1.1. “1-tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularga qo‟yiladigan koshi masalasini yechish usuli” ma‟ruza mashg„ulotining ta‟lim texnologiyasi modeli 1-ma‟ruza Vaqt-2 soat O'quv mashg'uloti shakli Mashg'ulot rejasi Asosiy tushuncha va atamalar Ma‟ruza mashg'ulotining maqsadi 1-tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularga qo‟yiladigan koshi masalasini yechish usuli Talabalar soni: 50 nafar ma`ruza; yangi bilimlarni mustahkamlash va o‟rganish 1.Birinchi tartibli xususiy hosilali tenglamalarni sinflash. 2.Birinchi tartibli xususiy hosilali bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini va Koshi masalasi yechimini topish usuli. 3.Birinchi tartibli xususiy hosilali bir jinsli bo‟lmagan tenglamaning umumiy yechimi va Koshi masalasi yechimini topish usuli. Xususiy hosilali tenglama, birinchi tartibli, xarakteristik chiziq, birinchi integral, xususiy yechim, umumiy yechim, Koshi masalasi, bir jinsli tenglama, bir jinsli bo‟lmagan tenglama. O‟qv fani to‟g‟risida umumiy ta`surotlar berish, matematik fizika tenglamalari va keyinchalik kasbiy faoliyatidagi roli. Pedagogik vazifalar O'quv faoliyati natijalari 1.O’rgatuvchi: talabalarda qabul qilish 1. Talabalarda qabul qilish faoliyatini tashkil faoliyatini tashkil qilish, yangi materialni qilish, yangi materialni boshlang‟ich esda boshlang‟ich esda qoldirish va anglash; qoldirildi; matematik fizika tenglamalarining matematik fizika tenglamalarining terminlari, terminlari, iboralarini xarakterlovchi iboralarini xarakterlovchi elementlar; elementlar; talabalarning matematik fizika talabalarning matematik fizika tenglamalarining muammoli masalalarni tenglamalarining muammoli masalalarni yechimini mahoratini oshirildi; matematik yechimini mahoratini oshirish; matematik fizika tenglamalarini yechishda matematik fizika tenglamalarini yechishda matematik simvollarning hususiyatlari bilan tanishildi; simvollarning hususiyatlari bilan tanishtirish; 2. Kitob matni bilan ishlay bilishligi – 2.Rivojlantiruvchi: kitob matni bilan ishlay mag‟zlarini tanlab olish, tahlil qilish; gaplar bilishligi – mag‟zlarini tanlab olish, tahlil tuzish, hulosa chiqarish, materialni qilish; gaplar tuzish, hulosa chiqarish, talabalarning izlash faoliyatini stimullashtirish; materialni talabalarning izlash faoliyatini hususiydan umumiy holga o‟tish usuli bilan stimullashtirish; hususiydan umumiy holga tekshirish; tekshirish natijalarini tahlil qilib va o‟tish usuli bilan tekshirish; tekshirish uni umumlashtira olishini rivojlantirish; natijalarini tahlil qilib va uni umumlashtira analitik-sintetik faoliyatning mantiqiy olishini rivojlantirish; analitik-sintetik fikrlashini o‟rganildi; talabalarning ijodiy faoliyatning mantiqiy fikrlashini qo‟llash; mahoratini shakillandi; talabalarning ijodiy mahoratini shakillantirish; 3. aktiv faoliyatga, mustaqil ishga jalb 3.Tarbiyalovchi: aktiv faoliyatga, mustaqil qilish; guruhlarda ishlash qoidalariga rioya qila ishga jalb qilish; guruhlarda ishlash qoidalariga olish; fanni o‟rganishga qiziqishni rioya qila olish; fanni o‟rganishga qiziqishni rivojlantirish; Matematik fizika tenglamalarini rivojlantirish; Matematik fizika tenglamalarini matematik-komunikativ kursni bir qismi matematik-komunikativ kursni bir qismi sifatida tassavur berish; javobgarlik sifatida tassavur berish; javobgarlik tuyg‟ularini tarbiyalash, mehnatsevarlik, tuyg‟ularini tarbiyalash, mehnatsevarlik, individual ishni jamoaviy ish bilan biriktirish, individual ishni jamoaviy ish bilan biriktirish, intizomlashtirishlar o‟rganildi. intizomlashtirish. Ta'lim usuli va texnikasi instruktaj; Ma`ruza, aqliy hujum, “Insert” texnikasi; Ta'lim shakli frontal; jamoaviy; Ta'lim vositalari Ma`ruza matni; jadvallar, multimediya; mashg'ulot bo'yicha o'quv materiallari, proektor, axborot texnologiylari vositalari. Ta'lim berish sharoiti Maxsus texnika vositalari bilan jihozlangan, guruhli shaklda ishlashga mo'ljallangan auditoriya. Manitoring va baholash Og'zaki so'rov, kuzatish. 1.2. " 1-tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularga qo‟yiladigan koshi masalasini yechish usuli " ma‟ruza texnologik xaritasi Ish Ta'lim beruvchi Ta'lim oluvchilar bosqichlari va vaqti 1-bosqich. 1.1. Mavzuning nomi, maqsadi va o'quv Tinglaydilar. Mavzuga kirish faoliyati natijalari bilan tanishtiriladi. yozib oladilar. (10 daqiqa) 1.2. Talabalar o'quv faoliyatini baholash mezonlari bilan tanishtiriladi (1-ilova). Aniqlashtiradilar, 1.3. Talabalarning darsga tayyorgarlik savollar darajasini aniqlash, bilimlarini faollashtirish beradilar. maqsadida tezkor-savollar o'tkaziladi: 1.Birinchi tartibli xususiy hosilali tenglamalarni sinflashni Talabalar bilasizmi? berilgan 2.Birinchi tartibli xususiy hosilali bir jinsli tenglamaning savollarga javob umumiy yechimini va Koshi masalasi yechimini topish beradilar usulini bilasizmi? 3.Birinchi tartibli xususiy hosilali bir jinsli bo‟lmagan tenglamaning umumiy yechimi va Koshi masalasi yechimini topish usulini bilasizmi? Mavzu mazmunining muhokamasi guruhlarda davom etishi e'lon qilinadi. 2- Asosiy 2.1.Talabalarni 4 ta o'quv guruhiga bo'linadi. Mavzu Tinglaydilar; bosqich.(55bo'yicha tarqatma material beriladi (2-ilova). Guruhlarda Guruhlarda daqiqa) 3- bosqich, yakuniy (15 daqiqa) o'quv vazifasini bajarish bo'yicha ishni tashkil qiladi. Har ishlaydilar, bir guruh o'z vazifalarini oladi (3-ilova). O'quv faoliyti Savollarga javob natijalarini eslatadi. izlaydilar. 2.2. Guruhlarda ish boshlanganligini malum Tinglaydilar; qiladi.Vazifani bajarishda o'quv materiallaridan o'qiydilar; foydalanish mumkinligini eslatadi. Talabalarni guruhlarda faollashtirish va bilimlarini mustahkamlash maqsadida ishlaydilar, quyidagi savollar berish mumkin: asosiylarni 1.Birinchi tartibli xususiy hosilali tenglamalarni sinflashni yozadilar. bilasizmi? Tinglaydilar; 2.Birinchi tartibli xususiy hosilali bir jinsli tenglamaning savollar umumiy yechimini va Koshi masalasi yechimini topish beradilar. usulini bilasizmi? Talabalar 3.Birinchi tartibli xususiy hosilali bir jinsli bo‟lmagan berilgan tenglamaning umumiy yechimi va Koshi masalasi savollarga javob yechimini topish usulini bilasizmi? beradilar; misol 2.3. Taqdimot boshlanishini e'lon qiladi. Taqdimot va masalalarni vaqtida javoblarga izoh beradi, to'gri yechimlarga e'tibor daftarda beradi, xatolarni ko'rsatadi. Talabalar bilan birgalikda echadilar. javoblar to'g'riligini baholaydi, savollarga javob beradi. Guruh liderlari 2.4. Guruhlar bajargan ishlari bo'yicha o'z- o'zini topshiriqlar baholaydilar va tekshiradilar. javoblarini 2.5. Javoblarni to'ldiradi va qisqacha xulosalar qiladi. aytadilar. Liderlar o'z guruhlarida baholash o'tkazadilar. 3.1. Mavzu bo'yicha talabalarda yuzaga kelgan savollarga Tinglaydilar.Savo javob beradi, yakunlovchi xulosa qiladi. l beradilar. 3.2. Mashg'ulotda maqsadga erishishdagi, talabalar Tinglaydilar; faoliyati tahlil qilinadi va baholanadi (4 ilovalar). muhokamada 3.3. Mustaqil ish uchun topshiriqlar beriladi (5-ilova) va qatnashadilar. uning baholash mezonlari aytiladi. Topshiriqlarni yozadilar. 1.2.1-ilova Har bir mashg'ulot 0,5 balldan 2 ballgacha baholanadi. Ekspert guruxlarning ish natijalarini baholovchi me'zonlari Me'zonlar Ball Axborotning to'liqligi 1,0 Masala echimining boshqacha usuli, 0,6 illyustratsiyasi(grafik tarzda taqdim etish, ayrim hisoblashlarni aniq % 50 30 Gurux natijalari bahosi 1 2 3 4 ko'rsatish va h.k.) Gurux faolligi (qo'shimcha, berilgan 0,4 savol, javoblarning soni) JAMI 2 86-100% / a'lo" 71-85% / - "yaxshi" 55-70% / - "qoniqarli" 0-54%-- "qoniqarsiz". 20 100 1.2.2-ilova Insert texnikasini qo„llagan holda ish yuritish qoidalari 1. Matnni o„qing. 2. Matn qatorlariga qalam bilan beligilar qo„yib, olingan ma‟lumotni tizimlashtiring: V - ... haqida mavjud bo„lgan bilimlar (ma‟lumotlar) mos keladi - (minus) - ... haqidagi mavjud bilimlarga e‟tiroz bildiradi. + (plyus) - yangi ma‟lumotlar hisoblanadi. ? - tushunarsiz / aniqlik / qo„shimcha ma‟lumot talab qiladi B/Bx/Bo texnikasini qo„llagan holda ish yuritish qoidalari 1. “Insert” texnikasidan foydalanib matnni o„qing. 2. Olingan ma‟lumotlarni tizimlashtiring – matnga qo„yilgan belgilar asosida tablitsa qatorlarini to„ldirib chiqing. B/Bx/Bo (Bilaman / Bilishni xoxlayman / Bilib oldim) № 1 Mavzu savollari Bilam Bilishni an xoxlayma (Q) n (?) Bilib oldim Birinchi tartibli xususiy hosilali tenglamalarni sinflashni bilasizmi? 2 Birinchi tartibli xususiy hosilali bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini va Koshi masalasi yechimini topish usulini bilasizmi? 3 Birinchi tartibli xususiy hosilali bir jinsli bo‟lmagan tenglamaning umumiy yechimi va Koshi masalasi yechimini topish usulini bilasizmi? Aqliy hujum qoidalari Hech qanday o‟zaro baholash va tanqid; Taklif etilayotgan g‟oyalarni baholashdan o‟zingni tiy, hatto ular fantastik va iloji yo‟q bo‟lsa ham – hammasi mumkin; Tanqid qilma – hamma aytilgan g‟oyalar bir xilda; Bayon qiluvchi gapini bo‟lma; Izoh berishdan o‟zingni tiy; Maqsad bu - miqdor; Qancha g‟oyalar ko‟p bo‟lsa shuncha yaxshi: yangi va zarur g‟oya tug‟ulishi imkoniyati ko‟proq Agar g‟oyalar takrorlansa o‟ksinma, Tasavvuringga erk ber; Senda yaralgan g‟oyalarni tashlama, agar ular sening nazaringda qabul qilingan sxemaga tegishli bo‟lmasa ham; Bu muammo aniq usullar bilan yechiladi deb o‟ylama. Guruhlarda ishlash qoidalari Hamma o‟z do‟stlarini tinglashi kerak, unga yaxshi munosabatda bo‟lib hurmar ko‟rsatishi kerak; Hamma aktiv harakat qilishi lozim; berilgan topshiriqqa nisbatan birgalikda va javobgarlik bilan ishlashi kerak; Har kim o‟ziga kerak paytda yordam so‟rashi kerak; Har kim undan yordam so‟ralganda yordam ko‟rsatishi kerak; Guruhning ish natijalarini baholashda ishtirok etishi lozim; Biz bir kemadamiz, o‟zgalarga yordam berib o‟zimiz o‟rganamiz, shuni har kim tushunishi lozim; 1.2. 3-ilova “1-tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularga qo‟yiladigan koshi masalasini yechish usuli” mavzusi bo„yicha tarqatma material 1. Birinchi tartibli xususiy hosilali tenglamalarni sinflash Bu mavzuda biz birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama, uning kvazichiziqli, chiziqli ko‟rinishlari, bir jinsli va bir jinsli bo‟lmagan ko‟rinishlari bilan tanishamiz hamda ushbu tenglamalarninig xususiy va umumiy yechimini uning xarakteristik tenglamasi va birinchi integrallar deb ataluvchi xarakterisytik chiziqlar oilasi orqali qurish usuli haqida to‟xtalamiz. Topilgan umumiy yechim orqali tenglamaga qo‟yilgan Koshi masalasi yechimini topish masalasi ham o‟rganiladi. 1-Ta’rif. u u( x1 , x2 , , xn ) noma’lum funksiya, uning argumentlari va birinchi tartibli xususiy hosilalari qatnashgan differensial tenglamaga birinchi tartibli xususiy hosilali diffrensial tenglama deyiladi va u umumiy holda F ( x1 , x 2 , , x n , u, u x1 , , u xn ) (1) 0 ko’rinishda yoziladi. Bunda F berilgan funksiya. Masalan quyidagi xu x uy 0, u sin( u x 2 xyu y ) xu x , u x u yuz zu x yz , x 2u x zy 2u y 5u z tenglamalar birinchi tartibli xususiy hosilali diffrensial tenglamaga misol bo‟ladi. 2-Ta’rif. Agar (1) birinchi tartibli xususiy hosilali diffrensial tenglama xz b1 ( x1 , , x n , u ) u x1 bn ( x1 , , x n , u ) u xn f ( x1 , , x n , u ) (2) ko’rinishda bo’lsa unga birinchi tartibli kvazichiziqli differensial tenglama deyiladi. Bunda f berilgan funksiya. Agar (2) tenglamada f ( x1 ,, xn , u) 0 bo’lsa unga bir jinsli, aks holda ya’ni qaralayotgan sohada f ( x1 ,, xn , u) 0 bo’lsa (2) tenglamaga bir jinsli bo’lmagan xususiy hosilali kvazichiziqli tenglama deyiladi. Agar (2) tenglamada qatnashayotgan bi , i 1,2,, n koeffisientlar faqat ( x1 , x2 , , xn ) larga bog’liq bo’lib, noma’lum funksiya u dan bog’liq bo’lmasa va f ( x1 ,, xn , u) funksiya ham u dan chiziqli bog’liq bo’lsa u holda bunday tenglamaga birinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglama deyiladi. Masalan yuqorida keltirilgan misollardan birinchi va to‟rtinchisi birinchi tertibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglama bo‟ladi. Ulardan birinchisi ikki o‟zgaruvchili funksiyaga nisbatan bir jinsli tenglama bo‟lsa, ularning to‟rtinchisi esa uch o‟zgaruvchili funksiyaga nisbatan bir jinsli bo‟lmagan tenglama bo‟ladi. 2. Birinchi tartibli xususiy hosilali bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini va Koshi masalasi yechimini topish usuli. Faraz qilaylik bizga birinchi tartibli xususiy hosilali bir jinsli chiziqli differensial tenglama berilgan bo‟lsin: b1 ( x1 ,, xn ) u x1 bn ( x1 ,, xn ) u xn Bunda bi ( x1 ,, xn ), i 1,2,, n koeffisientlar biror D 0. (3) R n sohada aniqlangan va o‟zining birinchi tartibli xususiy hosilalari bilan uzluksiz va hammasi bir vaqtda nolga teng bo‟lmagan berilgan funksiyalar. Aniqlik uchun bn ( x1 , x2 , , xn ) 0 bo‟lsin. Odatda (3) bilan bir vaqtda uning xarakteristik tenglamalari deb ataluvchi quiydagi diffrensial tenglamalar sistemasi qaraladi: dx1 b1 ( x1 ,, xn ) dxn dx2 . b2 ( x1 ,, xn ) bn ( x1 ,, xn ) (4) sistemani unga ekvivalent bo‟lgan quyidagi tenglamalar sistemasi bilan almashtiramiz (4) bi ( x1 ,, xn ) , i 1,2,, n 1 . bn ( x1 ,, xn ) dxi dxn (5) bi ( x1 ,, xn ), i 1,2,, n koeffisientlarga yuqoridagi qo‟yilgan shartlarda (5) sistema n 1 ta chiziqli bog‟lanmagan birinchi integrallarga ega bo‟ladi: i ( x1 , x2 ,, xn ) Ci , i 1,2,, n 1 . (6) (6) ga (3) tenglamaning xarakteristik chiziqlari oilasi deb ataladi. Quyidagi lemmada (3) tenglama hamda (5) sistema yechimlari orasidagi bog‟lanish keltiriladi. Lemma. 1) Agar u ( x1 , x2 ,, xn ) C (5) ning biror birinchi integrali bo’lsa, u holda ( x1 , x2 ,, xn ) funksiya (3) differensial tenglamaning xususiy yechimi bo’ladi. ( x1 , x2 ,, xn ) funksiya (3) ning biror xususiy yechimi bo’lsa, u holda 2) Agar u ( x1 , x2 ,, xn ) C oila (5) ning birinchi integrali bo’ldi. 3) Agar i ( x1 , x2 ,, xn ) Ci , i 1,2,, n 1 lar (5) ning birinchi integrallari bo’lsa, u holda (3) differensial tenglamaning umumiy yechimi u F 1 , 2 ,, n 1 dan iborat bo’ladi. Bunda F qaralayotgan sohada uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy funksiya. Isbot. 1). (6) ga ko‟ra (5) ning ixtiyoriy birinchi integrali xarakteristik chiziqlar bo‟ylab o‟zgarmasga tengligi tufayli (5) ning ixtiyoriy birinchi integrali to‟liq differensiali quyidagi tenglikni qanoatlantiradi d x1 dx1 x2 dx2 xn dxn 0. Bunda (5) ga asosan dxi bi ( x1 ,, xn ) dxn , i 1,2,, n 1 bn ( x1 ,, xn ) tenglikdan foydalansak, quyidagi ifodaga ega bo‟lamiz: b1 x1 bn b2 x2 bn bn dxn xn bn 0. Agar bn ( x1 , x2 , , xn ) 0 ekanligini hisobga olsak quyidagi tenglikni olamiz: b1 ( x1 ,, xn ) b2 ( x1 ,, xn ) bn ( x1 ,, xn ) 0. (7) Ushbu tenglik C1 , C2 , , Cn 1 larga bog‟liq bo‟lmagan holda qaralayotgan D R n sohaning x1 x2 xn ( x1 , x2 ,, xn ) funksiya (3) differensial tenglama barcha nuqtalarida bajariladi. Bu esa u uchun xususiy yechim ekanligini bildiradi. Shunday qilib biz lemmaning 1) –qismini isbotladik. ( x1 , x2 ,, xn ) funksiya (3) ning biror xususiy yechimi bo‟lsin, 2) Faraz qilaylik u ya‟ni (7) ning ayniyat ekanligini olamiz. U holda funksiyaning to‟la differensialini hisoblaymiz: d dx1 x1 x2 dx2 xn dxn . Bunda (5) sistemani hisobga olsak quyidagi tenglikni olamiz: d b1 b2 x1 x2 bn Bu tenglikda (7) ayniyat ekanligini hisobga olsak sistemaning ixtiyoriy untegral chizig‟i bo‟ylab xn dxn . bn ( x1 , x2 ,, xn ) C const bo‟ladi, ya‟ni (5) ( x1 , x2 ,, xn ) C const bo‟lar ekan. 3) Teoremaning bu tasdig‟ini isbotlash uchun, ya‟ni (3) ning umumiy yechimi xarakteristikalar orqali u F 1 ko‟rinishda ekanligini isbotlash uchun u , 2 ,, n 1 barcha xususiy yechimlarni o‟z ichida saqlovchi yechim ekanligini ko‟rsatishimiz yetarli. Faraz qilaylik u ( x1 , x2 ,, xn ) nolmas funksiya (3) ning ixtiyoriy bir xususiy yechimi bo‟lsin. U holda qanoatlantiruvchi va uzluksiz differensiallanuvchi ko‟rsatamiz. Teorema sharti va farazimizga asosan F 1 , 2 ,, n 1 F funksiyaning mavjud tenglikni ekanligini , 1 , 2 ,, n 1 funksiyalar (5) sistemaning va teoremaning isbotlangan 2) qismiga ko‟ra ular (3) ning ham yechimlari ekanligidan quyidagi ayniyat o‟rinli b1 b1 x1 1 x1 b2 bn x2 b2 bn 1 x2 0 xn 1 xn 0 (8) b1 n 1 x1 b2 n 1 x2 bn n 1 xn 0 Agar (8) ayniyatni b1 , b2 ,, bn larga nisbatan bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi deb qarasak uning nolmas yechimga ega ekanligidan uning determinanti nolga teng bo‟lishu zarur bo‟ladi: x1 x2 1 1 x1 x2 xn 1 xn 0. n 1 n 1 x1 x2 n 1 xn , 1 , 2 ,, n 1 funksiyalar sistemasining Yakobiani nolga teng bo‟lganligi Bundan uchun ular chiziqli bog‟langan degan xulosaga kelamiz. Demak, nolmas funksiya qolganlari orqali ifodalanadi: F 1 , 2 ,, n 1 . (5) sistemaning har bir birinchi integrali bo‟ylab o‟zgarmasga aylangani uchun F 1 F 1 Teoremaning 2) tasdigiga asosan u F 1 F 1 , i 1,2,, n 1 funksiyalar , 2 ,, n 1 funksiya ham (5) sistemaning integral chiziqlari bo‟ylab o‟zgarmasga aylanadi, ya‟ni Demak u i , 2 ,, n 1 C ham (5) ning integrali bo‟ladi. , 2 ,, n 1 funksiya (3) ning yechimi bo‟ladi. , 2 ,, n 1 funksiya (3) ning barcha xususiy yechimlarini beruvchi yechim ekan. Bu esa uning umumiy yechim ekanligini anglatadi. Teorema isbot bo’ldi. 1-Misol. xu x yu y zu z 0 1-tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimini toping. Bir nechta xususiy yechimlarni yozing. Yechish. Bu tenglamaga mos xarakteristik tenglamalar sistemasi quyidagi ko‟rinishda bo‟ladi: dx x dy y Bu sistemani dx x dy y dz z dz z dz . z ko‟rinishda yozib uning integrallarini topamiz: ln x ln z ln C1 ln y ln z ln C2 yoki x z y z C1 . C2 U holda teoremaga asosan berilgan tenglamaning umumiy yechimi uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy F funksiya orqali u F x y , z z ko‟rinishda bo‟ladi. Umumiy yechimning bu ko‟rinishidan berilgan tenglamaning bir nechta xususiy yechimlarini yozamiz: 2-Misol. 2 y 1. z y z 2) u 2 yu x xu y 0 1-tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamaning 1) u x y sin z z x z x z 3) u ( x, y, z ) cos2 umumiy yechimini toping. Yechish. Ushbu tenglamaga mos xarakteristik tenglamalar sistemasi dx 2y dy x ko‟rinishdagi bitta o‟zgaruvchilari ajraladigan oddiy differensial tenglamadan iborat bo‟ladi. Uni xdx 2 ydy shaklda tasvirlab, integrallaymiz va natijada berilgan tenglamaning 1 2 x 2 y 2 C yoki 1 2 x 2 y2 C xarakteristik chiziqlari oilasini olamiz. Natijada berilgan tenglamaning umumiy yechimi u 1 F ( x2 2 y2 ) funksiyadan iborat bo‟ladi. Bunda F uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy funksiya. Bu misollardan ko‟rinib turibdiki, xususiy hosilali chiziqli differensial tenglama cheksiz ko‟p sondagi yechimlarga ega ekan. Unga qanday qo‟shimcha shart qo‟yilsa, bu tenglama yagona yechimga ega bo‟ladi degan savol muhim fizik va matematik ahamiyatga ega hisoblanadi. 3-Ta’rif (Koshi masalasi). differensiallanuvchi va (3) tenglamaning u ( x1 , x2 ,, xn 1 , xn0 ) qaralayotgan sohada uzluksiz ( x1 , x2 ,, xn 1 ) (9) shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasiga Koshi masalasi deyiladi. Bunda xn0 biror haqiqiy son, ( x1 , x2 ,, xn 1 ) esa berilgan uzluksiz differensiallanuvchi funksiya. Endi biz ta‟riflangan Koshi masalasining yechimini topish usuli bilan tanishamiz. Bu usul odatda xarakteristikalar usuli deb yuritiladi. Yuqorida isbotlangan teoremaga asosan (3) tenglamaning umumiy yechimi (5) ning i ( x1 , x2 ,, xn ) Ci , i 1,2,, n 1 integrallari orqali u F 1 , 2 ,, n 1 ko‟rinishda tasvirlanadi. Bunda F qaralayotgan sohada uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy funksiya. Ushbu cheksiz ko‟p yechimlar orasidan (9) shartni qanoatlantiruvchi yechimni tanlab olamiz. Boshqacha aytganda umumiy yechimdan F 1 ( x1 ,, xn 1 , xn0 ), 2 ( x1 ,, xn 1 , xn0 ), , n 1 ( x1 ,, xn 1 , xn0 ) ( x1 ,, xn 1 ) (10) Shartni qanoatlantiradigan yechimni topamiz. Buning uchun quyidagi belgilashlarni kiritamiz: 1 ( x1 ,, xn 1 , xn0 ) w1 2 ( x1 , , xn 1 , xn0 ) w2 (11) n 1 ( x1 ,, xn 1 , xn0 ) wn 1 U holda (10) shart quyidagicha ko‟rinishni oladi: F w1 , w2 ,, wn 1 (3) tenglamda bn ( x1 , x2 ,, xn ) funksiya ( x10 ,, xn0 1 , xn0 ) ( x1 ,, xn 1 ) . noldan farqli R n nuqta topilib bn ( x10 ,, xn0 1 , xn0 ) 0 deb qaradik, (12) ya‟ni shunday tengsizlik bajariladi. U holda (11) sistemani ( x10 ,, xn0 1 , xn0 ) R n sistemaning biror atrofida x1 ,, xn 1 larga nisbatan yechish mumkin: ( w1 , , wn 1 ) x1 1 x2 1 ( w1 , , wn 1 ) xn 1 n 1 ( w1 , , wn 1 ) . U holda qo‟yilgan Koshi masalasining yechimi (12) ga asosan quyidagicha yoziladi: u ( 1 ( 1 , 2 ,, n 1 ),, n 1 ( 1 , 2 ,, n 1 )) . Koshi masalasining, ya‟ni (3) tenglamaning (9) shartni qanoatlantiruvchi yechimining yagonaligini ifodalovhi bu tasdiq odatda Koshi-Kovalevskaya teoremasi deb yuritiladi. 3-Misol. xu x u( x, y,2) yu y zu z 0 1-tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamaning x 2 3 y shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping. Yechish. Biz 1-misolda bu tenglamaning umumiy yechimi u ( x, y , z ) F x y , z z Ko‟rinishda ekanligini topgan edik. Bunda F qaralayotgan sohada uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy funksiya. Endi bu yechimdan berilgan shartni qanoatlantiradigan xususiy yechimni ajratib olamiz. Buning uchin topilgan umumiy yechimda z 2 deb, uni u( x, y,2) x 2 3 y ga tenglashtiramiz: F x y , 2 2 x2 3y . Agar x 2 y 2 w1 yoki w2 x 2 w1 y 2 w2 desak yuqoridagi shartdan F w1 , w2 (2w1 )2 3(2w2 ) yoki F w1 , w2 ekanligini olamiz. Topligan umumiy yechim u ( x, y, z ) F Koshi masalasi yechimi u ( x, y, z ) funksiyadan iborat bo‟ladi. 4 x z 2 6y z 4w12 6w2 x y , z z bo‟lganligi uchun qo‟yilgan 4-Misol. 2 yzu x 3xzu y tenglamaning u( x, y0 , z) 0 1-tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial 4 xyu z f ( x, z) shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping. Bunda y0 - biror haqiqiy son, f ( x, z ) esa berilgan uzluksiz differensiallanuvchi funksiya. Yechish. Dastlab bu differensial tenglamaning umumiy yechimini topamiz. Shu maqsadda xuddi 1- va 2-misollardagi kabi yo‟l tutamiz, yani berilgan tenglamaga mos xarakteristik tenglamalar sistemasini tuzamiz: dx 2 yz dy 3 xz dz . 4 xy Bu sistemani 3 xdx 2 ydy 4 ydy 3 zdz ko‟rinishda yozib, ularni integrallash bilan berilgan tenglamaning xarakteristik chiziqlari oilasini topamiz: 3 2 x 2 2y 2 1 C1 2 3 2 1 z С2 2 2 y2 yoki 1 ( x, y ) 3 x 2 2 ( x, y ) 2 y2 C1 4 y 2 3z 2 С2 . U holda berilgan tenglamaning umumiy yechimi u( x, y, z) F (3x 2 2 y 2 , 4 y 2 3z 2 ) ko‟rinishda funksiya. (13) bo‟ladi. Bunda F qaralayotgan sohada uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy Endi umumiy yechimdan u( x, y0 , z) f ( x, z) , ya‟ni F (3x 2 2 y02 , 4 y02 3z 2 ) Shartni qanoatlantiradigan yechimni ajratib olamiz. Buning uchun 3x 2 2 y 02 w1 4 y 02 3z 2 w2 belgilashlar kiritib, bu sistemani x va z larga nisbatan yechamiz: x z 1 w1 2 y02 3 . 1 2 w2 4 y0 3 f ( x, z ) (14) U holda (14) shart 1 1 w1 2 y02 , w2 3 3 4 y02 ) . 1 3x 2 3 1 4 y 2 3z 2 4 y02 ) 3 F ( w1 , w2 ) f( 2 y 2 , 4 y 2 3z 2 ) f( Ushbu ifodadan F (3x 2 2 y 2 2 y02 , ekanligi kelib chiqadi. Bu tenglik va umumiy yechimning (13) tasviriga asosan qo‟yilgan Koshi masalasining yechimi u ( x, y , z ) f( 1 3x 2 3 2 y2 2 y02 , 1 4 y 2 3z 2 4 y02 ) 3 funksiyadan iborat bo‟ladi. Shunday qilib biz birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar, ularning turli sinflari, umumiy yechimini topishning xarakteristikalar usuli va ular orqali qo‟yilgan Koshi masalasining yechimini topish usuli bilan tanishdik, ya‟ni 1-tartibli xusuiy hosilali chiziqli differensial tenglama qo‟yilgan bitta qo‟shimcha shart da yagona yechimga ega bo‟lar ekan. 3. Birinchi tartibli xususiy hosilali bir jinsli bo‟lmagan tenglamaning umumiy yechimi va Koshi masalasi yechimini topish usuli. Faraz qilaylik bizga b1 ( x1 ,, xn , u ) u x1 bn ( x1 ,, xn , u ) u xn f ( x1 ,, xn , u ), f 0 (15) ko‟rinishdagi birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama berilgan bo‟lsin. Odatda bu tenglama hosilalarga nisbatan chiziqli yoki kvazichiziqli differensial tenglama deb yuritiladi. Tenglamada berilgan bi , i 1,2,, n va f funksiyalarni o‟z o‟zgaruvchilarining o‟zgarish sohasida uzluksiz differensiallanuvchi va noldan farqli berilgan funksiyalar deb qaraymiz. Quyida biz (15) kvazichiziqli tenglamaning umumiy yechimini topishning xususiy hosilali bir jinsli chiziqli differensial tenglamaga keltirish usuli bilan tanishamiz. Buning uchun (15) ning yechimini oshkormas ko‟rinishda topilgan (umumiy integrali) deb faraz qilamiz: v( x1 , x2 ,, xn , u( x1 ,, xn )) 0 . Oshkormas funksiyani differensiallash qoidasiga asosan v xi , i 1,2, , n v u u xi tenglikka egamiz. Bu ifodalarni (15) tenglamaga qo‟yib hamda u ni ham hozircha erkli o‟zgaruvchi sifatida qarab, v( x1 ,, xn , u) funksiyaga nisbatan (15) ga teng kuchli bo‟lgan b1 ( x1 ,, xn , u ) vx1 bn ( x1 ,, xn , u ) vxn f ( x1 ,, xn , u )vu , f (16) 0 1-tartibli xususiy hosilali chiziqli bir jinsli differensial tenglamaga kelamiz. Bu tipli tenglama va unga nisbatan qo‟yilgan Koshi masalasini esa biz mavzuning oldingi qismida tanishdik. Shuning uchun (15) ning umumiy yechimini topishning qisqacha algoritmini keltirishimiz kifoya. (15) umumiy yechimini topish uchun dastlab unga mos xarakteristik tenglamalar sistemasini tuzamiz: dx1 b1 ( x1 ,, xn , u ) dxn dx2 b2 ( x1 ,, xn , u ) bn ( x1 ,, xn , u ) du , f f ( x1 ,, xn , u ) 0. Faraz qilaylik bu n ta tenglamalar sistemalarining umumiy integrallari 1 ( x1 , , xn , u ) C1 2 ( x1 , , xn , u ) C2 Cn n ( x1 , , xn , u ) bo‟lsin. U holda (16) tenglamaning umumiy yechimi ixtiyoriy uzluksiz differensiallanuvchi F funksiya orqali v F ( 1 , 2 ,, n ) formula bilan beriladi. U holda (15) tenglamaning umumiy yechimi F ( 1 ( x1 ,, xn , u), 2 ( x1 ,, xn , u),, n ( x1 ,, xn , u)) 0 oshkormas ko‟rinishda beriladi. Topilgan bu yechimdan foydalanib, (15) tenglamaga qo‟yilgan Koshi masalasining, ya‟ni (15) ning biror shartni qanoatlantiruvchi yechimini ham topishimiz mumkin. 5-Misol. ( x 2)u x ( y 1)u y tenglamaning umumiy yechimini toping. ( z 3)u z u 4 xususiy hosilali differensial Yechish. Berilgan tenglama uch o‟zgaruvchili u ( x, y, z ) funksiyaga nisbatan bibrinchi tartibli bir jinsli bo‟lmagan chiziqli differensial tenglamadir. Uning umumiy yechimini topish maqsadida dastlab bu tenglamaga mos xarakteristik tenglamani tuzamiz: dx x 2 dy y 1 dz z 3 du . u 4 Ushbu 3 ta diferensial tenglamalardan iborat sistemani dx x 2 dy y 1 dz z 3 du u 4 du u 4 du u 4 ko‟rinishda yozib, integrallarini topamiz: x u y u z u 2 4 1 4 3 4 C1 C2 . (17) C3 Yuqorida ta‟kidlaganimizga asosan berilgan tenglamaning umumiy yechimi (umumiy integrali) oshkormas ko‟rinishda F x 2 y 1 z 3 , , u 4 u 4 u 4 0 formula bilan beriladi. Bunda ixtiyoriy uzluksiz differensiallanuvchi F funksiya. 6-Misol. tenglamaning hosilali differensial f ( x, y ) shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping. f -berilgan ( x 2)u x u ( x, y,0) ( y 1)u y ( z 3)u z u 4 xususiy uzluksiz differensiallanuvchi funksiya. Yechish. Bu biz 5-misolda qaragan tenglamaga qo‟shimcha u ( x, y,0) f ( x, y ) shart qo‟yilgan Koshi masalasidan iborat. Uning umumiy yechimi (umumiy integrali) 5-misolda topilgani kabi F x 2 y 1 z 3 , , u 4 u 4 u 4 0 oshkormas ko‟rinishda topiladi. Endi qo‟yilgan Koshi masalasining yechimini topish uchun differensiallanuvchi F funksiyani shunfay tanlaymizki, u ( x, y,0) f ( x, y ) yoki u ( x, y,0) f ( x, y ) ixtiyoriy uzluksiz 0 qo‟shimcha shartni F x 2 y 1 3 , , u ( x, y,0) 4 u ( x, y,0) 4 u ( x, y,0) 4 u ( x, y,0) ko‟rinishda yozamiz. 5-misolda topilgan (17) xarakteristikalarda z kiritamiz: x u y u 2 4 1 4 f ( x, y ) (18) 0 deb, yangi belgilashlar w1 w2 3 w3 u 4 Bu sistemani x, y, u ga nisbatan yechamiz: x 3w1 2 w3 w3 y 3w2 w3 w3 u 3 4 w3 w3 . Topilgan bu ifodalarni (18) ga qo‟yib, quyidagi ifodani hosil qilamiz F w1 , w2 , w3 Masala yechimi F 3 4 w3 w3 x 2 y 1 z 3 , , u 4 u 4 u 4 f 3w1 2w3 3w2 w3 , . w3 w3 0 bo‟lganligi uchun yuqorigagi tenglikka asosan qo‟yilgan Koshi masalasining yechimi oshkormas shaklda z 3 u 4 z 3 u 4 3 4 3 f x 2 z 3 y 1 z 3 2 3 u 4 u 4, u 4 u 4 z 3 z 3 u 4 u 4 0 formula bilan beriladi. Bu ifodalarda soddalshtirishlarni bajarsak quyidagi tenlikni olamiz 3u 4 z z 3 f 3x 2 z 3 y z . , z 3 z 3 Bu tenglikni u ga nisbatan yechib, Koshi masalasining z 3 3x 2 z 3 y z f , 3 z 3 z 3 u ( x, y , z ) 4z 3 oshkor ko‟rinishdagi yechimiga ega bo‟lamiz. Demak 1-tartibli xususiy hosilali kvazichiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimini topish masalasi bir jinsli differensial tenglamani yechish masalasiga keltirilar va xarakteristikalar usulida umumiy yechimni topish mumkin ekan. Koshi maslasi yechimi esa Koshi masalasidagi qo‟shimcha shart xarakteristikalarda tekshirilib, yangi o‟zgaruvchi kiritish yordamida topilar ekan. Eslatma. Ba‟zan 1-tartibli xususiy hosilali differensial tenglamaning umumiy yechimini topishda xarakteristik tenglamalar sistemasi integrallarini topish jarayonida dxn dx2 b2 ( x1 ,, xn ) bn ( x1 ,, xn ) dx1 b1 ( x1 ,, xn ) k ekanligidan a1dx1 a2 dx2 am dxm a1b1 ab ambm tenglikning ai ham o‟rinli ekanligidan ai ( x1 , x2 ,, xn ), i 1,2,, m; m k foydalanish mumkin. Bunda N biror funksiyalar. 1.2.4-ilova Kichik guruhlarda ishlash qoidasi 1. Talabalar ishni bajarish uchun zarur bilim va malakalarga ega bo„lmog„i lozim. 2. Guruhlarga aniq topshiriqlar berilmog„i lozim. 3. Kichik guruh oldiga qo„yilgan topshiriqni bajarish uchun yetarli vaqt ajratiladi. 4. Guruhlardagi fikrlar chegaralanmaganligi va tazyiqqa uchra-masligi haqida ogohlantirilishi zarur. 5. Guruh ish natijalarini qanday taqdim etishini aniq bilish-lari, o„qituvchi ularga yo„riqnoma berishi lozim. 6. Nima bo„lganda ham muloqotda bo„ling, o„z fikringizni erkin namoyon eting. 1.2.5-ilova Mustaqil bajarib bilimlarni chuqurlashtirush uchun topshiriqlar takrorlash va mashqlar: takrorlash, o‟z-o‟zini tekshirish, tahlil, qayta ishlash, mustahkamlash, eslab qolish, chuqurlashtirish; yangi materiallarning mustaqil o’zlashtirish: yangi adabiy va internet materiallar, konspekt qo‟shimchasi; mustaqil iboralar tuzish; ilmiy xaraktyerdagi ishlar: muammoli holatlar, testlar, savollar, topshiriqlar tuzish; topshiriqlarni bajarish. 1. Birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama deb nimaga aytiladi? Misollar keltiring. 2. Nima uchuun bu tenglama 1-tartibli deb yuritilmoqda? 3. 1-tartibli xususiy hosilali differensial tenglamaning qanday turlari mavjud? Ularning ko‟rinishlarini yozing va har biriga 2 tadan misollar keltiring. 4. Xususiy hosilali differensial tenglamaning xususiy va umumiy yechimi deb nimaga aytiladi? 5. 1-tartibli xususiy hosilali bir jinsli differensial tenglamaning xarakteristik tenglamasi va xarakteristik chiziqlari deb nimaga aytiladi? 6. 1-tartibli xususiy hosilali bir jinsli differensial tenglamaning xarakteristik xarakteristik chiziqlari va xususiy yechimlari orasida qanday bog‟lanish mavjud? 7. 1-tartibli xususiy hosilali bir jinsli differensial tenglamaning xarakteristik xarakteristik chiziqlari va umumiy yechimi orasidagi bog‟lanishni ayting va izohlang. 8. 1-tartibli xususiy hosilali bir jinsli differensial tenglama uchun Koshi masalasi qanday qo‟yiladi? Nega unda bitta shart olinmoqda? 9. 1-tartibli xususiy hosilali bir jinsli differensial tenglama uchun Koshi masalasini yechishning algoritmini ayting. 10. 1-tartibli xususiy hosilali bir jinsli bo‟lmagan differensial tenglamaning xarakteristik tenglamasi va xarakteristik chiziqlari deb nimaga aytiladi? 11. 1-tartibli xususiy hosilali bir jinsli bo‟lmagan differensial tenglamaning xarakteristik xarakteristik chiziqlari va umumiy yechimi orasidagi bog‟lanishni ayting va izohlang. 12. 1-tartibli xususiy hosilali bir jinsli differensial tenglama uchun Koshi masalasini yechish bilan bir jinsli bo‟lmagan differensial tenglamaga qo‟yilgan Koshi masalasini yechish usulidagi o‟xshashlik va farqlarni ayting. 13. 1-tartibli xususiy hosilali bir jinsli bo‟lmagan differensial tenglama uchun Koshi masalasini yechishning algoritmini ayting. 14. 1-tartibli xususiy hosilali bir jinsli yoki bir jinsli bo‟lmagan chiziqli differensial tenglamalar uchun Koshi masalasi yechimi cheksiz ko‟p bo‟lishi mumkinmi? 1.2.6-ilova Tavsiya etilgan adabiyotlar Asosiy adabiyotlar 1. Saloxiddinov M.S. Matematik fizika tenglamalari, T. «Uzbekiston», 2002. 2. Mixlin S. G. Kurs matematicheskoy fiziki, M.1968 3. S.L. Sobolev, Uravneniya matematicheskoy fiziki, Nauka, 1966 g. 4. A.V.Bitsadze, Uravneniya matematicheskoy fiziki. M.1976 4. A.V.Bitsadze, D.F. Kalinichenko, Sbornik zadach po uravneniya matematicheskiy fiziki, M. 1977. Qo‟shimcha adabiyotlar 1. Koshlyakov N.S., Glinner E.B., Smirnov M.M , Uravneniya v chastnix proizvodnix matematicheskoy fiziki: 1970 g. 2. G.N.Polojiy. Uravneniya matematicheskoy fiziki, 1976 g. 3. Juraev T.J., Kraevie zadachi dlya uravneniy smeshannogo i smeshanno-sostavnogo tipov. Tashkent, 1979 g. 4. Saloxiddinov M.S. Uravneniya smeshanno-sostavnogo tipa. Tashkent 1979 g. 5. N.Teshaboeva. Matematik fizika metodlari. Toshkent 1966 y. 6. Aramanovich.I.G., Levin V.I., Uravneniya matematicheskoy fiziki.1964 g. 7. A.N. Tixonov, A.A. Samarskiy. Uravneniya matematicheskoy fiziki, Nauka, 1966 g. 8. V.S.Vladimirov, Uravneniya matematicheskoy fiziki, Nauka, 1961g. 9. B.M. Budak, A.A. Samarskiy, A.N. Tixonov. Sbornik zadach po matematicheskoy fiziki, M. Nauka, 1976 g.