ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
********
MÔN HỌC: GIẢI TÍCH 1
BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
ĐỀ TÀI 5
Giảng viên hướng dẫn
: TS. Huỳnh Thị Hồng Diễm
ThS. Trần Thị Ngọc Huyền
Nhóm
: L09_Nhóm 5
Ngày 05 tháng 01 năm 2022
DANH SÁCH THÀNH VIÊN
Họ và tên
Lê Minh Bảo
MSSV
2112861
Nhiệm vụ
+ Ứng dụng tích phân về miền diện tích.
+ Soạn thảo word, recording meet.
+ Vẽ hình
Tôn Thất Thái Bình
2110828
+ Ứng dụng tích phân về định lý giá trị trung bình
(Định lý Lagrange, Tích phân).
Phạm Minh Tuấn
2112587
+ Ứng dụng tích phân về tính độ dài đường cong.
Hoàng Huy Hoàng
2111230
+ Ứng dụng tích phân về thể tích vật thể và khối
tròn xoay.
Trần Hà Đông Nguyên
2114244
+ Ứng dụng tích phân về diện tích khối tròn xoay
*Nhận xét: Nhìn chung các bạn hoàn thành đúng tiến độ được giao tuy nhiên các bạn còn bị
động, không chủ động về việc soạn bài, không chủ động tương tác với nhóm trưởng và các bạn
trong nhóm. Sau đây là bảng chấm công:
Họ và tên
Tiến độ hoàn thành nhiệm vụ
MSSV
Lê Minh Bảo
2112861
100%
Tôn Thất Thái Bình
2110828
90%
Phạm Minh Tuấn
2112587
90%
Hoàng Huy Hoàng
2111230
90%
Trần Hà Đông Nguyên
2114244
95%
MỤC LỤC
1. Lời mở đầu. ........................................................................................ 5
2. Tổng quan về GeoGebra – Phần mềm hỗ trợ học tập. ................... 6
3. Một số lý thuyết cơ bản. .................................................................... 7
Nguyên hàm. ...................................................................................... 7
Tích phân bất định. ........................................................................... 7
Tích phân xác định. ........................................................................... 7
4. Ứng dụng tích phân ........................................................................... 8
4.1. Bài toán diện tích cong. .............................................................. 8
Cơ sở lý thuyết. .............................................................................. 8
Bài toán 1........................................................................................ 9
Bài toán 2....................................................................................... 10
4.2. Bài toán về định lý giá trị trung bình. ...................................... 12
Cơ sở lý thuyết .............................................................................. 12
Bài toán 3....................................................................................... 12
Bài toán 4 (bài toán dẫn) .............................................................. 13
4.3. Bài toán về độ dài đường cong. ................................................. 13
Cơ sở lý thuyết. ............................................................................. 13
Bài toán 5....................................................................................... 14
Bài toán 6....................................................................................... 15
Bài toán 7....................................................................................... 16
Bài toán 8....................................................................................... 16
4.4. Bài toán về thể tích vật tròn xoay. ............................................ 17
Cơ sở lý thuyết .............................................................................. 17
Bài toán 9....................................................................................... 18
Bài toán 10..................................................................................... 19
Bài toán 11..................................................................................... 19
4.5. Bài toán về diện tích vật tròn xoay. .......................................... 20
Cơ sở lý thuyết .............................................................................. 20
Bài toán 12..................................................................................... 21
5. Lời cảm ơn ........................................................................................ 23
6. Tài liệu tham khảo. ........................................................................... 24
7. Công cụ hỗ trợ .................................................................................. 24
8. Biên bản họp ..................................................................................... 24
9. Các đoạn code trên GeoGebra......................................................... 24
1. LỜI MỞ ĐẦU
Chủ đề bài báo cáo: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Đây là tài liệu biểu diễn về các ứng dụng của giải tích do nhóm tôi tìm
hiểu . Tài liệu sẽ giúp cho chúng ta có cái nhìn hoàn chỉnh hơn về lý thuyết
được áp dụng, cách giải cơ bản của các bài toán thực tế của các ứng dụng
trên . Nhóm thực hiện đề tài nằm mục đích xây dựng một hệ thống phân tích
và giải quyết về cách mà giải tích đã được áp dụng để đo đạt các gia trị thực
tiễn để áp dụng vào các quy trình khác nhau trong cuộc sống bằng lý thuyết
về giải tích từ giáo trình học của bách khoa.
Bên cạnh đó còn giúp nhóm tôi biết cách sử dụng phần mềm hỗ trợ
Toán học GeoGebra vào giải tích để có thể kiểm tra các kết quả cũng như
hỗ trợ các hình vẽ.
5
2. TỔNG QUAN VỀ GEOGEBRA
PHẦN MỀM HỖ TRỢ HỌC TẬP
Geometry
Algebra
2.1. Giới thiệu.
GeoGebra là phần mềm tương tác Toán học miễn phí, mã nguồn mở nổi
tiếng nhất hiện nay do nhóm GS Markus Hohenwarter lãnh đạo tại Hoa Kì.
Ý tưởng của GeoGebra là làm động tất cả các đối tượng toán học bao gồm
hình học, và cả đại số, lượng giác, xác suất thống kê.
Phần mềm GeoGebra hiện đang tiếp tục phát triển rất nhanh và đã có bản
tiếng Việt hoàn toàn.
2.2. GeoGebra có thể làm được gì ?
GeoGebra có thể vẽ các hình hình học một cách chính xác và đẹp.
Có thể tương tác trên hình để hỗ trợ hiểu biết và giảng dạy.
Có rất nhiều công cụ bổ sung để hỗ trợ bài giảng và bài học.
Hỗ trợ tính toán và dự đoán chứng minh.
6
3. MỘT SỐ LÝ THUYẾT CƠ BẢN.
Nguyên hàm.
Định nghĩa 3.1. Hàm số F(x) được gọi là
nguyên hàm của hàm số f(x) trong khoảng
X, nếu như F(x) liên tục và khả vi trong X với
x  X luôn có đẳng thức:
Ví dụ 1:  0dx = x + C
x +1
Ví dụ 2:  x dx =
+ C ,   −1
 +1

Tích phân xác định.
F '(x) = f(x) hay dF(x) = f(x)dx
Định nghĩa 3.3. Cho hàm số f(x) liên tục trên
Ví dụ 1: Hàm số F(x) = x3 là nguyên hàm
đoạn [a,b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm
của hàm số f(x) = F’(x) = 3x2 trên toàn tập số
của hàm số f(x) trên đoạn [a,b], hiệu số F(b)
thực
– F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của
.
Ví dụ 2: Hàm số F(x) = 2 x là nguyên
hàm của hàm số f(x) = F’(x) =
1
trên
x
khoảng (0, +) Mặc dù hàm số F(x) chỉ cần
hàm số f(x) (hay tích phân xác định trên đoạn
[a;b] của hàm số f(x).
b
Kí hiệu:  f (x)dx
a
xác định khi x  0 nhưng hàm số f(x) xác
định khi x > 0, nên F(x) là nguyên hàm trên
khoảng (0, +) .
Vậy:  f (x)dx = F(x) a = F(b) − F(a) (1)
b
a
Tích phân bất định.
Công thức (1) còn được gọi là công thức
Định nghĩa 3.2. Cho hàm số F(x) là nguyên
hàm của hàm số f(x) trong khoảng x 
b
Newton – Leibniz.
, khi
đó biểu thức (x) = F(x) + C với C là hằng
 /4
Ví dụ 1: Tính tích phân I = I =  tan xdx
 /6
số bất kỳ, được gọi là tích phân bất định của
hàm số f(x) trong khoảng X.
Tích phân bất định này được kí hiệu là
 f (x)dx . Như vậy tích phân bất định của f(x)
là  f (x)dx = F(x) + C , với F(x) là nguyên
hàm của hàm số f(x) trong khoảng X, còn C
là hằng số bất kỳ.
 /4
 /4
sin x
dx
 /6 cos x
Giải: I =  tan xdx = 
 /6
 /4
 /4
−d(cos x)
= − ln cos x  /6
cos x
 /6
= 


 
= − ln cos − ln cos   0,2027
4
6

7
4. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH.
Dựa vào ý nghĩa hình học của tích phân xác
Phương pháp:
định: Nếu hàm số f(x) > 0 trên đoạn [a,b] thì
 Chia nhỏ miền phẳng giới hạn bởi đường
b
tích phân xác định  f (x)dx có ý nghĩa hình
a
cong y = f(x), y = 0, x = a, x = b thành các
miền nhỏ hơn (miền hình chữ nhật).
học là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi
đường cong y = f(x), y = 0, x = a, x = b.
Hình 4.1.b – Riemann với đoạn chia 10
Trên [a,b] ta lần lượt chia thành các điểm
Hình 4.1.a
thõa mãn a  x 0  x1  x 2  ....  x i  b và
Như vậy, ứng dụng đầu tiên của tích phân xác
x = x n − x n −1 để thuận tiện tính toán
định sẽ là ứng dụng tìm diện tích giới hạn bởi
Tương ứng với từng x0, x1, x2, …, xi ta sẽ
đường cong.
f(x0), f(x1), f(x2), …., f(xi).
4.1. Bài toán điện tích cong.
 Tính diện tích từng hình chữ nhật đã phân
Cơ sở lý thuyết.
chia.
Tổng Riemann.
S0 = f (x 0 ).(x1 − x 0 ) = f (x 0 ).x
Để tính toán diện tích giới hạn hàm số y = f(x)
S1 = f (x1 ).(x 2 − x1 ) = f (x1 ).x
như hình vẽ II.1: Vào thế kỷ XIX, nhà toán
S2 = f (x 2 ).(x 3 − x 2 ) = f (x 2 ).x
học người Đức Bernhard Riemann đã đưa ra
...
Sn = f (x i ).(x i − x i−1 ) = f (x i ).x
một phương pháp được đặt theo tên ông là
Tổng Riemann (Riemann Sum). Đây là một
 Diện tích Scong  Shcn
phương pháp để tính xấp xĩ diện tích của hàm
Thấy: S   Si = S0 + S1 + ... + Si
số hoặc đường thẳng trên đồ thị, độ dài đường
cong và thể tích vật thể). Từ đó có thể xây
dựng công thức tính chính xác diện tích, thể
tích và độ dài cần tính (hệ liên tục).
n
x =1
n
  f (x i ).(x i − x i−1 )
x =1
n
  f (x i ).x
x =1
8
Ta càng chia thành nhiều miền tới số
4.1.2. Ứng dụng
lượng vô cùng, tổng diện tích các hình chữ
Ứng dụng của bài toán diện tích cong ta
nhật sẽ tiến tới diện tích được giới hạn bởi
thường dùng để tính toán quãng đường, số
f(x).
lượng của vật hoặc hiện tượng khi biết vận
tốc, gia tốc trong khoảng thời gian [t1,t2]. Dựa
vào tổng Riemann, ta có thể dễ dàng chứng
minh được các đẳng thức sau:
✓ Quãng đường/Số lượng
t2
Hình 4.1.c – Riemann với đoạn chia 20
s =  v(t)dt (1) ⎯⎯
→ s'(t) = v(t)
t1
✓ Vận tốc/Tốc độ
t2
v =  a(t)dt (2) ⎯⎯
→ v'(t) = a(t)
t1
t2 t2
Hình 4.1.d – Riemann với đoạn chia 100
→ s''(t) = a(t)
(1) và (2): s =   a(t)dtdt ⎯⎯
t1 t1
Bài toán 1:
Tốc độ gia tăng số lượng dầu (triệu thùng
bbl/ngày) được chiết xuất từ bãi dầu cát ở
Canada được dự đoán bởi hàm số:
Hình 4.1.e – Riemann với đoạn chia 250
Như vậy ta sẽ kết luận được rằng:
n
b
x =1
a
S = lim Sn = lim  f (x i ).(x i − x i−1 ) =  f (x)dx
x →+
x →+
Kết luận: Như vậy cơ sở lý thuyết của tích
phân sẽ giúp ta dễ dàng tìm được công thức
P(t) =
4,76
(0  t  15)
1 + 4,11.e−0,22t
Trong đó, t đơn vị là năm, thời điểm t = 0
tính từ năm 2005. Hãy tính tổng lượng dầu
từ dầu cát trong vòng 15 năm từ năm 2005
đến năm 2020.
tích phân và từ đó tính toán chính xác các số
liệu cần tìm.
Nguồn: Soo T.Tan applied calculus
for managerial life and social sciences
9
Giải
Hình 4.1.f – Riemann với đoạn chia 500
Giải tay:
+ P(t) là hàm tốc độ gia số lượng (triệu
bbl/năm)
+ F(t) là hàm số lượng dầu sau t năm tính theo
đơn vị triệu bbl
→ F(t) =  P(t)dt
Như vậy tổng lượng dầu từ dầu cát từ năm
2005 (t1 = 0) đến năm 2020 (t2 = 15) là:
15
Hình 4.1.g – Riemann với đoạn chia 1000
15
4,76
dt
−0,22t
1
+
4,11.e
0
→ F(t) =  P(t)dt = 
0
15
4,76.e0,22t
=  0,22t
dt (1)
e
+
4,11
0
Đặt: u = e0,22t → du = 0,22e0,22t dt
t
0
15
Đổi cận:
u
1
e3,3
e3,3
e3,3
238
1
238
(1) =
dt =
.ln u + 4,11 1
11 1 u + 4,11
11
 39,161 triệu bbl
Kiểm tra bằng GeoGebra:
Ta sẽ thử dùng tổng Riemann (chia thành
500 và 1000 miền nhỏ) và tích phân để xem
độ chính xác của nó là bao nhiêu.
Hình 4.1.h – Tích phân (Integral)
Như vậy tổng lượng dầu theo tổng Riemann
và tích phân là sai biệt không nhiều khi đoạn
phân chia → +
Bài toán 2:
Giả sử tốc độ gia tăng dân số tự nhiên là
b(t) = 2200e0,024t (người/năm) và tốc độ tử
vong là đ(t) = 1460e0,018t (người/năm). Hãy
tìm vùng diện tích giới hạn bởi b(t) và d(t)
trong khoảng 0  t  10 . Cho biết ý nghĩa
vùng diện tích đó.
Nguồn: James Stewart Calculus
7th Edition
10
Giải
Giải thích:
Bài toán này ta sẽ sử dụng công cụ geogebra
+ b(t) là hàm tốc độ gia tăng dân số tự nhiên
đễ hỗ trợ tìm vùng diện tích giới hạn bởi hai
(người/năm)
hàm b(t) và d(t) với tỉ lệ x:y=1:100. Sau đó sẽ
Gọi B(t) là hàm dân số tự nhiên sau 10 năm
giải tay và giải bằng công cụ geogebra để so
→ B(t) =  b(t)dt = S2.i
sánh, đối chiếu kết quả.
+ d(t) là hàm tốc độ tử vong của dân số
(người/năm)
Gọi D(t) là hàm dân số tử vong sau 10 năm
→ D(t) =  d(t)dt = S2. j
Do đó diện tích giới hạn bởi b(t) và d(t)
Hình 4.1.i – Diện tích giới hạn bởi b(t)
(hàm F(t)) có ý nghĩa là dân số còn lại sau
10 năm (bằng diện tích S2.k).
10
10
0
0
→ F(t) =  b(t)dt −  d(t)dt
10
=  2200e
10
0,024t
dt −  1460e0,018t dt
0
0
10
Hình 4.1.j – Diện tích giới hạn bởi d(t)
Như vậy thì diện tích giới hạn bởi b(t) và
d(t) là:
Hình 4.1.k – Diện tích giới hạn b(t), d(t)
10
2200 0,024t
1460 0,018t
=
e
−
e
0,024
0,018
0
0
 8867,986 (người)
Kiểm tra bằng GeoGebra:
Hình 4.1.l – Tích phân (Integral)
11
Từ hình vẽ sẽ c  [a,b] sao cho Shcn = Sf(x)
4.2. Bài toán về định lý giá trị trung bình.
Cơ sở lý thuyết.
b
Tức là: (b − a)f(c) =  f(x)dx
a
 Định lý Lagrange.
b
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a,b] và có
1
→ f(c) =
f(x)dx
b − a a
đạo hàm trên khoảng (a,b) thì sẽ c  [a,b]
Bài toán 3:
sao cho: f(b) − f(a) = f '(c).(b − a)
Giá đèn Tiffany có giá 225 $ vào năm 1975
 Định lý giá trị trung bình dạng tích
(t = 0) và tăng liên tục 15% mỗi năm. Xác
định giá trị trung bình của đèn trong giai
phân.
Cho hàm số y = f(x) khả tích trên [a,b] thì
đoạn 1985 đến 2010.
sẽ c  [a,b] sao cho:
Giải
b
f(c) =
1
f(x)dx
b − a a
+ Vì giá đèn Tiffany tăng liên tục 15% nên
phương trình biểu diễn giá đèn của đèn
Ý nghĩa hình học:
Tiffany là: f(t) = 225e0,15t (t  0)
Dựa vào hình học chứng minh định lý trên.
+ Vậy giá trị trung bình của đèn từ năm 1985
Cho hàm số y = f(x) khả tích trên [a,b], ta sẽ
đến 2010 (tức t = 10 đến t = 35) là
được miền diện tích được xác định bởi công
b
thức  f (x)dx :
a
35
225
 1 0,15t 
fTB =
e 0,15t dt = 9 
e 

35 − 10 10
 0,15
 10
35
 11165,1
Định lý giá trị trung bình mặc dù không
có nhiều ứng dụng trực tiếp trong đời sống
nhưng về mặt khoa học lại giúp gián tiếp
cho chúng ta chứng minh những vấn đề
khác của giải tích như việc đo độ dài
đường cong của hàm số, từ đó suy ra thể
tích ,… và có nhiều ứng dụng khác.
Hình 4.2.a – Ý nghĩa giá trị trung bình.
12
Bài toán 4 (bài toán dẫn):
Độ dài đường cong
Cho một sợi dây không co dãn có hình
Hàm số f(x) liên tục và khả vi trên [a,b] có
dạng như hình vẽ:
độ thị hàm số như hình vẽ:
Hình 4.3.a – Sợi dây
Nếu ta không kéo căng sợi dây nhưng vẫn
muốn biết chiều dài sợi dây là bao nhiêu
thì ta sẽ làm như thế nào ?
Để có thể tính toán được, định lý tích phân
sẽ giúp đỡ chúng ta trong việc xác định độ dài
Hình 4.3.c. Hàm f(x)
của sợi dây chỉ trong tích tắc. Như vậy, ứng
Để tính độ dài đường cong, ta sẽ chia nhỏ
dụng thứ ba của tích phân chính là tìm độ dài
đường cong thành các đường thẳng với các
đường cong.
đoạn x = x n − x n −1 bằng nhau (chia nhỏ như
4.3. Bài toán độ dài đường cong.
đã giới thiệu phần tổng Riemann).
Cơ sở lý thuyết.
 Xác định độ dài đoạn thẳng khi biết
tọa độ hai điểm trong Oxy.
Cho hai điểm A(x1, y1) và B(x2, y2) trong tọa
độ Oxy thì độ dài AB sẽ được tính bằng dAB.
Hình 4.3.d. – Chia nhỏ thành 9 đoạn
Hình 4.3.b. – Độ dài đoạn thẳng AB
13
Vì các đoạn chia là bằng nhau và công thức
tính độ dài là: d P0 ,P1 = (x 0 − x1 ) 2 + (y1 − y 0 ) 2
→ d Pi ,Pi +1 = (x i +1 − x i ) 2 + (yi +1 − yi ) 2
→ d Pi ,Pi +1 = x i 2 + yi 2 (1)
Theo định lý giá trị trung bình, ta lại có:
f (x i+1 ) − f (x i ) = f '(x* ).(x i+1 − x i )
Hình 4.3.f. – Chia nhỏ thành 1000 đoạn
→ yi = f '(x* ).x (2)
Chúng ta sẽ thử áp dụng công thức này để
Thay (2) vào (1) ta được:
thiết lập lại một công thức quen thuộc đã học:
→ d Pi ,Pi +1 = x i 2 + [f '(x * ).x]2
Bài toán 5:
→ d Pi ,Pi +1 = x 1 + [f '(x * )]2
Áp dụng tích phân để thiết lập công thức
tính chu vi của hình tròn có bán kính r.
Như vậy thì độ dài đường cong sẽ bằng tổng
các đoạn thẳng trên [a,b]. Đoạn chia x càng
nhỏ → số đoạn chia tiến tới + → độ chính
xác sẽ càng lớn. Ta thu được biểu thức:
n
x →+
i =1
+ Ta có phương trình đường tròn bán kính r
là: x 2 + y2 = r 2
n
+ Ta lấy nửa đường tròn phía trên thì sẽ có
i =1
phương trình là: y = r 2 − x 2
d f (x) = lim  d Pi ,Pi +1 = lim  x 1 + [f '(x * )]2
x →+
Giải
b
→ d f (x ) =  1 + [f '(x * )]2
a
+ Đạo hàm y theo x được: y' =
−x
r2 − x2
+ Vậy độ dài nửa đường tròn trên là:
r
r
x2
r2
1+ 2
dx =  2
dx
r − x2
r − x2
−r
C= 
−r
r
= r
−r
Hình 4.3.e. – Chia nhỏ thành 100 đoạn
1
r
x
dx = r.[arcsin ] =  r
r −r
r2 − x2
+ Vậy độ dài của độ dài cả cung tròn là 2 r
14
Hình 4.3.g. – Hình minh họa tấm kim loại
Bài toán 6:
Giải
Một nhà sản xuất tấm lợp kim loại bằng
tôn có chiều rộng 28 inch và cao 2 inch, bề
mặt tấm lợp được dàn bằng máy theo
chương trình máy tính lập trình trước mà
Ta đặt hệ trục Oxy trùng với điểm đầu của
tấm kim loại  giao điểm của hàm số và
y = 0 và y = sin
tập hợp các điểm trên bề mặt tấm lợp đều
thuộc đồ thị của hàm số y = sin
x
7
x
là O(0,0) như hình vẽ:
7
.
Một tấm phôi kim loại phẳng có chiều
dài w. Tính chiều dài cần thiết của tấm
phôi kim loại để chế tạo được tấm lợp theo
yêu cầu trên.
Hình 4.3.h. – Đồ thị hàm y = sin
x
7
Giải tay:
Chiều dài cần thiết của tấm phôi kim loại
phẳng chính là chiều dài khi kéo hết cỡ tấm
tôn dài 28 in, cao 2 in thành một mặt phẳng:
28
→ d =  sin

0
x
7
dx =
−7

.cos
x
28
7 0
 29,361 in
Kiểm tra bằng geogebra
Nguồn: James Stewart Calculus
7th Edition
Hình 4.3.i. – Length y = sin
x
7
15
Bài toán 7:
Các đường cong với phương trình
Để viền cổ áo đẹp, không bị bai dão hay
xn + yn = 1, với n = 4, 6, 8, … được gọi là
dúm, chúng ta cần phải tính chính xác
“fat circle”, vẽ các đường cong với n = 2, 4,
được chiều dài đường cổ áo.
6, 8 để biết rằng tại sao nó được gọi là
Mẫu cổ áo hình tim có hình dạng của
“fat circle”. Thành lập tích phân tính độ
parabol. Ví dụ khi hạ cổ áo hình tim với
dài đường cong d của phương trình trên
chiều cao là 16cm, chiều rộng là 4cm thì
với n = 2k, không giải tích phân, ước lượng
1
đường cổ áo chính là parabol y = x 2 với
2
giá trị của 𝐥𝐢𝐦 𝒅.
𝒌→∞
Giải
đơn vị hệ trục Oxy là cm (−5  x  5) .
Nguồn: Hict.edu.vn
Hình 4.3.g – Hình ảnh “fat circle”
+ Ta có phương trình: x 2k + y2k = 1
→ y = 2k 1 − x 2k
Hình 4.3.j. – Hình minh họa cổ áo
→ y' = − x
2k −1
1
.(1 − x )
d = 2.  1 + [− x
Giải
vẽ:
2k −1
1
−1
2k 2k
2
(1 − x )
] dx
−1
+ Để viền cổ chiếc áo này, ta sẽ tính chiều dài
cung đường cổ áo từ điểm A đến B như hình
1
−1
2k 2k
1
= 2.  1 + x
4k − 2
1
−2
2k k
(1 − x )
dx
−1
b
5
d AB =  1 + [f '(x)] dx =  1 + x 2 dx
2
a
Dựa vào hình vẽ có thể thấy khi k tiến tới
−5
vô cùng thì hình sẽ dần trở thành một hình
5
1
= .  x x 2 + 1 + ln x + x 2 + 1   27,8
 −5
2 
Bài toán 8:
vuông với kích thước mỗi cạnh là 2. Vậy
lim d = 8 .
x →
16
Ta thường học các công thức tính thể tích của
1
4


hình cầu   R 3  , hình nón   r 2 h  , …
3
3


nhưng vẫn chưa biết nguồn gốc của thức là từ
đâu ? Qua tìm hiểu, bài báo cáo đã nhận thấy
rằng từ tích phân đã cho chúng ta những công
thức trên, từ đó có thể ứng dụng vào nhiều
Hình 4.4.b. – Chia nhỏ vật thể
lĩnh vực đời sống.
4.4. Bài toán thể tích vật tròn xoay.
Cơ sở lý thuyết.
Cho một vật có hình dáng như hình vẽ liên
tục trên đoạn [a,b], dùng một mặt phẳng P(x)
cắt dọc vật thể, ta thu được thiết diện A(x):
Để tính thể tích cả vật thể, ta lặp đi việc
phân chia nhỏ vật thể thành các khối rồi tổng
thể tích các khối đó xấp xỉ thể tích vật thể
(như đã giới thiệu phần tổng Riemann)
(hình 4.4.c.)
Hình 4.4.c. – Chia nhỏ thành 7 khối
Hình 4.4.a. – Vật thể bất kì
Như vậy, nếu trên đoạn [a,b] ta chia thành
các đoạn x = x i − x i−1 là bằng nhau, dùng
một mặt phẳng P(x) như trên cắt dọc vật thể
x
tại điểm x i =
ta sẽ thu được một phần thể
2
*
tích vật thể với thiết diện A(x) với diện tích
là Si và độ dày là x như hình 2.4.b.
Thể tích từng khối bằng diện tích thiết diện
Si nhân với độ dày x : Vi = Si .x
Thể tích cả vật thể sẽ bằng tổng thể tích từng
khối. Độ dày càng nhỏ, độ chính xác càng
lớn. Như vậy ta có biểu thức tính thể tích vật
thể là:
b
n
VvËt thÓ = lim  S(x i ).x =  S(x)dx
*
x →
i =1
a
17
r
Bài toán 9:
Hãy dùng công thức vật thể để thiết lập
lại công thức tính thể tích khối cầu và so
sánh kết quả.
VcÇu = lim V(x i ) =  (r 2 − x i 2 )x =   (r 2 − x 2 )dx
x →
−r
r

x3 
4
= 2  (r 2 − x 2 )dx = 2  r 2 x −  =  r 3
3 0 3

0
r
Nguồn: James Stewart Calculus
7th Edition
Giải
Để giải bài toán này, ta cần dựng hình vẽ khối
cầu, sau đó chia thành từng đoạn x và dùng
dùng một mặt phẳng cắt dọc tại điểm
Hình 4.4.d. – Chia nhỏ thành 5 khối
x
xi =
2
*
Hình 4.4.d. – Chia nhỏ thành 10 khối
Hình 4.4.c. – Khối cầu
+ Khi dùng một mặt phẳng các dọc quả cầu
trong đoạn x ta sẽ thu được một đường tròn
có bán kính y = r 2 − x 2 . Diện tích đường
Hình 2.4.d. – Chia nhỏ thành 20 khối
tròn sẽ là S(x i ) =  y 2 =  (r 2 − x i 2 ) . Vậy thể
Như vậy ta, từ đây ta có thể dễ dàng chứng
tích một khối nhỏ là V(x i ) =  (r 2 − x i 2 ).x
minh thể tích của vật thể tròn xoay quanh Ox
+ Khi đó, ta có biểu thức thể tích cả quả cầu
cận từ -r đến r là:
hoặc Oy và kết hợp phần ứng dụng tính diện
tích được giới hạn bởi hàm y = f(x), y = g(x)
(hoặc g(x) = 0), x = a, x = b.
18
+ Quanh Ox:
b
Chia theo x : Vx =   f 2 (x) − g 2 (x)dx
a
b
Chia theo y : Vx = 2  y . f(y) − g(y) dy
a
+ Quanh Oy:
b
Chia theo y : Vy =   f 2 (y) − g 2 (y)dy
Bài toán 11:
Một cái lu có bán kính ở 2 đầu là 2dm và
a
b
Chia theo x : Vy = 2  x . f(x) − g(x) dx
a
Bài toán 10:
ở giữa là 4dm, chiều cao của cái lu là 8dm.
Tính lượng nước tối đa mà lu có thể chứa
được
Tính thể tích cái bình hoa với kích thước
như hình vẽ biết bình cao 𝟐𝛑 và đường
sinh của bình khi nằm ngang là đường
cong có dạng 𝐲 = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝟐
Giải
Bình có dang khối tròn xoay với đường sinh
hình Parabol là đồ thị của hàm số y = sinx+2
(như hình vẽ 4.4.e)
Giải
+ Để làm bài toán này, ta sẽ dùng GeoGebra
hỗ trợ phần vẽ hình.
Cách vẽ hình:
Hình 4.4.e. – Chiếc bình quay quanh Ox
✓
Như vậy thể tích bình sẽ là:
V =   (sin x + 2) dx = 9
Từ độ dài bán kính ở 2 đầu và ở giữa,
ta được 3 điểm A(-4,2), C(0,4), B(4,2)
2
2
✓ Từ chiều cao, ta tìm được cận giới hạn.
28,27
như hình vẽ.
0
Kiểm tra bằng GeoGebra:
19
4.5. Bài toán diện tích vật tròn xoay.
Cơ sở lý thuyết.
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a,b] có
hình dạng đường cong như hình vẽ:
Hình 4.4.f. – Mô phỏng mặt phẳng
+ Như vậy cái lu có dạng khối tròn xoay với
y = f(x)
đường sinh là đồ thị một parabol của hàm số
y = ax2 + bx + c (a  0 ). Để tính thể tích cái
lu này, ta cần biết phương trình parabol. Vì y
qua 3 điểm A, B, C nên ta có hệ phương trình:
1

16a − 4b + c = 2 a = − 8


→ c = 4
→ b = 0
16a + 4b + c = 2 c = 4


Hình 4.5.a – Đường cong y = f(x)
Quay đường cong đó quanh trục Ox, ta sẽ
+ Sau khi có phương trình parabol ta sẽ tính
được thể tích cái lu cận [-4,4]:
thu được vật thể tròn xoay có diện tích như
hình vẽ:
4
1

 1

V =    x 2 + 4  dx =   x 4 + 4x 
8

 24
 −4
−4 
4
=
1376
 = 288,19(dm3 )
15
+ Vậy lượng nước chưa tối đa của lu là
288,19 dm3
Hình 4.5.b – Diện tích vật thể tròn xoay
Kiểm tra bằng GeoGebra
Để tính diện tích cả khối này, ta sẽ chia nhỏ
khối diện tích cần tính thành vô số khối hình
nón cụt (như hình 2.5.c.) rồi lấy tổng chúng
lại với nhau.
20
Tương tự ta sẽ chứng minh được các công
thức tính diện tích mặt tròn xoay:
+ Quanh Ox:
b
Chia theo x : S x = 2  f(x) 1 +  f '(x) dx
2
a
b
Hình 4.5.c – Chia thành các khối nón cụt
Chia theo y : S x = 2  y . 1 +  f '(y) dy
2
a
Xét diện tích hình nón cụt có bán kính hai
đáy lần lượt là yk-1, yk, độ dài đường sinh là
Lk và x là khoảng cách giữa hai đáy. Diện
tích hình nón cụt được tính theo công thức:
+ Quanh Oy:
b
Chia theo x : S y = 2  x 1 +  f '(x) dx
2
a
S nãn côt =  (y k −1 + y k ).L k
b
Độ dài đường sinh được tính bằng cách ứng
Chia theo y : Vy = 2  f(y) . 1 +  f '(y) dy
dụng tích phân để tính độ dài đường cong tạo
Bài toán 12:
bởi hàm f(x) (đã chứng minh phần trên):
Tính diện tích bề mặt tròn xoay tạo bởi
xk
Lk = 
1 +  f '(x) dx = x 1 +  f '(x k ) 
2
*
2
x k −1
2
a
𝛑
khi quay cung y = sinx (𝟎 ≤ 𝐱 ≤ ) quanh
𝟐
trục Ox và Oy.
Khi x đủ nhỏ thì diện tích nón cụt:
S nãn côt = 2 f(x k ).L k
2
→ S nãn côt = 2 f(x* k ) 1 +  f '(x k * )  x
Tiếp theo ta lấy tổng diện tích các hình nón
cụt mà ta đã chia để được diện tích mặt tròn
xoay:
n
S trßn xoay = lim  2 f(x* k ) 1 + f '(x k * )  x
x →
2
k =1
b
= 2  f(x) 1 +  f '(x) dx
2
a
21
Giải
+ Vậy diện tích bề mặt tròn xoay tạo bởi khi
quay đường cong y = sinx là:
+ Quanh trục Ox:
2
 1 
S y = 2  arcsin y 1 + 
 dy  8,777
2
 1 − y 
0
1

2
S y = 2  x 1 +  cosx  dx  8,777
2
0
Hình 4.5.d – Quay trục Ox
+ Ta có: y(x) = sin x → y'(x) = cosx
+ Vậy diện tích bề mặt tròn xoay tạo bởi khi
quay đường cong y = sinx là:

2
S x = 2  sin x 1 +  cosx  dx  7,212
2
0
+ Quay trục Oy:
Hình 4.5.e – Quay trục Oy
y(x) = sin x → y'(x) = cosx

1
+ Ta có: 
x = arcsin y → x '(y) =

1 − y2

22
LỜI CẢM ƠN
Thông qua bài tập lớn này, nhóm chúng tôi không chỉ trau dồi thêm được nhiều kiến thức
mà còn có thể áp dụng vào thực tiễn.
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Bách khoa Thành phố
Hồ Chí Minh. Dù trong tình hình dịch COVID đang diễn biến phức tạp như hiện nay, nhưng nhà
trường vẫn nỗ lực hết sức tạo điều kiện tốt nhất để sinh viên chúng tôi học tập trực tuyến với
chương trình giảng dạy chất lượng.
Chúng tôi cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới cô TS. Huỳnh Thị Hồng Diễm, ThS. Trần
Thị Ngọc Huyền đã hướng dẫn nhiệt tình, hỗ trợ hết mình để nhóm chúng tôi có thể hoàn thành
được bài báo cáo này một cách chu đáo và chỉn chu. Đồng thời, quý thầy cô cũng đã tạo điều kiện
để sinh viên năm nhất như chúng tôi có thêm những bài học bổ ích, là hành trang quý giá cho
chúng tôi trên con đường sau này.
Đặc biệt, ngoài kiến thức được tiếp thu, chúng tôi cũng đã có thêm cơ hội được giao lưu,
học hỏi từ các bạn đồng trang lứa. Đây là lần đầu làm báo cáo nên nhóm vẫn còn bỡ ngỡ và không
thể tránh khỏi sai sót, nhóm hy vọng sẽ nhận được những ý kiến, nhận xét, góp ý thêm từ thầy cô
để bài báo cáo hoàn thiện hơn nữa
23
6. Nguồn tài liệu tham khảo:
[1]Giáo trình Giải tích 1 – Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh – Nguyễn Đình Huy
(chủ biên)
[2]James Stewart Calculus 7th Edition
[3]Soo T.Tan applied calculus for managerial life and social sciences.
[4]https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_sum
[5]
http://hict.edu.vn/khoa-hoc-co-ban/mot-so-ung-dung-cua-phep-toan-tich-phan-trong-
nganh-det-may.htm
7. Công cụ hỗ trợ:
[1] GeoGebra calculation and 3D
[2] Khái niệm GeoGebra – Hướng dẫn sử dụng.
[3] How to illustrate Riemann sum in GeoGebra - Youtube
[4] How to find Arc Length of a function in GeoGebra - Youtube
[5] How to build a rotating cylinder in GeoGebra - Youtube
8. Biên bản họp
Họp meet:
Lần 1
Lần 2
Biên bản họp:
Lần 1
Lần 2
9. Các đoạn code trên GeoGebra.
[1] https://www.geogebra.org/calculator/jwmkgvbn
[2] https://www.geogebra.org/calculator/k7rfcrab
[3] https://www.geogebra.org/m/wanm9jsz
[4] https://www.geogebra.org/m/vs5gkahh
[5] https://www.geogebra.org/m/fu6fsguu
[6] https://www.geogebra.org/m/mf5xwkme
[7] https://www.geogebra.org/m/m8rkrhpx
[8] https://www.geogebra.org/m/dx6quekc
Một số đoạn code đã mất trong quá trình thực hành.
10. Recording phần thuyết trình. Click here
24