14- Mavzu: Chiziqli programmalashtirishda ikkilanish nazariyasi.
Chiziqli programmalashtirish masalasi yechimini ikkilanish
nazariyasi yordamida tahlil qilish.
Ikkilangan masalalar haqida asosiy tushunchalar
Bizga chiziqli dasturlash masalasi berilgan bo‘lsin.a
a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 , 
a21x1  a22 x2  ...  a2 n xn  b2 , 

.......................................... 
am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm .


(1)
x1 , x2 ,..., x3  0
maksad funksiyasi
F  c1 x1  c2 x2  ...cn xn
(2)
ning maksimum qiymatini topish kerak bo‘lsin.
Har qanday chiziqli dasturlash masalasini ikkilangan masala deb ataluvchi
masala bilan uzviy bog‘liq ekanligini ko‘rsatish mumkin.
Ta’rif. Quyidagi shartlar
a11 y1  a21 y2  ...  am1 ym  c1 , 
a12 y1  a22 y2  ...  am 2 ym  c2 , 

.......................................... 
a1m y1  a2 m y2  ...  amn ym  cn .


(3)
y1 , y 2 ,..., y m  0
qanoatlantirilganda
F  b1 y1  b2 y 2  ...  bm y m
(4)
funksiyaning minimum qiymatini topishga (1), (2) chiziqli dasturlash masalasining
ikkilangan masalasi deyiladi.
Bu masalalarning optimal yechimlari o‘zaro quyidagi teorema asosida
bog‘langan.
Teorema. Agar berilgan masala yoki unga ikkilangan masalalardan birortasi
optimal yechimga ega bo‘lsa, u holda ikkinchisi ham optimal yechimga ega
bo‘ladi, hamda bu masalalardagi chiziqli funksiyaning optimal qiymatlari o‘zaro
teng bo‘ladi, ya’ni
*
Fmax  Fmin
.
Agar F ( x1, x2 ,..., xn ) yoki F ( y1, y2 ,..., yn ) – chiziqli funksiyalardan birontasi
chegaralanmagan bo‘lsa, u holda masala hech qanday yechimga ega bo‘lmaydi.
Ikkilanganlik masalalari simmetrik va simmetrik bo‘lmagan masalalarga
bo‘linadi. Yuqoridagi teorema simmetrik bo‘lmagan masalalarni yechishda
qo‘llaniladi. Shuni ham aytish kerakki tengsizliklar sistemasini qo‘shimcha
o‘zgaruvchilar yordamida tenglamalar sistemasi ko‘rinishiga keltirish mumkin.
Demak, simmetrik ikkilanmalik masalalarni simmetrik bo‘lmagan ikkilanmalik
masalaga keltirish mumkin. Shuning uchun simmetrik bo‘lmagan ikkilanish
maslalarining optimal yechimlari haqidagi teorema simmetrik ikkilangan masalalar
uchun ham o‘rinlidir.
Masala 1 Quyidagi shartlar bilan berilgan masalani ikkilangan masalaga
keltiring
x1  7 x 2  4 x3  3,
x1  x 2  2 x3  8, 

x1  2 x 2  x3  2, 
2 x1  x 2  2 x3  3 


x1 , x2 , x3  0
F  x1  2 x2  4 x3  min
Masalani ikkilangan masalaga keltirish uchun oldin chegaralovchi shartlarni
bir xil ko‘rinishdagi tengsizliklarga keltiramiz. Buning uchun birinchi tengsizlikni
teskari ko‘rinishga keltiramiz
 x1  7 x2  4 x3  3,
x1  x2  2 x3  8, 

x1  2 x2  x3  2, 
2 x1  x2  2 x3  3. 


x1 , x 2 , x3  0
F  x1  2 x 2  4 x3  min .
Hosil bo‘lgan masalaga ikkilangan masala quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi
 y1  y 2  y 3  2 y 4  1, 


7 y1  y 2  2 y 3  y 4  2, 

4 y1  2 y 2  y 3  2 y 4  4.

y1 , y 2 , y 3 , y 4  0
F *  3 y1  8 y 2  2 y 3  3 y 4  max .
Ikkilangan masalani chiziqli dasturlashning asosiy masalasiga keltirib
simpleks usul bilan yechish mumkin.
Ikkilangan simpleks usul
Bu usul oldin akademik L.V. Kantorovich tomonidan ko‘rsatilgan edi. Lekin
bu usulni boshqa ko‘rinishda Lemks degan olim ko‘rsatgan. Shuni ham aytish
kerakki, agar bironta chiziqli dasturlash masalasini yechish kerak bo‘lsa, uning
o‘rniga ikkilangan masalani yechish mumkin. Agar ikkilangan masala optimal
yechimga ega bo‘lsa, u holda dastlabki berilgan masala ham optimal yechimga ega
bo‘ladi.
Dastlab A matritsaga At – transponirlangan matritsani yozib olamiz.
Matritsaga transponirlangan matritsani yozganda ustunlar va satrlarning roli
o‘zgaradi, ya’ni berilgan masalaning satri to‘g‘risida so‘z ketsa u ustunga o‘tadi.
Xususiy holda simpleks jadvallarning indeks satri to‘g‘risida gap ketsa
ikkilangan masalalarda ozod hadlar ustuni to‘g‘risida gap ketadi. Buni quyidagi
ikkita masalada ko‘ramiz.
2 - masala. Quyidagi shartlarda
4 x1  9 x 2  56,


5 x1  3 x 2  37,

  x1  2 x 2  2.
x1 , x 2  0
F  3x1  4 x2 - funksiyaning maksimum qiymatini toping.
Simpleks usul qoidalaridan foydalanib dastlabki berilganlarning asosiy
jadvalini tuzamiz.
y1
y2
y3
F
I
 x1
56
37
2
0
4
5
-1
-3
1-jadval
 x2
Tek.
Ustuni
9
69
3
45
2
3
-4
-7
1. Indeks satridan F dan absolyut
qiymat bo‘yicha eng katta manfiy sonni olamiz. Bu son yechuvchi ustunni
ko‘rsatadi.
1. Ozod hadlarni mos ravishda
echuvchi ustundagi musbat sonlarga bo‘lib ularning eng kichigini tanlaymiz.
 56 37 2  2
,    1.
Bu satrga yechuvchi satr deyiladi  ,
 9 3 2 2
2. Yechuvchi ustun va yechuvchi satr kesishgan katakdagi songa yechuvchi
son deyiladi.
3. Simpleks jaldvallarni to‘ldirish formulalardan foydalanib qolgan kataklarni
to‘ldiramiz. Natijada 2 – chi jadval hosil bo‘ladi. Bu jadvalda x2 – ni asosiy
o‘zgaruvchilar safiga o‘tkazamiz. y3 –ni qo‘shimcha o‘zgaruvchilar safiga
o‘tkazamiz.
2-chi jadval
I
Tekshirish
 x1
 y3
y1
47
7/2
y2
34
13/2
x2
1
1/2
4
-5
F
9
2
-3/
2
1
2
2

ustuni
51
39
1
1
F - indeks satrida manfiy son (-5) bo‘lgani uchun 3 – chi simpleks jadvalni
tuzamiz. Natijada quyidagi jadval hosil bo‘ladi.
3- chi jadval
 y3
 33
13
3
13
5
13
11/13
I
 y2
y1
33
 17
13
13
x1
68
2
13
13
x2
47
1
13
13
10/13
392
F
13
F- indeks satri hadlarining hammasi musbat bo‘lgani uchun quyidagi yechim:
33
68
47
y1  ; x 1  ; x 2  ; y 2  0; y 3  0 ,
13
13
13
Optimal yechim bo‘ladi. Unga maqsad funksiyasining quyidagi qiymati mos
keladi.
Fmax 
10
 y2   11  y3   392  392
13
13
13
13
MASALA.3. Quyidagi shartlarda

4u1  5u 2  u 3  3, 

9u1  3u 2  2u 3  4,

u1 , u 2 , u 3  0.
F ,  56u1  37u 2  2u 3 - funksiyani minimum qiymatini toping.
Simpleks usul qoidalaridan foydalanib berilganlarning asosiy jadvalini
tuzamiz.
Jadval 1.
I
u2
u1
u3
-3
4
5
-1
v1
-4
9
3
2
v2
F
0
56
37
2
1. Ozod hadlar ustunidan manfiy sonlar ichidan eng kichik manfiy sonni
olamiz. Bu son turgan satr yechuvchi satrni ko‘rsatadi.
2. F satr hadlarini mos ravishda yechuvchi satrdagi sonlarga bo‘lib eng
kichigini
 56 37 2  2
olamiz
min  ;
;  .
 9 3 2 2
Bu ustunga yechuvchi ustun deyiladi.
3. Yechuvchi satr va yechuvchi ustun kesishgan katakdagi son yechuvchi son
deyiladi.
4. Qo‘shimcha o‘zgaruvchi u3 – ni, v2 asosiy o‘zgaruvchi sifatida bazisga
kiritamiz. Simpleks jadvallarni tuzish formulalaridan foydalanib 2-chi
simpleks jadvalni tuzamiz
2 – jadval
1
Tekshirish
u1
u2
v2
ustuni
91
-5
v1
17
13
1
2
2
2
2
1
3
2
u3
1
9
3
2
2
2
2
*
4
47
34
1
83
F
O‘zgarmaslar ustunida manfiy son (-5) bo‘lgani uchun bu jadvalni ham
yuqoridagi kabi almashtiramiz. Natijada quyidagi jadval hosil bo‘ladi.
1
10
13
11
13
392
13
u2
u3
F*
u1
17

13
33

13
33
13
v1
2
13
3

13
68
13
3-jadval
v2
1
13
5
13
47
13
Erkin hadlar ustunida hamma hadlar musbat bo‘lgani uchun quyidagi
yechim optimal bo‘ladi
10
11
u 2  ; u 3  ; u 1  0; v1  0; v 2  0,
13
13
Fmin 
33
68
47
392 392
u1  v1  v2 

13
13
13
13 13
Shunday qilib ikkilangan simpleks usul orqali masala yechildi.
Quyidagi masalalarni chiziqli dasturlashning ikkilangan
keltiring va ikkilangan simpleks usul bilan yeching
4.
5.
5 x1  3x 2  52, 

x 2  2,

10 x1  4 x 2  70,

x1 , x 2  0.

9 x1  11x 2  46,

5 x1  x 2  42, 

x1  13x 2  4, 

x1 , x 2  0.
F  8 x1  6 x 2  max
F  5 x1  x 2  max
6.
7.

8 x1  2 x 2  90,

2 x 2  6, 
x1  6 x 2  60. 

x1 , x 2  0.

x1  11x 2  11, 
3x1  x 2  28, 

2 x1  13x 2  11.

x1 , x 2  0.
F  9 x1  5 x 2  max
F  8 x1  2 x 2  max
8.
9.

x1  3 x 2  2, 

4 x1  2 x 2  35, 

5 x1  13 x 2  18.

x1 , x 2  0.

2 x1  4 x 2  1, 

5 x1  x 2 42, 

3x1  5 x 2  11.

x1 , x 2  0.
F  7 x1  x 2  max
F  7 x1  5 x 2  max
10.
12.
11.

8 x1  14 x 2  14, 

13x1  5 x 2  100,

5 x1  9 x 2  5. 

x1 , x 2  0.

3x1  5 x 2  1, 

17 x1  x 2  152,

5 x1  14 x 2  13.

x1 , x 2  0.
F  8 x1  6 x 2  max
F  13 x1  3x 2  max
13.
masalasiga

11x1  17 x 2  72,

x1  11x 2  20, 

5 x1  3x 2  20. 
x1 , x 2  0.

x1  9 x 2  16,

2 x1  4 x 2  1.

x1 , x 2  0.
F  9 x1  7 x 2  max
F  7 x1  3x 2  max
14.
15.

9 x1  11x 2  48,

5 x1  x 2  44, 

x1  13x 2  6. 

x1 , x 2  0.

2 x1  4 x 2  5, 

5 x1  x 2  46, 

3 x1  5 x 2  15.

x1 , x 2  0.
F  6 x1  4 x 2  max
F  6 x1  4 x 2  max
16.
17.

8 x1  14 x 2  14, 

13x1  5 x 2  100,

5 x1  9 x 2  5. 

x1 , x 2  0.

3x1  5 x 2  2, 

17 x1  x 2  153,
8 x1  14 x 2  14.

x1 , x 2  0.
F  11x1  7 x 2  max
F  3 x1  15 x 2  max
18.
19.
x1  11x 2  11, 

3x1  x 2  28, 

5 x1  13x 2  11.

x1 , x 2  0.

x1  3x 2  1, 

4 x1  2 x 2  34, 

5 x1  13 x 2  17.

x1 , x 2  0.
F  10 x1  8 x 2  max
F  4 x1  2 x 2  max
Ikkilangan masalalarning geometrik talqini
Agar berilgan va unga ikkilangan masalalarda o‘zgaruvchilar soni ikkiga
teng bo‘lsa, chiziqli dasturlash masalalarining geometrik
tahlilini berish
osonlashadi. Bu holda bir –birini istsino qiluvchi quyidagi uchta hol bo‘lishi
mumkin: 1) ikkala masala ham optimal yechimga ega; 2) faqat bitta masala
optimal yechimga ega; 3) ikkala masalaning optimal rejalari bo‘sh to‘plamni
tashkil qiladi.
Masala 20. Quyidagi shartlar bo‘yicha

 2 x1  3x2  14,

x1  x2  8. 
x1 , x2  0.
F  2x1  7 x2  max
masalani ikkilangan masalaga keltiring va ikkala masalaning yechimlarini toping.
Yechish. Bu masalaga ikkilangan masala: F   14 y1  8 y2 funksiyaning
quyidagi shartlarda

 2 y1  y 2  2,

3 y1  y 2  7, 

y1 , y 2  0.
minimum qiymatini topishdan iborat bo‘ladi
2.1-chizma
Berilgan va unga ikkilangan masalada ham noma’lumlar soni ikkita (x1 va
x2), (u1 va u2) uning uchun geometrik usul bilan yechish mumkin. Dastlabki
masalada maqsad funksiyasi V nuqtada maksimum qiymatga ega. Shuning uchun
V(2; 6) nuqtada
F (2; 6)=22+76=46 maqsad funksiyasi optimal rejaga (planga) ega (2.1-chizma).
Ikkilangan masala esa Ye(1; 4) nuqtada minimum qiymatga (2.2-chizma) ega.
Shuning uchun F*(1; 4) = 141+84=46 – maqsad funksiyasining minimal
qiymatidir.
Masala 21. Ikkilangan masalalar juftligining yechimlarini toping.
Dastlabki masala

 4 x1  2 x 2  4,

x1  x 2  6. 
x1 , x 2  0.
F  2 x1  3 x 2  min
Ikkilangan masala

 4 y1  y 2  2,

2 y1  y 2  3. 

y1 , y 2  0.
F   4 y1  6 y 2  max
Yechish. Dastlabki masala va unga ikkilangan masala ham ikkitadan
o‘zgaruvchiga ega. Shuning uchun ularni geometrik usul bilan yechamiz. Ikkala
masala uchun ham shakllarni chizamiz. (chizmalar 2.3,2.4)
2.3-chizma
2.3 -chizmadan ko‘rinib turibdiki dastlabki masala yechimga ega emas.
Chunki maqsad funksiyasi F  2x1  3x2 mumkin bo‘lgan yechimlar to‘plamida
quyidan chegaralanmagan. Chizma2.4-dan ko‘rinib turibdiki ikkilangan
masalaning ham optimal rejalari yo‘q, chunki yechimlar ko‘p burchagi bo‘sh
to‘plamni tashkil qiladi. Shunday qilib dastlabki masala optimal rejaga ega
bo‘lmasa (maqsad funksiyasi mumkin bo‘lgan yechimlar to‘plamida
chegaralanmagan bo‘lgani uchun) unga ikkilangan masala ham optimal rejaga ega
bo‘lmaydi.