LABORATORIYA ISHI №5
TANLANMANING BOSHLANGʻICH STATISTIK TAHLILI.
Tanlanmani boshlangʻich statistik tahlilida – tanlanma oʻrganish uchun qulay
holatga keltiriladi. Buning uchun birinchi navbatda tanlanma hajmi va tanlanmada
qatnashgan elementlarning minimum va maksimumlariga eʼtibor beriladi. Ushbu
kattaliklarga qarab variatsion qator tuziladi. Variatsion qatorlar 3 turga boʻlinadi:
1. Ranjirlangan variatsion qator;
2. Diskret variatsion qator;
3. Oraliqli variatsion qator.
Taʻrif 1. Tanlanma hajmi n kichik boʻlganda bu tanlanmaning alohida qiymatlari
x1,x2,…,xn larni o‘sish (yoki kamayish) tartibida joylashishidan hosil boʻlgan
x(1)≤x(2)≤x(3) ≤…..≤x(n) qatorga ranjirlangan variatsion qator deyiladi.
Misol. Tasodifiy ravishda potokdagi 5 ta talabadan oldingi semestrda
matematikadan olgan ballarini surishtirdik natijada faraz qilaylik: 81; 76; 93; 62; 71
sonlar hosil boʻldi deylik. Ushbu maʼlumotlar tanlanma toʻplam boʻlib, tanlanma
hajmi n=5 kichik boʻlgani uchun bu sonlarni oʻsish tartibida tartiblashtirishdan hosil
boʻlgan: 62; 71; 76; 81; 93 qator ranjirlangan variatsion qator boʻladi.
Taʼrif 2. Agar tanlanma hajmi n katta, tanlamada qatnashgan xmin va xmax lar
oʻrtasidagi farq esa kichik boʻlsa, u holda tanlanmada qatnashgan 𝑥𝑖 variantalar va
ularning takrorlanganlik chastotalari 𝑛𝑖 lar keltirilgan qatorga diskret variatsion
qator deyiladi.
Misol. Aytaylik potokda 50 ta talaba boʻlib, ulardan oldingi semestrda matematika
fanidan 1-imtixon natijalari haqida maʼlumot yigʻildi deylik. Natijada 2, 3, 4, 5
baholardan iborat boʻlgan aralash-quralash 50 ta songa ega boʻlamiz. Demak
tanlanma hajmi n=50 katta, 𝑥𝑚𝑖𝑛 = 2, 𝑥𝑚𝑎𝑥 = 5 lar orasidagi farq esa kichik bolgani
uchun, bunday maʼlumotlarni tahlil qilish uchun diskret variatsion qator tuziladi.
Aytaylik 12 kishi 2 baho, 14 kishi 3 baho, 18 kishi 4 baho, 6 kishi 5 baho olganligi
sanab chiqdik deb faraz qilsak, bu maʼlumot quyidagicha diskret variatsion qator
koʻrinishida yoziladi:
𝑥𝑖
𝑛𝑖
2
12
3
14
4
18
5
6
QUYIDAGICHA ISHLAR AMALGA OSHIRILSIN
Har bir talaba guruh jurnalidagi tartib raqamiga mos variant maʼlumotlarini Я.К.
Кольде “Практикум по теории вероятностей и математической статистике”
nomli kitobdan (105-148 betlar) olib, quyidagicha ishlarni amalga oshirishi lozim.
Hisoblashlar ikki xil usulda amalga oshirilsin:
1. Formulalar yordamida talabaning oʻzi mustaqil ravishda.
2. Excel dasturlar paketi yordamida.
D tanlamaning F1 ustuni boʻyicha
1) Variatsion qator tuzilsin;
2) Tanlanma oʻrta qiymat;
3) Tanlanma dispersiya;
4) Tanlanma oʻrtacha kvadratik chetlanish;
5) Moda;
6) Mediana
lar hisoblansin.
A tanlanma boʻyicha:
1) Variatsion qator tuzilsin;
2) Nisbiy chastotalar aniqlansin;
3) Yigʻma chastotalar aniqlansin;
4) Variatsion qator poligoni chizilsin;
5) Variatsion qator gistogrammasi chizilsin;
6) Emperik funksiya taqsimoti tuzilsin;
7) Emperik funksiya taqsimoti grafigi chizilsin;
8) Tanlanma oʻrta qiymat hisoblansin;
9) Tanlanma dispersiya hisoblansin;
10)
Tanlanma oʻrtacha kvadratik chetlanish hisoblansin;
11)
Moda topilsin;
12)
Mediana topilsin
0-variantdagi A va D tanlanmalardagi maʼlumotlarni keltirib yuqorida qoʻyilgan
savollarga javob topamiz:
0-Variant
D tanlamaning F1 ustuni boʻyicha
1) F1 ustun 57, 60, 51, 67 sonlardan iborat, ularni oʻsish yoki kamayish
tartibida tartiblashtirib chiqamiz:
57, 60, 51, 67 – tanlanma
51, 57, 60, 67 – ranjirlangan variatsion qator
𝑥 +𝑥2 +⋯+𝑥𝑛
2) Tanlanma oʻrta qiymat: 𝑥̅ = 1
𝑛
=
51+57+60+67
4
2
2
=
235
= 58.75
4
𝑥1 +𝑥2 +⋯+𝑥𝑛 2
̅̅̅2 − (𝑥̅ )2 = 𝑥1 +⋯+𝑥𝑛 − (
3) Tanlanma dispersiya; 𝑆̅ 2 = 𝑥
𝑛
) =
𝑛
512 + 572 + 602 + 672
=
− (58.75)2 = 91.9375
4
4) Tanlanma oʻrtacha kvadratik chetlanish: 𝑆̅ = √𝑆̅ 2 = √91.9375 = 9.5884
5) Ranjirlangan variatsion qatorlarda Moda aniqlanmaydi.
6) Mediana, tanlanma hajmi juft boʻlgani uchun:
𝑥[𝑛]+1 agar 𝑛 − toq boʻlsa,
2
57+60
𝑀𝑒 = {𝑋𝑛+𝑋𝑛+1
=
= 58.5 ni tashkil qiladi.
2
2
2
, agar 𝑛 − juft boʻlsa
2
A tanlanma boʻyicha:
Quyidagicha yordamchi jadval toʻldirib olamiz:
𝑥𝑖
𝑛𝑖
𝑛𝑖
𝑛
Yigʻma
chastotalar
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0,011
0,011
5
0,053
0,064
14
0,149
0,213
14
0,149
0,362
9
14
0,096
0,149
0,457
0,606
20
0,213
0,819
8
0,085
0,904
8
1
0,085
0,011
0,989
1
94
1.000
𝑥𝑖 − 𝑐
𝑘
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
𝑥𝑖 − 𝑐
) ∙ 𝑛𝑖
𝑘
-6
-25
-56
-42
-18
-14
0
8
16
3
-134
(
(
𝑥𝑖 − 𝑐 2
)
𝑘
36
25
16
9
4
1
0
1
4
9
(
𝑥𝑖 − 𝑐 2
) ∙ 𝑛𝑖
𝑘
36
125
224
126
36
14
0
8
32
9
610
Ushbu jadvalda yuqorida qoʻyilgan 1),2),3) savollarga javob berildi.
4) Variatsion qator poligoni:
Buning uchun variatsion qatordagi nisbiy chastotalar ustunini ajratib olib,
Excel → Вставка → Диаграммы → График → График с маркерами
buyruqlaridan foydalanamiz:
zarur yozuvlar va bezashlar kiritib, quyidagicha variatsion qator poligoniga ega
boʻlamiz:
5) Variatsion qator gistogrammasi:
Buning uchun variatsion qatordagi nisbiy chastotalar ustunini ajratib olib,
Excel → Вставка → Диаграммы → Гистограмма → Гистограмма с
накоплением buyruqlaridan foydalanamiz:
zarur yozuvlar va bezashlar kiritib, quyidagicha variatsion qator gistogrammasiga
ega boʻlamiz:
6)Emperik funksiya taqsimotining analitik koʻrinishi quyidagicha koʻrinishda
boʻladi:
аgar х  x1 bolsa
0,
0,
n
0.011
 1,
аgar х1  х  x 2 bolsa
0.064
n
0.213
n n
1
2
0.362
  ,
аgar x 2  x  x3 bolsa
Fn ( x)   n n
= 0.457
............................................................
0.606

0.819
 n1  ...  n k 1 , аgar х  x  x bolsa 0.904
k 1
k
n
n
0.989

{
1
аgar х  х k bolsa
1,
𝑥<0
0≤𝑥<1
1≤𝑥<2
2≤𝑥<3
3≤𝑥<4
4≤𝑥<5
5≤𝑥<6
6≤𝑥<7
7≤𝑥<8
8≤𝑥<9
9≤𝑥
Taqsimot funksiya qabul qilgan qiymatlar esa jadvalimizning yigʻma chastotalar
ustunida topib, tayyorlab qoʻyganmiz.
7) Emperik taqsimot funksiya grafigini chizish uchun, yigʻma chastotalar ustunidagi
ajratib koʻrsatilgan sonlar massivi uchun gistogramma chizishda qilingan ishlar
ketma-ketligini amalga oshirsak boʻladi:
EMPERIK TAQSIMOT FUNKSIYA
1,200
1,000
0,989
1,000
8
9
0,904
0,819
0,800
0,606
0,600
0,457
0,362
0,400
0,213
0,200
0,011
0,064
0
1
0,000
2
3
4
5
6
7
8) Tanlanma oʻrta qiymat - 𝑥̅ ni hisoblaymiz:
Tanlanma oʻrta qiymatni qoʻlda hisoblashni soddalashtiradigan quyidagicha
formuladan hisoblaganimiz maqsadga muvofiq, bunda k- varianta 𝑥𝑖 larning
oʻzgarish qadami, c-umuman olganda ixtiyoriy son, lekin eng koʻp qatnashgan 𝑥𝑖 ga
teng deb olinsa hisoblashlar soddalashadi: k=1; c=6, zarur boʻlgan barcha
hisoblashlar jadvalda amalga oshirilgan, kerakli miqdorlarni formulaga qoʻyib
tanlanma oʻrta qiymat miqdorini topamiz:
𝑥𝑖 − 𝑐
∑𝑚
−134
𝑖=1 ( 𝑘 ) ∙ 𝑛𝑖
𝑥̅ =
∙
𝑘
+
𝑐
=
∙ 1 + 6 = 4.5745
∑𝑚
94
𝑖=1 𝑛𝑖
Ushbu ishni Excel dasturlar paketida maxsus buyruqlar yordamida amalga oshirsak
ham boʻladi:
Excel → 𝒇𝒙 → категория oynasidan → статистические → СРЗНАЧ →
Число1 → tanlanma maʼlumotlari kiritilgan yacheykalar oʻrnini koʻrsatish kifoya
(izoh: ajratib koʻrsatishda boʻsh yacheykalarni ham kirishi natijaga taʼsir qilmaydi,
dastur ularni 0 emas, balki hech narsa yoʻq deb qabul qiladi)
9) Tanlanma dispersiyani hisoblashni quyidagicha formula bilan amalga oshirish
mumkin, buning uchun zarur boʻlgan barcha hisoblashlarni jadvalda topib
qoʻyganmiz:
𝑥𝑖 − 𝑐 2
∑𝑚
(
) ∙ 𝑛𝑖
610 2
𝑖=1
𝑘
2
2
2
̅
(𝑥̅
𝑆 =
∙
𝑘
−
−
𝑐)
=
∙ 1 − (4.5745 − 6)2 = 4,45722
𝑚
∑𝑖=1 𝑛𝑖
94
Excel → 𝒇𝒙 → категория oynasidan → статистические → ДИСП.Г → Число1
→ tanlanma maʼlumotlari kiritilgan yacheykalar oʻrnini koʻrsatish kifoya
Natijada qoʻlda hisoblashda ham Excelda hisoblashda ham ham bir xil natijaga ega
boʻlamiz.
10) Tanlanma oʻrtacha kvadratik chetlanish:
𝑆̅ = √𝑆̅ 2 = √4.45722 = 2.111
Excel → 𝒇𝒙 → категория oynasidan → статистические → СТАНДОТКЛОН.Г
→ Число1 → tanlanma maʼlumotlari kiritilgan yacheykalar oʻrnini koʻrsatish kifoya
11) Moda
Diskret variansion qatorda eng kata chastotaga ega boʻlgan 𝑥𝑖 variantaga teng
boʻladi:
𝑀𝑜 = 6
Excel → 𝒇𝒙 → категория oynasidan → статистические →МОДА.ОДН→
Число1 → tanlanma maʼlumotlari kiritilgan yacheykalar oʻrnini koʻrsatish kifoya
12) Mediana – Me. Tanlanma hajminig yarmi toʻgʻri keladigan 𝑥𝑖 variantaga teng
boʻladi.
Me=5
Excel → 𝒇𝒙 → категория oynasidan → статистические →МОДА.ОДН→
Число1 → tanlanma maʼlumotlari kiritilgan yacheykalar oʻrnini koʻrsatish kifoy
Shunday qilib A tanlanma boʻyicha Excelda qilingan hisoblashlar bor yoʻgʻi bir
varroqni tashkil etadi: