Национальный исследовательский университет
«МИЭТ»
Основы управления
техническими системами
Лекция №4
1
Анализ устойчивости технических САУ
План лекции
1. Определение устойчивости системы управления по корням
характеристического уравнения системы.
2. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица. Частные
случаи критерия Гурвица: n=1; n=2; n=3.
3. Частотный критерий устойчивости Найквиста. Частные случаи
критерия Найквиста для статической и астатической систем.
4. Определение устойчивости замкнутой САУ по переходам
годографа АФХ отрезка действительной оси (-, -1).
5. Определение устойчивости замкнутой системы по ЛЧХ
разомкнутой. Понятие и оценка запасов устойчивости
замкнутой САУ.
6. Оценка критического (предельного) коэффициента усиления
замкнутой системы по ЛЧХ разомкнутой. Примеры.
2
Анализ устойчивости технических САУ
Основные понятия об устойчивости (Л3)
а)
1, 2 – процесс устойчивый;
б)
в)
3 – процесс неустойчивый
3
Устойчивость технических САУ
Определение устойчивости систем по корням
характеристического уравнения (Л3)
n
y(t)
x(t)
d (i ) y
W ( p) 
Ф( p ) 

j 0
Y ( p)
 при н.н.у.
X ( p)
n

bj p j
j o
A( p) 
d ( j) x
 ai dt (i)  b j dt ( j )
i 0
m
m
ai pi - ПФ замкнутой
системы
i 0
n
характеристическое
 ai p -уравнение
системы
i
i o
pi   i  ji
Re pi  0
y (t ) 
n
 Ci e
i 1
Сi
pi t
pi   i - корень вещественный
4
Устойчивость технических САУ
(продолжение)
Определение устойчивости систем по корням
характеристического уравнения
Определение 1:
а). Линейная система будет устойчива тогда и только
тогда, если вещественные части всех корней
характеристического уравнения будут отрицательными.
б). Линейная система будет неустойчива, если хотя бы
один корень будет иметь положительную вещественную
часть.
в). Линейная система будет находиться на границе
устойчивости, если хотя бы один корень будет иметь
вещественную часть, равную нулю, а остальные меньше нуля.
5
Устойчивость технических САУ
(продолжение)
Определение устойчивости систем по корням
характеристического уравнения
Определение 2:
Линейная САУ устойчива тогда и только тогда, когда все
корни характеристического уравнения располагаются
слева от мнимой оси на комплексной плоскости корней.
pi
Rе pi
6
Критерии устойчивости
- это правила, по которым можно определить устойчивость
систем, не решая характеристического уравнения.
Критерий устойчивости Гурвица
(алгебраический)
- позволяет определить устойчивость системы по
коэффициентам ее характеристического уравнения:
A( p)  a 0 p n  a1 p n 1  ...  a n 1 p 1  a n
Из коэффициентов ai составляется матрица Гурвица и
определители Гурвица:
a1
a0
0
0
...
0
a3
a2
a1
a0
…
…
a5
a4
a3
a2
…
…
…
...
…
a4...
…
an-2
0
0
0
0
0
an
1  a1
a1
a3
a0
a2
a1
 3  a0
a3
a2
a5
a4
0
a1
a3
2 
7
Критерий устойчивости Гурвица
(продолжение)
Определение: система устойчива тогда и только тогда, когда
•
коэффициент a0 > 0 и все определители Гурвица Δi > 0.
Условие ai > 0 является необходимым условием устойчивости.
Частные случаи:
1). n =1
A( p)  a0  p  a1
- необходимое и достаточное условие:
2).
n  2  A( p)  a0 p 2  a1 p  a2
необходимое и достаточное условие:
a0  0, a1  0
a0  0; a1  0; a2  0,
3). n  3  A( p)  a0 p 3  a1 p 2  a 2 p  a3
ai  0
a1a 2  a0 a3  0.
2 
a1
a0
a1
a3
0
 0  3  a0
a2
0
a2
0   3  a3   2
a1
a3
a3
8
Пример 1
Задание: пользуясь критерием Гурвица, определить устойчивость
разомкнутой системы и устойчивость замкнутой системы.
p2
W ( p)  2
p 1
Решение
A раз ( p)  p 2  1
a 0 p 2  a1 p  a 2,
n = 2;
.
a 0  1; a1  0; a 2  1, сл., разомкнутая система неустойчива.
W ( p)
p2
( p ) 
 2
1  W ( p) p  1  p  2
Aзам кн( p )  p 2  p  1
a0  1; a1  1; a2  1, n  2. , сл., замкнутая система устойчива.
9
Пример 2 (из ЛР№3, САУ с И-законом управления)
Задание: пользуясь критерием Гурвица, определить устойчивость замкнутой
системы. Вычислить критический коэффициент усиления.
k
W ( p) 
,
p(T1 p  1)(T2 p  1)
где k = 0,1 c-1; T1 = 1 c; T2 = 1 c;
Решение
n  3  A( p)  a0 p 3  a1 p 2  a 2 p  a3
ai  0
2 
.
a1
a3
a0
a2
0
a1a 2  a0 a3  0.
a1a2  a0 a3  0
- граница устойчивости;
Aзам(p)=T1T2p3+(T1+T2)p2+p+k;
a0=T1T2; a1=T1+T2; a2=1; a3=k;
(Т1+Т2)·1 > Т1Т2·k;
2 > 0,1;
сл., замкнутая система устойчива.
(T1+T2)·1 = T1T2·kкр – граница устойчивости;
kкр=(T1+T2)/T1T2 = 2.
10
Критерий устойчивости Найквиста
(частотный)
- позволяет определить устойчивость замкнутой системы
по ЧХ разомкнутой.
Определение 1. Замкнутая система устойчива, если годограф
АФХ разомкнутой системы при изменении ω от 0 до 
охватывает точку (-1, j0) в положительном направлении
r/2 раз, где r – число корней характеристического уравнения
разомкнутой системы в правой полуплоскости.
Пример. r = 2.
Согласно определению
для устойчивости
замкнутой системы при
r =2 нужен один поворот
АФХ разомкнутой вокруг
точки (-1, j0).
Сл., замкнутая система
устойчива.
11
Критерий устойчивости Найквиста
(продолжение)
Частные случаи
1. Система статическая: r  0,   0,
Определение 2. Замкнутая система статическая (r =0, ν =0)
устойчива, если годограф АФХ разомкнутой системы
не охватывает точку (-1, j0).

3
2

3

2
ReW(jω)



ReW(jω)
3
2


2


2


2
12
Критерий устойчивости Найквиста
(продолжение)
Частные случаи
2. Система астатическая: r = 0, ν ≠ 0.
Определение 3. Замкнутая система астатическая (r =0, ν ≠0)
устойчива, если годограф АФХ разомкнутой системы с его
"дополнением в " не охватывает точку (-1, j0).
3

2

ReW(jω)


3
2
ImW(jω)
ReW(jω)

3
2
ReW(jω)

2
"Дополнение в " есть дуга окружности бесконечно большого радиуса,
образованная поворотом этого радиуса от положения при ω=0 с

13
действительной оси в отрицательном направлении на угол 
.
2
Критерий устойчивости Найквиста
(продолжение)
Определение 4. Замкнутая система устойчива, если разность
между числами положительных и отрицательных переходов
отрезка действительной оси (-, -1) годографом АФХ
разомкнутой системы равняется r/2, где r -…:
( n)   ( n)   r

r =2
2
3
2
r =1
r =1


2-1 = r/2


2


2
1-1/2 = r/2
0-1/2 ≠ r/2

2
14
Определение устойчивости замкнутой САУ
по ЛЧХ разомкнутой
ср
0
ср
Переход ЛЧХ - это переход
фазочастотной характеристикой φ(ω)
значения (-π) при положительных
значениях ЛАЧХ L(ω)>0.
Определение 5. Замкнутая система
устойчива, если разность между числами
положительных и отрицательных
переходов ЛЧХ разомкнутой системы
равняется r/2, где r – …..
( n)   ( n)   r
2
15
Оценка запасов устойчивости
замкнутой системы по ЛЧХ разомкнутой
L(), дБ
(), рад
ср
0
кр
 - запас устойчивости по фазе;
lg 
Lh - запас устойчивости по
амплитуде.
 


ImW ( j)
3
2
ср - частота среза
кр – частота критическая
Для работоспособной системы
запасы устойчивости:
кр
ReW ( j)
ср

0
Lh ≥ 15 ÷25 дБ
 ≥ 30 ÷ 50 град.

2
16
Оценка предельного коэффициента усиления
1). Статическая система (ν = 0)
а). Исходная
система устойчива
На границе
устойчивости:
К = Кпред
20lgКпред= 20lgКуст+Lh
L(ср )  0
(ср )  
б). Исходная
система
неустойчива
17
Оценка предельного коэффициента усиления
2). Астатическая система 1-го порядка астатизма (ν = 1)
а). Исходная
система
устойчива
K
W ( p)  Wo ( p)
p
б). Исходная
система
неустойчива
18
Оценка предельного коэффициента усиления
3). Астатическая система
2-го порядка астатизма
(ν = 2)
а). Исходная
система
устойчива
W ( p) 
K
p
2
Wo ( p)
б). Исходная
система
неустойчива
19
Пример
Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:
k (T1 p  1)
W ( p) 
,
p(T2 p  1)(T3 p  1)
где k = 100 с-1; Т1 = 1 с; Т2 = 10 с; Т3 = 0,01 с.
Оценить устойчивость замкнутой системы, запасы устойчивости и
предельный коэффициент усиления по ЛЧХ разомкнутой.
-20 дБ/дек
60
Решение
( n)   ( n)   r
(), град
L(), дБ
–40 дБ/дек
2
r = 0;
0 = 0,
40
–20 дБ/дек
сл., замкнутая
система устойчива.
–270
20
2
01=0,5
0=0,2
1
ср
10
1

 ≈?
3
–180

100
ω
Lh ≈ ?
–90
Lск()
()
–40 дБ/дек
Кпред ≈ ?
0
20
Корреляция ЛАЧХ и ЛФЧХ САУ (к КР№1)
Пример 1
Системы
минимально-фазовые
наклон L(ω) – знач-е φ(ω)
0 дб/дек 0°
-20дб/дек - -90°
-40дб/дек -180°
-60дб/дек -270°
+20 дб/дек +40дб/дек +60дб/дек -
+90°
+180°
+270°
21
Корреляция ЛАЧХ и ЛФЧХ САУ (к КР№1)
Системы
минимально-фазовые
Пример 2
наклон L(ω) – знач-е φ(ω)
0 дб/дек 0°
-20дб/дек - -90°
-40дб/дек -180°
-60дб/дек -270°
+20 дб/дек +40дб/дек +60дб/дек -
+90°
+180°
+270°
22
Корреляция ЛАЧХ
и ЛФЧХ (к КР№1)
Пример 3
наклон L(ω) – знач-е φ(ω)
0 дб/дек 0°
-20дб/дек - -90°
-40дб/дек -180°
-60дб/дек -270°
+20 дб/дек +40дб/дек +60дб/дек -
+90°
+180°
+270°
(Внимание: ЛФЧХ –
неверна, годограф
АФХ – неверен)
Системы
минимально-фазовые