‫مسلمات اإلحتمال‬
‫مسلمات االحتماالت‬
‫• احتمال الحدث ‪ A‬ويرمز له بالرمز )‪ P(A‬هو عدد يحقق المسلمات‬
‫التالية‪:‬‬
‫‪1. P(A)≥0‬‬
‫‪2. P(S)=1‬‬
‫‪0≤P(A) ≤1‬‬
‫من ‪ 1‬و ‪2‬‬
‫‪ .3‬لكل متتابعة من األحداث …‪ A1,A2,‬متنافية مثنى فإن‬
‫‪P(A1  A2  ...)  P(A1 )  P(A2 )  ...‬‬
‫أي أن‬
‫نتائج مسلمات االحتمال‬
1. P()  0
2. P(Ac)=1-P(A)
3. P(A)  P(A  B)  P(A  Bc )
4. P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B)
‫مالحظه‪:‬‬
‫ذكرنا سابقا أن االحداث المتنافية هي التي يستحيل حدوثها معا ً ‪,‬‬
‫فإذا كانت ‪ A‬و ‪ B‬حدثان متنافيان فإن ‪B = ‬‬
‫‪B) =0‬‬
‫‪P(A‬‬
‫‪ A‬وينتج عنه‬
‫• مثال‪:‬‬
‫• إذا كان إحتمال نجاح طالبة في مقرر ما هو ¾‪ .‬ما هو‬
‫احتمال رسوبها في هذا المقرر؟‬
‫• الحل‪:‬‬
‫• نفرض أن الحدث نجاح الطالبة في المقرر = ‪A‬‬
‫• وبالتالي فإن الحدث رسوبها في المقرر = ‪AC‬‬
‫• فيكون إحتمال رسوبها في المقرر هو‬
‫)‪P(AC)=1-P(A‬‬
‫‪= 1-3/4‬‬
‫‪= 1/4‬‬
‫ إذا كان‬:1‫مثال‬
p (A  B )  0.9, p (A  B )  0.2, p (A  B )  0.3
:‫احسبي االحتماالت التالية‬
p (A )  P(A)  P(A  B)  P(A  B )
c
p (B ) 
p (A  B ) 
p (B ) 
1. P()  0
2. P(Ac)=1-P(A)
3. P(A)  P(A  B)  P(A  B )
4. P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B)
c
:‫• الحل‬
:‫• نستخدم نتائج مسلمات اإلحتمال‬
1/ P(A)  P(A  B)  P(A  Bc )  0.2  0.3  0.5
2/ P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B)
0. 9  0 . 5  P ( B )  0 . 3
0. 9  0 . 2  P ( B )
0. 9  0 . 2  P ( B )
P ( B )  0 .7
3/ P(A c  Bc )  P(( A  B) c )  1  P( A  B)
 1  0.9
4/ P(B c )  1  P(B)
 1 - 0.7
 0.3
:1 ‫ ومن حل‬4 ‫• من‬
‫مثال‪ :2‬إذا كان احتمال النجاح في مقرر ‪ A‬هو ‪ 0.6‬واحتمال النجاح في ‪ B‬هو ‪ 0.7‬واحتمال النجاح في‬
‫مقرر واحد على أاالقل هو ‪ .0.9‬احسبي االحتماالت التالية‪:‬‬
‫‪ -1‬احتمال النجاح في مقرر ‪ A‬و مقرر ‪B‬‬
‫‪ -2‬احتمال النجاح في مقرر ‪ A‬فقط‬
‫‪ -3‬احتمال النجاح في مقرر ‪B‬و عدم النجاح في مقرر ‪A‬‬
‫‪ -4‬احتمال عدم النجاح في مقرر ‪ A‬و عدم النجاح في مقرر ‪B‬‬
‫أ‬
‫‪ -5‬احتمال النجاح في مقرر ‪ B‬او عدم النجاح في مقرر ‪A‬‬
‫‪1. P()  0‬‬
‫)‪2. P(Ac)=1-P(A‬‬
‫) ‪3.P(A)  P(A  B)  P(A  B‬‬
‫)‪4.P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B‬‬
‫‪c‬‬
‫• الحل‪:‬‬
‫‪P(A)=0.6, P(B)=0.7,‬‬
‫إحتمال حدوث واحد من الحدثين على األقل = اإلتحاد‬
‫‪P(AUB)=0.9‬‬
‫‪ /1‬النجاح في مقرر ‪ A‬و مقرر ‪ ،A∩B = B‬وبالتالي إحتمال النجاح في المقررين‬
‫هو‪P(A∩B):‬‬
‫)‪P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B‬‬
‫)‪0.9  0.6  0.7 - P(A  B‬‬
‫)‪0.9  1.3 - P(A  B‬‬
‫)‪0.9 - 1.3  -P(A  B‬‬
‫)‪- 0.4  -P(A  B‬‬
‫‪P(A  B)  0.4‬‬
1. P()  0
2. P(Ac)=1-P(A)
3. P(A)  P(A  B)  P(A  B )
4. P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B) P(A)=0.6 ‫ فقط هو‬A ‫ إحتمال النجاح في مقرر‬/2
c
•
Ac ‫هو‬A ‫ وعدم النجاح في مقرر‬B ‫ هو الحدث‬B ‫ النجاح في مقرر‬/3 •
B∩Ac ‫ هو‬A ‫ و عدم حدوث‬B ‫• وبالتالي فإن حدوث‬
P(A)  P(A  B)  P(A  Bc )
P(B)  P(B  A)  P(B  A c )
0.7  0.4  P(A  Bc )
0.7  0.4  P(A  Bc )
P(A  Bc )  0.3
‫‪1. P()  0‬‬
‫)‪2. P(Ac)=1-P(A‬‬
‫) ‪3. P(A)  P(A  B)  P(A  B‬‬
‫)‪4. P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B‬‬
‫‪c‬‬
‫‪ -4‬عدم النجاح في مقرر ‪ A‬هو ‪ Ac‬و عدم النجاح في مقرر ‪ B‬هو ‪Bc‬‬
‫وبالتالي فإن عدم النجاح في مقرر ‪ A‬و عدم النجاح في مقرر ‪ B‬هو ‪ِAc∩Bc‬‬
‫نعلم أن‪ِAc∩Bc=(AUB)c :‬‬
‫وبالتالي يكون احتمال عدم النجاح في المقرر ‪ A‬وعدم النجاح في المقرر ‪ B‬هو‬
‫‪P((AUB)c)=1-P(AUB)=1-0.9=0.1‬‬
1. P()  0
2. P(Ac)=1-P(A)
3. P(A)  P(A  B)  P(A  B )
4. P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B)
c
Ac ‫هو‬A ‫ عدم النجاح في مقرر‬، B ‫ هو الحدث‬B ‫ النجاح في مقرر‬-5
‫أ‬
AcUB ‫ هو الحدث‬A ‫ او عدم النجاح في مقرر‬B ‫وبالتالي فإن النجاح في مقرر‬
P(AcUB):
P(A c  B)  P(A c )  P(B) - P(A c  B)
0.3  0.4  0.7  P(A c  B)
0.3  1.1 - P(A c  B)
0.3 - 1.1  -P(Ac  B)
- 0.8  P(A c  B)
P(A c  B)  0.8
‫حيث‬
P(Ac)=1-P(A)=1-0.6=0.4
‫أ‬
‫أ‬
‫مالحظة‪ :‬االحداث المتنافية هي االحداث التي يستحيل حدوثها معا فإذا كان ‪ A‬و ‪ B‬حدثان فإن‪:‬‬
‫‪A B ‬‬
‫مثال‪:‬إذا كان‪:‬‬
‫‪P (A  B )  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪, P (A ) ‬‬
‫أفاوجدي احتمال ‪2 B‬‬
‫إذا كانت ‪ A‬و ‪3B‬حدثين متنافيين‪:‬‬
‫‪P (A  B ) ‬‬
1. P()  0
2. P(Ac)=1-P(A)
3. P(A)  P(A  B)  P(A  B )
4. P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B)
:‫• الحل‬
A∩B=ф ‫ حادثتان متنافيتان فإن‬B ‫ و‬A ‫• إذا كانت‬
c
P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B)
2 1
  P( B)  0
3 2
2 1
  P( B)
3 2
1
P( B) 
6
‫الواجب‬
‫االحتمال الشرطي ‪:‬‬
‫ان دراسة االحتمال الشرطي تعني حساب إحتمال حادث ما إذا علم‬
‫حدوث حادث اخر ‪.‬‬
‫فإذا كان ‪ B‬و ‪ A‬حدثين فإن إحتمال حدوث ‪ A‬علما ً بأن ‪ B‬قد حدث فعال‬
‫يُعبر عنه )‪ P(A/B‬ويسمى باالحتمال الشرطي لـ ‪ A‬إذا كانت ‪ B‬قد حدثت‬
‫ويعرف بــ‬
‫=‬
‫)‪P(A\B‬‬
‫=‬
‫بشرط أن تكون ‪. P(B) > 0‬الحدث ‪ B‬في )‪ P(A\B‬هو فراغ العينة‬
‫الجديد ويسمى الفراغ المختزل ‪.‬‬
‫مثال‪:‬‬
‫باعتبار التجربة العشوائية المكونة من رمي حجر نرد‪ ،‬لتكن‪:‬‬
‫• ‪ =A‬حادثة الحصول على ‪2‬‬
‫• ‪ =B‬حادثة الحصول على عدد زوجي‬
‫احسب احتمال ‪ A‬إذا علمت بوقوع ‪.B‬‬
‫صنفنا ‪ 100‬شخص وفقا ً للنوع (ولد‪-‬بنت) ووفقا ً لإلصابة‬
‫بمرض عمى األلوان‪ ،‬فكانت النتيجة‪:‬‬
‫المجموع‬
‫‪60‬‬
‫‪40‬‬
‫‪100‬‬
‫غير‬
‫مصاب‬
‫‪58‬‬
‫‪39‬‬
‫‪97‬‬
‫مصاب‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫ولد‬
‫بنت‬
‫المجموع‬
‫احسب االحتماالت التالية‪:‬‬
‫‪ /1‬إذا علمنا أن الشخص المختار بنت‪ ،‬ما احتمال أن تكون‬
‫مصابة؟‬
‫‪/2‬ما احتمال أن الشخص المختار ولد إذا علمنا أنه مصاب؟‬
‫صنفت مجموعة من ‪ 100‬مريض راجعوا قسم اإلسعاف خالل‬
‫شهر في أحد المستشفيات في مدينة حسب النوع وحسب تقرير‬
‫الطبيب إذا كانت الحالة مستعجلة أم ال‪:‬‬
‫المجموع‬
‫أنثى ‪F‬‬
‫ذكر ‪M‬‬
‫‪70‬‬
‫‪45‬‬
‫‪25‬‬
‫مستعجلة ‪E‬‬
‫‪30‬‬
‫‪10‬‬
‫‪20‬‬
‫غير مستعجلة‬
‫‪Ec‬‬
‫‪100‬‬
‫‪55‬‬
‫‪45‬‬
‫المجموع‬
‫تم اختيار أحد المراجعين عشوائيا ً احسب االحتماالت التالية‪:‬‬
‫• أن تكون تامراجعة أنثى وحالتها مستعجلة‪.‬‬
‫• أن يكون المراجع ذكر أو حالته مستعجلة‪.‬‬
‫• أن تكون المراجعة أنثى إذا علم أن حالتها غير مستعجلة‪.‬‬
‫• أن يكون المراجع ذكر أو أنثى‪.‬‬
‫• مثال‪:‬‬
‫• احتمال أن يحصل مشترك في المسابقة لتجويد القرآن‬
‫وتفسيره على جائزة التجويد هو ‪0.16‬‬
‫أن يحصل على جائزة التفسير هو ‪0.3‬‬
‫واحتمال أن يحصل عليهما معا ً هو ‪ ،0.09‬إحسب االحتماالت‪:‬‬
‫• المشترك سوف ال يحصل على جائزة التجويد علما ً أنه‬
‫حصل على جتئزة التفسير‪.‬‬
‫• سوف يحصل على جائزة التفسير علما ً أنه لم يحصل على‬
‫جائزة التجويد‪.‬‬
‫الحوادث المستقلة‬
‫مثال‪:‬‬
‫إذا كان احتمال أن يصيب محمد هدف معين هو ¾ واحتمال أن‬
‫يصيب أحمد الهدف نفسه هو ‪ .1/3‬أوجد االحتماالت التالية‪:‬‬
‫• أن يصيبا الهدف معا ً‪.‬‬
‫• على األقل يصيب الهدف أحدهما‪.‬‬
‫• محمد يصيب الهدف وأحمد ال يصيبه‪.‬‬
‫• إذا علم أن محمد لم يصب الهدف‪ ،‬ما احتمال أن يصيبه‬
‫أحمد‪.‬‬
‫الواجب‬