O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI RAQAMLI TEXNOLOGIYALAR VAZIRLIGI MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI Telekamunikatsiya texnologiya fakulteti 73021 guruh talabasi Ahmadaliyev Ravshanbekning ALGORITMLARNI LOHIYALASH FANIDAN 730-21 guruh Bajardi: Ravshanbek Ahmadaliyev Mavzu : Chiziqli dasturlash masalalari uchun tayanch yechim tushunchasi , ularning aniqlash usullari Mundarija : 1.Kirish 2. Chiziqli dasturlash nima 3. Chiziqli dasturlash usullari bilan yechiladigan masalalar va ularning matematik modellarini tuzishga oid misollar. 4. Chiziqli dasturlash masalasini yechish , algoritmi va dasturi 5.Xulosa 6. Foydalanilgan adabiyotlar Chiziqli dasturlash nima Ayrim injeneriya masalalarini yechish, shu jumladan qishloq va suv xo‘jaligida energiya ta’minoti, texnologik jarayonlarni avtomatlashtirish va boshqarish, mehnat muhofazasi va texnika xavfsizlik masalalari chiziqli dasturlash masalalarini yechishga keltiriladi. Chiziqli dasturlash masalasi umumiy holda quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: bu yerda (5.6.1) maqsad funksiyasi, (5.6.2) cheklanishlar sistemasi, (5.6.3) nomanfiylik sharti deyiladi Masalada x1 , x 2 , , x n o‘zgaruvchilarning shunday qiymatlarini topish kerakki, ular (5.6.2) va(5.6.3) shartlarni qanoatlantirsin hamda (5.6.1) funksiya maksimal (minimal) qiymatni qabul qiladi. Chiziqli dasturlash matematik dasturlashning bir yo‘nalishi bo‘lib, u chegaralangan resurslar (xom ashyo, texnika vositalari, kapital quyilmalar, yer, suv, mineral o‘g‘itlar va boshqalar)ni ratsional taqsimlab eng ko‘p foyda olish yo‘llarini o‘rgatadi. O‘rganiladgan iqtisodiy jarayonning asosiy xossalarini matematik munosabatlar yordamida tavsiflash tegishli iqtisodiy jarayonning matematik modelini tuzish deb ataladi. Iqtisodiy jarayonlarning (masalalarning) matematik modelini tuzish uchun quyidagi bosqichlardagi ishlarni bajarish kerak: 1) masalaning iqtisodiy ma’nosi bilan tanishib, undagi asosiy shartlar va maqsadni aniqlash; 2) masaladagi ma’lum parametrlarni belgilash; 3) masaladagi noma’lumlarni (boshqaruvchi o‘zgaruvchilarni) belgilash; 4) masaladagi cheklamalarni, ya’ni boshqaruvchi o‘zgaruvchilarning qanoatlantirishi kerak bo’lgan chegaraviy shartlarni chiziqli tenglamalar yoki tengsizliklar orqali ifodalash 5) masalaning maqsadini chiziqli funksiya orqali ifodalash. Bunday funksiya maqsad funksiya deb ataladi. 1. Ishlab chiqarishni tashkil qilish va rejalashtirish masalasi. Faraz qilaylik, korxonada m xil mahsulot ishlab chiqarilsin: ulardan ixtiyoriy birini i (i 1,2,, m) bilan belgilaymiz. Bu mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun n xil ishlab chiqarish faktorlari zarur bo’lsin. Ulardan ixtiyoriy birini j ( j 1,2,, n) bilan belgilaymiz.Har bir ishlab chiqarish faktorining zahirasi va ularning bir birlik mahsulotni ishlab chiqarish uchun sarf qilinadigan me’yori quyidagi jadvalda berilgan: Jadvaldagi har bir b j – j -ishlab chiqarish faktorining zahirasini; ai – i mahsulotning bir birligini ishlab chiqarish uchun sarf qilinadigan j -faktorning me’yori; Ci – korxonaning i -mahsulot birligini realizatsiya qilishdan oladigan daromadini bildiradi. Masalaning iqtisodiy ma’nosi: korxonaning ishlab chiqarish rejasini shunday tuzish kerakki: a) hamma mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun sarf qilinadigan har bir ishlab chiqarish faktorining miqdori ularning zahirasidan oshmasin; b) mahsulotlarni realizatsiya qilishidan korxonananing oladigan daromadi maksimal bo’lsin.Rejalashtirilgan davr ichida ishlab chiqariladigan i-mahsulotining miqdorini x bilan belgilaymiz. U holda masaladagi a) shart quyidagi tengsizliklar sistemasi orqali ifodalanadi: Masalaning iqtisodiy ma’nosiga ko‘ra hamma noma’lumlar manfiy bo‘lmasligi kerak, ya’ni: Masaladagi b) shart uning maqsadini aniqlaydi. Demak masalaning maqsadi mahsulotlarni realizatsiya qilishdan korxonaning oladigan umumiy daromadini maksimallashtirishdan iborat va uni: ko‘rinishdi ifodalash mumkin. Shunday qilib, ishlab chiqarishni rejalashtirish masalasining matematik modeli quyidagi ko‘rinishda bo’ladi: ko‘rinishda tuzish mumkin. 2. Iste’mol savati masalasi. Faraz qilaylik, kishi organizmi uchun bir sutkada n xil A1 , A2 , , An ozuqa moddalari kerak bo’lsin, jumladan A1 ozuqa moddasidan b1 miqdorda, A2 ozuqa moddasidan b2 miqdorda, A3 ozuqa moddasidan b3 miqdorda va hokazo, An dan bn miqdorda zarur bo’lsin va ularni m ta B1 , B2 , , B(m) mahsulotlar tarkibidan olish mumkin bo’lsin, har bir B(j) mahsulot tarkibidagi A(i) ozuqa moddasining miqdori a(ij) birlikni tashkil qilsin. Masalaning berilgan parametrlarini quyidagicha jadvalga joylashtirish mumkin Masalaning iqtisodiy ma’nosi: iste’mol savatiga qanday mahsulotlardan qanchadan kiritish kerakki, natijada: a) odam organizmi qabul qiladigan ozuqa moddasi belgilangan minimal normadan kam bo‘lmasin; b) iste’mol savatining umumiy bahosi minimal bo’lsin. Iste’mol savatiga kiritiladigan i -mahsulotining miqdorini x(i) bilan belgilaymiz. U holda masalaning a) sharti quyidagi tengsizliklar sistemasi orqali ifodalanadi: Masalaning iqtisodiy ma’nosiga ko‘ra hamma noma’lumlar manfiy bo‘la olmaydi, ya’ni: Masaladagi b) shart uning maqsadini ifodalaydi. Demak, masalaning maqsadi iste’mol savatiga kiritiladigan mahsulotlarning umumiy bahosini minimallashtirishdan iborat bo’lib, uni quyidagi Chiziqli funksiya ko’rinishida ifodalash mumkin: Shunday qilib «iste’mol savati» masalasining matematik modelini: ko‘rinishida tuzish mumkin. 1- masala. Uzunligi 110 sm bo’lgan po‘lat xipchinlardan uzunliklari 45 sm, 35 sm va 50 sm bo‘lgan xomaki mahsulotlar tayyorlash kerak bo‘lsin. Talab qilingan xomaki mahsulotlar miqdori mos ravishda 40, 30 va 20 birlikni tashkil qilsin. Po‘lat xipchinlarni kesish yo‘llari va ularga mos keluvchi xomaki mahsulotlar va chiqindilar miqdori quyidagi jadvalda keltirilgan. Har bir kesish usuli bo‘yicha qancha po‘lat xipchinlar kesilganda tayyorlangan xomaki mahsulotlar miqdori rejadagiga teng bo‘ladi va chiqindilarning umumiy miqdori minimal bo‘ladi? Yechish. j - usul bilan kesiladigan po‘lat xipchinlar sonini x j bilan belgilaymiz. U holda uzunligi 45 sm bo‘lgan xomaki mahsulotlardan ja’mi 2x1+ x2+ x3 miqdorda tayyorlanadi. Rejaga ko‘ra bunday mahsulotlar soni 40 taga teng bo‘lishikerak, ya’ni Xuddi shuningdek, uzunliklari 35 sm va 50 sm bo‘lgan xomaki mahsulotlarni ishlab chiqarish rejasini to‘la bajarilishidan iborat shartlar mos ravishda tenglamalar orqali ifodalanadi. Iqtisodiy ma’nosiga ko‘ra belgilangan noma’lumlar manfiy bula olmaydi, demak Rejadagi xomaki chiqindilarning umumiy mahsulotlarni miqdorini ishlab quyidagi chiqarishda Chiziqli hosil funksiya bo‘lgan ko’rinishida ifodalaymiz Masalaning shartiga ko‘ra bu funksiya minimum qiymatni qabul qilishi kerak, Ya’ni Shunday qilib, quyidagi chiziqli dasturlash masalasiga ega bo‘lamiz. Hosil bo‘lgan ifoda optimal bichish masalasining matematik modelidan iborat bo‘ladi. 2- masala. Konditer fabrikasi uch turdagi A , B , C karamellarni ishlab chiqarish uchun uch xil xom ashyo: shakar, krem va quruq mevalar ishlatadi. 1 tonna karamel turlarini ishlab chiqarish uchun sarf qilinadigan xom ashyolar miqdori (me’yori), xom ashyolarning zahirasi hamda 1 tonna karamelni sotishdan olinadigan daromad quyidagi jadvalda keltirilgan. Fabrikaga maksimal foyda keltiruvchi karamel ishlab chiqarish rejasini toping. Yechish. Konditer fabrikasida A turdagi karameldan x1 miqdorda, B turdagi karameldan x2 miqdorda va C turdagi karameldan x3 miqdorda ishlab chiqarilsin deb belgilaymiz. U holda fabrikada ishlab chiqariladigan barcha karamellar uchun miqdorda shakar sarf qilinadi. Bu miqdor shakarning zahirasidan, ya’ni 800 tonnadan oshmasligi kerak. Demak, tengsizlik o‘rinli bo‘lishi kerak. Xuddi shunday yo‘l bilan mos ravishda qiyom va quruq mevalar sarfini ifodalovchi quyidagi tengsizliklarni hosil qilish mumkin: Fabrika ishlab chiqargan A karameldan 108x1 , B karameldan – 112x2 , C karameldan – 126x3 birlik va ja’mi birlik daromad oladi. Bu yig‘indini Y bilan belgilab uni maksimumga intilishini talab qilamiz. Natijada quyidagi funksiyaga ega bo’lamiz: Shunday qilib, berilgan masalaning matematik modelini quyidagi ko‘rinishda Yoziladi: Chiziqli dasturlash masalasini kanonik shaklga keltirish Ixtiyoriy ko‘rinishda yozilgan chiziqli dasturlash masalasini, sodda matematikalmashtirishlar yordamida, unga ekvivalent bo’lgan boshqa ixtiyoriy ko‘rinishdagi chiziqli dasturlash masalasiga keltirish mumkin. Buning uchun, umumiy holda berilgan chiziqli dasturlash masalasi ustida quyidagi teng kuchli almashtirishlarni bajarish mumkin. 1. Tengsizlikning ishorasini qarama-qarshisiga almashtirish. “<” ko’rinishdagi tengsizlikning ikkala tomoni ishorasini qarama-qarshisiga almashtirib, “>” ko’rinishdagi tengsizlikka va, aksincha, “>”ni “<”ga keltirish mumkin. 2. max Y ni min Y ga aylantirish. Har qanday chiziqli dasturlash masalasini kanonik ko‘rinishga keltirish uchun tengsizliklar sistemasini tenglamalar sistemasiga va max Y ni min Y ga aylantirish kerak. max Y ni min Y ga keltirish uchun, max Y ni qarama-qarshi ishora bilan olish, ya’ni max Y min Y yoki aksincha max Y min Y ko‘rinishda olish yetarlidir. 3. Tengsizliklarni tenglamaga (kanonik shaklga) aylantirish. n noma’lumli chiziqli tengsizlikni qaraymiz. Bu tengsizlikni tenglamaga aylantirish uchun uning kichik tomoniga nomanfiy o‘zgaruvchini, ya’ni xn 1 0 ni qo‘shamiz. Natijada n 1 noma’lumli chiziqli tenglamaga ega bo’lamiz: tengsizlikni tenlamaga aylantirish uchun qo’shilgan xn+1 o’zgaruvchi qo‘shimcha o‘zgaruvchi deb ataladi. 4. O‘zgaruvchilar uchun to‘g‘ri shart qo‘yish. Agar biror o‘zgaruvchiga To‘g‘ri shart qo‘yilmagan, ya’ni xi , i 1, n o‘zgaruvchi uchun ishorasiga hech qanday cheklash qo‘yilmagan bo‘lsa, u holda bu o‘zgaruvchini ikkita manfiymas o‘zgaruvchilar ayirmasi shaklida ifodalash mumkin, ya’ni x (j1) 0, x (j2) 0 o‘zgaruvchilar bilan x j =x (j1) -x (j2) tenglik yordamida almashtiriladi 1-teorema. Berilgan tengsizlikning har bir X (1 , 2 ,, n ) yechimiga tenglamaning faqat bitta yechimi mos keladi va aksincha, tenglamaning har bir Y0 yechimiga tengsizlikning faqat bitta X0 yechimi mos keladi. Grafik usul Agar masalada o‘zgaruvchilar soni ikkita bo‘lsa, bu masala quyidagi ko‘rinishga keladi: Masalani grafik usulda yechishni ko‘rib chiqamiz. Yuqoridagi shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlar yechimlar ko‘pburchagi deyiladi. Teorema.Maqsad funksiyasi o‘zining optimal qiymatiga yechimlar ko’pburchagining chegara nuqtalarida erishadi. Chiziqli dasturlash masalasini grafik usulda yechish quyidagi tartibda bajariladi: 1) Berilgan masaladagi tengsizliklarga mos tenglamalarni tuzamiz va ularni mos ravishda: bilan belgilaymiz. 2) (L1 ), (L2 ), , (Lm+ 2 ) tenglamalar bilan berilgan chiziqlarni koordinatalar tekisligida ifodalaymiz (1-rasm). 1-rasm 3) Yuqorida berilgan tengsizliklarga mos yarim tekisliklarni aniqlaymiz (2-rasm) 2-rasm Rasmdagi har bir to‘g‘ri chiziq grafigiga qo‘yilgan strelkalar tengsizliklarga mos yarim tekisliklarni aniqlaydi. 4) Yarim tekisliklarning kesishmasini qaraymiz. Agar kesishma ko‘pburchakdan iborat bo‘lsa, masalaning yechimi chekli qiymatga ega bo‘ladi. Ushbu ko‘pburchak yechimlar ko‘pburchagi bo‘lib, uning iхtiyoriy nuqtasi berilgan tengsizliklar sistemasini qanoatlantiradi (3-rasm) 3-rasm Agar kesishma bo‘sh to‘plam bo‘lsa, masala yechimga ega bo‘lmaydi(4-rasm) 4-rasm Kesishma bo‘sh to‘plam bo‘lmagan holda masalaning optimal yechimini topish uchun o‘zgaruvchilarning shunday qiymatlarini topish kerakki, ushbu qiymatlarda z maqsad funksiyasi eng katta (eng kichik) qiymatga erishsin. Bunday qiymatlar yechimlar ko‘pburchagining chegaraviy nuqtalarida bo‘ladi. Agar optimal yechim Ko‘pburchakning bitta uchida bo‘lsa, yechim yagona bo’ladi, aks holda masala cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘lib, ular ko‘pburchakning optimal yechim qabul qiladigan uchlarining chiziqli kombinatsiyalaridan iborat bo’ladi. Agar yarim tekisliklar kesishmasi cheksiz soha bo’lsa, masala yechimining qiymati yuqoridan chegaralanmagan bo‘lishi mumkin(5-rasm) 5-rasm Agar kesishma bo‘sh to‘plam bo‘lmasa, optimal yechim ikki хil usulda aniqlanadi. Birinchi usul: 1) Yechimlar ko‘pburchagi uchlarining koordinatalari aniqlanadi. 2) Aniqlangan koordinatalar z funksiyasiga qo‘yiladi. 3) Hosil bo‘lgan qiymatlarning eng katta yoki eng kichigi topiladi. Ikkinchi usul: 1) n(c1 , c2 ) normal vektor chiziladi. 2) Normal vektorga perpendikulyar bo’lgan z = 0 to‘g‘ri chiziq chiziladi (6-rasm) 6-rasm 3) z = 0 to‘g‘ri chiziq normal bo‘ylab o‘ziga nisbatan parallel holda suriladi. 4) Parallel surish jarayonida z = 0 to‘g‘ri chiziq yechimlar ko‘pburchagiga urinadigan birinchi kiruvchi nuqtada masala minimal yechimga ega bo‘ladi, oхirgi chiquvchi nuqtada maksimal yechimga ega bo’ladi. Masalan, quyidagi 7-rasmda z funksiya A( x , y ) nuqtada maksimal qiymatga erishadi. 7-rasm Masala. Quyidagi chiziqli dasturlash masalasini grafik usulda yeching: Yechish. Berilgan (L1 ),( L2 ) tengsizliklarga mos tenglamalarni yozamiz: Berilgan tenglamalarga mos to‘g‘ri chiziqlarni va tengsizliklarga mos yarim tekisliklarni X 1OX 2 koordinatalar tekisligida ifodalab, yarim tekisliklar kesishmasini topamiz (8-rasm) Bu yerda AC to‘g‘ri chiziqbilan chegaralangan yuqori yarim tekislik L1 tengsizlikni, BC to‘g‘ri chiziq bilan chegaralangan quyi yarim tekislik esa L 2 tengsizlikni ifodalaydi. Bo‘yalgan sohadagi nuqtalarning koordinatalari berilgan masaladagi barcha tengsizliklarni qanoatlantiradi. z maqsad funksiyasi maksimal qiymatga ABC uchburchakning chegaraviy nuqtalarida erishganligi sababli, optimal yechimni topish uchun A, B, C nuqtalarning koordinatalarini topib, z funksiyasiga qo‘yamiz va ularning ichidan z funksiyaga eng katta qiymat beruvchi nuqtani tanlab olamiz. 8-rasm S nuqta ( L1 ) va ( L2 ) to‘g‘ri chiziqlarning kesishish nuqtasi bo‘lganligi uchun ushbu tenglamalarni birgalikda yechamiz. Tenglamalar sistemasidan x1 = 2, x2 = 1 ekanligi kelib chiqadi. U holda A, B ,C nuqtalarning koordinatalari quyidagicha bo‘ladi: A( 0 ,2 ), B( 0 ,3 ), C( 2 ,1 ) . Ushbu nuqtalarning koordinatalarini maqsad funksiyasiga qo‘yib, quyidagilarni hosil qilamiz: Yuqoridagilardan ko‘rinib turibdiki z funksiya maksimal qiymatga V nuqtada erishadi: Chiziqli dasturlash masalasini amaliy dasturlar yordamida yechish Chiziqli dasturlash masalasini amaliy dasturlar, masalan PER, Excel, Mathcad dasturlari yordamida ham yechish mumkin. Yuqoridagi masalani Excel elektron jadvali yordamida yechamiz. Buning uchun elektron jadvalda masala koeiffisientlar va ozod hadlarni ikkinchi tengsizliklaridagi va uchinchi satrlarga, z funksiya koifisientlarini to’rtinchi satrga, x1 va x 2 o‘zgaruvchilarning boshlang‘ich qiymatlarini 0 ga tenglab beshinchi qatorga yozamiz. Natijada jadval quyidagi ko‘rinishga keladi: Kursorni C2 yacheykaga o‘rnatib f x tugmasini bosamiz. Natijada quyidagi muloqot oynasi hosil bo’ladi: Hosil bo‘lgan muloqot oynasida «Категория» bo‘limida «Математическое» punktini tanlaymiz, so‘ng «Выберите функцию» bo‘limida «СУМПРОИЗВ» funksiyasini tanlaymiz. So‘ngra «OK» tugmasini bosamiz. Natijada quyidagi muloqot oynasi hosil bo‘ladi: Hosil bo‘lgan navbatdagi muloqot oynasida «Массив 1» darchasidagi tugmachani bosib, A2 : B2 diapazonidagi ma’lumotlarni, «Массив 2» darchasidagi tugmachani bosib, A5 : B5 diapazonidagi ma’lumotlarni kiritamiz, «Массив 2» darchasidagi diapazonni fiksirlash uchun F4 tugmasini bosamiz: So‘ngra «OK» tugmasini bosamiz va C2 katakda hosil bo‘lgan ma’lumotni C3 : C4 diapazoniga nusхa qilamiz. Natijada jadval quyidagi ko‘rinishga keladi: Kursorni maqsad funksiyasi koefitsientlari joylashgan C4 katakka o‘rnatib, «Сервис - Поиск решения» buyrug’ini beramiz. Natijada quyidagi «Поиск решения» muloqot oynasi hosil bo‘ladi. Hosil bo‘lgan muloqot oynasida «Установить целевую ячейку» darchasiga C4 katagini, «Изменяя ячейки» darchasiga A5 : B5 diapazonini kiritamiz. «Ограничения» darchasiga o‘tib, «Добавить» tugmasini bosamiz va quyidagi oynani hosil bo’ladi: Hosil bo‘lgan muloqot oynasida «Ссылка на ячейку» darchasiga C2 ni kiritamiz, tengsizlikni aniqlaymiz, «Ограничения» darchasiga E2 ni kiritib, «Добавить» tugmasini bosamiz. C5 : E5 diapazondagi munosabatni ham shu tariqa kiritib, «OK» tugmasini bosamiz. Natijada «Поиск решения» muloqot oynasiga qaytamiz: «Параметры» tugmasini bosamiz. Natijada quyidagi muloqot oynasi hosil bo‘ladi: Oynadagi «Неотрицательное значение» parametrini belgilaymiz. «OK» tugmasini bosib, «Поиск решения» muloqot oynasiga qaytamiz va «Выполнить» tugmasini bosamiz. Natijada quyidagi oynaga o‘tamiz: «OK» tugmasini bosamiz. Natijada yechim quyidagi ko‘rinishda ifodalanadi: Ushbu rasmdan ko‘rinib turibdiki, barcha cheklanishlar bajariladi va yechim quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: x1 = 0, x2 = 3, z max = 12. MathCadda chiziqli dasturlash masalasini yechishda maxsimize va minimize funksiyalaridan foydalaniladi. Bu funksiyalar umumiy ko‘rinishda quyidagicha Yoziladi: MAX(<o‘zgaruvchilar ro‘yхati>) MIN(<o‘zgaruvchilar ro‘yхati>). MathCadda chiziqli dsturlash masalasini yechish quyidagi amallar ketma-ketligidan iborat bo‘ladi: MathCad dasturi ishga tushiriladi. Birinchi qatorga maqsad funksiyasi quyidagicha yoziladi: L(х1,х2):=2*х1+4*х2. Navbatdagi qatorga “Given” so‘zi yozilgach, keyingi qatordan quyidagi tengsizliklar sistemasi yoziladi: х1+2*х2≥4 х1+х2≤3 х1≥0 х2≥0 х3≥0. Navbatdagi qatorda o‘zgaruvchilarning boshlang‘ich qiymatlari yoziladi: х1:=0 х2:=3 So‘ng quyidagi operator kiritiladi: p:=Maxsimize(L,х1,х2). Optimal yechimni beruvchi o‘zgaruvchilarning qiymatlari r= operatori yordamida, maqsad funksiyasining optimal qiymati esa L(p0,p1)= operatori yordamida hosil qilinadi. MathCadda masalaning dasturi quyidagicha bo’ladi: Natija quyidagicha bo‘ladi: x 1 = 0, x 2 = 3, z max = 12. Xulosa Chiziqli dasturlash matematik dasturlashning bir yo‘nalishi bo‘lib, u chegaralangan resurslar (xom ashyo, texnika vositalari, kapital quyilmalar, yer, suv, mineral o‘g‘itlar va boshqalar)ni ratsional taqsimlab eng ko‘p foyda olish yo‘llarini o‘rgatadi. O‘rganiladgan iqtisodiy jarayonning asosiy xossalarini matematik munosabatlar yordamida tavsiflash tegishli iqtisodiy jarayonning matematik modelini tuzish deb ataladi. Masalaning iqtisodiy ma’nosi: korxonaning ishlab chiqarish rejasini shunday tuzish kerakki: a) hamma mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun sarf qilinadigan har bir ishlab chiqarish faktorining miqdori ularning zahirasidan oshmasin; b) mahsulotlarni realizatsiya qilishidan korxonananing oladigan daromadi maksimal bo’lsin. https://arxiv.uz/uz/documents/referatlar/algebra/chiziqli-dasturlash-masalalarini-ye chish-usullari https://www.tami.uz/matnga_qarang.php?id=362