I-1
附件: 重要公式和定理
(e) 百分變化
=
單元二 估算
誤差
(a) 絕對誤差
= 真確值和量度值的差
新值 − 原值
原值
× 100%
II. 利潤及虧蝕
(a) 利潤百分比
利潤
= 成本 × 100%
(b) 最大誤差
1
= 2 × 量度工具的最細可量度單位
(b) 虧蝕百分比
虧蝕
= 成本 × 100%
(c) 相對誤差
=
最大誤差
量度值
或
絕對誤差
III. 折扣
真確值
(a) 折扣 = 標價 – 售價
(d) 百分誤差 = 相對誤差× 100%
(b) 折扣百分比
(e) 上限 = 量度值 + 最大誤差
= 標價 × 100%
(f) 下限 = 量度值 - 最大誤差
(c) 折扣 = 標價× 折扣%
單元三 百分比
I. 百分變化
(a) 若 x 增加 r%，則
(d) 售價 = 標價× (1 − 折扣%)
折扣
IV. 單利息和複利息
r
新值 = x 1 + r% = x(1 + 100 )
設 P 為本金、R%為利率、
n 為時期、A 為本利和
(b) 若 x 增加至 y，則
百分增長 =
y−x
x
(a) 單利息
× 100%
PRn
單利息 I = P × R% × n = 100
(c) 若 x 減少 r%，則
r
新值 = x 1 − r% = x(1 − 100 )
(d) 若 x 減少至 y，則
百分增長 =
x−y
x
× 100%
A=P+I
PRn
= P + 100
Rn
= P(1 + 100 )
重要公式和定理
I-2
(b) 複利息
(b) 圓柱體
n
A= P(1 + R%)
複利息 I = A – P
曲面面積 = 2πrh
總表面面積 = 2πrh + 2πr 2
體積 = πr 2 h
n
= P(1 + R%) − P
V. 增長及貶值
(a) 若 P 以 R%速率增長，
n 期之後的新值是
新值 = P(1 + R%)n
(c) 角錐體
(b) 若 P 以 R%速率遞減，
n 期之後的新值是
新值 = P(1 − R%)n
總表面面積 = 所有側面面積+底面積
V. 增長及貶值
季度差餉 =
體積 =
1
3
Ah
應課差餉租值 × 稅率
(d) 直立圓錐體
曲面面積 = πrl
4
(標準稅率 = 5%)
總表面面積 = πrl + πr 2
單元四 求積法
I. 扇形
1
體積 = 3 πr 2 h
(e) 球體
表面面積 = 4πr 2
4
體積 = 3 πr 3
θ
(a) l 的弧長 = 2πr × 360°
θ
(b) 扇形 A 的面積 = πr 2 × 360°
II. 立體
(a) 角柱體
總表面面積
III. 相似平面圖形和立體
(a) X 和 Y 是相似平面圖形
(b) C 和 D 是相似立體
= 所有側面面積 + 2 × 底面積
體積 = Ah
重要公式和定理
I-3
IV. 一樣高的三角形的面積比
∆ABC 的面積
∆ACD 的面積
a
=b
單元六 演繹幾何 I
I. 角和平行線
a + b + c = 180°(直線上的鄰角)
單元五 變換及對稱
I. 正多邊形的反射對稱和旋轉對稱
圖形
對稱軸
數目
旋轉對稱
次數
等邊三角形
3
3
正方形
4
4
正五邊形
5
5
正六邊形
6
6
a + b + c + d + e = 360°(同頂角)
II. 正多面體的反射對稱和旋轉對稱
立體
反射面
數目
立方體 9
對稱軸
數目
旋轉對
稱
次數
13
a = b, p = q (對頂角)
4次
3次
2次
正四面 6
體
7
3次
2次
a = b (同位角, AB//CD)
c = b (錯角, AB//CD)
b + d = 180° (同旁內角, AB//CD)
重要公式和定理
I-4
AB//CD 若
(i) a = b (同位角相等) 或
ii c = b (錯角相等)
或
iii b + d = 180° (同旁內角互補)
多邊形外角和
III.相似三角形
II. 三角形和凸多邊形的角
若∆ABC~∆XYZ，則
(i) ∠A = ∠X,∠B = ∠Y,∠C = ∠Z;
(相似三角形的對應角)
AB
a + b + c = 180° ∆內角和
BC
CA
(ii) XY = YZ = ZX
(相似三角形的對應邊)
d = a + b ∆外角
若∠A = ∠X, ∠B = ∠Y, ∠C = ∠Z,
則∆ABC~∆XYZ(A. A. A. )
AB
BC
CA
若 XY = YZ = ZX ，
多邊形內角和
則∆ABC~∆XYZ(三邊成比例)
重要公式和定理
I-5
AB
CA
若 XY = ZX 和∠A = ∠X，
若∠A = ∠X,∠C = ∠Z, AB = XY,
則∆ABC ≅ ∆XYZ (AAS)
則
∆ABC~∆XYZ(兩邊成比例且夾角相等)
IV. 全等三角形
若 AB = XY, BC = YZ, ∠A = ∠X= 90°,
則∆ABC ≅ ∆XYZ (RHS)
若∆ABC ≅ ∆XYZ，則
(i) ∠A = ∠X,∠B = ∠Y,∠C = ∠Z;
(全等三角形的對應角)
V. 平行四邊形
(ii) AB = XY, BC = YZ, CA = ZX.
(全等三角形的對應邊)
若 ABCD 為平行四邊形，則
若 AB = XY, BC = YZ, CA = ZX,
則∆ABC ≅ ∆XYZ (SSS)
(a) AB = DC, AD=BC
(平行四邊形的對邊)
(b) ∠BAD=∠BCD, ∠ABC=∠ADC
(平行四邊形的對角)
(c) AO = OC, BO = OD
(平行四邊形的對角線)
若 AB = XY, BC = YZ, ∠B = ∠Y,
則∆ABC ≅ ∆XYZ (SAS)
若 AB = DC, AD=BC
若∠A = ∠X,∠B = ∠Y, AB = XY,
則∆ABC ≅ ∆XYZ (ASA)
則四邊形 ABCD 是一個平行四邊形。
(對邊相等)
重要公式和定理
I-6
若∠BAD=∠BCD, ∠ABC=∠ADC ,
則四邊形 ABCD 是一個平行四邊形。
(對角相等)
若c 2 = a2 + b2 ，
則∠ACB = 90∘(畢氏定理逆定理)
VII. 中點定理和截線定理
若 AO = OC, BO = OD,
則四邊形 ABCD 是一個平行四邊形。
(對角線互相平分)
若 AH=HB 及 AK=KC，
1
則 HK = 2 BC及 HK//BC(中點定理)
若 AB = DC, AB//DC ,
則四邊形 ABCD 是一個平行四邊形。
(對邊平行且相等)
VI. 畢氏定理
若 AB//CD//EF，及 AC=CE，
則 BD=DF (截線定理)
若∠ACB = 90∘，
則c 2 = a2 + b2 (畢氏定理)
若 HK//BC 及 AH=HB，
則 AK=KC (截線定理)
重要公式和定理
I-7
VIII. 三角形不等式
單元八 方程式
I.一元二次方程
若𝑎𝑥 2 + bx + c = 0 a ≠ 0 ，則
𝑥=
a+b>c, b+c>a, c+a>b
VIII. 三角形中心
內心是角平分線的交點
−𝑏 ±
𝑏 2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
II. 根的性質
∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 是一元二次方程
𝑎𝑥 2 + bx + c = 0 a ≠ 0 的判別式
(a) 若∆> 0，方程有兩個不同實根。
(b) 若∆= 0，方程有二重實根。
(c) 若∆< 0，方程沒有實根。
III. 根的和及積
形心是平分線(中線)的交點
b
α+β = −a
;
c
αβ = a
方程式
x 2 − α + β x + αβ = 0
垂心是垂直線的交點
單元十 多項式
I. 因式化
外心是垂直平分線的交點
單元七 數系
I. 根
對任何兩個正數 a 和 b，
ab = a ∙ b
(a)
a
=
b
(b)
a
b
II. 複數
若i = −1 ，a 和 b 是非零實數，則
(a) a ∙ i = i ∙ a = ai
(b) ai + bi = (a + b)i
(c) ai − bi = (a − b)i
(d) ai ∙ bi = −ab
ai
a
(e) bi = b
II. 餘式定理
𝑛
若f x 除以mx − n， 餘式是f m 。
III. 因式定理
𝑛
(a)若f m = 0，則mx − n是f x 的因式。
(b) 若mx − n是f x 的因式，則
𝑛
f m = 0。
重要公式和定理
I-8
單元十一 指數律、指數函數與對數函
數
I. 指數律
當 m 和 n 是有理數和a, b ≠ 0，則
單元十二 率、比和變分
I. 正變
若 y 隨 x 而正變，則 y=kx，其中 k 是
非零常數。
II. 反變
𝑘
若 y 隨 x 而反變，則y = x ，其中 k 是
非零常數。
III. 聯變
(a)若 z 隨 x 和 y 而聯變，則 z=kxy，其
中 k 是非零常數。
(b) 若 z 隨 x 而正變和隨 y 而反變，則
𝑘𝑥
z = y ，其中 k 是非零常數。
IV. 部分變
(a)若 z 部分為常數，部分隨 x 而正變，
當 m 和 n 是整數且 m>0，則
則z = k1 + k 2 x，其中k1 和k 2 是非零常
數。
(b) 若 z 部分隨 x 而正變和部分隨 y 而
k
反變，則z = k1 x + y2 ，其中k1 和k 2 是
非零常數。
II. 對數性質
當 M 和 N 是正數,a > 0, a ≠ 1，和 k 是
有理數，則
單元十三 不等式
(a) 若 a>b 和 b>c，則 a>c。
(b) 若 a>b，則 a+c>b+c。
(c) 若 a>b，和
(i)c>0，則 ac>bc;
(i)c<0，則 ac<bc。
1
1
(d) 若 a>b>0，則a < b 。
(e) 若a ≠ 0，則a2 > 0。
重要公式和定理
I-9
單元十四 坐標幾何 I
(a) A(x1 , y1 )和 B(x2 , y2 )的距離
(h) 兩直線的交點
(i) 一個交點
(ii) 沒有交點 (iii)無限個交點
(b) A(x1 , y1 )和 B(x2 , y2 )的中點
(c) A(x1 , y1 )和 B(x2 , y2 )的斜率
斜率
不同
一樣
一樣
y-軸
截距
不同
不同
一樣
單元十五 演繹幾何 I
I. 圓的弦線
其中θ是 AB 的傾角。
(a)
(d) 設m1 , m2 是直線l1 , l2 的斜率
(i) 若l1 //l2 ，則m1 = m2 。
(ii) 若l1 l2 ，則m1 m2 = −1。
若 ON⊥AB，則 AN=NB。
(e) 假設 l 穿過(x1 , y1 )和(x2 , y2 )和其斜
率為 m。
(i) 兩點式: l 的方程是
(圓心至弦的垂線平分弦)
(b)
(ii) 點斜式: l 的方程是
(f) 對直線 Ax+By+C=0，
若 AN=NB，則 ON⊥AB。
可轉為 y=mx+c，
m 是斜率，c 是 y-軸截距。
求 x-軸截距，代 y=0。
求 y-軸截距，代 x=0。
(圓心至弦中點的連線垂直弦)
(c)
(g)
若 AC:CB = m:n，則
若 CN⊥AB 和 AN=NB，
則 CN 穿過圓心 O。
(弦的垂直平分線穿過圓心)
重要公式和定理
I-10
(d)
(c)
若 AB=CD，則 OM=ON。
若∠APB = 90∘，則 AB 為直徑。
(半圓上的圓周角的逆定理)
(等弦對等弦心距)
(d)
(e)
若 OM=ON，則 AB=CD。
x=y
(同弓形內的圓周角)
a=b
(等弦心距對等弦)
III. 角、弧和弦線
II. 圓的角
(a)
(a)
x=2y (圓心角兩倍於圓周角)
(i) 若 x=y，則AB = CD。(等角對等弧)
(ii) 若AB = CD，則 x=y。(等弧對等角)
(b)
(b)
若 AB 為直徑，則∠APB = 90∘，
(半圓上的圓周角)
(i) 若 x=y，則AB = CD。(等角對等弦)
(ii) 若AB = CD，則 x=y。(等弦對等角)
重要公式和定理
I-11
(c)
(b)
(i) 若AB = CD，
則AB = CD。(等弦對等弧)
(ii) 若AB = CD，
則AB = CD。(等弧對等弦)
x=y (圓內接四邊形外角)
(c)
(d)
AB: CD=m:n
(弧與圓心角成比例)
若 x=y，則 A,B,C 和 D 共圓。
(同弓形內的圓周角的逆定理)
(d)
(e)
AB: CD=x:y
(弧與圓周角成比例)
若 ∠A+∠C = 180∘
或 ∠B+∠D = 180∘，
則 A,B,C 和 D 共圓。
(對角互補)
IV. 圓內接四邊形
(a)
(e)
若 y=x，
∠A+∠C = 180∘
和 ∠B+∠D = 180∘
(圓內接四邊形對角)
則 A,B,C 和 D 共圓。
(外角=內對角)
重要公式和定理
I-12
V. 切線
(d)
(a)
若 PQ 切圓於 T，則
若 PQ 切圓於 T，
則 PQ⊥OT。(切線⊥半徑)
(交錯弓形上的圓周角)
(b)
(e)
若 PQ⊥OT，
則 PQ 切圓於 T。(切線⊥半徑的逆定理)
(c)
若∠𝑃𝑇𝐵 = ∠𝑇𝐴𝐵
或∠𝐴𝑇𝑄 = ∠𝐴𝐵𝑇，
則 PTQ 切圓於 T。
(交錯弓形上的圓周角的逆定理)
單元十六 三角學 I – 基本三角學
I. 定義
(a) 當θ是銳角，
若 PA 切圓於 A，和 PB 切圓於 B，
則 (i) PA = PB
(ii) x = y
(iii) m = n (切線性質)
重要公式和定理
I-13
(b) 對任何角θ(0° < 𝜃 < 360°)，
其中r =
IV. 三角比恆等式
x2 + y2 。
II. 特殊角的三角比
III. 三角比的正負符號
重要公式和定理
I-14
單元十九 續函數及其圖像
變換對函數的影響
單元十七 三角學 II – 三角學應用
代數上函數變換
幾何上函數變換
f(x)+k
(k>0)
向上平移 k 單位
f(x)-k
(k>0)
向下平移 k 單位
f(x+k)
(k>0)
向左平移 k 單位
f(x-k)
(k>0)
向右平移 k 單位
kf(x)
(k>1)
沿 y-軸放大至原
來的 k 倍
kf(x)
(0<k<1)
沿 y-軸縮少至原
來的 k 倍
f(kx)
(k>1)
沿 x-軸縮少至原
1
來的k 倍
I. 正弦公式
f(kx)
(0<k<1)
沿 x-軸放大至原
1
來的k 倍
II. 餘弦公式
III. 三角形面積
(a)
𝟏
∆𝐀𝐁𝐂的面積 = 𝟐 𝐚𝐛𝐬𝐢𝐧𝐂
-f(x)
沿 x-軸反射
f(-x)
沿 y-軸反射
單元二十 坐標幾何 II
圓的方程
(b)
重要公式和定理
I-15
單元二十一 排列與組合
I. 階乘
n!= n(n-1)(n-2) ．．．．3．2．1
，其中 n 是一個正整數。
II. 排列 <次序重要>
從 n 個相異物中，任意選取 r 個
（ 0  r  n ，不許重複），然後按序作
直線排列，其排列總數記為 Prn ，
Prn 
n!
(n  r )!
P: Position 位置重要
從 n 個相異物中，全取的直線排列數
為 n!
III. 加法定律
若 A 和 B 不可能同時發生，
則稱為互斥事件。
(a) 若 A 和 B 是互斥事件，則
P(A 或 B) = P(A)+P(B)
(b) 若 A 和 B 不是互斥事件，則
P(A 或 B) = P(A)+P(B)- P(A 和 B)
(c) 對任何事件 A，P(A) + P(A’) = 1，
其中 A’是 A 的互補事件。
IV. 乘法定律
(a) 若 A 和 B 是獨立事件，
則 P(A 和 B) = P(A)× P(B)
III. 組合 <次序不重要>
從 n 個相異物中，不按序的任意選取 r
個（ 0  r  n ，不許重複），其組合數
(b) 若 A 和 B 不是相關事件，
則 P(A 和 B) = P(A)× P(B|A)
為 Crn ，
C rn 
Prn
n!

r! r!(n  r )!
C: Choose 位置不重要
V. 條件概率
己知 A 發生，B 發生的機會率
=P(B|A)
單元二十二 概率
I. 定義
單元二十四 數列
I. 等差數列: a, a+d, a+2d, a+3d, …
(a) T(n) = a+(n-1)d
1
(b) T(n) = 2 [T n − 1 + T n + 1 ]
II. 期望值
假設某事件有 n 個結果，而每個結果
發生的概率分別為p1 , p2 , … , pn 。若每
個結果發生後可取的值分別為
(c) 若 T(1), T(2), T(3), …是等差數列，則
kT(1)+c, kT(2) +c, kT(3) +c, …都是等差
數列。
x1 , x2 , … , xn ，則該事件的期望值
(d) 已知 S(n)=T(1)+T(2)+T(3)+…+T(n)
=x1 p1 + x2 p2 + ⋯ + xn pn
n
S(n) = 2 a + T n
n
= 2 2a + n − 1 d
重要公式和定理
I-16
II. 等比數列: a, a𝐫 𝟐 , a𝐫 𝟑 , a𝐫 𝟒 , …
(a) T(n) = a𝐫
𝐧−𝟏
(b) T(n) = T n − 1 × T n + 1
(c) 若 T(1), T(2), T(3), …是等比數列，則
kT(1), kT(2) , kT(3) , …都是等比數列。
(d) 已知 S(n)=T(1)+T(2)+T(3)+…+T(n)
(b) 四分位數間距
= 上四分位數(Q3) – 下四分位數(Q1)
(e) 標準差
(i)
(ii)
(e)
III. 標準差的應用
(a) 標準分
對任何數據 x 在以x為平均數及以σ為
單元二十五 統計
I. 量度集中趨勢
(a) 平均數
標準差的數據內，
(i)
(b)常態分佈
x−x
標準分 z = σ
(ii)
在一常態分佈中，
(i) 大約有 68%數據位於x − σ和x + σ之間，
(b) 加權平均數
(ii) 大約有 95%數據位於x − 2σ和x + 2σ
之間，
(iii) 大約有 99.7%數據位於x − 3σ和
x + 3σ之間。
II. 離差的度量
(a) 分佈域
(i) 不分組數據
分佈域 = 極大值 – 極小值
(ii) 分組數據
分佈域 = 最高一組的上組界 – 最低
一組的下組界
IV. 數據的改變
平均數，中位數，
全部+k
全部 X k
全部+k
全部 X k
不變
全部 X k
眾數
標準差、分佈域、
四分位數間距
重要公式和定理