1-Ma’ruza.
 n fazo. Kompleks proektiv fazo,  n fazodagi sodda sohalar
1.  n kompleks fazo.
2.  n fazoda tekisliklar.
3.  n fazoni kompaktlash (to‘ldirish)
4.  n fazoda sodda sohalar
Reja
1.  n kompleks fazo.  2n Yevklid fazosini qaraylik. Ravshanki, bu fazo
elementlari tartiblangan 2n ta haqiqiy x1 , x2 ,..., x2 n sonlardan tuzilgan ( x1 , x2 ,..., x2 n )
vektordan iborat.
Aytaylik,  2n fazodagi bu vektorlar quyidagicha z=
xk + ixn+k juftlangan,
k
ya’ni kompleks struktura kiritilgan bo‘lsin. Bunda har bir tayinlangan n da
xn+k = yk deb belgilash kiritilsa, z=
xk + iyk bo‘lib, z1 , z2 ,..., zn kompleks
k
sonlardan tuzilgan tartiblangan ( z1 , z2 ,..., zn ) vektor hosil bo‘ladi. Uni z bilan
belgilaylik:
z = ( z1 , z2 ,..., zn ) .
1-ta‘rif.
Har bir elementi (vektori) z = ( z1 , z2 ,..., zn ) bo‘lgan, bunda
1, 2,..., n , fazo n o‘lchovli kompleks fazo deyiladi va u  n kabi
zk ∈ , k =
belgilanadi.
Keltirilgan ta’rifdan  n ning ushbu
n = 
×

× ... ×


n marta
dekart ko‘paytmadan iborat ekani ko‘rinadi. Xususan, n = 1 bo‘lganda, 1 = 
bo‘ladi.
Demak, n o‘lchovli kompleks fazo  n ning nuqtasi, 2n o‘lchovli Yevklid
fazo  2n ning nuqtasi sifatida qaralishi ham mumkin. Ba’zan, z ∈  n vektor
quyidagicha z= x + iy ifodalanadi, bunda
=
x (=
x1 , x2 ,..., xn ) , y ( y1 , y2 ,..., yn )
bo‘lib, x, y lar  n fazoning nuqtalari bo‘ladi.  n fazo vektorlari ustida qo‘shish,
kompleks songa ko‘paytirish, shuningdek, vektorlarning skalyar ko‘paytmasi
tushunchalari kiritilishi mumkin.
Faraz qilaylik,
=
z ( z1 , z2 ,..., zn ) ∈  n , w
= ( w1 , w2 ,..., wn ) ∈  n
bo‘lsin. Ushbu ( z1 + w1 , z2 + w2 ,..., zn + wn ) vektor z va w vektorlar yig‘indisi
deyiladi va z + w kabi belgilanadi: z + w = ( z1 + w1 , z2 + w2 ,..., zn + wn ) .
Ushbu
(λ z1 , λ z2 ,..., λ zn )
vektor, bunda λ – kompleks son, z vektor bilan λ soninig ko‘paytmasi deyiladi va
λ z kabi belgilanadi λ z = (λ z1 , λ z2 ,..., λ zn ) .
Ushbu
n
∑
z1 w1 + z2 w2 + ... + zn wn = zk wk
k =1
yig‘indi  fazo vektorlari z va w larning skalyar ko‘paytmasi deyiladi va ( z , w)
kabi belgilanadi:
n
( z , w) =
n
∑z w
k
(1)
k
k =1
Skalyar ko‘paytma quyidagi xossalarga ega:
1) ( z , w) = ( z , w) ;
2) (λ z , w) λ ( z , w) (λ ∈ ) .
=
Aytaylik,
zk =
xk + iyk , wk =
uk + ivk
(k =
1, 2,..., n)
bo‘lsin.=
U holda z (=
z1 , z2 ,..., zn ), w ( w1 , w2 ,...wn ) vektorlarning skalyar
ko‘paytmasi
( z , w=
)
n
n
∑ ( x u + y v ) + i∑ ( y u − x v )
k k
k k
=
k 1=
k 1
k
k
k k
bo‘ladi. Bu tenglikdan ko‘rinadiki, skalyar ko‘paytmaning haqiqiy qismi
=
z , w)
Re(
bo‘lib, u
n
∑(x u + y v )
k
k
k k
k =1
( x1 , x2 ,..., xn , y1 , y2 ,..., yn ) ∈  2 n ,
(u1 , u2 ,..., un , v1 , v2 ,..., vn ) ∈  2 n
vektorlarning skalyar ko‘paytmasini ifodalaydi. ( z , w) skalyar ko‘paytmaning
mavhum qismi esa
Im(
=
z , w)
bo‘lib, u z = w da nolga aylanadi.
n
∑( y u − x v )
k
k =1
k
k k
(1) munosabatdan
n
2
2
k
k
=
k 1=
k 1
n
( z , z )=
n
∑ ( x + y )= ∑ z ⋅ z
k
k
bo‘lishi kelib chiqadi. Uning yordamida z ∈C vektorning normasi quyidagicha
ifodalanadi:
1
2


=
( z , z )  ( xk2 + yk2 ) 
 k =1

Ayni paytda ushbu ρ ( z , w)= z − w miqdorning z va w
Yevklid masofasini ifodalashini ko‘rish qiyin emas.
=
z
n
∑
vektorlar orasidagi
2.  n fazoda tekisliklar.  fazoda (kompleks tekislikda) nuqtaning atrofi,
ochiq va yopiq to‘plamlar, chiziq hamda soha tushunchalari asosiy tushunchalardan
bo‘lib,  n fazoda ham shunga o‘xshash tushunchalar kiritiladi.
Aytaylik, tayinlangan vektor a ∈  n va β ∈  son berilgan bo‘lsin. z va a
vektorlarning skalyar ko‘paytmasi ( z , a ) ni qaraylik. Ravshanki, bu skalyar
ko‘paytma z ga bog‘liq bo‘ladi.
2-ta‘rif. Ushbu
Π= {z ∈  n : Re( z , a )= β }
to‘plam  n fazoda 2n − 1 o‘lchovli haqiqiy tekislik deyiladi.
(2)
Demak,  n fazodagi 2n − 1 o‘lchovli haqiqiy tekislik Re( z , a ) = β tenglama
bilan aniqlanadi. Xususan, n = 1 bo‘lganda,
z=
x + iy ( x ∈ , y ∈ ), a =
b + ic (b ∈ , c ∈ )
deb olsak,
( z, a) =
( x + iy )(b + ic) =
( x + iy )(b − ic) =
bx + cy + i (by − cx)
bo‘lib, Re( z , a ) ifoda  2 da bx + cy =
β to‘g‘ri chiziqni hosil qiladi.
Umumiy holda, agar z va a vektorlar
z = ( x1 , x2 ,..., xn , y1 , y2 ,..., yn ),
a = (b1 , b2 ,..., bn , c1 , c2 ,..., cn )
ko‘rinishda ifodalangan bo‘lsa, (2) munosabat quyidagi
n


2n
Π ( x1 , x2 ,...xn , y1 , y2 ,..., yn ) ∈ =
 :
(bk xk + ck yk ) β 
k =1


∑
ko‘rinishga keladi. Demak,  n fazodagi (2) ko‘rinishdagi tekislik,  2n fazodagi
2n − 1 o‘lchovli haqiqiy tekislik (gipertekislik) - dan iborat ekan.
Shuningdek,  2n fazodagi har qanday haqiqiy gipertekislikni (2) ko‘rinishda
ifodalanishini isbotlash mumkin.
 n fazoda
Π j = { z ∈  n : Re( z , a j )= β j }
( j 1, 2,..., m ; m ≥ 1) gipertekisliklar berilgan bo‘lsin. Ularning kesishmalaridan
tashkil topgan
Π = Π1  Π 2  ...  Π n
tekislikni qaraylik. Chiziqli algebra kursidan ma’lumki, bu tekislikning o‘lchovi
ushbu
 Re a11 . . . Re a1n Im a11 . . . Im a1n 


.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


(3)
 . . . . . . . . . . . . . . . . .

m
m
m
m
a
a
a
a
Re
.
.
.
Re
Im
.
.
.
Im
n
n 
1
1

1
2
m
matritsaning rangiga va β = ( β , β ,..., β ) vektorga bog‘liq bo‘ladi. Sodda holda,
agar m ≤ 2n bo‘lib, (3) matritsaning rangi maksimal m ga teng bo‘lsa, Π ning
o‘lchovi dim Π= 2n − m bo‘ladi.
Endi  n fazoda kompleks tekislik tushunchasini keltiramiz. Aytaylik,
tayinlangan vektor a ∈  n va β ∈  kompleks son berilgan bo‘lsin.
3- ta‘rif. Ushbu
Π=
{z ∈  : ( z, a)= β }
n
(4)
to‘plam  n fazoda n − 1 o‘lchovli kompleks tekislik yoki gipertekislik deyiladi.
Demak, kompleks gipertekislik ( z , a ) = β tenglama bilan aniqlanadi.
Ravshanki, keyingi tenglikdan
=
Re( z , a ) Re
=
β , Im( z , a) Im β
bo‘lishi kelib chiqadi. Agar avvalgidek
z = ( x1 , x2 ,..., xn , y1 , y2 ,..., yn )
a = (b1 , b2 ,..., bn , c1 , c2 ,..., cn )
deb olinsa, unda Π kompleks tekislikni ifodalovchi (4) sistema ushbu
n
Re β ,
∑ (b x + c y ) =
k
k
k
k
k =1
n
Im β
∑ (b y − c x ) =
k
k
k
(5)
k
k =1
sistemaga keladi.
(5) sistemaning koeffitsientlaridan tuzilgan
(b1 , b2 ,..., bn , c1 , c2 ,..., cn ), ( − c1 , −c2 ,..., −cn , b1 , b2 ,..., bn )
vektorlar chiziqli erkli (a ≠ 0) . Binobarin, (5) sistema  2n fazodagi 2n − 2
o‘lchovli tekislikni ifodalaydi.
 n fazodagi kompleks tekislik quyidagi
Π j = { z ∈  n : ( z , a j ) = β j } ( j = 1, 2,..., m)
gipertekisliklarning kesishmasi
Π = Π1  Π 2  ...  Π m
sifatida ham ta’riflanishi mumkin. Agar kompleks sonlardan tashkil topgan
a1 , a 2 ,..., a m vektorlar chiziqli erkli bo‘lsa, Π kompleks tekislik n − m o‘lchovli
kompleks tekislik deyiladi. (Bu holda Π ni  n ≈  2 n fazodagi haqiqiy tekislik
deb qarash mumkin bo‘lib, uning haqiqiy o‘lchovi 2(n − m) ga teng bo‘ladi):
dim  Π =n - m, dim  Π
= 2(n − m).
Shunday qilib, har qanday k o‘lchovli (1 ≤ k < n) kompleks tekislik  n ≈  2 n
fazoda 2k o‘lchovli haqiqiy tekislikni ifodalaydi. Ammo har qanday haqiqiy 2k
o‘lchovli tekislik kompleks tekislik bo‘lavermaydi.
Masalan,  2 ≈  4 fazoda z1 =
x1 + iy1 , z2 =
x2 + iy2 bo‘lsa, ushbu
0}
{ x1 − x=2 0, y1 − y=2 0} ikki o‘lchovli haqiqiy tekislik quyidagi { z1 − z2 =
ko‘rinishda yoziladi va u bir o‘lchovli kompleks tekislikni ifodalaydi. Ammo ushbu
=
x2 0 } ikki o‘lchovli haqiqiy tekislik hech qanday kompleks tekislik
{ x1 0,=
bo‘la olmaydi.
 n fazodagi bir o‘lchovli tekislik to‘g‘ri chiziq deyiladi.
Ushbu { z ∈  n : z1 =
z2 =
... ===
z j −1 z j +1 ... =
zn =
0}
(j=
1, 2,..., n) to‘g‘ri
chiziq Oz j koordinatalar o‘qi deyiladi. Demak,  n = Oz1 × Oz2 × ... × Ozn .
 n fazoda z 0 = ( z10 , z20 ,..., zn0 ) nuqtadan o‘tadigan va yo‘naltiruvchi vektori
w = ( w1 , w2 ,..., wn ) bo‘lgan to‘g‘ri chiziq tenglamasi
zn − zn0
z1 − z10 z2 − z20
=
= ...=
w1
w2
wn
ko‘rinishda bo‘ladi. Bu tenglikni λ bilan (λ ∈ ) belgilasak,
z=
z10 + λ w1
1
z=
z20 + λ w2
2
. . . . . . .
z=
zn0 + λ wn
n
ifodaga ega bo‘lamiz. Bu ifoda to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamasi deyiladi
va u qisqacha =
z z 0 + λ w kabi yoziladi.
3.  n fazoni kompaktlash (to‘ldirish).  kompleks tekislikka bitta «∞
nuqta» ni qo‘shish bilan to‘ldirilgan kompleks tekislik  (Riman sferasi) hosil
qilingan edi:
=
   {∞}
Ma’lumki,  n =  ×  × ... ×  . Shu munosabatdan foydalanib, ushbu
 ×  × ... ×  dekart ko‘paytmani tuzamiz. Uni  n fazoning to‘ldiruvchisi  n fazo
deb qarash mumkin:
n
 =
×

× ... ×


n marta
 n kompakt fazo bo‘lib, uning cheksiz to‘plamlari ushbu n ta
{
n
Πj = z ∈ :
z j =∞
}
( j =1, 2,..., n)
tekislikdan iborat bo‘ladi. Bu tekisliklar bitta
(∞, ∞,..., ∞) =Π1  Π 2  ...  Π n
nuqtada kesishadi.
 n fazo boshqacha usulda ham to‘ldirilishi mumkin. Ushbu
n +1
fazoda ϑ = 0 nuqtadan o‘tuvchi barcha
 n+1 =
(ϑ ), ϑ (ϑ0 ,ϑ1 ,...,ϑn )
kompleks to‘g‘ri chiziqlarni qaraymiz:
l=
{ϑ =
wλ}, w =
( w0 , w1 ,..., wn ) ∈  n+1 , λ ∈  - parametr.
wi
=
zj =
, j 1, 2,..., n , munosabat har bir w0 ≠ 0 to‘g‘ri chiziqqa bitta
wo
z = ( z1 , z2 ,..., zn ) vektorni mos keltiradi va, aksincha, har bir z ∈  n vektorga 0
nuqtadan
o‘tuvchi
bitta
to‘g‘ri
chiziq
mos
keladi:
l
=
l {=
ϑ0 λ , =
ϑ1 z1λ , ... , =
ϑn zn λ }.
Demak,  n bilan {l , wo ≠ 0} to‘g‘ri chiziqlar to‘plami o‘zaro bir qiymatli moslikda
bo‘ladi. Barcha l to‘g‘ri chiziqlar to‘plami {l} ni  n bilan belgilanadi va uni
proektiv fazo deyiladi. Ravshanki,  n ⊂  n bo‘lib,  n fazo  n fazoning
to‘ldiruvchisidir.  n kompakt fazo bo‘lib, {w0 = 0} tekislik uning ∞ tekisligi
bo‘ladi. Odatda  n ning koordinatalari quyidagicha [ w0 , w1 ,..., wn ] belgilanib, ular
bir jinsli koordinatalar deyiladi. Ushbu [ w0 , w1 ,..., wn ] va [ λ w0 , λ w1 ,...., λ wn ]
(λ ∈ ) lar bitta kompleks to‘g‘ri chiziqni aniqlaydi va [ w0 , w1 ,..., wn ] ≈
[λ w0 , λ w1 ,...., λ wn ] deb qaraladi.
4.  n fazoda sodda sohalar. Faraz qilaylik, a ∈ n nuqta va r > 0 son
berilgan bo‘lsin. Ushbu
(6)
B (a, r ) = {z ∈  n : | z − a |< r}
to‘plam  n fazoda markazi а nuqtada, radiusi r bo‘lgan shar deyiladi. Odatda, (6)
shar а nuqtaning atrofi ham deb yuritiladi. D ⊂  n to‘plamni qaraylik. Agar bu
to‘plamning har bir nuqtasi o‘zining atrofi bilan shu to‘plamga tegishli bo‘lsa, D
ochiq to‘plam deyiladi. Agar D to‘plamning ixtiyoriy z1 , z 2 nuqtalari uchun
shunday uzluksiz
℘: [ 0,1] → D
yo‘l (chiziq) topilsaki, ℘(0) = z1 , ℘(1) = z 2 bo‘lsa, D bog‘lamli to‘mlam deyiladi.
 n fazoda soha xuddi  dagi soha kabi ta’riflanadi.
4-ta’rif.  n fazodagi ochiq va bog‘lamli to‘plam soha deyiladi.
Endi sohaga misollar keltiramiz:
a) Shar. Yuqorida keltirilgan B(a, r ) = {z ∈  n : | z − a |< r} shar soha bo‘ladi.
Quyidagi {z ∈  n : | z − a |=
r} sfera B (a, r ) sharning chegarasi bo‘lib, u ∂B (a, r )
kabi belgilanadi. Ushbu B (a, r )  ∂B (a, r ) to‘plam yopiq shar deyiladi va u B (a, r )
kabi belgilanadi. Ravshanki,
B (a, r ) ={z ∈  n : | z − a |< r}  {z ∈  n : | z − a |= r} = {z ∈  n : | z − a |≤ r}
1-chizma.
b) Polidoira. Aytaylik, a ∈  n , r ∈ n vektorlar berilgan bo‘lib,
a = (a1 , a2 ,..., an ) , r = (r1 , r2 ,..., rn ) , ri > 0 , j = 1,2,...n,
bo‘lsin. Ushbu
U (a, r ) = {z = ( z1 , z2 ,..., zn ) : z1 − a1 < r1 ,
| z 2 − a2 |< r2 ,..., z n − an < rn } = { z j − а j < rj , j = 1,..., n }
to‘plam markazi a nuqtada bo‘lgan polidoira deyiladi ∗). Bunda r = ( r1 , r2 ,...., rn )
ga polidoiraning radius – vektori deyiladi.
Demak, polidoira  tekislikdagi n ta
U (ak , rk ) ={z ∈  : | zk − ak |< rk } , k =1, 2,..., n ,
doiralarning dekart ko‘paytmalaridan iborat bo‘ladi:
U
=
(a, r ) U (a1 , r1 ) × U (a2 , r2 ) × ... × U (an , rn ).
n

Polidoiraning chegarasi 2n − 1o‘lchovli ∂U (a, r ) =Γ k bo‘lib, bunda k - qirra
k =1
k
Г = {z = ( z1 , z2 ,..., zn ) :| z1 − а1 |≤ r1 ,...,| zk −1 − аk −1 |≤ rk −1 ,
| zk − =
аk | rk , zk +1 − ak +1 ≤ rk +1 ,..., zn − an ≤ rn }
bo‘ladi. Barcha Г k qirralar n o‘lchovli ushbu
Г ={z = ( z1 , z2 ,....., zn ) : | zk − ak |= rk , k =1, 2,....., n} to‘plam bo‘yicha kesishadi.
Uni polidoiraning uchi (ostovi) deyiladi.
2-chizma
Polidoira tushunchasi  n fazodagi ushbu
z = max zk
1≤ k ≤ n
norma bilan bog‘langan. r = (r , r ,..., r ) radiusli polidoira bu norma yordamida
U (a, r ) = { z − a < r } shaklida ifodalanishini ko‘rish qiyin emas. Shuning uchun
ham z polidoiraviy norma, δ ( z , w=
) z − w esa polidoiraviy metrika deb ataladi.
∗)
«Poli» - so‘zi «ko‘p» ma’nosini bildiradi.
Ravshanki, polidoiraviy metrika Evklid metrikasi ρ ga ekvivalent bo‘lib, ular
orasida ushbu
δ ( z , w) ≤ ρ ( z , w) ≤ n δ ( z , w)
munosabat o‘rinli.
v) Reynxart sohalari.
Ushbu
F : z ( z1 , z2 ,...., zn ) → (| z1 |,| z2 |,...,| zn |)
=
akslantirishni qaraylik. Bu akslantirish 2n o‘lchovi  n fazoning n o‘lchovi
fazoga (absolyut oktantga) akslantiradi, bunda
 n+ =  x ×  + × .... ×  +



[0, +∞) .
=
+
n ta
 n+ fazoda ixtiyoriy D* sohani olaylik. F akslantirish yordamida D*
sohaning proobrazi
D = F −1 ( D* )
 n fazoda Reynhart sohasi deyiladi.
Reynhart sohasi quyidagi xossaga ega: sohaga tegishli bo‘lgan har qanday
z 0 = ( z10 , z20 ,...., zn0 ) nuqta bilan bir qatorda,
T=
{z ∈  n : | z1 | =
| z10 |,...,| zn | =
| zn0 |}
ostov ham shu sohaga tegishli bo‘ladi. Odatda, bu xossa Reynhart sohasining ta’rifi
sifatida ham qaraladi.
Umumiy holda Reynhart sohasi quyidagicha ta’riflanadi:
5-ta’rif. Agar  n fazodagi D ga tegishli har bir z 0 = ( z10 , z20 ,..., zn0 ) nuqta
iθ
bilan bir qatorda ixtiyoriy z = {a1 + ( z10 − a1 )e 1 ,..., an + ( zn0 − an )eiθn } (0 < θ k ≤ 2π )
nuqta ham D ga tegishli bo‘lsa, D ga markazi а = (а1 , а2 ,....., an ) nuqtada bo‘lgan
Reynhart sohasi deyiladi.
Agar z 0 = ( z10 , z20 ,..., zn0 ) ∈ D bo‘lganda,
U ={z ∈  n : | z1 − a1 | < | z10 − a1 |,...,| zn − an | < | zn0 − an |}
polidora ham D ga tegishli bo‘lsa, D to‘la Reynhart sohasi deyiladi. Shar va
polidoira to‘la Reynhart sohasiga misol bo‘la oladi.
3-chizma
g) Xartogs sohalari.
Avvalo, ushbu ' z = ( z1 , z2 ,..., zn−1 ) belgilashlarni
kiritamiz. Unda  n fazo =
 n  n' z−1 ×  zn ko‘rinishda n o‘lchovli z = ( z1 , z2 ,..., zn )
vektor esa z = (' z , zn ) ko‘rinishda ifodalanadi.  n fazoda biror D sohani olaylik.
Agar bu soha uchun
=
z 0 (' z 0 , zn0 ) ∈ D bo‘lishi bilan bir qatorda, ushbu aylana
{' z 0 } × {| zn | =
| zn0 |} ham shu sohaga tegishli bo‘lsa, D soha {zn = 0} tekislikka
nisbatan simmetrik Xartogs sohasi deyiladi ∗). Agar har bir (' z 0 , zn0 ) ∈ D da
{' z 0 } × {| zn | < | zn0 |} ∈ D bo‘lsa, D to‘la Xartogs sohasi deyiladi.
4-chizma
∗)
Xuddi shunga o‘xshash ixtiyoriy {zn = an } tekislikka nisbatan simmetrik bo‘lgan Xartogs sohasiga ham ta’rif berish qiyin emas.
To‘la sohani quyidagicha ifodalash mumkin: D =
{' z ∈'D ,
| zn | < R(' z )} ,
bunda ' D ⊂  n−1 biror soha, R (' z ) esa ' D da aniqlangan haqiqiy funksiya,
R(' z ) > 0 . ' D ga Xartogs sohasining asosi va ' D da aniqlangan R (' z ) funksiyaga
sohaning radiusi deyiladi.
Adabiyotlar
1. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ, ч.2. М.: Наука. 1985. – 464 c.
2. Садуллаев А.C. Кўп аргументли голоморф функциялар. Урганч, 2004.
3. Садуллаев
А.C.
Теория плюрипотенциала. Применения. Primeneniya.
Palmarium Atsademits Publishing, 2012.
4. Владимиров
В.С., Методы теории функций многих комплексных
переменных. М.: Наука, 1964.
5. Хермандер Л., Введение в теорию функций нескольких комплексных
переменных, М.: Мир, 1968.
6. Krantz G., Function theory of several complex variables. AMS Chelsea
Publishing, 2001.