Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Faculdade de Engenharia da Computação e de Telecomunicações Disciplina: Sinais e Sistemas Agostinho L S Castro 2º. Período de 2022 – PL 2 2 Vamos estudar juntos? Ferraz, A. P. C. M., Belhot, R.V. “Taxonomia de Bloom: revisão teórica e apresentação das adequações do instrumento para definição de objetivos instrucionais”. Gest. Prod., São Carlos, v. 17, n. 2, p. 421-431, 2010. https://www.scielo.br/pdf/gp/v17n2/a15v17n2.pdf Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 3 Sinais ❑ O que é um Sinal? ❑ “Conjunto de dados ou informações acerca do comportamento ou natureza de determinados fenômenos” ❑ “Um sinal geralmente transporta informações a respeito do estado ou do comportamento de um sistema físico e, geralmente, é sintetizado para a comunicação entre humanos ou entre humanos e máquinas.” ❑ O que é um Sistema? ❑ “É uma entidade (dispositivo) que manipula um ou mais sinais, para realizar uma função, produzindo novos sinais.” Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 4 Sinais ❑ O que é um Sinal? ❑ Os sinais são representados matematicamente como funções de uma (unidimensional) ou mais variáveis independentes (multidimensional). ❑ Um sinal de voz pode ser representado matematicamente como uma função do tempo. ❑ Uma imagem fotográfica pode ser representada matematicamente como um função relativa a variação do brilho e da cor. Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 5 Sinais x(t) ❑ O que é um Sinal? ❑ A variável independente é a variável que afeta ou determina uma outra variável ❑ Exemplo ❑ Função seno 𝑥 𝑡 = 10 𝑠𝑒𝑛 (𝑡) t(s) Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 6 Sinais ❑ O que é um Sinal? ❑ Exemplos ❑ Sinais de voz (unidimensional) ❑ Conversa entre duas pessoas ❑ Conversa via telefone ❑ Sinais de Imagem (multidimensional) Link 1: Propiedades del sonido: amplitud, periodo, frecuencia y longitud de onda (video) | Khan Academy Esta Foto de Autor Desconhecido está licenciado em CC BY-ND Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 7 Sinais ❑ O que é um Sinal? ❑ Exemplos ❑ Registro dos batimentos cardíacos, pressão sanguínea, temperatura, nível de glicose, índice de colesterol ❑ Informação: dignóstico do estado de saúde de pacientes Estas Fotos de Autor Desconhecido estão licenciados em CC BY-SA-NC Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 8 Sinais ❑ O que é um Sinal? ❑ Informação: dignóstico do estado de saúde de pacientes Link 1: Sistema de Condução do Coração e ECG, Animação. Alila Medical Media Português. (youtube.com) Link 2: Arritmias Cardíacas, Animação. Alila Medical Media Português (youtube.com) Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 9 Sinais ❑ O que é um Sinal? ❑ Exemplos ❑ Registro: Variações de temperatura durante o dia, umidade relativa do ar, velocidade e direção do vento ❑ Informações: podem ser usadas para a previsão do tempo ❑ Registro: Rentabilidade, risco de Mercado, risco de crédito, volatilidade ❑ Informações: podem ser utilizadas para análise de investimentos no mercado de ações Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 10 Sinais ❑ O que é um Sinal? ❑ Exemplos Sinal de Entrada Processamento Transformação Sinal de Saída Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 11 Sinais ❑ O que é um Sinal? Detecção de Anomalidades Registro Caracterização de funcionamento Informação Esta Foto de Autor Desconhecido está licenciado em CC BY-ND Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 12 Sinais ❑ O que é um Sinal? Esta Foto de Autor Desconhecido está licenciado em CC BY-SA-NC Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 13 Sinais ❑ O que é um Sinal? ❑ Classificação dos Sinais ❑ Contínuos e Discretos (ambos no tempo) ❑ Determinísticos e aleatórios (estocásticos) ❑ Periódicos e não periódicos Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 14 Sinais ❑ O que é um Sinal? ❑ Classificação dos Sinais ❑ Contínuos e Discretos (ambos no tempo) ❑ Sinais contínuos no tempo ❑ são sinais que possuem uma variável independente contínua (tempo). ❑ a variável independente pode assumir um número infinito de valores contínuos. ❑ o sinal é dito contínuo se ele pude ser definido para todo “𝑡”. bservação: um sinal contínuo no tempo não implica que um sinal seja, matematicamente, uma função contínua (ela é uma função de uma variável contínua) ❑O Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 15 𝑓 𝑡 Sinais ❑ O que é um Sinal? ❑ Classificação dos Sinais ❑ Sinais contínuos no tempo ∆ ∆ 𝐴, − < 𝑡 < − 2 2 𝑓 𝑡 = ∆ ∆ 0, 𝑡 > − 𝑒 𝑡 > 2 2 Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 16 Sinais ❑ O que é um Sinal? ❑ Classificação dos Sinais ❑ Sinais discretos no tempo ❑ São sinais definidos apenas em determinados instantes de tempo, sendo a variável independente um variável não contínua. ❑ Entre estes instantes o valor do sinal pode ser ZERO, indefinido ou sem interesse. ❑ Pode ser representado por uma sequência de números Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 17 Sinais ❑ O que é um Sinal? ❑ Classificação dos Sinais ❑ Contínuos e Discretos ❑ Sinais discretos no tempo ❑ Observação: Um sinal de tempo discreto pode ser derivado de um sinal de tempo contínuo, através de um processo de amostragem. Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 18 Sinais ❑ O que é um Sinal? ❑ Classificação dos Sinais ❑ Sinais determinísticos e aleatórios ❑ Sinal Determinístico ❑ Um sinal determinístico é um sinal sobre o qual não existe nenhuma incerteza com respeito ao seu valor em qualquer instante de tempo. ❑ São sinais que podem ser modelados ou descritos por funções no tempo. Sua forma e amplitude são perfeitamente definidas para um instante de tempo qualquer. Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 19 Sinais ❑ O que é um Sinal? ❑ Sinal Determinístico 𝑥 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑓𝑜 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 4𝜋𝑓𝑜 𝑡 Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 20 Sinais ❑ O que é um Sinal? ❑ Sinais aleatórios ❑ É um sinal sobre o qual há incertezas associadas ao seu valor em qualquer instante de tempo. ❑ São sinais que assumem valores aleatórios em qualquer instante de tempo e, em função disso, só podem ser modelados a partir de suas características estatísticas (média, variância, autocorrelação, etc) Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 21 Sinais ❑ O que é um Sinal? ❑ Sinais aleatórios Esta Foto de Autor Desconhecido está licenciado em CC BY-SA Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 22 Sinais ❑ O que é um Sinal? ❑ Classificação dos Sinais ❑ Sinais periódicos e não periódicos ❑ Sinal periódico ❑ Um sinal periódico apresenta um comportamento repetitivo em intervalos de tempo finitos e constantes. ❑ 𝑥 𝑡 + 𝑇0 = 𝑥 𝑡 ❑ −∞ < 𝑡 < + ∞ onde T0 é o período O menor valor de T0 para o qual o sinal se repete é chamado de período fundamental. Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 23 Sinais ❑ O que é um Sinal? ❑ Sinal periódico Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 24 Sinais ❑ O que é um Sinal? ❑ Sinal periódico ❑ o caso senoidal 𝑥 𝑡 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜃 , −∞ < 𝑡 < +∞ 𝐴 → 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 ൞ 𝑓 → 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐻𝑧 𝜃 → â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒 Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 25 Sinais ❑ O que é um Sinal? ❑ Sinal periódico ❑ o caso senoidal 𝑥 𝑡 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜃 , −∞ < 𝑡 < +∞ ω = 2𝜋𝑓 𝑟𝑎𝑑/𝑠 1 2𝜋 𝑇0 = = 𝑓0 𝜔0 𝑠 Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 26 Sinais ❑ O que é um Sinal? ❑ Classificação dos Sinais ❑ Sinais não periódicos Não existe um 𝑇0 que satisfaça a condição de periodicidade ❑ Não apresentam uma repetição de seus valores de amplitude a intervalos regulares de tempo ❑ Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 27 Sinais ❑ O que é um Sinal? ❑ Sinais periódicos e não periódicos 𝑥 𝑡 = 𝐴𝑒 𝛼𝑡 sin(𝜔𝑡 + 𝜙) , 𝛼 ∈ ℛ 𝑥 𝑡 = 𝐵𝑒 𝛼𝑡 , 𝐵, 𝛼 ∈ ℛ Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 28 Sinais ❑ Sinais Pares e Sinais Ímpares ❑ Sinais Pares 𝑥 𝑡 = 𝑥(−𝑡) Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 29 Sinais ❑ Sinais Pares e Sinais Ímpares ❑ Sinais Ímpares 𝑥 𝑡 = −𝑥(−𝑡) Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 30 Sinais ❑ Sinais Pares e Sinais Ímpares ❑ Algumas propriedades envolvendo sinais pares e ímpares: ❑ PAR x ÍMPAR = ÍMPAR ❑ ÍMPAR x ÍMPAR = PAR ❑ PAR x PAR = PAR Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 31 Sinais ❑ Sinais Pares e Sinais Ímpares ❑ Área ❑ Considerando 𝑥𝑒 𝑡 vertical 𝑎 (função par) simétrica em relação ao eixo 𝑎 න 𝑥𝑒 𝑡 𝑑𝑡 = 2 න 𝑥𝑒 𝑡 𝑑𝑡 −𝑎 0 Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 32 Sinais ❑ Sinais Pares e Sinais Ímpares ❑ Área ❑ Considerando 𝑥𝑜 𝑡 ímpar 𝑎 න 𝑥𝑜 𝑡 𝑑𝑡 = 0 −𝑎 Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 33 Sinais ❑ Com este background, vamos mexer com esses sinais e recordar algumas operações básicas com eles. ❑ Mudança de escala no tempo ❑ Reflexão ❑ Deslocamento no tempo ❑ Deslocamento no tempo e mudança de escala de tempo ❑ As operações são realizadas usando-se as variáveis independentes Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 34 Sinais ❑ Mudança de escala no tempo ❑ Escalonamento temporal ❑ Compressão e Expansão 𝑦 𝑡 = 𝑥(𝑎𝑡) 𝑠𝑒 𝑎 > 1, 𝑦 𝑡 𝑠𝑒𝑟á 𝑢𝑚𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑠ã𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑥 𝑡 ൞ 𝑠𝑒 0 < 𝑎 < 1, 𝑦 𝑡 𝑠𝑒𝑟á 𝑢𝑚𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑠ã𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑥(𝑡) Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 35 Sinais ❑ Mudança de escala no tempo ❑ Escalanamento temporal ❑ Compressão e Expansão Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 36 Sinais ❑ Mudança de escala no tempo Escalanamento temporal ❑ Exemplo: Dado o sinal especificado abaixo, comprima o sinal por um fator de 3 e expanda considerando o fator de 2 2 𝑡 −2 2𝑒 2, 𝑥 𝑡 −1.5 0 3 𝑡(𝑠)c 𝑡 − = ൞2𝑒 2 , 0, −1.5 ≤ 𝑡 < 0 0≤𝑡<3 caso contrário Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 37 Sinais ❑ Reflexão ou reversão temporal sinal 𝑦(𝑡) será uma versão refletida de x(𝑡) em relação ao eixo das ordenadas ❑ O 𝑦 𝑡 = 𝑥(−𝑡) Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 38 Sinais ❑ Reflexão ou reversão temporal ❑ Exemplo: para o sinal mostrado abaixo realize a reflexão ou reversão temporal 𝑡 𝑒2 𝑥 𝑡 −7 −5 −3 −1 𝑡(𝑠) 𝑡 = ൝𝑒 2 0 −5 ≤ 𝑡 < −1 caso contrário Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 39 Sinais ❑ Reflexão ou reversão temporal ❑ Exemplo: para o sinal mostrado abaixo realize a reflexão ou reversão temporal 𝑡 𝑒2 𝑒 𝑡 −2 − −7 −5 −5 −3 −1 +1+ + +3 + +5 + +7 𝑡(𝑠) 𝑥 −𝑡 = ൝𝑒 0 𝑡 2 1≤𝑡<5 caso contrário Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 40 Sinais ❑ Deslocamento no tempo ❑ Um sinal x 𝑡 contínuo deslocado no tempo é definido por: 𝑦 𝑡 = 𝑥(𝑡 − 𝑡0 ) 𝑡0 > 0, sendo ቊ 𝑡0 < 0, 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑚 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑚 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 41 Sinais ❑ Deslocamento no tempo 𝑡 > 0, 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑚 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑦 𝑡 = 𝑥(𝑡 − 𝑡0 ,sendo ቊ 0 𝑡0 < 0, 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑚 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑥(𝑡) 𝑥(𝑡 + 𝑡0 ) Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 42 Sinais ❑ Deslocamento no tempo e escalonamento 𝑦 𝑡 = 𝑥(𝛼𝑡 + 𝛽) ❑ Há de se preserver a forma do sinal 𝛼 > 1, 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 0 < 𝛼 < 1, 𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠ã𝑜 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝛼𝑡 + 𝛽 → 𝛼 < 0, 𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝛽 ≠ 0, 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 1. 𝑂𝑝𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑜𝑟𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝛽 ቊ 2. 𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑜𝑛𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜/𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 43 Sinais ❑ Deslocamento no tempo e escalonamento ❑ Exemplo: Para o sinal apresentado abaixo, determine 𝑦 𝑡 = 𝑥(2𝑡 + 3) Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 44 Sinais ❑ Deslocamento no tempo e escalonamento ❑ Desafio: Para o sinal mostrado abaixo, determine: 𝑦 𝑡 =𝑥 𝑡+1 , 𝑦 𝑡 = 𝑥 −𝑡 + 1 , 3 𝑦 𝑡 =𝑥 𝑡 2 3 𝑦 𝑡 =𝑥 𝑡+1 2 Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 45 Periódico Discreto Deslocamento Ímpar Par Contínuo Reflexão Compressão Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 46 Sinais ❑ Funções Singulares ❑ São usadas no contexto de serem úteis na representação de outros sinais ❑ Função Degrau Unitário e Função Impulso SINAIS Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 47 Sinais ❑ Funções Singulares ❑ Função Degrau Unitário ❑ A função degrau unitário (𝒖 𝒕 ) é definida da seguinte forma: 0, t 0 x(t ) = u (t ) = 1, t 0 Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 48 Sinais ❑ Funções Singulares ❑ Função Degrau Unitário Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 49 Sinais ❑ Funções Singulares ❑ Função Degrau Unitário ❑ A função degrau unitário com deslocamento temporal 0, 𝑡 − 𝑇𝑜 < 0 0, 𝑡 < 𝑇𝑜 𝑢(𝑡 − 𝑇𝑜) = ൜ =ቊ 1, 𝑡 − 𝑇𝑜 ≥ 0 1, 𝑡 ≥ 𝑇𝑜 Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 50 Sinais ❑ Funções Singulares ❑ Função Degrau Unitário ❑ A função degrau unitário com reflexão em relação ao eixo das ordenadas 𝑢(−𝑡) 0, −𝑡 < 0 0, 𝑡 > 0 𝑢(−𝑡) = ቊ =ቊ 1, −𝑡 ≥ 0 1, 𝑡 ≤ 0 Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 51 Sinais ❑ Funções Singulares ❑ Função Degrau Unitário ❑ Exemplo: Represente a função pulso unitário, definida abaixo, usando funções degrau unitário. 1 0, 𝑡 < −𝑇𝑜 𝑝(𝑡) = ቐ1, −𝑇𝑜 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇𝑜 0, 𝑡 > 𝑇𝑜 −𝑇0 𝑇0 Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 52 Sinais ❑ Funções Singulares ❑ Função Rampa Unitária ❑ A função rampa unitária (𝑟(𝑡)) é definida da seguinte forma: 0, 𝑡 < 0 𝑟(𝑡) = ቊ 𝑡, 𝑡 ≥ 0 Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 53 Desafio! Plotar os sinais singulares exercitando as operações (compressão-expansão), deslocamentos para a esquerda e direta. Use o Colab, Octave ou programe usando Python. Sinais ❑ Função Rampa Unitária rampa unitária com inclinação A ( A𝑟(𝑡) ) e com deslocamento temporal: ❑ Função 0, 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑟(𝑡) = ቊ 𝐴𝑡, 𝑟(𝑡 − 𝑇𝑜) = ቊ 0, 𝑡 − 𝑇𝑜, 𝑡<0 𝑡≥0 𝑡 − 𝑇𝑜 < 0 0, =ቊ 𝑡 − 𝑇𝑜 ≥ 0 𝑡 − 𝑇𝑜, 𝑡 < 𝑇𝑜 𝑡 ≥ 𝑇𝑜 Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 54 Sinais ❑ Função Impulso Unitário ou Função Delta de Dirac (𝛿(𝑡)) 𝑝Δ (𝑡) 𝛿(𝑡) = lim 𝑝Δ (𝑡) Δ→0 𝑝Δ (𝑡) = 𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 com duração Δ e área unitária ∞ ∞ න 𝑝Δ (𝑡)𝑑𝑡 = න 𝛿(𝑡)𝑑𝑡 = 1 −∞ −∞ 𝑡 Δ Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 55 Sinais ❑ Função Impulso Unitário ou Função Delta de Dirac (𝛿(𝑡)) ❑ A função impulso unitário (𝛿(𝑡)) tem as seguintes propriedades: 𝛿(𝑡) = 0, 𝑡 ≠ 0 +∞ න 𝛿(𝑡)𝑑𝑡 = 1 Área unitária em uma porção infinitesimal do tempo. −∞ Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 56 Sinais ❑ Função Impulso Unitário ou Função Delta de Dirac (𝛿(𝑡)) ❑ A função impulso unitário 𝛿(𝑡) = 0, 𝑡 ≠ 0 +∞ න 𝛿(𝑡)𝑑𝑡 = 1 −∞ (𝛿(𝑡)) tem as seguintes propriedades: The motivation for defining a function with these properties stems from the need to represent phenomena that happen in time intervals short compared with the resolution capability of any measuring apparatus used, but which produce an almost instantaneous change in a mesaured quantity. (Fonte: Ziemer (referência do curso)) Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 57 Sinais ❑ Função Impulso Unitário ou Função Delta de Dirac (𝛿(𝑡)) ❑ Propriedades (𝑥(𝑡) um sinal qualquer) 𝑥 𝑡 . 𝛿 𝑡 − 𝑡𝑜 = 𝑥 𝑡𝑜 . 𝛿(𝑡 − 𝑡𝑜 ) +∞ න 𝑥 𝑡 . 𝛿(𝑡 − 𝑡𝑜 )𝑑𝑡 = 𝑥(𝑡𝑜 ) −∞ Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 58 Sinais ❑ Função Impulso Unitário ou Função Delta de Dirac (𝛿(𝑡)) ❑ Relação da função 𝛿 𝑡 com a função 𝑢(𝑡) 𝑡 0, 𝑡 < 0 න 𝛿(𝜏)𝑑𝜏 = ቊ = 𝑢(𝑡) 1, 𝑡 ≥ 0 𝑜 𝑑𝑢(𝑡) 𝛿(𝑡) = 𝑑𝑡 Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 59 Sinais ❑ Sinais de Energia e de Potência ❑ Como um sinal, que existe em um certo intervalo de tempo com amplitude variante, pode ser medido por um número que irá indicar o tamanho ou a força (métrica) do sinal? ❑ Resposta: Podemos considerar a área abaixo do sinal como uma possível medida do seu tamanho, pois a área considera não somente a amplitude mas também sua duração ❑ Entretanto, esta medida ainda é defeituosa pois mesmo para um sinal “grande”, suas áreas positivas e negativas podem se cancelar, indicando um sinal de tamanho pequeno Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 60 Sinais ❑ Sinais de Energia e de Potência ❑ Esta dificuldade pode ser corrigida pela definição do tamanho do sinal como a área abaixo de 𝒙 𝒕 ao quadrado, que será sempre positiva, chamando esta medida de Energia do sinal definida por: +∞ 𝐸 = න 𝑥(𝑡) 2 𝑑𝑡 −∞ Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 61 Sinais ❑ Sinais de Energia e de Potência ❑ A Potência é a energia média do sinal 𝑇 2 1 𝑃 = lim න 𝑥(𝑡) 2 𝑑𝑡 𝑇→∞ 𝑇 −𝑇 2 Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 62 Sinais ❑ Sinais de Energia e de Potência ❑ Os sinais podem ser classificados de acordo com os valores de Energia e de Potência: ❑ Sinal de Energia: Sinal que possui 0 < 𝐸 < ∞, 𝑃 = 0 ❑ Sinal de potência: Sinal que possui 0 < 𝑃 < ∞, 𝐸 = ∞ Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 63 Sinais ❑ Sinais de Energia e de Potência ❑ Quando a amplitude de 𝒙 𝒕 tender para ZERO e o tempo tender para o infinito teremos um sinal de Energia Finita. ❑ Se 𝒙 𝒕 é periódico ou com regularidade estatística o sinal de Potência é finito e no caso do sinal periódico pode ser calculada para o período. Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 64 Sinais ❑ Sinais de Energia e de Potência ❑ Vamos treinar? Aplique as definições para determinar se os sinais abaixo são sinais de Energia ou Potência. 𝑥(𝑡) 2 𝑥(𝑡) 𝑡 − 2𝑒 2 Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 65 Sinais ❑ Sinais de Energia e de Potência ❑ Densidades Espectrais ❑ São grandezas definidas no domínio da frequência que, quando integradas em torno de toda faixa de frequência, resultam na energia ou na potência total do sinal, dependendo se o sinal é de energia ou de potência, respectivamente. Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 66 Sinais ❑ Sinais de Energia e de Potência ❑ Densidades Espectrais ❑ Para um sinal de energia, a função que é integrada para se determinar a Energia é chamada de Função densidade Espectral de Energia . ❑ 𝑥 𝑡 → 𝐺 𝑓 ou 𝑥 𝑓 (𝐹𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎) +∞ E = −∞ 𝐺 𝑓 𝑑𝑓 Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 67 Sinais ❑ Sinais de Energia e de Potência ❑ Densidades Espectrais ❑ Para um sinal de potência, a função que é integrada para se determinar a Potência é chamada de Função densidade Espectral de Potência. ❑ 𝑥 𝑡 → 𝑆 𝑓 (𝐹𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎) +∞ P = −∞ 𝑆 𝑓 𝑑𝑓 Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 68 Como foi o estudo? Ferraz, A. P. C. M., Belhot, R.V. “Taxonomia de Bloom: revisão teórica e apresentação das adequações do instrumento para definição de objetivos instrucionais”. Gest. Prod., São Carlos, v. 17, n. 2, p. 421-431, 2010. https://www.scielo.br/pdf/gp/v17n2/a15v17n2.pdf Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024 69 Agostinho L S Castro - Sinais e Sistemas (FCT) - 2P 2024
