개념원리 RPM 수학1 정답및해설

문제기본서 수학 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_001~027_1단원_01,02강_ok.indd 1 2017-11-10 오후 4:26:39 01 Ⅰ. 지수함수와 로그함수 지수 교과서 문제 0010 답 ㄱ, ㄴ 0011 {Ü"Ã(-2)Ý` }Ü``=(Ü"Å2Ý`)Ü`=2Ý`=16 정 /복 /하 /기 본문 7쪽 0001 -8의 세제곱근을 x라 하면 xÜ`=-8이므로 xÜ`+8=0, (x+2)(xÛ`-2x+4)=0 답 16 0012 (¡'16)Û`=¡"16Û`=¡"(2Ý`)Û`=¡"2¡`=2 답2 0013 Ü'4_Ü'16=Ü'Ä4_16=Ü'64=Ü"Å4Ü`=4 ∴ x=-2 또는 x=1Ñ'3 i 따라서 -8의 세제곱근 중 실수인 것은 -2이다. 답 -2 답4 Ý'80 0014 Ý'5 =Ý®É:¥5¼:=Ý'16=Ý"Å2Ý`=2 0002 81의 네제곱근을 x라 하면 xÝ`=81이므로 답2 xÝ`-81=0, (xÛ`+9)(xÛ`-9)=0 (xÛ`+9)(x+3)(x-3)=0 0015 Ü"Ã'¶729_"Ã'¶256‌=ß'¶729_Ý'¶256=ß"Å3ß`_Ý"Å4Ý` ∴ x=Ñ3i 또는 x=Ñ3 ‌ =3_4=12 따라서 81의 네제곱근 중 실수인 것은 -3, 3이다. 답 12 답 -3, 3 0003 ‌0.027의 세제곱근을 x라 하면 xÜ`=0.027이므로 0016 ‌답 1 0017 답1 0018 ‌답 ;1Á6; 0019 답 ;2Á5; 0020 ‌답 9 0021 답 81 0022 ‌답 ;4!; 0023 답 ;5$; 답 -;3@; 0025 답 ;3!; xÜ`-0.027=0, (x-0.3)(xÛ`+0.3x+0.09)=0 이때 xÛ`+0.3x+0.09=0은 실근을 갖지 않으므로 0.027의 세제곱근 중 실수인 것은 0.3이다. 답 0.3 0004 ‌(-2)Ý`=16의 네제곱근을 x라 하면 xÝ`=16이므로 xÝ`-16=0, (xÛ`+4)(xÛ`-4)=0 (xÛ`+4)(x+2)(x-2)=0 ∴ x=Ñ2i 또는 x=Ñ2 0024 따라서 (-2)Ý`의 네제곱근 중 실수인 것은 -2, 2이다. 답 -2, 2 ;4#; ;4!; ;2#; ;4!; ;2#;+;4!; ;4&; 0026 (a )Û`_a =a _a =a =a ;4&; 0005 -16의 네제곱근을 x라 하면 xÝ`=-16이므로 x의 값 답a 중 실수인 것은 없다. 답 없다. 0006 'Ü Ä0.008=Ü"Ã0.2Ü`=0.2 0007 "Þ Ã(-3)Þ`=-3 ;1Á2; ;4!; ;4!; ;6!; ;3$; 0027 (aÜ`bÛ`) _(a 3 b )Ý`‌=a b _a b 1 =a 1 +;3$; ;6!;+1 4 b ‌ ;1!2(; ;6&; =a b 답 -3 ;6&; 19 답 0.2 답 a 12 b -;2!; ;3!;‌ ;2#; ;5!; -;2!; 0028 ("ÅaÜ`_Þ'a_a ) =(a _a _a ) 3 ‌ 1 1 0008 "ß Ã(-1)ß`=ß"Å1ß`=1 0009 Ü®É-;2¥7;=Ü¾¨{-;3@;}3`=-;3@; 002 답1 답 -;3@; =(a;2#;+;5!;-;2!;) 3 =(a;5^;);3!;=a;5@; ;5@; 답a -;4#; ;4#; -;2#; ;2!; ;4#; -;2#;+;2!;-;4#; =a-;4&; 0029 (a )Û`_'aÖa =a _a Öa =a -;4&; 답a 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_001~027_1단원_01,02강_ok.indd 2 2017-11-10 오후 4:26:40 '4 '25 'Ä100 0030 (3 ) =3 =3Ú`â` 이때 81의 네제곱근 중 실수인 것은 -3, 3이다. 답 3Ú`â` ③ 제곱근 9는 '9=3이다. ④ -1의 제곱근을 x라 하면 xÛ`=-1에서 x=Ñi '3 6 0031 8 '3 2 '3 6 _2 ‌=(2Ü`) '3 2 '3 2 _2 =2 '3 2 '3 '3 - + 2 2 _2 =2 =1 ⑤‌ 27의 세제곱근을 x라 하면 xÜ`=-27에서 ‌ xÜ`+27=0, (x+3)(xÛ`-3x+9)=0 답1 '2 '18 '8 ∴ x=-3 또는 x= '2+'18-'8 0032 4 _4 Ö4 =4 2'2 =4 =2 4'2 1 '6 ®;3@; '3 2 '6 '2 '3 '3 '2 '2 ‌ 이때 -27의 세제곱근 중 실수인 것은 -3이다. 4'2 답2 3Ñ3'3i 2 ‌ 따라서 옳은 것은 ⑤이다. 답⑤ '2 0033 (4 _3 ) =(2 _3 ) =2 _3 =6 '2 답6 0039 ① a<0일 때, (Ü'Ä-a)Ü`=-a이다. ② (-2)Û`=4의 제곱근은 Ñ2이다. ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; ③' ‌ ¶256="Å2¡`=2Ý`이므로 '¶256의 네제곱근을 x라 하면 ‌ ;2!; 0034 (x +y )(x -y )=(x )Û`-(y )Û`=x-y xÝ`=2Ý`에서 xÝ`-2Ý`=0, (xÛ`+2Û`)(xÛ`-2Û`)=0 답 x-y (xÛ`+2Û`)(x+2)(x-2)=0 ;3!; ;3!; ;3@; ;3!; ;3!; ;3@; ;3!; ;3!; 0035 (x +y )(x -x y +y )=(x )Ü`+(y )Ü`=x+y 답 x+y ‌ ‌ ∴ x=Ñ2i 또는 x=Ñ2 ④n ‌ 이 짝수이고 a>0일 때, xÇ`=a를 만족시키는 실수 x의 값은‌ Ç 'a, -Ç 'a의 2개이다. ⑤n ‌ 이 홀수일 때, -3의 n제곱근 중 실수인 것은 ‌ Ç '¶-3=-Ç '3이다. 유형 익 히 기 / / 본문 8~12쪽 0036 ㄱ. 27의 세제곱근 중 실수인 것은 Ü'¶27=Ü"Å3Ü`=3이다. (거짓) ㄴ. ' ‌ 4=2의 세제곱근 중 실수인 것은 Ü'2이다. (거짓) ㄷ. 1‌ 6의 네제곱근 중 실수인 것은 ÑÝ'16=ÑÝ"Å2Ý`=Ñ2이다. ㄹ. ' ‌ 81=9의 네제곱근을 x라 하면 (참) ‌ xÝ`=9이므로 xÝ`-9=0, (xÛ`+3)(xÛ`-3)=0 따라서 옳은 것은 ⑤이다. 답⑤ 0040 ① Ü'2_Ü'4=Ü'8=Ü"Å2Ü`=2 ② Ü"Ã2_Ü'64=Ü"Ã2_Ü"Å2ß`=Ü"Ã2_2Û`=Ü"Å2Ü`=2 ③ Ü'Ä-27 Ü"Ã(-3)Ü` -3 = = =-;2#; 2 Ü'8 `Ü"Å2Ü` ④ {Ü'5_ 1 1 1 }6`=(Ü'5 )ß`_{ }6`=5Û`_ =;5!; '5 '5 5Ü` ⑤ "Ã2_Ü'4ÖÜ"Ã4'2="ÃÜ "2Ü`_4ÖÜ "Ã"4Û`_2=ß"Å2Þ`Öß"Å2Þ`=1 ‌ x=Ñ'3i 또는 x=Ñ'3의 4개이다. (참) 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 따라서 옳은 것은 ㄷ, ㄹ이다. 답④ 답 ㄷ, ㄹ 0041 ⑴ a='32ÖÝ'4='32ÖÝ"Å2Û`='32Ö'2='16=4 0037 -64의 세제곱근 중 실수인 것은 b=Ü"Ã'64=ß'64=ß"Å2ß`=2 Ü'Ä-64=Ü"Ã(-4)Ü`=-4의 1개이므로 a=1 ∴ ;bA;=;2$;=2 5의 네제곱근 중 실수인 것은 -Ý'5, Ý'5의 2개이므로 b=2 ∴ ab=2 답2 ⑵ Ú`Û"2Ã aÞ`bÝ`_Ý"Ã2abÛ`Öß"Ã4aÜ`b‌= Ú`Û"Ã2aÞ`bÝ`_Ú`Û"Ã2ÜàÜ`bß` Ú`Û"Ã4Ûàß`bÛ` =Ú`Û¾¨ 0038 ① 25의 제곱근을 x라 하면 xÛ`=25에서 xÛ`-25=0, (x+5)(x-5)=0 ∴ x=Ñ5 ② 8‌ 1의 네제곱근을 x라 하면 xÝ`=81에서 xÝ`-81=0, (xÛ`+9)(xÛ`-9)=0 (xÛ`+9)(x+3)(x-3)=0 ∴ x=Ñ3i 또는 x=Ñ3 ‌ "Å2Þ` Ý""Å2Þ` '3 ‌ 16a¡`bÚ`â` =Ú`" Û aÛ`b¡`=ß"abÝ` 16aß`bÛ` 답 ⑴ 2 ⑵ ß "abÝ` ß"'3 " ¡ Å2Þ` Ú`Û'3` ‌= _ = _ ‌ 0042 7Ý 9 'Ü 3 _ß7 9 Ç "Å2á` Ý"Ü'3 ß"Ç "Å2á` Ú`Û'3 ß` Ç "Å2á` = " ¡ Å2Þ` ß` Ç "Å2á` 01. 지수 알피엠_수Ⅰ_해설_001~027_1단원_01,02강_ok.indd 3 003 2017-11-10 오후 4:26:41 " ¡ Å2Þ` " ¡ Å2Þ` =¡'4=¡"Å2Û` 에서 ß`Ç "Å2á`= =¡"Å2Ü`=Û`Ý"Å2á` " ¡ Å2Û` ß` Ç "Å2á` 단계 따라서 6n=24이므로 n=4 답4 Ý'a Ü'a Ü'a Ü"Ý'a Ý"Þ'a Þ"Ü'a Ü ¨ ÖÝ¾¨ _Þ¾¨ ‌= _ _ 0043 ¾ Þ a ' Þ'a Ý'a Ü"ÃÞ'a Ý"ÃÜ'a Þ"ÃÝ'a = Ú`Û'a Û`â'a Ú`Þ'a _ _ =1 Ú`Þ'a Ú`Û'a Û`â'a ‌ 채점요소 배점  주어진 네 수를 같은 거듭제곱근으로 나타내기 50 %  a, b의 값 구하기 30 %  aÚ`Û`+bÚ`Û`의 값 구하기 20 % 0047 A="Ã2_Ü'3=Á°Ü"Å2Ü`_Ü'3="ÃÜ'24=ß'24 B=Ü"Ã3'2=ÜÁ°"Å3Û`_'2=Ü"Ã'18=ß'18 답1 C=Ü"Ã2'3=ÜÁ°"Å2Û`_'3=Ü"Ã'12=ß'12 따라서 ß'12<ß'18<ß'24이므로 C<B<A 0044 A="'5=Ý'5, B=Ü'3, C="ÃÜ'10=ß'10에서 답⑤ 4, 3, 6의 최소공배수가 12이므로 A=Ý'5=Ú`Û"Å5Ü`=Ú`' Û ¶125 ;2!; -;3!; ;2#;‌ 27 ;2!; -;2!; 0048 {:ª5¦:} _[{;1ª2¦5;} ] ={ 5 } _{;1ª2¦5;} B=Ü'3=Ú`Û"Å3Ý`=Ú`Û'81 C=ß'10=Ú`Û"10Û`=Ú`Û'¶100 따라서 Ú`Û'81<Ú`Û'¶100<Ú`' Û ¶125이므로 B<C<A 답④ ={ ;2!; 27 ;2!; } _{:Á2ª7°:} 5 ={ ;2!; 27 _:Á2ª7°:} 5 ‌ ‌ ‌ 1 =25 2 =5 답5 0045 A=Ü®;4!;, B=Ý®;6!;, C=Ü¾¨®É;1Á7;=ß®É;1Á7; 에서 0049 aÑ¡`_(aÑÜ`)ÑÛ`ÖaÑÞ`‌=aÑ¡`_aß`ÖaÑÞ` 3, 4, 6의 최소공배수가 12이므로 A=Ü®;4!;=Ú`Û¾¨{;4!;}4`=Ú`® Û É;25!6; ‌ =a-8+6-(-5)=aÜ` B=Ý®;6!;=Ú`¾ Û ¨{;6!;}3`=Ú`® Û É;21!6; ∴ k=3 답3 C=ß®É;1Á7;=Ú`Û¾¨{;1Á7;}2`=Ú`Û®É;28!9; 0050 ⑴ 27â`+{;3!;}- 3`=1+3Ü`=1+27=28 따라서 Ú`Û®É;28!9;<Ú`Û®É;25!6;<Ú`Û®É;21!6;이므로 C<A<B 답⑤ 1 3Û`Û`+1 +3Ú`Û` 3Ú ` ` â 3Ú`â` 3ÑÚ`â`+3Ú`Û` 3Ú`Û`(3Û`Û`+1) 3Ú`Û` ⑵ ‌= = = = ‌ 3Ú`â`+3ÑÚ`Û` 3Ú`â`(3Û`Û`+1) 3Ú`â` 1 3Û`Û`+1 3Ú`â`+ 3Ú`Û` 3Ú`Û` =3Û`=9 0046 '2, Ü'3, Ý'5, Ü"'7=ß'7에서 2, 3, 4, 6의 최소공배수가 답 ⑴ 28 ⑵9 12이므로 '2=Ú`Û"Å2ß`=Ú`Û'64 ;3!; ;6!; ;3!; ;6!; ;2!; 0051 ㄱ. 2 _2 =2 ± =2 ='2 (참) Ü'3=Ú`Û"Å3Ý`=Ú`Û'81 ㄴ. (9ÑÛ`);4!;=(3ÑÝ`);4!;=3ÑÚ`=;3!; (참) Ý'5=Ú`Û"Å5Ü`=Ú`Û'¶125 ㄷ. {(-3)Û`};2#;=(3Û`);2#;=3Ü`=27 (거짓) ß'7=Ú`Û"Å7Û`=Ú`Û'49 ∴ Ú`Û'49<Ú`Û'64<Ú`' Û 81<Ú`Û'¶125  ㄹ. ('2)2'2={('2)Û`}'2=2'2 (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 따라서 가장 큰 수는 Ú`Û'¶125, 가장 작은 수는 Ú`' Û 49이므로 답② a=Ú`' Û Ä125, b=Ú`' Û 49  a¡`Öa2'3Ö(a3-'3)Û`=a8-2'3Öa6-2'3 ‌ 0052 (주어진 식)‌= =a8-2'3-6+2'3=aÛ`=aû` ∴ aÚ`Û`+bÚ`Û`=125+49=174  답 174 004 ∴ k=2 답2 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_001~027_1단원_01,02강_ok.indd 4 2017-11-10 오후 4:26:42 0058 ⑴ ÚÞaÛ`_Á°a_Ü"ÅaÝ`‌="ÅaÛ`_"'a_ÚÞÁ°Ü"ÅaÝ` ‌ -;3!; ;2!; ;2!; ;3$; -;4#; -1 0053 (a b ) _(a b ) ="ÅaÛ`_Ý'a_Ú`" Û ÅaÝ` =a-;6!;_b;4!;_a-;3$;_b;4#; 1 4 =a_a _a;3!; =a-;6!;-;3$;_b;4!;+;4#;=a-;2#;b = ‌ 1 =a1+ 4 +;3!;=a;1!2(; b b'a = a'a aÛ` 답② ;3@; 3 2 -;4#; ;2#; ;3@; -;4#; 0054 18 _24 Ö9 ‌=(2_3Û`) _(2Ü`_3) Ö(3Û`) ‌ 3 =2 2 _3Ü`_2Û`_3;3@;_3;2#; =2 3 +2 2 ‌ 3+;3@;+;2#; _3 7 2 ‌ Ü7 9 n n-10 Ý"aÇ ` ÜÁ°Ý"aÇ ` Ú`Û"aÇ ` a;1÷2; = = = =a 12 -;6%;=a 12 ;6%; "aÞ` ß"aÞ` ÜÁ°"aÞ` a 따라서 a;1!2(;=a n-10 12 이므로 19=n-10 ∴ n=29 ⑵ Ç Á°27_Ü"Ã9_Ý'3‌=Ç '27_Ç "Ü'9_Ç Á°Ü"Ý' 3 :£6Á: 3 ∴ x=;2&;, y=:£6Á: 2 ;n!; ;n!; 0055 { `2Ú`Û` } =(2ÑÚ`Û`) =2 n ‌ ‌ 12 15 4n =3 =3 15 Ý"Å3Ü`=3;4#;이므로 =;4#; ∴ n=5 4n 답 ⑴ 29 12 4  2Ñ n 이 정수이려면 - 1 3 2 1 + + n 3n 12n 45 12n 답 :ª3¤: 12n =3 n _3 3n _3 12n =3 ∴ x+y=:ª3¤: ‌ =Ç "3Ü`_ "3Û`_ '3 ‌ 3n =2 _3 1 ‌ ;3!; 4 0059 A‌=Ü®É4'4_ Ý'4 ={4'4_ Ý'4 } 1 =(41+;2!;_41-;4!;) 3 =(4;2#;+;4#;);3!; 12 가 음이 아닌 정수이어야 하므로 n ⑵5 ‌ ‌ 1 3 =(4;4(;) =4;4#;=(2Û`);4#;=2;2#;  정수 n은 -1, -2, -3, -4, -6, -12의 6개이다.  3 따라서 AÇÇ`, 즉 (2 2 )Ç` 이 정수가 되도록 하는 자연수 n의 최솟값 은 2이다. 답2 답6 단계 채점요소 배점 ;8!; ;6!; 0060 5¡`=a, 8ß`=b에서 5=a , 8=b 이므로 200Ú`â`=(5Û`_8)Ú`â`={(a;8!;)Û`_b;6!;}Ú`â`=a;2%;b;3%;  { 1 ;n!; } 을 지수법칙을 이용하여 간단히 하기 2Ú`Û` 30 %  { 1 ;n!; } 이 정수가 되도록 하는 n의 조건 구하기 2Ú`Û` 40 %  정수 n의 개수 구하기 답④ 30 % 0056 "Ý'a_Á°a"Ãa'a‌=¡'a_'a_"'a_Á°"'a =¡'a_'a_Ý'a_¡'a 1 8 =a _a;2!;_a;4!;_a;8!; Ú`Û"Å6à`=Ú`Û"Ã(2_3)à`=Ú`Û"Ã(aÜ`bÝ`)à`=(aÜ`bÝ`);1¦2;=a;4&;b;3&; ‌ ;4!; 0062 a=25Û`=5Ý`에서 a =5이므로 ‌ 125Ü`=(5Ü`)Ü`=5á`=(a;4!;)á`=a;4(;=aû` 1 답④ ;2!; ;3!; ;4!; ;2!;+;3!;+;4!; =a;1!2#; 0057 P='a Ü'a Ý'a=a _a _a =a Q=aÁ°a"Åaû`‌=a_'a_Á°"Åaû`=aÚ`_a;2!;_a;4K;=a1+;2!;+;4K;=a a =ÚÞa ;1!2#; , a =a 6+k 4 6+k 8 6+k ;1!2#;= ∴ k=;3*; 8 답 ;4(; ∴ k=;4(; ;4!; ;1Á0; 0063 aÝ`=2, bÚ`â`=8에서 a=2 , b=8 이므로 P='§Q에서 6+k 4 답① ‌ =a 8 +;2!;+;4!;+;8!;=aÚ`=a ;1!2#; 0061 a=Ü'2, b=Ý'3에서 aÜ`=2, bÝ`=3이므로 답 ;3*; (ß"ÃaÛ`bÞ` )û`‌=(aÛ`bÞ`);6K;={(2;4!;)Û`_(8;1Á0;)Þ`} 6 k =(2;2!;_8;2!;) k 6 ‌ =(2;2!;_2;2#;) k 6 ‌ ‌ k 6 =(2Û`) =2;3K; 01. 지수 알피엠_수Ⅰ_해설_001~027_1단원_01,02강_ok.indd 5 005 2017-11-10 오후 4:26:43 따라서 (ß"ÃaÛ`bÞ` )û`, 즉 2;3K;이 자연수가 되도록 하는 자연수 k는 3의 배수이므로 k의 최솟값은 3이다. 25Å`+10+25Ú`ÑÅ`=64 ∴ 25Å`+25Ú`ÑÅ`=54 답 54 답3 1 0070 {'x+ 'x }Û`=x+;[!;+2에서 9=x+;[!;+2 ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; 0064 (a -b )(a +b )(a+b) ∴ x+;[!;=7 ={(a;2!;)Û`-(b;2!;)Û`}(a+b)  =(a-b)(a+b)=aÛ`-bÛ` 답 aÛ`-bÛ` '2 '2 '2 '2 0065 {2 +('2 ) }{2 -('2 ) } 1 1 또 {x+;[!;}Û`=xÛ`+ +2에서 49=xÛ`+ +2 xÛ` xÛ` 1 ∴ xÛ`+ =47 xÛ`  =(2'2)Û`-{('2 )'2}Û`=22'2-{('2 )Û`}'2 =2'2+'2-2'2=2'2_2'2-2'2 ∴ =2'2(2'2-1) xÛ`+xÑÛ`+7 47+7 = =6 7+2 x+xÑÚ`+2  답① 답6 단계 ;3!; -;3@; ;3!; -;3@; 0066 (x +x )Ü`+(x -x )Ü` ;3!; ;3!; -;3@; ={(x )Ü`+3(x )Û`x ;3!; +3x (x ;3!; -;3@; ;3!; -;3@; )Û`+(x -;3@; +{(x )Ü`-3(x )Û`x )Ü`} ;3!; -;3@; +3x (x -;3@; )Û`-(x )Ü`} 채점요소  x+;[!;의 값 구하기  xÛ`+  주어진 식의 값 구하기 배점 40 % 1 의 값 구하기 xÛ` 40 % 20 % =2(x+3xÑÚ`) 위의 식에 x=2를 대입하면 ;2A; -;2A; 0071 ⑴ 5 +5 ='10의 양변을 제곱하면 2{2+;2#;}=4+3=7 답7 5`+2+5Ñ`=10 ∴ 5`+5Ñ`=8 ∴ 1 ;4!; ;4!; ;4!; ;4!; ;4!; 0067 ㄱ. (a +b )(a -b )‌=(a )Û`-(b 4 )Û` =a;2!;-b 1 2 ‌ ‌ 1 -1 =a+2+a -1 ⑵ x=3;3!;-3-;3!;의 양변을 세제곱하면 xÜ`=3-;3!;-3(3;3!;-3-;3!;) ='a-'b (참) ㄴ. (a;2!;+a- 2 +1)(a;2!;+a-;2!;-1)‌=(a;2!;+a-;2!;)Û`-1Û` 53a-52a+5` 1 ‌=5`-1+ a =5`+5Ñ`-1 ‌ 52a 5 =8-1=7 ‌ ‌ 1 =a+ +1 (참) a xÜ`=;3*;-3x, 3xÜ`=8-9x ∴ 3xÜ`+9x-8=0 ∴ 3xÝ`+3xÜ`+9xÛ`+x‌=x(3xÜ`+9x-8)+3xÜ`+9x ‌ ㄷ. (Ü'2+1)(Ü'4-Ü'2+1)=(Ü'2 )Ü`+1Ü`=3 (거짓) =8 답⑴7 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ⑵8 답 ㄱ, ㄴ 0072 aÛ`Å`=10이므로 aÅ`-aÑÅ` 의 분모, 분자에 각각 aÅ` 을 곱하면 aÅ`+aÑÅ` aÅ`-aÑÅ` aÅ`(aÅ`-aÑÅ`) aÛ`Å`-1 10-1 = = = =;1»1; aÅ`+aÑÅ` aÅ`(aÅ`+aÑÅ`) aÛ`Å`+1 10+1 ;3!; -;3!; 0068 a +a ='5 의 양변을 세제곱하면 a+aÑÚ`+3(a;3!;+a-;3!;)=('5 )Ü` ∴ a+aÑÚ`‌=('5 )Ü`-3'5=2'5 답 ;1»1; 답⑤ aÅ`+aÑÅ`` aÅ`(aÅ`+aÑÅ` ) aÛ`Å`+1 1-x 0069 5Å`+5 =8의 양변을 제곱하면 0073 aÅ`-aÑÅ` = aÅ`(aÅ`-aÑÅ` ) = aÛ`Å`-1 =3 5Û`Å`+2´5Å`´51-x+52(1-x)=64 aÛ`Å`+1=3(aÛ`Å`-1) x+(1-x) (5Û`)Å`+2´5 006 +(5Û`) 1-x =64 2aÛ`Å`=4 ∴ aÛ`Å`=2 답2 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_001~027_1단원_01,02강_ok.indd 6 2017-11-10 오후 4:26:44 0074 즉 (k;[!;)`´k;]!;=(k;z!;)Û`에서 3Å`-3ÑÅ` 3Å` (3Å`-3ÑÅ` ) 3Û`Å` -1 9Å` -1 = = = =;3!; 3Å`+3ÑÅ` 3Å` (3Å`+3ÑÅ` ) 3Û`Å` +1 9Å` +1 3´9Å`-3=9Å`+1 (2Ü`)`´3Û`=(2Û`´3)Û`, 2Ü``´3Û`=2Ý`´3Û` 따라서 3a=4이므로 a=;3$; ⑵ 4Å` =5´`=10½`=k`(k>0)라 하면 xyz+0에서 k+1 2´9Å`=4 ∴ 9Å`=2 ∴ 9Å`-9ÑÅ`=9Å`-(9Å`)ÑÚ`=2-2ÑÚ`=2-;2!;=;2#; 1 답④ 2ß`Å`-2Ñß`Å` 2Û`Å`(2ß`Å`-2Ñß`Å`) 0075 2Û`Å`+2ÑÛ`Å` ‌= 2Û`Å`(2Û`Å`+2ÑÛ`Å`) ‌ 2¡`Å`-2ÑÝ`Å` (2Ý`Å`)Û`-(2Ý`Å`)ÑÚ` = = 2Ý`Å`+1 2Ý`Å`+1 = 9-;3!; 3+1 =:Á6£: 유형 4Å` =k에서 22x=k ∴ 2=k 2x yy ㉠ ;]!; 5´`=k에서 5=k yy ㉡ 10½`=k에서 10=k;z!; yy ㉢㉠_㉡Ö㉢을 하면 1 ‌ 그런데 k+1이므로 답 :Á6£: 본문 13쪽 1 2_5Ö10=k 2x +;]!;-;z!; ∴ k 2x +;]!;-;z!;=1 1 +;]!;-;z!;=0 2x 답 ⑴ ;3$; ⑵0 0079 xy+0이므로 x+y-2xy=0의 양변을 xy로 나누면 ;]!;+;[!;-2=0 ∴ ;[!;+;]!;=2 yy ㉠ 22x=4Å`=k에서 4=k;[!; yy ㉡ 32y=9´`=k에서 9=k;]!; yy ㉢㉡_㉢을 하면 36=k;[!;+;]!; ;[$; 0076 aÅ`=16=2Ý`에서 a=2 ㉠에서 ;[!;+;]!;=2이므로 b´`=16=2Ý`에서 b=2;]$; kÛ`=36 ∴ k=6 (∵ k>0) ∴ ab=2;[$;´2;]$;=2;[$;+;]$;=2Ý` {;[!;+;]!;}=2Ü` 답6 따라서 4{;[!;+;]!;}=3이므로 0080 1회 확대 복사할 때마다 글자 크기가 r배 커진다고 하면 ;[!;+;]!;=;4#; 답 ;4#; ;[!; 0077 2Å`=a에서 2=a ;]!; yy ㉠ 5회째의 복사본의 글자 크기는 처음 원본의 글자 크기의 2배이 므로 rÞ`=2 ∴ r=2;5!; 8회째의 복사본의 글자 크기는 4회째의 복사본의 글자 크기의 3´`=a에서 3=a yy ㉡ rÝ` 배이므로 5½`=a에서 5=a;z!; yy ㉢ rÝ`=(2;5!;)Ý`=2;5$; ㉠_㉡_㉢을 하면 따라서 m=5, n=4이므로 30=a;[!;+;]!;+;z!; m+n=9 답9 그런데 ;[!;+;]!;+;z!;=2이므로 aÛ`=30 ∴ a='30 (∵ a>0) 답 '30 0078 ⑴ 8Å`=9´`=12½`=k`(k>0)라 하면 xyz+0에서 k+1 x ;[!; y ;]!; 8 =2Ü`Å`=k에서 2Ü`=k 0081 도시의 인구가 매년 일정한 비율로 증가하므로 1년마다 인구 수가 r배가 된다고 하면 1995년 말부터 2015년 말까지 20년 동안 인구는 r 20=6760000Ö40000=169(배) 1995년 말부터 2005년 말까지 10년 동안 인구는 9 =3Û`´`=k에서 3Û`=k r 10=(r 20);2!;=169;2!;=13(배) 12z=(2Û`´3)½`=k에서 2Û`´3=k;z!; 따라서 2005년 말의 인구는 이때 ;[A;+;]!;=;z@;이므로 k;[A;´k;]!;=k;z@; 40000_13=520000(명)=52(만 명) 답 52만 명 01. 지수 알피엠_수Ⅰ_해설_001~027_1단원_01,02강_ok.indd 7 007 2017-11-10 오후 4:26:45 0087 ß"8Ã aÜ`bÜ`_Ú`"ß Ã256aß`bÝ`Ö'¶4ab m 0082 t년 후에 반감기가 300년인 방사능 물질의 양 m이 16 =ß"Ã2ÜàÜ`bÜ`_Ú`" ß Ã2¡àß`bÝ`Ö"Ã2Ûàb 이 된다고 하면 ="Ã2ab_¡"Ã2ÝàÜ`bÛ`Ö"Ã2Ûàb ;30T0; ;30T0; ;30T0; m =m´{;2!;} , ;1Á6;={;2!;} , {;2!;}Ý`={;2!;} 16 = 4=;30T0; ∴ t=1200 ¡"Ã2ÝàÝ`bÝ`_¡"Ã2ÝàÜ`bÛ` " ¡ Ã2`¡ aÝ`bÝ` =¡¾¨ 따라서 1200년 후이다. 답 1200년 후 2¡àà`bß` 2¡àÝ`bÝ` =¡"aÜ`bÛ` 답③ 다른풀이 거듭제곱근을 유리수인 지수로 바꾸어 계산할 수도 있다. ß"Ã8aÜ`bÜ`_Ú`" ß Ã256aß`bÝ`Ö'¶4ab =8;6!;a;2!;b;2!;_256;1Á6;a;8#;b;4!;Ö4;2!;a;2!;b;2!; =2;2!;a;2!;b;2!;_2;2!;a;8#;b;4!;Ö2a;2!;b;2!; =2;2!;+;2!;-1_a;2!;+;8#;-;2!;_b;2!;+;4!;-;2!; 시험에 꼭 나오는 문제 =2â`_a;8#;_b;4!;=a;8#;b;4!; 본문 14~17쪽 0083 -27의 세제곱근 중 실수인 것은 Ü'Ä-27=-3의 1개이 므로 a=1 =a;8#;b;8@;=¡"ÃaÜ`bÛ` x x x 2x+y (∵ xy=18) 0088 Å '2_´'4= ´"Å2´`_ ´"Å4Å`= ´"2´`´4Å`=Ú`¡"Ã2 10의 네제곱근 중 실수인 것은 -Ý'10, Ý'10의 2개이므로 b=2 x>0, y>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 ∴ a+b=3 답② 0084 ㄱ. n이 홀수이면 xÇ`=a`(a<0)를 만족시키는 실수 x 2x+y‌¾2'Ä2xy ‌ =2'36=12 (단, 등호는 2x=y일 때 성립) ∴ Å '2_´'4‌=Ú`¡"Ã22x+y ‌ ¾Ú`¡"2Ú`Û`=Ü"Å2Û`=Ü'4 는 Ç 'a의 1개이다. (참) 답③ ㄴ. n ‌ 이 짝수이면 3의 n제곱근 중 실수인 것은 Ç '3, -Ç '3의 2개 이다. (참) 0089 A=Ü"Ã2'4=Ü"Ã'4_'4=Ü"Ã'16=ß'§16 ㄷ. ‌(반례) n=2, a=2일 때, '¶-2='2i이므로 ‌ '¶-2+-'2이다. (거짓) B="Ã2_Ü'4="ÃÜ'8_Ü'4="ÃÜ'32=ß'§32 xÝ`-81=0, (xÛ`+9)(xÛ`-9)=0 ‌ 따라서 ß'16<ß'27<ß'32이므로 C=Ü"Ã3'3=Ü"Ã'9_'3=Ü"Ã'27=ß'§27 ㄹ. 8‌ 1의 네제곱근을 x라 하면 xÝ`=81이므로 ‌ A<C<B ∴ x=Ñ3i 또는 x=Ñ3 (참) 답② 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다. 답④ 0090 ① "ÃÜ'¶5_6=ß'30 Ý'48 48 0085 Ü'Ä-27+ Ý'3 +Ü"Ã'64‌=Ü"Ã(-3)Ü`+Ý®É 3 +ß'64 ‌ =Ü"Ã(-3)Ü`+Ý"2Ý`+ßß"2ß` ② "Ã6_Ü'5=Á°Ü"6Ü`_Ü'5="Ü'Ä1080=ß'Ä1080 ‌ =-3+2+2=1 답③ ③ "Ã5_Ü'6=Á°Ü"5Ü`_Ü'6="Ü'Ä750=ß'Ä750 ④ Ü"Ã5'6=ÜÁ°"5Û`_'6=Ü"'Ä150=ß'Ä150 ⑤ Ü"Ã6'5=ÜÁ°"6Û`_'5=Ü"'Ä180=ß'Ä180 따라서 가장 큰 수는 ②이다. 0086 (ß'9-Ü'24-2_á'Ä-27 )ß` 답② =(ß"3Û`-Ü"Ã2Ü`_3-2_á"Ã(-3)Ü` )ß` =(Ü'3-2 ' Ü 3+2 ' Ü 3 )ß`=(Ü'3 )ß` ;n$; ;n$; 0091 {;2Á7;} =(3ÑÜ`) =3Ñ n =3Û`=9 답② 008 12 16-;n!;=(2Ý`)-;n!;=2-;n$; 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_001~027_1단원_01,02강_ok.indd 8 2017-11-10 오후 4:26:46 { 1 ;n$; } 과 16-;n!;이 모두 자연수가 되려면 n<0이고 |n|이 12와 27 1 § + =4에서 x;3!;+xÑ;3!;=4 0097 Ü'x Ü'§x 4의 공약수이어야 하므로 n의 값은 -1, -2, -4 위의 식의 양변을 제곱하면 따라서 구하는 합은 -1-2-4=-7 x;3@;+2+xÑ;3@;=16 답 -7 ∴ x;3@;+xÑ;3@;=14 위의 식의 양변을 제곱하면 0092 (Ü"Å5Þ` ) =(5 ) =5 x;3$;+2+xÑ;3$;=196 x=(5;1°2;)n=5;1°2;n이므로 5;1°2;n은 자연수이다. ∴ Ü"ÅxÝ`+ ;4!; ;3%; ;4!; ;1°2; 따라서 (Ü"Å5Þ` );4!;, 즉 5;1°2;이 어떤 자연수 x의 n제곱근이면 ∴ x;3$;+xÑ;3$;=194 즉 자연수 n`(n¾2)은 `12의 배수이므로 두 자리 자연수 n은 1 =x;3$;+xÑ;3$;=194 Ü"xÝ` 답 194 12, 24, 36, y, 96의 8개이다. 답8 ;3!; -;3!; 0098 x=3 +3 의 양변을 세제곱하면 xÜ`=3+3ÑÚ`+3(3;3!;+3-;3!;) ;3%; ;4!; ;1ð2; ;4!;+;1ð2; 이므로 0093 ⑴ Ü"ÅaÞ`=ÝÁ°a_Ü"Åaû` 에서 a =a a =a xÜ`=3+;3!;+3x, 3xÜ`=9+1+9x ;3%;=;4!;+;1ð2;, 20=3+k ∴ 3xÜ`-9x-10=0 ∴ 3xÜ`-9x-8=(3xÜ`-9x-10)+2=0+2=2 ∴ k=17 ⑵ Á°2_Ü"Ã2_Ý'2‌='2_"Ü'2_Á°Ü"Ý' 2='2_ß'2_Û`Ý'2 1 17 =2;2!;+;6!;+ 24 =2 24 0099 2Å`+2ÑÅ`=4의 양변을 제곱하면 ∴ n=17 답 ⑴ 17 ⑵ 17 ∴ 4Å`+4ÑÅ`=14 8Å`+8ÑÅ`+3(2Å`+2ÑÅ` )=64 8Å`+8ÑÅ`+3´4=64 ‌ ∴ 8Å`+8ÑÅ`=52 1 3 =(aÝ`bÜ`);1Á2;=a b;4!; 답① 2º`=d에서 (2ÑÚ`)Ñº`=d이므로 {;2!;} =d, {;2!;} -b -2b 1 a ={ } _{;2!;} 2 a-2b‌ 8Å`+8ÑÅ` =;1%4@;=:ª7¤: 4Å`+4ÑÅ` 따라서 m=7, n=26이므로 ∴ m+n=33 0095 2`=c에서 (2`)ÑÚ`=cÑÚ`이므로 {;2!;}`=;c!; ∴ {;2!;} 4Å`+2+4ÑÅ`=16 2Å`+2ÑÅ`=4의 양변을 세제곱하면 0094 à='2, b=Ü'3에서 aÛ`=2, bÜ`=3이므로 Ú`Û'12=Ú`Û"Ã2Û`´3=Ú`Û"ÃaÝ`bÜ` 답2 ‌ 답 33 -2b =dÛ` 0100 주어진 식의 분모, 분자에 각각 aÚ`â`을 곱하면 ‌ (주어진 식)‌= dÛ` =;c!;´dÛ`= c 답② ;2!; ;4!; ;8!; ;8!; 0096 (1+3Û`)(1+3)(1+3 )(1+3 )(1+3 )(1-3 ) aÚ`â`(aÞ`+aÝ`+aÜ`+aÛ`+a) aÚ`â`(aÑá`+aÑ¡`+aÑà`+aÑß`+aÑÞ` ) aÚ`â`(aÞ`+aÝ`+aÜ`+aÛ`+a) a+aÛ`+aÜ`+aÝ`+aÞ` =aÚ`â` = ‌ ‌ 이때 aÞ`=7이므로 aÚ`â`=(aÞ`)Û`=7Û`=49 =(1+3Û`)(1+3)(1+3;2!;)(1+3;4!;)(1-3;4!;) ;2!; 답 49 ;2!; =(1+3Û`)(1+3)(1+3 )(1-3 ) 3Å`-3ÑÅ` 0101 3Å`+3ÑÅ` 의 분모, 분자에 각각 3Å` 을 곱하면 =(1+3Û`)(1+3)(1-3) =(1+3Û`)(1-3Û`) =1-3Ý`=1-81=-80 답 -80 3Å`-3ÑÅ` 3Å`(3Å`-3ÑÅ` ) 3Û`Å`-1 9Å`-1 = = = =k이므로 3Å`+3ÑÅ` 3Å`(3Å`+3ÑÅ` ) 3Û`Å`+1 9Å`+1 9Å`-1=k(9Å`+1), 9Å`(1-k)=k+1 01. 지수 알피엠_수Ⅰ_해설_001~027_1단원_01,02강_ok.indd 9 009 2017-11-10 오후 4:26:47 ∴ 9Å`= 0106 바이러스의 개체수가 한 시간 후 r배가 된다고 하면 바이 1+k 1-k ∴ 9Å`+9ÑÅ`‌= 러스 한 마리가 8시간 후에 8마리로 늘어나므로 1+k 1-k (1+k)Û`+(1-k)Û + = 1-k 1+k (1-k)(1+k) r¡`=8 ‌ ∴ r 16=(r 8)Û`=8Û`=64 2(1+kÛ`) = 1-kÛ` 따라서 바이러스 한 마리가 16시간 후에 64마리로 늘어난다. 답 64마리 답⑤ aÞ`Å`-aÑÞ`Å` a ;2!; -;3!; ;2!; 0107 ¾¨'a_ Ü'a ‌=(a _a_a ) 0102 aÅ`-aÑÅ` 의 분모, 분자에 각각 aÅ`을 곱하면 aÞ`Å`-aÑÞ`Å` aÅ` (a5x-a-5x) aß`Å`-aÑÝ`Å` (aÛ`Å`)Ü`-(aÛ`Å`)ÑÛ` ‌= x x = = aÅ`-aÑÅ` a (a -a-x) aÛ`Å`-1 aÛ`Å`-1 = 1 =(a;2!;+1-;3!;) 2 ‌ =(a;6&;) =a;1¦2; 2'2-;2!; ('2)Ü`-('2)ÑÛ` 7+3'2 = = 2 '2-1 '2-1 답  7+3'2 2 ;2!; ;3!; ;2!; a;1°2; "Ã'a_Ü'a` (a _a ) = = =a;4!; ÝÁ°Ü"ÅaÛ` (a;3@;);4!; a;6!; 5=3;[#; yy ㉠ ¾¨'a_ 45´`=81에서 45´`=3Ý`이므로 1 yy ㉡㉠Ö㉡을 하면 3;]$; a "Ã'a_Ü'a` Ö ‌=a;1¦2;Öa;4!; ‌ Ü'a ÝÁ°Ü"ÅaÛ` =a;1¦2;- 4 45=3;]$; ;4°5;= 1 =a 3 이므로 m=;3!; , ;9!;=3;[#;-;]$;  답 ;3!; 이때 ;9!;=3ÑÛ` 이므로 ;[#;-;]$;=-2 답 -2 단계  0104 aÅ`=b´`=c½`=27에서 ;[!; ;]!; a=27 , b=27 , c=27  따라서 0103 5Å`=27에서 5Å`=3Ü`이므로 3;[#; ‌ 1 2 ;z!; ∴ abc=27 ;[!;+;]!;+;z!;=3Ü` {;[!;+;]!;+;z!;}=9 채점요소 ¾¨'a_ a 간단히 하기 Ü'a 40 % 간단히 하기 40 %  "Ã'a_Ü'a  m의 값 구하기 ÝÁ°Ü"ÅaÛ` 배점 20 % 이때 9=3Û`이므로 3{;[!;+;]!;+;z!;}=2 ∴ ;[!;+;]!;+;z!;=;3@; 0108 aÜ`=5, bÝ`=11, cß`=13에서 답 ;3@; a=5;3!;, b=11;4!;, c=13;6!;  1 6 이므로 (abc)Ç`=(5;3!;_11;4!;_13 )n 이 자연수가 되도록 하는 자 ;[!; ;]!; 0105 8Å`=27´`=k`(k>0)라 하면 8=k , 27=k 연수 n은 3, 4, 6의 공배수, 즉 12의 배수이다. 8=k;[!;, 27=k;]!; 을 변끼리 곱하면  8_27=k;[!;_k;]!;, 216=k;[!;+;]!; 따라서 자연수 n의 최솟값은 12이다. 6Ü`=kÜ` {∵ ;[!;+;]!;=3} ∴ k=6  8Å`=6이므로 (2Ü`)Å`=6, (2Å`)Ü`=6 ∴ 2Å`=Ü'6 답 12 27´`=6이므로 (3Ü`)´`=6, (3´`)Ü`=6 ∴ 3´`=Ü'6 ∴ (2Å`+3´`)Ü`‌=(Ü'6+Ü'6 )Ü`=(2_Ü'6 )Ü` 단계 ‌ =2Ü`_6=48 답 48 010 채점요소 배점  a, b, c의 값 구하기 30 %  (abc)Ç` 이 자연수가 되도록 하는 n의 조건 구하기 50 %  자연수 n의 최솟값 구하기 20 % 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_001~027_1단원_01,02강_ok.indd 10 2017-11-10 오후 4:26:48 ;2!; ;2!; 0109 x +xÑ =2'2의 양변을 제곱하면 0111 이차방정식 xÛ`+2kx+6=0의 두 근이 a, b이므로 근 과 계수의 관계에 의하여 x+2+xÑÚ`=8 a+b=-2k, ab=6 ∴ x+xÑÚ`=6  x;2!;+xÑ;2!;=2'2의 양변을 세제곱하면 x;2#;+xÑ;2#;+3(x;2!;+xÑ;2!;)=16'2 ∴ aÑÚ`-bÑÚ` aÑÚ`-bÑÚ` ‌= aÑÛ`-bÑÛ` (aÑÚ`+bÑÚ`)(aÑÚ`-bÑÚ`) 1 1 = = ‌ aÑÚ`+bÑÚ` ;!;+;º!; = x;2#;+xÑ;2#;+6'2=16'2 ∴ x;2#;+xÑ;2#;=10'2  ‌ ab =-;k#; a+b 따라서 -;k#;=;2¢5;이므로 k=-:¦4°: 답 -:¦4°: x;2#;+xÑ;2#; 10'2 '2 ∴ = = 2 x+xÑÚ`+14 6+14  답 단계  채점요소 x+xÑÚ`의 값 구하기 ;2#; '2 2 배점 40 % -;2#;  x +x  x;2#;+x-;2#; 의 값 구하기 x+xÑÚ`+14 의 값 구하기 0112 2`=x, 2º`=y, 2`=z라 하면 xyz=2` 2º`2`=2a+b+c=2ÑÚ`=;2!; yy ㉠ x+y+z=2`+2º`+2`=:Á4£: 40 % 또한 ;[!;+;]!;+;z!;=2Ñ`+2Ñº`+2Ñ`=:Á2Á:이므로 20 % ;[!;+;]!;+;z!;= ‌ xy+yz+zx xyz ‌ =2(xy+yz+zx) (∵ ㉠) aÑÜ`Å`+aÜ`Å` =3의 좌변의 분모, 분자에 각각 aÑÅ` 을 곱하면 aÑÅ`+aÅ` aÑÝ`Å`+aÛ`Å` =3 aÑÛ`Å`+1 0110  이때 aÑÛ`Å`=t (t>0)라 하면 tÛ`+;t!; t+1 = 11 2 ∴ xy+yz+zx=:Á4Á: ∴ 4`+4º`+4`=xÛ`+yÛ`+zÛ` ‌ =(x+y+z)Û`-2(xy+yz+zx) ‌ ={ =3에서 tÛ`+;t!;=3t+3 ‌ = 13 11 }2`-2´ 4 4 81 16 답 ;1*6!; 양변에 t를 곱하여 정리하면 tÜ`-3tÛ`-3t+1=0, (t+1)(tÛ`-4t+1)=0 ∴ t=2Ñ'3 (∵ t>0)  ∴ aÑÛ`Å`=2Ñ'3  답 2Ñ'3 단계 채점요소 배점  등식의 좌변의 분모, 분자에 각각 aÑÅ` 을 곱하여 정리하기 30 %  aÑÛ`Å`=t (t>0)로 놓고 방정식을 풀기 50 %  aÑÛ`Å`의 값 구하기 20 % 0113 ㄱ. f(10, 2018)=2, f(10, 2017)=1, f(-10, 2017)=1이므로 f(10, 2018)=f(10, 2017)+f(-10, 2017) (참) ㄴ. ‌(반례) a=0, n=2이면 f(0, 5)=1, f(0, 4)=1이므로 ‌ f(0, 5)+f(0, 4)=2+3 (거짓) ㄷ. f‌ ('3, 4)=2, f(Ü'¶-6, 7)=1, f(-Ý'8, 6)=0이므로 4 f('3, 4)+3 f(Ü'¶-6, 7)+2 f(-Ý'8, 6) ‌ ‌ =4´2+3´1+2´0=11 (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 답③ 01. 지수 알피엠_수Ⅰ_해설_001~027_1단원_01,02강_ok.indd 11 011 2017-11-10 오후 4:26:48 02 Ⅰ. 지수함수와 로그함수 로그 0124 logª`18-2`logª`6 =logª (2´3Û`)-2`logª (2´3) =logª`2+2`logª`3-2(logª`2+logª`3) =1+2`logª`3-2-2`logª`3 교과서 문제 정 복 하 기 / / / 본문 19쪽 =-1 답 -1 0114 답 4=log£`81 0125 logÁ¼`12=logÁ¼ (2Û`´3) 0115 =2`logÁ¼`2+logÁ¼`3 답 -3=log;3!;`27 =2a+b 답 2a+b 0116 logª`x=3에서 x=2Ü`=8 답8 2Û` 0126 logÁ¼`;2¢7;‌=logÁ¼` 3Ü` =2`logÁ¼`2-3`logÁ¼`3 0117 log;3!;`x=-2에서 x={;3!;}ÑÛ`=9 =2a-3b 답 2a-3b 답9 logÁ¼`16 logÁ¼`2Ý` 4`logÁ¼`2 4a 0127 log£`16= logÁ¼`3 = logÁ¼`3 = logÁ¼`3 = b 0118 log®`16=4에서 xÝ`=16 ∴ x=16;4!;=(2Ý`);4!;=2 답 답2 logÁ¼`9 logÁ¼`3Û` 0128 log¤`9‌= logÁ¼`6 = logÁ¼ (2´3) 0119 log®`2=4에서 xÝ`=2 ∴ x=2;4!;=Ý'2 = 답 Ý'2 0120 진수의 조건에서 x+1>0 ∴ x>-1 답 x>-1 2`logÁ¼`3 2b = logÁ¼`2+logÁ¼`3 a+b 답 답 ;3$; 즉 x>5, x+6 ∴ 5<x<6 또는 x>6 답 5<x<6 또는 x>6 0130 log¢`;8!;=log2Û``2ÑÜ`=-;2#;`logª`2=-;2#; 답 10 =6`logª`2+logª`2 =6+1 logÁ¼`2 logÁ¼`3Û` =7 답7 3 2`logÁ¼`3 0132 log£`2´logª`9= logÁ¼`3 ´ logÁ¼`2 = logÁ¼`3 =2 답2 0133 log`1000=log`10Ü`=3 0123 log£`24+3`log£` 2 답3 =log£ (2Ü`´3)+3(log£`3-log£`2) =log£`2Ü`+log£`3+3`log£`3-3`log£`2 012 답 -;2#; log£`10 log£`3 0131 3 =10 =10 ;2!; 0122 3`logª`4+2`logª`'2=3`logª`2Û`+2`logª`2 =4 2b a+b 0129 logª¦`81=log3Ü``3Ý`=;3$;`log£`3=;3$; 0121 밑의 조건에서 x-5>0, x-5+1 =3`log£`2+1+3-3`log£`2 4a b ‌ 0134 log`;10!0;=log`10ÑÛ`=-2 ‌ 답4 답 -2 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_001~027_1단원_01,02강_ok.indd 12 2017-11-10 오후 4:26:49 0135 log`0.001=log`10ÑÜ`=-3 0145 답3 0146 답 -3 답 -3 0136 log`Ü'Ä100=log`Ü"10Û`=log`10 =;3@; ;3@; 답 ;3@; 0147 log`x=1.7348에서 log`5.43과 소수 부분이 같으므로 x는 5.43과 숫자의 배열이 같고, 정수 부분이 1이므로 정수 부분 이 두 자리인 수이다. 0137 ∴ x=54.3 답 0.7101 답 54.3 0138 답 0.7007 0148 log`x=4.7348에서 log`5.43과 소수 부분이 같으므로 x는 5.43과 숫자의 배열이 같고, 정수 부분이 4이므로 정수 부분 0139 log`534=log (5.34_10Û`) =log`5.34+log`10Û` 이 다섯 자리인 수이다. =0.7275+2 ∴ x=54300 답 54300 =2.7275 답 2.7275 0149 log`x=-0.2652=-1+0.7348에서 log`5.43과 소수 부분이 같으므로 x는 5.43과 숫자의 배열이 같고, 정수 부분이 0140 log`0.0534=log`(5.34_10ÑÛ`) =log`5.34+log`10ÑÛ` -1이므로 소수점 아래 첫째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 =0.7275-2 나타난다. =-1.2725 ∴`x=0.543 답 0.543 답 -1.2725 0141 log`48.2=log`(4.82_10) 0150 log`x=-2.2652=-3+0.7348에서 log`5.43과 소수 =log`4.82+log`10 부분이 같으므로 x는 5.43과 숫자의 배열이 같고, 정수 부분이 =0.6830+1=1.6830 -3이므로 소수점 아래 셋째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 ∴ 정수 부분：1, 소수 부분：0.6830 답 정수 부분：1, 소수 부분：0.6830 나타난다. ∴ x=0.00543 답 0.00543 0142 log`4820=log`(4.82_10Ü`) =log 4.82+log`10Ü` =0.6830+3=3.6830 ∴ 정수 부분：3, 소수 부분：0.6830 답 정수 부분：3, 소수 부분：0.6830 0143 log`0.482=log`(4.82_10ÑÚ`) =log 4.82+log`10ÑÚ` =-1+0.6830 ∴ 정수 부분：-1, 소수 부분：0.6830 답 정수 부분：-1, 소수 부분：0.6830 0144 log`0.0482=log`(4.82_10ÑÛ`) 유형 익 히 기 / / 본문 20~27쪽 0151 log'3à=4에서 a=('3`)Ý`=(3;2!;)Ý`=3Û`=9 log;9!;`b=-;2!;에서 -;2!; b={;9!;} =(3ÑÛ`)-;2!;=3 ∴ ab=9´3=27 답② =log`4.82+log`10ÑÛ` =-2+0.6830 ∴ 정수 부분：-2, 소수 부분：0.6830 ;2!; 0152 ⑤ 7 ='7 HjK log¦`'7=;2!; 답 정수 부분：-2, 소수 부분：0.6830 답⑤ 02. 로그 알피엠_수Ⅰ_해설_001~027_1단원_01,02강_ok.indd 13 013 2017-11-10 오후 4:26:50 0153 log¦`(log£`(logª`x))=0에서 단계 log£`(logª`x)=7â`=1, logª`x=3Ú`=3  밑의 조건 구하기 40 %  진수의 조건 구하기 40 %  정수 x의 개수 구하기 20 % ∴ x=2Ü`=8 답④ 채점요소 배점 0154 x=log¢ (3-2'2`)에서 4Å`=3-2'2 ∴ 4Å`+4ÑÅ`=3-2'2+ ‌ 1 3-2'2 log° (Þ'2)Þ`+log°`'10-log°`'8 0159 (주어진 식)‌= =log°` =3-2'2+3+2'2=6 답⑤ 0155 밑의 조건에서 x-2>0, x-2+1 x>2, x+3 ∴ 2<x<3 또는 x>3 yy ㉠ ;2!; 0160 ⑴ log¢`2=log2Û``2=;2!;`logª`2=logª`2 =logª`'2이므로 8 (주어진 식)‌= logª`'3+logª`® -logª`'2 ‌ 3 xÛ`-8x+7<0, (x-1)(x-7)<0 8 1 =logª`{'3´® ´ } ‌ 3 '2 yy ㉡ =logª`'4=logª`2=1 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 2<x<3 또는 3<x<7 ⑵ (주어진 식) =(log£`Þ'5-log£`27)-;5!;(log£`5-log£`9)-;5!;´2 따라서 구하는 정수 x는 4, 5, 6의 3개이다. 답② =(log£`5;5!;-3)-;5!;(log£`5-2)-;5@; =;5!;`log£`5-3-;5!;`log£`5+;5@;-;5@; 0156 진수의 조건에서 x-1>0, x-2>0 ∴ x>2 =-3 ∴ |x-1|+|x-2|=(x-1)+(x-2)=2x-3 답③ ⑶ logª`32=logª`2Þ`=5 3 log;2!;` =log ‌ 2ÑÚ``;4#;=-logª`;4#;=-(logª`3-logª`2Û`) ‌ 4 =-logª`3+2 0157 밑의 조건에서 a-2>0, a-2+1 a>2, a+3 ∴ 2<a<3 또는 a>3 2'10 =log°`'5=;2!; 2'2 답 ;2!; 진수의 조건에서 -xÛ`+8x-7>0 ∴ 1<x<7 yy ㉠ log¢`36=log2Û`6Û`=logª`6=logª (3´2)=logª`3+1 ∴ (주어진 식)‌= logª (5-logª`3+2+logª`3+1) 진수의 조건에서 모든 실수 x에 대하여 xÛ`+ax+2a>0이어야 하므로 방정식 xÛ`+ax+2a=0의 판별식을 D라 하면 =logª`8=logª`2Ü` D=aÛ`-8a<0, a(a-8)<0 =3 ∴ 0<a<8 ‌ yy ㉡ ‌ ‌ 답⑴1 ⑵ -3 ⑶ 3 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 2<a<3 또는 3<a<8 0161 log°`x+2`log°`'y-2`log°`z=2에서 따라서 정수 a의 값은 4, 5, 6, 7이므로 그 합은 22이다. log°`x+log° ('y)Û`-log°`zÛ`=2 답 22 log°` 0158 밑의 조건에서 |x-2|>0, |x-2|+1 ∴ x+2, x+3, x+1 log°`x+log°`y-log°`zÛ`=2 xy xy =2 ∴ =5Û`=25 zÛ` zÛ` 답 25 yy ㉠  0162 logª {1-;2!;}+logª {1-;3!;}+logª {1-;4!;}+y 진수의 조건에서 8+2x-xÛ`>0 xÛ`-2x-8<0, (x+2)(x-4)<0 ∴ -2<x<4 yy ㉡  ㉠, ㉡에서 정수 x는 -1, 0의 2개이다.  답2 014 +logª {1-;3Á2;} =logª {;2!;´;3@;´;4#;ý´;3#2!;} =logª`;3Á2;=logª`2ÑÞ`=-5 답 -5 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_001~027_1단원_01,02강_ok.indd 14 2017-11-10 오후 4:26:50 logª`5 logª`7 logª`9 0167 4`log»`2+log£`4-log£`8 0163 log£`5´log°`7´log¦`9‌= logª`3 ´ logª`5 ´ logª`7 ‌ = logª`9 logª`3 =4`log3Û``2+log£`2Û`-log£`2Ü` =2`log£`2+2`log£`2-3`log£`2 ‌ =log£`2 =log£`9 ‌ ∴ 274`log»`2+log£`4-log£`8=27log£`2=33`log£`2=3log£`2Ü`=2Ü`=8 =2 답8 답2 1 1 0168 logª`81+log¢`9-log¥`9 1 0164 logª`12 + log£`12 + logª¢`12 =logª`3Ý`+log2Û``3Û`-log2Ü``3Û` =logÁª`2+logÁª`3+logÁª`24 =4`logª`3+logª`3-;3@;`logª`3 =logÁª (2´3´24) =:Á3£:`logª`3 =logÁª`144 =logÁª`12Û`=2 답2 ∴ a=:Á3£: 답② 0165 ⑴ (주어진 식) 1+logÁ¼`2 log°`2+log°`5 1+logÁ¼`2 =logÁ¼`2´logÁ¼`2+ ‌ log°`10 = ‌ logÁ¼`2´logÁ¼`2+ ‌ ;2!; =(log3`5+log3Û``5ÑÚ`)[log° {;3!;} +log5Û``3Û`] =logÁ¼`2´logÁ¼`2+(1+logÁ¼`2)´logÁ¼`5 ‌ =logÁ¼`2´logÁ¼`2+logÁ¼`5+logÁ¼`2´logÁ¼`5 =logÁ¼`2`(logÁ¼`2+logÁ¼`5)+logÁ¼`5 =logÁ¼`2´logÁ¼`10+logÁ¼`5 =logÁ¼`2+logÁ¼`5 0169 {log£`5+log»`;5!;}{log°`®;3!;+logª°`9} ‌ ‌ ={log£`5-;2!;`log£`5}{log° (3ÑÚ`);2!;+log°`3} =;2!;`log£`5´{-;2!;`log°`3+log°`3} =;2!;`log£`5´;2!;`log°`3=;4!; ‌ ‌ 답 ;4!; =logÁ¼`10=1 ⑵ (주어진 식)‌= logª`(log£`5´log°`7´log¦`9) ‌ (5log°`12)Û` =logª`{2´ logª`5 logª`7 logª`3 ´ ´ } logª`3 logª`5 logª`7 ‌ = =logª`2=1 ⑶ (주어진 식)‌= log£`45-log£`35+log£`21 =log£ { 45 ´21} 35 =log£`27 0171 logÁª`'24= log¦`12 에서 ‌ 1 log¦`'24‌= `log¦`24=;2!;`log¦`(2Ü`´3) 2 ⑵1 ⑶3 = 70 70 = ‌ log`'§ab log(ab);2!; ;2!;`logàb 140 logà+ = 140 logà+log`b 1 logº`c = 140 2+;3!; 1 = (3`log¦`2+log¦`3) 2 ‌ ‌ 1 = (3a+b) 2 0166 logà=2, logº`c=3이므로 70 답 ;4(; log¦`'24 ‌ 답⑴1 = 12Û` 144 = =;4(; 2ß` 64 ‌ =3 70`log'¶ab`c‌= (12log°`5)Û` log£`8´logª`9 = 3`log£`2´2`logª`3 ‌ 0170 (주어진 식)‌= 2 2 =logª`(log£`5´log°`7´2`log¦`3) ‌ log¦`12=log¦ (2Û`´3)=2`log¦`2+log¦`3=2a+b ∴ logÁª`'24= ‌ ;2!;(3a+b) 2a+b = 3a+b 2(2a+b) 답② ‌ 0172 10`=x에서 a=logÁ¼`x =60 10º`=y에서 b=logÁ¼`y 답 60 10`=z에서 c=logÁ¼`z 02. 로그 알피엠_수Ⅰ_해설_001~027_1단원_01,02강_ok.indd 15 015 2017-11-10 오후 4:26:51 ∴ logÁ¼` xÛ`zÝ` ‌=logÁ¼`xÛ`+logÁ¼`zÝ`-logÁ¼`yÜ` ‌ yÜ` =2`logÁ¼`x+4`logÁ¼`z-3`logÁ¼`y ‌ ∴ 3 -;]$;‌=log£`108-log£`4 x =log£` =2a-3b+4c ‌ =log£`27=3 답 2a-3b+4c 0173 log°`3=b에서 108 4 ‌ 답3 0177 log`x=1에서 log®à=1 logª`3 logª`3 = =b ∴ logª`3=ab logª`5 a logª`45 logª`(3Û`´5) ∴ log¤`45‌= = ‌ logª`6 logª`(2´3) 2`logª`3+logª`5 2ab+a = = 1+ab 1+logª`3 logº`x=2에서 log®`b=;2!; log`x=3에서 log®`c=;3!; ∴ logº`x‌= 답 2ab+a 1+ab = 1 1 = log®àbc log®à+log®`b+log®`c 1 1+;2!;+;3!; = 1 :Á6Á: =;1¤1; 답 ;1¤1; 1+;2!; ;2!; ;4#; 1+;2!; ;2!; ;4#; 0174 "Ã6'6=(6 ) =6 , "Ã3'3=(3 ) =3 이므로 log£`"Ã6'6-log¤`"Ã3'3‌=log£`6;4#;-log¤`3;4#; ‌ 0178 aÅ`=b´`=c½`=256=2¡`에서 3 = (log£`6-log¤`3) ‌ 4 logª`6 logª`3 =;4#;{ }‌ logª`3 logª`6 x=8`log`2, y=8`logº`2, z=8`log`2  ∴ ;[!;+;]!;+;z!;= ‌ logª`(2´3) logª`3 =;4#;[ ] logª`3 logª`(2´3) =;4#;{ ‌ 1+logª`3 logª`3 } ‌ logª`3 1+logª`3 = (1+a)Û`-aÛ` a(a+1) 1 = `logªàbc=;8!;`logª`16 8 1 = ´4=;2!; 8  답 ;2!; 3(2a+1) 4a(a+1) 3(2a+1) 4a(a+1) 단계 x=log°`k에서 ;[!;=logû`5 40 %  ;[!;+;]!;+;z!;의 값 구하기 60 % logÁ¼à+logÁ¼`b=6, logÁ¼à´logÁ¼`b=3 ;2Z;=logÁ¼`k에서 ;z@;=logû`10 ‌ 5´2 }=logû`1=0 10 0176 108Å`=27에서 x=logÁ¼¥`27=log108`3Ü`=3`logÁ¼¥`3 ∴ ;[#;= 1 =log£`108 log108`3 배점 x, y, z를 로그로 나타내기 0179 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 y=logª`k에서 ;]!;=logû`2 =logû { 채점요소  0175 5Å`=2´`="10½`=k (k>0, k+1)라 하면 1 +;]!;-;z@;=logû`5+logû`2-logû`10 ‌ x ‌ ‌ ‌ 답 ∴ 1 1 1 + + 8`log`2 8`logº`2 8`log`2 1 = (logªà+logª`b+logª`c) ‌ 8 1+a a =;4#;{ } ‌ a 1+a =;4#;´ ‌ 답0 ∴ log`b+logºà logÁ¼`b logÁ¼à = + logÁ¼à logÁ¼`b (logÁ¼à)Û`+(logÁ¼`b)Û` = logÁ¼à´logÁ¼`b = (logÁ¼à+logÁ¼`b)Û`-2`logÁ¼à´logÁ¼`b logÁ¼à´logÁ¼`b = 6Û`-2´3 =;;£3¼;;=10 3 답③ 4´`=81에서 y=log¢`81=log¢`3Ý`=4`log¢`3 ∴ ;]$;= 016 1 =log£`4 log4`3 0180 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=10, ab=8 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_001~027_1단원_01,02강_ok.indd 16 2017-11-10 오후 4:26:52 ∴ logªà+logª`b‌ = logªàb=logª`8 ‌ 0186 log£`9<log£`20<log£`27이므로 =logª`2Ü`=3 2<log£`20<3 답3 즉 log£`20의 정수 부분 a는 a=2 소수 부분 b는 0181 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 b=log£`20-2=log£`20-log£`3Û`=log£`:ª9¼: a+b=2`logª`3, ab=1 ∴ 9(2a+3b)=9(2Û`+3log£ :ª9¼:)=9{4+:ª9¼:}=56 ∴ a+b-ab‌ = 2`logª`3-1 ‌ =logª`3Û`-logª`2 ‌ 답 56 9 =logª` 2 yy ㉠ 0187 log°`10=log° (5´2)=1+log°`2 ∴ 2a+b-ab=2logª`;2(;=;2(; 답 ;2(; 이때 log°`1<log°`2<log°`5이므로 0<log°`2<1 즉 ㉠에서 log°`10의 정수 부분 x는 x=1 0182 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 소수 부분 y는 1+log£`4=a, 1´log£`4=b y=log°`10-1=1+log°`2-1=log°`2 1+log£`4 log£`3+log£`4 = ‌ log£`4 log£`4 log£`12 = =log¢`12 log£`4 ∴ ;bA;= ‌ ∴ 답① 0183 A=log;2!;`;8!;=log;2!;`{;2!;}Ü`=3 2-;2!; 5y-5-y 5log°`2-5-log°`2 = =;1°6; x -x = 1 -1 5 -5 5 -5 5-;5!; 답 ;1°6; 0188 log`72‌=log (2Ü`´3Û`)=3`log`2+2`log`3 B=5`log¢`2=5`logªÛ``2=;2%; =3_0.3010+2_0.4771 ‌ ‌ =1.8572 C=4log¢`2=2log¢`4=2 답② ∴ C<B<A 답⑤ 0189 양수 x에 대하여 log`'x=0.612이므로 0184 A=3`logª`;4!;=3`logª`2ÑÛ`=3´(-2)=-6 log£`7-2 B‌=9 =9 log£`7 Ö9Û` log`x=2`log`'x=2_0.612=1.224 1 ∴ log`xÝ`+log`Ü'x‌=4`log`x+ `log`x 3 ‌ 49 Ö9Û`=7Û`Ö9Û`= 81 log£`9 =7 C‌=log¢`8-log 1 `27=log2Û``2Ü`-log3ÑÚ``3Ü` 3 = 13 `log`x 3 ‌ = 13 _1.224 3 ‌ ‌ 9 =;2#;-(-3)= 2 ‌ =5.304 ∴ A<B<C 답 5.304 답① 0190 log`x=-1.3796=-2+0.6204이므로 1-log£`2 =3log£`;2#;=;2#; 0185 A=3 B‌=logª`3´log£`4=logª`3´ logª`4 logª`3 1 log`xÛ`+log`'x‌=2`log`x+ `log`x ‌ 2 ‌ 5 = `log`x ‌ 2 =logª`4=2 1 C‌=log¢`2+log»`3= `logª`2+;2!;`log£`3 2 5 = (-2+0.6204) ‌ 2 ‌ =-5+1.5510 1 =;2!;+ =1 2 ‌ =-4+0.5510 따라서 정수 부분은 -4, 소수 부분은 0.5510이다. ∴ C<A<B 답 C<A<B 답② 02. 로그 알피엠_수Ⅰ_해설_001~027_1단원_01,02강_ok.indd 17 017 2017-11-10 오후 4:26:53 0191 ㄱ. log`654=log`(6.54_10Û`) =log`6.54+2 0194 logÀ‌=-1.7399 ‌ ‌ =-1-0.7399 ‌ =(-1-1)+(1-0.7399) =0.8156+2=2.8156 =-2+log`6.54 ‌ 즉 logÀ와 log`1.82의 소수 부분이 같으므로 A는 1.82와 숫자 ‌ 의 배열이 같고, logÀ의 정수 부분이 -2이므로 A는 소수점 아 =-2+0.8156 래 둘째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타난다. ∴ A=0.0182 ∴ 정수 부분：-2, 소수 부분：0.8156`(거짓) ㄷ. log`13.08=log (6.54_2) ‌ =-2+0.2601 ∴ 정수 부분：2, 소수 부분：0.8156`(참) ㄴ. log`0.0654=log (6.54_10ÑÛ`) ‌ 답 0.0182 ‌ =log`6.54+log`2 ‌ =0.8156+0.3010 ‌ 0195 ③ log`0.674‌=log (67.4×10ÑÛ`) =log`67.4+log`10ÑÛ` =1.1166 =1.8287-2 ∴ 정수 부분：1, 소수 부분：0.1166`(거짓) ‌ ‌ ‌ =-0.1713 따라서 옳은 것은 ㄱ이다. 답③ 답ㄱ 0192 log`xÛ`‌=2`log`x=2_(-2.54) =-5.08 0196 log`y‌=-1.5986 ‌ =-1-0.5986 ‌ ‌ =-2+0.4014 ‌ 즉 log`y와 log`2.52의 소수 부분이 같으므로 y는 2.52와 숫자의 =-6+0.92 배열이 같고, log`y의 정수 부분이 -2이므로 y는 소수점 아래 ∴ n=-6  log`;[!;=-log`x=-(-2.54)=2.54 둘째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타난다. ∴ y‌=0.0252 또한 log`2520에서 2520은 4자리의 정수이므로 log`2520의 정 ∴ a=0.54 수 부분은 4-1=3이고, 2.52와 숫자의 배열이 같으므로 소수  부분은 0.4014이다. 즉 log`2520=3+0.4014=3.4014 ∴ n+a=-6+0.54=-5.46  ∴ 10Ý`(log`2520-y)‌‌=10Ý`(3.4014-0.0252) ‌ 답 -5.46 단계 채점요소 =33762 답 33762 배점  n의 값 구하기 40 %  a의 값 구하기 40 % 0197 logà의 정수 부분이 3이므로 20 % 3Élogà<4 ∴ 10Ü`Éa<10Ý`  ‌ =(-1-1)+(1-0.5986) =-5-0.08 ‌ =(-5-1)+(1-0.08) ‌ n+a의 값 구하기 따라서 자연수 a의 개수는 10Ý`-10Ü`=9000 0193 10Éx<100에서 답⑤ log`10Élog`x<log`100 ∴ 1Élog`x<2 0198 양수 A는 정수 부분이 4자리인 수이므로 logÀ의 정수 즉 log`x의 정수 부분은 1이다. 부분은 3이다. log`x=1+a`(0Éa<1)라 하면 ∴ 3ÉlogÀ<4 log`'x=log`x =;2!;`log`x=;2!;(1+a)=;2!;+;2Ä; ;2!; 답③ 그런데 0Éa<1이므로 ;2!;É;2!;+;2Ä;<1 0199 logÀ의 정수 부분이 4이므로 따라서 log`'x의 소수 부분은 ;2!;+;2Ä;이다. 4ÉlogÀ<5 ∴ 10Ý`ÉA<10Þ` 답 ;2!;+;2Ä; 018 ∴ x=10Þ`-10Ý`=9´10Ý`  정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_001~027_1단원_01,02강_ok.indd 18 2017-11-10 오후 4:26:54 1 의 정수 부분이 -2이므로 B 1 -2Élog` <-1, -2É-log`B<-1 B 1<log`BÉ2 ∴ 10<BÉ10Û` ∴ 26.22Élog`24Ú`á`<26.41 log` 따라서 log`24Ú`á`의 정수 부분이 26이므로 24Ú`á`은 27자리의 정수 이다. 답⑤ ∴ y=10Û`-10=9´10  ∴ log`x-log`y‌=log`;]{;=log` 9´10Ý` 9´10 0204 logÀ=-3.69=-4+0.31이므로 logÀ20‌=20`logÀ=20(-4+0.31) ‌ ‌ =-80+6.2 =log`10Ü`=3 =-74+0.2  답3 단계 채점요소 따라서 logÀ20의 정수 부분이 -74이므로 A20은 소수점 아래 74째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타난다. 답 74째 자리 배점  x의 값 구하기 40 %  y의 값 구하기 40 %  log`x-log`y의 값 구하기 20 % 0205 log`0.25Û`â`‌=log`{;4!;} =log`{ 2 }4`0` =20`log`2+10 1 20 =log`2ÑÝ`â`=-40`log`2 0200 AÜ`B=(2Ú`â`)Ü`´5Ú`â`=2Ü`â`´5Ú`â`이므로 logÀÜ`B=log (2Ü`â`´5Ú`â`)=log (2Û`â`´10Ú`â`) ‌ =-40_0.3010 ‌ =-12.04 ‌ ‌ =-13+0.96 ‌ 따라서 log`0.25Û`â`의 정수 부분이 -13이므로 0.25Û`â`은 소수점 아 ‌ 래 13째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타난다. =20_0.3010+10 ‌ 답 13째 자리 =16.02 따라서 logÀÜ`B의 정수 부분이 16이므로 AÜ`B는 17자리의 정 0206 aÚ`â`이 14자리의 정수이므로 logàÚ`â`의 정수 부분은 13이 수이다. 답① 다. 즉 13ÉlogàÚ`â`<14, 13É10`logà<14 yy ㉠ ∴ 1.3Élogà<1.4 30 0201 log`5 =30`log`5=30(1-log`2) log {;a!;}2`=-2`logà이므로 ㉠의 각 변에 -2를 곱하면 ‌ =30(1-0.3010)=30_0.6990=20.97 따라서 log`5 의 정수 부분이 20이므로 530은 21자리의 정수이다. 30 답② -2.8<-2`logàÉ-2.6 1 따라서 log { }2`의 정수 부분이 -3이므로 {;a!;}2`은 소수점 아 a 래 3째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타난다. 답② 0202 2Ç``이 20자리의 수가 되어야 하므로 log`2Ç`의 정수 부분 은 19이어야 한다. 즉, AÜ` BÛ` 0207 log` BÛ` =5+a, log` A =-1+b 19Élog`2Ç`<20, 19Én`log`2<20 19É0.3n<20 ∴ 63.___Én<66.___ 로 놓으면 따라서 이를 만족시키는 자연수 n은 64, 65, 66이고, 그 합은 3`logÀ-2`log`B=5+a yy ㉠ 2`log`B-logÀ=-1+b yy ㉡ 64+65+66=195 답 195 0203 24Ú`â`â`이 139자리의 수이므로 log`24Ú`â`â`의 정수 부분은 138이다. 즉 log`24Ú`á`=19`log`24이므로 ㉠의 각 변에 19를 곱하면 1.38_19É19`log`24<1.39_19 ㉠+㉡을 하면 2`logÀ=4+a+b ∴ logÀ=2+ 이때 0É 138Élog`24Ú`â`â`<139, 138É100`log`24<139 ∴ 1.38Élog`24<1.39 (0Éa<1, 0Éb<1) yy ㉠ 은 a+b 2 a+b <1이므로 logÀ의 정수 부분은 2, 소수 부분 2 a+b 이다. 2 따라서 A는 3자리의 자연수이다. 답 3자리 02. 로그 알피엠_수Ⅰ_해설_001~027_1단원_01,02강_ok.indd 19 019 2017-11-10 오후 4:26:55 0208 log`6Û`â`‌=20`log`6=20(log`2+log`3) ‌ =20(0.3010+0.4771) 유형 ‌ =15.562 본문 28~29쪽 0211 logÀ=n+a (n은 정수, 0Éa<1)라 하면 이때 log`4=2`log`2=2_0.3010=0.6020이므로 이차방정식 2xÛ`-5x+k-3=0의 두 근이 n, a이므로 근과 계 log`3<0.562<log`4 수의 관계에 의하여 15+log`3<15.562<15+log`4 log (3´10Ú`Þ`)<log`6Û`â`<log (4´10Ú`Þ`) n+a=;2%;=2+;2!; yy ㉠ ∴ 3´10Ú`Þ`<6Û`â`<4´10Ú`Þ` na= k-3 2 yy ㉡ 따라서 6Û`â`의 최고 자리의 숫자는 3이다. 답3 ㉠에서 n=2, a=;2!;이므로 이 값을 ㉡에 대입하면 2´;2!;= 0209 log (2Û`â`´3Ý`â`)‌=log`2Û`â`+log`3Ý`â` ‌ ∴ k=5 =20`log`2+40`log`3 =20_0.3010+40_0.4771 k-3 2 ‌ 답5 ‌ =25.104 1 0212 logÀ=:Á2°:=7+ 2 이므로 logÀ의 정수 부분은 7, 이때 log`1=0, log`2=0.3010이므로 log`1<0.104<log`2 소수 부분은 25+log`1<25.104<25+log`2 log (1´10Û`Þ`)<log (2Û`â`´3Ý`â`)<log (2´10Û`Þ`) 1 이다. 2 따라서 이차항의 계수가 1이고 7과 ∴ 1´10Û`Þ`<2Û`â`´3Ý`â`<2´10Û`Þ` 1 을 두 근으로 하는 이차방 2 정식은 따라서 2Û`â`´3Ý`â`의 최고 자리의 숫자는 1이다. 답① xÛ`-{7+;2!;}x+7´;2!;=0 xÛ`-:Á2°:x+;2&;=0 0210 log`2Þ`â`=50`log`2=50_0.3010=15.05이므로 2Þ`â`은 ∴ 2xÛ`-15x+7=0 16자리의 정수이다. 답① ∴ a=16  2의 거듭제곱의 일의 자리 숫자는 2, 4, 8, 6이 반복되고, 0213 log`z=n+a`(n은 정수, 0Éa<1)라 하면 이차방정 식 xÛ`-ax+b=0의 두 근이 n, a이므로 근과 계수의 관계에 의 50=4´12+2이므로 2Þ`â`의 일의 자리의 숫자는 4이다. 하여 ∴ b=4  한편, log`2=0.3010이므로 log`1<0.05<log`2 n+a=a yy ㉠ na=b yy ㉡ 15+log`1<15.05<15+log`2 이때 b+0이므로 a+0 ∴ 0<a<1 log (1´10Ú`Þ`)<log`2Þ`â`<log`(2´10Ú`Þ`) 한편, log`;z!;=-log`z=-n-a=(-n-1)+(1-a) ∴ 1´10Ú`Þ`<2Þ`â`<2´10Ú`Þ` 1 이고 0<1-a<1이므로 log` 의 정수 부분은 -n-1이고, 소수 z 따라서 2Þ`â`의 최고 자리의 숫자는 1이므로 c=1  ∴ a+b+c=16+4+1=21  답 21 단계 채점요소 배점  a의 값 구하기 20 %  b의 값 구하기 30 %  c의 값 구하기 40 %  a+b+c의 값 구하기 10 % 020 부분은 1-a이다. 3 이차방정식 xÛ`+ax+b- =0의 두 근이 -n-1, 1-a이므 2 로 근과 계수의 관계에 의하여 (-n-1)+(1-a)=-a (-n-1)(1-a)=b-;2#; yy ㉢㉡, ㉢에서 -n+na-1+a=na-;2#;이므로 n-a=;2!; ∴ n=1, a=;2!; (∵ n은 정수, 0<a<1) 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_001~027_1단원_01,02강_ok.indd 20 2017-11-10 오후 4:26:55 이 값을 ㉠, ㉡에 대입하면 a=;2#;, b=;2!;이므로 0217 log`x의 소수 부분과 log`'x의 소수 부분의 합이 1이므로 a+b=2 답2 0214 10<x<100에서 1<log`x<2 yy ㉠ log`x의 소수 부분과 log`;[!;의 소수 부분이 같으므로 3 1 log`x+log`'x‌=log`x+ `log`x= `log`x=(정수) 2 2 한편, log`x의 정수 부분이 2이므로 2Élog`x<3 각 변에 ;2#; 을 곱하면 3É;2#;`log`x<;2(; ;2#;`log`x=3, 4 ∴ log`x=2, ;3*; log`x-log`;[!;=log`x+log`x=2`log`x=(정수) 그런데 log`x=2이면 log`'x=1이 되어 log`x와 log`'x의 소 ㉠에 의하여 2<2`log`x<4이므로 수 부분의 합은 0이므로 조건을 만족시키지 않는다. 2`log`x=3, log`x=;2#; ∴ log`x=;3*;=2+;3@; ;2#; x=10 ∴ xÛ`=10Ü` 답③ 따라서 log`x의 소수 부분은 ;3@;이다. 답④ 다른풀이 0215 log`x의 정수 부분이 1이므로 yy ㉠ 1Élog`x<2 log`x의 소수 부분을 a라 하면 log`x=2+a (0Éa<1) log`xÛ`의 소수 부분과 log`;[!;의 소수 부분이 같으므로 ∴ log`'x=;2!;`log`x=;2!;(2+a)=1+;2Ä; 따라서 log`'x의 소수 부분은 ;2Ä;이므로 log`xÛ`-log`;[!;=2`log`x+log`x=3`log`x=(정수) a+;2Ä;=1, ;2#;a=1 ∴ a=;3@; ㉠에 의하여 3É3`log`x<6이므로 0218 log`x의 소수 부분과 log`Ü'x의 소수 부분의 합이 1이므로 3`log`x=3, 4, 5 log`x=1, ;3$;, ;3%; log`x+log`Ü'x=log`x+;3!;`log`x=;3$;`log`x=(정수) ∴ x=10, 10;3$;, 10;3%; 10Ü`Éx<10Ý`에서 3Élog`x<4 각 변에 ;3$;를 곱하면 4É;3$;`log`x<:Á3¤: 따라서 모든 x의 값의 곱은 10´10;3$;´10;3%;=101+;3$;+;3%;=10Ý` 답③ ;3$;`log`x=4, 5 ∴ log`x=3, :Á4°: 그런데 log`x=3이면 log`Ü'x=1이 되어 log`x와 log`Ü'x의 소 수 부분의 합은 0이므로 조건을 만족시키지 않는다. 0216 x의 정수 부분이 세 자리의 자연수이고, x는 정수가 아 니므로 log`x=2.___ 즉 2<log`x<3 yy ㉠ log`'x의 소수 부분과 log`xÛ`의 소수 부분이 같으므로 ∴ log`x=:Á4°: 1 따라서 log`xÛ`=2`log`x=:Á2°:=7+ 이므로 log`xÛ`의 소수 부 2 분은 1 log`'x-log`xÛ`‌= `log`x-2`log`x ‌ 2 1 이다. 2 답 ;2!; 3 =- `log`x=(정수) 2 다른풀이 10Ü`Éx<10Ý`에서 3Élog`x<4 log`x의 소수 부분을 a라 하면 log`x=3+a (0Éa<1) ㉠에 의하여 -;2(;<-;2#;`log`x<-3이므로 ∴ log`Ü'x=;3!;`log`x=;3!;(3+a)=1+;3Ä; -;2#;`log`x=-4 따라서 log`Ü'x의 소수 부분은 ;3Ä;이므로 ∴ log`x=;3*;=2+;3@; a+;3Ä;=1, ;3$;a=1 ∴ a=;4#; 따라서 log`x의 소수 부분은 ;3@;이다. ∴ k=;3@; ∴ log`xÛ`=2`log`x=6+2a=6+;2#;=7+;2!; ∴ 420k=420´;3@;=280 답 280 따라서 log`xÛ`의 소수 부분은 ;2!;이다. 02. 로그 알피엠_수Ⅰ_해설_001~027_1단원_01,02강_ok.indd 21 021 2017-11-10 오후 4:26:56 yy ㉠ 0219 P(x)=1에서 1Élog`x<2 Q(x)+Q(xÛ`)=1에서 양변에 상용로그를 취하면 10`log`{1+10A0;}=log`2 log`x+log`xÛ`=log`x+2`log`x=3`log`x=(정수) log`{1+;10A0;}=;1Á0;`log`2=;1Á0;_0.3=0.03 ㉠의 각 변에 3을 곱하면 3É3`log`x<6 ∴ 3`log`x=3, 4, 5 이때 log`1.07=0.03이므로 즉 log`x=1, ;3$;, ;3%;이므로 x=10, 10 , 10 1+;10A0;=1.07 ∴ a=7 그런데 x=10이면 log`x=1, log`xÛ`=2가 되어 따라서 채굴량을 매년 7`%씩 증가시켜야 한다. ;3$; ;3%; Q(x)+Q(xÛ`)=0이므로 조건을 만족시키지 않는다. ;3$; 답④ ;3%; ∴ x=10 , 10 0222 A지역의 소리의 강도를 P, A지역의 소리의 크기를 따라서 모든 실수 x의 값의 곱은 D, B지역의 소리의 크기를 Dõ라 하면 10;3$;´10;3%;=10Ü` 답⑤ 다른풀이 P(x)=1이므로 log`x의 소수 부분을 a라 하면 log`x=1+a`(0Éa<1) P I 500P P Dõ‌=10`log` =10`{log`500+log` } I I D=10`log` ‌ ∴ log`xÛ`=2`log`x=2(1+a)=2+2a =10`log`500+D=10(log`5+log`100)+D 1 Ú 0‌ Éa< 일 때, 2 =10(1-log`2+2)+D ‌ =10_2.7+D 0É2a<1에서 log`xÛ`의 소수 부분은 2a이고 Q(x)+Q(xÛ`)=1이므로 ‌ 1 a+2a=1, 3a=1 ∴ a= 3 ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ =27+D 따라서 A지역과 B지역의 소리의 크기의 차이는 27`dB이다. 답 27`dB 1 log`x=1+ =;3$;이므로 x=10;3$; 3 1 Û ‌ Éa<1일 때, 2 ‌ 1É2a<2에서 log`xÛ`의 소수 부분은 2a-1이고 Q(x)+Q(xÛ`)=1이므로 ‌ 시험에 ‌ a+(2a-1)=1, 3a=2 ∴ a= 2 3 ‌ 꼭 나오는 문제 0223 밑의 조건에서 a+2>0, a+2+1 2 log`x=1+ =;3%;이므로 x=10;3%; 3 a>-2, a+-1 ∴ -2<a<-1 또는 a>-1 yy ㉠ 진수의 조건에서 -aÛ`+a+12>0 Ú, Û에서 모든 실수 x의 값의 곱은 aÛ`-a-12<0, (a+3)(a-4)<0 10;3$;´10;3%;=10Ü` ∴ -3<a<4 0220 올해 매출액이 100억 원일 때, n년 후에 매출액이 5배가 되면 500억 원이므로 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 -2<a<-1 또는 -1<a<4 답⑤ 양변에 상용로그를 취하면 n`log`1.28=log`5, n`log`;1!0@0*;=log`5 0224 5`log£`'3+;2!;`log£`2-log£`'6 n(log`2à`-log`100)=1-log`2 =;2%;`log£`3+;2!;`log£`2-;2!;`log£`6 1-log`2 1-0.3 = =7 7`log`2-2 7_0.3-2 따라서 앞으로 7년 후의 매출액이 올해 매출액의 5배가 된다. 답 7년 후 0221 올해 채굴량을 A, 채굴량의 증가율을 a`%라 하면 A{1+;10A0;}1`0`=2A ∴ {1+;10A0;}1`0`=2 022 yy ㉡ 따라서 정수 a의 값은 0, 1, 2, 3이므로 그 합은 6이다. 100(1+0.28)Ç`=500 ∴ 1.28Ç`=5 ∴ n= 본문 30~33쪽 =;2%;+;2!;`log£`2-;2!;(log£`2+log£`3) =;2%;+;2!;`log£`2-;2!;`log£`2-;2!;`log£`3 =;2%;-;2!;=2 답② 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_001~027_1단원_01,02강_ok.indd 22 2017-11-10 오후 4:26:57 0231 log`x=;2!;, logº`x=;3!;, log`x=;4!;에서 0225 log£`x+log£`2y+log£`3z=1에서 log£ (x´2y´3z)=log£`6xyz=1 log®à=2, log®`b=3, log®`c=4 6xyz=3 ∴ xyz=;2!; ∴ ∴ {(81Å`)´`}½`=81xyz=(3Ý`);2!;=3Û`=9 1 ‌=log®àbc=log®à+log®`b+log®`c logº`x =2+3+4=9 답③ 0226 (logª`3+log Ü'4`9){2`log£`2+;2!;`log£`4} 답④ 0232 log`c：logº`c=2：1에서 2`logº`c=log`c 2`log`c log`c = , 2`logà=log`b log`b logà =(logª`3+log2 `3Û`){2`log£`2+;2!;`log£`2Û`} ;3@; logàÛ`=log`b ∴ b=aÛ` =(logª`3+3`logª`3)(2`log£`2+log£`2) ∴ log`b+logºà‌=logàÛ`+logaÛ`à ‌ =4`logª`3´3`log£`2 = 1 =2+ =;2%; 2 4`log`3 3`log`2 ´ =12 log`2 log`3 답 ;2%; 답 12 1 0227 ㄱ. logª`;8!;=logª` 2Ü` =logª`2ÑÜ`=-3 (참) 0233 log£à, log£`b가 이차방정식 xÛ`-4x+2=0의 두 근이 ㄴ. log¢`32=log2Û``2Þ`=;2%;`logª`2=;2%; (참) 므로 근과 계수의 관계에 의하여 ㄷ. log'2`4=log2 `2Û`=4`logª`2=4 (거짓) ∴ l‌og`Ü'b+logº`Ü'a log£à+log£`b=4, log£à´log£`b=2 ;2!; 1 ㄹ. log£ (logª¦`3)‌=log£ (log3Ü``3)=log£ { `log£`3} 3 ‌ ‌ 1 = `log`b+;3!;`logºà ‌ 3 1 =log£` =log£`3ÑÚ`=-1 (참) 3 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다. 답④ 1 = (log`b+logºà) ‌ 3 1 log£`b log£à = { + } ‌ 3 log£à log£`b 1 (log£`b)Û`+(log£à)Û` = ´ 3 log£à´log£`b 0228 x=log£`64이므로 ‌ ;3{;=;3!;`log£`64=;3!;`log£`4Ü`=log£`4 1 (log£à+log£`b)Û`-2`log£à´log£`b = ´ ‌ 3 log£à´log£`b ∴ 3;3{;=3log£`4=4 1 4Û`-2´2 = ´ =2 3 2 답4 0229 logª`9´log£`5´log°`8‌=logª`3Û`´log£`5´log°`2Ü` ‌ = 2`log`3 log`5 3`log`2 ´ ´ log`2 log`3 log`5 ‌ =6 ∴ 2logª`9´log£`5´log°`8=2ß`=64 답④ 0230 log0.2`45‌= log`0.2 = log (5´3Û`) log`;1ª0; 답2 ;4#; 0234 xÜ`=yÝ`에서 y=x =2`logª`3´log£`5´3`log°`2 ‌ log`45 ‌ ∴ A=logx`y=logx`x;4#;=;4#; yÝ`=zÞ`에서 z=y;5$; ∴ B=logy`z=logy`y;5$;=;5$; xÜ`=zÞ`에서 x=z;3%; ∴ C=logz`x=logz`z;3%;=;3%; ‌ ∴ A<B<C = log`5+2`log`3 (1-log`2)+2`log`3 = ‌ log`2-1 log`2-1 = 1-a+2b a-2b-1 = a-1 1-a 답① 0235 logª`4=2, logª`8=3이므로 답③ 2<logª`5<3 02. 로그 알피엠_수Ⅰ_해설_001~027_1단원_01,02강_ok.indd 23 023 2017-11-10 오후 4:26:58 0239 { 10 }1`0`이 소수점 아래 여섯째 자리에서 처음으로 0이 따라서 logª`5의 정수 부분은 2이므로 x=2 n 소수 부분은 logª`5-2이므로 아닌 숫자가 나타나므로 log`{ y=logª`5-2=logª`;4%; ∴ 4+;4%; logª`;4%; 즉 -6Élog`{ 2Å`+2´` 2Û`+2 ` = = =5 2ÑÅ`+2Ñ´` 2ÑÛ`+2Ñlogª`;4%; ;4!;+;5$; n }1`0`<-5 10 n }1`0`의 정수 부분은 -6이다. 10 -6É10(log`n-1)<-5, -0.6Élog`n-1<-0.5 ∴ 0.4Élog`n<0.5 답⑤ 이때 log`2=0.3010, log`3=0.4771, log`4=2`log`2=0.6020이므로 구하는 자연수 n의 값은 3이다. 0236 log`2.82=0.4502, log`2.60=0.4150이므로 log (28.2_260)‌=log (2.82_10_2.60_100) 답3 ‌ =log`2.82+log`10+log`2.60+log`100 =log`2.82+log`2.60+3 ‌ =0.4502+0.4150+3 ‌ ‌ 0240 log {;2!;}2`4`‌=24`log` 2 =-24`log`2 1 ‌ =-24_0.3010=-7.224 ‌ =-8+0.776 …… ㉠ =3.8652 답④ 1 즉 log {;2!;}2`4`의 정수 부분이 -8이므로 log { }2`4`은 소수점 아 2 래 8째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나온다. 0237 log`1, log`2, log`3, y, log`9의 정수 부분은 모두 0이 ∴ a=8 므로 한편, log`5=1-log`2=0.6990, log`6=log`2+log`3=0.7781 f(1)=f(2)=f(3)=y=f(9)=0 이므로 log`10, log`11, log`12, y, log`99의 정수 부분은 모두 1이므로 log`5<0.776<log`6 f(10)=f(11)=f(12)=y=f(99)=1 -8+log`5<-8+0.776<-8+log`6 log`100, log`101, log`102, y, log`200의 정수 부분은 모두 2 이므로 f(100)=f(101)=f(102)=y=f(200)=2 ‌ ∴ b=5 =292 답 292 0238 5Ú`â`â`이 70자리의 정수이므로 log`5Ú`â`â`의 정수 부분은 69이 다. 즉 yy ㉠ 또한 11Ú`â`â`이 105자리의 정수이므로 log`11Ú`â`â`의 정수 부분은 104 이다. 즉 104Élog`11Ú`â`â`<105, 104É100`log`11<105 ∴ 1.04Élog`11<1.05 ∴ a+b=8+5=13 답 13 0241 log`N=n+a (n은 정수, 0Éa<1)라 하면 5 이차방정식 xÛ`- x+;3K;=0의 두 근이 n, a이므로 근과 계수의 3 69Élog`5Ú`â`â`<70, 69É100`log`5<70 ∴ 0.69Élog`5<0.7 ∴ 5´10Ñ¡`<{;2!;}2`4`<6´10Ñ¡` 따라서 log {;2!;}2`4`의 소수점 아래 8째 자리의 숫자는 5이다. ∴ ‌f(1)+f(2)+f(3)+y+f(199)+f(200) ‌ =0´9+1´90+2´101 log (5´10Ñ¡`)<log {;2!;}2`4`<log (6´10Ñ¡`) (∵ ㉠) yy ㉡ 이때 log`55Ú`â`=10`log`55=10(log`5+log`11)이므로 관계에 의하여 n+a=;3%;=1+;3@; yy ㉠ na=;3K; yy ㉡㉠에서 n=1, a=;3@; ㉡에서 1´;3@;=;3K; ∴ k=2 ㉠+㉡을 하면 1.73Élog`5+log`11<1.75, 1.73Élog`55<1.75 답2 각 변에 10을 곱하면 17.3É10`log`55<17.5 ∴ 17.3Élog`55Ú`â`<17.5 따라서 log`55Ú`â`의 정수 부분이 17이므로 55Ú`â`은 18자리의 정수 이다. 답⑤ 024 0242 조건 ㈎에서 log`x의 정수 부분이 2이므로 2Élog`x<3 yy ㉠ 조건 ㈏에서 log`xÜ`의 소수 부분과 log`;[!;의 소수 부분이 같으므로 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_001~027_1단원_01,02강_ok.indd 24 2017-11-10 오후 4:26:59 log`xÜ`-log` 1 ‌=3`log`x+log`x x ∴ 10Ü`_0.8Ú`â`=10Û` ‌ 따라서 현재 보상 기준 가격은 100만 원이다. =4`log`x=(정수) 답② ㉠에 의하여 8É4`log`x<12이므로 4`log`x=8, 9, 10, 11 0246 정상적인 비의 수소 이온의 농도를 X¼이라 하면 log`x=2, ;4(;, ;2%;, :Á4Á: -log`X¼=5.6 ∴ log`X¼=-5.6 ∴ x=10Û`, 10;4(;, 10;2%;, 10:Á4Á: pH`4.82인 비의 수소 이온의 농도를 XÁ이라 하면 -log`XÁ=4.82 ∴ log`XÁ=-4.82 따라서 x의 최댓값은 10:Á4Á:이므로 k=10:Á4Á: ∴ log` ∴ 100`log`k=100`log`10 =100´:Á4Á:=275 :Á4Á: XÁ =log`XÁ-log`X¼=0.78 X¼ log`x의 소수 부분과 log`xÝ`의 소수 부분이 같으므로 이때 log`2=0.30, log`3=0.48이므로 XÁ log` =0.78=0.30+0.48=log`2+log`3=log`6 X¼ XÁ ∴ =6 X¼ log`xÝ`-log`x=4`log`x-log`x=3`log`x=(정수) 따라서 오염 물질의 양은 정상적인 상태의 6배이다. 답 275 yy ㉠ 0243 100Éx<1000에서 2Élog`x<3 답 6배 ㉠에 의하여 6É3`log`x<9이므로 3`log`x=6, 7, 8 0247 a=log» (2-'3`)에서 log`x=2, ;3&;, ;3*; 9`=2-'3 ∴ 3Û``=2-'3 ∴ x=10Û`, 10;3&;, 10;3*;  따라서 모든 실수 x의 값의 곱은 ;3&; ;3*; a ∴ 2+;3&;+;3*; 10Û`´10 ´10 =10 =10à` 3a -3a 27`-27Ñ` 3Ü``-3ÑÜ`` 3 (3 -3 ) 3Ý``-3ÑÛ`` ‌= = a a -a = ‌ 3`+3Ñ` 3`+3Ñ` 3 (3 +3 ) 3Û``+1 1 32a 3Û``+1 (32a)Û`- 답① = § 의 소수 부분과 log`Ü'x § 의 소수 부분의 합이 1이 0244 log`'§x  므로 1 2-'3 ‌ (2-'3)+1 (2-'3)Û`- log`'§x+log`Ü'x § =;2!;`log`x+;3!;`log`x=;6%;`log`x=(정수) ‌= 한편, log`x의 정수 부분이 3이므로 3Élog`x<4 각 변에 ;6%;를 곱하면 = 7-4'3-(2+'3`) ‌ 3-'3 ;2%;É;6%;`log`x<:Á3¼:, ;6%;`log`x=3 = 5(1-'3`) 5 5'3 ==3 '3('3-1) '3 ∴ log`x=:Á5¥:=3+;5#;  답- 따라서 log`x의 소수 부분은 ;5#;이다. 답 ;5#; 0245 현재 보상 기준 가격은 단계 채점요소 5'3 3 배점 2a  3 의 값 구하기 30 %  주어진 식을 3 으로 나타내기 2a 30 %  주어진 식의 값 구하기 40 % 1000(1-0.2)Ú`â`=10Ü`_0.8Ú`â` (만 원) 상용로그를 취하면 log`(10Ü`_0.8Ú`â`)‌=3+10`log`0.8 ‌ 8 10 ‌ =3+10`log` 0248 logª`12=logª (2Û`´3)=2+logª`3이므로  주어진 방정식은 xÛ`+(2+logª`3)x+2`logª`3=0 =3+10(3`log`2-1) ‌ (x+2)(x+logª`3)=0 =3+10(3_0.30-1) ‌ ∴ x=-2 또는 x=-logª`3  =2 02. 로그 알피엠_수Ⅰ_해설_001~027_1단원_01,02강_ok.indd 25 025 2017-11-10 오후 4:27:00 28+log`4<28+0.626<28+log`5 1 ∴ 2a+2b‌=2ÑÛ`+2-logª`3= +2logª`;3!; 4 log (4´10Û`¡`)<log`27Û`â`<log (5´10Û`¡`) (∵ ㉠) 1 = +;3!;=;1¦2; 4 ∴ 4´10Û`¡`<27Û`â`<5´10Û`¡`  답 ;1¦2; 단계 채점요소 배점 따라서 27Û`â`의 최고 자리의 숫자는 4이다. ∴ b=4  ∴ a+b=29+4=33  logª`12를 변형하기 30 %   x의 값 구하기 40 % 답 33  2 +2 의 값 구하기 a b 30 % 0249 log`x의 소수 부분을 a (0Éa<1)라 하면 log`x=7+a 단계 채점요소 배점  a의 값 구하기 40 %  b의 값 구하기 50 %  a+b의 값 구하기 10 %  1 ∴ log`'x‌=;2!;`log`x= (7+a) 2 a a =3.5+ =3+0.5+ 2 2 1 0251 log`b=logºà에서 log`b= log`b ‌ ∴ (log`b)Û`=1 Ú l‌og`b=1일 때, a=b이므로 a, b가 서로 다른 양수라는 조 a 따라서 log`'x의 정수 부분은 3, 소수 부분은 0.5+ 이다. 2 건에 모순이다.  이때 log`'x의 소수 부분이 0.8이므로 Û log`b=-1일 때, b=aÑÚ`=;a!; ∴ ab=1 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 a 0.5+ =0.8 ∴ a=0.6 2 ab+3a+12b‌=1+3a+  1 ∴ log` ‌=-log`x=-(7+0.6) x 12 (∵ ab=1) a ¾1+2®É3a´ ‌ 12 a ‌ =1+2´6=13 {단, 등호는 3a= =-7-0.6=(-7-1)+(1-0.6) ‌ =-8+0.4 ‌ 12 일 때 성립} a 따라서 구하는 최솟값은 13이다. 따라서 log`;[!;의 소수 부분은 0.4이다. 답②  답 0.4 단계 채점요소 배점  log`x를 정수 부분과 소수 부분으로 나타내기 20 %  log`'x의 소수 부분을 log`x의 소수 부분으로 나타내기 30 %  log`x의 소수 부분 구하기 20 %  log`;[!;의 소수 부분 구하기 30 % 0252 aÅ`=(Ü"ÅbÛ` )´`=(Þ'c )½`=64에서 aÅ`=64, b;3@;y=64, c;5Z;=64 ∴ x=log`64, ;3@;y=logº`64, ;5Z;=log`64 ∴ ;[!;+ 3 1 1 1 -;z%;= ‌ + 2y log`64 logº`64 log`64 =log¤¢à+log¤¢`b-log¤¢`c =log¤¢` 0250 log`27Û`â`‌=log (3Ü`)Û`â`=log`3ß`â`=60`log`3 =60_0.4771=28.626 =28+0.626 ‌ ab ‌ c =log¤¢`2Ú`¡` {∵ ‌ ‌ ab =2Ú`¡`} c ‌ =log2ß``2Ú`¡` ‌ ‌ …… ㉠ =3 log`27Û`â`의 정수 부분이 28이므로 27Û`â`은 29자리의 자연수이다. 답3 ∴ a=29  log`4=2`log`2=0.6020, log`5=1-log`2=0.6990이므로 log`4<0.626<log`5 026 0253 logÀ=n+a (n은 정수, 0<a<1)라 하면 ㄱ. l‌ogÀ-2=(n+a)-2=(n-2)+a이므로 ‌ logÀ-2의 소수 부분은 a이다. 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_001~027_1단원_01,02강_ok.indd 26 2017-11-10 오후 4:27:00 ㄴ. 3‌ -logÀ‌=3-(n+a)=3-n-a =(3-n-1)+(1-a) ‌ 0254 a`logÁ¥¼`5+b`logÁ¥¼`2+c`logÁ¥¼`3=d에서 ‌ logÁ¥¼`5`+logÁ¥¼`2º`+logÁ¥¼`3`=d logÁ¥¼ (5`_2º`_3`)=d =(2-n)+(1-a) 이므로 3-logÀ의 소수 부분은 1-a이다. ㄷ. log`100A‌=2+logÀ=2+(n+a) ∴ 180¶`=5`_2º`_3` 그런데 180=2Û`_3Û`_5에서 ‌ =(n+2)+a 180¶`=2Û`¶`_3Û`¶`_5¶`이므로 이므로 log`100A의 소수 부분은 a이다. 2º`_3`_5`=2Û`¶`_3Û`¶`_5¶` ㄹ. 1‌ 00`logÀ=100(n+a)=100n+100a ‌ ∴ a=d, b=2d, c=2d 그런데 0<100a<100이므로 100`logÀ의 소수 부분은 알 세 자연수 a, b, c, 즉 d, 2d, 2d의 최대공약수가 1이므로 d=1 수 없다. ∴ a=1, b=2, c=2 ㅁ. log` A ‌=logÀ-2=(n+a)-2 100 ∴ a+b+c+d=1+2+2+1=6 ‌ 답6 =(n-2)+a 이므로 log` A 의 소수 부분은 a이다. 100 따라서 logÀ와 소수 부분이 같은 것은 ㄱ, ㄷ, ㅁ이다. 답④ 02. 로그 알피엠_수Ⅰ_해설_001~027_1단원_01,02강_ok.indd 27 027 2017-11-10 오후 4:27:01 Ⅰ. 지수함수와 로그함수 03 지수함수 답 y=-{;2!;}Å` 교과서 문제 정 복 하 기 / 0255 답 ㄱ, ㄹ, ㅁ 0256 답 / 1 1 -y={ }Å` ∴ y=-{ }Å` 2 2 / 1 0263 y={ 2 }Å` 의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동한 그래프 본문 35쪽 의 식은 y 1 y={ }ÑÅ` ∴ y=2Å` 2 y=2` 답 y=2Å` 1 1 0264 y={ 2 }Å` 의 그래프를 원점에 대하여 대칭이동한 그래프 x O 의 식은 0257 1 -y={ }ÑÅ` ∴ y=-2Å` 2 답 y={;2!;}�` y 답 y=-2Å` 1 O 0265 함수 y=3Å` 은 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가하는 함 x 수이므로 -1ÉxÉ1일 때 0258 y=-aÅ ` 의 그래프는 y=aÅ ` 의 y 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 것이 1 므로 오른쪽 그림과 같다. x=-1에서 최솟값 3ÑÚ`=;3!;, y=a` x=1에서 최댓값 3Ú`=3을 갖는다. -1 y=-a` 답 풀이 참조 1 0259 y={ a }Å`=aÑÅ`의 그래프는 답 최댓값`:`3, 최솟값`:`;3!; x O 1 0266 y={ 4 }Å` 은 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소하는 함수 이므로 -2ÉxÉ2일 때 1 x=-2에서 최댓값 { }ÑÛ`=16, 4 ` y y={;a!;} � y=a` y=aÅ`의 그래프를 y축에 대하여 대칭이 1 x=2에서 최솟값 { }Û`=;1Á6; 을 갖는다. 4 답 최댓값`:`16, 최솟값`:`;1Á6; 1 동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다. x O 답 풀이 참조 0267 t=xÛ`-6x+6으로 놓으면 t=(x-3)Û`-3¾-3 1 0260 y=-{ a }Å`=-aÑÅ`의 그래프 y 는 y=aÅ`의 그래프를 원점에 대하여 대 1 칭이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다. O 이때 주어진 함수는 y=3^`이고, 밑 3이 3>1이므로 t=-3일 때 y=a` 최솟값 y=3ÑÜ`=;2Á7; 을 갖는다. 답 최솟값：;2Á7; x -1 �` y=-{;a!;} 답 풀이 참조 0261 답 x축, 2 1 0262 y={ 2 }Å` 의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그래프 의 식은 028 0268 t=xÛ`-2x+3으로 놓으면 t=(x-1)Û`+2¾2 1 이때 주어진 함수는 y={ }^`이고, 밑 ;2!;이 0<;2!;<1이므로 2 1 t=2일 때 최댓값 y={ }Û`=;4!;을 갖는다. 2 답 최댓값：;4!; 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 28 2017-11-10 오후 4:24:58 0276 3Û`Å`-10´3Å`+9É0에서 3Å`=t (t>0)로 놓으면 주어진 0269 2Å`=128에서 2Å`=2à`이므로 x=7 답 x=7 부등식은 tÛ`-10t+9É0, (t-1)(t-9)É0 ∴ 1ÉtÉ9 ;2#; Å` 0270 {;9!;} =3'3에서 3ÑÛ` Å`=3 이므로 -2x=;2#; 즉 1É3Å`É9이므로 3â`É3Å`É3Û` ∴ x=-;4#; 밑이 1보다 크므로 0ÉxÉ2 답 0ÉxÉ2 답 x=-;4#; 1 0277 { 9 }Å`-12´{;3!;}Å`<-27에서 {;3!;}Å`=t (t>0)로 놓으 0271 3Û`Å` ±Ú`<3Å``에서 밑 3이 3>1이므로 면 주어진 부등식은 2x+1<x ∴ x<-1 답 x<-1 tÛ`-12t+27<0, (t-3)(t-9)<0 ∴ 3<t<9 즉 3<{;3!;}Å`<9이므로 {;3!;}ÑÚ`<{;3!;}Å`<{;3!;}ÑÛ` 0272 {;5!;}Û`Å`<{;5!;}Ü`에서 밑 ;5!;이 0<;5!;<1이므로 밑이 1보다 작으므로 -2<x<-1 2x>3 ∴ x>;2#; 답 -2<x<-1 답 x>;2#; 0278 4Å`-3´2Å `±Ú`+8É0에서 2Å`=t (t>0)로 놓으면 주어진 부등식은 ;2!; 0273 '2<2Ü`Å`<64에서 2 <2Ü`Å`<2ß` tÛ`-6t+8É0, (t-2)(t-4)É0 이때 밑 2가 2>1이므로 ∴ 2ÉtÉ4 ;2!;<3x<6 ∴ ;6!;<x<2 즉 2É2Å`É4이므로 2Ú`É2Å`É2Û` 답 ;6!;<x<2 밑이 1보다 크므로 1ÉxÉ2 답 1ÉxÉ2 ;2%; 0274 {;2!;}`Û `Å ÑÚ`<{;2!;} <{;2!;}`Å ÑÛ`에서 밑 ;2!;이 0<;2!;<1이므로 2x-1>;2%;>x-2 유형 익 히 기 / Ú 2x-1>;2%;에서 2x>;2&; ∴ x>;4&; / 본문 36~44쪽 0279 ② 그래프는 a의 값에 관계없이 항상 점 (0, 1)을 지난다. Û ;2%;>x-2에서 x<;2(; ④ ‌a>1이면 x의 값이 증가할 때 y의 값도 증가하고, 0<a<1이면 x의 값이 증가할 때 y의 값은 감소한다. Ú, Û에서 ;4&;<x<;2(; 답④ 답 ;4&;<x<;2(; 0275 {;3!;}`Å ±Û`<{;3!;} <{;3!;}`Ü `Å ÑÛ`에서 밑 ;3!;이 0<;3!;<1이므로 xÛ` x+2>xÛ`>3x-2 1 0280 ㄹ. 함수 f(x)={ 5 }`Å 에서 밑 ;5!;이 0<;5!;<1이므로 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. 즉 xÁ<xª이면 f(xÁ)>f(xª)이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. Ú ‌x+2>xÛ`에서 답 ㄱ, ㄴ, ㄷ xÛ`-x-2<0, (x+1)(x-2)<0 ∴ -1<x<2 0281 임의의 실수 a, b에 대하여 a<b일 때, f(a)<f(b)를 Û ‌xÛ`>3x-2에서 만족시킨다는 것은 함수 f(x)가 x의 값이 증가하면 y의 값도 증 xÛ`-3x+2>0, (x-1)(x-2)>0 가하는 함수임을 의미한다. ∴ x<1 또는 x>2 따라서 f(x)=aÅ` 에서 a>1인 함수를 찾으면 된다. Ú, Û에서 -1<x<1 답 -1<x<1 1 ① ‌f(x)=2ÑÅ`={ }Å`에서 밑 ;2!;이 0<;2!;<1이므로 x의 값이 2 03. 지수함수 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 29 029 2017-11-10 오후 4:24:59 증가하면 y의 값은 감소한다. ② ‌f(x)=0.1Å`={ 따라서 y=2Å` 의 그래프를 평행이동하여 겹칠 수 있는 것은 ㄱ뿐이 1 Å` } 에서 밑 ;1Á0;이 0<;1Á0;<1이므로 x의 10 다. 답ㄱ 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. 1 ③ ‌f(x)={ }ÑÅ`=3Å` 에서 밑 3이 3>1이므로 x의 값이 증가하 3 면 y의 값도 증가한다. 2x-4 2(x-2) +2`(a>0, a+1)의 그래프는 0285 y=a +2=a y=aÛ`Å`의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 2만 1 ④ ‌f(x)={ }Å`에서 밑 ;4!;이 0<;4!;<1이므로 x의 값이 증가하 4 면 y의 값은 감소한다. 4 ⑤ ‌f(x)={ }Å`에서 밑 ;5$;가 0<;5$;<1이므로 x의 값이 증가하 5 큼 평행이동한 것이다. 이때 y=aÛ`Å`의 그래프는 a의 값에 관계없이 항상 점 (0, 1)을 지 나므로 y=a2x-4+2의 그래프는 항상 점 (2, 3)을 지난다. 즉 a=2, b=3이므로 a+b=5 답5 면 y의 값은 감소한다. 답③ 0282 함수 y=aÅ` (a>0, a+1)의 그래프를 y축에 대하여 대 칭이동한 그래프의 식은 yy ㉠ y=aÑÅ` ㉠의 그래프를 x축의 방향으로 4만큼, y축의 방향으로 -5만큼 평행이동한 그래프의 식은 y+5=a-(x-4) ∴ y=a-(x-4)-5 yy ㉡㉡의 그래프가 점 (2, 11)을 지나므로 0286 y=2Å` 의 그래프가 점 (0, a)를 Z 지나므로 a=2â`=1 직선 y=x가 점 (b, a)를 지나므로 ZA ZY a=b ∴ b=1 0 또한 c=2º`=2Ú`=2, d=2`=2Û`=4 Y 따라서 색칠한 부분의 넓이는 (4-1)´(2-1)=3 답3 11=aÛ`-5 aÛ`=16 ∴ a=4 (∵ a>0 ) 답4 0287 y=4Å` 의 그래프가 두 점 (1, a), (b, 64)를 지나므로 a=4Ú`에서 a=4 1 0283 함수 y={ 2 }Å` 의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼 평행 이동한 그래프의 식은 64=4º`에서 b=3 ∴ a+b=7 답7 1 y={ }Å` ÑÛ` 2 yy ㉠㉠의 그래프를 원점에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은 1 -y={ }ÑÅ` ÑÛ` 2 1 -(x+2) y=-{ } ∴ y=-2x+2 2 yy ㉡ 0288 함수 y=2Å` 의 그래프가 직선 y y=4` y=8과 만나는 점 A의 x좌표는 8 B 2Å`=8=2Ü`에서 x=3  함수 y=4Å`의 그래프가 직선 y=8과 만 답 -8 y=8 A ∴ A(3, 8) ㉡의 그래프가 점 (1, k)를 지나므로 k=-2Ü`=-8 y=2` 나는 점 B의 x좌표는 1 O ;2#; 3 x 4Å`=8에서 2Û`Å`=2Ü` ;2!; x+;2!; 0284 ㄱ. y='2´2Å`=2 ´2Å`=2 이므로 y='2´2Å`의 그래프 1 는 y=2Å`의 그래프를 x축의 방향으로 - 만큼 평행이동한 2 것이다. 1 1 =2ÑÅ`이므로 y= 의 그래프는 y=2Å`의 그래프를 2Å` 2Å` y축에 대하여 대칭이동한 것이다. ㄴ. ‌y= ㄷ. ‌y=-2Å` +3에서 y-3=-2Å` , 즉 -(y-3)=2Å` 이므로 y=-2Å` +3의 그래프는 y=2Å`의 그래프를 x축에 대하여 대 칭이동한 후 y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다. 030 즉 2x=3이므로 x=;2#; ∴ B{;2#;, 8}  ABÓ=3-;2#;=;2#;이므로 △OAB=;2!;´;2#;´8=6  답6 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 30 2017-11-10 오후 4:25:00 단계 채점요소 배점 이때 밑 ;3!;이 0<;3!;<1이므로  점 A의 좌표 구하기 40 %  점 B의 좌표 구하기 40 % ;3!; ;5!; ;5!;<;3!;<2에서 {;3!;}Û`<{;3!;} <{;3!;}  삼각형 OAB의 넓이 구하기 20 % ∴ A<B<C 답① 1 0289 y={ 2 }`Å 의 그래프와 y축의 교점의 좌표가 (0, 1)이므로 0293 0<a<1이고 a<b이므로 첫 번째 정사각형의 한 변의 길이는 1, a`>aº` 두 번째 정사각형의 한 변의 길이는 {;2!;}1`=;2!;, 1+;2!; 세 번째 정사각형의 한 변의 길이는 {;2!;} 0<b<1이고 a<b이므로 b`>bº` ;2#; ={;2!;} 이다. 한편, a>0, b>0이고 a<b이므로 a`<b`, aº`<bº` y 따라서 가장 작은 수는 aº`이고, 가장 큰 수는 b` 이다. 1 ;2!; O ;2#; {;2!;} 1 ;2#; y y={;2!;} 답② ` x 0294 함수 f(x)의 역함수가 g(x)이므로 g(a)=2에서 f(2)=a 따라서 세 번째 정사각형의 넓이는 a={;3!;}Û`ÑÛ`+3=1+3=4 ;2#; [{;2!;} ]Û`={;2!;}Ü`=;8!; 답② 또 g(12)=b에서 f(b)=12 {;3!;} +3=12, {;3!;} b-2 =9={;3!;} b-2 -2 즉 b-2=-2이므로 b=0 ;4!; ;4!; ;4#; 0290 A=8 =(2Ü`) =2 ∴ a+b=4+0=4 B=Ü'16`=16;3!;=(2Ý`);3!;=2;3$; 답4 C=Þ'32`=32 =(2Þ`) =2Ú` ;5!; ;5!; 이때 밑 2가 2>1이므로 0295 함수 f(x)의 역함수가 g(x)이므로 ;4#;<1<;3$;에서 2;4#;<2Ú`<2;3$; g(4)=a라 하면 f(a)=4 ∴ A<C<B 2`=4=2Û` ∴ a=2 답② -;3!; ;2!; -;3!; -;3!; ;3@; 0291 A='2=2 , B=0.25 ={;4!;} =(2ÑÛ`) =2 C=Þ'8=(2Ü`);5!;=2;5#; g{;1Á6;}=b라 하면 f(b)=;1Á6; 2º`=;1Á6;=2ÑÝ` ∴ b=-4 ∴ g(4)´g{;1Á6;}=2´(-4)=-8 답 -8 이때 밑 2가 2>1이므로 ;2!;<;5#;<;3@;에서 2;2!;<2;5#;<2;3@; m 0296 f(m)=n이므로 a =n ∴ A<C<B 답② g ('§n )=k라 하면 f(k)='§n ak='§n=n;2!;=(am);2!;=a:2:M: ∴ k=:2:M: 답⑤ 1 0292 A= 3Û` ={;3!;}Û` B= ;3!; 1 1 = ={;3!;} ;3! ; Ü'3 3 ;5!; C=Þ®;3!;={;3!;} 0297 f(x)=3Å` 이라 하면 함수 f(x)의 역함수가 g(x)이므로 g(k)=2에서 f(2)=k ∴ k=3Û`=9 답⑤ 03. 지수함수 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 31 031 2017-11-10 오후 4:25:01 1 0298 함수 y={ 2 } x+1 -2는 x의 값이 증가하면 y의 값은 감 0301 Ú 0<a<1일 때, 최댓값은 f(-1), 최솟값은 f(2)이 므로 소하는 함수이므로 -2ÉxÉ1일 때 f(-1)=27 f(2) 1 x=-2에서 최댓값 {;2!;}Ñ -2=0, x=1에서 최솟값 {;2!;}2`-2=-;4&;을 갖는다. aÑÚ`=27aÛ`, aÜ`= ∴ a= 따라서 최댓값과 최솟값의 합은 1 27 1 3 Û ‌a>1일 때, 최댓값은 f(2), 최솟값은 f(-1)이므로 0+{-;4&;}=-;4&; f(2)=27 f(-1) 답② aÛ`=27aÑÚ`, aÜ`=27 ∴ a=3 Ú, Û에서 모든 양수 a의 값의 합은 0299 y=3Å` ´4ÑÅ` -1에서 ;3!;+3=:Á3¼: y=3Å` ´{;4!;}Å` -1 ∴ y={;4#;}Å` -1 3 y={ }Å` -1은 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소하는 함수이므 4 로 0ÉxÉ2일 때 x=0에서 최댓값 {;4#;}0`-1=1-1=0, 답 :Á3¼: 0302 y=3Å` ±Ú`-9Å`=3´3Å`-(3Å`)Û` 에서 3Å`=t`(t>0)로 놓으면 x=2에서 최솟값 {;4#;}2`-1=;1»6;-1=-;1¦6; y=3t-tÛ`=-{t-;2#;}Û`+;4(; 을 갖는다. 를 구하면 3ÑÚ`É3Å`É3Ú`에서 따라서 함수 y={;4#;}Å` -1 (0ÉxÉ2)의 치역은 ;3!;ÉtÉ3 [y|-;1¦6;ÉyÉ0] 따라서 주어진 함수는 이때 -1ÉxÉ1이므로 t의 값의 범위 Z A Z[U] 0 Å U t=;2#;일 때 최댓값 M=;4(;, 즉 M=0, m=-;1¦6;이므로 t=3일 때 최솟값 m=0을 갖는다. 80(M+m)=80´{0-;1¦6;}=-35 ∴ M+m=;4(;+0=;4(; 답 -35 1 1 답⑤ 0303 y=4Å`-2Å` ±`+b=(2Å`)Û`-2`´2Å`+b에서 0300 f(x)=3`ÑÅ`=3`´3ÑÅ`=3`´{;3!;}Å`에서 밑 3 이 0< 3 <1 2Å`=t`(t>0)로 놓으면 이므로 f(x)는 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소하는 함수이다. y=tÛ`-2`t+b  yy`㉠ 이때 ㉠은 x=1, 즉 t=2Ú`=2일 때 최솟값 -3을 가지므로 따라서 x=-1일 때 최댓값 27을 가지므로 y=tÛ`-2`t+b=(t-2)Û`-3=tÛ`-4t+1 f(-1)=3`±Ú`=27=3Ü` 따라서 2`=4, b=1에서 a=2, b=1 즉 a+1=3이므로 a=2 ∴ a+b=3 답3  ∴ f(x)=3Û`ÑÅ` 0304 y=4ÑÅ`-2Ú`ÑÅ`+3=[{;2!;}Å` ]Û`-2´{;2!;}Å`+3에서 이 함수는 x=2일 때 최소이고 최솟값은 f(2)=3Û`ÑÛ`=1  답1 단계 채점요소 배점 {;2!;}Å`=t`(t>0)로 놓으면 Z U A y=tÛ`-2t+3 =(t-1)Û`+2  주어진 함수가 감소하는 함수임을 알아내기 40 % 이때 -2ÉxÉ1이므로 t의 값의 범위  a의 값 구하기 30 % 를 구하면  최솟값 구하기 30 % 032 Z 0 Å U 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 32 2017-11-10 오후 4:25:01 {;2!;}Ú`É{;2!;}Å`É{;2!;}ÑÛ`에서 ;2!;ÉtÉ4 따라서 함수 (`f½g)(x)는 x=-1일 때 최솟값 2Ý`=16을 갖는 따라서 주어진 함수는 t=1일 때 최솟값 2, t=4일 때 최댓값 11 을 갖는다. 다. 즉 a=-1, m=16이므로 a+m=-1+16=15 ∴ b=2, d=11 답 15 t=1, 즉 {;2!;}Å`=1에서 -xÛ`+2x+2 =a f(x)에 0308 f(x)=-xÛ`+2x+2로 놓으면 y=a x=0 ∴ a=0 서 밑 a가 0<a<1이므로 이 함수는 f(x)가 최대일 때 최솟값을 t=4, 즉 {;2!;}Å`=4에서 갖는다. x=-2 ∴ c=-2 x=1일 때 최댓값 3을 갖는다. 이때 f(x)=-xÛ`+2x+2=-(x-1)Û`+3이므로 f(x)는 ∴ ab-cd=0-(-22)=22 답 22 aÜ`=;6Á4; ∴ a=;4!; 0305 y=9Å`-2´3Å` ±Ú`+k=(3Å`)Û`-2´3´3Å`+k에서 3Å`=t`(t>0)로 놓으면 Z y=tÛ`-6t+k=(t-3)Û`-9+k 0 구하면 3Ú`É3Å`É3Û`에서 Z U A 답③ L L 이때 1ÉxÉ2이므로 t의 값의 범위를 따라서 주어진 함수의 최솟값은 aÜ`이고, 이 값이 ;6Á4;이므로 -xÛ`+4x-3 =a f(x) 0309 f(x)=-xÛ`+4x-3으로 놓으면 y=a 에서 밑 a가 0<a<1이므로 이 함수는 f(x)가 최대일 때 최솟 U 값을 가지고, f(x)가 최소일 때 최댓값을 갖는다. L 이때 f(x)=-xÛ`+4x-3=-(x-2)Û`+1이므로 0ÉxÉ3에 3ÉtÉ9 서 f(x)는 x=2일 때 최댓값 1을 가지고 x=0일 때 최솟값 -3 따라서 주어진 함수는 t=9일 때 최댓값 18을 가지므로 을 갖는다. (9-3)Û`-9+k=18 ∴ k=-9 답 -9 따라서 함수 y=a-xÛ`+4x-3은 x=0일 때 최대이고, 최댓값이 125 이므로 0306 f(x)=xÛ`-2x+3으로 놓으면 y={;2!;} ={;2!;} xÛ`-2x+3 1 에서 밑 ;2!;이 0< <1이므로 이 함수 2 f(x) 는 f(x)가 최대일 때 최솟값을 가지고, f(x)가 최소일 때 최댓 값을 갖는다. Z 이때 f(x)=xÛ`-2x+3=(x-1)Û`+2 이므로 -1ÉxÉ2에서 f(x)는 x=1 1 따라서 함수 y={ } 2 f(x) 의 최댓값과 최 함수 y={;5!;} -xÛ`+4x-3 최솟값은 {;5!;}1`=;5!; 은 x=2일 때 최소이고, 따라서 주어진 함수의 치역은 [y|;\5!;ÉyÉ125]이므로 답 ;5!; 1 m= 5 일 때 최솟값 2를 가지고, x=-1일 때 최댓값 6을 갖는다. G Y Y aÑÜ`=125 ∴ a=;5!; 0 Y 1 0310 2Å`>0, { 2 }Å`=2ÑÅ`>0이므로 산술평균과 기하평균의 관 솟값을 각각 구하면 계에 의하여 M={;2!;}Û`=;4!;, m={;2!;}ß`=;6Á4; h(x)‌=f(x)+g(x)+4 ∴ m = M ;6Á4; ;4!; =2Å`+2ÑÅ`+4 ¾2"Ã2Å`´2ÑÅ`+4=6 (단, 등호는 x=0일 때 성립) =;1Á6; 따라서 h(x)의 최솟값은 6이다. 답③ 답① g(x) 0307 (`f½g)(x)=f(g(x))=2 y=2 g(x)에서 밑 2가 2>1이므로 이 함수는 g(x)가 최소일 때 최솟값을 갖는다. 이때 g(x)=xÛ`+2x+5=(x+1)Û`+4이므로 g(x)는 x=-1 0311 4Å`>0, 4ÑÅ` ±Ü`>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 f(x)=4Å`+4ÑÅ` ±Ü`¾2"Ã4Å`´4ÑÅ` ±Ü`=2´8=16 이때 등호가 성립하는 경우는 4Å`=4ÑÅ` ±Ü`, 즉 x=;2#;일 때이다. 일 때 최솟값 4를 갖는다.  03. 지수함수 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 33 033 2017-11-10 오후 4:25:02 따라서 함수 f(x)는 x=;2#;일 때 최솟값 16을 가지므로 0314 3Å`+3ÑÅ`=t로 놓으면 3Å`>0, 3ÑÅ`>0이므로 산술평균과 a=;2#;, b=16 기하평균의 관계에 의하여 ∴ ab=;2#;´16=24 이때 9Å`+9ÑÅ`=(3Å`+3ÑÅ`)Û`-2=tÛ`-2이므로 주어진 함수는 t=3Å`+3ÑÅ`¾2"Ã3Å`´3ÑÅ`=2 (단, 등호는 x=0일 때 성립)  답 24 단계 채점요소 배점  산술평균과 기하평균의 관계 적용하기 60 %  ab의 값 구하기 40 % 1 0312 ⑴ 3Å` +3´`=3ÑÅ`+3´`에서 3ÑÅ`>0, 3´`>0이므로 산술평 y‌=6(3Å`+3ÑÅ`)-(9Å`+9ÑÅ`) =6t-(tÛ`-2) =-tÛ`+6t+2 =-(t-3)Û`+11 t¾2이므로 주어진 함수는 t=3일 때 최댓값 11을 갖는다. 답③ ;2!;x -;2!;x 0315 "2Å``+"2ÑÅ`=2 +2 =t로 놓으면 균과 기하평균의 관계에 의하여 2;2!;x>0, 2-;2!;x>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 1 +3´`‌=3ÑÅ`+3´`¾2"Ã3ÑÅ`´3´` 3Å` =2"Ã3ÑÅ` ±´` t=2;2!;x+2-;2!;x¾2ae2;2!;x´2-;2!;x=2 (단, 등호는 x=0일 때 성립) 이때 2Å`+2ÑÅ`=(2;2!;x+2-;2!;x)Û`-2=tÛ`-2이므로 주어진 함수는 -(x-y) =2"Ã3 y‌=2Å`+2ÑÅ`-("Å2Å`+"2ÑÅ` ) =2"3ÑÛ` (∵ x-y=2) =tÛ`-2-t=tÛ`-t-2 2 = 3 1 ={t- }Û`-;4(;` 2 이때 등호가 성립하는 경우는 3ÑÅ`=3´`, 즉 -x=y일 때이다. t¾2이므로 주어진 함수는 t=2일 때 최솟값 0을 갖는다. 그런데 x-y=2이므로 등호는 x=1, y=-1일 때 성립한다. 답① 따라서 구하는 최솟값은 ;3@;이다. ⑵9Å`>0, 3y+3>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 9Å`+3´` ±Ü`‌¾2"Ã9Å`´3y+3 0316 5Å`+5ÑÅ`=t로 놓으면 5Å`>0, 5ÑÅ`>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 =2"Ã32x+y+3 t=5Å`+5ÑÅ`¾2"Ã5Å`´5ÑÅ`=2 (단, 등호는 x=0일 때 성립) =2"3Û` (∵ 2x+y+1=0) 이때 25Å`+25ÑÅ`=(5Å`+5ÑÅ`)Û`-2=tÛ`-2이므로 주어진 함수는 =6 y‌=2(5Å`+5ÑÅ`)-(25Å`+25ÑÅ`)+3=2t-(tÛ`-2)+3 ‌이때 등호가 성립하는 경우는 9Å`=3´`±Ü`, 즉 2x=y+3일 때이 1 다. 그런데 2x+y+1=0이므로 등호는 x= , y=-2일 2 =-tÛ`+2t+5=-(t-1)Û`+6 t¾2이므로 주어진 함수는 t=2일 때 최댓값 5를 갖는다. 답③ 때 성립한다. 따라서 구하는 최솟값은 6이다. 답 ⑴ ;3@; ⑵6 0317 2Å`+2ÑÅ`=t로 놓으면 2Å`>0, 2ÑÅ`>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 t=2Å`+2ÑÅ`¾2"Ã2Å`´2ÑÅ` =2 (단, 등호는 x=0일 때 성립) a+x a-x 0313 3 >0, 3 >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 이때 4Å`+4ÑÅ`=(2Å`+2ÑÅ`)Û`-2=tÛ`-2이므로 주어진 함수는 의하여 1 y‌=4Å`+4ÑÅ`-3(2Å`+2ÑÅ`)+ =(tÛ`-2)-3t+;2!; 2 a+x 3 ‌¾2"Ã3 ´3 a-x +3 a+x a-x 3 =tÛ`-3t- ={t-;2#;}Û`-:Á4°: 2 2a =2"3 =2´3` (단, 등호는 x=0일 때 성립) 따라서 함수 y=3a+x+3a-x의 최솟값은 2´3`이고, 이 값이 54이 t=2일 때 x=0이므로 a=0, b=-;2&; 므로 2´3`=54, 3`=27=3Ü` ∴ a+b=-;2&; ∴ a=3 답3 034 t¾2이므로 주어진 함수는 t=2일 때 최솟값 -;2&;을 갖는다. 답 -;2&; 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 34 2017-11-10 오후 4:25:03 -2xÛ` ;2!; 0318 {;9!;} ´27Å`='3에서 3 ´3Ü`Å`=3 xÛ` 따라서 a=-1, b=2 또는 a=2, b=-1이므로 aÛ`+bÛ`=5 3-2xÛ`+3x=3;2!; 답5 즉 -2xÛ`+3x=;2!;에서 4xÛ`-6x+1=0 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 합은 x+2 0322 9Å`+27Å`=10´3 에서 (3Å`)Û`+(3Å`)Ü`=90´3Å` 3 이다. 2 이때 3Å`=t`(t>0)로 놓으면 답③ t(t+10)(t-9)=0 2x+3 0319 ⑴ 8 =4`Ü'2에서 ∴ t=-10 또는 t=0 또는 t=9 23(2x+3)=2Û`±;3!;이므로 그런데 t>0이므로 t=9 6x+9=2+;3!; 3Å`=9=3Û`에서 x=2 ∴ a=2 ∴ 2a=2Û`=4 ∴ x=-:Á9¼: 답② ⑵ {;3@;} ={;2#;} xÛ` tÛ`+tÜ`=90t, tÜ`+tÛ`-90t=0 3x-4 에서 {;3@;} ={;3@;} xÛ` 0323 ⑴ 4Å`-9´2Å`+8=0에서 -(3x-4) 이므로 (2Å`)Û`-9´2Å`+8=0 xÛ`=-(3x-4), xÛ`+3x-4=0 이때 2Å`=t`(t>0)로 놓으면 (x+4)(x-1)=0 tÛ`-9t+8=0, (t-1)(t-8)=0 ∴ x=-4 또는 x=1 ∴ t=1 또는 t=8 4x ⑶ (64Å``)Å`=4 에서 즉 2Å`=1=2â` 또는 2Å`=8=2Ü` (4Ü`Å`)Å`=44x, 43xÛ`=44x이므로 ∴ x=0 또는 x=3 3xÛ`=4x, x(3x-4)=0 ⑵ 5Å` ±Ú`-5ÑÅ`=4에서 ∴ x=0 또는 x=;3$; 1 -4=0 5Å` 이때 5Å`=t`(t>0)로 놓으면 5´5Å`- 답⑴ ‌ x=- 10 9 ⑵ x=-4 또는 x=1 ⑶ x=0 또는 x= 1 5t- -4=0, 5tÛ`-4t-1=0, (t-1)(5t+1)=0 t 4 3 ∴ t=1 또는 t=xÛ`-10x -27-2x+a=0에서 0320 3 1 5 그런데 t>0이므로 t=1 3xÛ`-10x=33(-2x+a)이므로 즉 5Å`=1=5â` ∴ x=0 xÛ`-10x=3(-2x+a) yy`㉠ xÛ`-4x-3a=0 이 방정식의 한 근이 -2이므로 ⑶ 4ÑÅ`-5´2ÑÅ` ±Ú`+16=0에서 (2ÑÅ`)Û`-10´2ÑÅ`+16=0 이때 2ÑÅ`=t`(t>0)로 놓으면 (-2)Û`-4´(-2)-3a=0 tÛ`-10t+16=0, (t-2)(t-8)=0 ∴ a=4 ∴ t=2 또는 t=8 이때 ㉠은 xÛ`-4x-12=0이므로 즉 2ÑÅ`=2=2Ú` 또는 2ÑÅ`=8=2Ü` (x+2)(x-6)=0 ∴ x=-2 또는 x=6 ∴ x=-1 또는 x=-3 따라서 다른 한 근은 6이다. 답⑴ ‌ x=0 또는 x=3 답6 2xÛ`+1 xÛ`+1-(x-1) 0321 2x-1 =16에서 2 =2Ý` xÛ`-x+2 2 =2Ý` ⑵ x=0 ⑶ x=-1 또는 x=-3 0324 aÛ`Å`-aÅ`=6에서 (aÅ`)Û`-aÅ`-6=0 이때 aÅ`=t`(t>0)로 놓으면 즉 xÛ`-x+2=4이므로 tÛ`-t-6=0, (t+2)(t-3)=0 xÛ`-x-2=0, (x+1)(x-2)=0 ∴ t=-2 또는 t=3 ∴ x=-1 또는 x=2 그런데 t>0이므로 t=3 03. 지수함수 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 35 035 2017-11-10 오후 4:25:04 즉 aÅ`=3이므로 x=;4!;을 대입하면 xÛ`-8 2x+7 0328 x =x 에서 Ú ‌x+1일 때 a;4!;=3 ∴ a=3Ý`=81 답 81 xÛ`-8=2x+7, xÛ`-2x-15=0 (x+3)(x-5)=0 ∴ x=-3 또는 x=5 그런데 x>0이므로 x=5 0325 9Å`-4´3Å` ±Ú`+27=0에서 yy`㉠ (3Å`)Û`-12´3Å`+27=0 Û ‌x=1일 때 주어진 방정식은 1Ñà`=1á`=1이므로 성립한다. 이때 3Å`=t`(t>0)로 놓으면 yy`㉡ tÛ`-12t+27=0 a b Ú, Û에서 x=1 또는 x=5 ㉠의 두 근이 a, b이므로 ㉡의 두 근은 3 , 3 이다. 따라서 모든 근의 합은 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 1+5=6 a b a+b 3 ´3 =27, 3 답6 =3Ü` ∴ a+b=3 답3 0329 ⑴ (x-2)Å` ÑÜ`=(2x-3)Å` ÑÜ` (x>2) Ú x-2=2x-3일 ‌ 때 x=1 yy`㉠ 0326 ⑴ 3Û`Å`-4´3Å`-k=0 그런데 x>2이므로 해는 없다. Û x-3=0, ‌ 즉 x=3일 때 에서 3Å`=t`(t>0)로 놓으면 yy`㉡ tÛ`-4t-k=0 주어진 방정식은 1â`=3â`=1이므로 성립한다. Ú, Û에서 x=3 ㉠의 두 근이 a, b이므로 ㉡의 두 근은 3a, 3b이다. ⑵ (x+2)Ü`ÑÛ`Å`=(x+2)xÛ` (x>-2) 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 Ú 3-2x=xÛ ‌ `일 때 3a´3b=-k, 3a+b=-k 이때 a+b=-1이므로 xÛ`+2x-3=0, (x+3)(x-1)=0 3ÑÚ`=-k ∴ k=-;3!; ∴ x=-3 또는 x=1 yy`㉠ ⑵4Å`-7´2Å`+12=0 에서 2Å`=t`(t>0)로 놓으면 yy`㉡ tÛ`-7t+12=0 ㉠의 두 근이 a, b이므로 ㉡의 두 근은 2a, 2b이다. 그런데 x>-2이므로 x=1 Û ‌x+2=1, 즉 x=-1일 때 주어진 방정식은 1Þ`=1Ú`=1이므로 성립한다. Ú, Û에서 x=1 또는 x=-1 답 ⑴ x=3 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 ⑵ x=1 또는 x=-1 2a+2b=7, 2a´2b=12 xÛ`-3x+2 =1 (x>1)에서 0330 ⑴ (x-1) ∴ 22a+22b‌=(2a)Û`+(2b)Û` Ú xÛ ‌ `-3x+2=0일 때 =(2a+2b)Û`-2´2a´2b =7Û`-2´12 (x-1)(x-2)=0 =49-24=25 ∴ x=1 또는 x=2 답 ⑴ -;3!; ⑵ 25 그런데 x>1이므로 x=2 Û x-1=1, ‌ 즉 x=2일 때 주어진 방정식은 1â`=1이므로 성립한다. Ú, Û에서 x=2 0327 (x+7)Å` ±Ú`=4Å` ±Ú`에서 ⑵ (xÛ`-x+1)x+3=1에서 Ú ‌x+1+0일 때 Ú ‌x+3=0, 즉 x=-3일 때 x+7=4이므로 x=-3 주어진 방정식은 13â`=1이므로 성립한다. Û ‌x+1=0, 즉 x=-1일 때 Û ‌xÛ`-x+1=1일 때 주어진 방정식은 6â`=4â`=1이므로 성립한다. Ú, Û에서 x=-3 또는 x=-1 xÛ`-x=0, x(x-1)=0 따라서 모든 근의 합은 ∴ x=0 또는 x=1 Ú, Û에서 x=-3 또는 x=0 또는 x=1 -3+(-1)=-4 답 -4 036 답 ⑴ x=2 ⑵ x=-3 또는 x=0 또는 x=1 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 36 2017-11-10 오후 4:25:04 0331 2Å`=X`(X>0), 3´`=Y`(Y>0)로 놓으면 주어진 연 27xÛ`-5x-8<9xÛ`-5x에서 33(xÛ`-5x-8)<32(xÛ`-5x) 립방정식은 이때 밑 3이 3>1이므로 [ ‌X+2Y=26 yy ㉠ 3(xÛ`-5x-8)<2(xÛ`-5x), xÛ`-5x-24<0 2X-Y=7 yy ㉡ (x+3)(x-8)<0 ∴ -3<x<8 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 X=8, Y=9 ∴ B={x|-3<x<8} 즉 2Å`=8=2Ü`에서 x=3, 3´`=9=3Û`에서 y=2 따라서 A;B={x|-3<xÉ2}이므로 집합 A;B에 속하는 따라서 a=3, b=2이므로 정수인 원소는 -2, -1, 0, 1, 2의 5개이다. a+b=5 답5 답5 0336 {;1Á0;} É{;1Á0;} f(x) 에서 밑 ;1Á0;이 0<;1Á0;<1이므로 g(x) 0332 3Å`=X`(X>0), 3´`=Y`(Y>0)로 놓으면 주어진 연 f(x)¾g(x) 립방정식은 따라서 주어진 부등식의 해는 곡선 y=f(x)가 직선 y=g(x)보 á X+Y=:ª3¥: { » XY=3 yy ㉠ 다 위쪽에 있거나 만날 때의 x의 값의 범위이므로 yy ㉡ xÉa 또는 0ÉxÉc 답② ㉠에서 Y=:ª3¥:-X이므로 이것을 ㉡에 대입하면 X{:ª3¥:-X}=3, XÛ`-:ª3¥:X+3=0 0337 4ÑÅ`-5´{;2!;}Å` ÑÚ`+16<0에서 3XÛ`-28X+9=0, (3X-1)(X-9)=0 {;2!;}Û`Å`-10´{;2!;}Å`+16<0 ∴ X=;3!;, Y=9 또는 X=9, Y=;3!; 이때 {;2!;}Å`=t (t>0)로 놓으면 즉 3Å`=;3!;, 3´`=9 또는 3Å`=9, 3´`=;3!; tÛ`-10t+16<0, (t-2)(t-8)<0 ∴ 2<t<8 따라서 x=-1, y=2 또는 x=2, y=-1이므로 즉 {;2!;}ÑÚ`<{;2!;}Å`<{;2!;}ÑÜ`에서 밑 ;2!;이 0<;2!;<1이므로 àÛ`+bÛ`=(-1)Û`+2Û`=5 답5 -3<x<-1 따라서 a=-3, b=-1이므로 0333 {;3!;} 2x+1 <{ a+b=-4 2x+1 -;2{; 1 ÑÅ` } 에서 {;3!;} <{;3!;} '3 답 -4 이때 밑 ;3!;이 0<;3!;<1이므로 0338 ⑴ 4Å` ±Ú`-9´2Å`+2É0에서 2x+1>-;2{;, ;2%;x>-1 ∴ x>-;5@; 4´2Û`Å`-9´2Å`+2É0 답① 즉 2ÑÛ`É2Å`É2Ú`에서 밑 2가 2>1이므로 -2ÉxÉ1 ⑵ {;3!;}Û`Å`+{;3!;}Å` ±Û`>{;3!;}Å` ÑÛ`+1에서 이때 밑 2가 2>1이므로 2x>x-1 ∴ x>-1 [{;3!;}Å` ]Û`+;9!;´{;3!;}Å`>9´{;3!;}Å`+1 따라서 주어진 부등식의 해의 집합은 {x|x>-1}이다. 답① 이때 밑 ;2!;이 0<;2!;<1이므로 `4tÛ`-9t+2É0, (4t-1)(t-2)É0 `∴ ;4!;ÉtÉ2 0334 4Å`>{;2!;}Ú`ÑÅ`에서 2Û`Å`>(2ÑÚ`)Ú`ÑÅ`, 2Û`Å`>2Å` ÑÚ` 0335 {;2!;}`Ü Å`¾;6Á4;에서 {;2!;}Ü`Å`¾{;2!;}ß` 이때 2Å`=t (t>0)로 놓으면 이때 {;3!;}Å`=t (t>0)로 놓으면 tÛ`+;9!;t>9t+1, 9tÛ`-80t-9>0 (9t+1)(t-9)>0 ∴ t>9`(∵ t>0) 3xÉ6 ∴ xÉ2 즉 {;3!;}Å`>{;3!;}ÑÛ`이고 밑 ;3!;이 0<;3!;<1이므로 ∴ A={x|xÉ2} x<-2 03. 지수함수 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 37 037 2017-11-10 오후 4:25:05 Ú, Û, Ü에서 ⑶ 3Å` ±Û`+3Ú`ÑÅ` É28에서 0<xÉ1 또는 x¾3 3 É28 3Å` 이때 3Å`=t`(t>0)로 놓으면 9´3Å`+ 답③ 9t+;t#;É28, 9tÛ`-28t+3É0 xÛ`+3 4x 0342 x <x 에서 x>1이므로 (9t-1)(t-3)É0 xÛ`+3<4x, xÛ`-4x+3<0 ∴ ;9!;ÉtÉ3 (x-1)(x-3)<0 ∴ 1<x<3 즉 3ÑÛ`É3Å`É3Ú`에서 밑 3이 3>1이므로 답① -2ÉxÉ1 답 ⑴ -2ÉxÉ1 ⑵ x<-2 ⑶ -2ÉxÉ1 3x+1 x+5 0343 부등식 x >x 에서 0339 4Å` ±Ú`+a´2Å`+bÉ0에서 4´(2Å`)Û`+a´2Å`+bÉ0 yy`㉠ 이때 2Å`=t (t>0)로 놓으면 4tÛ`+at+bÉ0 yy ㉡㉠의 해가 -3ÉxÉ2이므로 2ÑÜ`É2Å`É2Û`, 즉 ;8!;ÉtÉ4 Ú`‌ 0<x<1일 때 3x+1<x+5에서 x<2 ∴ 0<x<1 Û`‌ x=1일 때 주어진 부등식은 1Ý`>1ß`이므로 성립하지 않는다. 따라서 ㉡의 해가 ;8!;ÉtÉ4이므로 ∴ x+1 Ü`‌ x>1일 때 4{t-;8!;}(t-4)É0, 4tÛ`-:£2£:t+2É0 3x+1>x+5에서 x>2 따라서 a=-:£2£:, b=2이므로 ∴ x>2 Ú, Û, Ü에서 0<x<1 또는 x>2 ab=-33 답④ 답 -33 0340 aÛ`Å`-28áÅ`+b<0에서 yy`㉠ aÅ`=t`(t>0)로 놓으면 tÛ`-28t+b<0 yy`㉡ 1 2xÛ`-5x > 에서 0344 x xÛ` yy`㉠ x2xÛ`-5x>xÑÛ` Ú ‌0<x<1일 때 ㉠에서 ㉠의 해가 0<x<3이고 a>1이므로 aâ`<aÅ`<aÜ`, 즉 1<t<aÜ` 2xÛ`-5x<-2, 2xÛ`-5x+2<0 따라서 ㉡의 해가 1<t<aÜ`이므로 (2x-1)(x-2)<0 (t-1)(t-aÜ`)<0, tÛ`-(aÜ`+1)t+aÜ`<0 ∴ 따라서 aÜ`+1=28, aÜ`=b이므로 그런데 0<x<1이므로 aÜ`=27=3Ü` ∴ a=3, b=27 답 30 Ú`‌ 0<x<1일 때 x-1É-x+5에서 xÉ3 ∴ 0<x<1 Û`‌ x=1일 때 주어진 부등식은 1â`=1Ý`=1이므로 성립한다. ∴ x=1 Ü`‌ x>1일 때 x-1¾-x+5에서 x¾3 ∴ x¾3 038 1 <x<1 2 Û ‌x=1일 때 ㉠에서 1ÑÜ`>1ÑÛ`이므로 성립하지 않는다. ∴ a+b=30 0341 부등식 xÅ` ÑÚ`¾xÑÅ` ±Þ`에서 1 <x<2 2 ∴ x+1 Ü ‌x>1일 때 ㉠에서 2xÛ`-5x>-2, 2xÛ`-5x+2>0 (2x-1)(x-2)>0 ∴ x< 1 또는 x>2 2 그런데 x>1이므로 x>2 Ú, Û, Ü에서 ;2!;<x<1 또는 x>2이므로 a=;2!;, b=1, c=2 ∴ abc=1 답1 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 38 2017-11-10 오후 4:25:06 -x-1 É2Å` 에서 0345 Ú 2 이때 밑 밑이 1보다 크므로 1 이 0<;2!;<1이므로 2xÉ-6Éx+1 2 ∴ -7ÉxÉ-3 -x-1Éx Ú, Û의 공통 범위는 -4ÉxÉ-3 -2xÉ1 ∴ x¾-;2!; 답⑴ ‌ -:Á4Á:<x< Û 2Å` É8´2-2x에서 2Å` É2Ü`´2ÑÛ`Å` , 2Å` É23-2x 3 4 ⑵ -1<x<1 ⑶ -4ÉxÉ-3 밑이 1보다 크므로 0347 9Å`-12´3Å`+27É0에서 3Å`=a`(a>0)로 놓으면 xÉ3-2x aÛ`-12a+27É0, (a-3)(a-9)É0 3xÉ3 ∴ xÉ1 Ú, Û에서 부등식 2 É2Å` É8´2 -x-1 -2x ∴ 3ÉaÉ9 의 해는 즉 3Ú`É3Å`É3Û`이고 밑 3이 3>1이므로 -;2!;ÉxÉ1 답 -;2!;ÉxÉ1 0346 ⑴ {;4!;} ∴ A={x|1ÉxÉ2} 또 {;4!;}Å`-{;2!;}Å`<12에서 {;2!;}Å`=b`(b>0)로 놓으면 x+2 =(2ÑÛ`)x+2=2-2x-4 bÛ`-b-12<0, (b+3)(b-4)<0 ∴ -3<b<4 '8=(2Ü`);2!;=2;2#; {;2!;} 1ÉxÉ2 2x-3 =(2ÑÚ`)2x-3=2-2x+3 따라서 주어진 부등식은 그런데 b>0이므로 0<b<4 즉 0<{;2!;}Å`<{;2!;}ÑÛ`이고 밑 ;2!;이 0<;2!;<1이므로 x>-2 2-2x-4<2;2#;<2-2x+3 ∴ B={x|x>-2} 이때 밑 2가 2>1이므로 따라서 A;B={x|1ÉxÉ2}이므로 집합 A;B에 속하는 모 -2x-4<;2#;<-2x+3 든 정수인 원소의 합은 1+2=3 답3 즉 -4x-8<3<-4x+6 Ú -4x-8<3에서 x>-:Á4Á: Û 3<-4x+6에서 x<;4#; Ú, Û의 공통 범위는 -:Á4Á:<x<;4#; ⑵ {;3!;} x+2 <{;3!;} <{;3!;} xÛ` 에서 밑 ;3!;이 0<;3!;<1이므로 3x-2 3x-2<xÛ`<x+2 Ú 3x-2<xÛ ‌ `에서 xÛ`-3x+2>0, (x-1)(x-2)>0 ∴ x<1 또는 x>2 Û xÛ ‌ `<x+2에서 2x+1 x-2 0348 Ú 2 -33´2 É-1에서 2´(2Å`)Û`-:£4£:´2Å`+1É0 이때 2Å`=a`(a>0)로 놓으면 2aÛ`-:£4£:a+1É0, 8aÛ`-33a+4É0 (8a-1)(a-4)É0 ∴ ;8!;ÉaÉ4 즉 2ÑÜ`É2Å`É2Û`이고 밑 2가 2>1이므로 -3ÉxÉ2 Û 9Å`+3Å`>12에서 (3Å`)Û`+3Å`-12>0 xÛ`-x-2<0, (x+1)(x-2)<0 이때 3Å`=b`(b>0)로 놓으면 bÛ`+b-12>0 ∴ -1<x<2 (b+4)(b-3)>0 Ú, Û의 공통 범위는 -1<x<1 1 ⑶ Ú ‌;8Á1;É3Å`É 에서 9 3ÑÝ`É3Å`É3ÑÛ` 이때 밑 3이 3>1이므로 -4ÉxÉ-2 1 Û`‌{ }Å` ±Ú`É64É{;4!;}Å`에서 2 1 { }Å` ±Ú`É{;2!;}Ñß`É{;2!;}Û`Å` 2 ∴ b<-4 또는 b>3 그런데 b>0이므로 b>3 즉 3Å`>3Ú`이고 밑 3이 3>1이므로 x>1 Ú, Û의 공통 범위는 1<xÉ2 따라서 a=1, b=2이므로 a+b=3 답3 03. 지수함수 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 39 039 2017-11-10 오후 4:25:06 유형 본문 45쪽 3^`¾729, 3^`¾3ß` ∴ t¾6 따라서 10마리의 박테리아 A가 7290마리 이상이 되는 것은 최 0349 2Û`Å`-2Å` ±Ú`+k>0에서 (2Å`)Û`-2´2Å`+k>0 소 6시간 후이다. 이때 2Å`=t`(t>0)로 놓으면 tÛ`-2t+k>0, 즉 (t-1)Û`-1+k>0 10´3^`¾7290 yy`㉠ ∴ n=6 답6 t>0일 때, 이차부등식 ㉠이 항상 성립하기 위해서는 -1+k>0이어야 한다. ∴ k>1 0354 살충제를 살포하기 전 해충 수를 a마리라 하면 따라서 구하는 정수 k의 최솟값은 2이다. ;6{; 답③ 살충제 살포 직후부터 x시간 후의 해충 수는 a´{;2!;} 마리이다.  0350 2Å` ±Ú`-2 x+4 2 이때 처음 해충 수의 ;3Á2;이 되려면 +a¾0에서 2Å` ±Ú`=2´2Å`=2´(2;2{;)Û`, 2 x+4 2 =2Û`´2;2{; ;6{; a´{;2!;} =;3Á2;a에서 이므로 2;2{;=t (t>0)로 놓으면 주어진 부등식은 2tÛ`-4t+a¾0, 2(t-1)Û`+a-2¾0 yy ㉠ t>0일 때, 이차부등식 ㉠이 항상 성립하기 위해서는 a-2¾0이어야 한다.  ;6{; {;2!;} =;3Á2;={;2!;}Þ` 즉 ;6{;=5이므로 x=30 ∴ a¾2 따라서 구하는 실수 a의 최솟값은 2이다. 답② 따라서 처음 해충 수의 ;3Á2;이 되기까지 30시간이 걸린다.  답 30시간 0351 3^`=a`(a>0)로 놓으면 단계 채점요소 배점 위의 부등식이 모든 실수 x에 대하여 성립해야 하므로 이차방정  처음 해충 수를 a마리로 놓고 살충제 살포 직후부터 x시간 후의 해충 수를 식으로 나타내기 30 % 식 3xÛ`-(a+3)x+(a+3)=0의 판별식 D<0이어야 한다.  지수방정식 세우기 30 % D=(a+3)Û`-4´3(a+3)<0  x의 값 구하기 40 % 3xÛ`-(a+3)x+(a+3)>0 (a+3)(a-9)<0 ∴ -3<a<9 그런데 a>0이므로 0<a<9 0355 처음 두 배양기 A, B에 있던 박테리아 수를 각각 a마리 즉 0<3^`<3Û`이므로 t<2 라 하면 t시간 후의 배양기 A에 있는 박테리아 수는 a´2^`마리, 답⑤ t 배양기 B에 있는 박테리아 수는 a´4 3 마리이므로 두 배양기 A, B에 있는 박테리아 수의 합이 처음 수의 40배가 되려면 1 0352 1024=2Ú`â`, 4 =2ÑÛ`이므로 물질의 양이 절반으로 감소하 a´2^`+a´4;3T;=40(a+a) 는 횟수를 x회라 하면 a>0이므로 2^`+2;3@;t=80 2Ú`â`´{;2!;}Å`=2ÑÛ`, {;2!;}Å`=2ÑÚ`Û` 이때 2;3T;=X`(X>0)로 놓으면 ∴ x=12 XÜ`+XÛ`=80, XÜ`+XÛ`-80=0 따라서 50년마다 그 양이 ;2!;씩 감소하므로 (X-4)(XÛ`+5X+20)=0 ∴ X=4 (∵ X>0) 50´12=600(년) 답 600년 즉 2;3T;=4=2Û`에서 ;3T;=2 ∴ t=6 0353 10마리의 박테리아 A가 2시간 후 90마리가 되었으므로 따라서 두 배양기 A, B에 있는 박테리아 수의 합이 처음 수의 10aÛ`=90, aÛ`=9 ∴ a=3 (∵ a>0 ) 40배가 되는 것은 6시간 후이다. 10마리의 박테리아 A가 t시간 후 7290마리 이상이 된다고 하면 040 답 6시간 후 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 40 2017-11-10 오후 4:25:07 시험에 꼭 나오는 문제 본문 46~49쪽 ㉠-㉡을 하면 8=22+a-21+a 0356 f(3)=2Ü`-1=7 2Ü`=(2-1)´21+a g(-2)={;3!;} =9 즉 3=1+a이므로 a=2 -2 a=2를 ㉠에 대입하면 ∴ f(3)+{ g(-2)}Û`=7+9Û`=88 -1=-2Ú`±Û`+b ∴ b=7 답 88 ∴ a+b=2+7=9 답9 2x-1 0357 지수함수 y=4 -2에서 y=42{x-;2!;}-2 ∴ y=16x-;2!;-2 즉 함수 y=42x-1-2의 그래프는 y=16x의 그래프를 x축의 방 1 향으로 만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이다. 2 0360 y=2Å` 의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동하면 y=2ÑÅ` 이 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행 이동하면 ㄱ. x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다. (거짓) y=2-(x-a)+b ㄴ. 그래프는 직선 y=-2를 점근선으로 갖는다. (참) 그런데 이 그래프의 점근선이 직선 y=-2이므로 ㄷ. 정의역은 모든 실수, 치역은 {y|y>-2}이다. (거짓) b=-2 1 ㄹ. ‌함수 y=42x-1-2에서 x= 일 때, y=41-1-2=-1이므 2 또 그래프가 원점을 지나므로 1 로 그래프는 점 { , -1}을 지난다. (참) 2 0=2`-2, 2`=2=2Ú` ∴ a=1 ∴ a-b=1-(-2)=3 답3 ㅁ. ‌함수 y=42x-1-2의 그래프는 y=16x의 그래프를 평행이동 한 것이므로 y=2x의 그래프와 겹치지 않는다. (거짓) 0361 오른쪽 그림에서 두 곡선 y=3Å`, 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다. 답③ y=3` 4 그런데 y=3Å`+3의 그래프는 y=3Å`의 그래 프를 y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것 1 만큼 평행이동한 것이므로 [그림 1]과 같다. 이므로 B와 C의 넓이가 같다. O 따라서 y=-3x+1+2의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동한 그 즉 A+B=A+C 래프는 [그림 2]와 같다. 따라서 구하는 넓이는 1´3=3 C 1 0 x 답3 Z B A 하여 대칭이동한 후 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 2 Z y=3`+3 y=3Å`+3과 두 직선 x=0, x=1로 둘러싸 인 부분의 넓이는 A+B이다. 0358 y=-3Å` ±Ú`+2의 그래프는 y=3Å`의 그래프를 x축에 대 y Y ⇨ 0 [그림 1] 0362 함수 y=aÅ` (0<a<1)의 그래프가 점 (-1, 3)을 지나 Y 므로 3=aÑÚ` ∴ a=;3!; [그림 2] 답④ 0359 y={;2!;}`Å 의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동하면 -y={;2!;}Å` ∴ y=-2ÑÅ` y=-2ÑÅ` 의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b -(x-a) 만큼 평행이동하면 y=-2 +b 이 그래프가 점 (-1, -1)을 지나므로 -1=-21+a+b ∴ 3(a+b)=3´{;3!;+1}=4 답4 0363 2`=b, 2º`=c, 2`=d이므로 2a+b-c‌=2`´2º`´2Ñ` =bć´ yy`㉠ 점 (-2, -9)를 지나므로 -9=-22+a+b 함수 y={;3!;}Å`의 그래프는 점 (0, 1)을 지나므로 b=1 = 1 d bc d yy`㉡ 답③ 03. 지수함수 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 41 041 2017-11-10 오후 4:25:08 1 ;3@; y‌=4´3Å`+36´3ÑÅ` 0364 A=Ü'¶0.25=Ü®;4!;={ 2 } ¾2"Ã(4´3Å`)´(36´3ÑÅ`) ;2#; ={;2!;} -;2#; B=2 =2'¶144=24 이때 등호가 성립하는 경우는 ;4%; C=Ý"Ã32ÑÚ`=Ý®É;3Á2;={;2!;} 4´3Å`=36´3ÑÅ` 3Û`Å`=9=3Û` 이때 밑 ;2!;이 0<;2!;<1이므로 ;2#; ;4%; 즉 2x=2에서 x=1 ;3@; {;2!;} <{;2!;} <{;2!;} 따라서 주어진 함수는 x=1일 때 최솟값 24를 가지므로 a=1, b=24 ∴ B<C<A 답③ 0365 함수 f(x)의 역함수가 g(x)이므로 -1+1 3x=xÛ`-4, xÛ`-3x-4=0 -3=1-3=-2 (x+1)(x-4)=0 ∴ x=-1 또는 x=4 또 g(5)=b에서 f(b)=5 {;2!;} -3=5, {;2!;} b+1 답③ xÛ`-4 xÛ`-4 0369 {;3!;}ÑÜ`Å`=3 에서 3Ü`Å`=3 이므로 g(a)=-1에서 f(-1)=a a={;2!;} ∴ a+b=25 따라서 모든 해의 곱은 b+1 =8=2Ü` -1´4=-4 즉 b+1=-3이므로 b=-4 답③ ∴ ab=-2´(-4)=8 답④ 0370 aÛ`Å`-8áÅ`+5=0에서 aÅ`=t`(t>0)로 놓으면 yy`㉠ tÛ`-8t+5=0 0366 함수 f(x)=4Å` (-2ÉxÉ3)은 x의 값이 증가하면 y의 주어진 방정식의 두 근을 a, b라 하면 ㉠의 두 근은 a , ab이므로 값도 증가하는 함수이므로 x=3에서 최댓값 4Ü`=64를 갖는다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 ∴ M=64 aaáb=5, 즉 aa+b=5 1 x-2 함수 g(x)={ } (-2ÉxÉ3)은 x의 값이 증가하면 y의 8 a+b=3이므로 aÜ`=5 1 1 1 값은 감소하는 함수이므로 x=3에서 최솟값 { } = 을 갖는 8 8 a ∴ a=Ü'5 (∵ a는 실수) 답① 다. ∴ m=;8!; 0371 [ ∴ Mm=64´;8!;=8 답8 0367 y=4Å`-2Å` ±Ú`+k=(2Å`)Û`-2´2Å`+k에서 2Å`=t`(t>0)로 놓으면 á 3´2Å`-2´3´`=6 에서 { 2Å` ÑÛ`-3´` ÑÚ`=-1 » ;4!;´2Å`-;3!;´3´`=-1 3´2Å`-2´3´`=6 이때 2Å`=X(X>0), 3´`=Y(Y>0)로 놓으면 á 3X-2Y=6 { » ;4!;X-;3!;Y=-1 yy ㉠ yy ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 y=tÛ`-2t+k=(t-1)Û`-1+k X=8, Y=9 이때 0ÉxÉ3이므로 2â`É2Å`É2Ü`에서 즉 2Å`=8=2Ü`, 3´`=9=3Û`이므로 1ÉtÉ8 x=3, y=2 따라서 주어진 함수는 t=8일 때 최댓값 50을 가지므로 따라서 a=3, b=2이므로 (8-1)Û`-1+k=50 aÛ`+bÛ`=3Û`+2Û`=13 48+k=50 ∴ k=2 답 13 답② 0368 3Å`>0, 3ÑÅ`>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의 하여 042 0372 125Å` ÑÛ`<0.2Ý`ÑÅ` 에서 53(x-2)<{;5!;}Ý`ÑÅ`, 53x-6<5-4+x 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 42 2017-11-10 오후 4:25:08 이때 밑 5가 5>1이므로 x+3 0376 4Å` -2 +2a-6¾0에서 (2Å` )Û`-8´2Å` +2a-6¾0 3x-6<-4+x ∴ x<1 이때 2Å` =t (t>0)로 놓으면 답② tÛ`-8t+2a-6¾0 ∴ (t-4)Û`+2a-22¾0 0373 4Å`-2Å` ±Ú`-8<0에서 (2Å`)Û`-2´2Å`-8<0 위의 부등식이 t>0인 모든 실수 t에 대하여 성립하려면 이때 2Å`=t`(t>0)로 놓으면 2a-22¾0 ∴ a¾11 tÛ`-2t-8<0, (t+2)(t-4)<0 따라서 실수 a의 최솟값은 11이다. 답 11 ∴ 0<t<4 (∵ t>0) 즉 0<2Å`<4=2Û`이므로 x<2 0377 자동차의 중고가는 구입 후 1년마다 20`%씩 떨어지므로 ∴ A={x|x<2, x는 정수} {;2!;} >{;2!;} xÛ` 에서 밑 ;2!;이 0<;2!;<1이므로 2x+3 중고가는 1년 전의 중고가의 4 가 된다. 5 최소 n년 후 자동차의 중고가가 1024만 원 이하가 된다고 하면 xÛ`<2x+3, xÛ`-2x-3<0 2500´{;5$;} É1024 n (x+1)(x-3)<0 ∴ -1<x<3 ∴ B={x|-1<x<3, x는 정수} {;5$;} É;2!5)0@0$;, {;5$;} É;6@2%5^; n 따라서 A;B={x|-1<x<2, x는 정수}={0, 1}이므로 n {;5$;} É{;5$;} n n(A;B)=2 답① xÛ`-5 0374 Ú 0<x<1일 때, x >xÝ`Å` 에서 xÛ`-5<4x이므로 4 밑 ;5$;가 0<;5$;<1이므로 n¾4 따라서 자동차의 중고가가 1024만 원 이하가 되는 것은 구입한 날로부터 최소 4년 후이다. xÛ`-4x-5<0, (x+1)(x-5)<0 답② ∴ -1<x<5 그런데 0<x<1이므로 0<x<1 0378 y=2Å`´5ÑÅ`+1=2Å`´{;5!;}Å`+1={;5@;}Å`+1 Û ‌x=1일 때, 1>1이므로 부등식이 성립하지 않는다. ∴ x+1 Ü ‌x>1일 때, x 이때 밑 xÛ`-5 >xÝ`Å` 에서 xÛ`-5>4x이므로 소하는 함수이다. xÛ`-4x-5>0, (x+1)(x-5)>0  ∴ x<-1 또는 x>5 따라서 -1ÉxÉ1일 때 그런데 x>1이므로 x>5 Ú, Û, Ü에서 0<x<1 또는 x>5이므로 a+b=1+5=6 0375 {;8!;} {;2!;} 답6 <32<{;2!;} 2x+1 2 가 0<;5@;<1이므로 x의 값이 증가하면 y의 값은 감 5 x=-1에서 최댓값 {;5@;}ÑÚ`+1=;2&;,  x=1에서 최솟값 {;5@;}Ú`+1=;5&;을 갖는다. 3x-9 에서  3x-9 <{;2!;}ÑÞ`<{;2!;} 3(2x+1) 따라서 치역은 [y|;5&;ÉyÉ;2&;]이므로 이때 밑 ;2!;이 0<;2!;<1이므로 a=;5&;, b=;2&; 3x-9<-5<6x+3 ∴ ab=;5&;´;2&;=;1$0(; Ú`3x-9<-5에서 3x<4 ∴ x<;3$;  답 ;1$0(; Û`-5<6x+3에서 6x>-8 ∴ x>-;3$; 단계 채점요소 배점 Ú, Û의 공통 범위는 -;3$;<x<;3$;  함수 y=2Å`´5ÑÅ`+1이 감소하는 함수임을 알아내기 30 %  최댓값 구하기 30 % 따라서 부등식을 만족시키는 정수 x는 -1, 0, 1의 3개이다.  최솟값 구하기 30 %  치역을 구하고 ab의 값 구하기 10 % 답④ 03. 지수함수 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 43 043 2017-11-10 오후 4:25:09 1 0379 {;3!;}Û`Å`¾;8Á1;={;3!;}Ý`에서 밑 ;3!;이 0< 3 <1이므로 모든 실수 x에 대하여 ㉠이 성립해야 하므로 이차방정식 xÛ`-2kx+3k+4=0의 판별식 DÉ0이어야 한다. 2xÉ4 ∴ xÉ2  ∴ A={x|xÉ2}  É4 xÛ`+2x-4 8 xÛ`+x 에서 2 É2 3(xÛ`+2x-4) 2(xÛ`+x) D =kÛ`-(3k+4)É0 4 kÛ`-3k-4É0, (k+1)(k-4)É0 이때 밑 2가 2>1이므로 ∴ -1ÉkÉ4 3(xÛ`+2x-4)É2(xÛ`+x)  xÛ`+4x-12É0, (x+6)(x-2)É0 따라서 실수 k의 최댓값은 4이다. ∴ -6ÉxÉ2  ∴ B={x|-6ÉxÉ2} 답4  ∴ A;B={x|-6ÉxÉ2} 단계 단계 채점요소 배점  x에 대한 이차부등식 세우기 30 %   의 부등식이 항상 성립할 조건 알아내기 30 % 답 {x|-6ÉxÉ2}  k의 값의 범위 구하기 30 %  k의 최댓값 구하기 10 % 채점요소 배점  집합 A 구하기 40 %  집합 B 구하기 40 %  집합 A;B 구하기 20 % -2x+2 +n에서 0382 y=2 y O -2(x-1) y=2 +n 0380 4Å` -m´2Å` +n<0에서 (2Å` )Û`-m´2Å` +n<0 yy ㉠ ∴ y={;4!;} 이때 2Å` =t`(t>0)로 놓으면 ㉠의 그래프가 제 1 사분면을 지나지 않 x-1 yy ㉡ tÛ`-mt+n<0  도록 하는 상수 n의 값이 최대가 되는 경 y={;4!;} -4 y={;4!;} +n x-1 yy`㉠ +n x -4 x-1 n 우는 오른쪽 그림과 같이 ㉠의 그래프가 점 (0, 0)을 지날 때이다. 0={;4!;} +n -1 ㉠의 해가 1<x<3이므로 2Ú`<2Å` <2Ü`, 즉 2<t<8  따라서 ㉡의 해가 2<t<8이므로 0=4+n ∴ n=-4 따라서 n의 최댓값은 -4이다. (t-2)(t-8)<0, tÛ`-10t+16<0 답 -4 따라서 m=10, n=16이므로  mn=10´16=160 0383 f(x)=|x-1|+2로 놓으면 -1ÉxÉ2에서  답 160 단계 채점요소 배점  주어진 부등식을 2Å` =t로 놓고 식 세우기 30 %  t의 값의 범위 구하기 30 %  m, n의 값 구하기 30 %  mn의 값 구하기 10 % -2Éx-1É1, 0É|x-1|É2, 2É|x-1|+2É4 ∴ 2É f(x)É4 Ú ‌a>1일 때 y=a f(x)은 f(x)=4일 때 최댓값을 가지므로 '2 1 aÝ`=;4!;, aÛ`= ∴ a= (∵ a>0) 2 2 그런데 이 값은 a<1이므로 조건을 만족시키지 않는다. Û ‌0<a<1일 때 y=a f(x)은 f(x)=2일 때 최댓값을 가지므로 0381 {;2!;} xÛ`+3k aÛ`=;4!; ∴ a= É42-kx에서 2-xÛ`-3kÉ24-2kx Ú, Û에서 a=;2!;이고 f(x)=4일 때 최소이므로 최솟값은 이때 밑 2가 2>1이므로 -xÛ`-3kÉ4-2kx ∴ xÛ`-2kx+3k+4¾0 yy ㉠  044 1 (∵ a>0) 2 {;2!;}Ý`=;1Á6;이다. 답 ;1Á6; 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 44 2017-11-10 오후 4:25:10 0384 2Å`+2ÑÅ`=t로 놓으면 2Å`>0, 2ÑÅ`>0이므로 산술평균과 또한 두 점 A(a, b), B(a+3, c)와 원점을 지나는 직선을 기하평균의 관계에 의하여 y=kx (k>0)라 하면 t=2Å`+2ÑÅ`¾2"Ã2Å`´2ÑÅ`=2 (단, 등호는 x=0일 때 성립) b=ak, c=k(a+3) 이때 4Å`+4ÑÅ`=(2Å`+2ÑÅ`)Û`-2=tÛ`-2이므로 주어진 함수는 ∴ ;bC;= y=4Å`+4ÑÅ`+6(2Å`+2ÑÅ`)+3 =(tÛ`-2)+6t+3 yy`㉡ c a+3 = =27이므로 a b a+3=27a ㉠, ㉡에서 =tÛ`+6t+1 =(t+3)Û`-8 k(a+3) a+3 = a ak yy`㉠ t¾2이므로 ㉠은 t=2일 때 최솟값 (2+3)Û`-8=17을 갖는다. 26a=3 ∴ a=;2£6; t=2일 때 x=0이므로 a=0, b=17 따라서 b=3`=3;2£6;, c=27b=27´3;2£6;=3;2*6!;이므로 ∴ a+b=17 답 17 log£`b=;2£6;, log£`c=;2*6!; ∴ 0385 두 점 A(a, b), B(a+3, c)가 함수 y=3Å` 의 그래프 위 에 있으므로 b=3`, c=3a+3=3`´3Ü`=27b ∴ ;bC;=27 log£`bc log£`b+log£`c ‌= a a = ;2£6;+;2*6!; yy`㉠ ;2£6; =28 답 28 03. 지수함수 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 45 045 2017-11-10 오후 4:25:10 Ⅰ. 지수함수와 로그함수 04 로그함수 0392 함수 y=-log°`x의 그래프 y 는 함수 y=log°`x의 그래프를 x축에 1 대하여 대칭이동한 것이므로 오른쪽 O -1 그림과 같다. 교과서 문제 정 /복 /하 /기 y=log°`x 5 1 x y=-log°`x 따라서 점근선은 직선 x=0이다. 본문 51쪽 답 풀이 참조 0386 2-x>0에서 x<2 따라서 정의역은 {x|x<2} 답 {x|x<2} 0393 함수 y=log°`5x y 즉 y=log°`x+1의 그래프는 함수 1 y=log°`x의 그래프를 y축의 방향으 0387 2x>0에서 x>0 따라서 정의역은 {x|x>0} 답 {x|x>0} y=log°`5x O 로 1만큼 평행이동한 것이므로 오른쪽 y=log°`x x 1 그림과 같다. 0388 함수 y=10Å`의 정의역은 실수 전체의 집합이고, 치역은 {y|y>0}이다. 따라서 점근선은 직선 x=0이다. 답 풀이 참조 0394 2`logª`3=logª`3Û`=logª`9 로그의 정의로부터 x=log`y 함수 y=logª`x는 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가하므로 x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는 logª`10>logª`9 ∴ logª`10>2`logª`3 y=log`x 답 logª`10>2`logª`3 답 y=log`x ;3!; 0395 ;3!;`log;2!;`27=log;2!;`(3Ü`) =log;2!;`3 0389 함수 y=3´2Å` ÑÚ`에서 2Å` ÑÚ`=;3}; ;2!;`log;2!;`7=log;2!;`7;2!;=log;2!;`'7 정의역은 실수 전체의 집합이고, 치역은 {y|y>0}이다. 로그의 정의로부터 함수 y=log;2!;`x는 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소하므로 x-1=logª`;3}; ∴ x=logª`;3};+1 log;2!;`3<log;2!;`'7 ∴ ;3!;`log;2!;`27<;2!;`log;2!;`7 답 ;3!;`log;2!;`27<;2!;`log;2!;`7` x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는 y=logª`;3{;+1 답 y=logª`;3{;+1 0396 log»`16=log£Û``4Û`=log£`4 함수 y=log£`x는 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가하므로 log£`2<log£`4 ∴ log£`2<log»`16 0390 함수 y=log° (x-2)의 그래 y y=log°`x 답 log£`2<log»`16 x 0397 함수 y=logª`x는 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한 프는 함수 y=log°`x의 그래프를 x축 의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이므 1 2 O 로 오른쪽 그림과 같다. 3 y=log°`(x-2) 다. 따라서 최댓값은 x=64일 때 y=logª`64=6, 따라서 점근선은 직선 x=2이다. 답 풀이 참조 최솟값은 x=1일 때 y=logª`1=0 답 최댓값：6, 최솟값：0 0391 함수 y=log° (-x)의 그래프는 함수 y=log°`x의 그래 프를 y축에 대하여 대칭이동한 것이므로 다음 그림과 같다. 감소한다. y y=log°`(-x) -5 -1 따라서 최댓값은 x=-;2!;일 때 y=log°`x 1 O 1 5 x 1 1 y=log 1 {- +1}=log;2!;` =1, 2 2 2 최솟값은 x=7일 때 y=log 12 (7+1)=log;2!;`8=-3 따라서 점근선은 직선 x=0이다. 답 풀이 참조 046 0398 함수 y=log 12 (x+1)은 x의 값이 증가하면 y의 값은 답 최댓값：1, 최솟값：-3 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 46 2017-11-10 오후 4:25:11 0399 함수 y=-log° (x-2)+3은 x의 값이 증가하면 y의 0405 진수의 조건에서 값은 감소한다. x-1>0, x+2>0 ∴ x>1 따라서 최댓값은 x=7일 때 y=-log° (7-2)+3=2, logª (x-1)=2-logª (x+2)에서 최솟값은 x=127일 때 y=-log° (127-2)+3=0 logª (x-1)+logª (x+2)=2 답 최댓값：2, 최솟값：0 yy ㉠ logª (x-1)(x+2)=logª`2Û` (x-1)(x+2)=4, xÛ`+x-6=0 0400 진수의 조건에서 2x-5>0 ∴ x>;2%; yy ㉠ (x+3)(x-2)=0 ∴ x=-3 또는 x=2 ㉠에 의하여 x=2 답 x=2 0406 진수의 조건에서 x>0 yy ㉠ log£ (2x-5)=2에서 2x-5=3Û` 2x=14 ∴ x=7 x=7은 ㉠을 만족시키므로 해이다. log£`x=t로 놓으면 주어진 방정식은 tÛ`-4t+3=0 답 x=7 (t-1)(t-3)=0 ∴ t=1 또는 t=3 즉 log£`x=1 또는 log£`x=3 0401 진수의 조건에서 x+1>0 ∴ x>-1 log;3!; (x+1)=2에서 x+1={;3!;}2` yy ㉠ 이것은 ㉠을 만족시키므로 해이다. 답 x=3 또는 x=27 ∴ x=-;9*; x=-;9*;은 ㉠을 만족시키므로 해이다. ∴ x=3 또는 x=27 0407 진수의 조건에서 x+4>0 ∴ x>-4 답 x=-;9*; yy ㉠ logª (x+4)<3에서 logª (x+4)<logª`2Ü` 밑이 1보다 크므로 x+4<8 ∴ x<4 yy ㉡㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 -4<x<4 답 -4<x<4 0402 밑의 조건에서 x+1>0, x+1+1 ∴ x>-1, x+0 yy ㉠ logx+1`9=2에서 (x+1)Û`=9 0408 진수의 조건에서 x-1>0 ∴ x>1 yy ㉠ 밑이 1보다 작으므로 x-1<;9!; ∴ x<:Á9¼: yy ㉡ log;3!; (x-1)>2에서 log;3!; (x-1)>log;3!; {;3!;}2` x+1=3 또는 x+1=-3 ∴ x=2 또는 x=-4 ㉠에 의하여 x=2 답 x=2 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 1<x<:Á9¼: 답 1<x<;;Á9¼;; 0403 진수의 조건에서 x-1>0, 2x-3>0 ∴ x>;2#; yy ㉠ logª (x-1)=logª (2x-3)에서 0409 진수의 조건에서 x-1=2x-3 ∴ x=2 2x-1>0, 3x+1>0 ∴ x>;2!; x=2는 ㉠을 만족시키므로 해이다. log;2!; (2x-1)¾log;2!; (3x+1)에서 밑이 1보다 작으므로 답 x=2 yy ㉡㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 x>;2!; 0404 진수의 조건에서 x>0, x-3>0 ∴ x>3 2x-1É3x+1 ∴ x¾-2 yy ㉠ 답 x>;2!; yy ㉠ log`x+log (x-3)=1에서 log`x(x-3)=log`10 0410 진수의 조건에서 x(x-3)=10, xÛ`-3x-10=0 2x>0, x+2>0 ∴ x>0 (x+2)(x-5)=0 logª`2x<logª (x+2)에서 밑이 1보다 크므로 ∴ x=-2 또는 x=5 2x<x+2 ∴ x<2 ㉠에 의하여 x=5 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 0<x<2 답 x=5 yy ㉠ yy ㉡ 답 0<x<2 04. 로그함수 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 47 047 2017-11-10 오후 4:25:12 0416 함수 y=log° (x+a)+b의 그래프의 점근선은 직선 0411 진수의 조건에서 yy ㉠ x>0, 7-x>0 ∴ 0<x<7 x=-a이므로 log`x+log (7-x)<1에서 -a=2 ∴ a=-2 log`x(7-x)<log`10 ∴ y=log° (x-2)+b 밑이 1보다 크므로 x(7-x)<10 또 x절편이 7이므로 x=7, y=0을 ㉠의 식에 대입하면 xÛ`-7x+10>0, (x-2)(x-5)>0 0=log° (7-2)+b, 0=1+b ∴ b=-1 yy ㉡ ∴ x<2 또는 x>5 yy`㉠ ∴ a+b=-2+(-1)=-3 답 -3 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 0<x<2 또는 5<x<7 답 0<x<2 또는 5<x<7 0417 ㄱ. 지수함수 y=aÅ`의 그래프는 점 (0, 1)을 지나고, 로 그함수 y=log`x의 그래프는 점 (1, 0)을 지나므로 주어진 그림에서 두 그래프의 교점의 좌표는 (1, 1)이 아니다. (거짓) ㄴ. ‌y=aÅ` 과 y=log`x는 서로 역함수 관계이므로 두 그래프는 유형 익 히 기 / / 본문 52~59쪽 직선 y=x에 대하여 대칭이다. (참) ㄷ. ‌두 함수 모두 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소하므로 0<a<1이다. (거짓) 0412 f(1)=3이므로 f(1)=log`4+1=3 따라서 옳은 것은 ㄴ이다. log`4=2, aÛ`=4 ∴ a=2 (∵ a>0 ) 답ㄴ ∴ f(x)=logª (3x+1)+1 f(0)‌=logª`1+1=0+1=1 f(5)=logª`16+1=4+1=5 0418 y=logª (2x+4)=logª`2(x+2)=logª (x+2)+1 ∴ f(0)+f(5)=1+5=6 이므로 함수 y=logª`x의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y 답③ 축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다. ∴ m=-2, n=1 ∴ m+n=-1 0413 f(-4)=3ÑÝ`=;8Á1;이므로 답 -1 1 (g½f )(-4)‌=g( f(-4))=g { } 81 =log;9!;` 0419 함수 y=log 14 `x의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y 1 =log;9!;`{;9!;}Û`=2 81 답⑤ 참고 함수 f(x)=3Å` 의 치역(양수 전체의 집합)은 g(x)=log 1 `x의 정의역(양수 전체의 집합)에 포함되므로 합성 9 함수 (g½f )(x)가 정의된다. y=log;4!; (x-m)+n 이 그래프의 점근선이 x=-3이므로 m=-3 ∴ y=log;4!; (x+3)+n yy ㉠㉠의 그래프가 점 (-1, 0)을 지나므로 0=log;4!;`2+n 0414 f(75)-f(25)‌=log 13 `'75-log;3!;`'25 '75 75 =log;3!;`®É 25 '25 =log 1 `'3 0=-;2!;+n ∴ n=;2!; =log;3!;` ∴ 3 1 =log3ÑÚ``3 2 =- 축의 방향으로 n만큼 평행이동한 그래프의 식은 m -3 = =-6 n ;2!; 답 -6 1 2 답② 0420 함수 y=logª`4x의 그래프를 y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 그래프의 식은 1 0415 ④ y=log;a!;` x =log`x이고 0<a<1이므로 x>0에서 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. 답④ 048 y+3=logª`4x 4x ∴ y=logª`;2{; 2Ü` 이 함수의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동시킨 그래프의 식은 y=logª`4x-3=logª` 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 48 2017-11-10 오후 4:25:13 -y=logª`;2{;, y=-logª`;2{; 0424 1<x<2의 각 변에 밑이 2인 로그를 취하면 logª`1<logª`x<logª`2 ∴ 0<logª`x<1 ∴ y=logª`;[@; A-B=logª`x-(logª`x)Û`=logª`x(1-logª`x) ∴ a=2 이때 0<logª`x<1이므로 1-logª`x>0 답2 0421 ㄱ. y=logª (-x)의 그래프는 y=logª`x의 그래프를 y 축에 대하여 대칭이동한 것이다. C=log®`2= 1 logª`x 이때 0<logª`x<1이므로 ㄴ. ‌y=logª (x-3)의 그래프는 y=logª`x의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다. yy`㉠ ∴ A-B>0 ∴ A>B 1 >1, 즉 C>1 logª`x yy`㉡ ∴ A<C ㉠, ㉡에서 B<A<C ㄹ. ‌y=logª`2x=logª`x+1이므로 이 함수의 그래프는 답 B<A<C y=logª`x의 그래프를 y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것 이다. 따라서 평행이동 또는 대칭이동하여 y=logª`x의 그래프와 겹칠 0425 b<a<1의 각 변에 밑이 a(0<a<1)인 로그를 취하면 수 있는 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다. log`b>logà>log`1 ∴ log`b>1 답 ㄱ, ㄴ, ㄹ b<a<1의 각 변에 밑이 b(0<b<1)인 로그를 취하면 logº`b>logºà>logº`1 ∴ 0<logºà<1 0422 A=-log;2!;`;6!;=log;2!; {;6!;} =log;2!;`6 -1 log`;bA;=logà-log`b=1-log`b<0 ( ∵ log`b>1) B=2`log;2!;`;5!;=log;2!;`{;5!;}2`=log;2!;`;2Á5; ∴ log`;bA;<logºà<log`b C=-3`log;2!;`3=log;2!;`3ÑÜ`=log;2!;`;2Á7; ∴ C<B<A 답⑤ 이때 밑 ;2!;이 0<;2!;<1이고 진수를 비교하면 ;2Á7;<;2Á5;<6이므로 log;2!;`6<log;2!;`;2Á5;<log;2!;`;2Á7; 0426 주어진 그래프가 점 (-1, 2)를 지나므로 ∴ A<B<C 답① 0423 ⑴ 로그의 밑을 ;3!;로 통일하면 ∴ g(4)=log;2!;`4=logªÑÚ``2Û`=-2 답 -2 이때 밑 ;3!;이 0<;3!;<1이고 진수를 비교하면 log;3!;`4<log;3!;`'10<log;3!;` ∴ B<C<A 따라서 f(x)={;2!;}Å`이므로 f(x)의 역함수 g(x)는 g(x)=log;2!;`x 1 A=log£`'2=-log;3!;`'2=log;3!;` '2 B=log;3!;`4, C=log;3!;`'10 1 <'10<4이므로 '2 aÑÚ`=2 ∴ a=;2!; 0427 ⑴ 함수 y=2ÑÅ` ±Ü`-1의 치역은 {y|y>-1} y=2ÑÅ` ±Ü`-1에서 y+1=2ÑÅ` ±Ü` 로그의 정의로부터 logª (y+1)=-x+3 1 '2 ∴ x=-logª (y+1)+3 x와 y를 서로 바꾸어 역함수를 구하면 ⑵ 로그의 밑을 2로 통일하면 y=-logª (x+1)+3, 즉 y=log;2!; (x+1)+3이고 A=5=logª`2Þ`=logª`32 정의역은 {x|x>-1}이다. B=logª`7 ⑵ y=logª (x-4)+3에서 y-3=logª (x-4) C=log¢`25=log2Û``5Û`=;2@;`logª`5=logª`5 로그의 정의로부터 x-4=2y-3 이때 밑 2가 2>1이고 진수를 비교하면 5<7<32이므로 ∴ x=2y-3+4 logª`5<logª`7<logª`32 x와 y를 서로 바꾸어 역함수를 구하면 ∴ C<B<A y=2x-3+4 답 ⑴ B<C<A ⑵ C<B<A 답 ⑴ y=log;2!; (x+1)+3 ⑵ y=2x-3+4 04. 로그함수 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 49 049 2017-11-10 오후 4:25:13 0428 함수 f(x)=log£`x의 역함수 g(x)에 대하여 g(a)=2, 0432 y=logª`x+1의 그래프는 g(b)=7이므로 y=logª`x의 그래프를 y축의 방향으로 yy ㉠ f (2)=a, f (7)=b Z ZMPHmAY 1만큼 평행이동한 것이다. g(a+b)=k로 놓으면 f(k)=a+b이고 따라서 오른쪽 그림에서 A=C이므로 f(k)‌=a+b 구하는 넓이는 # 0 " ZMPHmAY $ Y A+B‌=B+C =f(2)+f(7) (∵ ㉠) =(3-2)´(2-1)=1 =log£`2+log£`7 =log£ (2´7) 답1 =log£`14 즉 f(k)=log£`14=log£`k 0433 오른쪽 그림에서 ∴ k=14 A(b, log¢`b)이므로 답 14 y C B(log¢`b, log¢`b)  점 B와 점 C는 x좌표가 같으므로 0429 y=logª (x-1)에서 x-1=2´` 점 C의 좌표를 (a, 5)라 하면 logª (a-1)=5 A B a b x D(a, 2log¢`b) ∴ g(x)=2Å`+1 ∴ ABÓ=5 D y=loge`x 점 C와 점 D는 y좌표가 같으므로 x와 y를 서로 바꾸면 y=2Å`+1 좌표는 (2, 5)이다. O y=x C(log¢`b, 2log¢`b) ∴ x=2´`+1 따라서 점 A의 좌표는 (2, 0), 점 B의 y=2x y 5 O 점 D는 직선 y=x 위에 있으므로 y=g(x) y=logª`(x-1) B 2 a=2log¢`b=blog¢`2=b;2!;  C A a x 즉 aÛ`=b이므로 a+b=12에 대입하면 a+aÛ`=12, aÛ`+a-12=0 (a+4)(a-3)=0 ∴ a=3 (∵ a>0) a-1=2Þ` ∴ a=33  ∴ BCÓ=33-2=31 따라서 b=3Û`=9이므로 ab=27 ∴ ABÓ+BCÓ=5+31=36  답 36 답 27 0430 세 점 P, M, Q의 y좌표는 각각 log°`2, log°à, log°`18 이다. 점 M이 선분 PQ의 중점이므로 log°`2+log°`18 log°à= 2 2`log°à=log°`2+log°`18 단계  채점요소 점 B의 좌표를 b로 나타내기 ;2!; 배점 10 %  a=b 임을 알기 50 %  a의 값 구하기 30 %  b의 값, ab의 값 구하기 10 % log°àÛ`=log° (2´18)=log°`36 즉 aÛ`=36이므로 0434 f(x)=xÛ`-2x+8로 놓으면 a=6 (∵ a>0) 답6 0431 점 C의 좌표를 (k, 0)이라 하면 CDÓ=4이므로 점 D의 좌표는 (k, 4)이다. y=log;2!; (xÛ`-2x+8)=log;2!;`f(x) 이때 밑 1 이 0<;2!;<1이므로 주어진 함수는 f(x)가 최대일 때 2 최솟값을 갖고 f(x)가 최소일 때 최댓값을 갖는다. 이때 f(x)=xÛ`-2x+8=(x-1)Û`+7이므로 2ÉxÉ6에서 f(x)의 최솟값은 f(2)=8, 최댓값은 f(6)=32 y=logª`x의 그래프가 점 D를 지나므로 이다. 따라서 주어진 함수의 4=logª`k 최댓값 M=log;2!;`8=-3 ∴ k=2Ý`=16 따라서 BCÓ=4이므로 점 B의 x좌표는 최솟값 m=log;2!;`32=-5 k-4=16-4=12 ∴ M-m=-3-(-5)=2 답 12 050 답④ 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 50 2017-11-10 오후 4:25:14 0435 ⑴ 함수 y=log£ (x+3)+k (0ÉxÉ6)는 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가하는 함수이므로 x=6에서 최댓값을 ∴ a= '2 1 = (∵ 0<a<1) 2 '2  갖는다. 그런데 최댓값이 7이므로 7=log£`9+k 답 7=2+k ∴ k=5 ⑵ ‌함수 y=log 12 (x+2)+k (-1ÉxÉ2)는 x의 값이 증가하 단계 채점요소 '2 2 배점  진수의 조건 구하기 20 % 면 y의 값은 감소하는 함수이므로 x=-1에서 최댓값을 갖는  함수의 식 간단히 하기 30 % 다. 그런데 최댓값이 3이므로  a의 조건 구하기 20 % 3=log 12 `1+k ∴ k=3  a의 값 구하기 30 % ‌따라서 함수 y=log 12 (x+2)+3 (-1ÉxÉ2)은 x=2에 서 최솟값을 갖고, 최솟값은 0438 log;2!;`x=t로 놓으면 1ÉxÉ8에서 log;2!;`4+3=-2+3=1 log;2!;`8Élog;2!;`xÉlog;2!;`1 ∴ -3ÉtÉ0 답⑴5 ⑵1 이때 주어진 함수는 yy`㉠ y=tÛ`+4t+5=(t+2)Û`+1 0436 ⑴ 함수 y=logª (xÛ`-6x+11)은 xÛ`-6x+11이 최대 일 때 최대가 되고, 최소일 때 최소가 된다. xÛ`-6x+11=(x-3)Û`+2이므로 xÛ`-6x+11은 x=3에서 최솟값 2를 갖고, 최댓값은 없다. 따라서 ㉠은 -3ÉtÉ0에서 t=-2일 때 최솟값 1, t=0일 때 최댓값 (0+2)Û`+1=5를 갖는다. 따라서 M=5, m=1이므로 Mm=5 답5 따라서 함수 y=logª (xÛ ` -6x+11)은 x=3에서 최솟값 logª`2=1을 갖고, 최댓값은 없다. ⑵ ‌함수 y=log;3!; (xÛ`+4x+13)은 xÛ`+4x+13이 최대일 때 최 소가 되고, 최소일 때 최대가 된다. =(logª`4+logª`x)(logª`2-logª`xÛ`) ‌xÛ`+4x+13=(x+2)Û`+9이므로 xÛ`+4x+13은 x=-2에 서 최솟값 9를 갖고, 최댓값은 없다. =(2+logª`x)(1-2`logª`x) 이때 logª`x=t로 놓으면 ‌따라서 함수 y=log;3!; (xÛ`+4x+13)은 x=-2에서 최댓값 log;3!;`9=-2를 갖고, 최솟값은 없다. 답 ⑴ 최솟값`:`1 2 0439 y‌=(logª`4x){logª` xÛ` } ⑵ 최댓값`:`-2 y‌=(2+t)(1-2t)=-2tÛ`-3t+2 =-2{t+;4#;}2`+ 25 8 yy`㉠ 또 ;4!;ÉxÉ2에서 logª`;4!;Élogª`xÉlogª`2 ∴ -2ÉtÉ1 0437 진수의 조건에서 x+1>0, 3-x>0 ∴ -1<x<3  y=log (x+1)+log (3-x) =log (x+1)(3-x) =log (-xÛ`+2x+3)  따라서 ㉠은 -2ÉtÉ1에서 t=-;4#;일 때 최댓값 :ª8°:, t=1일 때 최솟값 -2{1+;4#;}2`+:ª8°:=-3을 갖는다. 따라서 최댓값과 최솟값의 합은 :ª8°:+(-3)=;8!; 이때 진수는 -xÛ`+2x+3=-(x-1)Û`+4É4이므로 답① -1<x<3에서 진수의 최댓값은 4이고 최솟값은 없다. log`5 =5log`x이므로 그런데 주어진 함수가 최솟값을 가지므로 0440 x 0<a<1이고, y=52`log`x-(xlog`5+5log`x)+7=(5log`x)Û`-2´5log`x+7  이때 5log`x=t`(t>0)로 놓으면 최솟값이 -4이므로 log`4=-4 y=tÛ`-2t+7=(t-1)Û`+6 aÑÝ`=4, aÝ`=;4!; 따라서 이 함수는 t=1일 때 최솟값을 가지므로 ∴ aÛ`=;2!; log`x=0, 즉 x=1 ∴ a=1 5log`x=1에서 04. 로그함수 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 51 051 2017-11-10 오후 4:25:15 또 최솟값은 6이므로 b=6 2`log°`x+ ∴ a+b=1+6=7 답7 3 3 ‌¾2®É2`log°`x´ log°`x log°`x =2'6 {단, 등호는 log°`x= '6 일 때 성립} 2 따라서 구하는 최솟값은 2'6이다. 0441 y‌=(log£`x)Û`+a`logª¦`xÛ`+b yy`㉠ ⑵ log£`x+log£`y=log£`xy 2 =(log£`x)Û`+ a`log£`x+b 3 ‌이고, 밑 3이 3>1이므로 ㉠은 xy가 최대일 때 최댓값을 갖는 이때 log£`x=t로 놓으면 다. y=tÛ`+;3@;at+b yy ㉠  ㉠이 x=;3!;, 즉 t=log£`;3!;=-1일 때 최솟값 1을 가지므로 y=(t+1)Û`+1=tÛ`+2t+2 x>0, y>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 x+4y¾2'¶4xy (단, 등호는 x=4y일 때 성립) 이때 x+4y=12이므로 12¾2'¶4xy, 6¾'¶4xy yy ㉡  36¾4xy ∴ xyÉ9 따라서 xy의 최댓값은 9이므로 ㉠의 최댓값은 log£`9=2 ㉠, ㉡이 일치해야 하므로 ;3@;a=2, b=2 ∴ a=3, b=2 답 ⑴ 2'6 ∴ a+b=5 ⑵2 2-log`x  답5 단계 채점요소 배점  주어진 함수를 log£`x=t로 치환하여 나타내기 30 %  주어진 조건으로부터 y를 t에 대한 함수로 나타내기 50 %  a+b의 값 구하기 20 % 0444 y=x 의 양변에 상용로그를 취하면 log`y=(2-log`x)log`x =-(log`x)Û`+2`log`x 이때 log`x=t로 놓으면 log`y=-tÛ`+2t=-(t-1)Û`+1 1ÉxÉ1000에서 log`1Élog`xÉlog`1000, 즉 0ÉtÉ3이므로 log`y는 t=1일 때 최댓값 1, t=3일 때 최솟값 -3을 갖는다. 즉 log`y=1에서 y=10 log`y=-3에서 y=10ÑÜ` 0442 logª {x+;]!;}+logª {y+;[(;} =logª {xy+;[»];+10} 따라서 주어진 함수의 최댓값 M=10, 최솟값 m=10ÑÜ`이므로 yy`㉠ Mm=10´10ÑÜ`=10ÑÛ` 답 10ÑÛ` 9 이고, 밑 2가 2>1이므로 ㉠은 xy+ +10이 최소일 때 최솟 xy 값을 갖는다. 이때 x>0, y>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 xy+;[»];+10‌¾2®Éxy´ 9 +10 xy x¡` 의 양변에 밑이 3인 로그를 취하면 xlog£`x log£`y=log£`x¡`-log£`xlog£`x=8`log£`x-(log£`x)Û` 0445 y= 이때 log£`x=t로 놓으면 =2´3+10=16 (단, 등호는 xy=3일 때 성립) log£`y=8t-tÛ`=-(t-4)Û`+16 이므로 xy+;[»];+10의 최솟값은 16이다. 따라서 log£`y는 t=4일 때 최댓값 16을 갖는다. 따라서 ㉠의 최솟값은 log£`y=16에서 y=3Ú`ß`=n 즉 log£`x=4에서 x=3Ý`=m logª`16=4 답④ ∴ m+n=3Ý`+3Ú`ß`=3Ý`(3Ú`Û`+1) 답 3Ý`(3Ú`Û`+1) 0443 ⑴ 2`log°`x+log®`125‌=2`log°`x+3`log®`5 0446 진수의 조건에서 x-2>0, x-5>0 3 =2`log°`x+ log°`x ‌x>1에서 log°`x>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 ∴ x>5 의하여 052 yy ㉠ log¢ (x-2)+log;4!; (x-5)=;2!;에서 log¢ (x-2)-log¢ (x-5)=log¢`4;2!; 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 52 2017-11-10 오후 4:25:16 log¢ (x-2)=log¢ (x-5)+log¢`2 x=2는 ㉠을 만족시키므로 근이다. log¢ (x-2)=log¢`2(x-5)  Ú, Û에서 x=2 또는 x=3 즉 x-2=2(x-5) ∴ x=8 x=8은 ㉠을 만족시키므로 해이다. 따라서 모든 근의 합은 2+3=5 답④  답5 0447 ⑴ 진수의 조건에서 x>0, 4x-4>0 단계 yy`㉠ ∴ x>1 채점요소 배점  밑과 진수의 조건 구하기 30 % log'2`x=logª (4x-4)에서  밑이 같을 경우의 근 구하기 40 % logª`xÛ`=logª (4x-4)  진수가 1일 경우의 근 구하기 20 % 즉 xÛ`=4x-4, (x-2)Û`=0 ∴ x=2  모든 근의 합 구하기 10 % 0449 진수의 조건에서 x>0 yy`㉠ x=2는 ㉠을 만족시키므로 해이다. ⑵ 진수의 조건에서 x-2>0, 2x-1>0 yy`㉠ ∴ x>2 log;2!; (x-2)=log;4!; (2x-1)에서 log£`x-log»`x=2(log£`x)(log»`x)에서 log£`x-log3Û``x=2(log£`x)(log3Û``x) log£`x-;2!;`log£`x=2`log£`x´;2!;`log£`x log;2!; (x-2)=log{;2!;}Û` (2x-1) log;2!; (x-2)=;2!;`log;2!; (2x-1) ;2!;`log£`x=(log£`x)Û` 2`log;2!; (x-2)=log;2!; (2x-1) 이때 log£`x=t로 놓으면 log;2!; (x-2)Û`=log;2!; (2x-1) ;2!;t=tÛ`, tÛ`-;2!;t=0, t{t-;2!;}=0 즉 (x-2)Û`=2x-1, xÛ`-6x+5=0 ∴ t=0 또는 t=;2!; (x-1)(x-5)=0 ∴ x=1 또는 x=5 이때 ㉠에 의하여 x=5 즉 log£`x=0 또는 log£`x=;2!; ⑶ 진수의 조건에서 x+3>0, x+7>0 yy`㉠ ∴ x>-3 ∴ x=1 또는 x=3;2!;='3 이 값들은 모두 ㉠을 만족시키므로 log£ (x+3)-log» (x+7)=1에서 a=1, b='3 또는 a='3, b=1 ∴ ab='3 log£ (x+3)-log3Û` (x+7)=1 답③ log£ (x+3)-;2!;`log£ (x+7)=1 2`log£ (x+3)-log£ (x+7)=2 0450 ⑴ 진수의 조건에서 x>0, xß`>0 log£ (x+3)Û`=log£ (x+7)+log£`3Û`=log£`9(x+7) ∴ x>0 즉 (x+3)Û`=9(x+7), xÛ`-3x-54=0 (logª`x)Û`-logª`xß`+5=0에서 (x+6)(x-9)=0 ∴ x=-6 또는 x=9 (logª`x)Û`-6`logª`x+5=0 이때 ㉠에 의하여 x=9 이때 logª`x=t로 놓으면 답 ⑴ x=2 ⑵ x=5 ⑶ x=9 yy`㉠ tÛ`-6t+5=0, (t-1)(t-5)=0 ∴ t=1 또는 t=5 0448 밑과 진수의 조건에서 즉 logª`x=1 또는 logª`x=5 xÛ`+1>0, xÛ`+1+1, x+7>0, x+7+1, x-1>0 ∴ x>1 ∴ x=2 또는 x=2Þ`=32 yy ㉠  Ú ‌xÛ`+1=x+7일 때 이 값들은 모두 ㉠을 만족시키므로 x=2 또는 x=32 ⑵ 진수의 조건에서 xÛ`>0, x>0 xÛ`-x-6=0, (x+2)(x-3)=0 ∴ x>0 ∴ x=-2 또는 x=3 (logÁ¤`xÛ`)Û`-5`logÁ¤`x+1=0에서 이때 ㉠에 의하여 x=3 (2`logÁ¤`x)Û`-5`logÁ¤`x+1=0  Û ‌x-1=1일 때, x=2 yy`㉠ 이때 logÁ¤`x=t로 놓으면 (2t)Û`-5t+1=0 4tÛ`-5t+1=0, (4t-1)(t-1)=0 04. 로그함수 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 53 053 2017-11-10 오후 4:25:17 ∴ t=;4!; 또는 t=1 이때 log£`x=t로 놓으면 tÛ`=-1+2t, tÛ`-2t+1=0 즉 logÁ¤`x=;4!; 또는 logÁ¤`x=1 (t-1)Û`=0 ∴ t=1 ∴ x=16;4!;=2 또는 x=16 즉 log£`x=1 ∴ x=3 이 값들은 모두 ㉠을 만족시키므로 x=3은 ㉠을 만족시키므로 해이다. x=2 또는 x=16 답② yy`㉠ ⑶ 진수의 조건에서 x>0 (logª`2x){logª`;2{;}=3에서 0453 ⑴ 진수의 조건에서 x>0 (t+1)(t-1)=3, tÛ`=4 27 의 양변에 밑이 3인 로그를 취하면 xÛ` 27 log£`xlog£`x=log£` xÛ` log£`x´log£`x=log£`27-log£`xÛ` ∴ t=-2 또는 t=2 (log£`x)Û`=3-2`log£`x 즉 logª`x=-2 또는 logª`x=2 이때 log£`x=t로 놓으면 ∴ x=2ÑÛ`=;4!; 또는 x=2Û`=4 tÛ`=3-2t, tÛ`+2t-3=0 (logª`2+logª`x)(logª`x-logª`2)=3 xlog£`x= (logª`x+1)(logª`x-1)=3 이때 logª`x=t로 놓으면 (t+3)(t-1)=0 ∴ t=-3 또는 t=1 이 값들은 모두 ㉠을 만족시키므로 즉 log£`x=-3 또는 log£`x=1 x=;4!; 또는 x=4 답 ‌⑴ x=2 또는 x=32 ∴ x=3ÑÜ`=;2Á7; 또는 x=3 ⑵ x=2 또는 x=16 이 값들은 모두 ㉠을 만족시키므로 1 ⑶ x= 또는 x=4 4 0451 밑과 진수의 조건에서 x>0, x+1 x=;2Á7; 또는 x=3 yy ㉠ yy`㉠ ⑵ 진수의 조건에서 x>0 x1-log`x= log£`9 log®`9-log£`x=1에서 -log£`x=1 log£`x 2 -log£`x=1 log£`x xÛ` 의 양변에 상용로그를 취하면 100 log`x1-log`x=log` xÛ` 100 (1-log`x)log`x=2`log`x-log`100 이때 log£`x=t로 놓으면 ;t@;-t=1 (log`x)Û`+log`x-2=0 양변에 t를 곱하여 정리하면 이때 log`x=t로 놓으면 tÛ`+t-2=0, (t+2)(t-1)=0 tÛ`+t-2=0, (t+2)(t-1)=0 ∴ t=-2 또는 t=1 ∴ t=-2 또는 t=1 즉 log`x=-2 또는 log`x=1 즉 log£`x=-2 또는 log£`x=1 ∴ x=3ÑÛ`=;9!; 또는 x=3 ∴ x=10ÑÛ`=;10!0; 또는 x=10 이 값들은 모두 ㉠을 만족시키고, a>b이므로 a=3, b=;9!; 이 값들은 모두 ㉠을 만족시키므로 ∴ ;ºÄ;= 3 ;9!; yy`㉠ x=;10!0; 또는 x=10 =27 답 ⑴ x=;2Á7; 또는 x=3 ⑵ x=;10!0; 또는 x=10 답 27 0454 밑의 조건에서 x>0, x+1, y>0, y+1 0452 진수의 조건에서 x>0 xlog£`x=;3!;xÛ`의 양변에 밑이 3인 로그를 취하면 log£`xlog£`x=log£`;3!;xÛ` log£`x´log£`x=log£`;3!;+log£`xÛ` (log£`x)Û`=-1+2`log£`x 054 yy`㉠ [ log®`4-logò`2=2 log®`16+logò`8=-1 ⇨[ 2`log®`2-logò`2=2 4`log®`2+3`logò`2=-1 이때 log®`2=X, logò`2=Y로 놓으면 [ 2X-Y=2 4X+3Y=-1 위의 연립방정식을 풀면 X=;2!;, Y=-1 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 54 2017-11-10 오후 4:25:17 즉 log®`2=;2!;, logò`2=-1이므로 x;2!;=2, yÑÚ`=2 단계 ∴ x=4, y=;2!; ∴ ab=4´;2!;=2 답2 0455 진수의 조건에서 x>0, y>0 배점  log`x=t로 치환하기 40 %  근과 계수의 관계 이용하기 40 %  k의 값 구하기 20 % 0458 이차방정식 xÛ`-x`logà+2`logà-3=0이 중근을 가 log£`x=X, logª`y=Y로 놓으면 지려면 판별식을 D라 할 때 log£`x logª`y (logª`x)(log£`y)={ }{ } log£`2 logª`3 =(log£`x)(logª`y) D=(logà)Û`-4(2`logà-3)=0 (logà)Û`-8`logà+12=0 이때 logà=t로 놓으면 =XY tÛ`-8t+12=0, (t-2)(t-6)=0 따라서 주어진 연립방정식은 [ 채점요소 ∴ t=2 또는 t=6 X+Y=4 즉 logà=2 또는 logà=6 XY=3 ∴ a=10Û` 또는 a=10ß` 위의 연립방정식을 풀면 따라서 모든 상수 a의 값의 곱은 10Û`´10ß`=10¡` X=1, Y=3 또는 X=3, Y=1 답④ 즉 log£`x=1, logª`y=3 또는 log£`x=3, logª`y=1 ∴ x=3, y=8 또는 x=27, y=2 0459 방정식 p(log`x)Û`-2p`log`x+1=0에서 그런데 0<b<a이므로 a=27, b=2 log`x=t로 놓으면 ∴ a+b=29 답 29 ptÛ`-2pt+1=0 yy ㉠ 주어진 방정식의 두 근이 a, b이므로 ㉠의 두 근은 logà, log`b 이고, 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 0456 (logª`2x)Û`-3`logª`xÛ`=0에서 logà+log`b=2 yy ㉡ 1+2`logª`x+(logª`x)Û`-6`logª`x=0 (logà)(log`b)=;p!; yy ㉢ (logª`x)Û`-4`logª`x+1=0 ㉡과 logà-log`b=4를 연립하여 풀면 (1+logª`x)Û`-3´2`logª`x=0 이때 logª`x=t로 놓으면 tÛ`-4t+1=0 logà=3, log`b=-1 yy ㉠ 주어진 방정식의 두 실근이 a, b이므로 ㉠의 두 근은 yy ㉣㉢, ㉣에서 3´(-1)=;p!; ∴ p=-;3!; 답 -;3!; logªà, logª`b이고, 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 logªà+logª`b=4, logªàb=4 ∴ ab=2Ý`=16 0460 진수의 조건에서 6-x>0, x+5>0 답④ ∴ -5<x<6 yy ㉠ log (6-x)+log`(x+5)É1에서 0457 방정식 (log`x)Û`-k`log`x-5=0의 두 근을 a, b라 하 log (6-x)(x+5)Élog`10 면 ab=100이다. 이때 밑이 1보다 크므로 이때 log`x=t로 놓으면 (6-x)(x+5)É10, -xÛ`+x+30É10 tÛ`-kt-5=0 yy ㉠  xÛ`-x-20¾0, (x+4)(x-5)¾0 ∴ xÉ-4 또는 x¾5 ㉠의 두 근은 logà, log`b이므로 이차방정식의 근과 계수의 관 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 계에 의하여 -5<xÉ-4 또는 5Éx<6 logà+log`b=k 따라서 a=-5, b=5이므로 a+b=0 yy ㉡ 답0  logàb=log`100=k ∴ k=2  답2 0461 ⑴ 진수의 조건에서 x-3>0 ∴ x>3 yy`㉠ 04. 로그함수 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 55 055 2017-11-10 오후 4:25:18 xÛ`-4x+2û`-32<0 ‌HjK x(x-4)<0 log;2!; (x-3)>-2에서 HjK xÛ`-4x<0 log;2!; (x-3)>log;2!; {;2!;}ÑÛ` 즉 2û`-32=0이므로 2û`=32=2Þ` 이때 밑 ;2!;이 0<;2!;<1이므로 ∴ k=5 x-3<{;2!;}ÑÛ`, x-3<4 답⑤ yy`㉡ ∴ x<7 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 3<x<7 logª`x>0에서 logª`x>logª`1 ⑵ 진수의 조건에서 x-1>0, 5-xÛ`>0 yy`㉠ ∴ 1<x<'5 0463 진수의 조건에서 logª`x>0, x>0 logª (x-1)¾log¢ (5-xÛ`)에서 이때 밑 2가 2>1이므로 x>1 yy ㉠ ∴ x>1 log° (logª`x)É1에서 logª (x-1)¾log2Û` (5-xÛ`) log° (logª`x)Élog°`5 logª (x-1)¾;2!;`logª (5-xÛ`) 이때 밑 5가 5>1이므로 logª`xÉ5 2`logª (x-1)¾logª (5-xÛ`) logª`xÉlogª`32 logª (x-1)Û`¾logª (5-xÛ`) 이때 밑 2가 2>1이므로 xÉ32 이때 밑 2가 2>1이므로 그런데 ㉠에서 x>1이므로 부등식 log° (logª`x)É1의 해는 (x-1)Û`¾5-xÛ` 1<xÉ32 따라서 a=1, b=32이므로 2xÛ`-2x-4¾0, xÛ`-x-2¾0 ab=32 (x+1)(x-2)¾0 답 32 yy`㉡ ∴ xÉ-1 또는 x¾2 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 2Éx<'5 (log;3!;`x)Û`-log;3!;`xÛ`¾0에서 Ú ‌xÛ`+4x-5>0에서 (x+5)(x-1)>0 ∴ x<-5 또는 x>1 (log;3!;`x)Û`-2`log;3!;`x¾0 Û x+1>0에서 x>-1 Ú, Û에서 x>1 yy ㉠ 이때 log;3!;`x=t로 놓으면 tÛ`-2t¾0 t(t-2)¾0 ∴ tÉ0 또는 t¾2 log;4!; (xÛ`+4x-5)>log;2!; (x+1)에서 즉 log;3!;`xÉ0 또는 log;3!;`x¾2 log{;2!;}Û` (xÛ`+4x-5)>log;2!; (x+1) log;3!;`xÉlog;3!;`1 또는 log;3!;`x¾log;3!;`;9!; ;2!;`log;2!; (xÛ`+4x-5)>log;2!; (x+1) 이때 밑 ;3!;이 0<;3!;<1이므로 log;2!; (xÛ`+4x-5)>log;2!; (x+1)Û` 이때 밑 ;2!;이 0<;2!;<1이므로 xÛ`+4x-5<(x+1)Û` x¾1 또는 xÉ;9!; xÛ`+4x-5<xÛ`+2x+1 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 yy ㉡ 2x<6 ∴ x<3 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 1<x<3 답 ⑴ 3<x<7 yy ㉠ 0464 진수의 조건에서 x>0 ⑶ 진수의 조건에서 xÛ`+4x-5>0, x+1>0 0<xÉ;9!; 또는 x¾1 ⑵ 2Éx<'5 ⑶ 1<x<3 yy`㉡ 답 0<xÉ;9!; 또는 x¾1 0465 진수의 조건에서 x>0 (logª`x)Û`-logª`xß`+8<0에서 0462 진수의 조건에서 x+4>0, 8-x>0 ∴ -4<x<8 yy`㉠ (logª`x)Û`-6`logª`x+8<0 logª (x+4)+logª (8-x)>k에서  logª (x+4)(8-x)>logª`2û` 이때 logª`x=t로 놓으면 tÛ`-6t+8<0 이때 밑 2가 2>1이므로 (x+4)(8-x)>2û` (t-2)(t-4)<0 xÛ`-4x+2û`-32<0 yy`㉡ ∴ 2<t<4 주어진 부등식의 해가 0<x<4이고 0<x<4가 ㉠에 포함되므 즉 2<logª`x<4이므로 로 ㉡의 해가 0<x<4이어야 한다. logª`2Û`<logª`x<logª`2Ý` 056 yy ㉠ 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 56 2017-11-10 오후 4:25:19 이때 밑 2가 2>1이므로 4<x<16 yy ㉡ log£`x x ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 4<x<16   답 -12 채점요소 <9x의 양변에 밑이 3인 로그를 취하면 log£`xlog£`x<log£`9x (log£`x)Û`<2+log£`x 따라서 a=4, b=16이므로 a-b=-12 단계 이때 log£`x=t로 놓으면 tÛ`<2+t tÛ`-t-2<0, (t+1)(t-2)<0 배점 ∴ -1<t<2  주어진 부등식 정리하기 40 % 즉 -1<log£`x<2이므로  부등식의 해 구하기 50 % log£`3ÑÚ`<log£`x<log£`3Û`  a-b의 값 구하기 10 % 0466 진수의 조건에서 x>0 yy ㉠ 0468 진수의 조건에서 x>0 yy ㉠ (2+log;2!;`x)logª`x>-3에서 이때 밑 3이 3>1이므로 ;3!;<x<9 yy ㉡㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 ;3!;<x<9 따라서 정수 x는 1, 2, 3, y, 8의 8개이다. 답③ (2-logª`x)logª`x>-3 이때 logª`x=t로 놓으면 (2-t)t>-3 tÛ`-2t-3<0 logª`x ∴ -1<t<3 x 즉 -1<logª`x<3이므로 logª`xlogª`x<logª`64x logª`2ÑÚ`<logª`x<logª`2Ü` (logª`x)Û`<6+logª`x 이때 밑 2가 2>1이므로 이때 logª`x=t로 놓으면 tÛ`<6+t ;2!;<x<8 yy ㉡ <64x의 양변에 밑이 2인 로그를 취하면 tÛ`-t-6<0, (t+2)(t-3)<0 ∴ -2<t<3 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 ;2!;<x<8 즉 -2<logª`x<3이므로 logª`2ÑÛ`<logª`x<logª`2Ü` 따라서 정수 x의 최댓값은 7이다. 답③ 0467 진수의 조건에서 x>0 yy ㉠ (logª`4x)(logª`8x)<2에서 이때 밑 2가 2>1이므로 ;4!;<x<8 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 ;4!;<x<8 yy ㉠ ¾10000의 양변에 상용로그를 취하면 log`x+3 x 이때 logª`x=t로 놓으면 log`x (2+t)(3+t)<2, tÛ`+5t+4<0 (log`x+3)log`x¾4 (t+1)(t+4)<0 (log`x)Û`+3`log`x-4¾0 ∴ -4<t<-1 이때 log`x=t로 놓으면 tÛ`+3t-4¾0 즉 -4<logª`x<-1이므로 (t+4)(t-1)¾0 logª`2ÑÝ`<logª`x<logª`2ÑÚ` ∴ tÉ-4 또는 t¾1 이때 밑 2가 2>1이므로 즉 log`xÉ-4 또는 log`x¾1이므로 ¾log`10000 log`x+3 yy ㉡ log`xÉlog`10ÑÝ` 또는 log`x¾log`10 이때 밑이 1보다 크므로 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 ;1Á6;<x<;2!; xÉ10ÑÝ` 또는 x¾10 따라서 a=;1Á6;, b=;2!;이므로 ∴ xÉ;100!00; 또는 x¾10 ;©;= ;2!; ;1Á6; yy ㉡ ⑵ 진수의 조건에서 x>0 (2+logª`x)(3+logª`x)<2 ;1Á6;<x<;2!; yy ㉠ 0469 ⑴ 진수의 조건에서 x>0 (t+1)(t-3)<0 yy ㉡㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 0<xÉ;100!00; 또는 x¾10 =8 답② 답 ⑴ ;4!;<x<8 ⑵ 0<xÉ;100!00; 또는 x¾10 04. 로그함수 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 57 057 2017-11-10 오후 4:25:19 0470 Ú log¢ (x+4)Û`¾logª`3x의 진수의 조건에서 유형 (x+4)Û`>0, 3x>0 yy`㉠ ∴ x>0 log¢ (x+4)Û`¾logª`3x에서 0472 (logª`x)Û`+8`logª`x+8`logª`k>0 tÛ`+8t+8`logª`k>0 ㉠에서 x+4>0이므로 yy ㉡ 모든 양수 x에 대하여 ㉠이 성립할 조건은 모든 실수 t에 대하여 logª`(x+4)¾logª`3x ㉡이 성립할 조건과 같으므로 이차방정식 tÛ`+8t+8`logª`k=0 이때 밑 2가 2>1이므로 yy`㉡ x+4¾3x ∴ xÉ2 의 판별식을 D라 하면 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 D =4Û`-8`logª`k<0, 16-8`logª`k<0 4 0<xÉ2 logª`k>2, logª`k>logª`4 이때 밑 2가 2>1이므로 Û log;3!; (x+2)¾-1의 진수의 조건에서 x+2>0 yy`㉢ k>4 답 k>4 log;3!; (x+2)¾-1에서 log;3!; (x+2)¾log;3!; {;3!;}ÑÚ` 0473 log;5!;`x(log°`x+10)É25`log°`k yy ㉠ 에서 이때 밑 ;3!;이 0<;3!;<1이므로 x+2É3 ∴ xÉ1 yy ㉠ 에서 logª`x=t로 놓으면 log2Û` (x+4)Û`¾logª`3x ∴ x>-2 본문 60쪽 -log°`x(log°`x+10)É25`log°`k yy`㉣ -(log°`x)Û`-10`log°`xÉ25`log°`k ㉢, ㉣의 공통 범위를 구하면 (log°`x)Û`+10`log°`x+25`log°`k¾0 -2<xÉ1 이때 log°`x=t로 놓으면 yy ㉡ 따라서 Ú, Û에서 연립부등식의 해는 tÛ`+10t+25`log°`k¾0 0<xÉ1 모든 양수 x에 대하여 ㉠이 성립할 조건은 모든 실수 t에 대하여 이므로 자연수 x의 값은 1이다. ㉡이 성립할 조건과 같으므로 이차방정식 답1 tÛ`+10t+25`log°`k=0의 판별식을 D라 하면 D =5Û`-25`log°`kÉ0 4 0471 Ú 2`log (x+3)<log (5x+15)의 진수의 조건에서 x+3>0, 5x+15>0 ∴ x>-3 yy`㉠ 2`log (x+3)<log (5x+15)에서 25-25`log°`kÉ0, -25`log°`kÉ-25 log°`k¾1, log°`k¾log°`5 이때 밑 5가 5>1이므로 k¾5 답 k¾5 log (x+3)Û`<log (5x+15) 이때 밑이 1보다 크므로 0474 진수의 조건에서 a>0 (x+3)Û`<5x+15 이차방정식 xÛ`-x`logà+logà+3=0이 실근을 갖지 않으므 xÛ`+x-6<0 로 판별식을 D라 하면 (x+3)(x-2)<0 ∴ -3<x<2 yy`㉡㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 D=(-logà)Û`-4(logà+3)<0 (logà)Û`-4`logà-12<0 이때 logà=t로 놓으면 tÛ`-4t-12<0 -3<x<2 (t+2)(t-6)<0 ∴ -2<t<6 Û 2Å` ±Ü`>4에서 즉 -2<logà<6이므로 2Å` ±Ü`>2Û` log`10ÑÛ`<logà<log`10ß` 이때 밑 2가 2>1이므로 이때 밑이 1보다 크므로 ;10!0;<a<10ß` x+3>2 ∴ x>-1 yy ㉡㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 ;10!0;<a<10ß` 따라서 Ú, Û에서 연립부등식의 해는 -1<x<2 답 -1<x<2 058 yy ㉠ 답 ;10!0;<a<10ß` 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 58 2017-11-10 오후 4:25:20 yy ㉠ 0475 진수의 조건에서 a>0 ㉠-㉡을 하면 (1-log£à)xÛ`-2(1-log£à)x+log£à>0에서 log`10E¦-log`10E£=1.5_7-1.5_3 Ú ‌log£à=1, 즉 a=3일 때 주어진 부등식은 1>0이므로 log` 모든 실수 x에 대하여 성립한다. E¦ E¦ =6, =10ß` ∴ E¦=10ßÈ£ E£ E£ 따라서 리히터 규모 7인 지진에 의하여 발생하는 에너지는 리히 Û ‌log£à+1, 즉 a+3일 때 모든 실수 x에 대하여 주어진 부등식이 성립하려면 이차방정 식 (1-log£à)xÛ`-2(1-log£à)x+log£à=0의 판별식 터 규모 3인 지진에 의하여 발생하는 에너지의 10ß`배이다. ∴ k=6 답6 을 D라 할 때, 1-log£à>0이고 D<0이어야 한다. 1-log£à>0에서 log£à<1, log£à<log£`3 yy ㉡ ∴ a<3 배양을 시작한 지 10시간 후 이 미생물의 개체수가 처음의 D =(1-log£à)Û`-(1-log£à)log£à<0에서 4 rÚ`â`=;2%; (1-t)Û`-(1-t)t<0, 2tÛ`-3t+1<0 즉 1 <t<1 2 양변에 상용로그를 취하면 log`rÚ`â`=log`;2%; 1 <log£à<1이므로 2 10`log`r=log`5-log`2 1 log£`3 2 <log£à<log£`3 ∴ log`r= 이때 밑 3이 3>1이므로 '3<a<3 ㉡, ㉢의 공통 범위를 구하면 '3<a<3 Ú, Û에서 '3<aÉ3 5 배 2 가 되었으므로 log£à=t로 놓으면 (2t-1)(t-1)<0 ∴ 0478 미생물의 개체수가 1시간마다 r배씩 증가한다고 하면 yy ㉢ log`5-log`2 1-2`log`2 = 10 10 yy ㉠ 이 미생물의 개체수가 처음의 3배 이상이 되는 것은 배양을 시작 한 지 최소 n시간 후이므로 yy ㉣ 따라서 ㉠, ㉣의 공통 범위를 구하면 '3<aÉ3이므로 정수 a의 값은 2, 3이고, 이들의 곱은 2´3=6 답6 rÇ` ¾3 양변에 상용로그를 취하면 log`rÇ` ¾log`3 n`log`r¾log`3 P, Põ라 하면 log`3 (∵ log`r>0) log`r 10`log`3 4.771 = = 1-2`log`2 1-0.602 A사에서 출시한 자동차의 소음의 크기가 40`dB이므로 =11.___ ∴ n‌¾ 0476 A사, B사에서 출시한 자동차의 소음의 세기를 각각 따라서 자연수 n의 최솟값은 12이다. 40=10(log`P+12) 4=log`P+12 ∴ log`P=-8 답 12 yy ㉠ B사에서 출시한 자동차의 소음의 크기가 60`dB이므로 60=10(log`Põ+12) 6=log`Põ+12 ∴ log`Põ=-6 yy ㉡㉡-㉠을 하면 꼭 나오는 문제 본문 61~64쪽 x+1 0479 f(x)=log'3 {1+;[!;}=log'3 { x }이므로 log`Põ-log`P=2 log` 시험에 Põ Põ =2, =100 ∴ Põ=100P P P f(3)+f(4)+f(5)+y+f(8) 따라서 B사에서 출시한 자동차의 소음의 세기는 A사에서 출시 한 자동차의 소음의 세기의 100배이다. 답④ =log'3`;3$;+log'3`;4%;+log'3`;5^;+y+log'3`;8(; =log'3 {;3$;´;4%;´;5^;´;6&;´;7*;´;8(;} =log'3`3=2 답2 0477 리히터 규모 7인 지진과 리히터 규모 3인 지진에 의하여 발생하는 에너지를 각각 E¦, E£이라 하면 log`10E¦=11.8+1.5_7 yy ㉠ log`10E£=11.8+1.5_3 yy ㉡ 0480 ( f½g)(x)=3x이므로 ( f½g){;3!;}=3´;3!;=1 04. 로그함수 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 59 059 2017-11-10 오후 4:25:21 ∴ f {g {;3!;}}=1 -1만큼 평행이동 ⇨ y=3x-2-1 ㄴ. ‌y=2`log» (x-3)에서 이때 함수 f(x)=logª (x+1)-2에서 f {g {;3!;}}=logª [g {;3!;}+1]-2 y=2`log£Û` (x-3) 이므로 즉 y=2`log» (x-3)의 그래프는 y=log£`x의 그래프를 x ∴ y=log£ (x-3) logª [g {;3!;}+1]-2=1 축의 방향으로 3만큼 평행이동한 그래프이다. 3 에서 y=31-x, 즉 y=3-(x-1) 3Å` 함수 y=log£`x의 그래프를 직선 y=x에 대하여 대칭이동 logª [g {;3!;}+1]=3 ㄷ. ‌y= 즉 g {;3!;}+1=2Ü`=8 ⇨ y=3Å` ∴ g {;3!;}=8-1=7 y=3Å` 의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동 ⇨ y=3-x 답7 0481 y=logª (2-x)-1의 그 래프는 y=logª`x의 그래프를 y축 0 ⇨ y=3-(x-1) ㄹ. ‌함수 y=log»`xÛ`의 정의역은 {x|x+0인 모든 실수}이므로 Z ZMPHmA Y 에 대하여 대칭이동한 다음 x축의 y=3-x의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼 평행이동 함수 y=log£`x의 그래프를 평행이동 또는 대칭이동하여 겹 Y 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 칠 수 없다. 따라서 함수 y=log£`x의 그래프를 평행이동 또는 대칭이동하여 겹칠 수 있는 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. -1만큼 평행이동한 것이므로 오른 답② 쪽 그림과 같다. ② 치역은 실수 전체의 집합이다. 0485 A=;2!;`log0.1`2=log0.1`'2, B=log0.1`'3 ⑤ y=logª (2-x)-1에서 y+1=logª (2-x) C=;3!;`log0.1`8=log0.1`Ü'8=log0.1`2 즉 2-x=2´` ±Ú` ∴ x=2-2´` ±Ú` x와 y를 서로 바꾸어 역함수를 구하면 밑 0.1이 0<0.1<1이고 '2<'3<2이므로 y=2-2Å` ±Ú` log0.1`2<log0.1`'3<log0.1`'2 따라서 옳지 않은 것은 ②, ⑤이다. 답 ②, ⑤ 0482 함수 y=log° (x-a)+b의 그래프의 점근선의 방정식 은 x=a이므로 a=2 ∴ C<B<A 답⑤ 0486 함수 y=log`x+k의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점은 직선 y=x와 y=log`x+k의 그래프의 교점과 같으므로 함수 y=log° (x-2)+b의 그래프가 점 (7, 0)을 지나므로 두 교점의 좌표는 (1, 1), (2, 2)이다. 0=log° (7-2)+b, 1+b=0 함수 y=log`x+k의 그래프가 두 점 (1, 1), (2, 2)를 지나므로 ∴ b=-1 1=log`1+k에서 k=1 ∴ a+b=2+(-1)=1 답1 2=log`2+1에서 1=log`2 ∴ a=2 ∴ a+k=2+1=3 0483 y‌=log£ (6x-72)=log£`6(x-12) 답3 =log£ {3´2(x-12)}=log£`2(x-12)+1 이므로 이 함수의 그래프는 y=log£`2x의 그래프를 x축의 방향 으로 12만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다. 따라서 a=3, m=12, n=1이므로 0487 두 함수 y=3Å` 과 y=log£`x Z 는 서로 역함수 관계이므로 B=C이다. ∴ A+B=A+C=1´3=3 a+m+n=16 답 16 답3 0 ZY $ ZMPHfAY " # Y 0484 ㄱ. 함수 y=log£`x의 그래프를 직선 y=x에 대하여 대 칭이동 ⇨ y=3Å` 0488 함수 y=g(x)의 그래프가 함수 y=logª (x-1)의 그 y=3Å` 의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 래프와 직선 y=x에 대하여 대칭이므로 함수 y=g(x)는 함수 060 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 60 2017-11-10 오후 4:25:22 y=logª (x-1)의 역함수이다. 지므로 함수 ( f½g)(x)는 x=4에서 최솟값 logª`64-2=4를 점 P(2, b)가 곡선 y=g(x) 위의 점이므로 점 (b, 2)는 곡선 갖는다. y=logª (x-1) 위의 점이다. 답4 즉 2=logª (b-1), b-1=2Û` 0492 y=(log£`x)(log 13 `x)+2`log£`x+10 ∴ b=2Û`+1=5 점 Q(a, 5)가 곡선 y=logª (x-1) 위의 점이므로 =(log£`x)(log3ÑÚ``x)+2`log£`x+10 5=logª (a-1) =-(log£`x)Û`+2`log£`x+10 a-1=2Þ` 이때 log£`x=t로 놓으면 ∴ a=2Þ`+1=33 y=-tÛ`+2t+10=-(t-1)Û`+11 ∴ a+b=33+5=38 yy`㉠ 또 1ÉxÉ81에서 log£`1Élog£`xÉlog£`81 답 38 ∴ 0ÉtÉ4 따라서 ㉠은 0ÉtÉ4에서 1 0489 y=log;2!; (x-a)에서 밑 2 이 0<;2!;<1이므로 이 함수 는 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. t=1일 때 최댓값 M=11, t=4일 때 최솟값 m=-(4-1)Û`+11=2를 갖는다. ∴ M+m=11+2=13 따라서 이 함수는 x=8일 때 최솟값 -2를 가지므로 답 13 log;2!; (8-a)=-2 즉 8-a={;2!;}ÑÛ`=4 ∴ a=4 답⑤ 0490 진수의 조건에서 -xÛ`+4x+5>0 1<4x<100, 1< 25 <100이므로 x 0<log`4x<2, 0<log` xÛ`-4x-5<0, (x+1)(x-5)<0 즉 log`4x, log` ∴ -1<x<5 y=log;3!; (-xÛ`+4x+5)에서 밑 0493 ;4!;<x<25에서 1 은 0<;3!;<1이므로 이 함 3 수는 진수가 최대일 때 y가 최솟값을 갖는다. 이때 진수는 -xÛ`+4x+5=-(x-2)Û`+9이므로 -1<x<5 에서 x=2일 때 최대이고 최댓값은 9이다. 25 <2 x 25 가 모두 양수이므로 산술평균과 기하평균의 x 관계에 의하여 log`4x+log` log`{4x´ 25 25 ¾2®Élog`4x´log` x x 25 25 }¾2®Élog`4x´log` x x 25 x 따라서 주어진 함수는 x=2일 때 최솟값 2¾2®Élog`4x´log` log;3!;`9=log3ÑÚ``3Û`=-2를 갖는다. ∴ a=2, b=-2 ®Élog`4x´log` ∴ a+b=2+(-2)=0 이때 등호가 성립하는 경우는 log`4x=log` 답0 0491 함수 g(x)=xÛ`-8x+80=(x-4)Û`+64의 치역 {y|y¾64}는 함수 f(x)=logª` x 의 정의역인 양수 전체의 집 4 합에 포함되므로 합성함수 ( f½g)(x)가 정의된다. g(x) ( f½g)(x)‌=f(g(x))=logª` 4 xÛ`-8x+80 =logª` 4 =logª (xÛ`-8x+80)-logª`4 =logª {(x-4)Û`+64}-2 25 25 É1 ∴ log`4x´log` É1 x x 25 25 , 즉 4x= x x xÛ`=:ª4°: ∴ x=;2%; {∵ ;4!;<x<25} 따라서 주어진 함수는 x=;2%;일 때 최댓값 1을 갖는다. ∴ a=;2%;, b=1 ∴ a+b=;2&; 답③ 0494 밑과 진수의 조건에서 2xÛ`+1>0, 2xÛ`+1+1, 7x-2>0, 7x-2+1, 2x-1>0 함수 ( f½g)(x)에서 밑 2는 2>1이므로 이 함수는 ∴ x>;2!; xÛ`-8x+80이 최소일 때 최솟값을 갖는다. log2xÛ`+1`(2x-1)=log7x-2`(2x-1)에서 이때 xÛ`-8x+80=(x-4)Û`+64는 x=4일 때 최솟값 64를 가 Ú 2xÛ`+1=7x-2일 때, yy`㉠ 04. 로그함수 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 61 061 2017-11-10 오후 4:25:23 0498 (log`x){log`;2Ó7;}=1에서 2xÛ`-7x+3=0, (2x-1)(x-3)=0 ∴ x=;2!; 또는 x=3 log`x (log`x-log`27)=1 이때 log`x=t로 놓으면 t(t-log`27)=1 이때 ㉠에 의하여 x=3 tÛ`-t`log`27-1=0 Û 2x-1=1일 때, x=1 yy ㉠ 주어진 방정식의 두 근이 a, b이므로 ㉠의 두 근은 logà, log`b x=1은 ㉠을 만족시키므로 근이다. Ú, Û에서 x=1 또는 x=3 이다. 따라서 구하는 x의 값의 합은 1+3=4 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 답4 logà+log`b=log`27, logàb=log`27 ∴ ab=27 답 27 log`xÛ` 0495 x =100xÜ`의 양변에 상용로그를 취하면 log`xlog`xÛ`=log`100xÜ` 0499 log (-xÛ`+ax-4)¾log`x+1에서 log`xÛ`´log`x=log`100+log`xÜ` log (-xÛ`+ax-4)¾log`10x 2`log`x´log`x=2+3`log`x 이때 밑이 1보다 크므로 -xÛ`+ax-4¾10x 2(log`x)Û`-3`log`x-2=0 xÛ`+(10-a)x+4É0 이때 log`x=t로 놓으면 ㉠을 만족시키는 x의 값의 범위가 ;2!;ÉxÉ8이므로 2tÛ`-3t-2=0, (2t+1)(t-2)=0 ∴ t=-;2!; 또는 t=2 {x-;2!;}(x-8)É0, xÛ`-:Á2¦:x+4É0 즉 log`x=-;2!; 또는 log`x=2이므로 이 부등식이 ㉠과 일치해야 하므로 yy ㉠ 10-a=-:Á2¦: ∴ a=:£2¦: x=10-;2!; 또는 x=10Û` 답 :£2¦: 따라서 a=10-;2!;, b=10Û` 또는 a=10Û`, b=10-;2!;이므로 logàb=log`(10-;2!;´10Û`)=log`10;2#;=;2#; 0500 부등식 (log£`x)Û`+a`log£`x+bÉ0의 해가 답④ 다른풀이 2(log`x)Û`-3`log`x-2=0 에서 log`x=t로 놓으면 2tÛ`-3t-2=0 yy`㉠ yy`㉡ ;9!;ÉxÉ27이고 밑 3이 3>1이므로 log£`;9!;Élog£`xÉlog£`27 ㉠의 두 근이 a, b이면 ㉡의 두 근은 logà, log`b이므로 이차방 즉 -2Élog£`xÉ3 정식의 근과 계수의 관계에 의하여 log£`x=t로 놓으면 -2ÉtÉ3 logà+log`b=;2#; ∴ logàb=;2#; 이때 주어진 부등식은 tÛ`+at+bÉ0 yy ㉠ 해가 -2ÉtÉ3이고 이차항의 계수가 1인 이차부등식은 (t+2)(t-3)É0, tÛ`-t-6É0 0496 logª (x+y)=2에서 x+y=4 이 부등식이 ㉠과 일치해야 하므로 a=-1, b=-6 logª`x+logª`y=1에서 logª`xy=1 ∴ xy=2 ∴ ab=6 답6 ∴ (x-y)Û`=(x+y)Û`-4xy=4Û`-4´2=8 답8 0501 진수의 조건에서 a>0 부등식 xÛ`-2(1+logªà)x+1-(logªà)Û`>0이 항상 성립하 0497 (log£`x)Û`-6`log£`'§x+2=0에서 (log£`x)Û`-3`log£`x+2=0 yy`㉠ 이때 log£`x=t로 놓으면 tÛ`-3t+2=0 yy`㉡ 려면 이차방정식 xÛ`-2(1+logªà)x+1-(logªà)Û`=0의 판 별식을 D라 할 때 D<0이어야 한다. 즉 ㉠의 두 근이 a, b이므로 ㉡의 두 근은 log£à, log£`b이다. D =(1+logªà)Û`-{1-(logªà)Û`}<0 4 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 1+2`logªà+(logªà)Û`-1+(logªà)Û`<0 log£à+log£`b=3, log£àb=3 2(logªà)Û`+2`logªà<0 ∴ ab=3Ü`=27 이때 logªà=t로 놓으면 2tÛ`+2t<0 답 27 062 yy ㉠ t(t+1)<0 ∴ -1<t<0 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 62 2017-11-10 오후 4:25:24 logª`x=;2#;에서 x=2;2#;=2'2 ∴ b=2'2 즉 -1<logªà<0이므로 logª`2ÑÚ`<logªà<logª`1 이때 밑 2가 2>1이므로 ;2!;<a<1 최솟값이 2이므로 yy ㉡㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 ;2!;<a<1 답② -;2(;+a=2에서 a=:Á2£:  ∴ aÛ`bÛ`=(ab)Û`={:Á2£:´2'2}2`=338  0502 처음 물에 섞여 있는 중금속의 양을 a라 하고, 답 338 여과기를 n번 통과한 후 남아 있는 중금속의 양이 처음 양의 2`% 이하가 된다고 하면 단계 채점요소 배점  주어진 함수를 logª`x=t로 치환하여 나타내기 30 %  함수가 최소일 때의 t의 값과 최솟값 구하기 20 % 양변에 상용로그를 취하면  a, b의 값 구하기 40 % n`log`;1¥0;Élog`;10@0;  aÛ`bÛ`의 값 구하기 10 % a{1-;1ª0¼0;}Ç`É;10@0;a, {;1¥0;}Ç`É;10@0; n(log`8-log`10)Élog`2-log`100 'a n(1-3`log`2)¾2-log`2 ∴ n‌¾ a 0505 양수 a가 'Äa-1 =-®É a-1 를 만족시키므로 2-log`2 2-0.3010 1.699 = = =17.___ 1-3`log`2 1-3_0.3010 0.097 a>0, a-1<0 ∴ 0<a<1 따라서 자연수 n의 최솟값이 18이므로 여과 장치를 최소한 18번 통과시켜야 한다.  부등식 log`x>log`4-log (x-3)의 답② 진수의 조건에서 yy ㉠ x>0, x-3>0 ∴ x>3 0503 A(k, log£`k), B(k, logª¦`k)이고 log`x>log`4-log (x-3)에서  ABÓ=log£`k-logª¦`k=2이므로 log`x+log (x-3)>log`4 log`x(x-3)>log`4  이때 밑 a가 0<a<1이므로 log£`k-log3Ü``k=2 x(x-3)<4, xÛ`-3x-4<0 log£`k-;3!;`log£`k=2, ;3@;`log£`k=2 (x+1)(x-4)<0 ∴ -1<x<4 yy ㉡㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 3<x<4 log£`k=3 ∴ k=27   답 3<x<4 답 27 단계  채점요소 점 A, B의 좌표 구하기 배점 30 %  ABÓ의 식 세우기 40 %  k의 값 구하기 30 % 단계 채점요소 배점  a의 값의 범위 구하기 40 %  a의 값의 범위를 이용하여 부등식 풀기 60 % 0506 Ú log£ |x-3|<4의 진수의 조건에서 0504 y‌=2(logª`x)Û`-log'2`xÜ`+a |x-3|>0 ∴ x+3 =2(logª`x)Û`-log2 `xÜ`+a log£ |x-3|<4에서 =2(logª`x)Û`-6`logª`x+a log£ |x-3|<log£`3Ý` ;2!; 이때 logª`x=t로 놓으면 y=2tÛ`-6t+a y=2{t-;2#;}2`-;2(;+a yy`㉠ 이때 밑 3이 3>1이므로 |x-3|<3Ý`  -81<x-3<81 ∴ -78<x<84 yy`㉡㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 따라서 t=;2#;일 때, 최솟값 -;2(;+a를 갖는다. -78<x<3 또는 3<x<84   04. 로그함수 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 63 063 2017-11-10 오후 4:25:24 Ú ‌xÛ`-1=3이면 xÛ`=4 Û logª`x+logª (x-2)¾3의 진수의 조건에서 yy`㉢ x>0, x-2>0 ∴ x>2 logª`x+logª (x-2)¾3에서 ∴ x=Ñ2 이것은 ㉠을 만족시키므로 근이다. Û ‌xÛ`-1=-3이면 xÛ`=-2 logª`x(x-2)¾logª`2Ü` 이때 밑 2가 2>1이므로 x(x-2)¾8 따라서 실근은 없다. Ú, Û에서 x=Ñ2 xÛ`-2x-8¾0, (x+2)(x-4)¾0 yy`㉣ ∴ xÉ-2 또는 x¾4 따라서 a=2, b=-2 또는 a=-2, b=2이므로 a+b=2+(-2)=0 ㉢, ㉣의 공통 범위를 구하면 x¾4 답0  Ú, Û에서 연립부등식의 해는 4Éx<84  따라서 구하는 정수 x는 4, 5, 6, y, 83의 80개이다. 단계 0509 집합 A의 부등식에서 진수의 조건에 의하여 yy ㉠ x+1>0 ∴ x>-1 채점요소  |log¢ (x+1)-1|<1에서 답 80 -1<log¢ (x+1)-1<1 배점 0<log¢ (x+1)<2  log£ |x-3|<4의 해 구하기 40 % log¢`1<log¢ (x+1)<log¢`4Û`  logª`x+logª (x-2)¾3의 해 구하기 40 % 이때 밑 4가 4>1이므로 1<x+1<16  연립부등식의 해 구하기 10 % ∴ 0<x<15  정수 x의 개수 구하기 10 % ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 0<x<15 yy ㉡ ∴ A={x|0<x<15} 집합 B의 부등식 x(x-3a)<0에서 x+1 0507 곡선 y=2 이 y축과 만나는 점은 A(0, 2) Ú ‌a>0이면 0<x<3a ∴ B={x|0<x<3a} 곡선 y=log£ (x+1)+1이 y축과 만나는 점은 B(0, 1) Û ‌a<0이면 3a<x<0 ∴ B={x|3a<x<0} 점 C의 y좌표가 2이므로 A;B=A이려면 A,B가 성립해야 2=log£ (x+1)+1에서 B A 하므로 a>0이어야 하고 오른쪽 그림 1=log£ (x+1), x+1=3 0 에서 ∴ x=2 15 3a 3a¾15 ∴ a¾5 즉 점 C의 x좌표가 2이다. ∴ C(2, 2) 따라서 a의 최솟값은 5이다. 점 D의 y좌표가 1이므로 답5 1=2x+1에서 x+1=0 ∴ x=-1 0510 A'(a, 0) (a>0)이라 하면 즉 점 D의 x좌표는 -1이다. ∴ D(-1, 1) OA'Ó=a, OB'Ó=2a, OC'Ó=3a 1 ∴ ADBC‌= (DBÓ+ACÓ)ABÓ 2 ∴ A(a, -log£à), B(2a, log£`2a), C(3a, log£`3a) 1 3 = (1+2)´1= 2 2 답① 0508 진수의 조건에서 xÛ`-2x+1=(x-1)Û`>0 xÛ`+2x+1=(x+1)Û`>0 ∴ x+-1, x+1 yy ㉠ 직선 l의 기울기는 ABÓ의 기울기, BCÓ의 기울기와 같으므로 log£`2a-(-log£à) ( ABÓ의 기울기)= 2a-a log£`3a-log£`2a ( BCÓ의 기울기)= 에서 3a-2a log£`2a+log£à log£`3a-log£`2a = a a log£`2aÛ`=log£`;2#; log (xÛ`-2x+1)+log (xÛ`+2x+1)=log`9에서 2aÛ`=;2#;, aÛ`=;4#; ∴ a= log (x-1)Û`+log (x+1)Û`=log`3Û` 따라서 점 B의 y좌표는 2`log|x-1|+2`log|x+1|=2`log`3 log£ {2´ log|(x-1)(x+1)|=log`3 즉 |(x-1)(x+1)|=3 ∴ xÛ`-1=Ñ3 064 x '3 }=log£`'3=;2!; 2 '3 (∵ a>0) 2 답 ;2!; 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_028~064_1단원_03,04강_ok.indd 64 2017-11-10 오후 4:25:25 05 Ⅱ. 삼각함수 삼각함수 답 2np+p 교과서 문제 정 복 하 기 / 0511 / 0523 5p=2p_2+p이므로 2np+p / 본문 67쪽 0524 :Á6¦:p=2p_1+;6%;p이므로 2np+;6%;p 답 2np+;6%;p 1 답 0525 -:Á3¤:p=2p_(-3)+;3@;p이므로 2np+;3@;p 0 0512 ± 답 2np+;3@;p 9 답1 0 0526 -;4#;p=2p_(-1)+;4%;p이므로 2np+;4%;p 9 ± 답 2np+;4%;p 0513 답 h=360ù_n+120ù`(n은 정수) 0514 답 h=360ù_n+230ù`(n은 정수) 0527 l=4´;4Ò;=p, S=;2!;´4Û`´;4Ò;=2p 답 l=p, S=2p 0515 500ù=360ù_1+140ù이므로 360ù_n+140ù 답 360ù_n+140ù 0516 -650ù=360ù_(-2)+70ù이므로 360ù_n+70ù 0528 36ù=36_;18Ò0;=;5Ò;이므로 l=15´;5Ò;=3p, S=;2!;´15Û`´;5Ò;=:¢2°:p 답 l=3p, S=:¢2°:p 답 360ù_n+70ù 0517 550ù=360ù_1+190ù이므로 550ù는 제 3 분면의 각이다. 답 제 3 사분면 0518 -380ù=360ù_(-2)+340ù이므로 -380ù는 제 4 사 분면의 각이다. 0529 부채꼴의 호의 길이 l=4, 넓이 S=6이므로 S=;2!;rl에서 6=;2!;´r´4 ∴ r=3 l=rh에서 4=3h ∴ h=;3$; 답 r=3, h=;3$; 답 제 4 사분면 0530 OPÓ="Ã3Û`+(-1)Û`='10이므로 p 0519 240ù=240_ 180 =;3$;p 답 ;3$;p 180ù 0520 ;4&;p=;4&;p_ p =315ù 답 315ù -1 '10 =10 '10 3 3'10 ⑵ cos`h= = 10 '10 -1 ⑶ tan`h= =-;3!; 3 ⑴ sin`h= 답⑴- '10 3'10 ⑵ ⑶ -;3!; 10 10 p 0521 -300ù=(-300)_ 180 =-;3%;p 답 -;3%;p 180ù 0522 -;3@;p={-;3@;p}_ p =-120ù 0531 오른쪽 그림과 같이 원점 O를 중 y 심으로 하고 반지름의 길이가 1인 원과 P 3 h= p를 나타내는 동경의 교점을 P, 점 4 -1 H 1 3 ;4; p O P에서 x축에 내린 수선의 발을 H라 하 답 -120ù 자. 직각삼각형 POH에서 OPÓ=1, -1 05. 삼각함수 알피엠_수Ⅰ_해설_065~077_05강_ok.indd 65 1 x 065 2017-11-10 오후 4:25:54 ∠POH= ∴ sin`h= ‌ p '2 '2 이므로 점 P의 좌표는 {- , }이다. 4 2 2 0538 ① -500ù=360ù_(-2)+220ù ② -300ù=360ù_(-1)+60ù '2 '2 , cos`h=- , tan`h=-1 2 2 답 sin`h= ③ -100ù=360ù_(-1)+260ù '2 '2 , cos`h=, tan`h=-1 2 2 ④ 400ù=360ù_1+40ù ⑤ 700ù=360ù_1+340ù 따라서 a의 값이 가장 작은 것은 ④이다. 14 0532 3 p=2p´2+;3@;p이므로 h는 제 2 사분면의 각이다. ∴ sin`h>0, cos`h<0, tan`h<0 답 sin`h>0, cos`h<0, tan`h<0 답④ 0539 ㄱ. 1680ù=360ù_4+240ù ㄴ. -240ù=360ù_(-1)+120ù ㄷ. 2040ù=360ù_5+240ù 0533 sin`h<0인 것은 제 3 사분면과 제 4 사분면이고, cos`h<0인 것은 제 2 사분면과 제 3 사분면이므로 h는 제 3 사분 ㄹ. -1920ù=360ù_(-6)+240ù 면의 각이다. ㅁ. 720ù=360ù_2 답 제 3 사분면 따라서 240ù를 나타내는 동경과 일치하는 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다. 답 ㄱ, ㄷ, ㄹ 0534 cos`h>0인 것은 제 1 사분면과 제 4 사분면이고, tan`h<0인 것은 제 2 사분면과 제 4 사분면이므로 h는 제 4 사분 0540 h가 제 3 사분면의 각이므로 면의 각이다. 360ù_n+180ù<h<360ù_n+270ù(n은 정수) 답 제 4 사분면 0535 sinÛ``h+cosÛ``h=1이고, h가 제 2 사분면의 각이므로 sin`h="1Ã-cosÛ``h`=®1É-{-;5#;}Û`=;5$; sin`h tan`h= =-;3$; cos`h 각 변을 2로 나누면 180ù_n+90ù<;2½;<180ù_n+135ù Ú n=2k (k는 정수)일 때, 180ù_2k+90ù<;2½;<180ù_2k+135ù 답 sin`h=;5$;, tan`h=-;3$; ∴ 360ù_k+90ù<;2½;<360ù_k+135ù 따라서 ;2½;는 제 2 사분면의 각이다. Û n=2k+1 (k는 정수)일 때, 0536 sin`h+cos`h=;2!;의 양변을 제곱하면 180ù_(2k+1)+90ù<;2½;<180ù_(2k+1)+135ù sinÛ``h+cosÛ``h+2`sin`h`cos`h=;4!; 360ù_k+270ù<;2½;<360ù_k+315ù 1+2`sin`h`cos`h=;4!; 따라서 ;2½; 는 제 4 사분면의 각이다. ∴ sin`h`cos`h=-;8#; 답 -;8#; Ú, Û에서 h 를 나타내는 동경이 존재할 수 있는 사분면은 제 2, 2 4 사분면이다. 답 제 2, 4 사분면 유형 익 히 기 / / 본문 68~72쪽 0541 ㄱ. 400ù=360ù_1+40ù ∴ 제 1 사분면 ㄴ. 820ù=360ù_2+100ù ∴ 제 2 사분면 0537 ① 390ù=360ù_1+30ù ㄷ. -200ù=360ù_(-1)+160ù ∴ 제 2 사분면 ② 750ù=360ù_2+30ù ㄹ. -1000ù=360ù_(-3)+80ù ∴ 제 1 사분면 ③ -330ù=360ù_(-1)+30ù 따라서 제 2 사분면의 각은 ㄴ, ㄷ이다. 답 ㄴ, ㄷ ④ -390ù=360ù_(-2)+330ù ⑤ -690ù=360ù_(-2)+30ù 따라서 동경 OP가 나타내는 각이 될 수 없는 것은 ④이다. 0542 h가 제 4 사분면의 각이므로 답④ 066 360ù_n+270ù<h<360ù_n+360ù (n은 정수) 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_065~077_05강_ok.indd 66 2017-11-10 오후 4:25:55 ∴ 120ù_n+90ù<;3½;<120ù_n+120ù 0545 각 h를 나타내는 동경과 각 4h를 나타내는 동경이 x축에 Ú n=3k (k는 정수)일 때, 대하여 대칭이므로 h+4h=360ù_n (n은 정수) 120ù_3k+90ù<;3½;<120ù_3k+120ù 5h=360ù_n ∴ h=72ù_n ∴ 360ù_k+90ù<;3½;<360ù_k+120ù ‌따라서 90ù<h<180ù에서 90ù<72ù_n<180ù이므로 h 를 나타내는 동경이 속하는 영역은 3 ;4%;<n<;2%; y 오른쪽 그림과 같다. yy`㉠ n은 정수이므로 n=2 30ù x O (단, 경계선은 제외한다.) n=2를 ㉠에 대입하면 h=144ù 답 144ù Û n=3k+1 (k는 정수)일 때, 120ù_(3k+1)+90ù<;3½;<120ù_(3k+1)+120ù 0546 각 h를 나타내는 동경과 각 6h를 나타내는 동경이 일직 ∴ 360ù_k+210ù<;3½;<360ù_k+240ù 선 위에 있고 방향이 반대이므로 ‌따라서 6h-h=360ù_n+180ù (n은 정수) h 를 나타내는 동경이 속하는 영역은 3 y 30ù 오른쪽 그림과 같다. (단, 경계선은 제외한다.) 5h=360ù_n+180ù ∴ h=72ù_n+36ù O x 0ù<h<90ù에서 0ù<72ù_n+36ù<90ù이므로 30ù -;2!;<n<;4#; Ü n=3k+2 (k는 정수)일 때, n은 정수이므로 n=0 n=0을 ㉠에 대입하면 h=36ù 120ù_(3k+2)+90ù<;3½;<120ù_(3k+2)+120ù 답 36ù ∴ 360ù_k+330ù<;3½;<360ù_k+360ù ‌따라서 p h 를 나타내는 동경이 속하는 영역은 3 Ú, Û, Ü에서 30ù h 를 나타내는 동경 3 y 30ù O 30ù 30ù 나타내면 오른쪽 그림과 같다. ② 160ù=160_ p 8 = p 180 9 ③ -144ù=-144_ 이 속하는 모든 영역을 좌표평면 위에 x O (단, 경계선은 제외한다.) (단, 경계선은 제외한다.) p 0547 ① 45ù=45_ 180 = 4 y 오른쪽 그림과 같다. yy ㉠ x p 4 =- p 180 5 ④ 5 5 180ù p= p_ =75ù 12 12 p ⑤ 9 9 180ù p= p_ =324ù 5 5 p 30ù 답⑤ 답③ p 0543 각 h를 나타내는 동경과 각 7h를 나타내는 동경이 일치 0548 ① 120ù=120_ 180 =;3@;p 하므로 ② 210ù=210_ 7h-h=360ù_n`(n은 정수) 6h=360ù_n ∴ h=60ù_n yy`㉠ 90ù<h<180ù에서 90ù<60ù_n<180ù이므로 ③ ;5#;p=;5#;p_ p =;6&;p 180 180ù =108ù p ④ :Á6Á:p=:Á6Á:p_ ;2#;<n<3 ⑤ ;1¦2;p=;1¦2;p_ n은 정수이므로 n=2 180ù =330ù p 180ù =105ù p 답④ n=2를 ㉠에 대입하면 h=120ù 답 120ù p 0549 ㄱ. 16ù=16_ 180 =;4¢5;p 0544 a+b=360ù_n+90ù (n은 정수)이므로 4 ㄴ. ‌ p=2p_(-1)+;3@;p이므로 -;3$;p는 제 2 사분면의 3 a+b의 값이 될 수 있는 것은 ④ 90ù이다. 답④ 각이다. 05. 삼각함수 알피엠_수Ⅰ_해설_065~077_05강_ok.indd 67 067 2017-11-10 오후 4:25:56 ㄷ. 2라디안=2_ 180ù 360ù = p p ㄹ. -;4% ‌ ;p=2p_(-1)+;4#;p, -;4%;p, ;4#;p, ∴ 13`sin`h-13`cos`h+12`tan`h =-5-12-5=-22 19 p=2p_2+;4#;p이므로 4 답① 19 p를 나타내는 동경은 모두 일치한다. 4 ;2#; 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다. 답 ㄱ, ㄷ, ㄹ 0550 부채꼴의 반지름의 길이를 r, 중심각의 크기를 h라 하면 호의 길이 l=6p, 넓이 S=12p이므로 S=;2!;rl에서 ;2!;´r´6p=12p 0555 점 P {a, ;2#;}에 대하여 tan`h= a =;2£a;이므로 ;2£a;=-;4#; ∴ a=-2 또한 r=®(É-2)Û`+{;2#;}Û`=;2%;이므로 a+r=-2+;2%;=;2!; ∴ r=4 답 ;2!; 따라서 l=4h에서 4h=6p이므로 h=;2#;p 답⑤ Ó ODÓ='10이므로 0556 A(-3, 1), D(3, 1)이고 OÕA= sinà= 0551 부채꼴의 호의 길이를 l이라 하면 '10 3'10 , cos`b= 이므로 10 10 sinà`cos`b=;1£0; p´3Û`=;2!;´6´l ∴ l=3p 답 ;1£0; 답 3p 5 0552 반지름의 길이가 a, 중심각의 크기가 6 p인 부채꼴의 호 의 길이가 10p이므로 0557 제 4 사분면의 점 P(a, b)가 직선 y=-'3x 위의 점이 므로 b=-'3a에서 P(a, -'3a) (단, a>0) a´;6%;p=10p ∴ a=12  ∴ OPÓ="ÃaÛ`+(-'3a)Û`=2|a|=2a (∵ a>0) 따라서 구하는 부채꼴의 넓이는 ;2!;´12´10p=60p ∴ b=60  -'3a '3 a 따라서 sin`h= =- , cos`h= =;2!;, 2a 2 2a ∴ b-a=48 답④ 0553 부채꼴의 반지름의 길이를 r라 하면 둘레의 길이가 24이 므로 호의 길이는 24-2r이다. tan`h= -'3a =-'3이므로 a  sin`h+cos`h+tan`h= 1-3'3 2 1 ∴ (부채꼴의 넓이)‌= r(24-2r) 2  답 =-rÛ`+12r =-(r-6)Û`+36 (0<r<12) 단계 따라서 r=6일 때, 부채꼴의 넓이의 최댓값 S는 36이다. 답 S=36, r=6 0554 오른쪽 그림에서 원점 O와 Z 점 P(12, -5)를 지나는 동경 OP 가 나타내는 각의 크기를 h라 할 때, OPÓ="Ã12Û`+(-5)Û`=13 이므로 sin`h=- 068 5 12 5 , cos`h= , tan`h=13 13 12 0 D 채점요소 1-3'3 2 배점  점 P의 좌표를 a를 사용하여 나타내기 20 %  OPÓ의 길이 구하기 30 %  sin`h, cos`h, tan`h의 값 구하기 40 %  sin`h+cos`h+tan`h의 값 구하기 10 % Y 1 0558 Ú sin`h`cos`h>0에서 sin`h와 cos`h의 부호가 서로 같으므로 h는 제 1 사분면 또는 제 3 사분면의 각이다. Û cos`h`tan`h>0에서 ‌ cos`h와 tan`h의 부호가 서로 같으므로 h는 제 1 사분면 또는 제 2 사분면의 각이다. 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_065~077_05강_ok.indd 68 2017-11-10 오후 4:25:57 ∴ "Ã ‌ (cos`h-tan`h)Û`-"Ã(sin`h+tan`h)Û` Ú, Û에서 h는 제 1 사분면의 각이다. 답① =|cos`h-tan`h|-|sin`h+tan`h| =(cos`h-tan`h)+(sin`h+tan`h) 0559 tan`h<0에서 h는 제 2 사분면 또는 제 4 사분면의 각이고 =sin`h+cos`h 답 ⑴ -sin`h ⑵ sin`h+cos`h cos`h>0에서 h는 제 1 사분면 또는 제 4 사분면의 각이다. 따라서 주어진 조건을 동시에 만족시키는 h는 제 4 사분면의 각이 므로 h의 크기가 될 수 있는 것은 ⑤ 0564 sin`h`tan`h>0에서 5 p이다. 3 sin`h>0, tan`h>0 또는 sin`h<0, tan`h<0 답⑤ 이므로 h는 제 1 사분면 또는 제 4 사분면의 각이다. 또 cos`h`tan`h<0에서 cos`h>0, tan`h<0 또는 cos`h<0, tan`h>0 0560 h가 제 3 사분면의 각이므로 sin`h<0, cos`h<0, tan`h>0 이므로 h는 제 3 사분면 또는 제 4 사분면의 각이다. ① sin`h`tan`h<0 즉 h는 제 4 사분면의 각이므로 2np+;2#;p<h<2np+2p (n은 정수) ② sin`h`cos`h>0 ③ cos`h`tan`h<0 ∴ np+;4#;p<;2½;<np+p ④ sin`h`cos`h`tan`h>0 ⑤ Ú n=2k(k는 정수)일 때, sin`h <0 tan`h h h 2kp+;4#;p< <2kp+p이므로 는 제 2 사분면의 각이다. 2 2 따라서 옳은 것은 ②이다. 답② 0561 sin`h`cos`h<0에서 Û n=2k+1(k는 정수)일 때, h h 2kp+;4&;p< <2kp+2p이므로 는 제 4 사분면의 각이다. 2 2 Ú, Û에서 sin`h>0, cos`h<0 또는 sin`h<0, cos`h>0 h 를 나타내는 동경이 존재할 수 있는 사분면은 제 2, 2 4 사분면이다. 이므로 h는 제 2 사분면 또는 제 4 사분면의 각이다. 답 제 2, 4 사분면 따라서 항상 옳은 것은 ② tan`h<0이다. 답② 0565 (주어진 식) sin`h cos`h -1 (cos`h+sin`h)(cos`h-sin`h) = + sin`h (sin`h+cos`h)Û` cos`h +1 cos`h-sin`h sin`h-cos`h = + =0 sin`h+cos`h sin`h+cos`h 'Äcos`h cos`h 0562 sin`h`cos`h+0이고 'Äsin`h =-¾¨ sin`h 이므로 sin`h<0, cos`h>0 즉 h는 제 4 사분면의 각이므로 ;2#;p<h<2p 답① 따라서 a=;2#;, b=2이므로 a+b=;2&; 답⑤ 0563 ⑴ h가 제 3 사분면의 각이므로 sin`h<0, cos`h<0, tan`h>0 ∴ "ÃsinÛ``h+"ÃcosÛ``h+cos`h-tan`h+|tan`h| =|sin`h|+|cos`h|+cos`h-tan`h+|tan`h| =-sin`h-cos`h+cos`h-tan`h+tan`h =-sin`h ⑵ h가 제 4 사분면의 각이므로 sin`h<0, cos`h>0, tan`h<0 ∴ cos`h-tan`h>0, sin`h+tan`h<0 sinÛ``h 0566 ⑴ (주어진 식)‌= sinÛ```h +sinÛ``h cosÛ``h =cosÛ``h+sinÛ``h=1 ⑵ (주어진 식) ={1+ 1 1 1 1 }{1}{1+ }{1} sin`h sin`h cos`h cos`h 1 1 }{1} sinÛ``h cosÛ``h sinÛ``h-1 cosÛ``h-1 = ´ sinÛ``h cosÛ``h -cosÛ``h -sinÛ``h = ´ sinÛ``h cosÛ``h =1 ={1- 05. 삼각함수 알피엠_수Ⅰ_해설_065~077_05강_ok.indd 69 069 2017-11-10 오후 4:25:58 ⑶ (주어진 식) ={sinÛ``h+2+ ⑵ 1 1 }+{cosÛ``h+2+ } sinÛ``h cosÛ``h 1 } tanÛ``h 1 1 1 =sinÛ``h+cosÛ``h+ + -tanÛ``h+2 sinÛ``h cosÛ``h tanÛ``h 1 1 sinÛ``h cosÛ``h =1+ + +2 sinÛ``h cosÛ``h cosÛ``h sinÛ``h 1-cosÛ``h 1-sinÛ``h =1+ + +2 sinÛ``h cosÛ``h sinÛ``h cosÛ``h =1+ + +2 sinÛ``h cosÛ``h =1+1+1+2=5 -{tanÛ``h+2+ 답⑴1 ⑵1 ⑶5 0567 '1Ä-2`sin`h`cos`h-'1Ä+2`sin`h`cos`h ="ÃsinÛ``h-2`sin`h`cos`h+cosÛ``h 1 1 1-cos`h+1+cos`h + ‌= 1+cos`h 1-cos`h (1+cos`h)(1-cos`h) = 2 2 = 1-cosÛ``h sinÛ``h 2 =;3*;이므로 sinÛ``h=;4#; sinÛ``h sinÛ``h+cosÛ``h=1에서 즉 3 cosÛ``h=1-sinÛ``h=1- =;4!; 4 이때 p <h<p이므로 sin`h>0, cos`h<0 2 ∴ sin`h= '3 , cos`h=-;2!; 2 '3 2 sin`h tan`h= = =-'3 cos`h 1 2 1 13 ∴ tanÛ ‌ ``h+ =(-'3)Û`+;3$;= 3 sinÛ``h 답⑴ -"ÃsinÛ``h+2`sin`h`cos`h+cosÛ``h 9'2 13 ⑵ 4 3 ="(Ãsin`h-cos`h)Û`-"(Ãsin`h+cos`h)Û` =|sin`h-cos`h|-|sin`h+cos`h| 0570 sinÛ``h+cosÛ``h=1의 양변을 cosÛ``h로 나누면 =(sin`h-cos`h)-(sin`h+cos`h) 1 이므로 cosÛ``h 1 13 9 ={-;3@;}Û`+1= ∴ cosÛ``h= 9 13 cosÛ``h tanÛ``h+1= =-2`cos`h 답② sinÛ``h+cosÛ``h=1에서 0568 sinÛ``h+cosÛ``h=1에서 sinÛ``h=1-cosÛ``h=1- 4 9 sinÛ``h=1-cosÛ``h=1-{- }Û`= 5 25 이때 h가 제 2 사분면의 각이므로 sin`h>0, cos`h<0 이때 h가 제 3 사분면의 각이므로 sin`h<0 ∴ sin`h=- tan`h= 2 3 , cos`h='13 '13 4 13 -;1»3; sinÛ``h-cosÛ``h ∴ ‌= 1+cos`h`sin`h 3 2 1+{}´ '13 '13 ∴ sin`h= 3 5 sin`h = cos`h -;5#; -;5$; = 3 4 ∴ 5`sin`h+8`tan`h‌ =5´{-;5#;}+8´ 9 4 = 13 13 3 4 = =3 -;1°3; 1-;1¤3; =-;7%; 답 -;7%; 답④ 0569 ⑴ cosÛ``h=1-sinÛ``h=1-{-;3!;}Û`=;9*; 이때 p<h<;2#;p이므로 cos`h<0 ∴ cos`h=- 2'2 3 070 1+tan`h=(2-'3)(1-tan`h) (3-'3)tan`h=1-'3 1-'3 '3 =3 3-'3 이때 sinÛ``h+cosÛ``h=1의 양변을 cosÛ``h로 나누면 ∴ tan`h= 1 3 1 '2 = = 4 2'2 2'2 3 1 '2 9'2 ∴ tan`h+ = +2'2= tan`h 4 4 sin`h tan`h= = cos`h 1+tan`h 0571 1-tan`h =2-'3에서 - 1 이므로 cosÛ``h 1 '3 Û ={}`+1=;3$; ∴ cosÛ``h=;4#; 3 cosÛ``h tanÛ``h+1= 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_065~077_05강_ok.indd 70 2017-11-10 오후 4:25:59 1 sinÛ``h+cosÛ``h=1에서 3 sinÛ``h=1-cosÛ``h=1- =;4!; 4 이때 sin`h p <h<p이므로 sin`h>0, cos`h<0 2 즉 sin`h=;2!;, cos`h=∴ sin`h`cos`h=;2!;´{- cos`h 0574 tan`h+ tan`h = cos`h + sin`h '3 2 = sinÛ``h+cosÛ``h sin`h`cos`h = 1 =3 sin`h`cos`h 따라서 sin`h`cos`h=;3!;이므로 '3 '3 }=2 4 답- '3 4 1 5 (sin`h+cos`h)Û`=1+2`sin`h`cos`h=1+2´ = 3 3 이때 0<h< p 이므로 sin`h>0, cos`h>0 2 즉 sin`h+cos`h>0이므로 sin`h+cos`h=¾ ;3%;= '15 3 답 유형 '15 3 본문 73쪽 0575 sin`h+cos`h=-;2!;의 양변을 제곱하면 0572 sin`h+cos`h=;2!;의 양변을 제곱하면 sinÛ``h+cosÛ``h+2`sin`h`cos`h=;4!; 1+2`sin`h`cos`h=;4!; ∴ sin`h`cos`h=-;8#; ∴ sin`h`cos`h=-;8#; ∴ tanÛ``h+ 이때 (sin`h-cos`h)Û`‌=sinÛ``h+cosÛ``h-2`sin`h`cos`h =1-2´{-;8#;}= 7 4 한편, h는 제 2 사분면의 각이므로 sin`h>0, cos`h<0, 즉 sin`h-cos`h>0 ∴ sin`h-cos`h= '7 2 1 sinÛ``h cosÛ``h sinÝ``h+cosÝ``h = + = tanÛ``h cosÛ``h sinÛ``h sinÛ``h`cosÛ``h (sinÛ``h+cosÛ``h)Û`-2`sinÛ``h`cosÛ``h = (sin`h`cos`h)Û` 1 = -2 (sin`h`cos`h)Û` 1 = -2 {-;8#;}Û` = 64 46 -2= 9 9 ∴ sinÛ``h-cosÛ``h‌ =(sin`h+cos`h)(sin`h-cos`h) =;2!;_ 답 '7 '7 = 2 4 답② 0573 (sin`h-cos`h)Û`‌=sinÛ``h+cosÛ``h-2`sin`h`cos`h 0576 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 sin`h+cos`h=-;5#; yy ㉠ sin`h`cos`h=;5K; yy ㉡㉠의 양변을 제곱하면 1 =1-2´{- }=;4%; 8 sinÛ``h+cosÛ``h+2`sin`h`cos`h=;2»5; 이때 ;2Ò;<h<p이므로 sin`h>0, cos`h<0 즉 sin`h-cos`h>0이므로 1+2`sin`h`cos`h=;2»5; sin`h-cos`h= ∴ sin`h`cos`h=-;2¥5; '5 2 =(sin`h-cos`h)(sinÛ```h+sin`h``cos`h+cosÛ```h) '5 ´{1-;8!;} 2 = 7'5 16 yy ㉢㉡, ㉢에서 ;5K;=-;2¥5; ∴ k=-;5*; ∴ sinÜ``h-cosÜ``h = 답 -;5*; 0577 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 답 7'5 16 (sin`h+cos`h)+(sin`h-cos`h)=1 yy ㉠ (sin`h+cos`h)(sin`h-cos`h)=a yy ㉡ 05. 삼각함수 알피엠_수Ⅰ_해설_065~077_05강_ok.indd 71 46 9 071 2017-11-10 오후 4:26:00 ㉠에서 2`sin`h=1 ∴ sin`h=;2!; 따라서 tan`h, ㉡에서 좌변을 간단히 하면 1 을 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 1인 이차방 tan`h 정식은 xÛ`+2x+1=0 (sin`h+cos`h)(sin`h-cos`h)‌=sinÛ``h-cosÛ``h  =sinÛ``h-(1-sinÛ``h) 답 xÛ`+2x+1=0 =2`sinÛ``h-1 단계 1 =2´{ }Û`-1 2 =- 1 2 ∴ a=-;2!; 채점요소  sin`h+cos`h, sin`h`cos`h의 값 구하기  tan`h´  조건을 만족하는 이차방정식 구하기 배점 30 % 1 1 , tan`h+ 의 값 구하기 tan`h tan`h 50 % 20 % 답① 0578 sin`h+cos`h=-;5!;의 양변을 제곱하면 시험에 1+2`sin`h`cos`h=;2Á5; ∴ sin`h`cos`h=-;2!5@; yy ㉠ 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 1 a tan`h+ = tan`h 12 tan`h´ 1 b = tan`h 12 꼭 나오는 문제 본문 74~77쪽 0580 ① -300ù=360ù_(-1)+60ù ② 60ù ③ 120ù yy ㉡ yy ㉢ ④ 420ù=360ù_1+60ù ⑤ 780ù=360ù_2+60ù 따라서 같은 위치의 동경을 나타내는 것이 아닌 것은 ③이다. ㉡에서 좌변을 간단히 하면 답③ 1 sin`h cos`h tan`h+ = + tan`h cos`h sin`h = = sinÛ``h+cosÛ``h sin`h`cos`h 0581 ① 950ù=360ù_2+230ù ∴ 제 3 사분면 ② -500ù=360ù_(-2)+220ù ∴ 제 3 사분면 1 sin`h`cos`h ③ -;6%;p=2p_(-1)+;6&;p ∴ 제 3 사분면 a ㉠, ㉡에서 -;1@2%;=- 이므로 a=25 12 ④ ;3$;p는 제 3 사분면 b ㉢에서 1= ∴ b=12 12 ⑤ :Á4Á:p=2p+;4#;p ∴ 제 2 사분면 ∴ a+b=25+12=37 답⑤ 답 37 0579 이차방정식 2xÛ`-1=0의 두 근이 sin`h, cos`h이므로 근과 계수의 관계에 의하여 Ú n=3k ‌ (k는 정수)일 때,  1 이때 tan`h´ =1이고 tan`h sinÛ``h+cosÛ``h sin`h`cos`h = 1 =-2 sin`h`cos`h Û n=3k+1 ‌ (k는 정수)일 때, 360ù_k+150ù<h<360ù_k+180ù 따라서 h는 제 2 사분면의 각이다. Ü n=3k+2 ‌ (k는 정수)일 때, 360ù_k+270ù<h<360ù_k+300ù  072 360ù_k+30ù<h<360ù_k+60ù 따라서 h는 제 1 사분면의 각이다. 1 sin`h cos`h ‌= + tan`h cos`h sin`h = 360ù_n+90ù<3h<360ù_n+180ù (n은 정수) 120ù_n+30ù<h<120ù_n+60ù sin`h+cos`h=0, sin`h`cos`h=-;2!; tan`h+ 0582 3h가 제 2 사분면의 각이므로 따라서 h는 제 4 사분면의 각이다. 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_065~077_05강_ok.indd 72 2017-11-10 오후 4:26:01 Ú, Û, Ü에서 h를 나타내는 동경이 존재할 수 없는 사분면은 제 3 사분면이다. 답 제 3 사분면 0583 각 h를 나타내는 동경과 각 5h를 나타내는 동경이 y축에 0586 OPÓ="(Ã-1)Û`+('3)Û`=2이므로 sin`h= '3 , cos`h=-;2!;, tan`h=-'3 2 '3 -;2!; 2 sin`h+cos`h '3-3 ∴ = = tan`h 6 -'3 대하여 대칭이므로 답 h+5h=2np+p (n은 정수) ∴ h= n p+;6Ò; 3 0587 오른쪽 그림과 같이 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 13인 이때 0<h<p이므로 h=;6Ò;, ;2Ò;, ;6%;p yy`㉠ P y 13 원이 직선 12x+5y=0, 즉 12 x와 만나는 점 중 제 2 사분 5 또 각 h를 나타내는 동경과 각 2h를 나타내는 동경이 직선 y=x y=- 에 대하여 대칭이므로 면 위의 점을 P라 하면 h+2h=2np+;2Ò; (n은 정수) P(-5, 12) -13 -5 O 12 h 13 x -13 OPÓ=13이므로 ∴ h=:ª3÷:p+;6Ò; sin`h=;1!3@;, cos`h=-;1°3; 이때 0<h<p이므로 h=;6Ò;, ;6%;p y=-:Á5ª:x '3-3 6 yy`㉡ ∴ sin`h+cos`h=;1¦3; 답 ;1¦3; ㉠, ㉡을 동시에 만족시키는 h의 값은 h=;6Ò;, ;6%;p 0588 ;2Ò;<h<p이므로 sin`h>0, cos`h<0 따라서 모든 h의 값의 합은 즉 sin`h-cos`h>0 ;6Ò;+;6%;p=p 답p ∴ "Ã ‌ sinÛ``h-"ÃcosÛ``h+|sin`h-cos`h| =|sin`h|-|cos`h|+|sin`h-cos`h| =sin`h+cos`h+sin`h-cos`h 0584 부채꼴의 반지름의 길이를 r라 하면 =2`sin`h 호의 길이가 ;3@;r이고 둘레의 길이가 24이므로 답⑤ r+r+;3@;r=24, ;3*;r=24 ∴ r=9 0589 ;3$;p<h<;2#;p이므로 h는 제 3 사분면의 각이다. 따라서 부채꼴의 넓이는 ∴ sin`h<0, cos`h<0, sin`h+cos`h<0 ;2!;_9Û`_;3@;=27 답④ 즉 sin`h-;2!;<0, cos`h-;2!;<0 ∴ (주어진 식) 0585 둘레의 길이가 12`cm인 부채꼴의 반지름의 길이를 r`cm, 호의 길이를 l`cm라 하면 2r+l=12, 즉 l=12-2r yy ㉠ 또한 부채꼴의 넓이를 S`cmÛ`라 하면 S=;2!;rl yy ㉡ =|sin`h-;2!;|+|cos`h-;2!;|-|sin`h+cos`h| =-{sin`h-;2!;}-{cos`h-;2!;}+(sin`h+cos`h) =-sin`h+;2!;-cos`h+;2!;+sin`h+cos`h =1 답1 ㉠을 ㉡에 대입하면 S=;2!;r(12-2r)=-rÛ`+6r=-(r-3)Û`+9 'Äcos`h cos`h 0590 cos`h`tan`h+0이고 'Ätan`h =-¾¨ tan`h 이므로 따라서 r=3일 때, 부채꼴의 넓이는 최대이다. 이때 부채꼴의 호의 길이는 cos`h>0, tan`h<0 12-2´3=6(cm) 즉 h는 제 4 사분면의 각이므로 답 6`cm sin`h<0, sin`h-cos`h<0 05. 삼각함수 알피엠_수Ⅰ_해설_065~077_05강_ok.indd 73 073 2017-11-10 오후 4:26:02 ∴ (주어진 ‌ 식) ∴ sin`h=- =|sin`h-cos`h|-|sin`h|+|cos`h|+cos`h '3 '6 , cos`h=(∵ ㉠) 3 3 ∴ sin`h+cos`h=- =-(sin`h-cos`h)+sin`h+cos`h+cos`h =-sin`h+cos`h+sin`h+cos`h+cos`h '3+'6 3 답- =3`cos`h 답 3`cos`h 1 '3+'6 3 1-cos`h+1+cos`h 1 0594 1+cos`h + 1-cos`h ‌= (1+cos`h)(1-cos`h) 0591 'Äcos`h`'Ätan`h=-'Äcos`h`tan`h이고 cos`h`tan`h+0 = 이므로 cos`h<0, tan`h<0 2 2 = 1-cosÛ``h sinÛ``h 2 =5이므로 sinÛ``h=;5@; sinÛ``h 즉 h는 제 2 사분면의 각이므로 즉 sin`h>0, cos`h+tan`h<0, sin`h-tan`h>0 ∴ cosÛ``h=1-sinÛ``h=1-;5@;=;5#; ∴ (주어진 식) 이때 h가 제 2 사분면의 각이므로 sin`h>0, cos`h<0 =|tan`h|`cos`h+|cos`h|-|cos`h+tan`h| -|sin`h-tan`h| =-tan`h`cos`h-cos`h+(cos`h+tan`h)-(sin`h-tan`h) sin`h =ćos`h-cos`h+cos`h+tan`h-sin`h+tan`h cos`h =-2`sin`h+2`tan`h 따라서 sin`h= tan`h= '10 '15 , cos`h=이고 5 5 sin`h '6 =cos`h 3 ∴ '15`cos`h+3`tanÛ``h=-3+2=-1 답 -1 답 -2`sin`h+2`tan`h 0595 ㈎ (1-tanÝ``h)cosÛ``h+tanÛ``h sinÝ``h sinÛ``h }cosÛ``h+ cosÝ``h cosÛ``h sinÝ``h sinÛ``h =cosÛ``h+ cosÛ``h cosÛ``h cosÝ``h-sinÝ``h+sinÛ``h = cosÛ``h (cosÛ``h-sinÛ``h)(cosÛ``h+sinÛ``h)+sinÛ``h = cosÛ``h cosÛ``h-sinÛ``h+sinÛ``h cosÛ``h = = =1 cosÛ``h cosÛ``h ∴ a=1 ={1- sinÛ``h -sinÛ``h cosÛ``h sinÛ``h(1-cosÛ``h) = cosÛ``h =tanÛ``h`sinÛ``h 0592 ① tanÛ``h-sinÛ``h‌= ② 1 1 2 2 + = = 1+sin`h 1-sin`h 1-sinÛ``h cosÛ``h ③ tan`h 1 sin`h 1 1 sin`h+1 + ‌= ´ + = cos`h cosÛ``h cos`h cos`h cosÛ``h cosÛ``h sin`h+1 1+sin`h = 1-sinÛ``h (1-sin`h)(1+sin`h) 1 = 1-sin`h = 1-sinÛ``h cosÛ``h sinÛ``h ´tanÛ``h= ´ =1 1-cosÛ``h sinÛ``h cosÛ``h tanÛ``h(1+cos`h+1-cos`h) tanÛ``h tanÛ``h ⑤ + ‌= 1-cos`h 1+cos`h 1-cosÛ``h ㈏ ④ 2`tanÛ``h 2 sinÛ``h = ´ sinÛ``h sinÛ``h cosÛ``h 2 = cosÛ``h 1 (1-sinÛ``h)(1-cosÛ``h)(1+tanÛ``h) sinÛ``h 1 1 = ćosÛ``h´sinÛ``h´ =1 sinÛ``h cosÛ``h ∴ b=1 ∴ a+b=2 답2 = 1 0596 1+tanÛ``h= cosÛ``h 이므로 답⑤ 0593 '2`sin`h-cos`h=0에서 cos`h='2`sin`h (주어진 식) ={(1+tanÛ``1ù)+(1+tanÛ``2ù)+y+(1+tanÛ``55ù)} -(tanÛ``1ù+tanÛ``2ù+y+tanÛ``55ù) yy ㉠ =(1+tanÛ``1ù-tanÛ``1ù)+(1+tanÛ``2ù-tanÛ``2ù) sinÛ``h+cosÛ``h=1에 ㉠을 대입하면 sinÛ``h+2`sinÛ``h=1 ∴ sinÛ``h=;3!; =1+1+y+1=55 074 ( \ { \ 9 이때 p<h<;2#;p이므로 sin`h<0 +y+(1+tanÛ``55ù-tanÛ``55ù) 55개 답 55 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_065~077_05강_ok.indd 74 2017-11-10 오후 4:26:04 0597 sin`h-cos`h='2의 양변을 제곱하면 0600 주어진 이차방정식의 두 근을 a, b라 하면 근과 계수의 sinÛ``h+cosÛ``h-2`sin`h`cos`h=2 관계에 의하여 1-2`sin`h`cos`h=2 ∴ sin`h`cos`h=-;2!; a+b=-2+2`cos`h, ab=-sinÛ``h ∴ 이때 |a-b|=2이므로 1 1 sin`h-cos`h ‌= cos`h sin`h sin`h`cos`h = '2 -;2!; |a-b|Û`=(a+b)Û`-4ab =(-2+2`cos`h)Û`-4(-sinÛ``h) =-2'2 =4-8`cos`h+4`cosÛ``h+4`sinÛ``h =8-8`cos`h 답② 0598 sinÝ``h-cosÝ``h=(sinÛ``h+cosÛ``h)(sinÛ``h-cosÛ``h) =(sin`h+cos`h)(sin`h-cos`h) =4 ∴ cos`h=;2!; 이때 0ÉhÉp이므로 h=;3Ò; 이므로 답③ '7 '7 = (sin`h-cos`h) ∴ sin`h-cos`h=;2!; 4 2 sin`h+cos`h= '7 의 양변을 제곱하면 2 sinÛ``h+cosÛ``h+2`sin`h`cos`h= 0601 계수가 유리수인 이차방정식의 한 근이 2+'3이므로 다 7 4 른 한 근은 2-'3이다. 7 1+2`sin`h`cos`h= ∴ sin`h`cos`h=;8#; 4 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 tan`h+ ∴ sinÜ``h-cosÜ``h 1 =(2+'3)+(2-'3)=4 tan`h =(sin`h-cos`h)(sinÛ``h+sin`h`cos`h+cosÛ``h) 따라서 =;2!;{1+;8#;}=;1!6!; sin`h cos`h sinÛ``h+cosÛ``h + = cos`h sin`h sin`h`cos`h 답② 0599 조건 ㈎에서 sin`h>0, cos`h<0 = 1 sin`h`cos`h =4 yy ㉠ 이므로 sin`h`cos`h=;4!; 답 ;4!; 조건 ㈏에서 (sin`h+cos`h)Û`=;3!; sinÛ``h+cosÛ``h+2`sin`h`cos`h=;3!; 1+2`sin`h`cos`h=;3!; ∴ sin`h`cos`h=-;3!; 0602 각 h를 나타내는 동경과 각 5h를 나타내는 동경이 일치 이때 하므로 (sin`h-cos`h)Û`‌=sinÛ``h+cosÛ``h-2`sin`h`cos`h 5h-h=2np (n은 정수) =1-2`sin`h`cos`h 4h=2np 1 =1-2´{- }=;3%; 3 ∴ h=;2N;p ㉠에서 sin`h-cos`h>0이므로  '5 sin`h-cos`h= '3 ∴ sinÜ``h-cosÜ``h p<h<2p에서 p<;2N;p<2p이므로 =(sin`h-cos`h)Ü`+3`sin`h`cos`h`(sin`h-cos`h) '5 Ü '5 ={ }`+3´{-;3!;}´{ } '3 '3 5'5 '5 2'5 2'15 = = = 9 3'3 '3 3'3 yy ㉠ 2<n<4 이때 n은 정수이므로 n=3  n=3을 ㉠에 대입하면 2'15 답 9 h=;2#;p  05. 삼각함수 알피엠_수Ⅰ_해설_065~077_05강_ok.indd 75 075 2017-11-10 오후 4:26:05 3 ∴ cos`(h-p)‌=cos`{ p-p} 2 p =cos` =0 2 ∴ sin`h+cos`h+tan`h‌= = '10 3'10 + +;3!; 10 10 2'10 +;3!; 5   답0 단계 채점요소 답 2'10 +;3!; 5 배점  동경이 일치할 조건 알기 30 %  n의 값 구하기 30 %  h의 값 구하기 20 %  cos`(h-p)의 값 구하기 20 % 단계 채점요소 배점  직선의 기울기를 이용하여 tan`h의 값 구하기 40 %  sin`h, cos`h의 값 구하기 40 %  주어진 식의 값 구하기 20 % 0603 부채꼴의 중심각의 크기를 h, 반지름의 길이를 r, 호의 0605 2xÛ`+ax+1=0의 두 근이 sin`h, cos`h이므로 이차방 길이를 l, 넓이를 S라 하면 정식의 근과 계수의 관계에 의하여 2r+l=16이므로 sin`h+cos`h=-;2A;, sin`h`cos`h=;2!; S=;2!; rl=;2!; r(16-2r)=-rÛ`+8r  sin`h+cos`h=-;2A;의 양변을 제곱하면 S¾12이므로 -rÛ`+8r¾12 1+2`sin`h`cos`h= rÛ`-8r+12É0, (r-2)(r-6)É0 1+2´;2!;= ∴ 2ÉrÉ6  그런데 h=;rL;= 16-2r =:Ár¤:-2이므로 r 2ÉrÉ6에서 r=2일 때, h의 최댓값은 6이다.  답6 단계 채점요소 aÛ` , aÛ`=8 4 이때 a>0이므로 a=2'2  h ∴ sin`h+cos`h=-'2 6 16 h= r -2 2 3 O -2 aÛ` 4 2 또한 2xÛ`+bx+c=0의 두 근이 r 6 1 1 , 이므로 이차방정 sin`h cos`h 식의 근과 계수의 관계에 의하여 1 1 sin`h+cos`h + = sin`h cos`h sin`h`cos`h 배점  넓이를 반지름의 길이에 대한 식으로 나타내기 30 %  반지름의 길이의 범위 구하기 30 %  중심각의 크기의 최댓값 구하기 40 % = -'2 ;2!; =-2'2=-;2B; ∴ b=4'2  1 0604 직선 x-3y+3=0, 즉 y= 3 x+1의 기울기는 ;3!;이므 로 tan`h= 1 3  1 1 1 ´ ‌= sin`h cos`h sin`h`cos`h 1 = =2=;2C; ;2!; ∴ c=4  1 이므로 cosÛ``h 1 1+{;3!;}Û`= , cosÛ``h=;1»0; cosÛ``h 1 sinÛ``h=1-cosÛ``h=1-;1»0;= 10 1+tanÛ``h= ∴ abc=2'2´4'2´4=64  답 64 단계 채점요소 배점 이때 0<h<;2Ò;이므로 cos`h>0, sin`h>0  a의 값 구하기 30 %  b의 값 구하기 30 % ∴ cos`h=  c의 값 구하기 30 %  abc의 값 구하기 10 % 3'10 '10 , sin`h= 10 10  076 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_065~077_05강_ok.indd 76 2017-11-10 오후 4:26:06 0606 360ù_n+(-1)Ç` _90ù_n에서 0608 이차방정식 xÛ`-ax+a=0의 두 실근이 sin`h, cos`h이 동경 OPÁ이 나타내는 각은 360ù-90ù, 므로 근과 계수의 관계에 의하여 동경 OPª가 나타내는 각은 360ù´2+180ù, sin`h+cos`h=a, sin`h`cos`h=a 동경 OP£이 나타내는 각은 360ù´3-270ù, sinÛ``h+cosÛ``h=(sin`h+cos`h)Û`-2`sin`h`cos`h 동경 OP¢가 나타내는 각은 360ù´4+360ù, =aÛ`-2a=1 동경 OP°가 나타내는 각은 360ù´5-450ù=360ù´4-90ù, aÛ`-2a-1=0에서 a=1-'2 (∵ |a|É'2) ∴ sinÜ``h+cosÜ``h ⋮ 즉 동경 OPÁ과 OP°의 위치가 같으므로 동경 OPÇ과 동경 OPÇ*¢ =(sin`h+cos`h)(sinÛ``h-sin`h`cos`h+cosÛ``h) 의 위치가 같다. =(sin`h+cos`h)(1-sin`h`cos`h) 따라서 동경 OPª, OP£, y, OPÁ¼¼ 중에서 동경 OPÁ과 같은 위 =a(1-a)=(1-'2)´'2 치에 있는 동경은 ='2-2 OP°, OP», OPÁ£, y, OP»¦의 24개 답 24 ∴ 1 1 -2-'2 = = 2 sinÜ``h+cosÜ``h '2-2 답⑤ 0607 f(n)=sinÇ``h+cosÇ``h에서 f(4)‌=sinÝ``h+cosÝ``h =(sinÛ``h+cosÛ``h)Û`-2`sinÛ``h`cosÛ``h 2 0609 OPÓ=x라 하면 120ù= 3 p이므로 와이퍼의 블레이드로 =1-2`sinÛ``h`cosÛ``h 닦은 부분의 넓이는 ∴ sinÛ``h`cosÛ``h=;2!;{1-f(4)} ;2!;´70Û`´;3@;p-;2!;´xÛ`´;3@;p=;3!;p(4900-xÛ`) f(6)‌=sinß``h+cosß``h =(sinÛ``h+cosÛ``h)(sinÝ``h-sinÛ``h`cosÛ``h+cosÝ``h) =(sinÛ``h+cosÛ``h)(1-3`sinÛ``h`cosÛ``h) =1-3`sinÛ``h`cosÛ``h 이때 와이퍼의 블레이드로 닦은 부분의 넓이가 1500p이므로 ;3!;p(4900-xÛ`)=1500p, 4900-xÛ`=4500 xÛ`=400 ∴ x=20 (∵ x>0) 3 =1- {1-f(4)} 2 즉 PQÓ=70-20=50 또 PCÓ : QCÓ=3 : 2이므로 PCÓ=50´;5#;=30 3 = `f(4)-;2!; 2 따라서 와이퍼의 암 OC의 길이는 ∴ 4 f(6)+2=4[;2#;`f(4)-;2!;]+2=6 f(4) OCÓ=OPÓ+PCÓ=20+30=50 답③ 답 50 05. 삼각함수 알피엠_수Ⅰ_해설_065~077_05강_ok.indd 77 077 2017-11-10 오후 4:26:07 06 Ⅱ. 삼각함수 삼각함수의 그래프 0615 y=;2!;`cos`x의 그래프는 y=cos`x의 그래프를 y축의 방향 으로 교과서 문제 정 복 하 기 / / / -p 1 배 한 것이므로 오른쪽 그 2 p O 1 -1 - 2 림과 같다. 본문 79쪽 답1 y=sin`x의 그래프를 y축의 방향 으로 2배 한 것이므로 오른쪽 그림 y=2 sin x O p -1 -p 과 같다. -2 따라서 치역은 {y|-2ÉyÉ2}, 2p x 0616 y=3`cos`{x-;4Ò;}의 그래 Z L ZDPTA[Y] 프는 y=cos`x의 그래프를 y축의 방향으로 3배 한 후 x축의 방향으 0 L p 로 만큼 평행이동한 것이므로 오 4 L ZDPTY 따라서 치역은 {y|-3ÉyÉ3}, 주기는 2p이다. 답 풀이 참조 답 풀이 참조 0612 y=sin`2x의 그래프는 0617 y=2`cos`x+1의 그래프 y 1 y=sin`x의 그래프를 x축의 방향 1 으로 배 한 것이므로 오른쪽 그 2 y=sin 2x - y 3 는 y=cos`x의 그래프를 y축의 방 p Op 2 림과 같다. 2p x p -1 3 p y=sin x 2 2 향으로 2배 한 후 y축의 방향으로 -p 1만큼 평행이동한 것이므로 오른 y=2 cos x+1 1 p O -1 따라서 치역은 {y|-1ÉyÉ3}, 주기는 2p이다. 2p =p이다. 2 답 풀이 참조 답 풀이 참조 0613 y=sin`{x-;2Ò;}의 그래프 p 만큼 평행이동한 것이므 2 L L 0 L 로 오른쪽 그림과 같다. L L p p 0618 y=2`cos`{2x+ 2 }=2`cos`2{x+ 4 }의 그래프는 y=cos`x의 그래프를 x축의 방향으로 ;2!;배, y축의 방향으로 L ZTJOA[Y[ Z 는 y=sin`x의 그래프를 x축의 방 2배 한 후, x축의 방향으로 Y ZTJOY p 4 Z 만큼 평행이동한 것이므로 오른 쪽 그림과 같다. 따라서 치역은 {y|-2ÉyÉ2}, 따라서 치역은 {y|-1ÉyÉ1}, 주기는 2p이다. 답 풀이 참조 주기는 L ZDPTA[Y ] L L L Y L ZDPTY L L0 2p =p이다. 2 답 풀이 참조 0614 y=2`sin`(2x-p)=2`sin`2{x-;2Ò;}의 그래프는 y=sin`x의 그래프를 x축의 방 1 향으로 배, y축의 방향으로 2 2 p 배 한 후, x축의 방향으로 만 2 y 2 - y=2 sin(2x-p) 1 p 2 O -1 -2 p p 2 3 p 2 으로 2배 한 것이므로 오른쪽 그림 2p =p이다. 2 답 풀이 참조 Y ZUBO Z L 0 L L L Y 과 같다. 따라서 치역은 실수 전체의 집합, 주기는 그림과 같다. 따라서 치역은 {y|-2ÉyÉ2}, 주기는 0619 y=tan`;2{;의 그래프는 y=tan`x의 그래프를 x축의 방향 2p x y=sin x 큼 평행이동한 것이므로 오른쪽 078 2p x y=cos x 쪽 그림과 같다. 따라서 치역은 {y|-1ÉyÉ1}, 향으로 Y L 른쪽 그림과 같다. y=sin x 주기는 2p이다. 주기는 y=cos x 답 풀이 참조 ∴ f(9)=f(7)=f(5)=f(3)=f(1)=1 y 2 1 2p x 따라서 치역은 [y|-;2!;ÉyÉ;2!;], 주기는 2p이다. 0610 함수 f(x)의 주기가 2이므로 f(x+2)=f(x) 0611 y=2`sin`x의 그래프는 1 y=;2; cos x 1 2 y 1 p ;2!; =2p, 점근선의 방 정식은 x=2np+p (n은 정수)이다. 답 풀이 참조 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_078~099_06강_ok.indd 78 2017-11-10 오후 4:27:47 1 y 0620 y= 2 `tan`4x의 그래프는 p 8 1 1 배 한 후 y축의 방향으로 4 2 p 4 3p p 2 8 대하여 대칭이동한 것이므로 오른쪽 p , 점근선의 방정식은 4 n p p+ (n은 정수)이다. 4 8 답 풀이 참조 p Z 프를 x축의 방향으로 L ZUBO[Y] p 만큼, 2 0 L L L 0 L L Y L 답p 0627 y=cos|x|의 그래 y 1 프는 y=cos`x의 그래프에 -p -2p 고 x<0인 부분은 x¾0인 p O x 2p -1 부분을 y축에 대하여 대칭이동한 것이므로 위의 그림과 같다. 따라서 y=cos|x|의 주기는 2p이다. L Z]DPTY] 따라서 y=|cos`x|의 주기는 p이다. 서 x¾0인 부분은 그대로 두 0621 y=tan`{x- 2 }+2 Z L 그림과 같다. 따라서 치역은 실수 전체의 집합, 주기는 의 그래프는 y=tan`x의 그래 은 그대로 두고 y<0인 부분을 x축에 x 배 한 것이므로 오른쪽 그림과 같다. x= 0626 y=|cos`x|의 그래프는 y=cos`x의 그래프에서 y¾0인 부분 O y=tan`x의 그래프를 x축의 방향 으로 1 y=;2; tan 4x 답 2p Y y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이므로 위의 그림과 같다. 0628 y=|tan`x|의 그래프는 따라서 치역은 실수 전체의 집합, 주기는 p, 점근선의 방정식은 y=tan`x의 그래프에서 y¾0인 x=np+p (n은 정수)이다. 부분은 그대로 두고 y<0인 부분 답 풀이 참조 을 x축에 대하여 대칭이동한 것이 Z L L Z]UBOY] 0 L L Y 므로 오른쪽 그림과 같다. 따라서 y=|tan`x|의 주기는 p이다. 0622 y=;4!;`sin`{2x-;3Ò;}에서 답p 2p 최댓값은 ;4!;, 최솟값은 -;4!;, 주기는 =p 2 참고 답 최댓값：;4!;, 최솟값：-;4!;, 주기：p y=|a`sin`bx|의 주기 úk ;2!;_ 2p p = |b| |b| y=|a`cos`bx|의 주기 úk ;2!;_ 2p p = |b| |b| y=|a`tan`bx|의 주기 úk 0623 y=2`cos`{x+;3Ò;}+1에서 최댓값은 2+1=3, 최솟값은 -2+1=-1, 주기는 2p p |b| 0629 sin`780ù‌=sin`(360ù_2+60ù) 답 최댓값：3, 최솟값：-1, 주기：2p =sin`60ù= '3 2 0624 y=2`tan`;2Ò;x에서 최댓값, 최솟값은 없고, 주기는 p ;2Ò; '3 2 답 '3 2 '3 =2 0630 cos`:ª6°:p=cos`{4p+;6Ò;}=cos`;6Ò;= 2 답 최댓값, 최솟값：없다., 주기：2 0625 y=|sin`x|의 그래프는 y=sin`x의 그래프에서 y¾0인 부분 y 1 은 그대로 두고 y<0인 부분을 x축에 대하여 대칭이동한 것이므로 오른쪽 그 y=|sin x| O p 2p 0631 tan`;3&;p=tan`{2p+;3Ò;}=tan`;3Ò;='3 답 '3 x -1 '2 0632 sin`{-;4Ò;}=-sin`;4Ò;=- 2 림과 같다. 따라서 y=|sin`x|의 주기는 p이다. 답p 답06. 삼각함수의 그래프 알피엠_수Ⅰ_해설_078~099_06강_ok.indd 79 답 '2 2 079 2017-11-10 오후 4:27:49 0633 cos`330ù‌=cos`(360ù-30ù)=cos`(-30ù)=cos`30ù = '3 2 답 '3 2 0640 오른쪽 그림에서 y=tan`x의 Z ZUBOY 그래프와 직선 y='3의 교점의 x좌표가 ;3Ò;, ;3$;p이므로 Z x=;3Ò; 또는 x=;3$;p L L Y 답 x=;3Ò; 또는 x=;3$;p 11 0634 tan` 6 p‌=tan`{2p-;6Ò;}=tan`{-;6Ò;} =-tan`;6Ò;=- L L 0 '3 3 답- '3 3 '2 0641 '2`sin`x+1<0에서 sin`x<- 2 Z ZTJOY 0635 sin`;6%;p=sin`{p-;6Ò;}=sin`;6Ò;=;2!; L 0 답 1 2 L L L Y Z 따라서 주어진 부등식의 해는 y=sin`x의 그래프가 직선 y=- '2 0636 cos`;4%;p=cos`{p+;4Ò;}=-cos`;4Ò;=- 2 답- '2 2 '3 0637 tan`210ù=tan`(180ù+30ù)=tan`30ù= 3 답 '3 '3 '2 보다 아래쪽에 있는 부분의 x의 값의 범위이므로 2 ;4%;p<x<;4&;p 답 ;4%;p<x<;4&;p '3 0642 2`cos`x¾'3에서 cos`x¾ 2 Z 0638 오른쪽 그림에서 Z y=sin`x의 그래프와 직선 y=-;2!;의 교점의 x좌표가 ;6&;p, ZTJOY 0 L L Å :Á6Á:p이므로 Z L 0 L ZDPTY L L Y 따라서 주어진 부등식의 해는 y=cos`x의 그래프가 직선 ZÅ y= '3 과 만나는 부분 또는 직선보다 위쪽에 있는 부분의 x의 2 값의 범위이므로 x=;6&;p 또는 x=:Á6Á:p 0ÉxÉ;6Ò; 또는 :Á6Á:pÉx<2p 답 x=;6&;p 또는 x=:Á6Á:p 0639 2`cos`x-'3=0에서 '3 cos`x= 2 Z 오른쪽 그림에서 y=cos`x의 그래프와 직선 y= '3 의 교점의 2 Z L 0 L ZDPTY L Y L 답 0ÉxÉ;6Ò; 또는 :Á6Á:pÉx<2p 0643 Z ZUBOY Z 0 L L L L L L Y 주어진 부등식의 해는 y=tan`x의 그래프가 직선 y='3보다 위 x좌표가 ;6Ò;, :Á6Á:p이므로 쪽에 있는 부분의 x의 값의 범위이므로 ;3Ò;<x<;2Ò; 또는 ;3$;p<x<;2#;p x=;6Ò; 또는 x=:Á6Á:p 답 x=;6Ò; 또는 x=:Á6Á:p 080 Y L L 답 ;3Ò;<x<;2Ò; 또는 ;3$;p<x<;2#;p 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_078~099_06강_ok.indd 80 2017-11-10 오후 4:27:50 유형 익 히 기 / / 본문 80~90쪽 이므로 y=2`sin`2x의 그래프를 x축의 방향으로 - p 만큼, 12 y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다. 0644 함수 f(x)의 주기가 p이므로 모든 실수 x에 대하여 답⑤ f(x+p)=f(x) ∴ f(p)=f(0)=sin`0+cos`0+tanÛ``0=1 0649 y=sin`3x+1의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그 답1 래프의 식은 -y=sin`3x+1 ∴ y=-sin`3x-1  0645 조건 ㈎에 의하여 91 f { }=f {30+;3!;}=f {3´10+;3!;}=f {;3!;} 3 이 함수의 그래프를 y축의 방향으로 -;2#;만큼 평행이동한 그래 조건 ㈏에 의하여 0Éx<3일 때, f(x)=cos`px이므로 3 5 y=-sin`3x-1- ∴ y=-sin`3x2 2 프의 식은 1 f { }=cos`;3Ò;=;2!; 3 ∴ f{  91 }=f {;3!;}=;2!; 3 5 5 따라서 a=-1, b=- 이므로 ab= 2 2 답 1 2 0646 함수 f(x)의 주기가 p이므로 모든 실수 x에 대하여  답 ;2%; 단계 채점요소 배점 f(x)=f(x+np) (n은 정수)  x축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식 구하기 40 % ∴ f(0)=f(2p)=f(4p)= y =f(20p)  y축의 방향으로 -;2#;만큼 평행이동한 그래프의 식 구하기 40 % 따라서 주어진 식의 값은  ab의 값 구하기 20 % f(2p)+f(4p)+f(6p)+ y +f(20p) =10f(0) =10´ p 0650 y=-;2!;`sin`{4x- 6 }+1에서 sin`0+cos`0+1 3`sin`0+4 p= =10´;4@;=5 답5 0647 모든 실수 x에 대하여 f(x-2)=f(x+1)이 성립하므 2p p 3 = , M=|-;2!;|+1= , 4 2 2 1 m=-|- |+1=;2!; 2 ∴ pMm= p ´;2#;´;2!;=;8#;p 2 로 양변에 x 대신 x+2를 대입하면 답 f(x)=f(x+3) 따라서 함수 f(x)는 주기가 3인 주기함수이므로 0651 ① 최댓값은 2-1=1 f(2018)=f(3´673-1)=f(-1)=2 ② 최솟값은 -2-1=-3 f(2020)=f(3´673+1)=f(1)=1 ③ 주기는 f(2022)=f(3´674+0)=f(0)=-1 ∴ f(2018)+f(2020)+f(2022)=2+1+(-1)=2 답2 0648 ① 최댓값은 2-1=1 ② 최솟값은 -2-1=-3 ③ 주기는 ④ f{ 3 p 8 2p ;2!; =4p ④ f(p)=2`cos`{ p -;3Ò;}-1='3-1 2 즉 그래프가 점 (p, '3-1)을 지난다. ⑤ y=2`cos`{;2{;- p }-1=2`cos`;2!; {x-;3@;p}-1 3 이므로 y=2`cos`;2{;의 그래프를 x축의 방향으로 ;3@;p만큼, 2p =p 2 5 5 p p}=2`sin`{ p+ }-1=2`sin`p-1 12 6 6 y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다. 답④ =2´0-1=-1 ⑤ y=2`sin`{2x+ p p }-1=2`sin`2{x+ }-1 6 12 5 0652 ㄱ. y=cos`(2x-5p)=cos`2{x- 2 p}의 그래프는 06. 삼각함수의 그래프 알피엠_수Ⅰ_해설_078~099_06강_ok.indd 81 081 2017-11-10 오후 4:27:51 `y=cos`2x의 그래프를 x축의 방향으로 5 p만큼 평행이동한 2 것과 같다. ㄴ. y=cos`4x+2의 ‌ 그래프는 y=cos`2x의 그래프를 x축의 방향 으로 1 배 한 후 y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것과 같다. 2 ㄷ. y=2`cos`2x-3의 ‌ 그래프는 y=cos`2x의 그래프를 y축의 방향으로 2배 한 후 y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 것 과 같다. p 0656 y=tan`{px- 2 }=tan`p{x-;2!;} 이 함수의 주기는 p =1 p 한편, 이 함수의 그래프의 점근선의 방정식은 px- p p =np+ 에서 px=np+p 2 2 ∴ x=n+1 ∴ x=n (n은 정수) 답④ ㄹ. y=-cos`2x-1의 ‌ 그래프는 y=cos`2x의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 후 y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것과 같다. 따라서 y=cos`2x의 그래프를 평행이동 또는 대칭이동하여 겹 쳐질 수 있는 그래프의 식은 ㄱ, ㄹ이다. 답 ㄱ, ㄹ 0653 y=-2`cos`{-3px+;6!;}+3에서 p= 0657 함수 f(x)=a`sin`{x+;2Ò;}+b의 최댓값이 4이고 a>0이므로 또한 f {-;3Ò;}=;2#;이므로 f {- 2p =;3@;, M=|-2|+3=5 |-3p| yy ㉠ a+b=4 p }‌=a`sin`{-;3Ò;+;2Ò;}+b 3 =a`sin` m=-|-2|+3=-2+3=1 p +b 6 1 = a+b=;2#; 2 20 ∴ p+M+m=;3@;+5+1= 3 20 답 3 p ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=5, b=-1 ∴ f(x)=5`sin`{x+;2Ò;}-1 따라서 f(x)의 최솟값은 -5-1=-6 p 0654 y=3`tan`{2x+ 2 }+1=3`tan`2{x+ 4 }+1 답② º`주기는 ;2Ò; 이다. º`‌ y=3`tan`2x의 그래프를 x축의 방향으로 -;4Ò; 만큼, y축의 방향으로 1 만큼 평행이동한 것이다. p p º`점근선의 방정식은 2x+ =np+ 2 2 0658 함수 f(x)=a`tan`bx의 주기는 ;3Ò;이고 b>0이므로 p =;3Ò; ∴ b=3 b f{ p p }=a`tan`{3´ }=a`tan`;4Ò;=a=3 12 12 ∴ ab=9 ∴ x=;2N;p`(n은 정수) 답9 답 ㈎ ;2Ò; ㈏ -;4Ò; ㈐ 1 ㈑ x=;2N;p`(n은 정수) 0659 a>0이므로 함수 f(x)의 최댓값은 a+c, 최솟값은 p 0655 y=-2`tan`{;3{;+p}+3에서 주기는 =3p -a+c이다. 주어진 함수의 주기를 각각 구해 보면 다음과 같다. a+c-(-a+c)=2a=6 ∴ a=3 ;3!; ① 2p ;3!; =6p ③ p ⑤ 2p ;2Ò; ② ④ 이때 조건 ㈎에서 최댓값과 최솟값의 차가 6이므로 2p =2 p b>0이므로 조건 ㈏에서 2p 따라서 f(x)=3`cos`;3$;x+c이므로 조건 ㈐에서 ;3@; 2p =;2#;p ∴ b=;3$; b =3p f {;4Ò;}=3`cos`;3Ò;+c=;2#;+c=;2!; ∴ c=-1 =4 ∴ a+b+c= 따라서 주어진 함수와 주기가 같은 함수는 ④이다. 답④ 082 yy ㉡ 10 3 답 :Á3¼: 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_078~099_06강_ok.indd 82 2017-11-10 오후 4:27:51 0660 주어진 그래프에서 함수의 최댓값이 2, 최솟값이 -2이 0663 주어진 그래프에서 함수의 최댓값이 4, 최솟값이 -4이 고 a>0이므로 a=2 고 a>0이므로 또 주기가 ;4%;p-;4Ò;=p이고 b>0이므로 a+b=4, -a+b=-4 2p =p ∴ b=2 b a=4, b=0 두 식을 연립하여 풀면 따라서 주어진 함수의 식은 y=2`sin`(2x-c)이고, 그래프가 점 { p , 0}을 지나므로 4 2`sin`{ ∴ y=4`cos`;4Ò;(2x+1)=4`cos`{;2Ò;x+;4Ò;} 따라서 주기는 p p -c}=0 ∴ sin`{ -c}=0 2 2 2p ;2Ò; =4이고, 그래프에서 주기는 2{c-;2!;}이므로 2{c-;2!;}=4 ∴ c=;2%; 이때 0<c<p이므로 c=;2Ò; ∴ a+b+c=4+0+;2%;= ∴ a-b+2c=2-2+2´;2Ò;=p 13 2 답 답p 13 2 0661 주어진 그래프에서 함수의 주기가 ;2Ò;이고 a>0이므로 p =;2Ò; ∴ a=2 a 2p 0664 함수 y=3`cos`5x의 주기는 5 이다. 주어진 그래프는 함수 y=tan`2x의 그래프를 x축의 방향으로 한편, 함수 y=|tanàx|의 주기는 ;4Ò;만큼 평행이동한 것이므로 p 이므로 |a| p 2p = |a| 5 y=tan`2{x-;4Ò;}=tan`{2x-;2Ò;} ∴ b=;2Ò; 이때 a는 양수이므로 a=;2%; ∴ a+2b=2+2´;2Ò;=2+p 답 ;2%; 답 2+p 0662 주어진 그래프에서 함수의 최댓값이 2, 최솟값이 -2이 0665 y=|tan`x|의 그래프는 다음 그림과 같다. 고 a>0이므로 a=2  Z]UBOAY] Z 또 주기는 3p-(-p)=4p이고 b>0이므로 2p =4p ∴ b=;2!; b  L L 0 L L Y L L 따라서 주어진 함수의 식은 y=2`cos`{;2!;x+c}이고, 그래프가 ① 주기는 p이다. 점 (p, 2)를 지나므로 ② 최댓값은 존재하지 않는다. 2=2`cos`{;2Ò;+c}, cos`{;2Ò;+c}=1 ③ 최솟값은 0이다. 이때 0<c<2p이므로 c=;2#;p ④ 직선 x= n p`(n은 정수)에 대하여 대칭이다. 2 답⑤  ∴ abc=2´;2!;´;2#;p=;2#;p  답 ;2#;p 단계 채점요소 배점  a의 값 구하기 30 %  b의 값 구하기 30 %  c의 값 구하기 30 %  abc의 값 구하기 10 % 0666 함수 f(x)=a|cos`bx|+c의 주기는 ;3Ò;이고 b>0이므 로 p =;3Ò; ∴ b=3 b 0É|cos`bx|É1이므로 cÉa|cos`bx|+cÉa+c 함수 f(x)의 최댓값이 5이므로 a+c=5 ~ yy ㉠ f {;6Ò;}=1이므로 06. 삼각함수의 그래프 알피엠_수Ⅰ_해설_078~099_06강_ok.indd 83 083 2017-11-10 오후 4:27:52 a|cos`{3´;6Ò;}|+c=1 ∴ c=1 즉 점 A의 x좌표는 ;2!;이므로 점 A의 y좌표는 ㉠에 c=1을 대입하면 a+1=5 ∴ a=4 sin`{;3Ò;´;2!;}=sin`;6Ò;=;2!; ∴ A{;2!;, ;2!;} ∴ a-b+c=4-3+1=2 답2 따라서 직사각형 ABCD의 넓이는 2´;2!;=1 0667 조건 ㈎에서 최댓값과 최솟값의 차가 2이고 최댓값은 답① a+c, 최솟값은 c이므로 a=2 조건 ㈏에서 함수 y=cos`6x의 주기는 2p p = 이고 b>0이므로 6 3 p p = ∴ b=3 b 3 0671 = ∴ f(x)=2|sin`3x|+c sin`(p+h)`tanÛ``(p-h) cos``{;2#;p-h} + sin``{;2#;p+h} sin``{;2Ò;+h}`cosÛ``(2p-h) -sin`h`tanÛ``h -cos`h + -sin`h cos`h`cosÛ``h 1 1 sinÛ``h = cosÛ``h cosÛ``h cosÛ``h sinÛ``h-1 -cosÛ``h = = =-1 cosÛ``h cosÛ``h =tanÛ``h- 조건 ㈐에서 함수 f(x)의 그래프가 점 (0, 3)을 지나므로 f(0)=2|sin`0|+c=c=3 ∴ c=3 ∴ a+b+c=8 답② 답8 0668 y=tan`x+2의 그래프는 Z y=tan`x의 그래프를 y축의 방향으로 2 ZUBOAY ZUBOAY 만큼 평행이동한 것이므로 오른쪽 그림에 서 색칠한 두 부분의 넓이는 같다. 따라서 구하는 부분의 넓이는 네 점 L L 0 (0, 0), {;4Ò;, 0}, {;4Ò;, 2}, (0, 2)를 Y ㄷ. sin`(p-h)=sin`h ㄹ. sin`{;2#;p-h}=-cos`h ㅁ. sin`{;2Ò;+h}=cos`h ㅂ. sin`(p+h)=-sin`h 따라서 sin`h의 값과 같은 것은 ㄷ의 1개이다. 0673 cos`100ù‌=cos`(90ù+10ù)=-sin`10ù =-0.1736 ;4Ò;´2=;2Ò; 답⑤ tan`200ù=tan`(90ù_2+20ù)=tan`20ù=0.3640 ∴ cos`100ù+tan`200ù‌ =-0.1736+0.3640 =0.1904 0669 함수 y=2`cos`;2Ò;x의 주기는 ;2Ò; ㄴ. sin`{;2Ò;-h}=cos`h 답① 꼭짓점으로 하는 직사각형의 넓이와 같으므로 2p 0672 ㄱ. sin`(-h)=-sin`h Z ZADPT =4이므로 그 그래프는 오른쪽 그 답 0.1904 L Y ㉡㉠ 0 Y 림과 같다. 이때 ㉠과 ㉡의 넓이가 같 0674 ⑴ sin`150ù=sin`(90ù_2-30ù)=sin`30ù=;2!; sin`120ù=sin`(90ù_2-60ù)=sin`60ù= 으므로 구하는 넓이는 sin`135ù=sin`(90ù_2-45ù)=sin`45ù= 2´4=8 답8 0670 함수 y=sin`;3Ò;x의 주기는 2p ;3Ò; =6이므로 점 E의 좌표는 (3, 0) 이다. BCÓ=2이므로 OBÓ=;2!; (OEÓ-BCÓ) =;2!;´(3-2)=;2!; 084 0 '2 2 cos`120ù=cos`(90ù_2-60ù)=-cos`60ù=-;2!; cos`135ù=cos`(90ù_2-45ù)=-cos`45ù=- Z '3 2 ZTJOAwY " # cos`150ù=cos`(90ù_2-30ù)=-cos`30ù=- % $& Y ∴ (주어진 식)‌= ;2!; - '2 2 '3 2 -;2!; '3 '2 '2 '3 - 2 2 2 2 1 1 = '3-'2 '3+'2 ='3+'2-('3-'2 )=2'2 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_078~099_06강_ok.indd 84 2017-11-10 오후 4:27:53 ⑵ cos`390ù=cos`(90ù_4+30ù)=cos`30ù= '3 2 ∴ cos`h+cos`2h+y+cos`40h =(cos`h+cos`2h+y+cos`20h) tan`300ù=tan`(90ù_4-60ù)=-tan`60ù=-'3 sin`420ù=sin`(90ù_4+60ù)=sin`60ù= +(cos`21h+cos`22h+y+cos`40h) '3 2 =(cos`h+cos`2h+y+cos`20h) -(cos`h+cos`2h+y+cos`20h) sin`210ù=sin`(90ù_2+30ù)=-sin`30ù=-;2!; =0 tan`120ù=tan`(90ù_2-60ù)=-tan`60ù=-'3 답① cos`(-300ù)‌=cos`300ù=cos`(90ù_3+30ù) =sin`30ù= 1 2 '3 Û }`-'3 {-;2!;}Û`-'3 2 ∴ (주어진 식)‌= + '3 1 2 2 3-4'3 1-4'3 = + 2 2'3 0678 ;4Ò;+h=A라 하면 h=A-;4Ò;이므로 { = ;4Ò;-h=;4Ò;-{A-;4Ò;}=;2Ò;-A ∴ sinÛ``{;4Ò;+h}+sinÛ``{;4Ò;-h}‌=sinÛÀ+sinÛ``{ '3-4 1-4'3 + 2 2 =- p -A} 2 ‌ =sinÛÀ+cosÛÀ=1 답② 3+3'3 2 답 ⑴ 2'2 ⑵ - 3+3'3 2 0679 h-40ù=A라 하면 h+50ù=A+90ù ∴c osÛ``(h-40ù)+cosÛ``(h+50ù) cos`h`(-sin`h) 0675 ⑴ (주어진 식)‌= tan`h =cosÛÀ+cosÛ``(A+90ù) =cosÛÀ+(-sinÀ)Û` +sin`h`(-tan`h)`cos`h =-cos`h`sin`h`{ 1 +tan`h} tan`h =-cos`h`sin`h`{ cos`h sin`h + } sin`h cos`h =-(cosÛ``h+sinÛ``h)=-1 ⑵ (주어진 식)‌=(-cos`h)Û`+sinÛ``h+(-sin`h)Û`+cosÛ``h =2 답 ⑴ -1 ⑵ 2 =cosÛÀ+sinÛÀ=1 답② 0680 cos`;2»0;p=cos`{;2Ò;-;2É0;}=sin`;2É0; cos`;2¦0;p=cos`{;2Ò;-;2£0;p}=sin`;2£0;p ∴ (주어진 식) ={cosÛ``;2É0;+cosÛ``;2»0;p}+{cosÛ``;2£0;p+cosÛ``;2¦0;p} 0676 cos`(-110ù)‌=cos`110ù =cos`(90ù_2-70ù) +cosÛ``;2°0;p =-cos`70ù=a ={cosÛ``;2É0;+sinÛ``;2É0;}+{cosÛ``;2£0;p+sinÛ``;2£0;p} ∴ cos`70ù=-a ∴ sin`250ù‌=sin`(90ù_2+70ù) +cosÛ``;4Ò; =-sin`70ù =1+1+;2!;=;2%; =-"1Ã-cosÛ``70ù =-"1Ã-aÛ` 답 ;2%; 답① 0677 h=9ù에서 20h=180ù이므로 cos`21h=cos`(180ù+h)=-cos`h cos`22h=cos`(180ù+2h)=-cos`2h ⋮ cos`40h=cos`(180ù+20h)=-cos`20h 0681 ⑴ cosÛ``89ù=cosÛ``(90ù-1ù)=sinÛ``1ù cosÛ``87ù=cosÛ``(90ù-3ù)=sinÛ``3ù ⋮ cosÛ``47ù=cosÛ``(90ù-43ù)=sinÛ``43ù 06. 삼각함수의 그래프 알피엠_수Ⅰ_해설_078~099_06강_ok.indd 85 085 2017-11-10 오후 4:27:55 0684 y=a|cos`2x-1|+b에서 ∴ (주어진 식) cos`2x=t로 놓으면 -1ÉtÉ1이고 주어진 함수는 =(cosÛ``1ù+cosÛ``89ù)+(cosÛ``3ù+cosÛ``87ù) +y+(cosÛ``43ù+cosÛ``47ù)+cosÛ``45ù =(cosÛ``1ù+sinÛ``1ù)+(cosÛ``3ù+sinÛ``3ù) t=1일 때 최솟값은 b이므로 b=3 9 y=a|t-1|+b 7 b a|-1-1|+3=7 ∴ a=2 | { ∴ a+b=5 | =22+;2!;=:¢2°: ( =1+1+1+y+1+;2!; t=-1일 때 최댓값은 7이므로 22개 y 따라서 오른쪽 그림에서 +y+(cosÛ``43ù+sinÛ``43ù)+cosÛ``45ù y=a|t-1|+b (a>0) O -1 1 ⑵ sinÛ``89ù=sinÛ``(90ù-1ù)=cosÛ``1ù t 답5 sinÛ``88ù=sinÛ``(90ù-2ù)=cosÛ``2ù ⋮ 0685 cos`(x-p)=cos`(p-x)=-cos`x이므로 sinÛ``46ù=sinÛ``(90ù-44ù)=cosÛ``44ù y=|2+3`cos`(x-p)|-1=|2-3`cos`x|-1 ∴ (주어진 식) cos`x=t로 놓으면 -1ÉtÉ1이고 주어진 함수는 =(sinÛ``1ù+sinÛ``89ù)+(sinÛ``2ù+sinÛ``88ù) +y+(sinÛ``44ù+sinÛ``46ù)+sinÛ``45ù +y+(sinÛ``44ù+cosÛ``44ù)+sinÛ``45ù 9 | { | ( =1+1+1+y+1+;2!; 44개 따라서 오른쪽 그림에서 =(sinÛ``1ù+cosÛ``1ù)+(sinÛ``2ù+cosÛ``2ù) Z y=|2-3t|-1 t=-1일 때 최댓값 M=4 0 t=;3@;일 때 최솟값 m=-1 ∴ M+m=4-1=3 =44+;2!;=:¥2»: Z]U] U 답③ 답 ⑴ :¢2°: ⑵ :¥2»: 0686 y=-2`sinÛ``x+2`cos`x+1 =-2(1-cosÛ``x)+2`cos`x+1 0682 y=-|sin`x+2|+k에서 sin`x=t로 놓으면 Z -1ÉtÉ1이고 주어진 함수는 y=-|t+2|+k Z]U ] L L 따라서 오른쪽 그림에서 t=-1일 때 최댓값은 k-1, t=1일 때 최솟값은 k-3이다. =2`cosÛ``x+2`cos`x-1 0 U L cos`x=t로 놓으면 -1ÉtÉ1이고 Z ZU 주어진 함수는 y=2tÛ`+2t-1=2{t+;2!;}Û`-;2#; 따라서 오른쪽 그림에서 이때 최댓값과 최솟값의 합이 1이므로 t=1일 때 최댓값 M=3 k-1+k-3=1, 2k=5 t=-;2!;일 때 최솟값 m=-;2#; ∴ k=;2%; 답 ;2%; 0683 cos`{x+;2Ò;}=-sin`x이므로 U ∴ M+m=;2#; 답③ 0687 y=cosÛ``x+2`sin`x+2 =(1-sinÛ``x)+2`sin`x+2 p y‌=cos`{x+ }-2`sin`x-1 2 =-sinÛ``x+2`sin`x+3 sin`x=t로 놓으면 -pÉxÉp에서 -1ÉtÉ1이고 =-sin`x-2`sin`x-1=-3`sin`x-1 이때 -1Ésin`xÉ1이므로 -4É-3`sin`x-1É2 주어진 함수는 Z 따라서 최댓값은 2, 최솟값은 -4이므로 y=-tÛ`+2t+3=-(t-1)Û`+4 M=2, m=-4 따라서 오른쪽 그림에서 t=1일 때 ∴ M-m=6 최댓값은 4이므로 M=4 답6 086 0 U t=1, 즉 sin`x=1일 때 -pÉxÉp에서 0 ZU U U 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_078~099_06강_ok.indd 86 2017-11-10 오후 4:27:56 x=;2Ò;이므로 a=;2Ò; ∴ aM=;2Ò;´4=2p -cos`x 답③ 0688 y=sinÛ``x-4`cos`x+k 0691 y= cos`x-1 에서 cos`x=t로 놓으면 ;4Ò;ÉxÉ;3Ò;에서 ;2!;ÉtÉ y= =(1-cosÛ``x)-4`cos`x+k '2 이고 주어진 함수는 2 -t 1 =-1 t-1 t-1 Z 따라서 오른쪽 그림에서 =-cosÛ``x-4`cos`x+k+1  cos`x=t로 놓으면 -1ÉtÉ1이고 주어진 함수는 0 '2 t= 일 때 최댓값 M=1+'2 2 y=-tÛ`-4t+k+1 t=;2!;일 때 최솟값 m=1 y=-(t+2)Û`+k+5 ∴ M-m=(1+'2 )-1='2 Z ZUU L 답 '2 Z t=-1일 때 최댓값이 k+4이므로 L k+4=3 ∴ k=-1 2`tan`x+1 0692 y= tan`x+2 에서 tan`x=t로 놓으면 0 U  답 -1 단계 U  따라서 오른쪽 그림에서 U U 채점요소 sinÛ``x=1-cosÛ``x임을 이용하여 cos`x에 대한 식으로 정리하기 40 %  cos`x=t로 치환하기 30 %  k의 값 구하기 30 % y= 2t+1 2(t+2)-3 3 = =+2 t+2 t+2 t+2 Z 따라서 오른쪽 그림에서 t=1일 때 최댓값 M=1 배점  0ÉxÉ;4Ò;에서 0ÉtÉ1이고 주어진 함수는 t=0일 때 최솟값 m=;2!; ∴ M+m=1+;2!;=;2#; Z U U U 0 답 ;2#; p p 0689 y‌=cos`{ 2 -x}`cos`{ 2 +x}-2`sin`(p+x)+a =sin`x`(-sin`x)-2(-sin`x)+a |sin`x| 0693 y= |sin`x|+1 에서 =-sinÛ``x+2`sin`x+a yy ㉠ sin`x=t로 놓으면 -1ÉtÉ1 |sin`x|=t로 놓으면 0ÉtÉ1이고 주어진 함수는 t (t+1)-1 1 = =+1 t+1 t+1 t+1 주어진 함수는 y=-tÛ`+2t+a=-(t-1)Û`+a+1 y= 따라서 ㉠의 범위에서 t=1일 때 최댓값이 a+1이므로 따라서 오른쪽 그림에서 a+1=3 ∴ a=2 답 -1 t=0일 때 최솟값은 0 이므로 주어진 함수의 치역은 0690 y= sin`x+2 에서 [y|0ÉyÉ;2!;]이다. sin`x=t로 놓으면 -1ÉtÉ1이고 주어진 함수는 따라서 a=0, b=;2!;이므로 a+b=;2!; -sin`x+1 -t+1 -(t+2)+3 3 y= = = -1 t+2 t+2 t+2 t=-1일 때 최댓값 M=2 Z U U 0 U 0 U 답② 0694 2`sin`{2x+;3Ò;}=1에서 sin`{2x+;3Ò;}=;2!; 7 2x+;3Ò;=t로 놓으면 0Éx<p에서 ;3Ò;Ét< p이고 주어진 방 3 정식은 sin`t= 1 2 06. 삼각함수의 그래프 알피엠_수Ⅰ_해설_078~099_06강_ok.indd 87 U U 답 ;2!; Z t=1일 때 최솟값 m=0 ∴ M+m=2+0=2 Z t=1일 때 최댓값은 ;2!;, 따라서 t=-1일 때 최솟값은 -1이다. 따라서 오른쪽 그림에서 Z 087 2017-11-10 오후 4:27:57 오른쪽 그림과 같이 y 7 ;3Ò;Ét< p에서 함수 3 1 1 ;2; y=sin`t의 그래프와 직선 O 1 y= 의 교점의 t좌표가 ;6%;p, 2 -1 1 y=;2; 0Éx<2p에서 cos`t=- 5 p 6p 3 13 p 6 7 3 y=sin t t '3 2 p Ét<;4&;p이고 주어진 방정식은 4 Z p 13 p이므로 6 L 2x+;3Ò;=;6%;p 또는 2x+;3Ò;=:Á6£:p ∴ x=;4Ò; 또는 x=;1!2!;p 위의 그림에서 - 따라서 모든 근의 합은 직선 y=- ;4Ò;+;1!2!;p=;6&;p 답 ;6&;p 0695 tan`;2!;x='3에서 ;2!;x=t로 놓으면 Z 수 y=tan`t의 그래프와 직선 y='3 0 ;2!;x=;;3Ò;에서 x=;3@;p ZDPTU L U Z p Ét<;4&;p에서 함수 y=cos`t의 그래프와 4 '3 의 교점의 t좌표가 ;6%;p, ;6&;p이므로 2 x-;4Ò;=;6%;p 또는 x-;4Ò;=;6&;p ∴ x=;1!2#;p 또는 x=;1!2&;p 답 ;3Ò; Z 0698 2`sinÛ``x-cos`x-1=0에서 L p 의 교점의 t좌표가 이므로 3 0 따라서 구하는 차는 ;1!2&;p-;1!2#;p=;1¢2;p=;3Ò; 0Éx<2p에서 0Ét<p이고 주어진 방정식은 tan`t='3 오른쪽 그림과 같이 0Ét<p에서 함 L L L L U ZUBOU 답 x=;3@;p 2(1-cosÛ``x)-cos`x-1=0 2`cosÛ``x+cos`x-1=0 (2 cos`x-1)(cos`x+1)=0 ∴ cos`x=;2!; 또는 cos`x=-1 0ÉxÉp에서 0696 sin`2x=-;2!;에서 2x=t로 놓으면 cos`x=;2!;일 때 x=;3Ò; 0Éx<2p에서 0Ét<4p이고 주어진 방정식은 sin`t=-;2!; cos`x=-1일 때 x=p 답③ y 1 1 -;2; O -1 7 11 p p 6 6 2p y=sin t 0699 3`sin`x-2`cosÛ``x=0에서 19 23 p p 6 6 4p t 1 y=-;2; 3`sin`x-2(1-sinÛ``x)=0, 2`sinÛ``x+3`sin`x-2=0 (2`sin`x-1)(sin`x+2)=0 위의 그림과 같이 0Ét<4p에서 함수 y=sin`t의 그래프와 직 1 23 선 y=- 의 교점의 t좌표가 ;6&;p, :Á6Á:p, :Á6»:p, p이므로 2 6 2x=;6&;p 또는 2x=:Á6Á:p 또는 2x=:Á6»:p 또는 2x=:ª6£:p ∴ x=;1¦2;p 또는 x=;1!2!;p 또는 x=;1!2(;p 또는 x=;1@2#;p 0Éx<2p에서 x=;6Ò; 또는 x=;6%;p 따라서 모든 근의 합은 ;6Ò;+;6%;p=p 답p 따라서 방정식 sin`2x=-;2!;의 근이 아닌 것은 ③이다. 답③ '3 ∴ sin`x=;2!; (∵ -1Ésin`xÉ1) 0700 "2Ã`sinÛ``x+2`sin`x+cosÛ``x=;2!;에서 "2Ã`sinÛ``x+2`sin`x+(1-sinÛ``x)=;2!; 0697 cos`{x-;4Ò;}=- 2 에서 "ÃsinÛ``x+2`sin`x+1=;2!;, "Ã(sin`x+1)Û`=;2!; x-;4Ò;=t로 놓으면 |sin`x+1|=;2!; 088 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_078~099_06강_ok.indd 88 2017-11-10 오후 4:27:58 sin`x+1=-;2!; 또는 sin`x+1=;2!; 이때 A+B+C=p이므로 p-(B+C)=A ∴ sin`x=-;2!; (∵ -1Ésin`xÉ1) ∴ tan`{p-(B+C)}=tanÀ=tan` p ='3 3 답⑤ 7 11 0Éx<2p에서 x= p 또는 x= p 6 6 답 x= 7 11 p 또는 x= p 6 6 0704 A+B+C=p이므로 B+C=p-A ∴ sin` B+C p-A p A A =sin` =sin`{ - }=cos` 2 2 2 2 2 0701 3`cosÛ`x-1=sin`x`cos`x에서 따라서 주어진 방정식에서 sinÛ`x+cosÛ`x=1이므로 2`cosÛ`` 3`cosÛ`x-(sinÛ`x+cosÛ`x)=sin`x`cos`x A A +cos` -1=0 2 2 {2`cos` 2`cosÛ`x-sin`x`cos`x-sinÛ`x=0 (2`cos`x+sin`x)(cos`x-sin`x)=0  A A -1}{cos` +1}=0 2 2 이때 0< A p A < 이므로 0<cos` <1 2 2 2 ∴ cos`x=-;2!; sin`x 또는 cos`x=sin`x ∴ cos` A =;2!; 2 즉 tan`x=-2 또는 tan`x=1 따라서 그런데 0ÉxÉ;2Ò;에서 tan`x¾0이므로 tan`x=1 A p = 이므로 A=;3@;p 2 3 ∴ sinÀ=sin`;3@;p=  '3 2 ∴ x=;4Ò; 답 '3 2  답 x=;4Ò; 0705 4`cosÛ`À+4`sinÀ=5에서 4(1-sinÛ`À)+4`sinÀ=5 배점 4`sinÛ`À-4`sinA`+1=0  (2`cos`x+sin`x)(cos`x-sin`x)=0으로 정리하기 50 %  tan`x=1로 정리하기 30 % (2`sinÀ-1)Û`=0 ∴ sinÀ=;2!;  방정식의 해 구하기 20 % 단계 채점요소  ∴ cos`{ p +B+C}‌=-sin`(B+C) 2 0702 3`cosÛ`À-7`cosÀ+2=0에서 =-sin`(p-A) (∵ A+B+C=p) (3`cosÀ-1)(cosÀ-2)=0 =-sinÀ=- ∴ cosÀ=;3!; (∵ -1ÉcosÀÉ1) 1 2  답 -;2!; 이때 A+B+C=p이므로 B+C=p-A ∴ sin`(B+C)=sin`(`p-A) 단계 =sinÀ="Ã1-cosÛ`À (∵ 0<A<p) 2'2 =¾1¨-{;3!;}Û`= 3 채점요소 배점  sinÀ의 값 구하기 50 %  cos`{;2Ò;+B+C}의 값 구하기 50 % 답① 0706 주어진 그래프에서 0703 4`cosÛ`À+4'3`sinÀ-7=0에서 4(1-sinÛ`À)+4'3`sinÀ-7=0 두 점 (a, 0), (b, 0)은 직선 x= 4`sinÛ`À-4'3`sinÀ+3=0 a+b p = ∴ a+b=p 2 2 (2`sinÀ-'3 )Û`=0, 2`sinÀ-'3=0 ∴ sinÀ= ∴ A= 5 두 점 (c, 0), (d, 0)은 직선 x= p에 대하여 대칭이므로 2 '3 2 삼각형 ABC는 예각삼각형이므로 0<A< p 3 p 에 대하여 대칭이므로 2 p 2 c+d 5 = p ∴ c+d=5p 2 2 ∴ a+b+c+d=p+5p=6p 답③ 06. 삼각함수의 그래프 알피엠_수Ⅰ_해설_078~099_06강_ok.indd 89 089 2017-11-10 오후 4:27:59 0707 y=cos`x의 그래프에서 두 점 (a, 0), (c, 0)은 직선 이 방정식이 실근을 가지려면 y=-sinÛ``x+2`sin`x의 그래프 x=p에 대하여 대칭이므로 와 직선 y=k의 교점이 존재해야 한다. a+c =p ∴ a+c=2p 2 이때 sin`x=t로 놓으면 -1ÉtÉ1이고 y=-tÛ`+2t=-(t-1)Û`+1 Z 주어진 방정식이 실근을 가지려면 오른쪽 대하여 대칭이므로 그림에서 b+d 3 = p ∴ b+d=3p 2 2 -3ÉkÉ1 ∴ a+b+c+d‌=(a+c)+(b+d) -3이므로 그 곱은 -3이다. ZU U 0 3 y=sin`x의 그래프에서 두 점 (b, 0), (d, 0)은 직선 x= p에 2 U ZL 따라서 실수 k의 최댓값은 1, 최솟값은 =2p+3p=5p 답① a+b+c+d 5p p ∴ sin` =sin` =sin`{p+ } 4 4 4 =-sin` =- '2 2 0710 sinÛ``x+cos`x+a=0에서 p 4 (1-cosÛ``x)+cos`x+a=0 ∴ cosÛ``x-cos`x-1=a 답- '2 2 이 방정식이 실근을 가지려면 y=cosÛ``x-cos`x-1의 그래프 와 직선 y=a의 교점이 존재해야 한다. 이때 cos`x=t로 놓으면 -1ÉtÉ1이고 0708 y=cos`;2!;x의 주기는 2p ;2!; =4p이므로 그래프는 다음 C L BL D L E L U 답 -;4%;ÉaÉ1 0711 sinÛ``h-2`cos`{h+;2#;p}-a-1=0에서 sinÛ``h-2`sin`h-a-1=0 b+c =2p ∴ b+c=4p 2 ∴ sinÛ``h-2`sin`h-1=a  두 점 (c, 0), (d, 0)은 직선 x=3p에 대하여 대칭이므로 이 방정식을 만족시키는 h가 존재하려면 c+d =3p ∴ c+d=6p 2 y=sinÛ``h-2`sin`h-1의 그래프와 직선 y=a의 교점이 존재해 야 한다. ∴ b+2c+d=(b+c)+(c+d) 이때 sin`h=t로 놓으면 -1ÉtÉ1이고 =4p+6p=10p b+2c+d 10p ‌=cos` =cos`{3p+;3Ò;} 3 3 p p =cos`{p+ }=-cos` 3 3 =- ZB 0 두 점 (b, 0), (c, 0)은 직선 x=2p에 대하여 대칭이므로 ∴ cos` ZL Y ZL ZUU 따라서 주어진 방정식이 실근을 가지려 -;4%;ÉaÉ1 Y ZDPT Z 0 L Z 면 오른쪽 그림에서 그림과 같다. L y=tÛ`-t-1={t-;2!;}2`-;4%; y=tÛ`-2t-1=(t-1)Û`-2 따라서 주어진 방정식을 만족시키는 h가 1 2  Z 존재하려면 오른쪽 그림에서 ZU U -2ÉaÉ2 답 -;2!;  0 U ZB 답 -2ÉaÉ2 0709 sinÛ``x+2`cos`{x+;2Ò;}+k=0에서 단계 채점요소 배점  한 종류의 삼각함수로 나타내기 30 % sinÛ``x-2`sin`x+k=0  sin`x=t로 놓고 t에 대한 식 세우기 40 % ∴ -sinÛ``x+2`sin`x=k  a의 값의 범위 구하기 30 % 090 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_078~099_06강_ok.indd 90 2017-11-10 오후 4:28:00 p p 0716 각 a를 나타내는 동경과 각 b를 나타내는 동경이 y축에 0712 cos`{ 2 +x}`cos`{ 2 -x}+4`sin`(p+x)=k에서 대하여 대칭이므로 a+b=p (-sin`x)(sin`x)-4`sin`x=k 연립부등식 [ ∴ -sinÛ``x-4`sin`x=k 이 방정식이 실근을 가지려면 y=-sinÛ`x-4`sin`x의 그래프와 직선 y=k의 교점이 존재해야 한다. 이때 sin`x=t로 놓으면 0Éx<p에서 y y=-t2-4t 0ÉtÉ1 y=-tÛ`-4t=-(t+2)Û`+4 오른쪽 그림에서 Û 2`sinàÉ'2에서 sinàÉ 1 t y=k -5 -5ÉkÉ0 답 -5ÉkÉ0 0713 sin`{x- 3 }¾ 2 에서 x- 3 =t로 놓으면 '2 2 ∴ 0<aÉ;4Ò; {∵ 0<a<;2Ò;} Ú, Û에서 ;6Ò;<aÉ;4Ò; yy ㉡㉠, ㉡에서 ∴ ;4#;pÉb<;6%;p 0ÉxÉ2p이므로 - '3 2 ;6Ò;<p-bÉ;4Ò;, -;6%;p<-bÉ-;4#;p p 1 Ú 2`cosà<'3에서 cosà< ∴ ;6Ò;<a<;2Ò; {∵ 0<a<;2Ò;} 4 -2 O 따라서 주어진 방정식이 실근을 가지려면 p 2`cosà<'3 에서 2`sinàÉ'2 yy ㉠ 답 ;4#;pÉb<;6%;p p p p p 5 Éx- É2p- , 즉 - ÉtÉ p이고 3 3 3 3 3 1 주어진 부등식은 sin`t¾ 2 yy`㉠ 부등식 ㉠의 해는 y=sin`t의 Z 1 그래프가 직선 y= 보다 위 2 쪽(경계선 포함)에 있는 t의 L 값의 범위이므로 L ZTJOAU 0 L L L L 2(1-cosÛ``x)>3`cos`x Z 이때 -1Écos`xÉ1에서 cos`x+2>0이므로 2`cos`x-1<0 ∴ cos`x<;2!; 0ÉxÉ2p이므로 오른쪽 그림에서 p p 5 p 7 즉 Éx- É p ∴ ÉxÉ p 6 3 6 2 6 1 cos`x< 의 해는 2 p 7 5 따라서 a= , b= p이므로 a+b= p 2 6 3 답 ;3Ò;<hÉ;6%;p 5 p 3 Z ZDPTD L 0 L 0 L L Z y=sin`x의 그래프가 y=cos`x의 L 0 L D Z Y 따라서 a=;3Ò;, b=;3%;p이므로 답⑤ 0718 2`cosÛ``x<sin`x+1에서 2(1-sinÛ``x)<sin`x+1 (2`sin`x-1)(sin`x+1)>0 이때 sin`x+1¾0이므로 ZTJOAY L 2`sin`x-1>0 ∴ sin`x>;2!; L L Y 0ÉxÉ2p이므로 오른쪽 그림에서 1 sin`x> 의 해는 2 5 므로 오른쪽 그림에서 ;4Ò;ÉxÉ p 4 ZDPTAY ;6Ò;<x<;6%;p 따라서 주어진 부등식의 해가 아닌 것은 ⑤이다. 답⑤ Z ZTJOY 0 L L L Z L Y 답 ;6Ò;<x<;6%;p 06. 삼각함수의 그래프 알피엠_수Ⅰ_해설_078~099_06강_ok.indd 91 L 2`sinÛ``x+sin`x-1>0 0715 부등식 sin`x¾cos`x의 해는 의 값의 범위이다. 이때 0Éx<2p이 Z Z 답④ 그래프와 만나거나 그 위쪽에 있는 x ;3Ò;<x<;3%;p Z ZDPTY a+b=2p 0714 0Éh<p이므로 오른쪽 그림 는 2`cosÛ``x+3`cos`x-2<0 (2`cos`x-1)(cos`x+2)<0 U L p 5 ÉtÉ p 6 6 '3 에서 부등식 Écos`h<;2!;의 해 2 0717 2`sinÛ``x>3`cos`x에서 091 2017-11-10 오후 4:28:02 0719 cosÛ``{x-;;3Ò;}=1-sinÛ``{x-;3Ò;} D =sinÛ``h-(-3`cosÛ``h+2)É0 4 cos`{x+;6Ò;}=cos`[;2Ò;+{x-;3Ò;}]=-sin`{x-;3Ò;} sinÛ``h+3`cosÛ``h-2É0 이므로 2`cosÛ``{x-;3Ò;}-cos`{x+;6Ò;}-1¾0에서 2`cosÛ``h-1É0 (1-cosÛ``h)+3`cosÛ``h-2É0 2[1-sinÛ``{x-;3Ò;}]+sin`{x-;3Ò;}-1¾0 ('2`cos`h+1)('2`cos`h-1)É0 ∴- 이때 x-;3Ò;=t로 놓으면 0Éx<2p이므로 '2 '2 Écos`hÉ 2 2 5 -;3Ò;Éx-;3Ò;<2p-;3Ò;, 즉 -;3Ò;Ét< p이고 3 0Éh<p이므로 오른쪽 주어진 부등식은 p ÉhÉ;4#;p 4 그림에서 h의 값의 범위는 2`sinÛ``t-sin`t-1É0 y 1 '2 2 O y=cos h ;4#;p ;4Ò; 답 ∴ -;2!;Ésin`tÉ1 오른쪽 그림에서 -;2!;Ésin`tÉ1의 해는 Z L 0 U Z p ÉhÉ;4#;p 4 (2`sin`h+1)(2`sin`h-1)=0 0<h<p에서 0<sin`hÉ1이므로 sin`h=;2!; ∴ ;6Ò;ÉxÉ;2#;p ∴ h=;6Ò; 또는 h=;6%;p 따라서 a=;6Ò;, b=;2#;p이므로 따라서 a=;6Ò;, b=;6%;p이므로 ;6Ò; '2 2 D =4`sinÛ``h-1=0 4 즉 -;6Ò;Éx-;3Ò;É;6&;p ;2#;p y=- D라 할 때 Z L L L L h '2 2 0722 ⑴ xÛ`-4x`sin`h+1=0이 중근을 가지려면 판별식을 ZTJOAU -;6Ò;ÉtÉ;6&;p b = a p -1 - '2 2 (2`sin`t+1)(sin`t-1)É0 -;3Ò;Ét<;3%;p이므로 y= cos`(b-a)=cos`{;6%;p-;6Ò;}=cos`;3@;p=-;2!; =9 ⑵xÛ`+2x`cos`h+sin`h+1=0이 실근을 가지려면 판별식을 답9 D라 할 때 D =cosÛ``h-(sin`h+1)¾0 4 (1-sinÛ``h)-(sin`h+1)¾0 0720 cosÛ``h+4`sin`hÉ2a에서 sinÛ``h+sin`hÉ0, sin`h(sin`h+1)É0 (1-sinÛ``h)+4`sin`hÉ2a ∴ -1Ésin`hÉ0 ∴ sinÛ``h-4`sin`h+2a-1¾0 0<h<2p이므로 오른쪽 그림에서 이때 sin`h=t로 놓으면 -1ÉtÉ1이고 주어진 부등식은 yy`㉠ tÛ`-4t+2a-1¾0 Z 함수 ZUU h의 값의 범위는 pÉh<2p B Z 0 ZTJOAD L L D Z 답 ⑴ -;2!; ⑵ pÉh<2p y=tÛ`-4t+2a-1=(t-2)Û`+2a-5 는 t=1일 때 최솟값을 가지므로 -1ÉtÉ1에서 ㉠이 항상 성립하려면 1-4+2a-1¾0 0 0723 x에 대한 이차방정식 xÛ`-3x+sinÛ``h-3`cosÛ``h=0이 U ∴ a¾2 서로 다른 부호의 실근을 가지려면 두 근의 곱이 음수이어야 하므 로 근과 계수의 관계에 의하여 답 a¾2 sinÛ``h-3`cosÛ``h<0 (1-cosÛ``h)-3`cosÛ``h<0 0721 xÛ`-2x`sin`h-3`cosÛ``h+2¾0이 모든 실수 x에 대하 여 항상 성립하므로 x에 대한 이차방정식 xÛ`-2x`sin`h-3`cosÛ``h+2=0의 판별식을 D라 하면 092 1-4`cosÛ``h<0, 4`cosÛ``h-1>0 (2`cos`h+1)(2`cos`h-1)>0 ∴ cos`h<-;2!; 또는 cos`h>;2!; 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_078~099_06강_ok.indd 92 2017-11-10 오후 4:28:03 0ÉhÉ2p이므로 다음 그림에서 h의 값의 범위는 Z 0 ㄷ. tanÀ+tan`(B+C)=tanÀ+tan`(p-A) ZDPTD L L ㄴ. tan`(B+C)=tan`(p-A)=-tanÀ (거짓) Z =tanÀ-tanÀ=0 (참) L L D L Z ㄹ. cos`(B+C)=cos`(p-A)=-cosÀ이므로 -cosÀ>0에서 cosÀ<0 ;2Ò;<A<p이므로 삼각형 ABC는 둔각삼각형이다. (거짓) 0Éh<;3Ò; 또는 ;3@;p<h<;3$;p 또는 ;3%;p<hÉ2p 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 따라서 h의 값으로 옳지 않은 것은 ③ ;5@;p이다. 답 ㄱ, ㄷ 답③ 0726 A+C=p, B+D=p이므로 0724 x에 대한 이차방정식 xÛ`-2x`cos`h+cosÛ``h+2`sin`h-1=0이 허근을 가지려면 판 별식을 D라 할 때 C=p-A, D=p-B ㄱ. sinÀ+sin`B+sin`C+sin`D ‌ =sinÀ+sin`B+sin`(p-A)+sin`(p-B) D =cosÛ``h-(cosÛ``h+2`sin`h-1)<0 4 =2(sinÀ+sin`B)>0 (∵ 0<A<p, 0<B<p) (거짓) ㄴ. cosÀ+cos`B+cos`C+cos`D ‌ -2`sin`h+1<0 =cosÀ+cos`B+cos`(p-A)+cos`(p-B) ∴ sin`h>;2!; =cosÀ+cos`B-cosÀ-cos`B=0 (참)  0Éh<2p이므로 오른쪽 그림에서 h의 값의 범위는 ;6Ò;<h<;6%;p Z ZTJOD 0 L Z L D L ㄷ. tanÀ+tan`B+tan`C+tan`D ‌ =tanÀ+tan`B+tan`(p-A)+tan`(p-B) =tanÀ+tan`B-tanÀ-tan`B=0 (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. 답 ㄴ, ㄷ  따라서 a=;6Ò;, b=;6%;p이므로 sin`(b-a)=sin`{;6%;p-;6Ò;}=sin`;3@;p= 0727 10h=2p에서 5h=p이므로 '3 2 ① sin`6h=sin`(5h+h)=sin`(p+h)=-sin`h  답 단계 채점요소 '3 2 배점  판별식을 이용하여 허근을 가질 sin`h의 값의 범위 구하기 40 %  h의 값의 범위 구하기 40 %  sin`(b-a)의 값 구하기 20 % ∴ sin`h+sin`6h=0 ② sin`(-5h)=-sin`5h=-sin`p=0 sin`h+0이므로 sin`h+sin`(-5h)+0 ③ cos`4h=cos`(5h-h)=cos`(p-h)=-cos`h ∴ cos`2h+cos`4h=cos`2h-cos`h+0 ④ cos`4h=cos`(5h-h)=cos`(p-h)=-cos`h cos`6h=cos`(5h+h)=cos`(p+h)=-cos`h ∴ cos`4h=cos`6h ⑤ sin`h는 점 PÁ의 y좌표이고, cos`3h는 점 P£의 x좌표이므로 sin`h+cos`3h 답④ 유형 본문 91쪽 0725 A+B+C=p이므로 ㄱ. sin`{ B+C p-A }‌=sin`{ } 2 2 =sin`{;2Ò;=cos` A } 2 A (참) 2 0728 방정식 sin`px=;1£0;x의 서로 다른 실근의 개수는 y=sin`px의 그래프와 직선 y=;1£0;x의 교점의 개수와 같다. y=sin`px의 주기는 2p =2이므로 함수 y=sin`px와 p y=;1£0;x의 그래프를 그리면 다음 그림과 같다. 06. 삼각함수의 그래프 알피엠_수Ⅰ_해설_078~099_06강_ok.indd 93 093 2017-11-10 오후 4:28:04 Z z 0 위의 그림에서 f(x)=|sin`px|와 g(x)=|x-2|의 그래프의 ZbY ZTJOLY 교점의 개수가 3이므로 방정식 f(x)-g(x)=0, 즉 f(x)=g(x)의 서로 다른 실근의 개수는 3이다. Y 답② z 위의 그림에서 두 그래프의 교점의 개수가 7이므로 주어진 방정 식의 서로 다른 실근의 개수는 7이다. 답④ 0729 0ÉxÉ2p에서 방정식 sin`x=cos`2x의 실근의 개수 는 y=sin`x와 y=cos`2x의 그래프의 교점의 개수와 같다. 0ÉxÉ2p에서 함수 y=sin`x와 y=cos`2x의 그래프를 그리면 다음 그림과 같다. 시험에 꼭 나오는 문제 본문 92~95쪽 0732 각 함수의 주기를 구해 보면 다음과 같다. ① 2p ④ p ;2!; ② 2p =2p 2p ⑤ ;2!; ③p =4p 따라서 주기가 가장 긴 것은 ⑤이다. Z 답⑤ L L L Y L 0 0733 함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 f(x+8)=f(x)를 ZDPTAY ZTJOAY 위의 그림에서 두 그래프의 교점의 개수가 3이므로 주어진 방정 식의 서로 다른 실근의 개수는 3이다. 답3 만족시키므로 함수 f(x)는 주기함수이고 주기를 p라 할 때, pn=8을 만족시키는 정수 n이 존재해야 한다. ① 함수의 주기가 ② 함수의 주기가 2 0730 방정식 |cos`2x|= p x의 서로 다른 실근의 개수는 ③ 함수의 주기가 2 y=|cos`2x|의 그래프와 직선 y= x의 교점의 개수와 같다. p y=|cos`2x|의 주기는 p 2 이므로 함수 y=|cos`2x|와 y= x 2 p ;2#;p 2p ;2%;p 2p ;3Ò; =;3$;이므로 ;3$;_6=8 =;5$;이므로 ;5$;_10=8 =6이므로 6n=8을 만족시키는 정수 n이 다. y=;@;x ⑤ 함수의 주기가 y=|cos`2x| 1 2p 존재하지 않는다. 따라서 f(x+8)=f(x)를 만족시키지 않는 의 그래프를 그리면 다음 그림과 같다. y ④ ‌함수의 주기가 2p =2이므로 2_4=8 p p =;2!;이므로 ;2!;_16=8 2p 답④ -p O p ;2; 2p p x 위의 그림에서 두 그래프의 교점의 개수는 3이므로 주어진 방정 0734 ① 최댓값은 1+1=2이다. 식의 서로 다른 실근의 개수는 3이다. ② 최솟값은 -1+1=0이다. 답3 0731 f(x)="Ã1-cosÛ``px="ÃsinÛ``px=|sin`px| 이고 y=|sin`px|의 주기는 p =1이다. p Z 094 0 Z]TJOALY] Z]Y] ③ 주기는 2p =p이다. 2 ④ f(0)=sin`{-;4Ò;}+1=-sin`;4Ò;+1=따라서 그래프는 점 {0, '2 2-'2 +1= 2 2 2-'2 2 }를 지난다. ⑤ f(x)=sin`{2x-;4Ò;}+1=sin`2{x-;8Ò;}+1 따라서 y=sin`2x의 그래프를 x축의 방향으로 Y p 만큼, y축의 8 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다. 답⑤ 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_078~099_06강_ok.indd 94 2017-11-10 오후 4:28:05 p 0735 y=cos`2x+1의 그래프를 x축의 방향으로 2 만큼 평 행이동하면 y=cos`2{x- 0739 cos`(p+h)=-cos`h, tan`(2p-h)=-tan`h sin`{;2%;p+h}=cos`h, sin`(3p-h)=sin`h tan`(-h)=-tan`h, cos`{;2#;p-h}=-sin`h p }+1=cos`(2x-p)+1 2 ∴ ‌(주어진 식) =cos`(p-2x)+1 =-cos`2x+1 = 이 함수의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동하면 =tan`h-tan`h y=-cos`(-2x)+1=-cos`2x+1 답④ 0736 ( g½f )(x)=g( f(x))=-3f(x)+2 답③ cosÛ``;1É0;=cosÛ``;1»0;p =-3a`sin`x+3b+2 이때 a>0에서 -3a<0 cosÛ``;1ª0;p=cosÛ``;1¥0;p 최댓값이 11이므로 |-3a|+3b+2=11 yy`㉠ 최솟값이 -13이므로 -|-3a|+3b+2=-13 -3a+3b=-15 ∴ a-b=5 =0 0740 cosÛ``(p-h)=cosÛ``h이므로 =-3(a`sin`x-b)+2` 3a+3b=9 ∴ a+b=3 (-cos`h)(-tan`h) sin`h(-tan`h) cos`h -sin`h yy`㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=-1 ∴ ab=4´(-1)=-4 답 -4 p 0737 주어진 그래프에서 함수의 주기가 ;3@;p-{- 3 }=p이 고 a>0이므로 cosÛ``;1£0;p=cosÛ``;1¦0;p cosÛ``;1¢0;p=cosÛ``;1¤0;p 또한 cosÛ``{;2Ò;-h}=sinÛ``h이므로 cosÛ``;1É0;+cosÛ``;1¢0;p=cosÛ``;1É0;+sinÛ``;1É0;=1 cosÛ``;1ª0;p+cosÛ``;1£0;p=cosÛ``;1ª0;p+sinÛ``;1ª0;p=1 ∴ {cosÛ``;1É0;+cosÛ``;1ª0;p+y+cosÛ``;1»0;p}-cosÛ``;2Ò; =2`{cosÛ``;1É0;+cosÛ``;1ª0;p+cosÛ``;1£0;p+cosÛ``;1¢0;p} +cosÛ``;1°0;p-cosÛ``;2Ò; 2p =p ∴ a=2 a 주어진 함수의 그래프는 y=cos`2x+1의 그래프를 x축의 방향 =2`{cosÛ``;1É0;+cosÛ``;1ª0;p+cosÛ``;1£0;p+cosÛ``;1¢0;p} 으로 -b만큼 평행이동한 것이므로 =2(1+1)=4 -b=- p p ∴ b= 3 3 ∴ ab=2´ 답① p =;3@;p 3 0741 y=|cos`x-a|+2a에서 답 ;3@;p p 0738 함수 y=tanàx의 주기가 2p이므로 a =2p yy ㉠ cos`x=t로 놓으면 -1ÉtÉ1 주어진 함수는 y=|t-a|+2a이므로 ㉠의 범위에서 t=a일 때 최솟값 1을 가지므로 2a=1 ∴ a=;2!; 따라서 y=|t-;2!;|+1이므로 1 ∴ a= 2 1 1 함수 y=tan` x (0Éx<3p)의 그래프와 x축 및 직선 y= 2 2 1 로 둘러싸인 부분의 넓이는 가로의 길이가 2p, 세로의 길이가 2 인 직사각형의 넓이와 같다. t=-1일 때 최댓값은 ;2%;이다. 답 ;2%; 0742 y=sinÛ``x-cos`x-a 따라서 구하는 넓이는 =(1-cosÛ``x)-cos`x-a 2p´;2!;=p =-cosÛ``x-cos`x+1-a 답p 이때 cos`x=t로 놓으면 0ÉxÉ;2Ò;에서 0ÉtÉ1이고 06. 삼각함수의 그래프 알피엠_수Ⅰ_해설_078~099_06강_ok.indd 95 095 2017-11-10 오후 4:28:06 0746 '3`sinÛ``x-2`sin`x`cos`x-'3`cosÛ``x=0의 양변을 주어진 함수는 y=-tÛ`-t+1-a=-{t+;2!;}Û`+;4%;-a cosÛ``x로 나누면 Z 따라서 오른쪽 그림에서 t=0일 때 최댓값은 1-a이므로 1-a=;4!; ∴ a=;4#; Å ZUU B 0 B sin`x Û sin`x }`-2{ }-'3=0 cos`x cos`x '3`tanÛ``x-2`tan`x-'3=0 ('3`tan`x+1)(tan`x-'3)=0 U ∴ tan`x=답 ;4#; 1 또는 tan`x='3 '3 p <x<;2#;p에서 2 1 일 때, x=;6%;p '3 4 Û tan`x='3일 때, x= p 3 Ú tan`x=- sin`h +1 cos`h sin`h+cos`h tan`h+1 = 0743 y= 3`cos`h-sin`h = 3-tan`h sin`h 3cos`h 4 Ú, Û에서 x=;6%;p 또는 x= p 3 이때 tan`h=t로 놓으면 0ÉhÉ;4Ò;에서 0ÉtÉ1이고 4 따라서 모든 근의 합은 ;6%;p+ p=:Á6£:p 3 주어진 함수는 y= '3`{ 답 :Á6£:p t+1 t+1 =3-t t-3 =- (t-3)+4 4 =-1 t-3 t-3 따라서 오른쪽 그림에서 t=1일 때 최댓값 a=1 t=0일 때 최솟값 b=;3!; Z U Z U =(x-sin`h)Û`-sinÛ``h-cosÛ``h =(x-sin`h)Û`-1 0 0747 y‌=xÛ`-2x`sin`h-cosÛ``h U 꼭짓점의 좌표는 (sin`h, -1)이고 이 점이 직선 y=2'3x+2 위에 있으므로 ∴ a-b=1-;3!;=;3@; -1=2'3`sin`h+2, sin`h=답 ;3@; '3 2 ∴ h=;3$;p 또는 h=;3%;p (∵ 0Éh<2p) 답 h=;3$;p 또는 h=;3%;p 0744 sin`{;2Ò;-h}=cos`h, sin`(p-h)=sin`h, sin`{;2#;p-h}=-cos`h, sin`(2p-h)=-sin`h 0748 cosÀ=-;2!;이므로 A=;3@;p (∵ 0<A<p) 이므로 주어진 방정식은 이때 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 p이므로 cos`h+sin`h=-cos`h-sin`h A+B+C=p ∴ B+C=p-A 2`sin`h=-2`cos`h, sin`h=-cos`h ∴ sin` ∴ tan`h=-1 B+C-2p p-A-2p =sin` 2 2 따라서 0ÉhÉ2p에서 주어진 방정식의 해는 h=;4#;p 또는 h=;4&;p 이므로 모든 h의 값의 합은 ;4#;p+;4&;p=;2%;p =sin`{- p A - } 2 2 =-sin`{ p A + } 2 2 =-cos` 답④ =- 0745 log`(sin`h)-log`(cos`h)=;2!;`log`3에서 1 2 답② sin`h sin`h }=log`'3, ='3 cos`h cos`h p p tan`h='3 ∴ h= {∵ 0<h< } 3 2 log`{ 0749 sinÛ`à+cosÛ`à=1이므로 cosà=;3!; 을 대입하면 답 096 A p =-cos` 2 3 p 3 sinÛ`à+{;3!;}Û`=1 ∴ sinà= 2'2 (∵ 0<a<p) 3 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_078~099_06강_ok.indd 96 2017-11-10 오후 4:28:07 사각형 ABCD가 원에 내접하므로 a+b=p sinà=sin`(p-b)=sin`b= (2`cos`x-1)(cos`x-2)¾0 그런데 cos`x-2<0이므로 2'2 3 cos`xÉ;2!; cosà=cos`(p-b)=-cos`b=;3!; ∴ cos`b=-;3!; 0Éx<2p이므로 오른쪽 그림에서 sin`b ∴ tan`b= =-2'2 cos`b 답 -2'2 1 cos`xÉ 의 해는 2 p ÉxÉ;3%;p 3 y 1 1 ;2; O y=cos x p 3 답 다. 오른쪽 그림에서 함수 y=cos`x의 Z Ä 그래프의 대칭성에 의하여 a+b =p이므로 a+b=2p 2 0 ∴ sin`(a+b)=sin`2p=0 x p ÉxÉ;3%;p 3 0753 sinÛ``x+sin`x=cosÛ``x+cos`x에서 (sinÛ``x-cosÛ``x)+(sin`x-cos`x)=0 ZDPTY =L> 5 2p p 3 -1 0750 방정식 cos`x=-;4#;의 두 근이 a, b이므로 함수 3 y=cos`x의 그래프와 직선 y=- 의 교점의 x좌표는 a, b이 4 1 y=;2; (sin`x-cos`x)(sin`x+cos`x)+(sin`x-cos`x)=0 L Y Z 답③ (sin`x-cos`x)(sin`x+cos`x+1)=0 ∴ sin`x-cos`x=0 또는 sin`x+cos`x+1=0 Ú`sin`x=cos`x일 때 x=;4Ò; 또는 x=;4%;p (∵ 0Éx<2p) Û sin`x+cos`x+1=0일 때 2p 0751 y=sin`2x의 주기는 2 =p이므로 y=sin`2x의 그래 yy`㉠ sin`x+1=-cos`x 양변을 제곱하면 프는 다음과 같다. Z sinÛ``x+2`sin`x+1=cosÛ``x ZTJOAY # Z L L D EL L C Y 0 B Z $ % sinÛ``x+2`sin`x+1=1-sinÛ``x " 2`sin`x(sin`x+1)=0 ∴ sin`x=0 또는 sin`x=-1 ∴ x=0 또는 x=p 또는 x=;2#;p (∵ 0Éx<2p) 두 점 A, B는 직선 x=;4Ò;에 대하여 대칭이므로 a+b =;4Ò; ∴ a+b=;2Ò; 2 그런데 x=0은 ㉠을 만족시키지 못하므로 yy`㉠ Ú, Û에서 구하는 모든 근은 ;4Ò;, p, ;4%;p, ;2#;p이므로 두 점 C, D는 직선 x=;4#;p에 대하여 대칭이므로 c+d =;4#;p ∴ c+d=;2#;p 2 yy`㉡ a=4, b=;2#;p, c=;4Ò; ∴ a`cos`(b+c)‌=4`cos`;4&;p=4`cos`{2p- 두 점 B, C는 점 {;2Ò;, 0}에 대하여 대칭이므로 b+c =;2Ò; ∴ b+c=p 2 x=p 또는 x=;2#;p yy`㉢ =4`cos` p } 4 p =2'2 4 답 2'2 ㉠, ㉡, ㉢에서 a+2b+2c+d‌=(a+b)+(b+c)+(c+d) 3 =;2Ò;+p+ p=3p 2 0754 모든 실수 x에 대하여 f(x+p)=f(x)를 만족시키는 답 3p p 0752 2`sinÛ``x-3`sin`{ 2 +x}¾2`cos`x-4`cosÛ``x에서 2`sinÛ``x-3`cos`x¾2`cos`x-4`cosÛ``x 2(1-cosÛ``x)-3`cos`x¾2`cos`x-4`cosÛ``x 2`cosÛ``x-5`cos`x+2¾0 양수 p의 최솟값이 4p이므로 함수 f(x)=a`sin`b{x+;2Ò;}+c 의 주기는 4p이다. b>0이므로 ∴ b=;2!; 2p =4p b  한편, 함수 f(x)의 최댓값이 1, 최솟값이 -3이고 a>0이므로 06. 삼각함수의 그래프 알피엠_수Ⅰ_해설_078~099_06강_ok.indd 97 097 2017-11-10 오후 4:28:09 a+c=1, -a+c=-3 이때 sin`x=t로 놓으면 -pÉxÉp에서 -1ÉtÉ1이고 위의 두 식을 연립하여 풀면 주어진 함수는 a=2, c=-1  ∴ abc=2´;2!;´(-1)=-1 답 -1 채점요소  따라서 오른쪽 그림에서  단계 y=-tÛ`-t+1=-{t+;2!;}Û`+;4%; 배점  b의 값 구하기 50 %  a, c의 값 구하기 40 %  abc의 값 구하기 10 % ZUU t=-;2!;일 때 최댓값은 ;4%;, Z t=1일 때 최솟값은 -1이므로 최댓값과 최솟값의 합은 0 U ;4%;-1=;4!;  답 ;4!; p 단계 0755 [sin`{ 2 +h}+cos`{;2#;p+h}+1]Û` 채점요소 배점  함수의 식 정리하기 40 % =2`sin`(p-h)`cos`(2p-h)+3에서  sin`x=t로 치환하기 20 % (cos`h+sin`h+1)Û`=2`sin`h`cos`h+3  최댓값과 최솟값의 합 구하기 40 %  sinÛ``h+cosÛ``h+1+2(sin`h`cos`h+sin`h+cos`h) =2`sin`h`cos`h+3 2+2`sin`h`cos`h+2(sin`h+cos`h)=2`sin`h`cos`h+3 0757 x에 대한 이차방정식 xÛ`+2'2x`cos`h+3`sin`h=0이 sin`h+cos`h=;2!; 실근을 가지려면 판별식을 D라 할 때  (sin`h+cos`h)Û`={;2!;}Û`  sinÛ``h+2`sin`h`cos`h+cosÛ``h=;4!; 2`cosÛ``h-3`sin`h¾0 2(1-sinÛ``h)-3`sin`h¾0 1+2`sin`h`cos`h=;4!; 2`sinÛ``h+3`sin`h-2É0 ∴ sin`h`cos`h=-;8#; (2`sin`h-1)(sin`h+2)É0  답 -;8#; 단계 D =('2`cos`h)Û`-3`sin`h¾0 4 채점요소 이때 sin`h+2>0이므로 2`sin`h-1É0 ∴ sin`hÉ 1 2 배점  주어진 식을 간단히 정리하기 30 %  sin`h+cos`h의 값 구하기 30 %  sin`h`cos`h의 값 구하기 40 % 0756 sin`{x-;2Ò;}=-cos`x, cos`{x+;2Ò;}=-sin`x이므  p 3 ÉhÉ p이므로 오른쪽 그림에서 2 2 Z 주어진 방정식이 실근을 갖도록 하는 h의 값의 범위는 0 5 3 pÉhÉ p 6 2 ZTJOAD L L L D  로 y=sinÛ``{x-;2Ò;}+cos`{x+;2Ò;} 답 =cosÛ ‌ ``x-sin`x Z L 단계 채점요소 5 3 pÉhÉ p 6 2 배점 =(1-sinÛ``x)-sin`x  판별식을 이용하여 실근을 가질 부등식 세우기 30 % =-sinÛ``x-sin`x+1  sin`h의 값의 범위 구하기 40 %  h의 값의 범위 구하기 30 %  098 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_078~099_06강_ok.indd 98 2017-11-10 오후 4:28:10 0758 1+5 =3이므로 함수 y=a`cos`bx 2 Z B 0761 이차방정식 xÛ`-(4`cos`h)x+6`sin`h=0의 판별식을 ZBADPTACY D라 할 때, 이 이차방정식이 서로 다른 두 양의 실근을 가지려면 의 그래프는 직선 x=3에 대하여 대칭이다. M y=a`cos`bx의 그래프는 오른쪽 그림과 같 0 으므로 이 함수의 주기는 6이다. 즉 Y 2p p =6 ∴ b= b 3 이때 f(x)=a`cos` p x로 놓으면 3 f(1)=a`cos`;3Ò;= a 2 D =4`cosÛ``h-6`sin`h>0 4 4(1-sinÛ``h)-6`sin`h>0 2`sinÛ``h+3`sin`h-2<0 (2`sin`h-1)(sin`h+2)<0 0Éh<2p에서 sin`h+2>0이므로 2`sin`h-1<0 ∴ sin`h<;2!; 또 색칠한 직사각형의 넓이가 20이므로 Û 두 근의 합：4`cos`h>0 ∴ cos`h>0 a 4´ =20 ∴ a=10 2 Ü 두 근의 곱：6`sin`h>0 ∴ sin`h>0 답 10 Ú, Û, Ü에서 0<sin`h<;2!;, cos`h>0 오른쪽 그림에서 0<h< 0759 tan`179ù=tan`(180ù-1ù)=-tan`1ù tan`159ù=tan`(180ù-21ù)=-tan`21ù a=0, b= tan`139ù=tan`(180ù-41ù)=-tan`41ù p 6 ∴ sinà+cos`b tan`119ù=tan`(180ù-61ù)=-tan`61ù p 이므로 6 Z 0 L ZTJOD ZDPTD L L Z L D `=sin`0+cos`;6Ò; tan`99ù=tan`(180ù-81ù)=-tan`81ù ∴A +B `=0+ =(tan`1ù+tan`179ù)+(tan`21ù+tan`159ù) Ú '3 '3 = 2 2 답② +y+(tan`81ù+tan`99ù) =(tan`1ù-tan`1ù)+(tan`21ù-tan`21ù) +y+(tan`81ù-tan`81ù) =0 답0 0760 cosÛ``x+(a+2)`sin`x-(2a+1)>0에서 (1-sinÛ``x)+(a+2)`sin`x-(2a+1)>0 sinÛ``x-(a+2)`sin`x+2a<0 ∴ (sin`x-2)(sin`x-a)<0 모든 실수 x에 대하여 sin`x-2<0이므로 sin`x-a>0 ∴ sin`x>a 이 부등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하려면 a<-1 답 a<-1 06. 삼각함수의 그래프 알피엠_수Ⅰ_해설_078~099_06강_ok.indd 99 099 2017-11-10 오후 4:28:11 07 Ⅱ. 삼각함수 ∴ sin`C='6´ 삼각함수의 활용 '2 '3 ´;2!;= 2 2 0ù<C<180ù이므로 C=60ù 또는 C=120ù 답 60ù 또는 120ù 교과서 문제 정 복 하 기 / / / '3 본문 97쪽 0768 사인법칙에 의하여 sin`60ù =2R c 4 0762 사인법칙에 의하여 sin`45ù = sin`60ù 이므로 c`sin`60ù=4`sin`45ù, ∴ R= '3 c=2'2 2 답1 4'2 4'6 ∴ c= = 3 '3 답 4'6 3 b 5 0763 사인법칙에 의하여 sin`30ù = sin`45ù 이므로 b`sin`45ù=5`sin`30ù, ∴ b= 0769 A+B+C=180ù이므로 A=180ù-(100ù+50ù)=30ù 사인법칙에 의하여 '2 b=;2%; 2 ∴ R= 5 5'2 = 2 '2 6 ;2!; 6 =2R sin`30ù ´;2!;=6 답6 답 5'2 2 0770 b=c=2에서 △ABC는 B=C인 이등변삼각형이므로 B=C=;2!;(180ù-120ù)=30ù a 12 0764 사인법칙에 의하여 sin`30ù = sin`120ù 이므로 a`sin`120ù=12`sin`30ù, '3 ´;2!;=1 '3 2 사인법칙에 의하여 '3 a=6 2 ∴ R= 12 ∴ a= =4'3 '3 2 ;2!; 2 =2R sin`30ù ´;2!;=2 답 4'3 1 '2 답2 0771 △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 0765 사인법칙에 의하여 sinÀ = sin`135ù 이므로 '2`sinÀ=sin`135ù 사인법칙에 의하여 ∴ sinÀ= ∴ R= '2 1 ´ =;2!; 2 '2 0ù<A<180ù이므로 A=30ù 또는 A=150ù 12 ;2!; 12 =2R sin`150ù ´;2!;=12 따라서 △ABC의 외접원의 넓이는 그런데 A+C<180ù이어야 하므로 p´12Û`=144p A=30ù 답 144p 답 30ù 2 2'2 0766 사인법칙에 의하여 sin`30ù = sin`B 이므로 2`sin`B=2'2`sin`30ù ∴ sin`B=2'2´;2!;´;2!;= 0772 코사인법칙에 의하여 aÛ`‌=5Û`+7Û`-2´5´7ćos`60ù 1 =25+49-2´5´7´ =39 2 '2 2 a>0이므로 a='39 0ù<B<180ù이므로 B=45ù 또는 B=135ù 답 45ù 또는 135ù 2 '6 0767 사인법칙에 의하여 sin`45ù = sin`C 이므로 2`sin`C='6`sin`45ù 100 답 '39 0773 코사인법칙에 의하여 bÛ`‌=3Û`+6Û`-2´3´6ćos`60ù 1 =9+36-2´3´6´ =27 2 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_100~113_07강_ok.indd 100 2017-11-10 오후 4:28:38 b>0이므로 b='27=3'3 답 3'3 0774 코사인법칙에 의하여 ;2!;´r´18=18 ∴ r=2 답2 0782 B=D=60ù이므로 cÛ`‌=12Û`+6Û`-2´12´6ćos`120ù  ABCD‌ =2´3´sin`60ù 1 =144+36-2´12´6´{- }=252 2 =2´3´ '3 =3'3 2 c>0이므로 c='§252=6'7 답 3'3 답 6'7 0783 A+B=180ù이므로 A=45ù 0775 코사인법칙에 의하여 cosÀ= ∴  ABCD‌ =3´4´sin`45ù 5Û`+(3'2)Û`-1Û` 7 7'2 = = 10 2´5´3'2 5'2 =3´4´ 답 '2 =6'2 2 7'2 10 답 6'2 0784 C=A=150ù이므로 0776 코사인법칙에 의하여  ABCD‌ =4´5´sin`150ù 2Û`+(2'3)Û`-2Û` 3 '3 cos`B= = = 2 2´2´2'3 2'3 0ù<B<180ù이므로 B=30ù 1 =4´5´ =10 2 답 10 답 30ù 1 0785  ABCD‌= 2 ´10´14´sin`120ù 0777 △ABC의 넓이를 S라 하면 =;2!;´10´14´ 1 S‌= ´8´12´sin`30ù 2 '3 =35'3 2 답 35'3 1 1 = ´8´12´ =24 2 2 답 24 유형 익 히 기 / 0778 △ABC의 넓이를 S라 하면 1 S‌= ´6´5´sin`120ù 2 / 본문 98~104쪽 0786 A+B+C=180ù이므로 '3 15'3 =;2!;´6´5´ = 2 2 A=180ù-(45ù+75ù)=60ù 답 15'3 2 사인법칙에 의하여 a 8 = 이므로 sin`60ù sin`45ù a`sin`45ù=8`sin`60ù, 0779 △ABC의 넓이를 S라 하면 '2 a=4'3 2 ∴ a=4'6 1 S‌= ´8´9´sin`135ù 2 답② 1 '2 = ´8´9´ =18''2 2 2 6 답 18'2 b 0787 사인법칙에 의하여 sin`120ù = sin`30ù 이므로 b`sin`120ù=6`sin`30ù, '3 b=3 2 ∴ b=2'3 0780 △ABC의 넓이를 S라 하면 S=;2!;´'3´20=10'3 답⑤ 답 10'3 0781 내접원의 반지름의 길이를 r라 하면 2 2'3 0788 사인법칙에 의하여 sin`B = sin`120ù 이므로 2'3`sin`B=2`sin`120ù 07. 삼각함수의 활용 알피엠_수Ⅰ_해설_100~113_07강_ok.indd 101 101 2017-11-10 오후 4:28:39 ∴ sin`B=;2!; BDÓ 6 sinÀ ∴ = =2 sin`C BDÓ 12 0ù<B<180ù이므로 B=30ù 또는 B=150ù 그런데 B+C<180ù이어야 하므로 B=30ù ∴ A‌=180ù-(30ù+120ù) 답② =30ù 답② 0793 A+B+C=p이므로 A+B=p-C 따라서 sin`(A+B)=sin`(p-C)=sin`C이므로 0789 ∠ABC=90ù, ∠ABD=60ù이므로 5`sin`(A+B)`sin`C=5`sinÛ``C=4 ∠DBC=90ù-60ù=30ù 또 △ABC는 ABÓ=BCÓ인 직각이등변삼각형이므로 ∴ sinÛ``C=;5$; ∠BAC=∠BCA=45ù 이때 0ù<C<180ù에서 sin`C>0이므로 한편, 한 호에 대한 원주각의 크기는 같으므로 sin`C= 2 '5 △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하 ∠BDC=∠BAC=45ù 따라서 △BCD에서 사인법칙에 의하여 여 CDÓ BCÓ = 이므로 sin`30ù sin`45ù c=2R`sin`C=2´'5´ '2 BCÓ`sin`30ù=CDÓ`sin`45ù, 6'2´;2!;=CDÓ´ 2 2 =4 '5 답4 ∴ CDÓ=6 답6 0794 A+B+C=180ù이고, A：B：C=1：2：3이므로 A=180ù_;6!;=30ù '6 b 0790 사인법칙에 의하여 sin`60ù = sin`45ù 이므로 B=180ù_;6@;=60ù b`sin`60ù='6`sin`45ù, C=180ù_;6#;=90ù '3 b='3 2 ∴ b=2 ∴ a：b：c‌=sin`30ù：sin`60ù：sin`90ù '6 또 =2R에서 sin`60ù R= =;2!;： '6 ´;2!;='2 '3 2 '3 ：1 2 =1：'3：2 답③ 답 b=2, R='2 0795 a b a+b=4k, b+c=5k, c+a=5k c 0791 sinÀ+sin`B+sin`C‌= 2R + 2R + 2R 세 식을 연립하여 풀면 a+b+c = 2R = a+b b+c c+a = = =k`(k>0)라 하면 4 5 5 a=2k, b=2k, c=3k ∴ sinÀ：sin`B：sin`C‌=a：b：c=2k：2k：3k a+b+c =;2#; 2´10 =2：2：3 ∴ a+b+c=;2#;´20=30 답② 답⑤ 0796 a-2b+c=0 yy ㉠ 3a+b-2c=0 yy ㉡ 0792 선분 BD를 그으면 △ABD에서 사인법칙에 의하여 ㉠+2_㉡을 하면 BDÓ BDÓ sinÀ= = 2´3 6 7a-3c=0 ∴ a=;7#;c 또 △BCD에서 사인법칙에 의하여 ㉢을 ㉠에 대입하면 sin`C= 102 BDÓ BDÓ = 2´6 12 yy ㉢ ;7#;c-2b+c=0 ∴ b=;7%;c 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_100~113_07강_ok.indd 102 2017-11-10 오후 4:28:40 ∴ sinÀ：sin`B：sin`C‌=a：b：c 이 식을 정리하면 yy ㉠ sinÛ`À=sinÛ``B+sinÛ``C 3 = c：;7%;c：c 7 이때 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인 =3：5：7 답① 법칙에 의하여 sinÀ= a b c , sin`B= , sin`C= 2R 2R 2R 0797 A+B+C=p이므로 이것을 ㉠에 대입하면 sin`(A+B)：sin`(B+C)：sin`(C+A) { =sin`(p-C)：sin`(p-A)：sin`(p-B) a Û b Û c Û }`={ }`+{ }` 2R 2R 2R ∴ aÛ`=bÛ`+cÛ` =sin`C：sinÀ：sin`B 따라서 삼각형 ABC는 A=90ù인 직각삼각형이다. =c：a：b 답④ =5：4：7 즉 a：b：c=4：7：5이므로 a=4k, b=7k, c=5k (k>0)로 놓으면 0801 코사인법칙에 의하여 aÛ`+bÛ`+cÛ` (4k)Û`+(7k)Û`+(5k)Û` 90kÛ` = = =;2(; ac 4k´5k 20kÛ` bÛ`‌=3Û`+6Û`-2´3´6ćos`60ù 답 ;2(; 0798 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사 인법칙에 의하여 sinÀ= b>0이므로 b=3'3 이때 △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여 3'3 =2R sin`60ù a b c , sin`B= , sin`C= 2R 2R 2R ∴ R= 이것을 주어진 식에 대입하면 (b-c)´ 1 =9+36-2´3´6´ =27 2 a b c =b´ -c´ 2R 2R 2R 3'3 3'3 = =3 2`sin`60ù '3 2´ 2 따라서 △ABC의 외접원의 넓이는 (b-c)a=bÛ`-cÛ` p´3Û`=9p (b-c)a-(b-c)(b+c)=0 답③ (b-c){a-(b+c)}=0 그런데 삼각형의 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 크므로 0802 코사인법칙에 의하여 a-(b+c)+0 ∴ b=c bÛ`=cÛ`+aÛ`-2ca`cos`B 따라서 삼각형 ABC는 b=c인 이등변삼각형이다. (3'2 )Û`=(2'3 )Û`+aÛ`-2´2'3áćos`60ù 답③ aÛ`-2'3 a-6=0 ∴ a=3+'3 (∵ a>0) 답 3+'3 0799 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사 인법칙에 의하여 sinÀ= a b , sin`B= 2R 2R 0803 평행사변형 ABCD에서 B=60ù이므로 A=120ù △ABD에서 코사인법칙에 의하여 BDÓ Û`‌=5Û`+3Û`-2´5´3ćos`120ù 이것을 주어진 식에 대입하면 a´ a b =b´ , aÛ`=bÛ` 2R 2R 1 =25+9-2´5´3´{- }=49 2 ∴ a=b (∵ a>0, b>0) BDÓ>0이므로 BDÓ=7 따라서 삼각형 ABC는 a=b인 이등변삼각형이다. 답7 답④ 0800 cosÛ`À=1-sinÛ`À, cosÛ``B=1-sinÛ``B, 0804 사인법칙에 의하여 cosÛ``C=1-sinÛ``C이므로 주어진 식에 대입하면 7'3 =2´7 sinÀ (1-sinÛ`À)-(1-sinÛ``B)-(1-sinÛ``C)=-1 07. 삼각함수의 활용 알피엠_수Ⅰ_해설_100~113_07강_ok.indd 103 103 2017-11-10 오후 4:28:40 ∴ sinÀ= '3 2 따라서 △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙 에 의하여 그런데 90ù<A<180ù이므로 A=120ù 7 =2R sin`C 따라서 코사인법칙에 의하여 (7'3`)Û`=bÛ`+(2b)Û`-2´b´2b`cos`120ù 7 35'6 7 ∴ R= 2`sin`C = = 24 4'6 5 147=bÛ`+4bÛ`+2bÛ` 7bÛ`=147, bÛ`=21  ∴ b='21 (∵ b>0) 답 답② 단계 0805 3a+2b-3c=0 yy ㉠ 4a-4b+c=0 yy ㉡㉠_2+㉡을 하면 채점요소 ㉢을 ㉡에 대입하면  cos`C의 값 구하기 30 %  sin`C의 값 구하기 30 %  외접원의 반지름의 길이 구하기 40 % 0808 CFÓ=CHÓ="Ã6Û`+3Û`=3'5 4a-4b+2a=0 ∴ b=;2#;a FHÓ="Ã3Û`+3Û`=3'2 따라서 코사인법칙에 의하여 따라서 △CFH에서 코사인법칙에 의하여 cosÀ= 2´;2#;a´2a 배점 yy ㉢ 10a-5c=0 ∴ c=2a {;2#;a}Û`+(2a)Û`-aÛ` 35'6 24 cos`h‌ = =;8&; (3'5 )Û`+(3'5 )Û`-(3'2 )Û` 4 = 5 2´3'5´3'5 답④ 답 ;8&; 0809 가장 긴 변의 대각이 최대각이므로 최대각의 크기를 h라 하면 코사인법칙에 의하여 0806 (a+b)：(b+c)：(c+a)=5：7：6이므로 양수 k에 대하여 a+b=5k yy ㉠ b+c=7k yy ㉡ c+a=6k yy ㉢ 라 하자. ㉠+㉡+㉢을 하면 따라서 △ABC의 최대각의 크기는 135ù이다. 답 135ù 0810 "ÃaÛ`+ab+bÛ` >"ÅaÛ`=a>b이므로 "ÃaÛ`+ab+bÛ` 이 가 2(a+b+c)=18k yy ㉣ ∴ a+b+c=9k 1Û`+(2'2 )Û`-('13)Û` -4 '2 = =2 2´1´2'2 4'2 0ù<h<180ù이므로 h=135ù cos`h= ㉣-㉡을 하면 a=2k 장 긴 변의 길이이다. 이때 가장 긴 변의 대각이 최대각이므로 최대각의 크기를 h라 하 면 코사인법칙에 의하여 ㉣-㉢을 하면 b=3k aÛ`+bÛ`-("ÃaÛ`+ab+bÛ`)Û` =-;2!; 2ab ㉣-㉠을 하면 c=4k cos`h= 따라서 코사인법칙에 의하여 0ù<h<180ù이므로 h=120ù (2k)Û`+(4k)Û`-(3k)Û` cos`B= =;1!6!; 2´2k´4k 따라서 △ABC의 최대각의 크기는 120ù이다. 답 120ù 답⑤ 0811 사인법칙에 의하여 0807 코사인법칙에 의하여 cos`C= sinÀ：sin`B：sin`C=a：b：c=3：5：7 4Û`+5Û`-7Û` =-;5!; 2´4´5 이므로 최소각은 A이다.  0ù<C<180ù에서 sin`C>0이므로 sin`C="1Ã-cosÛ``C= 여 2'6 5 cos`h=cosÀ=  104 이때 a=3k, b=5k, c=7k (k>0)라 하면 코사인법칙에 의하 (5k)Û`+(7k)Û`-(3k)Û` =;1!4#; 2´5k´7k 답② 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_100~113_07강_ok.indd 104 2017-11-10 오후 4:28:41 0812 6a 2'3 b 3c = = ∴ 6a=2'3 b=3c 2R 2R 2R 2a-b 2b-c 4c-5a = = =k (k>0)라 하면 2 3 5 2a-b=2k, 2b-c=3k, 4c-5a=5k 각 변을 6으로 나누어 a= 세 식을 연립하여 풀면 a=k, b='3 k, c=2k a=3k, b=4k, c=5k  b =;2C;=k (k>0)라 하면 '3 코사인법칙에 의하여 ('3k)Û`+(2k)Û`-kÛ` 3 '3 = = 2 2´'3k´2k 2'3 0ù<A<180ù이므로 A=30ù cosÀ= 이때 가장 짧은 변의 길이가 a이므로 A가 최소각이다.  따라서 코사인법칙에 의하여 답⑤ (4k)Û`+(5k)Û`-(3k)Û` cos`h=cosÀ= =;5$; 2´4k´5k  답 ;5$; 단계 채점요소 배점  a, b, c를 k를 사용하여 나타내기 40 %  A가 최소각임을 알기 20 %  cos`h의 값 구하기 40 % 0816 cosÀ= bÛ`+cÛ`-aÛ` aÛ`+bÛ`-cÛ` , cos`C= 2bc 2ab 이것을 주어진 식에 대입하면 a´ aÛ`+bÛ`-cÛ` bÛ`+cÛ`-aÛ` =c´ 2ab 2bc aÛ`+bÛ`-cÛ`=bÛ`+cÛ`-aÛ` aÛ`=cÛ` ∴ a=c (∵ a>0, c>0) 따라서 △ABC는 a=c인 이등변삼각형이다. 0813 사인법칙에 의하여 답③ sinÀ：sin`B：sin`C=a：b：c=3：5：7 a=3k, b=5k, c=7k (k>0)라 하면 코사인법칙에 의하여 (3k)Û`+(5k)Û`-(7k)Û` cos`C= =-;2!; 2´3k´5k 0817 cosÀ= bÛ`+cÛ`-aÛ` cÛ`+aÛ`-bÛ` , cos`B= 2bc 2ca 이것을 주어진 식에 대입하면 0ù<C<180ù이므로 C=120ù 답④ a´ cÛ`+aÛ`-bÛ` bÛ`+cÛ`-aÛ` -b´ =c 2ca 2bc (cÛ`+aÛ`-bÛ`)-(bÛ`+cÛ`-aÛ`)=2cÛ` 0814 △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법 칙에 의하여 sinÀ= 답④ 0818 tanÀ`sinÀ=tan`B`sin`B에서 a b b c c a + }：{ + }：{ + }=7：9：10 2R 2R 2R 2R 2R 2R sinÀ sin`B ´sinÀ= ´sin`B cosÀ cos`B 즉 (a+b)：(b+c)：(c+a)=7：9：10 a+b=7k, b+c=9k, c+a=10k (k>0)라 하고 세 식을 연립 하여 풀면 a=4k, b=3k, c=6k 따라서 코사인법칙에 의하여 (3k)Û`+(6k)Û`-(4k)Û` cosÀ= =;3@6(; 2´3k´6k 0815 △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법 칙에 의하여 a b c , sin`B= , sin`C= 2R 2R 2R 이므로 yy ㉠ ∴ cos`B`sinÛ`À=cosÀ`sinÛ``B △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 sinÀ= a b , sin`B= 이고, 2R 2R cosÀ= bÛ`+cÛ`-aÛ` cÛ`+aÛ`-bÛ` , cos`B= 이므로 2bc 2ca 이것을 ㉠에 대입하면 답⑤ sinÀ= 따라서 △ABC는 빗변의 길이가 a인 직각삼각형이다. a b c , sin`B= , sin`C= 2R 2R 2R 이므로 { ∴ aÛ`=bÛ`+cÛ` cÛ`+aÛ`-bÛ` aÛ` bÛ`+cÛ`-aÛ` bÛ` ´ = ´ 2ca 2bc 4RÛ` 4RÛ` a(cÛ`+aÛ`-bÛ`)=b(bÛ`+cÛ`-aÛ`) aÜ`+acÛ`-abÛ`=bÜ`+bcÛ`-aÛ`b aÜ`-bÜ`+(a-b)cÛ`+(a-b)ab=0 (a-b)(aÛ`+2ab+bÛ`+cÛ`)=0 ∴ a=b (∵ a>0, b>0, c>0) 07. 삼각함수의 활용 알피엠_수Ⅰ_해설_100~113_07강_ok.indd 105 105 2017-11-10 오후 4:28:42 따라서 △ABC는 a=b인 이등변삼각형이다. 따라서 △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r라 하면 답② S=;2!;r(a+b+c)에서 0819 △ABC=△ABD+△ADC이므로 ADÓ=x라 하면 10'3=;2!;r(7+5+8) ;2!;´4'3´3'3´sin`60ù 10'3=10r ∴ r='3 =;2!;´4'3´x´sin`30ù+;2!;´x´3'3´sin`30ù 답③ 3'3 7'3 9'3='3 x+ x, x=9'3 4 4 ∴ x= 0823 헤론의 공식에서 s= 36 7 따라서 ADÓ의 길이는 9+10+11 =15이므로 △ABC 2 의 넓이를 S라 하면 36 이다. 7 S‌="Ã15(15-9)(15-10)(15-11) 답④ =30'2  0820 △ABC의 넓이를 S라 하면 S= '2 1 S‌= ´4ć´sin`135ù=;2!;´4ć´ =2 2 2 ∴ R= ∴ c='2 33'2 8  따라서 코사인법칙에 의하여 S=;2!;r(a+b+c)에서 30'2=;2!;r(9+10+11) aÛ`‌=4Û`+('2 )Û`-2´4´'2ćos`135ù =16+2-2´4´'2´{- abc 9´10´11 에서 30'2= 4R 4R '2 }=26 2 30'2=15r ∴ r=2'2 a>0이므로 a='26 답 '26  ∴ R-r= 0821 µAB：µ BC：µ CA=3：4：5이므로 33'2 17'2 -2'2= 8 8  3 ∠AOB=360ù´ =90ù 3+4+5 ∠BOC=360ù´ 답 4 =120ù 3+4+5 단계 채점요소 17'2 8 배점  헤론의 공식을 이용하여 △ABC의 넓이 구하기 30 %  R의 값 구하기 30 % △ABC의 외접원의 반지름의 길이가 2이므로  r의 값 구하기 30 % △ABC‌=△AOB+△BOC+△COA  R-r의 값 구하기 10 % ∠COA=360ù´ 5 =150ù 3+4+5 1 = ´2´2´sin`90ù+;2!;´2´2´sin`120ù 2 1 + ´2´2´sin`150ù 2 =2(sin`90ù+sin`120ù+sin`150ù) =2{1+ 헤론의 공식에서 s= =3+'3 1 S‌= ´5´8´sin`60ù 2 S # kÛ`=4 S =2'2 kÛ` =8'2 ± " 0822 △ABC의 넓이를 S라 하면 106 2k+3k+3k =4k이므로 2 S‌="Ã4k(4k-2k)(4k-3k)(4k-3k) 답⑤ =10'3 a=2k, b=3k, c=3k (k>0)라 하고 △ABC의 넓이를 S라 하면 '3 +;2!;} 2 1 '3 = ´5´8´ 2 2 0824 sinÀ：sin`B：sin`C=a：b：c=2：3：3이므로 S ∴ k=2`(∵ k>0) 따라서 △ABC의 둘레의 길이는 $ a+b+c=8k=16 답 16 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_100~113_07강_ok.indd 106 2017-11-10 오후 4:28:43 0825 헤론의 공식에서 s= 8+12+10 =15이므로 삼각형 2 ∠CBD=h라 하면 사인법칙에 의하여 ABC의 넓이를 S라 하면 4 4'3 = , sin`h=;2!; sin`h sin`60ù S="Ã15(15-8)(15-12)(15-10)=15'7 ∴ h=30ù 또는 h=150ù 이때 S=;2!;ĆAÓĆBÓ´sin`C이므로 그런데 h<B=75ù이므로 h=30ù 15'7=;2!;´10´12´sin`C ∴ sin`C= ∴ ∠ABD=75ù-30ù=45ù '7 4 ∴  ABCD‌=△ABD+△BCD 1 = ´3´4'3´sin`45ù+;2!;´4´8´sin`60ù 2 한편, 점 D는 변 BC를 1：3으로 내분하므로 CDÓ=9 또 0<C<90ù에서 cos`C="Ã1-sinÛ``C=¾¨1-{ =;2!;´3´4'3´ '7 Û` 3 }=4 4 '2 '3 +;2!;´4´8´ 2 2 =3'6+8'3 따라서 △ACD에서 코사인법칙에 의하여 10Û`+9Û`-ADÓ Û` ;4#;= 2´10´9 답 3'6+8'3 ∴ ADÓ='46 답 '46 0829 △ABC에서 코사인법칙에 의하여 cos`B= 7Û`+8Û`-13Û` =-;2!; 2´7´8 90ù<B<180ù이므로 0826 △ABD의 넓이는 B=120ù ;2!;´4´8´sin`30ù=;2!;´4´8´;2!;=8 따라서 평행사변형 ABCD의 넓이 S는 △BCD의 넓이는 헤론의 공식을 이용하면 S=7´8´sin`120ù=7´8´ 8+8+2 s= =9이므로 2 '3 =28'3 2 답⑤ "Ã9(9-8)(9-8)(9-2)=3'7 따라서 사각형 ABCD의 넓이 S는 0830 평행사변형 ABCD에서 ADÓ=BCÓ=4이고 넓이가 4'2 S=△ABD+△BCD=8+3'7 답 8+3'7 이므로 2´4´sinÀ=4'2 ∴ sinÀ= '2 2 90ù<A<180ù이므로 A=135ù 0827 BDÓ를 그으면 △ABD에서 코사인법칙에 의하여 BDÓ Û`‌ =5Û`+3Û`-2´5´3ćos`120ù 답④ 1 =25+9-2´5´3´{- }=49 2 0831 △ABC에서 코사인법칙에 의하여 ∴ BDÓ=7 △ABD의 넓이는 ;2!;´5´3´sin`120ù=;2!;´5´3´ (3'3 )Û`=3Û`+BCÓ Û`-2´3´BCÓćos`60ù 27=9+BCÓ Û`-3BCÓ '3 15'3 = 2 4 BCÓ Û`-3BCÓ-18=0 (BCÓ-6)(BCÓ+3)=0 △BCD의 넓이는 헤론의 공식을 이용하면 s= ∴ BCÓ=6 8+3+7 =9이므로 2 따라서 평행사변형 ABCD의 넓이 S는 "Ã9(9-8)(9-3)(9-7)=6'3 S=3´6´sin`60ù=3´6´ ∴  ABCD‌ =△ABD+△BCD 15'3 39'3 = +6'3= 4 4 0828 BDÓ를 그으면 △BCD에서 코사인법칙에 의하여 BDÓ Û`=4Û`+8Û`-2´4´8ćos`60ù 1 =16+64-2´4´8´ =48 2 ∴ BDÓ='48=4'3 답④ '3 =9'3 2 답 9'3 0832 사각형 ABCD의 넓이가 3'3이므로 ;2!;´4ÁCÓ´sin`120ù=3'3 ;2!;´4ÁCÓ´ '3 =3'3 2 ∴ ACÓ=3 답3 07. 삼각함수의 활용 알피엠_수Ⅰ_해설_100~113_07강_ok.indd 107 107 2017-11-10 오후 4:28:44 0833 두 대각선이 이루는 예각의 크기를 h라 하면 사각형 ABCD의 넓이가 8이므로 ∴ R= 5 = 2`sin`60ù 5'3 5 = 3 '3 2´ 2 ;2!;´4´8´sin`h=8, sin`h=;2!; 따라서 구하는 물통의 부피는 ∴ h=30ù 또는 h=150ù p´{ 그런데 h는 예각이므로 h=30ù 5'3 Û }`´9=75p 3 답 75p 답② 0838 오른쪽 그림과 같이 0834 사각형 ABCD의 넓이가 2이므로 " 두 건물 위의 끝의 두 지점을 ;2!;á´b´sin`30ù=2 ± ± # 두 지점을 B, D라 하자. 답 20 ∠BAC=15ù+90ù=105ù, ∠ABC=90ù-45ù=45ù이므로 ∠ACB=180ù-(105ù+45ù)=30ù BCÓ 30 = 이고 sin`105ù sin`30ù 0835 두 대각선의 길이를 p, q라 하면 사인법칙에 의하여 p+q=8에서 q=8-p>0 sin`105ù=sin`(90ù+15ù)=cos`15ù= ∴ 0<p<8 BCÓ= ‌ 사각형 ABCD의 넓이를 S라 하면 1 S‌= pq`sin`60ù 2 30 '6+'2 ´sin`105ù= 30 ´ sin`30ù 4 ;2!; '6+'2 이므로 4 =15('6+'2 )(m) '3 =;2!;p(8-p)´ 2 △CBD에서 '3 (-pÛ`+8p) 4 =- % △ABC에서 ∴ aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=6Û`-2´8=20 = $ ± N 각각 A, C라 하고, 지면 위의 ;2!;ab´;2!;=2 ∴ ab=8 ± CDÓ=BCÓ ‌ `sin`45ù=15('6+'2 )´ '2 2 =15('3+1)(m) '3 (p-4)Û`+4'3 4 따라서 옆 건물의 높이는 15('3+1)`m이다. 따라서 사각형 ABCD의 넓이의 최댓값은 4'3이다. 답 15('3+1)`m 답② 0839 △ACB에서 코사인법칙에 의하여 ABÓ Û`‌=50Û`+60Û`-2´50´60ćos`60ù =2500+3600-2´50´60´ 유형 본문 105쪽 =3100 ∴ ABÓ=10'31`(m) 0836 △ABC에서 A+B+C=180ù이므로 따라서 두 나무 A, B 사이의 거리는 10'31`m이다. C=180ù-(60ù+75ù)=45ù 답② 50 BCÓ 사인법칙에 의하여 = 이므로 sin`45ù sin`60ù BCÓ=sin`60ù´ 1 2 0840 CDÓ=x`m라 하면 △ACD에서 '3 50 50 = ´ =25'6`(m) 2 sin`45ù '2 2 x ∴ ACÓ='3 x`(m) ACÓ 또 △BCD는 ∠BCD=90ù인 직각이등변삼각형이므로 tan`30ù= 따라서 두 지점 B, C 사이의 거리는 25'6`m이다. 답③ BCÓ=CDÓ=x`(m) 따라서 △ABC에서 코사인법칙에 의하여 0837 C=180ù-(50ù+70ù)=60ù 10Û`=('3 x)Û`+xÛ`-2´'3 x´xćos`30ù 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 100=3xÛ`+xÛ`-2´'3 x´x´ 의하여 5 =2R sin`60ù 108 '3 2 xÛ`=100 ∴ x=10 (∵ x>0) 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_100~113_07강_ok.indd 108 2017-11-10 오후 4:28:44 0844 △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 따라서 가로등의 높이는 10`m이다. 답⑤ 0841 오른쪽 그림의 원뿔의 옆면의 0 전개도에서 구하는 최단 거리는 선 D " a b c , sin`B= , sin`C= 2R 2R 2R ∴ sinÀ+sin`B+sin`C‌= = 1 분 AP의 길이이다. 이때 원뿔의 밑면의 둘레의 길이가 sinÀ= " a b c + + 2R 2R 2R a+b+c 4 = =2 2R 2´1 답④ # L 2p이므로 0845 CDÓ=2이므로 직각삼각형 BCD에 µAB=;2!;µAA'=;2!;´2p=p 서 BDÓ="Ã4Û`+2Û`=2'5 부채꼴 OAB의 중심각의 크기를 h라 하면 45ù D △ABD의 외접원의 반지름의 길이를 R라 3´h=p에서 h=;3Ò; 하면 A=45ù이므로 따라서 △OAP에서 코사인법칙에 의하여 APÓ Û`‌=3Û`+2Û`-2´3´2ćos` A 2R= p 3 B 2'5 =2'10 sin`45ù 2'5 C 4 ∴ R='10 답 '10 1 =9+4-2´3´2´ =7 2 ∴ APÓ='7 답 ''7 0846 △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법 칙에 의하여 sinÀ= 시험에 꼭 나오는 문제 본문 106~109쪽 2 a b , sin`B= 2R 2R 이므로 이것을 주어진 식에 대입하면 '3´ a b = 2R 2R 0842 A+B+C=180ù이므로 ∴ b='3 a A=180ù-(60ù+75ù)=45ù 이때 C=90ù이므로 직각삼각형 ABC에서 피타고라스 정리에 a '6 사인법칙에 의하여 = 이므로 sin`45ù sin`60ù a= 의하여 aÛ`+('3 a)Û`=10Û`, 4aÛ`=100, aÛ`=25 '6 '2 ´sin`45ù= '6 ´ =2 sin`60ù '3 2 2 ∴ a=5, b=5'3 (∵ ㉠) ∴ △ABC=;2!;´5´5'3= a 2 2 ∴ = = =2'2 cosÀ cos`45ù '2 2 각의 크기가 60ù이므로 오른쪽 그림과 같이 호 AB에 대한 원주각, 즉 ∠APB의 크기도 60ù이다. 25'3 2 답④ 답② 0843 현 AB와 접선 AC가 이루는 yy ㉠ 0847 2a-b=9k, 2b-c=6k, 2c-a=k (k>0)라 하고 세 식을 연립하여 풀면 1 # ± a=7k, b=5k, c=4k ∴ a：b：c=7：5：4 0 ∴ sinÀ：sin`B：sin`C‌=a：b：c ± " $ =7：5：4 이때 원 O의 반지름의 길이를 R라 하 답⑤ 면 △ABP에서 사인법칙에 의하여 10 =2R sin`60ù 0848 3a-2b+c=0, a+2b-3c=0을 연립하여 풀면 10 10'3 ∴ R= = 2`sin`60ù 3 c=2a, b=;2%;a 따라서 원 O의 넓이는 ∴ sinÀ：sin`B：sin`C=a：b：c p´{ 10'3 Û` } =;:!3):);p 3 답⑤ =a：;2%;a：2a=2：5：4 sinÀ=2k, sin`B=5k, sin`C=4k (k>0)라 하면 07. 삼각함수의 활용 알피엠_수Ⅰ_해설_100~113_07강_ok.indd 109 109 2017-11-10 오후 4:28:46 EFÓ="Ã(2a)Û`+(2a)Û`=2'2a sin`B sin`C sinÀ 5k 4k 2k + + ‌= + + sinÀ sin`B sin`C 2k 5k 4k =;2%;+;5$;+;2!;= 따라서 △BEF에서 코사인법칙에 의하여 19 5 ('10a)Û`+('10a)Û`-(2'2a)Û` 2´'10a´'10a 12aÛ` = =;5#; 20aÛ` cos`h‌ = 답 :Á5»: 답② 0849 코사인법칙에 의하여 (2'5 )Û`=aÛ`+(2'2 )Û`-2á´2'2ćos`45ù 20=aÛ`+8-2á´2'2´ '2 2 0853 ADÓBCÓ이므로 ∠DAC=∠BCA ACÓ=x, ∠DAC=∠BCA=h라 하면 aÛ`-4a-12=0 △ABC에서 코사인법칙에 의하여 (a-6)(a+2)=0 cos`h= ∴ a=6 (∵ a>0) 답① yy ㉠ cÛ`=aÛ`+bÛ`-2ab`cos`C xÛ`+4Û`-8Û` xÛ`-48 = 2´x´4 8x yy ㉡㉠, ㉡에서 cÛ`-3ab=(a-b)Û`에서 xÛ`+64 xÛ`-48 368 = , 3xÛ`=368, xÛ`= 20x 8x 3 cÛ`-3ab=aÛ`-2ab+bÛ` ∴ x= yy ㉡ cÛ`=aÛ`+bÛ`+ab yy ㉠ 또 △ACD에서 코사인법칙에 의하여 cos`h= 0850 코사인법칙에 의하여 10Û`+xÛ`-6Û` xÛ`+64 = 2´10´x 20x 4'69 3 답⑤ ㉠, ㉡에서 cos`C=-;2!; ∴ C=120ù (∵ 0ù<C<180ù) 0854 5-x가 가장 짧은 변의 길이므로 답④ (5+x)Û`+5Û`-(5-x)Û` 2(5+x)´5 '3 25+10x+xÛ`+25-(25-10x+xÛ`) = 2 10(5+x) 0851 코사인법칙에 의하여 BCÓ Û`‌=xÛ`+{ cos`30ù= 4 Û }`-2´x´;[$;ćos`120ù x 5'3+'3 x=4x+5 16 -2´x´;[$;´{-;2!;} xÛ` 16 =xÛ`+ +4 xÛ` 16 이때 xÛ`>0, >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 xÛ` 16 16 xÛ`+ ¾2¾¨xÛ`´ =2'16=8 xÛ` xÛ` 16 {단, 등호는 xÛ`= , 즉 x=2일 때 성립한다.} xÛ` Û 즉 BCÓ `¾8+4=12이므로 (4-'3)x=5'3-5 따라서 BCÓ의 길이의 최솟값은 2'3이다. 0ù<A<180ù이므로 A=120ù =xÛ`+ BCÓ¾'12=2'3 답⑤ ∴ x= 5'3-5 15'3-5 = 13 4-'3 답 15'3-5 13 0855 사인법칙에 의하여 a：b：c=sinÀ：sin`B：sin`C=7：5：3 a=7k, b=5k, c=3k (k>0)라 하면 코사인법칙에 의하여 cosÀ= (5k)Û`+(3k)Û`-(7k)Û` =-;2!; 2´5k´3k △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하 여 0852 정사각형 ABCD의 한 변의 길 A a E 2a 이를 3a (a>0)라 하면 직각삼각형 ABE에서 BEÓ="ÃaÛ`+(3a)Û`='10a 이때 BEÓ=BFÓ이므로 BFÓ='10a 직각삼각형 DEF에서 110 D 3 =2R sin`120ù 2a ∴ R= F a 따라서 △ABC의 외접원의 넓이는 3a B h 3a C 3 3 = ='3 2`sin`120ù '3 p´('3 )Û`=3p 답③ 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_100~113_07강_ok.indd 110 2017-11-10 오후 4:28:46 0856 △ABC에서 A+B+C=p이므로 1 S‌= á´(10-a)´sin`30ù 2 sin`(B+C)=sin`(p-A)=sinÀ 1 1 = á´(10-a)´;2!;= (-aÛ`+10a) 2 4 △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 sinÀ= a b aÛ`+bÛ`-cÛ` , sin`B= , cos`C= 2R 2R 2ab =-;4!;(a-5)Û`+ 이므로 주어진 식에 대입하면 25 4 따라서 △ABC의 넓이의 최댓값은 a b aÛ`+bÛ`-cÛ` 4´ =aÛ`´ ´ 2R 2R 2ab 25 이다. 4 답 ∴ aÛ`+bÛ`-cÛ`=8 답8 '3 2 90ù<B<180ù이므로 B=120ù 6+8+10=2pR ∴ R= 0860 평행사변형 ABCD의 넓이가 10'3이므로 4´5´sin`B=10'3 ∴ sin`B= 0857 외접원 O의 반지름의 길이를 R라 하면 25 4 12 p 따라서 △ABC에서 코사인법칙에 의하여 Û =4Û`+5Û`-2´4´5ćos`120ù ACÓ ` 중심각의 크기는 호의 길이에 비례하므로 1 =16+25-2´4´5´{- }=61 2 6 ∠AOB=360ù_ =90ù 24 ∴ ACÓ='61 8 ∠BOC=360ù_ =120ù 24 ∠COA=360ù_ 답① 10 =150ù 24 0861 사각형 ABCD에서 ACÓ=p, BDÓ=q, ACÓ와 BDÓ가 이 루는 각의 크기를 h라 하면 ∴ △ABC‌=△AOB+△BOC+△COA =;2!;´{ 사각형 ABCD의 넓이가 100이므로 12 Û 12 }`´sin`90ù+;2!;´{ }Û`´sin`120ù p p 72 '3 = {1+ +;2!;} 2 pÛ` 36 = (3+'3 ) pÛ` 따라서 a=36, b=3이므로 +;2!;´{ 12 Û }`´sin`150ù p ;2!;pq`sin`h=100 새로운 사각형의 넓이를 S라 하면 1 S‌= ´0.8p´1.1q´sin`h 2 1 =0.8´1.1´ pq`sin`h 2 =0.8´1.1´100=88 a+b=36+3=39 답 88 답 39 0862 대각선의 길이를 a라 하면 등변사다리꼴의 넓이가 16이 므로 0858 ADÓ=x라 하면 ;2!;áá´sin`30ù=16, ;2!;aÛ`´;2!;=16 △ABC=△ABD+△ACD이므로 ;2!;´6´3´sin`120ù=;2!;´6´x´sin`60ù+;2!;´3´x´sin`60ù aÛ`=64 ∴ a=8 (∵ a>0) 따라서 구하는 대각선의 길이는 8이다. 18'3 6'3 3'3 = x+ x 4 4 4 답③ 9'3 18'3 x= 4 4 0863 직각삼각형 ABC에서 ∴ x=2 30 BCÓ ∴ BCÓ=20'3 (m) C x`m D cos`30ù= 따라서 ADÓ의 길이는 2이다. 답2 60ù A 30ù 30ù 30`m B ∠ADB=90ù이므로 직각삼각형 ABD에서 BDÓ 30 0859 a+c=10에서 c=10-a>0 cos`60ù= ∴ 0<a<10 ∴ BDÓ=15 (m) △ABC의 넓이를 S라 하면 △BCD에서 CDÓ=x`m라 하면 코사인법칙에 의하여 07. 삼각함수의 활용 알피엠_수Ⅰ_해설_100~113_07강_ok.indd 111 111 2017-11-10 오후 4:28:47 Û`+BDÓ Û`-2´BCÓ´BDÓćos`30ù xÛ`=BCÓ ‌ 0866 a+b=7k, b+c=5k, c+a=6k (k>0)라 하고 =(20'3 )Û`+15Û`-2´20'3´15ćos`30ù 세 식을 연립하여 풀면 =525 a=4k, b=3k, c=2k ∴ x=5'21 (∵ x>0)  따라서 두 지점 C, D 사이의 거리는 5'21 m이다. 헤론의 공식에서 답 5'21 m s= 4k+3k+2k =;2(;k이므로 2 △ABC의 넓이를 S라 하면 0864 x에 대한 이차방정식 9 S‌=¾ k ¨ {;2(;k-4k}{;2(;k-3k}{;2((;k-2k} 2 (cosÀ+cos`B)xÛ`+2x`sin`C+(cosÀ-cos`B)=0 이 중근을 가지므로 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 5 =¾;2(;¨k´;2!;k´;2#;k´ k 2 D ‌=sinÛ``C-(cosÀ+cos`B)(cosÀ-cos`B) 4 = =sinÛ``C-(cosÛ`À-cosÛ``B)=0 3'15 kÛ` 4 sinÛ``C-(1-sinÛ`À)+(1-sinÛ``B)=0  sinÛ``C+sinÛ`À=sinÛ``B 따라서  △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 { 3'15 kÛ`=3'15이므로 4 kÛ`=4 ∴ k=2 (∵ k>0)  c Û a Û b Û }`+{ }`={ }` 2R 2R 2R ∴ a=4k=4´2=8  ∴ bÛ`=aÛ`+cÛ` 답8 따라서 △ABC는 B=90ù인 직각삼각형이다.  답 B=90ù인 직각삼각형 단계 채점요소 배점 단계 채점요소 a, b, c를 k를 사용하여 나타내기 30 %  헤론의 공식을 이용하여 △ABC의 넓이 구하기 40 % 20 % 10 %  중근을 가질 조건 구하기 70 %  k의 값 구하기  삼각형의 모양 구하기 30 %  a의 값 구하기 0867 ∠CPD=h라 하면 △CDP에서 코사인법칙에 의하여 0865 코사인법칙에 의하여 cos`C= cos`h= 6Û`+bÛ`-3Û` bÛ`+27 b 9 = = + 2´6´b 12b 12 4b  이때 b 9 >0, >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의 12 4b 하여 b 9 b 9 '3 + ¾2¾¨ ´ = 12 4b 12 4b 2 b 9 {단, 등호는 = 일 때 성립한다.} 12 4b '3 b 9 따라서 cos`C의 최솟값은 이고 = 이므로 2 12 4b  sinÛ``h+cosÛ``h=1이고, 0ù<h<180ù에서 sin`h>0이므로 '15 sin`h=¾¨1-{;4!!;}Û`= 4 ∴  ABCD=;2!;ÁCÓ´BDÓ´sin`h=;2!;´7´8´ '15 =7'15 4 답 3'3 채점요소 배점  cos`C를 b에 대한 식으로 나타내기 30 %  cos`C의 최솟값 구하기 40 %  b의 값 구하기 30 %   답 7'15 단계  112 2Û`+4Û`-4Û` =;4!; 2´2´4  bÛ`=27 ∴ b=3'3 (∵ b>0) 단계 배점  채점요소 배점  cos`h의 값 구하기 40 %  sin`h의 값 구하기 20 %  ABCD의 넓이 구하기 40 % a 0868 △ABC에서 사인법칙에 의하여 sinÀ= 2R 이므로 a =2`sinÀ R 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_100~113_07강_ok.indd 112 2017-11-10 오후 4:28:48 이때 a , 즉 2`sinÀ가 정수이어야 하므로 R 그런데 ∠B+∠BCA<180ù이어야 하므로 ∠BCA=30ù 2`sinÀ=k (k는 정수)라 하면 sinÀ=;2K; 따라서 ∠BAC=180ù-(135ù+30ù)=15ù이므로 그런데 0ù<A<180ù에서 0<sinÀÉ1이므로 ∠CAD=75ù-15ù=60ù 0<;2K;É1 ∴ 0<kÉ2 한편, 사각형 ABCD는 원에 내접하므로 대각의 크기의 합이 ∴ k=1 또는 k=2 ∴ D=180ù-B=180ù-135ù=45ù 180ù이다. k=1일 때, sinÀ=;2!; ∴ A=30ù 또는 A=150ù 따라서 △ACD에서 사인법칙에 의하여 CDÓ 2'2 = , CDÓ`sin`45ù=2'2`sin`60ù sin`60ù sin`45ù k=2일 때, sinÀ=1 ∴ A=90ù '2 '3 CDÓ=2'2´ 2 2 따라서 A의 값은 A=30ù 또는 A=90ù 또는 A=150ù 답 30ù, 90ù, 150ù ∴ CDÓ=2'3 답 2'3 0869 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이고 A=120ù이 0871 ㄱ. a=5이면 △ABC는 A=90ù인 직각삼각형이므로 므로 C=;2!;(180ù-120ù)=30ù BCÓ 는 원의 지름이다. 이때 CPÓ=x (x>0)라 하면 △BCP에서 코사인법칙에 의하여 BPÓ Û`‌=xÛ`+8Û`-2´x´8ćos`30ù =xÛ`+64-2´x´8´ '3 2 ∴ R=;2%; (참) ㄴ. 사인법칙에 의하여 a=2R`sinÀ이므로 a=2´4´sinÀ=8`sinÀ (참) ㄷ. 코사인법칙에 의하여 =xÛ`-8'3x+64 ∴ BPÓ Û`+CPÓ Û`‌ =(xÛ`-8'3x+64)+xÛ` cosÀ= 3Û`+4Û`-aÛ` 25-aÛ` = 2´3´4 24 1<aÉ'1§3에서 1<aÛ`É13이므로 =2xÛ`-8'3x+64 ;2!;É =2(x-2'3 )Û`+40 Û 따라서 BPÓ `+CPÓ Û`의 최솟값은 40이다. 답⑤ 25-aÛ` <1 24 ∴ ;2!;ÉcosÀ<1 ∴ 0ù<AÉ60ù 따라서 A의 최댓값은 60ù이다. (참) 0870 ACÓ 를 그으면 △ABC에서 코사인법칙에 의하여 그러므로 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. ACÓ Û`‌ =2Û`+('6-'2 )Û`-2´2´('6-'2 )ćos`135ù 답⑤ '2 =4+8-4'3-2´2´('6-'2 )´{- }=8 2 ∴ ACÓ=2'2 또 △ABC에서 사인법칙에 의하여 2'2 2 = sin`135ù sin`(∠BCA) 2'2`sin`(∠BCA)=2`sin`135ù sin`(∠BCA)=;2!; # $ " ± ± % ∴ ∠BCA=30ù 또는 ∠BCA=150ù 07. 삼각함수의 활용 알피엠_수Ⅰ_해설_100~113_07강_ok.indd 113 113 2017-11-10 오후 4:28:49 08 Ⅲ. 수열 등차수열과 등비수열 0882 공차는 3이므로 41을 제 n 항이라 하면 aÇ=2+3(n-1)=41 ∴ n=14 ∴ SÁ¢= 교과서 문제 정 복 하 기 / / / 14(2+41) =301 2 답 301 본문 113쪽 0883 0872 3-1=2에서 공차가 2이므로 주어진 수열은 30{2´2+(30-1)´2} =930 2 1, 3, 5 , 7 , 9, y 답 930 답 5, 7 0884 0873 5-10=-5에서 공차가 -5이므로 주어진 수열은 30{2´4+(30-1)´(-2)} =-750 2 답 -750 20, 15 , 10, 5, 0 , y 답 15, 0 0874 첫째항이 3, 공차가 3이므로 6 0885 3 =2에서 공비가 2이므로 주어진 수열은 3, 6, 12 , 24 , 48, y aÇ=3+(n-1)´3=3n 답 12, 24 답 aÇ=3n 0886 0875 첫째항이 -1, 공차가 4이므로 -2 =-1에서 공비가 -1이므로 주어진 수열은 2 2, -2, 2 , -2 , 2, y aÇ=-1+(n-1)´4=4n-5 답 2, -2 답 aÇ=4n-5 0876 aÇ=4+(n-1)´3=3n+1 0887 첫째항이 0.1, 공비가 0.1이므로 ∴ aÁ¼=3´10+1=31 aÇ=0.1´(0.1)Ç` ÑÚ`=0.1Ç`` 답 aÇ=0.1Ç`` 답 31 0888 첫째항이 2, 공비가 '2이므로 0877 aÇ=-2+(n-1)´5=5n-7 aÇ=2´('2 )Ç` ÑÚ` ∴ aÁ¼=5´10-7=43 답 43 답 aÇ=2´('2 )Ç `ÑÚ` 0878 공차를 d라 하면 aÁ=5, a¥=40에서 0889 첫째항이 1, 공비가 3이므로 5+(8-1)d=40, 7d=35 ∴ d=5 aÇ=1´3Ç` ÑÚ`=3Ç` ÑÚ` ∴ aÁ¼=3á` 답5 답 3á`` 0879 공차를 d라 하면 aÁ=-5, a¤=-40에서 0890 첫째항이 2, 공비가 -3이므로 -5+(6-1)d=-40, 5d=-35 ∴ d=-7 aÇ=2´(-3)Ç `ÑÚ` ∴ aÁ¼=2´(-3)á` 답 -7 0880 x를 1과 19의 등차중항이라 하면 x= 0891 공비를 r라 하면 aÁ=;2ª7;, a¢=2에서 1+19 =10 2 답 10 0881 공차는 -3이므로 3을 제 n 항이라 하면 답3 1´rÝ`=;8Á1; ∴ r=;3!; 11(33+3) =198 2 답 198 114 ;2ª7;´rÜ`=2, rÜ`=27 ∴ r=3 0892 공비를 r라 하면 aÁ=1, a°=;8Á1;에서 aÇ=33-3(n-1)=3 ∴ n=11 ∴ SÁÁ= 답 2´(-3)á` 답 ;3!; 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_114~131_08강_ok.indd 114 2017-11-10 오후 4:29:35 0893 S°= 0899 공차를 d라 하면 2´(4Þ`-1) =;3@;(4Þ`-1)=682 4-1 답 682 d=;2!;-;3!;=;6!;이므로 a=;3!;-;6!;=;6!;, b=;2!;+;6!;=;3@; 1 1 0894 공비는 2 이므로 { 2 }á`을 제 n 항이라 하면 ∴ b-a=;3@;-;6!;=;2!; 1 1 aÇ=1´{ }Ç` ÑÚ`={ }á` ∴ n=10 2 2 ∴ SÁ¼= 1´[1-{;2!;}Ú`â`] 1-;2!; 답③ 0900 {aÇ}이 등차수열이면 aÇ은 n에 대한 일차 이하의 다항 1 =2[1-{ }Ú`â`] 2 식이다. 답 2[1-{;2!;}Ú`â` ] ㄱ. 수열 {3}은 공차가 0인 등차수열이다. ㄴ. 2n+1은 ‌ n에 대한 일차식이므로 수열 {2n+1}은 등차수열 이다. ㄷ. 2nÛ ‌ `-1은 n에 대한 이차식이므로 수열 {2nÛ`-1}은 등차수 0895 첫째항이 2, 공비가 4이므로 열이 아니다. 2´(4Ç`-1) =;3@;(4Ç`-1) 4-1 답 ;3@;(4Ç`-1) ㄹ. 'Ä ‌ n-1은 n에 대한 일차식이 아니므로 수열 {'Än-1 }은 등 차수열이 아니다. ㅁ. 2Ç‌ ` ±Ú`은 n에 대한 일차식이 아니므로 수열 {2Ç` ±Ú`}은 등차수열 이 아니다. 0896 첫째항이 1, 공비가 ;3!;이므로 ㅂ. 3-2n은 ‌ n에 대한 일차식이므로 수열 {3-2n}은 등차수열 1´[1-{;3!;}Ç`] 따라서 등차수열인 것은 ㄱ, ㄴ, ㅂ의 3개이다. 1-;3!; 이다. =;2#;[1-{;3!;}Ç`] 답3 답 ;2#;[1-{;3!;}Ç` ] 0901 등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 yy ㉠ a¥=26에서 a+7d=26 a¤：aÁ¼=5：8에서 8a¤=5aÁ¼ 8(a+5d)=5(a+9d) 유형 익 히 기 / / 본문 114~125쪽 yy ㉡ ∴ 3a-5d=0 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 0897 첫째항이 20, 공차가 -3인 등차수열이므로 a=5, d=3 aÇ=20+(n-1)´(-3)=-3n+23 따라서 aÇ=5+(n-1)´3=3n+2이므로 -3n+23=-118에서 n=47 a£¼=3´30+2=92 따라서 주어진 등차수열에서 -118은 제 47 항이다. 답③ 답 제 47 항 0902 등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 aª=10에서 a+d=10 yyyy ㉠ 째항은 A+B이고 공차는 A이므로 등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a°=43에서 a+4d=43 yyyy ㉡ a, 공차를 d라 하면 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, d=11 ⑴ a=-4+14=10, d=-4 ∴ aÇ=-1+(n-1)´11=11n-12 0898 등차수열의 일반항 aÇ=An+B`(A, B는 상수)의 첫 11n-12=758 ∴ n=70 ∴ ad=10´(-4)=-40 답④ 1 1 ⑵ a=- +;2#;=1, d=2 2 1 1 ∴ ad=1´{- }=2 2 0903 등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 답 ⑴ -40 ⑵ -;2!; aª+a¤=(a+d)+(a+5d)=20 ∴ a+3d=10 yy ㉠ 08. 등차수열과 등비수열 알피엠_수Ⅰ_해설_114~131_08강_ok.indd 115 115 2017-11-10 오후 4:29:36 (a+9d)+(a+15d)=2a+24d=0 a¢+a°=(a+3d)+(a+4d)=24 yy ㉡ ∴ 2a+7d=24 ∴ a=-12d ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, d=4 이때 a>0이므로 d<0 ∴ aÁ¼=a+9d=-2+9´4=34 aÇ‌=a+(n-1)d=-12d+(n-1)d =(n-13)d 답 34 (n-13)d<0에서 d<0이므로 0904 등차수열 {aÇ}의 공차를 d라 하면 n-13>0 ∴ n>13 aÇ=-6+(n-1)d 따라서 처음으로 음수가 나오는 항은 제 14 항이다. 답 제 14 항  이때 제 2 항과 제 6 항은 절댓값이 같고 부호가 반대이므로 aª+a¤=0 0908 등차수열 1, aÁ, aª, a£, y, aÇ, 100의 공차를 d라 하면 (-6+d)+(-6+5d)=0 100=1+(n+2-1)d, 99=(n+1)d 6d=12 ∴ d=2  ∴ aÇ=-6+(n-1)´2=2n-8  ∴ aÁ¼=2´10-8=12 99 =n+1 d 이때 n은 자연수이므로 따라서 보기 중  답 12 단계 ∴ 채점요소 99 도 자연수이어야 한다. d 99 9 의 값이 자연수가 되도록 하는 d의 값은 d 11 이다. 답④ 배점  aÇ을 식으로 나타내기 20 %  공차 구하기 40 % 0909 등차수열 3, x, y, z, 23의 공차를 d라 하면  aÇ 구하기 20 % 23=3+4d ∴ d=5  aÁ¼ 구하기 20 % x=3+d=3+5=8, y=x+d=8+5=13, z=y+d=13+5=18 답 x=8, y=13, z=18 0905 등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 제 3 항이 63이므로 a£=a+2d=63 yy ㉠ 제 10 항이 35이므로 aÁ¼=a+9d=35 yy ㉡ 0910 -20을 첫째항이라 하면 100은 제(n+2)항이다. 공차 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 d=-4, a=71 가 4이므로 ∴ aÇ=71+(n-1)´(-4)=-4n+75 100=-20+4(n+1) -4n+75<0에서 n>18.75 120=4(n+1), n+1=30 이때 n은 자연수이므로 처음으로 음수가 나오는 항은 제 19 항이 ∴ n=29 답 29 다. 답② 0911 등차수열 3, aÁ, aª, a£, y, aÇ, 108의 공차를 d라 하면 0906 aÇ=-62+(n-1)´5=5n-67 3+(n+1)d=108 5n-67>0에서 n>13.4 이때 n은 자연수이므로 처음으로 양수가 나오는 항은 제 14 항이 다. 답③ (n+1)d=105=3´5´7 위의 식에서 1보다 큰 최소의 자연수인 공차는 3이므로 n+1=35 ∴ n=34 답 34 다른풀이 (n+1)d=105에서 d= 105 n+1 0907 등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 aÇ=a+(n-1)d 이때 d는 1보다 큰 자연수이므로 순서쌍 (n, d)는 제 10 항과 제 16 항은 절댓값이 같고 부호가 반대이므로 (2, 35), (4, 21), (6, 15), (14, 7), (20, 5), (34, 3) aÁ¼+aÁ¤=0 따라서 최소의 자연수인 공차는 3이므로 n=34 116 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_114~131_08강_ok.indd 116 2017-11-10 오후 4:29:37 0912 수열 {aÇ}에서 2x=-9+(-1) 0917 ⑴ 등차수열을 이루는 네 수를 ∴ x=-5 a-3d, a-d, a+d, a+3d`(d>0)라 하면 수열 {bÇ}에서 2y=-1+5 ∴ y=2 네 수의 합이 8이므로 ∴ x+y=-3 (a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=8 답③ 4a=8 ∴ a=2 가장 큰 수는 가장 작은 수의 3배이므로 0913 f(x)=axÛ`+x+4라 하면 f(1), f(2), f(3)이 이 순서 대로 등차수열을 이루므로 2+3d=3(2-3d) 12d=4 ∴ d=;3!; 따라서 네 수는 1, ;3%;, ;3&;, 3이므로 네 수의 곱은 2f(2)=f(1)+f(3) 2(4a+2+4)=(a+1+4)+(9a+3+4) 1´;3%;´;3&;´3=;;£3°;; 8a+12=10a+12 ∴ a=0 ⑵ 등차수열을 이루는 세 수를 답③ a-d, a, a+d (d>0)라 하면 빗변의 길이가 15이므로 0914 logà, log`3, log`b가 이 순서대로 등차수열을 이루므 로 yy ㉠ a+d=15 직각삼각형이므로 (a+d)Û`=(a-d)Û`+aÛ` ` 2 log`3=logà+log`b, log`3Û`=logàb a(a-4d)=0 ∴ a=4d (∵ a+0) ∴ ab=9 a=4d를 ㉠에 대입하면 a, b는 서로 다른 자연수이므로 a=12, d=3 a=1, b=9 또는 a=9, b=1 따라서 세 변의 길이가 9, 12, 15이므로 구하는 넓이는 따라서 두 자연수 a, b의 합은 ;2!;´9´12=54 a+b=10 답 10 답 ⑴ ;;£3°;; ⑵ 54 0915 삼차방정식의 세 근을 a-d, a, a+d라 하면 삼차방정 식의 근과 계수의 관계에 의하여 0918 등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 (a-d)+a+(a+d)=6, 3a=6 ∴ a=2 따라서 주어진 방정식의 한 근이 2이므로 x=2를 방정식에 대입 하면 a¤=a+5d=44 yy ㉠ aÁ¥=a+17d=116 yy ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=14, d=6 2Ü`-6´2Û`+2k+24=0, 2k=-8 ∴ k=-4 답④ 첫째항부터 제 n 항까지의 합이 280이므로 n{ 2´14+(n-1)´6 } =280 2 3nÛ`+11n-280=0, (n-8)(3n+35)=0 0916 등차수열을 이루는 세 수 a, b, c를 각각 x-d, x, x+d`(d>0)라 하면 ∴ n=8 또는 n=-;;£3°;; 조건 ㈎에서 그런데 n은 자연수이므로 n=8 a+b+c=(x-d)+x+(x+d)=3x=15 ∴ x=5 답② 조건 ㈏에서 abc=(x-d)´x´(x+d)=5(5-d)(5+d)=-55 25-dÛ`=-11 0919 aÇ=3+2(n-1)=39 dÛ`=36 ∴ d=6 (∵ d>0) ∴ n=19 a=x-d=-1, b=x=5, c=x+d=11 따라서 첫째항부터 제 19 항까지의 합은 ∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`‌=(-1)Û`+5Û`+11Û` SÁ»= =1+25+121=147 19´(3+39) =399 2 답 399 답 147 08. 등차수열과 등비수열 알피엠_수Ⅰ_해설_114~131_08강_ok.indd 117 117 2017-11-10 오후 4:29:37 0920 SÇ= (n+2)(2+37) 39 = (n+2) 2 2 n(15-3) =6n=60에서 n=10 2 즉 제 10 항이 -3이므로 이므로 n=4일 때 최소가 되고, 최솟값은 aÁ¼=15+9d=-3 ∴ d=-2 39 ´6=117 2 ∴ a°=15+4d=15+4´(-2)=7 답 117 답7 0921 등차수열 {aÇ}의 공차를 d라 하면 0925 등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 aÁ=6, aÁ¼=-12에서 SÁ¼= 6+(10-1)d=-12 ∴ d=-2  ∴ aÇ=6+(n-1)´(-2)=-2n+8 ∴ 2a+9d=29 Sª¼-SÁ¼=  ∴ |aÁ|+|aª|+|a£|+y+|aª¼| ‌ =|6|+|4|+|2|+|0|+|-2|+|-4|+y+|-32| =(6+4+2+0)+(2+4+y+32) =12+ 10{2a+(10-1)d} =145 2 16(2+32) 2 yy ㉠ 20{2a+(20-1)d} -145=445 2 ∴ 2a+19d=59 yy ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, d=3 따라서 제 21 항부터 제 30 항까지의 합은 30{2+(30-1)´3} S£¼-Sª¼‌= -590 2 =1335-590=745 =284 답⑤  답 284 단계 채점요소 배점  공차 구하기 30 %  일반항 구하기 20 %  |aÁ|+|aª|+|a£|+y+|aª¼|의 값 구하기 50 % 0926 등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 S°= 5{2a+(5-1)d} =70 2 ∴ a+2d=14 SÁ¼= 10{2a+(10-1)d} =190 2 0922 24+aÁ+aª+a£+y+aÇ+(-44) ∴ 2a+9d=38 =24+(-120)+(-44)=-140 ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=10, d=2 즉 (n+2){24+(-44)} =-140에서 2 yy ㉠ ∴ SÁ°= yy ㉡ 15 {2´10+(15-1)´2} =360 2 n+2=14 ∴ n=12 답 360 답 12 0923 첫째항이 -9, 끝항이 31, 항수가 (n+2)인 등차수열 0927 등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 이고 첫째항부터 끝항까지의 합이 231이므로 SÁ¼‌=aÁ+aª+y+aÁ¼ =a+(a+d)+y+(a+9d)=55 (n+2)(-9+31) =231, 11(n+2)=231 2 Sª¼-SÁ¼‌=aÁÁ+aÁª+y+aª¼ n+2=21 ∴ n=19 =(a+10d)+(a+11d)+y+(a+19d) 따라서 31은 제 21 항이므로 =SÁ¼+10d´10=55+100d -9+(21-1)d=31 ∴ d=2 =210-55=155 답④ 0924 첫째항이 2, 제(n+2)항이 37이므로 100d=100 ∴ d=1 ∴ SÁ°-S°‌=a¤+a¦+y+aÁ° =(a+5d)+(a+6d)+y+(a+14d) 2+(n+1)d=37 =SÁ¼+5d´10=55+50=105 ∴ (n+1)d=35 모든 항이 자연수이므로 가능한 순서쌍 (n, d)는 (4, 7), (6, 5), (34, 1) 이 등차수열의 합은 118 답④ 다른풀이 등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 10{2a+(10-1)d} SÁ¼= =55 2 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_114~131_08강_ok.indd 118 2017-11-10 오후 4:29:38 yy ㉠ ∴ 2a+9d=11 Sª¼= 59+9d=32 ∴ d=-3 20{2a+(20-1)d} =210 2 yy ㉡ ∴ 2a+19d=21 이 등차수열의 공차를 d라 하면 첫째항이 59, 제 10 항이 32이므로 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, d=1 15{2´1+(15-1)´1} 5{2´1+(5-1)´1} ∴ SÁ°-S°‌= 2 2 =120-15=105  aÁ=59-3=56이므로 제 n 항에서 처음으로 음수가 나온다고 하면 aÇ=56-3(n-1)<0 ∴ n> 59 =19.___ 3 등차수열 {aÇ}은 제 20 항부터 음수이므로 첫째항부터 제 19 항까 지의 합이 최대이다. 0928 aÇ=-;2%;+(n-1)´;3!;=;3!;n-;;Á6¦;;  ∴ SÁ»= 제 n 항에서 처음으로 양수가 나온다고 하면 aÇ=;3!;n-;;Á6¦;;>0 19{2´56+18´(-3)} =551 2 ∴ n>;;Á2¦;;=8.5  답 551 즉 제 9 항부터 양수이므로 첫째항부터 제 8 항까지의 합이 최소가 단계 된다. 따라서 구하는 n의 값은 8이다. 답8 0929 등차수열 {aÇ}의 공차를 d라 하면 채점요소 배점  k의 값 구하기 20 %  공차 구하기 20 %  합이 최대가 되는 항 구하기 30 %  SÇ의 최댓값 구하기 30 % SÁ¦이 최댓값이므로 aÁ¦¾0, aÁ¥<0에서 100+16d¾0, 100+17d<0 ∴ -;;ª4°:Éd<-;;Á1¼7¼;; 0932 두 자리 자연수 중 7로 나누었을 때 2가 남는 수는 16, 23, 30, y, 93 즉 -6.25Éd<-5.___에서 d는 정수이므로 즉 첫째항이 16이고 공차가 7인 등차수열이므로 93을 제 n 항이 d=-6 라 하면 ∴ aÁ¼=100+(10-1)´(-6)=46 답② aÇ=16+7(n-1)=93 ∴ n=12 ∴ SÁª= 12´(16+93) =654 2 답④ 0930 등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a°=11에서 a+4d=11 yy ㉠ aÁ°=-9에서 a+14d=-9 yy ㉡ 0933 50 이하의 자연수 중에서 4의 배수는 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=19, d=-2 4, 8, 12, y, 48 제 n 항에서 처음으로 음수가 나온다고 하면 이 수열은 첫째항이 4, 끝항이 48, 항수가 12인 등차수열이므로 aÇ=19+(n-1)´(-2)=-2n+21<0 그 합은 21 ∴ n> =10.5 2 12(4+48) =312 2 즉 제 11 항부터 음수이므로 제 10 항까지의 합이 최대이다. 50 이하의 자연수 중에서 6의 배수는 따라서 구하는 최댓값은 6, 12, 18, y, 48 10{2´19+9´(-2)} SÁ¼= =100 2 이 수열은 첫째항이 6, 끝항이 48, 항수가 8인 등차수열이므로 답 100 그 합은 8(6+48) =216 2 0931 등차수열 59, aÁ, aª, a£, y, aû, 32의 모든 항의 합이 한편, 50 이하의 자연수 중에서 12의 배수는 455이므로 12, 24, 36, 48 (k+2)(59+32) =455 2 이 수열은 첫째항이 12, 끝항이 48, 항수가 4인 등차수열이므로 그 합은 k+2=10 ∴ k=8  4(12+48) =120 2 08. 등차수열과 등비수열 알피엠_수Ⅰ_해설_114~131_08강_ok.indd 119 119 2017-11-10 오후 4:29:38 따라서 50 이하의 자연수 중에서 4 또는 6의 배수의 총합은 0938 SÇ=nÛ`+3n+1에서 312+216-120=408 aÇ‌=SÇ-SÇÐÁ 답 408 =(nÛ`+3n+1)-{(n-1)Û`+3(n-1)+1} =2n+2 (n¾2) aÁ=SÁ=5 0934 6으로 나누면 5가 남는 수는 5, 11, 17, 23, 29, 35, y ∴ aÁ+a£+a°+a¦+a»‌=5+ 8로 나누면 3이 남는 수는 4(8+20) 2 =5+56=61 3, 11, 19, 27, 35, y 답 61 이들의 공통인 수로 이루어진 수열을 크기순으로 나열하면 11, 35, 59, y 0939 등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 따라서 수열 {aÇ}은 첫째항이 11, 공차가 24이므로 8 {2´11+(8-1)´24} aÁ+aª+y+a¥= =760 2 답③ aª=ar=2 yy ㉠ a°=arÝ`=16 yy ㉡㉡Ö㉠ 을 하면 rÜ`=8 ∴ r=2 r=2를 ㉠에 대입하면 a=1 ∴ aÁ¼=ará`=1´2á`=512 0935 SÇ=-3nÛ`+2n에서 답③ aÁ=SÁ=-3+2=-1 aÁ¼=SÁ¼-S» 0940 aÇ=2´3Ú`ÑÛ`Ç` 에서 =(-3´10Û`+2´10)-(-3´9Û`+2´9) aÁ=2´3ÑÚ`=;3@;, aª=2´3ÑÜ`=;2ª7; =-55 ∴ aÁ+aÁ¼=-1-55=-56 따라서 공비는 답② 0936 SÇ=aÁ+aª+y+aÇ=nÛ`+kn이라 하면 aª ;2ª7; = =;2£7;=;9!; aÁ ;3@; 답 첫째항 : ;3@;, 공비 : ;9!; a¥‌=S¥-S¦=(8Û`+8k)-(7Û`+7k) =15+k 또한 TÇ=bÁ+bª+y+bÇ=2nÛ`+n이라 하면 0941 ⑴ 첫째항이 ;4!;, 공비가 b¥‌=T¥-T¦=(2´8Û`+8)-(2´7Û`+7) =31 aÇ=;4!;´(-2)Ç` ÑÚ` a¥=b¥이므로 15+k=31 ∴ k=16 답 16 ;4!; =-2이므로 즉 ;4!;´(-2)Ç` ÑÚ`=256에서 (-2)Ç` ÑÚ`=1024=(-2)Ú`â` n-1=10 ∴ n=11 0937 SÇ=-(n-2)Û`+k에서 따라서 256은 제 11 항이다. Ú n¾2일 때, ⑵ 첫째항이 '2+1, 공비가 aÇ‌=SÇ-SÇÐÁ ‌ aÇ=('2+1)('2-1)Ç` ÑÚ` ={-(n-2)Û`+k}-{-(n-3)Û`+k} =-2n+5 -;2!; yy ㉠ Û n=1일 때, 1 ='2-1이므로 '2+1 ∴ aÁ¼¼=('2+1)('2-1)á`á`` =('2+1)('2-1)('2-1)á`¡`` =('2-1)á`¡`` aÁ=SÁ=-1+k 답 ⑴ 제 11 항 ⑵ ('2-1)á`¡` aÁ=-1+k는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같아야 하므로 -1+k=-2+5 ∴ k=4 ∴ aÁ=-1+4=3 0942 등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 ∴ aÁ+k=3+4=7 aÁ+aª‌=a+ar 답7 120 =a(1+r)=3 yy ㉠ 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_114~131_08강_ok.indd 120 2017-11-10 오후 4:29:39 aÁaª+aÁa£=aár+aárÛ` ` =aÛ`r(1+r)=12 yy ㉡ a°=arÝ`=5 yy ㉡㉡Ö㉠을 하면 rÜ`=;8!; ∴ r= ㉡Ö㉠을 하면 ar=4 ∴ aÁaªa£=aárárÛ`=aÜ`rÜ`=(ar)Ü`=4Ü`=64 답⑤ r= 1 (∵ r는 실수) 2 1 을 ㉠에 대입하면 a=80 2 1 1 ∴ aÇ=80´{ }Ç` ÑÚ`< 2 50 0943 등비수열 {aÇ}의 공비를 r라 하면 즉 2Ç` ÑÚ`>4000에서 2Ú`Ú`=2048, 2Ú`Û`=4096이므로 (aÁ+aª)：(a£+a¢)=1：'2에서 n-1¾12 ∴ n¾13 (aÁ+aÁr)：(aÁrÛ`+aÁrÜ`)=1：rÛ`=1：'2이므로 rÛ`='2 따라서 조건을 만족시키는 자연수 n의 최솟값은 13이다. ∴ a£：a¦=aÁrÛ`：aÁrß`=1：rÝ`=1：(rÛ`)Û`=1：2 답 13 답① 0947 등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 0944 등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 aÁª arÚ`Ú` aÁ£ arÚ`Û` aªÁ arÛ`â` = =rÚ`â`, = =rÚ`â`, y, = =rÚ`â` ar aª a£ aÁÁ arÚ`â` arÛ` 이므로 aÁª aÁ£ aÁ¢ aªÁ + + +y+ =10rÚ`â`=20 aª a¢ aÁÁ a£ a£+a¢=arÛ`+arÜ`=arÛ`(1+r)=-18 yy ㉡ r=-3을 ㉠에 대입하면 a=1 aÇ=1´(-3)Ç `ÑÚ`=(-3)Ç `ÑÚ`이므로 | ∴ rÚ`â`=2  a°¼ arÝ`á` = =rÛ`â`=(rÚ`â`)Û`=2Û`=4 a£¼ arÛ`á` 1 1 |={;3!;}Ç `ÑÚ`> aÇ 1000 즉 3Ç `ÑÚ`<1000에서 3ß`=729, 3à`=2187이므로 n-1É6 ∴ nÉ7 따라서 조건을 만족시키는 자연수 n의 값은 1, 2, 3, y, 7이므  답4 단계 yy ㉠㉡Ö㉠을 하면 r=-3  ∴ aª+a£=ar+arÛ`=ar(1+r)=6 채점요소 배점  각 항을 r에 대한 식으로 나타내기 40 %  rÚ`â`의 값 구하기 40 %  a°¼ 의 값 구하기 a£¼ 20 % 로 구하는 합은 1+2+y+7=28 답 28 0948 공비를 r라 하면 첫째항이 3이고 제12항이 40이므로 40=3´rÚ`Ú` ∴ rÚ`Ú`= 40 3 ∴ aªa»=(3rÛ`)´(3rá`)=9rÚ`Ú`=9´ 40 =120 3 0945 등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 답⑤ a£=arÛ`=4 yy ㉠ a¤=arÞ`=32 yy ㉡ 2 ㉡Ö㉠을 하면 0949 첫째항이 18, 공비가 ;3!;이고 729 는 제 (n+2) 항이므 rÜ`=8 ∴ r=2 (∵ r는 실수) 로 r=2를 ㉠에 대입하면 a=1 2 2 18´{;3!;}Ç` ±Ú`= = 729 3ß` ∴ aÇ=1´2Ç` ÑÚ`=2Ç` ÑÚ`>2000 1 {;3!;}Ç` ±Ú`= ={;3!;}¡` 3¡` n+1=8 ∴ n=7 이때 2Ú`â`=1024, 2Ú`Ú`=2048이므로 n-1¾11 ∴ n¾12 따라서 처음으로 2000보다 커지는 항은 제 12 항이다. 답③ 답③ 0950 공비를 r라 하면 첫째항이 1이고 제 12 항이 2이므로 0946 등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 aª=ar=40 rÚ`Ú`=2 yy ㉠ aÁ=r, aª=rÛ`, a£=rÜ`, y, aÁ¼=rÚ`â`이므로 08. 등차수열과 등비수열 알피엠_수Ⅰ_해설_114~131_08강_ok.indd 121 121 2017-11-10 오후 4:29:40 aÁaªa£`yàÁ¼=r´rÛ`´rÜ`ý´rÚ`â` ('3)Û`=ab ∴ ab=3 y =rÚ`±Û`±Ü`± ±Ú`â ㉠을 ㉡에 대입하면 a(2a-1)=3 =rÞ`Þ`=(rÚ`Ú`)Þ`=2Þ`=32 2aÛ`-a-3=0, (2a-3)(a+1)=0 답⑤ yy ㉡ ∴ a=;2#; 또는 a=-1 그런데 a는 정수이므로 a=-1 0951 첫째항이 2이고 제 (n+2)항이 512이므로 a=-1을 ㉠에 대입하면 b=-3 2´rÇ` ±Ú`=512 ∴ aÛ`+bÛ`=10 ∴ rÇ` ±Ú`=256=2¡` 답 10 이를 만족시키는 자연수 r과 n의 순서쌍 (r, n)은 (2, 7), (4, 3), (16, 1) 0956 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 따라서 n+r의 최솟값은 aa+bb=6, abab=4 4+3=7 aa, p, bb가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 답7 2p=a+bb=6 ∴ p=3 aa, q, bb가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 0952 세 수 x-1, x+2, 4x+1이 이 순서대로 등비수열을 qÛ`=abab=4 ∴ q=2 (∵ q>0) 이루므로 따라서 이차항의 계수가 1이고 3, 2를 두 근으로 하는 이차방정 (x+2)Û`=(x-1)(4x+1) 식은 xÛ`+4x+4=4xÛ`-3x-1 xÛ`-(3+2)x+3´2=0 ∴ 3xÛ`-7x-5=0 ∴ xÛ`-5x+6=0 따라서 모든 상수 x의 값의 합은 이차방정식의 근과 계수의 관계 에 의하여 7 이다. 3 답④ 답⑤ 0957 등차수열의 공차를 d라 하면 a+b‌=a+(a+3d)=(a+d)+(a+2d) yy ㉠ =x+y=5 0953 f(2)=3a+4, f(0)=a, f(-1)=1  이때 세 수 3a+4, a, 1이 이 순서대로 등비수열을 이루므로 등비수열의 공비를 r라 하면 aÛ`=(3a+4)´1, aÛ`-3a-4=0 ab=aárÜ`=arárÛ`=pq=6 yy ㉡ 따라서 모든 상수 a의 값의 합은 이차방정식의 근과 계수의 관계 에 의하여 3이다.  ㉠, ㉡에서 a, b는 t에 대한 이차방정식 tÛ`-5t+6=0의 두 근이 답③ 므로 (t-2)(t-3)=0 ∴ t=2 또는 t=3 a<b이므로 a=2, b=3 0954 1, 3, a가 이 순서대로 등비수열을 이루므로  3Û`=a ∴ a=9 ∴ aÛ`-bÛ`=4-9=-5 2, b, 18이 이 순서대로 등비수열을 이루므로  bÛ`=36 ∴ b=6 (∵ b>0) 답 -5 1, 2, c가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 2Û`=c ∴ c=4 단계 c(=4), 12, d가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 채점요소 배점  a+b의 값 구하기 20 % 12Û`=4d ∴ d=36  ab의 값 구하기 20 % ∴ a+b+c+d=55  a, b의 값 구하기 50 %  aÛ`-bÛ`의 값 구하기 10 % 답 55 0958 등비수열을 이루는 세 실수를 a, ar, arÛ`이라 하면 0955 1, a, b가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 2a=1+b ∴ b=2a-1 a, '3, b가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 122 yy ㉠ a+ar+arÛ`=a(1+r+rÛ`)=13 yy ㉠ aárárÛ`=(ar)Ü`=27 ∴ ar=3 yy ㉡ 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_114~131_08강_ok.indd 122 2017-11-10 오후 4:29:40 0962 등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 3 ㉡에서 a= 을 ㉠에 대입하면 r 3 (1+r+rÛ`)=13, 3rÛ`-10r+3=0 r (3r-1)(r-3)=0 ∴ r= a£=arÛ`=32 yy ㉠ a¤=arÞ`=4 yy ㉡㉡Ö㉠ 을 하면 rÜ`=;8!; ∴ r=;2!; 1 또는 r=3 3 ㉠에서 a´{;2!;}Û`=32 ∴ a=128 ∴ a=9 또는 a=1 따라서 세 실수는 1, 3, 9이므로 가장 큰 수는 9이다. 답④ 따라서 첫째항이 128, 공비가 1 인 등비수열의 첫째항부터 제 10 항 2 까지의 합 SÁ¼은 0959 주어진 삼차방정식의 세 실근을 a, ar, arÛ`이라 하면 삼 SÁ¼= 차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+ar+arÛ`=k yy ㉠ aÛ`r+aÛ`rÛ`+aÛ`rÜ`=56 yy ㉡ aárárÛ`=64 yy ㉢㉢에서 (ar)Ü`=64 ∴ ar=4 yy ㉣㉡에서 ar(a+ar+arÛ`)=56 128´[1-{;2!;}Ú`â`] 1-;2!; =256´[1-{;2!;}Ú`â`]=256-;4!; ∴ SÁ¼+;4!;=256 답② 0963 등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 ㉠, ㉣을 대입하면 aª : a°=1 : 27에서 4k=56 ∴ k=14 답 14 0960 두 곡선 y=xÜ`-4xÛ`+14x, y=3xÛ`+k가 서로 다른 세 점에서 만나므로 xÜ`-4xÛ`+14x=3xÛ`+k, 즉 27aª=a° 27ar=arÝ` rÜ`=27 ∴ r=3 (∵ r는 실수) aÁÁ-aÁ=arÚ`â`-a=a(rÚ`â`-1)=3Ú`â`-1 따라서 등비수열 {aÇ}의 첫째항부터 제 10 항까지의 합 SÁ¼은 xÜ`-7xÛ`+14x-k=0은 서로 다른 세 실근을 갖는다. 세 실근을 a, ar, arÛ`이라 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관계 SÁ¼= a(rÚ`â`-1) 3Ú`â`-1 3Ú`â`-1 = = r-1 3-1 2 에 의하여 답① a+ar+arÛ`=a(1+r+rÛ`)=7 yy ㉠ aÛ`r+aÛ`rÛ`+aÛ`rÜ`=aÛ`r(1+r+rÛ`)=14 yy ㉡ 0964 등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 aárárÛ`=aÜ`rÜ`=(ar)Ü`=k yy ㉢ aÁ+a£=a+arÛ`=a(1+rÛ`)=15 yy ㉠㉡Ö㉠을 하면 ar=2 a£+a°=arÛ`+arÝ`=arÛ`(1+rÛ`)=60 yy ㉡ 이를 ㉢에 대입하면 ㉡Ö㉠을 하면 2Ü`=k ∴ k=8 rÛ`=4 ∴ r=-2 (∵ r<0) 답8 a{1+(-2)Û`}=15 ∴ a=3 0961 직육면체의 가로, 세로의 길이와 높이를 각각 따라서 등비수열 {aÇ}의 첫째항부터 제 10 항까지의 합 SÁ¼은 3´{1-(-2)Ú`â`} SÁ¼= =1-2Ú`â`=-1023 1-(-2) 답 -1023 a, ar, arÛ`이라 하면 직육면체의 모서리의 길이의 합이 104이므로 4a(1+r+rÛ`)=104 ∴ a(1+r+rÛ`)=26 r=-2를 ㉠에 대입하면 yy ㉠ 직육면체의 겉넓이가 312이므로 0965 공비는 2x+1이고 x+0에서 2x+1+1이므로 첫째항 2(aÛ`r+aÛ`rÛ`+aÛ`rÜ`)=312 부터 제 n 항까지의 합 SÇ은 aÛ`r(1+r+rÛ`)=156 yy ㉡㉡Ö㉠을 하면 SÇ= 1´{(2x+1)Ç`-1} (2x+1)Ç`-1 = 2x+1-1 2x 156 ar= =6 26 답 따라서 직육면체의 부피는 (2x+1)Ç`-1 2x 0966 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 SÇ이라 하면 첫째항은 aárárÛ`=(ar)Ü`=6Ü`=216 답 216 x, 공비는 1 이므로 x+1 08. 등차수열과 등비수열 알피엠_수Ⅰ_해설_114~131_08강_ok.indd 123 123 2017-11-10 오후 4:29:41 Ú 1 +1, 즉 x+0일 때, x+1 ∴ aÁ+a£+a°+y+aªÇÐÁ =5+5rÛ`+5rÝ`+y+5rÛ`Ç` ÑÛ` 5´{(rÛ`)Ç`-1} 5´(16Û`-1) = = =425 rÛ`-1 2Û`-1 1 }Ç` ] x+1 1 =(x+1)[1-{ }Ç` ] x+1 1 1x+1 x[1-{ SÇ= =x+1-{ 답 425 1 }Ç` ÑÚ`` x+1 0971 등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 1 Û =1, 즉 x=0일 때, x+1 모든 항이 0이므로 SÇ=0 답 x+0일 때 x+1-{ 1 }Ç` ÑÚ`, x=0일 때 0 x+1 aª=ar=3 yy ㉠ a°=arÝ`=24 yy ㉡㉡Ö㉠ 을 하면 rÜ`=8 ∴ r=2 (∵ r는 실수) r=2를 ㉠에 대입하면 0967 첫째항이 1, 공비가 x이므로 2a=3 ∴ a=;2#; á È { È » x=1인 경우, SÇ(1)=1+1+y+1=n 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 SÇ이라 하면 n개 1´(xÇ` -1) xÇ` -1 x+1인 경우, SÇ(x)= = x-1 x-1 ∴ SÇ(1)+SÇ(2)=n+ SÇ= 2Ç` -1 =n+2Ç` -1 2-1 ;2#;(2Ç`-1) 2-1 =;2#;(2Ç`-1) SÇ>720에서 답③ ;2#;(2Ç`-1)>720, 2Ç`-1>480 ∴ 2Ç`>481 0968 등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a(rÚ`â`-1) =2 r-1 yy ㉠ arÚ`â`(rÚ`â`-1) =12 r-1 yy ㉡ 이때 2¡`=256, 2á`=512이므로 n¾9 따라서 첫째항부터 제 9 항까지의 합이 처음으로 720보다 커진 다. ㉡Ö㉠ 을 하면 rÚ`â`=6 답9 따라서 제 21 항부터 제 30 항까지의 합은 arÛ`â`(rÚ`â`-1) a(rÚ`â`-1) =(rÚ`â`)Û`´ =6Û`´2=72 r-1 r-1 0972 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 SÇ이라 하면 답② SÇ= 0969 등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 1-;2!; =2- 1 2Ç` ÑÚ` |2-SÇ|<0.01에서 SÁ¼=aÁ+aª+y+aÁ¼=a(1+r+y+rá`)=2 |2-{2- 1 1 1 }|<0.01, < 2Ç` ÑÚ` 2Ç` ÑÚ` 100 ∴ 2Ç` ÑÚ`>100 Sª¼-SÁ¼‌ =aÁÁ+aÁª+y+aª¼ =arÚ`â`(1+r+y+rá`) =66-2=64 이때 2ß`=64, 2à`=128이므로 ∴ rÚ`â`=32 n-1¾7 ∴ n¾8 모든 항이 양수이므로 r='2 1´[1-{;2!;}Ç`] 따라서 n의 최솟값은 8이다. 답 '2 답③ 0973 등비수열 {aÇ}의 공비를 r라 하면 0970 등비수열 {aÇ}의 공비를 r라 하면 (aÁ+aª) : (a£+a¢)=1 : 4 SªÇ-SÇ=rÇ`SÇ a£+a¢=4(aÁ+aª) 1275-75=rÇ`´75 ∴ rÇ`=16 aÁrÛ`+aÁrÜ`=4(aÁ+aÁr) SÇ= 5´(rÇ`-1) =75에 rÇ`=16을 대입하면 r-1 5´(16-1) r-1 =75 ∴ r=2 124 rÛ`=4 ∴ r=2 (∵ r>0) SÇ= aÁ(2Ç`-1) >100aÁ 2-1 2Ç`-1>100 (∵ aÁ>0) ∴ 2Ç` >101 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_114~131_08강_ok.indd 124 2017-11-10 오후 4:29:41 이때 2ß`=64, 2à`=128이므로 n¾7 이때 aªÇ=8n-3이므로 따라서 자연수 n의 최솟값은 7이다. aªÇ*ª-aªÇ={8(n+1)-3}-(8n-3)=8 답7 따라서 수열 {aªÇ}의 공차는 8이다. 답8 5Ç`-1 0974 2SÇ+1=5Ç`에서 SÇ= 2 1 0978 수열 {aÇ}이 등비수열이므로 수열 [ aÇ ]도 등비수열이 Ú n¾2일 때, 다. 수열 [ aÇ‌ = SÇ-SÇÐÁ = 5Ç`-1 5Ç` ÑÚ`-1 -{ } 2 2 = 5Ç` ÑÚ` (5-1)=2´5Ç` ÑÚ` 2 yy ㉠ Û n=1일 때, aÁ=SÁ= 1 ]의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 aÇ T£= a(1-rÜ`) =;4!; 1-r yy ㉠ T¤= a(1-rß`) a(1-rÜ`)(1+rÜ`) = =1 1-r 1-r yy ㉡㉡Ö㉠ 을 하면 1+rÜ`=4 ∴ rÜ`=3 5Ú`-1 =2 2 ∴ T»‌= aÁ=2는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 a(1-rá`) a(1-rÜ`)(1+rÜ`+rß`) = 1-r 1-r 1 = (1+3+3Û`)=;;Á4£;; 4 aÇ=2´5Ç` ÑÚ` 답⑤ 따라서 a=2, r=5이므로 a-r=-3 답② 0979 등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 aÇ=arÇ` ÑÚ` 0975 SÇ=2Ç`-2에서 ∴ 3aÇ-aÇ*Á=3arÇ` ÑÚ`-arÇ` =(3-r)arÇ` ÑÚ` aÇ=SÇ-SÇÐÁ=(2Ç`-2)-(2Ç` ÑÚ`-2)=2Ç` ÑÚ` (n¾2) 이때 수열 {3aÇ-aÇ*Á}은 첫째항이 (3-r)a이고 공비가 r인 등 이고 aÁ=SÁ=0 비수열이므로 ∴ aÁ+a£+a°=0+2Û`+2Ý`=20 r=-3 답② (3-r)a=18에서 a=3 따라서 aÇ=3´(-3)Ç` ÑÚ`이므로 aª=3´(-3)=-9 0976 Ú n¾2일 때, 답 -9 aÇ‌ = SÇ-SÇÐÁ =3Ç` ÑÚ`+k-(3Ç` ÑÛ`+k) yyyy ㉠ =2´3Ç` ÑÛ` 0980 10년 말의 원리합계를 S만 원이라 하면 S‌=100(1+0.05)+100(1+0.05)Û`+y+100(1+0.05)Ú`â` Û n=1일 때, aÁ=SÁ=1+k = 100(1+0.05){(1+0.05)Ú`â`-1} 0.05 = 100_1.05_0.6 0.05 aÁ=1+k는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같아야 하므로 1+k=;3@; ∴ k=-;3!; 답 -;3!; =1260 (만 원) 답 1260만 원 0981 철수의 2027년 말의 원리합계를 SÁ만 원이라 하면 SÁ‌=10(1+0.1)+10(1+0.1)Û`+y+10(1+0.1)Ú`â` 유형 0977 SÇ=2nÛ`-n+1에서 aÇ‌ = SÇ-SÇÐÁ ‌ =(2nÛ`-n+1)-{2(n-1)Û`-(n-1)+1} =4n-3 (n¾2) 본문 126~127쪽 = 10_1.1_(1.1Ú`â`-1) =176 (만 원) 1.1-1  영희의 2027년 말의 원리합계를 Sª만 원이라 하면 Sª‌=15+15(1+0.06)+15(1+0.06)Û`+y+15(1+0.06)á` = 15(1.06Ú`â`-1) =200 (만 원) 1.06-1 이고 aÁ=SÁ=2  08. 등차수열과 등비수열 알피엠_수Ⅰ_해설_114~131_08강_ok.indd 125 125 2017-11-10 오후 4:29:42 따라서 선분 BC의 길이는 따라서 두 원리합계의 차액은 Sª-SÁ=200-176=24 (만 원) 9d=9´  '5 =3'5 3  답 24만 원 단계 채점요소  철수의 원리합계 구하기 답 3'5 배점 40 % 단계 채점요소 배점 a와 d 사이의 관계 나타내기 40 %  영희의 원리합계 구하기 40 %   두 사람의 원리합계의 차액 구하기 20 %  d의 값 구하기 30 %  선분 BC의 길이 구하기 30 % 0982 1년 후의 적립금의 원리합계는 0985 수열 {aÇ}은 첫째항이 3, 공비가 -2인 등비수열이므로 a(1+0.01)+a(1+0.01)Û`+y+a(1+0.01)Ú`Û` = aÇ=3´(-2)Ç `ÑÚ` a_1.01_(1.01Ú`Û`-1) 1.01-1 이때 AÇ(n, aÇ), BÇ(n, 0), BÇ*Á(n+1, 0)이므로 삼각형 AÇBÇBÇ*Á의 넓이는 =1000000 1000000_0.01 1.01(1.01Ú`Û`-1) 10000 = 1.01(1.13-1) 1 1 SÇ= ´|aÇ|´1= ´3´|-2|Ç` ÑÚ`´1=;2#;´2Ç` ÑÚ` 2 2 =76161.___ 3 SÁ+S£+S°+S¦+S»‌= (1+2Û`+2Ý`+2ß`+2¡`) 2 ∴ a‌= 즉 수열 {SÇ}은 첫째항이 따라서 a의 값은 76200이다. 3 , 공비가 2인 등비수열이므로 2 =;2#;´ 답⑤ 1´(4Þ`-1) 4Þ`-1 = 2 4-1 답④ 0983 두 직선과 선분의 교점의 x좌표를 t라 할 때 선분의 길이 를 f(t)라 하면 0986 f(t)=a(t-1)-t=at-a-t=(a-1)t-a 작은 정삼각형의 넓이의 합과 같다. 도형 SÁ에서 작은 정삼각형 모양의 도형의 넓이는 형 SÁ의 넓이는 12개의 합동인 의 한 변의 길이를 a라 하면 '3a=2'3이므로 a=2 그러므로 주어진 14개의 선분의 길이는 등차수열을 이룬다. 따라서 SÁ의 넓이는 따라서 구하는 선분의 길이의 합은 14(3+42) =315 2 12´ 답③ '3 ´2Û`=12'3 4 또한 SÇ과 SÇ*Á은 닮은 도형이고 닮음비가 2 : 1이므로 넓이의 비는 4 : 1이다. 따라서 SÁ¼의 넓이는 0984 BHÓ=a-d, CHÓ=a, ABÓ=a+d라 하면 3'3 12'3´{;4!;}á`=3'3´{;4!;}¡`= 2Ú`ß` △ABH∽△CBA이므로 ABÓ : BHÓ=CBÓ : BAÓ 답④ 즉 (a+d) : (a-d)=(2a-d) : (a+d) (a+d)Û`=(a-d)(2a-d) aÛ`=5ad ∴ a=5d (∵ a>0) 시험에  따라서 ABÓ=a+d=5d+d=6d, 꼭 나오는 문제 0987 등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 BCÓ=2a-d=10d-d=9d, ACÓ=5이므로 피타고라스 정리 aª=8에서 a+d=8 에 의하여 a¤：aÁ¼=5：8에서 81dÛ`=36dÛ`+25, 45dÛ`=25 (a+5d)：(a+9d)=5：8 '5 dÛ`=;9%; ∴ d= (∵ d>0) 3 yy ㉠ 5(a+9d)=8(a+5d), 3a=5d  126 본문 128~131쪽 ∴ a=;3%;d yy ㉡ 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_114~131_08강_ok.indd 126 2017-11-10 오후 4:29:43 ㉡을 ㉠에 대입하면 ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=42, d=-10 ;3*;d=8 ∴ d=3, a=5 제 n 항에서 처음으로 음수가 나온다고 하면 aÇ‌ = 42+(n-1)´(-10) ∴ aª¼=5+19´3=62 답 62 =-10n+52<0 ∴ n>5.2 즉 제 6 항부터 음수이므로 제 5 항까지의 합이 최대가 된다. 0988 aÇ=3+(n-1)d=4d이므로 답5 nd-5d=-3 ∴ (n-5)d=-3 이때 n, d가 모두 자연수이므로 0993 60보다 작은 자연수 중에서 3의 배수는 n=2일 때, d=1 n=4일 때, d=3 3, 6, 9, y, 57 따라서 모든 자연수 d의 값의 합은 1+3=4 이 수열은 첫째항이 3, 끝항이 57, 항 수가 19인 등차수열이므로 답② 0989 등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a°=a+4d=-35 yy ㉠ aÁ¼=a+9d=-20 yy ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 그 합은 19(3+57) =570 2 60보다 작은 자연수 중에서 4의 배수는 4, 8, 12, y, 56 이 수열은 첫째항이 4, 끝항이 56, 항 수가 14인 등차수열이므로 그 합은 a=-47, d=3 ∴ aÇ=-47+(n-1)´3=3n-50 14(4+56) =420 2 3n-50>0에서 3n>50 한편, 60보다 작은 자연수 중에서 12의 배수는 ∴ n>:°3¼:=16.___ 12, 24, 36, 48 이 수열은 첫째항이 12, 끝항이 48, 항 수가 4인 등차수열이므로 따라서 처음으로 양수가 되는 항은 제 17 항이다. 답④ 0990 등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하고, 첫째항 부터 제 n 항까지의 합을 SÇ이라 하면 aª¼=a+19d=-15 yy ㉠ 20(2a+19d) Sª¼= =270 2 yy ㉡ 그 합은 4(12+48) =120 2 따라서 60보다 작은 자연수 중에서 3 또는 4로 나누어떨어지는 수의 총합은 570+420-120=870 답 870 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=42, d=-3 ∴ S£¼= 0994 aÁ=SÁ=1Û`+p´1=3에서 p=2 30´{ 2´42+29´(-3)} =-45 2 ∴ SÇ=nÛ`+2n 답② aª=Sª-SÁ에서 aª=(2Û`+2´2)-(1Û`+2´1)=5 0991 첫째항이 -10이고 제(n+2)항이 30이므로 한편, 수열 {aÇ}은 등차수열이므로 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 SÇ이라 하면 d=aª-aÁ=5-3=2 SÇ*ª=-10+120+30=140 ∴ p+d=2+2=4 이때 주어진 수열이 등차수열이므로 답④ (n+2)(-10+30) SÇ*ª= =140 2 10(n+2)=140, n+2=14 0995 SÇ=-2nÛ`+8n+1에서 ∴ n=12 aÇ‌ = SÇ-SÇÐÁ 답② =(-2nÛ`+8n+1)-{-2(n-1)Û`+8(n-1)+1} =-4n+10 (n¾2) aÁ=SÁ=7 0992 등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 yy ㉠ aÇ=-4n+10<0에서 n>2.5 a»=a+8d=-38 yy ㉡ 즉 처음으로 음수가 되는 항은 제 3 항이므로 a¢=a+3d=12 08. 등차수열과 등비수열 알피엠_수Ⅰ_해설_114~131_08강_ok.indd 127 127 2017-11-10 오후 4:29:43 |aÁ|+|aª|+|a£|+y+|aÁ¼| 첫째항이 2, 제 5 항이 32이므로 =aÁ+aª-(a£+a¢+y+aÁ¼) =7+2+ 2+4d=32 ∴ d= 8´(2+30) =9+128=137 2 따라서 철수가 넣은 세 양수의 합 a는 답 137 a‌=(2+d)+(2+2d)+(2+3d) =6+6d=6+6´ 0996 SÇ=nÛ`-2n+4에서 15 =51 2 영희가 만든 등비수열의 공비를 r라 하면 첫째항이 2, 제 5 항이 Ú n¾2일 때, 32이므로 aÇ=SÇ-SÇÐÁ 2´rÝ`=32 =(nÛ`-2n+4)-{(n-1)Û`-2(n-1)+4} =2n-3 15 2 yy ㉠ Û n=1일 때, rÝ`=16 ∴ r=2 (∵ r>0) 따라서 영희가 넣은 세 양수의 합 b는 b=4+8+16=28 aÁ=SÁ=1-2+4=3 ∴ a-b=51-28=23 그런데 aÁ=3은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같지 않으므로 답 23 aÁ=3, aÇ=2n-3 (n¾2) ㄱ. aª=2´2-3=1 (참) 1001 세 양수 x, y, z가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 ㄴ. a£=2´3-3=3, ‌ a¢=2´4-3=5 a£-aÁ=3-3=0, a¢-aª=5-1=4 y=xr, z=xrÛ` (r>0)이라 하면 ∴ a£-aÁ+a¢-aª (거짓) x+y+z=x(1+r+rÛ`)= ㄷ. a Ç=2n-3>100에서 n>51.5 그러므로 구하는 자연수 n의 최솟값은 52이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 답③ 1 1 1+r+rÛ` +;]!;+;z!;= ‌ ;[!;{1+;r!;+ }=;[!;´ x rÛ` rÛ` x(1+r+rÛ`) 31 = = 8 (xr)Û` yy ㉠ yy ㉡㉡Ö㉠을 하면 (xr)Û`=4 ∴ xr=2 (∵ xr>0) 0997 등비수열 {aÇ}의 공비를 r라 하면 r= 31 2 ∴ xyz=x´xr´xrÛ`=(xr)Ü`=8 aÇ*Á 3´2ÑÛ`Ç` 1 = = =;4!; aÇ 3´2Û`ÑÛ`Ç` 2Û`ÑÛ`Ç` ±Û`Ç` 답8 답② 1002 세 수 aÇ`, 2Ü`´3Ý`, bÇ`이 이 순서대로 등비수열을 이루므로 0998 3, 6, 12, y는 첫째항이 3이고, 공비가 2인 등비수열이 (2Ü`´3Ý`)Û`=aÇ` bÇ` 므로 ∴ 2ß`´3¡`=(ab)Ç` aÇ=3´2Ç` ÑÚ`>300 a, b, n이 모두 자연수이려면 n은 6과 8의 공약수, 즉 2의 약수 즉 2Ç` ÑÚ`>100에서 2ß`=64, 2à`=128이므로 이어야 한다. 이때 n은 2 이상의 자연수이므로 n-1¾7 ∴ n¾8 n=2 따라서 처음으로 300보다 커지는 항은 제 8 항이다. ∴ ab=2Ü`´3Ý`=648 답 제8항 답 648 0999 aª, aû, a¥이 이 순서대로 등차수열을 이루므로 1003 주어진 등비수열의 공비를 r, 첫째항부터 제 n 항까지의 k=5 합을 SÇ이라 하면 또한 aÁ, aª, a°가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 SÇ‌ = aªÛ`=aÁa°에서 (aÁ+6)Û`=aÁ(aÁ+24), 12aÁ=36 ∴ aÁ=3 ∴ k+aÁ=5+3=8 답② 2(1-rÇ`) 2-2rÇ` = 1-r 1-r = 2-r´2rÇ` ÑÚ` 1-r = 2-32r =22 1-r 2-32r=22-22r ∴ r=-2 ∴ x¢=2´(-2)Ý`=32 1000 철수가 만든 등차수열의 공차를 d라 하면 128 답⑤ 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_114~131_08강_ok.indd 128 2017-11-10 오후 4:29:44 1004 aÁ+a£+a°+y+aªÇÐÁ=3Ç`-1에서 ‌따라서 수열 {aªÇ}은 첫째항이 aªÇÐÁ‌ = (3Ç`-1)-(3Ç` ÑÚ`-1)=(3-1)´3Ç` ÑÚ` 다. (참) =2´3Ç `ÑÚ` 등비수열 {aÇ}의 공비를 r라 하면 aÁ=2, a£=6이므로 a£ =rÛ`=3 aÁ ㄴ. SÇ‌ = r>0이므로 r='3 답 6'3 1005 MN의 약수는 M의 약수와 N의 약수의 곱으로 표현 되므로 자연수 MN의 모든 양의 약수의 합은 = (2´2Þ`-1)(3´3ß`-1) 2 1-;2!; 1 =2´[1-{ }Ç` ]=2-{;2!;}Ç` ÑÚ` 2 ‌따라서 수열 {2-SÇ}은 첫째항이 1, 공비가 1 인 등비수열이 2 다. (참) 1 1 1 ㄷ. aÇ*Á-2aÇ={ 2 }Ç` -2´{ 2 }Ç` ÑÚ`=-;2#;´{ 2 }Ç` ÑÚ` ‌따라서 수열 {aÇ*Á-2aÇ}은 첫째항이 -;2#;, 공비가 (1+2+2Û`+y+2Þ`)(1+3+3Û`+y+3ß`) 1´(2ß`-1) 1´(3à`-1) ´ 2-1 3-1 1´[1-{;2!;}Ç` ] 1 ∴ 2-SÇ={ 2 }Ç` ÑÚ` ∴ a¢=aÁ´rÜ`=2´('3)Ü`=6'3 = 1 , 공비가 ;4!;인 등비수열이 2 1 인등 2 비수열이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 답⑤ (2M-1)(3N-1) = 2 답① 1009 매년 5월 1일마다 a만 원씩 저축한다고 하면 5년 후의 원리합계는 a(1+0.1)+a(1+0.1)Û`+a(1+0.1)Ü` nÛ`+3n 1006 bÇ=logªàÇ이라 하면 bÁ+bª+y+bÇ= 2 +a(1+0.1)Ý`+a(1+0.1)Þ` Ú n¾2일 ‌ 때, nÛ`+3n (n-1)Û`+3(n-1) bÇ‌={ }-[ ]=n+1 yy ㉠ 2 2 1Û`+3´1 Û n=1일 때, bÁ= =2 2 = 1.1a(1.1Þ`-1) 1.1-1 = 1.1a(1.6-1) 0.1 =6.6a=3300 bÁ=2는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 ∴ a= bÇ=n+1 3300 =500 (만 원) 6.6 즉 logª aÇ=n+1이므로 답⑤ aÇ=2Ç` ±Ú`=2Û`´2Ç` ÑÚ` 따라서 등비수열 {aÇ}의 첫째항부터 제 10 항까지의 합은 1010 곡선 y=x(x+4)(x-1)과 직선 y=k의 교점의 x좌 2Û`(2Ú`â`-1) 2-1 =4092 표는 방정식 xÜ`+3xÛ`-4x=k의 세 근이므로 답④ 1007 두 수열 {aÇ}, {bÇ}은 각각 공차가 -3, 2이고 첫째항을 각각 a, b라 하면 xÜ`+3xÛ`-4x-k=0의 세 근이 a, b, c이다.  이때 a, b, c가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 a=b-d, c=b+d라 하면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 (b-d)+b+(b+d)=-3 ∴ b=-1 aÇ=a+(n-1)´(-3)=-3n+3+a  bÇ=b+(n-1)´2=2n-2+b 즉 b=-1이 xÜ`+3xÛ`-4x-k=0의 근이므로 ∴ 3aÇ+2bÇ=3(-3n+3+a)+2(2n-2+b) -1+3+4-k=0 ∴ k=6 =(3a+2b)+(n-1)´(-5)  따라서 등차수열 {3aÇ+2bÇ}의 공차는 -5이다. 답6 답① 1 1 1008 aÇ=1´{ 2 }Ç` ÑÚ`={ 2 }Ç` ÑÚ` 1 1 ㄱ. aªÇ={ }Û`Ç` ÑÚ`= ´{;4!;}Ç` ÑÚ` 2 2 단계 채점요소 배점  곡선과 직선의 교점의 x좌표가 방정식 xÜ`+3xÛ`-4x=k의 세 근임을 알기 30 %  근과 계수의 관계를 이용하여 b의 값 구하기 40 %  k의 값 구하기 30 % 08. 등차수열과 등비수열 알피엠_수Ⅰ_해설_114~131_08강_ok.indd 129 129 2017-11-10 오후 4:29:45 1011 주어진 등차수열의 첫째항을 a, 공차를 d라 하고, 첫째 항부터 제 n 항까지의 합을 SÇ이라 하면 Sª¼= 1013 주어진 등비수열의 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 SÇ이 라 하면 첫째항은 2x, 공비는 20(2a+19d) =120 2  ∴ 2a+19d=12 yy ㉠ Ú  S£¼= 1 이므로 2x+1 1 +1, 즉 x+0일 때, 2x+1 1 }`Ç ] 2x+1 1 12x+1 2x[1-{ 30(2a+29d) =300 2 SÇ‌ = ∴ 2a+29d=20 yy ㉡  =(2x+1)[1-{ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-;5*;, d=;5$; =2x+1-{ 1 }Ç` ] 2x+1 1 }Ç` ÑÚ` 2x+1   ∴ SÁ¼‌ = 10(2a+9d) 2 Û 1 =1, 즉 x=0일 때, 2x+1 모든 항이 0이므로 SÇ=0 =10a+45d  8 =10´{- }+45´;5$; 5 ∴ x+0일 때 2x+1-{ =20 1 }Ç` ÑÚ`, x=0일 때 0 2x+1   답 20 단계  채점요소 Sª¼을 이용하여 식 세우기 30 % S£¼을 이용하여 식 세우기 30 %  주어진 수열의 첫째항 a와 공차 d 구하기 20 % SÁ¼ 구하기 1 }Ç` ÑÚ`, x=0일 때 0 2x+1 배점   답 x+0일 때 2x+1-{ 20 % 단계 채점요소 배점  주어진 등비수열의 첫째항과 공비 구하기 20 %  (공비)+1일 때 SÇ 구하기 30 %  (공비)=1일 때 SÇ 구하기 30 %  SÇ 구하기 20 % 1014 등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 1012 등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 aÁ+aª+a£+y+aÇ= aÁ+aª+a£=5에서 a+ar+arÛ`=a(1+r+rÛ`)=5 yy ㉠ a¢+a°+a¤=30에서 arÜ`+arÝ`+arÞ`=arÜ`(1+r+rÛ`)=30 yy ㉡  aªÇ*Á+aªÇ*ª+aªÇ*£+y+a£Ç =arÛ`Ç`+arÛ`Ç` ±Ú`+arÛ`Ç` ±Û`+y+arÜ`Ç`ÑÚ` = arÛ`Ç`(1-rÇ`) a(1-rÇ`) = ´rÛ`Ç` 1-r 1-r =30rÛ`Ç`=270 ㉡Ö㉠을 하면 rÛ`Ç`=9 rÜ`=6 ∴ (rÇ`)Û`=3Û`  ∴ a¢+a¤ arÜ`+arÞ` arÜ`(1+rÛ`) = = =rÜ`=6 aÁ+a£ a+arÛ` a(1+rÛ`) 답6 채점요소 배점  조건에 맞는 식 세우기 40 %  rÜ`의 값 구하기 20 %  a¢+a¤ 의 값 구하기 aÁ+a£ 40 % 130 그런데 등비수열 {aÇ}의 모든 항이 양수이므로 rÇ`=3 ∴ aÇ*Á+aÇ*ª+aÇ*£+y+aªÇ  단계 a(1-rÇ`) =30 1-r =arÇ`+arÇ` ±Ú`+arÇ` ±Û`+y+arÛ`Ç`ÑÚ` = arÇ`(1-rÇ`) 1-r = a(1-rÇ`) ´rÇ` 1-r =30´3 =90 답 90 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_114~131_08강_ok.indd 130 2017-11-10 오후 4:29:45 1015 한 변의 길이가 3인 정사각형의 넓이가 9이므로 두 식을 연립하여 풀면 1회 시행 후 남아 있는 도형의 넓이는 ;9*;´9 b=3, dª=4 2회 시행 후 남아 있는 도형의 넓이는 {;9*;}Û`´9 두 집합 A, B의 원소가 모두 1 이상 50 이하의 자연수이므로 ∴ bÇ=3+(n-1)´4=4n-1 ⋮ n회 시행 후 남아 있는 도형의 넓이는 {;9*;}Ç`´9 따라서 10회 시행 후 남아 있는 도형의 넓이는 8Ú`â` 2ÜÜ`â` = 이므로 9á` 3Ú`¡` p=30, q=18 bÇ=4n-1É50에서 nÉ 51 4 55 51 즉 6n-5=4m-1, 3n=2(m+1) {nÉ 6 , mÉ 4 } 을 만족시키는 자연수 n, m을 순서쌍 (n, m)으로 나타내면 ∴ p+q=48 답 48 조건 ㈎에서 aÁ=1, aÁ¼=55이므로 55 6 이때 aÇ=bµ {;9*;}Ú`â`´9= 1016 등차수열 {aÇ}의 공차를 dÁ이라 하자. aÇ=6n-5É50에서 nÉ (2, 2), (4, 5), (6, 8), (8, 11) 집합 A;B의 원소의 개수는 순서쌍 (n, m)의 개수와 같으므 로 n(A;B)=4 답4 55=1+9dÁ ∴ dÁ=6 ∴ aÇ=1+(n-1)´6=6n-5 등차수열 {bÇ}의 첫째항을 b, 공차를 dª라 하자. 조건 ㈏에서 bª=7, b¦=27이므로 b+dª=7, b+6dª=27 08. 등차수열과 등비수열 알피엠_수Ⅰ_해설_114~131_08강_ok.indd 131 131 2017-11-10 오후 4:29:46 09 Ⅲ. 수열 수열의 합 Á (4k+2)‌=4 Á k+ Á 2 ‌ 1026 k=1 k=1 k=1 10 10 10´11 +2´10=240 2 =4´ 답 240 교과서 문제 정 복 하 기 / / / 본문 133쪽 Á (2kÛ`-3k+1)‌=2 Á kÛ`-3 Á k+ Á 1 1027 k=1 k=1 k=1 k=1 10 Á 2k‌=2´1+2´2+2´3+2´4+2´5 ‌ 1017 k=1 5 10 =2´ =2+4+6+8+10 Á 2Ô`‌=2Ú`+2Û`+2Ü`+2Ý`+2Þ`` ‌ 10 ‌ 10´11´21 10´11 -3´ +1´10‌ 6 2 ‌ =615 답 615 5 i=1 Á k(k+1)(k-1)‌= Á (kÜ`-k) 1028 k=1 k=1 8 =2+4+8+16+32 답 풀이 참조 Á kÛ`=1Û`+2Û`+3Û`+y+nÛ` 1019 k=1 8 = Á kÜ`- Á k n 답 Á 3û` ÑÚ` 10 Á (3k-2) 1021 1+4+7+y+25=k=1 답 Á (3k-2) 9 k=1 Á6 1022 6+6+6+6+6+6=k=1 ‌ 8´9 Û 8´9 }`=1260 2 2 Á k= 1029 1+2+3+y+20=k=1 20´21 =210 2 답 210 1030 주어진 수열의 일반항 aÇ은 aÇ=nÜ` ∴ (주어진 식)= Á kÜ`={ k=1 9´10 Û }`=45Û`=2025 2 답 2025 1031 주어진 수열의 일반항 aÇ은 aÇ=(n+4)Û`이므로 (n+4)Û`=15Û`에서 n+4=15 ∴ n=11 6 답 Á6 6 k=1 n 1 1 1 Á 1023 2 +;4!;+;6!;+y+ 2n =k=1 2k 답 Á n k=1 Á (2aû+3bû)‌=2 Á aû+3 Á bû 1024 k=1 k=1 k=1 10 ∴ (주어진 식)‌= Á (k+4)Û` 11 = Á (kÛ`+8k+16) ‌ 11 = Á kÛ`+8 Á k+ Á 16 k=1 = 1 2k 10 11 11 11 k=1 k=1 k=1 ‌ 11´12´23 11´12 +8´ +16´11 6 2 =506+528+176 ‌ ‌ =1210 답 1210 ‌ 답 13 Á (5aû+2)‌=5 Á aû+ Á 2 1025 k=1 k=1 k=1 ‌ k=1 =2´2+3´3=13 10 k=1 답 1260 9 9 10 k=1 20 k=1 10 8 ‌ 답 풀이 참조 Á 3û` ÑÚ` 1020 1+3+3Û`+y+3á`=k=1 10 8 ={ 10 1 1 1 1 1032 2´3 + 3´4 + 4´5 +y+ (n+1)(n+2) 1 1 1 ={;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+{ -;5!;}+y+{ } 4 n+1 n+2 ‌ =;2!;- =5´2+2´10=30 답 30 132 10 =770-165+10 답 풀이 참조 1018 10 1 n = n+2 2(n+2) 답 n 2(n+2) 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_132~146_09강_ok.indd 132 2017-11-10 오후 4:30:13 1 Á 1033 k=2 (k-1)k 20 제 9 군의 4번째 항이다. 1 1 - } k-1 k 따라서 제 40 항은 2´9-1=17이다. ={1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+y+{;1Á9;-;2Á0;} =1-;2Á0;=;2!0(; 답 17 답 ;2!0(; 유형 익 히 기 Á ('k-'Äk+1) 1034 k=1 / 8 10 1 'Äk+1+'k 9 ‌ ¥ ¥| |¥ ( M¥ = Á (aªûÐÁ+aªû) (2k-1) 꼴 k=1 ‌ =5´10Û`=500 = Á ('Äk+1-'k) k=1 ¥ |¥ |¥ ( M¥ =(aÁ+aª)+(a£+a¢)+y+(aÁ»+aª¼) 답 -2 80 2k 꼴 9 20 =1-'9=-2 1035 Á 본문 134~140쪽 Á aû‌ = aÁ+aª+a£+y+aÁ»+aª¼ ‌ 1039 k=1 =(1-'2 )+('2-'3 )+('3-'4 )+y+('8-'9 ) 80 / { N¥ |¥ |¥ 20 k=2 { N¥ |¥ |¥ =Á { 8´9 =36이므로 제 40 항은 2 제 8 군까지의 항의 개수는 답② k=1 ¥| { ¥| ¥ ¥ ¥ ( ( ¥ |¥ M¥ { k=1 | | 99 100 { { | | (n+1)개 aÇ=2Ç` ÑÚ` 6개 ( ( ③ 1+2+4+y+2Ç`= Á 2û` ÑÚ`` 9 9 n+1 k=1 aÇ=(-1)Ç` ÑÚ` ( ( 답 -2 | | | | 1 =-2 100 { { ④ 1-1+1-1+1-1= Á (-1)û` ÑÚ`` 99 } 100 9 9 =log` 8 aÇ=2n-1 =log`;2!;+log`;3@;+log`;4#;+y+log` n+1 ② 1+3+y+15= Á (2k-1) ( M { M 9 99 aÇ=2n 8개 ( M { M 9 k Á log` 1036 k=1 k+1 ¥ 답8 =log`{;2!;´;3@;´;4#;ý´ (n+1)개 ¥| ¥ Á 2k 1040 ① 2+4+6+y+2(n+1)=k=1 9 =-1+'81=8 9 =('2-1)+('3-'2 )+('4-'3 )+y+('81-'80) 6 k=1 1 1 ⑤ ‌수열 9, 3, 1, y, { }Ç` ÑÜ`은 첫째항이 9, 공비가 인 등비수 3 3 열이므로 일반항은 1 1 1 aÇ=9´{ }Ç` ÑÚ`=3Û`´{ }Ç` ÑÚ`={ }Ç` ÑÜ` 3 3 3 1037 S=1+2´2+3´2Û`+y+9´2¡`+10´2á` ->³2S= 2+2´2Û`³+y+8´2¡`+ 9´2á`³+10´2Ú`â` -S‌=1+ 2+ 2Û`+y+ 2¡`+ 2á`-10´2Ú`â` = 2Ú`â`-1 -10´2Ú`â` 2-1 =2Ú`â`-1-10´2Ú`â` ‌ n 1 1 ∴ 9+3+1+y+{ }Ç` ÑÜ`= Á { }û` ÑÜ` 3 k=1 3 따라서 옳지 않은 것은 ③이다. ‌ 답③ ‌ =-9´2Ú`â`-1 Á aû*Á- Á aÇÐÁ 1041 k=1 n=2 2018 ∴ S=9´2Ú`â`+1 답 9´2Ú`â`+1 2019 =(aª+a£+a¢+y+aª¼Á»)-(aÁ+aª+a£+y+aª¼Á¥) =aª¼Á»-aÁ=105-5=100 답 100 1038 주어진 수열을 군수열로 나타내면 (1), (3, 3), (5, 5, 5), (7, 7, 7, 7), y 즉 제 n 군에 있는 각 항은 2n-1이고, 제 n 군의 항의 개수는 n 이므로 제 1 군부터 제 n 군까지의 항의 개수는 n(n+1) Á k= 2 k=1 n 알피엠_수Ⅰ_해설_132~146_09강_ok.indd 133 Á kaû=200에서 1042 k=1 20 aÁ+2aª+3a£+y+20aª¼=200 yy ㉠  09. 수열의 합 133 2017-11-10 오후 4:30:13 Á kaû*Á=100에서 ∴ Á (2aÆ-3bÆ) 30 19 =2 Á aÆ-3 Á bÆ j=21 k=1 yy ㉡ aª+2a£+3a¢+y+19aª¼=100 30 =2{ Á aÆ- Á aÆ}-3{ Á bÆ- Á bÆ}  ㉠-㉡을 하면 aÁ+aª+a£+y+aª¼=100 j=21 30 20 30 20 j=1 j=1 j=1 j=1 =2(900-400)-3(180-120)  ∴ Á aû=aÁ+aª+a£+y+aª¼=100 30 j=21 =2´500-3´60=820 20 답② k=1  답 100 채점요소 배점 Á kaû=200을 Á를 사용하지 않고 나타내기 20  30 % Á kaû*Á=100을 Á를 사용하지 않고 나타내기 k=1 19  30 % k=1 aÁ+aª+a£+y+aª¼의 값 구하기  20 % Á aû의 값 구하기 20  20 % k=1 Á (aû+bû)Û`‌= Á (aûÛ`+2aûbû+bûÛ`) ‌ 1043 k=1 k=1 n n n n k=1 k=1 k=1 =20 Á (aû-bû)Û`‌= Á (aûÛ`-2aûbû+bûÛ`) n n = Á aûÛ`-2 Á aûbû+ Á bûÛ` k=1 k=1 n n n k=1 k=1 k=1 =8 ㉠-㉡을 하면 4 Á aûbû=12 ;4%;[{;4%;}Ú`â`-1] ;4%;-1 + ;4#;[1-{;4#;}Ú`â`] 1-;4#; 3 =5[{;4%;}Ú`â`-1]+3[1-{ }Ú`â`] 4 따라서 a=5, b=-3, c=-2이므로 yy ㉠ a+b+c=0 답③ ‌ ‌ 1047 5+55+555+y+555y5 yy ㉡ 20개 =;9%;(9+99+999+y+999y9) ( Ò 9 20개 k=1 =;9%;{(10-1)+(10Û`-1)+y+(10Û`â`-1)} n k=1 =;9%; Á (10û`-1) 20 답3 Á (2aû+bû-1)‌= Á 2aû+ Á bû- Á 1 1044 k=1 k=1 k=1 k=1 20 = k=1 3 =5´{;4%;}Ú`â`-3´{ }Ú`â`-2 4 ‌ n ∴ Á aûbû=3 k=1 3 =5´{;4%;}Ú`â`-5+3-3´{ }Ú`â` 4 n = Á aûÛ`+2 Á aûbû+ Á bûÛ` ` 10 10 = Á {;4%;}û`+ Á {;4#;}û` ( Ò 9 단계 10 5û`+3û` Á 1046 k=1 4û` 20 20 20 =2 Á aû+ Á bû-20 20 20 k=1 k=1 =2´5+8-20 k=1 =;9%;[ ‌ ‌ = 10(10Û`â`-1) -20] 10-1 50´10Û`â`-950 81 따라서 a=50, b=950이므로 a+b=50+950=1000 ‌ =-2 답③ 답① Á aÆ=nÛ`에 n=30, n=20을 각각 대입하면 1045 j=1 n Á aÆ=900, Á aÆ=400 30 20 Á bÆ=6n에 n=30, n=20을 각각 대입하면 j=1 j=1 n Á bÆ=180, Á bÆ=120 j=1 30 20 j=1 j=1 134 1048 주어진 수열의 제 n 항을 aÇ이라 하면 aÇ=1+2Û`+2Ü`+y+2Ç `ÑÚ`= 1´(2Ç`-1) =2Ç`-1 2-1 SÇ‌ = Á aû= Á (2û`-1)= Á 2û`- Á 1 n n n k=1 k=1 k=1 k=1 = n ‌ 2´(2Ç`-1) -n=2Ç` ±Ú`-2-n=2Ú`â`-11 2-1 ∴ n=9 답9 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_132~146_09강_ok.indd 134 2017-11-10 오후 4:30:14 Á (2k-1)Û`+ Á (2k)Û` 1049 k=1 k=1 10 Á k= Á k- Á k 1053 6+7+8+y+n‌=k=6 k=1 k=1 10 = Á (8kÛ`-4k+1) n 10 = =8 Á kÛ`-4 Á k+ Á 1 k=1 10 10 10 k=1 k=1 k=1 =8´ 5 n(n+1) 5´6 ‌ 2 2 nÛ`+n-240=0, (n+16)(n-15)=0 ∴ n=15 (∵ n은 자연수) =3080-220+10=2870 답① 답 2870 Á (2k-1)Û`+ Á (2k)Û` 10 10 k=1 k=1 =(1Û`+3Û`+5Û`+y+19Û`)+(2Û`+4Û`+6Û`+y+20Û`) 1054 주어진 수열의 제 n 항을 aÇ이라 하면 =1Û`+2Û`+3Û`+y+20Û` aÇ=nÛ`(n+1) = Á kÛ` 따라서 주어진 수열의 첫째항부터 제 10 항까지의 합은 Á aû‌ = Á kÛ`(k+1)= Á (kÜ`+kÛ`) ‌ 20 10 k=1 20´21´41 =2870 6 = ‌ 1 = (nÛ`+n)-15=105 2 10´11´21 10´11 -4´ +10 6 2 다른풀이 n 10 = Á kÜ`+ Á kÛ` k=1 Á (2k-1)‌= Á (2k-1)-1 1050 k=2 k=1 n n =2 Á k-n-1 ‌ 10 k=1 ‌ 10 k=1 k=1 ={ n k=1 10 ‌ 10´11 Û 10´11´21 }`+ 2 6 ‌ =3025+385=3410 k=1 =2´ 답 3410 n(n+1) -n-1 ‌ 2 =nÛ`-1=80 nÛ`=81 1055 주어진 수열의 제 n 항을 aÇ이라 하면 ∴ n=9 (∵ n¾2) aÇ=n(21-n) 답9 ∴ (주어진 식)‌= Á k(21-k)= Á (21k-kÛ`) ‌ 20 20 =21 Á k- Á kÛ` k=1 1051 첫째항이 3, 공차가 2인 등차수열의 일반항 aÇ은 aÇ=3+2(n-1)=2n+1 ∴ Á (3aû-1)‌= Á (6k+2) 15 15 =6 Á k+ Á 2 k=1 k=1 15 15 k=1 k=1 =6´ 20 k=1 k=1 =21´ ‌ ‌ 20´21 20´21´41 2 6 ‌ =4410-2870=1540 ‌ 답④ 15´16 +15´2 ‌ 2 =750 답 750 Á (k-c)(2k-c) 1052 k=1 = Á (2kÛ`-3ck+cÛ`) =2 Á kÛ`-3c Á k+ Á cÛ` 11 k=1 k=1 k=1 ‌ aÁ=SÁ=1Û`=1 k=1 11 n =2n-1 (n¾2) 11 11 Á aû=nÛ`이므로 1056 SÇ=k=1 aÇ‌=SÇ-SÇÐÁ=nÛ`-(n-1)Û` 11 =2´ k=1 20 ∴ aÇ=2n-1 (n¾1) ∴ Á aûÛ`‌= Á (2k-1)Û`= Á (4kÛ`-4k+1) ‌ 5 k=1 11´12´23 11´12 -3c´ +11cÛ` 6 2 =11cÛ`-198c+1012 5 5 =4 Á kÛ`-4 Á k+ Á 1 k=1 k=1 5 5 5 k=1 k=1 k=1 ‌ 5´6´11 5´6 -4´ +5 ‌ 6 2 =11(c-9)Û`+121 =4´ 따라서 c=9일 때 최소가 된다. =220-60+5=165 답⑤ 답③ 09. 수열의 합 알피엠_수Ⅰ_해설_132~146_09강_ok.indd 135 135 2017-11-10 오후 4:30:15 Á aû= 이므로 1057 SÇ=k=1 n+1 aÇ‌ = SÇ-SÇÐÁ= = Á { Á i Û`k}‌=Á [i Û`{ Á k}] 1061 i=1 k=1 i=1 k=1 n n n n-1 n+1 n 10 5 10 =Á {i Û`´ 10 ‌ i=1 1 (n¾2) n(n+1) aÁ=SÁ= ∴ aÇ= 5 ‌ 10 5´6 }=15Á i Û` ‌ 2 i=1 10´11´21 =5775 6 =15´ 1 =;2!; 1+1 답④ 1 (n¾1) n(n+1) 10 10 10 1 ∴Á ‌= Á k(k+1)= Á kÛ`+ Á k k=1 aû k=1 k=1 k=1 10 = 10´11´21 10´11 + 6 2 Á [ Á [ Á (2k-m+1)]] 1062 m=1 l=1 k=1 4 4 =385+55=440 답 440 n k=1 l(l+1) = Á [ Á [2´ +(-m+1)l]] 2 m=1 l=1 l=1 4 m 4 k=1 m l=1 m m l=1 l=1 =Á [ 4 ‌ =Á m=1 4 =Á m=1 4 답 ;7*;(8Ç`-1) 1059 aÁ, aª, a£, y, aÇ의 평균이 n+1이므로 m(m+1)(2m+1) m(m+1) +(-m+2)´ ] 6 2 m(m+1){(2m+1)+3(-m+2)} 6 m(m+1)(-m+7) 6 =-;6!; Á (mÜ`-6mÛ`-7m) m=1 2Ü`(8Ç`-1) =;7*;(8Ç`-1) 8-1 4 m=1 =-;6!; { Á mÜ`-6 Á mÛ`-7 Á m} 4 4 4 m=1 m=1 m=1 =-;6!;[{ aÁ+aª+y+aÇ =n+1 n 4´5 Û 4´5´9 4´5 }`-6´ -7´ ] 2 6 2 1 =- (100-180-70)=25 6 ∴ aÁ+aª+y+aÇ=n(n+1) 즉, SÇ= Á aû=n(n+1)이므로 k=1 = Á [ Á {lÛ`+(-m+2)l}] m=1 ∴ aÇ=2Ç` (n¾1) n l = Á [ Á lÛ`+(-m+2) Á l] =2Ç` (n¾2) k=1 l m=1 4 aÁ=SÁ=2Û`-2=2 ∴ Á a£û= Á 2Ü`û`= m m=1 n aÇ‌ = SÇ-SÇÐÁ=(2Ç` ±Ú`-2)-(2Ç`-2) l = Á [ Á [2 Á k+ Á (-m+1)]] ‌ ‌ Á aû=2Ç` ±Ú`-2이므로 1058 SÇ=k=1 m 답 25 n k=1 aÇ‌=SÇ-SÇÐÁ=n(n+1)-(n-1)n ‌ 1063 xÛ`-7x+10=0의 두 근이 m, n이므로 근과 계수의 관 =2n (n¾2) 계에 의하여 m+n=7, mn=10 aÁ=SÁ=1´(1+1)=2 ∴ Á [ Á (i+j)]=Á { Á i+ Á j} ∴ aÇ=2n (n¾1) ∴ Á kaû= Á 2kÛ`=2´ 10 10 k=1 k=1 10´11´21 =770 6 답① n l n l(l+1) Á { Á k}‌ = Á ‌ 1060 l=1 2 k=1 l=1 =;2!; Á (lÛ`+l) ‌ m n i=1 j=1 m n n(n+1) =Á [ni+ ] 2 i=1 i=1 j=1 j=1 m =nÁ i+ m i=1 =n´ n n(n+1) m Á1 2 i=1 m(m+1) mn(n+1) + 2 2  l=1 =;2!;[ = n(n+1)(2n+1) n(n+1) + ] 6 2 ‌ n(n+1)(n+2) =56 6 = mn(m+n+2) 2 = 10(7+2) =45 2  n(n+1)(n+2)=6´7´8에서 n=6 답6 136  n 답 45 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_132~146_09강_ok.indd 136 2017-11-10 오후 4:30:16 단계 채점요소 배점 단계 안쪽에 있는 Á부터 차례대로 풀기 20 %  일반항 aû 구하기 30 % 50 %  a, b, c의 값 구하기 50 % 30 %  a+b+c의 값 구하기 20 % m+n, mn의 값 구하기    답 구하기 채점요소 배점 1064 주어진 수열의 제 k 항을 aû라 하면 1067 xÛ`+4x+3=(x-n)Q(x)+aÇ이라 놓고 aû=k{n-(k-1)}=-kÛ`+(n+1)k 양변에 x=n을 대입하면 따라서 주어진 수열의 합은 aÇ=nÛ`+4n+3 Á aû‌ = Á {-kÛ`+(n+1)k} n n k=1 =- Á kÛ`+(n+1) Á k k=1 n n k=1 k=1 =- ∴Á 7 ‌ n=1 ‌ 7 1 1 ‌= Á ‌ aÇ n=1 nÛ`+4n+3 n(n+1)(2n+1) n(n+1) +(n+1)´ 6 2 =;2!; Á { ‌ 7 n=1 답① n+2k Û 2k 4k 4kÛ` }`={1+ }Û`=1+ + n n n nÛ` ‌ 1 1 } ‌ n+1 n+3 1 = [{;2!;-;4!;}+{;3!;-;5!;}+{;4!;-;6!;} 2 ‌ +y+{;7!;-;9!;}+{;8!;- 1 }]‌ 10 =;2!;{;2!;+;3!;-;9!;- 1065 주어진 수열의 제 k 항을 aû라 하면 aû={ 1 (n+1)(n+3) 7 n=1 n(n+1)(n+2) 6 = =Á = 1 } ‌ 10 14 45 따라서 주어진 수열의 합은 Á aû‌ = Á {1+ n n k=1 = Á 1+ k=1 n k=1 =n+ 4k 4kÛ` + } n nÛ` 4 n 4 n Á k+ Á kÛ` n k=1 nÛ` k=1 답 ;4!5$; ‌ ‌ 4 n(n+1) 4 n(n+1)(2n+1) ´ + ´ n 2 6 nÛ` 1068 SÇ=2nÛ`+3n이므로 aÇ‌ = SÇ-SÇÐÁ ‌ ‌ =(2nÛ`+3n)-{2(n-1)Û`+3(n-1)} 13nÛ`+12n+2 = 3n =4n+1 (n¾2) 답② aÁ=SÁ=2+3=5 ∴ aÇ=4n+1 (n¾1) ∴ (주어진 식)‌= Á 1 aû aû*Á 5 1066 수열 1´(2n-1), 2´(2n-3), 3´(2n-5), y, n´1 의 제 k 항을 aû라 하면 =Á k=1 = Á aû= Á {(2n+1)k-2kÛ`}` k=1 k=1 =(2n+1)´ 5 k=1 ∴ 1´(2n-1)+2´(2n-3)+3´(2n-5)+y+n´1 n =;4!; Á { k=1  1 2 =n(n+1)(2n+1){ - } 2 6 n(n+1)(2n+1) = 6 ‌ 1 1 } 4k+1 4k+5 =;4!;[{;5!;-;9!;}+{;9!;-;1Á3;} +y+{;2Á1;-;2Á5;}] n(n+1) n(n+1)(2n+1) -2´ 2 6 ‌ 1 (4k+1)(4k+5) 5 aû=k{2n-(2k-1)}=(2n+1)k-2kÛ` n ‌ =;4!; {;5!;-;2Á5;} =;2Á5; 답 ;2Á5; 따라서 a=1, b=2, c=1이므로  1069 (g½f )(n)=g( f(n))=g(2n+1) a+b+c=4  답4 ‌ =(2n+1-1)(2n+1+1) =4n(n+1) 09. 수열의 합 알피엠_수Ⅰ_해설_132~146_09강_ok.indd 137 ‌ 137 2017-11-10 오후 4:30:17 ∴Á 11 8 (g½f )(n) =Á n=1 11 n=1 1 1072 aÇ‌= 'Än+1+'Än+2 ‌ 11 8 1 =2 Á {;n!;} n+1 4n(n+1) n=1 = =2[{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+y+{;1Á1;-;1Á2;}] 따라서 첫째항부터 제 n 항까지의 합은 10 10 k=1 k=1 1 } k+1 n n+2=8 ∴ n=6 답6 1073 aÇ=2+(n-1)´2=2n이므로 1 }] ‌ 11 1 1 ‌= 'Äaû*Á+'¶aû 'Ä2k+2+'¶2k = 1 }=;1^1); 11 답② Á aû=nÛ`+4n이므로 1071 SÇ=k=1 ∴Á 15 n 'Ä2k+2-'¶2k 2 1 'Äaû*Á+'¶aû 15 =;2!;('32-'2 )=;2!;(4'2-'2 )=;2#;'2 ∴ aÇ=2n+3 (n¾1) p 1 1 ‌= Á aû aû*Á k=1 (2k+3)(2k+5)  =;2!; {;5!;- +y+{ 답① ‌ 1 1 } 2k+3 2k+5 1 = [{;5!;-;7!;}+{;7!;-;9!;} 2 2 ‌ 1074 'Äk-1+'Äk+1 ‌ = 1 1 }]‌ 2p+3 2p+5 1 2 }= 2p+5 25 2('Äk-1-'Äk+1) ('Äk-1+'Äk+1)('Äk-1-'Äk+1) ='Äk+1-'Äk-1 ∴Á 80 2 'Äk-1+'Äk+1 = Á ('Äk+1-'Äk-1 ) k=1  ;5!;- ‌ =;2!;{('4-'2 )+('6-'4 )+y+('32-'30 )} aÁ=SÁ=1+4=5 k=1 'Ä2k+2-'¶2k ('Ä2k+2+'¶2k )('Ä2k+2-'¶2k ) k=1 =2n+3 (n¾2) p = ‌ =;2!; Á ('2Äk+2-'¶2k ) k=1 aÇ‌ = SÇ-SÇÐÁ ‌ =;2!; Á { ‌ 즉 'Än+2=2'2='8이므로 ‌ =6[{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+y+{;1Á0;- k=1 ‌ ='Än+2-'2='2 2n+1 2n+1 aÇ‌ = = ‌ n(n+1)(2n+1) 1Û`+2Û`+y+nÛ` 6 6 1 = =6{;n!;} n(n+1) n+1 ∴ (주어진 식)‌= Á aû=6 Á {;k!;- Á ('Äk+2-'Äk+1 ) k=1 =('3-'2 )+('4-'3 )+y+('Än+2-'Än+1 ) 1070 주어진 수열의 제 n 항을 aÇ이라 하면 p ‌ ='Än+2-'Än+1 답 ;;Á6Á;; ∴Á 'Än+1-'Än+2 ('Än+1+'Än+2)('Än+1-'Än+2) =-('Än+1-'Än+2 ) ‌ =2 {1-;1Á2;}=;;Á6Á;; =6{1- ‌ 80 k=1 =('2-0)+('3-1)+('4-'2 ) 1 4 1 1 = , = 2p+5 25 2p+5 25 +`y+('80-'78)+('81-'79) 2p+5=25 =0-1+'80+'81=8+4'5 ∴ p=10 답 8+4'5  답 10 1075 lÇ='Än+1-'n이므로 Á lÇ‌ = Á ('Än+1-'n) ‌ 120 단계  채점요소 일반항 aÇ 구하기 Á p   138 k=1 1 간단히 하기 aûaû*Á p의 값 구하기 배점 40 % 40 % 20 % n=1 120 n=1 =('2-1)+('3-'2 )+y+('1¶21-'1¶20 ) ‌ ='1¶21-1=11-1=10 답 10 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_132~146_09강_ok.indd 138 2017-11-10 오후 4:30:17 Á aû= 1076 SÇ=k=1 n aÇ=SÇ-SÇÐÁ= Á aû=log` 1079 SÇ=k=1 n(n+1) 이므로 2 n aÇ‌ = SÇ-SÇÐÁ ‌ n(n+1) n(n-1) =n (n¾2) 2 2 =log` aÁ=SÁ=1 Á 2 aû*ª'aû+aû'a¶û*ª 14 2 =Á k=1 (k+2)'k+k'Äk+2 14 ∴ aÇ=log` =2 Á 14 =Á { k=1 1 1 } 'k 'Äk+2 1 1 1 1 1 ={1}+{ - }+{ - } ‌ '3 '2 '4 '3 '5 1 1 1 1 +y+{ }+{ } '13 '15 '14 '16 1 1 1 =1+ '2 '15 '16 k=1 '2 '15 -;4!; 2 15 =;4#;+;2!;'2- 20 k=1 k=1 =log`{;1@;´;2#;ý´ (k+2)'k-k'Äk+2 2k(k+2) 20 2k+2 k+1 = Á log` 2k k k=1 21 } 20 21 20 ‌ ‌ ‌ =log`21 14 =1+ 20 =log`;1@;+log`;2#;+y+log` (k+2)'k-k'Äk+2 (k+2)Û`k-kÛ`(k+2) k=1 n+2 (n¾1) n ∴ p= Á aªû= Á log` k=1 14 (n+1)(n+2) n(n+1) n+2 -log` =log` (n¾2) 2 2 n aÁ=SÁ=log`3 ∴ aÇ=n (n¾1) =2 Á (n+1)(n+2) 이므로 2 ∴ 10¹`=10log`21=21 답 21 1080 주어진 수열을 군수열로 나타내면 (1), (3, 1), (5, 3, 1), (7, 5, 3, 1), y 제 n 군의 항의 개수는 n이므로 제 1 군부터 제 n 군까지의 항의 1 '15 15 개수는 Á k= n 1 ∴ p=;4#;, q=;2!;, r=- 15 k=1 1 답 p=;4#;, q=;2!;, r=15 n(n+1) 2 n=13일 때, 13´14 =91이므로 제 100 항은 제 14 군의 9번째 2 항이다. 각 군의 첫째항으로 이루어진 수열 {aÇ}은 1, 3, 5, 7, y이므로 1077 aÇ=3´3Ç` ÑÚ`=3Ç` 이므로 Á log»àÇ‌= Á log»`3Ç` 20 20 = Á n log»`3 n=1 n=1 20 =;2!; Á n n=1 20 n=1 =;2!;´ aÇ=2n-1 aÁ¢=2´14-1=27이고, 각 군은 공차가 -2인 등차수열을 이 ‌ 루므로 제 14 군의 9번째 항은 ‌ 27+(9-1)´(-2)=11 답② ‌ 20´21 =105 2 답 105 (1), (2, 2), (3, 3, 3), (4, 4, 4, 4), (5, 5, 5, 5, 5), y Á log£`{logªû*Á`(2k+3)} 1078 k=1 제 n 군의 항의 개수는 n이므로 제 1 군부터 제 n 군까지의 항의 39 개수 aÇ은 aÇ= Á k= =log£`(log£`5)+log£`(log°`7)+y+log£`(log¦»`81) n =log£`(log£`5´log°`7ý´log¦»`81) =log£`{ 1081 주어진 수열을 군수열로 나타내면 k=1 n(n+1) 2 제 n 군의 각 항은 n이므로 12는 제 12 군에 속한다. log`5 log`7 log`81 ´ ý´ } log`3 log`5 log`79 따라서 12가 마지막으로 나오는 항은 제 12 군의 12번째 항이므 log`81 =log£`{ } log`3 로 =log£`(log£`81) aÁª= =log£`4 ∴ m=78 12´13 =78 2 답② 답 78 09. 수열의 합 알피엠_수Ⅰ_해설_132~146_09강_ok.indd 139 139 2017-11-10 오후 4:30:19 1082 제 n 군의 항의 개수는 n이므로 제 1 군부터 제 n 군까지 1085 주어진 수열을 분자, 분모의 합이 같은 것끼리 군으로 묶 의 항의 개수는 으면 Á k= n k=1 1 {;1!;}, { , ;1@;}, {;3!;, ;2@;, ;1#;}, y 2 n(n+1) 2 n=31일 때, 31´32 =496이므로 500은 제 32 군의 수이다. 2 제 n 군의 항의 개수는 n이므로 제 1 군부터 제 n 군까지의 항의 개수는 Á k= n ∴ m=32 k=1  각 군은 공차가 1인 등차수열을 이루므로 제 32 군은 n=11일 때, (497, 498, 499, 500, y) 이다. ∴ l=4 이때  ∴ m+l=32+4=36 n(n+1) 2 11´12 =66이므로 제 70 항은 제 12 군의 4번째 항 2 4 의 꼴이라 하면 제 12 군의 각 항의 분자, 분모의 합은 p 12+1=13이므로 p+4=13 ∴ p=9  답 36 단계 채점요소 m의 값 구하기 50 %  l의 값 구하기 40 %  m+l의 값 구하기 10 % 1083 제 n 군의 항의 개수는 2n-1이므로 제 1 군부터 제 n 군 까지의 항의 개수는 n n n k=1 k=1 k=1 4 이다. 9 답 배점  Á (2k-1)=2 Á k- Á 1=2´ 따라서 제 70 항은 1086 주어진 수열을 분모가 같은 것끼리 군으로 묶으면 1 { }, {;3@;, ;3!;}, {;4#;, ;4@;, ;4!;}, y 2 제 n 군의 모든 항의 분모는 (n+1)이므로 이고 제 13 군은 ;1!4#;, ;1!4@;, n(n+1) -n=nÛ` 2 4 9 11 은 제 13 군의 수 14 11 11 , y이므로 은 제 13 군의 3번 14 14 10Û`=100이므로 제 100 항은 제 10 군의 마지막 항이다. 째 항이다. 제 n 군의 합은 제 n 군의 항의 개수는 n이므로 제 1 군부터 제 n 군까지의 항의 Á k+ Á k= n n-1 k=1 k=1 개수는 Á k= n n(n+1) n(n-1) + =nÛ` 2 2 k=1 따라서 첫째항부터 제 100 항까지의 합은 Á kÛ`= 10 k=1 n=12일 때, 10´11´21 =385 6 12´13 11 =78이므로 제 13 군의 3번째 항인 은 2 14 81번째 항이다. 답④ 답② 1084 주어진 수열을 분모가 같은 것끼리 군으로 묶으면 1087 주어진 수열을 분모가 같은 것끼리 군으로 묶으면 {;1!;}, {;2!;, ;2@;}, {;3!;, ;3@;, ;3#;}, y 제 n 군의 모든 항의 분모는 n이므로 ;1¥4;은 제 14 군의 8번째 항 이다. {;2!;}, {;4!;, ;4#;}, {;8!;, ;8#;, ;8%;, ;8&;}, y 제 n 군의 항의 개수가 2Ç` ÑÚ`이므로 제 1 군부터 제 n 군까지의 항의 개수는 제 n 군의 항의 개수는 n이므로 제 1 군부터 제 n 군까지의 항의 개수는 Á k= n k=1 n=13일 때, 1+2+4+y+2Ç` ÑÚ`= Á 2û` ÑÚ`= n k=1 n(n+1) 2 2Ç`-1 =2Ç`-1 2-1 n=5일 때, 2Þ`-1=31이므로 제 50 항은 제 6 군의 19번째 항이다. 13´14 =91, 즉 제 1 군부터 제 13 군까지의 항의 2 개수는 91이므로 제 14 군의 8번째 항은 91+8=99에서 제 99 항 이다. 따라서 ;1¥4;은 제 99 항이다. 따라서 제 n 군의 m번째 항은 2m-1 이므로 제 6 군의 19번째 2Ç`` 2´19-1 37 = 64 2ß` 따라서 a=64, b=37이므로 항은 a+b=101 답④ 140 n(n+1) 2 답 101 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_132~146_09강_ok.indd 140 2017-11-10 오후 4:30:19 유형 열이고, 구하는 수는 제 30 항이므로 본문 141쪽 1+(30-1)´50=1451 답 1451 1088 S=1+2x+3xÛ`+4xÜ`+y+nxÇ` ÑÚ` ->³xS= x+2xÛ`+3xÜ`³+y+(n-1)xÇ` ÑÚ`+nxÇ` (1-x)S‌=1+ x+ xÛ`+ xÜ`+y+ xÇ` ÑÚ`-nxÇ` ‌ 1-xÇ` = -nxÇ` ‌ 1-x = 1092 주어진 수열을 제 1 행부터 일렬로 나열하면 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, y 이므로 k번째의 수는 2k이다. 1-xÇ`-n(1-x)xÇ` 1-x 제 1 행부터 제 8 행까지의 항의 개수는 ∴ (1-x)Û`S‌=1-xÇ`-n(1-x)xÇ` ‌ 1+2+3+y+8= =1-(1+n)xÇ`+nxÇ `±Ú` 답⑤ 8´9 =36 2 따라서 제 9 행의 4번째의 수까지의 항의 개수는 36+4=40 ‌ 이므로 구하는 수는 40´2=80이다. 1089 주어진 식을 S로 놓으면 답 80 S=1´2+2´4+3´8+4´16+y+10´2Ú`â` ->³2S= 1´4+2´³8+3´16+y+9´³2Ú`â`+10´2Ú`Ú` -S‌= 2+ 4+ 8+ 16+y+ 2Ú`â`-10´2Ú`Ú` ‌ 2(2Ú`â`-1) = -10´2Ú`Ú`=2Ú`Ú`-2-10´2Ú`Ú` 2-1 ‌ =-9´2Ú`Ú`-2 답③ 1 1 =2[ +{;3!;}Û`+{;3!;}Ü`+y+{;3!;}Ú`â`]-20´{ }Ú`Ú` 3 3 =2´ 1 1 =1-{ }Ú`â`-20´{ }Ú`Ú` 3 3 1 1 =1-3´{ }Ú`Ú`-20´{ }Ú`Ú` 3 3 1 =1-23´{ }Ú`Ú` 3 1091 위에서 2번째 줄：1, 3, 5, 7, y 3 3 3 위에서 4번째 줄：1, 5, 9, 13, y n=12일 때, n(n+1) n(n+3) +n= 2 2 12´15 =90이므로 제 100 항은 제 13 군의 10번째 2 항이다. 이때 제 n 군의 k번째 항은 (2û` ÑÚ`, 2Ç` Ñû` ±Ú`)이므로 제 13 군의 10번 째 항은 (2á`, 2Ý`)이다. 따라서 a=2á`, b=2Ý`이므로 시험에 답 23 Á (k+1)= 답 496 ∴ a=23 2 2 2 위에서 3번째 줄：1, 4, 7, 10, y 따라서 제 1 군부터 제 n 군까지의 항의 개수는 a-b=2á`-2Ý`=496 1 -20´{ }Ú`Ú` 3 제 n 군의 순서쌍의 두 수의 곱이 2Ç` 이고, 항의 개수는 n+1이다. k=1 -};3!;S= 2´{;3!;}Û`+4´{;3!;}Ü`+y+18´{;3!;}Ú`â`+20´{;3!;}Ú`Ú` ³ ³ ;3@;S=2´;3!;+2´{;3!;}Û`+2´{;3!;}Ü`+y+ 2´{;3!;}Ú`â`-20´{;3!;}Ú`Ú` 1-;3!; {(1, 2), (2, 1)}, {(1, 4), (2, 2), (4, 1)}, n 1 1090 S=2´;3!;+4´{;3!;}Û`+6´{;3!;}Ü`+y+20´{ 3 }Ú`â` ;3!;[1-{;3!;}Ú`â`] 으면 {(1, 8), (2, 4), (4, 2), (8, 1)}, y ∴ S=9´2Ú`Ú`+2 1093 주어진 수열을 두 수의 곱이 같은 순서쌍끼리 군으로 묶 4 4 4 즉 위에서 n번째 줄은 첫째항이 1이고 공차가 n인 등차수열이다. 꼭 나오는 문제 본문 142~145쪽 Á aû‌ = S¥-S¢=(2¡`+8Û`)-(2Ý`+4Û`) ‌ 1094 k=5 8 =320-32=288 답③ Á (kÛ`+k)- Á (kÛ`+k)‌= Á (kÛ`+k) 1095 k=1 k=3 k=1 100 100 2 =(1Û`+1)+(2Û`+2)=8 따라서 위에서 50번째 줄은 첫째항이 1이고 공차가 50인 등차수 답8 09. 수열의 합 알피엠_수Ⅰ_해설_132~146_09강_ok.indd 141 ‌ 141 2017-11-10 오후 4:30:21 Á (5k+1)+ Á (j+3)-Á (2i+6) Á k=1+2+3+4+5 1096 k=1 n 5 Á k= 4+5 = Á (4k-3) k=1 k=1 k=1 k=3 n 5 +} Á k= 5 ³ k=5 k=1 k=4 5 1+2´2+3´3+4´4+5´5= Á kÛ` 답① 5 1101 k=1 답② 1097 xÁ, xª, x£, y, xÁ¼ 중 0의 개수를 a, 1의 개수를 b, 2의 주어진 수열의 제 n 항을 aÇ이라 하면 aÇ‌=1+10+10Û`+y+10Ç` ÑÚ` = Á xû=0á+1´b+2ć=8 10 k=1 따라서 첫째항부터 제 n 항까지의 합은 n n k=1 k=1 =;9!;[ yy ㉠ Á xûÛ`=0Û`á+1Û`´b+2Û`ć=12 10 = k=1 n 10û`-1 =;9!; Á (10û`-1) ‌ 9 k=1 10´(10Ç`-1) -n] 10-1 ‌ 10Ç` ±Ú`-9n-10 81 yy ㉡ ∴ b+4c=12 답② ㉡-㉠을 하면 2c=4 5´6 Á (ak+1)‌=a Á k+ Á 1=a´ +5 1102 k=1 2 k=1 k=1 ∴ a=4, b=4, c=2 ∴ Á |xû-1|=|-1|´4+|0|´4+|1|´2=6 5 10 답③ Á {(aû+bû)Û`-2aûbû} 1098 Á (aûÛ`+bûÛ`)‌= n 5 5 ‌ =15a+5=65 k=1 15a=60 ∴ a=4 답4 n = Á (aû+bû)Û`-2 Á aûbû k=1 n n k=1 k=1 1103 짝수의 제곱은 짝수이고, 홀수의 제곱은 홀수이므로 ‌ f(nÛ`)=[ =30-2´6=18 답① Á (2aû+bû)‌=2 Á aû+ Á bû 1099 k=11 k=11 k=11 20 20 20 nÛ` (n이 짝수) ∴ Á f(kÛ`) 20 1 (n이 홀수) k=1 =1+2Û`+1+4Û`+y+1+20Û` ‌ =2{ Á aû- Á aû}+{ Á bû- Á bû} ‌ =(1+1+y+1)+(2Û`+4Û`+y+20Û`) =40+15 =10+4´ 20 k=1 10 k=1 20 k=1 10 k=1 =2(55-35)+(40-25) ‌ ‌ =55 ( È Ò È 9 k=1 10개 =10+ Á (2k)Û`=10+4 Á kÛ` 10 10 k=1 k=1 10´11´21 6 =10+1540=1550 답④ Á (j+3)‌=3+ Á (j+3)-(n+3) ‌ 1100 j=0 j=1 n-1 답 1550 n = Á (k+3)-n= Á (k+3)- Á 1 n = Á (k+2) k=1 n 또 Á (2i+6)= Á (2k+6)이므로 k=1 n n i=1 k=1 142 ‌ 1´(10Ç`-1) 10Ç`-1 = 10-1 9 Á aû‌ = Á 개수를 c라 하면 a+b+c=10 ∴ b+2c=8 n k=1 n 5 i=1 n = Á {(5k+1)+(k+2)-(2k+6)} Á k= 3+4+5 j=0 n k=2 n = Á (5k+1)+ Á (k+2)- Á (2k+6) Á k= 2+3+4+5 k=1 5 n-1 n n k=1 k=1 1104 곡선 y=xÛ`+x와 직선 y=nx+2가 만나는 두 점 A, ‌ B의 좌표를 각각 A(aÇ, aÇÛ`+aÇ), B(bÇ, bÇÛ`+bÇ)이라 하면 aÇ= aÇÛ`+aÇ-0 =aÇ+1 aÇ-0 bÇ= bÇÛ`+bÇ-0 =bÇ+1 bÇ-0 ∴ aÇ+bÇ=aÇ+bÇ+2 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_132~146_09강_ok.indd 142 2017-11-10 오후 4:30:21 x에 대한 이차방정식 xÛ`+x=nx+2, 즉 xÛ`-(n-1)x-2=0 의 두 실근이 aÇ, bÇ이므로 근과 계수의 관계에 의하여 Á { Á 2û` ±Ç` ÑÚ`}‌= Á {2Ç` ÑÚ` Á 2û`} 1107 n=1 k=1 n=1 k=1 5 n 5 n = Á [2Ç` ÑÚ`´ 5 aÇ+bÇ=n-1 ∴ Á (aÇ+bÇ)‌= Á (aÇ+bÇ+2)= Á (n+1) 10 10 10 n=1 n=1 n=1 = ‌ 2(2Ç`-1) ] 2-1 ‌ = Á 2Ç` ÑÚ`(2Ç` ±Ú`-2)= Á (2Û`Ç`-2Ç`) ‌ n=1 5 ‌ = Á (4Ç`-2Ç`) n=1 10´11 +10=65 2 5 n=1 답 65 5 n=1 ‌ = 4(4Þ`-1) 2(2Þ`-1) 4-1 2-1 1105 등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 = 4(1024-1) 2(32-1) 4-1 2-1 a¤=a+5d=0 yy ㉠ =1364-62 ‌ yy ㉡ aª=a+d=8 답 1302 ∴ d=-2, a=10 Á ‌ 1108 (주어진 식)‌= k=1 (3k-2)(3k+1) aÇ=10-2(n-1)=-2n+12¾0에서 nÉ6 SÇ‌ = Á |aû| = Á |-2k+12| = Á ;3!; { = Á (-2k+12)+ Á (2k-12) ‌ 6 n k=1 k=7 6(10+0) (n-6)(2+2n-12) + 2 2 =;3!; Á { 10 k=1 1 1 } 3k-2 3k+1 ‌ 1 =;3!;[{1- }+{;4!;-;7!;} 4 ‌ =30+(n-6)(n-5)¾120 =;3!; {1- 즉 (n-5)(n-6)¾90 nÛ`-11n-60¾0, (n+4)(n-15)¾0 따라서 SÇ의 값이 처음으로 120 이상이 되는 n의 값은 15이다. 답 15 1 }=;3!;´;3#1);=;3!1); 31 n = Á {;k!;k=1 1106 aÁ=1 1 } k+1 ={1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+y+{;n!;- aª=2+2´2 =1- a£=3+2´3+3´3 n ⋮ k=1 aÇ‌ = n+2n+3n+y+nÛ` ‌ k=1 k=1 ∴ n¾99 ‌ 따라서 부등식을 만족시키는 자연수 n의 최솟값은 99이다. 답 99 n(n+1) =;2!;(nÜ`+nÛ`) 2 따라서 주어진 수열의 첫째항부터 제 8 항까지의 합은 Á aû‌ = Á ;2!;(kÜ`+kÛ`)=;2!; { Á kÜ`+ Á kÛ`} ‌ 8 8 8 8 k=1 k=1 k=1 k=1 8´9 Û 8´9´17 }`+ ] 2 6 1110 ‌ ∴Á 11 1 = (1296+204)=750 2 k=1 답 750 알피엠_수Ⅰ_해설_132~146_09강_ok.indd 143 1 É;10!0;에서 k(k+1) 1 É;10!0;, n+1¾100 n+1 이므로 n 1 } n+1 1 n+1 따라서 1- Á a¢=4+2´4+3´4+4´4 n 1 }]‌ 31 +y+{;2Á8;- 1 Á 1109 k=1 k(k+1) n = Á kn=n Á k ‌ 답① ∴ n¾15 (∵ n은 자연수) =;2!;[{ ‌ k=1 ‌ k=1 =n´ 1 1 } 3k-2 3k+1 10 n = 1 10 ‌ k=1 ‌ =1302 ㉠-㉡을 하면 4d=-8 n ‌ aÇ‌ = Á n k=1 = kÛ` n(n+1)(2n+1) =;2!;´ ‌ 2 6 n(n+1)(2n+1) 12 11 2k+1 12 ‌= Á [(2k+1)´ ] aû k(k+1)(2k+1) k=1 =Á 11 k=1 11 12 1 1 =12 Á { } k(k+1) k+1 k=1 k 09. 수열의 합 ‌ ‌ 143 2017-11-10 오후 4:30:23 =12[{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+y+{ =12{1- 1 1 - }]‌ 11 12 =('4-'2 )+('6-'4 )+y+('1¶00-'98 ) =-'2+'1¶00=10-'2 1 }=11 12 답 10-'2 답③ 1114 1111 n aÇ+bÇ=-4, aÇbÇ=-(2n-1)(2n+1) 10 10 =Á n=1 10 k+2 } k =log`;1#;+log`;2$;+log`;3%;+y+log` 10 aÇ+bÇ -4 =Á aÇbÇ n=1 -(2n-1)(2n+1) =log`{;1#;´;2$;´;3%;ý´ =log` 4 (2n-1)(2n+1) 1 1 =4 Á ;2!;{ } 2n-1 2n+1 n=1 n=1 k=1 k=1 1 1 + } ‌ aÇ bÇ =Á n=1 n 2 Á log`{1+ } k = Á log`{ 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 ∴ Á{ 즉 10 1 1 =2 Á { } 2n+1 n=1 2n-1 n+1 n+2 +log` n-1 n n+1 n+2 ´ } n-1 n (n+1)(n+2) =1 2 (n+1)(n+2) =10 2 nÛ`+3n-18=0, (n-3)(n+6)=0 10 이때 n은 자연수이므로 n=3 답3 1 1 1 =2[{1- }+{;3!;-;5!;}+y+{ - }] 3 19 21 =2{1- 1115 1 40 }= 21 21 1112 Á 주어진 수열을 군수열로 나타내면 (1), (10, 11), (100, 101, 110, 111), 답④ n ‌ ‌ y, (100y0, 100y1, y, 111y1), y 즉 제 n 군은 0과 1로 이루어진 n자리의 수이다. 제 n 군의 항의 개수는 2Ç` ÑÚ`이므로 제 1 군부터 제 n 군까지의 항의 1 f(k) 1 =Á k=1 'Äk+2+'Äk+3 개수는 = Á ('Äk+3-'Äk+2`) 이때 제 6 군은 (100000, 100001, y)이므로 제 33 항은 100001 n =Á n k=1 k=1 1+2+2Û`+y+2Ç` ÑÚ`= Á 2û` ÑÚ`= n k=1 'Äk+2-'Äk+3 ('Äk+2+'Äk+3)('Äk+2-'Äk+3) 1´(2Ç` -1) =2Ç` -1 2-1 n=5일 때, 2Þ`-1=31이므로 제 33 항은 제 6 군의 2번째 항이다. n 이다. k=1 답④ =('4-'3)+('5-'4)+y+('Än+3-'Än+2) ='Än+3-'3 1116 즉 'Än+3-'3=3'3이므로 주어진 수열을 군수열로 나타내면 {1, ;2!;}, {1, ;2!;, ;4!;}, {1, ;2!;, ;4!;, 'Än+3=4'3, n+3=48 ∴ n=45 제 n 군의 항의 개수는 (n+1)이므로 제 1 군부터 제 n 군까지의 답 45 항의 개수는 Á (k+1)= n 1113 k=1 네 점 AÇ, BÇ, CÇ, DÇ의 좌표를 각각 구하면 AÇ(-n, '¶2n ), BÇ(-n+1, '2Än-2 ), 지막 항은 이때 사각형 AÇCÇDÇBÇ은 사다리꼴이므로 넓이는 n=2 50 1 2 ‌= Á ‌ SÇ n=2 '¶2n+'2Än-2 50 2('2§n-'2Än-2 ) =Á n=2 ('¶2n+'2Än-2 )('¶2n-'2Än-2 ) = Á ('¶2n-'2Än-2 ) 50 n=2 144 ‌ 1 1 , 제 2 군의 마지막 항은 , 제 3 군의 마 2 4 1 1 , y이므로 제 n 군의 마지막 항은 이다. 8 2Ç` 1 1 = 은 제 6 군의 마지막 항이고 제 1 군부터 제 6 군까지의 64 2ß` 1 SÇ= ('¶2n+'2Än-2 ) 2 50 n(n+1) nÛ`+3n +n= 2 2 제 1 군의 마지막 항은 CÇ(-n, 0), DÇ(-n+1, 0) ∴Á 1 }, y 8 항의 개수는 ‌ 따라서 6Û`+3´6 =27 2 1 은 제 27 항에서 처음으로 나타나므로 구하는 k의 최 64 솟값은 27이다. 답 27 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_132~146_09강_ok.indd 144 2017-11-10 오후 4:30:24 1117 S= Á n=1 1 2 3 21 S= + + +y+ 2 2Û` 2Ü` 2Û`Ú` 1 2 20 21 -};2!;S= + +y+ + ³ 2Û` 2Ü` ³ 2Û`Ú` 2Û`Û` 1 1 1 1 21 ;2!;S‌= + + +y+ - 2 2Û` 2Ü` 2Û`Ú` 2Û`Û` = = Á mÛ`+2 Á m n 이라 하면 2Ç` 21 ;2!;[1-{;2!;}Û`Ú`] 1-;2!; - n n m=1 m=1 n(n+1)(2n+1) n(n+1) = +2´ 6 2 = n(n+1)(2n+7) =85 6  ‌ 2nÜ`+9nÛ`+7n-510=0 (n-5)(2nÛ`+19n+102)=0 21 ‌ 2Û`Û` 이때 n은 자연수이므로 n=5 21 =[1-{;2!;}`Û Ú`]- ‌ 2Û`Û` 2 21 =1- - ‌ 2Û`Û` 2Û`Û` 2Û`Û`-23 = 2Û`Û` 2Û`Û`-23 ∴ S= 2Û`Ú` 이때 분모 2Û`Ú`의 약수는 1을 제외하면 모두 2의 거듭제곱으로 짝  답5 단계 채점요소 배점 Á (2k+1) 간단히 하기 m  40 % k=1 Á [ Á (2k+1)] 간단히 하기  n m m=1 k=1 40 % n의 값 구하기  20 % 수인데 분자 2Û`Û`-23은 홀수이므로 분모와 분자는 서로소이다. ∴ a=2Û`Û`-23, b=2Û`Ú` ∴ 2b-a=2Û`Û`-(2Û`Û`-23)=23 답 23 1118 ∴ (주어진 식)‌= Á aû= Á (4kÛ`-1) ‌ =4 Á kÛ`- Á 1 k=1 k=1 ∴ aÇ=2n+2 (n¾1) ‌ ∴Á 16 10´11´21 -10 ‌ 6 답 1530 배점  일반항 aÇ 구하기 40 %  주어진 식의 값 구하기 60 % 1119 n m k=1 k=1 1 4(k+1)(k+2) 16 =;4!; Á { k=1 16 k=1 1 1 } k+1 k+2 =;4!;[{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+y+{;1Á7;-;1Á8;}]  m 답 ;9!; m(m+1) = Á [2´ +m] 2 m=1 m=1 =Á =;4!;´;1¥8;;=;9!; m = Á {2 Á k+ Á 1} n 1 (2k+2)(2k+4) 16 =;4!; {;2!;-;1Á8;} Á [ Á (2k+1)] m=1 1 aû aû*Á k=1  채점요소  =Á k=1 =1540-10=1530 단계 =2n+2 (n¾2) aÁ=SÁ=1Û`+3=4 10 10 =4´  k=1 10 ‌ =nÛ`+3n-{(n-1)Û`+3(n-1)} ‌ aÇ=(2n-1)(2n+1)=4nÛ`-1 10 n aÇ‌ = SÇ-SÇÐÁ 주어진 수열의 제 n 항을 aÇ이라 하면 k=1 Á aû=nÛ`+3n이라 하면 1120 SÇ=k=1 k=1 n = Á (mÛ`+2m) 단계 n  채점요소 배점 일반항 aÇ 구하기 50 % 1 Á 의 값 구하기 k=1 aûaû*Á 16 m=1   50 % 09. 수열의 합 알피엠_수Ⅰ_해설_132~146_09강_ok.indd 145 145 2017-11-10 오후 4:30:25 1121 1123 1의 오른쪽 아래 대각선 방향의 수를 나열하면 주어진 수열의 제 n 항을 aÇ이라 하면 1 1 = (2n)Û`-1 (2n-1)(2n+1) 1 1 =;2!;{ } 2n-1 2n+1 aÇ‌ = 1, 9, 25, y ‌ 즉 1Û`, 3Û`, 5Û`, y, (2k-1)Û`이고, (2k-1)Û` 바로 위에 오는 수는 {2(k-1)-1}Û`+1=(2k-3)Û`+1 (k¾2)  2k-1=13 ∴ k=7 ∴ (주어진 식) = Á aû= Á ;2!;{ n n k=1 k=1 169=13Û`이므로 따라서 169 바로 위에 오는 수는 1 1 } 2k-1 2k+1 (2k-3)Û`+1=(2´7-3)Û`+1=122 1 1 =;2!;[{1-;3!;}+{;3!;-;5!;}+y+{ }] 2n-1 2n+1 =;2!;{1- 답 122 1 n }= 2n+1 2n+1 1124 집합 Aû*Á의 가장 작은 원소는 집합 Aû의 가장 작은 원  즉 소 mû는 첫째항이 3이고 공차가 2_3=6인 등차수열의 일반항 n 20 = 이므로 2n+1 41 과 같으므로 41n=40n+20 ∴ n=20 mû=3+6(k-1)=6k-3  답 20 단계 채점요소 일반항 aÇ 구하기  Á aû 구하기 n  집합 Aû의 원소의 개수는 (2k+3)이므로 집합 Aû의 가장 큰 원 소 Mû는 배점 Mû‌ = mû+2{(2k+3)-1} 40 % ∴ Á (mû+Mû)‌= Á {(6k-3)+(10k+1)} k=1 n의 값 구하기 ‌ =(6k-3)+2(2k+2)=10k+1 10 40 % k=1  소보다 크고 n(Aû-Aû*Á)=3이므로 집합 Aû의 가장 작은 원 20 % 10 = Á (16k-2) k=1 10 =16 Á k- Á 2 k=1 =;2!;[ ‌ ‌ 10´11 -2´10 2 =880-20 1 1 1 = ´ ‌ n(n+1)(n+2) n+1 n(n+2) 1 1 1 = ´;2!;{ } n+1 n n+2 10 k=1 =16´ 1122 주어진 수열의 제 n 항을 aÇ이라 하면 aÇ‌ = 10 k=1 ‌ ‌ ‌ =860 답 860 ‌ 1 1 ] n(n+1) (n+1)(n+2) ∴ (주어진 식) = Á aû= Á ;2!;[ 10 10 =;2!; Á k=1 10 1 1 ] k(k+1) (k+1)(k+2) 10 1 1 -;2!; Á k(k+1) k=1 (k+1)(k+2) k=1 10 10 1 1 1 1 =;2!; Á { }-;2!; Á { } k+1 k+1 k+2 k=1 k k=1 k=1 1 = [{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+y+{;1Á0;-;1Á1;}] 2 ‌ ‌ ‌ 1 - [{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+y+{;1Á1;-;1Á2;}]‌ 2 1 = {1-;1Á1;}-;2!;{;2!;-;1Á2;} 2 = ‌ ‌ 5 5 65 - = 11 24 264 따라서 m=264, n=65이므로 m+n=329 답 329 146 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_132~146_09강_ok.indd 146 2017-11-10 오후 4:30:26 Ⅲ. 수열 10 수학적 귀납법 a£-aª=2-6=-4 a¢-a£=-2-2=-4 ⋮ aÇ*Á-aÇ=-4 (n¾1) 교과서 문제 정 복 하 기 / / / 본문 147쪽 따라서 수열 {aÇ}의 귀납적 정의는 aÁ=10, aÇ*Á=aÇ-4 (n=1, 2, 3, y) 답 aÁ=10, aÇ*Á=aÇ-4 (n=1, 2, 3, y) 1125 aÇ*Á=2aÇ+n에서 aª=2aÁ+1=2´1+1=3 a£=2aª+2=2´3+2=8 1131 a¢=2a£+3=2´8+3=19 면 답 19 첫째항 aÁ=1이고, 이웃하는 항들 사이의 관계를 살펴보 aªÖaÁ=2Ö1=2 a£Öaª=4Ö2=2 a¢Öa£=8Ö4=2 1126 aÇ*Á=naÇ에서 aª=aÁ=-1 ⋮ a£=2aª=2´(-1)=-2 aÇ*ÁÖaÇ=2 (n¾1) a¢=3a£=3´(-2)=-6 따라서 수열 {aÇ}의 귀납적 정의는 답 -6 aÁ=1, aÇ*Á=2aÇ (n=1, 2, 3, y) 답 aÁ=1, aÇ*Á=2aÇ (n=1, 2, 3, y) 1127 aÇ*ª=2aÇ*Á+aÇ에서 a£=2aª+aÁ=2´3+1=7 1132 첫째항 aÁ=9이고, 이웃하는 항들 사이의 관계를 살펴보 a¢=2a£+aª=2´7+3=17 면 답 17 a£Öaª=1Ö(-3)=-;3!; 1 1128 aÇ*Á= aÇ +2에서 aª= a¢Öa£={-;3!;}Ö1=-;3!; 1 +2=1+2=3 aÁ ⋮ 1 a£= +2=;3!;+2=;3&; aª a¢= aªÖaÁ=(-3)Ö9=-;3!; aÇ*ÁÖaÇ=-;3!; (n¾1) 1 +2=;7#;+2=;;Á7¦;; a£ 따라서 수열 {aÇ}의 귀납적 정의는 답 ;;Á7¦;; aÁ=9, aÇ*Á=-;3!;aÇ (n=1, 2, 3, y) 답 aÁ=9, aÇ*Á=-;3!;aÇ (n=1, 2, 3, y) 1129 첫째항 aÁ=2이고, 이웃하는 항들 사이의 관계를 살펴보 면 1133 aÇ*Á-aÇ=-3에서 주어진 수열은 공차가 -3인 등차 aª-aÁ=5-2=3 수열이다. 이때 첫째항이 3이므로 a£-aª=8-5=3 aÇ=3+(n-1)´(-3)=-3n+6 a¢-a£=11-8=3 답 aÇ=-3n+6 ⋮ aÇ*Á-aÇ=3`(n¾1) 1134 aÇ*ÁÖaÇ=2에서 주어진 수열은 공비가 2인 등비수열이 따라서 수열 {aÇ}의 귀납적 정의는 다. 이때 첫째항이 3이므로 aÁ=2, aÇ*Á=aÇ+3 (n=1, 2, 3, y) aÇ=3´2Ç` ÑÚ` 답 aÁ=2, aÇ*Á=aÇ+3 (n=1, 2, 3, y) 답 aÇ=3´2Ç` ÑÚ` 1130 첫째항 aÁ=10이고, 이웃하는 항들 사이의 관계를 살펴 1135 2aÇ*Á=aÇ+aÇ*ª에서 주어진 수열은 등차수열이고 보면 aÁ=3, aª-aÁ=2-3=-1 aª-aÁ=6-10=-4 이므로 첫째항이 3, 공차가 -1이다. 10. 수학적 귀납법 알피엠_수Ⅰ_해설_147~160_10강_ok.indd 147 147 2017-11-10 오후 4:30:55 1140 aÇ*ÁÖaÇ=2Ç`, 즉 aÇ*Á=2ÇàÇ의 n에 1, 2, 3, y, 9를 ∴ aÇ=3+(n-1)´(-1)=-n+4 답 aÇ=-n+4 차례로 대입하여 변끼리 곱하면 aª=2ÚàÁ a£=2Ûàª 1136 aÇ*ÁÛ`=aÇ aÇ*ª에서 주어진 수열은 등비수열이고 a¢=2Üà£ aÁ=1, aªÖaÁ=2Ö1=2 ⋮ 이므로 첫째항이 1, 공비가 2이다. _>³ aÁ¼=2áà» ∴ aÇ=1´2Ç` ÑÚ`=2Ç` ÑÚ` aÁ¼‌=2Ú`´2Û`´2Ü`ý´2á`áÁ 답 aÇ=2Ç` ÑÚ` =21+2+3+y+9 =2 1137 aÇ*Á=aÇ+4n의 n에 1, 2, 3, y, 9를 차례로 대입하여 9´10 2 =2Ý` Þ` 답 2Ý` Þ` 변끼리 더하면 aª=aÁ+4´1 1141 a£=aª+4´2 n=k일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면 1 1 1 1 k + + +y+ = 1´2 2´3 3´4 k(k+1) k+1 a¢=a£+4´3 ⋮ 위의 식의 양변에 +>³ aÁ¼=a»+4´9 aÁ¼‌=aÁ+ Á 4k=1+4´ 9 k=1 9´10 =181 2 1 을 더하면 (k+1)(k+2) 1 1 1 1 1 + + +y+ + 1´2 2´3 3´4 (k+1)(k+2) k(k+1) 답 181 1138 aÇ*Á-aÇ=2n+1의 n에 1, 2, 3, y, 9를 차례로 대입 = 1 k + k+1 (k+1)(k+2) = kÛ`+2k+1 (k+1)(k+2) = (k+1)Û` (k+1)(k+2) = k+1 k+2 하여 변끼리 더하면 aª-aÁ=2´1+1 a£-aª=2´2+1 a¢-a£=2´3+1 ⋮ 답㈎ +>³ aÁ¼-a»=2´9+1 aÁ¼-aÁ= Á (2k+1) 1 k+1 ㈏ k+2 (k+1)(k+2) 9 ∴ aÁ¼‌=aÁ+ Á (2k+1)=3+2´ k=1 9 k=1 9´10 +9=102 2 유형 익 히 기 / / 본문 148~152쪽 답 102 1142 aÇ*Á=aÇ+2에서 aÇ*Á-aÇ=2이므로 수열 {aÇ}은 공 n 1139 aÇ*Á= n+1 aÇ의 n에 1, 2, 3, y, 9를 차례로 대입하 여 변끼리 곱하면 1 aûàû*Á =Á n n 1 1 =;4!; Á 2k´2(k+1) k=1 k(k+1) =;4!; Á {;k!;k=1 a¢=;4#;a£ n k=1 1 } k+1 =;4!;[{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+y+{;n!;- ⋮ 148 ∴ ‌Á k=1 a£=;3@;aª aÁ¼‌ =;2!;´;3@;´;4#;ý´ aÇ=2+(n-1)´2=2n n aª=;2!;aÁ 9 _} aÁ¼= a» 10 ³ 차가 2인 등차수열이다. 이때 첫째항이 2이므로 =;4!;{19 1 aÁ= ´2=;5!; 10 10 = 답 ;5!; 1 }] n+1 1 } n+1 n 4(n+1) 답④ 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_147~160_10강_ok.indd 148 2017-11-10 오후 4:30:56 1143 aÇ*Á+3=aÇ에서 aÇ*Á-aÇ=-3이므로 수열 {aÇ}은 ㉡Ö㉠을 하면 공차가 -3인 등차수열이다. 이때 첫째항이 100이므로 S¤ 2184 =rÜ`+1= =28 S£ 78 aÇ=100+(n-1)´(-3)=-3n+103 rÜ`=27 ∴ r=3 aû=13에서 -3k+103=13  3k=90 ∴ k=30 답 30 1144 수열 {aÇ}은 첫째항이 90, 공차가 aª-aÁ=-4인 등차 r=3을 ㉠에 대입하면 aÁ(27-1) =78 ∴ aÁ=6 3-1  수열이므로 ∴ S¥= aÇ=90+(n-1)´(-4)=-4n+94 6(3¡`-1) =3(3¡`-1)=19680 3-1 aû<0에서 -4k+94<0  94 ∴ k> =23.5 4 답 19680 단계 따라서 aû<0을 만족시키는 자연수 k의 최솟값은 24이다. 답 24 1 1 1145 수열 [ aÇ ]은 첫째항이 aÁ =;4!;, 공차가 ;4!;인 등차수열 채점요소 배점  공비 구하기 50 %  첫째항 구하기 20 %  S¥ 구하기 30 % 이므로 1149 aÇ*Á=aÇ+4n-3의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 1 =;4!;+(n-1)´;4!;=;4N; aÇ 대입하여 변끼리 더하면 4 따라서 aÇ= 이므로 aª¼=;5!; n aª=aÁ+4´1-3 답 ;5!; a£=aª+4´2-3 a¢=a£+4´3-3 ⋮ 1146 aÇ*Á=3aÇ이므로 수열 {aÇ}은 공비가 3인 등비수열이 다. 이때 첫째항이 1이므로 5 k=1 aÇ‌=aÁ+ Á 4k-3(n-1) n-1 aÇ=3Ç` ÑÚ`` ∴ Á aû= +>³ aÇ=aÇÐÁ+4(n-1)-3 k=1 1´(3Þ`-1) =121 3-1 =-3+4´ 답② 1147 aÇ*ÁÛ`=aÇaÇ*ª이므로 수열 {aÇ}은 등비수열이다. 이때 n(n-1) -3(n-1) 2 =2nÛ`-5n ∴ Á aû= Á (2kÛ`-5k)=2´ 10 10 k=1 k=1 10´11´21 10´11 -5´ =495 6 2 답⑤ 공비를 r라 하면 aÁÁ aÁ£ aÁ° aÁ¦ + + + =12에서 aÁ a£ a° a¦ 1 1150 'Än+1+'n='Än+1-'n이므로 rÚ`â`+rÚ`â`+rÚ`â`+rÚ`â`=12, 4rÚ`â`=12 aÇ*Á=aÇ+'Än+1-'n의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대 ∴ rÚ`â`=3 ∴ 입하여 변끼리 더하면 a£¼ =rÛ` â`=(rÚ`â`)Û`=3Û`=9 aÁ¼ aª=aÁ+'2-1 답④ a£=aª+'3-'2 a¢=a£+'4-'3 1148 aÇ*ª aÇ*Á = 이므로 수열 {aÇ}은 등비수열이다. 이때 aÇ*Á aÇ 첫째항을 aÁ, 공비를 r라 하면 S£= aÁ(rÜ`-1) =78 r-1 yy ㉠ S¤= aÁ(rß`-1) aÁ(rÜ`-1)(rÜ`+1) = =2184 r-1 r-1 yy ㉡ ⋮ +>³ aÇ=aÇÐÁ+'§n-'Än-1 aÇ=aÁ+'§n-1=2+'§n-1='§n+1 aû='§k+1=13에서 '§k=12 ∴ k=144 답 144 10. 수학적 귀납법 알피엠_수Ⅰ_해설_147~160_10강_ok.indd 149 149 2017-11-10 오후 4:30:56 1151 1154 aÇ*Á=5ÇàÇ의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하 aÇ*Á=aÇ+f(n)에서 f(n)=aÇ*Á-aÇ이므로 Á f (k)‌= Á (aû*Á-aû ) n n 여 변끼리 곱하면 k=1 k=1 aª=5ÚàÁ =(aª-aÁ)+(a£-aª)+(a¢-a£)+y+(aÇ*Á-aÇ ) =aÇ*Á-aÁ ‌ a£=5Ûàª a¢=5Üà£ =aÇ*Á-1 이때 Á f (k)=nÛ`-1이므로 ⋮ n _>³ aÇ=5Ç` ÑÚ`àÇÐÁ k=1 aÇ‌=5Ú`´5Û`´5Ü`ý´5Ç` ÑÚ`áÁ nÛ`-1=aÇ*Á-1 ∴ aÇ*Á=nÛ` ` =51+2+3+y+(n-1)´1 ∴ aÇ=(n-1)Û` (n=2, 3, 4, y) =5 ∴ aÁÁ=10Û`=100 답 100 (n-1)n 2 aû=5ß`ß`에서 5 (k-1)k 2 =5ß`ß` (k-1)k =66이므로 2 1152 (aÇ+aÇ*Á)Û`=4aÇaÇ*Á+4Ç` 에서 (k-1)k=132, kÛ`-k-132=0 (aÇ+aÇ*Á)Û`-4aÇaÇ*Á=4Ç` (k-12)(k+11)=0 ∴ k=12 또는 k=-11 ∴ (aÇ-aÇ*Á)Û`=4Ç` 그런데 k는 자연수이므로 k=12 이때 aÇ*Á>aÇ이므로 답③ aÇ*Á-aÇ=2Ç` n에 1, 2, 3, y, 7을 차례로 대입하여 변끼리 더하면 1155 'Än+2 aÇ*Á='Än+1 aÇ에서 aª-aÁ=2Ú` 'Än+1 aÇ이므로 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입 'Än+2 하여 변끼리 곱하면 a£-aª=2Û` aÇ*Á= a¢-a£=2Ü` ⋮ a¥-aÁ‌=2Ú`+2Û`+2Ü`+y+2à` = 2´(2à`-1) =2¡`-2=254 2-1 ∴ a¥=254+aÁ=254+1=255 답 255 n+2 1153 aÇ*Á= n aÇ의 n에 1, 2, 3, y, 29를 차례로 대입하 여 변끼리 곱하면 aª=;1#;aÁ 15 =Á { k=1 15 a¢=;3%;a£ =4 Á k=1 15 ⋮ _} a£¼=;2#9!; aª» ³ a£¼‌=;1#;´;2$;´;3%;ý´ '2 '2 ´ }Û` 'Äk+1 'Äk+2 1 (k+1)(k+2) =4 Á { k=1 aª»=;2#8); aª¥ 15 k=1 1 1 } k+1 k+2 =4[{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+y+{ 30 31 ´ áÁ ‌ 28 29 =4{;2!;- 30´31 ´1 1´2 답④ 1 1 - }] 16 17 1 } 17 =4´;3!4%;= =465 150 '§n _} aÇ= aÇÐÁ 'Än+1 ³ '2 '3 '4 '§n aÇ‌ = ´ ´ ý´ aÁ '3 '4 '5 'Än+1 '2 '2 = ´1= 'Än+1 'Än+1 ∴ Á (aûaû*Á)Û` a£=;2$;aª = '2 aÁ '3 '3 a£= aª '4 '4 a¢= a£ '5 ⋮ aª= +>³ a¥-a¦=2à` 30 17 답 ;1#7); 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_147~160_10강_ok.indd 150 2017-11-10 오후 4:30:57 1156 SÇ*Á=2SÇ+3의 양변에 n 대신 n-1을 대입하여 두 1159 aÁ+aª+y+aÇ=SÇ이라 하면 식을 빼면 aÇ*Á=3(aÁ+aª+y+aÇ)=3SÇ SÇ*Á=2SÇ+3 그런데 aÇ*Á=SÇ*Á-SÇ=3SÇ이므로 ->³ SÇ `=2SÇÐÁ+3 (n¾2) SÇ*Á=4SÇ aÇ*Á=2SÇ-2SÇÐÁ=2(SÇ-SÇÐÁ) 이때 aÁ=SÁ=4이므로 수열 {SÇ}은 첫째항이 4, 공비가 4인 등 이때 SÇ-SÇÐÁ=aÇ (n¾2)이므로 aÇ*Á=2aÇ (n¾2)yy ㉠ 비수열이다. Sª=2SÁ+3에서 aÁ+aª=2aÁ+3이고 aÁ=SÁ=1이므로 따라서 SÇ=4´4Ç` ÑÚ`=4Ç` 이므로 1+aª=2´1+3 ∴ aª=4 aÇ‌=SÇ-SÇÐÁ=4Ç`-4Ç` ÑÚ` ㉠에서 수열 {aÇ}은 첫째항이 1이고 둘째항부터 공비가 2인 등 =3´4Ç` ÑÚ` (n¾2) ∴ a»=3´4¡`=3´2Ú`ß` 비수열이므로 aÁ=1, aÇ=2Ç` (n¾2) ∴ aÁª=2Ú`Û` 답③ 답② 1160 조건 ㈎, ㈏에서 p(1)이 참이므로 p(2)도 참이다. 1157 SÇ=2aÇ-2 (n=1, 2, 3, y)에서 또한 조건 ㈐에서 p(2)가 참이면 p(4)도 참이다. SÇ*Á=2aÇ*Á-2 ㄱ. p(5)는 주어진 조건에서 참, 거짓을 판별할 수 없다. 한편, aÇ*Á=SÇ*Á-SÇ (n=1, 2, 3, y)이므로 ㄴ. ‌조건 ㈐에서 p(4)가 참이면 p(7)도 참이고, 조건 ㈏에서 aÇ*Á=2aÇ*Á-2-(2aÇ-2) p(7)이 참이면 p(8)도 참이다. ∴ aÇ*Á=2aÇ 따라서 수열 {aÇ}은 첫째항이 aÁ=2이고 공비가 2인 등비수열이 므로 ㄷ. 조건 ㈐에서 p(8)이 참이면 p(13)도 참이다. 따라서 참인 것은 ㄴ, ㄷ이다. 답④ aÇ=2´2Ç` ÑÚ`=2Ç` 따라서 aû=256에서 1161 2û`=2¡` ∴ k=8 답8 Ú n= 2 일 때, p(n)이 성립함을 보인다. Û n=k일 ‌ 때, p(n)이 성립한다고 가정하면 n= k+3 일 때도 p(n)이 성립함을 보인다. 1158 3SÇ=aÇ*Á-2의 양변에 n 대신 n-1을 대입하여 두 식 답④ 을 빼면 3SÇ=aÇ*Á-2 1162 Û n= k 일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면 ->³ 3SÇÐÁ=aÇ-2 (n¾2) yy ㉡ 1+2+2Û`+y+2û` ÑÚ`=2û` -1 3aÇ=aÇ*Á-aÇ yy ㉠ ∴ aÇ*Á=4aÇ (n¾2)  ㉡의 양변에 2û` 을 더하면 1+2+2Û`+y+2û` ÑÚ`+ 2û` ‌=2û` -1+ 2û` = 2û `±Ú`-1` 3SÁ=aª-2에서 SÁ=aÁ=2이므로 3´2=aª-2 ∴ aª=6+2=8 따라서 n= k+1 일 때도 ㉠이 성립한다.  답 ㈎ k ㈏ 2û` ㈐ 2û` ±Ú`-1 ㈑ k+1 ㉠에서 수열 {aÇ}은 둘째항부터 공비가 4인 등비수열이고 aª 8 = =4이므로 수열 {aÇ}은 첫째항이 2, 공비가 4인 등비수 aÁ 2 열이다. 1163 Û n=k일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면 ㉡의 양변에 2k+1 을 더하면 따라서 aÇ=2´4Ç` ÑÚ`이므로 1+3+5+y+(2k-1)+ 2k+1 =kÛ`+ 2k+1 a°=2´4Ý`=512  = (k+1)Û` 답 512 단계 yy ㉡ 1+3+5+y+(2k-1)=kÛ` 채점요소 답 ㈎ 2k+1 ㈏ (k+1)Û` 배점 1164 Û n=k일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면  aÇ의 관계식 구하기 30 %  aª 구하기 20 % 1Ü`+2Ü`+3Ü`+y+kÜ`=(1+2+3+y+k)Û`  a° 구하기 50 % ㉡의 양변에 (k+1)Ü` 을 더하면 yy ㉡ 10. 수학적 귀납법 알피엠_수Ⅰ_해설_147~160_10강_ok.indd 151 151 2017-11-10 오후 4:30:58 1Ü`+2Ü`+3Ü`+y+kÜ`+ (k+1)Ü` 유형 본문 153쪽 =(1+2+3+y+k)Û`+ (k+1)Ü` =[ k(k+1) Û` ] + (k+1)Ü` 2 1168 주어진 식의 양변에 n 대신 n-1을 대입하여 두 식을 빼 면 (k+1)Û`{kÛ`+4(k+1)} (k+1)Û`(k+2)Û` = = 4 4 =[ aÇ*Á=aÁ+2aª+3a£+y+(n-1)aÇÐÁ+naÇ ->³ aÇ=aÁ+2aª+3a£+y+(n-1)aÇÐÁ aÇ*Á-aÇ=naÇ (k+1)(k+2) Û` ] 2 답 ㈎ (k+1)Ü` ㈏ [ (k+1)(k+2) Û` ] 2 위의 식의 양변을 aÇ으로 나누면 aÇ*Á-aÇ aÇ*Á =n, -1=n aÇ aÇ ∴ 1165 Û n=k일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면 aû= 따라서 n=29를 대입하면 2k-1 에서 k 4-aû aû*Á‌ = = 3-aû 43- 2k-1 k 2k-1 k aÇ*Á =n+1 aÇ a£¼ =29+1=30 aª» = 답③ 2(k+1)-1 2k+1 = k+1 k+1 2k-1 2k+1 답㈎㈏ k k+1 1169 aÇ+aÇ*Á=(-1)Ç` 의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하면 aÁ+aª=-1에서 aª=-2 aª+a£=1에서 a£=3 a£+a¢=-1에서 a¢=-4 1166 Û n=k (k¾4)일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면 yy ㉡ 1´2´3ý´k>2û` ⋮ ㉡의 양변에 k+1 을 곱하면 aÇ=(-1)Ç` ±Ú`ń`(n=1, 2, 3, y) 1´2´3ý´k´( k+1 )>2û`´( k+1 )>2û` ±Ú` ∴ aÁ°+aª¼+aª°=15-20+25=20 답② (∵ k¾4이므로 k+1> 2 ) 답① 1170 (n+1)aÇ=naÇ*Á-1의 양변을 n(n+1)로 나누면 aÇ aÇ*Á 1 = n n+1 n(n+1) 1167 Û n=k`(k¾2)일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면 1+;2!;+;3!;+y+;k!;> 2k k+1 yy ㉡ bÇ= aÇ 으로 놓으면 n 1 n(n+1) 1 ㉡의 양변에 k+1 을 더하면 bÇ=bÇ*Á- 1 1 2k 1+;2!;+y+;k!;+ k+1 > + k+1 k+1 ∴ bÇ*Á-bÇ= 1 n(n+1) 위의 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더 이때 n¾2이므로 하면 2k 1 2(k+1) + k+1 k+1 (k+1)+1 bª-bÁ= 1 1´2 = (2k+1)(k+2)-2(k+1)Û` (k+1)(k+2) b£-bª= = k >0 (k+1)(k+2) 1 2´3 b¢-b£= 1 3´4 에서 1 2(k+1) 2k + k+1 > k+2 k+1 ⋮ 1 2(k+1) ∴ 1+;2!;+y+;k!;+ k+1 > k+2 답④ 152 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_147~160_10강_ok.indd 152 1 +} bÇ-bÇÐÁ= (n-1)n ³ n-1 1 bÇ-bÁ= Á k=1 k(k+1) 2017-11-10 오후 4:30:58 ∴ bÇ‌=bÁ+ Á n-1 1173 두 그릇 A와 B에 들어 있는 물의 총량은 3`L이므로 그 1 k(k+1) aÁ n-1 1 1 = +Á { } 1 k=1 k k+1 k=1 릇 A에 들어 있는 물의 양이 aÇ`L이면 그릇 B에 들어 있는 물의 양은 (3-aÇ)`L이다. =2+[{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+y+{ =2+1= 그릇 A에서 50`%의 물을 퍼내어 그릇 B에 부으면 그릇 B에 들 1 -;n!;}] n-1 어 있는 물의 양은 (3-aÇ)+;2!; aÇ=3-;2!; aÇ 1 n 다시 그릇 B에서 50%의 물을 퍼내어 그릇 A에 부으면 그릇 A 3n-1 n 에 들어 있는 물의 양은 aÇ 3n-1 = 이므로 aÇ=3n-1 n n ∴ Á aû= Á (3k-1)=3´ 10 10 k=1 k=1 ;2!; aÇ+;2!; {3-;2!; aÇ}=;4!; aÇ+;2#; 즉 aÇ*Á=;4!; aÇ+;2#;이므로 10´11 -10=155 2 답 155 p=;4!;, q=;2#; ∴ p+q=;4!;+;2#;=;4&; 3 수열 {aÇ}은 첫째항이 aÁ=160´ =120이고 공비가 4 1171 답 ;4&; 3 인 등비수열이므로 4 aÇ=120´{;4#;}Ç` ÑÚ` 시험에 aÇ<50에서 120´{;4#;}Ç` ÑÚ`<50 ∴ 12_{;4#;}Ç` ÑÚ`<5 {aÇ}은 등차수열이고 aÁ=4, aª-aÁ=3이므로 첫째항이 4, 공차 가 3이다. log`12+(n-1)log`;4#;<log`5 ∴ aÇ=4+(n-1)´3=3n+1 ∴ Á aû‌ = Á (3k+1) 2`log`2+log`3+(n-1)(log`3-2`log`2)<1-log`2 (n-1)(2`log`2-log`3)>3`log`2+log`3-1 (n-1)(0.6-0.48)>0.9+0.48-1 10 10 k=1 k=1 =3´ 0.12(n-1)>0.38 ∴ n> 본문 154~157쪽 1174 aÇ-2aÇ*Á+aÇ*ª=0에서 2aÇ*Á=aÇ+aÇ*ª이므로 수열 양변에 상용로그를 취하면 n-1> 꼭 나오는 문제 10´11 +10 2 =175 19 6 답 175 25 =4.___ 6 1175 따라서 자연수 n의 최솟값은 5이다. 답5 1 인 등차수열이므로 3 1 n+2 =1+(n-1)´;3!;= aÇ 3 1172 첫날은 9`km를 뛰었으므로 aÁ=9 훈련을 시작하여 2일째 되는 날은 전날 뛴 거리의 공차가 1 1 1 1 - =;3!;에서 수열 [ ]은 첫째항이 =1, aÇ aÇ*Á aÇ aÁ 4 배보다 3 aÇ= 3 이므로 aÁ¼=;1£2;=;4!; n+2 답② 4 2`km 적은 거리를 뛰므로 aª=9´ -2=10 3 마찬가지로 훈련을 시작하여 (n+1)일째 되는 날은 n일째 되는 1176 aÇ*ÁÛ`=aÇaÇ*ª에서 수열 {aÇ}은 등비수열이고 aÁ=3, 4 날 뛴 거리의 배보다 2`km 적은 거리를 뛰므로 3 aª=9이므로 공비는 aÇ*Á= 4 aÇ-2 3 aª =;3(;=3이다. aÁ ∴ aÇ=3´3Ç` ÑÚ``=3Ç` 답 aÁ=9, aÇ*Á=;3$;àÇ-2 ∴ aª¼=3Û` â` 답③ 10. 수학적 귀납법 알피엠_수Ⅰ_해설_147~160_10강_ok.indd 153 153 2017-11-10 오후 4:30:59 1177 수열 {aÇ}은 첫째항이 3, 공비가 -2인 등비수열이므로 aÇ=3´(-2)Ç` ÑÚ`>300에서 = n-1 3 + 25 2n-1 n-1 n-1 3 + =;5#;에서 =;2!5@; 2n-1 25 2n-1 (-2)Ç` ÑÚ`>100 따라서 자연수 n의 최솟값은 9이다. 답② ∴ n=13 따라서 ;5#;은 제 13 항이다. 답⑤ 1178 aÇ*Á=aÇ+n+1의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대 입하여 변끼리 더하면 1180 aÇ*Á=2ÇàÇ의 n에 1, 2, 3, y, 9를 차례로 대입하여 변 aª=aÁ+1+1 끼리 곱하면 a£=aª+2+1 aª`=2aÁ a¢=a£+3+1 a£`=2Ûàª ⋮ a¢`=2Üà£ +>³ aÇ=aÇÐÁ+(n-1)+1 aÇ‌ = aÁ+ Á (k+1) ⋮ n-1 _>³ aÁ¼=2áà» k=1 aÁ¼=2´2Û`´2Ü`ý´2á`áÁ (n-1)n =1+ +(n-1) 2 ∴Á 15 k=1 = aÁ=1이므로 nÛ`+n 2 9´10 aÁ¼=21+2+3+y+9=2 2 =2Ý`Þ` ∴ logªàÁ¼=logª`2Ý` Þ`=45 15 15 1 2 2 ‌= Á =Á aû k=1 kÛ`+k k=1 k(k+1) =2 Á {;k!;15 k=1 답 45 1 } k+1 1 =2[{1- }+{;2!;-;3!;}+y+{;1Á5;-;1Á6;}] 2 =2 {1= aÇ*Á 1 n(n+2) =1= 의 n에 1, 2, 3, y, aÇ (n+1)Û` (n+1)Û` 1181 9를 차례로 대입하여 변끼리 곱하면 aª 1´3 = =;2!;´;2#; aÁ 2Û` 1 } 16 a£ 2´4 = =;3@;´;3$; aª 3Û` 15 8 a¢ 3´5 = =;4#;´;4%; a£ 4Û` 답 :Á8°: ⋮ 1 1 1 =;2!;{ }이므로 2n-1 2n+1 (2n-1)(2n+1) 1 1 aÇ*Á=aÇ+;2!;{ }의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 2n-1 2n+1 1179 aÁ¼ 9´11 _} = =;1»0;´;1!0!; 10Û` ³ a» aÁ¼ 11 =;2!;´;1!0!;= aÁ 20 ∴ aÁ¼= 차례로 대입하여 변끼리 더하면 11 aÁ=;2!0!;´20=11 20 aª=aÁ+;2!;{1-;3!;} 답 11 a£=aª+;2!;{;3!;-;5!;} 1182 aÇ+aÇ*Á=2n+1`(n=1, 2, 3, y)이므로 Á aû‌ = (aÁ+aª)+(a£+a¢)+(a°+a¤)+y+(aÁÁ+aÁª) 12 a¢=a£+;2!;{;5!;-;7!;} k=1 =(2´1+1)+(2´3+1)+(2´5+1)+y+(2´11+1) ⋮ 1 1 +} aÇ=aÇÐÁ+;2!;{ } 2n-3 2n-1 ³ 1 aÇ‌ = aÁ+;2!;[{1-;3!;}+{;3!;-;5!;}+{;5!;- } 7 1 =aÁ+;2!;{1} 2n-1 154 1 1 +y+ { 2n-3 - 2n-1 }] =3+7+11+15+19+23 = 6(3+23) =78 2 답③ 1183 2SÇ*Á=SÇ+3의 양변에 n 대신 n-1을 대입하여 두 식을 빼면 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_147~160_10강_ok.indd 154 2017-11-10 오후 4:31:00 ` 2SÇ*Á=SÇ+3 즉 kÜ`+2k=3m (m은 자연수)이라 하면 ->³ 2SÇ=SÇÐÁ+3 (n¾2) (k+1)Ü`+2(k+1)` 2SÇ*Á-2SÇ=SÇ-SÇÐÁ =`kÜ`+3kÛ`+3k+1+2k+2 이때 SÇ-SÇÐÁ=aÇ (n¾2)이므로 =(kÜ`+2k)+ 3kÛ`+3k+3 2aÇ*Á=aÇ, 즉 aÇ*Á=;2!;aÇ (n¾2) =3 m + 3kÛ`+3k+3 2Sª=SÁ+3에서 2(aÁ+aª)=aÁ+3이고 aÁ=SÁ=1이므로 이므로 n=k+1일 때도 성립한다. 2(1+aª)=4 Ú, Û에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 nÜ`+2n은 3의 배수이 ∴ aª=1 다. 따라서 aÁ=1, aÇ=aª´{;2!;}Ç` ÑÛ`={;2!;}Ç` ÑÛ` (n¾2)이므로 따라서 f(k)=3kÛ`+3k+3, g(m)=m이므로 g(18) 18 = =2 9 f(1) SÁ¼‌ =aÁ+ Á aû=1+ 10 1´[1-{;2!;}á`] 답2 1-;2!; k=2 1187 Û n=k일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면 1 =3-{ }¡` 2 1184 ㈎, ㈏에서 p(1)이 참이므로 p(3)은 참이다. 1 1 1 1 + +y+ ¾2 yy ㉡ '2 '3 '§k '§k 1 ㉡의 양변에 을 더하면 'Äk+1 1 1 1 1 1 1 1+ + +y+ + ¾2+ '2 '3 '§k 'Äk+1 '§k 'Äk+1 그런데 모든 자연수 k에 대하여 4k¾k+1이므로 ㈏에서 p(3)이 참이면 p(4)도 참이다. 2'k-'Äk+1¾0이다. 같은 방법으로 p(5), p(6)도 참임을 알 수 있지만 p(2)의 참, ∴ {2‌ 1+ 즉 p=3, q=8이므로 p+q=11 답⑤ 거짓은 알 수 없다. 답① 1185 Ú n=1일 때, (좌변)= ;2!; , (우변)=2- 1+2 = ;2!; 2 k k+2 =22û` 2û` 답④ yy ㉡ 1188 aÇ*ª-aÇ*Á=3(aÇ*Á-aÇ)에서 수열 {aÇ*Á-aÇ}은 첫 k+1 ㉡의 양변에 을 더하면 2û` ±Ú` ;2!;+;4@;+;8#;+y+ 1 1 1 1 + +y+ ¾ 2'Äk+1 '2 '3 'Äk+1 따라서 n=k+1일 때도 ㉠이 성립한다. Û n=k일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면 ;2!;+;4@;+;8#;+y+ 2'k-'Äk+1 2 1 = ¾0 'Äk+1 '§k "ÃkÛ`+k 1 1 1 즉 2+ ¾ 2이 성립하므로 '§k 'Äk+1 'Äk+1 = 1+ 이므로 ㉠이 성립한다. 1 1 1 + }-{ 2} '§k 'Äk+1 'Äk+1 째항이 aª-aÁ=3, 공비가 3인 등비수열이므로 aÇ*Á-aÇ=3´3Ç` ÑÚ``=3Ç` k k+1 + 2û` 2û` ±Ú` 위의 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더 하면 k+1 k+2 + 2û` ±Ú` 2û` k+3 =22û` ±Ú` (k+1)+2 =22û` ±Ú` =2- aª- aÁ =3 a£- aª =3Û` a¢- a£ =3Ü` ⋮ 답 ㈎ ;2!; ㈏ k+1 2û` ±Ú` +>³ aÇ-aÇÐÁ=3Ç` ÑÚ`` aÇ-aÁ= Á 3û` n-1 ∴ aÇ‌ = aÁ+ Á 3û` k=1 1186 Ú n=1일 때, 1Ü`+2´1=3은 3의 배수이므로 성립한 다. Û n=k일 ‌ 때, kÜ`+2k가 3의 배수, n-1 k=1 =aÁ+ 3(3Ç` ÑÚ``-1) 3-1 10. 수학적 귀납법 알피엠_수Ⅰ_해설_147~160_10강_ok.indd 155 155 2017-11-10 오후 4:31:01 a¢=3rÜ`=24, rÜ`=8 ∴ r=2 3 = (3Ç` ÑÚ`-1)+aÁ 2 ∴ aÇ=3´2Ç` ÑÚ` a°=;2#;(3Ý`-1)+aÁ=122에서 aÁ=2 aª-aÁ=3이므로 aª=aÁ+3=2+3=5 답④  10  따라서 p=3, q=3이므로 1189 PÇPÇ*ÁÓ=aÇ이라 하면 규칙 ㈐에서 aÇ= 3(2Ú`â`-1) ∴ Á aû= Á 3´2û` ÑÚ``= =3´2Ú`â`-3 2-1 k=1 k=1 10 p-q=0 n-1 aÇÐÁ n+1  답0 위의 식의 n에 2, 3, 4, y, k를 차례로 대입하여 변끼리 곱하면 aª=;3!; aÁ 단계 일반항 aÇ 구하기  a£=;4@; aª 채점요소 40 % Á aû의 값 구하기 10  a¢=;5#; a£ 30 % k=1 p-q의 값 구하기  배점 30 % ⋮ aûÐÁ= k-2 aûÐª k 1192 SÇ=nÛàÇ의 양변에 n 대신 n-1을 대입하여 두 식을 k-1 _} aû= aûÐÁ k+1 ³ 빼면 SÇ =nÛàÇ k-2 k-1 2 aû=aÁ´;3!;´;4@;´;5#;ý´ k ´ k+1 = k(k+1) ->³ SÇÐÁ=(n-1)ÛàÇÐÁ (n¾2) 1 1 1 따라서 Sû=;2!; aû= = 이므로 k(k+1) k k+1 10 10 1 1 Á Sû‌ = Á{ } k+1 k=1 k=1 k ={;1!;-;2!;}+{;2!;-;3!;}+y+{ =1- aÇ =nÛàÇ-(n-1)ÛàÇÐÁ 즉 (nÛ`-1)aÇ=(n-1)ÛàÇÐÁ이므로 aÇ= 1 1 - } 10 11  위의 식의 n에 2, 3, 4, y, 10을 차례로 대입하여 변끼리 곱하면 1 =;1!1); 11 aª=;3!; aÁ 따라서 p=11, q=10이므로 a£=;4@; aª p+q=21 답 21 a¢=;5#; a£ ⋮ 1190 수열 {aÇ}은 첫째항이 2, 공차가 3인 등차수열이므로 a»=;1¥0; a¥ aÇ=2+3(n-1)=3n-1 n(n+1) Á aû‌ = Á (3k-1)=3´ -n=155에서 2 k=1 k=1 n n-1 aÇÐÁ (n¾2) n+1  n 9 _} aÁ¼= a» 11 ³  8 9 1 aÁ¼=;3!;´;4@;´;5#;ý´ 10 ´ 11 áÁ= 55 3nÛ`+n-310=0, (n-10)(3n+31)=0 그런데 n은 자연수이므로 n=10  답 ;5Á5;  답 10 단계 단계 채점요소 배점  일반항 aÇ 구하기 40 %  n의 값 구하기 60 % 1191 배점 주어진 SÇ의 관계식을 이용하여 aÇ의 관계식 구하기 50 %  n에 2부터 10까지 대입한 식 구하기 30 %  aÁ¼ 구하기 20 % aÇ*Á='ÄaÇ aÇ*ª의 양변을 제곱하면 aÇ*ÁÛ`=aÇ aÇ*ª이므 로 수열 {aÇ}은 등비수열이다. 이때 공비를 r라 하면 156 채점요소  1193 3+7+11+y+(4n-1)=2nÛ`+n yy ㉠ 정답과 풀이 알피엠_수Ⅰ_해설_147~160_10강_ok.indd 156 2017-11-10 오후 4:31:02 Ú n=1일 ‌ 때, (좌변)=3, (우변)=2+1=3 한편, (3k+2)(3k+4)=9kÛ`+18k+8이고 (3k+3)Û`=9kÛ`+18k+9이므로 따라서 n=1일 때, ㉠이 성립한다.  Û n=k일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면 yy ㉡ 3+7+11+y+(4k-1)=2kÛ`+k (3k+2)(3k+4) < (3k+3)Û` ∴ (3k+4)+(3k+2) 1 1 + ‌= 3k+2 3k+4 (3k+2)(3k+4)  = 6k+6 (3k+2)(3k+4) > 6k+6 = 2 3k+3 (3k+3)Û` ㉡의 양변에 4k+3을 더하면 3+7+11+y+(4k-1)+(4k+3) =2kÛ`+k+4k+3 그런데 aû>1이므로 =2(kÛ`+2k+1)+k+1 aû*Á>aû+{ =2(k+1)Û`+(k+1) 1 2 1 + }>1 3k+3 3k+3 k+1 따라서 n=k+1일 때도 ㉠이 성립한다. 답㈎ Ú, Û에 의하여 ㉠은 모든 자연수 n에 대하여 성립한다. 1 2 ㈏< ㈐ k+1 3k+3  답 풀이 참조 단계 채점요소 배점  n=1일 때, 주어진 명제가 성립함을 보이기 30 %  n=k일 때, 주어진 명제가 성립한다고 가정하기 20 %  n=k+1일 때도 주어진 명제가 성립함을 보이기 50 % 1196 PÇ(xÇ)이라 하면 xÇ*ª= 3xÇ+2xÇ*Á =;5#;xÇ+;5@;xÇ*Á 5 n=1일 때 x£=;5#;xÁ+;5@;xª에서 xÁ=0, xª=8이므로 x£= 16 5 n=2일 때 1194 aÇ*Á+aÇ=bÇ*Á-bÇ의 n에 1, 2, 3, y, 9를 차례로 대 입하여 변끼리 더하면 aª+aÁ=bª-bÁ x¢=;5#;xª+;5@;x£에서 xª=8, x£= x¢=;5#;´8+;5@;´ 16 이므로 5 16 152 = 5 25 n=3일 때 a£+aª=b£-bª x°=;5#;x£+;5@;x¢에서 x£= a¢+a£=b¢-b£ x°=;5#;´ ⋮ +>³ aÁ¼+a»=bÁ¼-b» 16 152 , x¢= 이므로 5 25 16 152 +;5@;´ =;1%2$5$; 5 25 ∴ P° {;1%2$5$;} 2(aÁ+aª+y+aÁ¼)-aÁ-aÁ¼=bÁ¼-bÁ 1 ∴ aÁ+aª+y+aÁ¼‌= (aÁ-bÁ+aÁ¼+bÁ¼) 2 답 ;1%2$5$; 1 = (0+30) 2 =15 답 15 1195 Û n=k일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면 aû= 1 1 1 + +y+ >1 k+1 k+2 3k+1 이때 aû*Á‌ = 1 1 1 + +y+ k+2 k+3 3k+4 =aû+{ 1 1 1 + + }- 1 3k+2 3k+3 3k+4 k+1 10. 수학적 귀납법 알피엠_수Ⅰ_해설_147~160_10강_ok.indd 157 157 2017-11-10 오후 4:31:02 memo 알피엠_수Ⅰ_해설_147~160_10강_ok.indd 158 2017-11-10 오후 4:31:02 memo 알피엠_수Ⅰ_해설_147~160_10강_ok.indd 159 2017-11-10 오후 4:31:02 memo 알피엠_수Ⅰ_해설_147~160_10강_ok.indd 160 2017-11-10 오후 4:31:02

개념원리 RPM 수학1 정답및해설

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