Collana di Scienza delle Costruzioni:
1. E sercitazioni di Scienza delle Costruzioni 1
Strutture isostatiche e geometria delle masse
2.Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni 2
Strutture iperstatiche e verifiche di resistenza
3.Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni 3
Introduzione all’analisi probabilistica delle strutture
4.ESERCITAZIONI DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI 4
Temi d’esame
5.Scienza delle Costruzioni 1
Teoria dell’elasticità
6.Scienza delle Costruzioni 2
Teoria della trave
8.Fondamenti di analisi matriciale delle strutture
9.Fondamenti di dinamica e vibrazione delle strutture 1
10.Fondamenti di dinamica e vibrazione delle strutture 2
Erasmo VIOLA
Esercitazioni di
Temi d’esame
11.Teoria delle strutture 1
12.Teoria delle strutture 2
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Collana di Scienza delle Costruzioni di
SCIENZA
DELLE COSTRUZIONI/4
7.Lezioni di Scienza delle Costruzioni
www.editrice-esculapio.it
Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/ 4
Erasmo VIOLA
Laureatosi con lode in Ingegneria Civile, all’Università degli Studi di Napoli il 30 luglio 1973, dal 1°
novembre dello stesso anno ha ricoperto ruoli diversi presso l’Istituto di Scienza delle Costruzioni dell’Università di Bologna: Borsista, Assistente Ordinario, Prof. Associato e Prof. Ordinario. È
stato per circa 25 anni Coordinatore dei Dottorati di Ricerca in Meccanica delle Strutture, prima,
e di Ingegneria Strutturale ed Idraulica dopo. Nel periodo 2002- 2017 ha svolto anche la funzione
di Responsabile Scientifico del Centro di Ricerche CIMEST dell’Università di Bologna. Nel corso
degli anni ha svolto una intensa attività didattica e di ricerca. I risultati scientifici conseguiti sono
ampiamente riconosciuti anche in ambito internazionale.
E. Viola
L’autore
ISBN 978-88-9385-378-1
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Euro 25,00
26/05/2023 15:27:35
Collana di Scienza delle Costruzioni
di Erasmo Viola
Erasmo VIOLA
ESERCITAZIONI
DI SCIENZA
DELLE COSTRUZIONI 4
Temi d’esame
ISBN © Copyright 2023.
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Prefazione
In questo volume si riportano vari temi di esame, alcuni completamente risolti ed
altri con cenni di soluzione, assegnati in occasione delle prove scritte dell'esame
di Scienza delle Costruzioni, svoltesi presso la Facoltà di ingegneria di Bologna in
vari anni accademici.
Con i temi completamente risolti, ciascuno costituito da tre esercizi, si vuole
fornire allo studente un quadro completo e sintetico degli argomenti trattati nel
corso di esercitazioni. Pertanto, pnma di affrontare la risoluzione dei suddetti temi,
è necessaria l'acquisizione dei concetti esposti nei capitoli che fonnano il corso
medesimo.
I temi parzialmente risolti, poi, puntualizzano alcuni aspetti della soluzione di
problemi di Scienza delle Costruzioni, ma soprattutto, devono costituire per l'al­
lievo lo stimolo a verificare il livello di preparazione raggiunto.
Ringrazio di cuore i colleghi e gli studenti che vorranno segnalarmi
imperfezioni, mancanze o errori scrivendo all'indirizzo e-mail del sottoscritto:
erasmo.viola@unibo.it.
VII
Nuovi temi proposti
Esercizio C
Il carrello non reagisce. L e reazioni della cerniera D sono dirette secondo la
congiungente DB, che costituisce anche la linea delle pressioni per i tratti HD e
DB.
Esercizio D
L'esercizio in narrativa è com pletam ente precisato e sviluppato nell'esercizio
4.31 del volume [5].
Esercizio E
Si può introdurre una cerniera in corrispondenza dell'appoggio intermedio e
scrivere l'equazione di congruenza attraverso l'impiego dei coefficienti elastici, op­
pure del principio dei lavori virtuali. Va osservato che ogni altra scelta del sistema
principale comporta sviluppi più elaborati.
TEMAn. 4
Esercizio A. Struttura staticamente indeterminata
a) Impostare il calcolo della struttura staticamente indeterminata di fig. 1 con
il metodo degli spostamenti, specificando la congruenza ed il legame elastico. Ri­
cavare, specificare e risolvere l'equazione del problema facendo uso del Principio
variazionale che governa il metodo degli spostamenti.
Struttura staticamente
indeterminata
300
e
Figura 1
184
A
E I =oo
A
Nuovi temi proposti
c) Valutare il coeffi.ciente di correlazione lineare Pzx nell'ipotesi che le vv.aa.
X 1 e X2 siano correlate e p 1 2 è 11 loro coeffi.ciente di correlazione. Scn"vere la
matrice di correlazione.
SUGGERIMENTI PER IL TEMAn. 6
Esercizio A
Il punto maggiormente sollecitato è unico ed è ubicato sulla corda baricentrica.
In corrispondenza di esso i valori massimi delle tensioni tangenziali da taglio e da
torsione hanno lo stesso verso.
Esercizio B
Le travi AB e BC costituiscono per l'asta rigida BD una cerniera elastica
in B , la cui rigidezza k dev'essere calcolata. Si ricava k = ( 4 EI + 3 E I) /€ .
Esercizio E
Per risolvere l'esercizio si può seguire l'esempio A.5 dell'appendice A del vo­
lume «Teoria dell'elasticità» [5]. Nell'espressione dell'energia potenziale totale
occorre aggiungere, nel caso dell'esercizio E in parola, il lavoro della coppia
con­centrata M per la rotazione -dv/dz calcoalta in z = € .
Esercizio F
Una volta determinati i coefficienti a 1 e a2 si può seguire l'esercizio 5.8 del
volume [3] citato nella quarta di copertina, nonché le nozioni esposte nei paragrafi
5.6 e 5. 7 del volume in argomento.
TEMAn. 7
Esercizio A. Trave rettilinea
Si considen" la trave rettilinea illustrata in fìg. 1 e sollecitata dal can"co assiale
;
pa
a) partendo dalle equazioni indefìnite di equilibn"o ed ai limiti, nonché dalle
equazioni di congruenza interna ed esterna, ven"fìcare che il lavoro virtuale esterno
uguaglia il lavoro virtuale interno.
b) Impiegando il teorema dei lavon" virtuali, dimostrato in a), n"cavare le equa­
zioni di equilibn"o (indefìnito ed ai limiti) e le equazioni di congruenza (interna ed
esterna). In altre parole, per la trave che si sta esaminando, mostrare che il principio
197
Nuovi temi proposti
Struttura isostatica
A
f
q
f
Figura 5
f
I
Trave isostatica
�--------\
f
Figura 6
�
f/2
Esercizio F. Calcolo di spostamento
Tracciare il diagramma del momento e del taglio e disegnare la deformata ela­
stica della trave isostatica di fìg. 6.
Valutare lo spostamento del punto B impiegando ciascuno dei seguenti procedimenti:
a) il teorema di Clapeyron;
b) i corollari di Mohr;
c) il principio dei lavori virtuali;
d) l'equazione differenziale della linea elastica.
Con i procedimenti a) e c) considerare anche il contributo dello sfono tagliante.
SUGGERIMENTI PER IL TEMA n. 7
Esercizio A
Le tre dimostrazioni richieste sono casi particolari di quelle esposte negli eser­
cizi 4.31, 4.42 e 4.48 del vo i. [5] dell'autore citato nella quarta di copertina.
Esercizio B
La sezione è sollecitata a sforzo normale eccentrico, più precisamente a tenso200
Nuovi temi proposti
Esercizio D
La struttura è isostatica per vincoli esterni e può, quindi, essere ricavata la rea­
zione dell'appoggio fisso sulla cerniera B. Il tratto BC trasmette alla cerniera
in questione una reazione diretta secondo l'asse del tratto stesso. La terza forza
che agisce sulla cerniera è trasmessa dal tratto ove è applicato il carico
distribuito. La direzione di tale forza è quella della congiungente con il punto di
intersezione della retta CK con la risultante del carico Q = qL del segmento H K.
TEMA o. 9
Esercizio A. Stato tensionale
Sia assegnato il tensore degli sforzi nel punto B intemo al corpo
( 1)
ove le tensioni sono espresse in N / mm 2
a) Rappresentare sulle facce di un cubo elementare dell'intomo di B lo stato
tensionale (1) e verificare che le tensioni principali sono
( 2)
(Jç = 7
N
-2,
mm
N
(J
1}
= -3-- ,
mm 2
N
(J = -9-- ,
(
mm 2
b) Detenninare le direzioni principali di tensione e rappresentarle graficamente
rispetto al nferimento Bxyz.
c) Rappresentare i circoli di Mohr per lo stato tensionale in esame ed indivi­
duare le giaciture su cui agisce la tensione tangenziale massima.
d) Ca/colare il vettore tensione nel punto B relativo alla giacitura ottaedrale,
nonchè la componente di tensione nonnale cr a e quella tangenziale Ta relativa alla
giacitura medesima.
e) Scrivere l'equazione della quadrica di tensione in B e rappresentare le co­
niche intersezione con i piani
f) Utilizzando il grafico di una conica di tensione, illustrare la determinazione
grafica del vettore tensione in B , la cui giacitura ha per normale la retta a inclinata
dell'angolo a rispetto all'asse r-, .
205
Nuovi temi proposti
SUGGERIMENTI PER IL TEMAn. 10
Eseircizio B
II
La relazione tra le forze nodali F1, F2, lS, e gli spostamenti nodali w 1, w2, w 3
può scriversi, in generale, nella seguente fonna matriciale:
k13
(I)
k23
k33
w1
l W2
W3
Ciascuna colonna della matrice di rigidezza 3 x 3 può essere ricavata assumendo,
volta per volta, uno dei vettori degli spostamenti nodali
(2)
Dalle (I) appare che le reazioni corrispondenti agli spostamenti (2) definiscono le
colonne della matrice di rigidezza del sistema.
Esercizio C
Il doppio pendolo reagisce soltanto con una coppia. Pertanto, un tratto della
struttura ha come curva delle pressioni la retta impropria. La restante curva delle
pressioni è costituita da un tratto parabolico e da rette, due delle quali sono parallele.
Esercizio D
Per risolvere l'esercizio si richiede la conoscenza delle nozioni esposte nei pa­
ragrafi A.4-A.6 dell'appendice A del volume [5] dell'autore, che tratta la teoria
dell'elasticità. Gli esercizi svolti contengono le risposte alle domande richieste
dall'esercizio D in discorso.
TEMAn.11
Esercizio A. Struttura iperstatica
a) Risolvere la struttura una volta iperst'iltica illustrata in .ig. 1..
b) Disegnare i diagrammi del momento, del taglio e la defonnata elastica della
struttura.
212
Nuovi temi proposti
Può costituire un utile esercizio la soluzione della struttura soggetta all'azione
di uno solo dei carichi concentrati.
TEMAn.13
Esercizio A. Struttura isostatica
Per la struttura isostatica illustrata in .ig. 1:
:t--------,t B
e
e
e
q
Figura 1
e
e
a) definire la curva delle pressioni;
b) tracciare i diagrammi del momento del taglio e dello sforzo normale;
c) calcolare lo spostamento del punto C e lo spostamento relativo tra i punti
Ce B.
Esercizio B. Calcolo di spostamenti
Calcolare la rotazione della sezione B della trave di .ig . 2, fàcendo uso dei
metodi qui cli seguito indicati:
a) principio dei lavori virtuali;
b) linea elastica;
c) corollari di Mohr;
221
Nuovi temi proposti
trascurabilità della deformazione tagliante.
e) Tracciare i diagrammi del momento e del taglio.
SUGGERIMENTI PER IL TEMA n. 13
Esercizio D
La sezione più sollecitata registra la presenza contemporanea dello sforzo assiale
P = N = � /U, del taglio T = �/€,e del momento flettente M = 2 .A .
Va osservato che in corrispondenza dell'appoggio lo sforzo tagliante è discon­
tinuo, per cui occorre riferirsi alla sezione di destra, oppure a quella di sinistra.
Per quanto concerne lo sforzo di taglio, T = TY , supposto parallelo al lato mag­
giore della sezione ed applicato in corrispondenza del baricentro (coincidente con
il centro di taglio) della sezione stessa, occorre determinare la tensione tangenziale
mediante la formula:
( 1)
L'andamento di Tzy sulle corde parallele al Iato minore della sezione è parabolico,
ma con due discontinuità in corrispondenza delle due corde poste a distanza a dagli
estremi della sezione. Difatti, nell'applicare la (1) occorre considerare b = 2a
quando la corda non incontra il foro, e b = a in caso contrario.
Esercizio F
Il sistema di equazioni differenziali per la trave con deformabilità tagliante è
riportato nell'esercizio 1.14 del volume [5] 1� qui di seguito riscritto per comodità
( I)
d
dv
dip
- ( El-) + m(z) == GA ( -+ ip )
dz
dz .
dz
-rz.
Se si trascura la deformabilità tagliante, si ha
+ ip = O . Essendo, inoltre, q = O
la prima delle (1) risulta verificata. Pertanto dalla seconda delle (1) si ricava
(2)
nell'ipotesi di trave a sezione costante. Le quattro costanti che intervengono a se­
guito dell'integrazione dell'equazione differenziale della linea elastica vanno de­
terminate in base alle condizioni di vincolo:
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1. E sercitazioni di Scienza delle Costruzioni 1
Strutture isostatiche e geometria delle masse
2.Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni 2
Strutture iperstatiche e verifiche di resistenza
3.Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni 3
Introduzione all’analisi probabilistica delle strutture
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5.Scienza delle Costruzioni 1
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Teoria della trave
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9.Fondamenti di dinamica e vibrazione delle strutture 1
10.Fondamenti di dinamica e vibrazione delle strutture 2
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Esercitazioni di
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11.Teoria delle strutture 1
12.Teoria delle strutture 2
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7.Lezioni di Scienza delle Costruzioni
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novembre dello stesso anno ha ricoperto ruoli diversi presso l’Istituto di Scienza delle Costruzioni dell’Università di Bologna: Borsista, Assistente Ordinario, Prof. Associato e Prof. Ordinario. È
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e di Ingegneria Strutturale ed Idraulica dopo. Nel periodo 2002- 2017 ha svolto anche la funzione
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E. Viola
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