Primitives des
fonctions rationnelles
 Rappels sur les polynômes
 Décomposition d’une fonction rationnelle
 Primitives d’une fonction rationnelle
Rappels sur les polynômes
Définition :
On appelle polynôme à une variable complexe 𝒛 toute
expression de la forme :
𝑷 𝒛 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏 𝒛 + 𝒂𝟐 𝒛𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒏 𝒛𝒏
Où : 𝒂𝟎 , 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , … , 𝒂𝒏 ∈ ℂ appelés coefficients du polynôme
Si 𝑎𝑛 ≠ 0 on dira que le polynôme est de degré 𝑛.
Le polynôme dérivé de 𝑃 qu’on note 𝑃′ est défini par :
𝑃′ 𝑧 = 𝑎1 + 2𝑎2 𝑧 + ⋯ + 𝑛𝑎𝑛 𝑧 𝑛−1
Rappels sur les polynômes (2)
Racines d’un polynôme :
On dira que 𝜆 ∈ ℂ est une racine de 𝑃 si 𝑃 𝜆 = 0
Cette définition est équivalente à 𝑃 est divisible par 𝑧 − 𝜆 :
C-à-d qu’il existe un polynôme 𝑄 tel que 𝑃 𝑧 = 𝑧 − 𝜆 𝑄 𝑧 .
Les racines d’un polynôme peuvent être simples ou multiples.
On dira que 𝜆 ∈ ℂ est une racine simple si
𝑃 𝜆 =0
𝑃 𝑧 = 𝑧 − 𝜆 𝑄 𝑧 ,𝑄 𝜆 ≠ 0 ⟺ ቊ ′
𝑃 𝜆 ≠0
On dira que 𝜆 ∈ ℂ est une racine double si
′
𝑃
𝜆
=
𝑃
𝜆 =0
2
𝑃 𝑧 = 𝑧 − 𝜆 𝑄 𝑧 ,𝑄 𝜆 ≠ 0 ⟺ ቊ
𝑃′′ 𝜆 ≠ 0
Rappels sur les polynômes (3)
Plus généralement On dira que 𝜆 ∈ ℂ est une racine de
multiplicité ou d’ordre 𝒌 ∈ ℕ∗ si
𝑃 𝑧 = 𝑧 − 𝜆 𝑘𝑄 𝑧 , 𝑄 𝜆 ≠ 0
𝑃 𝜆 = 𝑃′ 𝜆 = ⋯ = 𝑃 𝑘−1 𝜆 = 0
⟺൝
𝑃𝑘 𝜆 ≠0
Exemple 1 :
−1−𝑖 3
𝑃 𝑧 = 𝑧 − 1 on a 3 racines simples : 𝑧1 = 1, 𝑧2 =
et
2
−1+𝑖 3
𝑧3 =
2
3
Exemple 2 :
𝑃 𝑧 = 𝑧 5 − 3𝑧 4 + 4𝑧 3 − 4𝑧 2 + 3𝑧 − 1 , 𝑧1 = 1 est une
racine triple car 𝑃 1 = 𝑃′ 1 = 𝑃′′ 1 = 0 𝑒𝑡 𝑃′′′ 1 ≠ 0
𝑧2 = 𝑖 et 𝑧3 = −𝑖 sont des racines simples.
Rappels sur les polynômes (4)
Exemple 3 :
𝑃 𝑧 = 𝑧 4 + 4𝑧 3 + 𝑚𝑧 2 + 𝑛𝑧 + 2 , 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ .
Choisir 𝑚 et 𝑛 pour que −1 soit une racine double.
On doit avoir 𝑃 −1 = 𝑃′ −1 = 0 et 𝑃′′ (−1) ≠ 0
𝑃′ 𝑧 = 4𝑧 3 + 12𝑧 2 + 2𝑚𝑧 + 𝑛
൝
𝑃′′ 𝑧 = 12𝑧 2 + 24𝑧 + 2𝑚
𝑃 −1 = 0
𝑚−𝑛−1=0
𝑚=7
൜ ′
⇔ ቊ
⇔ ቊ
𝑃 −1 = 0
8 − 2𝑚 + 𝑛 = 0
𝑛=6
−1 + 𝑖 et −1 − 𝑖 sont également racines de 𝑃.
Rappels sur les polynômes (5)
Cas des polynômes à coefficients réels :
Soit 𝑛 ∈ ℕ∗ et 𝑃 𝑧 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑧 + 𝑎2 𝑧 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑧 𝑛
où 𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ∈ ℝ .
Si 𝜆 ∈ ℂ est une racine du polynôme, alors il en est de même
pour 𝜆ҧ conjugué de 𝜆.
En effet : 𝑃 𝜆 = 𝑎0 + 𝑎1 𝜆 + 𝑎2 𝜆2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝜆𝑛 = 0
⟹ 𝑃 𝜆 = 𝑎0 + 𝑎1 𝜆 + 𝑎2 𝜆2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝜆𝑛 = 0
⟹ 𝑃 𝜆 = 𝑎0 + 𝑎1 𝜆ҧ + ⋯ + 𝑎𝑛 𝜆𝑛 = 0
⟹ 𝑃 𝜆 = 𝑎0 + 𝑎1 𝜆ҧ + ⋯ + 𝑎𝑛 𝜆𝑛 = 𝑃 𝜆ҧ = 0
Comme conséquence on montre que si 𝜆 ∈ ℂ est une racine
d’ordre 𝑘 ≥ 1 alors il en est de même pour 𝜆ҧ conjugué de 𝜆.
Rappels sur les polynômes (6)
Décomposition d’un polynôme :
Soit 𝑃 𝑧 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑧 + 𝑎2 𝑧 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑧 𝑛
où 𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ∈ ℂ , un polynôme de degré 𝑛 ≥ 1.
On admet qu’il admet au moins une racine complexe, c-à-d
∃𝜆 ∈ ℂ 𝑡𝑞 𝑃 𝜆 = 0.
Remarque :
Ce résultat n’est pas valable dans ℝ.
𝑃1 𝑥 = 𝑥 2 + 𝑥 + 1
𝑃2 𝑥 = 𝑥 4 + 1
𝑃1 𝑥 et 𝑃2 𝑥 n’admettent pas de racine réelle.
Rappels sur les polynômes (7)
Conséquences :
1. Si 𝑃 𝑧 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑧 + 𝑎2 𝑧 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑧 𝑛
où 𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ∈ ℂ, est un polynôme de degré 𝑛 ≥ 1,
alors il admet 𝑛 racines distinctes ou non.
Si 𝜆1 , 𝜆2 … 𝜆𝑝 sont les racines distinctes d’ordres respectifs
𝐶, 𝑘1 + 𝑘2 + ⋯ + 𝑘𝑝 = 𝑛
Alors : 𝑃 𝑧 = 𝑎𝑛 𝑧 − 𝜆1
𝑘1
𝑧 − 𝜆2
𝑘2
… 𝑧 − 𝜆𝑝
𝑘𝑝
.
2. Soit 𝑃 𝑧 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑧 + 𝑎2 𝑧 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑧 𝑛
où 𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ∈ ℝ , un polynôme de degré 𝑛 ≥ 1.
On sait que si 𝜆 ∈ ℂ est une racine de multiplicité 𝑘 alors il
en est de même pour 𝜆.ҧ
𝑘
𝑘
ҧ
Dans l’expression de 𝑃 on trouve le facteur 𝑧 − 𝜆 𝑧 − 𝜆
Rappels sur les polynômes (8)
En particulier dans le cas où P est réel , c-à-d de la forme :
𝑃 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛
où 𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ∈ ℝ , 𝑥 ∈ ℝ,
alors la décomposition d’un tel polynôme dans ℝ nous donne
des facteurs de la forme 𝑥 − 𝑎 𝑘 ou 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 𝑚 avec
𝛥 < 0.
Exemple 1 :
𝑃 𝑥 = 𝑥4 + 1
𝑃 𝑥 = 𝑥 2 + 1 2 − 2𝑥 2 = 𝑥 2 − 𝑥 2 + 1 𝑥 2 + 𝑥 2 + 1 .
Rappels sur les polynômes (9)
Exemple 2 :
𝑃 𝑥 = 𝑥5 + 1
On cherche les racines dans ℂ.
soit 𝑧 une telle racine. 𝑧 = 𝜌𝑒 𝑖𝜃 ⟹ 𝑧 5 = 𝜌5 𝑒 5𝑖𝜃
𝜌=1
𝜋 2
𝑧 5 = −1 ⇔ 𝜌5 𝑒 5𝑖𝜃 = 𝑒 𝑖𝜋 ⇔ ቐ
𝑘 = 0,1,2,3,4
𝜃 = + 𝑘𝜋
5 5
𝑍1 = 𝑒
𝑖
𝜋
5
𝑍2 = 𝑍1 = 𝑒
On a 5 racines :
𝑍3 = 𝑒
𝑖(
−𝑖
3𝜋
)
5
−𝑖
𝑃 𝑥 = 𝑥+1
𝜋
5
3𝜋
5
𝑍4 = 𝑍3 = 𝑒
𝑍5 = −1
𝜋
2
𝑥 − 2𝑥 cos + 1
5
3𝜋
𝑥 − 2𝑥 cos
+1
5
2
Décomposition d’une fonction rationnelle
Soit 𝑃 et 𝑄 2 polynômes réels premiers entre eux.
L’application 𝐹 ∶ 𝑥 ⟼ 𝐹 𝑥
𝑃 𝑥
=
𝑄 𝑥
, 𝑄 𝑥 ≠ 0 est
appelée fraction rationnelle.
On dira que 𝐹 est propre si degré de 𝑃 est strictement
inférieur au degré de degré de 𝑄 𝑑°𝑃 < 𝑑°𝑄 .
Les racines de 𝑄 sont appelées ‘‘pôles’’ de 𝐹.
Une racine d’ordre 𝒌 du dénominateur est appelée ‘‘pôle’’
d’ordre 𝒌.
Exemple 1 :
𝑥2 + 1
𝐹 𝑥 =
𝑥 𝑥−1 2 𝑥+1 3
𝑥 = 0 est un pôle simple
𝑥 = 1 est un pôle double
𝑥 = −1 est un pôle triple
Décomposition d’une fonction rationnelle (2)
Définition :
On appelle fraction rationnelle partielle (ou élémentaire)
une fraction de la forme :
𝐴
𝐶𝑥 + 𝐷
∗ 𝑒𝑡 𝛥 = 𝑝 2 − 4𝑞 < 0
𝑜𝑢
,
𝑘,
𝑗
∈
ℕ
𝑥−𝑎 𝑘
𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 𝑗
𝑃 𝑥
Soit 𝐹 𝑥 = 𝑄 𝑥 une fraction rationnelle propre.
On sait que le dénominateur s’écrit comme produit de facteurs
de la forme 𝑥 − 𝑎 𝑘 ou 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 𝑗 avec 𝛥 < 0.
Les premiers sont appelés éléments simples de 1ère espèce, les
seconds éléments simples de 2ème espèce.
Décomposition d’une fonction rationnelle (3)
Théorème :
toute fraction rationnelle propre s’écrit d’une manière
unique comme somme de fractions rationnelles partielles.
Pour raison de simplicité, on indique la démarche à suivre :
À chaque élément de 1ère espèce 𝑥 − 𝑎 𝑘 , dans l’écriture en
fractions partielles doit figurer une somme de la forme :
𝐴𝑘
𝐴𝑘−1
𝐴1
+
+ ⋯+
.
𝑘
𝑘−1
𝑥−𝑎
𝑥−𝑎
𝑥−𝑎
À chaque élément de 2ème espèce 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 𝑗 avec 𝛥 < 0
dans l’écriture en fractions partielles doit figurer une somme
de la forme :
𝐶𝑗 𝑥 + 𝐷𝑗
𝐶1 𝑥 + 𝐷1
𝐶2 𝑥 + 𝐷2
+ 2
+ ⋯+ 2
2
2
𝑥 + 𝑝𝑥 + 𝑞
𝑥 + 𝑝𝑥 + 𝑞
𝑥 + 𝑝𝑥 + 𝑞 𝑗
Décomposition d’une fonction rationnelle (4)
Exemple 1 :
𝑥2 + 1
𝐹 𝑥 =
𝑥² 𝑥 − 1 𝑥 + 1 3
𝐴2 𝐴1
𝐵1
𝐶3
𝐶2
𝐶1
𝐹 𝑥 = 2+
+
+
+
+
3
𝑥
𝑥
𝑥−1
𝑥+1
𝑥+1
𝑥+1 ²
Exemple 2 :
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝐹 𝑥 =
𝑥 − 1 2 𝑥 − 2 3 𝑥2 + 1 2
𝐴2
𝐴1
𝐵3
𝐵2
𝐵1
𝐹 𝑥 =
+
+
+
+
2
3
(𝑥 − 1)
𝑥−1
𝑥−2
𝑥−2
𝑥−2 ²
𝐶1 𝑥 + 𝐷1 𝐶2 𝑥 + 𝐷2
+
+
𝑥² + 1
𝑥² + 1 ²
Décomposition d’une fonction rationnelle (4)
Calcul des coefficients :
a) Méthode des coefficients indéterminés :
Dans l’écriture de 𝐹en fractions partielles, on multiplie les 2
membres par le dénominateur, on développe, puis on
identifie les coefficients des monômes de même puissance.
Exemple 1 :
Décomposer la fonction rationnelle en éléments simples :
𝑥2 + 1
𝐹 𝑥 =
𝑥 𝑥−1 𝑥+2
On a :
𝐴
𝐵
𝐶
𝐹 𝑥 = +
+
𝑥
𝑥−1
𝑥+2
Décomposition d’une fonction rationnelle (5)
Exemple 1 (suite) :
𝑥 2 + 1 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝑥 2 + 𝐴 + 2𝐵 − 𝐶 𝑥 − 2𝐴
Par identification on obtient :
−2𝐴 = 1
ቐ𝐴 + 2𝐵 − 𝐶 = 0 ⇔
𝐴+𝐵+𝐶 = 1
1
𝐴=−
2
2
𝐵=
3
5
𝐶=
6
En définitive :
𝑥2 + 1
1
2
5
=−
+
+
𝑥 𝑥−1 𝑥+2
2𝑥 3 𝑥 − 1
6 𝑥+2
Décomposition d’une fonction rationnelle (6)
b) Méthode de division suivant les puissances croissantes :
La méthode précédente peut s’avérer très longue.
On donne une méthode pour le calcul des coefficients de la
partie polaire relative à un pôle d’ordre 𝑘, 𝑘 ≥ 1.
On suppose que le dénominateur 𝑄 𝑥 = 𝑥 − 𝑎 𝑘 𝑄1 𝑥 ,
𝑄1 𝑎 ≠ 0, autrement dit 𝑎 est un pôle d’ordre 𝑘.
La partie polaire est donc de la forme :
𝐴𝑘
𝐴𝑘−1
𝐴1
+
+ ⋯+
.
𝑘
𝑘−1
𝑥−𝑎
𝑥−𝑎
𝑥−𝑎
Décomposition d’une fonction rationnelle (7)
On distingue deux cas :
• 𝑘 = 1. On a un seul coefficient à calculer à savoir 𝐴1 :
𝑃 𝑎
𝑃 𝑎
𝐴1 = lim 𝑥 − 𝑎 𝐹 𝑥 =
= ′
.
𝑥→𝑎
𝑄1 𝑎
𝑄 𝑎
𝑃 𝑥
• 𝑘 > 1. Dans la fraction rationnelle 𝑄 𝑥 = 𝑥 − 𝑎 𝑘 𝐹 𝑥 ,
1
on pose 𝑥 = 𝑎 + 𝑦 puis on effectue la division suivant les
puissances croissantes de 𝑦 jusqu'à l’ordre 𝑘 − 1.
Exemple 1 :
𝑥2 + 1
𝐹 𝑥 =
𝑥² 𝑥 − 1 𝑥 + 1 3
𝐴2 𝐴1
𝐵1
𝐶3
𝐶2
𝐶1
𝐹 𝑥 = 2+
+
+
+
+
3
𝑥
𝑥
𝑥−1
𝑥+1
𝑥+1
𝑥+1 ²
Plutôt que d’utiliser la méthode précédente il est préférable
d’utiliser la 2ème méthode.
Décomposition d’une fonction rationnelle (8)
Exemple 1 (suite) :
𝑥 = 1 é𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑢𝑛 𝑝ô𝑙𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 :
𝐵1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 − 1 𝐹 𝑥
𝑥→1
𝑥 2 +1
1
= 𝑙𝑖𝑚 𝑥² 𝑥+1 3 = 4 .
𝑥→1
𝑥 = 0 étant un pôle double alors on effectue la division suivant
les puissances croissantes jusqu'à l’ordre 1 de
2
2
1
+
𝑥
1
+
𝑥
𝑥2𝐹 𝑥 =
=
3
𝑥−1 𝑥+1
𝑥 − 1 1 + 3𝑥 + ⋯
1 + 𝑥2
=
= −1 + 2𝑥 + ⋯
−1 − 2𝑥 + ⋯
1 + 𝑥2
−1 − 2𝑥
−2𝑥 + 𝑥²
−1 − 2𝑥
−1 + 2𝑥
𝐴2 = −1
⟹ ቊ
𝐴1 = 2
Décomposition d’une fonction rationnelle (9)
Exemple 1 (suite) :
𝑥 = −1 est un pôle triple.
3
Alors dans la fraction 𝑥 + 1 𝐹 𝑥
𝑥 2 +1
= 𝑥² 𝑥−1
on pose
𝑥 + 1 = 𝑦 c-à-d 𝑥 = −1 + 𝑦 puis on effectue la division suivant
les puissances croissantes jusqu'à l’ordre 2.
𝑥2 + 1
−1 + 𝑦 2 + 1
2 − 2𝑦 + 𝑦²
=
=
−2 + 5𝑦 − 4𝑦 2 + ⋯
𝑥² 𝑥 − 1
−1 + 𝑦 ² −2 + 𝑦
2 − 2𝑦 + 𝑦²
−2 + 5𝑦 − 4𝑦²
−2 + 5𝑦 − 4𝑦 2
3
9 2
−1 − 𝑦 − 𝑦 + ⋯
2
4
3𝑦 − 3𝑦²
15 2
−3𝑦 +
𝑦 +⋯
2
9 2
𝑦 +⋯
2
⟹
𝐶3 = −1
3
𝐶2 = −
2
9
𝐶1 = −
4
Décomposition d’une fonction rationnelle (10)
Exemple 2 :
𝑥3 − 1
𝐹 𝑥 = 3
𝑥 𝑥 + 1 2 𝑥2 + 1
𝐴3 𝐴2 𝐴1
𝐵1
𝐵2
𝐶1 𝑥 + 𝐷1
𝑂𝑛 𝑎 ∶ 𝐹 𝑥 = 3 + 2 +
+
+
+ 2
2
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥+1
𝑥+1
𝑥 +1
Calcul des coefficients 𝑨𝟏 , 𝑨𝟐 et 𝑨𝟑 :
On effectue la division suivant les puissances croissantes jusqu'à
l’ordre 2 de 𝑥 3 𝐹 𝑥 .
3
3
−1
+
𝑥
−1
+
𝑥
𝑥3𝐹 𝑥 =
=
2
1 + 2𝑥 + 2𝑥 2 + ⋯
1 + 2𝑥 + 𝑥² 1 + 𝑥
−1 + 𝑥 3
+1 + 2𝑥 + 2𝑥²
2𝑥 + 2𝑥 2 + ⋯
−2𝑥 − 4𝑥 2 + ⋯
−2𝑥 2 + ⋯
1 + 2𝑥 + 2𝑥 2
−1 + 2𝑥 − 2𝑥 2
𝐴3 = −1
⟹ ቐ 𝐴2 = 2
𝐴1 = −2
Décomposition d’une fonction rationnelle (11)
Exemple 2 (suite) :
Calcul des coefficients 𝐵1 et 𝐵2 :
On multiplie 𝐹 𝑥 𝑝𝑎𝑟 𝑥 + 1
2
𝑥 3 −1
ce qui nous donne : 3 2
𝑥 𝑥 +1
On pose 𝑥 + 1 = 𝑦 c-à-d 𝑥 = −1 + 𝑦 puis on effectue la division
suivant les puissances croissantes de 𝑦 jusqu'à l’ordre 1.
3
3
𝑥
−
1
−1
+
𝑦
−1
2
𝑥+1 𝐹 𝑥 = 3 2
=
𝑥 𝑥 +1
−1 + 𝑦 3 −1 + 𝑦 2 + 1
−2 + 3𝑦 + ⋯
−2 + 3𝑦 + ⋯
2
𝑥+1 𝐹 𝑥 =
=
−1 + 3𝑦 + ⋯ 2 − 2𝑦 + ⋯
−2 + 8𝑦 + ⋯
−2 + 3𝑦 + ⋯
+2 − 8𝑦 + ⋯
−5𝑦 + ⋯
−2 + 8𝑦 + ⋯
5
1+ 𝑦+⋯
2
𝐵2 = 1
5
⟹ቐ
𝐵1 =
2
Décomposition d’une fonction rationnelle (12)
Exemple 2 (suite) :
Il nous reste deux coefficients à déterminer. On peut donner à
𝑥 deux valeurs autres que 0 et −1, mais on peut aussi utiliser :
𝐿𝑖𝑚 𝑥𝐹 𝑥 = 0 = 𝐴1 + 𝐵1 + 𝐶1
𝑥→+∞
5
1
D’où : 𝐶1 = −𝐴1 −𝐵1 = 2 − = −
2
2
Pour trouver 𝐷1 on donne à 𝑥 la valeur 1.
𝐶1
𝐵1 𝐵2 2 + 𝐷1 3 𝐷1
𝐹 1 = 0 = 𝐴3 + 𝐴2 + 𝐴1 + +
+
= +
2
4
2
8 2
3
⟹ 𝐷1 = −
4
Décomposition d’une fonction rationnelle (13)
Exemple 3 :
𝐹 𝑥 =
1
𝑥2 − 1 𝑥2 + 1
1
𝐴
𝐵
𝐶𝑥 + 𝐷
On a : 𝐹 𝑥 =
=
+
+ 2
2
𝑥−1 𝑥+1 𝑥 +1
𝑥−1 𝑥+1 𝑥 +1
La parité d’une fraction rationnelle réduit le nombre de coefficients à
calculer, dans notre cas on a :
𝐴
𝐵
𝐶𝑥 + 𝐷
−𝐴
−𝐵
−𝐶𝑥 + 𝐷
𝐹 −𝑥 = 𝐹 𝑥 =
+
+
=
+
+ 2
𝑥 − 1 𝑥 + 1 𝑥2 + 1 𝑥 + 1 𝑥 − 1
𝑥 +1
𝐵 = −𝐴
𝐵 = −𝐴
Par unicité de la décomposition : ቊ
⟹ ቊ
𝐶 = −𝐶
𝐶=0
1
1
𝐴 = lim 𝑥 − 1 𝐹 𝑥 = lim
= .
𝑥→1
𝑥→1 𝑥 + 1 𝑥 2 + 1
4
Pour trouver 𝐷 on donne à 𝑥 la valeur 0.
1
1
𝐹 0 = −1 = −𝐴 + 𝐵 + 𝐷 = −2𝐴 + 𝐷 = − + 𝐷 ⟹ 𝐷 = −
2
2
Décomposition d’une fonction rationnelle (14)
Cas général :
𝑃(𝑥)
Soit 𝐹 𝑥 =
une fonction rationnelle propre ou non.
𝑄(𝑥)
Si 𝑑°𝑃 < 𝑑°𝑄 on entame directement la décomposition en
éléments simples.
Si 𝑑°𝑃 > 𝑑°𝑄 on effectue la division euclidienne ou la division
suivant les puissances décroissantes de 𝑃 𝑥 par 𝑄 𝑥 .
Il existe 𝟐 polynômes uniques 𝐸 𝑥 = quotient et 𝑅 𝑥 = reste
Tels que : 𝑃 𝑥 = 𝐸 𝑥 𝑄 𝑥 + 𝑅 𝑥 , 𝑑°𝑅 < 𝑑°𝑄.
𝑃 𝑥
𝑅 𝑥
⟹𝐹 𝑥 =
=𝐸 𝑥 +
= 𝐸 𝑥 + 𝐹1 (𝑥)
𝑄 𝑥
𝑄 𝑥
𝐹1 étant propre on peut l’écrire comme somme de fractions
partielles.
Décomposition d’une fonction rationnelle (15)
Exemple 1 :
𝑥4 + 𝑥 − 1
5𝑥 2 + 𝑥 − 5
𝑓 𝑥 = 3
= 𝑥−2+ 3
2
𝑥 + 2𝑥 − 𝑥 − 2
𝑥 + 2𝑥 2 − 𝑥 − 2
5𝑥 2 + 𝑥 − 5
= 𝑥−2 +
𝑥 + 2 (𝑥² − 1)
5𝑥 2 + 𝑥 − 5
= 𝑥−2 +
𝑥 + 2 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
5𝑥 2 + 𝑥 − 5
𝐴
𝐵
𝐶
𝐹1 𝑥 = 3
=
+
+
2
𝑥 + 2𝑥 − 𝑥 − 2 (𝑥 + 2) (𝑥 − 1) (𝑥 + 1)
13
𝐴 = lim 𝑥 + 2 𝐹1 𝑥 =
.
𝑥→−2
3
1
𝐵 = lim 𝑥 − 1 𝐹1 𝑥 = .
𝑥→1
6
−1 1
𝐶 = lim 𝑥 + 1 𝐹1 𝑥 =
= .
𝑥→−1
−2 2
Primitives d’une fonction rationnelle
𝑃(𝑥)
Soit : 𝐹 𝑥 = 𝑄(𝑥) une fonction rationnelle.
La décomposition de 𝐹 donne lieu en général à une partie
polynomiale 𝐸 𝑥 et à des fractions partielles de la forme :
𝐴
𝐶𝑥 + 𝐷
𝑜𝑢 2
,
𝑘
𝑗
𝑥−𝑎
𝑥 + 𝑝𝑥 + 𝑞
𝑘, 𝑗 ∈ ℕ∗ 𝑒𝑡 𝛥 = 𝑝2 − 4𝑞 < 0
Si 𝐸 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑖 𝑥 𝑖
𝑎
𝑎
𝑖
Alors‫𝑎 = 𝑥𝑑 𝑥 𝐸 ׬‬0 𝑥 + 21 𝑥 2 + ⋯ + 𝑖+1
𝑥 𝑖+1 + 𝐶
𝐿𝑜𝑔 𝑥 − 𝑎 + 𝐶
𝑑𝑥
De même :‫𝑥 ׬‬−𝑎 𝑘 = ቐ 1
1−𝑘
𝑥 − 𝑎 −𝑘+1 + 𝐶
𝑠𝑖 𝑘 = 1
𝑠𝑖 𝑘 ≠ 1
Primitives d’une fonction rationnelle (2)
Il reste donc à trouver les primitives de
𝐴𝑥+𝐵
.
𝑥 2 +𝑝𝑥+𝑞 𝑚
On a :
𝐴
𝐴
2𝑥+𝑝 +𝐵− 𝑝
𝐴𝑥+𝐵
2
‫𝑥 ׬‬2 +𝑝𝑥+𝑞 𝑚 𝑑𝑥 = ‫𝑥 ׬‬2 +𝑝𝑥+𝑞 𝑚2 𝑑𝑥
𝐴𝑥+𝐵
𝐴
2𝑥+𝑝
𝑑𝑥
=
‫𝑥 ׬‬2 +𝑝𝑥+𝑞 𝑚
‫𝑥 ׬‬2 +𝑝𝑥+𝑞 𝑚 𝑑𝑥 +
2
𝐵− 𝑝 ‫ ׬‬2
2
𝑥 +𝑝𝑥+𝑞 𝑚
2𝑥+𝑝
𝜑′ 𝑥
‫𝑥 ׬‬2 +𝑝𝑥+𝑞 𝑚 𝑑𝑥 = ‫׬‬
𝑚 𝑑𝑥 𝑜ù 𝜑 𝑥
𝜑 𝑥
= 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞
𝐿𝑜𝑔 𝑡 + 𝐶
𝐴
2𝑥+𝑝
𝑑𝑡
𝑑𝑥
=
‫𝑥 ׬‬2 +𝑝𝑥+𝑞 𝑚
‫ = 𝑚 𝑡 ׬‬ቐ 1 −𝑚+1
𝑡
+𝐶
1−𝑚
𝑑𝑥
𝑠𝑖 𝑚 = 1
𝑠𝑖 𝑚 ≠ 1
Primitives d’une fonction rationnelle (3)
D’où :
𝐿𝑜𝑔 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 + 𝐶
2𝑥+𝑝
‫𝑥 ׬‬2 +𝑝𝑥+𝑞 𝑚 𝑑𝑥 = ቐ 1
1−𝑚
𝑠𝑖 𝑚 = 1
𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 −𝑚+1 + 𝐶
𝑠𝑖 𝑚 ≠ 1
1
on procède de la manière
𝑥 2 +𝑝𝑥+𝑞 𝑚
Pour ce qui est des primitives de
suivante :
2
a) 𝑥 + 𝑝𝑥 + 𝑞 =
2
𝑝 2
𝑥+2 +
𝑝 2
𝑥 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 𝑥 +
2
𝑞
2
𝑝2
− 4
, 𝑞
2
𝑥+ 2
2
𝑝
2
+𝛼 =𝛼
𝑑𝑥
1
⟹න 2
= න 2𝑚
𝑥 + 𝑝𝑥 + 𝑞 𝑚
𝛼
1+
𝛼
𝑝2
− 4 >0
2
, 𝛼=
𝑑𝑥
𝑝 2
𝑥+2
1+
𝛼
𝑚
2
𝑝
𝑞2 −
4
Primitives d’une fonction rationnelle (4)
b) Poser
𝑝
2
𝑥+
𝛼
𝑝
= 𝑡 c-à-d : 𝑥 = 𝛼𝑡 − 2
𝑑𝑥
1
𝛼
1
𝑑𝑡
න 2
= 2𝑚 න
𝑑𝑡 = 2𝑚−1 න
𝑚
2
𝑚
𝑥 + 𝑝𝑥 + 𝑞
𝛼
1+𝑡
𝛼
1 + 𝑡2 𝑚
𝑑𝑡
On se ramène donc au calcul de 𝐼𝑚 = ‫ ׬‬1+𝑡 2 𝑚
𝑑𝑡
=න
= Arctan 𝑡 + 𝐶
2
1+𝑡
𝑚 = 1,
𝐼1
𝑚 > 1,
1+𝑡 2 −𝑡 2
1
𝐼𝑚+1 = ‫ ׬‬1+𝑡 2 𝑚+1 𝑑𝑡 = ‫ ׬‬1+𝑡 2 𝑚 𝑑𝑡 −
𝑡2
‫ ׬‬1+𝑡 2 𝑚+1 𝑑𝑡
1
1
2𝑡
𝐼𝑚+1 = න
𝑑𝑡 − න 𝑡
𝑑𝑡
2
𝑚
2
𝑚+1
1+𝑡
2
1+𝑡
Primitives d’une fonction rationnelle (5)
On intègre par parties en posant :
𝑢=𝑡
𝑢′ = 1
−1
൞𝑣 =
⟹ ቐ𝑣 ′ =
𝑚 1+𝑡 2 𝑚
2𝑡
1+𝑡 2 𝑚+1
1
1
1
1
𝑑𝑡
𝐷𝑜𝑛𝑐 ∶ 𝐼𝑚+1 = 𝐼𝑚 −
−
𝑡+ න
2
𝑚
2
𝑚 1+𝑡
𝑚
1 + 𝑡2 𝑚
= 𝐼𝑚
1
1
𝑡
1−
+
2𝑚
2𝑚 1 + 𝑡 2 𝑚
2𝑚 − 1
1
𝑡
𝐼𝑚+1 =
𝐼𝑚 +
2𝑚
2𝑚 1 + 𝑡² 𝑚
Primitives d’une fonction rationnelle (6)
Exemple 1 :
𝑥 3 −1
Primitives de 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 𝑥+1 2 𝑥2 +1 , 𝑥 > 0
La décomposition en éléments simples a été vue (voir exemple 2)
5
1
3
𝑥
+
1
2 2
1
2
2
4
𝑂𝑛 𝑎 ∶ 𝑓 𝑥 = − 3 + 2 − +
+
−
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥+1
𝑥 + 1 2 𝑥2 + 1
1
2
5
1
න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 2 − − 2𝐿𝑜𝑔𝑥 + 𝐿𝑜𝑔 1 + 𝑥 −
2𝑥
𝑥
2
𝑥+1
1
2𝑥
3
1
− 4 ‫𝑥 ׬‬2 +1 𝑑𝑥 − 4 ‫𝑥 ׬‬2 +1 𝑑𝑥
1
2
5
1
න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 2 − − 2𝐿𝑜𝑔𝑥 + 𝐿𝑜𝑔 1 + 𝑥 −
2𝑥
𝑥
2
𝑥+1
1
3
2
− 𝐿𝑜𝑔 𝑥 + 1 − Arctan 𝑥 + 𝐶
4
4
Primitives d’une fonction rationnelle (7)
Exemple 2 :
Décomposition et primitive de 𝑓 𝑥 =
𝑥 2 +1
𝑥−1 2 𝑥−2 𝑥 2 +𝑥+1
𝐴2
𝐴1
𝐵
𝐶𝑥 + 𝐷
𝑂𝑛 𝑎 ∶ 𝑓 𝑥 =
+
+
+
𝑥 − 1 2 (𝑥 − 1) (𝑥 − 2) 𝑥 2 + 𝑥 + 1
Calcul des coefficients :
5
𝐵 = lim 𝑥 − 2 𝑓 𝑥 =
𝑥→2
7
2
1
+
𝑥
2 + 2𝑦 + ⋯
2 2
2
𝑥−1 𝑓 𝑥 =
=
=− − 𝑦
2
𝑥−2 𝑥 +𝑥+1
−3 + 0𝑦 + ⋯
3 3
2
𝐴1 = 𝐴2 = −
3
1
lim 𝑥𝑓 𝑥 = 0 = 𝐴1 + B + C ⟹ 𝐶 = −𝐴1 − 𝐵 = −
𝑥→∞
21
1
1
1
1
1
𝑓 0 = − = 𝐴2 − 𝐴1 − 𝐵 + 𝐷 ⟹ 𝐷 = − −𝐴2 +𝐴1 + 𝐵 = −
2
2
2
2
7
Primitives d’une fonction rationnelle (8)
Exemple 2 (suite) :
Primitives de 𝑓 𝑥 =
𝑥 2 +1
𝑥−1 2 𝑥−2 𝑥 2 +𝑥+1
1
1
− 𝑥−
2
1
2 1
5 1
21
7
𝑂𝑛 𝑎 ∶ 𝑓 𝑥 = −
−
+
+
3 𝑥 − 1 2 3 (𝑥 − 1) 7 (𝑥 − 2) 𝑥 2 + 𝑥 + 1
2
2
5
1
1 1
−
2𝑥
+
1
−
+
3
3
7
42
7
42
𝑓 𝑥 =−
−
+
+
𝑥 − 1 2 (𝑥 − 1) (𝑥 − 2)
𝑥2 + 𝑥 + 1
2
2
5
1
5
2𝑥
+
1
3
3
7
42
42
𝑓 𝑥 =−
−
+
−
−
𝑥 − 1 2 (𝑥 − 1) (𝑥 − 2) (𝑥 2 + 𝑥 + 1) (𝑥 2 + 𝑥 + 1)
Primitives d’une fonction rationnelle (9)
Exemple 2 (suite) :
2
2
5
3
3 𝑑𝑥 + න 7 𝑑𝑥
න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = − න
𝑑𝑥
−
න
𝑥−1 2
𝑥−1
𝑥−2
1
5
2𝑥
+
1
− න 422
𝑑𝑥 − න 2 42
𝑑𝑥
𝑥 +𝑥+1
𝑥 +𝑥+1
2
2
5
3
න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
− 𝐿𝑜𝑔 𝑥 − 1 + 𝐿𝑜𝑔 𝑥 − 2
𝑥−1
3
7
5
1
− 𝐿𝑜𝑔 𝑥 2 + 𝑥 + 1 − න 2 42
𝑑𝑥
42
𝑥 +𝑥+1
Il nous reste à calculer la dernière intégrale.
Primitives d’une fonction rationnelle (10)
Exemple 2 (suite) :
2
1
2
𝑥+2
1
3 3
2
𝑥 +𝑥+1= 𝑥+
+ =
1+
3
2
4 4
4
3
=
1+
4
1
𝑥+2
1
4
න 2
𝑑𝑥 = න
(𝑥 + 𝑥 + 1)
3
2𝑥+1
On pose 𝑡 = 3
c-à-d
2
3
2𝑥 + 1
=
1+
4
3
3
2
1
2𝑥 + 1
1+
3
2
𝑑𝑥
𝑡 3−1
3
𝑥 = 2 ⟹ 𝑑𝑥 = 2 𝑑𝑡
2
Primitives d’une fonction rationnelle (11)
Exemple 2 (suite) :
1
2
1
2
⟹න 2
𝑑𝑥 =
න
𝑑𝑡 =
Arctan 𝑡 + 𝐶
2
𝑥 +𝑥+1
1+𝑡
3
3
1
2
2𝑥 + 1
⟹න 2
𝑑𝑥 =
Arctan
+𝐶
𝑥 +𝑥+1
3
3
2 1
2
5
න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
− 𝐿𝑜𝑔 𝑥 − 1 + 𝐿𝑜𝑔 𝑥 − 2
3 𝑥−1
3
7
1
5
2𝑥 + 1
2
− 𝐿𝑜𝑔 𝑥 + 𝑥 + 1 −
Arctan
+𝐶
42
21 3
3
Primitives d’une fonction rationnelle (12)
Exemple 3 :
𝑥 2 +2
𝑥−1 𝑥 2 +1 ²
Primitives de 𝑓 𝑥 =
𝐴
𝐵1 𝑥 + 𝐶1 𝐵2 𝑥 + 𝐶2
𝑓 𝑥 =
+ 2
+ 2
𝑥−1
𝑥 +1
𝑥 +1 ²
3
𝐴 = lim 𝑥 − 1 𝑓 𝑥 =
𝑥→1
4
1
2
2
lim 𝑥 + 1 𝑓 𝑥 = − 1 + 𝑖 = 𝐵2 𝑖 + 𝐶2
𝑥→𝑖
2
1
⟹ 𝐵2 = 𝐶2 = −
2
lim 𝑥𝑓 𝑥 = 0 = 𝐴 + 𝐵1
3
⟹ 𝐵1 = −
4
𝑥→∞
Primitives d’une fonction rationnelle (13)
Exemple 3 (suite) :
𝑓 0 = −2 = −𝐴 + 𝐶1 + 𝐶2
3
⟹ 𝐶1 = −2 + A − 𝐶2 = −
4
D’où :
3 1
3 𝑥+1 1 𝑥+1
𝑓 𝑥 =
−
−
2
4 𝑥 − 1 4 𝑥 + 1 2 𝑥2 + 1 2
3 1
3 2𝑥
3 1
1
2𝑥
1
1
𝑓 𝑥 =
−
−
−
−
2
2
2
2
4 𝑥−1 8 𝑥 +1 4 𝑥 +1 4 𝑥 +1
2 𝑥2 + 1 2
Primitives d’une fonction rationnelle (14)
Exemple 3 (suite) :
3
1
3
2𝑥
3
1
න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = න
𝑑𝑥 − න 2
𝑑𝑥 − න 2
𝑑𝑥
4 𝑥−1
8 𝑥 +1
4 𝑥 +1
1
2𝑥
1
1
− න 2
𝑑𝑥 − න 2
𝑑𝑥
2
2
4
𝑥 +1
2
𝑥 +1
3
3
3
1 1
2
න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐿𝑜𝑔 𝑥 − 1 − 𝐿𝑜𝑔 𝑥 + 1 − Arctan 𝑥 +
4
8
4
4 1 + 𝑥2
1
1
− න 2
𝑑𝑥
2
𝑥 +1 2
1
Pour calculer ‫𝑥 ׬‬2 +1 2 𝑑𝑥 on applique la formule :
2𝑚 − 1
1
𝑡
1
𝐼𝑚+1 =
𝐼𝑚 +
Où 𝐼𝑚 = න 2
𝑑𝑥
𝑚
𝑚
2𝑚
2𝑚 1 + 𝑡²
𝑥 +1
Primitives d’une fonction rationnelle (15)
Exemple 3 (suite) :
2−1
1 𝑥
𝐼2 =
𝐼1 +
2
2 1 + 𝑥²
1
1 𝑥
1
1 𝑥
𝐼2 = 𝐼1 +
= 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 +
+𝐶
2
2 1 + 𝑥² 2
2 1 + 𝑥²
En définitive on a :
3
3
3
1 1
2
න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐿𝑜𝑔 𝑥 − 1 − 𝐿𝑜𝑔 𝑥 + 1 − Arctan 𝑥 +
4
8
4
4 1 + 𝑥2
1
1 𝑥
− 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 −
+𝐾
4
4 1 + 𝑥²