Table of Laplace Transform
Note that we consider all functions (or signals) as defined only for 𝑡 ≥ 0 (causal).
General
Time function
s-Function
𝒇(𝒕)
𝐹(𝑠) = + 𝑓(𝑡)𝑒 !"# 𝑑𝑡
$
%
𝒇(𝒕) + 𝒈(𝒕)
𝐹(𝑠) + 𝐺(𝑠)
𝒄𝒇(𝒕) (𝒄 𝐢𝐬 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭)
𝑐𝐹(𝑠)
𝒅𝒇
𝒅𝒕
𝑠𝐹(𝑠) − 𝑓(0)
𝒅𝟐 𝒇
𝒅𝒕𝟐
𝑠 ' 𝐹(𝑠) − 𝑠𝑓(0) − 𝑓 ( (0)
𝒅𝒏 𝒇
𝒅𝒕𝒏
𝑠 * 𝐹(𝑠) − 𝑠 *!+ 𝑓(0) − 𝑠 *!'
𝒕
𝒈(𝒕) = + 𝒇(𝝉)𝒅𝝉
𝐺(𝑠) =
𝟎
𝑑𝑓
(0) − ⋯ − 𝑓 *!+ (0)
𝑑𝑡
𝐹(𝑠)
𝑠
𝒇(𝒄𝒕), 𝒄 > 𝟎
1 𝑠
𝐹D E
𝑐
𝑐
𝒆𝒂𝒕 𝒇(𝒕)
𝐹(𝑠 − 𝑎)
𝒕𝒇(𝒕)
−
𝒕𝒏 𝒇(𝒕)
(−1)*
𝑑𝐹
𝑑𝑠
𝑑 * 𝐹(𝑠)
𝑑𝑠 *
𝒇(𝒕)
𝒕
∫" 𝐹(𝑢)𝑑𝑢
𝒈(𝒕) = 𝒇(𝒕 − 𝑻)𝒖(𝒕 − 𝑻)
𝐺(𝑠) = 𝑒 !"/ 𝐹(𝑠)
𝒇(𝒕) ∗ 𝒈(𝒕)
𝐹(𝑠)𝐺(𝑠)
$
𝑓(0) = lim 𝑠𝐹(𝑠) ;
0→$
@Dr. Yang Cao
𝑓(∞) = lim 𝑠𝐹(𝑠)
0→%
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Specific
Time function
s-Function
1 or 𝒖(𝒕)
1
𝑠
𝜹(𝒕)
1
𝒅𝒏 𝜹
(𝒐𝒓 𝜹𝒏 )
𝒅𝒕𝒏
𝑠*
𝒕
1
𝑠'
𝒕𝒏 , 𝒏 ≥ 𝟎
𝑠 *2+
𝒆!𝒂𝒕
1
𝑠+𝑎
𝒕𝒏 𝒆!𝒂𝒕
𝑛!
(𝑠 + 𝑎)*2+
𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕
𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕
𝑠
𝑠' + 𝜔'
𝜔
𝑠' + 𝜔'
𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 + 𝜽)
𝑠 cos 𝜃 − 𝜔 sin 𝜃
𝑠' + 𝜔'
𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕 + 𝜽)
𝑠 sin 𝜃 + 𝜔 cos 𝜃
𝑠' + 𝜔'
𝒆!𝒂𝒕 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕
𝑠+𝑎
(𝑠 + 𝑎)' + 𝜔 '
𝒆!𝒂𝒕 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕
𝜔
(𝑠 + 𝑎)' + 𝜔 '
𝒕 𝐜𝐨𝐬 𝒂𝒕
𝑠 ' − 𝑎'
(𝑠 ' + 𝑎' )'
𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒂𝒕
𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒂𝒕
@Dr. Yang Cao
𝑛!
𝑠
𝑠 ' − 𝑎'
𝑎
𝑠 ' − 𝑎'
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