn , − 11mn → mn + − 11mn = mn − 11 mn = − 10mn
1
2
1
2
a− b
15. a , − b →
2
3
2
3
16.
3
3
3
3
b,
c→
b+ c
5
4
5
4
17.
1
2
1
2
3
b,
b→
b+ b= b=b
3
3
3
3
3
18. −
1
1
1
1
2
xy , − xy → − xy − xy = − xy = − xy
2
2
2
2
2
3
2
abc , − abc
5
5
3
2
5
− abc − abc = − abc = − abc
5
5
5
19. −
27. x 2 , − 3xy , − 4y 2 → x 2 − 3xy − 4y 2
28. x3 , − x2 y , 6 → x3 − x 2y + 6
29. 2a , − b , 3a → 2a + 3a − b = 5a − b
30. − m , − 8n , 4n → − m − 8n + 4n = − m − 4n
31. −7a , 8a , − b → − 7a + 8a − b = a − b
32.
1
2
3
x, y, − x
2
3
4
1
3
2
4−6
2
1
2
x− x+ y=
x+ y=− x+ y
2
4
3
8
3
4
3
3
2
33. − 5 m , − m , − 3 mn
−
3
2
−3−5
2
8
2
m − m − mn =
m − mn = − m − mn
5
3
5
3
5
3
34. − 7a 2 , 5ab ,
3b 2 ,
− a2
− 7a 2 − a 2 + 5ab + 3b 2 = − 8a 2 + 5ab + 3b 2
35. − 7mn2 + 17mn2 − 5m − 4m = 10mn2 − 9m
36. x − 7x − 8x y + 4x y + 5 = − 6x − 4x y + 5
3
3
2
2
3
EJERCICIO 16
2
37. 5x2 − x 2 + 9xy − 6xy + 7y 2 = 4x2 + 3xy + 7y2
1. 3a + 2b − c
2a + 3b + c
5a + 5b
38. − 8a 2b − a 2b + 5ab 2 − 11ab 2 − 7b 3
= − 9a b − 6ab − 7b
2
2
3
2.
39. m − 8m n + 7m n + 7mn − n
= m3 − m2n + 7mn2 − n3
3
40.
2
2
2
3
41. a − a − 3b + 4b − 8c + 8c = b
3.
m+n−p
−m−n+ p
4.
42. m3 + 5m3 − 5m3 − 4m2n − 4m2n − 7mn2
9x − 3y + 5
5.
44. 6a 2 + 9a 2 − 5ab − 7b 2 − 8b 2 − 11
a+ b − c
2a + 2b − 2c
− 3a − b + 3c
2
45. − x y + x y − 5xy + 7 xy − 4y − 8
2 2
3
3
4
= 2xy 3 − 4y 4 − 8
1
1
46. 3a − a + b − b − 4 + 6
2
2
6 −1
1− 2
5
1
=
a+
b+2= a− b+2
2
2
2
2
47.
1 2 3 2 2
1
5
5
x + x + xy − xy + y 2 − y 2
2
4
3
3
6
6
2 + 3 2 2 −1
5 2 1
=
x +
xy = x + xy
4
3
4
3
48. 5ax − 5ax − 6a x + 1 + a x + 1 + 5a x + 1 + 8a x + 2 = 8a x + 2
3 2 2 2
1
1
49.
x + x − xy − xy + y 2 + 5y 2
4
3
3
3
3+ 4 2 3
1+ 15 2 7 2
16 2
x − xy +
y = x − xy +
y
=
4
3
3
4
3
50.
3 2
1
1
1
5
a b − a 2b + a 2b + ab 2 + ab 2 − ab 2
4
4
2
2
6
3 − 1+ 4 2
3+3−5
3 2
1
2
=
a b+
ab = a b + ab 2
4
6
2
6
ay + az
12. 5x − 7y + 8
− 4x − y + 6
− 3x + 8y + 9
− 2x
+ 23
13. − am + 6mn − 4s
− am − 5mn + 6s
3am − 5mn − 2s
am − 4mn
2b
= 15a − 5ab − 15b − 11
2 2
− 5 ax − 7ay − 6az
4 ax + 9ay + 8az
3x
= m3 − 8m2n − 7mn2
2
ax − ay − az
11.
0
− x − y +4
− 5x + 4 y − 9
43. 9x − x − 11y − 6y + 4z − 6z = 8x − 17y − 2z
ab + bc + cd
− 8ab − 3bc − 3cd
5ab + 2bc + 2cd
− 2ab
7a − 4b + 5c
− 7a + 4b − 6c
−c
1
1
2
1
a − a + b+ b−6
2
4
3
5
2 −1
10 + 3
1
13
=
a+
b−6= a +
b−6
4
15
4
15
10.
6.
p+ q+ r
− 2p − 6q + 3r
p + 5q − 8r
− 4r
14. 2a + 3b
6b − 4c
−a
+ 8c
a + 9b + 4c
15. 6m − 3n
7. − 7x − 4y + 6z
10x − 20y − 8z
− 5x + 24y + 2z
− 2x
−m
− 4n + 5p
− 5p
5m − 7n
16. 2a + 3b
8. − 2m + 3n − 6
3m − 8n + 8
− 5m + n − 10
− 4m − 4n − 8
8a
+ 5c − 4
+6
+ 7c − 9
10a + 3b + 12c − 7
17. 2x − 3y
+ 5z + 9
9. − 5a − 2b − 3c
7a − 3b + 5c
− 8a + 5b − 3c
− 6a
−c
−4
−5
6x
3y
8x
+ 5z
18. 8a + 3b − c
5a − b + c
− 8a + 5a − 9a
x
−a −b − c
7a − b + 4c
19. 7x + 2y
24.
n
−4
4m
m + 2n
−5
− 6m
+ 3p + 4
5m + 2n
− 7m
+ 2bc + 2cd − 3de
− 2ab + 4bc
+ 3de
− ab − 3bc − 6cd
−m
2ab
26. a − b
23.
b−c
c+d
8x + y + z + u
− 3x − 4y − 2z + 3u
c−d
−a
m2 + n2
2a
1. x + 4 x
x 2 − 5x
a 3 − 2a 2
− 4m
2. a + ab
− 2ab + b 2
8. 3x + x 3
a − ab + b
2
2
2
2a − a 2 − 11a + 15
− 3mn
2
3
x − 7x 2
−x
2
− x2
+4
x − x + 2x + 4
3
2
−1
x 2 − 3xy + y 2
9.
− x + 3xy − 2y
2
− 8x + 9x − 6
2
14. a
− 3a 2
+ a3
x + 3xy − 2y
2
+ 4a
a 4 + a 3 − 3a 2 + 4a
10.
+ 5a b − 4ab
2
a
2
x3
a 2 − 3ab + b 2
3x 2
−5
4x 2 − 11x + 1
+ xy 2 + y 3
15. x 3
+ a − 5ab − b
x − 5x y
− 2a + 8ab − b
2
2x 3
2
4x 3 − 5x 2 y − 3xy 2 − 5y 3
−b
x 3 − x 2 + 3x + 6
6. x 2 − 4 x
− 7x + 6
− 7ab2 − b3
3
2
2
+6
2
2a 3 + 5a 2b − 11ab 2 − 2b 3
2
− x 2 + 3x
− b3
3
2
x 2 + 3xy − y 2
4
+ 8x − 5
3
+ 2x
3
+5
3
− x + 4x − 6
3
3x
5.
− x2 + x − 6
13.
− 4x 2 + 5
2
+6
+ a − 7a + 4
− 5m − 5n
2
2x 2 − x
4. a
− 4a + 5
3
12. a
+ 4n2 − 3mn
2
+d
−d
a
y + 3z + 2u
7.
−c
a
4x + 5y + 3z − 4u
− 9x − y + z + 2u
− m + 3n + 2p − 9
2
+ 2c
25. 5ab − 3bc + 4cd
a+3
5ma + 1 − 11ma + 2 + 6ma + 3
−8
EJERCICIO 17
a+2
− 5ma + 1 + 3ma + 2 + 12ma + 3
15x + 7y − 3z − 10
20. − m − n − p
− 3a
a +1
a+2
− 5ma + 3
22. 6m − 7m
a +1
a+ b − c +d
a− b + c −d
− 2a + 3b − 2c + d
− 3a − 3b + 4c − d
− 14a x + 7am
+ 9y − 6z + 5
− y + 3z − 6
8 x − 3y
−5
3. x
m
− 11a x + 5am + 16an
+ 3c
19a
5a x − 3am − 7an
21.
11. − 7x 2 + 5x − 6
4 x + 8x − 9
2
−x
2
− 7x + 14
− 4 x 2 + 6x − 1
3
− y3
2
− 4xy 2 − 5y 3
− 7m2n
16.
+m
2
− m + 7m n
3
+ 4n3
+ 6mn − n3
3
2
+ 5n3
+ 6mn2 + 8n3
17. x
− 8a 2m + 6am2 − m3
24.
− x2 + x
4
+ x 3 − 4x 2
+ a
+5
− 4a + 4a m − 3am2
3
+ 7x 2 − 4x + 6
x 4 + x 3 + 2x 2 − 3x + 11
18. + a
+ a4
6
+a
25. x
+8
3
+ 7a 2m − 4am2
−6
− 3a + 3a m − 6am
−6
+ a + a + a − 2a − a
19. x
5
4
3
+ 3x 4
− 7x 2
− 3x
+ 5xy 4 + 2y 5
2x 5 + 2 x 4 y + 2 x 3 y 2 + 3x 2 y 3
26.
a 5 + a6 + a2
− 4x + 5
+ a 4 + a3 + 6
+ 3a 2
+a
+ a2 + 5
+ 6 − 5a
+a +a +4
6
4
3
− b4
a4
27.
+ 4a + 7 a 2
− 8 + 5a
− 4a 2
5
20. a + a
− a 3b + a 2b 2 − ab 3
− 8 a2 − 6
− 3a + 5a 3b − 4a 2b 2
4
−1
− 4a 3b + 3a 2b 2
− 2a 4
− x 2y2
− 5x 3 y
− 4xy − y 5
4
x5
3
4
− y5
+ 3x y
2
−a
21. x
+ 3x y
2 3
3 2
x 5 + 3x 4 − 3x 3 − 7x 2 − 3x + 2
a 3 + 5a
− xy 4
+ 2x y
+6
3
2
− x 3y 2
4
+ x −9
5
2
5
+ a 3 − a 2 − 14
6
2
3
+6
− 3a
5
− 5am2 + m3
3
+ 6xy 3
− 4x y
− ab 3 − 4b 4
m3 − n3 + 6m2n
28.
− 4 xy 3 + y 4
+ n3 − 4m2n + 5mn2
−6
2 2
− 3b 4
x 4 − 5x 3 y − 5x 2 y 2 + 2xy 3 + y 4 − 6
m − n3
+ 6mn2
3
− 2m + n − 2m n
3
3
2
11mn2
2
22. + x + xy
+ 5a
− x 2 + 6xy + 5y 2
x −1
+ ax −1
− 7 x 2 + 7 xy − y 2
a + 6a
x
a 3 − 8ax 2 + x 3
3
a + 14ax − x
3
5a 3
2
− 13a x − 3
− 3a
+ ax − 4
−a
x+3
+ 4a
x
3
− 2x 3
x−2
+ ax + 2
− 3a
2
− x 3 − 5a 2 x
3a 3
x −1
30. − a x + a x + 1
− 6ax − x + 5a x
2
+ 6a x − 3
+ 7a x − 3 + a x − 4
− 6x 2 − 4xy + y 2
23.
− 3a x − 2
x
29. a
− x 2 + 4 xy − 7y 2
−a
x −1
+a
x+3
− 5a x + 2
+a
x −1
−a
− 2a x + a x + 1 + a x + 3
⇒a
x+3
− 3a
x+2
x−2
+a
x−2
+ ax + 2
− 3a x + 2
x +1
− 2a
x
EJERCICIO 18
1.
1
xy
3
1
xy
+
2
5 2
x −
6
1
− x2 +
6
1
− x2 +
3
6.
1 2
x +
2
1
+ y2
4
1 2 2+3
1
1
5
1
x +
xy + y 2 = x 2 + xy + y 2
2
6
4
2
6
4
2. a
2
1
ab
2
1
− ab
4
1
− ab
4
1 2
b
2
1
− b2
5
1 3
a
4
2 − 1− 1
5−2 2
3 2
a +
ab +
b = a2 +
b
4
10
10
2
2
xy
3
1
− xy
6
5
− xy
6
+
8.
+ y2
2
xy +
5
1
+
xy +
10
−
1 2
y
2
1 2
y
6
1 2
y
3
2 2
a
3
5 2
a
6
1 2
−
a
12
1
ab
5
1
−
ab
10
1
+
ab
20
+
+
b3
−
2b 3
+
−
3 3
b
5
−
−
− x2 + 5
2 3
x −
3
5 3
x −
+
6
+
−
3 4
x
5
2 3
m
3
−
+
1
mn2 +
4
1
mn2 −
8
2 3
n
5
3 3
n
5
−
n3
m3
1 2
b
2
1 2
b
6
1 2
b
3
− 3 + 1− 2 2
8 + 10 − 1 2 4 − 2 + 1
a +
ab +
b
12
20
6
17 2 3
4
17 2 3
2
=
a +
ab − b2 =
a +
ab − b2
12
20
6
12
20
3
5 2
a b
6
1 2
a b
2
3
x
8
3
x
4
5−3 4 2
4+5 3 −3−6
x − x + 2+
x +
x
5
6
8
2
9
9
2
3
9
= x 4 − x2 + 2 + x3 − x ⇒ x4 + x 3 − x 2 − x + 2
5
6
8
5
2
8
9.
− 3 + 1+ 2 2 3 2 3
3 2 − 4 +1
x +
xy +
y = x −
xy
4
10
6
4
10
5.
x4
−
4 − 1− 5
3+2 2
xy +
y
6
3
2
5
1
5
= x 2 − xy + y 2 = x 2 − xy + y 2
6
3
3
3
−
+
−3 +
2
+ y2
3
3 2
x
4
−
4 + 1 3 − 4 − 3 2 5 − 10 − 3 3 5 − 3 2
a +
ab +
b +
a b
4
8
5
6
5
7
8
2
5
1
7
8
= a 3 − ab 2 − b 3 + a 2b ⇒ a 3 + a 2b − ab 2 − b 3
4
8
5
6
4
3
8
5
x2 +
4.
1 2
ab
2
3 2
−
ab
8
−
7. a 3
2
3. x
3
xy
4
1
xy
2
5
xy
6
+
5 − 1− 2 2 − 16 + 3 + 6 2 9 − 6 + 10
x +
y +
xy
6
24
12
2
7 2 13
1
13
7 2
= x2 −
y +
xy ⇒ x 2 +
xy −
y
6
24
12
3
12
24
+
+
2 2
y
3
1 2
y
8
1 2
y
4
1 2
m n
6
1 2
−
m n
2
+
2 + 3 3 −2 + 1 2 2 − 3 − 5 3 1− 3 2
m +
mn +
n +
m n
3
8
5
6
5
1
6
2
5
1
1
6
= m3 − mn2 − n3 − m2n ⇒ m3 − m2n − mn2 − n 3
3
8
5
6
3
3
8
5
10. x
−
4
5 4
x
6
+
2x 2 y 2
+
−
3 2 2
x y
8
1 2 2
x y
4
+
2 4
y
7
1 4
−
y
14
1 4
+
y
7
−
1 3
xy
6
−
5 3
x y
6
6 − 5 4 16 + 3 − 2 2 2 4 − 1+ 2 4 1 3 5 3
x +
x y +
y − xy − x y
6
8
14
6
6
1
17 2 2
5 4 1 3 5 3
= x4 +
x y +
y − xy − x y
6
8
14
6
6
1 4 5 3
17 2 2 1 3 5 4
⇒ x − x y+
x y − xy +
y
6
6
8
6
14
2 3
x
3
5
11. x −
+
− 3x 5
1 3
x
6
1 3
x
12
+
−
− 2x 5 +
4
x
5
1
−
x
10
13. a 6 −
+
3 2
x
8
1 2
−
x
4
−
−
2 4
x
3
3
− a2x
7
2
1
− a3 + a2x
3
2
5 2
ax
6
7 2
−
ax
8
1 2
−
ax
4
5 2
a
8
+6
−7 −3 4 8−5 2 3 5 3 3 −4−3
a +
a + a − a +
a
7
8
5
8
8
10
3
3
3
7
= a6 −
a4 + a2 + a5 − a3 − a
7
8
5
8
8
3
10 4 3 3 3 2
7
⇒ a6 + a5 −
a − a + a − a
5
7
8
8
8
a6 +
7 3 13
1
2
x +
x + x2 − x4 − 4
12
10
8
3
2
7 3 1 2 13
⇒ − 2x 5 − x 4 −
x + x +
x −4
3
12
8
10
+
−
−4
− 8 + 2 − 1 3 8 − 1+ 6
3−2 2 2 4
x +
x+
x − x −4
12
10
8
3
2 3
a
9
3 4
a
7
3 5 3 3
1
a − a − a
5
8
2
3
−
a −6
8
= − 2x 5 −
12.
a2
+
3
x
5
+
+
a4
1 3
x
3
1 3
−
x
9
−
−
5
14. x
1 3 2 3 4
x y − xy −
10
4
+
−
2 3 2
x y
5
−
−
y5
1 5
y
6
1 5
y
9
1 5
y
3
+
3 4
5
x y − x2y3
5
6
+
2x 4 y
1− 4 3 2 3 4 − 18 − 3 − 2 − 6 5 3 + 10 4
5
x y − xy +
y +
x y − x2y3
10
4
18
5
6
3 3 2 3 4 29 5 13 4
5
x y − xy −
y +
x y − x2 y 3
= x5 −
10
4
18
5
6
13 4
3 3 2 5 2 3 3 4 29 5
x y−
x y − x y − xy −
y
⇒ x5 +
5
10
6
4
18
x5 +
2−6 3 −6+7 2
20 − 21− 6 2 − 3 − 1 3
a +
a x+
ax +
x
9
14
24
9
4
1 2
7
4
= − a3 +
a x−
ax 2 − x 3
9
14
24
9
EJERCICIO 19
Para los problemas 1 al 14 las literales toman los siguientes valores:
a = 2 b = 3 c = 10 x = 5 y = 4 m = 2/3 n = 1/5
1.
3.
4x − 5y
− 3x + 6y − 8
2x 4
− 4x
− x+ y
= − 54 + 7 ⋅ 5 3 ⋅ 4 − 5 ⋅ 52 ⋅ 4 2 + 10 ⋅ 5 ⋅ 4 3 − 4 4 − 8
= − 625 + 28 ⋅125 − 5 ⋅ 25 ⋅16 + 50 ⋅ 64 − 256 − 8
= − 625 + 3.500 − 2.000 + 3.200 − 256 − 8 = 3.811
x 2 − 5x + 8
− 6x 2 + 5x − 50
− 6x 2 + 10x − 72
⇒ − 6 ⋅ 5 2 + 10 ⋅ 5 − 72 = − 6 ⋅ 25 + 50 − 72
= − 150 + 50 − 72 = − 172
+ 7x 3y + 10xy 3
⇒ − x 4 + 7x 3 y − 5x 2 y 2 + 10xy 3 − y 4 − 8
⇒ 2⋅4 − 8 = 8 − 8 = 0
− x 2 + 10x − 30
− 5x 2 y 2 − 8
4
− x 4 − y 4 − 5x 2 y 2 − 8 + 7x 3 y + 10xy 3
2y − 8
2.
x4 − y4
4.
3m − 5n + 6
− 6m − 20n + 8
12m − 20n − 12
9m − 45n + 2
2
1
18 45
⇒ 9 ⋅ − 45 ⋅ + 2 =
−
+ 2 = 6 − 9 + 2 = −1
3
5
3
5
5.
nx + cn − ab
8nx − 2cn − ab
10.
− ab − 5
nx
− 6 + x 4 − x 2y2
5x 3 y
10nx − cn − 3ab − 5
1
1
⇒ 10 ⋅ ⋅ 5 − 10 ⋅ − 3 ⋅ 2 ⋅ 3 − 5
5
5
50 10
=
−
− 6 ⋅3 − 5
5
5
= 10 − 2 − 18 − 5 = − 15
− 6xy + 2
+ x2 y2
3
+ 3xy 3 + 1
− y4
6x 3y − 4xy 3 + 2 + x 4
− y4
⇒ x + 6x y − 4xy − y + 2
4
3
3
4
= 5 4 + 6 ⋅ 53 ⋅ 4 − 4 ⋅ 5 ⋅ 43 − 44 + 2
= 625 + 24 ⋅125 − 20 ⋅ 64 − 256 + 2
= 625 + 3.000 − 1280
− 256 + 2 = 2.091
.
+ b3
a3
6.
x 3 y − xy 3 + 5
− 3a b + 8ab − b 3
2
2
− 5a 3
− 6ab 2
+ 3a b
− 4a
+8
− 2b
2
11.
3
2
⇒ − 4 ⋅2 + 2⋅2⋅3 − 2⋅3 + 8
= − 4 ⋅ 8 + 4 ⋅ 9 − 2 ⋅ 27 + 8
= − 32 + 36 − 54 + 8 = − 42
2
3
+
3 2 − 2 +1
6 + 1− 3 2
a −
ab +
b
4
6
9
3
1
4
= a 2 − ab + b 2
4
6
9
3
1
4
⇒ ⋅ 22 − ⋅ 2 ⋅ 3 + ⋅ 32
4
6
9
3
1
4
= ⋅ 4 − ⋅ 6 + ⋅ 9 = 3 − 1+ 4 = 6
4
6
9
+ 125n 3
3
− 9m n + 25mn
2
2
− 14mn 2
−8
+ 10m n + 11mn 2
2
27m3 + m2 n + 22mn 2 + 125n 3 − 8
3
2
2
3
2  1
 2
 2 1
 1
⇒ 27 ⋅   +   ⋅ + 22 ⋅ ⋅   + 125 ⋅   − 8
 3
 3 5
 5
3  5
8 4 1 44 1
1
= 27 ⋅
+ ⋅ +
⋅ + 125 ⋅
−8
27 9 5 3 25
125
4 44
4 44
=8+
+
+ 1− 8=
+
+1
45 75
45 75
20 + 132 + 225 377
=
=
= 1 152
225
225
225
8. x
a −1
2x
a −1
+ y b − 2 + mx − 4
− 2y
b−2
x −4
− 2m
+ 3y
b−2
− 2m x − 4
3x a −1 + 2 y b − 2 − 3mx − 4
 2
⇒ 3⋅ 52 −1 + 2 ⋅ 4 3 − 2 − 3 
 3
9.
n
b −1
− m
x −3
+8
− 5nb −1 − 3m x − 3 + 10
4nb −1 + 5m x − 3 − 18
mx − 3
 2
⇒ 
 3
5−3
4
 2
=  =
 3
9
2
5−4
= 15 + 8 − 2 = 21
2 2
b
3
1
1
ab + b 2
3
9
1
1
ab − b 2
6
3
+
−
+ 2ab − 2b3 + 8
3
3
7. 27m
3 2
a
4
12.
9 2
m
17
7 2
m
34
7 2
m
−
34
+
+
25 2
n
34
5 2
n
17
−
+
−
+
1
4
1
2
1
4
3
− 15mn
− 30mn
18 + 7 − 7 2 25 + 10 2 − 1 + 2 − 1 + 12
− 45mn
m +
n +
34
34
4
18 2 35 2 12
=
− 45mn
m +
n +
34
34
4
9 2
35 2
⇒
m − 45mn +
n +3
17
34
2
2
9  2
2 1 35  1
=
  − 45⋅ ⋅ +
  +3
17  3 
3 5 34  5
9 4 90 35 1
⋅ −
+
⋅ +3
17 9 15 34 25
4
35
4
7
=
− 6+
+ 3=
+
−3
17 170
17
850
40 + 7 − 510
463
=
=−
= − 2 123
170
170
170
=
13.
1 2
b m
2
3 2
b m
4
1 2
− b m
4
1
− b 2m
8
−
−
+
+
3
cn
5
1
cn
10
1
cn
25
−
2
+
6
+
4
2cn
+
3
5
14.
0,2a 3 + 0,4ab2 − 0,5a 2b
+ 0,6ab2 − 0,3a 2b − 0,8b 3
− 0,4a 3
0,2a
− 0,8a 2b
+6
+ 15
, a 2b + 0,9b3
3
ab 2
− 0,1a 2b + 0,1b 3 + 6
⇒ − 0,1a b + ab + 0,1b3 + 6
2
4 + 6 − 2 −1 2
− 30 − 5 + 2 + 100
− 10 + 30 + 20 + 3
b m+
cn +
8
50
5
7 2
67
43 7 2 2 67
1 43
⇒ b m+
cn +
= ⋅3 ⋅ +
⋅10 ⋅ +
8
50
5 8
3 50
5
5
7 ⋅ 9 ⋅ 2 67 43 126 670 43 21 67 43
=
+
+
=
+
+
=
+
+
24
50 5
24 250 5
4 25 5
525 + 268 + 860
1. 653
53
=
=
= 16 100
100
100
2
= − 0,1⋅ 22 ⋅ 3 + 2 ⋅ 32 + 0,1 ⋅ 33 + 6
= − 0,3 ⋅ 4 + 2 ⋅ 9 + 0,1⋅ 27 + 6
= − 12
, + 18 + 2,7 + 6
= 25,5
EJERCICIO 20
21. − 8xa + 2 − 11= − 8xa + 2 − 11
1. − 8 − 5 = − 13
(
(
)
24. 54b − (− 86b ) = 54b + 86b = 140b
25. − 35m − (− 60m ) = − 35m + 60m = 25m
3. 8 − 11 = − 3
23.− 45a x −1 − − 60a x −1 = − 45a x − 1 + 60a x −1 = 15a x −1
4. − 8 − (− 11) = − 8 + 11 = 3
( )
5. − 1 − − 9 = − 1 + 9 = 8
6. 2a − 3b = 2a − 3b
7. 3b − 2 = 3b − 2
27. −
( )
10. − 8 x − − 3 = − 8 x + 3
11. −9a − 5b2 = − 9a 2 − 5b 2
)
13. 3a − 4a = − a
a
a
a
a
)
(
)
17. − 8ab − (− 8ab ) = − 8ab + 8ab = 0
18. 31x y − (− 46 x y) = 31x y + 46 x y = 77 x y
19. − 84a b − (− 84a b) = − 84a b + 84a b = 0
16. 11a 3m2 − − 7a 3m2 = 11a 3m2 + 7a 3m2 = 18a 3m2
2
2
2
2
2
2
2
2
20. 3a x + 1 − 5b x + 2 = 3a x + 1 − 5b x + 2
2
2
1 10 + 1 11 1
=
= =52
2
2
2
2 3
−8−9
17
− =
=−
3 4
12
12
4 3  5 3  24 + 25 3 49 3
x y −  − x y =
x y=
x y
 6

5
30
30
30. −
15. − 6 x 2 y − − x 2 y = − 6 x 2 y + x 2 y = − 5x 2 y
a
29.
14. 11m2 − 25 m2 = − 14m2
2
n −1
1 2  2 2 1 2 2 2 3 2 2
x −− x  = x + x = x = x
 3  3
3
3
3
12. − 7 xy − − 5 yz = − 7 xy + 5 yz
2
n −1
28.
2
2
n −1
 1
2
9. − 5a − 6b = − 5a − 6b
(
n −1
26. 5 −  −  = 5 +
8. 4x − 6b = 4x − 6b
(
)
22. 6a n − − 5a n = 6a n + 5a n = 11a n
2. − 7 − 4 = − 11
1 2  3 2  − 1+ 6 2 5 2
ab −  − ab  =
ab = ab
 4

8
8
8
31. − 2 − 3 = − 5
( )
33. − 8 − (− 5) = − 8 + 5 = − 3
34. 5 − (− 4 ) = 5 + 4 = 9
35. − 7 − (− 7) = − 7 + 7 = 0
36. 2a − (− 5) = 2a + 5
32. 7 − − 1 = 7 + 1 = 8
n −1
EJERCICIO 21
37. −3x − b = − 3x − b
38. − 2n − 5m = − 2n − 5m
(
)
(
3
40. 8b − − 5a
a +b
2. 2x − 3y
−a +b
x − 2y
2b
3x − 5y
3. 8a + b
3a
−4
4. x − 3x
5x − 6
11a + b − 4
x 2 + 2x − 6
1.
39. 3b − − 6a = 6a + 3b
) = 5a + 8b
3
41. − 7a − (− 9 ) = − 7a + 9
(
)
42. 25ab − − 25 = 25 ab + 25
( )
44. − 4b − (− 3b) = − 4b + 3b = − b
43. 3a − − a = 3a + a = 4a
(
)
45. 54 x 3 − − 11x 3 = 54 x 3 + 11x 3 = 65x 3
5. a − a b
− 7a 2b − 9ab 2
3
)
2
x−y+z
6.
−x+y−z
a 3 − 8a 2b − 9ab 2
46. 78a 2b − 14a 2b = 64a 2b
(
2
0
47. − 54a 2 y − − 43a 2 y = − 54a 2 y + 43a 2 y = − 11a 2 y
48. − ab − 9ab = − 10ab
(
)
49. − 31x 2 y − − 31x 2 y = − 31x 2 y + 31x 2 y = 0
50. − 3a − a = − 4a
x
x
(
53. − 31a
)
x
− 18a
(
− 3x 2 + y 2 + 4xy
2 x + 2 y − 2z
− 2x 2 + 2y 2 + xy
⇒ − 2x 2 + xy + 2y 2
52. 105m − 9m = 96m
x −1
x −1
x 2 + y 2 − 3xy
8.
x
51. 311a x +1 − − 7a x +1 = 311a x +1 + 7a x +1 = 318a x +1
x
7. x + y − z
x+ y − z
9.
x3 − x2 + 6
− 5x − 6 + 4 x
x
= − 49a
2
x − 6x 2
x −1
2
+ 6y 3
−8
10. y
2
4
− 6y
3y − 2y
4 y 2 − 2y 4 + 6y 3 − 6 y − 8
+ 4x
3
⇒ − 2y 4 + 6 y 3 + 4 y 2 − 6y − 8
)
54. − 236ma − − 19ma = − 236ma + 19ma = − 217ma
55. − 85a x + 2 − 54a x + 2 = − 139a x + 2
11. a 3 − 6ab 2 + 9a
+ 8a − 15a 2b − 5
1
1
56. − (− 6a ) = + 6a
4
4
− 2 + 15 13
2
=
57. − − ( − 5) =
3
3
3
a 3 − 6ab 2 + 17a − 15a 2b − 5
⇒ a 3 − 15a 2b − 6ab 2 + 17a − 5
12. x 4 + 9xy 3 − 11y 4
7 3 3 3
58. − m − m
10
8
− 56 − 30 3
86 3
43 3
m =−
m =−
m
=
80
80
40
59.
− 20y 4 + 8x 3y + 6x 2 y 2
x 4 + 9xy 3 − 31y 4 + 8x 3 y + 6x 2 y 2
⇒ x 4 + 8x 3y + 6x 2 y 2 + 9xy 3 − 31y 4
5 2 2  11 2 2 
a b −−
ab 
 12

6
10 + 11 2 2 21 2 2 7 2 2
=
ab =
ab = ab
12
12
4
13. a + b + c − d
a + b−c+d
1 3 2
a b − 45a 3b 2
9
− 1− 405 3 2 − 406 3 2
ab =
a b = − 45 91 a 3b2
=
9
9
15.
60. −
14.
2a + 2b
x 3 + 6x 2 − 9x − 19
− 6x 3 + 11x 2 − 21x + 43
− 5 x 3 + 17 x 2 − 30x + 24
ab + 2ac − 3cd − 5de
− 8ab + 4ac + 5cd − 5de
− 7 ab + 6ac + 2cd − 10de
5
3
2
16. y − 9y + 6y
− 31
− 31y 3 + 8y 2 + 11y 4 + 19y
y 5 − 40y 3 + 14 y 2 + 11y 4 + 19y − 31 ⇒ y 5 + 11y 4 − 40y 3 + 14 y 2 + 19y − 31
5m3 − 9n3 + 6m2n − 8mn2
17.
− 5m3
+ 21m2n − 14mn2 + 18
− 9n3 + 27m2n − 22mn2 + 18 ⇒ 27m2n − 22mn2 − 9n3 + 18
18.
4 x 3 y − 19xy 3 + y 4 − 6x 2 y 2
25x 3 y + 51xy 3
− 32 x 2 y 2 + x 4
29x 3 y + 32 xy 3 + y 4 − 38x 2 y 2 + x 4 ⇒ x 4 + 29 x 3 y − 38x 2 y 2 + 32 xy 3 + y 4
6
4 2
2 4
19. m + m n − 9m n + 19
+ 30m2n4 + 61+ 13m3n3 − 16mn5
m6 + m4n2 + 21m2n4 + 80 + 13m3n3 − 16mn5 ⇒ m6 + m4n2 + 13m3n3 + 21m2n4 − 16mn5 + 80
− a 5b
20.
+ 11a b
6
8a
+ 6 a 3b 3
4
− 18 ab 5
+ 11a b
2
2
+ 42
− 9b
4
6
8a 6 − a 5 b + 11a 4 b 2 + 6a 3b 3 + 11a 2b 4 − 18 ab 5 − 9b 6 + 42
2
4
3
5
21. 1 − x + x − x + 3x − 6x
24 + 30x 2 − 8x 4
− 15x
+ x6
25 + 29 x 2 − 7 x 4 − x 3 − 12x − 6x 5 + x 6 ⇒ x 6 − 6 x 5 − 7 x 4 − x 3 + 29 x 2 − 12 x + 25
22. − 6x 2 y 3 + 8 x 5 − 23x 4 y + 80x 3 y 2 − 18
+ 51x 4 y + 21x 3 y 2 − 80 + y 5 − 9xy 4
− 6x 2 y 3 + 8 x 5 + 28x 4 y + 101x 3 y 2 − 98 + y 5 − 9xy 4 ⇒ 8x 5 + 28x 4 y + 101x 3 y 2 − 6 x 2 y 3 − 9xy 4 + y 5 − 98
23. m
− 8m4n2
6
+ 21m2n4 − 6mn5
− 14m n
5
23m n
+ 8
+ 24mn5 − 8n6 + 14
3 3
m6 + 23m5n − 8m4n2 − 14m3n3 + 21m2n4 + 18mn5 − 8n6 + 22
7
5
2
24. x − 8x + 16x − 23x − 15
− 51x
+ 18 + 8 x 6 − 25 x 4 + 30x 3
x 7 − 59x + 16x 5 − 23x 2 + 3 + 8x 6 − 25x 4 + 30x 3 ⇒ x 7 + 8x 6 + 16x 5 − 25 x 4 + 30x 3 − 23x 2 − 59 x + 3
25. 9a 6 − 15a 4b 2 + 31a 2b 4 − b 6
+ 15a b
4
9a
6
6
5
3
3
5
+ 31a b − 4b 6 − 25a 5b − 53 a 3b 3 + 9 ab 5 + 14 ⇒ 9a 6 − 25a 5b − 53 a 3b 3 + 31a 2b 4 + 9 ab 5 − 4b 6 + 14
2
ax + ax +1 − ax + 2
26.
+ 14
− 3 b − 25a b − 53 a b + 9 ab
2
− 5a x + 6a x + 1 + a x + 2
− 4a x + 7a x + 1
4
a
a −1
+ 3ma − 2
27. m − m
− 5ma − 2 − 3ma + 1 − 8ma − 3
4ma
5ma − ma − 1 − 2ma − 2 − 3ma + 1 − 8ma − 3 ⇒ − 3ma + 1 + 5ma − ma − 1 − 2ma − 2 − 8ma − 3
28. a
m+4
− 7am + 2 − 8a m + 6am − 1
+ 14a m + 2
+ 8a m − 1 + 5am + 3 + 11a m + 1
a m + 4 + 7a m + 2 − 8am + 14a m − 1 + 5am + 3 + 11a m + 1 ⇒ am + 4 + 5am + 3 + 7am + 2 + 11a m + 1 − 8a m + 14a m − 1
29. x
a+2
− 7 x a + 9x a − 1 + 25x a − 2
− 19x a − 45x a − 1
x
− 26x − 36x
n+1
− 6mn − 2 + 8mn − 3 − 19mn − 5
30. m
a
a −1
+ 11x a + 1 − 60x a − 3
a+2
+ 25x
a−2
+ 11x a + 1 − 60x a − 3 ⇒ x a + 2 + 11x a + 1 − 26x a − 36x a − 1 + 25x a − 2 − 60x a − 3
− 5mn − 2 − 6mn − 3 − 9mn − 5 − 8mn − mn − 4
mn + 1 − 11mn − 2 + 2mn − 3 − 28mn − 5 − 8mn − mn − 4 ⇒ mn + 1 − 8mn − 11mn − 2 + 2mn − 3 − mn − 4 − 28mn − 5
EJERCICIO 22
b− a
1.
7. − a + 2b − 3c
− a + b − 2c
b− a
2b − 2a ⇒ − 2a + 2b
− 2a + 3b − 5c
2. 2x + 3y
−x+y
8. − 3n + 4m + 5p
+ n − m −p
x + 4y
− 2n + 3m + 4p ⇒ 3m − 2n + 4p
3. − 7a + 5
5a
−b
9. x + 3y − 6z
x−y +z
− 2a + 5 − b ⇒ − 2a − b + 5
2x + 2y − 5z
4. − x 2 + 6
−x
10. − 5b 2 + 8ab + a 2
+ 5x
2
6b 2 − ab − 3a 2
− 2x + 6 + 5 x ⇒ − 2 x + 5 x + 6
2
2
b 2 + 7ab − 2a 2 ⇒ − 2a 2 + 7ab + b 2
5. x 2 y + 5xy 2
+ xy
2
− 5m2 − n2 + 6mn
−x
3
11.
x 2 y + 6xy 2 − x 3 ⇒ − x 3 + x 2 y + 6 xy 2
6.
7a 2b + 5ab 2
− 6a 2 b
2
− 6m2
+ 9mn
12. − 8x 2 + 5x − 4
+ 8a 3
+ x − 6 + x3
a b + 5ab + 8a ⇒ 8a + a b + 5ab
2
− m2 + n2 + 3mn
3
3
2
2
− 8x 2 + 6 x − 10 + x 3 ⇒ x 3 − 8x 2 + 6x − 10
23. y 6 + y 3 + y 2 + 9
14m2 − 8n + 16
13.
− 14m
− 9 −m
2
− 23y 3
3
− 8n + 7 − m3 ⇒ − m3 − 8n + 7
y 6 − 22y 3 + y 2 + 14 − 8y 4 + 15y 5 + 8y
⇒ y 6 + 15y 5 − 8y 4 − 22y 3 + y 2 + 8y + 14
14. 8ab + 5bc + 6cd
− ab + bc − 6cd
24. x − x + 3x − 5x − 9
− 36 − 7x 7 − 5x 5 + 23x 3 − 51x
8
7 ab + 6bc
15. a − 9a b − b
3
2
2
+ 60x 4 y 3 + x 2 y 5
26. a
2 5
− 8a x + 1 − 5
− a x + 2 + 6a x
a x + 3 − 3a x + 1 − 5 − a x + 2 + 6a x
⇒ a x + 3 − a x + 2 − 3a x + 1 + 6a x − 5
− 40ab 3 + 6b 4
27. − 8an + 16an − 4 + 15an − 2 + an − 3
− 5an − 2 − an − 3 − 8an − 1
− 7an
5a 4 + 2a 3b + 8a 2b 2 − 45ab 3 + 5b 4
− 15an + 16an − 4 + 10an − 2
19. x 5 − 8x 4 + 25x 2 + 15
⇒ − 15a − 8a
n
− 6x 2 + 7 − 6x 3 + 9x
x 5 − 8x 4 + 19x 2 + 22 − 6x 3 + 9x
+ 10a
+ 9x a + 2
20. − 3xy 4 − 8x 3 y 2 − 19y 5 + 18
5
n −1
n−2
− 8an − 1
+ 16an − 4
28. 15x a + 3 + 5x a + 2 − 6x a + 41x a − 1
⇒ x 5 − 8x 4 − 6x 3 + 19x 2 + 9x + 22
− 25y
4 3
+ 5a x + 1
− 7a 3b + 8a 2b 2 − 5ab 3 − b 4
− 6xy
x+3
−d
− 16n + 19c + 14 − d ⇒ 19c − d − 16n + 14
4
5 2
⇒ x 7 − 3x 5 y 2 + 95x 4 y 3 − 90x 3 y 4 − 7x 2 y 5 + 50xy 6 − y 7 + 60
m2 − 9n + 11c + 14
− m2 − 7n + 8c
− y 7 − 90x 3 y 4 + 50xy 6
x − 3x y + 95x y − 7 x y + 60 − y 7 − 90x 3 y 4 + 50xy 6
7
6x 3 − 8x 2 y − 7xy 2 + 6y 3 − 4
18. 5a 4 + 9a 3b
2
25. x 7 − 3x 5 y 2 + 35x 4 y 3 − 8x 2 y 5 + 60
2
− xy 2 + 6y 3 − 4
17.
4
⇒ x 8 − 7x 7 − x 6 − 5x 5 + 3x 4 + 23x 3 − 5x 2 − 51x − 45
+ 8ab 2
16. 6x − 8x y − 6xy
3
6
x 8 − x 6 + 3x 4 − 5x 2 − 45 − 7x 7 − 5x 5 + 23x 3 − 51x
3
− 25a 2b + b 3 + 8ab 2
a 3 − 34a 2b
+ 5 − 8y 4 + 15y 5 + 8y
+ 18x a − 1 − 31x a + 1 + x a + 4
15x a + 3 + 14x a + 2 − 6x a + 59x a − 1 − 31x a + 1 + x a + 4
−x +x y
5
2 3
⇒ x a + 4 + 15x a + 3 + 14x a + 2 − 31x a + 1 − 6x a + 59x a − 1
− 9xy 4 − 8x 3 y 2 − 44y 5 + 18 − x 5 + x 2 y 3
⇒ − x 5 − 8x 3 y 2 + x 2 y 3 − 9xy 4 − 44y 5 + 18
29. 9a
5a
x 3 − 6x 4 + 8x 2 − 9 + 15x
21.
− 25x 3
m −1
− 21am − 2 + 26m − 3 + 14am − 5
m −1
− 12am − 2
+ am + 8am − 4
14am − 1 − 33am − 2 + 26m − 3 + 14am − 5 + am + 8am − 4
+ 18x 2 + 46 − 25x + 11x 5
⇒ am + 14am − 1 − 33am − 2 + 26m − 3 + 8am − 4 + 14am − 5
− 24x 3 − 6x 4 + 26x 2 + 37 − 10x + 11x 5
⇒ 11x 5 − 6x 4 − 24x 3 + 26x 2 − 10x + 37
22. a
− 26a 3b 2
5
+ 8ab 4 − b 5 + 6
− 8a 4b − a 3b 2 + 15a 2b 3 + 45ab 4
+8
a − 8a b − 27a b + 15a b + 53ab − b + 14
5
4
3 2
2 3
4
5
− 15mx + 3
30.
m
m
x+4
x+4
+ 50mx + 1 − 14mx − 6m x − 1 + 8mx − 2
+ 23m
− 15m
x+3
x+2
+ 23m
x+2
+ 6mx + 1
+ 56m
x +1
+ mx − 1
− 14m − 5mx − 1 + 8m x − 2
x
EJERCICIO 23
11. x − 1
2
− xy − y 2
1
1.
x 2 − 1 − xy − y 2 ⇒ x 2 − xy − y 2 − 1
− a +1
−a+2
12. a
2. 0
− a+8
+6
3
− 5a 2b + 8ab 2 − b 3
a 3 − 5a 2b + 8ab 2 − b 3 + 6
− a+8
13. x
+ 5 x y − 17 xy
2
−9
3.
+ y3
3
+5
2
x + 5 x y − 17 xy + y + 5
3
− 3a − a + 5
2
− 3a − a − 4 ⇒ − a − 3a − 4
2
2
2
3
2
14. x
− 9 x y + 8x y + 15 xy
3
+ 16
4.
2 2
3
x − 9x 3 y + 8 x 2 y 2 + 15 xy 3 − 1
− 5xy + x − 16
4
2
− 5xy + x 2
−1
4
⇒ x 2 − 5xy
15. a
+ b5
5
+ 11a b − 2a b − 8a b + 4ab
4
5. 1
2 3
3 2
4
a + 11a 4b − 2a 2b3 − 8a 3b 2 + 4ab 4 + b5
5
− a 3 + a 2b − ab 2
1− a + a b − ab ⇒ − a + a b − ab + 1
3
2
2
3
2
⇒ a 5 + 11a 4b − 8a 3b2 − 2a 2b3 + 4ab 4 + b5
2
16. x
6. x 3
+ x2
4
− 5x
x 3 + 8 x 2 y + 6xy 2
+ 50
+ 25x
3
x 4 − 5x 3 + x 2 + 25x + 50
2x 3 + 8x 2 y + 6 xy 2
17. y + y − 41
6
3
7. a
− 9y 5 − 17y 4 + y 3 − 18y 2
+ 8a 2b − 6ab 2 + b 3
y 6 + y − 41 − 9y 5 − 17y 4 + y 3 − 18y 2
a 3 + 8a 2b − 6ab 2 + b 3
⇒ y 6 − 9y 5 − 17y 4 + y 3 − 18y 2 + y − 41
+ y4
8.
18. a
+ 15a b
5
5x 3 y − 7x 2 y 2 + 8 xy 3
5x 3 y − 7x 2 y 2 + 8 xy 3 + y 4
9.
m4
30 − b + a − c − d ⇒ a − b − c − d + 30
− 17a b
+ 14ab 5 + b 6
19. x + x − 11x
4
3
− 5 x + x 2 + 34
x 4 + x 3 − 16x + x 2 + 34 ⇒ x 4 + x 3 + x 2 − 16 x + 34
20. m
10. 16
14 − b + a − c − d
+ a 2b 4
3 3
a 6 + 15a 5b + 9a 4b 2 − 17a 3b 3 + a 2b 4 + 14ab 5 + b 6
− 5m4 + 18am3 − 7a 2m2 − a 3m + a 4
− 4m4 + 18am3 − 7a 2m2 − a 3m + a 4
+ 9a 4b 2
6
−1
3
− m2n − 7mn2 + 3n3
m3 − m2n − 7mn2 + 3n3 − 1
EJERCICIO 24
1.
1 2
a
2
1 2
1
2
a + ab − b 2
4
3
5
5 3
6. 6 m +
+
2 +1 2 1
2
a + ab − b 2
4
3
5
3 2 1
2 2
= a + ab − b
4
3
5
4
2
5
− xy − yz +
5
3
9
7.
4
2
135 + 5
xy − yz +
5
3
9
4
2
140
= − xy − yz +
5
3
9
4
2
= − xy − yz + 15 59
5
3
−
+
3
2
ab + cd
4
9
18 − 5
3
2
bc + ab + cd
30
4
9
3
13
2
⇒ ab +
bc + cd
4
30
9
1
a −
4.
2
4
− a −
5
2
b
3
2
1
b +
9
2
5−8
6+2
1
a−
b+
10
9
2
3
8
1
=−
a− b+
10
9
2
5 2
5. 9 x −
−
3 2
y
8
1 2
5
3
y − xy +
10
7
11
5 2 30 + 8 2 5
3
x −
y − xy +
9
80
7
11
5
38 2 5
3
= x2 −
y − xy +
9
80
7
11
5
5
19 2 3
⇒ x 2 − xy −
y +
9
7
40
11
1 2
3
m n − mn2
2
8
3 2
a +
7
5 2
−
a −
14
1
3
ab − b2
3
5
1
1
+
ab
2
8
6−5 2 2−3
a +
ab
14
6
1 2
1
3
1
a −
ab − b 2 +
14
6
5
8
8.
3
bc
3.
5
1
− bc
6
+
5 3 10 + 9 3 1 2
3
m +
n + m n − mn2
6
45
2
8
5 3 1 2
3
19 3
2
⇒ m + m n − mn +
n
6
2
8
45
15
2.
2 3
n
9
1 3
n
5
3 2
x
8
3 2
x
5
5
xy
6
3
+
xy
10
+
−
1 2
y
10
−
2y 2
15 + 24 2 50 + 18
1+ 20 2
x +
xy −
y
40
60
10
39 2 68
21 2 39 2 17
21 2
=
x +
xy −
y =
x +
xy −
y
40
60
10
40
15
10
3
2
9. a + a
+
−
+
a
7 2
9
a −
a −
8
10
5
6
7
8
8 + 7 2 10 + 9
20 − 21
a −
a+
8
10
24
15 2 19
1
3
=a +
a −
a−
8
10
24
a3 +
7
3
2
10 . m + 12 mn
5
− mn2
9
−
4 3
n
7
− n3
+
5 2
1
m n+
21
8
21− 20
4+7 3 5 2
1
mn2 −
n + m n+
36
7
21
8
5
1
11
1
⇒ m3 + m2n +
mn2 − n3 +
21
36
7
8
m3 +
3 4
3
x + x3y
5
4
11.
− x4
5 3
xy
7
5
1
− x 2 y 2 + xy 3
8
3
−
2 4
y
3
5 4
−
y
6
+
1
3
7
8
−
a+ b
c +
d
2
5
8
9
7
1
1
7
+
b − c + d −
20
8
9
8
12.
3−5 4 3 3
5
15 − 7 3 4 − 5 4
x + x y − x2y 2 −
xy +
y
5
4
8
21
6
2
3
5
8 3 1 4
= − x 4 + x3y − x2y 2 −
xy − y
5
4
8
21
6
1
12 + 7
7 +1
8 +1
7
a+
b−
c+
d−
2
20
8
9
8
1
19
8
9
7
b− c+ d −
= a+
2
20
8
9
8
1
19
7
= a+
b− c+ d −
2
20
8
EJERCICIO 25
1.
3 2
a
8
5
− a2
6
−
6. 5
5
a
6
8
+
9 − 20 2 5
11 2 5
a − a=−
a − a
24
6
24
6
2.
8a
1
− a
2
a 2b +
+
+
−
5 3
a
6
5 2
2 + 7 2 1+ 18 5 3
− a
a b+
ab −
8
8
3
6
5 2
9 2 19 5 3
= a b + ab −
− a
8
8
3 6
5
5
9
19
⇒ − a 3 + a 2b + ab2 −
6
8
8
3
−5
6b
3
b
5
1 2 1
ab −
4
3
7 2
ab − 6
8
16 − 1
30 + 3
15
33
a+
b−5 =
a+
b−5
2
5
2
5
7.
2 2
3. x + x y − 6
3
7 2
− x y
9
3
x3 +
4.
a
+ b
2 3 20 − 49 2 2 3 + 2
m n+
mn +
mn3 − 6
11
56
9
2
29 2 2 5
= m4 + m3n −
m n + mn3 − 6
11
56
9
− c
−
2
c
3
2 −1
4+3
3+2
1
7
5
a+
b−
c= a+ b− c
2
4
3
2
4
3
5.
2
5
m +
n
3
6
−m − n
1
mn3 − 6
3
2
+
mn3
9
+
m4 +
6−7 2
1
x y − 6 = x3 − x2y − 6
9
9
1
3
− a + b
2
4
2 3
5 2 2
mn +
mn
11
14
7 2 2
−
m4
mn
8
1
p
2
+ p
+
2−3
5−6
1+ 2
1
1
3
m+
n+
p= − m− n+ p
3
6
2
3
6
2
8.
7 4
1 3 2 2 2 3 1 4
x y +
x y + x y + xy
8
14
3
3
1 5
3 3 2
1
x
x y
−
+ xy 4
2
7
8
−
− 7
−
2
9
1 5 7 4
1− 6 3 2 2 2 3 8 + 3 4 63 + 2
x − x y+
x y + x y +
xy −
2
8
14
3
24
9
1 5 7 4
5 3 2 2 2 3 11 4 65
x − x y−
x y + x y +
xy −
=
2
8
14
3
24
9
1 5 7 4
5 3 2 2 2 3 11 4
x − x y−
x y + x y +
xy − 7 29
=
2
8
14
3
24
7 5
x y+
9
2 4 2
1
2 6
x y − x 3y 3 −
x 2 y 4 + xy 5 +
y
3
8
13
7 4 2
1 2 4
+
−
x y
x y − xy 5 +
y6
9
11
9.
− x6
− x6 +
7 5
6 + 7 4 2 1 3 3 11+ 1 2 4
xy+
x y − x y −
x y
9
9
8
11
1 3 7 2
x − x y
3
9
2 3 1 2
x + x y
3
6
10.
5 2
xy
8
3
− xy 2
4
+
−
7 3
y −
11
+
2 + 13 6
7
13 4 2 1 3 3 12 2 4 15 6
y = − x6 + x5 y +
x y − x y −
x y +
y
13
9
9
8
11
13
2
5
− 6
1+ 2 3 14 − 3 2
5 − 6 2 7 3 2 + 30
11 2
1
7
32
x −
x y+
xy − y −
= x3 −
x y − xy 2 − y 3 −
3
18
8
11
5
18
8
11
5
11.
3 4 2
3 2 4
5 6
mn −
mn +
n
10
7
9
2 6
7 4 2
5 2 4
1 6
m +
mn −
mn −
n
13
20
14
3
+
3
5
2 6 6 + 7 4 2 6 + 5 2 4 5 − 3 6 3 2 6 13 4 2 11 2 4 2 6 3
m +
mn −
mn +
n + = m +
mn −
mn + n +
13
20
14
9
5 13
20
14
9
5
3 5
7 4
12. 8 c + 22 c d
+
5 4
c d
11
7 3 2 1 2 3
1 5
−
c d + c d
d
12
2
3
5 3 2
3
3 5
+
− cd 4 −
c d
d
6
4
13
+
− 35
3 5 7 + 10 4
7 + 10 3 2 1 2 3 3 4 13 + 9 5
c +
c d+
c d + c d − cd −
d − 35
8
22
12
2
4
39
3
17 4 17 3 2 1 2 3 3 4 22 5
= c5 +
c d+
c d + c d − cd −
d − 35
8
22
12
2
4
39
EJERCICIO 26
Para los problemas 1 al 14 las literales toman los siguientes valores:
a = 1 b = 2 c = 3 x = 4 y = 5 m = 3/2 n = 2/5
1. a − ab
2
2. a + b
3
+ 2b 3 + 5a 2b − 6ab 2
− 3ab − b 2
a 2 − 4ab − b 2
= 12 − 4 ⋅ 1⋅ 2 − 2 2 = 1 − 8 − 4 = − 11
3
a + 3b3 + 5a 2b − 6ab 2 ⇒ a 3 + 5a 2b − 6ab 2 + 3b 3
3
= 13 + 5 ⋅12 ⋅ 2 − 6 ⋅1⋅ 22 + 3 ⋅ 23 = 1+ 5 ⋅ 2 − 6 ⋅ 4 + 3 ⋅ 8
= 1+ 10 − 24 + 24 = 11
1
a
2
3.
−a
2
−
2
2
4. 3m − 5n
− m2 − 10n 2 − 8mn
9. a
2m2 − 15n 2 − 8mn ⇒ 2m2 − 8mn − 15n 2
2
− a b + 5a b
2
9 24 12
45 − 48 − 24
27
−
−
==
=−
2 5
5
10
10
− 18x 2 y 2
4
+ 15y 4
3
16x y
a − a 4b2 + 5a 3b 3 − 3a 2b4 + b 5
5
= 15 − 14 ⋅ 22 + 5 ⋅13 ⋅ 23 − 3 ⋅12 24 + 25
= 1− 4 + 5 ⋅ 8 − 3 ⋅16 + 32 = 1− 4 + 40 − 48 + 32 = 21
− 16ab + 10mn − 8mx
3
3 2
= − 16 ⋅1⋅ 2 + 10 ⋅ ⋅ − 8 ⋅ ⋅ 4
2
2 5
= − 32 + 6 − 48 = − 74
x 4 + 16x 3y − 18x 2 y 2 + 6xy 3 + 6y 4
= 4 + 16 ⋅ 4 ⋅ 5 − 18 ⋅ 4 ⋅ 5 + 6 ⋅ 4 ⋅ 5 + 6 ⋅ 5
4
3
2
2
3
4
= 256 + 80 ⋅ 64 − 18 ⋅16 ⋅ 25 + 24 ⋅125 + 6 ⋅ 625
= 256 + 5.120 − 7.200 + 3.000 + 3.750 = 4.926
11. a
6. a − 7am + m
+ 5am2 + 5m3 − 8a 2 m
3
2
3
a 3 − 11a 2b + 9ab 2 − b3
= 13 − 11⋅12 ⋅2 + 9 ⋅1⋅ 22 − 23
= 1− 22 + 36 − 8 = 7
3
3
24
9
27
 3
 3
= 13 − 8 ⋅ 12 ⋅ − 2 ⋅ 1  + 6   = 1 −
− 2⋅ + 6⋅
 2
 2
2
2
4
8
9 81 4 − 48 − 18 + 81 19
= 1 − 12 − + =
=
2 4
4
4
12.
7.
3
− 11a 2b + 9ab 2 − b 3
a 3 − 2am2 + 6m3 − 8a 2 m ⇒ a 3 − 8a 2 m − 2am2 + 6m3
2
3 3
10. − ab + 10mn − 8mx
− 15ab
+ 6xy − 9y 4
3
− 3a 2b 4 + b 5
5
4 2
3 2
9 48
4
 3
 2
= 2   − 8 ⋅ ⋅ − 15   = 2 ⋅ −
− 3⋅
 2
 5
2 5
4 10
5
5. x
1
1 2
1 2 1 3
mn +
mn + n + m3
6
4
2
4+1 2
3+ 1 2
5
m n+
mn
+ m3 = m3 + m2 n + mn2
6
4
6
3
2
2
3
5
3
2
3
2
27
5
18 3 4
 
 
 
=  +   ⋅ +   =
+ ⋅ + ⋅
 2
6  2 5 2  5
8 6 20 2 25
27 3 12 675 + 150 + 48 873
=
+ +
=
=
8 4 50
200
200
1− 2
1
5
1
1
5
a − b+ c=− a− b + c
2
2
3
2
2
3
1
1
5
1
⇒ − ⋅1− ⋅ 2 + ⋅ 3 = − − 1 + 5
2
2
3
2
−1− 2 + 10 7
1
=
= =3 2
2
2
=
3
m2 n +
mn 2 − n 3
8.
3
4
2
1
5
b+ c
2
3
2 2
7
1
a +
ab − b2
3
8
5
1
1 2
− a 2 − ab +
b
6
10
4 −1 2 7 − 8
2 −1 2 1 2 1
1
a +
ab −
b = a − ab − b 2
6
8
10
2
8
10
1
1
1 2 1 2 4
⇒ ⋅12 − ⋅1 ⋅ 2 −
⋅2 = − −
2
8
10
2 8 10
1 1 2 10 − 5 − 8
3
= − − =
=−
2 4 5
20
20
1 4
x
64
−
2 2 5
3
x − x+
3
6
8
1 4 2 2 5
3
x − x − x+
64
3
6
8
1 4 2 2 5
3
=
⋅4 − ⋅4 − ⋅4 +
64
3
6
8
32 20 3 96 − 256 − 80 + 9
= 4−
−
+ =
3
6 8
24
231
77
5
=−
=−
= −9 8
24
8
+
x3
13.
3 2
x y−
16
3 3
x
4
−
2 2
xy
5
3 2
1 3
+
xy +
y
5
25
14.
4−3 3 3 2
2−3 2 1 3
x +
x y−
xy +
y
4
16
5
25
1
3 2
1 2
1 3
⇒ x3 +
x y+
xy +
y
4
16
5
25
1
3 2
1
1 3
= ⋅ 43 +
⋅ 4 ⋅ 5 + ⋅ 4 ⋅ 52 +
⋅5
4
16
5
25
1
15
4
125
= ⋅ 64 +
⋅16 + ⋅ 25 +
4
16
5
25
= 16 + 15 + 20 + 5 = 56
2 x −1 x
5
a + a − ax − 3 + ax − 2
5
6
− ax −1
+ 9a x − 3 − a x − 2
2 − 5 x − 1 x 5 − 54 x − 3
a +a −
a
5
6
3
49 x − 3
⇒ ax − ax −1 +
a
5
6
3
49 4 − 3
= 14 − ⋅14 − 1 +
⋅1
5
6
3 49 + 30 − 18 + 245 257
=1 − +
=
=
= 8 17
30
5 6
30
30
EJERCICIO 27
+ ab + b 2
1.
− 5b 2
− a 2 − ab + 4b 2
a 2 + ab − 4b 2
− ab + 4b 2
a2
2.
a2
7. − m + n − p
2m − 2n + 2p
m− n + p
1
− 14
14
− 13
+ y3
− 2a 3 − 5a 2 + 2a − 2
2a 3 + 5a 2 − 2a + 2
− a 3 − 5a 2 + 2a − 3
5 x 3 − 9x 2
− 11x − 7x
4
− 7x y
10.
x 3 − 5x 2 y − 4xy 2 − y 3
x 3 − 12x 2 y − 4xy 2 − y 3
2
3
+ 4n3
5.
5m4 − 4n3
− 7a
8a − ab + b + 5
+ ab − 5
3
2
12. − 11n4
3
+ 14n2 − 25n + 8
19n3 − 6n2 + 9n − 4
− 7a − 9b + 3c
−a
− 11n4 + 19n3 + 8n2 − 16n + 4
5a
a +b−c
− 2a + b − c
a
−a
2a + b − c
+ b3
a3
7a − ab
2
6a
a −b +c
12x 4 + 2x 3 + 9x 2 + 6x − 5
− 7a − 35a b + 8ab + 6
2
8a + 9b − 3c
a
6.
− 4n3
−1
x4
11x 4 + 2x 3 + 9x 2 + 6x − 4
35a 2b − 7ab 2 − 11
11.
5m4
+4
− 6x
3
− 11x 4 − 2x 3 − 9x 2 − 6x + 4
3
3
−1
a3
− 8a + 6
− x 3 + 5x 2 y + 4xy 2 + y 3
2
− 6a 2
− 24 x 2 − 5ax − 3a 2
5a 2 + 6a − 4
2a 3
4. − 3m n + 4mn − n
3m3 n − 4mn2 + 5n3
− 25 x 2
6a 2 + 25x 2
+ 4xy 2
+ 5x 2 y
x 2 − 5ax + 3a 2
− 9ax + 7a 2 + 25 x 2
9.
3
3. − x
0
9ax − a 2
8.
a+8
−a+6
m−n+p
−m+n−p
− 7n3
n5
+ 4n
11n − 19n3 − 8n2 + 16n − 4
4
n5 + 11n4 − 26n3 − 8n2 + 20n − 4
3
+5
2
2
3
− 6a 3m
13.
+ 5am3
7a − 5a m − 11a m
4
3
2
20. x 4 − 6x 2 y 2 + y 4
−6
− 6m
2
+ 8x y + 31y
2 2
3
2
2
3
− 8a 2m2
a4
− x 4 − 2x 2 y 2 − 32y 4
4
x 4 + 2x 2 y 2 + 32y 4
7a − 11a m − 11a m + 5am − 6m − 6
4
x 4 − 2x 2 y 2 + 32y 4
4
0
4
5
4
21. − 6n + n
+ m4
+ n2
+ 7n3 − n2 − 8n − 6
− 7a 4 + 11a 3m + 11a 2m2 − 5am3 + 6m4 + 6
− 6n5 + n4 + 7n3
− 6a 4 + 11a 3m + 3a 2m2 − 5am3 + 7m4 + 6
− 8n − 6
− 6n5 + n4 + 7n3 − 8n − 6
− 4x 4 y
14.
− 6x
n
+ 13x 2 y 3 − 9xy 4
+ 8x y
5
+ xy
3 2
4
− 2y
− 6x − 4x y + 8x y + 13x y − 8xy − 2y
5
4
3 2
2 3
− 30x 3 y 2
x5
4
+ 40xy 4 + y 5
22. a
a 5 + 22a 4b + 7a 3b 2 − 5ab 4 − b 5
− 5a b
− 2a + b
8x + 6y + 4
2
23.
x − 7 xy + 34y
2
2
x 2 − 7 xy + 43y 2 − 16
18. 4a + 8ab − 5b
a 2 − 7ab + 6b 2
5a + ab + b
a2
+ 2b 2
25.
− y3
19. x 3
− 14x y + 5xy
2
x − 14x 2 y + 5xy 2 − y 3
7a 2 − 11ab + b 2
x − 14x y + 5xy − y
3x 3
3
2
+4
2b 2 − 8
2b 2 − 4
3a − 4b + 5c
− 7a + 8b
− 11
− a + 2b − 7c
− 5a + 6b − 2c − 11
− a + b + 2c
− 5a + 6b − 2c − 11
− 6a + 7b
5a 3 + 14a 2 − 19a + 8
26.
+ 9a − 1
− a4
3
− 19y 3
2
2b 2 − 8
− 7a 2 + 11ab + b 2 − 8
a5
2
4
2
3
3
m − 3m − 5m + 6m − 1
2
2
− 4a 2 − ab + b 2
5a 2 + ab + b 2
24.
−5
m4
− 3m − 5m + 6m + 4
x 2 − 7 xy + 34y 2
2
− 3m3 − 5m2 + 6m + 4
+ 8m + 4
3
2
9y 2 − 16
2
4m3 − 5m2 − 2m
− 7m3
− 7 xy + 40y 2
2
− b5
2 3
a 5 + 17a 4b + 7a 3b 2 + 7a 2b3 − 5ab 4 − 2b 5
8 x + 6y + 6
− 6y
− 5ab 4 − b 5
+ 7a b
4
8x + 6y + 4
17. x
− 3a 3b2 + 6ab 4
5
a 5 + 22a 4b + 7a 3b2
6y − 5
2
3
+ 22a b + 10a 3b2 − 11ab 4 − b5
2a
+9
4
4
b
16. 8x
5
5
7x 5 + 4x 4 y − 38x 3 y 2 − 13x 2 y 3 + 48xy 4 + 3y 5
2a
− 19
n − 6n + 4n + 15n − 8n − 25
6
5
6x 5 + 4x 4 y − 8x 3 y 2 − 13x 2 y 3 + 8xy 4 + 2y 5
15. a + b
a−b
+ 3n4 + 8n3
6
a −a
5
4x 3 − 14x 2 y + 5xy 2 − 20y 3
+ 3a 2
−1
+ 5a + 17a − 10a + 6
4
3
2
− a 4 + 3a 3
−5
a − 2a + 8a + 17a − 10a + 1
5
4
3
2
− 11
27. m
+ 10m2n2
4
+ 15n4
29. x
− 11m n − 14m n − 3mn + n4
3
2 2
3
m − 11m n − 4m n
4
3
3x y + 21x y + 18x y − y 5
4
− 3mn + 16n
2 2
3
4
3 2
2 3
x 5 + 3x 4 y + 21x 3 y 2 + 18x 2 y 3
+ 7m2n2 + 8mn3 − n4
6m4
+ y5
5
x 5 + 32x 4 y − 26x 3 y 2 + 18x 2 y 3 − 2xy 4 + y 5
− m + 11m n + 4m2n2 + 3mn3 − 16n4
− x 5 − 3x 4 y − 21x 3 y 2 − 18x 2 y 3
5m + 11m n + 11m n + 11mn − 17n
29x 4 y − 47x 3 y 2
4
3
4
28. a
3
2 2
3
+ 4a 3b 2
5
− 7a b
4
+ 8ab 4 − b5
+ 15a b − 25ab + 3b
4
2 3
4
− 2xy 4 + y 5
x −1
30. 3a + 6a
a x − 7a x − 1 + a x − 2
x
5
− a 3b2 + 3a 2b3 − 5ab 4
4a x − a x − 1 + a x − 2
a 5 − 7a 4b + 3a 3b2 + 18a 2b 3 − 22ab 4 + 2b 5
8a x + 2 − 7a x + 1 − a x
3a
− 6a b − 21ab
5
2 3
−6
4
− a + 7a b − 3a b − 18a b + 22ab − 2b
5
2a + 7a b − 3a b − 24a b + ab
5
5
4
5
3 2
4
2 3
3 2
4
2 3
4
− 4a
x
+ 12 a x − 1
+ ax −1 − ax − 2
8a x + 2 − 7a x + 1 − 5a x + 13 a x − 1 − a x − 2
− 2b − 6
EJERCICIO 28
1. x
+5
2x − 6
2
x−4
−x+6
x 2 + 2x − 1
−2
2
x + 2x − 3
− 8b − 3c
− 7a + 7b + 3c
7a − 7b − 3c
− 3a + b + c
x + 2x − 1
2
2. 3a − 5b + c
a − b − 3c
7a + b
4a − 6b − 2c
a
2
4a − 6b − 2c
6x − x + 8
− 3x + 8 x + 5
6x + 2x 2 − 8x + 3
a +1
2
a
−1
a3
a3 + a2
a −2
a4 + a
5. ab + bc + ac
− 7bc + 8ac − 9
ab − 6bc + 9ac − 9
a +a
3
− a4
7. x
4ab
+ 9ac
+ x2
4
−x
2
x
−a
− 5x + 4 x
2
2x − x − 4 x + x + 2
ab − 6bc + 9ac − 9
− 4ab
− 9ac
− 3ab − 6bc
−3
− 3x + 5
3
4
4
− a4 + a3 + a2 − a
5ab − 3bc + 4ac
− ab + 3bc + 5ac
a 3 − 9a 2 x + 17ax 2 − 3x 3
10a 2 x − 14ax 2
+8
3
+2
4
3
− a 3 + 9a 2 x − 17ax 2 + 3x 3
3x 2 − 8x − 5
2
6x 3 − x 2
− 5a 2 x + 11ax 2 − 11x 3
a − 4a 2 x + 6ax 2 + 8x 3
2
a 3 + a 2 x + 3ax 2 − 3x 3
− 3x 2 − x + 1
4.
9x + 4
2
+ 3ax
3
a 3 + a 2 x + 3ax 2 − 3x 3
3
+1
3. x
5x 3 − x 2 + 7
3
− 3x 3
a2 x
6.
−9
3
2
− 7 x 3 + 8x 2 − 3x + 4
x
−3
4
x − 7 x + 8 x − 3x + 1
4
3
2x 4 − x 3 − 4 x 2 + x + 2
− x 4 + 7 x 3 − 8x 2 + 3x − 1
x 4 + 6x 3 − 12x 2 + 4x + 1
2
8. m
− n4
4
17m n − 4m n − 7mn3
3
− m4
2 2
− m4
+ 6m2n2
+6
− 80n4
− m2n2 + mn3 − 4
17m3n + 2m2n2 − 7mn3 − 81n4
− m4 − m2n2 + mn3 + 2
+ a3
9.
a −a
5
+ 8
− a 4 − 4a 3 + a 2
16a 3 − 8a 2 − 7a − 15
a 5 − a 4 + a 3 − 11a 2 − 10a + 27
− a 4 + 12a 3 − 7a 2 − 7a − 15
− y2
x 2 − 3xy − y 2
− 11xy + 9y − 14
19x − 8xy + 9y
3x 2 − 11xy + 8y 2 − 14
20x 2 − 11xy + 8y 2
2
2
a −1
11.
2
−3
a2
− 3x 2 + 11xy − 8y 2 + 14
+ 14
17 x 2
a 2 − ab + b 2
12.
3a 2 − 8ab + 7b 2
0
− 3a + 8
− 5a + 11ab − 17b
a 2 − 2a + 1
− a 2 + 2ab − 9b2
2
− a 2 + 9ab + 3b 2
− a 2 + ab − 4b2
− 8ab − 7b
2
a 2 − 2ab + 9b 2
− a 2 + ab − 4b 2
− ab + 5b 2
2
−1
4
− m3 + 8m2 − 6m + 5
− 16
m5
− m − 7m + 1
− 16m + 7m − 3
m4 − m3 + 7m2 − 13m + 5
m5 − 16m4 + 7m2 − 19
2
4
m5 − 16m4
+ 7m2
− 19
− m + m − 7m2 + 13m − 5
2
4
3
m5 − 17m4 + m3
+ 13m − 24
− y5
5
− 2x y + 5x y − 7 x y
4
3 2
− 3y 5
2 3
− 7x y
+ 6 xy
3 2
7x 4 y − x 3 y 2 + 11xy 4
−8
4
− xy
x − 2x y − 2 x y − 7 x y + 6xy − 4y − 8
5
15. − a
4
3 2
2 3
4
+ 7a 4
6
− 3a
− 2a + 8
− 5a
+ 5a − 4a + 1
3
− 3a 4
2
5a
− 20a x
5
7x 4 y − x 3 y 2
+ 10xy 4
−1
− x + 9x y + x y + 7 x y + 4xy 4 + 4y 5 + 7
5
4
3 2
2 3
+ 21a x − 19ax
5a 5 − 3a 4 − 7a 3 + 48a 2 − 58a + 13
− 7a + 41a − 50a + 8
a + 3a 5 − a 4 + 5a 3 − 4a 2 + 14a − 13
2
a 6 + 8a 5 − 4a 4 − 2a 3 + 44a 2 − 44a
− 4x 5 − 8
− 9a x − 17a x + 11a x
4
− 7ax 4 + x 5 − 80
2 3
6
+ 18a 3 x 2
4
a − 20a x + 2a x + 21a x − 26ax + x − 71
3 2
+ 7a 2 − 8a + 5
3
+ 9
2 3
+ 9a 3 x 2
4
−1
4
5a 5 − 3a 4 − 7a 3 + 48a 2 − 58a + 13
− 7a 3 x 2
4
5
3 2
+4
− 6a 4 − 11a 3
5
4
− 8a
+ 11a 3 − a 2
5
− x 5 + 2 x 4 y + 2 x 3 y 2 + 7 x 2 y 3 − 6 xy 4 + 4y 5 + 8
4
7 x y − x y + 10xy − 1
5
− a 6 − 3a 5 + a 4 − 5a 3 + 4a 2 − 14a + 13
16. a
− 11a 3 − 4a 2 − 3a + 42
a5
20x 2 − 11xy + 8y 2
a −4
14. x
m4 + 17m3n + 3m2n2 − 8mn3 − 81n4 − 2
+ a 4 − 12a 3 + 7a 2 + 7a + 15
2
− a +1
13. m
−2
a 5 − a 4 + a 3 − 11a 2 − 10a + 27
− 5a 2 − 11a + 26
10. 3x
+ m2n2 − mn3
m4
+ a − 7
− 6a 2
4
17m3n + 2m2n2 − 7mn3 − 81n4
4
5
3 2
2 3
+ 36
a5
a − 9a x + a x
5
a 5 − 9a 4 x + a 3 x 2 + 11a 2 x 3
4
3 2
+ 11a x − 4 x
− 4 x 5 + 28
− a + 20a 4 x − 2a 3 x 2 − 21a 2 x 3 + 26ax 4 − x 5 + 71
5
11a 4 x − a 3 x 2 − 10a 2 x 3 + 26ax 4 − 5x 5 + 99
2 3
5
+ 28
EJERCICIO 29
7
1
b
1. a +
2
2
3
− a +
b
3
4
a
5.
12
3
a
4
1
− a
3
3−2
2+3
a+
b
3
4
1
5
= a+ b
3
4
−
−
5
b
4
9−4
5
a− b
12
4
5
5
=
a− b
12
4
3
a−6
8
1 3 3 2
a + a
2
5
5 3 3 2 3
a − a − a+6
6
5
8
5
3
3
− a3 + a2 + a − 6
6
5
8
3+5 3
3
− a+6
a
6
8
4
3
= a3 − a + 6
3
8
5
3
− a3 + a2
6
5
3.
a
−
+
3b
2
2
a −
b
5
3
+6
5−2
9 −2
a+
b+6
5
3
7
3
= a+ b+6
5
3
1 3
4. x −
3
3
7
a + b +6
5
3
1
1
− a+
b
5
6
3 −1
14 + 1
a+
b+6
5
6
2
5
= a+ b+6
5
2
3 2
1
+
x
7
5
1 2 2
x − x+6
14
9
1 3 6 −1 2 2
1+ 30
x −
x − x+
3
14
9
5
1 3 5 2 2
31
= x −
x − x+
3
14
9
5
5 3
x
6
1 3
5 2 2
31
−
x +
x + x−
3
14
9
5
−
5+2 3 5 2 2
31
x +
x + x−
6
14
9
5
7 3 5 2 2
=− x +
x + x − 6 51
6
14
9
−
3 3 2 2
a + a −6
7
5
7+9 4 3 3 2 2 1
18 − 1
a − a + a − a−
12
7
5
5
3
4 4 3 3 2 2 1
17
= a − a + a − a−
3
7
5
5
3
7 4 3 3 2 2
a − a + a −6
12
7
5
6. −
2.
7 4
3
2
−6
a − a3 + a2
12
7
5
3 4
1
1
− a+
a
4
5
3
4
1
x+
2
−
2
y−
3
1
y−
9
1
z
4
2
z +3
5
5
2
y
−
9
5
1
5
13
x− y+
z− 3
2
9
20
1
6 −1
5+8
x+
y−
z+3
2
9
20
1
5
13
z+3
=− x+ y−
2
9
20
1
13
2 + 15
x
z−
+
2
20
5
1
13
17
z−
= x+
2
20
5
−
−
7.
3 2
3
a b + ab2
2
4
1 2
5
a b − ab 2
8
6
− b3
+
2 3
b
3
12 − 1 2
9 − 10 2 3 − 2 3
a b+
ab −
b
8
12
3
11
1
1
ab 2 − b 3
= − a 2b −
8
12
3
−
1 3
a
2
1 3
b
3
11 2
1
1
a b+
ab 2 + b 3
8
12
3
−
1 3 11 2
1
a + a b+
ab 2
2
8
12
8. 1 a − 2 b
2
9
1
b
3
−
3
c
5
1
2−3
3
a−
b− c
2
9
5
1
1
3
= a+ b − c
2
9
5
2
1
b +
c
3
5
5
1
− b −
c
9
10
1
1
3
a+ b − c
2
9
5
1
1
− b−
c
9
10
6−5
2 −1
1
6 +1
−
b+
c
a
c
9
10
2
10
1
1
1
7
= b+
= a−
c
c
9
10
2
10
1 3 1 2
9. 3 a + 8 a
3
− a2
5
1
5
3
1
− a−
4
10
1 2
a
4
1 3 29 2
a −
a
3
40
+
1 3 5 − 24 2 3
2 −1
a +
a − a+
3
40
4
10
1 3 19 2 3
1
= a −
a − a+
3
40
4
10
3 2 5
10. x − xy
5
6
−
3
xy
2
2 2
y
9
1
− y2
3
2 2
x
9
17 2
x
45
1
4
3 2 10 + 18
2−3 2 1
x −
xy +
y +
5
12
9
4
3 2 28
1 2 1
xy − y +
= x −
5
12
9
4
3 2 7
1 2 1
= x − xy − y +
5
3
9
4
2
2
1
a+
3
4
1
−
8
1 3 19 2
a −
a −
3
40
1
19 2
− a3 +
a +
3
40
1 3 10 − 29 2 2
2 −1
a +
a − a+
3
40
3
8
1 3 19 2 2
1
= a −
a − a+
3
40
3
8
+
+
−
1
xy
9
22
−
xy
9
2 2
y
3
3 2
−
y
2
+
2
a
3
3
a
4
+
−
1
8
1
10
8−9
10 − 8
a+
12
80
1
2
1
1
=
=
a+
a+
12
80 12
40
−
−
−
−
1
2
10 + 17 2 1− 22
4+9 2 1
x +
xy −
y −
45
9
6
2
27 2 21
13 2 1
x − xy −
y −
=
45
9
6
2
3 2 7
13 2 1
= x − xy −
y −
5
3
6
2
3 2 7
13 2
x + xy +
y
5
3
6
3 2 7
1
x − xy − y 2
5
3
9
1
2
1
+
4
+
39 − 2 2 2 + 1
y +
18
4
=
37 2 3
y +
4
18
1 3
b
5
3
3
1 3
− a 2b + ab 2 +
b
4
8
10
1 2
1 2
1
−
a b +
ab
2
4
5
5
1 2
3
1
− a 2b +
ab − b 3 −
4
8
2
2
3 2
3
3
a b + ab 2 − b 3
4
8
2
2
3
3
1 3
− a 3 + a 2b − ab 2 +
b
7
4
8
10
2 3 3 2
3
2 −1 3
a − a b + ab 2 −
b
7
4
8
10
2 3 3 2
3 2
1 3
= a − a b + ab −
b
7
4
8
10
2−5 2
2 +1 2 3 3 2 + 5
a b+
ab − b −
4
8
2
10
3 2
3 2 3 3 7
= − a b + ab − b −
4
8
2
10
2 3
15 − 1 3 7
−
a
b −
7
10
10
2 3 14 3 7
2 3 7 3 7
=− a −
=− a − b −
b −
7
10
10
7
5
10
11. 7 a
3
−
12.
2 4
3
m + m3n
7
5
1 4
7 3
m −
mn
14
20
−
+
1 2 2
mn
3
2 2 2
mn
5
1 2 2
mn
4
−
1
mn3 −
4
+
−
−
−
7
10
−
n4
5 4
n
3
2 4
n
3
4 + 1 4 12 − 7 3 20 − 24 + 15 2 2 1
3−5+2 4
m +
m n+
m n − mn3 −
n
14
20
60
4
3
5 4 5 3 11 2 2 1
0
=
m +
m n+
m n − mn3 − n4
14
20
60
4
3
5 4 1 3 11 2 2 1
3
=
m + m n+
m n − mn
14
4
60
4
5 4
2
− n4
m
14
5
5 4 1 3
11 2 2 1
3
−
m − m n−
m n + mn
14
4
60
4
−
1 3 11 2 2 1
2
m n−
m n + mn3 − n4
4
60
4
5
13.
1
1
x+ y
2
3
3
y −
4
1
z
6
2
z
5
1
m
4
1
− m
2
+
5
+
1
3
n+
3
8
−
1
4+9
5 − 12
1− 2
1
3
x+
y−
z+
m + n+
2
12
30
4
3
8
1
13
7
1
1
3
= x+
y+
z− m + n+
2
12
30
4
3
8
5 4
a +
6
14.
1 3
a
2
−
−
3 4
a −
8
3 3
a
4
1 3
a
6
+
+
2 2
a −
3
1 2
a
6
1
13
7
1
1
40 − 3
x−
y−
z+ m − n +
2
12
30
4
3
8
1
13
7
1
1
37
=− x−
y−
z+ m − n +
2
12
30
4
3
8
39
a
40
+
3
8
−
3
a
5
3
a
8
−
1
13
7
1
1
x−
y−
z+ m − n −
2
12
30
4
3
+
5
−
2
3
3
11
+
11 4
a
24
− a4
20 − 9 4 6 − 9 + 2 3 4 − 1 2 24 + 15 − 39
165 − 22 + 9
a +
a −
a −
a+
24
12
6
40
33
11 4 1 3 3 2 0
152 11 4 1 3 1 2 152
=
=
a −
a − a −
a+
a −
a − a +
24
12
6
40
33 24
12
2
33
1 3 1 2
a − a +
12
2
1 3
+
−
a
12
152
33
3
8
−
.
− 99
11− 24 4
1
1216
− a2 +
a
24
2
264
.
13 4 1 2 1117
=−
a − a +
24
2
264
EJERCICIO 30
1.
x3 − x2
+5
4.
− x + x + 3x − 5 − 6
3
2
3x
−6
5.
−8
Rta. m − 4m2n2 − 3mn3 + 6n4 + 8
−4
8.
4m2n2
4
− a 3 − 8a 2b + 5ab2 − 3b3
− 5x 2 − 4 x + 8
4x 3
Rta. − a − 8a b + 5ab − 3b
2
3
2
1
1
x− y−4
2
3
1
1
− x+ y
2
3
6. 4x 3 + 5x 2 − 5x − 2
2
3
− 3mn3 + 6n4
m4
− b3
3
− 11
Rta. 5a + 8ab − b3 − 11
2
− m4 + 4m2n2 + 3mn3 − 6n4 − 8
− 8a 2b + 5ab2 − 4b 3
+ b3
4a 3 + 8ab 2
Rta. x − 4 x − x + 13
3
8x + 9
Rta. 5a − 9b + 6c + 8x + 9
a3
− a3
x− 5
2
2. − 5a + 9b − 6c
5a − 9b + 6c + 8x + 9
3.
3
2
3
7. 5a + 8ab − b − 11
+8
− x 3 + 4 x 2 + x − 13
Rta. − x + x + 3x − 11
3
x 3 − 4x 2
− 9x + 6
Rta.4x 3 + 5x 2 − 5x − 2
Rta.
1
1
x− y−4
2
3
9.
5x 2 − 7 xy − 8y 2
n3
10.
− 9m + 8m n − 5mn + n
− 5x + 7 xy + 8y + 1
2
3
2
2
11.
Rta. − 5 x + 7xy + 8y + 1
2
2
3
2
2
− a + 5a − 8
− a 3 + 5a − 8
Rta. 0
3
10m − 8m n + 5mn − 2n
2
0
3
3
− 9m + 8m n − 5mn + 2n
3
1
2
2
3
m3
Rta. 10m3 − 8m2n + 5mn2 − 2n3
EJERCICIO 31
6. a + (a − b) + (− a + b)
1. x − ( x − y)
= x− x+ y
= a+ a−b− a+b
=y
= 2a − a = a
(
)
11. x + y + ( x − y + z ) − ( x + y − z)
= x+ y+ x− y+ z− x− y+ z
= x − y + 2z
2. x + − 3x − x + 5
7. a 2 + − b2 + 2a 2 − a 2 − b 2
12. a − (b + a ) + (− a + b) − (− a + 2b)
= x − 3x − x + 5
= a − b + 2a − a + b
= − 3x + 5
= 3a − a = 2a
= a − b − a − a + b + a − 2b
= − 2b
2
2
2
2
2
2
2
3. a + b − (− 2a + 3)
= a + b + 2a − 3
= 3a + b − 3
2
2
2
2
2
(
)
) [
(
8. 2a − {− x + a − 1} − {a + x − 3}
13. − x 2 − y 2 + xy + − 2 x 2 + 3xy − − y 2 + xy
= 2a + x − a + 1 − a − x + 3
= − x + y + xy − 2 x + 3xy + y − xy
2
= 1+ 3= 4
2
2
]
2
= − 3x 2 + 3xy + 2 y 2
4. 4m − (− 2m − n)
2
2
2
2
2
2
9. x + y − x + 2 xy + y + − x + y
) [
] 14. 8x + [− 2xy + y ]− {− x + xy − 3y }− (x − 3xy)
= 4m + 2m + n
= x 2 + y 2 − x 2 − 2 xy − y 2 − x 2 + y 2
= 8x 2 − 2 xy + y 2 + x 2 − xy + 3y 2 − x 2 + 3xy
= 6m + n
= − x 2 − 2 xy + y 2
= 8x 2 + 4 y 2
(
5. 2 x + 3 y − (4 x + 3 y)
= 2 x + 3y − 4 x − 3 y
= − 2x
10. (− 5m + 6) + (− m + 5) − 6
2
2
2
2
15. − (a + b) + (− a − b) − (− b + a ) + (3a + b)
= − 5m + 6 − m + 5 − 6
= − 6m + 5
= − a − b − a − b + b − a + 3a + b
=0
EJERCICIO 32
[
]
2. 3x − x + y − (2 x + y)
]
3. 2m − (m − n) − (m + n)
= 2a + a − a − b
= 3x − x + y − 2 x − y
= 2m − m − n − m − n
[
= 2a + a − a − b
= 2a − b
]
[
[
]
1. 2a + a − (a + b)
[
= 3x − x − y + 2 x + y
= 4x
2
]
[
= 2m − m + n + m + n
= 2m + 2n
]
[(
) (
) (
4. 4 x + − x − xy + − 3 y + 2 xy − − 3x + y
2
2
[
2
2
= 4 x + − x + xy − 3 y + 2 xy + 3x − y
2
2
2
2
2
2
]
}
5. a + (− 2a + b) − (− a + b − c) + a
{[
) (
2
] [
] [
]
2
2
= 7m2 + m2 + 3n − 5 + n + 3 − m2 − 2n − 3
]
= 7 m2 + 2 n − 5
{[
{[
= 2a + 4a − b − − − 4a + b − a + b − a
= 6a − b − { 4a − b + a − b + a}
)]
7. 2 x + − 5x − − 2 y + {− x + y}
[
]
= 2 x + − 5x − ( − 2 y − x + y )
[
= 2 x + − 5x + 2 y + x − y
]
=b
( [
2
2
2
2
])
}
( [
])
= 3x − (5 y + [− 2 x + y − 6 − x + x − y] )
= 3x − 5 y + − 2 x + {y − 6 − x} + x − y
)] }
= x − {− 7 xy + [− y − x + 3xy − 2 y ] }
= x − {− 7 xy − y − x + 3xy − 2 y }
(
8. x − − 7 xy + − y + − x + 3xy − 2 y
2
{
14. 3x − 5 y + − 2 x + y − (6 + x) − (− x + y)
= − 2x + y
[
]}
= 6a − b − 4a + b − a + b − a
= 2 x − 5x + 2 y + x − y
{
]}
13. 2a − (− 4a + b) − − − 4a + (b − a ) − (− b + a )
= − 5n + 2
(
)] }− (2n + 3)
]} − 2n − 3
= 7m − {− m − 3n + 5 − n − 3 + m } − 2n − 3
2
= 4m − 2m − n + 3 − 4n − 2m − 1
2
(
2
= 7m2 − − m2 + 3n − 5 + n + 3 − m2
= 4m − 2m + n − 3 + − 4n − 2m − 1
[
{[
2
6. 4m − 2m + (n − 3) + − 4n − (2m + 1)
[
]
]
12. 7m − − m + 3n − 5 − n − − 3 + m
= a − 2a + b + a − b + c + a
=a+c
[
[
= a − b − a − b + 2a − 3b − b + a − b
= 3a − 7b
= 6 x 2 + 3xy − 4 y 2
= a + {− 2a + b + a − b + c + a}
[
11. − (− a + b) + − (a + b) − (− 2a + 3b) + (− b + a − b)
= a − b + − a − b + 2a − 3b − b + a − b
= 4 x 2 − x 2 + xy − 3 y 2 + 2 xy + 3x 2 − y 2
{
)]
2
2
2
2
2
= 3x − (5 y − 2 x + y − 6 − x + x − y)
= 3x − 5 y + 2 x − y + 6 + x − x + y
= 5x − 5y + 6
2
= x 2 + 7 xy + y 2 + x 2 − 3xy + 2 y 2
[
= 2 x 2 + 4 xy + 3y 2
[
{
}
9. − (a + b) + − 3a + b − − 2a + b − (a − b) + 2a
[
]
= − a − b + − a + b − {− 2a + b − a + b}
[
= − a − b + − a + b + 2a − b + a − b
]
= − a − b − a + b + 2a − b + a − b
= a − 2b
}
]
[
= 6c − − 2a − c + { − a − c − 2a − a − c } + 2c
[
]
]}
= − x + y − {4 x + 2 y + [− x − y − x − y ] }
[
= − x + y − {4 x + 2 y − x − y − x − y}
= − x + y − 4x − 2 y + x + y + x + y
]
= 6c + 2a + c + a + c + 2a + a + c − 2c
= 6a + 7c
))} − (n + 6)]
= − 3m − n − [ 2m + {− m + (2m − 2n + 5)} − n − 6]
= − 3m − n − [2m + {− m + 2m − 2n + 5 } − n − 6]
= − 3m − n − [2m − m + 2m − 2n + 5 − n − 6]
(
{
]
= 6c − − 2a − c − a − c − 2a − a − c + 2c
) [
{
(
(
16. − 3m + n − 2m + − m + 2m − 2n − 5
10. (− x + y ) − 4 x + 2 y + − x − y − ( x + y )
= − 3x + y
{
15. 6c − − (2a + c) + − (a + c) − 2a − (a + c) + 2c
= − 3m − n − 2m + m − 2m + 2n − 5 + n + 6
= − 6m + 2n + 1
{[
)]
= 2a + {− [5b + 3a − c + 2 − (− a + b − c − 4) ] + a − b}
= 2a + {− [5b + 3a − c + 2 + a − b + c + 4] + a − b}
(
[ {(
) [ ( ) (
)]
= − [ x + {− x − y − [− x + y − z + x − y ] − y}]
= − [ x + {− x − y + x − y + z − x + y − y}]
= − [x − x − 2 y + z ]
23. − x + − x + y − − x + y − z − − x + y − y
}
17. 2a + − 5b + (3a − c) + 2 − − a + b − (c + 4) − (− a + b)
= 2a + {− 5b − 3a + c − 2 − a + b − c − 4 + a − b}
= − x + x + 2y − z = 2y − z
= 2a − 5b − 3a + c − 2 − a + b − c − 4 + a − b
= − a − 5b − 6
[
)] {
= − [− 3x + (− x − 2 y + 3)] + {− 2 x − y − x − 3 + 2 − x − y}
(
}
18. − − 3x + − x − (2 y − 3) + − (2 x + y ) + (− x − 3) + 2 − ( x + y)
[
]
= − − 3x − x − 2 y + 3 − 2 x − y − x − 3 + 2 − x − y
= 3x + x + 2 y − 3 − 4 x − 2 y − 1
=−4
[
] {[
][
] [
]}
19. − − (− a ) − + (− a ) + − − b + c − + (− c)
[ ] {
[ ]}
= − a + a + {b − c + c}
= − [a] − − a + b − c − − c
[ {
) [ ( ) ] }]
= − [ − a + {− a + a − b − a + b − c − [a + b] }]
= − [− a + {− a − c − a − b}]
= − [− a − a − c − a − b ] = 3a + b + c
(
) (
24. − − a + − a + a − b − a − b + c − − − a + b
EJERCICIO 33
1. a − b + c − d
= a + −b+ c− d
(
= b− c+ c
)
2. x − 3xy − y + 6
2
=b
2
= x 2 + (− 3xy − y 2 + 6)
{[
]} { [
]}
= − {− [ − a − b] } − { + [ b + a] } − a − b
3. x 3 + 4 x 2 − 3x + 1
= − {a + b} − {b + a} − a − b
4. a 3 − 5a 2b + 3ab 2 − b 3
20. − − − (a + b) − + − (− b − a) − (a + b)
= − a− b− b− a − a− b
= x 3 + ( 4 x 2 − 3x + 1)
= a 3 + ( − 5a 2b + 3ab 2 − b 3 )
= − 3a − 3b
5. x − x + 2 x − 2 x + 1
4
}]
]} { [
]} [ {
= − {− [− a − b + c] } − {+ [− c + a − b] } + [− {− a − b}]
{[
21. − − − (a + b − c) − + − (c − a + b) + − − a + (− b)
[
= − {a + b − c} − {− c + a − b} + a + b
]
= − a− b+ c+ c− a+ b+ a+ b
= − a + b + 2c
[ {
))}+ {− (m + n) + (− 2n + 3)}]
= − [ 3m + {− m − (n − m − 4)} + {− m − n − 2n + 3}]
= − [3m + {− m − n + m + 4} − m − n − 2n + 3 ]
= − [3m − m − n + m + 4 − m − n − 2n + 3]
( (
22. − 3m + − m − n − m + 4
= − 3m + m + n − m − 4 + m + n + 2n − 3
= − 2m + 4n − 7
}]
3
2
= x 4 − x 3 + ( 2 x 2 − 2 x + 1)
6. 2 a + b − c + d
= 2a − − b + c − d
(
)
7. x + x + 3x − 4
3
2
= x 3 − (− x 2 − 3x + 4)
8. x 3 − 5 x 2 y + 3 xy 2 − y 3
= x 3 − (5x 2 y − 3xy 2 + y 3 )
2
2
2
9. a − x − 2 xy − y
= a 2 − ( x 2 + 2 xy + y 2 )
2
2
2
10. a + b − 2bc − c
= a 2 − (− b 2 + 2bc + c2 )
EJERCICIO 34
1. x + 2 y + ( x − y )
[
6. − 2a + (− 3a + b)
[
2. 4m − 2n + 3 − (− m + n) + (2m − n)
[
[(
2
2
[
2
2
[
2
]
(
[
]
2
2
)
]
8. x 3 − − 3x 2 + 4x − 2
)
4. x 3 − 3x 2 + − 4 x + 2 − 3x − 2 x + 3
[
) (
2
= − − 2 x 2 − 3xy + ( y 2 + xy) − (− x 2 + y 2 )
) ]
= x − {3xy − [( x − xy) + y ] }
3. x − 3xy + x − xy + y
2
(
7. 2 x + 3xy − y + xy + − x + y
]
= 4m − 2n − 3 + (− m + n) − (2m − n)
2
]
= − 2a − (− 3a + b)
]
= x − − 2 y − (x − y)
= − − x 3 + − 3x 2 + 4 x − 2
{
]
= x 3 − 3x 2 − − 4 x + 2 + 3x + (2 x + 3)
{
[ ( )] }
= 2a − [− 3b + {− 2a + [a + (b − a )] }]
5. 2a + 3b − − 2a + a + b − a
9.
}
[m − (3m + 2m + 3)]+ (− 2m + 3)
= − {− [ m − (3m + 2m + 3)] − (− 2m + 3)}
4
2
4
2
EJERCICIO 35
17. ambn ⋅− ab = − am + 1bn + 1
1. 2 ⋅ − 3 = − 6
18. − 5ambn ⋅− 6a 2b3 x = 30am + 2bn + 3 x
2. − 4 ⋅− 8 = 32
19. xmync ⋅ − xmync x = − xm + myn + nc1+ x = − x 2my 2nc1+ x
3. − 15 ⋅16 = − 240
4. ab ⋅− ab = − a1+ 1b1+ 1 = − a 2b2
5. 2x 2 ⋅− 3x = − 6x 2 + 1 = − 6x3
6. − 4a 2b ⋅ − ab 2 = 4a 2 + 1b1+ 2 = 4a 3b3
20. − mxna ⋅− 6m2n = 6mx + 2na + 1
EJERCICIO 36
7. − 5x3 y ⋅ xy 2 = − 5x3 + 1y1+ 2 = − 5x 4 y 3
1. am ⋅ am + 1 = am + m + 1 = a 2m + 1
8. a 2b 3 ⋅ 3a 2 x = 3a 2 + 2b 3 x = 3a 4b3 x
2. − xa ⋅ − x a + 2 = x a + a + 2 = x 2a + 2
9. − 4m2 ⋅− 5mn2p = 20m2 + 1n2p = 20m3n2p
3. 4anb x ⋅− ab x + 1 = − 4an + 1b x + x + 1 = − 4an + 1b 2 x + 1
10. 5a y ⋅− 6x = − 30a x y
4. − a n + 1b n + 2 ⋅ a n + 2b n = − a n + 1+ n + 2 bn + 2 + n = − a 2n + 3b 2n + 2
11. − x2 y3 ⋅− 4y3 z4 = 4x2 y 3 + 3 z4 = 4x2 y 6 z4
5. − 3an + 4bn + 1 ⋅ − 4an + 2bn + 3 = 12a 2n + 6b2n + 4
12. abc ⋅ cd = abc1+ 1d = abc 2d
6. 3x 2 y 3 ⋅ 4x m + 1y m + 2 = 12x 2 + m + 1y 3 + m + 2 = 12xm + 3 y m + 5
13. − 15x 4 y3 ⋅− 16a 2 x 3 = 240a 2 x4 + 3 y 3 = 240a 2 x7 y 3
7. 4x a + 2b a + 4 ⋅ − 5xa + 5ba + 1 = − 20x 2a + 7b 2a + 5
14. 3a 2b3 ⋅− 4x 2 y = − 12a 2b3 x 2 y
8. ambnc ⋅ − amb 2n = − am + mbn + 2nc = − a 2mb3nc
15. 3a 2bx ⋅ 7b3 x 5 = 21a 2b1+ 3 x1+ 5 = 21a 2b 4 x 6
9. − xm + 1y a + 2 ⋅− 4xm − 3 y a − 5 c 2 = 4x2m − 2 y 2a − 3c 2
16. − 8m2n3 ⋅ − 9a 2mx 4 = 72a 2m2 + 1n3 x 4 = 72a 2m3n3 x 4
10. − 5manb − 1c ⋅− 7m2a − 3nb − 4 = 35m3a − 3n2b − 5c
2
2
2 2
EJERCICIO 37
1.
8. −
3 2
7 2 3
m n ⋅−
am
7
14
3
7 2 5
21 2 5
3 2 5
a m n=
a m n=
amn
= − ⋅−
7 14
98
14
9.
2 2 3 3 2 4
6 2 6 4
2
x y ⋅− a x y = −
a x y = − a2x 6y 4
3
5
15
5
10. −
2. −
3.
4. −
6. −
5 m n
3
a b ⋅−
ab 2c
6
10
1 1
1
= − ⋅ am + 1 bn + 2 c = − am + 1bn + 2 c
2 2
4
2 x m +1 3 x −1 m
a b ⋅− a b
9
5
2 1 2 x − 1 2m + 1 2 2 x − 1 2m + 1
b
a
b
=
⋅ a
=
3 5
15
1 3 4 4 3 2
4 3 5 5 1 3 5 5
m n ⋅− a m n =
amn =
amn
8
5
40
10
7
2 3
14 4
1
a bc = − a 4bc
5. − abc ⋅ a = −
8
7
56
4
7.
3 m
2
3 1
3 m+1 3
a ⋅ − ab3 = ⋅ am + 1b 3 =
a b
4
5
2 5
10
1 2 4 3
1 4
4 5
2
a ⋅ a b = ⋅ a 5b =
a b = a 5b
2
5
2 5
10
5
3 3 4
5
3
1
x y ⋅ − a 2by 5 = a 2bx 3y 9 = a 2bx 3 y 9
5
6
6
2
11.
2 x +1 x − 3 2
44 x − 3 2
a b c ⋅−
a b
11
7
8
4
= 2 ⋅ a 2 x − 2b x − 1c 2 = a 2 x − 2b x − 1c 2
7
7
12. −
1
3
3 m+1 1 m+1
a ⋅ am =
a
= a
3
5
15
5
EJERCICIO 38
3 m n
4
12 3m 2n
3 3m 2n
a b ⋅ − a 2mbn = −
a b =−
a b
8
5
40
10
3 3
1 x a
m ⋅− 5a 2m ⋅−
am
5
10
15 2 + x 3 +1+ a
3 x+2 a+4
a m
a m
=−
=−
50
10
8. −
1. a ⋅− 3a ⋅ a 2 = − 3a1+ 1+ 2 = − 3a 4
2. 3x 2 ⋅− x 3 y ⋅ − a 2 x = 3a 2 x 2 + 3 +1y = 3a 2 x 6 y
3. − m2n ⋅− 3m2 ⋅− 5mn3 = − 15m2 + 2 + 1n1+ 3 = − 15m5n4
9. 2a ⋅− a 2 ⋅ − 3a 3 ⋅ 4a = 24a1+ 2 + 3 + 1 = 24a7
4. 4a 2 ⋅− 5a 3 x 2 ⋅− ay 2 = 20a 2 + 3 +1x 2 y 2 = 20a 6 x 2 y2
10. − 3b 2 ⋅ − 4a 3b ⋅ ab ⋅− 5a 2 x
5. −am ⋅ − 2ab ⋅− 3a 2b x = − 6am +1+ 2b1+ x = − 6am + 3b x + 1
6.
7.
1 3 2 2
3
6 2 + 4 3 +1
1
x ⋅− a x ⋅− a 4m =
a x m = a 6 x 4m
2
3
5
30
5
2 m 3 2 4
a ⋅ a b ⋅− 3a 4b x + 1
3
4
18 m + 2 + 4 4 + x + 1
3
a
b
=−
= − a m + 6b x + 5
12
2
= − 60a 3 + 1+ 2 b 2 + 1+ 1x = − 60a 6b 4 x
11. a mb x ⋅− a 2 ⋅ − 2ab ⋅− 3a 2 x
= − 6a m + 2 + 1+ 2b x + 1x = − 6am + 5b x + 1x
1 2
3
10 3 3 2
x y ⋅− xy 2 ⋅−
x ⋅− x y
2
5
3
4
6 2 + 1+ 3 + 2 1+ 2 + 1 3 8 4
y
= x
= x y
8
4
12. −
EJERCICIO 39
1.
2. 8x 2 y − 3y 2
3x 3 − x 2
− 2x
− 6x + 2x
4
2ax
3
3
16ax 5 y − 6ax 3 y 2
2
3. x − 4x + 3
− 2x
− 2x 3 + 8 x 2 − 6 x
4. a − 4a + 6a
3ab
3
2
3a 4b − 12a 3b + 18a 2b
2
2
5. a − 2ab + b
− ab
− 4x 2
− a 3b + 2a 2b 2 − ab 3
− 4 x 5 + 12 x 4 − 20x 3 + 24 x 2
6. x − 6 x − 8x
3a 2 x 2
5
3
14. a − 6a x + 9a x − 8
3bx 3
4
3a 2 x 7 − 18a 2 x 5 − 24a 2 x 3
− 4m7 x + 12m5n2 x − 28m3n4 x
3
2
− a 2n + 3 x 2 + 3a 2n + 2 x 2 + 4a 2n + 1x 2 + a 2n x 2
2
16.
3
ax y
ax 6 y − 4ax 5 y 2 + 6ax 4 y 3
a − 5a b − 8ab
3
9.
2
17. − 3x + 5x y − 7 xy − 4y
5a 2 xy 2
3
18.
2
3
x a + 5 − 3x a + 4 + x a + 3 − 5x a + 1
− 2x 2
− 2a m + 1 + 2a m − 1+ 1 − 2a m − 2 +1
− 2x a + 7 + 6x a + 6 − 2 x a + 5 + 10x a + 3
= − 2a m + 1 + 2a m − 2a m −1
19. a 8 − 3a 6b 2 + a 4b 4 − 3a 2b 6 + b 8
m+1
+ 3 xm − x m − 1
11. x
2m
3x
− 5a 3 y 2
− 5a11y 2 + 15a 9b 2 y 2 − 5a 7b 4 y 2 + 15a 5 b 6 y 2 − 5a 3b 8 y 2
3 x 3 m + 1 + 9 x 3m − 3 x 3m − 1
b
2
− 15a 2 x 4 y 2 + 25a 2 x 3 y 3 − 35a 2 x 2 y 4 − 20a 2 xy 5
m
m −1
+ am − 2
10. a − a
− 2a
m − 1 n +1
− 3a 2 x 3
− 3a 2 x 7 + 18a 2 x 6 − 24a 2 x 5 + 21a 2 x 4 − 15a 2 x 3
− 4a 7m2 + 20a 6bm2 + 32a 5b 2m2
m n
x 4 − 6 x 3 + 8 x 2 − 7x + 5
2
− 4 a 4m 2
12. a b + a
2 2
n+ 3
− 3a n + 2 − 4a n + 1 − an
15. a
− an x 2
− 4m3 x
8. x − 4x y + 6 xy
3
3a 4bx 3 − 18a 3bx 4 + 27a 2bx 5 − 24bx 3
m4 − 3m2n2 + 7n4
7.
x 3 − 3x 2 + 5x − 6
13.
20. a b + 3a
m n
− a m − 2bn + 2
m −1 n + 2
b
− a m − 2b n + 4 + a m − 3b n + 6
4a mb 3
3a 2b
4a 2 mb n + 3 + 12a 2 m −1b n + 5 − 4a 2 m − 2b n + 7 + 4a 2 m − 3b n + 9
3a m + 2bn + 1 + 3am + 1bn + 2 − 3a mbn + 3
EJERCICIO 40
1
1. 2
a−
2
b
3
2 2
a
5
2 1+ 2 4 2
−
a
a b
10
15
1 3 4 2
= a −
a b
5
15
2
3
2. a − b
3
4
−
2 3
a b
3
4
6 3 1+ 1
− a3 + 1b +
a b
9
12
4 4
1 3 2
=− a b+ a b
9
2
3.
3
1
2
a− b+ c
5
6
5
5 2
− ac
3
15 1+ 1 2 5
10 2 + 1
a c +
abc 2 −
ac
15
18
15
5
2
= − a 2c 2 +
abc 2 − ac 3
18
3
−
2
4. 5
a2 +
1
2
ab − b 2
3
9
3a 2 x
6 2+2
3
6
a
x + a2 + 1bx − a 2b 2 x
5
3
9
6
2
= a 4 x + a3bx − a 2b 2 x
5
3
5.
6.
1 2 1 2 1 2 1 2
a − b + x − y
2
3
4
5
5
− a 2m
8
1 2 2
1
x − xy − y 2
3
5
4
3 3
y
2
5 2+ 2
5 2 2
5 2 2 5 2 2
a m+
a b m−
a mx +
a my
16
24
32
40
5 4
5 2 2
5 2 2 1 2 2
=−
a m+
a b m−
a mx + a my
16
24
32
8
3 2 3 6
3
x y −
xy 3 + 1 − y 2 + 3
6
10
8
1
3
3
= x 2 y 3 − xy 4 − y 5
2
5
8
8. −
3a − 5b + 6c
3 2 3
−
a x
10
9.
9 2 + 1 3 15 2 3 18 2 3
a x +
a bx −
a cx
10
10
10
9 3 3 3 2 3 9 2 3
=−
a x + a bx − a cx
10
2
5
6 3 + 2 3 3 2 + 2 1+ 3 15 1+ 2 2 + 3 3 2 3 + 3
m n + m n −
m n −
mn
12
8
24
36
1
3
5
1
= m5n3 + m4 n4 − m3n5 − m2n6
2
8
8
12
2 4 2 2 1 4
x −x y + y
9
3
3 3 4
x y
7
2 6 1 4 2 3 2 4 1 6
x − x y + x y −
y
5
3
5
10
5
− a3x 4 y3
7
−
7.
2 3 1 2
5
1
m + m n − mn2 − n3
3
2
6
9
3 2 3
mn
4
6 4 +3 4 3 2 + 3 2 + 4 3 3 4 + 4
x y − x y
+ x y
63
7
21
2 7 4 3 5 6 1 3 8
= x y − x y + x y
21
7
7
10 3 6 + 4 3 5 3 4 + 4 2 + 3 15 3 2 + 4 4 + 3 5 3 4 6 + 3
a x y + a x y
−
a x y
+
a x y
35
21
35
70
2
5
3
1 3 4 9
= − a 3 x10 y 3 + a 3 x 8 y 5 − a 3 x 6 y 7 +
a x y
7
21
7
14
10. −
EJERCICIO 41
1. a + 3
a −1
3. x + 5
x−4
a 2 + 3a
− a−3
x + 5x
a 2 + 2a − 3
x + x − 20
2. a − 3
a +1
a 2 − 3a
2
− 4x − 20
2
4. m − 6
m−5
5. − x + 3
−x+5
7. 3x − 2 y
2x + y
6x 2 − 4 xy
x 2 − 3x
− 5x + 15
+ 3xy − 2 y 2
x 2 − 8x + 15
6x 2 − xy − 2 y 2
6. − a − 2
−a −3
8.
5x − 4y
− 3x + 2y
m2 − 6m
− 5m + 30
a 2 + 2a
a−3
+ 3a + 6
+ 10xy − 8y 2
a − 2a − 3
m − 11m + 30
a 2 + 5a + 6
− 15x 2 + 22xy − 8y 2
2
2
− 15x 2 + 12xy
11. − a + b
8a − 4b
9. 5a − 7b
a + 3b
13. − 9m + 8n
6m + 4n
− 8a 2 + 8ab
5a 2 − 7ab
+ 15ab − 21b
− 54m2 + 48mn
+ 4ab − 4b
2
− 36mn + 32n2
− 8a 2 + 12ab − 4b2
− 54m2 + 12mn + 32n2
2
5a 2 + 8ab − 21b2
12. 6m − 5n
m−n
10. 7x − 3
2x + 4
14. − 7y − 3
2y − 11
6m2 − 5mn
14x 2 − 6x
− 14y 2 − 6y
+ 28x − 12
− 6mn + 5n
+ 77y + 33
14x + 22x − 12
6m − 11mn + 5n
− 14y + 71y + 33
2
2
2
2
2
EJERCICIO 42
1. x + xy + y
x−y
2
3
2
5. a + a − a
a −1
2
− x y − xy − y
2
−a −a
3
3
− y3
x3
a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3
10. 3a − 5ab + 2b
4a − 5b
2
2
− 15a 2b + 25ab 2 − 10b 3
− n6
12a 3 − 35a 2b + 33ab 2 − 10b 3
m6
2
11. 5m4 − 3m2n2 + n4
3m − n
+ 7x − 3
3
y2 + 2
+x
2
+3
− 9x 2 + x + 3
+ 6y
3y 5
+ 3mn4
+ 3m n
2 3
− n5
15m5 − 5m4n − 9m3n2 + 3m2n3 + 3mn4 − n5
a 4 + a3 + a2
3y 5 − 6y 3 + 5y 2
3
4
2
12. a + a + 1
a2 − a − 1
9. 3y − 6y + 5
4. x 3 − 3x 2 + 1
x+3
− 5m n
2
2x 4 − x 3
− 9m3n2
15m5
+ 3x − 6 x + 9x − 3
3
3
a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3
2
12a 3 − 20a 2b + 8ab 2
2x 4 − 4 x 3 + 6x 2 − 2 x
+ a b + 2ab + b
2
− am − 2a
am4
− m4n2 − m2n4 − n6
3
a 3 + 2a 2b + ab 2
x4
+ am3 − am2 + am − 2a
7. x − 2x + 3x − 1
2x + 3
3. a 2 + 2ab + b 2
a +b
+ 3x − 9x
+a
m6 + m4n2 + m2n4
− a 2b + 2ab 2 − b 3
2
am4 − am3 + am2 − 2am
4
2 2
4
6. m + m n + n
2
2
m −n
a 3 − 2a 2b + ab 2
3
2
− 2a 2 + a
a4
2. a 2 − 2ab + b 2
a −b
x 4 − 3x 3
3
a 4 + a3 − a2
x 3 + x 2 y + xy 2
2
9. m − m + m − 2
am + a
− a3 − a2 − a
− 12y + 10
− a2 − a − 1
+ 5y 2 − 12y + 10
a4
− a 2 − 2a − 1
13. x 3 + 2x 2 − x
19. x 2 − 2xy + y 2
x 2 − 2x + 5
− x 2 + xy + 3y 2
x + 2x − x
5
4
− x 4 + 2x 3 y − x 2 y 2
3
− 2x − 4 x + 2x
4
3
+ x 3 y − 2x 2 y 2 + xy 3
2
+ 5x + 10x − 5 x
3
+ 3x 2 y 2 − 6xy 3 + 3y 4
2
+ 12x 2 − 5x
x5
− x 4 + 3x 3 y
14. m3 − 3m2n + 2mn2
20. n − 2n + 1
m − 2mn − 8n
n2 − 1
2
2
2
n4 − 2n3 + n2
m5 − 3m4n + 2m3n2
− n2 + 2n − 1
− 2m4n + 6m3n 2 − 4m2n 3
− 8m3n 2 + 24m2n 3 − 16mn 4
m − 5m n
5
− 5xy 3 + 3y 4
+ 20m n − 16mn
4
2 3
n4 − 2n3
+ 2n − 1
4
21. a 3 − 3a 2b + 4ab 2
15. x 2 + x + 1
x2 − x − 1
a 2b − 2ab 2 − 10b 3
x4 + x3 + x2
a 5b − 3a 4b 2 + 4a 3b 3
− 2a 4b 2 + 6a 3b 3 − 8a 2b 4
− x3 − x2 − x
− 10a 3b 3 + 30a 2b 4 − 40ab 5
− x2 − x −1
a 5b − 5a 4b 2
− x 2 − 2x − 1
x4
16. x − 3x + 2
4
2
22. 8x 3 − 12x 2 y + 6xy 2 − 9y 3
x − 2x + 3
2x + 3y
2
x
− 3x
6
− 2x
+ 2x
4
+ 6x
5
+ 3x
x 6 − 2x 5
− 4x
3
− 9x
4
16x 4 − 24 x 3 y + 12x 2 y 2 − 18xy 3
2
2
+6
3
m6 + m5 − 4m4
+ m2 − 4m − 1
+ 10y 3 − 15y 2 + 5y − 20
4y + 4y 3 − 13y 2 − 3y − 20
4
24. − a + 2ax + 3x
3
18. a 3 − 5a + 2
2
a −a+5
− 5a + 2a
3
2
2a − 3ax − x
− 2a 5
+ 4a 3 x 2 + 6a 2 x 3
+ 3a x
2
3
3 2
+a x
− 2ax 4 − 3x 5
− 2a + 3a x + 5a x
− 11ax 4 − 3x 5
− 25a + 10
+ 7a 2 − 27a + 10
− 6a 2 x 3 − 9ax 4
4
+ 5a − 2a
4
3
2
2
2
a5 − a4
2
4 y 4 − 6y 3 + 2y 2 − 8y
+ m3 + m2 − 4m − 1
+ 5a
− 27y 4
2y + 5
m6 + m5 − 4m4 − m3
−a
− 24 x 2 y 2
16x 4
23. 2y − 3y + y − 4
m3 + 1
a
+ 24x 3 y − 36x 2 y 2 + 18xy 3 − 27y 4
+ 6x 3 − 7 x 2 − 4 x + 6
17. m3 + m2 − 4m − 1
5
+ 22a 2b 4 − 40ab 5
5
4
3 2
30. y − 2y + 1
y 4 − 2y 2 + 2
2
25. x 4 − 3x 3 y + 2x 2 y 2 + xy 3
− x 2 − xy − y 2
y 6 − 2y 5 + y 4
− x 6 + 3x 5 y − 2x 4 y 2 − x 2 y 3
− 2y 4 + 4y 3 − 2y 2
− x 5 y + 3x 4 y 2 − 2x 3 y 3 − x 2 y 4
+ 2y 2 − 4y + 2
− x 4 y 2 + 3x 3 y 3 − 2x 2 y 4 − xy 5
− x 6 + 2x 5 y
y 6 − 2y 5 − y 4 + 4y 3
− 3x 2 y 4 − xy 5
31. m − 3m + 4
4
26. a 3 − 5a 2 + 2a − 3
2
3m − 2m + 1
3
a − 2a − 7
3
a − 5a + 2a − 3a
6
5
4
3
3m7 − 9m5
+ 12m3
− 2m
+ 6m3
− 2a 4 + 10a 3 − 4a 2 + 6a
5
+m
− 7a + 35a − 14a + 21
3
a − 5a
6
2
2
3
− 3m
2
5
4
3
+4
2
32. a + a − a + 1
a 3 + a 2 − 2a − 1
3
2
m − 2m + 3
2
m6 + m5 − m4
− 2m5 − 2m4 + 2m3
+a + a
− 6m
+ 3m4 + 3m3 − 3m2
+ 5m3
2
a6 + a 5 − a 4
+ 3m2
m6 − m5
− 8m
4
3m − 11m + m + 18m − 3m − 8m + 4
7
+ 31a − 8a + 21
5
27. m + m − m + 3
4
− 4y + 2
5
4
+ a3
− a3 + a2
− 2a 4 − 2a 3 + 2a 2 − 2a
+9
− a 3 − a2 + a − 1
− 6m + 9
a 6 + 2a 5 − 2a 4 − 3a 3 + 2a 2 − a − 1
33. 8x 3 − 12x 2 y − 6xy 2 + y 3
28. a 4 + a 3b − 3a 2b 2 − ab3 + b 4
3x 2 − 2xy + 4y 2
a 2 − 2ab + b2
24x 5 − 36x 4 y − 18x 3y 2 + 3x 2 y 3
a 6 + a 5b − 3a 4b 2 − a 3b 3 + a 2b 4
− 2a b − 2a b + 6a b + 2a b − 2ab
5
4 2
3 3
2 4
− 16x 4 y + 24x 3 y 2 + 12x 2 y 3 − 2xy 4
5
6
+ 32x 3 y 2 − 48x 2 y 3 − 24xy 4 + 4y 5
− 3ab5 + b6
24x 5 − 52x 4 y + 38x 3 y 2 − 33x 2 y 3 − 26xy 4 + 4y 5
+ a b + a b − 3a b − ab + b
4 2
3 3
2 4
a 6 − a 5b − 4a 4b 2 + 6a 3b 3
5
34. 5a 4 − 4a 3 + 2a 2 − 3a − 1
29. x 4 − x 3 y + x 2 y 2 − xy 3 + y 4
a 4 − 2a 2 + 2
x 2 + xy − 2y 2
x −x y+ x y
6
5
4 2
− x y
3 3
5a 8 − 4a7 + 2a 6 − 3a 5 − a 4
+ x y
2 4
− 10a 6 + 8a 5 − 4a 4 + 6a 3 + 2a 2
+ x 5 y − x 4 y 2 + x 3 y 3 − x 2 y 4 + xy 5
6
+ 10a 4 − 8a 3 + 4a 2 − 6a − 2
− 2x 4 y 2 + 2x 3 y 3 − 2x 2 y 4 + 3xy 5 − 2y 6
5a 8 − 4a7 − 8a 6 + 5a 5 + 5a 4 − 2a 3 + 6a 2 − 6a − 2
− 2x y + 2x y
4 2
x6
3 3
− 2x y + 2xy − 2y
2 4
5
35. x − x + x − x + 1
4
3
2
40. 3a 5 − 6a 3 + 2a 2 − 3a + 2
x − 2x + 3x + 6
a 4 − 3a 2 + 4a − 5
x7 − x 6 + x 5 − x 4 + x 3
3a 9 − 6a 7 + 2a 6 − 3a 5 + 2a 4
3
2
− 9a 7
− 2x 6 + 2x 5 − 2x 4 + 2x 3 − 2x 2
+ 12a
+ 3x 5 − 3x 4 + 3x 3 − 3x 2 + 3x
3a 9 − 15a 7 + 14a 6
3
+ 30a 3 − 10a 2 + 15a − 10
5
− 28a 4 + 47a 3 − 28a 2 + 23a − 10
+ x 2 − 3x + 6
41. a + b − c
a−b+c
36. 3a + 2a − 5a − 4
2
a + a − 2a + 1
3
− 24a 4 + 8a 3 − 12a 2 + 8a
− 15a
+ 6x 4 − 6x 3 + 6 x 2 − 6x + 6
x 7 − 3x 6 + 6x 5
+ 18a 5 − 6a 4 + 9a 3 − 6a 2
6
2
a 2 + ab − ac
3a 6 + 2a 5 − 5a 4 − 4a 3
− ab
+ 3a 5 + 2a 4 − 5a 3 − 4a 2
− b 2 + bc
+ ac
− 6a 4 − 4a 3 + 10a 2 + 8a
+ 3a 3 + 2a 2 − 5a − 4
+ bc − c 2
− b 2 + 2bc − c 2
a2
3a 6 + 5a 5 − 9a 4 − 10a 3 + 8a 2 + 3a − 4
42. x + 2y − z
x−y+z
37. 5y 4 − 3y 3 + 4y 2 + 2y
y 4 − 3y 2 − 1
x 2 + 2xy − xz
5y 8 − 3y 7 + 4 y 6 + 2y 5
− xy
− 15y 6 + 9y 5 − 12y 4 − 6y 3
+ xz
− 5y 4 + 3y 3 − 4y 2 − 2y
x 2 + xy
5y 8 − 3y 7 − 11y 6 + 11y 5 − 17y 4 − 3y 3 − 4y 2 − 2y
38. m − 2m n + 3m n − 4n
4
3
2
2
− m7 + 2m6n − 3m5n2
+ 4m3n4
+ 3m n − 6m n + 9m n
5
2
4
3
+ m4n3 − 2m3n4
+ 2xy
+ 20mn6
+ 3m2n5
39. x 6 − 3x 4 y 2 − x 2 y 4 + y 6
x − 2x y + 3xy
4
x11 − 3x 9 y 2 − x 7 y 4 + x 5 y 6
− 6yz + 10z 2
− 2x 2 + 5xy − xz − 3y 2 − yz + 10z 2
44. x 2 − xy − xz + y 2 − yz + z2
x +y+z
x 3 − x 2 y − x 2z + xy 2 − xyz + xz 2
+ x2y
− 2x 9 y 2 + 6x 7 y 4 + 2x 5 y 6 − 2x 3 y 8
− xy 2 − xyz
+x z
2
+ 3x 7 y 4 − 9x 5 y 6 − 3x 3 y 8 + 3xy10
x11 − 5x 9 y 2 + 8x 7 y 4 − 6x 5 y 6 − 5x 3 y 8 + 3xy10
− 3y 2 + 5yz
+ 4 xz
− 4n7
− m7 + 5m6n − 14m5n2 + 20m4n3 − 13m3n4 − 9m2n5 + 20mn6 − 4n7
3 2
− 2y 2 + 3yz − z2
− 2x 2 + 3xy − 5xz
− 12m2n5
− 5m5n2 + 10m4n3 − 15m3n4
5
+ 2yz − z 2
43. 2x − 3y + 5z
− x + y + 2z
4
− m3 + 3m2n − 5mn2 + n3
6
− 2y 2 + yz
x3
− xyz − xz
− 3xyz
+ y 3 − y 2 z + yz 2
+ y 2z − yz 2 + z 3
2
+ y3
+ z3
7. a + 3a
EJERCICIO 43
x
x −1
− 2a x − 2
ax − ax −1 + a
1. a x + 2 − a x +1 + a x
a +1
a
x+ 3
−a
x +2
+a
a 2x + 3a 2 x − 1 − 2a 2x − 2
− a 2 x − 1 − 3a 2 x − 2 + 2a 2 x − 3
+ a 2 x − 2 + 3a 2 x − 3 − 2a 2 x − 4
x +1
+ a x + 2 − a x +1 + a x
a
x+ 3
+a
a 2x + 2a 2 x − 1 − 4a 2 x − 2 + 5a 2 x − 3 − 2a 2 x − 4
x
8. m
2. − xn + 3 + 2xn + 2 + xn + 1
a+4
− ma + 3 − 2ma + 2 + ma + 1
− ma − 1 + ma − 2 + m
x +x
2
+ m2a + 2 − m2a + 1 − 2m2a + m2a − 1
− x n + 4 + 2x n + 3 + x n + 2
+ m2a + 1 − m2a − 2m2a − 1 + m2a − 2
− x n + 5 + x n + 4 + 3 x n + 3 + xn + 2
−m
3. m + 2 + m +1 − m + m − 1
a
a
a−3
− m2a + 3 + m2a + 2 + 2m2a + 1 − m2a
− x n + 5 + 2x n + 4 + x n + 3
a
x−2
2a + 3
+ 2m
2a + 2
+ 2m2a + 1 − 4m2a − m2a − 1 + m2a − 2
a
9. x a − 1 + 2x a − 2 − x a − 3 + x a − 4
m − 2m + 3
2
xa − 1 − xa − 2 − x
ma + 4 + ma + 3 − ma + 2 + ma + 1
− 2ma + 3 − 2ma + 2 + 2ma + 1 − 2ma
+ 3m
a+ 2
ma + 4 − ma + 3
+ 3m
a +1
− 3m + 3m
a
a −1
a−3
x 2a − 2 + 2x 2a − 3 − x 2a − 4 + x 2a − 5
− x 2a − 3 − 2 x 2a − 4 + x 2 a − 5 − x 2 a − 6
+ 6ma + 1 − 5ma + 3ma − 1
− x 2 a − 4 − 2 x 2 a − 5 + x 2 a − 6 − x 2a − 7
x 2a − 2 + x 2a − 3 − 4 x 2a − 4
− x 2a − 7
n+ 2
n +1
n
4. a + 3a − 2a
an + 1 + an
a
2n + 3
+ 3a
2n + 2
− 2a
n
n −1 2
n− 2 3
n−3 4
10. a b − a b + 2a b − a b
anb2 − an − 2b4
2n + 1
+ a 2n + 2 + 3a 2n +1 − 2a 2n
a 2nb3 − a 2n − 1b 4 + 2a 2n − 2b 5 − a 2n − 3b6
a 2n + 3 + 4a 2n + 2 + a 2n + 1 − 2a 2n
− a 2n − 2b 5 + a 2n − 3b 6 − 2a 2n − 4b7 + a 2n − 5b 8
a 2nb3 − a 2n − 1b 4 + a 2n − 2b5
5. x a + 2 + 2x a +1 − x a
x a + 3 − 2x a + 1
11. a x + b x
x 2 a + 5 + 2x 2 a + 4 − x 2 a + 3
− 2x
x
2a + 5
2a + 3
− 4x
2a + 2
+ 2x
2a + 1
+ 2x 2 a + 4 − 3x 2a + 3 − 4 x 2 a + 2 + 2x 2 a + 1
a m + bm
am + x + amb x
+ a xbm + bm + x
a
6. a − 2a
x
x −1
+ 3a
x−2
a 2 + 2a − 1
a
x+2
+ 2a
+ 3a
x +1
− 4a x + 6a x − 1
x
− a + 2a
x
a
x+2
x −1
− 2a + 8a
x
+ a b + a xbm + bm + x
m x
12. a x − 1 − bn − 1
a−b
x +1
− 2a
m+ x
a x − abn − 1
− 3a
x −1
x−2
− 3a
x−2
− a x − 1b + bn
a − ab
x
n −1
− a x − 1b + bn
− 2a 2n − 4b7 + a 2n − 5b8
13. − 5a 2m + 2 + a 2m + 1 + 3a 2m
6a 3m − 1 − 8a 3m − 2 + a 3m − 3
− 30a 5m + 1 + 6a 5m + 18a 5m − 1
+ 40a 5m − 8a 5m − 1 − 24a 5m − 2
− 5a 5m − 1 + a 5m − 2
+ 3a 5m − 3
− 30a 5m + 1 + 46a 5m + 5a 5m − 1 − 23a 5m − 2 + 3a 5m − 3
14. x
a + 2 x −1
y
− 2x
− 4x a + 1y x + 3x a y x + 1
2a − 1 x − 2
y
− 4x 2a − 2 y x − 1 − 10x 2a − 3 y x
− 2x 3a + 1y 2 x − 3 + 8x 3a y 2 x − 2 − 6x 3a − 1y 2x − 1
− 4x 3a y 2 x − 2 + 16x 3a − 1y 2 x − 1 − 12x 3a − 2 y 2x
− 10x 3a − 1y 2 x − 1 + 40x 3a − 2 y 2 x − 30x 3a − 3 y 2 x + 1
− 2x 3a + 1y 2 x − 3 + 4x 3a y 2 x − 2
+ 28x 3a − 2 y 2 x − 30x 3a − 3 y 2x + 1
EJERCICIO 44
3.
1.
1
1
a− b
2
3
1
1
a+ b
3
2
2 3
x −
6
2 2
x y
9
3 2
−
x y
4
1 2
1
a − ab
6
9
1
1
+
ab − b2
4
6
2
y
5
1
5
x+ y
3
6
1 2
x −
3
+
4.
2
xy
15
5
10 2
xy −
y
6
30
1 2 4 − 25
10 2
x −
xy −
y
3
30
30
1
21
1
= x2 +
xy − y 2
3
30
3
1
7
1
= x2 +
xy − y 2
3
10
3
2
xy 2
12
3 2
3
+
xy − y 3
6
8
+
2 3 8 + 27 2
2+6 2 3 3
x −
x y+
xy − y
6
36
12
8
1 3 35 2
8
3 3
2
= x −
x y+
xy − y
3
36
12
8
1 3 35 2
2 2 3 3
= x −
x y + xy − y
3
36
3
8
1 2 4−9
1
a −
ab − b 2
6
36
6
1
5
1
= a2 +
ab − b2
6
36
6
2. x −
1 2 1
1
x − xy + y 2
2
3
4
2
3
x− y
3
2
1 2
2
a − ab + b2
4
3
1
3
a− b
4
2
1 3
a −
16
1 2
2
ab +
ab2
4
12
3 2
3 2
−
ab +
ab
8
2
−
6 3
b
6
1 3 2+3 2
2 + 18 2
a −
a b+
ab − b3
16
8
12
1 3 5 2
20 2
=
a − a b+
ab − b3
16
8
12
1 3 5 2
5
=
a − a b + ab 2 − b
16
8
3
5.
2 2 1
1
m + mn − n2
5
3
2
3 2
m − mn + 2n2
2
6 4 3 3
m + m n
10
6
2
− m3n
5
6.
3 2 2
m n
4
1
− m2n2
3
4
+ m2n2
5
6 5 2 4 4 3
x + x − x
8
4
5
3 3
−
x
24
−
1
mn 3
2
2
+ mn 3
3
+
−
1
+
−
−
9 2 2
a x
4
1 2 2
a x
3
2 2 2
a x
6
3
− a3x
2
2
+ a3x
9
3
+
6 4
a
6
3 4 3 + 3 3 27 − 4 − 4 2 2 27 − 4 3
6
x +
ax +
a x −
a x + a4
4
6
12
18
6
3
6
19 2 2 23 3
6
= − x 4 + ax 3 +
a x −
a x + a4
4
6
12
18
6
3 4
19 2 2 23 3
3
4
= − x + ax +
a x −
a x+a
4
12
18
1 3 2
x y
8
2 3 2
+
x y
15
10 3 2
+
x y
42
+
2 2 3
x y
6
5 2 3
−
x y
30
−
−
+
−
3 3
x
8
1 3
x
30
1 3
x
20
+
−
−
3 2
x
4
1 2
x
40
1 2
x
15
+
5
xy 4
12
2 5
21+ 80 4
105 + 112 + 200 3 2 10 + 5 2 3 5
x −
x y+
x y −
x y +
xy 4
28
420
840
30
12
2 5
101 4
417 3 2 15 2 3
5
=
x −
x y+
x y −
x y +
xy 4
28
420
840
30
12
1 5
101 4
139 3 2 1 2 3 5
x −
x y+
x y − x y +
xy 4
=
12
14
420
280
2
1 3 1 2 1
1
x + x − x+
4
3
4
2
3 2
1
1
x +
x−
2
10
5
3 5 3 4
x + x
8
6
1 4
+
x
40
4
5
−
2 5
1 4
x −
x y
28
20
4 4
−
x y
21
−
9.
−
1 2
1
x y + xy 2
5
2
1 2
2
5 2
x −
xy +
y
4
3
6
8. 7 x
3 2
2
x − ax + a 2
2
3
3 4 3 3
x + ax
4
6
1
+ ax 3
2
2
x
15
2
+ x
4
+
6 5 2 4 96 + 15 3 2 − 18 2 8 + 30
4
x + x −
x −
x +
x−
8
4
120
24
60
5
3 5 1 4 111 3 16 2 38
4
= x + x −
x +
x +
x−
4
2
120
24
60
5
3 5 1 4 37 3 2 2 19
4
= x + x −
x + x +
x−
4
2
40
3
30
5
2
3
2
2
7. − 2 x + 3 ax + 2 a
−
1 2
x
12
6 2
+
x
8
−
2 4
n
2
6 4 15 − 12 3
45 + 20 − 48 2 2 3 + 4
2
m +
m n−
m n +
mn3 − n4
10
30
60
6
2
6 4
3 3
17 2 2 7
=
m +
m n −
m n + mn 3 − n 4
10
30
60
6
3 4
1 3
17 2 2 7
= m +
m n −
m n + mn3 − n4
5
10
60
6
1
3 2 1
2
x + x−
8
4
5
1
3
2x − x + 2
3
1
x
20
1
1
+
x −
20
10
+
3 5 60 + 3 4 45 − 4 + 6 3 90 − 3 − 8 2 1+ 1
1
x +
x −
x +
x +
x−
8
120
120
120
20
10
3
63 4 47 3 79 2 2
1 3 5 21 4 47 3 79 2 1
1
= x5 +
= x +
x −
x +
x +
x−
x −
x +
x +
x−
8
120
120
120
20
10 8
40
120
120
10
10
3
1
2
1
10. 4 m − 2 m n + 5 mn − 4 n
3
2
2
3
2 2 2
5
m − mn + n2
3
3
2
6 5
2 4
m −
m n +
12
6
6 4
−
m n+
12
+
4 3 2
m n
15
2 3 2
m n
6
15 3 2
m n
8
−
−
−
2 2 3
m n
12
4 2 3
m n
15
5 2 3
m n
4
2
mn 4
12
10
+
mn 4
10
+
−
5 5
n
8
6 5 4+6 4
32 + 40 + 225 3 2 10 + 16 + 75 2 3 20 + 120
5
m −
m n+
m n −
m n +
mn4 − n5
12
12
120
60
120
8
1 5 10 4
297 3 2 101 2 3 140
5 5 1 5 5 4
99 3 2 101 2 3 7
5
4
mn − n = m − m n +
m n −
m n + mn 4 − n5
= m −
m n+
m n −
m n +
2
12
120
60
120
8
2
6
40
60
6
8
EJERCICIO 45
4. m − 5m n + 6mn + n
1− 5 + 6 + 1
3
3
2
2
1. x − x + x por x − 1
1− 1+ 1
2
2
3
1+ 0 − 1
1 + 0 − 4 −1
1− 1+ 1
− 1+ 1− 1
1− 5 + 6 + 1
− 4 + 20 − 24 − 4
−1 + 5 − 6 −1
1− 1+ 0 + 1− 1
por m3 − 4mn2 − n3
1− 5 + 2 + 20 − 19 − 10 − 1
= x5 − x 4 + x 2 − x
= m6 − 5m5n + 2m4n2 + 20m3n3 − 19m2n4 − 10mn5 − n6
4
3
2
3
2
2. x + 3 x − 5x + 8 por x − 2x − 7
1+ 3 − 5 + 0 + 8
5. x 4 − 8x 2 + 3 por x 4 + 6x 2 − 5
1+ 0 − 8 + 0 + 3
1+ 0 + 6 + 0 − 5
1− 2 + 0 − 7
1+ 3 − 5 + 0 + 8
− 2 − 6 + 10 + 0 − 16
− 7 − 21+ 35 + 0 − 56
1+ 0 − 8 + 0 + 3
+ 6 + 0 − 48 + 0 + 18
1+ 1− 11+ 3 − 13 + 19 + 0 − 56
1+ 0 − 2 + 0 − 50 + 0 + 58 + 0 − 15
= x 7 + x 6 − 11x 5 + 3x 4 − 13x 3 + 19x 2 − 56
= x 8 − 2x 6 − 50x 4 + 58x 2 − 15
3. a + 3a b − 2a b + 5ab − b
1+ 3 − 2 + 5 − 1
4
3
2 2
3
− 5 + 0 + 40 + 0 − 15
4
por a − 2ab + b
2
2
1+ 0 − 3 + 0 − 6 + 0 + 10
− 4 + 0 + 12 + 0 + 24 + 0 − 40
+ 3 + 0 − 9 + 0 − 18 + 0 + 30
− 2 + 0 + 6 + 0 + 12 + 0 − 20
1− 2 + 1
1+ 3 − 2 + 5 − 1
− 2 − 6 + 4 − 10 + 2
+1 + 3 − 2 + 5 −1
1+ 0 − 7 + 0 + 9 + 0 + 23 + 0 − 52 + 0 + 42 + 0 − 20
1+ 1− 7 + 12 − 13 + 7 − 1
= a + a b − 7a b + 12a b − 13a b + 7ab − b
6
5
4 2
6. a 6 − 3a 4 − 6a 2 + 10 por a 8 − 4a 6 + 3a 4 − 2a 2
1+ 0 − 3 + 0 − 6 + 0 + 10
1+ 0 − 4 + 0 + 3 + 0 − 2
3 3
2 4
5
6
= a14 − 7a12 + 9a10 + 23a 8 − 52a 6 + 42a 4 − 20a 2
7. x 9 − 4x 6 + 3x 3 − 2 por 3x 6 − 8x 3 + 10
12
8
4
16
12
8
4
8. m − 7m + 9m − 15 por m − 5m + 9m − 4m + 3
1− 7 + 9 − 15
1+ 0 + 0 − 4 + 0 + 0 + 3 + 0 + 0 − 2
3 + 0 + 0 − 8 + 0 + 0 + 10
1− 5 + 9 − 4 + 3
1− 7 + 9
3 + 0 + 0 − 12 + 0 + 0 + 9 + 0 + 0 − 6
− 8 + 0 + 0 + 32 + 0 + 0 − 24 + 0 + 0 + 16
+ 10 + 0 + 0 − 40 + 0 + 0 + 30 + 0 + 0 − 20
− 4 + 28 − 36 + 60
+ 3 − 21 + 27 − 45
3 + 0 + 0 − 20 + 0 + 0 + 51+ 0 + 0 − 70 + 0 + 0 + 46 + 0 + 0 − 20
= 3x15 − 20x12 + 51x 9 − 70x 6 + 46x 3 − 20
− 15
− 5 + 35 − 45 + 75
+ 9 − 63 + 81 − 135
1− 12 + 53 − 127 + 187 − 192 + 87 − 45
= m28 − 12m24 + 53m20 − 127m16 + 187m12 − 192m8 + 87m4 − 45
9. x 5 − 3x 4 y − 6x 3 y 2 − 4x 2 y 3 − y 5 por 2x 2 + 4y 2
5
2
4
2
10. 6a − 4a + 6a − 2 por a − 2a + a − 7
6+0+0−4+6−2
1+ 0 − 2 + 1− 7
1− 3 − 6 − 4 + 0 − 1
2+0+4
6+0+ 0 −4+ 6 −2
− 12 + 0 + 0 + 8 − 12 + 4
2 − 6 − 12 − 8 + 0 − 2
+ 4 − 12 − 24 − 16 + 0 − 4
+ 6+ 0 +0−4 +6 − 2
− 42 + 0 + 0 + 28 − 42 + 14
2 − 6 − 8 − 20 − 24 − 18 + 0 − 4
6 + 0 − 12 + 2 − 36 + 6 − 16 + 38 − 44 + 14
= 2x 7 − 6x 6 y − 8x 5 y 2 − 20 x 4 y 3 − 24 x 3 y 4 − 18x 2 y 5 − 4y 7
= 6a 9 − 12a 7 + 2a 6 − 36a 5 + 6a 4 − 16a 3 + 38a 2 − 44a + 14
12. 3x 4 − 4x 3 y − y 4 por x 3 − 5xy 2 + 3y 3
3 − 4 + 0 + 0 −1
11. n − 3n + 5n − 8n + 4 por n − 3n + 4
6
4
3
4
2
1+ 0 − 3 + 5 + 0 − 8 + 4
1+ 0 − 5 + 3
1+ 0 − 3 + 0 + 4
3 − 4 + 0 + 0 −1
− 15 + 20 + 0 + 0 + 5
1+ 0 − 3 + 5 + 0 − 8 + 4
− 3 + 0 + 9 − 15 + 0 + 24 − 12
+ 9 − 12 + 0 + 0 − 3
3 − 4 − 15 + 29 − 13 + 0 + 5 − 3
+ 4 + 0 − 12 + 20 + 0 − 32 + 16
= 3x 7 − 4 x 6 y − 15x 5 y 2 + 29x 4 y 3 − 13x 3 y 4 + 5 xy 6 − 3y 7
1+ 0 − 6 + 5 + 13 − 23 − 8 + 44 − 12 − 32 + 16
= n10 − 6n8 + 5n7 + 13n6 − 23n5 − 8n 4 + 44n3 − 12n2 − 32n + 16
13. x10 − 5x 6 y 4 + 3x 2 y 8 − 6y10 por x 6 − 4x 4 y 2 − 5x 2 y 4 + y 6
1+ 0 + 0 + 0 − 5 + 0 + 0 + 0 + 3 + 0 − 6
1+ 0 − 4 + 0 − 5 + 0 + 1
1+ 0 + 0 + 0 − 5 + 0 + 0 + 0 + 3 + 0 − 6
− 4 + 0 + 0 + 0 + 20 + 0 + 0 + 0 − 12 + 0 + 24
− 5 + 0 + 0 + 0 + 25 + 0 + 0 + 0 − 15 + 0 + 30
+ 1 + 0+ 0 + 0− 5 +0+ 0+0+ 3 +0 −6
1+ 0 − 4 + 0 − 10 + 0 + 21+ 0 + 28 + 0 − 23 + 0 + 9 + 0 + 33 + 0 − 6
x16 − 4 x14 y 2 − 10x12 y 4 + 21x10 y 6 + 28x 8 y 8 − 23x 6 y10 + 9x 4 y12 + 33x 2 y14 − 6y16
+ 5a m − 3 por a 2 − 5
1− 3 + 0 + 5
14. a − 3a
m
m−1
1+ 0 − 5
1− 3 + 0 + 5
− 5 + 15 + 0 − 25
1− 3 − 5 + 20 + 0 − 25
= a m + 2 − 3a m + 1 − 5a m + 20a m − 1 − 25a m − 3
x+2
− 5a x + 1 − 7a x − 1 por 7a x + 3 + 6a x + 1 + a x
1− 5 + 0 − 7
7 + 0 + 6 +1
15. a
7 − 35 + 0 − 49
+ 6 − 30 + 0 − 42
+ 1 −5+ 0 −7
7 − 35 + 6 − 78 − 5 − 42 − 7
= 7a 2 x + 5 − 35a 2 x + 4 + 6a 2 x + 3
− 78a 2 x + 2 − 5a 2 x + 1 − 42a 2 x − 7a 2 x −1
− 5x a − 6 x a − 2 por 6x a + 1 − 4 x a + 2x a − 1 + x a − 2
1+ 0 − 5 + 0 − 6
6 − 4 + 2 +1
16. x
a+2
2x + 2
− 3a 2 x + 1 − a 2 x − 5a 2 x − 1 por 6a 3x + 1 − 5a 3x + 3a 3x − 1
1− 3 − 1− 5
6−5+3
17. a
6 + 0 − 30 + 0 − 36
− 4 + 0 + 20 + 0 + 24
+ 2 + 0 − 10 + 0 − 12
6 − 18 − 6 − 30
− 5 + 15 + 5 + 25
+ 3 − 9 − 3 − 15
+ 1+ 0 − 5 + 0 − 6
6 − 23 + 12 − 34 + 22 − 15
6 − 4 − 28 + 21− 46 + 19 − 12 − 6
= 6a 5x + 3 − 23a 5 x + 2 + 12a 5 x +1 − 34a 5 x + 22a 5 x − 1 − 15a 5 x − 2
= 6x 2a + 3 − 4 x 2a + 2 − 28x 2a + 1 + 21x 2a
− 46x 2a − 1 + 19x 2a − 2 − 12x 2a − 3 − 6x 2a − 4
EJERCICIO 46
(
)(
(
)(
)(
(
)
x2 + 1
x4 + x2
a 3 − 2a 2b + ab2
x +1
4a 2 + 20a
)(
a 2 − 2ab + b 2
a+b
2
4a + 20
a−3
)(
2
2
6. a − b a − 2ab + b a + b
2
2
2
4. x + 1 x − 1 x + 1
)
1. 4 a + 5 a − 3
− 12a − 60
+ x2 + 1
+ a 2b − 2ab2 + b3
4a 2 + 8a − 60
x 4 + 2 x2 + 1
a 3 − a 2b − ab 2 + b 3
a−b
x2 − 1
(
)(
a 4 − a 3b − a 2b 2 + ab 3
x 6 + 2 x 4 + x2
)
2. 3a x + 1 x − 1
2
− a 3b + a 2b 2 + ab3 − b 4
− x4 − 2 x 2 − 1
3a 2 x + 3a 2
a 4 − 2a 3b
x6 + x4 − x2 − 1
x−1
+ 2ab3 − b 4
3a 2 x 2 + 3a 2 x
− 3a 2 x − 3a 2
(
)(
)(
5. m m − 4 m − 6 3m + 2
− 3a 2
3a 2 x 2
)
m − 4m
2
(
)(
)(
3. 2 a − 3 a − 1 a + 4
)
m 3 − 4 m2
− 6m2 + 24m
a −1
2a 2 − 6a
− 2a + 6
2a 2 − 8a + 6
a+4
2a 3 − 8a 2 + 6a
+ 8a − 32a + 24
2
2a
3
m − 10m + 24m
3
− 26a + 24
(
2
3m + 2
3m4 − 30m3 + 72m2
+ 2m3 − 20m2 + 48m
3m4 − 28m3 + 52m2 + 48m
)(
)(
)
7. 3x x 2 − 2 x + 1 x − 1 x + 1
3x − 6 x + 3x
x−1
3
m− 6
2a − 6
)
2
3x 4 − 6 x 3 + 3x 2
− 3 x 3 + 6 x 2 − 3x
3x 4 − 9 x 3 + 9 x 2 − 3x
x+1
3x 5 − 9 x 4 + 9 x 3 − 3x 2
+ 3x 4 − 9 x 3 + 9 x 2 − 3x
3x 5 − 6 x 4
+ 6 x 2 − 3x
(
)(
)(
8. x − x + 1 x + x − 1 x − 2
2
2
11. (x − 3)(x + 4)( x − 5)( x + 1)
)
x2 − x + 1
x−3
x+ 4
x−5
x+1
x2 + x − 1
x 2 − 3x
x 2 − 5x
x4 − x3 + x2
+ x3 − x2 + x
x
+ x −5
x2 − 4 x − 5
x2 − 4x − 5
− x2 + x − 1
x 4 + x 3 − 12 x 2
− x2 + 2x − 1
x4
x− 2
+ 4 x − 12
x 2 + x − 12
− 4 x 3 − 4 x 2 + 48x
− 5x 2 − 5x + 60
− x + 2x − x
5
3
− 2x
x 4 − 3x 3 − 21x 2 + 43x + 60
2
+ 2x − 4x + 2
4
2
12. (x − 3)( x + 2 x + 1)( x − 1)(x + 3)
x2 + 2x + 1
x2 − 3
2
x − 2 x − x + 4 x 2 − 5x + 2
5
4
3
2
2
x2 + 3
x−1
x + 2x + x
4
m
m −1
m −1
9. (a − 3)(a + 2)(a − 1)
m
a −3
2
x
+ 3x 2 + 6 x + 3
+a
− 3a
m −1
x 7 + 2 x 6 + 4 x 5 + 6 x 4 + 3x 3
−6
2a + a
m
2 m −1
− 3a
m −1
− x 6 − 2 x 5 − 4 x 4 − 6 x 3 − 3x 2
−6
− 3x 5 − 6 x 4 − 12 x 3 − 18 x 2 − 9 x
a m −1 − 1
2a
− a
a
+ 3x 4 + 6 x 3 + 12 x 2 + 18 x + 9
+a
3m − 2
− 3a
2m−2
2 m −1
2 m −1
− 6a
m −1
+ 3a
+a
3m − 2
− 3a
2m−2
− 3a
x +x −x
7
m −1
m −1
− 2a + 6
6
− x 4 − 9 x 3 − 9 x2 + 9 x + 9
5
m
− 2a m + 6
⇒ a 3m − 2 + a 2 m −1 − 3a 2 m − 2 − 2a m − 3a m −1 + 6
13. 9a (3a − 2)(2a + 1)(a − 1)(2a − 1)
27a 3 − 18a 2
2a − 1
2a + 1
a−1
2
54a 4 − 36a 3
(
)(
)(
)
10. a a − 1 a − 2 a − 3
a2 − a
2a 2 − a
+ 27a − 18a
3
54a − 9a − 18a
4
3
2
− 2a + 1
2
2a − 3a + 1
2
2a 2 − 3a + 1
a−2
108a 6 − 18a 5 − 36a 4
a3 − a2
− 162a 5 + 27a 4 + 54a 3
− 2a + 2a
+ 54a 4 − 9a 3 − 18a 2
a − 3a + 2a
108a − 180a + 45a 4 − 45a 3 − 18a 2
2
3
+3
x 3 − x 2 − 3x + 3
x 3 − x 2 − 3x + 3
2 m −1
m
2 m −1
− 3x
3
− x2
x 4 + 2 x3 + 4 x2 + 6x + 3
a m −1 + 2
2a
3
2
a−3
a 4 − 3a 3 + 2a 2
− 3a 3 + 9a 2 − 6a
a 4 − 6a 3 + 11a 2 − 6a
6
5
(
x
x +1
x +2
14. a a + b
a
a
2 x +1
+a b
x
)(a
x +1
− b x + 2 )b x
x+2
b − b2 x + 2
x +1 x
a 3 x + 2b x + a 2 x + 1b 2 x + 2
− a 2 x + 1b2 x + 2 − a xb 3x + 4
a 3 x + 2b x
− a xb 3 x + 4
EJERCICIO 47
(
1. 4 ( x + 3) + 5( x + 2 )
) (
) (
2
2
2
= 3( x 2 + 2 xy + y 2 ) − 4( x 2 − 2 xy + y 2 ) + 3x 2 − 3 y 2
)
= 3x 2 + 6 xy + 3 y 2 − 4 x 2 + 8 xy − 4 y 2 + 3x 2 − 3 y 2
= 6x + 24 − 3x − 3 + 5x + 10
2
)
= 3( x 2 + xy + xy + y 2 ) − 4( x 2 − xy − xy + y 2 ) + 3x 2 − 3 y 2
2. 6 x + 4 − 3 x + 1 + 5 x + 2
2
(
2
= 3( x + y )( x + y ) − 4 ( x − y )( x − y ) + 3x 2 − 3 y 2
= 4 x + 12 + 5x + 10
= 9 x + 22
(
)
11. 3 x + y − 4 x − y + 3x 2 − 3 y 2
2
2
= 2 x 2 + 14 xy − 4 y 2
= 8x + 31
2
12. (m + n) − (2m + n) + (m − 4n)
2
3. a (a − x ) + 3a( x + 2a ) − a( x − 3a )
= m2 + 2mn + n 2 − (4m2 + 4mn + n 2 ) + m2 − 8mn + 16n 2
= 10a + ax
2
4. x 2 ( y 2 + 1) + y 2 ( x 2 + 1) − 3x 2 y 2
= 2m2 − 6mn + 17n 2 − 4m2 − 4mn − n 2
= − 2m2 − 10mn + 16n 2
= x 2 y 2 + x 2 + x 2 y 2 + y 2 − 3x 2 y 2
= − x2 y2 + x2 + y2
(
2
2
2
2
) ( )(
) ( )
= ax + x + 3ax + 3x − (ax + 2 x + a + 2 x ) − (a − x)(a − x )
= 4ax + x + 3x − ax − 2 x − a − 2 x − (a − ax − ax + x )
2
)
(
)
(
(
) ( )( )
= 5x + 10 − ( x + 4 x + x + 4) − 6 x
7. 5 x + 2 − x + 1 x + 4 − 6 x
2
= − x + 10 − x 2 − 4 x − x − 4
a 2 + ab − ac
a 2 − ab + ac
+ b 2 − bc
− ac
− ab
− bc + c 2
= a 2 + 5a − 5 − 3 (a 2 − 4)
= a 2 + 5a − 5 − 3a 2 + 12
+ b 2 − bc
+ ac
a + 2ab − 2ac + b − 2bc + c
2
= a 2 − 5a + 5a − 25 − 3(a 2 − 2a + 2a − 4) + 5a + 20
2
2
− bc + c 2
a − 2ab + 2ac + b 2 − 2bc + c 2
2
a+b+ c
a+b+ c
a 2 + ab + ac
= − 2a 2 + 5a + 7
+ ab
9. (a + b)(4a − 3b) − (5a − 2b)(3a + b) − (a + b)(3a − 6b)
= 4a 2 + ab − 3b 2 − (15a 2 − ab − 2b 2 ) − (3a 2 − 3ab − 6b 2 )
= 4a 2 + ab − 3b 2 − 15a 2 + ab + 2b 2 − 3a 2 + 3ab + 6b 2
= − 14a 2 + 5ab + 5b 2
) ( )
= (a + c)(a + c) − (a − c)(a − c)
= a + ac + ac + c − (a − ac − ac + c )
2
2
2
a−b+ c
a−b+ c
+ ab
8. (a + 5)(a − 5) − 3(a + 2)(a − 2) + 5(a + 4)
2
a+b− c
a+ b− c
= − x 2 − 6x + 6
2
2
14. (a + b − c) + (a − b + c) − (a + b + c)
2
10. a + c − a − c
2
= − 2 x 2 + x + 5ax − a − a 2
= y2 + x2 y3 − x2 y3 − y3 + x2 y2 + y2 − x2 y2 + y2
(
2
= 3ax − x 2 + x − a − a 2 + ax + ax − x 2
)
= − y 3 + 3y 2
2
2
2
2
2 3
3
2
2
2
2
2
6. y + x y − y x + 1 + y x + 1 − y x − 1
2
(
2
= 3m4 + m3 + 3m2 n 2 − 2mn2
(
)
13. x a + x + 3x a + 1 − x + 1 a + 2 x − a − x
5. 4m − 5mn + 3m (m + n ) − 3m(m − n )
= 4m3 − 5mn 2 + 3m4 + 3m2 n 2 − 3m3 + 3mn2
2
2
= (m + n )(m + n ) − (2m + n)(2m + n) + (m − 4n)(m − 4n)
= a 2 − ax + 3ax + 6a 2 − ax + 3a 2
3
2
2
= a 2 + 2ac + c 2 − a 2 + ac + ac − c 2
= 4ac
2
+ b 2 + bc
+ ac
+ bc + c 2
a + 2ab + 2ac + b + 2bc + c 2
2
2
a 2 + 2ab − 2ac + b 2 − 2bc + c 2
a 2 − 2ab + 2ac + b 2 − 2bc + c 2
− a 2 − 2ab − 2ac − b 2 − 2bc − c 2
a 2 − 2ab − 2ac + b 2 − 6bc + c 2
⇒ a 2 + b 2 + c 2 − 2ab − 2ac − 6bc
(
) (
) (
2
)
2
2
2
2
15. x + x − 3 − x − 2 + x + x − x − 3
x + x− 3
x + x−2
x + x− 3
x2 + x − 2
x 4 + x 3 − 3x 2
x4 + x3 − 2x2
2
2
2
2
+ x 3 + x 2 − 3x
(
) (
x+ y
x− y
x 2 + xy + xz
x 2 + xy
+ xy
x 4 + 2 x 3 − 3x 2 − 4 x + 4
+ xz
x2 − x − 3
x 4 + 2 x 3 − 5x 2 − 6 x + 9
x 4 − x 3 − 3x 2
− x 3 + x 2 + 3x
− x 4 − 2 x 3 + 3x 2 + 4 x − 4
− 3x 2 + 3x + 9
x 4 − 2 x 3 − 5x 2 + 6 x + 9
x 4 − 2 x 3 − 5x 2 + 6 x + 9
x 4 − 2 x 3 − 7 x 2 + 4 x + 14
[
][
]
2
17. x + (2 x − 3) 3x − ( x + 1) + 4 x − x
x + 2 xy + 2 xz + y + 2 yz + z
2
[
][
]
= [3x − 3][2 x − 1] + 4 x − x
− x2
+ y2
3x + 3xy
+ 3y 2
2
⇒ 3x 2 + 5y 2 + z 2 + 5xy + 2 xz + 2 yz
[
[
][
= [− x + 2][x + 8]
= 3x + 6 − 4 x − 4 3x + 12 − 2 x − 4
2
= − x 2 − 6 x + 16
= 5x − 5x + 3
)][ ( ) ( )]
= [m − n − (m + 2mn + n )][2m + 2n − 3m + 3n]
= [m − n − m − 2mn − n ][− m + 5n]
= [− 2mn − 2n ][− m + 5n]
) (
)(
19. m + n m − n − m + n m + n 2 m + n − 3 m − n
2
2
2
20.
[
[
[
]
]
][xy − y ]
2
= − 2 x 3 y + 10x 2 y 2 − 10xy 3 + 2 y 4
[
[
]
= − 3x − 2 y + x − 2 y − 2 x − 2 y − 6 x − 3
]
]
= − − 4x − 6y − 3
= 4x + 6y + 3
{
)] }
= 4 x − {− 3x + 5 − [− x + 2 x − x ] }
= 4 x − {− 3x + 5 + x − 2 x + x }
= 4 x − {− 4 x + 5 + x }
[
(
4. 4 x 2 − − 3x + 5 − − x + x 2 − x
]
2. − (a + b) − 3 2a + b (− a + 2)
[
][
2
= − 2 x 3 y + 2 x 2 y 2 + 8 x 2 y 2 − 8xy 3 − 2 xy 3 + 2 y 4
[
= x − 3a + 2 x − 2
= 3 x − 3a − 2
[
2
]
3. − 3x − 2 y + ( x − 2 y) − 2 ( x + y) − 3(2 x + 1)
1. x − 3a + 2 (− x + 1)
[
2
3
EJERCICIO 48
= x − 3a − 2 x + 2
][
2
= − 2 x 2 + 8xy − 2 y 2 xy − y 2
= 2m2 n − 10mn2 + 2mn 2 − 10n 3
= 2m n − 8mn − 10n
2
= x + 2 xy + y − 3x + 6xy − 3 y
2
2
2
[
2
2
[(x + y) − 3(x − y) ][(x + y)(x − y) + x (y − x)]
= x 2 + 2 xy + y 2 − 3 (x 2 − 2 xy + y 2 ) x 2 − y 2 + xy − x 2
2
2
]
]
= − x 2 − 8 x + 2 x + 16
2
)(
][
18. 3 ( x + 2) − 4 ( x + 1) 3( x + 4) − 2 ( x + 2)
= 6 x 2 − 3x − 6 x + 3 + 4 x − x 2
2
− y2
x2
2
3x 2 + 5xy + 2 xz + 5y 2 + 2 yz + z 2
= x + 2 x − 3 3x − x − 1 + 4 x − x 2
2
− xy − y 2
+ yz + z 2
2
)
x 2 + 2 xy + 2 xz + y 2 + 2 yz + z 2
x2 − x − 3
[(
+ y 2 + yz
− 2x2 − 2x + 4
x 4 + 2 x 3 − 5x 2 − 6 x + 9
) (
x+ y+ z
x+ y+ z
+ x3 + x2 − 2x
− 3 x 2 − 3x + 9
)(
2
2
2
16. x + y + z − x + y x − y + 3 x + xy + y
]
= − a − b − 3 2a − ab + 2b
= − a − b − 6a + 3ab − 6b
= − 7a − 7b + 3ab ⇒ − 7a + 3ab − 7b
2
2
2
2
= 4x2 + 4x − 5− x2
= 3x 2 + 4 x − 5
2
2
]
{
[{(
) }]
= m − 3m − 3n + [ − {− (− 2m + n − 2 − 3m + 3n − 3) + m}]
= − 2m − 3n + [ − {− (− 5m + 4n − 5) + m}]
= − 2m − 3n + [− {5m − 4n + 5 + m}]
= − 2m − 3n + [− {6m − 4n + 5}]
10. m − 3(m + n) + − − − 2m + n − 2 − 3[m − n + 1] + m
)) ] }
= 2a − {− 3x + 2 [− a + 3x − 2 (− a + b − 2 − a )] }
= 2a − {− 3x + 2 [− a + 3x + 2a − 2b + 4 + 2a ] }
= 2a − {− 3x + 2 [3a + 3x − 2b + 4 ] }
= 2a − {− 3x + 6a + 6 x − 4b + 8}
[
(
(
5. 2a − − 3x + 2 − a + 3x − 2 − a + b − 2 + a
[
[
]
= − 2m − 3n + − 6m + 4n − 5
= 2a + 3x − 6a − 6 x + 4b − 8
= − 4a − 3x + 4b − 8 ⇒ − 4a + 4b − 3x − 8
= − 2m − 3n − 6m + 4n − 5
= − 8m + n − 5
]
6. a − ( x + y ) − 3( x − y) + 2 − ( x − 2 y) − 2 (− x − y)
[
]
= a − x − y − 3x + 3 y + 2 − x + 2 y + 2 x + 2 y
[
]
{ [
] } − {− [− (x + y)] }
= − 3x + 6 y + 2 {− 4 [− 2 x − 3x − 3 y ] } − {− [− x − y] }
= − 3x + 6 y + 2 {− 4[− 5x − 3 y] } − {x + y}
11. − 3( x − 2 y ) + 2 − 4 − 2 x − 3( x + y)
= a − 4x + 2y + 2 x + 4y
= a − 4x + 2 y + 2x + 8y
= a − 2 x + 10 y
{
[
= − 3x + 6 y + 2 {20 x + 12 y} − x − y
]}
7. m − (m + n) − 3 − 2m + − 2m + n + 2 (− 1 + n) − (m + n − 1)
{
[
]}
= − 4 x + 5 y + 40 x + 24 y
= m − m − n − 3 − 2m + − 2m + n − 2 + 2n − m − n + 1
{
[
]}
= 36 x + 29 y
= − n − 3 − 2m + − 3m + 2n − 1
= − n − 3 {− 2m − 3m + 2n − 1}
= − n − 3 { − 5m + 2n − 1}
{
[
] }
12. 5 − (a + b) − 3 − 2a + 3b − (a + b) + (− a − b) + 2 (− a + b) − a
= − n + 15m − 6n + 3
{
{
{
[
[
] }
= 5 − a − b − 3 − 2a + 3b − a − b − a − b − 2a + 2b − a
= − 7n + 15m + 3 ⇒ 15m − 7n + 3
]}
= − 2a + 2b − 3a − 6b − 4 {a − 2b + 2 [− a + b − 1 + 2a − 2b] }
= − 5a − 4b − 4 {a − 2b + 2 [a − b − 1] }
[
8. − 2 (a − b) − 3(a + 2b) − 4 a − 2b + 2 − a + b − 1 + 2 (a − b)
] }
= 5 {− 2 a − b + 18a − 9b}
= 5{16a − 10b}
= 5 − a − b − 3 − 6a + 3b − a
= 80a − 50b
= − 5a − 4b − 4 {a − 2b + 2a − 2b − 2}
= − 5a − 4b − 4 {3a − 4b − 2}
{[
] } − 4 {− [− (− a − b)] }
= − 3{− [− a + b] } − 4 {− [a + b] }
13. − 3 − + (− a + b)
= − 5a − 4b − 12a + 16b + 8
= − 17a + 12b + 8
[
}]
= − 5x − 5y − [2 x − y + 2{− x + y − 3 − x + y + 1}] + 2 x
= − 3x − 5y − [2 x − y + 2 {− 2 x + 2 y − 2}]
= − 3{a − b} − 4 {− a − b}
{
9. − 5( x + y) − 2 x − y + 2 − x + y − 3 − ( x − y − 1) + 2 x
[
= − 3x − 5y − [− 2 x + 3 y − 4]
]
= − 3x − 5y − 2 x − y − 4 x + 4 y − 4
= − 3x − 5y + 2 x − 3 y + 4
= − x − 8y + 4
= − 3a + 3b + 4a + 4b
= a + 7b
{
]} [
]}
= − {a + b − 2 a + 2b + 3 {− [2a + b − 3a − 3b + 3] } − 3[− a − 2 + 2a ] }
= − {− a + 3b + 3 {a + 2b − 3} − 3a + 6}
{[
14. − a + b − 2 (a − b ) + 3 − 2a + b − 3 (a + b − 1) − 3 − a + 2 (− 1 + a )
= − {− 4a + 3b + 6 + 3a + 6b − 9}
= − {− a + 9b − 3}
= a − 9b + 3
EJERCICIO 49
12. − a b c ÷ 8c = −
1 8 9 4 −4
1
a b c
= − a 8b9
8
8
13. 16m n ÷ − 5n = −
16 6 4 − 3
16
mn
= − m6n
5
5
8 9 4
4
1. − 24 ÷ 8 = − 3
2. − 63 ÷ − 7 = 9
6 4
3
3. − 5a 2 ÷ − a = 5a 2 − 1 = 5a
14. − 108a b c ÷ − 20b c =
7 6 8
4. 14a 3b 4 ÷ − 2ab 2 = − 7a 3 − 1b4 − 2 = − 7a 2b 2
5. − a 3b 4 c ÷ a 3b 4 = − a 3 − 3b 4 − 4 c = − c
6. − a b ÷ − ab = a
2
2 − 1 1− 1
b
15. − 2m n ÷ − 3mn =
2 6
=a
7. 54x y z ÷ − 6xy z = − 9x2 − 1y 2 − 2z3 − 3 = − 9x
2 2 3
2 3
8. − 5m2n ÷ m2n = − 5m2 − 2n1− 1 = − 5
2
4 5
4
3. − 3a
m− 2
5. − 4a
7. 5a
3 m − 2 − bm − 5 g 3 m−2 − m + 5 3 3
= a
= a
a
5
5
5
b
4. x
1 2n + 3 − b
1
1
n + 4g
= − x 2n + 3 − n − 4 = − xn − 1
x
4
4
4
7 m + 3 − 4 m − 1− 2 7 m − 1 m − 3
x
y
= x y
8
8
÷ − 8x 4 y 2 =
8. − 4x
n −1 n +1
÷ 5xn − 1yn + 1 = −
÷ − 6a
b
÷ − 4xn + 4 = −
y
5
5
= − a 2m −1− 2m + 2 b x − 3 − x + 4 = − ab
6
6
x−4
2n + 3
m + 3 m −1
4 x − 2 − 3 n −2 4 x − 5 n − 2
a
b = a b
5
5
2m − 2
3
5
6. − 7x
b ÷ − 5a 3b 2 =
2m − 1 x − 3
1 x−m m−n
a b
4
2. 2x a + 4 ÷ − x a + 2 = − 2x a + 4 − ba + 2 g= − 2x a + 4 − a − 2 = − 2x 2
b g= am + 3 − m − 2 = a
x−2 n
5 m − 3 n − 4 1− 1
5
a b c = − a m − 3bn − 4
6
6
3
5
m+3− m+2
÷ − 5am − 5 =
3 4
a x 3
x 2 3
a−x x−2 3−3
= m a − xnx − 2
20. − 3m n x ÷ − 5m n x = m n x
EJERCICIO 50
1. am + 3 ÷ am + 2 = a
2 2 −1 6 − 6 2
m n = m
3
3
17. − 3a xbm ÷ ab 2 = − 3a x − 1bm − 2
x m
m n
19. a b ÷ − 4a b = −
5 4 − 4 5 −1
5
x y = − y4
6
6
108 7 6 − 6 8 − 8 27 7
ab c
a
=
20
5
16. a x ÷ a 2 = a x − 2
m n
xy 2 − 1
xy
=−
2
2
11. 5x y ÷ − 6x y = −
6
18. 5a b c ÷ − 6a b c = −
9. − 8a 2 x 3 ÷ − 8a 2 x 3 = a 2 − 2 x 3 − 3 = 1
10. − xy ÷ 2y = −
6 8
y
10. − 5ab c ÷ 6a b c = −
2 3
9. am + nb x + a ÷ amba = am + n − mb x + a − a = anb x
m n x
4 n − 1− n + 1 n + 1− n − 1
4
x
y
=−
5
5
5 1− m 2 − n 3 − x
a b c
6
EJERCICIO 51
1
1 2 2 2 2 3 2
x ÷ = x = x
1. 2
3 2
4
3
2
5. − 2 x 4 y 5 ÷ − 2 = 9 x 4 y 5 = 2 x 4 y 5 = 1 x 4 y 5
2
18
9
9
1
3
3
6. 3m4n5p 6 ÷ − m4np 5 = − 1 m4 − 4n5 − 1p 6 − 5 = − 9n4p
3
3 3
4 2
15
3
a= a
− a b ÷ − a b = 5 a 3 − 2b1− 1 =
4
2. 5
5
20
4
5
3
7
2
2 5 3
1 3
12 5
xy z ÷ − z = − 3 xy 5 z 3 − 3 = −
xy = − 4xy 5
1
3. 3
6
3
6
5
7
8
7. − 8 a b c ÷ − 2 ab c = 5 a
2 5 6
5 6
2 −1 5 − 5 6 − 6
b
c
=
14
7
a=
a
40
20
2
2
2 x m
3 2
10 x − 1 m − 2
8. a b ÷ − ab = − 3 a x − 1bm − 2 = −
a b
7
3
3
5
9
7 m n
3 2
28 m − 1 n − 2 7 m − 1 n − 2
m−1 n− 2
8
− a b ÷ − ab =
a b =
a b = a b
5
3
4.
8
4
24
4
6
11. − 2a x + 4bm − 3 ÷ − 1 a 4b 3 = 2 a x + 4 − 4bm − 3 − 3 = 4a xbm − 6
3
1
2
3 3 5 3 x
12 3 5 − x
1 3 5− x
3 5− x
8
− c d ÷ d =− c d
=−
=− c d
c d
2
3
9. 8
4
24
2
4
1
3
12. − a x − 3bm + 5 c 2 ÷ a x − 4bm −1
15
5
3
6 m n− 3
1
3 m n
3
1
a b ÷ − b 3 = − 4 a m b n− 3 = −
a b = − a mb n − 3
3
10. 4
5
1
12
2
2
= − 15 a x − 3 − x + 4b m+ 5 − m + 1c 2 = −
ab 6 c 2 = − ab 6 c 2
3
2
45
9
5
EJERCICIO 52
2
1. a − ab ÷ a =
a 2 − ab a 2 ab
=
−
=a −b
a
a
a
2. 3x y − 5a x ÷ − 3x
2 3
=
2 4
3x 2 y 3 − 5a 2 x 4
− 3x 2
=
10.
2
3x 2 y 3
− 3x 2
−
5a 2 x 4
− 3x 2
= − y3 +
5 2 2
a x
3
3. 3a − 5ab − 6a b
− 2a
3
=
4.
2
3
2 3
3a
5ab
6a b
3
5
−
−
= − a 2 + b 2 + 3ab 3
2
2
− 2a − 2a
− 2a
x 3 − 4x 2 + x x 3 4x 2 x
=
−
+ = x 2 − 4x + 1
x
x
x
x
5. 4x − 10x − 5x
2x 3
8
4x 10x 6 5x 4
5
= 3−
−
= 2x 5 − 5x 3 − x
2
2x
2x 3
2x 3
6
4
6. 6m − 8m n + 20mn
− 2m
3
=
2
2
7. 6a b − 3a b − a b
3a 2b 3
8 8
6a b
3a 6b6 a 2b 3
1
= 2 3−
−
= 2a 6b 5 − a 4b3 −
3
3a b
3a 2b3 3a 2b3
6 6
2 3
8. x − 5x − 10x + 15x
4
3
2
− 5x
=
5x 3
10x 2
15x
1
x4
−
−
+
= − x 3 + x 2 + 2x − 3
5
− 5x − 5 x
− 5x − 5 x
9. 8m n − 10m n − 20m n + 12m n
2m2
9 2
7 4
8m n 10m n
20m5n6 12m3n8
=
−
−
+
2
2
2m
2m
2m2
2m2
7 2
5 4
3 6
8
= 4m n − 5m n − 10m n + 6mn
9 2
=
7 4
2am 3am + 2 6am + 4
2
−
+
= − am − 3 + am − 1 − 2am + 1
− 3a 3 − 3a 3
− 3a 3
3
12. ambn + am − 1bn + 2 − am − 2bn + 4
a 2b 3
m n
m −1 n + 2
a b
a b
am − 2bn + 4
= 2 3 +
−
2 3
ab
ab
a 2b 3
m−2 n−3
m− 3 n−1
= a b + a b − a m − 4 bn + 1
− 5 x m + 6 xm + 1 − x m − 1
xm − 2
m+2
x
5x m 6x m + 1 x m − 1
= m−2 − m− 2 + m− 2 − m−2
x
x
x
x
= x 4 − 5x 2 + 6x 3 − x ⇒ x 4 + 6 x 3 − 5 x 2 − x
13. x
m+2
14. 4a
6m3 8m2n 20mn2
−
+
= − 3m2 + 4mn − 10n2
− 2m − 2m
− 2m
8 8
m
m+2
+ 6am + 4
11. 2a − 3a
3
− 3a
2 3
2
8
a x + am − 1 a x am − 1
= 2 + 2 = a x − 2 + am − 3
a2
a
a
5 6
3 8
=
x + 4 m−1
b
− 6a x + 3 b m − 2 + 8a x + 2 b m − 3
− 2a x + 2 b m − 4
4a x + 4 b m − 1
6a x + 3 b m − 2
8a x + 2 b m − 3
−
+
x+2 m−4
x+2 m−4
− 2a b
− 2a b
− 2a x + 2b m − 4
= − 2a 2b 3 + 3ab 2 − 4b
EJERCICIO 53
1 2 2
x
x
3
6 3
1. 2
− 3 = x − = x −1
2
2
4
6 4
x
x
3
3
1 3 3 2 1
a
a
a
3
−5
+ 4
3
3
3
−
−
−
5
5
5
2.
5
5
5 3 15 2 5
=− a +
a −
a = − a 3 + a2 −
a
9
15
12
9
12
1 m
1 m−1
a
a
2
2
2
1
3
+4
= am − 1 + am − 2 = a m − 1 + a m − 2
6. 1
1
3
4
3
2
a
a
2
2
2 3
3 2 2
3. 1 m 4
mn
mn
3
4
−
+ 8
1 2
1 2
1 2
m
m
m
4
4
4
4
8
12 2
8
3
= m2 − mn +
n = m2 − mn + n2
4
3
8
3
2
4.
7.
2 4 3
1 3 4
1 2 5
x y
x y
x y
xy 6
3
− 5
+ 4
−
1
1
1
1
− xy 3 − xy 3 − xy 3 − xy 3
5
5
5
5
10 3 5 2
5
=−
x + x y − xy 2 + 5y 3
3
5
4
10 3
5 2
2
= −
x + x y − xy + 5y 3
3
4
2 x
2 x +1 1 x −1
a
a
a
3
4
−
− 5
1 x−2 1 x−2 1 x−2
a
a
a
6
6
6
12 3 6
12 2
12 2 3
=
a − a−
a ⇒ 4a 3 −
a − a
3
4
5
5
2
1 n m +1 2 n +1 m
3 n−1 m+ 2
ax
a x
a x
8
4
+
−3
2
2
2
− a 3x2
− a3x 2 − a 3x2
5
5
5
15 n − 4 m 5 n − 3 m − 1 10 n − 2 m − 2
a x −
a x
a x
=
+
8
16
6
15 n − 4 m 5 n − 3 m − 1 5 n − 2 m − 2
a x −
a x
=
+ a x
8
16
3
8. −
2 5
1 3 3
a
ab
ab 5 2 4 1 2 3 1 5
5. 5
−3
−
=
a −
ab − b
5a
5a
5a 25
15
5
EJERCICIO 54
1. a + 2a − 3
− a 2 − 3a
2
6.
a+3
a+2
11. − 8a 2 + 12ab − 4b 2
−a +b
− a − 2a
a+3
+ 8a 2 − 8ab
8a − 4b
2
a −1
3a + 6
− 3a − 6
− a−3
+ a+3
2
2. a − 2a − 3
a +1
−a −a
a−3
2
a 2 + 5a + 6
4ab − 4b
− 4ab + 4b 2
6x 2 − xy − 2y 2
7.
2x + y
− 6 x 2 − 3xy
3x − 2y
+ 4 xy + 2y
12.
6m2 − 11mn + 5n2
m−n
− 6m + 6mn
6m − 5n
2
− 4 xy − 2y 2
− 3a − 3
+ 3a + 3
2
− 5mn + 5n2
2
+ 5mn − 5n2
2
3 . x + x − 20
− x 2 − 5x
x+5
8. − 15 x 2 + 22 xy − 8y 2
− 3 x + 2y
x−4
+ 15x 2 − 10xy
5x − 4y
− 4x − 20
+ 4x + 20
4.
12 xy − 8y
− 12xy + 8y 2
m2 − 11m + 30
m−6
− m2 + 6m
m−5
5a 2 + 8ab − 21b 2
9.
− 5a 2 − 15ab
− 5m + 30
+ 5m − 30
5.
+ 7ab + 21b
−x+3
− x + 3x
−x+5
− 5x + 15
+ 5x − 15
10.
13. − 54m + 12mn + 32n
+ 54m2 − 48mn
2
− 9m + 8n
2
6m + 4n
− 36mn + 32n
a + 3b
2
+ 36mn − 32n2
5a − 7b
2
14. − 14y 2 + 71y + 33
− 7y − 3
2
+ 14y 2 + 6y
2y − 11
− 7ab − 21b
x 2 − 8x + 15
2
2
14x 2 + 22x − 12
7x − 3
− 14x + 6x
2x + 4
2
28x − 12
− 28x + 12
+ 77y + 33
− 77y − 33
15.
− y3 x − y
x3
−x +x y
3
21.
x 2 + xy + y 2
2
− 12y + 5y 2 + 10
3y 5
− 3y − 6 y
5
2
x y
+ 6y 3 + 12y
xy − y
2
3
− xy + y
2
5y 2 + 10
3
− 5y 2 − 10
a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3 a − b
− a 3 + a 2b
a 2 − 2ab + b 2
22.
− am − 2a
am4
− am4 − am3
− 2a 2b + 3ab2
+ am3 + am2
ab 2 − b3
am2 − am
− ab 2 + b3
17.
x
− 9x
2
am + a
m3 − m2 + m − 2
− am3
+ 2a 2b − 2ab 2
4
3y 3 − 6 y + 5
− 6y 3 − 12y
− x 2 y + xy 2
16.
y2 + 2
3
− am2 − am
+x+3
x+3
− x 4 − 3x 3
− 2am − 2a
+ 2am + 2a
x 3 − 3x 2 + 1
− 3x 3 − 9 x 2
+ 3x 3 + 9x 2
23.
x+3
−x−3
18.
a
+a
4
−a − a
4
−a
4a − 5b
− 12a 3 + 15 a 2b
3a 2 − 5ab + 2b 2
− 20a 2b + 33ab 2
a +1
+ 20a 2b − 25ab 2
a −a +a
3
3
2
8ab 2 − 10b 3
3
− 8ab 2 + 10b 3
+a +a
3
2
24. 15m5 − 5m4n − 9m3n2 + 3m2n3 + 3mn4 − n5
a2 + a
− 15m + 5m n
5
−a −a
2
19.
12a 3 − 35a 2b + 33ab 2 − 10b 3
− 9m3n2 + 3m2n3
− n6 m 2 − n2
m6
− m 6 + m 4 n2
3m − n
5m4 − 3m2n2 + n4
4
+ 9m3n2 − 3m2n3
m4 + m2n2 + n4
3mn4 − n5
m 4n2
− 3mn4 + n5
− m4n2 + m2n4
m2n4 − n6
− m2n4 + n6
20. 2x
4
− x3
+ 7x − 3
− 2x 4 − 3x 3
− 4x
EJERCICIO 55
2x + 3
x 3 − 2x 2 + 3x − 1
3
− a 2 − 2a − 1
1. a 4
− a4 − a3 − a2
+ 4 x 3 + 6x 2
6x 2 + 7 x
− 6x 2 − 9x
− 2x − 3
2x + 3
a2 − a − 1
− a − 2a − 2a
3
a2 + a + 1
2
+ a3 + a 2 + a
− a2 − a − 1
+ a2 + a + 1
+ 12x 2 − 5x
2. x 5
− x + 2x − 5 x
5
4
3
4
− 5xy 3 + 3y 4
3
+ x − 2x y + x y
4
3
x 3 y + x 2 y 2 − 5xy 3
− 2x 4 + 4 x 3 − 10x 2
− x 3 y + 2x 2 y 2 − xy 3
− x + 2x − 5x
3x 2 y 2 − 6xy 3 + 3y 4
+ x − 2x + 5 x
− 3x 2 y 2 + 6xy 3 − 3y 4
2
3
2
m5 − 5m4n
+ 20m2n3 − 16mn 4
− m + 2m n + 8m n
5
4
3
m2 − 2mn − 8n 2
9.
m − 3m n + 2mn
2
3
2
2
n4 − 2n3
+ 2n − 1
− n4 + 2n3 − n2
− 3m4n + 8m3n 2 + 20m2n 3
x 2 − 2xy + y 2
− x 2 + xy + 3y 2
2 2
2
3
3.
8. − x + 3x y
x 3 + 2x 2 − x
2 x − 5 x + 12x
4
x 2 − 2x + 5
3
n2 − 2n + 1
n2 − 1
− n2 + 2n − 1
+ 3m4n − 6m3n 2 − 24m2n 3
+ n2 − 2n + 1
2m3n2 − 4m2n 3 − 16mn 4
− 2m3n 2 + 4m2n 3 + 16mn 4
10. a 5b − 5a 4b 2
4.
− x 2 − 2x − 1
x4
x2 − x −1
− x 4 + x 3 + x2
+x
4 2
a 3 − 3a 2b + 4ab 2
3 3
− 3a b + 10a b + 22a b
4 2
x2 + x + 1
3 3
2 4
+ 3a 4b 2 − 6a 3b 3 − 30a 2b 4
− 2x
3
+ 22a 2b 4 − 40ab 5 a 2b − 2ab 2 − 10b 3
− a b + 2a b + 10a b
5
4a 3b 3 − 8a 2b 4 − 40ab 5
− x 3 + x2 + x
− 4a 3b 3 + 8a 2b 4 + 40ab 5
x − x −1
2
11.
− x2 + x + 1
− 24x 2 y 2
16x 4
− 27y 4 8x 3 − 12x 2 y + 6xy 2 − 9y 3
− 16x + 24x y − 12x y + 18xy
4
6
5
5. x − 2x
+ 6x 3 − 7 x 2 − 4x + 6
− x6
+ 3x 4
− 2x 2
3
2 2
2 x + 3y
3
x 4 − 3x 2 + 2
24 x 3 y − 36x 2 y 2 + 18xy 3 − 27y 4
x 2 − 2x + 3
− 24 x 3 y + 36x 2 y 2 − 18xy 3 + 27y 4
− 2x 5 + 3x 4 + 6x 3 − 9x 2 − 4 x
+ 2x 5
− 6x3
+ 4x
3x
4
− 9x
2
− 3x
4
+ 9x
2
12. 4y 4 + 4y 3 − 13y 2 − 3y − 20
+6
− 4y 4 − 10y 3
−6
2y + 5
2y 3 − 3y 2 + y − 4
− 6y 3 − 13y 2
6.
m6 + m5 − 4m4
+ m2 − 4m − 1
− m6 − m5 + 4m4 + m3
+ 6y 3 + 15y 2
m3 + m2 − 4m − 1
2y 2 − 3y
m3 + 1
− 2y 2 − 5y − 20
m3 + m2 − 4m − 1
− 8y − 20
8y + 20
− m3 − m2 + 4m + 1
7.
a5 − a 4
− a + a − 5a
5
4
+ 7a 2 − 27a + 10
a2 − a + 5
3
a 3 − 5a + 2
13. − 2a − 3a x + 5a x
5
+ 2a
4
3
− 11ax 4 − 3x 5
2
− 4a x − 6a x
5
3
2
2
− 5a + 7a − 27a
3a 4 x + a 3 x 2 − 6a 2 x 3 − 11ax 4
+ 5a 3 − 5a 2 + 25a
− 3a 4 x
3
2
+ 6a 2 x 3 + 9ax 4
2
− 2ax 4 − 3x 5
2
+ 2ax 4 + 3x 5
2a − 2a + 10
a x
− 2a 2 + 2a − 10
−a x
2
3
3
− a 3 + 2ax 2 + 3x 3
2a 2 − 3ax − x 2
3
14. − x + 2x y
6
− 3x 2 y 4 − xy 5
5
x 4 − 3x 3 y + 2x 2 y 2 + xy 3
+ x − 3x y + 2x y + x y
6
5
4 2
− x 2 − xy − y 2
3 3
− x y + 2x y + x y − 3x y
5
4 2
3 3
2 4
6
5
4
3
19. y − 2y − y + 4y
+ x 5 y − 3x 4 y 2 + 2x 3 y 3 + x 2 y 4
−y
− x y + 3x y − 2 x y − xy
4 2
3 3
2 4
5
−a
+ 2y 5
+ 31a 2 − 8a + 21
+ 2a + 7a
6
4
4
+ 5a 5
2
− 3m7 + 9m5
+ 4a 2 + 14a
− 3a 3
+ 6a + 21
+ 3a 3
− 6a − 21
m6 − m5
+ 5m3
− 6m + 9
− m6 − m5 + m 4
m 4 + m3 − m2 + 3
− 3m2
+ 2m5 + 2m4 − 2m3
− 8m
+ 8m
m4
− 3m2
+4
− m4
+ 3m2
−4
a 6 + 2a 5 − 2a 4 − 3a 3 + 2a 2 − a − 1
a3 + a2 − a + 1
− a6 − a5 + a4 − a3
a 3 + a 2 − 2a − 1
a 5 − a 4 − 4a 3 + 2a 2
+9
− 3m4 − 3m3 + 3m2
−9
4
m4 − 3m2 + 4
3m3 − 2m + 1
− 6m3
+ 6m
3m4 + 3m3 − 3m2
− a + 2a b − a b
5
− 12m3
+ 2m5
21.
m2 − 2m + 3
a 6 − a 5b − 4a 4b 2 + 6a 3b 3
6
−2
− 2m5 + m4 + 6m3
− 2m5 + m4 + 5m3 − 3m2 − 6m
17.
+2
+ 2y 2
3m7 − 11m5 + m4 + 18m3 − 3m2 − 8m + 4
20.
2a 4 − 3a 3 − 4a 2 − 8a
16.
2
2
− 10a 3 − 35a 2
− 2a 4
+ 4y
− 2y
4
− y4
a − 5a + 2a − 3
3
3
y 2 − 2y + 1
2
− 4y 3
y
a 3 − 2a − 7
3
− 5a + 2a + 7a + 31a
5
− 4y + 2 y 4 − 2y 2 + 2
− 2y
4
− 2y 5 + y 4 + 4 y 3 − 2y 2 − 4 y
+ x 4 y 2 − 3x 3 y 3 + 2x 2 y 4 + xy 5
6
5
15. a − 5a
+ 2y
6
− a5 − a4 + a3 − a2
− 2a 4 − 3a 3 + a 2 − a
+ 2a 4 + 2a 3 − 2a 2 + 2a − 1
− a3 − a2 + a − 1
− 3ab 5 + b 6 a 2 − 2ab + b 2
a + a b − 3a b − ab + b
2
4
3
2
2
3
+ a3 + a2 − a + 1
4
a b − 5a b + 6a b
5
4
2
3 3
− a 5b + 2a 4b 2 − a 3b 3
24 x 5 − 52x 4 y + 38x 3 y 2 − 33x 2 y 3 − 26xy 4 + 4y 5 8 x 3 − 12x 2 y − 6xy 2 + y 3
22.
− 3a 4b 2 + 5a 3b 3
− 24x 5 + 36x 4 y + 18x 3 y 2 − 3 x 2 y 3
+ 3a 4 b 2 − 6a 3b 3 + 3a 2b 4
− a 3b 3 + 3a 2b 4 − 3ab 5
5
− a b + 2ab − b
2
18.
4
2
3
4
5
6
− 32x 3 y 2 − 48x 2 y 3 + 24xy 4 − 4 y 5
6
− 2 x 4 y 2 + 2x 3 y 3 − 2x 2 y 4 + 3xy 5 − 2y 6 x 2 + xy − 2y 2
x6
− x − x y + 2x 4 y 2
6
2
32x 3 y 2 − 48x 2 y 3 − 24xy 4 + 4 y 5
a b − 2ab + b
4
3
+ 16x 4 y − 24x 3 y 2 − 12x 2 y 3 + 2xy 4
+ a 3b 3 − 2a 2b 4 + ab 5
2
3x 2 − 2xy + 4 y 2
− 16x y + 56x y − 36x y − 26xy
4
x 4 − x 3 y + x 2 y 2 − xy 3 + y 4
5
−x y
+ 2x y
5
3 3
23. 5a 8 − 4a 7 − 8a 6 + 5a 5 + 6a 4 − 2a 3 + 4a 2 − 6a a 4 − 2a 2 + 2
x 5 y + x 4 y 2 − 2x 3 y 3
+ x4y2
− 5a 8
− 2x 2 y 4
+ 3xy 5
+ x 3 y 3 + x 2 y 4 − 2xy 5
x 2 y 4 + xy 5 − 2y 6
− x2y4
− 10a 4
5a 4 − 4a 3 + 2a 2 − 3a
− 4a + 2a + 5a − 4a − 2a
− x 4 y 2 − x 3 y 3 + 2x 2 y 4
− x3y3
+ 10a 6
7
− xy 5 + 2y 6
6
+ 4a 7
5
− 8a 5
4
3
+ 8a 3
+ 2a 6 − 3a 5 − 4a 4 + 6a 3 + 4a 2
− 2a 6
+ 4a 4
− 3a
− 4a 2
5
+ 6a
3
− 6a
3a 5
− 6a 3
+ 6a
7
6
5
24. x − 3x + 6x
+ x 2 − 3x + 6
x 3 − 2x 2 + 3x + 6
− x 7 + 2 x 6 − 3x 5 − 6x 4
− x + 3x − 6 x
6
5
x 4 − x 3 + x2 − x + 1
4
+ x 6 − 2x 5 + 3x 4 + 6x 3
29. 3a 9 − 15a 7 + 14a 6
x − 3x + 6x + x
5
4
3
− x + 2x − 3x − 6 x − 3x
5
4
3
7
7
2
x − 2x
3
25.
4
3
2
− 18a 5 + 6a 4 − 9a 3 + 6a 2
− 12a 6
− x + 2 x − 3x − 6
3
5
+ 12a 6 − 15a 5 − 24a 4 + 38a 3 − 22a 2 + 23a
+ 3x + 6
2
a 4 − 3a 2 + 4a − 5
5
6
+ 9a 7
+ x − 2x + 3x + 6 x + 6
3
6
− 9a + 12a + 3a − 30a + 47a − 28a
2
− x 4 + 3x 3 − 5x 2 − 3x
4
− 28a 4 + 47a 3 − 28a 2 + 23a − 10 3a 5 − 6a 3 + 2a 2 − 3a + 2
− 3a + 6a − 2a + 3a − 2a 4
9
2
2
+ 24a 4 − 8a 3 + 12a 2 − 8a
5
− 15a
+ 30a 3 − 10a 2 + 15a − 10
+ 15a
− 30a 3 + 10a 2 − 15a + 10
5
3a + 5a − 9a − 10a + 8a + 3a − 4 3a + 2a − 5a − 4
6
5
4
3
2
3
− 3a 6 − 2a 5 + 5a 4 + 4a 3
4
3
− b2
30. a 2
a 3 + a 2 − 2a + 1
+ 3a − 4a − 6a + 8a
5
2
− a 2 − ab
2
+ ab + b 2
− 6a 4 − a 3 + 12a 2 + 3a
2
− ac − bc + c 2
3a 3 + 2a 2 − 5a − 4
− 3a 3 − 2a 2 + 5a + 4
26.
31. − 2x 2 + 5xy − xz − 3y 2 − yz + 10z 2 2x − 3y + 5z
5y 8 − 3y 7 − 11y 6 + 11y 5 − 17y 4 − 3y 3 − 4y 2 − 2y 5y 4 − 3y 3 + 4y 2 + 2y
− 5y + 3y − 4y − 2y
8
7
6
+ 2 x 2 − 3xy + 5 xz
4
+ 15y − 9y + 12y + 6y
5
4
− x + y + 2z
2 xy + 4 xz − 3y 2 − yz
y − 3y − 1
5
2
− 2xy
− 15y 6 + 9y 5 − 17y 4 − 3y 3
6
− bc
ac + bc − c 2
+ 6a + 4a − 10a − 8a
3
a+b−c
a−b+c
− ab − b 2 + ac + 2bc
− 3a 5 − 2a 4 + 5a 3 + 4a 2
4
+ 2bc − c 2
+ ac
3
− 5y 4 + 3y 3 − 4 y 2 − 2y
+ 3y 2 − 5yz
4 xz
− 6yz + 10z 2
− 4 xz
+ 6yz − 10z 2
+ 5y − 3y + 4y + 2y
4
3
2
27. − m7 + 5m6n − 14m5n2 + 20m4n3 − 13m3n4 − 9m2n5 + 20mn6 − 4n7 − m3 + 3m2n − 5mn2 + n3
+ m7 − 3m6n + 5m5n 2 − m4n 3
m4 − 2m3n + 3m2n 2 − 4n 4
2m6n − 9m5n 2 + 19m4n 3 − 13m3n 4
− 2m6n + 6m5n2 − 10m4n 3 + 2m3n4
− 3m5n 2 + 9m4n 3 − 11m3n 4 − 9m2n 5
+ 3m5n 2 −
9m4n 3 + 15m3n 4 − 3m2n 5
4m3n 4 − 12m2n5 + 20mn 6 − 4n 7
− 4m3n 4 + 12m2n 5 − 20mn 6 + 4n 7
28.
x11 − 5x 9 y 2 + 8x 7 y 4 − 6 x 5 y 6 − 5x 3 y 8 + 3xy10 x 5 − 2x 3 y 2 + 3xy 4
− x11 + 2x 9 y 2 − 3x 7 y 4
− 3x 9 y 2 + 5x 7 y 4 − 6 x 5 y 6
+ 3x 9 y 2 − 6x 7 y 4 + 9 x 5 y 6
− x 7 y 4 + 3x 5 y 6 − 5x 3 y 8
+ x 7 y 4 − 2 x 5 y 6 + 3x 3 y 8
+ x 5 y 6 − 2 x 3 y 8 + 3xy 10
− x 5 y 6 + 2 x 3 y 8 − 3xy 10
x 6 − 3x 4 y 2 − x 2 y 4 + y 6
+ y3
32. x 3
− x3 + x 2y + x2z
− 3xyz + z 3
− xy 2 + xyz
x 2 − xy − xz + y 2 − yz + z 2
− xz 2
x+y+z
x 2 y + x 2 z + y 3 − xy 2 − 2 xyz + z 3 − xz 2
− x2 y
− y 3 + xy 2 + xyz
+ y 2 z − yz 2
2
x z
− xyz + z − xz + y 2 z − yz 2
−x z
+ xyz − z 3 + xz 2 − y 2 z + yz 2
2
3
2
+ b5 a + b
33. a 5
−a −a b
5
a 4 − a 3b + a 2b 2 − ab 3 + b 4
4
− a 4b
37.
3
a b
+ y 15
x15
+ a 4b + a 3b 2
−x −x y
15
2
12
3
−x y
3
12
− a 3b 2 − a 2b 3
−a b
2
x3 + y 3
x12 − x 9 y 3 + x 6 y 6 − x 3 y 9 + y 12
x12 y 3 + x 9 y 6
3
x9y6
+ a 2b 3 + ab 4
− x9y 6 − x6y 9
ab 4 + b 5
− x6y 9
− ab 4 − b 5
x 6 y 9 + x 3 y 12
x 3 y12 + y15
34.
21x
− 21y
5
5
− 21x + 21x y
5
− x 3 y 12 − y 15
3x − 3y
7 x + 7 x y + 7 x y + 7 xy + 7 y
4
4
21x 4 y
3
2
2
3
4
38. x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 − 1
− 21x 4 y + 21x 3 y 2
− x − 2x y − xy
3
21x 3 y 2
2
x 2 + 2xy + x + y + y 2 + 1
− x − xy − x
2
x + y −1
2
x 2 y + 2 xy 2 + y 3 − 1− x 2 − xy − x
− 21x 3 y 2 + 21x 2 y 3
− x 2 y − 2xy 2 − y 3
21x 2 y 3
− xy
− y2 − y
− 1− x − 2xy − x − y 2 − y
2
− 21x 2 y 3 + 21xy 4
+ 1+ x 2 + 2xy + x + y 2 + y
21xy 4 − 21y 5
− 21xy 4 + 21y 5
35.
− 16y 8
16x 8
− 16x − 16x y
8
2x 2 + 2y 2
8x 6 − 8 x 4 y 2 + 8x 2 y 4 − 8y 6
6 2
− 16x 6 y 2
+ y5
5
39. x
+ 16x 6 y 2 + 16x 4 y 4
− x + x y − x y + x y − xy
5
16x 4 y 4
− 16x y − 16x y
4 4
2 6
− 16x 2 y 6 − 16y 8
4
3
2
2
3
x 4 − x 3 y + x 2 y 2 − xy 3 + y 4
x+y
4
x 4 y − x 3 y 2 + x 2 y 3 − xy 4 + y 5
− x 4 y + x 3 y 2 − x 2 y 3 + xy 4 − y 5
+ 16x 2 y 6 + 16y 8
36.
− y 10
x 10
− x10 + x 8 y 2
x2 − y2
x8 + x6y2 + x4y 4 + x2y6 + y8
x8y2
EJERCICIO 56
− x8y2 + x6y4
6
x y
4
− x6y 4 + x 4 y6
1.
x4 y 6
− x 4y 6 + x2y 8
x 2 y 8 − y 10
− x 2 y 8 + y 10
+ ax
ax+3
− ax +3 − ax +2
−a
a +1
a x + 2 − a x +1 + a x
x+2
+ a x + 2 + a x +1
a x +1 + a x
− a x +1 − a x
2. − x n + 5 + xn + 4 + 3xn + 3 + x n + 2
+x
n+ 5
+x
x2 + x
n+ 4
+ 2x
n+ 4
− 2x
n+ 4
− x n + 3 + 2x n + 2 + x n + 1
+ 3x
n+ 3
− 2x
n+ 3
8. − m2a + 3 + 2m2a + 2 + 2m2a + 1 − 4m2a − m2a − 1 + m2a − 2
− ma − 1 + ma − 2 + ma − 3
+ m 2 a + 3 − m2 a + 2 − m 2 a + 1
ma + 4 − ma + 3 − 2ma + 2 + ma + 1
+ m2a + 2 + m2a + 1 − 4m2a
xn + 3 + x n + 2
− m2a + 2
− xn+ 3 − xn+ 2
+ m2a +1 + m2a
2m2a + 1 − 3m2a − m2a − 1
− 2m2a + 1 + 2m2a + 2m2a − 1
3. ma + 4 − ma + 3
+ 6ma + 1 − 5ma + 3ma − 1
− ma + 4 + 2ma + 3 − 3ma + 2
m
− 3m
a+3
a+2
m2 − 2m + 3
+ 6m
+ m 2 a − m2 a − 1 − m2 a − 2
a +1
− ma + 3 + 2ma + 2 − 3ma + 1
9.
− ma + 2 + 3ma + 1 − 5ma
x 2a − 2 + x 2a − 3 − 4x 2a − 4
+ 2x
ma + 1 − 2ma + 3ma − 1
2a − 3
− 3x
+ x 2a − 4 − x 2a − 5 − x 2a − 6
+ x 2a − 5 − x 2a − 6 − x 2a − 7
a n + 2 + 3a n + 1 − 2a n
− x 2a − 5 + x 2a − 6 + x 2a − 7
3a 2n + 2 + a 2n + 1
− 2a
2n +1
− 2a
2n 3
2n −1 4
2n − 2 5
10. a b − a b + a b
−a b +a
2n
x a − 1 + 2x 2 a − 2 − x a − 3 + x a − 4
2a − 4
− x 2a − 4 + 2x 2a − 5
a 2n + 3 + 4a 2n + 2 + a 2n + 1 − 2a 2n a n + 1 + a n
− 3a 2n + 2 − 3a 2n + 1
x a − 1 − x a −2 − x a − 3
− 2 x 2 a − 3 + 2x 2 a − 4 + 2x 2 a − 5
− ma + 1 + 2ma − 3ma − 1
− a 2 n + 3 − a 2n + 2
− x 2a − 7
− x 2a − 2 + x 2a − 3 + x 2a − 4
+ ma + 2 − 2ma + 1 + 3ma
4.
− m 2 a + m2 a − 1 + m 2 a − 2
ma + 2 + ma + 1 − m a + ma − 1
2n
3
2n − 1 4
2a 2n + 1 + 2a 2n
b − 2a
−a
2n − 2
2n − 2
− 2a 2n − 4b 7 + a 2n − 5b 8 a nb − a n − 1b 2 + 2a n − 2b 3 − a n − 3b 4
b +a
5
b +a
5
2n − 3
2n − 3
a nb 2 − a n − 2 b 4
b6
b − 2a
6
2n − 4
b +a
7
2n − 5
b
8
+ a 2n − 2b 5 − a 2n − 3b 6 + 2a 2n − 4b 7 − a 2n − 5b 8
5.
x 2 a + 5 + 2 x 2 a + 4 − 3x 2 a + 3 − 4x 2 a + 2 + 2x 2 a + 1 x a + 3 − 2x a + 1
− x 2a + 5
+ 2x 2 a + 3
+ 2x
2a + 4
−x
− 2x 2a + 4
6.
ax+2
−a
x+2
+ 2a
x +1
x a + 2 + 2x a + 1 − x a
2a + 3
11.
+ 4x 2 a + 2
− x 2a + 3
+ 2x 2 a + 1
+ x 2a + 3
− 2x 2 a + 1
a b +b
a x − 2a x − 1 + 3a x − 2
− 3a
a 2 + 2a − 1
− 2a
+ 4a − 6a
x
m+ x
12.
a x − a x − 1b + b n − ab n − 1
− a x + a x − 1b
x −1
a x −1 − b n − 1
b − ab
+ a − 2a
− b n + ab n − 1
x −1
+ 3a
n
x−2
a 2 x + 2a 2 x − 1 − 4a 2 x − 2 + 5a 2 x − 3 − 2a 2x − 4
a x − a x −1 + a x − 2
− a 2 x + a 2 x − 1 − a 2x − 2
a x + 3a x − 1 − 2a x − 2
3a 2 x − 1 − 5a 2x − 2 + 5a 2 x − 3
− 3a 2 x − 1 + 3a 2 x − 2 − 3a 2 x − 3
− 2a 2 x − 2 + 2a 2 x − 3 − 2a 2 x − 4
+ 2a 2 x − 2 − 2a 2 x − 3 + 2a 2 x − 4
13.
a−b
n−1
− a x + 2a x − 1 − 3a x − 2
x
7.
a m + bm
m
− a xb m − b m + x
2a x + 1 − 5a x + 8a x − 1
x +1
ax + bx
x
− 2a x + 8a x − 1 − 3a x − 2
x
a m + x + a mb x + a x b m + b m + x
− a m + x − a mb x
3a 5m − 3 − 23a 5m − 2 + 5a 5m − 1 + 46a 5m − 30a 5m + 1 a 3m − 3 − 8a 3m − 2 + 6a 3m − 1
− 3a 5m − 3 + 24a 5m − 2 − 18a 5m − 1
+ a
5m − 2
− 13a
5m − 1
3a 2m + a 2m + 1 − 5a 2m + 2
+ 46a
5m
− a 5m − 2 + 8a 5m − 1 − 6a 5m
− 5a 5m − 1 + 40a 5m − 30a 5m + 1
5a 5m − 1 − 40a 5m + 30a 5m + 1
14. 2x 3a + 1y 2x − 3 − 4x 3a y 2 x − 2
− 2x
3a + 1 2 x − 3
y
3a 2 x − 2
+ 8x y
− 28x 3a − 2 y 2 x + 30x 3a − 3y 2 x + 1 − x a + 2 y x − 1 + 4 x a + 1y x − 3x a y x + 1
− 6x
3a − 1 2 x − 1
− 2x 2a − 1y x − 2 − 4 x 2a − 2 y x − 1 − 10x 2a − 3y x
y
+ 4 x 3a y 2 x − 2 − 6x 3a − 1y 2x − 1 − 28x 3a − 2 y 2 x
− 4x 3a y 2 x − 2 + 16x 3a − 1y 2x − 1 − 12x 3a − 2 y 2 x
10x 3a − 1y 2x − 1 − 40x 3a − 2 y 2x + 30x 3a − 3 y 2 x + 1
− 10x 3a − 1y 2 x − 1 + 40x 3a − 2 y 2 x − 30x 3a − 3 y 2 x + 1
EJERCICIO 57
1.
1 2 5
1
a +
ab − b 2
6
36
6
1
1
− a 2 − ab
6
4
−
2.
1
1
a+ b
3
2
1
1
a− b
2
3
5.
1
1
ab − b 2
9
6
1
1
ab + b 2
9
6
1 2 7
1
x +
xy − y 2
3
10
3
1
2
xy
− x2 +
3
15
3 4 1 3
17 2 2 7
m +
m n−
m n + mn 3 − n 4
5
10
60
6
3 4 2 3
4 2 2
− m + m n−
m n
5
5
5
1 3
65 2 2 7
m n−
m n + mn3
2
60
6
1 3
1 2 2
2
− m n + m n − mn 3
2
3
3
−
2
y
5
1
5
x+ y
3
6
x−
5
1
xy − y 2
6
3
5
1
− xy + y 2
6
3
1 3 35 2
2
3
x −
x y + xy 2 − y 3
3.
3
36
3
8
1 3
2 2
1 2
− x +
x y − xy
3
9
6
6.
3 2 2
1
m n + mn3 − n4
4
2
3 2 2 1
m n − mn3 + n 4
4
2
3 5 1 4 37 3 2 2 19
4
x + x −
x + x +
x−
4
2
40
3
30
5
3 5
1 3 3 2
x − x
− x
+
4
8
4
−
9
4 3
x
5
4 3
x
5
1
2
4
x−
15
5
2
4
x+
−
15
5
+
13
1
a − a x−
a x +
ax − x
7.
1 3 5 2
5
1
3
4
12
18
3
a − a b + ab 2 − b 3
a− b
16
8
3
4
2
9 4 3 3
2 2
− a + a x− a x
4
2
1 3 3 2
1 2
2
−
a + ab
a − ab + b 2
1 3
13 2 2 13 3
16
8
4
3
1
5
− a 2b + ab 2
4
3
1 2
3 2
a b − ab
4
2
1 2
ab − b 3
6
1
− ab 2 + b3
6
1
x+2
3
3 2 1
2
x + x−
8
4
5
2x 3 −
1 4 4 3 1 2 19
x − x −
x +
x
2
5
12
30
1
1 2
1
x −
x
− x4
+
2
12
2
1 2 1
1
x − xy + y 2
2
3
4
2
3
x− y
3
2
3 2
1 2 3 3
−
x y+
xy − y
4
2
8
3 2
1 2 3 3
x y − xy + y
4
2
8
4.
3 2
m − mn + 2n 2
2
2 2 1
1
m + mn − n2
5
3
2
4
3
2 2
3
a x−
a x +
ax
2
12
18
1
1 2 2
2 3
a x −
ax
− a3x +
2
3
9
−
3 2 2 1 3 1 4
a x + ax − x
4
2
3
3 2 2 1 3 1 4
a x − ax + x
4
2
3
4
3 2
2
a − ax + x 2
2
3
3 2 1
1
a + ax − x 2
2
3
2
8.
1 5 101 4
139 3 2 1 2 3 5
x −
x y+
x y − x y +
xy 4
14
420
280
2
12
1 5
1 4
1 3 2
−
x +
x y−
x y
14
20
8
−
+
4 4
13 3 2 1 2 3
x y+
x y − x y
21
35
2
4 4
2 3 2 1 2 3
x y−
x y + x y
21
15
3
9.
5 3 2 1 2 3 5
x y − x y +
xy 4
21
6
12
5 3 2 1 2 3 5
−
x y + x y −
xy 4
21
6
12
2 3 1 2
1
x − x y + xy 2
7
5
2
1 2 2
5
x − xy + y 2
4
3
6
3 5 21 4 47 3 79 2 1
1
x +
x −
x +
x +
x−
8
40
120
120
10
10
3
1
3 3
3 2
− x5 − x4 +
x −
x
8
2
8
4
1 4
1 3
11 2 1
x −
x −
x +
x
40
60
120
10
1 4
1 3
1 2 1
−
x −
x +
x −
x
40
30
40
20
−
10.
1 5 5 4
99 3 2 101 2 3 7
5
m − m n+
m n −
m n + mn4 − n5
2
6
40
60
6
8
1 5 1 4
4 3 2
1 2 3
− m + m n−
m n +
m n
2
3
15
6
−
1 3 1 2 1
1
x + x − x+
4
3
4
2
3 2 1
1
x +
x− x
2
10
5
1 3
1 2 1
1
x −
x +
x−
20
15
20
10
1 3
1 2
1
1
x +
x −
x+
20
15
20
10
3 3 1 2
2
1
m − m n + mn 2 − n3
4
2
5
4
2 2 2
5
m − mn + n2
3
3
2
1 4
53 3 2 91 2 3 7
m n+
m n −
m n + mn 4
2
24
60
6
1 4
1 3 2
4 2 3 1
m n−
m n +
m n − mn4
2
3
15
6
15 3 2 5 2 3
m n − m n +
8
4
15 3 2 5 2 3
−
m n + m n −
8
4
5 5
n
8
5
mn4 + n5
8
mn 4 −
EJERCICIO 58
1. x 5 − x 4 + x 2 − x ÷ x 3 − x 2 + x
1− 1+ 0 + 1− 1 1 − 1+ 1
− 1+ 1− 1
− 1+ 1− 1
+ 1− 1+ 1
3. a 6 + a 5b − 7a 4b 2 + 12a 3b 2 − 13a 2 b 4 + 7ab 5 − b 6 ÷ a 2 − 2ab + b 2
1+ 0 − 1
1+ 1− 7 + 12 − 13 + 7 − 1
− 1+ 2 − 1
⇒ x2 − 1
2. x 7 + x 6 − 11x 5 + 3x 4 − 13x 3 + 19x 2 − 56 ÷ x 3 − 2x 2 − 7
1+ 1− 11+ 3 − 13 + 19 + 0 − 56
− 1+ 2 − 0 + 7
3 − 11+ 10 − 13
− 3 + 6 − 0 + 21
− 5 + 10 + 8 + 19
+ 5 − 10 + 0 − 35
8 − 16 + 0 − 56
− 8 + 16 − 0 + 56
1− 2 + 0 − 7
1+ 3 − 5 + 0 + 8
⇒ x 4 + 3x 3 − 5x 2 + 8
3 − 8 + 12
−3+6− 3
1− 2 + 1
1+ 3 − 2 + 5 − 1
⇒ a 4 + 3a 3b − 2a 2b2 + 5ab 3 − b 4
− 2 + 9 − 13
2− 4+ 2
5 − 11 + 7
− 5 + 10 − 5
− 1 + 2 −1
+ 1 − 2 +1
4. m − 5m n + 2m n + 20m n − 19m n − 10mn − n ÷ m − 4mn − n
1− 5 + 2 + 20 − 19 − 10 − 1
1+ 0 − 4 − 1
− 1− 0 + 4 + 1
1− 5 + 6 + 1
6
5
4 2
− 5 + 6 + 21 − 19
5 + 0 − 20 − 5
3 3
2 4
5
6
3
2
3
⇒ m3 − 5m2n + 6mn2 + n3
6 + 1 − 24 − 10
− 6 − 0 + 24 + 6
8. m28 − 12m 24 + 53m20 − 127m16 + 187m12 − 192m8 + 87m 4 − 45 ÷ m12 − 7m 8 + 9m4 − 15
1− 12 + 53 − 127 + 187 − 192 + 87 − 45
− 1+ 7 − 9 + 15
1 + 0 − 4 −1
−1 − 0 + 4 +1
− 5 + 44 − 112 + 187
+ 5 − 35 + 45 − 75
5. x 8 − 2x 6 − 50x 4 + 58x 2 − 15 ÷ x 4 + 6x 2 − 5
1− 2 − 50 + 58 − 15
1+ 6 − 5
− 1− 6 + 5
⇒ m16 − 5m12 + 9m8 − 4m4 + 3
9 − 67 + 112 − 192
− 9 + 63 − 81 + 135
1− 8 + 3
− 8 − 45 + 58
1− 7 + 9 − 15
1− 5 + 9 − 4 + 3
− 4 + 31 − 57 + 87
+ 4 − 28 + 36 − 60
⇒ x 4 − 8x 2 + 3
+ 8 + 48 − 40
3 − 21 + 27 − 45
− 3 + 21 − 27 + 45
3 + 18 − 15
− 3 − 18 + 15
6. a14 − 7a12 + 9a10 + 23a 8 − 52a 6 + 42a 4 − 20a 2 ÷ a 8 − 4a 6 + 3a 4 − 2a 2
1− 7 + 9 + 23 − 52 + 42 − 20 1− 4 + 3 − 2
− 1+ 4 − 3 + 2
1− 3 − 6 + 10
− 3 + 6 + 25 − 52
3 − 12 + 9 − 6
⇒ a − 3a 4 − 6a 2 + 10
6
9. 2x 7 − 6x 6 y − 8x 5 y 2 − 20x 4 y 3 − 24x 3 y 4 − 18x 2 y 5 − 4 y 7 ÷ 2x 2 + 4 y 2
− 6 + 34 − 58 + 42
2 − 6 − 8 − 20 − 24 − 18 + 0 − 4
−2−0− 4
− 6 − 12 − 20
6 + 0 + 12
+ 6 − 24 + 18 − 12
10 − 40 + 30 − 20
− 8 + 0 − 18
+ 8 + 0 + 16
15
12
9
6
3
6
3
7. 3x − 20 x + 51x − 70 x + 46 x − 20 ÷ 3x − 8 x + 10
3 − 20 + 51 − 70 + 46 − 20 3 − 8 + 10
− 2+0−4
2+0+ 4
1− 4 + 3 − 2
− 12 + 41 − 70
⇒ x 5 − 3x 4 y − 6x 3 y 2 − 4x 2 y 3 − y 5
− 12 − 8 − 24
+ 12 + 0 + 24
− 10 + 40 − 30 + 20
− 3 + 8 − 10
2+0 +4
1− 3 − 6 − 4 + 0 − 1
⇒ x 9 − 4 x 6 + 3x 3 − 2
12 − 32 + 40
9 − 30 + 46
− 9 + 24 − 30
− 6 + 16 − 20
6 − 16 + 20
10. 6a 9 − 12a 7 + 2a 6 − 36a 5 + 6a 4 − 16a 3 + 38a 2 − 44a + 14 ÷ a 4 − 2a 2 + a − 7
6 + 0 − 12 + 2 − 36 + 6 − 16 + 38 − 44 + 14 1+ 0 − 2 + 1− 7
− 6 − 0 + 12 − 6 + 42
− 4 + 6 + 6 − 16 + 38
+ 4 + 0 − 8 + 4 − 28
6 − 2 − 12 + 10 − 44
− 6 − 0 + 12 − 6 + 42
− 2 + 0 + 4 − 2 + 14
+ 2 − 0 − 4 + 2 − 14
6+0+0−4+6−2
⇒ 6a 5 − 4a 2 + 6a − 2
10
8
7
6
5
4
3
2
6
4
3
11. n − 6n + 5n + 13n − 23n − 8n + 44n − 12n − 32n + 16 ÷ n − 3n + 5n − 8n + 4
1+ 0 − 6 + 5 + 13 − 23 − 8 + 44 − 12 − 32 + 16
1+ 0 − 3 + 5 + 0 − 8 + 4
− 1− 0 + 3 − 5 − 0 + 8 − 4
1+ 0 − 3 + 0 + 4
− 3 + 0 + 13 − 15 − 12 + 44 − 12
⇒ n4 − 3n2 + 4
+ 3 + 0 − 9 + 15 + 0 − 24 + 12
12. 3x 7 − 4 x 6 y − 15x 5 y 2 + 29x 4 y 3 − 13x 3 y 4 + 5xy 6 − 3y 7 ÷ x 3 − 5xy 2 + 3y 3
4 + 0 − 12 + 20 + 0 − 36 + 16
3 − 4 − 15 + 29 − 13 + 0 + 5 − 3
− 3 − 0 + 15 − 9
− 4 + 0 + 12 − 20 − 0 + 36 − 16
− 4 + 0 + 20 − 13
+ 4 + 0 − 20 + 12
1+ 0 − 5 + 3
3 − 4 + 0 + 0 −1
⇒ 3x 4 − 4 x 3 y − y 4
− 1+ 0 + 5 − 3
1 −0−5+3
13. x16 − 4x14 y 2 − 10x12 y 4 + 21x10 y 6 + 28x 8 y 8 − 23x 6 y10 + 9x 4 y12 + 33x 2 y14 − 6y16 ÷ x 6 − 4x 4 y 2 − 5x 2 y 4 + y 6
1− 4 − 10 + 21+ 28 − 23 + 9 + 33 − 6
1− 4 − 5 + 1
− 1+ 4 + 5 − 1
1+ 0 − 5 + 0 + 3 − 6
14. a m + 2 − 3a m +1 − 5a m + 20a m − 1 − 25a m − 3 ÷ a 2 − 5
− 5 + 20 + 28 − 23 ⇒ x10 − 5x 6 y 4 + 3x 2 y 8 − 6y10
1 − 3 − 5 + 20 + 0 − 25 1+ 0 − 5
+ 5 − 20 − 25 + 5
− 1− 0 + 5
1− 3 + 0 + 5
3 − 18 + 9 + 33
− 3 + 0 + 20 ⇒ am − 3am − 1 + 5am − 3
− 3 + 12 + 15 − 3
+ 3 + 0 − 15
− 6 + 24 + 30 − 6
+ 5 + 0 − 25
+ 6 − 24 − 30 + 6
− 5 − 0 + 25
15. 7a 2 x + 5 − 35a 2 x + 4 + 6a 2 x + 3 − 78a 2x + 2 − 5a 2 x + 1 − 42a 2 x − 7a 2 x − 1 ÷ 7a x + 3 + 6a x + 1 + a x
7 − 35 + 6 − 78 − 5 − 42 − 7
−7− 0 −6− 1
7 + 0 + 6 +1
1− 5 + 0 − 7
⇒ a x + 2 − 5a x + 1 − 7a x − 1
− 35 + 0 − 79 − 5
+ 35 + 0 + 30 + 5
− 49 + 0 − 42 − 7
49 − 0 + 42 + 7
16. 6x 2a + 3 − 4x 2a + 2 − 28x 2a + 1 + 21x 2a − 46x 2a − 1 + 19x 2a − 2 − 12x 2a − 3 − 6x 2a − 4 ÷ 6x a + 1 − 4x a + 2x a − 1 + x a − 2
6 − 4 − 28 + 21− 46 + 19 − 12 − 6
− 6 + 4 − 2 −1
6 − 4 + 2 +1
1+ 0 − 5 + 0 − 6
⇒ x a + 2 − 5x a − 6x a − 2
− 30 + 20 − 46 + 19
+ 30 − 20 + 10 + 5
− 36 + 24 − 12 − 6
36 − 24 + 12 + 6
17. 6a 5 x + 3 − 23a 5 x + 2 + 12a 5 x + 1 − 34a 5 x + 22a 5 x − 1 − 15a 5 x − 2 ÷ a 2 x + 2 − 3a 2x + 1 − a 2 x − 5a 2 x − 1
6 − 23 + 12 − 34 + 22 − 15
− 6 + 18 + 6 + 30
− 5 + 18 − 4 + 22
+ 5 − 15 − 5 − 25
3 − 9 − 3 − 15
− 3 + 9 + 3 + 15
1− 3 − 1− 5
6−5+3
⇒ 6a 3 x + 1 − 5a 3 x + 3a 3 x − 1
EJERCICIO 59
1.
a 2 + b2
a2
− a2
1+
b
4.
3. 9x 3 + 6x 2 + 7
a4 + 2
2.
b2
a2
− 9x 3
a3
− a4
a+
7
3x 2
− 6x 2
+7
16a 4 − 20a 3b + 8a 2b 2 + 7ab 3 4a 2
− 16a 4
3x + 2 +
+ 6x 2
2
a3
+2
2
3x 2
9.
4a 2 − 5ab + 2b 2 +
x 3 − x 2 + 3x + 2
3
7b
4a
− x3 + x2 − x
− 20a 3b
x2 − x + 1
2x + 2
x+ 2
x − x +1
+ 2x + 2
+ 20a 3b
8a 2 b 2
10.
− 8a b
2 2
− x3 + x2y
+ 7ab 3
5.
x + 1+
x−y
x 2 + xy + y 2 +
2y 3
x−y
x2y
− x 2 y + xy 2
x 2 + 7x + 10 x + 6
− x 2 − 6x
+ y3
x3
4
x+6
xy 2 + y 3
− xy 2 + y 3
x + 10
−x − 6
2y 3
+4
6.
x 2 − 5x + 7
11.
3
x − 1+
x−4
− x + 4x
2
7.
x−4
+ y5
x5
−x + x y
4
x−y
x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + xy 3 + y 4 +
4
x4 y
−x+7
x−4
− x4 y + x3y 2
+3
x3y2
− x3y2 + x2y3
m4 − 11m2 + 34
− m4 + 3m2
m2 − 3
x2y3
10
m2 − 8 + 2
m −3
− x 2 y 3 + xy 4
+ xy 4 + y 5
− 8m + 34
− xy 4 + y 5
8m − 24
2y 5
2
2
+ 10
8.
x 2 − 6xy + y 2
x +y
− x 2 − xy
x − 7y +
12. x + 4 x − 5x + 8
x2 − 2x + 1
− x3 + 2x2 − x
x + 6+
3
2
8y
x+y
2
6 x 2 − 6x + 8
− 7xy + y 2
2
− 6 x 2 + 12 x − 6
+ 8y 2
6x + 2
+ 7xy + 7y
6x + 2
x2 − 2x + 1
2y 5
x−y
5
4
14. x − 3x
3
2
2
3
13. 8a − 6a b + 5ab − 9b 2a − 3b
− 8a 3 + 12a 2b
4a 2 + 3ab + 7b 2 +
3
12b
2a − 3b
+ 9x 2 + 7 x − 4
x 2 − 3x + 2
− x 5 + 3x 4 − 2x 3
x 3 − 2x + 3 +
6a 2b + 5ab 2
− 2x 3 + 9x 2 + 7x
− 6a 2b + 9ab 2
+ 2x 3 − 6x 2 + 4 x
14ab 2 − 9b 3
3x 2 + 11x − 4
− 14ab 2 + 21b 3
− 3x 2 + 9x − 6
12b 3
20x − 10
20 x − 10
x 2 − 3x + 2
EJERCICIO 60
Para los problemas del 1 al 9 las literales toman los siguentes valores:
a = - 1 b = - 2 c = - 1/2
1. a 2 − 2ab + b2
= (− 1) − 2 (− 1) ⋅ 2 + 2 2
2
= − 3 − 4 ⋅ 2 − 3⋅ 4 − 8 = − 3 − 8 − 12 − 8 = − 31
4. a − 8a c + 16a c − 20a c + 40ac − c
4
4
= 3 (− 1) − 4 (− 1) ⋅ 2 + 3 (− 1) 2 2 − 2 3
3
= 1+ 2 ⋅ 2 + 4 = 1+ 4 + 4 = 9
5
3. a − 3a + 2ac − 3bc
2. 3a 3 − 4a 2b + 3ab 2 − b 3
2
3 2
2 3
4
3
4
3
 1
 1
= (− 1) − 3(− 1) + 2 (− 1)  −  − 3⋅ 2  − 
 2
 2
1
1
= 1 + 3 + 2 ⋅ + 6⋅ = 1+ 3 + 1+ 3 = 8
2
2
5
2
3
4
5
4
3
2
1
1
1
 1  1
= (− 1) − 8 (− 1)  −  + 16 (− 1)  −  − 20 (− 1)  −  + 40 (− 1)  −  −  − 
 2
 2
 2
 2  2
5
1
1
1
1 1
5 5 1
1 − 32 + 1
31
=−
= − 1 + 8 ⋅ − 16 ⋅ + 20 ⋅ − 40 ⋅ +
= − 1+ 4 − 4 + − +
= − 1+
=
2
4
8
16 32
2 2 32
32
32
32
(
) (
) (
2
2
5. a − b + b − c − a − c
)
(
2
  1  
2
 1 
= (− 1 − 2) +  2 −  −   −  − 1 −  −  
 2 
  2  
2
2
2
1
 1 
 5  1 
= (− 3) +  2 +  −  − 1 +  = 9 +   −  − 
 2  2
2
 2 
25 1
24
= 9+ − = 9+
= 9 + 6 = 15
4 4
4
2
2
2
7. ab ac bc
+
−
c
b a
 1
 1
1
− 1 −  2  − 
 2
 2 2 2 2
− 1⋅ 2
=
+
−
= + −
1
1 2 2
2
−1
−
2
2
1
1 12 + 1 13
= 4 + − 1= 3 + =
= = 3 41
4
4
4
4
(
)
(
)
(
9. 3 2a + b − 4a b + c − 2c a − b
[
]
) (
3
) (
3
6. b + a − b − c − a − c
[
)
3
3
]
3
  1  
 1 
= 2 + (− 1) −  2 −  −   −  − 1 −  −  


 2 
2

 
2
3
3
1
 1 
 5  1
= 2 − 1 −  2 +  −  − 1 +  = 13 −   −  − 
2
 2 
 2  2
125 1
124
31 2 − 31
29
= 1−
+ = 1−
= 1− =
=−
= − 14 21
8 8
8
2
2
2
[
(
3
]
) (
3
3
3
)
2
2
8. a + b + c − a − b − c + c
2
2

 1  
 1   1
=  − 1+ 2 +  −   −  − 1− 2 −  −   +  − 


 2   2
2

 
1
1  1  5
1
 1 
= 1−  −  − 3 +  − =   −  −  −
2 2  2  2 2
 2 
1 25 1 1 − 25 − 2
26
= − − =
= − = − 6 24 = − 6 21
4 4 2
4
4
2
2
2
2
)
  1   1
 1 2
 3 6
= 3 2 (− 1) + 2 − 4 (− 1)  2 +  −   − 2  −  (− 1 − 2) = 3 − 2 + 2 + 4  2 −  + (− 3) = 3⋅ 0 + 4   − = 6 − 3 = 3




2
2
2
2


2 2


[
]
Para los problemas 10 al 16 las literales toman los siguientes valores:
a = 2 b = 1/3 x = - 2 y = - 1 m= 3 n = 1/2
4
2
11. (a − x ) + ( x − y ) + ( x 2 − y 2 )(m + x − n)
2
10. x − x y + 3xy − y 3
8
2
2
2
[
2
2
3
[
16 − 4 − 6
−
+
+ 1 = 2 + 2 − 3+ 1 = 2
8
2
2
=
(
) (
)(
)
(
12. − x − y + x 2 + y 2 x − y − m + 3b x + y + n
[
][
= − − 2 − (− 1) + (− 2) + (− 1)
2
2
] [
] [
]
2
2
1
2
2 
= 2 − (− 2) + − 2 − (− 1) + (− 2) − (− 1)  3 + (− 2) − 
2

1
2
2
2

 1
2
= 2 + 2 + − 2 + 1 + 4 − 1  3 − 2 −  = [ 4] + − 1 + 3 1 − 
2

 2
3 34 + 3 37
 1
1
= 16 + 1 + 3   = 17 + =
=
= 18 2
2
2
2
 2
(− 2) − (− 2) (− 1) + 3(− 2)(− 1) − − 1
=
( )
8
2
2
4
2
] [
] [
]
[ ]
)
][− 2 − (− 1) − 3]+ 3⋅ 13  − 2 + (− 1) + 21  = − [− 2 + 1]+ [4 + 1][− 5 + 1]+  − 2 − 1 + 21 
1
5
38 + 5
43

 5
= 1 + 5 − 4 +  − 3 +  = 1 − 20 +  −  = − 19 − = −
= − = − 21 21
2
2
2
2
2


 
[ ]
14.
x− y
13. (3x − 2 y )(2n − 4m) + 4 x y −
2
2
2
(− 2) − (− 1)
2
2
 1

= 3(− 2) − 2 (− 1)  2 ⋅ − 4 ⋅ 3 + 4 (− 2) (− 1) −
2
 2

− 2+1
−1
= − 6 + 2 1 − 12 + 4 ⋅ 4 ⋅ 1 −
= − 4 − 11 + 16 −
2
2
1
1
1
= 44 + 16 + = 60 + = 60 2
2
2
[
]
[
][
]
4x
x3
 1 1
−
+  −  x + x4 − m
3y 2 + y 3  n b 
=
[ ]
4 (− 2 )


(− 2) +  1 − 1  (− 2) + (− 2) − 3
3 (− 1) 2 + (− 1)  1 1 


3
4
−
3
2 3
−8 −8
8
=
−
+ (2 − 3)(− 2) + 16 − 3 = + 8 + (− 1)(− 2) + 13
− 3 2−1
3
8
8
8 + 69 77
= + 21 + 2 = + 23 =
=
= 25 23
3
3
3
3
15. x ( x − y + m) − ( x − y )( x + y − n) + ( x + y ) (m − 2n)
2
1
1
2
2
2

= (− 2) − 2 − (− 1) + 3 − − 2 − (− 1) (− 2) + (− 1) −  + − 2 + (− 1)  32 − 2 ⋅ 

2
2

2
2
1
9
9 160 + 9 169

 1
=
= 84 21
= 4 [1 + 1] − [− 2 + 1]  4 + 1 −  + [− 2 − 1] (9 − 1) = 4 ⋅ 2 − [− 1] 5 −  + [− 3] (8) = 8 + + 9 ⋅ 8 = 80 + =
2
2
2
2
2

 2
2
2
[
2
2
][
2
]
m
y
]
1
2 − 3 + 2 − 2 3 − − 1 2 + 4 = − 3 − 2 − 3 − 6 + 2 − 8 − 1+ 4
( ) ( )
−2
−1 1
3
3 2
2
4+ 9
13
13
114 + 13
127
= − 9−
+ 2 − 5 = − 9 − − 10 = − 19 − = −
=−
= − 21 16
6
6
6
6
6
16. 3a + 2 y + 3n − m + 2 ( x 3 − y 2 + 4) = 3⋅ 2 + 2 (− 1) +
x
[
n
3⋅
[
]
[
[ ]
EJERCICIO 61
5.
2a 2 − 3a + 8
3
1. 7 am
8 am
9 am
10 am
↓
↓
↓
↓
2a 2 − 3a + 5
8a + 5
−1
−4
2a 2 − 3a + 8
2a 2 + 5a + 13 Rta
+5
!
+2
!
3. x 2 − 3xy
!
x2
3xy − y 2
x2
!
− x2 + y2
− y2
y 2 Rta
4. 3x 2 − 5x + 6
− 3x 2 + 8 x − 6
3x
Rta
]
{[
( ( ))] }
= − 3x − { − [4 x + 5x − ( x − x − 6)] }
= − 3x − { − [4 x + 5x − x + x + 6] }
6. − 3x 2 − − 4 x 2 + 5x − x 2 − x + 6
2
2
2
2
2
2
= − 3x 2 − {− 3x 2 − 6 x − 6} = − 3x 2 + 3x 2 + 6 x + 6 = 6 x + 6
(
)(
) (
7. x + y x − y − x + y
)
2
= x 2 − xy + xy − y 2 − ( x + y )( x + y )
12.
= x 2 − y 2 − (x 2 + 2 xy + y 2 )
= x 2 − y 2 − x 2 − 2 xy − y 2
1 3
1
1 3
a
ab 2 +
b
−
4
90
15
1
1
− a 3 − a 2b
4
6
1
1
a+ b
2
3
1 2 1
1
a − ab + b 2
2
3
5
1 2
1
a b−
ab 2
6
90
1 2
1
a b + ab 2
6
9
1 2
1
a + ab + b 2
2
5
−
= − 2 xy − 2 y 2
8. a = 2 b = 3 c = 1
c− b
3 (a + b) − 4 (c − b) +
−a
1
1 3
ab 2 +
b
10
15
1− 3
−2
= 3(2 + 3) − 4 (1 − 3) +
= 15 + 8 + 1 = 23 + 1 = 24
9. 3x
− 5y 2
2
− x + 3xy − y
2
2 x + 3xy − 6 y
2
2
2
x
2a b + 3ab − b
− 2a 2b + 2b3
− 2b 3
a 3 − 3a 2b + 3b 3
2
2a 2b
+ 6y
2
a 3 − a 2b + b3
3
2
− x − 5xy
2
3 +1
4
ab = ab
3
3
− 3ab 2 − b3
13.
2 x 2 + 5xy + 6 y 2
1 2 1
1
a + ab − b2
2
3
5
1
1 3
ab 2 −
b
10
15
−
−2
−2
= 3 ⋅ 5 − 4 (− 2 ) +
−
2
a 3 − 3a 2b + 3b 3
2 x + 3xy − 6 y
x
2
2
2
+ 6y
3x + 3xy
2
a 2 − ab + b2
2
a 5 − 3a 4b
− a b + 3a b
Rta
+ a b − 3a b
− x + 2x − 6 x
4
− x
x2 − x + 3
− x 3 + x 2 − 3x
x+4
4x − 4x + 12
2
− 4x 2 + 4x − 12
x 2 − 2x + 6
x3 − x + 5
3
3
x 3 + 3x 2 − x + 12
2
x − 2x + 5x + 7 x − 16x + 30
5
− x 3 + 19x 2 − 6x
− 6 x + 30
3
3
− 8x + 8x − 3
x 3 + 3x 2 − x + 12
+ 2x − 10x
4
2x 3 − 16x 2 + 5x + 12
x 3 − 19x 2 + 6x
2
+ 6x
5
− 6x 2 − 6 x + 3
2
− x 3 + 5x 2
− 2x
− 3ab 4 + 3b 5
3
2
14. x − 5x + 4x
1 4 1 3 193 2 2 23 3 2 4
a + a b−
a b +
ab − b
3
4
120
20
5
4
+ 3b 5
2 3
a 5 − 4a 4b + 4a 3b2
1 4 1 3
1 2 2
a − a b+
ab
3
4
10
1
3
3
+ a 3b − a 2b2 +
ab 3
2
8
20
4
2
− a 2b 2 + ab 3 − b4
3
5
x5
− 3ab 4
3 2
3 2
2 2 1
1 2
10. a − ab + b
3
2
5
1 2 3
a + ab − 2b2
2
4
11.
+ 3a 2b 3
4
+ 7 x − 16x
2
+ x 3 − 2x 2 + 6x
5 x 2 − 10x + 30
− 5 x 2 + 10x − 30
15.
(2 + x) (1+ x ) − (x − 2)(x + x − 3) = x (3x + 10) + 2 (3x − 1)
(4 + 4 x + x ) (1+ x ) − (x + x − 5x − 2 x + 6) = 3x + 10x + 6x − 2
2
2
2
2
2
4
3
2
2
2
3
2
4 + 5x 2 + 4 x + 4 x 3 − x 3 + 5x 2 + 2 x − 6 = 3x 3 + 10 x 2 + 6 x − 2
3x 3 + 10 x 2 + 6x − 2 = 3x 3 + 10 x 2 + 6 x − 2
16. x = − 2 y = 1
(x + y) (x − y) + 2 (x + y)(x − y)
= (− 2 + 1) (− 2 − 1) + 2 (− 2 + 1)(− 2 − 1)
= (− 1) (− 3) + 2 (− 1)(− 3)
2
2
2
2
[x − (3x + 2)][x + (− x + 3)]
2
21.
[x − 3x − 2][x − x + 3]
2
2
x 4 − x 3 + 3x 2 − 3x 3 + 3x 2 − 9 x − 2 x 2 + 2 x − 6 = x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 − 7 x − 6
x4 − 4x 3 + 4 x2 − 7x − 6 = x4 − 4x 3 + 4 x2 − 7x − 6
[
17. x + 2x + 8
2
x−6
4x 2 − 8x − 3 Rta
x 2 + 4x + 6
]
[2 (x + y ) − 3(x − y )]
22. x ( x + y ) − x ( x − y )
= x 2 + xy − x 2 + xy
= 1⋅ 9 + 2 ⋅ 3 = 9 + 6 = 15
x 2 + 4x + 6
= x 4 − 4 x3 + 4 x 2 − 7 x − 6
2
2
x+4
5x 2 − 4x + 3
2
[
]
− 2 (a + b) − (a − b)
= − {3a − b + a − 2a − 2b}
[
= − 2 a +b− a +b
= − {2a − 3b}
= − 2 [ 2b ]
= 2 x + 2 y − 3x + 3 y
= − x 2 + 5y 2
− x 2 + 5y 2
− 2 x 3 y + 10 xy 3
= − 2 a + 3b
= − 4b
]
[(
− x y + xy
Rta
))]
= 5x + [− (3x − x + y )]
= 5x + [− 2 x − y ]
= 8x + − 2 x − x + y
= 5x − 2 x − y
= 5x + y
(
[
[
= 8 x − 3x + y
]
]
− xy + y
(
3x − y
= x3 − y3 − x 3 − y 3
15x 2 + 3xy
= − 2 y3
1 3 1 2
5
1
x +
x y+
xy 2 + y 3
4
24
12
3
1 3 1 2
1 2
− x + x y − xy
4
8
2
1 2
1
1
x y−
xy 2 + y 3
6
12
3
1 2
1
1
2
− x y+
xy − y 3
6
12
3
[
]
[
= 2 x + − 5x − x + y
= 2 x − 6x + y
) (
5x + y
]
]
−
2
Rta
)(
3
[
)
=
y
]
4⋅9
9⋅9
25
+ 2 (9 − 4)
− 3 (25 − 9)
25
42
9
36
81
5 6
9
5
+ 2⋅5
− 3⋅ 16 ⋅ = + 10 ⋅ − 48 ⋅
25
16
3 5
4
3
6 45
12 + 225 − 800 − 563
= + − 80 =
=
= − 56 103
5 2
10
10
=
26.
1
1
−
x −
y
2
3
8+ 1
3− 1
−
x+
y
2
3
9
2
Rta
− x+ y
2
3
]
25. a = 4 b = 9 c = 25
9b
ab
c
+ 2 (b − a ) 2 − 3 (c − b)
c
a
b
1 2 1
x − xy + y 2
2
4
1
1
x+ y
2
3
4x +
4
= x 3 + x 2 y + xy 2 − x 2 y − xy 2 − y 3 − x 3 − x 2 y + xy 2 + x 2 y − xy 2 + y 3
[
15x − 2 xy − y
= − 4x + y
)(
x + 4x y + 3x 2 y 2 + 2xy 3 − y 4 Rta
3
2
2
2
2
24. x − y x + xy + y − x + y x − xy + y
= x3 − y3 − x 3 + y3
2
[
+ x 2 y 2 + 3xy 3 − y 4
2
− 5xy − y 2
= 2 x + − 6x + y
+ x 3 y + 3x 2 y 2 − xy 3
2
xy 2
8 x + − 2 x + (− x + y)
= 3x − y
2 x + − 5x − ( x − y )
x 2 + xy + y 2
2
x 4 + 3x 3 y − x 2 y 2
2
19. 5x + − 3x − x − y
20.
2
x2y
2a − 7b
Rta
x 2 + 3xy − y 2
x + xy + y
2
2
2
2 x 3 y + 3xy 3
3
− y3 x − y
−x +x y
− 4b
2a − 3b
2
4 x 3 y − 7 xy 3
− 2 x y + 10 xy
23. x 3
2
2
= 2 xy
3
3
2
2
2 xy
18. − {3a + (− b + a ) − 2 (a + b) }
= x 2 ( x 2 − 4 x + 4) − (7 x + 6)
2
x 3 + 3x 2 − 4x − 12 x + 3
− x − 3x
3
2
x2 − 4
x −4
?
x2
−4
2
=x−2
− 4x − 12
+ 4x + 12
x + 2x
2
2x − 4
− 2x + 4
x−2
x+2
Rta
)} [ {
}]
= 4 x − {3x − ( x − 4 − x )} + [ x − {x − 3}] Si x = − 2
{ (
27. 4 x 2 − 3x − x 2 − (4 + x ) + x 2 − x + (− 3)
2
2
28. x + 7x − 5
2
x2 − 9
2
[
= 4 x 2 − {3x − x 2 + 4 + x } + x 2 − x + 3
]
x 4 − 11x 3
x + 7x − 5x
4
6 x 2 − 5x − 1
3
(a + b )(a + b)(a − b) = a − [3a + 2 (a + 2) − 4 (a + 1) − a + b ]
(a + b )(a − ab + ab − b ) = a − [3a + 2a + 4 − 4a − 4 − a + b ]
(a + b )(a − b ) = a − [b ]
2
2
4
2
2
2
2
2
2
a −a b +a b −b
4
2 2
4
4
4
4
=a −b
4
a −b
4
=a −b
4
= − x2 − 2 x + 1
( )
2. (5 + x ) = 25 + 10 x + x
3. (6a + b) = 36a + 12ab + b
4. (9 + 4m) = 81 + 72m + 16m
5. (7 x + 11) = 49 x + 154 x + 121
6. ( x + y ) = x + 2 xy + y
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
7. 1 + 3x 2
(
2
2
) = 1+ 6x 2 + 9 x 4
2
)
2
8. 2 x + 3 y = 4 x 2 + 12 xy + 9 y 2
(
9. a 2 x + by 2
) = a x + 2a xby + b y
2
4 2
2
2
2 4
EJERCICIO 63
1. a − 3 = a 2 − 6a + 9
6.
7.
2
2
2
(3a − 5b ) = 9a − 30a b + 25b
4 2
x+1
− x2 + 2x − 1
x +1
6
3 4
10
8
5 6
12
2 3
4 2
4 6
2 3 4
8
2
3 2
2 4
2
3
2 6
2
3 2
4 2
3
6
10
12 2
m
n 2
x
x +1 2
2
20
10 12
m+ n
2m
24
2n
x x +1
2x
x −2 2
2
2
2a +2
2 x +2
a +1 x − 2
2 x −4
4
2
2 2
10
7 2
14
5 2
7 7
2 4
14
)
2
(10x − 9 xy ) = 100x − 180x y + 81x y
13. ( x − y ) = x − 2 x y + y
14. (a
− 5) = a − 10a + 25
15. ( x − 3x ) = x
− 6x + 9 x
3
12.
2
8
6 2
(
m
2
2 2
x2 − x + 2
11. 2m − 3n = 4m2 − 12mn + 9n 2
2
(a 3 − b3 ) = a 6 − 2a 3b3 + b6
4
5
7
2
2
4 2
5
2
2
−3
(x − 1) = x − 2 x + 1
9. ( x − 3ay ) = x − 6ax y + 9a y
10. (a − b ) = a − 2a b + b
2
2
3
a +1
8.
( )
2. ( x − 7) = x − 14 x + 49
3. (9 − a ) = 81 − 18a + a
4. (2 a − 3b ) = 4a − 12ab + 9b
5. (4ax − 1) = 16a x − 8ax + 1
x 3 + 5x 2
(3a + 8b ) = 9a + 48a b + 64b
11. (4m + 5n ) = 16m + 40m n + 25n
12. (7a b + 5x ) = 49a b + 70a b x + 25x
13. (4ab + 5xy ) = 16a b + 40ab xy + 25x y
14. (8x y + 9m ) = 64 x y + 144 x ym + 81m
15. ( x + 10 y ) = x + 20 x y + 100 y
16. (a + a ) = a + 2a
+a
17. (a + b ) = a + 2a b + b
18. ( x
+ y ) = x + 2x y + y
10.
1. m + 3 = m2 + 6m + 9
2
]
= − x2 + 2 x − 1
x 3 + 5x 2 + x − 2 Rta
EJERCICIO 62
4
n 2
]
= − x − 3x + 4 + x − 3
x 3 + 5x 2 − 3
2
4
4
4
[
[
x + 5x − 6
2
4
2 2
4
[
5 2
6
2m
m n
x −2
2
a +1
a −2 2
2 x −4
4 5
2 10
2n
x −2
2a + 2
]
− x 2 + (− 3x + 4) − (− x + 3)
3
30.
3
29.
x 4 + 7 x 3 − 14x 2 − 63x + 45
x 4 + 7 x 3 − 14 x 2 − 63x + 45
= 6 ( 4) + 10 − 1
= 24 + 10 − 1 = 33
= 6 x − 5x − 1
2
2
2
2
= 4 x2 − 4 x + x 2 − 4 + x 2 − x + 3
2
3
− 9x 2 − 63x + 45
= 6 (− 2) − 5 (− 2) − 1
+ 21x Rta
18x − 14x − 84 x + 45
2
2a −1
2a − 4
EJERCICIO 64
( )( )
2. (m − n )(m + n) = m − n
3. (a − x )( x + a ) = a − x
2
2
4.
2
2
(
2
2
)(
2
4
(a − b )(a + b ) = a − b
10. ( y − 3 y)( y + 3 y) = y − 9 y
4
3
9.
)
5. 2a − 1 1 + 2a = 4a 2 − 1
2
3
2
2
2
2
2
2
7.
2
2
2
2
4
n
a
2
m
2
n
m
2m
m
(
15. a x +1 − 2b x −1
4
4 2
2a
2m
2n
a
)(2b + a ) = a
x −1
x +1
2
2
2
2
4
2 x +2
− 4b2 x − 2
2
4
2
(
)(
)
11. (2 x + y − z)(2 x − y + z) = 4 x − y + 2 yz − z
2
2
2
(x − 5x + 6)(x + 5x − 6) = x − 25x + 60x − 36
13. (a − ab + b )(a + b + ab ) = a + a b + b
14. ( x − x − x )( x + x + x ) = x − x − 2 x − x
2
12.
2
2
(n + 2n + 1)(n − 2n − 1) = n − 4n − 4n − 1
2
2
10. 2a − b − c 2a − b + c = 4a 2 − 4ab + b2 − c 2
2
2
2
(a − 2a + 3)(a + 2a + 3) = a + 2a + 9
9. (m − m − 1)(m + m − 1) = m − 3m + 1
2
2
)
2
m
4
4
8.
(
)(
)
2. ( x − y + z)( x + y − z) = x − y + 2 yz − z
3. ( x + y + z)( x − y − z) = x − y − 2 yz − z
4. (m + n + 1)(m + n − 1) = m + 2mn + n − 1
5. (m − n − 1)(m − n + 1) = m + n − 2mn − 1
6. ( x + y − 2)( x − y + 2) = x − y + 4 y − 4
1. x + y + z x + y − z = x + 2 xy + y − z
2
2
6
2
EJERCICIO 65
2
2
)(
(6x − m x)(6x + m x) = 36x − m x
13. (a + b )(a − b ) = a − b
14. (3x − 5 y )(5 y + 3x ) = 9 x − 25 y
12.
2
2
2
(x + a )(x − a ) = x − a
2
(
11. 1 − 8 xy 8 xy + 1 = 1 − 64 x 2 y 2
( )( )
7. (1 − 3ax )(3ax + 1) = 1 − 9a x
8. (2m + 9)(2m − 9) = 4m − 81
6. n − 1 n + 1 = n 2 − 1
1. x + y x − y = x 2 − y 2
3
2
2
4
2
2
2
2
3
4
2
6
4
2 2
4
3
2
EJERCICIO 66
( )
2. ( x − 1) = x − 3 x + 3x − 1
3. (m + 3) = m + 9m + 27m + 27
4. (n − 4) = n − 12n + 48n − 64
3
1. a + 2 = a 3 + 6a 2 + 12 a + 8
3
3
3
3
2
3
3
( )
6. (1 − 3 y ) = 1 − 9 y + 27 y − 27 y
3
5. 2 x + 1 = 8 x 3 + 12 x 2 + 6 x + 1
3
2
(2 + y ) = 8 + 12 y + 6 y + y
2 3
2
4
2
7.
2
8. 1 − 2n = 1 − 6n + 12n 2 − 8n 3
(
)
3
6
3
(
)
3
9. 4n + 3 = 64n 3 + 144n 2 + 108n + 27
10.
(a − 2b) = a − 6a b + 12a b − 8b
3
2
(
6
4
2 2
3
)
3
11. 2 x + 3 y = 8 x 3 + 36 x 2 y + 54 xy 2 + 27 y 3
12.
(1− a ) = 1− 3a + 3a − a
2 3
2
4
6
EJERCICIO 67
9. (a − 11)(a + 10) = a − a − 110
17. (a − 2)(a + 7) = a + 5a − 14
( )( )
10. (n − 19)(n + 10) = n − 9n − 190
2. (x + 2)( x + 4) = x + 6 x + 8
18. (a 6 + 7)(a 6 − 9) = a 12 − 2a 6 − 63
2
2
4
2
3. ( x + 5)(x − 2) = x + 3x − 10 11. (a + 5)(a − 9) = a − 4a − 45 19. (ab + 5)(ab − 6) = a b − ab − 30
4. (m − 6)(m − 5) = m − 11m + 30 12. 2
(x − 1)(x 2 − 7) = x 4 − 8x 2 + 7 20. (xy2 − 9)(xy2 + 12) = x 2 y 4 + 3xy 2 − 108
5. ( x + 7)( x − 3) = x + 4 x − 21
13. (n 2 − 1)(n 2 + 20) = n 4 + 19n 2 − 20 21. (a 2b 2 − 1)(a 2b 2 + 7) = a 4b 4 + 6a 2b 2 − 7
6. ( x + 2)(x − 1) = x + x − 2
14. (n 3 + 3)(n 3 − 6) = n 6 − 3n 3 − 18
22. ( x 3 y 3 − 6)(x 3 y 3 + 8) = x 6 y 6 + 2 x 3 y 3 − 48
7. ( x − 3)( x − 1) = x − 4 x + 3
15. ( x 3 + 7)( x 3 − 6) = x 6 + x 3 − 42
23. (a x − 3)(a x + 8) = a 2 x + 5a x − 24
8. ( x − 5)( x + 4) = x − x − 20
5
2
1. a + 1 a + 2 = a 2 + 3a + 2
5
10
5
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
16.
(a + 8)(a − 1) = a + 7a − 8
4
4
8
4
24.
(a − 6)(a − 5) = a
x +1
x +1
2 x +2
− 11a x +1 + 30
(x − 2)(x + 5) = x + 3x − 10
4
4
8
4
EJERCICIO 68
20.
( )
2. ( x + 2)( x + 3) = x + 5x + 6
3. ( x + 1)( x − 1) = x − 1
4. ( x − 1) = x − 2 x + 1
5. (n + 3)(n + 5) = n + 8n + 15
6. (m − 3)(m + 3) = m − 9
7. (a + b − 1)(a + b + 1) = a + 2ab + b − 1
8. (1 + b) = 1 + 3b + 3b + b
21. 1 − a + b b − a − 1 = − 1 + a 2 − 2ab + b 2
(
2
1. x + 2 = x 2 + 4 x + 4
(
2
25. 2a + x
2
2
2 2
2
( )( )
12. (1 − 4ax ) = 1 − 8ax + 16a x
13.
2
2
4
3
6
4 2
6
3
1. x − 1 = x − 1
x +1
3
1− x 2
= 1+ x
2.
1− x
x2 − y2
= x−y
3.
x+ y
4.
y2 − x2
= y+x
y−x
x2 − 4
= x−2
5.
x+2
9 − x4
= 3 + x2
6.
3 − x2
4
6
3 4
3
4
6
3
2
4
8
8
2
2
4
)
2
2 3
2 3
a − 4b
= a − 2b
a + 2b
4x − 9m n
= 2x − 3mn2
2x + 3mn2
2 4
36m − 49n x
2
4 6
2 3
4
2 2
2
4
4
2
4
4
2
4
2
2
2 4
6m − 7nx 2
= 6m + 7nx 2
81a 6 − 100b 8
= 9a 3 − 10b 4
11.
9a 3 + 10b 4
a 4b6 − 4x 8 y10
= a 2b 3 + 2x 4 y 5
12. 2 3
a b + 2x 4 y 5
13.
2
( )( )( )( )
38. (a + 2)(a − 3)(a − 2)(a + 3) = a − 13a + 36
25 − 36x
= 5 + 6x 2
8.
5 − 6x 2
10.
3
37. a + 1 a − 1 a + 2 a − 2 = a 4 − 5a 2 + 4
4
9.
4 2
2
8
2
2
2
4
2
3
7.
2
2
2
EJERCICIO 69
3
2
(x − 1)(x + 3) = x + 2 x − 3
18. ( x + 6)( x − 8) = x − 2 x − 48
19. (5x + 6m ) = 25x + 60 x m + 36m
3
4
(x y − 8)(x y + 6) = x y − 2 x y − 48
33. (a + b)(a − b)(a − b ) = a − 2a b + b
34. ( x + 1)( x − 1)( x − 2) = x − 3x + 2
35. (a + 3)(a + 9)(a − 3) = a − 81
36. ( x + 5)( x − 5)( x + 1) = x − 24 x − 25
32.
2
2
4
3
2
(
2
2
4 4
31. 11 − ab = 121 − 22ab + a 2b2
2
(
)(
)
15. (1 − a )(a + 1) = 1 − a
16. (m − 8)(m + 12) = m + 4m − 96
2
a +1
) = 8a + 12a x + 6ax + x
4
14. x + y + 1 x − y − 1 = x 2 − y 2 − 2 y − 1
17.
2
2
4
(a + 8)(a − 7) = a + a − 56
2
2n
2a +2
2 2
3
11. ab + 3 3 − ab = 9 − a 2b 2
2
2
3
3
4
2 2
2x
a +1
2
26.
2
(a + 4)(a − 4) = a − 16
10. (3ab − 5x ) = 9a b − 30abx + 25x
9.
n
(x − 11)(x − 2) = x − 13x + 22
27. (2a − 5b ) = 4a − 20a b + 25b
28. (a + 12 )(a − 15 ) = a − 3a − 180
29. (m − m + n)(n + m + m ) = m + 2m n + n − m
30. ( x + 7)( x − 11) = x − 4 x − 77
2
2
x
2 2
2
3
n
a +1
2
2
)
(a + b )(a − b ) = a − b
23. ( x − 8)( x + 9) = x
− x − 72
24. (a b + c )(a b − c ) = a b − c
22.
2
2
)(
x
x 2n − y 2n
= xn − y n
xn + yn
14.
a 2 x + 2 − 100
= a x + 1 + 10
a x + 1 − 10
1− 9x 2m + 4
= 1− 3x
15.
1 + 3x m + 2
m+2
(x + y ) − z = x + y + z
16.
(x + y ) − z
1 − (a + b)
= 1− a − b
17.
1 + (a + b)
4 − (m + n)
= 2 − m− n
18.
2 + (m + n)
x − (x − y)
=y
19.
x + (x − y)
2
2
2
2
2
2
(a + x) − 9 = a + x − 3
(a + x) + 3
2
20.
2
2
EJERCICIO 70
EJERCICIO 71
1+ a 3
= 1− a + a 2
1.
1+ a
1.
x4 − y4
= x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3
x−y
3.
a 5 − n5
= a 4 + a 3n + a 2n2 + an3 + n4
a −n
4.
x6 − y6
= x 5 − x 4 y + x 3 y 2 − x 2 y 3 + xy 4 − y 5
x+y
5.
a6 − b6
= a 5 + a 4b + a 3b 2 + a 2b 3 + ab 4 + b5
a −b
6.
x7 + y7
= x 6 − x 5 y + x 4 y 2 − x 3 y 3 + x 2 y 4 − xy 5 + y 6
x+y
7.
a 7 − m7
= a 6 + a 5m + a 4m2 + a 3m3 + a 2m4 + am5 + m6
a −m
8.
a 8 − b8
= a7 − a 6b + a 5b 2 − a 4b 3 + a 3b 4 − a 2b 5 + ab6 − b7
a+b
9.
x10 − y10
= x 9 + x 8 y + x 7 y 2 + x 6 y 3 + x 5 y 4 + x 4 y 5 + x 3 y 6 + x 2 y 7 + xy 8 + y 9
x−y
10.
m9 + n9
= m8 − m7n + m6n2 − m5n3 + m4n4 − m3n5 + m2n6 − mn7 + n8
m+n
a 3x3 + b3
= a 2 x 2 − axb + b 2
11.
ax + b
11.
m9 − n9
= m8 + m7n + m6n2 + m5n3 + m4n4 + m3n5 + m2n6 + mn7 + n8
m−n
n3 − m3 x 3
2
2 2
12. n − mx = n + nmx + m x
12.
a10 − x10
= a 9 − a 8 x + a 7 x 2 − a 6 x 3 + a 5 x 4 − a 4 x 5 + a 3 x 6 − a 2 x 7 + ax 8 − x 9
a+x
1− a 3
= 1+ a + a 2
2.
1− a
x3 + y 3
= x 2 − xy + y 2
x+y
3.
8a 3 − 1
= 4a 2 + 2a + 1
4.
2a − 1
8x 3 + 27y 3
= 4x 2 − 6xy + 9y 2
2x + 3y
5.
6.
27m3 − 125n3
= 9m2 + 15m + 25n2
3m − 5n
7.
64a + 343
= 16a 2 − 28a + 49
4a + 7
8.
216 − 125y
= 36 + 30y + 25y 2
6 − 5y
9.
1 +a b
= 1− ab + a 2b 2
1+ ab
3
3
3 3
729 − 512b
= 81+ 72b + 64b 2
9 − 8b
3
10.
x 6 − 27y 3
= x 4 + 3x 2 y + 9y 2
13.
x 2 − 3y
8a 9 + y 9
= 4a 6 − 2a 3 y 3 + y 6
14.
2a 3 + y 3
1− x12
= 1+ x 4 + x 8
15.
1− x 4
1− n5
= 1+ n + n2 + n3 + n4
13.
1− n
2.
m5 + n 5
= m4 − m3n + m2n2 − mn3 + n4
m+n
1− a 6
= 1+ a + a 2 + a 3 + a 4 + a 5
14.
1− a
1+ a 7
= 1− a + a 2 − a 3 + a 4 − a 5 + a 6
15.
1+ a
1− m8
= 1− m + m2 − m3 + m4 − m5 + m6 − m7
16.
1+ m
27x 6 + 1
= 9x 4 − 3x 2 + 1
16.
3x 2 + 1
17.
x 4 − 16
= x 3 + 2x 2 + 4x + 8
x−2
64a 3 + b9
= 16a 2 − 4ab 3 + b 6
17.
4a + b3
18.
x 6 − 64
= x 5 − 2x 4 + 4x 3 − 8x 2 + 16x − 32
x+2
a 6 − b6
4
2 2
4
18. 2 2 = a + a b + b
a −b
19.
x 7 − 128
= x 6 + 2x 5 + 4x 4 + 8x 3 + 16x 2 + 32x + 64
x−2
20.
a 5 + 243
= a 4 − 3a 3 + 9a 2 − 27a + 81
a+3
21.
x 6 − 729
= x 5 + 3x 4 + 9x 3 + 27x 2 + 81x + 243
x−3
19.
125 − 343 x15
5 − 7x 5
= 25 + 35x 5 + 49 x10
n +1 4 2
= n −n +1
20. 2
n +1
6
22.
625 − x 4
= 125 − 25x + 5x 2 − x 3
x+5
24.
x10 − 1 9 8
= x + x + x7 + x6 + x5 + x 4 + x3 + x2 + x + 1
x −1
26.
16a 4 − 81b 4
= 8a 3 + 12a 2b + 18ab 2 + 27b3
2a − 3b
27.
64m6 − 729n6
= 32m5 − 48m4n + 72m3n2 − 108m2n3 + 162mn4 + 243n5
2m + 3n
28.
1. 024x10 − 1
= 512x 9 + 256x 8 + 128x 7 + 64x 6 + 32x 5 + 16x 4 + 8x 3 + 4x 2 + 2x + 1
2x − 1
29.
512a 9 + b9
= 256a 8 − 128a 7b + 64a 6b2 − 32a 5b 3 + 16a 4b 4 − 8a 3b 5 + 4a 2b6 − 2ab7 + b8
2a + b
30.
a 6 − 729
= a 5 + 3a 4 + 9a 3 + 27a 2 + 81a + 243
a −3
23.
m8 − 256
= m7 + 2m6 + 4m5 + 8m4 + 16m3 + 32m2 + 64m + 128
m−2
25.
x 5 + 243y 5
= x 4 − 3x 3 y + 9x 2 y 2 − 27xy 3 + 81y 4
x + 3y
EJERCICIO 72
x6 + y6
4
2 2
4
1. 2 2 = x − x y + y
x +y
m16 − n16
= m12 + m8n4 + m4n8 + n12
8.
m4 − n4
a 8 − b8
6
4 2
2 4
6
2. 2 2 = a − a b + a b − b
a +b
9.
a18 − b18
= a15 − a12b 3 + a 9b6 − a 6b9 + a 3b12 − b15
a 3 + b3
m10 − n10
= m8 + m6n2 + m4n4 + m2n6 + n8
3.
m2 − n2
10.
x 20 − y 20
= x15 − x10 y 5 + x 5 y10 − y15
x5 + y 5
a12 − b12
= a 9 − a 6b 3 + a 3b 6 − b 9
4.
a3 + b3
a12 − x12
= a9 + a6 x3 + a3x6 + x 9
5.
a3 − x3
x15 + y15
= x12 − x 9 y 3 + x 6 y 6 − x 3 y 9 + y12
6.
x3 + y 3
m12 + 1
= m8 − m4 + 1
7.
m4 + 1
m21 + n21
= m18 − m15n3 + m12n6 − m9n9 + m6n12 − m3n15 + n18
11.
m3 + n3
x 24 − 1 18 12 6
= x + x + x +1
12. 6
x −1
a 25 + b 25
= a 20 − a15b5 + a10b10 − a 5b15 + b 20
13.
a5 + b5
a 30 − m30
= a 24 + a18m6 + a12m12 + a 6m18 + m24
14
a 6 − m6
EJERCICIO 73
x4 −1 2
= x −1
1+ x 2
4.
x 6 − 27y 3
= x 4 + 3x 2 y + 9y 2
x 2 − 3y
8m3 + n6
= 4m2 − 2mn2 + n4
2.
2m + n2
5.
x 6 − 49y 6
= x 3 − 7y 3
x 3 + 7y 3
1 − a5
= 1+ a + a 2 + a 3 + a 4
3.
1− a
6.
a14 − b14
= a12 + a10b2 + a 8b 4 + a 6b6 + a 4b8 + a 2b10 + b12
a2 − b2
1.
1 + a3
= 1− a + a 2
7.
1+ a
8.
16.
16x 2 y 4 − 25m6
= 4xy 2 − 5m3
4xy 2 + 5m3
64x 6 − 343y 9
= 16x 4 + 28x 2 y 3 + 49y 6
4x 2 − 7y 3
a18 − b18
= a15 − a12b3 + a 9b6 − a 6b9 + a 3b12 − b15
17.
a3 + b3
x 27 + y 27
= x 24 − x 21y 3 + x18 y 6 − x15 y 9 + x12 y12 − x 9 y15 + x 6 y18 − x 3 y 21 + y 24
9.
x3 + y 3
a 27 + y 27
= a18 − a 9 y 9 + y18
10.
a9 + y9
18.
(a + x) − y = a + x + y
(a + x) − y
a 4b 4 − 64x 6
= a 2b 2 − 8x 3
11.
a 2b 2 + 8x 3
19.
1+ x11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
= x − x + x − x + x − x + x − x + x − x +1
x +1
1− a 2b 4 c 8
= 1+ ab 2 c 4
12.
1− ab 2c 4
20.
x 40 − y 40
= x 32 + x 24 y 8 + x16 y16 + x 8 y 24 + y 32
x8 − y8
2
2
32x 5 + 243y 5
= 16x 4 − 24x 3 y + 36x 2 y 2 − 54xy 3 + 81y 4
2x + 3y
13.
25 − (a + 1)
2
= 4− a
21.
9 − 36x10
= 3 − 6x 5
3 + 6x 5
1− x12
= 1+ x 4 + x 8
15.
1− x 4
22.
x 8 − 256 7
= x + 2x 6 + 4x 5 + 8x 4 + 16x 3 + 32x 2 + 64x + 128
x−2
5 + (a + 1)
14.
EJERCICIO 74
2. x − 3x + 2 x − 2 ÷ x + 1
3
2
1. x − 2x + 3 ÷ x − 1
= 1 − 2 ⋅1+ 3
= 1− 2 + 3 = 2
2
2
= (− 3) − 5 (− 3) + 2 (− 3) − 6
4
3
2
= 81 − 5 (− 27) + 2 ⋅ 9 − 6
= 81 + 135 + 18 − 6 = 228
7. a − 2a + 2a − 4 ÷ a − 5
5
3
= 5 5 − 2⋅5 3 + 2⋅5 − 4
= 3 .125 − 2 ⋅125 + 10 − 4
3
= − 1− 3− 2 − 2 = − 8
5. m + m − m + 5 ÷ m − 4
6. x + 3x − 2 x + 4 x − 2 x + 2 ÷ x + 3
4
4. a − 5a + 2a − 6 ÷ a + 3
3
4
2
= 2 − 23 + 5
= 16 − 8 + 5 = 13
3
2
4
=4 +4 −4 +5
= 256 + 64 − 16 + 5 = 309
4
4
3. x − x + 5 ÷ x − 2
= (− 1) − 3 (− 1) + 2 (− 1) − 2
3
2
3
2
8. 6 x + x + 3x + 5 ÷ 2 x + 1
3
2
 1  1
 1
= 6  −  +  −  + 3 −  + 5
 2  2
 2
3
2
5
3
2
= (− 3) + 3(− 3) − 2(− 3) + 4(− 3) − 2(− 3) + 2
4
3
2
= − 243 + 3⋅ 81 − 2 (− 27) + 4 ⋅ 9 + 6 + 2
= − 243 + 243 + 54 + 36 + 8 = 98
3 1 3
 1 1 3
= 6 −  + − + 5= − + − + 5
 8 4 2
4 4 2
=
4
5
− 3 + 1 − 6 + 20 12
=
= 3
4
4
= 3 .125 − 250 + 10 − 4 = 2 . 881 11. 5x 4 − 12 x 3 + 9 x 2 − 22 x + 21 ÷ 5x − 2
9. 12x − 21x + 90 ÷ 3x − 3
3
= 12 ⋅1 3 − 21⋅1+ 90
= 12 − 21+ 90 = 81
12. a + a − 8a + 4a + 1 ÷ 2a + 3
6
4
2
6
4
2
 3  3
 3
 3
=  −  +  −  − 8 −  + 4 −  + 1
4
3
2
 2  2
 2
 2
 2
 2
 2
 2
= 5   − 12   + 9   − 22   + 21
3
2
 5
 5
 5
 5
729
81
9
12
−
+
+
÷
+
15
x
11
x
10
x
18
3
x
2
10.
=
+ − 8⋅ − + 1
16
8
4 44
3
2
64 16
4 2
 2
 2
 2
= 5⋅
− 12 ⋅
+ 9⋅ −
+ 21
= 15  −  − 11  −  + 10  −  + 18
729 81
729 81
625
125
25 5
 3
 3
 3
=
+ − 18 − 6 + 1 =
+
− 23
16 96 36 44
64 16
64 16
=
−
+
−
+ 21
4 20
 8
729 + 324 − 1. 472
419
125 125 25 5
= 15  −  − 11⋅ −
+ 18
=
= −
 27 
9 3
80 36 44
64
64
=−
+
−
+ 21
40 44 20
125 25 5
=−
−
−
+ 18
9
9
3
− 80 + 180 − 1.100 + 2 . 625 1. 625
=
=
= 13
− 40 − 44 − 60 + 162 18
125
125
=
=
=2
9
9
EJERCICIO 75
1. x − 7 x + 5 ÷ x − 3
1 −7 5
3 − 12
11. x 6 − 3x 5 + 4x 4 − 3x 3 − x 2 + 2 ÷ x + 3
6. n4 − 5n3 + 4n − 48 ÷ n + 2
2
1 −5 0
4 − 48
− 2 14 − 28
48
3
1 − 7 14 − 24
1 −4 −7
= x − 4 Re s. − 7
1
−3
−3
4
18
− 3
− 66
−1
207
0
− 618
2 −3
1. 854
1
−6
22
− 69
206
− 618
1. 856
−2
= x 5 − 6x 4 + 22x 3 − 69x 2 + 206x − 618 Re s. 1. 856
0
= n3 − 7n2 + 14n − 24 Re s. 0
12. 2x 3 − 3x 2 + 7x − 5 ÷ 2x − 1
7. x − 3x + 5 ÷ x − 1
1 0 0 −3 5 1
1 1 1 −2
4
2. a − 5a + 1÷ a + 2
1 −5 1 −2
− 2 14
2
1 1 1 −2
1 − 7 15
= a − 7 Re s. 15
2
−3
7
1
−1
3
2
−2
6
−2
= x 2 − x + 3 Re s. − 2
3
13. 3a − 4a + 5a + 6 ÷ 3a + 2
3
= x 3 + x 2 + x − 2 Re s. 3
3
2
1 −2
8. x + x − 12x − x − 4x − 2 ÷ x + 4
5
4
2
1 − 12 − 1
− 4 12 0
1
1 −3
4 −6
3
−1
0
−4
4
−2
0
0
−2
−4
3
1 −2
2
1 −2
0 2
1
1
2
1
0
0
= x + 1 Re s. 0
−6
− 3 18 − 54
4
−6
2
4
2
4
16
2
1
2
8
10
2
−3
1 − 6 18 − 60
1
10. 1
= a 2 − 6a + 18 Re s. − 60
− 208
0
4
−6
−6
9
0
Re s. 0
3
2
3
−4
4
− 10
8
1
3
−3
−1
1
−3
3
−9
5
= x3 − x2 + x − 3
1
3
Re s. 5
15
6
4
3
2
15. x − x + x + x − 1 ÷ 2x + 3
8
0
−1
−
3
2
9
4
1 −
3
2
5
4
1
x 5 − 208 x 2 + 2076 ÷ x − 5
5. a 3 − 3a 2 − 6 ÷ a + 3
0
0
= a 4 + 2a 3 + a 2 + 2a + 8 Re s. 10
2
1 −3
0 −3
−2
4
9. a 5 − 3a 3 + 4a − 6 ÷ a − 2
1
6
14. 3x − 4x + 4x − 10x + 8 ÷ 3x − 1
2
4. x 3 − 2x 2 + x − 2 ÷ x − 2
2
3
−
5
= a 2 − 2a + 3
= x 4 − 3x 3 − x Re s. − 2
= x − 2x + 4 Re s. − 6
2
−4
3
3. x − x + 2x − 2 ÷ x + 1
−1
1 −1 2 − 2
−1 2 − 4
1
2
− 5
2 . 076
0
0
5
25
125
− 415 − 2 . 075
5
25
− 83
− 415
1
= x 4 + 5 x 3 + 25x 2 − 83x − 415 Re s. 1
5
=
15
8
15
−
8
0
1
0
−1
0
−
3
2
9
4
1
−
3
2
5
4
1 5 3 4 5 3 1
3
x − x + x + x−
2
4
8
2
4
Re s.
−
5
4
EJERCICIO 76
1. x 2 − x − 6 ÷ x − 3
Exacta (6 múltiplo de 3)
2. x + 4x − x − 10 ÷ x + 2
Exacta (10 múltiplo de 2)
3
2
3. 2x 4 − 5x3 + 7x2 − 9x + 3 ÷ x − 1
Inexacta (1 no anula el polinomio)
4. x 5 + x 4 − 5x 3 − 7x + 8 ÷ x + 3
Inexacta (8 no es múltiplo de 3)
5. 4x 3 − 8x 2 − 11x − 4 ÷ 2x − 1
Exacta (4 múltiplo de 1)
6. 6x 5 + 2x 4 − 3x 3 − x2 + 3x + 3 ÷ 3x + 1
Inexacta (- 1 no anula el polinomio)
7. a +1 Es factor de a 3 − 2a 2 + 2a + 5
(− 1) − 2(− 1) + 2(− 1) + 5
3
2
= − 1− 2 − 2 + 5 = 0
No existe residuo, luego a + 1 divide exactamente al polinomio, por lo que se deduce es
un factor de este.
8. x − 5 divide a x 5 + 6x 4 + 6x 3 − 5x 2 + 2x − 10
55 + 6 ⋅ 5 4 + 6 ⋅ 53 − 5 ⋅ 52 + 2 ⋅ 5 − 10
= 3125 − 3750 + 750 + 125 + 10 − 10 = 0
Al sustituir x por 5 en el polinomio, este se
anula, entonces x - 5 divide con exactitud a
x 5 + 6x 4 + 6x 3 − 5x 2 + 2x − 10
3
2
9. 4x − 3 divide a 4x4 − 7x 3 + 7x2 − 7x + 3
4
3
17. 15n5 + 25n4 − 18n3 − 18n2 + 17n − 11 ÷ 3n + 5
2
 3
 3
 3
 3
4  − 7  + 7  − 7  + 3
 4
 4
 4
 4
7
2
20. 2a
0
1 6
x5 + 1
Inexacta Re s. 2
1.
x −1
0
2.
− 39x 4 + 26x 3 − 52x 2 + 29x − 30 ÷ x − 6
36 − 18
48 − 24 30
−3
8
−4
5
0
Exacta; coc. x 5 + 6x 4 − 3x 3 + 8x 2 − 4x + 5
15. a − 4a − a + 4a + a − 8a + 25 ÷ a − 4
4
0 −4
0 4 − 16
6
1
5
0 −1
4
3
0
2
1 −4
9
Inexacta; coc. a 5 − a 3 + a − 4 ; Re s. 9
16. 16x 4 − 24 x 3 + 37x 2 − 24x + 4 ÷ 4x − 1
16
4
−5
− 20
32
8 −4
− 16
87
EJERCICIO 77
+ 5x − 6 ÷ x − 1
1 1 1 6
6
+ 25a + k ÷ a + 3
4
20 − 12
32
0
k − 8 = 0 entoces k = 8
− a + 2a + 2 ÷ a + 1
−1 1 0 − 2
6
4
3
2
21. 20x − 7 x + 29x + k ÷ 4 x + 1
−5
3 −8
Exacta; coc. x 3 + x 2 + x + 6
14. x
−2
2 − 6 18 − 29 0
Para k = − 87 se cumple que k + 87 = 0
2
1 1 1 6
0
− 6 18 − 54
Exacta; coc. a 3 − a 2 + 2
13. x 4
30
1 −1
2
0
k + 4 = 0 , luegok = − 4
0
2
−6
19. x 3 − 3x 2 + 4 x + k ÷ x − 2
Exacta; coc.2a 2 − 6a + 8
1 −1 0
5
− 3
Sik = − 150 se anula
11. 2a 3 − 2a 2 − 4a + 16 ÷ a + 2
− 4 12 − 16
12. a
− 20
12
2
3n5 + 2n4 − 3n3 − 2n2 + 6n + 7 porque 7 no es
múltiplo de - 2 / 3, lo cual significa que al
reemplazar tal valor en el polinomio resultará un residuo, por ende la división
no será exacta y 3n + 2 no se puede
concebir como factor de dicho polinomio.
4
30
− 18
18. 7 x − 5 x + k ÷ x − 5
35
150
10. 3n + 2 no es factor de
8
0
0
Inexacta; coc. 5n4 − 6n2 + 4n − 1; Re s. − 6
324 189 63 21
−
+ − +3
256 64 16 4
324 − 756 + 1. 008 − 1. 344 + 768
0
=
=
=0
256
256
La variable x del dividendo se reemplaza
por 3/4 (4x - 3 = 0 luego x = 3/4) que es el
valor de la variable del divisor
divisor.. Se observa
su anulación, por consiguiente, 4x - 3 es
un divisor exacto de tal polinomio.
=
2 −6
− 25
15
0
9.
a 5 + 32
Inexacta Re s. 64
a−2
a 4 + b4
Inexacta Re s. 2b 4
a+b
x8 −1
Exacta
3. 2
x +1
10.
x 7 − 128
Inexacta Re s. − 256
x+2
a11 + 1
Inexacta Re s. 2
4.
a−1
a 6 + b6
Inexacta Re s. 2b 6
5. 2
a + b2
x7 − 1
Exacta
6.
x −1
x3 − 8
Inexacta Re s. − 16
7.
x+2
Exacta; coc. 4x 3 − 5x 2 + 8x − 4
8.
x 4 − 16
Exacta
x+2
11.
16a 4 − 81b 4
Exacta
2a + 3b
a 3x6 + b9
Exacta
12.
ax 2 + b3
EJERCICIO 78
1.
6.
5x = 8x − 15
5x − 8x = − 15
− 3x = − 15
− 15
x=
−3
x=5
2. 4 x + 1= 2
4x = 2 − 1
4x = 1
x=
3.
1
4
y − 5 = 3y − 25
y − 3y = − 25 + 5
− 2y = − 20
− 20
y=
−2
y = 10
4.
5x + 6 = 10x + 5
5x − 10x = 5 − 6
− 5x = − 1
−1
x=
−5
1
x=
5
21− 6x = 27 − 8x 7. 11x + 5x − 1= 65x − 36
8. 8 x − 4 + 3x = 7 x + x + 14
− 6x + 8x = 27 − 21
16x = 65x − 36 + 1
11x − 4 = 8 x + 14
2x = 6
16x − 65x = − 35
11x − 8 x = 14 + 4
− 49x = − 35
6
3x = 18
x=
2
− 35
18
x=
x=
x=3
− 49
3
x=
10. 5y + 6y − 81= 7y + 102 + 65y
11y − 81= 72y + 102
11y − 72y = 102 + 81
− 61y = 183
183
y=
− 61
y=−3
5.
9y − 11= − 10 + 12y
9y − 12y = − 10 + 11
− 3y = 1
y=−
9. 8x + 9 − 12x = 4x − 13 − 5x
− 4 x + 9 = − x − 13
− 4x + x = − 13 − 9
− 3x = − 22
x=6
5
7
11. 16 + 7x − 5 + x = 11x − 3 − x
8x + 11= 10x − 3
8x − 10x = − 3 − 11
− 2x = − 14
− 14
x=
−2
x=7
13. 14 − 12x + 39x − 18x = 256 − 60x − 657x
9x + 14 = − 717x + 256
9x + 717x = 256 − 14
726x = 242
242
726
1
x=
3
x=
1
3
x=
− 22
−3
x=
22
3
12. 3x + 101− 4 x − 33 = 108 − 16 x − 100
− x + 68 = 8 − 16x
− x + 16 x = 8 − 68
15 x = − 60
− 60
15
x=−4
x=
14. 8x − 15x − 30x − 51x = 53x + 31x − 172
− 88x = 84 x − 172
− 88x − 84x = − 172
− 172x = − 172
− 172
x=
− 172
x =1
EJERCICIO 79
1. x − (2 x + 1) = 8 − (3x + 3)
x − 2 x − 1 = 8 − 3x − 3
− x − 1 = 5 − 3x
− x + 3x = 5 + 1
2x = 6
6
x=
2
x=3
2. 15x − 10 = 6 x − (x + 2) + (− x + 3) 3. (5 − 3x ) − (− 4 x + 6) = (8 x + 11) − (3x − 6)
15x − 10 = 6 x − x − 2 − x + 3
15x − 10 = 4 x + 1
15x − 4 x = 10 + 1
11
11
x=1
x=
5 − 3x + 4 x − 6 = 8x + 11 − 3x + 6
x − 1 = 5x + 17
x − 5x = 17 + 1
− 4 x = 18
18
x=
−4
9
x= −
2
5. 15x + (− 6 x + 5) − 2 − (− x + 3) = − (7 x + 23) − x + (3 − 2 x)
4. 30 x − (− x + 6) + (− 5x + 4) = − (5x + 6) + (− 8 + 3x )
15x − 6 x + 5 − 2 + x − 3 = − 7 x − 23 − x + 3 − 2 x
30 x + x − 6 − 5x + 4 = − 5x − 6 − 8 + 3x
10 x = − 10x − 20
26 x − 2 = − 2 x − 14
10 x + 10 x = − 20
20 x = − 20
26 x + 2 x = − 14 + 2
28x = − 12
− 20
20
x= −1
12
28
3
x=−
7
x=
x=−
[
]
[
[
]
3x + [− 6x − 3] = 3x − 9
[
[
]
]
[
[
[
16 x − 12 x + 6 = 30 x − 4 x − 5
4 x + 6 = 26 x − 5
4 x − 26 x = − 5 − 6
− x − x = − 3+ 1
− 22 x = − 11
− 11 1
=
x=
− 22 2
−2
− 2x = − 2 ⇒ x =
=1
−2
[
}]
x − [5 + 3x − {5x − 6 − x}] = − 3
x − [5 + 3x − {4 x − 6}] = − 3
9 x − 5x − 1− {2 + 8 x − 7 x + 5} + 9 x = 0
4 x − 1− {x + 7} + 9 x = 0
{
[
]
]
x − 5 + 3x − 4 x + 6 = − 3
4 x − 1− x − 7 + 9 x = 0
12 x − 8 = 0
12 x = 8
8
x=
12
2
x=
3
[
x − 11 − x = − 3
x − 11 + x = − 3
2 x = − 3 + 11
2x = 8⇒ x =
] }
− {3x + 8 − [− 15 + 6 x + 3x − 2 − 5x − 4] − 29} = − 5
− {3x − 21 − [− 21 + 4 x ] } = − 5
[
11. − 3x + 8 − − 15 + 6 x − (− 3x + 2) − (5x + 4) − 29 = − 5
[
[
]
x=−5
EJERCICIO 80
1. x + 3 ( x − 1) = 6 − 4 (2 x + 3) 2. 5 ( x − 1) + 16 (2 x + 3) = 3 (2 x − 7) − x
5x − 5 + 32 x + 48 = 6 x − 21 − x
37 x + 43 = 5x − 21
4 x + 8x = − 6 + 3
37 x − 5x = − 21 − 43
12 x = − 3
32 x = − 64
[
]
]
[
[
]
71 + − 5x − 2 x + 3 = 25 − − 3x − 4 − 4 x − 3
− {− x} = − 5
x=
]
8
=4
2
10. 71 + − 5x + (− 2 x + 3) = 25 − − (3x + 4) − (4 x + 3)
− {3x − 21 + 21 − 4 x} = − 5
−3
1
⇒ x= −
x=
12
4
]
8. x − 5 + 3x − 5x − (6 + x) = − 3
}
9. 9 x − (5x + 1) − 2 + 8 x − (7 x − 5) + 9 x = 0
x + 3x − 3 = 6 − 8 x − 12
4 x − 3 = − 8x − 6
]
16 x − 12 x − 6 = 30 x + − 4 x − 5
3x − 6x − 3 = 3x − 9
− 3x − 3 = 3x − 9
− x − 1= x − 3
{
]
16 x − 3x − 6 + 9 x = 30 x + − 3x − 2 − x − 3
3x + − 5x − x − 3 = 8 x − 5x − 9
{
]
7. 16 x − 3x − (6 − 9 x ) = 30 x + − (3x + 2) − ( x + 3)
6. 3x + − 5x − ( x + 3) = 8 x + (− 5x − 9)
− 64
⇒ x= − 2
32
[
71 + − 7 x + 3 = 25 − − 7 x − 7
]
71 − 7 x + 3 = 25 + 7 x + 7
74 − 7 x = 32 + 7 x
74 − 32 = 7 x + 7 x
42 = 14 x
42
=x
14
3= x
3. 2 (3x + 3) − 4 (5x − 3) = x (x − 3) − x (x + 5)
6 x + 6 − 20 x + 12 = x 2 − 3x − x 2 − 5x
− 14 x + 18 = − 8 x
− 14 x + 8 x = − 18
− 6 x = − 18
− 18
⇒ x=3
x=
−6
4. 184 − 7 (2 x + 5) = 301 + 6 ( x − 1 ) − 6
(
)(
) (
2
7 x + 5x = − 7 − 5
12 x = − 12
149 − 289 = 6 x + 14 x
− 140 = 20 x
− 12
12
x= −1
− 140
=x
20
− 7= x
x=
5. 7 (18 − x ) − 6 (3 − 5x ) = − (7 x + 9) − 3(2 x + 5) − 12
2
23x + 13x = − 36 − 108
36 x = − 144
− 144
36
x= − 4
x=
) (
2
x2 − 4 x + 4 − 9 + 6x − x2 = 1
2x − 5= 1
2x = 6
6
x=
2
x=3
108 + 23x = − 13x − 36
) (
(x − 2) − (3 − x) = 1
11.
126 − 7 x − 18 + 30 x = − 7 x − 9 − 6 x − 15 − 12
) (
(
)(
)
(
)( )
14 − (10 x + 13x − 3) = 17 − (10 x − 59 x − 6)
12. 14 − 5x − 1 2 x + 3 = 17 − 10 x + 1 x − 6
)
6. 3x x − 3 + 5 x + 7 − x x + 1 − 2 x 2 + 7 + 4 = 0
2
3x 2 − 9 x + 5x + 35 − x 2 − x − 2 x 2 − 14 + 4 = 0
2
14 − 10 x 2 − 13x + 3 = 17 − 10 x 2 + 59 x + 6
− 5x + 25 = 0
− 13x − 59 x = 6
− 72 x = 6
− 5x = − 25
− 25
x=
−5
6
− 72
1
x= −
12
x=
x=5
7. − 3(2 x + 7) + (− 5x + 6) − 8 (1− 2 x) − (x − 3) = 0
− 6x − 21 − 5x + 6 − 8 + 16 x − x + 3 = 0
4 x − 20 = 0
(x − 2) + x (x − 3) = 3(x + 4)(x − 3) − (x + 2)(x − 1) + 2
x − 4 x + 4 + x − 3x = 3 ( x + x − 12) − ( x + x − 2) + 2
2
13.
4 x = 20
2
2
20
4
x=5
(
)(
) (
)(
9. 4 − 5x 4 x − 5 = 10 x − 3 7 − 2 x
)
− 20 x + 41x − 20 = − 20 x + 76 x − 21
2
2
41x − 76 x = − 21 + 20
− 35x = − 1
−1
x=
− 35
1
x=
35
2
2 x 2 − 7 x + 4 = 2 x 2 + 2 x − 36 + 4
− 7 x − 2 x = − 36
− 9 x = − 36
(3x − 4)(4 x − 3) = (6x − 4)(2 x − 5)
12 x 2 − 9 x − 16 x + 12 = 12 x 2 − 38 x + 20
− 25x + 38 x = 20 − 12
13x = 8
8
x=
13
2
2 x 2 − 7 x + 4 = 3x 2 + 3x − 36 − x 2 − x + 2 + 2
x=
8.
)
2 x + 7 x + 5 = 2 x − 5x − 12 + 5
2
149 − 14 x = 289 + 6 x
(
)(
10. x + 1 2 x + 5 = 2 x + 3 x − 4 + 5
184 − 14 x − 35 = 301 + 6 x − 6 − 6
x=
− 36
−9
x= 4
14. (3x − 1) − 5( x − 2) − (2 x + 3) − (5x + 2)( x − 1) = 0
2
2
9 x 2 − 6x + 1− 5x + 10 − 4 x 2 − 12 x − 9 − 5x 2 + 3x + 2 = 0
− 20x + 4 = 0
− 20x = − 4
−4
x=
− 20
1
x=
5
2 ( x − 3) − 3 ( x + 1) + ( x − 5)( x − 3) + 4 ( x 2 − 5x + 1) = 4 x 2 − 12
2
15.
2
2 x 2 − 12 x + 18 − 3x 2 − 6 x − 3 + x 2 − 8x + 15 + 4 x 2 − 20 x + 4 = 4 x 2 − 12
4 x 2 − 46 x + 34 = 4 x 2 − 12
− 46 x = − 12 − 34
− 46 x = − 46
− 46
x=
− 46
x=1
16.
2
7 (x − 4) − 3 (x + 5) = 4( x + 1)(x − 1) − 2
2
19.
5( x − 2) − 5( x + 3) + (2 x − 1)(5x + 2) − 10 x 2 = 0
2
2
7 x − 56 x + 112 − 3x − 30 x − 75 = 4 x 2 − 4 − 2
2
5x 2 − 20 x + 20 − 5x 2 − 30 x − 45 + 10 x 2 − x − 2 − 10 x 2 = 0
2
4 x 2 − 86 x + 37 = 4 x 2 − 6
− 51x − 27 = 0
− 86 x = − 6 − 37
− 86 x = − 43
− 51x = 27
x=
27
− 51
x=
− 43
− 86
9
17
x=
1
2
x= −
17. x 2 − 5x + 15 = x ( x − 3) − 14 + 5( x − 2) + 3(13 − 2 x )
x 2 − 5x + 15 = x 2 − 3x − 14 + 5x − 10 + 39 − 6 x
− 5x + 15 = − 4 x + 15
− 5x + 4 x = 0
− x= 0
5 (1 − x ) − 6 ( x 2 − 3x − 7) = x ( x − 3) − 2 x ( x + 5) − 2
2
20.
5 − 10 x + 5x 2 − 6 x 2 + 18 x + 42 = x 2 − 3x − 2 x 2 − 10 x − 2
− x 2 + 8 x + 47 = − x 2 − 13x − 2
8 x + 13x = − 2 − 47
21x = − 49
x= 0
18. 3(5x − 6)(3x + 2) − 6 (3x + 4)( x − 1) − 3(9 x + 1)( x − 2) = 0
3(15x 2 − 8 x − 12) − 6 (3x 2 + x − 4) − 3(9 x 2 − 17 x − 2) = 0
− 49
21
7
x= −
3
x=
45x 2 − 24 x − 36 − 18x 2 − 6 x + 24 − 27 x 2 + 51x + 6 = 0
21x − 6 = 0
21x = 6
6
x=
21
2
x=
7
EJERCICIO 81
[
]
1. 14 x − (3x − 2) − 5x + 2 − ( x − 1) = 0
[
]
11x + 2 − [4 x + 3] = 0
14 x − 3x + 2 − 5x + 2 − x + 1 = 0
11x + 2 − 4 x − 3 = 0
7 x − 1= 0
7x = 1
1
x=
7
(3x − 7) − 5(2 x + 1)(x − 2) = − x − [− (3x + 1)]
9 x − 42 x + 49 − 5(2 x − 3x − 2) = − x − [− 3x − 1]
2
2.
2
2
2
2
9 x 2 + x 2 − 42 x + 49 − 10 x 2 + 15x + 10 = 3x + 1
− 27 x + 59 = 3x + 1
− 27 x − 3x = 1− 59
− 30 x = − 58
− 58
29
⇒ x=
x=
− 30
15
{
]}
[
3. 6 x − (2 x + 1) = − − 5x + − (− 2 x − 1)
{
]}
4 x − 1 = − {− 5x + 2 x + 1}
4 x − 1 = − {− 3x + 1}
[
(x + 2)(x + 3)(x − 1) = (x + 4)( x + 4)(x − 4) + 7
( x + 5x + 6)(x − 1) = (x + 4)(x − 16) + 7
8.
6 x − 2 x − 1 = − − 5x + 2 x + 1
2
2
x 3 − x 2 + 5x 2 − 5x + 6x − 6 = x 3 − 16 x + 4 x 2 − 64 + 7
4 x 2 + x − 6 = 4 x 2 − 16 x − 57
4 x − 1 = 3x − 1
x + 16 x = − 57 + 6
4 x − 3x = − 1 + 1
17 x = − 51
x=0
x=
− 51
⇒ x= − 3
17
) {
( ) ( )}
(x + 1) − (x − 1) = 6x (x − 3)
2 x − 3x − 3 = − {3x + 2 x − 2 − 3x − 6}
9.
x + 3x + 3x + 1 − ( x − 3x + 3x − 1) = 6x − 18x
2 x − 3x − 3 = − {3x − x − 8}
(
4. 2 x + 3 − x − 1 = − 3x + 2 x − 1 − 3 x + 2
2
2
2
2
2
2
3
3
2
3
2
2
3
2
6 x 2 + 2 = 6 x 2 − 18x
2 = − 18 x
2
1
= x⇒ − = x
− 18
9
2x − x = 8 + 3
x = 11
{ [(
]} = 0
x − {3x + [x + x + 4 x − 4 − 4 x ] } = 0
x − {3x + [x + x − 4] } = 0
) (
)
5. x − 3x + x x + 1 + 4 x − 1 − 4 x
2
2
2
2
2
2
3 ( x − 2) ( x + 5) = 3( x + 1) ( x − 1) + 3
2
2
10.
(3x − 12 x + 12)(x + 5) = (3x + 6x + 3)(x − 1) + 3
2
2
x=1
}
3(2 x + 1)(− x + 3) − (2 x + 5) = − − − 3 ( x + 5) + 10 x 2
[
]
3(− 2 x + 5x + 3) − 4 x − 20 x − 25 = − − {− 3x − 15} + 10 x 2
2
2
[
− 6 x + 15x + 9 − 4 x − 20 x − 25 = − 3x + 15 + 10 x
2
2
2
− 10 x 2 − 5x − 16 = − 3x − 15 − 10x 2
− 5x + 3x = 16 − 15
− 2x = 1
1
x= −
2
(x + 1)(x + 2)(x − 3) = (x − 2)( x + 1)( x + 1)
(x + 3x + 2)( x − 3) = ( x − x − 2)(x + 1)
7.
2
2
x − 3x + 3x − 9 x + 2 x − 6 = x + x 2 − x 2 − x − 2 x − 2
3
2
2
2
3
3x 2 − 48x + 60 = 3x 2 − 3x
− 48x + 3x = − 60
− 45x = − 60
− 60
4
⇒ x=
x=
− 45
3
− 4x = − 4
−4
x=
−4
[{
2
3x + 15x − 12 x − 60 x + 12 x + 60 = 3x − 3x 2 + 6 x 2 − 6 x + 3x − 3 + 3
3
x 2 − 4 x − x2 + 4 = 0
2
2
3( x 2 − 4 x + 4)( x + 5) = 3 ( x 2 + 2 x + 1)( x − 1) + 3
2
x 2 − {3x + x 2 + x − 4} = 0
6.
2
x + 3x + 3x + 1 − x + 3x − 3x + 1 = 6x 2 − 18x
3
2 x − 3x 2 − 3 = − 3 x 2 + x + 8
2
3
]
]
EJERCICIO 82
1.
x → N º mayor
x − 8 → N º menor
x + x − 8 = 106
2 x − 8 = 106
2 x = 106 + 8
114
x=
2
x = 57 → N º mayor
3
− 7 x − 6 = − 3x − 2
− 7 x + 3x = − 2 + 6
− 4x = 4
4
⇒ x= −1
x=
−4
x − 8 ⇒ 57 − 8
= 49 → N º menor
2.
x → Nº mayor
x − 32 → Nº menor
x + x − 32 = 540
2x = 540 + 32
2x = 572
572
x=
2
x = 286 → Nº mayor
6. A + B = 1.080 soles
A − 1.014 = B
A + A − 1.014 = 1.080
2A = 1.080 + 1.014
2 .094
A=
2
A = 1.047 soles
A − 1.014 = B
⇒ 1.047 − 1.014 = B
33 soles = B
x − 32 ⇒ 286 − 32
= 254 → Nº menor
7.
3.
10.
= 96 → Nº menor
2x + 2 ⇒ 2 ⋅ 48 + 2
= 96 + 2
= 98 → Nº mayor
x → Nº mayor
x − 1→ Nº menor
x + x − 1= 103
2x = 103 + 1
104
x=
2
x = 52 → Nº mayor
A + B = 1.154 bs.
A − 506 = B
A + A − 506 = 1.154
2A = 1.154 + 506
2A = 1.660
1.660
A=
2
A = 830 bs.
11.
x + x − 1+ x − 2 = 186
3x − 3 = 186
3x = 189
189
x=
3
x = 63 → Nº mayor
x − 1⇒ 63 − 1
x − 1⇒ 52 − 1
8.
x + 2 → Nº mayor
x + x + 1+ x + 2 = 204
3x + 3 = 204
3x = 204 − 3
201
x=
3
x = 67 → Nº menor
130
2
x = 65 x → Nº mayor
x=
x + 1⇒ 67 + 1
= 68 → Nº medio
x − 24 ⇒ 65 − 24
x + 2 ⇒ 67 + 2
= 41→ Nº menor
5. A + B = 56 años
A + 14 = B
A + A + 14 = 56
2A = 56 − 14
42
A=
2
A = 21años
A + 14 = B
21+ 14 = B
35 años = B
x → Nº menor
x + 1 → Nº medio
4. x → Nº mayor
x − 24 → Nº menor
x + x − 24 = 106
2x = 106 + 24
= 69 → Nº mayor
9.
x → Nº 1
x + 1→ Nº 2
x + 2 → Nº 3 x + 3 → Nº 4
x + x + 1+ x + 2 + x + 3 = 74
= 62 → Nº medio
x − 2 ⇒ 63 − 2
= 61→ Nº menor
12. caballo + coche + arreos = 325
coche + 80 = caballo
coche − 25 = arreos
coche + 80 + coche + coche − 25 = 325
3 coches + 55 = 325
3 coches = 270
270
coche =
3
coche = $ 90
4x + 6 = 74
4x = 74 − 6
68
x=
4
x = 17 → Nº 1
x + 1⇒ 17 + 1
= 18 → Nº 2
x + 2 ⇒ 17 + 2
= 19 → Nº 3
x → Nº mayor
x − 1→ Nº medio
x − 2 → Nº menor
= 51→ Nº menor
A − 506 = B
⇒ 830 − 506 = B
324 bs. = B
2x → Nº menor
2x + 2 → Nº mayor
2x + 2x + 2 = 194
4x = 194 − 2
192
x=
4
x = 48
2x ⇒ 2 ⋅ 48
x + 3 ⇒ 17 + 3
= 20 → Nº 4
coche + 80 = caballo
⇒ 90 + 80 = caballo
$ 170 = caballo
coche − 25 = arreos
⇒ 90 − 25 = arreos
$ 65 = arreos
13.
x → Nº mayor
x − 32 → Nº medio
EJERCICIO 83
16.
x − 65 → Nº menor
x → 1º
x − 20 → 2º
x − 20 − 40 → 3º
x + x − 32 + x − 65 = 200
3x − 97 = 200
3x = 297
297
x=
3
x = 99 → Nº mayor
x − 32 ⇒ 99 − 32
⇒ x − 60 → 3º
x + x − 20 + x − 60 = 310
3x = 310 + 80
3x = 390
390
x=
3
x = 130 → 1º
x − 20 ⇒ 130 − 20
= 67 → Nº medio
x − 65 ⇒ 99 − 65
= 110 → 2º
x − 60 ⇒ 130 − 60
= 34 → Nº menor
= 70 → 3º
14.
x → 1º cesto
x − 10 → 2º cesto
x − 15 → 3º cesto
x + x − 10 + x − 15 = 575
3x − 25 = 575
3x = 600
600
x=
3
x = 200 → 1º cesto
x − 10 ⇒ 200 − 10
= 190 → 2º cesto
x − 15 ⇒ 200 − 15
= 185 → 3º cesto
15.
17.
x → mayor
x − 20 → menor
x − 18 → medio
x + x − 20 + x − 18 = 88
3x − 38 = 88
3x = 88 + 38
3x = 126
126
x=
3
x = 42 → mayor
x − 20 ⇒ 42 − 20
= 22 → menor
x − 18 ⇒ 42 − 18
= 24 → medio
x → mayor
x − 55 → medio
x − 70 → menor
x → mayor
18.
x + x − 55 + x − 70 = 454
x − 36 → menor
3x − 125 = 454
x + x − 36 = 642
3x = 454 + 125
2x − 36 = 642
3x = 579
2x = 642 + 36
579
x=
2x = 678
3
678
x = 193 → mayor
x=
2
x − 55 ⇒ 193 − 55
x = 339 → mayor
= 138 → medio
x − 70 ⇒ 193 − 70
x − 36 ⇒ 339 − 36
= 123 → menor
= 303 → menor
1.
x → edad Juan
3x → edadPedro
x + 3x = 40
4 x = 40
40
4
x = 10 → edad Juan
x=
3x ⇒ 3 ⋅10
= 30 → edadPedro
2. x → Arreos
4x → Caballo
x + 4x = 600
5x = 600
600
x=
5
x = $ 120 → Arreos
4x ⇒ 4 ⋅120
= $ 480 → Caballo
3. x → 1º piso
x
→ 2º piso
2
x
x + = 48
2
2x + x
= 48
2
3x = 48 ⋅ 2
3x = 96
96
3
x = 32 Habt. → 1º piso
x 32
⇒
2
2
= 16 Habt. → 2º piso
x=
4. A + B + C = 300
B = 2A
C = 3A
⇒ A + 2A + 3A = 300
6A = 300
300
A=
6
A = 50 colones
B = 2A ⇒ 2 ⋅ 50
= 100 colones
C = 3A ⇒ 3 ⋅ 50
= 150 colones
5. A + B + C = 133
B
2
C = 2B
A=
8.
x → 1º parte
4x → 2º parte
5x → 3º parte
13.
x → 1º parte
x
→ 2º parte
3
4x
→ 3º parte
3
x 4x
= 96
x+ +
3 3
3x + x + 4 x
= 96
3
8x = 96 ⋅ 3
8x = 288
288
x=
8
x = 36 → 1º parte
x 36
⇒
= 12 → 2º parte
3
3
4x 4 ⋅ 36
⇒
= 4 ⋅12 = 48 → 3º parte
3
3
14.
x → EdadEnrique
2x → EdadPedro
3x → Edad Juan
6x → EdadEugenio
x + 2x + 3x + 6x = 132
12x = 132
132
x=
12
x = 11→ EdadEnrique
2x ⇒ 2 ⋅11 = 22 → EdadPedro
3x ⇒ 3 ⋅11 = 33 → Edad Juan
6x ⇒ 6 ⋅11 = 66 → EdadEugenio
x + 4x + 5x = 850
10x = 850
850
x=
10
x = 85 → 1º parte
4x ⇒ 4 ⋅ 85
B
+ B + 2B = 133
2
B
+ 3B = 133
2
B + 6B
= 133
2
= 340 → 2º parte
7B = 133 ⋅ 2
5x ⇒ 5 ⋅ 85
266
= 425 → 3º parte
B=
7
B = 38 Sucres
B 38
9. x → Nº buscado
A= ⇒
2
2
2x = x + 111
= 19 Sucres
2x − x = 111
C = 2B ⇒ 2 ⋅ 38
x = 111→ Nº buscado
= 76 Sucres
⇒
6. x → Nº mayor
x → edadRosa
10.
x
3
15
x
+
→ edadMaría
→ Nº menor
6
x + 3x + 15 = 59
x
x + = 147
4x = 59 − 15
6
4x = 44
6x + x
= 147
44
6
x=
4
7x = 147 ⋅ 6
x = 11→ edadRosa
7x = 882
3x + 15 ⇒ 3 ⋅11+ 15
882
x=
= 33 + 15
7
= 48 → edadMaría
x = 126 → Nº mayor
x 126
⇒
6
6
= 21→ Nº menor
7.
A + B + C = 140
A
B = ⇒ 2B = A
2
C
B = ⇒ 4B = C
4
2B + B + 4B = 140
7B = 140
140
B=
7
B = 20 Quetz.
A = 2B ⇒ 2 ⋅ 20
= 40 Quetz.
C = 4B ⇒ 4 ⋅ 20
= 80 Quetz.
11. x → Nº buscado
8 x = x + 21
8 x − x = 21
7 x = 21
21
x=
7
x = 3 → Nº buscado
12. x → Mi edad
3x + 7 = 100
3x = 100 − 7
3x = 93
93
x=
3
x = 31→ Mi edad
EJERCICIO 84
1.
x → 1º parte
3x → 2º parte
3x − 40 → 3º parte
x + 3x + 3x − 40 = 254
7x = 254 + 40
7x = 294
294
x=
7
x = 42 → 1º parte
3x ⇒ 3 ⋅ 42 = 126 → 2º parte
3x − 40 ⇒ 3 ⋅ 42 − 40
= 126 − 40 = 86 → 3º parte
x → 1º Número
x−6
→ 2º Número
C = 2A
5
B − 15 = C ⇒ B − 15 = 2A
x − 6 → 3º Número
B = 2A + 15
x−6
+ x − 6 = 72
x+
A + 2A + 15 + 2A = 130
5
5A = 130 − 15
x 6
2x + − = 78
5A = 115
5 5
10x + x
6
115
= 78 +
A=
5
5
5
11x 390 + 6
A = 23 Balb.
=
5
5
B = 2A + 15 ⇒ 2 ⋅ 23 + 15 = 46 + 15 = 61Balb.
11x = 396
C = 2A ⇒ 2 ⋅ 23 = 46 Balb.
2. A + B + C = 130
3.
4.
5.
396
x=
11
x → 1º Número
x = 36 → 1º Número
x−8
→ 2º Número
x−6
36 − 6
2
⇒
5
5
x − 18 → 3º Número
30
x−8
=
= 6 → 2º Número
x+
+ x − 18 = 238
5
2
x − 6 ⇒ 36 − 6 = 30 → 3º Número
x 8
2x + − = 256
2 2
6. A + B = 99
4x + x
= 256 + 4
B = 3A + 19
2
5x = 260 ⋅ 2
A + 3A + 19 = 99
520
4A = 99 − 19
x=
5
4A = 80
x = 104 → 1º Número
80
A=
x − 8 104 − 8 96
4
⇒
=
= 48 → 2º Número
2
2
2
A = 20 bs.
x − 18 ⇒ 104 − 18 = 86 → 3º Número
B = 3A + 19 ⇒ 3 ⋅ 20 + 19
8.
A + B + C = 152
B+8
B = 2 A − 8⇒
=A
2
B − 32 = C
B+8
+ B + B − 32 = 152
2
B 8
+ + 2 B = 152 + 32
2 2
B + 4B
= 184 − 4
2
5B = 180 ⋅ 2
360
B=
5
B = $ 72
B + 8 72 + 8 80
⇒
=
= $ 40
A=
2
2
2
C = B − 32 ⇒ 72 − 32 = $ 40
9. x → Nº buscado
x − 80 = 220 − 2 x
x + 2x = 220 + 80
3x = 300
300
3
x = 100 → Nº buscado
x=
= 60 + 19 = 79 bs.
x → Costo traje
7.
x → cm de azúl
x
10. x → Tengo ahora
→ Costo sombrero
8
x − 14
2x + 10 = x + 60
→ cm deblanco
x − 30 → Costo bastón
2
2x − x = 60 − 10
x − 14
x
x = 50 S /. → Tengo ahora
x
+
=
74
x + + x − 30 = 259
2
8
x 14
x
x+ −
= 74
2x + = 259 + 30
x → Parte separada
2 2
8
11.
2x + x
16x + x
+
→ La otra parte
80
x
= 74 + 7
= 289
2
8
x + x + 80 = 910
3x = 81⋅ 2
17x = 289 ⋅ 8
2x = 910 − 80
162
2 .312
830
x=
x=
x=
3
17
2
x = 54 → cmde azúl
x = $ 136 → Costo traje
x = 415 cm
x − 14 54 − 14
x 136
⇒ 4 ,15 m → Parte separada
⇒
⇒
= $ 17 → Costo sombrero
2
2
8
8
x + 80 ⇒ 415 + 80 = 495 cm
40
x − 30 ⇒ 136 − 30 = $ 106 → Costo bastón
=
= 20 → cmde blanco
⇒ 4 , 95 m → La otra parte
2
12.
x → Edad padre
14. x → Nº buscado
x−3
13. A + B + C = 9 . 000
8 x − 60 = 60 − 7 x
→ Edad hijo
B + 500 = A
3
8 x + 7 x = 60 + 60
x−3
B − 800 = C
15 x = 120
= 83
x+
3
B + 500 + B + B − 800 = 9 . 000
120
x=
x 3
3B = 9 .000 + 300
15
x + − = 83
3 3
9 . 300
x = 8 → Nº buscado
B=
3x + x
3
= 83 + 1
15. x → Edad hom bre
3
B = 3 .100 Votos
2x − 17 = 100 − x
4x = 84 ⋅ 3
A = B + 500 ⇒ 3 .100 + 500 = 3 . 600 Votos
2x + x = 100 + 17
252
C = B − 800 ⇒ 3 .100 − 800 = 2 . 300 Votos
x=
3x = 117
4
x = 63 → Edad padre
117
x=
x − 3 63 − 3 60
3
⇒
=
= 20 → Edad hijo
x = 39 → Edad hom bre
3
3
3
EJERCICIO 85
1.
2.
x → Nº mayor
2x
→ Nº menor
3
2x
= 100
x+
3
3x + 2x
= 100
3
5x = 100 ⋅ 3
300
x=
5
x = 60 → Nº mayor
2x 2 ⋅ 60
⇒
= 40 → Nº menor
3
3
x → Edad padre
x − 15
→ Edad hijo
2
x − 15
= 60
x+
2
x 15
= 60
x+ −
2 2
2x + x
15
= 60 +
2
2
3x 120 + 15
=
2
2
3x = 135
135
x=
3
x = 45 → Edad padre
x − 15 45 − 15
⇒
= 15 → Edad hijo
2
2
3.
x → Partemayor
x − 232 → Partemenor
x + x − 232 = 1.080
2x = 1.080 + 232
x → Nº mayor
6.
x − 88
→ Nº menor
3
x − 88
= 540
x+
3
x 88
x+ −
= 540
3 3
3x + x
88
= 540 +
3
3
4 x 1. 620 + 88
=
3
3
4 x = 1. 708
1.708
x=
4
x = 427 → Nº mayor
1.312
2
x = 656 → Partemayor
x − 232 ⇒ 656 − 232
= 424 → Partemenor
x=
4. A + B = 150
A − 46 = B
A + A − 46 = 150
2A = 150 + 46
196
A=
2
A = 98 Soles
B = A − 46 ⇒ 98 − 46
427 − 88
x − 88
⇒
3
3
339
=
= 113 → Nº menor
3
= 52 Soles
5.
x → Ang. mayor
x + 45
→ Ang. menor
2
x + 45
= 180
x+
2
x 45
= 180
x+ +
2
2
2x + x
45
= 180 −
2
2
3x 360 − 45
=
2
2
3x = 315
x=
7.
315
3
x = 105 ! → Ang. mayor
x + 45 105 + 45
⇒
= 75! → Ang. menor
2
2
x → N º mayor
x − 12
→ N º menor
4
 x − 12 
x− 
 = 36
 4 
x−
x 12
+
= 36
4 4
4x − x
= 36 − 3
4
3x = 33⋅ 4
3x = 132
132
3
x = 44 → N º mayor
x=
x − 12 44 − 12
⇒
= 8 → N º menor
4
4
8 x → Costo perro
x
→ Costo collar
8
x
x + = 54
8
8x + x
= 54
8
9x = 54 ⋅ 8
9x = 432
432
9
x = $ 48 → Costo perro
48
x
⇒
= $ 6 → Costo collar
8
8
A + B = 84
9.
10.
⇒ A − 16 − 20 = B
A − 36 = B
A + A − 36 = 84
2A = 84 + 36
120
2
A = $ 60
A=
x=
B = A − 36 ⇒ 60 − 36 = $ 24
x → Nº mayor
x + 150
→ Nº menor
3
x → Parte mayor
11.
x + 150
= 506
x+
x + 16
→ Parte menor
3
3
150
x
x + 16
x + = 506 −
= 160
x+
3
3
3
3x + x 1.518 − 150
x
16
=
x + = 160 −
3
3
3
3
3x + x 480 − 16
4x = 1.368
=
3
3
1. 368
x=
4x = 464
4
464
x=
x = 342 → Nº mayor
4
x + 150 342 + 150
x = 116 → Parte mayor
⇒
3
3
x + 16
116 + 16
⇒
492
3
3
=
= 164 → Nº menor
132
3
=
= 44 → Parte menor
12.
3
EJERCICIO 86
1. 2 x → Edad actual A
x → Edad actual B
2 x − 10 = 3 ( x − 10)
3. 2x → Tiene A
x → TieneB
2x − 30 = x − 5
2x − x = 30 − 5
x = $ 25 → TieneB
2 x − 10 = 3x − 30
2 x − 3x = − 30 + 10
− x = − 20
x = 20 → Edad actual B
2 x ⇒ 2 ⋅ 20 = 40 → Edad actual A
2.
3x → Edad A
x → Edad B
3x + 5 = 2 ( x + 5)
3x + 5 = 2 x + 10
3x − 2 x = 10 − 5
x = 5 → Edad B
3x ⇒ 3⋅ 5 = 15 → Edad A
2x ⇒ 2 ⋅ 25 = $ 50 → Tiene A
4.
x
→ Tiene A
2
x → Tiene B
x
+ 66 = 2 ( x − 90)
2
x + 132
= 2 ( x − 90)
2
x + 132 = 4 (x − 90)
x + 132 = 4 x − 360
− 3x = − 492
− 492
−3
x = 164 colones → Tiene B
x 164
⇒
= 82 → colones Tiene A
2
2
x=
x → Nº Señoritas
x − 15
→ Nº Jovenes
2
x − 15
= 60
x+
2
x
15
x + = 60 +
2
2
2 x + x 120 + 15
=
2
2
3x = 135
135
x=
3
x = 45 → Nº Señoritas
x − 15
45 − 15
⇒
= 15 → Nº jovenes
2
2
A − 16 = B + 20
13.
x → Esti log ráfica
x − 10 → Lapicero
x + x − 10 = 18
2x = 28
28
x=
2
x = 14 bs. → Esti log ráfica
x − 10 ⇒ 14 − 10 = 4 bs. → Lapicero
14.
x → Parte roja
x + 4 → Parte negra
x + x + 4 = 84
2x = 80
x = 40 cm → Parte roja
x + 4 ⇒ 40 + 4 = 44 cm → Parte negra
5. x → Nº var ones
x
→ Nº Srtas
3
x
+ 14 = x − 10
3
x
− x = − 10 − 14
3
x − 3x
= − 24
3
− 2x = − 72
x = 36 → Nº var ones
x 36
⇒
= 12 → Nº Srtas
3
3
6. 3x → Edad padre
x → Edad hijo
3x − 5 = 2 ( x + 10)
3x − 5 = 2 x + 20
x = 25→ Edad hijo
3x ⇒ 3⋅ 25 = 75 → Edad padre
8. 5x → Tiene Enrique
x → Tiene suhno.
5x − 0 ,5 = x + 0 , 5
5x − x = 0 , 5 + 0 , 5
x → Nº mayor
7.
2x − 56 → Nº menor
x + 2x − 56 = 85
3x = 141
141
x=
3
x = 47 → Nº mayor
2x − 56 ⇒ 2 ⋅ 47 − 56
= 94 − 56 = 38 → Nº menor
x → Bolsa 1
x − 400 → Bolsa 2
x + x − 400 = 1. 400
2x = 1. 800
x = 900 S /. → Bolsa 1
9.
4x = 1
1
x − 400 ⇒ 900 − 400 = 500 S /. → Bolsa 2
x=
4
x = $ 0 , 25 → Tiene suhno
5x ⇒ 5 ⋅ 0 , 25
12. 3x → Edad actual Juan
x → Edad actual hijo
= $ 1, 25 → Tiene Enrique
3x + 22 = 2 ( x + 22)
11. 2 x → Edad act . padre
x → Edad act . hijo
10. 4x → Días Trab.Pedro
x → Días Trab.Enrique
4x − 15 = x + 21
4x − x = 21+ 15
3x = 36
3x = 2 x + 44 − 22
x = 22 → Edad actual hijo
3x ⇒ 3⋅ 22 = 66 → Edad actual Juan
2 x − 14 = 3( x − 14)
2 x − 14 = 3x − 42
13. A + B = 84 ⇒ A = 84 − B
2 x − 3x = − 42 + 14
− x = − 28
36
3
x = 12 → Días Trab.Enrique
4x ⇒ 4 ⋅12
x=
= 48 → Días Trab.Pedro
A + 80 = 3 ( B + 4)
⇒ 84 − B + 80 = 3B + 12
x = 28 → Edad act . hijo
− B − 3B = 12 − 164
− 4 B = − 152
− 152
B=
−4
Edades hace 14 años :
2 x − 14 ⇒ 2 ⋅ 28 − 14
= 42 años → padre
x − 14 ⇒ 28 − 14
B = $ 38
A = 84 − B ⇒ 84 − 38 = $ 46
= 14 años → hijo
EJERCICIO 87
3. 16 − x → Pr ob. reslt .
x → Pr ob. no reslt .
1. 2x → Nº Sombreros
x → Nº trajes
4x + 50x = 702
54x = 702
5. 35 − x → Trajes de 30 Q
x → Trajes de 25 Q
30 (35 − x ) + 25x = 1.015
12 (16 − x) − 5x = 73
1. 050 − 30 x + 25x = 1.015
192 − 12 x − 5x = 73
702
54
x = 13 → Nº trajes
2x ⇒ 2 ⋅13
− 5x = 1.015 − 1.050
− 17 x = 73 − 192
x=
x=
− 119
− 17
x=
x = 7 → Pr ob. no reslt .
= 26 → Nº Sombreros
16 − x ⇒ 16 − 7 = 9 → Pr ob. reslt .
6.
2.
x → Cab.
x − 6 → Vacas
600x + 800 ( x − 6) = 40 .000
4. 50 − x → Días trab.
x → Días no trab.
600 x + 800 x − 4 .800 = 40 .000
1. 400x = 44 .800
x=
44 .800
1. 400
x = 32 → Cab.
x − 6 ⇒ 32 − 6 = 26 → Vacas
3(50 − x) − 2 x = 90
150 − 3x − 2 x = 90
− 5x = − 60
x=
− 60
−5
x = 12 → Días no trab.
50 − x ⇒ 50 − 12 = 38 → Días trab.
− 35
−5
x = 7 → Trajes de 25 Q
35 − x ⇒ 35 − 7 = 28 → Trajes de 30 Q
x → Traje Cal.
x − 7 → Traje inf.
32 x + 18 ( x − 7) = 1.624
32 x + 18x − 126 = 1. 624
50x = 1.750
1.750
x=
50
x = 35balb. → Traje Cal.
x − 7 ⇒ 35 − 7 = 28balb. → Traje inf.
8. 3 x + 5 → Sac. Frij.
7. 3x → N º Lápices
x → N º cuad .
0 , 05 ⋅ 3x + 0 , 06 x = 1 , 47
0 ,15x + 0 , 06 x = 1 , 47
0 , 21x = 1, 47
1 , 47
x=
0 , 21
x=7
⇒ 7 → N º cuad .
3x → 3 ⋅ 7 = 21→ N º Lápices
x → Sac. azúc.
6 (3 x + 5) + 5 x = 582
18 x + 30 + 5x = 582
23 x = 552
552
23
x = 24
⇒ 24 → Sac. azúc.
3 x + 5 ⇒ 3 ⋅ 24 + 5
= 77 → Sac. Frij.
x=
10. 1. 050 − x → P. mayor
9. 80 − x → Cedro
x → P. menor
x → Caoba
3 (1. 050 − x ) − 2 x = 1. 825
0 , 75 (80 − x ) + 0 , 90 x = 68 , 40
60 − 0 , 75x + 0 , 90 x = 68 , 403 .150 − 3x − 2 x = 1.825
− 5x = 1.825 − 3.150
0 ,15x = 8 , 40
− 5x = − 1. 325
8 , 40
x=
− 1. 325
0 , 15
x=
−5
x = 56
x = 265
3
⇒ 56 pies → Caoba
⇒ 265 → P. menor
80 − x ⇒ 80 − 56
1
. 050 − x ⇒ 1. 050 − 265
= 24 pies3 → Cedro
= 785 → P. mayor
EJERCICI0 88
1.
x → 1º
2x → 2º
x + 2x − 20 → 3º
⇒ 3x − 20 → 3º
x + 2x + 3x − 20 = 196
6x = 196 + 20
216
x=
6
x = 36 → 1º
2x ⇒ 2 ⋅ 36 = 72 → 2º
3x − 20 ⇒ 3 ⋅ 36 − 20
= 108 − 20 = 88 → 3º
2. 3x → Edad A
x → Edad B
3x − 5 = 4 ( x − 5)
3x − 5 = 4 x − 20
3x − 4 x = − 20 + 5
− x = − 15
x = 15 → Edad B
3x ⇒ 3⋅ 15 = 45 → Edad A
3.
x → Par zap.
2 x + 50 → Traje
4. x → Costo casa
7. x → Gasté
x x
= + 2 . 000
85 − x = 4x
4 6
85 = 5x
x x + 12 . 000
=
85
4
6
=x
5
6x = 4x + 48 . 000
17 = x
2x = 48 . 000
⇒ $ 17 → Gasté
48 .000
x=
2
x = 24 . 000bs. → Costo casa
5.
x → Nº mayor
x → Edad act . B
8.
2 x − 156
2 x − 12 → Edad A hace 12 años
→ Nº menor
3
2 x − 12 + 24 + 68 = 3 x + 12
2 x − 156
= 108
x+
3
2 x − 24 + 92 = 3x + 36
2x
156
x+
= 108 +
2 x − 3x = 36 − 68
3
3
− x = − 32
3x + 2x 324 + 156
=
x = 32 → Edad act . B
3
3
5x = 480
Edad actual de A :
480
x=
2 x − 12 + 12 ⇒ 2 32 − 12 + 12
5
= 2 ⋅ 20 + 12 = 52 años
x = 96 → Nº mayor
2 x − 156
2 ⋅ 96 − 156
⇒
3
3
36
=
= 12 → Nº menor
3
9.
(
(
)
)
(
)
(
(
x → mon. 10 cts.
22 − x → mon. 5 cts.
)
)
6. x → Ancho
0 , 10 x + 0 , 05 (22 − x ) = 1 , 85
461− 11= 9x
50 (2 x + 50) + 35x = 16 . 000
0 , 10 x + 1 ,10 − 0 , 05x = 1, 85
450 = 9x
100 x + 2.500 + 35x = 16 .000
0 , 05x = 1, 85 − 1 ,10
450
=x
135x = 16 .000 − 2. 500
0 , 05x = 0 , 75
9
13. 500
50 = x
0 , 75
x=
x=
135
⇒ 50 pies → Ancho
0 , 05
x = 100 soles → Par zap.
x = 15 → mon.10 cts.
2 x + 50 ⇒ 2 ⋅ 100 + 50 = 250 soles → Traje
22 − x ⇒ 22 − 15 = 7 → mon. 5 cts.
10. x → N º buscado
15.
12 ( x − 24) = 24 ( x − 27)
12 x − 288 = 24 x − 648
12 x − 24 x = − 648 + 288
− 12 x = − 360
− 360
x=
− 12
x = 30 → N º buscado
11. x → c / cab.
35x = 40 ( x − 10)
35x = 40 x − 400
− 5x = − 400
x=
− 400
−5
x = $ 80 → c / cab.
12. x → Nº buscado
3x − 55 = 233 − x
3x + x = 233 + 55
4x = 288
288
x=
4
x = 72 → Nº buscado
13.
x → N º menor
x + 1→ N º medio
x + 2 → N º mayor
2 x + 3( x + 1) + 4 ( x + 2) = 740
x → Parte hijo
x + 2 . 000 → Parte hijas
3x + 2 (x + 2 . 000) = 16 .500
19.
x → Lunes
2 x → Martes
4 x → Miercoles
8 x → Jueves
3x + 2 x + 4 . 000 = 16 .500
8
30 → Viernes
x
−
=
5x 12 . 500
8 x − 20 → Sábado
12 .500
x=
x + 2 x + 4 x + 8 x + 8 x − 30 + 8 x − 20 = 911
5
x = 2 .500
31x − 50 = 911
⇒ 2 .500 colones → Parte hijo
31x = 911 + 50
x + 2 .000 ⇒ 2 .500 + 2 . 000 = 4 .500
961
x=
⇒ 4 .500 colones → Parte hijas
31
x = $ 31→ Lunes
x → N º mayor
16.
2 x ⇒ 2 ⋅ 31 = $ 62 → Martes
x − 1→ N º menor
2
4 x ⇒ 4 ⋅ 31 = $ 124 → Miercoles
2
x − x − 1 = 31
8 x ⇒ 8 ⋅ 31 = $ 248 → Jueves
2
2
x − x + 2 x − 1 = 31
8 x − 30 ⇒ 8 ⋅ 31 − 30 = $ 218 → Viernes
2 x = 32
8 x − 20 ⇒ 8 ⋅ 31 − 20 = $ 228 → Sábado
x = 16 → N º mayor
(
)
x − 1⇒ 16 − 1 = 15→ N º menor
17. 3x → Edad A
x → Edad B
x
→ Edad C
5
x − 12 → Edad C
Luego :
x
= x − 12
5
x = 5 ( x − 12)
x = 5x − 60
− 4 x = − 60
x = 15 → Edad B
3 x ⇒ 3 ⋅ 15 = 45 → Edad A
x → Nº 1
20.
x − 18 → Nº 2
x + x − 18 = 3 ⋅18
2x = 54 + 18
72
x=
2
x = 36 → Nº 1
x − 18 ⇒ 36 − 18 = 18 → Nº 2
21.
x → Tiene A
3( x − 16) → Tiene B
x + 3 ( x − 16) = 36
x + 3x − 48 = 36
2 x + 3x + 3 + 4 x + 8 = 740
x − 12 ⇒ 15 − 12 = 3 → Edad C
4 x = 84
9 x = 740 − 11
x → Edad act . A
18.
84
x=
729
x+5
4
x=
→ Edad B en 5 años
9
3
x = $ 21→ Tiene A
x = 81
x + 20
→ Edad B en 20 años 3( x − 16) ⇒ 3 (21 − 16)
⇒ 81 → N º menor
2
= 3⋅ 5 = $15 → Tiene B
Luego :
x + 1⇒ 81 + 1 = 82 → N º medio
x+5
x + 20
22. 3x → Tiene A
x + 2 ⇒ 81 + 2 = 83 → N º mayor
+ 15 =
3
2
x → Tiene B
x → A caballo
14.
x + 5 + 45 x + 20
x
=
→ Tiene C
3x → Enauto
3
2
2
x − 20 → A pie
2 ( x + 50) = 3( x + 20)
x

3x − 1 − ( x − 3) = 2  + 20
x + 3x + x − 20 = 150
2 x + 100 = 3x + 60
2

5x = 150 + 20
− x = − 40
3x − 1 − x + 3 = x + 40
170
x = 40 → Edad act . A
2 x − x = 40 − 2
x=
5
Edad actual de B :
x = 38 → Tiene B
x = 34 Km → A caballo
40 + 20
x + 20
3x ⇒ 3⋅ 38 = $ 114 → Tiene A
− 20 ⇒
− 20
3x ⇒ 3 ⋅ 34 = 102 Km → Enauto
2
2
x 38
x − 20 ⇒ 34 − 20 = 14 Km → A pie
⇒
= $19 → Tiene C
= 30 − 20 = 10 años
2
2
23. x → Costo tienda
x
x
− 800 =
5
7
x − 4 . 000 x
=
5
7
7 x − 28 .000 = 5 x
2 x = 28 .000
24.
x → Cab. peor
28
2 ( x + 15) → Cab. mejor
x + 2 x + 30 = 120
3x = 90
x = $ 30 → Cab. peor
2 ( x + 15) = 2 (30 + 15)
= 2 ⋅ 45 = $ 90 → Cab. mejor
x → queda A
3x → queda B
x + 3x = 160
4x = 160
2 x ⇒ 2 ⋅ 12 = 24m → L arg o
x → Lunes
x + 6 → Martes
x + 12 → Miercoles
x + 18 → Jueves
4x → Jueves
x + 18 = 4x
− 3x = − 18
31. 3x → Padre hace 5 años
x → Hijo hace 5 años
3x + 10 = 2 ( x + 10)
3x + 10 = 2 x + 20
x = 10 años
Edad actual Padre :
3x + 5 ⇒ 3⋅ 10 + 5 = 35 años
x = $ 6 → Lunes
x + 6 ⇒ 6 + 6 = $ 12 → Martes
x + 12 ⇒ 6 + 12 = 18 → Miercoles
4x ⇒ 4 ⋅ 6 = $ 24 → Jueves
x = 40
Como A tenía 80 Q.
⇒ lo que perdío A
= 80 − x ⇒ 80 − 40 = 40 Q.
26. 2 x → Emp. A
x → Emp. B
2 (2 x − 400) = x + 400
4 x − 800 = x + 400
3x = 1. 200
x = $ 400 → Emp. B
2
2 x 2 + 2 x − 24 = 2 x 2
2 x = 24
x = 12 m → Ancho
4 x + 5 = 3x + 15
x = 10 → Vacas
4 x ⇒ 4 ⋅ 10 = 40 → Cab.
x + 2 ( x + 15) = 120
25.
(2 x − 6)(x + 4) = 2 x
4 x + 5 = 3 (x + 5)
x = 14 . 000
⇒ 14 . 000 bs. → Costo tienda
30. 2 x → L arg o
x → Ancho
27. 4 x → Cab.
x → Vacas
Edad actual Hijo :
x + 5 ⇒ 10 + 5 = 15 años
32. 3x → Edad A en 4 años
x → Edad B en 4 años
29. x → Tenía ppio.
2 x − 50 + 2 (2 x − 50) − 390 = 0
3x − 6 = 5 ( x − 6)
2 x − 440 + 4 x − 100 = 0
6 x = 540
540
x=
6
x = 90
⇒ 90 soles → Tenía ppio.
3x − 6 = 5x − 30
− 2 x = − 24
x = 12 años
Edad Actual A :
3x − 4 ⇒ 3⋅ 12 − 4 = 32 años
Edad Actual B :
x − 4 ⇒ 12 − 4 = 8 años
2 x ⇒ 2 ⋅ 400 = $ 800 → Emp. A
EJERCICIO 89
(
1. a + ab = a a + b
2
)
( )
3. x + x = x ( x + 1)
4. 3a − a = a (3a − 1)
5. x − 4 x = x (1 − 4 x )
6. 5m + 15m = 5m (1 + 3m)
2. b + b 2 = b 1 + b
2
3
2
2
(
11. 9a 3 x 2 − 18ax 3 = 9ax 2 a 2 − 2 x
2
(c + 4d )
(
)
12. 15c d + 60c d = 15c d
3
2
2
3
20. 2a 2 x + 2ax 2 − 3ax
)
2
13. 35m2 n3 − 70m3 = 35m2 n3 − 2m
(
)
14. abc + abc = abc 1 + c
2
(
)
16. a + a + a = a (a + a + 1)
7. ab − bc = b (a − c)
17. 4 x − 8 x + 2 = 2 (2 x − 4 x + 1)
8. x y + x z = x ( y + z)
18. 15 y + 20 y − 5 y = 5 y (3 y + 4 y − 1)
9. 2a x + 6ax = 2ax (a + 3x )
10. 8m − 12mn = 4m (2m − 3n) 19. a − a x + ax = a (a − ax + x )
3
4
2
3
3
2
15. 24a 2 xy 2 − 36x 2 y 4 = 12 xy 2 2a 2 − 3xy 2
3
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
= ax (2a + 2 x − 3)
(
21. x 3 + x 5 − x 7 = x 3 1 + x 2 − x 4
22. 14 x y − 28 x + 56 x
2
2
3
4
= 14 x 2 ( y 2 − 2 x + 4 x 2 )
23. 34ax 2 + 51a 2 y − 68ay 2
= 17a (2 x 2 + 3ay − 4 y 2 )
24. 96 − 48mn 2 + 144n 3
= 48 (2 − mn 2 + 3n 3 )
25. a 2b 2 c 2 − a 2 c 2 x 2 + a 2 c 2 y 2
= a 2 c 2 (b 2 − x 2 + y 2 )
)
26. 55m2 n 3 x + 110m2 n 3 x 2 − 220m2 y 3
34. 12 m2 n + 24m3n 2 − 36m4 n 3 + 48m5n 4
= 55m2 (n 3 x + 2n 3 x 2 − 4 y 3 )
= 12m2 n (1 + 2mn − 3m2 n 2 + 4m3n 3 )
27. 93a 3 x 2 y − 62a 2 x 3 y 2 − 124a 2 x
35. 100a 2b 3c − 150ab 2 c 2 + 50ab 3c 3 − 200abc2
= 31a x (3axy − 2 x y − 4)
2
2
(
28. x − x + x − x = x 1 − x + x − x
2
3
4
2
29. a − 3a + 8a − 4a = a
6
4
3
= 50abc (2ab 2 − 3bc + b 2 c 2 − 4c)
2
2
3
)
(
4
2
37. a − 2a + 3a − 4a + 6a
2
30. 25x 7 − 10 x 5 + 15x 3 − 5x 2
5
3
4
5
6
= a 2 (1 − 2a + 3a 2 − 4a 3 + 6a 4 )
= 5x (5x − 2 x + 3x − 1)
2
)
36. x5 − x 4 + x 3 − x 2 + x = x x 4 − x 3 + x 2 − x + 1
(a − 3a + 8a − 4)
2
3
(
38. 3a 2 b + 6ab − 5a 3b 2 + 8a 2bx + 4ab2 m
)
31. x15 − x 12 + 2 x 9 − 3x 6 = x 6 x 9 − x 6 + 2 x 3 − 3
= ab (3a + 6 − 5a 2b + 8ax + 4bm)
32. 9a 2 − 12ab + 15a 3b 2 − 24ab 3
20
16
12
8
4
2
39. a − a + a − a + a − a
= 3a (3a − 4b + 5a 2b 2 − 8b 3 )
= a 2 (a 18 − a 14 + a 10 − a 6 + a 2 − 1)
33. 16 x 3 y 2 − 8 x 2 y − 24 x 4 y 2 − 40 x 2 y 3
= 8 x 2 y (2 xy − 1 − 3x 2 y − 5y 2 )
EJERCICIO 90
(x + 2)(m − n) + 2 (m − n) = (m − n)(x + 4)
1. a ( x + 1) + b ( x + 1) = ( x + 1)(a + b)
19.
2. x a + 1 − 3 a + 1 = a + 1 x − 3
20. a x − 1 − a + 2 x − 1 = x − 1 a − a − 2 = − 2 x − 1
( ) ( ) ( )( )
3. 2 ( x − 1) + y ( x − 1) = ( x − 1)(2 + y )
4. m (a − b) + (a − b) n = (a − b)(m + n)
5. 2 x (n − 1) − 3 y (n − 1) = (n − 1)(2 x − 3 y )
6. a (n + 2) + n + 2 = (n + 2)(a + 1)
7. x (a + 1) − a − 1 = (a + 1)( x − 1)
(
)(
(
)
(
2
) (
(
)(
) (
)(
)
(
) ( ) (a + 1) = (a + 1)(6x + 1)
21. 5x a 2 + 1 + x + 1
2
2
22. (a + b)(a − b) − (a − b)(a − b )
= (a − b)(a + b − a + b) = 2b (a − b )
(
)(
) (
)(
)
(
)
23. m + n a − 2 + m − n a − 2 = 2m a − 2
24. ( x + m)( x + 1) − ( x + 1)( x − n)
)( )
8. a 2 + 1− b a 2 + 1 = a 2 + 1 1 − b
(
2
= ( x + 1)( x + m − x + n) = ( x + 1)(m + n)
) ( )(
)
10. 1 − x + 2a (1 − x ) = (1 − x )(1 + 2a )
11. 4 x (m − n) + n − m = (m − n)(4 x − 1)
12. − m − n + x (m + n) = (m + n)(x − 1)
9. 3x x − 2 − 2 y x − 2 = x − 2 3x − 2 y
25. ( x − 3)( x − 4) + ( x − 3)( x + 4) = ( x − 3) 2 x
26.
(a + b − 1)(a + 1) − a − 1= (a + 1)(a + b − 2)
2
2
2
27. (a + b − c)( x − 3) − (b − c − a )( x − 3)
= ( x − 3)(a + b − c + a − b + c) = ( x − 3) 2a
(a − b + 1) − b (a − b + 1) = (a − b + 1)(a − b )
14. 4m (a + x − 1) + 3n ( x − 1 + a ) = (a + x − 1)(4m + 3n) 28. 3x (x − 1) − 2 y (x − 1) + z ( x − 1) = ( x − 1)(3x − 2 y + z )
13. a
3
2
2
3
2
2
2
15. x (2a + b + c) − 2a − b − c
= x (2a + b + c) − (2a + b + c) = (2a + b + c)( x − 1)
16. ( x + y )(n + 1) − 3 (n + 1) = (n + 1)( x + y − 3)
17. ( x + 1)( x − 2) + 3 y ( x − 2) = ( x − 2)( x + 1 + 3 y )
18.
29. a (n + 1) − b (n + 1) − n − 1 = (n + 1)(a − b − 1)
(
)
( ) ( )( )
31. (1 + 3a )( x + 1) − 2a ( x + 1) + 3 ( x + 1) = ( x + 1)(a + 4)
30. x a + 2 − a − 2 + 3 a + 2 = a + 2 x + 2
(
)(
) (
) (
)( )
= (3x + 2)( x + y − z − 1 − x − y + 1) = − z (3x + 2)
32. 3x + 2 x + y − z − 3x + 2 − x + y − 1 3x + 2
(a + 3)(a + 1) − 4 (a + 1) = (a + 1)(a + 3 − 4) = (a + 1)(a − 1)
)
EJERCICIO 91
9. 3abx − 2 y − 2 x + 3aby
2
1. a 2 + ab + ax + bx
2
2
2
= a (a + b) + x (a + b)
= (a + b)(a + x )
2
= 3a (1 − 2 x ) − b 2 (1 − 2 x )
= (1 − 2 x )(3a − b 2 )
11. 4a x − 4a b + 3bm − 3amx
3
3. ax − 2bx − 2ay + 4by
2
= (ax − 2bx ) − (2ay − 4by )
= (4a 3 x − 4a 2b ) + (3bm − 3amx )
= (a − 2b)( x − 2 y )
= 4a 2 (ax − b) − 3m (ax − b)
= x (a − 2b) − 2 y (a − 2b)
4. a x − 3bx + a y − 3by
2
2
2
2
2
2
= (a 2 x 2 − 3bx 2 ) + (a 2 y 2 − 3by 2 )
= x 2 (a 2 − 3b) + y 2 (a 2 − 3b)
= (a 2 − 3b)( x 2 + y 2 )
5. 3m − 2n − 2nx 4 + 3mx 4
= (3m + 3mx 4 ) − (2n + 2nx 4 )
= 3m (1 + x 4 ) − 2n (1 + x 4 )
= (1 + x 4 )(3m − 2n)
6. x − a + x − a x
2
2
2
= − (a 2 + a 2 x) + ( x 2 + x )
= − a 2 (1 + x) + x ( x + 1)
= ( x + 1)( x − a 2 )
= (4a 3 + 4a ) − (1 + a 2 )
= 4a (a 2 + 1) − (1 + a 2 )
= (a 2 + 1)(4a − 1)
8. x + x − xy − y
2
2
= 4a 2 (ax − b) + 3m (b − ax )
= (ax − b)(4a 2 − 3m)
12. 6ax + 3a + 1 + 2 x
= (6ax + 3a ) + (1 + 2 x )
= 3a (2 x + 1) + (2 x + 1)
= (2 x + 1) (3a + 1)
13. 3x − 9ax − x + 3a
3
2
= (3x 3 − x ) − (9ax 2 − 3a )
= x (3x 2 − 1) − 3a (3x 2 − 1)
= (3x 2 − 1)( x − 3a )
14. 2a x − 5a y + 15by − 6bx
2
2
= (2a 2 x − 5a 2 y ) + (15by − 6bx)
= a 2 (2 x − 5 y ) + 3b (5 y − 2 x )
= a 2 (2 x − 5 y) − 3b (2 x − 5 y )
7. 4 a 3 − 1 − a 2 + 4a
2
= ( x + x 2 ) − ( xy 2 + y 2 )
= x (1 + x ) − y 2 ( x + 1)
= ( x + 1)( x − y 2 )
2
2
2
= n 2 ( x − y 2 ) + 5a 2 (x − y 2 )
= (3a − 6ax) − (b 2 − 2b 2 x)
= (a − b)(m + n)
2
= (x 2 + y 2 )(3ab − 2)
2
= m (a − b) + n (a − b)
2
= (n 2 x − n 2 y 2 ) − (5a 2 y 2 − 5a 2 x )
10. 3a − b + 2b x − 6ax
2. am − bm + an − bn
= (am − bm) + (an − bn)
2
= (3abx 2 + 3aby 2 ) − (2 y 2 + 2 x 2 )
= 3ab (x 2 + y 2 ) − 2 (x 2 + y 2 )
= (a 2 + ab) + (ax + bx )
17. n x − 5a y − n y + 5a x
= (2 x − 5 y )(a 2 − 3b)
15. 2 x 2 y + 2 xz 2 + y 2 z 2 + xy 3
= (2 x 2 y + xy 3 ) + (2 xz 2 + y 2 z 2 )
= xy (2 x + y 2 ) + z 2 (2 x + y 2 )
= (2 x + y 2 )( xy + z 2 )
16. 6m − 9n + 21nx − 14mx
= (6m − 14mx ) − (9n − 21nx )
= 2m (3 − 7 x ) − 3n (3 − 7 x )
= (3 − 7 x )(2m − 3n)
= n 2 ( x − y 2 ) − 5a 2 ( y 2 − x )
= ( x − y 2 )(n 2 + 5a 2 )
18. 1 + a + 3ab + 3b
= (1 + a ) + (3ab + 3b)
= (1 + a ) + 3b (a + 1)
= (1 + a )(3b + 1)
19. 4am − 12amn − m + 3n
3
2
= (4am3 − 12amn) − (m2 − 3n)
= 4am (m2 − 3n) − (m2 − 3n)
= (m2 − 3n)(4am − 1)
20. 20ax − 5bx − 2by + 8ay
= (20ax + 8ay) − (5bx + 2by )
= 4a (5x + 2 y ) − b (5x + 2 y)
= (5x + 2 y )(4a − b)
21. 3 − x 2 + 2abx 2 − 6ab
= (3 − x 2 ) + (2abx 2 − 6ab)
= (3 − x 2 ) + 2ab (x 2 − 3)
= (3 − x 2 ) − 2ab (3 − x 2 )
= (3 − x 2 )(1 − 2ab)
22. a + a + a + 1
3
2
= (a 3 + a 2 ) + (a + 1)
= a 2 (a + 1) + (a + 1)
= (a 2 + 1)(a + 1)
23. 3a 2 − 7b 2 x + 3ax − 7ab 2
= (3a 2 + 3ax ) − (7b 2 x + 7ab 2 )
= 3a (a + x ) − 7b 2 ( x + a )
= (a + x )(3a − 7b 2 )
24. 2am − 2an + 2a − m + n − 1
= (2am − 2an + 2a ) − (m − n + 1)
= 2a (m − n + 1) − (m − n + 1)
= (2a − 1)(m − n + 1)
28. 2 x 3 − nx 2 + 2 xz 2 − nz 2 − 3ny 2 + 6 xy 2
25. 3ax − 2by − 2bx − 6a + 3ay + 4b
= (3ax − 6a + 3ay ) − (2by + 2bx − 4b)
= − (nx 2 + nz 2 + 3ny 2 ) + (2 x 3 + 2 xz 2 + 6 xy 2 )
= 3a ( x − 2 + y ) − 2b ( y + x − 2)
= − n ( x 2 + z 2 + 3 y 2 ) + 2 x (x 2 + z 2 + 3 y 2 )
= ( x + y − 2)(3a − 2b )
= (2 x − n)(x 2 + 3 y 2 + z 2 )
29. 3x 3 + 2axy + 2ay 2 − 3xy 2 − 2ax 2 − 3x 2 y
26. a 3 + a + a 2 + 1 + x 2 + a 2 x 2
= (a 3 + a 2 + a 2 x 2 ) + (a + 1 + x 2 )
= (3x 3 − 3xy 2 − 3x 2 y ) + (2axy + 2ay 2 − 2ax 2 )
= (a 2 + 1) (a + 1 + x 2 )
= 3x ( x 2 − y 2 − xy) − 2a (− xy − y 2 + x 2 )
= 3x ( x 2 − y 2 − xy) + 2a ( xy + y 2 − x 2 )
= a 2 (a + 1 + x 2 ) + (a + 1 + x 2 )
27. 3a − 3a b + 9ab − a + ab − 3b
3
2
2
2
= (3x − 2a )( x 2 − xy − y 2 )
2
30 a b − n + a b x − n x − 3a b x + 3n x
2 3
= (3a − 3a b + 9ab ) − (a − ab + 3b )
3
2
2
2
= 3a (a − ab + 3b ) − (a − ab + 3b )
2
2
2
EJERCICIO 92
17. 49m6 − 70am3n 2 + 25a 2 n 4
( )
2. a + 2ab + b = (a + b)
3. x − 2 x + 1 = ( x − 1)
2
2
(
)
(
(
6. 9 − 6x + x 2 = 3 − x
)
(
(
(
(
)
)
)
)
)
2
24. 1 +
)
2
(
)
2
15. 1 + 14 x y + 49 x y = 1 + 7 x y
5
4 2
10
5 2
2
2b b2  b 
+ =  1+ 
3 9  3
2
b4  2 b2 
4
2 2
= a − 
25. a − a b +
4 
2
14. 9b − 30a b + 25a = 3b − 5a
(
16. 1 − 2a + a = (1 − a )
2
2
2
13. 4 x 2 − 12 xy + 9 y 2 = 2 x − 3 y
2
2
2
2
(
4
2
2
12. a 6 − 2a 3b3 + b 6 = a 3 − b3
2
2
2
2 2
11. a 8 + 18a 4 + 81 = a 4 + 9
2
2
2
3 2
(
2
2
2 2
2
9. 36 + 12m2 + m4 = 6 + m
10. 1 − 2a 3 + a 6 = 1 − a
2
2
2
8. 1 − 14a + 49a = 1 − 7a
2
29. a + 2a a + b + a + b
2
2
(
4
(
2
2
7. 16 + 40 x + 25 x = 4 + 5 x
2
n2
n

+ 2mn + 9m2 =  + 3m
3

9
2
)
5. a − 10a + 25 = a − 5
2
4
) ( )
18. 100 x 10 − 60a 4 x 5 y 6 + 9a 8 y12
= (a + a + b) = (2a + b)
5
4 6 2
= (10 x − 3a y )
30. 4 − 4 (1 − a ) + (1 − a)
2
19. 121 + 198 x 6 + 81x 12 = (11 + 9 x 6 )
= (2 − 1 + a ) = (1 + a)
2
2 2
4 4
20. a − 24am x + 144m x
31. 4m − 4m (n − m) + (n − m)
2
= (a − 12m2 x 2 )
= (2m − n + m) = (3m − n)
2
4
2 2
21. 16 − 104 x + 169 x = (4 − 13x ) 32. (m − n) + 6 (m − n) + 9
2
= (m − n + 3)
22. 400 x 10 + 40 x 5 + 1 = (20 x 5 + 1)
33. (a + x ) − 2 (a + x )( x + y ) + ( x + y )
a
a 
− ab + b =  − b
23.
2 
4
= (a + x − x − y ) = (a − y )
2
4. y 4 + 2 y 2 + 1 = y 2 + 1
2 3
2
2
2
2
28.
= (7m3 − 5an2 )
2
2
4
= (a 2b3 − n 4 )(1 + x 2 − 3x)
2
1. a 2 − 2ab + b2 = a − b
2 3 2
= a 2b3 (1 + x 2 − 3x) − n 4 (1 + x 2 − 3x )
2
= (3a − 1)(a − ab + 3b )
2
4
= (a 2b3 + a 2b 3 x 2 − 3a 2b3 x ) − (n4 + n 4 x 2 − 3n 4 x)
2
)
2 2
)
2
34. (m + n) − 2 (a − m)(m + n) + (a − m)
2
6
3 2
2
= (m + n − a + m) = (2m + n − a)
2
2
2
( ) ( )( ) ( )
= (2 + 2a − b + 1) = (2a − b + 3)
2
35. 4 1 + a − 4 1 + a b − 1 + b − 1
1 x 2 25x 4  1 5x 2 
− +
= −

26.
25 3
36  5 6 
27. 16 x − 2 x y +
2
2
2
2
2
36. 9 ( x − y ) + 12 ( x − y )( x + y ) + 4( x + y )
2
2
2
= (3x − 3 y + 2 x + 2 y ) = (5x − y )
y2 
y4  3
=  4x − 
16 
4
2
2
EJERCICIO 93
(
)(
1. x 2 − y 2 = x + y x − y
)
( )( )
( )( )
4. 9 − b = (3 + b )(3 − b)
5. 1 − 4m = (1 + 2m)(1 − 2m)
6. 16 − n = (4 + n)(4 − n)
7. a − 25 = (a + 5)(a − 5)
8. 1 − y = (1 + y )(1 − y )
9. 4a − 9 = (2a + 3)(2a − 3)
27.
x 2 y 2 z 4  x yz 2   x yz 2 
−
= +
 −

100 81  10 9   10 9 
28.
x 6 4a 10  x 3 2a 5   x 3 2a 5 
−
= +
  −

49 121  7 11   7 11 
2. a 2 − 1 = a + 1 a − 1
3. a 2 − 4 = a + 2 a − 2
2
29. 100m n −
2
2
4
1 8 
1 
1 
x =  10mn 2 + x 4   10mn 2 − x 4 

16
4 
4 
(
2
30. a 2n − b 2n = a n + b n
2
2n
2
(
10. 25 − 36 x 4 = 5 + 6 x 2
(
2
)(
(
(
32. a 4 n − 225b 4 = a 2 n + 15b 2
)(5 − 6x )
11. 1 − 49a 2b 2 = 1 + 7ab 1 − 7ab
)
33. 16 x
)(2 x − 9 y )
13. a b − c = (ab + c)(ab − c)
14. 100 − x y = (10 + xy )(10 − xy )
15. a − 49b = (a + 7b )(a − 7b )
16. 25x y − 121 = (5xy + 11 )(5xy − 11)
12. 4 x 2 − 81y 4 = 2 x + 9 y 2
2 8
2
4
2 6
10
3
12
5
2 4
6m
34. 49a
5
2
2
36.
17. 100m2 n 4 − 169 y 6
2n
2
−
b12 x  5n b 6 x   5n b 6 x 
=  7a +
  7a −

81 
9  
9 
10 n
2n 4n
35. a b −
6
)(a − 15b )
y 2 n  3m y n   3m y n 
=  4x +   4x −

49 
7
7
3
6
n
−
2
4
n
1  n 1   n 1
=  2x +   2x − 
9 
3 
3
31. 4 x −
2
)(a − b )
1  n 2 n 1  n 2 n 1
= a b +  a b − 
25 
5 
5
1
 1
  1

− x 2n =  + x n   − x n 
 10
  10

100
= (10mn 2 + 13 y 3 )(10mn 2 − 13 y 3 )
(
18. a 2 m4 n 6 − 144 = am2 n 3 + 12
)(am n − 12)
2 3
EJERCICIO 94
19. 196 x 2 y 4 − 225z12
= (14 xy 2 + 15z 6 )(14 xy 2 − 15z 6 )
(
20. 256a12 − 289b 4 m10
21.1 − 9a b c d
8
(
4
)(
2 3
)
1
1
1

− 9a 2 =  + 3a  − 3a
2
2

4
a2  a  a 
= 1+  1− 
24. 1 −
25  5   5 
1 4x  1 2x   1 2x 
−
= +   − 
16 49  4 7   4 7 
2
25.
)(
)
2. 4 − (a + 1) = (2 + a + 1)(2 − a − 1) = (3 + a )(1 − a)
3. 9 − (m + n) = (3 + m + n)(3 − m − n )
4. (m − n) − 16 = (m − n + 4)(m − n − 4)
5. ( x − y) − 4 z = ( x − y + 2 z)(x − y − 2 z)
6. (a + 2b) − 1 = (a + 2b + 1)(a + 2b − 1)
7. 1 − ( x − 2 y ) = (1 + x − 2 y )(1 − x + 2 y )
2
= (1 + 3ab c d )(1 − 3ab c d )
2 3
22. 361x14 − 1 = 19 x 7 + 1 19 x 7 − 1
23.
(
2
2
= (16a 6 + 17b 2 m5 )(16a 6 − 17b 2 m5 )
2 4 6
)
1. x + y − a 2 = x + y + a x + y − a
a2 x6  a x3   a x3 
− = +  − 
26.
36 25  6 5   6 5 
4
2
2
2
2
2
8. ( x + 2a ) − 4 x 2
2
= ( x + 2a + 2 x)( x + 2a − 2 x ) = (3x + 2a )(2a − x )
(
) ( ) = (a + b + c + d )(a + b − c − d )
10. (a − b) − (c − d ) = (a − b + c − d )(a − b − c + d )
2
9. a + b − c + d
2
2
2
11. ( x + 1) − 16 x 2
25. (2a + b − c) − (a + b)
2
2
= (2a + b − c + a + b )(2a + b − c − a − b)
= ( x + 1 + 4 x)( x + 1− 4 x) = (5x + 1)(1 − 3x)
= (3a + 2b − c)(a − c)
12. 64m2 − (m − 2n)
2
(
) (
)(
)
27. x − ( y − x ) = ( x + y − x )( x − y + x ) = ( y ) (2 x − y )
= (8m + m − 2n)(8m − m + 2n) = (9m − 2n)(7m + 2n)
(
) (
) (
2
)(
2
2
13. a − 2b − x + y = a − 2b + x + y a − 2b − x − y
2
26. 100 − x − y + z = 10 + x − y + z 10 − x + y − z
)
2
2
14. (2a − c) − (a + c)
28. (2 x + 3) − (5x − 1)
15. ( x + 1) − 4 x 2
29. ( x − y + z ) − ( y − z + 2 x )
2
2
2
= (2 x + 3 + 5x − 1)(2 x + 3 − 5x + 1) = (7 x + 2)(4 − 3x )
= (2a − c + a + c)(2a − c − a − c) = ( 3a ) (a − 2c)
2
2
= (3x ) (2 z − 2 y − x )
16. 36 x 2 − (a + 3x )
2
= (6x + a + 3x)(6 x − a − 3x ) = (9 x + a )(3x − a )
30. (2 x + 1) − ( x + 4)
2
( ) = (a + a − 1)(a − a + 1)
2
3
31. (a + 2 x + 1) − ( x + a − 1)
2
2
= (2a + 3x )( x + 2)
19. (2 x − 3) − (x − 5)
2
(
= (2 x − 3 + x − 5)(2 x − 3 − x + 5) = (3x − 8)( x + 2)
(
= (7 x − 3 y )(3x − 7 y )
) = (m + m − 1)(m − m + 1)
23. 16a − (2a + 3) = (4a + 2a + 3)(4a − 2a − 3)
10
(
2
2
) (
2
24. x − y − c + d
2
3
5
2
2
5
)
2
= (5x − 5 y + 2 x + 2 y )(5x − 5 y − 2 x − 2 y )
2
3
)(
33. 25 ( x − y ) − 4 ( x + y )
) (
)(
)
21. (7 x + y ) − 81 = (7 x + y + 9)(7 x + y − 9)
2
(
2
2
20. 1 − 5a + 2 x = 1 + 5a + 2 x 1 − 5a − 2 x
(
)
32. 4 x + a − 49 y 2 = 2 x + 2a + 7 y 2 x + 2a − 7 y
2
22. m6 − m2 − 1
2
= (a + 2 x + 1 + x + a − 1)(a + 2 x + 1 − x − a + 1)
= (a − 1 + m − 2)(a − 1 − m + 2) = (a + m − 3)(a − m + 1)
2
2
= (2 x + 1 + x + 4)(2 x + 1− x − 4) = (3x + 5)( x − 3)
3
18. (a − 1) − (m − 2)
2
2
= ( x − y + z + y − z + 2 x )(x − y + z − y + z − 2 x )
= ( x + 1 + 2 x )( x + 1 − 2 x ) = (3x + 1)(1 − x )
17. a 6 − a − 1
2
34. 36 (m + n) − 121(m − n)
2
2
= (6m + 6n + 11m − 11n)(6m + 6n − 11m + 11n)
2
= (17m − 5n)(17n − 5m)
) = (x − y + c + d )(x − y − c − d )
2
EJERCICIO 95
1. a 2 + 2ab + b 2 − x 2
4. a − 2a + 1− b
2
= (a − 1) − b 2
= (a + b ) − x 2
= (a − 1 + b)(a − 1 − b)
= (a + b + x )(a + b − x )
2. x − 2 xy + y − m
2
2
5. n + 6n + 9 − c
2
7. a + 4 − 4a − 9b
2
2
10. 4 x 2 + 25 y 2 − 36 + 20 xy
= (a − 2) − 9b 2
= (2 x + 5 y ) − 36
8. x 2 + 4 y 2 − 4 xy − 1
11. 9 x 2 − 1 + 16a 2 − 24ax
2
2
2
2
2
2
2
= (2 x + 5 y + 6)(2 x + 5 y − 6)
= (a + 3b − 2)(a − 3b − 2)
= (x − y) − m
= (n + 3) − c2
= (x − 2 y ) − 1
= (3x − 4a ) − 1
3. m + 2mn + n − 1
6. a + x + 2ax − 4
9. a 2 − 6ay + 9 y 2 − 4 x 2
12. 1 + 64a 2b 2 − x 4 − 16ab
2
2
2
= ( x − y + m)( x − y − m)
2
2
= (m + n) − 1
2
= (m + n + 1)(m + n − 1)
= (n + 3 + c)(n + 3 − c)
2
2
= (a + x ) − 4
2
= (a + x + 2)(a + x − 2)
2
2
= (3x − 4a + 1)(3x − 4a − 1)
= ( x − 2 y + 1)( x − 2 y − 1)
= (a − 3 y ) − 4 x 2
2
= (a − 3 y + 2 x)(a − 3 y − 2 x)
= (8ab − 1) − x 4
2
= (8ab − 1 + x 2 )(8ab − 1 − x 2 )
13. a − b − 2bc − c
2
2
21. 9 x − a − 4m + 4am
2
2
= a 2 − (b 2 + 2bc + c 2 )
= a 2 − (b + c)
2
= (a + b + c)(a − b − c)
2
2
2
= 1 − (a − 2ax + x )
2
2
= 1 − (a − x )
2
= (1 + a − x)(1 − a + x )
15. m − x − 2 xy − y
2
2
2
= m2 − ( x 2 + 2 xy + y 2 )
= m2 − ( x + y)
2
= (m + x + y)(m − x − y )
16. c − a + 2a − 1
2
2
= c2 − (a 2 − 2a + 1)
= c2 − (a − 1)
2
= (c + a − 1)(c − a + 1)
17. 9 − n − 25 − 10n
2
= 9 − (n + 10n + 25)
2
= 9 − (n + 5)
2
22. 16 x y + 12ab − 4a − 9b
2
= − (n + 8)(n + 2)
= 4a 2 − ( x 2 − 4 x + 4)
= 4a 2 − ( x − 2)
2
= (2a + x − 2)(2a − x + 2)
19. 1 − a − 9n − 6an
2
= 1 − (a 2 + 6an + 9n 2 )
= 1 − (a + 3n)
2
20. 25 − x − 16 y + 8 xy
2
2
= 25 − ( x 2 − 8 xy + 16 y 2 )
= 25 − ( x − 4 y )
2
= (5 + x − 4 y)(5 − x + 4 y )
= (a 2 + 2am + m2 ) − ( x 2 + 6 x + 9)
= (a + m) − ( x + 3)
2
= 16x 2 y 2 − (2a − 3b)
2
32. x − 9a + 6a b + 1 + 2 x − b
2
23. − a + 25m − 1 − 2a
2
2
2
2
2
2
2
2 2
34. 9m − a + 2acd − c d + 100 − 60m
2
2 2
= − (a − 2acd + c d ) + (9m2 − 60m + 100)
= (a − b) − (c + d )
= (3m − 10) − (a − cd )
2
2
= (a − b + c + d )(a − b − c − d )
= (3m − 10 + a − cd )(3m − 10 − a + cd )
2
= ( x + y) − (m − n)
= ( x + y + m − n)( x + y − m + n)
27. a + 4b + 4ab − x − 2ax − a
2
2
2
= (2a + 2b + x )(2b − x )
= (225a 2 + 30a + 1) − (169b 2 − 26bc + c 2 )
= (15a + 1) − (13b − c)
2
= (15a + 1 + 13b − c)(15a + 1 − 13b + c)
37. x − y + 4 + 4 x − 1 − 2 y
2
28. x + 4a − 4ax − y − 9b + 6by
2
= ( x 2 − 4ax + 4a 2 ) − ( y 2 − 6by + 9b2 )
= ( x − 2a ) − ( y − 3b)
2
= ( x − 2a + y − 3b)( x − 2a − y + 3b)
29. m − x + 9n + 6mn − 4ax − 4a
2
2
2
2
2
2
2
2
36. 225a − 169b + 1 + 30a + 26bc − c
= (a + 2b + x + a )(a + 2b − x − a)
2
2
= (2a − 7b + 3x + 5 y )(2a − 7b − 3x − 5 y )
2
2
2
2
2
= (a + 2b) − ( x + a )
2
2
= (2a − 7b) − (3x + 5 y )
= (a + 4ab + 4b ) − ( x + 2ax + a )
2
2
35. 4a − 9 x + 49b − 30 xy − 25 y − 28ab
= (4a 2 − 28ab + 49b 2 ) − (9 x 2 + 30 xy + 25 y 2 )
2
2
2
2
= (4a − 3x + 5m + 1)(4a − 3x − 5m − 1)
2
2
2
2
25. a − 2ab + b − c − 2cd − d
2
2
2
= (7 x 2 + 5x − 3 y )(7 x 2 − 5x + 3 y )
2
2
= (4a − 3x) − (5m + 1)
2
26. x + 2 xy + y − m + 2mn − n
2
= ( x + 4 x + 4) − ( y 2 + 2 y + 1)
2
= ( x + 2) − ( y + 1)
2
2
= ( x + 2 + y + 1)( x + 2 − y − 1)
= ( x + y + 3)( x − y + 1)
38. a − 16 − x + 36 + 12a − 8 x
= (m2 + 6mn + 9n 2 ) − ( x 2 + 4ax + 4a 2 )
= (a 2 + 12a + 36) − ( x 2 + 8 x + 16)
= (m + 3n) − ( x + 2a )
2
2
= (16a − 24ax + 9 x ) − (25m + 10m + 1)
= 49 x 4 − (5x − 3 y )
2
2
2
= 49 x 4 − (25x 2 − 30 xy + 9 y 2 )
2
2
33. 16a − 1 − 10m + 9 x − 24ax − 25m
24. 49 x − 25x − 9 y + 30 xy
2
2
= ( x + 1 + b − 3a 2 )( x + 1 − b + 3a 2 )
= (5m + a + 1)(5m − a − 1)
2
2
= ( x + 1) − (b − 3a 2 )
= 25m2 − (a + 1)
2
4
= ( x 2 + 2 x + 1) − (b 2 − 6a 2b + 9a 4 )
= 25m2 − (a 2 + 2a + 1)
4
2
= (a + m + x + 3)(a + m − x − 3)
= (4 xy + 2a − 3b)(4 xy − 2a + 3b)
2
= (a + 3n + 1)(1 − a − 3n)
2
= 16x y − (4a − 12ab + 9b 2 )
2
18. 4a 2 − x 2 + 4 x − 4
2
2
2
2
2
2
31. 2 am − x − 9 + a + m − 6 x
2
2
2
= (3x − 2 y + a + 5b)(3x − 2 y − a − 5b)
= (3x + a − 2m)(3x − a + 2m)
2
2
2
2
2
2
= (3x − 2 y ) − (a + 5b)
= 9 x 2 − (a − 2m)
2
= (3 + n + 5)(3 − n − 5)
2
= 9 x 2 − (a 2 − 4am + 4m2 )
2
14. 1 − a + 2ax − x
30. 9 x + 4 y − a − 12 xy − 25b − 10ab
= (9 x 2 − 12 xy + 4 y 2 ) − (a 2 + 10ab + 25b 2 )
2
2
= (m + 3n + x + 2a )(m + 3n − x − 2a )
2
2
= (a + 6) − ( x + 4)
2
2
= (a + 6 + x + 4)(a + 6 − x − 4)
= (a + x + 10)(a − x + 2)
EJERCICIO 96
7. 4a + 3a b + 9b
4
2 2
+ 9a 2b 2
1. a 4 + a 2 + 1
+ a2
− a2
2
2
2
+m n
4
− 9 x2
15. 4a − 53a b + 49b
+ 25a 4b 4
− 25a 4b 4
4 x 4 − 20 x 2 + 25 − 9 x 2
4a 8 − 28a 4b 4 + 49b8 − 25a 4b 4
9. x + 4 x y + 16 y
8
4
4
4
−x
x + 4x + 4 − x
4
4
2 2
−m n
2 2
4
= (a 2 + 3) − 4a 2
+ 16a b
− a 2b 2
a 4 − 2a 2b 2 + b 4 − a 2b 2
= (a 2 − b2 ) − a 2b 2
= (7 x 4 + 10 y 4 ) − 64 x 4 y 4
2 2
+ 25x y
2
= ( x + 2 x − 1)( x − 2 x − 1)
2
2 2
19. 4 − 108 x + 121x
2
− 25x y
2
= (7 x 4 + 8 x 2 y 2 + 10 y 4 )(7 x 4 − 8 x 2 y 2 + 10 y 4 )
2
+ 64 x
2
4
− 64 x 2
2
4 − 44 x 2 + 121x 4 − 64 x 2
= (6x 2 − 7 y 2 ) − 25x 2 y 2
= (2 − 11x 2 ) − 64 x 2
2
2
= (6x 2 + 5xy − 7 y 2 )(6 x 2 − 5xy − 7 y 2 )
13. 81m + 2m + 1
8
4
+ 16m
4
4
− 16m
4
= (9m + 1) − 16m
4
2
= (2 + 8 x − 11x 2 )(2 − 8 x − 11x 2 )
20. 121x − 133x y + 36 y
81m + 18m + 1 − 16m
8
2
2 2
36x 4 − 84 x 2 y 2 + 49 y 4 − 25x 2 y 2
x − 2 x + 1− 4 x 2
= ( x − 1) − 4 x
4
12. 36 x 4 − 109 x 2 y 2 + 49 y 4
2
2
− 64 x 4 y 4
= (5a + 7b ) − 16a b
2 2
= (5a 2 + 4ab + 7b 2 )(5a 2 − 4ab + 7b 2 )
= (a 2 + ab − b2 )(a 2 − ab − b 2 )
− 4x2
+ 64 x 4 y 4
49 x 8 + 140 x 4 y 4 + 100 y 8 − 64 x 4 y 4
2
6. x 4 − 6 x 2 + 1
2 2
25a + 70a b + 49b − 16a b
4
2
+ a 2b 2
= (5x 2 + 7 xy − 9 y 2 )(5x 2 − 7 xy − 9 y 2 )
8
4 4
8
18. 49 x + 76 x y + 100 y
− 16a b
2 2
5. a 4 − 3a 2b 2 + b 4
− 49 x 2 y 2
2
11. 25a 4 + 54a 2b 2 + 49b 4
= (a 2 + 2a + 3)(a 2 − 2a + 3)
4
= (5x 2 − 9 y 2 ) − 49 x 2 y 2
= (4m2 + mn − 3n2 )(4m2 − mn − 3n2 )
2
2
25x 4 − 90x 2 y 2 + 81y 4 − 49 x 2 y 2
= (4m2 − 3n ) − m2 n 2
− 4a 2
2
+ 49 x 2 y 2
2 2
2 2
a 4 + 6a 2 + 9 − 4a 2
2
4
2 2
16m − 24m n + 9n − m n
2
= (8n 2 + 6n + 7)(8n 2 − 6n + 7)
17. 25x − 139 x y + 81y
4
+mn
4. a + 2a + 9
= (7 + 8n2 ) − 36n 2
2
2 2
4
− 36n 2
49 + 112n 2 + 64n 4 − 36n 2
x 8 + 8 x 4 y 4 + 16 y 8 − 4 x 4 y 4
4
= (x 4 + x 2 + 2)(x 4 − x 2 + 2)
2
+ 36n 2
− 4x4 y4
10. 16m − 25m n + 9n
2
2
16. 49 + 76n 2 + 64n 4
= ( x 4 + 2 x 2 y 2 + 4 y 4 )( x 4 − 2 x 2 y 2 + 4 y 4 )
4
= ( x 4 + 2) − x 4
+ 4x2
= (2a 4 + 5a 2b 2 − 7b 4 )(2a 4 − 5a 2b 2 − 7b 4 )
2
4
8
2
8
+ 4x4 y4
4 4
= (2a 4 − 7b 4 ) − 25a 4b 4
= (x 4 + 4 y 4 ) − 4 x 4 y 4
3. x + 3x + 4
4
8
= (2 x 2 + 3x − 5)(2 x 2 − 3x − 5)
= (m2 + n 2 + mn)(m2 + n 2 − mn)
+ 4a 2
= (c2 + 5c − 10)(c2 − 5c − 10)
= (2 x 2 − 5) − 9 x 2
−m n
2
4
2
2
+ 9x2
2 2
= (m2 + n 2 ) − m2 n 2
+ x
= (c2 − 10) − 25c2
2
m4 + 2 m2 n 2 + n 4 − m2 n 2
8
= (2a 2 + 3b ) − 9a 2b 2
2
2 2
8
c4 − 20c2 + 100 − 25c2
8. 4 x − 29 x + 25
4
2 2
4
2. m + m n + n
− 25c2
4a 4 + 12a 2b 2 + 9b 4 − 9a 2b 2
= (2a 2 + 3ab + 3b 2 )(2a 2 − 3ab + 3b 2 )
2
2
2
+ 25c2
− 9a 2b 2
2 2
(a + 2a + 1) − a
= (a + 1) − a
= (a + a + 1)(a − a + 1)
4
14. c4 − 45c2 + 100
4
4
4
4
= (9m4 + 4m2 + 1)(9m4 − 4m2 + 1)
2
4
+ x2 y4
8
− x2 y4
121x 4 − 132 x 2 y 4 + 36 y 8 − x 2 y 4
= (11x 2 − 6 y 4 ) − x 2 y 4
2
= (11x 2 + xy 2 − 6 y 4 )(11x 2 − xy 2 − 6 y 4 )
21. 144 + 23n 6 + 9n12
25. 1 − 126a b + 169a b
2 4
+ 49n 6
− 49n6
4 8
+ 100a 2b 4
− 100a 2b 4
144 + 72n 6 + 9n12 − 49n 6
1 − 26a 2b 4 + 169a 4b8 − 100a 2b 4
= (12 + 3n ) − 49n 6
= (1 − 13a 2b 4 ) − 100a 2b 4
6 2
2
= (12 + 7n 3 + 3n 6 )(12 − 7n 3 + 3n 6 )
= (1 + 10ab 2 − 13a 2b 4 )(1 − 10ab 2 − 13a 2b 4 )
22. 16 − 9 c 4 + c8
+ c
26. x y + 21x y + 121
4
−c
4
4
4
2
2
+ x y
2
2
− x2 y2
16 − 8c 4 + c8 − c4
x 4 y 4 + 22 x 2 y 2 + 121 − x 2 y 2
= (4 − c4 ) − c4
= ( x 2 y 2 + 11) − x 2 y 2
2
2
= (4 + c 2 − c4 )(4 − c 2 − c4 )
23. 64a − 169a b + 81b
4
2 4
= ( x 2 y 2 + xy + 11)( x 2 y 2 − xy + 11)
27. 49c + 75c m n + 196m n
8
+ 25a 2b4
8
− 25a 2b4
4
2 2
4 4
+ 121c4 m2 n2
− 121c4 m2 n 2
64a 4 − 144a 2b4 + 81b8 − 25a 2b4
49c8 + 196c4 m2 n 2 + 196m4 n 4 − 121c4 m2 n 2
= (8a 2 − 9b ) − 25a 2b4
= (7c4 + 14m2 n 2 ) − 121c4 m2 n 2
4 2
2
= (8a 2 + 5ab − 9b 4 )(8a 2 − 5ab − 9b 4 )
= (7c4 + 11c2 mn + 14m2 n 2 )(7c 4 − 11c2 mn + 14m2 n 2 )
24. 225 + 5m2 + m4
28. 81a b − 292a b x + 256 x
4 8
+ 25m
2 4 8
− 25m
2
16
+ 4a b x
2
− 4a 2b 4 x 8
2 4 8
225 + 30m2 + m4 − 25m2
81a 4b8 − 288a 2b 4 x 8 + 256 x16 − 4a 2b 4 x 8
= (15 + m2 ) − 25m2
= (9a 2b 4 − 16 x 8 ) − 4a 2b 4 x 8
2
2
= (m2 + 5m + 15)(m2 − 5m + 15)
= (9a 2b 4 + 2ab 2 x 4 − 16 x 8 )(9a 2b 4 − 2ab 2 x 4 − 16 x 8 )
EJERCICIO 97
1. x
+ 64 y 4
4
+ 16 x 2 y 2
3. a
− 16 x 2 y 2
+ 36a 2b 2
a 4 + 36a 2b 2 + 324b 4 − 36a 2b 2
= ( x 2 + 8 y 2 ) − 16 x 2 y 2
= (a 2 + 18b 2 ) − 36a 2b 2
+ y8
8
+ 4x4 y4
− 4x4 y4
4x + 4x y + y − 4x y
8
4
4
8
4
= (2 x + y ) − 4 x y
4
4 2
4
4
4 + 100 x + 625x − 100 x 4
2
4
= (25x 4 + 10 x 2 + 2)(25x 4 − 10 x 2 + 2)
+ 36m2n 2
+ a 12
6. 64
+ 81n 4
8
= (2 + 25x 4 ) − 100 x 4
= (a 2 + 6ab + 18b 2 )(a 2 − 6ab + 18b 2 )
4
4. 4 m
− 100 x 4
4
2
= ( x 2 + 4 xy + 8 y 2 )( x 2 − 4 xy + 8 y 2 )
2. 4 x
+ 100 x 4
− 36a 2b 2
x 4 + 16 x 2 y 2 + 64 y 4 − 16x 2 y 2
2
+ 625x 8
5. 4
+ 324b 4
4
+ 16a 6
− 36m2 n 2
− 16a 6
64 + 16a 6 + a 12 − 16a 6
4m4 + 36m2 n 2 + 81n 4 − 36m2n 2
= (8 + a 6 ) − 16a 6
2
(
) − 36m n
= (a + 4a + 8)(a − 4a + 8)
= (2m + 6mn + 9n )(2m − 6mn + 9n )
= (2 x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4 )(2 x 4 − 2 x 2 y 2 + y 4 ) = 2m + 9n
2
2
2 2
2 2
6
2
2
2
3
6
3
+ 4n 4
7. 1
+ 4n
+ y8
8. 64 x 8
− 4n
2
2
1 + 4 n 2 + 4n 4 − 4n 2
= (1 + 2n2 ) − 4n2
2
= (2n2 + 2n + 1)(2n2 − 2n + 1)
+ 16 x y
4
9. 81a
− 16 x y
4
4
+ 64b 4
4
+ 144a b
− 144a 2b 2
2 2
4
81a 4 + 144a 2b2 + 64b 4 − 144a 2b2
64 x 8 + 16 x 4 y 4 + y 8 − 16 x 4 y 4
= (9a 2 + 8b 2 ) − 144a 2b2
= (8 x 4 + y 4 ) − 16 x 4 y 4
2
2
= (9a 2 + 12ab + 8b2 )(9a 2 − 12ab + 8b 2 )
= (8 x 4 + 4 x 2 y 2 + y 4 )(8 x 4 − 4 x 2 y 2 + y 4 )
EJERCICIO 98
(
)( )
2. x − 5x + 6 = ( x − 3)( x − 2)
3. x + 3x − 10 = ( x + 5)( x − 2)
4. x + x − 2 = ( x + 2)(x − 1)
5. a + 4a + 3 = (a + 3)(a + 1)
6. m + 5m − 14 = (m + 7)(m − 2)
7. y − 9 y + 20 = ( y − 5)( y − 4)
8. x − x − 6 = ( x − 3)( x + 2)
9. x − 9 x + 8 = ( x − 8)( x − 1)
10. c + 5c − 24 = (c + 8)(c − 3)
11. x − 3x + 2 = ( x − 2)( x − 1)
12. a + 7a + 6 = (a + 6)(a + 1)
13. y − 4 y + 3 = ( y − 3)( y − 1)
14. n − 8n + 12 = (n − 6)(n − 2)
15. x + 10 x + 21 = ( x + 7)( x + 3)
16. a + 7a − 18 = (a + 9)(a − 2)
17. m − 12m + 11 = (m − 11)(m − 1)
18. x − 7 x − 30 = ( x − 10)( x + 3)
19. n + 6n − 16 = (n + 8)(n − 2)
20. a − 21a + 20 = (a − 20)(a − 1)
21. y + y − 30 = ( y + 6)( y − 5)
22. a − 11a + 28 = (a − 7)(a − 4)
23. n − 6n − 40 = (n − 10)(n + 4)
24. x − 5x − 36 = ( x − 9)( x + 4)
25. a − 2a − 35 = (a − 7)(a + 5)
26. x + 14 x + 13 = ( x + 13)( x + 1)
1. x 2 + 7 x + 10 = x + 5 x + 2
(
)(
)
(
)(
2
28. m2 + 13m − 30 = m + 15 m − 2
2
29. c − 13c − 14 = c − 14 c + 1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
( )( )
30. x + 15x + 56 = ( x + 8)( x + 7)
31. x − 15x + 54 = ( x − 9)( x − 6)
32. a + 7a − 60 = (a + 12)(a − 5)
2
2
2
2
33. x − 17 x − 60
60 2
2
30 2
15 3
2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 20
3⋅ 1 = 3
5 ⇒ 20 − 3 = 17
5
= ( x − 20)( x + 3)
1
34. x + 8 x − 180
180 2
2
90
45
15
2
2 ⋅ 3⋅ 3 = 18
3
2 ⋅ 5 = 10
3 ⇒ 18 − 10 = 8
5
5
= ( x + 18)( x − 10)
1
35. m − 20m − 300
300 2
2
150 2
2 ⋅ 3⋅ 5 = 30
75 3
2 ⋅ 5 = 10
25 5 ⇒ 30 − 10 = 20
5
5
= (m − 30)(m + 10)
1
)
84
42
21
2
2
3
7
7
2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12
2 ⋅ 7 = 14
⇒ 14 − 12 = 2
= (m − 14)(m + 12)
1
38. c + 24c + 135
135 3
2
45
15
3
3
3⋅ 3 = 9
3⋅ 5 = 15
5
5
⇒ 15 + 9 = 24
= (c + 15)(c + 9)
1
39. m − 41m + 400
400 2
2
200 2
2 4 = 16
100 2
50 2
52 = 25
⇒ 25 + 16 = 41
25
5
5
1
5
= (m − 25)(m − 16)
40. a + a − 380
380 2
2
190 2
2 2 ⋅ 5 = 20
95
5
19 ⋅ 1 = 19
19
19 ⇒ 20 − 19 = 1
1
= (a + 20)(a − 19)
41. x + 12 x − 364
364 2
182 2
2 ⋅ 13 = 26
2
36. x + x − 132
132 2
2
2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12
11⋅ 1 = 11
66
33
2
3
11
11 ⇒ 12 − 11 = 1
1
37. m − 2m − 168
168 2
2
27. a 2 − 14a + 33 = a − 11 a − 3
= ( x + 12)( x − 11)
91
13
1
7
2 ⋅ 7 = 14
13 ⇒ 26 − 14 = 12
= ( x + 26)( x − 14)
42. a + 42a + 432
432 2
2
47. c − 4c − 320
320 2
2
216 2
2 3 ⋅ 3 = 24
45. x − 2 x − 528
528 2
108 2
2 ⋅ 32 = 18
264 2
2 3 ⋅ 3 = 24
160 2
2 ⇒ 24 + 18 = 42
132 2
2 ⋅ 11 = 22
80
2
2 ⇒ 24 − 22 = 2
40
2 ⇒ 20 − 16 = 4
54
27
9
3
1
2
3 = (a + 24)(a + 18)
66
3
33
3 = ( x − 24)( x + 22)
3
11
11
1
43. m − 30m − 675
2
675 3
225 5
3⋅ 5⋅ 3 = 45
45 3
3⋅ 5 = 15
15 3 ⇒ 45 − 15 = 30
46. n + 43n + 432
432 2
44. y 2 + 50 y + 336
336 3
3⋅ 7 ⋅ 2 = 42
2 =8
2 ⇒ 42 + 8 = 50
56
3
2
28
20
2 = (c − 20)(c + 16)
10
2
5
1
5
14
2 = ( y + 42)( y + 8)
7
7
48. m − 8m − 1. 008
1. 008 2
2
216 2
2 = 16
108 2
33 = 27
504
2
2 2 ⋅ 7 = 28
2 ⇒ 16 + 27 = 43
252
2
2 2 ⋅ 32 = 36
54
1
112 2
22 ⋅ 5 = 20
2
5 = (m − 45)(m + 15)
5
2 4 = 16
4
27
3 = (n + 16)(n + 27)
126
9
3
63
3
1
3
21
3
7
1
7
2 ⇒ 36 − 28 = 8
3 = (m − 36)(m + 28)
1
13. x 4 + 7ax 2 − 60a 2
EJERCICIO 99
( )(x + 1)
2. x − 6 x − 7 = ( x − 7)( x + 1)
3. x − 2 x − 80 = ( x − 10)(x + 8)
1. x + 5x + 4 = x + 4
4
2
2
2
6
3
3
3
8
4
4
4
(
)(
= ( x 2 + 12a )( x 2 − 5a )
14. ( 2 x ) − 4 ( 2 x ) + 3
2
= (2 x − 3)(2 x − 1)
15. (m − n) + 5 (m − n) − 24
2
= (m − n + 8)(m − n − 3)
)
4. x 2 y 2 + xy − 12 = xy + 4 xy − 3
(
)( )
6. (5x ) + 13(5x ) + 42 = (5x + 7)(5x + 6)
5. ( 4 x ) − 2 ( 4 x ) − 15 = 4 x − 5 4 x + 3
2
8
4
16. x + x − 240
240 2
2
24 = 16
2
3⋅ 5 = 15
2 ⇒ 16 − 15 = 1
18. a b − 2a b − 99
4 4
2 2
99 3
3⋅ 3 = 9
33 3
11⋅ 1 = 11
11 11 ⇒ 11 − 9 = 2
= (a 2b2 − 11)(a 2b 2 + 9)
1
19. c + 11cd + 28d
2
2
= (c + 7d )(c + 4d )
20. 25x − 5 (5x ) − 84
84 2
2
( )( )
8. a − 4ab − 21b = (a − 7b)(a + 3b)
9. ( x − y ) + 2 ( x − y ) − 24 = ( x − y + 6)( x − y − 4)
120 2
42 2
2 2 ⋅ 3 = 12
60
30
21 3
7 ⋅1 = 7
10. − x + 4 x + 5
5
1
7. x 2 + 2ax − 15a 2 = x + 5a x − 3a
2
2
2
2
= − ( x 2 − 4 x − 5) = − ( x − 5)(x + 1) = (5 − x )(x + 1)
(
)(x − 4)
11. x 10 + x 5 − 20 = x 5 + 5
(
12. m2 + mn − 56n 2 = m + 8n
5
)(m − 7n)
3 = ( x 4 + 16)( x 4 − 15)
15
5
17. − y + 2 y + 15
2
= − ( y − 2 y − 15)
2
7 ⇒ 12 − 7 = 5
7
= (5x − 12)(5x + 7)
1
21. a − 21ab + 98b
98 2
2 ⋅ 7 = 14
2
2
49 7
7 ⋅1= 7
7 7 ⇒ 14 + 7 = 21
= − ( y − 5 )( y + 3) = (5 − y )( y + 3) 1
= (a − 14b)(a − 7b)
27. − n 2 + 5n + 14
22. x y + x y − 132
4
4
2
2
= − (n − 5n − 14)
132 2
66 2
28. x + x − 930
930 2
6
= ( x 2 y 2 + 12)( x 2 y 2 − 11)
1
2
93
31
= − (x − 2 x − 48)
4
2
= − (x 2 − 8)(x 2 + 6) = (8 − x 2 )( x 2 + 6)
24. (c + d ) − 18(c + d ) + 65
25. a + 2axy − 440 x y
440 2
220 2
2 ⋅ 5 = 20
11⋅ 2 = 22
7
1
11
11
= (a + 22 xy )(a − 20 xy )
31. a − a b − 156b
4
= (m3n3 − 13)(m3n 3 − 8)
= 4 x 2 + 3 (2 x ) − 4
(2 x + 4)(2 x − 1)
2
= ( x + 2)(2 x − 1)
2. 3x − 5x − 2
2
2
(5x + 15)(5x − 2)
=
5
= ( x + 3)(5x − 2)
5. 6 x − 5x − 6
2
3⋅ 2
= ( x − 2)(3x + 1)
= (2 x − 3)(3x + 2)
2⋅ 3
= (3x + 2)(2 x + 1)
3
3 = (a − 1 + 12)(a − 1 − 9)
= (a + 11)(a − 10)
2
6. 12 x − x − 6
2
= 144 x 2 − 1(12 x) − 72
(12 x − 9)(12 x + 8)
=
3⋅ 4
= (4 x − 3)(3x + 2)
2
2
4
8
2
= (a 2 − 13b 2 )(a 2 + 12b 2 )
7. 4a + 15a + 9
= (7 x 2 + 16)(7 x 2 + 8)
1
10.20 y + y − 1
= 400 y 2 + 1(20 y ) − 20
2
= 16a 2 + 15( 4a ) + 36
=
2
4 2 = 16
4
4⋅2 = 8
2 ⇒ 16 + 8 = 24
32
2
4. 5x + 13x − 6
= 25x 2 + 13 (5x ) − 30
3
(6x + 4)(6x + 3)
=
32 = 9
⇒ 12 − 9 = 3
2
2 ⋅ 3 = 12
13⋅ 1 = 13
1
(6x − 9)(6x + 4)
=
= 36x + 7 ( 6x) + 12
3
3
35. m + abcm − 56a b c
2
13 ⇒ 13 − 12 = 1
(3x − 6)(3x + 1)
=
2
27
9
128 4
13
= 36 x 2 − 5 ( 6 x) − 36
3. 6x + 7 x + 2
2 2 ⋅ 3 = 12
36. (7 x ) + 24(7 x ) + 128
4
2
3
= 9 x 2 − 5 ( 3x ) − 6
2
2 2
78
39
EJERCICIO 100
1. 2 x + 3 x − 2
2
1
156 2
2 =8
13⋅ 1 = 13
13 ⇒ 13 + 8 = 21
2
54
= (m + 8abc )(m − 7abc)
= ( x 2 + 9ab)( x 2 − 4ab)
3
1
=
7 ⋅1= 7
⇒ 15 − 7 = 8
3 3
104 2
13
108 2
2 2
26. m n − 21m n + 104
2
2
2
5⋅ 3 = 15
30. x 4 + 5abx 2 − 36a 2b 2
1
6 6
7
= (4 x 2 − 15)(4 x 2 + 7)
⇒ 22 − 20 = 2
5
34. (a − 1) + 3 (a − 1) − 108
2
105 5
21 3
2
55
= ( x 4 y 4 − 20a )( x 4 y 4 + 5a )
= ( x 3 + 31)( x 3 − 30)
1
2
110 2
33. x 8 y 8 − 15x 4 y 4 − 100a 2
2 ⋅ 5⋅ 3 = 30
3
31⋅ 1 = 31
31 ⇒ 31 − 30 = 1
2 2
= (c + d − 13)(c + d − 5)
2
= (7a − x )( x + 3a )
29. (4 x ) − 8 (4 x ) − 105
2
2
= − ( x − 7a)(x + 3a )
3
465 5
23. − x + 2 x + 48
4
52
26
= − ( x 2 − 4ax − 21a 2 )
= − (n − 7)(n + 2) = (7 − n)(n + 2)
2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12
3
11⋅ 1 = 11
11 ⇒ 12 − 11 = 1
33
11
32. − x 2 + 4ax + 21a 2
2
(4a + 12)(4a + 3)
=
4
= (a + 3)(4a + 3)
(20 y + 5)(20 y − 4)
5⋅ 4
= (4 y + 1)(5 y − 1)
2
8. 10a + 11a + 3
= 100a 2 + 11(10a ) + 30
=
(10a + 6)(10a + 5)
11.
8a 2 − 14a − 15
2⋅5
= 64 a 2 − 14 (8a) − 120
9. 12m2 − 13m − 35
= 144m2 − 13(12m) − 420
120 2
60 2
2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 20
30 2
2⋅ 3= 6
15 3 ⇒ 20 − 6 = 14
= (5a + 3)(2a + 1)
4 ⋅ 7 = 28
5⋅ 3 = 15
420
105
4
5
21
3 ⇒ 28 − 15 = 13
5
7
7 =
1
1
(12m − 28)(12m + 15)
4⋅3
= (3m − 7)(4m + 5)
5 =
(8a − 20)(8a + 6)
4⋅ 2
= (2a − 5)(4a + 3)
17. 20n − 9n − 20
2
12. 7 x − 44 x − 35
= 49 x 2 − 44 (7 x) − 245
2
245 5
49
7
1
7
7
7 ⋅ 7 = 49
5⋅1 = 5
⇒ 49 − 5 = 44
=
(7 x − 49)(7 x + 5)
13. 15m + 16m − 15
2
= 225m2 + 16 (15m) − 225
225 5
45 5
5⋅ 5 = 25
9
3
3⋅ 3 = 9
3
3 ⇒ 25 − 9 = 16
=
1
= 400n − 9( 20) − 400
(15m + 25)(15m − 9)
5⋅ 3
= (3m + 5)(5m − 3)
200 2
2 4 = 16
100 2
50 2
52 = 25
⇒ 25 − 16 = 9
25
5
(20n − 25)(20n + 16)
=
5
5
= (4n − 5)(5n + 4)
= 441x 2 + 11(21x) − 42
(21x + 14)(21x − 3)
7⋅ 3
= (3x + 2)(7 x − 1)
19. 15m2 + m − 6
= 225m2 + 15m − 90
=
(15m + 10)(15m − 9)
5⋅ 3
= (3m + 2)(5m − 3)
2
14. 2a + 5a + 2
= 4a + 5 ( 2a ) + 4
2
180
2
= (a + 2)(2a + 1)
90
45
9
2
5
3
15. 12 x − 7 x − 12
3
3
(2a + 4)(2a + 1)
=
2
2
= 144 x 2 − 7 (12 x) − 144
144 2
2
24 = 16
36
18
2
2
32 = 9
⇒ 16 − 9 = 7
9
(12 x − 16)(12 x + 9)
3 =
4⋅3
3
2 ⋅ 32 = 18
5⋅ 2 = 10
⇒ 18 − 10 = 8
21. 9 x + 37 x + 4
= 81x 2 + 37 ( 9 x ) + 36
= (3x − 4)(4 x + 3)
1
=
(9 x + 36)(9 x + 1)
9
= (x + 4)(9 x + 1)
= 400n2 + 44 ( 20n) − 300
= 81a 2 + 10 ( 9a ) + 9
=
3
9
= (a + 1)(9a + 1)
1
3
180
2
90
2
45
15
3
32 = 9
3 ⇒ 20 + 9 = 29
5
5
1
22 ⋅ 5 = 20
=
(2 x + 20)(2 x + 9)
2
= (2 x + 10)(2 x + 9)
25. 20a − 7a − 40
2
= 400a 2 − 7 (20a ) − 800
800
4
200
4
50
10
5
52 = 25
5 ⇒ 32 − 25 = 7
2
2 =
42 ⋅ 2 = 32
(20a − 32)(20a + 25)
4⋅5
= (5a − 8)(4a + 5)
1
2
33
11
3
11⋅ 1 = 11
11 ⇒ 12 − 11 = 1
=
1
(4n + 12)(4n − 11)
4
= 900 x 2 + 13 ( 30 x ) − 300
300 2
150 2
2 ⋅ 5 = 50
75 5
2⋅ 3= 6
15 5 ⇒ 50 − 6 = 44
(9a + 9)(9a + 1)
2
27. 30 x 2 + 13x − 10
2
22. 20n + 44n − 15
2
2
24. 2 x + 29 x + 90
= (n + 3)(4n − 11)
300 2
16. 9a + 10a + 1
7⋅2
= (2m − 5)(7m + 2)
26. 4n + n − 33
15a − 18)(15a + 10)
(
= 16n 2 + 4n − 132
=
3⋅ 5
132 2
= (5a − 6)(3a + 2)
66
2
2 2 ⋅ 3 = 12
2
72
3
1
(14m − 35)(14m + 4)
= 4 x 2 + 29 (2 x ) + 180
1
2
18. 21x + 11x − 2
=
=
1
5⋅ 4
20. 15a − 8a − 12
= 225a 2 − 8 (15a ) − 180
2
140 2
70
2
5⋅ 7 = 35
35 5
2⋅2 = 4
7
7 ⇒ 35 − 4 = 31
400 2
7
= ( x − 7)(7 x + 5)
23. 14m − 31m − 10
= 196m2 − 31(14m) − 140
2
2
52 = 25
150 2
75
5
2 ⋅ 3 = 12
15
5
⇒ 25 − 12 = 13
(20n + 50)(20n − 6)
3
3
=
= (2n + 5)(10n − 3)
1
=
10 ⋅ 2
2
(30 x + 25)(30x − 12)
5⋅ 6
= (6 x + 5)(5x − 2)
EJERCICIO 101
= − (10 x 2 + 7 x − 12)
2
= (6 x ) + 5 (6 x 2 ) − 36
[
2 2
3⋅ 2
= (5x ) + 4 (5x 3 ) − 60
3 2
3
= (x + 2)(5x − 6)
2
= (10 x ) + 29 (10 x 4 ) + 100
756
4
378
189
5⋅ 2
= (2 x 4 + 5)(5x 4 + 2)
4. 6a x + 5ax − 21
2
2
(6ax ) 2 + 5 ( 6ax ) − 126
126 2
63 3
2 ⋅ 7 = 14
21 7
3⋅ 3 = 9
3 3 ⇒ 14 − 9 = 5
=
1
5. 20 x y + 9 xy − 20
2
2
3
3 = 27
⇒ 56 − 27 = 29
200 2
52 = 25
100 2
24 = 16
50
2 ⇒ 25 − 16 = 9
25
5 =
5
5
5⋅ 4
=
21
3
= (3x − 8 y )(7 x + 9 y )
7
7
= (15x) − a (15x ) − 30a 2
2
(15x − 6a)(15x + 5a)
7⋅3
2⋅ 3
= − (3x − 5)(2 x 4 + 1)
4
2⋅3
= (3a − 5x )(2a + 3x )
196
2
98
49
7
2
7 ⋅ 7 = 49
7
2⋅2 = 4
7 ⇒ 49 − 4 = 45
= ( 4 x) + 7mn ( 4 x) − 60m2n 2
2
=
2
= (2 x 2 − 7)(7 x 2 + 2)
2
= 900a 2 − 13 (30ab) − 90b 2
(30a − 18b)(30a + 5b)
=
4
17.18a + 17ay − 15y
2
= (18a ) + 17 y (18a ) − 270 y 2
2
2
7⋅2
(4 x + 12mn )(4 x − 5mn)
= ( x + 3mn)(4 x − 5mn)
(14 x − 49)(14 x + 4)
= (5a − 3b)(6a + b)
(6a − 10x)(6a + 9 x)
2
2 2
16. 4 x + 7mnx − 15m n
2
6⋅ 5
=−
=
= (14 x 2 ) − 45 (14 x 2 ) − 196
11. 30a − 13ab − 3b
)
4
= 36a 2 − 6ax − 90 x 2
2
2
(6 x − 10)(6 x + 3)
4
15. 6a 2 − ax − 15x 2
2
6
=
2
= (5 − 3x 4 )(2 x 4 + 1)
(6m − 18a )(6m + 5a )
= (4 xy + 5)(5xy − 4)
1
2
2
6. 15x − ax − 2a
(21x − 56 y)(21x + 27 y)
3
1
(
= − (6 x 4 ) − 7 (6 x 4 ) − 30
= (m − 3a )(6m + 5a )
(20xy + 25)(20xy − 16)
4
= − (6 x 8 − 7 x 4 − 5)
3
10. 14 x − 45x − 14
400 2
= (5x − 2a )(3x + a )
2 ⋅ 7 = 56
63
=
2
3⋅ 5
2
4
= (20 xy) + 9 (20 xy) − 400
=
8
= 36m − 13 (6am) − 90a
2⋅3
3
14. − 6 x + 7 x + 5
3
2
(6ax + 14)(6ax − 9)
(3a − 18)(3a + 5)
= (6 − a )(3a + 5)
1
2
2
9. 6m − 13am − 15a
= (3ax + 7)(2ax − 3)
2
2
1. 512 2
(10 x + 25)(10x + 4)
=
= − (9a 2 − 13 ( 3a ) − 90)
= − (a − 6)(3a + 5)
2
4 2
= − (3a 2 − 13a − 30)
=−
= 441x − 29 (21xy ) − 1.512 y 2
4
4
5⋅ 2
8. 21x − 29 xy − 72 y
3. 10 x + 29 x + 10
8
]
= (2 x + 3)(4 − 5x )
3
7
13. − 3a 2 + 13a + 30
= − (2 x + 3)(5x − 4)
1
5
3
= ( x 3 − 5)(7 x 3 + 2)
5⋅ 3 = 15
[
3 =
(7 x − 35)(7 x + 2)
3
=
− (10x + 15)(10x − 8)
3
(5x + 10)(5x − 6)
3
]
2
2 3=8
5 ⇒ 15 − 8 = 7
30
15
2. 5x 6 + 4 x 3 − 12
3
2
2
120 2
60 2
2
= (2 x 2 + 3)(3x 2 − 2)
=
= (7 x 3 ) − 33 (7 x 3 ) − 70
= − (10x ) + 7 (10 x ) − 120
(6x + 9)(6x − 4)
2
=
12. 7 x 6 − 33x 3 − 10
7. − 10 x 2 − 7 x + 12
1. 6 x + 5x − 6
4
2
270
2
135
27
9
5
33 = 27
3
5⋅ 2 = 10
3 ⇒ 27 − 10 = 17
3
3
1
=
(18a + 27 y)(18a − 10 y)
9⋅2
= (2a + 3 y )(9a − 5 y )
18. − 8 x + 2 x + 15
4
23. − 6 y 2 + 11xy − 4 x 2
2
= − (8 x 4 − 2 x 2 − 15)
(
21. 30m + 17am − 21a
2
)
= − (8 x 2 ) − 2 (8 x 2 ) − 120
2
(8x − 12)(8x + 10)
2
=−
4⋅ 2
= − (2 x 2 − 3)(4 x 2 + 5)
= (3 − 2 x 2 )(4 x 2 + 5)
19. − 25x + 5x + 6
= − (6 y ) − 11x(6 y ) + 24 x 2
630
315
2
5
5⋅ 7 = 35
=−
63
21
3
3
2 ⋅ 32 = 18
⇒ 35 − 18 = 17
7
7
=
(
(25x − 15)(25x + 10)
4
)
2
= − (15a 2 − 16a + 4)
= (3 − 5x )(5x + 2)
4
(
)
(15a − 10)(15a − 6)
=−
4
= − (15a ) − 16 (15a ) + 60
2
10
5
20. 30 x − 91x − 30
= (30 x ) − 91(30 x ) − 900
5 2
5
=
5⋅ 3
(30x − 100)(30x + 9)
5
= − (3a − 2)(5a − 2)
5
= (3a − 2)(2 − 5a )
10 ⋅ 3
= (3x − 10)(10 x + 3)
5
(
)
= − ( 20a ) − 27b(20a ) + 180b 2
22. − 15a + 16a − 4
4
2
= − (20a 2 − 27ab + 9b 2 )
2
= − (5x − 3)(5x + 2)
4
= (4 x − 3y )(2 y − x )
24. − 20a + 27ab − 9b
4
5⋅ 5
2⋅ 3
5⋅ 6
= − (25x 4 ) − 5 (25x 4 ) − 150
=−
(6 y − 8x)(6 y − 3x)
)
= (6m + 7a )(5m − 3a )
1
2
2
= − (3 y − 4 x )(2 y − x )
(30m + 35a)(30m − 18a)
4
= − (25x 8 − 5x 4 − 6)
(
= (30m) + 17a ( 30m) − 630a 2
2
2
8
= − (6 y 2 − 11xy + 4 x 2 )
2
2
180
2
90
45
2
5
2 2 ⋅ 3 = 12
5⋅ 3 = 15
9
3
⇒ 15 + 12 = 27
3
3
=−
(20a − 15b)(20a − 12b)
5⋅ 4
= − (4a − 3b)(5a − 3b)
1
= (4a − 3b)(3b − 5a )
5
EJERCICIO 102
(
)
1. a 3 + 3a 2 + 3a + 1 = a + 1
(
2. 27 − 27 x + 9 x − x = 3 − x
2
(
12. 8 + 36 x + 54 x 2 + 27 x 3 = 2 + 3x
3
3
)
(
(
4. 1 − 3a + 3a − a = 1 − a
3
4
)
3
2
3
2
2
3
3
3
2
3
(
)
7. 8a − 36a b + 54ab − 27b = (2a − 3b)
8. 27m + 108m n + 144mn + 64n = (3m + 4n)
3
)
16. 64 x 3 + 240 x 2 y + 300 xy 2 + 125 y 3 = 4 x + 5 y
)
(
3
(
2 3
6. 125x 3 + 75x 2 + 15x + 1 = 5x + 1
)
15. x 9 − 9 x 6 y 4 + 27 x 3 y 8 − 27 y12 = x 3 − 3 y 4
)
(
6
(
14. a 6 + 3a 4b3 + 3a 2b6 + b9 = a 2 + b3
3
5. 8 + 12a + 6a + a = 2 + a
2
3
13. 8 − 12a 2 − 64a 4 − a 6 = No es cubo perfecto
3
3. m3 + 3m2 n + 3mn 2 + n 3 = m + n
2
)
3
3
9. x 3 − 3x 2 + 3x + 1 = No es cubo perfecto
10. 1 + 12a 2b − 6ab − 8a 3b 3 = No es cubo perfecto
(
)
11. 125a 3 + 150a 2b + 60ab2 + 8b3 = 5a + 2b
3
(
)
3
)
18. 125x + 600 x y + 960 x y + 512 y = (5x + 8 y )
19. a + 3a + 3a + 1 = (a + 1)
17. 216 − 756a 2 + 882a 4 − 343a 6 = 6 − 7a 2
12
18
8 5
12
6
4 10
6
3
15
5 3
4
3
(
20. m3 − 3am2 n + 3a 2 mn 2 − a 3n 3 = m − an
)
(
3
21. 1 + 18a 2b 3 + 108a 4b 6 + 216a 6b 9 = 1 + 6a 2b 3
(
)
3
22. 64 x 9 − 240 x 6 y 4 + 300 x 3 y 8 − 125 y12 = 4 x 3 − 5 y 4
)
3
EJERCICIO 103
(
)(1− 7n + 49n )
1. 1 + a = (1 + a )(1 − a + a )
21. 64a − 729 = (4a − 9)(16a + 36a + 81)
2. 1 − a = (1 − a )(1 + a + a )
22. a b − x = (ab − x )(a b + abx + x )
3. x + y = (x + y)( x − xy + y )
23. 512 + 27a = (8 + 3a )(64 − 24a + 9a )
4. m − n = (m − n )(m + mn + n )
24. x − 8 y = ( x − 2 y )( x + 2 x y + 4 y )
5. a − 1 = (a − 1)(a + a + 1)
25. 1 + 729 x = (1 + 9 x )(1 − 9 x + 81x )
6. y + 1 = ( y + 1)( y − y + 1)
26. 27m + 64n = (3m + 4n )(9m − 12mn + 16n )
7. y − 1 = ( y − 1)( y + y + 1)
27. 343x + 512 y = (7 x + 8 y )(49 x − 56 xy + 64 y )
8. 8 x − 1 = (2 x − 1)(4 x + 2 x + 1)
28. x y − 216 y = ( xy − 6 y )(x y + 6 xy + 36 y )
9. 1 − 8 x = (1 − 2 x)(1 + 2 x + 4 x )
29. a b x + 1 = (abx + 1)(a b x − abx + 1 )
10. x − 27 = ( x − 3)( x + 3x + 9)
30. x + y = ( x + y )( x − x y + y )
11. a + 27 = (a + 3)(a − 3a + 9)
31. 1. 000 x − 1 = (10 x − 1)(100 x + 10 x + 1)
12. 8 x + y = (2 x + y )(4 x − 2 xy + y )
32. a + 125b = (a + 5b )(a − 5a b + 25b )
13. 27a − b = (3a − b)(9a + 3ab + b )
33. x + y = ( x + y )( x − x y + y )
14. 64 + a = (4 + a )(16 − 4a + a )
34. 1 − 27a b = (1 − 3ab)(1 + 3ab + 9a b )
15. a − 125 = (a − 5)(a + 5a + 25)
35. 8 x + 729 = (2 x + 9)(4 x − 18 x + 81)
16. 1 − 216m = (1 − 6m)(1 + 6m + 36m )
36. a + 8b = (a + 2b )(a − 2ab + 4b )
17. 8a + 27b = (2a + 3b )(4 a − 6ab + 9b )
37. 8 x − 125 y z = (2 x − 5 yz )(4 x + 10 x yz + 25 y z )
18. x − b = ( x − b )( x + x b + b )
38. 27m + 343n = (3m + 7n )(9m − 21m n + 49n )
19. 8 x − 27 y = (2 x − 3 y )(4 x + 6 xy + 9 y )
39. 216 − x = (6 − x )(36 + 6 x + x )
20. 1 + 343n 3 = 1 + 7n
3
2
3
3
2
3 3
3
3
3
3
2
2
6
2
6
3
2
3
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
2
2
2
6
9
2
2
3
3
2
3
3
2
4
12
3
4
6
2
4
4
2 4
3 3
2
4
5
6
6
4
4
2 4
8
4 4
8
4
4
8
3
9
2
12
2
2
3 6
6
2
2
2 2
12
9
6
6
2
3
2
3
2
2 3
3
2
6
3
6
2
3 3
2
3
8
2
12
4
2 4
2 2 2
9
12
6
3
6
6
2
3
4
3
2
4
2
3 3 3
2
3
4
9
9
9
3
6
4
2
3 6
3
3
2
6
2
2
3
12
2
3
2 2
9
3
3
2
2
2
2
4
8
2
3
4
4
6
3
4
2 3
2
2 4
6
8
)[( ) ( ) ]
= (x + 2 y + 1)( x + 4 xy + 4 y − x − 2 y + 1)
1. 1 + ( x + y ) = (1 + x + y )[1 − ( x + y ) + ( x + y ) ]
6. 1 − (2a − b) = [1 − (2a − b)][1 + (2a − b) + (2a − b) ]
= (1 + x + y )(1 − x − y + x + 2 xy + y )
= (1 − 2a + b)(1 + 2a − b + 4a − 4ab + b )
2. 1 − (a + b) = [1 − (a + b)][1 + (a + b) + (a + b) ]
7. a + (a + 1) = (a + a + 1)[a − a (a + 1) + (a + 1) ]
= (1 − a − b)(1 + a + b + a + 2ab + b )
= (2a + 1)(a − a − a + a + 2a + 1)
3. 27 + (m − n) = (3 + m − n)[9 − 3(m − n) + (m − n) ]
= (2a + 1)(a + a + 1)
= (3 + m − n)(9 − 3m + 3n + m − 2mn + n )
8. 8a − (a − 1) = [2a − (a − 1)][4a + 2a (a − 1) + (a − 1) ]
4. ( x − y) − 8 = ( x − y − 2)[( x − y) + 2 ( x − y) + 4]
= (2a − a + 1)(4a + 2a − 2a + a − 2a + 1)
= (x − y − 2)( x − 2 xy + y + 2 x − 2 y + 4)
= (a + 1)(7a − 4a + 1)
(
EJERCICIO 104
)
(
3
2
5. x + 2 y + 1 = x + 2 y + 1 x + 2 y − x + 2 y + 1
3
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
3
3
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
( )
14. ( x − y ) − ( x + y )
= [3x − ( x − y )][9 x + 3x ( x − y ) + ( x − y ) ]
= [(x − y ) − (x + y )][( x − y ) + ( x − y )( x + y ) + ( x + y ) ]
= (3x − x + y )(9 x + 3x − 3xy + x − 2 xy + y )
= ( x − y − x − y )( x − 2 xy + y + x − y + x + 2 xy + y )
= (2 x + y )(13x − 5xy + y )
= − 2 y (3x + y )
10. (2a − b) − 27
15. (m − 2) + (m − 3)
= (2a − b − 3)[(2a − b) + 3 (2a − b) + 9]
= [(m − 2) + (m − 3)][(m − 2) − (m − 2)(m − 3) + (m − 3) ]
= (2a − b − 3)(4a − 4ab + b + 6a − 3b + 9)
= (m − 2 + m − 3)(m − 4m + 4 − m + 5m − 6 + m − 6m + 9)
11. x − ( x + 2)
= (2m − 5)(m − 5m + 7)
16. (2 x − y ) + (3x + y )
= [ x − ( x + 2)][ x + x ( x + 2) + ( x + 2) ]
= [(2 x − y ) + (3x + y )][(2 x − y ) − (2 x − y )(3x + y ) + (3x + y ) ]
= ( x − x − 2)( x + x + 2 x + x + 4 x + 4)
= (2 x − y + 3x + y )(4 x − 4 xy + y − 6 x + xy + y + 9 x + 6 xy + y )
= ( x − x − 2) ( x + x + 3x + 4 x + 4)
= (5x ) (7 x + 3xy + 3 y )
12. (a + 1) + (a − 3)
17. 8 (a + b) + (a − b)
= (a + 1 + a − 3)[(a + 1) − (a − 3)(a + 1) + (a − 3) ]
= [2 (a + b) + (a − b)][4 (a + b) − 2 (a + b)(a − b) + (a − b) ]
= (2a − 2)(a + 2a + 1 − a + 2a + 3 + a − 6a + 9)
= (2a + 2b + a − b)(4a + 8ab + 4b − 2a + 2b + a − 2ab + b )
= (2a − 2)(a − 2a + 13)
= (3a + b)(3a + 6ab + 7b )
13. ( x − 1) − ( x + 2)
18. 64 (m + n) − 125
= [ x − 1 − ( x + 2)][( x − 1) + (x − 1)( x + 2) + (x + 2) ]
= [4 (m + n) − 5][16 (m + n) + 4 (m + n) (5) + 25]
= ( x − 1− x − 2)( x − 2 x + 1 + x + x − 2 + x + 4 x + 4)
= (4m + 4n − 5)(16m + 32mn + 16n + 20m + 20n + 25)
= − 3 (3x + 3x + 3) = − 9 (x + x + 1)
9. 27 x 3 − x − y
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
2
2
2
2
3
6
2
2
2
2
2
4
3
2
2
3
2
2
4
3
2
4
3
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
3
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
EJERCICIO 105
(
)(81+ 54b + 36b + 24b + 16b )
11. a + b c = (a + bc)(a − a bc + a b c − ab c + b c )
10. 243 − 32b 5 = 3 − 2b
( )(a − a + a − a + 1)
2. a − 1 = (a − 1)(a + a + a + a + 1)
3. 1 − x = (1− x)(1 + x + x + x + x )
1. a 5 + 1 = a + 1
5
4
3
2
4
3
2
5
4.a + b
7
2
3
2
5
5 5
12. m − a x
7
4
7
4
3
2
3
4
2 2 2
3 3
4 4
7
= (m − ax)(m6 + m5ax + m4 a 2 x 2 + m3a 3 x 3 + m2 a 4 x 4 + ma 5 x 5 + a 6 x 6 )
7
( )(1− x + x − x + x − x + x )
13. 1 + x 7 = 1 + x
= (a + b)(a 6 − a 5b + a 4b 2 − a 3b 3 + a 2b 4 − ab5 + b 6 )
3
4
5
6
14. x 7 − y 7
5. m7 − n 7
= (m − n)(m6 + m5n + m4 n2 + m3n3 + m2n 4 + mn5 + n 6 )
2
= ( x − y)( x 6 + x 5 y + x 4 y 2 + x 3 y 3 + x 2 y 4 + xy5 + y 6 )
15. a 7 + 2 .187
( )(a − 3a + 9a − 27a + 81)
= (a + 3)(a − 3a + 9a − 27a + 81a − 243a + 729)
7. 32 − m = (2 − m)(16 + 8m + 4m + 2m + m )
16. 1 − 128a = (1 − 2a )(1 + 2a + 4a + 8a + 16a + 32a + 64a )
8. 1 + 243x = (1 + 3x )(1 − 3x + 9 x − 27 x + 81x )
17. x + 32 y = ( x + 2 y )( x − 2 x y + 4 x y − 8 x y + 16 y )
6. a 5 + 243 = a + 3
4
3
2
6
5
2
5
9. x 7 + 128
2
3
3
4
5
4
7
4
= (x + 2)( x 6 − 2 x 5 + 4 x 4 − 8 x 3 + 16 x 2 − 32 x + 64)
10
2
5
18. 1 + 128 x 4
2
8
6
3
2
3
4
4 2
5
2 3
6
4
= (1 + 2 x 2 )(1 − 2 x 2 + 4 x 4 − 8 x 6 + 16x 8 − 32 x10 + 64 x12 )
(
)(a − a + 1)
19. 8m − 27 y = (2m − 3 y )(4m + 6my + 9 y )
EJERCICIO 106
(
18. a 6 + 1 = a 2 + 1
)
1. 5a + a = a 5a + 1
2
3
( )
3. a + a − ab − b = (a + a ) − (ab − b)
= a (a + 1) − b(a + 1)
= (a + 1)(a − b)
4. x − 36 = x − 6 = ( x + 6)(x − 6)
5. 9 x − 6 xy + y = (3x − y )
6. x − 3x − 4 = ( x − 1)( x + 4)
2
2. m + 2mx + x = m + x
2
2
2
2
2
2
2
4
)
2
( )(1− a + a − a + a − a + a )
21. 1 + a 7 = 1 + a
2
3
(
23. 1 − m = (1 + m)(1 − m)
4
5
6
)
3
22. 8a 3 − 12a 2 + 6a − 1 = 2a − 1
2
2
2
6
(
2
2
2
20. 16a 2 − 24ab + 9b 2 = 4a − 3b
2
2
4
24. x 4 + 4 x 2 − 21 = x 2 + 7
)(x − 3)
25. 125a 6 + 1 = 5a 2 + 1
4
(
2
7. 6 x 2 − x − 2
(
)(25a − 5a + 1)
26. a + 2ab + b − m
2
= 36 x 2 − 6 x − 12
2
2
2
2
= (a + b) − m2 = (a + b + m)(a + b − m)
(6x − 4)(6x + 3)
=
2
(
3⋅ 2
27. 8a 2b + 16a 3b − 24a 2b 2 = 8a 2b 1 + 2a − 3b
= (3x − 2)(2 x + 1)
)
28. x 5 − x 4 + x − 1
( )(1− x + x )
= (x − x ) + (x − 1) = x (x − 1) + (x − 1) = ( x + 1)( x − 1)
9. 27a − 1 = (3a − 1)(9a + 3a + 1)
29. 6 x + 19 x − 20
= 36x + 19 ( 6 x ) − 120
10. x + m = ( x + m)( x − x m + x m − xm + m )
120 2
11. a − 3a b + 5ab = a (a − 3ab + 5b )
60 2
2 ⋅ 3 = 24
8. 1 + x 3 = 1 + x
2
3
2
5
5
3
5
4
4
2
4
2
4
3
2
2
2
2
3
2
4
2
3
12. 2 xy − 6 y + xz − 3z
= 2 y ( x − 3) + z ( x − 3) = ( x − 3)(2 y + z)
(
13. 1 − 4b + 4b 2 = 1 − 2b
14. 4 x + 3x y + y
4
2
2
+x y
2
)
−x y
2
2
15. x − 6 x y + y
+ 2x y
4
2
− 4x y
4
4
4
4
8
4
4
)
16. a 2 − a − 30 = a − 6 a + 5
17. 15m + 11m − 14
2
= 225m2 + 11(15m) − 210
(15m + 21)(15m − 10)
3⋅ 5
= (5m + 7)(3m − 2)
32. x − a + 2 xy + y + 2ab − b
2
2
2
2
2
= ( x + y + a − b)( x + y − a + b)
= ( x 4 + 2 x 2 y 2 − y 4 )( x 4 − 2 x 2 y 2 − y 4 )
)(
2
2
2
2
=
(
)(5x − 9 y)
31. 1 − m = (1 − m)(1 + m + m )
= ( x + y ) − (a − b)
4
= (x 4 − y 4 ) − 4 x 4 y 4
(
6
= ( x 2 + 2 xy + y 2 ) − (a 2 − 2ab + b2 )
8
x − 2x y + y − 4x y
8
2
(6x + 24)(6x − 5)
= (x + 4)(6 x − 5)
3
= (2 x + xy + y )(2 x − xy + y )
2
4
=
30. 25x 4 − 81y 2 = 5x 2 + 9 y
2
4
5
1
= (2 x 2 + y 2 ) − x 2 y 2
8
5
2
4
2
5⋅1 = 5
⇒ 24 − 5 = 19
4
2
2
2
3
2
4x + 4x y + y − x2 y2
4
30
15
(
)
33. 21m5n − 7m4 n 2 + 7m3n 3 − 7m2 n = 7m2 n 3m3 − m2 n + mn 2 − 1
(
) ( ) ( ) (
)(
35. 4 + 4 ( x − y ) + (x − y) = (2 + x − y)
)
34. a x + 1 − b x + 1 + c x + 1 = a − b + c x + 1
2
(
36. 1 − a 2b 4 = 1 + ab 2
2
)(1− ab )
2
(
37. b 2 + 12ab + 36a 2 = b + 6a
(
)
2
)(x − 7)
38. x 6 + 4 x 3 − 77 = x 3 + 11
3
(
)(1− 6x + 36x )
53 x − 64 = (x − 4)( x + 4 x + 16)
39. 15x − 17 x − 4
4
2
52. 1 + 216 x 9 = 1 + 6 x 3
= (15x ) − 17 (15x ) − 60
2 2
2
=
3
(15x − 20)(15x + 3)
2
2
(
)
)
(
55. 18ax y − 36 x y − 54 x 2 y 8 = 18 x 2 y 3 ax 3 − 2 x 2 − 3 y 5
= (3x 2 − 4)(5x 2 + 1)
(
6
2
54. x 3 − 64 x 4 = x 3 1 − 64 x
5⋅ 3
40. 1 + a − 3b
3
5 3
4 3
(
)
3
)
(
)(
) (
58. a − (b + c) = (a + b + c)(a − b − c)
= (1 + a − 3b)(1 − a + 3b + a − 6ab + 9b )
59. (m + n) − 6 (m + n) + 9 = (m + n − 3)
+ 25
x +x
[
= (1 + a − 3b) 1 − (a − 3b) + (a − 3b)
2
(
]
2
4
)(
2
)
57. x + 1 − 81 = x + 1 + 9 x + 1 − 9 = x + 10 x − 8
2
2
2
2
41.
)
56. 49a b − 14ab + 1 = 7ab − 1
2 2
2
2
+ 9x2
61. 9a + 63a − 45a
60. 7 x + 31x − 20
2
− 9 x2
3
= 9a (a 2 + 7 − 5a )
= ( 7 x) + 31( 7 x) − 140
2
x 4 + 10 x 2 + 25 − 9 x 2
= (x 2 + 5) − 9 x 2
2
= (x + 3x + 5)(x − 3x + 5)
2
140
70
2
2
35
7
5
2 =4
7 ⇒ 35 − 4 = 31
2
42. a − 28a + 36
8
4
+ 16a 4
− 16a 4
7
64. 1 − 27b + b
2
)(49 − 14a + 4a )
2
(
2 2
+ m2 n 2
4
− m2 n 2
m 4 + 2 m2 n 2 + n 4 − m2 n 2
= (m2 + n 2 ) − m2 n 2
2
= (m2 + mn + n 2 )(m2 − mn + n 2 )
)(c − 2d )
67. 15x − 15x + 20 x = 5x (3x − 3x + 4 )
66. c 4 − 4d 4 = c2 + 2d 2
= 3m (2a + 1) − 2n (2a + 1)
= (3m − 2n)(2a + 1)
4
47. 81a 6 − 4b2 c8 = 9a 3 + 2bc 4
3
2
2
2
2
2
)(9a − 2bc ) 68. a − x − a − x
3
2
4
)(
48. 16 − 2a + b = 4 + 2a + b 4 − 2a − b
2
= (a 2 − x 2 ) − (a + x) = (a + x)(a − x) − (a + x) = (a + x)(a − x − 1)
)
2
70. 6m + 7m − 20
4
= − ( x 2 + x − 20)
69. x − 8 x − 240
4
= − ( x + 5)( x − 4)
240
60
= ( x + 5)(4 − x )
(
)(
)
50. n 2 + n − 42 = n + 7 n − 6
2
2
2
2
51. a − d + n − c − 2an − 2cd
= (a 2 − 2an + n 2 ) − (c 2 + 2cd + d 2 )
= (a − n) − (c + d )
2
4
= (1 + 5b − b 2 )(1 − 5b − b 2 )
= (6am + 3m) − (4an + 2n)
2
65. m + m n + n
− 25b 2
2
46. 6am − 4an − 2n + 3m
) (
2
= (1 − b 2 ) − 25b 2
2
(
= (9 x 2 − 5 y )
1 − 2b 2 + b 4 − 25b 2
(
)
45. x + 2 xy − 15 y = ( x + 5 y)( x − 3 y )
49. 20 − x − x
⇒ 81x 4 − 90 x 2 y + 25 y 2
4
+ 25b 2
44. 12a 2bx − 15a 2 by = 3a 2b 4 x − 5 y
(
= (a − 1)( x + 1)
63. 81x 4 + 25 y 2 − 90 x 2 y
= ( x + 5)(7 x − 4)
= (a 4 + 4a 2 − 6)(a 4 − 4a 2 − 6)
2
= a (x + 1) − ( x + 1)
(7 x + 35)(7 x − 4)
=
2
(
= (ax + a ) − (x + 1)
2
1
= (a 4 − 6) − 16a 4
43. 343 + 8a 3 = 7 + 2a
62. ax + a − x − 1
7 ⋅ 5 = 35
a 8 − 12a 4 + 36 − 16a 4
2
2
= (a − n + c + d )(a − n − c − d )
15
5
1
2
4
4
4 ⋅ 5 = 20
3
4 ⋅ 3 = 12
5 ⇒ 20 − 12 = 8
= ( x 2 − 20)( x 2 + 12)
2
= (6m ) + 7 (6m2 ) − 120
2 2
120 4
30 3
10 5
2
2
4⋅2 = 8
5⋅ 3 = 15
⇒ 15 − 8 = 7
1
=
(6m + 15)(6m − 8)
2
2
3⋅ 2
= (2m + 5)(3m2 − 4)
2
71. 9n 2 + 4a 2 − 12an ⇒ 9n 2 − 12an + 4a 2
= (3n − 2a )
(
(
)
84. a 10 − a 8 + a 6 + a 4 = a 4 a 6 − a 4 + a 2 + 1
2
(
)
(
) (
) (
) (
)(
)(
)
85. 2 x a − 1 − a + 1 = 2 x a − 1 − a − 1 = a − 1 2 x − 1
)
( )( ) (
) ( )(
)
) (
)(
) 87. a 2 − b3 + 2b3 x 2 − 2a 2 x 2
74. x + 3x − 18 = ( x + 6)( x − 3)
= − (b 3 − 2b3 x 2 ) + (a 2 − 2a 2 x 2 )
75. (a + m) − (b + n) = (a + m + b + n )(a + m − b − n )
= − b3 (1 − 2 x 2 ) + a 2 (1 − 2 x 2 ) = (1 − 2 x 2 )(a 2 − b 3 )
2
76 x + 6 x y + 12 xy + 8 y = ( x + 2 y)
2
1 
1
2
88. 2am − 3b − c − cm − 3bm + 2a
89. x − x + =  x − 
−
−
8
a
22
a
21
3
9 
3
77.
= (2am − cm − 3bm) − (3b + c − 2a )
= (8a ) − 22 (8a ) − 168
= m (2a − c − 3b) − (3b + c − 2a )
90. 4a 2 n − b 4 n
168 4
= m (2a − 3b − c) + (2a − 3b − c)
42
2
3⋅ 2 = 6
= (2a n + b2 n )(2a n − b2 n )
21
3
4 ⋅ 7 = 28
= (2a − 3b − c)(m + 1)
7
7 ⇒ 28 − 6 = 22
91. 81x − (a + x ) = (9 x + a + x)(9 x − a − x) = (10 x + a)(8 x − a )
(8a − 28)(8a + 6)
72. 2 x 2 + 2 = 2 x 2 + 1
(
)
(
86. m + n m − n + 3n m − n = m − n m + n + 3n = m − n m + 4n
73. 7a x + y − 1 − 3b x + y − 1 = 7a − 3b x + y − 1
2
2
3
2
2
2
3
3
2
2
2
2
=
1
2
= (2a − 7)(4a + 3)
(
78. 1 + 18ab + 81a 2b 2 = 1 + 9ab
(
)(2a − 1)
79. 4a − 1 = 2a + 1
6
92. a + 9 − 6a − 16 x
4⋅ 2
3
= (a 2 − 6a + 9) − 16 x 2 = (a − 3) − 16 x 2 = (a − 3 + 4 x )(a − 4 x − 3)
2
)
2
93. 9a − x − 4 + 4 x
2
3
80. x − 4 x − 480
6
2
2
94. 9 x 2 − y 2 + 3x − y
4
3
5⋅ 4 = 20
4
4 ⋅ 3⋅ 2 = 24
5 ⇒ 24 − 20 = 4
2
= (9 x 2 − y 2 ) + (3x − y ) = (3x + y )(3x − y ) + (3x − y ) = (3x − y )(3x + y + 1)
(
3
2
4
3
5
2
2
1
]
4 ⋅ 5 = 20
3⋅ 2 = 6
⇒ 20 − 6 = 14
=−
1. 470
7
36a 4 − 84a 2b 2 + 49b 4 − 36a 2b2
210
7
= (6a 2 − 7b 2 ) − 36a 2b 2
30
5
6
6
=
= (a + 2b) − (m + 3n)
(8x − 20)(8x + 6)
4⋅2
= − (2 x − 5)(4 x + 3)
= (5 − 2 x )(4 x + 3)
98. 1 −
7 ⋅ 6 = 42
⇒ 42 + 35 = 77
= (a 2 + 4ab + 4b 2 ) − (m2 + 6mn + 9n 2 )
2
(49 x − 35)(49 x − 42)
7⋅7
2
4 8  2 4  2 4
a =  1+ a   1− a 
 3  3 
9
7 ⋅ 5 = 35
1
= (7 x − 5)(7 x − 6)
= (a + 2b + m + 3n)(a + 2b − m − 3n)
= − (8 x ) − 14 (8 x ) − 120
120
30
10
2
= (6a 2 + 6ab − 7b 2 )(6a 2 − 6ab − 7b2 )
= 3m (2a − 1) − (2a − 1 ) = (3m − 1 )(2a − 1 )
[
= ( 49 x ) − 77 ( 49 x ) + 1. 470
− 36a 2b 2
2
2
2
2
97. a − m − 9n − 6mn + 4ab + 4b
= (6am − 3m) − (2a − 1 )
2
100. 49 x 2 − 77 x + 30
4
2
= a (x + y − 1 ) − b (x + y − 1 )
= (a − b)( x + y − 1)
82 6am − 3m − 2a + 1
2 2
+ 36a 2b2
= (ax + ay − a ) − (bx + by − b)
= − (8 x 2 − 14 x − 15)
)
96. 36a − 120a b + 49b
4
1
81. ax − bx + b − a − by + ay
83. 15 + 14 x − 8 x
)(
95. x 2 − x − 72 = x − 9 x + 8
= (x − 24)( x + 20)
3
2
= 9a 2 − ( x 2 − 4 x + 4) = 9a 2 − ( x − 2) = (3a + x − 2)(3a − x + 2)
3
480
120
40
10
2
101. x − 2abx − 35a b
2
2
2
+ 36a 2b 2 − 36a 2b 2
x − 2abx + a 2b2 − 36a 2b 2
2
99. 81a
+ 64b12
8
+ 144a 4b 6
81a 8 + 144a 4b 6 + 64b12 − 144a 4b 6
= (9a 4 + 8b 6 ) − 144a 4b 6
2
= ( x − ab) − 36a 2b 2
2
− 144a 4b 6
= ( x − ab + 6ab)( x − ab − 6ab)
= ( x + 5ab)( x − 7ab)
= (9a 4 − 12a 2b 3 + 8b 6 )(9a 4 + 12a 2b 3 + 8b 6 )
(
)
116. 49a − x − 9 y + 6 xy
2
3
102. 125x 3 − 225x 2 + 135x − 27 = 5x − 3
[
2
[
= − ( x − 3 y) − 49a 2
= (a − 2 + a + 3)(a − 2 − a − 3) = (2a + 1)(− 5)
2
= 4a 2 (m + 3n) − 5b (m + 3n) = (m + 3n)(4a 2 − 5b)
(
(
)
2
2
(
2
107. m + 8a x = m + 2ax
3
3 3
108. 1 − 9 x + 24 xy − 16 y
2
[
[
= ( x 2 + 2) − ( y + 2 z )
2
)(a − 5b)
)(m − 2axm + 4a x )
2
2 2
2
]
109. 1 + 11x + 24 x
( )(a + 4a + 16)
119. a + x = (a + x )(a − a x + a x − ax + x )
120. a − 3a b − 54b = (a − 9b)(a + 6b)
118. a 3 − 64 = a − 4
3
2
2
(24 x + 8)(24 x + 3)
165
33
5
3
11
1
11
(
)
2
2 2
2
(
)
+ a2
2
2
2
= (a 2 + 1) − a 2
2
2
[
][
]
= 2 (a + 1) − 1 4 (a + 1) + 2 (a + 1) + 1
2
= (a 2 + a + 1)(a 2 − a + 1)
123.
= (2a + 2 − 1)(4a + 8a + 4 + 2a + 2 + 1)
x2 y6  x y3   x y3 
− = +  − 
4 81  2 9   2 9 
2
124. 16 x +
2
= (2a + 1)(4a 2 + 10a + 7)
6
4 4
4
) + 5(a + 1 ) − 24
= (a + 1 + 8)(a + 1 − 3) = (a + 9)(a − 2)
2
2
2
2
2
(
115. 1 + 1. 000 x 6 = 1 + 10 x 2
2
2
2
)(1− 10x + 100x )
2
2 2
+ 100 − 100
= (10 x 2 y 3 + 11m2 )(10 x 2 y 3 − 11m2 )
114. a + 1
8 xy y 2 
y
+ =  4x + 
5 25 
5
125. a b + 4a b − 96
113. 100 x y − 121m
4
− a2
a 4 + 2a 2 + 1 − a 2
2 2
3
112. 8 a + 1 − 1
11⋅ 1 = 11
⇒ 15 − 11 = 4
4
2
122. a + a + 1
) − 9x y
= (a + b − c + 3xy)(a + b − c − 3xy)
2
3
= (15 − x ) ( x + 11)
110. 9 x 2 y 3 − 27 x 3 y 3 − 9 x 5 y 3 = 9 x 2 y 3 1 − 3x − x 3
2
3
= − ( x − 15)( x + 11)
= (3x + 1)(8 x + 1)
(
2 2
5⋅ 3 = 15
8⋅ 3
111. a + b − c
3
= − ( x 2 − 4 x − 165)
2
(
4
121. 165 + 4 x − x 2
]
= ( 24 x ) + 11( 24 x ) + 24
=
2
5
6
= − (3x − 4 y + 1)(3x − 4 y − 1)
= (3x − 4 y + 1)(1 + 4 y − 3x )
2
= ( x 2 + 2 + y + 2 z)( x 2 + 2 − y − 2 z)
5
]
= − (3x − 4 y) − 1
[
= ( x 4 + 4 x 2 + 4) − ( y 2 + 4 yz + 4 z 2 )
2
= − (9 x 2 − 24 xy + 16 y 2 ) − 1
2
117. x 4 − y 2 + 4 x 2 + 4 − 4 yz − 4 z 2
2
106. a + 3a b − 40b = a + 8b
4
]
]
= (7a + x − 3 y )(7a − x + 3 y)
= (4a 2 m + 12a 2n) − (5bm + 15bn)
105. 1 + 6 x 3 + 9 x 6 = 1 + 3x 3
2
= − (7a + x − 3 y )(− 7a + x − 3 y )
104. 4a m + 12a n − 5bm − 15bn
2
2
= − ( x 2 − 6xy + 9 y 2 ) − 49a 2
103. (a − 2) − (a + 3)
2
2
4
a b + 4a b + 4 − 100
4 4
2 2
= (a 2b 2 + 2) − 100
2
= (a 2b 2 + 2 + 10)(a 2b 2 + 2 − 10)
= (a 2b 2 + 12)(a 2b 2 − 8)
3
4
126. 8a x + 7 y + 21by − 7ay − 8a x + 24a bx
2
3
2
(
= (7 y + 21by − 7ay) + (8a 2 x − 8a 3 x + 24a 2bx)
130. 729 − 125x 3 y 12 = 9 − 5xy 4
= 7 y (1 + 3b − a ) + 8a 2 x (1 − a + 3b)
(
)
= (1 + 3b − a )(7 y + 8a x )
(
2
4 − a2
= (2 + a − b)(2 − a + b)
]
= − (10m) − 33 (10m) − 70
=−
2
(10m − 35)(10m + 2)
133. x − y + x − y
3
= (x − y )( x 2 + xy + y 2 ) + ( x − y ) = ( x − y )( x 2 + xy + y 2 + 1)
= − (2m − 7)(5m + 1)
= (7 − 2m)(5m + 1)
2
134. a − b + a − b
2
2
3
3
= (a 2 − b 2 ) + (a 3 − b 3 )
2
[
3
= (x 3 − y 3 ) + (x − y )
5⋅ 2
129. 4 (a + b) − 9 (c + d )
+ 2ab − b 2
2
2
= − (10m − 33m − 7)
− b2
= 4 − (a − b)
2
2
[
)
= 4 − (a 2 − 2ab + b 2 )
= ( x + 26)( x − 15)
2
128. 7 + 33m − 10m
)(
)
+ b2
13⋅ 2 = 26
5
5⋅ 3 = 15
13 ⇒ 26 − 15 = 11
1
) (
4 − a 2 − b 2 + 2ab
2
65
13
2
2 8
2
2
132. 4 − a + b + 2ab
127. x + 11x − 390
390 3
130
) (
4
131. x + y + x + y = x + y + x + y = x + y x + y + 1
2
4
(
2
)(81+ 45xy + 25x y )
][
= (a + b)(a − b) + (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
]
= 2(a + b) + 3 (c + d ) 2(a + b) − 3 (c + d )
= (2a + 2b + 3c + 3d )(2a + 2b − 3c − 3d )
= (a − b)(a + b + a 2 + ab + b 2 )
EJERCICIO 107
7. 3ax + 3ay
3
1. 3ax 2 − 3a
3
= 3( x 2 − x − 2) = 3 ( x − 2)( x + 1)
= 3a ( x + y )( x − xy + y )
8. 4ab − 4abn + an
2
2
13. 2 a 3 + 6a 2 − 8a
= 2a (a 2 + 3a − 4) = 2a (a + 4)(a − 1)
2
2
2
14. 16 x − 48 x y + 36 xy
3
= ( x + 2)( x − 2)( x + 1)
= 2 (a 3 − 1) = 2 (a − 1)(a 2 + a + 1)
5. a − 3a − 28a
= a (a 2 − 3a − 28) = a (a − 7)(a + 4)
15. 3x 3 − x 2 y − 3xy 2 + y 3
= (a − a 2 ) − (a − 1)
= (3x 3 − x 2 y ) − (3xy 2 − y 3 )
= a (a − 1) − (a − 1)
= x 2 (3x − y ) − y 2 (3x − y )
2
= (a − 1)(a − 1)
= (3x − y )(x 2 − y 2 ) = (3x − y )( x + y )(x − y )
2
6. x − 4 x + x − 4
2
= (a − 1)(a + 1)(a − 1)
= (x 3 + x 2 ) − (4 x + 4)
= x ( x + 1) − 4 ( x + 1)
2
3
2
16. 5a 4 + 5a
2
11. 2ax − 4ax + 2a
= (x − 4)(x + 1) = (x + 2)(x − 2)( x + 1)
2
2
10. a − a − a + 1
3
2
= 4 x (4 x 2 − 12 xy + 9 y 2 ) = 4 x (2 x − 3 y)
2
4. 2a 3 − 2
2
2
2
= ( x − 4)( x + 1)
= 2 x (a − b) = 2 x (a − b)(a − b)
2
= (x 2 − 1)( x + y ) = (x + 1)(x − 1)( x + y )
2
9. x − 3x − 4
4
2
3
= x (x 2 − 1) + y (x 2 − 1)
2
= a (4b − 4bn + n ) = a (2b − n)
2
3. 2a x − 4abx + 2b x
= 2 x (a 2 − 2ab + b 2 )
= (x 3 − x) + (x 2 y − y)
3
2
2. 3x 2 − 3x − 6
3
12. x 3 − x + x 2 y − y
= 3a ( x + y )
= 3a ( x 2 − 1) = 3a ( x + 1)( x − 1)
2
3
= 2a ( x 2 − 2 x + 1) = 2a ( x − 1)
2
= 5a (a 3 + 1) = 5a (a + 1)(a 2 − a + 1)
17. 6ax − ax − 2a
27. 4 x 2 + 32 x − 36
2
= a (6 x − x − 2)
35. x − 3x 2 − 18 x 3
= 16 x 2 + 32 ( 4 x ) − 144
2
= x (1 − 3x − 18 x 2 )
= a (36 x − 6 x − 12)
144
2
72
2
22 = 4
=
36
9
4
3
4 ⋅ 3⋅ 3 = 36
⇒ 36 − 4 = 32
3
3
=
2
a (6 x − 4)(6 x + 3)
2⋅3
= a (3x − 2)(2 x + 1)
18. n 4 − 81
= (n − 9)(n + 9) = (n + 3)(n − 3)(n + 9)
2
2
2
(
= (a + a + 2)(a − 2)(a + 1)
= x ( x 2 − 6 x − 7)
29. x − 25x − 54
6
= x ( x 2 − 6 x + 9 − 16)
2
]
6
2
31. a b + 2a bx + abx − aby
= (m3 + 3m2 ) − (16m + 48)
2
2
[
3
(
)(
) (
24. a + b a − b − a − b
2
= 3ab (m2 − 1)
2
)
= 3ab (m + 1)(m − 1)
33. 81x y + 3xy
4
= (a + b)(a − b)(a + b − 1)
= 3xy (3x + y )(9 x 2 − 3xy + y 2 )
= 2ax (16a 4 − 24a 2b + 9b 2 )
34. a 4 − a 3 + a − 1
= 2ax (4a 2 − 3b)
2
= (a 4 − a 3 ) + (a − 1)
= 2ax (4a 2 − 3b)(4a 2 − 3b)
= a 3 (a − 1) + (a − 1)
26. x − x + x − x
2
= x ( x − x + x − 1)
3
[
= (a − 1)(a 3 + 1)
2
] [
]
= x x ( x − 1) + (x − 1) = x ( x − 1)(x + 1)
2
4
= 3xy (27 x 3 + y 3 )
25. 32a 5 x − 48a 3bx + 18ab2 x
3
]
2
= (a 2 − b 2 )(a + b − 1)
4
2
2
32. 3abm − 3ab
3
2
2
= ab (a + x + y )(a + x − y )
= (x − 2 y ) = (x − 2 y )(x − 2 y )( x − 2 y )
2
2
= ab (a + x ) − y 2
= (m + 3)(m − 4)(m + 4)
3
2
= ab (a + 2ax + x − y )
= (m + 3)(m2 − 16)
23. x − 6 x y + 12 xy − 8 y
2
2
= m2 (m + 3) − 16 (m + 3)
2
36. 6ax − 2bx + 6ab − 2b
2
= 2 x (3a − b) + 2b (3a − b)
= (3a − b)(2 x + 2b)
= 2 ( x + b )(3a − b)
2
= am (m2 − 7m + 12)
= am (m − 4)(m − 3)
2 3
= a (a + 1)(a 4 − a 3 + a 2 − a + 1)
3
= x (3x + 1)(1 − 6x )
38. 4a x − 4a
= a (a 5 + 1)
22. m + 3m − 16m − 48
]
= − x (3x + 1)(6x − 1)
3
30. a + a
= x ( x + 1)( x − 7)
− x (18 x + 6)(18 x − 3)
=
6⋅ 3
37. am − 7am + 12am
= ( x − 3)( x 2 + 3x + 9)( x 3 + 2)
= x ( x − 3 + 4)( x − 3 − 4)
3
3
= ( x 3 − 27)(x 3 + 2)
= x ( x 2 − 6 x − 7 + 16 − 16)
2
= (6ax − 2bx ) + (6ab − 2b 2 )
2
2
2
[
)
2
2
21. x − 6 x − 7 x
= x ( x − 3) − 4 2
4
= (a + a + 2)(a − a − 2)
= ax ( x 2 + 10 x + 25) = ax ( x + 5)( x + 5)
3
(4 x + 36)(4 x − 4)
= 4 ( x + 9)( x − 1)
28. a 4 − a + 2
20. ax 3 + 10ax 2 + 25ax
[
= − x (18x ) + 3 (18x) − 18
= ( x + 9)(4 x − 4)
1
19. 8ax 2 − 2a
= 2a (4 x 2 − 1) = 2a (2 x − 1)(2 x + 1)
= − x (18 x 2 + 3x − 1)
= (a − 1)(a + 1)(a 2 − a + 1)
2
= 4a 2 ( x 3 − 1)
= 4a 2 ( x − 1)( x 2 + x + 1)
39. 28 x y − 7 xy
3
3
= 7 xy (4 x 2 − y 2 )
= 7 xy (2 x − y )(2 x + y )
40. 3abx − 3abx − 18ab
2
= 3ab ( x 2 − x − 6)
= 3ab ( x − 3)( x + 2)
41. x 4 − 8 x 2 − 128
128 4
32
4
4 ⋅ 4 = 16
8
4
4⋅ 2 = 8
2
2 ⇒ 16 − 8 = 8
= ( x 2 − 16)( x 2 + 8)
1
= ( x + 4)( x − 4)( x 2 + 8)
42. 18 x y + 60 xy + 50 y
2
2
3
= 2 y (9 x 2 + 30 xy + 25 y 2 )
= 2 y (3x + 5 y )(3x + 5 y )
(
)(
)
( )
= (a + 1)( x − 2 xy + y )
= (a + 1)( x − y)( x − y )
2
2
43. x − 2 xy a + 1 + y a + 1
2
3
2
2
= x ( x 2 + 2 xy − 3y 2 )
2
3
2
52. 6a x − 9a − ax
= x ( x + 3 y)( x − y )
= a (6ax − 9a − x )
2
2
2
2
2
= (a − 2b)(a + 2b)(x + 2 y )
46. 45a x − 20a
2
4
(
54. 70 x + 26 x − 24 x
[
2
2
= (bx 2 − x 2 ) − (b − 1)
= x 2 (b − 1) − (b − 1)
= (b − 1)(x 2 − 1)
4
3
=
= 2 x 2 ( x + 7)( x − 4)
420
210
2
2
105
21
7
1
5
3
7
2m + 2
− x 2 y 2n
3
60. ax 3 + ax 2 y + axy 2 − 2ax 2 − 2axy − 2ay 2
= a (x 3 + x 2 y + xy 2 − 2 x 2 − 2 xy − 2 y 2 )
[
]
= a [ x ( x + xy + y ) − 2 ( x + xy + y )]
= a ( x 3 + x 2 y + xy2 ) − (2 x 2 + 2 xy + 2 y 2 )
2
2
(35x + 28)(35x − 15)
(
)
750
2
5⋅ 2 = 20
375
75
5
5
52 ⋅ 3 = 75
⇒ 75 − 20 = 55
[
(30a − 75)(30a + 20)
5
=
3
= (2a − 5)(15a + 10)
15⋅ 2
= 5 (2a − 5)(3a + 2)
][
]
= (x + y ) + 1 (x + y ) − 1
2
2
= ( x + 2 xy + y + 1)(x + y + 1)(x + y − 1)
2
62. 3a 5 + 3a 3 + 3a
= a 3 (a 4 + 6a 3 − 55)
= 3a (a 4 + a 2 + 1)
= a 3 (a 2 + 11)(a 2 − 5)
56. 16a b − 56a b + 49ab
5
2
4
61. x + y − 1
7 ⋅5
55. a 7 + 6a 6 − 55a 3
2
2
= a (x − 2)( x 2 + xy + y 2 )
2
2
x 2 (7 x 2 + 35a 2 )(7 x 2 − 3a 2 )
7
= ( x − 3)( x 2 + 3x + 9)(2 x + 5)
= 2 x 2 (5x + 4)(7 x − 3)
= ( 30a ) − 55 ( 30a ) − 1. 500
1. 500 2
1
⇒ 35 − 3 = 32
= ( x 3 − 27)(2 x + 5)
2
50. 30a − 55a − 50
3
3⋅ 1 = 3
= 2 x ( x 3 − 27) + 5 ( x 3 − 27)
]
⇒ 28 − 15 = 13
2
= 2 x 2 ( x 2 + 3x − 28)
15
5⋅ 7 = 35
4
= (2 x 4 − 54 x ) + ( 5x 3 − 135)
2 2 ⋅ 7 = 28
3⋅ 5 = 15
= (b − 1)(x + 1)( x − 1)
49. 2 x + 6 x − 56 x
3
7
4
2
48. bx − b − x + 1
2
59. 2 x + 5x − 54 x − 135
= 2 x 2 ( 35x ) + 13 ( 35x ) − 420
= (a + 4)(a − 3)(a 2 − a + 12)
2
= x 2 ( x m + y n )( x m − y n )
2
= 2 x 2 (35x 2 + 13x − 12)
= (a 2 + a − 12)(a 2 − a + 12)
4
= x (x m + y n ) x (x m − y n )
= a (4 − 5a )(16 + 20a + 25a )
2
2
= ( x m +1 + xy n )( x m +1 − xy n )
2
)
2
2
7
58. x
4
3
4
= x 2 ( x 2 + 5a 2 )(7 x 2 − 3a 2 )
= a (64 − 125a )
4
4
21
=
3
= 5a 2 (9 x 4 − 4)
47. a 4 − a − 12
2 2
2
53. 64a − 125a
2
= 5a 2 (3x 2 + 2)(3x 2 − 2)
2
= a (3a − x )( x − 3a )
2
= (a 2 − 4b2 )( x + 2 y)
4
= − a (x − 3a )( x − 3a )
= x (a − 4b ) + 2 y (a − 4b )
2
2
1
2
2
= (a 2 x − 4b2 x) + (2a 2 y − 8b2 y)
2
2
= − a (x − 6ax + 9a )
45. a x − 4b x + 2a y − 8b y
2
6
2
2
44. x + 2 x y − 3xy
3
( ) ( )
57. 7 x + 32a x − 15a x
= (x − y )[9 ( x − y ) − 1]
= x (7 x + 32a x − 15a )
= (x − y )[3 ( x − y ) + 1] [3 (x − y ) − 1] = x [ (7 x ) + 32a (7 x ) − 105a ]
105 5
= (x − y )(3x − 3 y + 1)(3x − 3 y − 1)
51. 9 x − y − x − y
3 3
= 3a (a 4 + a 2 + 1 + a 2 − a 2 )
5
= ab (16a − 56a b + 49b )
4
2 2
= ab (4a 2 − 7b 2 )
2
4
[
= 3a (a 4 + 2a 2 + 1 ) − a 2
[
= 3a (a + 1 ) − a
2
2
2
]
]
= 3a (a + a + 1 )(a − a + 1 )
2
2
EJERCICIO 108
9. 9 x 4 + 9 x 3 y − x 2 − xy
= (9 x 4 + 9 x 3 y ) − ( x 2 + xy)
1. 1 − a8
= (1+ a 4 )(1− a 4 )
= (9 x 3 − x )( x + y)
= (1+ a )(1+ a )(1 + a )(1 − a)
= x (9 x − 1)( x + y )
2
2
= (a 3 + 1)(a 3 − 1)
[
400 4
42 = 16
100 5
4. a − 2a b + b
= (a − b )
]
= x (x + 2)(x + 1)( x − 1)
2
6. 2 x + 6 x − 2 x − 6
3
= (2 x + 6x ) − (2 x + 6)
3
= 2 x 3 ( x + 3) − 2 ( x + 3)
= (2 x 3 − 2)( x + 3)
= 3( x − 81)
2
= 3( x 2 + 9)( x + 3)( x − 3)
8. 16 x − 8 x y + y
= (4 x − y )
[
2
= a 3 (a + 2) − a (a + 2)
= (a 3 − a )(a + 2)
= a (a + 1)(a − 1)(a + 2)
3
4
= (x − 2)( x + 2 x + 4)( x + 1)(x − x + 1)
]
= (2 x + y )(2 x − y )
= (a 3 − 1)
2
6
13. 64 − x
[
]
= (a − 1)(a 2 + a + 1)
= (8 + x 3 )(8 − x 3 )
2 3
2
= (a − 1) (a 2 + a + 1)
= (2 + x )(4 − 2 x + x 2 )(2 − x )(4 + 2 x + x 2 )
2
2
20. m − 729
5
6
2 3
= (m2 − 9)(m4 + 9m2 + 81)
5
= a 3 (a 2 − b 2 ) − b 3 (a 2 − b2 )
= (m + 3)(m − 3)(m4 + 9m2 + 81 + 9m2 − 9m2 )
[
= (a 2 − b 2 )(a 3 − b 3 )
= (m + 3)(m − 3) (m4 + 18m2 + 81) − 9m2
[
= (a + b)(a − b)(a − b)(a + ab + b ) = (m + 3)(m − 3) (m + 9) − 9m
2
15. 8 x 4 + 6 x 2 − 2
[
2 2
2
2 (4 x 2 + 4)(4 x 2 − 1)
4
(
)(
2
2
]
5
]
) (
2
21. x − x
= x (x 4 − 1)
= x (x 2 + 1)(x 2 − 1)
)(
)(
)
= (2 x + y )(2 x − y )(2 x + y )(2 x − y ) = 2 x + 1 4 x − 1 = 2 x + 1 2 x + 1 2 x − 1
2
2
]
= (m + 3)(m − 3)(m + 3m + 9)(m − 3m + 9)
= 2 (4 x ) + 3 (4 x ) − 4
=
2
2
= 2 (4 x 4 + 3x 2 − 1)
2 2
2
19. 1 − 2a 3 + a 6
2
3 2
2
= a (a 2 − 1)(a + 2)
2
3 2
3
= (a 4 + 2a 3 ) − (a 2 + 2a)
2
2
2
= 3( x + 9)(x − 9)
2
2
= (a − a b ) − (a b − b )
4
2
2
3
5
7. 3x 4 − 243
2
4
= (x − 2)( x + 2 x + 4)( x + 1)
5
= 2 ( x − 1)( x 2 + x + 1)( x + 3)
4
2
4
14. a − a b − a b + b
= 2 ( x 3 − 1)( x + 3)
2
4
2
2
3
18. a + 2a − a − 2a
4
3
3
= x (x + 2)( x − 1)
2
4
= (x − 8)(x + 1)
= x ( x 4 + x 2 − 2)
4
4
12. x − 7 x − 8
5. x + x − 2 x
4
8
4
6
3
3
= (a 2 + 2a )( x 3 − y 3 )
= (x + y )( x + y )( x + y )( x − y )
2
3
= (a 2 x 3 − a 2 y 3 ) + (2ax 3 − 2ay 3 )
= (x + y ) (x + y )( x − y )
= (a + b)(a − b) = (a + b) (a − b)
2
2
= a (a + 2)( x − y )( x 2 + xy + y 2 )
4
[
2 3
= 3a (x 2 + 3)(2 x + 1)(2 x − 1)
4
2
5
17. a x − a y + 2ax − 2ay
= ( x + y )( x − y )
4
2 2
2
]
= a 2 ( x 3 − y 3 ) + 2a ( x 3 − y 3 )
8
2 2
3
4
= ( x + 5)( x − 5)( x + 4)( x − 4) 11. x − y
4
32 = 9
3 ⇒ 16 + 9 = 25
= 3a(x 2 + 3)(4 x 2 − 1)
= ( x 2 − 25)( x 2 − 16)
1
2
3a (4 x 2 + 12)(4 x 2 − 1)
=
5
52 = 25
4 ⇒ 25 + 16 = 41
20
4
9
= (a + 4)(a − 4)(a + 3)(a − 3)
= 3a (4 x 2 ) + 11(4 x 2 ) − 12
3. x − 41x + 400
2
4
= (a 2 − 16 )(a 2 − 9 )
2
= 3a (4 x 4 + 11x 2 − 3)
= (a + 1) (a 2 − a + 1)(a − 1)(a 2 + a + 1)
4 2 = 16
36
1
10. 12ax + 33ax − 9a
4
2
3
= x (3x + 1)(3x − 1)( x + y )
6
2. a − 1
4
4
= 9 x 3 (x + y) − x (x + y)
= (1+ a 4 )(1+ a 2 )(1 − a 2 )
4
16 a − 25a + 144
144 4
2
= x (x 2 + 1)(x + 1)(x − 1)
22. x 5 − x 3 y 2 + x 2 y 3 − y 5
6 6
= (x 5 − x 3 y 2 ) + ( x 2 y 3 − y 5 )
= (1 − a 3b 3 )(1 + a 3b 3 )
= (1 − ab)(1 + ab + a 2b 2 )(1 + a 3b 3 )
= x 3 (x 2 − y 2 ) + y 3 (x 2 − y 2 )
= (1 − ab)(1 + ab + a 2b 2 )(1 + ab)(1− ab + a 2b 2 )
= (x + y )( x − y )
3
3
2
2
= (x + y )(x 2 − xy + y 2 )(x + y)( x − y)
23. a b − a b − a b + ab
4
3 2
2
3
28. 5ax + 10ax − 5ax − 10a
3
3 2
2
3
= (a b − ab )(a − b)
3
= ab (a 2 − b 2 )(a − b)
29. a x + b y − b x − a y
2
24. 5a − 3.125
4
2
2
2
2
2
2
= 5 (a 2 + 25)(a 2 − 25)
= 5 (a + 25)(a + 5)(a − 5)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
= (a − b )( x − y )
2
2
16
= (3bx 2 − 12b)(a + 1)
2
= 3b ( x 2 − 4)(a + 1)
= 3b ( x + 2)( x − 2)(a + 1)
2
= x 2 (a 2 − b2 ) − y 2 (a 2 − b 2 )
2
2
= 3bx 2 (a + 1) − 12b (a + 1)
2
2
2
3
32 = 9
3 ⇒ 16 + 9 = 25
= (3abx 2 + 3bx 2 ) − (12ab + 12b)
= x (a − b ) + y (b − a )
2
9
3
1
4 2 = 16
34. 3abx 2 − 12 ab + 3bx 2 − 12b
= (a x − b x ) + (b y − a y )
= 5 (a 4 − 625)
(
2
4
= (m + 1)(m − 1)(4m + 3)(4m − 3)
= 5a ( x + 1)( x − 1)( x + 2)
= ab (a + b)(a − b)(a − b)
36
= (m2 − 1)(16m2 − 9)
= 5a ( x 2 − 1)(x + 2)
3
2
2
= (5ax 2 − 5a )( x + 2)
3
4
(16m − 16)(16m − 9)
=
= 5ax 2 ( x + 2) − 5a ( x + 2)
4
= a b (a − b) − ab (a − b)
3
2
= (5ax 3 + 10ax 2 ) − (5ax + 10a )
4
= (a b − a b ) − (a b − ab )
4
33. 16m − 25m + 9
2
= (16m2 ) − 25(16m2 ) + 144
144
4
27.1 − a b
35. 3a m + 9am − 30m + 3a + 9a − 30
2
2
= (3a m + 9am − 30m) + (3a 2 + 9a − 30)
2
2
) − 2 (a + 2a ) − 3
= 3m (a + 3a − 10) + 3 (a + 3a − 10)
= (a + b)(a − b)( x + y )( x − y )
= (a + 2a ) − 2 (a + 2a ) − 3 + 4 − 4
= (3m + 3)(a + 3a − 10)
30. x + x − 2
= 3 (m + 1)(a + 5)(a − 2)
= {[(a + 2a ) − 2 (a + 2a ) + 1] − 4}
= (x + 2)(x − 1 )
36. a x − 5a x + 6a + x − 5x + 6
= (a + 2a − 1) − 4
= (a x − 5a x + 6a ) + ( x − 5x + 6)
= (x + 2)( x + 1)( x − 1)
= (a + 2a − 1 + 2)(a + 2a − 1 − 2)
= (x + 2)( x + 1)( x + 1)( x − 1) = a ( x − 5x + 6) + ( x − 5x + 6)
= (a + 2a + 1)(a + 2a − 3)
= (a + 1)( x − 5x + 6)
= (a + 1) (a + 2a − 3 + 4 − 4)
31. a + a − 9a − 9a
= (a + 1)(a − a + 1)(x − 3)( x − 2)
=
+
−
+
a
a
a
a
9
9
(
)
(
)
= (a + 1) [(a + 2a + 1) − 4]
37. x ( x − y ) − (2 x − 1)( x − y )
= a (a + 1) − 9a (a + 1)
= ( x − y )[ x − (2 x − 1) ]
= (a + 1) [(a + 1) − 4]
= (a − 9a )(a + 1)
= ( x + y)( x − y)( x − 2 x + 1)
= (a + 1) (a + 1 + 2) (a + 1 − 2)
= a (a − 9)(a + 1)
= ( x + y)( x − y)( x − 1)
= (a + 1) (a + 3)(a − 1)
= a(a + 3)(a − 3)(a + 1)
38. a ( x + 1) + 3ax ( x + 1)
25. a + 2a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
8
2
4
2
4
4
4
2
4
2
3 2
3
3
2
2
2
2
3 2
2
3
3
2
2
2
3
2
2
2
3
2
4
2
2
3
4
2
2
2
3
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
3
26. a x + 2ax − 8a − 16a
2 3
3
2
= (a x + 2ax ) − (8a + 16a )
2 3
3
2
= ax (a + 2) − 8a (a + 2)
3
= (ax 3 − 8a )(a + 2)
= a ( x − 8)(a + 2)
3
= a ( x − 2)(x 2 + 2 x + 4)(a + 2)
32. a x + a x − 6a − x − x + 6
2
2
2
2
2
= (a 2 x 2 + a 2 x − 6a 2 ) − ( x 2 + x − 6)
= a 2 ( x 2 + x − 6) − ( x 2 + x − 6)
= (a 2 − 1)( x 2 + x − 6)
= (a + 1)(a − 1)( x + 3)( x − 2)
= a ( x + 1)(x 2 − x + 1) + 3ax ( x + 1)
[
]
= (x + 1) a (x 2 − x + 1) + 3ax
= (x + 1)(ax − ax + a + 3ax )
2
= (x + 1)(ax 2 + 2ax + a )
= a ( x + 1)(x 2 + 2 x + 1)
= a ( x + 1)(x + 1) = a (x + 1)
2
3
EJERCICIO 109
1. x − xy
9
6. 2a − 2a − 4a − 2a b + 2ab + 4b
4
8
= x (x − y )
8
8
= x (x − y )( x + y )
4
4
4
4
= x(x 2 + y 2 )(x 2 − y 2 )(x 4 + y 4 )
3
2
2 2
2
10. x + x − 81x − 81
7
2
= (x + x ) − (81x 3 + 81)
= 2 (a 2 − a − 2)(a 2 − b 2 )
= (x 4 − 81)(x 3 + 1)
= x 4 ( x 3 + 1) − 81(x 3 + 1)
= 2 (a − 2)(a + 1)(a + b)(a − b)
= (x 2 + 9)(x 2 − 9)( x + 1)(x 2 − x + 1)
6
2. x − 40 x + 144 x
= (x 2 + 9)(x + 3)(x − 3)(x + 1)( x 2 − x + 1)
6
4
= x ( x 8 + 1)(x 4 + 1)(x 2 + 1)(x + 1)(x − 1)
12. 3x − 75x − 48 x + 1. 200
6
= (3x 4 − 48)( x 2 − 25)
= 3( x 4 − 16)( x + 5)( x − 5)
2
2
2
3
2
2
9. 4ax (a − 2ax + x ) − a + 2a x − ax
= 4 ( x − 2 x + 1)
2
= 4 ( x − 1)( x − 1)
2
= 4 ( x + 1) ( x − 1)
2
2
= 3( x 2 + 4)( x 2 − 4)( x + 5)( x − 5)
= 4ax (a − x ) − a (a − x )
= (4ax − a )(a − x )
= (x 2 + x )(a 6 − 1)
= a (4 x − 1)(a − x )
= a (a 6 − b 6 )
= a (a 3 + b3 )(a 3 − b 3 )
6
2
= x 2 (a 6 − 1) + x (a 6 − 1)
2
2
2
2
= (a x − x ) + (a 6 x − x )
6 2
2
2
6
6 2
2
2
= 3( x 2 + 4)( x + 2)( x − 2)(x + 5)( x − 5)
13. a x − x + a x − x
= 4ax 2 (a − x ) − a (a 2 − 2ax + x 2 )
2
4
= 3x 4 ( x 2 − 25) − 48 ( x 2 − 25)
= 3 (1 − a )(1 + a + a 2 )(1 + a )(1 − a + a 2 )
4. 4 x − 8 x + 4
2
= (3x − 75x ) − (48 x 2 − 1. 200)
= 3 (1 − a 3 )(1 + a 3 )
2
4
6
= 3 (1 − a 6 )
= a (a + 1)(a − 1)(a + b)(a 2 − ab + b2 )
7
= x ( x 8 + 1)(x 4 + 1)(x 2 + 1)(x 2 − 1)
8. 3 − 3a 6
= a (a 2 − 1)(a + b)(a 2 − ab + b 2 )
5. a − ab
= x ( x 8 + 1)(x 4 + 1)(x 4 − 1)
= x ( x + 3)( x − 3)( x 2 + 9)( x + 5)
= (a 3 − a)(a 3 + b3 )
2
= x ( x 8 + 1)(x 8 − 1)
= x ( x 2 − 9)( x 2 + 9)( x + 5)
3
= a 3 (a 3 + b 3 ) − a (a 3 + b3 )
4
= x ( x16 − 1)
2
= x ( x 4 − 81)( x + 5)
= (a 6 + a 3b3 ) − (a 4 + ab3 )
4
5
= ( x 5 − 81x )( x + 5)
= x ( x − 6)( x + 6)( x + 2 )( x − 2 )
3 3
17
11. x − x
2
= x 5 (x + 5) − 81x ( x + 5)
= x ( x 2 − 36)( x 2 − 4)
6
5
= ( x + 5x ) − (81x + 405x)
= x ( x 4 − 40 x 2 + 144)
3. a + a b − a − ab
4
= 2a 2 (a 2 − a − 2) − 2b 2 (a 2 − a − 2)
7. x + 5x − 81x − 405x
3
3
= (2a 4 − 2a 3 − 4a 2 ) − (2a 2b 2 − 2ab 2 − 4b 2 )
= x (x 2 + y 2 )(x + y )( x − y )( x 4 + y 4 )
5
4
7
= x (x + 1)(a 3 − 1)(a 3 + 1 )
= a (2 x + 1)(2 x − 1)(a − x )
2
= x (x + 1)(a − 1)(a 2 + a + 1)(a + 1)(a 2 − a + 1)
(
)(
)
= a (a − x )( x − 81)( x − 1)
= a (a − x )( x + 9)(x − 9)( x + 1)(x − 1)
= a (a + b)(a 2 − ab + b 2 )(a − b)(a 2 + ab + b2 )
2
4
2
14. a − ax x − 82 x + 81
2
EJERCICIO 110
1. x + x − x − 1
1 1 −1 −1 +1
3
2
1
2
1
1 2
1
0
= (x 2 + 2 x + 1)(x − 1)
= (x + 1) (x − 1)
2
2. x − 4 x + x + 6
1 − 4 1 6 −1
3
2
−1 5 − 6
1 −5 6
0
= ( x 2 − 5x + 6)( x + 1)
= ( x − 3)( x − 2)( x + 1)
3. a − 3a − 4a + 12
1 − 3 − 4 12 + 2
3
2
2 − 2 − 12
1 −1 − 6
0
= (a 2 − a − 6)(a − 2)
= (a − 3)(a + 2)(a − 2)
2
4. m − 12m + 16
1 0 − 12 16
3
2
1 2
+2
4 − 16
−8
0
= (m + 2m − 8)(m − 2)
2
= (m + 4)(m − 2)(m − 2)
= (m + 4)(m − 2)
2
11. x − 4 x + 3x + 4 x − 4
4
2 x 3 − x 2 − 18 x + 9
2 − 1 − 18 9
6 15 − 9
5.
2
−3
5
1 −4
+3
0
= (2 x + 5x − 3)( x − 3)
5 −3
−6
3
2 −1
= (2 x − 1)(x − 3)(x + 3)
28
1 5
7
0
1
1 2
0 −2
0
1
4
−2
4
9 − 18 − 3
18
2
68 14 − 120
−2
3
2
− 34
−7
60
0
60
+4
− 8 − 60
32
− 2
8
− 15
0
= (8a − 2a − 15)(a + 2)(a − 4)
2
[
2
120
4
]
= (8a) − 2 (8a) − 120 (a + 2)(a − 4)
30
3 4 ⋅ 3 = 12
10
2
5
1
5 ⇒ 12 − 10 = 2
24
=
5⋅ 2 = 10
(8a − 12)(8a + 10)(a + 2)(a − 4)
4⋅2
= (2a − 3)(4a + 5)(a + 2)(a − 4)
5 −6
0
= (6x + 5x − 6)( x + 3)
]
= ( 6 x ) + 5 ( 6 x) − 36 ( x + 3)
2
(6x + 9)(6x − 4)(x + 3)
3⋅ 2
2
1 0 − 27 − 14 120
2
4 − 46 − 120
1 2 − 23 − 60
2
=
0
4
2
− 18 − 15
[
1 − 1 − 12
3
14. n − 27n − 14n + 120
10. 6 x + 23x + 9 x − 18
6
− 24
= (a − 4)(a + 3)(a − 1)(a + 2)
2
23
0
= (a 2 − a − 12)(a − 1)(a + 2)
= ( x − 4) ( x + 2)
6
0
= (8a − 34a − 7a + 60)(a + 2)
2
1 − 14
−2
2
1
4
8
= (a 3 + a 2 − 14a − 24)(a − 1)
= (x 2 − 8 x + 16)(x + 2)
3
−5
16. 8a − 18a − 75a + 46a + 120
8 − 18 − 75 46 120 − 2
− 16
0
1 1 − 14 − 24
32 − 2
0
7
8 − 34 − 7
1 0 − 15 − 10 24 + 1
1
1 − 14 − 24
9. x 3 − 6 x 2 + 32
1 − 8 16
0
13. a − 15a − 10a + 24
= (n + 3)(n − 2)(n − 1)
− 32
2 −8
35
− 5 15 − 35
2
= ( x − 4)(x + 3)( x − 2)( x + 1)
= (n 2 + n − 6)(n − 1)
− 2 16
0
= ( x 2 − 3x + 7)( x + 4)( x + 5)
= ( x 2 − x − 12)(x − 2)( x + 1)
0
0
3
1 − 1 − 12
6 +1
1 −6
−6
35
1 −3
0 − 13 − 12 − 1
−1
1
12
1
0
8. n − 7n + 6
1 0 −7
1
1 2 −8
0
= ( x 3 − 13x − 12)(x − 2)
= ( x + 1)(x + 2)
1 − 6
3 140 − 4
32 − 140
1
0 − 13 − 12
1
3
1
1 6 0
−4 −8
= ( x 3 + 2 x 2 − 8x + 35)(x + 4)
1 − 2 − 13 14 24 + 2
2
0 − 26 − 24
2
1
4
3
12. x − 2 x − 13x + 14 x + 24
x3 + 2x2 + x + 2
2
−2
0
= ( x − 2) ( x − 1)(x + 1)
+4
= (a + 5a + 7)(a − 4)
1
1 −3 0 4
4
2
2
7.
4
15. x + 6 x + 3x + 140
+1
= ( x 2 − 4 x + 4)( x − 1)( x + 1)
3
2
6. a + a − 13a − 28
20
1 −3 0
1 −4
0
4
3 4 −4
1 − 3 0 4 −1
−1 4 −4
−3
1 1 − 13 − 28
2
= ( x 3 − 3x 2 + 4)( x − 1)
2
2
3
= (2 x + 3)(3x − 2)( x + 3)
+2
0
= (n3 + 2n2 − 23n − 60)(n − 2)
2 − 23
−3
3
− 60
1 − 1 − 20
0
1
−3
60
= (n − n − 20)(n − 2)(n + 3)
2
= (n − 5)(n + 4)(n − 2)(n + 3)
17. x 4 − 22 x 2 − 75
1 0 − 22 0
5 25 15
1 5
3 15
− 75
+5
75
0
= ( x + 5x + 3x + 15)(x − 5)
3
2
1 5 3
15 − 5
− 5 0 − 15
1 0
3
0
= ( x + 3 )(x − 5)( x + 5)
2
21. 4 x 5 + 3x 4 − 108x 3 − 25x 2 + 522 x + 360
4
3
2
18. 15x + 94 x − 5x − 164 x + 60
15 94 − 5 − 164 60 + 1
15 109 104 − 60
15 109 104 − 60
− 10
19
[
72
+2
1 −1
− 14
24
− 1 − 14
2
24
− 24
1 − 12
0
2
1
0
0 − 23 − 6
1 − 1 − 22
−1
−2
6
1
−3
− 16
−3
− 16
3
1
− 22 16
96
−2
−1
1
− 18
18
3
= (a 2 − 16)(a + 1)(a + 2)(a − 3)
= (a + 4)(a − 4)(a + 1)(a + 2)(a − 3)
0
= ( x 2 − x + 1)( x + 1)( x − 5)( x + 5)
25. 2a − 8a + 3a − 12
2 − 8 0 0 3 − 12 + 4
8 0 0 0 12
5
4
0 0
0 3
0
= (2a + 3)(a − 4)
4
3
2
0 − 3 − 15
1 5
0
1 5 0 −3
−5 0 0
− 15
1 0 0 −3
0
−5
15
= ( x − 3)( x − 3)( x + 5)
0
x + 6 x + 4 x − 42 x − 113x − 108 x − 36
= (n − n + 3)(n + 2)(n + 5)(n − 6) 27.
6
2
5
4
3
2
6 − 13 − 81 112 180 − 144
12 − 2 − 166 − 108 144
−1
− 83 − 54
72
+2
0
= (6x 4 − x 3 − 83x 2 − 54 x + 72)( x − 2)
6 − 19 − 26
24
−3
0
= (6x 3 − 19 x 2 − 26x + 24)( x − 2)( x + 3)
0
1
−5
3
6
+3
1 −1
5
+6
32 − 96
0
5
5 −5
= ( x 4 + 5x 3 − 3x − 15)( x − 3)
48
48
0 − 48
0 − 16
−7 9
6 −6
6 − 1 − 83 − 54 72
− 18 57 78 − 72
0
−4
26. x + 2 x − 15x − 3x − 6 x + 45
1 2 − 15 − 3 − 6 45 + 3
3 15 0 − 9 − 45
0
16
= (a 3 − 3a 2 − 16a + 48)(a + 1)(a + 2)
1
9 − 18
6
96
4
−5
+5
4
2
112 96 − 1
22 − 16 − 96
= (a 4 − a 3 − 22a 2 + 16a + 96)(a + 1)
1
−5
23. 6x − 13x − 81x + 112 x + 180 x − 144
20. a − 23a − 6a + 112a + 96
1
27 − 90
35 − 45 90
−7
1
2
0
2
= (n − 7n + 9n − 18)(n + 2)(n + 5)
= ( x + 4) ( x − 3) ( x + 3)( x − 2)
−1
0
− 26
3
2
1
−2
−5
1
+2
= ( x + 4)( x − 3)( x − 2)( x + 3)( x − 2)
3
27 − 90
= (n4 − 2n3 − 26n 2 + 27n − 90)(n + 2)
1
= ( x 2 + x − 12)( x − 2)( x + 3)(x − 2)
5
− 2 − 26
1
= ( x 3 − x 2 − 14 x + 24)( x − 2)( x + 3)
1
]
0 − 30 − 25 − 36 − 180 − 2
−2
4
52 − 54 180
1
−3
72
42 − 72
5
5
3
2
22. n − 30n − 25n − 36n − 180
0
− 18
]
= ( x + 5)(4 x + 3)( x + 2)( x − 3)( x − 4)
= ( x 4 + 2 x 3 − 17 x 2 − 18x + 72)( x − 2)
3
−4
4
1
= (4 x + 20)(4 x + 3)( x + 2)( x − 3)( x − 4) ÷ 4
2
1 0 − 21 16 108 − 144
2
4 − 34 − 36 144
− 17
+4
= ( 4 x ) + 23( 4 x ) + 60 ( x + 2)( x − 3)( x − 4)
[
− 25
25
= ( x 3 + 4 x 2 − 4 x + 5)( x + 1)( x − 5)
0
2
1 − 1 − 24 25
5 20 − 20
1
= (4 x + 23x + 15)( x + 2)( x − 3)( x − 4)
19. x − 21x + 16x + 108x − 144
2
−3
15
0
= ( x 4 − x 3 − 24 x 2 + 25x − 25)( x + 1)
2
= (3x + 5)(5x − 2)( x − 1)( x + 6)
1
1 − 1 − 24 25 − 25
0
7 − 77 − 60
16 92 60
4 23
5⋅ 3
1 2 − 17 − 18
0
171 180 + 3
21 − 231 − 180
7 − 77 − 60
4
]
3
180
0 − 25 1
0 − 25 − 1
−1
1 24 − 25 25
1
= (4 x 3 + 7 x 2 − 77 x − 60)( x + 2)( x − 3)
(15x + 25)(15x − 6)( x − 1)(x + 6)
5
171
5
3
2
24. x − 25x + x − 25
−2
360
− 5 − 98
4
0
2
10
12
= (15x ) + 19 (15x) − 150 ( x − 1)( x + 6)
=
196 − 342 − 360
4
−6
= (15x 2 + 19 x − 10)( x − 1)( x + 6)
[
−8
522
= (4 x 4 − 5x 3 − 98x 2 + 171x + 180)( x + 2)
= (15x 3 + 109 x 2 + 104 x − 60)( x − 1)
15
− 25
4 − 5 − 98
0
15 109 104 − 60
− 90 − 114
60
3 − 108
4
− 19 − 26
24
6
5
24 + 4
20 − 24
− 6
]
= ( 6 x ) + 5( 6 x ) − 36 ( x − 2)( x + 3)( x − 4)
=
2
4
3
2
1 6 4 − 42
−1 − 5 1
− 113 − 108 − 36 − 1
41
72
36
1 5 − 1 − 41
− 72
− 36
0
= ( x 5 + 5x 4 − x 3 − 41x 2 − 72 x − 36)( x + 1)
1 5 − 1 − 41
−1 − 4
5
− 72 − 36 − 1
36
36
1 4 − 5 − 36 − 36
0
= ( x 4 + 4 x 3 − 5x 2 − 36 x − 36)( x + 1)(x + 1)
1 4 − 5 − 36 − 36 − 2
− 2 − 4 18 36
1 2 − 9 − 18 0
= ( x 3 + 2 x 2 − 9 x − 18)(x + 1) (x + 2)
2
0
= (6x 2 + 5x − 6)( x − 2)( x + 3)( x − 4)
[
5
(6x + 9)(6x − 4)(x − 2)(x + 3)(x − 4)
3⋅ 2
= (2 x + 3)(3x − 2)( x − 2)( x + 3)( x − 4)
1 2 − 9 − 18
− 2 0 18
1 0 −9
−2
0
= ( x 2 − 9)(x + 1) (x + 2)
2
2
= ( x + 3)( x − 3)( x + 1) ( x + 2)
2
2
29. x 6 − 41x 4 + 184 x 2 − 144
1 0 − 41 0 184 0 − 144
1
1 − 40 − 40 144 144
28. a − 32a + 18a + 247a − 162a − 360
6
4
3
2
1 0 − 32 18 247 − 162 − 360 − 1
− 1 1 31 − 49 − 198 360
1 − 1 − 31 49 198 − 360
0
1 − 1 − 31
+2
2
− 29 − 9
1 1
180
31. a − 8a + 6a + 103a − 344a + 396a − 144
6
0
− 17
− 3
− 60
1 1
− 20
0
−3
4
2 − 10 − 34
−2
12
3
1
−6 −6
91
5
3
56 − 480
−1
0
3
2
10 148 − 240
−2
0
= (2 x 4 − 16x 3 + 10 x 2 + 148 x − 240)(x + 1)(x + 2)
− 16 10 148 − 240
4 − 24 − 28
240
120
+2
0
= (2 x 3 − 12 x 2 − 14 x + 120)(x + 1)(x + 2)(x − 2)
2 − 12 − 14 120
8 − 16 − 120
− 4 − 30
2
+4
1 −1
12
0
+2
0
= (a − a − 17a + 12)(a − 2)
2
2
− 1 − 17 12
− 4 20 − 12
−5
3
(a − 3)
−4
0
= (a − 5a + 3)(a − 2) (a − 3)(a + 4)
2
2
32. x − 20 x − 2 x + 64 x + 40 x − 128
1 0 − 20 − 2 64 40 0 − 128 + 2
2 4 − 32 − 68 − 8 64 128
7
5
4
3
1 2 − 16 − 34 − 4
2
32 64
0
= ( x 6 + 2 x 5 − 16 x 4 − 34 x 3 − 4 x 2 + 32 x + 64)( x − 2)
1 2 − 16 − 34 − 4 32 + 64
− 2 0 32 4 0 − 64
− 16 − 2
0 32
−2
0
= ( x − 16 x − 2 x + 32)( x − 2)( x + 2)
5
0
= (2 x − 4 x − 30)( x + 1)( x + 2)(x − 2)( x − 4)
]
= ( 2 x ) − 4 ( 2 x ) − 60 (x + 1)(x + 2)(x − 2)( x − 4)
2
− 17
3
1 0
2
[
− 6 − 6 91 − 162
72
2 − 8 − 28 126 − 72
+3
1
2 − 12 − 14
72
2
1 − 4 − 14 63 − 36
3 − 3 − 51 36
2 − 12 − 22 168 56 − 480
− 4 32 − 20 − 296 480
2 − 16
− 162
0
= (2 x − 12 x − 22 x + 168 x + 56 x − 480)(x + 1)
4
4
− 36
1
5
2
= (a 4 − 4a 3 − 14a 2 + 63a − 36)(a − 2)(a − 2)
2
146 224 − 424 − 480
22 − 168 − 56
480
2 − 12 − 22 168
3
6 103 − 344 396 − 144 + 2
2 − 12 − 12 182 − 324 144
1 − 4 − 14 63
30. 2 x − 10 x − 34 x + 146 x + 224 x − 424 x − 480
5
4
−8
1
= (a + 5)(a − 4)(a + 1)(a − 2)(a − 3)(a + 3)
2
5
1
= (a − 6a − 6a + 91a − 162a + 72)(a − 2)
60
= (a 2 + a − 20)(a + 1)(a − 2)(a − 3)(a + 3)
6
0
= ( x + 6)( x − 6)( x + 2)( x − 2)( x − 1)( x + 1)
+3
2
1 4
−3
0 144
= ( x 2 − 36)( x 2 − 4)( x − 1)( x + 1)
= (a + 4a − 17a − 60)(a + 1)(a − 2)(a − 3)
3
−1
= ( x 4 − 40 x 2 + 144)( x − 1)( x + 1)
= (a 4 + a 3 − 29a 2 − 9a + 180)(a + 1)(a − 2)
1 4 − 17 − 60
1 1 − 40 − 40 144 144
0 40 0 − 144
−1
1 0 − 40
0
1 1 − 29 − 9 180
3 12 − 51 − 180
0
= ( x 5 + x 4 − 40 x 3 − 40 x 2 + 144 x + 144)( x − 1)
= (a 5 − a 4 − 31a 3 + 49a 2 + 198a − 360)(a + 1)
49 198 − 360
2 − 58 − 18 360
1 1 − 40 − 40 144 144
+1
(2 x − 10)(2 x + 6)(x + 1)(x + 2)(x − 2)(x − 4)
=
2
= (x − 5)(2 x + 6)(x + 1)(x + 2)(x − 2)( x − 4)
= 2 (x − 5)(x + 3)(x + 1)(x + 2)(x − 2)(x − 4)
3
2
1 0 − 16 − 2 0 32 + 4
4 16 0 − 8 − 32
1 4
0
−2 −8
0
= ( x 4 + 4 x 3 − 2 x − 8)( x − 2)( x + 2)( x − 4)
1 4 0 −2 −8
−4 0 0 8
1 0
0 −2
−4
0
= ( x − 2)( x − 2)( x + 2)( x − 4)( x + 4)
3
EJERCICIO 111
7. 15a 2b3 c , 24ab2 x , 36b 4 x 2
1. a 2 x , ax 2 mcd ax
2
15 5
3 3
1
2
2. ab c , a bc mcd abc
3. 2x 2 y , x 2y 3 mcd x 2 y
24 3
8 4
2 2
1
4. 6a 2b 3 ,15a 3b 4
11. 42am2n , 56m3n2 x , 70m4n2 y
42 14 56 14 70 14
36 3
12 4
3 3
1
3
6
3
15
3
5 ⋅ 3 = 15 3 ⋅ 4 ⋅ 2 = 24 32 ⋅ 4 = 36
2
2
5
5
mcd 3 ⇒ 3b
1
3⋅2 = 6
1
3 ⋅ 5 = 15
3
2
2
5. 8am n, 20x m
8 2
20 2
4 2
10 2
2 2
5 5
1
1
23 = 8
3
2
18
6
3 24
3 8
3
4
2
2
2
2 2
2
1
1
75
5
7
35
7
2
2
3 4
6. 18mn , 27a m n
18 3
27
3
6
3
9
3
2
2
3
3
1
1
32 ⋅ 2 = 18
6
3 4 4
33 = 27
mcd 3 = 9
⇒ 9mn2
3
mcd 15 ⋅ 5 ⇒ 75a 3b 3
13. 4a 2b , 8a 3b 2 , 2a 2bc ,10ab 3c 2
2
6
5
5
1
2
1
1
2 = 4 2⋅4 = 8
2
2 = 2 2 ⋅ 5 = 10
mcd 2 ⇒ 2ab
2 2 3
4 5 7
14. 38a 2 x 6 y 4 , 76mx 4 y 7 , 95x 5 y 6
38 19 76 19 95 19
10. 72x y z , 96x y z ,120x y z
72
8 96
8 120
8
9
3
12
3 15
3
3
3
4
4 5
5
2
3
1
15 ⋅ 5 = 75 15 ⋅ 5 ⋅ 2 = 150 15 ⋅ 5 ⋅ 3 = 225
7 ⇒ 7 a 2b 3 c 4
mcd
2
15
5
10
⇒ 4m
5
2
225
15
2 2 4 4 1
4
5
15
5
4 2 8 2 2
1
1
1
7 ⋅ 4 = 28 7 ⋅ 5 = 35 7 ⋅ 6 = 42
4
150
10
7
42
mcd 2 = 4
2
5
1
9. 28a 2b 3c 4 , 35a 3b 4 c 5 , 42a 4b 5 c 6
28
15
5
1
mcd 3 ⋅ 2 ⇒ 6 xyz
22 ⋅ 5 = 20
5
mcd 14 ⇒ 14m2n
3 ⋅ 2 2 = 12 32 ⋅ 2 = 18 3 ⋅ 4 ⋅ 2 = 24
2
4
12. 75a 4b 3c 2 ,150a 5b 7 x 2 , 225a 3b 6 y 2
12
4
1
4
2
8. 12x 2 yz 3 ,18 xy 2 z , 24 x 3 yz2
mcd 3 ⇒ 3a 2b 3
3
1
1
1
14 ⋅ 3 = 42 14 ⋅ 4 = 56 14 ⋅ 5 = 70
2
2
4
4
5
5
1
1
1
19 ⋅ 2 = 38 19 ⋅ 4 = 76 19 ⋅ 5 = 95
1
1
8 ⋅ 32 = 72
8 ⋅ 3 ⋅ 4 = 96 8 ⋅ 3 ⋅ 5 = 120
1
mcd 19
⇒ 19 x 4 y 4
mcd 8 ⋅ 3 ⇒ 24x 2 y 2 z3
EJERCICIO 112
1. 2a 2 + 2ab = 2a (a + b)
4a 2 − 4ab = 2 2 a (a − b)
mcd
2. 6 x y − 6 x y = 2 ⋅ 3x y ( x − 1)
2
2
9 x 3 y 2 + 18 x 2 y 2 = 32 x 2 y 2 (x + 2)
12a b = 4 ⋅ 3 a b
3
2
2
4. ab + b = b (a + 1)
a + a = a (a + 1)
2
mcd a + 1
18a x y = 6 ⋅ 3 a x y
2
7.
3
4
2
3
4
6a 2 x 2 y 4 − 18a 2 xy 4 = 6a 2 xy 4 (x − 3)
2
mcd 6a xy
4
a 2 − b 2 = (a + b)(a − b)
a 2 − 2ab + b 2 = (a − b)
2
10axy 2 − 20 x 2 y 2 = 5⋅ 2 xy 2 (a − 2 x )
3
4a 3b 2 − 8a 2b 3 = 4a 2b 2 (a − 2b)
mcd 4a b
30ax 2 − 15x 3 = 5⋅ 3x 2 (2a − x )
6.
10.
mcd (a − b)
mcd 5x
2
2
mcd x ( x + 5)
mcd x ( x − 1)
mcd 3x 2 y
3.
ax 2 + 5ax = ax ( x + 5)
x 3 − x 2 = x 2 ( x − 1)
2a
3
9. 3x 3 + 15x 2 = 3x 2 ( x + 5)
2
5. x − x = x ( x − 1)
11.
m3 + n 3 = (m + n)(m2 − mn + n 2 )
3am + 3an = 3a (m + n)
mcd m + n
a − 3a = a (a − 3)
( )( )
x − 8 = ( x − 2)(x + 2 x + 4)
mcd
mcd x − 2
8. 5a − 15a = 5a (a − 3)
2
3
2
2
a (a − 3)
12. x 2 − 4 = x + 2 x − 2
3
2
13.
2ax 2 + 4ax = 2ax (x + 2)
21.
x 3 − x 2 − 6 x = x ( x 2 − x − 6) = x (x − 3)( x + 2)
(2 x + y) = (2 x + y)(2 x + y)
9 x 2 − 1 = (3x + 1)(3x − 1)
(
)( )
= 3x ( x + 1)(x + 1)(x − 1)
9 x − 9 x = 9 x ( x − 1) = 3 x( x + 1)( x − 1)
mcd 3x ( x + 1)(x − 1)
4a 2 + 4ab + b2 = (2a + b)
3
2
2a 2 − 2ab + ab − b2 = (2a 2 − 2ab) + (ab − b 2 )
= 2a (a − b) + b (a − b)
= (2a + b)(a − b)
2
24. 2 x 3 − 2 x 2 = 2 x 2 ( x − 1)
3x 2 − 3x = 3x ( x − 1)
a + a b = a (a + b)
3
3x 2 + 3x − 60 = 3( x 2 + x − 20)
2
4 x 3 − 4 x 2 = 4 x 2 ( x − 1)
2
mcd a + b
= 3( x + 5)( x − 4)
25.
= 3⋅ 2 ( x − 4)( x + 1)
3 ( x − 4)
x ( x − 1)
mcd
x 4 − 9 x 2 = x 2 ( x 2 − 9)
= x 2 ( x + 3)( x − 3)
x 4 − 5x 3 + 6x 2 = x 2 ( x 2 − 5x + 6) = x 2 ( x − 3)( x − 2)
x 4 − 6x 3 + 9 x 2 = x 2 ( x 2 − 6 x + 9) = x 2 ( x − 3)
2
8 x 3 + y 3 = (2 x + y )(4 x 2 − 2 xy + y 2 )
x 2 ( x − 3)
mcd
4ax 2 − ay 2 = a (4 x 2 − y 2 )
(
)
( )
= a b (a + b)(a − b)
3
2 2
3
2
2
26. a b + 2a b + ab = ab a + 2ab + b = ab a + b
= a (2 x + y )(2 x − y )
a 4b − a 2b 3 = a 2b (a 2 − b 2 )
2x + y
mcd
2
ab + b 2 = b (a + b)
6x 2 − 18 x − 24 = 6 ( x 2 − 3x − 4)
17.
(
2
23. a + ab = a (a + b )
2a + b
mcd
)
2
mcd 3x − 1
16.
2
22. 3x 5 − 3x = 3x x 4 − 1 = 3x x 2 + 1 x 2 − 1
9 x 2 − 6 x + 1 = (3x − 1)
mcd
2
mcd 2 x 2 + y
2
15.
2
2
mcd x ( x + 2)
14.
4 x 4 − y 2 = (2 x 2 + y )(2 x 2 − y)
2
2
mcd ab (a + b)
(
)
= 2a (a − 3b)
27. 2 x + 2 x − 4 = 2 ( x + x − 2) = 2 ( x + 2)( x − 1)
a x − 9ab x = ax (a − 9b )
2 x − 8x + 6 = 2 ( x − 4 x + 3) = 2 ( x − 3 )( x − 1)
= ax (a + 3b)(a − 3b)
= 2 ( x + 1)( x − 1)
2 x − 2 = 2 (x − 1)
mcd
a (a − 3b)
mcd 2 ( x − 1)
19. ac + ad − 2bc − 2bd = (ac + ad ) − (2bc + 2bd )
ax − 2ax − 8ax = ax (x − 2 x − 8) = ax ( x − 4)( x + 2)
28.
= a (c + d ) − 2b (c + d )
= (a − 2b)(c + d )
= a ( x − 3)( x + 2)
ax − ax − 6a = a ( x − x − 6)
2c + 4cd + 2d = 2 (c + 2cd + d )
a x − 3a x − 10a x = a x (x − 3x − 10) = a x ( x − 5)( x + 2)
= 2 (c + d )
mcd a (x + 2)
18. 2a − 12a b + 18ab = 2a a − 6ab + 9b
3
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
mcd c + d
20.
3a m + 6a 2 m − 45a 2 = 3a 2 (m2 + 2m − 15)
2
2
= 3a (m + 5)(m − 3)
2
6am2 x + 24amx − 30ax = 6ax (m2 − 4m − 5)
mcd 3a (m + 5)
= 3⋅ 2ax (m + 5)(m − 1)
(
)
= 2a (n − 4)(n − 4) = 2a (n + 2) (n − 2)
= 2an (n + 2)(n − 2)
2an − 8an = 2an (n − 4)
= 2a (n + 2)(n − 2n + 4)
2a n + 16a = 2a (n + 8)
mcd 2a (n + 2)
29. 2an − 16an + 32a = 2a n − 8n + 16
4
2
4
2
3
2 3
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
(
) ( )( )
2a − 6a + 4 = 2 (a − 3a + 2) = 2 (a − 2)(a − 1)
6a + 18a − 24 = 6 (a + 3a − 4) = 3⋅ 2 (a + 4)(a − 1)
mcd 2 (a − 1)
4a − b = (2a + b)(2a − b)
31.
8a + b = (2a + b)(4a − 2ab + b )
4a + 4ab + b = (2a + b)
30. 4a 2 + 8a − 12 = 4 a 2 + 2a − 3 = 2 2 a + 3 a − 1
2
39.
2
2
3a 2 − 6a = 3a (a − 2)
a − 4a = a (a 2 − 4) = a (a + 2)(a − 2)
3
a 2b − 2ab = ab (a − 2)
2
2
2
3
3
2
2
2a + b
2
3x 2 − x = x (3x − 1)
40.
27 x 3 − 1 = (3x − 1)(9 x 2 + 3x + 1)
9 x 2 − 6x + 1 = (3x − 1)
x 2 − 2 x − 8 = ( x − 4)( x + 2)
32.
a−2
mcd
2
2
mcd
a 2 − a − 2 = (a − 2)(a + 1)
2
3ax − a + 6 x − 2 = (3ax − a ) + (6 x − 2)
x 2 − x − 12 = ( x − 4)( x + 3)
= a (3x − 1) + 2 (3x − 1)
x 3 − 9 x 2 + 20 x = x ( x 2 − 9 x + 20) = x ( x − 5)( x − 4)
33.
a + a = a (a + 1)
mcd
2
3x − 1
a − 6a − 7a = a (a − 6a − 7) = a (a − 7)(a + 1)
3
2
2
a 6 + a = a (a 5 + 1)
= a (a + 1)(a 4 − a 3 + a 2 − a + 1)
a (a + 1)
mcd
34.
= (a + 2)(3x − 1)
x− 4
mcd
41.
x 3 + 27 = ( x + 3)( x 2 − 3x + 9)
a 4 − 1 = (a 2 + 1)(a 2 − 1) = (a 2 + 1)(a + 1)(a − 1)
a 3 + a 2 + a + 1 = (a 3 + a 2 ) + (a + 1)
2 x 2 − 6 x + 18 = 2 ( x 2 − 3x + 9)
= a 2(a + 1 ) + (a + 1) = (a 2 + 1)(a + 1)
x 4 − 3x 3 + 9 x 2 = x 2 ( x 2 − 3x + 9)
a 3 x + a 2 x + ax + x = (a 3 x + a 2 x ) + (ax + x )
= a 2 x (a + 1) + x (a + 1)
x 2 − 3x + 9
mcd
35. x + ax − 6a = ( x + 3a)( x − 2a )
2
= (a 2 x + x )(a + 1) = x (a 2 + 1)(a + 1)
2
x 2 + 2ax − 3a 2 = ( x + 3a )( x − a )
a 5 + a 3 + a 2 + 1 = (a 5 + a 3 ) + (a 2 + 1)
x 2 + 6ax + 9a 2 = (x + 3a )
2
= a 3 (a 2 + 1) + (a 2 + 1)
x + 3a
mcd
54 x 3 + 250 = 2 (27 x 3 + 125)
36.
18ax 2 − 50a = 2a (9 x 2 − 25)
= (a 3 + 1)(a 2 + 1) = (a + 1)(a 2 − a + 1)(a 2 + 1)
= 2 (3x + 5)(9 x 2 − 15x + 25)
= 2a (3x + 5)(3x − 5)
(a + 1)(a + 1)
2
mcd
18 x 2 + 60x + 50 = 2 (9 x 2 + 30 x + 25) = 2 (3x + 5)
2
2 (3x + 5)
mcd
37.
= 2 (m + n)
(x − 1) = [(x + 1)(x − 1)]
x − 4 x − 5 = (x − 5)( x + 1)
x − 1 = (x + 1)(x − 1) = (x + 1)( x + 1)( x − 1)
m + m n + mn + n = m2 (m + n) + n 2 (m + n)
3
2
4
2
2
mcd
x+1
4ax 2 − 28ax = 4ax ( x − 7)
a 2 x 3 − 8a 2 x 2 + 7a 2 x = a 2 x ( x 2 − 8 x + 7)
= a 2 x (x − 7)( x − 1)
ax − 15ax + 56ax = ax ( x − 15x + 56) = ax ( x − 8)(x − 7)
4
3
2
mcd ax ( x − 7)
2
2
2
2
3
= (m2 + n 2 )(m + n)
2
38.
)
2
2
2
2
(
42. 2m2 + 4mn + 2n 2 = 2 m2 + 2mn + n 2
2
m3 + n 3 = (m + n)(m2 − mn + n 2 )
m3 − mn 2 = m (m2 − n 2 )
= m (m + n)(m − n)
mcd m + n
( ) ( )
46.
= (a − 1)(a + a + 1) − 3a (a − 1)
= (a − 1)(a + a + 1 − 3a )
= (a − 1)(a − 2a + 1) = (a − 1)(a − 1)
a − 2a + 1 = (a − 1)
a − a = a (a − 1) = a (a + 1)(a − 1)
a − 4a + 3 = (a − 3)(a − 1)
2a 2 − am + 4a − 2m = (2a 2 − am) + (4a − 2m)
43. a − 3a + 3a − 1 = a − 1 − 3a a − 1
3
2
3
= a (2a − m) + 2 (2a − m)
2
= (a + 2)(2a − m)
2
2am − m = m2 (2a − m)
2
2
2
[
6a 2 + 5am − 4m2 = (6a ) + 5m ( 6a ) − 24m2
2
2
3
3
[
]
]
= (6a + 8m)(6a − 3m) ÷ 2 ⋅ 3
2
= (3a + 4m)(2a − m)
2
mcd a − 1
2
16a + 72am − 40m = 8 (2a 2 + 9am − 5m2 )
2
2
[
]
= 8 (2a ) + 9m (2a ) − 10m
[
= 8 (a + 5m)(2a − m)
= 2 x (2a + 3)(4a 2 − 6a + 9)
12a 2 x 2 − 42ax 2 − 90 x 2 = 6x 2 (2a 2 − 7a − 15)
[
[
2
]
mcd 2a − m
(
) (
)
= 6a (2 x − y) + 12b (2 x − y )
= (6a + 12b)(2 x − y)
= 3⋅ 2 (a + 2b)(2 x − y )
3a + 24b = 3(a + 8b )
= 3 (a + 2b)(a − 2ab + 4b )
9a + 9ab − 18b = 9(a + ab − 2b )
= 3 (a + 2b)(a − b)
12a + 24ab = 12a (a + 2b) = 4 ⋅ 3a (a + 2b)
mcd 3 (a + 2b)
47. 12ax − 6ay + 24bx − 12by = 12ax − 6ay + 24bx − 12by
]
= 6 x ( 2a ) − 7 (2a ) − 30
2
= 6 x (2a − 10)(2a + 3) ÷ 2
2
= 3⋅ 2 x (a − 5)(2a + 3)
2
32a x + 24a x − 36ax = 4ax (8a 2 + 6a − 9)
3
3
2
[
= 4ax (8a) + 6 (8a ) − 72
[
]
= 8 (2a + 10m)(2a − m) ÷ 2
16a 3 x + 54 x = 2 x (8a 3 + 27)
44.
2
2
]
]
3
3
2
2
= 4ax (8a + 12)(8a − 6) ÷ 4
= 22 ax (2a + 3) (8a − 6)
3
2
2
2
2
2
2
= 23 ax (2a + 3)(4a − 3)
32a 4 x − 144a 2 x + 162 x = 2 x (16a 4 − 72a 2 + 81)
( ) ( )
= (5a + 5 y)(a + x ) = 5(a + y)(a + x )
= 2 x [(2a + 3)(2a − 3)]
15a − 15ax + 15a y − 15x y = 15a (a + y ) − 15x (a + y)
mcd 2 x (2a + 3)
= (15a − 15x )(a + y )
= 15(a − x )(a + y)
= 5⋅ 3(a + x )(a − x )(a + y)
20a − 20ay + 20a x − 20 xy = 20a (a + x) − 20 y (a + x)
(xy + y ) = x y + 2 xy + y
45.
= (20a − 20 y )(a + x)
= y ( x + 2 xy + y ) = y ( x + y)
= 20 (a − y )(a + x)
x y − 2 xy − 3y = y ( x − 2 xy − 3 y ) = y ( x − 3 y)( x + y)
= 5⋅ 4 (a + y)(a − y )(a + x)
= ay ( x + y )( x − xy + y )
ax y + ay = ay ( x + y )
5(a + y)(a + x )
mcd
= 2 x (4a 2 − 9)
2
48. 5a 2 + 5ax + 5ay + 5xy = 5a a + x + 5 y a + x
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
3
2
2
3
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
4
2
2
3
3
x 2 y − y 3 = y (x 2 − y 2 )
mcd
y (x + y)
2
2
2
= y ( x + y )( x − y)
2
2
5. 8a − 6a x + 7a x − 3ax
4
EJERCICIO 113
3
2
1.
12 x 2 + 8 x + 1
2 x 2 − 5x − 3
− 12 x 2 + 30 x + 18
6
2 x 2 − 5x − 3
14ax − 7 x ÷ 7 x 2
− 6a + 2a + 20a
2a
3ax
− 3a + 3ax
; 3a − 4a x + ax
3
2
2
3a − 4ax + x
2
285x 3 − 798 x 2 + 475x − 1. 330
285x 3 − 225x 2 + 475x − 375
− 285x + 225x − 475x + 375
1
2
− 955
(÷ − 191)
285x 3 − 225x 2 + 475x − 375
3x 2 + 5
− 573x
− 285x
2
− 475x
− 225x
3x 2 + 5
(÷ − x)
mcd
6 x − 4 x y − 3x y + 5xy − 2 y
2
2
− x3 − x2 + x − 2
x3 + x 2 − x + 2
1
x
2 x − 2 x + 2 (÷ 2 )
− x2 + x − 1
1
mcd
2
3x y + 61xy − 42 y
2
21x − 17 xy + 2 y 2
3
(÷ y)
3x 2 + 61xy − 42 y 2
2 y2
7
(÷ − 148 y)
2
3x − 2 y
− 3x 2 + 2 xy
x
2
(÷ − y )
2
3x 2 + 61xy − 42 y 2
63xy − 42 y
x2 − x + 1
3
4
x
2
21x 2 − 17 xy +
3
2x
2
− 444 xy + 296 y
2
x2 − x + 1
21x − 14 x y + 63xy − 42 y
2
3x − 2 x 2 y + 9 xy 2 − 6 y 3 ( 7)
4
3
3
− 21x 2 + 427 xy + 294 y 2
x2 − x + 1
x2 − x + 1
2
2
2
x − x+1
− x3 + x2 − x
2
− 21x + 17 x y − 2 xy
2
x 3 + x2 − x + 2
3
− 21x y + 17 xy − 2 y
3
4. (2 x 3 + 4 x 2 − 4 x + 6) ÷ 2
x 3 + 2 x2 − 2 x + 3
2
− 6 x + 4 x y − 18 x y + 12 xy
3
3
3x 2 + 5
mcd
3
4
a (a − x )
(÷ − 75)
1
4
2
1
95x
− 375
2
3x 2 + 5
− 3x 2 − 5
7.
2
3
5
a− x
x
2
3
= a (3a 2 − 4ax + x 2 )
3a
− ax + x 2
4
57 x − 45x + 95x − 75 (5)
a− x
2
2
3
2ax − 2 x 2 (÷ 2 x )
3a 2 − 4ax + x 2
3
− 15x 4 + 42 x 3 − 25x 2 + 70 x
a− 2
= a (15a 2 − 18ax + 3x 2 )
15a − 18ax + 3x
3x 4 + 3x 3 − 4 x 2 + 5x − 15 (5)
− 12 x − 12 x + 16 x − 20 x + 60
4
15x 4 + 15x 3 − 20 x 2 + 25x − 75 15x 3 − 42 x 2 + 25x − 70 (19)
3. 3(5a − 6a x + ax )
= 15a 3 − 18a 2 x + 3ax 2
− 15a 2 + 20ax − 5x 2
mcd a (2a − x )
2
− 15x 3 + 42 x 2 − 25x + 70 (− 1)
2
2
3
12 x 4 − 3x 3 + 26 x 2 − 5x + 10
3a
2
1
4
a− 2
1
mcd
−a+ x
2a − x
− 6a 2 x + 3ax 2
− 2a + x
5a − 10 (÷ 2)
a− x
6a x − 5ax 2 + x 3
6. (12ax − 3ax + 26ax − 5ax + 10a ) ÷ a
a −2
2
3
− 2ax 2 + x 3 ÷ − x 2
2a − x
2a − x
− a 2 + 2 a (÷ − a )
3
3
1
2
3a 2 − a − 10
a−2
−a+2
2
− 6a 2 x + 5ax 2 − x 3
6a 3 − 3a 2 − 18a
− 3a 2 + 6a
4a
− 18a x + 15ax − 3x ÷ − 3
mcd 2 x + 1
1
3a − a − 10
2a 2 + 3ax − 2 x 2 ( 3x )
2
2
2
= a (2a 2 + 3ax − 2 x 2 )
3
6a 2 x + 9ax 2 − 6 x 3 6a 2 x − 5ax 2 + x 3
2x + 1
2
2
2
2. 3 (2a 3 − a 2 − 6a ) ; (6a 2 − 2a − 20) ÷ 2
3
2a 3 + 3a 2 x − 2ax 2
;
3
2
− 8a − 12a x + 8ax
x
2x + 1
− 2x − 1
2
3
(÷ − 3)
− 6x − 3
3
2
8a − 6a x + 7ax − 3x
2x + 1
− 2x2 − x
2
3
(÷ 2)
38 x + 19
2
= a (8a − 6a x + 7ax − 3x )
3
(÷ 21y )
3x − 2 y
3x − 2 y
− 3x + 2 y
1
mcd 3x − 2 y
(
(x + 4 x − x − 4 x) ÷ x
)
x 4 + 3x 3 − 2 x 2 + 6 x − 8
x3 + 4 x2 − x − 4
− x4 − 4x3 + x2 + 4x
x
4
3
2
8. ax + 3ax − 2ax + 6ax − 8a ÷ a ;
4
3
(
− x 3 − x 2 + 10x − 8
3x 2 + 9 x − 12
3m4 − 6m3 + 8m2 − 10m + 5
− 6m + 12m − 16m + 20m − 10
2
3
(÷ 3)
x
3m − 6m + 8m2 − 10m + 5
m2 − 2 m + 1
− 3m + 6m − 3m
3m2
3
− x − 3x + 4
1
3
2
(÷ 5)
5m2 − 10m + 5
m − 2m + 1
m − 2m + 1
− m2 + 2m − 1
1
2
( ÷ − 2)
x 2 + 3x − 4
2
− 19m + 38m − 19 (÷ − 19)
4
4
− x 3 − 3x 2 + 4 x
2
2
1
x 2 + 3x − 4
3
6m4 − 12m3 − 3m2 + 18m − 9
x 3 + x 2 − 10 x + 8
x 2 + 3x − 4
2
4
4
x 3 + x 2 − 10 x + 8
− 2 x2 − 6x + 8
(3m − 6m + 8m − 10m + 5m) ÷ m
5
− x 3 − x 2 + 10 x − 8 (− 1)
x3 + 4x2 − x − 4
);
9. 3 2m4 − 4m3 − m2 + 6m − 3
2
2
mcd m2 − 2m + 1
mcd x 2 + 3x − 4
10. Factor común a
7 (3a 5 − 6a 4 + 16a 3 − 2a 2 + 5a )
; 3 (7a 5 − 14a 4 + 33a 3 + 4a 2 − 10a )
= 21a 5 − 42a 4 + 112a 3 − 14a 2 + 35a ; = 21a 5 − 42a 4 + 99a 3 + 12a 2 − 30a
21a 4 − 42a 3 + 112a 2 − 14a + 35
21a 4 − 42a 3 + 99a 2 + 12a − 30
− 21a + 42a − 99a − 12a + 30
1
4
3
2
13a − 26a + 65
2
(÷ 13)
21a − 42a + 99a + 12a − 30 a 2 − 2a + 5
4
2
3
− 21a 4 + 42a 3 − 105a 2
21a 2
− 6a 2 + 12a − 30 (÷ − 6)
a 2 − 2a + 5
a 2 − 2a + 5
mcd a (a 2 − 2a + 5)
− a + 2a − 5 1
2
11. (45ax + 75ax − 18ax − 30a ) ÷ 3a ;
3
2
(24ax + 40ax − 30ax − 50a) ÷ 2a
4 (15x + 25x − 6 x − 10) ; 5 (12 x + 20 x − 15x − 25)
3
12. Factor común 2 :
2 x 3 + 2ax 2 + 2a 2 x + 2a 3 ; 10 x 3 + 4ax 2 + 10a 2 x + 4a 3
2
3
2
3
60 x + 100 x − 24 x − 40
3
2
2
60 x + 100 x − 75x − 125 (÷ 5)
3
2
12 x + 20 x − 15x − 25
3x + 5
− 12 x 3 − 20 x 2
4 x2
2
− 15x − 25
3x + 5
3x + 5
− 3x − 5
1
− 3 ax 2
− 3a 3
x 3 + ax 2 + a 2 x + a 3
51x + 85 (÷ 17)
3
− 5x 3 − 5ax 2 − 5a 2 x − 5a 3 5
2
− 60 x − 100 x + 75x + 125 1
3
5x 3 + 2ax 2 + 5a 2 x + 2a 3 x 3 + ax 2 + a 2 x + a 3
− x3
− a2 x
ax
(÷ − 5)
x2 + a2
x2 + a 2
−x −a
1
2
mcd a (3x + 5)
+ a3
2
2
(÷ − 3a )
x2 + a2
x
(÷ a )
mcd
2 (x 2 + a 2 )
7
6
+ a4
+ 1 a 5 − 2a 4 + a 3 + a − 1 ( a )
16. a − a
7
6
5
3
2
− a + 2a − a
−a +a
a2
13. Factor común 3 :
9 x + 15ax + 3a x − 3a ;
3
2
2
3
12 x 3 + 21ax 2 + 6a 2 x − 3a 3 ( 3)
a 6 − a5 + a4 − a 3 + a 2 + 1
12 x 3 + 21ax 2 + 6a 2 x − 3a 3
− 12 x − 20ax − 4a x + 4a
3
2
+ 2a x + a
2
ax
2
2
3x + 5ax + a x − a
3
2
2
x + 2ax + a
4
−a +a −a +a −a
6
−a
(÷ − a)
mcd 3( x 2 + 2ax + a 2 )
+ 6b 3
− 12a + 18a b − 12ab + 6b
2
2
2
2
− 6a 3 + 3a 2b − 3ab 2
2a − ab + b 2
− 2a 2 + ab − b 2
(÷ − 3b)
3 4
2 5
15a + 20a n − 35an + 10n
2
2
2
2
− 180a 2 + 195an − 50n 2
3an − 2n 2
36a − 39an + 10n
− 36a 2 + 24an
− 15an + 10n2
3a − 2n
− 3a + 2n
3a − 2n
1
2
a
6
x2
36a − 39an + 10n
2
2
36 x 3 + 3x 2 − 45x + 18
108 x − 216 x + 96 x
2
(12)
2
− 225x 2 + 231x − 54
300 x 3 + 25x 2 − 375x + 150
− 300 x + 308 x − 72 x
(÷ n)
36a 2 n − 39an2 + 10n3
2
3x 4 − 2 x 3 + 3x 2 − 5x + 2 ( 9)
− 27 x + 54 x − 24 x
3
15a − 16an + 4n
3
− 15a 3 + 16a 2 n − 4an2
180a − 192an + 48n
a4 − a3 + 1
27 x 2 − 54 x + 24
3
− 108 x − 9 x + 135x − 54
( ÷ − n)
− 15a 2 n + 16an2 − 4n 3
2
mcd
1
27 x 4 − 18 x 3 + 27 x 2 − 45x + 18
3
− 3a 3 − 4a 2 n + 7an2 − 2n 3 1
2
3
4
3a 3 − 11a 2n + 9an2 − 2n3 3a 3 + 4a 2 n − 7an2 + 2n3 (5)
3
(− 1)
− 27 x 2 + 54 x − 24 (− 1)
9a n + 12a n − 21a n + 6a n
3
a
−1
18 x 4 − 12 x 3 − 9 x 2 + 24 x − 12
mcd 2ab (2a 2 − ab + b 2 ) − 18 x 4 + 12 x 3 − 18 x 2 + 30 x − 12
1
9a 5n2 − 33a 4 n 3 + 27a 3n 4 − 6a 2 n5 ;
4
a4 − a3 + 1
36ax 4 − 24ax 3 − 18ax 2 + 48ax − 24a
2a 2 − ab + b 2
15. Factor común 3a 2 n 2 :
5 2
1
(÷ 2 )
17. Factor común 2a :
6ax 4 − 4ax 3 + 6ax 2 − 10ax + 4a ;
3a
− 6a 2b + 3ab2 − 3b 3
a 5 − 2a 4 + a 3 + a − 1
a4 − a3 + 1
−a +a − 1
2a 2 − ab + b 2
6a 3 − 9a 2b + 6ab 2 − 3b 3
a4 − a3 + 1
4
(÷ 12b)
3
+2
− a
4
− a4 + a3
6a 3 − 9a 2b + 6ab 2 − 3b 3
3
24a b − 12ab + 12b
2
2
−a +a
a
(− 1)
− a+1
3
a 5 − 2a 4 + a 3 + a − 1
5
a5 − a3 + a + 1
2
2a 4 − 2a 3
6a 3 − 9a 2b + 6ab 2 − 3b 3
+1
−a −a
4
− a + 2a − a − a + 1
4
1
(− 1)
−a−1
− a3 + a + 1
5
14. Factor común 2ab :
8a 4b + 4a 3b 2 + 4ab 4 ; 12a 4b − 18a 3b2 + 12a 2b 3 − 6ab 4
3
+a
6
a6 − a5 + a 4 − a 3 + a2 + 1
−1
2
+ a3
a5
x + 2ax + a 2
12a 3 + 6a 2b
3
− a 5 + 2a 4 − a 3
2
3 (4a 3 + 2a 2b + 2b 3 )
+ a2 − a
4
a 6 − a5 + a4 − a3 + a 2
3x
− x 2 − 2ax − a 2 1
5
− a5
x 2 + 2ax + a 2
3
− ax 2 − 2a 2 x − a 3
2
a 6 − 2a 5 + a 4
(÷ a)
3
− 3x 3 − 6ax 2 − 3a 2 x
2
3x 3 + 5ax 2 + a 2 x − a 3
3
3
333x 2 − 447 x + 150
2
5
(÷ n)
3a − 2n
12a
(÷ − 5n)
mcd 3a 2 n 2 (3a − 2n)
2
( 4 x)
(÷ 3)
12 x 3 + x 2 − 15x + 6 ( 25)
9
(÷ − 3)
75x 2 − 77 x + 18 (111)
4x
(÷ 3)
8 . 325x 2 − 8 .547 x + 1. 998 111x 2 − 149 x + 50 (2 . 628)
− 8 . 325x 2 + 11.175x − 3 .750
75
2 . 628 x − 1. 752
291. 708 x 2 − 391.572 x + 131. 400 2 . 628 x − 1. 752 (÷ 876)
− 291. 708 x 2 + 194 .472 x
− 197 .100 x + 131.400
3x − 2
− 3x + 2
111x
(÷ − 65. 700)
3x − 2
1
mcd
2a (3x − 2)
3
2
2
3
3
2
2
3
2. 8 x + 6 x y − 3xy − y 2 x − x y − 2 xy + y
− 8 x 3 + 4 x 2 y + 8 xy 2 − 4 y 3 4
4
3
2
3. ( x + x − x − x ) ÷ x ;
3
2
2
10 x 2 y + 5xy 2 − 5 y 3 (÷ 5 y )
1. 2 x − 5x − 6 x + 9 2 x − 5x − 3
3
2
(2 x + 2 x − 2 x − 2) ÷ 2
2 x 3 − x 2 y − 2 xy 2 + y 3 2 x 2 + xy − y 2
− 2 x 3 + 5x 2 + 3x
x
3
2
2
x3 + x2 − x − 1 x3 + x2 − x − 1
− 2 x − x y + xy
x
EJERCICIO 114
− 3x + 9 (÷ − 3)
2 x 2 − 5x − 3
− 2 x + 6x
2
2 x + xy − y
2
2x
x − 3 ( x)
− x 3 + 3x 2
x − 5x + 6
3
(÷ 2)
x − 5x + 6
x−3
− x2 + 2x
x
2
2 x 2 + xy − y 2
2x − y
− 2 x + xy
x
2
2 xy − y 2
2x − y
2x − y
1
17 x − 7 x − 10
− a − 6a x − 8a x
2
2
a
3a + 18a x + 24ax
2
3
2
2
2
(÷ x)
14a 2 x + 39ax 2 + 22 x 3
154a + 294ax − 28 x
− 154a 2 − 429ax − 242 x 2
− 135ax − 270x 2
2
14a
− a − 2x 1
− 4a − 8a x
a + 2x
a + 2x
1
8 x 3 − 3x 2 − x − 4 (5)
− 8 x 3 + 3x 2 + x + 4
1
(14)
(− 1)
− 5x + 7 x − 2
2
8x
41x 2 − 21x − 20
0
41x 2 − 21x − 20
− 41x + 41x
20 x − 20
a + 2x
4a
2
41x 2 − 21x − 20
5
(÷ − 182)
− 182 x + 182
2
3x
− ax 2 − 2 x 3 (÷ − x 2 )
− a − 2x
8x3 − 8x2 + 6x − 6
− 205x 2 + 105x + 100
− 14a 2 − 28ax
2
2
(÷ − 135x)
a + 2x a + 2x
4a + 8a x − ax − 2 x
x
8 x − 3x − x − 4
3
205x 2 − 287 x + 82
a + 2x
3
− 4 x − 4 4 x 3 − 4 x 2 + 3x − 3 ( 2 )
11
(÷ 11x)
x−1
x−1 x−1
41x
− x +1 1
(÷ 20)
− 4 x − 3x + 4 x
6
4
− 3 x + 3x
6
3
5
a + 2x
0
x−1
3x
3x − 4 x − 3x + 4 x
5
mcd
mcd x − 1
común x
2 (2 x 5 + 2 x 4 − 2 x 2 − 2 x )
2
14a 2 + 39ax + 22 x 2
2
x−1
1
− 40 x 3 + 56 x 2 − 16 x
14a + 39ax + 22 x
2
17 x
(÷ 10)
40 x 3 − 15x 2 − 5x − 20 5x 2 − 7 x + 2 ( 41)
3a
2
11ax + 22 x 2
x −1
− x+1
3
11a + 21ax − 2 x
3
− 33a 3 − 63a 2 x + 6ax 2
3
x−1
10 x − 10
− 4 x 4 + 4 x 3 − 3x 2 + 3 x
2
(÷ x )
33a + 77a x + 33ax + 22 x
2
2
1
11a 2 x + 21ax 2 − 2 x 3
2
10
17 x 2 − 7 x − 10
3a + 7a x + 3ax + 2 x (11)
2
− 3a 3 − 7a 2 x − 3ax 2 − 2 x 3
3
− 170 x + 70 x + 100
4 x4 + 4 x3
2
(÷ − x)
− 3a 3 x − 7a 2 x 2 − 3ax 3 − 2 x 4
3
17 x 2 − 7 x − 10
− 49 x + 49 (÷ − 49)
5. Factor
a 4 + 3a 3 x + a 2 x 2 − 3ax 3 − 2 x 4 a 2 + 6ax + 8x 2 ( 3a )
3
170 x 2 − 119 x − 51
2
mcd 2 x − y
(÷ x 2 )
x
2
x−3
mcd
(− 1)
− 10 x 3 + 7 x 2 + 3x
− 17 x 2 + 17 x
a 2 x 2 + 6ax 3 + 8 x 4
3
5
− 10 x + 7 x + 3
4
3
2 2
3
4
4
3
2 2
3
4
4. 3a + 9a x + 4a x − 3ax + 2 x a + 3a x + a x − 3ax − 2 x
4
3
2 2
3
4
− 3a − 9a x − 3a x + 9ax + 6x 3
4
− 5x − 5x + 5x + 5
10 x 3 + 10 x 2 − 10 x − 10 10 x 2 − 7 x − 3 (17)
(÷ y)
− 2x + y
x 3 + x 2 − x − 1 (10)
2
2
− 4 xy + 2 y 2 (÷ − 2 y )
− 3x + 6 (÷ − 3)
x−3
1
2
5x 3 − 5x 2 + 2 x − 2
3
− 6 x − 3xy + 3 y
x 2 − 5x + 6
1
2x − 6
1
2 x 2 + xy − y 2
2
1
0
2
6 x 2 − xy − y 2
x2
x−3
− x+3
2
0
2
x 2 − 3x
+ 5x − 6
2 x + xy − y
2
− 2 x 2 − xy + y 2
x −3
x 3 − 2 x 2 − 5x + 6
− x3 − x2 + x + 1
− 2 x 2 y − xy 2 + y 3 (÷ − y )
x−3
4
(3x )
4
5
3
Continua.
16. 3x 3 , 6x2 , 9x 4 y2 mcm 18x 4 y2
Continuación.
3x 5 − 4 x 4 − 3x 3 + 4 x (÷ x )
5. 3x 5 − 3x 4
− 3x + 4 x + 3x − 4 x
5
4
3
1
18. 10m2 , 15mn2 , 20n3 mcm 60m2n3
x + 3x − 4 x (÷ x )
4
3
3x 4 − 4 x 3 − 3x 2
+4
− 3x 4 − 9 x 3
+ 12 x
2
13x 3 + 39 x 2
− 52
x 3 + 3x 2 − 4 (13)
19. 18a 3 , 24b2 , 36ab 3 mcm 72a 3b 3
3x
20. 20m2n3 , 24m3n , 30mn2
(÷ − 1)
− 13x − 3x + 12 x + 4
3
17. 9a 2bx , 12ab 2 x 2 , 18a 3b 3 x mcm 36a 3b 3 x 2
13x 3 + 3x 2 − 12 x − 4 ( 3)
20 24 30
20 4 5
6
5
1
4
4
4 ⇒ mcm 120m3n3
1
1
− 13x 3 − 3x 2 + 12 x + 4
36 x 2 + 12 x − 48 (÷ 12)
1
6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 120
39 x 3 + 9 x 2 − 36 x − 12 3x 2 + x − 4
− 39 x 3 − 13x 2 + 52 x
21. ab 2 , bc 2 , a 2 c 3 , b 3c 3 mcm a 2b 3c 3
13x
− 4 x 2 + 16x − 12 (÷ − 4)
3x + x − 4
x − 4x + 3
− 3x 2 + 12 x − 9
3
x2 − 4 x + 3
x−1
− x2 + x
x
2
22. 2x 2 y , 8xy 3 , 4a 2 x 3 , 12a 3 mcm 24a 3 x 3 y 3
2
23. 6a 2 , 9x , 12ay 2 , 18x 3 y mcm 36a 2 x 3 y 2
13x − 13 (÷ 13)
− 3x + 3
24. 15mn2 , 10m2 , 20n3 , 25mn4
(÷ − 3)
x−1
x−1
− x+1
1
mcd
x ( x − 1)
15 10
20
25 5
3
2
4
5
5
3
1
2
2
1
4
4
2
1
3 ⇒ mcm 300m2n4
2
2
52 ⋅ 3 ⋅ 22 = 300
1
EJERCICIO 115
25. 24a 2 x 3 , 36a 2 y 4 , 40x 2 y 5 , 60a 3 y 6
2
2
2 2
1. a , ab mcm a b
24
2. x 2 y , xy 2 mcm x2 y2
12 18
20 30
2
3. ab c , a bc mcm a b c
6
9
10
15
3
4. a 2 x 3 , a 3bx 2 mcm a 3bx 3
2
3
10
5
5 ⇒ mcm 360a 3 x 3y 6
1
3
2
2
2 2
5. 6m2n , 4m3 mcm 12m3n
6. 9ax 3 y , 15x 2 y 5 mcm 45ax 3y 5
36 40 60
2
3
2
2
1
2
1
2
2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 = 360
2
1
7. a 3 , ab 2 , a 2b mcm a 3b2
8. x 2 y , xy 2 , xy 3 z mcm x2 y3 z
2
2
3
26. 3a 3 , 8ab , 10b 2 , 12a 2b 3 , 16a 2b 2
3 2
9. 2ab , 4a b , 8a mcm 8a b
3
8 10
12
16
2
10. 3x 2 y 3z , 4x 3 y3 z2 , 6x 4 mcm 12x 4 y 3z2
3
4
5
6
8
2
3
2
5
3
4
2
2 4 ⋅ 3⋅ 5 = 240
3
1
5
3
2
2
⇒ mcm 240a 3b 3
3
5
3
1
3
1
5
1
2
2 3
3
3 3
11. 6mn , 9m n , 12m n mcm 36m n
12. 3a 2 , 4b 2 , 8x 2 mcm 24a 2b2 x 2
13. 5x2 , 10xy , 15xy 2 mcm 30x2 y 2
14. ax 3 y2 , a 3 xy , a 2 x 2 y 3 mcm a 3 x 3 y3
15. 4ab , 6a 2 , 3b2 mcm 12a 2b2
1
5
EJERCICIO 116
1.
2a = 2a
13. 3a 2 − 6ab = 3a (a − 2b)
4 x − 8 = 2 ( x − 2)
2
mcm 4a ( x − 2)
(
2. ab − b2 = b a − b
)
(
3a 2b 2 + 6ab 3 = 3ab 2 (a + 2b)
6a 2b 2 (a + 2b)
(
16. 9 x y + 9 xy = 3 xy x + y
3
3
6 x = 2 ⋅ 3x 3
mcm 2 ⋅ 32 x 3 ( x + 2)( x − 2)( x − 3)
⇒ 18 x 3 ( x 2 − 4) ( x − 3)
2
2
2
)
9m = 32 m
6mn − 12mn = 2 ⋅ 3mn (n − 2)
2 x − 3x y = x 3 (2 x − 3 y)
( )
x + x = x ( x + 1)
17. x 2 y − xy = xy x − 1
2 ⋅ 32 mn (n − 2)
3
2
⇒ 18mn (n − 2)
mcm a x (2 x − 3 y )
2
2
2
⇒ 72 x 3 y 2 ( x − 5)
)
8m − 24 = 2 3 (m − 3)
25.
n2 x 2 + n2 y 2 = n2 (x 2 + y 2 )
nx 2 + 2nxy + ny 2 = n (x 2 + 2 xy + y 2 )
= n (x + y)
2
24 = 23 ⋅ 3
36a 2 = 2 2 ⋅ 32 a 2
mcm 2 2 ⋅ 32 a 2 ( x − 3 y )
⇒ 36a ( x − 3 y )
2ax y + 5x y = x y (2a + 5)
2
3
mcm 12 x 2 y 3 (2a + 5)
12. mn 3 − mn 2 = mn 2 (n − 1)
an 3 = an3
⇒ 24m (m2 − 9)
mcm 2an3 (x + y ) ( x 2 + y 2 )
2
19. 3ax + 3a = 3a ( x + 1)
2
12 xy 2 = 22 ⋅ 3xy 2
2n = 2n
mcm 23 ⋅ 3m (m + 3)(m − 3)
10. 4ax − 12ay = 2 a ( x − 3 y )
(
26. 4 x 3 + 24 x 2 + 36 x = 2 2 x x 2 + 6 x + 9
2 a 2 b 2 = 2 a 2b 2
= 2 x ( x + 3)
6 x − 18 = 2 ⋅ 3 ( x − 3)
(
20. x 2 + 4 x + 4 = x + 2
2 x − 8 x + 8 x = 2 x ( x 2 − 4 x + 4)
3
2
)
2
= 2 x ( x − 2)
2
2
x 3 + x 2 − 2 x = x ( x 2 + x − 2)
x 3 + x 2 − 6 x = x ( x 2 + x − 6)
x2 = x2
8 x = 23 x 2
= x ( x + 2)( x − 1)
mn = mn
mcm x ( x + 2) ( x − 1)
2
2
)
2
2
mcm 6a b ( x + 1)( x − 3)
2
)
2
32 ⋅ 2 3 x 3 y 2 ( x − 5)
mcm
2
(
2
2
8 x 3 = 23 x 3
⇒ 4 x y ( x − 1)
mcm 10 (1 − 3b)
(
12 x y = 3 ⋅ 2 x y
18. 6m2 + 18m = 2 ⋅ 3m m + 3
5 − 15b = 5 (1 − 3b)
2
2
mcm 2 2 x 2 y ( x − 1)( x + 1)
3x + 6 = 3 ( x + 2)
2
3
24. 9 x − 45x = 3 x x − 5
2
2
3
a2 x2 = a2 x2
2
4 x = 22 x
15 = 5 ⋅ 3
mcm 15 ( x + 2)
10 = 5 ⋅ 2
9.
= x (2 x − 3 y)
2
4
⇒ 90 x 2 y ( x 2 + y 2 )
2
(
23. 4 x 3 − 12 x 2 y + 9 xy 2 = x 4 x 2 − 12 xy + 9 y 2
mcm 5⋅ 2 ⋅ 32 x 2 y ( x 2 + y 2 )
mcm 14 x (3x + 2 y )
mcm m2 n 2 (n − 1)
= 3x ( x − 3)( x + 2)
6 x 2 = 2 ⋅ 3x 2
2
m2 = m 2
)
3x 3 − 3x 2 − 18x = 3x ( x 2 − x − 6)
10 = 5⋅ 2
2
3
= 32 x 2 ( x + 2)( x − 2)
3
⇒ 54a 3b 3 (a + 3b)
6 x 2 + 4 xy = 2 x (3x + 2 y )
2
3
mcm 2 ⋅ 33 a 3b3 (a + 3b)
6a 2b = 2 ⋅ 3 a 2b
3
3
18b3 = 2 ⋅ 32 b 3
mcm 23 (1 + 2a ) = 8 (1 + 2a )
2
9 x 4 − 36 x 2 = 32 x 2 ( x 2 − 4)
9a 2 = 32 a 2
8 = 23
11.
(
15. 27a b + 81a b = 3 a b a + 3b
3 2
2
8.
2
3
4
4. 4 + 8a = 2 (1 + 2a )
mcm
⇒ 18a 2b ( x − 2 y )
22.
mcm 5x y ( x − 1)
4
mcm x 2 y ( x + y )
7.
2
x2 y3 = x2 y3
x y = x2 y
2
14 x = 7 ⋅ 2 x
)
xy 2 = xy 2
3. x y + xy = xy ( x + y )
6.
mcm 3 ⋅ 2a 2b ( x − 2 y )
2
14. 5x 5 − 5x 4 = 5x 4 x − 1
2
2
6ab = 2 ⋅ 3ab
mcm 6a b (a − 2b)
mcm 3b (a − b)
mcm
2
2
2
5.
9a 2 x − 18a 2 y = 32 a 2 ( x − 2 y )
x 2 − 4 xy + 4 y 2 = ( x − 2 y)
2a 2 = 2a 2
6ab = 2 ⋅ 3ab
3b2 = 3b 2
2
21.
= x ( x + 3)( x − 2)
2
mcm 8 x 2 ( x + 3) ( x − 2)
2
2
)
6 x 3 + 6 x 2 = 2 ⋅ 3x 2 (x + 1)
27.
28. ax − a + bx − b = a ( x − 1) + b ( x − 1) = (a + b)( x − 1)
2 x 2 − 2 x + 2 = 2 ( x 2 − x + 1)
a 2 + 2ab + b 2 = (a + b)
2
x + 1 = ( x + 1)( x − x + 1)
3
2
3x = 3x
3
4 xy 2 = 2 2 xy 2
3x − 3x 2 = 3x 2 ( x − 1)
3
3
mcm 2 ⋅ 3x 3 (x + 1)( x 2 − x + 1)
mcm 2 2 ⋅ 3 x 2 y 2 (a + b) ( x − 1) ⇒ 12 x 2 y 2 (a + b) ( x − 1)
2
⇒ 6 x 3 ( x + 1)(x 2 − x + 1)
29.
5ab 3 − 5b 4 = 5b 3 (a − b)
(
)
30. 14 x + 14 = 7 ⋅ 2 x + 1
12a − 24ab + 12b 2 = 2 2 ⋅ 3 (a 2 − 2ab + b 2 )
x + 2 x + 1 = ( x + 1)
2
2
2
= 2 2 ⋅ 3 (a − b)
7 x 2 + 7 = 7 ( x 2 + 1)
2
6a b = 2 ⋅ 3a b
2
2
2
28 x = 7 ⋅ 2 2 x
x 2 + 1 = (x 2 + 1 )
4b = 2 2 b
2 a = 2a
mcm 28 x ( x + 1) ( x 2 + 1)
2
mcm = 5⋅ 2 2 ⋅ 3a 2b 3 (a − b) ⇒ 60a 2b 3 (a − b)
2
2
EJERCICIO 117
(
) 11. x + y = (x + y)(x − xy + y )
(x + y) = (x + y)
= a (a + b)
3x + 3 = 3 ( x + 1)
mcm ( x + y) ( x − xy + y )
a + a b = a (a + b)
mcm 2 ⋅ 3 ( x − 1)( x + 1)
12. x − y = ( x − y )( x + xy + y )
mcm a (a + b)
⇒ 6 ( x − 1)
(x − y) = (x − y)
7. 2bx + 6bx − 8b = 2b (x + 3x − 4)
2. 10 x − 40 = 5 ⋅ 2 (x − 4)
= 2b ( x + 4)( x − 1)
mcm ( x − y ) ( x + xy + y )
= 5 ⋅ 2 ( x + 2)(x − 2)
3ax + 12a = 3a ( x + 4)
13. 4 x − 7 x − 2 = ( 4 x) − 7 ( 4 x ) − 8
5x + 10 = 5 (x + 2)
mcm 2b ⋅ 3a ( x + 4)( x − 1)
= [(4 x − 8)(4 x + 1)] ÷ 4
mcm 5⋅ 2 (x + 2)(x − 2)
⇒ 6ab ( x + 4)( x − 1)
= ( x − 2)(4 x + 1)
⇒ 10 (x − 4)
8. x + 2 x − 15 = ( x + 5)( x − 3)
x + 3x − 10 = ( x + 5)( x − 2)
3. x − 4 y = ( x + 2 y )( x − 2 y )
x − 25x = x ( x − 25)
mcm ( x − 2)(4 x + 1)( x + 5)
x + 2 x y = x (x + 2 y)
= x ( x + 5)( x − 5)
+ a − 30 = (a + 6)(a − 5)
a
14.
mcm x ( x + 2 y )( x − 2 y )
mcm x ( x + 5)( x − 5)( x − 3)
a + 3a − 18 = (a + 6)(a − 3)
⇒ x (x − 4 y )
mcm (a + 6)(a − 3)(a − 5)
⇒ x ( x − 25)( x − 3)
4. x − 6 x + 9 = ( x − 3)
15. x + 2 x − 15x = x ( x + 2 x − 15)
9. ( x − 1) = ( x − 1)
3a x − 9a = 3a ( x − 3)
= x ( x + 5)( x − 3)
x − 1 = ( x + 1)( x − 1)
mcm 3a ( x − 3)
x − 9 x + 5x − 45 = x ( x − 9) + 5 ( x − 9)
mcm ( x + 1)( x − 1)
= ( x + 5)( x − 9)
5. 4a − 12ab + 9b = (2a − 3b)
10. ( x + 1) = ( x + 1)
= ( x + 5)( x + 3)( x − 3)
4a − 9b = (2a + 3b)(2a − 3b)
x + 1= x + 1
mcm x ( x + 5)( x + 3)( x − 3)
mcm (2a + 3b)(2a − 3b)
mcm ( x + 1)( x + 1)
⇒ x ( x + 5)( x − 9 )
(
)
6. a + 2a b + ab = a a + 2ab + b
3
1. 6 x − 6 = 2 ⋅ 3 x − 1
2
2
2
3
3
2
3
3
2
3
3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
2
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x 6 − 4 x 3 − 32 = ( x 3 − 8)( x 3 + 4)
16.
15x + 15 = 5⋅ 3 ( x + 1)
= ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4)(x 3 + 4)
5x − 5 = 5( x 2 − 1) = 5( x + 1)( x − 1)
ax 4 + 2ax 3 + 4ax 2 = ax 2 ( x 2 + 2 x + 4)
2
mcm 5⋅ 2 ⋅ 3( x 2 + 1)( x + 1)( x − 1) ⇒ 30( x 2 + 1)( x 2 − 1)
mcm ax 2 ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4)( x 3 + 4)
(
)
( )( )
8 (x − y) = 2 (x − y )
mcm 2 ⋅ 3 ( x + y )( x − y ) ⇒ 24 ( x + y )( x − y )
18. 5( x + y ) = 5 (x + y)
10 (x + y ) = 5⋅ 2 ( x + y )
mcm 10( x + y )( x + y)
19.
6a (m + n) = 2 ⋅ 3a (m + n)
4a b (m + n ) = 2 a b (m + n)(m − mn + n )
mcm 2 ⋅ 3 a b (m + n) (m − mn + n )
⇒ 12 a b (m + n) (m − mn + n )
20. ax (m − n) = ax (m − n)
x (m − n ) = x (m − n)(m + mn + n )
mcm ax (m − n) (m + mn + n )
2a + 2a = 2a (a + 1)
21.
3a − 3a = 3a (a − 1)
a − a = a (a − 1) = a (a + 1)(a − 1)
mcm 2 ⋅ 3a (a + 1)(a − 1) ⇒ 6a (a − 1)
22. x + 2 x = x ( x + 2)
x − 2 x = x ( x − 2)
x − 4 = ( x + 2)(x − 2)
mcm x ( x − 2)( x + 2) ⇒ x ( x − 4)
2
2
2
17. 12 x − y = 2 ⋅ 3 x + y x − y
2
2
3
2
3
2
2
2
2
x 2 − xy = x ( x − y)
mcm x ( x + y)( x − y)(a − 2b) ⇒ x ( x 2 − y 2 )(a − 2b)
2
4a 2b + 4ab 2 = 2 2 ab (a + b)
2
2
27.
6a − 6b = 2 ⋅ 3 (a − b)
3
3
2
= ( x + y)(a − 2b)
x 2 + xy = x ( x + y)
2
3
3
26. ax − 2bx + ay − 2by = x (a − 2b) + y (a − 2b)
2
2
2
10 x 2 + 10 = 5⋅ 2 ( x 2 + 1)
25.
2
2
2
3
2
2
2
2
15a − 15b = 5⋅ 3(a − b 2 ) = 5⋅ 3 (a + b)(a − b)
2
2
2
mcm 2 2 ⋅ 3⋅ 5ab (a + b)(a − b) ⇒ 60ab (a 2 − b 2 )
( )( )
x − 125 = ( x − 5)( x + 5x + 25)
2 x + 10 = 2 ( x + 5)
mcm 2 ( x + 5)(x − 5)(x + 5x + 25)
29. a b − 6a b + 9ab = ab (a − 6ab + 9b )
= ab (a − 3b)
a − 2ab − 3b = (a − 3b)(a + b)
ab + b = b (a + b)
mcm ab (a − 3b) (a + b)
2m + 2mn = 2m (m + n)
30.
4mn − 4n = 2 n (m − n)
6m n − 6mn = 2 ⋅ 3mn (m − n ) = 2 ⋅ 3mn (m + n)(m − n)
23. x + x − 2 = ( x + 2)( x − 1)
mcm 2 ⋅ 3mn (m + n)(m − n) ⇒ 12mn (m − n )
x − 4 x + 3 = ( x − 3)( x − 1)
31. 20 ( x − y ) = 2 ⋅ 5 ( x + y)( x − y )
x − x − 6 = ( x − 3)( x + 2)
15( x − y) = 5⋅ 3 ( x − y )
mcm ( x + 2)( x − 1)( x − 3)
12 ( x + y ) = 2 ⋅ 3 ( x + y )
24. 4 + 12a + 9a = (2 + 3a )
3a + 14a + 8 = (3a ) + 14 (3a ) + 24
mcm 2 ⋅ 5⋅ 3 ( x + y ) ( x − y ) ⇒ 60 ( x + y ) ( x − y)
= [(3a + 12)(3a + 2)] ÷ 3 = (a + 4)(3a + 2) 32. ax + 5ax − 14a = a ( x + 5x − 14) = a ( x + 7)( x − 2)
6a + 13a + 6 = (6a ) + 13(6a ) + 36
x + 14 x + 49 x = x ( x + 14 x + 49) = x ( x + 7)
= [(6a + 9)(6a + 4)] ÷ 3⋅ 2 = (2a + 3)(3a + 2)
x + 7 x − 18 x = x ( x + 7 x − 18) = x ( x + 9)( x − 2)
mcm (a + 4) (2a + 3)(3a + 2)
mcm ax ( x + 7) ( x − 2)( x + 9)
3
2
3
3
3
2
2
3
3
3
2
3
3
2
28. x − 25 = x + 5 x − 5
3
2
2
2
2
2
2
3
2
2
3
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
4
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
38.
(
) ( )
16 + 8x 2 + x 4 = (4 + x 2 )
2
2
2
= 3x ( x + 3)(x − 3)
3x − 27 x = 3x (x − 9)
= (2 − x) (2 + x )
16 − 8 x 2 + x 4 = (4 − x 2 )
5x + 30 x + 45x = 5x ( x + 6 x + 9) = 5x ( x + 3)
16 − x 4 = (4 + x 2 )(4 − x 2 ) = (4 + x 2 )(2 + x)(2 − x)
2
2
2
mcm 2 ⋅ 3⋅ 5x (x + 3) ( x − 3) ⇒ 30 x ( x + 3) (x − 3)
mcm (4 + x 2 ) (2 + x) (2 − x)
34. 3 − 3a = 3(1 − a ) = 3 (1 + a )(1 − a )
39. 1 + a = 1 + a
6 + 6a = 2 ⋅ 3 (1 + a )
(1 + a ) = (1 + a)
12 + 12a = 2 ⋅ 3 (1 + a )
1 + a = (1 + a )(1 − a + a )
9 − 9a = 3 (1 − a )
mcm (1 + a ) (1 − a + a )(1 + a )
mcm 2 ⋅ 3 (1 + a )(1 + a )(1 − a )
40. 8n − 10n − 3 = (8n) − 10 (8n) − 24
⇒ 36 (1 + a )(1 − a ) = 36 (1 − a )
= [(8n − 12)(8n + 2)] ÷ 4 ⋅ 2 = (2n − 3)(4n + 1)
2 (3n − 2) = 2 (3n − 2)
35.
20n + 13n + 2 = ( 20n) + 13 ( 20n) + 40
135n − 40 = 5 (27n − 8) = 5 (3n − 2)(9n + 6n + 4)
= [(20n + 8)(20n + 5)] ÷ 4 ⋅ 5 = (5n + 2)(4n + 1)
12n − 8 = 2 (3n − 2)
10n − 11n − 6 = (10n) − 11(10n) − 60
= [(10n − 15)(10n + 4)] ÷ 5⋅ 2 = (2n − 3)(5n + 2)
mcm 5⋅ 2 (3n − 2) (9n + 6n + 4)
mcm (2n − 3)(5n + 2)(4n + 1)
⇒ 20(3n − 2) (9n + 6n + 4)
41. 6a + ab − 2b = 36a + 6ab − 12b
36. 12mn + 8m − 3n − 2 = 4m (3n + 2) − (3n + 2)
= [(6a + 4b)(6a − 3b)] ÷ 2 ⋅ 3
= (4m − 1)(3n + 2)
= (3a + 2b)(2a − b)
48m n − 3n + 32m − 2 = 16m (3n + 2) − (3n + 2)
(15a) + 22b (15a ) + 120b
+
+
=
15
a
22
ab
8
b
= (16m − 1)(3n + 2)
= [(15a + 12b)(15a + 10b)] ÷ 3⋅ 5
= (4m + 1)(4m − 1)(3n + 2)
= (5a + 4b)(3a + 2b)
6n − 5n − 6 = (6n) − 5( 6n) − 36
10a + 3ab − 4b = (10a) + 3b (10a) − 40b
= [(6n − 9)(6n + 4)] ÷ 3⋅ 2
= [(10a + 8b)(10a − 5b)] ÷ 2 ⋅ 5
= (2n − 3)(3n + 2)
= (5a + 4b)(2a − b)
mcm (4m + 1)(4m − 1)(3n + 2)(2n − 3)
mcm (3a + 2b) (2a − b)(5a + 4b)
⇒ (16m − 1) (3n + 2)(2n − 3)
33. 2 x 3 − 12 x 2 + 18 x = 2 x x 2 − 6 x + 9 = 2 x x − 3
4
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
4
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
37. 15a x + 16a x − 15a x = a x (15x + 16 x − 15)
2
5
2
4
2
3
2
3
2
[
2
]
= a 2 x 3 (15x ) + 16 (15x ) − 225
=a x
2
3
2
18 x + 60x + 50 x = 2 x (9 x + 30 x + 25)
2
[
= (3x + 2 y )(4 x − y )
[
]
[
]
= (3x + 2 y )(5x + y )
2
[
= (4 x − y )(5x + y )
2
2
]
= (20 x − 5 y )(20 x + 4 y ) ÷ 5⋅ 4
12ax 3 + 20ax 2 = 2 2 ax 2 (3x + 5)
= 4a 2 x 3 (3x + 5) (5x − 3)
]
20 x 2 − xy − y 2 = (20 x ) − y (20 x ) − 20 y 2
2
mcm = 22 a 2 x 3 (3x + 5) (5x − 3)
2
2
= (15x + 10 y )(15x + 3 y ) ÷ 5⋅ 3
= 2 x (9 x + 15)(9 x + 15) ÷ 3⋅ 3
= 2 x (3x + 5)
]
15x + 13xy + 2 y = (15x ) + 13 y (15x ) + 30 y 2
2
= 2 x ( 9 x ) + 30 ( 9 x ) + 225
2
2
= (12 x + 8 y )(12 x − 3 y ) ÷ 4 ⋅ 3
2
[
2
2
[(15x + 25)(15x − 9) ÷ 5⋅ 3]
= a 2 x 3 (3x + 5)(5x − 3)
3
42. 12 x + 5xy − 2 y = (12 x ) + 5 y (12 x ) − 24 y
mcm
(4 x − y)(5x + y)(3x + 2 y)
(
) = a [b (a − b)] = ab (a − b)
b (a + ab) = b [a (a + b)] = a b (a + b)
a b − a b = a b (a − b ) = a b (a + b)(a − b)
a b − ab = ab (a − b)
mcm a b (a + b) (a − b)
6b 2 x 2 + 6b 2 x 3 = 2 ⋅ 3b 2 x 2 (1 + x )
43.
3a 2 x − 3a 2 x 2 = 3a 2 x (1 − x )
1 − x 4 = (1 + x 2 )(1 − x 2 ) = (1 + x 2 )(1 + x )(1 − x )
mcm 2 ⋅ 3a 2b 2 x 2 (1 + x 2 )(1 + x )(1 − x )
2
2
2
4 2
2 4
2 2
2
2
2
2
x 4 + 8x − 4 x 3 − 32 = x 3 (x − 4) + 8 ( x − 4)
48.
2
2
2 2
2
2
2 2
= ( x 3 + 8)( x − 4)
2
m3 − 27n3 = (m − 3n)(m2 + 3mn + 9n2 )
m2 − 9n2 = (m − 3n)(m + 3n)
= ( x + 2)( x 2 − 2 x + 4)(x − 4)
m2 − 6mn + 9n2 = (m − 3n)
a 2 x 4 − 2a 2 x 3 − 8a 2 x 2 = a 2 x 2 ( x 2 − 2 x − 8)
2
m2 + 3mn + 9n 2 = (m2 + 3mn + 9n 2 )
= a 2 x 2 (x − 4)( x + 2)
mcm (m − 3n) (m2 + 3mn + 9n2 )(m + 3n)
2 x 4 − 4 x 3 + 8 x 2 = 2 x 2 (x 2 − 2 x + 4)
2
mcm 2a 2 x 2 ( x + 2)(x 2 − 2 x + 4)( x − 4)
45.
2
2
⇒ 6a 2b 2 x 2 (1 + x 2 )(1 − x 2 )
44.
2 2
47. a ab − b
EJERCICIO 118
x 4 − 10 x 2 + 9 = ( x 4 − 10x 2 + 9 + 4 x 2 − 4 x 2 )
= ( x 4 − 6 x 2 + 9) − 4 x 2
1.
a2 a
=
ab b
10.
21mn3 x 6 3nx 4
=
28m4n2 x 2 4m3
= ( x − 3)( x + 1)( x + 3)( x − 1)
2.
2a
1
=
8a 2b 4ab
11.
42a 2c 3n
21n
=
26a 4 c 5m 13a 2 c 2m
= ( x + 4 x + 4) − 1
x 2y 2 1
3. 3 3 =
x y
xy
7x 3 y 4 z6
1
=
12.
34x 7 y 8z10 2x 4 y 4 z4
ax 3
a
=
4.
4x 5 y 4x 2 y
13.
30x 6 y 2
2x 2 y 2
= 3 3
3 4 3
45a x z
3a z
14.
a 5b 7
1
=
3a 8b 9c 3a 3b2 c
15.
21a 8b10 c12 a 4b 9c10
=
63a 4bc 2
3
= ( x 2 − 3) − 4 x 2
2
= ( x 2 − 2 x − 3)( x 2 + 2 x − 3)
x + 4 x + 3 = ( x 2 + 4 x + 3 + 1− 1)
2
2
= ( x + 2) − 1
2
= ( x + 2 + 1)( x + 2 − 1) = ( x + 3)( x + 1)
x 2 − 4 x + 3 = ( x 2 − 4 x + 3 + 1 − 1)
= ( x 2 − 4 x + 4) − 1
2 3
= ( x − 2) − 1
5.
2
= ( x − 2 + 1)( x − 2 − 1) = ( x − 1)( x − 3)
x 3 − 9 x + x 2 − 9 = x 2 ( x + 1) − 9 ( x + 1)
= ( x 2 − 9)( x + 1)
= ( x + 3)( x − 3)( x + 1)
(x + 3)(x − 3)(x + 1)(x − 1) ⇒ (x − 9)(x − 1)
1 − a = (1 − a )(1 + a + a )
46.
1 − a = (1 − a )
1 − a = (1 + a )(1 − a )
1 − 2a + a = (1 − a )
mcm (1 − a ) (1 + a + a )(1 + a )
2
mcm
3
2
6m n
= 2mn3
3m
9x 2 y 3
3
=
6.
24a 2 x 3 y 4 8a 2 xy
7.
2
8.
8m4n3 x 2 m3n
=
24mn2 x 2
3
12x 3y 4 z5 3x 2 y 2 z4
=
32xy 2 z
8
2
2
2
2
2
9.
12a 2b3
1
=
60a 3b5 x 6 5ab 2 x 6
54x 9 y11z13
6
=
16.
63x10 y12 z15 7xyz2
17.
a
15a12b15 c 20
=
75a11b16 c 22 5bc 2
18.
75a7m5
3a 4
=
100a 3m12n3 4m7n3
EJERCICIO 119
3ab
3ab
3b
=
1. 2a 2 x + 2a 3 = 2
2a x + a 2a x + a
(
)
(
)
15. 2ax + ay − 4bx − 2by
ax − 4a − 2bx + 8b
xy
xy
1
=
2. 3x 2 y − 3xy 2 =
3xy ( x − y) 3( x − y)
2ax + 4bx 2 x (a + 2b) 2 x
=
3. 3ay + 6by =
3 y (a + 2b) 3 y
4.
5.
16.
x 2 − 2 x − 3 ( x − 3)( x + 1)
=
= x+1
x−3
x−3
10a 2b 3c
a 2b 3c
=
=
=
80 (a 3 − a 2b) 8a 2 (a − b) 8 (a − b)
18.
7. 3x − 4 x − 15
x 2 − 5x + 6
(2 x + y)(a − 2b) = 2 x + y
(x − 4)(a − 2b) x − 4
a 2 − ab − 6b 2
a x − 6a 2bx + 9ab 2 x
(a − 3b)(a + 2b) = (a − 3b)(a + 2b) = a + 2b
ax (a − 3b)
ax (a − 3b)
ax (a 2 − 6b + 9b 2 )
2
19.
(x + y)(x − xy + y ) = x − xy + y
(x + y)
(x + y)
( x + y)
x3 + y3
2
3
2
=
2
3
2
2
(m − n) = (m − n) = m − n
m −n
(m + n)(m − n) m + n
2
2
( 3x ) 2 − 4 ( 3x ) − 45
=
1
m2 + n 2
m2 + n 2
=
= 2 2
17. m4 − n 4
2
2
2
2
(m + n )(m − n ) m − n
(x + 2)(x − 2) = x − 2
x2 − 4
6. 5ax + 10a =
5a
5a ( x + 2)
=
x (a − 2b) − 4 (a − 2b)
3
=
b 3c
2 x (a − 2b) + y (a − 2b)
2
2
2
(a − x) =
3
(a − x)
(a − x)
=
(a − x)(a + ax + x ) a + ax + x
3
2
(x − 3)(x − 2)
20.
a −x
(3x − 9)(3x + 5)] ÷ 3 (x − 3)(3x + 5) 3x + 5
[
a − a − 20 (a − 5)(a + 4) a + 4
=
=
=
(x − 3)(x − 2) x − 2 21. a − 7a + 10 = (a − 5)(a − 2) = a − 2
(x − 3)(x − 2)
15a b (n − 3m)
15a bn − 45a bm
3
=
=
(1− a ) = [(a + 1)(1− a)] = 1− a
8.
10a b n − 30a b m 10a b (n − 3m) 2b
( )
22.
a + 2a + 1
a + 1)
(
+
−
x
y
x
y
( )( ) = x − y
x −y
9. x + 2 xy + y =
a 2b 2 (a 2 − b 2 )
a 4b 2 − a 2b 4
a 2b 2
x+ y
( x + y)
=
=
23.
a 4 − b4
(a 2 + b2 )(a 2 − b2 ) a 2 + b2
3xy ( x + 5)
3x y + 15xy
3xy
=
=
10.
x − 25
(x + 5)(x − 5) x − 5
(x + y)(x − y)
x −y
x+ y
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(a − 2b)
a 2 − 4ab + 4b 2
a − 2b
=
=
11.
3
3
a − 8b
(a − 2b)(a 2 + 2ab + 4b2 ) a 2 + 2ab + 4b2
2
2
x 3 + 4 x 2 − 21x x (x + 4 x − 21) (x + 7)(x − 3) x + 7
=
=
=
12.
x3 − 9x
x ( x 2 − 9)
(x + 3)(x − 3) x + 3
2
13. 6 x + 5x − 6
15x 2 − 7 x − 2
=
( 6 x ) 2 + 5 ( 6 x ) − 36
(15x) 2 − 7 (15x ) − 30
[(6x + 9)(6x − 4)]÷ 3⋅ 2 = (2 x + 3)(3x − 2) = 2 x + 3
=
[(15x − 10)(15x + 3)]÷ 5 ⋅ 3 (3x − 2)(5x + 1) 5x + 1
1
a3 + 1
a3 + 1
a3 + 1
=
=
=
14. a 4 − a 3 + a − 1
3
3
a (a − 1) + (a − 1) (a + 1)(a − 1) a − 1
2
=
24. 3
x − y3
25.
2
8a 2b (3a + b)
4a (9a 2 + 6ab + b 2 )
2
n3 − n
26. 2
n − 5n − 6
=
27.
2
24a 3b + 8a 2b 2
36a 4 + 24a 3b + 4a 2b 2
=
n (n 2 − 1)
(n − 6)(n + 1)
8n3 + 1
8n 3 − 4n 2 + 2n
=
=
2
2
2b (3a + b)
(3a + b)
2
=
n (n + 1)(n − 1) n (n − 1)
=
(n − 6)(n + 1) n − 6
(2n + 1)(4n − 2n + 1) = 2n + 1
2n
2n (4n − 2n + 1 )
2
=
=
(x − y)(x + xy + y ) x + xy + y
2
2b
3a + b
28. a − (b − c)
(a + b)2 − c2
2
2
(a + b − c)(a − b + c) = a − b + c
(a + b − c)(a + b + c) a + b + c
29. (a + b) − (c − d )
(a + c) − (b − d )
(a + b + c − d )(a + b − c + d )
=
(a + b + c − d )(a − b + c + d )
2
2
2
2
m −n
3
(3x ) + 19 ( 3x) + 60
( 6 x) 2 + 17 (6 x ) + 72
2
=
=
=
a + b− c+ d
=
a− b+ c+ d
40.
2
(x + 5)(3x + 4) = x + 5
(3x + 4)(2 x + 3) 2 x + 3
4a − 15a − 4
a 2 − 8a − 20
=
(4a ) − 15(4a 2 ) − 16
4
2
2
41.
46.
2
x (x − 3 y )
(x − 3y )
2 2
2
=
42.
m − 27
3
mn (m2 + 3m + 9)
(m − 3)(m + 3m + 9)
2
=
x
=
x 2 − 3y 2
3
2
36. m n + 3m n + 9mn
=
=
=
x ( x + 4 xy + 16 y )
x − 3xy
=
=
a (125 + a 3 )
2a (a + 10a + 25)
2
(5 + a)(25 − 5a + a )
2 (a + 5)
2
x − 4y
mn
m− 3
2
2
x 4 − 8 x 2 + 15 ( x − 5)( x − 3) x 2 − 5
= 2
=
37.
4
x −9
(x + 3)(x 2 − 3) x 2 + 3
2
2
a 4 + 6a 2 − 7 (a + 7)(a − 1) a 2 + 7
= 2
=
38. 4
2
a + 8a − 9 (a + 9)(a 2 − 1) a 2 + 9
16a 2 x − 25x
12a 3 − 7a 2 − 10a
125a + a 4
3
2a + 20a 2 + 50a
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
35. x 4 − 6 x 2 y 2 + 9 y 4 =
3m + 8n
m2 + mn + n 2
2
(x − 4 y)
=
x ( x − 64 y )
( x − 4 y)
=
x ( x − 4 y)( x + 4 xy + 16 y )
2
2
3
2
44. 15a b − 18a b
2 2
20a b − 24ab 2
x 5 − 64 x 2 y 3
3
2
2
a − 10
2
2
2
2
2
2
2
2
( x − 4 y)
=
2
2
x 2 ( x − 6) x 2
x 3 − 6x 2
=
33. x 2 − 12 x + 36 =
(x − 6)2 x − 6
2
2
2
2
a (4a 2 − 8ab) 4a 2 (a − 2b) 4a
=
=
32.
x (3a 2 − 6ab) 3ax (a − 2b) 3x
3
( 3m) 2 + 5n ( 3m) − 24n 2
3a b (5a − 6) 3a
(a − 10)(a + 2)
=
=
4ab (5a − 6) 4b
([ 4a − 16)(4a + 1)] ÷ 4
=
(a − 10)(a + 2) 45. 9 x − 24 x + 16
9 x − 16 x
a − 4)(4a + 1)
(
=
(3x − 4)
(a − 10)(a + 2)
=
x (9 x − 16)
(a + 2)(a − 2)(4a + 1)
=
(3x − 4)
3x − 4
(a − 10)(a + 2)
=
=
x (3x + 4)(3x − 4) x (3x + 4)
(a − 2)(4a + 1)
=
10a 2 (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) 5 (a + b)
=
3
6a 2 (a 2 − ab + b 2 )
2
2
3
(m − n)(m + mn + n )
[(3m + 8n)(3m − 3n)] ÷ 3
=
(m − n)(m + mn + n )
(3m + 8n)(m − n)
=
(m − n)(m + mn + n )
=
2
2 2
10a 2 (a 3 + b 3 )
31.
6a 4 − 6a 3b + 6a 2b2
=
[(3x + 15)(3x + 4)] ÷ 3
[(6 x + 8)(6x + 9)]÷ 2 ⋅ 3
4
3x 3 + 9 x 2 3x ( x + 3) 3x 2
=
30. x 2 + 6 x + 9 =
(x + 3)2 x + 3
34.
2
2
=
=
43. 3m + 5mn − 8n
39. 3x + 19 x + 20
6 x 2 + 17 x + 12
a 2 − 5a + 25
=
=
2 (a + 5)
a 2 n2 − 36a 2
an 2 + an − 30a
=
=
2
47.
a (n + 6)(n − 6)
=
n−5
[
x (4a + 5)(4a − 5)
a (12a ) − 7 (12a ) − 120
[
2
x (4a + 5)(4a − 5)
x (4a + 5)(4a − 5)
a (4a − 5)(3a + 2)
]
=
x(4a + 5)
a (3a + 2)
x (8 x 3 − y 3 )
x (4 x 2 − 4 xy + y 2 )
2
(2 x − y)(4 x + 2 xy + y )
x (2 x − y )
2
=
]
a (12a − 15)(12a + 8) ÷ 3⋅ 4
8 x 4 − xy 3
4x − 4x3 y + x2 y2
=
(n + 6)(n − 5)
a (n − 6)
=
a (12a 2 − 7a − 10)
4
a 2 (n 2 − 36)
a (n2 + n − 30)
x (16a 2 − 25)
2
2
4 x 2 + 2 xy + y 2
x (2 x − y )
53. 4a 2 − ( x − 3)
48. 3an − 4a − 6bn + 8b
6n2 − 5n − 4
=
2
3n (a − 2b) − 4 (a − 2b)
( 6n) 2 − 5 ( 6n) − 24
(3n − 4)(a − 2b)
[(6n − 8)(6n + 3)]÷ 2 ⋅ 3
(3n − 4)(a − 2b) = a − 2b
=
(3n − 4)(2n + 1) 2n + 1
2
2
=
=
55.
x 2 (x − y) − (x − y)
(x 3 + 1)(x − y)
51. 2 x + 6 x − x − 3
x 3 + 3x 2 + x + 3
x 2 ( x + 3) + (x + 3)
(2 x − 1)(x + 3) = 2 x − 1
=
(x + 1)(x + 3) x + 1
2
2
2
2
=
am (a 2 − 4) + an (a 2 − 4)
a 2 (a 2 − 4a − 12)
a (m + n)(a 2 − 4)
a 2 (a − 6)(a + 2)
(m + n)(a + 2)(a − 2)
a (a − 6)(a + 2)
m + n)(a − 2)
(
=
a (a − 6)
=
=
=
2x2 + 1
]
x (14 x 2 ) − 3(14 x 2 ) − 70
2
2x2 + 1
=
=
x (14 x 2 − 10)(14 x 2 + 7) ÷ 2 ⋅ 7
=
1
=
x (7 x − 5)(2 x 2 + 1) x (7 x 2 − 5)
[
]
=
2x2 + 1
2
a 2 (1 − a ) − (1 − a )
=
=
57.
=
a (1 − a ) + (1 − a )
2
(a − 1)(1− a) = a − 1
(a + 1)(1− a) a + 1
2
2
2
2
=
6 xy (2 x + y ) + (8 x 3 + y 3 )
=
2
− (8 x 2 − 2 x − 3)
− (6x 2 − 5x − 4)
(8 x) 2 − 2 (8x ) − 24
(6 x) 2 − 5( 6x ) − 24
[(8x − 6)(8x + 4)] ÷ 2 ⋅ 4
[(6x − 8)(6x + 3)] ÷ 2 ⋅ 3
(4 x − 3)(2 x + 1) = 4 x − 3
(3x − 4)(2 x + 1) 3x − 4
(mn + 5)(mn − 2) = mn + 5
mn − 2
(mn − 2)
2
2
2
2
x 2 ( x + y ) − 4b 2 ( x + y)
(2b − x)
( x − 4b )(x + y)
=
(x − 2b)
( x + 2b)(x − 2b)(x + y)
=
(x − 2b)
(x + 2b)( x + y)
=
2
2
(6 x ) 2 + y ( 6 x ) − 6 y 2
2
2
6 xy (2 x + y ) + (2 x + y )(4 x − 2 xy + y )
2
[(6x + 3y)(6 x − 2 y)] ÷ 3 ⋅ 2
2
(2 x + y )(4 x + 4 xy + y ) = (2 x + y )
3x − y
(2 x + y )(3x − y )
2
(x + 3)( x − 2) = x − 2
(x − 5)(x + 3) x − 5
3
2
=
− ( x 2 − 2 x − 15)
62. x + x y − 4b x − 4b y
4b 2 − 4bx + x 2
8 x 3 + 12 x 2 y + 6 xy 2 + y 3
6 x 2 + xy − y 2
=
− ( x 2 + x − 6)
2 2
+
−
61. m n 3mn 2 10
4 − 4mn + m n 2
2
3
56. a − a − 1 + a
2
a + 1− a3 − a
3
3
52. a m − 4am + a n − 4an
a 4 − 4a 3 − 12a 2
=
6 − x − x2
15 + 2 x − x 2
4 + 5x − 6 x 2
3x (14 x 4 − 3x 2 − 5)
[
2
60. 3 + 2 x − 8 x
3(2 x 2 + 1)
2
2 x 2 ( x + 3) − ( x + 3)
4n 2 + 10n + 25
2n − 5
=
6x 2 + 3
5
42 x − 9 x 3 − 15x
=
x2 − x + 1
x−1
3
=
=
m+ n
m+ n
=
a 2 − 2a + 1 (a − 1)2
2
2
=
3
=
(x − 1)(x − y)
(x + 1)(x − x + 1)
=
(x + 1)(x − 1)
=
(2n − 5)(4n + 10n + 25)
(2n − 5)
2
x4 + x − x3 y − y
x3 − x − x2 y + y
=
=
2
2
x 3 (x − y) + (x − y )
59.
(1− a ) − 3a (1− a)
(m + n)(1− a)
=
(1− a)(1+ a + a ) − 3a (1− a)
(m + n)(1− a)
=
(1− a)(1− 2a + a )
(x + 7 x)( x − 7 x)
=
x ( x + 2 x − 63)
x ( x + 7)( x − 7) x ( x + 7)
=
=
x+9
x ( x + 9)( x − 7)
50.
m (1 − a ) + n (1 − a )
=
8n 3 − 125
25 − 20n + 4n 2
2
2a − x + 3
=
2a + x + 3
m − am + n − an
54.
1 − 3a + 3a 2 − a 3
x 4 − 49 x 2
3
x + 2 x 2 − 63x
2
58.
2
=
49.
(2a + x) − 9
(2a + x − 3)(2a − x + 3)
=
(2a + x + 3)(2a + x − 3)
2
2
x − 2b
63.
x6 + x3 − 2
4
x − x3 y − x + y
(x + 2)(x − 1)
x (x − y ) − ( x − y)
(x + 2)(x − 1) = x + 2
=
(x − 1)(x − y) x − y
64. (x − x − 2)(x − 9)
(x − 2 x − 3)(x + x − 6)
(x − 2)(x + 1)(x + 3)(x − 3) = 1
=
(x − 3)(x + 1)(x + 3)(x − 2)
3
=
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
65. (a − 4a + 4)(4a − 4a + 1)
(a 2 + a − 6)(2a 2 − 5a + 2)
2
2
2
=
2
−2
1 −2
(x − 3x)(x − 1)
(x + x + x )(x − 1)
x ( x − 3)( x − 1)( x + x + 1)
=
x ( x + x + 1)( x + 1)(x − 1)
3
3
4
3
2
2
2
= ( x + 2) ( x − 1)
2
1 −1
x 3 + x 2 − 8 x − 12
1
1 − 8 − 12
−2
2
12
1 −1 − 6
0
2
−2
2
=
(x + 2) (x − 1) = x − 1
(x + 2) (x − 3) x − 3
2
2
67.
(4n + 4n − 3)(n + 7n − 30)
(2n − 7n + 3)(4n + 12n + 9)
[(4n) + 4 (4n) − 12](n + 10)(n − 3)
=
[(2n) − 7 (2n) + 6](2n + 3)
(n + 10)(n − 3)[(4n + 6)(4n − 2)]÷ 2 ⋅ 2
=
(2n + 3) [(2n − 6)(2n − 1)]÷ 2 ⋅
(n + 10)(n − 3)(2n + 3)(2n − 1) = n + 10
=
(2n + 3) (n − 3)(2n − 1) 2n + 3
2
2
2
2
2
2
2
2
(x − y )(x + y)
(x − y )(x + x y + xy + y )
(x + y )(x − y )(x + y)
=
( x − y )[ x ( x + y ) + y ( x + y ) ]
(x + y )(x + y) = x + y
=
(x + y )(x + y) x + y
6
3
3
6
3
3
2
3
2
3
3
3
3
3
2
3
3
3
3
2
2
2
2
0
(x + 2)(x − 4 x − x + 12)
3
2
−1
12
− 3 − 12
3
1 −1
−4
3
0
(x + 2)(x − 3)(x − x − 4)
(x + 2)(x − 1)(x − x − 4) = x − 1
⇒
(x + 2)(x − 3)(x − x − 4) x − 3
2
2
2
1 −6
= ( x − 2) ( x + 3)
x 4 − 2 x 3 − 7 x 2 + 20x − 12
1 − 2 − 7 20 − 12 2
12
0
(x − 2)( x − 7 x + 6)
3
1
0
−7
6
2
2
4 −6
1 2 −3
0
= ( x − 2)( x − 2)( x 2 + 2 x − 3)
= ( x − 2) ( x + 3)( x − 1)
2
(x − 2) (x + 3)
(x − 2) (x + 3)( x − 1)
2
⇒
2
=
1
x −1
2
5
3
2
0
2 0 − 14
1 0 −7 6
72. a − a − a + 1
2
= a (a − 1) − (a 3 − 1)
2 − 12
2
2
68.
70. x − x − 8 x + 12
1 − 1 − 8 12
2
= ( x − 2)( x + 3)( x − 2)
x ( x + 1)
2 − 24
8
1 − 4 − 1 12
2
3
= ( x − 2)( x + x − 6)
x −3
x 4 − 2 x 3 − 9 x 2 + 10 x + 24
1 − 2 − 9 10 24 − 2
1 −4
2
2
0
(x + 2)(x − 1)(x − x − 4)
−2
= ( x + 2) ( x − 3)
1
2
−4
1
2
= ( x + 2)( x − 3)( x + 2)
2
2
0
−3
4
−1 − 4
1
2
66.
4
(x + 2)(x 3 − 2 x 2 − 3x + 4)
= ( x + 2)( x + 2)(x − 1)
⇒
8 −2
6 −8
4
1 −2 −3
= ( x + 2)( x 2 + x − 2)
2
0 −7 −2
1
= ( x + 2)( x 2 − x − 6)
(a − 2) (2a − 1)
(a + 3)(a − 2)[(2a ) − 5(2a) + 4]
(a − 2)(2a − 1)
=
+
a
3
( )[(2a − 4)(2a − 1)] ÷ 2
(a − 2)(2a − 1) = 2a − 1
=
(a + 3)(a − 2)(2a − 1) a + 3
2
71. x 4 − 7 x 2 − 2 x + 8
3
2
69. x + 3x − 4
1 3 0 −4 −2
−2 −2 4
1 1 −2 0
3
= (a 2 − 1)(a 3 − 1)
= (a − 1) (a + 1)(a 2 + a + 1)
2
a − 2 a − 6a 3 + 8a 2 + 5a − 6
1 −2 −6 8 5 −6 1
1 −1 − 7 1
6
1 −1 − 7 1 6 0
5
4
(a − 1)(a − a − 7a + a + 6)
4
3
2
1 −1 −7 1 6
1 0 −7 −6
1 0 −7 −6 0
1
(a − 1) (a − 7a − 6)
2
3
0 −7 −6
−1 1 6
1 −1 −6 0
1
−1
(a − 1) (a + 1)(a − a − 6)
= (a − 1) (a + 1)(a − 3)(a + 2)
(a − 1) (a + 1)(a + a + 1)
⇒
(a − 1) (a + 1)(a − 3)(a + 2)
2
2
2
2
2
=
a2 + a + 1
(a − 3)(a + 2)
2
(x − 3) = x − 3
9 − 6x + x 2
=
11. 2
x − 7 x + 12 ( x − 4)(x − 3) x − 4
EJERCICIO 120
2
4 ( x − 1)
4 − 4 x 4(1 − x )
2
=−
=−
1. 6 x − 6 =
3
6 ( x − 1)
6 ( x − 1)
2.
a 2 − b2
12. b 3 − a 3
(a − b ) = − 1
a 2 − b2
2
2 =−
b −a
(a 2 − b2 )
2
2
(m + n)(m − n) = (m + n)(m − n) = m + n
=
3.
(n − m) (n − m)(n − m) (m − n)(m − n) m − n
(x − 4)(x + 3) = − x + 3
x − x − 12 ( x − 4)( x + 3)
=−
4. 16 − x =
(4 − x)(4 + x) (x − 4)(4 + x) 4 + x
(a + b)(a − b)
(b − a)(b + ab + a )
(a + b)(a − b) = − a + b
=−
(a − b)(b + ab + a ) b + ab + a
=
m2 − n 2
2
2
=
13.
3 ( y − 2 x)
=
3 (2 x − y)
2 (b − a ) − x (b − a )
3 ( x − 2)(a − b)
(2 − x)(b − a)
2x − 9x − 5
10 + 3x − x 2
=
(2 x − 10)(2 x + 1) = − (x − 5)(2 x + 1) = − 2 x + 1
=−
(x − 5)( x + 2)
( x − 5)(x + 2) x + 2
=
2
x 2 − 3x − 10
8 − a3
7. 2
a + 2a − 8
=3
(a + x)(a − x)
(a + x)(a − x) = (a + x)(a − x) = a + x
(x − 3)(x − a) (3 − x)(a − x) 3 − x
2
=
2
a2 + a − 2
8. n − an − m + am
2
2
(a + 2)(a − 1) = (a + 2)(a − 1) = (a + 2)(a − 1) = a + 2
n (1 − a) − m (1 − a ) (n − m)(1 − a ) (m − n)(a − 1) m − n
(2 x − y) = − 2 x − y
4 x 2 − 4 xy + y 2 (2 x − y )
=
=−
5 y − 10 x
5
5(y − 2 x)
5 (2 x − y )
2
3
3
2
2
17.
2 x 3 − 2 x 2 y − 2 xy 2
3 y 3 + 3xy 2 − 3x 2 y
=
3m ( x − y) − n ( x − y)
− 3m ( y 2 − x 2 ) + n ( y 2 − x 2 )
(3m − n)(x − y) = (3m − n)(x − y) = x − y = 1
=
(n − 3m)( y − x ) (3m − n)(x − y ) (x + y)(x − y) x + y
2
2
(1 − a) = − (1 − a ) = − 1 − a
( )
16.
a −1
(1 − a)
3mx − nx − 3my + ny
10. ny 2 − nx 2 − 3my 2 + 3mx 2
2
3bx − 6 x
8 − b3
3x (b − 2)
(2 − b)(4 + 2b + b )
3x (b − 2)
3x
=−
=−
(b − 2)(4 + 2b + b ) 4 + 2b + b
(2 − a)(4 + 2a + a ) = − (a − 2)(4 + 2a + a ) = − a + 2a + 4
a+4
(a + 4)(a − 2)
(a + 4)(a − 2)
=
(x − 2)(a − b)
x (x − a ) − 3( x − a)
15.
2
9.
3 ( x − 2)(a − b)
2
[(2 x) − 9(2 x) − 10]
=−
=
=
a2 − x2
14. x − ax − 3x + 3a
2
=
2
3x (a − b) − 6 (a − b)
3
=
=−
=−
(2 x − y)(m − n) (2 x − y)(m − n) m − n
6.
2
2
3ax − 3bx − 6a + 6b
2b − 2a − bx + ax
=
3( y − 2 x )
2 x (m − n) − y (m − n)
2
2
2
3y − 6 x
5. 2mx − my − 2nx + ny
2
2
2
2 x ( x 2 − xy − y 2 )
3y ( y + xy − x 2 )
2
=−
2 x ( x 2 − xy − y 2 )
3 y ( x − xy − y 2 )
2
(a − b) = (a − b) = a − b
18.
(b − a) (a − b)
3
3
2
2
=−
2x
3y
2 x 2 − 22 x + 60
19.
75 − 3x 2
25.
[(2 x) − 22 (2 x) + 120]
=
=
(2 x − 12)(2 x − 10)
=
3 (5 − x)(5 + x)
2 x − 12)( x − 5) 2 (6 − x)(5 − x) 2 (6 − x )
(
=
=
=
3(5 − x )(5 + x ) 3(5 − x)(5 + x) 3( x + 5)
=
2
3(25 − x 2 )
=
2 2
3n2 (2a − b2 )
(b − 2a)
2
2
y 2 (2 x + 1) − x 2 (2 x + 1)
(2 x + 1)(x − y ) = − (x − y ) = − 1
(2 x + 1)( y − x ) (x − y )
2
2
2
2
2
2
2
2
30 x 2 y − 45xy 2 − 20 x 3
8 x 3 + 27 y 3
5x (6 xy − 9 y 2 − 4 x 2 )
(2 x + 3y)(4 x − 6xy + 9 y )
5x (4 x − 6 xy + 9 y )
5x
=−
=−
(2 x + 3y)(4 x − 6xy + 9 y ) 2 x + 3y
2
2
2
=
3n2 (2a − b 2 )
(2a − b )(2a − b )
2
2
=
3n 2
2a − b 2
2
2
2
n + 1 − n3 − n2
27. 3
n − n − 2n2 + 2
(x − y ) − z
21. ( y + z) − x
(x − y − z)(x − y + z)
=
( y + z − x)( y + z + x)
(z + y − x)( y − x − z) = y − x − z
=
(z + y − x)( y + z + x) x + y + z
2
26.
2 x (x 2 − y 2 ) + (x 2 − y 2 )
=
6an − 3b n
b 4 − 4ab2 + 4a 2
2
20.
2 x 3 − 2 xy 2 + x 2 − y 2
2 xy 2 + y 2 − 2 x 3 − x 2
2
(n + 1) − n (n + 1)
n (n − 1) − 2 (n − 1)
(1− n )(n + 1) = (1− n )(n + 1) = n + 1
=
(n − 2)(n − 1) (2 − n)(1− n ) 2 − n
2
2
=
2
2
2
2
2
2
(x − 2) (x + x − 12)
28.
(2 − x)(3 − x)
(2 − x) ( x + 4)(x − 3)
=
(2 − x)(3 − x)
x − 2)( x + 4)(3 − x ) ( x − 2)( x + 4)
(
=
=
3− x
(3 − x)
2
2
2
3a 2 − 3ab
22. bd − ad − bc + ac
=
=
2
3a (a − b)
2
d (b − a ) − c (b − a )
3a (a − b)
=
3a (a − b )
(d − c)(b − a) (c − d )(a − b)
=
3a
c− d
2
5x 3 − 15x 2 y
29. 90 x 3 y 2 − 10 x 5
(x − 5)
3
23. 125 − x 3
( x − 5)
(5 − x)(25 + 5x + x )
(x − 5)
(x − 5)
=−
=−
(x − 5)(x + 5x + 25) x + 5x + 25
10 x 3 (9 y 2 − x 2 )
=
2 x (3y − x)(3 y + x)
3
=
2
3
2
2
2
(6x 2 − 13x + 6) = − 1
13x − 6 − 6 x 2
=−
24.
2
6 x − 13x + 6
6x 2 − 13x + 6
5x 2 ( x − 3y )
=
( x − 3y )
=−
x − 3y
=
−1
2 x ( x − 3 y)(3 y + x) 2 x (3 y + x)
(x − 1)(x − 8x + 16)
30.
(x − 4 x)(1− x )
(x + 1)(x − 1)(x − 4)(x − 4) = (1− x)(4 − x) = 4 − x
=
x
x ( x − 4)(1+ x)(1− x)
x (1 − x)
2
2
2
2
EJERCICIO 121
1.
a 4 − a 3 x + a 2 x 2 − ax 3
a 4 − a 3 x − 2a 2 x 2 + 2ax 3
Factor común a
a 3 − a 2 x + ax 2 − x 3
a 3 − a 2 x − 2ax 2 + 2 x 3
2ax 4 − ax 3 − ax 2 − 2ax + 2a ( 3)
3ax 4 − 4ax 3 + ax 2 + 3ax − 3a (2)
6 x 4 − 8 x 3 + 2 x 2 + 6 x − 6 (5)
6 x 4 − 3x 3 − 3x 2 − 6 x + 6
− 6x + 8x − 2 x − 6x + 6
1
3ax 2 − 3x 3 ÷ 3x 2
5x − 5x − 12 x + 12
( 6)
a − a x − 2ax + 2 x
2
2
3
4
2
3
2
30 x − 40 x + 10 x + 30 x − 30 30 x 3 − 30 x 2 − 72 x + 72 (÷ 6)
a2 − 2x2
− 30 x 4 + 30 x 3 + 72 x 2 − 72 x
4
− 2ax 2 + 2 x 3
mcd = a (a − x)
+ 2ax − 2 x
= a − ax
2
3
a− x
− a3 + a2 x
3
2
3
2
x
5x 3 − 41x 2 + 21x + 15 (12)
5x − 5x 2 − 12 x + 12
a 2 − ax
− 5x 3 + 41x 2 − 21x − 15
1
−a +a x
a +x
36 x − 33x − 3
(÷ 3)
3
2
2
2
a 2 x 2 − ax 3
− a 2 x 2 + ax 3
a − a x − 2a x + 2ax
4
3
2
2
+ 2a x − 2ax
− x − 3x − 6x − 3x − 5
2
x 4 + 3x 3 + 6x 2 + 3x + 5
1
2
− x 4 − 3x 3 − 5x 2
x−1
x−1
− x +1
1
x + 3x + 5
2
⇒ 2ax − ax − ax − 2ax + 2a
ax − a
− 2ax 4 + 2ax 3
2x 3 + x 2 − 2
− x − 3x − 5
− ax 3 + ax 2
− 2ax + 2a
+ 2ax − 2a
mcd x + 3x + 5
2
1
x + 3x + 5
− x 4 − 3x 3 − 5x 2
x2 − 1
3
2
2
− x 2 − 3x − 5
3ax 4 − 4ax 3 + ax 2 + 3ax − 3a
ax − a
− 3ax 4 + 3ax 3
3x 3 − x 2 + 3
− ax 3 + ax 2
x 2 + 3x + 5
x 4 + 3x 3 + 6x 2 + 3x + 5
− x 4 − 3x 3 − 5x 2
x 2 + 3x + 5
− x 2 − 3x − 5
x2 − 1
x2 + 1
2
ax 3 − ax 2
x2
⇒ x + 3x + 4x − 3x − 5
=
3
x 2 + 3x + 5
2
4
mcd = a (x − 1)
= ax − a
4
x 2 + 3x + 5
x 2 + 3x + 5
437 x
180 x − 180 (÷ 180)
x + 3x + 6x + 3x + 5
3
x−1
− 437 x 2 + 437 x
− 2x 2 − 6x − 10 ÷ − 2
4
Rta.
(÷ − 1. 723)
− 1723x + 1723
437 x 2 − 257 x − 180
x 4 + 3x 3 + 4x 2 − 3x − 5
2. x 4 + 3x 3 + 6x 2 + 3x + 5
3
5. 244 x 2 − 3. 084 x − 2 .160 ( ÷ 12)
− 5. 244 x 2 + 3. 084 x + 2 .160 1
3
2
x 4 + 3x 3 + 4 x 2 − 3x − 5
(− 12)
− 437 x + 257 x + 180
a +x
= 2
Rta.
a − 2x2
4
5x
5 . 244 x 2 − 4 .807 x − 437
− 2a 2 x 2 + 2ax 3
2
− 60 x 3 + 55x 2 + 5x
2
a2 − 2x2
2
12 x 2 − 11x − 1 ( 437)
2
− a4 + a3x
2
60 x 3 − 492 x 2 + 252 x + 180
a − ax
3
( ÷ − 2)
− 10 x 3 + 82 x 2 − 42 x − 30
3
a 4 − a 3 x + a 2 x 2 − ax 3
4
Factor común a
1
− a 3 + a 2 x + 2ax 2 − 2 x 3
3
3.
+ ax 3 − ax 2
x 2 + 3x + 5
3ax − 3a
− 3ax + 3a
x2 + 1
=
2x 3 + x 2 − 2
Rta.
3x 3 − x 2 + 3
6 x 3 − 13x 2 + 18 x − 8 (10)
4. 10 x 3 − 9 x 2 + 11x + 12 ( 6)
Continuación
60 x 3 − 54 x 2 + 66 x + 72 (÷ 6)
60 x 3 − 130 x 2 + 180 x − 80
− 60 x 3 + 54 x 2 − 66 x − 72
− 76 x 2 + 114 x − 152
(÷ − 38)
+ x3y − x2y 2
− 10 x + 15x − 20 x
5x
6 x 2 − 9 x + 12
2 x − 3x + 4
x 2 y 2 − xy 3
− x 2 y 2 + xy 3
(÷ 3)
2x 4 − 5x 3 y + 4x 2 y 2 − xy 3
2 x − 3x + 4
2
2
− 2 x 2 + 3x − 4
− 2x + 2x y
4
mcd = 2 x 2 − 3x + 4
1
6 x 3 − 13x 2 + 18 x − 8
+ 3x 3 y − 3x 2 y 2
x 2 y 2 − xy 3
3x − 2
− x 2 y 2 + xy 3
− 4 x 2 + 6x − 8
+ 4 x 2 − 6x + 8
=
10 x 3 − 9 x 2 + 11x + 12
2 x 2 − 3x + 4
− 10 x + 15x − 20 x
5x + 3
3
2
6.
5.
3x − 2
5x + 3
x 2 − xy + y 2
2x 2 − 3xy + y 2
2a 5 − a 4 + 2a 3 + 2a 2 + 3 ( 3)
3a 5 − a 4 + 3a 3 + 4a 2 + 5 (2)
6 x − 9 x + 12
6a 5 − 3a 4 + 6a 3 + 6a 2 + 9
− 6 x 2 + 9 x − 12
− 6a 5 + 2a 4 − 6a 3 − 8a 2 − 10
2
=
− a
Rta.
3a − a + 3a + 4a
x 4 − 2 x 3 y + 2 x 2 y 2 − xy 3 (2)
2 x 4 − 5x 3 y + 4 x 2 y 2 − xy 3
Factor común x
− 2 x 3 + 5x 2 y − 4 xy 2 + y 3
2 x 3 − 5x 2 y + 4 xy 2 − y 3
− 2x3
1
(÷ y)
− y3
x 2 − y 2 (5)
+ 2 xy 2
2x
− 5x 2 y + 6 xy 2 − y 3
− 5y 2
5x 2
6 xy − 6 y
5x 2 − 6 xy + y 2
− 5x 2 + 5xy
− xy + y
x− y
x− y
− x+ y
1
(÷ − y)
5x 2 − 6 xy + y 2
− 5x 2 + 6 xy − y 2
1
5x
2
Continúa
3a
2
+1
− a 4 − 3a 3 + 4a 2 − 3a + 5
− 3a + 6a − 3a + 6
3
2
a 4 + 3a 3 − 4a 2 + 3a − 5
1
(÷ − 3)
a 4 + 3a 3 − 4a 2 + 3a − 5
a 3 − 2a 2 + a − 2
− a 4 + 2a 3 − a 2 + 2a
a
5a − 5a + 5a − 5
2
3
a 3 − 2a 2 + a − 2
1
−1
(÷ − 1)
a2 + 1
2
−a
a2 + 1
− a2 − 1
a
−1
2
(÷ 5)
a3 − a2 + a − 1
a3 − a2 + a − 1
−a
mcd x ( x − y ) = x 2 − xy
a 4 + 2a 2 + 1
− 3a
3
+ 2a 2
− a3
(÷ − y)
+5
− a − 3a + 4a − 3a + 5 (− 1)
a4
− a
x− y
(÷ − 1)
2
− 6a 3
− a3 + a2 − a + 1
(÷ 6 y)
2
− 3a 5
3
4
2 x 3 − 4 x 2 y + 4 xy 2 − 2 y 3 2 x 3 − 5x 2 y + 4 xy 2 − y 3
1
2
4
Rta.
6a 5 − 2a 4 + 6a 3 + 8a 2 + 10 (÷ 2)
− 2a − 1
4
5
x2 y
x 2 − xy
2x 2 − 3xy + y 2
3
− 3x 3 y + 4x 2 y 2
2 x 2 − 3x + 4
− 6 x 3 + 9 x 2 − 12 x
x 2 − xy
x 2 − xy + y 2
3
− x 3 y + 2x 2 y 2 − xy 3
2 x 2 − 3x + 4
2
−x + x y
4
1
10 x 3 − 9 x 2 + 11x + 12
3
x 4 − 2x 3y + 2x 2 y 2 − xy 3
5.
(÷ − 1)
a2 + 1
1
mcd = a 2 + 1
Continúa
Continuación
Continuación
6. ⇒ 2a 5 − a 4 + 2a 3 + 2a 2 + 3
− 2a 5
a2 +1
− 2a 3
−a
+ 2a + 3
4
2
+ a4
1− 2x − x 2 − 2x 3 + x 4
1+ x + x 2
− 1− x − x
1− 3x + x 2
7.
2a 3 − a 2 + 3
− 3x − 2x 2 − 2x 3 + x 4
+ a2
+ 3x + 3x 2 + 3x 3
3a 2 + 3
x 2 + x 3 + x4
− 3a 2 − 3
− x2 − x3 − x4
3a 5 − a 4 + 3a 3 + 4a 2 + 5
− 3a
− 3a
5
−a
=
a2 + 1
3a − a + 5
3
3
2
3
2
+ a4
7.
1− x
1− 2 x − x − 2 x + x
4
2
1− 2 x − x − 2 x + x
2
4
3
+ mn2 + n3
3m + 3m n + mn + n 2
3
1+ x + x
4
2m2 − n 2
− mn 2 − n 3
1
− 1− x − x 2
2
( 3)
3m2 + n
− 3m − 3m n
3
2
mn + n 2
(÷ − x)
− mn − n 2
3+ 2x + 2x − x
2
2
− 3− 2x − 2x2 + x3
3+ 2x + 2x − x
2
3
(÷ x )
1+ x + x
3
− 3 − 3x − 3x 2
9.
2
1+ x + x 2
1+ x + x 2
− 1− x − x 2
1
−x +x
1+ x + x
− 2a 2
+ 30 6a 5 + 3a 4 − 4a 3 − 2a 2 + 10a + 5
+ 2a − 10a − 5a
4
3
2
4
a
− 26a 2
+ 2a 3
− 18a
3
4
3a 4 − 2a 2 + 5
− 3a + 2a − 5
4
− x 2 − x3 − x 4
Continúa
+ 65
3a 5 − 18a 4 − 2a 3 + 12a 2 + 5a − 30
− 3a 5
x 2 + x3 + x 4
2
(÷ − 1)
3a 5 − 18a 4 − 2a 3 + 12a 2 + 5a − 30
− 6a 5 + 36a 4 + 4a 3 − 24a 2 − 10a + 60 2
39a 4
2
3
6a 5 + 3a 4 − 4a 3 − 2a 2 + 10a + 5
2
− 2x − x 2 − x 3 + x 4
+ 2 x + 2x + 2x
Rta.
− 3a + 18a + 2a − 12a − 5a + 30
1− 2x + x
2
5
5
mcd = 1 + x + x 2
4
+ 14a 4
− 6a − 3a + 4a
6
(÷ − x)
− x − x2 − x3
2m2 − n 2
3m2 + n
6a 5 + 3a 4 − 4a 3 − 2a 2 + 10a + 5
( 2)
3a 6 + 7a 4 − a 2 + 15
6a 6
3
3
=
1
x + x2 + x3
m+ n
2
1
− 3x − 2 x 2 − 2 x 3 + x 4
2
3
(÷ x)
x + x2 + x 3
= (m + n)(3m2 + n)
mcd = m + n
− 2m3 − 2m2 n
− x +x
3 + 3x + 3x
3
2m3 + 2m2 n − mn 2 − n 3 m + n
− 1+ 2 x + x 2 + 2 x 3 − x4
− 1− x − x
2
= m (3m2 + n) + n (3m2 + n)
Rta.
3
⇒ 1− x
2
3m3 + 3m2 n + mn + n 2
− 5a 2 − 5
2a 3 − a 2 + 3
3a 3 − a 2 + 5
Rta.
= m (2m2 − n 2 ) + n (2m2 − n 2 ) = (m + n)(2m2 − n 2 )
+ a2
5a 2 + 5
=
1− 2x + x 2
1− 3x + x 2
8. 2m + 2m n − mn − n
+ 4a + 5
4
2
2
− 5a
+ 12a 2
− 30
(÷ 13)
3a 4 − 2a 2 + 5
a
(÷ − 6)
3a 4 − 2a 2 + 5
1
mcd = 3a 4 − 2a 2 + 5
Continúa
Continuación
6a 5 + 3a 4 − 4a 3 − 2a 2 + 10a + 5
9.
− 6a
+ 4a
5
3a 4 − 2a 2 + 5
− 10a
3
3a 6 + 7a 4 − a 2 + 15
2a + 1
− 3a + 2a − 5a
6
4
3a 4 − 2a 2 + 5
a2 + 3
2
3a 4
− 2a 2
+5
9a 4 − 6a 2 + 15
− 3a 4
+ 2a 2
−5
− 9a 4 + 6a 2 − 15
2a + 1
a2 + 3
Rta.
5x 3 + 1
3x 3 − 1
Rta.
=
5x 6 − 10x 4 + 21x 3 − 2 x + 4 (3)
(5)
10. 3x 6 − 6 x 4 + 11x 3 + 2 x − 4
15x 6 − 30x 4 + 63x 3 − 6x + 12 15x 6 − 30x 4 + 55x 3 + 10x − 20 (÷ 5)
− 15x 6 + 30x 4 − 55x 3 − 10 x + 20 1
(÷ 8)
8x 3 − 16x + 32
3x − 6x + 11x + 2 x − 4
x3 − 2x + 4
− 3x 6 + 6x 4 − 12 x 3
3x 3
6
4
3
(÷ − 1)
− x3 + 2 x − 4
x − 2x + 4
3
− x3 + 2x − 4
x3 − 2 x + 4
mcd = x 3 − 2 x + 4
1
5x 6 − 10x 4 + 21x 3 − 2 x + 4
x3 − 2x + 4
3x 6 − 6x 4 + 11x 3 + 2 x − 4
x3 − 2x + 4
− 5x + 10x − 20x
5x + 1
− 3x + 6 x − 12 x
3x 3 − 1
6
4
3
3
6
4
3
x3 − 2x + 4
− x3 + 2 x − 4
− x3 + 2x − 4
+ x3 − 2x + 4
=
11. n − 3n − n + 3n + 7n − 21n
6
5
4
3
2
= n5 (n − 3) − n3 (n − 3) + 7n (n − 3) = (n − 3)(n5 − n 3 + 7n)
n6 + 2n5 − n4 − 2n3 + 7n2 + 14n
= n5 (n + 2) − n3 (n + 2) + 7n (n + 2) = (n + 2)(n5 − n3 + 7n)
n6 − 3n5 − n4 + 3n3 + 7n2 − 21n
n5 − n 3 + 7n
n6 + 2n5 − n4 − 2n3 + 7n 2 + 14n
− n6
n− 3
− n6
+ n4
− 3n
12.
− 7n2
5
+ 3n
3
+ 3n5
− 3n3
2n
− 2n
+ 14n
+ 21n
− 2 n5
+ 2n3
− 14n
− 2a − 3a + 12a − 21a + 8
4
3
2
2a + 4a − 10a + 20a + 8a − 20a + 32
4
3
− 2a − 3a + 12a − 21a + 8a
6
5
4
n+ 2
− 21n
3
− a 7 − 2a 6 + 5a 5 − 10a 4 − 4a 3 + 10a 2 − 16a
5
− 7n2
5
a 7 + 2a 6 − 5a 5 + 8a 4 + a 3 + 2a 2 − 5a + 8
6
+ n4
3
2
2
n5 − n3 + 7n
a 6 + 2a 5 − 5a 4 + 10a 3 + 4a 2 − 10a + 16 ( 2)
a
(÷ − 1)
2a 4 + 3a 3 − 12a 2 + 21a − 8 (a )
a2
a 5 + 2a 4 − a 3 + 16a 2 − 20a + 32
2a + 3a 4 − 12a 3 + 21a 2 − 8a
5
− 2a 5 − 4a 4 + 2a 3 − 32a 2 + 40a − 64
− a − 10a − 11a + 32a − 64
4
3
2
a 5 + 2a 4 − a 3 + 16a 2 − 20a + 32
2
(− 1)
Continúa
=
n− 3
Rta.
n+ 2
Continuación
5
4
12. a + 2a −
a 4 + 10a 3 + 11a 2 − 32a + 64 ( 2)
a 3 + 16a 2 − 20a + 32
− a 5 − 10a 4 − 11a 3 + 32a 2 − 64a
a
− 8a − 12a + 48a − 84a + 32
4
3
2
2a 4 + 20a 3 + 22a 2 − 64a + 128
− 2a 4 − 3a 3 + 12a 2 − 21a + 8
1
(÷ 17)
17a + 34a − 85a + 136
3
2
2a 4 + 3a 3 − 12a 2 + 21a − 8
− 2a 4 − 4a 3 + 10a 2 − 16a
− a − 2a
3
2
a + 2a − 5a + 8
3
(÷ − 4)
2a 4 + 3a 3 − 12a 2 + 21a − 8
a 3 + 2a 2 − 5a + 8
2a
+ 5a − 8
(− 1)
a + 2a − 5a + 8
2
3
− a 3 − 2a 2 + 5a − 8
2
mcd = a 3 + 2a 2 − 5a + 8
1
a 7 + 2a 6 − 5a 5 + 8a 4 + a 3 + 2a 2 − 5a + 8 a 3 + 2a 2 − 5a + 8
− a 7 − 2a 6 + 5a 5 − 8a 4
a 6 + 2a 5 − 5a 4 + 10a 3 + 4a 2 − 10a + 16 a 3 + 2a 2 − 5a + 8
4
a4 + 1
− a 6 − 2a 5 + 5a − 8a 3
a3 + 2
a + 2a − 5a + 8
2a
− a 3 − 2a 2 + 5a − 8
− 2a 3 − 4a 2 + 10a − 16
3
2
=
a4 + 1
a3 + 2
3
+ 4a − 10a + 16
2
Rta
EJERCICIO 122
5x 2x + y
10x 2 + 5xy
⋅
= 2
15.
2x + y 2x + y 4x + 4xy + y 2
a 2 2a
2a 3
⋅
= 2
8.
a + 2 2a 2a + 4a
3 2a 6a
⋅
=
2a 2a 4a 2
5 4a
20a
⋅
=
2.
9x 2 4a 36ax 2
m 2a 2am
⋅
=
3.
ab 2 2a 2a 2b 2
1.
x+3 x−3
x2 − 9
⋅
= 2
16.
x + 1 x − 3 x − 2x − 3
3a a + b
3a 2 + 3ab
⋅
= 2
9.
a + b a + b a + 2ab + b2
2 a 2 − a + 1 2a 2 − 2a + 2
=
⋅
17.
a + 1 a2 − a + 1
a3 + 1
x − 4 x + 2 x 2 − 2x − 8
⋅
=
10.
x + 3 x + 2 x 2 + 5x + 6
3x 3xy 2 9x 2 y 2
⋅
=
4.
8y 3xy 2 24xy 3
2a a 2
2a 3
⋅ 2= 2
11.
x+a a
a x + a3
4m n 4mn
⋅ =
5n2 n 5n3
2x + 7 3 6x + 21
⋅ =
6.
5
3
15
x − y 2 2x − 2y
⋅ =
12.
6 2
12
5 x a + b 5ax + 5bx
13. a − b ⋅ a + b = a 2 − b 2
2x x
2x 2
⋅ = 2
7.
x −1 x x − x
14.
5.
18.
x −1 x +1
x2 −1
⋅
= 2
19.
x + 1 x + 1 x + 2x + 1
20.
6a 3 − 10a 2
2a
6a 3 10a 2
=
−
2a
2a
2
= 3a − 5a
a + b 9ab 9a 2b + 9ab 2
⋅
=
7a 2 9ab
63a 3b
x +1 x − 2
x2 − x − 2
⋅
= 2
21.
x + 5 x − 2 x + 3x − 10
x − 5 3x 3x 2 − 15x
⋅
=
a 3x
3ax
EJERCICIO 123
1.
x − 2y 3xy 3x 2y − 6xy 2
⋅
=
3x 3xy
9x 2 y
4.
2. 9x y − 6x y + 3xy
3xy
3
2 2
3
9x 3 y 6x 2 y 2 3xy 3
=
−
+
3xy
3xy
3xy
= 3x 2 − 2xy + y 2
3.
x +3
2
x
− x2
x
3
3
=x+
x
10a 2 + 15a − 2
5a
− 10a 2
2a + 3
15a − 2
− 15a
−2
2
= 2a + 3 −
5a
9x 3 − 6x 2 + 3x − 5
3x
− 9x
3x − 2x + 1
5.
3
2
11.
2x 3 − 7 x 2 + 6x − 8 2x 2 − x + 1
− 2x 3 + x 2 − x
− 6x 2
− 6x + 5 x − 8
+ 6x 2
6 x 2 − 3x + 3
3x
2x − 5
2x − 5
=x−3+ 2
2x − x + 1
− 3x
−5
5
= 3x − 2x + 1−
3x
2
x 2 − 5 x − 16
x+2
− x 2 − 2x
x−7
6.
12.
2a 4 − 3a 3 + a 2
a2 − a + 1
− 2a + 2a − 2a
2a 2 − a − 2
4
3
a 3 − a2 + a
− 2a 2 + a
−2
2
=x−7−
x+2
2a 2 − 2a + 2
12x 2 − 6x − 2
− a +2
a−2
= 2a − a − 2 − 2
a − a +1
4x − 1
− 12x + 3x
2
2
3x
− 3x − 2
− 3x − 2
3x + 2
= 3x +
= 3x −
4x − 1
4x − 1
a
8.
+ 3b
3
13.
− x + 2x
4
− 3x − 4
3x + 4
=x −2− 2
x −2
2
4ab 2 + 3b 3
− 4ab 2 − 8b 3
14.
− 5b 3
5b 3
a + 2b
= x − 1+
10.
5n
− 3n − 10n + 3
x −1
15.
4x 2 + 5x + 6
8x 4
− 8x 4 − 10x 3 − 12x 2
−3
− 3x − 2
− 3x − 2
x2 − 3
− 10n + 15n − 5n
3n2 + 10n − 3
= 5n −
2n2 − 3n + 1
− x 2 − 3x + 1
x2
2n2 − 3n + 1
2
2
2
+ 3x
10n3 − 18n2 − 5n + 3
3
9. x − x − 6x + 1 x − 3
2
−4
2x 2
2a 2b + 4ab 2
= a 2 − 2ab + 4b 2 −
= x − 1−
= 2x 2 −
x2 − 3
3x − 2 y
− 3x 3 + 2x 2 y
x 2 + 2 xy + 2y 2
16.
10x 3 + 12x 2
4x 2 + 5x + 6
6m5 + 3m4n
− 6m
6 x 2 y + 2 xy 2
3m3 − mn2 + n3
+ 2m n − 2m n
5
3 2
2 3
2m2 + mn
3m4n + 2m3n2 − 2m2n3
− 6x 2 y + 4 xy 2
6xy 2 − 6y 3
− 3m4n
− 6 xy 2 + 4 y 3
− 2y
+ m2n3 − mn4
2m3n2 − m2n3 − mn4
3
2y 3
= x + 2xy + 2y −
3x − 2 y
2
2x 2
− 10x 3 − 12x 2
3x + 2
3 x 3 + 4 x 2 y + 2xy 2 − 6y 3
2
x2 − 2
x2 − 2
2
− 2 x 2 − 3x
a 2 − 2ab + 4b 2
− 2a 2b
− x3
x 4 − 4 x 2 − 3x
a + 2b
3
− a 3 − 2a 2b
3
2
− a3 − a2
− 7 x − 16
+ 7 x + 14
7.
x−3
2
= 2m2 + mn +
2m3n2 − m2n3 − mn4
3m3 − mn2 + n3
EJERCICIO 124
4a
a+2
1. a +
=
a (a + 2) + 4a
a+ 2
=
2
9. x − 3x −
2
2. m − n −
2
m
2
2
m
=
x − x − 6x − x + 6x
x+2
2
=
x + 3x − 10 − 3 x + 3x − 13
=
x−2
x−2
a (a + b) + ab
a+b
a 2 + ab + ab a 2 + 2ab
=
=
a+b
a+b
=
2x2 − 2 y2
x− y
=
a
a− x
2x
a− x−a− x
=−
=
a− x
a− x
11.
x 3 − 10 x 2 + 4 x
x−2
16.
=
2a 3 + 5a 2b + 2ab 2
2a − b
=
x3 + 2
− ( x + 1)
x − x+1
2
(x + 2) + (x − x + 1)(− x − 1)
5ax − 6x 2
a + 2x
=
a + 2x
=
2a + x − (a + x )
a+ x
2a 2 + ax − 6 x 2 − 5ax + 6 x 2
=
a + 2x
=
2a + x − a − x
a
=
a+ x
a+ x
=
x − x+1
x + 2− x −1
1
= 2
x2 − x + 1
x − x+1
17. x + 3 −
(2a − 3x)(a + 2 x) − (5ax − 6x )
2
2
3
m− n
2a 2 − 4ax
a + 2x
2
3
m2 − 3mn + 2n 2 + 3mn m2 + 2n 2
=
=
m− n
m− n
3
2a + 5a b − 5ab 2 + b 3 + 7ab 2 − b 3
2a − b
=
(m − n)(m − 2n) + 3mn
2
=
2
2a + x
7.
−1
a+ x
2
2a − b
3
2 ( x + y)( x − y )
x− y
7ab 2 − b 3
2a − b
(a + 3ab − b )(2a − b) + 7ab − b
2
2 (x 2 − y 2 )
x− y
12. 2a − 3x −
=
=
3mn
+ m − 2n
m− n
=
x − 7 x + 10 x − 3x 2 − 6 x
x−2
15. a 2 + 3ab − b 2 +
= 2 x + 2 y = 2 (x + y)
=
=
2
2
x− y
x2 − y2 + x2 − y2
x− y
2
(a − x) − (a + x)
(x + y)(x − y) + x − y
=
=
5. 1 − a + a − 3
a+ x
6. 1 −
a− x
x2 − y2
x− y
2
=
ab
4. a + a + b
x−2
3
2
2
10. x + y +
2
a (a − 3) + 1 − a 2
a
a 2 − 3a + 1 − a 2
3a − 1
=
=−
a
a
2
x ( x − 2)
x − 2x
=
x+2
x+2
3
x−2
=
2
3
3
x−2
2
=
m + 8 − m3
8
=
m+ 2
m+ 2
2
(x + 5)(x − 2) − 3
=
=
=
x 2 − 6x
x+2
2
(m − n) m − n = m − mn − n
3. x + 5 −
m+ 2
3x ( x + 2)
14. x − 5x −
x − 3x )( x + 2) − ( x − 6 x )
(
x−2
=
x+2
x − 5x )( x − 2) − 3x ( x + 2)
(
=
n2
m
2
=
3
3
x + x− 2− 3 x + x−5
=
x−1
x−1
=
2
(m − 2m + 4)(m + 2) − m
2
=
x−1
2
a + 2a + 4a a + 6a a (a + 6)
=
=
a+2
a+2
a+2
2
(x + 2)(x − 1) − 3
=
m3
m+ 2
13. m2 − 2m + 4 −
3
8. x + 2 −
x−1
3
x3 − 2x2 + 1
x2 − 4x + 3
( x + 3)(x − 4 x + 3) − (x − 2 x + 1)
2
=
3
x − 4x + 3
x3 − x2 − 9x + 9 − x3 + 2x2 − 1
=
x2 − 4x + 3
=
2
2
x 2 − 9 x + 8 ( x − 8)( x − 1) x − 8
=
=
x 2 − 4 x + 3 ( x − 3)( x − 1) x − 3
18. 3a +
3a (a 2 − b 2 ) + 3a 2b + 3ab 2
a 2 − b2
=
3a 3 − 3ab 2 + 3a 2b + 3ab 2
a 2 − b2
3a 2 (a + b)
3a 3 + 3a 2b
=
a 2 − b2
(a + b)(a − b)
=
2
x − 27
19. x − 3 − x 2 − 6 x + 9
3a 2b + 3ab 2
a 2 − b2
=
=
20. a − 3a + 5 +
3
=
(x − 3)(x − 6 x + 9) − (x − 27)
3
x 2 − 6x + 9
=
− 9 x + 27 x
(x − 3)
2
=
=
− 9 x ( x − 3)
(x − 3)
2
=
3a 2
a−b
=
2
3
a +a−2
2
a 4 − 2a 3 + 11a − 10 + 2a 3 − 11a + 9
=
a2 + a − 2
x 3 − 9 x 2 + 27 x − 27 − x 3 + 27
x2 − 6x + 9
2
(a − 3a + 5)(a + a − 2) + 2a − 11a + 9
2
2
=
2a 3 − 11a + 9
a2 + a − 2
(a − 1)(a + 1)
(a + 2)(a − 1) (a + 2)(a − 1)
(a + 1)(a + 1)(a − 1)
=
(a + 2)(a − 1)
a4 − 1
2
2
=
2
− 9x 9x
=
x − 3 3− x
=
a3 + a2 + a + 1
a+2
EJERCICIO 125
4. 3 x
1.
a
1
;
b
ab
mcm = ab
ab ÷ b = a
ab ÷ ab = 1
a a⋅a a
=
=
b ab ab
1 1⋅ 1 1
a2
1
=
= ⇒
,
ab ab ab ab ab
2
2.
x
3
, 3 mcm = a 3b 2
2
ab
ab a
a 3b 2 ÷ ab 2 = a 2 a 3b 2 ÷ a 2b = ab
2
Rta.
x
4
,
mcm = 6a 2 x
2a
3a 2 x
6a 2 x ÷ 2a = 3ax
1
3
5
3. 2x 2 , 4x , 8x 3
8 x 3 ÷ 2x 2 = 4 x
36 x 2 y 3 ÷ 6 x 2 = 6 y 3
36 x 2 y 3 ÷ 9 xy = 4 xy 2
36 x 2 y 3 ÷ 12 y 3 = 3x 2
3
2
7 y 7 y (6 y ) 42 y 4
1 1(4 xy ) 4 xy 2
=
;
2 =
2 3 =
2 3 ;
2 3 =
6x
36 x y
36 x y
9 xy 36 x y 36 x 2 y 3
6.
8 x 3 ÷ 4 x = 2x 2
8x 3 ÷ 8x 3 = 1
1 1⋅ 4x 4x
=
=
2x 2 8x 3 8 x 3
3 3x ⋅ 2x 2 6x 2
=
= 3
4x
8x 3
8x
5
5 ⋅1
5
=
=
8x 3 8 x 3 8x 3
4x
6x 2
5
⇒ 3 ,
,
8x
8x 3
8x 3
2
5x 5x (3x 2 ) 15x 3
=
=
12 y 2 36 x 2 y 3 36 x 2 y 3
mcm = 8x 3
a 3b 2 ÷ a 3 = b 2
3x 3x (a ) 3a x
x
x ( ab) abx
3 3 (b 2 ) 3b 2
=
=
2 =
3 2 =
3 2 ;
2 =
3 2 = 3 2 ;
ab
ab
ab
ab ab
ab
a 3 a 3b 2 a 3b 2
2
2
3a x
3b
abx
⇒ 3 2 , 3 2 , 3 2 Rta.
ab
ab
ab
1
5x
5. 7 y
mcm = 36 x 2 y 3
,
,
6 x 2 9 xy 12 y 3
2
6a 2 x ÷ 3a 2 x = 2
x x ( 3ax ) 3ax 2
=
=
2a 6a 2 x 6a 2 x
4
4⋅2
8
=
=
3a 2 x 6a 2 x 6a 2 x
3ax 2
8
Rta.
⇒ 2 ,
6a x
6a 2 x
,
⇒
a−1
5
a+2
mcm = 6a 2
,
,
3a
6a
a2
6a 2 ÷ 3a = 2a
6a 2 ÷ 6a = 1
15x 3
42 y 4
4 xy 2
Rta.
2 3 ,
2 3 ,
36 x 2 y 3
36 x y
36 x y
6a 2 ÷ a 2 = 6
a − 1 (a − 1) (2a) 2a 2 − 2a
5 5⋅ 1
5
=
=
=
=
;
;
3a
6a 2
6a 2
6a 6a 2 6a 2
a + 2 (a + 2) 6 6a + 12
2a 2 − 2a
5
6a + 12
=
⇒
,
,
2 =
2
2
a
6a
6a
6a 2
6a 2
6a 2
x− y x+ y
7. 2
mcm = 3x 2 y 2
,
, 5
x y
3xy 2
Rta.
3x 2 y 2 ÷ x 2 y = 3 y
3x 2 y 2 ÷ 3xy 2 = x
x − y ( x − y) (3y ) 3xy − 3y 2
x + y ( x + y ) x x 2 + xy
=
=
=
=
;
;
2
2 2
2 2
x y
3x y
3x y
3xy 2
3x 2 y 2
3x 2 y 2
Rta.
5=
5 (3x 2 y 2 ) 15x 2 y 2
=
3x 2 y 2
3x 2 y 2
⇒
x 2 + xy 15x 2 y 2
3xy − 3 y 2
,
,
2 2
3x 2 y 2
3x y
3x 2 y 2
Rta.
1
m+ n
m− n
8.
,
,
2m
5m3n
10n 2
10m3n 2 ÷ 2m = 5m2 n 2
2
3
,
5
x+1
11.
mcm = 10m n
3 2
(5x + 5) ÷ 5 = x + 1 (5x + 5) ÷ (x + 1) = 5
2 2 ( x + 1) 2 x + 2
3
3⋅ 5
15
=
=
=
=
;
10m3n 2 ÷ 5m3n = 2n
2
a + b a − b a 2 + b2
mcm = 6ab 2
9. 6 , 2a , 3b 2
6ab 2 ÷ 6 = ab 2
6ab ÷ 2a = 3b
5x + 5
2
x + 1 5x + 5 5x + 5
2x + 2
15
⇒
,
5x + 5
5x + 5
2
m − n (m − n) ( 2n) 2mn − 2n 2
=
=
5m3n
10m3n 2
10m3n 2
3
3
1(m )
1
m
=
=
10n 2 10m3n 2 10m3n 2
5m3n 2 + 5m2 n 3 2mn − 2n 2
m3
⇒
,
,
Rta.
3 2
3 2
10m n
10m n
10m3n 2
2
5x + 5
5
10m3n 2 ÷ 10n 2 = m3
m + n (m + n) (5m n ) 5m3n 2 + 5m2 n 3
=
=
2m
10m3n 2
10m3n 2
mcm = 5x + 5
a
b
2
2
12. a + b , a 2 − b 2 mcm = a − b
(a − b ) ÷ (a + b) = a − b (a − b ) ÷ (a − b ) = 1
a (a − b) a − ab
a
=
=
;
2
2
2
a+b
a −b
a 2 − ab
b
,
Rta.
a 2 − b2 a 2 − b2
⇒
13.
a − b (a − b) (3b ) 3ab 2 − 3b 3
=
=
;
2a
6ab 2
6ab 2
x 2 − 1 = ( x + 1)( x − 1)
x
1
, 2
x2 − 1
x − x−2
x 2 − x − 2 = ( x − 2)( x + 1)
mcm = ( x − 1)( x − 2)( x + 1)
= ( x 2 − 1)(x − 2)
2
(a + b )(2a ) 2a 3 + 2ab2
a +b
=
=
3b 2
6ab 2
6ab 2
3
2 2
3
2
3ab − 3b
2a 3 + 2ab 2
a b + ab
⇒
,
Rta.
,
2
2
6ab
6ab
6ab 2
10.
2
2a − b
3b − a
a − 3b
mcm = 12a 2b 2
,
,
3a 2
4b 2
2
12a 2b 2 ÷ 3a 2 = 4b 2
12a 2b 2 ÷ 4b 2 = 3a 2
12a b ÷ 2 = 6a b
2
2
2
= x3 − 2x2 − x + 2
x − 2x − x + 2
3
2a − b (2a − b) 4b
8ab 2 − 4b 3
=
;
2 =
2 2
3a
12a b
12a 2b 2
2
− x3
+x
− 2x
x −1
x − 2 x2 − x + 2 x2 − x − 2
x− 2
− x3 + x2 + 2x
2
3
2
+2
− x2 + x + 2
2x2
−2
x2 − x − 2
x ( x − 2)
x2 − 2x
x
= 3
= 3
;
2
x − 1 x − 2x − x + 2 x − 2x2 − x + 2
1( x − 1)
x−1
1
=
=
x2 − x − 2 x3 − 2x2 − x + 2 x3 − 2x2 − x + 2
2
14.
x2 − 2x
x−1
; 3
x3 − 2x2 − x + 2
x − 2x2 − x + 2
a−3
4 (a + 5)
[8 (a + 5)] ÷ [ 4 (a + 5)] = 2
a − 3b (a − 3b) 6a b
6a 3b 2 − 18a 2b 3
=
=
2
12a 2b 2
12a 2b 2
4 (a + 5)
⇒
2
8ab 2 − 4b 3 9a 2b − 3a 3 6a 3b 2 − 18a 2b 3
Rta.
,
,
12a 2b 2
12a 2b 2
12a 2b 2
a−3
=
2 (a − 3)
8 (a + 5)
=
8 (a + 5) ÷ 8 = a + 5
2a − 6
8 (a + 5)
3a 3a (a + 5) 3a 2 + 15a
=
=
8
8 (a + 5)
8 (a + 5)
⇒
2a − 6
Rta.
3a
mcm = 8 (a + 5)
8
,
3b − a (3b − a ) 3a
9a 2b − 3a 3
=
;
2 =
2 2
4b
12a b
12a 2b 2
2
x−1
2
⇒
2
2
2
1b
b
b
=
=
a 2 − b2 a 2 − b 2 a 2 − b 2
2
2
2
a 2 − b2
2
a + b (a + b)(ab ) a 2b 2 + ab 3
=
=
;
6
6ab 2
6ab 2
2
2
2
2
6ab 2 ÷ 3b 2 = 2a
2
Rta.
8 (a + 5)
,
3a 2 + 15a
8 (a + 5)
Rta.
;
15.
x2
3 (a − x)
x
mcm = 6 (a − x)
6
,
[a (a − b )]÷ (a − b ) = a
[a (a − b )]÷ (a + ab) = a − b
[a (a − b )]÷ (a − ab) = a + b
[6 (a − x)] ÷ [3(a − x)] = 2 [6 (a − x)] ÷ 6 = a − x
2x2
x2
x x (a − x ) ax − x 2
;
=
=
=
6 6 (a − x ) 6 (a − x )
3 (a − x) 6 (a − x )
⇒
2x2
6 (a − x )
ax − x 2
6 (a − x)
,
16. 3 , 2 , x + 3
x2
x x2 − x
2
1
a
mcm = a (a 2 − b 2 )
,
,
a 2 − b 2 a 2 + ab a 2 − ab
19.
mcm = x 2 ( x − 1)
2
2
2
2
2x − 2x
x ( x − 1)
x ( x − 1)
2
2
,
a−b
a (a − b )
2
,
2
a 2 + ab
a (a 2 − b 2 )
Rta.
3
3x
x
x
20. x + 1 , x − 1 , x 2 − 1
mcm = x 2 − 1
(x − 1) ÷ ( x + 1) = x − 1
(x − 1) ÷ ( x − 1) = x + 1 ( x − 1) ÷ (x − 1) = 1
3x 3x ( x − 1) 3x − 3x
=
=
2
2
2
2
2
x+1
x + 3x
x ( x − 1)
2
x −1
x2 − 1
2
3
2
x ( x + 1) x + x 2
x
x3
x3
= 2
= 2
; 2 = 2
x−1
x −1
x −1
x −1 x −1
2
Rta.
mcm = 8 (a 2 − b 2 )
1
a
b
17.
,
,
2a + 2b 4a − 4b 8
2
a (a − b )
2
,
2
2
2
2
2
2
x + 3 x ( x + 3) x 2 + 3x
=
=
x 2 − x x 2 ( x − 1) x 2 ( x − 1)
,
2
2a
⇒
2
2 2 (x − x) 2 x 2 − 2 x
=
=
;
x x 2 ( x − 1) x 2 ( x − 1)
3x − 3
2
2
a (a + b)
a
a 2 + ab
=
=
a − ab a (a 2 − b 2 ) a (a 2 − b 2 )
3
3x − 3
=
=
;
x 2 x 2 ( x − 1) x 2 ( x − 1)
2
2
2
3( x − 1)
⇒
2
2
2a
1
a−b
=
=
; 2
a 2 − b 2 a (a 2 − b 2 )
a + ab a (a 2 − b 2 )
Rta.
[x (x − 1)] ÷ x = x − 1 [x (x − 1)]÷ x = x (x − 1)
[x (x − 1)] ÷ (x − x) = x
2
2
3x 2 − 3x x 3 + x 2
x3
, 2
, 2
Rta .
2
x −1
x −1
x −1
⇒
[8 (a − b )] ÷ (2a + 2b) = 4 (a − b) [8 (a − b )] ÷ 8 = a − b
1
m
n
mcm = m (m − n )
,
,
21.
[8 (a − b )] ÷ (4a − 4b) = 2 (a + b)
m −n
m + mn m − mn
4 (a − b)
1
=
;
[m (m − n )] ÷ (m − n ) = m [m (m − n )] ÷ (m + mn) = m − n
2a + 2b 8 (a − b )
[m (m − n )] ÷ (m − mn) = m + n
2a (a + b) 2a + 2ab
a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
=
;
4a − 4b 8 (a 2 − b 2 ) 8 (a 2 − b 2 )
m
1
=
;
m2 − n 2 m (m2 − n 2 )
2
2
b b (a − b ) a 2b − b 3
=
=
2
2
8 8 (a − b ) 8 (a 2 − b 2 )
⇒
4 (a − b)
8 (a − b )
2
2
,
2a 2 + 2ab
8 (a − b )
2
2
,
m (m − n)
m
m2 − mn
=
=
;
m2 + mn m (m2 − n 2 ) m (m2 − n 2 )
a 2b − b 3
8 (a 2 − b 2 )
Rta.
18. xy , x 2 + xy , xy + y 2 mcm = xy ( x + y)
x
y
3
[xy (x + y)]÷ xy = x + y [xy (x + y)] ÷ (x + xy) = y
[xy (x + y)] ÷ (xy + y ) = x
2
2
x ( x + y)
x
x + xy
=
=
xy xy ( x + y ) xy ( x + y )
2
⇒
x + xy
xy ( x + y )
,
y
m
m (m − n )
2
2
,
m2 − mn
m (m2 − n 2 )
n+1 n−1 n +1
,
,
22.
n − 1 n + 1 n2 − 1
,
n (m + n)
m (m2 − n 2 )
Rta.
2
mcm = n 2 − 1
(n − 1) ÷ (n − 1) = n + 1
(n − 1) ÷ (n + 1) = n − 1 (n − 1) ÷ (n − 1) = 1
n + 1 (n + 1)(n + 1) (n + 1)
n − 1 (n − 1)
=
=
=
;
2
2
xy ( x + y )
⇒
2
y
y2
3
3x
=
=
;
2
x + xy xy ( x + y )
xy + y 2 xy ( x + y )
2
n (m + n)
n
mn + n2
=
=
2
2
m − mn m (m − n ) m (m2 − n2 )
2
,
3x
xy ( x + y )
Rta.
2
2
2
n−1
n −1
2
n −1
2
2
n+1
n −1
2
;
(n + 1) , (n − 1) , n2 + 1 Rta.
n 2 + 1 n2 + 1
= 2
⇒ 2
2
n −1 n −1
n −1
n2 − 1
n2 − 1
2
2
23.
a 2 − b 2 a 2 + b2 a 4 + b4
,
,
a 2 + b2 a 2 − b2 a 4 − b4
mcm = a 4 − b 4
27.
2
5
a
,
,
mcm = (a + 4)(3a + 5)(3a − 5)
a + 4 9a 2 − 25 3a − 5
[(a + 4)(3a + 5)(3a − 5)] ÷ (a + 4) = (3a + 5)(3a − 5)
(a − b ) ÷ (a + b ) = a − b
(a − b ) ÷ (a − b ) = a + b (a − b ) ÷ (a − b ) = 1 [(a + 4)(3a + 5)(3a − 5)] ÷ (9a − 25) = a + 4
[(a + 4)(3a + 5)(3a − 5)] ÷ (3a − 5) = (a + 4)(3a + 5)
a − b (a − b )
a + b (a + b )
=
=
;
;
a +b
a −b
a −b
a −b
3 (3a + 5)(3a − 5)
3
27a − 75
=
=
;
a + 4 (a + 4)(3a + 5)(3a − 5) (a + 4)(9a − 25)
a +b a +b
=
a −b a −b
2 (a + 4)
2a + 8
2
=
=
;
9a − 25 (a + 4) (3a + 5)(3a − 5) (a + 4)(9a − 25)
a −b )
a +b ) a +b
(
(
⇒
Rta.
,
a −b
a −b
a −b
5 (a + 4)(3a + 5)
5
15a + 85a + 100
=
=
3x
x−1
1
3a − 5 (a + 4)(3a + 5)(3a − 5) (a + 4)(9a − 25)
,
,
mcm = x + x − 2
24.
4
4
2
2
2
2
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
4
4
2
4
4
4
4
4
4
4
4
2
2 2
2
2 2
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
2
2
2 2
2
4
4
2
4
2
2
2
2
2
2
x−1
x+2
2
x2 + x − 2
⇒
( x 2 + x − 2) ÷ ( x − 1) = x + 2
( x + x − 2) ÷ ( x + 2 ) = x − 1
( x + x − 2 ) ÷ ( x + x − 2) = 1
3 x 3x ( x + 2 ) 3x + 6 x
=
=
;
2
2
x + x−2
2
x − 1 ( x − 1)
1
1
=
=
; 2
x + 2 x2 + x − 2
x + x − 2 x2 + x − 2
2
( x − 1) , 1
3x 2 + 6 x
, 2
x + x−2
x2 + x − 2
x2 + x − 2
Rta.
x
26.
,
2x
10( x + 3)
2
2
2
2
2
3x ( x − 2 )
3x
3x 2 − 6 x
=
=
2
x + 5x + 6 ( x + 2)( x + x − 6) ( x + 2)( x 2 + x − 6)
⇒
x
x−1
x−1
2x
=
=
;
5x + 15 10( x + 3) 10 x + 30 10( x + 3)
10( x + 3)
2
2
x 5x ( x + 3) 5x 2 + 15
=
=
2 10( x + 3) 10( x + 3)
5x 2 + 15
Rta.
2
[10(x + 3)] ÷ 2 = 5(x + 3)
[10(x + 3)] ÷ [5(x + 3)] = 2
[10(x + 3)] ÷ [10(x + 3)] = 1
⇒
2
(x + 2)(x + 2) = (x + 2)
x+2
=
;
x 2 + x − 6 ( x + 2)( x 2 + x − 6) ( x + 2)( x 2 + x − 6)
x−1
25. 2 , 5x + 15 , 10 x + 30 mcm = 10( x + 3)
x
15a 2 + 85a + 100
(x + 1)(x + 3) = x 2 + 4 x + 3 ;
x+1
=
2
x − 4 ( x + 2)( x 2 + x − 6) ( x + 2)( x 2 + x − 6)
2
⇒
,
2
[(x + 2)(x + x − 6)]÷ (x − 4) = x + 3
[(x + 2)(x + x − 6)]÷ (x + x − 6) = x + 2
[(x + 2)(x + x − 6)]÷ (x + 5x + 6) = x − 2
2
x−1 x + x− 2
2a + 8
(a + 4)(9a − 25) (a + 4)(9a − 25) (a + 4)(9a − 25)
,
2
x+1
x+ 2
3x
mcm ( x + 2)( x 2 + x − 6)
,
,
28. 2
x − 4 x 2 + x − 6 x 2 + 5x + 6
2
2
27a − 75
2
,
x−1
10( x + 3)
Rta.
29.
(x + 2)
3x − 6 x
Rta.
,
(x + 2)(x + x − 6) (x + 2)(x + x − 6) (x + 2)(x + x − 6)
2
x2 + 4x + 3
,
2
2
2
2
a+3
5a
a+1
, 2
, 2
a 2 + a − 20
a − 7a + 12
a + 2a − 15
mcm = (a + 5)(a 2 − 7a + 12)
[(a + 5)(a − 7a + 12)]÷ (a + a − 20) = a − 3
[(a + 5)(a − 7a + 12)]÷ (a − 7a + 12 ) = a + 5
[6(x + 4)]÷ (x + 4 ) = 6 [6(x + 4)]÷ [3(x + 4 )]= 2 [(a + 5)(a − 7a + 12)]÷ (a + 2a − 15) = a − 4
2x − 1
3x + 1
4x + 3
,
,
3x + 12 6 x + 24
x+ 4
[
][
mcm = 6( x + 4)
]
6( x + 4) ÷ 6 ( x + 4 ) = 1
2 x − 1 6 (2 x − 1) 12 x − 6
=
=
;
x + 4 6 ( x + 4) 6( x + 4)
12 x − 6
,
6x + 2
6( x + 4)
,
4x + 3
6( x + 4)
2
2
2
2
5a (a + 5)
5a
5a 2 + 25
=
=
;
a 2 − 7a + 12 (a + 5)(a 2 − 7a + 12) (a + 5)(a − 4)(a − 3)
(a + 1)(a − 4) = a 2 − 3a − 4
a+1
=
a 2 + 2a − 15 (a + 5)(a 2 − 7a + 12) (a + 5)(a − 4)(a − 3)
4x + 3
4x + 3
=
6x + 24 6( x + 4)
6( x + 4)
2
(a + 3)(a − 3) =
a+3
a2 − 9
=
;
a 2 + a − 20 (a + 5)(a 2 − 7a + 12) (a + 5)(a − 4)(a − 3)
3x + 1 2 (3x + 1)
6x + 2
=
=
;
3x + 12 6 ( x + 4) 6( x + 4)
⇒
2
Rta.
⇒
a2 − 9
5a 2 + 25
a 2 − 3a − 4
(a + 5)(a − 4)(a − 3) (a + 5)(a − 4)(a − 3) (a + 5)(a − 4)(a − 3)
,
,
Rta.
30.
a+1
2a
1
,
,
a3 − 1 a2 + a + 1 x − 1
2x − 3
mcm = a 3 − 1
3
3
2
a2 + a + 1
a3 − 1
3
2
2
2
a3 − 1 a3 − 1
2 (2 x − 3)
2x − 3
4x − 6
=
=
;
6 x 2 + 7 x + 2 2 (3x + 2)(2 x + 1) 2 (3x + 2)(2 x + 1)
a3 − 1
1
a + a+1
a + 1 2a 2 − 2 a 2 + a + 1
Rta.
,
, 3
=
⇒ 3
a −1
a−1
a3 − 1
a − 1 a3 − 1
2
6 (3x + 2)
18 x + 12
3
=
=
;
2 x + 1 2 (3x + 2)(2 x + 1) 2 (3x + 2)(2 x + 1)
mcm = 3 (x 3 − 1)
1
1
2
31.
,
,
x − 1 x3 − 1 3
2 x − 1 (2 x − 1)(2 x + 1)
4x2 − 1
=
=
6 x + 4 2 (3x + 2)(2 x + 1) 2 (3x + 2)(2 x + 1)
[3(x − 1)] ÷ (x − 1) = 3(x + x + 1)
[3(x − 1)] ÷ (x − 1) = 3 [3(x − 1)] ÷ 3 = x − 1
3
2
3
3
3
mcm = 2 (3x + 2)(2 x + 1)
[2 (3x + 2)(2 x + 1)] ÷ (6x + 7 x + 2) = 2
[2 (3x + 2)(2 x + 1)] ÷ (2 x + 1) = 2 (3x + 2)
[2 (3x + 2)(2 x + 1)] ÷ (6x + 4) = 2 x + 1
(a − 1) ÷ (a − 1) = 1 (a − 1) ÷ (a + a + 1) = a − 1
(a − 1) ÷ (a − 1) = a + a + 1
2a (a − 1) 2a − 2
a+1 a+1
2a
=
=
=
;
;
3
2x − 1
3
34. 6 x 2 + 7 x + 2 , 2 x + 1 , 6 x + 4
⇒
3
1 3 ( x + x + 1) 3x 2 + 3x + 3
=
=
;
x − 1 3 ( x 3 − 1)
3 (x 3 − 1)
4x − 6
18 x + 12
4x2 − 1
,
,
Rta.
2 (3x + 2)(2 x + 1) 2 (3x + 2)(2 x + 1) 2 (3x + 2)(2 x + 1)
2
EJERCICIO 126
1
3
2 2 (x − 1) 2 x − 2
=
=
; =
x 3 − 1 3 (x 3 − 1) 3 3 (x 3 − 1) 3 (x 3 − 1)
3
3x 2 + 3 x + 3
⇒
3
3
2x3 − 2
3 ( x − 1) 3 (x − 1) 3 ( x 3 − 1)
b
3
1
,
,
32.
2a 2 + 2ab a 2 x + abx 4ax 2 − 4bx 2
3
,
,
3
Rta.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
]
b 4 x (a − b)
4abx − 4b2 x
b
;
=
=
2
2
2
a x + abx 4ax (a − b ) 4ax 2 (a 2 − b 2 )
2
a (a + b)
1
a + ab
=
=
4ax 2 − 4bx 2 4ax 2 (a 2 − b 2 ) 4ax 2 (a 2 − b2 )
4abx − 4b2 x
a 2 + ab
4ax (a − b ) 4ax (a − b ) 4ax 2 (a 2 − b2 )
2
2
,
2
2
2
,
2
4 (a − 1) + 2 ⋅ 2a + 3a + 4 4a − 4 + 4a + 3a + 4 11a
=
=
12
12
12
n
3
2 n ⋅ n + 3m + 2mn 3m + 2mn + n2
+ =
=
6. 2 +
m mn m
m2n
m2n
−
+
1
x
x
2
1
7.
+ 2 +
2x
x
3ax 2
=
2
6ax 2 − 6bx 2
)
=
2a + 2ab 4ax 2 (a 2 − b 2 ) 4ax 2 (a 2 − b 2 )
⇒
) (
8a 2b + 3ab 2 ab (8a + 3b) 8a + 3b
=
=
15a 2b 2
15a 2b 2
15ab
a − 1 2a 3a + 4
5.
+
+
3
6
12
2
2
[
20b
(
2
2
2
1
3b ⋅ 2 + 5a 5a + 6b
+
=
=
5a 2 3ab
15a 2b
15a 2b
4b (a − 2b) + 3a (b − a )
60ab
4ab − 8b 2 + 3ab − 3a 2 − 3a 2 + 7ab − 8b 2
=
=
60ab
60ab
2
2
5ab a + 3b + 3 a 2b − 4ab 2
a + 3b a b − 4ab
+
=
4. 3ab
5a 2b 2
15a 2b 2
5a 2b + 15ab 2 + 3a 2b − 12ab 2
=
15a 2b 2
2
2
2.
15a
[4ax (a − b )] ÷ (2a + 2ab) = 2 x (a − b)
[4ax (a − b )] ÷ (a x + abx) = 4 x (a − b)
[4ax (a − b )] ÷ (4ax − 4bx ) = a (a + b)
3[2 x (a − b)] 6ax − 6bx
3
=
=
;
2
x − 2 3x + 2 3 x − 2 + 2 3x + 2 3x − 6 + 6 x + 4 9x − 2
+
=
=
=
4
6
12
12
12
3. a − 2b + b − a =
mcm = 4ax 2 (a 2 − b 2 )
2
b gb g
1.
Rta.
3ax (1 − x ) + 6a (x + 2) + 2
3 (a + 1)
a+1
,
mcm = (a − 1)
=
6ax 2
(a − 1) (a − 1)
2
3ax − 3ax + 6ax − 12a + 2 9ax + 12a − 3ax 2 + 2
(a − 1) ÷ (a − 1) = (a − 1)
=
=
6ax 2
6ax 2
(a − 1) ÷ (a − 1) = a − 1 (a − 1) ÷ (a − 1) = 1
2a − 3 3x + 2 x − a 10 x (2a − 3) + 3a (3x + 2) + 6 ( x − a )
8. 3a + 10 x + 5ax =
a − 1)
a + 1)(a − 1) a − 1
30ax
(
(
1
a+1
=
=
=
;
;
20ax − 30 x + 9ax + 6a + 6 x − 6a
a − 1 (a − 1)
(a − 1)
(a − 1)
(a − 1)
=
30ax
3 (a + 1) 3a + 3
a − 1)
(
3a + 3
a −1
29ax − 24 x x (29a − 24) 29a − 24
=
⇒
,
,
Rta.
=
=
=
(a − 1) (a − 1) (a − 1) (a − 1) (a − 1)
30ax
30ax
30a
1
3
33. a − 1 ,
2
3
3
2
3
2
3
3
2
2
3
2
3
2
3
3
3
3
2
3
3
9.
3 x + 2 x2 + 2
+
+
5 2x
6x2
=
12.
6 x 2 ⋅ 3 + 15x (x + 2) + 5(x 2 + 2)
x + 2 x2 − 2 2 − x3
+
+
3x
5x 2
9x3
=
15x 2 ( x + 2) + 9 x ( x 2 − 2) + 5 (2 − x 3 )
45x 3
15x + 30 x + 9 x 3 − 18 x + 10 − 5x 3
=
45x 3
3
2
19 x + 30 x − 18 x + 10
=
45x 3
30 x 2
2
2
18 x + 15x + 30 x + 5x 2 + 10
=
30 x 2
3
2
38 x 2 + 30 x + 10 2 (19 x + 15x + 5) 19 x 2 + 15x + 15
=
=
30 x 2
30 x 2
15x 2
1 b 2 − a 2 ab + b 2
x − y 2x + y y − 4x
13.
+
+ 2 2
+
+
ab
ab 3
ab
10.
12
15
30
ab 2 + a (b 2 − a 2 ) + b (ab + b 2 )
5 (x − y) + 4 (2 x + y ) + 2 ( y − 4 x )
=
=
a 2b 3
60
2
2
ab + ab − a 3 + ab 2 + b 3 − a 3 + 3ab 2 + b 3
5 x − 5 y + 8 x + 4 y + 2 y − 8 x 5x + y
=
=
=
=
a 2b 3
a 2b 3
60
60
a + 3b 2a − 3m 3
m − n n − a 2a − m
+
+
14.
11.
+
+
ab
am
a
mn
na
am
+
+
− 3m) + 3bm
m
a
b
b
a
3
2
(
)
(
a (m − n) + m (n − a ) + n (2a − m)
=
=
abm
amn
am + 3bm + 2ab − 3bm + 3bm am + 2ab + 3bm
1
am − an + mn − ma + 2an − mn an
=
=
=
=
=
abm
abm
amn
amn m
2
=
EJERCICIO 127
a − 1+ a + 1 2a
1
1
1. a + 1 + a − 1 = a 2 − 1 = a 2 − 1
6.
x + y x − y ( x + y)( x + y ) + ( x − y )( x − y)
=
+
x− y x+ y
x2 − y2
(x + y ) + (x − y)
2
2
1
2.
+
x+ 4 x−3
=
2( x − 3) + x + 4 2 x − 6 + x + 4
3x − 2
=
= 2
= 2
x 2 + x − 12
x + x − 12
x + x − 12
3.
4.
=
3 (2 x + 5) + 6 (1 − x ) 6 x + 15 + 6 − 6 x
21
=
=
(1 − x)(2 x + 5) (1− x)(2 x + 5) (1 − x)(2 x + 5)
x ( x + y) + x ( x − y) x + xy + x − xy
2x
=
=
= 2
x2 − y2
x2 − y2
x − y2
2
2
2
m+ 3 m+ 2
5. m − 3 + m − 2
=
m2 + m − 6 + m 2 − m − 6
8.
x ( x − 1) + ( x + 1)
x
x+1
+
=
x 2 − 1 ( x − 1)2
(x − 1)2 (x + 1)
=
2
3x
+
=
x − 5 x 2 − 25
x2 − x + x 2 + 2 x + 1
=
2 x2 + x + 1
(x − 1) (x + 1) (x − 1) (x + 1)
2 (x + 5) + 3x 2 x + 10 + 3x 5x + 10
2
x 2 − 25
=
2
x 2 − 25
x + a 3a 2 − x 2 ( x − 3a )( x + a ) + 3a − x
+
=
x + 3a x 2 − 9a 2
x 2 − 9a 2
2
=
2m2 − 12
=
=
x 2 − 25
x−y
1
3 x + 2y + x − y
4x + y
9. 3x − 2y + 9x 2 − 4y 2 = 9x 2 − 4y 2 = 9x 2 − 4 y 2
10.
(m − 2)(m + 3) + (m − 3)(m + 2)
(m − 3)(m − 2)
(m − 3)(m − 2)
x + 2 xy + y 2 + x 2 − 2 xy + y 2 2 x 2 + 2 y 2
= 2
x2 − y2
x − y2
2
7.
x
x
+
x− y x+ y
=
x2 − y2
2
3
6
+
1 − x 2x + 5
=
2
2 (m2 − 6)
(m − 3)(m − 2) (m − 3)(m − 2)
2
=
x 2 + ax − 3ax − 3a 2 + 3a 2 − x 2
x 2 − 9a 2
=
− 2ax
2ax
=
x 2 − 9a 2 9a 2 − x 2
11.
a
a
2 +
1− a 1+ a 2
=
a (1 + a 2 ) + a (1 − a 2 )
a + a3 + a − a3
=
=
x + x 2 = x (1 + x)
2a
1− a 4
(1− a )(1 + a )
2b (a + b) + 2a (a − b)
2
2
12.
+
=
a − ab ab + b
ab (a − b )
(1 − a )(1+ a )
2
2
2
2
2
2
2
=
x − x 2 = x (1 − x)
1 − x = (1 + x)(1− x)
2
2ab + 2b 2 + 2a 2 − 2ab
ab (a 2 − b 2 )
=
=
2a 2 + 2b 2
ab (a 2 − b 2 )
) (
)( ) ( )(
3(x + y) + 2 ( x + y )
3
2
+
=
15.
x + y (x + y)
(x + y )(x + y)
2
2
2
2
)
=
2
=
ax = ax
ax − x 2 = x (a − x )
=
=
5x 2 + 6 xy + 5y 2
(x + y )(x + y)
20.
2
2
ax (a − x)
2 x − 4 = 2 ( x − 2)
x 2 − 4 = ( x − 2)( x + 2)
21.
2 ( x 2 − 4)
3x − 6 + x 2 + x − 2 + 2 x + 16
2 ( x 2 − 4)
(x + 2)(x + 4) = x + 4
=
=
−
2 ( x 4) 2 (x + 2)( x − 2) 2 (x − 2)
x 2 + 6x + 8
2
=
2 (x + y)
x− y
mcm = (a − 5)(a + 1)
2
(a + 1) + a (a + 1) + (a + 5)(a − 5)
(a − 5)(a + 1)
2
a 2 + 2a + 1 + a 2 + a + a 2 − 25
2
2
2
x (a − x)
3 (x − 2) + ( x − 1)( x + 2) + 2 ( x + 8)
(x + y )(x − y )
(a − 5)(a + 1)
3a + 3a − 24 3(a + a − 8)
=
=
(a − 5)(a + 1) (a − 5)(a + 1)
2a
mcm = 2 (x 2 − 4)
2 (x + y )
2
=
=
=
2
1
a
a+5
+
+
a − 5 a 2 − 4a − 5 a 2 + 2a + 1
a − 5= a − 5
2
2 x + 4 = 2 ( x + 2)
=
2 x 2 + 2 y 2 + 4 xy 2 (x + 2 xy + y )
=
x2 − y2
x2 − y2
a 2 + 2a + 1 = (a + 1)
x−1
x+8
3
+
+
2x + 4 2x − 4 x2 − 4
=
x 2 − 2 xy + y 2 + x 2 + 2 xy + y 2 + 4 xy
x2 − y2
a 2 − 4a − 5 = (a − 5)(a + 1)
mcm = ax (a − x )
=
mcm = x 2 − y 2
x2 − y2
2
2a 2
(x + 1)(x + 2) = x + 2
x (1− x)
x (1− x)(1+ x)
(x − y )(x − y ) + (x + y )(x + y ) + 4 xy
(x + y )(x + y)
2
=
2
ax (a − x )
ax (a − x )
x (1− x 2 )
=
x 2 + (a + x)(a − x ) + a 2
x2 + a2 − x2 + a2
2 + x 2 + 3x
2
2
x
a+ x
a
+
+
a 2 − ax
ax
ax − x 2
a 2 − ax = a (a − x )
x (1 − x 2 )
2
2
2
2
=
17.
=
3x 2 + 6 xy + 3 y 2 + 2 x 2 + 2 y 2
=
16.
2
=
1 − x + 1+ x + x ( x + 3)
x− y x+ y
4 xy
+
+
19.
x + y x − y x2 − y2
ab + a (3a − b) ab + 3a 2 − ab
3a 2
=
=
= 2
2
2
2
2
9a − b
9a − b
9a − b 2
a−b+ a+b
1
1
2a
2 =
2 =
2
14. a 2 − b 2 +
a−b
a+b a−b
a+b a−b
(
mcm = x (1− x 2 )
2
ab
a
13.
+
9a 2 − b 2 3a + b
2
x+3
1
1
+
+
x + x 2 x − x2 1− x 2
18.
2
3
2
1 − 85a
+
+
a 5a − 3 25a 2 − 9
=
=
3 (25a 2 − 9) + 2a (5a + 3) + a (1 − 85a )
a (25a 2 − 9)
75a 2 − 27 + 10a 2 + 6a + a − 85a 2
x+1
x− 3
a (25a 2 − 9)
x− 2
22. 10 + 5x − 10 + 2
=
=
mcm = a (25a 2 − 9)
7a − 27
=
a (25a 2 − 9)
mcm = 10 ( x − 2)
(x + 1)(x − 2) + 2 (x − 3) + 5(x − 2)( x − 2)
10 ( x − 2)
x 2 − x − 2 + 2 x − 6 + 5x 2 − 20 x + 20
10 ( x − 2)
=
6 x 2 − 19 x + 12
10 ( x − 2)
23.
x+5
x+ 4
x−3
+
+
x + x − 12 x 2 + 2 x − 15 x 2 + 9 x + 20
27.
2
x 2 + x − 12 = ( x + 4)( x − 3)
x2 − 4
1
3
+
+
x3 + 1 x + 1 x2 − x + 1
x 3 + 1 = ( x + 1)( x 2 − x + 1)
x + 2 x − 15 = ( x + 5)( x − 3)
2
=
x + 9 x + 20 = ( x + 5)( x + 4)
2
mcm = ( x + 5)( x + 4)( x − 3)
=
=
=
=
( x + 5)(x + 5) + (x + 4)(x + 4) + (x − 3)(x − 3)
( x + 5)(x + 4)(x − 3)
x 2 + 10 x + 25 + x 2 + 8 x + 16 + x 2 − 6 x + 9
3x 2 + 12 x + 50
=
x
1
1− 2 x 2
+ 3
+
24.
x − 2 x − 8 x2 + 2x + 4
=
x − 8 = ( x − 2)( x + 2 x + 4) mcm = x − 8
25.
2
3
=
x + 2 x + 4 + 1 − 2 x + x ( x − 2)
x3 − 8
=
− x2 + 2x + 5+ x2 − 2x
5
= 3
x3 − 8
x −8
2
a
a+1
2
+
+
a + 1 (a + 1)2 (a + 1)3
mcm = (a + 1)
3
=
3
(a + 1)
3a + 6a + 3 3(a + 2a + 1) 3 (a + 1)
3
=
=
=
=
(a + 1)
(a + 1)
(a + 1) a + 1
3
2
3
x+1
2x
(x − 1)(x + 2)(x + 3) (x − 1)(x + 2)(x + 3)
(x + 5)(x + 2) = x + 5
=
(x − 1)(x + 2)(x + 3) (x − 1)(x + 3)
x−2
x− 3
2x − 1
+
+
2 x 2 − 5x − 3 2 x 2 − 3 x − 2 x 2 − 5 x + 6
mcm = ( x − 3)( x − 2)(2 x + 1)
=
3
=
1
26. 3x 2 + 11x + 6 + x 2 − 9 + 3x + 2
=
3x + 11x + 6 = ( x + 3)(3x + 2)
2
x − 9 = (x + 3)( x − 3)
x 2 + 7 x + 10
x 2 − 5x + 6 = (x − 3)( x − 2)
2a 2 + 4a + 2 + a 2 + a + a + 1
2
=
2 x 2 − 3x − 2 = ( x − 2)(2 x + 1)
(a + 1)
3
x 2 + 5x + 6 + 2 x + 4
2 x 2 − 5x − 3 = ( x − 3)(2 x + 1)
2 (a + 1) + a (a + 1) + a + 1
2
(x + 2)(x + 3) + x + 3 + x + 1
(x − 1)(x + 2)(x + 3)
29.
2
=
2 x ( x + 1)
2x2 + 2x
2x
=
=
3
x + 1 ( x + 1)( x 2 − x + 1) x 2 − x + 1
mcm = ( x − 1)( x + 2)( x + 3)
( x + 5)(x + 4)(x − 3)
2
x 2 − 4 + x 2 − x + 1 + 3x + 3
x3 + 1
x+1
1
1
+
28. x − 1 +
(x − 1)(x + 2) (x − 1)(x + 2)(x + 3)
(x + 5)( x + 4)( x − 3)
3
mcm = x 3 + 1
(x − 2)(x − 2) + (x − 3)(x − 3) + (2 x − 1)(2 x + 1)
(x − 3)(x − 2)(2 x + 1)
x 2 − 4 x + 4 + x 2 − 6x + 9 + 4 x 2 − 1
(x − 3)(x − 2)(2 x + 1)
6 x 2 − 10 x + 12
(x − 3)(x − 2)(2 x + 1)
2
3 x + 2 = 3x + 2
=
=
2 x ( x − 3) + ( x + 1)(3x + 2) + x 2 − 9
(x − 9)(3x + 2)
2
2 x 2 − 6 x + 3 x 2 + 5x + 2 + x 2 − 9
(x − 9)(3x + 2)
30.
a− 2 a+ 3 a+1
+
+
a−1 a+ 2 a− 3
=
2
6x − x − 7
2
=
mcm = ( x 2 − 9)(3x + 2)
(x − 9)(3x + 2)
=
2
=
mcm = (a − 1)(a + 2)(a − 3)
(a + 2)(a − 2)(a − 3) + (a − 1)(a + 3)(a − 3) + (a − 1)(a + 1)(a + 2)
(a − 1)(a + 2)(a − 3)
a 3 − 3a 2 − 4a + 12 + a 3 − a 2 − 9a + 9 + a 3 + 2a 2 − a − 2
(a − 1)(a + 2)(a − 3)
3a 3 − 2a 2 − 14a + 19
(a − 1)(a + 2)(a − 3)
EJERCICIO 128
7.
4 ( x − 1) − 3 ( x − 2) − 2 ( x + 3)
12
x+4
4 x − 4 − 3x + 6 − 2 x − 6 − x − 4
=
=
=−
12
12
12
x − 3 x + 2 2 ( x − 3) − (x + 2) 2 x − 6 − x − 2 x − 8
−
=
=
=
4
8
8
8
8
a + 5b b − 3
2.
−
a2
ab
b (a + 5b) − a (b − 3) ab + 5b 2 − ab + 3a 3a + 5b 2
=
=
=
a 2b
a 2b
a 2b
=
1.
3.
2
1
2 ( 2m) − ( 3n) 4m − 3n
−
=
=
3mn 2 2m2 n
6m2 n 2
6m2 n 2
4.
a − 3 4 − 3ab
−
5ab
3a 2b3
=
8.
20a 2
12a − 4a − 2a − 4a 2 − 1 4a 2 − 2a − 1
=
=
20a 2
20a 2
3ab2 (a − 3) − 5(4 − 3ab 2 )
9.
2 3
6 y ( y − 2 x ) − 5x ( x − 3 y )
120 xy
=
6 y 2 − 12 xy − 5x 2 + 15xy 6 y 2 + 3xy − 5x 2
=
120 xy
120 xy
EJERCICIO 129
=
x − 3− x + 4
=
3 x − 1 x2 + 2x + 3
−
−
5x 3x 2
15x 3
3x 2 ( 3) − 5x ( x − 1) − ( x 2 + 2 x + 3)
15x 3
2
2
9 x − 5x + 5x − x 2 − 2 x − 3
=
15x 3
=
3x 2 + 3x − 3 3 ( x + x − 1) x 2 + x − 1
=
=
15x 3
15x 3
5x 3
1 2+ b
5
−
−
10.
2a 3ab 6a 2b 3
3ab3 − 2ab 2 (2 + b) − 5
=
6a 2b 3
3
3ab − 4ab 2 − 2ab 3 − 5 ab 3 − 4ab 2 − 5
=
=
6a 2b 3
6a 2b 3
2
=
mcm = m2 − n2
(m − n)(m − n) − (m + n)(m + n)
=
a 2 + ab = a (a + b)
1
(x − 4)(x − 3) (x − 4)(x − 3) (x − 4)(x − 3)
m− n m+ n
2. m + n − m − n
2
a+b
b− a
−
4. 2
a + ab ab + b 2
mcm = (x − 4)(x − 3)
1
1
−
x−4 x−3
x − 3 − ( x − 4)
4a 2 (3) − 2a (2a + 1) − (4a 2 + 1)
2
2
=
=
3 2a + 1 4a 2 + 1
−
−
5 10a
20a 2
=
15a b
3a 2b 2 − 9ab2 − 20 + 15ab2 3a 2b 2 + 6ab2 − 20
=
=
15a 2b3
15a 2b 3
2a + 3 a − 2
−
5.
4a
8a
2 (2a + 3) − (a − 2) 4a + 6 − a + 2 3a + 8
=
=
=
8a
8a
8a
y − 2 x x − 3y
−
6.
20 x
24 y
1.
x −1 x − 2 x + 3
−
−
3
4
6
=
mcm = ab (a + b)
b (a + b) − a (b − a )
ab (a + b)
m+ n m + n
2
=
ab + b 2 − ab + a 2
ab (a + b)
=
a 2 + b2
ab (a + b)
(m + n)(m + n) − (m + n )
2
2
−
=
5.
m − n m2 − n 2
m2 − n 2
ab + b 2 = b (a + b)
;
=
2
m2 − n 2
2mn
m2 + 2mn + n2 − m2 − n 2
= 2 2
m2 − n 2
m −n
m2 − 2mn + n2 − m2 − 2mn − n 2 − 4mn
4mn
= 2
=
1
1
m2 − n 2
m − n 2 n 2 − m2
x + x2 = x x + 1 ; x − x2 = x 1− x
−
6.
x + x2 x − x2
1 − x 1 + x (1 − x)(1 − x ) − (1 + x )(1 + x)
3.
−
=
mcm = x 1 − x 2
1 + x 1− x
1− x 2
1− x − 1+ x 1− x − 1− x
− 2x
−2
2
1 − 2 x + x 2 − 1− 2 x − x 2 − 4 x
4x
=
=
=
=
=
=
=
2 = 2
x 1− x2
x 1− x 2
x 1− x 2 1− x x − 1
1− x 2
1− x 2 x 2 − 1
=
(
(
(
)
)
)
(
(
(
)
(
)
)
)
7.
a+ x
x
−
(a − x) a − x
(a + x)(a + x) − x (a − x)
=
(a − x) (a + x)
2
2
13.
2
6 x 2 + x − 2 = (3x + 2)(2 x − 1)
4 x 2 − 4 x + 1 = (2 x − 1)
2
=
8.
a 2 + 2ax + x 2 − ax + x 2
(a − x) (a + x)
2
=
x+3
1
−
6x 2 + x − 2 4 x 2 − 4 x + 1
a 2 + ax + 2 x 2
(a − x) (a + x)
=
2
a +1
1
−
6a + 3 12a + 6
=
6a + 3 = 3 (2a + 1) ; 12a + 6 = 6 (2a + 1)
mcm = 6 (2a + 1)
a−4
a+3
9. a 2 − 6a + 9 − a 2 + a − 12
a − 6a + 9 = (a − 3)
2 x 2 + 5x − 3 − 3x − 2
(3x + 2)(2 x − 1)
2
x+2
=
2x2 + 2x − 5
(3x + 2)(2 x − 1)
2
mcm = 8 (x 2 − 1)
2 (x − 1)( x − 1) − ( x + 2)( x + 1)
8 ( x 2 − 1)
2 x − 4 x + 2 − x 2 − 3x − 2
2
=
; a + a − 12 = (a + 4)(a − 3)
2
2
x−1
=
2
(2 x − 1)(x + 3) − (3x + 2)
(3x + 2)(2 x − 1)
14. 4 x + 4 − 8 x − 8
2 (a + 1) − 1 2a + 2 − 1
2a + 1
1
=
=
=
=
6 (2a + 1) 6 (2a + 1) 6 (2a + 1) 6
2
mcm = (2 x − 1) (3x + 2)
2
2
mcm = (a − 3) (a + 4)
8 (x 2 − 1)
=
x2 − 7x
8 ( x 2 − 1)
2
(a + 4)(a − 4) − (a − 3)(a + 3)
=
(a + 4)(a − 3)
15.
2
=
a 2 − 16 − a 2 + 9
(a + 4)(a − 3)
2
=
=
−7
(a + 4)(a − 3)
2
a 2 + 4ab − 3b 2
b
−
10.
a 2 − 9b 2
a + 3b
mcm = a − 9b
2
16.
2
a 2 + 4ab − 3b 2 − b (a − 3b)
=
a 2 − 9b 2
=
=
a (a + 3b)
a 2 + 3ab
a
=
=
a 2 − 9b 2 (a + 3b)(a − 3b) a − 3b
x
x+1
−
11. 2
x − 1 ( x − 1)2
=
=
2
− 3x − 1
(x + 1)(x − 1)
2
=−
2
18.
mcm = (a − b) (a + ab + b )
3
2
3
2
2
2
2
2
a − 2ab + b − a − ab − b
2
2
2
(a − b) (a + ab + b )
3
2
2
− 3ab
2
=
y
=
y (x − y)
=
1
x− y
mcm = a (a 2 − b2 )
ab − b (a − b) ab − ab + b 2
b2
=
=
2
2
2
2
a (a − b )
a (a − b ) a (a 2 − b 2 )
; 4a 2 + 12a + 9 = (2a + 3)
2
=
(2a + 3)(2a − 3) − 3(a − 1)
3(2a + 3)
=
4a 2 − 9 − 3a + 3 4a 2 − 3a − 6
=
2
2
3(2a + 3)
3(2a + 3)
3x + 1
(x + 1)(x − 1)
(a − b) − (a + ab + b )
(a − b) (a + ab + b )
2
=
=
y (x − y)
2
(x + 1)(x − 1)
2
x− x+ y
mcm = 3(2a + 3)
x ( x − 1) − ( x + 1)( x + 1)
(x + 1)(x − 1)
=
6a + 9 = 3(2a + 3)
mcm = ( x − 1) ( x + 1)
x2 − x − x2 − 2x − 1
y (x − y)
2a − 3
a−1
−
6a + 9 4a 2 + 12a + 9
2
1
1
−
12. 3
a − b3 (a − b)3
=
17.
x − (x − y )
b
b
−
a 2 − b 2 a 2 + ab
=
a 2 + 4ab − 3b 2 − ab + 3b 2
a 2 − 9b 2
mcm = y ( x − y )
1
x
−
xy − y 2 y
(a − b) (a + ab + b )
3
2
2
2
x+1
x−1
−
x2 + x + 1 x2 − x + 1
mcm = ( x 2 + x + 1)( x 2 − x + 1)
x + 1 − ( x − 1)
=
(x + x + 1)(x − x + 1)
=
(x + x + 1)(x − x + 1) (x + x + 1)(x − x + 1)
2
2
x + 1− x + 1
2
2
=
2
2
2
a −1
1
1
−
−
19. 2
a + a 2a − 2 2 a + 2
=
=
3
x
x
24. x 2 + x − 2 − x 2 + 2 x − 3 − x 2 + 5x + 6
x 2 + x − 2 = ( x + 2)( x − 1)
2 (a − 1)(a − 1) − a (a + 1) − a (a − 1)
x 2 + 2 x − 3 = ( x + 3)( x − 1)
2a(a − 1)
x 2 + 5x + 6 = ( x + 3)( x + 2)
2
2 (a − 2a + 1) − a − a − a + a
2
=
mcm = 2a(a − 1)
2
2
mcm = ( x + 2)( x − 1)( x + 3)
2
2a(a 2 − 1)
=
2a 2 − 4 a + 2 − 2a 2
2a(a 2 − 1)
=−
= −
2a(a 2 − 1)
2 (2a − 1)
25.
= −
2a − 1
1 − 2a
=
a (a 2 − 1) a (a 2 − 1)
=
=
6 (a 2 + 1)(a − 1) − 3 (a 2 + 1)(a + 1) − 2 (a 2 − 1)
=
6 (a 3 − a 2 + a − 1) − 3(a 3 + a 2 + a + 1) − 2a 2 + 2
=
22.
23.
3
x3
(x − 1)(x − 1)
3
2a + 2ab + 2b 2 = 2 (a 2 + ab + b 2 )
2a − 2b = 2 (a − b)
mcm = 2 (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
3a − 11a + 3a − 7
2
24 (a − 1)
4
=
mcm = x ( x − y )
=
x (x − y)
=
y− x+ y− x
x (x − y)
2 y − 2x
x (x − y)
=
2 ( y − x)
x (x − y)
=−
a − (a + b) − a
a (a + b)
=
2 (x − y)
x (x − y)
−a−b
a (a + b)
x + y − (x − y) − 2 y
x (x − y )
2
2
x
=−
=
a+b
a (a + b)
x (x − y )
2
2
=
2a + 2b − a 2 + b 2 − a 2 − ab − b 2
2 (a − b) (a 2 + ab + b 2 )
2b 2 − ab
=
2b 2 − ab
2 (a − b)(a + ab + b ) 2 (a 3 − b 3 )
2
2
3a
a−1
10a − 1
−
−
2a 2 − 2a − 4 4a 2 + 8a − 32 8a 2 + 40a + 32
4a 2 + 8a − 32 = 4 (a 2 + 2a − 8) = 4 (a + 4)(a − 2)
8a 2 + 40a + 32 = 8 (a 2 + 5a + 4) = 8 (a + 4)(a + 1)
=−
mcm = 8 (a + 4)(a − 2)(a + 1)
1
a
mcm = x (x 2 − y 2 )
x− y− x+ y
2 (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
2
2a 2 − 2a − 4 = 2 (a 2 − a − 2) = 2 (a − 2)(a + 1)
mcm = a (a + b )
1
1
2y
−
−
x 2 − xy x 2 + xy x 3 − xy 2
2
27.
=−
2 (a 2 + b 2 ) − (a + b)(a − b) − (a 2 + ab + b 2 )
2
y − (x − y) − x
a
1
1
− −
a + ab a a + b
=
(x − 1)(x − 1)
a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
24 (a 2 + 1)(a 2 − 1)
2
=
3x 2 − 6x + 3 − x 3 − x 2 − x − 2 x 2 − 2 x − 2 − 1 + 9 x
2
6a 3 − 6a 2 + 6a − 6 − 3a 3 − 3a 2 − 3a − 3 − 2a 2 + 2
1
1
y
21. x − xy − x − x − y
=
3
a 2 + b2
a+b
1
26. a 3 − b 3 − 2a 2 + 2ab + 2b 2 − 2a − 2b
24 (a 2 + 1)(a 2 − 1)
2
=
(x − 1)(x − 1)
=−
24 (a 2 + 1)(a 2 − 1)
3
3( x − 1) − (x + 2)(x 2 + x + 1) − (1 − 9 x)
2
mcm = 24 (a 2 + 1)(a 2 − 1)
=
x+ 2
3
1− 9 x
−
−
mcm = ( x 3 − 1)( x − 1)
x 2 + x + 1 ( x − 1)2 (x 3 − 1)( x − 1)
=
1
1
1
20.
−
−
4a + 4 8a − 8 12a 2 + 12
=
( x + 2)( x − 1)( x + 3)
x 2 + 3 x − 3x − 6 − x 2 + x
x−6
=
=
2
1
3
2
x
x
x
x
+
−
+
+
( )( )( ) ( )(x − 1)(x + 3)
4a − 2
2a(a 2 − 1)
x ( x + 3) − 3 ( x + 2) − x ( x − 1)
0
x (x − y )
2
2
=0
=
=
=
12a (a + 4) − 2 (a − 1)(a + 1) − (10a − 1)(a − 2)
8 (a + 4)(a − 2)(a + 1)
12a 2 + 48a − 2a 2 + 2 − 10a 2 + 20a + a − 2
8 (a + 4)(a − 2)(a + 1)
69a
8 (a + 4)(a − 2)(a + 1)
a2 + 9x2
a
1
− 3
−
4a − 12 x a − 27 x 3 2 (a 2 + 3ax + 9a 2 )
28.
2a 2 − 3 a + 1 9a 2 − 14
29. 10a + 10 − 50 − 50a + 50
4a − 12 x = 4 (a − 3x )
10a + 10 = 10 (a + 1)
a 3 − 27 x 3 = (a − 3x)(a 2 + 3ax + 9a 2 )
50 = 50
2 (a 2 + 3ax + 9a 2 ) = 2 (a 2 + 3ax + 9a 2 )
50a + 50 = 50 (a + 1)
mcm = 4 (a 3 − 27 x 3 )
=
=
=
mcm = 50 (a + 1)
a 2 + 3ax + 9 x 2 − 4 (a 2 + 9 x 2 ) − 2a (a − 3x)
=
4 (a 3 − 27 x 3 )
=
− 5a 2 + 9ax − 27 x 2
=
4 (a 3 − 27 x 3 )
4 (a − 27 x )
3
=−
5a 2 − 9ax + 27 x 2
4 (a − 27 x )
3
50 (a + 1)
10a − 15 − a − 2a − 1 − 9a 2 + 14
2
a 2 + 3ax + 9 x 2 − 4a 2 − 36x 2 − 2a 2 + 6ax
3
5 (2a 2 − 3) − (a + 1)(a + 1) − (9a 2 − 14)
3
2
50 (a + 1)
− 2a − 2
50 (a + 1)
=−
2 (a + 1)
50 (a + 1)
=−
1
25
EJERCICIO 130
2
3
4x − 7
1. x − 3 + x + 2 − x 2 − x − 6
=
=
2.
2 ( x + 2) + 3 ( x − 3) − (4 x − 7)
2 x + 4 + 3x − 9 − 4 x + 7
(x − 3)(x + 2)
=
4a − 2 + a + 12
x+2
(x − 3)(x + 2)
1
x−3
=
mcm = 12 (a + 2)
5 (a + 2)
5a + 10
12 (a + 2)
5
=
=
=
12 (a + 2) 12 (a + 2) 12
x
1
1
+
−
x 2 + 1 3x x 2
mcm = 3x 2 (x 2 + 1)
=
=
=
3x 2 (x 2 + 1)
=
mcm = 4 (a 2 − 1)
4 (a − 1)
2
2
4 (a − 1)
2
=
3a − 3a + 10
2
=
mcm = ab (a + b)
b (a − b) + (a + b)(a + b) − a 2
ab (a + b)
ab − b 2 + a 2 + 2ab + b 2 − a 2
ab (a + b)
x− y x+ y
4 x2
6. x + y − x − y + x 2 − y 2
=
3ab
ab (a + b)
( x − y)(x − y) − ( x + y)( x + y) + 4 x
x −y
2
=
3
a+b
mcm = x 2 − y 2
2
2
4 (a 2 − 1)
4 x (x − y)
4 x 2 − 4 xy
4x
=
=
x2 − y2
( x + y)( x − y) x + y
mcm = ax (a − x )
x
1 1
7. a 2 − ax + a + x
=
4 (a + 3) + 2 (a − 1)(a − 1) + (a − 4)(a + 1)
4a + 12 + 2a − 4a + 2 + a − 3a − 4
=
=
3x 3 + x 3 + x − 3x 2 − 3 4 x 3 + x − 3x 2 − 3
=
3x 2 ( x 2 + 1)
3x 2 (x 2 + 1)
2
a−b
a+b
a
+
−
a 2 + ab
ab
ab + b 2
x 2 − 2 xy + y 2 − x 2 − 2 xy − y 2 + 4 x 2
=
x2 − y2
3x 3 + x (x 2 + 1) − 3 (x 2 + 1)
a+ 3 a −1
a−4
+
+
4. 2
−
+
a 1 2a 2 4a − 4
5.
=
(x − 3)(x + 2)
a
1
a + 12
−
+
3a + 6 6a + 12 12a + 24
=
3.
mcm = (x − 3)( x + 2)
=
x 2 + x (a − x ) + a (a − x )
ax (a − x )
x 2 + ax − x 2 + a 2 − ax
ax (a − x )
=
a2
ax (a − x )
=
a
x (a − x )
x+1
x+4
x+5
8. x 2 − x − 20 − x 2 − 4 x − 5 + x 2 + 5x + 4
12.
x 2 − x − 20 = ( x − 5)( x + 4)
a − 1 a − 2 a 2 + 2a − 6
−
+
3a + 3 6a − 6
9a 2 − 9
x 2 − 4 x − 5 = ( x − 5)( x + 1)
=
mcm = ( x − 5)(x + 4)( x + 1)
=
x 2 + 5x + 4 = ( x + 4)( x + 1)
(x + 1)(x + 1) − (x + 4)(x + 4) + (x − 5)(x + 5)
=
(x − 5)(x + 4)(x + 1)
=
=
x 2 + 2 x + 1 − x 2 − 8 x − 16 + x 2 − 25
(x − 5)(x + 4)(x + 1)
(x − 5)(x + 4)(x + 1)
(x − 10)(x + 4) = x − 10
=
(x − 5)(x + 4)(x + 1) (x − 5) (x + 1)
=
=
mcm = 8 (3x + 2)(2 x − 1)
2 (2 x + 1)(2 x − 1) − 8 x 2 + 2 x (3 x + 2)
14.
8 (3x + 2)(2 x − 1)
8 (3x + 2)(2 x − 1)
=
6x + 4 x − 2
8 (3x + 2)(2 x − 1)
3x 2 + 2 x − 1
=
=
11.
15.
8 (3x + 2)(2 x − 1) 4 (3x + 2)(2 x − 1)
mcm = ax (a + x )
1
1
1
−
+
10.
ax a 2 + ax a + x
a + x − x + ax
ax (a + x )
=
ax + a
ax (a + x) ax (a + x )
=
2
2
2
x+1
x (a + x )
2
2
2
2
− 4y
4y
=
x4 − y4 y4 − x4
2
2
2
=
26
(a + 6)(a + 2)(a − 4)
mcm = xy ( x + y )
(x + y)(x + y) − x (x + 2 y) − y
xy ( x + y )
x 2 + 2 xy + y 2 − x 2 − 2 xy − y 2
xy ( x + y)
2
0
=
xy ( x + y )
=0
mcm = a 3 + 1
=
a 3 + (a + 1)(a + 3) − (a − 1)(a 2 − a + 1)
a3 + 1
=
a 3 + a 2 + 4a + 3 − a 3 + a 2 − a + a 2 − a + 1 3a 2 + 2a + 4
=
a3 + 1
a3 + 1
1
2x
3x 2
+ 2 − 3
x−1 x −1 x −1
mcm = ( x 2 − 1)( x 2 + x + 1)
(x + 1)(x + x + 1) + 2 x (x + x + 1) − 3x ( x + 1)
(x − 1)(x + x + 1)
2
2
2
(x − y )(x + y )
2
(a + 6)(a + 2)(a − 4)
a3
a+3
a−1
+
−
a + 1 a2 − a + 1 a + 1
x 3 + xy 2 − x 2 y − y 3 − x 3 − xy 2 − x 2 y − y 3 + 2 x 2 y − 2 y 3
3
=
=
(a + 6)(a + 2)(a − 4)
a + 2 + 2a + 12 − 3a + 12
3
(x − y)( x + y ) − (x + y)( x + y ) + 2 y (x − y )
(x − y )(x + y )
2
5a
=
a + 2 + 2 (a + 6) − 3 (a − 4)
mcm = ( x 2 − y 2 )( x 2 + y 2 ) 16.
1
1
2y
−
+
x + y x − y x2 + y2
=
a ( x + 1)
=
5a (a − 1)
=
18 (a − 1) 18 (a + 1)(a − 1) 18 (a + 1)
2
x + y x + 2y
y
−
−
xy
xy + y 2 x 2 + xy
=
8 x2 − 2 − 8 x 2 + 6x 2 + 4 x
2
=
5a 2 − 5a
mcm = (a + 6)(a + 2)(a − 4)
16 x − 8 = 8 (2 x − 1)
2 (3x 2 + 2 x − 1)
18 (a 2 − 1)
a 2 + 8a + 12 = (a + 6)(a + 2)
6 x 2 + x − 2 = (3x + 2 )(2 x − 1)
=
6a 2 − 12a + 6 − 3a 2 + 3a + 6 + 2a 2 + 4a − 12
a 2 − 2a − 8 = (a − 4)(a + 2)
12 x + 8 = 4 (3x + 2)
=
18 (a 2 − 1)
a 2 + 2a − 24 = (a + 6)(a − 4)
2x + 1
x2
2x
−
+
9.
12 x + 8 6 x 2 + x − 2 16 x − 8
=
6 (a − 1)(a − 1) − 3 (a − 2)(a + 1) + 2 (a 2 + 2a − 6)
1
2
3
13. a 2 + 2a − 24 + a 2 − 2a − 8 − a 2 + 8a + 12
x 2 − 6 x − 40
=
mcm = 18 (a 2 − 1)
=
=
2
2
x 3 + x 2 + x + x 2 + x + 1 + 2 x 3 + 2 x 2 + 2 x − 3x 3 − 3x 2
(x − 1)(x + x + 1)
2
x + 4x + 1
3
2
=
2
2
(x − 1)(x + x + 1)
2
2
2
a+b
1
3a 2
+ 3 3
17. 2
2 −
a − ab + b a + b a + b
mcm = a 3 + b 3
(a + b)(a + b) − (a − ab + b ) + 3a
=
2
2
1− x2
x2
6x
−
2 −
9− x
9 + 6x + x2 9 − 6x + x2
22.
9 − x 2 = (3 + x )(3 − x ) ;
2
9 − 6 x + x 2 = (3 − x )
a 3 + b3
=
2
2
3a (a + b)
3a + 3ab
3a
=
=
a 3 + b3
(a + b)(a 2 − ab + b2 ) a 2 − ab + b2
2
2x + 3
6 x + 12
18. x − 2 + x 2 + 2 x + 4 − x 3 − 8
=
=
mcm = x 3 − 8
=
2 ( x 2 + 2 x + 4) + (2 x + 3)(x − 2) − (6 x + 12)
x3 − 8
=
2 x 2 + 4 x + 8 + 2 x 2 − 4 x + 3x − 6 − 6x − 12
x3 − 8
=
4 x − 3x − 10 ( x − 2)(4 x + 5)
4x + 5
=
= 2
x3 − 8
x3 − 8
x + 2x + 4
=
3x + 2
5x + 1
4x − 1
19. x 2 + 3x − 10 − x 2 + 4 x − 5 + x 2 − 3x + 2
=
x 2 + 3x − 10 = ( x + 5)(x − 2) ; x 2 + 4 x − 5 = ( x + 5)(x − 1)
x 2 − 3x + 2 = ( x − 2)( x − 1);
=
=
mcm = (x + 5)( x − 2)( x − 1)
2
9 x 2 − 9 x − 6 x 2 − 12 x − 6 + 3x 2 − 6 x + 3 − 5x − 5
18 ( x 2 − 1)
2
6 x 2 − 32 x − 8 2 (3x − 16x − 4) 3x 2 − 16 x − 4
=
=
18 ( x 2 − 1)
18 ( x 2 − 1)
9 ( x 2 − 1)
=
=
mcm = n (n − 1)
=
3
n (n − 1)
=
n2 − n + n 3 − 2n 2 + n − n − n3 + 3n2 − 3n + 1 2n 2 − 4n + 1
=
3
3
n (n − 1)
n (n − 1)
2
4 (a + 2)(a − 1) − 7a − 2 (a − 3)(a + 1)
8 (a 2 − 1)
4a 2 + 4a − 8 − 7a − 2a 2 + 4a + 6
8 (a − 1)
2
2a + 5
4a − 1
(a − 25)(a + 5)
2
2
mcm = 120 (2a + 1)
120 (2a + 1)
2
1
3
26. 2 x 2 + 5x + 3 − 2 x 2 − x − 6 + x 2 − x − 2
2 x 2 + 5x + 3 = (2 x + 3)( x + 1)
2 x 2 − x − 6 = (2 x + 3)( x − 2 )
2
x 2 − x − 2 = ( x − 2)( x + 1)
mcm = (2 x + 3)( x + 1)( x − 2)
a + 20a − 25
4
=
8 (a 2 − 1)
2 (4a − 1)
4a − 1
=
=
120 (2a + 1) 120 (2a + 1) 60 (2a + 1)
2
a − 25 − a + 10a − 25 + a + 10a + 25
4
2a 2 + a − 2
8a − 2
2
2
=
120 (2a + 1)
(a − 25)(a + 5)
4
4
mcm = 8 (a 2 − 1)
12a − 36 + 12a + 30 − 16a + 4
a − 25 − (a − 5)(a − 5) + (a + 5)(a + 5)
2
4
a+2
a−3
7a
−
−
2a + 2 8a 2 − 8 4a − 4
12 (a − 3) + 6 (2a + 5) − 4 (4a − 1)
mcm = (a − 25)(a + 5)
4
mcm = 18 ( x 2 − 1)
18 ( x 2 − 1)
=
3
4
2
9 x ( x − 1) − 6 ( x + 1)( x + 1) + 3( x − 1)( x − 1) − 5 ( x + 1)
=
3
1
a2 − 5
a2 + 5
21. 2
−
+ 4
2
a + 5 (a 2 + 5) a − 25
=
2
2
a−3
2
2
2
2
(3 + x) (3 − x)
24.
n (n − 1) + n (n − 1) − n − (n − 1)
4
2
25. 20a + 10 + 40a + 20 − 60a + 30
1
1
1
−
20.
2 +
3 −
−
n
n
1
(n + 1)
(n − 1)
=
2
9 − 54 x − 55x 2
(x + 5)(x − 2)(x − 1)
1
=
2
2
3x 2 − 3x + 2 x − 2 − 5x 2 + 10 x − x + 2 + 4 x 2 + 20 x − x − 5
2 x + 27 x − 5
2
(3 + x) (3 − x)
(3x + 2)(x − 1) − (5x + 1)(x − 2) + (4 x − 1)(x + 5)
(x + 5)(x − 2)(x − 1)
(x + 5)(x − 2)(x − 1)
2
9 − x 2 − 9 x 2 + x 4 − 9 x 2 + 6 x 3 − x 4 − 54 x − 36 x 2 − 6 x 3
2
=
mcm = (3 + x ) (3 − x )
;
5
x
x+1
x−1
−
+
−
2 x + 2 3x − 3 6x + 6 18 x − 18
23.
2
=
2
(1− x )(9 − x ) − x (3 − x) − 6x (3 + x)
=
(3 + x) (3 − x)
a 2 + 2ab + b 2 − a 2 + ab − b 2 + 3a 2
a 3 + b3
2
=
9 + 6 x + x 2 = (3 + x )
2
(a − 25)(a + 5)
4
2
=
=
2 ( x − 2) − ( x + 1) + 3 (2 x + 3)
(2 x + 3)( x + 1)(x − 2)
2 x − 4 − x − 1+ 6x + 9
=
7x + 4
(2 x + 3)( x + 1)(x − 2) (2 x + 3)(x + 1)( x − 2)
a−1
a−2
mcm = (a − 2)(a + 3)(a − 1)
1
−
+
27.
a− 2 a+ 3 a−1
(a − 1) (a + 3) − (a − 2) (a − 1) + (a − 2)(a + 3)
(a − 2)(a + 3)(a − 1)
a − 2a + 1)(a + 3) − (a − 4a + 4)(a − 1) + a + a − 6
(
=
(a − 2)(a + 3)(a − 1)
2
2
=
2
mcm = m2 − n2
a 3 + 3a 2 − 2a 2 − 6a + a + 3 − a 3 + a 2 + 4a 2 − 4a − 4a + 4 + a 2 + a − 6
(a − 2)(a + 3)(a − 1)
x2
x2
x
2x
2x
2x
−
=
+
=
+
x − xy y − x x ( x − y) x − y x − y x − y
2.
7a 2 − 12a + 1
2
(a − 2)(a + 3)(a − 1)
mcm = x − y
=
=
=
=
=
mcm = (4 − 9a 2 )(2 − 3a )
8 − 18a 2 + 12a − 27a 3 − 8 + 36a − 54a 2 + 27a 3 − 2a − 3a 2
(4 − 9a )(2 − 3a )
4.
(4 − 9a )(2 − 3a)
2
2 − 2a + 2 a 2 − 2a 3 + 2 + 2 a + 2a 2 + 2 a 3 − 1 + a 2
10 (1 + a )(1 − a )
2
5.
5a 2 + 3
10 (1 − a )
4
(2 − x)(1+ x) = 1+ x
x (2 − x )( x + 2) x (2 + x)
(a + b)(a + b) − a = a + 2ab + b − a = 2ab + b
a (a − b )
a (a − b )
a (a − b )
2
2
3 + 3x = 3 (1 + x )
mcm = 6 (1 + x )(1 − x ) = 6 (1 − x )
2
=
2 ( x − 4) + x ( x + 1)
2 ( x − 3)( x + 1)
2
2
=
2x − 8 + x2 + x
2
x 2 + 3x − 8
=
2 ( x − 3)( x + 1) 2 ( x − 3)( x + 1)
1
1
=
−
1
x + 3− x − 4
=
(x − 2)(x + 3)(x + 4)
=
(x − 2)(x + 3)(x + 4) (2 − x)(x + 3)(x + 4)
2 (1 + x 2 )(1 + x ) − 2 (1 + x 2 )(1 − x ) + x (1 − x 2 ) − 3x (1 + x 2 ) 7.
6 (1 − x 4 )
2 + 2 x + 2 x 2 + 2 x 3 − 2 + 2 x − 2 x 2 + 2 x 3 + x − x 3 − 3x − 3x 3
−1
1
=
1
2
7
1
2
7
+
+
=
−
+
2 x + 2 1 − x 4 x − 4 2 ( x + 1) x − 1 4 (x − 1)
mcm = 4 ( x 2 − 1)
=
x
=
6 (1 − x 4 ) 3(1 − x 4 )
2
2
(2 − x)(x + 3) (x + 4)(x − 2) (x − 2)(x + 3)
mcm = ( x − 2)( x + 3)( x + 4)
x + 3 − ( x + 4)
=
(x − 2)(x + 3)(x + 4)
4
6 (1 − x 4 )
2
2
mcm = 2 ( x − 3)( x + 1)
1
;
2
2
+
6. 2
x + 2x − 8
2
=
x−4
x
x−4
x
−
=
+
x 2 − 2 x − 3 6 − 2 x ( x − 3)( x + 1) 2 ( x − 3)
2
6 + 6 x 2 = 6 (1 + x 2 ) ; 2 − 2 x 2 = 2 (1 − x 2 )
=
x (4 − x 2 )
a+b
a
a+b
a
+
=
−
a 2 − ab b 2 − a 2 a (a − b) a 2 − b 2
mcm = 10 (1 + a 2 )(1 − a 2 ) =
10 (1 + a 2 )(1 − a 2 )
2x
2 + x − x2
mcm = a (a 2 − b2 )
2 (1 + a 2 )(1 − a ) + 2 (1 + a 2 )(1 + a ) − (1 − a 2 )
3 − 3x = 3 (1 − x )
=
=
2
46a − 75a 2
1
x
1
x
+
=
−
2 x − x 2 x 2 − 4 x (2 − x) 4 − x 2
mcm = x (4 − x 2 )
2
x
x
1
1
−
+
−
3 − 3x 3 + 3x 6 + 6 x 2 2 − 2 x 2
=
x + 2 x 3x
=
x− y x− y
3.
(2 + 3a)(4 − 9a ) − (2 − 3a ) − a (2 + 3a )
(4 − 9a )(2 − 3a )
1
1
1
+
−
5 + 5a 5 − 5a 10 + 10a 2
=
=
3
2
30.
1.
2
2 + 3a 2 − 3a
a
28.
−
−
2 − 3a 2 + 3a (2 − 3a )2
29.
1
1
m
m
+
=
−
m − n n2 − m2 m − n m2 − n2
m+n−m
n
= 2 2 = 2 2
m −n
m −n
2
=
=
EJERCICIO 131
=
2 ( x − 1) − 8 ( x + 1) + 7 ( x + 1)
4 ( x 2 − 1)
2 x − 2 − 8x − 8 + 7 x + 7
4 ( x 2 − 1)
=
x− 3
4 ( x 2 − 1)
8.
1
+
12.
a−3
2a
3a
2a
2a
3a
2a
+
+
=
+
−
a + 3 a − 3 9 − a2 a + 3 a − 3 a2 − 9
a+1
(3 − a)(a − 2)
+
2
(2 − a)(1− a)
1
2
a+1
−
+
a − 3 (a − 3)(a − 2) (a − 2)(a − 1)
mcm = a 2 − 9
=
2a (a − 3) + 3a (a + 3) − 2a
a2 − 9
=
mcm = (a − 3)(a − 2)(a − 1)
=
2a 2 − 6a + 3a 2 + 9a − 2a 5a 2 + a
= 2
a2 − 9
a −9
=
x + 3y
3y 2
x
x + 3y
3y 2
x
+ 2
=
+ 2
−
2 −
y+ x x − y
y − x y + x x − y2 x − y
=
mcm = x 2 − y 2
=
9.
(x + 3y)( x − y) + 3y + x (x + y)
2
=
=
x −y
2
2
13.
x 2 − xy + 3xy − 3 y 2 + 3 y 2 + x 2 + xy 2 x 2 + 3xy
= 2
x2 − y2
x − y2
x
+
10. 2
x + 2x − 3
x− 3
x
=
+
−
x− 3
1
+
=
x + 2x − x + 9 + x + 2x − 3
11.
2
1
2
(x + 3)(x + 2)(x − 1)
=
a+3
(3 − a)(a − 2)(a − 1)
2
1
2 x 2 x ( x + 1)
−
+ 2
x−1
x3 − 1
x + x+1
=
2 x ( x 2 + x + 1) − 2 x 2 ( x + 1) + ( x − 1)
x3 − 1
=
2 x 3 + 2 x 2 + 2 x − 2 x 3 − 2 x 2 + x − 1 3x − 1
= 3
x3 − 1
x −1
x+ 2
x + 4x + 6
(x + 3)( x + 2)(x − 1)
=
3
1
4
3
1
4
−
−
=
−
+
2a + 2 4a − 4 8 − 8a 2 2 (a + 1) 4 (a − 1) 8 (a 2 − 1)
x+1
4 x 2 + 6x + 3
(x + 2)(2 x − 3) − (x + 1)(3x − 1) + 4 x + 6x + 3
(2 x − 3)(3x − 1)
2
=
=
=
12 (a − 1) − 2 (a + 1) + 4
8 (a − 1)
x+ 2
x+1
4 x 2 + 6x + 3
−
+
3x − 1 2 x − 3 (2 x − 3)(3x − 1)
mcm = (2 x − 3)(3x − 1)
mcm = 8 (a 2 − 1)
=
−a−3
(a − 3)(a − 2)(a − 1)
14. 3x − 1 + 3 − 2 x + 6 x 2 − 11x + 3
2
=
(a − 3)(a − 2)(a − 1)
mcm = x 3 − 1
(x + 3)(x − 1) (x − 1)(x + 2) x + 2
mcm = ( x + 3)( x + 2)( x − 1)
x ( x + 2) − ( x − 3)( x + 3) + ( x + 3)( x − 1)
=
(x + 3)(x + 2)(x − 1)
2
a 2 − 3a + 2 − a 2 + 1 + 2a − 6
2x 2 x3 + 2x2
1
+
+ 2
x−1
1− x 3
x + x+1
=
(1− x)(x + 2) x + 2
(a − 2)(a − 1) − (a + 1)(a − 1) + 2 (a − 3)
(a − 3)(a − 2)(a − 1)
2
10 (a − 1)
12a − 12 − 2a − 2 + 4 10a − 10
5
=
=
=
8 (a 2 − 1)
8 (a 2 − 1) 8 (a − 1)(a + 1) 4 (a + 1)
2 x 2 − 3x + 4 x − 6 − 3x 2 + x − 3x + 1 + 4 x 2 + 6 x + 3
(2 x − 3)(3x − 1)
(x + 2)(3x − 1) = x + 2
3x + 5x − 2
=
=
(2 x − 3)(3x − 1) (2 x − 3)(3x − 1) 2 x − 3
2
EJERCICIO 132
2a 2 6b2 12a 2b2
⋅
=
= ab
1.
3b 4a
12ab
2.
x 2 y 10a 3 9m 90x 2 ya 3m 6a 3y
⋅
⋅
=
=
xm
5 3m2 x 3
15x 3m2
5x 2 4y 2 14m 14 ⋅ 5 ⋅ 4x 2my 2
8
⋅
⋅
=
=
3.
7y 3 7m3 5x 4
49 ⋅ 5x 4m3 y 3 7x 2m2 y
4.
5 2a 3b 10 ⋅ 3ab 3
⋅
⋅
=
=
a b2 10 10ab2 b
2x 3 3a 2 5x 2
15 ⋅ 2a 2 x 5
2x 4
=
⋅
⋅
=
5.
3
2
3
3
y 7xy
15a
15 ⋅ 7a xy
7ay 3
n2
7a 3m 5n4
7 ⋅ 3 ⋅ 5amn4
⋅
⋅
=
=
6.
2
2
2 2
6m 10n 14ax 14 ⋅ 6 ⋅10am n x 8mx
7.
8.
x (2 x + 1)
2x2 + x
8
4
2x
+
=
⋅
=
6
4x + 2
3
2 (2 x + 1) 3
5x + 25 7 x + 7 5( x + 5) 7 ( x + 1) x + 1
⋅
=
⋅
=
14
10 x + 50
14
4
10 ( x + 5)
9.
1 − x a 2 + a x 2 1 − x a (a + 1) x 2
⋅ =x
21. a + 1 ⋅ x − x 2 ⋅ a = a + 1 ⋅
x (1 − x) a
m+ n
n2
⋅
mn − n 2 m2 − n 2
=
m+ n
n2
⋅
n (m − n) (m + n)(m − n)
xy − 2 y x + 2 xy + y
⋅
x 2 + xy
x 2 − 2 xy
2
10.
=
11.
2
y ( x − 2 y)
=
n
(m − n)
2
=
n
m − 2mn + n 2
22.
2
2
(x + y) = y (x + y) = xy + y
x
x
x (x + y) x ( x − 2 y)
⋅
2
( x − 4)(x + 2) ⋅ x (x + 4)
(x − 4)( x + 4) x (x + 1) (x + 2)(x + 2)
x ( x + 2) ( x − 4)( x + 4)
1
=
=
x ( x + 2) ( x − 4)( x + 4)( x + 1) x + 1
(m + n) − x ⋅ (m − n) − x
23.
(m + x) − n m + mn − mx
(m + n + x)(m + n − x) ⋅ (m − n + x)(m − n − x)
=
(m + n + x)(m − n + x) m (m + n − x)
2
2
2
2
2
2
2
2
=
2
a 2 − ab + a − b
3
⋅
13.
a 2 + 2a + 1 6a 2 − 6ab
2
2
2
2
2
2
2
x (x − 2 y)
(x − 2 y) ⋅
x
x − 2 xy
=
=
=
x + 4 xy + y
x ( x + 2 y) ( x + 2 y)( x − 2 y ) ( x + 2 y)
2 x ( x + 1)
x ( x − 3)
2 x + 2 x x − 3x
⋅
=
⋅
=1
12.
2x
x − 2x − 3
2x
(x − 3)(x + 1)
2
⋅
2
2
2
x 2 − 4 xy + 4 y 2
x2
⋅ 2
x 2 + 2 xy
x − 4y2
2
x ( x + 2)
=
2
2
x2 + 2x x2 − 2x − 8 x2 + 4x
⋅ 2
⋅
x 2 − 16 x 3 + x 2
x + 4x + 4
2
2
2
m− n − x
m
24. 2a + 2ab
x3 − x
x
⋅
2ax − 2ax a x + b2 x x + 1
3
2
2
⋅
2
2a (a 2 + b2 ) x ( x 2 − 1) x
(a + 1)(a − b) ⋅ 3 = 1 = 1
=
⋅
⋅
=1
2ax ( x − 1) x (a 2 + b2 ) x + 1
(a + 1)(a + 1) 6a (a − b) 2a (a + 1) 2a + 2a
(x − y) x + x + 1 = (x − y) ⋅ x + x + 1 = x − y 25. a − 5a + 6 ⋅ 6a ⋅ a − 25
3a − 15 a − a − 30 2a − 4
14. x − 1 ⋅
x−1
(x − y) (x − 1)(x + x + 1)
(a − 3)(a − 2) ⋅ 6a
(a + 5)(a − 5)
=
⋅
2a − 2 a − 4a − 5 2 (a − 1) (a − 5)(a + 1)
3 (a − 5)
(a − 6)(a + 5) 2 (a − 2)
15.
⋅
=
⋅
2a − 50 3a + 3
2 (a − 25)
3(a + 1)
a (a − 3) a − 3a
=
=
a − 1)(a − 5)
(
a−1
a−1
a−6
a−6
=
=
=
3(a + 5)(a − 5) 3(a + 5) 3a + 15
x − 3xy − 10 y x − 16 y x − 6xy
⋅
⋅
26.
x − 2 xy − 8 y
x + 4 xy x + 2 y
3 ( x + 2)
2 x − 3x − 2 3x + 6 ( x − 2)(2 x + 1)
⋅
=
⋅
=
1
16.
6x + 3
x −4
3 (2 x + 1)
( x − 2)( x + 2)
(x − 5y)(x + 2 y) ⋅ (x + 4 y)(x − 4 y) ⋅ x (x − 6 y)
=
x + 2y
x − 4 y)( x + 2 y)
x (x + 4 y )
(
y + 9 y + 18 5 y − 25 ( y + 6)( y + 3) 5 ( y − 5)
⋅
=
⋅
= y+6
17.
y−5
y−5
5 y + 15
5( y + 3)
(x − 5y)(x − 6 y) = x − 11xy + 30 y
=
=
2
3
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
18.
x + 2y
x + 2 x − 3x 2 x + 3x
⋅
4 x 2 + 8x + 3 x 2 − x
3
=
=
2
2
(2 x + 1)( x − 1)
=
(x + 2a) ⋅ 2a (x − 2a) ⋅ 6 (a + x)
3a ( x − 2a ) a ( x + 1) ( x + 2a )( x + a )
4 ( x + 2a ) 4 x + 8a
=
=
ax + a
a ( x + 1)
2
=
x ( x + 3) x 2 + 3x
=
2x + 1
2x + 1
x − 27 a 2 + a + 1
⋅
a 3 − 1 x 2 + 3x + 9
3
19.
(x − 3)(x + 3x + 9) ⋅ a + a + 1 = x − 3
(a − 1)(a + a + 1) x + 3x + 9 a − 1
2
=
2
x + 2y
x 2 + 4ax + 4a 2 2ax − 4a 2
6a + 6 x
⋅ 2
⋅
27.
ax + a
x + 3ax + 2a 2
3ax − 6a 2
x ( x 2 + 2 x − 3) x (2 x + 3)
⋅
(2 x + 3)(2 x + 1) x ( x − 1)
x ( x + 3)( x − 1)
2
2
2
a 2 + 4ab + 4b 2 2a + 4b (a + 2b) 2 (a + 2b) 2
⋅
=
⋅
=
20.
3
3
(a + 2b)3 3
(a + 2b)3
2
a 2 − 81 a + 11 2a − 12 a 3 + 5a 2
28. 2a 2 + 10a ⋅ a 2 − 36 ⋅ 2a + 18 ⋅ 2a + 22
(a + 9)(a − 9) ⋅ a + 11 ⋅ 2 (a − 6) ⋅ a (a + 5)
2a (a + 5) (a + 6)(a − 6) 2 (a + 9) 2 (a + 11)
a (a − 9) a − 9a
=
=
4 (a + 6) 4a + 24
2
=
2
30.
29.
a 2 + 7a + 10 a 2 − 3a − 4 a 3 − 2a 2 − 3a
⋅
⋅
a 2 − 6a − 7 a 2 + 2a − 15 a 2 − 2a − 8
(a + 5)(a + 2) ⋅ (a − 4)(a + 1) ⋅ a (a − 2a − 3)
(a − 7)(a + 1) (a + 5)(a − 3) (a − 4)(a + 2)
a (a − 3)(a + 1) a (a + 1) a + a
=
=
=
(a − 3)(a − 7) a − 7 a − 7
1
x 4 + 27 x
x4 + x
x2
⋅ 4
2 ⋅
3
2
3
2 ⋅
x − x + x x − 3x + 9 x x ( x + 3) x − 3
=
2
=
2
a 
a 

1.  a + b   a − b + 1


2
(x + 3)(x − 3x + 9) ⋅ (x + 1)(x − x + 1) ⋅
2
2
x − x+1
x − 3x + 9
2
2
a ab + a a (b + 1)
=
=
b
b
b
=
a (b + 1) ab
⋅
= a2
b
b+1
12
x+1
(x + 2)(x + 1) − 12
x+1
x 2 + 3x + 2 − 12 x 2 + 3x − 10 ( x + 5)( x − 2)
=
=
=
x+1
x+1
x+1
10 − 3x
⇒ x−2+
x+5
=
(x − 2)(x + 5) + 10 − 3x = x + 3x − 10 + 10 − 3x = x
x+5
(x + 5)(x − 2) ⋅ x
x+5
x ( x + 1) − 2 x 2 + x − 2 ( x + 2)( x − 1)
2
⇒ x−
=
=
=
x+1
x+1
x+1
x+1
⇒
⇒ x+
 x 
x2 

 1+   x −
6. 
y 
x + y
x ( x + 2) + 1 x 2 + 2 x + 1 ( x + 1)( x + 1)
1
=
=
=
x+2
x+2
x+2
x+2
x+1
(x + 2)(x − 1) ⋅ (x + 1) = x − 1 x + 1 = x − 1
( )( )
x+1
x+2
2
a+ x− x
a
x
⇒ 1−
=
=
a+ x
a+ x
a+ x
x a+ x
⇒ 1+ =
a
a
a a+ x
⇒
⋅
=1
a+ x a

ab   b 2 
a+
  1− 
a − b  a2 
4. 
⇒ a+
ab a (a − b) + ab a 2 − ab + ab
a2
=
=
=
a−b
a−b
a−b
a−b
⇒ 1−
b2 a 2 − b2
=
a2
a2
a 2 a 2 − b 2 (a + b)(a − b)
=a+b
⋅
=
a−b
a2
(a − b)
2
x+5
=
x 2 ( x − 2) x 3 − 2 x 2
=
x+1
x+1
x (x + y) − x
x2
x 2 + xy − x 2
xy
=
=
=
x+ y
x+ y
x+ y
x+ y
2
⇒ x−
⇒
y + x xy
⋅
=x
y x+ y

ax + x 2  
x 
a+ x−
  1+

7. 
a + 2x   a + x
ax + x 2
a + 2x
⇒ a+ x−
(a + x)(a + 2 x) − (ax + x )
2
=
a + 2x
a + 3ax + 2 x 2 − ax − x 2 a 2 + 2ax + x 2 (a + x )
=
=
a + 2x
a + 2x
a + 2x
x
a + x + x a + 2x
⇒ 1+
=
=
a+ x
a+ x
a+ x
2
2
=
(a + x) ⋅ a + 2 x = a + x
2
⇒
a + 2x
a+ x
2
x+5
x y+ x
=
y
y
⇒ 1+
2

x   x
 1−
  1+ 
3.  a + x   a 
⇒
(x − 9)(x + 3)
2

2 
1 
2.  x − x + 1  x + x + 2 



⇒
1
2
x+1
= 2
x −9
⇒ x+ 2−
a (b + 1) − a ab + a − a
a
ab
=
=
⇒ a−
=
b+1
b+1
b+1
b+1
⇒
x ( x 3 + 1)
x
⋅
2
x ( x − x + 1) x ( x 2 − 3x + 9) ( x + 3) ( x − 3)
⋅
2

12  
10 − 3x 
 x+ 2−
  x− 2+

5. 
x + 1 
x+5 
EJERCICIO 133
⇒ a+
=
x ( x 3 + 27)

mn  
n3 
 m−
  1+ 3 
m+ n  m 
9. 

x 3 − 6x  
8 
x− 2
  x + 1−

x − 25  
x + 3
8. 
x 3 − 6 x x (x − 25) − (x − 6 x )
=
x 2 − 25
x 2 − 25
2
⇒ x−
=
x 2 + 4 x + 3 − 8 x 2 + 4 x − 5 (x + 5)( x − 1)
=
=
x+3
x+3
x+3
(5 − x)(x + 3)
=
=
=
a b+ a
=
b
b
b a−b
⇒ 1− =
a
a
b2
a2
⇒ 1+ 2
2 =
2
a −b
a − b2
⇒ 1+
14 x 2
2a + x
⇒
2
2a + x
a 2 + 5x 2
a + 4x
⇒ 2+
(a − x)(a + 4 x) + a + 5x
2
=
=
b+ a a −b
a2
a2 a
⋅
⋅
=
=
b
a (a + b)(a − b) ab b

2 
6 
1
2+
  3−
  1+ 
x + 1 
x + 2 
x
12. 
2a 2 + 5ax + 2 x 2 − 14 x 2 2a 2 + 5ax − 12 x 2 (a + 4 x )(2a − 3x )
=
=
2a + x
2a + x
2a + x
⇒ a− x+
a 2 + 3ax − 4 x 2 + a 2 + 5x 2 2a 2 + 3ax + x 2 (a + x )(2a + x )
=
=
a + 4x
a + 4x
a + 4x
(a + 4 x)(2a − 3x) ⋅ (a + x )(2a + x)
2a + x
3 ( x + 2 ) − 6 3 x + 6 − 6 3x
6
=
=
=
x+ 2
x+2
x+2
x+ 2
⇒ 1+
1 x+1
=
x
x
⇒
a + 4x
= (2a − 3x )(a + x ) = 2a 2 − ax − 3x 2
EJERCICIO 134
2
1.
2
x
xy
2x x y
÷
=
⋅
=
3y 2 y 3 3y 2 2x 6
2
2.
2
3a b
3a b 1
3
÷ a 2b 3 =
⋅
=
5x 2
5x 2 a 2b3 5b 2 x 2
2
3.
7.
3
4
2
2 3
4
a 2x
5
= 6a 2 x 3 ⋅ 2 = 30x 2
a x
5
15m2
20y 2
15m2 38a 3 x 4 3m2a 2 x
÷
=
⋅
=
5.
3
3 4
19ax
38a x
19ax 3 20y 2
2y 2
11x 2 y 3
11x 2 y 3
1
x2
÷ 22y 4 =
⋅
=
6.
2
2
4
7m
7m
22y
14m2 y
2 ( x + 2 ) 3x x + 1
⋅
⋅
=6
x+1 x+ 2 x
x − 1 2x − 2 x − 1
6
÷
=
⋅
=1
3
6
3 2 ( x − 1)
3a 2
5a 3
8. a 2 + 6ab + 9b 2 ÷ a 2b + 3ab 2 =
an
5m
10m
5m 14an
÷
=
⋅
=
7n3 14an4 7n3 10m4 m2
4. 6a x ÷
2 ( x + 1) + 2 2 x + 4 2 ( x + 2)
2
=
=
=
x+1
x+1
x+1
x+1
⇒ 3−
2
a + 4x
⇒
2
b2 
 a  b 

11.  1 +   1 −   1 + 2
b
a  a − b2 
19 x 2 − 19 x
19 x 2 − 19 x
=
5x + 15 − x 2 − 3x 15 + 2 x − x 2
(a + 2 x )(2a + x) − 14 x
2
m2 (m + n)(m − mn + n ) m2 − mn + n2
⋅
=
m+ n
m3
m
⇒

14 x 2  
a 2 + 5x 2 
 a + 2x −
 a− x+

2a + x  
a + 4x 
10. 
⇒ a + 2x −
n3 m3 + n3 (m + n)(m − mn + n )
=
=
m3
m3
m3
2
19 x (x + 5)(x − 1)
⋅
x+3
25 − x 2
19 x (x − 1)
mn m (m + n) − mn m2 + mn − mn m2
=
=
=
m+ n
m+ n
m+ n
m+ n
2
⇒ 1+
(x + 1)(x + 3) − 8
8
=
x+3
x+3
=
⇒
⇒ m−
x 3 − 25x − x 3 + 6 x − 19 x
19 x
= 2
=
x 2 − 25
x − 25 25 − x 2
=
⇒ x + 1−
3
9.
3a 2
(a + 3b)
2
⋅
ab (a + 3b)
3b
=
5a 3
5(a + 3b)
2
x 3 − x 5x 2 − 5x x (x − 1) 2 (x + 3) x + 1
÷
=
⋅
=
2
2 x + 6x 2 x + 6 2 x ( x + 3) 5x ( x − 1) 5x
1
2
10. a 2 − a − 30 ÷ a 2 + a − 42
(a + 7)(a − 6) = a + 7
2
2 (a + 5)
20x − 30 x 4 x − 6 5x (4 x − 6) x + 1
1
⋅
=
11. 15x + 15x ÷ x + 1 =
15x (x + 1) (4 x − 6) 3x
=
1
(a − 6)(a + 5)
⋅
2
3
2
2
a 2 − 6a + 5
a 2 + 2a − 35
12. a 2 − 15a + 56 ÷ a 2 − 5a − 24
18.
(a − 5)(a − 1) ⋅ (a − 8)(a + 3)
(a − 8)(a − 7) (a + 7)(a − 5)
(a − 1)(a + 3) = a + 2a − 3
=
(a − 7)(a + 7) a − 49
2
13.
8 x 2 + 26 x + 15 6x 2 + 13x − 5
÷
16 x 2 − 9
9x2 − 1
=
(2 x + 5)(4 x + 3) ⋅ (3x + 1)(3x − 1) = 3x + 1
(4 x + 3)(4 x − 3) (2 x + 5)(3x − 1) 4 x − 3
x − 121x x − 11x
÷
x 2 − 49
x+ 7
3
14.
=
15.
(x + 7) = x + 11
(x + 7)(x − 7) x (x − 11) x − 7
ax 2 + 5
20.
21.
7x2 + 7x + 7
x3 − 1
÷
2x − 2x + 2
7x3 + 7
2
(x − 1)(x + x + 1) ⋅ 7 (x + 1)
2 ( x − x + 1) 7 ( x + x + 1)
(x − 1) ⋅ x + 1 x − x + 1 = (x − 1)(x + 1) = x − 1
=
( )(
)
2
2
2 ( x − x + 1)
2
=
3
2
2
2
2
x 3 + 125
15x 2 + 7 x − 2 6 x 2 + 13x + 6
÷
25x 3 − x
25x 2 + 10 x + 1
2
(a + 1)(a − 1) ⋅ 3a (a + 3) = 3(a − 1)
a (a + 1)
(a + 3)(a + 1) a
÷
17. x 2 −
64
2
2
2
⋅
22.
2mx − 2my + nx − ny
÷ 8m + 4n
3x − 3 y
=
2
2
2
2
⋅
2a − 1
1
=
(2a + 1)(2a − 1) a 2 (ax 2 + 5) a 2 (2a + 1)
2
2
(3x + 2)(5x − 1) ⋅ (5x + 1) = 5x + 1 = 5x + 1
=
x (5x − 1)(5x + 1) (2 x + 3)(3x + 2) x (2 x + 3) 2 x + 3x
a 4 − 1 a 4 + 4a 2 + 3
÷
3a 3 + 9a
a3 + a2
=
2
a (a + 9)
a 2 − 6a a 2 + 3a − 54 a (a − 6)
1
⋅
=
19. a 3 + 3a 2 ÷ a 2 + 9a = 2
a (a + 3) (a + 9)(a − 6) a + 3
ax 2 + 5 a 3 x 2 + 5a 2
÷
4a 2 − 1
2a − 1
=
16.
=
2
x ( x 2 − 121)
(4 x − 3y) ⋅ 2 (16x + 12 xy + 9 y ) = 1
4 (4 x − 3y ) (4 x − 3 y)(16 x + 12 xy + 9 y ) 2
2
=
2
16 x 2 − 24 xy + 9 y 2
64 x 3 − 27 y 3
÷
16 x − 12 y
32 x 2 + 24 xy + 18 y 2
2
2
23.
x 3 − 5x 2 + 25x
x 2 + x − 56
x 2 − 6x + 9 x 2 + 5x − 24
÷ 2
4x2 − 1
2 x + 17 x + 8
(x − 3) ⋅ (2 x + 1)(x + 8) = x − 3
(2 x + 1)(2 x − 1) (x + 8)(x − 3) 2 x − 1
2
=
(x + 5)(x − 5x + 25) ⋅ (x + 8)(x − 7)
(x + 8)(x − 8) x (x − 5x + 25)
(x + 5)(x − 7) = x − 2 x − 35
=
x − 8x
x ( x − 8)
2
=
(2m + n)(x − y) ⋅ 1 = 1
3( x − y)
4 (2m + n) 12
2
24.
2a 2 + 7ab − 15b 2 a 2 − 3ab − 40b 2
÷ 2
a 3 + 4a 2b
a − 4ab − 32b 2
2
2
=
(a + 5b)(2a − 3b) ⋅ (a − 8b)(a + 4b) = 2a − 3b
a (a + 4b)
(a − 8b)(a + 5b) a
2
2
EJERCICIO 135

a   2a 
 1+
 ÷  1+ 
a
b
+ b 

1.
a
a + b + a 2a + b
=
=
a+b
a+b
a+b
2a b + 2a
⇒ 1+
=
b
b
b
b
2 a + b b + 2a 2 a + b
⇒
÷
=
⋅
=
a+b
b
a + b b + 2a a + b
⇒ 1+

2  
x 

 

2.  x − x + 1 ÷  x − x + 1
⇒ x−
⇒ x−
⇒
x ( x + 1) − 2 x 2 + x − 2
2
=
=
x+1
x+1
x+1
x ( x + 1) − x x 2
x
=
=
x+1
x+1
x+1
x2 + x − 2 x2
x2 + x − 2 x + 1 x2 + x − 2
÷
=
⋅ 2 =
x+1
x+1
x+1
x
x2

1  
1 

6.  1 − 3  ÷  x +
x − 1
 x + 2 

a2  
2 

 ÷  1+
 1− a +
1 + a   a 2 − 1
3. 
⇒ 1−
2
a2 − 1+ 2 a2 + 1
⇒ 1+ 2 =
= 2
a −1
a2 − 1
a −1
⇒ x+
2
⇒
1
x 3 + 2 − 1 x 3 + 1 ( x + 1)( x − x + 1)
= 3
= 3
=
x +2
x +2
x +2
x3 + 2
2
a 2 (1 − a )(1 + a) + a 1 − a 2 + a 2
1
=
=
⇒ 1− a +
=
1+ a
1+ a
1+a
1+ a
3
x ( x − 1) + 1 x 2 − x + 1
1
=
=
x−1
x−1
x−1
(x + 1)(x − x + 1) ÷ x − x + 1
2
1
a2 + 1
1 a2 − 1 a − 1
=
⋅
÷ 2 =
1+ a a − 1 1 + a a 2 + 1 a 2 + 1
⇒
2
x3 + 2
(x + 1)(x − x + 1) ⋅
2
=

2  
3 
x+
 ÷x+

4. 
x + 3 
x + 4
⇒ x+
⇒ x+
( x + 1)(x + 2) ÷ (x + 3)( x + 1)
⇒
x+ 3
⇒ 1+
x+4
2

2

b2 
b 
⇒ a+b+
(a + b)(a − b) + b = a − b + b = a
b
=
a−b
a−b
a−b
a−b
5.  a + b + a − b  ÷  1 − a + b 
2
2
⇒
2
2
2
2
2
2
x 2 − 4 + 3 x 2 − 1 ( x + 1)( x − 1)
3
=
= 2
=
x2 − 4
x2 − 4
x − 4 ( x + 2)( x − 2 )
( x + 1) ÷ ( x + 1)(x − 1)
x+2
(x + 2)(x − 2)
( x + 1) ⋅ (x + 2)( x − 2) = ( x + 1)( x − 2) = x − x − 2
=
x + 2 ( x + 1)( x − 1)
x−1
x−1
(x + 2)( x + 4) = x + 6 x + 8
=
x + 6x + 9
( x + 3)(x + 1) (x + 3)
x+ 4
x ( x + 2) + 1 x 2 + 2 x + 1 ( x + 1)
1
=
=
=
x+ 2
x+2
x+2
x+2
2
x ( x + 4 ) + 3 x 2 + 4 x + 3 ( x + 3)( x + 1)
3
⇒ x+
=
=
=
x+4
x+4
x+ 4
x+4
x+3
(x + 1)(x − 1) = x 2 − 1
x−1
=
x − x+1
x3 − 2
x3 + 2
2

1  
3 
x+
 ÷  1+ 2

x + 2 
x − 4
7. 
x ( x + 3) + 2 x 2 + 3x + 2 ( x + 1)( x + 2)
2
=
=
=
x+3
x+3
x+ 3
x+3
( x + 1)(x + 2) ⋅
=
x +2
3
x−1
2
2

n − 1
2n − 1  2
8.  n − n 2 + 2  ÷  n + 1 − n 
2n − 1 n (n + 2) − (2n − 1) n3 + 2n − 2n + 1 n3 + 1
=
=
= 2
n2 + 2
n2 + 2
n2 + 2
n +2
2
⇒ n−
b
a+b−b
a
⇒ 1−
=
=
a+b
a+b
a+b
n − 1 n (n + 1) − (n − 1) n3 + n − n + 1 n3 + 1
=
=
=
n
n
n
n
n3 + 1 n3 + 1 n3 + 1 n
n
⇒ 2
÷
= 2
⋅
=
n +2
n
n + 2 n3 + 1 n2 + 2
2
a2
a
a 2 a + b a (a + b) a 2 + ab
⇒
÷
=
⋅
=
=
a−b a+b a−b a
a−b
a−b
⇒ n2 + 1−
EJERCICIO 136
64a 2 − 81b 2 ( x − 9) 8a 2 + 9ab
⋅
÷
x 2 − 81
8a − 9b
(x + 9)2
2
4.
3x 8y z2 2 3x 2 2x 2
⋅
÷
= ⋅
= 2
1.
z
4 y 9x 3x 2 3 z 2
(8a + 9b)(8a − 9b) ⋅ (x − 9) ⋅ (x + 9)
(x + 9)(x − 9) 8a − 9b a (8a + 9b)
x
( − 9)(x + 9) = x − 81
=
2
2
=
2
5a  2a 5x  5a 2ab 2 2a 2b
÷
⋅
= ⋅
=
2.
b  b 2 4a 2  b 5x
x
a
5.
a + 1 3a − 3
a2 + a
⋅
÷
2
3. a − 1 2a + 2 a + a − 2
=
=
a + 1 3 (a − 1) (a + 2)(a − 1)
⋅
⋅
a − 1 2 (a + 1)
a (a + 1)
3 (a + 2)(a − 1)
2a (a + 1)
=
3a 2 + 3a − 6
2a 2 + 2 a
a
x − x − 12 x − x − 56 x 2 − 5x − 24
⋅
÷
x 2 − 49 x 2 + x − 20
x+5
2
2
=
(x − 4)(x + 3) ⋅ (x − 8)(x + 7) ⋅ x + 5 = 1
(x + 7)(x − 7) (x + 5)(x − 4) (x − 8)(x + 3) x − 7
6.
a 2 − 8a + 7 a 2 − 36 a 2 − a − 42
⋅
÷
a 2 − 11a + 30 a 2 − 1 a 2 − 4a − 5
=
(a − 7)(a − 1) ⋅ (a + 6)(a − 6) ⋅ (a − 5)(a + 1) = 1
(a − 6)(a − 5) (a + 1)(a − 1) (a − 7)(a + 6)
2
x 4 − 27 x x 2 + 20 x + 100 x 2 − 100 x ( x − 3)(x + 3x + 9) ( x + 10)
x− 3
x− 3
⋅
÷
=
⋅
⋅
=
7. 2
x + 7 x − 30 x 3 + 3x 2 + 9 x
x−3
(x + 10)(x − 3) x (x 2 + 3x + 9) (x + 10)(x − 10) x − 10
2
(a + 1) ÷  a + a ⋅ 4 x + 8 = a + 1 ÷ a (a + 1) ⋅ 4 (x + 2) = a + 1 ⋅ 3(a − 2)(x − 3) = x − 3 = x − 3
8.
3a − 6  6a − 12 x − 3  3 (a − 2) 6 (a − 2) x − 3 3 (a − 2) 2a (a + 1)( x + 2) 2a ( x + 2) 2ax + 4a
2
3
2
2
2
2
(3x + 2) = (2 x − 3) = 4 x 2 − 12 x + 9
8 x 2 − 10 x − 3 4 x 2 − 9 8 x 2 + 14 x + 3 (2 x − 3)(4 x + 1) (2 x + 3)(2 x − 3)
⋅
÷
=
⋅
⋅
9.
6 x 2 + 13x + 6 3x 2 + 2 x 9 x 2 + 12 x + 4 (2 x + 3)(3x + 2)
x (3x + 2)
(2 x + 3)(4 x + 1) x (2 x + 3) 2 x 2 + 3x
2
(a + b) − c ⋅ (a + c) − b ÷ a + b + c = (a + b + c)(a + b − c) ⋅ (a + b + c)(a − b + c) ⋅ a = a (a + b + c) = a + ab + ac
a − b− c
(a − b + c)(a − b − c) a (a + b − c) a + b + c a − b − c
(a − b) − c a + ab − ac a
2
10.
11.
12.
2
2
2
2
2
2
2
m3 + 6m2 n + 9mn 2
m3 + 27n 3
4m2 − n2
2
2
3⋅
2
2 ÷
2m n + 7mn + 3n 8m − 2mn − n 16m2 + 8mn + n2
m (m + 3n)
m (4m + n)
(2m + n)(2m − n) ⋅
(4m + n)
4m + mn
=
=
n (m + 3n)(2m + n) (2m − n)(4m + n) (m + 3n)(m − 3mn − 9n ) n (m − 3mn + 9n ) m n − 3mn + 9n
2
(a − ax) ⋅
2
2
a +x
2
2
a +x
2
2
2
2
2
2
2
2
3
 a3 − a2 x
1
a2 − x2 

2 ÷ 2
2 ⋅ 3
a + a x  a + 2ax + x a + ax 2 
2
2
2
⋅
3
(a − ax) ⋅
=
2
a (a + x ) (a 2 + x 2 )
a (a − x ) 1
=
=
a (a + x ) a (a − ax)(a + x )(a − x ) a 2 (a − x ) a 2 (a − x ) a
2
1
⋅
2
2
a 2 − ax
=
(a − 3a) ⋅ 27 − a ÷ a − 9a
9− a
(a + 3) − 3a (a + 3a)
(a − 3a) ⋅ (3 − a)(9 + 3a + a ) ⋅ (a + 3a) = (a − 3a)(a + 3a) = a (a − 3a)(a + 3) = a − 3a
=
3+ a
a+3
(3 + a)(3 − a) a + 3a + 9 (a − 3a)(a + 3a)
2
2
14.
2
2
2
a 2 − 5a  a 2 + 6a − 55 ax + 3a  a (a − 5) b (b + 1)(b − 1)(a + 11) b (b − 1) b2 − b
=
⋅ 2
⋅
=
2 ÷
2
2 =
b+b
ab + 11b  b (1 + b) a (a + 11)(a − 5)( x + 3)
x+3
x+3
 b −1
=
13.
2
3
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
EJERCICIO 137
a ab − a
b = b = a (b − 1) = a
1 b2 − 1 (b + 1)(b − 1) b + 1
1.
b−
b
b
a−
1 x3 − 1
2
x = x = ( x − 1)( x + x + 1) = x 2 + x + 1
2.
1
x−1
x−1
1−
x
x
a b a 2 − b2
−
b a = ab = (a + b)(a − b) = a − b
3.
b
a+b
b
b (a + b)
1+
a
a
x2 −
1 1 m+n
+
m n = mn = m + n
4. 1 1 n − m n − m
−
m n
mn
2
x 2x + x
2 = 2 = 2 ( 3x ) = 2
5.
x 4x − x
3x
x−
4
4
x y x2 − y2
−
(x + y)(x − y) = x − y
y x
xy
=
=
6.
y
x+ y
y
y (x + y)
1+
x
x
3 x2 + 4x + 3
x+ 4+
(x + 1)(x + 3) = x + 3
x=
x
=
7.
5 x 2 − 4 x − 5 ( x − 5)( x + 1) x − 5
x− 4−
x
x
4 a 2 − 4a + 4
a− 4+
(a − 2)(a − 2) = a − 2
a=
a
=
8.
2
a−2
(a − 2)
1−
a
a
x+
2
20 x 2 + 7 x − 6
x
14.
4
2 − 25
x
2a 2 − b 2
−b
a
9. 4a 2 + b 2
+1
4ab
2
2a − b 2 − ab
a
=
4a 2 + b 2 + 4ab
4ab
=
=
=
(2a + b)
4b (a − b) 4ab − 4b
=
=
2
2a + b
3a
10b + 3a
2+
3
5b =
5b
=
10b 3a + 10b 5b
10.
a+
3
3
x2
a+ x
a2
a2 −
a+ x
a− x+
a2
a (a + x − 1)
1
x−1
15.
1
1+ 2
x −1
1+
x − 1+ 1
x ( x + 1) x + 1
x−1
=
=
= 2
x − 1+ 1
x2
x
2
x −1
a−b
= 2
=
a (a + b) a + b
=
1
a+ x−1
5
x+ 3
17.
35
x + 5−
x+ 3
x − 1−
=
(a + 7)(a + 1 )
a (a − 2) a − 2a
=
=
2
a+1
a+1
1 9 20
−
+
a a2 a3
13.
16
−a
a
2
a − 9a + 20
a3
=
16 − a 2
a
( x + 4)(x − 2) = x + 4
( x + 10)(x − 2) x + 10
7a + 9
a+3
18.
5a − 11
a − 4+
a+1
(a − 5)(a − 4)
=
a (4 + a )(4 − a )
2
5− a
a−5
=− 2
=− 3
=
a + 4a 2 a 3 + 4a 2
a (a + 4)
a 2 + 5a + 6 − 7a − 9
a+3
= 2
a − 3a − 4 + 5a − 11
a+1
(a + 1)(a − 2a − 3)
(a + 3)(a + 2a − 15)
(a + 1)(a − 3)(a + 1)
=
(a + 3)(a + 5)(a − 3)
(a + 1) = a + 2a + 1
=
(a + 3)(a + 5) a + 8a + 15
2
2
2
(x − x − 2) + x (2 x + 6)
x ( x + 1)
x (3x − 1)
=
(x − 1)(3x + 5x − 2)
x (3x − 1)
x
=
=
(x − 1)(3x − 1)(x + 2) x + x − 2
2
2
2
a
b
−
a−b a+b
3. a + b a
+
a−b b
=
a+ 2−
=
=
x + 1 + 2 ( x − 1)
x2 − 1
a (a + b) − b (a − b)
x2 + 2x − 8
x+ 3
= 2
x + 8 x − 20
x+ 3
a (a + 7)(a − 2)
a−5
1
2
+
x−1 x+1
2. x − 2 2 x + 6
+
x
x+1
a 2 (a − b)
14
a
8 7
1+ + 2
a a
a 2 + 5a − 14
= 2 a
a + 8a + 7
a2
=
4 x 2 + 3x
5x + 2
ab
a 2 + ab − ab
a+b
a+b
= 2
16.
ab
a − ab + ab
a+
a−b
a−b
a + 5−
12.
(2 + 5x)(2 − 5x)
a−
a2 − x2 + x2
a+ x
= 3
a + a2 x − a2
a+ x
2
x (4 x + 3)(5x − 2)
=−
2
=
x
4 − 25x 2
x2
=
4b (a − b)(2a + b)
11.
x+1
x−1
1. 1
1
−
x−1 x+1
x − 1+ x + 1
2 x ( x + 1) 2
x−1
=
=
=x +x
2
x + 1 − ( x − 1)
x2 − 1
1+
(4 x + 3)(5x − 2)
4b (2a 2 − b 2 − ab)
4a 2 + b 2 + 4ab
2a + b
EJERCICIO 138
2
2
(a − b)(a + b)
b (a + b ) + a (a − b)
b (a − b )
a 2 + ab − ab + b 2 a 2 + b 2
a+b
a+b
b
=
=
=
ab + b 2 + a 2 − ab a 2 + b 2 a + b
b
b
x+ 3 x+1
−
x+4 x+2
4. x − 1 x − 3
−
x+2 x+4
(x + 3)(x + 2) − (x + 1)( x + 4)
(x + 4)(x + 2)
=
( x − 1)(x + 4) − (x − 3)(x + 2)
(x + 2)(x + 4)
x 2 + 5x + 6 − x 2 − 5x − 4
x 2 + 3x − 4 − x 2 + x + 6
1
2
2
=
=
=
4 x + 2 2 (2 x + 1) 2 x + 1
=
m2 m2 − n2
+
n
m+ n
5. m − n n
+
n
m
m2 (m + n) − n (m2 − n 2 )
=
n (m + n)
=
=
=
(x + 1)
2 (x + 1)
2
=
=
2a − a
a
a
−
2 (a + x )
a + x 2a + 2 x
=
10.
a
a
a (a + x ) + a (a − x)
+
a− x a+ x
(a − x)(a + x)
2
2
x2 − x3 + 2x − 2x2 + 1− x
=
2
1+ x − x 2 − x 3
=
2
m
=m
m − mn + n2
2
=
2
2
2
2
x 2 + 2 xy + y 2 − x 2 + 2 xy − y 2
x− y
a + b a 2 − ab + b2
=
x 2 + 2 xy + y 2 − x 2 − 2 xy
2
ab
=
x
a 2 − b2
4 xy
a−b
x− y
= 2
a + b a 2 − ab + b 2
a−b
y
=
⋅
ab 2
a+b a−b
x
4 xy x
4x2
4x2
a 2 − ab + b2
=
⋅ 2=
=
2
=
2
x− y y
y ( x − y) xy − y
ab
)(
)
)
(
)(
)
a 2 + 2ab + ab − b 2
a 2 − b 2 + 3ab
a 2 + 3ab − b 2
=1
a 2 + 3ab − b 2
7 12
1− + 2
x x
12.
16
x−
x
x 2 − 7 x + 12
x2
=
x 2 − 16
x
=
(x + y) − (x − y)
(x − y)(x + y)
=
(x + y) − x (x + 2 y )
x (x + y)
3
ab
a 2 − ab − b 2 + ab
b (a − b)
a (a + 2b) + b (a − b)
a + 2b b
+
a (a − b)
a−b a
=
11. a + b
3b
(a + b)(a − b) + 3ab
+
a
a−b
a (a − b)
x+ y x− y
−
x− y x+ y
8. x + y x + 2 y
−
x
x+ y
(a + b)(a − ab + b )
(
a
2
= 2
a + ax + a 2 − ax
a− x
a
a a− x a− x
= 22 = ⋅
=
2a
2 2a 2
4a
a− x
2
b (a − b)
)(
2bx − 2ax 2 x (b − a )
=
=x
2b − 2a
2 (b − a )
(x + 2 x + 1)(1 − x)
=
a 3 + b3
ab3
=
a (a − b) − b (b − a )
(
ab − ax + bx − x 2 − ab + bx − ax + x 2
2b − 2 x − 2a + 2 x
2
a2 1
+
b3 a
6. a b − a
−
b a−b
=
x2 + 2x + 1
−
2 x 2 x 5 + 2 x5 + 2
1− x 2
(x + 1)(1− x)
(x + 1) ⋅ (x + 1)(1 − x)
=
2 ( x + 1)
(x + 1) (1− x)
=
m+ n
m2 − mn + n2
m
2
2
(a + x)(b − x) − (b + x)(a − x)
(a − x)(b − x)
=
2 (b − x ) − 2 (a − x )
(a − x)(b − x)
2
2
= m2 − mn + n2 ⋅
2 x (1 − x 4 ) + 2 x 5 + 2
2
(m + n)(m − mn + n )
2
1+ x2 + 2 x
1+ x 2
(1+ x )(1 − x )
m (m − n) + n2
nm
m3 + m2 n − m2 n + n 3
m+ n
=
m2 − mn + n 2
m
m3 + n 3
m+ n
= 2
m − mn + n 2
m
=
a+ x b+ x
−
a− x b− x
9. 2
2
−
a− x b− x
2x
1+ x2
7.
2 x5 + 2
2x +
1− x4
1+
(x − 4)( x − 3)
=
x
(x − 4)(x + 4)
( x − 4)(x − 3) ⋅
=
x
=
x−3
x ( x + 4)
=
1
( x − 4)(x + 4)
x−3
x2 + 4x
a 2 b2
−
b a
13. 1 1 b
+ +
b a a2
a 3 − b3
= 2 ab 2
a + ab + b
a 2b
3
a − b3
= 2
a + ab + b 2
a
2b + c
a −b −c
17.
c − 2b
1−
a −b +c
= (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) ⋅
= a (a − b) = a 2 − ab
a
1− a
+
1− a
a
18. 1 − a
a
−
a
1− a
4 y2
x+ y
14.
5y 2
x − 3y −
x+ y
a 2 + (1 − a )
2
=
(x − 2 y)(x + y) − 4 y
2
x+ y
(x − 3y)(x + y) − 5y
=
2
x+ y
=
(1 − a ) − a
a (1 − a )
2
(x − 3y)(x + 2 y) = x − 3y
(x − 4 y)(x + 2 y) x − 4 y
6 ( x + 2)
x+2
x−5
x+1 −
x−5
x−5
=1
=
=
11( x − 2) x + 7
x− 4+
+
x
7
x−2
=
x+7
(1− a)(1+ a)
2 (1 − a ) − 2 (1 + a )
(1+ a)(1− a)
1
1
x
x
=
= 1⋅
=
x +1 x +1
20. 1+ 1 x + 1
x
x
2 + 2a + 2 − 2a
4
1
=−
=−
a
2 − 2a − 2 − 2a
4a
1
1
−
x+ y+ z x− y+ z
16.
1
1
−
x− y+ z x+ y+ z
x− y+ z− x− y− z
x+ y+ z− x+ y− z
1
1+
=
1
1−
1
x
2y
1
1
x −1
x
1
=
x
1+
x −1
1+
1
x − 1+ x
x −1
1
x −1
x −1
=
= 1⋅
=
2x − 1
2x − 1 2 x − 1
x −1
=
(x + y + z)(x − y + z) = − 2 y = − 1
=
(x − y + z)(x + y + z)
21.
2
2
x
2
=
2
1+
x+2
x
2
=
2x
1+
x+2
2
=
x + 2 + 2x
x+2
2
x + 2 2x + 4
=
= 2⋅
=
3x + 2
3x + 2 3x + 2
x+2
a 2 + 1 − 2a + a 2 2 a 2 − 2a + 1
=
1 − 2a + a 2 − a 2
1 − 2a
2 (1 + a ) + 2 (1 − a )
=
1+
6 x + 12
x+2
x−5
19.
11x − 22
x− 4+
x−2
x+7
2
2
+
1− a 1+ a
15. 2
2
−
1+ a 1− a
2+
2
23.
2
x + 1−
x − xy − 6 y 2
x 2 − 2 xy − 8 y 2
2
=
a (1 − a )
1
1
x
−1
3
1
= 1−
1
2+
x−3
3
1
= 1−
3
2+
x−3
1
= 1−
2x − 3
x−3
x−3
= 1−
2x − 3
x
2x − 3 − x + 3
=
=
2x − 3
2x − 3
a − b − c + 2b + c
a −b −c
=
a − b + c − c + 2b
a −b+ c
a+b
a−b−c
=
a+b
a−b+c
a+b a −b+c a −b +c
=
⋅
=
a −b −c a +b
a−b−c
a
a 2 + ab + b2
x − 2y −
=
22. 1−
1+
24.
1+
1
x
x2
x +1
1
=
x
x− 2
x + x − x2
x +1
1
=
x
x−
x
x +1
1
=
x2 + x
x−
x
1
1
= 2
=
= −1
x − x2 − x − x
x
x
x−
x−
1
25.
a +1
1
a−
a
1
1
1
1
1
a−1
a−1
=
=
= 2
=
= 1⋅ 2
=
=
a+1
a
a + a− 2− a
a − 2 a2 − 2
+
−
−
+
a
a
a
a
a
1
2
1
(
)
(
)(
)
a+ 2− 2
a+ 2−
a −1 a + 2− a +1 a −1
a−1
a−1
a−1
( )( )
a
a + 2−
x−1
x−1
x−1
x−1
x−1
=
=
=
=
= x−1
x2 + 2
x2 + 2
x2 + 2
x 2 + 2)( x + 1) x + 2 − x − 1
(
x + 2−
x+ 2− 2
x + 2− 2
+
−
2
x
x−2
x + x− x+ 2
x +2
x2 + 2
x−
x+1
x+1
x+1
26.
EJERCICIO 139
x2 − 2x + 1
9. x − 2 x 2 − x + 2 Para x → 1
3
x−2
1. x + 3 Para x → 2
2−2 0
= =0
2+3 5
(x − 1)
x ( x − 2) − ( x − 2)
(x − 1)
=
(x − 1)(x − 2)
(x − 1)
1− 1
0
x−1
=
=
=0
=
=
(x − 1)(x + 1)(x − 2) x − x − 2 1 − 1− 2 − 2
2
2
x−2
2. x − 3 Para x → 3
3−2 1
= =∞
3−3 0
2
2
x2 − a2
Para x → a
3. 2
x + a2
a2 − a2
0
=
=0
a 2 + a 2 2a 2
x2 + y2
4. 2 2 Para x → y
x −y
y 2 + y 2 2y 2
=
=∞
y2 − y 2
0
5.
x −1
Para x → 2
3
x−2
2 −1 1 1
= = =0
3
3 ∞
2−2 0
2
2
10.
2
a3 − 8
Para a → 2
a + 11a − 26
2
(a − 2)(a + 2a + 4) = a + 2a + 4 = 2 + 2 ⋅ 2 + 4 = 12 = 4
a + 13
2 + 13
15 5
(a + 13)(a − 2)
2
2
2
x2 − 9
6. x 2 + x − 12 Para x → 3
(x − 6)( x − 1) = x − 6 = 1− 5 = − 4 = ∞
x2 − 7x + 6
11. x 2 − 2 x + 1 Para x → 1
x − 1 1− 1 0
(x − 1)2
a −a−6
Para a → 3
7. 2
a + 2a − 15
12. 3
x − 7x + 6
(x + 3)(x − 3) = x + 3 = 3 + 3 = 6
(x + 4)(x − 3) x + 4 3 + 4 7
2
(a − 3)(a + 2) = a + 2 = 3 + 2 = 5
(a + 5)(a − 3) a + 5 3 + 5 8
8.
x 2 − 7 x + 10
Para x → 2
x − 2x2 − x + 2
3
(x − 5)(x − 2)
x 2 ( x − 2) − ( x − 2)
=
Para x → 2
x 3 − 3x − 2 = 1 0 − 3 − 2
2 4 2
1 2 1
2
2
0
⇒ (x − 2)( x + 2 x + 1)
2
x3 − 7x + 6 = 1 0 − 7 6
2 4 −6
2 −3
1
(x − 5)(x − 2) = x − 5 = 2 − 5 = − 3 = − 1
(x − 1)(x − 2) x − 1 4 − 1 3
2
x 3 − 3x − 2
⇒ (x − 2)( x + 2 x − 3)
2
0
2
(x − 2)(x + 1) = (x + 1) = (2 + 1) = 9
(x − 2)(x + 2 x − 3) x + 2 x − 3 2 + 2 ⋅ 2 − 3 5
2
2
2
2
2
2
13.
x 2 − 16
x3 − 4x2 − x + 4
Para x → 4
19.
14.
2
2
4x2 − 4x + 1
4 x 2 + 8x − 5
Para x →
2
1
2
20.
15.
8x − 6x + 1
4 x 3 + 12 x 2 − 15x + 4
Para x →
2
=
1
2
⇒ 8 x 2 − 6 x + 1 = (8 x ) − 6 (8 x ) + 8
2
21.
= (8 x − 4)(8 x − 2) = (2 x − 1)(4 x − 1)
⇒ 4 x 3 + 12 x 2 − 15x + 4 = 4
4
Para x → a
2
2
2
2
x3 − a3
a2 x − a3
(x − a)(x + ax + a )
a (x − a )
1
(2 x − 1) = 2 x − 1 = 2 ⋅ 2 − 1 = 1 − 1 = 0 = 0
(2 x + 5)(2 x − 1) 2 x + 5 2 ⋅ 1 + 5 1 + 5 6
2
Para y → x
(x + y)(x − y) = x + y = x + x = 2 x = 2
y
x
x
y (x − y)
( x − 4)( x + 4) = ( x − 4)(x + 4) = x + 4 = 4 + 4 = 8
x ( x − 4) − ( x − 4) ( x − 1)( x − 4) x − 1 4 − 1 15
2
x2 − y2
xy − y 2
x 2 + ax + a 2 a 2 + a 2 + a 2 3a 2
=
= 2 =3
a2
a2
a
x 3 − 3x + 2
2 x 3 − 6x2 + 6x − 2
12 − 15 4 − 4
− 16 16 − 4
⇒ x 3 − 3x + 2
1 0 −3 2 1
1 1 −2
−4
1 1 −2
1
0
= ( x + 4)(4 x 2 − 4 x + 1) = ( x + 4)(2 x − 1)
Para x → 1
= ( x − 1)( x 2 + x − 2)
0
= ( x − 1)( x + 2)( x − 1)
2
1
4⋅ − 1
2 x − 1)(4 x − 1)
(
1
4x − 1
2
⇒
=
=
= =∞
(2 x − 1)2 (x + 4) (2 x − 1)(x + 4)  2 ⋅ 1 − 1  1 + 4 0
 2 2 
16.
x 3 − 9 x + 10
x − x 3 − 11x 2 + 9 x + 18
Para x → 2
4
⇒ x 3 − 9 x + 10
1 0 − 9 10
2 4 − 10
1
2 −5
2
0
⇒
22.
= (x − 2)( x 3 + x 2 − 9 x − 9)
⇒
(x − 2)(x + 2 x − 5)
(x − 2)(x + x − 9 x − 9)
= ( x − 1)(2 x 2 − 4 x + 2)
( x − 1) (x + 2) = x + 2 = 1 + 2 = 3 = ∞
(x − 1) (2 x − 2) 2 x − 2 2 ⋅1− 2 0
=
x2 + 2x − 5
22 + 2 ⋅ 2 − 5
3
1
= 3 2
=
=−
2
x + x − 9 x − 9 2 + 2 − 9 ⋅ 2 − 9 − 15
5
2
3
(x − a)(x + ax + a ) = x + ax + a = a + a + a = 3a
2
2
2
2
2
(a − b) = a − b = a − a = 0
a
a
a (a − b)
2
Para b → a
Para x → 3
3
0
(x + 2)(x − 3x − x + 3)
Para x → a
2
x4 − x3 − 7x2 + x + 6
x 4 − 3x 3 − 3x 2 + 11x − 6
1 − 3 −1
3
2
2
⇒ x4 − x3 − 7x2 + x + 6
1 −1 − 7 1
6 −2
−2 6 2 −6
2
a 2 − 2ab + b2
18.
a 2 − ab
0
2
= ( x − 2)( x 2 + 2 x − 5)
−9 −9
x−a
2
2
1
2
−4
= ( x − 1) (2 x − 2)
1
x3 − a3
x−a
⇒ 2 x 3 − 6 x 2 + 6x − 2
2 −6 6 −2 1
2 −4
2
= ( x − 1)( x − 1)(2 x − 2)
⇒ x 4 − x 3 − 11x 2 + 9 x + 18
1 − 1 − 11 9
18 2
2
2 − 18 − 18
17.
2
2
0
3
= ( x − 1) ( x + 2)
2
1
−3
1
−1
3
−2 −3
1
−2
−3
1
0
= (x + 2)(x − 1)( x 2 − 2 x − 3)
= (x + 2)(x − 1)( x − 3)(x + 1)
Continúa
Continuación
Continuación
22. ⇒ x − 3x − 3x + 11x − 6
4
3
2
1 − 3 − 3 11 − 6 − 2
− 2 10 − 14 6
1 −5
−3
7
1 −4
3
24.
0
0
⇒
x + 1 3+ 1 4
= =2
=
x − 1 3− 1 2
3x 3 − 5x 2 − 4 x + 4
23. x 4 + 2 x 3 − 3x 2 − 8 x − 4 Para x → 2
⇒ 3x − 5x − 4 x + 4
2
3 −5 −4
4
25.
x 5 − 4 x 3 + 8 x 2 − 32
Para x → 2
x − 3x 3 + 10 x 2 − 4 x − 40
1
2
4
5
0
2
1
2
3
1
4
1
5
−2
2
⇒
=
=
2
2
0 8
−2
0
0
0 8
16 − 2
0 − 16
1 −2 −4
2
1 12
1 −2
−2
(x + 2)(x + 1)
2 1 12 20 − 2
− 2 0 − 2 − 20
1
0 1
3⋅ 2 2 + 2 − 2
(2 + 2)(2 + 1)
2
=
12 1
=
36 3
1 −2 5
= ( x + 2) ( x − 2)
2
0
= ( x − 2)( x + 2) ( x 2 − 2 x + 5)
⇒ x 2 − 5x + 4 = ( x − 1)( x − 4)
⇒ x 4 − 2 x3 − 9 x2 + 2x + 8
1 −2 −9
2
8
1 − 1 − 10 − 8
0
Continúa
1
(x − 2)(x + 2)(x + 8)
⇒
(x − 2)(x + 2) (x − 2 x + 5)
3
2
⇒
=
28.
=
(x + 2)(x − 2 x + 5)
=
x+ 2
=
2
− 2+ 2
(x − 2) (− 2 − 2)
2
2
=
0
=0
16
3x 2 (3x + 1) + (3x + 1)
27 x 3 + 1
(3x + 1)(3x + 1)
(3x + 1)(9 x − 3x + 1)
=
3x 2 + 1
9 x 2 − 3x + 1
2
2
2
3
16 4
=
=
=
(2 + 2)(22 − 2 ⋅ 2 + 5) 20 5
2
=
2
2 +8
( x + 2)
( x + 2) ( x − 2)
9 x 3 + 3x 2 + 3x + 1
1
Para x → −
27 x 3 + 1
3
2
x3 + 8
2
3
2
x 2 − 5x + 4
24. x 4 − 2 x 3 − 9 x 2 + 2 x + 8 Para x → 1
1 − 1 − 10 − 8
−2
0
2
0
0 1
10
− 2 4 − 10
4
= ( x + 2) ( x − 4 x + 4)
0
1
1
0
2
−4 8 −2
8 −8
1 −4
2
10
8
3
20
3
3
(x + 2)(x − 2 x − 4 x + 8)
0
3
2
0
⇒ x 4 − 8 x 2 + 16
1 0 −8 0
16 − 2
− 2 4 8 − 16
( x − 2)(x + 2)( x + x + 10)
3x 2 + x − 2
4
0
( x − 2)(x + 2 x + x + 12 x + 20)
(x − 2)(3x + x − 2)
(x − 2)(x + 2)(x + 1)
x 3 + 6x 2 + 12 x + 8
Para x → − 2
x 4 − 8x 2 + 16
1 4
3
4
2
3
9
2 x + 3 2 ⋅ 4 + 3 2 36 18
=
= =
=
3
5 10 5
3x − 1
3⋅ − 1
4
4
0 8 16
1
= ( x − 2)( x + 2)( x 2 + 2 x + 1)
=
= ( x + 2)( x + 4 x + 4) = ( x + 2)
2
0
(2 x + 3)(4 x − 3)
(4 x − 3)(3x − 1)
2
−2 −4 −2
1
(8x + 12)(8x − 6)
(12 x − 9)(12 x − 4)
32
⇒ x 5 − 3x 3 + 10 x 2 − 4 x − 40
1 0 − 3 10 − 4 − 40 2
2
4 2 24 40
2
(8x)2 + 6 (8x) − 72
(12 x) 2 − 13(12 x) + 36
4 0 16
= ( x − 2)( x + 2)( x 3 + 8)
(x − 2)(x + 4 x + 5x + 2)
3
4
⇒ x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8
1 6 12 8 − 2
−2 −8 −8
⇒ x 5 − 4 x 3 + 8 x 2 − 32
1 0 − 4 8 0 − 32 2
2
Para x →
=
2
5
⇒ x + 2 x − 3x − 8 x − 4
1 4
(x − 1)(x − 4)
(x − 1)(x − 4)(x + 3x + 2)
4
8 10
=
( x − 2)(x + 2 x + 8 x + 16)
1 2 −3 −8 −4
2
0
27.
1
0
3
8
2
2
= ( x − 2)(3x 2 + x − 2)
4
12
3
1
1
1
=
=
x 2 + 3x + 2 12 + 3⋅ 1 + 2 6
=
2
2 −4
6
1 −2
3
⇒
4
= ( x − 1)( x − 4)( x 2 + 3x + 2)
1
(x + 2)(x − 1)(x − 3)(x + 1)
(x + 2)(x − 1)( x − 3)(x − 1)
3
−8
4
1
= ( x + 2)( x − 1)( x − 3)( x − 1)
=
2
− 1 − 10
1
= ( x + 2)( x − 1)( x 2 − 4 x + 3)
⇒
(x − 1)(x − x − 10x − 8)
3
= ( x + 2)( x 3 − 5x 2 + 7 x − 3)
1 −5 7 −3
1 −4
3
8x 2 + 6x − 9
26. 12 x 2 − 13x + 3
=
 1
3 −  + 1
 3
2
 1
 1
9  −  − 3 −  + 1
 3
 3
4
4
= 3=
3 9
(x − 1)(x + 2) = x + 2 = 1+ 2 = 3 = 1
1
3
x 2 + x + 1− 3 x 2 + x − 2
− 3
=
=
Para x → 1
x−1 x −1
x3 − 1
x3 − 1
(x − 1)(x 2 + x + 1) x 2 + x + 1 12 + 1+ 1 3
29.

(
1 
 Para x → 2
x − 2
)
2
30. x + 3x − 10  1 +


(x + 5)(x − 2) xx −− 21  = (x + 5)(x − 1)⇒ (2 + 5)(2 − 1) = 7
EJERCICIO 140
1.
12 x 2 + 31x + 20
18 x 2 + 21x − 4
(12 x) 2 + 31(12 x) + 240
(18 x) 2 + 21(18x ) − 72
=
2
3.
a3
a
a+1
=
x 2 + 29 x − 170 + 170 − x 2 29 x
=
x−5
x−5
49 − 29 x 29 x 49 − 29 x x − 5 49 − 29 x
⇒
÷
=
⋅
=
x−5
x−5
x − 5 29 x
29 x
a+1
(a + 1)(a − 1) a (a − 1) a − a
2
x ( x 2 + 3x + 9)
x ( x − 27)
2
3
=
3
2
x 2 + 3x + 9
=
x (x − 3)(x + 3x + 9)
2
4x 2 − 5xy + y 2 4x 2 5xy y 2 4x 5y y 2
=
−
+
=
−
+
3x
3x
3x 3x 3
3 3x
m−n− x
m
n
x
1
1
1
=
−
−
=
−
−
9.
mnx
mnx mnx mnx nx mx mn
x 3 − xy 2
2
10. x − y = x + xy
8.
1
x (x − 3)
(x + y ) − x (x − y )
2
2
y
⇒
xy
=
x ( x + y ) − x (x − y )
xy
=
x 3 + 2 x 2 y + xy 2 − x 3 + 2 x 2 y − xy 2 4 x 2 y
=
= 4x
xy
xy
2
2
⇒
(a − 2b)(a + b)
a (a + b ) − 2b (b + a ) (a − 2b)(a + b ) a + b
=
=
=
(a − 2b)(a + b)
(a − 2b)(a + b) a + b
1 + 5a a − 5a + 1 + 5a a + 1 (a + 1)(a − a + 1)
=
=
=
a+
2
2
2
2
2
2
2
2
3
6.
a2 − 5
a2 − 5
a−
2
2
2
2
a2 − 5
a2 − 5
2
2
a −5
9 x − 3x 2 x 3 − 1
=
x−3
x−1
( x − 1) (x − 3) − 3x (3 − x ) = (x − 1)(x + x + 1)
a+1
2
2
2
x−3
x−1
x 3 − 5x 2 + 7 x − 3 − 9 x + 3x 2
⇒
= x2 + x + 1
x−3
⇒
2
2
(a + 1)(a − a + 1) ⋅ a − 5 = a − a + 1
2
2
3
a + 5 a2 + a − a − 5 a2 − 5
=
=
a+1
a+1
a+1
2
⇒
x (x + y )( x − y )
= x ( x + y )⇒ x (x + y ) = x ( x + y )
x− y
2
⇒
a 4 − 2b 3 + a 2b 2 − 2a 2b
2
x (x 2 − y 2 )
= x (x + y)
x− y
11. x 2 − 2 x + 1 −
a 4 − 2b 3 + a 2b (b − 2)
5.
a 4 − a 2b − 2b 2
=
170 − x 2
x−5
=
x 3 + 3x 2 + 9 x
x 5 − 27 x 2
=
4.
=
x−5
x + 34 +
 a 2 + 2a + 1  a 2 + 2a − 2a − 1
=
 ÷

a3
a

 

(a + 1) ⋅
3
x 3 − 29 x + 20 − x 3 + 29 49 − 29 x
=
=
x−5
x−5
2a + 1
1 2 1 

2.  + 2 + 3  ÷  a + 2 −
a a a  
a 
=
(x − 5)(x + 5x − 4) − x + 29
2
=
(12 x + 16)(12 x + 15) = (3x + 4)(4 x + 5) = 4 x + 5
(18x + 24)(18x − 3) (3x + 4)(6x − 1) 6x − 1
=
x 3 − 29
x−5
7. x 2 + 5x − 4 −
x3 − 2x2 − 2x − 3 2
= x + x+1
x−3
( x − 3)( x + x + 1) = x + x + 1 ⇒ x + x + 1= x + x + 1
2
⇒
x−3
a 4 − 5a 2 + 4
2
2
2
2 + 4a
12. a 3 + a 2 − 4a − 4 = a − 3 + 2a + 1
(a − 2)(a − 1)(a + 2)(a + 1) = 2a − 5a − 3 + 2 + 4a
2a + 1
(a − 2)(a + 1)(a + 2)
2a + 1)(a − 1)
(
2a − a − 1
⇒ a − 1=
⇒ a − 1=
⇒ a − 1= a − 1
2
⇒
2
2a + 1
2a + 1
13.
16 − 81x 2
17.
72 x 2 − 5x − 12
1
1
2a
+
+
a − b a + b a 2 − ab + b 2
=
a 3 + b 3 + (a − b)(a 2 − ab + b 2 ) + 2a (a 2 − b 2 )
3
(4 − 9 x)(4 + 9 x)
(72 x − 32)(72 x + 27)
(4 − 9 x)(4 + 9 x) = − (4 − 9 x)(4 + 9 x) = − 9 x + 4
=
(9 x − 4)(8x + 3) (4 − 9 x)(8x + 3) 8 x + 3
(a + b ) (a − b)
3
3
4a − 2a b
2
(a + b ) (a − b)
3
 a
3
2
a
4
 
1+ a 
3


14.  1 − a 2 − 1 − a 4  ⋅  1 − a + a 2 
1

x
2
3   x
6
 −
 ÷

+
+
+
18.  x x + 2 x + 3  x + 2 x + 3 x 2 + 5x + 6
=
 a 2 (1 + a 2 ) − a 4   a 2 (1 − a ) + 1 + a 3 

 ⋅
= 

 
1− a 4
a2

 

=
 a 2 + a 4 − a 4   a 2 − a 3 + 1+ a 3 
=
 ⋅

a2

 1− a4  
=
(4 − 9 x)(4 + 9 x)
(72 x ) 2 − 5 (72 x ) − 864
=
3
3
=
3
a + b + a − 2a 2b + 2ab 2 − b 3 + 2a 3 − 2ab 2
3
=
=
(a + b ) (a − b)
3
x 2 + 5x + 6 − 2 x ( x + 3) + 3x ( x + 2) x ( x + 3) + x ( x + 2) + 6
÷
x 2 + 5x + 6
x ( x 2 + 5x + 6)
x 2 + 5x + 6 − 2 x 2 − 6x + 3x 2 + 6x
x (x + 5x + 6)
2
1
a2 a2 + 1
⋅
=
1− a 4 a 2
1− a2
 ( x + 3)( x − 3) x ( x + 3) a 2 ( x − 4)( x + 4)  2 x + 1 x + 4
⋅
⋅ 2 2  =
= 
⋅

x
 ( x − 4)( x + 3) x − 3  ( x + 3)(2 x + 1)  a x 
b
b
1+
a−b
a +
19.
a − 3b
b2
1− 2 2 −
a−b
a
a−b+b
b
a−b
= 2a 2 +
2a − 2b − a + 3b
a −b
a−b
a2
a
a−b
=
+
a (a 2 − b 2 ) a + b
a−b
3x 3 − x 2 − 12 x + 4
6x + x 3 − 25x 2 − 4 x + 4
a 2b
4
⇒ 3x 3 − x 2 − 12 x + 4
3 − 1 − 12 4 − 2
=
− 6 14 − 4
3 −7
2
0
= ( x + 2)(3x − 7 x + 2) = ( x + 2)( x − 2)(3x − 1)
=
2
6 x 4 + x 3 − 25x 2 − 4 x + 4
6
1 − 25 − 4 4
− 12
22
6 −4
6 − 11
−3
2
6
0
6
2
− 11
−3
12
2 −2
1
−1
2
a 2b
a
+
a (a 2 − b 2 ) a + b
a 2b + a 2 (a − b) a 2b + a 3 − a 2b
=
a (a 2 − b 2 )
a (a 2 − b 2 )
=
−2
(x + 2)(6x − 11x − 3x + 2)
3
x 2 + 5x + 6
x + 3x + x 2 + 2 x + 6
2
2 x 2 + 5x + 6
1
1
=
=
⋅ 2
x
2 x + 5x + 6 x
 x2 − 9
x − 3  a 2 x 2 − 16a 2  2
1 
15.  x 2 − x − 12 ÷ x 2 + 3x  ⋅ 2 x 2 + 7 x + 3 ⋅  a 2 x + a 2 x 2 
16.
⋅
2
0
=
2
a (a 2 − b )
1  x − 36
x 
÷ 2

⋅
3 x
x − 4
2
20.
a2
a − b2
2
1
1
⋅
36
4
x−
x−
x
x


1 (x + 6)( x − 6) ( x + 2)( x − 2)
1
1
 ⋅ 2
= 
⋅
 x − 36 ⋅ x 2 − 4
x
x
3

x
x
= ( x − 2) ( x + 2)(6x 2 + x − 1)
=
(x + 2)(x − 2)(3x − 1) = 1
⇒
(x − 2)(x + 2)(2 x + 1)(3x − 1) 2 x + 1
=
= ( x − 2)( x + 2)(2 x + 1)(3x − 1)
a3
(x + 6)(x − 6) ⋅ (x + 2)(x − 2) ⋅
3x
x
x
x
⋅
x 2 − 36 x 2 − 4
x 2 ( x + 6)( x − 6)( x + 2)( x − 2)
1
=
3x 2 ( x + 6)( x − 6)( x + 2)( x − 2) 3
3a
+
(a − 2b)
2
21.
5
1
+
a − 5b a − 2b
3a − 14ab + 10b
a 2 − 4ab + 4b2
2
23.
1
1
1
−
−
+
3x − 9 6 x + 12 2 ( x − 3)2
=
2
=
3a 2 − 14ab + 10b 2
(a − 2b)
=
2
3a − 15ab + 5a − 20ab + 20b + a − 7ab + 10b
=
2
2
9
x
x
1
1
1
−
−
2 +
x 2 − 6x + 9
3 ( x − 3) 6 ( x + 2) 2 ( x − 3)
2 ( x − 3)( x + 2) − ( x − 3) − 3( x + 2) + 6 ( x + 2)
2
(a − 2b) (a − 5b)
2
2
x − 6+
2
3a (a − 5b) + 5 (a − 2b) + (a − 2b)(a − 5b)
=
1
2
2
6 ( x − 3) ( x + 2)
2
2 x 2 − 2 x − 12 − x 2 + 6 x − 9 − 3x − 6 + 6 x 2 + 12 x
6 ( x − 3) ( x + 2)
2
7 x 2 + 13x − 27
=
(a − 5b)(3a − 14ab + 10b )
6 ( x − 3) ( x + 2)
3(3a − 14ab + 10b )
9a − 42ab + 30b
3
=
=
=
(a − 5b)(3a − 14ab + 10b ) (a − 5b)(3a − 14ab + 10b ) a − 5b
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a 2 + b2
b2
a+b b+ a
1
⋅
⋅
24.
2a − b
a 2 − 2b 2 a − b
1+
a+b−
b
a−b
x+1 x−1
−
x − 1 x + 1 x2 + 1
2x
÷
22. x − 1 x + 1 ⋅ 2
2a − 2b a 2 − b
+
x+1 x−1
(x + 1) − (x − 1)
2
=
a−b+
a 2 − b 2 + a 2 + b 2 ab + b 2
a+b
1
= 2
⋅ a ⋅
a − b 2 − a 2 + 2b 2 a − b b + 2a − b
b
a−b
2
x2 − 1
(x − 1) + (x + 1)
2
2
⋅
x2 + 1
a2 − b
2 (a − b) 2 x
2
⋅
2a 2 b (a + b)
2
a+b
1 2a (a − b) b (a + b) b
a
⋅
= 2
⋅
⋅
=1
= 2 ⋅
a
2
b
a−b
b (a + b) a (a − b) 2a
b
a−b
x2 − 1
x + 2 x + 1− x + 2 x − 1 x + 1
4x
x +1 1
⋅
=
⋅
=
x 2 − 2 x + 1+ x2 + 2 x + 1 4 x
2
2 ( x 2 + 1) 4 x
2
=
2
2
2
EJERCICIO 141
1.
x
1
+ 5= − x
6
3
x + 30 1 − 3x
⇒
=
6
3
x
x
5
mcm = 12
6 x + 24 − x = 2x − 15
6 x − x − 2x = − 15 − 24
3x = − 39
− 39
x=
3
x = − 13
x + 30 = 2 (1 − 3x )
x + 30 = 2 − 6 x
x + 6 x = 2 − 30
7 x = − 28
− 28
x=
7
x=−4
3x 2x 1
−
+ = 0 mcm = 15
2.
5
3 5
9x − 10x + 3 = 0
−x=−3
x=3
1 1
1
1
mcm = 20x
+ −
=
3.
2x 4 10x 5
10 + 5 x − 2 = 4x
5x − 4 x = − 10 + 2
x=−8
x
4. 2 + 2 − 12 = 6 − 4
5.
3x 1
5 3x
− + 2x = −
mcm = 20
4 5
4 20
15x − 4 + 40x = 25 − 3x
55x + 3x = 25 + 4
58x = 29
29
x=
58
1
x=
2
2 5 7
3
− =
−
+ 1 mcm = 30x
6.
3x x 10 2x
20 − 150 = 21x − 45 + 30x
− 130 + 45 = 51x
− 85
=x
51
−5
=x
3
7.
x−4
−5=0
3
x − 4 − 15 = 0
mcm = 3
x − 19 = 0
x = 19
x + 2 5x
=
mcm = 12
12
2
12x − x − 2 = 30x
11x − 30x = 2
− 19x = 2
8. x −
x=−
2
19
5x − 1
3
= 4x −
mcm = 15
3
5
15x − 25x + 5 = 60x − 9
− 10x − 60x = − 9 − 5
− 70x = − 14
9. x −
− 14
− 70
1
x=
5
x=
10. 10 x −
8x − 3
= 2 ( x − 3) mcm = 4
4
40 x − 8 x + 3 = 8 ( x − 3)
15. 4 −
mcm = 12
48 − 2 (10 x + 1) = 48 x − 3 (16 x + 3)
40 x − 8x = 8 x − 24 − 3
40 x − 16 x = − 27
− 27
x=
24
9
x= −
8
11.
10 x + 1
16 x + 3
= 4x −
6
4
48 − 20 x − 2 = 48 x − 48 x − 9
− 20 x + 46 = − 9
− 20 x = − 55
− 55
x=
− 20
11
x=
4
x− 2 x−3 x− 4
−
=
mcm = 60
3
4
5
20 ( x − 2) − 15 (x − 3) = 12 ( x − 4)
20 x − 40 − 15x + 45 = 12 x − 48
1
1
1
16. 2 ( x − 1) − ( x − 3) = 3 ( x + 3) + 6
mcm = 6
3( x − 1) − 6 ( x − 3) = 2 ( x + 3) + 1
5x − 12 x = − 48 − 5
− 7 x = − 53
3x − 3 − 6x + 18 = 2 x + 6 + 1
− 3x + 15 = 2 x + 7
53
x=
7
− 5x = − 8
x−1 x− 2 x− 3
x−5
−
−
=−
12.
2
3
4
5
mcm = 60
x=
30 ( x − 1) − 20 ( x − 2) − 15( x − 3) = − 12 ( x − 5)
17.
30x − 30 − 20 x + 40 − 15x + 45 = − 12 x + 60
8
5
6x + 1 11x − 2 1
5
−
− (5x − 2) = (6 x + 1)
6
3
9
4
12 (6 x + 1) − 4 (11x − 2) − 9 (5x − 2) = 30 (6 x + 1)
− 5x + 55 = − 12 x + 60
72 x + 12 − 44 x + 8 − 45x + 18 = 180 x + 30
− 5x + 12 x = 60 − 55
− 17 x + 38 = 180 x + 30
7x = 5
5
x=
7
− 5x
= 1 mcm = 10
) 7 10
10 x − 10 (5x − 1) − (7 − 5x) = 10
− 197 x = − 8
x=
(
13. x − 5x − 1 −
18.
5x − 6 1
+ ( x − 5) = − 5x
4
3
mcm = 12
24 x − 3(5x − 6) + 4 ( x − 5) = − 60 x
24 x − 15x + 18 + 4 x − 20 = − 60x
13x − 2 = − 60x
13x + 60x = 2
2
x=
73
8
197
4x + 1 1
13 + 2 x 1
= (4 x − 1) −
− ( x − 3)
3
3
6
2
mcm = 6
2 (4 x + 1) = 2 (4 x − 1) − (13 + 2 x ) − 3( x − 3)
10 x − 50 x + 10 − 7 + 5x = 10
− 35x + 3 = 10
− 35x = 7
−7
x=
35
1
x= −
5
14. 2 x −
mcm = 36
8 x + 2 = 8 x − 2 − 13 − 2 x − 3x + 9
2 = − 6 − 5x
8 = − 5x
−
19.
8
=x
5
2
(5x − 1) + 103 (10x − 3) = − 21 (x − 2) − 65
5
4 (5x − 1) + 3 (10x − 3) = − 5 ( x − 2) − 12
20x − 4 + 30x − 9 = − 5x + 10 − 12
50 x − 13 = − 5x + 10 − 12
50 x − 13 = − 5x − 2
55x = 11
x=
1
5
mcm = 10
20.
3 x − 1 5x + 4 x + 2 2 x − 3 1
−
−
=
−
2
3
8
5
10
mcm = 120
x
3x + 5
2
11
= 3 12 −
25. 10 −
6
4
60 − 3x − 5 47 x
⇒
=
−
6
12 8
60 (3x − 1) − 40 (5x + 4) − 15 (x + 2) = 24 (2 x − 3) − 12
180x − 60 − 200 x − 160 − 15x − 30 = 48 x − 72 − 12
4 (55 − 3x ) = 94 − 3x
− 35x − 250 = 48 x − 84
− 83x = 166
220 − 12 x = 94 − 3x
− 12 x + 3x = 94 − 220
− 9 x = − 126
x= − 2
21.
7x − 1 5− 2x 4x − 3 1+ 4x2
−
=
+
3
2x
4
3x
mcm = 12 x
x=
− 126
−9
4 x (7 x − 1) − 6 (5 − 2 x ) = 3x (4 x − 3) + 4 (1 + 4 x 2 )
x = 14
28x 2 − 4 x − 30 + 12 x = 12 x 2 − 9 x + 4 + 16 x 2
8 x − 30 = − 9 x + 4
17 x = 34
x=2
x
 1 1  1+ 2
26. 9 x − 2 − 7 x  −  =
+ 2 43
 x 2
2
 2 − x  x + 2 11
⇒ 9x − 2 − 7x 
=
+
 2 
4
4
2
2 x + 7 2 ( x − 4) 4 x 2 − 6 7 x 2 + 6
−
−
=
22.
3
5x
15x
3x 2
2
mcm = 15x
 2 − x  x + 13
⇒ 9x − 2 − 7 
=
 2 
4
36x − 8 − 28 + 14 x = x + 13
10 x 3 + 35x 2 − 6 x 3 + 24 x − 4 x 3 + 6x = 35x 2 + 30
30 x = 30
50 x − 36 = x + 13
49 x = 49
x=1
30
30
x=1
x=
2  x + 1 3  x − 6 
23. 3  5  = 4  3 
mcm = 60
27.
mcm = 4
36x − 8 − 14 (2 − x) = x + 13
5x 2 (2 x + 7) − 6 x ( x 2 − 4) − x (4 x 2 − 6) = 5 (7 x 2 + 6)
3x 7 12 x − 5 2 x − 3 4 x + 9 7
− −
−
+
+ =0
8 10
16
20
4
80
mcm = 160
60 x − 112 − 10 (12 x − 5) − 8 (2 x − 3) + 40 (4 x + 9) + 14 = 0
8 (x + 1) = 15( x − 6)
60 x − 112 − 120 x + 50 − 16 x + 24 + 160 x + 360 + 14 = 0
8 x + 8 = 15x − 90
8 x − 15x = − 90 − 8
− 7 x = − 98
− 98
x=
−7
x = 14
24.
mcm = 24
84 x + 336 = 0
84 x = − 336
− 336
84
x= −4
x=
3  2 x − 1 4  3x + 2  1  x − 2  1

− 
− 
 + =0
5 6  3  4  5 3  5
mcm = 60
6 (2 x − 1) − 20 (3x + 2) − 4 ( x − 2) + 12 = 0
12 x − 6 − 60 x − 40 − 4 x + 8 + 12 = 0
− 52 x − 26 = 0
x= −
26
1
=−
52
2
28.
5x 3
x + 24
− ( x − 20) − (2 x − 1) =
mcm = 68
4 17
34
85x − 12 ( x − 20) − 68 (2 x − 1) = 2 ( x + 24)
85x − 12 x + 240 − 136 x + 68 = 2 x + 48
− 63x + 308 = 2 x + 48
− 65x = − 260
− 260
x=
− 65
x=4
29. 5 +
5x 
x 1
x 2 1 
=  2 −  − +  10 − 
4 3
2 3 4 
3
EJERCICIO 142
3
3
1. 5 + 2 x − 1 = 0
20 + x 1  4 − x  2 1  30 − 5x 
= 
− + 

4
3 2  3 4  3 
20 + x 4 − x 2 30 − 5x
⇒
=
− +
4
6
3
12
mcm = 12
⇒
3(2 x − 1) + 15 = 0
6 x − 3 + 15 = 0
6 x = − 12
x= −2
3 (20 + x ) = 2 (4 − x ) − 8 + 30 − 5x
60 + 3x = 8 − 2 x − 8 + 30 − 5x
60 + 3x = − 7 x + 30
10 x = − 30
x=−3
2.
mcm = 36
15( x + 2) + 16 − 22 + x = 108 x − 720 − 3(8 − x ) − 2 (20 − 3x )
15x + 30 − 6 + x = 108 x − 720 − 24 + 3x − 40 + 6 x
16 x + 24 = 117 x − 784
− 101x = − 808
x=8
x 
x
x


 3 −  −  1−  = 7 −  x − 






2
3
2
31.
5 
x 
3
32. (x + 3)( x − 3) − x − 4 =  x − 5  −  3x − 4 
5 4 x 12 x − 3
⇒ x2 − 9 − x2 − =
−
4 5
4
41 16 x − 60 x + 15
⇒−
=
4
20
41 − 44 x + 15
⇒−
=
mcm = 20
4
20
− 205 = − 44 x + 15
− 220 = − 44 x
5= x
3x − 3 − 1 = 0
3x = 4
4
x=
3
5x + 8 5x + 2
=
5.
3x + 4 3x − 4
16 x − 3x + 1 2 x + 4 1
=
−
8
18
4
144 x − 9 (13x + 1) = 4 (2 x + 4) − 18
144 x − 117 x − 9 = 8 x + 16 − 18
27 x − 9 = 8 x − 2
19 x = 7
7
x=
19
mcm = (3x + 4)(3x − 4)
15x 2 + 4 x − 32 = 15x 2 + 26 x + 8
− 26 x + 4 x = 8 + 32
− 22 x = 40
40
x= −
22
20
x= −
11
6.
mcm = 72
mcm = x 2 − 1
(3x − 4)(5x + 8) = (5x + 2)(3x + 4)
2
3x − 1 2  x + 2  1

= 
−
2x −  2x −

8  3 6  4
3
1
−
=0
x + 1 x2 − 1
3 ( x − 1) − 1 = 0
mcm = 6
18 − 3x − 6 + 2 x = 42 − 3x
12 − x = 42 − 3x
2 x = 30
x = 15
⇒ 2x −
mcm = 16 x 2 − 1
8 x + 2 = 12 x − 3
− 4x = − 5
5
x=
4
5
1
2
3. x 2 − 1 = x − 1 mcm = x − 1
5 = x +1
4=x
4.
3(6 − x ) − 2 (3 − x) = 42 − 3x
33.
2
3
=
4x − 1 4x + 1
2 (4 x + 1) = 3(4 x − 1)
5 (x + 2) 4 22 − x
8 − x 20 − 3x
30.
+ −
= 3x − 20 −
−
12
9
36
12
18
x
6 − x 3− x
⇒
−
= 7−
2
3
2
mcm = 5 (2 x − 1)
10x 2 − 5x + 8
=2
5x 2 + 9 x − 19
mcm = 5x 2 + 9 x − 19
10 x 2 − 5x + 8 = 2 (5x 2 + 9 x − 19)
10 x 2 − 5x + 8 = 10x 2 + 18 x − 38
− 5x − 18 x = − 38 − 8
− 23x = − 46
x=
− 46
− 23
x= 2
7.
1
1
1
+
=
mcm = 12 ( x 2 − 1)
3x − 3 4 x + 4 12 x − 12
4 ( x + 1) + 3 ( x − 1) = x + 1
13.
3x − 9 = 2 x − 8 + 8
7x − x = 0
3x − 2 x = 9
x=9
6x = 0
x= 0
mcm = 4 (4 x − 5)
x (4 x − 5) − 4 (x 2 − 8 x ) = 7 (4 x − 5)
14.
6 x − 1 3 ( x + 2) 1 + 3 x
−
=
18
5x − 6
9
30 x 2 − 41x + 6 − 54 x − 108 = − 26 x − 12 + 30 x 2
− 95x − 102 = − 26 x − 12
− 69 x = 90
x = 35
90
69
x = − 1 237
x= −
mcm = 10 (2 x − 1)
(2 x − 9)(2 x − 1) + 10 (2 x − 3) = 2 x (2 x − 1)
4 x 2 − 20 x + 9 + 20 x − 30 = 4 x 2 − 2 x
− 21 = − 2 x
5
3
6
2
15. 1 + x − 1 − x − 1 − x 2 = 0 mcm = 1 − x
5 (1 − x ) − 3(1 + x) − 6 = 0
− 21
=x
−2
(3x − 1) = 18x − 1
2
10.
x −1
2
5 − 5x − 3 − 3 x − 6 = 0
− 8x − 4 = 0
− 8x = 4
10 21 = x
mcm = 2 ( x − 1)
x= −
2 (9 x 2 − 6x + 1) = (x − 1)(18 x − 1)
18 x 2 − 12 x + 2 = 18x 2 − 19 x + 1
− 12 x + 19 x = 1 − 2
7x = − 1
1
x= −
7
2x + 7 2x − 1
mcm = (5x + 2) (5x − 4)
11. 5x + 2 − 5x − 4 = 0
(2 x + 7)(5x − 4) − (2 x − 1)(5x + 2) = 0
10x 2 + 27 x − 28 − 10x 2 + x + 2 = 0
28 x = 26
13
x=
14
(5x − 2)(7 x + 3) − 1= 0 mcm = 7 x 5x − 1
12.
( )
7 x (5x − 1)
(5x − 2)(7 x + 3) − 7 x (5x − 1) = 0
35x 2 + x − 6 − 35x 2 + 7 x = 0
8x = 6
x=
mcm = 18 (5x − 6)
(6x − 1)(5x − 6) − 54 (x + 2) = 2 (1+ 3x)(5x − 6)
4 x 2 − 5x − 4 x 2 + 32 x = 28 x − 35
27 x = 28 x − 35
− x = − 35
2x − 9 2x − 3 x
9.
+
=
10
2x − 1 5
mcm = x 2 − 7 x + 12
3( x − 3) = 2 ( x − 4) + 8
4 x + 4 + 3x − 3 = x + 1
x x 2 − 8x 7
8. −
=
4 4x − 5 4
3
2
8
=
+
x − 4 x − 3 x 2 − 7 x + 12
3
4
16.
1
2
1+ 2 x 1 − 2 x
3x − 14
−
=−
1+ 3x 1 − 3x
1− 9 x 2
mcm = 1 − 9 x 2
(1+ 2 x)(1− 3x) − (1− 2 x)(1+ 3x) = − 3x + 14
1− x − 6x 2 − 1− x + 6x 2 = − 3x + 14
− 2 x = − 3x + 14
x = 14
3x − 1
1
7
17. x 2 + 7 x + 12 = 2 x + 6 + 6 x + 24
⇒ x 2 + 7 x + 12 = ( x + 3)( x + 4)
⇒ 2 x + 6 = 2 ( x + 3)
⇒ 6 x + 24 = 6 ( x + 4)
6 (3x − 1) = 3( x + 4) + 7 ( x + 3)
18 x − 6 = 3x + 12 + 7 x + 21
18 x − 6 = 10 x + 33
8 x = 39
39
x=
8
x = 4 78
mcm = 6 ( x + 3)( x + 4)
18.
1
−
3
mcm = 2 ( x − 1) ( x + 1)
3
=−
(x − 1) 2 x − 2 2 x + 2
2 ( x + 1) − 3 ( x − 1)( x + 1) = − 3( x − 1)
2
2
24.
2
7
1
2
3
−
=
− 3
x − 1 x − 2 2x − 2 2x − 4
1
2
3
7
−
=
−
x − 1 x − 2 2 x − 2 6 x − 12
2 x + 2 − 3x + 3 = − 3x + 6 x − 3
2 x + 5 = 6x − 3
− 4x = − 8
x=2
2
2
5x + 13 4 x + 5 x
−
=
19.
15
5x − 15 3
mcm = 6 ( x − 1)( x − 2)
mcm = 15 ( x − 3)
6 ( x − 2) − 12 ( x − 1) = 9 ( x − 2) − 7 ( x − 1)
6 x − 12 − 12 x + 12 = 9 x − 18 − 7 x + 7
− 6 x = 2 x − 11
(5x + 13)(x − 3) − 3(4 x + 5) = 5x (x − 3)
5x 2 − 2 x − 39 − 12 x − 15 = 5x 2 − 15x
− 14 x − 54 = − 15x
x = 54
2x − 1
x−4
2
20. 2 x + 1 − 3x − 2 = 3
mcm = 3 (2 x + 1)(3x − 2)
3 (2 x − 1)(3x − 2) − 3 ( x − 4)(2 x + 1) = 2 (2 x + 1)(3x − 2)
− 8 x = − 11
− 11 3
= 18
x=
−8
1
2
1 12
2
25. x + 3 − 5x − 20 = 3x − 12 − x + 3
mcm = 15( x − 4)(x + 3)
18 x 2 − 21x + 6 − 6 x 2 + 21x + 12 = 12 x 2 − 2 x − 4
18 = − 2 x − 4
22 = − 2 x
− 11 = x
4 x + 3 3x + 8
21. 2 x − 5 − 3x − 7 = 1
15( x + 3)
− 30 ( x − 4)
2
15x + 45
− 30 x − 120
15x − 60 − 6 x − 18 =
2
15( x − 4) − 6 (x + 3) =
mcm = (2 x − 5)(3x − 7)
2 (9 x − 78) = 15x + 45 − 2 (30 x − 120)
(4 x + 3)(3x − 7) − (3x + 8)(2 x − 5) = (2 x − 5)(3x − 7)
12 x 2 − 19 x − 21 − 6 x 2 − x + 40 = 6 x 2 − 29 x + 35
− 20 x + 19 = − 29 x + 35
9 x = 16
16
x=
9
x = 1 79
22.
23.
10 x − 7 3x + 8 5x 2 − 4
=
−
15x + 3
12
20 x + 4
1
2
3
2 13
−
=
−
x − 1 x − 2 2x − 2 2x − 4
18 x − 156 = 15x + 45 − 60 x + 240
18 x − 156 = − 45x + 285
63x = 441
x=7
1
4
10
3
−
=
−
26. 6 − 2 x 5 − 5x 12 − 4 x 10 − 10 x
mcm = 20 (1 − x )(3 − x )
mcm = 12 (5x + 1)
10 (1 − x ) − 16 (3 − x ) = 50 (1 − x ) − 6 (3 − x )
4 (10 x − 7) = (3x + 8)(5x + 1) − 3 (5x 2 − 4)
10 − 10 x − 48 + 16x = 50 − 50 x − 18 + 6 x
40 x − 28 = 15x 2 + 43x + 8 − 15x 2 + 12
40 x − 28 = 43x + 20
− 3x = 48
x = − 16
50 x = 70
4x − 1 x − 2 8x − 3
+
=
− 1 103
5
2x − 7
10
mcm = 10 (2 x − 7)
2 (4 x − 1)(2 x − 7 ) + 10 ( x − 2) = (8 x − 3)(2 x − 7 ) − 13 (2 x − 7)
16 x 2 − 60 x + 14 + 10 x − 20 = 16 x 2 − 62 x + 21 − 26 x + 91
− 50 x − 6 = − 88 x + 112
38 x = 118
118
38
x = 3 192
x=
6 x − 38 = − 44 x + 32
7
5
x = 1 25
x=
27.
2
6x 2
2
− 2
=
3 9 x − 1 3x − 1
mcm = 3 (9 x 2 − 1)
2 (9 x 2 − 1) − 18 x 2 = 6 (3x + 1)
18 x 2 − 2 − 18 x 2 = 18 x + 6
− 2 = 18 x + 6
− 8 = 18 x
4
− =x
9
28.
5x 2 − 27 x 1
− = x−6
5x + 3
x
mcm = x (5x + 3)
x−2
2x − 5
x−2
33. x 2 + 8 x + 7 = x 2 − 49 − x 2 − 6 x − 7
⇒ x 2 + 8x + 7 = (x + 7)(x + 1)
x (5x 2 − 27 x ) − (5x + 3) = x (5x + 3)(x − 6)
⇒ x 2 − 49 = ( x + 7)( x − 7)
5x 3 − 27 x 2 − 5x − 3 = 5x 3 − 27 x 2 − 18 x
− 5x − 3 = − 18 x
13x = 3
3
x=
13
4x + 1
6
4x − 1
−
=
mcm = 16 x 2 − 1
29.
4 x − 1 16 x 2 − 1 4 x + 1
⇒ x 2 − 6x − 7 = ( x − 7)(x + 1)
mcm = ( x + 7)( x − 7)(x + 1) = ( x 2 − 49)( x + 1)
(x − 2)(x − 7) = (2 x − 5)(x + 1) − (x − 2)(x + 7)
x 2 − 9 x + 14 = 2 x 2 − 3x − 5 − x 2 − 5x + 14
− 9 x + 14 = − 8x + 9
− x= −5
x=5
(4 x + 1) − 6 = (4 x − 1)
2
2
16 x 2 + 8 x + 1 − 6 = 16 x 2 − 8 x + 1
16 x − 5 = 1
16 x = 6
3
x=
8
 x − 1
 x + 1  5x ( x − 1)
30. 3 
 + 2
=
 x + 1
 x − 4  x 2 − 3x − 4
4x + 5
2x + 3
2x − 5
34. 15x 2 + 7 x − 2 − 12 x 2 − 7 x − 10 − 20 x 2 − 29 x + 5 = 0
⇒ 15x 2 + 7 x − 2 = (3x + 2)(5x − 1)
⇒ 12 x 2 − 7 x − 10 = (4 x − 5)(3x + 2)
⇒ 20 x 2 − 29 x + 5 = (4 x − 5)(5x − 1)
mcm = (3x + 2)(5x − 1)(4 x − 5)
mcm = x 2 − 3x − 4
(4 x + 5)(4 x − 5) − (2 x + 3)(5x − 1) − (2 x − 5)(3x + 2) = 0
3( x − 1)( x − 4) + 2 ( x + 1) = 5x ( x − 1)
2
3x 2 − 15x + 12 + 2 x 2 + 4 x + 2 = 5x 2 − 5x
− 11x + 14 = − 5x
− 6 x = − 14
−7
x=
−3
x = 2 13
16 x 2 − 25 − 10 x 2 − 13x + 3 − 6 x 2 + 11x + 10 = 0
− 2 x − 12 = 0
− 2 x = 12
x= −6
35.
3 ( x + 1)
7
3
2
−
=
−
2x + 1 x + 4 x + 1 2x2 + 9x + 4
mcm = (2 x + 1)( x + 4)( x + 1)
 x + 2
 x−2 
x 2 + 78
 − 3
= 2
31. 2 
 x − 2
 2 x + 3 2 x − x − 6
7 ( x + 4 )( x + 1) − 3 (2 x + 1)( x + 1) = 2 (2 x + 1)( x + 4 ) − 3 ( x + 1)
2
mcm = (x − 2)(2 x + 3)
7 x 2 + 35x + 28 − 6 x 2 − 9 x − 3 = 4 x 2 + 18 x + 8 − 3x 2 − 6 x − 3
26 x + 25 = 12 x + 5
2 ( x + 2)(2 x + 3) − 3( x − 2) = x 2 + 78
2
14 x = − 20
10
x= −
7
x = − 1 73
4 x + 14 x + 12 − 3x 2 + 12 x − 12 = x 2 + 78
2
26 x = 78
x= 3
32.
1
1
3
−
=
x 2 + 3x − 28 x 2 + 12 x + 35 x 2 + x − 20
⇒ x 2 + 3x − 28 = ( x + 7)( x − 4)
⇒ x 2 + 12 x + 35 = ( x + 7)( x + 5)
⇒ x 2 + x − 20 = ( x + 5)( x − 4)
mcm = ( x + 7)( x + 5)(x − 4)
x + 5 − ( x − 4) = 3 ( x + 7)
x + 5 − x + 4 = 3x + 21
9 = 3x + 21
− 12 = 3x
− 4= x
(x + 3) = x − 1 + 2 (7 x + 1)
(x − 3) x + 1 x − 2 x − 3
mcm = (x − 3) ( x + 1)
(x + 3) (x + 1) = (x − 3) (x − 1) + 2 (7 x + 1)(x − 3)
2
36.
2
2
2
2
2
x 3 + 7 x 2 + 15x + 9 = x 3 − 7 x 2 + 15x − 9 + 14 x 2 − 40 x − 6
9 = − 15 − 40 x
24 = − 40 x
3
− =x
5
37.
12 ( x + 3)
x− 4 x+1
−
=−
x+5 x− 2
(x + 5)2
mcm = ( x + 5) ( x − 2)
2
(x + 5)(x − 2)(x − 4) − (x + 5) (x + 1) = − 12 (x + 3)(x − 2)
2
x 3 − x 2 − 22 x + 40 − x 3 − 11x 2 − 35x − 25 = − 12 x 2 − 12 x + 72
− 57 x + 15 = − 12 x + 72
− 45x = 57
57
45
x = − 1 154
x= −
38.
x− 3 x−2 x+ 2 x+3
−
=
−
x− 4 x− 3 x+1 x+ 2
mcm = ( x − 4)( x − 3)( x + 1)( x + 2)
(x − 3) (x + 1)(x + 2) − (x − 4)(x − 4)(x + 1) = (x + 2) (x − 4)(x − 3) − (x − 9)(x − 4)(x + 1)
2
2
2
2
x − 3x − 7 x + 15x + 18 − x + 3x + 8 x − 12 x − 16 = x − 3x − 12 x + 20 x + 48 − x 4 + 3x 3 + 13x 2 − 27 x − 36
3x + 2 = − 7 x + 12
10 x = 10
x=1
4
39.
3
2
4
3
x+ 6 x+1 x−5
x
−
=
−
x+ 2 x− 3 x−1 x+ 4
2
4
3
2
mcm = ( x + 2)( x − 3)( x − 1)( x + 4)
( x + 6)(x − 3)(x − 1)(x + 4) − ( x − 1)(x + 2)(x + 4) = (x − 5)(x + 2)(x − 3)(x + 4) − x (x + 2)(x − 3)(x − 1)
2
x + 6 x − 13x − 66 x + 72 − x − 6 x 3 − 7 x 2 + 6 x + 8 = x 4 − 2 x 3 − 25x 2 + 26 x + 120 − x 4 + 2 x 3 + 5x 2 − 6 x
4
3
2
4
− 60 x + 80 = 20 x + 120
− 80 x = 40
x= −
EJERCICIO 143
(
)
1. a x + 1 = 1
1
x + 1=
a
1
− 1+ x + 1= − 1
a
1− a
x=
a
2.
(
4. 3 2a − x + ax = a + 9
2
7. ax − a (a + b) = − x − (1 + ab)
6a − 3x + ax = a + 9
2
ax − a 2 − ab = − x − 1 − ab
x (a − 3) = a 2 + 9 − 6a
ax + x = a 2 − 1
x (a − 3) = (a − 3)
x (a + 1) = (a + 1)(a − 1)
2
x=a−3
5. a ( x + b) + x (b − a ) = 2b (2a − x)
ax + ba + xb − ax = 4ab − 2bx
xb + 2bx = 4ab − ab
3bx = 3ab
3ab
x=
3b
x= a
ax − 4 = bx − 2
ax − bx = 4 − 2
x (a − b) = 2
2
x=
a−b
)
1
2
(
3. ax + b = a − bx
ax + bx = a 2 − b 2
2
x (a + b) = (a + b)(a − b)
x= a−b
2
2
)
(
3
2
)
3
− a 2 x − 2b 2 x = − a 3 − 2b 3
a 2 x + 2b 2 x = a 3 + 2b 3
2
x 2 − 2ax + a 2 − x 2 − 2ax − a 2 = a 2 − 7ax
3ax = a 2
a2
3a
a
x=
3
(
a −a x−b x+b =b x−b
3
− 4ax + 7ax = a 2
2
)
8. a 2 a − x − b 2 x − b = b 2 x − b
(x − a) − (x + a) = a (a − 7 x)
2
6.
x= a−1
x (a 2 + 2b 2 ) = a 3 + 2b 3
x=
a 3 + 2b 3
a 2 + 2b 2
( x + a)( x − b) − ( x + b)( x − 2a) = b (a − 2) + 3a
x=
x 2 − bx + ax − ab − x 2 + 2ax − bx + 2ab = ab − 2b + 3a
− 2bx + 3ax + ab = ab − 2b + 3a
9.
x (3a − 2b) = 3a − 2b
x=1
(
)
(
2
)
2
2
10. x + a = a + x − a a − 1
x 2 + a 2 = a 2 + 2ax + x 2 − a 2 + a
16.
(m + 4 x)(3m + x) = (2 x − m) + m (15x − m)
2
3m2 + 13mx + 4 x 2 = 4 x 2 − 4mx + m2 + 15mx − m2
a = 2ax + a
2
2mx = − 3m2
a (a − 1)
=x
2a
a −1
=x
2
3m2
2m
3m
x= −
2
x= −
11. m (n − x) − m (n − 1) = m (mx − a )
mn − mx − mn + m = m2 x − am
− mx − m2 x = − am − m
− xm (1 + m) = − m (a + 1)
x=
12.
(
)
(
)
(
) (
) (
)
2
2
2
2
17. a a − x − a a + 1 − b b − x − b 1 − b + a 1 + a = 0
a 3 − a 2 x − a 3 − a 2 − b3 + b2 x − b + b 3 + a + a 2 = 0
− a 2 x + b2 x − b + a = 0
x (b 2 − a 2 ) − (b − a ) = 0
a+1
m+ 1
x (b − a )(a + b) = b − a
x − a + 2 = 2ax − 3 (a + x ) − 2 (a − 5)
x (a + b) = 1
x − a + 2 = 2ax − 3a − 3x − 2a + 10
x=
x − a = 2ax − 5a − 3x + 8
x + 4a − 8 = 2ax − 3x
4 (a − 2) = 2ax − 4 x
(ax − b) = (bx − a)(a − x) − x (b − a ) + a + b (1− 2b)
2
4 (a − 2) = 2 x (a − 2)
1
a+b
18.
2
2
2
a x − 2abx + b = abx + bx − a − ax − bx + a x + a 2 + b − 2b2
2
2= x
2
2
2
2
2
2
2
ax (1 − 3b) = b (1 − 3b)
13. a ( x − a ) − 2bx = b (b − 2a − x )
x=
ax − a 2 − 2bx = b 2 − 2ab − bx
b
a
ax − bx = b2 − 2ab + a 2
x (a − b) = (b − a )(b − a )
x= −
(a − b)(b − a)
19.
(x + b) − (x − a ) − (a + b) = 0
2
2
x 2 + 2bx + b 2 − x 2 + 2ax − a 2 − a 2 − 2ab − b 2 = 0
a−b
2bx + 2ax − 2a 2 − 2ab = 0
x = − (b − a )
2 x (b + a ) − 2a (a + b) = 0
x= a−b
2 ( x − a )(a + b) = 0
14. ax + bx = ( x + a − b) − (x − 2b)( x + 2a)
2 x = 2a
2
x=a
x (a + b) = x 2 + 2ax − 2bx + a 2 − 2ab + b2 − x 2 − 2ax + 2bx + 4ab
x (a + b) = a 2 + 2ab + b2
x (a + b) = (a + b)
2
20.
)
(
(x + m) − 12m = − (x − m) + 2 x
3
3
3
3
x 3 + 3x 2 m + 3xm2 + m3 − 12m3 = − x 3 + 3x 2 m − 3xm2 + m3 + 2 x 3
x= a+b
(
2
) (
) (
15. x a + b − 3 − a a − 2 = 2 x − 1 − x a − b
ax + bx − 3 − a 2 + 2a = 2 x − 2 − ax + bx
2ax − 2 x = a 2 − 2a + 1
2 x (a − 1) = (a − 1)
2
x=
a−1
2
)
2 x 3 + 6 xm2 − 2 x 3 = 12m3
6 xm2 = 12m3
12m3
6m2
x = 2m
x=
EJERCICIO 144
1.
m 1 2
− =
x m m
2
m − x = 2x
mcm = mx
7.
x − 3a 2a − x
1
−
=−
a2
ab
a
b (x − 3a ) − a (2a − x ) = − ab
bx − 3ab − 2a 2 + ax = − ab
bx + ax = 2ab + 2a 2
x (a + b) = 2a (a + b)
m = 3x
2
m2
=x
3
2.
x = 2a
a b 4a
mcm = 2x
+ =
x 2 x
2a + bx = 8a
bx = 6a
6a
x=
b
3.
mcm = mn
n ( x + m) − m ( x + n) = m2 + n 2 − 2mn
xn + mn − mx − mn = m2 − 2mn + n 2
2
x (n − m) = − (n − m)(m − n)
x 1− x 1
−
=
2a a 2
2a
x = n− m
x−b
x− a
= 2−
9.
a
b
x (a + 2) = a + 2
x=
x = − (m − n)
mcm = 2a 2
ax − 2 + 2 x = a
a+2
a+2
mcm = ab
b ( x − b) = 2ab − a ( x − a )
bx − b 2 = 2ab − ax + a 2
bx + ax = a 2 + 2ab + b2
x=1
x (a + b) = (a + b)
m n n
+ = + 1 mcm = mx
x m x
m2 + nx = mn + mx
x=a+b
4x
3
− 3= −
10.
2a + b
2
2
mcm = 2 (2a + b)
m2 − mn = mx − nx
8 x − 6 (2a + b) = − 3 (2a + b)
m= x
8 x − 12a − 6b = − 6a − 3b
8 x = 6a + 3b
m (m − n) = x (m − n)
5.
x + m x + n m2 + n 2
−
=
−2
8.
m
n
mn
x (n − m) = (m − n)
ax − 2 (1 − x ) = a
4.
mcm = a 2b
a − 1 1 3a − 2
+ =
a
2
x
mcm = 2ax
3 (2a + b)
8
2a + 3x 2 (6 x − a )
11.
=
mcm = ( x + a )(4 x + a )
x+a
4x + a
x=
2 x (a − 1) + ax = 2a (3a − 2)
2ax − 2 x + ax = 6a 2 − 4a
3ax − 2 x = 2a (3a − 2)
(2a + 3x)(a + 4 x) = (2 x + 2a)(6x − a)
2a 2 + 11ax + 12 x 2 = 12 x 2 + 10ax − 2a 2
ax = − 4a 2
x (3a − 2) = 2a (3a − 2)
x = 2a
a − x b − x 2 (a − b)
6.
−
=
a
b
ab
mcm = ab
b (a − x ) − a (b − x ) = 2 (a − b)
ab − bx − ab + ax = 2 (a − b)
x (a − b) = 2 (a − b)
x= 2
x = − 4a
2 ( x − c) 2 x + c
=
12.
4 x − b 4 ( x − b)
mcm = 4 (4 x − b)( x − b)
8 ( x − c)( x − b) = (2 x + c)(4 x − b)
8 x − 8 xb − 8 xc + 8bc = 8 x 2 − 2 xb + 4 xc − bc
− 6 xb − 12 xc = − 9bc
2
− 6 x (b + 2c) = − 9bc
x=
3bc
2 (b + 2c)
13.
5x + a 5x − b
19. 3x + b = 3x − a
1 m 1 1
− =
−
mcm = xmn
n x mn x
2
xm − m n = x − mn
(3x − a)(5x + a ) = (5x − b)(3x + b)
xm − x = m2 n − mn
15x 2 − 2ax − a 2 = 15x 2 + 2bx − b 2
x (m − 1) = mn (m − 1)
− 2ax − 2bx = a 2 − b 2
x = mn
( x − 2b)(2 x + a) = 2 mcm = x − a a − 2b + x
( )(
)
14.
( x − a)(a − 2b + x)
( x − 2b)(2 x + a) = 2 ( x − a)(a − 2b + x)
2 x 2 + ax − 4bx − 2ab = − 4bx + 2 x 2 − 2a 2 + 4ab
ax = 6ab − 2a
2
− 2 x (a + b) = (a + b)(a − b)
x=
20. x + a − x − a =
x−a x+a
a (2 x + ab)
x2 − a2
2
x = 2 (3b − a)
x+ m n+ x
=
x − n m+ x
b− a
2
2
x 2 + 2ax + a 2 − x 2 + 2ax − a 2 = 2ax + a 2b
mcm = (m + x )(x − n)
4ax = 2ax + a 2b
2ax = a 2b
ab
x=
2
(x + m) = (x + n)(x − n)
2
x + 2mx + m2 = x 2 − n 2
2
2mx = − m2 − n 2
m +n
2m
2
x= −
21.
2
2 x − 3a
11a
− 2= 2
x + 4a
x − 16a 2
mcm = x 2 − 16a 2
(2 x − 3a)(x − 4a) − 2 (x − 16a ) = 11a
2
x (2 x + 3b)( x + b)
= 2 x 2 − bx + b 2
16.
x + 3b
2
2
− 11ax + 44a 2 = 11a
x (2 x + 3b)( x + b) = ( x + 3b)(2 x − bx + b )
2
− 11ax = 11a − 44a 2
− 11ax = 11a (1− 4a)
2 x 3 + 5x 2b + 3b 2 x = 2 x 3 + 5bx − 2b 2 x + 3b 3
2
3b 2 x + 2b 2 x = 3b 3
3b
x=
5
3  x x  1  x x  5a + 13b
17.  +  =  −  +
4  b a 3  b a
12a
x = − (1 − 4a)
x = 4a − 1
3  ax + bx  1  ax − bx  5a + 13b
⇒ 
= 
+
4  ab  3  ab 
12a
3ax + 3bx ax − bx 5a + 13b
⇒
=
+
mcm = 12ab
4ab
3ab
12a
x2
x+ a
1
22. x + a + a 2 + ax = a
2
a + x 2 = x 2 + 2ax + a 2
a − a 2 = 2ax
a (1 − a)
=x
2a
1− a
=x
2
9ax + 9bx = 4ax − 4bx + 5ab + 13b 2
5ax + 13bx = 5ab + 13b 2
x (5a + 13b) = b (5a + 13b)
x=b
2
mcm = 3 (3x − a )
(x + a )(3x − a ) = 3 (x − b) + 3ab − 3b
2
2
2
2ax + 6bx = a 2 + 3ab
2 x (a + 3b) = a (a + 3b)
x=
a
2
2
23.
2 (a + x) 3(b + x ) 6 (a 2 − 2b2 )
−
=
b
a
ab
mcm = ab
2a (a + x) − 3b (b + x ) = 6 (a 2 − 2b2 )
2
3x + 2ax − a = 3x − 6bx + 3b + 3ab − 3b
2
mcm = a (x + a)
a + x 2 = (x + a)
3 (3ax + 3bx ) = 4 (ax − bx ) + b (5a + 13b)
x + a (x − b) 3ab − 3b 2
=
+
3
3x − a
9 x − 3a
2
2 x − 11ax + 12a − 2 x + 32a 2 = 11a
2
mcm = x + 3b
2
18.
mcm = ( x − a )( x + a )
(x + a) − (x − a ) = a (2 x + ab)
ax = 2a (3b − a)
15.
mcm = (3x + b)(3x − a )
2
2a 2 + 2ax − 3b 2 − 3bx = 6a 2 − 12b2
2ax − 3bx = 4a 2 − 9b2
x (2a − 3b) = (2a − 3b)(2a + 3b)
x = 2a + 3b
(
) (
1
mcm = n
)( )
(2mn − 3m n)
n
nm (n − x ) − n (m − n)(m + x) = n − (2mn − 3m n)
2
24. m n − x − m − n m + x = n −
2
2
3
2
2
mn 2 − mnx − m2 n + mn2 − mnx + n2 x = n 3 − 2mn2 + 3m2 n
− 2mnx + n 2 x = − 4mn2 + 4m2 n + n3
nx (n − 2m) = n (n2 − 4mn + 4m2 )
x (n − 2m) = (n − 2m)
2
x = n − 2m
EJERCICIO 145
x → N º buscado
1.
3x
= 2 x − 11
x−
8
8 x − 3x = 8 (2 x − 11)
5x = 16x − 88
− 11x = − 88
− 88
x=
− 11
x=8
2. x → N º buscado
x+
5x
= 3x − 14
6
6 x + 5x = 6 (3x − 14)
11x = 18 x − 84
− 7 x = − 84
− 84
x=
−7
x = 12
3. x → N º que se resta
6x
22 − x = 11 +
5
5(22 − x) = 55 + 6x
110 − 5x = 55 + 6 x
− 11x = − 55
x=5
4. x → Nº que tiene diferencia
5
7
x − x = 30 mcm = 8
4
8
10x − 7x = 240
3x = 240
x = 80
5. x → Nº buscado
3
1
x − 17 = x − x mcm = 30
5
6
30x − 510 = 18 x − 5x
− 510 = − 17 x
30 = x
6. x → N º buscado
x 3
1 
1
+ x − 49 = 2  x −
x
6
5 8
12 
x 3
x
mcm = 120
⇒ + x − 49 =
5 8
6
24 x + 45x − 5. 880 = 20 x
10. x → Lo que tenia
1 
1
x −  x + x = 39 mcm = 24
3
8 
24 x − 8 x − 3x = 936
13x = 936
x = 72 bs.
11. x → Nº buscado
x
mcm = 3
3
9x − 144 = x
8x = 144
49 x = 5 .880
3x − 48 =
x = 120
7. x → Edad de A
3x
→ Edad de B
5
3x
 3x 
x+
− 4= 2 
 5
5
x = 18
12. x → Nº buscado
5x + 3x − 20 = 6 x
2 x = 20
x = 10 años → Edad de A
3⋅ 10 30
⇒
=
= 6 años → Edad de B
5
5
8. x → Lo que tiene A
7x
→ Lo que tiene B
8
 7x 
x + 90 = 2   mcm = 8
 8
8 x + 720 = 14 x
− 6 x = − 720
x = $ 120 → Tiene A
7 ⋅ 120
⇒
= $ 105 → Tiene B
8
9. x → Long. pieza
3x
= 40 mcm = 5
x−
5
5x − 3x = 200
2x = 200
x = 100 m
x
+ 30
2
8x − 38 = x + 60
7x = 98
x = 14
4x − 19 =
mcm = 5
mcm = 2
13. x → Nº buscado
x
= x − 10 mcm = 2
2
160 − x = 2x − 20
− 3x = − 180
x = 60
80 −
14. x → Nº buscado
7x
4x
−2=
mcm = 40
8
5
35x − 80 = 32 x
3x = 80
80
3
x = 26 23
x=
15. x → Ancho del buque
8x
9
8x
56 =
9
504 = 8x
504
=x
8
63 Pies = x
800 − 744 =
EJERCICIO 146
1.
x → N º menor
x → N º menor
2.
x + 1→ N º mayor
4 ( x + 1)
= x− 4
5
4x + 4
= x− 4
5
3.
x + 1→ N º mayor
3 ( x + 1)
7x
− 17 =
mcm = 40
5
8
35x − 680 = 24 ( x + 1)
x − 81 =
− x = − 24
13x = 1. 612
x = 24 → N º menor
x = 124 → N º menor
⇒ x+1
⇒ x+1
= 64 + 1 = 65→ N º mayor
= 124 + 1 = 125
⇒ x+1
mcm = 20
20 x − 1. 620 = 15x − 8 (x + 1)
11x = 704
x = 64 → N º menor
4 x + 4 = 5x − 20
3x 2 (x + 1)
−
4
5
20 x − 1. 620 = 15x − 8 x − 8
35x − 680 = 24 x + 24
4 x + 4 = 5 ( x − 4)
x → N º menor
x + 1→ N º mayor
x → N º mayor
= 24 + 1 = 25 → N º mayor
4.
x → N º menor
5.
x + 1 → N º mayor
3( x + 1)
1
1
x − 8=
mcm = 660
(x + 1) + 33
5
20
132 ( x + 1) + 20x − 5. 280 = 99 (x + 1)
132 x + 132 + 20x − 5.280 = 99 x + 99
152 x − 99 x = 5.148 + 99
53x = 5. 247
x = 99 → N º menor
2 x → N º menor
2 x + 2 → N º mayor
(2 x + 2) − (2 x) = 324
2
4 x 2 + 8 x + 4 − 4 x 2 = 324
x + x + 1− 25 =
2x
5
5(2 x − 24) = 2 x
10 x − 120 = 2 x
8x = 120
x = $ 15 → Gane ayer
⇒ x + 1 = 15 + 1 = $ 16 → Gane hoy
9.
4 ( x + 1)
− 4 mcm = 5
5
5x − 40 = 4 x + 4 − 20
x = 40
⇒ 2 x = 2 ⋅ 40 = 80 → N º menor
5x − 4 x = 40 − 16
⇒ 2 x + 2 = 80 + 2 = 82 → N º mayor
8.
x → Gane ayer
x + 1 → Gane hoy
x → Tiene B
x + 1 → Tiene A
x − 8=
8 x = 320
⇒ x + 1 = 99 + 1 = 100 → N º mayor
7.
6.
2
x = $ 24 → Tiene B
⇒ x + 1 = 24 + 1 = $ 25 ⇒ Tiene A
x → N º menor
x + 1 → N º medio
x + 2 → N º mayor
x x+1 x+ 2
+
+
=9
20 27
41
mcm = 22 .140
1.107 x + 820 ( x + 1) + 540 ( x + 2) = 199 . 260
1.107 x + 820 x + 820 + 540 x + 1. 080 = 199 . 260
2 . 467 x = 197 . 360
x = 80 → N º menor
⇒ x + 1 = 80 + 1 = 81 → N º medio
⇒ x + 2 = 80 + 2 = 82 → N º mayor
x → N º menor
x + 1 → N º medio
10.
x + 2 → N º mayor
3x 5 ( x + 2 )
+
− 31 = x + 1 mcm = 30
5
6
18 x + 25 ( x + 2) − 930 = 30 x + 30
18 x + 25x + 50 − 930 = 30 x + 30
43x − 30 x = 880 + 30
13x = 910
x = 70 x → N º menor
⇒ x + 1 = 70 + 1 = 71
→ N º medio
⇒ x + 2 = 70 + 2 = 72 → N º mayor
x → N º menor
x + 1 → N º medio
x + 2 → N º mayor
3( x + 1) 3x
1
−
− 1 = ( x + 2) mcm = 770
7
10
11
330 ( x + 1) − 231x − 770 = 70 ( x + 2)
330 x + 330 − 231x − 770 = 70 x + 140
29 x = 580
x = 20 → N º menor
⇒ x + 1 = 20 + 1 = 21 → N º medio
⇒ x + 2 = 20 + 2 = 22 → N º mayor
11.
x → Edad B
x + 2 → Edad A
x − 2 → Edad C
12.
x + 1 → Edad C
7 ( x + 2)
x + x − 2 − 12 =
8
17 ( x − 1)
(x + 1) − x = 5 − 4 mcm = 5
5 ( x + 2 x + 1) − 5x = 17 ( x − 1) − 20
2
8 (2 x − 14) = 7 ( x + 2)
2
16 x − 112 = 7 x + 14
9 x = 126
2
2
5x + 10 x + 5 − 5x = 17 x − 17 − 20
− 7 x = − 42
2
x = 14 → Edad B
2
x = 6 → Edad B
⇒ x − 1 = 6 − 1 = 5 → Edad A
⇒ x + 1 = 6 + 1 = 7 → Edad C
⇒ x + 2 = 14 + 2 = 16 → Edad A
⇒ x − 2 = 14 − 2 = 12 → Edad C
EJERCICIO 147
x → N º mayor
1.
59 − x → N º menor
x → Edad B
x − 1 → Edad A
3.
x → N º mayor
x − 44 → N º menor
5.
2 x − 40
3(260 − x )
x−2
=3
x − 44
x−5
=2
59 − x
2 x − 40 = 1.560 − 6 x
x − 2 = 3x − 132
− 2 x = − 130
x − 5 = 118 − 2 x
3x = 123
8 x = 1. 600
x = 200 → Parte mayor
x = 65 → N º mayor
⇒ x − 44 = 65 − 44 = 21 → N º menor
x = 41 → N º mayor
⇒ 59 − x = 59 − 41 = 18 → N º menor
⇒ 260 − x
6.
x → N º mayor
2.
436 − x → N º menor
x → N º mayor
4.
x − 56 → N º menor
x − 73
=2
436 − x
x − 8 = 3 ( x − 56)
x − 73 = 872 − 2 x
3x = 945
x = 315 → N º mayor
⇒ 436 − x = 436 − 315 = 121 → N º menor
= 260 − 200 = 60 → Parte menor
x → Parte de A
196 − x → Parte de B
3x
− 16
8
=1
196 − x
5
3x − 128
5
⋅
=1
8
196 − x
x−8
=3
x − 56
x − 73 = 2 (436 − x )
=2
2 x − 40 = 6 (260 − x )
x − 2 = 3 ( x − 44)
x − 5 = 2 (59 − x )
x → Parte mayor
260 − x → Parte menor
5 (3x − 128) = 8 (196 − x )
x − 8 = 3 x − 168
− 2 x = − 160
x = 80 → N º mayor
⇒ x − 56 = 80 − 56 = 24 → N º menor
15x − 640 = 1.568 − 8 x
23x = 2 . 208
x = 96 soles → Parte de A
⇒ 196 − x
= 196 − 96 = 100 soles → Parte de B
EJERCICIO 148
1. x → Ganó el 1er día
x
→ Ganó el 2º día
2
x
→ Ganó el 3 er día
4
x x
x + + = 175 mcm = 4
2 4
4 x + 2 x + x = 700
7 x = 700
x = $ 100 → Ganó el 1er día
x 100
=
= $ 50 → Ganó el 2º día
2
2
x 100
⇒ =
= $ 25 → Ganó el 3 er día
4
4
⇒
2.
x → Perdió miercoles
3. x → Tiene A
3
x → Perdió jueves
5
1
x → Perdió viernes
2
3
1
x + x + x = 252 mcm = 10
5
2
10x + 6x + 5 x = 2 . 520
21x = 2 . 520
x = $ 120 → Perdió miercoles
3
⇒ ⋅120 = $ 72 → Perdió jueves
5
1
⇒ ⋅120 = $ 60 → Perdió viernes
2
2
x → Tiene B
3
2
x → Tiene C
5
2x 2 x
+
= 248 mcm = 15
x+
3
5
15x + 10x + 6x = 3 . 720
31x = 3 . 720
x = 120 suc. → Tiene A
2
⇒ ⋅ 120 = 80 sucres → Tiene B
3
2
⇒ ⋅ 120 = 48 sucres → Tiene C
5
4.
x → Edad A
3
x → Edad B
5
9
x → Edad C
40
3x 9x
+
= 73 mcm = 40
x+
5 40
40x + 24x + 9x = 2 . 920
73x = 2 . 920
x = 40
40 años → edad de A
3
⇒ ⋅ 40 = 24 años → edaddeB
5
9
⇒
⋅ 40 = 9 años → edadde C
40
er
5. x → 1 día
1
x → 2º día
3
1
x → 3º día
9
1
x → 4º día
27
1
1
1
x+ x+ x+
x = 120 mcm = 27
3
9
27
27x + 9x + 3x + x = 3 . 240
40x = 3 . 240
x = 81 Km.
81 Km. → 1er día
1
⇒ ⋅ 81= 27 Km. → 2º día
3
1
⇒ ⋅ 81= 9 Km. → 3º día
9
1
⇒
⋅ 81= 3 Km. → 4º día
27
6.
x → 1ª semana
11
x → 2ª semana
10
121
x → 3ª semana
100
1. 331
→ 4ª semana
1.000
Continuación
6. 1. 000 Km. → 1ª semana
11
⋅1. 000 = 1.100 Km. → 2ª semana
10
121
⇒
⋅1. 000 = 1. 210 Km. → 3ª semana
100
1. 331
⇒
⋅1. 000 = 1. 331Km. → 4ª semana
1. 000
⇒
7. x → 1ª Persona
;
x
→ 2 ª Persona
2
x
→ 4 ª Persona
40
x
→ 3ª Persona ;
8
x
→ 5ª Persona
400
x x x
x
x+ + +
+
= 330 .500 mcm = 400
2 8 40 400
400 x + 200 x + 50 x + 10 x + x = 132 ' 200 . 000
661x = 132 ' 200 . 000
x = 200 . 000 colones
200 . 000 colones → 1ª Persona
x 200 . 000
⇒ =
= 100 . 000 colones → 2 ª Persona
2
2
x 200 . 000
⇒ =
= 25 . 000 colones → 3ª Persona
8
8
x 200 . 000
⇒
=
= 5. 000 colones → 4 ª Persona
40
40
x
200 . 000
⇒
=
= 500 colones → 5ª Persona
400
400
8.
x → Re c. en barco
4
x → Re c. en tren
9
5
x → Re c. en avión
18
4 x 5x
+
= 9 . 362 mcm = 18
x+
9 18
18x + 8x + 5x = 168 . 516
31x = 168. 516
11
121
1. 331
x = 5 . 436 Km.
x+
x+
x = 4 . 641 mcm = 1. 000
10
100
1. 000
5 . 436 Km. → Re c. en barco
1. 000x + 1.100x + 1. 210x + 1. 331x = 4' 641. 000
4
4
⇒ x = ⋅ 5 . 436 = 2 . 416 Km. → Re c. en tren
4 . 641x = 4' 641. 000
9
9
x = 1. 000 Km.
5
5
⇒
x = ⋅ 5 . 436 = 1. 510 Km. → Re c. en avión
18
18
Continúa
x+
EJERCICIO 149
1. x → Tenía al principio
5. x → Aves en la granja
8. x → Tenía al principio
4
x
2 ( x − 20)
x → Palomas
x − − 15 = 30 mcm = 2
= 10 mcm = 3
x − 20 −
5
2
3
4
x
2x − x − 30 = 60
3x − 60 − 2 ( x − 20) = 30
Re sto
x− x=
5
5
x = 90
3x − 60 − 2 x + 40 = 30
x 3 3
Tenía
al principio
$
90
→
⋅ =
x → Gallinas
x − 20 = 30
5 4 20
x = 50
4 x 3x
−
= 4 mcm = 20
x−
$ 50 → Tenía al principio
5 20
x
→
Tenía
al
principio
2.
20x − 16x − 3x = 80
9. x → Tenía al principio
x x
x = 80
3
− = 21 mcm = 4
x − x + 1. 300 = x + 100
2 4
80 → Aves en la granja
4
2x − x = 84
mcm = 4
4
4
⇒ x = ⋅ 80 = 64 → Palomas
x = 84
4 x − 3x + 5 . 200 = 4 x + 400
5
5
84 Q. → Tenía al principio
3
3
− 3x = − 4 . 800
⇒
⋅ 80 = 12 → Gallinas
x=
3. x → Tengo ahora
20
20
x = 1. 600
4 → Gallos
4 ( x + 7)
1. 600 suc. → Tenía al principio
= 20 mcm = 5
x + 7−
6. x → Tenía al principio
5
4
x
5x + 35 − 4 (x + 7) = 100
x− x=
→ quedó
5
5
5x + 35 − 4 x − 28 = 100
2 x 2
x + 7 = 100
⋅ =
x → Perdí
10. x → Tenía al principio
3 5 15
x = 93
3
x
4
2
→ quedó
x− x=
x− x−
x − 8 = 0 mcm = 15
$ 93 → Tengo ahora
4
4
5
15
→
x
Tenía
al
principio
4.
2 x x
15x − 12x − 2x − 120 = 0
⋅ =
→ Libros
2x 3
3 4 6
120
=
x
= x → quedó
x−
5 5
3
x 2
120 soles → Tenía al principio
x − x − = x − 38
5 3
1
4
6
5
⋅ x = x → prestó
7. x → Tenía al principio
6 5
2
mcm = 60
5
Luego
x−
x + 42 = x + 2 mcm = 12
60x − 45x − 10x = 24x − 2 . 280
12
2
1
− 19x = − 2 . 280
12x − 5x + 504 = 12x + 24
x − x − x = 500 mcm = 10
5
2
x = 120
− 5x = − 480
10x − 4x − 5x = 5 . 000
$
120
→
Tenía
al principio
x = 96
x = 5 . 000
$ 96 → Tenía al principio
5 . 000 bs. → Tenía al principio
EJERCICIO 150
1.
x → Edad actual A
3x → Edad actual B
1
x − 15 = (3x − 15) mcm = 6
6
6x − 90 = 3x − 15
3x = 75
x = 25 años → Edad actual A
⇒ 3x = 25⋅ 3 = 75 años → Edad actual B
2.
x → Edad actual B
3x → Edad actual A
3x + 20 = 2 ( x + 20)
3x + 20 = 2 x + 40
x = 20 años → Edad actual B
⇒ 3x = 3⋅ 20 = 60 años → Edad actual A
3.
x → Edad actual A
9
x − 5 = ( x + 5) mcm = 11
11
11x − 55 = 9 x + 45
2 x = 100
x = 50
8.
3( x − 15)
mcm = 8
8
8 x − 320 = 3x − 45
5x = 275
x = 55
55 años → Edad padre
⇒ x − 25 = 55 − 25 = 30 años → Edad hijo
x − 25 − 15 =
50 años → Edad actual A
4.
x → Edad actual A
2 ( x − 6) = x + 24
2 x − 12 = x + 24
x = 36
36 años → Edad actual A
5.
x → Edad hijo
3x → Edad padre
2 ( x + 16) = 3x + 16
2 x + 32 = 3x + 16
16 = x
16 años → Edad hijo
⇒ 3x = 3⋅ 16 = 48 años → Edad padre
6. x → Edad padre
2
x → Edad hijo
5
2 ( x − 8) 2 x
=
− 8 mcm = 35
7
5
10 x − 80 = 14 x − 280
200 = 4 x
50 = x
50 años → Edad padre
⇒
2
2
x = ⋅ 50 = 20 años → Edad hijo
5
5
7. x → Edad actual de A
65 − x → Edad actual de B
5( x + 10)
mcm = 12
12
900 − 12 x = 5x + 50
850 = 17 x
50 = x
50 años → Edad actual de A
⇒ 65 − x = 65 − 50 = 15 años → Edad actual de B
65 − x + 10 =
x → Edad padre
x − 25 → Edad hijo
9.
2 x → Edad padre hace 10 años
x → Edad hijo hace 10 años
2 x + 10 → Edad actual padre
x + 10 → Edad actual hijo
3 ( x + 10 + 10)
2
4 x + 40 = 3x + 60
2 x + 10 + 10 =
mcm = 2
x = 20
⇒ 2 x + 10 = 2 ⋅ 20 + 10 = 50 años → Ed . act . padre
⇒ x + 10 = 20 + 10 = 30 años → Ed . act . hijo
10. x + 18 → Edad de A
x → Edad de B
5( x − 18)
mcm = 2
2
2 x = 5x − 90
90 = 3x
30 = x
30 años → Edad de B
⇒ x + 18 = 30 + 18 = 48 años → Edad A
x + 18 − 18 =
11. 3x → Edad A
x → Edad B
3x − 4 + x − 4 = x + 16
4x − 8 = x + 16
3x = 24
x=8
8 años → Edad B
⇒ 3x = 3 ⋅ 8 = 24 años → Edad A
x → Tiene A
2
x → Tiene B
3
1. x → Tiene B
2
7
2 x → Tiene A
x + 22 = ( x − 22) mcm = 15
3
5
4 ( x + 20)
10 x + 330 = 21x − 462
2 x − 20 =
mcm = 5
5
792 = 11x
10 x − 100 = 4 x + 80
72 = x $ 72 → Tiene A
6 x = 180
2
2
⇒ x = ⋅ 72 = $ 48 → Tiene B
x = 30
3
3
30 soles → Tiene B
7. x → Tiene B
⇒ 2 x = 2 ⋅ 30 = 60 soles → Tiene A
4
x → Tiene A
2. x → Tiene B
5
4
x
x + 13 = x − 5 mcm = 5
→ Tiene A
5
2
x
4x + 65 = 5x − 25
x − 24 = + 24 mcm = 2
2
90 = x $ 90 → Tiene B
2x − 48 = x + 48
4
4
⇒ x = ⋅ 90 = $ 72 → Tiene A
x = 96
5
5
96 colones → Tiene B
8. x → Tiene A
x 96
x
⇒ =
= 48 colones → Tiene A
→ Tiene B
2 2
2
3. x → Tiene A
x 1
+ x = x + 5 mcm = 6
2 x → Tiene B
2 3
3x + 2x = 6x + 30
3
2 x − 6) = x + 6 mcm = 5
(
5x = 6x + 30
5
6 x − 18 = 5x + 30
30 = x $ 30 → Tiene A
x 30
x = 48
⇒ =
= $ 15 → Tiene B
2 2
$ 48 → Tiene A
9. x → Empezaron A y B
⇒ 2 x = 2 ⋅ 48 = $ 96 → Tiene B
3
→
x
Tiene
A
4.
x − x = x − 24 mcm = 5
5
3
x → Tiene B
5x − 3x = 5x − 120
5
− 3x = − 120
3
9
x + 30 = (x − 30) mcm = 5
x = 40
5
5
40
balboas
→ Empezaron A y B
3x + 150 = 9 x − 270
x
Empezaron
A y B
→
10.
420 = 6 x
3
x
70 = x
x − x = → Le queda B
4
4
$ 70 → Tiene A
x
→ 3ª parte de lo queda B
3
3
12
⇒ x = ⋅ 70 = $ 42 → Tiene B
x
x + 288
5
5
+ 24 =
→ ha ganado A
12
12
5. x → Tiene A yB
x
x
+
288


x + 30
= x− 
 mcm = 12
x − 30 =
mcm = 2
 12 
4
2
3x = 12 x − x − 288
2x − 60 = x + 30
3x = 11x − 288
x = 90
− 8 x = − 288
90 suc. → Tiene A yB
EJERCICIO 151
6.
x = 36
36 soles → Empezaron A y B
EJERCICIO 152
1. x → N º años que pasan
3
28 + x = x + 38 mcm = 4
4
112 + 4 x = 3x + 114
(
)
x=2
2 → años pasan
2. x → N º años que pasan
7
30 + x = x + 25 mcm = 6
6
180 + 6 x = 7 x + 175
(
)
5= x
5 → años pasan
3. x → N º años hace
9
48 − x =
52 − x
10
mcm = 10
(
)
480 − 10 x = 468 − 9 x
12 = x
12 → años hace
4. x → N º años hace
1
18 − x = 27 − x
4
mcm = 4
(
)
72 − 4 x = 27 − x
45 = 3x
15 = x
15 → años hace
5. x → La suma de dinero
3
50 + x = x + 22 mcm = 5
5
150 + 3x = 5x + 110
(
)
40 = 2 x
20 = x
$ 20 → La suma de dinero
6. x → Gastó cada uno
3
90 − x = 50 − x mcm = 11
11
270 − 3x = 550 − 11x
(
)
8 x = 280
x = 35
35 Q. → Gastó cada uno
7.
x → Edad actual hermano
3
x → Edad actual persona
8. x → ganó cada uno
4
3
54 + x + 32 + x = 4x + 66
(x + x) + 4 x + x = 75
2x + 86 = 4x + 66
3
20 = 2x
3x + x = 75 mcm = 4
4
10 = x
12 x + 3x = 300
$ 10 → ganó cada uno
x = 20
20 años → Edad actual hermano
3
3
⇒ x = ⋅ 20 = 15 años → Edad actual persona
4
4
EJERCICIO 153
1. x + 3 → Long. rect .
x → Ancho rect .
(x + 4)(x + 1) − 22 = x (x + 3)
5.
)
600 = 5x
120 = x
120 bs. → Le dió A a B
EJERCICIO 154
1.
x → Numerador
x − 2 → Deno min ador
1
x
=
x−2+7 2
48m ⋅12m → Dimensiones
x → Long. del cuadrado
1
x
=
x+5 2
2x = x + 5
x=9
Equiv. al rect .
9m → Ancho rect .
x + 7 → Long. del rect .
x=5
5 → Numerador
⇒ x + 3 = 9 + 3 = 12m → Long. rect .
x − 6 → Ancho del rect .
5 − 2 = 3 → Deno min ador
2 x → La otra dim ensión
(x + 5)(2 x + 5) − 160 = 2 x
2
2 x 2 + 15x + 25 − 160 = 2 x 2
15x = 135
x= 9
9m⋅ 18m → Dimensiones
(x + 7)(x − 6) = x
5
→ fracción
3
2
2
x + x − 42 = x
x → Numerador
2.
x = 42
x + 1 → Deno min ador
1
x
⇒ x + 7 = 42 + 7 = 49 → Long. del rect .
=
+
1
+
15
3
x
⇒ − = − = →
2. x → Una de las dim ensiones
x 6 42 6 36
2
x 2 + 25x + 150 + 150 = x 2 + 30 x
300 = 5x
x − 8 x + 15 + 115 = x + 2 x
60 = x
− 10 x = − 130
60m → Ancho
x = 13
⇒ x + 30 = 60 + 30 = 90m → Long.
90m ⋅ 60m → Dimensiones
15m ⋅ 13m → Dimensiones
Continúa
1
x
=
x + 16 3
3x = x + 16
x + 30 → Longitud
2
x
+ 24 → Long. del rect .
2
x
− 12 → Ancho del rect .
2

x

x
x
 + 24  − 12 = x  − 12
2
2

2

Ancho del rect.
(x + 30 − 20)(x + 15) + 150 = x (x + 30)
(x + 10)(x + 15) + 150 = x + 30x
(x − 5)(x − 3) + 115 = x (x + 2)
2
2
49m ⋅ 36m → Dimensiones
x → Ancho
6.
3. x + 2 → Una dim ensión
x → Otra dim ensión
4.
(
Continuación
x
4. + 24 = x mcm = 2
2
x + 48 = 2x
48 = x
x 2 + 5x + 4 − 22 = x 2 + 3x
2 x = 18
9. x → Le dió A a B
1
153 − x = 12 + x mcm = 4
4
612 − 4 x = 12 + x
x → Ancho
7.
x + 10 → Longitud
(x + 8)(x + 1) = x (x + 10)
x + 9 x + 8 = x + 10 x
2
2
8 = x → Ancho
⇒ x + 10 = 8 + 10 = 18 → Long.
18m ⋅ 8m → Dimensiones
2 x = 16
x=8
8 → Numerador
8 + 1= 9 → Deno min ador
8
→ Fracción
9
3. x − 8 → Numerador
x → Deno min ador
x − 8+1 3
=
x+1
4
x− 7 3
=
x+1 4
4 ( x − 7) = 3( x + 1)
4 x − 28 = 3x + 3
x = 31
31 − 8 = 23 → Numerador
31 → Deno min ador
23
→ Fracción
31
4.
x → Numerador
x → Numerador
5.
2 x + 1→ Deno min ador
x−4 1
=
2x + 1 3
2 x + 6 → Deno min ador
4
x + 15
=
2x + 6 − 1 3
3 ( x − 4) = 2 x + 1
 x 
x
= 3
 −2
x + 1+ 4
 x + 1
x + 15 4
=
2x + 5 3
3x − 12 = 2 x + 1
x = 13
13 → Numerador
2 ⋅ 13 + 1 = 27 → Deno min ador
13
→ Fracción
27
3x + 45 = 8 x + 20
25 = 5x
5= x
5 → Numerador
x → Numerador
5
→ Fracción
16
3x − 1→ Deno min ador
11
x+8
=
3x − 1 + 4 12
x + 8 11
=
3x + 3 12
3x
x
=
−2
x+5 x+1
3 ( x + 15) = 4 (2 x + 5)
2 ⋅ 5 + 6 = 16 → Deno min ador
7.
x → Numerador
x + 1→ Deno min ador
6.
8.
x → Numerador
x − 22 → Deno min ador
x
x − 15
−
= 3 mcm = x − 22
x − 22 x − 22
mcm = (x + 5)( x + 1)
x ( x + 1) = 3x (x + 5) − 2 (x + 5)(x + 1)
x 2 + x = 3x 2 + 15x − 2 x 2 − 12 x − 10
x = 3x − 10
10 = 2 x
5= x
5 → Numerador
5 + 1 = 6 → Deno min ador
5
→ Fracción
6
x − ( x − 15) = 3 ( x − 22)
12 ( x + 8) = 33( x + 1)
15 = 3x − 66
12 x + 96 = 33x + 33
63 = 21x
81 = 3x
3= x
27 = x
3 → Numerador
27 → Numerador
3 ⋅ 3 − 1 = 8 → Deno min ador
27 − 22 = 5 → Deno min ador
3
→ Fracción
8
27
→ Fracción
5
EJERCICIO 155
1.
x → cifra de unidades
x + 2 → cifra de decenas
10 ( x + 2) + x
10 x + 20 + x
11x + 20 → El Número
11x + 20
2 ( x + 1)
=7
11x + 20 = 14 ( x + 1)
11x + 20 = 14 x + 14
6 = 3x
2= x
2 → cifra de unidades
2 + 2 = 4 → cifra de decenas
42 → N º buscado
2.
x → cifra de unidades
x − 4 → cifra de decenas
10 ( x − 4) + x
3.
x → cifra de unidades
2 x → cifra de decenas
10 x − 40 + x
11x − 40 → El Número
10 ( 2 x ) + x − 9
21x − 9 → N º dis min uido en 9
11x − 40
21x − 9
=6
3x
21x − 9 = 18x
2 ( x − 2)
=4
11x − 40 = 8 x − 16
3x = 24
x=8
8 → cifra de unidades
8 − 4 = 4 → cifra de decenas
48 → N º buscado
3x = 9
x= 3
63 → N º buscado
4.
x → cifra de unidades
x + 1 → cifra de decenas
10 ( x + 1) + x
3 (11x + 10)
33x + 30 → N º multip.* 3
33x + 30 = 21(2 x + 1)
33x + 30 = 42 x + 21
9 = 9x
1= x
1 → Cifra de unidades
1 + 1 = 2 → Cifra de decenas
21 → N º buscado
5.
x → cifra de unidades
7 − x → cifra de decenas
10 (7 − x ) + x + 8
78 − 9 x → N º aumentado en 8
78 − 9 x
2 (7 − x )
=6
78 − 9 x = 12 (7 − x )
78 − 9 x = 84 − 12 x
3x = 6
x=2
52 → N º buscado
6.
x → cifra de unidades
x + 2 → cifra de decenas
10 (x + 2) + x
11x + 20 → El Número
11x + 20 − 27 = 10 x
11x − 7 = 10 x
x= 7
7 → cifra de unidades
7 + 2 = 9 → cifra de decenas
97 → N º buscado
7. x → cifra de unidades
2 x → cifra de decenas
10 ( 2 x) + x − 4
21x − 4 → N º dis min en 4
21x − 4
= 20
2x − x
21x − 4 = 20x
x=4
84 → N º buscado
EJERCICIO 156
1. x → Días trabaj. juntos
1 1 1
+ =
mcm = 6x
3 6 x
2x + x = 6
3x = 6
x=2
Continuación
4. 8x + 2x + 5x = 12
15x = 12
12
15
4
x=
5
x=
2 días → Hacen la obra
2. x → Tiempo en llenar depósito
4
de día hacen la obra
1
1 1
5
mcm = 20x
+
=
10 20 x
5. x → Tiempo en llenar depósito
2x + x = 20
1 1 1 1
+ +
= mcm = 60x
3x = 20
5 6 12 x
20
12x + 10x + 5x = 60
x=
3
27x = 60
x = 6 23
60
x=
6 23 min. → En llenar depósito
27
x = 2 29
3. x → Hacen obra juntos
1 1 1 1
+ +
=
4 6 12 x
3x + 2x + x = 12
mcm = 12 x
6 x = 12
x=2
2 días → Hacen obra juntos
4. x → Hacen obra juntos
1 1 1 1
+ +
=
1 21 6 2 25 x
2 1 5 1
mcm = 12x
+ +
=
3 6 12 x
2 29 min → Llenar el depósito
6. x → Tiempo en llenar depósito
1 1 1 1
mcm = 40x
+ −
=
4 8 20 x
10x + 5x − 2x = 40
13x = 40
40
x=
13
x = 3 131
3 131 min. → Llenar el depósito
Continúa
EJERCICIO 157
1.
ABCD = x
AB = 5
X
BC =
12
CD = 30
x = 5 + 30 +
x
12
x
12
12x = 420 + x
11x = 420
420
2
x=
= 38 11
11
x = 35 +
2.
3.
5.
AB = x
BD = 15
ABCD = x
AB = x
AB = 10
x
BC =
12
CD = 15
BD = 30
AC = 50
X
CD =
12
AB + BD = AC + CD
x
x + 15 = 50 +
mcm = 12
12
12x + 180 = 600 + x
11x = 420
420
x=
11
2
x = 38 11
AC = 40
CD =
x
12
ABCD = AB + BC + CD
x
+ 15
12
x
x = 25 +
12
mcm = 12
x = 10 +
AB + BD = AC + CD
x
mcm = 12
12
12x + 360 = 480 + x
x + 30 = 40 +
12x = 300 + x
11x = 120
11x = 300
300
x=
11
3
x = 27 11
120
11
x = 10 10
11
x=
4.
6.
AB = x
BD = 45
AC = 50
x
CD =
12
AC + CD = AB + BD
x
12
BC = 30
x
= x + 45 mcm = 12
50 +
12
600 + x = 12x + 540
ABC = AB + BC
60 = 11x
60
=x
11
5
5 11
=x
AB =
ABC = x
x
+ 30 mcm = 12
12
12x = x + 360
x=
11x = 360
360
x=
11
8
x = 32 11
ABC = x
AB = 20
x
BC =
12
ABC = AB + BC
x
x = 20 +
mcm = 12
12
12x = 240 + x
11x = 240
240
x=
11
9
x = 21 11
7.
8.
10.
ABCD = x
ABCD = x
AB = 30
x
BC =
12
CD = 15
ABCD = AB + BC + CD
x
x = 30 +
+ 15 mcm = 12
12
12x = 360 + x + 180
11x = 540
540
x=
11
1
x = 49 11
AB = x
BD = 15
AC = 30
x
CD =
12
AB + BD = AC + CD
x
x + 15 = 30 +
12
x
x−
= 15 mcm = 12
12
12x − x = 180
11x = 180
180
x=
11
4
x = 16 11
AB = 15
x
BC =
12
CD = 5
ABC = x
AB = 50
x
BC =
12
ABC = AB + BC
x
x = 50 +
mcm = 12
12
12x = 600 + x
11x = 600
600
x=
11
6
x = 54 11
9.
ABCD = AB + BC + CD
x
+5
x = 15 +
12
x
x = 20 +
mcm = 12
12
12x = 240 + x
11x = 240
240
x=
11
9
x = 21 11
11.
AB = x
BD = 15
AC = 35
x
12
AB + BD = AC + CD
x
x + 15 = 35 +
12
12x + 180 = 420 + x
11x = 240
240
x=
11
9
x = 21 11
CD =
ABCD = x
AB = 40
x
BC =
12
CD = 10
ABCD = AB + BC + CD
x
x = 40 +
+ 10
12
x
x = 50 +
mcm = 12
12
12x = 600 + x
11x = 600
600
x=
11
6
x = 54 11
Continúa
11. Continuación
EJERCICIO 158
1.
x → N º mayor
x − 6 → N º menor
x
3
− 10 = ( x − 6) mcm = 8
8
2
4 x − 80 = 3x − 18
x = 62 → N º mayor
62 − 6 = 56 → N º menor
AB = x
BD = 10
AC = 40
x
CD =
12
AB + BD = AC + CD
x
x + 10 = 40 +
12
x
= 30
x−
12
mcm = 12
12x − x = 360
11x = 360
360
x=
11
8
x = 32 11
3. x → Nº buscado
x+6
+5
8
x + 46
→ Cociente sumado 5
8
x + 46
8 = x + 46 → Nueva sum ÷ en 2
2
16
x + 46
=4
16
x + 46 = 64
x = 18 → Nº buscado
2. x → Le dió A a B
11
120 − x = 90 + x mcm = 10
10
1. 320 − 11x = 900 + 10 x
(
)
420 = 21x
20 = x
$ 20 → Le dió A a B
4. x → Persona favorecida
5
x → Persona que recibió menos
7
5
x + x = 48 . 000
mcm = 7
7
7x + 5x = 336 . 000
12x = 336 . 000
x = 28 . 000
28 . 000 soles → Pers. favorecida
5
⋅ 28 . 000 = 20 . 000
7
20 . 000 soles → Pers. que rec .men.
5.
x → Parte mayor
84 − x → Parte menor
1
1
x = (84 − x )
10
4
mcm = 20
2 x = 5(84 − x )
2 x = 420 − 5x
7 x = 420
x = 60
60 → Parte mayor
84 − 60 = 24 → Parte menor
6.
7.
x → Parte mayor
120 − x → Parte menor
3
120 − x = x mcm = 5
5
600 − 5x = 3x
600 = 8x
75 = x → Parte mayor
120 − 75 = 45 → Parte menor
9.
x → Edad de A
2
x → Edad de B
5
2 2
4
⋅ x=
x → Edad de C
3 5
15
4
2
x+ x+
x = 25 mcm = 15
5
15
15x + 6x + 4x = 375
25x = 375
x = 15
15 años → Edad de A
2
⋅15 = 6 años → Edad de B
5
4
⋅15 = 4 años → Edad de C
15
12. Continuación
7x 3 21x
⋅ =
→ Vr. total vta.
4 2
8
de todos los lib.
Luego
21x 51x
−
= 54
mcm = 40
8
40
105x − 51x = 2 .160
54x = 2 .160
x = 40
7x 7 ⋅ 40
=
= 70
4
4
70 → Total libros comprados
10. x → Costo auto
x
8 . 000 + = x + 2 . 000 mcm = 3
3
24 . 000 + x = 3x + 6 . 000
13.
x → Sueldo mensual
18 . 000 = 2x
x 3
7
+ x = x → mensual
2 8
8
7 
15x − 15  x = 300 mcm = 8
8 
120 x − 105x = 2 . 400
15x = 2 . 400
x = 160
$ 160 → Sueldo mensual
9 . 000 = x
9 . 000 bs → Costo auto
11. x → Libros compre
7x 5x
−
= 8 mcm = 2
2
2
7x − 5 x = 16
2x = 16
x = 8 → Lib. compre
8. x → Lo que tenía
12. x → Cierto N º de libros
1
x → Gastó en ropa
3x
5
→ Vr. cierto N º de libros
4
3
x → Gastó en libros
3x  7  21x
3
8
→ Vr. del N º
 =
4  10 40
4
1
3
x − x − x − 102 = 0 mcm = 40
de lib. ant .
5
8
40x − 8x − 15x − 4 . 080 = 0
3x 21x 51x
+
=
→ Vr. total de
17x = 4 . 080
4
40 40
lib. compré
x = 240
1
3x 7 x
⋅ 240 = $ 48 → Gastó en ropa
x+
=
→ total lib. comp.
5
4
4
3
⋅ 240 = $ 90 → Gastó en libros
8
Continúa
x → 1ª parte
5x
→ 2ª parte
6
3 5x 1
⋅
= x → 3ª parte
5 6 2
1 1
1
⋅ x = x → 4ª parte
3 2
6
5x 1
1
+ x + x = 150
x+
6 2
6
mcm = 6
6x + 5x + 3x + x = 900
15x = 900
x = 60
60 → 1ª parte
5
⋅ 60 = 50 → 2ª parte
6
1
⋅ 60 = 30 → 3ª parte
2
1
⋅ 60 = 10 → 4ª parte
6
14.
22. x → libros que compró
18. x → Edad actual B
x 5x
x
→ Libros más
x+ =
→ Edad actual A
4
4
4
400 320
1
x
=
− 10 =
x − 10 mcm = 40
5x
x
4
10
4
10 x − 400 = 4 x − 40
320 400
6 x = 360
=
−2
mcm = x
x
x
x = 60
320 = 400 − 2x
60 años → Edad actual B
2x = 80
ABC = x
60
x = 40
= 15 años → Edad actual A
AB = 45
4
40
libros → compró
x
BC =
400
12
= $ 10 → Pagópor c / u
19. x → N º mayor
40
ABC = AB + BC
x − 1 → N º menor
x
x → Suma repartida
23.
2
1
x = 45 +
mcm = 12
x 2 − x − 1 − 43 =
x−1
12
x
11
− 30 → Re cibió A
12x = 540 + x
2
1
2
2
−
+
−
−
=
−
2
1
43
1
x
x
x
x
11x = 540
3x
11
+ 20 → Re cibió B
540
7
1
x=
2 x − 44 =
x−1
11
x
3x
11
− 30 +
+ 20 + 30 = x
1
x = 49 11
2
7
11 2 x − 44 = x − 1
mcm = 14
15. x → Edad A
22 x − 484 = x − 1
7 x + 6 x + 280 = 14 x
x − 10 → Edad B
21x = 483
280 = x
3
x = 23
x − 10 − 15 = x − 15 mcm = 4
4
280
23 → N º mayor
− 30 = $ 110 → Re c. A
4 x − 40 − 60 = 3x − 45
2
23 − 1 = 22 → N º menor
4 x − 100 = 3x − 45
3 ( 280)
+ 20 = $ 140 → Re c. B
x = 55
7
→
x
Vr
.
sortija
20.
55 años → Edad A
x → Lib. comprad.
24.
 3. 000 + x 
7
 = 1.500 + x mcm = 12
55 − 10 = 45 años → Edad B
6
x


12
→ Vr. de x lib.
5
16. x → Puede hacerla A
21. 000 + 7 x = 18 . 000 + 12 x
x 2x
1 1 1
→ Re sto
x− =
3. 000 = 5x
mcm = 60x
+ =
3
3
10 x 6
600 = x
2x 9 3x
6x + 60 = 10x
⋅ =
→ Vr. vta resto
600 sucres → Vr. sortija
3 4 2
60 = 4 x
3x 6x
15 = x
−
= 9 mcm = 10
x → Nº personas
21.
2
5
15 días → Puede hacerla A
1
6x
15x − 12x = 90
x+ x=
→ Nº más de pers.
17.
x → Parte mayor
5
5
3x = 90
650 − x → Parte menor
120 100
x = 30
=
x
6x
x
= 650 − x − 50
30 → Libros comprados
5
5
25. x → Fortuna
100 120
x
=
− 2 mcm = x
= 600 − x mcm = 5
x x x
x
x
5
x − − − = 2 . 500
100 = 120 − 2x
x = 3 . 000 − 5x
2 4 6
mcm = 12
2x = 20
6x = 3 . 000
12x − 6x − 3x − 2x = 30 . 000
x = 10
x = 500
x = 30 . 000
10 personas → Se repartió $
500 → Parte mayor
30 . 000 colones → Fortuna
⇒ 650 − 500 = 150 → Parte menor
(
(
)
(
(
)
)
)
(
)
(
)
(
)
x → Pesos
30.
26. x → sueldo anual
3x x x
3
x−
− −
= 810
x → N º piezas de 20 ctvs
5 8 20
4
mcm = 40
2 3x x
⋅ = → N º piezas de 10 ctvs
40x − 24 x − 5x − 2x = 32 . 400
3 4 2
3
0 ,10 x
9x = 32 . 400
= 9 , 60
x + 0 , 20 x +
4
2
x = 3 . 600
mcm = 4
3 . 600 balboas → sueldo anual
4 x + 0 , 6 x + 0 , 2 x = 38 , 4
27. x → Ahorros
4 , 8 x = 38 , 4
3x 5x 5x
−
=
→ Le quedaba
x−
x=8
8 12 24
→
8
Pesos
3 5x x
⋅
=
3
5 24 8
⋅ 8 = 6 → piezas de 20 ctvs
4
5x x
− = 400 mcm = 24
8
24 8
= 4 → piezas de 10 ctvs
2
5x − 3x = 9 . 600
(
2x = 9 . 600
x = 4 . 800
31.
$ 4 . 800 → ahorros
28. x → Parte mayor
350 − x → Parte menor
3x
17
= x−
350 − x −
(350 − x)
5
15
mcm = 15
5. 250 − 15x − 9 x = 15x − 5. 950 + 17 x
− 24 x − 32 x = − 11. 200
− 56 x = − 11. 200
x = 200
200 → Parte mayor
350 − 200 = 150 → Parte menor
29.
x → Suma repartida
$ 15 → Re cibió A
x − 15 = B + C
x − 15 − C = B
C= A+ B
C = 15 + ( x − 15 − C)
C= x − C
2C = x
x
C=
2
2 x x
15 + 15 + ⋅ + = x
3 2 2
x x
30 + + = x
3 2
180 + 2 x + 3x = 6 x
180 = x
$ 180 → Suma recibida
)
33. x + 2 x + 1= x + 111
2 x = 110
2
2
x = 55
55 → hom bres en el lado
del 1er cuadrado
(55) + 36
2
= 3. 061 → Homb. en la tropa
34. x → Lo que tenía
5x
x
x−
− 20 = + 16
8
4
mcm = 8
8x − 5x − 160 = 2x + 128
x = 288
$ 288 → tenía
x → Capital primitivo
35. x → Empezó a jugar
1
x → 1er año
2 x − 60 → Le quedaba
5
− 180
3
x 4x
(2 x − 60) = 6x 10
10
x− =
→ Le quedaba
5 5
 6 x − 180 7 x
−
=0
x + x − 60 − 
3 4x 6x
 10  8
⋅
=
→ 2º año
10 5 25
mcm = 40
4x 6x 26x
80
x − 2 . 400 − 24 x + 720 − 35x = 0
+
=
→ Tenia al term.
5 25 25
21x = 1. 680
el 2º año
x = 80
3 26x 78x
80 Lempiras → Empezó a jugar
⋅
=
→ 3er año
5 25 125
x 6x 78x
x → Cifra unidades
36.
x− +
+
= 13 . 312
5 25 125
x + 5 → Cifra decenas
125x − 25x + 30x + 78x = 1' 664 . 000
10 ( x + 5) + x − 18 = 6 ( x + 5 + x)
208x = 1' 664 . 000
10 x + 50 + x − 18 = 12 x + 30
x = 8 . 000
2= x
8 . 000 Q. → Capitalprimitivo
2 → Cifra unidades
32. x → Edad de A
2
x − 10 = x + 5 mcm = 3
3
3x − 30 = 2 x + 10
(
)
x = 40
40 años → Edad de A
33. x → Cant . hom bres
er
mcm = 6
Continuación
en el lado del 1 cuadrado
x 2 + 36 → Hombres en la tropa
(x + 1) = x + 36 + 75
2
2
Continúa
2 + 5 = 7 → Cifra decenas
72 → N º buscado
37. x → Unidades
9 − x → Decenas
10 (9 − x ) + x − 27 = 10 x + 9 − x
90 − 10 x + x − 27 = 10 x + 9 − x
54 = 18 x
3= x
3 → Unidades
9 − 3 = 6 → Decenas
63 → N º buscado
38.
x → Mangos que había
2 x − 12
x
→ Quedaban
x− − 4=
3
3
1  2 x − 12 
2 x + 42

 + 6=
3 3 
9
2 x + 42
9 + 9 = x + 102
2
9
x
 2 x + 42   x + 102 
x− − 4− 
 −
=0
 9   9 
3
mcm = 9
9 x − 3x − 36 − 2 x − 42 − x − 102 = 0
3x = 180
x = 60
60 → Mangos había
39. x → Ganó c / u
7
80 + x = 50 + x mcm = 10
10
560 + 7 x = 500 + 10 x
(
)
60 = 3x
20 = x
$ 20 → Ganó c / u
40.
x → Pluma fuente
3
x → Lapicero
5
5
(x − 0 , 20) = 53 x + 0 , 30
6
mcm = 30
25x − 5 = 18 x + 9
7 x = 14
x=2
$ 2 → Costo la pluma
3⋅ 2
= $ 1, 20 → Costo lapicero
5
41. x → Tenía el lunes antes de
x
x+4
+ 2=
→ Lunes
2
2
 x + 4 x − 4
x−
=
→ Quedaba
 2 
2
x−4
2 + 2 = x + 4 → Martes
2
4
x − 4  x + 4  x − 12
→ Quedaba
−
=
 4 
2
4
x − 12
4 + 2 = x + 4 → Miercoles
2
8
Continúa
Continuación
41. x − 12 −  x + 4  = 0
 8 
4
2 x − 24 − x − 4 = 0
mcm = 8
x − 28 = 0
x = 28
⇒ $ 28 → Tenía el lunes antes de
42. x → Capital primitivo
3x − 12 . 000
x
− 6 . 000 =
→ Tenía
2
2
3 x − 12 . 000
3x − 36 . 000
2
− 6 . 000 =
→ 2º año
2
4
3x − 12 . 000 3x − 36 . 000 9 x − 60 . 000
+
=
→ Tenía
2
4
4
9 x − 60 . 000
9 x − 108 . 000
4
− 6 . 000 =
→ 3º año
2
8
9x − 60 . 000 9x − 108 . 000
+
= 32 . 250 mcm = 8
4
8
18x − 120 . 000 + 9x − 108 . 000 = 258 . 000
27x = 486 . 000
x+
x = 18 . 000
$ 18 . 000 → Capital primitivo
43. x → Pr ecio traje
$ 15 → Pr ecio bastón
3x
s + 15 =
4
x + 15 − 5 = 2s
x + 10
→ Pr ecio sombrero
2
3x
x + 10
+ 15 =
mcm = 4
2
4
2x + 20 + 60 = 3x
80 = x
$ 80 → Pr ecio traje
80 + 10
= $ 45 → Pr ecio sombrero
2
44. x → Espacio recorrido por perro y conejo
sup uesto
Perro Conejo
2
5
Pr egunta
?
50
2 ⋅ 50
Luego:
→ Saltos del perro con respecto a la ventaja
5
Perro Conejo
sup uesto
3
8
Pr egunta
8x
Luego:
3
x
?
→ Saltos que avanza el conejo
al ser alcanzado
Continúa
Continuación
44.
sup uesto
46.
Perro Conejo
2
5
Pr egunta
?
x
5x
→ Saltos que da el perro
Luego :
2
para alcanzar al conejo
Entonces:
8x 2 ⋅ 50 5x
−
=
mcm = 6
3
5
2
16x − 120 = 15x
x = 120
5 ⋅120
= 300 → Saltos del perro
2
para alcanzar el conejo
45. x → Espacio recorrido
por perro y liebre
Perro Liebre
sup uesto
3
4
Pr egunta
?
60
3 ⋅ 60
→ Saltos del perro con
Luego:
4
respecto a la ventaja
Perro Liebre
sup uesto
5
8
Pr egunta
?
x
8x
→ Saltos que avanza la
Luego:
5
liebre al ser alcanzada
Perro Liebre
sup uesto
3
4
Pr egunta
?
x
4x
→ Saltos que da el perro
Luego:
3
para alcanzar a la liebre
Entonces :
8x 3 ⋅ 60 4x
−
=
5
4
3
8x
4x
− 45 =
mcm = 15
5
3
24x − 675 = 20x
4x = 675
x = 168 , 75
4
⋅168 , 75 = 225 → Saltos del perro
3
para alcanzar la liebre
AB = x
AC = 50
x
CD =
12
BD = 6
AB + BD = AC + CD
x
x + 6 = 50 +
12
x
x−
= 44 mcm = 12
12
12x − x = 528
11x = 528
528
x=
11
x = 48
47. x → Aporta A
3
x → Aporta B
4
x 4x
→ 1er año A
x− =
5 5
3x
3x + 12 . 000
+ 3. 000 =
→ 1er año B
4
4
4 x + 8 . 000
4x
+ 1. 600 =
→ 2º año A
5
5
3x + 12 . 000 1  3x + 12 . 000 
− 
 mcm = 36

4
9
4
27 x + 108 . 000 − 3x − 12 . 000
36
24 x + 96 . 000 3 (8 x + 32 . 000)
=
36
36
8 x + 32 . 000
→ 2º año B
12
Entonces :
4 x + 8 . 000 8 x + 32 . 000
=
mcm = 60
5
12
48 x + 96 . 000 = 40x + 160 . 000
8 x = 64 . 000
x = 8 . 000
8 . 000 bs → Aportó A
3⋅ 8 . 000
= 6 . 000 bs → Aportó B
4
50. Buey → $ 80
P + 80 = 2C
48. x → Años para que la edad
del padre sea = a la
suma de sus hijos
60 + x = 16 + x + 14 + x
60 + x = 30 + 2x
30 = x
30 años → Edad del padre sea
igual a la suma
de sus hijos
C + 80 =
13 P
2
Luego:
P + 80
=C
2
13 P
P + 80
+ 80 =
mcm = 2
2
2
P + 80 + 160 = 13 P
240 = 12 P
20 = P
$ 20 → Costo el perro
20 + 80
=C
mcm = 2
2
20 + 80 = 2C
49. x → Km. recorridos
x
x
+
= 12 mcm = 50
50 10
x + 5 x = 600
6x = 600
x = 100
100 → Km. recorridos
100 = 2C
50 = C
$ 50 → Costo el caballo
EJERCICIO 159
1. a = 30m
v = 8m s
v ' = 5m s
30 ⋅ 8
x=
8−5
240
x=
3
x = 80m
2. a = 160 Km
v = 50 Km h
v ' = − 30 Km h
x=
160 ⋅ 50
50 − (− 30)
8 . 000
x=
80
x = 100 Km.
3. a = 200 Km
v = 90 Km h
v ' = 40 Km h
200 ⋅ 90
90 − 40
Continúa
x=
Continuación
18 . 000
50
x = 360 Km de A
3. x =
5. a = 550 Km
v = 100 Km
h
Km
v ' = − 120
De B.
Como la dis tan cia entre A y B
es 200 Km
x=
Entonces B recorrió
360 Km − 200 Km = 160 Km
4. a = 80 Km
v = 90 Km
h
v ' = 70 Km h
80 ⋅ 90
90 − 70
7 . 200
x=
20
x = 360 Km
El tiempo empleado
x=
en encontrarse será .
360 Km
= 4 horas
90 Km h
h
De A.
550 ⋅ 100
100 − (− 120)
55 . 000
220
x = 250 Km
Como los trenes pasan
por A y B a las 8 am
x=
Entonces De A.
x = 250 Km
v = 100 Km h
Tiempo empleado para
los 250 Km. es
250 Km
100 Km h
= 2 , 5 horas
2 , 5 horas → 2 h 30 min.
Luego :
8 am + 2 h 30 min = 10 : 30
10 : 30 am → Se encuentran
6. a = 70 Km
v = 9 Km h
7. A y B dis tan tes 29 Km
⇒ 29 21 Km − 2 12 Km = 27 Km
v ' = − 5 Km h
x → Dis tan cia recorrida por
A al encontrarse
70 ⋅ 9
x=
9 − (− 5)
a = 27 Km
v = 5 Km h
v ' = − 4 Km
630
14
x = 45 Km → A
Como A recorrió 45 Km
Entonces B
70 Km − 45 Km = 25 Km → B
9. a = 186 Km
x=
x=
Km
(3 h) = 126 Km
h
a = 126 Km
42
v = 60 Km h
v ' = 42 Km h
h
27 ⋅ 5
5 − (− 4)
x=
135
9
x = 15 Km
Luego A recorre
x=
v=v
v'= − v
x=
8. Re corrido tren de c arg a
en 3 horas es
1
2
7 . 560
18
x = 420 Km
x=
420 Km → Alcanza el tren de
15 Km + 2 12 Km = 17 21 Km
B recorre
186 v
v − (− v )
pasajeros al de c arg a
El tiempo empleado es:
29 21 Km − 17 21 Km = 12 Km
186v
x=
2v
x = 93 Km.
126 ⋅ 60
60 − 42
420 Km
60 Km h
= 7 horas
EJERCICIO 162
1. b = 10 cm
h = 8 cm
b ⋅h
A=
2
10 cm ⋅ 8 cm
A=
2
A = 40 cm2
4. v = 9 m s
2
2
π = 3 ,14
C = 2π ⋅ r
C = 2 ⋅ 3 ,14 ⋅ 5m
C = 10m ⋅ 3 ,14
C = 31, 4 m
2
a 2 = 16m2 + 9m2
a = 25m
(8 m)
2
2
A=
A = 3 ,14 ⋅ 25m2
8. r = 5m
2
d
2
A = 3 ,14 (5m)
2
a = 25m2
a = 5m
2
A = 32 m2
9. h = 9m
r = 2m
π = 3 ,14
6. a = 13 m
c = 5m
3. t = 15 s
b2 = a 2 − c2
v = 9ms
e= v⋅t
(
e = (15 s) 9 m s
e = 135 m
)
2
b = 169m − 25m
2
p
v
8 , 24 g
D=
8 cm3
D=
D = 1, 03 g
cm3
11. L = 4m
2
3
4
( 4m) 2 3
A=
4
A = 4m2 3
A=
L
A = 6 , 92m2
h⋅π ⋅r
3
2
9m ⋅ 3 ,14 ( 2m)
v=
3
v = 12m2 ⋅ 3 , 14
2
b = (13m) − (5m)
2
2
A = 78 , 5m2
a 2 = ( 4m) + ( 3m)
2
V = 8 cm3
A = π ⋅r2
c = 3m
a =b +c
2. d = 8 m
10. P = 8 , 24 g
π = 3 ,14
5. b = 4 m
2
A=
7. r = 5m
e = 108 m
e
108 m
t= ⇒ t=
v
9ms
t = 12 s
2
2
2
b 2 = 144m2
b = 144m
b = 12m
2
v=
v = 37 , 68m2
12. N = 6
S = 180 (6 − 2)
!
S = 180 ( 4)
!
S = 720
!
EJERCICIO 163
8. V = Vo − a ⋅ t
1. e = v ⋅ t
e
v=
Rta
t
e
t=
Rta
v
V + a ⋅ t = V0 Rta
a ⋅ t = V0 − V
 b + b '
A= h 

 2 
2.
2 A = h (b + b ')
2A
= h Rta
b+ b'
3. e = 1 a ⋅ t 2
2
2e = a ⋅ t 2
2e
= a Rta
t2
V0 − V
Rta
a
Rta
f ⋅ p ' = p ( f − p ')
f ⋅ p'
=p
f − p'
2
a 2 − c 2 = b Rta
a2 − b2 = c2
a − b = c Rta
2
14.
11. V = a ⋅ t
V
= t Rta
a
V
a=
Rta
t
12.
2
a2 − b2 − c2
=x
2b
2
2
2
b +c −a
= x Rta
2b
7. V = Vo + a ⋅ t
V − a ⋅ t = V0 Rta
V − V0 = a ⋅ t
V − V0
=a
t
Rta
V − V0
=t
a
Rta
1 1 1
= −
f p' p
p '⋅ p
f ⋅ p− f ⋅ p'
=
f ⋅ p '⋅ p
f ⋅ p '⋅ p
15.
p'=
p⋅ f
Rta
p+ f
Continúa
V2
2a
2ae = V 2
e=
2ae = V Rta
1 2
a⋅t
2
2e = 2V0 ⋅ t + a ⋅ t 2
e = V0 ⋅ t +
2e − a ⋅ t 2
= V0
2⋅ t
20.
u = a + (n − 1) r
u − (n − 1) r = a Rta
u − a = (n − 1) r
u− a
= n−1
r
u− a
+ 1= n
r
u− a+ r
= n Rta
r
u − a + r = nr
Rta
1
e = V0 ⋅ t − a ⋅ t 2
2
2e = 2V0 ⋅ t − a ⋅ t 2
2e + a ⋅ t 2 = 2V0 ⋅ t
2e + a ⋅ t 2
= V0
2⋅t
u − a = nr − r
u − a = r (n − 1)
Rta
a ⋅ t 2 = 2V0 ⋅ t − 2e
2V ⋅ t − 2e
a= 0 2
t
p'=
p '(p + f )= p⋅ f
19.
2e − a ⋅ t 2 = 2V0 ⋅ t
p ' ⋅ p = f ( p − p ')
f ( p − p ')
p
f ⋅ p f ⋅ p'
−
p'=
p
p
f ⋅ p'
p'= f −
p
f ⋅ p'
=f
p'+
p
p '⋅ p + f ⋅ p '
=f
p
Rta
e
d
e
2
v =
d
v 2 ⋅ d = e Rta
e
d = 2 Rta
v
2
c ⋅ t ⋅r
100
100 I = c ⋅ t ⋅ r
100 I
= c Rta
t ⋅r
100 I
= t Rta
r⋅c
100 I
= r Rta
c⋅t
I=
18. E = I ⋅R
E
= R Rta
I
E
= I Rta
R
13. v =
a2 − c2 = b2
2
17.
p '⋅ p + f ⋅ p '
=f
12.
p
p' ⋅ p f ⋅ p '
+
=f
p
p
f ⋅ p'
=f
p'+
p
f ⋅ p'
= f − p'
p
9. D = P
V
DV = P
10. a = b + c
6. a = b + c − 2bx
a 2 − b 2 − c 2 = − 2bx
−
t=
2
2
2
V0 − V
t
P
Rta
D
P = VD Rta
A
= r Rta
π
2
a=
V=
1
4. A = a ⋅ l ⋅ n
2
2A = a ⋅ l ⋅ n
2A
= a Rta
l ⋅n
2A
= l Rta
n⋅ a
2A
= n Rta
l⋅ a
5. A = π ⋅ r
A 2
=r
π
Continuación
u− a
=r
n−1
16.
V=
u
= a Rta
r n −1
u n−1
=r
a
h ⋅π ⋅ r 2
3
3V
= h Rta
π ⋅r 2
3V 2
=r
π ⋅h
3v
= r Rta
π ⋅h
u = a ⋅r n − 1
21.
2 (V0 ⋅ t − e)
a=
Rta
t2
Rta
n −1
22.
u
= r Rta
a
Q
t
Q = I⋅ t
I=
Q
=t
I
Rta
Rta
EJERCICIO 164
1.
x − 5 < 2x − 6
− 5 + 6 < 2x − x
1< x
1 → Lim. inf erior de x
2. 5x − 12 > 3x − 4
5x − 3x > 12 − 4
2x > 8
x>4
4 → Lim. inf eror de x
3.
x − 6 > 21− 8x
x + 8x > 21+ 6
9x > 27
x>3
3 → Lim. inf erior de x
(
)(
)
(
)(
)
8. x + 2 x − 1 + 26 < x + 4 x + 5
(
x>1
) (
)(
x+ 3
4
x
−
>
3
x+2 3
14.
9x − 7x > − 4 + 6
2x > 2
(x + 2)(x + 3) − 12 > x ( x + 2)
x 2 + 5x + 6 − 12 > x 2 + 2 x
) (
5x − 2 x > 6
)
10. 6 x 2 + 1 − 2 x − 4 3x + 2 < 3 5x + 21
3x > 6
6 x 2 + 6 − 6 x 2 + 8 x + 8 < 15x + 63
x>2
8 x + 14 < 15x + 63
8 x − 15x < 63 − 14
15.
− 7 x < 49
7 x > − 49
(
)(
) (
)(
11. x − 4 x + 5 < x − 3 x − 2
5
20
2
−
<
3 x + 1 9 x 2 − 1 3x − 1
5(3x − 1) − 20 < 2 (3x + 1)
15x − 5 − 20 < 6 x + 2
x> −7
6x − x > 30 + 5
5 x > 35
15x − 6 x < 25 + 2
)
9 x < 27
x 2 + x − 20 < x 2 − 5x + 6
x< 3
5x + x < 20 + 6
6 x < 26
x>7
x 5x
<
+2
4 2
12x − 16 + x < 10x + 8
12x + x − 10x < 16 + 8
3x < 24
x <8
x<
12.
2
x2 − 2x + 1− 7 > x2 − 4 x + 4
10 < 2 x
5< x
1
1
1
>
−
x2 + x x 2 − x x2 − 1
x − 1> x + 1− x
x>2
17. x → Nº s. enteros
(2 x − 3) + 4 x (x − 7) < 4 (x − 2)
2
(x − 1) − 7 > (x − 2)
− 6 − 4 > − 4x + 2x
− 10 > − 2 x
16.
26
6
13
x<
3
3x − 4 +
2
7 > 6x
7
>x
6
3x − 6 + 2 x 2 + 6 x > 2 x 2 + 7 x − 4
9x − 6> 7x − 4
5. 2x −
7.
6 x 2 + 7 x + 2 > 6 x 2 + 13x − 5
2 + 5 > 13x − 7 x
9. 3 ( x − 2) + 2 x ( x + 3) > (2 x − 1)( x + 4)
− 14 + 2 < 7x − 3x
− 12 < 4x
−3<x
6.
(3x + 2)(2 x + 1) > (2 x + 5)(3x − 1)
x 2 + x − 2 + 26 < x 2 + 9 x + 20
24 − 20 < 9 x − x
4 < 8x
1
<x
2
4. 3x − 14 < 7x − 2
5 x
> + 10
3 3
6x − 5 > x + 30
2x + 1 2x + 5
>
3x − 1 3x + 2
13.
3
2
4 x − 12 x + 9 + 4 x − 28 x < 4 x − 24 x + 48 x − 32
− 12 x − 48 x < − 9 − 32
− 60x < − 41
60x > 41
41
x>
60
2
3
2
3
2
x
x
+ 15 > + 1
3
2
2x + 90 > 3x + 6
90 − 6 > 3x − 2x
84 > x
Nº s. enteros menores
que 84
Rta
EJERCICIO 165
1. x − 3 > 5 y 2x + 5 > 17
2x + 5 > 17
x−3>5
2x > 12
x>5+3
x>8
x>6
x > 8 Rta
y 2x + 9 > 3x
2. 5 − x > − 6
− x> −6−5
−x>−9
x < 11
x <9
x < 9 Rta
3. 6x + 5 > 4x + 11 4 − 2x > 10 − 5x
2x > 6
3x > 6
x>3
x>2
x > 3 Rta
4. 5x − 4 > 7x − 16 y 8 − 7x < 16 − 15x
12 > 2x
8x < 8
x <1
6>x
x < 1 Rta
5.
x 2 + 8 x + 15 > x 2 + 7 x + 12
x> − 3
− 3< x < − 2
x−1 x− 5
<
x+ 4 x−1
(x − 1) < (x − 5)(x + 4)
2
x 2 + 5x + 6 > x 2 + 6 x − 16
22 > x
x 2 − 2 x + 1< x 2 − x − 20
21< x
21< x < 22
5 x > 20
x>4
4 < x < 6 Rta
EJERCICIO 166
3.
Rta
10. x → Nº s. enteros
x
3x − 6 > + 4
y 4x + 8 < 3x + 15
2
6x − 12 > x + 8
x<7
5x > 20
x>4
4 < x < 7 Luego son 5 y 6 Rta
x
x
2
− 1> − 1 21 y 2x − 3 35 > x +
4
3
5
3x − 12 > 4x − 18
10x − 18 > 5x + 2
x = Ky
1. x = Ky 2.
9 = K6
2 = K3
9
2
=K
=K
6
3
3
2
x = ⋅8
24 = y
2
3
x = 12
3 ⋅ 24
=y
2
36 = y
Rta
y
(x + 2)(x + 3) > (x − 2)(x + 8)
2x − 3 < x + 10 y 6x − 4 > 5x + 6
2x − x < 10 + 3
6x − 5x > 6 + 4
x < 13
x > 10
10 < x < 13 Rta
18 − 12 > 4 x − 3x
6>x
x+ 2 x− 2
>
x+8 x+3
9.
120 < 20x
6<x
x > 20 Rta
7.
(x + 3)(x + 5) > (x + 4)(x + 3)
x2 + x − 2 < x2 − x − 6
2x < − 4
x<−2
x
x
3
− 3 > + 2 y 2x + < 6 x − 23 25
2
4
5
2x − 12 > x + 8
10x + 3 < 30x − 117
x > 20
6.
8. ( x − 1)( x + 2) < ( x + 2)( x − 3) y
A = KBC
30 = K (2)(5)
30
=K
10
3= K
A = 3(7)( 4)
A = 84
4. x = KYZ
4 = K ( 3)(6)
4
=K
18
2
=K
9
10 = Ky9
2
10 = y9
9
10 = 2 y
5= y
K
B
K
3=
5
15 = K
5. A =
K
7
15
A=
= 2 71
7
A=
K
A
1 K
=
3 1
2
1
= 2K
3
1
=K
6
1
1
1
1
= 6 ⇒
=
12 A
12 6A
⇒ 6A = 12 ⇒ A = 2
6. B =
K
11. A → Area del 12. Ap → Area piramide
KB
K y 9. x = K y 2 − 1 10. x = 2
8. x =
cuadrado
−1
y
a → apotema
C
Z
2
→
d
Diagonal
=
−
K
48
5
1
K
→ perim. de la b.
pb
K 12
4K
9= 2
8=
3=
2
Ap = Kapb
−
3
1
=
A
Kd
3
8
48 = K 25 − 1
2
2
8 = 4K
m2 = K (12m)(80m)
480
24 = 4 K
K
18m = K ( 6m)
48
=
9
=K
2 =K
480m2 = K (960m2 )
6 =K
8
24
18m2
=K
2⋅7
72 = K
7 ⋅6
480m2
2= K
36m2
A=
10 =
=K
14
960m2
Z
72
1
x = 2 72 − 1
x= 2
=
K
A =1
1
42
5 −1
2
=K
Z=
x = 2 ⋅ 48
2
10
1
2
72
1
A = (10m)
x = 96
x=
Z = 4 51
Ap = ( 6m)( 40m)
2
24
2
100m2
x=3
240m2
A=
Ap =
2
2
A = 50m2
Ap = 120m2
7. A =
(
(
(
)
)
)
(
)
(
)
(
)
13. Vp → Vol. piramide
h → Altura
Ab → Area base
Vp = KhAb
96m3 = K ⋅ 8m (36m2 )
96m = K (288m )
3
3
14. Ao → Area circulo
r → Radio
15. Lo → Long. circunf.
r → Radio
Ao = Kr 2
616 cm = K (14cm)
2
2
616 cm2
=K
196 cm2
22
=K
7
22
Ao =
(7 cm)2
7
Ao = 22 ⋅ 7 cm2
1
=K
3
1
Vp = ⋅ 12m (64m2 )
3
768m3
Vp =
3
Vp = 256 m3
Ao = 154 cm2
16.
Lo = Kr
44cm = K ⋅ 7cm
44
=K
7
44 r
66cm =
7
462 cm = 44r
462
cm = r
44
10 21 cm = r
K
y2
K
4= 2
6
36 ⋅ 4 = K
144 = K
x=
9=
y2 =
144
y2
144
9
144
9
12
y= ±
3
y= ±4
y=±
EJERCICIO 167
1. A = KB
10 = K 5
2 = K ⇒ A = 2B
2. e → Espacio
V → Velocidad
t → Tiempo
e = KVt
Si K = 1⇒ e = Vt
3. Ar → Area rombo
D → Diag mayor
D ' → Diag menor
A = KDD '
24 cm2 = K ⋅ 8 cm ⋅ 6 cm
24 cm2 = K ⋅ 48 cm2
1
=K
2
1
A = DD '
2
KB
4. A =
C
3B
K=3 ⇒A=
C
C = Kr
5.
132 cm = K ⋅ 21cm
132 cm
=K
21cm
44
=K
7
44
C=
r
7
6. C → Espacio ( h)
t → Tiempo
h → Altura (e)
e= K⋅t
2
19 , 6 m = K ( 2s)
19 , 6 m
=K
4s2
m
4 ,9 2 = K
s
e = 4 ,9 t2
7. F =
KmV
r
2
2
8. y → Función
x → Vble. indep.
y = 2x + 3
9. L → Lado de un cuad.
inscrito en un circulo
r → Radio
L = K ⋅r
K= 2
L= 2⋅ r
10. y → Función
x → Vble. indep.
x2
y=
+2
2
11. y =
5 − 2x
3
12. F → Fuerza de atracc.
m → Masa cuerpo1
m ' → Masa cuerpo 2
d → Dis tan cia
K ⋅m ⋅m '
F=
d2
13. h → Altura ∆
A → Area del ∆
B → Base
K⋅A
h=
B
K ⋅ 20 cm2
10 cm =
4 cm
10 cm = K ⋅ 5 cm
2 =K
2A
h=
B
14. W → Energ. cinetica
m → Masa
V → Velocidad
W = KmV 2
1
2
1
W = mV 2
2
K=
15. B → Area base piramide
V → Volumen
h → Altura
K
16. x =
y
K
17. x = 2
y
K
5
10 = K
K
22
12 = K
2=
KV
h
K ⋅ 400
100 =
12
1. 200 = K ⋅ 400
3=K
3V
B=
h
B=
x=
10
y
KB
C
K ⋅ 24
3=
4
12 = K ⋅ 24
1
=K
2
1
B
2
A=
C
B
A=
2C
18. A =
3=
x=
12
y2
EJERCICIO 173
1. x + y = 5
y=5−x
5 − x → Entero y +
Para que y sea entero
y + el mayor valor que
podemos dar a x es 4 .
Por tan to las soluciones
enteras y + son:
x =1 y = 4
x=2 y=3
x=3 y=2
x = 4 y =1
2. 2x + 3y = 37
2x = 37 − 3y
37 − 3y
x=
2
36 1 2y y
+ −
−
x=
2 2 2 2
1− y
x = 18 − y +
2
1− y
x − 18 + y =
2
1− y
→ Entero
2
3 − 3y
→ Entero
2
2 1 2y y
+ −
−
2 2 2 2
1− y
→ Entero
1− y +
2
Continúa
2. Continuación
3. Continuación
1− y
=m
2
1 − y = 2m
x − 14 + y =
− y = 2m − 1
y = 1 − 2m
⇒ 2 x + 3 (1 − 2m) = 37
2 x + 3 − 6m = 37
2 x = 34 + 6m
2 (17 + 3m)
2
x = 17 + 3m
x=
y = 1 − 2m → m entero
x = 17 + 3m
m = 0 y = 1 x = 17 sol
m= 1
y = − 1 → no
m= −1 y = 3
m= − 2 y = 5
m= − 3 y = 7
x = 14 sol
x = 11 sol
x = 8 sol
m = − 4 y = 9 x = 5 sol
m = − 5 y = 11 x = 2 sol
m = − 6 y = 13 x = − 1 → no
3. 3x + 5y = 43
3x = 43 − 5y
43 − 5y
x=
3
42 1 3y 2y
+ −
−
x=
3 3 3
3
1− 2y
x = 14 − y +
3
Continúa
1− 2 y
3
1− 2 y
→ Entero
3
2− 4y
→ Entero
3
2 3 y 1y
−
−
3 3 3
2− y
− y+
3
2− y
=m
3
2 − y = 3m
− y = 3m − 2
y = 2 − 3m
3x + 5(2 − 3m) = 43
3x + 10 − 15m = 43
3x = 33 + 15m
3(11+ 5m)
3
x = 11 + 5m
x=
y = 2 − 3m
x = 11+ 5m
m= 0
x = 11 y = 2 sol
m= 1
x = 16 y = − 1 → No
m = − 1 x = 6 y = 5 sol
m = − 2 x = 1 y = 8 sol
m = − 3 x = − 4 → No
4. x + 3 y = 9
x = 9 − 3y
9 − 3y → Entero
3 − y → Entero
3− y = m
− y = m− 3
y = 3− m
x + 3(3 − m) = 9
x + 9 − 3m = 9
x = 3m
y = 3− m
x = 3m
m= 0 x = 0
m= 1 x = 3
m= 2 x = 6
y = 3 → No
y=2
sol
y=1
sol
m = 3 x = 9 y = 0 → No
m = 4 x = 12 y = − 1 → No
5. 7 x + 8 y = 115
7 x = 115 − 8 y
115 − 8 y
7
112 3 7 y y
+ −
−
x=
7 7 7 7
3− y
x = 16 − y +
7
x=
5. Continuación
y = 24 − 7m
x = 8m − 11
m=0
x = − 11 → No
m =1
x = − 3 → No
m=2
x = 5 y = 10 sol
m = 3 x = 13 y = 3 sol
m = 4 x = 21 y = − 4 → No
m = − 1 x = − 19 → No
136 − 15x
y=
7
133 3 14 x x
+ −
−
y=
7 7 7
7
3− x
y = 19 − 2 x +
7
3− x
y − 19 + 2 x =
7
3− x
→ Entero
7
24 − 8x
→ Entero
7
24 7 x x
−
−
7
7 7
24 − x
− x+
7
24 − x
=m
7
24 − x = 7m
7 x + 192 − 56m = 115
7 x − 56m = − 77
m= 0
x = 24 y = − 32
→ No
m= 1
x = 17 y = − 17
→ No
m= 2
x = 10 y = − 2
m= 3
x= 3
m= 4
x= −4
→ No
m = − 1 x = − 31
→ No
Continúa
− x = 7m − 24
x = 24 − 7m
360 − 105m + 7 y = 136
− 105m + 7 y = − 224
7 (15m − 32)
7
y = 15m − 32
y=
x = 24 − 7m
y = 15m − 32
y = 13
x=
25 1 5 y
− −
5 5 5
1
x + = 5− y
5
5− y = m
− y = m− 5
y = 5− m
x + 25 − 5m = 24
15(24 − 7m) + 7 y = 136
7 (8m − 11)
x=
7
x = 8m − 11
x = 24 + 1 − 1 − 5 y
x + 5(5 − m) = 24
6. 15x + 7 y = 136
7 y = 136 − 15x
3− y
→ Entero
7
24 − 8 y
→ Entero
7
24 7 y y
−
−
7
7 7
24 − y
− y+
7
24 − y
=m
7
24 − y = 7m
− y = 7m − 24
y = 24 − 7m
7 x + 8 (24 − 7m) = 115
7. x + 5 y = 24
x = 24 − 5 y
→ No
sol
x = 31 y = − 47 → No
x = 5m − 1
y = 5− m
x = 5m − 1
m= 0
x = − 1 → No
m= 1
x=4
y= 4
sol
m= 2
m= 3
x=9
x = 14
y=3
y= 2
sol
sol
m= 4
x = 19
y=1
sol
m= 5
x = 24
y= 0
→ No
m= 6
x = 29
y = − 1 → No
m= − 1 x = − 6
→ No
8. 9x + 11y = 203
9x = 203 − 11y
203 − 11y
x=
9
198 5 9y 2y
+ −
−
x=
9
9 9
9
5 − 2y
x = 22 − y +
9
5 − 2y
x − 22 + y =
9
5 − 2y
→ Entero
9
25 − 10y
→ Entero
9
18 7 9y y
+ −
−
9 9 9 9
7−y
2−y+
9
7−y
=m
9
7 − y = 9m
− y = 9m − 7
y = 7 − 9m
Continúa
10. 8 x + 13 y = 162
8x = 162 − 13 y
8. Continuación
9 x + 11(7 − 9m) = 203
9 (14 + 11m)
9
x = 14 + 11m
x=
y = 7 − 9m
x = 14 + 11m
m= 0
m= 1
x = 14
x = 25
y= 7
sol
y = − 2 → No
m= − 1 x = 3
y = 16
sol
m = − 2 x = − 8 → No
9. 5x + 2 y = 73
2 y = 73 − 5x
73 − 5x
2
72 1 4 x x
+ −
−
y=
2 2 2 2
1− x
y = 36 − 2 x +
2
1− x
y − 36 + 2 x =
2
1− x
=m
2
1− x = 2m
− x = 2m − 1
y=
x = 1 − 2m
5(1− 2m) + 2 y = 73
5 − 10m + 2 y = 73
y=
2 (34 + 5m)
2
y = 34 + 5m
x = 1− 2m
y = 34 + 5m
m= 0
x=1
m= 1
x= −1
162 − 13y
8
160 2 8 y 5y
+ −
−
x=
8 8 8 8
2 − 5y
x = 20 − y +
8
2 − 5y
x − 20 + y =
8
2 − 5y
→ Entero
8
10 − 25 y
→ Entero
8
10 24 y y
−
−
8
8
8
10 − y
− 3y +
8
10 − y
=m
8
10 − y = 8m
− y = 8m − 10
y = 10 − 8m
x=
9 x + 77 − 99m = 203
y = 34 sol
→ No
m= − 1 x = 3
y = 29 sol
m= − 2 x = 5
m= − 3 x = 7
y = 24 sol
y = 19 sol
m= − 4 x = 9
y = 14 sol
m = − 5 x = 11
y=9
sol
m = − 6 x = 13
y=4
sol
m = − 7 x = 15
y = − 1 → No
8 x + 13(10 − 8m) = 162
8x + 130 − 104m = 162
8 (4 + 13m)
8
x = 4 + 13m
11. Continuación
10 2 5x x
+ −
−
5 5 5 5
2− x
2− x+
5
2− x
2− x+
5
2− x
=m
5
2 − x = 5m
− x = 5m − 2
x = 2 − 5m
7 (2 − 5m) + 5 y = 104
14 − 35m + 5 y = 104
5 (18 + 7m)
5
y = 18 + 7m
y=
x = 12 − 5m
y = 18 + 7m
m= 0
x=2
y = 18 sol
m= 1
x= −3
→ No
m= − 1
x= 7
y = 11 sol
m= − 2
x = 12
y=4
m= − 3
x = 17 y = − 3 → No
sol
x=
y = 10 − 8m
x = 4 + 13m
m= 0
x= 4
y = 10
sol
m= 1
x = 17 y = 2
sol
m= 2
x = 30 y = − 6 → No
m = − 1 x = − 9 → No
11. 7x + 5y = 104
5y = 104 − 7x
104 − 7x
y=
5
100 4 5x 2x
y=
+ −
−
5
5 5
5
4 − 2x
y = 20 − x +
5
4 − 2x
y − 20 + x =
5
4 − 2x
→ Entero
5
12 − 6x
→ Entero
5
Continúa
12. 10 x + y = 32
y = 32 − 10 x
y = 32 + 2 − 2 − 10 x
30 2 10 x
+ −
10 10 10
2
y = 3+ − x
10
2
y − = 3− x
10
3− x = m
y=
− x = m− 3
x = 3− m
10 (3 − m) + y = 32
30 − 10m + y = 32
y = 2 + 10m
m= 0
x= 3
y=2
sol
m= 1
x=2
y = 12
sol
m= 2
x=1
y = 22
sol
m= 3
x= 0
y = 32 → No
m= 4
x= −1
→ No
m= − 1
x=4
y = − 8 → No
13. 9 x + 4 y = 86
4 y = 86 − 9 x
16. 10 x + 13 y = 294
10 x = 294 − 13 y
14. Continuación
9 x + 11(45 − 9m) = 207
86 − 9 x
4
84 2 8x x
=
+ −
−
y
4 4 4 4
2− x
y = 21 − 2 x +
4
2− x
y − 21+ 2 x =
4
2− x
=m
4
2 − x = 4m
y=
9 x + 495 − 99m = 207
9 (11m − 32)
9
x = 11m − 32
x=
y = 45 − 9m
x = 11m − 32
m= 0
x = − 32 → No
m= 1
m= 2
x = − 21 → No
x = − 10 → No
m= 3
x=1
y = 18 sol
9 (2 − 4m) + 4 y = 86
m= 4
m= 5
x = 12
x = 23
y = 9 sol
y = 0 → No
18 − 36m + 4 y = 86
m= 6
x = 34
y = − 9 → No
− x = 4m − 2
x = 2 − 4m
y=
4 (17 + 9m)
m = − 1 x = − 43
→ No
4
y = 17 + 9m
10 x + 13 (28 − 10m) = 294
x = 2 − 4m
m= 0
x=2
y = 17 sol
m= 1
x = − 2 → No
m= − 1
x= 6
y= 8
m= − 2
x = 10
y = − 1 → No
sol
14. 9x + 11y = 207
9x = 207 − 11y
207 − 11y
x=
9
198 9 9y 2y
x=
+ −
−
9
9 9
9
9 − 2y
x = 22 − y +
9
9 − 2y
x − 22 + y =
9
9 − 2y
→ Entero
9
45 − 10y
→ Entero
9
45 9y y
−
−
9
9 9
45 − y
=m
9
45 − y = 9m
− y = 9m − 45
y = 45 − 9m
Continúa
294 − 13 y
10
290 4 10 y 3 y
+ −
−
x=
10 10 10 10
4 − 3y
x − 29 + y =
10
4 − 3y
→ Entero
10
28 − 21y
→ Entero
10
28 20 y y
−
−
10 10 10
28 − y
− 2y +
10
28 − y
=m
10
28 − y = 10m
− y = 10m − 28
y = 28 − 10m
x=
10 x + 364 − 130m = 294
15. 11x + 12 y = 354
11x = 354 − 12 y
354 − 12 y
x=
11
352 2 11y y
+ −
−
x=
11 11 11 11
2− y
x = 32 − y +
11
2− y
x − 32 + y =
11
2− y
=m
11
2 − y = 11m
− y = 11m − 2
y = 2 − 11m
11x + 12 (2 − 11m) = 354
11x + 24 − 132m = 354
x=
11(30 + 12m)
11
x = 30 + 12m
y = 2 − 11m
m= 0
x = 30 y = 2
m= 1
x = 42 y = − 9 → No
sol
m = − 1 x = 18 y = 13
sol
m= − 2 x = 6
sol
y = 24
m = − 3 x = − 6 → No
10 (13m − 7)
10
x = 13m − 7
x=
y = 28 − 10m
→ No
m= 0 x = − 7
m=1 x = 6
y = 18 sol
m = 2 x = 19 y = 8
sol
m = 3 x = 32 y = − 2 → No
m = − 1 x = − 20 → No
17. 11x + 8y = 300
8y = 300 − 11x
300 − 11x
y=
8
296 4 3x 8x
y=
+ −
−
8
8 8
8
4 − 3x
y = 37 − x +
8
4 − 3x
y − 37 + x =
8
4 − 3x
→ Entero
8
12 − 9x
→ Entero
8
Continúa
Continuación
18. Continuación
y = 192 − 21m
m = 0 x = − 195 → No
m = 7 x = − 20 → No
m=8 x = 5
y = 24 sol
m = 9 x = 30 y = 3 sol
m = 10 x = 55 y = − 18 → No
m = − 1 x = − 220 → No
12 8x x
−
−
17.
8 8 8
12 − x
=m
8
12 − x = 8m
− x = 8m − 12
x = 12 − 8m
11(12 − 8m) + 8 y = 300
132 − 88m + 8 y = 300
8 (21 + 11m)
y=
8
y = 21 + 11m
x = 12 − 8m
m= 0
m= 1
x = 12
x=4
y = 21
y = 32
m= 2
m= − 1
x= −4
x = 20
→ No
y = 10 sol
m= − 2
x = 28
y = − 1 → No
sol
sol
18. 21x + 25 y = 705
21x = 705 − 25 y
705 − 25 y
21
693 12 21y 4 y
+ −
−
x=
21 21 21 21
12 − 4 y
x = 33 − y +
21
12 − 4 y
→ Entero
21
192 − 64 y
→ Entero
21
192 63 y y
−
−
21 21 21
192 − y
− 3y +
21
192 − y
=m
21
192 − y = 21m
− y = 21m − 192
y = 192 − 21m
x=
21x + 25 (192 − 21m) = 705
21x + 4 .800 − 525m = 705
21(25m − 195)
21
x = 25m − 195
x=
Continúa
19. 3x − 4 y = 5
3x = 5 + 4 y
5+ 4y
x=
3
2 3 3y y
+
x= + +
3 3 3 3
2+ y
x = 1+ y +
3
2+ y
x − 1− y =
3
2+ y
=m
3
2 + y = 3m
y = 3m − 2
3x − 4 (3m − 2) = 5
3x − 12m + 8 = 5
3 (4m − 1)
3
x = 4m − 1
x=
y = 3m − 2
m = 1 x = 3 y = 1 sol
m = 2 x = 7 y = 4 sol
m = 3 x = 11 y = 7 sol
20. 5x − 8y = 1
5x = 1+ 8y
x=
1+ 8y
5
1+ 8y
→ Entero
5
2 + 16y
→ Entero
5
2 15y y
+
+
5
5
5
2+y
3y +
5
2+y
=m
5
Continúa
20. Continuación
2 + y = 5m
y = 5m − 2
5x − 8 (5m − 2) = 1
5x − 40m + 16 = 1
5 (8m − 3)
5
x = 8m − 3
x=
y = 5m − 2
m= 1
x=5
m= 2
m= 3
x = 13 y = 8 sol
x = 21 y = 13 sol
y= 3
sol
21. 7 x − 13 y = 43
7 x = 43 + 13 y
43 + 13 y
7
42 1 7 y 6 y
+ +
+
x=
7 7 7
7
1+ 6 y
x = 6+ y +
7
1+ 6 y
x − 6− y =
7
1+ 6y
→ Entero
7
6 + 36 y
→ Entero
7
6 35 y y
+
+
7
7
7
6+ y
5y +
7
6+ y
=m
7
6 + y = 7m
y = 7m − 6
x=
7 x − 13(7m − 6) = 43
7 x − 91m + 78 = 43
7 (13m − 5)
7
x = 13m − 5
x=
y = 7m − 6
y=1
sol
m= 1 x = 8
m = 2 x = 21 y = 8 sol
m = 3 x = 34 y = 15 sol
22. 11x − 12 y = 0
11x = 12 y
12 y
11
11y y
+
x=
11 11
y
x− y=
11
y
=m
11
y = 11m
x=
11x − 12 (11m) = 0
11x − 132m = 0
x = 12m
y = 11m
m = 1 x = 12 y = 11 sol
m = 2 x = 24 y = 22 sol
m = 3 x = 36 y = 33 sol
23. 14 x − 17 y = 32
14 x = 32 + 17 y
32 + 17 y
14
28 4 14 y 3 y
+ +
+
x=
14 14 14 14
4 + 3y
x= 2+ y+
14
x=
4 + 3y
→ Entero
14
20 + 15 y
→ Entero
14
14 6 14 y y
+ +
+
14 14 14 14
6+ y
1+ y +
14
6+ y
=m
14
6 + y = 14m
y = 14m − 6
24. 7 x − 11y = 83
7 x = 83 + 11y
83 + 11y
7
77 6 7 y 4 y
+ +
+
x=
7 7 7
7
6+ 4y
x = 11 + y +
7
6+ 4y
x − 11− y =
7
6+ 4y
→ Entero
7
12 + 8 y
→ Entero
7
7 5 7y y
+ +
+
7 7 7 7
5+ y
1+ y +
7
5+ y
=m
7
5 + y = 7m
y = 7m − 5
x=
7 x − 11(7m − 5) = 83
7 x − 77m + 55 = 83
7 (11m + 4)
7
x = 11m + 4
x=
y = 7m − 5
m = 1 x = 15 y = 2 sol
m = 2 x = 26 y = 9 sol
m = 3 x = 37 y = 16 sol
25. 8x − 13y = 407
8x = 407 + 13y
407 + 13y
x=
8
400 7 8y 5y
+ +
+
x=
8
8 8
8
7 + 5y
x = 50 + y +
8
14 x − 17 (14m − 6) = 32
7 + 5y
14 x − 238m + 102 = 32
x − 50 − y =
8
14 (17m − 5)
7 + 5y
x=
→ Entero
14
8
x = 17m − 5
35 + 25y
→ Entero
y = 14m − 6
8
m = 1 x = 12 y = 8 sol
32 3 24y y
+ +
+
m = 2 x = 29 y = 22 sol
8 8
8
8
m = 3 x = 46 y = 36 sol
Continúa
25. Continuación
3+ y
4 + 3y +
8
3+ y
=m
8
3 + y = 8m
y = 8m − 3
8 x − 13 (8m − 3) = 407
8 x − 104m + 39 = 407
8 (13m + 46)
8
x = 13m + 46
x=
y = 8m − 3
m = 1 x = 59 y = 5 sol
m = 2 x = 72 y = 13 sol
m = 3 x = 85 y = 21 sol
26. 20 y − 23x = 411
20 y = 411 + 23x
411 + 23x
20
400 11 20 x 3x
+
+
+
y=
20 20 20 20
11 + 3x
y = 20 + x +
20
11 + 3x
y − 20 − x =
20
11 + 3x
→ Entero
20
77 + 21x
→ Entero
20
60 17 20 x x
+
+
+
20 20 20 20
17 + x
3+ x +
20
17 + x
=m
20
17 + x = 20m
x = 20m − 17
y=
20 y − 23 (20m − 17) = 411
20 y − 460m + 391 = 411
y=
20 (23m + 1)
20
x = 20m − 17
y = 23m + 1
m = 1 x = 3 y = 24 sol
m = 2 x = 23 y = 47 sol
m = 3 x = 43 y = 70 sol
27. 5 y − 7 x = 312
5 y = 312 + 7 x
312 + 7 x
5
310 2 5x 2 x
+ +
+
y=
5
5 5
5
2 + 2x
y = 62 + x +
5
2 + 2x
y − 62 − x =
5
2 + 2x
→ Entero
5
6 + 6x
→ Entero
5
5 1 5x x
+ +
+
5 5 5 5
1+ x
1+ x +
5
1+ x
=m
5
1 + x = 5m
x = 5m − 1
y=
5 y − 7 (5m − 1) = 312
5 y − 35m + 7 = 312
5 (7m + 61)
5
y = 7m + 61
y=
x = 5m − 1
m = 1 x = 4 y = 68
m = 2 x = 9 y = 75
m = 3 x = 14 y = 82
EJERCICIO 174
1. x → Billetes $ 2
y → Billetes $ 5
2x + 5y = 42
2x = 42 − 5y
42 − 5y
x=
2
40 2 3y 2y
+ −
−
x=
2 2 2
2
2 − 3y
x = 20 − y +
2
2 − 3y
x − 20 + y =
2
2 − 3y
→ Entero
2
Continúa
1. Continuación
2. Continuación
y = 1− m
m=0
x = 7 y = 1 sol
m =1
x = 9 y = 0 → No
m = − 1 x = 5 y = 2 sol
2 2y y
−
−
2 2 2
2− y
− y+
2
2− y
=m
2
2 − y = 2m
m = − 2 x = 3 y = 3 sol
m = − 3 x = 1 y = 4 sol
m = − 4 x = − 1 → No
− y = 2m − 2
1 de $ 5 y 4 de $ 10
y = 2 − 2m
3 de $ 5 y 3 de $ 10
2 x + 5 (2 − 2m) = 42
5 de $ 5 y 2 de $ 10
2 x + 10 − 10m = 42
2 (5m + 16)
2
x = 5m + 16
x=
y = 2 − 2m
m= 0
x = 16
y=2
sol
m= 1
x = 21
y=0
→ No
m= 2
m= −1
x = 26
x = 11
y = − 2 → No
y = 4 sol
m= − 2 x = 6
y=6
sol
m= − 3 x =1
y=8
sol
m = − 4 x = − 4 → No
1 de $ 2 y 8 de $ 5
6 de $ 2 y 6 de $ 5
11 de $ 2 y 4 de $ 5 ó
16 de $ 2 y 2 de $ 5
2. x → Monedas de $ 5
y → Monedas de $ 10
5x + 10 y = 45
5x = 45 − 10 y
45 − 10 y
x=
5
40 5 5 y 5 y
+ −
−
x=
5 5 5
5
5 − 5y
x = 8− y +
5
x − 8 + y = 1− y
1− y = m
− y = m− 1
y = 1− m
5x + 10 (1 − m) = 45
5x + 10 − 10m = 45
5 (2m + 7)
5
x = 2m + 7
Continúa
x=
7 de $ 5 y 1 de $ 10
3. 5x + 3 y = 62
3y = 62 − 5x
62 − 5x
y=
3
60 2 3x 2 x
+ −
−
y=
3 3 3 3
2 − 2x
y = 20 − x +
3
2 − 2x
y − 20 + x =
3
2 − 2x
→ Entero
3
10 − 10 x
→ Entero
3
9 1 9x x
+ −
−
3 3 3 3
1− x
3 − 3x +
3
1− x
=m
3
1− x = 3m
− x = 3m − 1
x = 1 − 3m
5(1 − 3m) + 3 y = 62
5 − 15m + 3 y = 62
3(5m + 19)
3
y = 5m + 19
y=
x = 1 − 3m
m= 0 x = 1
y = 19 sol
→ No
m= 1
x= −2
m= − 1 x = 4
y = 14 sol
m= − 2 x = 7
y = 9 sol
m = − 3 x = 10 y = 4 sol
1 y 19 ; 4 y 14 ; 7 y 9 ;
10 y 4
4. x → Sombreros
y → Pares de zapatos
5. x → Metros de lana
y → Metros de seda
8 x + 15 y = 340
8 x = 340 − 15 y
340 − 15 y
x=
8
336 4 8 y 7 y
+ −
−
x=
8
8 8
8
4 − 7y
x = 42 − y +
8
4 − 7y
−
+
=
x 42 y
8
4 − 7y
→ Entero
8
28 − 49 y
→ Entero
8
24 4 48 y y
+ −
−
8 8
8
8
4− y
3− 6y +
8
4− y
=m
8
4 − y = 8m
− y = 8m − 4
y = 4 − 8m
8 x + 15(4 − 8m) = 340
8 x + 60 − 120m = 340
8 (15m + 35)
8
x = 15m + 35
x=
y = 4 − 8m
m = 0 x = 35 y = 4
sol
m= 1
x = 50 y = − 4 → No
m = − 1 x = 20 y = 12 sol
m= − 2 x = 5
y = 20 sol
m = − 3 x = − 10 → No
5 sombreros y 20 pares de zap.
20 sombreros y 12 pares de zap.
35 sombreros y 4 pares de zap.
1, 50x + 2 , 50 y = 42
→ Si multiplico por 2 la
ecuación inicial no se
altera . Luego
3x + 5y = 84
3x = 84 − 5y
84 − 5y
x=
3
81 3 3y 2 y
−
x= + −
3 3 3
3
3− 2 y
x = 27 − y +
3
3− 2 y
x − 27 + y =
3
3− 2y
→ Entero
3
15 − 10 y
→ Entero
3
12 3 9 y y
+ −
−
3 3 3 3
3− y
4 − 3y +
3
3− y
=m
3
3 − y = 3m
− y = 3m − 3
y = 3 − 3m
6. x → niños
y → adultos
0 , 45x + y = 17 (20)
9 x + 20 y = 340
9 x = 340 − 20 y
340 − 20 y
x=
9
333 7 18 y 2 y
+ −
−
x=
9 9
9
9
7 − 2y
x = 37 − 2 y +
9
7 − 2y
x − 37 + 2 y =
9
7 − 2y
→ Entero
9
98 − 28 y
→ Entero
9
90 8 27 y y
+ −
−
9 9
9
9
8− y
10 − 3 y +
9
8− y
=m
9
8 − y = 9m
− y = 9m − 8
y = 8 − 9m
9 x + 20 (8 − 9m) = 340
9 x + 160 − 180m = 340
9 (20m + 20)
9
x = 20m + 20
3x + 5(3 − 3m) = 84
x=
3x + 15 − 15m = 84
3(5m + 23)
3
x = 5m + 23
x=
y = 3 − 3m
m= 0
x = 23 y = 3 sol
m= 1
x = 28 y = 0 → No
m = − 1 x = 18 y = 6 sol
m = − 2 x = 13 y = 9 sol
m= − 3 x = 8
y = 12 sol
m= − 4 x = 3
y = 15 sol
m = − 5 x = − 2 → No
3m de lana y 15m de seda
8m de lana y 12m de seda
13m de lana y 9m de seda
18m de lana y 6m de seda
23m de lana y 3m de seda
y = 8 − 9m
m = 0 x = 20 y = 8 sol
m=1
x=0
y = − 1 → No
m= −1 x= 0
y = 17 → No
m = − 2 x = − 20 → No
20 niños y 8 adultos
7. x → Caballos
y → Vacas
460 x + 440 y = 41. 000 (÷ 20)
23x + 22 y = 2 . 050
22 y = 2 . 050 − 23x
2 . 050 − 23x
y=
22
2 . 046 4 22 x x
+
−
−
y=
22
22 22 22
Continúa
7. Continuación
4− x
y = 93 − x +
22
4− x
=m
22
4 − x = 22m
− x = 22m − 4
8. Continuación
y = 3m − 1
m = 0 x = − 1 → No
m = 1 x = 4 y = 2 sol
Los Nº s son 4 y 2
x = 4 − 22m
23 (4 − 22m) + 22 y = 2 . 050
92 − 506m + 22 y = 2 . 050
22 (23m + 89)
22
y = 23m + 89
y=
x = 4 − 22m
m= 0
m= 1
m= − 1
x = 4 y = 89 sol
x = − 18 → No
x = 26 y = 66 sol
m = − 2 x = 48 y = 43 sol
m = − 3 x = 70 y = 20 sol
m = − 4 x = 92 y = − 3 → No
4 caballos y 89 vacas
26 caballos y 66 vacas
48 caballos y 43 vacas
70 caballos y 20 vacas
8.
3x + 3 = 5 y + 5
3x − 5 y = 2
3x = 2 + 5 y
2 + 5y
x=
3
2 + 5y
→ Entero
3
4 + 10 y
→ Entero
3
3 1 9y y
+ +
+
3 3 3 3
1+ y
1 + 3y +
3
1+ y
=m
3
1 + y = 3m
y = 3m − 1
3x − 5 (3m − 1) = 2
3x − 15m + 5 = 2
3 (5m − 1)
3
x = 5m − 1
Continúa
x=
9. x → Monedas de 0 , 25
y → Monedas de 0 ,10
0 , 25x + 0 ,10 y = 2 ,10 (100)
25x + 10 y = 210
10 y = 210 − 25x
210 − 25x
y=
10
200 10 20 x 5x
+ −
−
y=
10 10 10 10
10 − 5x
y = 20 − 2 x +
10
2− x
y − 20 + 2 x =
2
2− x
=m
2
2 − x = 2m
− x = 2m − 2
x = 2 − 2m
25(2 − 2m) + 10 y = 210
50 − 50m + 10 y = 210
10 (5m + 16)
10
y = 5m + 16
y=
x = 2 − 2m
m= 0
x=2
y = 16 sol
→ No
m= 1
x=0
m= − 1 x = 4
y = 11 sol
m= − 2 x = 6
y = 6 sol
m= − 3 x = 8
y = 1 sol
m = − 4 x = 10 y = − 4 → No
2 mon. de 0 , 25 y 16 mon. de 0 ,10
4 mon. de 0 , 25 y 11 mon. de 0 ,10
6 mon. de 0 , 25 y 6 mon. de 0 ,10
8 mon. de 0 , 25 y 1 mon. de 0 ,10
EJERCICIO 175
21. x + 1= 0
x = −1
23. x − y = 2
x=0 y=−2
x=2 y=0
y−4=0
y=4
3x + y = 18
x = 0 y = 18
x=6 y=0
con
Escala 1:2
+
3x
y=
18
(-1
,4)
y=4
x=-1
(5,3)
0
y
x-
2
=
0
Intersección → (− 1 , 4)
22. 3x = 2y
3x − 2 y = 0
x =1
con
y = 1 21
x+y=5
x=0 y=5
x=5
y=0
Intersección
24. 2x − y = 0
→ (5 , 3)
5x + 4y = − 26
con
x=0
y = − 6 21
x=−2
y=−4
3x
=
2x
-
2y
y=
0
x =1 y = 2
4y
=
6
-2
(-2,- 4)
5
(2,3)
+
y=
Intersección
5x
x+
0
0
→ (2 , 3)
Intersección → (− 2 , − 4)
25. 5x + 6y = − 9
x = 0 y = − 1 21
4x − 3y = 24
con
x=0 y= −8
x=3 y=−4
x=3
y=−4
27. 3x + 8y = 28
x=4 y=2
x=0
5x − 2y = − 30
x=0
y = 15
con
y = 3 21
x=−2
y = 10
Escala 1:2
=
-9
2y
=
6y
-30
0
+
5x
-
5x
3x +
8y =
28
4x
-3
y
=
(- 4
,5
)
24
(3,-4)
0
Intersección →
con
6x − 7y = − 9
x=2
y=3
x=−5 y=−3
Intersección →
28. y − 4 = 0
y=4
7x + 2y = 22
x = 0 y = 11
x=2
y=4
con
=
-7
y
6x
=
2y
x+5=0
(− 4 , 5)
+
7x
-9
22
0
(2
,4
)
26. x + 5 = 0
x=−5
(3 , − 4)
y-4=0
(-5,-3)
0
Intersección →
(− 5 , − 3)
Intersección →
(2 , 4)
29. 6x = − 5y
6x + 5y = 0
x=5 y=−6
con
4x − 3y = − 38
x = − 2 y = 10
x =1
y = 14
30. 5x − 2y = − 14
x=0
y=7
x=−2 y=2
8x − 5y = − 17
x =1
y=5
x=−4 y=−3
con
Escala 1:2
0
6x
=
-5
y
5y
=
5x
-
(-5 ,6)
-17
-14
38
2y
=
y
-3
-
8x
-
4x
=
0
(-4 ,-3 )
Intersección
(− 4 , − 3)
→ (− 5 , 6)
Intersección
2. 3x − 2 y = − 2 ; 5x + 8 y = − 60
3x = − 2 + 2 y
5 x = − 60 − 8 y
2x − y = − 4
3. 3x + 5 y = 7 ;
− y = − 4 − 2x
5 y = 7 − 3x
→
EJERCICIO 176
1. x + 6 y = 27 ; 7 x − 3 y = 9
x = 27 − 6 y 7 x = 9 + 3 y
9 + 3y
7
9 + 3y
27 − 6 y =
7
x=
x= −
2 − 2y
60 + 8 y
x= −
3
5
2− 2y
60 + 8 y
−
=−
3
5
y=
7 − 3x
y = 4 + 2x
5
7 − 3x
= 4 + 2x
5
7 − 3x = 5(4 + 2 x)
7 (27 − 6 y ) = 9 + 3y
5 (2 − 2 y ) = 3 (60 + 8 y )
189 − 42 y = 9 + 3 y
180 = 45 y
4= y
10 − 10 y = 180 + 24 y
7 − 3x = 20 + 10 x
− 170 = 34 y
− 5= y
− 13 = 13x
− 1= x
x + 6 ( 4) = 27
x + 24 = 27
x=3
sol : x = 3 y = 4
3 x − 2 (− 5) = − 2
2 (− 1) − y = − 4
3x + 10 = − 2
− 2− y= − 4
3x = − 12
− y= −2
x= −4
sol : x = − 4
y= −5
y=2
sol : x = − 1 y = 2
; 9 x + 8 y = 13
4. 7 x − 4 y = 5
7x = 5+ 4 y
9 x = 13 − 8 y
x=
5+ 4 y
7
x=
9 (5 + 4 y ) = 7 (13 − 8 y )
13 − 8 y
9
x=
45 + 36 y = 91 − 56 y
92 y = 46
46 1
=
y=
92 2
 1
9 x + 8   = 13
 2
x=
12 (11y − 87) = 15 (27 − 5 y)
y=
y=
4 (7 − 9 x) = 16 ( 3x )
3x
4
28 − 36 x = 48x
28 = 84 x
28 1
=
x=
84 3
4 y − 1= 0
4y = 1
1
y=
4
1
1
sol : x =
y=
3
4
8 (11y − 29) = 14 (13y − 30)
88 y − 232 = 182 y − 420
188 = 94 y
2= y
13(2) − 8 x = 30
26 − 8 x = 30
− 8x = 4
1
x= −
2
1
sol : x = −
y=2
2
12 x + 5 (7) = 27
1. 449
=7
207
12 x + 35 = 27
12 x = − 8
x= −
8
2
=−
12
3
2
3
y=7
sol : x = −
8. 7 x + 9 y = 42
9 y = 42 − 7 x
y=
6. 14 x − 11y = − 29 ; 13 y − 8 x = 30
14 x = 11y − 29
− 8 x = 30 − 13y
11y − 29
x=
14
27 − 5 y
12
132 y − 1. 044 = 405 − 75 y
207 y = 1. 449
; 4 y − 3x = 0
5. 9 x + 16 y = 7
16 y = 7 − 9 x
4 y = 3x
7 − 9x
16
11y − 87
15
− 12 x − 5 y = − 27
12 x = 27 − 5 y
9 x + 4 = 13
9x = 9
x=1
1
sol : x = 1 y =
2
y=
7. 15x − 11y = − 87
15x = 11y − 87
13 y − 30
x=
8
42 − 7 x
9
12 x + 10 y = − 4
10 y = − 4 − 12 x
4 + 12 x
y= −
10
10 (42 − 7 x ) = − 9 (4 + 12 x )
420 − 70 x = − 36 − 108x
38 x = − 456
x = − 12
12 (− 12) + 10 y = − 4
− 144 + 10 y = − 4
10 y = 140
sol : x = − 12
y = 14
y = 14
9. 6 x − 18 y = − 85 ;
24 x − 5 y = − 5
− 18 y = − 6 x − 85
6 x + 85
y=
18
5 (6 x + 85) = 18 (5 + 24 x )
− 5 y = − 5 − 24 x
5 + 24 x
y=
5
30 x + 425 = 90 + 432 x
335 = 402 x
EJERCICIO 177
1. x + 3 y = 6 ; 5x − 2 y = 13
x = 6 − 3y
5 (6 − 3 y ) − 2 y = 13
30 − 15 y − 2 y = 13
− 17 y = − 17
y=1
335 5
=
x=
402 6
 5
6   − 18 y = − 85
 6
x + 3 (1) = 6
x + 3= 6
x=3
sol : x = 3 y = 1
5 − 18 y = − 85
− 18 y = − 90
y=5
5
sol : x =
y=5
6
2. 5x + 7 y = − 1 ; − 3x + 4 y = − 24
5x = − 1 − 7 y
1+ 7 y
x= −
5
 1+ 7 y 
3
 + 4 y = − 24
 5 
3 + 21y
+ 4 y = − 24
5
3 + 21y + 20 y = − 120
41y = − 123
y= −3
4. x − 5 y = 8 ; − 7 x + 8 y = 25
8 y = 25 + 7 x
y=
 25 + 7 x 
 =8
x − 5
 8 
8 x − 5(25 + 7 x ) = 64
8x − 125 − 35x = 64
x= −7
− 3x − 12 = − 24
− 3x = − 12
x=4
sol : x = 4 y = − 3
sol : x = − 7 y = − 3
32 x − 9 (8 − 3x ) = − 308
32 x − 72 + 27 x = − 308
59 x = − 236
x=−4
3 (− 4) + 4 y = 8
− 12 + 4 y = 8
4 y = 20
y=5
sol :
x= −4
y=5
11 + 18 y
10
 11 + 18 y 
 − 9y = − 5
− 16 
 10 
x=−
− 7 − 5y = 8
− 5 y = 15
8 − 3x
y=
4
 8 − 3x 
8x − 9 
 = − 77
 4 
6. 10 x + 18 y = − 11 ; 16 x − 9 y = − 5
10 x = − 11 − 18 y
− 27 x = 189
− 3x + 4 (− 3) = − 24
3. 3x + 4 y = 8 ; 8 x − 9 y = − 77
4 y = 8 − 3x
25 + 7 x
8
y= −3
− 16 (11 + 18 y) − 90 y = − 50
5. 15x + 11y = 32 ; 7 y − 9 x = 8
− 176 − 288 y − 90 y = − 50
− 378 y = 126
7 y = 8 + 9x
8 + 9x
y=
7
 8 + 9x 
 = 32
15x + 11
 7 
105x + 11(8 + 9 x) = 224
105x + 88 + 99 x = 224
204 x = 136
136 2
=
x=
204 3
 2
15   + 11y = 32
 3
10 + 11y = 32
11y = 22
y= 2
2
sol : x =
y=2
3
y= −
 1
10 x + 18  −  = − 11
 3
10 x − 6 = − 11
10x = − 5
x= −
sol : x = −
1
2
1
2
y= −
1
3
126
1
=−
378
3
8. 32 x − 25 y = 13 ; 16 x + 15 y = 1
16 x = 1 − 15 y
7. 4 x + 5 y = 5 ; − 4 x − 10 y = − 7
10 y = 7 − 4 x
7 − 4x
y=
10
 7 − 4x 
4x + 5
 =5
 10 
x=
1 − 15 y
16
9. 11x − 13y = − 163
; − 8x + 7 y = 94
11x = − 163 + 13y
163 − 13y
x= −
11
 163 − 13y 
8
 + 7 y = 94

11 
 1 − 15 y 
 − 25 y = 13
32 
 16 
2 (1 − 15 y ) − 25 y = 13
2 − 30 y − 25 y = 13
2 − 55 y = 13
8 x + 7 − 4 x = 10
4x = 3
3
x=
4
− 55 y = 11
y= −
 3
4   + 5y = 5
 4
8 (163 − 13y ) + 77 y = 1. 034
1
5
1. 304 − 104 y + 77 y = 1. 034
− 27 y = − 270
 1
16 x + 15  −  = 1
 5
3 + 5y = 5
y = 10
11x − 13(10) = − 163
11x − 130 = − 163
11x = − 33
16 x − 3 = 1
5y = 2
2
y=
5
3
2
sol : x =
y=
4
5
16 x = 4
x=
x=
sol :
1
4
1
1
y= −
4
5
x= − 3
x= − 3
y = 10
sol :
EJERCICIO 178
1.
6x − 5y = − 9
4 x + 3y = 13
( 2)
(− 3)
3.
− 12 x − 9 y = − 39
− 19 y = − 57
31x
y= 3
4 x + 9 = 13
4x = 4
x=1
y= −1
7 x − 15 (− 1) = 1
7 x + 15 = 1
7 x = − 14
x=−2
sol : x = − 2 y = − 1
= 217
x= 7
10 x − 3 (− 2) = 36
10 x = 30
x=3
sol : x = 3 y = − 2
sol : x = 7 y = − 5
4.
9 x + 11y = − 14
( 4)
6 x − 5 y = − 34 (− 6)
36 x + 44 y = − 56
− 36 x + 30 y = 204
74 y = 148
y=2
6 x − 5 (2) = − 34
6 x − 10 = − 34
6 x = − 24
x= −4
sol : x = − 4 y = 2
(− 5)
− 28 y = 56
y= −2
− 4 y = 20
y= −5
sol : x = 1 y = 3
− 57 y = 57
2x + 5y = − 4
10 x − 3 y = 36
− 10 x − 25 y = 20
3(7) − 4 y = 41
21 − 4 y = 41
4 x + 3( 3) = 13
7 x − 15 y = 1
− 7 x − 42 y = 56
5. 10 x − 3 y = 36
11x + 6 y = 47 (2)
9 x − 12 y = 123
22 x + 12 y = 94
12 x − 10 y = − 18
2. 7 x − 15 y = 1
− x − 6 y = 8 ( 7)
3x − 4 y = 41 ( 3)
6.
11x − 9 y = 2
(5)
13x − 15y = − 2 (− 3)
55x − 45 y = 10
− 39 x + 45 y = 6
= 16
16x
x=1
11(1) − 9 y = 2
11 − 9 y = 2
− 9y = − 9
y=1
sol : x = 1
y=1
7.
18 x + 5y = − 11 ( 2)
(− 3)
12 x + 11y = 31
36 x + 10 y = − 22
− 36 x − 33 y = − 93
− 14 x + 12 y = − 19 ( 6)
y=5
24 x − 17 y = 10
84 x − 98 y = 140
− 84 x + 72 y = − 114
29 y = − 58
y= −2
36x − 11(− 2) = − 14
12 x + 14 = 20
18 x + 25 = − 11
18 x = − 36
x= − 2
y=5
(− 11)
11x − 13y = − 48 ( 9)
− 99 x − 77 y = 44
99 x − 117 y = − 432
− 194 y = − 388
y=2
12 x = 6
1
x=
2
1
sol : x =
y= −1
2
10. 15x − y = 40 (8)
36 x + 22 = − 14
36 x = − 36
x= −1
sol : x = − 1 y = − 2
19 x + 8 y = 236
− 161y = 644
y= −4
= 556
12 x − 17 (− 4) = 104
15 (4) − y = 40
9 x + 14 = − 4
9 x = − 18
12 x + 68 = 104
12 x = 36
x=3
sol : x = 3 y = − 4
60 − y = 40
− y = − 20
x= −2
y = 20
sol : x = − 2 y = 2
15x + 19 y = − 31 (− 4)
60 x − 85 y = 520
− 60 x − 76 y = 124
120x − 8 y = 320
x=4
9 x + 7 ( 2) = − 4
12 x − 17 y = 104 (5)
12.
19 x + 8 y = 236
139 x
sol : x = 4
(− 3)
72 x − 22 y = − 28
− 72 x + 51y = − 30
12 x − 14 (− 1) = 20
9x + 7y = − 4
36x − 11y = − 14 (2)
11.
y= −1
18 x + 5(5) = − 11
8.
12 x − 14 y = 20 ( 7)
− 26 y = 26
− 23 y = − 115
sol : x = − 2
9.
y = 20
EJERCICIO 179
1.
8x − 5 = 7 y − 9
8x − 7 y = − 9 + 5
8x − 7 y = − 4
6x = 3y + 6
x − 3 = 3y − 7
x − 3y = − 4
6x − 3y = 6
8x − 7 y = − 4
6x − 3y = 6
x− y = 2
(3)
( − 4)
x − 3y = − 4
− x + 3y = 4
− 9 y = − 36
y=4
y=3
6 x − 12 = 6
6 x = 18
x=3
sol : x = 3 y = 4
(− 1)
x− y = 2
24 x − 21y = − 12
− 24 x + 12 y = − 24
6 x − 3 ( 4) = 6
3. 3 ( x + 2) = 2 y
2. x − 1 = y + 1
x− y= 2
2y = 6
x − 3= 2
x=5
sol : x = 5 y = 3
2 ( y + 5) = 7 x
3x + 6 = 2 y
2 y + 10 = 7 x
3x − 2 y = − 6
3x − 2 y = − 6 ;
7 x − 2 y = 10
7 x − 2 y = 10
3x = − 6 + 2 y
6− 2y
x= −
3
7 x = 10 + 2 y
10 + 2 y
x=
7
− 7 (6 − 2 y ) = 3(10 + 2 y )
− 42 + 14 y = 30 + 6 y
8 y = 72
y=9
7 x − 2 ( 9) = 10
7 x − 18 = 10
7 x = 28
x=4
sol : x = 4 y = 9
4.
x − 1 = 2 ( y + 6)
x − 1 = 2 y + 12
x − 2 y = 13
x = 13 + 2 y
6. Continuación
8. Continuación
− 5 y = − 40
 30 
− 2x + 7  −  = − 6
 89 
y=8
− 178 x − 210 = − 534
x − 2 (8) = − 10
x + 6 = 3 (1 − 2 y)
x + 6 = 3− 6y
x + 6y = − 3
x = − 3− 6y
13 + 2 y = − 3 − 6 y
− 3 − 6 y − 2 y = 13
− 8 y = 16
y= −2
x − 16 = − 10
− 178 x = − 324
x=6
x=
sol : x = 6 y = 8
73
sol : x = 1 89
7. ( x − y ) − (6 x + 8 y) = − (10 x + 5 y + 3)
x − y − 6 x − 8 y = − 10 x − 5 y − 3
− 5x − 9 y = − 10 x − 5 y − 3
x − 2 (− 2) = 13
5x − 4 y = − 3
(x + y) − (9 y − 11x) = 2 y − 2 x
x + 4 = 13
x=9
sol : x = 9 y = − 2
x + y − 9 y + 11x = 2 y − 2 x
12 x − 8 y = 2 y − 2 x
5. 30 − (8 − x ) = 2 y + 30
14 x − 10 y = 0
(5)
5x − 4 y = − 3
30 − 8 + x = 2 y + 30
x − 2y = 8
14 x − 10 y =
5x − 29 = x − 5 + 4 y
− 28x + 20 y = 0
4 x − 4 y = 24
− 3x
5x − 29 = x − (5 − 4 y )
x− y=6
x − 2y = 8
(− 2)
0
25x − 20 y = − 15
(− 1)
− 4 y = − 28
y=7
y=−2
x − 2 (− 2 ) = 8
(
x=4
sol : x = 4 y = − 2
6. 3x − (9 x + y ) = 5 y − (2 x + 9 y)
3x − 9 x − y = 5 y − 2 x − 9 y
− 4 x + 3y = 0
4 x − (3y + 7) = 5 y − 47
4 x − 3 y − 7 = 5 y − 47
4 x − 8 y = − 40
x − 2 y = − 10
− 4 x + 3y = 0
x − 2 y = − 10 ( 4)
− 4 x + 3y = 0
4 x − 8 y = − 40
) (
)
8. 5 x + 3 y − 7 x + 8 y = − 6
x+4=8
Continúa
5x + 15y − 7 x − 8 y = − 6
− 2x + 7 y = − 6
7 x − 9 y − 2 ( x − 18 y) = 0
7 x − 9 y − 2 x + 36 y = 0
5x + 27 y = 0
− 2x + 7y = − 6
5x + 27 y = 0
(− 9)
2x − y = 0
18 x − 4 y = − 10
− 18 x + 9 y = 0
10. 3x − 4 y − 2 (2 x − 7) = 0
sol : x = 5 y = 7
− y=2
10 ( y − x) = 11y − 12 x
10 y − 10 x = 11y − 12 x
2x − y = 0
18 x − 4 y = − 10
2x + 2 = 0
2x = − 2
x= −1
sol : x = − 1 y = − 2
25 − 4 y = − 3
− x+ y =−6
2 x + 10 = 4 y − 16 x
18 x − 4 y = − 10
2 x − (− 2) = 0
= − 15
5 (5) − 4 y = − 3
x − 2y = 8
9. 2 ( x + 5) = 4 ( y − 4 x )
5 y = − 10
y= −2
x=5
x− y =6
324
73
= 1 89
178
30
y= −
89
(5)
( 2)
− 10 x + 35y = − 30
10x + 54 y = 0
89 y = − 30
30
y= −
89
Continúa
3x − 4 y − 4 x + 14 = 0
− x − 4 y = − 14
x + 4 y = 14
5 ( x − 1) − (2 y − 1) = 0
5x − 5 − 2 y + 1 = 0
5x − 2 y = 4
x + 4 y = 14
5x − 2 y = 4
( 2)
x + 4 y = 14
10x − 4 y = 8
11x
= 22
x= 2
2 + 4 y = 14
4 y = 12
y=3
sol : x = 2 y = 3
11. 12 (x + 2 y ) − 8 (2 x + y ) = 2 (5x − 6 y )
12. x ( y − 2) − y ( x − 3) = − 14
12 x + 24 y − 16 x − 8 y = 10 x − 12 y
− 4 x + 16 y = 10 x − 12 y
− 14 x + 28 y = 0
− x + 2y = 0
xy − 2 x − xy + 3 y = − 14
− 2 x + 3 y = − 14
y ( x − 6) − x ( y + 9) = 54
20 ( x − 4 y ) = − 10
xy − 6 y − xy − 9 x = 54
− 9 x − 6 y = 54
20 x − 80 y = − 10
2x − 8y = − 1
3x + 2 y = − 18
− x + 2 y = 0 ( 2)
2x − 8y = − 1
− 2 x + 3 y = − 14 ( 3)
− 2x + 4 y = 0
2x − 8y = − 1
− 6 x + 9 y = − 42
3x + 2 y = − 18 ( 2)
6 x + 4 y = − 36
13 y = − 78
− 4y = −1
1
y=
4
 1
− x + 2  = 0
 4
− 4x + 2 = 0
− 4x = − 2
1
x=
2
1
1
sol : x =
y=
2
4
y=−6
− 2 x + 3(− 6) = − 14
− 2 x − 18 = − 14
− 2x = 4
x=−2
sol : x = − 2
y= −6
EJERCICIO 180
1.
3x
+ y = 11
2
3x + 2 y = 22
2.
y
=7
2
2 x + y = 14
x+
3x + 2 y = 22 ;
2 x + y = 14
3x = 22 − 2 y
2 x = 14 − y
22 − 2 y
x=
3
14 − y
x=
2
2 (22 − 2 y ) = 3 (14 − y )
44 − 4 y = 42 − 3 y
− y=−2
5x
− y=9
12
5x − 12 y = 108
3y
= 15
4
; 4 x − 3 y = 60
;
5x = 108 + 12 y
108 + 12 y
x=
5
 108 + 12 y 
4
 − 3 y = 60


5
4 (108 + 12 y ) − 15 y = 300
432 + 48 y − 15 y = 300
33 y = − 132
4 x − 3 (− 4) = 60
y=2
2 x + 2 = 14
4 x + 12 = 60
4 x = 48
2 x = 12
x = 12
x=6
sol :
x=6
sol :
y=2
x−
x = 12
y= −4
y= −4
3.
x y
x
+ =5
; 3 y − = 26
7 3
14
3x + 7 y = 105 ; 42 y − x = 364
3x + 7 y = 105
− x + 42 y = 364
3x + 7 y = 105
− 3x + 126 y = 1. 092
133 y = 1.197
y= 9
3x + 7 (9) = 105
3x + 63 = 105
3x = 42
x = 14
sol : x = 14 y = 9
(3)
4.
x y
y x
=
= −1
;
5 4
3 3
y= x− 3
4 x = 5y
x− y= 3
4 x − 5y = 0
4 x − 5y = 0
x − y= 3
7.
11
x y
x y − 59
− =−
+ =
;
8 5
10
5 4 40
5x − 8 y = − 44 ; 8 x + 10 y = − 59
8 x + 10 y = − 59 ( 4)
8 x − 5( 4) = − 4
8x − 20 = − 4
8x = 16
x= 2
25x − 40 y = − 220
sol : x = 2 y = 4
5x − 8 y = − 44 (5)
(− 4)
4 x − 5y = 0
− 4 x + 4 y = − 12
32 x + 40 y = − 236
= − 456
57 x
− y = − 12
y = 12
x − 12 = 3
x = 15
sol : x = 15 y = 12
3x 1
− y= 2 ;
5 4
12 x − 5 y = 40
− 40 − 8 y = − 44
− 8y = − 4
5y
2
4 x = 5y
4 x − 5y = 0
(− 1)
12 x − 5y = 40
8.
− 7y
8
2 x 3y
1
5x
−
=1 ; y− = 2
6.
3
4
8
6
8 x − 9 y = 12 ; 3 y − 20 x = 48
8 x − 9 y = 12
(3)
8 x − 9 y = 12
− 60 x + 9 y = 144
= 156
x= −3
8 (− 3) − 9 y = 12
− 24 − 9 y = 12
− 9 y = 36
y= −4
sol : x = − 3 y = − 4
(5)
(− 6)
60 x + 25 y = − 30
− 60 x + 42 y = 432
x=
196 + 21y
4
67 y = 402
y= 6
10 x − 7 (6) = − 72
10 x − 42 = − 72
10 x = − 30
x= − 3
sol : x = − 3 y = 6
− 28 y = 1.568 + 168 y
− 196 y = 1. 568
4 (5) − 5 y = 0
20 − 5y = 0
− 5y = − 20
y= 4
sol : x = 5 y = 4
− 52 x
1
2
− 28 y = 8 (196 + 21y )
x=5
− 20 x + 3 y = 48
10 x − 7 y = − 72
y=
1
3y
x y
+ =0 ;
=7
x−
7 8
7
4
8 x + 7 y = 0 ; 4 x − 21y = 196
8x = − 7 y
4 x = 196 + 21y
x=
= − 40
12 x + 5 y = − 6
1
2
sol : x = − 8
4 x − 5y = 0
− 12 x + 5y = − 40
− 8x
12 x + 5y = − 6
5x 7 y
−
= − 12
3
6
10 x − 7 y = − 72
5 (− 8) − 8 y = − 44
2x =
4 x − 5y = 0
10. 12 x + 5 y + 6 = 0
x= −8
y=
5.
9. Continuación
y= −8
− 7 (− 8)
8
x= 7
sol : x = 7 y = − 8
x=
9.
2x + 1 y
=
5
4
; 2 x − 3y = − 8
4 (2 x + 1) = 5 y
8x + 4 = 5y
8x − 5y = − 4
2 x − 3y = − 8
(− 4)
8x − 5y = − 4
− 8 x + 12 y = 32
8x − 5y = − 4
7 y = 28
y=4
Continúa
x
11. = 3 ( y + 2)
5
x = 15( y + 2)
x = 15 y + 30
224
y
+ 3x =
5
5
y + 15x = 224
15x = 224 − y
224 − y
x=
15
15 (15 y + 30) = 224 − y
225 y + 450 = 224 − y
226 y = − 226
y= −1
x = 15(− 1) + 30
x = − 15 + 30
x = 15
sol : x = 15 y = − 1
12.
1
x y
x y 13
− =−
−
=
;
5 6
30
3 20 12
6x − 5y = − 1
; 20 x − 3y = 65
15.
(− 5)
20 x − 3y = 65
18 x − 15y = − 3
3y = 24
y=8
x = 2 (8) − 9
y=5
x= 7
sol : x = 4 y = 5
sol : x = 7 y = 8
x− 3 y− 4
−
=0 ;
3
4
x− 4 y+ 2
+
=3
2
5
4 ( x − 3) − 3( y − 4) = 0 ; 5( x − 4) + 2 ( y + 2) = 30
4 x − 12 − 3 y + 12 = 0
4 x − 3y = 0
16.
; 5x − 20 + 2 y + 4 = 30
5x + 2 y = 46
5x + 4 y = − 1
x
23y = 184
y=8
y=8
18 ( x − 1) − 12 ( y − 1) = − 13
18 x − 12 y = − 7
18 x − 12 y = − 7
2 x − 3y = − 3 (− 4)
18x − 12 y = − 7
− 8 x + 12 y = 12
; 2 x + 2 − 3y − 3 = − 4
2 x − 3y = − 3
17.
x+ y x− y
=
6
12
;
2 (x + y) = x − y ;
1
2
x = − 3 (− 1)
y= −1
x= 3
− 3y = − 4
sol : x = 3 y = − 1
y=
y=
4
3
2x
= y+3
3
2 x = 3 ( y + 3)
2x + 2 y = x − y ;
2 x = 3y + 9
x + 3y = 0
; 2 x − 3y = 9
x = − 3y
− 6 y − 3y = 9
− 9y = 9
 1
2   − 3y = − 3
 2
sol :
x+1 y+1
2
−
=−
3
2
3
2 (− 3 y) − 3 y = 9
=5
4
3
1
x=
2
=−9
− 36 + 3y = − 3
3y = 33
y = 11
sol : x = − 9 y = 11
x−1 y−1
13
−
=−
;
2
3
36
x=
(− 3)
4 (− 9) + 3y = − 3
3(8)
x=
4
x=6
10x
( 4)
16x + 12 y = − 12
− 15x − 12 y = 3
15y + 8 y = 184
14.
3y + 3
1 + 5x
y= −
;
4
4
4 x = − 3y − 3 ;
4 y = − 1 − 5x
4 x + 3y = − 3
4 y + 5x = − 1
x= −
4 x + 3y = − 3
3y
4
 3y 
5   + 2 y = 46
 4
sol : x = 6
2x − 8 = y − 2
2x − y = 6
4 y − 18 − y = 6
6 ( 4) − 5 y = − 1
− 5 y = − 25
x=
;
x− 4 y− 2
=
5
10
2 (2 y − 9) − y = 6
= − 328
x= 4
13.
x + 1= 2 y − 8
x − 2y = − 9
x = 2y − 9
− 100 x + 15y = − 325
− 82 x
;
x + 1 = 2 ( y − 4) ; 2 ( x − 4 ) = y − 2
( 3)
6x − 5y = − 1
x+1 y− 4
=
10
5
y−3
=6
5
15x − y + 3 = 30
18. 3x −
20.
15x − y = 27
xy − 4 y = xy − 6 x
6x − 4 y = 0
5
11
−
=0
x− 3 y−1
3x − 4 x − 2 y = − 28 + 2
27 + y
15
x + 2 y = 26
5 ( y − 1) − 11( x − 3) = 0
3x − y 3 y − x
−
= y − 13
8
6
x−2
=9
3y −
7
21y − x + 2 = 63
5 y − 5 − 11x + 33 = 0
11x − 5 y = 28
3 (3x − y ) − 4 (3 y − x ) = 24 ( y − 13)
− x + 21y = 61
13x − 15 y − 24 y = − 312
− x = 61 − 21y
x + 2y =
27 + y = 15 (21y − 61)
26
30 x − 20 y = 0
− 44 x + 20 y = − 112
− 13x − 26 y = − 338
− 314 y = − 942
− 14 x
13x − 39 y = − 312
y=3
− 65 y = − 650
27 + 3
15
x=2
sol : x = 2
x + 2 (10) = 26
x + 20 = 26
y=3
x=6
x+ y y− x 7
−
=
6
3
24
sol : x = 6 y = 10
4 (x + y) − 8 ( y − x) = 7
4 x + 4 y − 8 y + 8x = 7
12 x − 4 y = 7
x x− y 5
+
=
2
6
12
6x + 2 x − 2 y = 5
8x − 2 y = 5
8x − 2 y = 5
(− 2 )
12 x − 4 y = 7
− 16 x + 4 y = − 10
− 4x
=−3
x=
3
4
 3
12   − 4 y = 7
 4
9− 4y = 7
− 4y = − 2
sol :
12 −
3x − 2 y
= 3y + 2
6
72 − 3x + 2 y = 6 (3 y + 2)
6 x + 2 ( x − y) = 5
12 x − 4 y = 7
21.
1
y=
2
3
1
x=
y=
4
2
− 3x + 2 y − 18 y = 12 − 72
3x + 16 y = 60
5 y − 3x
= x− y
3
5 y − 3x = 3 ( x − y )
− 3x − 3x + 5 y + 3 y = 0
6x − 8 y = 0
3x + 16 y = 60
6x − 8 y = 0
( 2)
3x + 16 y = 60
12 x − 16 y = 0
15x
= 60
x=4
6 (4) − 8 y = 0
− 8 y = − 24
y=3
sol : x = 4 y = 3
= − 112
x=8
11(8) − 5 y = 28
− 5 y = 28 − 88
− 5 y = − 60
y = 12
sol : x = 8 y = 12
y = 10
x=
(− 4)
11x − 5 y = 28
(− 13)
13x − 39 y = − 312
27 + y = 315 y − 915
(5)
6x − 4 y = 0
13x − 39 y = − 312
x = 21y − 61
19.
22. y ( x − 4) = x ( y − 6)
x − 2 − 2 ( y − x ) = 4 ( x − 7)
15x = 27 + y
x=
x−2 y− x
−
= x−7
4
2
23.
3 ( x + 3 y ) 21
=
5x + 6 y 17
51( x + 3 y) = 21(5x + 6 y)
51x + 153 y = 105x + 126 y
− 54 x + 27 y = 0
2x − y = 0
4x − 7 y
=−2
2y + 1
4 x − 7 y = − 2 (2 y + 1)
4x − 7 y = − 4 y − 2
4 x − 3y = − 2
2x − y = 0
(− 2)
4 x − 3y = 2
− 4x + 2 y = 0
4 x − 3y = − 2
y=2
2x − 2 = 0
2x = 2
x=1
sol : x = 1 y = 2
24.
7
7
=−
2 x − 3y + 6
3x − 2 y − 1
26.
7 (3x − 2 y − 1) = − 7 (2 x − 3 y + 6)
x− y= −1
6
10
=
x− y+ 4 y+ 2
5x − 8 y = − 14
98 x
x − y = − 1 (− 8)
− 8x + 8 y = 8
5x − 8 y = − 14
− y= −3
y= 3
sol : x = 2 y = 3
x+ y+1 3
=
x+ y−1 4
4 ( x + y + 1) = 3( x + y − 1)
4 x + 4 y + 4 = 3x + 3 y − 3
x+ y= − 7
8x − 6 y = 0
x + y = − 7 (6)
8x − 6 y = 0
6 x + 6 y = − 42
14 x
= − 42
x= −3
− 3+ y = − 7
y= − 4
sol : x = − 3 y = − 4
x + y − 1 = − 15 ( x − y + 1)
x + y − 1 = − 15x + 15 y − 15
27.
16 x − 14 y = − 14
(3)
8x − 7 y = − 7
10 x − 7 y = 7
= 49
10 x − 7 y = 7
1
2
− 8x + 7 y = 7
1
− 6y = − 1
2
1 − 12 y = − 2
− 12 y = − 3
1
y=
4
1
1
sol : x = y =
2
4
=−6
x=2
2− y= −1
x + y = − 7x + 7 y
10x − 7 y = 7
x+ y−1
= − 15
x− y+1
2 x − 12 y = − 2
96 x + 12 y = 51
x=
− 3x
8x − 6 y = 0
20 x − 14 y = 14
x − 6 y = − 1 ( 2)
32 x + 4 y = 17
x + y = − 7 (x − y)
17 x − 17 y − 17 = − 3x − 3 y − 3
8 y − 8 x − 24 x − 12 y = − 17
32 x + 4 y = 17
6 y + 12 = 10 x − 10 y + 40
− 28 = 10 x − 16 y
− 14 = 5x − 8 y
x+ y
=−7
x− y
17 ( x − y − 1) = − 3( x + y + 1)
8 ( y − x ) − 12 (2 x + y ) = − 17
6 ( y + 2) = 10 ( x − y + 4)
25.
x
3 y 33
− 8=
−
4
2
4
x − 32 = 6 y − 33
x − 6y = − 1
y − x 2x + y
17
−
=−
3
2
24
21x − 14 y − 7 = − 14 x + 21y − 42
35x − 35y = − 35
x− y−1
3
=−
x+ y+1
17
28.
x− 2 y−7
=
x+ 2 y−5
( y − 5)(x − 2) = ( y − 7)(x + 2)
xy − 2 y − 5x + 10 = xy + 2 y − 7 x − 14
2 x − 4 y = − 24
x − 2 y = − 12
x = − 12 + 2 y
x+1 y− 3
=
x−1 y−5
( y − 5)(x + 1) = (x − 1)( y − 3)
xy + y − 5x − 5 = xy − 3x − y + 3
− 2x + 2 y = 8
− x+ y=4
x= y−4
− 12 + 2 y = y − 4
y=8
x = 8− 4
x=4
sol : x = 4 y = 8
(− 1)
8x − 7 y = − 7
2x
= 14
x= 7
10 ( 7) − 7 y = 7
− 7 y = − 63
y=9
sol : x = 7 y = 9
29.
6x + 9 y − 4 2
=
4x − 6y + 5 5
5 (6 x + 9 y − 4) = 2 (4 x − 6 y + 5)
30x + 45 y − 20 = 8 x − 12 y + 10
22 x + 57 y = 30
2 x + 3y − 3 6
=
3x + 2 y − 4 11
11(2 x + 3y − 3) = 6 (3x + 2 y − 4)
22 x + 33 y − 33 = 18x + 12 y − 24
4 x + 21y = 9
22 x + 57 y = 30
4 x + 21y = 9
44 x + 114 y = 60
− 44 x − 231y = − 99
− 117 y = − 39
y=
1
3
 1
4 x + 21  = 9
 3
4x + 7 = 9
4x = 2
1
x=
2
1
1
sol : x =
y=
2
3
( 2)
(− 11)
30.
3x + 2 y
=−9
x + y − 15
32.
23(3x + 4 y ) = − 30 ( x − 6 y )
3x + 2 y = − 9 ( x + y − 15)
69 x + 92 y = − 30x + 180 y
3x + 2 y = − 9 x − 9 y + 135
12 x + 11y = 135
99 x − 88 y = 0
37 (9 x − y ) = − 63(3 + x − y )
32 x − 15 y + 15 = − 24
32 x − 15y = − 39
333x − 37 y = − 189 − 63x + 63 y
396 x − 100 y = − 189
(− 3)
9x − 8y =
96 x + 88 y = 1. 080
− 96x + 45y = 117
396 x − 100 y = − 189
− 396 x + 352 y =
133 y = 1.197
y= 9
9x = − 6
sol : x =
x−
−2
3
−2
−3
y=
3
4
4x + 1 2 y − 5
=
9
3
9 x − (4 x + 1) = 3(2 y − 5)
9 x − 4 x − 1 = 6 y − 15
5x − 6 y = − 14
3 y + 2 x + 18
=
y−
7
10
70 y − 10 (3 y + 2) = 7 ( x + 18)
y + 62 − 2 (1 − x ) = 80
y − 2 + 2 x = 18
(− 1)
2 x + 17 y = − 940
− 2 x − y = − 20
16 y = − 960
y = − 60
2 x − 60 = 20
2 x = 80
x = 40
sol : x = 40
33.
70 y − 30 y − 20 = 7 x + 126
− 146 = 7 x − 40 y
7 x − 40 y = − 146 (− 5)
5x − 6 y = − 14
− 35x + 200 y = 730
35x − 42 y = − 98
158 y = 632
y= 4
5x − 6 ( 4) = − 14
5x = − 14 + 24
y = − 60
x= 2
sol : x = 2 y = 4
+ by = b 2 + 2b
2 y + by = b 2 + 2b
y (2 + b) = b (b + 2)
2x + b = b + 2
2x = 2
x=1
sol : x = 1
9x + 6 = 0
2 x + 5 − 17 (5 − y ) = − 1. 020
y + 62
− (1 − x ) = 40
2
2bx
y=b
 − 3
9x − 8
 =0
 4 
2x + 5
− (5 − y ) = − 60
17
2 x − 85 + 17 y = − 1. 025
2 x + 17 y = − 940
(− 44)
2bx + by = b 2 + 2b
bx − y = 0
− 2bx + 2 y = 0
− 2bx + 2 y
=0
−3
y=
4
x=
20
0
252 y = − 189
12 x + 11(9) = 135
12 x = 135 − 99
12 x = 36
x=3
sol : x = 3 y = 9
2x + y =
0
2x + y = b + 2
2.
396 x − 100 y = − 189
(8)
32 x − 15 y = − 39
2 x + y = 20
2 x + 17 y = − 940
x =a
a +y=a +b
y=b
sol: x = a y = b
9x − y
63
=−
3+ x − y
37
32 x − 15( y − 1) = − 24
31.
1. x + y = a + b ; x − y = a − b
x+y=a+b
x−y=a−b
9x − 8y = 0
4 x 5( y − 1)
−
= −1
3
8
12 x + 11y = 135
EJERICIO 181
3x + 4 y
30
=−
23
x − 6y
( 7)
y=b
3. 2x − y = 3a ;
x − 2y = 0
− 2x + 4y = 0
2x − y = 3a
− 2x + 4y = 0
3y = 3a
y=a
2x − a = 3a
2x = 4a
x = 2a
sol: x = 2a y = a
4. x − y = 1− a ; x + y = 1+ a
x − y = 1− a
x + y = 1+ a
=2
x =1
1+ y = 1+ a
y=a
sol: x = 1 y = a
2x
x
x
5. a + y = 2b ; b − y = a − b
x + ay = 2ab ; x − by = ab − b 2
=
2ab
x + ay
−x
+ by = b 2 − ab
=0
abx − b2 y
− abx
− aby = − a − b
− b 2 y − aby = − (a + b)
− yb (b + a ) = − (a + b)
y (a + b) = b (b + a )
y=b
x + ab = 2ab
x = ab
sol : x = ab
y=b
− yb = − 1 ⇒ y =
ax = 1 ⇒ x =
sol : x =
abx + b 2 y = 2ab 2
2
− abx
− mnx + n y
y = m− n
ax + ba = 2ab
n 2 x + mny =
m2 x + n 2 x
x = m+ n
sol : x = m + n
− ax − ay = − a 2 − ab
ax + by = a 2 + b 2
− ay = − a
10.
− ab
2
= a 2 + b2
by − ay =
b 2 − ab
y (b − a ) = b (b − a )
y = m− n
x y
+ = 2m
;
m n
2
xn + ym = 2m n
xmn + ym2
− xmn
mx − ny = m3 − mn 2
xmn − n2 y = m3n − mn 3
=
2m3n
+ n y = mn − m3n
2
3
ym2 + yn2 = mn3 + m3n
y=b
y (m2 + n2 ) = mn (n2 + m2 )
x+b=a+b
x=a
sol : x = a
= m3 + mn 2 + m2 n + n 3
x (m2 + n 2 ) = (m + n)(m2 + n 2 )
x+ y=a+b
ax + by
m2 n + n 3
x (m2 + n 2 ) = m (m2 + n 2 ) + n (m2 + n 2 )
x + b = 2b
x=b
sol : x = b y = a
− ax
+ mn 2
− mny = m3 + mn 2
m2 x
a ( x + b) = 2ab
y = mn
y=b
− n3
y (m2 + n 2 ) = (m2 + n 2 )(m − n)
2
y= a
− m2 n
y (m2 + n 2 ) = m2 (m − n) + n 2 (m − n)
y (b − a ) = a (b − a )
7.
=
n 2 y + m2 y = m3 − m2n + mn 2 − n 3
b2 y − a 2 y = − a 3 + ab 2
2
mnx + m2 y = m3 + mn 2
3
+ m2 y = m3
mnx
2ab 2
2
nx + my = m2 + n 2
;
2
2
− a 2 y = − a 3 − ab 2
2
2
mnx − n y = m n + n
2
− abx − a 2 y = − a 3 − ab 2
1
a
1
1
y=
a
b
9. mx − ny = m + n
x y a 2 + b2
+ =
a b
ab
bx + ay = a 2 + b 2
=
1
b
 1
ax − b   = 0
 b
x y
+ =2
b a
ax + by = 2ab
abx + b2 y
x+ y=
abx − b 2 y = 0
ay + by = b 2 + ab
6.
a+b
ab
abx + aby = a + b
ax − by = 0 ;
8.
xn + m n = 2m n
2
2
xn = m2 n ⇒ x = m2
sol : x = m2 y = mn
11. x + y = a
− a x − a y = − 2a c
2
ax + ay = a
2
ax − by = a (a + b) + b
− 2a 2 c
2
3
− 2a 2 y = 2 a 3 − 2 a 2 c
= − a2
ax
− by = a + ab + b
2
− ay − by =
− 2a 2 y = 2a 2 (a − c)
2
− y= a− c
y = c− a
x + c − a = 2c
x− a= c ⇒ x= c+ a
sol : x = a + c
y= c− a
ab + b2
− y (a + b) = b (a + b)
− y=b
y= −b
x−b= a
15.
x= a+b
ax − by = 0
;
b 2 ax − b 3 y = 0
y= −b
− b ax + a by
2
a 2by − b 3 y = a 2 − b 2
− ny = m
mx
−n
2
by (a 2 − b 2 ) = a 2 − b 2
by = 1
1
y=
b
2
= − m2 + mn
my − ny =
mn − n 2
 1
ax − b   = 0
 b
y (m − n) = n (m − n)
y=n
13.
x − n = m− n
x=m
sol : x = m
y=n
x y
+ =0
a b
bx + ay = 0
x 2 y 2b − a
+
=
b a
ab
ax + 2by = 2b2 − a 2
− abx
2
;
− a2 y = 0
abx + 2b2 y
= a 2 − b2
2
12. x − y = m − n
mx − my = m2 − mn
a 2 − b2
ab
a 2by − b 2ax = a 2 − b 2
ay − bx =
− b3 y = 0
b 2 ax
− mx + my
; a 2 x − a 2 y = 2a 3
2
a x − a y = 2a
2
− ax − ay
x= a+b
2
− a2 x − a2 y =
2
ax − by = a 2 + ab + b 2
sol :
; a 2 ( x − y ) = 2a 3
x + y = 2c
14.
= 2b 3 − a 2b
2b2 y − a 2 y = 2b 3 − a 2b
y (2b 2 − a 2 ) = b (2b 2 − a 2 )
2
ax = 1
1
x=
a
1
1
sol : x =
y=
a
b
x y
16.
+ =a+b
;
b2 a 2
a 2 x + b 2 y = a 3b2 + a 2b 3 ;
bx = − ab
x= −a
sol : x = − a
y=b
x − y = ab 2 − a 2b
a x − a 2 y = a 3b2 − a 4b
2
− a 2 x − b2 y
= − a 3b2 − a 2b3
− a y = a 3b2
2
2
a x
− b2 y − a 2 y =
− a 4b
− a 2b 3 − a 4b
− y (a 2 + b 2 ) = − a 2b (b2 + a 2 )
− y = − a 2b
y=b
x b
+ =0
a b
bx + ab = 0
x − y = ab (b − a )
y = a 2b
2
x ab
=a+b
+
b2 a 2
3
x + b = ab2 + b3
x = ab2
sol : x = ab 2 y = a 2b
m3 − n 3
nx + my = m + n
;
mx − ny =
17.
mn
m2 nx + m3 y = m3 + m2 n m2 nx − mn2 y = m3 − n 3
− m nx − m y
2
3
bx + b 2 + ay − ab = a 2 + ab
2
− mn2 y = m3
m2 nx
b ( x + b) + a ( y − b) = a (a + b)
=−m −m n
3
− m y − mn y =
3
abx + ab2 + a 2 y − a 2b = a 3 + a 2b
− n3
− m n− n
2
2
− abx − ab 2 − a 2 y = − a 3 − 2a 2b
x−a y−a
a+b
−
=−
b
a
a
3
− ym (m + n ) = − n (m + n )
2
2
2
x+b y−b a+b
+
=
a
b
b
19.
2
ym = n
a ( x − a ) − b ( y − a ) = − b (a + b)
n
m
abx − a 2b − b 2 y + b 2 a = − b 2 a − b 3
y=
ax − a 2 − by + ba = − ba − b 2
 n
nx + m   = m + n
 m
abx − a 2b − b 2 y = − 2b 2 a − b 3
− abx − ab 2
nx + n = m + n
−a b
abx
nx = m
− a2 y
ab 2 + a 2b + a 3 + b3 = a 2 y + b 2 y
b 2 (a + b) + a 2 (b + a ) = y (a 2 + b 2 )
(b + a )(a + b) = y (a + b )
2
ax + bx − ay + by = ab − b
bx + b 2 + a 2 = a 2 + ab
bx = ab − b 2 ⇒ bx = b (a − b) ⇒ x = a − b
− ax + bx + ay + by = − b 2 + 3ab
ax + bx − ay + by = − b + ab
2
sol : x = a − b y = a + b
+ 2by = − 2b2 + 4ab
x + y = 2a − b
ax − bx − ay − by = b2 − 3ab
ax + bx − ay + by = − b + ab
2
− 2ay
=
− 2ab
20.
x
y
1
+
=
a + b a + b ab
− a 2by = − a 2
a bx + ab y
2
− y= − a
y=a
sol :
x= a−b y=a
=
2
ab 2 y − a 2by =
− ab
a2 + b2
b 2 − ab
ayb (b − a ) = b (b − a )
ayb = b
ay = 1
x− y= −b
a−b− y= −b
2
− a 2bx
x + y = 2a − b
x=a−b
a 2bx + ab 2 y = a 2 + b 2
− a bx − a by = − a − ab
2
2a (x − y ) = − 2ab
= 2 (a − b)
x y a 2 + b2
+ = 2 2
b a
a b
;
abx + aby = a + b
2
x− y= −b
2x
2
b ( x + b) + a 2 = a (a + b)
2
2
2b ( x + y ) = 2b (2a − b)
2
x+b a+b−b a+b
+
=
a
b
b
ax − bx − ay − by = b2 − 3ab
(a + b) x − (a − b) y = ab − b
2
a+b= y
18. (a − b) x − (a + b) y = b2 − 3ab
2ax
− 2b 2 a − b 3
2
− ab 2 − a 2b − a 2 y − b 2 y = − a 3 − 2a 2b − 2b 2 a − b 3
m
x=
n
m
n
sol : x =
y=
n
m
2bx
= − a 3 − 2a 2b
−b y=
2
y=
1
a
 1
abx + ab   = a + b
 a
abx + b = a + b
abx = a ⇒ bx = 1 ⇒ x =
sol : x =
1
b
y=
1
a
1
b
EJERCICIO 182
1.
1 2 7
2 1 4
+ =
+ =
;
x y 6
x y 3
2 4
7
− − =−
x y
3
2 1
4
+ =
x y
3
−3
= −1
y
3=y
2 1 4
+ =
x 3 3
6 + x = 4x
6 = 3x ⇒ 2 = x
sol: x = 2 y = 3
2.
3 2 1
2 5 23
;
− =
+ =
x y 2
x y 12
6 4
− + = −1
x y
6 15 23
+
=
x y
4
19 19
=
y
4
4=y
3 2 1
− =
x 4 2
6−x= x
6 = 2x
3=x
sol: x = 3 y = 4
3.
5 4
7 6
+ =7 ;
− =4
x y
x y
15 12
+
= 21
x
y
14 12
−
=8
x
y
29
x
= 29
1= x
5 4
+ =7
1 y
5y + 4 = 7 y
4 = 2y
2=y
sol: x = 1 y = 2
4.
12 5
13 18 7
19
;
+ =−
+ =−
x y
x y
2
2
36 15 39
−
−
=
x
y
2
36 14
38
+
=−
x
y
2
1
1
=
y
2
−2=y
36 − 7x = − 19x
12x = − 36
x=−3
sol: x = − 3 y = − 2
−
9 3
5 4
5. + = 27 ; + = 22
x y
x y
3 1
+ =9
x y
12 4
−
− = − 36
x y
5 4
+ = 22
x y
7
−
x
6. Continuación
4 11
+ = 50
x 1
4
4
+ 44 = 50
x
4 + 44x = 50x
4 = 6x
2
=x
3
2
1
sol: x =
y=
3
4
7.
41
x
1
=x
2
6 8
4 11
6. x − y = − 23 ; x + y = 50
12 16
−
+
= 46
x
y
12 33
+
= 150
x
y
49
= 196
y
1
=y
4
Continúa
= − 41
− 1= x
7 15
− −
=−4
1 y
− 7y − 15 = − 4y
− 15 = 3y
−5=y
sol: x = − 1 y = − 5
= − 14
5 4
4
+ = 22 ⇒ 10 + = 22
1 y
y
2
10y + 4 = 22y
4 = 12y
1
=y
3
1
1
sol: x =
y=
2
3
9 10
7 15
+
= − 11 ;
−
=−4
x y
x y
27 30
+
= − 33
x
y
14 30
−
=−8
x
y
8.
1 3 3
1 5
4
− =
+
=−
;
2x y 4
3
x 2y
1
3 3
−
=
2x y 4
1
5 2
−
−
=
2x 4 y 3
−
17 17
=
4 y 12
− 12 = 4 y
− 3= y
1
5
4
+
=−
3
x 2 (− 3)
6 − 5x = − 8 x
3x = − 6
x= −2
sol : x = − 2 y = − 3
2
1
11
1
3
4
9. 5x − 3 y = − 45 ; 10 x − 5 y = 5
−
2
1 11
+
=
10 x 6 y 90
2
6 8
−
=
10 x 5 y 5
3 7 2
1 8 103
10. x − 3 y = 3 ; 4 x + y = 84
3
7
1
−
=
4 x 12 y 6
3
24
309
−
−
=−
4x
84
y
31 31
=
30 y 18
− 18 = 30 y
3
− =y
5
1
3
4
=
+
10 x
 3 5
5 
 5
3 + 30 x = 24 x
−
− 295 − 295
=
12 y
84
y=7
3
7
2
−
=
x 3 ( 7) 3
9 − x = 2x
6x = − 3 ⇒ x = −
x=−
sol :
1 1
1 1
+ =a ; − =b
x y
x y
1 1
+ = a
x y
1 1
− + =−b
x y
12.
sol : x = 3 y = 7
1
3
y=−
2
5
13.
2
2
= a−b ⇒
=y
y
a−b
1
1
−
=b
2
x
a−b
2 3b 2 − 3a
a b
−
=
+ =2
;
x y
a
x y
2a 3ab
−
= 2 − 3a
x
y
2a 2b
−
−
=−4
x
y
2 − x (a − b) = 2bx
2 − ax + xb = 2bx
− ax = bx − 2
− ax − bx = − 2
x (a + b) = 2 ⇒ x =
sol : x =
2
a+b
3
1 107
6
1 14
+
=
+
=
;
10 x 3y 60
5x 4 y 5
3
2 107
+
=
5x 3 y 30
3
1
7
−
−
=−
5x 8 y
5
13 13
=
24 y 6
1
=y
4
6
1
14
+
=
5x
 1 5
4 
 4
6 + 5x = 14 x
9 = 3x
3= x
1
2
11.
b (− 3a − 2)
= − 3a − 2
y
b= y
a b
+ =2
x b
a + x = 2x
a= x
sol : x = a y = b
6 = 9x
2
=x
3
2
1
sol : x =
y=
3
4
2 2 m+ n m n
14. x + y = mn ; x − y = 0
2n 2n m + n
+
=
x
y
m
2m 2n
−
= 0
x
y
2 (m + n) m + n
=
x
m
2m = x
m n
− =0
2m y
y − 2n = 0
y = 2n
sol : x = 2m y = 2n
2
2
y=
a+b
a−b
EJERCICIO 183
4
1. 2
5
3
2
2. 3
3.
5
−2 −8
2 ⋅ 5 − 3 ⋅ 7 = 10 − 21= − 11
6.
9 − 11
9 ⋅ 7 − (− 11)(− 3) = 63 − 33 = 30
−3 7
5
4
3
9
5 −2
5(− 8) − (− 3)(− 2) = − 40 − 6 = − 46
5.
−2
7
4.
7
5 −3
4 ⋅ 3 − 2 ⋅ 5 = 12 − 10 = 2
− 2 ⋅ 3 − 4 ⋅ 5 = − 6 − 20 = − 26
7.
7 (− 2) − 9 ⋅ 5 = − 14 − 45 = − 59
8.
− 15 − 1
− 15⋅ 2 − 13(− 1) = − 30 + 13 = − 17
13
2
12 − 1
12 (− 9) − (13) (− 1) = − 108 + 13 = − 95
13 − 9
10 3
9. 17 13 10 ⋅13 − 3 ⋅17 = 130 − 51= 79
11.
8
−3
2
8 (0) − 2 (− 3) = 0 + 6 = 6
0
10.
12.
−5
−8
− 19 − 21
(− 5)(− 21) − (− 8)(− 19) = 105 − 152 = − 47
31 − 85
31⋅ 43 − (− 85)(− 20) = 1. 333 − 1. 700 = − 367
− 20 43
EJERCICIO 184
4. 15x − 44y = − 6
1. 7x + 8y = 29
5x + 11y = 26
− 27x + 32y = − 1
29 8
26 11 319 − 208 111
=
=
=3
x=
7
8
77 − 40
37
5 11
7
5
y=
7
5
29
26 182 − 145 37
=
=
=1
8
37
37
11
sol: x = 3
y =1
2. 3x − 4y = 13
8x − 5y = − 5
13
− 5 − 15 − 104 − 119
=
=
= −7
−4
17
17
−5
sol: x = − 5
y= −7
3. 13x − 31y = − 326
25x + 37y = 146
− 326 − 31
146 37
x=
− 31
13
25
37
x=
− 12 . 062 + 4 . 526 − 7 . 536
=
= −6
481+ 775
1. 256
13
25
y=
13
25
x=
− 192 − 44 − 236 1
=
=
480 − 1.188 − 708 3
15 − 6
− 27 − 1
y=
15 − 44
− 27 32
− 15 − 162 − 177 1
=
=
− 708
− 708 4
1
1
sol: x =
y=
3
4
y=
13 − 4
− 5 − 5 − 65 − 20 − 85
=
=
=−5
x=
3 −4
− 15 + 32 17
8 −5
3
8
y=
3
8
− 6 − 44
−1
32
x=
15 − 44
− 27 32
− 326
146
− 31
37
1. 898 + 8 .150 10 . 048
=
=8
y=
1. 256
1. 256
sol: x = − 6 y = 8
5. 8x = − 9y
8 x + 9y = 0
7
2x + 5 + 3y =
2
4x + 10 + 6y = 7
4 x + 6y = − 3
0
−3
x=
8
4
x=
9
6
9
6
0 + 27 27 9
=
= = 2 41
48 − 36 12 4
8
4
y=
8
4
0
−3
9
6
− 24 − 0 − 24
=
=−2
12
12
1
sol: x = 2 4
y=−2
y=
6. ax − by = − 1
ax + by = 7
−1 − b
7 b
x=
a −b
a
b
x=
− b + 7b 6b 3
=
=
ab + ab 2ab a
−1
7
−b
b
a
a
y=
a
a
7a + a 8a 4
=
=
2ab
2ab b
3
4
sol: x =
y=
a
b
y=
7. 3x − ( y + 2) = 2 y + 1
3x − y − 2 = 2 y + 1
3x − 3 y = 3
x− y=1
5 y − ( x + 3) = 3x + 1
5 y − x − 3 = 3x + 1
− 4 x + 5y = 4
−1
1
x=
4
1
−4
5
5+ 4
=9
x=
−1
5− 4
5
1
1
−4 4
4+ 4
=8
y=
y=
1 −1
1
−4 5
sol : x = 9
y=8
8. ax + 2y = 2
ax
− 3y = − 1
2
ax − 6y = − 2
2
a
a − 2 − 2a − 2a − 4a 1
=
=
=
y=
2
a
− 8a
− 8a 2
a −6
9.
− 12 x + 5 y − 7 = 0
37
− 12 x + 5y = 7
x=
− 67
x=
5
− 25 + 21 − 4
=
= −1
40 − 36
4
sol: x = − 8
y = − 12
2a
x=
3
a2
a
1
a2
3
3a + 1
2a
a
1
2
6a − 3a − 1
a (3a − 1)
y= −1
x + y = 4 ( x − y)
x + y = 4x − 4 y
− 3x + 5 y = 0
−2
x− y−1 1
=
x+ y+1 9
y=
1
a
2 (6 + m)
sol : x = 2
9x − 9 y − 9 = x + y + 1
8 x − 10 y = 10
4 x − 5y = 5
5
0
m 2 (m + 1)
y=
−2
3
4
m
y=
3a − 1
1
=
a (3a − 1) a
9 ( x − y − 1) = x + y + 1
20 + 4 (m + 1) 4 (6 + m)
=
=2
12 + 2m
2 (6 + m)
6 (m + 1) − 5m
63
x+ y
=4
x− y
14.
mx + 4 y = 2 (m + 1)
3
=
5
12. 3x − 2 y = 5
x=
2
3a 3 + a 2 − 2a 2 a (3a − 1)
=
=a
x=
3a 2 − a
a (3a − 1)
1
y=
3
− 67
sol : x = − 1
a
37
3. 604 + 2 . 479
=7
y=
869
sol : x = 5 y = 7
2 (m + 1) 4
x=
−2
3
4
m
x
+ ay = 2
a
x + a 2 y = 2a
2 . 331 + 2 . 014 4 . 345
=
=5
2 .142 − 1. 273
869
34
56 − 60 − 4
=
= −1
y=
40 − 36 4
5
10. 3x + ay = 3a + 1
63
− 67 106
y=
34 − 19
8 −5
− 12
− 19
106 63
x=
34 − 19
7
5
8 −3
− 12 7
y=
8 −3
sol : x = a
63 y − 4 x − 1 = 63x + 105
− 67 x + 63 y = 106
5 y − 25 − 12 x + 18 = 0
− 12
4x + 1
= 3x + 5
21
63 y − (4 x + 1) = 21(3x + 5)
5 ( y − 5) − 6 (2 x − 3) = 0
− 48 2
0 − 2 96 − 0
96
=
=
=−8
x=
3
2 − 6 − 6 − 12
3 −2
y=
3y −
y − 5 2x − 3
−
=0
6
5
x=
a
34 x − 19 y = 37
8x − 3y = − 5
x y
+ =−4
4 6
3x + 2y = − 48
x y
−
=0
8 12
3x − 2y = 0
2y + 3
= y+2
17
34 x − 2 y − 3 = 17 y + 34
8x − 3 y + 25 = 20
−5 −3
3 − 48
3
0 0 + 144
=
= − 12
y=
3
2
− 12
3 −2
2x −
34 x − (2 y + 3) = 17 ( y + 2)
8 x + 16 − 3 y + 9 = 20
1
1
y=
2
a
3a + 1
13.
8 ( x + 2) − 3 ( y − 3) = 20
2 2
−2 −6
− 12 + 4
−8 1
=
=
=
x=
2
a
− 6a − 2a − 8a a
a −6
sol: x =
x+2 y−3 5
−
=
3
8
6
11.
5
5 −5
0 − 25 − 25
=
=
=5
x=
− 3 5 15 − 20 − 5
4 −5
m+ 6
1
=
=
2 (6 + m) 2
1
y=
2
−3 0
y=
4 5
− 15 − 0
=
=3
−3 5
−5
4 −5
sol : x = 5
y= 3
x + 9 y + 21
16. x − 9 = y + 39
(x + 9)( y + 39) = ( x − 9)( y + 21)
15. x − y = 2b
xy + 39 x + 9 y + 351 = xy + 21x − 9 y − 189
18 x + 18 y = − 540
x
y
+
=2
a+b a−b
x (a − b) + y (a + b) = 2 (a 2 − b 2 )
x=
x=
y=
2b
−1
1
a−b
−1
a+b
x + y = − 30
x + 8 y + 19
=
x − 8 y + 11
2 (a 2 − b2 ) a + b
( y + 11)( x + 8) = ( y + 19)(x − 8)
xy + 8 y + 11x + 88 = xy − 8 y + 19 x − 152
− 8 x + 16 y = − 240
2b (a + b) + 2 (a 2 − b2 ) 2a (b + a)
=
= b+ a
2a
a+b+ a−b
1
2b
a−b
a+b
− x + 2 y = − 30
− 30
− 30
x=
1
−1
a − b 2 (a 2 − b2 )
−1
1
1
2
− 60 + 30 − 30
=
=
= − 10
1
2+1
3
2
1 − 30
− 1 − 30 − 30 − 30 − 60
=
=
= − 20
y=
1
1
3
3
2
−1
2 (a 2 − b 2 ) − 2b (a − b) 2a (a − b)
=
=a−b
2a
2a
sol : x = a + b y = a − b
y=
sol : x = − 10
y = − 20
EJERCICIO 185
1. x − y = 1
x = 0 y = −1
y=0 x= 1
x+y=7
x=0
y=7
y=0
x=7
2. x − 2y = 10
2x + 3y = − 8
x=0 y=−5
x=0
y=0
y=0 x=−4
x = 10
y = − 2 23
x
+
y
=
7
=
1
+
3y
(4,3)
2x
x
-y
=
x
=
y
-2
10
-8
(2,-4)
sol :
x=4
y=3
sol :
x=2
Y=-4
3. 5x − 3y = 0
x=3 y=5
5. 3x + 4 y = 15
7 x − y = − 16
x = 0 y = 16
x=5
x=1
5x
=
y
-3
3x
+
0
4y
=
15
(1,3)
7x y=
-16
y = 0 x = − 2 27
Escala 1:2
2x + y = 5
x= 0 y=5
x= 2 y=1
y= 0
y=3
+
2x
y=
(-3,-5)
5
sol : x = - 3
4. 3x = − 4y
3x + 4y = 0
x=4 y=−3
3x
+
sol :
5x − 6y = 38
x=−2 y=−8
y=−3 x=4
x=1
0
5x +
2y =
16
5x
4 x + 3 y = 10
x=−2 y=6
x=1
y=2
x=2 y=3
x=4 y= −2
(4,-3)
=
y
-6
y= 3
6. 5x + 2 y = 16
10
=
3y
+
4x
4y
=
y=-5
38
sol : x = 4
(4,-2)
y=-3
sol : x = 4
y=-2
y−4=x+2
−x+y=6
x=0 y=6
x= −6 y=0
9.
x y
1
3x − 2y = − 1
− =−
2 3
6
x=3 y=5 ; x=−3 y=−4
x y
7
+ =−
4 x + 3y = − 7
3 4
12
x = −1 y = −1 ; x = − 4 y = 3
4x
-2
y
=
-1
7. x + 8 = y + 2
x−y= −6
x=0 y=6
x= −6 y=0
+
x
2
(-1,-1)
sol : x = - 1
sol : Equivalentes
3x y
8. 5 + 4 = 2
12 x + 5 y = 40
x= 0 y=8
x=5 y= −4
3x
-7
=
=
-4
y
2
3y
8
+
y
+
+
x
=
x − 5 y = 25
x=0
x=5
y=−5
y= −4
10. x + 3y = 6
y=-1
3x + 9y = 10
x=0 y=2
x = 0 y = 1 91
x=6 y=0
x = 3 31 y = 0
+
12x
=
5y
x+
3y
=
6
40
3x
+9y
=10
(5,-4)
25
x - 5y =
sol : x = 5
y=-4
sol : Incompatibles
11. 2x + 3y = − 13
x = − 2 y = − 3 ; x = − 5 y = −1
6x + 9y = − 39
x = − 2 y = − 3 , x = − 5 y = −1
13. x + y = 9
x=6 y=3 ; x=4 y=5
x − y = −1
x = 0 y =1 ; x = 2 y = 3
x − 2y = − 6
x=0 y=3 ; x=2 y=4
(4,5)
-1
3
-1
3y
=
-6
x+
=
-3
9
-y
9y
=
=
2y
x-
x
6x
+
2x
+
y=
9
sol : Equivalentes
x−2 y−3
12.
−
=4
2
3
3 ( x − 2) − 2 ( y − 3) = 24
y− 2 x− 3
11
+
=−
2
3
3
sol : x = 4
3( y − 2) + 2 ( x − 3) = − 22
3x − 6 − 2 y + 6 = 24
3 y − 6 + 2 x − 6 = − 22
3x − 2 y = 24
2 x + 3 y = − 10
x= 6 y= − 3
x=4 y= −6
x= 4
x= −2 y= − 2
y= − 6
y=5
14. x + y = 5
x=0 y=5 ; x=2 y=3
3x + 4y = 18
x=2 y=3 ; x=−2 y=6
2x + 3y = 13
x = 2 y = 3 ; x = 5 y =1
x+
4y
=
18 y =
5
+
2y
=
2x
24
3x
+
3y
0
-1
3x
-
=
(2,3)
2x
+
(4,-6)
sol : x = 4
y=-6
sol : x = 2
y=3
3y
=
13
EJERCICIO 186
15. 2x + y = − 1
x = 0 y = −1 ; x = −1 y =1
x − 2y = − 13
x=−5 y=4 ; x=−3 y=5
3x − 2y = − 19
x=−5 y=2 ; x=−3 y=5
1. x + y + z = 6
x − y + 2z = 5
x − y − 3z = − 10
x+ y+ z = 6
x − y + 2z = 5
+ 3z = 11
2x
-1
y=
+
2x
x+ y+ z = 6
x − y − 3z = − 10
(-3,5)
− 2z = − 4
x− z= − 2
2 x + 3z = 11
x − z = − 2 ( 3)
-1
9
3
-1
2 x + 3z = 11
3x − 3z = − 6
3x
-2
y
=
x
y=
-2
2x
=5
x=1
5x
sol : x = - 3
2 (1) + 3z = 11
2 + 3z = 11
3z = 9
z= 3
1+ y + 3 = 6
y+ 4= 6
y=2
y=5
2y − x = − 4 4 x − 5y = 7
16. x − y = 1
x = 0 y = −1 x = 0 y = − 2 x = − 2 y = − 3
x =1 y = 0 x = 2 y = −1 x = 3 y =1
sol : x = 1 y = 2 z = 3
2. x + y + z = 12
x
-y
=
y=
-5
4x
(-2,-3)
1
2y
7
-x
=
-4
2x − y + z = 7
x + 2y − z = 6
x + y + z = 12
2x − y + z = 7
3x
+ 2 z = 19
2 x − y + z = 7 ( 2)
x + 2y − z = 6
4 x − 2 y + 2z = 14
x + 2y − z = 6
5x
+ z = 20
3x + 2 z = 19
5x + z = 20
(− 2 )
3x + 2 z = 19
− 10 x − 2 z = − 40
− 7x
sol : x = - 2
y=-3
Continúa
= − 21
x= 3
2. Continuación
5( 3) + z = 20
4. Continuación
15 + z = 20
z=5
x − 4 y + 3z = 26
6x + 3y − 9z = − 3
x − 3 y − 2 z = − 12
3 + y + 5 = 12
y + 8 = 12
7x
y= 4
sol : x = 3 y = 4 z = 5
3. x − y + z = 2
x+ y+ z= 4
2x + 2 y − z = − 4
x− y+ z = 2
x+ y+ z =4
5x − 2 y + z = 24 (2)
2 x + 5 y − 2 z = − 14
− 11z = − 15
7 x − 11z = − 15
− 7 x + 7z = 7
7 x − 11z = − 15
− 4z = − 8
z= 2
+ z= 0
4x + z = 0
5. 2 x + 3 y + z = 1
6 x − 2 y − z = − 14
x + z = 3 (− 1)
5x + 4 y
− 38 x
z= 4
− 1− y + 4 = 2
− y + 3= 2
− y= −1
y=1
sol : x = − 1 y = 1 z = 4
=2
4. 2 x + y − 3z = − 1
6 x − 2 y − z = − 14
8x + y
= − 13
5x + 4 y = 2
8 x + y = − 13 (− 4)
5x + 4 y = 2
x − 3 y − 2z = − 12
3x − 2 y − z = − 5
12 (3) + y = 34
36 + y = 34
y= −2
3 − 4 (− 2) + 3z = 26
3 + 8 + 3z = 26
3z = 15
z=5
sol : x = 3 y = − 2 z = 5
7. 4 x + 2 y + 3z = 8
3x + 4 y + 2 z = − 1
2 x − y + 5z = 3
4 x + 2 y + 3z = 8 (− 2)
− 32 x − 4 y = 52
− 27 x
3x + 4 y + 2 z = − 1
= 54
− 8 x − 4 y − 6z = − 16
3x + 4 y + 2 z = − 1
x= − 2
2 x + y − 3z = − 1 (2)
3x − 2 y − z = − 5
8 (− 2) + y = − 13
− 16 + y = − 13
y= 3
4 x + 2 y − 6z = − 2
3x − 2 y − z = − 5
2 (− 2) + 3( 3) + z = 1
− 7z = − 7
x− z= −1
5+ z = 1
Continúa
= − 114
x=3
2 x + 3y + z = 1
− 1+ z = 3
7x
− 24 x − 2 y = − 68
− 14 x + 2 y = − 46
3x + y − z = 1
=−3
x= −1
= − 46
12 x + y = 34 (− 2)
2 x + 3y + z = 1
4x + z = 0
x − 4 y + 3z = 26
− 14 x + 2 y = − 46
3x + y − z = 1
− x− z= − 3
= 34
− 14 x + 2 y
2 (1) + y − 3 (2) = − 1
2 + y − 6= − 1
y− 4= −1
y= 3
sol : x = 1 y = 3 z = 2
2 x − 2 y + 2z = 4
2x + 2 y − z = − 4
12 x + y
5x − 2 y + z = 24 (− 3)
− 15x + 6 y − 3z = − 72
x − 4 y + 3z = 26
x− 2= −1
x=1
x − y + z = 2 ( 2)
2x + 2 y − z = − 4
3x
10x − 4 y + 2 z = 48
2 x + 5 y − 2 z = − 14
x − z = − 1 (− 7)
+ 2z = 6
x+ z= 3
2x
4x
6. 5x − 2 y + z = 24
2 x + 5 y − 2 z = − 14
2 x + y − 3z = − 1 (3)
x − 3y − 2 z = − 12
− 4+ 9+ z=1
z= − 4
sol : x = − 2 y = 3 z = − 4
− 5x
− 4 z = − 17
5x + 4 z = 17
4 x + 2 y + 3z = 8
2 x − y + 5z = 3 (2)
4 x + 2 y + 3z = 8
4 x − 2 y + 10z = 6
8x
+ 13z = 14
Continúa
7. Continuación
8 x + 13z = 14 (− 5)
10. Continuación
9. 2 x + 4 y + 3z = 3
10 x − 8 y − 9z = 0
4 x + 4 y − 3z = 2
5x + 4 z = 17 (8)
2 x + 4 y + 3z = 3 ( 3) 3x + 5 y
− 40x − 65z = − 70
40 x + 32 z = 136
− 33z = 66
z= −2
5x − 8 = 17
5x = 25
6 x + 12 y + 9z = 9
10x − 8 y − 9z = 0
3x + 5 y = − 15
=9
4 x + 4 y − 3z = 2 (− 3)
− 11y = 66
y= −6
− 2 x − 20 y
10 − y − 10 = 3
− y=3
y= −3
=−6
x + 10 y = 3
sol : x = 5 y = − 3 z = − 2
x + 10 y = 3 (− 2)
8. 6 x + 3 y + 2 z = 12
− 2 x − 20 y = − 6
80 x + 20 y = 45
9 x − y + 4 z = 37 ( 3)
6 x + 3 y + 2 z = 12
27 x − 3 y + 12 z = 111
33x
+ 14 z = 123
45x − 5 y + 20z = 185
10 x + 5 y + 3z = 21
+ 23z = 206
33x + 14 z = 123 (5)
x + y − 6z = − 27
7 x + 3 y − 4 z = − 35
sol : x =
6 (5) + 3 y + 2 (− 3) = 12
30 + 3 y − 6 = 12
3 y + 24 = 12
3 y = − 12
y= −4
sol : x = 5 y = − 4 z = − 3
4x
1
1
y=
2
4
z=
x + y − 6z = − 27 (2) 13.
3x − 2 y + 5z = 38
2 x + 2 y − 12z = − 54
5x
1
3
− 7 z = − 16
2 x + 7 z = 23
5x − 7 z = − 16
7x
x + 2y − z = 1
x + y + 2z = − 17
3x + y + z = 1
x + 2y − z = 1
4 x + 3y
+ 14z = 46
2 x + 7 z = 23
3x − 2 y + 5z = 38
1
3
10. 3x + y + z = 1
x=5
− 3x − 3 y + 18z = 81
3z = 1
z=
z= − 3
12 x − 3y + 15z = − 18
3x + 3 y − 4z = 30
+ 11z = 12
15x
4 x − y + 5z = − 6 (2)
6 x + 2 y − 3z = 33
8x − 2 y + 10z = − 12
6 x + 2 y − 3z = 33
14 x
+ 7z = 21
2x + z = 3
15x + 11z = 12
2 x + z = 3 (− 11)
15x + 11z = 12
− 22 x − 11z = − 33
− 7x
= − 21
x=3
2 ( 3) + z = 3
z= − 3
x + y − 6z = − 27 (− 3) 4 ( 3) − y + 5(− 3) = − 6
7 x + 3 y − 4 z = − 35
4y = 1
1
y=
4
 1
 1
2   + 4   + 3z = 3
 2
 4
1 + 1+ 3z = 3
55x + 23z = 206 (− 3)
33x − 42 = 123
33x = 165
1
2
 1
16   + 4 y = 9
 2
165x + 70z = 615
− 165x − 69 z = − 618
33x + 14 (− 3) = 123
4 x − 18 = 2
4 x = 20
x=5
5 − 6 + 2z = − 17
2z = − 16
z= −8
sol : x = 5 y = − 6 z = − 8
8+ 4y = 9
9 x − y + 4 z = 37 (5)
10 x + 5 y + 3z = 21
55x
x=
(− 4)
11. 7 x + 3 y − 4 z = − 35
3x − 2 y + 5z = 38
= 39
78 x
4 x − y + 5z = − 6 (3)
3x + 3y − 4 z = 30
( 3)
4 x + 3(− 6) = 2
16x + 4 y = 9 (5)
9 x − y + 4 z = 37
10 x + 5 y + 3z = 21
6 x + 3 y + 2 z = 12
2
12 x + 9 y = 6
− 12 x − 20 y = 60
− 12 x − 12 y + 9z = − 6
2 (5) − y + 5(− 2) = 3
= − 15
4 x + 3y =
10x − 8 y − 9z = 0
x=5
3x + 3y − 4 z = 30
6 x + 2 y − 3z = 33
10x − 8 y − 9z = 0
16 x + 4 y
10 x − 8 y − 9z = 0
5x + 4 (− 2) = 17
12. 4 x − y + 5z = − 6
2 x + 4 y − 2z = 2
x + y + 2 z = − 17
=2
x + 2 y − z = 1 ( 2)
x + y + 2 z = − 17
Continúa
= 7
x=1
2 (1) + 7 z = 23
7 z = 21
z=3
1 + y − 6 (3) = − 27
y − 17 = − 27
y = − 10
sol : x = 1 y = − 10 z = 3
12 − y − 15 = − 6
− y − 3= − 6
− y= −3
y= 3
sol : x = 3 y = 3 z = − 3
9 x + 4 y − 10z = 6
6 x − 8 y + 5z = − 1
12 x + 12 y − 15z = 10
6 x − 8 y + 5z = − 1 (− 2)
12 x + 12 y − 15z = 10
− 12 x + 16 y − 10z = 2
12 x + 12 y − 15z = 10
28 y − 25z = 12
9 x + 4 y − 10z = 6
6 x − 8 y + 5z = − 1
( 2)
(− 3)
18 x + 8 y − 20z = 12
− 18 x + 24 y − 15z = 3
32 y − 35z = 15
Continúa
13. Continuación
28 y − 25z = 12
32 y − 35z = 15
(− 8)
( 7)
− 224 y + 200z = − 96
14. Continuación
10 x − (− 2) + z = 10
 1
10   − (− 2) + z = 10
 5
2 + 2 + z = 10
z= 6
224 y − 245z = 105
− 45z = 9
z= −
1
5
 1
28 y − 25  −  = 12
 5
28 y + 5 = 12
28 y = 7
1
4
 1   1
6x − 8   + 5 −  = − 1
 4   5
sol : x =
6x = 2
1
x=
3
1
1
1
sol : x =
y= z= −
3
4
5
1
y= − 2 z= 6
5
15. x + y = 1
y+ z= −1
z+ x= −6
x+ y
= 1
y + z = − 1 (− 1)
y=
6x − 2 − 1 = − 1
17. y + z = − 8
2x + z = 9
x+ y =1
− y− z=1
x
x− z= 2
x+ z= −6
− z= 2
19. 3z − 5x = 10
5x − 3 y = − 7
3y − 5z = − 13
− 5x
+ 3z = 10
−
=−7
5
x
3
y
2 x + z = 9 (− 1)
− 3y + 3z = 3
y+ z= −8
− y+ z=1
− 2x
− z= − 9
3y − 5z = − 13
− 2 x + y = − 17
− y + z = 1 ( 3)
− 2 x + y = − 17
3 y − 5z = − 13
2 x + 3y = − 3
−
3
y + 3z = 3
4 y = − 20
3y + 2 x = − 3
y+ z= −8
y= −5
− 5+ z = − 8
z= − 3
2x − 3= 9
2 x = 12
x= 6
sol : x = 6 y = − 5 z = − 3
− 2 z = − 10
z= 5
− y + 5= 1
− y= −4
y= 4
5x − 3( 4) = − 7
5x − 12 = − 7
5x = 5
x=1
sol : x = 1 y = 4 z = 5
=−4
x= −2
− 2+ y=1
18. 3x − 2 y = 0
y=3
3 y − 4 z = 25
14. 5x + 3 y − z = − 11
3+ z = − 1
z − 5x = − 14
10 x − y + z = 10
z= −4
3 y − 4z = 25
20. x − 2 y = 0
15x + 2 y − z = − 7
sol : x = − 2 y = 3 z = − 4
y − 2z = 5
(
)
− 5x + z = − 14 4
5x + 3 y − z = − 11
+
=
−
x
2
y
1
+ y+ z=8
16.
x
10 x − y + z = 10
3 y − 4z = 25
2y + z = 0
x + y+ z=8
− 20 x
+ 4 z = − 56
= −1
15x + 2 y
x + 2 z = 11
x − 2 y = 0 (− 1)
10 x − y + z = 10
− 20 x + 3y
= − 31
= −1
x + 2y
15x + 2 y − z = − 7
x+ y+ z=8
− 20 x + 3y = − 31 ( 2)
2 y + z = 0 (− 1)
−
+ 2y = 0
x
= 3
25x + y
3x − 2 y = 0 ( 3)
+
=
−
x
y
2
1
15x + 2 y = − 1
3y + z = 8
− 40 x + 6 y = − 62
− 2y − z = 0
+
=
3
y
z
8 ( 2)
+
=
−
25x y 3 ( 2)
9x − 6y = 0
− z= −1
x
−
=
y
2
z
5
15x + 2 y = − 1
− 31x
= − 62
−
=
−
−
x
z
1
1
(
)
6 y + 2z = 16
− 50 x − 2 y = − 6
x= 2
x + 2 z = 11
y − 2z = 5
− 35x
=−7
3 ( 2) − 2 y = 0
−
+
=
x
z
1
= 21
7
y
1
6− 2y = 0
x=
x + 2 z = 11
=3
y
5
− 2y = − 6
3z = 12
 1
(
)
x−2 3 = 0
y=3
15   + 2 y = − 1
 5
z= 4
x − 6= 0
3 ( 3) − 4z = 25
3+ 2 y = − 1
x− 4= −1 ⇒ x= 3
x=6
− 4 z = 16
2y = − 4
3+ 2 y = − 1
+
+
=8
6
3
z
z= − 4
y= −2
2y = − 4 ⇒ y = − 2
= −1
z
sol : x = 2 y = 3 z = − 4
Continúa
sol : x = 3 y = − 2 z = 4
sol : x = 6 y = 3 z = − 1
2x
21. 5x − 3z = 2
2z − y = − 5
x + 2 y − 4z = 8
x + 2 y − 4z = 8
− y + 2 z = − 5 ( 2)
x + 2 y − 4z = 8
− 2 y + 4 z = − 10
x
5 (− 2) − 3z = 2
=−2
− 10 − 3z = 2
− 3z = 12
23. Continuación
24. Continuación
x−y+z=3
x + y − z =1
6 − 2y + 18 = 0
− 2y + 24 = 0
− 2y = − 24
y = 12
sol: x = 6 y = 12 z = 18
=4
x=2
2x
2−y+5=3
−y+7=3
−y=−4
y=4
sol: x = 2 y = 4 z = 5
z= −4
2 (− 4 ) − y = − 5
− 8− y = − 5
− y=3
y=−3
sol: x = − 2 y = − 3 z = − 4
22. 2 x − z = 14
4 x + y − z = 41
3x − y + 5z = 53
4 x + y − z = 41
24.
x y z
+ − =3
2 2 3
3x + 3 y − 2 z = 18
x y z
+ − = −5
3 6 2
2 x + y − 3z = − 30
x y z
− + =0
6 3 6
−
x 2y + z = 0
3x + 3 y − 2 z = 18 (2)
3x − y + 5z = 53
x − 2 y + z = 0 (3)
+ 4 z = 94
7x
6 x + 6 y − 4 z = 36
3x − 6 y + 3z = 0
7 x + 4 z = 94
2 x − z = 14 (4)
7 x + 4 z = 94
8 x − 4 z = 56
15x
= 150
x = 10
2 (10) − z = 14
20 − z = 14
− z= −6
z=6
4 (10) + y − 6 = 41
y + 34 = 41
y=7
sol: x = 10 y = 7 z = 6
23. x + y − z = 1
z+x−y=3
z−x+y=7
z+x−y=3
z−x+y=7
2z
= 10 ⇒ z = 5
Continúa
9x
− z = 36
2 x + y − 3z = − 30 (2)
x − 2y + z = 0
4 x + 2 y − 6z = − 60
x − 2y + z = 0
− 5z = − 60
x − z = − 12
9 x − z = 36
5x
x − z = − 12 (− 1)
9 x − z = 36
− x + z = 12
= 48
x=6
6 − z = − 12
− z = − 18
z = 18
8x
Continúa
25.
x y z
+ + = 21
3 4 3
4 x + 3 y + 4 z = 252
x y z
+ − =0
5 6 3
6 x + 5 y − 10z = 0
x y z
+ − =3
10 3 6
3x + 10 y − 5z = 90
6 x + 5 y − 10z = 0
(− 2)
3x + 10 y − 5z = 90
− 12 x − 10 y + 20z = 0
3x + 10 y − 5z = 90
− 9x
+ 15z = 90
− 3x + 5z = 30
4 x + 3 y + 4 z = 252
(10)
3x + 10 y − 5z = 90 (− 3)
40 x + 30 y + 40z = 2 . 520
− 9 x − 30 y + 15z = − 270
+ 55z = 2 . 250
31x
− 3x + 5z = 30
(− 11)
31x + 55z = 2 . 250
33x − 55z = − 330
31x + 55z = 2 . 250
64 x
= 1. 920
x = 30
− 3 ( 30) + 5z = 30
− 90 + 5z = 30
5z = 120
z = 24
6 (30) + 5 y − 10 (24) = 0
180 − 240 + 5 y = 0
5 y = 60
y = 12
sol : x = 30 y = 12 z = 24
y+ z
=4
3
3x − y − z = 12
x+ z
= 10
y−
8
8 y − x − z = 80
5x − y − 5z = 22
y− z x+2
=
3
10
10 ( y − z ) = 3 (x + 2)
10 y − 10z = 3x + 6
3x − 10 y + 10z = − 6
y− x
=5
2
2 z − y + x = 10
z−
2 x − 5 y − 2 z = − 20 (5)
3x − 10 y + 10z = − 6
3x − y − z = 12 (− 1)
10 x − 25 y − 10z = − 100
− x + 8 y − z = 80
3x − 10 y + 10z = − 6
− 3x + y + z = − 12
13x − 35 y
− x + 8 y − z = 80
13x − 35 y = − 106
− 4x + 9 y
5x − 2 y = 28
= 68
− x + 8 y − z = 80 (2)
x − y + 2 z = 10
− 2 x + 16 y − 2 z = 160
x − y + 2 z = 10
− 149 x
(2)
(− 35)
= − 1.192
x=8
= 170
5 (8) − 2 y = 28
40 − 2 y = 28
− x + 15 y = 170 (− 4)
= − 106
26 x − 70 y = − 212
− 175x + 70 y = − 980
− 4 x + 9 y = 68
− x + 15y
− 2 y = − 12
y=6
− 4 x + 9 y = 68
4 x − 60 y = − 680
2 (8) − 5 (6) − 2 z = − 20
− 51y = − 612
y = 12
16 − 30 − 2 z = − 20
− 2z = − 6
− 4 x + 9 (12) = 68
− 4 x + 108 = 68
− 4 x = − 40
x = 10
3 (10) − 12 − z = 12
30 − 12 − z = 12
18 − z = 12
z=6
sol : x = 10 y = 12 z = 6
27.
28. Continuación
27. Continuación
26. x −
x+ y y+4
=
7
5
5 ( x + y ) = 7 ( y + 4)
5x + 5 y = 7 y + 28
5x − 2 y = 28
x− z y−4
=
5
2
2 ( x − z ) = 5 ( y − 4)
2 x − 2 z = 5 y − 20
2 x − 5 y − 2 z = − 20
Continúa
z= 3
sol : x = 8 y = 6 z = 3
28.
z+ 4
= x−6
2
2 y − z − 4 = 2 x − 12
− 2x + 2 y − z = − 8
x−7
= y−5
z−
3
3z − x + 7 = 3 y − 15
− x − 3 y + 3z = − 22
y+2
= z+ 4
x−
5
5x − y − 2 = 5z + 20
5x − y − 5z = 22
− 2x + 2 y − z = − 8
y−
− x − 3 y + 3z = − 22 (− 2)
− 2x + 2 y − z = − 8
2 x + 6 y − 6z = 44
8 y − 7z = 36
Continúa
− x − 3y + 3z = − 22 (5)
5x − y − 5z = 22
− 5x − 15 y + 15z = − 110
− 16 y + 10z = − 88
− 8 y + 5z = − 44
− 8 y + 5z = − 44
8 y − 7z = 36
− 2z = − 8
z= 4
8 y − 7 (4) = 36
8 y − 28 = 36
8 y = 64
y=8
− x − 3(8) + 3(4) = − 22
− x − 12 = − 22
x = 10
sol : x = 10 y = 8 z = 4
29.
y− z
=3
2
2x − 2 y + y − z = 6
2x − y − z = 6
x− y x− z
−
=0
2
4
2x − 2 y − x + z = 0
x − 2y + z = 0
y− z
− x= −5
2
y − z − 2 x = − 10
2x − y − z = 6
− 2 x + y − z = − 10
x− y+
− 2z = − 4
z= 2
x − 2y + z = 0
2x − y − z = 6
(− 2 )
x − 2y + z = 0
− 4 x + 2 y + 2 z = − 12
− 3x
+ 3z = − 12
− 3x + 3(2) = − 12
− 3x + 6 = − 12
− 3x = − 18
x=6
Continúa
29. Continuación
31.
6 − 2y + 2 = 0
− 2y + 8 = 0
− 2y = − 8
y=4
sol: x = 6 y = 4 z = 2
30.
(− 1)
3 2
+
= 2
x y
2 2
3
− − =−
2
y z
3
x
1 1
+
=5
x y
1
1
+ = 6 (− 1)
x
z
1 1
+
= 5
x y
1
1
−
− =−6
x
z
1 1
− = −1
y z
1 1
− = −1
y z
1 1
+ = 7
y z
2
y
3 2
+
= 2
x y
2 2 3
+ =
y z 2
2
1
=
2
z
3 2 1
( 2)
− =
x z 2
1 4 4
+ =
x z 3
6 4
− =1
x z
1 4 4
+ =
x z 3
7
7
=
3
x
x=3
3 2
+ =2
3 y
2
1+ = 2
y
2
=1
y
2= y
3 2 1
− =
3 z 2
2 1
1− =
z 2
2
1
− =−
2
z
4= z
sol : x = 3 y = 2 z = 4
=6
1
=y
3
1 1
+ =5
x 1
3
1
+ 3= 5
x
1
=2
x
1
=x
2
1 1
+ =6
1 z
2
1
2+ = 6
z
1
=4
z
1
=z
4
1
1
1
sol : x = y =
z=
2
3
4
−
32.
1 4 2
+ + =−6
x y z
3 2 4
+ + = 3 (− 2)
x y z
1 4 2
+ + =−6
x y z
6 4 8
− − − =−6
x y z
5
6
−
− = − 12
x
z
Continúa
32. Continuación
1 4 2
+ + = − 6 (5)
x y z
6 5 6
− − = 31 (4)
x y z
5 20 10
+
+ = − 30
x y
z
24 20 24
−
−
= 124
x
y
z
29
14
− = 94
x
z
5 6
− − = 12 (− 7)
x z
29 14
− = 94 (3)
x
z
35 42
+
= 84
x
z
87 42
−
= 282
x
z
122
= 366
x
122 = 366 x
1
=x
3
5 6
− = − 12
1 z
3
6
− 15 − = − 12
z
6
− =3
z
− 2= z
−
1 4 2
+ +
=−6
1 y −2
3
4
3 + − 1= − 6
y
4
= −8
y
1
− =y
2
1
1
sol : x =
y= − z= −2
3
2
EJERCICIO 187
1. 1
2
1
1
1
3
0
2
4
2
1
1
3
4
1 2
1 −3
−1 4
1 2
1 −3
−2
3
8.
5
−2
3
⇒ − 15 − 8 − 6 + 6 − 12 − 10 = − 45
3
−1
−8
−3
3
−7
3
2
−1 − 3
5
4
3
2
3
2
−1 − 3
5
5
4
⇒ − 45 − 10 + 24 + 45 − 24 + 10 = 0
4
1
9. 5
2
3
2 −3
1
2
−3 4
0
7
1
6
3
5
1
4
2
2
5
3
2 −3
0
6
1
2
3. − 3
⇒ 63 + 4 + 0 + 3 + 0 − 56 = 14
4. 2 5
3 −4
6 2
2 5
−1
3 −4
3
⇒ 25 + 72 + 12 − 9 − 40 − 60 = 0
10. 12
5
10
8 −6
9
7 4 −2
12 5 10
3
4
−1
8 −6
9
⇒ 144 + 320 + 315 + 420 − 432 + 80 = 847
⇒ − 32 − 6 + 90 − 24 − 12 − 60 = − 44
5.
−8
5
⇒ 35 + 0 + 24 − 224 + 0 − 6 = − 171
⇒6 +0+ 8− 3−0− 4 =7
2.
2
−3 −7
4
0
5
2
7.
1
5 −1 − 6
−2 5
3
11. − 9
7
3
−5
−4
−3
3 4
2
5 −1 − 6
−2 5
3
4
−9
7
6
3
−5
1
−4
−3
⇒ 50 + 48 − 9 + 90 − 60 − 4 = 115
⇒ 45 − 168 − 36 − 80 − 162 − 21= − 422
6. 4
1
5
3
12
4
2
3
1
−6
2
5
3
2
−6
⇒ 16 + 45 − 72 − 120 + 72 − 6 = − 65
12.
11 − 5
− 12
3
− 13 1
7
8
9
11 − 5
− 12
3
7
8
⇒ 297 − 84 + 520 + 273 − 88 − 540 = 378
EJERCICIO 188
2. Continuación
1. x + y + z = 11
x − y + 3z = 13
2x + 2y − z = 7
x=
11 1
1
13 − 1 3
7 2 −1
11 1 1
13 − 1 3
x=
1 1
1
1 −1
3
2 2 −1
1 1
1
1 −1
3
x=
11+ 26 + 21+ 7 − 66 + 13 12
=
=2
1+ 2 + 6 + 2 − 6 + 1
6
1 11
1 13
1
3
−1
y= 2
7
1 11
1 13
− 18 + 2 + 6 + 6 + 12 + 3 11
=
= −1
3 − 4 − 1− 1− 2 − 6
− 11
y=
1 1 −6
2 1 −1
z= 1 −2 −6
1 1 −6
2 1 −1
− 6 + 24 − 1+ 6 − 2 + 12 33
=
=−3
− 11
− 11
sol: x = − 1 y = − 2 z = − 3
z=
3. 2 x + 3 y + 4 z = 3
2 x + 6 y + 8z = 5
4x + 9 y − 4z = 4
1
3
− 13 + 7 + 66 − 26 − 21+ 11 24
=
=4
6
6
1 1 11
1 − 1 13
z= 2 2 7
1 1 11
1 − 1 13
− 7 + 22 + 26 + 22 − 26 − 7 30
=
=5
6
6
sol: x = 2
y=4
z=5
x=
z=
2. x + y + z = − 6
2x + y − z = − 1
x − 2y + 3z = − 6
1
1
−1
3
1
−1
− 3 − 12 + 6 + 1− 6 + 36 22
=
= −2
− 11
− 11
y=
−6
−1
−6
−1
−6
−6
−1
1
2
y= 1
1
2
3
5
4
3
5
3 4
6 8
9 −4
3 4
6 8
2
2
4
2
3
4
6
8
9 −4
3
4
2
6
2
2
1
1 −1
−6 −2 3
1
1
−6
1 −1
−1
x=
1 1
1
2 1 −1
1 −2
3
1 1
1
2 1 −1
8
− 72 + 180 + 96 − 96 − 216 + 60 − 48 1
=
x=
=
− 48 + 72 + 96 − 96 − 144 + 24 − 96 2
y= 4
2
2
y=
3
5
4
8
4 −4
3
4
5
8
− 40 + 32 + 96 − 80 − 64 + 24 − 32 1
=
=
− 96
− 96 3
2
2
z= 4
2
2
3
6
9
3
6
3
5
4
3
5
48 + 54 + 60 − 72 − 90 − 24 − 24 1
=
=
− 96
− 96 4
1
1
1
sol : x =
y=
z=
2
3
4
z=
4. 4x − y + z = 4
2x + 2y − z = 2
6x − 2y + 3z = 12
4 −1
1
2 2 −1
12 − 2
3
4 −1
1
2
2 −1
x=
4 −1
1
2
2 −1
6 −2
3
4 −1
1
2
2 −1
x=
24 − 4 + 12 − 24 − 8 + 6 6 1
=
=
24 − 4 + 6 − 12 − 8 + 6 12 2
4
4 1
2
2 −1
y = 6 12 3
4 4
1
2 2 −1
24 + 24 − 24 − 12 + 48 − 24 36
=
=3
y=
12
12
4 −1
4
2
2
2
z = 6 − 2 12
4 −1
4
2
2
2
5. Continuación
x=
66 + 25 − 104 − 260 − 11+ 60 − 224
=
=−2
6 + 15 + 16 + 40 − 1+ 36
112
1
11
3
5
y = 4 − 26
1
11
3
5
− 15 − 390 + 44 − 100 + 26 + 99 − 336
=
=−3
112
112
1
4
11
3 −2
5
1 − 26
z= 4
1
4
11
3 −2
5
y=
52 + 33 + 80 + 88 − 5 + 312 560
=
=5
112
112
sol: x = − 2
y=−3
z=5
z=
6. 7x + 10y + 4z = − 2
5x − 2y + 6z = 38
3x + y − z = 21
−2
x=
96 − 16 − 12 − 48 + 16 + 24 60
=
=5
12
12
1
sol: x =
y=3 z=5
2
z=
5. x + 4y + 5z = 11
3x − 2y + z = 5
4x + y − 3z = − 26
x=
11
4
5
5 −2
1
− 26 1 − 3
11 4 5
5 −2
1
x=
1 4
5
3 −2
1
4 1 −3
1 4
5
3 −2
1
Continúa
5
1
−3
5
1
10
38 − 2
4
6
21
−2
−1
1
10
4
38 − 2
6
7
5
10
−2
4
6
3
1
−1
7
5
10
−2
4
6
− 4 + 152 + 1. 260 + 168 + 12 + 380 1. 968
=
=8
14 + 20 + 180 + 24 − 42 + 50
246
7
−2
4
5
38
6
y= 3
21
−2
−1
7
5
38
6
y=
4
− 266 + 420 − 36 − 456 − 882 − 10 − 1. 230
=
=−5
246
246
7 10 − 2
5
z= 3
−2
7
5
10
−2
1
38
21
−2
38
− 294 − 10 + 1. 140 − 12 − 266 − 1. 050 − 492
z=
=
=−2
246
246
sol : x = 8
y=−5
z=−2
8. Continuación
7. 4x + 7y + 5z = − 2
6x + 3y + 7z = 6
x − y + 9z = − 21
x=
−2
7
6
3
− 21 − 1
−2
7
6
3
x=
4
7
6
3
−1
1
4
7
6
3
x=
− 54 − 30 − 1. 029 + 315 − 14 − 378 − 1.190
=
=5
− 238
108 − 30 + 49 − 15 + 28 − 378
4
6
y= 1
4
6
y=
5
7
9
5
7
5
7
9
5
7
−2
6
− 21
−2
6
5
7
9
5
7
216 − 630 − 14 − 30 + 588 + 108 238
=
= −1
− 238
− 238
4 7
6 3
z = 1 −1
4 7
6 3
− 110 + 192 + 990 − 66 + 396 − 800 602
=
=−2
15 + 12 − 240 + 16 − 54 − 50
− 301
y=
8x + 3y − 5z = − 33
− 22 − 5
2
32 − 1
6
− 33
3 −5
− 22 − 5
2
32 − 1
6
x=
3 −5
2
−1
2
6
8
3 −5
3 −5
2
−1
2
6
Continúa
−5
−1
3
−5
−1
3
2
z= 8
3
2
− 22
32
− 33
− 22
32
99 − 132 − 1. 280 − 176 − 288 − 330 − 2 .107
=
=7
− 301
− 301
sol: x = − 2
y=6
z=7
z=
9. x + y + z = 3
x + 2y = 6
2x + 3y = 6
x=
− 252 + 12 + 42 + 6 + 24 + 882 714
z=
=
=−3
− 238
− 238
sol: x = 5
y = −1
z= −3
8. 3x − 5y + 2z = − 22
2x − y + 6z = 32
2
6
−5
2
6
− 480 − 132 − 1. 056 − 512 + 594 − 220 − 1. 806
=
=6
− 301
− 301
−2
6
− 21
−2
6
− 22
32
− 33
− 22
32
3
2
y= 8
3
2
3
1
1
6
6
3
2
3
1
0
0
1
6
2
0
1
1
1
2
1
0
2
1
3
1
0
1
1
2
0
0 + 18 + 0 − 12 + 0 + 0 6
=
=−6
x=
0+3+0−4+0+0
−1
1
3
1
1
y= 2
6
6
0
0
1
1
3
1
6
0
y=
0 + 6 + 0 − 12 + 0 + 0 − 6
=
=6
−1
−1
1
1
1
2
3
6
z= 2
1
3
1
6
3
1
2
6
12 + 9 + 12 − 12 − 18 − 6 − 3
=3
=
z=
−1
−1
sol : x = − 6
y=6
z=3
10. 3x − 2y = − 1
4x + z = − 28
x + 2y + 3z = − 43
−1
− 28
− 43
−1
− 28
x=
3
4
1
3
4
x=
−2
0
2
−2
0
−2
0
2
−2
0
11. Continuación
x=
0
1
3
0
1
0
1
3
0
1
0 + 0 + 86 + 0 + 2 − 168 − 80
=
= −5
0 + 0 − 2 + 0 − 6 + 24
16
3 −1
4 − 28
y = 1 − 43
3 −1
4 − 28
x y z
− + =1
3 4 4
4 x − 3y + 3z = 12
x=
3
−4
3
1
6
−6
− 96 + 0 − 288 − 72 + 0 + 48 − 408
=
=8
y=
− 51
− 51
4
1
−3
3
12
6
z= 4
4
−1
−3
0
12
1
3
6
0 − 12 − 72 − 144 + 24 + 0 − 204
=
=4
z=
− 51
− 51
x= 6
−4
3
−6
4
−3
3
3
−1
−6
−4
4
1
−3
3
−6
Continúa
y=8
z=4
x
+ y = 2z + 3 ;
3
x + 3y = 6z + y ;
x + 3y − 6z = 9
9
1
44
9
1
x=
1
1
4
1
1
y=
3
−6
1
4
3
0
12
3
−1
−1
3
−1
3
−1
−1
3
−1
x − y =1
;
;
y
+ 11
4
4x + 4z = y + 44
4x − y + 4z = 44
−6
0
4
−6
0
−6
0
4
−6
0
− 36 + 6 + 0 − 264 + 0 − 12 − 306
=
=9
− 4 + 6 + 0 − 24 + 0 − 12
− 34
1
1
y= 4
1
1
x + 3y − 6z = 6
x y z
− − =0
2 8 2
4x − y − 4z = 0
3
y= 4
4
x=
x y
+ − z=1
6 2
2x + 6 y − 12z = 12
−1
−3
−6
12.
0 − 8 + 56 + 0 + 168 − 344 − 128
=
=−8
16
16
sol: x = − 5
y=−7
z=−8
0
12
6
3
6
3
0
1
z=
−3
12
sol :
− 252 + 0 − 1+ 0 + 129 + 12 − 112
=
= −7
16
16
−1
3 −2
4
0 − 28
z= 1
2 − 43
−1
3 −2
4
0 − 28
12
6
4
1
0
1
y=
11.
− 144 − 18 + 0 + 0 − 72 − 72 − 306
=
=6
− 48 − 3 + 72 − 36 − 24 − 12
− 51
9
1
44
9
1
−6
0
4
−6
0
4 − 264 + 0 + 24 + 0 − 36 − 272
=
=8
− 34
− 34
1
1
z= 4
1
1
3
−1
−1
3
−1
9
1
44
9
1
− 44 − 9 + 12 + 36 + 1− 132 − 136
=
=4
− 34
− 34
sol: x = 9
y=8
z=4
z=
x+z=
EJERCICIO 191
1. x + 2y + z = 8
Plano
ABC
2x + 2y + z = 9
x + 2y + z = 8
Plano DEF
2 x + 2y + z = 9
3x + 3y + 5z = 24
Plano GHI
3x + 3y + 5z = 24
Para y = 0 z = 0
x=8
Para y = 0 z = 0 x = 4 21
Para y = 0 z = 0 x = 8
Para x = 0 z = 0
y=4
Para x = 0 z = 0 y = 4 21
Para x = 0 z = 0 y = 8
Para x = 0 y = 0
z=8
Para x = 0 y = 0 z = 9
Para x = 0 y = 0 z = 4 45
D
A
G
N
R
3
M
1
C
F
2
B
E
H
Sol : x = 1
y= 2 z = 3
I
Q
2. x + y + z = 5
Plano ABC
x+y+z=5
3x + 2y + z = 8
Plano DEF 3x + 2y + z = 8
2x + 3y + 3z = 14
Plano GHI 2x + 3y + 3z = 14
Para y = 0 z = 0
x=5
Para y = 0 z = 0 x = 2 23
Para y = 0 z = 0 x = 7
Para x = 0 z = 0
y=5
Para x = 0 z = 0 y = 4
Para x = 0 z = 0 y = 4 23
Para x = 0 y = 0
z=5
Para x = 0 y = 0 z = 8
Para x = 0 y = 0 z = 4 23
D
A
G
Q
N
3
1
F
1
M
R
E
H
B
sol : x = 1
y=1
z=3
C
I
3. 2 x + 2 y + 3z = 23
Plano ABC 2 x + 2 y + 3z = 23
2 x + 3y + 2 z = 20
Plano DEF
4 x + 3 y + 2z = 24
2 x + 3 y + 2 z = 20
Plano GHI
4 x + 3 y + 2 z = 24
Para y = 0 z = 0
x = 11
1
2
Para y = 0 z = 0 x = 10
Para y = 0 z = 0 x = 6
Para x = 0 z = 0
y = 11 12
Para x = 0 z = 0 y = 6 23
Para x = 0 z = 0 y = 8
Para x = 0 y = 0
z = 7 23
Para x = 0 y = 0 z = 10
Para x = 0 y = 0 z = 12
G
D
Q
A
N
5
I
M
2
E
R
2
H
B
sol : x = 2
y=2
z=5
F
C
4. 2 x + 2 y + 3z = 24
Plano ABC 2 x + 2 y + 3z = 24
4 x + 5y + 2z = 35
Plano DEF
3x + 2 y + z = 19
4 x + 5 y + 2 z = 35
Plano GHI
3x + 2 y + z = 19
Para y = 0 z = 0
x = 12
Para y = 0 z = 0 x = 8 43
Para y = 0 z = 0 x = 6 13
Para x = 0 z = 0
y = 12
Para x = 0 z = 0 y = 7
Para x = 0 z = 0 y = 9 12
Para x = 0 y = 0
z=8
Para x = 0 y = 0 z = 17
1
2
Para x = 0 y = 0 z = 19
M
G
D
M
Q
M
M
M
A
M
M
N
4
I
3
F
M
C
M
M
3
M
M
R
M
E
M
M
H
M
B
M
sol : x = 3
y=3
z=4
5. 3x + 4y + 5z = 35
Plano
ABC
2x + 5y + 3z = 27
3x + 4y + 5z = 35
2x + y + z = 13
2x + 5y + 3z = 27
Plano DEF
Plano GHI 2x + y + z = 13
Para y = 0 z = 0
x = 11 23
Para y = 0 z = 0 x = 13 21
Para y = 0 z = 0 x = 6 21
Para x = 0 z = 0
y = 8 34
Para x = 0 z = 0 y = 5 25
Para x = 0 z = 0 y = 13
Para x = 0 y = 0
z=7
Para x = 0 y = 0 z = 9
Para x = 0 y = 0 z = 13
G
D
Q
A
M
3
C
I
2
4
N
R
E
B
H
sol : x = 4
y=2
z=3
F
6. 4x + 3y + 5z = 42
Plano
ABC
3x + 4y + 3z = 33
2x + 5y + 2z = 29
Plano DEF 3x + 4y + 3z = 33 Plano GHI 2x + 5y + 2z = 29
4x + 3y + 5z = 42
Para y = 0 z = 0
x = 10 21
Para y = 0 z = 0 x = 11
Para y = 0 z = 0 x = 14 21
Para x = 0 z = 0
y = 14
Para x = 0 z = 0
y = 8 41
Para x = 0 z = 0 y = 5 45
Para x = 0 y = 0
z = 8 25
Para x = 0 y = 0 z = 11
Para x = 0 y = 0 z = 14 21
G
D
A
R
M
5
C
N
3
2
Q
H
E
B
sol : x = 2
y=3
z=5
F
I
5. x → Cifra decenas
y → Cifra unidades
10 x + y − 17
=5
x+ y
10 x + y − 17 = 5( x + y )
5x − 4 y = 17
10 x + y − 2
= 19
y−2
10 x + y − 2 = 19 ( y − 2)
10 x − 18 y = − 36
5x − 9 y = − 18
5x − 4 y = 17
5x − 9 y = − 18 (− 1)
5x − 4 y = 17
− 5x + 9 y = 18
5 y = 35 ⇒ y = 7
5x − 4 (7) = 17
5x − 28 = 17
5x = 45 ⇒ x = 9 sol : 97
6. x → Cifra decenas
y → Cifra unidades
10 x + y + 9 = 10 y + x
9x − 9 y = − 9
x− y= −1
10 y + x − 1
=6
7
x + 10 y = 43
x− y = −1
(− 1)
x + 10 y = 43
− x+ y = 1
x + 10 y = 43
11y = 44 ⇒ y = 4
x− 4= −1 ⇒ x= 3
sol : 34
7. x → Cifra decenas
y → Cifra unidades
x+ y= 9
10 ( x + 1) + y − 1 = 10 y + x
10 x + 10 + y − 1 = 10 y + x
9x − 9 y = − 9
x− y= −1
x+ y= 9
x− y= −1
2x = 8 ⇒ x = 4
4+ y= 9 ⇒ y= 5
sol : 45
EJERCICIO 199
1. x → Monedas de 20 cts.
y → Monedas de 10 cts.
x +
y=
78 (− 10)
20 x + 10 y = 1.130
− 10 x − 10 y = − 780
20 x + 10 y = 1.130
10 x
= 350
x = 35
35 + y = 78
y = 43
sol : 35 Mon. de 20 cts.
43 Mon. de 10 cts.
2. x → Monedas de $ 5
y → Monedas de $ 4
x + y = 91 (− 4)
5x + 4 y = 404
− 4 x − 4 y = − 364
5x + 4 y = 404
3. x → N º de adultos
y → N º de niños
700 (− 15)
40 x + 15 y = 18 . 000
− 15x − 15 y = − 10 .500
40 x + 15 y = 18 . 000
= 7 .500
x = 300
300 + y = 700
y = 400
sol : 300 adultos y 400 niños
25x
4. x → Monedas de 20 cts.
y → Monedas de 25 cts.
x +
x + y = 287
(− 1)
x + 2 y = 419
− x − y = − 287
x + 2 y = 419
y = 132
x + 132 = 287
x = 155
sol : 155 Billetes de $ 1
132 Billetes de $ 2
x + y = 34 (− 3)
sol : 40 Mon. de $ 5
51 Mon. de $ 4
y =
5. x → Billetes de $ 1
y → Billetes de $ 2
6. x → Libros de 3 col.
y → Libros de 7 col.
= 40
x
40 + y = 91
y = 51
x+
4. Continuación
5y = 115
y = 23
x + 23 = 44
x = 21
sol: 21 Monedas de 20 cts.
23 Monedas de 25 cts.
y = 44
(− 20)
20 x + 25 y = 995
− 20 x − 20 y = − 880
20 x + 25 y = 995
Continúa
3x + 7 y = 174
− 3x − 3 y = − 102
3x + 7 y = 174
4 y = 72
y = 18
x + 18 = 34
x = 16
sol : 16 libros de 3 col.
18 libros de 7 col.
7. x → N º de trajes
y → N º de sombreros
x +
y=
54
(− 45)
375x + 45 y = 6 . 720
− 45x − 45 y = − 2 . 430
375x + 45 y = 6 . 720
= 4 . 290
x = 13
13 + y = 54 ⇒ y = 41
330 x
sol : 13 trajes
41 sombreros
EJERCICIO 200
1. A − 1 = B + 1
A− B= 2
4. A − 10 = 2 ( B − 10)
A − 2 B = − 10
A + 1 = 3 ( B − 1)
3
( A + 10) = B + 10
4
A − 3B = − 4
3 ( A + 10) = 4 (B + 10)
A − B = 2 (− 1)
3 A − 4 B = 10
A − 3B = − 4
A − 2 B = − 10 (− 2)
− A+ B = − 2
A − 3B = − 4
3 A − 4 B = 10
− 2 A + 4 B = 20
3 A − 4 B = 10
− 2B = − 6
B=3
A − 3= 2
A=5
sol : A → $ 5 B → $ 3
B = 20
sol : A → 30 Años
2. B − 2 = A + 2
A− B = − 4
2 ( A − 2) = B + 2
2A− B= 6
A − B= −4
B → 20 Años
5.
8
A + 6 = ( B + 6)
5
2A− B = 6
5 ( A + 6) = 8 ( B + 6)
− A+ B= 4
2A− B= 6
5 A − 8 B = 18
A − 2 B = − 6 (− 4 )
= 10
A
10 − B = − 4
− B = − 14
B = 14
sol : A → 10 soles
B → 14 soles
5 A − 8 B = 18
− 4 A + 8 B = 24
5 A − 8 B = 18
B = 24
sol : A → 42 Años
P − 3= J + 3
P− J = 6
6 (− 1)
= 42
A
42 − 2 B = − 6
− 2 B = − 48
3. P → Pedro
J → Juan
P − 4 J = − 15
A − 6 = 2 ( B − 6)
A − 2B = − 6
(− 1)
4 ( J − 3) = P + 3
= 30
A
30 − 2 B = − 10
− 2 B = − 40
B → 24 Años
6.
A − 5=
3
(B − 5)
2
6. Continuación
− 6 A + 9 B = 15
7 A − 9 B = 20
= 35
A
2 ( 35) − 3B = − 5
70 − 3B = − 5
B = 25
sol : A → 35 Años
B → 25 Años
7. x → Edad Hombre
y → Edad Esposa
x=
9y
5
3
( x + 4) = y + 4
5
3x + 12 = 5 y + 20
3x − 5 y = 8
5x − 9 y = 0 ( 3)
3x − 5 y = 8 (− 5)
15x − 27 y = 0
− 15x + 25y = − 40
y = 20
9
x = (20)
5
x = 9 ( 4)
x = 36
sol : 36 Años → tiene el hom bre
20 Años → tiene la esposa
8. A − 25 = B + 25
A − B = 50
5
( A + 35) = B − 35
17
5 A + 175 = 17 B − 595
5 A − 17 B = − 770
A− B =
50 (− 5)
2 ( A − 5) = 3( B − 5)
5 A − 17 B = − 770
− 5 A + 5 B = − 250
P − 4 J = − 15
2 A − 3B = − 5
7
( A + 10) = B + 10
9
− 3J = − 21
J=7
7 A − 9 B = 20
A − 85 = 50
P− J =
P − 4 J = − 15
− P+ J = − 6
P − 7 = 6 ⇒ P = 13
sol : Pedro → $ 13
Juan → $ 7
7 ( A + 10) = 9 ( B + 10)
2 A − 3B = − 5 (− 3)
7 A − 9 B = 20
Continúa
5 A − 17 B = − 770
− 12 B = − 1. 020
B = 85
A = 135
sol : A → 135 Lempiras
B → 85 Lempiras
9. x → Edad padre
y → Edad hijo
1
( x − 6) = y − 6
5
x − 6 = 5 y − 30
x − 5y = − 24
2
( x + 9) = y + 9
5
2 x + 18 = 5y + 45
2 x − 5y = 27
10. P + 15 = 5 ( J − 15)
P − 5 J = − 90
3 ( P − 20) = J + 20
3 P − J = 80
P − 5 J = − 90 (− 3)
3P − J =
− x + 5y = 24
2 x − 5y = 27
80
− 3 P + 15 J = 270
3 P − J = 80
x − 5y = − 24 (− 1)
2 x − 5y = 27
11.
B
B


+ 60 = 4  B − − 60


2
2
2 A + B + 120 = 8B − 4 B − 480
2 A + B + 120 = 4 B − 480
2 A − 3B = − 600
B + 80 − 310 = A − 80
B − 230 = A − 80
A − B = − 150
2 A − 3B = − 600
A+
A − B = − 150 (− 2)
14 J = 350
J = 25
2 A − 3B = − 600
− 2 A + 2 B = 300
3 P − 25 = 80
3 P = 105
P = 35
= 51
x
sol : 35 cts. → tenia Pedro
51 − 5 y = − 24
25 cts. → tenia Juan
− 5 y = − 75
y = 15
sol : 51 Años → Edad padre
15 Años → Edad hijo
B = 300
A − 300 = − 150
A = 150 cts.
sol : $ 1, 50 → tiene A
$ 3 → tiene B
12. x → Edad de Enrique
y → Edad hermana
3
x − 6 = ( y − 6)
2
2 x − 12 = 3 y − 18
2 x − 3y = − 6
4 ( x + 6) = 5 ( y + 6)
4 x + 24 = 5 y + 30
4 x − 5y = 6
2 x − 3 y = − 6 (− 2 )
4 x − 5y = 6
− 4 x + 6 y = 12
4 x − 5y = 6
y = 18
2 x − 3 (18) = − 6
2 x − 54 = − 6
2 x = 48
x = 24
sol : 24 Añ. → Ed . Enrique
18 Añ. → Ed . herm.
EJERCICIO 201
1. x → Veloc. bote agua tranq.
y → Veloc. del rio
x + y → Veloc. bote a favor
del agua
x − y → Veloc. bote contra
la corriente
10
=1
x+y
x + y = 10
4
=1
x−y
x−y=4
x + y = 10
x−y= 4
= 14
x=7
7−y=4
y=3
sol: 7 Km
2x
2. x → Veloc. bote agua tranq.
y → Veloc. del rio
x + y → Veloc. bote a favor
del agua
x − y → Veloc. bote contra
agua
28 7
=
x+y 4
7x + 7y = 112
x + y = 16
24
=3
x−y
3x − 3y = 24
x−y=8
x + y = 16
x−y= 8
= 24
x = 12
12 − y = 8
y=4
sol: 12 Km
2x
h → Veloc.
bote agua tranq.
3 Km h → Veloc. del rio
h → Bote
4 Km h → Rio
3. x → Tiempo ida
y → Tiempo vuelta
x+ y=5
8 12
=
x y
12 x − 8 y = 0
x + y = 5 (8)
12 x − 8 y = 0
8 x + 8 y = 40
20 x
= 40
x=2
12 ( 2) − 8 y = 0
− 8 y = − 24
y=3
sol : 2h → Tiempo ida
3h → Tiempo vuelta
4. x → Veloc. bote agua tranq.
y → Veloc. rio
x + y → Veloc. bote a favor
de la cte
x − y → Veloc. bote en contra
de la cte
40 5
=
x+y 2
5x + 5y = 80
x + y = 16
40
=5
x−y
5x − 5y = 40
x−y=8
x + y = 16
x−y= 8
= 24 ⇒ x = 12
12 − y = 8 ⇒ y = 4
2x
sol: 12h → Veloc. bote
4h → Veloc. rio
5. x → tiempo ida
y → tiempo vuelta
x+ y=6
20 40
=
x
y
40 x − 20 y = 0
2x − y = 0
x+ y=6
2x − y = 0
3x
=6
⇒ x=2
2 ( 2) − y = 0
− y= −4 ⇒ y=4
6. x → tiempo ida
y → tiempo vuelta
z → Pr ecio kilo fríjoles
5x + 3 y + 4z = 1, 18
4 x + 5 y + 3z = 1, 45
2 x + y + 2 z = 0 , 46
5x + 3 y + 4z = 1, 18 (− 3)
4 x + 5 y + 3z = 1, 45 ( 4)
Continúa
1. x → N º mayor
y → N º medio
z → N º menor
x+ y
z − 1=
3
3z − 3 = x + y
x + y − 3z = − 3
x + y + z = 37
y − z = x − 13
x − y + z = 13
x + y = 5 ( 2)
3x − 2 y = 0
2 x + 2 y = 10
3x − 2 y = 0
5x
= 10
x=2
2+ y = 5
y=3
sol : 2h → tiempo ida
3h → tiempo vuelta
Entonces
32 Km
= 16 Km h → Veloc. rio abajo
2h
x + y + z = 37 (− 1)
x + y − 3z = − 3
− x − y − z = − 37
x + y − 3z = − 3
− 4 z = − 40
z = 10
x + y + z = 37
x − y + z = 13
12 Km
= 4 Km h → Veloc. rio arriba
3h
Luego
x → Veloc. bote
y → Veloc. rio
x + y = 16
x− y= 4
2x
2x
h → Veloc. bote
6 Km h → Veloc. rio
2. Continuación
− 15x − 9 y − 12 z = − 3 , 54
16 x + 20 y + 12 z = 5 , 80
x + 11y
= 2 , 26
4 x + 5 y + 3z = 1, 45
2 x + y + 2 z = 0 , 46
+ 2 z = 50
2 x + 2 (10) = 50
2 x = 30
x = 15
15 + y + 10 = 37
y + 25= 37
y = 12
sol: 15 , 12 , 10
= 20
x = 10
10 + y = 16
y= 6
sol :10 Km
sol : 2h → tiempo ida
4h → tiempo vuelta
2. x → Pr ecio kilo azúcar
y → Pr ecio kilo café
EJERCICIO 202
x+ y=5
8 12
=
x y
12 x − 8 y = 0
3x − 2 y = 0
( 2)
(− 3)
8 x + 10 y + 6z = 2 , 90
− 6 x − 3 y − 6z = − 1, 38
Continúa
2. Continuación
2. Continuación
= 1, 52
2x + 7 y
x + 11y = 2 , 26
(− 2)
2 x + 7 y = 1, 52
− 2 x − 22 y = − 4 , 52
2 x + 7 y = 1, 52
− 15 y = − 3
1
5
y = 0,2
y=
Continúa
2 x + 7 (0 , 2) = 1 , 52
2 x + 1 , 4 = 1 , 52
2 x = 0 , 12
x = 0 , 06
2 (0 , 06) + 0 , 2 + 2 z = 0 , 46
0 , 12 + 0 , 2 + 2 z = 0 , 46
2 z = 0 , 14
z = 0 , 07
sol : 6 cts. → Kilo Az.
20 cts. → Kilo café
7 cts. → Kilo fríjoles
3. x → Cifra centenas
y → Cifra decenas
z → Cifra unidades
x + y + z = 15
2 x + 2 y − 3z = 0
99 x − 99 z = 99
x− z=1
(− 2)
2 x + 2 y − 3z = 0
− 2 x − 2 y − 2 z = − 30
0
− 5z = − 30
z=6
x − 6= 1
x=7
7 + y + 6 = 15
y + 13 = 15
y= 2
sol : 726
4. x → N º mayor
y → N º medio
= 135
x = 45
2 x + 6 y + 9 z = 702
3x
8
2 x + 6 y + 9 z = 702
18 x − 9 y − 9 z = 72
= 774
Continúa
x + y + z = 6 ( 31)
59 x − 31y + z = 0
31x + 31y + 31z = 186
59 x − 31y + z = 0
+ 32z = 186
45x + 16z = 93
(− 45)
( 9)
x y z
+ + = 15
8 9 5
45x + 40 y + 72 z = 5. 400
z + x = 65
x + y + z = 110
+ z = 65 (− 1)
x
45x + 16z = 93
x + y + z = 110
−x
− z = − 65
− 45x + 45z = 90
45x + 16z = 93
y
= 45
45x + 40 y + 72 z = 5. 400
61z = 183
z=3
x − 3= − 2
x=1
1+ y + 3= 6
y+ 4= 6
y=2
sol : 123
y+ z
2
2x − 8 = y + z
2x − y − z = 8
x + y + z = 127
2x − y − z = 8
20 x − 3 y
z → Cifra unidades
x+ y+ z= 6
sol: 80! , 55! , 45!
100 x + 10 y + z
= 41
x+ y
100 x + 10 y + z = 41x + 41y
59 x − 31y + z = 0
7. x → N º de vacas
100 x + 10 y + z + 198 = 100z + 10 y + x y → N º de caballos
99 x − 99z = − 198
z → N º de terneros
x− z= − 2
x + y + z = 110
x − z =−2
x− 4=
= 160
x = 80
80 − z = 35
z = 45
80 + y + 45 = 180
y + 125 = 180
y = 55
2x
5. x → Cifra centenas
y → Cifra decenas
90x
z → N º menor
x + y + z = 127
z y x
+ + = 39
2 3 9
2 x + 6 y + 9 z = 702
2x − y − z =
z − 20 = x − y
x − y − z = − 20
x + y + z = 180
x − y − z = − 20
900 − 3 y = 774
− 3 y = − 126
z = 40
sol: 45 , 42 , 40
100 x + 10 y + z − 99 = 100z + 10 y + x
2 x + 2 y − 3z =
6. Continuación
20 (45) − 3 y = 774
y = 42
45 + 42 + z = 127
3z
2
2 x + 2 y = 3z
x+ y=
x + y + z = 15
4. Continuación
6. x → Angulo mayor
y → Angulo medio
z → Angulo menor
x + y + z = 180
x − 35 = z
x − z = 35
Continúa
x
+ z =
65 (− 45)
45x + 40 y + 72 z = 5. 400
− 45x
− 45z = − 2 . 925
40 y + 27 z = 2 . 475
40 (45) + 27 z = 2 . 475
1. 800 + 27z = 2 . 475
27 z = 675
z = 25
x + 45 + 25 = 110
x + 70 = 110
x = 40
sol : 40 vacas ;
45 caballos ;
25 terneros
8. x → Cifra centenas
y → Cifra decenas
z → Cifra unidades
x + y + z = 10
x+ y− 4= z
x+ y− z= 4
x + z − 6= y
x− y+ z= 6
x + y + z = 10
x + y − z = 4 (− 1)
x + y + z = 10
− x− y+ z= − 4
2z = 6
z= 3
x + y + z = 10
+ 2 z = 16
x+ z=8
A
2
A − 2C = 0
A − 10 = B
C=
A − B = 10
A + B + C = 140
= 10
A− B
2A
+ C = 150
100z + 10 y + x =
x=5
5 + y + 3 = 10
3. 993x − 660 y − 10 . 659 z = 0
1. 331x − 220 y − 3.553z = 0
100 x = 300
x=3
1. 331x − 220 y − 3.553z = 0
2 A + C = 150 ( 2)
x
y + z = 110 (− 1)
x + y + z = 180
− y − z = − 110
= 70
x
70 + y = 135
y = 65
70 + 65 + z = 180
135 + z = 180
z = 45
sol : 70! , 65! , 45!
y
+
z
= 6 (220)
A − 2C = 0
1. 331x − 220 y − 3.553z =
220 x + 220 y + 220z = 1. 320
= 300
5A
A = 60
11.
z → Angulo menor
x + y + z = 180
x + y = 135
y + z = 110
x + y + z = 180
+
4 A + 2C = 300
A − 2C = 0
sol : 523
9. x → Angulo mayor
y → Angulo medio
41(100 x + 10 y + z )
107
10 . 700z + 1. 070 y + 107 x = 4 .100x + 410 y + 41z
1.551x
− 3. 333z = 1. 320
z=1
3 + y + 1= 6
y+ 4= 6
y=2
A − 1= C + 1
A− C= 2
B − 1= C
B− C=1
A + 5 = 2C
A − 2C = − 5
− C= 2
A
B− C= 1
A + B − 2C = 3
A + B − 2C = 3
A
0
1.551( 3) − 3. 333z = 1. 320
4 . 653 − 3. 333z = 1. 320
B = 50
sol : A → 60bs. B → 50bs.
C → 30bs.
x + 3= 8
y=2
12. x + y + z = 6
2 ( 60) + C = 150
C = 30
60 + B + 30 = 140
x− y+ z= 6
2x
10. A + B + C = 140
− 2C = − 5 (− 1)
A + B − 2C = 3
−A
+ 2C = 5
=8
B
8− C =1
C= 7
A− 7= 2
A= 9
sol : A → $ 9
B → $8 C → $ 7
sol :
321
13. A − 2 = B + 2
A− B= 4
B − 1= C + 1
B− C= 2
8
A= C
5
5 A − 8C = 0
=4
A− B
B−C= 2
A
−C= 6
A − C = 6 (− 8)
5 A − 8C = 0
− 8 A + 8C = − 48
5 A − 8C = 0
− 3A
= − 48
A = 16
16 − B = 4
B = 12
12 − C = 2
C = 10
sol : A → 16Q
B → 12Q C → 10Q
14. x → Cifra centena
y → Cifra decena
15.
z → Cifra unidades
100 x = 400
x= 4
x+ y+ z= 9
16 (100x + 10 y + z )
49
4 . 900z + 490 y + 49 x = 1. 600 x + 160 y + 16z
1.551x − 330 y − 4 .884z = 0
517 x − 110 y − 1. 628z = 0
517 x − 110 y − 1. 628z = 0
100z + 10 y + x =
x +
+
y
= 9 (110)
z
517 x − 110 y − 1. 628z = 0
110 x + 110 y + 110z = 990
5A
5 A − 7C =
627 ( 4) − 1.518z = 990
2 .508 − 1.518z = 990
− 1.518z = − 1.518
z=1
4 + y + 1= 9
y + 5= 9
y=4
sol : 441
15. Continuación
C = 10
5 A − 7 (10) = 5
5 A = 75
A = 15
2 (15) + B − 10 = 32
B + 20 = 32
B = 12
sol : 15 , 12 10
− 7C = 5
3 A − B − 6C = − 27
A + B − 3C = − 3
4A
− 1.518z = 990
627 x
2 A + B = C + 32
2 A + B − C = 32
B
+ 2C = A + 9
3
B + 6C = 3 A + 27
3 A − B − 6C = − 27
A+ B
= C−1
3
A + B = 3C − 3
A + B − 3C = − 3
2 A + B − C = 32
3 A − B − 6C = − 27
5
− 9C = − 30
(− 4)
4 A − 9C = − 30 (5)
− 20 A + 28C = − 20
20 A − 45C = − 150
− 17C = − 170
EJERCICIO 203
1. x → Ancho
y → L arg o
2 ( x + y ) = 18
4 y = 5x
5x − 4 y = 0
x + y = 9 ( 4)
5x − 4 y = 0
4 x + 4 y = 36
A − B = 24 (− 1)
− A + B = − 24
− 3x + 2 y = 25
B = 24
A − 24 = 24
= 36
B → 24 balboas
A = 2B
A − 2B = 0
A − 12 = B + 12
A − B = 24
Continúa
x + y = 25 ( 3)
− 3x + 2 y = 25
3x + 3 y = 75
5x − 4 y = 0
x=4
4+ y= 9
y=5
sol : 5m ⋅ 4m
3. Continuación
0
A − 2B =
A = 48
sol : A → 48 balboas
9x
2.
2. Continuación
A − 2B = 0
3. x → Ancho
y → L arg o
(x + 1)( y + 1) = 26 + xy
xy + x + y + 1 = 26 + xy
x + y = 25
(x + 2)( y − 3) = 19 + xy
xy − 3x + 2 y − 6 = 19 + xy
− 3x + 2 y = 25
Continúa
5 y = 100
y = 20
x + 20 = 25
x=5
sol : 20m ⋅ 5m
4. x → Pr ecio carro
y → Pr ecio caballo
z → Pr ecio arreos
x + y + z = 200
x + z = y + 20
x − y + z = 20
y + z = x + 40
x − y − z = − 40
Continúa
4. Continuación
x + y + z = 200
x − y − z = − 40
= 160
x = 80
x + y + z = 200
x − y + z = 20
2x
2x + 2z = 220
x + z = 110
80 + z = 110
z = 30
80 + y + 30 = 200
y + 110 = 200
y = 90
sol:$ 80 → Costo carro
$ 90 → Costo caballo
$ 30 → Costo arreos
5. x → 1er Número
y → 2º Número
z → 3er Número
x + y = z + 18
x + y − z = 18
x + z − 78 = y
x − y + z = 78
y + z = x + 102
x − y − z = − 102
x + y − z = 18
x − y + z = 78
= 96
x = 48
x − y + z = 78
x − y − z = − 102
7 (0 , 3) + 6 y = 4 , 8
x − y = 25
x + y = 55
2x
2 ,1 + 6 y = 4 , 8
6y = 2 , 7
y = 0 , 45
= 80
x = 40
40 − y = 25
y = 15
sol: 40 Km h → Veloc. del
pájaro tranq.
6. x → Cifra decenas
y → Cifra unidades
x+y=6
10x + y − 36 = 10y + x
9x − 9y = 36
x−y=4
x+y=6
x−y=4
= 10
x=5
5+ y =6
y =1
sol: 51
2x
− 5 y = − 90
y = 18
xy = ( x + 5)( y − 2)
xy = xy − 2 x + 5 y − 10
2 x − 5y = − 10
xy = ( x − 5)( y + 4)
xy = xy + 4 x − 5 y − 20
(− 1)
2 x − 5 y = − 10
= − 30
x = 15
2 (15) − 5 y = − 10
30 − 5y = − 10
− 5y = − 40
y=8
sol : 15 → Libros compró
$ 8 → cos tó c / u
7. x → Veloc. pájaro
y → Veloc. viento
x + y → Veloc. pájaro a favor
9. x → Pr ecio kilo café
y → Pr ecio kilo té
x − y → Veloc. pájaro contra
55
=1
x+y
x + y = 55
25
=1
x−y
Continúa
8 x + 9 y = 6 , 45 (6)
7 x + 6y = 4 ,8
(− 9)
− 63x − 54 y = − 43 , 2
48 x + 54 y = 38 , 7
− 15x
= − 4 ,5
x = 0,3
Continúa
x + 18 = 50
x = 32
sol : 32 → trajes de $ 40
18 → trajes de $ 35
11. x → Numerador
− 4 x + 5 y = − 20
− 2x
50 (− 40)
− 40 x − 40 y = − 2 . 000
40 x + 35 y = 1. 910
8. x → N º de libros
y → Pr ecio de c / u
4 x − 5 y = 20
10. x → trajes de $ 40
y → trajes de $ 35
40 x + 35 y = 1. 910
viento
4 x − 5y = 20
2 x − 5 y = − 10
sol : 30 cts. → Costo kilo café
45 cts. → Costo kilo té
x + y =
15 Km h → Veloc. del
2x
2x − 2y = − 24
x − y = − 12
48 − y = − 12
y = 60
48 + 60 − z = 18
108 − 18 = z
90 = z
sol: 48 , 60 , 90
9. Continuación
7. Continuación
y → Deno min ador
x −1 1
=
y
3
3x − 3 = y
3x − y = 3
x
1
=
y−2 2
2x = y − 2
− 2x + y = 2
3x − y = 3
− 2x + y = 2
x
=5
3 (5) − y = 3
− y = − 12
y = 12
12. x → 1a bolsa
y → 2a bolsa
x + y = 200
x − 15 = y + 15
x − y = 30
Continúa
sol :
5
12
12. Continuación
x + y = 200
x − y = 30
15. x → N º de personas
y → Pr ecio c / u
xy = ( x + 10)( y − 5)
= 230
x = 115
115 + y = 200
y = 85
xy = xy − 5x + 10 y − 50
5x − 10 y = − 50
x − 2 y = − 10
sol: 115 soles → 1a bolsa
xy = xy + 5x − 6 y − 30
5x − 6 y = 30
5x − 6 y = 30
2x
85 soles → 2a bolsa
13. x → Pr ecio caballo
y → Pr ecio coche
x + 20 = 3 y
x − 3 y = − 20
3x
20 + y =
5
3x = 100 + 5 y
3x − 5 y = 100
x − 3 y = − 20 (− 3)
3x − 5 y = 100
− 3x + 9 y = 60
3x − 5 y = 100
4 y = 160
y = 40
x − 3 ( 40) = − 20
x = 100
sol : 100 soles → Costó el caballo
40 soles → Costó el coche
14. x → Cifra decenas
y → Cifra unidades
10 x + y = 6 ( x + y)
10 x + y = 6 x + 6 y
4 x − 5y = 0
10 x + y − 9 = 10 y + x
9x − 9 y = 9
x− y=1
4 x − 5y = 0
x − y =1
(− 5)
4 x − 5y = 0
− 5x + 5 y = − 5
−x
= −5
x=5
5− y = 1
y= 4
sol : 54
xy = ( x − 6)( y + 5)
x − 2 y = − 10 (− 3)
5x − 6 y = 30
− 3x + 6 y = 30
= 60
x = 30
2x
30 − 2 y = − 10
− 2 y = − 40
y = 20
sol : 30 → Personas
20 bs. → c / u
17. Continuación
5x − 6y = 0
− 6x + 6y = − 60
−x
= − 60
x = 60
60 − y = 10
y = 50
sol: $ 60 → gané ayer
$ 50 → gané hoy
er
18. x → 1 nùmero
y → 2º nùmero
x 3
=
y 5
x − 10 1
=
y − 10 2
5x − 3 y = 0
2 x − y = 10 (− 3)
5x − 3 y = 0
− 6 x + 3 y = − 30
16. A + B = 1. 080
2A
B
= B−
5
4
20 A − 8 A = 20 B − 5B
12 A − 15B = 0
4 A − 5B = 0
−x
A−
A + B = 1. 080 (5)
4 A − 5B = 0
5 A + 5B = 5. 400
4 A − 5B = 0
9A
= 5. 400
A = 600
600 + B = 1. 080
B = 480
sol : A → 600 sucres
B → 480 sucres
17. x → gané ayer
y → gané hoy
y + 10 = x
5x
y=
6
5x − 6 y = 0
5x − 6 y = 0
x − y = 10
Continúa
= − 30
x = 30
2 (30) − y = 10
60 − y = 10
y = 50
sol : 30 , 50
19. A + 4 = B − 4
A− B= −8
9
( A − 4)
5
5B + 20 = 9 A − 36
9 A − 5B = 56
B+ 4=
A − B = − 8 (− 5)
9 A − 5B = 56
− 5 A + 5B = 40
9 A − 5B = 56
= 96
A = 24
24 − B = − 8
B = 32
sol : A → 24 lempiras
B → 32 lempiras
4A
(− 6)
20. A − 20 = 2 ( B − 20)
A − 2 B = − 20
9
(B + 30)
7
7 A + 210 = 9 B + 270
A + 30 =
7 A − 9 B = 60
A − 2 B = − 20
(− 7 )
7 A − 9 B = 60
21. Continuación
12 + y = 16
y=4
sol: 12 Km h → Veloc. bote
4 Km h → Veloc. rio
22.
− 7 A + 14 B = 140
7 A − 9 B = 60
5B = 200
B = 40
A − 2 ( 40) = − 20
A − 2 B = 15 (− 5)
A − 80 = − 20
5 A − 9 B = 90
− 5 A + 10 B = − 75
A = 60
sol : A → 60 Años
B → 40 Años
21. x → tiempo ida
y → tiempo vuelta
x+y=3
4 8
=
x y
8x − 4y = 0
2x − y = 0
x+y=3
2x − y = 0
3x
=3
x =1
1+ y = 3
y=2
Si 1h → tiempo de ida
2 h → tiempo de vuelta
Entonces
16 Km
= 16 Km h → Veloc. a favor
1h
16 Km
= 8 Km h → Veloc. en contra
2h
Luego
x → Veloc. del bote
y → Veloc. delrio
x + y = 16
x−y= 8
2x
= 24
x = 12
Continúa
A
B
− 2=
9
5
5 A − 90 = 9 B
5 A − 9 B = 90
2 B = A − 15
A − 2 B = 15
5 A − 9 B = 90
B = 15
A − 2 (15) = 15
A − 30 = 15
A = 45
sol : A → 45 Años
B → 15 Años
23.
24. Continuación
−x+y=4
x+y=6
2y = 10
y=5
x+5=6
x =1
sol: 15
25. x → L arg o
y → Ancho
2 ( x + y ) = 58
2 x + 2 y = 58
x + y = 29
(x + 2)( y − 2) = xy − 46
xy − 2 x + 2 y − 4 = xy − 46
− 2 x + 2 y = − 42
x − y = 21
x + y = 29
x − y = 21
2x
5A − 4 = 4B
5A − 4B = 4
7 A − 2 = 6B
7 A − 6B = 2
= 50
x = 25
25 + y = 29
y=4
sol : 25 m ⋅ 4m
5 A − 4 B = 4 (6)
7 A − 6B = 2 (− 4)
30 A − 24 B = 24
− 28 A + 24 B = − 8
2A
= 16
A= 8
26. x → L arg o
y → Ancho
2 x + 2 y = 56
x + y = 28
( y − 2)(x + 2) = xy
5(8) − 4 B = 4
40 − 4 B = 4
− 4 B = − 36
B= 9
sol : A → 8 Km B → 9 Km
24. x → Cifra decenas
y → Cifra unidades
y−x=4
10x + y + 10y + x = 66
11x + 11y = 66
x+y=6
Continúa
xy + 2 y − 2 x − 4 = xy
2x − 2 y = − 4
x− y= −4
x + y = 28
x− y= − 4
2x
= 24
x = 12
12 + y = 28
y = 16
sol : 16 m ⋅ 12 m
EJERCICIO 204
1. m = 6 n = 3
3
3
3
A6 = 6 ⋅ 5 .... (6 − 3 + 1)
A6 = 6 ⋅ 5⋅ 4
A6 = 120
2. P5 = 5!
P5 = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2
P5 = 120
9. P 5 − 1 = P 4
P4 = 4 !
P 3 = 3!
P4 = 4 ⋅ 3 ⋅ 2
P 3 = 3⋅ 2
P4 = 24
P 3 =6
10. P 6 = 6!
17. m = 5 n = 3
P6 = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2
P6 = 720
3. m = 7 n = 5
A 7 7 ⋅ 6 .... (7 − 5 + 1)
=
P5
5!
⋅
⋅
⋅
⋅
7
6
5
4
3
5
C7=
5⋅ 4 ⋅ 3⋅ 2 ⋅ 1
. 520
2
5
C7=
120
5
C 7 = 21
5
5
C7=
4. m = 6
n= 2
A 6 = 6 ⋅ 5.... (6 − 2 + 1)
2
2
A 6 = 6⋅ 5
2
A 6 = 30
5. m = 5 n = 3
A 5 = 5⋅ 4 .... (5 − 3 + 1)
3
3
A 5 = 5⋅ 4 ⋅ 3
3
A 5 = 60
6. m = 12 n = 5
16. P 5 − 2 = P 3
11. Siendo el 1º
P 6 = 6!
P6 = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2
3
A 5 = 5⋅ 4 .... (5 − 3 + 1)
3
A 5 = 5⋅ 4 ⋅ 3
3
A 5 = 60
18. P 11− 1 = P 10
P6 = 720
P 10 = 10!
sin lugar fijo
P 7 = 7!
P 10 = 3 . 628 . 800
P 10 = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2
P 7 = 7P 6
P 7 = 7 ⋅ 720
P 7 = 5 . 040
12. En un banco
P 6 = 720
En una mesa
redonda
P 6 −1 = P 5
P 5 = 5!
P 5 = 120
A 12 12 ⋅ 11.... (12 − 5 + 1)
=
13. m = 9 n = 3
P5
5!
3
A 9 = 9 ⋅ 8 ....(9 − 3 + 1)
12 ⋅11⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8
19. m = 8 n = 3
3
C8=
A 8 8 ⋅ 7 .... (8 − 3 + 1)
=
P3
3!
3
C8=
8⋅ 7 ⋅ 6
3⋅ 2
3
C 8 = 4⋅7⋅2
3
C 8 = 56
3
20. m = 6
A 6 = 6 ⋅ 5.... (6 − 3 + 1)
5
A 6 = 6 ⋅ 5⋅ 4
5
A 6 = 120
5
5
5
C 12 =
C 12 =
5⋅ 4 ⋅ 3⋅ 2 ⋅ 1
3
5
C 12 = 3⋅11⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4
3
5
C 12 = 792
7. P 7 = 7!
P 7 = 7⋅6⋅5⋅4 ⋅3⋅2
P 7 = 5 . 040
8. m = 7 n = 4
4
C7=
A 7 7 ⋅ 6 .... (7 − 4 + 1)
=
P4
4!
4
C7=
7 ⋅ 6 ⋅ 5⋅ 4
4 ⋅ 3⋅ 2 ⋅ 1
4
4
4
A 9 = 9 ⋅ 8⋅ 7
A 9 = 504
14. P 4 − 1 = P 3
P 3 = 3!
n= 3
5
21. Palabras dist int as
P 8 = 8!
P 8 = 8⋅7 ⋅6⋅5⋅4 ⋅3⋅2
P 8 = 40 . 320
P 3 =6
15. m = 5 n = 3
Vocales fijas
P 5 = 5!
P 5 = 120
A 5 5⋅ 4 .... (5 − 3 + 1)
=
P3
3!
22. P 5 − 1 = P 4
⋅
⋅
5
4
3
3
C5=
3⋅ 2
P = 4!
3
3
C5=
C 7 = 7 ⋅5
3
C 5 = 5⋅ 2
P 4 = 4 ⋅3⋅2
C 7 = 35
3
C 5 = 10
P 4 = 24
4
EJERCICIO 205
1.
(4a 2 )2 = 16a 4
(
11.
)
3
2. − 5a = − 125a 3
12.
( )
2
4 2
2 3 3
6.
(4a b c ) = 64a b c
6 9 12
(− 6x y ) = 36x y
8. (− 7ab c ) = − 343a b c
4 5 2
7.
8 10
3 4 3
9.
3 9 12
(a mbn )x = a mxbnx
10.
2
4
 2ab 2  16a 4b8
 =
81m12
 3m3 
15.
20.  −
8 4 12
5
10 5
5
 2m3n  32m15n5
 =
243x 20
 3x 4 
21. 
(7 x y z ) = 49 x y z
5 6 8 2
10 12 16
2
 3a 3b 2  9a 6b 4
 =
22.  −
4 
16

2
 x
x2
 = 2
16.  −
 2y 4y
4
 mn2  m4 n8
 =
3 
81

8m3
 2m 
17.  − 2  = − 6
 n 
n
3
23.  −
5
 a 2b 4 
a 10b 20
 =−
2 
32

3
(− 2 x y z ) = 16x y z
3 5 6 4
3 4
2
2
6 9
2 3 4 3
 3x 2 
9x4
 =
19.  −
 4 y  16 y 2
9 3
(a 2b3c)m = a 2mb3mcm
13.
(− 6a b) = 36a b
5. (− 2 x y ) = − 8 x y
2
3
3
(− m nx ) = m n x
14. (− 3a b) = − 243a b
3
3. 3xy = 27 x 3 y 3
4.
(− 3m n) = − 27m n
12 20 24
 ab2  a 3b 6
 =
18. 
125
 5 
24.  −
EJERCICIO 206
7. ( xy − a b )
5
4
1. (a + 7b )
2 2 2
2
= a 10 + 2a 5 (7b 4 ) + 49b8
= a + 14a b + 49b
10
5 4
2. 3x − 5xy
3 2
(
4
8
)
= 9 x 8 − 2 (3x 4 ) (5xy 3 ) + 25x 2 y 6
= 9 x 8 − 30 x 5 y 3 + 25x 2 y 6
(
3. a b − a
2 3
)
5 2
= a 4b 6 − 2a 2b 3 (a 5 ) + a 10
= a 4b 6 − 2a 7b 3 + a 10
(
4. 7 x − 8 x y
)
= 49 x − 2 (7 x 5 )(8x 3 y 4 ) + 64 x 6 y 8
10
(
)
2 3 2
5. 9ab + 5a b
= 81a 2b4 + 2 (9ab 2 )(5a 2b 3 ) + 25a 4b 6
= 81a 2b4 + 90a 3b5 + 25a 4b 6
(
2 3
)
3 2 2
6. 3x y − 7 x y
2
 x 2y
8.  2 + 3 
=
2 2
4 4
2
x2
 x  2y 4y
+ 2    +
 2  3 
4
9
 3a 2b 
−


5 
2
=
2
= 9 x 4 y 6 − 2 (3x 2 y 3 )(7 x 3 y 2 ) + 49 x 6 y 4
= 9 x 4 y 6 − 42 x 5 y 5 + 49 x 6 y 4
=
 a 5   3a 3b 7  9a 6b14
a10
− 2  
+
81
49
 9 7 
a10 2a 8b 7 9a 6b14
−
+
81
21
49
2
 2m4 5n 3 
12.  5 − 4 
=
2 2
4m8
25n 6
− m4 n 3 +
25
16
2
 x y2 
13.  + 
3 4
=
4
9a 3a b 4b
−
+
16
5
25
 5x 3 3xy 2 
+

10.  6
5 
 2m4   5n 3  25n 6
4m8
− 2

+
25
16
 5  4 
=
2
 3a 2   2b 2  4b 4
9a 4
− 2

+
16
 4   5  25
4
2
=
2
x 2 2 xy 4 y 2
=
+
+
4
3
9
= 49 x10 − 112 x 8 y 4 + 64 x 6 y 8
2
=
= x y − 2a b xy + a b
2
9.  4
3 4 2
5
= x 2 y 2 − 2 (xy )(a 2b 2 ) + a 4b 4
 a 5 3a 3b 7 
−

11.  9
7 
2
=
 5x 3   3xy 2  9 x 2 y 4
25x 6
+ 2

+
36
25
 6  5 
=
25x 6
9 x2 y4
+ x4 y2 +
36
25
2
4
x2
 x  y  y
+ 2    +
 3   4  16
9
x 2 xy 2 y 4
+
+
9
6 16
2
 2 x 3y 
− 
14. 
 3
5
=
=
2
4x2
 2 x   3y  9 y
− 2    +
 3   5  25
9
=
4 x 2 4 xy 9 y 2
−
+
9
5
25
 a 3 4a 2 
 +

15.  8
7b 
=
2
 5x 7 3 y 6 
 5x 7   3 y 6  9 y12
25x14
2
−

=
−
 4 
+
36 y 8
 6 y 4 10 x 2 
 6 y   10 x 2  100 x 4
17. 
 a 3   4a 2  16a 4 a 6 a 5 16a 4
a6
+ 2  
=
+
+
+
 8   7b  49b 2 64 7b 49b 2
64
 3 2x4 
16.  2 x − 3 
=
2
=
25x 14 x 5 y 2 9 y12
−
+
36 y 8
2
100 x 4
2
 3a 6 4a 2 
 3a 6   4a 2  16a 4
9a12
− 5 =
− 2

+
9b 
64
 8   9b5  81b10
 8
2
18. 
4
8
9
9
4 x8
 3   2x  4x
= 2 − 2x3 +

+
2 − 2
 2x  3 
4x
9 4x
9
=
9a12 a 8 16a 4
−
+
64 3b5 81b10
EJERCICIO 207
(2a + 3b) = 8a + 3(4a )(3b) + 3 (2a ) (9b ) + 27b = 8a + 36a b + 54ab + 27b
2. (4a − 3b ) = 64a − 3 (16a )(3b ) + 3 ( 4a ) (9b ) − 27b = 64a − 144a b + 108ab − 27b
3. (5x + 6 y ) = 125x + 3 (25x ) (6 y ) + 3 (5x ) (36 y ) + 216 y = 125x + 450 x y + 540 x y + 216 y
4. (4 x − 3xy ) = 64 x − 3 (16 x ) (3xy ) + 3(4 x ) (9 x y ) − 27 x y = 64 x − 144 x y + 108 x y − 27 x y
5. (7a − 5a b )
3
1.
3
2 3
2
2
3
2
3
2
3
4
2
3 3
6
4
3
3
2 3
9
6
2
4
2 3 3
2
3
2
6
2
3
6
9
2 4
3 6
3
2 2
6
4
4 3
9
7 2
6
2 6
5 4
9
3 6
= 343a12 − 3 (49a 8 )(5a 2b 3 ) + 3 (7a 4 )(25a 4b 6 ) − 125a 6b 9 = 343a12 − 735a10b 3 + 525a 8b 6 − 125a 6b 9
(a + 9a x ) = a + 3(a )(9a x ) + 3(a )(81a x ) + 729a x = a + 27a x + 243a x + 729a x
7. (8 x − 7 x y )
5 4 3
8
6.
4
24
16
5 4
8
10 8
15 12
24
21 4
18 8
15 12
2 4 3
= 512 x12 − 3(64 x 8 )(7 x 2 y 4 ) + 3(8 x 4 )(49 x 4 y 8 ) − 343x 6 y12 = 512 x12 − 1. 344 x10 y 4 + 1.176 x 8 y 8 − 343x 6 y12
8.
(3a b − 5a b )
2
3 2 3
= 27a 6b 3 − 3 (9a 4b2 )(5a 3b2 ) + 3 (3a 2b)(25a 6b 4 ) − 125a 9b 6 = 27a 6b 3 − 135a 7b 4 + 225a 8b5 − 125a 9b 6
4
6
3
2 2
4
6
 a 2   2b 2 
1
2b 2  a 3
 a   4b  8b a a b 2ab 8b
= +
+
+
a+
+
 + 3  
 = + 3  
 2   9  27 8
3 
8
2
3
27
 4 3 
2
3
9. 
 3a 2   16b4  64b 6 27a 6 27a 4b 2 36a 2b 4 64b 6
 9a 4   4b 2 
 3a 2 4b 2  27a 6
=
−
+
−
− 3
−
−

 + 3

 =
5 
64
64
20
25
125
 4   25  125
 16   5 
 4
3
10. 
 5a 2b 3b 4 
11.  6 − 10 
=
 25a 4b 2   3b 4 
 5a 2b   9b8  27b12 125a 6b 3 5a 4b 6 9a 2b 9 27b12
125a 6b 3
− 3
=
−
+
−

 + 3

−
216
216
8
40
1. 000
 36   10 
 6   100  1. 000
 7 x5 4 y6 
12.  8 − 7 
=
3
3
 49 x10   4 y 6 
 7 x 5   16 y12  64 y 18 343x15 21x10 y 6 6 x 5 y 12 64 y18
343x15
− 3
=
−
+
+

 + 3

+
512
512
16
7
343
 64   7 
 8   49  343
 x 2   3 y   x   9 y 2  27 y 3 x 3
 x 3y 
x3
9 27 y 27 y 3
+
+ 6
+ 2  = 3 + 3 2   2  + 3   4  + 6 = 3 +
13. 
x
8y 4 y 2 x3
x
 2 y x  8y
 4y   x   2y  x 
3
 2a 2   25  125 8a 6 6a 4 15a 2 125
 4a 4   5 
 2a 2
5  8a 6
=
−
+
−
− 3
− 3 =

−
  3  + 3
14. 
 5   4b 6  8b 9 125 5b 3 2b 6 8b 9
 5 2b  125  25   2b 
3


15.  4 x −
4
 9 x 2  27 x 3
 3x 
3x 
144 x 9 108 x 6 27 x 3
12
12
8
4
+
− 9
6  −
9 = 64 x −
3  = 64 x − 3 (16 x )  3  + 3 (4 x ) 
y 
y
y3
y6
y
y 
 y 
3
4
6
3
2
3
6
 3a 4b 2  27a 3
 9a 2   4b 2 
 3a   16b  64b 27a 27a 72ab 64b
+
 =
 + 3  
+
=
+
+
16. 
3 + 3
2 
3 +
 2b   25  125 8b
8b
5
25
125
 2b 5 
 4b   5 
3
4 5
8 10
 7 4 5  343  49  4 5  7  8 10 12 15 343 147 x y 21x y
−x y  =
− 3  x y + 3  x y − x y =
−
+
− x12 y15
8
 512  64 
 8
512
64
8
17. 
3
 m6   6n 2   m3   36n4  216n 6 m9 m4 n 2 18n 4 216n6
 m3 6n 2 
m9
=
−
+
−
− 3   2  + 3   4  −
− 2 =
18. 
216
2
m6
m
m6
 6 m  216  36   m   6   m 
EJERCICIO 208
1. x 2 − 2 x + 1
= x 4 + 4 x 2 + 1+ 2 x 2 (− 2 x) + 2 x 2 (1) + 2 (− 2 x) (1) = x 4 + 4 x 2 + 1 − 4 x 3 + 2 x 2 − 4 x = x 4 − 4 x 3 + 6 x 2 − 4 x + 1
2. 2 x 2 + x + 1
= 4 x 4 + x 2 + 1+ 2 (2 x 2 )( x ) + 2 (2 x 2 ) (1) + 2 ( x)(1) = 4 x 4 + x 2 + 1 + 4 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 4 x 4 + 4 x 3 + 5x 2 + 2 x + 1
( )
( )
3. x 2 − 5x + 2 = x 4 + 25x 2 + 4 + 2 (x 2 ) − 5x + 2 ( x 2 )( 2) + 2 − 5x ( 2) = x 4 + 25x 2 + 4 − 10 x 3 + 4 x 2 − 20 x
(
)
(
= x 4 − 10 x 3 + 29 x 2 − 20 x + 4
)
4. x 3 − 5x 2 + 6 = x 6 + 25x 4 + 36 + 2 ( x 3 ) − 5x 2 + 2 (x 3 ) (6) + 2 − 5x 2 ( 6) = x 6 + 25x 4 + 36 − 10 x5 + 12 x 3 − 60 x 2
(
)
= x 6 − 10x 5 + 25x 4 + 12 x 3 − 60x 2 + 36
(
)
5. 4a 4 − 3a 2 + 5 = 16a 8 + 9a 4 + 25 + 2 (4a 4 ) − 3a 2 + 2 (4a 4 ) (5) + 2 − 3a 2 (5)
= 16a + 9a + 25 − 24a + 40a − 30a = 16a − 24a + 49a 4 − 30a 2 + 25
8
4
6
4
2
8
6
( ) ( )( )
( )
6. x + 2 y − z = x 2 + 4 y 2 + z 2 + 2 ( x) 2 y + 2 ( x) − z + 2 2 y − z = x 2 + 4 y 2 + z 2 + 4 xy − 2 xz − 4 yz
7. 3 − x 3 − x 6
= 9 + x 6 + x12 + 2 (3) (− x 3 ) + 2 (3) (− x 6 ) + 2 (− x 3 )(− x 6 ) = 9 + x 6 + x12 − 6 x 3 − 6 x 6 + 2 x 9 = x12 + 2 x 9 − 5x 6 − 6 x 3 + 9
(
)
(
)
8. 5x 4 − 7 x 2 + 3x = 25x 8 + 49 x 4 + 9 x 2 + 2 (5x 4 ) − 7 x 2 + 2 (5x 4 ) ( 3x) + 2 − 7 x 2 ( 3x)
= 25x + 49 x + 9 x − 70x + 30 x − 42 x = 25x − 70x + 30 x 5 + 49 x 4 − 42 x 3 + 9 x 2
8
4
2
6
5
3
8
6
(
)
(
9. 2a 2 + 2ab − 3b 2 = 4a 4 + 4a 2b 2 + 9b 4 + 2 (2a 2 ) ( 2ab) + 2 (2a 2 ) − 3b 2 + 2 ( 2ab) − 3b 2
)
= 4a + 4a b + 9b + 8a b − 12a b − 12ab = 4a + 8a b − 8a b − 12ab 3 + 9b4
4
2 2
4
3
2 2
(
3
)
4
3
2 2
(
)
10. m3 − 2m2n + 2n 4 = m6 + 4m4 n 2 + 4n8 + 2 (m3 ) − 2m2 n + 2 (m3 )(2n 4 ) + 2 − 2m2n (2n 4 )
= m6 + 4m4 n2 + 4n8 − 4m5n + 4m3n4 − 8m2 n5 = m6 − 4m5n + 4m4n 2 + 4m3n 4 − 8m2 n5 + 4n8
11.
2
a
c a2
c2
c2
ac bc
 a
 a  c
 c a
−b+ =
+ b 2 + + 2   (− b) + 2     + 2 (− b)   =
+ b 2 + − ab + −
 2
 2   4
 4 4
2
4 4
16
16
4 2
12.
2
5 x2
25  x 
25
2 x 50 y
x
 x   5
 5 x
− 5y + = + 25 y 2 + + 2   (− 5y ) + 2     + 2 (− 5 y)   = + 25 y 2 + − 2 xy +
−








3 25
9
5
5 3
3 25
9
3
3
5
=
 2
(
 2
 2
 2   3
x2
2x
50 y 25
− 2 xy +
+ 25 y 2 −
+
25
3
3
9
13. x − x + 2 = x + x 2 + 4 + 2  x  − x + 2  x   2  + 2  2  − x = x + x 2 + 4 − x 3 + 2 x − 4 x
2
4
2
3
4
9
)
4
 3
2
( ) 4
9
3
3
x4
5x 2 4 x 4
= − x3 +
−
+
4
3
3 9
14.
2
2
a 1 x a2 1 x2
2x
 a   1
 a  x
 1   x  a 1 x 2a
− + = + + + 2   −  + 2    + 2 −    = 2 + + 2 −
+ 2−
 x   3
 x  a
 3  a  x 9 a 3x
x 3 a x2 9 a2
3a
=
15.
 3a 2   a 
 3a 2   4 
3a 2 a 4 9a 4 a 2 16
 a   4
− + =
+ + + 2
 −  + 2
   + 2 −   
 2   5




4 2 5 16
4 25  4 
2
 4  5
=
16.
a 2 2a 2 x x 2 19
−
−
+ +
x 2 3x 3a a 2 9
9a 4 a 2 16 3a 3 6a 2 4a 9a 4 3a 3 29a 2 4a 16
+ + −
+
−
=
−
+
−
+
16
4 25 4
5
5 16
4
20
5 25
2
 a 2   3
 a 2   b2 
a 2 3 b2 a 4 9 b 4
 3  b 
− + = + + + 2   −  + 2    + 2 −   
 5  9 
4 5 9 16 25 81  4   5 
 4 9
=
a 4 9 b 4 3a 2 a 2b 2 2b 2 a 4 3a 2 a 2b 2 9 2b 2 b 4
+ + −
+
−
=
−
+
+ −
+
16 25 81 10
18
15 16 10
18 25 15 81
(
)
(
)
(
)
17. x 3 − x 2 + x + 1 = x 6 + x 4 + x 2 + 1 + 2 (x 3 ) − x 2 + 2 (x 3 )( x ) + 2 x 3 + 2 − x 2 ( x) + 2 − x 2 + 2 x
= x + x + x + 1 − 2 x + 2 x + 2 x − 2 x − 2 x + 2 x = x − 2 x + 3x − x 2 + 2 x + 1
6
4
2
5
4
3
3
2
6
5
4
18. x − 3x − 2 x + 2
3
2
= x 6 + 9 x 4 + 4 x 2 + 4 + 2 (x 3 )(− 3x 2 ) + 2 ( x 3 ) (− 2 x) + 2 (x 3 )(2) + 2 (− 3x 2 )(− 2 x) + 2 (− 3x 2 ) (2) + 2 (− 2 x) (2)
= x 6 + 9 x 4 + 4 x 2 + 4 − 6x 5 − 4 x 4 + 4 x 3 + 12 x 3 − 12 x 2 − 8 x = x 6 − 6 x 5 + 5x 4 + 16x 3 − 8 x 2 − 8 x + 4
19. x + 3x − 4 x + 5
4
2
= x + 9 x 4 + 16 x 2 + 25 + 2 (x 4 )(3x 2 ) + 2 (x 4 ) (− 4 x ) + 2 (x 4 ) (5) + 2 (3x 2 )(− 4 x) + 2 (3x 2 )(5) + 2 (− 4 x ) (5)
8
= x 8 + 9 x 4 + 16 x 2 + 25 + 6 x 6 − 8 x 5 + 10 x 4 − 24 x 3 + 30 x 2 − 40 x = x 8 + 6 x 6 − 8 x 5 + 19 x 4 − 24 x 3 + 46 x 2 − 40 x + 25
20. x 4 − 4 x 3 + 2 x − 3
= x 8 + 16 x 6 + 4 x 2 + 9 + 2 (x 4 )(− 4 x 3 ) + 2 (x 4 )( 2 x) + 2 (x 4 )(− 3) + 2 (− 4 x 3 ) (2 x) + 2 (− 4 x 3 )(− 3) + 2 ( 2 x ) (− 3)
= x 8 + 16 x 6 + 4 x 2 + 9 − 8 x 7 + 4 x5 − 6x 4 − 16 x 4 + 24 x 3 − 12 x = x 8 − 8x 7 + 16 x 6 + 4 x 5 − 22 x 4 + 24 x 3 + 4 x 2 − 12 x + 9
21. 3 − 6a + a − a
2
3
= 9 + 36a 2 + a 4 + a 6 + 2 (3) (− 6a ) + 2 (3) (a 2 ) + 2 (3) (− a 3 ) + 2 (− 6a )(a 2 ) + 2 (− 6a )(− a 3 ) + 2 (a 2 ) (− a 3 )
= 9 + 36a 2 + a 4 + a 6 − 36a + 6a 2 − 6a 3 − 12a 3 + 12a 4 − 2a 5 = a 6 − 2a 5 + 13a 4 − 18a 3 + 42a 2 − 36a + 9
22.
x3
2x
− x2 +
+2
2
3
 x3 
 x3   2x 
 x3 
x6
4x2
 2x 
 2x 
= + x4 +
+ 4 + 2   (− x 2 ) + 2     + 2   ( 2) + 2 (− x 2 )   + 2 (− x 2 )(2) + 2   (2)


 3
 3
4
9
 2
 2 3
 2
=
x6
4x2
2x4
4x3
8x x 6
5x 4 2 x 3 32 x 2 8 x
+
−
+ +4
+ x4 +
+ 4 − x5 +
+ 2x3 −
− 4x2 + = − x5 +
3
3
9
3
4
9
3
3
3 4
23.
a 3 2a 2 3a 1
−
+
−
2
3
4 2
 a 3   2a 2 
 a 3   3a 
 a3   1
 2a 2   3a 
 2a 2   1 
a 6 4 a 4 9a 2 1
 3a   1 
= +
+
+ + 2   −
 + 2    + 2   −  + 2 −
   + 2−
  −  + 2   − 
 4   2
4
9
16 4
 2 3 
 2 4
 2   2
 3  4
 3   2
a 6 4a 4 9a 2 1 2a 5 3a 4 a 3
2a 2 3a a 6 2a 5 43a 4 3a 3 59a 2 3a 1
+
+
+ −
+
− − a3 +
− = −
+
−
+
− +
4
9
16 4 3
4
2
3
4 4
3
36
2
48
4 4
=
24. x 5 − x 4 + x 3 − x 2 + x − 2
= x10 + x 8 + x 6 + x 4 + x 2 + 4 + 2 ( x 5 ) (− x 4 ) + 2 ( x 5 )( x 3 ) + 2 ( x 5 ) (− x 2 ) + 2 ( x 5 ) ( x ) + 2 ( x 5 ) (− 2) + 2 (− x 4 ) ( x 3 ) + 2 (− x 4 )(− x 2 )
+ 2 (− x 4 ) ( x ) + 2 (− x 4 )(− 2) + 2 ( x 3 ) (− x 2 ) + 2 ( x 3 ) ( x ) + 2 ( x 3 ) (− 2) + 2 (− x 2 ) ( x) + 2 (− x 2 )(− 2) + 2 ( x) (− 2)
= x10 + x 8 + x 6 + x 4 + x 2 + 4 − 2 x 9 + 2 x 8 − 2 x 7 + 2 x 6 − 4 x 5 − 2 x 7 + 2 x 6 − 2 x 5 + 4 x 4 − 2 x 5 + 2 x 4 − 4 x 3 − 2 x 3 + 4 x 2 − 4 x
= x10 − 2 x 9 + 3x 8 − 4 x 7 + 5x 6 − 8 x 5 + 7 x 4 − 6x 3 + 5x 2 − 4 x + 4
EJERCICIO 209
( )2 ( x) + 3(x 2 )2 (1) + 3( x)2 (x 2 ) + 3( x)2 (1) + 3(x 2 ) + 3( x) + 6 (x 2 )( x)(1)
1. x 2 + x + 1 = x 6 + x 3 + 1 + 3 x 2
= x 6 + x 3 + 1 + 3x 5 + 3x 4 + 3x 4 + 3x 2 + 3x 2 + 3x + 6 x 3 = x 6 + 3x 5 + 6 x 4 + 7 x 3 + 6 x 2 + 3x + 1
( )2 (− x) + 3(2 x 2 )2 (− 1) + 3(− x)2 (− 1) + 3(− x)2 (2 x 2 ) + 3(− 1)2 (2 x 2 ) + 3(− 1)2 (− x)
2. 2 x 2 − x − 1 = 8 x 6 − x 3 − 1 + 3 2 x 2
+ 6 (2 x 2 )(− x)(− 1)
= 8x 6 − x 3 − 1 − 12 x 5 − 12 x 4 − 3x 2 + 6x 4 + 6 x 2 − 3x + 12 x 3 = 8x 6 − 12 x 5 − 6 x 4 + 11x 3 + 3x 2 − 3x − 1
3. 1 − 3x + 2 x
2
= 1 − 27 x 3 + 8 x 6 + 3(1) (− 3x ) + 3(12 )(2 x 2 ) + 3(− 3x ) (1) + 3(− 3x) (2 x 2 ) + 3(2 x 2 ) (1) + 3(2 x 2 ) (− 3x)
2
2
2
2
2
+ 6 (1) (− 3x ) (2 x 2 )
= 1 − 27 x 3 + 8 x 6 − 9 x + 6x 2 + 27 x 2 + 54 x 4 + 12 x 4 − 36 x 5 − 36x 3 = 1 − 9 x + 33x 2 − 63x 3 + 66 x 4 − 36x 5 + 8 x 6
4. 2 − 3x + x
2
= 8 − 27 x 3 + x 6 + 3 (2) (− 3x ) + 3 (2) (x 2 ) + 3(− 3x ) (2) + 3(− 3x ) (x 2 ) + 3( x 2 ) (2) + 3 (x 2 ) (− 3x) + 6 (2) (− 3x) (x 2 )
2
2
2
2
2
2
= 8 − 27 x 3 + x 6 − 36 x + 12 x 2 + 54 x 2 + 27 x 4 + 6x 4 − 9 x 5 − 36 x 3 = x 6 − 9 x5 + 33x 4 − 63x 3 + 66x 2 − 36 x + 8
5. x 3 − 2 x 2 − 4
= x 9 − 8 x 6 − 64 + 3( x 3 ) (− 2 x 2 ) + 3 (x 3 ) (− 4) + 3 (− 2 x 2 ) (x 3 ) + 3(− 2 x 2 ) (− 4) + 3 (− 4) ( x 3 ) + 3 (− 4) (− 2 x 2 )
2
2
2
2
2
2
+ 6 (x 3 )(− 2 x 2 )(− 4)
= x 9 − 8 x 6 − 64 − 6 x 8 − 12 x 6 + 12 x 7 − 48 x 4 + 48 x 3 − 96 x 2 + 48 x 5
= x 9 − 6 x 8 + 12 x 7 − 20 x 6 + 48 x 5 − 48 x 4 + 48 x 3 − 96 x 2 − 64
6. x − x − 2
4
2
= x12 − x 6 − 8 + 3 (x 4 ) (− x 2 ) + 3 (x 4 ) (− 2) + 3 (− x 2 ) ( x 4 ) + 3 (− x 2 ) (− 2) + 3 (− 2) (x 4 ) + 3 (− 2) (− x 2 )
2
2
2
2
2
2
+ 6 (x 4 )(− x 2 )(− 2)
= x12 − x 6 − 8 − 3x10 − 6 x 8 + 3x 8 − 6 x 4 + 12 x 4 − 12 x 2 + 12 x 6 = x12 − 3x10 − 3x 8 + 11x 6 + 6 x 4 − 12 x 2 − 8
2
7. a +
3
2
2
2
 a2 
 a2   a 
a2 a
a6 a3
a
2
2 a 
 a
− = a9 + −
+ 3(a 3 )   + 3 (a 3 )  −  + 3   (a 3 ) + 3    −  + 3  −  (a 3 )
 3
 3
2 3
8 27
 2
 2   3
 2
2
2
 a2   a 
 a  a 
+ 3  −    + 6a 3    − 
 3  2 
 2   3
= a9 +
a 6 a 3 3a 8
3a 7 a 5 a 5 a 4
3a 8 a 7 7a 6 a 5 a 4 a 3
−
+
− a7 +
− + + − a6 = a9 +
− −
+ + −
8 27 2
4
4 3 6
2
4
8 12 6 27
2
2
2
2
2
 x2   x 
x2 x
x6 x3
 x  x 
 x
2 x 
− + 2= −
+ 8 + 3    −  + 3 (x 2 )2 2 (2) + 3  −    + 3  −  (2) + 3 (2)  
8.
 3  2 
 3
2 3
8 27
 2   3
 2
 x2   x 
x
2
+ 3 ( 2)  −  + 6    −  ( 2)
 3
 2   3
=
x6 x3
x 5 3x 4 x 4 2 x 2
x 6 x 5 5x 4 55x 3 20 x 2
−
+ 8− +
+ +
+ 6x 2 − 4 x − 2 x 3 = − +
−
+
− 4x + 8
8 27
4
2
6
3
8 4
3
27
3
9. a − a + a − 1
3
2
= a 9 − a 6 + a 3 − 1 + 3 (a 3 ) (− a 2 ) + 3 (a 3 ) ( a ) + 3 (a 3 ) (− 1) + 3 (− a 2 ) (a 3 ) + 3 (− a 2 ) ( a )
2
2
2
2
2
+ 3 (− a 2 ) (− 1) + 3a 2 (a 3 ) + 3a 2 (− a 2 ) + 3a 2 (− 1) + 3 (− 1) (a 3 ) + 3 (− 1) (− a 2 ) + 3(− 1) (a )
2
2
2
2
+ 6 (a 3 ) (− a 2 ) (a ) + 6 (a 3 )(− a 2 )(− 1) + 6 (a 3 )( a ) (− 1) + 6 (− a 2 )( a ) (− 1)
= a 9 − a 6 + a 3 − 1 − 3a 8 + 3a 7 − 3a 6 + 3a 7 + 3a 5 − 3a 4 + 3a 5 − 3a 4 − 3a 2 + 3a 3 − 3a 2 + 3a − 6a 6 + 6a 5 − 6a 4 + 6a 3
= a 9 − 3a 8 + 6a 7 − 10a 6 + 12a 5 − 12a 4 + 10a 3 − 6a 2 + 3a − 1
(
)
( ) ( ) (x ) + 3(− 2 x ) ( x)
+ 3 (− 2 x ) (− 3) + 3x (x ) + 3x (− 2 x ) + 3x (− 3) + 6 (x ) (− 2 x )( x ) + 6 ( x ) (− 2 x )(− 3)
+ 6 (x )( x ) (− 3) + 6 (− 2 x )( x ) (− 3) + 3 (− 3) ( x ) + 3 (− 3) (− 2 x ) + 3(− 3) x
3
2
9
6
3
3
2
3
3
2
10. x − 2 x + x − 3 = x − 8 x + x − 27 + 3 (x ) − 2 x + 3 (x ) ( x) + 3 ( x ) − 3 + 3 − 2 x
2
2 2
2
2
3
3
2
2
2
2
2
2
3
2 2
3
2
2
3
2
3
2
2
2
= x 9 − 8 x 6 + x 3 − 27 − 6 x 8 + 3x 7 − 9 x 6 + 12 x 7 + 12 x 5 − 36x 4 + 3x 5 − 6 x 4 − 9 x 2 − 12 x 6 + 36 x 5
− 18 x 4 + 36 x 3 + 27 x 3 − 54 x 2 + 27 x
= x 9 − 6 x 8 + 15x 7 − 29 x 6 + 51x 5 − 60 x 4 + 64 x 3 − 63x 2 + 27 x − 27
11. x − 4 x + 2 x − 3
3
2
= x 9 − 64 x 6 + 8x 3 − 27 + 3 (x 3 ) (− 4 x 2 ) + 3(x 3 ) (2 x) + 3(x 3 ) (− 3) + 3 (− 4 x 2 ) (x 3 ) + 3(− 4 x 2 ) (2 x )
2
2
2
2
2
+ 3 (− 4 x 2 ) (− 3) + 3 (2 x ) (x 3 ) + 3 (2 x) (− 4 x 2 ) + 3 (2 x) (− 3) + 3(− 3) (x 3 ) + 3(− 3) (− 4 x 2 )
2
2
2
2
2
2
+ 3 (− 3) (2 x ) + 6 (x 3 ) (− 4 x 2 ) (2 x ) + 6 (x 3 )(− 4 x 2 )(− 3) + 6 (x 3 )(2 x ) (− 3) + 6 (− 4 x 2 ) (2 x ) (− 3)
2
= x 9 − 64 x 6 + 8x 3 − 27 − 12 x 8 + 6 x 7 − 9 x 6 + 48 x 7 + 96 x 5 − 144 x 4 + 12 x 5 − 48 x 4 − 36 x 2 + 27 x 3 − 108 x 2
+ 54 x − 48 x 6 + 72 x 5 − 36 x 4 + 144 x 3
= x 9 − 12 x 8 + 54 x 7 − 121x 6 + 180 x 5 − 228 x 4 + 179 x 3 − 144 x 2 + 54 x − 27
(
)
(
) ( ) + 3(− x ) (2 x ) + 3(− x ) (− x )
+ 3(2 x ) + 3 (2 x ) (− x ) + 3 (2 x ) (− x ) + 3 (− x ) + 3(− x ) (− x ) + 3 (− x ) (2 x )
+ 6 (− x ) (2 x ) + 6 (2 x )(− x ) + 6 (− x )(− x ) + 6 (− x ) (2 x ) (− x )
12. 1 − x 2 + 2 x 4 − x 6 = 1 − x 6 + 8 x12 − x18 + 3 − x 2 + 3 (2 x 4 ) + 3 − x 6 + 3 − x 2
4 2
2
4 2
4
4 2
2
4
6
2 2
6 2
6
2
2
6
6 2
2
4
2 2
4
2
6 2
6
= 1 − x 6 + 8 x12 − x18 − 3x 2 + 6 x 4 − 3x 6 + 3x 4 + 6 x 8 − 3x10 + 12 x 8 − 12 x10 − 12 x14 + 3x12
− 3x14 + 6 x16 − 12 x 6 − 12 x10 + 6x 8 + 12 x12
= 1 − 3x 2 + 9 x 4 − 16x 6 + 24 x 8 − 27 x10 + 23x12 − 15x14 + 6 x16 − x18
6
4
EJERCICIO 210
4⋅ 3 2 2 6⋅ 2
3
4
x ( 2) −
x (2) + (2) = x 4 − 8 x 3 + 24 x 2 − 32 x + 16
2
3
4 ⋅ 3 2 2 6⋅ 2
4
3
4
4
3
a (3) +
a ( 3) + ( 3) = a 4 + 12a 3 + 54a 2 + 108a + 81
2. (a + 3) = a + 4a (3) +
2
3
5⋅ 4 3 2 10 ⋅ 3 2 3 10 ⋅ 2
5
5
4
( 2) x −
( 2) x +
(2) x 4 − x 5 = 32 − 80 x + 80x 2 − 40 x 3 + 10 x 4 − x 5
3. (2 − x ) = ( 2) − 5 ( 2) x +
2
3
4
(
)
4
3
1. x − 2 = x − 4 x ( 2) +
4
(
4. 2 x + 5 y
)
4
6⋅ 2
4⋅ 3
2
3
4
( 2 x) 2 (5y ) +
(2 x) (5y ) + (5 y) = 16 x 4 + 160 x 3 y + 600x 2 y 2 + 1. 000xy 3 + 625y 4
2
3
6
6 ⋅ 5 4 2 15⋅ 4 3 3 20 ⋅ 3 2 4 15⋅ 2
5
6
a − 3 = a 6 − 6a 5 ( 3) +
a (3) −
a ( 3) +
a (3) −
a (3) + (3)
2
3
4
5
= a 6 − 18a 5 + 135a 4 − 540a 3 + 1. 215a 2 − 1. 458a + 729
6
15⋅ 2
6⋅ 5
15⋅ 4
20 ⋅ 3
6
5
( 2a ) 4 b 2 −
( 2a ) 3 b 3 +
( 2a ) 2 b 4 −
( 2a )b5 + b 6
2 a − b = ( 2a ) − 6 ( 2a ) b +
2
3
4
5
= 64a 6 − 192a 5b + 240a 4b 2 − 160a 3b 3 + 60a 2b 4 − 12ab 5 + b 6
⋅
⋅
5
5⋅ 4 2 3
5
4
(x ) (2 y 3 )2 + 103 3 (x 2 )2 (2 y 3 )3 + 104 2 (x 2 )(2 y 3 )4 + (2 y 3 )5
x 2 + 2 y 3 = (x 2 ) + 5(x 2 ) (2 y 3 ) +
2
= x10 + 10x 8 y 3 + 40 x 6 y 6 + 80 x 4 y 9 + 80 x 2 y12 + 32 y15
6
6 ⋅ 5 3 4 2 15⋅ 4 3 3 3 20 ⋅ 3 3 2 4 15⋅ 2 3
6
5
(x ) (1) + 3 (x ) (1) + 4 (x ) (1) + 5 (x )(1)5 + (1)6
x 3 + 1 = (x 3 ) + 6 (x 3 ) (1) +
2
= x18 + 6x15 + 15x12 + 20 x 9 + 15x 6 + 6 x 3 + 1
5
5⋅ 4
10 ⋅ 3
10 ⋅ 2
5
4
( 2a ) 3 ( 3b) 2 −
( 2a ) 2 ( 3b) 3 +
( 2a )( 3b) 4 − ( 3b)5
2a − 3b = ( 2a ) − 5 ( 2a ) ( 3b) +
2
3
4
= 32a 5 − 240a 4b + 720a 3b 2 − 1. 080a 2b 3 + 810ab 4 − 243b5
= ( 2 x) + 4 ( 2 x) (5 y) +
4
5.
(
6.
(
7.
(
8.
(
9.
(
3
)
)
)
)
)
(
4
3
10. x − 5 y
)
6
⋅
⋅
⋅
6⋅5 4 4
(x ) (5 y 3 )2 − 153 4 (x 4 )3 (5 y 3 )3 + 204 3 (x 4 )2 (5y 3 )4 − 155 2 (x 4 )(5y 3 )5 + (5y 3 )6
2
= x 24 − 30 x 20 y 3 + 375x16 y 6 − 2 .500 x12 y 9 + 9 . 375x 8 y 12 − 18 . 750 x 4 y 15 + 15. 625 y18
= (x 4 ) − 6 (x 4 ) (5 y 3 ) +
6

y
5
6
11.  2 x − 2 
6⋅5
 y  15⋅ 4
 y  20 ⋅ 3
 y  15⋅ 2
 y  y
6
5  y
(2 x ) 4   −
( 2 x) 3   +
(2 x ) 2   −
( 2 x)   +  
= (2 x ) − 6 (2 x )   +
 2 2
 2
 2
 2
 2  2
3
4
5
2
= 64 x 6 − 96 x 5 y + 60 x 4 y 2 − 20 x 3 y 3 +


12.  3 −
5
3
4
5
6
15 2 4 3 5 y 6
x y − xy +
4
8
64
2
3
4
2
5⋅ 4 3  x 2  10 ⋅ 3 2  x 2  10 ⋅ 2  x 2   x 2 
x2 
5
4  x 
( 3)   −
( 3)   +
( 3)   −  
 = ( 3) − 5 ( 3)   +
3
3
4
 3 2
 3
 3
 3  3
5
10 6 5 8 x10
x +
x −
3
27
243
6⋅5
15⋅ 4
20 ⋅ 3
3
4 6
3 6
3 5
4
3 4
13. (2m − 3n ) = (2m ) − 6 (2m ) (3n ) +
(2m ) (3n 4 )2 − 3 (2m3 )3 (3n 4 )3 + 4 (2m3 )2 (3n 4 )4
2
15⋅ 2
−
(2m3 )(3n 4 )5 + (3n 4 )6
5
= 64m18 − 576m15n 4 + 2 .160m12 n 8 − 4 . 320m9 n12 + 4 .860m6n16 − 2 . 916m3n 20 + 729n 24
= 243 − 135x 2 + 30 x 4 −
(
)
2
14. x − 3
7
7 ⋅ 6 2 5 2 21⋅ 5 2 4 3 35⋅ 4 2 3 4 35⋅ 3 2 2 5 21⋅ 2 2
(x ) (3) − 3 (x ) (3) + 4 (x ) (3) − 5 (x ) (3) + 6 (x )(3) 6 − (3)7
2
= x14 − 21x12 + 189 x 10 − 945x 8 + 2 . 835x 6 − 5.103x 4 + 5.103x 2 − 2 .187
= ( x 2 ) − 7 (x 2 ) (3) +
7


6
5
15.  3a −
2
3
4
2
 b 2  10 ⋅ 3
 b 2  10 ⋅ 2
 b2   b2 
b2 
5⋅ 4
5
4 b 
(3a ) 3   −
(3a )2   +
(3a )   −  
 = (3a ) − 5 (3a )   +
3
3
4
 3
 3
 3  3
 3 2
= 243a 5 − 135a 4b 2 + 30a 3b4 −
(
2
2
16. x + 2 y
5
10 2 6 5 8 b10
ab +
ab −
3
27
243
) = (x ) + 7 (x ) (2 y ) + 72⋅ 6 (x ) (2 y ) + 213⋅ 5 (x ) (2 y ) + 354⋅ 4 (x ) (2 y )
7
2 7
2 6
2 2
2 5
2
2 3
2 4
2 4
2 3
35⋅ 3 2 2
21⋅ 2
(x ) (2 y 2 )5 + 6 (x 2 )(2 y 2 )6 + (2 y 2 )7
5
= x14 + 14 x12 y 2 + 84 x10 y 4 + 280 x 8 y 6 + 560 x 6 y 8 + 672 x 4 y10 + 448 x 2 y 12 + 128 y14
+
17. x 3 − 1 8 = ( x 3 )8 − 8 ( x 3 )7 (1) + 8 ⋅ 7 ( x 3 )6 (1) 2 − 28 ⋅ 6 ( x 3 )5 (1) 3 + 56 ⋅ 5 ( x 3 )4 (1) 4 − 70 ⋅ 4 ( x 3 )3 (1)5
(
)


y
2
2
3
4
56 ⋅ 3 3 2 6 28 ⋅ 2 3
7
8
+
(x ) (1) − 7 (x )(1) + (1)
6
= x 24 − 8 x 21 + 28x18 − 56x15 + 70 x12 − 56x 9 + 28x 6 − 8 x 3 + 1
9
 y
 2
18.  x 2 −  = ( x 2 ) − 9 ( x 2 )   +
9
8
y
y
y
9⋅8 2 7  y
36 ⋅ 7
84 ⋅ 6
126 ⋅ 5
(x )  2  − 3 (x 2 )6  2  + 4 (x 2 )5  2  − 5 (x 2 )4  2 
2
2
(
4
7
8
9
9 16
21
63 10 4 63 8 5 21 6 6 9 4 7
9 2 8 y9
x y + 9 x14 y 2 − x12 y 3 +
x y −
x y + x y −
x y +
x y −
2
2
8
16
16
32
256
512
= x18 −
19. 2m3 − n 4
3
y
y
126 ⋅ 4 2 3  y  84 ⋅ 3 2 2  y 
36 ⋅ 2
(x )  2  − 7 (x )  2  + 8 (x 2 ) 2  −  2 
6
6
+
5
) = (2m ) − 7 (2m ) (n ) + 72⋅ 6 (2m ) (n ) − 213⋅ 5 (2m ) (n ) + 354⋅ 4 (2m ) (n )
7
3 7
3 6
3 5
4
4 2
3 4
4 3
3 3
4 4
35⋅ 3
21⋅ 2
(2m3 )2 (n4 )5 + 6 (2m3 )(n4 )6 − (n4 )7
5
= 128m21 − 448m18n 4 + 672m15n8 − 560m12 n12 + 280m9 n16 − 84m6n 20 + 14m3n 24 − n 28
−
 x2 2 y2 
+

20. 
3 
 2
5
5
4
3
2
2
3
4
 x2 
 x 2   2 y 2  5⋅ 4  x 2   2 y 2  10 ⋅ 3  x 2   2 y 2  10 ⋅ 2  x 2   2 y 2   2 y 2 
=   + 5  
+
  
 +
  
 +
 
 +

3  2  3 
4  2 3   3 
 2
 2  3  2  2  3 
=
x10 5x 8 y 2 5x 6 y 4 20 x 4 y 6 40 x 2 y 8 32 y10
+
+
+
+
+
32
24
9
27
81
243
15 ⋅ 4  1  5a 
20 ⋅ 3  1  5a 
 1 5a   1
 1  5a  6 ⋅ 5  1  5a 
 −  =   − 6    +
    −
    +
   
21.  5 2 
 5
 5  2 
2  5  2 
3  5  2 
4  5  2 
6
6
5
4
15 ⋅ 2  1  5a   5a 
    + 
5  5  2   2 
5
−
=
2
3
3
6
3a 3a 2 5a 3 375a 4 1. 875a 5 15 . 625a 6
1
−
+
−
+
−
+
2
16
16
64
15.625 625 20
2
4
5
5
EJERCICIO 211
NOT
A: T
riángulo necesario para el desarrollo de los problemas del presente ejercicio
NOTA:
Triángulo
1
1
1
1
2
1
1
6
1
7
1
1
1
9
36
10
(
45
35
1
7
56
84
252
1
28
126
210
)
6
21
70
126
1
15
35
56
120
5
20
84
1
10
15
28
4
10
21
8
1
6
5
1
3
4
1
1
3
8
210
9
120
2
3
4
1
45
1. a + 2b = a 6 + 6a 5 ( 2b ) + 15a 4 (2b) + 20a 3 ( 2b) + 15a 2 ( 2b) + 6a (2b) + (2b)
6
1
36
5
10
1
6
= a 6 + 12a 5b + 60a 4b 2 + 160a 3b 3 + 240a 2b 4 + 192ab5 + 64b 6
(
2. 2m2 − 3n 3
) = (2m ) − 5(2m ) (3n ) + 10 (2m ) (3n ) − 10 (2m ) (3n ) + 5(2m )(3n ) − (3n )
5
2 5
2 4
2 3
3
3 2
2 2
3 3
3 4
2
3 5
= 32m10 − 240m8n 3 + 720m6n 6 − 1. 080m4 n 9 + 810m2 n12 − 243n15
(
3. x 2 + y 3
) = (x ) + 6 (x ) ( y ) + 15(x ) ( y ) + 20 (x ) ( y ) + 15(x ) ( y ) + 6 (x )( y ) + ( y )
6
2 6
2 5
3 2
2 4
3
3 3
2 3
3 4
2 2
3 5
2
3 6
= x12 + 6 x10 y 3 + 15x 8 y 6 + 20 x 6 y 9 + 15x 4 y12 + 6 x 2 y15 + y 18
(
4. 3 − y
) = (3) − 7 (3) ( y ) + 21(3) ( y ) − 35(3) ( y ) + 35(3) ( y ) − 21(3) ( y ) + 7 (3) ( y ) − ( y )
7 7
7
6
5
7
7 2
4
7 3
3
7 4
7 5
2
7 6
7 7
= 2 .187 − 5.103 y 7 + 5.103 y14 − 2 .835 y 21 + 945y 28 − 189 y 35 + 21y 42 − y 49
(
5. 2 x 3 − 3 y 4
)
6
= (2 x 3 ) − 6 (2 x 3 ) (3 y 4 ) + 15(2 x 3 ) (3 y 4 ) − 20 (2 x 3 ) (3 y 4 ) + 15(2 x 3 ) (3 y 4 ) − 6 (2 x 3 )(3 y 4 ) + (3 y 4 )
6
5
2
4
3
3
2
4
5
6
= 64 x18 − 576 x15 y 4 + 2 .160 x12 y 8 − 4 . 320 x 9 y12 + 4 .860 x 6 y16 − 2 . 916 x 3 y 20 + 729 y 24
5
5
2
3
4
 x2

 x2 
 x2 
 x2 
 x2 
 x2 
3
4
5
2
+ y 3  =   + 5   y 3 + 10   ( y 3 ) + 10   ( y 3 ) + 5   ( y 3 ) + ( y 3 )
 2

 2
 2
 2
 2
 2
6. 
=
6
x10 5x 8 y 3 5x 6 y 6 5x 4 y 9 5x 2 y12
+
+
+
+
+ y15
32
16
4
2
2
6
5
4
2
3
3
2
4
5
 a 3  a 
 a   3
 a   3
 a   3
 a   3
 a   3   3
−
=   − 6     + 15     − 20     + 15     − 6     +  
7.  3 b 
 3
 3  b
 3  b
 3  b
 3  b
 3  b  b
=
(
8. 1 − x 4
6
a 6 2a 5 5a 4 20a 3 135a 2 486a 729
−
+
− 3 +
− 5 + 6
729 27b 3b 2
b
b4
b
b
)
8
= (1) − 8 (1) ( x 4 ) + 28 (1) ( x 4 ) − 56 (1) ( x 4 ) + 70 (1) ( x 4 ) − 56 (1) ( x 4 ) + 28 (1) ( x 4 ) − 8 (1) (x 4 ) + (x 4 )
8
7
6
2
5
3
4
= 1 − 8 x 4 + 28 x 8 − 56 x12 + 70 x16 − 56 x 20 + 28 x 24 − 8 x 28 + x 32
4
3
5
2
6
7
8
7
2
3
 2
3  2
 2  3
 2  3
 2  3
 2  3
9.  3x − 2 y  =  3x  − 7  3x   2 y  + 21 3x   2 y  − 35 3x   2 y  + 35  3x   2 y 
7
6
5
5
4
6
 2  3  3
 2  3
− 21    + 7     −  
 3x   2 y   2 y 
 3x   2 y 
2
=
3
4
7
128
224
56
70
105
567
1. 701 2 .187
−
+
−
+
−
+
−
2 .187 x 7 243x 6 y 9 x 5 y 2 3x 4 y 3 2 x 3 y 4 8 x 2 y 5 32 xy 6 128 y 7
7
2
3
2
2
2
2
 2 m2   2 
 2  m 
 2  m 
 2  m 
 2  m 
−
 =   − 7     + 21    − 35     + 35    
 m  2 
 m  2 
 m  2 
 m  2 
 m 2   m
7
6
5
4
3
4
10. 
5
6
2
2
2
2
 2  m 
 2  m   m 
− 21    + 7     −  
 m  2 
 m  2   2 
=
(
7
128 224 168
35m5 21m8 7m11 m14
− 70m2 +
−
+
−
7 −
4 +
m
m
m
2
8
32 128
) ( ) + 8 (x ) mn + 28 (x ) (mn) + 56 (x ) (mn) + 70(x ) (mn) + 56 (x ) (mn)
8
11. x + mn = x
3
3 8
3 7
3 6
3 5
2
+ 28( x 3 ) (mn) + 8 (x 3 ) (mn) + ( mn)
2
6
7
3 4
3
3 3
4
5
8
= x 24 + 8 x 21mn + 28 x18m2 n2 + 56 x15m3n 3 + 70 x12 m4 n 4 + 56 x 9 m5n5 + 28 x 6m6n 6 + 8 x 3m7 n 7 + m8n8
9
2
3
4
2
2
2
2
2
 b2 
9
8b 
7 b 
6b 
5b 
4b 
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

−

=
−


+


−


+


−


3
3
9
3
36
3
84
3
126
3
126
3
12. 
3
 3
 3
 3
 3
 3
6
7
8
2
2
 b2   b2 
3b 
2 b 
+ 84(3)   − 36(3)   + 9(3)   −  
 3
 3
 3  3
5
9
= 19 . 683 − 19 . 683b 2 + 8 . 748b 4 − 2 . 268b6 + 378b8 − 42b10 +
28b12 4b14 b16
b18
−
+
−
9
27 243 19 . 683
2
5
10
3
4
 1
 1
 1
 1
 1
 1
 1
( )10
( )9
( )8
( )7
( )6
( )5
( )4
13.  1 − x  = 1 − 10 1  x  + 45 1  x  − 120 1  x  + 210 1  x  − 252 1  x  + 210 1  x 
7
8
9
 1  1
3  1
2  1
− 120 (1)   + 45(1)   − 10 (1)   +  
 x
 x  x
 x
= 1−
(
14. 2 m2 − 5n 5
6
10
10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
+ −
+ 4 − 5 + 6 − 7 + 8 − 9 + 10
x
x
x
x
x x
x
x x2 x3
) = (2m ) − 6 (2m ) (5n ) + 15(2m ) (5n ) − 20 (2m ) (5n ) + 15(2m ) (5n )
6
2 6
2 5
2 4
5
5 2
2 3
5 3
2 2
5 4
− 6 (2m2 )(5n 5 ) + (5n 5 )
5
6
= 64m12 − 960m10n5 + 6 . 000m8n10 − 20 . 000m6n15 + 37 . 500m4 n 20 − 37 . 500m2 n 25 + 15. 625n 30


15.  4 −
x5 

4
7
2
3
4
5
6
5
5
5
5
5
 x5   x 5 
7
6 x 
5 x 
4 x 
3 x 
2 x 
= ( 4) − 7 ( 4)   + 21( 4)   − 35 (4)   + 35 ( 4)   − 21( 4)   + 7 ( 4)   −  
 4
 4
 4
 4
 4
 4  4
= 16 . 384 − 7 .168 x 5 + 1. 344 x10 − 140 x15 +
35x 20 21x 25 7 x 30
x 35
−
+
−
4
64
1. 024 16 . 384
7
EJERCICIO 212
(
) donde r = 3
5⋅ 4
( x ) (− y ) = 10 x y
=
1⋅ 2
1. x − y
2
5− 2
(
4. 3x − 2 y
=
(
2. a − 4b
5
)
6
3
2
(
2
5. a − 2b
)
= 210 ( x 8 ) (64 y 6 )
= 13. 440 x y
(
9. a 2 + b
)
15
donde r = 10
=
)
6
8
=
donde r = 6
8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5⋅ 4
b
( 2a )8 −5  − 
 2
1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5
6 −1
 b5 
= 56 (8a 3 )  − 
 32 
= − 14a 3b5
donde r = 8
)
2 11
8 −1
11⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 11− 7
( x ) (− y 2 )
=
1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5⋅ 6 ⋅ 7
= − 330 x 4 y 14
= 5. 005a 12b 9
(
(
8. x − y
b
2
= 330 x 4 (− y14 )
6
15⋅ 14 ⋅ 13⋅ 12 ⋅ 11⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 2 15 − 9 10 −1
=
(a ) (b)
1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9
2
11. 2a − b


donde r = 5
= 2 . 016a 10b 4
donde r = 7
donde r = 5
6.  2a − 
= 126 (a 10 )(16b 4 )
7 −1
10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 2 10 − 6
=
(x ) (− 2 y)
1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5⋅ 6
8
9
11
= 330 x 4
9 ⋅ 8⋅ 7 ⋅ 6 2 9−4
=
(a ) (− 2b)5−1
1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4
= − 4 . 320 x 3 y 3
(
)
)
11⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 11− 4
(1) ( x)5 −1
=
1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4
= − 2 . 240a 4b 3
= 20 (27 x 3 ) (− 8 y 3 )
7. x − 2 y
(
3. 1 + x
donde r = 4
= 35a 4 (− 64b 3 )
donde r = 4
10
7
7 ⋅ 6⋅ 5 7−3
4 −1
(a ) (− 4b)
=
1⋅ 2 ⋅ 3
4 −1
6 ⋅ 5⋅ 4
(3x )6 − 3 (− 2 y )
1⋅ 2 ⋅ 3
2
)
(
2
10. 1 − x
)
12
donde r = 9
9 −1
12 ⋅ 11⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 12 − 8
(1) (− x 2 )
=
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8
= 495x 16
donde r = 6
6 ⋅ 5⋅ 4 ⋅ 3⋅ 2
6 −1
( 2a ) 6 −5 (− b 2 )
1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5
= 6 ( 2a ) (− b10 )
(
12. 3x 2 − y 2
=
)
8
donde r = 5
8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 2 8− 4
5−1
(3x ) (− y 2 )
1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4
= 70 (81x 8 )( y 8 )
= 5 . 670 x 8 y 8
= − 12ab10
EJERCICIO 213
1.
4a 2b 4 = ± 2ab 2
2.
25x6 y8 = ± 5x3 y4
9. 5 − 243m5n15 = − 3mn3
10.
3. 3 27a 3b 9 = 3ab 3
4. 3 − 8a 3b6 x12 = − 2ab 2 x 4
5.
8 10
64x y
= ± 8x y
4 5
81x6 y8 z20 = ± 9x3 y4 z10
16.
9a 2
3a
=± 2
25x 4
5x
17. 3 −
27a 3
3a
=− 3
64x 9
4x
22. 3 −
18. 5 −
a 5b10
ab 2
=− 3
15
32x
2x
23. 9
11. 3 1. 000x9 y18 = 10x 3 y6
12. 4 81a12 b 24 = ± 3a 3b 6
6. 4 16a 8b16 = ± 2a 2b 4
13. 6 64a12b18 c 30 = ± 2a 2b 3 c 5
7. 5 x15 y 20z25 = x 3 y 4 z5
14.
8. 3 − 64a 3 x 6 y18 = − 4ax 2 y 6
15. 5 − x5ny10 x = − xny2 x
x 2m
xm
=±
4n
121y
11y 2n
21.
19. 4
49a 2nb 4n = ± 7a nb 2n
20. 7
a8
a2
=±
4 12
81b c
3bc 3
128 2
=
x14 x 2
24.
10
125x 9
5x 3
=−
216m12
6m4
a18
a2
= 3
9 27
b c
bc
x 20
x2
=± 3
30
1. 024y
2y
EJERCICIO 214
1.
16 x 2 − 24 xy 2 + 9 y 4
4 x − 3y 2
(8x − 3y ) (− 3y )
− 16 x 2
2
2
− 24 xy 2 + 9 y 4
24 xy − 9 y
2
= − 24 xy 2 + 9 y 4
4
0
2.
25a 4 − 70a 3 x + 49a 2 x 2 5a 2 − 7ax
(10a − 7ax)(− 7ax)
− 25a 4
2
− 70a 3 x + 49a 2 x 2
= − 70a 3 x + 49a 2 x 2
70a x − 49a x
3
2 2
0
3.
x 4 − 4 x 3 + 6x 2 − 4 x + 1 x 2 − 2 x + 1
(2 x − 2 x)(− 2 x)
− x4
2
− 4 x 3 + 6x 2
4x − 4x
3
= − 4 x3 + 4 x 2
2
2 x 2 − 4 x + 1 (2 x 2 − 4 x + 1) (1)
− 2 x2 + 4 x − 1
= 2 x2 − 4 x + 1
0
4.
4a 4 + 4a 3 + 5a 2 + 2a + 1
2a 2 + a + 1
− 4a 4
(4a + a)(a)
2
4a + 5a
3
= 4a 3 + a 2
2
− 4a 3 − a 2
4a 2 + 2a + 1
(4a + 2a + 1)(1)
2
− 4a 2 − 2 a − 1
= 4a 2 + 2a + 1
0
5.
n4 − 10n3 + 29n2 − 20n + 4
n2 − 5n + 2
− n4
(2n − 5n)(− 5n)
2
− 10n3 + 29n2
= − 10n3 + 25n 2
10n3 − 25n 2
4n 2 − 20n + 4
− 4n 2 + 20n − 4
0
(2n − 10n + 2)(2)
2
= 4n2 − 20n + 4
6.
x 6 − 10 x 5 + 25x 4 + 12 x 3 − 60 x 2 + 36
x 3 − 5x 2 + 6
(2 x − 5x )(− 5x )
− x6
3
2
2
− 10 x 5 + 25x 4
10 x − 25x
5
= − 10 x 5 + 25x 4
4
(2 x − 10 x + 6)(6)
12 x 3 − 60 x 2 + 36
3
2
− 12 x 3 + 60 x 2 − 36
= 12 x 3 − 60 x 2 + 36
0
7.
16a − 24a + 49a − 30a + 25
4a 4 − 3a 2 + 5
− 16a 8
(8a − 3a )(− 3a )
8
6
4
2
4
2
2
− 24a 6 + 49a 4
= − 24a 6 + 9a 4
24a 6 − 9a 4
(8a − 6a + 5) (5)
40a 4 − 30a 2 + 25
4
2
− 40a 4 + 30a 2 − 25
= 40a 4 − 30a 2 + 25
0
8.
x + 4 xy − 2 xz − 4 yz + 4 y 2 + z 2
x + 2y − z
−x
(2 x + 2 y)(2 y)
2
2
4 xy − 2 xz
+ 4y
− 4 xy
= 4 xy + 4 y 2
2
− 4y
2
− 2 xz − 4 yz
+ z2
2 xz + 4 yz
−z
(2 x + 4 y − z)(− z)
= − 2 xz − 4 yz + z 2
2
0
9.
x + 2 x − 5x − 6 x + 9
12
9
6
x6 + x3 − 3
3
(2 x + x ) (x )
− x12
6
3
3
2 x 9 − 5x 6
= 2x9 + x6
− 2x9 − x6
(2 x + 2 x − 3) (− 3)
− 6x 6 − 6x 3 + 9
6
3
6x 6 + 6x 3 − 9
= − 6x6 − 6x3 + 9
0
10.
25x 8 − 70 x 6 + 30 x 5 + 49 x 4 − 42 x 3 + 9 x 2
5x 4 − 7 x 2 + 3x
(10x − 7 x ) (− 7 x )
− 25x 8
4
2
− 70 x 6 + 30 x 5 + 49 x 4
70 x
− 49 x
6
2
= − 70 x 6 + 49 x 4
4
30 x 5
− 42 x 3 + 9 x 2
− 30 x
+ 42 x − 9 x
5
3
0
2
(10x − 14 x + 3x) (3x)
4
2
= 30 x 5 − 42 x 3 + 9 x 2
4a 4 + 8a 3b − 8a 2b 2 − 12ab 3 + 9b 4
11.
2a 2 + 2ab − 3b 2
(4a + 2ab) (2ab)
− 4a 4
2
8a 3b − 8a 2b 2
= 8a 3b + 4a 2b 2
− 8a 3b − 4a 2b 2
(4a + 4ab − 3b ) (− 3b )
− 12 a 2b 2 − 12ab 3 + 9b 4
2
2
2
12 a 2b 2 + 12ab 3 − 9b 4
= − 12 a 2b 2 − 12ab 3 + 9b 4
0
x 6 − 2 x 5 + 3x 4 − x 2 + 2 x + 1
12.
x3 − x2 + x + 1
(2 x − x ) (− x )
− x6
3
2
2
− 2 x 5 + 3x 4
= − 2 x5 + x4
2 x5 − x 4
(2 x − 2 x + x) ( x)
2x4 − x2 + 2 x
3
2
2x3 − 2 x4 − x2
= 2x4 − 2x3 + x2
2x3
− 2x2 + 2x + 1
− 2x3
+ 2x2 − 2x − 1
(2 x − 2 x + 2 x + 1 ) (1)
3
2
= 2x3 − 2x2 + 2x + 1
0
13.
x 6 − 6 x 5 + 5x 4 + 16 x 3 − 8 x 2 − 8x + 4
x 3 − 3x 2 − 2 x + 2
(2 x − 3x ) (− 3x )
− x6
3
2
2
− 6 x 5 + 5x 4
6x − 9 x
5
= − 6x5 + 9 x 4
4
(2 x − 6x − 2 x) (− 2 x)
− 4 x 4 + 16 x 3 − 8 x 2
3
2
4 x 4 − 12 x 3 − 4 x 2
= − 4 x 4 + 12 x 3 + 4 x 2
4 x 3 − 12 x 2 − 8 x + 4
− 4 x 3 + 12 x 2 + 8 x − 4
(2 x − 6x − 4 x + 2) (2)
3
2
= 4 x 3 − 12 x 2 − 8x + 4
0
14.
x 8 + 6 x 6 − 8 x 5 + 19 x 4 − 24 x 3 + 46 x 2 − 40 x + 25
x 4 + 3x 2 − 4 x + 5
(2 x + 3x ) (3x ) = 6x + 9 x
− x8
4
6 x 6 − 8x 5 + 19 x 4
− 6x 6
2
4
+ 24 x − 16 x
3
+ 30 x 2 − 40 x + 25
− 10 x 4
− 30 x 2 + 40 x − 25
0
= − 8 x 5 − 24 x 3 + 16 x 2
2
4
10 x
4
2
− 8 x 5 + 10 x 4 − 24 x 3 + 46 x 2
8x
6
(2 x + 6x − 4 x) (− 4 x)
− 9x4
5
2
(2 x + 6x − 8x + 5) (5)
4
2
= 10 x 4 + 30 x 2 − 40 x + 25
15.
x 8 − 8x 7 + 16 x 6 + 4 x 5 − 22 x 4 + 24 x 3 + 4 x 2 − 12 x + 9
x4 − 4x3 + 2x − 3
(2 x − 4 x ) (− 4 x ) = − 8x + 16x
− x8
4
− 8x 7 + 16 x 6
3
3
7
6
(2 x − 8x + 2 x) (2 x)
8x 7 − 16x 6
4
3
4 x 5 − 22 x 4 + 24 x 3 + 4 x 2
− 4 x + 16 x
5
− 4x
4
− 6x + 24 x
= 4 x 5 − 16x 4 + 4 x 2
2
3
− 12 x + 9
6 x 4 − 24 x 3
+ 12 x − 9
4
(2 x − 8x + 4 x − 3) (− 3)
4
3
= − 6 x 4 + 24 x 3 − 12 x + 9
0
16.
9 − 36a + 42a − 18a + 13a − 2a + a
2
3
4
5
6
3 − 6a + a 2 − a 3
(6 − 6a)(− 6a) = − 36a + 36a
−9
− 36a + 42a 2
2
(6 − 12a + a )(a ) = 6a − 12a + a
36a − 36a 2
2
6a − 18a + 13a
2
3
2
2
4
(6 − 12a + 2a − a ) (− a )
− 6a 2 + 12a 3 − a 4
2
3
3
− 6a 3 + 12a 4 − 2a 5 + a 6
6a − 12a + 2a − a
3
3
4
4
5
= − 6a 3 + 12a 4 − 2a 5 + a 6
6
0
9 x − 24 x + 28 x − 22 x + 12 x 2 − 4 x + 1
6
17.
5
4
3
3x 3 − 4 x 2 + 2 x − 1
(6x − 4 x ) (− 4 x ) = − 24 x + 16 x
− 9x6
3
− 24 x 5 + 28 x 4
2
2
5
4
(6x − 8x + 2 x) (2 x)
24 x 5 − 16 x 4
3
2
12 x 4 − 22 x 3 + 12 x 2
= 12 x 4 − 16 x 3 + 4 x 2
− 12 x 4 + 16 x 3 − 4 x 2
− 6x 3 + 8x 2 − 4 x + 1
(6x − 8x + 4 x − 1) (− 1)
3
2
6x − 8x + 4 x − 1
3
= − 6x3 + 8x2 − 4 x + 1
2
0
18.
16 x − 40x + 73x − 84 x + 66x 2 − 36 x + 9
6
5
4
3
4 x 3 − 5x 2 + 6 x − 3
(8x − 5x ) (− 5x ) = − 40x + 25x
− 16 x 6
3
− 40x 5 + 73x 4
2
2
5
4
(8x − 10x + 6x) (6x)
40 x 5 − 25x 4
3
2
48 x 4 − 84 x 3 + 66 x 2
= 48x 4 − 60 x 3 + 36x 2
− 48 x 4 + 60 x 3 − 36 x 2
− 24 x 3 + 30x 2 − 36 x + 9
24 x 3 − 30 x 2 + 36 x − 9
0
(8x − 10x + 12 x − 3) (− 3)
3
2
= − 24 x 3 + 30 x 2 − 36x + 9
19.
m6 − 4m5n + 4m4 n 2 + 4m3n 4 − 8m2 n5 + 4n8
m3 − 2m2 n + 2n 4
− m6
(2m − 2m n) (− 2m n)
3
2
2
− 4m5n + 4m4 n 2
= − 4m5n + 4m4 n 2
4m n − 4m n
5
4 2
(2m − 4m n + 2n ) (2n )
4m3n 4 − 8m2 n5 + 4n8
− 4m n + 8m n − 4n
3 4
2 5
3
2
4
4
= 4m n − 8m2 n5 + 4n8
8
3 4
0
20.
9 x 6 − 6 x 5 y + 13x 4 y 2 − 16 x 3 y 3 + 8x 2 y 4 − 8 xy 5 + 4 y 6
3x 3 − x 2 y + 2 xy 2 − 2 y 3
(6x − x y)(− x y) = − 6x y + x y
− 9x6
3
− 6x y + 13x y
5
4
2
2
5
4
2
2
(6x − 2 x y + 2 xy ) (2 xy )
6x5 y − x 4 y 2
3
2
2
12 x 4 y 2 − 16 x 3 y 3 + 8x 2 y 4
2
= 12 x 4 y 2 − 4 x 3 y 3 + 4 x 2 y 4
− 12 x 4 y 2 + 4 x 3 y 3 − 4 x 2 y 4
(6x − 2 x y + 4 xy − 2 y ) (− 2 y )
− 12 x 3 y 3 + 4 x 2 y 4 − 8xy 5 + 4 y 6
3
2
2
12 x 3 y 3 − 4 x 2 y 4 + 8 xy 5 − 4 y 6
3
3
= − 12 x 3 y 3 + 4 x 2 y 4 − 8xy 5 + 4 y 6
0
21.
16a 6 − 24a 5b + 25a 4b 2 − 20a 3b 3 + 10a 2b 4 − 4ab5 + b 6
4a 3 − 3a 2b + 2ab2 − b 3
(8a − 3a b)(− 3a b) = − 24a b + 9a b
− 16a 6
3
− 24a 5b + 25a 4b 2
2
2
5
4 2
(8a − 6a b + 2ab ) (2ab )
24a 5b − 9a 4b 2
3
2
2
16a 4b 2 − 20a 3b 3 + 10a 2b 4
2
= 16a 4b 2 − 12a 3b 3 + 4a 2b 4
− 16a b + 12a b − 4a b
4 2
3 3
2 4
(8a − 6a b + 4ab − b ) (− b )
− 8a 3b3 + 6a 2b 4 − 4ab5 + b 6
3
2
2
8a 3b 3 − 6a 2b 4 + 4ab5 − b 6
3
3
= − 8a 3b 3 + 6a 2b 4 − 4ab5 + b 6
0
22.
36x 8 − 36x 6 y 2 + 48x 5 y 3 − 15x 4 y 4 − 24 x 3 y 5 + 28 x 2 y 6 − 16 xy 7 + 4 y 8 6 x 4 − 3x 2 y 2 + 4 xy 3 − 2 y 4
(12 x − 3x y )(− 3x y ) = − 36x y + 9 x y
− 36x 8
4
− 36 x y + 48 x y − 15x y
6
2
5
3
4
4
48 x 5 y 3 − 24 x 4 y 4 − 24 x 3 y 5 + 28x 2 y 6
− 48x y
5
+ 24 x y − 16 x y
3
3
− 24 x 4 y 4
4
24 x y
2
2
2
6
2
4
4
(12 x − 6x y + 4 xy )(4 xy )
− 9x 4 y4
36x 6 y 2
2
4
4
5
2
0
3
3
(12 x − 6x y + 8xy − 2 y ) (− 2 y )
4
− 12 x y + 16xy − 4 y
6
2
= 48 x 5 y 3 − 24 x 3 y 5 + 16x 2 y 6
6
+ 12 x 2 y 6 − 16 xy 7 + 4 y 8
2
2
7
8
2
2
3
4
4
= − 24 x 4 y 4 + 12 x 2 y 6 − 16 xy 7 + 4 y 8
23.
25a 6 − 40a 5 x + 26a 4 x 2 − 28a 3 x 3 + 17a 2 x 4 − 4ax 5 + 4 x 6 5a 3 − 4a 2 x + ax 2 − 2 x 3
(10a − 4a x)(− 4a x) = − 40a x + 16a x
− 25a 6
3
− 40a 5 x + 26a 4 x 2
2
2
5
4
2
(10a − 8a x + ax )(ax ) = 10a x − 8a x + a x
40a 5 x − 16a 4 x 2
3
10a 4 x 2 − 28a 3 x 3 + 17a 2 x 4
2
2
2
4
2
3 3
(10a − 8a x + 2ax − 2 x )(− 2 x )
− 10a 4 x 2 + 8a 3 x 3 − a 2 x 4
3
2
− 20a 3 x 3 + 16a 2 x 4 − 4ax 5 + 4 x 6
2
3
3
= − 20a 3 x 3 + 16a 2 x 4 − 4ax 5 + 4 x 6
20a 3 x 3 − 16a 2 x 4 + 4ax 5 − 4 x 6
0
24.
4a 8 − 12a 7 + 17a 6 − 16a 5 + 14a 4 − 10a 3 + 5a 2 − 2a + 1
2a 4 − 3a 3 + 2a 2 − a + 1
(4a − 3a )(− 3a ) = − 12a + 9a
− 4a 8
4
− 12a + 17a
7
3
3
7
6
6
(4a − 6a + 2a ) (2a )
12a 7 − 9a 6
4
3
2
8a 6 − 16a 5 + 14a 4
2
= 8a 6 − 12a 5 + 4a 4
− 8a 6 + 12a 5 − 4a 4
(4a − 6a + 4a − a)(− a)
− 4a 5 + 10a 4 − 10a 3 + 5a 2
4a − 6a + 4a − a
5
4
3
4
3
2
= − 4a 5 + 6a 4 − 4a 3 + a 2
2
4a 4 − 6a 3 + 4a 2 − 2a + 1
− 4a 4 + 6a 3 − 4a 2 + 2a − 1
(4a − 6a + 4a − 2a + 1)(1)
4
3
= 4a 4 − 6a 3 + 4a 2 − 2a + 1
0
25.
2
x10 − 2 x 9 + 3x 8 − 4 x 7 + 5x 6 − 8x 5 + 7 x 4 − 6x 3 + 5x 2 − 4 x + 4
x5 − x 4 + x 3 − x 2 + x − 2
(2 x − x )(− x ) = − 2 x + x
− x10
5
− 2 x 9 + 3x 8
4
9
8
(2 x − 2 x + x )(x ) = 2 x − 2 x + x
2 x9 − x8
5
2 x − 4 x + 5x
8
4
7
4
3
3
8
7
6
6
(2 x − 2 x + 2 x − x )(− x )
− 2 x8 + 2 x 7 − x 6
5
− 2 x 7 + 4 x 6 − 8 x5 + 7 x 4
4
3
2
2
= − 2 x 7 + 2 x 6 − 2 x5 + x 4
2 x 7 − 2 x 6 + 2 x5 − x 4
2 x 6 − 6 x 5 + 6 x 4 − 6 x 3 + 5x 2
− 2 x 6 + 2 x5 − 2 x4 + 2 x 3 − x 2
− 4 x5 + 4 x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 − 4 x + 4
4 x5 − 4 x 4 + 4 x 3 − 4 x 2 + 4 x − 4
0
(2 x − 2 x + 2 x − 2 x + x) ( x)
5
4
3
2
= 2 x 6 − 2 x5 + 2 x 4 − 2 x 3 + x 2
(2 x − 2 x + 2 x − 2 x + 2 x − 2)(− 2)
5
4
3
2
= − 4 x5 + 4 x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 − 4 x + 4
2
4
EJERCICIO 215
x4
5x 2 4 x 4
− x3 +
−
+
4
3
3 9
1.
−
x2
2
− x+
2
3
x4
4
(x − x) (− x) = − x + x
2
− x3 +
3
2
5x 2
3
2  2 2x2 4x 4
 2
−
+
 x − 2x +    =

3  3
3
3 9
x3 − x2
2x2 4x 4
−
+
3
3 9
2x2 4x 4
−
+
−
3
3 9
0
a 2 2a 19 2 x x 2
−
+ −
+
x 2 3x 9 3a a 2
2.
−
a 1 x
− +
x 3 a
2a 1
 2a 1   1 
 −  −  = −
+
 x 3  3
3x 9
a2
x2
−
2a 19
+
3x 9
2a 1
−
3x 9
2x x2
 2a 2 x   x 
 − +    = 2−
+
 x 3 a  a
3a a 2
2x x2
+
3a a 2
2x x2
−2 +
−
3a a 2
0
2−
a2
ac bc c2
− ab + b2 + − +
4
4 2 16
3.
−
a2
4
a
c
− b+
2
4
(a − b) (− b) = − ab + b
2
− ab + b 2
c   c  ac bc c2

 a − 2b +    = − +

4   4  4 2 16
ab − b2
ac bc c2
− +
4 2 16
ac bc c2
− + −
4 2 16
0
9a 4 3a 3 29a 2 4a 16
−
+
−
+
16
4
20
5 25
4.
−
3a 2 a 4
− +
4 2 5
 3a 2 a   a 
3a 3 a 2
+

−  −  = −
4
4
 2 2  2
9a 4
16
−
3a 3 29a 2
+
4
20
3a 3
a2
−
4
4
 3a 2
4   4  6a 2 4a 16
−a+    =
−
+

5  5 
5
5 25
 2
6a 2 4a 16
−
+
5
5 25
6a 2 4a 16
−
+
−
5
5 25
0
a 4 a 3b 3a 2b 2
b4
+
+
− ab 3 +
16 2
4
4
5.
−
 a2

a 3b 2 2
+a b
 + ab ( ab) =
2
 2

a4
16
a 3b 3a 2b 2
+
2
4
a 3b 2 2
−
−a b
2
−
 a2
b 2   b2 
a 2b 2
b4
 + 2ab −   −  = −
− ab 3 +
2 2
4
4
 2
a 2b 2
b4
− ab 3 +
4
4
a 2b 2
b4
3
+ ab −
4
4
0
x2 2x
25 50 y
+
− 2 xy + −
+ 25 y 2
25 3
9
3
6.
−
a2
b2
+ ab −
4
2
x 5
+ − 5y
5 3
 2 x 5  5 2 x 25
+
 +  =
 5 3   3 3 9
x2
25
2x
25
− 2 xy +
3
9
2x
25
−
−
3
9
− 2 xy
2 xy
50 y
 2 x 10

+ 25 y 2
 + − 5 y (− 5 y ) = − 2 xy −
 5 3

3
50 y
+ 25 y 2
3
50 y
+
− 25 y 2
3
0
−
x 4 4 x 3 y 62 x 2 y 2 4 xy 3 y 4
−
+
−
+
9
3
15
5
25
7.
−
x2
y2
− 2 xy +
3
5
 2x2

4x3 y

− 2 xy (− 2 xy ) = −
+ 4x2 y2
3
3


x4
9
−
4 x 3 y 62 x 2 y 2 4 xy 3
+
−
3
15
5
3
4x y
− 4x2 y2
3
 2 x2
y 2   y 2  2 x 2 y 2 4 xy 3 y 4
− 4 xy +    =
−
+

5 5
15
5
25
 3
2 x 2 y 2 4 xy 3 y 4
−
+
25
15
5
2 2
3
2 x y 4 xy y 4
−
+
−
15
5
25
0
a 4 3a 2 9 a 2b2 2b 2 b 4
−
+ +
−
+
16 10 25 18
15 81
8.
−
a 2 3 b2
− +
4 5 9
 a 2 3  3
3a 2 9
−  −  = −

+
10 25
 2 5  5
a4
16
−
3a 2 9
+
10 25
3a 2 9
−
10 25
 a 2 6 b 2   b 2  a 2b 2 2b 2 b 4
− +  =
−
+

 2 5 9   9  18
15 81
a 2b 2 2b 2 b4
−
+
18
15 81
a 2b 2 2b 2 b 4
−
+
−
18
15 81
0
9.
x2 + 4x + 2 −
4 1
+
y x2
x + 2−
1
x
(2 x + 2) (2) = 4 x + 4
− x2
4x + 2
1  1
4 1

 2x + 4 −   −  = − 2 − + 2

x  x
x x
− 4x − 4
4 1
+
y x2
4 1
2+ − 2
y x
− 2−
0
x 2 10 x 79 20 4
−
+ − + 2
9
3
3 x x
10.
−
10 x
 2x 
+ 25
 − 5 (− 5) = −
 3

3
x2
9
−
11.
−
x
2
− 5+
x
3
10 x 79
+
3
3
10 x
− 25
3
4 20 4
− +
3 x x2
4 20 4
− + − 2
3 x x
0
2   2  4 20 4
 2x
 − 10 +    = − + 2
 3
x  x 3 x x
a4
30 9
− 5a 2 + 28 − 2 + 4
a a
4
a2
3
− 5+ 2
a
2
a4
4
(a − 5)(− 5) = − 5a + 25
2
2
− 5a 2 + 28
3 3
30 9
 2
 a − 10 + 2   2  = 3 − 2 + 4

a a 
a a
5a 2 − 25
30 9
+
a2 a4
30 9
−3 + 2 − 4
a a
0
3 −
a 4 2a 3 a 2 2ax
x2
+
+ 2−
− 2+ 2
a
9 3x x
3
12.
−
a2 a x
+ −
3 x a
 2a 2 a   a  2 a 3 a 2
+  =

+
x   x  3x x 2
 3
a4
9
2a 3 a 2
+
3x x 2
3
2a a 2
−
−
3x x 2
 2 a 2 2a x   x 
x2
2ax
+
−  −  = −
− 2+ 2

x a  a
a
 3
3
−
x2
2ax
− 2+ 2
a
3
x2
2ax
+ 2− 2
a
3
0
13.
−
9a 2 3a 65 x 4 x 2
−
+ − +
x 2 2 x 16 3a 9a 2
3a 1 2 x
− +
x 4 3a
9a 2
x2
3a 1
 6a 1   1 
+
 −  −  = −
 x 4  4
2 x 16
−
3a 65
+
2 x 16
3a 1
−
2 x 16
x 4x2
 6a 1 2 x   2 x 
 − +    = 4− + 2
 x 2 3a   3a 
3a 9a
x 4x2
+
3a 9a 2
x 4x2
− 4+
−
3a 9a 2
0
4−
9 x 4 + 30 x 2 + 55 +
14.
50 25
+
x2 x4
− 9x4
3x 2 + 5 +
5
x2
(6x + 5) (5) = 30x + 25
2
2
30x 2 + 55
− 30 x 2 − 25
5 5
50 25
 2
 6 x + 10 + 2   2  = 30 + 2 + 4

x x 
x
x
50 25
+
x2 x4
50 25
− 30 − 2 − 4
x
x
0
30 +
4a 2 2a 19 5x 25x 2
−
+ − +
25x 2 5x 12 3a 9a 2
15.
−
2a 1 5x
− +
5x 2 3a
2a 1
 4a 1   1 
 −  −  = −
+
 5x 2   2 
5x 4
4a 2
25x 2
−
2a 19
+
5x 12
2a 1
−
5x 4
4 5x 25x 2
− +
3 3a 9a 2
4 5x 25x 2
−
− +
3 3a 9a 2
0
5x   5x  4 5x 25x 2
 4a
 − 1+    = − +
 5x
3a   3a  3 3a 9a 2
x 4 x 3 y 3x 2 y 2 xy 3 y 4
−
+
+
+
16 4
20
5 25
16.
−
x 2 xy y 2
− −
4 2 5
 x 2 xy   xy 
x3 y x2 y2
 −  −  = −
+
4
4
 2 2 2
x4
16
−
x 3 y 3x 2 y 2
+
4
20
x3 y x2 y2
−
4
4
−
 x2
y2   y2 
x 2 y 2 xy 3 y 4
+
+
 − xy −   −  = −
5 5
10
5 25
 2
x 2 y 2 xy 3 y 4
+
+
10
5 25
3
2 2
xy y 4
x y
−
−
10
5 25
0
4a 2b 2 2ab 21 7 xy 49 x 2 y 2
−
+ −
+
49 x 2 y 2 7 xy 20 5ab 25a 2b 2
17.
−
 4ab 1   1 
2ab 1
+
−  −  = −

7 xy 4
 7 xy 2   2 
4a 2b 2
49 x 2 y 2
−
2ab 21
+
7 xy 20
2ab 1
−
7 xy 4
4 7 xy 49 x 2 y 2
−
+
5 5ab 25a 2b 2
4
7 xy 49 x 2 y 2
− +
−
5
5ab 25a 2b 2
0
9a 2 x 2
6ax 23 4mn 4m2 n 2
+ −
+
2 2 −
25m n 25mn 75 45ax 81a 2 x 2
18.
−
2ab 1 7 xy
− +
7 xy 2 5ab
 4ab
7 xy   7 xy 
− 1+



5ab   5ab 
 7 xy
=
4 7 xy 49 x 2 y 2
−
+
5 5ab 25a 2b 2
3ax 1 10mn
− +
5mn 5 45ax
6ax
1
 6ax 1  1
−  −  = −
+

 5mn 5  5
25mn 25
9a 2 x 2
25m2n 2
−
6ax 23
+
25mn 75
6ax
1
−
25mn 25
20 4mn 4m2n 2
−
+
75 45ax 81a 2 x 2
20 4mn 4m2n 2
− +
−
75 45ax 81a 2 x 2
0
 6ax 2 10mn   10mn 
− +



 5mn 5 45ax   45ax 
=
20 4mn 4m2 n 2
−
+
75 45ax 81a 2 x 2
x6
5x 4 2 x 3 32 x 2 8 x
− x5 +
+
−
+ +4
4
3
3
9
3
19.
x3
2x
− x2 +
+2
2
3
x6
4
−
(x − x )(− x ) = − x + x
3
− x5 +
2
2
5
4
5x 4
3
2x   2x  2x4 4x3 4 x2
 3
−
+
 x − 2x2 +    =

3 3
3
3
9
x5 − x 4
2 x 4 2 x 3 32 x 2
+
−
3
3
9
2x4 4x3 4x2
−
+
−
3
3
9
8x
4x 
 3
+ 2 (2) = 2 x 3 − 4 x 2 + + 4
 x − 2x2 +


3
3
8x
+4
3
8x
− 2x3 + 4x2 − − 4
3
0
2x3 − 4x2 +
1 3a 59a 2 3a 3 43a 4 2a 5 1a 6
−
+
−
+
−
+
4 4
48
2
36
3
4
20.
1 3a 2a 2 a 3
−
+
−
2 4
3
2
3a 9a 2
 3a   3a 
 1−   −  = −
+




4
4
4 16
1
4
−
−
3a 59a 2
+
4
48
3a 9a 2
−
4 16
 3a 2a 2   2a 2  2a 2
4a 4
+
− a3 +
 1−

=
2
3  3 
3
9

2a 2 3a 3 43a 4
−
+
3
2
36
2a 2
4a 4
3
−
+ a −
3
9
−
 3a 4a 2 a 3   a 3 
+
−  − 
 1−
2
3
2 2

a 3 3a 4 2a 5 a 6
+
−
+
2
4
3
4
a 3 3a 4 2a 5 a 6
−
+
−
2
4
3
4
0
=−
EJERCICIO 216
1.
3
8 − 36 y + 54 y 2 − 27 y 3
2 − 3y
3(2) = 12
−8
2
− 36 y + 54 y 2 − 27 y 3
36 y − 54 y 2 + 27 y 3
0
3 (2) (− 3 y) = − 36 y
2
3 (2) (− 3 y) = 54 y 2
2
(− 3y) = − 27 y
3
3
a 3 3a 4 2a 5 a 6
+
−
+
2
4
3
4
2.
3
64a 6 + 240a 4b 2 + 300a 2b 4 + 125b 6
4a 2 + 5b 2
3 (4a 2 ) = 48a 4
2
− 64a 6
3 (4a 2 ) (5b 2 ) = 240a 4b 2
2
240a 4b 2 + 300a 2b 4 + 125b 6
3 (4a 2 )(5b 2 ) = 300a 2b 4
2
− 240a 4b 2 − 300a 2b 4 − 125b 6
(5b2 )3 = 125b 6
0
3.
3
x 6 + 3x 5 + 6 x 4 + 7 x 3 + 6 x 2 + 3x + 1
x2 + x + 1
3 ( x 2 ) = 3x 4
2
− x6
3 ( x 2 ) ( x ) = 3x 5
2
3x 5 + 6 x 4 + 7 x 3
3 (x 2 )(x 2 ) = 3x 4
− 3x 5 − 3x 4 − x 3
3x 4 + 6 x 3 + 6 x 2 + 3x + 1
x3 = x3
3 ( x 2 + x ) = 3x 4 + 6 x 3 + 3 x 2
2
− 3 x 4 − 6 x 3 − 6 x 2 − 3x − 1
3 ( x 2 + x ) (1) = 3x 4 + 6 x 3 + 3x 2
2
0
3 ( x 2 + x ) (1) = 3x 2 + 3x
2
(1)3 = 1
4.
3
8 x 6 − 12 x 5 − 6 x 4 + 11x 3 + 3x 2 − 3x − 1
2x2 − x − 1
− 8x 6
3 (2 x 2 ) = 12 x 4
2
3 (2 x 2 ) (− x ) = − 12 x 5
2
− 12 x 5 − 6 x 4 + 11x 3
3 (2 x 2 )(− x ) = 6 x 4
2
12 x 5 − 6 x 4 + x 3
(− x) = − x
3
− 12 x 4 + 12 x 3 + 3x 2 − 3x − 1
3
12 x − 12 x − 3x + 3x + 1
4
3
2
3 (2 x 2 − x ) = 12 x 4 − 12 x 3 + 3x 2
2
0
3 (2 x 2 − x ) (− 1) = − 12 x 4 + 12 x 3 − 3x 2
2
3 (2 x 2 − x )(− 1) = 6 x 2 − 3x
2
(− 1) = − 1
3
5. 3 1 − 9 x + 33x − 63x + 66 x − 36 x + 8 x
2
3
4
5
6
1 − 3x + 2 x 2
3 (1) = 3
−1
2
3 (1) (− 3x ) = − 9 x
− 9 x + 33x 2 − 63x 3
2
3 (1) (− 3x ) = 27 x 2
2
9 x − 27 x 2 + 27 x 3
6 x 2 − 36 x 3 + 66 x 4 − 36 x 5 + 8 x 6
− 6 x + 36 x − 66 x + 36 x − 8 x
2
3
4
0
5
(− 3x) = − 27 x
3
3
6
3 (1 − 3x ) = 3 − 18 x + 27 x 2
2
3 (1 − 3x ) (2 x 2 ) = 6 x 2 − 36 x 3 + 54 x 4
2
3 (1 − 3x ) (2 x 2 ) = 12 x 4 − 36 x 5
2
(2 x 2 )3 = 8 x 6
6. 3
x 6 − 9 x 5 + 33x 4 − 63x 3 + 66 x 2 − 36x + 8
x 2 − 3x + 2
3 ( x 2 ) = 3x 4
2
− x6
3 ( x 2 ) (− 3 x ) = − 9 x 5
2
− 9 x 5 + 33x 4 − 63x 3
3 (x 2 ) (− 3x ) = 27 x 4
2
9 x 5 − 27 x 4 + 27 x 3
(− 3x) = − 27 x
3
6 x 4 − 36x 3 + 66x 2 − 36 x + 8
3
− 6 x + 36 x − 66 x + 36x − 8
4
3
2
3 ( x 2 − 3x ) = 3x 4 − 18x 3 + 27 x 2
2
0
3 ( x 2 − 3x ) (2) = 6 x 4 − 36x 3 + 54 x 2
2
3 ( x 2 − 3x ) (2) = 12 x 2 − 36 x
2
( 2) 3 = 8
7.
3
x 9 − 6x 8 + 12 x 7 − 20x 6 + 48x 5 − 48x 4 + 48x 3 − 96x 2 − 64
x3 − 2 x2 − 4
3 ( x 3 ) = 3x 6
2
− x9
3( x 3 ) (− 2 x 2 ) = − 6 x 8
2
− 6x 8 + 12 x 7 − 20x 6
3( x) (− 2 x 2 ) = 12 x 7
6 x8 − 12 x 7 + 8x 6
2
3
(− 2 x ) = − 8x
2 3
− 12 x 6 + 48 x 5 − 48 x 4 + 48x 3 − 96x 2 − 64
6
12 x 6 − 48x 5 + 48 x 4 − 48x 3 + 96x 2 + 64
3( x 3 − 2 x 2 ) = 3x 6 − 12 x 5 + 12 x 4
2
0
3( x 3 − 2 x 2 ) (− 4) = − 12 x 6 + 48x 5 − 48x 4
2
3( x 3 − 2 x 2 )(− 4) = 48x 3 − 96 x 2
(− 4)3 = − 64
2
8.
3
x12 − 3x10 − 3x 8 + 11x 6 + 6 x 4 − 12 x 2 − 8
x4 − x2 − 2
− x12
3 ( x 4 ) = 3x 8
2
3( x 4 ) (− x 2 ) = − 3x10
2
− 3x10 − 3x 8 + 11x 6
3 ( x 4 )(− x 2 ) = 3x 8
2
3x10 − 3x 8 + x 6
− 6 x 8 + 12 x 6 + 6 x 4 − 12 x 2 − 8
(− x ) = − x
2 3
6
6 x 8 − 12 x 6 − 6 x 4 + 12 x 2 + 8
0
3 ( x 4 − x 2 ) = 3 x 8 − 6 x 6 + 3x 4
2
3 ( x 4 − x 2 ) (− 2) = − 6x 8 + 12 x 6 − 6 x 4
2
3 ( x 4 − x 2 )(− 2) = 12 x 4 − 12 x 2
2
(− 2) = − 8
3
9.
8x 6 − 36 x 5 + 66 x 4 − 63x 3 + 33x 2 − 9 x + 1
3
2 x 2 − 3x + 1
3(2 x 2 ) = 12 x 4
2
− 8x 6
3 (2 x 2 ) (− 3x) = − 36 x 5
2
− 36 x 5 + 66 x 4 − 63x 3
3 (2 x 2 ) (− 3x ) = 54 x 4
2
36 x 5 − 54 x 4 + 27 x 3
(− 3x) = − 27 x
3
12 x 4 − 36 x 3 + 33x 2 − 9 x + 1
3
− 12 x 4 + 36 x 3 − 33x 2 + 9 x − 1
3 (2 x 2 − 3x ) = 12 x 4 − 36 x 3 + 27 x 2
2
0
3(2 x 2 − 3x) (1) = 12 x 4 − 36 x 3 + 27 x 2
2
3(2 x 2 − 3x) (1) = 6 x 2 − 9 x
2
(1) 3 = 1
10.
3
27a 6 − 135a 5 + 117a 4 + 235a 3 − 156a 2 − 240a − 64
3a 2 − 5a − 4
3(3a 2 ) = 27a 4
2
− 27a 6
3(3a 2 ) (− 5a ) = − 135a 5
2
− 135a 5 + 117a 4 + 235a 3
3(3a 2 ) (− 5a ) = 225a 4
2
135a 5 − 225a 4 + 125a 3
(− 5a) = − 125a
3
− 108a 4 + 360a 3 − 156a 2 − 240a − 64
3
108a 4 − 360a 3 + 156a 2 + 240a + 64
0
3 (3a 2 − 5a ) = 27a 4 − 90a 3 + 75a 2
2
3(3a 2 − 5a ) (− 4) = − 108a 4 + 360a 3 − 300a 2
2
3(3a 2 − 5a ) (− 4) = 144a 2 − 240a
2
(− 4) = − 64
3
11.
3
a 6 − 6a 5b + 15a 4b2 − 20a 3b3 + 15a 2b 4 − 6ab5 + b 6
a 2 − 2ab + b 2
3(a 2 ) = 3a 4
2
− a6
3 (a 2 ) (− 2ab) = − 6a 5b
2
− 6a 5b + 15a 4b2 − 20a 3b3
3 (a 2 )(− 2ab) = 12a 4b 2
2
6a 5b − 12a 4b2 + 8a 3b 3
3a 4b 2 − 12a 3b 3 + 15a 2b4 − 6ab5 + b6
(− 2ab) = − 8a b
3
3 3
− 3a 4b2 + 12a 3b3 − 15a 2b 4 + 6ab5 − b6
0
3(a 2 − 2ab) = 3a 4 − 12a 3b + 12a 2b2
2
3 (a 2 − 2ab) (b) = 3a 4b 2 − 12a 3b 3 + 12a 2b 4
2
2
3 (a 2 − 2ab) (b 2 ) = 3a 2b 4 − 6ab5
2
(b2 )3 = b6
12.
3
x 6 − 9 x 5 y + 42 x 4 y 2 − 117 x 3 y 3 + 210 x 2 y 4 − 225xy 5 + 125y 6
x 2 − 3xy + 5y 2
3 ( x 2 ) = 3x 4
2
− x6
3(x 2 ) (− 3xy) = − 9 x 5 y
2
− 9 x 5 y + 42 x 4 y 2 − 117 x 3 y 3
3( x 2 ) (− 3xy) = 27 x 4 y 2
2
9 x 5 y − 27 x 4 y 2 + 27 x 3 y 3
(− 3xy) = − 27 x y
3
15x 4 y 2 − 80 x 3 y 3 + 210x 2 y 4 − 225xy 5 + 125y 6
3
3
− 15x 4 y 2 + 80 x 3 y 3 − 210x 2 y 4 + 225xy 5 − 125 y 6
3( x 2 − 3xy) = 3x 4 − 18 x 3 y + 27 x 2 y 2
2
0
3 ( x 2 − 3xy ) (5y 2 ) = 15x 4 y 2 − 80 x 3 y 3 + 135x 2 y 4
2
3 ( x 2 − 3xy ) (5 y 2 ) = 75x 2 y 4 − 225xy 5
2
(5y ) = 125y
2 3
13.
3
a12 − 3a10 + 15a 8 − 25a 6 + 60a 4 − 48a 2 + 64
a4 − a2 + 4
− a 12
3 (a 4 ) = 3a 8
6
2
3(a 4 ) (− a 2 ) = − 3a 10
2
− 3a 10 + 15a 8 − 25a 6
3 (a 4 ) (− a 2 ) = 3a 8
2
3a10 − 3a 8 + a 6
(− a ) = − a
2 3
12a 8 − 24a 6 + 60a 4 − 48a 2 + 64
6
− 12a 8 + 24a 6 − 60a 4 + 48a 2 − 64
3(a 4 − a 2 ) = 3a 8 − 6a 6 + 3a 4
2
0
3 (a 4 − a 2 ) (4) = 12a 8 − 24a 6 + 12a 4
2
3 (a 4 − a 2 ) (4) = 48a 4 − 48a 2
2
(4) 3 = 64
14.
3
a 9 − 9a 8 x + 27a 7 x 2 − 21a 6 x 3 − 36a 5 x 4 + 54a 4 x 5 + 12a 3 x 6 − 36a 2 x 7 + 8x 9
a 3 − 3a 2 x + 2 x 3
3(a 3 ) = 3a 6
2
− a9
3(a 3 ) (− 3a 2 x ) = − 9a 8 x
2
− 9a 8 x + 27a 7 x 2 − 21a 6 x 3
3(a 3 )(− 3a 2 x ) = 27a 7 x 2
2
9a 8 x − 27a 7 x 2 + 27a 6 x 3
6a 6 x 3 − 36a 5 x 4 + 54a 4 x 5 + 12a 3 x 6 − 36a 2 x 7 + 8 x 9
− 6a x + 36a x − 54a x − 12a x + 36a x − 8 x
6 3
5 4
4 5
3 6
0
2 7
(− 3a x) = − 27a x
2
3
6 3
9
3 (a 3 − 3a 2 x) = 3a 6 − 18a 5 x + 27a 4 x 2
2
3 (a 3 − 3a 2 x) (2 x 3 ) = 6a 6 x 3 − 36a 5 x 4 + 54a 4 x 5
2
3 (a 3 − 3a 2 x) (2 x 3 ) = 12a 3 x 6 − 36a 2 x 7
2
(2 x 3 )3 = 8 x 9
15.
a 9 − 3a 8 + 6a 7 − 10a 6 + 12a 5 − 12a 4 + 10a 3 − 6a 2 + 3a − 1
a3 − a2 + a − 1
− a9
3 (a 3 ) = 3a 6
3
2
3(a 3 ) (− a 2 ) = − 3a 8
2
− 3a 8 + 6a 7 − 10a 6
3 (a 3 ) (− a 2 ) = 3a 7
2
3a 8 − 3a 7 + a 6
(− a ) = − a
2 3
3a 7 − 9a 6 + 12a 5 − 12a 4 + 10a 3
6
− 3a 7 + 6a 6 − 6a 5 + 3a 4 − a 3
3 (a 3 − a 2 ) = 3a 6 − 6a 5 + 3a 4
2
− 3a 6 + 6a 5 − 9a 4 + 9a 3 − 6a 2 + 3a − 1
3 (a 3 − a 2 ) (a ) = 3a 7 − 6a 6 + 3a 5
2
3a 6 − 6a 5 + 9a 4 − 9a 3 + 6a 2 − 3a + 1
3 (a 3 − a 2 ) (a 2 ) = 3a 5 − 3a 4
0
(a 3 ) = a 3
3(a 3 − a 2 + a ) = 3a 6 + 3a 4 + 3a 2 − 6a 5 + 6a 4 − 6a 3
2
3(a 3 − a 2 + a ) (− 1) = − 3a 6 + 6a 5 − 9a 4 + 6a 3 − 3a 2
2
3(a 3 − a 2 + a )(− 1) = 3a 3 − 3a 2 + 3a
2
(− 1) = − 1
3
16.
3
x 9 − 12 x 8 + 54 x 7 − 121x 6 + 180 x 5 − 228 x 4 + 179 x 3 − 144 x 2 + 54 x − 27
x 3 − 4 x2 + 2 x − 3
3 (x 3 ) (− 4 x 2 ) = − 12 x 8
3 ( x 3 ) = 3x 6
2
− x9
3(x 3 )(− 4 x 2 ) = 48x 7
2
− 12 x 8 + 54 x 7 − 121x 6
12 x − 48x + 64 x
8
7
2
(− 4 x ) = − 64 x
2 3
6
6
3 (x 3 − 4 x 2 ) = 3x 6 − 24 x 5 + 48 x 4
2
6 x 7 − 57 x 6 + 180 x 5 − 228 x 4 + 179 x 3
3( x 3 − 4 x 2 ) (2 x ) = 6 x 7 − 48x 6 + 96 x 5
2
− 6x 7 + 48 x 6 − 108 x 5 + 48 x 4 − 8x 3
− 9 x 6 + 72 x 5 − 180 x 4 + 171x 3 − 144 x 2 + 54 x − 27
3( x 3 − 4 x 2 ) (2 x ) = 12 x 5 − 48x 4
9 x 6 − 72 x 5 + 180 x 4 − 171x 3 + 144 x 2 − 54 x + 27
(2 x ) = 8 x 3
2
3
0
3 ( x 3 − 4 x 2 + 2 x ) = 3x 6 + 48 x 4 + 12 x 2 − 24 x 5 + 12 x 4 − 48 x 3
2
3 ( x 3 − 4 x 2 + 2 x ) (− 3) = − 9 x 6 − 144 x 4 − 36 x 2 + 72 x 5 − 36 x 4 + 144 x 3
2
3 ( x 3 − 4 x 2 + 2 x )(− 3) = 27 x 3 − 108 x 2 + 54 x
2
(− 3) = − 27
3
EJERCICIO 217
x 6 x 5 5x 4 55x 3 20 x 2
− +
−
+
− 4x + 8
8 4
3
27
3
3
1.
−
x2 x
− +2
2 3
2
 x 2  3x 4
3  =
4
 2
x6
8
−
2
x 5 5x 4 55x 3
+
−
4
3
27
 x2   x 
x5
3   −  = −
4
 2   3
x5 x 4
x3
−
+
4
6
27
 x2   x  2 x4
3   −  =
6
 2   3
3
x3
 x
−  = −
 3
27
3x 4
20x 2
− 2x3 +
− 4x + 8
2
3
−
3x 4
20 x 2
+ 2x3 −
+ 4x − 8
2
3
2
 x 2 x  3x 4
x2
− x3 +
3 −  =
4
3
 2 3
0
2
 x2 x 
3x 4
2x2
− 2x3 +
3  −  ( 2) =
2
3
 2 3
 x2 x  2
3  −  ( 2) = 6 x 2 − 4 x
 2 3
( 2) 3 = 8
2.
3
a9 +
3a 8 a 7 7a 6 a 5 a 4 a 3
− −
+ + −
2
4
8 12 6 27
a3 +
a2 a
−
2 3
3(a 3 ) = 3a 6
2
− a9
2
3a 8
2a 
3(a 3 )   =
 2 2
3a 8 a 7 7a 6
− −
2
4
8
2
 a 2  3a 7
3(a )   =
4
 2
3
−
3
 a2  a6
  =
 2
8
3a 8 3a 7 a 6
−
−
2
4
8
− a7 − a6 +
a5 a 4 a 3
+ −
12 6 27
2

a2 
3a 4
3  a 3 +  = 3a 6 + 3a 5 +
4
2

2

a2   a
a5
3 a 3 +   −  = − a 7 − a 6 −


2
3
4

a5 a 4 a 3
a + a − − +
12 6 27
7
6
2

a 2   a  a5 a 4
3 a 3 +   −  = +


2
3
3 6

3
0
a3
 a
−  = −
 3
27
x3 9x2
60 36 8
−
+ 15x − 45 + − 2 + 3
x x
x
8
4
3
3.
x
2
− 3+
x
2
2
2
 x  3x
3  =
 2
4
−
9x
 x
3   (− 3) = −
 2
4
2
x3
8
−
2
2
27 x
 x
3   (− 3) =
 2
2
9x2
+ 15x − 45
4
(− 3) = − 27
3
2
 x  3x
− 9 x + 27
3  − 3 =
2 
4
2
9 x 2 27 x
−
+ 27
4
2
3x
60 36 8
− 18 + − 2 + 3
x x
x
2
54
 x   2  3x
3  − 3   = − 18 +
 2   x 2
x
2
6 36
 x   2
3  − 3   = − 2
 2   x
x x
2
−
3x
60 36 8
+ 18 − + 2 − 3
x x
x
2
0
a 3 3a 2 15a 5 15b 3b2 b3
−
+
− +
−
+
8b 3 4b 2 8b 2 8a 4a 2 8a 3
3
4.
−
8
 2
  = 3
 x
x
3
a
b
− 1+
2b
2a
2
2
 a  3a
3  = 2
 2b  4b
a3
8b 3
−
2
3a 2
 a
3   (− 1) = − 2
 2b 
4b
3a 2 15a 5
+
−
4b 2 8b 2
3a
2
 a
3   (− 1) =
 2b 
2b
3a 2 3a
− +1
4b2 2b
(− 1) = − 1
3
3a 3 15b 3b 2 b3
− +
−
+
8b 2 8a 4a 2 8a 3
2
2
 a
 3a 3a
3 − 1  = 2 − + 3
 2b  4b
b
−
3a 3 15b 3b2 b 3
+ −
+
−
8b 2 8a 4a 2 8a 3
2
 a
  b  3a 3 3b
3 − 1    = − +
 2b   2a  8b 2 2a
2
0
2
 a
  b  3b 3b
3 − 1    = − 2
 2b   2a  8a 4a
3
b3
 b
  = 3
 2a  8a
8a 3 2a 2 a 13 x
x2
x3
+ −
− 2−
3 −
2 +
27 x 3x 18 x 24 36a 6a 27a 3
3
5.
2a 1 x
− −
3x 2 3a
2
 2 a  4a
3  = 2
 3 x  3x
2
−
2a 2
 2a   1 
3   −  = − 2
 3x   2 
3x
2
8a 3
27 x 3
−
2
a
 2a   1 
3   −  =
 3x   2  2 x
2a 2
a 13
+
+
3x 2 18 x 24
3
1
 1
−  = −
 2
8
a
2a 2
1
−
+
3x 2 2 x 8
−
x2
x3
4a 2 x
+ −
− 2−
9 x 3 36a 6a 27a 3
2
2
 2a 1  4a 2a 3
+
3 −  = 2 −
 3 x 2  3x
x 4
2
4a 2 x
 2a 1   x 
+ −
3 −   −  = −
 3x 2   3a 
9 x 3 4a
x
x2
x3
4a 2
− +
+ 2+
9 x 3 36a 6a 27a 3
0
8a 3 4a 2 3a
27b 27b2 27b3
+ 4+
+
+
3 +
2 +
27b 3b
b
8a 16a 2 64a 3
3
6.
−
2
2
 2a 1   x  2 x x
− 2
3 −   −  =
 3x 2   3a  9a 6a
3
x3
 x
−  = −
 3a 
27a 3
2a
3b
+ 1+
3b
4a
2
2
 2 a  4a
3  = 2
 3b 
3b
8a 3
27b 3
−
2
4a 2 3a
+ +4
3b2 b
4a 2
 2a 
3   (1) = 2
 3b 
3b
4 a 2 2a
−
−1
3b2 b
 2 a  2 2a
3   (1) =
 3b 
b
a
27b 27b2 27b3
+ 3+
+
+
b
8a 16a 2 64a 3
a
27b 27b2 27b3
− − 3−
−
−
b
8a 16a 2 64a 3
(1) 3 = 1
2
2
 2a  4a 4a
+3
3  + 1 = 2 +
 3b 
b
3b
2
0
9b
 2a   3b  a
3  + 1   = + 3 +
 3b   4a  b
4a
2
9b 27b 2
 2a   3b 
3
+ 1   =
+
 3b   4a 
8a 16a 2
3
27b 3
 3b 
  =
 4a  64a 3
EJERCICIO 218
1
2
1. x 3 = 3 x
4
2
8. 3x 7 y 5 z 7 = 3 7 x 2 5 y 4 7 z2
3
5
1
2. m = 5 m3
5
3
4.
4
5
3
2
5. a b =
= 4 ab 4bc 4 c 3
= bc abc
y
b
4
b 2b
= b 5 a4
3
= 8m 3 n3n3n2
= 8mn
b
n
= x x 4y
5
6
11. 4a b c = 4a
x3 4 y 5 z
= 4a
2
5
=x x
4 y 5 z
7
7. 2a b = 2 a
5
4
6
19. 3 x 7 5 y 6 = 3x 2 y 5
2
z
23
7 6
b
23
3 3
c
b
2
5
3
5
13.
= 2 5 a 4 b2 b2 b
9
7
8
m
n
22. 3 6 m7 5 n8 = 3m 6 n 5
23. 3 am 3 bn = 3a 2 b 3
5
2
1
7
3
x
24. m a n b 3 r c x = a m b n c r
14. 3 x 7 = x 3
b
3
21. 5a 5 x 2 y 3z9 = 5ax 5 y 5 z 5
4
5
a5 = a
5
2
b b b 6 c5
= 4a 2 b 2 3 b 6 c 5
5
= 2b 2 5 a 4
3
20. 2 4 ab 3c 5 = 2a 4 b 4 c 4
5
12. 5m n x = 5 5 m2n3 x 4
5
2
a 3 3 b5 = a 2 b 3
1
7
3
2
3 1 1
x2y4z5 =
2 3
5
3
18.
10. 8mn = 8m 3 n8
4
a
= a
4
5
5
17. 2 4 x 5 = 2x 4
3
8
3
5
6.
1
16. 3 m = m 3
4
5
x = x2
7
9. a 4 b 4 c 4 = 4 ab 5 c 7
3. 4a 4 = 4 4 a 3
1
xy 2 = x
1
15.
EJERCICIO 219
−
3.
4.
5.
a − 4b
1
−
2
1
=
a 4b
1
−
−2
3 =
=
1
2
3
3x y
1
1
a
=
x2y 3
1
−
2
4
3
m n
−
8.
−
1
2 5
14.
a2c
6. a b c =
b
3
4x 2 y 5 =
5a
1
−
3
b
3
−
4
1
−
4a
1
2
7a b c
−
2
3
=
=
3
5
c− 1 =
15.
5
1
3
3
a b4c
17.
1
a 3a 2 x 2 x 2
y
=
7
3a 2 x 4
3
4
9
2
2
3
4a a c
7b2
4a c
7b 2
1
4b 2 x 3
b 2 c2
4x 3
3
1
1
2
−
=
2
a 4b 5
=
18.
3
2
−
−
3c 4
3a 4 b 5 c4
1
7
3m− 4n 2 3m3n 2 n4 3n 2
=
=
8m− 3n− 4
8m4
8m
−4 2
4x 2
y
c2
2
x − 1y − 2z − 3 a 2b5 c 8
12. − 2 − 5 − 8 =
a b c
xy 2 z3
13.
y
1
4
2a b
2a c 2a c
=
= 3
a − 4 c − 1 a 2b 3
b
x2 3 y
2 −1
7.
11.
b
1
m n− 5 =
−2 −3
1
a 2 x− 2
16. 3a 3 x 2 y − 1 =
1
x2
=
9.
−2
2x
2
3
5
10. x − 1y − 5 = 3xy
a2
2 −3
1. a b = 3
b
3
−5
2. 3x = 5
x
2
3
2m − 5n− 7
2
=
a 2m3n− 4 a 2m3m5n− 4n7
2
= 2 8 3
amn
1
3a 2mn
19.
−
1
3
−
2
4
3
= 3a 2a 3mm 2 nn 4
a − 3m n
3
7
= 3a 5m 2 n 4
−
1
1
1
x 3y 4
z2
z2
−
1
2
−
20.
2
2
x yz
=
2
2
3
x x yy
1
4
=
8
5
x3y4
EJERCICIO 220
−
9.
2
1.
a
1
=
b 2 a − 2b 2
10.
4mn2
4
= −1 − 2 3
3.
x3
m n x
a − 1b − 3
1
=
3
3ab 3
2
3
−
5.
11.
3c
7
7c
12.
2
3
1
2x 4
=
6. 5y 2
5x
1
4
y
2
1
a 3 b 3c − 2 =
2
3
2
a c b
3x − 1y
y3
−
1
2
3
=
xy 3 y
2m n
=
9
1
2
m
1
=
7.
5
5m3
18.
xy
= a 4b 3
1
3
=
a − 4b
1
−
3
2m2
7
2
19.
−
3m− 3n 4
a3
2
1
−
2
2
9m n
=
1
1
2m2m3n 4 2m5n 4
=
3
3
1
= a3x − 2y 2
20.
1
−
x2y 2
3a 2b3
= 3a 2ab 3 x − 1 = 3a 3b3 x − 1
a − 1x
2
= 2a − 1
a
21.
14.
3a
= 3ab − 2
b2
3xy 2z3
2 2 3 3
2 4 6
22. − 1 − 2 − 3 = 3xxy y z z = 3x y z
x y z
16.
x
−
1
2
−
= 4x 2 y − 2
y
1
−
m− 2n− 1x 2
− 2 4 −1 5
2
23. − 4 − 5 − 2 = m m n n x 2 x
m n x
1
4
3a − 2b3
3
= 2 4 −3
c4
a c b
1
1
−3
x 2y
2
2
2 3
15. − 2 = x yy = x y
y
−3
8.
3a 5 x 5 y 4
=
3
17.
−
7
7x − 5 y 4
13.
2
−
3a 5
1
−2 2
3
=
3
1
1
x 2 y− 2
2
−
3x − 1
3
= 2
2.
y2
xy
4.
1
x 2 y2 =
1
3
= m2n4 x 2
2
EJERCICIO 221
1.
x
−
1
2
1
=
x
1
2.
a
−
1
2
b
5
3.
=
1
2
=
2
3
1
2
b
1
−
3x − 1
5 7 a5
5.
3
=
1
−
x 2
2m
=
1
=
1
3
x 2x
2
−
5
6.
4x
3
y
−
a 2a 4 x
a
=
4a 2
3
x
=
3
m
2
10. x
2
3
= x y
x
3 3
y
3
4
3
−
=3
3
1
x3x
=
1
x3 x
=
b b
a a
3
 a 2 a 2 b2
14.   = 3 = 3
−
b
b 2 a2
1
1
2
2
=
2
4 a a a
4a
2
2
−
3
3
5
4
5 3
y
7 =
2 4
x 3z7
y z
−
2
=
5
3
1
x − 2m − 3n 5 =
2
3
xmn
4 x
3
1
x
a a4x
1
−
11.
3
5
4
1
4a
2
b 2b
=
a
a 2a
1
4
1
2
3 =5
−
=x 3
=
−
1
2
4a 2 a 2
1
=
=
5
2 n
5
9.
b
x2
=
2
−2
3
2
5
1
1
1
 − 21  3
−
6
15.  x  = x = 1 = 6
x
x6
y3
x2 7 z4
=
−
1
2
xm
1
1
1
 − 21 
=
12.  a  = 3 =
3
a
a
a
a2
3 5
n
2
16.
3
3
x5
7.
3
=
1
3
2 4 n3
n4 =
2
5
=
1
5 7 a5
3
m
1
=
3
a2 4 x
3
2
−
5a 7 b 3 =
−
b
3
=
1
a
3
 23 
13.  x 
3
3a 2
x4
=
2
b
4.
8.
x
a
3
−
1
2
3
a− 3 = a 2 =
1
3
a2
−
17.
3
−
4
2 x − 3 y − 4 = 2x 2 y 2 =
2
3
2
x y2
18.
2
2
a3
a3
=
x− 5
x
−
5
=a
5
2
2
3
2
3 3 m2
19.
5n
5 4 −3 =
b
20. a
21. x 2 x − 1 = x2 x
1
−
2
4
3y 2
23.
=
y− 4
m
24.
x
−1 3
3
b4
n
=
2
3
−3
92 92 9
−
7
7
−
= a 2 b3
6
3y 2
2
3
x
−
1
2
=m n
−
3
3
1
=
1
1
 25

 36 
−
34. 
1
2
=
2
= (16) (16) = 16 16 = 64
2
26. 8 3 = 3 82 = 3 64 = 4
3
4
1
2
1
4
27. 81 = 81 81
−
5
2 =
−
 27 
36.  − 64 
1
5
92
−
9
(
29. − 27
2
3
3
1
=3
) = (− 27)
2
= − 3⋅ − 3 = 9
)
2
(
2
 16 

 81
= 5 − 32 5 − 32
38. 
= − 2⋅− 2 = 4
−
3
31. 49 2 =
1
49 3
=
=
1
49 2
−
5
4
41. (5
1
1 −4
16
1
1
=
49 ⋅ 7 343
9
)
−
=
1
16 4
1
4
4
=4
81
16 2
=
81 3
2
3
2
3
42. 8 3 ⋅ 4 2 = 3 8 3 8 42
642
(− 27)
64 3 64
− 27 3 − 27
4
= 2 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 2 = 32
2
3
5
−
1
43. 9 2 ⋅ 27 3 =
=
−
1
95
3
27
92
92
3
9
= 81
3
44. 243 5 ⋅128 7
81
5
=
16 4
=4
1
 81 4
= 
 16
=
5
4
4
49
92
252 25
9 ⋅ 3 27
=
=
25⋅ 5 125
1
3
37. − 3 = 9 = 729
9
)
3
=
4⋅4
16
=
= = 1 79
− 3⋅ − 3 9
= 3 − 27 3 − 27
(
64
=
=
30. − 32 5 = 5 − 32
=
2
3
− 27
5
3
92
1
1
=
=
=
2 2
243
9 9 9 81 9
2
3
3
1
2
3
1
3
252
1
1
=
40. (2 )
1
2
 32  5 2435
 =
35. 
1
 243
32 5
5
243 3 1
= 5
= =12
32 2
= 81 4 81 = 9 ⋅ 3 = 27
28. 9
36
−
 25 2
= 
 9
3
7 −2
9
25
36 6 1
=
= =15
25 5
1
2
(16) 3
25. 16 =
243 5 243
− 32 5 − 32
3⋅ 3
9
= = 2 41
− 2⋅ − 2 4
=
3
3
33.  8  = 27
1
 27 
83
3
27 3
= 3 = = 1 21
8 2
m n
3
2
5
=5
3
=x2
a 2b 2
3x 3
−
a
1
2
1
=
a− 7 b− 6
−
3
5
2
2
16 4
=
81 9
16 ⋅ 2 32
=
=
81⋅ 3 243
1
=
3
5
−
 32  5 2435
2
39.  − 243 =
− 32 5
42 42 4
=
3
b 4
a
22.
3
3m 3 n 4
=
3
−
5
4
−
3
−
2
3m 3
=
5 4 n− 3
45
 4 2
32.   =
 9
95
5
x2
814 4 81
4 4
16 16
81⋅ 3 243
=
=
= 7 19
32
16 ⋅ 2 32
7
128 3
5
243
=
=
7
128 7 128 7 128
3
2⋅2⋅2 8
= = 2 23
3
3
EJERCICIO 222
1
1
1
−
1
−
1
6. a 2 x 3 + a 2 x 3 +
1. a − 2 + a − 1b 2 + x 0 para a = 3 b = 4
1
1
1
−
1
1
2. 3x 2 + x 2 y − 3 + x 0 y 3
7.
1
3
a −4
−
2
4
para a = 4 b = 16
−1 + a b
b
1
3
4−4
−
−3
= 2 (4) ⋅ 16 + −1 + 4 2 ⋅ 16 4
16
2
16
4
= 3 ⋅ 16 + 4 +
4
4 4 (16) 2 ⋅ 16
−
3. 2a b +
3
3
4
4.
1
−
2
2
16
x
+x y
y −2
1
−
3
=
16
− x0 y0 +
x
y
4
3
para x = 16 y = 8
=
−3
3
4
1
+ 16 4 + 1
16 ⋅ 2 −1
16
1
+ 32 − + 2 + 1
9
18
16
1 32 + 630 − 1 661
= + 35 − =
=
= 36 13
18
9
18
18
18
8.
2
1
x0
x −2
3
5
+ y0
0 + x − y +
y −1
3y
para x = 8 y = 32
2
1
1
8− 2
+ 8 3 − 32 5 + −1 + 1
3(1)
32
−
1
b
1
4
−
5
= 27 3 −
y=3
3
1
3− 3
= −1 +
+ 2 (1) + 814 ⋅ 3− 2
81
1
4
1
812 4 81
= 81 + 3 + 2 +
3
32
1 9⋅3
1
1
= 83 +
+
= 83 +
+ 3 = 86 +
= 86 271
27 9
27
27
2
1
9. a 3 −
1
8
x
y
0
−2
para x = 81
5. −1 + 0 + 2 x + x y
x
y
1
2
16 3 256
2
+ ⋅
−
+ 4 16 + 1
32 3 2 3 32 16
−
0
3− 2
1
32
2
= + 3 (2 3 ) − 5 32 + 2 + 1
3
8
1 2
1
1
1 2 + 18 + 3 23
= + 2 − 2 + + 1= + 3 + =
= = 3 56
3
2
3
2
6
6
1
16
1
− 1 + 3 = 512 + − 1 + 1
4⋅ 2
8
8 8
= 512
3− 2
−1
−3
+ 3( 3) ⋅ 162 ( 2) −
16−1
=
=
1
1
16
16
−
−
2
⋅ 8 3 − 160 ⋅ 80 + 4
− 2 + 16
8
83
1
16
= 4 162 4 16 ⋅ 82 +
− 1+
3
16 3 8
(83 )8
= 4 ⋅ 2 ⋅ 64 +
1
a −2
a −2
−1 2 − 3
− 1
+ b 4 + c0
−1 + 3a b c
b
b 2 c −1
para b = 16 c = 2 a = 3
=
1 1 1 8 + 1 + 4 13
+ + =
=
2 16 4
16
16
3
4
=
+ 3 (1)
1
4
1
3
3
3 + 34 37
=
+ 16 + 1 = + 17 =
=
= 18 12
2
2
2
4
1
2 4
1
−
1
+ 4 16 ⋅ 8 + 3
16 3 8
1
1
= 8+
+ 16 + 3 = 27 + = 27 18
4⋅2
8
para x = 4 y = 1
−3
1 1
+ +
2 16
1
= 16 3 8 +
= 3 ( 4) + 4 2 (1) + 1 (1) 3
=
para a = 16 x = 8
16 ⋅ 8−1
1 1 4
+
+1
32
3
1 2
1+ 6 + 9 16
= + + 1=
=
= 1 79
9 3
9
9
1
2
−
+ 3x 0
−1
= 16 2 ⋅ 8 3 + 16 2 ⋅ 8 3 +
=
1
1
4
a x
= 3− 2 + 3− 1 ⋅ 4 2 + x0
−
1
−
+ a 0b − 3 a b 5 −
1
−
2
para a = 27 b = 243
a 3
2
1
4
−
5
+ (1) 243 − 3 27 ⋅ 2435 −
243
=3
1
1 5 5 4
2
2
− (3 ) + 243 − 3 5 (35 ) − 3 (33 )
27
1
2
= − 34 + 243 − 3 ( 3) − 32
3
1
1
= + 162 − 27 − 9 = + 126 = 126 13
3
3
−
2
27 3
EJERCICIO 223
2
3
3
1
2
3
7. 3m 5 m− 5 = 3m 5 − 5 = 3m− 5
2. a − 2a − 3 = a − 2 − 3 = a − 5
8. 2a 4 a − 2 = 2a 4 − 2 = 2a 4
3. x 3 x − 3 = x3 − 3 = x0 = 1
9. x − 2 x − 3 = x − 2 − 3 = x − 3
1
2
1
+1
2
4. a a = a
1
3
2
=a
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
2
4
3
1
3
1
4
1
1
1
1
1
3
2
1
1
1
1
1
3
1
2
1
1
4
16. a − 2 b 4 a 2 b 4 = a − 2 + 2 b 4 + 4 = a 0b 4 = b
1
5
11. 4a − 2a − 2 = 4a − 2 − 2 = 4a − 2
1
2
2
3
3
17. m− 3 n 3 m− 3 n 3 = m− 3 − 3 n 3 + 3 = m− 3 n 3 = m− 1n
12. a − 1b − 2 ab 2
6. a 4 a 4 = a 4 + 4 = a 4 = a
1
15. a 3b − 1a − 2b − 2 = a 3 − 2b − 1− 2 = ab − 3
10. 3n2n− 3 = 3n2 − 3 = 3n 3
5. x 2 x 4 = x 2 + 4 = x 4
1
14. 3a 2b 2 2a − 2b − 2 = 3 ⋅ 2a 2 − 2b 2 − 2 = 6a 0b0 = 6
7
2
1
13. x − 3 y 2 x − 2 y − 2 = x − 3 − 2 y 2 − 2 = x − 5 y 0 = x − 5
1
1. x 2 x − 3 = x 2 + b− 3g= x − 1
3
3
5
5
18. 2a − 1b 4 ab − 2 = 2a − 1+ 1b 4 − 2 = 2a 0b − 4 = 2b − 4
= a − 1+ 1b − 2 + 2 = a 0b 0 = 1
EJERCICIO 224
2
2. x − 1+ x
2
1. a − 4 + 3a − 2 + 2
a
a
−4
−a
−8
+1
−6
+ 2a − 4
+ 3a
a
a
+ 2a
3
−4
−6
+ 3a
+2
−2
+2
+a
1
5.
1
2
2a − a + 2a
1
2
3
3a − 5
1
2a + a 4 − a 2 + 3a 4 − 2
a b
− 2 −1
−a b
− 2 −1
a b
b
−3
6.
3
1
2
3
−
2
x2 − 2
5
−
4
−
2
3
−
4
3
+ 8a
+ 10a
4
−
3
−
1
−
1
x 4 + 2x 4 − x 4
1
−
+1
+x 2
3
1
x 4 + 2x 4 − x 4
3
− 8a
− 8a − 2
1
−
1
−
1
−
1
− 2 x 4 − 4 x 4 + 2x 4
−2
1
5
− 2 −1
+a b
−a
+a
−3
1
− x − 6 y − 5 − x − 8 y − 7 − x − 10 y − 9
−4
+a b
−4
+a b
+ x − 8 y − 7 + x − 10 y − 9 + x − 12 y − 11
x − 4y − 3
3
−
3
− 4x 4 + 4x 4 − x 4
x − 4y − 3 + x − 6y − 5 + x − 8 y − 7
−3
−
x 4 + 2x 4 − x 4
x − 3y − 2 − x − 5y − 4 + x − 7y − 6
b − 3 + a − 1b − 2 + a − 2b − 1
−a b
4
3
2
− 2x 3
8. x − 1y − 1 + x − 3 y − 3 + x − 5 y − 5
− a − 3b − 1 + a − 4
−1 − 2
−
4
x3
x4
7. a 2b − 1 + a + b
−2 −2
− 4a
− 4a
1
1
2
3
1
x 3 + 2x 3 + 1
+ 1 − 2a 3 + 2a 3
1
4
− 2a 2 + a 4 − 2
3
2
3
3a − 6 + 6a
1
3
4
−
2
3
2a − a 4 + 2a 2
−
2 + 2a
3+a
1
a4 + 1 −a 4
3
2
a3 −
1
2
x 4 + x 2 − 2 + 3x − 2 − x − 4
1
−
2
− 2x − 4 x 3 − 2x 3
−1 + x− 2 − x− 4
4. 2a 4 − a 2 + 2a 4
1
2
x 3 + 2x + x 3
2x 2 − 2 + 2x − 2
−2
1
−
4
x4 − x 2 + 1
− a − 6 − 3a − 4 − 2a − 2
−8
1
x3 − 2 + x 3
x2 + 2 − x − 2
−2
1
3. x + 2x 3 + x 3
−2
+ x − 8y − 7
+ x − 12 y − 11
1
3
−
1
14. 2x − 3 + x − 1 + 4x − 2
9. a 4 b − 3 + a 4 b − 2 − a 4 b − 1
1
2
−1
a b − 2 + 3a
5
4
1
2
−
x − 1 − 2x − 2 + x − 3
b
2 − 3x − 1 + x − 2 + 4 x − 3
3
4
1
4
− 4x − 1 + 6x − 2 − 2x − 3 − 8x − 4
a b− 4 + a b − 3 − a b − 2
3
1
−
+ 2x − 2 − 3x − 3 + x − 4 + 4 x − 5
1
− 2a 4 b − 3 − 2a 4 b − 2 + 2a 4 b − 1
1
a 4 b− 2 +
3
5
3
a 4 b− 4 − a 4 b − 3
1
4 b−1 −
3a
1
−
a 4 b−1 −
+5
1
1
−
−
a 2b 2 +
10. a − 1 + 2
1
1
−
−
a− 1 − a 2 b 2
3
1
−
−
a 2b 2
1
3
−
1
− 2a − 1b − 1 − 2
1
1
2b − 2
3
1
+ 2b − 2
−
2
3
3
−
3
1
2
3
7
3
1
3
2
3
− x y2
1
a5
−
1
−
1
5
+a
− 2a
−
3
+a 5
−
3
+a+a 5
1
−
2
2
1
2m + 6m 3 + 4m 3
4
3
2
3
5
3
4
3
4
3
2
3
5
3
4
3
4
3
2
4
2m + 4m 3
2
5
3
4
5
2
− 7ax 3 − 3a 3 x − 9a 3 x 3
13. 5a 2 − 3a + 4 − 2a − 1
1
−
1
3
+ 2 + 4m 3
−
3
−
5 1
3
−
4 y 2 − 3x 4
−
15a 3 − 9a 2 + 12a − 6
x − 2 y 2 + 3x
−1
1
1
1
−
−
1
−x 4y
3 3
2y2 −
−
1
2
x − 1y
3 3
1 1
−
−
− 3x 2 y 2 − 9x − 1y + 3 x 2 y 2
− 25a + 15 − 20a − 1 + 10a − 2
− 19a + 17 − 24a + 10a
1
18. x 4 y 2 + 3x 4 y − x 4 y 2
x
−1
−
+ 2m 3 + 6 + 4m 3
3a + 2 − 5a − 1
10a − 6a + 8 − 4a
1
− 2m 3 − 6m 3 − 4
2
3
+ 2a x 2 − 4a x + 2ax − 6a x
15a + a
−
2 − 2m 3 + 2m 3
+ 3a x − 6ax + 3a x − 9a x
2
1
1
5
3
x − 2a x 2 + a x − 3ax
3
5
− m− 1n 2
1
2
3
7
5
2
2
x + 3a x + 2a x
2
1
17. m + 3m 3 + 2m 3
1
3
x3
−
1
1
3
1
3
3
− 6a 5
12. x − 2a x + a x − 3a
4
3
1
1
−
1
2
2
3
3
+ 2a 5 − a 5
3
1
2
1
− 2a 5 − 4a 5 + 2a 5
3
3
2
3
1
−2+a5 −a 5
4x 2 y 2 − x 2 y + xy 2 − x 2 y 2
1
3
−
16. a 5 + 2a 5 − a 5
4x 2 − x 2 y 2 + x 2 y − xy 2
4x + 3x 2 y
3
+ m2n − n2
3
5
2
1
3
m2
1
1
3
+ m 2 n − n 2 + m 2 n2 − m− 1n 2
1
3
−
−
a 2b 2
1
1
1
1
x2 + y2
5
3
+ mn 2 − m 2 n + n 2 − m 2 n2
11. 4x 2 − x 2 y 2 + xy − x 2 y 2
1
1
2a − 1b − 1
1
1
−
m2 + n2 + m 2n
3
a − 2 + a 2 b 2 + a − 1b − 1
3
1
m 2 − mn 2 + m 2 n − n 2
+ a − 1b − 1 + 2
−
1
15. m − m 2 n 2 + n − m 2 n 2
3
−
a 4
1
3
−
−
a 2b 2 +
3
2 − 7 x − 1 + 9x − 2 − x − 3 − 7 x − 4 + 4x − 5
3
4
+ b− 1
a− 2 + 2
−
−
2b − 1
3
1
−
−
a 2b 2 +
−
3a
−
−
1
1
− x − 1y − 3x 2 y 2 + 1
−2
x − 2y 2
− 11x − 1y
+1
−
2 −1
3 −3
−3 3
−2
19. x y + 5x y
2
1
2
−
−
4
3
20. a 3 b 2 + 2a 3 b − a − 2b 2
4 −5
+ 2x y
1
−
2
1
x y − x y + 3x − 1y − 1
3a 3 b 2 + 1+ a 3 b 2
x − 1y 2 + 5 + 2xy − 2
3 + 6a 3 b 2 − 3a 3 b
− 1− 5xy − 2 − 2x 2 y − 4
2
−
2
1
1
−
4
−
4
3
+ a 3 b 2 + 2a 3 b − a − 2b 2
+ 3xy − 2 + 15x 2 y − 4 + 6x 3 y − 6
x − 1y 2 + 4
−
−
+ 13x 2 y − 4 + 6x 3 y − 6
4
3
−
8
3
−
8
a 3 b + 2a − 2b 2 − a 3 b 2
2
−
1
+ a − 2b 2 − a 3 b 2
3 + 7a 3 b 2
EJERCICIO 225
1. a 2 ÷ a − 2 = a 2 − b− 2 g= a 2 + 2 = a 4
2. x
−3
÷x =x
2
1
2
3. m ÷ m
1
−
4
−3−2
=m
=x
1  1
− − 
2  4
 7
7
7
5
12. a − 3 ÷ a − 4 = a − 3 −  − 4  = a − 3+ 4 = a − 4
−5
1 1
+
13. x − 2 y − 1 ÷ x − 3 y − 2 = x − 2 + 3 y − 1+ 2 = xy
3
= m2 4 = m4
1
1
1
1
2
1
4. a 2 ÷ a 5 = a 2 − 5 = a − 3
14. a 2 b 3 ÷ ab = a 2 − 1b 3 − 1 = a − 2 b − 3
5. x − 3 ÷ x − 7 = x − 3 − b− 7g= x − 3 + 7 = x 4
15. a 2b − 3 ÷ a − 1b = a 2 + 1b − 3 − 1 = a 3b − 4
1
2
6. a ÷ a = a
2
1
2
5
1
−
5
1
−1
2
=a
7. x − 3 ÷ x − 3 = x
8. a ÷ a
9. m
−
10. a
3
4
=a
1
2
2  1
− − − 
3  3
2  1
− − 
5  5
−
÷m =m
1
3 ÷
a =a
2
3 1
−
4 2
1
−1
3
=
−
1
−
2
a
−
2 1
− +
−
2
1
3
3
1
1
2
1
1
1
1
=x 3 3=x 3
=a
2 1
+
5 5
−
=m
=a
3
3
1
3
3
5
2
1
3
17. m 4 n− 4 ÷ m− 2 n 4 = m 4 + 2 n− 4 − 4 = m 4 n− 2
3
5
2
−
1
−2
18. 8 x y 5 ÷ 4 xy 5 =
5
4
1
2
3
1
1
3
8 − 2 −1 5 + 5
= 2x − 3 y 5
x
y
4
1
7
19. a 3 b ÷ a − 4 b − 3 = a 3 + 4 b1+ 3 = a 12 b 4
2 1
3
4 5 −  − 5 
+
x
= 2x 5 5 = 2x 5
2
2
1
11. 4 x 5 ÷ 2 x 5 =
1
16. x − 2 y − 3 ÷ x − 2 y − 1 = x − 2 + 2 y − 3 + 1 = x 0 y 3 = y 3
1
20. x − 4 y − 5 ÷ x2 y − 1 = x − 4 − 2 y − 5 + 1 = x − 6 y − 4
EJERCICIO 226
2.
1.
x − 8 + 2x − 6
−x
−8
+x
−6
3x
−6
+ x− 2 + 2 x− 4 − x− 2 +1
−x
−4
− x
−4
x
+ x
2x
− 2x
−2
+ 3x
−2
+2
2
− 2a 3
4
2
2
1
− a 3 − 2a − a 3
2
+2
1
+ 2a + 4a 3 + 2a 3
2
1
a 3 + 2a 3 + 1
2
−
1
a3 −2+a 3
− 2a − 3a 3
− 2x − 4 + 2x − 2 − 2
1
+ 1 a + 2a 3 + a 3
2
−2
− 3x − 6 + 3x − 4 − 3x − 2
−4
−4
4
a3
1
− a 3 − 2a 3 − 1
3
m4 + m2 − 2 + 3m− 2 − m− 4 m2 − 1+ m− 2
3.
4.
m2 + 2 − m − 2
− m 4 + m2 − 1
2m − 3 + 3m
2
1
1
1
2x + x 4 − x 2 + 3x 4 − 2
3
1
3
− 2x − 2x 4 + 2x 2
−2
3
− 2m2 + 2 − 2m− 2
1
−
1
x 4 + 1− x 4
1
1
2x 4 − x 2 + 2x 4
1
− x 4 + x 2 + 3x 4
− 1 + m− 2 − m− 4
3
1
1
+ x4 +x2 − x4
+ 1 − m− 2 + m− 4
1
1
2x 2 + 2x 4 − 2
1
1
− 2x 2 − 2x 4 + 2
2
−
4
−
+ 10m 3 − 8m− 2
3m 3 − 5
5.
2
3
− 3m − 1+ 4m
2
−
3
− 6 + 4m
+ 6 + 2m
2
−
3
2
−
3
−
2
−
2
3
2
−
2
3
m − 2 + 2m
+ 10m
− 8m
4
3 + m 3 − 4m 3
6.
2
−
3
4
−
3
4
−
4
3
1
− 2m
5
3
1
−
1
1
4x − 2 + x − 1 − 3 + 2x
x − 3 − 2x − 2 + x − 1
− 4 x − 3 − x − 2 + 3x − 1 − 2
+ a − 8b − 7
−
1
−
1
−
3
−
3
+ a 4 − 2a 4 + a 4
4 x − 3 + x − 2 − 3x − 1 + 2
+ a − 4b − 3
− a −12b −11 + a −10b − 9 − a −8b − 7
a
−
1
1
8x − 4 + 2x − 3 − 6 x − 2 + 4 x − 1
b −11
3
− a 4 + 2a 4 − a 4
+ 8m− 2
−10 − 9
b
− a −10b − 9 + a − 8b − 7 − a − 6b − 5
a − 8b − 7 − a − 6b − 5 + a − 4b − 3
− a − 8b − 7 + a − 6b − 5 − a − 4b − 3
a − 7b − 6 − a −5b − 4 + a − 3b − 2
a −5b − 5 + a − 3b − 3 + a −1b −1
1
−
1
a2 −2+a 2
1
−
1
a 4 + 2a 4 − a 4
1
3
− 8 x − 4 + 2x − 3 + 7 x − 2 − 7 x − 1
−12
3
− 2a 4 + 4a 4 − 2a 4
− 4x − 5 − x − 4 + 3x − 3 − 2x − 2
8. a
−
1
3
4 x − 5 − 7 x − 4 − x − 3 + 9x − 2 − 7x − 1 + 2
7.
1
− a 4 + 2a 4 − a 4
6m 3 + 2m 3 − 8m− 2
− 6m
−
− 4a 4 + 4a 4 − a 4
2a 4 − 5a 4 + 4a 4
4
−
3
−
5
a4
m − 4n
9.
+ m− 2n− 1
+ n− 3
m− 4 − m− 3n− 1 + m− 2n− 2
− m− 4n + m− 3 − m− 2n− 1
n + m + m2n− 1
m− 3
− m− 3 + m− 2n− 1 − m− 1n− 2
m− 2n− 1 − m− 1n− 2 + n− 3
− m− 2n− 1 + m− 1n− 2 − n− 3
10.
a 2 − 19a + 17 − 24a − 1 + 10a − 2 3a + 2 − 5a − 1
15a 3 +
5a 2 − 3a + 4 − 2a − 1
− 15a 3 − 10a 2 + 25a
− 9a 2 + 6a + 17
+ 9a 2 + 6a − 15
12a + 2 − 24a − 1
− 12a − 8 + 20a − 1
− 6 − 4a − 1 + 10a − 2
+ 6 + 4a − 1 − 10a − 2
11.
5
3
5
1
−
a 4 b− 4 − a 4 b − 3
−
3
+ 5a 4 b − 1 − 3a 4
3
1
1
−
3
− a 4 b − 4 + 2a 4 b − 3 − 3a 4 b − 2
1
a 2 b − 1 − 2 + 3a 2 b
1
−
3
1
−
1
3
1
−
1
a 4 b − 3 − 3a 4 b − 2 + 5a 4 b − 1
− a 4 b − 3 + 2a 4 b − 2 − 3a 4 b − 1
1
−
1
−
3
1
−
1
−
3
− a 4 b − 2 + 2a 4 b − 1 − 3a 4
+ a 4 b − 2 − 2a 4 b − 1 + 3a 4
12.
−
3
−
1
−
3
−
1
−
3
−
1
−
3
−
1
1
a 4 b− 3 + a 4 b− 2 − a 4 b− 1
x − 2 + x 2 y 2 + x − 1y − 1
+ 2y − 2
−
1
−
− x − 2 + x 2 y 2 − x − 1y − 1
−
1
x−1 − x 2 y 2 + y−1
1
−
1
x − 1 + 2x 2 y 2 + 2y − 1
2x 2 y 2
−
1
−
3
−
1
−
3
−
1
−
3
− 2x 2 y 2 + 2x − 1y − 1 − 2x 2 y 2
2x − 1y − 1 − 2x 2 y 2 + 2y − 2
− 2x − 1y − 1 + 2x 2 y 2 − 2y − 2
1
13.
−
− 6m 5
m
3
3
3
+m 5
1
2
− m − 2m 5 + m 5
3
1
−
1
2
m 5 + 2m 5 − m 5
−
14.
2
2
1
5
2m + 4m − 2m
1
−
2
−
1
−
1
−
1
3
1
1
1
1
x2 + y2
1
3
− 4 x 2 − 4x 2 y 2
1
1
3
4x 2 − x 2 y 2 − xy − x 2 y 2
1
− x2 y 2
3
+ x2y 2 − x 2 y
3
− x2y
3
+ x 2 y − xy 2
3
1
− xy 2 − x 2 y 2
3
1
+ xy 2 + x 2 y 2
7
4
7
4
5
2
− 7ax 3 − 3a 3 x − 9a 3 x 3
x3
1
2
5
2
5
2
5
4
4
+ 2a 3 x 2 + 4a 3 x 3 + 6ax 3
2
5
4
4
a 3 x 3 − ax 3 − 3a 3 x
2
5
1
2
2
2
2
1
x − 2a 3 x 3 + a 3 x 3 − 3a
− 2a 3 x 2 − 3a 3 x 3 − 7ax 3
1
4
x 3 + 2a 3 x + 3a 3 x 3
1
− x 3 − 2a 3 x 2 − 3a 3 x 3
1
4
4
− a 3 x 3 − 2ax 3 − 3a 3 x
4
4
5
2
− 3ax 3 − 6a 3 x − 9a 3 x 3
4
−
1
−
1
− 2 x 3 − 6 − 4x 3
− x 2 y2
3
1
2x 3 + 6 + 4 x 3
1
4x 2 + 3x 2 y 2
1
1
3
+ m 5 + 2m 5 − m 5
16.
−
+ 2x 3 + 6 x 3 + 4
1
4
5
2
+ 3ax 3 + 6a 3 x + 9a 3 x 3
2
1
x + 3x 3 + 2x 3
1
−
2
2 − 2x 3 + 2x 3
− 2x 3 − 4x 3 + 2
1
−
5
− m 5 − 2m 5 + m 5
5
1
− 2x − 6x 3 − 4 x 3
1
3
5
5
1
+ 2 + 4x 3
2
m5 − 2 −m 5
− 2m 5 − 5m 5
15.
−
2x + 4 x 3
3
17.
1
a2
3
3
5
+ a 2b − b 2
− a − 1b 2
1
1
1
1
1
− a 2 − ab 2 − a 2 b
1
1
−
1
3
a − a 2b2 + b − a 2b 2
1
3
− ab 2
−b2
1
−
a 2 +b 2 + a 2b
1
3
+ ab 2 + a 2 b + b 2
1
a 2b
1
3
−
1
−
1
−
1
− a 2 b − b 2 − a 2 b2
3
5
− b 2 − a 2 b 2 − a − 1b 2
3
5
+ b 2 + a 2 b2 + a − 1b 2
18.
m− 2 n 2
− 11m−1n
−
3
3
−
3
3
3
3
3
−
5
1
−
1
1
3
−
1
−
−
1
1
+ 3m 2 n 2 + 9 m −1n − 3m 2 n 2
−
1
1
−
1
1
− m−1n − 3m 2 n 2 + 1
+ m−1n + 3m 2 n 2 − 1
19.
x − 1y 2 + 4
+ 13x 2 y − 4 + 6x 3 y − 6
− x − 1y 2 + 1 − 3xy − 2
x − 3 y 3 − x − 2 y + 3x − 1y − 1
x 2 y − 1 + 5 x 3 y − 3 + 2x 4 y − 5
5 − 3xy − 2 + 13x 2 y − 4
− 5 + 5xy − 2 − 15x 2 y − 4
2xy − 2 − 2x 2 y − 4 + 6x 3y − 6
− 2xy − 2 + 2x 2 y − 4 − 6x 3 y − 6
20.
−
2
1
3
−
2
−
2
−
2
1
−
8
+ a − 2b 2 − a 3 b 2
3 + 7a 3 b 2
−
4
−
4
−
−
4
3
6a 3 b 2 − a 3 b + a − 2b 2
1
3
− 6a 3 b 2 − 2a 3 b − 2a − 2b 2
−
4
−
4
2
−
1
−
2
1
3a 3 b 2 + 1+ a 3 b 2
2
1
−
4
3
a 3 b 2 + 2a 3 b − a − 2b 2
− 3 − a 3b 2 − a 3b
1
1
m 4 n 2 − 3m 4 − m 4 n 2
− 3m 2 n 2 − 10 m−1n
−
1
m 4 n 2 + 3m 4 n − m 4 n 2
−
− m − 2n 2 − 3m 2 n 2 + m−1n
3
−
+1
3
−
8
−
8
− 3a 3 b − a − 2b 2 − a 3 b 2
3
+ 3a 3 b + a − 2b 2 + a 3 b 2
EJERCICIO 227
2
1
2
1
 − 4 14 
⋅2
y  = x − 4 ⋅2 y 4 = x − 8 y 4 = x − 8 y 2


7.  x
(a ) = a = a
3
2. (a − 2b −1 ) = a − 2 ⋅3 b −1⋅3 = a − 6b − 3
−1 2
1.
−1⋅ 2
−2


2


3


3


3
1 1
2
1
2 2
2
1

⋅2 ⋅2
= 2 2 a 2 b 3 = 4a 2 b 3 = 4ab 3

8.  2a 2 b 3 
6
3

⋅2
= a 2 = a 2 = a3

3.  a 2 
9.
(a − 3b−1 )4 = a − 3⋅4b−1⋅4 = a −12b− 4
6
2
1
12
6
 2 −1 
⋅6 − ⋅6
−
= x 3 y 2 = x 3 y 2 = x 4 y −3


3
3
9

⋅3
= x4 = x4

10.  x 3 y 2 
4.  x 4 


2
3
6
3

⋅2
= m4 = m4 = m2

5
2
11.  3a 5 b
5.  m 4 


3
2
6
 −2 
− ⋅3
−
−2
6.  a 3  = a 3 = a 3 = a
 
−
−3
1
2
10

⋅5
5
35
15
2
15
 = 3 a 5 b − ⋅ = 243a 5 b − = 243a b −

−
1
3
1
1
3
3
3

− ⋅3 − ⋅3
−
−
−
= 2 3 m 2 n 3 = 8m 2 n 3 = 8m 2 n −1

12.  2m 2 n 3 
EJERCICIO 228


1
1


2


1


2


1
  1  1
   


2
1
−
1


2


3
1


2


3


2


3
3


1
 
 
1




2
1
−
2


1


−
1


2


−
1


1
2
1
= m − 1 + 4 m 2 + 4 m2 = m − 1 + 4 m 2 + 4 m 2
(
)
= (a − 2b 3 ) − 2 (a − 2b 3 )(a 3b − 2 ) + (a 3b − 2 )
2
2

( )
( )
−
3
3
−
4
−
 
(
−2
+ b
3
−2 2
−2+
1
2
−2
1
−
1
1
−
3
−
= a − 4 + 2a − 2b 2 + b
1
2
1
2
−1
n 4 + mn − 2
3
= m− 4 n 2 − 2m 2 n 4 + mn − 2
3
2
3
−
4
2
2
1
1
2
2
3
1 2
= a + 3a 3 b 3 + 3a 3b 3 + b

( x − 3y )
3
−1
2
3
) = (a ) + 2 (a )  b  +  b 
2
1
10.
= a − 2 − 6a −1b 4 + 9b 2
6. a
3
2
= m − 4 n 2 − 2m
2
5.  a − 1 − 3b  = a −1 2 − 2 a − 1  3b  +  3b 



1
3
= a − 4b6 − 2ab + a 6b − 4
2
2
 1
 1  1  1  1  1
=  a 3  + 3  a 3   b 3  + 3 a 3   b 3  +  b 3 
 
        
= a − 4b 6 − 2a − 2 + 3b 3− 2 + a 6b − 4
3
−
4
1
 13 13 
9.  a + b 
3 −2 2
−2 3
  −1  −1

 

2
3.  m 2 + 2m =  m 2  + 2 ( 2m)  m 2  + ( 2m)
4. a b − a b
3
1
1
 1   1 



=  m− 2 n 4  − 2  m− 2 n 4   m 2 n − 1  +  m 2 n − 1 

 




2
1−


−2
−1
8.  m n 4 − m 2 n 
= x 2 − 2x 4 y 3 + y 3


2
= x 2 − 2 x 4 y 2 + y −1
2.  x 4 − y 3  =  x 4  − 2  x 4   y 3  +  y 3 
3


3
1
= a + 2a 2 b 2 + b


3
7.  4 x 3 − y 2  =  x 4  − 2  x 4   y 2  +  y 2 
1.  a 2 + b 2  =  a 2  + 2  a 2   b 2  +  b 2 
3
2
 2
 2
 2
2
3
=  x 3  − 3  x 3  (3 y −1 ) + 3  x 3  (3y −1 ) − (3 y −1 )
 
 
 
4
2
= x 2 − 9 x 3 y −1 + 27 x 3 y − 2 − 27 y − 3
3
3
2
2
3
2
3
3
4
3
2
9
 2
 2
 2  −3  2  −3  −3
− 
−
−
2
−3
11.  m 3 + 4n 2  =  m 3  + 3  m 3   4n 2  + 3  m 3   4n 2  +  4n 2  = m + 12m 3 n 2 + 48m 3 n + 64n 2

  
  
  
 

3
1
1
1
1
3
 −4
 −1
− 
− 
− 
−
−4 3
−4 2 
−4 
− 12
−8 −
− 4 −1
12.  2a − 3b 2  = (2a ) − 3 (2a )  3b 2  + 3 (2a )  3b 2  −  3b 2  = 8a − 36a b 2 + 54a b − 27b 2





 

13.
3
2
2
3
3
1
1 2
 1
 1  1  1  1  1
y =  x 2  − 3  x 2   y 3  + 3  x 2   y 3  −  y 3  = x 2 − 3xy 3 + 3x 2 y 3 − y
 
        
( x− )
3
3
4
4
3
2
2
3
4
3 2
4
1
8
 1 2  1
 1  2  1  2
 1  2  2
2
2
14.  a 2 + b 3  =  a 2  + 4  a 2   b 3  + 6  a 2   b 3  + 4  a 2   b 3  +  b 3  = a + 4a 2 b 3 + 6ab 3 + 4a 2 b + b 3

  
       
    
4
2
3
1
1
1
 − 2 − 13 
 − 13 
−2 4
−2 3  − 3 
−2 2  − 3 
−2  − 3 
15.  x − y  = ( x ) − 4 ( x )  y  + 6 ( x )  y  − 4 ( x )  y  +  y 







 

−
1
1
 
 
−
2
−
4
3


4
= x − 8 − 4 x − 6 y 3 + 6 x − 4 y 3 − 4 x − 2 y −1 + y 3


1
−
3


5


1


5


4
−
3
−
3


3


1
 
 
2
−
9
−
2


2
1
 
 
2
1
3
−
3


3


1


−
3


4


−
3


5
16.  x 3 + y 4  =  x 3  + 5  x 3   y 4  + 10  x 3   y 4  + 10  x 3   y 4  + 5  x 3   y 4  +  y 4 
5
4
−
3
1
−
15
= x 3 + 5x 3 y 4 + 10 xy 2 + 10 x 3 y 4 + 5x 3 y − 3 + y 4
17.
5
4
3
2
3
4
1 5
3
( m − n ) =  m  − 5  m   n  + 10  m   n  − 10  m   n  + 5  m   n  −  n 
1
2
5
3
1
2
5
1
1
3
3
1
2
2
1
3
1
4
1
2
1
2
1
3
5
= m 2 − 5m2 n 3 + 10m 2 n 3 − 10mn + 5m 2 n 3 − n 3
(
18. a − 2 m
2
)
6
2
3
4
5
1
1
1
1




 1  1
3
2
6
5
4 
= (a 2 ) − 6 (a 2 )  2m 2  + 15 (a 2 )  2m 2  − 20 (a 2 )  2m 2  + 15(a 2 )  2m 2  − 6 (a 2 )  2m 2  +  2m 2 









 

1
5
3
= a12 − 12a10m 2 + 60a 8m − 160a 6m 2 + 240a 4 m2 − 192a 2 m 2 + 64m3
(
19. x − 3 + 4 y
2
3
4
) = (x ) + 5(x )  y  + 10 (x )  y  + 10 (x )  y  + 5(x ) y  +  y 
5
−3 5
1
4
−3 4
1
4
−3 3
1
1
1
4
−3 2
3
1
4
−3
1
4
5
5
= x −15 + 5x −12 y 4 + 10x − 9 y 2 + 10 x − 6 y 4 + 5x − 3 y + y 4
(
20. a
−2
+ 3a −1 + 2) = (a − 2 ) + (3a −1 ) + (2) + 2 (a − 2 )(3a −1 ) + 2 (a − 2 )( 2) + 2 (3a −1 )(2)
2
2
2
2
= a − 4 + 9a − 2 + 4 + 6a − 3 + 4a − 2 + 12a −1 = a − 4 + 6a − 3 + 13a − 2 + 12a −1 + 4
2
2
2
2
1
 12 41
 21   41   − 41 
 12   41   12   − 41 
 41   − 41 
− 
4
21.  x − x + 2 x  =  x  +  − x  +  2 x  + 2  x   − x  + 2  x   2 x  + 2  − x   2 x 
1
−
1
3
1
1
3
1
−
1
= x + x 2 + 4x 2 − 2x 4 + 4x 4 − 4 = x − 2x 4 + x 2 + 4x 4 − 4 + 4x 2
 −1

1


2
 −1


2


1


2
 −1




−
1


1




1


22.  a 2 + 3 + a 2  =  a 2  + ( 3) +  a 2  + 2  a 2  ( 3) + 2  a 2   a 2  + 2 (3)  a 2 
2
−
1
1
1
−
1
= a −1 + 9 + a + 6a 2 + 2 + 6a 2 = a + 6a 2 + 11 + 6a 2 + a −1
6


3
2


1


3
2






1
2


3




1




3


1


23.  m + 2m 4 − 3m 2  = ( m) 2 +  2m 4  +  − 3m 2  + 2 ( m)  2m 4  + 2 ( m)  − 3m 2  + 2  2m 4   − 3m 2 
3
7
3
5
7
3
5
= m2 + 4m 2 + 9m + 4m 4 − 6m 2 − 12m 4 = m2 + 4m 4 − 2m 2 − 12m 4 + 9m
1 2
2
2
24.  a 2 b − 3 − 2 + a − 2 b 3  =  a 2 b − 3  + − 2 2 +  a − 2 b 3  + 2  a 2 b − 3  − 2 + 2  a 2 b − 3   a − 2 b 3  + 2 − 2  a − 2 b 3 
1
1
1

1

1

( )

1

2
−1 3
2
−
3
1
1

1
1
−
2
3
( )
1


1 1
−
2 3
1
1

2
−
3
1
1
1
−
2
3

( )
1
3
2
−1 3
1

1
−
2
1 1

= ab + 4 + a b − 4a b + 2 − 4a b = ab − 4a b + 6 − 4a b + a b


1
2


1
4
3


1
2


3


1


3


( )
3
1
2


  1
  
1
2
2
2
 1  1  1

− 1) + 3  x 4   x 2  + 3  x 4  (− 1)
(
     

25.  x + x − 1 =  x  +  x 4  + − 1 + 3  x 2   x 4  + 3  x 2 
1
1

  1  1
2
2
+ 3(− 1)  x 2  + 3 (− 1)  x 4  + 6 x 2   x 4  (− 1)
 
    
3
3
5
1
1
1
3
3
5
3
1
= x 2 + x 4 − 1 + 3x 4 − 3x + 3x − 3x 2 + 3x 2 + 3x 4 − 6 x 4 = x 2 + 3x 4 − 5x 4 + 3x 4 − 1
26.  a 3 − 2 + a − 3  =  a 3  + − 2 3 +  a − 3  + 3  a 3 
2
3
2

3
2


( )

3
2

2
2


  

 


− 2) + 3  a   a  + 3 (− 2)  a  + 3(− 2)  a 
(

  

 


2
2
2
3
2
3
−
2
2
3
−
2
2

 2
   
 −2 

+ 3  a   a  + 3  a  (− 2) + 6  a 3  (− 2)  a 3 

 

   


2
−
3
2
3
2
−
3
4
2
2
2
−
−
2
−
4
= a 2 − 8 + a − 2 − 6a 3 + 3a 3 + 12a 3 + 12a 3 + 3a 3 − 6a 3 − 12
4
2
−
2
1


−
4
= a 2 − 6a 3 + 15a 3 − 20 + 15a 3 − 6a 3 + a − 2


1
1
1


3


1


3


1


3


3


1
2
 
 
1




1
2
 
 
1




1
2
 
 
1


27.  m 6 + 2m 3 + m 2  =  m 6  +  2m 3  +  m 2  + 3  m 6   2m 3  + 3  m 6   m 2  + 3  2m 3   m 6 
2
2
2
 1  1  1  1  1  1  1
 1  1
+ 3  2 m 3   m 2  + 3  m 2   m 6  + 3  m 2   2m 3  + 6  m 6   2m 3   m 2 
 
  
      
  

1
3
2
5
5
7
7
4
= m 2 + 8m + m 2 + 6m 3 + 3m 6 + 12m 6 + 12m 6 + 3m 6 + 6m 3 + 12m
3
4
7
5
2
1
= m 2 + 6m 3 + 15m 6 + 20m + 15m 6 + 6m 3 + m 2
EJERCICIO 229
1.
x − 4 + 6 x − 3 + 13x − 2 + 12 x −1 + 4
x − 2 + 3 x −1 + 2
(2 x + 3x )(3x ) = 6 x + 9 x
− x −4
−2
+ 6 x − 3 + 13x − 2
− 6x −3 − 9 x −2
4 x − 2 + 12 x −1 + 4
− 4 x − 2 − 12 x −1 − 4
−1
−1
−3
(2 x + 6x + 2)(2)
−2
−1
= 4 x − 2 + 12 x −1 + 4
−2
2
3
1
2.
−
1
m + 6m 2 + 11 + 6m 2 + m−1
1
−
1
m2 + 3 + m 2
1
 21 
 2m + 3 ( 3) = 6m 2 + 9


−m
1
6m 2 + 11
1
1
 21
−   − 
 2m + 6 + m 2   m 2 



1
− 6m 2 − 9
−
1
−
2 + 6m 2 + m−1
−
1
= 2 + 6m 2 + m−1
1
− 2 − 6m 2 − m−1
4
3.
2
1
9a 3 − 6a + 25a 3 − 8a 3 + 16
2
1
3a 3 − a 3 + 4
 23 13   13 
 6a − a   − a 



4
− 9a 3
2
2
− 6a + 25a 3
= − 6a + a 3
2
+ 6a − a 3
2
1
2
1
24a 3 − 8a 3 + 16
− 24a 3 + 8a 3 − 16
7
4.
3
5
a 2 + 4a 4 − 2a 2 − 12a 4 + 9a
1
 23

 6a − 2a 3 + 4 (4)


2
1
= 24a 3 − 8a 3 + 16
3
1
a + 2a 4 − 3a 2
3

  3
 2a + 2a 4   2a 4 



− a2
7
3
7
3
7
+ 4a 4 − 2a 2
3
= 4a 4 + 4a 2
− 4a 4 − 4a 2
3
5
3
5
− 6a 2 − 12a 4 + 9a
+ 6a 2 + 12a 4 − 9a
3
1
1



 2a + 4a 4 − 3a 2   − 3a 2 



3
5
= − 6a 2 − 12a 4 + 9a
−
2
−
2
1
−
1
1
−
1
2
1
mn 3 − 4m 2 n 3 + 6 − 4m 2 n 3 + m−1n 3
5.
−
1
−
1
1
m2 n 3 − 2 + m 2 n 3
 21 − 13 
 2m n − 2 (− 2)


− mn 3
1
−
1
1
−
1
1
− 4m 2 n 3 + 6
−
1
= − 4m 2 n 3 + 4
+ 4m 2 n 3 − 4
−
1
1
2
−
1
1
2
1 1
 12 − 13
  −1 1
−
 2m n − 4 + m 2 n 3   m 2 n 3 



2 − 4m 2 n 3 + m−1n 3
4
6.
3
2
1
−
− 2 + 4m 2 n 3 − m−1n 3
1
2
= 2 − 4m 2 n 3 + m−1n 3
1
a 5 − 8a 5 + 10a 5 + 24a 5 + 9
2
1
a 5 − 4a 5 − 3
1
1
 25


 2a − 4a 5   − 4a 5 



4
− a5
3
2
3
2
3
− 8a 5 + 10a 5
2
= − 8a 5 + 16a 5
+ 8a 5 − 16a 5
2
1
2
1
− 6a 5 + 24a 5 + 9
+ 6a 5 − 24a 5 − 9
7.
3
−
5
3
−
−
1
a − 3 − 6a 2 + 21a − 2 − 44a 2 + 63a −1 − 54a 2 + 27
1
 25

 2a − 8a 5 − 3 (− 3)


2
1
= − 6a 5 + 24a 5 + 9
−
1
a − 1 − 2a 2 + 3
3(a −1 ) = 3a − 2
2
− a −3
−
5
−
5
−
1
5
2
− 
−
3(a −1 )  − 2a 2  = − 6a 2


3
− 6a 2 + 21a − 2 − 44a 2
−
2
1

− 
3(a −1 )  − 2a 2  = 12a − 2


3
+ 6a 2 − 12a − 2 + 8a 2
−
3
−
1
−
3
−
1
9a − 2 − 36a 2 + 63a −1 − 54a 2 + 27
3
1
3

− 
−
 − 2a 2  = − 8a 2


− 9a − 2 + 36a 2 − 63a −1 + 54a 2 − 27
2
3
1

− 
−
3  a −1 − 2a 2  = 3a − 2 − 12a 2 + 12a −1


2
1
3

− 
−
3  a − 1 − 2a 2  (3) = 9a − 2 − 36a 2 + 36a −1


1
1

− 
−
2
3  a − 1 − 2a 2  (3) = 27a −1 − 54a 2


(3)3 = 27
8.
3
4
2
−
2
−
4
2
x 2 − 6 x 3 + 15x 3 − 20 + 15x 3 − 6x 3 + x − 2
2
−
x3 − 2+ x 3
2
4
 2
3  x 3  = 3x 3
 
− x2
4
2
4
 2
3  x 3  (− 2 ) = − 6 x 3
 
4
2
2
 2
2
3  x 3  (− 2) = 12 x 3
 
2
− 6x 3 + 15x 3 − 20
+ 6 x 3 − 12 x 3 + 8
2
−
2
−
2
−
2
−
(− 2 ) = − 8
4
3
3x 3 − 12 + 15x 3 − 6x 3 + x − 2
4
− 3x 3 + 12 − 15x 3 + 6 x 3 − x − 2
2
4
2
 2 
3  x 3 − 2 = 3x 3 − 12 x 3 + 12


2
2
 2   −2 
−
3  x 3 − 2  x 3  = 3x 3 − 12 + 12 x 3

  
2
2
2
4
 2   −2 
−
−
3  x 3 − 2  x 3  = 3x 3 − 6 x 3

 
 − 23 
−2
x  = x
 
3
3
9.
3
5
a 2 + 3a 4
−a
3
1
1
1
− 5a 4 + 3a 4 − 1 a 2 + a 4 − 1
2
 1
3  a 2  = 3a
 
3
2
5
+ 3a 4
5
3
2
5
 1  1
3  a 2   a 4  = 3a 4
   
1
− 5a 4 + 3a 4
2
 1  1
3  a 2   a 4  = 3a
   
3
− 3a 4 − 3a − a 4
3
1
3
1
− 3a − 6a 4 + 3a 4 − 1
3
3
 14 
 a  = a4
 
+ 3a + 6a 4 − 3a 4 + 1
2
3
1
 1 1
3  a 2 + a 4  = 3a + 6a 4 + 3a 2


2
3
1
 1 1
3  a 2 + a 4  (− 1) = − 3a − 6a 4 − 3a 2


1
1
 1 1
2
3  a 2 + a 4  (− 1) = 3a 2 + 3a 4


(− 1) = − 1
3
EJERCICIO 230
2ax −1 19 2 xa −1
+ −
+ x 2a − 2
3
9
3
a2 x−2 −
1.
1
ax −1 − + a −1 x
3
1  1 

 2ax −1 −   − 

3  3 
− a 2 x −2
2ax −1 19
+
3
9
−1
2ax
1
+
−
3
9
−
2ax −1 1
+
3
9
=−
2−
2a − 1 x 2 − 2
+x a
3
− 2+
2a − 1 x
− a −2 x2
3
2


 2ax −1 − + a −1 x (a −1 x)


3
= 2−
2a − 1 x
+ a −2 x2
3
x 2 − 4 + 2 x −1 + 4 x − 2 − 4 x − 3 + x − 4
x − 2 x −1 + x − 2
− x2
(2 x − 2 x )(− 2 x ) = − 4 + 4 x
2.
−1
− 4 + 2 x −1 + 4 x − 2
2 x −1
− 2x
−1
− 4 x−3 + x −4
−1
−3
+ 4x − x
−2
−2
= 2 x −1 − 4 x − 3 + x − 4
−4
a 4 − 10a + 4 + 25a − 2 − 20a − 3 + 4a − 4
a 2 − 5a −1 + 2a − 2
− a4
(2a − 5a )(− 5a )
3.
− 10a + 4 + 25a − 2
4.
−
−1
2
+ 10a
− 25a
−2
(2 x − 4 x + x )(x )
− 4x −2
+4
−1
−1
= − 10a + 25a − 2
−2
+4
− 20a − 3 + 4a − 4
(2a − 10a + 2a )(2a )
−4
−3
−3
+ 20a − 4a
−1
2
−4
−2
= 4 − 20a + 4a
−2
−4
m4
− 5m2 + 28 − 30m− 2 + 9m− 4
4
m2
− 5 + 3m− 2
2
m4
4
(m − 5)(− 5) = − 5m + 25
2
2
− 5m2 + 28
(m − 10 + 3m )(3m )
+ 5m2 − 25
= 3 − 30m− 2 + 9m− 4
3 − 30m− 2 + 9m− 4
− 3 + 30m− 2 − 9m− 4
2
−2
−2
4 x 2 y − 2 2 xy − 1 19 5x −1 y 25x − 2 y 2
−
+ −
+
25
5
12
3
9
5.
−
2 xy − 1 1 5x −1 y
− +
5
2
3
 4 xy − 1 1   1 
2 xy −1 1
−  −  = −
+

2  2
5
4
 5
4 x2 y −2
25
2 xy −1 19
+
5
12
2 xy −1 1
+
−
5
4
−
 4 xy −1
5x − 1 y   5x − 1 y 
− 1+



3  3 
 5
4 5x − 1 y 25x − 2 y 2
−
+
9
3
3
−1
4 5x y 25x − 2 y 2
− +
−
3
3
9
6.
−
4 5x −1 y 25x − 2 y 2
= −
+
3
3
9
2ax
a 4 2a 3 x − 1
+
+ a2 x −2 −
− 2 + a −2 x2
9
3
3
a2
+ ax − 1 − a −1 x
3
a4
9
 2a 2

2a 3 x − 1
+ ax −1  (ax −1 ) =
+ a 2 x −2

3
 3

2a 3 x − 1
+ a2 x−2
3
2a 3 x − 1
−
− a2 x−2
3
 2a 2

+ 2ax −1 − a − 1 x (− a −1 x )

 3

2ax
− 2 + a −2 x2
3
2ax
+
+ 2 − a −2 x2
3
−
9m4 + 30m2 + 55 + 50m− 2 + 25m− 4
7.
=−
3m2 + 5 + 5m− 2
(6m + 5)(5) = 30m + 25
− 9 m4
2
+ 30m2 + 55
2
(6m + 10 + 5m )(5m )
− 30m2 − 25
2
30 + 50m− 2 + 25m− 4
−2
− 30 − 50m − 25m
−2
−
−2
= 30 + 50m− 2 + 25m− 4
−4
4a 2b2 x − 2 y − 2 2abx −1 y −1 21 7 xya −1b −1 49 x 2 y 2a − 2b − 2
−
+ −
+
49
7
20
5
25
8.
2ax
− 2 + a −2 x2
3
2abx −1 y −1 1 7a −1b −1 xy
− +
7
2
5
 4abx −1 y −1 1   1 

−  − 
7
2  2

4 a 2b 2 x − 2 y − 2
49
−
2abx −1 y −1 21
+
7
20
−1 −1
2abx y
1
−
7
4
4 7 xya −1b −1 49 x 2 y 2 a − 2b − 2
−
+
5
25
5
4 7 xya −1b −1 49a − 2b − 2 x 2 y 2
− +
−
5
5
25
= −
2abx −1 y −1 1
+
7
4
 4abx −1 y −1
7a −1b −1 xy   7a −1b −1 xy 

− 1+


7
5
5



=
4 7a −1b −1 xy 49a − 2b − 2 x 2 y 2
−
+
5
5
25
−
2
−
2
1
−
1
1
−
1
2
1
ab 3 − 4a 2 b 3 + 6 − 4b 3 a 2 + a −1b 3
9.
−
1
−
1 1
a 2b 3 − 2 + a 2b 3
1
1
 21 − 13 
−
 2a b − 2 (− 2) = − 4a 2 b 3 + 4


− ab 3
1
−
1
1
−
1
− 4a 2 b 3 + 6
1 1
 21 − 13
  −1 1
−
 2a b − 4 + a 2 b 3   a 2 b 3 



+ 4a 2 b 3 − 4
−
1 1
2
−
1 1
2
−
2 − 4a 2 b 3 + a −1b 3
1 1
2
= 2 − 4a 2 b 3 + a −1b 3
− 2 + 4a 2 b 3 − a −1b 3
10.
a 4b 4 + 6a 2b 2 + 7 − 6a − 2b − 2 + a − 4b − 4
a 2b 2 + 3 − a − 2b − 2
(2a b + 3)(3) = 6a b + 9
− a 4b 4
2 2
+ 6a 2b 2 + 7
2 2
(2a b + 6 − a b )(− a b )
− 6a 2b 2 − 9
−2 −2
2 2
− 2 − 6a − 2b − 2 + a − 4b − 4
−2 −2
−4 −4
1
−
−2 −2
= − 2 − 6a − 2b − 2 + a − 4b − 4
+ 2 + 6a b − a b
2
11.
1
1
−
1
−
2
1
xy 3 − 8 x 2 y 3 + 18 − 8 x 2 y 3 + x −1 y 3
1
−
1
−
1
x2 y3 − 4+ x 2 y 3
1 1
 21 13 
 2 x y − 4 (− 4) = − 8 x 2 y 3 + 16


2
− xy 3
1
1
1
1
− 8 x 2 y 3 + 18
1
1
1
1
 12 13
−
−   −
− 
 2x y − 8 + x 2 y 3   x 2 y 3 



+ 8 x 2 y 3 − 16
−
1
−
1
−
2
−
1
−
1
−
2
−
2 − 8 x 2 y 3 + x −1 y 3
1
−
1
−
2
= 2 − 8x 2 y 3 + x −1 y 3
− 2 + 8 x 2 y 3 − x −1 y 3
EJERCICIO 231
1.
7. 3 81x 3y 4 = 3 92 ⋅ x2 xy 4 = 3 ⋅ 9xy 2 x = 27xy 2 x
18 = 2 ⋅ 32 = 3 2
2. 3 48 = 3 3⋅ 2 4 = 3⋅ 2 2
3 = 12 3
8.
3. 3 16 = 3 2 ⋅ 23 = 2 3 2
4.
13
1
1
128 = 3 26 ⋅ 2 = ⋅ 22 3 2 = 2 3 2
2
2
2
5. 2 4 243 = 2 4 34 ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 4 3 = 6 4 3
6.
50a 2b = 2 ⋅ 52 a 2b = 5a 2b
9.
1
1 2 2
108a 5b7 =
2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ a 4ab 6b
2
2
2
= ⋅ 3a 2b 3 3ab = 3a 2b3 3ab
2
3
3 2
3⋅5 3
n 5m = 3n3 5m
125mn6 =
5 ⋅ 5mn6 =
5
5
5
10. 2a 44a b c = 2a 2 ⋅ 11a ab bc c
3 7 9
2
2
6
8
= 2 ⋅ 2a ⋅ ab 3c 4 11abc = 4a 2b3c4 = 11abc
= 2 3 2 3 ⋅ 2 x 2 y 6 y = 2 ⋅ 2y 2 3 2 x 2 y = 4 y 2 3 2 x 2 y
12.
3 3
375a 8b
5x
3a 2 3 2
3 ⋅ 5a 2 3 2
3 3 3
=
3a b =
3a b
5 ⋅ 3a 6 a 2b =
x
5x
5x
14
1
3
81a 4b = 4 34 a 4b = a 4 b = a 4 b
20.
3
3
3
19.
11. 2 3 16x 2 y 7
2 3
27m2n8
3
2
2⋅3 2 3 2 2
= 3 33 m2n6n2 =
n m n = 2n2 3 m2n2
3
3
13. 5a 3 160x 7 y 9 z13
21.
9a + 18b = 9 (a + 2b) = 32 (a + 2b) = 3 a + 2b
22.
3a 3b2 − 3a 2b 2
= 3a 2b2 (a − 1) = ab 3 (a − 1) = ab 3a − 3
= 5a 3 2 3 ⋅ 20x 6 xy 9 z12 z
= 5 ⋅ 2ax 2 y 3 z 4 3 20 xz = 10ax 2 y 3 z 4 3 20xz
23.
14. 4 80a 4b 5c12 = 4 24 ⋅ 5a 4b4bc12 = 2abc 3 4 5b
15. 3 4 5x 8 y14 z16 = 3 4 5x 8 y12 y 2 z16 = 3x 2 y 3z 4 4 5y 2
16.
2 5
32 x 2 y11
5
2⋅2 2 5 2
4y 2 5 2
2
= 5 2 5 x 2 y10 y =
y
x y=
x y
5
5
5
24.
8 x 2 y 4 + 16 xy 4
= 2 2 ⋅ 2 xy 4 ( x + 2) = 2 y 2 2 x ( x + 2) = 2 y 2 2 x 2 + 4 x
2 x 2 − 4 xy + 2 y 2
= 2 ( x 2 − 2 xy + y 2 ) = 2 ( x − y) = ( x − y ) 2
2
25.
(a − b)(a − b )
= (a − b)(a − b)(a + b)
= (a − b) (a + b) = (a − b) a + b
2
2
2
17. 2xy 3 128x 2 y 8
26.
= 2xy 3 26 ⋅ 2x 2 y 6 y 2
2am2 + 4amn + 2an 2
= 2a (m2 + 2mn + n 2 ) = 2a (m + n) = (m + n) 2a
2
= 2 ⋅ 22 xyy 2 3 2x 2 y 2 = 8xy 3 3 2x 2 y 2
1
27a 3m7
18.
3a
3am 3
1
3 2 ⋅ 3a 2 am6m =
=
3a
3a
27.
9a 3 − 36a 2 + 36a
= 32 a (a 2 − 2a + 4)
3am = m3 3am
= 3 a (a − 2) = 3 (a − 2) a = (3a − 6) a
2
EJERCICIO 232
1.
1
1⋅ 5
5
1
5
=
=
=
5
5⋅5
52 5
2.
3
3⋅2
6
1
=
=
=
8
8⋅2
24 22
3. 2
1
2 ⋅1
2 2
2= 2
=2
=2
=
2
2⋅2
22 2
6=
1
6
4
4a 2
3
=
27y 3 2
8. 5
9n
32 ⋅ 5mn 5 ⋅ 3
=5
=
3
5m
5 2 m4
5m2
2 3 2 ⋅ 32 1 3
18
=
=
3
33
3
10. 3
1
1 2 1 2⋅3 1 6
1
5. 2 3 = 2 3 ⋅ 3 = 2 32 = 2 ⋅ 3 6 = 6 6
11. 5 3
6.
a2 x
a
=
2
2 ⋅ 2x 2 2x
x
a
=
2 2x
2x a
=
2x
22 4x
3y =
5mn =
3
m2
a
3y 2
3y
5mn
5a 3
a
5 ⋅ 6a 3
6
=6 4 2 2 = 2
30a 2a =
30a
9. 6
2
24x
2 ⋅3 x
2 ⋅ 3x
2x
1
1⋅ 6
6 3
1
4. 3 6 = 3 6 ⋅ 6 = 3 6 2 = 6 6 = 2 6
a2
=
8x
3 ⋅ 22 a 2 y
3 ⋅ 2a
=
34 y 4
2 ⋅ 32 y 2
3
7.
2
12. 3
1
52 5
= 5 3 3 = 3 52 = 3 25
5
5
5
8
23 ⋅ 3x 2 3
3x
=3 3 3 =
2
9x
3 x
3x
13. 2b
14.
53 ⋅ 2b 2 ⋅ 5b 2 3
=
2b = 5 3 2b
23 b6
2b 2
2 3 125
= 2b2 3
5
4b
2 3 27 x 2
2 3 3 ⋅ 4ab 2 x 2
2⋅3 3
1 3
= 3
=
4ab 2 x 2 =
4ab 2 x 2
2 4
3 16a b
3
2 6 a 3b 6
3 ⋅ 22 ab 2
2ab 2
81a 2
34 ⋅ 22 a 2 xy 3 2 ⋅ 3xy 4 2 3
= 2xy 4
=
4a xy = 3 4 4a 2 xy 3
15. 2xy 4
3
4x y
24 x 4 y 4
2xy
EJERCICIO 233
1
1
8. 8 81x 4 y 8 = 8 34 x 4 y 8 = 3 2 x 2 y = y 3x
2
1
9. 10 32x10 y15
2. 6 4 = 6 22 = 2 6 = 2 3 = 3 2
3.
9
3
9
1
3
4
8
1
2
1
3
10.
4. 8 16 = 8 24 = 2 = 2 = 2
5. 3 12 64 = 3 12 26 = 3 ⋅ 2
6.
4
6
12
3
= 10 25 x10 y15 = 2 2 xy 2 = x 2y 3 = x 2y 2 y = xy 2y
27 = 3 = 3 = 3 = 3 3
9
1
2
1. 4 9 = 4 32 = 3 4 = 3 2 = 3
12
64m6n18
=
12
1
1
2
= 3⋅2 = 3 2
1
25a b
2
4
2
4
1
2
1
2
3
= 6 73 a 9 x12 = 7 2 a 2 x 2 = x 2 7a 3 = x 2 7a 2a = ax 2 7a
1
2
= 4 52 a 2b 2 = 5 a b = 5 a b = 5ab
1
3
11. 6 343a 9 x12
2 2
2
4
1
26 m6n18 = 2 2 m 2 n 2 = 2mn3 = 2mn2n = n 2mn
1
12. 15 m10n15 x 20
2
2
7. 5 6 49a 2b 4 = 5 6 72 a 2b 4 = 5 ⋅ 7 3 a 3 b 3 = 5 3 7ab 2
4
= m 3 nx 3 = n 3 m2 x 4 = n 3 m2 x 3 x = nx 3 m2 x
EJERCICIO 234
(2m2 ) = 3 (64m3 )(2m2 ) = 3 128m5
4
9. 2a 4 8ab 3 = 4 ( 2a ) (8ab 3 ) = 4 (16a 4 )(8ab 3 ) = 4 128a 5b 3
8. 4m 3 2m2 = 3 ( 4m)
1. 2 3 = 22 ⋅ 3 = 12
2. 3 5 = 3 ⋅ 5 = 45
2
3. 5a
2
b = (5a) b = 25a 2b
4.
1
2
1
 1
=
2 =   ⋅2 =
 2
2
4
2
5. 3a
2a = ( 3a ) ⋅ 2a = 9a (2a ) = 18a
2
2
2
(
) a a+ b =
(a + b) (a) =
(
) x2+x1 =
(x + 1) 2 x =
10. a + b
2
2
2
4
11. x + 1
3 = (5x 2 y ) 3 = (25x 4 y 2 ) 3 = 75x 4 y 2 12. (x − 1)
2
6. 5x 2 y
3
2
a+b
2
x+1
2
= 3 (ab 2 ) (a 2b) = 3 (a 3b 6 )(a 2b) = 3 a 5b 7
x−1
3
5 = 5 = 125
6
1.
3
3
6
2= 2 = 4
6
2
6
2.
4
3=
12
36 =
12
729
4
4 =
12
256
8 =
12
512
2= 2 =4 4
3
4=
12
=4 3
4
8=
12
3
2
2
3.
2
(x + 1)2 x = 2 x + 2 x
(x − 1)(x − 2) = x − 3x + 2
EJERCICIO 235
4
2
x−2
x−1
(x − 1) (x − 2) =
=
7. ab 2 3 a 2b
(a + b)(a) = a + ab
3
2=
12
26 =
12
64
3
3=
12
3 =
12
81
4
5 =
12
53 =
6
7=
12
72 =
4.
9.
12
125
12
49
= ( 5x )
6
5x
5.
4
= 125x
3
6
4 x 2 y = 6 (4 x 2 y) = 6 16 x 4 y 2
6
7a 3b
=
15
(7 x 3 )2 = 20 49 x 6
11. 3
=
18
(x )
2 6
a2 = 3
3
4 9 x5 = 4
12
(5x 2 )3 = 4 12 125x 6
18
(a 2 )6 = 318 a12
(x 5 )2 = 4 18 x10
18
12
= x12
10
5
= (2m)
2m
12.
18
3 5 a3x4 = 3
3
18
10
3 4 2
10
6 8
= 2 10 x 7 y 2
7 2
18
14
3 = 6 33 = 6 27
4.
3
5
= 6 52 = 6 25
2 = 6 22 = 6 4
6
32
= 6 32
Luego el orden es: 6 32 , 3 , 3 5
Luego el orden es: 5 , 3 2
5.
(15) 2 = 12 225
4
5
7 = 7 3 = 343
12
10
(a x ) = 3 a x
2 10 x 7 y 2
5 = 6 53 = 6 125
12
= 32m5
(5m ) = 25m
EJERCICIO 236
2. 6 15 =
12
1 6 3 1 18 3 3 1 18 9
b =
(b ) = 2 b
2
2
3a5m4 = 12 (3a 5m4 ) = 9a10m8
2
= 2 a4
12
4 5x 2 = 4
(8a 2 x 3 )3 = 12 512a 6 x9
12
= 2 a4
12
15
5m7 =
12
10
Luego el orden es: 4 7 , 6 15
11 = 6 (11) = 6 1. 331
3
3
20
= 5a 3 x 2
9
3.
7x3 =
12
6
3 2b = 3 (2b) = 3 64b 6
(3a 2 x)3 = 15 27a 6 x 3
2 y 3 = 18 (2 y 3 ) = 18 8 y 9
4
10
15
6
3
(2b2 )4 = 20 16b8
= 32a 5b5
5a 3 x 2
7. 4 8a 2 x 3 =
1.
20
4
15
5
= (2ab)
3a 2 x
8. 3 x 2
2b2 =
= 6 7a 3b
6. 3 2ab
6
5
20
10. 2 3 a
2
15
20
5
3a = (3a) = 243a 5
3
3
5
4
35 =
20
243
=
20
4
=
20
256
15 =
20
15 =
20
225
4
4
2
6. 3 2 =
18
26 = 18 64
3=
18
33 =
18
27
9=
18
9 =
18
81
6
3
9
Luego el orden es : 43 , 11
20
Luego el orden es: 5 4 , 4 3 , 10 15
43 = 6 ( 43) = 6 1.849
2
3 =
2
Luego el orden es: 9 9 , 3 2 , 6 3
EJERCICIO 237
3. 5 − 22 5 − 8 5 = (1 − 22 − 8) 5 = − 29 5
) 2= −8 2
2. 4 3 − 20 3 + 19 3 = (4 − 20 + 19) 3 = 3 3 4. 2 − 9 2 + 30 2 − 40 2 = (1 − 9 + 30 − 40) 2 = − 18 2
(
1. 7 2 − 15 2 = 7 − 15
5.
3
1
1
 3 1
 3− 2
2−
2= −  2=
 2=
2
 4 2
 4 
4
2
4
6.
3
2
3 
 3 − 5
3 − 3 =  − 1 3 = 
3
 3= −
5 
 5 
5
5
1
3
5+
5
2
4
1 3
9

 8 − 2 + 3
= 2− +  5= 
5
 5=


2 4
4 
4
7. 2 5 −
8.
1
1
3+5 3−
3
4
8
1
41
1
 2 + 40 − 1
3
=  + 5−  3 = 
 3=
4


8
8
8
(
9. a b − 3a b + 7a b = a − 3a + 7a
) b = 5a b
(
) y − 2x y
= (3x + a − x − 2 x) y = a y
11. ( x − 1) 3 + (x − 3) 3 + 4 3
= ( x − 1 + x − 3 + 4) 3 = 2 x 3
10. 3x y + a − x
12.
13.
13
2
2 − 3 2+2 3 2
3
3
5
1 2  3
 1 − 2 + 6 3
=  − + 2 2 = 
 2= 3 2
3 3 

3 
3
33
1
1
31 3
 36 − 15 + 10  3
2 − 3 2 + 3 2 =
2
 2 =


5
4
6
60
60
(
)
(
)
2
2
2
14. x 3 a − a − 2 x 3 a + 2a − 3x 3 a
= ( x − a + 2 x + 2a − 3x ) 3 a = a 3 a 2
2
EJERCICIO 238
4.
1.
45 =
3 ⋅5 = 3 5
2
− 27 = − 32 ⋅ 3 = − 3 3
− 4 320 =
− 4 2 ⋅5 =
− 4 ⋅ 2 3 5 = − 32 5
3 80 =
3 24 ⋅ 5 =
3⋅ 2 2 5 = 12 5
− 5 800 = − 5 24 ⋅ 2 ⋅ 52 = − 5⋅ 22 ⋅ 5 2 = − 100 2
Entonces:
Entonces:
= 3 5− 3 3−2 5
= 105 2 − 100 2 − 32 5 + 12 5
175 =
52 ⋅ 7 = 5 7
243 =
34 ⋅ 3 = 9 3
= (105 − 100) 2 + (− 32 + 12) 5 = 5 2 − 20 5
1
1 2
12 =
2 ⋅3 = 3
5.
2
2
1
1 2
−
18 = −
3 ⋅2 = − 2
3
3
3 4
3
48 =
2 ⋅3 = 3 3
4
4
1
1 2
72 =
2 ⋅ 2 ⋅ 32 = 2
6
6
Entonces:
− 63 = − 32 ⋅ 7 = − 3 7
− 2 75 = − 2 52 ⋅ 3 = − 10 3
Entonces:
= 5 7 + 9 3 − 3 7 − 10 3
= 3 + 3 3 − 2 + 2 = (1 + 3) 3 = 4 3
= (5 − 3) 7 + (9 − 10) 3 = 2 7 − 3
6.
3.
7 ⋅ 3⋅ 5 2 = 105 2
6
− 20 = − 2 2 ⋅ 5 = − 2 5
= (3 − 2) 5 − 3 3 = 5 − 3 3
2.
7 450 = 7 32 ⋅ 52 ⋅ 2 =
80 =
24 ⋅ 5 =
22 5 = 4 5
− 2 252 = − 2 2 2 ⋅ 32 ⋅ 7 = − 2 ⋅ 2 ⋅ 3 7 = − 12 7
3 405 =
3 34 ⋅ 5 =
3⋅ 32 5 = 27 5
− 3 500 = − 3 2 2 ⋅ 52 ⋅ 5 = − 3⋅ 2 ⋅ 5 5 = − 30 5
Entonces:
= 4 5 + 27 5 − 30 5 − 12 7
= (4 + 27 − 30) 5 − 12 7 = 5 − 12 7
3
3 4
22 ⋅ 3
176 =
2 ⋅ 11 =
11 = 3 11
4
4
4
2⋅3
2
2 2
−
45 = −
3 ⋅5 = −
5= −2 5
3
3
3
1
1 6
23
320 =
2 ⋅5 =
5= 5
8
8
8
1
1 2
5
275 =
5 ⋅ 11 =
11 = 11
5
5
5
Entonces:
= 3 11 + 11 − 2 5 + 5
= (3 + 1) 11 − (2 + 1) 5 = 4 11 − 5
7.
1
1
5 3
5 15 1
2
147 =
3⋅ 7 2 = 3
52 ax 2 = 5x a
15 13. 25ax =
=
10. 3 5 =
7
7
3 52 3
1
1 2 2
49b =
72 b = 7 b
1 3
1 3
1
−
700 = −
2 ⋅5 ⋅ 7 = − 2 7
5
5
3
−
=
−
=−
− 9ax 2 = − 32 ax 2 = − 3x a
2 4
2 22
4
1
1
1
2
28 =
2 ⋅7 =
7
entonces :
1
15
1
10
10
5
−5
= −5 2 2 = −
15
⋅
15
3
5
3
1
1 6
= 5 x a − 3x a + 7 b
2 .187 =
3 ⋅3 = 9 3
3
3
1
3
1
= 5x − 3 x a + 7 b
= 3 2 2 =
3
3
Entonces :
12
2 ⋅3
2
= 2x a + 7 b
1
Entonces:
= 3+9 3−2 7 +
7
5
1
1
1
1
1

=
15 −
15 −
3+
3
= (1 + 9) 3 +  − 2 +  7
3
3
4
2
2

5
= 2m n
14. 2 m n
1 1
1

9
2
2 2
3
=− +  3=
− 9m n = − 3 m n = − 3m n
= 10 3 −
7
 4 2
4
5
16mn2 =
24 mn2 = 4n m
(
1
=
3
8.
−
1
=
2
3 1
=
3
32 3
2
1
=−
2
22
2
− 4mn2 = − 22 mn2 = − 2n m
11. 5 128 =
−
3
3 1
=
=
3
4
22 2
Entonces:
Entonces :
5 2 6 ⋅ 2 = 40 2
= 2m n − 3m n + 4n m − 2n m
= (2m − 3m) n + (4n − 2n) m
1 1
1 3
1
= −
=−
3
3 3
3 32
9
= − m n + 2n m
− 5 98 = − 5 7 2 ⋅ 2 = − 35 2
1
=
27
Entonces:
1
1
1
=
3+
3−
2
3
2
2
1
 1 1
=  +  3−
2
 3 2
2
=
)
3 1
3
=
34 9
6
15. a 320 x = a 2 ⋅ 5x = 8a 5x
= 40 2 − 35 2 −
1
1
3+
3
9
9
− 7 5a 2 x
= (40 − 35) 2 = 5 2
5
1
3−
2
6
2
= − 7a 5x
− (a − 4b) 5x
Entonces :
= 8a 5x − 7a 5x − (a − 4b) 5x
9
=
5
32 ⋅ 5 3
5
=
52
5
−
1
=
6
−
6
1
=−
6
62
6
− 15
−
1
5
1
=−
=−
5
20
2 2 ⋅ 52
10
4
9.
6= 6
Entonces:
3
1
=
5−
5
10
1
5−
6+ 6
6
3 1
 1 
=  −  5 +  − + 1 6
 6 
 5 10 
=
1
5
5+
6
2
6
12.
= (8a − 7a − a + 4b) 5x = 4b 5x
2 700 = 2 2 2 ⋅ 52 ⋅ 7 = 20 7
5
1
= − 15 2 2 = − 5
3 ⋅5
45
5
=
16
1
− 56
=
7
Entonces:
4
5
= 5
24
7
− 56 2 = − 8 7
7
= 20 7 − 8 7 −
16.
9 x − 9 = 32 ( x − 1) = 3 x − 1
4 x − 4 = 22 ( x − 1) = 2 x − 1
−5 x−1
Entonces:
5+
= (20 − 8) 7 = 12 7
5
= 3 x−1+ 2 x−1− 5 x −1
= (3 + 2 − 5) x − 1 = 0
17.
2 a 4 ( x + 3 y ) = 2a 2 x + 3 y
2 a 4 x + 3a 4 y =
EJERCICIO 239
− a 2 9 x + 27 y = − a 2 32 ( x + 3 y ) = − 3a 2 x + 3 y
− 4a + 4 =
= 3 a +1− 2 a+1+
a+1
(a + 1)
2
3
2
2
2
3
73 ⋅ 3 = 7 3 3
2 3 250 = 2 3 53 ⋅ 2 = 10 3 2
− 4 3 24 = − 4 3 23 ⋅ 3 = − 8 3 3
a−b
a 2 − b2
= − a 2 − b2
= − (a + b)
a+b
(a + b)2
a−b
= (2 − 5) 3 5 + 7 3 3 = 7 3 3 − 3 3 5
3.
2
− 6 3 16 = − 6 3 23 ⋅ 2 = − 12 3 2
3
2 =2 a− b
(a − b)
5 3 48 = 5 3 2 3 ⋅ 6 = 10 3 6
2 .187 =
3
36 ⋅ 3 = 9 3 3
Entonces:
= 10 3 2 − 12 3 2 + 9 3 3 − 8 3 3
= (10 − 12) 3 2 + (9 − 8) 3 3 = 3 3 − 2 3 2
= a 2 − b 2 − a 2 − b2 + 2 a − b = 2 a − b
3
5.
81 =
3
33 ⋅ 3 = 3 3 3
− 3 3 375 = − 3 3 5 3 ⋅ 3 = − 15 3 3
− 3 3 3. 645 = − 3 3 36 ⋅ 5 = − 27 3 5
− 2 3 384 = − 2 3 2 6 ⋅ 6 = − 8 3 6
4 3 1. 715 =
1. 029 =
= 2 3 5 − 53 5 + 7 3 3
2
entonces :
4.
23 ⋅ 5 = 2 3 5
Entonces :
a + 1 = (3 − 2 + 1) a + 1 = 2 a + 1
(2a − 2b) a 1− b = 2 (a − b)
3
− 3 625 = − 3 53 ⋅ 5 = − 5 3 5
= a+1
(a − b) aa +− bb = (a − b) a − b = a − b
(a − b)
− (a + b)
40 =
3
2.
− 22 (a + 1) = − 2 a + 1
Entonces :
19.
=33 2 −23 2 −23 3 = 3 2 −23 3
3a
a+1 = 3 a+1
a
(a + 1) a 1+ 1 = (a + 1)
33 ⋅ 2 = 3 2
Entonces:
= (2a 2 − 3a 2 + 5a 2 ) x + 3 y = 4a 2 x + 3 y
a+1
=
a2
3
− 3 16 = − 3 23 ⋅ 2 = − 2 3 2
= 2a 2 x + 3 y − 3a 2 x + 3 y + 5a 2 x + 3 y
3a
54 =
− 3 24 = − 3 23 ⋅ 3 = − 2 3 3
Entonces :
18.
3
1.
52 a 4 ( x + 3 y ) = 5a 2 x + 3 y
25a 4 x + 75a 4 y =
3
686 =
3
73 ⋅ 2 = 7 3 2
2 3 648 = 2 3 2 3 ⋅ 33 ⋅ 3 = 12 3 3
4 3 7 3 ⋅ 5 = 28 3 5
Entonces :
Entonces:
= 10 3 6 − 8 3 6 − 27 3 5 + 28 3 5
= 3 3 3 + 12 3 3 − 15 3 3 + 7 3 2 = 7 3 2
= (10 − 8) 3 6 + (− 27 + 28) 3 5 = 2 3 6 + 3 5
13
13 3
24 =
2 ⋅3 = 3 3
6.
2
2
2
2
− 3 54 = − 3 33 ⋅ 2 = − 2 3 2
3
3
33
33 3
375 =
5 ⋅3 = 3 3 3
5
5
1
1
− 3 128 = − 3 2 6 ⋅ 2 = − 3 2
4
4
Entonces:
= 3 3 + 33 3 − 2 3 2 − 3 2
= (1 + 3) 3 + (− 2 − 1) 2 = 4 3 − 3 2
3
3
3
3
7.
33
33 3
625 =
5 ⋅5 = 3 3 5
5
5
3
3
− 3 192 = − 3 2 6 ⋅ 3 = − 6 3 3
2
2
13
1
1. 715 = 3 7 3 ⋅ 5 = 3 5
7
7
3
3
− 3 1.536 = − 3 2 9 ⋅ 3 = − 3 3 3
8
8
Entonces :
= 3 3 5+ 3 5−6 3 3−3 3 3
= (3 + 1) 3 5 + (− 6 − 3) 3 3 = 4 3 5 − 9 3 3
3
1
=
4
3
2 13
2
=
23 2
3
1
=
3
3
9 13
9
=
33 3
8.
( )
− 4 − 81 = − 4 (− 3) ⋅ 3 = 12 3
− − 375 = − (− 5) ⋅ 3 = 5 3
3
12. 3 3 − 24 = 3 3 − 2 ⋅ 3 = − 6 3 3
2
2
1
=− 3 3 =− 3 2
27
3
3
Entonces:
1
1
1
= 3 2− 3 2+ 3 9
2
3
3
13
1
1
 1 1 3
9= 3 2+ 3 9
= −  2+
 2 3
3
6
3
1
9
= 63 3 3 = 3 9
24
2 ⋅3
63
9.
1
=
25
3
3
3
1
=
16
4 13
=
4
26 4
3
3
= (− 6 + 12 + 5) 3 3 = 11 3 3
4 3 − 320 =
13.
4 3 (2) (− 5) = 16 3 − 5
6
− 10 3 − 40 = − 10 3 (2) (− 5) = − 20 3 − 5
3
5 13
5
=
53 5
1
7
= 73 3 = 3 7
49
7
3
= − 6 3 3 + 12 3 3 + 5 3 3
− 2 3 − 54 = − 2 3 ( 3) (− 2) = − 6 3 − 2
3
3 3 − 1. 024 =
3 3 ( 2) (− 2) = 24 3 − 2
9
Entonces :
Entonces:
1
1
= 3 2 − 3 5+ 3 9
5
2
3
 1 1
=  −  3 5+ 3 9 = − 3 5+ 3 9
 5 2
10
10. 7 3
3
Entonces:
5
1
5
=−2 3 3 3 =− 3 5
64
2 ⋅2
2
−2 3
3
3
− 3
3
3
3
= 16 3 − 5 − 20 3 − 5 − 6 3 − 2 + 24 3 − 2
= (16 − 20) 3 − 5 + (− 6 + 24) 3 − 2
= − 4 3 − 5 + 18 3 − 2
3 3 2a 3 = 3a 3 2
14.
− b 3 128 = − b 3 2 6 ⋅ 2 = − 4b 3 2
(4b − 3a) 2
3
3
1
=
2
3
4 13
=
4
23 2
7
7
= − 23 3 = − 3 7
8
2
Entonces:
−2 3
=
11.
13
1
3
 1 1
4+ 3 4+3 7−3 7= +  3 4= 3 4
 4 2
4
2
4
2 3
135 =
3
13 1
=
2 32
23 3
3 ⋅5 = 2 3 5
3
13 2 13
=
2
2 26 8
7 3 1
=
4 4
7 3 2 73
=
2
4 23 8
− 20 3
1
5
= − 20 3 3 3 = − 2 3 5
200
2 ⋅5
Entonces:
=2 3 5−2 3 5+
13
7
 1 7
2+ 3 2= +  3 2= 3 2
 8 8
8
8
Entonces :
= 3a 3 2 − 4b 3 2 + (4b − 3a ) 3 2
= (3a − 4b + 4b − 3a ) 3 2 = 0
15. a
3
250b = a 3 53 2b = 5a 3 2b
− 3 3ab 3 = − b 3 3a
− 5 3 2a 3b = − 5a 3 2b
3b 3 3a
Entonces :
5a 3 2b − 5a 3 2b − b 3 3a + 3b 3 3a
= (− b + 3b) 3 3a = 2b 3 3a
EJERCICIO 240
9. 3 6 ⋅ 14 ⋅ 2 35 = 6 2 . 940 = 6 22 ⋅ 72 ⋅15 = 84 15
3 ⋅ 6 = 18 = 32 ⋅ 2 = 3 2
1.
2. 5 21⋅ 2 3 = 10 63 = 10 32 ⋅ 7 = 30 7
3.
1
2
1
1 2
14 ⋅
21 =
294 =
7 ⋅6 = 6
2
7
7
7
4. 3 12 ⋅ 3 9 = 3 108 = 3 33 ⋅ 4 = 3 3 4
5.
11. 3 3 45 ⋅
53
15 ⋅12 3 50 = 10 3 750 = 10 3 53 ⋅ 6 = 50 3 6
6
6. x 2a ⋅
x
1
5a =
10a 2 = x 10
a
a
7. 5 12 ⋅ 3 75 = 15 900 = 15 22 ⋅ 32 ⋅ 52 = 450
8.
1
2
3
21 ⋅
42 ⋅
22
2
3
7
1
1 2 2 2
=
19 . 404 =
2 ⋅ 7 ⋅ 3 ⋅11 = 6 11
7
7
10.
13
15 ⋅ 4 3 20 = 2 3 13 . 500 = 2 3 5 3 ⋅ 33 ⋅ 4 = 30 3 4
6
12.
5
6
7 3
⋅
8 5
13.
2 2 3
a x⋅
x
2
4 1 1 1 2 1
=
=
=
2
7 2 2 2 22 4
x 3
=
a x
1 3
=
a3 x
ax 3
=
ax
a 2 ax
1 x
2
2x
2xy 2
14. 3 y 2 ⋅ 6 y = 2 y 3 = 2 y 4 = y 2
3 3 2
9a ⋅ 8 3 3ab = 6 3 27a 3b = 6a 3 33 b = 18a 3 b
4
2xy
EJERCICIO 241
2− 3
1.
2
= 4− 6
2 5 +3 3
5 5 −8 7
2 25 + 10 15
35 25 − 55 35
+ 3 15 + 15 9
− 56 35 + 88 49
7 5 +5 3
= 2 25 + 13 15 + 15 9
= 35 25 − 111 35 + 88 49
2 3
= 10 + 13 15 + 45
= 175 − 111 35 + 616
=
= 791− 111 35
= 2− 6
2.
= 14 15 + 10 9
= 14 15 + 30
6.
2 3+ 5−5 2
3.
(
= 4 2 32 ⋅ 5 + 52 ⋅ 3 − 5 30
(
= 4 6 5 + 5 3 − 5 30
2− 3
2 +2 3
6
+2 6 −2 9
= 4 + 6 −2 9
= 2+ 6 −6
=
2+ 3+ 5
9.
3 7 −2 3
2− 3
4 + 6 + 10
15 21 − 10 9
= 8 45 + 4 75 − 20 30
4 −
55 + 13 15
5 3 +4 7
4 15
4.
7 5 − 11 7
8.
5 +5 3
5.
6 −4
)
− 8 21
)
= 7 21 − 10 9 + 12 49
= 7 21 − 30 + 84
= 4
+ 10 − 9 − 15
= 2
+ 10 − 3 − 15
10.
a −2 x
2 −3 3+ 5
2 + 2 3− 5
3 a + x
4 − 3 6 + 10
3 a 2 − 6 ax
+2 6
+ ax − 2 x 2
= 3 a − 5 ax − 2 x
2
= 3a − 5 ax − 2x
− 9 − 15
= 10 − 15 − 1
= 7 21 + 54
7.
− 6
+ 12 49
2
− 6 9 + 2 15
− 10
+ 3 15 − 25
= 4− 6
− 6 9 + 5 15 − 25
= 2 − 6
− 18 + 5 15 − 5
= 5 15 − 6 − 21
11.
a+1+ a−1
15.
2 3− 6+ 5
a+1+ 2 a−1
3 + 6 +3 5
2 9−
18 +
(a + 1) + a − 1
2
15
+ 2 18
− 36 +
+ 6 15
2
+ 2 a2 − 1 + 2
30
− 3 30 + 3 25
(a − 1)
2
= a + 1 + 3 a 2 − 1 + 2a − 2
= 2 9 + 3 ⋅ 2 + 7 15 − 36 − 2 30 + 3 25
2
= 3a + 3 a 2 − 1 − 1
= 6 + 3 2 + 7 15 − 6 − 2 30 + 15
= 7 15 + 3 2 − 2 30 + 15
12.
16. 2 x + 2 − 2
x+2−3
a + a+1
2
( x + 2) − 2 x + 2
=2
( x + 2) − 8 x + 2 + 6
a + 2 a+1
2
−6 x+2+6
a2 + a2 + a
+ 2 a2 + a + 2
(a + 1)
= a2 + 3 a2 + a + 2
(a + 1)
2
2
= 2x + 4 − 8 x + 2 + 6
2
= 2 x + 10 − 8 x + 2
= a + 3 a 2 + a + 2a + 2
= 3a + 3 a 2 + a + 2
13.
17. 3 a − 2 a + x
2 a +3 a+ x
2 a −3 a−b
6 a 2 − 4 a 2 + ax
3 a + a−b
+ 9 a 2 + ax − 6
(a + x)
= 6 a 2 + 5 a 2 + ax − 6
(a + x)
6 a 2 − 9 a 2 − ab
2 a 2 − ab − 3 (a − b)
2
2
2
= 6a + 5 a 2 + ax − 6a − 6 x
= 6 a 2 − 7 a 2 − ab − 3 (a − b)
2
= 5 a 2 + ax − 6 x
= 6a − 7 a 2 − ab − 3a + 3b
= 3a + 3b − 7 a 2 − ab
a+ x − a− x
18.
14.
2
1− x + x
a+ x − 2 a− x
2 x + 1− x 2
(a + x) − a − x
2
2 x 1− x 2 + 2 x2
x 1− x 2
2
2
− 2 a2 − x2 + 2
+
(1− x )
2 2
=
(a − x)
2
(a + x) − 3 a − x + 2 (a − x)
2
2
2
= 3x 1 − x 2 + 2 x 2 + 1 − x 2
= a + x − 3 a 2 − x 2 + 2a − 2 x
= 3x 1 − x 2 + x 2 + 1
= 3a − x − 3 a 2 − x 2
2
EJERCICIO 242
5.
3
2 x 2 = 6 (2 x 2 ) = 6 4 x 4
6
x3 ⋅ 6 4x4 = 6 4x7
2
6
6
12
= x 6 4x
2
4
2 2
4
2
9 x 2 y = 6 (9 x 2 y )
2
= 6 81x 4 y 2
81x 4 y 2 ⋅ 6 81x 5 = 6 6 . 561x 9 y 2
= 6 36 ⋅ 32 x 6 x 3 y 2
= 3x 6 9 x 3 y 2
(a 2b2 )4
= a 8b8
12
2 4 3a 3b = 2 12 (3a 3b)
3
=2
12
ab ⋅2
8 8
12
12
27a b
7.
27a b = 2 27a b
12
9 3
17 11
3
= 2 27a12 a 5b11
= 2a
12
EJERCICIO 243
2.
4 6
2 3
2 3a
10 a
=
1
5
4.
5 3xy
2 2
27a b
=
1
5
2
10
25 x 5 ⋅
= 10
15 . 625x 6 y 9 ⋅ 12 15 . 625x 4
10
10
2 4 x 2 ⋅ 10
1
16 x 2
25 ⋅ 2 4 x 2 x 5
24 x 2
5
1
= 25 x 5 = ( 2 x ) 10 = ( 2 x) 2 = 2 x
10
3
9.
4m2 =
2 2b 2 6  2b 
2 8b 3
=
  = 6 3
3 a 3  a
3 a
1
1
 1
=6   =6 3
 2x 
2x
8x
=
3 6 35
4 37
2 = 6 (x 2 ) = 6 x 4
=
36 1
4 9
6
2
x − 3 6 4 6 x 6 8x
⋅ x =
= 6
8
8
2
16
=
8x
2
3a 1
3
=
a
5
1
3xy
4
2
=
3. 3
6
x
4
75x 2 y 3
5 11
4 x = 10 (2 2 x ) = 2 4 x 2
5
(125x )
6
=2 2
3
=2
10
3
9 3
12
1.
12
10
5
2 x = ( 2 x ) = 25 x 5
8.
2 15
(4m2 )5
2
3
3 3 a2 3  a2 
3 a4
6 
2 15 5 10
=

= 6 4 4
2
2 2
=
4 m
8 4b
8 2 b 
8 2 b
3
3
3
4
35
3 15 2 4 3
2 6 2 b 36 a
(4 m n)
16m4 n =
⋅
4
4
3 a 3 8 24 b4
3 15 6 12 3
=
4 m n
1 a 1 6 25 ab5 1
4
32ab5
= 6
=
=
4 2b 4 2 6 b 6 8b
2 15 5 10 3 15 6 12 3
4 m ⋅
4 m n
3
4
3
1 1 1 6  1
16 1
1 15 11 22 3
=


=
4 m n
10. 2 3 2  3 = 2 33
2
1 15 22 22 3
2
=
2 m n
3 3 1 3 6  1
3 1
2
=
  = 6 4


2
9
2
9
2
3
1
= 15 215 ⋅ 2 7 m15m7 n 3
2
16 1 36 1 6
15
15
3 ⋅
4 ⋅ 243
= m 2 7 m7 n 3 = m 128m7 n 3 2 3 2 3
6. 3
= 24a 4 2ab 2
12
125x 2 =
2 3
= 12 2 ⋅ 2a ab
4
4
a 2b 2 =
3 3
= 12 512 x 10 y 9 = 5 12 x 10 y 9
3 4 4a 2b2 ⋅ 4 4 8a 3 = 12 4 32a 5b 2
3
2
= 12 244 .140 . 625x10 y 9
2. 3 2ab = 3 4 ( 2ab) = 3 4a b
6
(25x y )
= 12 15. 625x 4
= 4x x
3
12
= 12 15. 625x 6 y 9
6
4.
25x 2 y 3 =
x = 6 x3
1.
3.
4
3xy 2
=
3y
x
3
75x 2 y 3 1
1 2 2
=
25xy 2 =
5 xy = y x
3xy
5
5
3 3 16a 5
5.
4 3 2a 2
3 6 34
4 36
1 4 1 2 1
1
= ( 3) 6 = ( 3) 3 = 3 32 = 3 9
4
4
4
4
=
=
3 3 16a 5 3 3 3 3 3 3 3 3
=
8a =
2 a = a
4 2a 2
4
4
2
5 1
15
6 2
=
6. 10 2 60
3 3
4x a 3 x 2
7.
2 3
2 a x
= 2x
1
2 =1 3=1 3 =1 3
2 4 4 4 22 8
3
a 3x2
a
ax
= 2x
= 2x
= 2 ax
a 2x3
x
x2
13 1
1
3
3 ⋅ 22
3 2 6 2
= 3
= 2 3 = 2 3 3 = 3 12
9. 1 1 3 1
2
2
3
3
6 3
2a 3 2
x
x2
6ax 2 3 x 2
1
3
=
= 2x 2 3 = 2x 2 3 3 = 2x 3 x 2
3
8. a 3 3
x
x
x
3a
x
3x 2
EJERCICIO 244
1.
3
2 = 6 22
2= 2
6
=
1
1
1
3
2 x = 6 (2 x) = 6 23 x 3
4.
2
2
2
6
22
6
3
2
16 3 3
2 x
1
25 x 5 1
2
=2 6
= 2 6 6 6 = 6 32 x 5
16 4 4
2x
2 x
x
2 x
4
3
=6
22 6 1 6 25 1 6
32
=
=
=
23
2
26 2
5.
9 x = 6 (32 x ) = 6 36 x 3 = 3 6 x 3
3
2.
3
3x 2 = 6 (3x 2 ) = 6 9 x 4
3
5m2 n =
15
(5m2n)5 = 15 55 m10n5
5
m 3n 2 =
15
(m3n2 )3 = 15 m9n6
2
15
=
55 m10 n 5
= 15
15
55 m 15 55 mn14 1 15
=
=
3 .125mn14
n
n15
n
m9 n 6
34 x 5 1 6
x3
1
5
6
6
= 6 4 =3
=3
= 3 6 6 = 81x
12
3 4 5
2
3 4 5 2
2 6 8 10
12 4
3x x
9x
9x4
6. 6 18 x y z = (3 ⋅ 2 x y z ) = 3 ⋅ 2 x y z
9x
36 x3
3.
6
(2 3 a 3b)4 = 12 212 a12b 4 = 2a 12 b4
3
12
12
4
4a 2 = (4a 2 ) = 2 6 a 6
3
8a 3b =
3x 2 y 2 z 3 = 12 (3x 2 y 2 z 3 ) = 12 33 x 6 y 6 z 9
3
4
12
12
=
34 ⋅ 2 2 x 6 y 8 z10
12
12
2a b 4
= 12 6 6
2 a
= 2a
7. 3 3m4 = 9
2 6 a 6b 4 12 4 2 4 2 4
= 2 ⋅2 a a b
212 a 12
12
33 x 6 y 6 z 9
4
=
27m2
=m 9 m
2
4 2 2
6
3
6
8. 5 4ab = 5 (2 ab) = 5 2 a b
2
4
= ( 2ab) 12 ⋅ ( 2a ) 12
1
(3m4 )3 = 9 27m12 = m 9 27m3
m 9 27m3
9
= 12 12 y 2 z
1
= ( 2ab) 3 ⋅ (2a ) 6 = 3 2ab ⋅ 6 2a
4
4
2
1
1
1
3
2a 2 = 6 (2a 2 ) = 6 2 3 a 6
10
10
10
46 4 2 2
2 ab
2b 2
2a 2 b 2 8 6
= 5
=8 6 4 =8 6
=
2a 2 b 2
1 6 3 6
a
a6
a
2 a
10
⇒ 3 2ab = 6 (2ab) = 6 4a 2b 2
2
= 6 4a 2b 2 ⋅ 6 2a = 6 8a 3b 2
EJERCICIO 245
5. (3 2a b ) = 3 (2a b) = 81 2 ⋅ 2 ⋅ a a a b b = 162a b 2a b
(4 2 ) = 4 2 = 16⋅ 2 = 32
2. (2 3) = 2
3 = 4 ⋅ 3 = 12
6. ( 8 x ) = (2 x ) = 2 ⋅ 2 x x = 2 x 2 x = 2 x (2 x)
3. (5 7 ) = 5 7 = 25⋅ 7 = 175
= 2 x ( 2 x) = 2 x 2 x
4. (2 4 ) = 2
2 = 4 2 ⋅ 2 = 8 2 7. ( 81ab ) = (3 ab ) = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 a b b = 9b 9a b
2
1.
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2 3
4
4
2
3
2
3
2
4
43
3 3 2
4
2
4
4
3
3
2
4 2
3 3 2 3
4
2
2
2
4
2
1
2
4
3
3
3
5
3
3
5
4
3 3
5
5
5
2 3 5 4
5
3 4
2
( 18 ) = 18 = (18) = (18) = 18 = 3 ⋅ 2 = 3 2
9. (4a 2 x ) = ( 4a) ( 2 x ) = 16a ( 2 x ) = 32a x
10. (2 x + 1) = 2 ( x + 1) = 4( x + 1) = 4 x + 4
11. (3 x − a ) = 3 ( x − a ) = 9 ( x − a ) = 9 x − 9a
8.
3
6
3
6
3
6
2
1
2
2
2
2
16.
2
2
= x + 2 x2 − x + x − 1
= 2x + 2 x2 − x − 1
3
3 4
6
2
( x + x − 1) = x + 2 x x − 1 + (x − 1)
2
2
2
2
17.
( 9a b )
12. 4
2
= 175 − 60 7 + 36 = 211 − 60 7
2
2
2
2
2
(5 7 − 6) = 5 7 − 2 ⋅ 5⋅ 6 7 + 6
2
2
( x +1− 4 x)
2
18.
= 4 3 6 (32 a 3b 4 )
3
=
= 64 6 36 a 6a 3b 6b 6
(x + 1) − 2 ⋅ 4 x + 1 x + 4
2
2
x2
= x + 1 − 8 x 2 + x + 16 x = 17 x + 1 − 8 x 2 + x
= 192ab 2 6 a 3
( a + 1 − a − 1)
2
3
6
19.
1
2
= 192ab 2 ( a ) = 192ab 2 ( a ) = 192ab 2 a
13.
( 2 − 3) = 2 − 2 2 3 + 3
14.
(4 2 + 3) = 4 2 + 2 ⋅ 4 2 3 + 3
15.
( 5 − 7) = 5 − 2 5 7 + 7
2
2
=
2
2
2
(
2
2
2
20. 2 2 x − 1 + 2 x + 1
)
2
(2 x − 1) + 2 ⋅ 2 2 x − 1 2 x + 1 + (2 x + 1)
= 4 (2 x − 1) + 4 4 x − 1 + 2 x + 1
2
= 22
= 32 + 8 6 + 3 = 35 + 8 6
2
2
= a + 1 − 2 a 2 − 1 + a − 1 = 2a − 2 a 2 − 1
= 2 − 2 6 + 3= 5− 2 6
2
(a + 1) − 2 a + 1 a − 1 + (a − 1)
2
2
2
= 8x − 4 + 4 4 x2 − 1 + 2 x + 1
= 5 − 2 35 + 7 = 12 − 2 35
= 10 x − 3 + 4 4 x 2 − 1
EJERCICIO 246
3
1.
2
6
3
1
2. 3
8 = 8 = ( 2) 6 = ( 2) 2 = 2
3. 4
81 = 3 = ( 3) 8 = ( 3) 2 = 3
4.
3a = 4 3a
5.
6
8
3
4
4
1
35 3 =
10.
4
6
5
6
3
35 ⋅ 3 = 36 = (3) 10 = (3) 5 = 5 33 = 5 27
10
4
2
1
1
a 4b 6 = 8 a 4b 4b 2 = ( ab) 8 (b) 8 = ( ab) 2 (b) 4
= ab ⋅ 4 b
⇒ ab = 4 ( ab) = 4 a 2b 2
2
2
2
6
2
1
3
3
6
= 4 a 2b 2 4 b = 4 a 2b 3
1
2
6. 3 2
2 = 3 2 2 ⋅ 2 = 6 2 3 = ( 2) = ( 2) = 2
7.
25a 2 = 8 52 a 2 = (5a) 8 = (5a ) 4 = 4 5a
4
9.
4a = 2 a = (2a ) = (2a ) = 3 2a
2
1
8. 3 4 27a 3 = 12 33 a 3 = ( 3a ) 12 = ( 3a ) 4 = 4 3a
1
2
a = a = (a) 6 = a 3 = 3 a
2
3
2
10
2
11. 5 3 x10 = 15 x10 = x 15 = x 3 = 3 x2
1
12.
3
(a + b) = (a + b) = (a + b) = (a + b) = a + b
2
6
2
6
2
1
3
3
EJERCICIO 247
1
1.
2.
3
5
2
⋅
⋅
3
3
2
2
=
=
3
32
5 2
22
=
=
3
3
5 2
2
5
3
5 3 5 3 5 3 5
⋅
=
=
=
3.
4 ⋅5
20
4 5 5 4 52
2a
4.
2ax
⋅
2ax
2ax
=
2a 2ax
22 a 2 x 2
=
2a 2ax
=
2ax
5. 3
2ax
x
4a
1
6. 3
9x
2
⋅
⋅
3
3
2a
2a
3
2
3x
3
3x 2
=
=
5 3 2a
3
3
3
2 a
3
3x 2
3
33 x 3
=
=
5 3 2a
2a
3
3x 2
3x
3
7. 4
9a
⋅
4
4
6
8.
5 3 3x
9. 4
x
27x
2
⋅
32 a 3
2
3 a
=
3
3
3 x
3
32 x 2
⋅
2
4
4
2
3x 2
3x
2
3 4 32 a 3
4
=
=
4
4
3
2
3 a
=
6 3 x
2
=
5 3 33 x 3
x 4 3x 2
4
4
3 x
=
4
3 4 9a 3 4 9a 3
=
a
3a
3
2
3
10. 5
6 9x
2 9x
=
15x
5x
1
8a
4
⋅
5
22 a
5
2
2 a
=
5
5
4a
5
2 a
5
=
5
4a
2a
2
mn 5n2 mn 5n2 mn 5n mn
5n
⋅
=
=
=
11.
3mn
3m
3 mn mn 3 m2n2
2
1
x 4 3x 2 4 3x 2
=
3x
3
12.
4
5a 25x
3
⋅
4
52 x
4
2
4
=
5 x
25x
4
4
5a 5 x
4
=
4
25x
25ax
EJERCICIO 248
1.
3 − 2 1− 2 3 − 3 2 − 2 + 22 3 − 4 2 + 2 5 − 4 2
⋅
=
=
=
=4 2 −5
1− 2
−1
1+ 2 1− 2
1− 22
2.
5 + 2 3 4 + 3 20 + 5 3 + 8 3 + 2 32 20 + 13 3 + 6 26 + 13 3
⋅
=
=
=
=2+ 3
16 − 3
13
4− 3 4+ 3
4 2 − 32
2 − 5
3.
2+ 5
7 +2 5
4.
7− 5
2 − 5
⋅
2 − 5
7+ 5
⋅
7+ 5
22 − 2 2 5 + 52
=
2 − 5
2
=
2
=
2 − 2 10 + 5 7 − 2 10 2 10 − 7
=
=
2−5
3
−3
7 + 35 + 2 35 + 2 52
2
72 − 52
=
7 + 3 35 + 10 17 + 3 35
=
7−5
2
5.
2 − 3 5 2 2 − 5 2 22 − 10 − 6 10 + 3 52 4 − 7 10 + 15 19 − 7 10
⋅
=
=
=
8−5
3
2 2+ 5 2 2− 5
2 2 22 − 5 2
6.
19
5 2 +4 3
95 2 + 76 3
95 2 + 76 3 95 2 + 76 3
⋅
=
=
=
50 − 48
2
5 2 − 4 3 5 2 + 4 3 5 2 2 2 − 4 2 32
3 2
⋅
7 2 +6 3
=
21 22 + 18 6
=
42 + 18 6 42 + 18 6
21+ 9 6
=
=−
98 − 108
5
− 10
7.
7 2 −6 3 7 2 +6 3
8.
4 3 − 3 7 2 3 − 3 7 8 32 − 12 21 − 6 21 + 9 7 2 24 − 18 21 + 63 87 − 18 21 6 21 − 29
⋅
=
=
=
=
12 − 63
− 51
17
2 3+3 7 2 3−3 7
2 2 32 − 32 7 2
9.
5 2 − 6 3 4 2 + 3 3 20 22 + 15 6 − 24 6 − 18 32 40 − 9 6 − 54 − 14 − 9 6
14 + 9 6
⋅
=
=
=
=−
2
2
2
2
32
27
5
5
−
4 2 −3 3 4 2 +3 3
4 2 −3 3
7 + 3 11
5 7 − 4 11
10. 5 7 + 4 11 ⋅ 5 7 − 4 11 =
11.
5 7 2 − 4 77 + 15 77 − 12 112
5 2 7 2 − 4 2 112
=
35 + 11 77 − 132 − 97 + 11 77
=
= 97 − 11 77
175 − 176
−1
5 + 2 7 − 2 10 7 5 − 2 50 + 7 2 − 2 20
⋅
=
7 + 2 10 7 − 2 10
7 2 − 2 2 10 2
=
12.
7 2 22 − 6 2 3 2
7 5 − 2 5 2 ⋅ 2 + 7 2 − 2 22 ⋅ 5
49 − 40
=
7 5 − 10 2 + 7 2 − 4 5 3 5 − 3 2
5− 2
=
=
9
9
3
9 3 − 3 2 6 + 6 54 3 + 9 18 − 18 2 − 3 12
⋅
=
6− 6
6+ 6
62 − 62
=
54 3 + 9 3 2 ⋅ 2 − 18 2 − 3 2 2 ⋅ 3
36 − 6
=
54 3 + 27 2 − 18 2 − 6 3 48 3 + 9 2 16 3 + 3 2
=
=
30
30
10
13.
a+ x
⋅
2 a− x
2 a+ x 2 a− x
=
2 a 2 − ax + 2 ax − x 2
2
a −
2
2
x − x−1
14.
x + x−1
=
=
x
=
2
x+2 − 2
2a + ax − x
4a − x
(x − 1)
2
(x − 1)
( x + 2) + 2 x + 2 2 + 2
( x + 2) − 2
=
x + 2 + 2 2x + 4 + 2 x + 4 + 2 2x + 4
=
x+ 2− 2
x
x − 2 x2 − x + x − 1
x − ( x − 1)
a − a+1
a + a+1
=
=
= 2 x − 1− 2 x 2 − x
a
a+4−
a
(a + 4) − 2 a + 4 a + a
(a + 4) − a
2
a + 4 − 2 a 2 + 4a + a 2a + 4 − 2 a 2 + 4a
=
4
a + 4− a
a + 2 − a 2 + 4a
2
2
a2 − 2 a a + 1 +
a2 −
(a + 1)
2
2
=
(a + 1)
2
a+b− a−b
18.
a− 2 a + a + a+1
a+b + a−b
⋅
a+b− a−b
a+b− a−b
(a + b) − 2 a + b a − b + (a − b)
(a + b) − (a − b)
2
a − (a + 1)
=
2a + 1 − 2 a + a
= 2 a 2 + a − 2a − 1
−1
2
=
a+4−
a − a +1
2
=
⋅
2
2
2
a − a +1
⋅
a
a+4 + a
=
15.
2
a+4−
17.
2
x2 −
x+2 + 2
=
x − x−1
x2 − 2 x x − 1 +
x+2 + 2
⋅
2
x − x−1
⋅
x+2 + 2
16.
=
2
2
a + b − 2 a 2 − b2 + a − b
a+b− a+b
2
=
2a − 2 a 2 − b 2 a −
=
2b
a 2 − b2
b
EJERCICIO 249
(
(
)
)
2+ 3 + 5
3
⋅
2 + 3− 5 2 + 3 + 5
1.
=
=
(
6 + 9 + 15
) ( )
2
2+ 3 − 5
=
=
(
)
3 + 6 + 15 3 + 6 + 15 2 6 6 6 + 2 36 + 2 90 6 6 + 12 + 6 10 6 6 + 2 + 10 2 + 6 + 10
=
⋅
=
=
=
=
2
24
24
4
2 + 2 6 + 3− 5
2 6
2 6
2 6
( )
2
⋅
2 + 3+ 6
2.
2
( 2 + 3) − 6
( 2 + 3) − 6
2 + 6 − 12
( 2 + 3) − ( 6 )
2
2
2 + 6 − 2 3 2 + 6 − 2 3 2 6 + 1 4 6 + 2 + 12 + 6 − 4 18 − 2 3 5 6 + 14 − 12 2 − 2 3
=
⋅
=
=
2
23
2 + 2 6 + 3− 6
2 6−1 2 6+1
2 6 −1
( )
3.
(
(
)
)
2+ 3 − 5
2− 3
⋅
2+ 3+ 5 2+ 3 − 5
=
3+ 5
⋅
2 + 3+ 5
4.
4 − 3 − 2 5 + 15
(2 + 3) − ( 5)
2
=
2
( 2 + 3) − 5
( 2 + 3) − 5
6 + 10 + 3 − 5
( 2 + 3) − ( 5)
2
2
=
1 − 2 5 + 15
4 + 4 3 + 3− 5
=
=
1 − 2 5 + 15 2 − 4 3
⋅
2+ 4 3
2− 4 3
10 + 6 − 2
2 + 2 6 + 3− 5
=
10 + 6 − 2 2 6
⋅
2 6
2 6
=
=
=
2 − 4 3 − 4 5 + 8 15 + 2 15 − 4 45
(
22 − 4 3
=
=
2
2 − 4 3 − 4 5 + 10 15 − 12 5
− 44
(
=
) = 2 3 + 8 5 − 5 15 − 1
2 2 3 + 8 5 − 5 15 − 1
44
6+ 3+ 2
⋅
6+ 3− 2
5.
)
=
22
(
)
( 6 + 3) + 2
6+ 3 + 2
2 60 + 2 36 − 4 6
(2 6 )
2
4 15 + 12 − 4 6
24
(
4 15 + 3 − 6
24
2− 5
⋅
2 + 5 − 10
6.
6 + 3 + 2 + 2 18 + 2 12 + 2 6
) = 15 + 3 − 6
6
( 2 + 5) + 10
( 2 + 5) + 10
( 6 + 3) − ( 2 )
=
=
11 + 6 2 + 4 3 + 2 6
6 + 2 18 + 3 − 2
2 − 5 + 20 − 50
2 + 2 10 + 5 − 10
=
=
11 + 6 2 + 4 3 + 2 6 2 18 − 7
⋅
2 18 + 7
2 18 − 7
2 5 − 5 2 − 3 2 10 + 3
⋅
2 10 − 3
2 10 + 3
=
4 50 + 6 5 − 10 20 − 15 2 − 6 10 − 9
40 − 9
=
2
2
22 18 − 77 + 12 36 − 42 2 + 8 54 − 28 3 + 4 108 − 14 6
(2 18 ) − 49
20 2 + 6 5 − 20 5 − 15 2 − 6 10 − 9
31
5 2 − 14 5 − 6 10 − 9
=
31
2
=
66 2 − 77 + 72 − 42 2 + 24 6 − 28 3 + 24 3 − 14 6
72 − 49
=
24 2 − 4 3 + 10 6 − 5
23
=
EJERCICIO 250
2
1.
2+ 3
2− 3
⋅
2− 3
=
2− 6 2− 6
= 6 −2
=
−1
2−3
3.
2 + 5 1+ 5
⋅
1− 5 1+ 5
=
3
2.
3 −2 5
=
⋅
3 +2 5
3 +2 5
3 + 2 15 3 + 2 15
3 + 2 15
=
=−
3 − 20
− 17
17
2+2 5 + 5 +5 7+3 5
7+3 5
=
=−
1− 5
−4
4
2+ 5
4.
2− 5
=
⋅
2+ 5
2+ 5
2 + 2 10 + 5 7 + 2 10
7 + 2 10
=
=−
2−5
−3
3
5.
2 3− 7
5 2 +3 3 3 2 +4 3
⋅
3 2 −4 3 3 2 +4 3
7.
3− 7
6 − 2 21 − 21 + 7 13 − 3 21 3 21 − 13
=
=
3−7
−4
4
=
6.
3− 7
⋅
3+ 7
=
6 + 2 5 2 6 + 5 12 + 5 30 + 10 22 + 5 30
⋅
=
=
24 − 5
19
2 6− 5 2 6+ 5
30 + 29 6 + 36 66 + 29 6
66 + 29 6
=
=−
18 − 48
− 30
30
7 − 2 11 2 7 − 11 14 − 5 77 + 22 36 − 5 77
⋅
=
=
28 − 11
17
2 7 + 11 2 7 − 11
8.
EJERCICIO 251
1.
6. 15 −
x−8=2
( x − 8) = 2
2
3
x + 10 − x + 19 = − 1
9.
7 x − 1 = 12
( x + 10 ) = ( x + 19 − 1)
2
3= 3 7x − 1
2
(
33 = 3 7 x − 1
x − 8= 4
x + 10 = x + 19 − 2 x + 19 + 1
)
3
− 10 = − 2 x + 19
27 = 7 x − 1
28 = 7 x
4= x
x = 12
2. 5 − 3x + 1 = 0
5 = 3x + 1
5 = x + 19
52 =
5 = (3x + 1)
25 = 3x + 1
24 = 3x
8= x
7.
3
3
32 =
4 x − 11 = 98 x − 1. 421
1. 410 = 94 x
15 = x
11.
2
9 x − 5 = 9 x − 6x + 1
2
− 6 = − 6x
1= x
8.
( x − 1) = 9 − x
2
x − 1= 9 − x
2 x = 10
x=5
2
( 5x − 19 ) = ( 5x − 1)
− 20 = − 2 5x
10 = 5x
100 = 5x
( 3x − 5) = (9 − 3x − 14 )
2
2
20 = x
3x − 5 = 81 − 18 3x − 14 + 3x − 14
− 72 = − 18 3x − 14
4 =
2
5x − 19 = 5x − 2 5x + 1
3x − 5 + 3x − 14 = 9
2
x2 − 2x + 1 = 9 − x
5x − 19 − 5x = − 1
2
( )
x
2
4 x − 11 = 49 (2 x − 29)
9= x
( 9 x − 5) = (3x − 1)
5.
2
3= x
9 x 2 − 5 = 3x − 1
2
( 4 x − 11) = (7 2 x − 29 )
− 6= − 2 x
9 x 2 − 5 − 3x = − 1
2
( x + 7 ) = (7 − x )
1= 7 − 2 x
3
2
2
4 x − 11 = 7 2 x − 29
7 = 49 − 14 x
5x − 2 = 8
5x = 10
x=2
4.
10.
2
x + 7 = 49 − 14 x + x
5x − 2 = 2
( 5x − 2 ) = 2
x + x+ 7 =7
2
3. 7 + 3 5x − 2 = 9
3
( x + 19 )
25 = x + 19
6= x
2
2
2
( 3x − 14 )
16 = 3x − 14
30 = 3x
10 = x
2
12.
x − 2 + 5 = x + 53
( x − 2 + 5) = ( x + 53)
2
x − 2 + 10 x − 2 + 25 = x + 53
10 x − 2 = 30
x−2=3
x− 2= 9
x = 11
2
13.
9 x − 14 = 3 x + 10 − 4
18.
( 9 x − 14 ) = (3 x + 10 − 4)
2
2
( 9 x + 7 − x ) = ( 16x − 7 )
2
9 x − 14 = 9 ( x + 10) − 24 x + 10 + 16
2
9 x + 7 − 2 9 x 2 + 7 x + x = 16 x − 7
− 14 = 90 − 24 x + 10 + 16
− 2 9 x 2 + 7 x = 6 x − 14
− 120 = − 24 x + 10
(− 2 9 x + 7 x ) = (6x − 14)
5 = x + 10
2
2
25 = x + 10
15 = x
14.
9 x + 7 − x − 16x − 7 = 0
2
4 (9 x 2 + 7 x ) = 36x 2 − 168 x + 196
36 x 2 + 28x = 36 x 2 − 168 x + 196
196 x = 196
x =1
x − 16 − x + 8 = − 4
( x − 16 ) = ( x + 8 − 4)
2
2
x − 16 = x + 8 − 8 x + 8 + 16
− 40 = − 8 x + 8
19.
5= x + 8
( 9 x + 10 − 2 x + 3) = ( x − 2 )
2
25 = x + 8
5x − 1 + 3 = 5x + 26
13x + 22 − x + 2 = 4 9 x 2 + 37 x + 30
( 5x − 1 + 3) = ( 5x + 26 )
2
2
12 x + 24 = 4 9 x 2 + 37 x + 30
5x − 1 + 6 5x − 1 + 9 = 5x + 26
3x + 6 =
6 5x − 1 = 18
2
2
2
9 x 2 + 36x + 36 = 9 x 2 + 37 x + 30
36 − 30 = 37 x − 36 x
6= x
5x − 1 = 9
5x = 10
x= 2
13 − 13 + 4 x = 2 x
(13 − 2 x ) = ( 13 + 4 x )
2
2
169 − 52 x + 4 x = 13 + 4 x
20.
x=9
2
18 x − 8 = 10 x + 4 4 x 2 − 6x − 4
x− 4 + x+4 = 2 x−1
( x − 4 + x + 4 ) = (2 x − 1)
2
2
x − 4 + 2 x 2 − 16 + x + 4 = 4 ( x − 1)
2 x + 2 x − 16 = 4 x − 4
2
(2 x − 16) = (2 x − 4)
2
( 18x − 8 ) = ( 2 x − 4 + 2 2 x + 1)
18 x − 8 = 2 x − 4 + 4 4 x 2 − 6x − 4 + 4 (2 x + 1)
x=3
2
18 x − 8 − 2 x − 4 − 2 2 x + 1 = 0
2
− 52 x = − 156
17.
9 x 2 + 37 x + 30
(3x + 6) = ( 9 x + 37 x + 30 )
5x − 1 = 3
16.
2
9 x + 10 − 4 9 x 2 + 37 x + 30 + 4 ( x + 3) = x − 2
17 = x
15.
9 x + 10 − 2 x + 3 = x − 2
2
4 x 2 − 64 = 4 x 2 − 16x + 16
− 80 = − 16 x
5= x
8x − 8 = 4 4 x 2 − 6x − 4
2 x − 2 = 4 x2 − 6x − 4
(2 x − 2) = ( 4 x − 6x − 4 )
2
2
4 x 2 − 8x + 4 = 4 x2 − 6x − 4
− 2x = − 8
x=4
2
21.
8 x + 9 − 18 x + 34 + 2 x + 7 = 0
(
) (
2
8x + 9 + 2 x + 7 =
18 x + 34
)
2
24.
x − a + x + a = 4 x − 2a
( x − a + x + a ) = ( 4 x − 2a )
2
8 x + 9 + 2 16 x 2 + 74 x + 63 + 2 x + 7 = 18 x + 34
x − a + 2 x 2 − a 2 + x + a = 4 x − 2a
10 x + 16 + 2 16 x + 74 x + 63 = 18 x + 34
2
2 x + 2 x 2 − a 2 = 4 x − 2a
2 16 x + 74 x + 63 = 8 x + 18
2
2 x 2 − a 2 = 2 x − 2a
16 x + 74 x + 63 = 4 x + 9
2
x2 − a2 = x − a
( 16x + 74 x + 63) = (4 x + 9)
2
2
( x − a ) = (x − a)
2
2
16 x 2 + 74 x + 63 = 16 x 2 + 72 x + 81
2 x = 18
x=9
22.
( x − 2 − x − 5) = ( 4 x − 23)
2
4b x = 4b 2 + 4ab
− 2 x + 16 = 2 x 2 − 7 x + 10
x =b+ a
− x + 8 = x 2 − 7 x + 10
( x ) = (a + b)
x = (a + b)
2
(8 − x) = ( x − 7 x + 10 )
2
2
2
64 − 16 x + x = x − 7 x 10
54 = 9 x
6= x
2
( x − 4ab ) = ( x + 2b)
x − 4ab = x − 4b x + 4b 2
2 x − 7 − 4 x + 23 = 2 x 2 − 7 x + 10
2
x − 4ab = − 2b + x
2
x − 2 − 2 x 2 − 7 x + 10 + x − 5 = 4 x − 23
2
2
2ax = 2a 2
x=a
25.
2
2
2
x 2 − a 2 = x 2 − 2ax + a 2
x − 2 − x − 5 = 4 x − 23
2
2
2
26.
x + 4a − x + 2 a − 1 = 1
( x + 4a − 1) = ( x + 2a − 1)
2
23.
x + 6 − 9 x + 70 = − 2 x + 9
x + 4 a − 2 x + 4 a + 1 = x + 2a − 1
( x + 6 + 2 x + 9 ) = ( 9 x + 70 )
2
2
x + 6 + 4 x 2 + 15x + 54 + 4 ( x + 9) = 9 x + 70
5x + 42 + 4 x 2 + 15x + 54 = 9 x + 70
4 x 2 + 15x + 54 = 4 x + 28
x 2 + 15x + 54 = x + 7
( x + 15x + 54) = (x + 7)
2
2
2
x 2 + 15x + 54 = x 2 + 14 x + 49
x= −5
2
2a + 2 = 2 x + 4a
a + 1 = x + 4a
(a + 1) = ( x + 4a )
2
a 2 + 2a + 1 = x + 4a
a 2 − 2a + 1 = x
(a − 1) = x
2
2
EJERCICIO 252
1.
6
= x+8− x
x+8
5.
10
x
x + x+5=
x 2 + 8x = x + 2
( x + 5x ) = (10 − x )
2
2
2
( x + 8 x ) = ( x + 2)
x= 4
55
4 x − 11
x=1
8
= x+9
x− 3+
x+9
6.
(x − 3)(x + 9) + 8 = (x + 9)
2
(4 x − 11) + 2 x (4 x − 11) = 55
2
x 2 + 6 x − 27 + 8 = x + 9
4 x − 11 + 2 4 x 2 − 11x = 55
( x + 6x − 27 ) = (x + 1)
( 4 x − 11x ) = (33 − 2 x)
2
4 x 2 − 11x = 1. 089 − 132 x + 4 x 2
121x = 1. 089
x=9
3.
x − x− 7 =
2
x 2 + 6 x − 27 = x 2 + 2 x + 1
4 x = 28
4 x 2 − 11x = 33 − 2 x
2
2
2
2 4 x 2 − 11x = 66 − 4 x
2
2
x 2 + 8x = x2 + 4 x + 4
4x = 4
25x = 100
4 x − 11 + 2 x =
2
2
x 2 + 5x = 100 − 20x + x 2
2.
2
6 = x + 8 − x 2 + 8x
x 2 + x 2 + 5x = 10
2
(x + 8) − x (x + 8)
6=
x= 7
x+4
x + 11
=
x−2
x −1
7.
( x + 4)( x − 1) = ( x + 11)( x − 2)
x 2 + 3 x − 4 = x 2 + 9 x − 22
4
x
18 = 6 x
x2 − x2 − 7x = 4
3= x
( x − 4) = ( x − 7 x )
2
2
( 3) = ( x )
2
9= x
x 2 − 8 x + 16 = x 2 − 7 x
16 = x
2
2
2 x + 6 − 4x − 3 =
8.
.
2
4.
x−2
x +1
=
x+4
x + 13
( x − 2)( x + 13) = ( x + 1)( x + 4)
x 2 + 11 x − 26 = x 2 + 5 x + 4
9
4x − 3
(x + 6)(4 x − 3) − (4 x − 3) = 9
2 4 x + 21x − 18 − (4 x − 3) = 9
2
2
2 4 x 2 + 21x − 18 − 4 x + 3 = 9
(2 4 x + 21x − 18 ) = (4 x + 6)
2
2
2
6 x = 30
4 (4 x 2 + 21x − 18) = 16x 2 + 48 x + 36
x =5
16 x 2 + 84 x − 72 = 16 x 2 + 48 x + 36
( x) = 5
2
2
x = 25
36 x = 108
x= 3
x −2 2 x −5
=
x + 2 2 x −1
9.
x + 14 − x − 7 =
10.
(x + 14)(x − 7) − (x − 7) = 6
x + 7 x − 98 − ( x − 7) = 6
2
( x − 2)(2 x − 1) = (2 x − 5)( x + 2)
2
2 x − 5 x + 2 = 2 x − x − 10
2
6
x−7
2
x 2 + 7 x − 98 − x + 7 = 6
12 = 4 x
( x + 7x − 98) = (x − 1)
2
2
3= x
2
x 2 + 7 x − 98 = x 2 − 2 x + 1
9 x = 99
(3)2 = ( x )
2
9= x
x = 11
EJERCICIO 253
1.
− a 2 = a 2 (− 1) = a − 1 = a i
7.
− 12 = 22 ⋅ 3(− 1) = 2 3 − 1 = 2 i 3
2.
− 2 = 2 (− 1) = 2 − 1 = 2 i
8.
− 7 = 7 (− 1) = 7
9.
− 27 = 32 ⋅ 3(− 1) = 3 3 − 1 = 3i 3
10.
− 4m4 = 2 2 m2 m2 (− 1) = 2m2 − 1 = 2 i m2
11.
−
12.
− a 2 − b2 = − 1(a 2 + b 2 ) = − 1 a 2 + b2 = i a 2 + b 2
( )
4. − 81 = 9 (− 1) = 9 − 1 = 9 i
5. − 6 = 6 (− 1) = 6 − 1 = 6 i
6. 3 − b = 3 b b (− 1) = 3b (− 1) = 3b i
3. 2 − 9 = 2 32 − 1 = 6 − 1 = 6 i
2
4
2 2
2
2
(− 1) = 7 i
1
1
1
1
= 2 (− 1) =
−1= i
16
4
4
4
EJERCICIO 254
1.
−4=
22 (− 1) = 2 i
− 16 = 42 (− 1) = 4 i
= 2 i + 4 i = 6i
4.
3 − 64 = 3 82 (− 1) = 24 i
− 5 − 49 = − 5 72 (− 1) = − 35i
3 − 121 = 3 11 (− 1) = 33i
2
− 25 =
52 (− 1) = 5i
− 81 =
9 2 (− 1) = 9 i
− − 49 = − 72 (− 1) = − 7 i
= 5i + 9 i − 7 i = 7 i
3.
2 − 9 = 2 32 (− 1) = 6 i
3 − 100 = 3 102 (− 1) = 30 i
= 6 i + 30 i = 36 i
3 − 20 = 3 22 ⋅ 5 (− 1) = 6 5 i
− 2 − 45 = − 2 32 ⋅ 5(− 1) = − 6 5 i
= 24 i − 35i + 33i = 22 i
2.
7.
3 − 125 = 3 5 ⋅ 5(− 1) = 15 5 i
( )
= 6 5 i − 6 5 i + 15 5 i = 15 5 i
− a = a a (− 1) = a i
− a = a a (− 1) = a i
−a =
a (− 1) = a i
8.
= 2a i + a i + a i = i (2a + a + a )
4 − 9a = 4 3 a (− 1) = 12a i
− 18 = 3 ⋅ 2 (− 1) = 3 2 i
6.
− 3 − 4a = − 3 2 a (− 1) = − 6a i
− 8 = 2 ⋅ 2 (− 1) = 2 2 i
= a i + 12a i − 6a i = 7a i
2 − 50 = 2 5 ⋅ 2 (− 1) = 10 2 i
2
2
2
5. 2 − a = 2 a − 1 = 2a i
4
2
2
2
6
4
2
3
2
3
4
2
4
2
3
2
2
2
= 3 2 i + 2 2 i + 10 2 i = 15 2 i
2
4
2
4
2
4
2
4
2
2
2
2
EJERCICIO 255
− 16 ⋅ − 25
1.
( − 1)
2
= 6 35
6.
= 9 − 1⋅ 7 − 1
( − 1)
= − 30 i
= 2 3 − 1⋅ 3 3 − 1⋅ 2 2 − 1⋅5 2 − 1
= 60 9 4
)
2
= 60 ⋅ 3⋅ 2 (1)
= 360
= 6 4 72
( − 1)
2
= 12 ⋅ 7 (− 1)
= 960 (− 1)
2
− 3⋅ − 2
−4+ −9
12.
− 25 − − 16
= 7 − 1⋅ 2 − 1 ⋅ 3 − 1
= 3 − 1⋅ 2 − 1
3
10
e− 1j
= 42 e
− − 1j
= 42
( − 1)
2
= 6 (− 1)
( − 1) + 15( − 1)
− 8 ( − 1) − 12 ( − 1)
2
2
2
2
10 (− 1) + 7 (− 1) − 12 (− 1)
= − 42 − 1
=− 6
2
= 15 xy
− 49 ⋅ − 4 ⋅ − 9
8.
( − 1)
= − 15 xy (− 1)
= − 84
= − 960
= − 10 − 7 + 12 = − 5
= − 42 i
14. 2 − 2 + 5 − 3
−2 +3 −5
−2−4 −3
2 −2 −6 −5
2 4
= − 15 xy
( )
−1
4
= − 5 x − 1⋅3 y − 1
= 2 7 − 1⋅3 4 7 − 1
= 30 − 1 ⋅ 32 − 1
( − 1)
11. − 5 − x ⋅ 3 − y
7. 2 − 7 ⋅ 3 − 28
= 5⋅ 6 − 1 ⋅ 4 ⋅ 8 − 1
− 12 ⋅ − 27 ⋅ − 8 ⋅ − 50
10.
= − 15
3. 5 − 36 ⋅ 4 − 64
13.
(
−1
= 15 (− 1)
= − 63
= 6
= − 30 − 1
= 3 − 1 ⋅ 25 3 − 1
= 5 32
= 63 (− 1)
4.
2
− 3 ⋅ − 75
2
= 960
( − 1)
= − 6 35
− 81 ⋅ − 49
= 63
( − 1)
= 3 100 (− − 1)
= 6 35 (− 1)
= − 20
−1
3
= 3 2 ⋅ 5⋅ 10
= 2 5 − 1⋅ 3 7 − 1
= 20 (− 1)
2.
= 2 − 1 ⋅ 3 5 − 1 ⋅ 10
5. 2 − 5 ⋅ 3 − 7
= 4 − 1⋅5 − 1
= 20
− 2 ⋅ 3 − 5 ⋅ − 10
9.
( − 1) + 6 10 ( − 1)
− 6 10 ( − 1) − 18 25 ( − 1)
2
2
2
2 4
( − 1) + 5 6 ( − 1)
− 8 6 ( − 1) − 20 9 ( − 1)
2
2
2
2
4 (− 1)
4 (− 1) − 90 (− 1)
= − 4 + 90
= 86
− 3 6 (− 1)
2
− 60 (− 1)
= − 4 + 3 6 + 60
= 56 + 3 6
EJERCICIO 256
− 16
1.
−4
=
4 −1
2 −1
=2
− 10
2.
−2
=
10 − 1
2 −1
=
10
= 5
2
− 81
3.
−3
=
9 −1
3 −1
=
9
3
=
9 3
9
=
9 3
=3 3
3
− 90
4.
−5
=
− 150
5.
−3
3 10 − 1
=
5 −1
5 6 −1
3 −1
=3
=5
7.
10
=3 2
5
6.
5 −4
=
60 − 1
10 − 1
−6
− 315
8.
6
=5 2
3
−7
4 − 27
9.
10 − 36
2 − 18
=6
4 −3
=
4 − 300
10.
4 − 12
6 −1
7 −1
4
27 − 1
4
3 −1
=
4
6 2
=
3 35 − 1
=
=
6 2 −1
6
=3
6 12
36
=
6 22 ⋅ 3
6
=2 3
35
=3 5
7
2
=4
1
27 4
= 9 = 4 32 = 3 4 = 3 2 = 3
3
300 − 1
4
=
12 − 1
2
=4
1
300 4
= 25 = 4 5 2 = 5 4 = 5 2 = 5
12
EJERCICIO 257
1. 2 + 3 − 1
4. 5 +
−1
7. 2 + − 2
5 − 2 −1
7 + 2 −1
4− − 3
7+
9 + 7 −1
−1
7+ i
6+
21+ 10 − 1
( 2 i − 3 i)
6 + ( 2 − 3 )i
6+
21+ 10 i
2. − 4 − 5 − 1
5.
− 2 + 8 −1
3 − 2i
− 6 + 3i
2− −9
− 4 + − 16
− 2 + 3i
3. 12 − 11 − 1
6.
8 + 7 −1
(3 + 2 ) + ( 5 − 1 − 9 − 1 + 16 − 1)
(3 + 2 ) + ( 5 i − 3i + 4 i)
(3 + 2 ) + ( 5 i + i)
(3 + 2 ) + ( 5 + 1)i
1 − i
4 + 3i
2 + 5i
20 − 4 − 1
5 + 2 + 7i
20 − 4 i
7+ −5
8.
5 − 8i
− 10 + 13 i
− 6 + 3 −1
( 2 − 1 − 3 − 1)
EJERCICIO 258
(
) (
= (7 + 7) + (− 2 + 2) − 1
) (
)
= (9 + 9) + (i − i ) 3
(
) (
= (− 5 − 5) + (− 3 + 3) − 1
= − 5⋅ 2
= − 10
(
) (
4. − 7 − 5 − 1 + − 7 + 5 − 1
= (− 7 − 7) + (− 5 + 5) − 1
= − 7⋅2
= − 14
)
= (8 + 8) + (− 3 + 3) 2 − 1
= 8⋅ 2
= 16
= 9⋅ 2
= 18
)
) (
5. 8 − 3 − 2 + 8 + 3 − 2
3. 9 + i 3 + 9 − i 3
= 7⋅2
= 14
2. − 5 − 3 − 1 + − 5 + 3 − 1
(
(
)
1. 7 − 2 − 1 + 7 + 2 − 1
)
6.
( 2 + i 3 ) + ( 2 − i 3)
= ( 2 + 2 ) + (i − i ) 3
=2 2
EJERCICIO 259
(
) (
)
3− 2 − 1
(
)(
(
5 + 14 − 1
)(
3. − 1 − − 1 − − 7 − 8 − 1
− 1−
+ 7+8 −1
(
9.
− 3 + 50 − 1
− 3 − 6i
( 2 − 3) + (− 5i − 6 i)
( 2 − 3) + (− 11i)
( 2 − 3) − 11i
8 + 130 − 1
)
8 + 130 i
(
) (
)
(
)(
(
2 + − 25 − 1 − 6 i
4− 7 −1
2 + (− 5i − 6 i )
− 5+ 3 − 1
7− − 3
)
(
15 + − 7 − 1 − 3 − 1
(
)
15 − ( 7 + 3)i
2 + (− 11i )
− 1− 4 − 1
)
8− − 7
− 3 − 6i
)
)(
10. 8 − − 7 − − 7 + − 3
5 − − 25
4. 4 − 7 − 1 − 5 − 3 − 1
( 2 − 5 − 1) − ( 3 + 6 − 1)
2 − 5i
7. 5 − − 25 − 3 + 6 i
6+ 7 − 1
)
11 + 80 − 1
−1
6 + 7i
)(
6. 11 + 80 − 1 − 3 − 50 − 1
− 3 + 10 − 1
(
( 5 i − 3 i)
2 + ( 5 − 3 )i
2+
7 + 3i
)
8+ 4 −1
5 + 14 i
2+ 5 −1− 3 −1
7+ 3 −1
2. 8 + 4 − 1 − 3 − 10 − 1
)
− 2− − 3
− 8+ 7 − 1
− 2−5 −1
)(
4+ −5
15 − 4 − 1
− 5− 3 − 1
− 2 − 5i
(
8. 4 + − 5 − 2 + − 3
5. (15 − 4 − 1) − (8 − 7 − 1)
1. 3 − 2 − 1 − 5 + 3 − 1
)
15 + − 7 i − 3 i
2 − 11i
− 1− 4 i
EJERCICIO 260
(
)(
1. 2 − − 1 − 2 + − 1
(
)
)(
3. − 3 − 7 − 1 − − 3 + 7 − 1
− 3− 7 − 1 + 3− 7 − 1
2− −1− 2− −1
= (2 − 2) + (− 1 − 1) − 1
= (− 3 + 3) + (− 7 − 7) − 1
= − 2 −1
= − 7⋅2 − 1
= − 2i
= − 14i
(
) (
2. 7 + 3 − 1 − 7 − 3 − 1
)
(
)
5.
( 2 + − 3) − ( 2 − − 3)
2 + − 3− 2 + − 3
=
( 2 − 2 ) + (1+ 1) 3 − 1
= 2 3 −1
= 2 3i
(
)(
4. − 5 + − 2 − − 5 − − 2
)
− 5−4 −2+ 5−4 −2
− 5+ − 2 + 5+ − 2
− 5−4 −2
= (7 − 7) + (3 + 3) − 1
= (− 5 + 5) + (1 + 1) 2 − 1
+ 5− 4 − 2
= 6 −1
= 2 2 −1
= 6i
=2 2i
7+ 3 −1− 7+ 3 −1
) (
6. − 5 − 4 − 2 − − 5 + 4 − 2
−8 − 2 = − 8 2 −1
= −8 2i
)
EJERCICIO 261
EJERCICIO 262
1. 3 − 4 − 1
5. 3 + − 2
1. 1 − i 1 + i
5− 3 − 1
5− − 2
= 1− i 2
15 − 20 − 1
15 + 5 2 − 1
− 9 − 1 + 12
( − 1)
2
( )( )
− 3 2 −1− 2 2
= 1−
( − 1)
15 + 2 2 − 1 − 4 (− 1)
15 − 29 i − 12
3 − 29 i
15 + 2 2 i + 2
= 1+ 1= 2
(
[
− 8 − 1 − 14
3.
− 4 2 −1− 2 3
( − 1)
2
(
3. 7 − − 4
( )
−1
= 2 + 25 = 27
)(
= (2 3) − (4 i )
2
11 + − 25
2
= 12 + 16 = 28
(
( − 1)
2
5 + 15 i + 2 15 i + 6 (− 1)
5 + 3 15 i − 6
3 15 i − 1
]
)(
( − 2)
= 25 − ( 2 − 1)
= 25 − [2 ( − 1) ]
= 25 − [2 (− 1)]
= 25 −
)
2
2
5+ − 3
+ 2 5 3 −1+ 2 9
2
5. 5 − − 2 5 + − 2
2
25 + 5 3 − 1
88 − 11 9 − 1
[ ( )]
= 12 − 16 (− 1)
( − 1)
5+ 2 − 3
4. 8 − − 9
+ 8 25 − 1 − 9 25
[
)
2
= 4 (3) − 16 − 1
( 15 i + 2 i) − 10
( 6 − 10 ) + ( 15 + 2)i
8.
]
(
6+
35 − 10 i + 21i + 6
41 + 11i
2
4. 2 3 + 4 i 2 3 − 4 i
6 + 15 i + 4 i + 10 (− 1)
35 − 10 − 1 + 21 − 1 − 36 (− 1)
88 − 33i + 40 i − 15 (− 1)
[
2 + −5
+ 2 2 −1+ 5 2
2
2
= 2 − 25(− 1)
)
6 + 3 5 −1
35 − 5 4 − 1
( 2 − 5i)( 2 + 5i)
= ( 2 ) − (5i )
[ ( )]
3+ −2
5+ − 9
]
= 2 − 25 − 1
(20 + 6 ) + (5 3 − 4 2 )i
7.
+ 7 9 −1− 4 9
( − 1)
20 + 5 3 − 4 2 i + 6
− 12 − 29 i + 14
2 − 29 i
)
2
2
20 + 5 3 i − 4 2 i − 6 (− 1)
− 12 − 29 − 1 − 14 (− 1)
88 + 7 i + 15
103 + 7 i
= 9 + 4 = 13
20 + 5 3 − 1
− 12 − 21 − 1
(
= 9 − 4 (− 1)
5− − 2
− 3− 2 − 1
)
2
= 32 − 2 − 1
17 + 2 2 i
4+ 7 −1
)(
2. 3 + 2 − 1 3 − 2 − 1
6. 4 + − 3
2.
2
= 1 − (− 1)
2
15 − 29 − 1 + 12 (− 1)
( − 1)
( − 1)
2
= 25 + 2 = 27
(
)(
= 81 − ( − 5 )
= 81 − ( 5 − 1)
= 81 − [5 (− 1)]
6. − 9 − − 5 − 9 + − 5
2
2
= 81 + 5 = 86
)
EJERCICIO 263
1.
1+ − 1 1+ − 1
⋅
1− − 1 1+ − 1
=
2.
4.
( − 1) = 1 + 2 i − 1 = 2 i = i
1+ 1
2
1 − ( − 1)
2
1+ 2 − 1 +
8 − 5i 7 − 6 i 56 − 83i + 30 i 2 56 − 83i − 30 26 − 83i
⋅
=
=
=
7 + 6 i 7 − 6i
49 − 36 i 2
49 + 36
85
(
2
3+ − 1 3+ − 1
⋅
3− − 1 3+ − 1
=
=
9 + 6 − 1 + (− 1) 9 + 6 i − 1 8 + 6 i 4 + 3i
=
=
=
2
9+1
10
5
9− −1
( )
6.
5− 3 − 1 3− 4 − 1
⋅
3.
3+ 4 − 1 3− 4 − 1
=
(
)
]
)
20 + 21 3 i − 12 8 + 21 3 i
=
73
25 − (− 48)
( 2 ) + 9 2 5 − 1 + 2 ( 5) (− 1)
=
16 ( 2 ) − ( 5 − 1)
2
2
2
2
15 − 29 − 1 + 12 (− 1) 15 − 29 i − 12 3 − 29 i
=
=
2
25
9 − 16 (− 1)
9− 4 −1
2
2+2 −5 4 2+ −5
⋅
4 2 − −5 4 2 + −5
4
[
( ) (− 1)
4 + − 3 5 + 4 − 3 20 + 21 3 − 1 + 4 3
2
5. 5 − 4 − 3 ⋅ 5 + 4 − 3 =
25 − 4 3 − 1
=
8 + 9 10 i − 10 9 10 i − 2
=
32 + 5
37
EJERCICIO 265
1.
3 x 2 − 5x + 2 = 0
5x 2
x2 −
+ =0
3 3
5x
2
x2 −
=−
3
3
5x 25 25 2
2
x −
+
=
−
3 36 36 3
2
5
25 − 24

x−  =

6
36
x−
5
1
=±
6
6
5 1
x= ±
6 6
5+ 1
=1
6
5− 1 4 2
= =
x2 =
6
6 3
2
2. 4 x + 3x − 22 = 0
3x 22
x2 +
=
4
4
3x 9 11 9
2
x +
+
= +
4 64 2 64
2
3
352 + 9

x+  =

8
64
Continúa
x1 =
2. Continuación
3
361
=±
8
64
3 19
x=− ±
8 8
− 3 + 19 16
x1 =
=
=2
8
8
22
11
− 3 − 19
x2 =
=−
=−
8
8
4
x+
3.
x 2 + 11x = − 24
121 121
x 2 + 11x +
=
− 24
4
4
2
11 121 − 96

x+  =

2
4
11
25
=±
2
4
11 5
x= − ±
2 2
− 11 + 5 − 6
x1 =
=
=−3
2
2
− 11 − 5 − 16
x2 =
=
= −8
2
2
x+
x 2 = 16 x − 63
4.
x − 16 x = − 63
2
x 2 − 16 x + 64 = 64 − 63
(x − 8) = 1
2
x − 8= ±1
x = 8±1
x1 = 8 + 1 = 9
x2 = 8 − 1 = 7
5. 12 x − 4 − 9 x = 0
2
− 9 x + 12 x = 4
2
9 x 2 − 12 x = − 4
12 x
4
=−
9
9
4x 4 4 4
2
+ = −
x −
3 9 9 9
2
2

 x−  = 0

3
x2 −
x−
x1 = x2 =
2
3
2
=0
3
6. 5x − 7 x − 90 = 0
2
x=
7 ± 7 2 − 4 (5) (− 90)
10.
− 7 x + 12 x + 64 = 0
2
2 (5)
7 ± 49 + 1. 800
10
7 ± 1.849 7 ± 43
=
x=
10
10
7 + 43 50
=
=5
x1 =
10
10
36
7 − 43
=−
= − 3 53
x2 =
10
10
x=
− 12 ± (12) − 4 (− 7) (64)
2 (− 7)
− 12 ± 1. 936
x=
− 14
− 12 ± 44
x=
− 14
− 12 + 44
32
=−
= − 2 27
x1 =
− 14
14
− 12 − 44 − 56
=
=4
x2 =
− 14
− 14
6 x 2 = x + 222
6x − x − 222 = 0
1 ± 1 + 4 (6)( 222)
2 (6)
2
1 ± 5. 329
12
1 ± 73
x=
12
1 + 73 74
=
= 6 16
x1 =
12
12
1 − 73 − 72
=
=−6
x2 =
12
12
x + 11 = 10 x 2
10 x 2 − x − 11 = 0
x=
1 ± 12 − 4 (10) (− 11)
2 (10)
1 ± 1 + 440
20
1 ± 21
x=
20
1 + 21 22
=
= 1 101
x1 =
20
20
1 − 21 − 20
=
= −1
x2 =
20
20
x=
=
2
176 ± (176) − 4 (64)(121)
2 ( 64)
176 ± 30 .976 − 30 . 976
128
176 3
= 18
x1 = x2 =
128
8 x + 5 = 36 x 2
14.
− 36 x + 8 x + 5 = 0
2
2
− 8 ± (8) − 4 (− 36) (5)
x=
x=
8.
64 x 2 − 176 x + 121 = 0
− 12 ± 144 + 1. 792
x=
− 14
2
x=
176x = 121 + 64 x 2
13.
2
x=
7.
12 x − 7 x 2 + 64 = 0
x 2 = 15x − 56
11.
x 2 + 15x + 56 = 0
x=
2
− 15 ± (15) − 4 (1)(56)
2 (1)
− 15 ± 225 − 224
2
− 15 ± 1
x=
2
− 15 + 1 − 14
=
=−7
x1 =
2
2
− 15 − 1 − 16
=
= −8
x2 =
2
2
x=
2 (− 36)
− 8 ± 64 + 720
x=
− 72
x=
− 8 ± 784
− 72
x=
− 8 ± 28
− 72
x1 =
− 8 + 28
20
5
=−
=−
− 72
72
18
x2 =
− 8 − 28 − 36 1
=
=
− 72
− 72 2
x=
9. 49 x 2 − 70 x + 25 = 0
x=
2
70 ± (70) − 4 (49)( 25)
2 ( 49)
70 ± 4 . 900 − 4 . 900
98
70 5
x1 = x2 = =
98 7
x=
12. 32 x + 18 x − 17 = 0
2
− 18 ± (18) − 4 ( 32) (− 17)
15. 27 x 2 + 12 x − 7 = 0
2
x=
2 ( 32)
− 18 ± 324 + 2 .176
x=
64
− 18 ± 2 .500
x=
64
− 18 ± 50
x=
64
− 18 + 50 32 1
=
=
x1 =
64
64 2
− 18 − 50 − 68
=
= − 1 161
x2 =
64
64
x=
2
− 12 ± (12) − 4 (27) (− 7)
2 ( 27)
− 12 ± 144 + 756
x=
54
− 12 ± 900
x=
54
− 12 + 30 18 1
= =
x1 =
54
54 3
− 12 − 30 − 42
7
=
=−
x2 =
54
54
9
17. 8 x 2 − 2 x − 3 = 0
15x = 25x 2 + 2
16.
25x 2 − 15x + 2 = 0
x=
2
15 ± (15) − 4 ( 25)( 2)
x=
2 ( 25)
x=
2
2 ± ( 2) − 4 (8) (− 3)
2 x + x − 105 = 0
2
2 (8)
2 ± 4 + 96
16
2 ± 100
x=
16
2 ± 10
x=
16
2 + 10 12 3
= =
x1 =
16
16 4
2 − 10 − 8
1
=
=−
x2 =
16
16
2
50
15 ± 25
x=
50
15 + 5 20 2
=
=
x1 =
50
50 5
15 − 5 10 1
= =
x2 =
50
50 5
2
− 1 ± (1) − 4 ( 2) (− 105)
x=
x=
15 ± 225 − 200
105 = 2 x 2 + x
18.
2 ( 2)
− 1 ± 1 + 840
4
− 1 ± 841
x=
4
− 1 ± 29
x=
4
− 1 + 29 28
= =7
x1 =
4
4
− 1 − 29 − 30
=
= − 7 21
x2 =
4
4
x=
EJERCICIO 266
x (x + 3) = 5x + 3
1.
(
x 2 + 3x = 5 x + 3
x 2 + 3x − 5 x − 3 = 0
x=
2.
x=
2 (1)
9 ± 169
x=
2
− 9 + 13 4
= =2
x1 =
2
2
− 9 − 13 − 22
=
= − 11
x2 =
2
2
2
9 x + 1= 2 x 2 + x − 9
24 x 2 + 114 x + 132 = 0
4 x 2 + 19 x + 22 = 0
8±
(− 8) − 4 (2) (− 10)
2
x=
2 ( 2)
2
− 19 ± (19) − 4 ( 4)( 22)
2 ( 4)
− 19 ± 361 − 352
8
− 19 ± 3
x=
8
− 19 + 3 − 16
=
=−2
x1 =
8
8
− 19 − 3 − 22
=
= − 2 43
x2 =
8
8
8 ± 64 + 80
x=
4
8 ± 12
x=
4
8 + 12 20
= =5
x1 =
4
4
8 − 12 − 4
=
= −1
x2 =
4
4
x=
(2 x − 3) − (x + 5) = − 23
2
4.
2
4 x 2 − 12 x + 9 − x 2 − 10x − 25 + 23 = 0
3x 2 − 22 x + 7 = 0
9 x − 6 = − x 2 + 16
2
− 9 ± (9) − 4 (1) (− 22)
2
25x 2 + 100 x + 100 = x 2 − 14 x + 49 − 81
x=
2 (1)
x 2 + 9 x − 22 = 0
25(x + 2) = (x − 7) − 81
0 = 2 x − 8 x − 10
2
3 (3x − 2) = (x + 4)(4 − x )
) 5.
2
(− 2) − 4 (1)(− 3)
2 ± 4 + 12
x=
2
2± 4
x=
2
2+ 4 6
= =3
x1 =
2
2
2− 4 − 2
=
= −1
x2 =
2
2
)(
9 x + 1 = 3x 2 − 15 − x 2 + x + 6
x2 − 2x − 3= 0
2±
) (
3. 9 x + 1 = 3 x 2 − 5 − x − 3 x + 2
22 ± (22) − 4 (3)(7)
2 (3)
2
x=
22 ± 400
6
22 ± 20
x=
6
22 + 20 42
=
=7
x1 =
6
6
22 − 20 2 1
x2 =
= =
6
6 3
(
) (
)
(
)
6. 3x x − 2 − x − 6 = 23 x − 3
3x − 6 x − x + 6 = 23x − 69
2
3x 2 − 30 x + 75 = 0
x 2 − 10 x + 25 = 0
x=
x=
10 ±
(− 10) − 4 (1)(25)
2
2 (1)
10 ± 100 − 100
2
10
x1 = x2 = = 5
2
x=
(
) (
)
(
)
7. 7 x − 3 − 5 x 2 − 1 = x 2 − 5x x + 2
(x + 4) − (x − 3) = 343
3
10.
7 x − 21 − 5x 2 + 5 = x 2 − 5x 2 − 10x
x 3 + 12 x 2 + 48x + 64 − x 3 + 9 x 2 − 27 x + 27 − 343 = 0
7 x − 16 − 5x = − 4 x − 10x
2
21x 2 + 21x − 252 = 0
2
− x + 17 x − 16 = 0
− x 2 − x + 12 = 0
2
2
− 17 ± (17) − 4 (− 1)(− 16)
x=
x=
2 (− 1)
x=
− 17 ± 225
−2
x=
− 17 ± 15
−2
x1 =
− 17 + 15 − 2
=
=1
−2
−2
x2 =
− 17 − 15 − 32
=
= 16
−2
−2
1±
(− 1) − 4 (− 1)(12)
2 (− 1)
2
1 ± 49
−2
1± 7
x=
−2
1+ 7 8
=
=−4
x1 =
−2 −2
1− 7 − 6
=
=3
x2 =
−2 −2
x=
(x − 5) − (x − 6) = (2 x − 3) − 118
2
8.
2
(x + 2) − (x − 1) = x (3x + 4) + 8
3
2
11.
x 2 − 10 x + 25 − x 2 + 12 x − 36 = 4 x 2 − 12 x + 9 − 118
2 x − 11 = 4 x − 12 x − 109
6 x 2 + 5x + 1 = 0
4 x − 14 x − 98 = 0
2
x=
2 x − 7 x − 49 = 0
2
7±
(− 7) − 4 (2) (− 49)
2
− 5 ± 25 − 24
12
− 5+ 1 − 4
1
=
=−
x1 =
12
12
3
− 5− 1 − 6
1
=
=−
x2 =
12
12
2
7 ± 441
4
7 + 21 28
=
=7
x1 =
4
4
7 − 21 − 14
=
= − 3 12
x2 =
4
4
x=
(5x − 2) − (3x + 1) − x − 60 = 0
9.
(5x − 4) − (3x + 5)(2 x − 1) = 20x (x − 2) + 27
2
12.
2
2
− 5 ± (5) − 4 ( 6)(1)
2 ( 6)
x=
2 ( 2)
2
25x 2 − 40 x + 16 − 6 x 2 − 7 x + 5 = 20 x 2 − 40 x + 27
2
19 x 2 − 47 x + 21 = 20 x 2 − 40 x + 27
25x − 20 x + 4 − 9 x − 6 x − 1 − x − 60 = 0
2
2
2
− x2 − 7x − 6 = 0
15x − 26 x − 57 = 0
2
x=
26 ±
(− 26) − 4 (15) (− 57)
2
2 (15)
26 ± 676 + 3. 420
x=
30
26 ± 64
x=
30
26 + 64 90
= =3
x1 =
30
30
26 − 64 − 38
=
= − 1 154
x2 =
30
30
3
x 3 + 6x 2 + 12 x + 8 − x 3 + 3x 2 − 3x + 1 = 3x 2 + 4 x + 8
2
x=
3
x=
x=
7±
(− 7) − 4 (− 1)(− 6)
2 (− 1)
2
7 ± 49 − 24
−2
7 ± 25
−2
7 + 5 12
=
=−6
x1 =
−2 −2
7−5 2
=
= −1
x2 =
−2 −2
x=
EJERCICIO 267
(
2
)
(− 3) ± (− 3) − 2
2
(
)(
) (
)
8. x − 2 x + 2 − 7 x − 1 = 21
5x − 5x − 4 x + 14 x + 8 = 0
x 2 − 4 − 7 x + 7 − 21 = 0
x2 + 9x + 8 = 0
x 2 − 7 x − 18 = 0
2
2
x= −
) (
5. 5x x − 1 − 2 2 x 2 − 7 x = − 8
1. x − 3x + 2 = 0
2
4
3
9
±
−2
2
4
x=−
( 9) 2
9
±
−8
2
4
(− 7) ± (− 7) − − 18
x= −
( )
2
4
3
1
±
2
4
3 1 4
x1 = + = = 2
2 2 2
3 1 2
x2 = − = = 1
2 2 2
x=−
9
81
±
−8
2
4
x=
9
49
±
2
4
9 7 −2
= −1
x1 = − + =
2 2 2
9 7 − 16
= −8
x2 = − − =
2 2
2
x=
x=
x=
(− 2) ± (− 2) − − 15
( )
2
4
2
x1 = 1 + 4 = 5
x2 = 1 − 4 = − 3
2
(− 19) ± (− 19) −
x=
2
4
19
9
±
2
4
19 3 22
= 11
x1 = + =
2 2 2
19 3 16
x2 = − = = 8
2 2 2
x 2 + 4 x = 285
4.
x 2 + 4 x − 285 = 0
( 4)
4
±
− (− 285)
2
4
2
x= −
x = − 2 ± 4 + 285
x = − 2 ± 289
x1 = − 2 + 17 = 15
x2 = − 2 − 17 = − 19
x = 5 ± 25 + 11
x = 5 ± 36
x1 = 5 + 6 = 11
x2 = 5 − 6 = − 1
x= 4± 9
x1 = 4 + 9 = 13
x2 = 4 − 9 = − 5
88
19
361
±
− 88
2
4
x=
x= −
x = 4 ± 16 + 65
2
(x − 1) + 11x + 199 = 3x − (x − 2)
2
7.
2
2
x − 2 x + 1 + 11x + 199 = 3x − x + 4 x − 4
2
(− 10) ± (− 10) − − 11
( )
2
4
2
(− 8) ± (− 8) − −
x= −
( 65)
2
4
x − 19 x + 88 = 0
2
2
10. ( x − 1)( x + 2) − (2 x − 3)( x + 4) − x + 14 = 0
x 2 + x − 2 − 2 x 2 − 5x + 12 − x + 14 = 0
− x 2 − 5x + 24 = 0
x 2 + 9 x + 200 = 2 x 2 + 4 x − 4
x 2 + 5x − 24 = 0
x − 5x − 204 = 0
2
(− 5) ± (5) − − 204
( )
2
4
x= −
(5)
5
±
− (− 24)
2
4
5
25
±
+ 204
2
4
x= −
5
25
±
+ 24
2
4
5
841
±
2
4
5 29 34
= = 17
x1 = +
2 2 2
5 29 − 24
= − 12
x2 = − =
2 2
2
x= −
2
x= −
x=
x=
)
2
x 2 − 10x − 11 = 0
x − 8 x − 65 = 0
2
) (
2 x − x − 3x + 10 = 7 x + 21
2
2
x 2 = 19 x − 88
3.
)(
9. 2 x 2 − x − 2 x + 5 = 7 x + 3
x 2 − 7 x − 6 − x − 59 = 0
x = 1± 4
x= −
(
x 2 − (7 x + 6) = x + 59
6.
x = 1 ± 1 + 15
7
49
±
+ 18
2
4
7
121
±
2
4
7 11 18
x1 = + = = 9
2 2 2
7 11 − 4
=−2
x2 = − =
2 2
2
x=−
2. x 2 − 2 x − 15 = 0
x= −
2
2
5
121
±
2
4
5 11 6
x1 = − + = = 3
2 2 2
5 11 − 16
=−8
x2 = − − =
2 2
2
EJERCICIO 268
1.
x2 x 3
− =
mcm = 10
5 2 10
2 x 2 − 5x = 3
4.
2 x 2 − 5x − 3 = 0
x=
(− 5) − 4 (2) (− 3)
2
5±
14 x 2 + 6x − 20 = 0
2
5.
x 2 − 21x + 90 = 0
(− 21) ± (− 21) − 90
2
21
81
±
2
4
21 9 30
= 15
x1 = + =
2 2 2
21 9 12
x2 = − = = 6
2 2 2
5
1
−
= 1 mcm = x + 2
x x+2
x=
2
− 6 ± (6) − 4 (14) (− 20)
2 (14)
− 6 ± 1.156 − 6 ± 34
=
x=
28
28
− 6 + 34 28
= =1
x1 =
28
28
− 6 − 34 − 40
=
= − 1 73
x2 =
28
28
8.
1
1
1
−
=
x− 2 x−1 6
mcm = 6 ( x − 2)( x − 1)
6 ( x − 1) − 6 ( x − 2) = ( x − 2)( x − 1)
6 x − 6 − 6x + 12 = x 2 − 3x + 2
6 = x 2 − 3x + 2
5x + 10 − x = x + 2 x
0 = x 2 − 3x − 4
2
x − 2 x − 10 = 0
2
(− 2) ± (− 2) − − 10
( )
2
4
x=
x = 1 ± 11
x1 = 1 + 11
x2 = 1 − 11
15 11x + 5
−
= −1
x
x2
mcm = x 2
15x − (11x + 5) = − x 2
x2 + 4x − 5= 0
( 4)
4
±
− (− 5)
2
4
2
x= −
3
9
±
+4
2
4
x=
3
25 3 5
±
= ±
2
4 2 2
3 5 8
x1 = + = = 4
2 2 2
3 5 −2
= −1
x2 = − =
2 2 2
x = 1 ± 1 + 10
6.
(− 3) ± (− 3) − − 4
( )
2
4
2
x= −
2
x=−
x − 3x = 18 ( x − 5)
x 2 − 3x = 18 x − 90
23x 2 + 30x − 5 = 9 x 2 + 24 x + 15
 2
5  1 +  − 1 = x + 2 mcm = x
 x
2
4
− 13 ± 169 + 2 . 432
−8
− 13 − 51 − 64
=
=8
x2 =
−8
−8
2 (8)
2
2 (− 4)
− 13 ± 51
8
− 13 + 51 38
=
= − 4 43
x1 =
−8
−8
x2 x
− = 3 (x − 5) mcm = 6
6 2
x= −
2
− 13 ± (13) − 4 (− 4)(152)
x=
3 ± 9 + 832
x=
16
3 ± 29
x=
16
3 + 29 32
=
=2
x1 =
16
16
3 − 29 − 26
=
= − 1 85
x2 =
16
16
x=
5x − 20 + 8 x − 40 − 4 x 2 + 212 = 0
x=
13 3
2. 4 x − = mcm = 2 x
x 2
8 x 2 − 26 = 3x
3.
8 x 2 + 8 x + 15x 2 + 22 x − 5 = 9 x 2 + 24 x + 15
x=
(− 3) − 4 (8) (− 26)
8x ( x + 1) + (5x − 1)(3x + 5) = 3(3x + 5)( x + 1)
− 4 x + 13x + 152 = 0
5 ± 25 + 24
4
5± 7
x=
4
5 + 7 12
= =3
x1 =
4
4
5− 7 − 2
1
=
=−
x2 =
4
4
2
3±
8x
5x − 1
+
= 3 mcm = (3x + 5)( x + 1)
3x + 5 x + 1
5( x − 4) + 8 ( x − 5) = 4 (x 2 − 53)
2 ( 2)
8 x 2 − 3x − 26 = 0
7.
2
x=
x=
1
(x − 4) + 25 (x − 5) = 15 (x 2 − 53)
4
mcm = 20
9. 1 −
2x − 3 x − 2
=
x+5
10
10 ( x + 5) − 10 (2 x − 3) = ( x + 5)( x − 2)
10x + 50 − 20x + 30 = x 2 + 3x − 10
− 10x + 80 = x 2 + 3x − 10
x= − 2± 4+5
x= − 2±3
x1 = − 2 + 3 = 1
x2 = − 2 − 3 = − 5
mcm = 10 ( x + 5)
0 = x 2 + 13x − 90
x= −
(13)2
13
±
− (− 90)
2
4
Continúa
9. Continuación
x= −
13
169
±
+ 90
2
4
12.
mcm = 12 (x − 1)
12 (4 x 2 ) − 3 (x − 1)(1 − 3x ) = 4 ( x − 1) ( 20 x )
13
529
±
2
4
− 13 23
x=
±
2
2
− 13 23 10
x1 =
+
= =5
2
2 2
− 13 23 − 36
x2 =
−
=
= − 18
2
2
2
x= −
(
4 x 2 1 − 3x 20 x
−
=
x−1
4
3
48 x 2 + 9 x 2 − 12 x + 3 = 80 x 2 − 80 x
− 23x 2 + 68 x + 3 = 0
x=
) mcm = x
10. x − 13 = 5 − 10 5x + 3
x
x2
2
− 68 ± ( 68) − 4 (− 23) ( 3)
2 (− 23)
− 68 ± 4 . 624 + 276 − 68 ± 4 . 900 − 68 ± 70
=
=
x=
− 46
− 46
− 46
− 68 + 70
− 68 − 70 − 138
2
1
=
=−
=
=3
; x2 =
x1 =
− 46
− 46
− 46
− 46
23
2
x ( x − 13) = 5x 2 − 10 (5x + 3)
x 2 − 13x = 5x 2 − 50 x − 30
− 4 x 2 + 37 x + 30 = 0
− 37 ± ( 37) − 4 (− 4) ( 30)
2
x=
3x − 1
2x
7
−
− = 0 mcm = 6 x (2 x − 1)
2x − 1 6
x
6 (2 x − 1)(3x − 1) − 6 x ( 2 x ) − 7 x (2 x − 1) = 0
2 (− 4)
1. 369 + 480
−8
6 (6 x 2 − 5x + 1) − 12 x 2 − 14 x 2 + 7 x = 0
37 ± 1.849
x=
−8
− 37 ± 43
x=
−8
− 37 + 43 6
3
=
=−
x1 =
−8
−8
4
− 37 − 43 − 80
=
= 10
x2 =
−8
−8
10 x 2 − 23x + 6 = 0
x=
11.
13.
− 37 ±
x
x−2 5
−
=
2
x−2
x
2 x − 2 (x − 4 x + 4) = 5x − 10 x
2
2
2 x 2 − 2 x 2 + 8 x − 8 = 5x 2 − 10 x
0 = 5x − 18 x + 8
2
x=
− (− 18) ±
2
23 ± ( 23) − 4 (10)( 6)
2 (10)
23 ± 529 − 240 23 ± 289 23 ± 17
=
=
20
20
20
23 + 17 40
23 − 17 6 3
=
= 2 ; x2 =
=
=
x1 =
20 10
20
20
20
x=
14.
5x − 8 7 x − 4
=
x−1
x+2
(x + 2)(5x − 8) = (7 x − 4)(x − 1)
5x 2 + 2 x − 16 = 7 x 2 − 11x + 4
(− 18) − 4 (5)(8)
0 = 2 x 2 − 13x + 20
2
2 (5)
18 ± 324 − 160
10
18 ± 164
x=
10
x=
18 ± 2 2 ⋅ 41 18 ± 2 41 9 ± 41
=
=
10
10
5
9 + 41
9 − 41
; x2 =
x1 =
5
5
x=
x=
mcm = 2 x ( x − 2)
2 x ( x ) − 2 ( x − 2)( x − 2) = 5x (x − 2)
2
36 x 2 − 30 x + 6 − 12 x 2 − 14 x 2 + 7 x = 0
x=
2
13 ± (13) − 4 ( 2)( 20)
2 ( 2)
13 ± 169 − 160 13 ± 9 13 ± 3
=
=
4
4
4
13 + 3 16
13 − 3 10 5
= = 4 ; x2 =
= = = 2 12
x1 =
4
4
4
4 2
x=
15.
x + 3 5x − 1
−
=0
2x − 1 4x + 7
18.
mcm = (2 x − 1)(4 x + 7)
40 − 48 ( x − 1) = 29 ( x 2 − 1)
(x + 3)(4 x + 7) − (5x − 1)(2 x − 1) = 0
40 − 48 x + 48 = 29 x 2 − 29
4 x 2 + 19 x + 21 − 10 x 2 + 7 x − 1 = 0
− 29 x 2 − 48 x + 117 = 0
− 6 x 2 + 26 x + 20 = 0
3x 2 − 13x − 10 = 0
x=
13 ±
mcm = 8 ( x 2 − 1)
5
6
−
= 3 85
x2 − 1 x + 1
x=
(− 13) − 4 (3) (− 10)
− (− 48) ±
2
(482 ) − 4 (− 29)(117)
2 (− 29)
48 ± 2 . 304 + 13. 572 48 ± 126
=
− 58
− 58
48 + 126 174
48 − 126 − 78 10
=
= − 3 ; x2 =
=
= 1 29
x1 =
− 58
− 58
− 58
− 58
2 ( 3)
x=
13 ± 169 + 120 13 ± 289 13 ± 17
=
=
6
6
6
13 + 17 30
13 − 17 − 4
2
=
= 5 ; x2 =
=
=−
x1 =
6
6
6
6
3
x=
19.
1
1
1
16. 4 − x − 6 = x + 1
x − 1 x + 1 2x + 9
+
=
x+1 x−1 x+ 3
(x − 1)( x − 1)(x + 3) + ( x + 1)(x + 1)(x + 3) = (2 x + 9)( x + 1)(x − 1)
(x − 2 x + 1)(x + 3) + (x + 2 x + 1)(x + 3) = (2 x + 9)(x − 1)
mcm = 6 (4 − x )( x + 1)
6 (x + 1) − (4 − x )(x + 1) = 6 (4 − x )
mcm = ( x + 1)( x − 1)( x + 3)
2
2
2
x + 3x − 2 x − 6 x + x + 3 + x + 3x + 2 x + 6 x + x + 3 = 2 x − 2 x + 9 x 2 − 9
3
2
2
3
6 x + 6 + x − 3x − 4 = 24 − 6 x
2
2
3
2 x 3 + 6x 2 + 2 x + 6 = 2 x 3 + 9 x 2 − 2 x − 9
2
0 = 3x 2 − 4 x − 15
x 2 + 3x + 2 = 24 − 6 x
x 2 + 9 x − 22 = 0
x=
( 9)
9
±
− (− 22)
2
4
2
x= −
x+ 4 x+ 2 1
−
=
x + 5 x + 3 24
mcm = 24 ( x + 5)( x + 3)
x=
20.
24 ( x + 3)( x + 4) − 24 ( x + 2)( x + 5) = ( x + 5)( x + 3)
24 x + 168 x + 288 − 24 x 2 − 168 x − 240 = x 2 + 8 x + 15
2
2 ( 3)
4 ± 16 + 180
4 ± 196 4 ± 14
=
=
6
6
6
4 + 14 18
4 − 14 − 10
= = 3 x2 =
=
= − 1 23
x1 =
6
6
6
6
9
9
81
169 − 9 13
±
+ 22 = − ±
=
±
2
4
2
4
2
2
− 9 13 4
− 9 13 − 22
+ = = 2 ; x2 =
− =
= − 11
x1 =
2
2 2
2
2
2
x= −
17.
2
4 ± ( 4) − 4 ( 3) (− 15)
3 ( x − 2)( x + 1) − ( x + 2)( x + 1) = ( x + 2)( x − 2)
3x 2 − 3 x − 6 − x 2 − 3 x − 2 = x 2 − 4
48 = x + 8 x + 15
2 x 2 − 6x − 8 = x2 − 4
0 = x 2 + 8x − 33
x 2 − 6x − 4 = 0
2
(8)
8
±
− (− 33)
2
4
2
x= −
x = − 4 ± 16 + 33 = − 4 ± 49 = − 4 ± 7
x1 = − 4 + 7 = 3 ;
x2 = − 4 − 7 = − 11
mcm = ( x + 2)( x − 2)( x + 1)
3
1
1
−
=
x+ 2 x− 2 x+1
(− 6) ± (− 6) − − 4 = 3 ± 9 + 4 = 3 ± 13
( )
2
4
2
x= −
x1 = 3 + 13
;
x2 = 3 − 13
11. Continuación
EJERCICIO 269
1.
x − x − 6= 0
20x 2 − 27 x = 14
7.
2
(x − 3)(x + 2) = 0
x1 = 3
x2 = − 2
20 x 2 − 27 x − 14 = 0
(20 x )2 − 27 (20 x ) − 280 = 0
2.
5⋅ 4
(4 x − 7)(5x + 2) = 0
x + 7 x − 18 = 0
2
(x + 9)(x − 2) = 0
x1 = − 9
x2 = 2
8 x − 65 = − x 2
3.
x + 8x − 65 = 0
2
(x + 13)(x − 5) = 0
x1 = − 13
108 2
54 2
22 ⋅ 3 − 32
27 3
12 − 9 = 3
9
3
3
3
(x + 12)(x − 9) = 0
x1 = − 12
(4 x ) 2 − 27 ( 4 x ) + 72 = 0
( x − 6)(4 x − 3) = 0
4
(30x + 25)(30x − 18) = 0
5⋅ 6
2x + 7x − 4 = 0
( 2 x) 2 + 7 ( 2 x) − 8 = 0
(2 x + 8)(2 x − 1) = 0
2
(x + 4)(2 x 1) = 0
x+ 4= 0
2 x − 1= 0
x1 = − 4
x2 =
5x − 3 = 0
13.
6x = − 5
5x = 3
−5
3
x1 =
x2 =
6
5
9. 60 = 8 x 2 + 157 x
3⋅ 2
(2 x + 5)(3x − 2) = 0
2x + 5= 0
3x − 2 = 0
5
2
1
x1 = − = − 2 2 x2 =
2
3
2
3 ( x + 2) − (2 x − 5) = 9
2
3x 2 + 12 x + 12 − 2 x + 5 − 9 = 0
x + 20 = 0
x1 = − 20
8x − 3 = 0
8x = 3
3
x2 =
8
10. x ( x − 1) − 5 (x − 2) = 2
x 2 − x − 5x + 10 − 2 = 0
3x 2 + 10 x + 8 = 0
(3x ) + 10 (3x ) + 24 = 0
2
(3x + 6)(3x + 4) = 0
3
( x + 2)(3x + 4) = 0
x+ 2= 0
x1 = − 2
x 2 − 6x + 8 = 0
(x − 4)(x − 2) = 0
11.
2x − 5
= 3 mcm = 3
3
14. ( x + 2) −
(x + 20)(8x − 3) = 0
x−4=0
x1 = 4
x+2
74
mcm = x
+ x=
x
x
x + 2 + x 2 = 74
x + 9= 0 x − 8= 0
x1 = − 9
x2 = 8
8
6 x 2 + 11x − 10 = 0
(6x + 15)(6x − 4) = 0
4x = 3
3
x2 =
4
(x + 9)(x − 8) = 0
(8x + 160)(8x − 3) = 0
1
2
( 6x ) 2 + 11( 6 x) − 60 = 0
4x − 3 = 0
x1 = 6
x 2 + x − 72 = 0
(8 x)2 + 157 (8x) − 480 = 0
6x 2 = 10 − 11x
6.
x − 6= 0
(6x + 5)(5x − 3) = 0
6x + 5 = 0
x2 = 9
2
6 9
4
− =−
mcm = 3x 2
3
x2 x
18 − 27 x = − 4 x 2
4 x 2 − 27 x + 18 = 0
2
5
8 x 2 + 157 x − 60 = 0
1
12.
(30 x) 2 + 7 (30 x) − 450 = 0
x = 108 − 3x
x + 3x − 108 = 0
x2 = 3
(4 x − 24)(4 x − 3) = 0
2
2
x2 = −
x − 3= 0
3x = − 25
30x 2 + 7 x − 15 = 0
x2 = 5
4.
5.
7
x1 = = 1 43
4
2
8. 7 x = 15 − 30 x
3x + 25 = 0
25
= − 8 13
x1 = −
3
(20x − 35)(20x + 8) = 0
x + 7 x = 18
2
(3x + 25)(x − 3) = 0
x2 =
x− 2= 0
x2 = 2
x
(x − 2) − (2 x + 3) = − 80 15. x − 2 + x =
2
2
x 2 − 4 x + 4 − 4 x 2 − 12 x − 9 + 80 = 0
− 3x 2 − 16 x + 75 = 0
3x 2 + 16 x − 75 = 0
( 3x) 2 + 16 (3x) − 225 = 0
(3x + 25)(3x − 9) = 0
3
Continúa
3x + 4 = 0
3x = − 4
−4
= − 1 13
3
3x + 15
mcm = 4 ( x − 2)
4
4 x + 4 x ( x − 2) = (3x + 15)( x − 2)
4 x + 4 x 2 − 8 x = 3x 2 + 9 x − 30
x 2 − 13x + 30 = 0
(x − 10)(x − 3) = 0
x − 10 = 0
x1 = 10
x − 3= 0
x2 = 3
16.
6
4 5
− =
x − 4 x 12
mcm = 12 x (x − 4)
4x − 1 2x + 1
19. 2 x + 3 = 6 x + 5
72 x − 48 ( x − 4) = 5x ( x − 4)
(6x + 5)(4 x − 1) = (2 x + 1)(2 x + 3)
72 x − 48 x + 192 = 5x 2 − 20 x
24 x 2 + 14 x − 5 = 4 x 2 + 8 x + 3
5x 2 − 44 x − 192 = 0
20 x 2 + 6 x − 8 = 0
(5x ) 2 − 44 (5x) − 960 = 0
10 x 2 + 3x − 4 = 0
(5x − 60)(5x + 16) = 0
(10 x ) 2 + 3 (10 x ) − 40 = 0
(10x + 8)(10x − 5) = 0
5
(x − 12)(5x + 16) = 0
x − 12 = 0
x1 = 12
2⋅5
5x + 16 = 0
5x = − 16
− 16
= − 3 15
x2 =
5
(5x + 4)(2 x − 1) = 0
5x + 4 = 0
5x = − 4
−4
x1 =
5
(x − 2) − (x − 3) = 37
3
17.
3
x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 − x 3 + 9 x 2 − 27 x + 27 − 37 = 0
3x 2 − 15x − 18 = 0
20.
( 3x) 2 − 15( 3x) − 54 = 0
(3x − 18)(3x + 3) = 0
3x + 2
9 x + 14
= 5−
mcm = 12 x
4
12 x
3x (3x + 2) = 60 x − (9 x + 14)
9 x 2 + 6 x = 60 x − 9 x − 14
3x − 18 = 0
3x + 3 = 0
3x = 18
3x = − 3
x1 = 6
x2 = − 1
x−1
x+3
− 2=
mcm = 3 ( x + 1)
18.
x+1
3
9 x − 45x + 14 = 0
2
(9 x ) 2 − 45(9 x ) + 126 = 0
(9 x − 42)(9 x − 3) = 0
3⋅ 3
(3x − 14)(3x − 1) = 0
3 ( x − 1) − 6 ( x + 1) = ( x + 3)(x + 1)
3x − 14 = 0
3x = 14
14
x1 =
3
x1 = 4 23
3x − 3 − 6 x − 6 = x + 4 x + 3
2
x + 7 x + 12 = 0
2
(x + 4)(x + 3) = 0
x+ 4= 0
x1 = − 4
2 x − 1= 0
2x = 1
1
x2 =
2
x + 3= 0
x2 = − 3
3x − 1 = 0
3x = 1
1
x2 =
3
EJERCICIO 270
1. x + 2ax − 35a = 0
2
2
(x + 7a)(x − 5a) = 0
x + 7a = 0
x − 5a = 0
x1 = − 7a
x2 = 5a
10 x 2 = 36a 2 − 37ax
2.
10 x + 37ax − 36a 2 = 0
2
x=
2
− 37a ± ( 37a ) − 4 (10) (− 36a 2 )
2 (10)
− 37a ± 2 .809a
− 37a ± 53a
=
20
20
− 37a + 53a 16a 4a
=
=
x1 =
20
20
5
− 37a − 53a − 90a − 9a
=
=
x2 =
20
20
2
2
x=
a 2 x 2 + abx − 2b 2 = 0
3.
(a 2 x) + ab (a 2 x) − 2a 2b2 = 0
2
(a x + 2ab)(a x − ab) = 0
2
2
a 2 x + 2ab = 0
a 2 x = − 2ab
− 2ab
x1 = 2
a
2b
x1 = −
a
a 2 x − ab = 0
a 2 x = ab
ab
x2 = 2
a
b
x2 =
a
89bx = 42 x 2 + 22b 2
4.
42 x − 89bx + 22b2 = 0
2
− (− 89b) ±
x=
(− 89b) − 4 (42) (22b2 )
2
2 ( 42)
x 2 − 2ax = 6ab − 3bx
9.
x 2 + 3bx − 2ax − 6ab = 0
x ( x + 3b) − 2a ( x + 3b) = 0
(x + 3b) (x − 2a) = 0
89 ± 4 . 225b 2 89b ± 65b
=
x=
84
84
89b − 65b 24b 2b
=
=
x1 =
84
84 7
89b + 65b 154b 11b
=
=
x2 =
84
84
6
x + 3b = 0
x1 = − 3b
(
)
3x (2 x − m) + 2n (2 x − m) = 0
(2 x − m)(3x + 2n) = 0
10. 3 2 x − mx + 4nx − 2mn = 0
x 2 + ax = 20a 2
5.
(x + 5a)(x − 4a) = 0
x − 4a = 0
x2 = 4a
x1 =
6. 2 x = abx + 3a b
2
2 2
11.
2 x − abx − 3a 2b2 = 0
2
(2 x − 3ab)(2 x + 2ab) = 0
2
(2 x − 3ab)(x + ab) = 0
2 x − 3ab = 0
2 x = 3ab
3ab
x1 =
2
2
b x + 2abx − 3a = 0
2
2
(b x) + 2ab (b x) − 3a b = 0
2
2
(x − a ) − b (x + a) = 0
(x + a)( x − a) − b (x + a) = 0
(x − a − b)(x + a) = 0
x+ a=0
x2 = − a
abx 2 − x (b − 2a ) = 2
2
abx 2 + 2ax − bx − 2 = 0
ax (bx + 2) − (bx + 2) = 0
(bx + 2)(ax − 1) = 0
2 2
(b x + 3ab)(b x − ab) = 0
bx + 2 = 0
bx = − 2
ax = 1
(bx + 3a) (bx − a ) = 0
−2
x1 =
b
x2 =
2
2
b⋅b
bx + 3a = 0
bx − a = 0
bx = − 3a
bx = a
a
3a
x1 = −
x2 =
b
b
x 2 + ax − bx = ab
8.
2
abx 2 − bx + 2ax − 2 = 0
b x + 2abx = 3a
2
x + ax − bx − ab = 0
2
x (x + a) − b ( x + a) = 0
( x − b) (x + a) = 0
x− b= 0
x1 = b
x+ a= 0
x2 = − a
2n
3
x 2 − a 2 − bx − ab = 0
12.
x2 = − ab
7.
x2 = −
x− a− b= 0
x1 = a + b
x + ab = 0
x = − ab
2
3x + 2n = 0
3x = − 2 n
m
2
2
(2 x) 2 − ab ( 2 x ) − 6a 2b2 = 0
2
2
2x − m = 0
2x = m
x + ax − 20a 2 = 0
2
x + 5a = 0
x1 = − 5a
x − 2a = 0
x2 = 2a
ax − 1 = 0
1
a
13. x − 2ax + a − b = 0
2
x=
2
2
2
− (− 2a ) ± ( 2a ) − 4 (a 2 − b 2 )
2
2a ± 4a − 4a 2 + 4b 2 2a ± 2b
=
2
2
2a + 2b 2 (a + b)
=
=a+b
x1 =
2
2
2
x=
x2 =
2a − 2b 2 (a − b)
=
=a−b
2
2
(
)
14. 4 x x − b + b2 = 4m2
x=
x=
x=
− (− 4b) ±
x 2 + xm3 − 2 xm2 − 2m5 = 0
(− 4b) − 4 (4) (b − 4m )
2
2
2
x ( x + m3 ) − 2 m2 ( x + m3 ) = 0
2 ( 4)
(x + m )(x − 2m ) = 0
3
4b ± 16b 2 − 16b2 + 64m2
x + m3 = 0
8
4b + 8m 4 (b + 2m) b + 2m
=
=
8
8
2
2
6x 2 − 2bx − 15ax + 5ab = 0
2 x (3x − b) − 5a (3x − b) = 0
(3x − b)(2 x − 5a) = 0
15. x − b + 4a − 4ax = 0
2
2
3x − b = 0
x 2 − 4ax − b2 + 4a 2 = 0
− (− 4a ) ±
(− 4a) − 4 (− b + 4a )
2
2
x2 = 2m2
3
20. 6 x − 15ax = 2bx − 5ab
4b − 8m 4 (b − 2m) b − 2m
=
=
x2 =
8
8
2
2
2
x − 2m 2 = 0
x1 = − m
4b ± 64m2 4b ± 8m
=
8
8
x1 =
x=
x 2 + m2 x (m − 2) = 2m5
19.
4 x − 4bx + b2 − 4m2 = 0
2
2
2
4a ± 16a 2 + 4b 2 − 16a 2 4a ± 2b
=
2
2
4a + 2b 2 (2a + b)
=
= 2a + b
x1 =
2
2
2 x − 5a = 0
3x = b
2 x = 5a
b
x1 =
3
x2 =
5a
2
x=
x2 =
16.
4a − 2b 2 (2a − b)
=
= 2a − b
2
2
2
21. 3x + a − x = 0 mcm = 4a
4 2 2a
3ax + 2a 2 − 2 x 2 = 0
2 x 2 − 3ax − 2a 2 = 0
( 2 x ) − 3a ( 2 x ) − 4a 2 = 0
2
x 2 − (a + 2) x = − 2a
(2 x − 4a)(2 x + a ) = 0
x 2 − ax − 2 x + 2a = 0
x (x − a) − 2 (x − a) = 0
2
(x − 2a )(2 x + a) = 0
(x − a)(x − 2) = 0
x−a= 0
x1 = a
17.
x− 2= 0
x2 = 2
x − 2a = 0
2x + a = 0
x1 = 2a
2x = − a
x2 = −
x 2 + 2 x (4 − 3a ) = 48a
a
2
x 2 + 8 x − 6ax − 48a = 0
x ( x + 8) − 6a ( x + 8) = 0
(x + 8)(x − 6a) = 0
x + 8= 0
x − 6a = 0
x1 = − 8
x2 = 6a
x 2 − 2 x = m2 + 2 m
18.
x 2 − m2 − 2 x − 2m = 0
(x + m)( x − m) − 2 (x + m) = 0
(x − m − 2)(x + m) = 0
x − m− 2 = 0
x1 = m + 2
x + m= 0
x2 = − m
22.
2 x − b 2bx − b 2
=
2
3x
3x (2 x − b) = 2 (2bx − b2 )
6 x 2 − 3bx − 4bx + 2b 2 = 0
3x (2 x − b) − 2b (2 x − b) = 0
(2 x − b)(3x − 2b) = 0
2x − b = 0
2x = b
3x − 2b = 0
3x = 2b
b
2
x2 =
x1 =
2b
3
a + x a − 2x
23. a − x + a + x = − 4
mcm = a 2 − x 2
(a + x)(a + x) + (a − 2 x)(a − x) = − 4 (a − x )
2
2
a 2 + 2ax + x 2 + a 2 − 3ax + 2 x 2 = − 4a 2 + 4 x 2
6a 2 − ax − x 2 = 0
26.
2x − b
x
2x
−
=
b
x + b 4b
4 (2 x − b)( x + b) − 4bx = 2 x ( x + b)
8 x 2 + 4bx − 4b 2 − 4bx = 2 x 2 + 2bx
6 x 2 − 2bx − 4b2 = 0
x 2 + ax − 6a 2 = 0
3x 2 − bx − 2b2 = 0
(x + 3a)( x − 2a) = 0
x + 3a = 0
( 3x) − b ( 3x ) − 6b2 = 0
2
x − 2a = 0
x1 = − 3a
mcm = 4b (x + b)
x2 = 2a
(3x − 3b)(3x + 2b) = 0
3
(x − b)(3x + 2b) = 0
x−b= 0
x1 = b
x2
a2
=
x − 1 2 (a − 2)
24.
3x + 2b = 0
3x = − 2b
2 (a − 2) x 2 = a 2 ( x − 1)
x (2a − 4) = a x − a
2
2
x2 = −
2
2b
3
x (2a − 4) − a 2 x + a 2 = 0
2
− (− a 2 ) ±
x=
x=
x=
2 2
2
2 (2a − 4)
EJERCICIO 271
a 2 ± a 4 − 8a 3 + 16a 2
2 (2a − 4)
1. 3x = 48
2
a 2 ± a 2 (a 2 − 8a + 16)
x 2 = 16
4a − 8
a ± a (a − 4)
2
x=
(− a ) − 4 (2a − 4)(a )
4 (a − 2)
a + a − 4a
2
x1 =
2
4 (a − 2)
=
a 2 ± a 2 − 4a
4 (a − 2)
2a − 4 a
4 (a − 2)
2
4 (a − 2)
=
2
a − ( a − 4a )
2
x2 =
2
2
=
=
2a (a − 2) a
=
4 (a − 2) 2
a
4a
=
4 (a − 2) a − 2
x = 16
x=±4
4. 9x 2 − a 2 = 0
9x 2 = a 2
x2 =
2. 5x 2 − 9 = 46
a2
9
a
x=±
3
x=
5x 2 = 55
x 2 = 11
x = 11
x = ± 11
a2
9
(
)(
)
5. x + 5 x − 5 = − 7
2 1
25. x + = + 2a mcm = ax
x a
ax 2 + 2a = x + 2a 2 x
ax 2 − x + 2a − 2a 2 x = 0
x (ax − 1) − 2a (ax − 1) = 0
(ax − 1)(x − 2a) = 0
ax − 1 = 0
ax = 1
x − 2a = 0
x = 2a
1
a
x2 = 2a
x1 =
3. 7x 2 + 14 = 0
x − 25 = − 7
x2 + 2 = 0
x 2 = 18
x =−2
x = 18
x= −2
x = 32 ⋅ 2
x = 2 −1
x= ±3 2
2
x=± 2 i
2
(
)(
)
6. 2 x − 3 2 x + 3 − 135 = 0
11.
4 x − 9 − 135 = 0
2
2x − 3 x − 2
=
x − 3 x −1
x 2 = 36
2 x 2 − 5x + 3 = x 2 − 5x + 6
x = 36
x2 − 3 = 0
x= ± 6
(
)(
) (
mcm = (x − 3)( x − 1)
(2 x − 3)(x − 1) = (x − 2)(x − 3)
4 x = 144
2
x2 = 3
)
2
7. 3 x + 2 x − 2 = x − 4 + 8 x
x= ± 3
3x 2 − 12 = x 2 − 8 x + 16 + 8 x
2 x 2 − 28 = 0
12.
2 x 2 = 28
x 2 = 14
x 2 − 5 4x 2 − 1 14x 2 − 1
+
−
=0
3
5
15
2
2
2
5x − 25 + 12x − 3 − 14x + 1= 0
3x 2 − 27 = 0
x = ± 14
3x 2 = 27
1 
1 1

8.  x + 3  x − 3 = 3
x2 −
(
x2 = 9
x= 9
x=±3
1 1
− =0
9 3
4
x2 =
9
4
x= ±
9
2
x= ±
3
)(
) (
)(
13. 2 x − 3 −
x2 + 1
=−7
x−2
mcm = x − 2
2 x (x − 2) − 3( x − 2) − ( x 2 + 1) = − 7 (x − 2)
2 x 2 − 4 x − 3x + 6 − x 2 − 1 = − 7 x + 14
)
x 2 + 5 = 14
9. 2 x − 1 x + 2 − x + 4 x − 1 + 5 = 0
x2 = 9
2 x 2 + 3x − 2 − x 2 − 3 x + 4 + 5 = 0
x= 9
x= ±3
x2 + 7 = 0
x2 = − 7
x= 7 −1
x= ± 7i
10.
3−
3
=2
4x2 − 1
mcm = 4 x 2 − 1
3(4 x 2 − 1) − 3 = 2 (4 x 2 − 1)
5
1
7
−
=
mcm = 12x 2
2x 2 6x 2 12
30 − 2 = 7x 2
12 x 2 − 6 = 8x 2 − 2
4x2 = 4
28 = 7x 2
4 = x2
x2 = 1
4 =x
±2=x
x= 1
x= ±1
EJERCICIO 272
1.
14.
x 2 = 5x
x 2 − 5x = 0
x ( x − 5) = 0
x1 = 0 x − 5 = 0
x2 = 5
2.
4 x 2 = − 32 x
4 x 2 + 32 x = 0
4 x ( x + 8) = 0
4x = 0 x + 8 = 0
x1 = 0 x2 = − 8
3. x 2 − 3x = 3x 2 − 4 x
0 = 2x2 − x
0 = x (2 x − 1)
0 = x1 0 = 2 x − 1
1= 2 x ⇒
1
=x
2 2
4.
5x 2 + 4 = 2 ( x + 2)
(x − 3) − (2 x + 5) = − 16
2
5.
x 2 − 6 x + 9 − 4 x 2 − 20 x − 25 + 16 = 0
5x 2 + 4 = 2 x + 4
− 3x 2 − 26 x = 0
5x − 2 x = 0
2
x1 = 0
5x − 2 = 0
5x = 2
2
x2 =
5
2x = 0 2x − 1= 0
x1 = 0
2x = 1
1
x2 =
2
3x + 26 = 0
3x = − 26
− 26
= − 8 23
x2 =
3
7. (4 x − 1)(2 x + 3) = ( x + 3)( x − 1)
8.
8 x 2 + 10 x − 3 = x 2 + 2 x − 3
x+1 x+ 4
−
=1
x−1 x− 2
mcm = ( x − 1)(x − 2)
(x + 1)(x − 2) − (x + 4)(x − 1) = (x − 1)(x − 2)
7 x 2 + 8x = 0
x 2 − x − 2 − x 2 − 3 x + 4 = x 2 − 3x + 2
x (7 x + 8) = 0
x1 = 0
2 x (2 x − 1) = 0
x (3x + 26) = 0
x (5x − 2) = 0
x1 = 0
x2 x − 9 3
−
=
mcm = 12
6.
3
6
2
2
4 x − 2 x + 18 = 18
2
0 = x2 + x
7x + 8 = 0
7x = − 8
0 = x (x + 1)
x1 = 0
8
7
x2 = − 1 71
x2 = −
x + 1= 0
x2 = − 1
EJERCICIO 273
1. x + 4 x + 1 = 5
4x + 1 = 5− x
( 4 x + 1) = (5 − x)
2
2
4 x + 1 = 25 − 10x + x 2
0 = x 2 − 14 x + 24
0 = (x − 12)(x − 2)
5x − 1 + x + 3 = 4
3.
( 5x − 1 + x + 3) = 16
2
5x − 1 + 2 5x 2 + 14 x − 3 + x + 3 = 16
2 5x 2 + 14 x − 3 = 14 − 6 x
x − 12 = 0
x1 = 12 → Re chazo sol extraña
x− 2= 0
x2 = 2 → sol que satisface
2.
2 x − x − 1 = 3x − 7
2
2
2
5x 2 + 14 x − 3 = 49 − 42 x + 9 x 2
0 = 4 x − 56 x + 52
2
0 = x 2 − 14 x + 13
7− x= x−1
(7 − x) = (x − 1)
2
( 5x + 14 x − 3) = (7 − 3x)
2
49 − 14 x + x = x − 1
2
x 2 − 15x + 50 = 0
(x − 10)(x − 5) = 0
x − 10 = 0
x1 = 10 → Re chazo sol extraña
x − 5= 0
x2 = 5 → sol que satisface
0 = ( x − 13)( x − 1)
x − 13 = 0
x1 = 13 → Re chazo por sol extraña
x − 1= 0
x2 = 1 → sol que satisface
6. Continuación
2 x − x+5=1
4.
7 x 2 − 24 x − 16 = 0
(2 x ) = (1 + x + 5)
2
2
(7 x) − 24 (7 x) − 112 = 0
2
(7 x − 28)(7 x + 4) = 0
4 x = 1+ 2 x + 5 + x + 5
3x − 6 = 2 x + 5
7
(x − 4)(7 x + 4) = 0
(3x − 6) = (2 x + 5)
2
2
x − 4 = 0 ⇒ x1 = 4 → sol factible
7x + 4 = 0
4
7 x = − 4 ⇒ x2 = − → sol inadmisible
7
9 x − 36x + 36 = 4 x + 20
2
9 x 2 − 40x + 16 = 0
(9 x) − 40 (9 x) + 144 = 0
2
(9 x − 36)(9 x − 4) = 0
5x − 1 − 3 − x = 2 x
7.
( 5x − 1 − 2 x ) = ( 3 − x )
9
2
(x − 4)(9 x − 4) = 0
x− 4= 0
x1 = 4
5x − 1 − 2 10 x 2 − 2 x + 2 x = 3 − x
→ sol que satisface
− 2 10 x 2 − 2 x = − 8 x + 4
9x − 4 = 0
9x = 4
x2 =
5.
8 x − 4 = 2 10 x 2 − 2 x
4 (2 x − 1) = 2 10 x 2 − 2 x
4
→ Re chazo por sol extraña
9
(4 x − 2) = ( 10x − 2 x )
2
2x − 1 + x + 3 = 3
2
6 x 2 − 14 x + 4 = 0
( 6 x ) − 14 (6 x ) + 24 = 0
2x − 1= 9 − 6 x + 3 + x + 3
2
(6x − 12)(6x − 2) = 0
x − 13 = − 6 x + 3
(6 x + 3) = (13 − x)
2
6
2
(x − 2)(6x − 2) = 0
36 (x + 3) = 169 − 26 x + x 2
x− 2= 0
x1 = 2 → sol factible
6x − 2 = 0
6x = 2
36 x + 108 = 169 − 26 x + x 2
0 = x 2 − 62 x + 61
0 = (x − 61)(x − 1)
x − 61 = 0
x1 = 61 → Re chazo por sol extraña
x − 1= 0
x2 = 1 → sol que satisface
x2 =
3x + 1 + 5x = 16 x + 1
8.
2 15x 2 + 5x = 8 x
( x − 3 + 2 x + 1) = (2 x )
2
2
( 15x + 5x ) = (4 x)
2
x − 3 + 2 2 x − 5x − 3 + 2 x + 1 = 4 x
2
(2 2 x − 5x − 3) = (x + 2)
2
2
4 (2 x 2 − 5x − 3) = x 2 + 4 x + 4
8 x 2 − 20 x − 12 = x 2 + 4 x + 4
Continúa
1
→ sol inadmisible
3
3x + 1 + 2 15x 2 + 5x + 5x = 16 x + 1
x − 3 + 2x + 1 − 2 x = 0
2
2
16 x 2 − 16 x + 4 = 10 x 2 − 2 x
( 2 x − 1) = (3 − x + 3)
2
6.
2
2
2
15x 2 + 5x = 16x 2
0 = x − 5x
2
0 = x ( x − 5)
x1 = 0 → sol admisible
x − 5= 0
x2 = 5 → sol admisible
2
2x + 4x − 3 = 3
9.
2 x = x+7 +
12.
2x + 4x − 3 = 9
( x + 7) + 8
(2 x + 7 x ) = (x + 15)
2
2
4 x 2 + 28 x = x 2 + 30x + 225
0 = 4 x 2 − 40 x + 84
3x − 2 x − 225 = 0
2
0 = x 2 − 10 x + 21
( 3x ) − 2 (3x ) − 675 = 0
2
0 = ( x − 7)( x − 3)
(3x − 27)(3x + 25) = 0
x− 7= 0
3
x1 = 7 → Re chazo por
(x − 9)(3x + 25) = 0
sol inadmisible
x − 9 = 0 ⇒ x1 = 9 → sol aceptada
25
→ sol inadmisible
3x + 25 = 0 ⇒ x2 = −
3
x − 3= 0
x2 = 3 → sol aceptada
x+ x+8 = 2 x
13.
x + x + 8 = 4x
6
=5
x+ 3
x+3+
2
2
4 x − 3 = 81 − 36 x + 4 x 2
10.
2
2 x2 + 7x =
( 4 x − 3) = (9 − 2 x)
2
8
x+7
( x + 8 ) = ( 3x )
2
( x + 3) + 6 = 5 x + 3
(x + 9) = (5 x + 3)
x + 8 = 9x2
2
9x2 − x − 8 = 0
2
2
2
( 9 x ) − 1(9 x) − 72 = 0
2
x2 − 7x + 6 = 0
(9 x − 9)(9 x + 8) = 0
(x − 1)(x − 6) = 0
9
x − 1 = 0 ⇒ x1 = 1 → sol aceptada
x − 1= 0
x1 = 1 → sol admisible
x − 6= 0
x2 = 6 → sol admisible
8
→ sol rechazada
9
6 − x + x + 7 − 12 x + 1 = 0
9 x + 8 = 0 ⇒ x2 = −
14.
( 6 − x + x + 7 ) = ( 12 x + 1)
2
11.
4
=5
x
x+
6 − x + 2 42 − x − x 2 + x + 7 = 12 x + 1
( x) + 4= 5 x
(x + 4) = (5 x )
2
2
2
2
x 2 + 8 x + 16 = 25x
2 42 − x − x 2 = 12 x − 12
( 42 − x − x ) = (6x − 6)
2
x − 16 = 0
x1 = 16 → sol admisible
x − 1= 0
x2 = 1 → sol admisible
2
42 − x − x 2 = 36 x 2 − 72 x + 36
0 = 37 x 2 − 71x − 6
x 2 − 17 x + 16 = 0
(x − 16)(x − 1) = 0
2
( 37 x ) 2 − 71( 37 x) − 222 = 0
(37 x − 74)(37 x + 3) = 0
37
(x − 2)(37 x + 3) = 0
x − 2 = 0 ⇒ x1 = 2 → sol aceptada
37 x + 3 = 0
37 x = − 3 ⇒ x2 = −
3
→ sol inadmisible
37
EJERCICIO 274
11. x − 4x + 3 = 0
x y
2
0
3
1
0
2
−1
3
0
−1
8
sol : x 1 = 1 x 2 = 3
12. x − 6x + 8 = 0
x y
2
0
8
1
2
3
0
3
−1
4
0
sol : x 1 = 2
13. x 2 − 2x − 3 = 0
x
y
0
1
2
3
−1
−3
−4
−3
0
0
sol : x 1 = -1 x 2 = 3
14. x + 4x + 3 = 0
x y
2
0 3
−1 0
− 2 −1
−3 0
1 8
x2 =4
sol: x1 = − 3
x2 = − 1
15. x = 6 − x
2
x + x−6=0
x y
2
17. x 2 + 8x + 16 = 0
x y
0
16
−6
−2
4
1 −4
2 0
3 6
−1 − 6
−3 0
−4
−6
0
4
0
sol : x 1 = x 2 = -4
sol : x 1 = -3
x2 = 2
16. x = 2x − 1
2
x 2 − 2x + 1= 0
x y
0
1
2
3
−1
1
0
1
4
4
sol : x1 = x 2 = 1
18. x − 4 = 0
x
y
2
1 −3
2 0
3 5
−1 − 3
−2 0
−3 5
0 −4
sol : x 1 = -2 x 2 = 2
19. x 2 = 3x + 10
x 2 − 3x − 10 = 0
x
y
0 − 10
3 − 10
5 0
−1 − 6
−2 0
21. 2x 2 − 9x + 10 = 0
x
y
0
1
2
3
4
10
3
0
1
6
sol : x 1 = -2 x 2 = 5
sol : x 1 = 2
20. x 2 − 4 x = − 4
x 2 − 4x + 4 = 0
x
y
0 4
1 1
2 0
3 1
−1 9
sol : x 1 = x 2 = 2
x 2 = 2 21
22. 2x 2 − 5x − 7 = 0
x
y
0
1
3
4
−1
−7
− 10
−4
5
0
sol : x 1 = -1
x 2 = 3 21
EJERCICIO 275
1.
x + (9 − x ) = 53
2
x 2 + 81 − 18 x + x 2 = 53
2 x − 18 x + 28 = 0
2
x − 9 x + 14 = 0
2
(x − 7)( x − 2) = 0
x1 = 7
x2 = 2
7 → N º mayor
9 − 7 = 2 → N º menor
x → N º positivo
3x
→ Otro Número
5
x
3
 
x   = 2 .160
 5
3x = 10 .800
2
x 2 = 3. 600
x = ± 3. 600
x1 = 60 x2 = − 60
60 → N º positivo
3 ( 60)
= 36 → Otro Número
5
3.
x → Edad de A
x − 3 → Edad de B
x 2 + (x − 3) = 317
2
x 2 + x 2 − 6 x + 9 = 317
2 x 2 − 6x − 308 = 0
x 2 − 3x − 154 = 0
(x − 14)(x + 11) = 0
x1 = 14
x2 = − 11
14 años → Edad de A
14 − 3 = 11 años → Edad de B
4.
x 2 − 9 = 8 ( x − 2)
x → N º mayor
9 − x → N º menor
2
2.
5. x → N º buscado
x → Un Número
3x → El otro Número
(3x) 2 − x 2 = 1.800
9 x 2 − x 2 = 1.800
(x − 7)( x − 1) = 0
x1 = 7
16 x 2 + x 2 = 860 . 625
x2 = 1
17 x 2 = 860 . 625
7 → N º buscado
x 2 = 50 . 625
6. x + 1 → N º mayor
x → N º menor
x = ± 50 . 625
2
x 2 + 2 x + 1 − 57 = 3x
x 2 − x − 56 = 0
225 sucres → Costo arreos
(x − 8)(x + 7) = 0
x1 = 8 x2 = − 7
8 → N º menor
8 + 1= 9 → N º mayor
10. x − 7 → N º menor
x → N º mayor
(x − 7 + x)(x − 7) = 184
(2 x − 7)(x − 7) = 184
7. x + 4 → L arg o
x → Ancho
Area = x ( x + 4)
2 x 2 − 21x + 49 = 184
= x2 + 4x
Doble del area = 2 x 2 + 8 x
(x + 8)(x + 4) = 2 x + 8x
2
2 x 2 − 21x − 135 = 0
(2 x) − 21(2 x ) − 270 = 0
2
(2 x − 30)(2 x + 9) = 0
(x − 15)(2 x + 9) = 0
x 2 + 12 x + 32 = 2 x 2 + 8 x
x 2 − 4 x − 32 = 0
(x − 8)(x + 4) = 0
x1 = 8
x2 = − 4
8m + 4m = 12m → L arg o
8m → Ancho
8. x → N º sa cos comp.
1. 000
bs. → cos to cada saco
x
1. 000 1. 000
=
−5
x + 10
x
1. 000 x = ( x + 10)1. 000 − 5x ( x + 10)
103 x = 103 x + 104 − 5x 2 − 50 x
x + 10 x − 2 . 000 = 0
x = ± 225
x2 = − 15
x1 = − 50
3(15) = 45→ El otro Número
x2 = − 225
4 ( 225) = 900
900 sucres → Costo caballo
x = 225
15 → Un Número
x1 = 225
(x + 1) − 57 = 3x
5x 2 + 50 x − 104 = 0
x1 = 15
x → Costo arreos
( 4 x ) 2 + x 2 = 860 . 625
x2 − 8x + 7 = 0
8 x 2 = 1.800
2
9. 4 x → Costo caballo
x 2 − 9 = 8 x − 16
2
(x + 50)(x − 40) = 0
x2 = 40
40 → N º sa cos comp.
1. 000
bs. = 25 bs. → cos to cada saco
40
9
2
15 → N º mayor
15 − 7 = 8 → N º menor
x1 = 15
11.
x2 = −
x → Edad de A
23 − x → Edad de B
x (23 − x) = 102
23x − x 2 = 102
x 2 − 23x + 102 = 0
(x − 17)(x − 6) = 0
x1 = 17
x2 = 6
17 años → Edad de A
6 años → Edad de B
12. x → N º de libros
180
→ Costo c / u
x
180 180
=
+1
x− 6
x
180 x = 180 ( x − 6) + x ( x − 6)
180 x = 180x − 1. 080 + x 2 − 6x
0 = x 2 − 6 x − 1. 080
16. x → Re lojes comp.
192
→ Costo cada reloj
x
192 3x
=
x
4
768 = 3x 2
20. x → Tiempo de recorrido
240
240
+ 20 =
x
x−2
240 (x − 2) + 20 x ( x − 2) = 240x
240x − 480 + 20 x 2 − 40 x = 240 x
256 = x 2
20 x 2 − 40 x − 480 = 0
± 256 = x
x1 = 16 x 2 = − 16
x 2 − 2 x − 24 = 0
(x − 6)(x + 4) = 0
16 → Re lojes comp.
=
6
x
x
x1 = 36
x2 = − 30
1
2 =−4
192
=
→
Costo
cada
reloj
$12
→
6
horas
Tiempo
de recorrido
36 → Libros
16
180
17. x → Libros comp.
= $ 5 → Costo c / u
x → Caballos comp.
21.
36
150
2
000
.
→ Costo cada lib.
→ Pr ecio cada caballo
x
x
13. x → N º de filas
150
150
2 . 000
2 . 000 + 80
180
+ 1=
+ 60 =
→ N º soldados cada fila
x
x−5
x
x−2
x
0 = ( x − 36)( x + 30)
2 . 000 x − 4 . 000 + 60 x 2 − 120 x = 2 . 080 x
150 x − 750 + x − 5x = 150 x
2
0 = x + 8 x − 180
2
0 = ( x + 18)( x − 10)
x1 = − 18 x2 = 10
10 → N º de filas
180
= 18 → N º soldados
10
cada fila
14. x → Costo del reloj
x2
x % de x =
100
x2
+ x = 75
100
x 2 + 100 x = 7 .500
x 2 + 100 x − 7 .500 = 0
(x + 150)(x − 50) = 0
x1 = − 150
x2 = 50
50 soles → Costo del reloj
15. x → Pers. comp.
1. 200
− 194 = x
x
1. 200 − 194 x = x 2
x 2 + 194 x − 1. 200 = 0
(x + 200)(x − 6) = 0
x1 = − 200
2 . 000 ( x − 2) + 60 x ( x − 2) = 2 . 080 x
150 (x − 5) + x ( x − 5) = 150 x
180
− 8= x
x
180 − 8 x = x 2
x2 = 6
6 → Pers. comp. el auto
60 x 2 − 200 x − 4 . 000 = 0
x 2 − 5x − 750 = 0
3x 2 − 10 x − 200 = 0
(x − 30)(x + 25) = 0
x1 = 30
x2 = − 25
30 → Libros comp.
150
= $ 5 → Costo cada lib.
30
18. x → Libros comp.
200
− 10 = x
x
200 − 10x = x 2
x 2 + 10 x − 200 = 0
(x + 20)(x − 10) = 0
x1 = − 20
x2 = 10
10 → Libros comp.
19. x → Plumas comp.
24
→ Pr ecio c / u
x
24
24
− 1=
x
x+4
( 3x ) − 10 ( 3x ) − 600 = 0
2
22.
(3x − 30)(3x + 20) = 0
(x − 10)(3x + 20) = 0
20
3
10 → Caballos comp.
2 . 000
= $ 200 → Pr ecio c / caballo
10
x1 = 10
x → N º menor
x + 1 → N º int ermedio
x + 2 → N º mayor
x + 2 3x
=
x + 1 10
10 ( x + 2) = 3x ( x + 1)
10 x + 20 = 3x 2 + 3x
0 = 3x 2 − 7 x − 20
0 = (3x ) − 7 (3x) − 60
2
24 ( x + 4) − x ( x + 4) = 24 x
0 = (3x − 12)(3x + 5)
24 x + 96 − x 2 − 4 x = 24 x
x 2 + 4 x − 96 = 0
(x + 12)(x − 8) = 0
x1 = − 12 x2 = 8
8 → Plumas comp.
24
= $ 3 → Pr ecio c / u
8
x2 = −
0 = ( x − 4)(3x + 5)
−5
3
4 → N º menor
4 + 1 = 5 → N º int ermedio
4 + 2 = 6 → N º mayor
x1 = 4
x2 =
23.
x → Un Nº.
180
→ El otro Nº.
x
180
x =1 1
4
x
180 5
=
x2 4
720 = 5x 2
144 = x 2
26. Continuación
x 2 − 10 x − 704 = 0
x1 = 32
x2 = − 22
32 → N º mayor
352
= 11 → N º menor
32
x → Long. pieza mayor
27.
20 − x → Long. pieza menor
x ⋅ x = 9 (20 − x)(20 − x )
x = 9 (400 − 40 x + x )
2
12 → Un Nº.
180
= 15 → El otro Nº.
12
x → N º naranjas comp.
24.
(150 + x)(x − 5) = 150x
150 x − 750 + x 2 − 5x = 150 x
x 2 − 5x − 750 = 0
(x − 30)( x + 25) = 0
0 = 8 x 2 − 360 x + 3. 600
0 = x 2 − 45x + 450
0 = (x − 30)(x − 15)
200 (x − 1) = 200 x + 10 x ( x − 1)
200 x − 200 = 200 x + 10 x 2 − 10 x
0 = 10 x 2 − 10 x + 200
(x + 190)(x − 90) = 0
x1 = − 190
x2 = 90
90 Q. → Costo del caballo
26. x → Nº mayor
352
→ Nº menor
x
x
10
=2+
352
352
x
x
x2
10x
=2+
352
352
x 2 = 704 + 10x
Continùa
90 x − x 2 + 3x = 90 x − 270
x 2 − 3x − 270 = 0
(x − 18)(x + 15) = 0
x1 = 18
x2 = − 15
18 → Personas que van
90
= $ 5 → Valor c / u
18
31. x → N º buscado
84
− 5= x
x
84 − 5x = x 2
2
2
x 2 − 12 x + 36 = x + 6
x 2 − 13x + 30 = 0
(x − 10)(x − 3) = 0
x2 = − 4
x1 = 10 x2 = 3
10 años → Edad actual A
0 = (x − 5)( x + 4)
x1 = 5
(x − 6) = ( x + 6 )
0 = x − x + 20
2
2
x + 100 x − 17 .100 = 0
90 x − x ( x − 3) = 90 ( x − 3)
x1 = 30 x2 = 15
x 2 + 5x − 84 = 0
15m → Long. pieza mayor
20 − 15 = 5m → Long. pieza menor
(x + 12)(x − 7) = 0
x → Tiempo en horas
28.
x1 = − 12
x2 = 7
200
→
7
N
º
buscado
→ Veloc. del tren
x
32. x → Edad actual A
200 200
=
+ 10
x − 6= x + 6
x
x−1
150
= 5 ctvs. → Costo c / naranja
30
25. x → Costo del caballo
2
2
x 2 = 3. 600 − 360x + 9 x 2
x1 = 30 x2 = − 25
30 → N º naranjas comp.
x
+ x = 171
100
2
x + 100x = 17 .100
x → Personas que van
90
→ Valor c / u
x
90
90
− 1=
x−3
x
(x − 32)(x + 22) = 0
± 144 = x
x1 = 12 x 2 = − 12
150
→ Costo c / naranja
x
 150 

+ 1 ( x − 5) = 150
 x

30.
200
x → Libros comp.
= 40 Km h → Veloc. del tren 33.
5
40
29. x → Dias trabj.
→ Pr ecio de c / libro
x
84
x − 2 → N º de plumas
→ Valor del jornal
x
40 40
84
84
=
−1
− 1=
x x−2
x
x+2
40 ( x − 2) = 40 x − x ( x − 2)
84 ( x + 2) − x ( x + 2) = 84 x
40 x − 80 = 40 x − x 2 + 2 x
2
84 x + 168 − x − 2 x = 84 x
x 2 − 2 x − 80 = 0
x 2 + 2 x − 168 = 0
(x − 10)(x + 8) = 0
(x + 14)(x − 12) = 0
x1 = 10
x2 = − 8
x1 = − 14
x2 = 12
→
10
Libros
comp.
12 → Dias trabj.
84
= 7 col → Valor del jornal
12
40
= $ 4 → Pr ecio c / libro
10
EJERCICIO 276
7. 2 x − 9 x + 7 = 0
1. 3x + 5x − 2 = 0
2
2
b − 4ac = 5 − 4 ( 3) (− 2) = 25 + 24 = 49
2
b − 4ac = (− 9) − 4 (2)( 7) = 81 − 56 = 25
2
2
2
Re ales y desiguales , racionales
Re ales y desiguales , racionales
2. 2 x − 4 x + 1 = 0
8. 36 x 2 + 12 x + 1 = 0
2
b 2 − 4ac = (− 4) − 4 (2)(1) = 16 − 8 = 8
b 2 − 4ac = (12) − 4 ( 36)(1) = 144 − 144 = 0
2
2
Re ales y desiguales , irracionales
Re ales e iguales
3. 4 x − 4 x + 1 = 0
9. 4 x 2 − 5x + 3 = 0
2
b 2 − 4ac = (− 4) − 4 ( 4)(1) = 16 − 16 = 0
b 2 − 4ac = (− 5) − 4 ( 4)( 3) = 25 − 48 = − 23
2
2
Re ales e iguales
Im aginarias
4. 3x − 2 x + 5 = 0
2
10. x + x − 1 = 0
2
b 2 − 4ac = (− 2) − 4 ( 3)(5) = 4 − 60 = − 56
b 2 − 4ac = (1) − 4 (1) (− 1) = 1 + 4 = 5
2
2
Im aginarias
Re ales y desiguales , irracionales
5. x − 10 x + 25 = 0
2
11. 5x − 7 x + 8 = 0
2
b 2 − 4ac = (− 10) − 4 (1)( 25) = 100 − 100 = 0
b 2 − 4ac = (− 7) − 4 (5)(8) = 49 − 160 = − 111
2
2
Re ales e iguales
Im aginarias
6. x − 5x − 5 = 0
2
12. x − 10 x − 11 = 0
2
b 2 − 4ac = (− 5) − 4 (1) (− 5) = 25 + 20 = 45
2
Re ales y desiguales , irracionales
b 2 − 4ac = (− 10) − 4 (1) (− 11) = 100 + 44 = 144
2
Re ales y desiguales , racionales
EJERCICIO 277
1. x + x − 6 = 0
2
4. Continuación
Suma 2 + (− 3) = − 1
 1
Pr oducto − 3   = − 1
 3
Si son raices
5. 5x 2 − 11x + 2 = 0
11x 2
x2 −
+ =0
5
5
1 9
Suma 2 − =
5 5
No son raices
Pr oducto 2 (− 3) = − 6
2. x 2 − 4x − 5 = 0
Suma 1+ 5 = 6
No son raices
3. 2 x − x − 1 = 0
x 1
x2 − − = 0
2 2
1 1
Suma 1 − =
2 2
1
 1
Pr oducto 1 −  = −
 2
2
Si son raices
2
4. 3x + 8x − 3 = 0
8x
x2 +
− 1= 0
3
1
8
Suma − 3 + = −
3
3
Continúa
2
Si son raices
6. 4 x 2 + 17 x + 4 = 0
17 x
+ 1= 0
4
1
17
Suma − 4 − = −
4
4
 1
Pr oducto − 4  −  = 1
 4
Si son raices
x2 +
7. 5x 2 + 24x − 5 = 0
x2 +
24
x − 1= 0
5
Continúa
7. Continuación
1
26
Suma − 5 − = −
5
5
No son raices
8. x 2 + 3x − 28 = 0
Suma 4 − 7 = − 3
Pr oducto 4 (− 7) = − 28
Si
son raices
9. 6 x + x − 2 = 0
x 1
x2 + − = 0
6 3
1 2
1
− =−
Suma
2 3
6
1
 1  2
Pr oducto    −  = −
 2   3
3
2
Si son raices
10. 8x − 2x − 3 = 0
1
3
x2 − x − = 0
4
8
1 3
1
Suma
− =−
2 4
4
No son raices
2
EJERCICIO 278
1. Suma 3 + 4 = 7
Pr oducto 3(4) = 12
Luego x 2 − 7 x + 12 = 0
2. Suma − 1 + 3 = 2
Pr oducto − 1( 3) = − 3
Luego x 2 − 2 x − 3 = 0
3. Suma − 5 − 7 = − 12
Pr oducto − 5(− 7) = 35
Luego x 2 + 12 x + 35 = 0
4. Suma − 10 + 11 = 1
Pr oducto − 10 (11) = − 110
Luego x 2 − x − 110 = 0
1 3
=
2 2
 1 1
Pr oducto 1   =
 2 2
3x 1
+ =0
Luego x 2 −
2 2
2
⇒ 2 x − 3x + 1 = 0
5. Suma 1 +
1
11
6. Suma − 2 − = −
5
5
 1 2
Pr oducto − 2  −  =
 5 5
x 2
11
+ =0
Luego x 2 +
5
5
2
⇒ 5x + 11x + 2 = 0
2 7
=
3 3
 2
Pr oducto 3  −  = − 2
 3
7x
−2=0
Luego x 2 −
3
2
⇒ 3x − 7 x − 6 = 0
7. Suma 3 −
3
7
=−
2
2
 3
Pr oducto − 2  −  = 3
 2
8. Suma
−2−
7x
+ 3= 0
Luego x +
2
2
⇒ 2x + 7x + 6 = 0
2
1
1
0− = −
3
3
 1
Pr oducto 0  −  = 0
 3
16. Suma
1 3 1
+ =
2 4 4
3
 1   3
Pr oducto  −    = −
 2  4
8
9. Suma −
x 3
− =0
4 8
3
⇒ 4x2 − x − = 0
2
⇒ 8x 2 − 2 x − 3 = 0
Luego x 2 −
10. Suma − 5 +
Pr oducto
2
33
=−
7
7
10
 2
− 5  = −
 7
7
33x 10
−
=0
Luego x +
7
7
2
⇒ 7 x + 33x − 10 = 0
2
5 13
=
3 3
 5
Pr oducto 6  −  = − 10
 3
11. Suma 6 −
13
x − 10 = 0
3
⇒ 3x 2 − 13x − 30 = 0
Luego x 2 −
1
17
=−
8
8
 1 1
Pr oducto − 2  −  =
 8 4
12. Suma − 2 −
17
1
x+ =0
8
4
⇒ 8 x 2 + 17 x + 2 = 0
Luego x 2 +
13. Suma 18 − 52 = − 34
Pr oducto 18 (− 52) = − 936
Luego x 2 + 34 x − 936 = 0
14. Suma − 15 − 11 = − 26
Pr oducto − 15 (− 11) = 165
Luego x 2 + 26 x + 165 = 0
15. Suma 0 + 2 = 2
Pr oducto 0 ( 2) = 0
Luego x 2 − 2 x = 0
x
=0
3
2
⇒ 3x + x = 0
Luego x 2 +
17. Suma 5 − 5 = 0
Pr oducto 5 (− 5) = − 25
Luego x 2 − 25 = 0
1 1
− =0
2 2
1
 1  1
Pr oducto    −  = −
 2  2
4
18. Suma
1
=0
4
2
⇒ 4 x − 1= 0
Luego x 2 −
19. Suma 7 + 7 = 14
Pr oducto 7 ( 7) = 49
Luego x 2 − 14 x + 49 = 0
11 13
=
3 3
88
 11
Pr oducto 8  −  = −
 3
3
13
88
2
=0
Luego x −
x−
3
3
⇒ 3x 2 − 13x − 88 = 0
20. Suma 8 −
5 9
16
− =−
6 2
3
 5   9  15
Pr oducto  −   −  =
 6  2  4
21. Suma −
16
15
x+ =0
3
4
⇒ 12 x 2 + 64 x + 45 = 0
Luego x 2 +
11 2
73
+ =−
2 7
14
11
 11  2 
Pr oducto  −    = −
 2   7
7
22. Suma −
73
11
x− =0
14
7
⇒ 14 x 2 + 73x − 22 = 0
Luego x 2 +
23. Suma 2a − a = a
Pr oducto 2a (− a) = − 2a 2
Luego x 2 − ax − 2a 2 = 0
2b b
5b
28. Suma 1 + 2 + 1 − 2 = 2
+ =−
26. Suma b + a − b = a
3 4
12
2
Pr oducto 1 + 2 1 − 2 = − 1
 2b   b  − b
Pr oducto b (a − b) = ab − b2
Pr oducto  −    =
 3   4
6
Luego x 2 − 2 x − 1 = 0
Luego x 2 − ax + ab − b2 = 0
2
b
5b
Luego x 2 +
x− = 0
29. Suma 2 + 5 + 2 − 5 = 4
12
6
a b 3a − 2b
⇒ 12 x 2 + 5bx − 2b2 = 0
27. Suma − =
Pr oducto 2 + 5 2 − 5 = − 1
2 3
6
m m
 a   b  − ab
25. Suma m − =
Luego x 2 − 4 x − 1 = 0
Pr oducto    −  =
2 2
 2   3
6
m2
 m
−
a
b
ab
3
2
30. Suma 3 + − 1 + 3 − − 1 = 6
2
Pr oducto m  −  = −
=0
Luego x −
x−
 2
2
6
6
Pr oducto 3 + − 1 3 − − 1 = 10
m
m2
⇒ 6 x 2 − (3a − 2b) x − ab = 0
Luego x 2 − x −
=0
2
2
Luego x 2 − 6 x + 10 = 0
⇒ 2 x 2 − mx − m2 = 0
24. Suma −
(
)(
(
)(
(
)(
)
)
)
EJERCICIO 279
1. x − 11x + 30 = 0
2
3
x − 1= 0
2
2
2 x − 3x − 2 = 0
x2 −
6.
(x − 6)(x − 5) = 0
x1 = 6
x2 = 5
(2 x ) 2 − 3 (2 x ) − 4 = 0
(2 x − 4)(2 x + 1) = 0
(x − 2)(2 x + 1) = 0
2. x 2 + 33x + 260 = 0
(33)
33
±
− 260
2
4
2
x= −
x1 = 2
− 33
1. 089 − 1. 040
±
x=
2
4
− 33
49
±
x=
2
4
− 33 7
±
x=
2
2
33 7 − 26
+ =
= − 13
x1 = −
2 2
2
− 33 7 − 40
− =
= − 20
x2 =
2
2
2
( 3x ) + 22 (3x ) + 72 = 0
(3x + 18)(3x + 4) = 0
(x + 6)(3x + 4) = 0
x1 = − 6
x 3
− =0
4 8
8x 2 − 2 x − 3 = 0
2
x1 = − 42
x2 = − 7
5. x − 6 x − 247 = 0
2
(x − 19)(x + 13) = 0
x1 = 19
x2 = − 13
4
3
x2 −
8.
4. x + 49 x + 294 = 0
(x + 42)(x + 7) = 0
x2 = −
(8 x )2 − 2 (8 x) − 24 = 0
(8x − 6)(8x + 4) = 0
(4 x − 3)(2 x + 1) = 0
x1 =
3
4
x2 = −
( 7 x ) 2 + 95 (7 x) − 294 = 0
(7 x + 98)(7 x − 3) = 0
(x + 14)(7 x − 3) = 0
x1 = − 14
2
(x + 18)(x − 17) = 0
x2 = 17
1
2
22
x2 +
x + 8= 0
3
2
3x + 22 x + 24 = 0
7.
2
3. x + x − 306 = 0
x1 = − 18
x2 = −
95
x − 6= 0
7
2
7 x + 95x − 42 = 0
x2 +
9.
1
2
10.
x2 =
3
7
10
x + 1= 0
3
2
3x + 10 x + 3 = 0
x2 +
x=
2
− 10 ± (10) − 4 ( 3)( 3)
2 ( 3)
− 10 ± 64 − 10 ± 8
=
6
6
− 10 + 8 − 2
1
=
=−
x1 =
6
6
3
− 10 − 8 − 18
=
=−3
x2 =
6
6
31
3
=0
x2 −
x+
11.
40
20
40x 2 − 31x + 6 = 0
x=
(40 x )2 − 31( 40 x) + 240 = 0
(40x − 16)(40x − 15) = 0
(5x − 2)(8x − 3) = 0
x1 =
2
5
x2 =
3
8
x 5
− =0
6 9
2
18 x + 3x − 10 = 0
x2 +
12.
11
=0
4
4 x 2 − 4 x − 11 = 0
17. x 2 − x −
(18 x) 2 + 3 (18x ) − 180 = 0
(18x + 15)(18x − 12) = 0
(6x + 5)(3x − 2) = 0
−5
6
x1 =
x2 =
x=
x=
2
3
7
3
x− =0
20
10
20 x 2 − 7 x − 6 = 0
x2 −
13.
(20 x ) − 7 (20 x ) − 120 = 0
2
(20x − 15)(20x + 8) = 0
(4 x − 3)(5x + 2) = 0
3
4
x1 =
x2 =
−2
5
4
x2 = −
5
59
1
x −
x+ = 0
72
6
72 x 2 − 59 x + 12 = 0
2
(72 x )2 − 59 (72 x ) + 864 = 0
(72 x − 32)(72 x − 27) = 0
(9 x − 4)(8x − 3) = 0
4
9
x2 =
x=
3
8
(
)
4 − 8 3 4 1 − 2 3 1− 2 3 1
=
=
= − 3
8
8
2
2
2
− 12 ± (12) − 4 ( 9) (− 59)
2 ( 9)
x=
− 12 ± 2 . 268 − 12 ± 22 ⋅ 34 ⋅ 7 − 12 ± 18 7
=
=
18
18
18
x1 =
− 12 + 18 7 6 − 2 + 3 7 − 2 + 3 7
2
=
=
=− + 7
18
18
3
3
x2 =
− 12 − 18 7 − 6 2 + 3 7 − 2 − 3 7
2
=
=
=− − 7
18
18
3
3
(
)
(
)
2
(x − 2a)(x + a) = 0
x1 = 2a
x2 = − a
20. x + 7bx + 10b = 0
2
2
(x + 5b)(x + 2b) = 0
x1 = − 5b
(− 2) − 4 (1) (− 4)
x2 = − 2b
2
2 (1)
2 ± 20 2 ± 2 5
=
2
2
mx m2
−
=0
2
9
18x 2 − 9mx − 2m2 = 0
x2 −
21.
(
)
(
)
2 + 2 5 2 1+ 5
=
= 1+ 5
x1 =
2
2
x2 =
)
x2 =
2
2
− (− 2 ) ±
(
19. x − ax − 2a = 0
16. x − 2 x − 4 = 0
x=
4 ± 64 ⋅ 3 4 ± 8 3
=
8
8
4 + 8 3 4 1+ 2 3 1+ 2 3 1
=
=
= + 3
8
8
2
2
x=
(5x − 25)(5x + 4) = 0
(x − 5)(5x + 4) = 0
x1 =
2 ( 4)
x1 =
(5x )2 − 21(5x ) − 100 = 0
15.
2
4
59
x− =0
3
9
9 x 2 + 12 x − 59 = 0
21x
− 4= 0
5
2
5x − 21x − 20 = 0
x1 = 5
(− 4) − 4 (4) (− 11)
18. x 2 +
x2 −
14.
− (− 4) ±
2 − 2 5 2 1− 5
=
= 1− 5
2
2
(18x )2 − 9m (18x) − 36m2 = 0
(18x − 12m)(18x + 3m) = 0
(6x − 4m)(6x + m) = 0
x1 =
4m 2m
=
6
3
x2 = −
m
6
EJERCICIO 280
x=
− (− 16) ±
(− 16) − 4 (63)
2
2
16 ± 4 16 ± 2
=
x=
2
2
16 + 2 18
= =9
x1 =
2
2
16 − 2 14
=
=7
x2 =
2
2
x 2 − 16 x + 63 = (x − 9)(x − 7)
2
2. x + 24 x + 143 = 0
x=
− 24 ±
2
x=
2
− 5 ± (5) − 4 (12) (− 2)
[
x=
2 (12)
− (− 25) ±
(− 25) − 4 (12)(12)
2
2 (12)
25 ± 49 25 ± 7
=
24
24
25 + 7 32 4
=
=
x1 =
24
24 3
25 − 7 18 3
=
=
x2 =
24
24 4
4 
3

12 x 2 − 25x + 12 = 12  x −   x − 

3 
4
− 5 ± 121 − 5 ± 11
=
24
24
− 5 + 11 6 1
=
=
x1 =
24
24 4
− 5 − 11 − 16
2
=
=−
x2 =
24
24
3
1
2


12 x 2 + 5x − 2 = 12  x −   x + 

4 
3
x=
x=
 4 x − 1  3x + 2 
= 12 


 4  3 
(24) 2 − 4 (143)
2
− 24 ± 4 − 24 ± 2
=
x=
2
2
− 24 + 2 − 22
=
= − 11
x1 =
2
2
− 24 − 2 − 26
=
= − 13
x2 =
2
2
=
=
12 (3x − 4)(4 x − 3)
12
= (3x − 4)(4 x − 3)
12 (4 x − 1)(3x + 2)
12
= (4 x − 1)(3x + 2)
9. 8 x + 50 x + 63
2
6. 5x 2 + 41x + 8
][
]
x 2 + 24 x + 143 = x − (− 11) x − (− 13)
= (x + 11)(x + 13)
x=
2
− 41 ± (41) − 4 (5)(8)
x=
2 (5)
2
50 ± (50) − 4 (8)(63)
2 (8)
− 50 ± 484 − 50 ± 22
=
− 41 ± 1.521 − 41 ± 39 x =
16
16
=
x=
10
10
7
− 50 + 22 − 28
=
=−
x1 =
− 41 + 39
2
1
16
16
4
=
=
−
=
−
x1
10
10
5
− 50 − 22
72
9
=− =−
x2 =
− 41 − 39 − 80
16
16
2
=
= −8
x2 =
10
10
7
9



8 x 2 + 50 x + 63 = 8  x +   x + 
1

2



4
2
5x + 41x + 8 = 5  x +  (x + 8)

5
= (4 x + 7)(2 x + 9)
= (5x + 1)(x + 8)
3. x − 26 x − 155 = 0
2
(− 26) ± (26) − − 155
( )
2
4
2
x= −
8. 12 x − 25x + 12
5. 12 x 2 + 5x − 2 = 0
2
1. x − 16 x + 63 = 0
x = 13 ± 324 = 13 ± 18
x1 = 13 + 18 = 31
x2 = 13 − 18 = − 5
x 2 − 26 x − 155 = (x − 31)(x + 5)
4. 2 x + x − 6 = 0
2
x=
2
− 1 ± (1) − 4 (2) (− 6)
2 ( 2)
− 1 ± 49 − 1 ± 7
=
x=
4
4
− 1+ 7 6 3
= =
x1 =
4
4 2
− 1− 7
8
=− =−2
x2 =
4
4
3

2 x 2 + x − 6 = 2  x −  ( x + 2)

2
 2 x − 3
= 2
 ( x + 2)
 2 
= (2 x − 3)( x + 2)
7. 6 x 2 + 7 x − 10
x=
2
− 7 ± (7) − 4 (6) (− 10)
10. 27 x + 30 x + 7
2 (6)
− 7 ± 289 − 7 ± 17
=
12
12
− 7 + 17 10 5
= =
x1 =
12
12 6
− 7 − 17 − 24
=
=−2
x2 =
12
12
5

6x 2 + 7 x − 10 = 6  x −  ( x + 2)

6
x=
= (6 x − 5)(x + 2)
2
x=
2
− 30 ± ( 30) − 4 (27)(7)
2 (27)
− 30 ± 144 − 30 ± 12
=
54
54
18
1
− 30 + 12
=− =−
x1 =
54
54
3
− 30 − 12
42
7
=−
=−
x2 =
54
54
9
1
7


27 x 2 + 30 x + 7 = 27  x +   x + 

3 
9
x=
= (3x + 1)(9 x + 7)
14. Continuación
11. 30 x − 61x + 30
2
− (− 61) ±
x=
(− 61) − 4 (30)(30)
2
2 (30)
61 ± 121 61 ± 11
=
x=
60
60
61 + 11 72 6
=
=
x1 =
60
60 5
61 − 11 50 5
=
=
x2 =
60
60 6
5
6 

30x 2 − 61x + 30 = 30  x −   x − 

5 
6
= (5x − 6)(6 x − 5)
12. 11x − 153x − 180
2
− (− 153) ±
x=
(− 153) − 4 (11) (− 180)
2
2 (11)
= ( x − 15)(11x + 12)
= ( x + 5)(1 − 2 x )
15. 15 + 4 x − 4 x 2
x=
2
− 4 ± ( 4) − 4 (15) (− 4)
2 (− 4)
2
1
1
1
25
±
− (− 6) = − ±
2
4
2
4
1 5 4
x1 = − + = = 2
2 2 2
1 5
6
x2 = − − = − = − 3
2 2
2
x= −
x 2 + x − 6 = ( x − 2)( x + 3)
6 − x − x 2 = (2 − x )(3 + x )
14. 5 − 9 x − 2 x
(− 9) − 4 (− 2)(5)
2 (− 2)
2
9 ± 121 9 ± 11
=
−4
−4
9 + 11 20
=
=−5
−4
−4
9 − 11 − 2 1
=
=
x2 =
−4
−4 2
Continúa
x1 =
− 4 ± 256
−8
− 4 + 16 12
3
=
=−
−8
−8
2
− 4 − 16 − 20 5
=
=
x2 =
−8
−8 2
x1 =
3 
5

15 + 4 x − 4 x 2 = − 4  x +   x − 

2 
2
= − (2 x + 3)(2 x − 5)
= (3 + 2 x)(5 − 2 x )
16. 4 + 13x − 12 x
2
12 x − 13x − 4
2
x=
− (− 13) ±
(− 13) − 4 (12) (− 4)
2
2 (12)
x=
13 ± 361
24
x=
55 ± 5. 041
144
13 + 19 32 4
=
=
24
24 3
13 − 19 − 6
1
=
=−
x2 =
24
24
4
4 
1

12 x 2 − 13x − 4 = 12  x −   x + 

3 
4
= (3x − 4)(1 + 4 x )
4 + 13x − 12 x = (4 − 3x )(1 + 4 x )
2
17. 72 x − 55x − 7
2
2
− (− 9) ±
x=
x=
x1 =
13. 6 − x − x
x2 + x − 6
x=
= − ( x + 5)(2 x − 1)
153 ±
31. 329 153 ± 177
=
22
22
153 + 177 330
=
= 15
x1 =
22
22
153 − 177
24
12
=−
=−
x2 =
22
22
11
12 

2
11x − 153x − 180 = 11( x − 15)  x + 

11
x=
1

5 − 9 x − 2 x 2 = − 2 ( x + 5)  x − 

2
x=
− (− 55) ±
(− 55) − 4 (72) (− 7)
2
2 ( 72)
55 + 71 126 7
=
=
x1 =
144
144 8
55 − 71 − 16
1
=
=−
x2 =
144
144
9
7 
1

72 x 2 − 55x − 7 = 72  x −   x + 

8 
9
= (8 x − 7)(9 x + 1)
21. 18 x 2 + 31x − 49
18. 6 + 31x − 30 x
x=
2
2
− 31 ± ( 31) − 4 (− 30) (6)
2 (− 30)
− 31 ± 1. 681
− 60
− 31 + 41 10
1
=
=−
x1 =
− 60
− 60
6
− 31 − 41 − 72 6
=
=
x2 =
− 60
− 60 5
x=
6
1 

6 + 31x − 30 x 2 = − 30  x +   x − 

6 
5
= − (6 x + 1)(5x − 6)
= (1 + 6 x)(6 − 5x )
19. 10 x 2 + 207 x − 63
x=
2
− 207 ± ( 207) − 4 (10) (− 63)
2 (10)
− 207 ± 45. 369
20
− 207 + 213 6 3
= =
x1 =
20
20 10
− 207 − 213 − 420
=
= − 21
x2 =
20
20
x=
2
− 31 ± (31) − 4 (18) (− 49)
2 (18)
− 31 ± 4 . 489
x=
36
− 31 + 67 36
= =1
x1 =
36
36
− 31 − 67 − 98
49
=
=−
x2 =
36
36
18
49 

18 x 2 + 31x − 49 = 18 ( x − 1)  x + 

18 
= ( x − 1)(18x + 49)
22. 6 x − ax − 2a
2
x=
− (− a ) ±
2
(− a) − 4 (6) (− 2a ) a ± 49a
2
= (10 x − 3)( x + 21)
20. 100 − 15x − x
2
12
= (3x − 2a )(2 x + a )
23. 5x + 22 xy − 15 y
2
x=
− 22 y ±
2
(22 y) − 4 (5) (− 15 y )
2
2
2 (5)
− 22 y ± 784 y 2 − 22 ± 28 y
=
10
10
− 22 y + 28 y 6 y 3
=
= y
x1 =
10
10 5
− 22 y − 28 y
50 y
x2 =
=−
= − 5y
10
10
3y 

5x 2 + 22 xy − 15 y 2 = 5  x −  ( x + 5 y )

5
x=
= (5x − 3 y )( x + 5 y )
x 2 + 15x − 100
(15)
15
±
− (− 100)
2
4
2
x= −
=
a + 7a 8a 2a
=
=
x1 =
12
12 3
a − 7a − 6a
1
=
=− a
x2 =
12
12
2
2 
a

6 x 2 − ax − 2a 2 = 6  x − a  x + 

3 
2
x=
3

10 x 2 + 207 x − 63 = 10  x −  ( x + 21)

10 
2
2 ( 6)
− 15
625
±
2
4
− 15 25 10
+ = =5
x1 =
2
2 2
− 15 25 − 40
− =
= − 20
x2 =
2
2
2
x=
x 2 + 15x − 100 = ( x − 5)( x + 20)
− x 2 − 15x + 100 = − ( x − 5)( x + 20)
= (5 − x)(20 + x)
24. 15x − 32mx − 7m
x=
2
2
− (− 32m) ±
(− 32m) − 4 (15) (− 7m )
2
2
2 (15)
32m ± 1. 444m2 32m ± 38m
=
x=
30
30
32m + 38m 70m 7m
=
=
x1 =
30
30
3
m
32m − 38m − 6m
=
=−
x2 =
30
30
5
m 
7m 

2
2
15x − 32mx − 7m = 15  x +   x −


5 
3
= (5x + m)(3x − 7m)
2
EJERCICIO 282
2
(x + 1)(x − 1) = 0
2
2
x 2 + 1= 0
x 2 − 1= 0
x2 = − 1
x2 = 1
x= ± −1
x= ± 1
x= ±i
x= ±1
2. x 3 + 1 = 0
(x + 1)(x − x + 1) = 0
2
x + 1= 0
x1 = − 1
x2 − x + 1= 0
(− 1) ± (− 1) − 1
2
x= −
2
4
3 −1
1
3 1
± − = ±
2
4 2
2
x=
1 i 3 1+ i 3
+
=
2
2
2
1 i 3 1− i 3
=
x3 = −
2
2
2
x2 =
3. x = 81
4
x − 2x + 4 = 0
2
− (− 2)
±
x=
2
(− 2) − 4
2
4
x=
( 3) 2
−3
±
−9
2
4
x=
27 − 1 − 3 3 3i
−3
±
=
±
2
2
2
4
− 3− 3 3 i
2
x 2 − 3x + 9 = 0
x3 =
2
x − 3= 0
x1 = 3
x + 3= 0
x2 = − 3
x3 − 8 = 0
x 2 = − 25
(x − 2)(x + 2 x + 4) = 0
x = ± 25 − 1 = ± 5i
x3 = 5 i
2
x− 2= 0
x1 = 2
x4 = − 5 i
x2 = − 9
x= ± 9 −1 = ± 9i
x3 = 3i
x4 = − 3i
4. x 4 − 256 = 0
(x − 16)(x + 16) = 0
(x + 4)(x − 4)(x + 16) = 0
2
2
2
x+ 4= 0
x1 = − 4
(x + 4)(x − 4 x + 16) = 0
x2 + 2 x + 4 = 0
x+ 4= 0
x1 = − 4
x=
x− 4= 0
x2 = 4
x 2 + 16 = 0
x 2 = − 16
x = ± 16 − 1 = ± 4 i
x4 = − 4 i
− (− 4 ) ±
( 2) 2
−2
±
−4
2
4
x = − 1± 3 − 1
x 2 − 4 x + 16 = 0
x=
x + 9= 0
2
− 3 + 3 3i
2
2 3 −1
12
2
= 1±
= 1+ i 3
− (− 3)
− 3)
(
4
2
±
−9
x=
2
4
x2 = 1 + i 3 x3 = 1 − i 3
27 − 1 3 3 3 i
3
6. x 4 − 625 = 0
= ±
x= ±
2
2
2
4
2
2
(x − 25)(x + 25) = 0
3+ 3 3 i
3− 3 3i
x5 =
x6 =
(x + 5)(x − 5)(x 2 + 25) = 0
2
2
x + 5= 0
x − 5= 0
x1 = − 5
x2 = 5
3
2
9. x = 8
x + 25 = 0
2
2
x4 =
x = 1± −
3
(x − 9)(x + 9) = 0
(x − 3)(x + 3)(x + 9) = 0
2
x+ 2= 0
x1 = − 2
8. Continuación
7. x + 64 = 0
x 4 − 81 = 0
x3 = 4 i
( )
(x + 2)(x − 2 x + 4) = 0
5. x 3 + 8 = 0
1. x 4 − 1= 0
x = − 1± 3 i
(− 4) − 4 (1)(16)
2
x2 = − 1 + 3 i
2 (1)
x3 = − 1 − 3 i
4 ± 16 − 64
2
4 + − 48 4 + 4 3 − 1
=
= 2 + 2 3i
x2 =
2
2
10. x 4 = 64
4 − − 48 4 − 4 3 − 1
x 4 − 64 = 0
=
= 2 − 2 3i
x3 =
2
2
x2 − 8 x2 + 8 = 0
6
8. x − 729 = 0
x2 = 8
x2 = − 8
(x 3 − 27)(x 3 + 27) = 0
x = 22 ⋅ 2 x = 8 − 1
(x − 3)(x 2 + 3x + 9)(x + 3)(x 2 − 3x + 9) = 0
x= ±2 2 x= ±2 2 i
x − 3= 0
x + 3= 0
x=
(
x1 = 3
x2 = − 3
x + 3x + 9 = 0
2
Continúa
)(
x1 = 2 2
)
x3 = 2 2 i
x2 = − 2 2 x4 = − 2 2 i
EJERCICIO 283
6. x + 16 x − 225 = 0
4
4
2
1. x − 10 x + 9 = 0
(x − 9)( x − 1) = 0
(x + 3)(x − 3)(x + 1)(x − 1) = 0
2
2
x + 3= 0
x1 = − 3
x + 1= 0
x3 = − 1
x − 3= 0
x2 = 3
x − 1= 0
x4 = 1
2. x − 13x + 36 = 0
4
2
(x − 4)(x − 9) = 0
2
2
x2 − 4 = 0 x2 − 9 = 0
x2 = 4
x2 = 9
x= ± 4 x= ± 9
x1 = 2
x3 = 3
x2 = − 2 x4 = − 3
2
(x + 25)(x − 9) = 0
(x + 25)(x + 3)(x − 3) = 0
2
2
x + 3= 0
x1 = − 3
(x − 25)(x − 4) = 0
(x + 5)(x − 5)( x + 2)(x − 2) = 0
x3 = 5 i
x − 5= 0
x1 = − 5
x2 = 5
x+ 2= 0
x − 2= 0
x3 = − 2
x4 = 2
4. x − 61x + 900 = 0
4
2
(x − 36)(x − 25) = 0
2
2
x 2 − 36 = 0
x 2 − 25 = 0
x 2 = 36
x 2 = 25
x = ± 36
x = ± 25
x1 = 6
x3 = 5
x2 = − 6
x4 = − 5
5. x 4 + 3x 2 − 4 = 0
(x + 4)(x − 1) = 0
(x + 4)(x + 1)(x − 1) = 0
2
2
2
x + 1= 0
x1 = − 1
x − 1= 0
x2 = 1
x + 4= 0
2
2
(x − 49)(x + 4) = 0
(x + 7)(x − 7)(x + 4) = 0
2
x = 4 − 1 = ± 2i
x4 = − 2 i
(9 x ) − 40 (9 x ) + 144 = 0
2 2
2
x+ 7= 0
x1 = − 7
x − 7= 0
x2 = 7
x2 + 4 = 0
x+ 2= 0
x1 = − 2
x4 = − 2 i
8. x 4 − 6 x 2 + 5 = 0
(x − 5)(x − 1) = 0
(x − 5)(x + 1)(x − 1) = 0
2
2
x + 1= 0
x1 = − 1
x − 1= 0
x2 = 1
x2 − 5= 0
x2 = 5
x= ± 5
x4 = − 5
9. 4 x 4 − 37 x 2 + 9 = 0
(4 x ) − 37 (4 x ) + 36 = 0
2 2
2
(4 x − 36)(4 x − 1) = 0
(x − 9)(4 x − 1) = 0
2
2
2
2
x − 9 = 0 4 x − 1= 0
2
2
1
x= ±
4
x =9
2
x1 = 3
x2 = − 3
x− 2= 0
x2 = 2
9x2 − 4 = 0
x= ±
x3 =
2
3
4
9
x4 = −
2
3
11. 25x 4 + 9 x 2 − 16 = 0
2
x = 4 − 1 = ± 2i
x3 = 5
2
25(x 2 ) + 9 x 2 − 16 = 0
x2 = − 4
2
2
2
2
x3 = 2 i
2
(9 x − 36)(9 x − 4) = 0
(x − 4)(9 x − 4) = 0
(x + 2)(x − 2)(9 x − 4) = 0
2
x= ± 9
x2 = − 4
x3 = 2 i
x4 = − 5 i
7. x − 45x − 196 = 0
4
10. 9 x 4 − 40 x 2 + 16 = 0
2
x = ± 25 − 1
2
x + 5= 0
x − 3= 0
x2 = 3
x 2 + 25 = 0
4
2
3. x − 29 x + 100 = 0
2
2
1
2
1
x4 = −
2
x3 =
x2 =
2
− 9 ± ( 9) − 4 ( 25) (− 16)
2 (25)
− 9 ± 1. 681 − 9 ± 41
=
50
50
−
+
9
41
32
16
= =
x2 =
50
50 25
16
4
4
x= ±
x =
x2 = −
25 1 5
5
−
−
−
9
41
50
=
= −1
x2 =
50
50
x = ± − 1 x3 = i x4 = − i
x2 =
12. 4 x + 11x − 3 = 0
4
2
(4 x 2 )2 + 11(4 x 2 ) − 12 = 0
(4 x + 12)(4 x − 1) = 0
(x + 3)(4 x − 1) = 0
2
2
2
2
x2 + 3 = 0
x2 = − 3
x = ± − 3 = ± 3 −1= ± 3i
x1 = 3i
x2 = − 3i
4x2 − 1= 0
(2 x + 1)(2 x − 1) = 0
2 x + 1= 0
x3 = −
1
2
2 x − 1= 0
x4 =
1
2
(
13. (2 x + 1) − ( x − 3) = 80
4 x 4 + 4 x 2 + 1 − x 4 + 6 x 2 − 9 = 80
2
2
(3x ) + 10 (3x ) − 264 = 0
(3x + 22)(3x − 12) = 0
(3x + 22)( x − 4) = 0
(3x + 22)( x + 2)(x − 2) = 0
(3x − 3)(3x + 1) = 0
(x − 1)(3x + 1) = 0
(x + 1)(x − 1)(3x + 1) = 0
2
2
x− 2= 0
x1 = − 2
x2 = 2
x + 1= 0
x1 = − 1
3x + 22 = 0
x= ±
x=
3
x3 =
22 3 i 66
⋅
=
3
3 3
x4 = − i
22 3 − i 66
⋅
=
3
3 3
3
6
3
(x + 27)(x + 3) = 0
3
i
3 i 3
⋅
=
3
3 3
i
i 3
3
⋅
=−
3
3 3
x3 = 8
x3 = − 1
x 3 = − 27
x3 = − 3
x= 3 8
x= 3 −1
x1 = 2
x2 = − 1
x = 3 − 27
x=3 −3
x= − 3
x= − 3 3
(x − 8) = 0
(x − 2)(x + 2 x + 4) = 0
x 3 + 27 = 0
x3 + 3= 0
3
(ver ejerc. 282 prob.9)
x4 = − 1 − 3 i
3
2
1− 3 i
2
x= ± 4
x= ±2
10
5
5. x − 33x + 32 = 0
(x − 32)(x − 1) = 0
5
5
3
(8x + 16)(8x − 1) = 0
(x + 2)(8x − 1) = 0
3
x3 + 2 = 0
x =−2
3
x= 3 −2
x= −3 2
3
8x 3 − 1 = 0
1
x=
8
1
x=
2
x5 − 1= 0
x = 5 32
x=2
(8x ) + 15(8x ) − 16 = 0
3 2
2
x2 − 4 = 0
x= ± 5
3
3
(x + 1) = 0
(x + 1)(x − x + 1)
(ver ejerc. 282 prob.2)
2
x2 − 5= 0
3. 8 x + 15x − 2 = 0
6
3
x3 = − 1 + 3 i
2
x 5 − 32 = 0
2
x2 + 2x + 4 = 0
4
2
3
x 3 + 1= 0
x6 =
3
(x − 25)(x − 16) = 0
(x + 5)(x − 5)(x + 4)(x − 4) = 0
3
x3 − 8 = 0
1+ 3 i
2
i
=±
4. x 8 − 41x 4 + 400 = 0
2. x + 30 x + 81 = 0
(x − 8)(x + 1) = 0
x5 =
3
4
1. x − 7 x − 8 = 0
3
−1
x4 = −
EJERCICIO 284
6
x − 1= 0
x2 = 1
3x 2 + 1 = 0
− 22
3
22 − 1
x3 = i
2
2
2
x2 =
2
2
2
x+ 2= 0
2
(3x 2 )2 − 2 (3x 2 ) − 3 = 0
2
2
2
3x 4 − 2 x 2 − 1 = 0
2
2
)
3x + 2 x = 4 x − 12 + 13
4
3x 4 + 10 x 2 − 88 = 0
2 2
) (
2
2
2
14. x 3x + 2 = 4 x − 3 + 13
2
2
6. x
−4
x= 5 1
x=1
− 13x − 2 + 36 = 0
(x − 9)(x − 4) = 0
−2
−2
x −2 − 9 = 0
x
−2
=9
x −2 − 4 = 0
x −2 = 4
1
1
=9
=4
x2
x2
1
1
= x2
= x2
9
4
1
1
±
=x
±
=x
9
4
1
1
1
1
x1 = ; x2 = − ; x3 = ; x4 = −
3
3
2
2
8. x
7. x
−6
− 10
−3
+ 35x = − 216
x
−3
x − 3 = − 27
−5
x − 5 − 243 = 0
−3
x + 27 = 0
− 242 x − 243 = 0
−5
(x + 27)(x + 8) = 0
−3
3
−5
(x − 243)(x + 1) = 0
x − 6 + 35x − 3 + 216 = 0
−3
= 242 x −5 + 243
−10
x −5 + 1 = 0
x + 8= 0
−5
x = 243
x = −1
x −3 = − 8
1
= 243
x5
1
5
=x
243
1
= −1
x5
1
5
=x
−1
1
3
=
−5
3
x
16
x
11.
x= −1
1
1
= − 27
=−8
x3
x3
1
1
3
3
=x
=x
− 27
−8
1
x= −
3
−5
x=
1
x= −
2
x3 − 9x 2 + 8 = 0
9.
 23   23 
 x − 8  x − 1 = 0



3
x 2 − 1= 0
x3 = 8
x3 = 1
3
x = 64
x3 = 1
x = 3 64
x=1
x= 4
1
1
 1
4 x 2 − 5 2 x 4  + 4 = 0


3x − 16 x + 5 = 0
1
 21
 1 
 3x − 15   3x 2 − 1  = 0



x + x2 − 6= 0
 12   21 
 x + 3  x − 2 = 0



1
2
1
2
x=−3
x=2
x = (− 3)
x = ( 2)
x=9
x=4
2
2
EJERCICIO 285
5 + 24
2
m = (8) − 28
m = (5) − 24
2
5+ 1
5− 1
+
2
2
=
8 − 60
32 − 700
4.
2
m = (8) − 60
2
m = (32) − 700
m= 4
m = 324 = 18
m= 2
=
8+ 2
8− 2
−
2
2
= 5− 3
=
32 + 18
32 − 18
−
2
2
= 25 − 7
= 5− 7
1
x = ( 2)
4
x=
4
1
16
11 + 2 30
7.
11 + 120
2
m = (11) − 120 = 1
14 + 8
14 − 8
+
2
2
=
11 + 1
11 − 1
+
2
2
= 6+ 5
84 − 18 3
13 + 88
2
m = (13) − 88
 1
x= 
 2
x = 16
8.
6.
24 x =1
x=2
4
= 11 + 3
= 7 +1
= 3+ 2
2.
=
2 x 4 − 1= 0
x4 = 2
m = 64 = 8
8+ 6
8− 6
+
2
2
1
x4 − 2 = 0
2
m = (14) − 132
m= 6
m= 1
14 + 132
5.
m = 36
m= 1
=
8 + 28
3.
 41   41 
 x − 2  2 x − 1 = 0



1
1
2
3x − 15 = 0 3x − 1 = 0
15
1
x=
x=
3
3
2
 1
2
x = (5)
x= 
 3
1
x = 25
x=
9
1
2
x + 3= 0 x − 2 = 0
1.
 41   41 
 2 x − 4  2 x − 1 = 0



 1
9 x − 16  3x 2  + 15 = 0


10. x + x = 6
1
12. 2 x 2 − 5x 4 + 2 = 0
1
2
1
2
3
x2 − 8= 0
84 − 972
2
m = (84) − 972
m = 81 = 9
m = 6 . 084 = 78
13 + 9
13 − 9
=
+
2
2
=
= 11 + 2
= 81 − 3 = 9 − 3
84 + 78
84 − 78
−
2
2
21 + 6 10
9.
21 + 360
253 − 25. 200
2
m = (21) − 360
m = ( 253) − 25. 200
2
m = 81 = 9
28 + 14 3
10.
293 − 19 .800
m = ( 293) − 19 .800
2
28 + 14
28 − 14
+
2
2
293 + 257
293 − 257
−
2
2
=
14 − 4 6
16.
m = 100 = 10
m= 4 = 2
55 + 30 2
=
5 1
+
6 6+
2
55 + 1. 800
=
1
1
1 2
1 3
+
=
+
2
3
2 2
3 3
m = (55) − 1. 800
2
=
7+1
7−1
+
2
2
2
73 − 5. 040
m=
1 1
=
16 4
=
3 1
+
4 4−
2
=
1
1
2 1
−
=
−
2
4 2 2
= 45 − 28 = 3 5 − 2 7
2
m = ( 7) − 48 = 1
= 4 + 3= 2+ 3
73 − 12 35
73 + 17
73 − 17
−
2
2
7 + 48
1
1
2+
3
2
3
1
 3
m=   −
 4 2
m = 289 = 17
6+ 2
6− 2
+
2
2
7+ 4 3
20.
3
1
−
4
2
17.
2
m = ( 73) − 5. 040
=
5 1
−
6 6
2
=
m = 1. 225 = 35
=
= 4 + 2 = 2+ 2
1 1
=
36 6
= 22 ⋅ 3 − 2 = 2 3 − 2
13.
6+ 4 2
2
m = (6) − 32
m=
= 45 + 10 = 3 5 + 10
1
1
2 1
+
=
+
2
16 2 4
9 7
−
16 16
2
6 + 32
2
 5
m=   −
 6
3
= 12 − 2
55 + 35
55 − 35
+
2
2
=
2
14 + 10
14 − 10
=
−
2
2
=
=
9 7
+
16 16 +
2
19.
5
2
+
6
3
2
12.
49
7
=
256 16
= 275 − 18 = 5 11 − 3 2
14 − 96
m = (14) − 96
m=
m = 66 . 049 = 257
= 21 + 7
11.
293 − 30 22
15.
m = 196 = 14
=
2
= 225 − 28 = 15 − 2 7
28 + 588
2
m = ( 28) − 588
1
 9
m=   −
 16 
8
253 + 197
253 − 197
−
2
2
=
9
1
+
16
8
18.
m = 38 . 809 = 197
21 + 9
21− 9
+
= 15 + 6
2
2
=
253 − 60 7
14.
8+ 2 7
21.
8 + 28
2
m = (8) − 28
3 1
−
4 4
2
m = 36 = 6
=
8+ 6
8− 6
+
2
2
= 7 +1
10 + 2 21
22.
24 − 2 143
24.
10 + 84
9 + 72
24 − 572
m = (10) − 84
2
m = ( 24) − 572
2
m = (9) − 72
m = 16 = 4
m= 4 = 2
m= 9 = 3
2
=
10 + 4
10 − 4
+
2
2
18 + 6 5
24 + 2
24 − 2
−
2
2
=
= 7+ 3
23.
9+ 6 2
26.
= 6+ 3
= 13 − 11
30 − 20 2
25.
18 + 180
9+ 3
9− 3
+
2
2
=
98 − 24 5
27.
98 − 2 . 880
30 − 800
m = (18) − 180
2
m = ( 30) − 800
2
m = ( 98) − 2 . 880
m = 144 = 12
m = 100 = 10
m = 6 . 724 = 82
18 + 12
18 − 12
=
+
2
2
=
= 15 + 3
= 20 − 10 = 2 5 − 10
2
30 + 10
30 − 10
−
2
2
=
98 + 82
98 − 82
−
2
2
= 90 − 8 = 3 10 − 2 2
EJERCICIO 286
Los problemas de este ejercicio se resuelven aplicando la siguiente formula:
u = a + (n - 1) r donde:
u es el término enésimo ; a es el primer termino de la progresión ; n es la cantidad de
términos ; r es la razón de cambio.
1. a = 7 n = 9 r = 10 − 7 = 3
u = 7 + 8 (3) = 7 + 24 = 31
2. a = 5 n = 12 r = 10 − 5 = 5
u = 5 + 11(5) = 5 + 55 = 60
a
3. = 9 n = 48 r = 15 − 12 = 3
u = 9 + 47 (3) = 9 + 141 = 150
n = 63 r = 17 − 10 = 7
4. a = 3
u = 3 + 62 (7) = 3 + 434 = 437
1
3 1 1
7
21 7 7
n = 12 r = − =
15. a = n = 27 r =
− =
2
4 2 4
2
4 2 4
1
 1  1 11 13
7
 7  7 91 98
= = 3 41 u = + 26   = +
u = + 11  = +
=
= 49
 4 2 4
 4 2 2
2
4
2
2
11. a =
2
5 2 1
n = 17 r = − =
3
6 3 6
2
 1
u = + 16  
 6
3
12. a =
2 8 10
+ = = 3 13
3 3
3
u = 11 + 11(− 5) = 11 − 55 = − 44
3
11 3 1
13. a = n = 25 r =
− =
6. a = 19 n = 28 r = 5 − 12 = − 7
8
24 8 12
3
u = 19 + 27 (− 7) = 19 − 189 = − 170
 1
u = + 24  
 12 
8
7. a = 3 n = 13 r = − 5 − (− 1) = − 4
5. a = 11 n = 12 r = 6 − 11 = − 5
u=
u = 3 + 12 (− 4) = 3 − 48 = − 45
3
19
u = + 2 = = 2 83
8
8
8. a = 8 n = 54 r = 0 − 8 = − 8
1
7 1 13
u = 8 + 53 (− 8) = 8 − 424 = − 416 14. a = n = 19 r = − =
3
8 3 24
9. a = − 7 n = 31 r = 1 − (− 3) = 4
1
 13 
u = + 18  
 24 
3
u = − 7 + 30 (4) = − 7 + 120 = 113
10. a = − 8 n = 17 r = 12 − 2 = 10
u = − 8 + 16 (10) = − 8 + 160 = 152
1 39 121
u= +
=
= 10 121
3 4
12
7
1 7
4
n = 36 r = − = −
9
3 9
9
7
 4
u = + 35  − 
 9
9
16. a =
7 140
133
−
=−
= − 14 79
9
9
9
17. a = 2 n = 15 r = 1 − 2 = − 9
7
8 7
56
2
 9
u = + 14  − 
 56 
7
2 126
110
u= −
=−
= − 1 27
28
7 56
56
3
14 3
1
18. a = − n = 21 r = −
+ =−
5
15 5
3
3
 1
u = − + 20  − 
 3
5
u=
3 20
109
u= − −
=−
= − 7 154
5 3
15
1
9 1
14
27 14
1
n = 13 r = − + = − 2
22. a =
n = 41 r =
− =−
4
4 4
5
10 5
10
1
1
97
14
 1
= − 24 41
u = − + 12 (− 2) = − − 24 = −
u=
+ 40  − 
4
4
4
19. a = −
1 5 1
5
n = 19 r = − + =
3 6 2
6
49
5
5
 1
u = − + 18   = − + 9 =
= 8 16
 2
6
6
6
20. a = −
11
35 11
3
− =−
n = 33 r =
3
12 3
4
11
61
 3  11
+ 32  −  =
− 24 = − = − 20 13
u=
 4
3
3
3
21. a =
24. a = − 4 n = 19
2
10
r= − + 4=
3
3
 10 
u = − 4 + 18  
 3
 10 
5
14
6
− 4 = − = − 1 15
u=
u = − 4 + 60 = 56
5
5
3
3 3 9 25. a = 3 n = 39
23. a = − n = 26 r =
+ =
5
17
5
10 5 10
r = − − 3= −
4
4
3
 9
u = − + 25  
 17 
 10 
5
u = 3 + 38  − 
3 45 219
u= − +
=
= 21 109
5 2
10
 4
323
317
=−
= − 158 21
u = 3−
2
2
EJERCICIO 287
Para resolver los problemas de este ejercicio se utilizan las siguientes formulas:
a = u − (n − 1) r
r=
u− a
n−1
n=
u− a+ r
r
Donde u es el término enésimo ; r es la razón de cambio ; n es la cantidad de términos ;
a es el primer término de la progresión.
2
n = 15
7
 2
a = 20 − (14)  
 7
a = 20 − 4 = 16
1. u = 20 r =
2. u = − 18 n = 32 r = 3
a = − 18 − (31)( 3)
a = − 18 − 93 = − 111
3. u = 1 n = 9 r = 1 − 3 = 1
4 4
 1
a = 1− (8)   = 1 − 2 = − 1
 4
25
n= 7
3
Se plantea la ecuación
para encontrar la razón
25
− 2r = 7
3
25
− 2r = 7 −
3
4
− 2r = −
3
4. u =
Continúa
4. Continuación
4 2
=
6 3
25
 2
− ( 6)  
a=
 3
3
25 12 13
−
=
= 4 13
a=
3
3
3
5. a = 3 n = 6 u = 8
8−3 5
r=
= =1
6 −1 5
6. a = − 1 n = 10 u = − 4
r=
r=
− 4 − (− 1)
3
1
=− =−
10 − 1
9
3
1
3
n = 17 u = −
2
8
3 1
7
− −
−
7
8
2
r=
= 8 =−
17 − 1
16
128
7. a =
8. a = 5 n = 18 u = − 80
− 80 − 5 − 85
r=
=
=−5
18 − 1
17
9. a = − 42 n = 92
u = 1. 050
1. 050 − (− 42) 1. 092
=
= 12
r=
92 − 1
91
10. a = 4 u = 30
r =6−4=2
30 − 4 + 2 28
n=
=
= 14
2
2
11. a = 5 u = 18
1
16
r=
−5=
3
3
1
18 − 5 +
3
n=
1
3
1 40
13 +
3
n=
= 3 = 40
1
1
3
3
12. a =
26
5
u = 18
26 4
=
5 5
26 4
18 −
+
5 5
n=
4
5
22 68
18 −
5 = 5 = 68 = 17
n=
4
4
4
5
5
r=6−
EJERCICIO 288
1. r = 19 − 15 = 4
a = 15
n=8
u = 15 + (7) 4
u = 15 + 28 = 43
s=
(15 + 43)8
2
s = (58)(4) = 232
2. a = 31 n = 19
r=7
u = 31 + (18) 7
u = 31 + 126 = 157
s=
(31 + 157)(19)
2
3. 572
= 1. 786
s=
2
3. a = 42 n = 24 r = − 10
u = 42 + (23) (− 10)
u = − 188
s=
(42 − 188) (24)
2
s = (− 146) (12) = − 1. 752
4. a = − 10 n = 80 r = 4
u = − 10 + ( 79)( 4)
u = − 10 + 316 = 306
s=
(− 10 + 306)(80)
2
s = ( 296)( 40) = 11.840
5. a = 11 n = 60 r = − 10
u = 11 + (59) (− 10)
u = 11 − 590 = − 579
(11 − 579)(60)
s=
2
s = (− 568) ( 30) = − 17 . 040
6. a = − 5 n = 50 r = − 8
u = − 5 + ( 49) (− 8)
u = − 5 − 392 = − 397
(− 5 − 397)(50)
s=
2
s = (− 402 ) ( 25) = − 10 . 050
1
1
n= 9 r=
2
2
1
 1
u = + (8)  
 2
2
1
9
u= + 4=
2
2
 1 9
 +  ( 9)
 2 2
s=
2
45
s = = 22 12
2
7. a =
3
1
n = 14 r =
10
10
3
 1
u = + (13)  
 10 
10
8. a =
3 13 8
u= + =
10 10 5
 3 8
 +  (14)
 10 5
s=
2
133
s=
= 13 103
10
3
3
n = 19 r =
4
4
3
 3
u = + 18  
 4
4
3 27 57
=
u= +
4 2
4
 3 57 
19  + 
4 4 
s=
2
19 (15) 285
=
= 142 12
s=
2
2
9. a =
2
3
n = 34 r = −
5
11
2
 3
u = + 33  − 
 11
5
2
43
u= − 9= −
5
5
 2 43
34  − 
5 5
s=
2
1. 394
= − 139 25
s= −
10
10. a =
7
4
n = 11 r =
3
5
47 7 47 − 35 4
r=
− =
=
15 3
15
5
7
 4
u = + 10  
 5
3
11. a =
7
31
+ 8=
3
3
 7 31
11 + 
3 3
s=
2
418
= 69 23
s=
6
u=
13
n = 46
4
73 13 8 2
r=
− =
=
20 4 20 5
13
 2
u = + 45  
 5
4
12. a =
13
85
+ 18 =
4
4
 13 85
46  + 
 4 4
s=
2
4 . 508
= 563 21
s=
8
u=
13. a = − 2 n = 17 r =
1
9
+ 2=
4
4
 9
u = − 2 + 16   = − 2 + 36 = 34
 4
s=
17 (− 2 + 34)
= 17 (16) = 272
2
14. a = − 5 n = 12
r=−
37
3
+ 5=
8
8
7
 3
u = − 5 + 11  = −
 8
8
7

12  − 5 − 

8
s=
2
141
 47 
= − 35 41
s = 6 −  = −
 8
4
EJERCICIO 289
1. u = 11 a = 3 n = 5
11− 3 8
r=
= =2
5 −1 4
⇒3+2=5
5+2=7
7+ 2=9
Luego ÷ 3. 5. 7. 9. 11.
2. u = − 5 a = 19 m = 7
− 5 − 19 − 24
r=
=
= −3
7 +1
8
⇒ 19 − 3 = 16
16 − 3 = 13
13 − 3 = 10
10 − 3 = 7
7−3=4
4 − 3 =1
1− 3 = − 2
Luego ÷ 19. 16. 13. 10. 7. 4. 1. − 2. − 5.
3. u = − 73 a = − 13 n = 7
− 73 + 13 − 60
r=
=
= − 10
7 −1
6
⇒ − 13 − 10 = − 23
− 23 − 10 = − 33
− 33 − 10 = − 43
− 43 − 10 = − 53
− 53 − 10 = − 63
Luego ÷ − 13. − 23. − 33. − 43. − 53. − 63. − 73.
4. u = 53 a = − 42 m = 4
53 + 42 95
r=
=
= 19
4 +1
5
⇒ − 42 + 19 = − 23
− 23 + 19 = − 4
− 4 + 19 = 15
15 + 19 = 34
Luego ÷ − 42. − 23. − 4. 15. 34. 53.
5. u = − 9 a = − 81 n = 7
− 9 + 81 72
=
= 12
r=
7 −1
6
⇒ − 81+ 12 = − 69
− 69 + 12 = − 57
− 57 + 12 = − 45
− 45 + 12 = − 33
− 33 + 12 = − 21
Luego ÷ − 81. − 69. − 57. − 45. − 33. − 21. − 9.
6. u = 3
a =1 m = 3
3 −1 2 1
r=
= =
3 +1 4 2
1 3
⇒ 1+ =
2 2
3 1
+ =2
2 2
1 5
2+ =
2 2
3
5
Luego ÷ 1. . 2. . 3.
2
2
÷ 1. 1 21 . 2. 2 21 . 3.
7. u = 12 a = 5 n = 6
12 − 5 7
r=
=
6 −1 5
7 32
=
5 5
32 7 39
+ =
5 5 5
39 7 46
+ =
5 5 5
46 7 53
+ =
5 5 5
32 39 46 53
.
.
.
. 12.
Luego ÷ 5.
5 5 5 5
÷ 5. 6 25 . 7 45 . 9 51 . 10 53 . 12.
⇒5+
8. u = 3 a = − 4 m = 5
3+4 7
r=
=
5 +1 6
7
17
⇒−4+ =−
6
6
5
17 7
−
+ =−
6 6
3
5 7
1
− + =−
3 6
2
1 7 2
− + =
2 6 3
2 7 11
+ =
3 6 6
17
5
1 2 11
Luego ÷ − 4. − . − . − . . . 3.
6
3
2 3 6
1 2
÷ − 4. − 2 56 . − 1 23 . − . . − 1 56 . 3.
2 3
1
3
a=
n=7
8
4
1 3
5
−
−
5
8
4
r=
= 8 =−
7 −1
6
48
3 5 31
⇒ −
=
4 48 48
31 5 13
−
=
48 48 24
13 5
7
−
=
24 48 16
7
5 1
−
=
16 48 3
1 5 11
−
=
3 48 48
3 31 13 7 1 11 1
.
.
. .
. .
Luego ÷ .
4 48 24 16 3 48 8
9. u =
11. Continuación
13 19
5
−
=
48 144 36
5
19
1
−
=
36 144 144
2 77 29 13 5
1
1
Luego ÷ .
.
.
.
.
.− .
3 144 72 48 36 144
8
12. u = − 5 a = − 2 m = 7
3
−5+2
r=
=−
7 +1
8
3
19
=−
8
8
19 3
11
−
− =−
8 8
4
11 3
25
− − =−
4 8
8
25 3
7
−
− =−
8 8
2
7 3
31
− − =−
2 8
8
31 3
17
− − =−
8 8
4
17 3
37
−
− =−
4 8
8
Luego ÷ − 2. − 2 38 . − 2 34 . − 3 81 . − 3 21 . − 3 78 . − 4 41 . − 4 58 . − 5.
⇒−2−
10. u = 3 a = − 1 m = 6
3 +1 4
r=
=
6 +1 7
4
3
⇒ − 1+ = −
7
7
3 4 1
− + =
7 7 7
1 4 5
+ =
7
1
7 7 7
a=
n = 10
13. u = −
10
2
5 4 9
+ =
7 1
6
7 7 7
−
−
−
2
10
2
9 4 13
r=
= 5 =−
+ =
10
1
9
15
−
7 7 7
1 2 11
13 4 17
⇒ −
=
+ =
2
15 30
7 7 7
11 2
7
3 1 5 9 13 17
−
=
Luego ÷ − 1. − . . . .
.
. 3.
30 15 30
7 7 7 7 7 7
7
2
1
3 1 5
−
=
÷ − 1. − . . . 1 27 . 1 67 . 2 73 . 3.
30
15
10
7 7 7
1
2
1
−
=−
1
2
10
15
30
11. u = −
a=
n= 7
8
3
1
2
1
−
−
=−
1 2
19
30
15
6
− −
−
19
1 2
3
r = 8 3 = 24 = −
− −
=−
7 −1
6
144
6 15
10
2 19
77
3
2
13
⇒ −
=
−
−
=−
3 144 144
10 15
30
77
19 29
13
2
17
−
=
−
−
=−
144 144 72
30 15
30
29 19 13
Luego
−
=
72 144 48
1 11 7 1
1
1
3
13
17
7
.
.
.−
.− .− .−
.−
.− .
÷ .
Continúa
2 30 30 10
30
6 10
30
30 10
EJERCICIO 290
1. a = 7 n = 20 r = 7
u = 7 + (19)( 7)
11. Continuación.
7. 32 → N º normal de
dientes en la boca
u = 7 + 133 = 140
de un adulto
s=
u = 10 + (31)(2) = 72
(7 + 140)(20)
2
s = 147 ⋅ 10 = 1. 470
2. a = 5 n = 80 r = 5
u = 5 + ( 79)(5)
u = 5 + 395 = 400
(5 + 400)(80)
s=
2
s = 405⋅ 40 = 16 . 200
3. a = 9 n = 43 r = 10
u = 9 + ( 42)(10)
u = 9 + 420 = 429
s=
(9 + 429)(43)
2
s = 219 ⋅ 43 = 9 . 417
4. a = 2 n = 100 r = 2
u = 2 + (99)(2)
u = 2 + 198 = 200
s=
(2 + 200)(100)
2
s = 202 ⋅ 50 = 10 .100
5. a = 9 n = 100 r = 2
u = 9 + ( 99)(2)
u = 9 + 198 = 207
s=
(9 + 207)(100)
2
s = 216 ⋅ 50 = 10 .800
6. a = 8 n = 50 r = 3
u = 8 + (49)(3)
u = 8 + 147 = 155
s=
(8 + 155)(50)
2
s = 163⋅ 25
s = 4 . 075 ÷ 100
s = $ 40 , 75
a = 10
n = 32 r = 2
(10 + 72) (32)
s=
2
s = 1. 312 ÷ 10
s = $ 131, 20
8. a = 77
n = 72 r = 11
x
3x
+ x+
= 2 . 400
2
2
x + 2 x + 3x = 4 .800
6 x = 4 .800
⇒
x = 800
El 1º año ahorro →
x 800
=
= 400 sucres
2
2
Para el 2º año
x 800
=
= 400
2
2
u = 400 + (1)( 400) = 800 sucres
a = 400 n = 2
r=
u = 77 + (71)(11) = 858
Para el 3º año
a = 400 n = 3 r = 400
s=
u = 400 + ( 2)(400) = 1. 200 sucres
(77 + 858) (72)
2
s = 935⋅ 36 = 33. 660
9. n = 5⋅ 12 = 60
a=2
r=3
u = 2 + (59)( 3)
u = 2 + 177 = 179
s=
(2 + 179)(60)
2
s = 181⋅ 30 = 5. 430 bs.
10. a = 600 r = 25
Si n = 8
u = 600 + ( 7)( 25)
u = 775 ÷ 100
Avanzó 7 , 75 m en
el 8º segundo
s → Dis tan cia
recorrida en 8 seg.
s=
(600 + 775)(8)
2
s = 1. 375⋅ 4
s = 5 . 500 ÷ 100 = 55 m
11. s = 2 . 400 n = 3
x → Ahorro el 2º año
x
→ Ahorro el 1º año
2
x x
r=x− =
2 2
Luego el 3º año Ahorro:
x 3x
x+ =
2 2
Continúa
12. 2º y 4º = 22
3º y 7º = 34
El tér min o medio entre
el 2º y el 4º es el 3º
por tan to es una progresión
impar. Luego el duplo
del 3º tér min o es 22
x → 3er tér min o
2x = 22
x = 11
Luego 11 → 3er tér min o
Como 3º + 7º = 34
11+ 7º = 34
7º = 23
23 → es el 7º tér min o
Interpolación para conocer
el 4º tér min o
÷ 11 . . . 23
Donde n = 5 a = 11 u = 23
23 − 11 12
r=
=
=3
5 −1
4
4º tér min o → 3º + r = 11+ 3 = 14
2º tér min o → 22 − 4º = 22 − 14 = 8
13. n = 32 a = 5
u = 5 + (31)(3)
r=3
u = 5 + 93 = 98
s=
(5 + 98) 32
2
s = 103⋅ 16 = $ 1. 648
14. a = 50
r = − 5 12
n =8
 11
u = 50 + ( 7)  − 
 2
17. a = 500 u = 1. 900
r = 200
21. a = 51 r = 2
u = 813
813 − 51 + 2 764
=
= 382
n=
2
2
1. 900 − 500 + 200
n=
200
n = 8 años
100 − 77 23
= = 11 21 Km
(813 + 51)( 382)
2
2
s=
2
23

18. n = 11 a = 1.180 u = 6 .180
 50 +  8
s = (864)(191) = 165. 024


2
6 .180 − 1.180
= 246 Km
s=
r=
2
11− 1
15. 3º y 10º tér min os son
22. 5º → 31 9º → 59
5 . 000
= $ 500
r=
equidis tan tes a los
int erpolando
10
extremos 1º y 12º,Luego
n = 5 a = 31 u = 59
la suma de estos extremos 19. n = 5 u = 3. 000 r = − 300
59 − 31 28
=
=7
r=
es igual a las suma de
a = 3. 000 − ( 4) (− 300)
5 −1
4
los tér min os equidis tan tes
10º térm. → 59 + 7 = 66
a = 3. 000 + 1. 200 = 4 . 200 soles
3º + 10º = 1º + 12º
11º térm. → 66 + 7 = 73
como 1º + 12º = 53 21
12º térm. → 73 + 7 = 80
20. a = 161 r = 322 n = 5
⇒ 3º + 10º = 53 21
u = 161 + (4)( 322) = 1. 449
16. n = 11 a = − 2 u = − 52
23. n = 3 a = 12 . 500 u = 20 . 500
(1. 449 + 161)(5)
s=
− 52 − (− 2)
50
a + u = 12 .500 + 20 .500
2
= − = −5
r=
11− 1
10
a + u = 33 . 000
(1. 610) (5)
s=
2º térm. → − 2 − 5 = − 7
Luego 2 (2º term.) = 33 . 000
2
3º térm. → − 7 − 5 = − 12
8 . 050
2º term. = 16 . 500 colones
= 4 . 025
s=
4º térm. → − 12 − 5 = − 17
2
= 4 . 025 ÷ 10 = 402 , 5 pies
5º térm. → − 17 − 5 = − 22
6º térm. → − 22 − 5 = − 27
u=
8. a = − 3 n = 6
EJERCICIO 291
1. a = 3 n = 7
r = 6 ÷ 3= 2
u = 3 (2
7 −1
u = 3 (2 )
)
6
u = 3⋅ 64 = 192
1
n=8
3
r = 3 ÷ 1= 3
2. a =
1 8 −1
(3 )
3
6
u = 3 = 729
3. a = 8 n = 9
u=
1
r = 4 ÷ 8=
2
  1  9 −1 
u = 8   
 2  
8 1
1
u= 8 = 5 =
2 2 32
4. a = 1 n = 6
4 5 2
⋅ =
25 2 5
  2  6 −1 
u = 1   
 5  
r=
u=
25
32
=
55 3 .125
1
n= 6
2
1
2
r = ⋅2=
5
5
6−1

1  2 
u =   
2  5 
6. a =
u=
5. a = 3 n = 7
2
r = 2 ÷ 3=
3
  2  7 −1 
u = 3   
  3 
u=
2 6 64
=
35 243
7. a =
24
16
=
55 3 .125
9
4
n= 8
4 4
r = 3⋅ =
9 3
7
9  4  
u =   
4  3 
u=
4 6 4 . 096
=
= 16 208
243
35
243
r = 6 ÷ (− 3) = − 2
[
u = − 3 (− 2 )
5
]
u = − 3 (− 32) = 96
9. a = 3 n = 9
r = − 1÷ 3 = −
1
3
 1 
u = 3  −  
  3 
1
1
u= 7 =
3 2 .187
5
10. a =
n= 5
6
1 6 3
r= ⋅ =
2 5 5
4
5   3 
u =   
6  5 
8
u=
33
27
=
2 ⋅ 53 250
3
n=5
5
3  5
5
r= −  = −
2  3
2
3
n=8
4
1
2
r = (− 2 ) = −
3
3
7
3  2  
u =  −  
4  3 
r = 1 ÷ (− 4) = −
1
4
 1  
u = 16   −  
 4  
1
1
u= − 5 = −
4
1. 024
7
u= −
3
n = 10
4
1  4 1
r= − −  =
4  3 3
13. a = −
12. a =
11. a = 16 n = 8
25
32
=−
36
729
14. a = −
u= −
4
3  5  
  −  
5 2 
u= −
3   1 
  
4   3 
u= −
3⋅ 53
375
=−
= − 23 167
24
16
u= −
1
1
=−
4 ⋅ 38
26 . 244
1
512
n= 7
9
EJERCICIO 292
1
1
u=
n= 7
2
64
1
1
6
26
64
2
a=
= 6 =1
6 =
1 2
 1
 
26
 2
1. r =
2. r =
2
64
u=
3
2 .187
4. a = 2 u = 64
n= 9
r=
8. a = 8 u =
64 5 26 5 5
=
= 2 =2
2
2
r=5
5. a =
n=6
1
3
6
u = 243
r=
1
1
1
1
512 = 6
=6 6 =±
8
4 . 096
4
4
6
n=7
243 6
= 729 = 6 36 = ± 3
1
3
64
26
6
8
2 .187
37 = 2 ⋅ 3 = 3 = 3 6. a = − 5 u = 640 n = 8
a=
8 a=
8
8
7
2
2 ⋅3
22 4
 2
 
640
 3
38
r=7
−5
32 125 2
3. r =
⋅
=
625 16 5
r = 7 − 128 = 7 − 27 = − 2
32
u=
n= 6
729
3
u=
n=6
625
7. a =
2
2
5
32
2
3
4
25 ⋅ 55
a = 6255 = 5 5 = 5 4 = 5
1
1
2
2 ⋅5
r=5 2 =5
=
 2
729
 
243 3
5
 5
5
2
9. a =
r=
625
16
u=1
n= 5
1
16 4 24
2
=4
=
=±
4 625
625
54
5
16
10. a =
r=7
27
64
u= −
2
n=8
81
2
81
27
64
−
r=7 −
2 ⋅ 2 6 7 27
2
= − 7 =−
3 4 ⋅ 33
3
3
EJERCICIO 293
1. a = 6 n = 5
1
r = 3÷ 6=
2
 1 4 
 1 3
u = 6    = 6   =


 16  8
2


 3  1 
   −6
 8  2 
s=
1
−1
2
93
93
= 11 85
s = − (− 2 ) =
16
8
2. a = 4 n = 6
r = − 8÷ 4= − 2
[
u = 4 (− 2)
5
]
u = 4 (− 32) = − 128
− 128 (− 2) − 4
− 2−1
252
= − 84
s=
−3
s=
3. a = 12 n = 7
1
4. a =
n = 10
1
4
3
1
r = ⋅4 = 2
  1 6 
4
 1 
2
=
u = 12     = 12 
 729  243
1
  3 
r = 4 ÷ 12 =
 4   1

   − 12
 243  3
s=
1
−1
3
8 . 744  3 
s= −
− 
729  2 
s=
26 . 232
1.446
= 17 1.458 = 17 241
243
1. 458
u=
s=
[2 ] = 128
9
4
128 (2) −
1
4
2−1
1. 023
= 255 43
s=
4
9
n= 8
4
3 4 2
r= ⋅ =
2 9 3
7
9   2   25
u =    = 5
4   3  3
7. a = − 6 n = 10
25  2  9
 −
35  3  4
s=
2
−1
3
28 − 38
s = 6 2 (− 3)
3 ⋅2
−
5. a =
s=
r = − 3 ÷ (− 6) =
9
3  1
  +6
28  2 
s=
1
−1
2
3 . 069
6 .138
253
= − 11 256
s = 512 =
1
− 512
−
2
18 . 915
1.419
473
= 6 2 .916 = 6 972
2 . 916
1
n= 7
6. a = −
10
1
r = (− 10) = − 2
5
1
64
32
=−
u= −
(− 2)6 = − 10
10
5
32
1
−
(− 2) + 10
s= 5
− 2−1
129
129
= − 4 103
s = 10 = −
−3
30
s=
[
1
2
 1  
3
u = − 6    = − 8
2
 2  
− 6 . 305
(− 3)
2 . 916
]
8. a = 2
3
n= 6
2
3 2
r = 1÷ =
2 3
5
3  2
2 4 16
u=   = 4 =


2 3
3
81
9. a =
n=8
1
2
 1 7 
1
1
u = 2  −   = − 6 = −
2
64
 2  
r = − 1÷ 2 = −
1  1
−  −2
64  2 
s=
1
− −1
2
255
510
128
21
s=
=
= 1 126
384 = 1 64
3
384
2
−
16  2  3
 −
81  3  2
s=
2
−1
3
179
− 1 486
17
s=
= 4 162
1
−
3
=
a
9 n= 6
10.
r = 1 ÷ (− 3) = −
1
3
5
1
1
 1
u= 9 −  = − 3 = −
 3
3
27
1  1
−  − 9
27  3
s=
1
− −1
3
728
−
s = 81
4
−
3
2 .184
240
20
= 6 324
= 6 27
s=
324
−
EJERCICIO 294
1. a = 5 u = 3 .125
r=4
n= 5
3 .125
= 25 ± 5
5
5 (± 5) = ± 25
± 25 (± 5) = 125
125 (± 5) = ± 625
÷ ÷ 5: ± 25:125: ± 625: 3 .125
2. a = − 7 u = − 224 m = 4
− 224 5
r=5
= 32 = 2
−7
− 7 ⋅ 2 = − 14
− 14 ⋅ 2 = − 28
− 28 ⋅ 2 = − 56
− 56 ⋅ 2 = − 112
÷ ÷ − 7 : − 14 : − 28: − 56 : − 112: − 224
3. a = 128 u = 2 n = 7
2 6 1
1
=
=±
128
26
2
 1
128  ±  = ± 64
 2
r= 6
 1
± 64  ±  = 32
 2
 1
32  ±  = ± 16
 2
 1
± 16  ±  = 8
 2
 1
8 ±  = ± 4
 2
÷ ÷ 128 : ± 64 : 32 : ± 16:8: ± 4 : 2
9
16
u=
n= 6
2
27
16
25 2
r = 5 27 = 5 5 =
9
3
3
2
9  2
  =3
2  3
4. a =
 2
3  = 2
 3
 2 4
2  =
 3 3
4  2 8
 =
3  3 9
9
4 8 16
÷ ÷ : 3: 2 : : :
2
3 9 27
8 16
1
÷ ÷ 4 2 : 3: 2 : 1 13 : :
9 27
2 .187
m= 6
64
2 .187
7
7
64 = 7 3 = 3
r=
2
27 2
 3
2  = 3
 2
5. a = 2
u=
6. a =
4
9
u=
27
256
n= 6
7. a = 8 u =
27
35 3
256
r=5
=5 5 =
4
4
4
9
4  3 1
 =
9  4 3
 3 9
3  =
 2 2
1  3 1
 =
3  4 4
9  3  27
 =
2  2 4
3  3 9
 =
16  4  64
4 1 1 3 9 27
:
÷÷ : : : :
9 3 4 16 64 256
81  3  243
 =
8  2  16
243  3  729
 =
16  2  32
25
: 34 11
÷ ÷ 2 : 3: 4 21 : 6 43 : 10 81 : 15 163 : 22 32
64
m= 7
1
1
1
32
r=
=8 8 =±
8
2
2
 1
8 ±  = ± 4
 2
8
 1
± 4±  = 2
 2
 1
2±  = ±1
 2
1  3 3
 =
4  4  16
27  3  81
 =
4  2 8
1
32
 1 1
± 1 ±  =
 2 2
1  1
1
±  = ±
2  2
4
±
1  1 1
±  =
4  2 8
1  1
1
±  = ±
8  2
16
÷ ÷ 8 : ± 4 : 2 : ± 1:
EJERCICIO 295
3
1  4 1
−2 2
r=   =
5. a =
1 1 1
=
4
4  3 3
3. a = − 5 r =
⋅ =
−5 5
2 2 4
3
3
5
25
−
−5
2
2 8
s=
=
=−
s=
= = = 2 23
4 = 4 = 9 =11
s
=
2
3
1 3 3
8
3
1 2 8
1−
1−
1−
5
5
4 4
3
3
= − 8 31
1
1
1
1
1
6
2. a = r = ⋅ 2 =
2
6
3
8  1  2 6. a = 6 r = 7 ⋅ 6 = 7
a
4
r
=
−
=
−
−
=


4.
1
1
3  4 3
1
1
3
2
2
7
−4 −4
= =
s=
6
6
s=
= = = 1 61
1 2 4
=
= − 12
s=
6 1 6
1−
2 1
1
−
3 3
1−
7 7
3 3
1. a = 2 r =
1
1 1
1 1
:± : : ± :
2
4 8
16 32
2 1
1
⋅ =−
5 2
5
2
2 10 2
s=
= =
=13
1 6 6
1+
5 5
7. a = 2 r = −
−6 3
=
− 14 7
98
− 14 − 14
=−
s=
=
3
4
4
1−
7
7
= − 24 21
8. a = − 14 r =
EJERCICIO 296
1.
6
6
6
!
+
+
10 100 1. 000
6
6  10  1
r=
 =
10
100  6  10
6
6
6 2
10
10
=
= =
s=
1
9 9 3
1−
10 10
a=
2.
12
12
12
!
+
+
100 10 . 000 1. 000 . 000
12
12  100 
1

=
r=
100
10 . 000  12  100
12
12
12 4
100
100
=
=
=
s=
1
99 99 33
1−
100 100
a=
3.
159
159
!
+
1. 000 1. 000 . 000
a=
159
159  103 
1

=
3 r=
10
106  159  103
159
159
3
3
159 53
10
s=
= 10 =
=
1
999 999 333
1− 3
3
10
10
32
32
32
4.
+
+
!
100 10 . 000 1. 000 . 000
32
32  100 
1
a=
r=

=
100
10 . 000  32  100
32
32
32
s = 100 = 100 =
99 99
1
1−
100 100
5.
144 144 144
!
+
+
103 106 109
144
144  103 
1
a= 3 r= 6 
=
10
10  144  103
144
144
3
3
144 16
10
= 10 =
=
s=
1
999 999 111
1− 3
3
10
10
3
5
5
6. 10 + 100 + 1. 000 !
a=
5
100
r=
8.
5  100  1

=
1. 000  5  10
5
5
5
1
100
100
=
=
=
s=
1
9
90 18
1−
10 10
3 1 64 16
=
s= + =
10 18 180 45
18
1
1
!
+
+
7.
100 103 104
1
1
1
a = 3 r = 4 ⋅103 =
10
10
10
1
1
3
3
1
s = 10 = 10 =
1
9
900
1−
10 10
18
1
163
s=
+
=
100 900 900
3 18 18
!
+
+
10 103 105
18
18  103 
1
a= 3 r= 5 
=
10
10  18  100
18
18
103 = 103 = 1
1
99 55
1−
100 100
3 1 175 7
s=
+
=
=
10 55 550 22
18 18 18
!
+
+
9. 2 +
100 104 106
18
18  100 
1
a=
r= 4 
=
100
10  18  100
s=
18
18
2
100
100
s=
=
=
99 11
1
1−
100 100
2 24
s= 2+ =
11 11
EJERCICIO 297
1. a = 2
Para
r=2
saber
cuanto
gano el sábado → n = 6
u = 2 (25 ) = 64 Lempiras
Para saber
cuanto
gané de lunes a sábado
utilizo S
para los 6
primeros
tér min os de
la progresión.
÷ ÷ 2 : 4 : 8!
Donde a = 2 r = 2 u = 64
64 ( 2) − 2
= 126 Lempiras
s=
2−1
2. n = 20 r = 2
a=1
u = 1(2 ) = 524 . 288
19
524 . 288 ( 2) − 1
2−1
s = 1. 048 .575 ÷ 100
s = $ 10 . 485 , 75
s=
3. n = 8 r =
a=
1
3
u=1
1
1
= 2 .187 balboas
7 =
1
 1
 
2 .187
 3
4. n = 9 → Im par
Como es una sucesión impar
6. a =
los tér min os equidis tan, luego
y último tér min o es igual
al producto entre el 3º y el
7º tér min o.
5. n = 5
u=
2
u = 160 n = 5
3
160 160
= 810
a=
4 =
16
 2
 
81
 3
7. r =
8
81
4 2
=
81 9
Se encuentra la razón
3er tér min o =
 2
160   − 810
 3
s=
2
−1
3
2 .110
−
3 = $ 2 .110
s=
1
−
3
para n = 3 , entre el 3º
y 5º tér min o.
8
36 2
81
=
=
r=
2
81 3
9
2 3 1
⋅ = → 2º tér min o
9 2 3
1 3 1
⋅ = → 1º tér min o
3 2 2
n=4
1
1 1
32
r=3
=3 =
1
8 2
4
1
1
⋅2 =
→ 6º tér min o
32
16
la multiplicación del primer
Entonces la respuesta es :
1
=
216
1
1
u=
4
32
8. a = 59 . 049 u = 100 . 000 n = 6
r=5
100 . 000 5 10 5 10
=
=
59 . 049
95
9
9. r =
1
3
a = 24 . 300
10. n = 15 a = 1
n= 6
u = ( 3) = 4 . 782 . 969
5
24 . 300
 1
= 100
u = 24 . 300   =
 3
243
s=
 1
72 . 800
100   − 24 . 300 −
 3
72 . 800
3
=
= 36 . 400 bs.
=
s=
1
2
2
−
−1
3
3
EJERCICIO 298
(
1. Log 532 ⋅ 0 ,184
)
= 2 , 72591 + 1 , 26482
= 1, 99073
⇒ 10 1,99073 = 97 , 888
2. Log191, 7 + Log 432
= 2 , 28262 + 2 , 63548
= 4 , 9181
⇒ Anti log 4 , 9181= 82 . 814 , 4
= 1, 858434 + 2 , 022276
= 1, 88071 ⇒ 101, 88071 = 75 , 981873 ≅ 75 , 982
10. Log 9 .114 − Log 0 , 02
= Log 9 .114 + Co log 0 , 02
= 3 , 959709 + 1, 698970
= 5 , 658679 ⇒ Anti log 5 , 658679 = 455 . 699 , 97 ≅ 455.700
3. Log 0 , 7 + Log 0 , 013 + Log 0 , 9
= 1, 84510 + 2,11394 + 1, 95424
= − 2 , 08672
− 2 , 08672
4 . 782 . 969 ( 3) − 1 14 . 348 . 906
=
= $ 7 .174 . 453
3− 1
2
9. Log 0 , 72183 − Log 0 , 0095
= Log 0 , 72183 + Co log 0 , 0095
= Log 532 + Log 0 , 184
⇒ 10
r=3
14
10
11. Log 2 = 10 (log 2)
= 10 (0 , 301029)
= 3 , 010299
Anti log 3 , 010299 = 1. 024
(
= 0 , 00819
= 3 (1,176091)
= 3 (− 1) + 3 (0 , 176091)
4. Log 7 , 5 + Log 8 ,16 + Log 0 , 35 + Log10 . 037
= 0 , 875061+ 0 ,911690 + 1, 544068 + 4 , 001603
= 4 − 1+ 2 , 332422
= 5 , 332422
⇒ 10 5 , 332422 = 214 . 991, 85
)
12. Log 0 , 153 = 3 log 0 ,15
= − 2 , 471727
10
− 2 , 471727
= 0 , 00337499 ≅ 0 , 003375
13. Log 18 , 654 = 4 (log 18 , 65)
= 4 (1, 270678)
≅ 214 . 992
= 5 , 082715
5. Log 3 , 2 + Log 4 , 3 + Log 7 , 8 + Log103 , 4 + Log 0 , 019
Anti log 5 , 082715 = 120 . 980 , 4916
= 0 , 505149 + 0 , 633468 + 0 , 892094 + 2 , 014520 + 2, 278753
≅ 120 . 980 , 5
= 2 , 323988 ⇒ Anti log 2 , 323988 = 210, 857
2
2
14. Log 2 ⋅ 0 , 084 = log 0 , 168
6. Log 95 ,18 − Log 7 , 23
= 2 log 0 , 168
= 1, 978317 − 0 , 859138
= 1,119179 ⇒ Anti log 1,119179 = 13 ,15767031≅ 13 ,1577
= 2 1 , 225309
(
)
= Log 8 ,125 + Co log 0 , 9324
= 0 , 940220 ⇒ 100 , 940220 = 8 , 714063 ≅ 8 , 7141
8. Log 7 . 653 , 95 − Log12 , 354
= log 7 . 653 , 95 + Co log 12 , 354
= 3 , 883885 + 2, 908192
= 2 , 792077 ⇒ Anti log 2 , 792077 = 619 , 55
)
)
)
(
(
= 2 (− 1) + 2 (0 , 225309)
7. Log 8 ,125 − Log 0 , 9324
= 0 , 909823 + 0 , 030397
(
= − 1, 549382 = 2 , 450618
10
− 1, 549382
= 0 , 028223963 ≅ 0 , 028224
Anti log 2 , 450618 = 0 , 028224
15. Log 7 , 2 = 6 (log 7 , 2)
6
= 6 (0 , 857332)
= 5 , 143994
Anti log 5 , 143994 = 139 . 313 , 75
log 3 0 , 477121
=
= 0 , 238560
2
2
Anti log 0 , 238560 = 1, 7320483 ≅ 1, 73205
16. Log 3 =
log 2 0 , 301029
=
= 0 ,100343
3
3
100 ,100343 = 1, 259921
log 63 1, 799340
=
= 0 , 359868
5
5
100 , 359868 = 2 , 290172
19. Log 5 63 =
17. Log 3 2 =
log 5 0 , 698970
=
= 0 ,174742
18. Log 5 =
4
4
Anti log 0 ,174742 = 1, 495348 ≅ 1, 49535
log 815 2 , 911157
=
= 0 , 415879
7
7
Anti log 0 , 415879 = 2 , 605431
20. Log 7 815 =
4
EJERCICIO 299
1. Log 515 + log 78 ,19 + co log 6 ,13
9. 35 ⋅ 0 , 2 4 = 5 log 3 + 4 log 0 , 2
= 5 (0 , 47712) + 4 (1 , 30103)
= 2 , 711807 + 1, 893151+ 1, 212539
= 3 , 817497 → Anti log 3 , 817497 = 6 . 568 , 96 ≅ 6 . 569
= 2 , 38561 − 2 , 79588
2. Log 23 , 054 + log 934 ,5 + co log 8 .164
= − 0 , 41027 → 10− 0 , 41027 = 0 , 3888
= 1, 36275 + 2 , 97058 + 4,0881
* En la tabla se busca 1 , 58973
= 0 , 42143 → Anti log 0 , 42143 = 2 , 63894
⇒ Anti log 0 , 58973 = 0 , 3888
3. Log 8 ,14 + log 9 , 73 + co log 0 , 6 + co log 7 , 8
= 0 , 91062 + 0 , 98811+ 0 , 22185 + 1 ,10791
10.
= 1, 22849 → Anti log 1, 22849 = 16 , 923461≅ 16 , 9235
4. Log 513 , 4 + log 9 ,132 + co log 85 , 3 + co log10 , 764
= 2 , 71046 + 0 , 96057 + 2 , 06905 + 2 , 96802
= 0 , 7081 → Anti log 0 , 7081= 5 ,10622
→ Anti log 0 , 66757 = 4 , 651199 ≅ 4 , 6512
5. Log 53 , 245 + log 4 . 325 , 6 + co log 32 , 815 + co log 91, 79
= 1, 72628 + 3 , 63605 + 2 , 48392 + 2 , 03721
= 1, 88346 → Anti log 1, 88346 = 76 , 4645
11.
6. Log 32 , 6 + log 841, 9 + co log 0 , 017 + co log 732 ,14
= 1, 51322 + 2 , 92526 + 1, 76955 + 3 ,135406
= 3 , 343436 → Anti log 3 , 343436 = 2 . 205 ,139151
12. 8 log 3 + 5 co log 5 , 6
= 8 (0 , 47712) + 5 (1 , 25181)
7. Log 95 , 36 + log 0 ,14 + co log 83 , 7 + co log 2 , 936
= 3 , 81696 − 3 , 74095
= 0 , 07601
→ Anti log 0 , 07601 = 1,19127 ≅ 1,1913
= 1, 97937 + 1 ,14613 + 2 , 07727 + 1 , 53224
= − 1, 26499 → Anti log − 1, 26499 = 0 , 054326
El signo negativo se anula puesto que se
encuentra en el numerador y en el
deno min ador luego la respuesta es positiva
1
1
3
log 2 + log 3 + log 5
5
2
4
1
1
3
= (0 , 30103) + (0 , 47712) + (0 , 69897)
5
2
4
= 0 , 060206 + 0 , 23856 + 0 , 5242275
= 0 , 82299
→ Anti log 0 , 82299 = 6 , 65257 ≅ 6 , 6526
Como existe un signo negativo en la operación
entonces este afecta el resultado total , luego
la respuesta final es ≅ − 2 . 205 ,14
1
2
log 5 + log 3
2
3
1
2
= (0 , 69897) + (0 , 47712)
2
3
= 0 , 349485 + 0 , 31808
= 0 , 66757
13. 7 log 0 , 53 + 3 co log 2 , 5
8. Log 7 , 2 + log 8 ,135 + co log 0 , 003 + co log 9 .134 , 7
= 0 , 85733 + 0 , 91036 + 2 , 52288 + 4 , 03930
= 0 , 32987 → Anti log 0 , 32987 = − 2 ,137333 ≅ − 2 ,13734
= 7 (1 , 72428) + 3(1 , 60206)
= − 1, 93004 − 1, 19382
= − 3 ,12386 → 10− 3,12386 = 0 , 000751865
* En la tabla se busca 4 , 87614
14.
2
5
log 3 + co log 2
5
3
2
5
= (0 , 47712) + ( 1 , 69897)
5
3
= 0 ,190848 − 0 , 501717
21.
= − 0 , 310869 → 10− 0 , 310869 = 0 , 488799 ≅ 0 , 4888
* En la tabla se busca 1 , 68914
Log 7 , 86 + Log 8 ,14
15.
2
0 , 89542 + 0 , 91062
=
2
1, 80604
=
2
= 0 , 90302 → Anti log 0 , 90302 = 7 , 9987
16.
Log 932 , 5 + Log 813 , 6 + Log 0 , 005
2
2 , 96965 + 2 , 91041+ 3 , 69897
=
2
3 , 57903
=
2
= 1, 78952 Anti log 1, 78952 = 61, 59138
17.
Log 93 , 7 + Log104 , 2 + co log 8 , 35 + co log 7 , 3
2
1, 97174 + 2 , 01787 + 1 , 07831+ 1 ,13668
=
2
2 , 2046
=
= 1,1023 → Anti log 1,1023 = 12 , 656174
2
18.
3
3
log 0 , 0316 + co log 0 ,1615
2
2
3
= (2 , 49969 + 0 , 79183)
2
3
= (− 0 , 70848) = − 1, 06272 = 2 , 93728
2
10−1, 06272 = 0 , 086552
Anti log 2 , 93728 = 0 , 08655625
22.
3
2
log 3 + co log 5
4
3
3
2
= (0 , 47712) + (1 , 30103)
4
3
= 0 , 35784 − 0 , 46598
= − 0 ,10814 = 1 , 89186
Anti log 1 , 89186 = 0 , 77958
23.
Log15 + Co log 4
7
1,17609 + 1 , 39794
7
0 , 57403
=
= 0 , 082
7
Anti log 0 , 082 = 1, 20782
=
24.
Log 5 + Co log 3
5
0 , 69897 + 1 , 52288
= 0 , 04437
5
Anti log 0 , 04437 = − 1,10756
=
Log 23 , 725 + Log 9 ,182 + Log 7 ,184
6
Log 5 + Co log 8
25.
3
5
1, 37521+ 0 , 96294 + 0 , 85637
6
=
= 0 , 69897 + 1 , 09691
3
5
3 ,19452
6
=
= 1, 06484 Anti log 1, 06484 = − 11, 610207
= − 0 , 20412 = − 0 , 24494 = 1 , 75506
3
5
log 1 , 75506 = 0 , 568926 ≅ 0 , 56893
Anti
Log12 . 316 + Log 0 , 25 + co log 931, 8 + co log 0 , 07
(
)
(
(
19.
4
4 , 09047 + 1 , 39794 + 3 , 03068 + 1,15490
=
4
1, 67399
=
= 0 , 41849 → Anti log 0 , 41849 = 2 , 621125
4
20.
Log 56 . 813 + co log 22 .117
5
4 , 75446 + 5 , 65527
5
0 , 40973
=
= 0 , 081946 → Anti log 0 , 081946 = 1, 20766
5
=
26.
)
)
Log 3 + Co log 5 Log 5 + Co log 7
+
2
3
=
3 (0 , 47712 + 1 , 30103) + 2 (0 , 69897 + 1 , 15490)
6
3 (− 0 , 22185) + 2 (− 0 ,14613)
=
6
− 0 , 6655 − 0 , 29226
=
6
− 0 , 95781
=
= − 0 ,159635 = 1 , 840364
6
10 − 0 ,159635 = 0 , 6924126
Anti log 1 , 840364 = 0 , 69241
27.
Log 2 Log 3 Log 0 , 2
+
+
7
5
3
2 log 0 , 75 + log 39 , 162 + co log 0 , 07 + co log 3 , 89
29.
15 (0 , 30103) + 21(0 , 47712) + 35 (1 , 30103)
2
=
105
2 (1 , 87506) + 1, 59286 + 1, 15490 + 1 , 41005
=
4 , 51545 + 10 , 01952 − 24 , 46395
2
=
105
1, 90793
=
= 0 , 953965 = 8 , 99425 ≅ 8 , 9943
− 9 , 92898
2
=
= − 0 , 094562 = 1 , 905438
105
Anti log 1 , 905438 = 0 , 8043369 ≅ 0 , 80434
3 log 0 , 2 + 2 log 0 , 3 + 4 co log 0 , 05 + co log 3 , 25
Log 32 ,14 Log 59 , 3 Co log 317, 6
30.
28.
+
+
2
2
3
4
+
3
1
30103
2
1
47712
,
,
(
)
(
) + 4 (1, 30103) + 1 , 48812
6 (1, 50705) + 4 (1, 77305) + 3 (3 , 49812)
=
=
2
12
− 3 + 0 , 90309 − 2 + 0 , 95424 + 5 , 20412 − 1 + 0 , 48812
9 , 0423 + 7 , 0922 − 7 , 50564
=
=
2
12
1
54957
,
8 , 62886
=
= 0 , 774785
=
= 0 , 71907
2
12
Anti log 0 , 774785 = 5 , 95366
Anti log 0 , 71907 = 5 , 2368483 ≅ 5 , 23685
EJERCICIO 300
1. 36 = 2 ⋅ 3
Log 36 = 2 log 2 + 2 log 3
2
2
= 2 (0 , 301030) + 2 (0 , 477121)
= 0 , 60206 + 0 , 954242
Log 36 = 1, 556302
2. 75 = 3⋅ 5
Log 75 = log 3 + 2 log 5
2
= 0 , 477121 + 2 (0 , 698970)
= 0 , 477121 + 1, 39794
Log 75 = 1, 875061
3. 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5
Log 30 = log 2 + log 3 + log 5
= 0 , 301030 + 0 , 477121+ 0 , 698970
Log 30 = 1, 477121
4. 48 = 2 ⋅ 3
Log 48 = 4 log 2 + log 3
4
= 4 (0 , 301030) + 0 , 477121
= 1, 20412 + 0 , 477121
Log 48 = 1, 681241
5. 120 = 2 ⋅ 3⋅ 5
Log 120 = 3 log 2 + log 3 + log 5
3
= 3(0 , 30103) + 0 , 477121 + 0 , 69897
= 0 , 90309 + 1,176091
Log 120 = 2 , 079181
6. 98 = 7 ⋅ 2
Log 98 = 2 log 7 + log 2
2
= 2 (0 , 845098) + 0 , 30103
= 1, 690196 + 0 , 30103
Log 98 = 1, 991226
7. 343 = 7
Log 343 = 3 log 7
3
= 3 (0 , 845098)
Log 343 = 2 , 535294
Log 0 , 343 = 1 , 535294
2
2
8. 225 = 5 ⋅ 3
Log 225 = 2 log 5 + 2 log 3
= 2 (0 , 69897) + 2 (0 , 477121)
= 1 , 39794 + 0 , 954242
= 2 , 352182
Log 22 , 5 = 1, 352182
9. 196 = 2 2 ⋅ 7 2
Log 196 = 2 (log 2 + log 7)
= 2 (0 , 30103 + 0 , 845098)
= 2 (1 , 146128)
= 2 , 292256
Log 1 , 96 = 0 , 292256
10. 875 = 5 ⋅ 7
Log 875 = 3 log 5 + log 7
3
= 3 (0 , 69897) + 0 , 845098
= 2 , 09691 + 0 , 845098
= 2 , 942008
5
= 2 ,5
2
2
25 = 5
2 21 =
13.
Log 25 = 2 (0 , 69897)
2 31 =
16.
7
3
7
3
= log 7 + co log 3
Log 2 31 = log
= 1, 39794
= 0 , 845098 + 1 , 522879
Log 2 12 = 0 , 397940
= 0 , 367977
14. 1 21 = 3 = 1, 5
143
11. 2 . 025 = 3 ⋅ 5
2
13 =
17.
11
Log 2 . 025 = 4 log 3 + 2 log 5
15 = 3 ⋅ 5
143
Log 13 = log
= 4 (0 , 477121) + 2 (0 , 69897) Log15 = log 3 + log 5
11
= 0 , 477121+ 0 , 698970
= 1, 908484 + 1, 39794
= log 143 + co log11
= 1,176091
= 3 , 306424
= 2 ,155336 + 2 , 958607
Log1 21 = 0 ,176091
Log 202 , 5 = 2 , 306424
Log 13 = 1,113943
6
7
12. 448 = 2 ⋅ 7
15.
225
1 25 = = 1, 4
18.
25 =
5
Log 448 = 6 log 2 + log 7
9
14 = 7 ⋅ 2
225
= 6 (0 , 30103) + 0 , 845098
Log 25 = log
Log14 = log 7 + log 2
9
= 1, 80618 + 0 , 845098
= 0 , 845098 + 0 , 30103
= log 225 + co log 9
= 2 , 651278
= 1,146128
= 2 , 352183 + 1 , 045757
Log 44 , 8 = 1, 651278
Log1 25 = 0 ,146128
Log 25 = 1, 397940
Log 0 , 875 = 1 , 942008
4
2
EJERCICIO 301
4. 9 x = 0 , 576
1. 5 = 3
Log 9 x = log 0 , 576
x
Log 5 = log 3
x log 5 = log 3
x log 9 = 1 , 76042
x
x (0 , 69897) = 0 , 477121
x=
x (0 , 95424) = 1 , 76042
1 , 76042
x=
0 , 95424
− 0 , 23958
x=
0 , 95424
x = − 0 , 2510689
x ≅ − 0 , 25107
0 , 477121
= 0 , 6826
0 , 69897
2. 7 = 512
x
Log 7 x = log 512
x log 7 = log 512
2 , 70927
x=
= 3 , 205864
0 , 845098
x ≅ 3 , 2059
3. 0 , 2 = 0 , 0016
x
Log 0 , 2 x = log 0 , 0016
x log 0 , 2 = log 0 , 0016
5. 3
x +1
= 729
Log 3x +1 = 729
(x + 1) log 3 = log 729
(x + 1)(0 , 477121) = 2 , 86273
x −2
6. 5 = 625
3 , 20412
1 , 30103
Log 5x − 2 = log 625
−3
0 , 20412
(x − 2) log 5 = 2 , 79588
+
x=
− 0 , 69897 − 0 , 69897
2 , 79588
x− 2=
x = 4 , 29203 − 0 , 29203
0 , 69897
x= 4
x − 2 = 4⇒ x = 6
3 x +1
= 128
Log 23 x + 1 = log 128
(3x + 1) log 2 = 2 ,10721
(3x + 1)(0 , 30103) = 2 ,10721
3x + 1 = 7
3x = 6
x=2
2 x −1
8. 3
= 2 .187
Log 32 x −1 = log 2 .187
(2 x − 1) log 3 = 3 , 33985
(2 x − 1)(0 , 477121) = 3 , 33985
x + 1 = 6 , 00944
x = 6 , 00944 − 1
x = 5 , 00944 ⇒ x ≅ 5
x (1 , 30103) = 3 , 20412
x=
7. 2
2 x − 1= 7
2x = 8⇒ x = 4
9. 112 x = 915
Log112 x = log 915
2x log11= 2 , 96142
2 , 96142
1, 04139
2x = 2 , 84372
2x =
x = 1, 42186
EJERCICIO 302
1. a = 3
u = 48
r =6÷3=2
2 . 048
8 4
r= =
81
6 3
2 . 048
Log
+ Co log 6
81
n=
4
Log
3
Log 2 . 048 + Co log 81+ Co log 6
n=
Log 4 + Co log 3
4. a = 6 u =
Log 48 + Co log 3
n=
+1
Log 2
1, 68124 + 1 , 522879
+1
0 , 30103
1, 204119
n=
+1 = 4 +1 = 5
0 , 30103
n=
n=
243
3
r=
16
2
Log 243
16 + Co log 2
+1
n=
3
Log
2
Log 243 + co log16 + co log 2
n=
+1
Log1, 5
2. a = 2
3 , 31133 + 2 , 09151+ 1 , 22184
0 , 60206 + 1 , 522879
0 , 62468
n=
+1
0 ,124939
n = 4 , 999879 + 1
n = 5 , 999879
n ≅6
u=
2 , 38461+ 2 , 79588 + 1 , 69897
+1
0 ,176091
0 , 87946
+ 1 = 4 , 994 + 1 n = 5 , 994 n ≅ 6
n=
0 ,176091
+1
n=
625
5
r = = 2,5
8
2
625
Log
+ Co log 2
8
+1
n=
Log 2 , 5
5. a = 2 u =
3. a = 4 u = 512 r = 8 ÷ 4 = 2
Log 512 + Co log 4
n=
+1
Log 2
n=
Log 625 + Co log 8 + Co log 2
+1
Log 2 , 5
2 , 79588 + 1 , 09691+ 1 , 69897
+1
0 , 39794
1, 59176
+1 = 4 +1 = 5
n=
0 , 39794
2 , 70927 + 1 , 39794
+1
0 , 30103
2 ,10721
n=
+1 = 7 +1 = 8
0 , 30103
n=
n=
EJERCICIO 303
1. c = 500
r = 0 , 06
t=3
C = 500 (1 + 0 , 06)
2. c = 3 . 500
r = 0 , 07
t=5
C = 3.500 (1 + 0 , 07)
3
5
C = 500 (1, 06)
3
Log C = Log 500 (1 , 06)
Log C = Log 500 + 3 log 1 , 06
Log C = 2 , 69897 + 3 (0 , 02531)
Log C = 2 , 7749
Anti log 2 , 7749 = $ 595 , 51
C = 8 .132 (1 + 0 , 09)
10
Log C = Log 3.500 (1, 07)
5
3
3. c = 8 .132 r = 0 , 09 t = 10
Log C = Log 3.500 + 5 Log 1, 07
= 3 , 54407 + 5(0 , 02938)
= 3 , 54407 + 0 ,1469
Log C = 3 , 69097
Anti log 3 , 69097 = 4 . 908 , 94 soles
Log C = Log 8 .132 (1, 09)
10
= Log 8 .132 + 10 Log 1, 09
= 3 , 91020 + 10 (0 , 03743)
= 3 , 91020 + 0 , 3743
Log C = 4 , 2845
Anti log 4 , 2845 = 19 . 253 , 070 bs.
4. c = 930
r = 0 , 035 t = 7
8. c = 800
C = 930 (1 + 0 , 035)
7
t=4
r=
0 , 03
= 0 , 015
2
C = 800 (1 + 0 , 015)
4
Log C = Log 930 (1, 035)
7
Log C = Log 800 (1 + 0 , 015)
4
= Log 930 + 7 Log 1, 035
= Log 800 + 4 log 1, 015
= 2 , 9684829 + 7 (0 , 0149403)
= 2 , 90309 + 4 (0 , 00647)
= 2 , 9684829 + 0 , 01045821
Log C = 3 , 073065 Anti log 3 , 073065 = $ 1.183 , 2186
5. C = 12 . 318 t = 6
17
4 , 25
= 4 , 25 ⇒
= 0 , 0425
r = 4 41 =
4
100
C = 12 . 318 (1 + 0 , 0425)
= 2 , 90309 + 0 , 02588
Log C = 2 , 92897 Anti log C = $ 849 , 09
9. c = 900
t=
12
=4
3
r=
C = 900 (1 + 0 , 01)
0 , 04
= 0 , 01
4
4
Log C = Log 900 + 4 log 1 , 01
= 2 , 954242 + 4 (0 , 004321)
6
Log C = Log 12 . 318 (1, 0425)
6
= Log 12 . 318 + 6 Log 1, 0425
= 4 , 0905402 + 6 (0 , 018076)
= 4 , 0905402 + 0 ,108456
Log C = 4 ,1989962
Anti log 4 ,1989962 = $ 15.812 , 34204
= 2 , 954242 + 0 , 017284
= 2 , 971526
Anti log 2 , 971526 = $ 936 , 54
10. r = 0 , 05
c=
C = 972 , 60
972 , 60
t=4
(1 + 0 , 05)
4
Log c = log 972 , 6 + 4 co log 1, 05
6. C = 24 .186 t = 7
11
5,5
= 0 , 055
r = 5 21 = = 5 , 5 ⇒
2
100
C = 24 .186 (1 + 0 , 055)
7
Log C = Log 24 .186 (1, 055)
7
= Log 24 .186 + 7 log 1, 055
= 4 , 383564 + 7 (0 , 0232524)
= 4 , 383564 + 0 ,1627668
Log C = 4 , 5463308
Anti log 4 , 5463308 = 35.182 , 83244 sucres
t=5
7. C = 54 . 293
15
3 , 75
= 3 , 75 ⇒
= 0 , 0375
r = 3 43 =
4
100
Log C = Log 54 . 293 (1, 0375)
= 2 , 987934 + 4 (1 , 978811)
= 2 , 987934 − 0 , 084756
Log c = 2 , 903178
Anti log 2 , 903178 = $ 800 ,16
11. C = 1. 893 , 5 t = 6
9
4 ,5
= 0 , 045
r = 4 21 = = 4 , 5 ⇒
2
100
1. 893 , 5
c=
(1 + 0 , 045)6
Log c = log 1.893 , 5 + 6 co log 1 , 045
= 3 , 277265 + 6 ( 1 , 980883)
= 3 , 277265 − 0 ,114702
= 3 ,162563
Anti log 3 , 162563 = $ 1. 454 , 02
12. C = 54 .198 ,16
5
= Log 54 . 293 + 5 log 1, 0375
= 4 , 734743 + 5(0 , 015988)
= 4 , 734743 + 0 , 07994
= 4 , 814683
Anti log 4 , 814683 = $ 65. 265 , 399
c=
r = 0 , 08 t = 7
54 .198 ,16
(1+ 0 , 08)
7
Log c = log 54 .198 ,16 + 7 co log 1, 08
= 4 , 733984 + 7 (1 , 966576)
= 4 , 733984 − 0 , 233968
Log c = 4 , 500016
Anti log 4 , 500016 = 31. 623 , 9 ≅ 31. 624 Q.
16. c = 6 . 354
13. c = 600 r = 0 , 03 C = 695 , 56
Log 695 , 56 − Log 600
t=
Log1, 03
2 , 842334 − 2 , 778151
t=
0 , 012837
0 , 064183
t=
= 4 , 9998 ≅ 5 años
0 , 012837
14. c = 1. 215 C = 1. 709 , 61 r = 0 , 05
t=
t=
t = 4 C = 7 .151, 46
Log 7 .151, 46 − Log 6 . 354
4
3 , 854394 − 3 , 803047
=
4
Log (1 + r ) =
Log (1 + r ) = 0 , 012836
Anti log 0 , 012836 = 1, 03
1 + r = 1, 03
Log 1. 709 , 61− log 1. 215
r = 0 , 03 ⇒ 3 %
Log (1 + 0 , 05)
3 , 232897 − 3 , 084576
0 , 021189
17. c = 900
r = 0 , 05
C = 900 (1 + 0 , 05)
1
t = 2 + = 2 , 33333
3
2 , 33333
0 , 148321
= 7 años
t=
0 , 021189
15. c = 800 t = 4 C = 1. 048 , 63
Log C = Log 900 + 2 , 33333 log 1 , 05
= 2 , 954242 + 2 , 33333(0 , 0211892)
log 1. 048 , 63 − log 800
Log (1 + r ) =
4
3 , 020622 − 2 , 903089
Log (1 + r ) =
4
0 , 117533
= 0 , 029384
Log (1 + r ) =
4
Anti log 0 , 029384 = 1, 07
1 + r = 1, 07
r = 0 , 07 ⇒ 7 %
= 2 , 954242 + 0 , 049441
= 3 , 003683
Anti log 3 , 003683 = 1. 008 , 52
Los int ereses producidos represen tan
la diferencia entre la suma inicial y lo
que se ha convertido
⇒ Intereses producidos = 1. 008 , 52 − 900
= $ 108 , 52
EJERCICIO 304
1. c = 40 . 000 r = 0 , 05
t = 10
40 . 000 (0 , 05)(1, 05)
10
a=
(1, 05) − 1
Log (1, 05) = 10 Log 1, 05
= 10 (0 , 0211892)
10
10
= 0 , 211892
Anti log 0 , 211892 = 1, 62889
Log a = log 40 . 000 + log 0 , 05 + log 1 , 62889 + co log 0 , 62889
= 4 , 602059 + 2 , 69897 + 0 , 211892 + 0 , 2014253
= 3 , 7143463
Anti log 3 , 7143463 = $ 5.180 , 21
2. c = 85. 000 r = 0 , 03 t = 12
5. c = 3 . 000 r = 0 , 06 t = 5
a = 3 . 000 ⋅ 0 , 237396
a = 712 ,188 ≅ 712 , 19 bs.
85. 000 (0 , 03)(1 + 0 , 03)
12
a=
(1+ 0 , 03) − 1
Log (1, 03) = 12 log 1, 03
= 12 (0 , 012837)
12
12
= 0 ,154044
Anti log 0 , 154044 = 1, 425761
Log a = log 85. 000 + log 0 , 03 + log 1 , 425761 + co log 0 , 425761
= 4 , 929418 + 2 , 477121 + 0 ,154044 + 0 , 370834
= 3 , 931417
Anti log 3 , 931417 = 8 .539 , 2 soles
3. c = 600 . 000 r = 0 , 05
(1, 06) − 1
5
180 (1 , 338226)
a=
0 , 338226
240 , 88068
0 , 338226
a = 712 ,1885367 ≅ 712 , 19 bs.
a=
NOTA:
0 , 237396 → Vr. que aparece
en la tabla de int erés compuesto
decreciente para el 6% en 5 años.
1 , 338226 → Vr . que aparece
en la tabla de int erés compuesto
para el 6% a 5 años.
t = 20
600 . 000 (0 , 05)(1 + 0 , 05)
20
a=
3 . 000 (0 , 06)(1 , 06)
5
a=
(1 + 0 , 05) − 1
Log (1, 05) = 20 log 1, 05
= 20 (0 , 0211892)
20
20
= 0 , 423784
Anti log 0 , 423784 = 2 , 65328
Log a = log 600 . 000 + log 0 , 05 + log 2 , 65328 + co log 1 , 65328
6. c = 12 . 000 r = 0 , 07 t = 12
a = 12 . 000 ⋅ 0 ,125902
a = 1. 510 , 824 bs.
= 5 , 778151 + 2 , 69897 + 0 , 423784 + 1 , 781653
= 4 , 682558
Anti log 4 , 682558 = $ 48 .145 , 75
7. c = 350 . 000
4. c = 5 ' 000 . 000
r = 0 , 06
t = 30
5 ' 000 . 000 (0 , 06)(1 + 0 , 06)
30
a=
(1+ 0 , 06) − 1
r = 4 21 % t = 3
a = 350 . 000 ⋅ 0 , 363773
a = 127 . 320 , 55 sucres
8. c = 425 . 000 r = 6% t = 10
a = 425 . 000 ⋅ 0 ,135868
a = 57 . 743 , 9 soles
30
Log (1, 06) = 30 log 1, 06
30
= 30 (0 , 025306)
= 0 , 75918
Anti log 0 , 75918 = 5 , 7435
log a = log 5 ' 000 . 000 + log 0 , 06 + log 5 , 7435 + co log 4 , 7435
= 6 , 69897 + 2 , 778151 + 0 , 75918 + 1 , 323901
= 5 , 5602
Anti log 5 , 5602 = 363. 245 , 2 bs.
9. c = 90 . 750 r = 5% t = 25
a = 90 . 750 ⋅ 0 , 070952
a = 6 . 438 , 894 bs.
10. c = 73 . 550 r = 5 21 % t = 30
a = 73 . 550 ⋅ 0 , 068805
a = 5 . 060 , 60775 ≅ 5 . 060 , 61 bs.
11. c = 473 . 000 r = 3 21 %
t=9
a = 473 . 000 ⋅ 0 ,131446
a = 62 .173 , 958 ≅ 62 .173 , 96 sucres
12. c = 45. 800 r = 4%
a = 45.800 ⋅ 0 , 057830
t = 30
a = 2 . 648 , 614 soles
45. 800 (0 , 04)(1, 04)
30
a=
(1, 04) − 1
Log (1, 04) = 30 log 1, 04
= 30 (0 , 017033)
30
30
= 0 , 51099
Anti log 0 , 51099 = 3 , 243321
Log a = Log 45.800 + log 0 , 04 + log 3 , 243321 + co log 2 , 243321
= 4 , 660865 + 2 , 60206 + 0 , 510989 + 1 , 649108
= 3 , 423022
Anti log 3 , 423022 = 2 . 648 , 61 soles
EJERCICIO 305
1. c = 30 . 000 r = 0 , 06 t = 9
30 . 000 (0 , 06)
i=
(1+ 0 , 06)10 − (1+ 0 , 06)
Log (1, 06) = 10 log 1 , 06
10
= 10 (0 , 02531)
= 0 , 2531
Anti log 0 , 2531 = 1 , 791018
Log i = Log 30 . 000 + log 0 , 06 + co log 0 , 731018
3. c = 200 . 000 r = 0 , 05
i=
(1, 05) − 1, 05
Log (1, 05) = 41log 1 , 05
= 41(0 , 0211892)
Anti log 3 , 391344 = $ 2 . 462 , 38
2. c = 90 . 000 r = 0 , 04 t = 20
i=
90 . 000 (0 , 04)
(1, 04) − 1, 04
21
En la tabla de int erés
compuesto (1, 04) = 2 , 278768
21
Log i = Log 90 . 000 + log 0 , 04 + co log 1, 238768
= 4 , 95424 + 2 , 60206 + 1 , 90701
= 3 , 4633
Anti log 3 , 4633 = 2 . 906 , 03 sucres
41
41
= 0 , 868757
Anti log 0 , 868757 = 7 , 391915
Log i = Log 200 . 000 + log 0 , 05 + co log 6 , 341915
= 5 , 30103 + 2 , 69897 + 1 ,19777
= 4 , 477121 + 2 , 778151 + 0 ,136072
= 3 , 391344
200 . 000 (0 , 05)
t = 40
= 3 ,19777
Anti log 3 ,19777 = $ 1. 576 , 79
4. c = 40 . 000 r = 0 , 06 t = 25
i=
40 . 000 (0 , 06)
(1, 06) − 1, 06
(1, 06) → 4 , 549383
26
26
Log i = log 40 . 000 + log 0 , 06 + co log 3 , 489383
= 4 , 60206 + 2 , 778151 + 1 , 457251
= 2 , 837462
Anti log 2 , 337462 = $ 687 , 79