ელ.ჯწწ-V-თავი (1)

V Tavi 1. mimdevroba 1. nikam legos figurebiT pirvel naxazze gamosaxuli formis `kedeli~ aago. a) ramdeni legos figura iqneba 25-e rigSi, Tu pirvel rigSi 100 legos figura devs. b)* ramdeni legos figura daWirdeba 100 rigis Sevsebas? amoxsna: a) naxazze advilad SeamCnevT, rom yovel Semdeg rigSi 1 figuriT naklebi devs. amitom, Tu pirvel rigSi legos 100 figuraa, maSin meoreSi 100–1=99 figura iqneba, mesameSi 100–2=98, meoTxeSi 100–3=97 da a.S. albaT amCnevT kanonzomierebas! _ 25-e rigSi iqneba 100–24=76 legos figura. rigebSi figurebis raodenobas Tu TanmimdevrobiT CamovwerT, miviRebT naturalur ricxvTa Semdeg mimdevrobas: , romelic SeiZleba ase davaxasiaToT: mimdevrobis pirveli wevria 100, bolo 1, amave dros yoveli wevri 1-iT naklebia wina wevrze. b) figuraTa saerTo raodenoba tolia mimdevrobis wevrTa jamis. 100+99+98+...+46+45+...+3+2+1 = = (100+1)+(99+2)+(98+3)+ ... +(51+50) = = 101 + 101 + ... + 101 = 101·50 = 5050 50-jer e.i. saWiroa 5050 legos figura. davajgufoT Semdegnairad sul 50 Sesakrebia amocana 1. avtomanqana, romelmac zestafonidan Tbilisisken daiwyo mo Zraoba, 1 saaTis Semdeg quTaisidan 95 km-iT daSorebuli aRmoCnda, 2 saaTis Semdeg 155 km-iT, 3 sT-is Semdeg – 215 km-iT. xolo 4 sT-is Semdeg 275 km-iT. ra manZiliT iqneba daSorebuli avtomanqana quTaisidan 7 saaTis Semdeg, Tu vigulisxmebT, rom igi moZraobda Tanabrad. amoxsna: ricxvTa 95, 155, 215, 275, ... mimdevroba gviCvenebs, rom avtomanqanasa da quTaiss Soris manZili yovel saaTSi 60 km-iT izrdeba, anu mimdevrobis yoveli wevri winaze 60-iT metia. Tu Tqven mimdevrobas gaagrZelebT momdevno sami wevriT, miiRebT, rom 7 saaTis Semdeg es manZili 455 km-is toli iqneba, magram risi toli iqneba am mimdevrobis 105-e, 237-e da a.S. wevrebi? am da sxva SekiTxvebze pasuxs momdevno klasebSi gavcemT. ganxilul mimdevrobas mudmivi nazrdis mqone mimdevroba ewodeba. 216 ?  moiyvaneT mudmivi nazrdis mqone ricxviT mimdevrobaTa magaliTebi. amocana 2. SemoRobil adgilSi axladdabadebuli wyvili kurdReli gauSves. patrons ainteresebs, Tu ramdeni wyvili kurdReli daugrovdeba mas 1 wlis mere. cnobilia, rom wyvili kurdReli erTi Tvis Semdeg yovel TveSi aCens axal wyvils, xolo axaldabadebuli wyvili ki _ ori Tvis Semdeg Tavis dabadebidan. es amocana 1202 wels leonardo fibonaCim ganixila Tavis naSromSi “wigni abakze” (berZn. - saangariSo CarCo). am amocanas amoxsnis procesSi miiReba SesaniSnavi mimdevroba. bonaCis vaJiSvili leonardo (daaxl. 1180-1240 w.) daibada italiaSi qalaq pizaSi. mas pizelebs mokled fibonaCis (bonaCis vaJiSvili) eZaxdnen. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... romelic fibonaCis mimdevrobis saxeliTaa cnobili. daakvirdiT am mimdevrobis wevrebs. SeecadeT, ipovoT is kanonzomiereba, rasac fibonaCim miagno. Tu ver mixvdebiT, gaiTvaliswineT Cveni rCeva: daakvirdiT ricxvebs dawyebuli mesamedan, rogor miiReba igi wina ricxvebisagan? miageniT? yoCaR. maSin ipoveT me-12 wevri. Tu sworad daTvaleT, miiRebdiT, rom erTi wlis ganmavlobaSi wyvilebis raodenoba iqneba 144. magaliTi. mocemuli mimdevrobis wevrebs Soris ipoveT kanonzomiereba da gaagrZele igi 3 wevriT: a) 4, 8, 16. 32, ... b) 4, 8, 13, 19, ... g) –1, 1, -1, 1,... d) 2, 1, 1, 2, 1, 1, ... ; e) ipoveT `d~ mimdevrobis 565-e wevri. amoxsna: a) yoveli Semdegi wevri miiReba wina wevris 2-ze gamravlebiT. 64, e.i. sami momdevno wevri iqneba: 64, 128, 256. b) meore ricxvi pirvelze 4-iT metia. mesame meoreze 5-iT metia. meoTxe mesameze ki 6-iT metia. e.i. mimdevrobis wevrebi izrdeba jer 4-iT, Semdeg 5-iT, Semdeg 6-iT, da a.S. momdevno sami wevria 26, 34, 43. 217 V Tavi g) da d) mimdevrobebSi wevrebi periodulad meordeba: g) –1, 1, –1, 1, –1, 1, –1. d) 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1; e) 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, . . . mimdevrobaSi wevrebi periodulad meordeba. mimdevrobis periodia `2,1,1~. 565-is 3-ze gayofisas naSTi 1-is tolia. e.i. 656-e wevri iqneba 2 (igive, rac pirveli wevri). SeavseT gamotovebuli adgilebi: CasviT mimdevrobis gamotovebuli wevrebi: 1. 1, 8, 27, ? , ? , ? ; 2. 1, 4, ? , 27, ? , ? ; 3. 2, 7, 12, 17, ? , ? , ? ; 4. a+1, 3a+1, 5a+1, ? , ? , ? ; 5. 3x, 6x, ? , 12x, ? , ? . savarjiSoebi: 1 dawereT mimdevrobis pirveli 5 wevri, Tu pirveli wevria 7 da yoveli momdevno wevri winaze: a) 3-iT metia; b) 4-iT naklebia; g) 7-iT naklebia; d) 2-jer metia; e) 2-jer naklebia. 2 ricxvia mocemuli mimdevroba gaagrZeleT 4 ricxviT: a) 11, 21, 31, ...; b) 8, 10, 13, 17, ...; g) 5, 5, 10, 15, 25, ...; d) 3, 0, –3, ...; 1 1 1 1 e) 1, 2 , 4 , , ... ; v) 1 , 19 , 27 , ... ; 3 8 z) a+4, 2a+4, 3a+4, ...; T) a–1, a–3, a–5, ... . 3 yovel deda futkars ori biologiuri mSobeli hyavs – deda futkari da mama futkari. magram yovel mama futkars erTi mSobeli hyavs - mama futkari. daxazeT deda futkris 7 Taobis winaprebis genealogiuri xe. daadgineT, ramdeni winapari hyolia 1 deda futkars yovel TaobaSi. mzesumzira kargi magal iTia fibonaCis mimdevrobisa. yovel wreSi marcvlebis raodenoba wina or wreSi marcvlebis raodenobis jamis tolia. 218 4 nodars macivarSi 700 dolari unda gadaexada. aprilSi mas 200 dolari hqonda, maisSi - 250 dolari, ivnisSi - 300 dolari. romel TveSi SeZlebs nodari macivris yidvas, Tu is yovelTviurad 50 dolariT zrdis danazogs. 5 dawereT samkuTxa da oTxkuTxa ricxvebis mim devrobis eqvsi wevri. rogor daaxasiaTebT am mimdev robebs. 1. mimdevroba piTagorelebs ricxvebi wertilebis saxiT hqondaT warmodgenili. maTTvis ricxvi `sami~ simyarisa da simtkicis gamomxatveli simbolo iyo. sibrtyeze aRebuli sami wertilis monakveTebiT SeerTebiT vRebulobT samkuTxeds. eqvswertilovani samkuTxedi. aTwertilovani samkuTxedi. ricxvebs 3, 6, 10, 15, 21, 28, ... samkuTxa ricxvebi ewodeba. 3 = 1+2 6 = 1+2+3 10 = 1 + 2 + 3 + 4 4, 9, 16,... kvadratuli ricxvebia 5, 12, 22, ... xuTkuTxa ricxvebia mravalkuTxa ricxvebs figurul ricxvebs uwodeben. ifiqreT da iazrovneT: 6* naxazze mocemulia isarTa mimdevroba. rogor fiqrobT, ra mimarTuleba eqneba me-6 isars. ra sigrZis iqneba me-8 isari da ra mimarTuleba eqneba mas. 7* naxazze mocemulia kvadratebis mimdevroba. pirveli kvadratis zomebia 16×16. yoveli Semdegi kvadratis wvero wina kvadratis gverdebis Sua wertilebia. a) ipoveT naxazze mocemuli kvadratebis farTobebi. b) ras udris aseTi wesiT Sedgenili mimdevrobis me-8 kvadratis farTobi. daaxasiaTeT Sesabamis farTobTa mimdevroba. 219 V Tavi 8* ipoveT qvemoT mocemuli perioduli mimdevrobis 377-e wevri: a) 3, 5, 7, 9, 3, 5, 7, 9, 3, . . . b) 2, –2, 2, –2, 2, –2, . . . g) 3, 9, 7, 1, 0, 3, 9, 7, 1, 0, 3, . . . d) –1, 0, 1, –1, 0, 1, . . . 9 ricxvTa mocemuli mimdevroba gaagrZeleT ori sxvadasxva xerxiT. a) 2, 4, 8, ... b) 3, 9, 27, ... 10 SeamCnieT kanonzomiereba da gaagrZeleT sami wevriT: a) b) 2,31; 2,313; 2,3131; ... g) a, e, i, n, . . . d) e)* SeavseT ori wevriT. daakvirdiT ras gviCvenebs kvadratebSi Cawerili ricxvebi 1 1 1 11 1 1 1 1 2 1 1 2 5 2 3 3 daakvirdiT mocemul mimdevrobas, daadgineT kanonzomiereba da mixvdiT, romeli figuraa aq zedmeti? a) b) 12 SeamCnieT kanonzomiereba da gaagrZeleT ramdenime wevriT: a) 2, 6, 3, 9, 6, ... ; b) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ... ; g) 1, 4, 2, 8, 6, ... ; d) 1, 1, 2, 4, 5, 25 ... . 13* dawereT cvladiani gamosaxuleba, romelic gamoxatavs mimdevrobis wevrebs Soris kanonzomierebas: a) 2, 5, 10, 17, 26, 37, ... ; b) 8, 11, 16, 23, 32, ... ; g) 0, 3, 8, 15, 24, 35, ... ; d) 1, 8, 27, 64, 125, ... . 220 1. mimdevroba 14* ricxviT RerZze mdebare AB monakveTi C wertiliT iyofa SefardebiT AC:BC=1:4. ipoveT C wertilis koordinatebi, Tu: a) A(–5) da B(10); b) A(–7) da B(13). g 15 amoxseniT gantoleba: a) 1 43 –5x=2 43 : `- 3 2 j ; 3 1 5 1 b) 20x+0,4·`- 6 4 j = `- 8 j:`- 28 j . 16 CawereT wreebSi ricxvebi ise, rom yoveli ricxvi iyos mis qvemoT moTavsebuli ricxvebis udidesi saerTo gamyofi. 3·24 52·23 5·22 3·24 72 144 96 48 CawereT gamotovebuli ricxvi: 6 18 9 13 4 14 10 4 5 7 9 26 4 18 6 22 1 7 10 4 proeqti damoukidebeli kvlevisTvis: dawereT Tema: „figuruli ricxvebi, srulyofili da martivi ricxvebi“. saWiro informacia moipoveT saxelmZRvanelos bolos miTiTebul literaturaSi da internet misamarTze. 221 V Tavi 2. sakoordinato sibrtye geografiidan kargad iciT, rom dedamiwaze wertilis mde bareobis gansasazRvrad saWiroa vicodeT misi geografiuli koordinatebi - grZedi da ganedi, risTvisac rukaze daxazulia meridianebisa da paralelebis bade. magaliTad, rukaze advilad vipoviT, rom Tbilisi imyofeba 44°50´ grZedsa da 41°40´ ganedze, Tbilisis koordinatebi ase Caiwereba: 44°50´; 41°40´. Wadrakis dafazec figuris mdebareoba ori monacemiT xasiaTdeba. magaliTad, nax.-ze etli mdebareobs g5-ze, xolo cxeni b2-ze. aseve ori koordinatiT ganisazRvreba wertilis mdebareoba sibrtyezec. arsebobs legenda, rom erTxel, XVI saukunis didi frangi maTematikosi da filosofosi rene dekarti (1596-1650) mTeli dRe iwva da uyurebda, Tu rogor dabobRavdnen buzebi Werze. man daiwyo fiqri imaze, Tu rogor SeiZleboda daedgina buzis zusti mdebareoba Werze da mas gauCnda sibrtyeze koordinatTa sistemis Semotanis idea. koordiantebis SemoRebis idea geografiis, astronomiis da zRvaosnobis ganviTarebam warmoSva jer kidev Cvens welTaRricxvamde Zvel saberZneTsa da babilonSi. II s-Si Cvens eramde berZenma swavlulma hiparqma dedamiwis zedapiris wertili geografiuli koordinatebiT _ grZediTa da ganediT gansazRvra. mogvianebiT, XVII s-Si, frangma maTematikosma da filosofosma r. dekartma (1596-1650) Semoitana sakoordinato sistema (koordinatebi pirvelad frangma maTematikosma pier fermam SemoiRo), romliTac dRemde vsargeblobT, da amiT safuZveli Cauyara algebrul meTods _ geometriaSi. koordinatTa meTodis damuSavebisas dekartma rene dekarti SemoiRo cvladi sidide da daiwyo cvlad sidideTa (1596-1650 w.w.) Soris damokidebulebebis Seswavla. man geometriuli figurebi sakoordinato sibrtyeze pirvelma Cawera algebruli gantolebebiT, ramac safuZveli `vazrovneb, maSasadame varsebob~ daudo maTematikis axal dargs _ analizur geometrias. rene dekarti 222 aviRoT ori urTierTmarTobuli koordinatTa RerZi ise, rogorc 1-el naxazzea naCvenebi. horizontalur RerZs abscisaTa RerZi ewodeba da x asoTi aRiniSneba. vertikalur RerZs ordinatTa RerZi - y RerZi. gadakveTis O wertils, romelic orive RerZisTvis aTvlis saTavea, koordinatTa saTave ewodeba. abscisaTa da ordinatTa RerZebi marT kuTxa koordinatTa sistemas qmnian. sibrtyes ki, romelzec mocemulia marTkuTxa koordinatTa sistema sakoordinato si brtye ewodeba. x da y RerZebi sibrtyes 4 nawilad – 4 saakordinato meoTxedad yofs (nax. 1). sakoordinato sibrtyeSi movniSnoT A wertili (nax. 2). A wertilidan x da y RerZebze davuSvaT marTobebi. abscisaTa RerZze daSvebuli marTobis fuZe aris wertili, romlis koordinatia –5, xolo ordinatTa RerZze daSvebuli marTobis fuZe ki wer tili koordinatiT 3. wertilTa wyvils (–5;3)-s A wertilis koordinatebi ewodebaT. –5-s A wertilis abscisas, xolo 3-s A wertilis ordinatas uwodeben. wertilis koordinatebidan pirvel adgilze abscisa, xolo meoreze – ordinata iwereba. e.i. A(–5;3) ikiTxeba: A wertili koordinatebiT –5 da 3. me-2 naxazze mocemulia P(–2;–4) da K(3;–2). Tu wertili abscisaTa RerZze mdebareobs, maSin misi ordinata nulia, xolo, Tu wertili ordinatTa RerZze mdebareobs, maSin misi abscisaa O-is toli (nax. 2) (ratom?), radgan O wertili orive RerZze mdebareobs, amitom O(0,0). ? nax. 1 y A –5 –4 –3 –2 –1 0 E(0;6) 5 4 3 2 1 B(5;0) 1 2 3 4 5 –1 –2 K –3 x P nax. 2 abscisaTa RerZze mdebare werti lebis ordinatebi 0-is tolia. ordinatTa RerZze mdebare wer tilebis abscisa 0-is tolia O (0;0).  daadgineT wertilTa koordinatebis niSnebi, Tu es wertili mdebareobs: a) I sakoordinato meoTxedSi: b) II sakoordinato meoTxedSi; g) III sakoordinato meoTxedSi; d) IV sakoordinato meoTxedSi. 223 V Tavi 1. ipoveT 1-el naxazze mocemuli A, B, C, D, M, N, K, P wertilTa koordinatebi. daakvirdiT miRebul koordinatebs da gamoitaneT daskvna: rogori mdebareoba aqvs sakoordinato sibrtyeze wert il ebs, romelTac toli aqvs: a) abscisebi; b) ordinatebi. y A M N B –5 –4 –3 –2 –1 0 D 5 4 3 2 1 K P 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 x nax. 1 amovxsnaT Sebrunebuli amocana. avagoT sib rtyeze wertili, Tu cnobilia misi koordinatebi. magaliTad, M(–2;3) wertili. y 5 4 3 2 1 M(–2;3) –5 –4 –3 –2 –1 0 ? y A –3 –2 –1 0 D 1 2 3 –1 –2 –3 x abscisaTa RerZze movZebnoT wertili, romlis abscisaa –2, am wertilze gavataroT abscisaTa RerZis marTobuli (y RerZis paraleluri) wrfe. ordinatTa RerZze movZebnoT wertili, romlis ordinataa 3 da am wertilze gavataroT ordi natTa RerZis marTobuli (x RerZis paraleluri) wrfe. am wrfeebis gadakveTis wertili iqneba M(–2;3).  marTkuTxa sakoordinato sibrtyeze ipoveT Semdegi wertilebi: A(–3;–2); B(1;–7); C(2;5); D(–1;5); E(0;7); F(3;0). magaliTi 1. 4 3 2 1 marTkuTxa sakoordinato sistemaSi aageT ABCD marTkuTxedi da ipoveT a) misi perimetri da farTobi, Tu A(–2;3); B(4;3); C(4;–5); D(–2;–5). B 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 –4 –5 C x amoxsna: avagoT marTkuTxedis wveroebi da SevaerToT mimdevrobiT. naxazis mixedviT advilad davadgenT, rom AB=8 da BC=6. P ABCD=2(AB+BC)=28 (erT). S ABCD=AB·BC=8·6=48 (kv.erT). 224 2. sakoordinato sibrtye SeavseT gamotovebuli adgilebi: 1. marTkuTxa sakoordinato sistemis horizontalur RerZs ? . RerZi, xolo vertikalur RerZs ? RerZi ewodeba. 2. Tu M(a;b) da a) a>0 da b>0, maSin M ? meoTxedis wertilia; b) a>0 da b<0, maSin M ? meoTxedis wertilia; g) a<0 da b<0, maSin M ? meoTxedis wertilia; d) a<0 da b>0, maSin M ? meoTxedis wertilia; e) Tu a=0, maSin M wertili mdebareobs ? ; v) Tu b=0, maSin M wertili mdebareobs ? . 3. Tu M wertilis abscisa dadebiTia, maSin M wertili mdebareobs ? an ? meoTxedSi. 4. Tu wertili abscisaTa RerZis qvemoT mdebareobs, maSin misi ordinata ? . 5. toli abscisis mqone wertilebi mdebareobs ? paralelur wrfeze. 6. toli ordinatebis mqone wertilebi mdebareobs ? paralelur wrfeze. savarjiSoebi: 1 ipoveT naxazze mocemul wertilTa koordinatebi: a) ra saerTo TvisebiT xasiaTdeba FL wrfis wer tilebi, BC wrfis wertilebi; b) FL wrfisa da abscisaTa RerZis gadakveTis wertilis koordinatebi; g) FE wrfisa da y RerZis gadakveTis wertilis koordinatebi. 2 sakoordinato sibrtyeSi aageT Semdegi wertilebi: A(3;2), B(2;2), C(7;–3), D(0;0), E(–3;0), K(–4;–5), F(0;–2), G(–1;–1), M(–4;5), P(–4;–2). y B F 5 C 4 3 A 2 1 N 1 2 3 4 5 –1 –2 M –3 K –4 –3 –2 –1 0 L E x 3 daadgineT (zepirad) romel meoTxedSi mdebareobs Semdegi wertili? A(5;2), B(–7;4), E(–3;–2), K(5;–3), C(–3;8), G(–1;–7), M(3;0), N(0;3). 4 aageT ∆MKF, Tu M(–3;2), F(0;–7), K(5;–1). 5 mocemulia EFKP marTkuTxedis sami wveros koordinatebi: E(3;1); F(3; –4); K (–4; –4): a) ipoveT P wertilis koordinatebi; b) gamoTvaleT marTkuTxedis farTobi; g) ipoveT marTkuTxedis gverdebis Sua wertilTa koordinatebi. 6* marTkuTxa sakoordinato sibrtyeSi daxazeT ∆ABC, Tu A(4;–3), B(2;1) da C(0;–1). TiToeuli wertilis abscisa gaadideT 3 erTeuliT, xolo ordinatTa 4 erTeuliT daxazeT miRebuli DEF samkuTxedi. rogoria DEF samkuTxedis forma da mdebareoba ABC samkuTxedis mimarT. 225 V Tavi 7* daxazeT ABC samkuTxedi, Tu A(2;2), B(2;6), C(7;6). a) gaamravleT TiToeuli wertilis abscisa –1-ze, ordinatebi ki ucvleli datoveT. daxazeT miRebuli A1B1C1 samkuTxedi; b) gaamravleT rogorc x, aseve y koordinatebi –1-ze da daxazeT miRebuli A2B2C2 samkuTxedi. rogoria ∆A1B1C1 da ∆A2B2C2-is forma da mdebareoba Tavdapirveli ABC samkuTxedis mimarT. y 4 3 2 1 8 marTkuTxa sakoordinato sibrtyeze mocemulia wiri. ipoveT: a) wiris M da K wertilebis koordinatebi; b) wiris abscisaTa RerZTan kveTis wertilTa koordinatebi; g) wiris is wertili, romlis abscisa 2-is tolia; d) wiris is wertilebi, romelTa ordinata –1,5-is tolia, 2-is tolia. K 0 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 –1 M –2 –3 x 9 sakoordinato sibrtyeSi aageT A(–3;–6) da B(2;4) wertilebi. AB wrfeze aiReT nebismieri sami wertili da ipoveT misi koordinatebi. 10 sakoordinato sibrtyeSi aageT M(x;y) wertili, roca x = 0; –1; 3; 5, Tu y = 2x – 1. rogor arian ganlagebuli es wertilebi sibrtyeze erTmaneTis mimarT? 11 marTkuTxa sakoordinato sibrtyeSi moniSneT: a) M(–2;–4) da N(–2;5); b) M(–2;3) da N(4;3). ra saerTo Tviseba aqvT da riT gansxvavdebian MN wrfis wertilebi. Tqveni mosazrebis dasasabuTeblad MN wrfeze aiReT romelime sami wertili da ipoveT maTi koordinatebi. 12 marTkuTxa sakoordinato sibrtyeSi aageT wertilebi: a) A(2;–6); B(2;–3); C(2;1); D(2;4); E(2;7); b) M(–5;–2); N(–2;–2); K(0;–2); P(1;–2); F(5;–2). ipoveT AB da MN wrfeTa gadakveTis wertilis koordinatebi. C N P L K S 1 0 1 A B D M Q 226 R 13 ipoveT naxazze gamosaxuli wertilebis koordinatebi. a) A; B; K; P; L; R; b) C; D; M; N; Q; S. ra saerTo TvisebebiT xasiaTdebian es wertilebi? 14 sakoordinato sibrtyeze moniSneT yvela is wertili, romelTa koordinatebisTvis sruldeba: a) x=0; b) y=0. ra geometriul figuras qmnis am wertilTa erToblioba? 2. sakoordinato sibrtye 15 rogor iqnebian ganTavsebuli sakoordinato sibrtyeze yvela wertili, romelTa abscisa tolia: a) 5; b) –7; g) 9; d) –1. 16 rogor arian ganTavsebuli sakoordinato sibrtyeze yvela wertili, romelTa ordinata tolia: a) 3; b) –4; g) 8; d) –4. 17 qalaqis mosaxleoba wlis bolos 910 000 iyo. ipoveT mosaxleobis raodenoba wlis dasawyisSi, Tu mosaxleobis namati am wlis ganmavlobaSi 4% Seadgenda. g 18* Semdegi gamosaxulebebi SeadareT 0-s. a) 5a2+b4+7; b) –x2y, Tu y<0; g) 2–x3, x<0; d) –xy–y4, Tu x>0, y>0. 19 daamtkiceT, rom mTeli ricxvis da amave ricxvis kvadratis jami luwi ricxvia. 20 daamtkiceT, rom abc da cba ricxvebis sxvaoba, sadac a≠0, c≠0, 11-is jeradia. 21 daamtkiceT, rom a) 2-is sami momdevno xarisxi naturaluri maCvenebliT, 14-is jeradia; b) 5-is ori momdevno xarisxi naturaluri maCvenebliT, 30-is jeradia. 22 daamtkiceT, rom a) Tu ab+c2=0, maSin (a+c)(b+c)+(a–c)(b–c)=0; b) Tu a+b=9, maSin (a+1)(b+1)–(a–1)(b–1)=18. 227 V Tavi 3. funqciis cneba amocana 1. giorgim manqanis SesaZenad 1000 lari isesxa, im pirobiT, rom yovelTviurad nasesxebi Tanxis 3%-s gadaixdida. ra Tanxa unda daabrunos giorgim x Tvis Semdeg? 3 yovelTviurad giorgim unda gadaixados 1000∙ 100 = 30 lari. maSasadame, Tu giorgi Tanxas daabrunebs 1 Tvis Semdeg, man unda daabrunos (1000+30) lari; 2 Tvis Semdeg, man unda daabrunos (1000+2∙30) lari; 3 Tvis Semdeg, man unda daabrunos (1000+3∙30) lari; _______________________ x Tvis Semdeg man unda daabrunos (1000+30x) lari. Tu dasabrunebel Tanxas y-iT aRvniSnavT, miviRebT formulas: y = 1000 + 30x fulis gasesxebisas martivi procentis formuliT sargeblo ben: Tu gasesxebulia A Tanxa P%-iT, maSin n Tvis Semdeg mevale daabrunebs: P A(1 + n· 100 ) (1) (1) toloba or x da y cvlads Seicavs. magram maT erTdroulad nebismier mniSvnelobebs ver mivaniWebT. magaliTad, Tu x=1, maSin y=1030 Tu x=5, maSin y=1150 Tu x=12, maSin y=1360 e.i. x-is yovel dadebiT mniSvnelobas y-is garkveuli mniSvneloba Seesabameba, rac SesaZlebelia ase CavweroT: x→y kerZod, x →1000 + 30x x-ica da y-ic mniSvnelobebs dadebiT ricxvTa simravlidan iRebs, magram ra ricxvs gautoldeba y cvladi damokidebulia x cvladisTvis miniWebul mniSvnelobaze. amocana 2. qveiTi moZraobs 6km/sT siCqariT. ra manZils gaivlis igi x sT-Si? Tu gavlil manZils y-iT aRvniSnavT, miviRebT: y = 6x (2) (2) tolobidan SeiZleba davadginoT, rom 1 sT-is Semdeg (Tu x=1) qveiTs gavlili eqneba 6 km (y=6); 5 sT-is Semdeg (x=5) ki _ 30 km, e.i. y=30 da a. S. am SemTxvevaSic, rogorc 1-el amocanaSi, miviReT: x cvladis yovel mniSvnelobas Seesabameba y cvladis garkveuli mniSvneloba. x → y. kerZod, x → 6x orive amocanaSi ricxviTi simravleebis elementebs Soris sxvadasxva wesiT davamyareT damokidebuleba. I SemTxvevaSi Tanadobis wesi iyo Semdegi: x → 1000 + 30x II SemTxvevaSi _ x cvladis nebismier mniSvnelobas SevusabameT masze 6-jer meti ricxvi: x → 6x albaT, xvdebiT, rom Tanadobis wesi SesaZlebelia uamravi movigonoT. 228 magaliTad: amocana 3. nebismier ricxvs SevusabamoT misi kvadrati. x → x. 3 → 9 –3 → 9 5 → 25 –5 → 25 da a. S. miviRebT y = x2 formulas. 2 anu Sesabamisobis damyareba SesaZlebelia ara marto ricxviTi, aramed nebismieri simravleebis elementebs Sorisac. magaliTad, amocana 4. ganvixiloT Tqveni saklaso oTaxis merxebisa da Tqveni klasis moswavleTa simravle. maT elementebs Soris davamyaroT aseTi Sesabamisoba: yovel merxs SevusabamoT is moswavle, romelic am merxTan zis. aRmoCndeba: yovel merxs Seesabameba erTi, ori an arc erTi moswavle. amocana 5. davamyaroT damokidebuleba diamet B risa da wrewiris wertilebs Soris ise, rogorc es 1-el naxazzea. A2A1⊥MN, B2B1⊥MN. A → A1 A → A2 B → B1 B → B2 nax. 1 M→M N → N da a. S. e.i. diametris yovel X wertils SevusabameT wrewiris is X1 da X2 wertilebi, romlebSiac gadakveTs wrewirs X wertilSi diametris marTobulad gavlebuli wrfe. amocana 6. ganvixiloT MON kuTxe da AB da A1B1 monakveTe- bi, romelTa boloebi MON kuTxis gverdebzea (nax. 2). nebis mieri OK sxivi, romelic gadis MON kuTxis gverdebs Soris, gadakveTs rogorc AB, ise A1B1 monakveTs Sesabamisad X da X1 wertilebSi. AB monakveTis wertilebs SevusabamoT A1B1 mo nakveTis wertilebi Semdegnairad: A→A1 B→B1 X→X1 da a. S. nax. 2 am Sesabamisobis drosac AB monakveTis yovel wertils Seesabameba A1B1 monakveTis erTi garkveuli wertili. amocana 7. sibrtyis wertilebs Soris davamyaroT Sesabamisoba aseTi wesiT: marTkuTxa sakoordinato sibrtyis nebismier A(x;y), SevusabamoT B(x+5;y). A(x;y) → B(x+5;y). A 5 B 1 2 3 4 5 6 nax. 3 229 V Tavi Tu zemoTmoyvanil magaliTebSi yuradRebas ar mivaqcevT ganxiluli sidideebis fizikur arss, davinaxavT, rom nebismieri ori X da Y simravlis elementebs Soris Sesabamisobis damyareba SesaZlebelia sxvadasxva wesiT. Cveni interesis sagans warmoadgens iseTi Sesabamisobebi, roca X simravlis nebismier x elements Seesabameba Y simravlis erTaderTi y elementi. X da Y simravleebs Soris Sesabamisobas, roca X simravlis yovel elements Y simravlis erTaderTi elementi Seesa bameba, ewodeba funqcia X simravlisa Y simravleSi.  paragrafSi mocemul amocanebSi ganxiluli Sesabamisobebidan romelia asaxva? ?  moifiqreT or simravles Soris iseTi Sesabamisoba, romelic a) iqneba funqcia; b) ar iqneba asaxva. yovelive zemoTqmuli SesaZlebelia sqematurad ase gamovsaxoT: ganvixiloT nebismieri ori A da B simravle. simbolurad isini naxazze wiTlad (A simravle) da mwvaned (B simravle) SevaferadoT. vTqvaT, a1,a2,a3,...∈A, xolo b1,b2,b3,...∈B. A da B simravlis elementebs Soris davamyaroT Sesabamisoba, rogorc 1-el naxazzea naCvenebi (isari gviCvenebs, Tu A simravlis romel elements B simravlis romeli elementi Seesabameba). a) b) A B g) A A B B nax. 1 ganmartebis Tanaxmad, a) da g) SemTxvevaSi Sesabamisoba funqciaa, xolo b)-Si _ ara, radgan a1 elements Seesabameba rogorc b1, aseve b2 elementi (e. i. ara erTi, aramed ori elementi B simravlidan). X da Y simravleebs Soris Sesabamisobis wess f, g, ϕ,... asoebiT aRniSnaven. 230 3. funqciis cneba funqciis Casawerad, romelic X da Y simravleebs Soris Sesabamisobas raime f wesiT amyarebs, miRebulia Semdegi aRniSvnebi f X→ Y an f: X→Y an kidev, y=f(x) sadac x∈X, y∈Y da Sesabamisobis f wesiT x elements Seesabameba y elementi. magaliTad, me-2 amocanaSi f: x→6x an f(x)=6x niSnavs: f funqcia nebismier ricxvs Seusabamebs masze 6-jer met ricxvs. (vkiTxulobT: f x-isa tolia 6x-is) e.i. f funqcia ricxv 2-s Seusabamebs f: 2 → 12 ricxv 12-s. anu f(2)=12 (vkiTxulobT: f 2-isa tolia 12-is). Canaweri f(2) niSnavs _ f funqciis mniSvnelobas, roca x = 2. f(a) niSnavs _ f funqciis mniSvnelobas, roca x = a. e. i. f: a → 6a anu f(a) = 6a. zogjer x da y cvladebs Soris funqciur damokidebulebas asec aRniSnaven: y=y(x). y(1), y(a), y(x) imave Sinaarsis Semcvelia, rac f(1), f(a), f(x). rogorc vnaxeT, x cvladma X simravlidan SeiZleba nebismierad miiRos raime mniSvneloba. x cvlads damoukidebel cvlads anu arguments uwodeben, xolo y-s _ damokidebul cvlads anu funqcias, radgan misi mniSvneloba damokidebulia argumentis mniSvnelobaze da Tanadobis f wesze. simravles, saidanac argumenti iRebs mniSvnelobebs, funqciis gansazRvris are ewodeba, xolo damokidebuli y cvladis mier miRebuli mniSvnelobebi funqciis mniSvnelobaTa simravles qmnis. funqciis gansazRvris are D(y)-iT an D(f)-iT aRvniSnoT. maSasadame, mocemul y = f(x) funqciaSi: x _ argumentia, y _ funqcia (x-is), f _ Sesabamisobis wesi. didi germaneli maTematikosi gotfrid vilhelm laibnici daibada germaniis qalaq laifcigSi. laifcigisa da ienis universitetebSi igi eufleboda filosofias da iurisprudencias. misi interesis sferoSi Sedioda filosofia, maTematika, fizika, logika, iurisprudencia, paleontologia, istoria da sxv. man da udidesma ingliselma mecnierma niutonma erTmaneTisgan damoukideblad safuZveli Cauyares maTematikis mniSvnelovan dargs _ maTematikur analizs. laibnicma SemoiRo maTematikaSi sayovelTaod xmarebuli bevri termini: funqcia, abscisa, ordinata, diferenciali, algoriTmi da sxva. gotfrid vilhelm laibnici (1646-1716) 231 V Tavi magaliTi 1. adamianebsa da maTsave dabadebis TariRebs Soris davamyaroT Sesabamisoba: a) adamiani → dabadebis TariRi b) dabadebis TariRi → adamiani. aris Tu ara ganxiluli Sesabamisoba funqcia (pasuxi daasabuTeT)? amoxsna: a) radgan yovel adamians erTi dabadebis TariRi aqvs, amitom Tanadoba aris funqcia. b) araa funqcia, radgan yoveli TariRi erTze meti adamianis dabadebis TariRia. SeavseT gamotovebuli adgilebi: 1. Sesabamisobas A da B simravleebs Soris, roca A simravlis yovel elements Seesabameba B simravlis ? elementi, funqcia ewodeba. 2. Tu f(x) = 3x – 2, maSin f(5) = ? , f(–1)= ? ; f(a+1) = ? . 3. Tu f(x) = –2x + 5, maSin f( ? ) = 7; f( ? ) = –1; f( ? ) = 0. savarjiSoebi: 1 ricxviT simravleebs Soris daamyareT Sesabamisoba: a) yovel ricxvs SeusabameT misi moduli; b) yovel arauaryofiT ricxvs SeusabameT is ricxvi, romlis modulic mocemuli ricxvia. aris Tu ara ganxiluli Sesabamisoba funqcia? (pasuxi daasabuTeT). 2 Tqveni skolis moswavleTa da maswavlebelTa simravleebs Soris daamyareT Sesabamisoba: a) yovel moswavles SeusabameT Tavisi maswavlebeli; b) yovel moswavles SeusabameT Tavisi maTematikis maswavlebeli. aris Tu ara mocemuli Sesabamisoba funqcia? (pasuxi daasabuTeT). 3 dawereT y=f(x) funqcia. ipoveT: ( 4) I. f(–2), f – 1 , f(1,5); II. x, Tu f(x)=5; 12; 4. a) f: ricxvs → gasamkecebul am ricxvs gamoklebuli erTi; b) f: ricxvs → am ricxvis kvadrats damatebuli sami; g) f: ricxvs → misi Sebrunebuli ricxvi; d) f: ricxvs → am ricxvis naxevars gamoklebuli Svidi. 232 3. funqciis cneba 4 samkuTxedebis simravlesa da ricxviT simravles Soris daamyareT Sesabamisoba: a) yovel samkuTxeds SevusabamoT is ricxvi, romelic misi perimetris tolia; b) yovel ricxvs SeusabameT is samkuTxedi, romlis perimetric mocemuli ricxvis tolia. aris Tu ara mocemuli Sesabamisoba funqcia? (pasuxi daasabuTeT). 5 naxazze xedavT sakoordinato sistemaSi aRebul Sav da cisfer wertilebs. maT Soris daamyareT aseTi Sesabamisoba; yovel Sav wertils SeusabameT imave abscisis mqone cisferi wertili. aris Tu ara ganxiluli Sesabamisoba funqcia (pasuxi daasabuTeT)? 6 dawereT formula, romelic gviCvenebs kubis moculobis damokidebulebas mis wiboze. iqneba Tu ara igi funqcia? 7 funqcia mocemulia f(x)=-x2+7 formuliT. ipoveT; f(0); f(2); f(-2); f(5); f(-5). 8 oqromWedelma SeaerTa 5 jaWvi, romelTagan TiToeulSi iyo 3 rgoli. (man gaxsna 4 rgoli da isev SeaerTa). SeiZleboda Tu ara am samuSaos ufro advilad Sesruleba? g 9 ori biWi mdinareze naviT seirnobda. napirs moadga jariskacebis razmi. navi imdenad pataraa, rom masSi SeiZleba Cajdes an ori biWi, an mxolod erTi jariskaci. SeZleben Tu ara jariskacebi mdinareze naviT gadasvlas? ramdenjer unda gadakveTos navma mdinare, rom meore napirze aRmoCndes: a) 3 jariskaci; b) 10 jariskaci? 10 klasSi 30 moswavlea. mocemuli diagramis mixedviT daadgineT: a) moswavleTa ramdenma procentma miiRo weraSi 5 an 5-ze naklebi qula? b) moswavleTa ramdenma procentma miiRo 6 an 6-ze meti qula? g) ra nawilma daimsaxura umaRlesi (9 an 10 qula) Sefaseba? d) ra SemTxvevaSia mosaxerxebeli wriuli diagramis gamoyeneba? 233 V Tavi 11 diagramaze mocemulia firmis mogeba 1 wlis ganmavlobaSi. a) ra mogeba miiRo firmam wlis ganmavlobaSi? b) romel TveSi miiRo yvelaze meti mogeba da ramdeni? g) ras udris saSualo Tviuri mogeba? d) ipoveTY mogebaTa moda. e) ipoveT mogebis diapazoni. v) ra SemTxvevaSia ufro mosaxerxebeli svetovani diagramis gamoyeneba? 12 SeuZlia Tu ara glexs gadaiyvanos mdinaris erTi napiridan meoreze mgeli, Txa da gadaitanos kombosto, Tu navSi masTan erTad eteva mxolod mgeli, mxolod Txa an mxolod kombosto? (Txam SeiZleba SeWamos kombosto, mgelma ki _ Txa). 13 mocemulia 7 mTYeli ricxvi, romelTagan udidesi 37-is, xolo umciresi 13-is tolia. am monacemTa mediana 24-is, xolo moda 18-is tolia. romeli maCvenebeli (moda, mediana, saSualo) Seicvleba, Tu monacemebs davumatebT 8-s da 43-s? 14 fotografiul suraTs sigrZiT 5 sm da siganiT 3 sm uCveneben ekranze. ekranze suraTis sigrZe aris 1,5 m. ipoveT: a) suraTis gadidebis dros Sesabamis zomebis SAefardeba; b) ekranze suraTis farTobi. 15 mocemulia, rom * aRniSnavs erT-erT moqmedebas oTxi ZiriTadi ariTmetikuli moqmedebebidan ise, rom nebismier n aranulovani ricxvisTvis sruldeba: n * 0=n da n * n=0. romel ariTmetikul moqmedebas aRniSnavs * ? 234 4. funqciis mocemis xerxebi funqciis ganmartebidan gamomdinare, funqcia mocemulad CaiTvleba, Tu cnobilia is simravleebi, romelTa Sorisac unda damyardes Sesabamisoba da mocemulia Sesabamisobis wesi. magram rogor, ra xerxiT SeiZleba iyos gadmocemuli Sesabamisobis wesi? gavecnoT zogierT maTgans. 1. wina paragrafSi vnaxeT, rom y=3x+1000, y=6x, y=x2 funqciebia. aseT SemTxvevaSi amboben, rom funqcia analizuradaa mocemuli. formula ki gviCvenebs, Tu ra moqmedeba unda SevasruloT argumentze, rom miviRoT funqciis Sesabamisi mniSvneloba. funqciis formuliT mocemas funqciis mocemis analizur xerxsac uwodeben. funqciis formuliT mocemas is upiratesoba aqvs, rom gansazRvris aridan aRebuli argumentis nebismieri mniSvnelobisaTvis SegviZlia funqciis Sesabamisi mniSvnelobis povna. vTqvaT, funqcia mocemulia y = povoT funqciis mniSvneloba, roca x=0; –3. y(0) = 5 –3 + 3 5 rogorc vxedavT, x = –3-ze gamosaxulebam azri dakarga x+3 (ratom?). maSasadame, argumentma ar SeiZleba miiRos -3-is toli mniSvneloba da Sesabamisad, y(–3)-ic ar arsebobs. e. i. x = –3 funqciis gansazRvris areSi ar Sedis. ? 1 1 2. ϕ: R→ R ϕ(x) = 2x – 7 3. g: R→ R g(x) = x2 – 3 4. h(x) = x2 – 3 0 ≤ x ≤ 10. 5 formuliT. vix+3 5 2 =1 0+3 3 y(–3) = 1. f : R → R f(x) = x + 3 y=f(x) funqciis gansazRvris are aris cvladis yvela im mniSvne lobaTa simravle, romelTaTvisac f(x) gamosaxulebas azri aqvs. 1  ipoveT a) y = ; b) y = ; g) y = funqciis gansaz3x–1 x–2 |x|–1 Rvris are.  sabunebismetyvelo mecnierebebsa da teqnikaSi sidideebs Soris damokidebulebas xSirad cdis an dakvirvebis gziT amyareben da miRebuli monacemebis safuZvelze adgenen cxrils. magaliTad, gamoTvlebis Casatareblad mosaxerxebelia naturaluri ricxvebis kvadratebis cxrilis gamoyeneba. magram funqciis cxriluri xerxiT mocemisas cnobilia funqciis mniSvnelobebi mxolod zogierT wertilSi, rac srulyofil warmodgenas ver gviqmnis funqciis Sesaxeb (yovelTvis ver xerxdeba formulis Sedgenac, xSirad ki arc aris amis aucilebloba). 235 V Tavi ganvixiloT magaliTi. x –1 0 1 2 3 4 5 6 7 y 0 -1 0 3 8 15 24 35 48 am cxrilis saSualebiT SegviZlia davaskvnaT: Tu x=2, maSin y=3. Tu x=6, maSin y=35 da a. S. funqciis mocemis aseT xerxs cxriluri xerxi ewodeba. ? gasaxseneblad!  moifiqreT formula, romelic gamoxatavs cxrilSi mocemul damokidebulebas.  1-el naxazze gamosaxulia grafiki, romelic gviCvenebs dRe-Ramis ganmavlobaSi haeris temperaturis damokidebulebas droze. sakoordinato si brtyeze mocemul wirs, romelic or sidides Soris arsebul damokidebulebas gamoxatavs, am damokidebulebis grafiki ewodeba. p,°C 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 t,sT am grafikis saSualebiT SegviZlia drois nebismier momentSi (0≤t≤24) vipovoT haeris temperatura. magaliTad, Tu ras udris haeris temperatura 10 sT-ze (t=10). abscisaTa RerZis t=10 wertilidan amave RerZisadmi aRvmarToT marTobi grafikTan gadakveTamde. gadakveTis wertilis ordinata gviCvenebs saZiebel temperaturas. e. i. P=1°C. 1-eli naxazidan Cans, rom t cvladi mniSvnelobebs 0-dan 24-mde (maTi CaTvliT) Rebulobs. t-s nebismier mniSvnelobas (naxazze) Seesabameba grafikis erTaderTi wertili da maSasadame, temperaturis erTaderTi mniSvnelobac. e. i. es damokidebuleba fun qciaa. amrigad, funqciis mocema SesaZlebelia grafikuladac. 236 4. funqciis mocemis xerxebi magaliTi 1. ganvixiloT f(x)=5x-1 formuliT mocemuli funqcia, sadac -7≤x≤5. vipovoT funqciis is mniSvnelobebi, romlebic argumentis naturalur mniSvnelobebs Seesabameba. amoxsna: gansaxilvel magaliTSi funqciis gansazRvris area -7-dan 5-mde (maTi CaTvliT) yvela ricxvisagan Semdgari simravle, romelTagan naturaluri ricxvebia 1, 2, 3, 4, 5. e. i. unda vipovoT f(1), f(2), f(3), f(4) da f(5). f(1) = 5 · 1 – 1 = 4 f(2) = 5 · 2 – 1 = 9 f(3) = 5 · 3 – 1 = 14 f(4) = 5 · 4 – 1 = 19 f(5) = 24 magaliTi 2. ipoveT y= 8x + 3 funqciis gansazRvris are. |x| – 2 amoxsna: upirveles yovlisa, vipovoT cvladis yvela is mniSvneloba, romelTaTvisac funqcia azrs dakargavs. aseTi iqneba x-is is mniSvnelobebi, romlebisTvisac wiladis mniSvneli gautoldeba 0-s. e. i. |x|–2=0. amovxsnaT miRebuli gantoleba: |x|=2. aqedan x=±2. amrigad, funqciis gansazRvris area ±2-sgan gansxvavebuli yvela ricxvisagan Semdgari simravle. magaliTi 3. funqcia y=2x+1 formuliTaa mocemuli. ipoveT x, Tu funqciis Sesabamisi mniSvneloba 6,2-is tolia. amoxsna: e. i. y=6,2. Tu CavsvamT y-is mniSvnelobas formulaSi, miviRebT: 6,2=2x+1 aqedan x=2,6. e. i. Tu y=6,2, maSin x=2,6. SeavseT gamotovebuli adgilebi: 1. funqciis mocema SesaZlebelia: ? ; ? ; ? . 5 funqciis gansazRvris area cvladis yvela im mniSvnx2 – 4 elobaTa simravle, romelTaTvisac x2 – 4 ? 0. 2. y = 3. Tu f(x)=x–5, maSin a) f(0)= ? ; b) f(9)= ? ; g) f(256)= ? . 237 V Tavi savarjiSoebi: 1 ipoveT Semdegi formuliT mocemuli funqciis gansazRvris are: a) y = x –4 –2 0 2 4 6 y=5x–1 2x + 5 ; 7 b) y = 5x ; x–2 g) y=2x3–7x+1; d) y = 5x . 4x2–9 2 funqcia mocemulia formuliT y=5x–1, –4≤x≤6. SeadgineT funqciis mniSvnelobaTa cxrili bijiT 2. 3 funqcia y=3, 5x–4 formuliTaa mocemuli. ipoveT a) argumentis mniSvneloba, Tu funqciis Sesabamisi mniSvnelobaa 4; -3; 0,9; 2,5. b) funqciis mniSvneloba, Tu argumentis Sesabamisi mniSvneloba tolia: 2-is; -1-is. 4 1-el naxazze mocemulia raRac funqciis grafiki. grafikis mixedviT ipoveT: a) y-is mniSvneloba, Tu x = –3; –1; 5; 4. b) x-is mniSvneloba, Tu y = 1; –1; 2; 3. nax. 1 5 funqcia mocemulia y=0,6x–2,4 formuliT. SeavseT cxrilis carieli ujrebi. x y 5 1 3 4 -2 -10 0,6 -5 3,6 6 giorgis 10 lari hqonda. man iyida x saweri kalami, TiTo 80 TeTrad. ris Semdegac y lari darCa. gamosaxeT formuliT y, rogorc x-is funqcia. ipoveT: a) am funqciis gansazRvris are; b) funqciis mniSvneloba, roca x=2; 5; 6. 238 4. funqciis mocemis xerxebi 7 3 marts yvavilebis maRaziam 500 lari ivaWra. momdevno x dRis ganmavlobaSi ki maRazia saSualod 300 lars vaWrobda. maRaziam x+1 dRis ganmavlobaSi (3 martis CaTvliT) y lari ivaWra. gamosaxeT formuliT y, rogorc x-is funqcia. ra Tanxa hqonda navaWri maRazias pirveli: a) 4 dRis; b) 7 dRis; g) 30 dRis ganmavlobaSi? 8 Tbilisidan 500 km-iT daSorebuli punqtidan Tbilisis mimarTulebiT gamovida avtomobili, romelic moZraobda saSualod 60 km/sT siCqariT. x saaTis Semdeg avtomobili Tbilisidan y kmiT iyo daSorebuli. gamosaxeT formuliT y, rogorc x-is funqcia. ipoveT: a) funqciis gansazRvris are; b) ramden saaTSi Cavidoda avtomobili TbilisSi; b) ramdeni saaTis Semdeg iyo avtomobili Tbilisidan daSorebuli 100 km-iT; 20 km-iT. 9 naxazze mocemulia giorgis simaRlis damokidebuleba missave wlovanebaze. a) ipoveT, ra simaRlisa iyo giorgi 5 wlis asakSi; b) ra asakSi iyo misi simaRle: 1,3m; 1,5m? g) ra asakSi miaRwia ymawvilma maqsimalur simaRles? d) rogor Seicvala misi simaRle: 1) 10-dan 15 wlamde; 2) 21-dan 25 wlamde? 10 nikam bankSi 1000 lari Seitana, romelsac yovelwliurad 4% emateba (sawyisi Tanxis). ramdeni lari eqneba nikas x wlis Semdeg? gamosaxeT nikas bankSi arsebuli y Tanxa, rogorc x-is funqcia da upasuxeT Semdeg SekiTxvebs: a) ramdeni lari eqneba nikas 3; 4; 5 wlis Semdeg? b) ramdeni wlis Semdeg eqneba nikas bankSi 1100 lari? 1200 lari? g) ramdeni wlis Semdeg SeZlebs nika bankidan gamoitanos 250 lari ise, rom bankSi kvlav 1000 lari darCes? 11 ipoveT ricxvi, romelic 7-jer metia Tavissave bolo cifrze. g 12 aRadgineT magaliTi. a) + 5* *84 ***0 b) +** * g) – 6*5* *8*4 **8 2856 13 4 traqtori 8 dReSi xnavs 16 ha miwas. ramden dReSi moxnavs 6 traqtori 30 ha miwas? 239 V Tavi 5. funqciis grafiki 1. kvadratuli formis nakveTis gverdis sigrZe iyo xm. roca TiToeuli gverdis sigrZe 1 m-iT gazardes miiRes nakveTi, romlis farTobi y m2-ia. gamosaxeT formuliT y, rogorc x-is funqcia. ipoveT miRebuli funqciis gansazRvris are. advilad mixvdebiT, rom miviRebT y=(x+1)2 funqcias. avagoT fun qciis grafiki, risTvisac SevadginoT Sesabamisi cxrili. y=(x+1)2 x 0 1 2 –1 –2 –3 y=f(x) (0+1)2=1 (1+1)2=4 (2+1)2=9 (–1+1)2=0 (–2+1)2=1 (–3+1)2=4 (x; f(x)) (0; 1) (1; 4) (2; 9) (–1; 0) (–2; 1) (–3; 4) miRebuli (x:f(x)) wyvilebi movniSnoT marTkuTxa sakoordinato sistemaSi da moniSnuli wertilebi SevaerToT wiriT. miviRebT y=(x+1)2 funqciis grafiks. SeniSvna: zemoT ganxilul amocanaSi mocemuli funqciis gansazRvris area dadebiT, x>0, ricxvTa simravle. Sesabamisi grafiki naxazze gamuqebulia wiTlad. marTkuTxa sakoordinato sibrtyis yvela (x;f(x)) wer tilTa simravles y=f(x) funqciis grafiki ewodeba. magaliTi 1. gasaxseneblad! grafiki miT ufro zusti iqneba, rac met wertils movniSnavT marTkuTxa sakoordinato sis temaSi. 240 1-el naxazze gamosaxuli grafikis saSualebiT ipoveT: a) funqciis mniSvneloba, Tu x=1,5; b) argumentis mniSvneloba, Tu y=4. amoxsna: a) abscisaTa RerZis im wertilze, romlis abscisaa 1,5, gavataroT x RerZis marTobuli (ordinatTa RerZis paraleluri) wrfe grafikis gadakveTamde da vipovoT gadakveTis wertilis ordinata (miaxloebiT. igi naxazze naCvenebia cisferi isriT). miviReT y(1,5)≈6,3. b) y RerZis im wertilze, romlis ordinataa 4, gavataroT x RerZis paraleluri (y RerZis marTobuli) wrfe. igi grafiks gadakveTs or wertilSi, romelTa abscisebi daaxloebiT 1-isa da -3-is tolia (naxazze naCvenebia Savi isriT). e. i. Tu y=4, maSin x1=1 da x2 = –3. magaliTi 2. mdebareobs Tu ara: a) A(4;2); b) B(–1;4) wertilebi y = 2x–6 formuliT mocemuli funqciis grafikze? y = 2x–6 funqciis grafikis ageba da TvalsaCinod Semowmeba, mdebareobs Tu ara A da B wertilebi am grafikze, ar gamogvadgeba, radgan rogorc aRvniSneT, absolutur sizustes grafikis agebisas ver davicavT da naxazma (miT umetes, xeliT Sesrulebulma) SesaZloa SecdomaSi Segviyvanos. amitom, modiT, gavixsenoT grafikis ganmarteba, saidanac Cans, rom grafikze mdebare wertilTa abscisebi aris argumentis, xolo ordinatebi ki _ funqciis Sesabamisi mniSvnelobebi. yuradReba! marTkuTxa sakoordinato sistemaSi mocemuli wiri rom raime funqciis gra fiki iyos, y RerZis paraleluri wrfe mas araumetes erT wertilSi unda kveTdes. amoxsna: Tu Sesruldeba y(4)=2, maSin A wertili grafikze mdebareobs. y(4) = 2∙4 – 6 = 2. e. i. (A 4;2) mdebareobs y = 2x–6 funqciis grafikze. b) SevamowmoT igive winadadeba B wertilisTvisac. miviReT 4 = 2∙(–1) – 6 mcdari toloba. e. i.BB wertili ar mdebareobs y = 2x–6 funqciis grafikze. Tu (a; b) wertili mdebareobs y=f(x) funqciis grafikze, maSin Sesruldeba b=f(a). SeavseT gamotovebuli adgilebi: 1. Tu f(1)=3, maSin wertili (1;3) ? y = f(x) funqciis grafikze. 2. Tu sakoordinato sibrtyeze mocemul wirs ? RerZis paraleluri romelime wrfe kveTs ? wertilSi, maSin es wiri ar iqneba raime funqciis grafiki. 3. y=f(x) funqciis grafiki aris yvela (x; blioba. ? ) wertilTa erTo- 4. Tu f(x)=2x+3, maSin f funqciis grafikze mdebareobs wertili (1; ? ); (–3; ? ); ( ? ;7). 241 V Tavi savarjiSoebi: 1 naxazze mocemuli wirebidan romeli warmoadgens funqciis grafiks? a) b) g) d) e) v) 2 CamoayalibeT, ra SemTxvevaSi ar iqneba marTkuTxa sakoordinato sibrtyeSi mocemuli wiri raime funqciis grafiki? 3 funqcia mocemulia y= 5 formuliT, sadac 0≤x≤5. SeavseT x+1 cxrili da aageT am funqciis grafiki. x y 0 1 2 3 4 5 5x – 1 4 ekuTvnis Tu ara formuliT mocemuli funqciis grafiks 2x + 1 Semdegi wertilebi: A(0;–1); B(2;3); C(2;1,8); M(–1;6); K(–1;–6). 5 naxazze mocemuli wirebidan romelia funqciis grafiki (pasuxi daasabuTeT). a) b) es wertili grafiks ar ekuTvnis g) es wertili grafiks ekuTvnis 242 d) e) 5. funqciis grafiki 6 cxrilSi mocemulia haeris temperaturis damokidebuleba droze 27 ianvris dRis 12 saaTidan 24 saaTamde bijiT 2. aageT Sesabamisi grafiki. t 12 14 16 18 20 22 24 p° 1° 2,5° 0,9° 0° –1° –2,5° –3° 7 mocemulia A(-4;-2), B(-1;5), C(2;4), D(5;-3) wertilebi. aageT ABCD Dtexili. grafikis mixedviT ipoveT: a) sakoordinato RerZebTan gadakveTis wertilTa koordinatebi; b) im wertilTa ordinatebi, romelTa abscisebi -2; 0,5-is tolia; g) mdebareobs Tu ara M(-3;0), N(4;2), K(1;3) wertilebi texilze? 8 daadgineT romelia qvemoT mocemuli funqciebis Sesabamisi grafiki: y a) y b) 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 3 2 1 1 2 3 x y g) -4 -3 -2 -1 0 y d) x -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 1 2 3 A. f : x → x x B. g: x → –x C. φ: x → x2 D. p : x → |x| 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 x 9 dawereT formula, romliTac moicema funqcia: a) nebismier ricxvs SevusabamoT gaorkecebuli es ricxvi Semcirebuli 5-iT. b) ricxvs SevusabamoT am ricxvis kubi. g) ricxvs SevusabamoT am ricxvis Sebrunebuli ricxvi. d) ricxvs SevusabamoT am ricxvis mopirdapire ricxvi gadidebuli 1-iT. 10 ipoveT 8 momdevno mTeli ricxvi, romelTagan pirveli samis jami bolo 5-is jamis tolia. 11 g ojaxi RamiT aRmoCnda xidTan. mamas SeuZlia xidze gadavides 1 wuTSi, de das _ 2 wuTSi, Svils _ 5 wuTSi, bebias ki _ 10 wuTSi. maT aqvT mxolod erTi fanari, amasTan, xidi uZlebs mxolod or adamians. aRwereT rogor unda gadalaxon maT xidi 17 wuTSi. (roca gadadian orni, midian am oris siCqaridan umciresiT). 12 gaamartiveT gamosaxuleba: a) (1–2b)(1+2b+4b2)(1+8b3); b) (a+3)2 – 6(a+3) – 16a; g) ( ) 1 – a2 1 – b2 a · 1+ . 1 + b a + a2 1–a 243 V Tavi 6. paraleluri gadatana. RerZuli simetria, centruli simetria 1. marTkuTxa sakoordinato sibrtyeSi aiReT A(1;1) da B(2;4) wertilebi. TiToeuli wertilis abscisa gaadideT 5 erTeuliT, xolo ordinata _ 2 erTeuliT. aageT mocemuli AB da miRebuli A1B1 monakveTi. aCveneT: a) ∆AMA1 = ∆BKB1 ; b) AA1 = BB1 ; g) AA1 || BB1 ; d) AB = A1B1 ; e) AB || A1B1 . B1 B 4 A1 K M A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 1-el amocanaSi ganxiluli gardaqmna CaatareT ∆ABC-sTvis, Tu C(5;–2), A(1;1); B(2;4), Tan ise, rom: A → A1 B → B1 C → C1 . ● iqneba Tu ara ∆ABC = ∆A1B1C1 toloba samarTliani. geometriul gardaqmnas, romlis drosac figuris nebismier or wertils Soris manZili ar icvleba, moZraoba ewodeba. ? Tqven ukve gaecaniT fFun qciis ganmartebas. f : x → x–2 _ ricxvs Seesabameba masze 2-iT naklebi ricxvi. geometriaSi ki gansxvavebiT ricxviTi funqciebisa ganixileba sxva saxis funqciebi, romelTac geometriuli gardaqmnebi ewodebaT. geometriuli gardaqmne bis dros yovel wertils Seesabameba wertili. Tu f geometriuli garda qmnisas A wertils Seesabameba A1 wertili, weren: f A → A1 , an A → A1. A1-s A wertilis saxes, xolo A-s A1-is winasaxes uwodeben. 244  iqneba Tu ara Tqvens mier zemoTganxiluli gardaqmna moZraoba? B F B1 A1 A C1 B1 C C1 F1 A1 F2 ● furcelze gamovsaxoT F figura. davadoT kalka da masze gadavxazoT F figura. amis Semdeg kalkis firceli gadavitanoT da davdoT sadme, Tundac ukuRma mxridanac. F → F1, F1 → F2 aseTi gardaqmnis Sedegad figuris nebismier or wertils Soris manZili SenarCunebulia. gavecnoT moZraobis zogierT saxes: 1. paraleluri gadatana paraleluri gadatanisas figuris yoveli wertili gadadgildeba raime mocemuli wrfis paralelurad erTi da imave mimarTulebiT, erTsa da imave manZilze. ?  rogor fiqrobT, paragrafis dasawyisSi mocemul amocanaSi moxda Tu ara ganxiluli gardaqmniT AB monakveTis, ABC samkuTxedis paraleluri gadatana? pasuxi daasabuTeT. cxadia, paraleluri gadatanis dros figuris nebismier or wertils Soris manZili ar icvleba – paraleluri gadatanisas miiReba mocemuli figuris toli figura.  SeasruleT zemoTganxiluli 1-eli savarjiSo im SemTxvevaSi, Tu TiToeuli wertilis: a) abscisa Semcirdeba 3-iT, ordinata ki gaizrdeba 2-iT; b) abscisa Semcirdeba 7-iT, ordinata ki _ 4-iT; g) abscisa gaizrdeba 8-iT, ordinata Semcirdeba 6-iT. daukvirdiT miRebul Sedegebs. ra aqvT saerTo mocemul AB da miRebul A1B1 monakveTs (TiToeul SemTxvevaSi) da riT gansxvavdebian erTmaneTisgan? B 3 A 6 ) x " x+6 y " y+3 paraleluri gadatanisas figuris yoveli wertilis abscisa erTi da imave a ricxviT icvleba, aseve ordinatac erTi da imave b ricxviT icvleba. SesaZlebelia, a da b ricxvebi toli ricxvebi iyos. x " x+a ) paraleluri gadatanis formulebia. y " y+b 2. RerZuli simetria ganvixiloT aseTi gardaqmna: avagoT MN monakveTi, sadac M(1;2), N(3;5). Sevcva loT abscisebi mopirdapire ricxvebiT: M1(–1;2), N1(–3;5). davxazoT M1N1 monakveTi. imave sakoordinato sibrtyeSi avagoT M2N2 monakveTi, romlisTvisac M da N wertilebis ordinatebi SevcvaloT mopirdapire ricxvebiT M2(1;–2), N1(3;–5). ? N1 M1 –3 –1  a) ra aqvT saerTo da riT gansxvavdebian MN, M1N1 da M2N2 monakveTebi? b) aris Tu ara es gardaqmna moZraoba? pasuxi daasabuTeT. N 5 M 1 M2 –5 nax. 1 3 N2 245 V Tavi A(a;b) da A 1 (–a;b) Ox RerZuli simetriiT RerZis mimarT: A(x;y) → A1(x;–y) da simetriuli wertilebi moicema formuliT y RerZis mimarT ) x"x y "- y Oy RerZis mimarT: A(x;y) → A2(–x;y) da moicema formuliT ) x "- x y"y A da B wertilebs ewodeba simetriuli a wrfis mimarT, Tu a wrfe AB monakveTis Sua wertilze mis marTobulad gadis. a wrfes ki A da B wertilebis simetriis RerZs vuwodeben. cxadia, ganxilul amocanaSi M1 da N1 wertilebi simetriulia M da N wertilebis ordinatTa RerZis mimarT, xolo M2 da N2 wertilebi M da N wertilebisa – abscisaTa RerZis mimarT. vityviT, rom F1 da F2 figurebi simetriulia x(y) RerZis mimarT, Tu F1 figuris nebismieri A(x;y) wertilis simetriuli wertili x(y) RerZis mimarT iqneba F2 figuris wertili da piriqiT. simetriuli wertilebi y RerZis mimarT x RerZis mimarT M(2;3) 3 A(a;b) da A 1 (–a;b) ùùù 1 A(2;3) 3 2 2 simetriuli wertilebi y RerZis mimarT 1 1 -2 A(a;b) da A 1 (a;–b) -1 0 -1 0 1 1 2 -1 2 -2 À) simetriuli wertilebi x RerZis mimarT -3 ùùù Á) simetriuli figurebi y RerZze mdebare wertilebis simetriuli wertilebi imave RerZis mimarT TviT es wertilebia. O y x (-a;b) (–a;b) (a;b) x a wrfis mimarT 246 a wrfis mimarT 6. paraleluri gadatana. RerZuli simetria, centruli simetria 3. centruli simetria rogor gardaqmnas miviRebT, Tu sakoordinato sibrtyeSi mocemuli figuris yoveli wertilis orive koordinats mopirdapireTi SevcvliT. P 5 ganvixiloT PK monakveTi: P(2;5), K(4;3). avagoT P1K1 monakveTi, sadac P1(–2;–5) da K1(–4;–2). ? 1. 2. daamtkiceT, rom PP 1 da KK 1 monakveTebisTvis O wertili Sua wertilia; PK da P1K1 monakveTebis sigrZeebi tolia. K –4 K1 –2 P1 2 4 –5 nax. 2 vityviT, rom A da B wertilebi simetriulia O wertilis mimarT, Tu O wertili AB monakveTis Sua wertilia. O wer tils A da B wertilebis simetriis centrs vuwodebT. imisaTvis, rom avagoT A wertilis simetriuli B wertili O centris mimarT, saWiroa OA sxivis damatebiT sxivze gadavdoT OB=OA monakveTi. O wertils figuris simetriis centrs uwodeben, Tu am figuris nebismieri wertilis simetriuli wertili O centris mimarT, isev am figuris wertilia. figuras, romelsac simetriis centri aqvs, centrul-sime triuli figura ewodeba. vityviT, rom F1 da F2 figurebi simetriulia O centris mimarT, Tu F1 figuris nebismieri A(x;y) wertilis simetriuli wertili O centris mimarT iqneba F2 figuris wertili da piriqiT. centruli RerZze mdebare simetriwertilebis isas O(0;0)-is simetriuli mimarT: wertilebi A(x;y) → Aimave (–x;–y)Re1 rZis mimarT TviT es da moicema formuliT wertilebia. x "- x ) y "- y cxadia, me-2 naxazze P1K1 monakveTi simetriulia PK monakveTis O centris mimarT. 247 V Tavi  aageT A(a;b) wertilis simetriuli wertili jer Ox (A→A1), Semdeg ki Oy RerZis (A1→A2) mimarT. ra SegiZliaT TqvaT A da A2 wertilebze, ra geometriuli gardaqmnaa A A →A2? A(a;b) amocana. paraleluri gadata nisas figuris yvela w e r t i l i s a b s c i s a erTi da imave a ric xviT icvleba, aseve ordinatac erTi da imave b ricxviT icvleba. SesaZlebelia, a=b. AB monakveTis paraleluri gadatanisas miiReba A1B1 monakveTi. amasTan A(2;5), B(5;2), B1(3;5). a) ipoveT A1 wertilis koordinatebi; b) M(x;y) AB monakveTis Siga wertilia. ipoveT M wertilis Sesabamisi M1 wertilis koordinatebi mocemuli paraleluri gadatanisas. amoxsna: a) radgan B(5;2) gadavida B 1(3;5) wertilSi, e.i. x koordinati Semcirda 2-iT, xolo y koordinati gaizarda 3-iT. e.i. mocemuli paraleluri gadatanis formulebia: x " x-2 ) y " y+3 amitom A1 wertilis koordinatebi iqneba A1(2–2; 5+3). e.i. A1(0; 8). b) radgan B(5;2)→B1(3;5), e.i. B1(5–2; 2+3), amitom M(x;y)→M1(x–2;y+3). SeavseT gamotovebuli adgilebi: 1. 3. figuris paraleluri gadatanisas yvela wertilis x koordinati ? ricxviT icvleba. figuris paraleluri gadatanisas yvela wertilis y koordinati ? ricxviT icvleba. figuris paraleluri gadatanisas ar icvleba misi ? da ? . 4. wrfis nebismieri wertili am wrfis ? . 5. AB monakveTis O Siga wertili warmoadgens AB monakveTis simetriis centrs, Tu OA= ? . 2. 248 6. paraleluri gadatana. RerZuli simetria, centruli simetria savarjiSoebi: 1 ipoveT x da y, Tu M(–1;2)→M 1(1;3) paraleluri gadat anisas miiReba. a) A(0;1)→A1(x;y); b) B(1;0)→B1(x;y). 2 paraleluri gadatanisas A(x;y)→B(–2;5) ipoveT A wertilis koordinatebi, Tu paraleluri gadatanis formulebia: a) ) x " x-1 ; y " y+3 b) ) x " x+5 ; y " y-3 g) ) x " x+4 . y " y+4 3 ipoveT M(x;y), Tu is miiReba A(–2;1) wertilis paraleluri gada taniT: a) ) x " x+2 ; y " y-1 b) ) x " x - 0, 5 ; y " y + 0, 1 g) ) x " x+5 . y " y-8 4 AB monakveTis paraleluri gadatanisas miiReba A1B1 monakveTi. ipoveT A1 wertilis koordinatebi, Tu A(2;3), B1(–5;7), B(2;2). SeasruleT Sesabamisi naxazi. 5 ABC samkuTxedis paraleluri gadatanisas miiReba A 1B 1C 1 samkuTxedi. ipoveT B da C wertilis koordinatebi, Tu A(2;2), A1(3;4), B1(0;0), C1(4;2). SeasruleT Sesabamisi naxazi. 6 mocemulia A(0;3), B(–5;7), C(–1,5;–2) da M(3;–4) wertilebi. ipoveT maTi simetriuli wertilebi: a) abscisaTa RerZis mimarT; b) ordinatTa RerZis mimarT. gasaxseneblad! A K a SeasruleT Sesabamisi naxazi. 7 mocemulia A(0;5) da B(3;0). daxazeT AB monakveTis simetriuli monakveTi: a) x-RerZis mimarT; b) y-RerZis mimarT. 8 aageT AB monakveTis simetriuli monakveTi a wrfis mimarT, Tu: a) AB monakveTs saerTo wertili ar gaaCnia a wrfesTan; b) A∈a da B∉a; A1 A wertili simetriulia A1 wertilisa a wrfis mimarT, Tu AA1⊥a da AK=KA1. g) Tu AB monakveTi kveTs a wrfes. 9 mocemulia A( 3; 7) da B (-2; 1) wertilebi. ipoveT AB monakveTis simetriuli A1B1 monakveTis boloebis wertilebis koordinatebi: a) x RerZis mimarT; b) y RerZis mimarT. SeasruleT Sesabamisi naxazi. 10 mocemulia A(4;1), B(0;1) da C(0;7). aageT ABC samkuTxedis simetriuli samkuTxedi: a) x-RerZis mimarT; b) y-RerZis mimarT. 249 V Tavi 11 daasaxeleT ramdenime wertili, romelTa simetriuli wertilebi: a) x-RerZis mimarT; b) y-RerZis mimarT – TviT es wertilebia. 12* marTkuTxa sakoordinato sibrtyeSi daxazeT raime wiri (wrfe), romlis simetriis RerZia: a) x-RerZi; b) y-RerZi. 13* mocemulia A(-1;3) da B(-2;-1) wertilebi. ipoveT iseTi A1B1 monakveTis boloebis koordinatebi, romelic miiReba ori simetriiT. a) jer x RerZis, xolo Semdeg y RerZis mimarT; b) jer y RerZis, xolo Semdeg x RerZis mimarT. 13 ricxviT RerZze ipoveT: a) A(2) wertilis simetriuli A1 wertili saTavis mimarT; b) A(5) wertilis simetriuli wertili B(3) wertilis mimarT. 14 ipoveTY A(4;5) wertilis simetriuli wertilis koordinatebi: a) koordinatTa saTavis mimarT; b) x RerZis mimarT; g) y RerZis mimarT. SeasruleT Sesabamisi naxazi. 15 mocemulia A(3;7) da B(–2;1) wertilebi. ipoveT AB monakveTis simetriuli A1B1 monakveTis boloebis wertilTa koor dinatebi: a) koordinatTa saTavis mimarT; b) x RerZis mimarT; g) y RerZis mimarT. SeasruleT Sesabamisi naxazi. 16 mocemulia A(–1;3) da B(–2;–1) wertilebi. ipoveT iseTi A1B1 monakveTis boloebis koordinatebi, romelic miiReba ori momdevno simetriiT: a) jer x RerZis, xolo Semdeg y RerZis mimarT; b) jer y RerZis, xolo Semdeg x RerZis mimarT. 17 ipoveT iseTi A1 wertilis koordinatebi, romelic miiReba A(3;–2) wertilidan sami momdevno simetriiT; jer x RerZis, Semdeg y RerZis, xolo Semdeg koordinatTa saTavis mimarT. 18 A1B1 monakveTi miiReba AB monakveTisagan ori momdevno si metriiT; jer x RerZis, xolo Semdeg koordinatTa saTavis mimarT. ipoveT A1 da B1 wertilebis koordinatebi, Tu A(3;1); B(–5;–2). 250 6. paraleluri gadatana. RerZuli simetria, centruli simetria 19* daamtkiceT, rom centruli simetria SeiZleba Seicvalos ori momdevno simetriiT, jer x da mere y RerZis an jer y da mere x RerZis mimarT. 20 ujrebian furcelze gadaxazeT naxazi da aageT ABC samkuTxedis simetriuli samkuTxedi: a) koordinatTa saTavis mimarT; b) x RerZis mimarT; B A g) y RerZis mimarT. 21 daamtkiceT igiveoba: C 5 g a) (y4+y3)(y2–y)=y3(y2+1)(y–1); b) (a2+3a)(a2+3a+2)=a(a+1)(a+2)(a+3); g) (a2+ab+b2)(a2–ab+b2)=a4+a2b2+b4. 22 a-s ra mniSvnelobebisTvisaa (x3+4x2–17x+41)(x+a) namravli igivurad toli mravalwevris, romelic ar Seicavs x3? 23 daamtkiceT, rom, Tu b+c=10, maSin (10a+b)(10a+c)=100a(a+1)+bc. 251 V Tavi 7. wrfivi funqcia 1. pirdapirproporciulobis funqcia 1. Tbilisidan 60km/sT siCqariT gavida avtomanqana. a) dawereT funqcia f: dro → gavlili manZili. b) ipoveT avtomobilis mier gavlili manZili, roca t=2sT; 4sT; 4,5sT. g) aageT miRebuli funqciis grafiki. d) gaeciT pasuxi a), b) da g) SekiTxvebs, Tu avtomobili moZraobs 40km/sT, 80km/sT siCqariT. 2. rogori damokidebuleba arsebobs gavlil manZilsa da im dros Soris, ra droSic gaiara es manZili sxeulma? gavlil manZilsa da siCqares Soris? 3. aageT Semdeg funqciaTa grafiki f : x → 0,3x; g : x → –5x. ● ra aqvT saerTo da riT gansxvavdebian es grafikebi erTma neTisagan? y = kx, y1 = kx1 y2 = kx2 y1 x1 da y2 = x2 x da y cvladebs Soris pirdapirpro porciuli damokidebulebaa. Tu maSin y = kx x y 0 0 1 k 252 y=kx formuliT mocemul funqcias, sadac x damoukide beli cvladia da k nulis aratoli ricxvi, pirdapirpro porciuloba ewodeba. y=kx funqciis grafiki wrfea. es winadadeba jerjerobiT daumtkiceblad miviRoT. geometriidan, albaT gaxsovT, rom wrfe ori wertiliT ganisazRvreba. amitom y=kx funqciis grafikis asagebad sakmarisia vipovoT grafikis romelime ori wertili da Semdeg saxazaviT maTze wrfe gavataroT. advilad mixvdebiT, rom wertilebi (0;0) da (1;k) mdebareobs grafikze. aqedan, Tu k>0, maSin grafiki mdebareobs I da III sakoordinato meoTxedebSi, Tu k<0, maSin grafiki II da IV meoTxedebSia. 1. erTsa da imave sakoordinato sistemaSi aageT Semdeg funqciaTa grafikebi: a) y = 0,5x da y = 2x b) y = –0,5x da y = –2x. rogori mdebareoba aqvT am funqciaTa grafikebs a) erTmaneTis; b) sakoordinato RerZebis mimarT? y = –3x y=3x y = –0,8x y = 0,8x imedia davaleba sworad gaiazreT, maSasadame, Tu k>0, maSin y=kx funqciis grafiki ox sxivTan zeda naxe var sibrtyeSi maxvil kuTxes adgens, romlis gradusuli zoma miT metia, rac ufro metia k koeficienti. Tu k<0, maSin y=kx funqcia ox sxivTan zeda naxevarsibrtye Si blagv kuTxes adgens, romlis gradusuli zoma miT me tia, rac ufro metia k koeficienti. rac ufro metia |k|, miT „axlosaa~ y=kx funqciis grafiki y RerZTan. e. i. y=kx wrfis daxra ox sxivisadmi damokidebulia k koeficien tze, mas daxris koeficients uwodeben. 1. aCveneT, rom y = kx da y = –kx funqciaTa grafikebi simetriulia y RerZis mimarT (aseve x RerZis mimarT). 2. vTqvaT, A(x1;y1) da B(x2;y2) aris y = kx funqciis grafikis ori nebismieri wertili, amasTan x1<x2. rogori damokidebulebaa y1-sa da y2-s Soris? (ganixileT ori SemTxveva 1) k>0; 2) k<0). gavixsenoT: A(a;b) da B(–a;b) simetriuli wertilebia Tu kargad gaviazreT mocemuli davaleba, maSin SegviZlia davaskvnaT, rom: roca k>0, maSin x-is mniSvnelobebis zrdasTan erTad izrdeba funqciis Sesabamisi mniSvnelobebi. aseT SemTxvevaSi amboben, rom funqcia zrdadia. roca k<0, maSin x-is mniSvnelobis zrda iwvevs funqciis Sesabamisi mniSvnelobis klebas – funqcia klebadia. y RerZis mimarT. A(a;b) da C(a;–b) simetriuli wertilebia x RerZis mimarT. 253 V Tavi magaliTi 1. cnobilia, rom pirdapirproporciulobis grafikze mdebareobs A(2;3) wertili. a) mdebareobs Tu ara imave funqciis grafikze B(–3;–4,5) wertili? b) aageT am funqciis grafiki. 3 = –4,5 2 –3 e.i. A da B wertilebi erT wrfeze mdebareobs. amoxsna: a) radgan A(2;3) wertili mdebareobs y=kx funqciis grafikze, amitom unda Sesruldes toloba 3=2k. miviRebT: k=1,5. aqedan y=1,5x. SevamowmoT, mdebareobs Tu ara y=1,5x funqciis grafikze B(–3;–4,5) wertili. –4,5 = –1,5·3. e.i. B wertili mdebareobs grafikze. b) SevadginoT cxrili: y = 1,5x x y 2 3 0 0 y 3 giWirT, mxolod ori wertiliT, saxazavis gareSe, wrfis zustad ageba? 2 3 maSin scadeT ase: y = 2 3 –2 02 2 4 6 x 3 x. 2 ipoveT erTi romelime wertili mTeli koordinatebiT (wertilis abscisa unda iyos 2-is jeradi). aseTia A(2;3) Semdegi wertili ki sakoordinato sistemaSive moZebneT: 2 ujra marjvniv, 3 ujra zeviT, imave wesiT SegiZliaT ipovoT kidev erTi wertili da a.S. SeavseT gamotovebuli adgilebi: 1. y=kx funqciis grafiki moTavsebulia ? da ? meoTxedebSi, roca k>0 da Tu k<0, maSin moTavsebulia ? da ? meoTxedebSi. 2. y=kx funqciis grafiki zrdadia, roca k roca k ? . ? , xolo klebadia, 3. wertili (2;5) mdebareobs y=kx funqciis grafikze, sadac k= ? . savarjiSoebi: 1 grafikis augeblad daadgineT Semdegi wertilebidan romeli 1 ekuTvnis y = x funqciis grafiks? 2 1 1 A(4;2) B` ; j C(0,5;1) D(0,5;0,25) 2 8 254 7. wrfivi funqcia 2 wertili (15;3) mdebareobs y=kx funqciis grafikze. mdebareobs Tu ara imave grafikze wertili: 3 3 1 3 1 1 a) ` ; j ; b) `3; j ; g) `3; j ; d) ` ; j . 5 25 15 5 8 40 y 3 dawereT formulebi, romlebiTac miiReba naxazze mocemuli funqci ebi. 2 –3 0 1 2 x 4 grafikis augeblad SeamowmeT, gadis Tu ara y=-3x funqciis grafiki: a) A(1;-3); b) B(-2;5); g) C(-5;15); d) D(2,1;6). 5 wertilebi a) A(5;7,5); B(2;3); C(-1;-1,5); b) A(3;5); B(2;4); C(-1;-2); 1 5 g) A(–2;2,4); B` ; - 2j ; C` ; 0, 6j ; ekuTvnis y=f(x) funqciis grafiks. 2 3 grafikis augeblad daadgineT, aris Tu ara mocemuli funqcia pirdapirproporciuloba (pasuxi daasabuTeT)? 6 gadaxazeT qvemoT mocemuli cxrili rveulSi da SeavseT carieli ujrebi imis gaTvaliswinebiT, rom y=f(x) pirdapirproporciuloba: a) x –2 y –1 –1 0 1 2 b) x –0,2 –0,1 y 0,8 0 1,4 2,5 7 gamoTvaleT: a) 1 – 3 + 5 – 7 + ... + 93 – 95 + 97 – 99; b) 10 – (10 – (10 – (10 – 9)))); g) 1000000 – (1000000 – (1000000 – (1000000 – (1000000 – 999999)))). g 8* 180 daSaleT iseT sam, erTmaneTis aratol Sesakrebad, romelTagan nebismieri oris jami iyofa mesameze. 9 ipoveT Ygantolebis amonaxsenTa simravle: a) 2x – 1 x+1 3(1 – x) – = ; 5 5 10 b) 4x3 – 9x=0. amocana damoukidebeli kvlevisTvis: 10 a) aageT y = –x funqciis grafiki. b) aageT wrfe, romelic miiReba y = –x funqciis grafikis paraleluri gadataniT y RerZis paralelurad –2; 3,5; 2; –4 erTeuliT. 255 V Tavi 2. y=kx+b wrfivi funqcia goridan 30km-iT daSorebuli soflidan (goris dasavleTiT) dasavleTis mimarTulebiT gaemarTa avtomobili 60km/sT siCqariT. a) dawereT funqcia, romelic gviCvenebs avtomanqanis goridan daSorebis damokidebulebas moZraobis droze da aageT Sesabamisi grafiki. b) ipoveT daSoreba goridan, roca t=3 sT; 4 sT. g) gaeciT amocanaSi dasmul SekiTxvebs pasuxi, Tu avtomobili imoZravebda 40km/sT; 80km/sT siCqariT? d) ra saerTo TvisebiT xasiaTdeba miRebuli grafikebi da riT gansxvavdebian isini erTmaneTisagan? avagoT y=2x+2, y=2x–3 funqciaTa grafikebi. SevadginoT cxrili x –3 –2 –1 0 1 2 3 y = 2x –6 –4 –2 0 2 4 6 y = 2x + 2 –4 –2 0 2 4 6 8 y = 2x – 3 –9 –7 –5 –3 –1 1 3 cxrilidan advili SesamCnevia, rom x-is nebismieri mniSvnelobisaTvis y = 2x + 2 funqciis mniSvnelobebi 2 erTeuliT metia, xolo y = 2x – 3 funqciis mniSvnelobebi 3 erTeuliT naklebia y = 2x funqciis Sesabamis mniSvnelobebze. e.i. Tu y = 2x wrfes (mis yovel wertils) gadavitanT y RerZis paralelurad 2 erTeuliT zeviT, miviRebT y = 2x + 2 funqciis grafiks, xolo y = 2x wrfis (misi yoveli wertilis) y RerZis paralelurad –3 erTeuliT (qveviT) gadataniT miviRebT y = 2x – 3 funqciis grafiks. wrfivi funqciis grafiki wrfea. funqcia, romlis grafikic wrfea, wrfivi funqciaa. 256 y=kx+b saxis formuliT mo cemul funqcias, sadac x da moukidebeli cvladia, k da b ki nebismieri ricxvebi, wrfivi funqcia ewodeba. 7. wrfivi funqcia maSasadame, Tu SevadarebT f(x) = kx da g(x) = kx + b funqciaTa grafikebs vnaxavT: g(x) funqciis mniSvneloba b erTeuliT gansxvavdeba f(x) funqciis mniSvnelobisagan x-is erTsa da imave mniSvnelobisaTvis da aqedan gamomdinare g(x) = kx + b funqciis grafiki miiReba f(x) = kx funqciis grafikis paraleluri gadataniT y RerZis gaswvriv b erTeuliT (zeviT, Tu b>0 da qveviT Tu b<0). kx+b y=kx wrfis  x1 = x   y1 = y + b = g(x) b b b x k f(x)= paraleluri gadataniT miiReba y=kx+b wrfe. 0 aCveneT, rom y = kx da y = kx + b funqciaTa grafikebi paraleluri wrfeebia. k koeficienti wrfis daxris koeficientia. y = kx + b wrfe y RerZs kveTs (0;b) wertilSi. ?  CamoTvlili funqciebidan romel funqciaTa grafikebia erTmaneTis paraleluri da romlebi _ araparaleluri? y = –3x–1; y = 5x–2; y = –3x+4; y = –5x; y = 5x+1. y=kx+b wrfivi funqciis kerZo SemTxvevebi: 1. Tu b=0 da k≠0, maSin miviRebT y=kx pirdapirproporciulobas. 2. Tu k=0 da b≠0, maSin miviRebT y=0·x+b anu y=b funqcias. e. i. x-is nebismieri mniSvnelobisaTvis funqciis mniSvneloba b-s tolia. y=b funqciis grafiki abscisaTa RerZis paraleluri wrfea, romelic ordinatTa RerZs (0; b) wertilSi kveTs. ^3. Tu k=0 da b=0, miviRebT y=0 funqcias. y=0 funqciis grafiki x RerZia. naxazze mocemulia y=0,5x–2 da y=–2x–2-s funqciaTa grafikebi: a) ipoveT funqciis gansazRvris are; mniSvnelobaTa are. b) daadgineT x-is zrdasTan erTad izrdeba Tu mcirdeba funqciis Sesabamisi mniSvnelobebi. g) ipoveT RerZebTan gadakveTis wertilebi. d) daadgineT, x-is ra mniSvnelobebisaTvis Rebulobs funqcia dadebiT, uaryofiT mniSvnelobebs. 257 V Tavi CamovayaliboT y=kx+b wrfivi funqciis Tvisebebi: 1. gansazRvris are: D(y)=R. 2. mniSvnelobaTa simravle: E(y)=R. 3. RerZebTan gadakveTis wertilebia: Tu x=0 ⇒ y=b — A(0;b). Tu y=0 ⇒ x= – b — B(– b ;0). k a) Tu k>0 k b) Tu k<0 g) Tu k=0 b x = - ricxvi k y=kx+b funqciis nulia. a ricxvs f(x) funqciis nuli ewodeba, Tu f(a)=0 4. funqcia zrdadia. 4. funqcia klebadia. 4.funqcia mudmigrafiki ox sxivTan grafiki ox sxivTan via. grafiki paraadgens maxvil kuTxes. adgens blagv kuTxes. leluria x RerZis. vambobT, rom funqcia zrdadia (klebadia), Tu x-is zrdasTan erTad izrdeba (mcirdeba) funqciis Sesabamisi mniSvnelobebi Tu daxris koeficientebi gansxvavebulia k1≠k2, maSin wrfeebi erTmaneTs kveTs. x y –1 3 3 –5 Tu daxris koeficientebi tolia k1=k2, xolo b1≠b2, maSin wrfeebi paraleluria. Tu k1=k2 da b1=b2, maSin wrfeebi emTxveva erTmaneTs. magaliTi 1. aageT y = –2x+1 funqciis grafiki, Tu –1 ≤ x ≤ 3. amoxsna: 0 –5 258 3 radgan mocemuli funqciis gansazRvris are aris –1-sa da 3-s Soris (maTi CaTvliT) moTavsebuli ricxvebis simravle, amitom grafikis asagebad sasurvelia avirCioT (–1;*) (3;*) wertilebi (Sualedis bolo wertilebi). saZiebeli grafiki AB monakveTia. 7. wrfivi funqcia magaliTi 2. ipoveT y = –2x+3 funqciis grafikis sakoor dinato RerZebTan gadakveTis wertilTa koordinatebi. amoxsna: wrfe abscisaTa RerZs kveTs wertilSi, romlis ordinata 0-is tolia _ B(x;0) da radgan B grafikis wertilicaa, amitom misma koordinatebma unda daakmayofilos y = –2x+3 gantoleba. e. i. 0 = –2x+3. (0=–2x+3) ⇔ (2x=3) ⇔ x= 3 . 2 wrfe ki ordinatTa RerZs, rogorc viciT, kveTs (0;y) wertil-Si, e. i. Cvens SemTxvevaSi (0;3) wertilSi. amrigad, y = –2x+3 wrfe sakoordinato RerZebs kveTs ( 3 ;0) da (0;3) 2 wertilebSi. xSirad gvxvdeba situaciebi, rodesac funqcia mocemulia ramdenime formuliT. ganvixiloT magaliTi 3. turistma gzis pirveli nawili gaiara 6 km/sT siCqariT. Semdeg daisvena naxevari saaTi, dasvenebis Semdeg gzis darCenili nawili dafara 1 sT-Si 5 km/sT siCqariT. SevecadoT, avagoT turistis mier gavlili manZilis droze damokidebulebis grafiki: f: moZraobis dro → turistis daSoreba sawyis wertilidan. roca t icvleba 0-dan 1,5 sT-mde, maSin turistis mier gavlili manZili moicema formuliT: y=6t. 1,5 sT-dan 2 sT-mde turisti isvenebs, e.i. siCqare 0 km/sT-ia, amitom es manZili ucvlelia da tolia 9 km-s da roca t icvleba 2 sT-dan 3 sT-mde manZili sawyis wertilamde 9+5(t–2) km-ia. e.i. y=5t–1. 14 S, km 12 10 9 8 6 4 2 { 6t, Tu 0 ≤ t < 1,5 es SeiZleba ase Caiweros: y = 9, Tu 1,5 ≤ t ≤ 2 1 2 3 t, sT 5t–1, Tu 2 < t ≤ 3 naxazze mocemulia am funqciis grafiki. magaliTi 4. avagoT y=x+5|x| funqciis grafiki. gavaTavisufloT funqcia modulis niSnisagan. modulis ganmartebis safuZvelze miviRebT: Tu x≥0, y=x+5x=6x, xolo Tu x<0, y = x–5x = –4x, 6x, Tu x≥0 e.i. y = –4x, Tu x<0 { 6 4 2 –1 1 259 V Tavi magaliTi 5. funqcia mocemulia formuliT y = { –x+4, Tu x<0 x+4, Tu x≥0 CavweroT funqcia erTi formuliT da avagoT misi grafiki. 4 amoxsna: modulis ganmartebis safuZvelze, SeiZleba CavweroT, rom y=|x|+4. naxazze mocemulia misi grafiki. ganxilul magaliTebSi mocemuli funqciebis grafikebi Sedgeba wrfis nawilebisagan. aseT funqciebs uban-uban wrfivi funqciebi ewodeba. magaliTi 6. dawereT y=g(x) funqcia, romelic miiReba f(x)=2x+3 funqciis paraleluri gadataniT. { x → x–3 y → y+5 amoxsna: paraleluri gadataniT wrfe gadadis missave paralelur wrfeSi. e.i. g(x) = 2x + b. vipovoT g wrfis erTi romelime wertili. A(0;3) aris f wrfis wertili. A(0;3) → A1(–3;8). A1 ki g wrfis wertili iqneba. g(x) = 2x+b ⇒ 8 = –6 + b ⇒ b = 14. e.i. g(x) = 2x + 14. A1 (–3;8) { ) SeavseT gamotovebuli adgilebi: 1. y = 7x + 5 wrfe miiReba, Tu y = 7x wrfes paralelurad gadavitanT ? erTeuliT zeviT, xolo y = 7x – 5 wrfis misaRebad y = 7x wrfe unda gadavitanoT ? erTeuliT ? ; 2. Tu funqciis grafiki aris wrfe, maSin is ? funqciaa da moicema formuliT ? ; 3. mocemulia sami wrfivi funqcia f(x)=3x ϕ(x)=3x+2 g(x)=l5x–4. am funqciaTa grafikebidan paraleluria ? da ? wrfeebi, xolo ikveTeba ? da ? wrfeebi. 4. Tu k>0, maSin y=kx+b wrfe aucileblad gaivlis ? meoTxedebSi. 5. Tu k<0, maSin y=kx+b wrfe aucileblad gaivlis ? meoTxedebSi. savarjiSoebi: 1 mocemuli grafikebidan romelia wrfivi funqciis grafiki? 2 260 funqciebidan romelia wrfivi funqcia? 7. wrfivi funqcia 3 wrfivi funqcia mocemulia y = 4x – 7 formuliT, ipoveT: a) y-is mniSvnelobebi, romelic Seesabameba x-is Semdeg mniSvnelobebs: 0; –3; 5; 2,5; b) ipoveT x-is mniSvnelobebi, romelic Seesabameba y-is Semdeg mniSvnelobebs –7; 0; 9,4; 5. 4 kvadratuli formis baRs, romlis gverdis sigrZe 12 m-ia, gars erTnairi siganis biliki akravs. romelia wrfivi Semdegi funqciebidan: f a) bilikis sigane → didi kvadratis perimetri; f b) bilikis sigane → bilikis farTobi; f g) bilikis sigane → didi kvadratis farTobi (pasuxi daasabuTeT). 5 aageT funqciis grafiki: 1) f:x → 1,5x+2; grafikis saSualebiT ipoveT: a) x, Tu f(x)=3; –4; 0; 2) f:x → –3x+4. b) f(x) Tu x=2; –5; 1,2. 6 grafikis augeblad ipoveT: a) y=3x–7; b) y = –2,5x+4; g) y = 5x+15; d) y = –2x+8 funqciaTa grafikebis sakoordinato RerZebTan gadakveTis wertilTa koordinatebi. x sm swrafi ageba: y = 3x + 2 2 1. movniSnoT A(–2;–1) wertili. 2. meore mTelkoordinatebiani wertili miiReba A wertilis paraleluri gadataniT x RerZis gaswvriv 2 erTeuliT da y RerZis gaswvriv 3 erTeuliT. gaixseneT y = 3 x + 2 2 wrfe (ix. gv.) da a.S. y 7 grafikis augeblad daadgineT, Semdegi wertilebidan romeli mdebareobs y=2,5x – 4 funqciis grafikze: A(100; 246); B(–2; –9); C(3;4); D(–7; 15); 3 E(–6; –19). 2 3 8 grafikis augeblad daadgineT, mdebareobs Tu ara A(4; 8); B(3;15); C(–5; –15) wertilebi erT wrfeze. 2 3 9 aageT y = –x funqciis grafiki. miRebuli grafikis saSualebiT aageT Semdegi funqciis grafiki: a) y = –x–2; g) y = –x–1; b) y = –x+3; 2 –2 d) y = –x+1. 2 3 0 2 2 4 6 x dawereT Sesabamisi paraleluri gadatanis formulebi. 10 erTsa da imave sakoordinato sistemaSi sqematurad aageT Semdeg funqciaTa grafikebi: a) y = 3x; y = 3x+4; y = 4; y = –3x+4; b) y = –2x–3; y = –3; y = 2x–3; y = 0,5x–3. 261 V Tavi 11 k-sa da b-s rogori mniSvnelobebisTvis aris a) y=kx+b–7; b) y=(k–3)x+b funqcia pirdapirproporciuloba? 12 Semdegi funqciebidan romeli wrfea blagvi kuTxiT daxrili ox sxivisadmi zeda naxevarsibrtyeSi: a) y = 2x+5; b) y = –3x+7; g) y = 4x; 13 Semdegi wrfeebidan a) y=5x–7; b) y=–5x–4; d) y = –5x. romeli gadakveTs y=5x g) y=5x+1; d) y=–7x? wrfes: 14 mevenaxes erTi kilogrami yurZnis moyvana 30 TeTri ujdeba. sxvadasxva xarji, rac mosavlis realizaciasTanaa dakavSirebuli, 300 lars Seadgens. dawereT funqcia, romelic gviCvenebs mogebis damokidebulebas mosavlis raodenobaze, Tu yurZnis bazarze gasayidi fasi saSualod 50 TeTria. aris Tu ara es damokidebuleba wrfivi? aageT Sesabamisi grafiki. 15 ipoveT Semdeg funqciaTa grafikebis gadakveTis wertilTa koordinatebi (grafikis augeblad): a) y=3x+4 da y=4x–7; g) y=4x–7 da y=5; b) y=x–7 da y=1,5x+4; d) y=2x–5 da y=4x+3. 16 dawereT l wrfis gantoleba, Tu naxazze mocemuli wrfeebi paraleluria. 17 dawereT naxazze mocemul y=kx+b damokidebulebaSi k da b koeficientebis niSnebi. 18 a-s ra mniSvnelobebisTvis ekuTvnis M(a;–14) wertili y=6x+a funqciis grafiks? ipoveT MK monakveTis sigrZe, sadac K(–1,5a; –2). 19 y=x+2k wrfe gadis (1; –3) wertilze. ipoveT k-s mniSvneloba. 20 C(5; k) wertili mdebareobs wrfeze, romelic gadis A(0;1) da B(–2; –1) wertilebze. ipoveT k. 262 7. wrfivi funqcia 21 Semdeg amocanebSi daadgineT, aris Tu ara sakmarisi mocemuli pirobebi amocanis amosaxsnelad, dadebiTi pasuxis SemTxvevaSi gaeciT pasuxi dasmul kiTxvas. uaryofiTis SemTxvevaSi moifiqreT, ra monacemis damatebaa sakmarisi amocanis amosaxsnelad. daadgineT k koeficientis niSani, Tu y=kx+b funqciisTvis sruldeba piroba: a) f(–4)>f(1); b) f(0)<0; g) f(5)=3 da f(–2)=0; d) f(9)>5. 22 aageT y = 2x–3 funqciis grafiki, sadac a) –1 ≤ x ≤ 4; b) x ≥ 0; g) x ≤ –2. 23 romel meoTxedebSia ganlagebuli Semdeg funqciaTa gra fikebi? a) y=-2x+3; b) y=2x+3; g) y=3x-2; d) y=3x+4. 24 firmas manqanis erTi detalis damzadeba 20 lari ujdeba. sxvadasxva saxis gadasaxadebSi firma 500 lars ixdis. cnobilia agreTve, rom firmas SeuZlia TveSi 500 detalis damzadeba. ra fasad unda gayidos firmam detali, rom a) darCes mogeba; b) TveSi 1500 lari mogeba darCes; g) imuSaos wagebaze; d) ganicados maqsimaluri wageba? e) dawereT funqcia f: gasayidi fasi → yovelTviuri mogeba; v) rogori damokidebuleba arsebobs detalis gasayid fassa da yovelTviur mogebas Soris? z) ipoveT f(21); f(25) — axseniT misi Sinaarsi. 25 mcxeTidan quTaisis mimarTulebiT avtomobilma 60 km/sT siCqariT daiwyo moZraoba. a) dawereT funqcia f : dro → avtomobilis daSoreba Tbilisidan, Tu cnobilia, rom manZili Tbilisidan mcxeTamde 35 km-ia (vigulisxmoT, rom avtomobili mudmivi siCqariT moZraobs); b) aageT miRebuli funqciis grafiki; g) rogor Seicvleba grafikis daxris kuTxe Ox sxivis mimarT, Tu avtomobili 70 km/sT siCqariT imoZravebs? 26 dawereT funqcia, romelic tolferda samkuTxedis: a) fuZesTan mdebare kuTxes uTanadebs fuZis mopirdapire kuTxis gare kuTxes; b) fuZis mopirdapire kuTxis gare kuTxes uTanadebs fuZesTan mdebare kuTxes. 27 raketa, romlis wona startis aRebisas 800 tonaa, pirveli ori wuTis ganmavlobaSi wvavs 612 t sawvavs. amasTan, am drois ganmavlobaSi wvis procesi Tanabrad mimdinareobs: a) dawereT funqcia f : dro (wT-ebSi) → raketis wona (t-Si); b) daxazeT f funqciis grafiki; g) grafikis saSualebiT dadgineT: 1) ramden tonas iwonis raketa startidan 1,5 wT-is Semdeg; 2) ramdeni wamis Semdeg iqneba raketis wona 500 t. 263 V Tavi m(kg) 4 3 2 1 1 2 3 V(l) 28 naxazze mocemulia funqciis grafiki, romelic gviCvenebs WurWlis masis damokidebulebas masSi Casxmuli siTxis moculobaze. ipoveT: a) carieli WurWlis masa; b) WurWlis masa erTi litri siTxiT; g) erTi litri siTxis masa; d) siTxis moculoba, romelic Casxmulia WurWelSi, Tu mTliani wona 3 kg-ia. 29 mocemulia funqcia f(x), sadac: f(x) = { 3x–2, Tu x<–3 –2x+5, Tu x≥–3 ipoveT: a) f(1); b) f(–3); g) f(–4); d) f(0). 30 mocemulia y=f(x) funqcia: f(x) = { x+5,7, Tu x<–1,3 –5, Tu x≥–1,3 ipoveT: a) f(–5); b) f(–20); g) f(0); d) f(1,273). 31 aageT funqciis grafiki: a) y = g) y = { { 1, Tu –4 ≤ x ≤ –1 2x+3, Tu –1 < x ≤ 1 ; b) y = ; d) y = –x+1, Tu –2 ≤ x ≤ 1 x–1, Tu 1 < x ≤ 4 32 aageT grafiki: a) y = { –x; x < –1 x, Tu x ≥ –1 ; b) y = g) y =0,25|x|+1; d) y =|x|+0,5x; 0, Tu –5 ≤ x ≤ –2 x+2, Tu –2 < x ≤ 2 x+3, Tu –4 ≤ x ≤ 0 –x+3, Tu 0 < x ≤ 4 { 2x, Tu –1 ≤ x < 1 3–x, Tu 1 < x ≤ 4 m(kg) 4 3 2 1 . ; e) y = |x| (x–2). x { 34 naxazze mocemulia funqcia, romlis gansazRvris area –2≤x≤6. CawereT funqcia analizurad. 1 2 3 4 V(l) 35 y=j(x) funqcia miiReba y=f(x) funqciis { gadataniT. dawereT y=j(x) funqcia, Tu: a) f(x)=3x; 264 ; –x+2; x < 0 x+2, x ≥ 0 dawereT es funqcia erTi formuliT, modulis niSnis gamoyenebiT. 33 mocemulia funqcia: y = –2 –1 { { b) f(x)=x+2; x → x–1 paraleluri y → y+2 g) f(x)=2x–1; d) f(x)=3x–5. 7. wrfivi funqcia 36 mamam anas da nikas Tanabari raodenobis gasaberi burTebi 2 7 miutana. anam yvela burTis gabera, nikam _ . romels 3 8 ufro meti gaberili burTi aqvs da ramdeniT, Tu Tavidan TiToeulis burTebis raodenoba 30-ze naklebi iyo? g 37 CawereT perioduli aTwiladis saxiT da ipoveT mZimis Semdeg me-5; me-10; me-40; me-100 cifri. 1 a) 2 ; b) ; g) 1 ; d) 2 . 6 3 7 12 38 distributors maRaziaSi yoveldRiurad erTi da igive raodenobis koka-kola Semoaqvs. maRazia yoveldRiurad 5 saSualod Semotanili produqciis -s yidis. ramden dReSi 7 erTxel iqneba saWiro koka-kolas Semotana, rom maRazias deficiti ar hqondes? proeqti: 1. naxazze mocemulia y=f(x) funqciis grafiki. rogor avagoT y=f(x) funqciis grafikis saSualebiT y=f(x)+b funqciis grafiki? ganixileT y=f(x)+3, y=f(x)–2 funqciaTa grafikebis ageba, risTvisac SeasruleT Semdegi: a) grafikis saSualebiT ipoveT f(a); f(k); f(c); f(m). mniSvnelobebi. nax. 1 b) aageT wertilebi (a; f(a)+3); (k; f(k)+3), (c; f(c)+3); (m; f(m)+3), Sesabamisad, (a; f(a)–2); (k; f(k)–2); (c; f(c)–2); (m; f(m)–2) da SeecadeT gadaWraT mocemuli problema. 2. aRwereT, rogor miiReba y = f(x) funqciis grafikisgan y = –f(x) funqciis grafiki, risTvisac a) wertilebi (a; f(a)); (b; f(b)) . . . SeadareT Sesabamisad (a; –f(a)); (b; –f(b)) . . . wertilebs. gamoitaneT Sesabamisi daskvna (1-li naxazis mixedviT). 3. naxazze mocemulia y=f(x) funqciis grafiki. a) rogor mniSvnelobebs Rebulobs y=f(x) funqcia, roca 1) x<–1; 2) x>4; 3) x∈(–1;4). b) SeadareT wertilebi (a; f(a)) da (a; |f(a)|), roca: 1) a<–1; 2) a∈(–1; 4); 3) a>4. gamoitaneT daskvna, rogor avagoT y=f(x) funqciis grafikisgan y=|f(x)| funqciis grafiki. 265 V Tavi 8. wrfivi gantolebisa da utolobis grafikuli amoxsna 1. sahaero burTSi yovel wuTSi itumbeba 5 m3 airi. burTSi SeiZleba Caitumbos araumetes 50 m3 airisa. a) aageT grafiki, romelic gviCvenebs burTSi Catumbuli airis raodenobis (m3-Si) droze damokidebulebas. b) grafikis saSualebiT daadgineT, Catumbvis dawyebidan ramden wuTSi gaskdeba burTi. ras niSnavs, amovxsnaT ax+b=c gantoleba grafikulad? avagoT y=ax+b funqciis grafiki da vipovoT x cvladis ra mniSvnelobisaTvis gautoldeba y cvladi c-s. anu rac igivea, erTsa da imave sakoordinato sistemaSi avagoT y=ax+b da y=c funqciaTa grafikebi. maTi gadakveTis wertilis abscisa iqneba x cvladis saZiebeli mniSvneloba. magaliTi 1. –2x+3=2 gantoleba amoxseniT analizurad da grafikulad. amoxsna: analizurad: (–2x+3=2) ⇔ (–2x=–1) ⇔ ⇔ (x=0,5); A={0,5}. grafikulad: avagoT f : x → –2x+3; g : x → 2 funqciaTa grafikebi. maTi gadakveTis wertilis abscisa tolia 0,5-is, e. i. x=0,5. magaliTi 2. amoxseniT grafikulad: a) 2x+3=0; b) 3x–1=–2x+4; f g) 3x–1<–2x+4. amoxsna: a) avagoT f: x → 2x+3; g: x → 0. rogorc viciT, g: x → 0 funqciis grafiki TviT x RerZia, e. i. gantolebis amonaxseni iqneba f funqciis grafikisa da abscisaTa RerZis gada-kveTis wertilis abscisa, x = –1,5. 266 b) erTsa da imave sakoordinato sistemaSi avagoT f: x → 3x–1 da g: x → –2x+4 funqciaTa grafikebi. grafikebis gadakveTis wertilis absci saa x = 1. ( x = 1-Tvis f(1) = g(1) ). e. i. gantolebis amonaxsenia x = 1 . g)* avagoT f(x)=3x–1 da y(x)=–2x+4 funqciaTa grafikebi naxazidan advilad SevamCnevT, rom, roca x∈(–∞; 1) f funqciis mniSvnelobebi naklebia, g funqciis mniS vnelobebze, xolo x∈(1;∞) Sua ledSi ki piriqiT _ f funqciis mniSvnelobebi metia g funqciis mniSvnelobebze. e. i. (3x–1 < –2x+4) ⇔ x∈(– ∞; 1). magaliTi 3*. ramdeni amonaxseni aqvs |x| = 5 x – 2 gantolebas? 3 amoxsna: erTsa da imave sakoordinato sistemaSi avagoT f : x → |x| da g: x → 5 x – 2 funqciaTa grafikebi. 3 f funqciis grafikis asagebad ganvixiloT ori SemTxveva a) Tu x>0, maSin |x| = x da f: x → x. b) Tu x<0, maSin |x| = –x da f: x → –x. f da g funqciaTa grafikebs aqvs erTi gadakve- Tis wertili. e. i. x= 5 x –2 gantolebas aqvs erTi amonaxseni x=3. 3 SeavseT gamotovebuli adgilebi: 1. Tu f(x)>3 utolobis amonaxseni nebismieri ricxvia, maSin y=f(x) funqciis grafiki mTlianad moTavsebulia y=3 wrfis ? ; 2. naxazis mixedviT f(x)>g(x), Tu x ∈ ? Sualeds. f(x)≤g(x), Tu x ∈ ? Sualeds. f(x)=g(x), Tu x= ? an x= ? . 267 V Tavi savarjiSoebi: 1 amoxseniT gantoleba analizurad da grafikulad: 1 a) 5x – 1 = 3; b) 4 – 0,2x = –1; g) 5 + 3 x = 3; d) –0,6x + 2 = –2; e) 0,5x – 1 = x + 3; v) 2 2 x + 2 = –0,5x – 1. 1 2 dawereT f wrfivi funqcia, romelic x RerZs kveTs (5;0) wertilSi da gadis P wertilze: a) P(0;3); b) P(0;–1). 3* f wrfivi funqciis daxris koeficienti 3-is tolia da gadis wertilze (4;0). amoxseniT f(x)=3 gantoleba analizurad da grafikulad. 4 ramdeni amonaxseni aqvs gantolebas: a) |x| =2x+1; b) |x| = 0,2x+2; g) |x| =0,5x–1. 5 amoxseniT grafikulad: a) 5x+7>2x–3; 3 d) 2 x–5≤x–8; b) 3x+4<8; g)* |x|>2x–4; e)* |x–2|>5; v)* |x+3|<x–4. 6* naxazze wiTeli wiriT mocemulia f funqciis, mwvaniT _ g funqciis grafiki. x-is ra mniSvnelobisaTvis aris: 1) f da g funqciis mniSvnelobebi toli; 2) f funqciis mniSvnelobebi meti g-s mniSvnelobebze; 3) g funqciis mniSvnelobebi meti f-is mniSvnelobebze; 4) g funqciis mniSvnelobebi dadebiTi; 5) f funqciis mniSvnelobebi uaryofiTi? 7* naxazze mocemuli f da g funqciebis grafikebisaTvis pasuxi gaeciT imave SekiTxvebs, romelic wina amocanaSia dasmuli. 8 naxazze mocemulia y=f(x) funqciis grafiki. a) amoxseniT utoloba: f(x)≤4; b) x-is ramdeni mTeli mniSvneloba akmayo filebs mocemul utolobas? 268 8. wrfivi gantolebisa da utolobis grafikuli amoxsna 9 turistTa ori jgufi gamovida erTi da imave adgilidan da sxvadasxva marSrutiT gaemgzavra daniSnulebis adgilisaken. naxazze mocemulia maTi moZraobis grafikebi. naxazis mixedviT upasuxeT Semdeg SekiTxvebs: a) romelma jgufma imoZrava Sesvenebis gareSe da risi toli iyo misi moZraobis siCqare? b) ramdeni saaTi dasWirda TiToeul jgufs daniSnulebis adgilze Casasvlelad? g) gasvlidan ramdeni kilometris gavlis Semdeg Seisvena pirvelma jgufma da ramdeni xniT. rogori iyo misi siCqare Sesvenebamde da Sesvenebis Semdeg? d) gasvlidan ra droSi moxda maTi Sexvedra da ramdeni kilometri hqondaT maT darCenili gasavleli? e) drois ra monakveTSi iyo I jgufi sawyisi punqtidan ufro Sors, vidre meore da piriqiT, ra monakveTSi iyo meore jgufi sawyisi punqtidan ufro Sors, vidre pirveli? 10 qromotografiuli svetidan 10 dRis ganmavlobaSi Camodis preparatis 8,64·105 wveTi. ramdeni wveTi Camodis svetidan 1 wT-Si? 11 g daamrgvaleT: 1) aTeulebamde: 13456; 27338; 43023. 2) aseulebamde: 74546; 30317; 41590. 3) aTaseulebamde: 88888; 94321; 70421 12 daTos levans da kaxas sul 20 lari aqvT. daTos da levans erTad 15 l da 70T, xolo levans da kaxas 12 l da 80T. ra Tanxa aqvs TiToeuls? 13 Semdegi ricxvebidan ipoveT racionalur ricxvTa saSua lo ariTmetikuli: 0,1010010001 . . . ; 0,333 . . .; 0,101010 . . .; 0,3434434444 . . . amocana damoukidebeli kvlevisTvis: 14 Tu f(x)=3x+1; g(x)=2x-3 da x∈[2; 5] ipoveT: a) f(x) funqciis mniSvnelobaTa simravle; b) g(x) funqciis mniSvnelobaTa simravle. ● rogor fiqrobT, ra iqneba f(x)+g(x) gamosaxulebis umciresi, udidesi mniSvneloba? ● SeafaseT f(x)–g(x) da f(x); g(x) gamosaxulebebis mniSvnelobaTa simravleebi. ● ra daskvnas gamoitanT? 269 V Tavi jgufuri mecadineoba y 1. f(x )=k x naxazze mocemulia ori urTierTmarTobuli f(x)=kx da g(x)=k1x wrfe. aCveneT, rom 1 k1 = – . k am davalebis Sesasruleblad: A(x1;y1) C(x2;y2) M 0 B g(x x )=k 1 x 1) Tu OA=OC, aCveneT, rom ΔOAB da ΔOCM toli samkuTxedebia; 2) A(x1;y1) da C(x2;y2) wertilTa koordinatebis saSualebiT gamosaxeT Sesabamisad k da k1 koeficientebi; 3) ipoveT k da k1 koeficientebs Soris damokidebuleba. y B y2 A y1 f 0 2. aCveneT, rom A(x1,y1) da (x2;y2) (x1;y1) x1 B(x2;y2) wertilebze gamavali wrfis gantolebas aqvs saxe y2– y1 y – y2 x2 – x1 = x – x2 (1) . am davalebis Sesasruleblad: x2 x 1) dawereT A da B wertilebze gamavali y=kx+b saxis gantoleba, risTvisac A da B wertilebis koordinatebis saSualebiT gamosaxeT k da b ricxvebi. 2) mieciT AB wrfis miRebul gantolebas (1) saxe. 3. ipoveT manZili M(2;5) wertilidan y=x–2 wrfemde. savarjiSoebi: 1 dawereT mocemuli wrfis marTobuli romelime erTi wrfis gantoleba: a) y = 5x – 1; b) y = –2x + 3; g) y = –0,5x + 7. 2 dawereT A(5; 1) wertilze gamavali qvemoT mocemuli wrfis marTobuli wrfis gantoleba: a) y = 2x + 1; b) y = –0,5x – 2; g) y = x + 5. 3 dawereT AB wrfis gantoleba, Tu: a) A(2; 1); B(3; –2); b) A(5; –1); B(2; 0); g) A(0; 5); B(2; 3). 4 ipoveT manZili A wertilidan y = x + 1 wrfemde: a) A(–2; –1); 270 b) A(0; 0); g) A(–2; 4). es sainteresoa Cvens garSemo, bunebaSi, yvelaferi moZraobs da yvelaferi icvleba. dedamiwa brunavs Tavisi RerZis garSemo da agreTve mzis garSemo. aseve mzec Tavis yvela planetasTan erTad moZraobs kosmosSi. funqciis erT-erTi ZiriTadi daniSnulebaa _ aRweros bunebaSi mimdinare realuri procesebi. jer kidev didi italieli mecnieri galileo galilei ambobda, rom bunebis wigni RmerTma maTematikur enaze dawera, romlis asoebic maTematikuri niSnebi da geometriuli figuraa. funqcia ki maTematikuri enis is saSualebaa, romelic aRwers bunebaSi mimdinare cvlilebaTa procesebs. swavlulebma ukve didi xania SeamCnies, rom bunebaSi esa Tu is procesi 1) TandaTanobiT (uwyvetad) da 2) naxtomiseburad mimdinareobs. magaliTad, garkveuli simaRlidan raime sxeulis miwaze vardnisas moZraobis siCqare Tavdapirvelad TandaTanobiT izrdeba, xolo miwis zedapirTan Sejaxebisas naxtomiseburad icvleba, xdeba nulis toli an miwis zedapiridan àxtomisas~ icvlis mimarTulebas (magaliTad, burTi). siCqaris droze damokidebulebis SesaZlo grafiki 1-el naxazzea mocemuli. galileo galilei (1564-1642 ww.) nax. 1 a) b) nax. 2 a) b) nax. 3 me-2-e naxazze gamosaxulia ori wiri, romelic daxazulia seismografis mier (xelsawyo, romelic iwers dedamiwis qerqis rxevas). zeda wiri miRebulia maSin, roca dedamiwis qerqi mSvidadaa, xolo b) _ miwisZvrisas. me-3 naxazze mocemulia ori kardiograma. zeda gviCvenebs gulis normalur muSaobas, qveda ki avadmyofi gulis muSaobas. seismologi seismogramiT mixvdeba, rodis da sad moxda miwisZvra, amave dros gansazRvravs biZgebis Zalasac. eqimic kardiogramis meSveobiT igebs, ra darRveva aRiniSneba gulis muSaobaSi da avadmyofs swor diagnozs usvams. orive SemTxvevaSi eqimic da seismologic Seiswavlis raRac funqciebs misive grafikis mixedviT. maTematika _ es aris is, ris meSveobiTac adamiani bunebas da Tavis Tavs marTavs. andrei kolmogorovi 271 V Tavi 9. wrfivi orucnobiani gantoleba amocana 1. x–1 marTkuTxa formis nakveTis sigane sigrZeze 1 m-iT naklebia. risi toli SesaZloa iyos am nakveTis sigrZe da, Sesabamisad, perimetri? x Ax+By+C=0 saxis gantolebas, sadac x da y cvladebia, xolo A, B da C nebismieri ricxvebi, wrfivi oruc nobiani gantoleba ewodeba. vTqvaT, marTkuTxedis sigrZe x m-ia, maSin sigane (x–1)m iqneba. Tu perimetrs y-iT aRvniSnavT, miviRebT: y=2x+2(x–1), anu 4x–y–2=0 (1) orucnobian gantolebas. ?  ipoveT (1) gantolebis romelime amonaxseni. ucnobebis mniSvnelobaTa im wyvils, romelic orucno bian gantolebas WeSmarit ricxviT tolobad aqcevs, am gantolebis amonaxseni ewodeba. vipovoT (1) gantolebis sxva amonaxsnebic, risTvisac mivaniWoT x-s raime mniSvneloba da miviRebT y-is Sesabamis mniSvnelobas. SevadginoT cxrili: sakoordinato sibrtyis yvela im wertilTa erTobliobas, romlis koordinatebic orucnobiani gantolebis amonaxsnebia, am gantolebis grafiki ewodeba. x 1 1,5 2 2,5 3 3,5 y = 4x – 2 y 4∙1 – 2 = 2 4∙1,5 – 2 = 4 4∙2 – 2 = 6 4∙2,5 – 2 = 8 4∙3 – 2 = 10 4∙3,5 – 2 = 12 (x;y) (1;2) (1,5;4) (2;6) (2,5;8) (3;10) (3,5;12)  gaagrZeleT cxrili da ipoveT (1) gantolebis kidev sami amonaxseni. Tu marTkuTxa sakoordinato sibrtyeze movniSnavT wertilebs, romelTa koordinatebic 4x–y–2=0 gantolebis amonaxsnebia, vnaxavT, rom es wertilebi erT φ wrfeze iqneba ganlagebuli. 1. miRebul wrfeze aiReT nebismieri C wertili. iqneba Tu ara C wertilis koordinatebi mocemuli gantolebis amonaxseni? 2. SesaZlebelia Tu ara movZebnoT φ wrfeze wertili, romlis koordinatebic ar iqneba mocemuli gantolebis amonaxseni? 3. rogori damokidebuleba arsebobs φ wrfis wertilebsa da mocemul gantolebas Soris? 272 ganvixiloT Ax+By=C wrfivi orucnobiani gantoleba. radgan, roca B≠0, Ax+By=C gantolebas SesaZlebelia mivceT y=kx+b saxe, amitom SegviZlia davaskvnaT, rom: Tu B≠0, maSin Ax+By=C gantolebis grafiki wrfea. y Tu B=0 da A≠0 maSin miviRebT A·x+0·y=c (2) gantolebas. C . e. i. (2) gantolebis amonaxsenTa simravA 4 C x = -s tolia. ordinata ki nebismieria. aseT wertil A aqedan x = x=3 3 le Sedgeba yvela im (x;y) wertilisgan romelTa abscisa 2 (3;2) 1 (3;1) Ta erToblioba y RerZis paraleluri wrfea, romelic 0 –1 abscisaTa RerZs –2 C wertilSi kveTs. A 1. amoxseniT Ax + By = C gantoleba, roca: a) A=B=O; C≠0; b) A=B=C=O. 1 2 (3;0) x (3;–2) Tu wertili mdebare obs grafikze, maSin misi koordinatebi akmayofilebs grafikis gantolebas. magaliTi 1. a) aageT 3x+5y=16 gantolebis grafiki; b) grafikis mixedviT ipoveT gantolebis amonaxsenTa ori wyvili. amoxsna: y a) radgan mocemuli gantolebis grafiki wrfea, amitom sakmarisia vipovoT misi romelime ori wertili. SevadginoT cxrili: x 0 –3 y 3,2 5 3x+5y=16 5 4 3 2 1 (0; 3,2) da (–3;5) wertilebze gamavali wrfe iqneba 3x+5y=16 gantolebis grafiki. –3 –2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 x b) naxazis mixedviT mocemuli gantolebis amonaxsenebia wyvilebi: (2; 2) da (7; -1). magaliTi 2. aageT: a) x=2; b) y=3 gantolebis grafiki. amoxsna: a) unda vipovoT sakoordinato sibrtyis im wertilTa erToblioba, romelTa abscisa aris 2-is toli, xolo ordinata nebismieria. aseTi wertilebi ganlagebuli iqneba (2;0) wertilze gamaval x RerZis marTobul wrfeze. y x=a gantolebis grafiki y RerZis paraleluri wrfea, romelic x RerZs x=a wertilSi kveTs. x=2 4 3 2 1 0 –1 1 2 x –2 273 V Tavi y 4 y=b gantolebis grafiki aris x RerZis paraleluri wrfe, romelic y RerZs b wertilSi kveTs. y=3 3 2 1 0 –1 1 2 –2 y=–2x+1 SeavseT gamotovebuli adgilebi: y 1. orucnobiani gantolebis amonaxseni ewodeba masSi Semavali ucnobebis im ? , romelic gantolebas swor ricxviT tolobad aqcevs. 5 4 3 2 1 –3 –2 –1 0 x b) unda vipovoT sakoordinato sibrtyis yvela im wertilTa erToblioba, romelTa ordinata 3-is tolia, abscisa ki _ nebismieri. aseT wertilTa erToblioba qmnis x RerZis paralelur wrfes, romelic gaivlis (0,3) wertilze. –1 –2 –3 1 2 x 2. naxazze mocemul grafikze mdebareobs wertilebi: (–1; ? ); ( ? ; 5); ( ? ; –3). 3. CasviT sityvebi `mdebareobs~ an àr mdebareobs~. mocemulia y = 2,5x – 3 gantoleba. am gantolebis grafikze: A(4; 7) ? ; B(–4; –4) ? ; C(2; 2) ? . savarjiSoebi: 1 gurams mamam dabadebis dReze 20 lari aCuqa. ramdeni burTis da ramdeni manqanis yidva SeuZlia gurams am TanxiT, Tu erTi burTi 2 lari, xolo erTi manqana 3 lari Rirs. (vigulisxmoT, rom guramma Tanxa mTlianad unda daxarjos). 2 mocemuli gantolebebidan romelia wrfivi orucnobiani gantoleba. a) 5x – 7y = 9; b) 2x = 5y – 1; g) x2 + y = 7; d) 2xy – 7x = 9y. 3 5t - 7z = 8 gantolebidan gamosaxeT: a) t cvladi z-is saSualebiT; b) z cvladi t-s saSualebiT. 4 mocemuli gantolebebidan romeli gantolebis grafiki gadis A(-1;2) wertilze: a) 3x – 5y = 1; b) 4y + 7x = 2; g) 3x – y = –5; d) 10y = 21 + x; e) 11x + 21y = 31; v) 5x + 8y = 11. 5 aageT gantolebis grafiki: a) 2x – y = 2; b) y – x + 5 = 0; d) 2y + 3x = 0; e) y + 5 = 0; g) 2(x – y) + 3(3x + y) = 5; v) x – 7,2 = 0. 6 ipoveT a koeficientis mniSvneloba, Tu wyvili (2;3) aris ax+5y=21 gantolebis amonaxseni. 7 18x + 7y = 12 gantolebis Sesabamis wrfeze aRebulia wertili, romlis ordinata 3-is tolia. ipoveT am wertilis abscisa. 8 orniSna ricxvis cifrTa jami 16-is tolia. a) ipoveT es ricxvi; b) ramdeni amonaxseni aqvs amocanas. 274 9 aageT funqciis grafiki: a) y = –2; b) y = 0; g) y = 3; d) x = –2; e) x = 4; v) x = 0. 9. wrfivi orucnobiani gantoleba 3 + x 1 gantoleba. 4 a) ra mniSvnelobebi unda mivaniWoT x-s, rom miviRoT y-is mTeli mniSvneloba; 10 mocemulia y = b) ra mniSvnelobebi unda mivaniWoT y cvlads, rom miviRoTY x-is mTeli mniSvneloba? 11 marTkuTxa sakoordinato sibrtyeze wiTlad gaaferadeT yvela is wertili, romelTaTvisac sruldeba: a) y > –2; b) y ≤ –2; g) x ≥ –4; d) x < –4. 12 rukaze wertilis koordinatebi aRvniSnoT (x;y)-iT, sadac x ganeds, xolo y grZeds gviCvenebs. amowereT yvela is qalaqi, romelTaTvis sruldeba: a) 0 < x < 20°; b) 40° < y < 50°. 13 x+2y=18 gantolebisTvis ipoveT toli amonaxsenTa wyvili. 14 mocemulia ori orcvladiani gantoleba: x–y=5 da x+y=11. ipoveT ricxvTa wyvili, romelic: a) warmoadgens pirveli gantolebis amonaxsens da ar akmayo filebs meores; b) warmoadgens meore gantolebis amonaxsens da ar akmayo filebs pirvels; g) akmayofilebs rogorc pirvel, aseve meore gantolebas; d) ar akmayofilebs arcerT gantolebas. 15 a) daasaxeleT 4x–2y=3 wrfivi gantolebis sami amonaxseni ise, rom x da y-s hqondes gansxvavebuli niSnebi; b) daasaxeleT 4x+5y=8 gantolebis sami amonaxseni ise, rom x da y-s hqondes erTnairi niSnebi. g 16 ipoveT is umciresi ricxvi, romelic unaSTod iyofa 1-dan 10-is CaTvliT yvela naturalur ricxvze. 17 mkeravma Tavisi 20 Segirdi ramdenime dRiT datova Tavisi saxlis oTaxebSi ise, rogorc naxazzea naCvenebi. man daavala zedamxedvels yovel saRamos Seemowmebina, rom saxlis yvela mxares yofiliyo 7 gogona. a) erT saRamos maT estumraT 4 megobari. gaanawileT gogonebi ise, rom zedamxedvels, daTvlisas saxlis yvela mxares isev 7 gogona daxvdes. b) meore dRes 4-ma gogonam gaacila 4 stumari. gaanawileT darCenili gogonebi oTaxebSi ise, rom zedamxedvelma saxlis yvela mxares kvlav 7-7 gogona daiTvalos. 2 3 3 2 2 3 3 2 18 a) SeamCnieT mocemul mimdevrobaSi kanonzomiereba da gaag rZeleT igi 3 wevriT; b) daadgineT mimdevrobis zogadi wevris formula: 1) 2, 7, 12, 17,... 2) 6, 14, 22, 30, ... 19 gansazRvreT svetis wneva, Tu masze moqmedi simZimis Zala 4 kn Tanabradaa ganawilebuli 0,16 m2 farTobze. rogori damokidebulebaa a) wnevasa da zedapiris marTobulad moqmed Zalas Soris; b) wnevasa da zedapiris farTobs Soris; g)aris Tu ara wnevis damokidebuleba Zalaze wrfivi? 275 V Tavi 10. amovxsnaT gantoleba mTel ricxvebSi 1. SeuZlia Tu ara salomes 2 da 5 TeTriani monetebiT iyidos fanqari, romelic 28 TeTri Rirs? y=kx+b funqcias kidev erTi saintereso Tviseba aqvs. ganvixiloT y=2x+3 funqcia. SevadginoT cxrili bijiT 1. x –6 y=2x+3 –5 –4 –3 –2 –1 –9 –7 –5 –3 –1 1 1 2 7 5 7 11 13 15 17 amoviweroT y=2x+3 funqciis mniSvnelobebisagan Sedgenili mimdevroba: –9; –7; –5; –3; –1; 1; 3; 5; 7; 9; 11 . . . rogorc vxedavT, miRebuli mimdevroba mudmivi nazrdis mqone mimdevrobaa _ yoveli wevri metia winaze erTi da imave ricxviT – 2-iT. ase mimdevrobas ariTmetikul progresias uwodeben. 2. y=2x+3 funqciisTvis SeadgineT mocemulis msgavsi cxrili bijiT 2; 3. daakvirdiT funqciis Sesabamisi mniSvnelobebisagan Sedgenil mimdevrobas. aqvs Tu ara miRebul mimdevrobas igive Tviseba? 3. SeadgineT wina amocanis msgavsi y = 2x + 1; y = x – 2 funqciebisaTvis. daakvirdiT cxrilis II striqonSi miRebul ricxvTa mimdevrobas, SeecadeT gamoitanoT Sesabamisi daskvna. y sazogadod, Tu wrfivi funqciis argumentis mniSvneloba a erTeuliT gaizrdeba, e.i. Tu x2=x1+a, maSin funqciis mniSvneloba ka erTeuliT Seicvleba (an gaizrdeba an Semcirdeba). marTlac, y2 – y1 = k(x1 + a) + b – (kx1 + b) = ka. y2 ka y1 x0 x0+a x1 x2=x1+a k(x0+a)+b ka kx0+b 276 x e. i. Tu wrfivi funqciis argumentis mniSvnelobebs erTi da imave a erTeuliT gavzrdiT, maSin funqciis Sesabamisi mniSvnelobebi ka erTeuliT Seicvleba (gaizrdeba, Tu k>0, da Semcirdeba, Tu k<0). samarTliania Sebrunebuli winadadebac: Tu argumentis mudmivi nazrdis SemTxvevaSi funqciis Sesabamisi nazrdebi tolia, maSin es funqcia wrfivi fun qciaa. am daskvnidan gamomdinare, SevecadoT amovxsnaT wrfivi or ucnobiani gantoleba mTel ricxvebSi. ganxiluli Tvisebidan advilad davaskvniT, rom Tu wyvili (x0; y0) aris y = kx + b orucnobiani gantolebis romelime amonaxseni, maSin (x0+a; y0+ka) wyvilic amave gantolebis amonaxseni iqneba. ganvixiloT paragrafis dasawyisSi mocemuli amocana Tu 2-TeTriani monetebis raodenobas x-iT, xolo 5-TeTrianisas - y-iT aRvniSnavT, miviRebT gantolebas: 2x + 5y = 28. aqedan 2 +2 28+ 28 28 -28 2x- 2x . y =y =x x (1) (anu 1) y = y = 5 5 5 5 5 5 advilad mixvdebiT, rom wyvili (4; 4) (1) gantolebis amonaxsenia. Tvisebis Tanaxmad, (4+a;4+ka) wyvilic mocemuli gantolebis 2 2 amonaxseni iqneba. radgan k =- , amitom ak =- a a∈Z, ! z. roca a=5 5 5 (sazogadod 5-is jeradi.) aqedan gamomdinare ka = –2 da (1) gantolebis sxva mTeli amonaxsnebi iqneba: +5 +5 +5 +5 x y –1 6 4 4 9 2 14 0 19 –2 diofante, III s-is didi berZeni maTematikosi. igi ganixilavda sxvadasxva gantolebebs mTeli da racionaluri amonaxsnebiT da miuTiTebda maTi moZebnis gzebs. (x;y) –2 –2 –2 –2 (–1;6) (4;4) (9;2) sazogadod )x = 4 + 5n y = 4 - 2n (14;0) (19;–2) radgan ganxilul amocanaSi x,y≥0, amitom amocanis amonaxsnebi iqneba wyvilebi: (4; 4), (9: 2), (14; 0). n c sazogadod, ganvixiloT (my – nx = c) ⇒ y = x + (1) (1)gantolem m ba, sadac m, n, c∈z. ( ) vTqvaT, (1) gantolebis amonaxsenia wyvili (x0;y0), maSin ganxilulis analogiuri msjelobiT miviRebT, rom (1) gantolebis mTeli amonaxsnebi miiReba formuliT: )x = x0 + mk , k∈z. y = y0 + nk savarjiSoebi: 1 amoxseniT gantoleba naturalur ricxvebSi a) 2y–3x=2; g) 7x–5y=1; e) x(y – 3) = 10; z) 2x2 + 3xy – 2y2 = 13; b) 3x–5y=19; d) 3x–21y=13; v) x2 – y2 = 17; T) (2x–y)2 – (x+2y)2 = 13. 2 ipoveT 1-dan 100000-mde yvela naturaluri ricxvi, romelic iyofa 73-ze da bolovdeba 001 cifrebiT. 3 ori sxvadasxva zomis yuTebiT manqanaSi detalebis raRac raodenoba CatvirTes. didi yuTi detalebTan erTad iwonis 24 kg-s, patara - 19 kg-c. ramdeni didi da ramdeni patara yuTi CatvirTes, Tu tvirTis saerTo wonaa 826 kg. 277 V Tavi 4 ipoveT gantolebis mTeli amonaxsnebi: a) 4x2 – y2 = 7; b) x2 – 5xy + 6y2 = 3. 5 ramdeni cali kolofi dagvWirdeba imisaTvis, rom 195 cali fanqari gavanawiloT Tu yuTSi 10 an 13 fanqari eteva? 6 amoxseniT naturalur ricxvebSi: a) x+4 = 5 ; b) 5x – 2y = 47. 6 y 14 7 orlarianebiT da xuTlarianebiT Sedgenilia 28 lari. ramdeni orlariani monetaa gamoyenebuli? 8 moswavlem iyida ramdenime wigni, TiTo 5 larad, da ramdenime 7-lariani kompleqti. ramdeni wigni iyida moswavlem, Tu sul 44 lari gadaixada? 9 fqvili dafasoebulia 3 kg da 2 kg paketebSi. ramdeni paketia TiToeuli, Tu sul 20 kg fqvilia. 10 a) ipoveT 2x+3y–7=0 gantolebis naturaluri amonaxsnebi; b) ipoveT naturaluri ricxvTa (x;y) wyvili, romelic akmayofilebs 5x–2y=13 gantolebas da x+y≤25 utolobas. 11 ninom axali binisaTvis ramdenime TefSebis kompleqti, TiTo 30 larad da ramdenime Wiqebis kompleqti, TiTo 38 larad, SeiZina. sul ramdeni kompleqti SeiZina ninom, Tu gadaxdili Tanxa 400 laria. 12 ori punqtidan, romelTa Soris manZili 580 km-ia, erTmaneTis Sesaxvedrad ori matarebeli gamovida. Sexvedramde, pirveli gzaSi, 4 saaTi iyo, meore _ 3 saaTi. orive mudmivi siCqariT moZraobda gaCerebis gareSe. ipoveT orive matareblis siCqare, Tu TiToeuli maTgani mTeli ricxviT gamoisaxeba. 13 romeli orniSna ricxvisTvis sruldeba: Tu mis cifrebis Soris CavsvamT 0-s, miviRebT 6-jer met ricxvs. 14 marTkuTxedis TiToeuli gverdi gazardes 2 sm-iT, aRmoCnda, rom farTobi gaizarda 16 sm2-iT. ipoveT marTkuTxedis gverdebi, Tu isini mTeli ricxvebiT gamoisaxeba. 15 Cqari matarebeli 5 saaTSi gadis 40 km-iT mets, vidre samgzavro 6 saaTSi. ipoveT maTi siCqareebi, Tu cnobilia, rom isini 10-is jeradebia da orive 100-ze naklebia da 50-ze meti. amocana damoukidebeli kvlevisTvis: 11 SeamowmeT, aqvs Tu ara gantolebas mTeli amonaxsnebi? a) 2x+4y=7; b) 6x+2y=25; g) 12y=8x+3; d) 4y=3x+7. daakvirdiT miRebul Sedegebs da gamoitaneT saTanado daskvna: ra SemTxvevaSi ar eqneba wrfiv orucnobian gantolebas amonaxseni mTel ricxvebSi? 278 11. orucnobian gantolebaTa sistema 1. ninom 2 kg kanfetsa da 3 fila SokoladSi 12 lari gadaixada, xolo kaxam imave xarisxis 4 kg kanfetsa da 1 fila SokoladSi 14 lari. ra Rirs 1 kg kanfeti da 1 fila Sokoladi? amoxsna: vTqvaT, 1 kg kanfeti x lari, xolo 1 fila Sokoladi _ y lari Rirs. maSin nino gadaixdida 2x+3y, xolo kaxa 4x+y lars, miviRebT Semdeg gantolebebs: 2x + 3y = 12 (1) 4x + y = 14 (2) Cveni mizania vipovoT (1) da (2) gantolebebis saerTo amonaxseni. erTi da imave ucnobebis Semcveli wrfivi orucnobiani ori gantolebis erTobliobas wrfiv orucnobian gan tolebaTa sistema ewodeba. ri gantolebis saerTo amonaxsens am gantolebebisagan o Sedgenili gantolebaTa sistemis amonaxseni ewodeba. (1) da (2) gantolebebisagan Sedgenil sistemas ase aRniSnaven: 2x + 3y =12 4x + y = 14 sistema amovxsnaT grafikulad, risTvisac avagoT TiToeuli gantolebis Sesabamisi grafiki. mivceT gantolebebs saxe: y = – 2x + 4 3 y = – 4x + 14 . SevadginoT cxrili: y y = – 2x + 4 y = –4x + 14 3 x y (x;y) x y (x;y) 0 4 (0;4) 1 10 (1;10) 3 2 (3;2) 2 6 (2;6) naxazidan Cans, rom sistemis saerTo amonaxsenia wyvili (3;2). e.i. 1 kg kanfeti 3 lari Rirs, xolo 1 fila Sokoladi _ 2 lari. y= – 2 3 x+ y = – 4x + 14 5 4 4 3 2 1 –2 –1 0 –1 1 2 3 4 x –2 279 V Tavi 1. aageT gantolebaTa sistemaSi Semavali TiToeuli gantolebis grafiki: ; a) ; b) . b) 2. daadgineT: ramdeni amonaxseni aqvs sistemas. 3. gamoitaneT Sesabamisi daskvna: ra SemTxvevaSi eqneba gantolebaTa sistemas erTi, arc erTi an uamravi amonaxseni. magaliTi 1. amoxseniT grafikulad gantolebaTa sistema: a) ; b) . amoxsna: a) sistemaSi Semaval gantolebebs mivceT Semdegi saxe: . SevadginoT cxrili: y = – 3x + 5 2 x 1 3 y 1 –2 y = 1 x – 72 2 2 (x;y) (1;1) (3;–2) x 0 7 y (x;y) –3,5 (0;-3,5) 0 (7;0) e. i. sistemis amonaxsenia: (3; –2). b) y = 2x – 3 y = 2x + 2 x y (x;y) x y (x;y) 0 –3 (0;–3) 0 2 (0;2) 2 1 (2;1) 2 6 (2;6) miRebuli wrfeebi paraleluria (maTi daxrebi ox sxivis mimarT tolia). maT saerTo wertili ara aqvT. e. i. gantolebaTa sistemas amonaxseni ara aqvs. 280 11. orucnobian gantolebaTa sistema magaliTi 2. ramdeni amonaxseni aqvs gantolebaTa sistemas? a) ; b) ; g) . orucnobian ganto lebaTa sistemas imdeni amonaxseni aqvs, ramdeni saerTo wertilic aqvs sistemaSi Semaval gantoleba Ta grafikebs. amoxsna: a) gantolebaTa sistema ase CavweroT: 3 -1 3 wrfis daxra -ia, xolo x 7 7 7 y = –2x – 9 wrfis daxra = –2. e. i. es wrfeebi ikveTeba da sistemas aqvs erTaderTi amonaxseni. y= b) (1) (2) miviReT: sistemaSi Semavali wrfeebi paralelurebia. e. i. sistemas amonaxseni ara 1 aqvs. (orive wrfis daxra = ). 6 g) e.i. nebismieri x0 ricxvisTvis wyvili x0; 1 x0– 2 iqneba 3 3 sistemis amonaxseni ( ) ⇔ orive wrfe erTmaneTs emTxveva. e. i. sistemas uamravi amonaxseni aqvs. SeavseT gamotovebuli adgilebi: 1. gantolebaTa sistemis amonaxsenia ricxvTa iseTi wyvili (an wyvilebi), romelic akmayofilebs ? gantolebas. 2. gantolebaTa sistemas eqneba erTaderTi amonaxseni, Tu sistemaSi Semavali gantolebebis grafikebs eqnebaT ? saerTo wertili. 3. sistemas aqvs ? amonaxseni. 281 V Tavi 4. sistemas ? amonaxseni. 5. sistemas aqvs ? amonaxseni . savarjiSoebi: 1 SeamowmeT, aris Tu ara ricxvTa Semdegi wyvili gantolebaTa sistemis amonaxseni: (9,5;0,5); a) (–2;3). b) 2 moifiqreT gantolebaTa sistema, romlis amonaxseni iqneba wyvili: a) (3; 5) b) (2; 3). 3 amoxseniT grafikulad wrfiv gantolebaTa sistema: a) d) ; ; b) ; g) . e) ; v) . 4 Semdegi sistemebis amouxsnelad gaarkvieT, ramdeni amonaxseni aqvs mocemul sistemas: a) d) g ; ; b) ; g) ; e) ; v) . 5 skolaSi 700 moswavlea, maTgan 357 biWia. skolis moswavleebis ramdeni procentia biWi? 6 erTma qalma baRSi Seagrova vaSli. baRidan gamosasvlelad mas mouxda 4 karis gavla. yovel maTgans icavda mcveli, romelic gasvlis safasurad vaSlis naxevars arTmevda. saxlSi qalma moitana 10 vaSli. ramdeni vaSli SexvdaT mcvelebs? 7* ricxvs gamoakles misive cifrTa jami. miRebul ricxvs isev gamoakles misive cifrTa jami da a.S. mxolod 11 aseTi gamoklebis Semdeg miiRes nuli. ipoveT mocemuli ricxvi. 282 12. wrfiv gantolebaTa sistemis amoxsna Casmis xerxiT 1. Tu daTo dagrovil Tanxas Seitans bankSi, sadac gadauxdian wliur 12%-s, maSin wlis bolos igi iyidis kostiums da kidev darCeba 100 lari. magram Tu Seitans bankSi, sadac gadauxdian wliur 10%-s, maSin mas kostiumis yidvis Semdeg 50 lari darCeba. ra Tanxa hqonda daTos da ra Rirs kostiumi? vTqvaT, daTos Tavidan hqonda x lari, xolo kostiumi ki y lari Rirs. miviRebT gantolebaTa sistemas: 1,12 x = y + 100 aqedan  1,1x = y + 50 ?  y = 1,12 x − 100   y = 1,1x − 50  aageT TiToeuli gantolebis grafiki da ipoveT maTi saerTo amonaxseni. SeamowmeT, akmayofilebs Tu ara miRebuli wyvili gantolebaTa sistemas. albaT gagiWirdaT, radgan grafikuli xerxiT amoxsnisas, cxadia, sistemis miaxloebiT amonaxsens vpoulobT. gavecnoT gantolebaTa sistemis amoxsnis analizur xerxs. gantolebaTa sistemebs ewodeba tolfasi, Tu maTi amonax senTa simravle erTmaneTis tolia. amoxsnis procesSi sistema unda SecvaloT misive tolfasi da ufro martivi sistemiT, risTvisac gamoiyeneba gantolebaTa sistemis Semdegi Tvisebebi: u sistemis romelime gantolebas SevcvliT mocemulis T tolfasi gantolebiT, miviRebT mocemuli sistemis tol fas sistemas. magaliTad, ⇔ gavixsenoT! maTematikaSi `⇔~ sim boloTi aRniSnulia sityva `tolfasia~. Tu sistemis erT-erTi gantolebidan ganvsazRvravT romelime cvlads da miRebul mniSvnelobas meore gan tolebaSi Sesabamisi cvladis nacvlad CavsvamT, mivi RebT mocemuli sistemis tolfas sistemas. 283 V Tavi ⇔ sistemis I gantolebidan ganvsazRvreT y cvladi (1) Tu sistemis meore gantolebaSi CavsvamT y = x – 2, miviRebT gavamartivoT sistemis II gantoleba (2) miviRebT: x-is miRebuli mniSvneloba CavsvaT pirvel gantolebaSi, miviRebT amrigad, sistemis amonaxsenia (5;3) wyvili. gantolebaTa sistemis amoxsnis ganxilul xerxs Casmis xerxi ewodeba. magaliTi 1. amoxseniT gantolebaTa sistema: a) ; b) . amoxsna: a) ⇔ pirveli gantolebidan ganvsazRvroT 3y ⇔ ⇔ 3y-is miRebuli mniSvneloba CavsvaT II gantolebaSi ⇔ ⇔ amovxsnaT II gantoleba ⇔ ⇔ x-is miRebuli mniSvneloba SevitanoT pirvel gantolebaSi ⇔ ⇔ amovxsnaT I gantoleba ⇔ b) ⇔ 284 sistemis amonaxsenia (2; 2) wyvili. ⇔ ⇔ ⇔ 12. wrfiv gantolebaTa sistemis amoxsna Casmis xerxiT sistemis pirvel gantolebas akmayofilebs x-is nebismieri mniSvneloba. e.i. sistemas gaaCnia uamravi amonaxseni. kerZod, gantolebaTa sistemis amonaxseni iqneba yvela is (x;y) wyvili, romelic akmayofilebs tolobas y = –2x + 5. savarjiSoebi: 1 gantolebaTa sistema amoxseniT CasmiT xerxiT: a) ; b) d) ; z) k) n) ; e) ; ; ; l) ; ; v) T) ; g) ; o) ; ; i) ; m) ; p) . 2 gantolebaTa sistema amoxseniT CasmiT xerxiT: a) ; b) ; d) ; e) z) ; T) k) ; g) ; l) v) ; ; ; ; i) m) ; . 3 grafikebis augeblad ipoveT Semdeg gantolebaTa grafikebis gadakveTis wertilTa koordinatebi: a) 2x + 5y = 15 da 3x + 8y = –1; b) 2x + 3y = –4 da 5x + 6y = –7; g) 5x – 4y = 16 da x – 2y = 6; d) 7x + 4y = 23 da 8x – 10y = 19. 4* a-s ra mniSvnelobisaTvis gadis ax – 2y = 1 wrfe 3x – y = 4 da 2x + 3y = –1 grafikebis gadakveTis wertilze? 285 V Tavi g 6* daamtkiceT, rom samniSna ricxvisa da imave cifrebiT, oRond Sebrunebuli rigiT Cawerili ricxvis sxvaoba ar SeiZleba iyos romelime naturaluri ricxvis kvadrati. 7 ipoveT y = 3x + 5 gantolebis grafikis koordinatTa RerZebTan gadakveTis wertilTa koordinatebi. 8 VIIIa klasSi 25 moswavlea. daasabuTeT, rom sami bavSvi mainc aris erTsa da imave TveSi dabadebuli. 9 ra sigrZisaa monakveTi, romlis zomac rukaze masStabiT 1:400000-Tan aris 10 sm? 10 WeSmaritia Tu ara, rom: a) samkuTxedis udidesi gare kuTxis mosazRvre gverdi ar SeiZleba iyos samkuTxedis udidesi gverdi. b) samkuTxedis biseqtrisa ar aris naklebi imave wverodan gavlebul simaRleze? 11 ipoveT M(–4;7) wertilis simetriuli wertili: a) Ox RerZis mimarT; b) Oy RerZia mimarT; g) koordinatTa saTavis mimarT. 286 13. algebruli Sekrebis xerxi erTi da imave feris kolofebis wona erTi da igivea 1. a) darCeba Tu ara I saswori wonasworobaSi, Tu II sasworis marcxena TefSidan kolofebs gadmovawyobT I sasworis marcxena TefSze, xolo II sasworis marjvena TefSidan _ I-is marjvena TefSze? b) darCeba Tu ara II saswori wonasworobaSi Tu II sasworis marcxena TefSidan aviRebT imden kolofs, ramdeni koloficaa I-is marcxena TefSze da marjvnidan ki _ imdens, ramdeni koloficaa I sasworis marjvena TefSze? CamovayaliboT gantolebaTa sistemis kidev erTi Tviseba. Tu sistemis romelime gantolebas SevcvliT mocemul gan tolebaTa jamiT, xolo sxva gantolebebs ucvlelad dav tovebT, miviRebT mocemuli sistemis tolfas sistemas. amovxsnaT gantolebaTa sistema. ⇔ I etapi: II etapi: x-is koeficientebi gavxadoT mopirdapire ricxvebi SevkriboT sistemis orive gantoleba ⇔+ marcxena mxareTa jami 2y = 60 y = 30 marjvena mxareTa jami Tu da a=b c=d maSin a+c=b+d miviReT: III etapi an , y-is miRebuli mniSvneloba CavsvaT miRebuli sistemis meore gantolebaSi, miviRebT x = 60. gantolebaTa sistemis amonaxsenia wyvili (60; 30) amonaxsenTa simravlea A={(60; 30)}. 287 V Tavi magaliTi 1. amoxseniT algebruli Sekrebis xerxiT: a) ; b) . amoxsna: a) y-is koeficientebi gavxadoT mopirdapire ricxvebi b) magaliTi 2. qeTim 3 rveulsa da 2 saxazavSi 1 lari da 60 TeTri gadaixada. natom ki imgvarsave 6 rveulsa da 3 saxazavSi _ 3 lari. ra Rirs erTi rveuli da erTi saxazavi? amoxsna: vTqvaT, erTi rveuli x lari, xolo erTi saxazavi y lari Rirs, maSin qeTi gadaixdida 3x+2y, xolo nato ki _ (6x+3y) lars. miviRebT gantolebaTa sistemas: . e. i. erTi rveuli Rirs 0,4 lari = 40 TeTri. erTi saxazavi Rirs 0,2 lari = 20 TeTri. magaliTi 3. amovxsnaT gantolebaTa sistemebi: a) a) 288 { { 2x+3y=4 4x+6y=8 2x+3y=4 4x+6y=8 ; b) | { ⇔ { 2x+3y=4 4x+6y=9 2x+3y=4 2x+3y=4 ; g) { 2x+3y=4 4x+5y=10 . gantolebaTa sistemas akmayofi lebs nebismieri (x;y) wyvili, romelic 2x+3y=4 gantolebis amonaxsenia. 13. algebruli Sekrebis xerxi b) g) { { 2x+3y=4 4x+6y=9 | { 4x+6y=8 ⇔ 2x+3y=4 4x+5y=10 { a 1x+b 1y=c 1 a 2x+b 2y=c 2 a1 b c1 Tu a = 1 = c , 2 b2 2 sistemas amonaxseni ar aqvs. 4x+6y=9 sistemas aqvs uamravi amonaxseni sistemas aqvs erTaderTi amonaxseni (–1;2). a1 b c1 Tu a = 1 ≠ c , 2 b2 2 sistemas amonaxseni ar aqvs daakvirdiT a), b), g) sistemebis koeficientebs da gaakeTeT Sesabamisi daskvna. a1 b Tu a ≠ 1 , 2 b2 sistemas aqvs erTaderTi amonaxseni savarjiSoebi: 1 amoxseniT algebruli Sekrebis xerxiT: a) ; e) b) ; ; v) g) ; z) ; ; d) ; T) . 2 amoxseniT algebruli Sekrebis xerxiT: a) ; b) e) ; T) ; g) ; d) v) ; ; i) ; ; z) k) ; . 3* dawereT y = kx + b saxis gantoleba, Tu misi grafiki gadis: a) A(2;5) da B(3;–1); b) M(–4;3), N(2;–7) wertilebze. 4 wrfivi funqciis grafiki kveTs sakoordinato RerZebs (–5;0) da (0;11) wertilebSi. dawereT es funqcia. 5 wrfivi funqcia kveTs abscisaTa RerZs wertilSi, romlis abscisaa 4, xolo ordinatTa RerZs wertilSi, romlis ordinataa 11. dawereT es funqcia. 6 ramdeni amonaxseni aqvs sistemas: a) { 2x–y=1 –6x+3y=2 ; b) { –5x+2y=7 15x–6y=–21 . 7 tolferda samkuTxedis ferdis sigrZe 5 sm-iT naklebia misi fuZis sigrZeze. ipoveT am samkuTxedis gverdebis sigrZeebi, Tu misi perimetri 23 sm-ia. 289 V Tavi 8 ramdeni wlisaa mama an Svili, Tu mama Svilze 24 wliT ufrosia, xolo 6 wlis Semdeg mamis wlovaneba 4-jer meti iqneba Svilis wlovanebaze. 9 fermerma 24 traqtori da kombaini iyida. amasTan traqtori 1,4-jer meti, vidre kombaini. ramdeni traqtori da ramdeni kombaini iyida fermerma? 10 fermerma ori nakveTidan 460 t yurZeni aiRo. meore wels man pirvel nakveTze mosavali gazarda 15%-iT, xolo meoreze _ 10%-iT da orive nakveTidan aiRo 516 t yurZeni. ramdeni tona yurZeni auRia fermers pirvel wels TiToeuli nakveTidan? 11 orniSna ricxvi 1,75-jer metia imave cifrebiT, oRond Sebrunebuli TanmimdevrobiT Caweril ricxvze da 18-iT metia Tavisive cifrTa jamze. ipoveT es ricxvi. 12 ori turisti erTmaneTis Sesaxvedrad gamovida, A da B qalaqebidan, romelTa Soris manZili 30 km-ia. Tu pirveli meoreze ori saaTiT adre gamova, isini erTmaneTs meore turistis gamosvlidan 2,5 sT-is Semdeg Sexvdebian; xolo Tu meore pirvelze 2 sT-iT adre gamova, Sexvedra pirveli turistis gamosvlidan 3 sT-is Semdeg moxdeba. ra manZils gadis saaTSi TiToeuli turisti? 13 ori qalaqidan, romelTa Soris manZili 650 km-ia, Semxvedri mimarTulebiT erTdroulad daiwyo moZraoba orma matare belma. 10 sT-is Semdeg isini erTmaneTs Sexvdnen. Tu pirveli matarebeli sadguridan meoreze 4 sT 20 wT-iT adre gamovi doda, maSin isini erTmaneTs meoris gamosvlidan 8 sT-is Semdeg Sexvdebodnen. ipoveT TiToeuli matareblis siCqare. 14 or muSas erTad muSaobiT samuSaos Sesruleba 6 dReSi SeuZlia. Tu pirveli orjer nela imuSavebs, xolo meore 3-jer Cqara, maSin isini samuSaos 4 dReSi Seasruleben. ramden dReSi Seasrulebs samuSaos TiToeuli muSa cal-calke muSaobiT? 15 ori mili 2 sT-is ganmavlobaSi avsebs auzis 5 nawils. Tu 12 pirveli mili 1 sT iqneba gaxsnili, xolo meore _ 3 sT, maSin aivseba auzis 11 nawili. ra droSi aavsebs auzs marto pirveli 24 mili? 16 samgzavro matareblis Semadgenloba, romelSic Sedis erTi orTqlmavali da 15 vagoni, iwonis 370,5 tonas. orTqlmavlis wona 13,3 toniT metia oTxi vagonis wonaze. ipoveT erTi vagonisa da erTi orTqlmavlis wona. 17 or megobars 30 lari marTebs. TiToeuls aqvs Tanxis raRac raodenoba, magram ara imdeni, rom cal-calke SeZlon valis gadaxda. amitom erTi eubneba meores, _ momeci me Seni fulis 290 13. algebruli Sekrebis xerxi 2 da me gavistumreb vals. meore pasuxobs: Sen TviTon mome3 ci Seni fulis 3 da me SevZleb valis mTlianad gadaxdas~. ra 4 Tanxa hqonda TiToeuls? 18 SeadgineT orucnobiani wrfivi gantolebaTa sistema, Tu cnobilia, rom am sistemis amonaxsenia: a) (0;6); b) (–3;–4); g) (–1;2); d) (5;–7). 19 TiToeuls mocemuli gantolebidan SeurCieT meore ganto leba ise, rom sistemas gaaCndes amonaxsenTa usasrulo raodenoba: a) 8x+y=5; b) 3x+4y=8; g) 5x–2y=4; d) 7x–4y=16. 20 TiToeuls mocemuli gantolebidan SeurCieT meore ganto leba ise, rom sistemas amonaxseni ar hqondes: a) 3x–4y=5; b) 2x–7y=1; g) 2x–5y=8; d) 4x–y=13. { x+ay=35 sistema. bx+2y=27 cnobilia, rom (5;6) wyvili am sistemis amonaxsenia. ipoveT a da b. ax–3y=7 b) mocemulia sistema. 5x+by=26 cnobilia, rom (10;6) wyvili am sistemis amonaxsenia. ipoveT a da b. 21* a) mocemulia { { ax+3y=11 . 5x+2y=12 Tu cnobilia, rom pirveli gantoleba x=5 mniSvnelobebisTvis WeSmarit tolobad iqceva. 22 amoxseniT sistema grafikulad: da y =–3 { x+y=5 23 ipoveT a da b-s mniSvnelobebi, Tu sistemas : ax+2y=b a) aqvs erTaderTi amonaxseni; b) ar aqvs amonaxseni; g) aqvs usasrulo raodenobis amonaxseni. 24* ipoveT b-s mniSvnelobebi, romelTaTvis sistemas aqvs erTi mainc amonaxseni: bx+2y=x+1 2x+by=b+3y–3 bx–y=1 a) ; b) ; g) . y=x+1 2x+4y=4 x=1+by { { { 25 daasruleT winadadeba ise, rom miviRoT WeSmariti gamonaTqvami: a) erTi muSa erT saaTSi asrulebs samuSaos x nawils, maSin igi mTel samuSaos Seasrulebs ? ; b) erTi muSa mTel samuSaos x saaTSi asrulebs. maSin igi 2 saaTSi Seasrulebs ? . 291 V Tavi 26 SeadgineT y=kx+b gantoleba,romlis grafiki gadis Semdeg wertilebze: a) M(5;5) da N(–10;–19); g) A(8;–1) da B(–4;17); b) P(4;1) da N(3;–5); d) C(–19;31) da D(1;–9). 27 aqvs Tu ara sistemas amonasni: 5x - 4y = 1 11x + 3y = 1 a) *3x + 1 = 13 ; b) * 2x + y = 3 . 7 x - 5y = 1 5x + 2y = 4 ax - by = 2a - b 28 ipoveT a, b da c, Tu ) sistemis ^c + 1h x + cy = 10 - a + 3b erT-erTi amonaxsnia wyvili (1;3). 29 amoxseniT sistema: ^x - 1h2 - ^x + 2h2 = 9y a) ) ; ^ y - 3h2 - ^ y + 2h2 = 5x ^7 + xh2 - ^5 + xh2 = 65 b) ) . ^2 - yh2 - ^6 - yh2 = 4x 30 ipoveT iseTi a parametris mniSvneloba, rom sistemas qondes: 1) erTi; 2) arc erTi; 3) uamravi amonaxsni: x+y = 5 a) ) ; ax - 2y = 4 g 3x + 4y = 12 b) ) ; 5x + ay = 8 x - 2y = 4 g) ) . 3x + ay = 12 31 ipoveT gantolebis amonaxsenTa simravle (miTiTeba: gamoyaviT sruli kvadrati): a) 4x2 + 24x + 36 = 0; g) 100x2 – 64 = 0; b) –x2 + 16x – 64 = 0; d) 49x2 – 100 = 0. 32 skolaSi 106 meSvideklaseli da sami meSvide klasia. daamtkiceT, rom erT meSvide klasSi mainc iqneba 35 bavSvze meti. 33 maTematikis wreze dadis 35 bavSvi. maswavlebelma Seadgina sami gundi. daasabuTeT, rom erT gundSi mainc aRmoCndeba 12 bavSvze naklebi. 34 gamoTvaleT zepirad (axarisxebis gareSe): a) 1322 – 1312; b) 10012 – 10002; g) 1512 – 1502. 35 daamtkiceT, rom oTxkuTxedis Siga kuTxeebis jamia 360°. 292 14. sistemebi, romlebic wrfiv gantolebaTa sistemebze daiyvaneba 2  2 amovxsnaT x - y = 0 gantolebaTa sistema. x - 2y = 4 rogorc xedavT, sistemis pirveli gantoleba wrfivi ar aris (x da y cvladebi meore xarisxSia), amitom zogierTi Tqvengani albaT ifiqrebs: `rogor unda amovxsnaT, Cven xom aseTi sistemis amoxsna jer ar gviswavlia~. aseTma situaciebma ar unda dagvabnios. aseT dros miT ufro saWiroa gaixsenoT is Teoriuli, Tu praqtikuli codna, rac dRemde SegiZeniaT. sistemis pirveli gantolebis marcxena mxareSi mdgomi gamosaxulebis mamravlebad daSla xom CvenTvis cnobilia. x 2–y 2=(x–y)(x+y). e. i. miviRebT sistemas am sistemis amonaxseni ki iqneba meore gantolebis iseTi amonaxsnebi, romlebic daakmayofileben pirvel gantolebas, e. i. nulis tolad aqceven x–y an x+y gamosaxulebas. maSasadame, miviReT x + y = 0 x - y = 0 an   x - 2y = 4 x - 2y = 4 4 4 pirveli sistemis amonaxsenia wyvili (–4;–4) meoris ki _  ; -  3 3 (SeamowmeT Tavad!). cxadia, orive wyvili gamodgeba mocemuli sistemis amonaxsenad. rogori iqneba Cvens mier ganxiluli sistemis grafikuli amoxsna? upirveles yovlisa, gavarkvioT ras warmoadgens sistemis pirveli gantolebis, x 2–y 2=0-is grafiki. (x 2 - y 2 = 0) ⇔ ((x - y )(x + y ) = 0) ⇔ (x - y = 0 an x + y = 0) ⇔ ⇔ (y = x an y = -x ) e. i. x 2–y 2=0 gantolebis grafiki iqneba y=x, y = –x wrfeTa erToblioba, radgan orive wrfis wertilTa koordinatebi akmayofilebs x 2–y 2=0 gantolebas. 293 V Tavi y x y= x–2 sakoordinato sistemaze avagoT: a) y=x; y = –x; b) x–2y=4 gantolebaTa grafikebi (nax. 1). y=4 x nax. 1-ze kargad Cans, rom x–2y=4 wrfe (lurji), y=x da y = –x (wiTeli) grafikebs kveTs A(–4;–4) da wertilebSi. –x y= nax. 1 magaliTi 1. amoxseniT gantolebaTa sistema: x 2 + x - 2xy - 2y = 0  2y - 5x = 10 amoxsna: x 2 + x - 2xy - 2y = 0  x (x + 1) - 2y (x + 1) = 0  (x + 1)(x - 2y ) = 0   ⇔   ⇔ ⇔    2 y 5 x 10 = 2y - 5x = 10  2y - 5x = 10    .  x + 1 = 0 x - 2y = 0   ⇔   an   2y - 5x = 10   2y - 5x = 10 amovxsnaT gantolebaTa TiToeuli sistema cal-calke.  x = -1  x + 1 = 0 a)   ⇔ ( -1; 2,5) . ⇔   y = 2,5  2y - 5x = 10  5   x y =-      5.  5 y =  b)  x - 2y = 0  4 + ⇔ - ; -  2 ⇔ ⇔  2 4 + = 5 5 x 2 y 10    - 4x = 10  x = -    2 - 4x = 10  5   5 A = (- 1; 2,5 ),  - ; -   4   2  savarjiSoebi: 1 amoxseniT gantolebaTa sistema: 294 2 2  a) 2,25 x - 4y = 0 ; x + y = 5 (x - 3)2 - 9 = 0 b)  . 2x + y = 1 (x - y )2 - (x + y )2 = 0 g)  ; 3x + 2y = 6 xy - y 2 + 2x - 2y = 0 d)  . y - 1 = 3 x 14. sistemebi, romlebic wrfiv gantolebaTa sistemebze daiyvaneba 2* aageT: a) x - 2 = 1 ; b) (x - 2)(2y + 3x - 1) = 0 ; g) y + 3 = 3 . gantolebis Sesabamisi grafiki. 3 amoxseniT Semdegi gantolebaTa sistemebi: 2  2 a) 4x - y = 0 ; 2x - 3y = 3 4x 2 - 9 y 2 = 0 b)  ; 3x + 2y = 1 x 2 + xy - x - y = 0 g)  ; y + 1 = 2x xy - y 2 + 3x - 3y = 0 d)  . y - 1 = 3 x + 1 4* aageT Semdegi gantolebis Sesabamisi grafiki: a) 4x 2 - 9 y 2 = 0 ; b) x 2 = 4y 2 ; g) x = 2 ; d) y = 3 ; e) y = x ; v) y = - x . 5* amoxseniT gantoleba: 4x 2 + 25 - 12x + y 2 - 8 y = 0 . 6* sakoordinato sistemaSi wiTlad gaaferadeT is wertilebi, romelTa koordinatebi akmayofileben utolobas a) y<1; b) x>3; g) y>–3x; d) y<x. 7 meanabrem bankidan Tavdapirvelad gamoitana mTeli Tanxis 20% da kidev 60 l. meored _ mTeli Tanxis 25% da kidev 20 l. amis Semdeg mas bankSi kidev darCa 195 l. ra Tanxa hqonda meanabres bankSi? 8 amoxseniT gantoleba: 2x 3 - 3x 2 + 8x - 12 = 0 . 4 2 9* daSaleT mamravlebad: a + a + 1 . 10 amoxseniT Semdegi gantolebaTa sistemebi: a) ) y+x-1 = 0 ; y -x-1 = 0 g) ) e) ) b) ) x+3 y -1 = 0 ; x+y+3 = 0 y - 2x + 1 = 0 ; y- x -1 = 0 x-1 +y = 0 d) ) ; 2x - y = 1 x + 2y - 6 = 0 ; x-3 -y = 0 v) ) x+y = 2 . 3x - y = 1 295 V Tavi Seamowme Seni codna: 1 qvemoT mocemuli f, g da h Sesabamisobebidan funqciaa mxolod: a) f; b) g; g) f da g; d) f da h. 2 naxazze mocemuli grafikebidan funqciis grafikia mxolod. y y f x a) f; y g 0 b) g; h 0 x g) g da h; x d) f da h. 3 Tu mocemulia f(x) = 3x2 – 5 funqcia, maSin f(–1)= a) 3; b) –8; g) –2; d) 0. 4 Tu f(x)=0 gantolebis amonaxsenia x=7, maSin f(x–5)=0 gantolebis amonaxseni iqneba: a) x = 0; b) x = 2; g) x = 12; 3 5 5 mocemuli funqciebidan I. y = x – a) I; d) x = 15 . 1 7 ; II. y = 5· x + 3; III. y = 3x2 + 9 wrfivia: 3 b) II; g) III; d) arc erTi. 6 mocemuli wertilebidan (A 1;-4); B(0;-7); D(3;0) y=3x–7 funqciis grafiks ekuTvnis: a) mxolod A; b) mxolod B; g) mxolod D; d) A da B. 7 mocemuli wrfeebidan I. y=ax; II. y=ax+5; III. y=ax–1 koordinatTa saTaveze gadis: a) mxolod I; b) mxolod II; g) mxolod III; d) arc erTi. 8 romel sakoordinato meoTxedSi ar gaivlis y=2x+5 gantolebis grafiki? a) I; b) II; g) III; d) IV. y 9 naxazze mocemuli wrfis gantolebaa: 296 a) y = 9x + 18; g) y = 0,5x + 2; b) y = –2x + 2; d) y = 0,3x + 0,6. –2 0 x 10 Tu naxazze mocemulia y=kx+b funqciis grafiki, maSin bk SesaZlebelia udrides: a) 5; 11 b) –3; g) 4; d) 1. Tu f(x)=kx+b funqciisaTvis sruldeba f(–5)>f(–1) da f(2– 5 ) = –2, maSin f wrfe gaivlis: a) I, III da IV meoTxedebSi; b) I, II da III meoTxedebSi; g) II, III da IV meoTxedebSi; d) I, II da IV meoTxedebSi. 12 f(x) = –0,5x+1; g(x) = 0,5x+1; h(x) = –0,5x–5; φ(x) = –0,5x–5 wrfeebidan paraleluria mxolod: a) f da h; b) g, h da φ; g) f, h da φ; d) h da φ. 13 ipoveT y = kx + b funqcia, Tu misi grafiki gadis (5;–2) wertilze da paraleluria y = –0,5x+5 wrfisa. a) y = 0,5x+0,5; b) y = –0,5x+0,5; g) y = 2x+5; d) y = –0,5x+2. 14 koordinatTa saTavis mimarT A(-5;7) wertilis simetriuli wertilia: a) (-5;-7); b) (51;7); g) (5;-7); d) (-7;5). 15 A(2;3) wertilis ori momdevno simetriiT x da y RerZebis mimarT miviRebT: a) A1(-2;3); b) A1(-2;-3); g) A1(2;-3); d) A1(3;2). 16 koordinatTa saTavis mimarT A(5;5) wertilis saaTis isris sawinaaRmdego mimarTulebiT 90°-iani kuTxiTY mobrunebis Sedegad miRebuli wertilis koordinatebia: a) (-5;-5); b) (0;5); g) (5;0); d) (-5;5). 17 Semdegi wyvilebidan 2y+3x=13 gantolebis amonaxsenia: a) x=1; y=3; b) x=3; y=2; g) x=2; y=3; d) x=3; y=4. 18 Tu orniSna ricxvis cifrTa jamia 17, maSin am cifrebis sxvaobis modulia: a) 1; b) 2; g) 3; d) 4. 19 2y=3x+5 da 3y=2x–5 wrfeebi: a) paraleluria; 20 b) ikveTeba; g) emTxveva.  3y = 2x − 9  2 7 gantolebaTa sistemas aqvs:   y = 3 x + 9 a) 1 amonaxseni; b) 2 amonaxseni; g) arc erTi amonaxseni; d) uamravi amonaxseni. 297 V Tavi V Tavis damatebiTi savarjiSoebi: y 1 turisti A turbazidan B sadgurisken gaemarTa. turistis moZraobis grafiki suraTzea gamosaxuli. gaarkvieT: daSoreba A-dan km-Si 16 B a) ramden saaTSi mivida turisti B sadgurSi; 12 N 8 M 4 0 1 2 3 4 5 x dro saaTebSi y sigrZe sm. 12 0 1 6 x 12 sigane sm. b) ra manZili gaiara 1 sT-Si; g) ra siCqariT moZraobda pirvel Sesvenebamde (M punqtamde); d) ra dro moandoma bolo 6 km-is gavlas; e) ra manZili gaiara moZraobis dawyebidan me-3 da me-4 saaTebs Soris; v) ra siCqariT moZraobda M punqtidan N punqtamde; z) ipoveT turistis moZraobis saSualo siCqare. 2 naxazze gamosaxulia 12sm2 farTobis mqone marTkuTxedis sigrZis misive siganeze damoki debulebis grafiki. a) dawereT formula, romelic gviCvenebs mocemul damokidebulebas. b) ras udris aseTi marTkuTxedis sigane, Tu sigrZe 5 sm-ia, 8 sm-ia. g) risi toli iqneba sigrZe, Tu sigane: 2 sm-ia; 1,5 sm-ia; 6 sm-ia. d) aris Tu ara mocemuli damokidebuleba funqcia? 3* funqcia mocemulia y=2,5(x–1)–1,2(x–2,5) formuliT. aageT misi Sesabamisi grafiki da grafikis mixedviT ipoveT: a) y(0), y(-1,5), y(3); b) x, Tu y(x)=3,5; y(x)=2; y(x)=-1,5. 4 ipoveT funqciis gansazRvris are: 4x − 7 a) y = 3, 5x − 1 ; b) y = 2 ; 2 4 x + 12x + 9 8x + 1 1, 2 3, 7 d*) y = 4 ; e*) y = ; 2 x − 1)(x 2 + 1) (| | x + 6x + 9 g*) y = 2x + 5 ; (| x | −1)(| x | −3) v) y = 7, 2x − 1 . x4 −1 5 ricxviT simravleebs Soris davamyaroT aseTi damokidebuleba: a) yovel wilads SevusabamoT Tavisive mniSvneli. magaliTad, 2 →6; 6 b) yovel ukvec wilads SevusabamoT Tavisive mniSvneli. aris Tu ara mocemuli damokidebuleba funqcia? (pasuxi daasabuTeT). 298 6 yovel ricxvs SevusabamoT masze naklebi udidesi mTeli ricxvi. magaliTad, 5,7→5. aris Tu ara mocemuli damokidebuleba funqcia? 7 funqcia mocemulia y=2x+4 formuliT. SeavseT cxrilSi carieli ujrebi: x 1 5 3 a) b) y 0 d) 0 –1,5 0 e) y y 0 x v) 0 x 7 g) y x y –2 x y 0 x x nax. 1 8 1-el naxazze mocemuli wirebidan romelia raime funqciis grafiki? a) y 0 d) b) 0 e) x g) 0 x y y y 0 x 0 x x v) y 0 x y nax. 2 299 V Tavi 9 me-2 naxazze mocemuli grafikebidan romelia wrfivi funqciis grafiki? 10 Semdegi formuliT mocemuli funqciebidan romelia wrfivi: 5x–1 a) y = b) y=x(3x+1); g) y=5x(x-1)-5x2+7; ; 9 5x2–7x d) y=(x-1)2-(x+3)2; e) y=(2|x|-1)+x; v) y = . x 11 daadgineT, ekuTvnis Tu ara A(1;2) ; B(30;-35) ; C(-2;-13) da D(-75;90) wertilebi y=3,5(2x-1)-2(x-0,25) formuliT mocemuli funqciis grafiks. 12* ipoveT k, Tu y=kx-2,5 gantolebis grafiki paraleluria y=-2x gantolebis grafikisa. aageT miRebuli gantolebis grafiki da ipoveT sakoordinato RerZebidan CamokveTili monakveTebis sigrZeebi. 13* dawereT wrfivi orucnobiani gantoleba, romlis grafiki gadis A(-2;5) wertilze da paraleluria y=3x–1 gantolebis grafikisa. 14* mdebareobs Tu ara erT wrfeze A(2;3); B(1;5); C(7;9) wertilebi? 15 dawereT funqcia, romelic tolferda samkuTxedis: a) fuZesTan mdebare kuTxes uTanadebs fuZis mopirdapire kuTxis gare kuTxes; b) fuZis mopirdapire kuTxis gare kuTxes uTanadebs fuZesTan mdebare kuTxes. 16* Caatares dakvirveba, ramden rZes iwvelida kviraSi saSualod erTi Zroxa. gamoirkva, rom 3 wlis saqoneli kviraSi iZleva 58 l, xolo 7 wlisa ki _ 65 l rZes. 3-dan 8 wlamde saqonlisTvis funqcia: wlovaneba → rZis raodenoba, SeiZleba CaiTvalos wrfiv funqciad. a) aageT f funqciis grafiki. b) ramden litr rZes mogvcems 5 wlis Zroxa? g) ra asakis Zroxa iwvelis kviraSi 60 l rZes? 17* grafikis gareSe daadgineT, ikveTeba Tu ara y= –1,3x–0,7, y=3x–5 da y=0,5x–2,5 funqciaTa grafikebi erT wertilSi. y 0 300 x 18 naxazze mocemulia y=f(x) funqciis grafiki. ipoveT: a) gansazRvris are; b) mniSvnelobaTa simravle; g) f(x)=0 gantolebis fesvebi; d) Sualedebi, sadac f(x) Rebulobs dadebiT, uaryofiT mniSvnelobebs; e) f(x)-is umciresi, udidesi mniSvneloba. V Tavis damatebiTi savarjiSoebi: y f 19 naxazze mocemulia f(x) = –x+3 da y=g(x) wrfeebi. dawereT g wrfis gantoleba. –2 0 x y g 1 20 naxazis mixedviT dawereT f wrfis gantoleba, Tu f da g wrfeebi paraleluria. f y (–2;3) 2 x –3 g 21 f 0 0 4 x 2x2 – 4x 22* aageT y = x – 2 y(3); y(–2,5). naxazis mixedviT dawereT f wrfis gantoleba. funqciis grafiki: a) grafikis saSualebiT ipoveT y(–1); b) x-is ra mniSvnelobebisTvis Rebulobs funqcia: a) dadebiT; b) uaryofiT mniSvnelobebs? g) ra mniSvnelobebs Rebulobs funqcia, roca 3≤x≤5? d) wiTlad gaaferadeT grafikis is nawili, romlisTvisac sruldeba piroba: x>1. 23* aageT y=(2x–3)2–4(x–1)2–3 funqciis grafiki. grafikis saSualebiT ipoveT: a) x-is is mniSvnelobebi, romlebisTvisac –1<y<3; b) y-is is mniSvnelobebi, romlebisTvisac –5<x<–1; g) wiTlad gaaferadeT grafikis is nawili, romlisTvisac sruldeba piroba x≤3. 24* a-s ra mniSvnelobisaTvis ekuTvnis a) A(a;-2), b) B(2a-1;1,5) wertili y=3x funqciis grafiks? 25* ipoveT k, Tu y=kx–2,5 funqciis grafiki paraleluria y=–2x funqciis grafikisa. aageT miRebuli funqciis grafiki da ipoveT sakoordinato RerZebidan CamokveTili monakveT-ebis sigrZe. 26* dawereT formula wrfivi funqciisa, Tu cnobilia, rom misi grafiki paraleluria y= –x+7 wrfisa da gadis y= –0,5x+1 da y=2x–6,5 funqciaTa grafikebis gadakveTis wertilze. aageT miRebuli funqciis grafiki da ipoveT mis mier koordinatTa RerZebidan CamokveTili monakveTebis sigrZe. 301 V Tavi 27* grafikulad daadgineT a-s ra mniSvnelobebisTvis eqneba gantolebas 1) erTaderTi amonaxseni; 2) arcerTi amonaxseni; 3) uamravi amonaxseni: a) ax = x+2; b) (a–1)x = 5x; g) (a+1)x = 5. 28 mocemuli gantolebebidan romelia wrfivi orucnobiani gantoleba: a) 5x – 7y + 8 = 0; b) ax – 8 + 9y = 0; g) x2 – ay = 0; d) xy – 2x = 0. 2x + 5y 29 a) = 8 da b) 8x2 – 5xy = 1 gantolebebidan y cvladi gamosaxeT x-is sa7 SualebiT. 30 ipoveT a-s mniSvneloba, Tu cnobilia, rom wyvili a) (3;–3); b) (5;–7) aris (a–1)x+y=2a–1 gantolebis amonaxseni. 31 saaxalwlod maro bebom bazarSi gasayidad qaTmebi da indaurebi waiyvana. TiTo qaTami 6 larad, xolo TiTo indauri 18 larad gayida. ramdeni qaTami da ramdeni indauri gauyidia maro bebos, Tu sul 54 lari aiRo? 32 ipoveT naturalur ricxvTa yvela wyvili, romelic akmayofilebs Semdeg gantolebebs: a) xy=24; b) 2x+3y=30; g) x+y=10; d) (x–1)y=20. 33 ipoveT a) 3x – 5,7y = 4; b) 5x – xy + 2y = 7 gantolebis grafikis x da y RerZeb Tan gadakveTis wertilebis koordinatebi. 34 8x – 3,5y = 9 gantolebis grafiki gadis a) A(2;*), b) B(*;2) wertilze. varskvlavis nacvlad CasviT saTanado ricxvebi. 35 romel sakoordinato meoTxedebSi gadis gantolebaTa grafikebi: a) 5x – 7y = 9; b) 4x + 9y = –4; g) 3y = 2x – 4,5. 36* daamtkiceT, rom 4x–6y=7 gantolebis grafiks ar ekuTvnis arc erTi wertili, romlis koordinatebi mTeli ricxvebia. 37 ipoveT a-s mniSvneloba, Tu ax+(5a–1)y=1 gantolebis grafiki gadis: a) A(–1; 3); b) B(2;-3) wertilze. a-s Sesabamisi mniSvnelobisaTvis aageT mocemuli gantolebis grafiki. 38 2x–5y=1 da (2a–1)x+y=a wrfeebi ikveTeba A(3;*) wertilSi. varskvlavis nacvlad CasviT saWiro ricxvi da ipoveT a-s mniSvneloba. 39* b-s ra mniSvnelobisaTvis ikveTeba bx+2y=5 da x+y=4 wrfeebi x RerZze mdebare wertilSi? 40 amoxseniT grafikulad Semdegi sistemebi: { { 302 { a) 7x − 2y = 3 ; x + 3y = −2 b) 5x + y = 1 ; g) 3y + x = −2 ; y =1 d) x + y = 1 . y−x =3 −8x − y = 3 { V Tavis damatebiTi savarjiSoebi: 41 sistemis amouxsnelad gaarkvieT, aqvs Tu ara amonaxseni Semdeg sistemas, da Tu aqvs, ramdeni. 3x − 0, 5y = 1 a)  ; 1 2x − y = 4 3  { b) 5x − 7 y = 1 ; 8x + y = 3 g) { 5x − 3y = 1 ; x − 0, 6y = 0, 2 d) { 2x − y = −9 . x + 7y = 3 42* ipoveT c-s is mniSvneloba, romlisTvisac sistemas 1. amonaxseni ar aqvs; 2. aqvs uamravi amonaxseni; 3. aqvs erTaderTi amonaxseni: (c≠0). a) { cx + 3y = 17 ; 4x − 10y = 45 b) { 0, 2x + cy = 11 ; −x + 20y = −56 g) { (c + 7)x − cy = 75 . 5x − 4y = 5 43 SeadgineT iseTi wrfivi gantoleba, rom man 2x–7y=1 gantolebasTan erTad Seadginos sistema, romelsac: 1) eqneba erTaderTi amonaxseni, 2) uamravi amonaxseni, 3) ar eqneba amonaxseni. 44 amoxseniT gantolebaTa sistemebi: a) d) { { 15x + 23y + 3 = 0 ; 12x + 15y + 33 = 0 b) 25x − 4y + 1 = 0 ; 31x − 5y + 16 = 0 e) { { 2x + y = 5 ; y = 3x g) 2x = 1 − y ; y = x −5 v) { { 2x − 3y = 8 . 7x − 5y = −5 5x + 6y = 13 . 7x + 18 = −1 45 ikveTeba Tu ara: a) 5x–4y=1, 3x–21y=13, 7x–5y=1; b) 11x + 3y = –1, 2x = 3–y, 5x – 4 = –2y wrfeebi erT wertilSi? 46 kveTs Tu ara 2x–5y=1 wrfe I sakoordinato kuTxis biseqtrisas? (pasuxi daasabuTeT). 47 dawereT wrfivi gantoleba, Tu misi grafiki gadis A(8;1) , B(3;-7) wertilebze. 48 arsebobs Tu ara 3x–4y=1 wrfeze wertili, romlis: a) ordinata 4-jer metia abscisaze; b) abscisa da ordinata mopirdapire ricxvebia; g) abscisa k-jer metia ordinataze? 49 Tu ori naturaluri ricxvidan pirvels 3-s davumatebT, miviRebT meore ricxvs. Tu meore ricxvs gavzrdiT 2-iT, maSin igi pirvelze 2-jer meti aRmoCndeba. vipovoT es ricxvebi. 50 da Zmaze 6 wliT ufrosia. erTi wlis Semdeg ki masze 2-jer ufrosi iqneba. ramdeni wlisaa axla TiToeuli? 51* ipoveT xuTi naturaluri ricxvi, romlebic 4-ze gayofisas naSTSi gvaZleven 3-s da 7-ze gayofisas ki _ 5-s. 52 pijaksa da SarvalSi 160 l gadaixades. mas Semdeg, rac pijakis fasma 20%iT, xolo Sarvlis fasma 25%-iT daiklo, maTi Rirebuleba 125 l gaxda. ra Rirs pijaki da Sarvali? 303 V Tavi 53 Tu ori ricxvidan pirvels 10%-iT gavzrdiT, da meores 10%-iT SevamcirebT, meore 1-iT meti iqneba pirvelze. xolo Tu pirvels 20%-iT gavadidebT da meores 20%-iT SevamcirebT, miRebuli ricxvebis jami 2-iT naklebi aRmoCndeba Tavdapirveli ricxvebis jamze. ipoveT Tavdapirvelad mocemuli ricxvebi. 54 Tu marTkuTxedis sigrZes 6 metriT gavadidebT, xolo siganes 3 metriT SevamcirebT, maSin marTkuTxedis farTobi ar Seicvleba. marTkuTxedis farTobi ar Seicvleba im SemTxvevaSic, Tu mis pirvandel sigrZes SevamcirebT 3 metriT, xolo siganes gavadidebT 2,4 metriT. ipoveT marTkuTxedis sigrZe da sigane. 55 ori sxvadasxva zomis yuTebiT manqanaSi detalebis raRac raodenoba CatvirTes. didi yuTi detalebTan erTad iwonis 24 kg-s, patara ki _ 19 kg-s. ramdeni didi da ramdeni patara yuTi CatvirTes, Tu tvirTis saerTo wonaa 709 kg? 56* àsi frinvelis amocana~ Cineli maTematikosis Cang-Ciu-Cienis wignidan, 485 w. èrTi mamali Rirs 5 sapeki, erTi qaTami 3, da 3 wiwila _ 1 sapeki. ramdeni dedali, mamali da wiwila SeiZleba iyidon 100 sapekad, ise, rom maTi saerTo raodenoba iyos 100~? 57 ipoveT gantolebis mTeli amonaxsnebi: a) 4x2 – y2 = 7; b) x2 – xy – 6y2 = 14; g) 2x + 5y = 8; d) 6x + 2y = 15. 58* amoxseniT gantolebaTa sistemebi: 1 1  + =6 a)  x y ; 3 5  − = −14 x y miTiTeba: 1 8 x − y = 8 b)  . 5 4  − = 51 x y 1 1 ≡a; ≡b. x y 59 amoxseniT Semdegi gantolebaTa sistemebi: a) ) 2 2 x - y = 16 ; x+y = 8 ^x + 2yh2 = 9 g) ) ; 2x - y = 1 4x - 9y = 24 b) ) ; 2x + 3y = 6 2 2 x -y = 0 d) ) . 5x + 7y = 12 2 2 60 amoxseniT gantolebaTa sistemebi: a) ) x + 2y = 2 ; 2x - 3 y = 1 b) ) x - y = 12y - 11 . y + 1 = 2x x " x+5 61 dawereT y=g(x) funqcia, romelic miiReba y=f(x) funqciis ) paray = y-2 leluri gadataniT, Tu: a) f(x)=3x–4; 304 b) y=2,5x–1; g) y=1,5x+2. rTuli amocanebi 1 ramdeni wrfe gaivleba wyvil-wyvilad aRebul xuT wertilze, romelTagan arc erTi sami erT wrfeze ar mdebareobs? 2 ramdeni wrfe gaivleba wyvil-wyvilad aRebul n wertilze, romelTagan arc erTi sami erT wrfeze ar mdebareobs? gamoTvaleT, roca: a) n=20; b) n=50. 3 ramdeni xerxiTaa SesaZlebeli SevarCioT 2 bavSvi olimpiadisTvis: a) 4 bavSvidan; b) 7 bavSvidan. 4 romeliRac Tvis sami xuTSabaTi luw ricxvebs daemTxva. kviris ra dRe iyo am Tvis 26 ricxvi? 5 safexburTo turnirSi monawileobs 25 gundi. turniri mimdinareobs principiT _ yvela xvdeba yvelas erTxel. sul ramdeni TamaSi Sedgeba? 6 giorgim skolis kibeze ipova ucnuri rveuli. masSi ewera asi winadadeba; àm rveulSi zustad erTi mcdari winadadebaa~, àm rveulSi zustad ori mcdari winadadebaa~, àm rveulSi zustad sami mcdari winadadebaa~, `..........................................................................................~ `..........................................................................................~ àm rveulSi zustad asi mcdari winadadebaa~. aris Tu ara am winadadebebidan romelime WeSmariti, Tu cnobilia, rom rveulSi sxva araferi ewera. 7 safexburTo turnirSi monawileobs 25 gundi. SeiZleba Tu ara, rom yvela gundma iTamaSos: a) zustad 7 TamaSi; b) zustad 10 TamaSi? 8 fexburTze dadis 18 bavSvi. aqedan cxra ukve SerCeulia gundis ZiriTadi SemadgenlobisaTvis. (gundis ZiriTad SemadgenlobaSi 11 moTamaSea). ramdeni xerxiT SeiZleba gundis dakompleqteba? 9 dawereT umciresi xuTniSna uaryofiTi mTeli ricxvi, romelSic cifrebi ar meordeba. 10 aCveneT, rom Tu ori mTeli ricxvis jami da erT-erTi Sesakrebi iyofa c ricxvze, maSin meore Sesakrebic gaiyofa c ricxvze. ganixileT: a) c=4; b) c=7; g) c=13. 11 ratom ar arsebobs ricxvi, romlis 15-ze gayofisas naSTia 6, xolo 24-ze gayofisas naSTia 4? 12 buratinos gakveTilze ricxvebis Sekreba daavales. magaliTis gadawerisas man ramdenime Secdoma dauSva: erT-erT SesakrebSi erTeulebis TanrigSi 3-ianis nacvlad 9-iani gadmowera, meore SesakrebSi aseulebis TanrigSi 7-iani CaTvala 1-ianad, xolo mesame SesakrebSi aTaseulebis TanrigSi 6-ianis nacvlad 5-iani Cawera. amis Semdeg man Sekriba es ricxvebi da miiRo 72438. Sekrebisas mas axali Secdoma ar dauSvia. ra pasuxs miiRebda buratino, sworad rom gadmoewera magaliTi? 13 amoxseniT gantoleba: a) ((2(x+1)+10):5+8)–6=30; b) (((((5x+7):2–1):2+25):3+4)=70. 14 romeliRac Tvis sami xuTSabaTi luw ricxvebs daemTxva, kviris ra dRe iyo am Tvis 26 ricxvSi? 305 15 giorgis imdenive Zma yavs, ramdenic da, xolo mis das _ mariams, orjer meti Zma yavs, vidre da. ramdeni da-Zmaa ojaxSi? 16 daamtkiceT, rom: a) nebismieri ori momdevno mTeli ricxvis namravli iyofa orze; b) nebismieri sami momdevno mTeli ricxvis namravli iyofa eqvsze. 17 daamtkiceT, rom Tu n samze meti martivi ricxvia, maSin (n–1)(n+1) iyofa 24-ze. 18 ipoveT n2-is 5-ze gayofis SesaZlo naSTebi. 19 wina savarjiSos daxmarebiT daamtkiceT, rom Tu mTeli n ricxvi ar aris 5-is jeradi, maSin (n2–1)(n2+1) namravli iyofa 5-ze. 20 daamtkiceT, rom naturaluri ricxvis kvadratis samze gayofisas SesaZlo naSTia 0 an 1. 21 daamtkiceT, rom n3+11n iyofa 6-ze nebismieri mTeli n ricxvisTvis. 22 zazam uTxra ninos: `me Cavifiqre ori naturaluri ricxvi, romelTa jami 70-is tolia, maTi kvadratebi ki erTmaneTisagan 144-iT gansxvavdeba, ra ricxvebi Cavifiqre me?~ dafiqrda ra, ninom upasuxa: àseTi ricxvebi ar arsebobs.~ ratom? rogor mixvda amas nino? a (a - 1) 23 daamtkiceT, rom nebismieri mTeli a-sTvis mTeli ricxvia. 2 24 VIIa klasSi 25 moswavlea. daasabuTeT, rom sami bavSvi mainc aris erTsa da imave TveSi dabadebuli. 25 skolaSi 106 meSvideklaseli da sami meSvide klasia. daamtkiceT, rom erT meSvide klasSi mainc iqneba 35 bavSvze meti. 26 maTematikis wreze dadis 35 bavSvi. maswavlebelma Seadgina sami gundi. daasabuTeT, rom erT gundSi mainc aRmoCndeba 12 bavSvze naklebi. 27 klasSi 30 bavSvia. sakontrolo weraSi giorgim dauSva 13 Secdoma, danarCenebma ki naklebi. daamtkiceT, rom sul cota samma bavSvma dauSva Tanabari raodenobis Secdoma (Tundac arc erTi). 28 magidis CogburTis SejibrSi monawileobda erTnairi Semadgenlobis gundebi, sul 145 vaJi da 87 gogona, ramdeni vaJi da ramdeni gogona iyo TiToeul gundSi? 29 maswavlebelma gaigona minis Camsxvrevis xma da maSinve Sevida saklaso oTaxSi. iq daxvdnen daTo, merabi, vaxtangi da goCa. goCam Tqva, rom mina daTom gatexa, daTo amtkicebda, rom damnaSave merabi iyo, merabi irwmuneboda, rom daTo tyuoda, xolo vaxtangi Tavs imarTlebda, mina me ar gamitexavso. male gairkva, rom mxolod erTma moswavlem Tqva simarTle. vin Catexa mina? 30 romeliRac qalaqSi cxovrobs 8 milioni adamiani. TiToeul maTgans Tavze aqvs araumetes 100 000 Tmis Reri. daamtkiceT, rom am qalaqSi aris 80 adamiani mainc, romlebsac erTi da imave raodenobis Tmis Reri aqvT. 31 diliT Citebis gundi xesTan mifrinda. TiToeul totze dajda 7 Citi, xolo ori xis garSemo dafrinavda. saRamos Citebis igive gundi kvlav Camojda imave xeze; TiToeul totze 8 Citi dajda, amasTan erTi toti Tavisufali darCa. ramdeni Citia gundSi da ramdeni toti aqvs xes? 306 rTuli amocanebi 32 daamtkiceT, rom nebismierad arCeuli 12 naturaluri ricxvidan yovelTvis moiZebneba ori, romelTa sxvaoba iyofa 11-ze. 33 sami megobari nino, Tamazi da vaxtangi monawileobdnen maTematikis respublikur olimpiadaze. miiRes erTi pirveli, erTi meore da erTi mesame xarisxis diplomi. magram maT amis Sesaxeb araferi icodnen. mogvianebiT maTze erT-erTma megobarma giorgim ase Tqva: ninom ver miiRo I xarisxis diplomi, Tamazma ver miiRo meore, xolo vaxtangma ki meore xarisxis diplomi miiRo. rogor ganawilda diplomebi olimpiadaze, Tu cnobilia, rom giorgis warmoTqmuli winadadebebidan marTali mxolod erTia. 34 daamtkiceT, rom nebismieri sami naturaluri ricxvidan romelime oris jami an sxvaoba gaiyofa 3-ze. 35 daamtkiceT, rom nebismieri xuTi naturaluri ricxvidan erT-erTi, an ramdenimes jami iyofa 5-ze. 36 daamtkiceT, rom 5m2+2=12n2 gantolebas ar SeiZleba hqondes amonaxseni mTel ricxvebSi. 37 daamtkiceT, rom oTxi momdevno mTeli ricxvis namravli iyofa 24-ze. 38 daamtkiceT, rom yvela aaa saxis samniSna ricxvi iyofa 3-ze da 37-ze. 39 a, b da c martivi ricxvebia. amasTan ori maTganis kubebis sxvaoba mesamis tolia. ipoveT es ricxvebi. 40 daamtkiceT, rom (834 – 443) 10. 41 ramdeni samniSna ricxvi SeiZleba SevadginoT Semdegi cifrebiT: 3; 4; 7; 2 (ricxvebSi erTnairi cifrebi ar unda ganmeordes). 42 oTaxSi 12 kacia, romelTagan zogierTi yovelTvis tyuis, danarCenebi ki yovelTvis simarTles amboben. erTma maTganma Tqva: àq arc erTi marTali adamiani ar aris~, meorem: àq ar aris erTze meti marTali adamiani~. mesame ambobs: àq ar aris orze meti marTali adamiani~ da a.S. me-12-m Tqva: àq ar aris TerTmetze meti marTali adamiani~ ramdeni marTali adamiania oTaxSi? 43 klasSi 30 moswavlea. maTgan zogierTi megobrobs. daamtkiceT, rom or moswavles mainc megobarTa erTi da igive raodenoba hyavs. 44 daamtkiceT, rom samniSna ricxvisa da igive cifrebiT, oRond Sebrunebuli rigiT Cawerili ricxvis sxvaoba ar SeiZleba iyos romelime naturaluri ricxvis kvadrati. 45 daamtkiceT, rom 3x – y = –5, –x + 10y = 21, 11x+21y=31 gantolebaTa grafiki p(–1; 2) wertilze gadis. 46 gantolebaTa sistemis amonaxsenia wyvili (x0;y0), a-s ra mniSvnelobisaTvis iqneba x0 > 0 da y0 > 0. 47 daamtkiceT, rom nebismieri eqvsniSna ricxvi romlis bolo sami cifri emTxveva pirvel sam cifrs (Cawerili imave mimdevrobiT) iyofa 7-ze, 11-sa da 13-ze. 48 qarxanaSi muSaoben xaratiSvili, zeinkliSvili, durgliSvili da mWedliSvili. TiToeuli maTgani flobs erT-erTs Semdegi oTxi profesiidan: xarati, zeinkali, durgali da mWedeli. magram arc erTis 307 profesia ar Seesabameba Tavis gvars. SekiTxvaze, ra profesiis arian isini, muSebma upasuxes: xaratiSvili _ durgalia, zeinkliSvili _ xarati, mWedliSvili _ durgali araa, durgliSvili _ mWedeli araa, Semdeg gairkva, rom am oTxi winadadebidan mxolod erTia marTali. ra gvaria zeinkali? 49 daamtkiceT, rom x5y = xy5 + 2003 gantolebas ara aqvs amonaxseni mTel ricxvebSi. 50 daSaleT mamravlebad: a4+a2+1. 51 axali xididan baraTaSvilis xidamde manZils, navi mtkvarze 1,5 saaTSi gadis, xolo ukan brundeba 2,5 saaTSi. ra dro dasWirdeba am gzis gasavlelad tivs? 52 mSenebeli yovel diliT 8 sT-ze Camodioda matarebliT sadgurze. zustad 8 saaTze iqve modioda manqana da mihyavda igi mSeneblobaze. erTxel mSenebeli Camovida dilis 7 saaTze da fexiT gaemarTa mSeneblobisken. Sexvda ra gzaSi manqana, Cajda masSi da mSeneblobaze gamocxadda Cveulebrivze 20 wuTiT adre. ra dros uCvenebda saaTi mSeneblis manqanasTan Sexvedris momentSi? 53 ipoveT sami martivi ricxvi, romelTa jami xuTjer naklebia maTsave namravlze. 54 naturaluri ricxvebi, dawyebuli 1-dan, Camoweres erTmaneTis miyolebiT Sualedebis gareSe: 123456789101112.... romeli cifri aRmoCndeba 1997-e adgilze? 55 erTmaneTs Sexvda sami megobari _ maTematikosi wiTlanaZe, fizikosi WrelaSvili da musikosi TeTraZe, `sainteresoa, rom erT-erT Cvengans ukeTia wiTeli, meores TeTri, xolo mesames Wreli halstuxi da arc erTi CvenTaganis gvari misi halstuxis ferze ar migvaniSnebs~ _ SeniSna TeTrhalstuxianma. `marTali xar~ _ daeTanxma mas wiTlanaZe. ra feris halstuxi ukeTia fizikoss? 56 arsebobs Tu ara iseTi wigni, romlis gverdebis dasanomrad saWiro iqneba zustad 2023 cifri? 57 ori ricxvis umciresi saerTo jeradi 240-is tolia, xolo maTi udidesi saerTo gamyofi udris 8-s. ipoveT es ricxvebi, Tu cnobilia, rom am ricxvebidan mxolod umciresi Seicavs mamravlad 5-s. 58 dafaze mimdevrobiT ewera garkveuli wesiT SerCeuli aTi ricxvi. viRacam me-9 ricxvi waSala. ai, ra darCa: 2, 3, 5, 9, 17, 33, 65, 129, ..., 513. ra ricxvi waSales? 59 oTxi ricxvis jami 64-is tolia. pirveli ricxvi ise Seefardeba meores, rogorc 5:6, meore mesames rogorc 2:3, mesame meoTxes, rogorc 3:4. ipoveT es ricxvebi. 60 x-isa da y-is romeli naturaluri mniSvnelobisaTvis aris samarTliani toloba 3x + 7y = 23 ? 61 iraklim kiTxvaze, Tu ra nomer saxlSia misi bina, upasuxa: `Cemi saxlis nomris cifrebisagan SeiZleba 6 gansxvavebuli orniSna ricxvis Sedgena. 308 rTuli amocanebi am ricxvebis jamis naxevari Cemi saxlis nomris tolia~. ra nomer saxlSi cxovrobs irakli? 62 10 yuTSi aris monetebi, aqedan 9 yuTSi namdvili monetebia, romelTagan TiToeuli iwonis 10 grams, xolo meaTeSi _ yalbi monetebi, romelTagan TiToeuli iwonis 11 grams. gvaqvs saswori, romelic sagnebis 1 g sizustiT awonvis saSualebas iZleva. rogor davadginoT erTi awonviT, romel yuTSia yalbi monetebi? 63 qaRaldis 5 furclidan ramdenime daxies, TiToeuli 5 nawilad. miRebuli qaRaldebidan kidev ramdenime daxies 5-5 nawilad da a. S. SeiZleba Tu ara ramdenime aseTi operaciis Semdeg miRebuli qaRaldebis saerTo raodenoba gaxdes 1996? 64 daamtkiceT, rom kacobriobis istoriaSi mcxovrebi yvela im adamianebis ricxvi, romlebsac kentjer aqvT xeli CamorTmeuli sxvisTvis, aris luwi. 65 wignidan amovarda misi raRac nawili. amovardnili nawilis pirveli gverdis nomeria 387, xolo bolo gverdis nomeri ki igive cifrebisagan Sedgeba. ramdeni gverdi amovarda sul wignidan? 66 mebaRem dakrifa 45 TeTri, 90 wiTeli da 120 Cais vardi. am yvavilebidan man unda Sekras erTnairi Sedgenilobis Taigulebi SesaZlo meti raodenobiT (e. i. yovel TaigulSi unda iyos erTi da igive raodenobis TeTri vardi, erTi da igive raodenobis wiTeli vardi da erTi da igive raodenobis Cais vardi). ramdeni aseTi Taigulis Sedgena SeuZlia mebaRes ise, rom gamouyenebeli yvavilebi ar morCes? 67 erTi kolofi feradi fanqrebis sayidlad maikos daaklda 7 TeTri, xolo ekas _ 2 TeTri. maT gadawyvites saziaroT eyidaT fanqrebi magram aRmoCnda, rom arc maSin eyoT fuli. ra Rirda erTi kolofi feradi fanqrebi? 68 erT-erT qveyanaSi mosaxleobis 85%-ma icis franguli ena, 70%-ma _ inglisuri, xolo 50%-ma _ germanuli. ipoveT mosaxleobis umciresi procenti, romelmac icis samive ena. 69 10 m simarRlis boZze dacocavs lokokina. igi dRisiT 5 m-ze acocdeba, xolo RamiT Camococdeba 4 m-ze. ramdeni dRe dasWirdeba mas, rom boZis wveros miaRwios? 70 ramdeni nuliT mTavrdeba 1-dan 25-mde CaTvliT yvela naturaluri ricxvis namravli? 71 romeli ricxvia meti: 3500 Tu 5300 ? 72 kolofSi 10 wiTeli, 8 lurji, 8 mwvane da 4 yviTeli fanqaria. sul cota ramdeni fanqari unda amoiRo kolofidan TvaldaxuWulma, rom maT Soris aucileblad moiZebnos: a) 4 erTnairi feris fanqari; b) yvela feris TiTo fanqari; g) 6 mwvane fanqari. 73 ipoveT naturalur ricxvTa yvela wyvili, romlebic akmayofileben gantolebas x 2 - y 2 = 69 . 2 2 74 amoxseniT gantoleba ( x - 2 y) + (1 - x + y) = 0 . 309 75 SeiZleba Tu ara TefSebian sasworze mxolod erTi erTkilogramiani sawonis gamoyenebiT 4 awonviT 13 kg fqvilis awonva? 76 sulxan-saba orbelianis Txzulebidan `sibrZne-sicruisa~. rogor unda gaiyos samma Zmam 30 Txa da 60 cikani, Tu 10 Txas TiTo cikani hyavs, 10-s or-ori, da kidev 10-s sam-sami ise, rom TiToeul Zmas Tanabrad Sexvdes, amave dros arc erTi cikani dedas ar moacilon. 18* safexburTo turnirSi monawileobs 25 gundi. turniri mimdinareobs principiT _ yvela xvdeba yvelas erTxel. sul ramdeni TamaSi Sedgeba? 19* giorgim skolis kibeze ipova ucnuri rveuli. masSi ewera asi winadadeba; àm rveulSi zustad erTi mcdari winadadebaa~, àm rveulSi zustad ori mcdari winadadebaa~, àm rveulSi zustad sami mcdari winadadebaa~, `..........................................................................................~ `..........................................................................................~ àm rveulSi zustad asi mcdari winadadebaa~. aris Tu ara am winadadebebidan romelime WeSmariti, Tu cnobilia, rom rveulSi sxva araferi ewera. 5 $ 6 $ 7 $ 8 $$$$$ 29 $ 30 20* mocemulia wiladi , sadac mricxvelSi gadamravlebulia 3 $ 3 $$$$$ 3 $ 3 5-dan 30-is CaTvliT yvela naturaluri ricxvi, xolo mniSvnelSi n cali 3-iani. n-is ra udidesi mniSvnelobisTvis iqneba mocemuli wiladis mniSvneloba naturaluri ricxvi? 38 legendis mixedviT, erT didi xnis daviwyebul qveyanaSi iyo taZari, sadac idga sami kerpis qandakeba _ simarTlis, sicruis da diplomatiis. qandakebebi garegnulad erTnairebi iyvnen, erT mwkrivSi idgnen da adamianebs kiTxvebze pasuxobdnen, oRond aravin icoda, romeli qandakeba romeli kerpis iyo. simarTlis kerpi yovelTvis marTals ambobda, sicruis _ yovelTvis ityueboda, xolo diplomatiis _ xan cruobda, xan simarTles ambobda. erTxel, erTi axalgazrda glexi Sevida taZarSi da hkiTxa yvelaze marjvniv mdgom qandakebas: `romeli kerpia Sens gverdiT?~. qandakebam upasuxa: `simarTlis~. axla yvelaze marcxniv mdgom qandakebas hkiTxa glexma igive. `sicruis kerpi~ _ upasuxa qandakebam. `Sen vin xar?~ _ hkiTxa glexma Sua qandakebas. `diplomatiis kerpi~ _ iyo pasuxi. `yvelaferi gasagebia~, _ Tqva glexma, gareT gamovida da yvelas acnoba, romeli qandakeba romeli kerpis iyo. rogor mixvda glexi amas? 310 pa s u xeb i I Tavi. 1.2. 2. a) 14 ; b) 9; g) 24; d) 4 12 . 4. a) 5n; b) 7+n; g) 2n+3; d) 7n - 2 + 6. . 5. 12 3n p 9. a) 3600a; b) 1440x; g) 50 x ; d) 3,6a. 15. a) (1·2+3)·4·5; b) 111–11; g) (5+5+5+5)·5; 3 d) 123+45–67+8–9. 1.3. 9. ara. 10. a) 2+2+2; b) 2·2· 2; g) 2+2:2; d) 2–2:2; e) (2–2)·2; v) 22:2; z) 22–2. 2. 9. a) a<b; b) a>b. 10. ara. 12. oTxi. 13. 38 . 15. a) 4; b) 3. 16. 5k+1. 3. 5. 640 000 sm2. 6. a) 125 sm3; 150 sm2; b) 6a2; a3. 7. a) gaizrdeba 27-jer; gaizrdeba 9-jer; b) Semcirdeba 8-jer; Semcirdeba 4-jer. 9. 16. 14. 15m. 15. 30. 16. 2048 lari. 21. 74032. 22. kvira. 23. 43 . 24. 20; 12. 25. 2. 4. 1. a) 2340; 2345; b) 3872; 3876; g) 2511; 2541; 2571; d) 4509; 4599; e) 3780; v) 2124; 5124; 8124. 2. 3-ze. 3. ara. 4. 28. 5. 97315. 7. a) 135; b) 720. 8. a) ki; b) ara. 9. A. 10. A. 11. C. 12. C. 13. C. 14. B. 15. 6 000 l. 16. 23; 34; 45; 56; 67; 78; 89. 5. 2. 45. 10. a) 93780; 53784; 13788; b) 4725; g) 28950; 28956; d) 5670; 5688; 5616; 5634; 5652. 12. 3. 14. 42840; 42444; 42048; 42948. 15. 7. 16. 12; 24; 36; 48; 19. b. 23. g. 24. 10. 25. b. 26. a) kvira; b) 53; g) 52. 25. a) orSabaTi; b) samSabaTi; g) paraskevi. 28. ara. 30. 3. 31. kvira. 32. 12 . 33. 3:2. 34. 67,5. 6. 2. a) m; b) W; g) W; d) W; e) m: v) W. 3. {27; 52; 77}. 6. a) W; b) m: g) m: d) W. 8. oTx. 9. 101. 10. a) 9; b) 3; 12. ara. 13. 84. 7. 2. a) ∅; b) nebismieri erTelementiani simravle; g) ara. 11. a) luwi; b) luwi; g) kenti; d) kenti. 12. 90. 13. 1. 14. 194. 16. 100. 8. 7. a) {2}; b) {1;2;3;4;6;8}. 8. a) 0; b) 33. 9. 24. 10. ori. 12. ara. 13. g. 14. mecxre. 16. 1007. 17. ki. 18. a) <; b) >. 9. 1. a) 4; b) 4; g) 6; d) 2; e) 2; v) 2. 3. a) 15; 0; b) 25; 10. 10. 99-23-56. 11. a) 160 m; b) 120 m; g) 100 m; d) 100 m; e) 220 m. I Tavis damatebiTi savarjiSoebi: 3. a) W, b) mc, g) mc, d) W. 4. a) 1-sa da 2-s Soris. 5. 204. 6. 67. 11. a) W; b) mc; g) W; d) W. 16. b) 20. 18. a) 512; b) 207; g) 4150512; d) 10; e) 17,98. 20. a) 5 da 15; b) 7,5 da 22,5. 21. 37; 74; 121. 24. a) 0; b) 6; g) 0; d) 9. 25. 353. 26. 961. 30. a) 7n+1; b) 5n+3; g) 3n+2; d) 10n+8; e) 5n; v) 6n. 31. 290. 32. 80. 36. a) 3; b) 2; g) 20; d) 1; e) 1. 49. a) 52; b) 946. 50. a) 2; b) 6; g) 1 an –1; d) 2 an –2. 51. a) 3,5; b) 8; g) 6; d) 4. 56. a) 401; b) 110. 57. 5. 59. 0. 65. b) 625. 84. 97. 88. 22 an 7. 89. 7. 92. a) ki; b) ara. 94. ara. 96. ara. 98. a) 24; b) 30. II Tavi. 1. 7. 69; 8. 400 km; 9. a) ki; b) ara; g) ki. 10. 40°. 12. kentebi 49-iT. 14. orSabaTi. 2. 18. 2 sT. 19. 75°; 105°. 20. 35. 10. 40°; 3. 4. 17. 8. a; d. 9. 8,75. 10. a) 29; b) 34. 311 1 ; g) 79 ; T) 1 ; i) 1 . 3. a) 8; g) 5 . 7. a) 600 kg. 8. a) 40 t; 4. 1. a) 3%; d) 28%; e)90%. 2. a) 50 4 2 5 100 b) 6,8 t; g) 60 t; d) 16 t. 9. a) 25%; b) 12,5%; g) 37,5%; d) 37,5%. 10. a) 46%; b) 28%; g) 32 %. 12. 120 km; 16. 5%; 17. 5 km. 21. a) 150; d) 55. 23. 25. 24. 60 l. 26. 60°. 27. 140 km. 29. 100°. 30. 2000 lari. 31. 1 lari. 32. a) 375 kg; b) 160 kg. 33. a) 25; b) 20. 35. 37,5%; 62,5%. 36. 15%; 85%. 38. a) 50%; b) 25%; g) 40%; d) ≈33%; e) ≈33%; v) 37,5%. 39. 25%. 41. 20%. 42. 97,75. 44. 1 . 45. 17. 46. 180. 47. g. 3 5. 2. a) 20; b) 25. 4. 25. 5. 75,9 l. 7. 20. 8. 97,75. 9. 25. 11. 200. 14. 4. 6. 6. 160 km. 7. 5. 8. 400 g. 17. 364 l; 208 l. 20. 0,6 kg; 0,8 kg; 2,6 kg. 8. 6 sm; 9 sm. 9. 96,875 g. 11. 20 sm; 15 sm. 26. a) 125; b) 216; 135. 27. a) 42 l; b) 495 l; 110 l. 18. 45°; 75°; 60°. 21. 1:7. 24. 1520 l; 640 l; 480 l; 400 l. 43. 20%. 45. 50 t. 47. x=1; y=3 an x=2; y=1. 7. 1. a) ki; b) ara; g) ara; d) ki. 2. 8; 6; 4. 4. 12 km/sT. 5. 56; 64. 6. 700; 120. 7. 1420 gr. 8. 5 dRe. 9. 4,8. 12. 360l; 400l; 480l. 14. a) 7; b) 1; g) 4. 15. a) 5,5; 7; 7; 8. Tema: 1. 2l, 4l. 2. 80%. 3. 24. 4. 12%. 5. 10 l. 6. 4,5%. 7. 4kg; 8kg. 8. 67 kg; 15 kg. 9. 4l. 3 7 10. 0,25 l - glicerini; 1,75 l - wyali. 11. 2-jer. 12. 99 l. II Tavis damatebiTi savarjiSoebi: 2. ≈100%; 3. a) 11; 11; 10,3 da 9; 4. 205 kg; 5. a) 20%; b) 29%; g) 50%. 7. tolia; 8. Semcirda. 9. Semcirda. 11. a) mtversasruti; b) 15; g) ≈10,5; d) 45 da 47,5; 12. 600 l; 17. 100%-iT; 19. a) 36 sm; b) 18 sm; g) 6 sm. 20. 5kg. 21. 100 kg. 22. 12; 16; 20. 23. 4410 da 10290; 24. a) 108 da 36; b) 54 da 4; 25. a) 30; b) 55; g) 21; d) 7. 28. a) 120 dRe; a) 16 dRe; g) 180 dRe. 30. 22,5 sT. 32. a) 43; b) 17,2%. 33. a) 150 l; b) 187,5 l. 37. 280. 40. 15. 41. 50%. 42. 20;40. 45. 40000l. 51. 72. 52. 20. 54. r-q . 55. 9:35. 56. 7 kg; 21 kg. 57. 9 kg. 62. 11. p-r III Tavi. 1. 1. a) 10 sm-iT maRla, b) 10 sm-iT dabla. 8. –1°; 9. 2°. 10. A an B. 22. a) II miliT; b) 75%; 80%. 23. 30%. 24. a) 13; 14; 15; 16; 17. g) ar arsebobs. 27. 6. 28. 51318>12723. 29. ara. 2. 11. a) mc.; b) W.; g) mc.; d) W. 12. g). 14. 6,14 lari. 15. 120. 16. 896 l. 18. 300. 19. 99-e. 20. 12. 3. 1. a) meore an merve; b) mexuTe. 4. a) 21,9; b) 10,3; g) 4,36; d) –7; e) 4. 9. a) ±1; b) ±12; g) 0; d) ∅. 13 a)mc; b)W; g)W; d)W; e)W. 14. a) x=8 da x = 2; b) x=2 da x = –8. 16. a)5, –5; b)8,5, –8,5; g) 0; d) ∅. 26. 18. 27. 250. 4. 8. 1 qula. 9. a) W; b) W; g) mcd.; d) mcd. 37. 13. 38. meore. 5. 2. a)16; b)-32; g) -27; d)625; e)64; 5. a) 625; b) –216; g) –0,027; d) 0,000064. 9. a) –6°; b) –10°. 10. B(_17). 17. a) 25%; b) 33%. 18. 6. 19. 15. 20. kata. 6. 5. a)–6; b) 7,8; g) 0. 6. a) 2a; b) 2a–7; g) 0. 9. ara, 11. 8 sT. 312 7. 8. 8. 9. 5. 13. a) –5; b) –4,4; g) 2,5; d) ∅. 15. a)±1; b) 0; g) ∅; d) 5; e) 9 da 5; v) ∅. 22. a) ±3; b) ±4; g) 1; d) ∅. 23. a) 2;- 32 ; b) –4; 22 g) - 32 ;- 72 ; d) - 74 ; 94 . 24. a) 3; b) ∅; g) ∅; d) –4. 3 27. 80. 28. 50. 29. 26. 24 6 8. 4. a) - 11 ; g) - 13 . 5. a) 3; b) 12; g) + 5 35 ; d) - 16 . 6. a) 13 . 10. a) 2a 3 4 ; b) 12 - 2k ; 2 2c - 0, 7 g) –3,75a. 11. a) Tu c≠0, x = ; Tu c=0, x∈∅; b) Tu c≠–5, x = 7c+ 1 ; Tu c=–5, x∈∅; c c 5 g) Tu a≠ 52 , x = 1 -2a ; Tu a= 52 , x∈∅; d) Tu a≠- 32 , x=2a+3; Tu a= 32 , x∈R; e) Tu a≠- 15 , 2a 5 + 5k x=1; Tu a=- 15 , x∈R; v) Tu m≠3, x = 3m- 5 ; Tu m=3, x∈∅; z) Tu k≠0,5, x = ; Tu 3k 1, 5 m 3 -1 +1 b 4 d k=0,5, x∈∅. 13. a) Tu b≠0, x = b ; Tu b=0, x∈∅; b) Tu d≠0, x = d ; Tu d=0, x∈∅; 1 g) Tu a≠2, x = ; Tu a=2, x∈∅. 12. a) m ≠ ±2; b) m = –2; g) m = 2. 2 a 9. 1. a) 6; b) 9; g) 10. 4. 25 da 50; 5. 5 sm, 10 sm da 10 sm. 7. 30° da 150°. 8. 18 sm; 7 sm. 12. 26; 28; 30. 13. 10; 40. 14. 60km/sT. 16. 200 kg. 17. 1411; 1089. 18. ar SeiZleba. 19. 200; 100; 600. 20. 4 dRe. 21. 4. 22. 4. 23. 75°, 37,5° da 67,5°; 24. -2,1; 25. 420 km; 26. 100 m/w. 27. ar SeiZleba. 28. 4. 29. 312,5 kg; 12,5 kg; 25 kg. 30. 7 sm; 10 sm. 31. 20 kg. 33. 4; 8; 24; 96. 34. 400 g; 80 g; 75 g. 35. 20 km/sT. 36. 50 km/sT. 38. –65; –39. 39. 271. 40. 1000. 41. 20°; 40°; 120°. 44. a) 18; b) 30; g) 60. 45. fexburTi _ 15, kalaTburTi _ 20 da xelburTi _ 25. 48. vaxtangi. III Tavis damatebiTi savarjiSoebi: 7. 2. 8. –16 an 6; 9. a) –21,1; b) 5; g) –1; d) 1,5. 10. a) ±7; b) ∅; g) 1; d) 5 an 1; e) 4 an 3; v) 0 an 4. 13. a) 5 da –2; b) –7 da 3. 14. a) 5; b) 3; g) –2. 16. 2; 3; 4; 5; 7; 13. 20. 85. 21. 5. 22. 20°; 100°. 24. 500. 25. 24 l. 26. 6sm. 27. 10 sm. 28. 5 sm. 29. 20 sm; 15 sm; 14 sm. 30. 2,5 lari. 31. 22°. 36. 12 km/sT. 37. 30. 38. 5 km; 12 km. 39. 11,5; 9. 40. 12. 41. a) a=–2; b) a≠–2; a≠ 1 ; g) a= 1 . 42. a) 0; b) 2 . 3 3 5 IV Tavi. 1. 8. a) 16, b) 5, g) 4, d) 27 , 125 e) 1 . 15. a) 14; b) 7. 19. a) 3; b) 1; g) 3; d) 5. 20. a) 2·720. 7 24. a) mcd; b) mcd; g) mcd; d) W. 28. 60 km/sT. 29. 38%-iT. 2. 2. a) 3; b) 9; g) 12; d) 8; e) 2; v) 4. 3. a) 108a4b3; b) 0,3m3n4; g) 1 5 7 xy; 9 z) –108a11·b13. 4. a) (9a2)2; b) ( 5 a2x2z4); g) (0,3y6)2. 7. miTiTeba: a) 381=34·20+1; b) 738=74·9+2; g) 3. 6 3 3. 6. a) 3; b) 1,23; g) 1 23 ; d) –2; e) – 32 . 8. a) 4,4; b) 225 ; g) –22,5. 13. 5 . 14. p(x)=x3+2x. 48 15. a) 2x+1; b) 8x–31. 4. 5. a) 4–x; b) a; g) –6x–32y; d) –4ab. 6. a) 0; b) –3x2–4y2. 7. a) 3a2b; 14. a) 216; b) 1; g) 100; d) –1. 5. 11. a) –1; b) –2,5; g) 2; d) 8. 13. a) 3; b) 1; g) 2; d) 45 . 1 7. 7. 65. 8. a) 60; b) 12 da 5. 23. a) –1; b) –1. 25. a) –20; b) 74 ; g) – 32 ; d) – 12 . 27. a) –9; b) 25. 28. 98. 29. x=1; y=–1; 1. 30. a) ∅; b) x= 2 ; y= – 3 . 8. 12. a) 0; 5 ; b) – 1 ; g) 3 ; – 3 ; d) –5; 2 2 2 2 3 2 3; e) 0; –3; 3; v) 2; –5. 18. a) 1; –2; b) 4; 3; g) 1; –1;3; 313 d) 2; –2; –1; e) 0; 2; v) 0; –4; z) –6; 2; T) 5; –1; i) 0; 4; –2. 22. 20. 23. 30. 25. 600 m3. IV Tavis damatebiTi savarjiSoebi. 24. a) 1 ; b) 3; g) 2; d) 3. 28. 79; 638. 32. 6; 18; 30. 34. 1,2; 4,2; 9,2; 5,4. 45. a) 3; b) 0. 46. a) 1,8; b) 1 ; e) 1; v) –2. 49. a) 0; 2; b) 0; –1; g) 0; –2; d) 0; 5. 48 V Tavi. 1. 8. a) 3; b) 2; g) 9; d) 0. 14. a) C(–2); b) C(–3). 15. a) 12 ; b) 1. 2. 5. a) P(–4;1); b) 35; g) (–0,5;–4) da (0,5;1). 8. a) M(–1;–1); K(4;3); b) (–4;0); (0;0); (6;0); g) (2;2); d) (–4,7;1,5); (1,5; 1,5); (5,5; 1,5); (–5;2); (2;2); (5,2;2). 17. 875000. 3. 7. f(0)=7; f(2)=3; f(–2)=3; f(5)=–18; f(–5)=–18. 10. a) 30%; b) 70%; g) 0,1. 11. a) 30300l; b) 5000l. g) 2525l; d) 3000l. 4. 1. a) R; b) x≠2; d) x≠±1,5. 6. y=10–0,8x. 8. y=500–60x. 11. 35. 13. 10 dRe. b 5. 1. a); b); d); v). 8. a) g; b) p; g) f; d) φ. 10. –11; –10;...–4. 12. a) 1–64b6; b) a2–1; 6a–9. g) 1 . a 7. I. 7. a) –50. b) 9. d) 1. 8. 30; 60; 90. II. 8. ara. 11. a) k≠0. b=7; b) k≠3; b=0. 13. b) da d). 15. a) (11; 37); b) (–11; –12,5): g) (3;5); d) (–4;–13). 16. y=3x+7. 18. a=–2; AK=13. 20. k=6. 29. a) 3; b) 11; g) –14; d) 5. 33. y=|x|+2. 35. 24. 8. 2. a) y=- 53 x +3. 3. x=–3. 4. a) erTi; b) ori; g) arc erTi. 9. a) 8,5 km/sT; b) 2sT. 10. 150. 12. levani — 50; kaxa — 4,30; daTo — 7,20. 9. 6. 3. 7. 12 . 13. x=y=6. 16. 2520. 18. a) 5n–3; b) 8n–2. 10. 1. a) (2;8); (5;5); b) (9;8); g) (3;5); d) (4;1). 314 wignSi gamoyenebuli maTematikuri niSnebis cxrili |a| – a ricxvis moduli – iyofa unaSTod – ar iyofa unaSTod N – naturalur ricxvTa simravle Z – mTel ricxvTa simravle Q – racionalur ricxvTa simravle R – namdvil ricxvTa simravle {a;b} – simravle, romlis elemen tebia a da b ≥ , ≤ – aramkacri utolobis niSnebi an – a ricxvis n xarisxi ab – orniSna ricxvi (a aTeuliT, b erTeuliT) A={1;2}, A={(1;2)} – gantolebis amonaxsenTa simravle || – paraleluria || – ar aris paraleluri ⊥ – marTobuli ∈ – ekuTvnis (simravles) ∠ – kuTxe ∉ – ar ekuTvnis (simravles) ≡ – aRvniSnoT ∅ – carieli simravle ⇒ – gamomdinare – qvesimravle (simravlis) ° – gradusi – TanakveTa (simravleTa) ′ – minuti – gaerTianeba (simravleTa) – rkali > , < – mkacri utolobis niSnebi 315 berZnuli anbani Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω AB α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ σ τ υ φ χ ψ ϖ alfa beta gama delta efsiloni Zeta eta Teta iota kapa lambda miu niu qsi omikron pi ro sigma tau ifsiloni fi xi fsi omega laTinuri anbani A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a be ce de e ef Je haS i iot, Ji ka el em en o pe qu er es te u ve dubl-ve iqs igrek zet damxmare literatura: 1. e. benduqiZe - maTematika. seriozuli da saxaliso “nakaduli”. Tbilisi. 1988 w. 2. a. benduqiZe - maTematikuri narkvevebi. “legia”. 1995 w. 4. j. kiknaZe - azris jaWvi. “inteleqti”. Tbilisi, 2001 w. 5. m. kopaleiSvili - mogzauroba ricxvTa samyaroSi. ganaTleba. 1989 w. 6. T. ebanoiZe - werilebi. qarTvel maTematikosebze. “mecniereba”. 1981 w. 7. Энциклопедический словарь юного математика. Издательство „Педагогика“. 1985 г. 316 sarCevi Tavi I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1. 2. 3. VI klasSi Seswavlili masalis gameoreba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 gamosaxulebaTa mniSvnelobebis Sedareba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 ricxvis naturaluri xarisxi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4. gayofadobis niSnebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 jgufuri mecadineoba: viTamaSoT! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5. ricxvTa gayofadobis zogierTi Tviseba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 es sainteresoa: evklides algoriTmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 6. simravle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 7. simravleTa toloba. qvesimravle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 8. simravleTa TanakveTa da gaerTianeba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 jgufuri mecadineoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 9. simravleTa sxvaoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 I Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Tavi II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1. 2. 3. 4. monacemebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 monacemTa warmodgena cxrilebiT, diagramiT, piqtogramiT . . . . . . 69 monacemTa saSualo, moda, mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 procenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Seamowme Seni codna: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5. amovxsnaT amocanebi procentebze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6. proporcia, proporciuli sidideebi. ricxvis dayofa proporciul nawilebad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7. ukuproporciuli sidideebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Tema: ariTmetikuli saSualos gamoyeneba amocanebis amoxsnisas . . 102 II Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Tavi III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 1. uaryofiTi ricxvebi. ricxviTi RerZi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. racionaluri ricxvebis Sedareba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. ricxvis moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. moqmedebebi, racionalur ricxvebze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. gamravlebis ganrigebadobis kanoni, frCxilebis gaxsna . . . . . . . . . 6. gantoleba, gantolebis amoxsna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. wrfivi erTcvladiani gantolebis amoxsna . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. amocanebis amoxsna gantolebebis meSveobiT . . . . . . . . . . . . . . . . 9. problemis moZieba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tema: amocanebis amoxsnis xelovneba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 121 124 128 138 140 145 150 159 163 165 169 317 Tavi IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. xarisxis Tvisebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . erTwevri. erTwevrebis gamravleba da axarisxeba . . . . . . . . . . . . . mravalwevri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . erTwevrisa da mravalwevris namravli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mravalwevrebis namravli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . igiveoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Semoklebuli gamravlebis formulebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mravalwevris daSla mamravlebad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kubebis jami da kubebis sxvaoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mravalwevris gayofa mravalwevrze. mravalwevris fesvi . . . . . . . es sainteresoa: Semoklebuli gamravlebis formulebis gamoyeneba miaxloebiT gamoTvlebSi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tema: paskalis samkuTxedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Tavis damatebiTi savarjiSoebi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Seamowme Seni codna: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 176 178 181 184 187 189 196 201 204 206 207 208 214 Tavi V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 1. mimdevroba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. sakoordinato sibrtye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. funqciis cneba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. funqciis mocemis xerxebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. funqciis grafiki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. paraleluri gadatana. RerZuli simetria, centruli simetria . . . 7. wrfivi funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. pirdapirproporciulobis funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. y=kx+b wrfivi funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. wrfivi gantolebisa da utolobis grafikuli amoxsna . . . . . . . . . jgufuri mecadineoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . es sainteresoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. wrfivi orucnobiani gantoleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. amovxsnaT gantoleba mTel ricxvebSi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. orucnobian gantolebaTa sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. wrfiv gantolebaTa sistemis amoxsna Casmis xerxiT . . . . . . . . . . . 13. algebruli Sekrebis xerxi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. sistemebi, romlebic wrfiv gantolebaTa sistemebze daiyvaneba . . . Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . rTuli amocanebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pasuxebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 216 222 228 235 240 244 252 252 256 266 270 271 272 276 279 283 287 293 296 298 305 311

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