Capı́tulo 3 - Principais Distribuições
parte 2
Algumas distribuições importantes
1
Distribuições Discretas
Distribuição Hipergeométrica,
Distribuição Binomial;
Distribuição de Poisson.
2
Distribuições Absolutamente Continuas
Distribuição Exponencial;
Distribuição Normal;
Distribuição Chi-quadrado;
Distribuição t-Student.
Distribuição Exponencial
Definição (Distribuição Exponencial)
Uma variável aleatória X diz-se seguir uma distribuição Exponencial de
parâmetro λ, e escrevemos X ∼ Exp(λ), se a sua função densidade probabilidade
for dada por:
λ e−λx , x > 0
f (x) =
λ>0
0,
x≤0
Apresentamos abaixo os gráficos animados das funções densidade de
probabilidade (esquerda) e distribuição (direita) da distribuição Exp(λ) com λ a variar
entre 0.25 − 5 com passo 0.25. (para a correcta visualização do mesmo é necessário abrir
este pdf com recurso ao software Adobe Reader).
Distribuição Exponencial
Proposição (Valor médio e Variância)
Seja a v.a. X ∼ Exp(λ). Então, E(X) = λ1 e V (X) = λ12 .
Dem.
Sendo X uma v.a. contı́nua e dada a sua f.d.p. temos então que
Z
Z +∞
i+∞ Z +∞
h
−
E(X) =
xf (x)dx =
x × λe−λx dx = −xe−λx
−e−λx dx =
0
i.p.p.
+∞
1
1
= − (e−∞ − 1) =
λ
λ
R
=0−
1 −λx
e
λ
0
0
0
c.q.d.
Use novamente a regra de integração por partes (i.p.p.) para mostrar que
E(X 2 ) =
2
λ2
TPC
Neste seguimento vem finalmente que
V (X) = E(X 2 ) − E 2 (X) =
1 2
2
1
−
= 2
λ2
λ
λ
c.q.d.
Distribuição Exponencial
Função de Distribuição
Seja a v.a. X ∼ Exp(λ). Então, a sua função de distribuição é dada por
0,
x≤0
F (x) =
.
1 − e−λx , x > 0
Dem.
Temos pela definição de função distribuição e pelo facto de X ser v.a. contı́nua que
Z x
F (x) = P (X ≤ x) =
f (u)du.
−∞
Ora, no caso em que x ≤ 0 a f.d.p. f (x) = 0 de modo que F (x) = 0 para x ≤ 0. No caso em
que x > 0 temos então que
Z x
Z x
h
ix
λe−λu du = −e−λu = −e−λx + 1
f (u)du =
−∞
0
0
pelo que escrevemos finalmente
F (x) =
0,
1 − e−λx ,
x≤0
.
x>0
c.q.d.
Distribuição Exponencial
Teorema (Propriedade da falta de memória da distribuição exponencial)
Seja X ∼ Exp(λ). Então: P (X ≥ s + t|X ≥ s) = P (X ≥ t) ∀t, s > 0.
Dem.
Comecemos por observar que, sendo X uma v.a. contı́nua se tem
1,
P (X ≥ x) = 1 − P (X < x) = 1 − P (X ≤ x) =
e−λx ,
x≤0
.
x>0
Assim,
e−λ(s+t)
P (X ≥ s + t)
=
= e−λt = P (X ≥ t)
def.
P (X ≥ s)
e−λs
P (X ≥ s + t|X ≥ s) =
c.q.d.
Distribuição Exponencial
Exemplo
Num dia de semana, o tempo de espera de um aluno da FCT pelo
autocarro que faz o trajecto até à Praça de Espanha segue uma
distribuição exponencial. Supondo que o tempo médio de espera pelo
autocarro é de 15mins, calcule a probabilidade de
uma vez chegado à paragem, o aluno esperar mais de 10mins;
estando o aluno à espera do autocarro já há 10mins, ter de esperar
ainda mais de 5mins.
Começamos por observar que
T = tempo de espera pelo autocarro ∼ Exp(1/15)
já que nos é dito que T ∼ Exp(λ) e que E(T ) = 1/λ = 15mins. Assim temos,
P (T > 10)
=
v.a.cont.
2
P (T ≥ 10) = e−1/15∗10 = e− 3 ≃ 0.5134
P (T > 10 + 5|T > 10) = P (T > 5)
prop.
=
v.a.cont.
1
P (T ≥ 5) = e−1/15∗5 = e− 3 ≃ 0.7165
Distribuição Exponencial
Proposição (Relação entre a distribuição Exponencial e Poisson)
Considere um acontecimento que ocorre de acordo com um Processo de
Poisson de parâmetro λ, por unidade de tempo. Então, o tempo até à
primeira ocorrência e o tempo entre duas ocorrências consecutivas tem
distribuição Exp(λ).
Exemplo
Voltemos ao exemplo anterior onde
X = no de automóveis que chega a um parque de estacionamento numa hora ∼ P (180).
Caracterize a v.a. que representa o tempo que decorre entre chegadas
consecutivas de dois automóveis ao parque. Calcule a probabilidade de
decorrer 1 minuto ou mais entre chegadas consecutivas de dois automóveis.
Pela proposição temos então que
T = tempo que decorre entre chegadas consecutivas de 2 automóveis ∼ Exp(180)
pelo que a f.d.p. de T vem f (t) = 180e−180t , t > 0. Ainda, dado que 1min ≡ 1/60h
P (T ≥ 1/60) = 1 − P (T < 1/60) = 1 − P (T ≤ 1/60) = 1 − F (1/60) = e−180/60 ≃ 0.04979.
Distribuição Normal
Definição (Distribuição Normal)
Uma variável aleatória X diz-se seguir uma distribuição Normal de parâmetros
µ e σ 2 , e escrevemos X ∼ N (µ, σ 2 ), se a sua função densidade de probabilidade
for dada por:
(x−µ)2
1
e− 2σ2 ,
x ∈ R, µ ∈ R, σ > 0
f (x) = √
2πσ
Apresentamos abaixo os gráficos animados das funções densidade de
probabilidade (esquerda) e distribuição (direita) da distribuição N (0, σ 2 ) com σ 2 a variar
entre 0.5 − 2 com passo 0.05. (para a correcta visualização do mesmo é necessário abrir
este pdf com recurso ao software Adobe Reader).
Distribuição Normal
Proposição
Seja a v.a. X ∼ N (µ, σ 2 ). Então E(X) = µ e V (X) = σ 2 .
Teorema
Seja X ∼ N (µ, σ 2 ). Então, Z = X−µ
σ ∼ N (0, 1).
Demonstramos apenas que E(Z) = 0 e V (Z) = 1 usando as propriedades do valor esperado e
da variância:
X − µ
1
1
=
E(X) − µ = (µ − µ) = 0
E(Z) = E
σ
σ
σ
V (Z) = V
X − µ
σ
=
1
σ2
V (X) = 2 = 1
σ2
σ
Distribuição Normal
Teorema
Sejam X1 , X2 , . . . , Xn n variáveis
aleatórias independentes com
distribuições Xi ∼ N µi , σi2 , i = 1, 2, . . . , n. Considerando as constantes
reais a1 , a2 , . . . , an , com algum ai 6= 0, temos que:
Y = a1 X1 + . . . + an Xn ∼ N a1 µ1 + . . . + an µn , a21 σ12 + . . . + a2n σn2
Note que, usando as propriedades do valor esperado e da variância, facilmente verificamos que:
E (Y )
V (Y )
=
=
E
V
n
X
i=1
n
X
i=1
!
ai Xi
=
n
X
ai E (Xi ) =
!
ai µi
i=1
i=1
ai Xi
n
X
n
Xi0 s ind. X
=
i=1
V (ai Xi ) =
n
X
i=1
a2i V (Xi ) =
n
X
i=1
a2i σi2
Exercı́cios - Exponencial
Ex.3.14 Num posto dos correios o tempo (minutos) que a D. Hermı́nia demora a atender cada um dos seus clientes é uma v.a.
exponencial de valor médio 3 minutos. Determine:
a)
b)
c)
d)
A função de distribuição de X.
A probabilidade de um cliente demorar mais de 5 minutos a ser atendido.
A probabilidade de um cliente demorar mais de 3 minutos a ser atendido.
A probabilidade de um cliente demorar mais de 5 minutos a ser atendido, sabendo que já está a ser atendido há pelo menos
2 minutos. Compare com a probabilidade anterior e comente.
e) O coeficiente de variação do tempo de atendimento.
Ex.3.15 Admita que os clientes chegam a uma loja de acordo com um processo de Poisson de média λ = 2/minuto. Calcule
a probabilidade:
a) do tempo entre chegadas consecutivas ser superior a um minuto.
b) do tempo entre chegadas consecutivas ser inferior a quatro minutos.
c) do tempo entre chegadas consecutivas estar entre um e dois minutos.
Ex.3.16 Seja X uma v.a. com distribuição N (100, 202 ). Calcule:
a) P (X < 125).
b) P (X > 115).
c) P (60 < X < 140).
Ex.3.17 Seja X uma v.a. normal com média 12 e variância 2. Determine c tal que:
a) P (X < c) = 0.1.
b) P (X > c) = 0.25.
c) P (12 − c < X < 12 + c) = 0.95.
Exercı́cios da semana: 18, 19, 23 e 24 da lista de exercı́cios do capı́tulo 3.
TPC: Exercı́cios 14, 15, 16, 17 e 25 da lista de exercı́cios do capı́tulo 3; exercı́cio 4 do Teste 1 de IPEIO, módulo PE, de
2015-2016; exercı́cios 4 e 5a-c) do Teste 1 de IPEIO, módulo PE, de 2017-2018
Exercı́cios - Normal
Ex.3.18 Admita que o Q.I. das pessoas de determinado paı́s é uma v.a. X com distribuição normal de média 90 e desvio padrão
12. Determine:
a) A percentagem da população com Q.I. entre 85 e 95.
b) O valor c > 0 tal que a percentagem da população com Q.I. entre 90 − c e 90 + c seja de 95%.
c) 10000 pessoas desta população concorreram ao selecto clube SMART, que apenas admite indivı́duos com Q.I. superior a
120. Quantas destas pessoas espera o clube vir a admitir?
Ex.3.19 A altura (metros) a que crescem os pinheiros é uma v.a. X normalmente distribuı́da com desvio padrão igual a 1
metro. Supondo que 90% dos pinheiros atingem uma altura de pelo menos 16 metros, qual a altura média dos pinheiros?
Ex.3.23 Num jardim zoológico existem um leão e um tigre que consomem, independentemente um do outro, o mesmo tipo de
alimentação - carne de 2a . A quantidade de carne (Kg) que cada um deles come por dia são variáveis aleatórias, representadas
por X1 para o leão e X2 para o tigre, respectivamente, normalmente distribuı́das com média 4Kg e desvio padrão 0.5Kg.
Determine a probabilidade de, num determinado dia:
a) Ambos os animais comerem menos de 3Kg de carne cada.
b) O leão comer mais do que o tigre.
3 do que o tigre come, exceder os 4Kg.
c) Metade do que o leão come juntamente com 4
Exercı́cios da semana: 18, 19, 23 e 24 da lista de exercı́cios do capı́tulo 3.
TPC: Exercı́cios 14, 15, 16, 17 e 25 da lista de exercı́cios do capı́tulo 3; exercı́cio 4 do Teste 1 de IPEIO, módulo PE, de
2015-2016; exercı́cios 4 e 5a-c) do Teste 1 de IPEIO, módulo PE, de 2017-2018
Exercı́cios - Normal
Ex.3.24 (Teste de PE 2006/07) Um elevador está preparado para suportar uma carga até 450 kg. Sempre que este valor é
ultrapassado o elevador não funciona. Um estudo recente indica que o peso, das pessoas que utilizam esse elevador, é uma
variável aleatória com distribuição Normal de valor médio 70 kg.
a) Sabendo que a probabilidade de uma pessoa (que utiliza o elevador) pesar menos de 60 kg é 0.0228, determine o desvio
padrão desta variável aleatória.
b) Se entrarem 6 pessoas no elevador, qual a probabilidade de o elevador não funcionar devido ao excesso de peso?
Ex.3.25 (Teste de P.E. D 2005/06) Um foguete espacial é constituı́do por 3 partes distintas, cápsula, corpo e depósitos.
Representem as v.a.’s X, Y e W o peso da cápsula, o peso do corpo do foguete e o peso dos depósitos, respectivamente, em
toneladas. Sabe-se que X ∼ N (5, 1), Y ∼ N (10, 22 ) e W ∼ N (7, 22 ), sendo as três variáveis independentes entre si.
a) Qual a probabilidade de o peso da cápsula estar compreendido entre 3 e 7 toneladas?
b) Qual o peso h que o corpo do foguete ultrapassa em 2.5% das vezes?
c) Qual a probabilidade de o peso da cápsula mais o peso dos depósitos excederem o peso do corpo do foguete?
Exercı́cios da semana: 18, 19, 23 e 24 da lista de exercı́cios do capı́tulo 3.
TPC: Exercı́cios 14, 15, 16, 17 e 25 da lista de exercı́cios do capı́tulo 3; exercı́cio 4 do Teste 1 de IPEIO, módulo PE, de
2015-2016; exercı́cios 4 e 5a-c) do Teste 1 de IPEIO, módulo PE, de 2017-2018