Trigonometrie
IA
N
Funcţia sinus
sin :  → [− 1,1] este periodică (perioada principală T*=2 π ), impară, mărginită.
Funcţia arcsinus
 π π
arcsin : [ −1,1] →  − ,  este impară, mărginită, bijectivă.
 2 2
Funcţia cosinus
cos :  → [− 1,1] este periodică (perioada principală T*=2 π ), pară, mărginită.
Funcţia arccosinus
arccos : [ −1,1] → [ 0, π ] mărginită, bijectivă.
Funcţia tangentă
π

tg:  \  + kπ ; k ∈   →  este periodică (perioada principală T*= π ), impară, nemărginită.
2

Funcţia arctangentă
 π π
arctg :  →  − ,  este impară, mărginită, bijectivă.
 2 2
Funcţia cotangentă
ctg:  \ {kπ ; k ∈ } → . este periodică (perioada principală T*= π ), impară, nemărginită.
Funcţia arccotangentă
arcctg :  → ( 0, π ) mărginită, bijectivă.
A
TEORIE PERIODICITATE ŞI PARITATE
O funcţie f:  →  se numeşte periodică dacă există T∈  * astfel încât f ( x + T ) = f ( x ) , ∀ x∈  .
Dacă printre numerele T>0 există un cel mai mic T*>0 atunci acesta se numeşte perioada principală a
funcţiei f.
O funcţie f:  →  se numeşte impară dacă f ( − x ) =
− f ( x ) , ∀ x∈  .
O funcţie f:  →  se numeşte pară dacă f ( − x ) =
f ( x ) , ∀ x∈  .
R
Valorile funcţiilor trigonometrice în primul cadran :
x
π
π
π
π
0
6
4
3
2
0
1
2
2
2
2
2
3
2
1
2
1
3
1
3
sinx
cosx
/
3
T
0
3
2
1
3
1
tgx
ctgx
1
1
0
/
0
1
Semnele functiilor trigonometrice şi monotonia pe cadrane:
I
II
III
IV
x
I
sinx
cosx
tgx
+
+
+
+
−
−
−
sinx
cosx
tgx



ctgx
+
ctgx

+
+
+
Identităţi fundamentale
π

sin 
-x  =cosx
2

π

tg 
-x  =ctgx
2

2
sin x+cos 2 x=1
sin ( arcsinx ) =x
cos ( arccosx ) =x
tg ( arctgx ) =x
IV












π

cos 
-x  =sinx
2

π

ctg 
-x  =tgx
2

tgx ⋅ ctgx=1
arcsin ( sinx ) =x
arccos ( cosx ) =x
arctg ( tgx ) =x
π
2
arctgx+arcctgx=
A
arcsinx+arccosx=
−
−
III
IA
−
−
−
II
N
x
π
2
Reducerea la primul cadran
II → I
III → I
IV → I
sin x =
− sin ( x − π ) ,
sin x =
− sin ( 2π − x )
cos x =
− cos (π − x ) ,
cos x =
− cos ( x − π ) ,
cos x =
cos ( 2π -x )
tgx =
−tg (π − x ) ,
tgx =
tg ( x − π ) ,
tgx =
−tg ( 2π − x )
ctgx =
−ctg (π − x ) ,
ctgx =
ctg ( x − π ) ,
ctgx =
− ctg ( 2π − x )
R
sin x =
sin (π − x ) ,
Formule paritate
− sin x
sin ( − x ) =
− arcsinx
arcsin ( − x ) =
arccos ( − x ) = π − arccos x
−tgx
tg ( − x ) =
− arctgx
arctg ( − x ) =
−ctgx
ctg ( − x ) =
arcctg ( − x ) = π − arcctgx
T
cos ( − x ) =
cos x
Formule periodicitate
2
tg ( kπ + x ) =
tgx
cos ( 2kπ + x ) =
cos x
+ x ) ctgx , k ∈ 
ctg ( kπ =
N
sin ( 2kπ + x ) =
sin x
Formule pentru sume şi diferenţe de unghiuri
tgx + tgy
tg ( x + y ) =
1 − tgx ⋅ tgy
tgx − tgy
tg ( x − y ) =
1 + tgx ⋅ tgy
ctgx ⋅ ctgy − 1
ctg ( x + y ) =
ctgy + ctgx
ctgx ⋅ ctgy + 1
ctg ( x − y ) =
ctgy − ctgx
sin( x + y ) = sin x cos y + sin y cos x
IA
sin( x − y ) = sin x cos y − sin y cos x
cos( x + y ) = cos x cos y − sin x sin y
cos( x − y ) = cos x cos y + sin x sin y
Formule pentru unghiuri duble
sin 2 x = 2sin x cos x
cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 2 cos 2 x − 1 = 1 − 2sin 2 x
ctg 2 x − 1
2tgx
ctg
x
=
2
1 − tg 2 x
2ctgx
Formule pentru unghiuri triple
tg 2 x
=
cos 3 x =
4 cos3 x − 3cos x
A
sin 3 x =
3sin x − 4sin 3 x
ctg 3 x − 3ctgx
3tgx − tg 3 x
ctg
x
3
=
1 − 3tg 2 x
3ctgx − 1
Formule pentru jumătăţi de unghiuri
tg 3 x
sin
x
1 − cos x
x
1 + cos x
=
±
cos =
±
2
2
2
2
x
1 − cos x
sin x
1 − cos x
=
±
==
2
1 + cos x 1 + cos x
sin x
R
tg
x
1 + cos x
sin x 1 + cos x
=
±
=
=
2
1 − cos x 1 − cos
sin x
x
2
T
Formule pentru substituţia cu t = tg
ctg
3
N
x
x
2tg
1-tg 2
2
x
2 = 2t
2 = 1− t
=
sin x =
cosx
unde t tg
2
2
x
x
1+ t
1+ t
2
1 + tg 2
1 + tg 2
2
2
x
x
2tg
1-tg 2
2t
1− t2
2
2
tgx =
=
ctgx=
=
x 1− t2
x
2t
1-tg 2
2tg
2
2
IA
Formule pentru trasformarea sumelor în produse
x+ y
x− y
x− y
x+ y
=
sin x + sin y 2sin
cos=
sin x − sin y 2sin
cos
2
2
2
2
x+ y
x− y
x+ y
x− y
cos x + cos y =
2 cos
cos
cos x − cos y =
−2sin
sin
2
2
2
2
π
π


sin x + cos x= sin x + sin  − x = 2 cos  x − 
4
2


Formule pentru trasformarea produselor în sume
1
sin ( x + y ) + sin ( x − y ) 
2
1
cos x ⋅ cos
y
=
cos ( x − y ) + cos ( x + y ) 
2
1
sin x ⋅ sin
y
=
cos ( x − y ) − cos ( x + y ) 
2
A
sin x ⋅ cos
y
=
Ecuatii trigonometrice fundamentale:
sin x =−1 ⇒ x =−
sin x = 0 ⇒ x = kπ
π
2
+ 2 kπ
π
R
sin x =1 ⇒ x = + 2kπ
2
cos x =−1 ⇒ x =π + 2kπ
π
+ kπ
2
cos x =1 ⇒ x =2kπ
cos x = 0 ⇒ x =
sin x = a ∈ [ −1,1] ⇒ S =
{( −1) arcsin a + kπ / k ∈ }
k
cos x = a ∈ [ −1,1] ⇒ S = {± arccos a + 2kπ / k ∈ }
T
tgx = a ⇒ S = {arctga + kπ / k ∈ }
ctgx =
a⇒ S =
{arcctga + kπ / k ∈ }
4
sin x = sin y ⇒ x = y + 2k1π sau x + y = ( 2k2 + 1) π
cos x = cos y ⇒ x = y + 2k1π sau x + y = 2k2π
tgx = tgy ⇒ x = y + kπ
ctgx = ctgy ⇒ x = y + kπ
Pentru ecuaţiile de tipul a sin x + b cos x =
c înmulţim egalitatea cu
1
a + b2
numerele obţinute cu sin respectiv cos, transformând apoi în formula sin (α ± β ) .
N
şi înlocuim
IA
EXERCIŢII FORMULE
1. Să se calculeze sin 1350 .
2. Să se calculeze sin 2 100 0 + cos 2 80 0 .
3. Să se calculeze sin 2 130 0 + cos 2 50 0 .
4. Să se calculeze sin 2 1350 + cos 2 450 .
5. Să se calculeze sin 120 0 .
6. Să se calculeze sin 170 0 − sin 10 0 .
7. Să se calculeze cos 0 0 + cos10 + cos 2 0 + ... + cos180 0.
8. Să se calculeze sin 60 0 − cos 30 0 .
9. Să se calculeze sin(−10 0 ) ⋅ sin(−9 0 ) ⋅ ... ⋅ sin 9 0 ⋅ sin 10 0 .
10.Să se calculeze sin 30 0 − cos 450 + sin 60 0 .
11.Să se calculeze cos 80 0 + cos100 0 .
12.Să se calculeze sin 2 80 0 + sin 2 10 0 .
2
sin 1350
.
cos 450
14.Să se calculeze tg 2 30 0 + ctg 2 450 .
15.Să se calculeze cos 10 0 + cos 20 0 + cos 160 0 + cos 170 0 .
3
16.Să se calculeze cos x, ştiind că sin x = şi x ∈ (0 0 ;90 0 ) .
5
2
0
2
0
17.Să se calculeze sin 150 + cos 30 .
18.Să se calculeze sin 2 120 0 + cos 2 60 0 .
19.Să se demonstreze că expresia (sin x + cos x) 2 − 2 sin x ⋅ cos x este constantă, pentru oricare ar
A
13.Să se calculeze
R
fi numărul real x.
20.Să se arate că sin 10 0 − cos 80 0 = 0 .
1
2
21.Să se determine cos(180 0 − x), ştiind că x ∈ (0 0 ;90 0 ) şi cos x = .
T
22.Să se calculeze sin 2 30 0 + cos 2 60 0 .
23.Să se calculeze sin 2 1350 + cos 2 450 .
24.Să se arate că pentru x ∈ (0 0 ;90 0 ) este adevărată egalitatea
sin x ⋅ cos(90 0 − x) + cos 2 (180 0 − x) = 1 .
25.Ştiind că sin 80 0 − cos 80 0 = a, să se calculeze sin 100 0 + cos100 0 − a.
26.Să se calculeze sin 1350 + tg 450 − cos 450 .
5
4
5
1
28.Să se calculeze cos(180 0 − x) ştiind că cos x = .
3
2
0
29.Să se calculeze 2 sin 135 .
30.Să se calculeze sin 2 250 + sin 2 650 .
31.Să se calculeze lg(tg 40 0 ) ⋅ lg(tg 410 ) ⋅ ... ⋅ lg(tg 450 ).
27.Să se calculeze sin(180 0 − x) ştiind că sin x = .
N
32.Să se calculeze produsul (cos10 − cos 9 0 ) ⋅ (cos 2 0 − cos 80 ) ⋅ ... ⋅ (cos 9 0 − cos10 ).
23π
.
12
23π
π
34.Să se calculeze cos
⋅ sin . V1
12
12
1
35.Ştiind că sin α = să se calculeze cos 2α . V3
3
91
36.Să se arate că sin 2 1o + sin 2 2o + ... + sin 2 90o = . V9
2
37.Ştiind că ctgx = 3 , să se calculeze ctg 2 x . V12
5
3π
38.Fie α ∈  π ,  astfel încât cos α = − . Să se calculeze sin α . V15
13
2 

3
π
39.Fie α ∈  , π  astfel încât sin α = . Să se calculeze sin 2α . V16
5
2 
ctg1 − tg1
40.Să se arate că ctg 2 =
. V19
2
1
41.Ştiind că sin x = , să se calculeze cos 2x . V21
3
42.Să se calculeze sin 75o + sin15o . V22
π
1
43.Să se calculeze tg  − arctg  . V23
2
2
44.Ştiind că tgα = 2 , să se calculeze sin 4α . V23
A
IA
33.Să se calculeze cos
π
π
π
π
45.Să se calculeze sin  +  + sin  −  . V25
6 4
6 4




1
46.Fie α ∈  , π  astfel încât sin α = . Să se calculeze tgα . V26
3
2 
1
, să se calculeze sin 2α . V27
47.Ştiind că α ∈  şi că sin α + cos α =
3
3
π
48.Ştiind că α ∈  , π  şi că sin α = , să se calculeze tgα . V28
5
2 
R
π
T
π
49.Ştiind că α ∈  0,  şi că tgα + ctgα =
2 , să se calculeze sin 2α . V29

2
50.Să se arate că sin
π
=
2− 2
. V30
2
8
51.Să se arate că sin 6 < 0 . V31
6
π
52.Ştiind că x ∈  , π  şi că sin x = , să se calculeze sin . V32
5
2
2

3
x

1
π
53.Ştiind că x ∈  şi că tgx = , să se calculeze tg  x +  . V33 Se consideră triunghiul ascuţit
3

unghic ABC în care are loc relaţia sin B + cos B = sin C + cos C .

1
3
54.Să se arate că numărul sin  arcsin  + sin  arccos  este natural. V37
2
2 


N
2
6+ 2
. V37
4
6− 2
. V39
56.Să se arate că sin15o =
4
57.Să se demonstreze egalitatea sin ( a + b ) ⋅ sin ( a − b=) sin 2 a − sin 2 b, ∀a, b ∈  . V40
55.Să se arate că sin105o =
1
2
IA
. Să se calculeze
58.Fie a şi b numere reale astfel încât sin a + sin b =
1 şi cos a + cos b =
cos ( a − b ) . V41
6+ 2
2
3
π
60.Ştiind că α ∈  , π  şi că sin α = , să se calculeze ctgα . V44
5
2 
59.Să se arate că sin105o + sin 75o = . V43
61.Să se arate că 2 ( sin 75o − sin15o ) =
2 . V45
62.Să se verifice egalitatea 2 ( cos 75o + cos15o ) =
6 . V47
π
63.Ştiind că x ∈  0,  şi că tgx = 3 , să se calculeze sin 2x . V49
2
A

12
π
64.Să se calculeze tg 2α , ştiind că α ∈  0,  şi sin α = . V50
13
 2
65.Să se calculeze tg ( a + b ) , ştiind că ctga = 2 şi ctgb = 5 . V51
R
66.Să se calculeze tg 2 x , ştiind că ctgx = 3 . V55
67.Să se calculeze sin 2 x , ştiind că ctgx = 6 . V59
68.Fie ABC un triunghi cu=
tgA 2,=
tgB 3. Să se determine măsura unghiului C. V64
α
1
, să se calculeze sin α . V65
2
3
70.Să se calculeze cos 2 x , ştiind că tgx = 4 . V66
π
2π
3π
4π
71.Să se calculeze sin + sin + sin + sin . V67
3
3
3
3
1
72.Să se calculeze cos 2α , ştiind că cos α = . V67
3
11π
. V68
73.Să se calculeze sin
12
7π
74.Să se calculeze cos . V69
12
=
T
69.Ştiind că tg
7
75.Să se calculeze cos 75o − cos15o . V70
76.Să se calculeze sin 75o ⋅ cos15o . V72
π
77.Fie α ∈  , π  astfel încât cos 2α = . Să se calculeze cos α . V73
2
2
1
π
π π
N


1
π
78.Fie α ∈  , π  astfel încât cos 2α = − . Să se calculeze sin α . V74
2
2 
3
α
π
79.Fie α ∈  , π  astfel încât sin α = . Să se calculeze tg . V76
5
2
2 
3
π
80.Fie α ∈  0,  astfel încât sin α = . Să se calculeze tgα . V77
4
 2
81.Fie a, b ∈  − ,  , astfel încât a + b = . Să se arate că tga ⋅ tgb + tga + tgb =
1 . V78
4
2 2


82.Fie x ∈  , astfel încât tg 2 x = 6 . Să se calculeze cos 2 x . V79
IA
1
+ cos x . Să se calculeze sin 2x . V80
2
83.Fie x ∈  , astfel încât sin x=
π
84.Fie a, b ∈  , astfel încât a + b = . Să se arate că sin 2a + sin 2b = 2 cos ( a − b ) . V81
2
1
4
o
o
o
86.Să se arate că tg1 ⋅ tg 2 ⋅ tg 3 ⋅ ... ⋅ tg 89o =
1 . V83
85.Fie a ∈  , astfel încât sin a = . Să se arate că sin 3a . V82
87.Fie a, b ∈  , astfel încât a − b =
π . Să se arate că are loc relaţia cos a ⋅ cos b ≤ 0 . V84
3π
2
0
89.Să se calculeze suma cos1 + cos 20 + ... + cos1790. V86
A
88.Fie a, b ∈  , astfel încât a + b = . Să se arate că sin 2a − sin 2b =
0 . V85
π
. Să se arate că x ⋅ y =
90.Numerele reale x şi y verifică egalitatea arctgx + arctgy =
1 . V88
2
3
3π 
, π  şi sin 2 x = − . V88
5
 4

91.Să se calculeze tgx , ştiind că x ∈ 
π
92.Fie a, b ∈  , astfel încât a + b = . Să se arate că sin 2a − sin 2b − sin ( a − b ) =
0 . V89
3
93.Să se arate că sin 40 ⋅ sin140 =
cos 2 1300 . V91
1
3π
94.Fie α ∈  π ,  astfel încât cos α = − . Să se calculeze sin 2α . V92
3
2 

95.Fie α ∈  , astfel încât sin α + cos α =
1 . Să se calculeze tg 2α . V94
o
R
o
96.Să se arate că sin x + sin 3x + sin 5 x =
(1 + 2 cos 2 x ) ⋅ sin 3x . V95
π
97.Ştiind că a ∈  , π  şi că sin a = , să se calculeze tga . V98
5
2

3

T
98.Să se determine cel mai mare element al mulţimii {cos1, cos 2, cos 3} . V99
2
5
99.Fie a ∈  cu tga = . Să se calculeze sin a . V100
8
π
100. Ştiind că x ∈  , π  şi sin x =
, calculaţi cos x . Bac2011
3
2 
ECUAŢII
101. Să se rezolve în mulţimea ( 0, π ) ecuaţia sin 3x = sin x . V6
2 2
1
2
103. Să se rezolve în mulţimea [ 0, 2π ) ecuaţia tg ( − x ) =1 − 2tgx . V11
N
102. Să se rezolve în mulţimea [ 0, 2π ) ecuaţia sin x = − . V7
1
2
105. Să se rezolve în mulţimea [ 0, 2π ) ecuaţia sin x + cos x =
0 . V15
104. Să se rezolve în mulţimea [ 0, 2π ) ecuaţia cos 2 x = . V12
1
π
2
3
1
π
107. Să se rezolve în intervalul [ −1,1] ecuaţia arccos + arcsin x =
. V18
2
2
108. Să se rezolve în mulţimea [ 0, 2π ) ecuaţia sin x + cos x =
−1 . V20
IA
106. Să se rezolve în intervalul [ −1,1] ecuaţia arcsin + arcsin x =
. V16
109. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia sin x = 1 + cos 2 x . V32
110. Să se determine numărul soluţiilor ecuaţiei sin x = sin 2 x din intervalul [ 0, 2π ) . V34
111. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia sin x + cos ( − x ) =
1 . V38
π
1
3
112. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia arctgx + arcctg =
. V42
2
1
2
114. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia cos 2 x + sin x =
0 . V48
115. Să se rezolve în mulţimea [ 0, 2π ) ecuaţia 2sin x + 1 =0 . V61
A
113. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia arc sin 2 x = − . V44
π
π
116. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia cos  2 x + = cos  x −  . V62
2
2
R




π
π

117. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia sin  x − =
 sin  3 x +  . V63
4
4


π
π
118. Să se rezolve în ( 0, π ) ecuaţia tg  x + = tg  − x  . V64
3

2

119. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3sin x + 3 cos x =
0 . V65
120. Să se rezolve în mulţimea [ 0, 2π ] ecuaţia 3 sin x − cos x =
1 . V66
x
3
121. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia arctg + arctg
1 π
. V68
=
3 3
π
122. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia arctg 3 + arctgx =
. V76
2
T
123. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia . V83
π
π
124. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia sin  x + = cos  x −  . V86
3
6




9
π
1
125. Să se rezolve în intervalul ( 0,5 ) ecuaţia sin  2 x +  =
− . V92
6

126. Să se determine α ∈ ( 0, 2π ) astfel ca tgα = sin α . V93
2
127. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia sin 2 x = cos x . V97
3π 
 . Care este probabilitatea ca, alegând un element
2 
 6 2
din mulţimea A, acesta să fie soluţie a ecuaţiei sin 3 x + cos3 x =
1 ? Bac2010
π π
Fie mulţimea A = 0, , , π ,
T
R
A
IA
N
128.
10