ალბათობის თეორია და მათემატიკური სტატისტიკა
ალბათობის თეორია და გამოყენებითი სტატისტიკა
კვირა 2
ლექცია;
2
ხდომილობა და ხდომილობებზე მოქმედებები: ალბათობის სტატისტიკური განსაზღვრა.
ელემენტარულ ხდომილობათა სივრცე. მოქმედებები ხდომილობებზე. ვენის დიაგრამები.
პრაქტიკული:
2
მოქმედებანი ხდომილობებზე: ხდომილობათა გაერთიანების, თანაკვეთის და სხვაობის
ფორმულები; დე მორგანის კანონები.
საშინაო დავალება მოცემულია ფაილის ბოლოში.
1
2-ა).. სიმრავლეები. მოქმედებანი სიმრავლეებზე.
სიმრავლე წარმოადგენს თანამედროვე მათემატიკის ყველა მიმართულებისათვის
ერთერთ ძირითად მათემატიკურ ობიექტს. მათემატიკაში სიმრავლის ცნება პირველად
შემოტანილი იქნა სიმრავლეთა თეორიის ფუძემდებლის გერმანელი მათემატიკოსის
გეორგ
კანტორის
(1845-1918)
მიერ.
კანტორისეული
განსაზღვრებით
ტერმინი
“სიმრავლე” გამოიყენება სხვადასხვა, ჩვენი წარმოსახვისათვის მისაწვდომი ობიექტების
ერთობლიობის გამოსახატავად, რომლებიც გაერთიანებულნი არიან ერთ მთელში.
ობიექტებს, რომლებითაც შედგენილია სიმრავლე, ეწოდებათ მოცემული სიმრავლის
ელემენტები.
სიმრავლე მათემატიკის საწყისი ცნებაა და ის შეიძლება დავახასიათოდ, როგორც
საერთო ნიშნით გაერთიანებული საგანთა ერთობლიობა.
სიმრავლის არსის გაგება შესაძლებელია მხოლოდ სიმრავლეებზე მაგალითების
განხილვით.
სიმრავლის
მაგალითებია:
სიმრავლე,
წარმოდგენილი
წიგნის
საქართველოში
მცხოვრები
ადამიანთა
წინადადებათა
სიმრავლე,
სიბრტყეზე
სამკუთხედების სიმრავლე, ცაში ვარსკვლავების სიმრავლე და სხვა.
ტრადიციულად მიღებულია, რომ სიმრავლეები აღინიშნოს ლათინური ანბანის
დიდი ასოებით: A . B , C , D ,..., ხოლო მისი ელემენტები პატარა ასოებით: a , b , c ,
d ,... .
თუ რაიმე a ობიექტი არის რომელიღაც A სიმრავლის ელემენტი, მაშინ ეს
ფაქტი ჩაიწერება a  A სახით და იკითხება, როგორც ,, a ეკუთვნის A -ს”, ხოლო თუ
a არ წარმოადგენს A -ს ელემენტს, მაშინ წერენ a  A და იკითხება, როგორც ,, a არ
ეკუთვნის A -ს”.
სიმრავლე, რომლის ელემენტებია a , b , c ,... აღინიშნება
a, b, c, .. .სახით,
ხოლო ყველა იმ x ელემენტთა სიმრავლე, რომლებიც ფლობენ რაიმე P თვისებას,
აღინიშნება შემდეგნაირად: x : P . მაგალითად, ყველა იმ ნატურალურ n რიცხვთა
სიმრავლე, რომლებიც აკმაყოფილებენ უტოლობას 5n  30 , ჩაიწერება შემდეგი სახით:
n : n  N ,5n  30 , , სადაც N -ით აღნიშნულია ყველა ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლე.
შევნიშნოთ, რომ მაგალითში მოყვანილი სიმრავლე შესაძლებელია ჩაიწეროს {1,2,3,4,5,6}
ფორმითაც. პირველ შემთხვევაში სიმრავლე მოცემულია დახასიათების ხერხით, ხოლო
მეორე შემთხვევაში კი ჩამოთვლის ხერხით.
განსაზღვრება სიმრავლეს, რომელიც არ შეიცავს არც ერთ ელემენტს, ცარიელი
სიმრავლე ეწოდება და აღინიშნება  სიმბოლოთი.
2
მაგალითად, ყველა იმ ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლე, რომლებიც ნაკლებია -1ზე ცარიელი სიმრავლეა. ე.ი.
n : n  N , n  1   .
ვთქვათ, მოცემულია ორი A და B სიმრავლე.
განსაზღვრება.
თუ A სიმრავლის ყოველი ელემენტი არის B სიმრავლის
ელემენტიც, მაშინ A სიმრავლეს ეწოდება B სიმრავლის ქვესიმრავლე და აღინიშნება
A  B სიმბოლოთი. ცხადია, რომ მართებულია შემდეგი თანაფარდობა:
. (a  A  a  B)  A  B
A  B ჩანაწერი იკითხება, როგორც „ A ჩართულია B -ში“, ან „ A არის B -ს
ქვესიმრავლე“.
თუ A სიმრავლე არ არის B სიმრავლის ქვესიმრავლე, მაშინ წერენ: A  B ეს
იმას ნიშნავს, რომ A სიმრავლეში არსებობს ერთი მაინც ელემენტი a , რომელიც B
სიმრავლეს არ ეკუთვნის. ე.ი.
A  B  ( a  A ჭეშმარიტია a  B ) .
A -თი აღვნიშნავთ სიბრტყეზე ყველა ტოლფერდა
მაგალითად, თუ
სამკუთხედების სიმრავლეს, ხოლო B -თი იმავე სიბრტყეზე ყველა სამკუთხედების
სიმრავლეს, მაშინ ცხადია რომ ადგილი აქვს ჩართვას: A  B .
სიმრავლის
ქვესიმრავლის
განსაზღვრებიდან
უშუალოდ
გამომდინარეობს
შემდეგი ორი დებულება:
 ყოველი სიმრავლე თავის თავის ქვესიმრავლეა. ე.ი.
A ჭეშმარიტია A  A .
 ცარიელი სიმრავლე ნებისმიერი სიმრავლის ქვესიმრავლეა. ე.ი.
A ჭეშმარიტია   A .
A  B და B  A , მაშინ A და B სიმრავლეებს ტოლი სიმრავლეები
თუ
ეწოდებათ და წერენ A  B .
მაგალითად, თუ A  {0,1, 2,3}
და B  {n : n  N , n  4} , სადაც ისევე
როგორც ზემოთ N აღნიშნავს ყველა ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეს, მაშინ A  B .
განსაზღვრება ორი A და B სიმრავლის გაერთიანება (ჯამი) აღინიშნება A
B
(ან A  B ) სიმბოლოებით და ეწოდება ყველა იმ ელემენტის სიმრავლეს, რომელიც
ეკუთვნის ერთ-ერთს მაინც A და B სიმრავლეებიდან
განსაზღვრება ორი A და B სიმრავლის თანაკვეთა (ნამრავლი) აღინიშნება
A
B (ან AB ) სიმბოლოებით და ეწოდება ყველა იმ ელემენტის სიმრავლეს,
რომელიც ეკუთვნის ორივე სიმრავლეს ერთდროულად. თუ A B   , მაშინ A და
B სიმრავლეებს თანაუკვეთი სიმრავლეები ეწოდებათ.
განსაზღვრება A და B სიმრავლეების სხვაობა ეწოდება ისეთ სიმრავლეს,
რომელიც შეიცავს A სიმრავლის ყველა იმ ელემენტს, რომელიც B სიმრავლეში არ
შედის და აღინიშნება A \ B (ან A  B ) სიმბოლოთი.
3
განსაზღვრება
თუ ყველა ის სიმრავლე, რომლებიც ფიგურირებს რაიმე
U სიმრავლეში, მაშინ U სიმრავლეს
უნივერსალური სიმრავლე ეწოდება. თუ A  U , მაშინ U \ A სხვაობას ეწოდება A
ამოცანაში,
ჩართულია
რომელიღაც
სიმრავლის დამატება ( U უნივერსალური სიმრავლის მიმართ) და აღინიშნება A
ან
A სიმბოლოებით.
სიმრავლის დამატების განსაზღვრებიდან გამომდინარეობს, რომ ნებისმიერი A
სიმრავლისათვის A  A .
განსაზღვრება
A და B
სიმრავლეების სიმეტრიული სხვაობა, ეწოდება
სიმრავლეს, რომელიც აღინიშნება AB
სიმბოლოთი და განისაზღვრება შემდეგი
ტოლობით:
AB  ( A \ B)
( B \ A) .
სიმეტრიული სხვაობის განსაზღვრებიდან უშუალოდ გამომდინარეობს, რომ
ა) AA   ;
ბ) A  A .
სიმრავლეებზე სხვადასხვა მოქმედებების გამოსახვას სიბრტყეზე გრაფიკულად
ეილერ-ვენის დიაგრამები ეწოდება. ქვემოთ მოყვანილია სიმრავლეებზე ზემოთ
განსაზღვრული მოქმედებების (გაერთიანების, თანაკვეთის, სხვაობის, სიმეტრიული
სხვაობის)
გამოსახვა
ეილერ-ვენის
დიაგრამების
საშუალებით
ორი
სიმრავლის
შემთხვევაში (შესაბამისი მოქმედების შედეგად მიღებული სიმრავლეები გამუქებულია).
AB
განსაზღვრება A და B სიმრავლეების პირდაპირი ნამრავლი ანუ დეკარტული
ნამრავლი ეწოდება ყველა (a, b) დალაგებულ წყვილთა სიმრავლეს, სადაც
b  B და აღინიშნება A  B სიმბოლოთი. ე.ი. გვაქვს
4
a  A და
(a, b)  A  B  (a  A)  (b  B) .
მაგალითად, თუ A  {1;2} და B  {2;3} , მაშინ
A  B  {(1;2),(1;3),(2;2),(2;3)} ,
ხოლო
B  A  {(2;1),(2;2),(3;1),(3;2)} .
ეს ნიშნავს, რომ დეკარტული ნამრავლი საზოგადოდ არ არის კომუტატიური.
ტოლობა
A  B  B  A ჭეშმარიტია მაშინ, როდესაც
A  B . ორი სიმრავლის
დეკარტული ნამრავლის უმარტივეს მაგალითს წარმოადგენს საკოორდინატო სიბრტყე,
რომელიც შეიძლება განვიხილოთ, როგორც კოორდინატთა ღერძების დეკარტული
ნამრავლი. გამომდინარე ამ მაგალითიდან
A B
ნამრავლს ხშირად უწოდებენ
მართკუთხედს, ხოლო A და B სიმრავლეებს კი ამ მართკუთხედის გვერდებს.
საზოგადოდ მიღებულია შემდეგი აღნიშვნები:
N  {1, 2,3, 4,5,...} -ყველა ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლე;
Z  {..., 2, 1,0,1, 2,3,...} -ყველა მთელ რიცხვთა სიმრავლე;
m
: n  N , m  Z } -ყველა რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლე;
n
I  { x : x არის უსასრულო არაპერიოდული ათწილადი}-ყველა ირაციონალურ
Q {
რიცხვთა სიმრავლე;
R  {x : x  Q
I } -ყველა ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე.
ცხადია, რომ მართებულია შემდეგი თანაფარდობა:
N  Z Q  R.
მაგალითები;
1). A  {3,8,12,19} B  {1, 3,8,17} , C  {12,25,78} . გამოთვალეთ A
A
B ; A \ B ; A \ C ; C \ A ; (C \ A)
B;
B
ამოხსნა:
A
B შესდგება იმ ელემენტებისგან, რომლებიც A და B სიმრავლეებიდან ერთში
მაინც გვხვდება. ამიტომ ცხადია A B  {3,8,12,19,1,17,25,28} .
A
B შესდგება მხოლოდ იმ ელემენტებისგან , რომლებიც A და B სიმრავლეებიდან
ორივეში გვხვდება. ამიტომ ცხადია A B  {3,8} .
A \ B შესდგება იმ ელემენტებისგან, რომლებიც გვხვდება A -ში და არ გვხვდება B -ში.
ამიტომ ცხადია A \ B  {12,19} .
A \ C შესდგება იმ ელემენტებისგან, რომლებიც გვხვდება A -ში და არ გვხვდება C -ში.
5
ამიტომ ცხადია A \ C  {3,8,19} .
C \ A შესდგება იმ ელემენტებისგან, რომლებიც გვხვდება C -ში და არ გვხვდება A -ში.
ასეთი ელემენტი არ არსებობს, ამიტომ ცხადია C \ A იქნება თვითონ C . C \ A 
 {12, 25,78} .
2). A არის 10-ზე ნაკლები ლუწი რიცხვების სიმრავლე, B არის15-ზე ნაკლები მარტივი
რიცხვების სიმრავლე, C არის 6-ზე მეტი 5-ის ჯერადი რიცხვების სიმრავლე, D არის
25-ზე ნაკლები კენტი რიცხვების სიმრავლე გამოთვალეთ n(( A \ B)
(C
D)) . n( A)
სიმბოლოთი n( A) აღნიშნულია სასრულო A სიმრავლის ელემენტთა რაოდენობა.
ამოხსნა:
A \ B იქნება 10-ზე ნაკლები ის ლუწი რიცხვები, რომლებიც არ არიან 15-ზე ნაკლები
მარტივი რიცხვები. ცხადია A \ B  4,6,8 .
C
D იქნება 25-ზე ნაკლები იმ კენტი რიცხვების სიმრავლე. რომლებიც 6-ზე მეტია და
5-ის ჯერადია. ასეთი რიცხვი ერთადერთია, ის არის 15. ამიტომ C
მაშასადამე ( A \ B)
(C
D  15 .
D)  4,6,8,15
ცხადია, რომ მიღებულ სიმრავლეში 4 ელემენტია.
პასუხი n(( A \ B)
(C
D))  4
ამოცანები:
1. მოცემულია A  {2,5,7,9} ; B  {1, 2,5,17} ; C  {7,10,12} . იპოვეთ
B ; A B ; A \ B ; A \ C ; C \ A ; (C \ A) B .
2. მოცემულია A  {3,8,17} ; B  {5,8,10,14} . იპოვეთ A B და A B .
სიმრავლეები: A
3. C არის 15 წლამდე ასაკის ბავშვების სიმრავლე, ხოლო D – ინგლისური ენის
მცოდნე ბავშვების სიმრავლე. რა სიმრავლე იქნება C \ D ; C
D და C ?
4. A არის 2012 წელში წვიმიანი დღეების სიმრავლე B - 2012 წელში მზიანი
დღეების სიმრავლე. რა სიმრავლე იქნება A B და A B ?
5. A სიმრავლეში 4 განსხვავებული ელემენტია, ხოლო B -ში 3 განსხვავებული
ელემენტი. რამდენი ელემენტისაგან შესდგება A  B ?
6. რა შემთხვევაში შესდგება ორი სიმრავლის დეკარტული ნამრავლი 17
ელემენტისაგან?
7. გამოთვალეთ
n( A \ B) , თუ
A  {15-ზე ნაკლები მარტივი რიცხვების
სიმრავლე}, B  {6-ზე მეტი კემტი რიცხვების სიმრავლე}.
8. გამოთვალეთ n( D
E \ C ) , თუ D  {15-ზე ნაკლები მარტივი რიცხვების
სიმრავლე}, E  {6-ზე მეტი კემტი რიცხვების სიმრავლე}; C  {30-ზე ნაკლები 7-ის
ჯერადი რიცხვების სიმრავლე}.
6
B)] , თუ A  {20-ზე ნაკლები ლუწი რიცხვების
სიმრავლე}, B  {მარტივი რიცხვების სიმრავლე}; C  {3-ის ჯერადი რიცხვების
9. გამოთვალეთ n[( A \ (C
სიმრავლე}.
პასუხები:
B  {1, 2,5,7,9,17} ; A B  {2,5} ; A \ B  {7,9} ; A \ C  {2,5,9} ;
C \ A  {10,12} ; (C \ A) B  {1,2,5,10,12,17} . 2) A B  {3,5,10,12,17} ;
1) A
B  {8} ; 3) C \ D  {წლამდე ბავშვების სიმრავლე, რომლებმაც არ იციან
ინგლისური}; C D  {15 წლამდე ბავშვების სიმრავლე, რომლებმაც იციან
A
ინგლისური}; C  {ბავშვების სიმრავლე, რომელთა ასაკი მეტია ან ტოლი 15 წელზე}; 4)
A B ={ 2012 წლის იმ დღეების სიმრავლე, რომლებშიც წვიმაც მოვიდა და მზეც იყო};
A B ={2012 წლის იმ დღეების სიმრავლე, რომლებშიც ან წვიმა იყო და მზე არა ან მზე
იყო და წვიმა არა; 5) 12. 6) როდესაც ერთი სიმრავლე შესდგება 1 ელემენტისგან მეორე
კი 17 ელემენტისგან; 7) 3; 8) 2; 9) 6.
2-ბ) ცდა, ხდომილობა, ელემენტარულ ხდომილობათა სივრცე
ალბათობის თეორიაში ძირითადად შეისწავლება ისეთი მოვლენები, რომელთა
შედეგების უტყუარი წინასწარმეტყველება შეუძლებელია. ეს ხდება ძირითადად ამ
მოვლენების გამომწვევი უამრავი სხვადასხვა ფაქტორების ცვალებადობის გამო. ასეთ
მოვლენებს შემთხვევით მოვლენებს უწოდებენ და ამბობენ, რომ ისინი აღიწერებიან
შემთხვევითი ანუ სტოქასტური სქემით. ასეთი მოვლენებია, მაგალითად კვირის
განმავლობაში რომელიმე კინოთეატრში მისულ მაყურებელთა რაოდენობა, დღე-ღამის
განმავლობაში საქართველოში დაბადებულ ბავშვთა რაოდენობა და ა.შ. თუმცა,
ამასთანავე,
არსებობს
ისეთი
მოვლენებიც,
რომელთა
წინასწარმეტყველებაც
შესაძლებელია და მათ საბუნებისმეტყველო მეცნიერებებში შეისწავლიან (მათზე
ამბობენ, რომ ისინი აღიწერებიან არა შემთხვევითი ანუ დეტერმინისტული სქემით).
მაგალითად სხეულის ვარდნისას შესაძლებელია სიჩქარის განსაზღვრა, ჰაერის
ტენიანობის მონაცემებზე დაკვირვებით წვიმის მოსვლის წინასწარმეტყველება და ა.შ.
შემთხვევით მოვლენას შეიძლება სასრული რაოდენობის სხვადასხვა შესაძლო
შედეგებიც გააჩნდეს (მაგალითად, სტენდზე ტყვიის სროლაში ერთი გასროლისას
მიღებული შესაძლო ქულების რაოდენობა) და შეიძლება უსასრულო რაოდენობისაც
(მაგალითად, რომელიმე ადამიანს ვთხოვოთ რაიმე რიცხვის დასახელება). იმისათვის,
რომ შემთხვევითი მოვლენის რაიმე შესაძლო შედეგის განხორციელების „შანსი“ ანუ
„პროცენტული
შესაძლებლობა“
შევაფასოთ,
საჭიროა
მოვლენა
აღვწეროთ
მათემატიკური მოდელით, რისთვისაც უნდა დავადგინოთ რა შესაძლო შედეგებია
მოსალოდნელი ამ მოვლენის განხორციელებისას.
7
ლითონის ფულის აგდებისას მის ზემოთა მხარეს შეიძლება აღმოჩნდეს ან
„გერბი“ ან „საფასური“. კამათლის გაგორებისას შეიძლება „მოვიდეს“ 1, 2, 3, 4, 5 ან 6
ციფრებიდან ერთ-ერთი. ასეთი ცდები რეალურად შეგვიძლია ჩავატაროთ და მათზე
დაკვირვებით ლოგიკური დასკვნები გამოვიტანოთ.
შემთხვევით მოვლენაზე დაკვირვების მიზნით ჩატარებულ ცდებს შემთხვევითი
ცდები ეწოდებათ. ისინი თავისი ბუნებით განსხვავდებიან ისეთი ცდებისაგან,
რომელთა დროსაც შეიძლება რაიმე სიდიდის გაზომვა ან რაიმე რეაქციაზე დაკვირვება
(მაგალითად, სხეულის თავისუფალი ვარდნის აჩქარების გასაზომად, ან ზამბარის
სიხისტის კოეფიციენტის დასადგენად ჩატარებული ცდები).
მომავალში შემთხვევით ცდას უბრალოდ ცდას ვუწოდებთ. ჩავატაროთ ერთი და
იგივე ცდა n -ჯერ. დავუშვათ ამ ცდების დროს ვაკვირდებით რაიმე A -შედეგს და იგი
m
წარმოადგენს A -ს ფარდობით სიხშირეს.
n
თუ ჩავატარებთ იგივე ცდას სხვა დროს იგივე პირობებში n1 -ჯერ და A მოხდება m1 მოხდა m -ჯერ. მაშინ ცხადია W ( A) 
ჯერ,
მაშინ
W1 ( A) 
m1
n1
.
ალბათობის
თეორია
შეისწავლის
ისეთი
ცდების
მათემატიკურ მოდელებს, რომლებიც მდგრადი სიხშირით ხასიათდებიან. რაც ნიშნავს
რომ დიდი n და n1 , რიცხვებისათვის W ( A) და W1 ( A) ახლოს უნდა იყვნენ ერთი
და იგივე რიცხვთან.
ცნობილია რომ პირსონმა 24000-ჯერ ააგდო ლითონის ფული და გერბი მოვიდა
12012-ჯერ. მისი ფარდობითი სიხშირე W 
12012
1
ახლოსაა
-თან. პირსონმა ასეთი
24000
2
ცდების სერია რამოდენიმეჯერ გაიმეორა და აღმოაჩინა რომ ფარდობითი სიხშირე
ყოველთვის ახლოს იყო
თითოეულ
1
-თან.
2
ჩვენთაგანს
ადვილად
შეუძლია
კამათლის
(რა
თქმა
უნდა
სიმეტრიულს) ბევრჯერ გაგორებისას დაითვალოს რაიმე ერთი და იგივე რიცხვის
მოსვლათა რაოდენობა და აღმოაჩენს რომ ამ რიცხვის მოსვლის ფარდობითი სიხშირე
დაახლოებით
1
-ის ტოლი იქნება.
6
მოვიყვანოთ რამდენიმე განსაზღვრება.
განსაზღვრება. ცდა ვუწოდოთ პირობათა რაიმე ერთობლიობის შესრულებას,
რომლის შედეგიც არაა ცალსახად განსაზღვრული და შემთხვევითია. ნებისმიერ
გამონათქვამს ცდის შედეგების შესახებ ვუწოდოთ ხდომილობა. ხდომილობები
აღინიშნებიან ლათინური ალფავიტის დიდი ასოებით
A, B, C,... . ცდის იმ
ელემენტარულ
შედეგების
შედეგს,
რომლის
წარმოდგენა
სხვა
საშუალებით
შეუძლებელია ელემენტარული ხდომილობა ეწოდება. ხოლო ცდის ყველა შესაძლო
ელემენტარულ ხდომილობათა სიმრავლეს ელემენტარულ ხდომილობათა სივრცე
8
ეწოდება და  (ომეგა) სიმბილოთი აღინიშნება ყოველი ხდომილობა შეიძლება
გავაიგივეოთ მის ხელშემწყობ ელემენტარულ ხდომილობათა სიმრავლესთან.
მაგალითი 1. ცდა მდგომარეობს ერთი კამათლის ერთხელ გაგორებაში.
ელემენტარული ხდომილობებია: მოვიდა „1“, მოვიდა „2“, მოვიდა „3“,... , მოვიდა „6“.
ელემენტარულ ხდომილობათა სივრცეა   {1, 2,3, 4,5,6} .
ჩამოვთვალოთ ზოგიერთი ხდომილობები ამ ცდის შესახებ და გავაიგივოთ ისინი მათ
ხელშემწყობ ელემენტარულ ხდომილობათა სიმრავლეებთან, ხოლო თუ ასეთები არ
არსებობენ მივუწეროთ ცარიელი სიმრავლის სიმბოლო  .
A – მოვიდა ლუწი რიცხვი = {2, 4, 6}
B – მოვიდა რიცხვი 5 = {5}
C – მოვიდა 4-ზე მეტი რიცხვი = {5, 6}
D – მოვიდა რიცხვი რომელიც არ აღემატება 4-ს ={1,2, 3, 4}
E – მოვიდა 10-ზე მეტი რიცხვი = 
F – მოვიდა დადებითი რიცხვი = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
ცხადია, რომ B ელემენტარული ხდომილობაა. E ხდომილობა არასდროს არ
განხორციელდება, ხოლო F
ხდომილობა ცდის ჩატარებისას აუცილებლად
განხორციელდება.
განსაზღვრება.
ხდომილობას, რომელიც ცდის ჩატარებისას აუცილებლად
მოხდება აუცილებელი ხდომილობა ეწოდება და აღინიშნება  სიმბოლოთი, ხოლო
ხდომილობას, რომელიც ცდის ჩატარებისას არასდროს არ შეიძლება მოხდეს შეუძლებელი
ხდომილობა
და
აღინიშნება

A
სიმბოლოთი.
საწინააღმდეგო ხდომილობა (ანუ A -ს დამატება) აღინიშნება A
ხდომილობის
სიმბოლოთი და
ეწოდება   A ხდომილობას ( A    A ) .
ჩვენ ხდომილობა გავაიგივეთ მის ხელშემწყობ ელემენტარულ ხდომილობათა
სიმრავლესთან
(ამით
უკვე
გასაგები
გახდა
აუცილებელი
ხდომილობების
აღნიშვნები),
ამიტომ
მათზე
შეგვიძლია
და
შეუძლებელი
ჩავატაროთ
ისეთივე
მოქმედებები როგორიც სიმრავლეებზე.
განსაზღვრება 1) თუ M ხდომილობის მოხდენისას ხდება N ხდომილობა
ამბობენ, რომ M
იწვევს
N -ს (ან M -დან გამომდინარეობს N ) და ჩაიწერება
M  N ან N  M .
2) M და N ხდომილობების ნამრავლი (ანუ თანაკვეთა) აღინიშნება MN
(ან M N ) სიმბოლოთი და წარმოადგენს ხდომილობას, რომელიც ხდება მაშინ და
მხოლოდ მაშინ როდესაც ხდება M და N ორივე ხდომილობა ერთდროულად.
როდესაც M N   , მაშინ M და N ხდომილობებს უთავსადი (არათავსებადი)
ხდომილობები ეწოდებათ.
3) M და N ხდომილებების გაერთიანება აღინიშნება M
N სიმბოლოთი და
წარმოადგენს ხდომილობას, რომელიც ხდება მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როდესაც ხდება
ერთი მაინც M და N ხდომილობებიდან. უთავსად M და N
ხდომილობათა
გაერთიანებას მათ ჯამს უწოდებენ და ხშირად ჩაწერენ M  N სიმბოლოთიც.
9
4) M და N ხდომილობების სხვაობა აღინიშნება
M N
სიმბოლოთი
(ხშირად იხმარება M \ N ჩანაწერიც) და წარმოადგენს ხდომილობას, რომელიც ხდება
მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როდესაც ხდება M და არ ხდება N .
5)   M ხდომილობას ეწოდება M -ის საწინააღმდეგო ხდომილობა ანუ M ის დამატება და აღინიშნება M სიმბოლოთი. ცხადია, რომ M  M .
დავუბრუნდეთ 1 მაგალითს. ზემოთ თქმულიდან გამომდინარე ცხადია, რომ
BC;
A B ნიშნავს – მოვიდა ლუწი რიცხვი, რომელიც 5-ის ტოლია. A B   ;
A C ნიშნავს – მოვიდა ლუწი რიცხვი, რომელიც მეტია 4-ზე. A C  {6} ;
C ნიშნავს –არ მოვიდა 4-ზე მეტი რიცხვი. C  {1, 2,3, 4} ;
A \ C ნიშნავს–მოვიდა ლუწი რიცხვი, რომელიც არაა მეტი 4-ზე A \ C  {2, 4} ;
C \ A ნიშნავს–მოვიდა 4-ზე მეტი რიცხვი რომელიც არაა ლუწი C \ A  {5} ;
A ნიშნავს–არ მოვიდა ლუწი რიცხვი A  {1,3,5} ;
C \ F ნიშნავს–მოვიდა 4-ზე მეტი რიცხვი, რომელიც არაა დადებითი C \ F   .
მაგალითი 2 36 ქაღალდიანი ბანქოს დასტიდან შემთხვევითად ირჩევენ 1 ცალს.
A  {ამოვიდა წითელი}, B  {ამოვიდა ჯვარი},
C  {ამოვიდა ნახატი}. გამოთვალეთ n[ A (C  B)] ,. (მითითება: ტუზი ითვლება
განვიხილოთ
ხდომილობები:
ნახატად).
ამოხსნა ცხადია A -ში 18 ელემენტია. C  B სიმრავლის ელემენტები არიან ბანქოს ის
ქაღალდები, რომლებიც არიან ნახატები და არ არიან ჯვრები, ასეთი 36 ქაღალდიან
დასტაში სულ არის 12. ცხადია, რომ A და C  B სიმრავლეებს 8 საერთო ელემენტი
აქვთ. ესენი არიან წითელი ნახატები ამიტომ n[ A
(C  B)]  18  12  8  22 .
ამოცანები:
1.
კამათელს
აგორებენ
ორჯერ:
ა)
რამდენი
ელემენტისაგან
შესდგება
ელემენტარულ ხდომილობათა სივრცე? ბ) რამდენი ელემენტარული ხდომილობაა იმ
ფაქტის ხელშემწყობი, რომ პირველ გაგორებაზე მოვიდა უფრო დიდი ციფრი, ვიდრე
მეორეზე ?
2.
ერთდროულად
აგორებენ
ორ
კამათელს.
ელემენტარულია
თუ
არა
ხდომილობები: A -მოსული ციფრების ნამრავლი 36-ის ტოლია; B -მოსული ციფრების
ნამრავლი 25-ის ტოლია; C -მოსული ციფრების ნამრავლი 20-ის ტოლია; D -მოსული
ციფრების ჯამია 2; E -მოსული ციფრების ჯამია 11; F -მოსული ციფრების ჯამია 12.
3. ერთდროულად აგორებენ ორ კამათელს. ჩამოწერეთ შემდეგი ხდომილობების
ხელშემწყობი ელემენტარული ხდომილობები: A -მოსული ციფრების ჯამია 5; B მოსული ციფრების სხვაობის სიდიდეა 4.
10
4. 36 ქაღალდიანი ბანქოს დასტიდან იღებენ ერთ ცალს. რამდენი ელემენტარული
ხდომილობისაგან შესდგება ხდომილობები: A -ამოვიდა წითელი ფერის; B -ამოვიდა
ნახატი; C -ამოვიდა გული, A  B ; B  A ; C  B ; B  C .
5. მე-4 ამოცანის პირობებში ჩაწერეთ შემდეგი ხდომილობების ხელშემწყობი
შედეგები: A -ამოვიდა შავი ფერის ტუზი; B -ამოვიდა 8-ზე ნაკლები რიცხვი; ჩამოვიდა წითელი ფერის 6-ზე მეტი რიცხვი; B
C ; B C ; C  B .
6. ყუთში 10 ცალი თეთრი და 5 ცალი შავი ერთნაირი ზომის ბურთულა.
თეთრებს აწერია რიცხვები 1-დან 10-ის ჩათვლით, ხოლო შავებს – 11-დან 15-ის
ჩათვლით. ყუთიდან ჩაუხედავად იღებენ ერთ ცალ ბურთს. რამდენი ელემენტა-რული
ხდომილობისაგან შესდგება ხდომილობები: A -ამოვიდა ლუწი ნომრის ბურთი; B ამოვიდა შავი ბურთი; C -ამოვიდა თეთრი ბურთი 3-ის ჯერადი ნომრით; D -ამოვიდა
ბურთი, რომლის ბურთი, რომლის ნომერი ნაკლებია 14-ზე; A
B ; C  A; D  C .
7. ლითონის მონეტას აგდებენ სამჯერ. ჩამოწერეთ ცდის ყველა შესაძლო
ელემენტარულ
ხდომილობათა
სიმრავლე
და
ელემენტარული
ხდომილობებით
გამოსახეთ შემდეგი ხდომილობები:
A – გერბი მოვიდა ერთჯერ;
B – გერბი მოვიდა ერთჯერ მაინც;
C – გერბი არ მოვიდა არც ერთჯერ.
ამ ხდომილობებიდან არის თუ არა რომელიმე ელემენტარული ხდომილობა?
8. ცდის პირი ასახელებს რაიმე ორნიშნა ნატურალურ რიცხვს ა) რამდენი
ელემენტარული ხდომილობისაგან შედგება ხდომილობები, რომ დასახელებული
რიცხვი: A – მეტია 20-ზე; B – ნაკლებია 50-ზე და 7-ის ჯერადია; C – მარტივია და
ნაკლებია 27-ზე; D – 15-ზე მეტია და 5-ის ჯერადია; A
B ; B C ; C  D ; D B.
ბ) რომელი წყვილია არათავსებადი A , B , C და D ხდომილობებიდან?
9. ამოცანა 2-ის პირობებში წარმოადგინეთ ელემენტარულ ხდომილობათა
სივრცე, როგორც ორი სიმრავლის დეკარტული ნამრავლი.
10. ორი პიროვნება შეთანხმდა შეხვედრაზე 1000 საათიდან 1200 საათამდე.
თითოეული მიდის შეხვედრის ადგილას დროის ამ შუალედში. რა სიმრავლეა ცდის
ყველა
ელემენტარულ
ხდომილობათა

სივრცე?
გამოსახეთ
ის
სიბრტყეზე.
წარმოადგინეთ  როგორც ორი სიმრავლის დეკარტული ნამრავლი (მითითება:
OXY კოორდინატთა სისტემის ერთ ღერძზე გადაზომეთ პირველი პიროვნების
მისვლის დრო, მეორეზე კი მეორის).
11. ცდა მდგომარეობს ლითონის მონეტის აგდებაში მანამდე, სანამ არ მოვა
საფასური. აღნიშნეთ საფასურის მოსვლა 1-ით, ხოლო არ მოსვლა– 0 -ით. ჩაწერეთ
შემდეგი ხდომილობები
A – ცდა დამთავრდა 2 აგდებაში;
B – ცდა დამთავრდა 5 აგდებაში;
C – ცდა დამთავრდა 3-ზე ნაკლებ აგდებაში.
სასრულია თუ არა ცდის ელემენტარულ ხდომილობათა  სივრცე?
11
12. ყუთში მოთავსებულია 1-დან 12-მდე რიცხვებით გადანომრილი 4 ცალი
წითელი, 2 ცალი შავი და 6 ცალი თეთრი ერთნაირი ზომის ბურთულა. წითლები
ნომრებით 1, 2, 3, 4; შავები – 5, 6. ალალბედზე იღებენ ერთ ცალს. ბურთულების
ნომრების საშუალებით ჩაწერეთ შემდეგი ხდომილობები:
A – არ ამოვიდა თეთრი ბურთულა;
B – ამოვიდა შავი ბურთულა;
C – ამოვიდა თეთრი ბურთულა 3-ის ჯერადი ნომრით;
D – ამოვიდა წითელი ბურთულა ლუწი ნომრით.
13. 36 ქაღალდიანი ბანქოს დასტიდან შემთხვევითად ირჩევენ 1 ცალს.
განვიხილოთ ხდომილობები: A  {ამოვიდა შავი}, B  {ამოვიდა ყვავი}, C  {ამოვიდა
(C  B)] , n[ B  ( A C )] . (მითითება: ტუზი ითვლება
ნახატი}. გამოთვალეთ n[ A
ნახატად).
A  {კამათელზე
ამოვიდა კენტი რიცხვი}, B  {კამათელზე ამოვიდა ლუწი რიცხვი}, D  {კამათელზე
ამოვიდა
რიცხვი, რომელიც იყოფა 3-ზე}. გამოთვალეთ n[( D A) \ B] ,
14. აგორებენ 1 კამათელს. განვიხილოთ ხდომილობები:
n[( A ( B  D)] .
15. 52
ქაღალდიანი ბანქოს დასტიდან შემთხვევითად ირჩევენ 1 ცალს.
A  {ამოვიდა
განვიხილოთ
ხდომილობები:
C  {ამოვიდა
ნახატი}.
გამოთვალეთ n[ A
( B  C )] , n[ A  ( B
(მითითება:
გული}, B  {ამოვიდა
ტუზი
ითვლება
შავი},
ნახატად).
C )] .
პასუხები:
1)
36;
15.
2)
კი,
კი,
არა,
კი,
არა,
კი.
3)
A  (1, 4),(4,1),(2,3),(3, 2) ,
B  (1,5),(5,1),(2,6),(6, 2) . 4) 18; 16; 9; 10; 8; 5; 12. 6) 7; 5; 3; 3; 2; 2; 10. 7) C .. 8) 79; 7;
9; 16; 5; 6; 9; 15; C და D . 10) მართკუთხედია. 11) „0,1“; „0,0,0,0,1“; {„1“; „0,1“}; არა. 12)
A  {1,2,3,4,5,6} ; B  {5,6} ; C  {9,12} ; D  {2, 4} . 13) 26; 5. 14) 1; 4. 15) 9; 31.
==========================================================================
დავალება თემაზე სავარჯიშოდ
1).
36
ქაღალდიანი
ბანქოს
დასტიდან
იღებენ
ერთ
ცალს.
რამდენი
ელემენტარული ხდომილობისაგან შესდგება ხდომილობები: A -ამოვიდა შავი B ამოვიდა წითელი ფერის; C -ამოვიდა ჯვარი, A  B ; B  A ; C  B ; B  C .
2).
ერთდროულად
აგორებენ
ორ
კამათელს.
რამდენი
ხელშემწყობი
ელემენტარული ხდომილობებისგან შედგებიან შემდეგი ხდომილობები: A -მოსული
ციფრების ჯამი მეტია 8-ზე; B -მოსული ციფრების ჯამია 5.
12
A  {კამათელზე
ამოვიდა ლუწი რიცხვი}, B  {კამათელზე ამოვიდა მარტივირიცხვი}, D  {კამათელზე
ამოვიდა
რიცხვი, რომელიც იყოფა 4-ზე}. გამოთვალეთ n[( D \ A) B] ,
3)
n[( B
აგორებენ 1 კამათელს. განვიხილოთ ხდომილობები:
( A  D)] .
4) მოცემულია A  2,5,6 ; B  4,5,6,24,30 . იპოვეთ A
B და A B .
5) ლითონის მონეტას აგდებენ ორჯერ. ჩამოწერეთ ცდის ყველა შესაძლო
ელემენტარულ
ხდომილობათა
სიმრავლე
და
ელემენტარული
ხდომილობებით
გამოსახეთ შემდეგი ხდომილობები:
A – საფასური მოვიდა ერთჯერ;
B – საფასური მოვიდა ერთჯერ მაინც;
6) გამოთვალეთ n( A \ B) , თუ A  {20-ზე ნაკლები კენტი რიცხვების სიმრავლე},
B  {6-ზე მეტი მარტივი რიცხვების სიმრავლე}.
============================================================================
13