V Tavi
1. mimdevroba
1. nikam legos figurebiT pirvel naxazze gamo­saxuli
formis `kedeli~ aago.
a) ramdeni legos figura iqneba 25-e rigSi, Tu pirvel rigSi
100 legos figura devs.
b)* ramdeni legos figura daWirdeba 100 rigis Sevsebas?
amoxsna: a) naxazze advilad SeamCnevT, rom yovel Semdeg
rigSi 1 figuriT naklebi devs. amitom, Tu pirvel rigSi
legos 100 figuraa, maSin meoreSi 100–1=99 figura iqneba, mesameSi
100–2=98, meoTxeSi 100–3=97 da a.S. albaT amCnevT kanonzomierebas!
_ 25-e rigSi iqneba 100–24=76 legos figura. rigebSi figurebis
raodenobas Tu TanmimdevrobiT CamovwerT, miviRebT naturalur
ricxvTa Semdeg mimdevrobas:
,
rome­lic SeiZleba ase davaxasiaToT:
mimdevrobis pirveli wevria 100, bolo 1, amave dros yoveli wevri
1-iT naklebia wina wevrze.
b) figuraTa saerTo raodenoba tolia mimdevrobis wevrTa jamis.
100+99+98+...+46+45+...+3+2+1 =
= (100+1)+(99+2)+(98+3)+ ... +(51+50) =
= 101 + 101 + ... + 101 = 101·50 = 5050
50-jer
e.i. saWiroa 5050 legos figura.
davajgufoT Semdegnairad
sul 50 Sesakrebia
amocana 1.
avtomanqana, romelmac zestafonidan Tbilisisken daiwyo mo­
Zraoba, 1 saaTis Semdeg quTaisidan 95 km-iT daSorebuli aRmoCnda,
2 saaTis Semdeg 155 km-iT, 3 sT-is Semdeg – 215 km-iT. xolo 4 sT-is
Semdeg 275 km-iT. ra manZiliT iqneba daSorebuli avtomanqana
quTaisidan 7 saaTis Semdeg, Tu vigulisxmebT, rom igi moZraobda
Tanabrad.
amoxsna: ricxvTa 95, 155, 215, 275, ... mimdevroba gviCvenebs, rom
avtomanqanasa da quTaiss Soris manZili yovel saaTSi 60 km-iT
izrdeba, anu mimdevrobis yoveli wevri winaze 60-iT metia. Tu
Tqven mimdevrobas gaagrZelebT momdevno sami wevriT, miiRebT,
rom 7 saaTis Semdeg es manZili 455 km-is toli iqneba, magram risi
toli iqneba am mimdevrobis 105-e, 237-e da a.S. wevrebi? am da sxva
SekiTxvebze pasuxs momdevno klasebSi gavcemT.
ganxilul mimdevrobas mudmivi nazrdis mqone mimdevroba
ewodeba.
216
?
 moiyvaneT mudmivi nazrdis mqone ricxviT mimdevro­baTa
magaliTebi.
amocana 2.
SemoRobil adgilSi axladdabadebuli wyvili kurdReli gauSves.
patrons ainteresebs, Tu ramdeni wyvili kurdReli daugrovdeba
mas 1 wlis mere. cnobilia, rom wyvili kurdReli erTi Tvis Semdeg
yovel TveSi aCens axal wyvils, xolo axaldabadebuli wyvili ki
_ ori Tvis Semdeg Tavis dabadebidan.
es amocana 1202 wels leonardo fibonaCim ganixila Tavis naSromSi
“wigni abakze” (berZn. - saangariSo CarCo). am amocanas amoxsnis
procesSi miiReba SesaniSnavi mimdevroba.
bonaCis vaJiSvili
leonardo (daaxl.
1180-1240 w.) daibada
italiaSi qalaq
pizaSi. mas pizelebs
mokled fibonaCis
(bonaCis vaJiSvili)
eZaxdnen.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
romelic fibonaCis mimdevrobis saxeliTaa cnobili.
daakvirdiT am mimdevrobis wevrebs. SeecadeT, ipovoT is
kanonzomiereba, rasac fibonaCim miagno.
Tu ver mixvdebiT, gaiTvaliswineT Cveni rCeva:
daakvirdiT ricxvebs dawyebuli mesamedan, rogor miiReba igi
wina ricxvebisagan? miageniT? yoCaR. maSin ipoveT me-12 wevri.
Tu sworad daTvaleT, miiRebdiT, rom erTi wlis ganmavlobaSi
wyvilebis raodenoba iqneba 144.
magaliTi.
mocemuli mimdevrobis wevrebs Soris ipoveT kanonzomiereba da
gaagrZele igi 3 wevriT:
a) 4, 8, 16. 32, ... b) 4, 8, 13, 19, ... g) –1, 1, -1, 1,... d) 2, 1, 1, 2, 1, 1, ... ;
e) ipoveT `d~ mimdevrobis 565-e wevri.
amoxsna:
a) yoveli Semdegi wevri miiReba wina wevris 2-ze gamravlebiT.
64,
e.i. sami momdevno wevri iqneba: 64, 128, 256.
b) meore ricxvi pirvelze 4-iT metia. mesame meoreze 5-iT metia.
meoTxe mesameze ki 6-iT metia. e.i. mimdevrobis wevrebi izrdeba
jer 4-iT, Semdeg 5-iT, Semdeg 6-iT, da a.S.
momdevno sami wevria 26, 34, 43.
217
V Tavi
g) da d) mimdevrobebSi wevrebi periodulad meordeba:
g) –1, 1, –1, 1, –1, 1, –1.
d) 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1;
e) 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, . . . mimdevrobaSi wevrebi periodulad meordeba.
mimdevrobis periodia `2,1,1~. 565-is 3-ze gayofisas naSTi 1-is
tolia. e.i. 656-e wevri iqneba 2 (igive, rac pirveli wevri).
SeavseT gamotovebuli adgilebi:
CasviT mimdevrobis gamotovebuli wevrebi:
1. 1, 8, 27, ? , ? , ? ;
2. 1, 4, ? , 27, ? , ? ;
3. 2, 7, 12, 17, ? , ? , ? ;
4. a+1, 3a+1, 5a+1, ? , ? , ? ;
5. 3x, 6x, ? , 12x, ? , ? .
savarjiSoebi:
1 dawereT mimdevrobis pirveli 5 wevri, Tu pirveli wevria 7 da
yoveli momdevno wevri winaze: a) 3-iT metia; b) 4-iT naklebia;
g) 7-iT naklebia; d) 2-jer metia;
e) 2-jer naklebia.
2 ricxvia mocemuli mimdevroba gaagrZeleT 4 ricxviT:
a) 11, 21, 31, ...;
b) 8, 10, 13, 17, ...;
g) 5, 5, 10, 15, 25, ...;
d) 3, 0, –3, ...;
1 1 1
1
e) 1, 2 , 4 , , ... ;
v) 1 , 19 , 27
, ... ;
3
8
z) a+4, 2a+4, 3a+4, ...;
T) a–1, a–3, a–5, ... .
3 yovel deda futkars ori biologiuri mSobeli
hyavs – deda futkari da mama futkari. magram
yovel mama futkars erTi mSobeli hyavs - mama
futkari. daxazeT deda futkris 7 Taobis winaprebis
genealogiuri xe. daadgineT, ramdeni winapari hyolia
1 deda futkars yovel TaobaSi.
mzesumzira kargi maga­l iTia
fibonaCis mimdev­robisa. yovel
wreSi marcvlebis raodenoba
wina or wreSi marcv­lebis raodenobis jamis tolia.
218
4 nodars macivarSi 700 dolari unda gadaexada.
aprilSi mas 200 dolari hqonda, maisSi - 250 dolari,
ivnisSi - 300 dolari. romel TveSi SeZlebs nodari
macivris yidvas, Tu is yovelTviurad 50 dolariT
zrdis danazogs.
5 dawereT samkuTxa da oTxkuTxa ricxvebis mim­
devrobis eqvsi wevri. rogor daaxasiaTebT am mimdev­
robebs.
1. mimdevroba
piTagorelebs ricxvebi wertilebis saxiT hqondaT warmodgenili. maTTvis ricxvi `sami~ simyarisa da simtkicis gamomxatveli simbolo iyo.
sibrtyeze aRebuli sami wertilis
monakveTebiT SeerTebiT vRebulobT samkuTxeds.
eqvswertilovani
samkuTxedi.
aTwertilovani
samkuTxedi.
ricxvebs 3, 6, 10, 15, 21, 28, ... samkuTxa ricxvebi ewodeba.
3 = 1+2
6 = 1+2+3
10 = 1 + 2 + 3 + 4
4, 9, 16,... kvadratuli
ricxvebia
5, 12, 22, ... xuTkuTxa
ricxvebia
mravalkuTxa ricxvebs figurul ricxvebs uwodeben.
ifiqreT da iazrovneT:
6*
naxazze mocemulia isarTa mimdevroba.
rogor fiqrobT, ra mimarTuleba eqneba me-6 isars. ra
sigrZis iqneba me-8 isari da ra mimarTuleba eqneba mas.
7*
naxazze mocemulia kvadratebis mimdevroba. pirveli
kvadratis zomebia 16×16. yoveli Semdegi kvadratis
wvero wina kvadratis gverdebis Sua wertilebia.
a) ipoveT naxazze mocemuli kvadratebis farTobebi.
b) ras udris aseTi wesiT Sedgenili mimdevrobis me-8
kvadratis farTobi. daaxasiaTeT Sesabamis farTobTa
mimdev­roba.
219
V Tavi
8* ipoveT qvemoT mocemuli perioduli mimdevrobis 377-e wevri:
a) 3, 5, 7, 9, 3, 5, 7, 9, 3, . . . b) 2, –2, 2, –2, 2, –2, . . .
g) 3, 9, 7, 1, 0, 3, 9, 7, 1, 0, 3, . . . d) –1, 0, 1, –1, 0, 1, . . .
9 ricxvTa mocemuli mimdevroba gaagrZeleT ori sxvadasxva
xerxiT.
a) 2, 4, 8, ...
b) 3, 9, 27, ...
10 SeamCnieT kanonzomiereba da gaagrZeleT sami wevriT:
a)
b) 2,31; 2,313; 2,3131; ... g) a, e, i, n, . . .
d)
e)* SeavseT ori wevriT. daakvirdiT ras gviCvenebs kvadratebSi
Cawe­rili ricxvebi
1
1
1
11
1
1
1
1
2
1
1
2
5
2
3
3
daakvirdiT mocemul mimdevrobas, daadgineT kanonzomiereba
da mixvdiT, romeli figuraa aq zedmeti?
a)
b)
12 SeamCnieT kanonzomiereba da gaagrZeleT ramdenime wevriT:
a) 2, 6, 3, 9, 6, ... ;
b) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ... ;
g) 1, 4, 2, 8, 6, ... ;
d) 1, 1, 2, 4, 5, 25 ... .
13* dawereT cvladiani gamosaxuleba, romelic gamoxatavs
mimdevrobis wevrebs Soris kanonzomierebas:
a) 2, 5, 10, 17, 26, 37, ... ;
b) 8, 11, 16, 23, 32, ... ;
g) 0, 3, 8, 15, 24, 35, ... ;
d) 1, 8, 27, 64, 125, ... .
220
1. mimdevroba
14* ricxviT RerZze mdebare AB monakveTi C wertiliT iyofa
SefardebiT AC:BC=1:4. ipoveT C wertilis koordinatebi, Tu:
a) A(–5) da B(10);
b) A(–7) da B(13).
g
15 amoxseniT gantoleba:
a) 1 43 –5x=2 43 : `- 3 2 j ; 3
1
5
1
b) 20x+0,4·`- 6 4 j = `- 8 j:`- 28 j .
16 CawereT wreebSi ricxvebi ise, rom yoveli ricxvi iyos mis
qvemoT moTavsebuli ricxvebis udidesi saerTo gamyofi.
3·24 52·23 5·22 3·24
72
144
96
48
CawereT gamotovebuli ricxvi:
6
18
9
13
4
14
10
4
5
7
9
26
4
18
6
22 1
7
10
4
proeqti damoukidebeli kvlevisTvis:
dawereT Tema: „figuruli ricxvebi, srulyofili da martivi
ricxvebi“. saWiro informacia moipoveT saxelmZRvanelos bolos
miTiTebul literaturaSi da internet misamarTze.
221
V Tavi
2. sakoordinato sibrtye
geografiidan kargad iciT, rom dedamiwaze wertilis mde­
ba­reobis gansasazRvrad saWiroa vicodeT misi geografiuli
koordinatebi - grZedi da ganedi, risTvisac rukaze daxazulia
meridianebisa da paralelebis bade. magaliTad, rukaze advilad
vipoviT, rom Tbilisi imyofeba 44°50´ grZedsa da 41°40´ ganedze,
Tbilisis koordinatebi ase Cai­we­reba: 44°50´; 41°40´.
Wadrakis dafazec figuris mdebareoba
ori monacemiT xasiaTdeba. magaliTad,
nax.-ze etli mdebareobs g5-ze, xolo
cxeni b2-ze.
aseve ori koordinatiT ganisazRvreba
wertilis mdebareoba sibrtyezec.
arsebobs legenda, rom erTxel, XVI saukunis didi frangi
maTematikosi da filosofosi rene dekarti (1596-1650) mTeli
dRe iwva da uyurebda, Tu rogor dabobRavdnen buzebi Werze. man
daiwyo fiqri imaze, Tu rogor SeiZleboda daedgina buzis zusti
mdebareoba Werze da mas gauCnda sibrtyeze koordinatTa sistemis
Semotanis idea.
koordiantebis SemoRebis idea geografiis, astronomiis
da zRvaos­nobis ganviTarebam warmoSva jer kidev Cvens
welTaRricxvamde Zvel saberZneTsa da babilonSi. II
s-Si Cvens eramde berZenma swavlulma hiparqma dedamiwis zedapiris wertili geografiuli koordinatebiT
_ grZediTa da ganediT gansazRvra. mogvianebiT, XVII
s-Si, frangma maTematikosma da filosofosma r. dekartma (1596-1650) Semoitana sakoordinato sistema
(koordinatebi pirvelad frangma maTematikosma pier
fermam SemoiRo), romliTac dRemde vsargeblobT, da
amiT safuZveli Cauyara algebrul meTods _ geometriaSi. koordinatTa meTodis damuSavebisas dekartma
rene dekarti
SemoiRo cvladi sidide da daiwyo cvlad sidideTa
(1596-1650 w.w.)
Soris damokidebulebebis Seswavla. man geometriuli
figurebi sakoordinato sibrtyeze pirvelma Cawera
algebruli gantolebebiT, ramac safuZveli
`vazrovneb, maSasadame varsebob~
daudo maTematikis axal dargs _ analizur
geometrias.
rene dekarti
222
aviRoT ori urTierTmarTobuli koordinatTa RerZi ise, rogorc 1-el naxazzea
naCvenebi. hori­zo­ntalur RerZs abscisaTa
RerZi ewodeba da x asoTi aRiniSneba. vertikalur RerZs ordinatTa RerZi - y RerZi. gadakveTis O wertils, romelic orive
RerZisTvis aTvlis saTavea, koordinatTa
saTave ewodeba.
abscisaTa da ordinatTa RerZebi marT­
kuTxa koordinatTa sistemas qmnian. sibrtyes ki, romelzec mocemulia marTkuTxa
koordinatTa sistema sakoordinato si­
brtye ewodeba. x da y RerZebi sibrtyes 4
nawilad – 4 saakordinato meoTxedad yofs
(nax. 1).
sakoordinato sibrtyeSi movniSnoT A wertili (nax. 2). A wertilidan x da y RerZe­bze
davuSvaT marTobebi. abscisaTa RerZze
daSvebuli marTobis fuZe aris wertili,
romlis koordinatia –5, xolo ordinatTa
RerZze daSvebuli marTobis fuZe ki wer­
tili koordinatiT 3. wertilTa wyvils
(–5;3)-s A wertilis koordinatebi ewodebaT. –5-s A wer­tilis abscisas, xolo 3-s A
wertilis ordinatas uwodeben. wertilis
koordinatebidan pirvel adgilze abscisa,
xolo meoreze – ordinata iwereba. e.i.
A(–5;3) ikiTxeba: A wertili koordinatebiT
–5 da 3.
me-2 naxazze mocemulia P(–2;–4) da K(3;–2).
Tu wertili abscisaTa RerZze mdebareobs,
maSin misi ordinata nulia, xolo, Tu
wertili ordinatTa RerZze mdebareobs,
maSin misi abscisaa O-is toli (nax. 2) (ratom?), radgan O wertili orive RerZze
mdebareobs, amitom O(0,0).
?
nax. 1
y
A
–5 –4 –3 –2 –1 0
E(0;6)
5
4
3
2
1
B(5;0)
1 2 3 4 5
–1
–2
K
–3
x
P
nax. 2
abscisaTa RerZze mdebare werti­
lebis ordinatebi 0-is tolia.
ordinatTa RerZze mdebare wer­
tilebis abscisa 0-is tolia
O (0;0).
 daadgineT wertilTa koordinatebis niSnebi, Tu es
wertili mdebareobs:
a) I sakoordinato meoTxedSi:
b) II sakoordinato meoTxedSi;
g) III sakoordinato meoTxedSi;
d) IV sakoordinato meoTxedSi.
223
V Tavi
1. ipoveT 1-el naxazze
moce­muli A, B, C, D, M,
N, K, P wertilTa koordinatebi. daa­kvir­diT
miRebul koor­dina­tebs
da gamoitaneT das­kvna:
rogori mdebareoba
aqvs sako­or­dinato sibrtyeze wer­t i­l ebs,
romelTac toli aqvs:
a) abscisebi;
b) ordinatebi.
y
A
M
N B
–5 –4 –3 –2 –1 0
D
5
4
3
2
1
K
P
1 2 3 4 5
–1
–2
–3
x
nax. 1
amovxsnaT Sebrunebuli amocana. avagoT sib­
rtyeze wertili, Tu cnobilia misi koordinatebi.
magaliTad, M(–2;3) wertili.
y
5
4
3
2
1
M(–2;3)
–5 –4 –3 –2 –1 0
?
y
A
–3 –2 –1 0
D
1 2 3
–1
–2
–3
x
abscisaTa RerZze movZebnoT wertili, romlis
abscisaa –2, am wertilze gavataroT abscisaTa
RerZis marTobuli (y RerZis paraleluri) wrfe.
ordinatTa RerZze movZebnoT wertili, rom­lis
ordinataa 3 da am wertilze gavataroT ordi­
natTa RerZis marTobuli (x RerZis paraleluri)
wrfe.
am wrfeebis gadakveTis wertili iqneba M(–2;3).
 marTkuTxa sakoordinato sibrtyeze ipoveT Semdegi wertilebi:
A(–3;–2); B(1;–7); C(2;5); D(–1;5); E(0;7); F(3;0).
magaliTi 1.
4
3
2
1
marTkuTxa sakoordinato sistemaSi aageT
ABCD marTkuTxedi da ipoveT a) misi perimetri
da farTobi, Tu A(–2;3); B(4;3); C(4;–5); D(–2;–5).
B
1 2 3 4 5
–1
–2
–3
–4
–5
C
x
amoxsna:
avagoT marTkuTxedis wveroebi da SevaerToT
mimdevrobiT.
naxazis mixedviT advilad davadgenT, rom AB=8
da BC=6.
P ABCD=2(AB+BC)=28 (erT).
S ABCD=AB·BC=8·6=48 (kv.erT).
224
2. sakoordinato sibrtye
SeavseT gamotovebuli adgilebi:
1. marTkuTxa sakoordinato sistemis horizontalur RerZs ? . RerZi, xolo
vertikalur RerZs ? RerZi ewodeba.
2. Tu M(a;b) da a) a>0 da b>0, maSin M ? meoTxedis wertilia;
b) a>0 da b<0, maSin M ? meoTxedis wertilia;
g) a<0 da b<0, maSin M ? meoTxedis wertilia;
d) a<0 da b>0, maSin M ? meoTxedis wertilia;
e) Tu a=0, maSin M wertili mdebareobs ? ;
v) Tu b=0, maSin M wertili mdebareobs ? .
3. Tu M wertilis abscisa dadebiTia, maSin M wertili mdebareobs
? an ? meoTxedSi.
4. Tu wertili abscisaTa RerZis qvemoT mdebareobs, maSin misi ordinata ? .
5. toli abscisis mqone wertilebi mdebareobs ? paralelur wrfeze.
6. toli ordinatebis mqone wertilebi mdebareobs ? paralelur wrfeze.
savarjiSoebi:
1 ipoveT naxazze mocemul wertilTa koordinatebi:
a) ra saerTo TvisebiT xasiaTdeba FL wrfis wer­
tilebi, BC wrfis wertilebi;
b) FL wrfisa da abscisaTa RerZis gada­kveTis wertilis koordinatebi;
g) FE wrfisa da y RerZis gadakveTis wer­tilis
koordinatebi.
2 sakoordinato sibrtyeSi aageT Semdegi werti­lebi:
A(3;2), B(2;2),
C(7;–3),
D(0;0),
E(–3;0),
K(–4;–5), F(0;–2),
G(–1;–1),
M(–4;5),
P(–4;–2).
y
B
F
5
C 4
3
A
2
1
N
1 2 3 4 5
–1
–2
M
–3
K
–4 –3 –2 –1 0
L
E
x
3 daadgineT (zepirad) romel meoTxedSi mdebareobs Semdegi wertili?
A(5;2),
B(–7;4),
E(–3;–2),
K(5;–3),
C(–3;8), G(–1;–7),
M(3;0),
N(0;3).
4 aageT ∆MKF, Tu M(–3;2), F(0;–7), K(5;–1).
5 mocemulia EFKP marTkuTxedis sami wveros koordinatebi:
E(3;1); F(3; –4); K (–4; –4): a) ipoveT P wertilis koordinatebi;
b) gamoTvaleT marTkuTxedis farTobi;
g) ipoveT marTkuTxedis gverdebis Sua wertilTa koordinatebi.
6* marTkuTxa sakoordinato sibrtyeSi daxazeT ∆ABC, Tu A(4;–3), B(2;1) da
C(0;–1). TiToeuli wertilis abscisa gaadideT 3 erTeuliT, xolo ordinatTa
4 erTeuliT daxazeT miRebuli DEF samkuTxedi. rogoria DEF samkuTxedis
forma da mdebareoba ABC samkuTxedis mimarT.
225
V Tavi
7* daxazeT ABC samkuTxedi, Tu A(2;2), B(2;6), C(7;6).
a) gaamravleT TiToeuli wertilis abscisa –1-ze, ordinatebi
ki ucvleli datoveT. daxazeT miRebuli A1B1C1 samkuTxedi;
b) gaamravleT rogorc x, aseve y koordinatebi –1-ze da daxazeT
miRebuli A2B2C2 samkuTxedi. rogoria ∆A1B1C1 da ∆A2B2C2-is forma
da mdebareoba Tavdapirveli ABC samkuTxedis mimarT.
y
4
3
2
1
8 marTkuTxa sakoordinato sibrtyeze mo­ce­mulia
wiri. ipoveT:
a) wiris M da K wertilebis koordinatebi;
b) wiris abscisaTa RerZTan kveTis wertilTa
koor­dinatebi;
g) wiris is wertili, romlis abscisa 2-is tolia;
d) wiris is wertilebi, romelTa ordinata –1,5-is
tolia, 2-is tolia.
K
0
–5 –4 –3 –2 –1
1 2 3 4 5 6
–1
M
–2
–3
x
9 sakoordinato sibrtyeSi aageT A(–3;–6) da B(2;4) wertilebi.
AB wrfeze aiReT nebismieri sami wertili da ipoveT misi
koordinatebi.
10 sakoordinato sibrtyeSi aageT M(x;y) wertili, roca x = 0; –1;
3; 5, Tu y = 2x – 1.
rogor arian ganlagebuli es wertilebi sibrtyeze erTmaneTis
mimarT?
11
marTkuTxa sakoordinato sibrtyeSi moniSneT:
a) M(–2;–4) da N(–2;5); b) M(–2;3) da N(4;3).
ra saerTo Tviseba aqvT da riT gansxvavdebian MN wrfis
wertilebi. Tqveni mosazrebis dasasabuTeblad MN wrfeze
aiReT romelime sami wertili da ipoveT maTi koordinatebi.
12 marTkuTxa sakoordinato sibrtyeSi aageT wertilebi:
a) A(2;–6); B(2;–3); C(2;1); D(2;4); E(2;7);
b) M(–5;–2); N(–2;–2); K(0;–2); P(1;–2); F(5;–2).
ipoveT AB da MN wrfeTa gadakveTis wertilis koordinatebi.
C
N
P
L
K
S
1
0
1 A B
D
M
Q
226
R
13 ipoveT naxazze gamosaxuli wertilebis
koordinatebi.
a) A; B; K; P; L; R;
b) C; D; M; N; Q; S.
ra saerTo TvisebebiT xasiaTdebian es
wertilebi?
14 sakoordinato sibrtyeze moniSneT yvela
is wertili, romelTa koordinatebisTvis
sruldeba: a) x=0;
b) y=0.
ra geometriul figuras qmnis am wertilTa
erToblioba?
2. sakoordinato sibrtye
15 rogor iqnebian ganTavsebuli sakoordinato sibrtyeze
yvela wertili, romelTa abscisa tolia:
a) 5;
b) –7;
g) 9;
d) –1.
16 rogor arian ganTavsebuli sakoordinato sibrtyeze yvela
wertili, romelTa ordinata tolia:
a) 3;
b) –4;
g) 8;
d) –4.
17 qalaqis mosaxleoba wlis bolos 910 000 iyo. ipoveT mosaxleobis
raodenoba wlis dasawyisSi, Tu mosaxleobis namati am wlis
ganmavlobaSi 4% Seadgenda.
g
18* Semdegi gamosaxulebebi SeadareT 0-s.
a) 5a2+b4+7; b) –x2y, Tu y<0; g) 2–x3, x<0; d) –xy–y4, Tu x>0, y>0.
19 daamtkiceT, rom mTeli ricxvis da amave ricxvis kvadratis
jami luwi ricxvia.
20 daamtkiceT, rom abc da cba ricxvebis sxvaoba, sadac a≠0, c≠0,
11-is jeradia.
21 daamtkiceT, rom
a) 2-is sami momdevno xarisxi naturaluri maCvenebliT, 14-is
jeradia;
b) 5-is ori momdevno xarisxi naturaluri maCvenebliT, 30-is
jeradia.
22 daamtkiceT, rom
a) Tu ab+c2=0, maSin (a+c)(b+c)+(a–c)(b–c)=0;
b) Tu a+b=9, maSin (a+1)(b+1)–(a–1)(b–1)=18.
227
V Tavi
3. funqciis cneba
amocana 1. giorgim manqanis SesaZenad 1000 lari isesxa, im pirobiT, rom
yovelTviurad nasesxebi Tanxis 3%-s gadaixdida. ra Tanxa unda daabrunos giorgim x Tvis Semdeg?
3
yovelTviurad giorgim unda gadaixados 1000∙ 100 = 30 lari. maSasadame,
Tu giorgi Tanxas daabrunebs
1 Tvis Semdeg, man unda daabrunos (1000+30) lari;
2 Tvis Semdeg, man unda daabrunos (1000+2∙30) lari;
3 Tvis Semdeg, man unda daabrunos (1000+3∙30) lari;
_______________________
x Tvis Semdeg man unda daabrunos (1000+30x) lari.
Tu dasabrunebel Tanxas y-iT aRvniSnavT, miviRebT formulas:
y = 1000 + 30x
fulis
gasesxebisas
mar­tivi
procentis
for­muliT sargeblo­
ben: Tu gasesxebulia
A Tanxa P%-iT, maSin
n Tvis Semdeg mevale
daabrunebs:
P
A(1 + n· 100 )
(1)
(1) toloba or x da y cvlads Seicavs. magram maT erTdroulad nebismier mniSvnelobebs ver mivaniWebT.
magaliTad,
Tu x=1, maSin y=1030
Tu x=5, maSin y=1150
Tu x=12, maSin y=1360
e.i. x-is yovel dadebiT mniSvnelobas y-is garkveuli mniSvneloba
Seesabameba, rac SesaZlebelia ase CavweroT:
x→y
kerZod, x →1000 + 30x
x-ica da y-ic mniSvnelobebs dadebiT ricxvTa simravlidan iRebs,
magram ra ricxvs gautoldeba y cvladi damokidebulia x cvladisTvis miniWebul mniSvnelobaze.
amocana 2. qveiTi moZraobs 6km/sT siCqariT. ra manZils gaivlis igi x sT-Si?
Tu gavlil manZils y-iT aRvniSnavT, miviRebT:
y = 6x (2)
(2) tolobidan SeiZleba davadginoT, rom 1 sT-is Semdeg (Tu x=1) qveiTs
gavlili eqneba 6 km (y=6); 5 sT-is Semdeg (x=5) ki _ 30 km, e.i. y=30 da a. S. am
SemTxvevaSic, rogorc 1-el amocanaSi, miviReT: x cvladis yovel mniSvnelobas Seesabameba y cvladis garkveuli mniSvneloba.
x → y. kerZod, x → 6x
orive amocanaSi ricxviTi simravleebis elementebs Soris sxvadasxva
wesiT davamyareT damokidebuleba.
I SemTxvevaSi Tanadobis wesi iyo Semdegi: x → 1000 + 30x
II SemTxvevaSi _ x cvladis nebismier mniSvnelobas SevusabameT masze
6-jer meti ricxvi:
x → 6x
albaT, xvdebiT, rom Tanadobis wesi SesaZlebelia uamravi movigonoT.
228
magaliTad:
amocana 3.
nebismier ricxvs SevusabamoT misi kvadrati.
x → x.
3 → 9
–3 → 9
5 → 25
–5 → 25 da a. S.
miviRebT y = x2 formulas.
2
anu
Sesabamisobis damyareba SesaZlebelia ara marto ricxviTi, aramed
nebismieri simravleebis elementebs Sorisac. magaliTad,
amocana 4. ganvixiloT Tqveni saklaso oTaxis merxebisa da Tqveni
klasis moswavleTa simravle.
maT elementebs Soris davamyaroT aseTi Sesabamisoba: yovel merxs SevusabamoT is moswavle, romelic am merxTan zis. aRmoCndeba: yovel merxs
Seesabameba erTi, ori an arc erTi moswavle.
amocana 5. davamyaroT damokidebuleba dia­met­
B
risa da wrewiris wertilebs Soris ise, rogorc es
1-el naxazzea. A2A1⊥MN, B2B1⊥MN.
A → A1
A → A2
B → B1
B → B2
nax. 1
M→M
N → N da a. S.
e.i. diametris yovel X wertils SevusabameT wrewiris is X1 da X2 wertilebi, romlebSiac gadakveTs wrewirs X wertilSi diametris marTobulad gavlebuli wrfe.
amocana 6. ganvixiloT MON kuTxe da AB da A1B1 monakveTe-
bi, romelTa boloebi MON kuTxis gverdebzea (nax. 2). nebis­
mieri OK sxivi, romelic gadis MON kuTxis gverdebs Soris,
gadakveTs rogorc AB, ise A1B1 monakveTs Sesabamisad X da X1
wertilebSi. AB monakveTis wertilebs SevusabamoT A1B1 mo­
nakveTis wertilebi Semdegnairad: A→A1
B→B1
X→X1 da a. S.
nax. 2
am Sesabamisobis drosac AB monakveTis yovel wertils
Seesabameba A1B1 monakveTis erTi garkveuli wertili.
amocana 7. sibrtyis wertilebs Soris davamyaroT Sesabamisoba aseTi wesiT: marTkuTxa sakoordinato sibrtyis nebismier A(x;y), SevusabamoT B(x+5;y).
A(x;y) → B(x+5;y).
A
5
B
1 2 3 4 5 6
nax. 3
229
V Tavi
Tu zemoTmoyvanil magaliTebSi yuradRebas ar mivaqcevT ganxiluli sidideebis fizikur arss, davinaxavT, rom nebismieri ori
X da Y simravlis elementebs Soris Sesabamisobis damyareba SesaZlebelia sxvadasxva wesiT.
Cveni interesis sagans warmoadgens iseTi Sesabamisobebi, roca
X simravlis nebismier x elements Seesabameba Y simravlis erTaderTi y elementi.
X da Y simravleebs Soris Sesabamisobas, roca X simravlis
yovel elements Y simravlis erTaderTi elementi Seesa­
bameba, ewodeba funqcia X simravlisa Y simravleSi.
 paragrafSi mocemul amocanebSi ganxiluli Sesabamisobebidan
romelia asaxva?
?
 moifiqreT or simravles Soris iseTi Sesabamisoba, romelic
a) iqneba funqcia; b) ar iqneba asaxva.
yovelive zemoTqmuli SesaZlebelia sqematurad ase gamovsaxoT:
ganvixiloT nebismieri ori A da B simravle. simbolurad isini
naxazze wiTlad (A simravle) da mwvaned (B simravle) SevaferadoT. vTqvaT, a1,a2,a3,...∈A, xolo b1,b2,b3,...∈B. A da B simravlis elementebs Soris davamyaroT Sesabamisoba, rogorc 1-el naxazzea
naCvenebi (isari gviCvenebs, Tu A simravlis romel elements B
simravlis romeli elementi Seesabameba).
a)
b)
A
B
g)
A
A
B
B
nax. 1
ganmartebis Tanaxmad, a) da g) SemTxvevaSi Sesabamisoba funqciaa,
xolo b)-Si _ ara, radgan a1 elements Seesabameba rogorc b1, aseve
b2 elementi (e. i. ara erTi, aramed ori elementi B simravlidan).
X da Y simravleebs Soris Sesabamisobis wess f, g, ϕ,... asoebiT
aRniSnaven.
230
3. funqciis cneba
funqciis Casawerad, romelic X da Y simravleebs Soris Sesabamisobas raime f wesiT amyarebs, miRebulia Semdegi aRniSvnebi
f
X→
Y an f: X→Y
an kidev, y=f(x)
sadac x∈X, y∈Y da Sesabamisobis f wesiT x elements Seesabameba y
elementi. magaliTad, me-2 amocanaSi
f: x→6x
an f(x)=6x
niSnavs: f funqcia nebismier ricxvs
Seusabamebs masze 6-jer met ricxvs.
(vkiTxulobT: f x-isa tolia 6x-is)
e.i.
f funqcia ricxv 2-s Seusabamebs
f: 2 → 12
ricxv 12-s.
anu f(2)=12
(vkiTxulobT: f 2-isa tolia 12-is).
Canaweri f(2) niSnavs _ f funqciis mniSvnelobas, roca x = 2.
f(a) niSnavs _ f funqciis mniSvnelobas, roca x = a.
e. i. f: a → 6a anu f(a) = 6a.
zogjer x da y cvladebs Soris funqciur damokidebulebas asec
aRniSnaven: y=y(x). y(1), y(a), y(x) imave Sinaarsis Semcvelia, rac
f(1), f(a), f(x).
rogorc vnaxeT, x cvladma X simravlidan SeiZleba nebismierad
miiRos raime mniSvneloba. x cvlads damoukidebel cvlads anu
arguments uwodeben, xolo y-s _ damokidebul cvlads anu
funqcias, radgan misi mniSvneloba damokidebulia argumentis
mniSvnelobaze da Tanadobis f wesze.
simravles, saidanac argumenti iRebs mniSvnelobebs, funqciis
gansazRvris are ewodeba, xolo damokidebuli y cvladis mier
miRebuli mniSvnelobebi funqciis mniSvnelobaTa simravles
qmnis.
funqciis gansazRvris are D(y)-iT an D(f)-iT aRvniSnoT.
maSasadame, mocemul y = f(x) funqciaSi:
x _ argumentia, y _ funqcia (x-is), f _ Sesabamisobis wesi.
didi germaneli maTematikosi gotfrid vilhelm laibnici daibada germaniis qalaq laifcigSi. laifcigisa
da ienis universitetebSi igi eufleboda filosofias
da iurisprudencias. misi interesis sferoSi Sedioda
filosofia, maTematika, fizika, logika, iurisprudencia, paleontologia, istoria da sxv. man da udidesma
ingliselma mecnierma niutonma erTmaneTisgan damoukideblad safuZveli Cauyares maTematikis mniSvnelovan dargs _ maTematikur analizs. laibnicma
SemoiRo maTematikaSi sayovelTaod xmarebuli bevri
termini: funqcia, abscisa, ordinata, diferenciali,
algoriTmi da sxva.
gotfrid vilhelm
laibnici
(1646-1716)
231
V Tavi
magaliTi 1.
adamianebsa da maTsave dabadebis TariRebs Soris davamyaroT Sesabamisoba:
a) adamiani → dabadebis TariRi b) dabadebis TariRi → adamiani.
aris Tu ara ganxiluli Sesabamisoba funqcia (pasuxi daasabuTeT)?
amoxsna:
a) radgan yovel adamians erTi dabadebis TariRi aqvs, amitom Tanadoba aris funqcia.
b) araa funqcia, radgan yoveli TariRi erTze meti adamianis
dabadebis TariRia.
SeavseT gamotovebuli adgilebi:
1. Sesabamisobas A da B simravleebs Soris, roca A simravlis yovel elements Seesabameba B simravlis ? elementi, funqcia ewodeba.
2. Tu f(x) = 3x – 2,
maSin f(5) = ? , f(–1)= ? ; f(a+1) = ? .
3. Tu f(x) = –2x + 5, maSin f( ? ) = 7; f( ? ) = –1; f( ? ) = 0.
savarjiSoebi:
1 ricxviT simravleebs Soris daamyareT Sesabamisoba:
a) yovel ricxvs SeusabameT misi moduli;
b) yovel arauaryofiT ricxvs SeusabameT is ricxvi, romlis
modulic mocemuli ricxvia.
aris Tu ara ganxiluli Sesabamisoba funqcia? (pasuxi daasabuTeT).
2 Tqveni skolis moswavleTa da maswavlebelTa simravleebs Soris daamyareT Sesabamisoba:
a) yovel moswavles SeusabameT Tavisi maswavlebeli;
b) yovel moswavles SeusabameT Tavisi maTematikis maswavlebeli.
aris Tu ara mocemuli Sesabamisoba funqcia? (pasuxi daasabuTeT).
3 dawereT y=f(x) funqcia. ipoveT:
( 4)
I. f(–2), f – 1 , f(1,5); II. x, Tu f(x)=5; 12; 4.
a) f: ricxvs → gasamkecebul am ricxvs gamoklebuli erTi;
b) f: ricxvs → am ricxvis kvadrats damatebuli sami;
g) f: ricxvs → misi Sebrunebuli ricxvi;
d) f: ricxvs → am ricxvis naxevars gamoklebuli Svidi.
232
3. funqciis cneba
4 samkuTxedebis simravlesa da ricxviT simravles Soris daamyareT Sesabamisoba:
a) yovel samkuTxeds SevusabamoT is ricxvi, romelic misi
perimetris tolia;
b) yovel ricxvs SeusabameT is samkuTxedi, romlis perimetric
mocemuli ricxvis tolia.
aris Tu ara mocemuli Sesabamisoba funqcia? (pasuxi daasabuTeT).
5 naxazze xedavT sakoordinato sistemaSi aRebul Sav da cisfer
wertilebs. maT Soris daamyareT aseTi Sesabamisoba; yovel Sav
wertils SeusabameT imave abscisis mqone cisferi wertili.
aris Tu ara ganxiluli Sesabamisoba funqcia (pasuxi daasabuTeT)?
6 dawereT formula, romelic gviCvenebs kubis moculobis
damokidebulebas mis wiboze. iqneba Tu ara igi funqcia?
7 funqcia mocemulia f(x)=-x2+7 formuliT. ipoveT; f(0); f(2); f(-2);
f(5); f(-5).
8 oqromWedelma SeaerTa 5 jaWvi, romelTagan TiToeulSi iyo 3
rgoli. (man gaxsna 4 rgoli da isev SeaerTa). SeiZleboda Tu ara
am samuSaos ufro advilad Sesruleba?
g
9 ori biWi mdinareze naviT seirnobda. napirs moadga jariskacebis razmi. navi imdenad pataraa, rom masSi SeiZleba Cajdes
an ori biWi, an mxolod erTi jariskaci. SeZleben Tu ara jariskacebi mdinareze naviT gadasvlas? ramdenjer unda gadakveTos navma mdinare, rom meore napirze aRmoCndes:
a) 3 jariskaci;
b) 10 jariskaci?
10 klasSi 30 moswavlea. mocemuli diagramis mixedviT daadgineT:
a) moswavleTa ramdenma procentma miiRo weraSi 5 an 5-ze naklebi qula?
b) moswavleTa ramdenma procentma miiRo 6 an 6-ze meti qula?
g) ra nawilma daimsaxura umaRlesi (9 an 10 qula) Sefaseba?
d) ra SemTxvevaSia mosaxerxebeli wriuli diagramis gamoyeneba?
233
V Tavi
11
diagramaze mocemulia firmis mogeba 1 wlis ganmavlobaSi.
a) ra mogeba miiRo firmam wlis ganmavlobaSi?
b) romel TveSi miiRo yvelaze meti mogeba da ramdeni?
g) ras udris saSualo Tviuri mogeba?
d) ipoveTY mogebaTa moda.
e) ipoveT mogebis diapazoni.
v) ra SemTxvevaSia ufro mosaxerxebeli svetovani diagramis
gamoyeneba?
12 SeuZlia Tu ara glexs gadaiyvanos mdinaris erTi napiridan
meoreze mgeli, Txa da gadaitanos kombosto, Tu navSi masTan
erTad eteva mxolod mgeli, mxolod Txa an mxolod kombosto? (Txam SeiZleba SeWamos kombosto, mgelma ki _ Txa).
13 mocemulia 7 mTYeli ricxvi, romelTagan udidesi 37-is, xolo
umciresi 13-is tolia. am monacemTa mediana 24-is, xolo moda
18-is tolia. romeli maCvenebeli (moda, mediana, saSualo)
Seicvleba, Tu monacemebs davumatebT 8-s da 43-s?
14 fotografiul suraTs sigrZiT 5 sm da siganiT 3 sm
uCveneben ekranze. ekranze suraTis sigrZe aris 1,5 m.
ipoveT:
a) suraTis gadidebis dros Sesabamis zomebis SAefardeba;
b) ekranze suraTis farTobi.
15 mocemulia, rom * aRniSnavs erT-erT moqmedebas
oTxi ZiriTadi ariTmetikuli moqmedebebidan ise, rom
nebismier n aranulovani ricxvisTvis sruldeba: n * 0=n
da n * n=0. romel ariTmetikul moqmedebas aRniSnavs * ?
234
4. funqciis mocemis xerxebi
funqciis ganmartebidan gamomdinare, funqcia mocemulad
CaiTvleba, Tu cnobilia is simravleebi, romelTa Sorisac unda
damyardes Sesabamisoba da mocemulia Sesabamisobis wesi.
magram rogor, ra xerxiT SeiZleba iyos gadmocemuli Sesabamisobis wesi?
gavecnoT zogierT maTgans.
1. wina paragrafSi vnaxeT, rom y=3x+1000, y=6x, y=x2 funqciebia.
aseT SemTxvevaSi amboben, rom funqcia analizuradaa mocemuli. formula ki gviCvenebs, Tu ra moqmedeba unda SevasruloT
argumentze, rom miviRoT funqciis Sesabamisi mniSvneloba.
funqciis formuliT mocemas funqciis mocemis analizur xerxsac uwodeben. funqciis formuliT mocemas is upiratesoba
aqvs, rom gansazRvris aridan aRebuli argumentis nebismieri
mniSvnelobisaTvis SegviZlia funqciis Sesabamisi mniSvnelobis povna. vTqvaT, funqcia mocemulia y =
povoT funqciis mniSvneloba, roca x=0; –3.
y(0) =
5
–3 + 3
5
rogorc vxedavT, x = –3-ze
gamosaxulebam azri dakarga
x+3
(ratom?).
maSasadame, argumentma ar SeiZleba miiRos -3-is toli mniSvneloba da Sesabamisad, y(–3)-ic ar arsebobs.
e. i. x = –3 funqciis gansazRvris areSi ar Sedis.
?
1
1
2. ϕ: R→ R
ϕ(x) = 2x – 7
3. g: R→ R
g(x) = x2 – 3
4. h(x) = x2 – 3
0 ≤ x ≤ 10.
5
formuliT. vix+3
5
2
=1
0+3
3
y(–3) =
1. f : R → R
f(x) = x + 3
y=f(x) funqciis
gansazRvris are
aris cvladis
yvela im mniSvne­
lobaTa simravle,
romelTaTvisac
f(x) gamosaxulebas
azri aqvs.
1
 ipoveT a) y =
; b) y =
; g) y =
funqciis gansaz3x–1
x–2
|x|–1
Rvris are.
 sabunebismetyvelo mecnierebebsa da teqnikaSi sidideebs Soris damokidebulebas xSirad cdis an dakvirvebis gziT amyareben da miRebuli monacemebis
safuZvelze adgenen cxrils. magaliTad, gamoTvlebis
Casatareblad mosaxerxebelia naturaluri ricxvebis kvadratebis cxrilis gamoyeneba. magram funqciis cxriluri xerxiT mocemisas cnobilia funqciis
mniSvnelobebi mxolod zogierT wertilSi, rac srulyofil warmodgenas ver gviqmnis funqciis Sesaxeb
(yovelTvis ver xerxdeba formulis Sedgenac, xSirad
ki arc aris amis aucilebloba).
235
V Tavi
ganvixiloT magaliTi.
x
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
y
0
-1
0
3
8
15
24
35
48
am cxrilis saSualebiT SegviZlia davaskvnaT:
Tu x=2, maSin y=3.
Tu x=6, maSin y=35 da a. S.
funqciis mocemis aseT xerxs cxriluri xerxi ewodeba.
?
gasaxseneblad!
 moifiqreT formula, romelic gamoxatavs cxrilSi mocemul
damokidebulebas.
 1-el naxazze gamosaxulia grafiki, romelic gviCvenebs dRe-Ramis ganmavlobaSi haeris temperaturis damokidebulebas droze.
sakoordinato si­
b­rtyeze mocemul
wirs, romelic
or sidides Soris
arsebul damokidebulebas gamoxatavs,
am damokidebulebis
grafiki ewodeba.
p,°C
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
t,sT
am grafikis saSualebiT SegviZlia drois nebismier momentSi
(0≤t≤24) vipovoT haeris temperatura. magaliTad, Tu ras udris
haeris temperatura 10 sT-ze (t=10).
abscisaTa RerZis t=10 wertilidan amave RerZisadmi aRvmarToT
marTobi grafikTan gadakveTamde. gadakveTis wertilis ordinata gviCvenebs saZiebel temperaturas. e. i. P=1°C.
1-eli naxazidan Cans, rom t cvladi mniSvnelobebs 0-dan 24-mde
(maTi CaTvliT) Rebulobs. t-s nebismier mniSvnelobas (naxazze)
Seesabameba grafikis erTaderTi wertili da maSasadame, temperaturis erTaderTi mniSvnelobac. e. i. es damokidebuleba fun­
qciaa.
amrigad, funqciis mocema SesaZlebelia grafikuladac.
236
4. funqciis mocemis xerxebi
magaliTi 1.
ganvixiloT f(x)=5x-1 formuliT mocemuli funqcia, sadac -7≤x≤5.
vipovoT funqciis is mniSvnelobebi, romlebic argumentis naturalur mniSvnelobebs Seesabameba.
amoxsna:
gansaxilvel magaliTSi funqciis gansazRvris area -7-dan 5-mde
(maTi CaTvliT) yvela ricxvisagan Semdgari simravle, romelTagan naturaluri ricxvebia 1, 2, 3, 4, 5. e. i. unda vipovoT f(1), f(2),
f(3), f(4) da f(5).
f(1) = 5 · 1 – 1 = 4
f(2) = 5 · 2 – 1 = 9
f(3) = 5 · 3 – 1 = 14
f(4) = 5 · 4 – 1 = 19
f(5) = 24
magaliTi 2.
ipoveT y=
8x + 3
funqciis gansazRvris are.
|x| – 2
amoxsna:
upirveles yovlisa, vipovoT cvladis yvela is mniSvneloba,
romelTaTvisac funqcia azrs dakargavs. aseTi iqneba x-is is mniSvnelobebi, romlebisTvisac wiladis mniSvneli gautoldeba 0-s.
e. i. |x|–2=0. amovxsnaT miRebuli gantoleba: |x|=2.
aqedan x=±2.
amrigad, funqciis gansazRvris area ±2-sgan gansxvavebuli yvela
ricxvisagan Semdgari simravle.
magaliTi 3.
funqcia y=2x+1 formuliTaa mocemuli. ipoveT x, Tu funqciis Sesabamisi mniSvneloba 6,2-is tolia.
amoxsna:
e. i. y=6,2. Tu CavsvamT y-is mniSvnelobas formulaSi, miviRebT:
6,2=2x+1
aqedan x=2,6. e. i. Tu y=6,2, maSin x=2,6.
SeavseT gamotovebuli adgilebi:
1. funqciis mocema SesaZlebelia: ? ; ? ; ? .
5
funqciis gansazRvris area cvladis yvela im mniSvnx2 – 4
elobaTa simravle, romelTaTvisac x2 – 4 ? 0.
2. y =
3. Tu f(x)=x–5, maSin a) f(0)= ? ;
b) f(9)= ? ;
g) f(256)= ? .
237
V Tavi
savarjiSoebi:
1 ipoveT Semdegi formuliT mocemuli funqciis gansazRvris
are:
a) y =
x
–4
–2
0
2
4
6
y=5x–1
2x + 5
;
7
b) y =
5x
;
x–2
g) y=2x3–7x+1;
d) y =
5x
.
4x2–9
2 funqcia mocemulia formuliT y=5x–1, –4≤x≤6. SeadgineT funqciis mniSvnelobaTa cxrili bijiT 2.
3 funqcia y=3, 5x–4 formuliTaa mocemuli. ipoveT
a) argumentis mniSvneloba, Tu funqciis Sesabamisi mniSvnelobaa 4; -3; 0,9; 2,5.
b) funqciis mniSvneloba, Tu argumentis Sesabamisi mniSvneloba tolia: 2-is; -1-is.
4 1-el naxazze mocemulia raRac funqciis grafiki. grafikis
mixedviT ipoveT:
a) y-is mniSvneloba, Tu x = –3; –1; 5; 4.
b) x-is mniSvneloba, Tu y = 1; –1; 2; 3.
nax. 1
5 funqcia mocemulia y=0,6x–2,4 formuliT. SeavseT cxrilis
carieli ujrebi.
x
y
5
1
3
4
-2
-10
0,6
-5
3,6
6 giorgis 10 lari hqonda. man iyida x saweri kalami, TiTo 80 TeTrad. ris Semdegac y lari darCa. gamosaxeT formuliT y, rogorc x-is funqcia. ipoveT:
a) am funqciis gansazRvris are;
b) funqciis mniSvneloba, roca x=2; 5; 6.
238
4. funqciis mocemis xerxebi
7 3 marts yvavilebis maRaziam 500 lari ivaWra. momdevno x dRis
ganmavlobaSi ki maRazia saSualod 300 lars vaWrobda. maRaziam
x+1 dRis ganmavlobaSi (3 martis CaTvliT) y lari ivaWra. gamosaxeT formuliT y, rogorc x-is funqcia. ra Tanxa hqonda navaWri maRazias pirveli:
a) 4 dRis; b) 7 dRis;
g) 30 dRis ganmavlobaSi?
8 Tbilisidan 500 km-iT daSorebuli punqtidan Tbilisis mimarTulebiT gamovida avtomobili, romelic moZraobda saSualod
60 km/sT siCqariT. x saaTis Semdeg avtomobili Tbilisidan y kmiT iyo daSorebuli. gamosaxeT formuliT y, rogorc x-is funqcia. ipoveT:
a) funqciis gansazRvris are;
b) ramden saaTSi Cavidoda avtomobili TbilisSi;
b) ramdeni saaTis Semdeg iyo avtomobili Tbilisidan daSorebuli 100 km-iT; 20 km-iT.
9 naxazze mocemulia giorgis simaRlis damokidebuleba missave wlovanebaze.
a) ipoveT, ra simaRlisa iyo giorgi 5 wlis asakSi;
b) ra asakSi iyo misi simaRle: 1,3m; 1,5m?
g) ra asakSi miaRwia ymawvilma maqsimalur simaRles?
d) rogor Seicvala misi simaRle:
1) 10-dan 15 wlamde;
2) 21-dan 25 wlamde?
10 nikam bankSi 1000 lari Seitana, romelsac
yovelwliurad 4% emateba (sawyisi Tanxis). ramdeni lari
eqneba nikas x wlis Semdeg? gamosaxeT nikas bankSi arsebuli y
Tanxa, rogorc x-is funqcia da upasuxeT Semdeg SekiTxvebs:
a) ramdeni lari eqneba nikas 3; 4; 5 wlis Semdeg?
b) ramdeni wlis Semdeg eqneba nikas bankSi 1100 lari? 1200 lari?
g) ramdeni wlis Semdeg SeZlebs nika bankidan gamoitanos
250 lari ise, rom bankSi kvlav 1000 lari darCes?
11
ipoveT ricxvi, romelic 7-jer metia Tavissave bolo cifrze.
g
12 aRadgineT magaliTi.
a) + 5* *84
***0
b) +** *
g) – 6*5*
*8*4
**8
2856
13 4 traqtori 8 dReSi xnavs 16 ha miwas. ramden dReSi moxnavs 6
traqtori 30 ha miwas?
239
V Tavi
5. funqciis grafiki
1. kvadratuli formis nakveTis gverdis sigrZe iyo xm. roca
TiToeuli gverdis sigrZe 1 m-iT gazardes miiRes nakveTi,
romlis farTobi y m2-ia. gamosaxeT formuliT y, rogorc x-is
funqcia. ipoveT miRebuli funqciis gansazRvris are.
advilad mixvdebiT, rom miviRebT y=(x+1)2 funqcias. avagoT fun­
qciis grafiki, risTvisac SevadginoT Sesabamisi cxrili.
y=(x+1)2
x
0
1
2
–1
–2
–3
y=f(x)
(0+1)2=1
(1+1)2=4
(2+1)2=9
(–1+1)2=0
(–2+1)2=1
(–3+1)2=4
(x; f(x))
(0; 1)
(1; 4)
(2; 9)
(–1; 0)
(–2; 1)
(–3; 4)
miRebuli (x:f(x)) wyvilebi movniSnoT marTkuTxa sakoordinato
sistemaSi da moniSnuli wertilebi SevaerToT wiriT. miviRebT
y=(x+1)2 funqciis grafiks.
SeniSvna: zemoT ganxilul amocanaSi mocemuli funqciis gansazRvris area dadebiT, x>0, ricxvTa simravle. Sesabamisi grafiki naxazze
gamuqebulia wiTlad.
marTkuTxa sakoordinato sibrtyis yvela (x;f(x)) wer­
tilTa simravles y=f(x) funqciis grafiki ewodeba.
magaliTi 1.
gasaxseneblad!
grafiki miT ufro
zusti iqneba, rac
met wertils movniSnavT marTkuTxa
sa­koordinato sis­
temaSi.
240
1-el naxazze gamosaxuli grafikis saSualebiT ipoveT:
a) funqciis mniSvneloba, Tu x=1,5;
b) argumentis mniSvneloba, Tu y=4.
amoxsna:
a) abscisaTa RerZis im wertilze, romlis abscisaa 1,5, gavataroT x RerZis marTobuli (ordinatTa RerZis paraleluri) wrfe
grafikis gadakveTamde da vipovoT gadakveTis wertilis ordinata (miaxloebiT. igi naxazze naCvenebia cisferi isriT). miviReT
y(1,5)≈6,3.
b) y RerZis im wertilze, romlis ordinataa 4, gavataroT x RerZis paraleluri (y RerZis marTobuli) wrfe. igi grafiks gadakveTs or wertilSi, romelTa abscisebi daaxloebiT 1-isa da -3-is
tolia (naxazze naCvenebia Savi isriT).
e. i. Tu y=4, maSin x1=1 da x2 = –3.
magaliTi 2.
mdebareobs Tu ara: a) A(4;2); b) B(–1;4) wertilebi y = 2x–6 formuliT mocemuli funqciis grafikze?
y = 2x–6 funqciis grafikis ageba da TvalsaCinod Semowmeba, mdebareobs Tu ara A da B wertilebi am grafikze, ar gamogvadgeba,
radgan rogorc aRvniSneT, absolutur sizustes grafikis agebisas ver davicavT da naxazma (miT umetes, xeliT Sesrulebulma)
SesaZloa SecdomaSi Segviyvanos. amitom, modiT, gavixsenoT
grafikis ganmarteba, saidanac Cans, rom grafikze mdebare wertilTa abscisebi aris argumentis, xolo ordinatebi ki _ funqciis Sesabamisi mniSvnelobebi.
yuradReba!
marTkuTxa sakoordinato sistemaSi
mocemuli wiri rom
raime funqciis gra­
fiki iyos, y Rer­Zis
paraleluri wrfe
mas araumetes erT
wertilSi unda kveTdes.
amoxsna:
Tu Sesruldeba y(4)=2, maSin A wertili grafikze mdebareobs.
y(4) = 2∙4 – 6 = 2. e. i. (A 4;2) mdebareobs y = 2x–6 funqciis grafikze.
b) SevamowmoT igive winadadeba B wertilisTvisac.
miviReT 4 = 2∙(–1) – 6 mcdari toloba. e. i.BB wertili ar mdebareobs
y = 2x–6 funqciis grafikze.
Tu (a; b) wertili
mdebareobs y=f(x)
funqciis grafikze,
maSin Sesruldeba
b=f(a).
SeavseT gamotovebuli adgilebi:
1. Tu f(1)=3, maSin wertili (1;3) ? y = f(x) funqciis grafikze.
2. Tu sakoordinato sibrtyeze mocemul wirs ? RerZis paraleluri romelime wrfe kveTs ? wertilSi, maSin es wiri ar iqneba
raime funqciis grafiki.
3. y=f(x) funqciis grafiki aris yvela (x;
blioba.
?
) wertilTa erTo-
4. Tu f(x)=2x+3, maSin f funqciis grafikze mdebareobs wertili
(1; ? ); (–3; ? ); ( ? ;7).
241
V Tavi
savarjiSoebi:
1 naxazze mocemuli wirebidan romeli warmoadgens funqciis
grafiks?
a)
b)
g)
d)
e)
v)
2 CamoayalibeT, ra SemTxvevaSi ar iqneba marTkuTxa sakoordinato sibrtyeSi mocemuli wiri raime funqciis grafiki?
3 funqcia mocemulia y=
5
formuliT, sadac 0≤x≤5. SeavseT
x+1
cxrili da aageT am funqciis grafiki.
x
y
0
1
2
3
4
5
5x – 1
4 ekuTvnis Tu ara
formuliT mocemuli funqciis grafiks
2x + 1
Semdegi wertilebi: A(0;–1); B(2;3); C(2;1,8); M(–1;6); K(–1;–6).
5 naxazze mocemuli wirebidan romelia funqciis grafiki (pasuxi
daasabuTeT).
a) b)
es wertili
grafiks ar
ekuTvnis
g) es wertili
grafiks
ekuTvnis
242
d) e)
5. funqciis grafiki
6 cxrilSi mocemulia haeris temperaturis damokidebuleba droze 27 ianvris dRis 12 saaTidan 24 saaTamde bijiT 2. aageT Sesabamisi grafiki.
t 12 14 16 18 20
22
24
p° 1° 2,5° 0,9° 0° –1° –2,5° –3°
7 mocemulia A(-4;-2), B(-1;5), C(2;4), D(5;-3) wertilebi. aageT ABCD
Dtexili. grafikis mixedviT ipoveT: a) sakoordinato RerZebTan gadakveTis wertilTa koordinatebi; b) im wertilTa ordinatebi, romelTa abscisebi -2; 0,5-is tolia; g) mdebareobs Tu
ara M(-3;0), N(4;2), K(1;3) wertilebi texilze?
8 daadgineT romelia qvemoT mocemuli funqciebis Sesabamisi
grafiki:
y
a) y
b)
3
2
1
-4 -3 -2 -1 0
-1
-2
-3
3
2
1
1 2 3
x
y
g)
-4 -3 -2 -1 0
y
d)
x
-3 -2 -1 0
-1
-2
-3
1 2 3
A. f : x → x
x
B. g: x → –x
C. φ: x → x2
D. p : x → |x|
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3
x
9 dawereT formula, romliTac moicema funqcia:
a) nebismier ricxvs SevusabamoT gaorkecebuli es ricxvi Semcirebuli 5-iT.
b) ricxvs SevusabamoT am ricxvis kubi.
g) ricxvs SevusabamoT am ricxvis Sebrunebuli ricxvi.
d) ricxvs SevusabamoT am ricxvis mopirdapire ricxvi gadidebuli 1-iT.
10 ipoveT 8 momdevno mTeli ricxvi, romelTagan pirveli samis
jami bolo 5-is jamis tolia.
11
g
ojaxi RamiT aRmoCnda xidTan. mamas SeuZlia xidze gadavides 1
wuTSi, de das _ 2 wuTSi, Svils _ 5 wuTSi, bebias ki _ 10 wuTSi.
maT aqvT mxolod erTi fanari, amasTan, xidi uZlebs mxolod
or adamians. aRwereT rogor unda gadalaxon maT xidi 17 wuTSi. (roca gadadian orni, midian am oris siCqaridan umciresiT).
12 gaamartiveT gamosaxuleba: a) (1–2b)(1+2b+4b2)(1+8b3);
b) (a+3)2 – 6(a+3) – 16a; g)
(
)
1 – a2 1 – b2
a
·
1+
.
1 + b a + a2
1–a
243
V Tavi
6. paraleluri gadatana.
RerZuli simetria,
centruli simetria
1. marTkuTxa sakoordinato sibrtyeSi aiReT A(1;1)
da B(2;4) wertilebi. TiToeuli wertilis abscisa gaadideT 5 erTeuliT, xolo ordinata _ 2 erTeuliT.
aageT mocemuli AB da miRebuli A1B1 monakveTi.
aCveneT: a) ∆AMA1 = ∆BKB1 ;
b) AA1 = BB1 ;
g) AA1 || BB1 ;
d) AB = A1B1 ;
e) AB || A1B1 .
B1
B
4
A1
K
M
A
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2. 1-el amocanaSi ganxiluli gardaqmna CaatareT ∆ABC-sTvis, Tu
C(5;–2), A(1;1); B(2;4), Tan ise, rom: A → A1
B → B1
C → C1 .
● iqneba Tu ara ∆ABC = ∆A1B1C1 toloba samarTliani.
geometriul gardaqmnas, romlis drosac figuris nebismier
or wertils Soris manZili ar icvleba, moZraoba ewodeba.
?
Tqven ukve gaecaniT fFun­
qciis ganmartebas.
f : x → x–2 _ ricxvs Seesabameba masze 2-iT naklebi ricxvi. geometriaSi
ki gansxvavebiT ricxviTi
funqciebisa ganixileba
sxva
saxis
funqciebi,
romelTac geometriuli
gardaqmnebi ewodebaT.
geometriuli gardaqmne­
bis dros yovel wertils
Seesabameba wertili.
Tu f geometriuli garda­
qmnisas A wertils Seesabameba A1 wertili, weren:
f
A → A1 , an A →
A1.
A1-s A wertilis saxes,
xolo A-s A1-is winasaxes
uwodeben.
244
 iqneba Tu ara Tqvens mier zemoTganxiluli gardaqmna moZraoba?
B
F
B1
A1
A
C1
B1
C
C1
F1
A1
F2
● furcelze gamovsaxoT F figura. davadoT kalka da masze gadavxazoT F figura. amis Semdeg kalkis firceli gadavitanoT
da davdoT sadme, Tundac ukuRma mxridanac.
F → F1,
F1 → F2
aseTi gardaqmnis Sedegad figuris nebismier or wertils Soris
manZili SenarCunebulia.
gavecnoT moZraobis zogierT saxes:
1. paraleluri gadatana
paraleluri gadatanisas figuris yoveli wertili gadadgildeba
raime mocemuli wrfis paralelurad erTi da imave mimarTulebiT,
erTsa da imave manZilze.
?
 rogor fiqrobT, paragrafis dasawyisSi mocemul
amocanaSi moxda Tu ara ganxiluli gardaqmniT AB
monakveTis, ABC samkuTxedis paraleluri gadatana? pasuxi
daasabuTeT.
cxadia, paraleluri gadatanis dros figuris nebismier or wertils Soris manZili ar icvleba – para­leluri gadatanisas miiReba
mocemuli figuris toli figura.
 SeasruleT zemoTganxiluli 1-eli savarjiSo im SemTxvevaSi, Tu TiToeuli wertilis:
a) abscisa Semcirdeba 3-iT, ordinata ki gaizrdeba 2-iT;
b) abscisa Semcirdeba 7-iT, ordinata ki _ 4-iT;
g) abscisa gaizrdeba 8-iT, ordinata Semcirdeba 6-iT.
daukvirdiT miRebul Sedegebs. ra aqvT saerTo mocemul
AB da miRebul A1B1 monakveTs (TiToeul SemTxvevaSi)
da riT gansxvavdebian erTmaneTisgan?
B
3
A
6
)
x " x+6
y " y+3
paraleluri gada­ta­ni­sas figuris yoveli wer­­­tilis abscisa
erTi da imave a ric­xviT icvleba,
aseve ordinatac erTi da imave b ricxviT icvleba.
SesaZlebelia, a da b ric­xvebi toli ric­xvebi iyos.
x " x+a
)
paraleluri gadatanis formulebia.
y " y+b
2. RerZuli simetria
ganvixiloT aseTi gardaqmna:
avagoT MN monakveTi, sadac M(1;2), N(3;5). Sevcva­
loT abscisebi mopirdapire ricxvebiT: M1(–1;2),
N1(–3;5). davxazoT M1N1 monakveTi. imave sakoordinato sibrtyeSi avagoT M2N2 monakveTi, romlisTvisac M da N wertilebis ordinatebi SevcvaloT
mopirdapire ricxvebiT M2(1;–2), N1(3;–5).
?
N1
M1
–3
–1
 a) ra aqvT saerTo da riT gansxvavdebian
MN, M1N1 da M2N2 monakveTebi?
b) aris Tu ara es gardaqmna moZraoba?
pasuxi daasabuTeT.
N
5
M
1
M2
–5
nax. 1
3
N2
245
V Tavi
A(a;b) da
A 1 (–a;b) Ox
RerZuli
simetriiT
RerZis mimarT:
A(x;y) → A1(x;–y) da
simetriuli
wertilebi
moicema
formuliT
y RerZis mimarT
)
x"x
y "- y
Oy RerZis mimarT:
A(x;y) → A2(–x;y) da
moicema formuliT
)
x "- x
y"y
A da B wertilebs ewodeba simetriuli a wrfis mimarT, Tu a
wrfe AB monakveTis Sua wertilze mis marTobulad gadis.
a wrfes ki A da B wertilebis simetriis RerZs vuwodeben.
cxadia, ganxilul amocanaSi M1 da N1 wertilebi simetriulia M da
N wertilebis ordinatTa RerZis mimarT, xolo M2 da N2 wertilebi
M da N wertilebisa – abscisaTa RerZis mimarT.
vityviT, rom F1 da F2 figurebi simetriulia x(y) RerZis mimarT,
Tu F1 figuris nebismieri A(x;y) wertilis simetriuli wertili
x(y) RerZis mimarT iqneba F2 figuris wertili da piriqiT.
simetriuli wertilebi
y RerZis mimarT
x RerZis mimarT
M(2;3)
3
A(a;b) da A 1 (–a;b)
ùùù
1
A(2;3)
3
2
2
simetriuli wertilebi
y RerZis mimarT
1
1
-2
A(a;b) da A 1 (a;–b)
-1
0
-1
0
1
1
2
-1
2
-2
À)
simetriuli wertilebi
x RerZis mimarT
-3
ùùù
Á)
simetriuli figurebi
y
RerZze mdebare wertilebis simetriuli
wertilebi imave RerZis mimarT TviT es
wertilebia.
O
y
x
(-a;b)
(–a;b)
(a;b)
x
a wrfis mimarT
246
a wrfis mimarT
6. paraleluri gadatana. RerZuli simetria, centruli simetria
3. centruli simetria
rogor gardaqmnas miviRebT, Tu sakoordinato sibrtyeSi mocemuli figuris yoveli wertilis orive koordinats mopirdapireTi
SevcvliT.
P
5
ganvixiloT PK monakveTi: P(2;5), K(4;3).
avagoT P1K1 monakveTi, sadac P1(–2;–5) da K1(–4;–2).
?
1.
2.
daamtkiceT, rom PP 1 da KK 1 monakveTebisTvis O wertili Sua wertilia;
PK da P1K1 monakveTebis sigrZeebi
tolia.
K
–4
K1
–2
P1
2
4
–5
nax. 2
vityviT, rom A da B wertilebi simetriulia O wertilis
mimarT, Tu O wertili AB monakveTis Sua wertilia. O wer­
tils A da B wertilebis simetriis centrs vuwodebT.
imisaTvis, rom avagoT A wertilis simetriuli B wertili O
centris mimarT, saWiroa OA sxivis damatebiT sxivze gadavdoT
OB=OA monakveTi.
O­ wertils figuris simetriis centrs uwodeben, Tu am
figuris nebism­ieri wertilis simetriuli wertili O
centris mimarT, isev am figuris wertilia.
figuras, romelsac simetriis centri aqvs, centrul-sime­
triuli figura ewodeba.
vityviT, rom F1 da F2 figurebi simetriulia O centris mimarT,
Tu F1 figuris nebismieri A(x;y) wertilis simetriuli wertili
O centris mimarT iqneba F2 figuris wertili da piriqiT.
centruli
RerZze
mdebare
simetriwertilebis
isas
O(0;0)-is
simetriuli
mimarT:
wertilebi
A(x;y) → Aimave
(–x;–y)Re1
rZis
mimarT
TviT es
da
moicema
formuliT
wertilebia.
x "- x
)
y "- y
cxadia, me-2 naxazze P1K1 monakveTi simetriulia PK monakveTis O
centris mimarT.
247
V Tavi
 aageT A(a;b) wertilis simetriuli wertili jer Ox
(A→A1), Semdeg ki Oy RerZis (A1→A2) mimarT. ra SegiZliaT TqvaT A da A2 wertilebze, ra geometriuli
gardaqmnaa A
A →A2?
A(a;b)
amocana.
paraleluri gada­ta­
ni­sas figuris yvela
w e r ­­­t i l i s a b s c i s a
erTi da imave a ric­
xviT icvleba,
aseve ordinatac erTi
da imave b ricxviT
icvleba.
SesaZlebelia, a=b.
AB monakveTis paraleluri gadatanisas miiReba A1B1 mona­kveTi.
amasTan A(2;5), B(5;2), B1(3;5).
a) ipoveT A1 wertilis koordinatebi;
b) M(x;y) AB monakveTis Siga wertilia. ipoveT M wertilis Sesabamisi M1 wertilis koordinatebi mocemuli parale­luri gadatanisas.
amoxsna:
a) radgan B(5;2) gadavida B 1(3;5) wertilSi, e.i. x koordinati
Semcirda 2-iT, xolo y koordinati gaizarda 3-iT. e.i. mocemuli
paraleluri gadatanis formulebia:
x " x-2
)
y " y+3
amitom A1 wer­tilis koordinatebi iqneba A1(2–2; 5+3). e.i. A1(0; 8).
b) radgan B(5;2)→B1(3;5), e.i. B1(5–2; 2+3), amitom
M(x;y)→M1(x–2;y+3).
SeavseT gamotovebuli adgilebi:
1.
3.
figuris paraleluri gadatanisas yvela wertilis x
koordinati ? ricxviT icvleba.
figuris paraleluri gadatanisas yvela wertilis y
koordinati ? ricxviT icvleba.
figuris paraleluri gadatanisas ar icvleba misi ? da ? .
4.
wrfis nebismieri wertili am wrfis ? .
5.
AB monakveTis O Siga wertili warmoadgens AB monakveTis
simetriis centrs, Tu OA= ? .
2.
248
6. paraleluri gadatana. RerZuli simetria, centruli simetria
savarjiSoebi:
1 ipoveT x da y, Tu M(–1;2)→M 1(1;3) paraleluri gada­t anisas
miiReba.
a) A(0;1)→A1(x;y);
b) B(1;0)→B1(x;y).
2 paraleluri gada­tanisas A(x;y)→B(–2;5) ipoveT A wertilis
koordinatebi, Tu paraleluri gadatanis formulebia:
a) )
x " x-1
;
y " y+3
b) )
x " x+5
;
y " y-3
g) )
x " x+4
.
y " y+4
3 ipoveT M(x;y), Tu is miiReba A(–2;1) wertilis paraleluri gada­
taniT:
a) )
x " x+2
;
y " y-1
b) )
x " x - 0, 5
;
y " y + 0, 1
g) )
x " x+5
.
y " y-8
4 AB monakveTis paraleluri gadatanisas miiReba A1B1 monakveTi.
ipoveT A1 wertilis koordinatebi, Tu A(2;3), B1(–5;7), B(2;2).
SeasruleT Sesabamisi naxazi.
5 ABC samkuTxedis paraleluri gadatanisas miiReba A 1B 1C 1
samkuTxedi. ipoveT B da C wertilis koordinatebi, Tu A(2;2),
A1(3;4), B1(0;0), C1(4;2). SeasruleT Sesabamisi naxazi.
6 mocemulia A(0;3), B(–5;7), C(–1,5;–2) da M(3;–4) wertilebi. ipoveT
maTi simetriuli wertilebi:
a) abscisaTa RerZis mimarT;
b) ordinatTa RerZis mimarT.
gasaxseneblad!
A
K
a
SeasruleT Sesabamisi naxazi.
7 mocemulia A(0;5) da B(3;0). daxazeT AB monakveTis simetriuli
monakveTi: a) x-RerZis mimarT; b) y-RerZis mimarT.
8 aageT AB monakveTis simetriuli monakveTi a wrfis mimarT, Tu:
a) AB monakveTs saerTo wertili ar gaaCnia a wrfesTan;
b) A∈a da B∉a;
A1
A wertili simetriulia A1 wer­tilisa a
wrfis mimarT, Tu
AA1⊥a da AK=KA1.
g) Tu AB monakveTi kveTs a wrfes.
9 mocemulia A( 3; 7) da B (-2; 1) wertilebi. ipoveT AB monakveTis
simetriuli A1B1 monakveTis boloebis wertilebis koordinatebi:
a) x RerZis mimarT; b) y RerZis mimarT.
SeasruleT Sesabamisi naxazi.
10 mocemulia A(4;1), B(0;1) da C(0;7). aageT ABC samkuTxedis simetriuli samkuTxedi: a) x-RerZis mimarT; b) y-RerZis mimarT.
249
V Tavi
11
daasaxeleT ramdenime wertili, romelTa simetriuli wertilebi:
a) x-RerZis mimarT;
b) y-RerZis mimarT – TviT es wertilebia.
12* marTkuTxa sakoordinato sibrtyeSi daxazeT raime wiri (wrfe),
romlis simetriis RerZia: a) x-RerZi; b) y-RerZi.
13* mocemulia A(-1;3) da B(-2;-1) wertilebi. ipoveT iseTi A1B1
monakveTis boloebis koordinatebi, romelic miiReba ori
simetriiT. a) jer x RerZis, xolo Semdeg y RerZis mimarT;
b) jer y RerZis, xolo Semdeg x RerZis mimarT.
13 ricxviT RerZze ipoveT:
a) A(2) wertilis simetriuli A1 wertili saTavis mimarT;
b) A(5) wertilis simetriuli wer­­tili B(3) wertilis mimarT.
14 ipoveTY A(4;5) wertilis simetriuli wertilis koordinatebi:
a) koor­dinatTa saTavis mimarT; b) x RerZis mimarT; g) y RerZis
mimarT. SeasruleT Sesabamisi naxazi.
15 mocemulia A(3;7) da B(–2;1) wertilebi. ipoveT AB monakveTis
sime­triuli A1B1 monakveTis boloebis wertilTa koor­
dinatebi:
a) koordi­natTa saTavis mimarT;
b) x RerZis mimarT;
g) y RerZis mimarT. SeasruleT Sesabamisi naxazi.
16 mocemulia A(–1;3) da B(–2;–1) wertilebi. ipoveT iseTi A1B1
monakveTis boloebis koordinatebi, romelic miiReba ori
momdevno simetriiT: a) jer x RerZis, xolo Semdeg y RerZis
mimarT; b) jer y RerZis, xolo Semdeg x RerZis mimarT.
17 ipoveT iseTi A1 wertilis koordinatebi, romelic miiReba
A(3;–2) wer­tilidan sami momdevno simetriiT; jer x RerZis,
Semdeg y RerZis, xolo Semdeg koordinatTa saTavis mimarT.
18 A1B1 monakveTi miiReba AB monakveTisagan ori momdevno si­
metriiT; jer x RerZis, xolo Semdeg koordinatTa saTavis
mimarT. ipoveT A1 da B1 wer­tilebis koordinatebi, Tu A(3;1);
B(–5;–2).
250
6. paraleluri gadatana. RerZuli simetria, centruli simetria
19* daamtkiceT, rom centruli simetria SeiZleba Seicvalos
ori momdevno simetriiT, jer x da mere y RerZis an jer y da
mere x RerZis mimarT.
20 ujrebian furcelze gadaxazeT naxazi da aageT
ABC samkuTxedis simetriuli samkuTxedi:
a) koordinatTa saTavis mimarT;
b) x RerZis mimarT;
B
A
g) y RerZis mimarT.
21 daamtkiceT igiveoba:
C
5
g
a) (y4+y3)(y2–y)=y3(y2+1)(y–1);
b) (a2+3a)(a2+3a+2)=a(a+1)(a+2)(a+3);
g) (a2+ab+b2)(a2–ab+b2)=a4+a2b2+b4.
22 a-s ra mniSvnelobebisTvisaa (x3+4x2–17x+41)(x+a) namravli
igivurad toli mravalwevris, romelic ar Seicavs x3?
23 daamtkiceT, rom, Tu b+c=10, maSin (10a+b)(10a+c)=100a(a+1)+bc.
251
V Tavi
7. wrfivi funqcia
1. pirdapirproporciulobis funqcia
1. Tbilisidan 60km/sT siCqariT gavida avtomanqana.
a) dawereT funqcia f: dro → gavlili manZili.
b) ipoveT avtomobilis mier gavlili manZili, roca t=2sT; 4sT;
4,5sT.
g) aageT miRebuli funqciis grafiki.
d) gaeciT pasuxi a), b) da g) SekiTxvebs, Tu avtomobili moZraobs
40km/sT, 80km/sT siCqariT.
2. rogori damokidebuleba arsebobs gavlil manZilsa da im dros
Soris, ra droSic gaiara es manZili sxeulma? gavlil manZilsa da
siCqares Soris?
3. aageT Semdeg funqciaTa grafiki f : x → 0,3x; g : x → –5x.
● ra aqvT saerTo da riT gansxvavdebian es grafikebi erT­ma­
neTisagan?
y = kx,
y1 = kx1
y2 = kx2
y1 x1
da
y2 = x2
x da y cvladebs
Soris pirdapir­pro­
porciuli damokidebulebaa.
Tu
maSin
y = kx
x
y
0
0
1
k
252
y=kx formuliT mocemul funqcias, sadac x damoukide­
beli cvladia da k nulis aratoli ricxvi, pirdapirpro­
porciuloba ewodeba.
y=kx funqciis grafiki wrfea.
es winadadeba jerjerobiT daumtkiceblad miviRoT. geometriidan, albaT gaxsovT, rom wrfe ori wertiliT ganisazRvreba.
amitom y=kx funqciis grafikis asagebad sakmarisia vipovoT
grafikis romelime ori wertili da Semdeg saxazaviT maTze wrfe
gavataroT. advilad mixvdebiT, rom wertilebi (0;0) da (1;k) mdebareobs grafikze. aqedan, Tu k>0, maSin grafiki mdebareobs I da
III sakoordinato meoTxedebSi, Tu k<0, maSin grafiki II da IV meoTxedebSia.
1. erTsa da imave sakoordinato sistemaSi aageT Semdeg
funqciaTa grafikebi:
a) y = 0,5x da y = 2x
b) y = –0,5x da y = –2x.
rogori mdebareoba aqvT am funqciaTa grafikebs a) erTmaneTis;
b) sakoordinato RerZebis mimarT?
y = –3x
y=3x
y = –0,8x
y = 0,8x
imedia davaleba sworad gaiazreT, maSasadame,
Tu k>0, maSin y=kx funqciis grafiki ox sxivTan zeda naxe­
var sibrtyeSi maxvil kuTxes adgens, romlis gradusuli
zoma miT metia, rac ufro metia k koeficienti.
Tu k<0, maSin y=kx funqcia ox sxivTan zeda naxevarsibrtye­
Si blagv kuTxes adgens, romlis gradusuli zoma miT me­
tia, rac ufro metia k koeficienti.
rac ufro metia |k|,
miT „axlosaa~ y=kx
funqciis grafiki y
RerZTan.
e. i. y=kx wrfis daxra ox sxivisadmi damokidebulia k koeficien­
tze, mas daxris koeficients uwodeben.
1. aCveneT, rom y = kx da y = –kx funqciaTa grafikebi simetriulia
y RerZis mimarT (aseve x RerZis mimarT).
2. vTqvaT, A(x1;y1) da B(x2;y2) aris y = kx funqciis grafikis ori
nebismieri wertili, amasTan x1<x2. rogori damokidebulebaa y1-sa
da y2-s Soris? (ganixileT ori SemTxveva 1) k>0; 2) k<0).
gavixsenoT:
A(a;b) da B(–a;b)
simetriuli wer­ti­­­lebia
Tu kargad gaviazreT mocemuli davaleba, maSin SegviZlia
davaskvnaT, rom:
roca k>0, maSin x-is mniSvnelobebis zrdasTan erTad izrdeba
funqciis Sesabamisi mniSvnelobebi. aseT SemTxvevaSi amboben,
rom funqcia zrdadia.
roca k<0, maSin x-is mniSvnelobis zrda iwvevs funqciis Sesabamisi
mniSvnelobis klebas – funqcia klebadia.
y RerZis mi­marT.
A(a;b) da C(a;–b)
simetriuli wertilebia
x RerZis mimarT.
253
V Tavi
magaliTi 1.
cnobilia, rom pirdapirproporciulobis grafikze mdebareobs
A(2;3) wertili. a) mdebareobs Tu ara imave funqciis grafikze
B(–3;–4,5) wertili? b) aageT am funqciis grafiki.
3 = –4,5
2
–3
e.i. A da B
wertilebi erT
wrfeze mdebareobs.
amoxsna:
a) radgan A(2;3) wertili mdebareobs y=kx funqciis grafikze,
amitom unda Sesruldes toloba 3=2k. miviRebT: k=1,5. aqedan
y=1,5x. SevamowmoT, mdebareobs Tu ara y=1,5x funqciis grafikze
B(–3;–4,5) wertili. –4,5 = –1,5·3. e.i. B wertili mdebareobs grafikze.
b) SevadginoT cxrili:
y = 1,5x
x
y
2
3
0
0
y
3
giWirT, mxolod ori wertiliT, saxazavis
gareSe, wrfis zustad ageba?
2
3
maSin scadeT ase: y =
2
3
–2
02 2
4
6
x
3
x.
2
ipoveT erTi romelime wertili mTeli koordinatebiT (wertilis abscisa unda iyos 2-is
jeradi). aseTia A(2;3) Semdegi wertili ki sakoordinato sistemaSive moZebneT: 2 ujra
marjvniv, 3 ujra zeviT, imave wesiT SegiZliaT
ipovoT kidev erTi wertili da a.S.
SeavseT gamotovebuli adgilebi:
1. y=kx funqciis grafiki moTavsebulia ? da ? meoTxedebSi,
roca k>0 da Tu k<0, maSin moTavsebulia ? da ? meoTxedebSi.
2. y=kx funqciis grafiki zrdadia, roca k
roca k ? .
? , xolo klebadia,
3. wertili (2;5) mdebareobs y=kx funqciis grafikze, sadac k= ? .
savarjiSoebi:
1 grafikis augeblad daadgineT Semdegi wertilebidan romeli
1
ekuTvnis y = x funqciis grafiks?
2
1 1
A(4;2)
B` ; j
C(0,5;1)
D(0,5;0,25)
2 8
254
7. wrfivi funqcia
2 wertili (15;3) mdebareobs y=kx funqciis grafikze. mdebareobs
Tu ara imave grafikze wertili:
3 3
1
3
1 1
a) ` ; j ;
b) `3; j ;
g) `3; j ;
d) ` ; j .
5 25
15
5
8 40
y
3 dawereT formulebi, romlebiTac
miiReba naxazze mocemuli fun­qci­
ebi.
2
–3
0
1 2
x
4 grafikis augeblad SeamowmeT, gadis Tu ara y=-3x funqciis grafiki:
a) A(1;-3); b) B(-2;5);
g) C(-5;15);
d) D(2,1;6).
5 wertilebi a) A(5;7,5); B(2;3); C(-1;-1,5); b) A(3;5); B(2;4); C(-1;-2);
1
5
g) A(–2;2,4); B` ; - 2j ; C` ; 0, 6j ; ekuTvnis y=f(x) funqciis grafiks.
2
3
grafikis augeblad daadgineT, aris Tu ara mocemuli funqcia
pirdapirproporciuloba (pasuxi daasabuTeT)?
6 gadaxazeT qvemoT mocemuli cxrili rveulSi da SeavseT carieli ujrebi imis gaTvaliswinebiT, rom y=f(x) pirdapirproporciuloba:
a)
x
–2
y
–1
–1
0
1
2
b)
x
–0,2 –0,1
y
0,8
0
1,4
2,5
7 gamoTvaleT: a) 1 – 3 + 5 – 7 + ... + 93 – 95 + 97 – 99;
b) 10 – (10 – (10 – (10 – 9))));
g) 1000000 – (1000000 – (1000000 – (1000000 – (1000000 – 999999)))).
g
8* 180 daSaleT iseT sam, erTmaneTis aratol Sesakrebad, romelTagan nebismieri oris jami iyofa mesameze.
9 ipoveT Ygantolebis amonaxsenTa simravle:
a)
2x – 1
x+1
3(1 – x)
–
=
;
5
5
10
b) 4x3 – 9x=0.
amocana damoukidebeli kvlevisTvis:
10 a) aageT y = –x funqciis grafiki.
b) aageT wrfe, romelic miiReba y = –x funqciis grafikis paraleluri gadataniT y RerZis paralelurad –2; 3,5; 2; –4 erTeuliT.
255
V Tavi
2. y=kx+b wrfivi funqcia
goridan 30km-iT daSorebuli soflidan (goris dasavleTiT)
dasavleTis mimarTulebiT gaemarTa avtomobili 60km/sT siCqariT.
a) dawereT funqcia, romelic gviCvenebs avtomanqanis goridan
daSorebis damo­kidebulebas moZraobis droze da aageT Sesabamisi grafiki.
b) ipoveT daSoreba goridan, roca t=3 sT; 4 sT.
g) gaeciT amocanaSi dasmul SekiTxvebs pasuxi, Tu avtomobili
imoZravebda 40km/sT; 80km/sT siCqariT?
d) ra saerTo TvisebiT xasiaTdeba miRebuli grafikebi da riT
gansxvavdebian isini erTmaneTisagan?
avagoT y=2x+2, y=2x–3 funqciaTa grafikebi. SevadginoT cxrili
x
–3
–2
–1
0
1
2
3
y = 2x
–6
–4
–2
0
2
4
6
y = 2x + 2
–4
–2
0
2
4
6
8
y = 2x – 3
–9
–7
–5
–3
–1
1
3
cxrilidan advili SesamCnevia, rom x-is nebismieri mniSvnelo­bisaTvis y = 2x + 2 funqciis mniS­vnelobebi 2 erTeuliT metia, xolo
y = 2x – 3 funqciis mniS­vnelobebi 3 erTeuliT naklebia y = 2x funqciis Sesabamis mniSvnelobebze. e.i. Tu y = 2x wrfes (mis yovel
wertils) gadavitanT y RerZis paralelurad
2 erTeuliT zeviT, miviRebT y = 2x + 2 funqciis grafiks, xolo y = 2x wrfis (misi yoveli
wertilis) y RerZis paralelurad –3 erTeuliT (qveviT) gadataniT miviRebT y = 2x – 3
fun­qciis grafiks.
wrfivi funqciis
grafiki wrfea. funqcia, romlis grafikic wrfea, wrfivi
funqciaa.
256
y=kx+b saxis formuliT mo­
cemul funqcias, sadac x da­
moukidebeli cvladia, k da b
ki nebismieri ricxvebi, wrfivi
funqcia ewodeba.
7. wrfivi funqcia
maSasadame, Tu SevadarebT f(x) = kx
da g(x) = kx + b funqciaTa grafikebs
vnaxavT: g(x) funqciis mniSvneloba b
erTeuliT gansxvavdeba f(x) funqciis
mniSvnelobisagan x-is erTsa da imave
mniSvnelobisaTvis da aqedan gamomdinare g(x) = kx + b funqciis grafiki
miiReba f(x) = kx funqciis grafikis
paraleluri gadataniT y RerZis gaswvriv b erTeuliT (zeviT, Tu b>0 da
qveviT Tu b<0).
kx+b
y=kx wrfis
 x1 = x

 y1 = y + b
=
g(x)
b
b
b
x
k
f(x)=
paraleluri
gadataniT
miiReba
y=kx+b wrfe.
0
aCveneT, rom y = kx da y = kx + b funqciaTa grafikebi paraleluri wrfeebia.
k koeficienti wrfis daxris koeficientia. y = kx + b wrfe
y RerZs kveTs (0;b) wertilSi.
?
 CamoTvlili funqciebidan romel funqciaTa grafikebia erTmaneTis paraleluri da romlebi _ araparaleluri?
y = –3x–1; y = 5x–2; y = –3x+4; y = –5x; y = 5x+1.
y=kx+b wrfivi funqciis kerZo SemTxvevebi:
1. Tu b=0 da k≠0, maSin miviRebT y=kx pirdapirproporciulobas.
2. Tu k=0 da b≠0, maSin miviRebT y=0·x+b anu y=b funqcias.
e. i. x-is nebismieri mniSvnelobisaTvis funqciis mniSvneloba b-s tolia.
y=b funqciis grafiki abscisaTa RerZis paraleluri
wrfea, romelic ordinatTa RerZs (0; b) wertilSi kveTs.
^3. Tu k=0 da b=0, miviRebT y=0 funqcias.
y=0 funqciis grafiki x RerZia.
naxazze mocemulia y=0,5x–2 da y=–2x–2-s funqciaTa
grafikebi:
a) ipoveT funqciis gansazRvris are; mniSvnelobaTa are.
b) daadgineT x-is zrdasTan erTad
izrdeba Tu mcirdeba fun­qciis Sesabamisi mniSvnelobebi.
g) ipoveT RerZebTan gadakveTis
wertilebi.
d) daadgineT, x-is ra mniSvnelobebisaTvis
Rebulobs
funqcia
dadebiT, uaryofiT mniSvnelobebs.
257
V Tavi
CamovayaliboT y=kx+b wrfivi funqciis Tvisebebi:
1. gansazRvris are: D(y)=R.
2. mniSvnelobaTa simravle: E(y)=R.
3. RerZebTan gadakveTis wertilebia: Tu x=0 ⇒ y=b — A(0;b).
Tu y=0 ⇒ x= – b — B(– b ;0).
k
a) Tu k>0
k
b) Tu k<0
g) Tu k=0
b
x = - ricxvi
k
y=kx+b funqciis
nulia. a ricxvs f(x)
funqciis nuli ewodeba, Tu f(a)=0
4. funqcia zrdadia.
4. funqcia klebadia. 4.funqcia mudmigrafiki ox sxivTan
grafiki ox sxivTan
via. grafiki paraadgens maxvil kuTxes. adgens blagv kuTxes. leluria x RerZis.
vambobT, rom funqcia
zrdadia (klebadia),
Tu x-is zrdasTan erTad izrdeba (mcirdeba) funqciis Sesabamisi mniSvnelobebi
Tu daxris koeficientebi gansxvavebulia
k1≠k2, maSin wrfeebi
erTmaneTs kveTs.
x y
–1 3
3 –5
Tu daxris koeficientebi tolia k1=k2,
xolo b1≠b2, maSin
wrfeebi paraleluria.
Tu k1=k2 da b1=b2,
maSin wrfeebi emTxveva erTmaneTs.
magaliTi 1.
aageT y = –2x+1 funqciis grafiki, Tu –1 ≤ x ≤ 3.
amoxsna:
0
–5
258
3
radgan mocemuli funqciis gansazRvris are aris –1-sa da
3-s Soris (maTi CaTvliT) moTavsebuli ricxvebis simravle, amitom grafikis asagebad sa­survelia avirCioT (–1;*)
(3;*) wertilebi (Sua­ledis bolo wertilebi). saZiebeli
grafiki AB monakveTia.
7. wrfivi funqcia
magaliTi 2.
ipoveT y = –2x+3 funqciis grafikis sakoor­
dinato RerZebTan gadakveTis wer­tilTa
koordinatebi.
amoxsna:
wrfe abscisaTa RerZs kveTs wertilSi, romlis ordinata 0-is tolia _ B(x;0) da radgan
B grafikis wertilicaa, amitom misma koordinatebma unda daakmayofilos y = –2x+3 gantoleba.
e. i. 0 = –2x+3. (0=–2x+3) ⇔ (2x=3) ⇔ x= 3 .
2
wrfe ki ordinatTa RerZs, rogorc viciT, kveTs (0;y) wertil-Si,
e. i. Cvens SemTxvevaSi (0;3) wertilSi.
amrigad, y = –2x+3 wrfe sakoordinato RerZebs kveTs ( 3 ;0) da (0;3)
2
wertilebSi.
xSirad gvxvdeba situaciebi, rodesac funqcia mocemulia
ramdenime formuliT. ganvixiloT
magaliTi 3.
turistma gzis pirveli nawili gaiara 6 km/sT
siCqariT. Semdeg daisvena naxevari saaTi,
dasvenebis Semdeg gzis darCenili nawili
dafara 1 sT-Si 5 km/sT siCqariT.
SevecadoT, avagoT turistis mier gavli­li
manZilis droze damokidebulebis grafiki:
f: moZraobis dro → turistis daSoreba
sawyis wertilidan.
roca t icvleba 0-dan 1,5 sT-mde, maSin
turistis mier gavlili manZili moicema
formuliT: y=6t. 1,5 sT-dan 2 sT-mde turisti
isvenebs, e.i. siCqare 0 km/sT-ia, amitom es
manZili ucvlelia da tolia 9 km-s da roca
t icvleba 2 sT-dan 3 sT-mde manZili sawyis
wertilamde 9+5(t–2) km-ia. e.i. y=5t–1.
14
S, km
12
10
9
8
6
4
2
{
6t, Tu 0 ≤ t < 1,5
es SeiZleba ase Caiweros: y = 9, Tu 1,5 ≤ t ≤ 2
1
2
3
t, sT
5t–1, Tu 2 < t ≤ 3
naxazze mocemulia am funqciis grafiki.
magaliTi 4.
avagoT y=x+5|x| funqciis grafiki. gavaTavisufloT
funqcia modulis niSnisagan. modulis ganmartebis
safuZvelze miviRebT:
Tu x≥0, y=x+5x=6x, xolo Tu x<0, y = x–5x = –4x,
6x, Tu x≥0
e.i. y =
–4x, Tu x<0
{
6
4
2
–1
1
259
V Tavi
magaliTi 5.
funqcia mocemulia formuliT y =
{
–x+4, Tu x<0
x+4, Tu x≥0
CavweroT funqcia erTi formuliT da avagoT misi grafiki.
4
amoxsna:
modulis ganmartebis safuZvelze, SeiZleba CavweroT, rom
y=|x|+4.
naxazze mocemulia misi grafiki.
ganxilul magaliTebSi mocemuli funqciebis grafikebi Sedgeba wrfis
nawilebisagan. aseT funqciebs uban-uban wrfivi funqciebi ewodeba.
magaliTi 6.
dawereT y=g(x) funqcia, romelic miiReba f(x)=2x+3 funqciis
paraleluri gadataniT.
{
x → x–3
y → y+5
amoxsna:
paraleluri gadataniT wrfe gadadis missave paralelur wrfeSi. e.i.
g(x) = 2x + b. vipovoT g wrfis erTi romelime wertili. A(0;3) aris f wrfis
wertili. A(0;3) → A1(–3;8). A1 ki g wrfis wertili iqneba.
g(x) = 2x+b
⇒ 8 = –6 + b ⇒ b = 14. e.i. g(x) = 2x + 14.
A1 (–3;8)
{
)
SeavseT gamotovebuli adgilebi:
1. y = 7x + 5 wrfe miiReba, Tu y = 7x wrfes paralelurad gadavitanT
? erTeuliT zeviT, xolo y = 7x – 5 wrfis misaRebad y = 7x wrfe unda gadavitanoT ? erTeuliT ? ;
2. Tu funqciis grafiki aris wrfe, maSin is ? funqciaa da moicema formuliT
? ;
3. mocemulia sami wrfivi funqcia f(x)=3x ϕ(x)=3x+2 g(x)=l5x–4. am funqciaTa
grafikebidan paraleluria ? da ? wrfeebi, xolo ikveTeba ? da ? wrfeebi.
4. Tu k>0, maSin y=kx+b wrfe aucileblad gaivlis ? meoTxedebSi.
5. Tu k<0, maSin y=kx+b wrfe aucileblad gaivlis ? meoTxedebSi.
savarjiSoebi:
1 mocemuli grafikebidan romelia wrfivi funqciis grafiki?
2
260
funqcie­bi­dan romelia
wrfivi funqcia?
7. wrfivi funqcia
3 wrfivi funqcia mocemulia y = 4x – 7 formuliT, ipoveT:
a) y-is mniSvnelobebi, romelic Seesabameba x-is Semdeg mniSvnelobebs: 0; –3; 5; 2,5;
b) ipoveT x-is mniSvnelobebi, romelic Seesabameba y-is Semdeg
mniSvnelobebs –7; 0; 9,4; 5.
4 kvadratuli formis baRs, romlis gverdis sigrZe 12 m-ia,
gars erTnairi siganis biliki akravs. romelia wrfivi Semdegi funqciebidan:
f
a) bilikis sigane → didi kvadratis perimetri;
f
b) bilikis sigane → bilikis farTobi;
f
g) bilikis sigane → didi kvadratis farTobi
(pasuxi daasabuTeT).
5 aageT funqciis grafiki: 1) f:x → 1,5x+2;
grafikis saSualebiT ipoveT:
a) x, Tu f(x)=3; –4; 0; 2) f:x → –3x+4.
b) f(x) Tu x=2; –5; 1,2.
6 grafikis augeblad ipoveT:
a) y=3x–7;
b) y = –2,5x+4;
g) y = 5x+15;
d) y = –2x+8
funqciaTa grafikebis sakoordinato RerZebTan gada­kveTis
wertilTa koordinatebi.
x sm
swrafi ageba:
y = 3x + 2
2
1. movniSnoT A(–2;–1)
wertili.
2. meore mTelkoordinatebiani wertili
miiReba A wertilis
paraleluri gadataniT x RerZis gaswvriv
2 erTeuliT da y RerZis gaswvriv 3 erTeuliT.
gaixseneT y = 3 x + 2
2
wrfe (ix. gv.) da a.S.
y
7 grafikis augeblad daadgineT, Semdegi wertilebidan romeli mdebareobs y=2,5x – 4 funqciis grafikze:
A(100; 246);
B(–2; –9);
C(3;4);
D(–7; 15);
3
E(–6; –19).
2
3
8 grafikis augeblad daadgineT, mdebareobs Tu ara A(4; 8);
B(3;15); C(–5; –15) wertilebi erT wrfeze.
2
3
9 aageT y = –x funqciis grafiki. miRebuli grafikis saSualebiT
aageT Semdegi funqciis grafiki:
a) y = –x–2; g) y = –x–1; b) y = –x+3;
2
–2
d) y = –x+1.
2
3
0
2
2
4
6
x
dawereT Sesabamisi paraleluri gadatanis formulebi.
10 erTsa da imave sakoordinato sistemaSi sqematurad aageT
Semdeg funqciaTa grafikebi:
a) y = 3x; y = 3x+4;
y = 4; y = –3x+4;
b) y = –2x–3;
y = –3; y = 2x–3;
y = 0,5x–3.
261
V Tavi
11
k-sa da b-s rogori mniSvnelobebisTvis aris
a) y=kx+b–7;
b) y=(k–3)x+b
funqcia pirdapirproporciuloba?
12 Semdegi funqciebidan romeli wrfea blagvi kuTxiT daxrili
ox sxivisadmi zeda naxevarsibrtyeSi:
a) y = 2x+5;
b) y = –3x+7; g) y = 4x;
13 Semdegi wrfeebidan
a) y=5x–7; b) y=–5x–4;
d) y = –5x.
romeli gadakveTs y=5x
g) y=5x+1;
d) y=–7x?
wrfes:
14 mevenaxes erTi kilogrami yurZnis moyvana 30 TeTri
ujdeba. sxvadasxva xarji, rac mosavlis realizaciasTanaa
dakavSirebuli, 300 lars Seadgens. dawereT funqcia, romelic
gviCvenebs mogebis damokidebulebas mosavlis raodenobaze,
Tu yurZnis bazarze gasayidi fasi saSualod 50 TeTria. aris
Tu ara es damokidebuleba wrfivi? aageT Sesabamisi grafiki.
15 ipoveT Semdeg funqciaTa grafikebis gadakveTis wertilTa
koordinatebi (grafikis augeblad):
a) y=3x+4 da y=4x–7;
g) y=4x–7 da y=5;
b) y=x–7 da y=1,5x+4;
d) y=2x–5 da y=4x+3.
16 dawereT l wrfis gantoleba, Tu naxazze
mocemuli wrfeebi paraleluria.
17 dawereT naxazze mocemul y=kx+b damokidebulebaSi k da b
koeficientebis niSnebi.
18 a-s ra mniSvnelobebisTvis ekuTvnis M(a;–14) wertili y=6x+a
funqciis grafiks? ipoveT MK monakveTis sigrZe, sadac
K(–1,5a; –2).
19 y=x+2k wrfe gadis (1; –3) wertilze. ipoveT k-s mniSvneloba.
20 C(5; k) wertili mdebareobs wrfeze, romelic gadis A(0;1) da
B(–2; –1) wertilebze. ipoveT k.
262
7. wrfivi funqcia
21 Semdeg amocanebSi daadgineT, aris Tu ara sakmarisi mocemuli pirobebi amocanis amosaxsnelad, dadebiTi pasuxis SemTxvevaSi gaeciT pasuxi dasmul kiTxvas. uaryofiTis SemTxvevaSi moifiqreT, ra monacemis damatebaa sakmarisi amocanis
amosaxsnelad. daadgineT k koeficientis niSani, Tu y=kx+b
funqciisTvis sruldeba piroba:
a) f(–4)>f(1); b) f(0)<0; g) f(5)=3 da f(–2)=0; d) f(9)>5.
22 aageT y = 2x–3 funqciis grafiki, sadac
a) –1 ≤ x ≤ 4;
b) x ≥ 0;
g) x ≤ –2.
23 romel meoTxedebSia ganlagebuli Semdeg funqciaTa gra­
fikebi?
a) y=-2x+3;
b) y=2x+3;
g) y=3x-2;
d) y=3x+4.
24 firmas manqanis erTi detalis damzadeba 20 lari ujdeba.
sxvadasxva saxis gadasaxadebSi firma 500 lars ixdis.
cnobilia agreTve, rom firmas SeuZlia TveSi 500 detalis
damzadeba. ra fasad unda gayidos firmam detali, rom
a) darCes mogeba;
b) TveSi 1500 lari mogeba darCes; g) imuSaos wagebaze;
d) ganicados maqsimaluri wageba?
e) dawereT funqcia f: gasayidi fasi → yovelTviuri mogeba;
v) rogori damokidebuleba arsebobs detalis gasayid fassa
da yovelTviur mogebas Soris?
z) ipoveT f(21); f(25) — axseniT misi Sinaarsi.
25 mcxeTidan quTaisis mimarTulebiT avtomobilma 60 km/sT siCqariT daiwyo moZraoba.
a) dawereT funqcia f : dro → avtomobilis daSoreba Tbilisidan, Tu cnobilia, rom manZili Tbilisidan mcxeTamde 35 km-ia
(vigulisxmoT, rom avtomobili mudmivi siCqariT moZraobs);
b) aageT miRebuli funqciis grafiki;
g) rogor Seicvleba grafikis daxris kuTxe Ox sxivis mimarT,
Tu avtomobili 70 km/sT siCqariT imoZravebs?
26 dawereT funqcia, romelic tolferda samkuTxedis:
a) fuZesTan mdebare kuTxes uTanadebs fuZis mopirdapire
kuTxis gare kuTxes;
b) fuZis mopirdapire kuTxis gare kuTxes uTanadebs fuZesTan
mdebare kuTxes.
27 raketa, romlis wona startis aRebisas 800 tonaa, pirveli
ori wuTis ganmavlobaSi wvavs 612 t sawvavs. amasTan, am drois
ganmavlobaSi wvis procesi Tanabrad mimdinareobs:
a) dawereT funqcia f : dro (wT-ebSi) → raketis wona (t-Si);
b) daxazeT f funqciis grafiki;
g) grafikis saSualebiT dadgineT: 1) ramden tonas iwonis raketa startidan 1,5 wT-is Semdeg; 2) ramdeni wamis Semdeg iqneba raketis wona 500 t.
263
V Tavi
m(kg)
4
3
2
1
1 2 3
V(l)
28 naxazze mocemulia funqciis grafiki, romelic
gviCvenebs WurWlis masis damokidebulebas masSi
Casxmuli siTxis moculobaze. ipoveT:
a) carieli WurWlis masa;
b) WurWlis masa erTi litri siTxiT;
g) erTi litri siTxis masa;
d) siTxis moculoba, romelic Casxmulia WurWelSi, Tu
mTliani wona 3 kg-ia.
29 mocemulia funqcia f(x), sadac:
f(x) =
{
3x–2, Tu x<–3
–2x+5, Tu x≥–3
ipoveT: a) f(1); b) f(–3); g) f(–4); d) f(0).
30 mocemulia y=f(x) funqcia:
f(x) =
{
x+5,7, Tu x<–1,3
–5, Tu x≥–1,3
ipoveT: a) f(–5); b) f(–20); g) f(0); d) f(1,273).
31 aageT funqciis grafiki:
a) y =
g) y =
{
{
1, Tu –4 ≤ x ≤ –1
2x+3, Tu –1 < x ≤ 1
;
b) y =
;
d) y =
–x+1, Tu –2 ≤ x ≤ 1
x–1, Tu 1 < x ≤ 4
32 aageT grafiki:
a) y =
{
–x; x < –1
x, Tu x ≥ –1
;
b) y =
g) y =0,25|x|+1; d) y =|x|+0,5x;
0, Tu –5 ≤ x ≤ –2
x+2, Tu –2 < x ≤ 2
x+3, Tu –4 ≤ x ≤ 0
–x+3, Tu 0 < x ≤ 4
{
2x, Tu –1 ≤ x < 1
3–x, Tu 1 < x ≤ 4
m(kg)
4
3
2
1
.
;
e) y = |x|
(x–2).
x
{
34 naxazze mocemulia funqcia, romlis gansazRvris area
–2≤x≤6. CawereT funqcia analizurad.
1 2 3 4
V(l)
35 y=j(x) funqcia miiReba y=f(x) funqciis
{
gadataniT. dawereT y=j(x) funqcia, Tu:
a) f(x)=3x;
264
;
–x+2; x < 0
x+2, x ≥ 0
dawereT es funqcia erTi formuliT, modulis niSnis
gamoyenebiT.
33 mocemulia funqcia: y =
–2 –1
{
{
b) f(x)=x+2;
x → x–1
paraleluri
y → y+2
g) f(x)=2x–1;
d) f(x)=3x–5.
7. wrfivi funqcia
36 mamam anas da nikas Tanabari raodenobis gasaberi burTebi
2
7
miutana. anam yvela burTis
gabera, nikam _ . romels
3
8
ufro meti gaberili burTi aqvs da ramdeniT, Tu Tavidan
TiToeulis burTebis raodenoba 30-ze naklebi iyo?
g
37 CawereT perioduli aTwiladis saxiT da ipoveT mZimis Semdeg
me-5; me-10; me-40; me-100 cifri.
1
a) 2 ;
b) ;
g) 1 ;
d) 2 .
6
3
7
12
38 distributors maRaziaSi yoveldRiurad erTi da igive
raodenobis koka-kola Semoaqvs. maRazia yoveldRiurad
5
saSualod Semotanili produqciis -s yidis. ramden dReSi
7
erTxel iqneba saWiro koka-kolas Semotana, rom maRazias
deficiti ar hqondes?
proeqti:
1. naxazze mocemulia y=f(x) funqciis grafiki. rogor avagoT y=f(x) funqciis grafikis
saSualebiT y=f(x)+b funqciis grafiki?
ganixileT y=f(x)+3, y=f(x)–2
funqciaTa
grafikebis ageba, risTvisac SeasruleT
Semdegi:
a) grafikis saSualebiT ipoveT f(a); f(k); f(c);
f(m). mniSvnelobebi.
nax. 1
b) aageT wertilebi (a; f(a)+3); (k; f(k)+3),
(c; f(c)+3); (m; f(m)+3),
Sesabamisad, (a; f(a)–2); (k; f(k)–2); (c; f(c)–2); (m; f(m)–2) da SeecadeT
gadaWraT mocemuli problema.
2. aRwereT, rogor miiReba y = f(x) funqciis grafikisgan y = –f(x) funqciis grafiki, risTvisac a) wertilebi (a; f(a)); (b; f(b)) . . . SeadareT
Sesabamisad (a; –f(a)); (b; –f(b)) . . . wertilebs. gamoitaneT Sesabamisi
daskvna (1-li naxazis mixedviT).
3. naxazze mocemulia y=f(x) funqciis
grafiki.
a) rogor mniSvnelobebs Rebulobs y=f(x)
funqcia,
roca 1) x<–1; 2) x>4; 3) x∈(–1;4).
b) SeadareT wertilebi (a; f(a)) da
(a; |f(a)|), roca:
1) a<–1; 2) a∈(–1; 4); 3) a>4.
gamoitaneT daskvna, rogor avagoT y=f(x) funqciis
grafikisgan y=|f(x)| funqciis grafiki.
265
V Tavi
8. wrfivi gantolebisa da
utolobis grafikuli amoxsna
1. sahaero
burTSi yovel wuTSi itumbeba 5 m3 airi. burTSi
SeiZleba Caitumbos araumetes 50 m3 airisa.
a) aageT grafiki, romelic gviCvenebs burTSi Ca­tumbuli airis
raodenobis (m3-Si) droze damoki­debulebas.
b) grafikis saSualebiT daadgineT, Catumbvis dawyebidan
ramden wuTSi gaskdeba burTi.
ras niSnavs, amovxsnaT ax+b=c gantoleba grafikulad?
avagoT y=ax+b funqciis grafiki da vipovoT x cvladis ra
mniSvnelobisaTvis gautoldeba y cvladi c-s. anu rac igivea,
erTsa da imave sakoordinato sistemaSi avagoT y=ax+b da y=c
funqciaTa grafikebi. maTi gadakveTis wertilis abscisa iqneba x
cvladis saZiebeli mniSvneloba.
magaliTi 1.
–2x+3=2 gantoleba amoxseniT analizurad da grafikulad.
amoxsna:
analizurad: (–2x+3=2) ⇔ (–2x=–1) ⇔
⇔ (x=0,5); A={0,5}. grafikulad: avagoT
f : x → –2x+3; g : x → 2 funqciaTa
grafikebi. maTi gadakveTis wertilis
abscisa tolia 0,5-is, e. i. x=0,5.
magaliTi 2.
amoxseniT grafikulad: a) 2x+3=0;
b) 3x–1=–2x+4;
f
g) 3x–1<–2x+4.
amoxsna:
a) avagoT f: x → 2x+3; g: x → 0. rogorc
viciT, g: x → 0 funqciis grafiki TviT
x RerZia, e. i. gantolebis amonaxseni
iqneba f funqciis grafikisa da abscisaTa
RerZis gada-kveTis wertilis abscisa,
x = –1,5.
266
b) erTsa da imave sakoordinato sistemaSi
avagoT f: x → 3x–1 da g: x → –2x+4 funqciaTa
grafikebi.
grafikebis gadakveTis wertilis ab­s­ci­
saa x = 1.
( x = 1-Tvis f(1) = g(1) ).
e. i. gantolebis amonaxsenia x = 1 .
g)* avagoT f(x)=3x–1 da y(x)=–2x+4
funqciaTa grafikebi naxazidan
advilad SevamCnevT, rom, roca
x∈(–∞; 1) f funqciis mniSvnelobebi
naklebia,
g
funqciis
mniS­
vnelobebze, xolo x∈(1;∞) Sua­
ledSi ki piriqiT _ f funqciis
mniSvnelobebi metia g funqciis
mniSvnelobebze.
e. i. (3x–1 < –2x+4) ⇔ x∈(– ∞; 1).
magaliTi 3*.
ramdeni amonaxseni aqvs |x| = 5 x – 2 gantolebas?
3
amoxsna:
erTsa da imave sakoordinato sistemaSi avagoT
f : x → |x| da g: x → 5 x – 2 funqciaTa grafikebi.
3
f funqciis grafikis asagebad ganvixiloT ori
SemTxveva
a) Tu x>0, maSin |x| = x da f: x → x.
b) Tu x<0, maSin |x| = –x da f: x → –x.
f da g funqciaTa grafikebs aqvs erTi gadakve-
Tis wertili. e. i. x= 5 x –2 gantolebas aqvs erTi
amonaxseni x=3.
3
SeavseT gamotovebuli adgilebi:
1. Tu f(x)>3 utolobis amonaxseni nebismieri ricxvia,
maSin y=f(x) funqciis grafiki mTlianad moTavsebulia
y=3 wrfis ? ;
2. naxazis mixedviT f(x)>g(x), Tu x ∈ ? Sualeds.
f(x)≤g(x), Tu x ∈ ? Sualeds.
f(x)=g(x), Tu x= ? an x= ? .
267
V Tavi
savarjiSoebi:
1 amoxseniT gantoleba analizurad da grafikulad:
1
a) 5x – 1 = 3;
b) 4 – 0,2x = –1;
g) 5 + 3 x = 3;
d) –0,6x + 2 = –2;
e) 0,5x – 1 = x + 3;
v) 2 2 x + 2 = –0,5x – 1.
1
2 dawereT f wrfivi funqcia, romelic x RerZs kveTs (5;0) wertilSi
da gadis P wertilze: a) P(0;3);
b) P(0;–1).
3* f wrfivi funqciis daxris koeficienti 3-is tolia da gadis
wertilze (4;0). amoxseniT f(x)=3 gantoleba analizurad da
grafikulad.
4 ramdeni amonaxseni aqvs gantolebas:
a) |x| =2x+1;
b) |x| = 0,2x+2;
g) |x| =0,5x–1.
5 amoxseniT grafikulad:
a) 5x+7>2x–3;
3
d) 2 x–5≤x–8;
b) 3x+4<8;
g)* |x|>2x–4;
e)* |x–2|>5;
v)* |x+3|<x–4.
6* naxazze wiTeli wiriT mocemulia f funqciis, mwvaniT
_ g funqciis grafiki. x-is ra mniSvnelobisaTvis aris:
1) f da g funqciis mniSvnelobebi toli;
2) f funqciis mniSvnelobebi meti g-s mniSvnelobebze;
3) g funqciis mniSvnelobebi meti f-is mniSvnelobebze;
4) g funqciis mniSvnelobebi dadebiTi;
5) f funqciis mniSvnelobebi uaryofiTi?
7* naxazze mocemuli f da g funqciebis
grafikebisaTvis pasuxi gaeciT imave
SekiTxvebs, romelic wina amocanaSia
dasmuli.
8 naxazze mocemulia y=f(x) funqciis grafiki.
a) amoxseniT utoloba: f(x)≤4;
b) x-is ramdeni mTeli mniSvneloba akmayo­
filebs mocemul utolobas?
268
8. wrfivi gantolebisa da utolobis grafikuli amoxsna
9 turistTa ori jgufi gamovida erTi da
imave adgilidan da sxvadasxva marSrutiT
gaemgzavra daniSnulebis adgilisaken. naxazze
mocemulia maTi moZraobis grafikebi. naxazis
mixedviT upasuxeT Semdeg SekiTxvebs:
a) romelma jgufma imoZrava Sesvenebis gareSe
da risi toli iyo misi moZraobis siCqare?
b) ramdeni saaTi dasWirda TiToeul jgufs
daniSnulebis adgilze Casasvlelad?
g) gasvlidan ramdeni kilometris gavlis Semdeg Seisvena
pirvelma jgufma da ramdeni xniT. rogori iyo misi siCqare
Sesvenebamde da Sesvenebis Semdeg?
d) gasvlidan ra droSi moxda maTi Sexvedra da ramdeni
kilometri hqondaT maT darCenili gasavleli?
e) drois ra monakveTSi iyo I jgufi sawyisi punqtidan ufro
Sors, vidre meore da piriqiT, ra monakveTSi iyo meore jgufi
sawyisi punqtidan ufro Sors, vidre pirveli?
10 qromotografiuli svetidan 10 dRis ganmavlobaSi Camodis
preparatis 8,64·105 wveTi. ramdeni wveTi Camodis svetidan
1 wT-Si?
11
g
daamrgvaleT: 1) aTeulebamde: 13456; 27338; 43023.
2) aseulebamde: 74546; 30317; 41590.
3) aTaseulebamde: 88888; 94321; 70421
12 daTos levans da kaxas sul 20 lari aqvT. daTos da levans
erTad 15 l da 70T, xolo levans da kaxas 12 l da 80T. ra Tanxa
aqvs TiToeuls?
13 Semdegi ricxvebidan ipoveT racionalur ricxvTa saSua­
lo ariTmetikuli:
0,1010010001 . . . ; 0,333 . . .; 0,101010 . . .; 0,3434434444 . . .
amocana damoukidebeli kvlevisTvis:
14 Tu f(x)=3x+1; g(x)=2x-3 da x∈[2; 5] ipoveT:
a) f(x) funqciis mniSvnelobaTa simravle;
b) g(x) funqciis mniSvnelobaTa simravle.
● rogor fiqrobT, ra iqneba f(x)+g(x) gamosaxulebis umciresi,
udidesi mniSvneloba?
● SeafaseT f(x)–g(x) da f(x); g(x) gamosaxulebebis mniSvnelobaTa
simrav­leebi.
● ra daskvnas gamoitanT?
269
V Tavi
jgufuri mecadineoba
y
1.
f(x
)=k
x
naxazze mocemulia ori urTierTmarTobuli
f(x)=kx da g(x)=k1x wrfe. aCveneT, rom
1
k1 = – .
k
am davalebis Sesasruleblad:
A(x1;y1)
C(x2;y2)
M
0
B
g(x
x
)=k
1
x
1) Tu OA=OC, aCveneT, rom ΔOAB da ΔOCM toli samkuTxedebia;
2) A(x1;y1) da C(x2;y2) wertilTa koordinatebis saSualebiT gamosaxeT Sesabamisad k da k1 koeficientebi;
3) ipoveT k da k1 koeficientebs Soris damokidebuleba.
y
B
y2
A
y1
f
0
2. aCveneT, rom A(x1,y1) da
(x2;y2)
(x1;y1)
x1
B(x2;y2) wertilebze gamavali wrfis gantolebas aqvs saxe
y2– y1 y – y2
x2 – x1 = x – x2 (1) .
am davalebis Sesasruleblad:
x2
x
1) dawereT A da B wertilebze gamavali y=kx+b saxis
gantoleba, risTvisac A da B wertilebis koordinatebis saSualebiT gamosaxeT k da b ricxvebi.
2) mieciT AB wrfis miRebul gantolebas (1) saxe.
3. ipoveT manZili M(2;5) wertilidan y=x–2 wrfemde.
savarjiSoebi:
1 dawereT mocemuli wrfis marTobuli romelime erTi wrfis
gantoleba:
a) y = 5x – 1;
b) y = –2x + 3;
g) y = –0,5x + 7.
2 dawereT A(5; 1) wertilze gamavali qvemoT mocemuli wrfis
marTobuli wrfis gantoleba:
a) y = 2x + 1;
b) y = –0,5x – 2;
g) y = x + 5.
3 dawereT AB wrfis gantoleba, Tu:
a) A(2; 1); B(3; –2);
b) A(5; –1); B(2; 0);
g) A(0; 5); B(2; 3).
4 ipoveT manZili A wertilidan y = x + 1 wrfemde:
a) A(–2; –1);
270
b) A(0; 0);
g) A(–2; 4).
es sainteresoa
Cvens garSemo, bunebaSi, yvelaferi moZraobs da yvelaferi
icvleba. dedamiwa brunavs Tavisi RerZis garSemo da agreTve
mzis garSemo. aseve mzec Tavis yvela planetasTan erTad moZraobs kosmosSi. funqciis erT-erTi ZiriTadi daniSnulebaa _
aRweros bunebaSi mimdinare realuri procesebi. jer kidev didi
italieli mecnieri galileo galilei ambobda, rom bunebis wigni
RmerTma maTematikur enaze dawera, romlis asoebic maTematikuri niSnebi da geometriuli figuraa. funqcia ki maTematikuri
enis is saSualebaa, romelic aRwers bunebaSi mimdinare cvlilebaTa procesebs.
swavlulebma ukve didi xania SeamCnies, rom bunebaSi esa Tu is
procesi 1) TandaTanobiT (uwyvetad) da 2) naxtomiseburad mimdinareobs. magaliTad, garkveuli simaRlidan raime sxeulis miwaze
vardnisas moZraobis siCqare Tavdapirvelad TandaTanobiT izrdeba, xolo miwis zedapirTan Sejaxebisas naxtomiseburad icvleba, xdeba nulis toli an miwis zedapiridan `axtomisas~ icvlis
mimarTulebas (magaliTad, burTi). siCqaris droze damokidebulebis SesaZlo grafiki 1-el naxazzea mocemuli.
galileo galilei
(1564-1642 ww.)
nax. 1
a)
b)
nax. 2
a)
b)
nax. 3
me-2-e naxazze gamosaxulia ori wiri, romelic daxazulia seismografis
mier (xelsawyo, romelic iwers dedamiwis qerqis rxevas). zeda wiri miRebulia maSin, roca dedamiwis qerqi mSvidadaa, xolo b) _ miwisZvrisas.
me-3 naxazze mocemulia ori kardiograma. zeda gviCvenebs gulis normalur muSaobas, qveda ki avadmyofi gulis muSaobas.
seismologi seismogramiT mixvdeba, rodis da sad moxda miwisZvra, amave
dros gansazRvravs biZgebis Zalasac. eqimic kardiogramis meSveobiT igebs,
ra darRveva aRiniSneba gulis muSaobaSi da avadmyofs swor diagnozs usvams.
orive SemTxvevaSi eqimic da seismologic Seiswavlis raRac funqciebs
misive grafikis mixedviT.
maTematika _ es aris is, ris meSveobiTac
adamiani bunebas da Tavis Tavs marTavs.
andrei kolmogorovi
271
V Tavi
9. wrfivi orucnobiani gantoleba
amocana 1.
x–1
marTkuTxa formis nakveTis sigane sigrZeze
1 m-iT naklebia. risi toli SesaZloa iyos am
nakveTis sigrZe da, Sesabamisad, perimetri?
x
Ax+By+C=0 saxis gantolebas, sadac x da y
cvladebia, xolo A, B
da C nebismieri ricxvebi, wrfivi oruc­
nobiani gantoleba
ewodeba.
vTqvaT, marTkuTxedis sigrZe x m-ia, maSin sigane (x–1)m iqneba. Tu
perimetrs y-iT aRvniSnavT, miviRebT:
y=2x+2(x–1), anu 4x–y–2=0 (1) orucnobian gantolebas.
?
 ipoveT (1) gantolebis romelime amonaxseni.
ucnobebis mniSvnelobaTa im wyvils, romelic orucno­
bian gantolebas WeSmarit ricxviT tolobad aqcevs, am
gantolebis amonaxseni ewodeba.
vipovoT (1) gantolebis sxva amonaxsnebic, risTvisac mivaniWoT
x-s raime mniSvneloba da miviRebT y-is Sesabamis mniSvnelobas.
SevadginoT cxrili:
sakoordinato
sibrtyis yvela im
wertilTa erTobliobas, romlis koordinatebic orucnobiani
gantolebis amonaxsnebia, am gantolebis
grafiki ewodeba.
x
1
1,5
2
2,5
3
3,5
y = 4x – 2
y
4∙1 – 2 = 2
4∙1,5 – 2 = 4
4∙2 – 2 = 6
4∙2,5 – 2 = 8
4∙3 – 2 = 10
4∙3,5 – 2 = 12
(x;y)
(1;2)
(1,5;4)
(2;6)
(2,5;8)
(3;10)
(3,5;12)
 gaagrZeleT cxrili da ipoveT (1) gantolebis kidev sami
amonaxseni.
Tu marTkuTxa sakoordinato sibrtyeze movniSnavT wertilebs, romelTa koordinatebic 4x–y–2=0 gantolebis amonaxsnebia, vna­xavT, rom es wertilebi erT φ wrfeze iqneba ganlagebuli.
1. miRebul wrfeze aiReT nebismieri C wertili. iqneba Tu ara C
wertilis koordinatebi mocemuli gantolebis amonaxseni?
2. SesaZlebelia Tu ara movZebnoT φ wrfeze
wertili, romlis koordinatebic ar iqneba
mocemuli gantolebis amonaxseni?
3. rogori damokidebuleba arsebobs φ
wrfis wertilebsa da mocemul gantolebas
Soris?
272
ganvixiloT Ax+By=C wrfivi orucnobiani gantoleba.
radgan, roca B≠0, Ax+By=C gantolebas SesaZlebelia mivceT
y=kx+b saxe, amitom SegviZlia davaskvnaT, rom:
Tu B≠0, maSin Ax+By=C gantolebis grafiki wrfea.
y
Tu B=0 da A≠0 maSin miviRebT A·x+0·y=c (2) gantolebas.
C
. e. i. (2) gantolebis amonaxsenTa simravA
4
C
x = -s tolia. ordinata ki nebismieria. aseT wertil­
A
aqedan x =
x=3
3
le Sedgeba yvela im (x;y) wertilisgan romelTa abscisa
2
(3;2)
1
(3;1)
Ta erToblioba y RerZis paraleluri wrfea, romelic
0
–1
abscisaTa RerZs
–2
C
wertilSi kveTs.
A
1. amoxseniT Ax + By = C gantoleba, roca:
a) A=B=O; C≠0;
b) A=B=C=O.
1
2
(3;0)
x
(3;–2)
Tu wertili mdeba­re­
obs grafikze, maSin
misi koordinatebi
akmayofilebs grafikis gantolebas.
magaliTi 1.
a) aageT 3x+5y=16 gantolebis grafiki;
b) grafikis mixedviT ipoveT gantolebis amonaxsenTa ori wyvili.
amoxsna:
y
a) radgan mocemuli gantolebis grafiki wrfea,
amitom sakmarisia vipovoT misi romelime ori wertili. SevadginoT cxrili:
x
0
–3
y
3,2
5
3x+5y=16
5
4
3
2
1
(0; 3,2) da (–3;5) wertilebze gamavali wrfe iqneba 3x+5y=16 gantolebis grafiki.
–3 –2 1 0
1 2 3 4
5 6 7
x
b) naxazis mixedviT mocemuli gantolebis amonaxsenebia wyvilebi: (2; 2) da (7; -1).
magaliTi 2.
aageT:
a) x=2; b) y=3 gantolebis grafiki.
amoxsna: a) unda vipovoT sakoordinato
sibrtyis im wertilTa erToblioba,
romelTa abscisa aris 2-is toli, xolo
ordinata nebismieria. aseTi wertilebi ganlagebuli iqneba (2;0) wertilze
gamaval x RerZis marTobul wrfeze.
y
x=a gantolebis
grafiki y RerZis
paraleluri wrfea,
romelic x RerZs x=a
wertilSi kveTs.
x=2
4
3
2
1
0
–1
1
2
x
–2
273
V Tavi
y
4
y=b gantolebis
grafiki aris x RerZis
paraleluri wrfe,
romelic y RerZs b
wertilSi kveTs.
y=3
3
2
1
0
–1
1
2
–2
y=–2x+1
SeavseT gamotovebuli adgilebi:
y
1. orucnobiani gantolebis amonaxseni ewodeba masSi Semavali ucnobebis im ? , romelic gantolebas swor ricxviT
tolobad aqcevs.
5
4
3
2
1
–3 –2 –1 0
x
b) unda vipovoT sakoordinato sibrtyis yvela im wertilTa erToblioba, romelTa ordinata 3-is tolia, abscisa ki _ nebismieri. aseT wertilTa
erToblioba qmnis x RerZis paralelur wrfes, romelic gaivlis (0,3) wertilze.
–1
–2
–3
1
2
x
2. naxazze mocemul grafikze mdebareobs wertilebi:
(–1; ? ); ( ? ; 5); ( ? ; –3).
3. CasviT sityvebi `mdebareobs~ an `ar mdebareobs~.
mocemulia y = 2,5x – 3 gantoleba. am gantolebis grafikze:
A(4; 7) ? ; B(–4; –4) ? ; C(2; 2) ? .
savarjiSoebi:
1 gurams mamam dabadebis dReze 20 lari aCuqa. ramdeni burTis
da ramdeni manqanis yidva SeuZlia gurams am TanxiT, Tu erTi
burTi 2 lari, xolo erTi manqana 3 lari Rirs. (vigulisxmoT,
rom guramma Tanxa mTlianad unda daxarjos).
2 mocemuli gantolebebidan romelia wrfivi orucnobiani gantoleba.
a) 5x – 7y = 9; b) 2x = 5y – 1;
g) x2 + y = 7;
d) 2xy – 7x = 9y.
3 5t - 7z = 8 gantolebidan gamosaxeT:
a) t cvladi z-is saSualebiT; b) z cvladi t-s saSualebiT.
4 mocemuli gantolebebidan romeli gantolebis grafiki gadis
A(-1;2) wertilze:
a) 3x – 5y = 1;
b) 4y + 7x = 2;
g) 3x – y = –5;
d) 10y = 21 + x;
e) 11x + 21y = 31;
v) 5x + 8y = 11.
5 aageT gantolebis grafiki:
a) 2x – y = 2;
b) y – x + 5 = 0;
d) 2y + 3x = 0;
e) y + 5 = 0;
g) 2(x – y) + 3(3x + y) = 5;
v) x – 7,2 = 0.
6 ipoveT a koeficientis mniSvneloba, Tu wyvili (2;3) aris
ax+5y=21 gantolebis amonaxseni.
7 18x + 7y = 12 gantolebis Sesabamis wrfeze aRebulia wertili,
romlis ordinata 3-is tolia. ipoveT am wertilis abscisa.
8 orniSna ricxvis cifrTa jami 16-is tolia.
a) ipoveT es ricxvi;
b) ramdeni amonaxseni aqvs amocanas.
274
9 aageT funqciis grafiki:
a) y = –2;
b) y = 0;
g) y = 3;
d) x = –2;
e) x = 4;
v) x = 0.
9. wrfivi orucnobiani gantoleba
3 +
x 1 gantoleba.
4
a) ra mniSvnelobebi unda mivaniWoT x-s, rom miviRoT y-is
mTeli mniSvneloba;
10 mocemulia y =
b) ra mniSvnelobebi unda mivaniWoT y cvlads, rom miviRoTY
x-is mTeli mniSvneloba?
11
marTkuTxa sakoordinato sibrtyeze wiTlad gaaferadeT
yvela is wertili, romelTaTvisac sruldeba:
a) y > –2;
b) y ≤ –2;
g) x ≥ –4;
d) x < –4.
12 rukaze wertilis koordinatebi aRvniSnoT (x;y)-iT, sadac x
ganeds, xolo y grZeds gviCvenebs. amowereT yvela is qalaqi,
romelTaTvis sruldeba: a) 0 < x < 20°; b) 40° < y < 50°.
13 x+2y=18 gantolebisTvis ipoveT toli amonaxsenTa wyvili.
14 mocemulia ori orcvladiani gantoleba: x–y=5 da x+y=11.
ipoveT ricxvTa wyvili, romelic:
a) warmoadgens pirveli gantolebis amonaxsens da ar akmayo­
filebs meores;
b) warmoadgens meore gantolebis amonaxsens da ar akmayo­
filebs pirvels;
g) akmayofilebs rogorc pirvel, aseve meore gantolebas;
d) ar akmayofilebs arcerT gantolebas.
15 a) daasaxeleT 4x–2y=3 wrfivi gantolebis sami amonaxseni ise,
rom x da y-s hqondes gansxvavebuli niSnebi;
b) daasaxeleT 4x+5y=8 gantolebis sami amonaxseni ise, rom x
da y-s hqondes erTnairi niSnebi.
g
16 ipoveT is umciresi ricxvi, romelic unaSTod iyofa 1-dan
10-is CaTvliT yvela naturalur ricxvze.
17 mkeravma Tavisi 20 Segirdi ramdenime dRiT datova Tavisi
saxlis oTaxebSi ise, rogorc naxazzea naCvenebi. man daavala
zedamxedvels yovel saRamos Seemowmebina, rom saxlis yvela
mxares yofiliyo 7 gogona. a) erT saRamos maT estumraT 4 megobari. gaanawileT gogonebi ise, rom zedamxedvels, daTvlisas saxlis yvela mxares isev 7 gogona daxvdes.
b) meore dRes 4-ma gogonam gaacila 4 stumari. gaanawileT
darCenili gogonebi oTaxebSi ise, rom zedamxedvelma saxlis
yvela mxares kvlav 7-7 gogona daiTvalos.
2
3
3
2
2
3
3
2
18 a) SeamCnieT mocemul mimdevrobaSi kanonzomiereba da gaag­
rZeleT igi 3 wevriT;
b) daadgineT mimdevrobis zogadi wevris formula:
1) 2, 7, 12, 17,... 2) 6, 14, 22, 30, ...
19 gansazRvreT svetis wneva, Tu masze moqmedi simZimis Zala
4 kn Tanabradaa ganawilebuli 0,16 m2 farTobze. rogori
damokidebulebaa a) wnevasa da zedapiris marTobulad moqmed Zalas Soris; b) wnevasa da zedapiris farTobs Soris;
g)aris Tu ara wnevis damokidebuleba Zalaze wrfivi?
275
V Tavi
10. amovxsnaT gantoleba
mTel ricxvebSi
1. SeuZlia Tu ara salomes 2 da 5 TeTriani monetebiT iyidos
fanqari, romelic 28 TeTri Rirs?
y=kx+b funqcias kidev erTi saintereso Tviseba aqvs.
ganvixiloT y=2x+3 funqcia. SevadginoT cxrili bijiT 1.
x
–6
y=2x+3
–5
–4
–3
–2
–1
–9 –7
–5
–3
–1
1
1
2
7
5
7
11 13 15 17
amoviweroT y=2x+3 funqciis mniSvnelobebisagan Sedgenili mimdevroba:
–9;
–7;
–5;
–3;
–1;
1;
3; 5; 7; 9;
11 . . .
rogorc vxedavT, miRebuli mimdevroba mudmivi nazrdis mqone
mimdevrobaa _ yoveli wevri metia winaze erTi da imave ricxviT
– 2-iT. ase mimdevrobas ariTmetikul progresias uwodeben.
2. y=2x+3 funqciisTvis SeadgineT mocemulis msgavsi cxrili
bijiT 2; 3. daakvirdiT funqciis Sesabamisi mniSvnelobebisagan Sedgenil mimdevrobas. aqvs Tu ara miRebul mimdevrobas
igive Tviseba?
3. SeadgineT wina amocanis msgavsi y = 2x + 1; y = x – 2 funqciebisaTvis. daakvirdiT cxrilis II stri­qonSi miRebul ricxvTa
mimdevrobas, SeecadeT gamoitanoT Sesabamisi daskvna.
y
sazogadod, Tu wrfivi funqciis argumentis mniSvneloba a erTeuliT gaizrdeba, e.i. Tu x2=x1+a, maSin funqciis mniSvneloba ka erTeuliT Seicvleba (an gaizrdeba an Semcirdeba). marTlac,
y2 – y1 = k(x1 + a) + b – (kx1 + b) = ka.
y2
ka
y1
x0
x0+a
x1
x2=x1+a
k(x0+a)+b
ka
kx0+b
276
x
e. i. Tu wrfivi funqciis argumentis mniSvnelobebs erTi da imave a erTeuliT gavzrdiT,
maSin funqciis Sesabamisi mniSvnelobebi ka erTeuliT Seicvleba (gaizrdeba, Tu k>0, da Semcirdeba, Tu k<0).
samarTliania Sebrunebuli winadadebac:
Tu argumentis mudmivi nazrdis SemTxvevaSi funqciis
Sesabamisi nazrdebi tolia, maSin es funqcia wrfivi fun­
qciaa.
am daskvnidan gamomdinare, SevecadoT amovxsnaT wrfivi or­
ucnobiani gantoleba mTel ricxvebSi.
ganxiluli Tvisebidan advilad davaskvniT, rom Tu wyvili (x0; y0)
aris y = kx + b orucnobiani gantolebis romelime amonaxseni, maSin (x0+a; y0+ka) wyvilic amave gantolebis amonaxseni iqneba.
ganvixiloT paragrafis dasawyisSi mocemuli amocana Tu 2-TeTriani monetebis raodenobas x-iT, xolo 5-TeTrianisas - y-iT
aRvniSnavT, miviRebT gantolebas:
2x + 5y = 28.
aqedan
2 +2 28+ 28
28 -28
2x- 2x
.
y =y =x x (1) (anu
1) y = y =
5 5 5 5
5 5
advilad mixvdebiT, rom wyvili (4; 4) (1) gantolebis amonaxsenia.
Tvisebis Tanaxmad, (4+a;4+ka) wyvilic mocemuli gantolebis
2
2
amonaxseni iqneba. radgan k =- , amitom ak =- a a∈Z,
! z. roca a=5
5
5
(sazogadod 5-is jeradi.) aqedan gamomdinare ka = –2 da (1) gantolebis sxva mTeli amonaxsnebi iqneba:
+5
+5
+5
+5
x
y
–1
6
4
4
9
2
14
0
19
–2
diofante, III s-is didi
berZeni maTematikosi. igi ganixilavda
sxvadasxva gantolebebs mTeli da racionaluri amonaxsnebiT
da miuTiTebda maTi
moZebnis gzebs.
(x;y)
–2
–2
–2
–2
(–1;6)
(4;4)
(9;2)
sazogadod )x = 4 + 5n
y = 4 - 2n
(14;0)
(19;–2)
radgan ganxilul amocanaSi x,y≥0, amitom amocanis amonaxsnebi
iqneba wyvilebi: (4; 4), (9: 2), (14; 0).
n
c
sazogadod, ganvixiloT (my – nx = c) ⇒ y = x +
(1)
(1)gantolem
m
ba, sadac m, n, c∈z.
(
)
vTqvaT, (1) gantolebis amonaxsenia wyvili (x0;y0), maSin ganxilulis analogiuri msjelobiT miviRebT, rom (1) gantolebis mTeli
amonaxsnebi miiReba formuliT: )x = x0 + mk , k∈z.
y = y0 + nk
savarjiSoebi:
1 amoxseniT gantoleba naturalur ricxvebSi
a) 2y–3x=2; g) 7x–5y=1;
e) x(y – 3) = 10; z) 2x2 + 3xy – 2y2 = 13;
b) 3x–5y=19; d) 3x–21y=13; v) x2 – y2 = 17;
T) (2x–y)2 – (x+2y)2 = 13.
2 ipoveT 1-dan 100000-mde yvela naturaluri ricxvi, romelic
iyofa 73-ze da bolovdeba 001 cifrebiT.
3 ori sxvadasxva zomis yuTebiT manqanaSi detalebis raRac
raodenoba CatvirTes. didi yuTi detalebTan erTad iwonis
24 kg-s, patara - 19 kg-c. ramdeni didi da ramdeni patara yuTi
CatvirTes, Tu tvirTis saerTo wonaa 826 kg.
277
V Tavi
4 ipoveT gantolebis mTeli amonaxsnebi:
a) 4x2 – y2 = 7;
b) x2 – 5xy + 6y2 = 3.
5 ramdeni cali kolofi dagvWirdeba imisaTvis, rom 195 cali fanqari gavanawiloT Tu yuTSi 10 an 13 fanqari eteva?
6 amoxseniT naturalur ricxvebSi: a)
x+4 = 5
; b) 5x – 2y = 47.
6 y
14
7 orlarianebiT da xuTlarianebiT Sedgenilia 28 lari. ramdeni
orlariani monetaa gamoyenebuli?
8 moswavlem iyida ramdenime wigni, TiTo 5 larad, da ramdenime 7-lariani
kompleqti. ramdeni wigni iyida moswavlem, Tu sul 44 lari gadaixada?
9 fqvili dafasoebulia 3 kg da 2 kg paketebSi. ramdeni paketia TiToeuli,
Tu sul 20 kg fqvilia.
10 a) ipoveT 2x+3y–7=0 gantolebis naturaluri amonaxsnebi;
b) ipoveT naturaluri ricxvTa (x;y) wyvili, romelic akmayofilebs
5x–2y=13 gantolebas da x+y≤25 utolobas.
11
ninom axali binisaTvis ramdenime TefSebis kompleqti, TiTo 30
larad da ramdenime Wiqebis kompleqti, TiTo 38 larad, SeiZina. sul
ramdeni kompleqti SeiZina ninom, Tu gadaxdili Tanxa 400 laria.
12 ori punqtidan, romelTa Soris manZili 580 km-ia, erTmaneTis
Sesaxvedrad ori matarebeli gamovida. Sexvedramde, pirveli gzaSi,
4 saaTi iyo, meore _ 3 saaTi. orive mudmivi siCqariT moZraobda
gaCerebis gareSe. ipoveT orive matareblis siCqare, Tu TiToeuli
maTgani mTeli ricxviT gamoisaxeba.
13 romeli orniSna ricxvisTvis sruldeba: Tu mis cifrebis Soris
CavsvamT 0-s, miviRebT 6-jer met ricxvs.
14 marTkuTxedis TiToeuli gverdi gazardes 2 sm-iT, aRmoCnda, rom
farTobi gaizarda 16 sm2-iT. ipoveT marTkuTxedis gverdebi, Tu
isini mTeli ricxvebiT gamoisaxeba.
15 Cqari matarebeli 5 saaTSi gadis 40 km-iT mets, vidre samgzavro
6 saaTSi. ipoveT maTi siCqareebi, Tu cnobilia, rom isini 10-is
jeradebia da orive 100-ze naklebia da 50-ze meti.
amocana damoukidebeli kvlevisTvis:
11 SeamowmeT, aqvs Tu ara gantolebas mTeli amonaxsnebi?
a) 2x+4y=7;
b) 6x+2y=25;
g) 12y=8x+3;
d) 4y=3x+7.
daakvirdiT miRebul Sedegebs da gamoitaneT saTanado daskvna: ra SemTxvevaSi ar eqneba wrfiv orucnobian gantolebas
amonaxseni mTel ricxvebSi?
278
11. orucnobian gantolebaTa
sistema
1. ninom 2 kg kanfetsa da 3 fila SokoladSi 12 lari gadaixada,
xolo kaxam imave xarisxis 4 kg kanfetsa da 1 fila SokoladSi
14 lari. ra Rirs 1 kg kanfeti da 1 fila Sokoladi?
amoxsna:
vTqvaT, 1 kg kanfeti x lari, xolo 1 fila Sokoladi _ y lari
Rirs. maSin nino gadaixdida 2x+3y, xolo kaxa 4x+y lars, miviRebT
Semdeg gantolebebs:
2x + 3y = 12 (1)
4x + y = 14
(2)
Cveni mizania vipovoT (1) da (2) gantolebebis saerTo amonaxseni.
erTi da imave ucnobebis Semcveli wrfivi orucnobiani
ori gantolebis erTobliobas wrfiv orucnobian gan­
tolebaTa sistema ewodeba.
­ ri gantolebis saerTo amonaxsens am gantolebebisagan
o
Sedgenili gan­tolebaTa sistemis amonaxseni ewodeba.
(1) da (2) gantolebebisagan Sedgenil sistemas ase aRniSnaven:
2x + 3y =12
4x + y = 14
sistema amovxsnaT grafikulad, risTvisac avagoT TiToeuli
gantolebis Sesabamisi grafiki.
mivceT gantolebebs saxe:
y = – 2x + 4
3
y = – 4x + 14
.
SevadginoT cxrili:
y
y = – 2x + 4
y = –4x + 14
3
x
y
(x;y)
x
y
(x;y)
0
4
(0;4)
1
10
(1;10)
3
2
(3;2)
2
6
(2;6)
naxazidan Cans, rom sistemis saerTo
amonaxsenia wyvili (3;2). e.i. 1 kg kanfeti
3 lari Rirs, xolo 1 fila Sokoladi _
2 lari.
y=
– 2
3 x+
y = – 4x + 14
5
4
4
3
2
1
–2 –1 0
–1
1
2
3
4
x
–2
279
V Tavi
1. aageT gantolebaTa sistemaSi Semavali TiToeuli gantolebis
grafiki:
;
a)
;
b)
.
b)
2. daadgineT: ramdeni amonaxseni aqvs sistemas.
3. gamoitaneT Sesabamisi daskvna: ra SemTxvevaSi eqneba gantolebaTa sis­temas erTi, arc erTi an uamravi amonaxseni.
magaliTi 1.
amoxseniT grafikulad gantolebaTa sistema:
a)
;
b)
.
amoxsna:
a) sistemaSi Semaval gantolebebs mivceT Semdegi saxe:
.
SevadginoT cxrili:
y = – 3x + 5
2
x
1
3
y
1
–2
y = 1 x – 72
2
2
(x;y)
(1;1)
(3;–2)
x
0
7
y
(x;y)
–3,5 (0;-3,5)
0
(7;0)
e. i. sistemis amonaxsenia: (3; –2).
b)
y = 2x – 3
y = 2x + 2
x
y
(x;y)
x
y
(x;y)
0
–3
(0;–3)
0
2
(0;2)
2
1
(2;1)
2
6
(2;6)
miRebuli wrfeebi paraleluria (maTi daxrebi ox
sxivis mimarT tolia). maT saerTo wertili ara
aqvT.
e. i. gantolebaTa sistemas amonaxseni ara aqvs.
280
11. orucnobian gantolebaTa sistema
magaliTi 2.
ramdeni amonaxseni aqvs gantolebaTa sistemas?
a)
;
b)
;
g)
.
orucnobian ganto­
lebaTa sistemas imdeni amonaxseni aqvs,
ramdeni sa­erTo wertilic aqvs sistemaSi
Se­maval gantoleba­
Ta grafikebs.
amoxsna:
a) gantolebaTa sistema ase CavweroT:
3 -1
3
wrfis daxra -ia, xolo
x
7
7
7
y = –2x – 9 wrfis daxra = –2. e. i. es
wrfeebi ikveTeba da sistemas aqvs
erTaderTi amonaxseni.
y=
b)
(1)
(2)
miviReT:
sistemaSi
Se­ma­va­li
wrfeebi
paralelure­bia. e. i. sistemas amonaxse­ni ara
1
aqvs. (orive wrfis daxra = ).
6
g)
e.i. nebismieri x0
ricxvisTvis wyvili
x0; 1 x0– 2 iqneba
3
3
sistemis amonaxseni
(
)
⇔
orive wrfe erTmaneTs emTxveva.
e. i. sistemas uamravi amonaxseni aqvs.
SeavseT gamotovebuli adgilebi:
1. gantolebaTa sistemis amonaxsenia ricxvTa iseTi wyvili (an
wyvilebi), romelic akmayofilebs ? gantolebas.
2. gantolebaTa sistemas eqneba erTaderTi amonaxseni, Tu sistemaSi Sema­vali gantolebebis grafikebs eqnebaT ? saerTo wertili.
3.
sistemas aqvs ? amonaxseni.
281
V Tavi
4.
sistemas ? amonaxseni.
5.
sistemas aqvs ? amonaxseni .
savarjiSoebi:
1 SeamowmeT, aris Tu ara ricxvTa Semdegi wyvili gantolebaTa
sistemis amonaxseni:
(9,5;0,5);
a)
(–2;3).
b)
2 moifiqreT gantolebaTa sistema, romlis amonaxseni iqneba
wyvili:
a) (3; 5)
b) (2; 3).
3 amoxseniT grafikulad wrfiv gantolebaTa sistema:
a)
d)
;
;
b)
;
g)
.
e)
;
v)
.
4 Semdegi sistemebis amouxsnelad gaarkvieT, ramdeni amonaxseni
aqvs moce­mul sistemas:
a)
d)
g
;
;
b)
;
g)
;
e)
;
v)
.
5 skolaSi 700 moswavlea, maTgan 357 biWia. skolis moswavleebis
ramdeni procentia biWi?
6 erTma qalma baRSi Seagrova vaSli. baRidan gamosasv­lelad mas
mouxda 4 karis gavla. yovel maTgans icavda mcveli, romelic
gasvlis safasurad vaSlis naxevars arTmevda. saxlSi qalma
moitana 10 vaSli. ramdeni vaS­li SexvdaT mcvelebs?
7* ricxvs gamoakles misive cifrTa jami. miRebul ricxvs isev gamoakles misive cifrTa jami da a.S. mxolod 11 aseTi gamoklebis
Semdeg miiRes nuli. ipoveT mocemuli ricxvi.
282
12. wrfiv gantolebaTa sistemis
amoxsna Casmis xerxiT
1. Tu daTo dagrovil Tanxas Seitans bankSi, sadac gadaux­dian
wliur 12%-s, maSin wlis bolos igi iyidis kosti­ums da kidev
darCeba 100 lari. magram Tu Seitans bankSi, sadac gadauxdian
wliur 10%-s, maSin mas kostiumis yid­vis Semdeg 50 lari darCeba.
ra Tanxa hqonda daTos da ra Rirs kostiumi?
vTqvaT, daTos Tavidan hqonda x lari, xolo kostiumi ki y lari
Rirs. miviRebT gantolebaTa sistemas:
1,12 x = y + 100 aqedan

1,1x = y + 50
?
 y = 1,12 x − 100

 y = 1,1x − 50
 aageT TiToeuli gantolebis grafiki da ipoveT maTi
saerTo amonaxseni. SeamowmeT, akmayofilebs Tu ara miRebuli wyvili gantolebaTa sistemas.
albaT gagiWirdaT, radgan grafikuli xerxiT amoxsnisas, cxadia,
sistemis miaxloebiT amonaxsens vpoulobT. gavecnoT gantolebaTa sistemis amox­snis analizur xerxs.
gantolebaTa sistemebs ewodeba tolfasi, Tu maTi amonax­
senTa simravle erTmaneTis tolia.
amoxsnis procesSi sistema unda SecvaloT misive tolfasi da
ufro martivi sistemiT, risTvisac gamoiyeneba gantolebaTa
sistemis Semdegi Tvisebebi:
­ u sistemis romelime gantolebas SevcvliT mocemulis
T
tolfasi gan­tolebiT, miviRebT mocemuli sistemis tol­
fas sistemas.
magaliTad,
⇔
gavixsenoT!
maTematikaSi `⇔~ sim­
bo­loTi aR­niSnulia
sityva `tolfasia~.
Tu sistemis erT-erTi gantolebidan ganvsazRvravT
romelime cvlads da miRebul mniSvnelobas meore gan­
tolebaSi Sesabamisi cvladis nacvlad CavsvamT, mivi­
RebT mocemuli sistemis tolfas sistemas.
283
V Tavi
⇔
sistemis I gantolebidan
ganvsaz­RvreT y cvladi
(1)
Tu sistemis meore gantolebaSi CavsvamT y = x – 2, miviRebT
gavamartivoT sistemis II
gan­toleba
(2)
miviRebT:
x-is miRebuli mniSvneloba CavsvaT pirvel gantolebaSi, miviRebT
amrigad, sistemis amonaxsenia (5;3) wyvili.
gantolebaTa sistemis amoxsnis ganxilul xerxs Casmis xerxi
ewodeba.
magaliTi 1.
amoxseniT gantolebaTa sistema:
a)
; b)
.
amoxsna:
a)
⇔
pirveli gantolebi­dan
ganvsazRvroT 3y
⇔
⇔
3y-is miRebuli mniSvneloba
CavsvaT II gantolebaSi
⇔
⇔
amovxsnaT II gantoleba
⇔
⇔
x-is miRebuli mniSvneloba
Sevi­tanoT pirvel gantolebaSi
⇔
⇔
amovxsnaT I gantoleba
⇔
b)
⇔
284
sistemis amonaxsenia (2; 2) wyvili.
⇔ ⇔
⇔
12. wrfiv gantolebaTa sistemis amoxsna Casmis xerxiT
sistemis pirvel gantolebas akmayofilebs x-is nebismieri
mniSvneloba. e.i. sistemas gaaCnia uamravi amonaxseni. kerZod,
gantolebaTa sistemis amonaxseni iqneba yvela is (x;y) wyvili,
romelic akmayofilebs tolobas y = –2x + 5.
savarjiSoebi:
1 gantolebaTa sistema amoxseniT CasmiT xerxiT:
a)
;
b)
d)
;
z)
k)
n)
;
e)
;
;
;
l)
;
;
v)
T)
;
g)
;
o)
;
;
i)
;
m)
;
p)
.
2 gantolebaTa sistema amoxseniT CasmiT xerxiT:
a)
;
b)
;
d)
; e)
z)
; T)
k)
;
g)
;
l)
v)
;
;
;
;
i)
m)
;
.
3 grafikebis augeblad ipoveT Semdeg gantolebaTa grafikebis
gadakveTis wertilTa koordinatebi:
a) 2x + 5y = 15
da
3x + 8y = –1;
b) 2x + 3y = –4
da
5x + 6y = –7;
g) 5x – 4y = 16
da
x – 2y = 6;
d) 7x + 4y = 23
da
8x – 10y = 19.
4* a-s ra mniSvnelobisaTvis gadis ax – 2y = 1 wrfe 3x – y = 4 da
2x + 3y = –1 grafikebis gadakveTis wertilze?
285
V Tavi
g
6* daamtkiceT, rom samniSna ricxvisa da imave cifrebiT, oRond
Sebrunebuli rigiT Cawerili ricxvis sxvaoba ar SeiZleba iyos
romelime naturaluri ricxvis kvadrati.
7 ipoveT y = 3x + 5 gantolebis grafikis koordinatTa RerZebTan
gadakveTis wertilTa koordinatebi.
8 VIIIa klasSi 25 moswavlea. daasabuTeT, rom sami bavSvi mainc
aris erTsa da imave TveSi dabadebuli.
9 ra sigrZisaa monakveTi, romlis zomac rukaze masStabiT
1:400000-Tan aris 10 sm?
10 WeSmaritia Tu ara, rom:
a) samkuTxedis udidesi gare kuTxis mosazRvre gverdi ar
SeiZleba iyos samkuTxedis udidesi gverdi.
b) samkuTxedis biseqtrisa ar aris naklebi imave wverodan
gavlebul simaRleze?
11
ipoveT M(–4;7) wertilis simetriuli wertili:
a) Ox RerZis mimarT;
b) Oy RerZia mimarT;
g) koordinatTa saTavis mimarT.
286
13. algebruli Sekrebis xerxi
erTi da imave
feris kolofebis
wona erTi da igivea
1. a) darCeba Tu ara I saswori wonas­worobaSi, Tu II sasworis mar-
cxena Tef­Sidan kolofebs gadmovawyobT I saswo­ris marcxena
TefSze, xolo II sasworis marjvena TefSidan _ I-is marjvena
Tef­Sze?
b) darCeba Tu ara II saswori wonasworo­baSi Tu II sasworis marcxena TefSidan aviRebT imden kolofs, ramdeni kolofi­caa
I-is marcxena TefSze da marjvnidan ki _ imdens, ramdeni koloficaa I saswo­ris marjvena TefS­ze?
CamovayaliboT gantolebaTa sistemis kidev erTi Tviseba.
Tu sistemis romelime gantolebas SevcvliT mocemul gan­
tolebaTa ­jamiT, xolo sxva gantolebebs ucvlelad dav­
tovebT, miviRebT moce­muli sistemis tolfas sistemas.
amovxsnaT
gantolebaTa sistema.
⇔
I etapi:
II etapi:
x-is koeficientebi
gavxadoT mopirdapire
ricxvebi
SevkriboT sistemis orive
gantoleba
⇔+
marcxena mxareTa jami
2y = 60
y = 30
marjvena
mxareTa jami
Tu
da
a=b
c=d
maSin a+c=b+d
miviReT:
III etapi
an
,
y-is miRebuli mniSvneloba CavsvaT miRebuli sistemis meore gantolebaSi, miviRebT x = 60.
gantolebaTa sistemis amonaxsenia wyvili (60; 30)
amonaxsenTa simravlea A={(60; 30)}.
287
V Tavi
magaliTi 1.
amoxseniT algebruli Sekrebis xerxiT:
a)
;
b)
.
amoxsna:
a)
y-is koeficientebi
gavxa­doT mopirdapire
ricxvebi
b)
magaliTi 2.
qeTim 3 rveulsa da 2 saxazavSi 1 lari da 60 TeTri gadaixada.
natom ki imgvarsave 6 rveulsa da 3 saxazavSi _ 3 lari. ra Rirs
erTi rveuli da erTi saxazavi?
amoxsna: vTqvaT, erTi rveuli x lari, xolo erTi saxazavi y lari
Rirs, maSin qeTi gadaixdida 3x+2y, xolo nato ki _ (6x+3y) lars.
miviRebT gantolebaTa siste­mas:
.
e. i. erTi rveuli Rirs 0,4 lari = 40 TeTri.
erTi saxazavi Rirs 0,2 lari = 20 TeTri.
magaliTi 3.
amovxsnaT gantolebaTa sistemebi:
a)
a)
288
{
{
2x+3y=4
4x+6y=8
2x+3y=4
4x+6y=8
;
b)
| {
⇔
{
2x+3y=4
4x+6y=9
2x+3y=4
2x+3y=4
;
g)
{
2x+3y=4
4x+5y=10
.
gantolebaTa
sistemas
akmayofi­
lebs nebismieri (x;y) wyvili, ro­melic
2x+3y=4 gan­tolebis amonaxsenia.
13. algebruli Sekrebis xerxi
b)
g)
{
{
2x+3y=4
4x+6y=9
| {
4x+6y=8
⇔
2x+3y=4
4x+5y=10
{
a 1x+b 1y=c 1
a 2x+b 2y=c 2
a1 b c1
Tu a = 1 = c ,
2 b2
2
sistemas amonaxseni ar aqvs.
4x+6y=9
sistemas aqvs uamravi
amonaxseni
sistemas aqvs erTaderTi amonaxseni (–1;2).
a1 b c1
Tu a = 1 ≠ c ,
2 b2
2
sistemas amonaxseni ar aqvs
daakvirdiT a), b), g) sistemebis koeficientebs da gaakeTeT
Sesabamisi daskvna.
a1 b
Tu a ≠ 1 ,
2 b2
sistemas aqvs erTaderTi
amonaxseni
savarjiSoebi:
1 amoxseniT algebruli Sekrebis xerxiT:
a)
;
e)
b)
;
; v)
g)
; z)
;
; d)
;
T)
.
2 amoxseniT algebruli Sekrebis xerxiT:
a)
; b)
e)
;
T)
; g)
; d)
v)
;
; i)
;
;
z)
k)
;
.
3* dawereT y = kx + b saxis gantoleba, Tu misi grafiki gadis:
a) A(2;5) da B(3;–1);
b) M(–4;3), N(2;–7) wertilebze.
4 wrfivi funqciis grafiki kveTs sakoordinato RerZebs (–5;0) da
(0;11) wertilebSi. dawereT es funqcia.
5 wrfivi funqcia kveTs abscisaTa RerZs wertilSi, romlis
abscisaa 4, xolo ordinatTa RerZs wertilSi, romlis
ordinataa 11. dawereT es funqcia.
6 ramdeni amonaxseni aqvs sistemas:
a)
{
2x–y=1
–6x+3y=2
; b)
{
–5x+2y=7
15x–6y=–21
.
7 tolferda samkuTxedis ferdis sigrZe 5 sm-iT naklebia misi
fuZis sigrZeze. ipoveT am samkuTxedis gverdebis sigrZeebi,
Tu misi perimetri 23 sm-ia.
289
V Tavi
8 ramdeni wlisaa mama an Svili, Tu mama Svilze 24 wliT ufrosia,
xolo 6 wlis Semdeg mamis wlovaneba 4-jer meti iqneba Svilis
wlovanebaze.
9 fermerma 24 traqtori da kombaini iyida. amasTan traqtori
1,4-jer meti, vidre kombaini. ramdeni traqtori da ramdeni
kombaini iyida fer­merma?
10 fermerma ori nakveTidan 460 t yurZeni aiRo. meore wels man
pirvel nakveTze mosavali gazarda 15%-iT, xolo meoreze _
10%-iT da orive nakveTidan aiRo 516 t yurZeni. ramdeni tona
yurZeni auRia fermers pirvel wels TiToeuli nakveTidan?
11
orniSna ricxvi 1,75-jer metia imave cifrebiT, oRond
Sebrunebuli TanmimdevrobiT Caweril ricxvze da 18-iT
metia Tavisive cifrTa jamze. ipoveT es ricxvi.
12 ori turisti erTmaneTis Sesaxvedrad gamovida, A da B
qalaqebidan, romelTa Soris manZili 30 km-ia. Tu pirveli
meoreze ori saaTiT adre gamova, isini erTmaneTs meore
turistis gamosvlidan 2,5 sT-is Semdeg Sex­vdebian; xolo
Tu meore pirvelze 2 sT-iT adre gamova, Sexvedra pirveli
turistis gamosvlidan 3 sT-is Semdeg moxdeba. ra manZils
gadis saaTSi TiToeuli turisti?
13 ori qalaqidan, romelTa Soris manZili 650 km-ia, Semxvedri
mimarTulebiT erTdroulad daiwyo moZraoba orma matare­
belma. 10 sT-is Semdeg isini erTmaneTs Sex­vdnen. Tu pirveli
matarebeli sadguridan meoreze 4 sT 20 wT-iT adre gamovi­
doda, maSin isini erTmaneTs meoris gamosvlidan 8 sT-is
Semdeg Sexvdebodnen. ipoveT TiToeuli matareblis siCqare.
14 or muSas erTad muSaobiT samuSaos Sesruleba 6 dReSi SeuZlia. Tu pirveli orjer nela imuSavebs, xolo meore 3-jer
Cqara, maSin isini sa­muSaos 4 dReSi Seasruleben. ramden dReSi
Seasrulebs samuSaos TiToeu­li muSa cal-calke muSaobiT?
15 ori mili 2 sT-is ganmavlobaSi avsebs auzis 5 nawils. Tu
12
pirveli mili 1 sT iqneba gaxsnili, xolo meore _ 3 sT, maSin
aivseba auzis 11 nawili. ra droSi aavsebs auzs marto pirveli
24
mili?
16 samgzavro matareblis Semadgenloba, romelSic Sedis erTi
orTql­mavali da 15 vagoni, iwonis 370,5 tonas. orTqlmavlis
wona 13,3 toniT metia oTxi vagonis wonaze. ipoveT erTi vagonisa da erTi orTqlmavlis wona.
17 or megobars 30 lari marTebs. TiToeuls aqvs Tanxis raRac
raode­noba, magram ara imdeni, rom cal-calke SeZlon valis
gadaxda. amitom erTi eubneba meores, _ momeci me Seni fulis
290
13. algebruli Sekrebis xerxi
2
da me gavistumreb vals. meore pasuxobs: Sen TviTon mome3
ci Seni fulis 3 da me SevZleb valis mTlianad gadaxdas~. ra
4
Tanxa hqonda TiToeuls?
18 SeadgineT orucnobiani wrfivi gantolebaTa sistema, Tu
cnobilia, rom am sistemis amonaxsenia:
a) (0;6);
b) (–3;–4);
g) (–1;2);
d) (5;–7).
19 TiToeuls mocemuli gantolebidan SeurCieT meore ganto­
leba ise, rom sistemas gaaCndes amonaxsenTa usasrulo
raodenoba:
a) 8x+y=5; b) 3x+4y=8;
g) 5x–2y=4; d) 7x–4y=16.
20 TiToeuls mocemuli gantolebidan SeurCieT meore ganto­
leba ise, rom sistemas amonaxseni ar hqondes:
a) 3x–4y=5;
b) 2x–7y=1;
g) 2x–5y=8; d) 4x–y=13.
{
x+ay=35
sistema.
bx+2y=27
cnobilia, rom (5;6) wyvili am sistemis amonaxsenia.
ipoveT a da b.
ax–3y=7
b) mocemulia
sistema.
5x+by=26
cnobilia, rom (10;6) wyvili am sistemis amonaxsenia.
ipoveT a da b.
21* a) mocemulia
{
{
ax+3y=11
.
5x+2y=12
Tu cnobilia, rom pirveli gantoleba x=5
mniSvnelobebisTvis WeSmarit tolobad iqceva.
22 amoxseniT sistema grafikulad:
da
y =–3
{
x+y=5
23 ipoveT a da b-s mniSvnelobebi, Tu sistemas
:
ax+2y=b
a) aqvs erTaderTi amonaxseni;
b) ar aqvs amonaxseni;
g) aqvs usasrulo raodenobis amonaxseni.
24* ipoveT b-s mniSvnelobebi, romelTaTvis sistemas aqvs erTi
mainc amonaxseni:
bx+2y=x+1
2x+by=b+3y–3
bx–y=1
a)
;
b)
;
g)
.
y=x+1
2x+4y=4
x=1+by
{
{
{
25 daasruleT winadadeba ise, rom miviRoT WeSmariti gamonaTqvami:
a) erTi muSa erT saaTSi asrulebs samuSaos x nawils, maSin igi
mTel samuSaos Seasrulebs ? ;
b) erTi muSa mTel samuSaos x saaTSi asrulebs. maSin igi 2 saaTSi Sea­srulebs ? .
291
V Tavi
26 SeadgineT y=kx+b gantoleba,romlis grafiki gadis Semdeg
wertilebze:
a) M(5;5) da N(–10;–19);
g) A(8;–1) da B(–4;17);
b) P(4;1) da N(3;–5);
d) C(–19;31) da D(1;–9).
27 aqvs Tu ara sistemas amonasni:
5x - 4y = 1
11x + 3y = 1
a) *3x + 1 = 13 ;
b) * 2x + y = 3 .
7 x - 5y = 1
5x + 2y = 4
ax - by = 2a - b
28 ipoveT a, b da c, Tu )
sistemis
^c + 1h x + cy = 10 - a + 3b
erT-erTi amonaxsnia wyvili (1;3).
29 amoxseniT sistema:
^x - 1h2 - ^x + 2h2 = 9y
a) )
;
^ y - 3h2 - ^ y + 2h2 = 5x
^7 + xh2 - ^5 + xh2 = 65
b) )
.
^2 - yh2 - ^6 - yh2 = 4x
30 ipoveT iseTi a parametris mniSvneloba, rom sistemas qondes:
1) erTi; 2) arc erTi; 3) uamravi amonaxsni:
x+y = 5
a) )
;
ax - 2y = 4
g
3x + 4y = 12
b) )
;
5x + ay = 8
x - 2y = 4
g) )
.
3x + ay = 12
31 ipoveT gantolebis amonaxsenTa simravle (miTiTeba: gamoyaviT sruli kvadrati):
a) 4x2 + 24x + 36 = 0;
g) 100x2 – 64 = 0;
b) –x2 + 16x – 64 = 0;
d) 49x2 – 100 = 0.
32 skolaSi 106 meSvideklaseli da sami meSvide klasia. daamtkiceT, rom erT meSvide klasSi mainc iqneba 35 bavSvze meti.
33 maTematikis wreze dadis 35 bavSvi. maswavlebelma Seadgina
sami gundi. daasabuTeT, rom erT gundSi mainc aRmoCndeba 12
bavSvze naklebi.
34 gamoTvaleT zepirad (axarisxebis gareSe):
a) 1322 – 1312;
b) 10012 – 10002;
g) 1512 – 1502.
35 daamtkiceT, rom oTxkuTxedis Siga kuTxeebis jamia 360°.
292
14. sistemebi, romlebic wrfiv
gantolebaTa sistemebze daiyvaneba
2
 2
amovxsnaT x - y = 0 gantolebaTa sistema.
x - 2y = 4
rogorc xedavT, sistemis pirveli gantoleba wrfivi ar aris (x da
y cvladebi meore xarisxSia), amitom zogierTi Tqvengani albaT
ifiqrebs: `rogor unda amovxsnaT, Cven xom aseTi sistemis amoxsna
jer ar gviswavlia~.
aseTma situaciebma ar unda dagvabnios. aseT dros miT ufro
saWiroa gaixsenoT is Teoriuli, Tu praqtikuli codna, rac
dRemde SegiZeniaT. sistemis pirveli gantolebis marcxena mxareSi mdgomi gamosaxulebis mamravlebad daSla xom CvenTvis cnobilia. x 2–y 2=(x–y)(x+y).
e. i. miviRebT sistemas
am sistemis amonaxseni ki iqneba meore gantolebis iseTi amonaxsnebi, romlebic daakmayofileben pirvel gantolebas, e. i. nulis
tolad aqceven x–y an x+y gamosaxulebas. maSasadame, miviReT
x + y = 0
x - y = 0
an 

x - 2y = 4
x - 2y = 4
4
4
pirveli sistemis amonaxsenia wyvili (–4;–4) meoris ki _  ; - 
3
3
(SeamowmeT Tavad!). cxadia, orive wyvili gamodgeba mocemuli
sistemis amonaxsenad.
rogori iqneba Cvens mier ganxiluli sistemis grafikuli amoxsna?
upirveles yovlisa, gavarkvioT ras warmoadgens sistemis pirveli gantolebis, x 2–y 2=0-is grafiki.
(x 2 - y 2 = 0) ⇔ ((x - y )(x + y ) = 0) ⇔ (x - y = 0 an x + y = 0) ⇔
⇔ (y = x an y = -x )
e. i. x 2–y 2=0 gantolebis grafiki iqneba y=x, y = –x wrfeTa erToblioba, radgan orive wrfis wertilTa koordinatebi akmayofilebs x 2–y 2=0 gantolebas.
293
V Tavi
y
x
y=
x–2
sakoordinato sistemaze avagoT:
a) y=x; y = –x; b) x–2y=4 gantolebaTa grafikebi
(nax. 1).
y=4
x
nax. 1-ze kargad Cans, rom x–2y=4 wrfe (lurji), y=x
da y = –x (wiTeli) grafikebs kveTs A(–4;–4) da wertilebSi.
–x
y=
nax. 1
magaliTi 1.
amoxseniT gantolebaTa sistema:
x 2 + x - 2xy - 2y = 0

2y - 5x = 10
amoxsna:
x 2 + x - 2xy - 2y = 0 
x (x + 1) - 2y (x + 1) = 0 
(x + 1)(x - 2y ) = 0 
 ⇔ 
 ⇔
⇔



2
y
5
x
10
=
2y - 5x = 10

2y - 5x = 10



.
 x + 1 = 0
x - 2y = 0 

⇔  
an 

2y - 5x = 10 
 2y - 5x = 10
amovxsnaT gantolebaTa TiToeuli sistema cal-calke.

x = -1 
x + 1 = 0
a) 
 ⇔ ( -1; 2,5) .
⇔


y = 2,5 
2y - 5x = 10 
5


x
y =- 




5.
 5
y =

b)  x - 2y = 0 
4
+
⇔ - ; - 
2
⇔
⇔

2
4
+
=
5
5
x
2
y
10



- 4x = 10 
x = - 


2
- 4x = 10

5 
 5
A = (- 1; 2,5 ),  - ; -  
4 
 2

savarjiSoebi:
1 amoxseniT gantolebaTa sistema:
294
2
2

a) 2,25 x - 4y = 0 ;
x + y = 5
(x - 3)2 - 9 = 0
b) 
.
2x + y = 1
(x - y )2 - (x + y )2 = 0
g) 
;
3x + 2y = 6
xy - y 2 + 2x - 2y = 0
d) 
.
y - 1 = 3 x
14. sistemebi, romlebic wrfiv gantolebaTa sistemebze daiyvaneba
2* aageT:
a) x - 2 = 1 ;
b) (x - 2)(2y + 3x - 1) = 0 ;
g) y + 3 = 3 .
gantolebis Sesabamisi grafiki.
3 amoxseniT Semdegi gantolebaTa sistemebi:
2
 2
a) 4x - y = 0 ; 2x - 3y = 3
4x 2 - 9 y 2 = 0
b) 
;
3x + 2y = 1
x 2 + xy - x - y = 0
g) 
; y + 1 = 2x
xy - y 2 + 3x - 3y = 0
d) 
.
y - 1 = 3 x + 1
4* aageT Semdegi gantolebis Sesabamisi grafiki:
a) 4x 2 - 9 y 2 = 0 ;
b) x 2 = 4y 2 ;
g) x = 2 ;
d) y = 3 ;
e) y = x ;
v) y = - x .
5* amoxseniT gantoleba: 4x 2 + 25 - 12x + y 2 - 8 y = 0 .
6* sakoordinato sistemaSi wiTlad gaaferadeT is wertilebi,
romelTa koordinatebi akmayofileben utolobas
a) y<1;
b) x>3;
g) y>–3x;
d) y<x.
7 meanabrem bankidan Tavdapirvelad gamoitana mTeli Tanxis 20%
da kidev 60 l. meored _ mTeli Tanxis 25% da kidev 20 l. amis
Semdeg mas bankSi kidev darCa 195 l. ra Tanxa hqonda meanabres
bankSi?
8 amoxseniT gantoleba: 2x 3 - 3x 2 + 8x - 12 = 0 .
4
2
9* daSaleT mamravlebad: a + a + 1 .
10 amoxseniT Semdegi gantolebaTa sistemebi:
a) )
y+x-1 = 0
;
y -x-1 = 0
g) )
e) )
b) )
x+3 y -1 = 0
;
x+y+3 = 0
y - 2x + 1 = 0
;
y- x -1 = 0
x-1 +y = 0
d) )
;
2x - y = 1
x + 2y - 6 = 0
;
x-3 -y = 0
v) )
x+y = 2
.
3x - y = 1
295
V Tavi
Seamowme Seni codna:
1 qvemoT mocemuli f, g da h Sesabamisobebidan funqciaa mxolod:
a) f;
b) g;
g) f da g;
d) f da h.
2 naxazze mocemuli grafikebidan funqciis grafikia mxolod.
y
y
f
x
a) f;
y
g
0
b) g;
h
0
x
g) g da h;
x
d) f da h.
3 Tu mocemulia f(x) = 3x2 – 5 funqcia, maSin f(–1)=
a) 3;
b) –8;
g) –2;
d) 0.
4 Tu f(x)=0 gantolebis amonaxsenia x=7, maSin f(x–5)=0 ganto­le­bis amonaxseni iqneba:
a) x = 0;
b) x = 2;
g) x = 12;
3
5
5 mocemuli funqciebidan I. y = x –
a) I;
d) x = 15 .
1
7
; II. y = 5· x + 3; III. y = 3x2 + 9 wrfivia:
3
b) II;
g) III;
d) arc erTi.
6 mocemuli wertilebidan (A 1;-4); B(0;-7); D(3;0) y=3x–7 funqciis grafiks ekuTvnis:
a) mxolod A;
b) mxolod B;
g) mxolod D;
d) A da B.
7 mocemuli wrfeebidan I. y=ax; II. y=ax+5; III. y=ax–1 koordinatTa saTaveze
gadis:
a) mxolod I;
b) mxolod II;
g) mxolod III; d) arc erTi.
8 romel sakoordinato meoTxedSi ar gaivlis y=2x+5 gantolebis grafiki?
a) I;
b) II;
g) III;
d) IV.
y
9 naxazze mocemuli wrfis ganto­le­baa:
296
a) y = 9x + 18;
g) y = 0,5x + 2;
b) y = –2x + 2;
d) y = 0,3x + 0,6.
–2
0
x
10 Tu naxazze mocemulia y=kx+b funqciis grafiki, maSin bk
SesaZlebelia udrides:
a) 5;
11
b) –3;
g) 4;
d) 1.
Tu f(x)=kx+b funqciisaTvis sruldeba f(–5)>f(–1) da
f(2– 5 ) = –2, maSin f wrfe gaivlis:
a) I, III da IV meoTxedebSi;
b) I, II da III meoTxedebSi;
g) II, III da IV meoTxedebSi;
d) I, II da IV meoTxedebSi.
12 f(x) = –0,5x+1; g(x) = 0,5x+1; h(x) = –0,5x–5; φ(x) = –0,5x–5 wrfeebidan paraleluria mxolod:
a) f da h;
b) g, h da φ;
g) f, h da φ;
d) h da φ.
13 ipoveT y = kx + b funqcia, Tu misi grafiki gadis (5;–2) wertilze da
paraleluria y = –0,5x+5 wrfisa.
a) y = 0,5x+0,5;
b) y = –0,5x+0,5;
g) y = 2x+5;
d) y = –0,5x+2.
14 koordinatTa saTavis mimarT A(-5;7) wertilis simetriuli wertilia:
a) (-5;-7);
b) (51;7);
g) (5;-7);
d) (-7;5).
15 A(2;3) wertilis ori momdevno simetriiT x da y RerZebis mimarT miviRebT:
a) A1(-2;3);
b) A1(-2;-3);
g) A1(2;-3);
d) A1(3;2).
16 koordinatTa saTavis mimarT A(5;5) wertilis saaTis isris sawinaaRmdego mimarTulebiT 90°-iani kuTxiTY mobrunebis Sedegad miRebuli
wertilis koordinatebia:
a) (-5;-5);
b) (0;5);
g) (5;0);
d) (-5;5).
17 Semdegi wyvilebidan 2y+3x=13 gantolebis amonaxsenia:
a) x=1; y=3;
b) x=3; y=2;
g) x=2; y=3;
d) x=3; y=4.
18 Tu orniSna ricxvis cifrTa jamia 17, maSin am cifrebis sxvaobis modulia:
a) 1;
b) 2;
g) 3;
d) 4.
19 2y=3x+5 da 3y=2x–5 wrfeebi:
a) paraleluria;
20
b) ikveTeba;
g) emTxveva.
 3y = 2x − 9

2
7 gantolebaTa sistemas aqvs:

 y = 3 x + 9
a) 1 amonaxseni;
b) 2 amonaxseni;
g) arc erTi amonaxseni;
d) uamravi amonaxseni.
297
V Tavi
V Tavis damatebiTi savarjiSoebi:
y
1 turisti A turbazidan B sadgurisken gae­marTa.
turistis moZraobis grafiki su­raTzea
gamosaxuli. gaarkvieT:
daSoreba A-dan km-Si
16 B
a) ramden saaTSi mivida turis­ti B sad­gur­Si;
12 N
8
M
4
0
1
2
3
4
5
x
dro saaTebSi
y sigrZe sm.
12
0
1
6
x
12
sigane sm.
b) ra manZili gaiara 1 sT-Si;
g) ra siCqariT moZraobda pirvel Sesve­nebamde
(M punqtamde);
d) ra dro moandoma bolo 6 km-is gavlas;
e) ra manZili gaiara moZraobis dawyebidan me-3
da me-4 saaTebs Soris;
v) ra siCqariT moZraobda M punqtidan N
punqtamde;
z) ipoveT turistis moZraobis saSualo siCqare.
2 naxazze
gamosaxulia
12sm2 farTobis
mqone
marTkuTxedis sigrZis misive siganeze damoki­
debulebis grafiki.
a) dawereT formula, romelic gviCvenebs mocemul
damokidebulebas.
b) ras udris aseTi marTkuTxedis sigane, Tu sigrZe 5
sm-ia, 8 sm-ia.
g) risi toli iqneba sigrZe, Tu sigane: 2 sm-ia;
1,5 sm-ia; 6 sm-ia.
d) aris Tu ara mocemuli damokidebuleba fun­qcia?
3* funqcia mocemulia y=2,5(x–1)–1,2(x–2,5) formuliT. aageT misi Sesabamisi
grafiki da grafikis mixedviT ipoveT:
a) y(0), y(-1,5), y(3); b) x, Tu y(x)=3,5; y(x)=2; y(x)=-1,5.
4 ipoveT funqciis gansazRvris are:
4x − 7
a) y = 3, 5x − 1 ;
b) y = 2
;
2
4
x
+ 12x + 9
8x + 1
1, 2
3, 7
d*) y = 4
;
e*) y =
;
2
x
−
1)(x 2 + 1)
(|
|
x + 6x + 9
g*) y =
2x + 5
;
(| x | −1)(| x | −3)
v) y = 7, 2x − 1 .
x4 −1
5 ricxviT simravleebs Soris davamyaroT aseTi damokidebuleba:
a) yovel wilads SevusabamoT Tavisive mniSvneli. magaliTad, 2 →6;
6
b) yovel ukvec wilads SevusabamoT Tavisive mniSvneli. aris Tu ara mocemuli
damokidebuleba funqcia? (pasuxi daasabuTeT).
298
6 yovel ricxvs SevusabamoT masze naklebi udidesi mTeli ricxvi. magaliTad,
5,7→5. aris Tu ara mocemuli damokidebuleba funqcia?
7 funqcia mocemulia y=2x+4 formuliT. SeavseT cxrilSi carieli ujrebi:
x
1
5
3
a)
b)
y
0
d)
0
–1,5
0
e)
y
y
0
x
v)
0
x
7
g)
y
x
y
–2
x
y
0
x
x
nax. 1
8 1-el naxazze mocemuli wirebidan romelia raime funqciis grafiki?
a)
y
0
d)
b)
0
e)
x
g)
0
x
y
y
y
0
x
0
x
x
v)
y
0
x
y
nax. 2
299
V Tavi
9 me-2 naxazze mocemuli grafikebidan romelia wrfivi funqciis grafiki?
10 Semdegi formuliT mocemuli funqciebidan romelia wrfivi:
5x–1
a) y =
b) y=x(3x+1);
g) y=5x(x-1)-5x2+7;
;
9
5x2–7x
d) y=(x-1)2-(x+3)2;
e) y=(2|x|-1)+x;
v) y =
.
x
11
daadgineT, ekuTvnis Tu ara A(1;2) ; B(30;-35) ; C(-2;-13) da D(-75;90) wertilebi
y=3,5(2x-1)-2(x-0,25) formuliT mocemuli funqciis grafiks.
12* ipoveT k, Tu y=kx-2,5 gantolebis grafiki paraleluria y=-2x gantolebis
grafikisa. aageT miRebuli gantolebis grafiki da ipoveT sakoordinato
RerZebidan CamokveTili monakveTebis sigrZeebi.
13* dawereT wrfivi orucnobiani gantoleba, romlis grafiki gadis A(-2;5)
wertilze da paraleluria y=3x–1 gantolebis grafikisa.
14* mdebareobs Tu ara erT wrfeze A(2;3); B(1;5); C(7;9) wer­tilebi?
15 dawereT funqcia, romelic tolferda samkuTxedis:
a) fuZesTan mdebare kuTxes uTanadebs fuZis mopirdapire kuTxis gare
kuTxes;
b) fuZis mopirdapire kuTxis gare kuTxes uTanadebs fuZesTan mdebare
kuTxes.
16* Caatares dakvirveba, ramden rZes iwvelida kviraSi saSualod erTi Zroxa.
gamoirkva, rom 3 wlis saqoneli kviraSi iZleva 58 l, xolo 7 wlisa ki _ 65 l
rZes. 3-dan 8 wlamde saqonlisTvis funqcia: wlovaneba → rZis raodenoba,
SeiZleba CaiTvalos wrfiv funqciad.
a) aageT f funqciis grafiki.
b) ramden litr rZes mogvcems 5 wlis Zroxa?
g) ra asakis Zroxa iwvelis kviraSi 60 l rZes?
17* grafikis gareSe daadgineT, ikveTeba Tu ara y= –1,3x–0,7, y=3x–5 da y=0,5x–2,5
funqciaTa grafikebi erT wertilSi.
y
0
300
x
18 naxazze mocemulia y=f(x) funqciis grafiki.
ipoveT:
a) gansazRvris are;
b) mniSvnelobaTa simravle; g) f(x)=0 gantolebis
fesvebi;
d) Sualedebi, sadac f(x) Rebulobs dadebiT,
uaryofiT mniSvnelobebs;
e) f(x)-is umciresi, udidesi mniSvneloba.
V Tavis damatebiTi savarjiSoebi:
y
f
19 naxazze mocemulia f(x) = –x+3 da y=g(x) wrfeebi.
dawereT g wrfis gantoleba.
–2
0
x
y
g
1
20 naxazis mixedviT dawereT f wrfis gantoleba, Tu f
da g wrfeebi paraleluria.
f
y
(–2;3)
2
x
–3
g
21
f
0
0
4
x
2x2 – 4x
22* aageT y = x – 2
y(3); y(–2,5).
naxazis mixedviT dawereT f wrfis gantoleba.
funqciis grafiki: a) grafikis saSualebiT ipoveT y(–1);
b) x-is ra mniSvnelobebisTvis Rebulobs funqcia: a) dadebiT; b) uaryofiT
mniSvnelobebs? g) ra mniSvnelobebs Rebulobs funqcia, roca 3≤x≤5?
d) wiTlad gaaferadeT grafikis is nawili, romlisTvisac sruldeba piroba: x>1.
23* aageT y=(2x–3)2–4(x–1)2–3 funqciis grafiki.
grafikis saSualebiT ipoveT: a) x-is is mniSvnelobebi, romlebisTvisac
–1<y<3; b) y-is is mniSvnelobebi, romlebisTvisac –5<x<–1;
g) wiTlad gaaferadeT grafikis is nawili, romlisTvisac sruldeba piroba x≤3.
24* a-s ra mniSvnelobisaTvis ekuTvnis a) A(a;-2), b) B(2a-1;1,5) wertili y=3x
funqciis grafiks?
25* ipoveT k, Tu y=kx–2,5 funqciis grafiki paraleluria y=–2x funqciis
grafikisa. aageT miRebuli funqciis grafiki da ipoveT sakoordinato
RerZebidan CamokveTili monakveT-ebis sigrZe.
26* dawereT formula wrfivi funqciisa, Tu cnobilia, rom misi grafiki paraleluria y= –x+7 wrfisa da gadis y= –0,5x+1 da y=2x–6,5 funqciaTa grafikebis
gadakveTis wertilze. aageT miRebuli funqciis grafiki da ipoveT mis mier
koordinatTa RerZebidan CamokveTili monakveTebis sigrZe.
301
V Tavi
27* grafikulad daadgineT a-s ra mniSvnelobebisTvis eqneba gantolebas
1) erTaderTi amonaxseni; 2) arcerTi amonaxseni; 3) uamravi amonaxseni:
a) ax = x+2;
b) (a–1)x = 5x;
g) (a+1)x = 5.
28 mocemuli gantolebebidan romelia wrfivi orucnobiani gantoleba:
a) 5x – 7y + 8 = 0; b) ax – 8 + 9y = 0;
g) x2 – ay = 0;
d) xy – 2x = 0.
2x + 5y
29 a)
= 8 da b) 8x2 – 5xy = 1 gantolebebidan y cvladi gamosaxeT x-is sa7
SualebiT.
30 ipoveT a-s mniSvneloba, Tu cnobilia, rom wyvili a) (3;–3); b) (5;–7) aris
(a–1)x+y=2a–1 gantolebis amonaxseni.
31 saaxalwlod maro bebom bazarSi gasayidad qaTmebi da indaurebi waiyvana.
TiTo qaTami 6 larad, xolo TiTo indauri 18 larad gayida. ramdeni qaTami da ramdeni indauri gauyidia maro bebos, Tu sul 54 lari aiRo?
32 ipoveT naturalur ricxvTa yvela wyvili, romelic akmayofilebs Semdeg
gantolebebs:
a) xy=24;
b) 2x+3y=30;
g) x+y=10;
d) (x–1)y=20.
33 ipoveT a) 3x – 5,7y = 4; b) 5x – xy + 2y = 7 gantolebis grafikis x da y RerZeb­
Tan gadakveTis wertilebis koordinatebi.
34 8x – 3,5y = 9 gantolebis grafiki gadis a) A(2;*), b) B(*;2) wertilze. varskvlavis nacvlad CasviT saTanado ricxvebi.
35 romel sakoordinato meoTxedebSi gadis gantolebaTa grafikebi:
a) 5x – 7y = 9;
b) 4x + 9y = –4; g) 3y = 2x – 4,5.
36* daamtkiceT, rom 4x–6y=7 gantolebis grafiks ar ekuTvnis arc erTi wertili, romlis koordinatebi mTeli ricxvebia.
37 ipoveT a-s mniSvneloba, Tu ax+(5a–1)y=1 gantolebis grafiki gadis:
a) A(–1; 3); b) B(2;-3) wertilze. a-s Sesabamisi mniSvnelobisaTvis aageT mocemuli gantolebis grafiki.
38 2x–5y=1 da (2a–1)x+y=a wrfeebi ikveTeba A(3;*) wertilSi. varskvlavis nacvlad CasviT saWiro ricxvi da ipoveT a-s mniSvneloba.
39* b-s ra mniSvnelobisaTvis ikveTeba bx+2y=5 da x+y=4 wrfeebi x RerZze mdebare wertilSi?
40 amoxseniT grafikulad Semdegi sistemebi:
{
{
302
{
a) 7x − 2y = 3 ;
x + 3y = −2
b) 5x + y = 1 ;
g) 3y + x = −2 ;
y =1
d) x + y = 1 .
y−x =3
−8x − y = 3
{
V Tavis damatebiTi savarjiSoebi:
41 sistemis amouxsnelad gaarkvieT, aqvs Tu ara amonaxseni Semdeg sistemas,
da Tu aqvs, ramdeni.
3x − 0, 5y = 1
a) 
;
1
2x − y = 4
3

{
b) 5x − 7 y = 1 ;
8x + y = 3
g)
{
5x − 3y = 1
;
x − 0, 6y = 0, 2
d)
{
2x − y = −9
.
x + 7y = 3
42* ipoveT c-s is mniSvneloba, romlisTvisac sistemas 1. amonaxseni ar aqvs;
2. aqvs uamravi amonaxseni; 3. aqvs erTaderTi amonaxseni: (c≠0).
a)
{
cx + 3y = 17
;
4x − 10y = 45
b)
{
0, 2x + cy = 11
;
−x + 20y = −56
g)
{
(c + 7)x − cy = 75
.
5x − 4y = 5
43 SeadgineT iseTi wrfivi gantoleba, rom man 2x–7y=1 gantolebasTan erTad
Seadginos sistema, romelsac: 1) eqneba erTaderTi amonaxseni, 2) uamravi
amonaxseni, 3) ar eqneba amonaxseni.
44 amoxseniT gantolebaTa sistemebi:
a)
d)
{
{
15x + 23y + 3 = 0
;
12x + 15y + 33 = 0
b)
25x − 4y + 1 = 0
;
31x − 5y + 16 = 0
e)
{
{
2x + y = 5
;
y = 3x
g)
2x = 1 − y
;
y = x −5
v)
{
{
2x − 3y = 8
.
7x − 5y = −5
5x + 6y = 13
.
7x + 18 = −1
45 ikveTeba Tu ara: a) 5x–4y=1, 3x–21y=13, 7x–5y=1;
b) 11x + 3y = –1, 2x = 3–y, 5x – 4 = –2y wrfeebi erT wertilSi?
46 kveTs Tu ara 2x–5y=1 wrfe I sakoordinato kuTxis biseqtrisas? (pasuxi
daasabuTeT).
47 dawereT wrfivi gantoleba, Tu misi grafiki gadis A(8;1) , B(3;-7) wertilebze.
48 arsebobs Tu ara 3x–4y=1 wrfeze wertili, romlis: a) ordinata 4-jer metia abscisaze; b) abscisa da ordinata mopirdapire ricxvebia; g) abscisa
k-jer metia ordinataze?
49 Tu ori naturaluri ricxvidan pirvels 3-s davumatebT, miviRebT meore
ricxvs. Tu meore ricxvs gavzrdiT 2-iT, maSin igi pirvelze 2-jer meti
aRmoCndeba. vipovoT es ricxvebi.
50 da Zmaze 6 wliT ufrosia. erTi wlis Semdeg ki masze 2-jer ufrosi iqneba.
ramdeni wlisaa axla TiToeuli?
51* ipoveT xuTi naturaluri ricxvi, romlebic 4-ze gayofisas naSTSi gvaZleven 3-s da 7-ze gayofisas ki _ 5-s.
52 pijaksa da SarvalSi 160 l gadaixades. mas Semdeg, rac pijakis fasma 20%iT, xolo Sarvlis fasma 25%-iT daiklo, maTi Rirebuleba 125 l gaxda. ra
Rirs pijaki da Sarvali?
303
V Tavi
53 Tu ori ricxvidan pirvels 10%-iT gavzrdiT, da meores 10%-iT SevamcirebT, meore 1-iT meti iqneba pirvelze. xolo Tu pirvels 20%-iT gavadidebT da meores 20%-iT SevamcirebT, miRebuli ricxvebis jami 2-iT naklebi aRmoCndeba Tavdapirveli ricxvebis jamze. ipoveT Tavdapirvelad
mocemuli ricxvebi.
54 Tu marTkuTxedis sigrZes 6 metriT gavadidebT, xolo siganes 3 metriT
SevamcirebT, maSin marTkuTxedis farTobi ar Seicvleba. marTkuTxedis
farTobi ar Seicvleba im SemTxvevaSic, Tu mis pirvandel sigrZes SevamcirebT 3 metriT, xolo siganes gavadidebT 2,4 metriT. ipoveT marTkuTxedis sigrZe da sigane.
55 ori sxvadasxva zomis yuTebiT manqanaSi detalebis raRac raodenoba CatvirTes. didi yuTi detalebTan erTad iwonis 24 kg-s, patara ki _ 19 kg-s.
ramdeni didi da ramdeni patara yuTi CatvirTes, Tu tvirTis saerTo wonaa 709 kg?
56* `asi frinvelis amocana~ Cineli maTematikosis Cang-Ciu-Cienis wignidan,
485 w.
`erTi mamali Rirs 5 sapeki, erTi qaTami 3, da 3 wiwila _ 1 sapeki.
ramdeni dedali, mamali da wiwila SeiZleba iyidon 100 sapekad, ise,
rom maTi saerTo raodenoba iyos 100~?
57 ipoveT gantolebis mTeli amonaxsnebi:
a) 4x2 – y2 = 7;
b) x2 – xy – 6y2 = 14;
g) 2x + 5y = 8;
d) 6x + 2y = 15.
58* amoxseniT gantolebaTa sistemebi:
1 1
 + =6
a)  x y
; 3 5
 − = −14
x y
miTiTeba:
1 8
x − y = 8
b) 
.
5 4
 − = 51
x y
1
1
≡a;
≡b.
x
y
59 amoxseniT Semdegi gantolebaTa sistemebi:
a) )
2
2
x - y = 16
; x+y = 8
^x + 2yh2 = 9
g) )
;
2x - y = 1
4x - 9y = 24
b) )
;
2x + 3y = 6
2
2
x -y = 0
d) )
.
5x + 7y = 12
2
2
60 amoxseniT gantolebaTa sistemebi:
a) )
x + 2y = 2
;
2x - 3 y = 1
b) )
x - y = 12y - 11
.
y + 1 = 2x
x " x+5
61 dawereT y=g(x) funqcia, romelic miiReba y=f(x) funqciis )
paray = y-2
leluri gadataniT, Tu:
a) f(x)=3x–4;
304
b) y=2,5x–1;
g) y=1,5x+2.
rTuli amocanebi
1 ramdeni wrfe gaivleba wyvil-wyvilad aRebul xuT wertilze, romelTagan
arc erTi sami erT wrfeze ar mdebareobs?
2 ramdeni wrfe gaivleba wyvil-wyvilad aRebul n wertilze, romelTagan arc
erTi sami erT wrfeze ar mdebareobs?
gamoTvaleT, roca: a) n=20; b) n=50.
3 ramdeni xerxiTaa SesaZlebeli SevarCioT 2 bavSvi olimpiadisTvis:
a) 4 bavSvidan; b) 7 bavSvidan.
4 romeliRac Tvis sami xuTSabaTi luw ricxvebs daemTxva. kviris ra dRe iyo
am Tvis 26 ricxvi?
5 safexburTo turnirSi monawileobs 25 gundi. turniri mimdinareobs principiT _ yvela xvdeba yvelas erTxel. sul ramdeni TamaSi Sedgeba?
6 giorgim skolis kibeze ipova ucnuri rveuli. masSi ewera asi winadadeba;
`am rveulSi zustad erTi mcdari winadadebaa~,
`am rveulSi zustad ori mcdari winadadebaa~,
`am rveulSi zustad sami mcdari winadadebaa~,
`..........................................................................................~
`..........................................................................................~
`am rveulSi zustad asi mcdari winadadebaa~.
aris Tu ara am winadadebebidan romelime WeSmariti, Tu cnobilia, rom
rveulSi sxva araferi ewera.
7 safexburTo turnirSi monawileobs 25 gundi. SeiZleba Tu ara, rom yvela
gundma iTamaSos:
a) zustad 7 TamaSi;
b) zustad 10 TamaSi?
8 fexburTze dadis 18 bavSvi. aqedan cxra ukve SerCeulia gundis ZiriTadi
SemadgenlobisaTvis. (gundis ZiriTad SemadgenlobaSi 11 moTamaSea). ramdeni
xerxiT SeiZleba gundis dakompleqteba?
9 dawereT umciresi xuTniSna uaryofiTi mTeli ricxvi, romelSic cifrebi
ar meordeba.
10 aCveneT, rom Tu ori mTeli ricxvis jami da erT-erTi Sesakrebi iyofa c
ricxvze, maSin meore Sesakrebic gaiyofa c ricxvze. ganixileT:
a) c=4;
b) c=7; g) c=13.
11
ratom ar arsebobs ricxvi, romlis 15-ze gayofisas naSTia 6, xolo 24-ze
gayofisas naSTia 4?
12 buratinos gakveTilze ricxvebis Sekreba daavales. magaliTis gadawerisas
man ramdenime Secdoma dauSva: erT-erT SesakrebSi erTeulebis TanrigSi
3-ianis nacvlad 9-iani gadmowera, meore SesakrebSi aseulebis TanrigSi
7-iani CaTvala 1-ianad, xolo mesame SesakrebSi aTaseulebis TanrigSi
6-ianis nacvlad 5-iani Cawera. amis Semdeg man Sekriba es ricxvebi da miiRo
72438. Sekrebisas mas axali Secdoma ar dauSvia. ra pasuxs miiRebda buratino, sworad rom gadmoewera magaliTi?
13 amoxseniT gantoleba:
a) ((2(x+1)+10):5+8)–6=30;
b) (((((5x+7):2–1):2+25):3+4)=70.
14 romeliRac Tvis sami xuTSabaTi luw ricxvebs daemTxva, kviris ra dRe iyo
am Tvis 26 ricxvSi?
305
15 giorgis imdenive Zma yavs, ramdenic da, xolo mis das _ mariams, orjer
meti Zma yavs, vidre da. ramdeni da-Zmaa ojaxSi?
16 daamtkiceT, rom:
a) nebismieri ori momdevno mTeli ricxvis namravli iyofa orze;
b) nebismieri sami momdevno mTeli ricxvis namravli iyofa eqvsze.
17 daamtkiceT, rom Tu n samze meti martivi ricxvia, maSin (n–1)(n+1) iyofa 24-ze.
18 ipoveT n2-is 5-ze gayofis SesaZlo naSTebi.
19 wina savarjiSos daxmarebiT daamtkiceT, rom Tu mTeli n ricxvi ar aris
5-is jeradi, maSin (n2–1)(n2+1) namravli iyofa 5-ze.
20 daamtkiceT, rom naturaluri ricxvis kvadratis samze gayofisas SesaZlo
naSTia 0 an 1.
21 daamtkiceT, rom n3+11n iyofa 6-ze nebismieri mTeli n ricxvisTvis.
22 zazam uTxra ninos: `me Cavifiqre ori naturaluri ricxvi, romelTa jami
70-is tolia, maTi kvadratebi ki erTmaneTisagan 144-iT gansxvavdeba, ra
ricxvebi Cavifiqre me?~
dafiqrda ra, ninom upasuxa: `aseTi ricxvebi ar arsebobs.~ ratom? rogor
mixvda amas nino?
a (a - 1)
23 daamtkiceT, rom nebismieri mTeli a-sTvis
mTeli ricxvia.
2
24 VIIa klasSi 25 moswavlea. daasabuTeT, rom sami bavSvi mainc aris erTsa da
imave TveSi dabadebuli.
25 skolaSi 106 meSvideklaseli da sami meSvide klasia. daamtkiceT, rom erT
meSvide klasSi mainc iqneba 35 bavSvze meti.
26 maTematikis wreze dadis 35 bavSvi. maswavlebelma Seadgina sami gundi.
daasabuTeT, rom erT gundSi mainc aRmoCndeba 12 bavSvze naklebi.
27 klasSi 30 bavSvia. sakontrolo weraSi giorgim dauSva 13 Secdoma,
danarCenebma ki naklebi. daamtkiceT, rom sul cota samma bavSvma dauSva
Tanabari raodenobis Secdoma (Tundac arc erTi).
28 magidis CogburTis SejibrSi monawileobda erTnairi Semadgenlobis
gundebi, sul 145 vaJi da 87 gogona, ramdeni vaJi da ramdeni gogona iyo
TiToeul gundSi?
29 maswavlebelma gaigona minis Camsxvrevis xma da maSinve Sevida saklaso
oTaxSi. iq daxvdnen daTo, merabi, vaxtangi da goCa. goCam Tqva, rom
mina daTom gatexa, daTo amtkicebda, rom damnaSave merabi iyo, merabi
irwmuneboda, rom daTo tyuoda, xolo vaxtangi Tavs imarTlebda, mina me
ar gamitexavso. male gairkva, rom mxolod erTma moswavlem Tqva simarTle.
vin Catexa mina?
30 romeliRac qalaqSi cxovrobs 8 milioni adamiani. TiToeul maTgans Tavze
aqvs araumetes 100 000 Tmis Reri. daamtkiceT, rom am qalaqSi aris 80 adamiani
mainc, romlebsac erTi da imave raodenobis Tmis Reri aqvT.
31 diliT Citebis gundi xesTan mifrinda. TiToeul totze dajda 7 Citi, xolo
ori xis garSemo dafrinavda. saRamos Citebis igive gundi kvlav Camojda
imave xeze; TiToeul totze 8 Citi dajda, amasTan erTi toti Tavisufali
darCa. ramdeni Citia gundSi da ramdeni toti aqvs xes?
306
rTuli amocanebi
32 daamtkiceT, rom nebismierad arCeuli 12 naturaluri ricxvidan yovelTvis
moiZebneba ori, romelTa sxvaoba iyofa 11-ze.
33 sami megobari nino, Tamazi da vaxtangi monawileobdnen maTematikis
respublikur olimpiadaze. miiRes erTi pirveli, erTi meore da erTi mesame
xarisxis diplomi. magram maT amis Sesaxeb araferi icodnen. mogvianebiT
maTze erT-erTma megobarma giorgim ase Tqva: ninom ver miiRo I xarisxis
diplomi, Tamazma ver miiRo meore, xolo vaxtangma ki meore xarisxis
diplomi miiRo. rogor ganawilda diplomebi olimpiadaze, Tu cnobilia,
rom giorgis warmoTqmuli winadadebebidan marTali mxolod erTia.
34 daamtkiceT, rom nebismieri sami naturaluri ricxvidan romelime oris
jami an sxvaoba gaiyofa 3-ze.
35 daamtkiceT, rom nebismieri xuTi naturaluri ricxvidan erT-erTi, an
ramdenimes jami iyofa 5-ze.
36 daamtkiceT, rom 5m2+2=12n2 gantolebas ar SeiZleba hqondes amonaxseni
mTel ricxvebSi.
37 daamtkiceT, rom oTxi momdevno mTeli ricxvis namravli iyofa 24-ze.
38 daamtkiceT, rom yvela aaa saxis samniSna ricxvi iyofa 3-ze da 37-ze.
39 a, b da c martivi ricxvebia. amasTan ori maTganis kubebis sxvaoba mesamis
tolia. ipoveT es ricxvebi.
40 daamtkiceT, rom (834 – 443) 10.
41 ramdeni samniSna ricxvi SeiZleba SevadginoT Semdegi cifrebiT: 3; 4; 7; 2
(ricxvebSi erTnairi cifrebi ar unda ganmeordes).
42 oTaxSi 12 kacia, romelTagan zogierTi yovelTvis tyuis, danarCenebi ki
yovelTvis simarTles amboben. erTma maTganma Tqva: `aq arc erTi marTali
adamiani ar aris~, meorem: `aq ar aris erTze meti marTali adamiani~. mesame
ambobs: `aq ar aris orze meti marTali adamiani~ da a.S. me-12-m Tqva: `aq ar
aris TerTmetze meti marTali adamiani~ ramdeni marTali adamiania oTaxSi?
43 klasSi 30 moswavlea. maTgan zogierTi megobrobs. daamtkiceT, rom or
moswavles mainc megobarTa erTi da igive raodenoba hyavs.
44 daamtkiceT, rom samniSna ricxvisa da igive cifrebiT, oRond Sebrunebuli
rigiT Cawerili ricxvis sxvaoba ar SeiZleba iyos romelime naturaluri
ricxvis kvadrati.
45 daamtkiceT, rom 3x – y = –5, –x + 10y = 21, 11x+21y=31 gantolebaTa grafiki
p(–1; 2) wertilze gadis.
46 gantolebaTa sistemis amonaxsenia wyvili (x0;y0), a-s ra mniSvnelobisaTvis
iqneba x0 > 0 da y0 > 0.
47 daamtkiceT, rom nebismieri eqvsniSna ricxvi romlis bolo sami cifri
emTxveva pirvel sam cifrs (Cawerili imave mimdevrobiT) iyofa 7-ze, 11-sa
da 13-ze.
48 qarxanaSi muSaoben xaratiSvili, zeinkliSvili, durgliSvili da
mWedliSvili. TiToeuli maTgani flobs erT-erTs Semdegi oTxi
profesiidan: xarati, zeinkali, durgali da mWedeli. magram arc erTis
307
profesia ar Seesabameba Tavis gvars. SekiTxvaze, ra profesiis arian isini,
muSebma upasuxes:
xaratiSvili _ durgalia,
zeinkliSvili _ xarati,
mWedliSvili _ durgali araa,
durgliSvili _ mWedeli araa,
Semdeg gairkva, rom am oTxi winadadebidan mxolod erTia marTali. ra
gvaria zeinkali?
49 daamtkiceT, rom x5y = xy5 + 2003 gantolebas ara aqvs amonaxseni mTel
ricxvebSi.
50 daSaleT mamravlebad: a4+a2+1.
51 axali xididan baraTaSvilis xidamde manZils, navi mtkvarze 1,5 saaTSi gadis,
xolo ukan brundeba 2,5 saaTSi. ra dro dasWirdeba am gzis gasavlelad tivs?
52 mSenebeli yovel diliT 8 sT-ze Camodioda matarebliT sadgurze. zustad 8
saaTze iqve modioda manqana da mihyavda igi mSeneblobaze. erTxel mSenebeli
Camovida dilis 7 saaTze da fexiT gaemarTa mSeneblobisken. Sexvda ra gzaSi
manqana, Cajda masSi da mSeneblobaze gamocxadda Cveulebrivze 20 wuTiT
adre. ra dros uCvenebda saaTi mSeneblis manqanasTan Sexvedris momentSi?
53 ipoveT sami martivi ricxvi, romelTa jami xuTjer naklebia maTsave
namravlze.
54 naturaluri ricxvebi, dawyebuli 1-dan, Camoweres erTmaneTis miyolebiT
Sualedebis gareSe: 123456789101112.... romeli cifri aRmoCndeba 1997-e
adgilze?
55 erTmaneTs Sexvda sami megobari _ maTematikosi wiTlanaZe, fizikosi
WrelaSvili da musikosi TeTraZe, `sainteresoa, rom erT-erT Cvengans
ukeTia wiTeli, meores TeTri, xolo mesames Wreli halstuxi da arc
erTi CvenTaganis gvari misi halstuxis ferze ar migvaniSnebs~ _ SeniSna
TeTrhalstuxianma. `marTali xar~ _ daeTanxma mas wiTlanaZe. ra feris
halstuxi ukeTia fizikoss?
56 arsebobs Tu ara iseTi wigni, romlis gverdebis dasanomrad saWiro iqneba
zustad 2023 cifri?
57 ori ricxvis umciresi saerTo jeradi 240-is tolia, xolo maTi udidesi
saerTo gamyofi udris 8-s. ipoveT es ricxvebi, Tu cnobilia, rom am
ricxvebidan mxolod umciresi Seicavs mamravlad 5-s.
58 dafaze mimdevrobiT ewera garkveuli wesiT SerCeuli aTi ricxvi. viRacam
me-9 ricxvi waSala. ai, ra darCa: 2, 3, 5, 9, 17, 33, 65, 129, ..., 513. ra ricxvi
waSales?
59 oTxi ricxvis jami 64-is tolia. pirveli ricxvi ise Seefardeba meores,
rogorc 5:6, meore mesames rogorc 2:3, mesame meoTxes, rogorc 3:4. ipoveT
es ricxvebi.
60 x-isa da y-is romeli naturaluri mniSvnelobisaTvis aris samarTliani
toloba 3x + 7y = 23 ?
61 iraklim kiTxvaze, Tu ra nomer saxlSia misi bina, upasuxa: `Cemi saxlis
nomris cifrebisagan SeiZleba 6 gansxvavebuli orniSna ricxvis Sedgena.
308
rTuli amocanebi
am ricxvebis jamis naxevari Cemi saxlis nomris tolia~. ra nomer saxlSi
cxovrobs irakli?
62 10 yuTSi aris monetebi, aqedan 9 yuTSi namdvili monetebia, romelTagan
TiToeuli iwonis 10 grams, xolo meaTeSi _ yalbi monetebi, romelTagan
TiToeuli iwonis 11 grams. gvaqvs saswori, romelic sagnebis 1 g sizustiT
awonvis saSualebas iZleva. rogor davadginoT erTi awonviT, romel yuTSia
yalbi monetebi?
63 qaRaldis 5 furclidan ramdenime daxies, TiToeuli 5 nawilad. miRebuli
qaRaldebidan kidev ramdenime daxies 5-5 nawilad da a. S. SeiZleba Tu ara
ramdenime aseTi operaciis Semdeg miRebuli qaRaldebis saerTo raodenoba
gaxdes 1996?
64 daamtkiceT, rom kacobriobis istoriaSi mcxovrebi yvela im adamianebis
ricxvi, romlebsac kentjer aqvT xeli CamorTmeuli sxvisTvis, aris luwi.
65 wignidan amovarda misi raRac nawili. amovardnili nawilis pirveli gverdis
nomeria 387, xolo bolo gverdis nomeri ki igive cifrebisagan Sedgeba.
ramdeni gverdi amovarda sul wignidan?
66 mebaRem dakrifa 45 TeTri, 90 wiTeli da 120 Cais vardi. am yvavilebidan man
unda Sekras erTnairi Sedgenilobis Taigulebi SesaZlo meti raodenobiT
(e. i. yovel TaigulSi unda iyos erTi da igive raodenobis TeTri vardi,
erTi da igive raodenobis wiTeli vardi da erTi da igive raodenobis
Cais vardi). ramdeni aseTi Taigulis Sedgena SeuZlia mebaRes ise, rom
gamouyenebeli yvavilebi ar morCes?
67 erTi kolofi feradi fanqrebis sayidlad maikos daaklda 7 TeTri, xolo
ekas _ 2 TeTri. maT gadawyvites saziaroT eyidaT fanqrebi magram aRmoCnda,
rom arc maSin eyoT fuli. ra Rirda erTi kolofi feradi fanqrebi?
68 erT-erT qveyanaSi mosaxleobis 85%-ma icis franguli ena, 70%-ma _
inglisuri, xolo 50%-ma _ germanuli. ipoveT mosaxleobis umciresi
procenti, romelmac icis samive ena.
69 10 m simarRlis boZze dacocavs lokokina. igi dRisiT 5 m-ze acocdeba, xolo
RamiT Camococdeba 4 m-ze. ramdeni dRe dasWirdeba mas, rom boZis wveros
miaRwios?
70 ramdeni nuliT mTavrdeba 1-dan 25-mde CaTvliT yvela naturaluri ricxvis
namravli?
71 romeli ricxvia meti: 3500 Tu 5300 ?
72 kolofSi 10 wiTeli, 8 lurji, 8 mwvane da 4 yviTeli fanqaria. sul cota
ramdeni fanqari unda amoiRo kolofidan TvaldaxuWulma, rom maT Soris
aucileblad moiZebnos:
a) 4 erTnairi feris fanqari;
b) yvela feris TiTo fanqari;
g) 6 mwvane fanqari.
73 ipoveT naturalur ricxvTa yvela wyvili, romlebic akmayofileben
gantolebas x 2 - y 2 = 69 .
2
2
74 amoxseniT gantoleba ( x - 2 y) + (1 - x + y) = 0 .
309
75 SeiZleba Tu ara TefSebian sasworze mxolod erTi erTkilogramiani
sawonis gamoyenebiT 4 awonviT 13 kg fqvilis awonva?
76 sulxan-saba orbelianis Txzulebidan `sibrZne-sicruisa~.
rogor unda gaiyos samma Zmam 30 Txa da 60 cikani, Tu 10 Txas TiTo cikani
hyavs, 10-s or-ori, da kidev 10-s sam-sami ise, rom TiToeul Zmas Tanabrad
Sexvdes, amave dros arc erTi cikani dedas ar moacilon.
18* safexburTo turnirSi monawileobs 25 gundi. turniri mimdinareobs
principiT _ yvela xvdeba yvelas erTxel. sul ramdeni TamaSi Sedgeba?
19* giorgim skolis kibeze ipova ucnuri rveuli. masSi ewera asi winada­deba;
`am rveulSi zustad erTi mcdari winadadebaa~,
`am rveulSi zustad ori mcdari winadadebaa~,
`am rveulSi zustad sami mcdari winadadebaa~,
`..........................................................................................~
`..........................................................................................~
`am rveulSi zustad asi mcdari winadadebaa~.
aris Tu ara am winadadebebidan romelime WeSmariti, Tu cnobilia, rom
rveulSi sxva araferi ewera.
5 $ 6 $ 7 $ 8 $$$$$ 29 $ 30
20* mocemulia wiladi
, sadac mricxvelSi gadamravlebulia
3 $ 3 $$$$$ 3 $ 3
5-dan 30-is CaTvliT yvela naturaluri ricxvi, xolo mniSvnelSi n cali
3-iani. n-is ra udidesi mniSvnelobisTvis iqneba mocemuli wiladis mniSvneloba naturaluri ricxvi?
38 legendis mixedviT, erT didi xnis daviwyebul qveyanaSi iyo taZari,
sadac idga sami kerpis qandakeba _ simarTlis, sicruis da diplomatiis.
qandakebebi garegnulad erTnairebi iyvnen, erT mwkrivSi idgnen da
adamianebs kiTxvebze pasuxobdnen, oRond aravin icoda, romeli qandakeba
romeli kerpis iyo. simarTlis kerpi yovelTvis marTals ambobda, sicruis
_ yovelTvis ityueboda, xolo diplomatiis _ xan cruobda, xan simarTles
ambobda.
erTxel, erTi axalgazrda glexi Sevida taZarSi da hkiTxa yvelaze marjvniv
mdgom qandakebas: `romeli kerpia Sens gverdiT?~. qandakebam upasuxa:
`simarTlis~. axla yvelaze marcxniv mdgom qandakebas hkiTxa glexma igive.
`sicruis kerpi~ _ upasuxa qandakebam. `Sen vin xar?~ _ hkiTxa glexma Sua
qandakebas. `diplomatiis kerpi~ _ iyo pasuxi. `yvelaferi gasagebia~, _
Tqva glexma, gareT gamovida da yvelas acnoba, romeli qandakeba romeli
kerpis iyo.
rogor mixvda glexi amas?
310
pa s u xeb i
I Tavi.
1.2. 2. a) 14 ; b) 9; g) 24; d) 4 12 . 4. a) 5n; b) 7+n; g) 2n+3; d)
7n - 2
+ 6.
. 5. 12
3n
p
9. a) 3600a; b) 1440x; g) 50
x ; d) 3,6a. 15. a) (1·2+3)·4·5; b) 111–11; g) (5+5+5+5)·5;
3
d) 123+45–67+8–9.
1.3. 9. ara. 10. a) 2+2+2; b) 2·2· 2; g) 2+2:2; d) 2–2:2; e) (2–2)·2; v) 22:2; z) 22–2.
2. 9. a) a<b; b) a>b. 10. ara. 12. oTxi. 13. 38 . 15. a) 4; b) 3. 16. 5k+1.
3. 5. 640 000 sm2. 6. a) 125 sm3; 150 sm2; b) 6a2; a3. 7. a) gaizrdeba 27-jer; gaizrdeba
9-jer; b) Semcirdeba 8-jer; Semcirdeba 4-jer. 9. 16. 14. 15m. 15. 30. 16. 2048 lari.
21. 74032. 22. kvira. 23. 43 . 24. 20; 12. 25. 2.
4. 1. a) 2340; 2345; b) 3872; 3876; g) 2511; 2541; 2571; d) 4509; 4599; e) 3780; v) 2124; 5124;
8124. 2. 3-ze. 3. ara. 4. 28. 5. 97315. 7. a) 135; b) 720. 8. a) ki; b) ara. 9. A. 10. A. 11. C.
12. C. 13. C. 14. B. 15. 6 000 l. 16. 23; 34; 45; 56; 67; 78; 89.
5. 2. 45. 10. a) 93780; 53784; 13788; b) 4725; g) 28950; 28956; d) 5670; 5688; 5616; 5634;
5652. 12. 3. 14. 42840; 42444; 42048; 42948. 15. 7. 16. 12; 24; 36; 48; 19. b. 23. g. 24. 10.
25. b. 26. a) kvira; b) 53; g) 52. 25. a) orSabaTi; b) samSabaTi; g) paraskevi. 28. ara.
30. 3. 31. kvira. 32. 12 . 33. 3:2. 34. 67,5.
6. 2. a) m; b) W; g) W; d) W; e) m: v) W. 3. {27; 52; 77}. 6. a) W; b) m: g) m: d) W. 8. oTx. 9. 101.
10. a) 9; b) 3; 12. ara. 13. 84.
7. 2. a) ∅; b) nebismieri erTelementiani simravle; g) ara. 11. a) luwi; b) luwi;
g) kenti; d) kenti. 12. 90. 13. 1. 14. 194. 16. 100.
8. 7. a) {2}; b) {1;2;3;4;6;8}. 8. a) 0; b) 33. 9. 24. 10. ori. 12. ara. 13. g. 14. mecxre.
16. 1007. 17. ki. 18. a) <; b) >.
9. 1. a) 4; b) 4; g) 6; d) 2; e) 2; v) 2. 3. a) 15; 0; b) 25; 10. 10. 99-23-56. 11. a) 160 m; b) 120 m;
g) 100 m; d) 100 m; e) 220 m.
I Tavis damatebiTi savarjiSoebi: 3. a) W, b) mc, g) mc, d) W. 4. a) 1-sa da 2-s Soris. 5. 204. 6. 67. 11. a) W; b) mc; g) W; d) W. 16. b) 20. 18. a) 512; b) 207; g) 4150512; d) 10;
e) 17,98. 20. a) 5 da 15; b) 7,5 da 22,5. 21. 37; 74; 121. 24. a) 0; b) 6; g) 0; d) 9. 25. 353. 26. 961.
30. a) 7n+1; b) 5n+3; g) 3n+2; d) 10n+8; e) 5n; v) 6n. 31. 290. 32. 80. 36. a) 3; b) 2; g) 20; d) 1;
e) 1. 49. a) 52; b) 946. 50. a) 2; b) 6; g) 1 an –1; d) 2 an –2. 51. a) 3,5; b) 8; g) 6; d) 4. 56. a)
401; b) 110. 57. 5. 59. 0. 65. b) 625. 84. 97. 88. 22 an 7. 89. 7. 92. a) ki; b) ara. 94. ara. 96.
ara. 98. a) 24; b) 30.
II Tavi.
1. 7. 69; 8. 400 km; 9. a) ki; b) ara; g) ki. 10. 40°. 12. kentebi 49-iT. 14. orSabaTi.
2. 18. 2 sT. 19. 75°; 105°. 20. 35. 10. 40°;
3. 4. 17. 8. a; d. 9. 8,75. 10. a) 29; b) 34.
311
1 ; g) 79 ; T) 1 ; i) 1 . 3. a) 8; g) 5 . 7. a) 600 kg. 8. a) 40 t;
4. 1. a) 3%; d) 28%; e)90%. 2. a) 50
4
2
5
100
b) 6,8 t; g) 60 t; d) 16 t. 9. a) 25%; b) 12,5%; g) 37,5%; d) 37,5%. 10. a) 46%; b) 28%; g) 32 %.
12. 120 km; 16. 5%; 17. 5 km. 21. a) 150; d) 55. 23. 25. 24. 60 l. 26. 60°. 27. 140 km. 29. 100°. 30.
2000 lari. 31. 1 lari. 32. a) 375 kg; b) 160 kg. 33. a) 25; b) 20. 35. 37,5%; 62,5%. 36. 15%;
85%. 38. a) 50%; b) 25%; g) 40%; d) ≈33%; e) ≈33%; v) 37,5%. 39. 25%. 41. 20%. 42. 97,75.
44. 1 . 45. 17. 46. 180. 47. g.
3
5. 2. a) 20; b) 25. 4. 25. 5. 75,9 l. 7. 20. 8. 97,75. 9. 25. 11. 200. 14. 4.
6. 6. 160 km. 7. 5. 8. 400 g. 17. 364 l; 208 l. 20. 0,6 kg; 0,8 kg; 2,6 kg. 8. 6 sm; 9 sm. 9.
96,875 g. 11. 20 sm; 15 sm. 26. a) 125; b) 216; 135. 27. a) 42 l; b) 495 l; 110 l. 18. 45°; 75°;
60°. 21. 1:7. 24. 1520 l; 640 l; 480 l; 400 l. 43. 20%. 45. 50 t. 47. x=1; y=3 an x=2; y=1.
7. 1. a) ki; b) ara; g) ara; d) ki. 2. 8; 6; 4. 4. 12 km/sT. 5. 56; 64. 6. 700; 120. 7. 1420 gr.
8. 5 dRe. 9. 4,8. 12. 360l; 400l; 480l. 14. a) 7; b) 1; g) 4. 15. a) 5,5; 7; 7; 8.
Tema: 1. 2l, 4l. 2. 80%. 3. 24. 4. 12%. 5. 10
l. 6. 4,5%. 7. 4kg; 8kg. 8. 67 kg; 15
kg. 9. 4l.
3
7
10. 0,25 l - glicerini; 1,75 l - wyali. 11. 2-jer. 12. 99 l.
II Tavis damatebiTi savarjiSoebi: 2. ≈100%; 3. a) 11; 11; 10,3 da 9; 4. 205 kg;
5. a) 20%; b) 29%; g) 50%. 7. tolia; 8. Semcirda. 9. Semcirda. 11. a) mtversasruti;
b) 15; g) ≈10,5; d) 45 da 47,5; 12. 600 l; 17. 100%-iT; 19. a) 36 sm; b) 18 sm; g) 6 sm.
20. 5kg. 21. 100 kg. 22. 12; 16; 20. 23. 4410 da 10290; 24. a) 108 da 36; b) 54 da 4; 25. a) 30;
b) 55; g) 21; d) 7. 28. a) 120 dRe; a) 16 dRe; g) 180 dRe. 30. 22,5 sT. 32. a) 43; b) 17,2%.
33. a) 150 l; b) 187,5 l. 37. 280. 40. 15. 41. 50%. 42. 20;40. 45. 40000l. 51. 72. 52. 20.
54.
r-q
. 55. 9:35. 56. 7 kg; 21 kg. 57. 9 kg. 62. 11.
p-r
III Tavi.
1. 1. a) 10 sm-iT maRla, b) 10 sm-iT dabla. 8. –1°; 9. 2°. 10. A an B. 22. a) II miliT;
b) 75%; 80%. 23. 30%. 24. a) 13; 14; 15; 16; 17. g) ar arsebobs. 27. 6. 28. 51318>12723. 29. ara.
2. 11. a) mc.; b) W.; g) mc.; d) W. 12. g). 14. 6,14 lari. 15. 120. 16. 896 l. 18. 300. 19. 99-e.
20. 12.
3. 1. a) meore an merve; b) mexuTe. 4. a) 21,9; b) 10,3; g) 4,36; d) –7; e) 4. 9. a) ±1; b) ±12; g) 0;
d) ∅. 13 a)mc; b)W; g)W; d)W; e)W. 14. a) x=8 da x = 2; b) x=2 da x = –8. 16. a)5, –5; b)8,5, –8,5;
g) 0; d) ∅. 26. 18. 27. 250.
4. 8. 1 qula. 9. a) W; b) W; g) mcd.; d) mcd. 37. 13. 38. meore.
5. 2. a)16; b)-32; g) -27; d)625; e)64; 5. a) 625; b) –216; g) –0,027; d) 0,000064. 9. a) –6°;
b) –10°. 10. B(_17). 17. a) 25%; b) 33%. 18. 6. 19. 15. 20. kata.
6. 5. a)–6; b) 7,8; g) 0. 6. a) 2a; b) 2a–7; g) 0. 9. ara, 11. 8 sT.
312
7. 8. 8. 9. 5. 13. a) –5; b) –4,4; g) 2,5; d) ∅. 15. a)±1; b) 0; g) ∅; d) 5; e) 9 da 5; v) ∅. 22. a) ±3;
b) ±4; g) 1; d) ∅. 23. a) 2;- 32 ; b) –4; 22
g) - 32 ;- 72 ; d) - 74 ; 94 . 24. a) 3; b) ∅; g) ∅; d) –4.
3
27. 80. 28. 50. 29. 26.
24
6
8. 4. a) - 11
; g) - 13
. 5. a) 3; b) 12; g)
+
5
35
; d) - 16 . 6. a) 13
. 10. a) 2a 3 4 ; b) 12 - 2k ;
2
2c - 0, 7
g) –3,75a. 11. a) Tu c≠0, x =
; Tu c=0, x∈∅; b) Tu c≠–5, x = 7c+ 1 ; Tu c=–5, x∈∅;
c
c 5
g) Tu a≠ 52 , x = 1 -2a ; Tu a= 52 , x∈∅; d) Tu a≠- 32 , x=2a+3; Tu a= 32 , x∈R; e) Tu a≠- 15 ,
2a 5
+
5k
x=1; Tu a=- 15 , x∈R; v) Tu m≠3, x = 3m- 5 ; Tu m=3, x∈∅; z) Tu k≠0,5, x = ; Tu
3k 1, 5
m 3
-1
+1
b
4
d
k=0,5, x∈∅. 13. a) Tu b≠0, x = b ; Tu b=0, x∈∅; b) Tu d≠0, x = d ; Tu d=0, x∈∅;
1
g) Tu a≠2, x = ; Tu a=2, x∈∅. 12. a) m ≠ ±2; b) m = –2; g) m = 2.
2 a
9. 1. a) 6; b) 9; g) 10. 4. 25 da 50; 5. 5 sm, 10 sm da 10 sm. 7. 30° da 150°. 8. 18 sm; 7 sm.
12. 26; 28; 30. 13. 10; 40. 14. 60km/sT. 16. 200 kg. 17. 1411; 1089. 18. ar SeiZleba.
19. 200; 100; 600. 20. 4 dRe. 21. 4. 22. 4. 23. 75°, 37,5° da 67,5°; 24. -2,1; 25. 420 km;
26. 100 m/w. 27. ar SeiZleba. 28. 4. 29. 312,5 kg; 12,5 kg; 25 kg. 30. 7 sm; 10 sm. 31. 20 kg.
33. 4; 8; 24; 96. 34. 400 g; 80 g; 75 g. 35. 20 km/sT. 36. 50 km/sT. 38. –65; –39. 39. 271.
40. 1000. 41. 20°; 40°; 120°. 44. a) 18; b) 30; g) 60. 45. fexburTi _ 15, kalaTburTi _
20 da xelburTi _ 25. 48. vaxtangi.
III Tavis damatebiTi savarjiSoebi: 7. 2. 8. –16 an 6; 9. a) –21,1; b) 5; g) –1; d) 1,5.
10. a) ±7; b) ∅; g) 1; d) 5 an 1; e) 4 an 3; v) 0 an 4. 13. a) 5 da –2; b) –7 da 3. 14. a) 5; b) 3;
g) –2. 16. 2; 3; 4; 5; 7; 13. 20. 85. 21. 5. 22. 20°; 100°. 24. 500. 25. 24 l. 26. 6sm. 27. 10 sm.
28. 5 sm. 29. 20 sm; 15 sm; 14 sm. 30. 2,5 lari. 31. 22°. 36. 12 km/sT. 37. 30. 38. 5 km; 12 km.
39. 11,5; 9. 40. 12. 41. a) a=–2; b) a≠–2; a≠ 1 ; g) a= 1 . 42. a) 0; b) 2 .
3
3
5
IV Tavi.
1. 8. a) 16, b) 5, g) 4, d)
27
,
125
e) 1 . 15. a) 14; b) 7. 19. a) 3; b) 1; g) 3; d) 5. 20. a) 2·720.
7
24. a) mcd; b) mcd; g) mcd; d) W. 28. 60 km/sT. 29. 38%-iT.
2. 2. a) 3; b) 9; g) 12; d) 8; e) 2; v) 4. 3. a) 108a4b3; b) 0,3m3n4; g)
1 5 7
xy;
9
z) –108a11·b13.
4. a) (9a2)2; b) ( 5 a2x2z4); g) (0,3y6)2. 7. miTiTeba: a) 381=34·20+1; b) 738=74·9+2; g) 3.
6
3
3. 6. a) 3; b) 1,23; g) 1 23 ; d) –2; e) – 32 . 8. a) 4,4; b) 225
; g) –22,5. 13. 5 . 14. p(x)=x3+2x.
48
15. a) 2x+1; b) 8x–31.
4. 5. a) 4–x; b) a; g) –6x–32y; d) –4ab. 6. a) 0; b) –3x2–4y2. 7. a) 3a2b; 14. a) 216; b) 1; g) 100; d) –1.
5. 11. a) –1; b) –2,5; g) 2; d) 8. 13. a) 3; b) 1; g) 2; d) 45 .
1
7. 7. 65. 8. a) 60; b) 12 da 5. 23. a) –1; b) –1. 25. a) –20; b) 74 ; g) – 32 ; d) – 12
. 27. a) –9; b) 25.
28. 98. 29. x=1; y=–1; 1. 30. a) ∅; b) x= 2 ; y= – 3 .
8. 12. a) 0;
5
; b) – 1 ; g) 3 ; – 3 ; d) –5;
2
2
2
2
3
2
3; e) 0; –3; 3; v) 2; –5. 18. a) 1; –2; b) 4; 3; g) 1; –1;3;
313
d) 2; –2; –1; e) 0; 2; v) 0; –4; z) –6; 2; T) 5; –1; i) 0; 4; –2. 22. 20. 23. 30. 25. 600 m3.
IV Tavis damatebiTi savarjiSoebi. 24. a) 1 ; b) 3; g) 2; d) 3. 28. 79; 638. 32. 6; 18; 30.
34. 1,2; 4,2; 9,2; 5,4. 45. a) 3; b) 0. 46. a) 1,8; b) 1 ; e) 1; v) –2. 49. a) 0; 2; b) 0; –1; g) 0; –2;
d) 0; 5.
48
V Tavi.
1. 8. a) 3; b) 2; g) 9; d) 0. 14. a) C(–2); b) C(–3). 15. a) 12 ; b) 1.
2. 5. a) P(–4;1); b) 35; g) (–0,5;–4) da (0,5;1). 8. a) M(–1;–1); K(4;3); b) (–4;0); (0;0); (6;0); g) (2;2);
d) (–4,7;1,5); (1,5; 1,5); (5,5; 1,5); (–5;2); (2;2); (5,2;2). 17. 875000.
3. 7. f(0)=7; f(2)=3; f(–2)=3; f(5)=–18; f(–5)=–18. 10. a) 30%; b) 70%; g) 0,1. 11. a) 30300l;
b) 5000l. g) 2525l; d) 3000l.
4. 1. a) R; b) x≠2; d) x≠±1,5. 6. y=10–0,8x. 8. y=500–60x. 11. 35. 13. 10 dRe.
b
5. 1. a); b); d); v). 8. a) g; b) p; g) f; d) φ. 10. –11; –10;...–4. 12. a) 1–64b6; b) a2–1; 6a–9. g) 1 .
a
7. I. 7. a) –50. b) 9. d) 1. 8. 30; 60; 90. II. 8. ara. 11. a) k≠0. b=7; b) k≠3; b=0. 13. b) da d).
15. a) (11; 37); b) (–11; –12,5): g) (3;5); d) (–4;–13). 16. y=3x+7. 18. a=–2; AK=13. 20. k=6.
29. a) 3; b) 11; g) –14; d) 5. 33. y=|x|+2. 35. 24.
8. 2. a) y=- 53 x +3. 3. x=–3. 4. a) erTi; b) ori; g) arc erTi. 9. a) 8,5 km/sT; b) 2sT.
10. 150. 12. levani — 50; kaxa — 4,30; daTo — 7,20.
9. 6. 3. 7. 12 . 13. x=y=6. 16. 2520. 18. a) 5n–3; b) 8n–2.
10. 1. a) (2;8); (5;5); b) (9;8); g) (3;5); d) (4;1).
314
wignSi gamoyenebuli maTematikuri niSnebis cxrili
|a| – a ricxvis moduli
– iyofa unaSTod
– ar iyofa unaSTod
N – naturalur ricxvTa simravle
Z – mTel ricxvTa simravle
Q – racionalur ricxvTa simravle
R – namdvil ricxvTa simravle
{a;b} – simravle, romlis elemen­
tebia a da b
≥ , ≤ – aramkacri utolobis niSnebi
an – a ricxvis n xarisxi
ab –
orniSna ricxvi (a aTeuliT,
b erTeuliT)
A={1;2}, A={(1;2)} – gantolebis
amo­naxsenTa simravle
|| – paraleluria
|| – ar aris paraleluri
⊥ – marTobuli
∈ – ekuTvnis (simravles)
∠ – kuTxe
∉ – ar ekuTvnis (simravles)
≡ – aRvniSnoT
∅ – carieli simravle
⇒ – gamomdinare
– qvesimravle (simravlis)
° – gradusi
– TanakveTa (simravleTa)
′ – minuti
– gaerTianeba (simravleTa)
– rkali
> , < – mkacri utolobis niSnebi
315
berZnuli anbani
Α
Β
Γ
Δ
Ε
Ζ
Η
Θ
Ι
Κ
Λ
Μ
Ν
Ο
Π
Ρ
Σ
Τ
Υ
Φ
Χ
Ψ
Ω
AB
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θ
ι
κ
λ
μ
ν
ξ
ο
π
ρ
σ
τ
υ
φ
χ
ψ
ϖ
alfa
beta
gama
delta
efsiloni
Zeta
eta
Teta
iota
kapa
lambda
miu
niu
qsi
omikron
pi
ro
sigma
tau
ifsiloni
fi
xi
fsi
omega
laTinuri anbani
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
q
r
s
t
u
v
w
x
y
z
a
be
ce
de
e
ef
Je
haS
i
iot, Ji
ka
el
em
en
o
pe
qu
er
es
te
u
ve
dubl-ve
iqs
igrek
zet
damxmare literatura:
1. e. benduqiZe - maTematika. seriozuli da saxaliso “nakaduli”. Tbilisi.
1988 w.
2. a. benduqiZe - maTematikuri narkvevebi. “legia”. 1995 w.
4. j. kiknaZe - azris jaWvi. “inteleqti”. Tbilisi, 2001 w.
5. m. kopaleiSvili - mogzauroba ricxvTa samyaroSi. ganaTleba. 1989 w.
6. T. ebanoiZe - werilebi. qarTvel maTematikosebze. “mecniereba”. 1981 w.
7. Энциклопедический словарь юного математика. Издательство „Педагогика“.
1985 г.
316
sarCevi
Tavi I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.
2.
3.
VI klasSi Seswavlili masalis gameoreba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
gamosaxulebaTa mniSvnelobebis Sedareba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
ricxvis naturaluri xarisxi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4. gayofadobis niSnebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
jgufuri mecadineoba: viTamaSoT! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5. ricxvTa gayofadobis zogierTi Tviseba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
es sainteresoa: evklides algoriTmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6. simravle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7. simravleTa toloba. qvesimravle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8. simravleTa TanakveTa da gaerTianeba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
jgufuri mecadineoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
9. simravleTa sxvaoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
I Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Tavi II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.
2.
3.
4.
monacemebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
monacemTa warmodgena cxrilebiT, diagramiT, piqtogramiT . . . . . . 69
monacemTa saSualo, moda, mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
procenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Seamowme Seni codna: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5. amovxsnaT amocanebi procentebze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6. proporcia, proporciuli sidideebi. ricxvis dayofa proporciul
nawilebad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7. ukuproporciuli sidideebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Tema: ariTmetikuli saSualos gamoyeneba amocanebis amoxsnisas . . 102
II Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Tavi III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
1. uaryofiTi ricxvebi. ricxviTi RerZi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. racionaluri ricxvebis Sedareba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. ricxvis moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. moqmedebebi, racionalur ricxvebze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. gamravlebis ganrigebadobis kanoni, frCxilebis gaxsna . . . . . . . . .
6. gantoleba, gantolebis amoxsna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. wrfivi erTcvladiani gantolebis amoxsna . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. amocanebis amoxsna gantolebebis meSveobiT . . . . . . . . . . . . . . . . 9. problemis moZieba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tema: amocanebis amoxsnis xelovneba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
121
124
128
138
140
145
150
159
163
165
169
317
Tavi IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
xarisxis Tvisebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . erTwevri. erTwevrebis gamravleba da axarisxeba . . . . . . . . . . . . .
mravalwevri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
erTwevrisa da mravalwevris namravli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mravalwevrebis namravli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . igiveoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Semoklebuli gamravlebis formulebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mravalwevris daSla mamravlebad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kubebis jami da kubebis sxvaoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mravalwevris gayofa mravalwevrze. mravalwevris fesvi . . . . . . . es sainteresoa: Semoklebuli gamravlebis formulebis gamoyeneba
miaxloebiT gamoTvlebSi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tema: paskalis samkuTxedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Tavis damatebiTi savarjiSoebi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Seamowme Seni codna: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
176
178
181
184
187
189
196
201
204
206
207
208
214
Tavi V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
1. mimdevroba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. sakoordinato sibrtye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. funqciis cneba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. funqciis mocemis xerxebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. funqciis grafiki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. paraleluri gadatana. RerZuli simetria, centruli simetria . . . 7. wrfivi funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. pirdapirproporciulobis funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. y=kx+b wrfivi funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. wrfivi gantolebisa da utolobis grafikuli amoxsna . . . . . . . . . jgufuri mecadineoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . es sainteresoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. wrfivi orucnobiani gantoleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. amovxsnaT gantoleba mTel ricxvebSi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. orucnobian gantolebaTa sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12. wrfiv gantolebaTa sistemis amoxsna Casmis xerxiT . . . . . . . . . . . 13. algebruli Sekrebis xerxi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. sistemebi, romlebic wrfiv gantolebaTa sistemebze daiyvaneba . . .
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . rTuli amocanebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pasuxebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
318
216
222
228
235
240
244
252
252
256
266
270
271
272
276
279
283
287
293
296
298
305
311