MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT
AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI URGANCH
FILIALI
Mustaqil ish
Tuychiyev Ravshan
Guruh: 972-21
Bajardi: Tuychiyev Ravshan
Mavzu: Chiziqsiz tenglamalar sistemasini taqribiy yech Chiziqli
algebraik tenglamalar sistemasini yechishda oddiy iteratsiya va
Zeydel usullari, ularning yaqinlashish shartlari ish
REJA
I.
II.
Kirish .
ASOSIY QISM
1. Oddiy iteratsiya metodi.
2. Nyuton metodi .
3. O‘zgartirilgan Nyuton metodi .
4. Interpolyasiya metodi .
5. Teskari inerpolyasiya metodi .
6. Oddiy interpolitsiya metodining yaqinlashishi.
III. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO`YXATI.
I.
Kirish.
Haqiqiy o‘zgaruvchili uzluksiz f(x) funksiya berilgan bo‘lsin.
f(x)=0
(1)
tenglamaning ildizlari yoki y =f(x) funksiyaning nollarini topish talab qilingan
bo‘lsin. Algebraik ko‘pxadlar holida tenglamaning,
ildizlari kompleks
bo‘lishini bilamiz. SHuning uchun masalani yana ham aniqroq qo‘yish lozim.
(1) - tenglamaning kompleks tekislikning biror-bir sohasidagi ildizlarini toping
degan masala qo‘yish, yana ham aniqrok bo‘ladi. Masalani echish ikki
bosqichdan iboratdir. Birinchi bosqichda ildizlarning joylashish sohasi
aniqlanadi va ular ajratiladi, ya’ni har birida birta ildizni o‘z ichida saqlovchi
sohalar aniqlanadi. Bundan tashqari yana karrali ildizlar va ularning karrali
soni aniqlanadi. SHuning bilan birga ildizlarga biror-bir boshlag‘ich
yaqinlashish topiladi. Ikkinchi bosqichda boshlang‘ich berilganlardan
foydalanib qidirilayotgan ildizni aniqlashtiruvchi iteratsion jarayon tanlanib
Tuychiyev Ravshan
uning yordamida ildizga etarlicha yaqin son topiladi.
Ixtiyoriy tenglamaning ildizlari joylashgan sohani aniqlaydigan biror - bir
yaxshi metod yo‘q.
Algebraik tenglamalar ildizlarining joylashishini aniqlovchi usullar
ancha yaxshi o‘rganilgan va bu metodlarning bir qanchasi algebra kursidan
sizga ma’lum.
CHiziqlimas tenglamalarni echish metodlari asosan iteratsion bo‘lib,
ular qidirilayotgan echimga (ildizga) etarlicha yaqin bo‘lgan boshlang‘ich
berilganning ma’lumligini (berilishini) talab qiladilar.
Iteratsion metodlarni o‘rganishga o‘tishdan odin (1)-tenglama ildizlarini
ajratishning ikkita sodda metodi bilan tanishamiz.
Birinchi metod: f(x) funksiyaning xk[a,b], k=0,1,…,n, nuqtalardagi f(xk)
qiymatlari topiladi. Agar k-ning biror-bir qiymatida f(xk)f(xk+1)<0 bo‘lsa, unda
tenglamaning
(xk,xk+1) intervalda tenglamaning eng kamida birta ildizi
mavjudligi ma’lum bo‘ladi. Undan so‘ng bu oraliq yana ham kichikroq
bo‘laklarga ajratilib ildizlarning joylashishlari aniqlashtiriladi.
Haqiqiy ildizlarni ajratishning ancha sodda usullaridan biri biseksiya
metodidir. Faraz qilamiz [a,b] oraliqda birta x* ildiz joylashgan bo‘lsin. f(a)>0 ,
a b
f(b)<0 bo‘lsin. x 
deb, f(x0) - ni hisoblaymiz. Agar f(x0)<0 bo‘lsa, ildiz
0
2
(a,x0), oraliqda agar f(x0)>0 bo‘lsa ildiz (x0,b) da joylashgan bo‘ladi. Bundan
so‘ng ikki intervaldan f(x) chegaralarida turli ishorali qiymatlarni qabul
qiladigan intervalni qaraymiz. Bu interval o‘rtasi x1 - ni topamiz. f(x1) - ni
hisoblab yuqoridagi jarayonni takrorlaymiz. Natijada o‘zlarida x* ildizni
saqlovchi, uzunliklari har gal ikki barobar qisqaradigan intervallarni hosil
qilamiz. Jarayon intervalning uzunligi >0 dan kichik bo‘lgandan so‘ng
to‘xtatiladi va x* ildizning taqribiy qiymati qilib shu oxirgi intervalning o‘rtasi
olinadi. Agar (a,b) intervalda bir qancha ildiz bo‘lsa, ularning qaysisiga
yaqinlashishini bilmaymiz.
Agar x* ildiz m- karrali bo‘lsa va topilgan bo‘lsa unda boshqa ildizni
topish
g ( x) 
f ( x)
( x  x )
m
Tuychiyev Ravshan
funksiya uchun qaytariladi.
ASOSIY QISM: 1)Oddiy iteratsiya metodi.
Bu metod (1)- tenglamani ekvivalent bo‘lgan
x=S(x)
(2)
tenglamaga almashtirilib iteratsiyalar
xk+1=S(xk), k=0,1,…
(3)
qoida bilan tashkil qilinadilar. Bunda x0 boshlang‘ich yaqinlashish beriladi.
Iteratsion ketma-ketlikning yaqinlashishi uchun S(x) funksiya katta rol
o‘ynaydi. Bu funksiyani turli usullar bilan aniqlash mumkin.
Odatda bu funksiya
(4)
S(x)=x+(x)f(x)
ko‘rinishda aniqlanadi, bunda (x) ildiz qidirilayotgan sohada o‘z ishorasini
S ( x )  1
o‘zgartirmaydigan funksiya. Bu metodning
bo‘lganda
yaqinlashishni keyinroq ko‘rsatamiz. Xususiy holda (x)= =const bo‘lganda
x  x
 f ( x ),
k  0 ,1,...
(5)
k 1
k

k
relaksatsiya metodi deb aytiladi.
Optimal parametrni tanlash uchun relaksatsiya tenglamasida
zk = xk - x*
almashirish bajarib
z k 1  z k

= f(x*+zk)
xatolik tenglamasini hosil qilamiz.
O‘rta qiymat haqidagi teoremaga asosan
f (x*+zk) = f (x*) + zkf (x*+ zk) = zkf (x*+ zk)
tenglikka ega bo‘lamiz. Bu erda
metodining xatoligi uchun
z k 1  z k

(0,1). SHunday qilib relaksatsiya
= f(x*+ zk)zk
tenglikka ega bo‘lamiz.
Bundan
z k 1  1  f  x   z k  z k
 max 1  f  x   z k  z k
Tuychiyev Ravshan
tengsizlik hosil bo‘ladi.
Agar ildizning biror bir atrofida
f ( x )  0 ,
0  m1  f ( x )  M 1
(6)
munosabatlar bajarilsa
z   max 1  f ( x   z ) z  max 1  m , 1  M  z
k 1
k
x
k
1
1
k
tengsizlikka ega bo‘lamiz.
SHunday qilib optimal parametrni aniqlash
q ( )  max 1  M 1 , 1  m 1 
funksiyaning bo‘yicha minimumini topishga olib kelindi. q( ) funksiyaning
grafigidan uning minimumi
1  M 1  1  m 1 
shartdan aniqlanishi lozim ekanligi kelib chiqadi va
  
0
bo‘ladi. - ning bu qiymatida
q ( 0 )   0 
2
( M 1  m1 )
1 
1 
,

m1
M1
,
bo‘ladi.
SHu sababli xatolik uchun
zk
 k z ,
0
0
k  0 ,1,...
baho o‘rinlidir.
2)Nyuton metodi.
Faraz qilamiz boshlang‘ich yaqinlashish x0 ma’lum bo‘lsin.
funksiyani Teylor qatorining kesmasi bilan almashtiramiz.
f(x) H1(x) = f(x0) +f (x0)(x-x0)
va keyingi yaqinlashish sifatida H1(x) = 0 tenglama ildizini olamiz, ya’ni
x1  x 0 
f(x)
f ( x0 )
f ( x 0 )
qilib olamiz.
Umuman, agar xk yaqinlashish ma’lum bo‘lsa, Nyuton metodi bo‘yicha xk+1
Tuychiyev Ravshan
yaqinlashishi
x k 1  x k 
f ( xk )
f ( x k )
,
k  0 ,1, 2 ,...
(7)
kabi aniqlanadi.
Nyuton metodi, boshqacha yana urinmalar metodi ham deb aytiladi,
chunki xk+1 nuqta f(x) funksiya grafigining (xk,f(xk)) nuqtasida o‘tkazilgan
urinmaning abssissa o‘qi bilan kesishgan nuqtasining abssissasidir. Bu
metodning yaqinlashishi keyinroq ko‘rsatiladi. Hozir bu metodning o‘ziga xos
xususiyatlarini bayon etamiz.
Birinchidan metod kvadratik yaqinlashishga ega, ya’ni keyingi
qadamdagi yaqilashish xatoligi oldingi qadamdagi xatolikning kvadratiga
proporsional:
2
xk+1 - x* = O((xk - x*) ).
Ikkinchidan metodning bunday yaqinlashishiga, boshlang‘ich
yaqinlashishning ildizga etarlicha yaqin bo‘lgandagina kafolat bersa bo‘ladi.
Agar boshlang‘ich yaqinlashish noqulay tanlangan bo‘lsa, metod yo sekin
yaqinlashadi, yo umuman yaqinlashmasligi mumkin.
3)O‘zgartirilgan Nyuton metodi.
Agar f(x) hosilaning qiymatini ko‘p marta hisoblashdan qutilmoqchi
bo‘lsalar, unda
x k 1  x k 
f ( xk )
f ( x 0 )
,
k  0 ,1, 2 ,...
(8)
formuladan foydalanadilar.
Bu metod boshlang‘ich yaqinlashishga uncha ko‘p talab qo‘ymaydi,
lekin u sekin, faqat birinchi tartibli yaqinlashadi. (10) – metod f ( x )  0
bo‘lganda nolga bo‘lish sodir bo‘lmasligiga kafolat beradi.
4)Kesuvchilar metodi
Bu metod Nyuton metodidan f '(xk) ni
f ( x k )  f ( x k 1 )
x k  x k 1
Tuychiyev Ravshan
chekli ayirma bilan almashtirishdan hosil bo‘ladi.
Natijada
x k 1  x k 
x k  x k 1
f ( x k )  f ( x k 1 )
f ( x k ),
k  1, 2 ,...
(9)
ikki qadamli iteratsion metod hosil bo‘ladi. (9) - metodda oldin ikkita
boshlang‘ich x0 , x1 yaqinlashishlarni berishga to‘g‘ri keladi. Bu metodning
geometrik talqini quyidagidan iborat: (xk-1,xk) oraliqda y=f(x) funksiya grafigi
(xk-1 , f(xk-1)) va (xk, f(xk)) nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq bilan almashtirilib
uning abssissa o‘qi bilan kesishgan nuqtasi keyingi yaqinlashish sifatida
olinadi.
4)Interpolyasiya metodi.
Interpolyasiya metodlarining asosiy g‘oyasi f(x) funksiyani bu
funksiyaning interpolyasion ko‘phadi bilan almashtirib bu interpolyasion
ko‘phad ildizlarini aniqlashdan iborat. Birinchi tartibli interpolyasion metod,
bu kesuvchilar metodidan iborat. Ikkinchi tartibli interpolyasion metod
parabolalar metodi deb aytiladi. Nyuton metodi ermit interpolyasion
metodidan kelib chiqadi.
Parabolalar metodining formulalarini keltirib chiqaramiz. Buning uchun
xk-2,xk-1,xk yaqinlashishlarni aniqlab Nyutonning ikkinchi tartibli interpolyasion
P2(x)=f(x)+(x-xk)f(xk,xk-1)+(x-xk)(x-xk-1)f(xk,xk-1,xk-2),
ko‘phadini quramiz. zk = x-xk deb belgilab
az2+bz+c=0,
(10)
bu erda
a=f(xk,xk-1,xk-2), b=f(xk,xk-1)+(xk-xk-1)f(xk,xk-1,xk-2), c=f(xk)
tenglamani hosil qilamiz. (10)- tenglamani z1 va z2 ildizlarini topib x(1)=xk+z1 ,
x(2)=xk+z2 qiymatlarini hosil qilamiz. Keyingi yaqinlashish sifatida x(1) , x(2)
lardan xk ga yaqin bo‘lganini olamiz. Parabola metodi kompleks ildizlarni
topish uchun qulaydir.
5)Teskari interpolyasiyadan foydalanish
Tuychiyev Ravshan
f(x) ga teskari bo‘lgan x=(y) funksiyani interpolyasiyalash bilan bir
qancha iteratsion metodlarni hosil qilish mumkin.
Agar x* , f(x)=0 tenglamaning ildizi bo‘lsa , (0) =x* bo‘ladi. SHunday kilib x*
ildizni topish (0) qiymatni topishga olib kelinadi. Faraz qilamiz x* ildizga
x0,x1,...,xk yaqinlashishlar ma’lum bo‘lsinlar. Unda yi = f(xi) , i=0,1,...,k
qiymatlarni hisoblash mumkin va y0 ,y1 ,...,yk
tugun nuqtalar (qiymatlar)
berilgan deb hisoblash mumkin.
Ulardan x0=(y0),x1=(y1)
ma’lum
,...,
xk=(yk)
bo‘ladi.
(yi,(yi)),
i=0,1,2,...,k nuqtalar bilan Lk(y) interpolyasion ko‘pxad quriladi va
xk+1
yaqinlashish sifatida Lk(0) olinadi. CHiziqli teskari interpolyasiya (k=1)
kesuvchilar metodiga olib keladi. (k=2) kvadratik teskari interpolyasiya
x   x  x  ( y , y  )  x  x  ( y , y  , y  ),
k 1
k
k
k
k 1
k 1
k
k
k 1
k
2
parabola metodidan farq qiluvchi metodga olib keladi. YUqorida bayon
qilingan iteratsion metodlar berilgan boshlang‘ich yaqinlashishlarda faqat
birta ildizni topishga imkon beradilar. Boshqa ildizlarni topish uchun boshqa
boshlang‘ich berilganlar tanlash lozim.
6)Oddiy iteratsiya metodining yaqinlashishi.
f(x)=0
(1)
tenglamani ekvivalent
x=S(x)
(2)
ko‘rinishda yozamiz va x0 dastlabki yaqinlashishni tanlab olib
xk+1=S(xk), k=0,1,…
(3)
oddiy iteratsiyani qaraymiz. (3)-iteratsiya yaqinlashadi deb aytiladi, agar {xk}
ketma-ketlik k, limitga ega bo‘lsa. Quyidagi teoremada (2)-tenglamaning
echimi mavjudligi va yagonaligiga kafolat beruvchi shartlar bayon qilinadi.
Agar to‘plamning ixtiyoriy x , x nuqtalari uchun
S ( x )  S ( x )  q x   x 
(4)
tengsizlik bajarilsa S(x) funksiya to‘plamda Lipщits shartini qanoatlantirdi
deb aytiladi (yoki lipщits uzluksiz). Kelajakda x lar to‘plami sifatida
Ur(a) = x : x  a  r 
Tuychiyev Ravshan
(5)
markazi a- da bo‘lgan uzunligi 2r ga teng kesma qaraladi.
Teorema. Agar S(x) Ur(a) kesmada q (0,1) o‘zgarmasli lipщits uzluksiz
bo‘lib,
S ( a )  a  (1  q ) r
(6)
bajarilsa, unda (2)- tenglama Ur(a) da yagona x* echimga ega bo‘lib, (3)iteratsion ketma-ketlik ixtiyoriy x0 Ur(a) uchun x* ga yaqinlashadi.
Xatolik uchun
x k  x  q x0  x ,
k  0 ,1, 2 ,...,
k
(7)
(tengsizlik) baho o‘rinli bo‘ladi.
Isbot. Eng avval xk Ur(a) k=1,2,.. ekanligini isbot qilamiz. Faraz qilamiz
xj Ur(a) bo‘lsin, xj+1 Ur(a) ekanligini isbot qilamiz.
x j 1  a  S ( x j )  a  ( S ( x j )  S ( a ))  ( S ( a )  a )
tenglikdan
x j 1  a  S ( x j )  S ( a )  S ( a )  a
ekanligi ma’lum bo‘ladi.
Bundan lipщits - uzluksizlikni, induksiya farazini va (6)- ni inobatga olib
S ( x j )  S ( a )  q x j  a  qr ,
x j 1  a  qr  (1  q ) r  r ,
ya’ni xj+1 Ur(a) ekanligini hosil qilamiz.
Endi ikki qo‘shni xj+1 va xj yaqinlashishlar orasidagi farqni baholaymiz.
x j 1  x j  S ( x j )  ( Sx j 1 )
va barcha xj lar Ur(a) dan bo‘lganligi uchun
x j 1  x j
q x x 
j
j 1
yoki
x j 1  x j  q x 1  x 0 ,
k
j  1, 2 ,...
(8)
tengsizlik hosil bo‘ladi.
(8)- baho {xk} ketma-ketlikni fundamental ekanligini ko‘rsatishga imkon
beradi. Haqiqatdan ham p ixtieriy natural son bo‘lsin.
Unda
Tuychiyev Ravshan
p
x k  p  x k  ( x k 1  x k )  ( x k  2  x k 1 )  ...  ( x k  p  x k  p 1 )   ( x k  p 1  x k  p 1 ) .
j 1
(8)- ga asosan
xkp  xk
p
 x  x q
1
0
k  j 1
q
j 1
k
1q
p
1q
x1  x 0 
q
k
1q
x1  x 0 ,
ya’ni
xkp  xk

q
k
1q
x1  x 0 ,
k , p  1, 2 ,...
(9)
bu tengsizlikdan k , o‘ng tomoni nolga intiladigan bo‘lganligi uchun va pga bog‘liq bo‘lmaganligi uchun {xk} ning fundamentalligi kelib chiqadi.
Demak
lim x  x   U ( a )

k
k
r
(3)- da limitga o‘tib va S(x) funksiyaning uzluksizligini hisobga olib
x*=S(x*)
ekanligiga, ya’ni x* ildiz ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Faraz qilamiz x* (2)ning Ur(a)- ga tegishli boshqa biror bir ildizi bo‘lsin. Unda
|x*-x*'|=|S(x*)-S(x*')|
va teoremaning shartiga ko‘ra
|x*-x*'| q|x*-x*'|.
Bunda q<1 bo‘lganligi uchun, oxirgi tengsizlik x* = x*' bo‘lgandagina bajariladi,
ya’ni echim birdan-bir ekanligi kelib chiqadi.
(7)- tengsizlikni isbot qilamiz.
(3)- munosabatdan
f(x)=0
(1)
tenglama oddiy haqiqiy x* ildizga ega bo‘lsin, f(x*)=0 va f'(x*) 0
bo‘lsin. Faraz qilamiz f(x) funksiya x* ildizning etarlicha yaqin atrofida ikki
marta uzluksiz hosilalarga ega bo‘lsin.
x k 1  x k 
f ( xk )
f ( x k )
,
k  0 ,1,...,
(2)
Nyuton metodini tadqiq etamiz. Eng avval (2)- ni oddiy iteratsiya metodining
xususiy holi sifatida qaraymiz:
Tuychiyev Ravshan
x k 1  S ( x k ),
k  0 ,1,...
S ( x)  x 
f ( x)
f ( x )
(3)
(4)
.
Oldin, biz (3)- metodning yaqinlashishi uchun ildizning etarlicha yaqin
atrofida
S ( x )  q  1
(5)
tengsizlikning bajarilishi etarli ekanligini ko‘rsatgan edik.
(4)- funksiya uchun
f ( x ) f ( x )
S ( x ) 
( f ( x ))
2
munosabat o‘rinli.
Agar x*, f(x) ning ildizi bo‘lsa, unda S(x*)=0 bo‘ladi. SHu sababli ildizning
shunday atrofi borki (5) - tengsizlik bajariladi. Demak x0 boshlang‘ich
yaqinlashishni shunday tanlab olish mumkinki Nyuton metodi yaqinlashadi.
Bu yaqinlashish oddiy yaqinlashish bo‘lmasdan u aslida kvadratik
yaqinlashishdir.
Quyidagi teorema Nyuton metodining kvadratik yaqinlashuvchi
ekanligini ko‘rsatadi.
1-teorema. Faraz qilamiz x* (1)-tenglamaning oddiy haqiqiy ildizi bo‘lib
Ur(x*)={x : |x-x*|<r}
atrofda f ( x )  0 bo‘lsin. Faraz qilamiz f(x) , Ur(x*) atrofda uzluksiz va
0  m 1  int
x U r ( x )
f ( x ) ,
M 2  sup
x U r ( x  )
f ( x )
(6)
bo‘lib ,
M 2 x0  x
2 m1
1
(7)
bo‘lsin. Unda agar x0 Ur(x*) bo‘lsa, (2)- Nyuton metodi yaqinlashadi va xatolik
uchun
x k  x  q
2
k
1
x0  x
baho o‘rinli , bunda
q 
M 2 x0  x
2 m1
 1.
Tuychiyev Ravshan
(8)







Tayanch iboralar :
Ildiz (echim) .
Oraliqni teng ikkiga bo‘lish .
Ildizlarni ajratish .
Ildizga ketma-ket yaqnlashish .
Taqribiy ildizning xatoligi .
Yaqinlashish tezligi .
Interpolyasion metod .
Tuychiyev Ravshan