МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РФ
НИУ МГСУ
КАФЕДРА «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ»
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА
по технической механике
1
Студент: _________
Номер зачетной книжки: __________
Задача 1 (шифр): 40
Задача 2 (шифр): 40
Задача 3 (шифр): 40
Задача 4 (шифр): 40
Задача 5 (шифр): 40
Москва
2023
Задача 1
Для статически определимого стержня ступенчато постоянного сечения
при осевых нагрузках и геометрических размерах требуется:
1) Определить опорную реакцию в месте закрепления стержня.
2) Вычислить значения продольных сил в характерных сечениях и
построить эпюру.
3) Построить эпюру нормальных напряжений.
4) Найти величины абсолютных удлинений (укорочений) участков
стержня и величину общего удлинения (укорочения) стержня в целом.
5) Определить значения осевых перемещений характерных сечений.
Дано:
a = 1,4 м;
А = 32 см2;
P = 18 кH;
q = 18 кH/м;
Е = 2105 МПа
Решение:
1. Определяем реакцию заделки R из условия равновесия, т.е. сумма
проекции всех сил на продольную ось бруса должна быть равна нулю:
ΣZ = 0; – R + 2P – q ∙3a – P = 0
R = 2P – q ∙3a – P = 36 – 18∙4,2 – 18 = –57,6 кH
2. Разбиваем брус на участки. Определяем продольную силу по
участкам.
I участок: 0 ≤ z1 ≤ a
N1 = R
N1(0) = R = –57,6 кН
N1(a) = R = –57,6 кН
II участок: 0 ≤ z2 ≤ 3a
N2 = R + P + q ∙z
N2 (0) = R + P = –39,6 кH
N2 (3a) = R + P + q ∙3a = 36 кH
Найдем положение опасного сечения
z ОП 
 R  P 39,6

 2, 2 м
q
18
III участок: 0 ≤ z3 ≤ а
N3 = R + P + q ∙3a
N3(0) = R + P + q ∙3a = 36 кH
N3 (a) = R + P + q ∙3a = 36 кH
Строим эпюру продольных сил.
3. Определим нормальные напряжения на участках.
I участок
1 
N1
3А
 57,6  10 3
 1 0  
 6 МПа
3  32  10  4
 57,6  10 3
 1 а  
 6 МПа
3  32  10  4
II участок
2 
 2 0  
N2
2А
 39,6  10 3
 6,19 МПа
2  32  10  4
36  10 3
 2 3а  
 5,63 МПа
2  32  10  4
III участок
3 
N3
А
36  10 3
 3 0  
 11,25 МПа
32  10  4
 3 a  
36  10 3
 11,25 МПа
32  10  4
Строим эпюру нормальных напряжений.
4. Определим перемещения на участках.
l1 
N1  l1  1  а  6 1,4


 0,042 мм
E  3А
E
2 10 5
N2
R  P  z  0,5q  z 2 
1


l 2  
dz 
R

P

q

z
dz

E  2А
E  2 А 0
E  2A
0
0
3а
3a
3a
 39,6 10 3  4,2  9 10 3  4,2 2

 0,0059 мм
2 1011  64 10 4
l3 
N 3  l3  3  а 11,25 1,4


 0,0789 мм
EА
E
2 10 5
Общее удлинение стержня равно:
l  l1  l 2  l3  0,042  0,0059  0,0789  0,031 мм

N2
R  P   z  0,5q  z 2
 39,6 10 3  2,2  9 10 3  2,2 2
lОП  
dz 


11
4
E

2
А
E

2
A
2

10

64

10
0
0
2, 2
 0,034 мм
5. Определим перемещения в сечениях.
δ0 = 0
δ1 = δ0+ Δl1 = – 0,042 мм
δ2 = δ1+ Δl2 = – 0,0479 мм
δ3 = δ2+ Δl3 = 0,031 мм
δОП = δ1+ ΔlОП = – 0,076 мм
2, 2
Z
δ, мм
0,031
3
А
36
III
a=1,4м
σ, МПа
N, кН
2P=36кН
11,25
0,0479
2
5,63
0,076
zОП
q=18кН/ м
II
3a=4,2м
2А
3А
6,19
0,042
P=18кН
I
a=1,4м
39,6
1
0
R=- 57,6кН
57,6
6
Задача 2
Расчетная схема строительной конструкции представляет собой
статически определимую систему, состоящую из шарнирно закрепленного в
т. С абсолютно жесткого стержня, который поддерживается невесомым
ненагруженным стержнем АВ с шарнирно закрепленными концами. Система
нагружена силой P и собственным весом G абсолютно жесткого стержня.
Требуется произвести расчет по первой группе предельных состояний,
полагая
класс
сооружения
по
ответственности
КС-3
(коэффициент
надежности по ответственности γn =1,2).
1. Определить расчетное значение силы Рр, приняв коэффициент
надежности по нагрузке γf =1,2.
2. Определить расчетное значение собственного веса жесткого стержня
Gр, приняв коэффициент надежности по нагрузке γf =1,1.
3. Определить значение расчетной продольной силы N в стержне АВ.
4. Подобрать сечение стержня АВ из двух стальных прокатных
равнополочных уголков из стали марки С245, приняв коэффициент условий
работы γc = 0,9, коэффициент надежности по материалу γm =1,025.
5. Проверить прочность найденного сечения.
6. Определить удлинение Δl стержня АВ, приняв модуль упругости
стали E = 2,1∙105 МПа.
Дано:
a = 1,8 м;
b = 1,4 м;
h = 1,4 м;
P = 480 кH;
q = 18 кH/м
Решение:
Отбросим связи и заменим их реакциями. Под действием нагрузки на
опоре С возникают опорные реакции xС и yС, а в стержне – продольное
растягивающее усилие N, кроме того абсолютно жесткий стержень нагружен
собственным весом G.
Расчетное значение силы Р равно
Ρp  Ρ   f  480  1,2  576 кН
Расчетное значение силы G равно
Gp  q  2a  b    f  18  5  1,1  99 кН
Составим уравнение равновесия относительно усилия N.
МС = 0;
N p  a  Ρ р  2a  b   G р  0,5  2a  b   0
Определим расчетное усилие Nр:
Np 
Ρ р  2a  b   G р  0,5  2a  b 
Определяем
a
требуемую

576  5  99  2,5
 1737,5 кН
1,8
площадь сечения
стержня
из
условия
прочности.
N p  n
A
 R
c
m
Тогда
A
N p  n  m
c R

1737,5 1,2 1,025
 96,92 см 2
0,9  24,5
Поскольку стержень состоит из двух одинаковых равнобоких уголков,
разделим требуемую площадь сечения пополам и по сортаменту примем
сечение стержня.
A0 
A 96,92

 48,46 см 2
2
2
Принимаем уголок ┘
└ 15015016
A  2  49,1  98,2 см 2
Проверим прочность стержня и определим величины его удлинения.

Nр
А

1737,5
 17,69 кН/см 2   c  R  22,05 кН/см 2
98,2
Прочность стержня обеспечена.
l 
Nр h
 f E А

1737,5 140
 0,098 см
1,2  2,1 10 4  98,2
Задача 3
Для сечения, имеющего одну ось симметрии, требуется:
1) Определить положение центра тяжести;
2) Установить положение главных центральных осей инерции и
вычислить величины главных моментов инерции;
3) Вычислить главные радиусы инерции;
4) Определить моменты сопротивления сечения для нижних, верхних,
правых и левых волокон.
Дано:
а = 10 см
Решение:
1. Вычертим заданное сечение в масштабе 1:10.
Разобьем сечение на простые элементы (прямоугольник и круг).
Проведем оси: ось Y совместим с осью симметрии, ось X проведем по
основанию сечения. Тогда xс = 0. Найдем yc. Через центр тяжести каждой
фигуры проводим координатные оси.
Определим площади и ординаты центров тяжести элементов сечения.
а) прямоугольник
А1  5а  8а  40а 2  40 10 2  4000 см2
y1 
8a
 4a  40 см
2
б) круг
А2    (1,5а) 2  3,14 15 2  706,5 см2
y2  4а  1,5а  5,5а  55 см
Подсчитаем площадь всего сечения:
А = А1 + А2 = 4000 – 706,5 = 3293,5 см2
Найдем статический момент сечения:
S x  y1  A1  y 2  A2  40  4000  55  (706,5)  121142,5 см3
Тогда ордината центра тяжести сечения:
S
121142,5
y  x 
 36,78 см
c
A
3293,5
Наносим положение центральных координатных осей ХС и YC,
проходящих через центр тяжести сечения и отмечаем точку С.
Определим расстояния между осями ХС и YC и центральными осями
каждого элемента.
ai  yi  yc
bi  xi  xc
a1  40  36,78  3,22 см
b1  0
a2  55  36,78  18,22 см
b2  0
2. Найдем осевые моменты инерции сечения:
J X C  J 1X C  J X2 C  2174806,93  274276,3  1900530,63 см4
J 1X C  J X 1  a12  A1  2133333,33  3,22 2  4000  2174806,93 см4
5а  (8а ) 3 50  80 3
J X1 

 2133333,33 см4
12
12
J X2 C  J X 2  a22  A2  39740,63  18,222  (706,5)  274276,3 см4
JX2  
  (1,5а) 4
4
3,14 15 4

 39740,63 см4
4
J YC  J Y1C  J Y2C  833333,33  39740,63  793592,7 см4
8а  5а  80  503
 JY1 

 833333,33 см4
12
12
3
J
1
YC
J
2
YC
 JY 2  
  (1,5а) 4
4
 39740,63 см4
Т.к. сечение имеет ось симметрии, то центробежный момент инерции
равен нулю.
J X CYC  0
Оси ХС и YC являются главными.
Найдем главные моменты инерции сечения:
J max  J X C  1900630,63 см4
J min  J YC  793592,7 см4
3. Определим главные радиусы инерции сечения
imax 
J max
1900630,63

 24,02 см
A
3293,5
imin 
J min
793592,7

 15,52 см
A
3293,5
4. Определим моменты сопротивления
– для нижних волокон
W
J max 1900630,63

 51675,66 см 3
yC
36,78
– для верхних волокон
W
J max
1900630,63

 43975,72 см 3
8а  yC
43,22
– для правых и левых волокон
Y, YС
3a=30см
C2
X2
C1
X1
XС
0
5a=50см
yC=36,78см
a1=3,22см
y1=40см
4a=40см
C
y2 =55см
a=10см
J min 793592,7

 31743,71 см 3
2,5a
25
a2 =18,22см
W
X
Задача 4
Для трех балок при заданных значениях размеров и нагрузок требуется:
1) Определить опорные реакции;
2) Вычислить величины внутренних усилий в характерных сечениях и
построить эпюры внутренних усилий.
Дано:
а = 3,2 м;
b = 2,6 м;
c = 1,5 м;
P = 29 кH;
q = 24 кH/м;
М = 30 кH∙м
Решение:
Схема 3
Определяем опорные реакции:
 mА  0 ;
P  ( а  b  с)  M А  М  q  b  a  0,5b   0
М A   P  (a  b  c )  М  q  b  a  0,5b   29  7,3  30 
 24  2,6  4,5  99,1 кН  м
 mВ  0 ;
RA 
 RA  a  b  c  MA  М  q  b  0,5b  c  0
M A  М  q  b  0,5b  c  99,1  30  24  2,6  2,8

 33,4 кН
abc
7,3
Проверка:
 y R  P  q  b  33,4  29  24  2,6  0
A
Опорные реакции найдены верно.
Определим поперечные силы и изгибающие моменты в сечениях балки.
Q A  R A  33,4 кН
QС  R A  33,4 кН
QD  R A  q  b  29 кН
QВлев  QD  29 кН
Найдем положение опасного сечения
xОП 
R A 33,4

 1,392 м
q
24
M A   M A  99,1 кН∙м
M C   M A  R A  a  7,78 кН∙м
M D   M A  R A  a  b   0,5q  b 2  13,5 кН∙м
M Вправ   M  30 кН∙м
M ОП   M A  R A  4,592  0,5q  1,392 2  31,02 кН∙м
Строим эпюры Q и M.
RA =33,4кН
М=30кНм
q=24кН/ м
MA =99,1кНм
А
C
a=3,2м
B
D
b=2,6м
c=1,5м
P=29кН
33,4
Q, кН
xОП
99,1
29
30
М, кН
м
7,78
13,5
31,02
Схема 12
Определяем опорные реакции:
 mA  0 ;
RB 
 P  a  M  q  b  a  0,5b   29  3,2  30  24  2,6  4,5

 37,59 кН
ab
5,8
 mB  0 ;
RA 
RВ  a  b  P  a  M  q  b  a  0,5b  0
0,5q  b 2  P  b  M  R A a  b   0
0,5q  b 2  P  b  M 12  2,6 2  29  2,6  30

 4,19 кН
ab
5,8
Проверка:
 y R  P  q  b  R  4,19  29  24  2,6  37,59  0
A
B
Опорные реакции найдены верно.
Определим поперечные силы и изгибающие моменты в сечениях балки.
Q A  R A  4,19 кН
QCлев  R A  4,19 кН
QCправ  QCлев  P  24,81 кН
QBлев  QCправ  q  b  37,59 кН
Найдем положение опасного сечения
xОП 
R A  P 24,81

 1,034 м
q
24
M A  M  30 кН∙м
M С  M  R A  a  16,59 кН∙м
MB  0
M ОП  М  R A  4,234  Р  1,034  0,5q  1,034 2  29,42 кН∙м
Строим эпюры Q и M.
RА =- 4,19кН
RВ =37,59кН
q=24кН/ м
М=30кНм
С
A
B
P=29кН
a=3,2м
b=2,6м
24,81
Q, кН
4,19
xОП
37,59
М, кН
м
16,59
30
29,42
Схема 21
Определяем опорные реакции:
 mA  0 ;
RB 
 0,5  2q  а 2  RB a  b   М  2 P  a  P  a  b  c   0
q  a 2  M  P  a  b  c   2 P  a 24  3,2 2  30  29  7,3  58  3,2


ab
5,8
 105,7 кН
 mB  0 ;
RA 
 RA  a  b  2qa 0,5a  b  M  2P  b  P  c  0
2qa  0,5a  b   M  2 P  b  P  c 48  3,2  4,2  30  58  2,6  29 1,5


ab
5,8
 134,9 кН
Проверка:
 y R  2q  a  3P  R  134,9  48  3,2  87  105,7  0
A
B
Опорные реакции найдены верно.
Определим поперечные силы и изгибающие моменты в сечениях балки.
Q A  R A  134,9 кН
QCлев  Q A  2qa  18,7 кН
QCправ  QCлев  2 P  76,7 кН
QBлев  QCправ  76,7 кН
QBправ  QBлев  RB  29 кН
QDлев  QBправ  29 кН
Найдем положение опасного сечения
xОП 
R A 134,9

 2,81 м
2q
48
MA 0
M С  R A  a  qa 2  185,92 кН∙м
M Dправ  M  30 кН∙м
M B  M  P  c  13,5 кН∙м
M ОП  R A  2,81  q  2,812  189,56 кН∙м
Строим эпюры Q и M.
RА =134,9кН
RВ =105,7кН P=29кН
2P=58кН
М=30кНм
2q=48кН/ м
B
A
С
a=3,2м
D
c=1,5м
b=2,6м
134,9
29
Q, кН
18,7
xОП
76,7
13,5
М, кН
м
30
189,56
185,92
Задача 5
Для заданной балки требуется:
1. Считая заданные нагрузки нормативными, определить их расчетные
значения, приняв следующие коэффициенты надежности:
– для сосредоточенной силы и момента – γf = 1,1;
– для распределенной нагрузки – γf = 1,3;
– для класса сооружения по ответственности КС-3 принять γn =1,2.
2. Построить эпюры Q и M от расчетных нагрузок.
3. Подобрать сечение балки из стального двутавра (марка стали С245),
приняв коэффициент условий работы γc = 0,9 и коэффициент надежности по
материалу γm = 1,025.
4.
Построить
эпюры
наибольших
нормальных
и
касательных
напряжений в сечении двутавра.
5. Проверить условия прочности по нормальным и касательным
напряжениям для двутавра.
6. Подобрать сечение балки в виде прямоугольника, приняв отношение
его высоты к ширине равным 2 (материал и коэффициенты принять в
соответствии с п. 3).
7.
Построить
эпюры
наибольших
нормальных
и
касательных
напряжений в прямоугольном сечении.
8. Проверить условия прочности по нормальным и касательным
напряжениям для прямоугольного сечения.
9. Подобрать сечение балки в виде круга.
10. Построить эпюры наибольших нормальных и касательных
напряжений в круглом сечении.
11. Проверить условия прочности по нормальным и касательным
напряжениям для круглого сечения.
12. Определить, какое из трех сечений является наиболее экономичным
(по количеству материала).
Дано:
а = 3,2 м;
b = 2,6 м;
c = 1,5 м;
q = 24 кH/м;
Р = 29 кH;
М = 30 кH∙м
Решение:
Определим расчетную нагрузку
М р  М   f   n  30  1,1  1,2  39,6 кН  м
Р р  Р   f   n  29  1,1  1,2  38,28 кН  м
q р  q   f   n  24  1,3  1,2  37,44 кН / м
Определяем опорные реакции:
 mA  0 ;
 0,5  2q  а 2  RB a  b   М  2 P  a  P  a  b  c   0
q  a 2  M  P  a  b  c   2 P  a
RB 

ab
37,44  3,2 2  39,6  38,28  7,3  76,56  3,2

 149,69 кН
5,8
 mB  0 ;
RA 

 RA  a  b  2qa 0,5a  b  M  2P  b  P  c  0
2qa  0,5a  b   M  2 P  b  P  c

ab
74,88  3,2  4,2  39,6  76,56  2,6  38,28 1,5
 204,76 кН
5,8
Проверка:
 y R  2q  a  3P  R  204,76  74,88  3,2  114,84  149,69  0
A
B
Опорные реакции найдены верно.
Определим поперечные силы и изгибающие моменты в сечениях балки.
Q A  RA  204,76 кН
QCлев  Q A  2qa  34,86 кН
QCправ  QCлев  2 P  111,42 кН
QBлев  QCправ  111,42 кН
QBправ  QBлев  RB  38,28 кН
QDлев  QBправ  38,28 кН
Найдем положение опасного сечения
xОП 
R A 204,76

 2,735 м
2q 74,88
MA 0
M С  R A  a  qa 2  271,85 кН∙м
M Dправ  M  39,6 кН∙м
M B  M  P  c  17,82 кН∙м
M ОП  R A  2,735  q  2,735 2  279,96 кН∙м
Строим эпюры Q и M.
Опасным является сечение, где изгибающий момент максимален:
M = Мmax = 279,96 кН∙м
Максимальная поперечная сила действует в сечении А и равна:
Q = 204,76 кН
RА =204,76кН
RВ =149,69кН P=38,28кН
2P=76,56кН
М=39,6кНм
2q=74,88кН/ м
B
A
С
a=3,2м
D
b=2,6м
c=1,5м
204,76
38,28
Q, кН
34,86
xОП
111,42
17,82
М, кН
м
39,6
279,96
271,85
Подберем сечение балки из условия прочности:

М max  c

R
W
m
Определим требуемый момент сопротивления сечения:
M max   m 279,96 10 3 1,025
Wтреб 

 1301,4 см 3
с R
0,9  245
По сортаменту принимаем двутавр №50 и выписываем необходимые
геометрические характеристики сечения:
W X = 1589 см3
h = 50 см – высота профиля
b = 17 см – ширина полки
d = 1 см – толщина стенки
t = 1,52 см – толщина полки
JX = 39727 см4 – момент инерции
S X  919 см3 – статический момент полусечения
АДВ = 100 см2 – площадь сечения
Проверим
прочность
балки
по
нормальным
и
касательным
напряжениям:
 max 
М расч
WX
279,96 10 3 1,025

 180,59 МПа   c  R  220,5 МПа
1589
условие прочности выполняется
 max 
Q расч  S X
JX d

204,76 1,025  919
 4,85 кН/см 2   c  Rs  11,7 кН/см 2
39727 1
условие прочности выполняется
Вычертим сечение в масштабе и построим эпюры σ и τ. Определим
нормальные и касательные напряжения в характерных точках сечения.
 a ,a ' 
М расч
JX
h 
y    t 
2 
y
 50

y    1,52   23,48 см
 2

279,96 10 3 1,025
 a ,a '  
 23,48  169,6 МПа
39727
 a ,a ' 
Q расч  S Xотс
JX d
S Xотс – статический момент отсеченной части сечения
h t 
 50 1,52 
3
S Xотс  b  t      17  1,52   
  626,36 см .
2 
2 2
 2
 a ,a ' 
Q расч  S Xотс
JX d

204,76 1,025  626,36
 3,31 кН/см2  33,1 МПа
39727 1
Строим эпюры нормальных и касательных напряжений.
№50
y
τ , МПа
σ, МПа
180,59
33,1
169,6
h
48,5
d
t
169,6
b
180,59
33,1
x
Для прямоугольного сечения
b  h 2 b  (2b) 2 2 3
WX 

 b  1301,4 см 3
6
6
3
Тогда
b  3 1,5W X  3 1,5 1301,4  12,5 см
Принимаем b  13 см
h  2b  26 см
АПР  b  h  13  26  338 см 2
WX 
Проверим
прочность
2
 133  1464,67 см 3
3
балки
по
нормальным
и
касательным
напряжениям:
 max 
М расч
WX
279,96 10 3 1,025

 195,92 МПа   c  R  220,5 МПа
1464,67
условие прочности выполняется
 max 
3Q расч
2 АПР

3  204,76 1,025
 0,931 кН/см 2   c  Rs  11,7 кН/см 2
2  338
условие прочности выполняется
Вычертим сечение в масштабе и построим эпюры σ и τ.
σ, МПа
y
τ , МПа
195,92
h
9,31
195,92
b
Для круглого сечения
WX 
 d3
32
 0,098d 3  1301,4 см 3
Тогда
b3
WX
1301,4
3
 23,68 см
0,098
0,098
Принимаем d  24 см
АКР 
 d2
4
3,14  24 2

 452,16 см 2
4
W X  0,098  24 3  1354,75 см 3
x
Проверим
прочность
балки
по
нормальным
и
касательным
напряжениям:
 max 
М расч
WX
279,96 10 3 1,025

 211,82 МПа   c  R  220,5 МПа
1354,75
условие прочности выполняется
 max 
4Q расч
3 АКР

4  204,76 1,025
 0,619 кН/см 2   c  Rs  11,7 кН/см 2
3  452,16
условие прочности выполняется
Вычертим сечение в масштабе и построим эпюры σ и τ.
σ, МПа
y
τ , МПа
211,82
d
6,19
x
211,82
Оценим рациональность принятых сечений
АДВ : АПР : АКР  100 : 338 : 452,16  1 : 3,38 : 4,52
Экономичнее двутавровое сечение, менее экономичное – круглое
сечение.