Visão Computacional
Parte 1: Conceitos Básicos
Pós-graduação em Ciências Computacionais - Uerj
Professor Guilherme Abelha
Professor Guilherme Abelha
Semestre: 2020/1
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
1 / 99
Sumário do curso
1 Conceitos básicos
2 Operações em imagens
3 Transformadas de Imagens
4 Sensores, Aquisição e Sistemas Cor
5 Segmentação de imagens
6 Reconhecimento de padrões
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
2 / 99
Sumário do curso
1 Conceitos básicos
2 Operações em imagens
3 Transformadas de Imagens
4 Sensores, Aquisição e Sistemas Cor
5 Segmentação de imagens
6 Reconhecimento de padrões
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
3 / 99
Conceitos Básicos
Sumário do tópico
Especialidades da computação gráfica
Elementos da fotografia
Introdução à visão computacional
Imagem contı́nua, discreta e digital
Codificação de imagens
Fundamentos do processamento de sinais
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
4 / 99
Conceitos Básicos
Sumário do tópico
Especialidades da computação gráfica
Elementos da fotografia
Introdução à visão computacional
Imagem contı́nua, discreta e digital
Codificação de imagens
Fundamentos do processamento de sinais
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
5 / 99
Computação Gráfica
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
6 / 99
Especialidades da Computação Gráfica
Definição
Modelagem
geométrica
Modelo
Geométrico
Visão
computacional
Síntese de
Imagens
Imagem
Digital
Processamento
de imagens
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
7 / 99
Especialidades da Computação Gráfica
Sı́ntese de Imagens
IMAGENS
DADOS
1200
12001200
1200
1.000000
1.0000001.000000
1.00000037.600000
37.600000
2.000000
2.0000001.000000
1.00000039.600000
39.600000
3.000000
1.000000
3.000000 1.00000040.700000
40.700000
4.000000
4.0000001.000000
1.00000042.600000
42.600000
5.000000
5.0000001.000000
1.00000042.600000
42.600000
6.000000
6.0000001.000000
1.00000043.100000
43.100000
...
...
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
8 / 99
Especialidades da Computação Gráfica
Modelagem Geométrica
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
9 / 99
Especialidades da Computação Gráfica
Processamento de Imagens Digitais
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
10 / 99
Especialidades da Computação Gráfica
Visão Computacional
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
11 / 99
Conceitos Básicos
Sumário do tópico
Especialidades da computação gráfica
Elementos da fotografia
Introdução à visão computacional
Imagem contı́nua, discreta e digital
Codificação de imagens
Fundamentos do processamento de sinais
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
12 / 99
Elementos da fotografia
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
13 / 99
Aquisição de Imagens
Elementos da fotografia
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
14 / 99
Elementos da fotografia
Fonte de energia
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
15 / 99
Elementos da fotografia
Interação matéria energia
Professor Guilherme Abelha
1 = α(λ) + β(λ) + γ(λ)
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
16 / 99
Aquisição de Imagens
Elementos da fotografia
Ponto
focal
Fonte de
luz
Professor Guilherme Abelha
P'
Plano de
projeção
P
Cena
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
17 / 99
Elementos da fotografia
Perspectiva cônica
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
18 / 99
Elementos da fotografia
Perspectiva cônica
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
18 / 99
Elementos da fotografia
Perspectiva cônica
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
18 / 99
Elementos da fotografia
Perspectiva cônica
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
18 / 99
Conceitos Básicos
Sumário do tópico
Especialidades da computação gráfica
Elementos da fotografia
Introdução à visão computacional
Imagem contı́nua, discreta e digital
Codificação de imagens
Fundamentos do processamento de sinais
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
19 / 99
Visão computacional
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
20 / 99
Visão humana
Como funciona o olho
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
21 / 99
Visão humana
Uso de conhecimento
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
22 / 99
Visão computacional
Analogia com a visão humana
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
23 / 99
Modelo Conceitual
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
24 / 99
Paradigma dos quatro universos
Modelo conceitual para a representação de imagens
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
25 / 99
Paradigma dos quatro universos
Modelo conceitual para a representação de imagens
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
25 / 99
Paradigma dos quatro universos
Modelo conceitual para a representação de imagens
z
f(x,y)
y
x
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
25 / 99
Paradigma dos quatro universos
Modelo conceitual para a representação de imagens
Professor Guilherme Abelha
1
4
4
1
4
M atM ×N
2 3 4
5 6 7
5 6 7
2 3 4
5 6 7
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
5
8
8
5
8
2020
25 / 99
Paradigma dos quatro universos
Modelo conceitual para a representação de imagens
Professor Guilherme Abelha
float Image[256][256];
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
25 / 99
Fluxo de trabalho
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
26 / 99
Visão Computacional
Fluxo clássico de trabalho
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
27 / 99
Conceitos Básicos
Sumário do tópico
Especialidades da computação gráfica
Elementos da fotografia
Introdução à visão computacional
Imagem contı́nua, discreta e digital
Codificação de imagens
Fundamentos do processamento de sinais
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
28 / 99
Imagem contı́nua
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
29 / 99
Definição formal
Imagem contı́nua
y
f (x, y) : U ⊂ R2 → C
x
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
30 / 99
Definição formal
Imagem contı́nua
y
f (x, y) : U ⊂ R2 → C
• f (x, y) → função imagem
x
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
30 / 99
Definição formal
Imagem contı́nua
y
f (x, y) : U ⊂ R2 → C
• f (x, y) → função imagem
• C → espaço de cor; C = Rn
x
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
30 / 99
Definição formal
Imagem contı́nua
y
f (x, y) : U ⊂ R2 → C
• f (x, y) → função imagem
• C → espaço de cor; C = Rn
• U → suporte da imagem
x
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
30 / 99
Definição formal
Imagem contı́nua
y
f (x, y) : U ⊂ R2 → C
• f (x, y) → função imagem
• C → espaço de cor; C = Rn
• U → suporte da imagem
• f (U ) ⊂ C → gamute da imagem
x
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
30 / 99
Imagem discreta
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
31 / 99
Definição formal
Imagem discreta
• Imagem contı́nua
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
32 / 99
Definição formal
Imagem discreta
• Imagem contı́nua
Professor Guilherme Abelha
• Imagem discreta
1
0.95
0.98
1
1
0.98
0.95
1
0.38
0.05
0.06
0.45
0.45
0.94
0.95
0.38
0.2
0
0
0
0
0
0
0.2
0.3
0
0
0
0
0
0
0.3
0.8
0.2
0
0
0
0
0.2
0.8
1
0.8
0.3
0
0
0.3
0.8
1
1
1
1
0.4
0.4
1
1
1
1
1
1
0.95
0.95
1
1
1
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
32 / 99
Definição formal
Representação numérica
• Imagem discreta
• Imagem digital
1
0.95
0.98
1
1
0.98
0.95
1
111
111
111
111
111
111
111
111
0.38
0.05
0.06
0.45
0.45
0.94
0.95
0.38
110
001
001
101
101
001
001
110
0.2
0
0
0
0
0
0
0.2
001
000
000
000
000
000
000
001
0.3
0
0
0
0
0
0
0.3
001
000
000
000
000
000
000
001
0.8
0.2
0
0
0
0
0.2
0.8
111
001
000
000
000
000
001
111
1
0.8
0.3
0
0
0.3
0.8
1
111
111
010
000
000
010
111
111
1
1
1
0.4
0.4
1
1
1
111
111
111
101
101
111
111
111
1
1
1
0.95
0.95
1
1
1
111
111
111
111
111
111
111
111
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
33 / 99
Imagem Digital
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
34 / 99
Definição formal
Imagem digital
• Representação pictórica
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
35 / 99
Definição formal
Imagem digital
• Representação pictórica
Professor Guilherme Abelha
• Imagem digital
111
111
111
111
111
111
111
111
110
001
001
101
101
001
001
110
001
000
000
000
000
000
000
001
001
000
000
000
000
000
000
001
111
001
000
000
000
000
001
111
111
111
010
000
000
010
111
111
111
111
111
101
101
111
111
111
111
111
111
111
111
111
111
111
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
35 / 99
Conversão contı́nuo ↔ discreto
Modelo conceitual do processo de digitalização
n = f (r) =


b8rc para r ∈ [ 0 , 1 [


7
para r = 1
r = f −1 (n) =
Professor Guilherme Abelha
n
7
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
36 / 99
Professor Guilherme Abelha
Digitalização
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
37 / 99
Digitalização
Sinal Contı́nuo
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
38 / 99
Digitalização
Sinal Discreto
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
39 / 99
Digitalização
Sinal Discreto
x(t) = {..., 3.4, 5.1, 4.3, 6.0, 5.9, 3.8, 3.6, 4.1, ...}
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
39 / 99
Digitalização
Sinal Digital
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
40 / 99
Digitalização
Sinal Digital
x(t) = {..., 011, 101, 100, 110, 101, 011, 011, 100, ...}
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
40 / 99
Digitalização
Teorema da amostragem
Sinal de entrada S(t)
Sinal de saída S[t]
Sinal contínuo
Sinal discreto
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
41 / 99
Digitalização
Teorema de Nyquist
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
42 / 99
Digitalização
Aliasing
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
43 / 99
Definição formal
Imagem no Processamento Digital de Imagens
0
1
2
3
4
...
N-1
y
0
1
2
3
...
4
M-1
x
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
44 / 99
Definição formal
Imagem como matriz
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
45 / 99
Professor Guilherme Abelha
Resolução
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
46 / 99
Resolução Espacial
32 × 32 pixels
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
47 / 99
Resolução Espacial
64 × 64 pixels
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
48 / 99
Resolução Espacial
128 × 128 pixels
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
49 / 99
Resolução Espacial
256 × 256 pixels
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
50 / 99
Resolução Espacial
512 × 512 pixels
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
51 / 99
Professor Guilherme Abelha
Quantização
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
52 / 99
Quantização
Gamute 256 cores
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
53 / 99
Quantização
Gamute 64 cores
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
54 / 99
Quantização
Gamute 16 cores
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
55 / 99
Quantização
Gamute 8 cores
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
56 / 99
Quantização
Gamute 4 cores
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
57 / 99
Quantização
Gamute 2 cores
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
58 / 99
Conceitos Básicos
Sumário do tópico
Especialidades da computação gráfica
Elementos da fotografia
Introdução à visão computacional
Imagem contı́nua, discreta e digital
Codificação de imagens
Fundamentos do processamento de sinais
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
59 / 99
Codificação de Imagens
Da imagem contı́nua ao arquivo
Discretização e
Quantização
Codificação
{S0, S1, S2, …,
..., Sn-2, Sn-1}
Imagem contínua
Professor Guilherme Abelha
Imagem digital
Reconstrução
Representação simbólica
Decodificação
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
60 / 99
Codificação de Imagens
Formatos raster sem compressão
• BMP (BitMaP)
• Famı́lia PNM (Portable aNy Map)
• PBM (binária)
• PGM (tons de cinza)
• PBM (colorida)
• TIFF (Tagged Image File Format)
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
61 / 99
Codificação de Imagens
Formatos raster comprimidos com perdas
• JPEG (Joint Photographic Experts
Group)
• Apropriado para a compressão de
imagens fotográficas
• Possui uma ı́ndice de qualidade
ajustável
• Formato mais comum usado por
câmeras digitais
• Inadequado para desenhos e gráficos
textuais
• Deve ser evitado para salvar etapas
consecutivas de processamento
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
62 / 99
Codificação de Imagens
Formatos raster comprimidos sem perdas
• GIF (Graphics Interchange Format)
• Usa o algoritmo LZW
• PNG (Portable Network Graphics)
• Usa um LZW em dois estágios
• TIFF (Tagged Image File Format)
• Formato extremamente complexo
• Permite imagens com múltiplos canais
• Suporta georeferenciamento
• Opção de compressão LZW
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
63 / 99
Codificação de Imagens
Comparação entre formatos raster e vetorial
Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/SVG#/media/File:Bitmap VS SVG.svg
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
64 / 99
Codificação de Imagens
Formatos vetoriais
• PS (PostScript)
• Linguagem de descrição de páginas
16
• PDF (Portable Document Format)
• Aberto e independente de plataforma
• Incorpora múltiplos elementos
• Permita a inclusão de anotações
• EPS (Encpsulated PostScript)
• Arquivos postscript autocontidos
• Usados como um formato de imagem
Downloaded by [University of Rio Grande], [GUILHERME MOTA] at 11:43 15 March 2016
• Produzidos por máquinas
M. A. V. GORINI AND G. L. A. MOTA
follows aims at ascertaining spatial vagueness in a multiscale context and scale vagueness in terms of a multivariate analysis.
As others have acknowledged (Drăguţ and Blaschke 2008, Gercek et al. 2011), while
accuracy assessment is standard in classification of remotely sensed data, quantitative
methods are lacking for assessing the accuracy of DEM-based classifications. These
classifications are also difficult to quantify due to the lack of ground-truthing data
beyond altitude (Blaschke 2002). Inside such context, a merely visual evaluation would
carry out the intrinsic subjectivity of spatial vagueness, limiting its usefulness as an
objective quality assessment.
To gain an understanding of how fundamental features compare to established
practices of multiscale analysis, they were taken as control images for the computation
of error matrices with respect to different approaches for multiscale analysis. Each error
matrix is summarized through its Kappa index (Cohen 1960).
Figure 9 shows the resultant Kappa index trends that are formed for all study areas
when increasing scales are considered. To enhance the evaluation, a few selected results
Figure 9. (A) Fundamental features of Barhill DEM in oblique view. (B–D) Comparison of multiscale
approaches for morphometric characterization. Graphs correspond to Kappa index trends computed
using the fundamental features as the control image. Each line in the graphs refers to one of the
study areas (see legend). For each approach evaluated, oblique views of the Barhill DEM, depicting
the resulting classifications from the scale with best agreement and the coarsest scale, 69 69, are
shown. Comparisons are: (B) fundamental vs. monoscale features; (C) fundamental vs. modal
features using 3 3 parametrization; (D) fundamental vs. modal features using median
parametrization.
• Voltado à impressão de gráficos de
alta qualidade
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
65 / 99
Leitura Recomendada
Jonas Gomes, Luiz Velho
Fundamentos da Computação Gráfica.
IMPA, 1990.
R. Gonzalez, R. Woods
Processamento Digital de Imagens.
Person, 3a edição, 2009.
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
66 / 99
Conceitos Básicos
Sumário do tópico
Especialidades da computação gráfica
Elementos da fotografia
Introdução à visão computacional
Imagem contı́nua, discreta e digital
Codificação de imagens
Fundamentos do processamento de sinais
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
67 / 99
Processamento de Sinais
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
68 / 99
Conceitos Básicos
Sumário do tópico
Especialidades da computação gráfica
Elementos da fotografia
Introdução à visão computacional
Imagem contı́nua, discreta e digital
Codificação de imagens
Fundamentos do processamento de sinais
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
69 / 99
Números complexos
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
70 / 99
Números complexos
Definição
• Números complexos formam o conjunto C, uma extensão
do conjunto dos números reais, R
• Heron da Alexandria buscava uma expressão para o
volume de uma pirâmide no Século I.
• Em 1637, René Descartes sugeriu o termo número
imaginário para expressar a solução de x2 = −1 que ∈
/R
• A fórmula de Euler cos θ + j sin θ = ejθ foi estabelecida
somente em 1748.
• z = a + jb, onde z ∈ C, a e b ∈ R e j =
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
√
−1
2020
71 / 99
Números complexos
Definição
Plano complexo
• z = a + jb = r∠ϕ
Im
• a = Re(z)
z
• b = Im(z)
• r = |z| =
√
a2 + b2
b
ϕ
• ϕ = arctan ab
Professor Guilherme Abelha
Re
a
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
72 / 99
Números complexos
Propriedades e operações
• Dados números complexos na forma: zi = ai + jbi
• Igualdade: z1 = z2 → a1 = a2 e b1 = b2
• Conjugado complexo: zi = ai + jbi ; → z¯i = ai − jbi
• Soma complexa: z1 + z2 = (a1 + a2 ) + j(b1 + b2 )
• Subtração complexa: z1 − z2 = (a1 − a2 ) + j(b1 − b2 )
• Multiplicação: z1 × z2 = |z1 | × |z2 |∠(ϕ1 + ϕ2 ) 1
• Divisão complexa: z1 /z2 = |z1 |/|z2 |∠(ϕ1 − ϕ2 )
• Fórmula de Euler: ejϕ = cos(ϕ) + j sen (ϕ)
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
73 / 99
Professor Guilherme Abelha
Delta de Dirac
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
74 / 99
Delta de Dirac
Definição
• A função delta de Dirac, δ, é uma função de distribuição
de probabilidades que vale infinito no ponto x0 e é nula no
restante do espaço.
(
∞
∞ x = x0
• δ(x − x0 ) =
, onde
δ(x − x0 ) dx = 1
−∞
0 x 6= x0
Professor Guilherme Abelha
R
δ(x − x0 )
x
0
x0
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
75 / 99
Delta de Dirac
Transformada de Fourier
Delta de Dirac
Transformada
δ(x − x0 )
1
||F {δ(x − x0 )}||
⇔
x
0
Professor Guilherme Abelha
u
0
x0
0
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
76 / 99
Delta de Dirac
Demonstração do cálculo da transformada de Fourier
Prova
F {f (x)} = F (ω) =
Professor Guilherme Abelha
R
∞
f (x)e−jωx dx
−∞
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
77 / 99
Delta de Dirac
Demonstração do cálculo da transformada de Fourier
Prova
R
F {f (x)} = F (ω) =
F {δ(x − x0 )}
Professor Guilherme Abelha
=
∞
f (x)e−jωx dx
−∞
R
∞
δ(x − x0 )e−jωx dx
−∞
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
77 / 99
Delta de Dirac
Demonstração do cálculo da transformada de Fourier
Prova
R
F {f (x)} = F (ω) =
F {δ(x − x0 )}
=
∞
f (x)e−jωx dx
−∞
R
∞
δ(x − x0 )e−jωx dx
−∞
=
e−jωx0
R
x0
δ(x − x0 ) dx
x0
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
77 / 99
Delta de Dirac
Demonstração do cálculo da transformada de Fourier
Prova
R
F {f (x)} = F (ω) =
F {δ(x − x0 )}
=
∞
f (x)e−jωx dx
−∞
R
∞
δ(x − x0 )e−jωx dx
−∞
=
e−jωx0
x0
R
δ(x − x0 ) dx
x0
=
Professor Guilherme Abelha
e−jωx0
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
77 / 99
Delta de Dirac
Demonstração do cálculo da transformada de Fourier
Prova
R
F {f (x)} = F (ω) =
F {δ(x − x0 )}
=
∞
f (x)e−jωx dx
−∞
R
∞
δ(x − x0 )e−jωx dx
−∞
=
e−jωx0
R
x0
δ(x − x0 ) dx
x0
=
Professor Guilherme Abelha
e−jωx0 = 1 ∠−ωxo
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
77 / 99
Convolução 1D
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
78 / 99
Convolução
Definição
• O operador matemático convolução entre duas funções foi
definido no final do século XVIII
• Convolução é um operador linear que calcula a integral do
produto entre duas funções:
• mantendo a primeira função inalterada: f (x)
• refletindo a segunda e aplicando um fator variável de
deslocamento: g(x − τ )
• como resultado obtém-se uma nova função: h(x)
• A convolução entre f e g é representada por (f ∗ g) e pode
ser obtida pela integral:
Z ∞
(f ∗ g) (x) = h(x) =
Professor Guilherme Abelha
f (τ )g(x − τ ) dτ
−∞
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
79 / 99
Convolução
Exemplo
• (f ∗ g) (x) = h(x) =
R
∞
f (τ )g(x − τ ) dτ
−∞
f (τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
g(τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
h(x)
1.5
1
0.5
x
0
-6
Professor Guilherme Abelha
-5
-4
-3
-2
-1
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
80 / 99
Convolução
Exemplo
• (f ∗ g) (x) = h(x) =
R
∞
f (τ )g(x − τ ) dτ
−∞
f (τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
g(−τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
h(x)
1.5
1
0.5
x
0
-6
Professor Guilherme Abelha
-5
-4
-3
-2
-1
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
80 / 99
Convolução
Exemplo
• (f ∗ g) (x) = h(x) =
R
∞
f (τ )g(x − τ ) dτ
−∞
f (τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
g(1.8 − τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
h(x)
1.5
1
0.5
x
0
-6
Professor Guilherme Abelha
-5
-4
-3
-2
-1
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
80 / 99
Convolução
Exemplo
• (f ∗ g) (x) = h(x) =
R
∞
f (τ )g(x − τ ) dτ
−∞
f (τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
g(x − τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
h(x)
1.5
1
0.5
x
0
-6
Professor Guilherme Abelha
-5
-4
-3
-2
-1
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
80 / 99
Convolução
Exemplo
• (f ∗ g) (x) = h(x) =
R
∞
f (τ )g(x − τ ) dτ
−∞
f (τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
g(x − τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
h(x)
1.5
1
0.5
x
0
-6
Professor Guilherme Abelha
-5
-4
-3
-2
-1
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
80 / 99
Convolução
Exemplo
• (f ∗ g) (x) = h(x) =
R
∞
f (τ )g(x − τ ) dτ
−∞
f (τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
g(x − τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
h(x)
1.5
1
0.5
x
0
-6
Professor Guilherme Abelha
-5
-4
-3
-2
-1
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
80 / 99
Convolução
Exemplo
• (f ∗ g) (x) = h(x) =
R
∞
f (τ )g(x − τ ) dτ
−∞
f (τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
g(x − τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
h(x)
1.5
1
0.5
x
0
-6
Professor Guilherme Abelha
-5
-4
-3
-2
-1
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
80 / 99
Convolução
Exemplo
• (f ∗ g) (x) = h(x) =
R
∞
f (τ )g(x − τ ) dτ
−∞
f (τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
g(x − τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
h(x)
1.5
1
0.5
x
0
-6
Professor Guilherme Abelha
-5
-4
-3
-2
-1
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
80 / 99
Convolução
Exemplo
• (f ∗ g) (x) = h(x) =
R
∞
f (τ )g(x − τ ) dτ
−∞
f (τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
g(x − τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
h(x)
1.5
1
0.5
x
0
-6
Professor Guilherme Abelha
-5
-4
-3
-2
-1
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
80 / 99
Convolução
Exemplo
• (f ∗ g) (x) = h(x) =
R
∞
f (τ )g(x − τ ) dτ
−∞
f (τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
g(x − τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
h(x)
1.5
1
0.5
x
0
-6
Professor Guilherme Abelha
-5
-4
-3
-2
-1
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
80 / 99
Outro exemplo
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
81 / 99
Convolução
Exemplo
• (f ∗ g) (x) = h(x) =
R
∞
f (τ )g(x − τ ) dτ
−∞
1
f (τ )
0.5
τ
0
-0.5
-1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
g(τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
1
-1
h(x)
0.5
x
0
-0.5
-1
-6
-5
Professor Guilherme Abelha
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
3
4
5
6
2020
82 / 99
Convolução
Exemplo
R
• (f ∗ g) (x) = h(x) =
∞
f (τ )g(x − τ ) dτ
−∞
1
f (τ )
0.5
τ
0
-0.5
-1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
g(x − τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
1
-1
h(x)
0.5
x
0
-0.5
-1
-6
-5
Professor Guilherme Abelha
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
3
4
5
6
2020
82 / 99
Convolução
Exemplo
R
• (f ∗ g) (x) = h(x) =
∞
f (τ )g(x − τ ) dτ
−∞
1
f (τ )
0.5
τ
0
-0.5
-1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
g(x − τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
1
-1
h(x)
0.5
x
0
-0.5
-1
-6
-5
Professor Guilherme Abelha
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
3
4
5
6
2020
82 / 99
Convolução
Exemplo
R
• (f ∗ g) (x) = h(x) =
∞
f (τ )g(x − τ ) dτ
−∞
1
f (τ )
0.5
τ
0
-0.5
-1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
g(x − τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
1
-1
h(x)
0.5
x
0
-0.5
-1
-6
-5
Professor Guilherme Abelha
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
3
4
5
6
2020
82 / 99
Convolução
Exemplo
R
• (f ∗ g) (x) = h(x) =
∞
f (τ )g(x − τ ) dτ
−∞
1
f (τ )
0.5
τ
0
-0.5
-1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
g(x − τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
1
-1
h(x)
0.5
x
0
-0.5
-1
-6
-5
Professor Guilherme Abelha
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
3
4
5
6
2020
82 / 99
Convolução
Exemplo
R
• (f ∗ g) (x) = h(x) =
∞
f (τ )g(x − τ ) dτ
−∞
1
f (τ )
0.5
τ
0
-0.5
-1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
g(x − τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
1
-1
h(x)
0.5
x
0
-0.5
-1
-6
-5
Professor Guilherme Abelha
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
3
4
5
6
2020
82 / 99
Convolução
Exemplo
R
• (f ∗ g) (x) = h(x) =
∞
f (τ )g(x − τ ) dτ
−∞
1
f (τ )
0.5
τ
0
-0.5
-1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
g(x − τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
1
-1
h(x)
0.5
x
0
-0.5
-1
-6
-5
Professor Guilherme Abelha
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
3
4
5
6
2020
82 / 99
Convolução
Exemplo
R
• (f ∗ g) (x) = h(x) =
∞
f (τ )g(x − τ ) dτ
−∞
1
f (τ )
0.5
τ
0
-0.5
-1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
g(x − τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
1
-1
h(x)
0.5
x
0
-0.5
-1
-6
-5
Professor Guilherme Abelha
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
3
4
5
6
2020
82 / 99
Convolução com δ(x)
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
83 / 99
Convolução
Exemplo função δ(x)
• (f ∗ g) (x) = h(x) =
R
∞
f (τ ) δ(x − τ ) dτ
−∞
1
f (τ )
0.5
τ
0
-0.5
-1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
g(τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
1
-1
h(x)
0.5
x
0
-0.5
-1
-6
Professor Guilherme Abelha
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2
3
4
5
6
2020
84 / 99
Convolução
Exemplo função δ(x)
• (f ∗ g) (x) = h(x) =
R
∞
f (τ ) δ(x − τ ) dτ
−∞
1
f (τ )
0.5
τ
0
-0.5
-1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
g(x − τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
1
-1
h(x)
0.5
x
0
-0.5
-1
-6
Professor Guilherme Abelha
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2
3
4
5
6
2020
84 / 99
Convolução
Exemplo função δ(x)
• (f ∗ g) (x) = h(x) =
R
∞
f (τ ) δ(x − τ ) dτ
−∞
1
f (τ )
0.5
τ
0
-0.5
-1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
g(x − τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
1
-1
h(x)
0.5
x
0
-0.5
-1
-6
Professor Guilherme Abelha
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2
3
4
5
6
2020
84 / 99
Convolução
Exemplo função δ(x)
• (f ∗ g) (x) = h(x) =
R
∞
f (τ ) δ(x − τ ) dτ
−∞
1
f (τ )
0.5
τ
0
-0.5
-1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
g(x − τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
1
-1
h(x)
0.5
x
0
-0.5
-1
-6
Professor Guilherme Abelha
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2
3
4
5
6
2020
84 / 99
Convolução
Exemplo função δ(x)
• (f ∗ g) (x) = h(x) =
R
∞
f (τ ) δ(x − τ ) dτ
−∞
1
f (τ )
0.5
τ
0
-0.5
-1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
g(x − τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
1
-1
h(x)
0.5
x
0
-0.5
-1
-6
Professor Guilherme Abelha
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2
3
4
5
6
2020
84 / 99
Convolução
Exemplo função δ(x)
• (f ∗ g) (x) = h(x) =
R
∞
f (τ ) δ(x − τ ) dτ
−∞
1
f (τ )
0.5
τ
0
-0.5
-1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
g(x − τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
1
-1
h(x)
0.5
x
0
-0.5
-1
-6
Professor Guilherme Abelha
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2
3
4
5
6
2020
84 / 99
Convolução
Exemplo função δ(x)
• (f ∗ g) (x) = h(x) =
R
∞
f (τ ) δ(x − τ ) dτ
−∞
1
f (τ )
0.5
τ
0
-0.5
-1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
g(x − τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
1
-1
h(x)
0.5
x
0
-0.5
-1
-6
Professor Guilherme Abelha
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2
3
4
5
6
2020
84 / 99
Convolução
Exemplo função δ(x)
• (f ∗ g) (x) = h(x) =
R
∞
f (τ ) δ(x − τ ) dτ
−∞
1
f (τ )
0.5
τ
0
-0.5
-1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
g(x − τ )
1.5
1
0.5
τ
0
-6
-5
-4
-3
-2
1
-1
h(x)
0.5
x
0
-0.5
-1
-6
Professor Guilherme Abelha
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2
3
4
5
6
2020
84 / 99
Convolução
Propriedades algébricas
• Comutatividade: f ∗ g = g ∗ f
• Associatividade: f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h
• Distributividade: f ∗ (g + h) = (f ∗ g) + (f ∗ h)
• Convolução com degrau: f (x) ∗ u(x) =
R
x
f (τ ) dτ
−∞
• Derivada:

df
dg
d

 dx (f ∗ g) = dx ∗ g = f ∗ dx
∂f
∂g
∂x (f ∗ g) = ∂x ∗ g = f ∗ ∂x

∂
• Elemento neutro: f ∗ δ = f
• Conjugado complexo: f ∗ g = f¯ ∗ ḡ
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
85 / 99
Convolução
Consequência da comutatividade
• (f ∗ g) (x) = (g ∗ f ) (x)
1
f (x)
0.5
x
0
-0.5
-1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
g(x)
1.5
1
0.5
x
0
-6
-5
-4
-3
-2
1
-1
h(x)
0.5
x
0
-0.5
-1
-6
Professor Guilherme Abelha
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2
3
4
5
6
2020
86 / 99
Teorema da Convolução
Definição
Teorema
F {f ∗ g} = F {f } . F {g}
F {f . g} = F {f } ∗ F {g}
f . g = F −1 {F {f } ∗ F {g}}
f ∗ g = F −1 {F {f } . F {g}}
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
87 / 99
Transformada de Fourier 1D
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
88 / 99
Transformada de Fourier 1D
Definição
• A ideia de série de harmônicos remonta à matemática
babilônica
• Vários matemáticos modernos contribuı́ram: Euler,
Gauss, d’Allambert e Bernoulli
• J.-B. Joseph Fourier comprovou que qualquer função pode
ser representada por uma series de harmônicos
• A transformada de Fourier de f (x) é representada por
F {f (x)} e F (ω) e sua inversa por F −1 {F (ω)}:
Z ∞
F (ω) =
Professor Guilherme Abelha
f (x).e
−jωx
Z ∞
dx
f (x) =
−∞
F (ω).e
jωx
dω
−∞
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
89 / 99
Transformada de Fourier
Exemplo
(
1 x ∈ [- τ2 , τ2 ]
• f (x) =
0 x∈
/ [- τ2 , τ2 ]
• F (ω) = τ
h
sen ωτ
2
i
ωτ
2
f (x)
1
F (ω)
0.5
ω
x
0
-τ
2
-τ
4
Professor Guilherme Abelha
0
τ
4
τ
2
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
90 / 99
Professor Guilherme Abelha
Amostragem
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
91 / 99
Trem de Impulsos
Definição
• IIIT (x) =
∞
P
δ(x − nT )
n=−∞
···
···
x
-5T
-4T
F
• IIIT (x) ←→
-3T
-2T
-T
0
T
2T
3T
4T
5T
√
2π
(ω)
T III 2π
T
···
···
ω
- 10π
- 8π
- 6π
- 4π
- 2π
T
T
T
T
T
Professor Guilherme Abelha
0
2π
T
4π
T
6π
T
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
8π
T
10π
T
2020
92 / 99
Amostragem
Demonstração do cálculo
Prova
fs (x) =
R
∞
f (x) ·
−∞
∞
P
δ(x − nT) dx
=
f (x) · s(x)
F {fs (x)}
=
F {f (x)} ∗ F {s(x)}
Professor Guilherme Abelha
∞
P
1
n
Ts δ1 (u − Ts )
n=−∞
= F (u) ∗
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
∞
P
δ1 (x − nT)
n=−∞
n=−∞
fs (x)
Fs (u)
≡ f (x) ·
=
F (u) ∗ S(u)
=
∞
P
1
F (u − Tns )
Ts ·
n=−∞
2020
93 / 99
Amostragem
Representação Gráfica
f (x)
F (u)
u
x
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
S(u)
s(x)
···
···
x
-5Ts-4Ts-3Ts-2Ts-1Ts 0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts
···
···
u
- T4
s
f (x).s(x)
- T2
0
s
2
Ts
4
Ts
F (u) ∗ S(u)
x
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Professor Guilherme Abelha
u
- 1
Ts
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
0
1
Ts
2020
94 / 99
Reconstrução
Princı́pio básico
• O processo de amostragem preserva o sinal original e o
replica em infinitos harmônicos
• F (u) ∗ S(u) = F (u) + Fh (u)
F (u) ∗ S(u)
u
- T2
s
- T1
0
s
1
Ts
2
Ts
• A recuperação do sinal original, F (u), requer a supressão
de Fh (u)
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
95 / 99
Reconstrução
Princı́pio básico
• O processo de amostragem preserva o sinal original e o
replica em infinitos harmônicos
• F (u) ∗ S(u) = F (u) + Fh (u)
F (u) ∗ S(u)
u
- T2
s
- T1
0
s
1
Ts
2
Ts
• A recuperação do sinal original, F (u), requer a supressão
de Fh (u)
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
95 / 99
Reconstrução
Restrições básicas
• Para que seja possı́vel reconstruir sinal original algumas
restrições matemáticas precisam ser atendidas:
F (u) ∗ S(u)
u
- T2
s
- T1
0
s
1
Ts
2
Ts
• A função F (u) precisa ter domı́nio limitado e conhecido.
• A frequência de amostragem, fs , precisa ser superior a
duas vezes a frequência máxima do sinal, fmax .
• Este principio é expresso pelo teorema de
Nyquist–Shannon
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
96 / 99
Reconstrução
Restrições básicas
• Para que seja possı́vel reconstruir sinal original algumas
restrições matemáticas precisam ser atendidas:
F (u) ∗ S(u)
u
- T2
s
- T1
0
s
1
Ts
2
Ts
• A função F (u) precisa ter domı́nio limitado e conhecido.
• A frequência de amostragem, fs , precisa ser superior a
duas vezes a frequência máxima do sinal, fmax .
• Este principio é expresso pelo teorema de
Nyquist–Shannon
Professor Guilherme Abelha
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2020
96 / 99
Teorema de Nyquist-Sannon
Sobreposição de Harmonicos
• Para que seja possı́vel reconstruir sinal original não pode
haver sobreposição entre os harmônicos:
F (u) ∗ S(u)
Professor Guilherme Abelha
u
- T2
s
- T1
s
0
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
1
Ts
2
Ts
2020
97 / 99
Teorema de Nyquist-Sannon
Sobreposição de Harmonicos
• Para que seja possı́vel reconstruir sinal original não pode
haver sobreposição entre os harmônicos:
F (u) ∗ S(u)
Professor Guilherme Abelha
u
- T2
s
- T1
s
0
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
1
Ts
2
Ts
2020
97 / 99
Teorema de Nyquist-Sannon
Sobreposição de Harmonicos
• Para que seja possı́vel reconstruir sinal original não pode
haver sobreposição entre os harmônicos:
F (u) ∗ S(u)
Professor Guilherme Abelha
u
- T2
s
- T1
s
0
1
Ts
Semestre:
Visão
2020/1
Computacional
(CComp Uerj)
2
Ts
2020
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Teorema de Nyquist-Sannon
Sobreposição de Harmonicos
• Para que seja possı́vel reconstruir sinal original não pode
haver sobreposição entre os harmônicos:
F (u) ∗ S(u)
Professor Guilherme Abelha
u
- T2
s
- T1
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Leitura Recomendada
George Wolberg
Sampling, Reconstruction, and Antialiasing.
In: Allen B. Tucker (Editor), Computer Science
Handbook, Chapman and Hall/CRC, Second Edition,
2004.
Paulo S. R. Diniz, Eduardo A. B. da Silva, Sergio L. Netto
Processamento Digital de Sinais: projeto e análise de
sistemas.
Bookman, 2a edição, 2014.
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Fim da seção Conceitos Básicos
1 Conceitos básicos
2 Operações em imagens
3 Transformadas de Imagens
4 Sensores, Aquisição e Sistemas Cor
5 Segmentação de imagens
6 Reconhecimento de padrões
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