Fundamentos Matemáticos I (2009)
Profesores
Elena Álvarez Saiz
Departamento de Matemática Aplicada y Ci
Computación
as variab
os
Datos identificativos de la Asignatura
Asignatura: Fundamentos Matemáticos
Código: 2532
Departamento / Área: Departamento de Matemática Aplicada y Ciencias de la
Computación
Centro: Facultad de Ciencias
Créditos ECTS: 6
Idioma de impartición: Español
Profesor responsable: Elena Álvarez
Programa de la asignatura
BLOQUE TEMÁTICO 1. : SISTEMAS NUMÉRICOS. NÚMEROS COMPLEJOS
Principio de inducción completa. Cota superior e inferior de un conjunto.
Números complejos: Definición y estructura. Conjugación. Módulo y argumento de un número complejo. Operaciones
elementales. Función exponencial. Potencias y raíces enésimas complejas. Logaritmos y potencias complejas. Funciones
trigonométricas en el campo complejo. Funciones hiperbólicas.
BLOQUE TEMÁTICO 2. SUCESIONES Y SERIES REALES
Sucesiones: Sucesiones convergentes: propiedades. Álgebra de límites. Sucesiones monótonas. Infinitésimos e infinitos
equivalentes. Criterio de Stolz.
Series: Conceptos básicos. Generalización de algunas propiedades de la suma ordinaria a las series. Condición necesaria de
convergencia. Criterios de convergencia para series de términos positivos. Series alternadas: Teorema de Leibniz. Suma
aproximada. Convergencia absoluta.
BLOQUE TEMÁTICO 3. CÁLCULO DIFERENCIAL DE UNA VARIABLE
Conceptos básicos sobre funciones de una variable y teoremas fundamentales (repaso).
Técnicas de derivación: Regla de la cadena, Derivada de la función inversa, Derivación implícita. Diferencial. Aproximación de
funciones mediante polinomios. Polinomio de Taylor. Fórmula de Taylor
BLOQUE TEMÁTICO 4. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES de varias variables REALES
Introducción a las funciones de varias variables. Límites iterados, doble y direccionales. Continuidad.
Derivadas parciales. Diferenciabilidad de la función de varias variables. La regla de la cadena. Derivadas direccionales y
gradientes. Planos tangentes y rectas normales. Fórmula de Taylor para una función de varias variables.
Extremos de funciones de dos variables. Aplicaciones de los extremos de funciones de dos variables. Multiplicadores de
Lagrange.
Tema 1:
• Álvarez, E., Herrero, MªT. y Ruiz, R.Colección Fundamentos Matemáticos. Tomo I
• García, A. y otros. "Cálculo I: teoría y problemas de Análisis Matemático en una variable". Librería I.C.A.I. ISBN: 84-604-6814-3.
Tema 2:
• Álvarez, E., Herrero, MªT. y Ruiz, R.Colección Fundamentos Matemáticos. Tomo I.
• Bradley, G. L. And Smith, K. “Calculo de una variable.Volumen I”. Prentice Hall. ISBN: 84-89660-76-X.
• García, A. y otros. "Cálculo I: teoría y problemas de Análisis Matemático en una variable". Librería I.C.A.I. ISBN: 84-604-6814-3.
• Ojeda Aciego, M. “Cálculo para la ingeniería”. Ágora Universidad.
Tema 3:
• Álvarez, E., Herrero, MªT. y Ruiz, R.Colección Fundamentos Matemáticos. Tomo II.
• Bradley, G. L. And Smith, K. “Calculo de una variable.Volumen I”. Prentice Hall. ISBN: 84-89660-76-X.
• García, A. y otros. "Cálculo I: teoría y problemas de Análisis Matemático en una variable". Librería I.C.A.I. ISBN: 84-604-6814-3.
• Ojeda Aciego, M. “Cálculo para la ingeniería”. Ágora Universidad.
Tema 4:
• Álvarez, E., Herrero, MªT. y Ruiz, R.Colección Fundamentos Matemáticos. Tomo II.
• Bradley, G. L. And Smith, K. “Calculo de varias variables.Volumen II”. Prentice Hall. ISBN: 84-89660-77-8.
• García, A. y otros. "Cálculo II: teoría y problemas de funciones de varias variables". Librería I.C.A.I.
• Ojeda Aciego, M. “Cálculo para la ingeniería”. Ágora Universidad.
Bloque 1. Sistemas numéricos. Números complejos
MC-F-001. Resumen teórico en pdf
Bloque 2. Sucesiones y series reales
MC-F-002. Resumen teórico en pdf
Bloque 3. Cálculo diferencial de funciones de una variable
MC-F-004. Resumen teórico en pdf
Bloque 4. Cálculo diferencial de funciones de varias variables.
MC-F-005. Resumen teórico en pdf
Ejercicios resueltos
MC-F-006.
MC-F-007.
MC-F-008.
MC-F-009.
MC-F-010.
Ejercicios de Números complejos
Ejercicios de Sucesiones Numéricas
Ejercicios de Series Numéricas
Ejercicios de Funciones de una variable
Ejercicios de Funciones de varias variables
Bloque 1. Sistemas numéricos. Números complejos
PR-F-001. Ejercicios propuestos
Bloque 2. Sucesiones y series reales
PR-F-002. Ejercicios propuestos
Bloque 3. Cálculo diferencial de funciones de una variable
PR-F-003. Repaso Funciones
PR-F-004. Ejercicios propuestos
Bloque 4. Cálculo diferencial de funciones de varias variables reales
PR-F-005. Ejercicios propuestos
PR-F-016.
PR-F-017.
PR-F-018.
PR-F-019.
PR-F-020.
PR-F-021.
PR-F-022.
PR-F-023.
PR-F-024.
PR-F-025.
Práctica 1: Funciones hiperbólicas
Práctica 2: Sucesiones: Acotación, monotonía y límite.
Práctica 3: Series geométricas y armónicas generalizadas.
Práctica 4: Estimación del resto enésimo de una serie por el criterio integral.
Práctica 5: Representación de funciones. Derivada.
Práctica 6: Polinomios de Taylor: Aproximación local.
Práctica 7: Polinomios de Taylor: Estimación del resto de Lagrange
Práctica 8: Curvas paramétricas e implícitas.
Práctica 9: Funciones de dos variables: gráfica y curvas de nivel.
Práctica 10: Funciones de dos variables: Extremos condidionados.
Indice con los applets a utilizar en las prácticas
Matlab: Comandos y Ejemplos
Nota: Para el funcionamiento de estos applets es necesario instalar el plugin del nippe Descartes propiedad del Ministerio de
Educación. Para ello se deberá acceder a la dirección:
http://descartes.cnice.mec.es/DescartesWeb2.0/
Otros Recursos
Aqui puede descargarse el programa D-Graph
Matlab: Comandos y Ejemplos
Pruebas de Evaluación
Bloque 1. Sistemas numéricos. Números complejos
PE-A-001. Evaluación Bloque 1
Bloque 2. Sucesiones y series reales
PE-A-002. Evaluación Bloque 2
Bloque 3. Cálculo diferencial de una variable
PE-A-003. Evaluación Bloque 3
Bloque 4. Cálculo diferencial de funciones de varias variables reales
PE-A-004. Evaluación Bloque 4
Plan Piloto de Innovación Docente para la adaptación al
Espacio Europeo de Educación Superior (EEES)
Titulaciones: Ingeniería Telecomunicación
2.3.1. Datos identificativos de la asignatura
Asignatura
FUNDAMENTOS MATEMATICOS I
Código
Departamento
2532
Matemática Aplicada y Ciencias de la Computación
Área
Matemática Aplicada
Tipo
Troncal
Curso/Cuatrimestre
1º curso / 1º cuatrim.
Créditos BOE/Horas ECTS
6/150 Horas de Trabajo Alumno
Idioma de impartición
ESPAÑOL
Profesor Responsable
Elena Alvarez
2.3.2. Conocimientos previos
Asignaturas de Matemáticas cursadas en bachillerato. En concreto se supondrá que el
alumno ha estudiado en los cursos previos a la universidad los siguientes temas de los
programas de enseñanza secundaria y bachillerato:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Conjuntos numéricos (operar correctamente con todos los números reales.
Sucesiones. Cálculo de límite de una sucesión.
Polinomios
Fracciones algebraicas.
Resolución de ecuaciones, inecuaciones, sistemas de ecuaciones e inecuaciones.
Resolución de triángulos.
Funciones y fórmulas trigonométricas.
Números complejos. Operaciones: suma, producto, división. Representación.
Vectores en el plano.
Geometría analítica. Problemas afines y métricos.
Lugares geométricos en el plano. Cónicas.
Funciones reales. Propiedades globales. Funciones polinómicas, racionales,
exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Límites. Continuidad. Ramas
infinitas.
Derivabilidad. Conceptos y aplicaciones de la derivada.
Representación gráfica de funciones.
Integral indefinida y definida. Cálculo de primitivas y de áreas.
1
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Espacio Europeo de Educación Superior (EEES)
Titulaciones: Ingeniería Telecomunicación
2.3.3. Objetivos y competencias a adquirir en la asignatura
Objetivos generales
Competencias
•
El alumno adquirirá la base matemática
necesaria para el estudio del resto de las
asignaturas de matemáticas y de aquellas
de la carrera relacionadas con ésta.
•
•
Se desarrollará la capacidad del
alumno para razonar, explicar lo
aprendido o concluido e interpretar
físicamente los principales conceptos
de la asignatura.
Conocer, y ser capaz de utilizar
diversas ayudas y herramientas
(incluyendo las tecnologías de la
información y las comunicaciones
TICs) que facilitan la actividad
matemática,
y
comprender
las
limitaciones de estas ayudas y
herramientas
Mejorar la capacidad de expresarse,
tanto en forma oral como escrita,
sobre
asuntos
con
contenido
matemático y de entender las
aseveraciones, orales y escritas, de
los demás sobre los mismos temas.
2.3.4. Asignación de horas ECTS
6 CREDITOS BOE: 150 horas de trabajo del alumno/cuatrimestre por asignatura
HORAS
PRESENCIALES: 60
HORAS NO
PRESENCIALES: 90
CM
CT
Horas
Magistrales/cuatrimestre= 29
Horas
Tutoradas/cuatrimestre =31
CM
CT
Horas Magistrales/semana
Horas Tutoradas/semana
AT
AI
Actividades
Tutoradas/cuatrimestre = 34
Actividades
Independientes/cuatrimestre =
54
AT
AI
Actividades
Tutoradas/semana
Horas trabajo alumno/semana =6’3 (CM+CT+AT) +
3’6 (AI)
2
Actividades
Independientes/semana
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Espacio Europeo de Educación Superior (EEES)
Titulaciones: Ingeniería Telecomunicación
2.3.5. Organización docente de la asignatura
2.3.5.1.
Distribución de la asignatura
CM
CT
AT
AI
(horas) (horas) (horas) (horas)
CONTENIDO
BLOQUE TEMATICO 1. : SISTEMAS NUMÉRICOS.
NÚMEROS COMPLEJOS
1.- CONTENIDOS TEORICOS (CM).
Principio de inducción completa. Cota superior e
inferior de un conjunto.
Números
complejos:
Definición
y
estructura.
Conjugación. Módulo y argumento de un número
complejo.
Operaciones
elementales.
Función
exponencial. Potencias y raíces enésimas complejas.
Logaritmos
y
potencias
complejas.
Funciones
trigonométricas en el campo complejo. Funciones
hiperbólicas.
1
1
6
4
2.1.- ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE (CT) y (AT)
Resolución problemas / Comentario de Texto/
Cuestiones / Otros
•
•
Prácticas de clase
Prácticas con ordenador
6
1’5
2.2.- ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE (CT) y (AT)
Prácticas Laboratorio / Prácticas Clínicas / Prácticas de
Campo / Seminarios / Simulación / Otros.
3
1
6
1
6
Trabajo en grupos.
3.- ACTIVIDADES DE EVALUACION.
•
•
Prueba teórica y práctica escrita.
Presentación de ejercicios propuestos en
prácticas de clase y/o de ordenador.
2
0’5
7
3
8
1
10
15
Plan Piloto de Innovación Docente para la adaptación al
Espacio Europeo de Educación Superior (EEES)
Titulaciones: Ingeniería Telecomunicación
CM
CT
AT
AI
(horas) (horas) (horas) (horas)
CONTENIDO
BLOQUE TEMATICO 2. SUCESIONES Y SERIES
REALES
1.- CONTENIDOS TEORICOS (CM).
Sucesiones: Sucesiones convergentes: propiedades.
Álgebra
de
límites.
Sucesiones
monótonas.
Infinitésimos e infinitos equivalentes. Criterio de Stolz.
2
2
Series: Conceptos básicos. Generalización de algunas
propiedades de la suma ordinaria a las series.
Condición necesaria de convergencia. Criterios de
convergencia para series de términos positivos. Series
alternadas: Teorema de Leibniz. Suma aproximada.
Convergencia absoluta.
4
2
2.1.- ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE (CT) y (AT)
Resolución problemas / Comentarios texto /
Cuestiones / Otros
•
•
Prácticas de clase
Prácticas con ordenador
2’5
3
2.2.- ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE (CT) y (AT)
Prácticas Laboratorio / Prácticas Clínicas / Prácticas de
Campo / Seminarios / Simulación / Otros.
1
1
4
Trabajo en grupos
3.- ACTIVIDADES DE EVALUACION.
• Prueba teórica y práctica escrita.
• Presentación de ejercicios propuestos en
prácticas de clase y/o de ordenador.
3
0’5
6
4
2
1
6
1
7
10
Plan Piloto de Innovación Docente para la adaptación al
Espacio Europeo de Educación Superior (EEES)
Titulaciones: Ingeniería Telecomunicación
CM
CT
AT
AI
(horas) (horas) (horas) (horas)
CONTENIDO
BLOQUE TEMATICO 3. CÁLCULO DIFERENCIAL DE
UNA VARIABLE
1.- CONTENIDOS TEORICOS (CM).
Conceptos básicos sobre funciones de una variable y
teoremas fundamentales (repaso).
Técnicas de derivación: Regla de la cadena, Derivada
de la función inversa, Derivación implícita. Diferencial.
Aproximación de funciones mediante polinomios.
Polinomio de Taylor. Fórmula de Taylor
1
2
7
3
2.1.- ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE (CT) y (AT)
Resolución problemas / Comentarios texto /
Cuestiones / Otros
•
•
Prácticas de clase
Prácticas con ordenador
5’5
3
2.2.- ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE (CT) y (AT)
Prácticas Laboratorio / Prácticas Clínicas / Prácticas de
Campo / Seminarios / Simulación / Otros.
2
1
4
Trabajo en grupos
3.- ACTIVIDADES DE EVALUACION.
• Prueba teórica y práctica escrita.
• Presentación de ejercicios propuestos en
prácticas de clase y/o de ordenador.
3
0’5
8
5
3
1
9
1
8
12
Plan Piloto de Innovación Docente para la adaptación al
Espacio Europeo de Educación Superior (EEES)
Titulaciones: Ingeniería Telecomunicación
CM
CT
AT
AI
(horas) (horas) (horas) (horas)
CONTENIDO
BLOQUE TEMATICO 4. CÁLCULO DIFERENCIAL DE
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES
1.- CONTENIDOS TEORICOS (CM).
Introducción a las funciones de varias variables.
Límites iterados, doble y direccionales. Continuidad.
Derivadas parciales. Diferenciabilidad de la función de
varias variables. La regla de la cadena. Derivadas
direccionales y gradientes. Planos tangentes y rectas
normales. Fórmula de Taylor para una función de
varias variables.
Extremos de funciones de dos variables. Aplicaciones
de los extremos de funciones de dos variables.
Multiplicadores de Lagrange.
1
2
5
7
2
2
2.1.- ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE (CT) y (AT)
Resolución problemas / Comentarios texto /
Cuestiones / Otros
•
•
Prácticas de clase
Prácticas con ordenador
4’5
3
2.2.- ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE (CT) y (AT)
Prácticas Laboratorio / Prácticas Clínicas / Prácticas de
Campo / Seminarios / Simulación / Otros.
1
1
6
Trabajo en grupos
3.- ACTIVIDADES DE EVALUACION.
• Prueba teórica y práctica escrita.
• Presentación de ejercicios propuestos en
prácticas de clase y/o de ordenador.
3
0’5
8
6
2
1
8
1
9
17
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Espacio Europeo de Educación Superior (EEES)
Titulaciones: Ingeniería Telecomunicación
2.3.5.2. Métodos de evaluación
CRITERIO DE EVALUACION
Evaluación Continua (Actividades de Aprendizaje)
%
%
Se proponen distintas actividades de evaluación con una
puntuación máxima de 200 puntos.
•
•
T1: Tests sobre los temas que se incluyen en el
apartado 2.3.2 de conocimientos previos. Puntuación:
20 puntos
PB1: Puntuación Bloque 1. Calificación máxima: 45
puntos.
10
22.5
•
PB2: Puntuación Bloque 2. Calificación máxima: 45
puntos.
22.5
•
PB3: Puntuación Bloque 3. Calificación máxima: 45
puntos.
22.5
•
PB4: Puntuación Bloque 4. Calificación máxima: 45
puntos.
22.5
Para cada bloque la puntuación se obtendrá como suma de:
o
RB: Calificación obtenida por la resolución
individual o en grupo de problemas, prácticas,
trabajos, … Puntuación máxima: 15 puntos.
o
EB: Calificación obtenida en la realización de
una prueba escrita al finalizar el bloque.
Puntuación máxima: 30 puntos.
Examen Final : constará de una parte teórica (40% de la nota) y
una de problemas (60% de la nota).
7
Plan Piloto de Innovación Docente para la adaptación al
Espacio Europeo de Educación Superior (EEES)
Titulaciones: Ingeniería Telecomunicación
TOTAL
Observaciones
Con objeto de dar cabida a las nuevas directrices del Espacio Europeo de Educación
Superior y al mismo tiempo respetar la normativa vigente actual en la que todo
alumno tiene derecho a un examen final, se ofrecen dos alternativas para superar
la asignatura: la evaluación continua y la evaluación o examen final.
La asignatura puede aprobarse por evaluación continua siempre que:
•
•
•
se entreguen todos los trabajos y prácticas solicitadas en el plazo previsto
se superen los tests sobre conocimientos previos (T1)
se obtenga una calificación mayor o igual a 5 sobre 10 en el cómputo global de
las distintas actividades de evaluación propuestas a lo largo del curso y se
obtenga una puntuación mayor o igual a 4 puntos sobre 10 en cada uno de los
cuatro bloques de la asignatura (PB1, PB2, PB3, PB4).
Aquellos alumnos que opten por la evaluación continua y no hayan superado la
asignatura podrán presentarse al examen final únicamente con aquellas partes que
tengan suspensas.
IMPORTANTE: En las distintas actividades de evaluación (tanto en las correspondientes a
la evaluación continua como en la evaluación final) se valorará la capacidad de
razonamiento y la claridad en la explicación y exposición.
8
Plan Piloto de Innovación Docente para la adaptación al
Espacio Europeo de Educación Superior (EEES)
Titulaciones: Ingeniería Telecomunicación
2.3.5.3. Bibliografía
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
Tema 1:
Álvarez, E., Herrero, MªT. y Ruiz, R. Colección Fundamentos Matemáticos. Tomo
I
García, A. y otros. "Cálculo I: teoría y problemas de Análisis Matemático en una
variable". Librería I.C.A.I. ISBN: 84-604-6814-3.
Tema 2:
Álvarez, E., Herrero, MªT. y Ruiz, R. Colección Fundamentos Matemáticos. Tomo
I.
Bradley, G. L. And Smith, K. “Calculo de una variable. Volumen I”. Prentice Hall.
ISBN: 84-89660-76-X.
García, A. y otros. "Cálculo I: teoría y problemas de Análisis Matemático en una
variable". Librería I.C.A.I. ISBN: 84-604-6814-3.
Ojeda Aciego, M. “Cálculo para la ingeniería”. Ágora Universidad.
Tema 3:
Álvarez, E., Herrero, MªT. y Ruiz, R. Colección Fundamentos Matemáticos. Tomo
II.
Bradley, G. L. And Smith, K. “Calculo de una variable. Volumen I”. Prentice Hall.
ISBN: 84-89660-76-X.
García, A. y otros. "Cálculo I: teoría y problemas de Análisis Matemático en una
variable". Librería I.C.A.I. ISBN: 84-604-6814-3.
Ojeda Aciego, M. “Cálculo para la ingeniería”. Ágora Universidad.
Tema 4:
Álvarez, E., Herrero, MªT. y Ruiz, R. Colección Fundamentos Matemáticos. Tomo
II.
Bradley, G. L. And Smith, K. “Calculo de varias variables. Volumen II”. Prentice
Hall. ISBN: 84-89660-77-8.
García, A. y otros. "Cálculo II: teoría y problemas de funciones de varias
variables". Librería I.C.A.I.
Ojeda Aciego, M. “Cálculo para la ingeniería”. Ágora Universidad.
Libros de problemas: Cualquiera de los libros básicos citados anteriormente tienen
suficientes ejercicios y problemas para resolver y trabajar con ellos. No obstante, existen
algunos dedicados fundamentalmente a ejercicios:
Carmona, A. et al. “Cálculo de una y varias variables”. Ediciones UPC
Demidovich, B.: Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático. Editorial
Paraninfo.
García, F. y Gutiérrez, A. “Cálculo infinitesimal”. Editorial Pirámide.
Soler, M. et al. “Cálculo infinitesimal e integral. 2000 Problemas resueltos y 1000
a resolver”. Edit. Los autores.
Aula Virtual: Todos los alumnos matriculados en esta asignatura podrán acceder desde
Internet a información de interés desde el Aula Virtual de la Universidad de Cantabria en
la dirección
http://aulavirtual.unican.es/
9
Matemáticas
1
1
RESUMEN TEORÍA:
Números Complejos
Elena Álvarez Sáiz
Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación
Universidad de Cantabria
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Teoría: Números Complejos
Necesidad de ampliar el conjunto de los númer os r eales
D efinición
El conjunto de los números complejos se define como el conjunto 2 con la suma y el
producto complejo definido anteriormente. Es decir, = ( 2 , +, * ) .
Adición de Complejos
Se define:
, 3 + 8)
Multiplicación de Complejos
Se define:
2
, b ) + (c , d ) = (a + c , b + d )
(2 , 3) + (3 , 8 ) = (2 + 3
Ejemplo
(a
(a
, b ) * (c , d )
=
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
(a ⋅ c
- b ⋅d , a ⋅d
+ b ⋅c)
Ingeniería de Telecomunicación
Teoría: Números Complejos
Fundamentos Matemáticos I
(3
Ejemplo
, 5 ) * 2 ,
1
2
=
3 ⋅ 2 - 5 ⋅ 1
2
,
3⋅
1
2
+
5 ⋅ 2
7 ,
2
=
23
2
Vamos a definir ahora los inversos para estas dos operaciones:
Inverso Aditivo (opuesto):
(a
Dado
, b)
Ejemplo: Entonces
su opuesto es: ( −a , - b )
( −2 , 5 )
(2 ,
su inverso
( −2 , 5 ) + ( 2 ,
- 5 ) = ( 0, 0 )
Inverso Multiplicativo:
(a
Dado
a
-b
su inverso es:
,
a 2 + b 2
2
a + b 2
, b ) ≠ ( 0, 0 )
Ejemplo: Entonces
( −2 , 5 )
−2 −5
,
. Observar que:
29
29
su inverso
−2
( −2, 5 ) *
29
- 5 ) . Observar que:
−5
= ( 1, 0 )
29
,
Sustracción de complejos
La resta de dos complejos no es más que sumar al primero el opuesto del segundo
(a
, b ) − (c , d )
=
(a
, b)
( −c
+
, −d )
=
(a − c
, b −d)
Ejemplo
( 10
, 12 ) − ( 8 , 15 )
=
( 10
, 12 )
+
( −8
, − 15 )
=
(2
, − 3)
División de complejos
El cociente de dos complejos no es más que multiplicar al primero el inverso del segundo
siempre que éste no sea nulo
(a
, b ) / (c , d ) =
c
= ( a , b ) *
c 2 + d 2
,
−d
2
c +d
2
=
ac + bd , bc − ad
c 2 + d 2
2
2
c +d
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
3
Ingeniería de Telecomunicación
Teoría: Números Complejos
Fundamentos Matemáticos I
Ejemplo
(1
, 2) / ( 3 , 4)
=
(1
3
−4
, 2 ) *
,
25
25
Producto por un número de la forma:
(λ
, 0 ) * (a , b )
=
( λ a − 0b
=
11
2
,
25
25
( λ, 0 )
, 0a + λ b )
=
(λ a
, λb )
= λ (a , b )
Luego podemos identificar a los números con segunda componente cero con los números
reales.
(λ
, 0) ≡ λ
For ma binómica
Hasta ahora hemos considerado los números complejos expresados en forma de “par ordenado”
vamos a ver otra forma de expresar un número complejo.
Llamemos unidad imaginaria i = ( 0, 1 ) es fácil ver que:
(a
, b)
=
(a, 0 ) + ( 0, b ) = (a, 0 ) + (b, 0 ) * ( 0,1) ≡ a + bi
Ejemplo: Entonces
−9 ,
5
+
6
su forma binómica es
−9
+
5
i
6
Es fácil ver que i 2 = i * i = ( 0, 1 ) * ( 0, 1 ) = ( −1, 0 ) ≡ −1 .
Importante: Para operar con números complejos dados en forma binómica se siguen las
mismas reglas de las operaciones en el campo real teniendo en cuenta que i2 = -1
Entonces
(a
+ bi ) + ( c + di ) = ( a + c
) + (b + d ) i
y para la multiplicación:
(a
+ bi ) ( c + di ) = ac + adi + bic + bdi 2
= ac − bd + ( ad + bc ) i
4
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Ingeniería de Telecomunicación
Teoría: Números Complejos
Fundamentos Matemáticos I
Con esta nueva notación podemos escribir = {a + bi / a, b ∈ }
Dado un número complejo z = a + bi se llama parte real de z al valor real Re ( z ) = a y
parte imaginaria al valor real Im ( z ) = b . Por lo tanto,
z = Re ( z ) + i Im ( z )
Si la parte real de un número complejo es cero se le llama Imaginario puro y si es cero
la parte imaginaria se trata de un número real.
a + bi
→
si
b=0
a = 0 ⇒ 0 + bi
⇒ a + 0i = a
=
bi
Im aginario Puro
Que representa un N ° Re al
Repr esentación gr áfica de númer os comple jos
Fijado en el plano un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales, los números complejos
pueden representarse mediante puntos de ese plano, haciendo corresponder a cada número
complejo, un punto en el plano.
•
El eje “ x ” lo llamaremos Eje Real y sobre él se representa la parte real del numero.
•
Al eje “ y ” lo llamaremos Eje Imaginario y sobre él representaremos la parte
imaginaria
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
5
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Siguiendo con el tema de la representación gráfica de un complejo, otra manera es la que se
llama Representación Vectorial. A cada punto del plano le corresponde un Vector, de origen
O y extremo Z, siendo O el origen de las coordenadas.
“A cada número complejo le corresponde un vector y a cada vector le corresponde un
complejo”
Inter pr etación geométr ica de la suma
Dados dos complejos vectorialmente, la suma de ambos se realiza utilizando la regla del
paralelogramo.
El gráfico muestra una interpretación geométrica de la suma vectorial de 2 números, aplicando
la regla del paralelogramo.
Ejemplo: Suma como traslación: En el gráfico está representado el triángulo de vértices 0, P1
y P2 en azul y en verde el triángulo de vértices: w, w+P1, w+P2.
6
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Ejercicio: Dar la interpretación vectorial de la resta.
Conjugado de un númer o comple jo
Dado el número complejo z = x + iy su conjugado es el número complejo z = x − yi
Se verifican las siguientes propiedades:
(1)
z =z
(2)
z = z ⇔ z = x + 0i ∈ (3)
z = −z ⇔ z = 0 + b i con b ∈ (4)
z + z = 2 Re ( z )
(5)
z +w = z +w
(6)
z ⋅w = z ⋅w
(7)
z −1 = z
z − z = i 2 Im ( z )
−1
( )
Ejercicio: Probar estas propiedades del conjugado.
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Fundamentos Matemáticos I
Módulo y ar gumento
Dado: z = a + bi llamamos módulo de Z al número real positivo: + x 2 + y 2
Y se expresa: Z = z =
x 2 + y2
Interpretación del módulo como distancia: Si z , w ∈ entonces
distancia entre z y w
Propiedades del módulo: Si z , w ∈ (1)
(2)
z ≥0,
z =0 ⇔z =0
Desigualdad triangular: z + w ≤ z + w
Demostración geométrica:
8
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z −w
representa la
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En un triángulo la longitud de uno de los lados es siempre menor que la
suma de los
otros dos lados.
(3)
z − w
(4)
Re ( z ) ≤ z ;
(5)
z = z
(6)
z
(7)
zw = z
(8)
z −1 = z
(9)
2
≤ z −w
Im ( z ) ≤ z ;
z ≤ Re ( z ) + Im ( z )
= zz
w
−1
Regla del paralelogramo:
z+w
2
+ z−w
2
= 2 z
2
+ w
2
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Teoría: Números Complejos
Ejercicio: Demostrar estas propiedades del módulo.
Por ultimo nos queda el argumento de un número complejo que lo definimos como la medida
del ángulo ϕ en radianes formado por el semieje positivo de las x y el vector que representa al
complejo.
Es decir, el argumento del número complejo no nulo z = x + yi es cualquier número ϕ que
verifique:
z = x + yi = Z cos ϕ + i Z senϕ = Z ( cos ϕ + isenϕ )
Como las funciones seno y coseno son periódicas de periodo 2π , el argumento de Z
está definido salvo múltiplos de 2π . Con otras palabras hay una infinidad de argumentos de z,
10
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pero dos cualesquiera de ellos difiere en
un múltiplo de 2π . Si φ ∈ (−π, π se dice que el
argumento es principal.
Para poder obtener ϕ de un número complejo dado en forma binómica, tenemos que tener en
cuenta el cuadrante en el que se representa dicho número.
Dado: Z = x + yi
y
su argumento se obtiene por ϕ = arc tg siendo el signo de ϕ el
x
mismo que el de y.
Entonces (ρ , ϕ) son las coordenadas polares de Z donde
ρ = Z y ϕ = arg (Z)
Se escribe z = ρϕ .
For ma tr igonométr ica de un númer o comple jo
Vamos a ver ahora una nueva forma de representar un número complejo: su forma
trigonométrica. Si tenemos: z = x + y i su representación permite escribir
x= ρ⋅ cos ϕ
y = ρ⋅ sen ϕ
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Fundamentos Matemáticos I
Reemplazando por los segundos miembros de x e y en la forma binómica:
Z=x+yi
⇒
Z = ρ
( cos
ϕ
+ sen ϕ i )
Oper aciones en for ma tr igonométr ica
Interpretación geométrica del producto
•
12
Multiplicar por un número complejo de módulo 1
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•
Multiplicar por un número complejo cualquiera: El afijo de z*w se obtiene girando el
afijo de z un ángulo en radianes igual al argumento de w y al resultado hacer una
dilatación de valor w
.
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P otencias: Fór mula de Moivr e
Función exponencial. For ma exponencial.
Utilizando la fórmula de Euler
e iϕ = cos ϕ + isenϕ siendo ϕ ∈ se define la función exponencial de z = x + iy como
e z = e x +iy = e x ( cos y + iseny )
A partir de la forma trigonométrica podemos encontrar la forma exponencial de un número
complejo ya que
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z = r ( cos ϕ + isenϕ ) = re iϕ siendo r = z , ϕ = arg ( z )
PROPIEDADES.- Si z , w ∈ se cumplen las siguientes propiedades
e0 = 1
(i)
e z +w = e z e w
(iv)
ez = ez
(vii)
Re (e z ) = Re (ea +bi ) = ea cos b
(ix)
(e z )
(x)
La función exponencial es periódica de periodo 2πi . Esta propiedad afirma que los
−1
(ii)
(v)
(iii)
Re z
ez = e ( )
(vi)
(viii)
e z e −z = 1
¡
arg e z = Im ( z )
Im (e z ) = Im (ea +bi ) = ea senb
= e −z
valores que toma la función exponencial en la banda de la figura son los que toma fuera de
ella.
z + 2π i
2πi
z
0
z − 2π i
Ejercicio: Demostrar las propiedades de la función exponencial.
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Raíces enésimas
Observa que las raíces enésimas de un complejo de módulo r están distribuidas regularmente
en una circunferencia de radio
n
r .
Logar itmo neper iano
Se define el logaritmo neperiano de z ∈ como el valor complejo w que cumple e w = z . Si w
= a + bi y z=r (cos φ + i sen φ ) entonces
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r = ea
b = φ + 2k π
k ∈Z
Esto significa que un número complejo tiene infinitos logaritmos neperianos. Para cada valor
de k se tiene una determinación o rama de la función neperiano. Si k=0 se obtiene la rama
principal.
P otencias comple jas
Si se tienen z w con z , w ∈ se define
z w = e w log z
Conviene observar que como el logaritmo neperiano de un número complejo tiene
infinitos valores, entonces existen infinitos valores para las potencias complejas. Se llamará
principal a aquella que corresponde al valor principal de log z.
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Logar itmo comple jo
Podemos definir en este momento el logaritmo de un número complejo w cuando la base no es
el número e sino otro número complejo z. Si z , w ∈ se define el logaritmo en base z de w
como
logz w =
log w
log z
Nota: Se define igual que en .
logz w = t ⇔ z t = w ⇔ t log z = log w ⇔ t =
log w
log z
Funciones tr igonométr icas
De la misma forma que hemos ampliado al campo complejo las funciones exponencial y
logaritmo en este apartado vamos a extender las funciones trigonométricas a los complejos.
En primer lugar observamos que si a ∈ entonces se tiene
e ia = cos a + isena
e −ia = cos a − isena
Por lo tanto,
e ia + e −ia = 2 cos a
e ia − e −ia = i2sena
Extendiendo estas fórmulas al campo complejo definimos el seno y el coseno complejos
cos z =
e iz + e −iz
2
senz =
e iz − e −iz
2i
A partir del seno y el coseno queda definido también la tangente y la cotangente
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Fundamentos Matemáticos I
tgz =
senz
e iz − e −iz
= −i
cos z
(eiz + e−iz )
cot gz =
cos z
e iz + e −iz
=i
sen z
(eiz − e−iz )
si z ≠
π
+ kπ
2
si z ≠ k π
k ∈
k ∈
PROPIEDADES.- Si z , w ∈ se cumple
(i)
sen 2z + cos2 z = 1
(ii)
sen ( z + w ) = senz cos ω + cos z senw
(iii)
cos ( z + w ) = cos z cos ω − senz senw
(iv)
sen ( z ) = 0
⇔ z = kπ
(v)
cos ( z ) = 0
⇔ z =
(vi)
Las funciones seno y coseno son periódicas de periodo 2π :
k ∈
π
+ kπ
2
k ∈
sen ( z + 2k π ) = sen ( z ) , cos ( z + 2k π ) = cos ( z )
IMPORTANTE: Hay que hacer notar que aunque en el seno y el coseno toman valores
entre -1 y 1, en no es cierto.
Funciones hiper bólicas
Las funciones hiperbólicas se pueden definir también por analogía con las funciones circulares,
tomando como referencia una hipérbola equilátera unidad, x2-y2=1, en lugar de una
circunferencia. De esta forma el seno hiperbólico es la razón entre la ordenada correspondiente
y el semieje transverso de una hipérbola equilátera unidad.
En la figura se representa el seno y el coseno hiperbólico y su analogía con el seno y coseno
trigonométricos.
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Sea t ∈ entonces las funciones hiperbólicas reales se definen de la forma:
Cht =
et + e −t
2
Sht =
et − e −t
2
Extendiendo estas fórmulas al campo complejo definimos el seno y el coseno hiperbólicos. Si
z ∈ se define
Chz =
e z + e −z
2
Shz =
e z − e −z
2
A partir del seno y el coseno queda definido también la tangente y la cotangente
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Thz =
Shz
e z − e −z
=
Chz
e z + e −z
Cothz =
π
si z ≠ ( 2k + 1 ) i
2
Chz
e z + e −z
=
Shz
e z − e −z
si z ≠ k π i
k ∈
k ∈
Se verifican las fórmulas fundamentales como enuncia la proposición siguiente.
PROPOSICIÓN.- Si z , w ∈ se cumple
(I)
Ch 2z − Sh 2z = 1
(ii)
Sh ( z + w ) = Shz Chw + Chz Shw
(iii)
Ch ( z + w ) = Chz Chw + Shz Shw
(iv)
Sh ( z ) = 0
⇔ z = k πi , k ∈ (v)
Ch ( z ) = 0
π
⇔ z = ( 2k + 1 ) i , k ∈ 2
(vi)
Las funciones seno y coseno hiperbólicos son periódicas de periodo 2πi , es decir, se
verifica Sh ( z + 2k πi ) = Shz
Ch ( z + 2k πi ) = Chz , k ∈ Ejercicio: Demostrar estas propiedades de las funciones hiperbólicas complejas.
Relación entre las funciones hiperbólicas y las funciones trigonométricas:
Ch ( z ) = cos ( iz )
Sh ( z ) = −isen ( iz )
Funciones polinómicas. T eor ema Fundamental del A lgebr a
A menudo en la práctica necesitamos resolver ecuaciones polinómicas de la forma
p ( z ) = ao + a1z + a2z 2 + ... + an z n = 0 con ai ∈ Si se tiene el polinomio
p ( z ) = ao + a1z + a2z 2 + ... + an z n con ai ∈ , an ≠ 0
22
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Fundamentos Matemáticos I
•
al número natural "n" se le llama grado del polinomio no nulo y
•
al coeficiente "an" coeficiente director.
En el estudio que realizaremos de los polinomios nos centraremos principalmente en el cálculo
de sus raíces.
Se dice que un número complejo a es raíz del polinomio
p ( z ) = ao + a1z + a2z 2 + ... + an z n
si p ( a ) = ao + a1a + a2a 2 + ... + ana n = 0
Ejemplo: Dado el polinomio p ( z ) = 1 + z 2 el punto a = i es raíz ya que p ( i ) = 1 + i 2 = 0
PROPOSICIÓN.- El número complejo "a" es raíz del polinomio
p ( z ) = ao + a1z + a2z 2 + ... + an z n
si y solamente si dicho polinomio es divisible por q ( z ) = z − a .
PROPOSICIÓN.- Sea
p ( z ) = ao + a1z + a2z 2 + ... + an z n
un polinomio con todos los
coeficientes reales. Entonces si zo es una raíz compleja también lo es su conjugada.
TEOREMA (FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA).- Un polinomio
p ( z ) = ao + a1z + a2z 2 + ... + an z n
con coeficientes en se puede escribir de la forma
k
k
k
p ( z ) = an ( z − z1 ) 1 ( z − z 2 ) 2 …( z − z r ) r
con k1 + k2 + ... + kr = n
( ki es la multiplicidad de la raíz zi )
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S
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Teoría: Números Complejos
Observación: Este teorema se expresa a menudo diciendo que un polinomio con coeficientes en
de grado n en una indeterminada tiene n raíces complejas. Sin embargo este teorema no da
ningún método para su cálculo.
Se conocen fórmulas generales para calcular las raíces de un polinomio de grado dos, tres y
cuatro, y se ha demostrado la imposibilidad de obtener fórmulas generales para el cálculo de
las raíces de polinomios de grado mayor o igual a cinco.
Nota: Si detectas algún error o errata ponte en contacto con la profesora para su corrección.
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Matemáticas
1
1
RESUMEN TEORÍA:
Sucesiones y Series
Elena Álvarez Sáiz
Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación
Universidad de Cantabria
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SUCESIONES EN Prerrequisitos:
−
Desigualdades de números reales
−
Conceptos generales de funciones: dominio, cotas, crecimiento, …
−
Conocimiento de las propiedades de las funciones elementales: polinómicas,
racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y del valor
absoluto.
−
Cálculo de límites, indeterminaciones y regla de L’Hopital
−
Cálculo de derivadas y estudio del crecimiento de una función
−
Métodos de demostración: inducción y reducción al absurdo.
Objetivos:
1. Tener claros los siguientes conceptos:
•
Qué es una sucesión
•
Sucesión
acotada,
sucesión
monótona,
sucesión
convergente/divergente/oscilante
•
Relación entre acotación, monotonía y convergencia de una sucesión
•
Propiedades de los límites de sucesiones
•
Órdenes de magnitud de una sucesión:
o
Sucesiones del mismo orden
o
Sucesiones equivalentes
o
Sucesión de orden superior/inferior
2. Saber hacer:
•
2
Estudiar la convergencia de una sucesión
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o
Técnicas de límites
o
Regla del sándwich o Teorema del encaje
o
El producto de un infinitésimo por una sucesión acotada es un
infinitésimo
o
Sucesiones recursivas
•
Determinar el orden de magnitud de una sucesión
•
Comparar el orden de infinitud de una sucesión
DEFINICIONES BÁSICAS
Dos sucesiones {an } y {bn } son iguales si an = bn para todo n ∈ .
Una sucesión admite una representación en la recta real y en el plano:
Sucesiones monótonas
Definiciones:
A) Una sucesión
( an )
se denomina monótona creciente si verifica:
a1 ≤ a2 ≤ a 3 ≤ … ≤ an ≤ …
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S
3
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esto es si se cumple
Si verifica an < an +1
an ≤ an + 1
∀n ∈ ∀n ∈ , se llama estrictamente creciente.
B) Análogamente, una sucesión
( an )
se denomina monótona decreciente si se
cumple
an ≥ an + 1
Si verifica an > an +1
∀n ∈ ∀n ∈ , se llama estrictamente decreciente.
C) Una sucesión se denomina monótona si es monótona creciente o monótona
decreciente.
Applet Laboratorio Sucesiones
Ejemplos :
•
La sucesión -1, -2, 3, -4, -5, 6, -7, -8, 9 ... no es monótona.
•
La sucesión de término general an =
•
La sucesión de término general an = n
(−1)n
n
tampoco es monótona.
es monótona creciente y también
estrictamente creciente.
•
La sucesión –1, -1, 0, 0, 1, 1, 2, 2 ... es monótona creciente, pero no es
estrictamente creciente.
•
La sucesión de término general an = −n 2
también estrictamente decreciente.
4
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es monótona decreciente y es
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Fundamentos Matemáticos I
•
La sucesión
1 1 1 1 1 1 1 1 1
, , , , , , , , , … es monótona decreciente, sin embargo
2 2 3 4 4 5 6 6 7
no es estrictamente decreciente.
Nota práctica:
−
En algunos casos, para probar que una sucesión es monótona creciente
resulta útil probar que an +1 − an ≥ 0
∀n ∈ y para sucesiones de
términos positivos también se puede demostrar probando que se cumple:
−
−
an
≥1
∀n ∈ Análogamente, para las sucesiones monótonas decrecientes se probará que
an + 1 − a n ≤ 0
∀n ∈ , o bien, si es de términos positivos, que verifica
−
−
an + 1
an + 1
an
≤1
∀n ∈ Teniendo en cuenta que una sucesión es una aplicación de los números
naturales en los reales, para ciertas sucesiones, se puede utilizar técnicas
de cálculo diferencial para estudiar la monotonía. Bastará considerar la
función resultado de cambiar n por x en el término general de la sucesión.
Si an = f ( n ) y
f '(x ) > 0
(respectivamente
f ' ( x ) < 0 ) para
x > no
entonces an es creciente (respectivamente) para x > no .
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5
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Fundamentos Matemáticos I
Teoría: Sucesiones y Series
Applet Laboratorio Sucesiones
Sucesiones acotadas.
A) Decimos que un número real k es cota superior de la sucesión (an ) si verifica
an ≤ k
∀n ∈ Se denomina supremo a la menor de las cotas superiores. Si el supremo es un
término de la sucesión se denomina máximo.
Análogamente, dicho número k será cota inferior de la sucesión (an ) si verifica
k ≤ an
∀n ∈ Llamamos ínfimo a la mayor de las cotas inferiores. Si el ínfimo es un término de
la sucesión se denomina mínimo.
B) Una sucesión ( an ) decimos que está acotada superiormente si tiene alguna
cota superior. De forma análoga, diremos que la sucesión está acotada
inferiormente si tiene alguna cota inferior.
6
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C) Una sucesión ( an ) decimos que es acotada si está acotada superior e
inferiormente.
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LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
Decimos que el límite de una sucesión
( an )
es L, y lo escribimos así
limn →∞ an = L
o también
an → L
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Teoría: Sucesiones y Series
Fundamentos Matemáticos I
si es posible conseguir que an − L
sea tan pequeño como queramos, sin más que
asignarle a n valores tan grandes como sea necesario. Es decir,
limn →∞ an = L
⇔
∀ε > 0 existe No ∈ tal que an − L < ε
∀n > N 0
La definición anterior significa que si queremos que los términos de la sucesión se
alejen de L una distancia menor que ε , lo podemos conseguir para todos los
términos posteriores a un cierto número natural N . Cuanto más pequeño sea ε
0
más grande habrá que tomar el valor de N .
0
La definición anterior se lee “ límite cuando n tiende a infinito de an igual a L”.
También se puede escribir
lim an = L
pues n sólo puede tender a infinito.
Las sucesiones que tienen límite se denominan convergentes.
Applet Laboratorio Sucesiones
8
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Teoría: Sucesiones y Series
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Sucesiones divergentes:
La sucesión (an ) tiende a infinito (∞) si cualquiera que sea el número real k fijado,
por grande que este sea, podemos conseguir que los términos de la sucesión superen
dicho valor sin más que tomar valores de n mayores que un número natural N .
0
Simbólicamente esto puede escribirse así
limn →∞ an = ∞
⇔
∀k ∈ ∃N 0 ∈ tal que
an > k
∀n > N 0
Applet Laboratorio Sucesiones
La sucesión (an ) tiende a menos infinito (−∞) si cualquiera que sea el número real k
fijado, por grande que este sea, podemos conseguir que los términos de la sucesión
sean menores que –k, sin más que tomar valores de n mayores que un número
natural N . Simbólicamente esto puede escribirse así
0
limn →∞ an = −∞
⇔
∀k ∈ ∃N 0 ∈ tal que
an < −k
∀n > N 0
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Teoría: Sucesiones y Series
Fundamentos Matemáticos I
Unicidad del límite: Si la sucesión (an ) tiene límite, finito o no, este es único.
Demostración:
Sea (an ) una sucesión convergente y supongamos que tiene dos límites L y L ,
1
siendo
2
L < L . A partir de un cierto valor n , todos los términos de la
1
2
0
sucesión deben pertenecer, simultáneamente, a los entornos
(L1 − ε, L1 + ε) y (L2 − ε, L2 + ε)
lo cual es imposible en cuanto tomemos valores ε ≤
L2 − L1
2
.
Sucesiones oscilantes
Existen otras sucesiones que no tienen límite, pero tampoco tienden a infinito ni a
menos infinito. Veamos algunos casos
Ejemplos : La sucesión cuyos primeros términos son los siguientes
1,
1
1
1
, 3, , 5, , 7,...
2
4
6
Esta sucesión no es convergente, pero tampoco tiende a ∞ ni a −∞ . Los
términos impares se hacen infinitamente grandes a medida que n crece. Sin
embargo, los términos pares tienden a 0, para n suficientemente grande. Se dice
que esta sucesión no tiene límite o bien que su carácter es oscilante.
Ejemplos : La sucesión de término general an = (−1)n ⋅ n , cuyos primeros términos
son:
10
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Fundamentos Matemáticos I
-1, 2, -3, 4, -5, 6, -7, 8,...
Los términos de esta sucesión tampoco se acercan a un número concreto.
Tienden a ∞ los términos pares y tienden a −∞ los términos impares. Por
tanto, tampoco tiene límite.
Como conclusión, las sucesiones de los dos ejemplos anteriores se denominan
oscilantes.
Resumen: Las sucesiones se clasifican según la existencia o no de límite en los
siguientes tipos:
tienden a un número finito L
Convergentes
⌠tienden a ∞
Divergentes
No convergentes
tienden a - ∞
Oscilantes
Propiedades de los límites: Si lim an = a , y lim an = a con a, b ∈ se cumplen las
n →∞
n →∞
siguientes propiedades:
(1)
(3)
lim an = a
n →∞
lim ( anbn ) = ab
n →∞
(2)
lim ( λan ) = λa
n →∞
(4)
lim
an
n →∞ b
n
=
a
si b ≠ 0
b
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Teoría: Sucesiones y Series
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(5)
lim ( an ) n = ab siempre que ab ≠ 00 .
b
n →∞
0
0
Indeterminaciones: ∞ − ∞
∞
∞
0∞
1∞
00
∞0
Teorema (Acotación): Toda sucesión (a ) convergente es acotada.
n
Demostración:
Para demostrar que una sucesión está acotada, tenemos que demostrar que
está acotada superior e inferiormente.
Si la sucesión (a ) es convergente, tomamos ε =1, entonces todos los términos
n
de la sucesión pertenecen, a partir de uno de ellos, al entorno (L- ε , L+ ε ); en
consecuencia. Consideramos el valor más pequeño de los términos de la
sucesión que no están en ese intervalo y de L- ε Si llamamos m a ese valor
todos los términos de la sucesión serán mayores que m.
Consideramos M el valor más grande de los términos de la sucesión que no
están en el intervalo (L- ε , L+ ε ) y el valor L- ε , es fácil ver que todos los
términos de la sucesión son menores que M.
En conclusión, la sucesión (a ) está acotada, ya que hemos encontrado una
n
cota inferior (m) y una cota superior (M) de dicha sucesión.
Observación: El recíproco del teorema anterior no es cierto: la sucesión 1, 2, 1, 2, 1,
2,... es acotada y, sin embargo, no es convergente.
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Teoría: Sucesiones y Series
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Fundamentos Matemáticos I
Teorema (Weierstrass): Toda sucesión monótona y acotada es convergente. Toda
sucesión monótona y no acotada es divergente.
Convergente ⇒ Acotada
Convergente ⇐ Acotada y Monótona
Divergente ⇒ No acotada
Divergente ⇐ No acotada y Monótona
(No son ciertos los recíprocos)
(No son ciertos los recíprocos)
Número e
El número e es un número irracional de gran importancia en matemáticas
superiores. Podemos definirlo como el límite de la sucesión 1 +
n
1
.
n
Puede probarse que esta sucesión es monótona y acotada por lo que aplicando el
teorema de Weierstrass se concluye que es convergente. El valor al que converge
es el número e.
Se trata de un número irracional cuyas diez primeras cifras decimales son:
2’7182818284…
CÁLCULO DE LÍMITES
Propiedades de los límites de sucesiones reales
Si lim an = a , y lim an = a con a, b ∈ se cumplen las siguientes propiedades:
n →∞
n →∞
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S
13
Ingeniería de Telecomunicación
Teoría: Sucesiones y Series
Fundamentos Matemáticos I
(1)
lim ( λan ) = λa
(2)
lim an = a
n →∞
n →∞
lim ( anbn ) = ab
(3)
(4)
n →∞
lim
an
n →∞ b
n
=
a
si b ≠ 0
b
lim ( an ) n = ab siempre que ab ≠ 00 .
b
(5)
n →∞
Indeterminaciones
∞
∞
0
0
∞−∞
0∞
1∞
00
∞0
Criterios de comparación
Teorema del encaje: Sean
número
real
L
∞
∞
{an }n =1 y {bn }n =1 dos sucesiones convergentes al mismo
entonces
si
se
tiene
otra
sucesión
∞
{ xn }n =1
verificando
an ≤ x n ≤ bn para todo índice n salvo un número finito (es decir para todo n a partir
∞
de un cierto índice N) entonces la sucesión { x n }n =1 también converge a L.
∞
Teorema: Si {an }n =1 es una sucesión divergente a infinito y para todo índice n salvo
un número finito se verifica an ≤ bn entonces
∞
{bn }n =1 también es divergente a
infinito.
Infinitésimos e infinitos equivalentes
Definición (Infinitésimo).- Se dice que an es un infinitésimo si lim an = 0
n →∞
Definición (Infinito).- Se dice que an es un infinito si lim an = ±∞
n →∞
14
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Teoría: Sucesiones y Series
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Fundamentos Matemáticos I
PROPIEDADES DE LOS INFINITÉSIMOS
1) La suma de un número finito de infinitésimos es un infinitésimo.
2) Se verifica limn →∞ an = 0 ⇔ limn →∞ an = 0 .
3) Si (an ) es un infinitésimo y (bn ) es una sucesión acotada superiormente en
valor absoluto, entonces, la sucesión producto de ambas (an ⋅ bn ) es convergente y
se cumple
limn →∞ an ⋅ bn = 0
Definición (Sucesiones del mismo orden y asintóticamente equivalentes).- Se dice
lim
an
n →∞ b
n
que an y bn infinitésimos (infinitos) son del mismo orden si
= k con k ∈ − { 0 } .
- En el caso particular de que k=1 se dicen asintóticamente equivalentes.
Notación.- Cuando an y bn infinitésimos (infinitos) son del mismo orden se
escribe an = Ο (bn ) .
PRINCIPIO DE SUSTITUCIÓN.- El límite de una sucesión convergente o
divergente no se altera al sustituir uno de sus factores o divisores por otro
asintóticamente equivalente.
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S
15
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Teoría: Sucesiones y Series
Fundamentos Matemáticos I
INFINITESIMOS EQUIVALENTES
INFINITOS EQUIVALENTES: Si n → ∞
an → 1 entonces log ( an ) ≈ an − 1
n ! ≈ e −n n n 2πn
(Fórmula de Stirling)
an → 0 entonces log ( 1 + an ) ≈ an
a > 0 entonces
(
n
)
a −1 ≈
log a
n
a p n p + a p −1n p −1 + ... + a1n + ao ≈ a p n p
log ( a p n p + a p −1n p −1 + ... + a1n + ao ) ≈ log ( a pn p
an → 0 entonces senan ≈ an
1k + 2k + 3k + … + n k ≈
n k +1
k +1
an → 0 entonces tg an ≈ an
an → 0 entonces an ≈ arcsen an ≈ arctg an
an → 0 entonces 1 − cos an ≈
an2
2
Definición (Infinitésimos e infinitos de orden superior).- Se dice que an es un
infinitésimo de orden superior respecto de bn ó que bn es un infinito de orden
superior respecto de
lim
an
n →∞ b
n
an , según se trate de infinitésimos o infinitos, si
= 0.
Potencialexponencial
Factorial
Exponencial
Potencial
Logaritmo
n a ⋅n
n!
b
n
(log n)
(b>1)
(c>0)
(q>1, p>0)
(a>0)
n
c
Tabla.- El orden de los infinitos disminuye de izquierda a derecha
16
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p
q
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Fundamentos Matemáticos I
CRITERIO DE STOLZ
Si
•
∞
∞
{an }n =1 y {bn }n =1 son infinitésimos siendo monótona
•
ó
∞
{bn }n =1 es divergente
En el caso de que exista el siguiente límite
lim
an
n →∞ b
n
= lim
lim
n →∞
an − an −1
bn − bn −1
entonces:
an − an −1
n →∞
bn − bn −1
Consecuencias:
•
•
lim
a1 + a2 + ... + an
n →∞
lim
n →∞
n
= lim an
n →∞
n
(Criterio de la media aritmética)
(Criterio de la media geométrica)
a1a2 ...an = lim an
n →∞
Límites de expresiones racionales
Si se trata de una sucesión cociente entre expresiones polinómicas, así
an =
a0n p + a1n p −1 + a2n p −2 + … + a p
b0nq + b1nq −1 + b2nq −2 + … + bq
se resuelve dividiendo numerador y denominador por n , siendo k el grado del
k
polinomio de menor grado. En resumen, se cumple que:
•
Si p>q, limn →∞ an = ±∞ (depende de los signos de a y b )
•
Si p=q, limn →∞ an =
•
Si p < q, limn →∞ an = 0
0
0
a0
b0
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S
17
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Teoría: Sucesiones y Series
Fundamentos Matemáticos I
Esta regla dice que el valor del límite lo marca el término de mayor grado de ambos
polinomios.
Límites de expresiones irracionales
Se resuelven multiplicando y dividiendo por la expresión radical “conjugada”.
Límites de la forma ∞0 , 00 , 1∞
Para calcular este tipo de límites se puede tomar logaritmos, de tal forma
que:
lim bn log an
lim anbn = lim ebn log an = e n →∞
n →∞
n →∞
Observación: En el caso particular de que la indeterminación sea del tipo 1∞ se
cumple que lim an = 1 y lim bn = ∞ luego,
n →∞
n →∞
lim bn log an
lim anbn = e n →∞
n →∞
18
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lim bn (an −1 )
= e n →∞
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Fundamentos Matemáticos I
SERIES EN Prerrequisitos:
−
Conceptos sobre sucesiones vistos en el tema anterior
−
Cálculo de primitivas inmediatas
Objetivos:
1. Tener claros los siguientes conceptos:
•
Serie y suma parcial enésima
•
Convergencia, divergencia de una serie
•
Orden de magnitud de la suma parcial enésima
•
Suma aproximada de una serie
2. Saber hacer:
•
Reconocer las series geométricas y determinar su carácter
•
Reconocer las series armónica generalizada y determinar su carácter
•
Estudiar la convergencia de series de términos positivos mediante los
criterios del cociente y de la raiz
•
Estudiar la convergencia de series alternadas con el criterio de Leibniz
•
Estudiar la convergencia de series de términos cualesquiera mediante la
convergencia absoluta
•
Hallar la suma aproximada de una serie con una cota del error prefijada
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S
19
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Fundamentos Matemáticos I
Teoría: Sucesiones y Series
Sumas infinitas
Ejemplo 1: Imagina un cuadrado de lado unidad y considera la suma de las áreas
coloreadas
1 1 1
+ + + ....
2 4 8
¿A la vista de la figura cuál crees que es el valor de su suma?
Ejemplo 2: ¿Cuánto es el área de color amarillo?
20
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Fundamentos Matemáticos I
También puedes pensar en el área de los triángulos naranjas del dibujo siguiente:
Ejemplo 3: Imagina el número 1 / 3 se escribe en forma decimal periódico como
1 / 3 = 0, 3 donde se entiende que el 3 se repite infinitas veces. Es decir,
1 / 3 = 0, 3 + 0, 03 + 0, 003 + 0, 0003 + ....
que abreviadamente podemos poner como:
∞
1/ 3 =
∑ 3 ⋅ ( 0,1 )
n =1
n
pero, ¿qué significa exactamente la suma infinita? Está claro que no podemos sumar
infinitos números. Esta expresión significa que si se suma más y más términos, la
suma se va aproximando cada vez más a 1 / 3 .
Definiciones
Dada una sucesión infinita de números reales {an } se define:
∞
∑ an
n =1
= a1 + a2 + ... + an + ...
Su suma parcial n-ésima es:
Sn = a1 + a2 + ... + an
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S
21
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Fundamentos Matemáticos I
∞
Consideramos la sucesión de sus sumas parciales: { Sn }n =1 se tendrá:
∞
Si
∞
{ Sn }n =1 es convergente entonces la serie ∑ an es convergente.
n =1
Además
∞
∑ an
n =1
= lim Sn = S
n →∞
Se dirá entonces que S es la suma de la serie.
∞
∞
Si { Sn }n =1 es divergente entonces la serie
∞
Si { Sn }n =1 es oscilante entonces la serie
El resto n-ésimo de la serie
∑ an
es divergente
n =1
∞
∑ an
es oscilante.
n =1
∞
∑ an
es:
n =1
∞
Rn = an +1 + an +2 + ... =
∑ an + k
k =1
Es fácil ver que:
∞
∑ ak
k =1
= Sn + Rn
Propiedades de las series
Propiedad 1: Si a una serie se la suprime o añade un número finito de términos su
carácter no se ve alterado.
22
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Teoría: Sucesiones y Series
Fundamentos Matemáticos I
∞
∑ an y
Propiedad 2: Si
n =1
∞
∑ bn
son convergentes y convergen respectivamente a los
n =1
números reales A y B entonces:
∞
∑ ( an
n =1
± bn ) =
∞
∑ an ±
n =1
∞
∑ bn
=A±B
n =1
∞
∞
= A ⋅ B observar que
a
b
∑
∑
n
n =1 n
n =1
∞
∞
n =1
n =1
∑ ( λan ) = λ ∑ an
∞
∞
∞
∑ (anbn ) ≠ ∑ an ∑ bn
n =1
n =1
n =1
= λA
Propiedad 3 (Condición necesaria de convergencia): Si
∞
∑ an
es convergente
n =1
entonces lim an = 0 .
n →∞
IMPORTANTE.- Se trata de una condición necesaria pero no suficiente. La serie
∞
1
∑n
cumple la condición necesaria de convergencia y, sin embargo, es divergente.
n =0
SERIES NOTABLES
•
Serie geométrica:
∞
∑ ar n
a ≠ 0 . Se cumple:
n =0
∞
Si
r < 1 la serie converge y además
∑ ar n
n =0
general
∞
∑ ar n
n =k
=
a r
=
a
. En
1−r
k
1−r
.
Si r > 1 la serie diverge.
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S
23
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Teoría: Sucesiones y Series
Fundamentos Matemáticos I
•
Serie armónica generalizada:
∞
1
∑ np
p > 0 . Se cumple:
n =1
Si 0 < p ≤ 1 la serie diverge
Si p > 1 la serie converge.
CONVERGENCIA DE SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS
Una serie de términos no negativos o bien converge o bien diverge ya que la sucesión
de sus sumas parciales es monótona.
sn +1 = Sn +
an + 1
≥ Sn
no negativo
Suma parcial n-ésima
•
En general para una función continua f decreciente y positiva en 1, ∞ ) se
verifica
n
∫
f ( x )dx <
1
24
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n
∑ f ( k ) < f (1) +
k =1
n
∫ f ( x )dx
1
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Teoría: Sucesiones y Series
Fundamentos Matemáticos I
n
Por lo tanto la sucesión
∑ f (k )
verifica que
k =1
n
n
n
k =1
1
∫ f ( x )dx < ∑ f ( k ) < f ( 1) + ∫ f ( x )dx
1
•
Si la función es continua, creciente y positiva en 1, ∞ ) se verifica
n
n
n
k =1
1
∫ f ( x )dx < ∑ f ( k ) < ∫ f ( x )dx + f ( n )
1
Criterio integral
Si f es positiva, continua y decreciente para x ≥ 1 y an = f ( n ) entonces:
∞
∞
∫ f ( x )dx
y
∑ an
k =1
1
tienen el mismo carácter.
Criterio de comparación
∞
Si
∑ an , y
n =1
∞
∑ bn
son series de términos positivos verificando
n =1
an ≤ bn para todo n ∈ salvo un número finito
entonces:
∞
(a) Si
∑ bn es convergente entonces
n =1
(b) Si
∞
∑ an también es convergente
n =1
∞
∞
n =1
n =1
∑ an es divergente entonces ∑ bn también es divergente.
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S
25
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Teoría: Sucesiones y Series
Fundamentos Matemáticos I
Criterios de comparación por paso al límite
∞
Se consideran las series
∑ an y
n =1
∞
∑ bn . Entonces
n =1
0
= λ ≠
ambas series tienen el mismo carácter
∞
n →∞ b
n
(a)
Si lim
(b)
Si
an
lim
an
n →∞ b
n
∞
=0
∑ bn es
y la serie
∞
convergente entonces
n =1
∑ an es
n =1
convergente.
(c)
Si
lim
an
n →∞ b
n
∞
∑ bn es divergente entonces
= ∞ y la serie
n =1
∞
∑ an
es
n =1
divergente.
Criterio del cociente: Se considera la serie
∞
∑ an
cumpliendo
n =1
an
lim
n →∞ a
= L ó lim
n →∞
n −1
an + 1
an
=L
entonces si
∞
(a)
Si L < 1 la serie
∑ an es convergente
n =1
∞
(b)
Si L > 1 la serie
∑ an es divergente
n =1
Criterio de la raíz: Se considera la serie
∞
∑ an
n =1
cumpliendo lim n an = L entonces si
∞
(c)
Si L < 1 la serie
∑ an es convergente
n =1
∞
(d)
Si L > 1 la serie
∑ an es divergente
n =1
26
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n →∞
Ingeniería de Telecomunicación
Teoría: Sucesiones y Series
Fundamentos Matemáticos I
SUMA APROXIMADA: SERIES DE TERMINOS NO NEGATIVOS
∞
Supongamos que tenemos la serie
∑ an de la que conocemos que es convergente pero
n =1
no sabemos obtener el valor exacto de la suma. Entonces si sustituimos el valor de la
suma S por la suma parcial n-ésima S se nos plantean dos problemas:
n
(a)
¿Qué
error
cometo
cuando
utilizo
la
aproximación
S ≈ Sn = a1 + a2 + ... + an ?
(b)
¿Cuántos términos tengo que considerar para que la diferencia entre S
y S sea menor que un cierto valor, es decir,
n
S − Sn < valor
Ambas cuestiones quedan resueltas si consigo acotar el resto n-ésimo:
Rn = an +1 + an + 2 + ... < cota
Encontrada una cota se tendrá resuelto el problema (a) si bien esta cota debe
elegirse de forma adecuada. Para el segundo problema dado el error permitido
bastará encontrar el índice n que verifica la siguiente relación:
Rn = an +1 + an + 2 + ... < cota < error
Es importante hacer notar que la cota dependerá de n y además que debe elegirse
con cuidado para que no sea una acotación excesiva que no nos dé ninguna
información.
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
27
Ingeniería de Telecomunicación
Teoría: Sucesiones y Series
Fundamentos Matemáticos I
Estimación del error por el criterio integral
Supongamos que f ( n ) = an
para todo n natural, donde f es una función continua,
n
decreciente y positiva en el intervalo 1, ∞ ) . Supongamos que
lim
n →∞
∫ f ( x )dx existe y
1
∞
es finito. Entonces el resto de la serie
∑ an cumple que:
n =1
k
∞
0 ≤ Rn =
∑
k = n +1
an ≤ lim
k →∞
∫ f ( x )dx
n
SERIES ALTERNADAS
Son de la forma
∞
n −1
∑ ( −1 )
n =1
( an
an = a1 − a2 + ....
∞
TEOREMA DE LEIBNIZ: La serie alternada
n −1
∑ ( −1 )
> 0)
an ( an > 0 ) converge si
n =1
∞
(a)
la sucesión {an }n =1 es monótona decreciente
(b)
se verifica lim an = 0 .
n →∞
Estimación del error de sustituir la suma de la serie por la suma parcial enésima:
∞
Supongamos que se tiene la serie alternada
n =1
convergente verificando
28
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
n −1
∑ ( −1 )
a n ( an > 0 )
Ingeniería de Telecomunicación
Teoría: Sucesiones y Series
Fundamentos Matemáticos I
(a)
(b)
∞
la sucesión {an }n =1 es monótona decreciente
lim an = 0 .
n →∞
Entonces el resto n-ésimo es
n +1
Rn = S − Sn = ( −1 ) an +1 + ( −1 )
n
an + 2 + ... = ( −1 )
n
( an + 1 − an + 2
+ an + 3 + ... )
como la sucesión es monótona decreciente el valor absoluto del resto n-ésimo
es:
Rn = an +1 − an + 2 − an + 3 + ... = an +1 − ( an +2 − an + 3 ) − ( an + 4 − an + 5 ) ...
≥0
≥0
es decir,
Rn < an +1
Obsérvese que este error será:
•
por exceso si el primer término despreciado es negativo
•
por defecto si el primer término despreciado es positivo.
Series de términos cualesquiera
∞
Una serie de términos cualesquiera,
∑ an ,
es absolutamente convergente si es
n =1
∞
convergente la serie de sus valores absolutos, es decir, si
∑ an
es convergente.
n =1
TEOREMA: Si una serie es absolutamente convergente entonces es convergente.
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
29
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Teoría: Sucesiones y Series
Si una serie es convergente pero no es absolutamente convergente se dice
condicionalmente convergente.
Nota: Si detectas algún error o errata ponte en contacto con la profesora para su corrección.
30
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Matemáticas
1
1
RESUMEN TEORÍA:
Funciones de una variable
Elena Álvarez Sáiz
Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación
Universidad de Cantabria
Ingeniería de Telecomunicación
Teoría: Funciones de una variable
Fundamentos Matemáticos I
Objetivos:
Conocer la definición de derivada y su interpretación geométrica.
Calcular derivadas de funciones elementales utilizando las siguientes
técnicas:
o
Reglas de derivación (derivada de una suma, producto, cociente).
o
Derivada de la función compuesta: Regla de la cadena
o
Derivada de la función inversa.
o
Derivada de funciones implícitas.
o
Derivada de funciones en paramétricas
o
Derivada enésima.
Comprender la aproximación local que proporciona los polinomios de
Taylor
o
Encontrar polinomios de Taylor para funciones derivables
o
Utilizar el resto de Lagrange para estimar la precisión de la
aproximación.
o
Estudiar localmente una función (determinación de extremos)
Comprender la aproximación global que proporcionan las series de Taylor
o
Calcular el campo de convergencia de una serie de potencias
o
Desarrollar una función en serie de potencias.
Isaac Newton
2
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
G.W. Leibnitz
Teoría: Funciones una variable
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
DERIVADA: DEFINICIÓN
La expresión
f (x + ∆x ) − f (x )
∆x
que es la fórmula de la pendiente de la secante a la gráfica de la función f que
une los puntos
(x + ∆x, f (x + ∆x ))
(x, f (x )) ,
y
se llama el cociente
incremental de f.
f(x+∆x)
f(x+∆x)-f(x)
f(x)
∆x
x
x+∆x
La derivada de f en un punto x es el límite del cociente incremental,
lim
f (x + ∆x ) − f (x )
∆x → 0
∆x
La derivada representa la pendiente de la tangente a la gráfica de f en el punto
(x, f (x )) .
( )ó
Se representa por f´ x
dy
df
ó
dx
dx
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
3
Ingeniería de Telecomunicación
Teoría: Funciones de una variable
Fundamentos Matemáticos I
f(x+∆x)
f(x+∆x)-f(x)
f(x)
α
∆x
α
x
x+∆x
tg α = lim
f (x + ∆x ) − f (x )
∆x → 0
∆x
TÉCNICAS DE DERIVACIÓN
Regla del producto por una constante
'
a f (x ) = af ' (x ), a ∈ '
Regla de la suma
f (x ) + g (x ) = f ' (x ) + g ' (x )
Regla del producto
f (x ) g (x ) = f ' (x ) g (x ) + f (x ) g ' (x )
Regla del cociente
f (x )
= g (x ) f ' (x ) − f (x ) g ' (x )
2
g (x )
g (x )
'
'
Derivada de la función compuesta: Regla de la cadena
()
()
Si y = f u es derivable en u y u = g x
(
)( )
es derivable en x , entonces la función
( ( )) es derivable en x
compuesta y = f g x = f g x
y
´ x ) = f´(g (x )) g´(x )
( f g )(
o también
4
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
dy
d
df du
=
f g (x ) =
dx
dx
du dx
Ingeniería de Telecomunicación
Teoría: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
x
g
f
g(x)
f(g(x))
Derivada de la función inversa
( )
Si f es una aplicación inyectiva y derivable en xo y además f ' x o ≠ 0 entonces la
función inversa, f
−1
( ) y además
, también es derivable en yo = f xo
( f ) (y ) = f ' 1x
−1
'
o
( )
o
x
f
-1
f
f(x)
x
Derivada enésima
()
Si y = f x es derivable en un dominio D queda definida la función derivada:
f ':D → x → f ' (x )
()
si esta función y = f ' x
a su vez es derivable se puede calcular su derivada,
y = ( f ') ' (x ) , que recibe el nombre de derivada segunda. Se denota,
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
5
Ingeniería de Telecomunicación
Teoría: Funciones de una variable
Fundamentos Matemáticos I
f '' (x ) =
d 2y
dx 2
Este proceso puede continuar y se tendría la derivada de orden n o derivada n-
()
ésima que consistiría en derivar la función n veces. Si la función es y = f x
()
denotará: f (n x =
se
d ny
dx n
FÓRMULA DE LEIBNIZ.- Si f y g son derivables hasta el orden n entonces la
()
() ()
función h x = f x g x es derivable hasta el orden n y además
h (n (x ) = ( f ⋅ g )
(n
(x ) =
n
n
n
n
f (n −1 (x ) g ' (x ) + f (n (x ) g (x )
= f (x ) g (n (x ) + f ' (x ) g (n −1 (x ) + ... +
0
1
n − 1
n
RECTA TANGENTE. APROXIMACIÓN LINEAL
()
Definición (Diferencial).- Sea y = f x
una función derivable en un intervalo
abierto que contiene al número x ,
- La diferencial de x es igual al incremento de x, ∆x = dx
()
- La diferencial de y se define como dy = f ' x dx
La diferencial de y para un incremento de x, dx, corresponde el incremento
de la ordenada de la recta tangente correspondiente a ese incremento.
6
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Ingeniería de Telecomunicación
Teoría: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
Diferencial
25
20
y=f(x)
(xo+h,f(xo+h)
15
∆y=f(xo+h)-f(xo)
10
5
dy
alfa
(xo,f(xo)
0
h
Recta tangente
-5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
()
Aproximación lineal: Consideremos la gráfica de una función y = f x derivable en
(
)
x = c . Si dibujamos la tangente en el punto c, f (c ) vemos que, para un intervalo
pequeño de x , centrado en c , los valores de la función casi coinciden con las
ordenadas de los puntos de la curva. Por esta razón llamamos a la ecuación de la
tangente a la gráfica de f en el punto x = c una linealización de la función en ese
punto.
( ( )) tiene
Teniendo en cuenta que la ecuación de la recta tangente en el punto c, f c
()
por pendiente f´ c se tendrá que su ecuación es:
L(x)=f(c)+f´(c)(x-c)
L(x)-f(c)=f´(c)(x-c)
f(c)
y − f (c ) = f´(c )(x − c )
⇔
y = f (c ) + f´(c )(x − c )
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7
Ingeniería de Telecomunicación
Teoría: Funciones de una variable
Fundamentos Matemáticos I
()
()
( )(
)
y se llama a L x = f c + f´ c x − c la linealización de f en c
POLINOMIOS DE TAYLOR
()
Supongamos que f x es una función derivable n veces en el punto x=a. Se define
el polinomio de Taylor de grado n correspondiente a la función f en el punto x=a
como
n
Tn f (x ); a = ∑
f (k (a )
(x − a ) =
k!
f ' (a )
f (a )
= f (a ) +
x −a) +
(
(x − a )
1!
2!
k
k =0
''
2
+ ... +
f (n (a )
n!
(x − a )
n
En el caso en que a=0 el polinomio se llama de MacLaurin.
Veamos algunas propiedades que nos permitirán obtener polinomios de Taylor a
partir de otros conocidos
Sean f y g funciones que admiten polinomio de Taylor hasta el grado n en el
punto a entonces se cumplen las propiedades siguientes:
(
)
( )
( )
•
Linealidad: Tn α f + βg; a = αTn f ; a + βTn f ; a
•
Derivación, integración: Tn f ; a ' = Tn −1 f '; a
•
Otras operaciones: Se puede obtener el desarrollo de productos y cocientes de
( )
(
)
funciones a partir del desarrollo de cada una de las involucradas.
8
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Teoría: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
Definición (Resto n-ésimo de Taylor).- Sea f una función para la que existe
Tn f (x ); a . Se define el resto n-ésimo de Taylor correspondiente a la función f en el
punto x=a, y lo escribiremos Rn f (x ); a como
Rn f (x ); a = f (x ) − Tn
()
La expresión Tn f x ; a + Rn
f (x ); a
f (x ); a se llama fórmula de Taylor de f(x) de grado
n en el punto x=a.
En las proximidades del punto x=a se verifica no sólo que el resto n-ésimo es
(
pequeño (infinitésimo) sino que se hace pequeño en comparación con x − a
(
infinitésimo de orden superior a x − a
)
n
)
n
(es un
para x=a). Esto se expresa en el siguiente
resultado
()
TEOREMA DE TAYLOR: Si f es derivable n veces en el punto x=a y Rn f x ; a
es su correspondiente resto de Taylor entonces
Rn f (x ); a
=0
lim
n
x →a
(x − a )
EXPRESIONES DEL RESTO: Sea f es una función derivable (n+1) veces en un
()
intervalo abierto I, que contenga al punto x=a. Si Rn f x ; a es el resto n-ésimo de
Taylor correspondiente a la función f en el punto x=a entonces:
(1)
Resto de Cauchy
Rn f (x ); a =
f (n +1 (t )
n!
(x − t ) (x − a )
n
siendo t un punto intermedio entre a y x.
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9
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Fundamentos Matemáticos I
(2)
Teoría: Funciones de una variable
Resto de Lagrange
f (n +1 (t )
n +1
Rn f (x ); a =
x − a)
(
(n + 1) !
siendo t un punto intermedio entre a y x.
(3)
Resto Integral
Rn f (x ); a =
x
∫
a
f (n +1 (t )
n!
(x − t )
n
dt
definido si la derivada (n+1) de f es integrable en el intervalo I.
POLINOMIOS DE TAYLOR: APLICACIONES
•
Cálculo de valores aproximados (ver hoja 10)
•
Cálculo de límites indeterminados
•
Estudio local de una función: Determinar máximos y mínimos
Cálculo de límites indeterminados
En el cálculo de límites de funciones surgen las mismas indeterminaciones que
en el caso de sucesiones y se aplican las mismas técnicas para su resolución.
Definición (Infinitésimo).- Llamaremos infinitésimo para x tendiendo a xo a
()
cualquier función que tienda a cero. Es decir, ϕ x es un infinitésimo para x=xo si
lim ϕ (x ) = 0
x →xo
10
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Teoría: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
PROPOSICION.(a)
La suma, diferencia y producto de infinitésimos es un infinitésimo.
(b)
El producto de un infinitésimo por una función acotada en un entorno de xo
es un infinitésimo.
Definición (Infinitésimos del mismo orden, orden superior y orden inferior).- Se dice
que
()
()
ϕ x y µ x son dos infinitésimos del mismo orden para x = xo si
lim
x →xo
ϕ (x )
µ (x )
= λ con λ ≠ 0, λ ≠ ∞
( ( ))
()
En este caso se escribe ϕ x = O µ x .
()
()
ϕ x y µ x on equivalentes para x = xo si lim
x →xo
()
()
ϕ x es de orden superior a µ x
()
ϕ (x )
µ (x )
=1
para x = xo si lim
x →x o
ϕ (x )
µ (x )
= 0 . En este
( ( ))
caso se escribe ϕ x = o µ x
Definición (Infinitésimos de orden p).- Decimos que un infinitésimo es de orden p
()
(
para x = xo si ϕ x = O x − x o
lim
x →xo
) es decir, si
p
ϕ (x )
(x − x )
p
= λ λ ≠ 0, λ ≠ ∞
o
PROPOSICION.- El orden de un infinitésimo no varía al sumarle o restarle otro de
orden superior.
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Teoría: Funciones de una variable
Fundamentos Matemáticos I
()
Consideremos ahora ϕ x
un infinitésimo de orden p para x = xo , esto significa
que
lim
x →xo
ϕ (x )
= λ λ ≠ 0, λ ≠ ∞
(x − xo )
p
En este caso se tiene que:
p
p
p
p
ϕ (x ) − λ (x − xo ) = o (x − xo ) ⇔ ϕ (x ) = λ (x − xo ) + o (x − x o )
(
Entonces al término λ x − xo
)
p
se le llama parte principal del infinitésimo
ϕ (x ) para x = xo .
PRINCIPIO DE SUSTITUCION.- Si en una expresión de un límite se sustituye un
factor o divisor por su parte principal o por otro equivalente el valor del límite no se
ve alterado.
IMPORTANTE: Cuando los infinitésimos aparezcan como sumandos la sustitución
de un infinitésimo por otro equivalente puede conducir en general a errores
Tabla de equivalencias
12
(1)
Si x → 0 entonces senx ≈ x
(2)
x2
Si x → 0 entonces 1 − cos x ≈
2
(3)
Si x → 0 entonces tgx ≈ x
(4)
Si x → 0 entonces log 1 + x ≈ x
(5)
Si x → 0 entonces log 1 + x k ≈ x k
(
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(
)
)
(k > 0)
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Teoría: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
(6)
Si x → 0 entonces a x − 1 ≈ x log a
(7)
Si x → 0 entonces arcsenx ≈ x
(8)
Si x → 0 entonces arctgx ≈ x
(9)
Si x → 0 entonces 1 + x a ≈ 1 + ax
(10)
Si x → 0 entonces Pn x ≈ término de menor grado
(
)
()
Definición (Infinitos).- Llamaremos infinito para x tendiendo a xo a cualquier
()
función ω x
()
que tienda a infinito. Es decir, ω x
es un infinito para x = xo si
lim ω (x ) = ∞
x →xo
OBSERVACION.- Todo lo visto anteriormente para infinitésimos puede aplicarse a
( ) es un infinito para x = x
infinitos teniendo en cuenta que si ω x
ϕ (x ) =
1
ω (x )
o
entonces
es un infinitésimo para x=x o
es un infinitésimo. En particular, la sustitución de infinitos en la expresión de
un límite se rige por las mismas reglas que las de los infinitésimos.
()
Definición (Infinitos de orden inferior, superior).- Se dice que ω x
()
y τ x
dos
infinitos para x = xo se dice que:
( ) es un infinito de orden inferior a τ (x ) para x = x si
ω (x )
lim
=0
τ (x )
ω (x ) es un infinito de orden superior a τ (x ) para x = x si
ω (x )
lim
=∞
τ (x )
ω x
o
x →xo
o
x →xo
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13
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Teoría: Funciones de una variable
Fundamentos Matemáticos I
( ) es un infinito del mismo orden que τ (x ) para x = x
ω (x )
lim
= λ λ ≠ 0, λ ≠ ∞
τ (x )
ω x
o
si
x →xo
En el caso particular de que λ entonces se dice que son equivalentes.
()
para x = xo es de
Definición (Infinito de orden p).- Decimos que un infinito ω x
orden p si
ω (x )
lim
= λ λ ≠ 0, λ ≠ ∞
1
x →xo
(x − x )
p
o
continuación, se dan en la tabla los denominados órdenes fundamentales de
infinitud. Según se avance de izquierda a derecha en las columnas los órdenes van
decreciendo.
Potencial -
Exponencial
Potencial
Logaritmo
bx
b >1
xc
c>0
(log x )
Exponencial
x ax
a>0
p
q
q >1 p > 0
APLICANDO POLINOMIOS DE TAYLOR
()
Sea y = f x
una función que es infinitésimo para x=a que tiene todas sus
()
derivadas nulas hasta el orden k-1 en el punto a y que f (k a ≠ 0 , entonces se
cumplirá:
f (x ) =
14
f (k (a )
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k!
(x − a )
k
k
+ o (x − a )
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Teoría: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
()
de lo que se deduce que el orden del infinitésimo y = f x para x=a es k y su parte
principal es
f (k (a )
k!
.
Estudio local de una función
()
Consideremos una función y = f x
con derivadas hasta el orden n+1 en el punto
a. Se cumple que:
f (x ) − f (a ) = f ' (a )(x − a ) +
f '' (a )
2!
()
(x − a )
2
+ ... +
f (n (a )
n!
()
(x − a )
n
n
+ o (x − a )
()
Supongamos que f ' a = f '' a = ... = f (n −1 a = 0 , entonces
•
()
Si n es par y f (n a > 0 entonces en el punto “a” la función tiene un mínimo
local
•
()
Si n es par y f (n a < 0 entonces en el punto “a” la función tiene un máximo
local
•
Si n es impar en el punto “a” hay un punto de inflexión.
SERIES DE POTENCIAS. SERIES DE TAYLOR
Una expresión de la forma
∞
ao + a1 (x − a ) + a2 (x − a ) + ... = ∑ an (x − a )
2
n
n =0
Recibe el nombre de serie de potencias centrada en el punto a. Una serie de
potencias puede ser interpretada como una función de x
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15
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Teoría: Funciones de una variable
Fundamentos Matemáticos I
∞
f (x ) = ∑ an (x − a )
n
n =0
Convergencia de una serie de potencias
∞
( ) ∑ a (x − a ) será el conjunto de valores de x
donde la serie converge y el valor de f (x ) será precisamente la suma de la serie.
El dominio de la función f x =
n
n
n =0
Nota: Es evidente que la serie converge en el punto a
∞
f (a ) = ∑ an (a − a ) = ao
n
n =0
TEOREMA DE ABEL.
∞
Se considera la serie
∑ a (x − a )
n =0
n
n
. Entonces se cumple una y solo una de las
afirmaciones siguientes:
(a)
La serie converge solo en a
(b)
Existe un número R > 0 de forma que la serie converge en x − a < R y no
converge en x − a > R
(c)
La serie converge para todo x ∈ Puede decirse que la serie converge siempre en un intervalo de la forma
(a − R, a + R ) considerando que en el caso (a) el valor de R es cero y en el caso (c)
el valor de R es infinito. Al número R se le llama radio de convergencia y al
intervalo
(a − R, a + R )
intervalo de convergencia. Es importante notar que el
teorema no dice nada sobre la convergencia en los extremos de dicho intervalo.
16
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Teoría: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
TEOREMA.
∞
Si la función viene definida por una serie de potencias
∑ a (x − a )
n =0
n
. Entonces se
n
cumple una y solo una de las afirmaciones siguientes:
(a)
La serie converge solo en a
(b)
Existe un número R > 0 de forma que la serie converge en x − a < R y no
converge en x − a > R
(c)
La serie converge para todo x ∈ TEOREMA.
∞
Si la función f viene definida por una serie de potencias
∑ a (x − a )
n =0
n
n
con radio de
convergencia R > 0 entonces
(a)
f es continua en todo punto interior al intervalo de convergencia.
(b)
f es derivable en el intervalo de convergencia y su derivada f ' x
()
∞
puede
n −1
( ) ∑ na (x − a )
obtenerse mediante la derivación término a término: f ' x =
n =1
n
siendo el radio de convergencia de esta serie también R.
(c)
f es integrable en el intervalo de convergencia y, además, se puede integrar
término a término:
∫
∞
n
n +1
∞ a
f (x )dx = ∑ ∫ an (x − a ) dx = ∑ n (x − a ) + k
n =0 n + 1
n =0
siendo el radio de convergencia de esta serie también R.
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17
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Teoría: Funciones de una variable
Fundamentos Matemáticos I
Desarrollo de una función en serie de potencias
Ahora analizamos el problema de encontrar el desarrollo en serie de potencias de una
()
función f x
()
analizando qué condiciones debe cumplir f x
∞
∑ a (x − a )
encontrarse una serie de potencias
n
n =0
n
para que pueda
()
que converja a f x .
Recordemos ahora el Teorema de Taylor que permitía expresar el valor de una
función mediante su polinomio de Taylor.
FÓRMULA DE TAYLOR: Si la función f es derivable n+1 veces en un intervalo
(a − R, a + R ) entonces
f (x ) = Tn ( f ; a ) + Rn (x )
n
( ) ∑
siendo Tn f ; a =
f (k (a )
k!
k =0
(x − a )
k
el polinomio de Taylor de grado n de f
en el punto a y Rn el resto del polinomio que cumple:
lim
x →a
Rn (x )
(x − a )
n
=0
Considerando la expresión de Lagrange del resto se tendrá:
n
f (x ) = ∑
f (k (a )
k =0
k!
(x − a )
k
+
f (n +1 (c )
(n + 1)!
n +1
(x − a )
con c un punto intermedio entre a y x.
TEOREMA: Si la función f es infinitamente derivable en un intervalo I abierto
()
centrado en a y si Rn x es el resto de la fórmula de Taylor entonces:
∞
f (x ) = ∑
f (n (a )
n =0
18
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n!
(x − a )
n
⇔ lim Rn (x ) = 0
n →∞
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Teoría: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
∞
La serie
∑
f (n (a )
n!
n =0
(x − a )
n
()
se llama Serie de Taylor de la función f x .
Importante: Puede probarse que si existe una constante k > 0 de forma que
f (n (x ) ≤ k para todo n ≥ 0 , x ∈ I
entonces
∞
f (x ) = ∑
f (n (a )
n =0
n!
(x − a )
n
Ejemplos: Teniendo en cuenta los últimos resultados se pueden obtener los siguientes
desarrollos en serie de Taylor de algunas funciones elementales:
∞
xn
x
x2
e =∑
= 1+ +
+ ...
1! 2!
n =0 n !
x <∞
x
x 2n +1
x3 x5
sen (x ) = ∑ (−1)
=x−
+
− ...
3! 5!
n =0
(2n + 1)!
∞
n
∞
n
cos (x ) = ∑ (−1)
n =0
x 2n
(2n )!
= 1−
x2 x4
+
− ...
2! 4 !
∞
1
= ∑ x n = 1 + x + x 2 + ...
1−x
n =0
k
∞
=∑
n =0
k (k − 1)(k − 2)... (k − n + 1)
n!
x <∞
x <1
∞
n
1
= ∑ (−1) x n = 1 − x + x 2 − ...
1+x
n =0
(1 + x )
x <∞
x <1
x n = 1 + kx +
k (k − 1)
2!
x 2 + ...
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x <1
S
19
Ingeniería de Telecomunicación
Teoría: Funciones de una variable
Fundamentos Matemáticos I
Teniendo en cuenta la dificultad de encontrar la derivada enésima para muchas
funciones y de probar que el resto enésimo tiende a cero cuando n tiende a infinito es
frecuente, para encontrar el desarrollo de una función en serie de potencias, utilizar
funciones de las que ya se conoce su desarrollo y luego integrar, derivar o realizar
operaciones algebraicas como se indican en el siguiente resultado:
∞
( ) ∑a x
Si f x =
n
n =0
n
∞
( ) ∑b x
y g x =
n =0
n
n
(
)
en −R, R entonces
∞
•
f (x ) ± g (x ) = ∑ (an ± bn ) x n en (−R, R )
n =0
•
∞
R R
f (kx ) = ∑ ank n x n en − ,
k k
n =0
•
f x k = ∑ an x nk en −k R , k R siendo k>0
( )
∞
n =0
(
)
DERIVACIÓN IMPLÍCITA
( )
Una ecuación de la forma F x , y = 0 define a la variable y como función x
()
( y = f x ) en un cierto dominio D si se verifica que para todo x en D existe un
( )
único y de forma que F x , y = 0 .
Cuando, para este tipo de funciones no se pueda despejar la variable y
explícitamente en términos de x , y se quiere obtener la derivada,
dy
, se procede
dx
de la siguiente forma:
1.
Se deriva ambos miembros de la expresión con respecto a x,
aplicando la regla de la cadena sabiendo que y es función de
x , es decir, y = y (x ) .
20
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Ingeniería de Telecomunicación
Teoría: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
2.
Se despeja la expresión
En general, el valor obtenido para
dy
.
dx
dy
es
dx
derivar la función F respecto a x considerando y como constante
dy
=−
dx
derivar la función F respecto a y considerando x como constante
DERIVACIÓN PARAMÉTRICA
()
En algunas ocasiones la ecuación de una curva no está dada en la forma y = f x ó
F (x , y ) = 0 sino que está determinada por un par de ecuaciones en términos de una
misma variable.
x = t 2 − 2t
con t ∈ .
y = t + 1
Por ejemplo, consideremos las ecuaciones
Se tiene que a cada valor de t le corresponde un punto (x,y) del plano. En el ejemplo
anterior, la siguiente tabla de valores:
t
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
24
15
8
3
0
-1
0
3
8
15
y
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
nos permite hacer la representación gráfica de la relación de la siguiente manera:
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
21
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Teoría: Funciones de una variable
x = g (t )
En general, las ecuaciones
, con g, h funciones continuas en un intervalo
y = h (t )
real I, reciben el nombre de ecuaciones paramétricas o representación paramétrica de
una curva en el plano XY. La gráfica de las ecuaciones paramétricas está dada por el
conjunto de puntos del plano XY, que se obtiene cuando t, que recibe el nombre de
parámetro, toma todos sus valores posibles en el dominio I.
() ()
TEOREMA: Sean g t , h t funciones derivables en un intervalo (c, d). Supongamos
que g tiene una inversa derivable en ese intervalo. Entonces en cada punto donde
x = g (t )
g ' (t ) ≠ 0 , las ecuaciones
implican que existe una función derivable f tal
y = h (t )
que y = f (x ) , y además
dy
h ' (t )
dy
= dt =
dx
dx
g ' (t )
dt
Nota: Si detectas algún error o errata ponte en contacto con la profesora para su
corrección.
22
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Matemáticas
1
1
RESUMEN TEORÍA:
Funciones de varias variables
Elena Álvarez Sáiz
Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación
Universidad de Cantabria
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Teoría: Funciones varias variable
Objetivos
1.
Comprensión del concepto de límite, continuidad y diferenciabilidad de una
función de dos variables.
2.
Conocimiento del concepto de derivada parcial de una función de dos
variables y comprensión de su interpretación geométrica.
3.
Destreza en el cálculo de derivadas y diferenciales.
Contenidos
1.
Derivadas direccionales. Derivadas parciales.
2.
Diferencial. Regla de la cadena y derivación implícita.
3.
Gradiente. Plano tangente.
4.
Extremos de funciones de varias variables.
Ejemplos de funciones de varias variables
•
Dados dos números cualesquiera x e y, su media aritmética es el número
x +y
. En general si se tienen n
2
x + x 2 + ... + x n
números su media aritmética es: f ( x1, x 2 ,..., xn ) = 1
n
comprendido entre ambos es decir f ( x , y ) =
•
Dados dos números positivos x e y, su media geométrica es el número
comprendido entre ambos es decir f ( x, y ) = xy . En general si se tienen n
números su media geométrica es: f ( x1, x 2 ,..., x n ) = n x1x 2 ...x n
•
Un sistema de fiabilidad (o bien en circuitos eléctricos) funciona (la corriente
pasa) si hay algún camino activado para ir des el principio (A) hasta el final
(B) del sistema (circuito). Así pues, en una estructura en serie como ésta:
La función de varias variables que describe el sistema es: f ( x1, x 2 , x 3 , x 4 ) = x1x 2x 3x 4 ,
donde el componente i funciona si x i = 1 y no lo hace si x i = 0 . De este modo, el
2
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Ingeniería de Telecomunicación
Teoría: Funciones varias variables
Fundamentos Matemáticos I
sistema
funciona
si
los
cuatro
componentes
lo
hacen
es
decir,
si
x1 = x 2 = x 3 = x 4 = 1 . En caso de que alguno de los componentes no funcione x i = 0
la corriente no pasa de A a B.
Un sistema paralelo como por ejemplo:
Se puede describir mediante la función de varias variables:
f ( x1, x 2 , x 3 .x 4 .x 5 ) = 1 − ( 1 − x1 )( 1 − x 2 )( 1 − x 3 )( 1 − x 4 )
•
Un sistema estéreo hi-fi tiene los cinco componentes que presentamos a
continuación: (1) amplificador, (2) sintonizador de FM, (3) sintetizador de
onda media, (4) altavoz A y (5) altavoz B. Se considera que el sistema
funciona si podemos obtener sonido por medio de la FM o bien mediante la
onda media. La función que modeliza este sistema es:
f ( x1, x 2 , x 3 .x 4 .x 5 ) = x1 1 − ( 1 − x 2 )( 1 − x 3 ) 1 − ( 1 − x 4 )( 1 − x 5 )
Esta es una representación esquemática del sistema
Funciones de dos variables
Una función real de dos variables, f , no es más que una correspondencia que
asigna a cada pareja ( x, y ) de números reales otro número real único f ( x, y ) .
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
3
Ingeniería de Telecomunicación
Teoría: Funciones varias variable
Fundamentos Matemáticos I
Se define el dominio de la función f como el conjunto de pares reales en los
que la función está definida. El rango es el conjunto de números reales dado
por
Im f = { z ∈ / ( x , y ) ∈ D }
Ejemplos:
Consideremos las siguientes funciones y determinemos su dominio:
1) h ( x, y ) = 2x − 3y + 4
Es el semiplano inferior determinado por la recta 2x−
−3y+4=0
incluyendo los puntos de la recta
2) f ( x , y ) = log ( 4x + y − 5 )
Se trata del semiplano superior determinado por la recta
4x+y−
−5=0 sin incluir los puntos de la recta
3) g ( x , y, z ) =
1
2x − 3y + 4z − 6
Se trata de la región del espacio determinada por el plano
2x−
−3y+4z=6 que queda del otro lado del origen sin incluir los
puntos del plano.
4) K ( x , y, z ) = log ( 1 − x 2 − y 2 )
Consta del interior de la circunferencia x +y =1 sin incluir la
2
2
frontera.
5) T ( x, y, z ) = x 2 + y 2 − 4
Son todos los puntos del plano externos a la circunferencia x +y =4.
2
6) Q ( x, y, z ) = log ( 4 − x 2 − y 2 − z 2 )
4
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
2
Teoría: Funciones varias variables
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Es el interior de la esfera con centro en el origen y radio 4 sin
incluir los puntos de la esfera.
La gráfica de una función de dos variables z = f ( x , y ) es la representación en el
espacio 3 de todas las combinaciones posibles de valores (x, y, z) siendo z la
imagen de (x, y) por la función f.
Como no es sencillo representar una función de dos variables, ya que su gráfica es
una superficie en R , pueden usarse conjuntos bidimensionales para obtener
3
información tridimensional a través de los conceptos de trazas y de curvas de nivel.
Dada una superficie S en R y un plano P cualquiera, la traza de S determinada por
3
P se define como la curva obtenida de S∩
∩P.
Las trazas más utilizadas además de las curvas de nivel para el análisis de
una superficie son los planos coordenados x=0 y y=0 ó planos paralelos a
ellos x=c y y=c.
Curvas de nivel
Para una función de dos variables, z = f ( x , y ) , la curva de nivel para z = k es el
conjunto de todos los pares de valores (x, y) tales que su imagen es el valor k .
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5
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Teoría: Funciones varias variable
Fundamentos Matemáticos I
Lineas de contorno
8
6
4
2
0
1
1
0
0
-1
-1
-2
-2
Ejemplo: Observa las curvas de nivel de f ( x, y ) = xy
6
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x 2 − y2
x 2 + y2
en las figuras siguientes.
Teoría: Funciones varias variables
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7
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Fundamentos Matemáticos I
Teoría: Funciones varias variable
Superficies de nivel
Para el caso de funciones de tres variables, como ya lo comentamos, es imposible
hacer su gráfica por lo que siguiendo la idea anterior buscamos obtener información
de un conjunto de dimensión cuatro a partir de conjuntos tridimensionales, las
superficies de nivel, que son una generalización de las curvas de nivel por lo que
podemos dar la siguiente definición:
Dada la función w=f(x,y,z), sus superficies de nivel se definen como los conjuntos
S={(x,y,z)/ f(x,y,z)=c}
Observa que los conjuntos definidos son superficies y al igual que para las curvas de
nivel, una función de tres variables tiene un número infinito de superficies de nivel
por lo que en la práctica (otra vez) sólo se toman algunas que sean representativas.
Así como las curvas de nivel sirven para señalar los puntos con la misma altitud,
misma presión, etc., las superficies de nivel también tienen aplicaciones físicas.
Por ejemplo, si V(x,y,z) representa el voltaje (o potencial) de un campo eléctrico en
el punto (x,y,z), entonces las superficies de nivel V(x,y,z)=c se dicen superficies
equipotenciales y representan a todos los puntos en el espacio con el mismo
potencial.
Por otra parte, cualquier gráfica de una función z=f(x,y), es una superficie de nivel,
basta considerar g(x,y,z)=z−f(x,y) y entonces la superficie de nivel g(x,y,z)=0 es la
gráfica de z=f(x,y). Es por esto que a las gráficas de este tipo de funciones o de las
ecuaciones de tres variables se les llama superficies.
8
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Teoría: Funciones varias variables
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Para trazar una superficie de nivel se usan sus trazas con planos de la forma x=c,
y=c y z=c.
Las superficies de nivel más importantes son las llamadas superficies cuadráticas y
es muy conveniente que las repases en cualquier libro de Geometría Analítica o de
Cálculo. Dichas superficies son elipsoides, conos elípticos, paraboloides elípticos,
paraboloides hiperbólicos, hiperboloides de uno y dos mantos, cilindros (o sábanas)
elípticos, parabólicos e hiperbólicos.
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9
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Teoría: Funciones varias variable
Ecuaciones
paramétricas
10
Ecuaciones implícitas
Plano
x = xo + ua1 + vb1
y = yo + ua2 + vb2
z = zo + ua 3 + vb3
Ax + By + Cz + D = 0
Cilindro
x = r cos u
y = rsenu
z =v
x 2 + y2 = r 2
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Gráfica
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Ecuaciones
paramétricas
Cono
(recto de sección
circular)
Esfera (centrado en
(0,0,0) y radio r
Ecuaciones implícitas
x = u cos v
y = usenv
z =u
z 2 = x 2 + y2
x = r sen u cos v
y = r sen u senv
z = r cos u
x 2 + y2 + z 2 = r 2
Gráfica
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Teoría: Funciones varias variable
Ecuaciones
paramétricas
Elipsoide
Paraboloide
(de sección circular)
12
x = a sen u cos v
y = b sen u senv
z = c cos u
Ecuaciones implícitas
x2
a
2
+
y2
b
2
+
z2
c2
=1
x = u c os v
y = u senv
z =u
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2
z = x 2 + y2
Gráfica
Teoría: Funciones varias variables
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Ecuaciones
paramétricas
Hiperboloide
x = Chu c os v
y = Shu senv
z = Shu
Ecuaciones implícitas
z 2 = x 2 + y2 − 1
Gráfica
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Teoría: Funciones varias variable
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Derivada direccional
Definición (Dirección).- Una dirección en 2 es cualquier vector de norma 1.
Su u es una dirección en el plano entonces se puede expresar como u = ( cos ϕ, senϕ )
siendo φ el ángulo que forma el vector con el eje positivo de las X.
Definición (Derivada direccional en un punto): Sea f una función de dos variables y
u una dirección. Se define la derivada direccional de f en el punto xo ( a, b ) en la
dirección de u como el valor del siguiente límite en el caso de que exista:
lim
(
)
( )=D f
f xo + tu − f xo
t →0
u
t
( xo ) = fu' ( xo )
Z
( z′ϕ ) (a,b) = tgα
z = f (x, y)
Y
α
ϕ
(a, b)
X
En el caso de que u = ( cos φ, senφ ) la derivada direccional se puede expresar
como:
lim
f ( a + t cos φ, b + tsenφ ) − f ( a, b )
t →0
14
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t
( )
( )
= Du f xo = fu' xo
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INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA: es la pendiente de la recta tangente a
la curva intersección de la superficie con el plano vertical que contiene a la
dirección dada.
Derivada parcial
Las derivadas parciales son derivadas direccionales según las direcciones e1 = ( 1, 0 ) y
e2 = ( 0,1 ) representan la razón de cambio de una función f con respecto a una de sus
variables independientes manteniendo constantes las demás. Este proceso es conocido
con el nombre de derivación parcial.
Definición (Derivadas parciales).- Si z = f ( x , y ) es una función de dos variables se
define la derivada parcial de f en el punto ( a, b )
con respecto a x como
fx' ( a, b ) = lim
∆x → 0
f ( a + ∆x , b ) − f ( a, b )
∆x
con respecto a y como
fy' ( a, b ) = lim
f ( a, b + ∆y ) − f ( a, b )
∆y → 0
∆y
siempre que los límites anteriores existan.
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA de las derivadas parciales.- Las
derivadas parciales no son más que derivadas de una función de una variable:
la función cuya gráfica se obtiene como intersección de la superficie con los
planos verticales x = a , y = b en los casos de derivada parcial
en la
dirección de y y en la dirección de x , respectivamente.
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S
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Teoría: Funciones varias variable
Fundamentos Matemáticos I
Z
b
∂z
= tgα
∂x (a,b)
y
z = f (x, y)
b
Y
a
(a, b)
α
X
Z
x=a
∂z
= tgβ
∂y (a,b)
z = f (x, y)
b
(a, b)
β
Y
a
X
Interpretación de la derivada Parcial respecto a x y respecto a y
NOTACIÓN: Para hacer referencia a la derivada parcial de la función z = f ( x , y )
respecto a la variable x e y se suelen utilizar las siguientes notaciones:
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fx' ( a, b ) =
∂z
(a,b ) = zx' (a, b )
∂x
fy' ( a, b ) =
∂z
(a,b ) = zy' (a,b )
∂y
Ejemplo:
DERIVADA PARCIAL
2
z = x +y
2
Punto: P ( 1,1 )
u = ( 0,1 )
DERIVADA PARCIAL
z = x 2 + y2
Punto: P ( 1,1 ) u = ( 1, 0 )
y =1
x =1
DERIVADA DIRECCIONAL
z = x 2 + y2
1 1
,
2 2
Punto: P ( 1,1 ) u =
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S
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Teoría: Funciones varias variable
IMPORTANTE:
•
Una función de dos variables puede ser continua en un punto y no ser
derivable parcialmente en él.
•
La existencia de derivadas parciales para las funciones de varias variables no
implica la continuidad de la función en el punto.
DERIVADAS PARCIALES de segundo orden:
z x' ( x + ∆x, y ) − z x' ( x , y )
∂ ∂x
∂ 2z
''
'
=
=
,
=
,
=
lim
z
x
y
f
x
y
( ) xx ( ) ∆x → 0
xx
∂x ∂x ∂x 2
∆x
z x' ( x , y + ∆y ) − z x' ( x, y )
∂ ∂x
∂ 2z
= z '' ( x, y ) = fxy ( x , y ) = lim
=
xy
∆y → 0
∂y ∂x ∂x ∂y
∆y
zy' ( x, y + ∆y ) − zy' ( x , y )
∂ ∂z
∂ 2z
''
z
x
y
f
x
y
=
=
,
=
,
=
lim
( ) yy ( ) ∆y → 0
yy
∂y ∂y ∂y 2
∆y
zy' ( x + ∆x , y ) − zy' ( x , y )
∂ ∂x
∂2z
= z '' ( x, y ) = fyx ( x, y ) = lim
=
yx
∆x → 0
∂x ∂y ∂y ∂x
∆x
TEOREMA DE SCHWARZ.- Sea z = f ( x , y ) es una función de dos variables. Si se
verifica que existen f , fx , fy , fxy , fyx y además fxy es continua en una región
abierta D entonces se cumple que en dicha región se da la igualdad de las
derivadas cruzadas de segundo orden.
Funciones diferenciables. Diferencial de una función de dos variables
Definición (Diferenciable y diferencial).- Sea z = f ( x , y ) una función definida y
acotada en un dominio D al cual pertenece xo = ( a, b ) y que tiene derivadas parciales
en dicho punto. Se dice que es diferenciable en xo si el incremento total:
∆z = f (a + ∆x, b + ∆y ) − f ( a, b )
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Teoría: Funciones varias variables
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correspondiente a los incrementos arbitrarios de ∆x e ∆y se puede expresar como
∆z =
∂f
∂f
(a, b ) ∆x + (a,b ) ∆y + ε ( ∆x , ∆y )
∂x
∂y
2
( ∆x )
2
+ ( ∆y )
cumpliendo que:
lim
( ∆x ,∆y )→( 0,0 )
ε ( ∆x , ∆y ) = 0
A la parte lineal en ∆x e ∆y se le llama diferencial de z = f ( x , y ) en xo = ( a, b ) y se
le denota,
dz =
∂z
∂z
dx +
dy .
∂x
∂y
TEOREMA (Condición necesaria de diferenciabilidad).- Si la función z = f ( x , y ) es
diferenciable en el punto ( a, b ) entonces es continua en ( a, b ) .
TEOREMA.- Si la función z = f ( x , y ) y una o las dos derivadas parciales primeras
son continuas en un entorno del punto
(a,b ) entonces la función es
diferenciable en dicho punto.
Plano tangente. Aproximación de la función por la diferencial
Sea S una superficie de ecuación z=f(x,y) diferenciable en (a,b) se puede
calcular el plano tangente a la superficie en el punto P(a, b, f(a,b)) como el
plano que pasa por P y sus vectores directores son los directores de las rectas:
x
=
a
+
t
x = a
r1 ≡ y = b
r2 ≡ y = b + t
∂f
∂f
z
=
f
a
,
b
+
a
,
b
⋅
t
( a, b ) ⋅ t
(
)
(
)
z = f ( a, b ) +
∂x
∂
y
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S
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Teoría: Funciones varias variable
Fundamentos Matemáticos I
∂f
v1 = 1, 0, ( a, b )
∂x
∂f
v2 = 0,1, ( a, b )
∂y
Por lo tanto un vector normal al plano tangente es:
i
j
k
∂f
∂f
∂f
(a, b ) = (a, b ) i + (a,b ) j − ⋅k
∂x
∂x
∂y
∂f
0 1
( a, b )
∂y
n = 1 0
La ecuación del plano tangente es entonces:
∂f
( x , y, z ) − (a, b, f (a, b ) ),
∂x
( a, b ) ,
∂f
(a,b ), −1 = 0
∂y
∂f
∂f
(a,b )( x − a ) + (a, b )( y − b ) − ( z − f (a, b ) ) = 0
∂x
∂y
z = f ( a, b ) +
∂f
∂f
(a,b )( x − a ) + (a,b )( y − b )
∂x
∂y
Si f es diferenciable
∆z = f (a + ∆x, b + ∆y ) − f ( a, b ) ≈
para ( ∆x , ∆y ) → ( 0, 0 )
20
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∂f
∂f
(a,b ) ∆x + (a,b ) ∆y
∂x
∂y
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Relación entre la diferenciabilidad y la derivada direccional
TEOREMA: Si una función es diferenciable existe la derivada direccional en
cualquier dirección.
TEOREMA.- Si z = f ( x , y ) es una función diferenciable en
(a,b ) entonces la
derivada direccional de f en la dirección del vector unitario u = ( cos φ, senφ ) es
Du f ( a, b ) = fx ( a, b ) cos φ + fy ( a, b ) senφ
Gradiente
Definición.- Si z = f ( x , y ) es una función de dos variables se define el gradiente de
f en el punto xo = ( a, b ) como el vector:
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S
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Teoría: Funciones varias variable
Fundamentos Matemáticos I
∇f ( a, b ) = fx (a, b ) i + fy ( a, b ) j
PROPIEDADES DEL GRADIENTE: Sea f una función diferenciable en el punto
(a,b ) . Se cumplen las siguientes propiedades:
(a)
Si el gradiente de f en ( a, b ) es el vector nulo entonces la derivada direccional
de f en cualquier dirección es cero.
(b)
La dirección de máximo crecimiento de f viene dada por ∇f ( x , y ) . El valor
máximo de la derivada direccional es ∇f ( x , y ) .
(c)
La dirección de mínimo crecimiento de f viene dada por −∇f ( x, y ) . El valor
mínimo de la derivada direccional es − ∇f ( x , y ) .
(d)
El vector gradiente es normal a las curvas de nivel.
2.5
2
7
2
3
6
1
3
5
5
2
4
1
6
3
4
1.5
1
0.5
1
2
4
0
1
4
2
-1
3
-0.5
3
5
4
6
-2.5
-2.5
3
7
-2
-2
5
2
-1.5
6
4
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
7
1.5
Curvas de nivel de la superficie z = x 2 + y 2
22
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2
2.5
Teoría: Funciones varias variables
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Regla de la cadena
REGLA DE LA CADENA.- Sea z = f ( x , y ) una función definida en un dominio D
siendo cada una de las variables x e y una función de la variable t
x = φ ( t ) , y = ψ ( t ) , to < t < t1
Si en el punto t existen las derivadas
dx
= φ ' (t )
dt
dy
= ψ ' (t )
dt
y para cada una de las variables x = φ ( t ), y = ψ ( t ) la función z = f ( x , y ) es
diferenciable entonces se tiene:
dz
∂z dx
∂z dy
=
+
dt
∂x dt
∂y dt
DERIVACIÓN COMPUESTA DE DOS VARIABLES.- Sea z = f ( x , y ) una
función definida en un dominio D siendo cada una de las variables x e y una
función de dos variables u y v
x = φ ( u, v ) , y = ψ ( u, v )
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S
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Teoría: Funciones varias variable
Si en el punto ( u, v ) existen las derivadas parciales continuas
∂x ∂x ∂y ∂y
,
,
,
∂u ∂v ∂u ∂v
y en el punto ( x, y ) la función es diferenciable entonces se tiene:
∂z
∂z ∂x
∂z ∂y
=
+
∂u
∂x ∂u
∂y ∂v
Derivación implícita
TEOREMA FUNCION IMPLÍCITA: Sea la ecuación F ( x , y ) = 0 . Dicha ecuación
define en un entorno del punto P (a, b ) a la variable y como función implícita de x ,
es decir, y = f ( x ) si:
El punto ( a, b ) pertenece a la curva de ecuación F ( x , y ) = 0
Las derivadas parciales Fx' ( x , y ) y Fy' ( x, y ) son funciones continuas en un
entorno del punto ( a, b )
Fy' ( x , y ) ≠ 0
NOTA: En el caso de que se cumplan los dos primeros puntos y el tercero se
sustituya por Fx' ( x , y ) ≠ 0 entonces es la x la que se define como función
implícita de y , es decir, x = h ( y ) .
24
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En trazo continuo:
2
(x 2 + y2 )
En trazo discontinuo:
2
( x 2 + y2 )
= x 2 − y2
= 2xy
TEOREMA.- Si la ecuación F ( x , y ) = 0 define a y como función derivable de
x entonces:
Fx ( x , y )
dy
=−
, Fy ( x, y ) ≠ 0
dx
Fy ( x , y )
Demostración: Basta derivar F ( x , y ) = 0 respecto a x aplicando la regla de la
cadena:
Fx + Fy
dy
=0
dx
TEOREMA FUNCION IMPLÍCITA: Sea la ecuación F ( x , y, z ) = 0 . Dicha ecuación
define en un entorno del punto P ( a, b, c ) a la variable z como función
implícita de x e y es decir, z = f ( x , y ) si:
El punto ( a, b, c ) pertenece a la superficie de ecuación F ( x , y, z ) = 0
Las derivadas parciales Fx' ( x , y, z ) , Fy' ( x , y, z ) y Fz' ( x , y, z ) son funciones
continuas en un entorno del punto ( a, b, c )
Fz' ( a, b, c ) ≠ 0
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Teoría: Funciones varias variable
TEOREMA.- Si la ecuación F ( x , y, z ) = 0 define a z como función diferenciable
de x e y entonces:
Fx ( x, y, z )
∂z
=−
, Fz ( x , y, z ) ≠ 0
∂x
Fz ( x , y, z )
Superficie implícita de ecuación:
Fy ( x, y, z )
∂z
=−
, Fz ( x, y, z ) ≠ 0
Fz ( x, y, z )
∂y
xy − yz − zx − y = 1
OTROS EJEMPLOS:
z2 +
0.8z 2 − log ( 0.8 ( z 2 + 0.3 ) ) = x 2 + y 2
26
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(
x 2 + y2 − 2
2
)
=1
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−5 ( x 2y + x 2z + y 2x + y 2z + z 2y + z 2x ) + 2 ( xy + xz + yz ) = 0
Superficies
implícitas:
Plano
tangente:
Sea
S
una
superficie
de
ecuación
F ( x , y, z ) = C y sea Po un punto de S donde F es diferenciable. La ecuación del
plano tangente a S en Po ( xo , yo , zo ) es:
Fx ( xo , yo , zo )( x − xo ) + Fx ( xo , yo , zo )( y − yo ) + Fz ( xo , yo , zo )( z − zo ) = 0
y las ecuaciones paramétricas de la recta normal a S en Po ( xo , yo , zo ) son
x = xo + Fx ( xo , yo , zo ) ⋅ t
y = yo + Fy ( xo , yo , zo ) ⋅ t
z = zo + Fz ( xo , yo , zo ) ⋅ t
siempre y cuando no sean simultáneamente cero todas las derivadas parciales en el
punto.
Fórmula de Taylor
En este apartado generalizamos la fórmula de Taylor vista para funciones de una
variable. Como es sabido si y = f ( x ) es una función de una variable con derivadas
de cualquier orden en un entorno del punto x = a , la fórmula de Taylor en este
punto viene dada por:
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f '' ( a )
f ( x ) = f (a ) + f ' ( a )( x − a ) +
2!
2
(x − a )
+ ... +
f (n ( a )
n!
n
(x − a )
+ Rn
n
donde Rn es un infinitésimo de orden superior a ( x − a ) , es decir,
Rn
lim
x →a
n
=0
(x − a )
Utilizando la expresión del resto de Lagrange se tiene que
Rn =
f (n +1 ( c )
( n + 1) !
n +1
(x − a )
siendo c un punto intermedio entre a y x .
La generalización de la fórmula anterior para una función de dos variables,
z = f ( x , y ) , que admite derivadas parciales de cualquier orden en un entorno de
(a,b ) viene dada por :
1
f ( x, y ) = f (a, b ) + fx (a, b )( x − a ) + fy ( a, b )( y − b ) +
+
1
2
2
fxx ( a, b )( x − a ) + fyy ( a, b )( y − b ) + 2 fxy ( a, b )( x − a )( y − b ) + R2
2!
donde R2 es un infinitésimo verificando:
lim
( x ,y )→(a,b )
R2
( x − a, y − b )
2
=0
Haciendo
x = a + ∆x ⇔ x − a = ∆x
y = b + ∆y ⇔ y − b = ∆y
1
Con objeto de no complicar la notación se ha considerado únicamente la fórmula de Taylor
de orden 2 pudiendo generalizarse fácilmente a cualquier orden.
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la expresión de la fórmula de Taylor es:
f ( a + ∆x, b + ∆y ) = f ( a, b ) + fx ( a, b ) ∆x + fy (a, b ) ∆y +
+
1
2
2
fxx ( a, b )( ∆x ) + fyy ( a, b )( ∆y ) + 2 fxy ( a, b ) ∆x ∆y + R2
2!
Esta expresión puede escribirse de la manera siguiente:
x = ( a + ∆x, b + ∆y )
x o = ( a, b )
1 f x = f xo + ∇f xo , x − xo + x − xo
2
()
( )
( )
(
T
)
⋅ Hf xo ⋅ x − xo + R2
( )(
)
donde
Hf xo =
( )
∂2 f
2
∂x
∂2 f
∂x ∂y
(x )
x
( )
o
o
∂2 f
x
∂y ∂x o fxx
=
∂2 f f
xo yx
∂y 2
( )
( )
( x )
(x )
o
o
fxy xo
fyy xo
( )
( )
se llama matriz hessiana. El término entre corchetes se le denomina diferencial
segunda y escribiendo dx = ∆x, dy = ∆y se tendrá:
d 2 f = fxx ( a, b )dx 2 + fyy ( a, b )dy 2 + 2 fxy ( a, b ) dxdy =
f ( a, b ) fxy ( a, b ) dx
= ( dx dy ) xx
fxy ( a, b ) fyy ( a, b ) dy
Definición de extremos. Puntos críticos
Definición (Extremos absolutos).- Sea z = f ( x , y ) una función definida en una región
D y sea ( a, b ) ∈ D se dice que
(a) f (a, b ) es un valor máximo absoluto de f en D si
f ( a, b ) ≥ f ( x , y ) ∀ ( x , y ) ∈ D
(b) f (a, b ) es un valor mínimo absoluto de f en D si
f ( a, b ) ≤ f ( x , y ) ∀ ( x , y ) ∈ D
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Fundamentos Matemáticos I
Teoría: Funciones varias variable
Definición (Extremos relativos).- Sea z = f ( x , y ) una función definida en una región
D y sea ( a, b ) ∈ D se dice que
(a) f (a, b ) es un valor máximo relativo de f en D si existe un entorno B ( a, b ) tal
que
f ( a, b ) ≥ f ( x , y ) ∀ ( x , y ) ∈ B
(b)
f (a, b ) es un valor mínimo relativo de f en D si existe un entorno B ( a, b )
tal que
f ( a, b ) ≤ f ( x , y ) ∀ ( x , y ) ∈ B
30
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Teoría: Funciones varias variables
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
TEOREMA DE WEIERSTRASS.- Si z = f ( x , y ) una función continua en un
subconjunto de D de 2 acotado y que contiene a su frontera entonces la función f
tiene máximo y mínimo en D .
Definición (Punto crítico).- Sea z = f ( x , y ) una función definida en una región D y
sea ( a, b ) ∈ D se dice que es un punto crítico si se cumple una de las afirmaciones
siguientes:
(1)
(a,b ) está situado en el contorno de D. A estos puntos se les llama puntos
frontera.
(2) fx (a, b ) = fy ( a, b ) = 0 , es decir, ∇f (a, b ) = 0 . A estos puntos se les llama
estacionarios.
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S
31
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Teoría: Funciones varias variable
(3) no existe fx (a, b ) ó fy ( a, b ) . A estos puntos se les llama singulares.
TEOREMA.- Si f (a, b ) es un extremo relativo de f en una región abierta de D
entonces el punto ( a, b ) es un punto crítico de f .
Condición necesaria para la existencia de extremo de funciones diferenciables
TEOREMA.- Sea z = f ( x , y ) una función diferenciable en D. Es condición necesaria
para la existencia de un extremo relativo de f en ( a, b ) ∈ D que se verifique
fx (a, b ) = fy ( a, b ) = 0
32
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Teoría: Funciones varias variables
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
IMPORTANTE.- Es condición necesaria pero no suficiente. Basta tomar como
ejemplo la función f ( x, y ) = y 2 − x 2 que cumple que ( 0, 0 ) es un punto estacionario y
sin embargo no es extremo relativo (ni máximo ni mínimo).
En efecto, se cumple
fx ( x , y ) = −2x
fy ( x , y ) = 2y
→ fx ( 0, 0 ) = 0
→ fy ( 0, 0 ) = 0
y sin embargo el punto (0,0) no es ni máximo ni mínimo.
f ( 0, 0 ) = 0
f ( x, 0 ) = −x 2 < 0
f ( 0, y ) = y 2 > 0
Luego en todo entorno del punto (0, 0) existen puntos (x, y) cumpliendo
f ( x, y ) > f ( 0, 0 ) y puntos (x, y) cumpliendo f ( x, y ) < f ( 0, 0 ) . La siguiente imagen
muestra la gráfica de la función
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S
33
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Teoría: Funciones varias variable
Fundamentos Matemáticos I
Cálculo de los extremos relativos de una función de dos variables z=f(x,y)
Teniendo en cuenta la fórmula de Taylor
f ( a + ∆x, b + ∆y ) = f ( a, b ) + fx ( a, b ) ∆x + fy (a, b ) ∆y +
+
1
2
2
fxx ( a, b )( ∆x ) + fyy ( a, b )( ∆y ) + 2 fxy ( a, b ) ∆x ∆y + R2
2!
si (a, b) es un punto cumpliendo fx (a, b ) = fy ( a, b ) = 0 se tendrá que:
f ( a + ∆x, b + ∆y ) − f ( a, b ) =
+
1
2
2
fxx ( a, b )( ∆x ) + fyy ( a, b )( ∆y ) + 2 fxy ( a, b ) ∆x ∆y + R2
2!
Considerando ∆x e ∆x suficientemente pequeños se cumple que:
signo ( f ( a + ∆x , b + ∆y ) − f ( a, b ) ) =
2
2
= signo fxx ( a, b )( ∆x ) + fyy ( a, b )( ∆y ) + 2 fxy ( a, b ) ∆x ∆y
y como
d 2 f = fxx ( a, b )dx 2 + fyy ( a, b )dy 2 + 2 fxy ( a, b ) dxdy =
f ( a, b ) fxy ( a, b ) dx
= ( dx dy ) xx
fxy ( a, b ) fyy ( a, b ) dy
34
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Teoría: Funciones varias variables
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
se trata de determinar el signo de la diferencial segunda o equivalentemente si la
matriz hessiana es definida positiva o negativa
Método práctico: Los pasos a seguir son:
(1) Cálculo de los puntos críticos como solución del sistema
fx ( x , y ) = 0
fy ( x, y ) = 0
(b) Si (a, b) es un punto crítico el estudio del hessiano
H =
fxx ( a, b ) fxy ( a, b )
fyx ( a, b ) fyy ( a, b )
nos permitirá concluir:
H > 0 fxx ( a, b ) > 0
⇒
H > 0 fxx ( a, b ) < 0
⇒
H <0
⇒
( a, b )
( a, b )
( a, b )
mínimo relativo
máximo relativo
punto de silla
Cálculo de los extremos relativos de una función de n variables
Los pasos a seguir son:
(1) Cálculo de los puntos críticos como solución del sistema
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S
35
Ingeniería de Telecomunicación
Teoría: Funciones varias variable
Fundamentos Matemáticos I
fx
2
....................................
fx ( x1, x 2 ,..., x n ) = 0
n
fx
1
( x1, x 2 ,..., xn ) = 0
( x1, x 2 ,..., xn ) = 0
(2) Si (a , a ,...,a ) es un punto crítico construimos
1
2
n
fx x
1 1
f
d 2 f = x 2x1
...
fx x
n 1
fx x
1 2
fx x
2 2
...
fx
nx2
... fx x
1 n
... fx x
2 n
... ...
... fx x
n n
si d 2 f es definida positiva el punto (a , a ,...,a ) es un mínimo
1
2
n
relativo
si d 2 f es definida negativa entonces el punto (a , a ,...,a ) es
1
2
n
un máximo relativo
si d 2 f no es definida ni semidefinida en el punto de
coordenadas (a , a ,...,a ) no hay punto extremo.
1
2
si d f
2
n
es semidefinida no puede afirmarse nada y hay que
recurrir a la definición.
a11 a12
a
a
Sea A = 21 22
... ...
an 1 a n 2
... a1n
... a2n
se definen las submatrices siguientes obtenidas a
... ...
... ann
partir de la matriz A
a11 a12 a13
a11 a12
A1 = ( a1 ) , A2 =
, A3 = a21 a22 a23 ,... ,
a21 a22
a 31 a 31 a 33
a11 a12 ... a1n
a
21 a22 ... a2n
= A
An =
... ... ... ...
an 1 an 2 ... ann
Llamamos ∆n = det ( An ) y estudiamos el signo de estos determinantes:
∆1, ∆2 , ∆3 ,..., ∆n , entonces:
36
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Teoría: Funciones varias variables
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
•
[+,+,+,+,…,+] MÍNIMO RELATIVO
•
[+, - ,+, - ,…] MÁXIMO RELATIVO
Extremos condicionados
Hasta este momento se han calculado los extremos locales de funciones cuyas
variables no están ligadas por ninguna condición. Sin embargo, muchos
problemas de optimización presentan restricciones o condiciones que debe
verificar la solución.
Un extremo (máximo o mínimo) de la función f ( x, y ) cuando
( x, y ) está sobre una
curva del plano contenida en el dominio de f , cuya ecuación es g ( x , y ) = 0 , se dice
que es un extremo condicionado a la condición o restricción g ( x , y ) = 0 .
Por ejemplo:
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S
37
Ingeniería de Telecomunicación
Teoría: Funciones varias variable
Fundamentos Matemáticos I
El método de Lagrange
i2
permite hallar analíticamente los puntos extremos
condicionados de una función suave, es decir, con derivadas parciales continuas.
Sea
F(x,y) la función
por
la ecuación
objetivo. Supongamos que (x,y)
g(x,y) = K.
Las funciones
F y g son
están condicionadas
suaves.
TEOREMA (Método de Lagrange para funciones de dos variables y una condición).Sean f y g dos funciones con derivadas parciales continuas tal que f tiene un
máximo o mínimo sujeto a la restricción dada por g ( x , y ) = 0 entonces dicho
extremo se producirá en uno de los puntos críticos de la función F dada por
F ( x , y, λ ) = f ( x , y ) + λg ( x , y )
Al número λ (lambda) se le llama "multiplicador de Lagrange".
OBSERVACIÓN.- Según este teorema, los extremos libres de F coinciden con los
extremos condicionados de f .
2
El método lo realizó uno de los matemáticos más grandes del siglo XVIII, Joseph Lagrange,
cuando tenía 19 años.
38
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Ingeniería de Telecomunicación
Teoría: Funciones varias variables
Fundamentos Matemáticos I
Para analizar si el punto crítico ( a, b, λo ) obtenido del sistema
Fx = 0
fx + λgx = 0
Fy = 0 ⇒ fy + λgy = 0
Fλ = 0
g
x
,
y
=
0
(
)
es máximo o mínimo se analiza el signo de la diferencial segunda de F en el
punto ( a, b )
signo d 2F = signo ( Fxx dx 2 + Fyydy 2 + 2Fxydxdy )
(a,b )
estando ligadas dx y dy por la condición:
gx dx + gydy = 0
Nota: Si detectas algún error o errata ponte en contacto con la profesora para su
corrección.
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S
39
Matemáticas
1
1
EJERCICIOS RESUELTOS:
Números Complejos
Elena Álvarez Sáiz
Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación
Universidad de Cantabria
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Números Complejos
Fundamentos Matemáticos I
Interpretación geométrica de la suma y el producto
1
Si z1 y z 2 son complejos, ¿qué representa el número
z1 + z 2
2
. ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos
λz1 + µz 2 si λ y µ son reales y verifican λ + µ = 1 ?
Solución:
Gráficamente el afijo del número complejo
z1 + z 2
2
=
x1 + x 2
2
+i
y1 + y2
2
representa el punto medio del vector que une el origen con el afijo del número
complejo z1 + z 2
•
Los puntos de la forma λz1 + µz 2 son los puntos de la recta
λz1 + µz 2 = ( 1 − µ ) z1 + µz 2 = z1 + µ ( z 2 − z1 )
es decir, la recta que pasa por z1 y cuyo vector director es z 2 − z1 .
2
Demuéstrese que si los puntos z1 , z 2 , z 3 son los vértices de un triángulo equilátero, entonces:
z12 + z 22 + z 32= z1z 2 + z1z 3 + z 2z 3
z 3 − z1
z 2 − z1
z1 − z 2
z 3 − z2
=
z 3 − z1 e
z 2 − z1 e
=
z1 − z 2 e
i arg(z 3 −z1 )
i arg(z 2 −z1 )
=e
π
i arg( z1 −z 2 )
z 3 − z2 e
i arg( z 3 −z1 )
=e
3
π
ya que
arg ( z 3 − z1 ) = arg ( z 2 − z1 ) +
2
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π
3
3
i
i
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Números Complejos
Fundamentos Matemáticos I
π
= arg ( z1 − z 2 )
3
arg ( z 3 − z 2 ) +
Por lo tanto,
z 3 − z1
z 2 − z1
=
z1 − z 2
z 3 − z2
⇒ z 32 − z1z 3 − z 2z 3 + z 2z1 = z 2z1 − z 22 − z12 + z1z 2 ⇒
⇒
z12 + z 22 + z 32 = z1z 2 + z1z 3 + z 2z 3
Veamos si es cierto o no el recíproco, es decir, veamos si es cierto que dados z1 , z 2 , z 3 son
z12 + z 22 + z 32= z1z 2 + z1z 3 + z 2z 3
los tres diferentes verificando
entonces forman un
triángulo equilátero.
Se realiza la traslación del triangulo llevando zo al origen: z * = z − z1 . Los números son
ahora:
{ 0, z 2 − z1, z 3 − z1 } = { 0, z 2*, z 3* }
Entonces, la igualdad z12 + z 22 + z 32= z1z 2 + z1z 3 + z 2z 3 se transforma en
z 2*z 3* = z 2*2 + z 3*2
despejando
z 3*2 − z 2* z 3* + z 2*2 = 0
⇒ z 3* =
⇒
resolvemos
la ecuación
de segundo
grado en z 3*
1 *
z2 ±
2
(
Esto significa que z 3* es z 2* girado
π
3
3i z 2*
3
1 *
z 2 + z 2*2 − 4z 2*2
2
(
)
⇒
1 1
⇒ z 3* = z 2* ±
3i
2 2
radianes (60 grados) y como
{ 0, z 2*, z 3* }
{ z1, z2* + z1, z2* + z1 − z1 } = { z1, z 2, z 3 } .
que z 3* = z 2* . Por lo tanto,
)
z 3* =
1 1
±
3 i = 1 se tiene
2 2
forman un triángulo equilátero lo que significa que
Un triangulo equilátero tiene su centro en el origen y un vértice en el punto (1,0). Determinar los otros
dos vértices.
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S
3
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Números Complejos
Fundamentos Matemáticos I
Los ángulos que forman dos lados de un triángulo equilátero son de
avanzar
π
radianes, luego hay que
3
π π
2π
+ =
. Por lo tanto, como uno de los vértices es z1 = 1 = e 2πi , se tiene que
2
3
3
z 2 = e 2πie
z 3 = e 2πie
2 πi
2 πi
3e
3
2 πi
=e
3
2 πi
=e
3
4 πi
= cos
3
2π
2π
−1
3
+ isen
=
+
i
3
3
2
2
= cos
4π
4π
−1
3
+ isen
=
−
i
3
3
2
3
son los otros dos. En forma binómica
3 −1
3
(1, 0), −1 ,
,
,−
2
2 2 2
Otra forma: Podía haberse resuelto el problema observando si los afijos de z1 , z 2 , z 3 forman
un triángulo equilátero entonces
z1 = z 2 = z 3
y el ángulo entre 0z1 y 0z 2 es el mismo que entre 0z 2 y 0z 3 y el mismo que entre 0z 2 y
0z1 . Por esta razón los tres vértices son las tres raíces cúbicas de la unidad. En efecto,
3
1 =e
2k π
i
3
k = 0,1, 2 ⇒ z1 = e 0i , z 2 = e
2π i
3 ,
z3 = e
4π i
3
Coordenadas complejas conjugadas
4
Hállese la ecuación de la circunferencia
a(x 2 + y 2 ) + 2bx + 2cy + d = 0
en función de las coordenadas complejas conjugadas (es decir, en función de z y de su conjugado)
Sea z = x + iy y z = x − iy entonces
z +z
=x
2
z −z
=y
2i
x 2 + y2 = z
Sustituyendo en la ecuación dada de la circunferencia
4
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2
= zz
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Números Complejos
Fundamentos Matemáticos I
z + z
+ 2c z − z + d = 0 ⇔ az z + bz + bz − ciz + ciz + d = 0 ⇔
a(z z ) + 2b
2
2i
⇔ azz + z (b − ci ) + z (b + ci) + d = 0
Módulo
5
Indicar si es correcto o falso el enunciado siguiente, razonando la respuesta:
Sean z1, z 2 ∈ de módulo 1, entonces
z 1 + z 2 = 2 ⇔ z1 = z 2
⇒
Como z1, z 2 ∈ de módulo 1, llamando φ = arg ( z1 ) y ψ = arg ( z 2 ) en forma
exponencial serán z1 = e iφ y z 2 = e iψ . Luego,
z1 + z 2 =
=
( z1 + z2 )( z1 + z 2 ) = ( z1 + z2 )( z1 + z 2 ) =
z1 z1 + z1 z 2 + z 2 z1 + z 2 z 2 =
2 + z1 z 2 + z 2 z1
En consecuencia,
z1 + z 2 = 2 ⇔ 2 + z1 z 2 + z 2 z1 = 4 ⇔
(
⇔ Re e
i ( φ−ψ )
)=1
z1 z 2 + z 2 z1
2
(
)
= 1 ⇔ Re z1 z 2 = 1 ⇔
⇔ cos ( φ − ψ ) = 1 ⇔ φ = ψ + 2k π
y, por tanto, como z1 = e iφ y z 2 = e iψ la última afirmación es lo mismo que decir,
z1 = z 2 .
⇐
La implicación en el sentido ⇐ es trivial ya que
si z1 = z 2 entonces z1 + z 2 = 2z1 , y, por tanto z1 + z 2 = 2 z1 = 2
Otra forma.- También puede realizarse la demostración simplemente operando en forma
binómica. Teniendo en cuenta que z1 y z 2 son de módulo unidad su representación es
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S
5
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Números Complejos
Fundamentos Matemáticos I
z1 = cos φ + isenφ
z 2 = cos ψ + isen ψ
se cumplirá
2 = z1 + z 2 =
2
2
( cos φ + cos ψ )
+ ( senφ + sen ψ )
operando,
cos2 φ + cos2 ψ + 2 cos φ cos ψ + sen 2φ + sen 2 ψ + 2senφsen ψ =
2=
2 + 2 ( cos φ cos ψ + senφsen ψ ) =
=
2 1 + cos ( φ − ψ )
Luego,
2 = z1 + z 2 ⇔ 4 = z 1 + z 2
2
⇔ 1 = cos ( φ − ψ ) ⇔
⇔ ϕ − ψ = 2k π ⇔ ϕ = ψ + 2k π
⇔
por hipótesis
z 1 = z 2 =1
z1 = z 2
y, por tanto z1 = z 2 .
6
Dos números complejos no nulos son tales que z1 + z 2 = z1 − z 2 . Probar que
z1
Método 1.- Por hipótesis,
z1 + z 2 = z1 − z 2
z1 + z 2
2
= z1 − z 2
2
( z1 + z2 )( z1 + z2 ) = ( z1 − z 2 )( z1 − z 2 )
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
z 1 z 1 + z 1 z 2 + z 2 z 1 + z 2 z 2 = z1 z1 − z 1 z 2 − z 2 z 1 + z 2 z 2 ⇔
(
)
(
)
2 z1 z 2 + z 2 z1 = 0 ⇔ Re z1 z 2 = 0
⇔
luego
z2
z1
=
z 2 z1
=
z1 z1
(
(
)
(
Re z 2 z1 + i Im z 2 z1
z1
)
2
donde se ha aplicado que Re z1 z 2 = 0 y, por tanto,
6
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) = i Im ( z2 z1 )
z1
z1
z2
2
es imaginario.
z2
es imaginario.
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Números Complejos
Fundamentos Matemáticos I
Método 2.- Sea
z1 = a + bi
z2
z1
=
z 2 = c + di
(c + di )(a − bi ) ca + db + i (da − cb) ca + db da − cb
=
=
+i
(a + bi )(a − bi )
a 2 + b2
a 2 + b2
a 2 + b2
(1)
Por otro lado, por hipótesis
z1 + z 2 = z1 − z 2
luego,
( a + c ) + i (b + d )
= ( a − c ) + i (b − d )
⇔
2
+ (b + d )2 = (a − c )2 + (b − d )2 ⇔
(a + c )
⇔ a 2 + c 2 + 2ac + b 2 + d 2 + 2bd = a 2 + c 2 − 2ac + b 2 + d 2 − 2bd ⇔
⇔ 4ac = −4bd ⇔ ac = −bd
Finalmente, sustituyendo en (1)
z2
z1
=i
da − cb
a 2 + b2
que demuestra que es un número imaginario puro.
7
Calcular el valor de a y b para que
3b − 2ai
sea real y de módulo unidad
4 − 3i
Operando
z =
•
(3b − 2ai )(4 + 3i ) 12b − 8ai + 9bi + 6a
12b + 6a
9b − 8a
=
=
+i
(4 − 3i )(4 + 3i )
16 + 9
25
25
Si se quiere que sea real
9b − 8a
= 0 ⇒ 9b − 8a = 0
25
•
⇒ b=
8a
9
Si además es de módulo uno
12b + 6a
96a
2
= 1 ⇒ 12b + 6a = 25 ⇒
+ 6a = 25 ⇒ a =
25
9
3
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S
7
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Ejercicios: Números Complejos
Fundamentos Matemáticos I
Luego, los valores pedidos son
a =
2
4
b=
3
3
Lugares geométricos
8
Describir los conjuntos de puntos del plano determinados por las siguientes ecuaciones
(a)
z − 2i ≤ 1
Sea z = a + bi entonces z − 2i = a + (b − 2)i , se cumplirá
z − 2i ≤ 1 ⇔
a 2 + (b − 2)2 ≤ 1 ⇔ a 2 + (b − 2)2 ≤ 1
El conjunto buscado es el interior del círculo de centro (0,2) y radio 1.
(b)
z −2 > z −3
Sea z = x + iy entonces z − 2 = (x − 2) + iy y z − 3 = (x − 3) + iy , sus módulos
z −2 =
(x − 2)2 + y 2
z −3 =
(x − 3)2 + y 2
y por tanto,
z −2 > z −3
⇔ (x − 2)2 + y 2 > (x − 3)2 + y 2 ⇔
⇔ x 2 + 4 − 4x + y 2 > x 2 + 9 − 6x + y 2 ⇔
2x > 5 ⇔ x > 5
2
La solución es el conjunto
R = { x + i y / x > 5 / 2, x , y ∈ ℜ }
(c)
z − 1 + z + 3 = 10
Forma 1: Por definición de elipse se trata de una elipse de focos los puntos 1 y =3 y semieje
mayor 5
8
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Ejercicios: Números Complejos
Fundamentos Matemáticos I
Forma 2: Sea z = x + iy , entonces z − 1 = (x − 1) + iy , z + 3 = (x + 3) + iy , luego
z − 1 + z + 3 = 10
2
( x − 1)
⇔
2
+ y2 +
(x + 3)
+ y 2 = 10
Pasando una de las raíces al segundo miembro y elevando al cuadrado
2
( x − 1)
+ y 2 = 10 −
2
+ y2
2
(x + 3)
2
x 2 + 1 − 2x + y 2 = 100 + (x + 3)2 + y 2 − 20
−8x − 108 = −20
2x + 27 = 5
2
(x + 3)
2
(x + 3)
+ y2
+ y2
(x + 3)
+ y2
(
2
Elevando nuevamente al cuadrado,
2
( 2x + 27 )
= 25 ( x + 3 ) + y 2
)
4x 2 + 27 2 +108x = 25(x + 3)2 + y 2 = 25(x 2 + 9 + 6x + y 2 )
21x 2 + 42x + 25y 2 = 504
Completando cuadrados
21(x 2 + 2x ) + 25y 2 = 504
21 ( (x + 1)2 − 1 ) + 25y 2 = 504
21(x + 1)2 + 25y 2 = 525
Se trata de la elipse
(x + 1)2
y2
+
=1
525
525
21
25
⇔
(x + 1)2
+
52
y2
=1
21
(d) z z > 4
Sea z = x + iy , z = x − iy entonces
zz > 4 ⇔
( x + iy )( x − iy ) = x 2
+ y2 = z
2
>4
⇔
z >2
Luego z z > 4 es la región del plano exterior de la circunferencia de centro (0,0) y radio 2.
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S
9
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Números Complejos
Fundamentos Matemáticos I
(e)
z − 3i = 4
Sea z = x + iy , z − 3i = x + i(y − 3) entonces
z − 3i = 4
⇔
x 2 + (y − 3)2 = 16
Se trata de la circunferencia de centro (0,3) = 3i y radio 4.
(f)
z < 1, Im z > 0
Se trata del conjunto
{ x + iy / x 2 + y 2 < 1
, y > 0}
es decir, del interior del semicírculo superior de radio 1.
(g)
2
z2 + z = 1
Sea z = x + iy , z = x − iy , entonces
π i
6
e
1 ± 3i
z4 + 1 = z2 ⇔ z4 − z2 + 1 = 0 ⇔ z2 =
= π
− i
2
e 6
Luego:
π i
π i
e 12
e 6 = π
+ π i
e 12
z =
− π i
12
−π i
e
e 6 =
− π + π i
e 12
9
Consideremos el número complejo:
1
2 + cos t + isent
Probar que cuando “t” varia en los numeros reales, z se mueve sobre la circunferencia cuyo diámetro es el
z = x + iy =
segmento que uno los puntos (1/3,0),(1,0).
10
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Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Números Complejos
Fundamentos Matemáticos I
Calculamos en primer lugar la expresión de x y de y en función de t . Multiplicando por el
conjugado del denominador
1(2 + cos t − isent )
=
(2 + cos t + isent )(2 + cos t − isent )
=
2 + cos t
2
2
(2 cos t ) + sen t
−i
sent
2
4 + cos t + 4 cos t + sen
2t
=
2 + cos t
sent
−i
5 + 4 cos t
5 + 4 cos t
Luego
x =
2 + cos t
5 + 4 cos t
−sent
5 + 4 cos t
y =
Para comprobar que ( x, y ) está en la circunferencia de centro ( a, b ) y radio r basta verificar
que
2
(x − a )
2
+ ( y − b ) = r 2 . En nuestro caso
2
(a,b ) = 3 , 0
y r =
1
. Es evidente que
3
cualquier punto de la forma
2 + cos t
−sent
,
5 + 4 cos t 5 + 4 cos t
cumple la ecuación de la circunferencia. En efecto,
2
2
x − 2 + y 2 = 2 + cos t − 2 + −sent =
5 + 4 cos t 3
5 + 4 cos t
3
2
=
( 6 + 3 cos t − 10 − 8 cos t )
2
9 ( 5 + 4 cos t )
2
( −4 − 5 cos t ) + 9sen 2t
=
2
9 ( 5 + 4 cos t )
=
=
+
sen 2t
(5 + 4 cos t )2
=
16 + 25 cos2 t + 40 cos t + 9sen 2t
25 + 16 cos2 t + 40 cos t
9(5 + 4 cos t )2
9(5 + 4 cos t )2
=
2
1 1
= =
9 3
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S
11
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Números Complejos
Fundamentos Matemáticos I
Potencias de exponente natural
10
Escribir en forma binómica el complejo:
1 + cos x + isenx n
z =
1 + cos x − isenx
Método 1.- Sea
z1 = 1 + cos x + isenx = 1 +
=1+
e 2ix + 1
2e ix
+
e 2ix − 1
2e ix
z1 = 1 + cos x − isenx = 1 +
=1+
e 2ix + 1
2e ix
−
e ix + e −ix
e ix − e −ix
+i
=
2
2i
= 1 + e ix
e ix + e −ix
e ix − e −ix
−i
=
2
2i
e 2ix − 1
2e ix
= 1 + e −ix
Por lo tanto,
z n
1 + e ix
z = 1 =
z
1 + e −ix
1
n
n
−ix
ix
= e ( 1 + e ) = e inx
(e ix + 1 )
z1 = 1 + cos x + isenx
z1 = 1 + cos x − isenx
Método 2.- Sea
entonces
z n
z1n z1n
zn
z = 1 = 1 =
n
n
z
1
z1
z1 z1n
Si consideramos que en forma exponencial la expresión de z1 es re
z =
z1n z1n
n
z1 z1n
12
=
z12n
r 2n
iθ
se tiene
2n
r ( cos θ + isen θ ) 2n
= r ( cos 2n θ + isen 2n θ )
=
r 2n
r 2n
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Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Números Complejos
Fundamentos Matemáticos I
Simplificando,
z = cos 2n θ + isen 2n θ
Para obtener la expresión en función de x se considera que
θ = arctg
x x
senx
1 − cos2 x
1 − cos x
= arctg
= arctg
= arctg tg =
2 2
2
1 + cos x
1 + cos x
(1 + cos x )
donde se ha utilizado
1 − cos x = 2sen 2
x
2
1 + cos x = 2 cos2
x
2
Por lo tanto,
z n
z = 1 = cos 2n θ + isen 2n θ = cos nx + isen nx
z
1
11
Sabiendo que z +
1
1
= 2 cos t , t ∈ , z ∈ , hallar lo más simplificado posible z n +
z
zn
Se tiene que
z+
1
= 2 cos t ⇒ z 2 + 1 = 2z cos t ⇒ z 2 − ( 2 cos t ) z + 1 = 0
z
⇒ z =
1
(2 cos t ±
2
4 cos2 t − 4 = cos t ±
⇒
cos2 t − 1 = cos t ± isent
Por lo tanto, z n = cos nt ± isennt . Por otro lado,
1
1
cos t ∓ isent
=
=
= cos t ∓ sent
z
cos t ± isent
cos2 t + sen 2t
⇒
1
zn
= cos tn ∓ sentn
La expresión que nos piden simplificar será
zn +
1
z
n
= cos nt ± isennt + cos nt ∓ isennt
⇒ zn +
1
zn
= 2 cos nt
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S
13
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Números Complejos
Fundamentos Matemáticos I
Raíces enésimas
12
Calcular z =
6
1−
3i
Calculando su módulo y argumento
r = z =
1+3 = 2
− 3
π
=−
1
3
φ = arg ( z ) = arctg
se tiene que sus raíces sextas son:
zk =
6
2 −π
3
+ 2k π
k = 0,1, 2, 3, 4, 5
6
13
(a) Demuestre que la suma de las raíces n-ésimas de la unidad es cero.
(b) Demuestre que el producto de las raíces n- enésimas de la unidad es 1 ó –1.
(a)
Las raíces n- enésimas de la unidad son de la forma:
zk = e
i
2k π
n
k = 0,1,..., n − 1
Por tanto,
n −1
n −1
∑ zk
=
k =0
∑e
i
2κπ
n
= 1+e
i
2π
n
+e
i
4π
n
+…+e
i2
n −1
π
n
k =0
2π
Esto es la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica de razón e n
primer termino 1, es decir,
n −1
∑ zk
=
k =0
1 − e 2πi
2π
i
1 −e n
=0
(b) Considerando ahora el producto,
n −1
∏ zk
= 1*e
i
2π
n
*e
i
4π
n
* .... * e
k =0
14
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
i2
n −1
π
n
=e
2π 4 π
n −1
π
0 +i +i +... +i 2
n
n
n
n −1
=e
2π
i∑k
n k =0
i
y
Ejercicios: Números Complejos
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
n −1
como,
∑k =
k =0
n(n − 1)
se tiene
2
n −1
∏ zk
k =0
−1 si n par
= e (n +1)πi =
1 si n impar
Logaritmos complejos
14
De entre todas las raíces n-ésimas del complejo 1 +
3i . ¿Hay alguna raíz cuyo logaritmo principal sea
real?
Calculamos en primer lugar
n
•
de módulo:
•
de argumento:
1+
φ = arctg
Por tanto,
2
( 3)
1+
3 i . Por definición,
n
z son los números complejos
r
φ + 2κπ
con k = 0,1, 2,...(n − 1) ;
n
En este caso z = 1 +
r =
n
3 i , luego
=2
3
3
2 = π.
= arctg
1
1
3
2
n
1+
3i tendrá
n
•
por módulo:
2
•
por argumento:
π
3
+ 2κπ
con k = 0,1, 2,...(n − 1)
n
es decir,
zk =
n
2π
3
+ 2k π
con k = 0,1, 2,...(n − 1)
n
zk =
n
− π + 2k π
π + 2k π
3
2 cos
+ isen 3
con k = 0,1, 2,...(n − 1)
n
n
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S
15
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Números Complejos
Fundamentos Matemáticos I
Teniendo en cuenta que el logaritmo principal de z k es
log z k = ln z k + i arg ( zk )
se cumplirá que
log z k ∈ ⇔ arg ( z k ) = 0
es decir,
π
3
+ 2k π
n
−π
=0 ⇔ π
3
+ 2k π = 0
⇔k =
3 = −1
2π
6
Como los valores posibles de k son 0,1,2,...(n − 1) entonces la pregunta planteada sobre si
hay alguna raíz cuyo logaritmo principal sea real tiene por respuesta que no existe ninguna
raíz cuyo logaritmo principal sea real.
15
Calcular el siguiente número complejo: z =
1 + i
2
log
1 − i
i
Como
(1 + i )(1 + i )
1+i
=
=i
1−i
(1 − i)(1 + i)
π
log i = + 2k π i
2
El valor pedido es:
z =
16
Dado a + bi = log ω siendo ω tal que
Se considera ω = c + di cumpliendo
16
2
log i = π + 4k π
i
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ω
1+i 3
ω
2
k ∈
es real y el módulo de ω es la unidad. Hallar a + bi .
= c 2 + d 2 = 1 . Se cumplirá que
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Números Complejos
Fundamentos Matemáticos I
(
)(
)
)
(c + di ) 1 − i 3
∈
r =
⇔
1+i 3 1−i 3
c2 + d 2 = 1
ω
r =
∈
⇔
1
+
i
3
ω = 1
(
c + d 3 + i −c 3 + d
−c 3 + d = 0
r =
∈ℜ ⇔
⇔
2
4
2
c + d2 = 1
2
+
=
c
d
1
(
⇔
⇔ c =±
)
1
2
(
)
3
1
3
⇔ ω1 = +
i
2
2
2
d =±
1
3
ω2 = − −
i
2
2
Luego
π +2k π
3
i
=
log ω1 = ln e 2
−2π +2k π
3
i
=
2
log ω2 = ln e
Observación:
Puede
ser
interesante
π
+ k π + 2k´π i
6
k´∈ Z , k = 0,1
π
− + k π + 2k´π i
3
considerar
la
k´∈ , k = 0,1
expresión
de
ω de
la
forma:
ω = e it = cos t + isent ya que al tener módulo uno quedará perfectamente determinado si se
conoce arg ( ω ) = t .
17
(a) Escribir la forma binómica y exponencial el número complejo z =
ix
1 + 2i
dando x =
(numero de
lista del alumno en clase) + 1000
ix
(b)
Calcular log z = log
1 + 2i
Supongamos que x = 121 + 1000 = 1121
z =
i 1121
1 + 2i
=
i 4*28 +1
1+
2i
=
i
1+
2i
=
(1 −
(1 +
2i
)
2i i
)( 1 −
2i
)
=
i+ 2
2 1
=
+ i
1+2
3
3
En forma exponencial z se expresará
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S
17
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Números Complejos
Fundamentos Matemáticos I
3 φi
e
ya que
3
z =
1 2
z
=
3
φ = arctg
2 2
+
=
3
1
3
2
3
1
3
=
3
3
Calculamos su logaritmo
2 1
ix
= log
log z = log
3 + 3 i =
1 + 2i
= ln
1
3
+ i arctg
+ 2k π k ∈
2
3
La rama principal se obtiene para k = 0
log z = ln
1
3
+ i arctg
2
3
Potencias complejas
18
z
Sea “z” un número complejo de representación binómica z = a + bi y consideramos la potencia ( 1 + i ) .
Se pide, para cada una de las condiciones siguientes el conjunto de todos los complejos que la cumplen y un
ejemplo:
z
(1 + i )
=e
=
z log( 1+i )
(
= e(
x +iy ) log( 1+i )
x log 2 −y π +2k π
4
e
)e y log
=e
( x +iy )( log
π
2 + x +2k π
i
4
(
))
2 + π + 2k π i
4
=
k ∈
A - Que la potencia tenga algún valor real.
π
= 0 ⇔ y log 2 + x π + 2k π = k´π
sen y log 2 + x + 2k π
4
4
18
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k´∈ Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Números Complejos
Fundamentos Matemáticos I
⇔ x =
k´π − y log 2
π
+ 2k π
4
k, k´∈ Basta dar valores a y, k y k´para obtener x. En esos casos z = x + i y verificara que su
potencia tiene algún valor real.
B – Que la potencia tenga resultado único.
Si x es entero, y = 0 el resultado es único.
e x log
2
cos πx + isen πx
4
4
C – Que la potencia tenga sólo un número finito de resultados
Si x = p / q e y = 0 sólo hay q resultados correspondientes a k = 0,1, 2,..., q − 1 .
D – Que la potencia tenga todos los resultados con el mismo modulo
e
π
x log 2 −y + 2k π
4
= cte ⇒ y = 0
E – Que la potencia tenga todos los resultados con el mismo argumento.
π
y log 2 + x + 2k π = cte ⇔ x ∈ 4
19
Calcular log2−2i (1 + i)
Aplicando la definición
(
(
)
ln 2 + π + 2k π i
log(1 + i )
4
log2−2i (1 + i) =
=
=
log(2 − 2i )
ln 2 2 + −π + 2k ' π i
4
)
m 2 + π + 2k π i m 2 2 − −π + 2k ' π i
4
4
=
2
2
m 2 2 + −π + 2k ' π
4
(
)
(
)
(
(
)
)
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S
19
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Números Complejos
Fundamentos Matemáticos I
siendo k , k´∈ Polinomios
20
Hallar los números complejos z tales que
2
z 2 + 2z + z − z + 9 = 0
Sea z = a + bi debemos encontrar a y b de forma que:
2
(a + bi )
2
+ 2 ( a − bi ) + ( a + bi ) − ( a − bi ) + 9 = 0 ⇔
⇔ a 2 − b 2 + 2abi + 2a 2 − 2b 2 − 4abi + 2bi + 9 = 0 ⇔
3a 2 − 3b 2 + 9 = 0
(3a 2 − 3b 2 + 9) + i (−2ab + 2b) = 0 ⇔
−2ab + 2b = 0
Se distinguen dos casos:
Caso 1: b = 0 , entonces por la primera ecuación a 2 = −3 , esto es absurdo pues a y b son
números reales.
Caso 2: b ≠ 0 , entonces a = +1 , y sustituyendo en la primera ecuación
−3b 2 − 12 ⇒ b = ±2
Luego los números complejos son:
z1 = +1 + 2i
21
z 2 = +1 − 2i
¿Cuántas raíces tienen los polinomios? ¿Puedes decir algo sobre el número de raíces reales? ¿Por qué?
(a)
p(x ) =
(
)
2 + 2i x 5 + 3x 2 + 2i
5 raíces en . No se puede decir nada sobre las reales porque p(x ) no es un polinomio con
coeficientes en .
20
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Números Complejos
Fundamentos Matemáticos I
(b)
p(x ) =
2x 7 + 3x 6 + 2
7 raíces en . Tiene al menos una real por ser el grado impar.
(c)
p(x ) =
3x 5 + 3x 2 + 2
5 raíces en . Tiene al menos una real por ser grado impar.
(d)
p(x ) =
3x 7 + ( 2 + 2i)x 6 + 2
7 raíces en . No se puede decir nada sobre las reales porque p(x ) no es un polinomio con
coeficientes en .
22
Si F ( z ) es un polinomio con coeficientes reales y F ( 2 + 3i ) = 1 − i ¿a qué es igual F ( 2 − 3i ) . ¿Queda
determinada F ( a − bi ) conociendo F ( a + bi ) , si los coeficientes de F ( z ) no son todos reales?
a)
Sea F (z ) = a 0 + a1z + .... + an z n
an ≠ 0 , entonces como sus coeficientes son reales
(
)
F (z ) = a 0 + a1 z + ... + a n z n = a 0 + a1z + ... + an z n = F (z )
luego,
F (2 − 3i ) = F (2 − 3i ) = 1 − i = 1 + i
b)
En el caso de que los coeficientes de F ( z ) no sean todos reales no se determina el
valor de F ( a − bi ) conocido el de F ( a + bi ) . Por ejemplo, en el caso de F (z ) = iz 2
F (2 + 3i ) = i(2 + 3i )2 = i(4 + 12i − 9) = i(−5 + 12i) = −12 − 5i
F (2 − 3i ) = i(2 − 3i)2 = i(4 − 12i − 9) = i(−5 − 12i ) = 12 − 5i
23
Hallar la relación que deben verificar los coeficientes a , b , c , d reales para que las raíces de la ecuación
z 2 + (a + bi) + (c + di ) = 0
tengan el mismo argumento.
Sean z1 , z 2 las raíces. Expresándolas en forma exponencial serán
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S
21
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Números Complejos
Fundamentos Matemáticos I
z1 = ρ1e θi
z 2 = ρ2e θi
Como,
(z − z1 )(z − z 2 ) = z 2 − (z1 + z 2 )z + z1z 2 = z 2 + (a + bi )z + (c + di )
se cumple que z1 z 2 = c + di y z1 + z 2 = − ( a + bi ) . Por lo tanto,
z1 * z 2 = c + di ⇒
ρ1ρ2e 2θi = c + di
z1 + z 2 = (ρ1 + ρ2 )e θi
⇒ (ρ + ρ )e θi = −a − bi
1
2
z1 + z 2 = −(a + bi )
luego,
ρ1ρ2 cos 2θ = c
ρ1ρ2sen 2θ = d
( ρ1 + ρ2 ) cos θ = −a
( ρ1 + ρ2 ) sen θ = −b
De donde,
tg 2θ =
d
c
tg θ =
b
a
de relacionar la tangente del ángulo doble con la tangente se encontrará la relación entre los
coeficientes. Como
tg 2θ =
Entonces
b
d
a
=2
2
c
1 −b
=2
a
2
sen 2θ
2sen θ cos θ
2tg θ
=
=
2
2
cos 2θ
cos θ − sen θ
1 − tg 2 θ
ab
2
a − b2
La relación buscada es
d
ab
=2
si a 2 ≠ b 2
2
c
a − b2
Nota: Si en la solución de algún ejercicio crees que hay algún error ponte en contacto con la
profesora para su corrección.
22
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Matemáticas
1
1
EJERCICIOS RESUELTOS:
Sucesiones numéricas
Elena Álvarez Sáiz
Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación
Universidad de Cantabria
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Sucesiones numéricas
Fundamentos Matemáticos I
Sucesiones monótonas y sucesiones acotadas
1 Sucesiones monótonas: ejemplos
•
La sucesión -1, -2, 3, -4, -5, 6, -7, -8, 9 ... no es monótona.
•
La sucesión de término general an =
•
La sucesión de término general an = n
(−1)n
n
tampoco es monótona.
es monótona creciente y también
estrictamente creciente.
•
La sucesión –1, -1, 0, 0, 1, 1, 2, 2 ... es monótona creciente, pero no es
estrictamente creciente.
•
La sucesión de término general an = −n 2
es monótona decreciente y es
también estrictamente decreciente.
•
1 1 1 1 1 1 1 1 1
, , , , , , , , , … es monótona decreciente, sin embargo
2 2 3 4 4 5 6 6 7
La sucesión
no es estrictamente decreciente.
2 Estudiar la monotonía de las siguientes sucesiones:
an =
2n − 1
n
bn =
8n
1 + 2n
cn =
3n
n +1
dn =
1
n3
Solución:
a) Vamos a probar que los términos de esta sucesión verifican
an + 1 − a n > 0
∀n ∈ , es decir que se trata de una sucesión monótona
estrictamente creciente.
2(n + 1) − 1 2n − 1
2n + 1 2n − 1
−
=
−
=
n +1
n
n +1
n
(2n + 1) ⋅ n − (n + 1)(2n − 1)
2n2 + n − 2n2 − n + 1
1
=
=
=
>0
(n + 1) ⋅ n
(n + 1) ⋅ n
(n + 1) ⋅ n
an + 1 − an =
2
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Sucesiones numéricas
Fundamentos Matemáticos I
el carácter positivo del anterior cociente está garantizado porque n es un
número natural.
b) En este caso vamos a demostrar que bn ≤ bn +1
∀n ∈ , con lo cual la
sucesión será monótona creciente.
8 ⋅ (n + 1)
8n
≤
⇔
1 + 2n
1 + 2 ⋅ (n + 1)
8n
8n + 8
⇔
≤
⇔
1 + 2n
1 + 2n + 2
⇔ 8 n + 16 n 2 + 16 n ≤ 8 n + 8 + 16 n 2 + 16 n ⇔ 0 ≤ 8
bn ≤ bn +1 ⇔
lo cual es siempre cierto.
c) La sucesión dada es creciente, ya que cn ≤ cn +1
∀n ∈ Ν , pues
3 ⋅ (n + 1)
3n
3n
3n + 3
≤
⇔
≤
⇔
n + 1 (n + 1) + 1
n +1
n +2
⇔ 3n2 + 6n ≤ 3 n2 + 3n + 3n + 3 ⇔ 0 ≤ 3
cn ≤ cn +1 ⇔
la expresión última a la cual hemos llegado es siempre cierta, luego la
desigualdad inicial también lo es.
d) En este caso demostraremos que dn > dn +1
∀n ∈ , es decir que la sucesión
es monótona estrictamente decreciente.
dn > dn +1 ⇔
1
n
3
>
1
3
(n + 1)
⇔ (n + 1)3 > n 3
esta desigualdad es cierta para cualquier número natural, luego se cumple
siempre.
3 Convergencia, divergencia: ejemplos
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
3
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Ejercicios: Sucesiones numéricas
1. La sucesión cuyos primeros términos son los siguientes
1,
1
1
1
, 3, , 5, , 7,...
2
4
6
Esta sucesión no es convergente, pero tampoco tiende a ∞ ni a −∞ . Los términos
impares se hacen infinitamente grandes a medida que n crece. Sin embargo, los
términos pares tienden a 0, para n suficientemente grande. Se dice que esta sucesión
no tiene límite o bien que su carácter es oscilante.
2. La sucesión de término general an = (−1)n ⋅ n , cuyos primeros términos son:
-1, 2, -3, 4, -5, 6, -7, 8,...
Los términos de esta sucesión tampoco se acercan a un número concreto. Tienden a
∞ los términos pares y tienden a −∞ los términos impares. Por tanto, tampoco
tiene límite, son oscilantes.
4
n
1
Monotonía y acotación de 1 +
n
El término general de esta sucesión es una expresión indeterminada del tipo 1∞ ,
luego no es evidente que sea convergente. Se trata de una sucesión de números reales
positivos.
•
Comprobamos en primer lugar que la sucesión es creciente.
Por aplicación de la fórmula del binomio de Newton, tenemos
4
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Sucesiones numéricas
Fundamentos Matemáticos I
n
n n 1 n 1
n 1
1
an = 1 + = + ⋅ + ⋅
+ ... + ⋅
=
2
n n n
n
0 1 n 2 n
n ⋅ (n − 1)
n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 1) ⋅ ⋅ ⋅ (n − n + 1)
= 1+1+
+ ... +
=
2
2! ⋅ n
n ! ⋅ nn
n − 1
1
1
1
1
2
= 2 + ⋅ 1 − + ... +
⋅ 1 − ⋅ 1 − ⋅ ⋅ ⋅ 1 −
n
n
2!
n
n!
n
la expresión de a consta de n sumandos. El término siguiente se expresará así
n
1
1
1
1
2
n − 1
⋅ 1 −
+ ... +
⋅ 1 −
⋅ 1 −
⋅ ⋅ ⋅ 1 −
+
2 !
n + 1
n !
n + 1
n + 1
n + 1
1
1
2
n
+
⋅ 1 −
⋅ 1 −
⋅ ⋅ ⋅ 1 −
(n + 1)!
n + 1
n + 1
n + 1
an + 1 = 2 +
Esta expresión consta de n+1 sumandos. Como los sumandos de a
n+1
son
mayores que sus correspondientes de a , salvo el primero que es igual, resulta
n
que
a <a ∀n∈
n
n+1
luego la sucesión a es creciente.
n
•
Vamos a comprobar ahora que la sucesión está acotada. Consideramos
para ello las siguientes expresiones:
an = 2 +
1
1
1
1
2
⋅ 1 − + ⋅ 1 − ⋅ 1 − + ... +
2!
n 3!
n
n
1
1
2
n − 1
+ ⋅ 1 − ⋅ 1 − ⋅ ⋅ ⋅ 1 −
n !
n
n
n
1
1
1
+
+ ... +
2! 3!
n!
1
1
1
cn = 2 + +
+ ... +
2
n −1
2
2
2
bn = 2 +
progresion geometrica
Comparándolas término a término resulta que, a partir de n = 3, se verifica:
2 < an < bn < cn = 3 −
1
n −1
2
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S
5
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Sucesiones numéricas
Fundamentos Matemáticos I
2 < an < 3 ,
es decir,
luego la sucesión a está acotada. Se puede asegurar, por tanto, que la sucesión
n
de
término
general
n
1
an = 1 +
n
es
convergente,
estando
su
límite
comprendido entre 2 y 3. A este límite se le designa con el nombre de número
e. Se trata de un número irracional cuyas diez primeras cifras decimales son:
e ≈ 2’7182818284
5 Se considera para cada número natural n ∈ la ecuación:
n 6x 2 −
13
5
=
2
2
y se define para cada natural n ∈ el número an como la suma de las raíces
positivas de esta ecuación. Se pide: encontrar el supremo, ínfimo, máximo y
mínimo del conjunto formado por los números reales an , es decir, el conjunto
{ an
/ n ∈ }
Solución (Curso 03-04)
Para cada número natural n consideramos la ecuación n 6x 2 −
13
5
= . Las
2
2
raíces de esta ecuación son los valores x que cumplen:
n 6x 2 −
13
5
=
2
2
ó
13 5
− n 6x 2 − =
2 2
Nota: En este paso aplico la definición de valor absoluto. Si el valor absoluto
de A es 5/2 es porque A es 5/2 ó A es –5/2. También podría haber elevado
al cuadrado y resolver la ecuación pero me quedaría de grado cuatro y habría
que realizar más cálculos.
6
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Ejercicios: Sucesiones numéricas
Fundamentos Matemáticos I
13
5
9
3
= ⇔ n 6x 2 = 9 ⇔ x 2 =
⇔x =±
6
2
2
n
n3
Resolviendo n 6x 2 −
Resolviendo − n 6x 2 −
2
13 5
4
2
6 2
2
= 2 ⇔ n x = 4 ⇔ x = 3 ⇔ x = ± 3
n
n
Para cada n la suma de las raíces positivas de la ecuación n 6x 2 −
3
n
3
+
2
n3
13
5
=
es
2
2
.
El conjunto para el que hay que calcular el supremo, ínfimo, máximo y
5
/ n ∈ se cumple que el supremo es 5 y el ínfimo es 0.
n 3
mínimo es A =
Como el supremo está en el conjunto (para n=1) se trata del máximo pero el
ínfimo no es mínimo porque no es un elemento del conjunto A.
Cálculo de límites: Definición
6 Demostrar, según la definición de límite, que se verifica:
limn →∞
1
rn
con r > 1 . ¿Qué
=0 ,
sucede si r < 1?
Supongamos r>1. Según la definición de límite, hay que encontrar la
-
expresión de n para cada ε > 0 , tal que
0
1
r
n
−0 <ε
⇔
1
r
n
<ε
⇔
1
< rn
ε
⇔
1
rn
−0 <ε
si
n > n0 .
1
log < n ⋅ log(r ) ⇔
ε
1
log
ε
<n
log(r )
pues hemos supuesto desde el principio que r > 1, luego log (r) > 0. Así pues, si
tomamos n 0 =
1
log
ε
log(r )
se cumple
1
rn
−0 <ε
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S
7
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Sucesiones numéricas
Fundamentos Matemáticos I
•
Si r < 1, será log (r) < 0. Como ε es muy pequeño, verifica ε < 1, es
1
decir log( ε )< 0, luego log = − log(ε) > 0.
ε
Teniendo en cuenta que siempre es n > 0, nunca puede ser
1
log < n ⋅ log(r ) , puesto que n. log (r) será siempre negativo, mientras
ε
1
que log es positivo. Por lo tanto, si r<1 la sucesión no puede tender a
ε
cero.
7 Demostrar, aplicando la definición de límite, que se verifican los siguientes límites:
n +1
=1
n →∞ n − 2
(a) lim
(b) limn →∞
(c) limn →∞
2n 2 − 1
=2
(n + 1)(n + 2)
(2n + 1)3 − (2n − 1)3
3n 2 + 1
=8
Solución
(a) Se trata de ver que
∀ε > 0 , existe n 0 de forma que
n +1
− 1 < ε si n > n 0
n −2
Observamos que
n +1
3
3
1
−1 < ε ⇔
< ε ⇔ < n −2 ⇔ +2 < n
n −2
n −2
ε
ε
1
Luego fijado ε > 0 basta tomar n 0 = E + 2 para que se cumpla la definición
ε
de límite.
8
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Ejercicios: Sucesiones numéricas
Fundamentos Matemáticos I
Nota.- E(x) denota la parte entera de x.
(b) Calcularemos la diferencia
2n 2 − 1
−2
(n + 1)(n + 2)
y la haremos menor que ε .
6(n + 1)
−6n − 5
2n 2 − 1
6n + 5
−2 =
=
<
2
2
2
(n + 1)(n + 2)
n + 3n + 2
n + 3n + 2 n + 3n + 2
Como
6(n + 1)
2
n + 3n + 2
=
6(n + 1)
6
=
(n + 1)(n + 2) (n + 2)
6
6
6
<ε ⇔
<n +2 ⇔ n > −2
(n + 2)
ε
ε
Si hacemos
6
Cualquiera que sea el valor de ε , tomando n 0 = E − 2 , se puede asegurar que
ε
2
si n > n entonces
0
2n − 1
−2 < ε
(n + 1)(n + 2)
(c) Operando como en el apartado anterior,
(2n + 1)3 − (2n − 1)3
=
=
−8 =
3n 2 + 1
8n 3 + 12n 2 + 6n + 1 − (8n 3 − 12n 2 + 6n − 1)
24n 2 + 2
2
3n + 1
−8 =
3n 2 + 1
−6
2
3n + 1
=
6
2
3n + 1
2
Como ha de ser
n
Entonces, cualquiera que sea el valor de
2
<
<ε ⇒
6
3n
2
−8 =
=
2
n2
2
< n2 ⇒ n >
ε
2
ε
2
, se puede
ε
, tomando n 0 = E
asegurar que
si n > n entonces
0
(2n + 1)3 − (2n − 1)3
3n 2 + 1
−8 <ε
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S
9
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Ejercicios: Sucesiones numéricas
Fundamentos Matemáticos I
Sucesiones recurrentes
8 Estudiar la convergencia de la sucesión recurrente dada por
a1 = 1
an +1 =
3
2
4 + ( an )
n ≥2
Solución: (Curso 03-04)
Applet Laboratorio Sucesiones Recurrentes
Es fácil ver que 0 ≤ an , veamos que an ≤ 2 . Lo probaremos por inducción.
•
Para n=1 , a1 = 1 ≤ 2
•
Supuesto que an ≤ 2 debemos probar que an +1 ≤ 2 .
Como por hipótesis de inducción se tiene que an ≤ 2 se cumplirá:
2
( an )
10
2
≤ 4 ⇒ 4 + ( an ) ≤ 4 + 4 = 8 ⇒
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
3
2
4 + ( an ) ≤
3
8 ⇒ a n +1 =
3
2
4 + ( an ) ≤ 2
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Sucesiones numéricas
Fundamentos Matemáticos I
Veamos ahora que la sucesión es monótona decreciente. Es fácil ver que:
an + 1 ≥ an ⇔
3
3
2
2
3
4 + ( an ) ≥ an ⇔ 4 + ( an ) ≥ ( an ) ⇔
(
2
)
2
⇔ ( a n ) − ( an ) − 4 ≤ 0 ⇔ ( an − 2 ) ( an ) + ( an ) + 2 ≤ 0
an ≤ 2
0 ≤an
La última desigualdad es trivialmente cierta ya que anteriormente hemos
probado 0 ≤ an ≤ 2 . Luego se cumple an +1 ≥ an .
Por el teorema de Weierstrass al ser una sucesión monótona y acotada es
convergente.
9 Dada la sucesión a1 = 1 y an =
1
n ≥ 2,
3 − an −1
demostrar que
2
(a) (an ) − 3an + 1 ≤ 0 para todo número natural
∞
(b) la sucesión {an }n =1 es convergente y calcular su límite.
Applet Laboratorio Sucesiones recurrentes
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S
11
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Sucesiones numéricas
Fundamentos Matemáticos I
Solución:
2
(a) Demostramos por inducción la desigualdad (an ) − 3an + 1 ≤ 0 .
2
Para n = 1 hay que probar: (a1 ) − 3a1 + 1 ≤ 0 . Como a1 = 1 la
2
desigualdad es cierta: ( 1 ) − 3 * 1 + 1 = −1 ≤ 0 .
2
Supongamos que (an ) − 3an + 1 ≤ 0
2
( an + 1 )
− 3an +1 + 1 ≤ 0 . Se tiene que:
1
2
(an +1 ) − 3an +1 + 1 ≤ 0 ⇔
3 − an
2
− 3 1 + 1 ≤ 0 ⇔
3 − an
2
1
⇔
2
( 3 − an )
1 − 3 ( 3 − an ) + ( 3 − an )
3
−
+1≤ 0 ⇔
≤0⇔
2
3 − an
(3 − a )
n
2
⇔
y probemos ahora que:
1 − 9 + 3an + 9 − 6an + ( an )
2
2
≤0⇔
1 − 3an + ( an )
2
( 3 − an )
≤0
( 3 − an )
En la última expresión el numerador es menor o igual a cero (por
hipótesis de inducción) y el denominador es positivo (por ser un
cuadrado). Por lo tanto, supuesto
2
( an )
− 3an + 1 ≤ 0
la última
desigualdad es cierta y se cumple:
2
( an + 1 )
− 3an +1 + 1 ≤ 0 .
(b) Para ver que es convergente intentaremos ver si es monótona y
acotada.
Dando valores a n (n=1, n=2, n=3...) parece que es monótona decreciente.
En el caso de que lo fuera estaría acotada superiormente por el primer
término. Veamos si son ciertas estas impresiones.
12
Acotada.
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Ejercicios: Sucesiones numéricas
Fundamentos Matemáticos I
Vamos a probar que 0 < an ≤ 1 . Lo haremos por inducción.
0 < a1 ≤ 1 ya que 0 < 1 ≤ 1
Veamos que si 0 < an ≤ 1 entonces 0 < an +1 ≤ 1
Entonces suponiendo 0 < an ≤ 1 se tiene que −1 ≤ −an < 0 .
Sumando 3 a ambos miembros:
2 < 3 − an < 3 ⇔
1
1
1
<
<
3
3 − an
2
Luego, 0 < an +1 ≤ 1
Monotonía: Vamos a probar que es monótona decreciente, es decir, si
para todo número natural an +1 ≤ an :
para nuestra sucesión hay que demostrar que
1
≤ an
3 − an
Como
1
≤ an
3 − an
2
⇔ 1 ≤ ( 3 − an )an ⇔ ( an ) − 3an + 1 ≤ 0
3 −an > 0
y la última equivalencia es cierta por el apartado (a) se cumple
1
≤ an
3 − an
Por el teorema de Weierstrass al ser una sucesión monótona y acotada es
convergente. Si llamamos L al límite de la sucesión an se tendrá que :
lim an
n →∞
=
lim
definición
n →∞ 3
de la sucesión
1
− an −1
=
propiedades
de los límites
1
3 − lim an −1
n →∞
en consecuencia el punto L buscado tiene que cumplir
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S
13
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Ejercicios: Sucesiones numéricas
L=
1
⇔ L(3 − L) = 1
3−L
es decir será una raíz del polinomio:
x ( 3 − x ) = 1 ⇔ x 2 − 3x + 1 = 0
Resolviendo
x =
3±
9−4
3± 5
=
2
2
De las dos raíces el valor de L es L =
3− 5
que es menor que 1. (Observar
2
que la sucesión es monótona decreciente y el primer término es menor que 1).
10 Dada la sucesión a1 = 2
an =
n ≥ 2 , demostrar que la sucesión
2 an −1
convergente y calcular su límite.
1/2
Observa que a1 = 2, a2 = 2 2 = ( 2 ⋅ 21/2 )
14
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
= 21/2 ⋅ 21/4
∞
{an }n =1 es
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Ejercicios: Sucesiones numéricas
Fundamentos Matemáticos I
a3 =
1/2
2 a2 = 21/2 ( 21/2 +1/4 )
1
= 21/2 +1/4 +1/8.... an = 22
1
1
+ +...+
4
2n
=
El exp onente
es una suma de
n tér min os de
una progresión
geométrica de
primer tér min o 1/2
y razón 1/2
1 1
−1
2 2n
1
−1
2 2
1 1 −1
1 1 −1
2 2n
2 2n
lim
1
1
n →∞
−1
−1
2
=2
Por lo tanto, lim an = lim 2 2
= 21 = 2
n →∞
n →∞
11 Dada la sucesión {an }∞ en donde
n =1
2
a1 = 7 an +1 =
( an )
+2
an + 2
, n ∈
Se pide:
Probar que an ≥ 1, ∀n ∈ Demostrar que {an }n =1 es convergente y calcular su límite.
∞
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S
15
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Ejercicios: Sucesiones numéricas
Fundamentos Matemáticos I
Applet Laboratorio Sucesiones Recurrentes
Solución: (Parcial I 2003)
(a) Solución: Veamos que an ≥ 1, ∀n ∈ por inducción.
•
Se verifica para n = 1 ya que a1 = 7 ≥ 1
•
Suponiendo que an ≥ 1 veamos si an +1 =
2
( an )
+2
an + 2
≥ 1.
Se tiene
que,
2
an + 1 ≥ 1
⇔
⇔
2
( an )
+ 2 ≥ an + 2
( an )
+2
an + 2
⇔
an ≥1
por hipotesis
de inducción
(b) Veamos si es monótona. Como a1 = 7, a2 =
2
≥1
⇔
2
an + 1 ≤ an
16
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
⇔
+2
an + 2
+2
an + 2
≥1
an (an − 1 ) ≥ 0
72 + 2
=
7+2
51
< 7 intentaremos
9
ver si es monótona decreciente,
( an )
(an )
≤ an
⇔
⇔
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Sucesiones numéricas
Fundamentos Matemáticos I
2
(an )
⇔
+2
an + 2
elevando
al cuadrado por
ser cantidades
positivas
2
≤ ( an )
3
2
2 ≤ ( an ) + ( an )
⇔
2
( an )
⇔
2
+ 2 ≤ ( an ) ( an + 2 )
⇔
2
2 ≤ an ( an ) + 1
⇔
Esta última desigualdad es cierta ya que 1 ≤ an . Por lo tanto es monótona
decreciente.
Como la sucesión es monótona y acotada es convergente. Llamando
L = lim an se tendrá que:
n →∞
L=
⇔
L2 + 2
L+2
L3 + 2L2 = L2 + 2
⇔
⇔
L2 =
L2 + 2
L+2
⇔
( L − 1 ) ( L2
+ 2L + 2 ) = 0 ⇔ L = 1
≠0
12
(1)
Dada la sucesión
{an } definida por
inducción que ∀n ∈ ,
(2)
a1 = 1
an = 4n + an −.1
n >1
se pide probar por
an − 2n 2 < 2n
A partir de la sucesión anterior se define la sucesión bn =
an
2n 2
. Estudiar la acotación de
{bn } y calcular su límite.
Solución: Febrero 2003
(1) La sucesión {an } es una sucesión recurrente y la sucesión bn =
an
2n 2
se calcula
a partir de {an } . Los primeros términos de ambas son:
an = { 1, 9, 21, 37, ... }
1 9 21 37
bn =
, , , ,...
2
8
18
32
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S
17
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Sucesiones numéricas
Fundamentos Matemáticos I
Se pide demostrar la desigualdad por inducción:
n = 1. Se cumple que:
a1 − 2 = 1 < 2
Veamos que si:
an − 2n 2 < 2n , entonces
an +1 − 2(n + 1)2 < 2(n + 1)
Se cumple que:
an +1 − 2(n + 1)2 = 4n + 4 + an − 2n 2 − 4n − 2 = an − 2n 2 + 2 ≤
≤ an − 2n 2 + 2
2n + 2 = 2(n + 1)
<
Hipotesis
de inducción
Luego, se puede concluir que:
∀n ∈ ,
(2)
an − 2n 2 < 2n
De la desigualdad se deduce (por definición de valor absoluto):
2n 2 − 2n < an < 2n 2 + 2n
Dividiendo los tres miembros por 2n
1−
2
a
1
1
< n <1+ ,
2
n
n
2n
de donde
0 ≤ 1−
1
1
< bn < 1 + ≤ 2
n
n
Por tanto la sucesión {bn } está acotada inferiormente por 0 y superiormente por 2.
Además, teniendo en cuenta que
regla del encaje, lim bn = 1 .
n →∞
18
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
1
lim 1 − = 1 y
n →∞
n
1
lim 1 + = 1 , por la
n →∞
n
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Sucesiones numéricas
Fundamentos Matemáticos I
Cálculo de límites: Propiedades
13 Siendo a1 =
3 , a2 =
3 3 3 , etc. Calcular limn →∞ an
3 3 , a3 =
Observamos los términos de la sucesión:
1
1
1
1
a1 = 3 2 ; a2 = 3 2 ⋅ 3 4 = 3 2
+
1
4
1
an = 3 2
1
1
1
1
; a3 = 3 2 ⋅ 3 4 ⋅ 3 8 = 3 2
1 1
+ +
4 8
;...
1 1
1
+ + +... +
4 8
2n
Sumamos los términos de la progresión geométrica que aparece en el exponente.
1 1 1
⋅ −
n 2
1 1 1
1
1
2
2
+ + + ... +
=
= 1−
n
2 4 8
1
2
2n
−1
2
de modo que
an = 3
y tomando el límite,
1−
1
2n
limn →∞ an = limn →∞ 3
1−
1
2n
=3
Cálculo de límites: Teorema del encaje
14 Calcular el siguiente límite: a =
n
n
2
n +1
+
n
2
n +2
+ ... +
n
2
n +n
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
19
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Sucesiones numéricas
Fundamentos Matemáticos I
Calcular el límite de la sucesión que tiene por término general
an =
n
2
n +1
+
n
2
n +2
+
n
2
n +3
+…+
n
2
n +n
Solución: Construimos dos sucesiones para compararlas con la sucesión anterior,
cuyos términos generales son
bn =
n
n2 + n
+
n
n2 + n
+…+
n
n2 + n
=n⋅
n
=
n2 + n
n2
n2 + n
y
cn =
n
n2 + 1
+
n
n2 + 1
+…+
n
n2 + 1
=n⋅
n
n2 + 1
=
n2
n2 + 1
observamos que se verifica bn < an < cn para todo n, además
limn →∞ bn = limn →∞
n2
n2 + n
=1
y
limn →∞ cn = limn →∞
n2
n2 + 1
=1
como limn →∞ bn = limn →∞ cn = 1 , también será
limn →∞ an = limn →∞
15
n
2
n +1
+
n
2
n +2
n
2
n +2
+…+
n
2
n +n
=1
(a) Demuestra que para todo número natural se cumple:
( 2n ) !
22n −1
≤
2
n
(n !)
(b) Estudia la convergencia de la siguiente sucesión an =
( 2n ) !
2
(n !)
(a) Vamos a probar la desigualdad
20
+
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
( 2n ) !
22n −1
≤
por inducción.
2
n
n
!
( )
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Sucesiones numéricas
Fundamentos Matemáticos I
( 2 )!
2
≤
2
1
( 1! )
•
Para n=1, es cierta ya que
•
Supuesta la desigualdad cierta para n,
( 2n ) !
22n −1
≤
, veamos que es
2
n
(n !)
cierta para n+1, es decir, que se cumple
2 n +1 −1
( 2 ( n + 1) ) ! 22n +1
2( )
≤
⇔
≤
2
n +1
n +1
(( n + 1) ! )
( 2n + 2 ) !
2
(( n + 1) ! )
Se tiene que
4n
22n +1
22n −1 ⋅ 22
=
n +1
n +1
=
≤
H .I .
( 2n ) !
22n −1 ≤n
2
(n !)
( 2n ) !
2
(n !)
n +1
=
4n ( 2n ) !
=
n ! ( n + 1 ) ! multiplicando
y dividiendo
por (n +1)
( n + 1) 2 ( 2n )( 2n ) !
2
((n + 1)!)
( 2n + 2 )( 2n )( 2n ) !
( 2n + 2 )( 2n + 1 )( 2n ) ! ( 2n + 2 ) !
≤
=
2
2
2
2n <2n +1
((n + 1)!)
( ( n + 1) ! )
(( n + 1) ! )
Luego, hemos probado
22n +1
≤
n +1
( 2n + 2 ) !
2
(( n + 1) ! )
(b) Para estudiar la convergencia de la sucesión an =
( 2n ) !
basta darse cuenta que
2
(n !)
( 2n ) !
22n −1
22n −1
≤
y
que
lim
=∞
2
n →∞ n
n
(n !)
Por lo que la sucesión an =
( 2n ) !
es divergente.
2
(n !)
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S
21
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Sucesiones numéricas
Fundamentos Matemáticos I
Cálculo de límites
16 Obtener limn →∞
(
)
n2 − n2 + n .
Multiplicando y dividiendo por el “conjugado”, resulta una expresión más sencilla,
cuyo límite es inmediato
limn →∞
(
)
n 2 − n 2 + n = limn →∞
= limn →∞
= limn →∞
( n 2 − (n 2 + n ))
(
n2 + n2 + n
−1
1+ 1+
1
n
=−
)
(
n2 − n2 + n
(
= limn →∞
)(
n2 + n2 + n
n2 + n2 + n
−n
n2 + n2 + n
)
)=
−
= limn →∞
n2
n2
+
1
2
17 Hallar el límite de la sucesión an = log n + 3 ⋅ cos (n 2 + 5) .
n + 2
Tomando el límite
limn →∞ an = limn →∞
18
22
n + 3
2
log
⋅ cos (n + 5) = 0
n + 2
funcion a cotada
inf initesimo
dentro de −1, 1
1
1
8 n 6 ⋅ log 1 +
⋅ sen 3
2n
n
Hallar el límite de la sucesión an =
.
2πn − 2
2
(2n + 5n ) ⋅ cos
6n + 3
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n
n
n2
n2
=
+
n
n2
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Sucesiones numéricas
Fundamentos Matemáticos I
Aplicando equivalencias, tenemos
limn →∞ an = limn →∞
1 1 3
1
1
8 n 6 ⋅ log 1 +
8 n 6 ⋅ ⋅
⋅ sen 3
2n n
2n
n
= limn →∞
=
2πn − 2
2πn
(2n 2 + 5n ) ⋅ cos
(2n 2 + 5n ) ⋅ cos
6n + 3
6n
8 n6
2n4
= limn →∞
π
(2n ) ⋅ cos
3
= limn →∞
2
8 n6
1
(4n ) ⋅
2
=4
6
19 Utilizando comparación de infinitos calcular los siguientes límites:
2
limn →∞
limn →∞
n 3n
=∞ ,
(n + 1)!
n
(l og n )5
limn →∞
limn →∞
20
0 ' 5n 3
2000 n 2
4 ⋅ n 200
1' 2n
limn →∞
(2 n )!
3 n
2
=∞ ,
limn →∞
5 n
3
n 300
=∞ ,
=∞
=∞ ,
limn →∞
0 ' 5n3
3 n
2
=0 ,
limn →∞
2n
n
5
2
=0 ,
=0
Hallar el límite de la sucesión limn →∞ n
n 2 +1
2
2n + 4
2n − 1
.
Solución:
El límite es una indeterminación de la forma 1∞ , se resuelve así
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S
23
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Sucesiones numéricas
Fundamentos Matemáticos I
limn →∞
=e
n
limn →∞
n 2 +1
2
2n + 4
2n − 1
5n 2 + 5
2n ⋅(2n −1)
=e
n 2 +1
2n
5
= limn →∞ 1 +
2n − 1
limn →∞
21 Hallar el límite de la sucesión a =
n
5n 2 + 5
5
4n 2 −2n
= e4 =
2n
4
=e
limn →∞
n 2 +1
5
⋅ 1+
−1
2n 2n −1
=
e5
1+n
3+n
Solución: Suponemos que L = limn →∞ an y tomamos logaritmos
1
1 + n
1 + n
log 2n 1 + n = lim
log (L) = log limn →∞ 2n
=
lim
⋅ log
=
n
→∞
n →∞
3 + n
3 + n
3 + n
2n
1 1 + n
−
−
1
2
2
= limn →∞
⋅
− 1 = limn →∞
⋅
= limn →∞
=0
2n 3 + n
2n 3 + n
2n 2 + 6n
L = e0 = 1
22
n
3 − 2n n +1
Hallar el límite de la sucesión bn =
5 − 3n
También en este caso, resulta más sencillo explicar el cálculo tomando
logaritmos. Sea L = limn →∞ bn
n
n
3 − 2n n +1
3 − 2n n +1
=
log (L) = log limn →∞
= l imn →∞ log 5 − 3n
5 − 3n
n
3 − 2n
n
−2n
= l imn →∞
⋅ log
= l imn →∞
⋅ log
=
5 − 3n
−3n
n + 1
n + 1
2
2
n
= l imn →∞
⋅ log = log
3
3
n +1
L =e
24
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
2
log
3
=
2
3
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Sucesiones numéricas
Fundamentos Matemáticos I
−n −3
23 Hallar el límite de la sucesión c = 3n − 1
n
5n + 2
Supongamos que L = limn →∞ cn . Tomando logaritmos
−n −3
3n − 1 −n − 3
log 3n − 1
=
=
log (L) = log limn →∞
lim
n →∞
5n + 2
5n + 2
3n − 1
3
= limn →∞ (−n − 3) ⋅ log
= limn →∞ (−n ) ⋅ log = ∞
5n + 2
5
L = e∞ = ∞
24 Hallar el límite de la sucesión limn →∞
(
n 2 + 2n − n
n
)
La expresión de la base es una indeterminación del tipo ∞ − ∞ , que
resolvemos multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada
limn →∞ n 2 + 2n − n = limn →∞
= limn →∞
2n
n 2 + 2n + n
(
)(
n 2 + 2n − n ⋅
(
n 2 + 2n + n
2
= limn →∞
n 2 + 2n + n
2
1+ +1
n
)
)=
=1
luego se trata de una indeterminación del tipo 1∞ , que resolvemos utilizando
el número e, así
limn →∞
=e
=e
(
n 2 + 2n − n
(
limn →∞ n ⋅
n 2 + 2n −(n +1)
−1
limn →∞ n ⋅
2
n + 2n +(n +1)
n
)
)
=e
(
n 2 + 2n −n
)
n +2n −(n +1)
)(
limn →∞ n ⋅ log
limn →∞ n ⋅
(
=e
2
(
=e
(
n 2 + 2n −n −1
limn →∞ n ⋅
2
n +2n +(n +1)
n 2 +2n +(n +1)
)
)
=
)
=
−1
limn →∞
1+ 2 +(1+ 1 )
n
n
=e
=e
1
−
2
=
1
e
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S
25
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Sucesiones numéricas
Fundamentos Matemáticos I
25 Demostrar que an y bn = log(1 + an ) son equivalentes para an → 0 . Encontrar una sucesión
equivalente a loga ( 1 + an ) para cuando an → 0 .
Solución:
Para ver que an y bn = log(1 + an ) son equivalentes basta ver que:
lim
log(1 + an )
n →∞
an
=1
Se tiene que:
lim
n →∞
log(1 + an )
an
(
= lim log(1 + an )1/an = log lim (1 + an )1/an
n →∞
n →∞
) = log e = 1
Por definición, loga b = c si y solamente si ac = b . Tomando en esta
expresión logaritmo neperiano,
c log a = log b
⇒
c =
log b
log a
Por lo tanto, por definición,
loga ( 1 + an ) =
Como log ( 1 + an ) ≈ an
loga ( 1 + an ) ≈
26
cuando an
log a
es un infinitésimo, se tendrá que:
an
log a
Dadas las sucesiones an = 1 +
1
1
; bn = 1 +
establecer si son o no del mismo orden las
n
n2
siguientes parejas de sucesiones:
26
log ( 1 + an )
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Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Sucesiones numéricas
Fundamentos Matemáticos I
an 2 y bn 2
(a )
an y bn
(b )
(c)
1
1
y
an bn
(d ) log an y log bn
Sol.- (a) Sí (b) Sí (c) Sí (d) No.
IMPORTANTE: Aunque para estas dos sucesiones
log an
y
log bn
no sean
equivalentes para la lista de infinitésimos equivalentes dada en el resumen teórico sí
se verifica que si an y bn son equivalentes también lo son log an y log bn
Nota: Si en la solución de algún ejercicio crees que hay algún error ponte en contacto con la
profesora para su corrección.
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S
27
Matemáticas
1
1
EJERCICIOS RESUELTOS:
Funciones de una variable
Elena Álvarez Sáiz
Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación
Universidad de Cantabria
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
1
En el siguiente gráfico se considera una función y = f ( x ) . Representa la derivada en el
punto x, el incremento de y = f ( x ) para un incremento de x, ∆x , y la diferencial de
y = f (x )
en x para ∆x . Calcula estos dos valores para y = x x en el punto x = 2 .
f(x+∆x)
f(x+∆x)-f(x)
f(x)
α
∆x
α
x
x+∆x
Solución:
xx = y
→ x log x = log y
Derivando implícitamente
log x +
x
y'
=
→ y ' = y ( log x + 1 ) → y ' = x x ( log x + 1 )
x
y
Para x=2
y ' ( 2 ) = 22 ( log 2 + 1 )
dy = 22 ( log 2 + 1 ) ∆x
2
Deduce la derivada de la función y = arcsenx
Solución:
Sea y = arcsenx entonces
2
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
seny = x
Derivando respecto a x:
( cos y ) y ' = 1
3
⇒ y' =
1
=
cos y
1
2
=
1 − sen y
1
1 − x2
Hallar la derivada enésima de f ( x ) = sen ( 2x ) cos ( 2x ) en x=0 (utilizar fórmula del seno del
ángulo doble)
Solución:
1
2
Teniendo en cuenta que: f ( x ) = sen ( 2x ) cos ( 2x ) = sen ( 4x ) se tiene:
f ' ( x ) = 2 cos ( 4x )
f '' ( x ) = −2 ⋅ 4sen ( 4x )
f ''' ( x ) = −2 ⋅ 42 cos ( 4x )
f iv ( x ) = 2 ⋅ 43 sen ( 4x )
Luego, para todo n ≥ 1
n
f (2n ( x ) = ( −1 ) 2 ⋅ 42n −1 sen ( 4x )
n +1
f (2n −1 ( x ) = ( −1 )
2 ⋅ 42n −2 cos ( 4x )
Otra forma: Teniendo en cuenta que:
π
cos ( α ) = sen α +
2
se tiene que:
π
f ' ( x ) = 2 cos ( 4x ) = 2sen 4x +
2
π
π π
f '' ( x ) = 2 ⋅ 4 cos 4x + = 2 ⋅ 4 ⋅ sen 4x + +
2
2
2
π
π
f ''' ( x ) = 2 ⋅ 42 cos 4x + 2 ⋅ = 2 ⋅ 42 ⋅ sen 4x + 3 ⋅
2
2
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
3
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
…
Fórmula que se demuestra por inducción sobre n.
4
Se considera la ecuación:
x2
d 2y
dx
2
− 4x
dy
+ 6y = x 3
dx
y se realiza el cambio x = et . Escribir la ecuación después de haber realizado el cambio
considerando la variable y dependiente de t .
Solución:
Se tiene el siguiente árbol de dependencia:
y-----x-----t
Aplicando la regla de la cadena:
dy
dy dx
=
dt
dx dt
⇒
dy
dy
= e −t
dx
dt
(1)
Aplicando nuevamente la regla de la cadena derivando respecto de x sabiendo
que
x-----t
d 2y
dx 2
=
d
dx
dy
= d e −t dy dt
dx dt
dt dx
=
t = log x
dt 1 −t
= =e
dx x
Sustituyendo en la ecuación dada:
4
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2
e −t dy + e −t d y e −t
−
dt
d 2t
(2)
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
d 2y
dy
−2t dy
− 4ete −t
+ e −2t
+ 6y = e 3t
e 2t −
e
2
dt
dt
d t
2
− dy + d y − 4 dy + 6y = e 3t
dt
dt
d 2t
d 2y
2
d t
5
−5
dy
+ 6y = e 3t
dt
Sea g ( x ) = f ( senx ) , sabiendo que f ' ( 0 ) = 0 calcular g ' ( π ) . Comprueba además el
resultado obtenido para una función f concreta.
Solución:
Aplicando la regla de la cadena,
g ' ( x ) = f ' ( senx ) ⋅ cos x ⇒ g ' ( π ) = f ' ( sen π ) ⋅ cos π = f ' ( 0 ) ⋅ ( −1 ) = 0
2
Por ejemplo, podemos considerar f ( x ) = x 2 ⇒ g ( x ) = f ( senx ) = ( senx )
Se tendría para este ejemplo g ' ( x ) = 2 ( senx )( cos x ) ⇒ g ' ( π ) = 2sen π ⋅ cos π = 0
2
2
6 Dada la curva x + y − 2x + 6y + 6 = 0 , se pide representarla y calcular la recta tangente y
normal a dicha curva en el punto P ( 2, −3 + 3 ) .
Solución:
Completando cuadrados
2
2
x 2 + y 2 − 2x + 6y + 6 = x 2 − 2x + y 2 + 6y + 6 = ( x − 1 ) − 1 + ( y + 3 ) − 9 + 6
Se tiene que
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
5
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
2
2
x 2 + y 2 − 2x + 6y + 6 = 0 ⇔ ( x − 1 ) + ( y + 3 ) = 4
luego la curva es una circunferencia centrada en el punto (1, -3) y de radio 2.
Para calcular la pendiente de la recta tangente calculamos la derivada en el
punto P. Derivando implícitamente:
2x + 2yy '− 2 + 6y ' = 0 ⇔ y ' = −
2x − 2
2y + 6
en el punto P
y 'P = −
2⋅2−2
(
)
2 −3 +
3 +6
=−
1
3
la ecuación de la recta tangente es:
y = −3 +
(
3 −
)
(
3 +
1
3
(x − 2)
y la de la recta normal
y = −3 +
)
3 (x − 2)
y
recta normal
1
recta tangente
x
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
-5
6
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
2
P
3
Ejercicios: Funciones una variable
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
2
7 Un punto P se mueve sobre la parábola x = y situada en el primer cuadrante de forma
que su coordenada x está aumentando a razón de 5 cm/seg. Calcular la velocidad a la que
el punto P se aleja del origen cuando x=9.
Solución:
Se trata de un problema de razón de cambio relacionadas. La función
distancia de un punto situado en las coordenadas (x, y) al origen es:
d (t ) =
x 2 (t ) + y 2 (t )
Si el punto (x, y) está en la parábola x = y 2 será:
d (t ) =
x 2 (t ) + x (t )
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S
7
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
y
8
6
x=y2
4
2
y(t)
d(t)
1
2
x
3 x(t) 4
5
6
7
8
9
10
-2
-4
-6
-8
La velocidad a la que se aleja del origen aplicando la regla de la cadena es:
d ' (t ) =
−1/2
1 2
x (t ) + x (t ))
( 2x ( t ) ⋅ x ' ( t ) + x ' ( t ) )
(
2
En el instante en que x=9 y teniendo en cuenta que x ' ( t ) = 5cm / seg se
concluye que la velocidad a la que el punto P se aleja del origen es:
−1/2
1 2
( 9 + 9 ) ( 2 ⋅ 9 ⋅ 5 + 5 ) = 95 = 95
2
2 90
6 10
8 Determina el punto de corte de la recta tangente a la gráfica de f ( x ) = x log x en el punto x=e
con el eje X.
8
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Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
Utilizando la regla de la cadena (derivación logarítmica)
2
log f ( x ) = log ( x log x ) = ( log x ) ⇒
f ' ( x ) = x log x
2 log x
x
f ' (x )
f (x )
f ' (e ) = e log e
=
2 log x
x
2 log e
=2
e
luego la recta tangente es:
y − e = 2(x − e )
que corta al eje X en el punto 0 − e = 2 ( x − e ) ⇔ x =
e
2
e
, 0
2
9 En una empresa la fuerza laboral L se mide en horas-trabajador y es una función del
tiempo, L = f ( t ) . Sea M = g ( t ) la producción media por persona. Suponga que la
producción Q está dada por el producto LM. En cierto momento la fuerza laboral L está
creciendo a un ritmo de 4% anual y la producción media está creciendo a una razón de
5% al año. Encontrar la razón de cambio de la producción total cuando Q=10.
Solución:
Datos del problema:
Q = LM = f ( t ) g ( t )
dL
= 0 ' 04 ⋅ L
dt
dM
= 0 ' 05 ⋅ M
dt
Se pide:
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S
9
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
dQ
dL
dM
=
⋅M +L⋅
dt
dt
dt
dQ
dt
= 0 ' 04 ⋅ L ⋅ M + L ⋅ 0 ' 05M = 0 ' 09 ⋅ L ⋅ M = 0 ' 09 ⋅ Q = 0, 9
Q =10
10 Calcular dy suponiendo que y(x) está dada implícitamente por la ecuación x arctgy = yChx .
dx
Solución:
Tomando logaritmos a ambos lados de la expresión:
x arctgy =
yChx
se obtiene
arctgy ⋅ logx =
1
log y + log (Chx )
2
Derivando implícitamente respecto de x:
y ' log x
1 + y2
+
arctgy
y'
Shx
=
+
x
2y Chx
−
y'
Shx arctgy
=
−
Chx
x
2y
Reagrupando los términos en y’:
y ' log x
1+y
2
Despejando y’
y' =
10
2y ( 1 + y 2 )
dy
xThx − arctgy
=
⋅
dx
x
2y log x − 1 − y 2
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Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
Nota: El ejercicio se puede resolver derivando respecto de x a ambos lados de
la igualdad implícitamente:
d arctgy
( x ) = dxd
dx
•
(
yChx
)
Derivación implícita del término de la izquierda:
log ( h ( x ) ) = arctgy ⋅ log x
h(x ) = x arctgy
h '(x )
h (x )
=
y'
1+y
2
⋅ log x + arctgy ⋅
1
x
y'
1
h ' ( x ) = x arctgy
⋅ log x + arctgy ⋅
1 + y2
x
•
Derivando implícitamente el término de la derecha:
1
2 y
⋅ y '⋅ Chx + y ⋅ Shx
Entonces se tendrá:
y'
1
1
x arctgy
⋅ log x + arctgy ⋅ =
⋅ y '⋅ Chx + y ⋅ Shx
1 + y2
x
2 y
Despejando y’:
log x
1
y ' x arctgy ⋅
−
⋅ Chx =
1 + y2 2 y
y ⋅ Shx −
arctgy ⋅ x arctgy
x
arctgy ⋅ x arctgy
x
log x
1
⋅
−
⋅ Chx
2
1+y
2 y
y ⋅ Shx −
y' =
x arctgy
Operando se puede llegar al resultado:
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S
11
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
y' =
2y ( 1 + y 2 )
dy
xThx − arctgy
=
⋅
dx
x
2y log x − 1 − y 2
11 Un depósito de agua es cónico, con el vértice hacia arriba, y tiene 40 m. de alto y 20 m.
de radio en la base. El depósito se llena a 80 m 3 / min . ¿A qué velocidad se eleva el nivel
de agua cuando la profundidad del agua es de 12 m.?
1
3
Nota: El volumen de un cono de altura h y radio de la base r es: V = π ⋅ r 2 ⋅ h
Solución:
En cualquier instante de tiempo el volumen V es
V =
1
1
π ⋅ 202 ⋅ 40 − π ⋅ r 2 ⋅ ( 40 − h )
3
3
donde r y h son funciones del tiempo. Además estás dos funciones están
relacionadas de la manera siguiente:
40
20
=
40 − h
r
40h
r =
40 − h
2
r
40
h
20
12
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Ejercicios: Funciones una variable
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
En consecuencia el volumen en un instante t es:
V (t ) =
40 − h ( t ) 3
1
1
π ⋅ 202 ⋅ 40 − π ⋅
3
3
4
Derivando respecto de t en ambos lados de la igualdad
dV
3
2 dh
=
π ⋅ 40 − h ( t )
dt
3⋅4
dt
En el instante en el que h=12 m el deposito se llena a 80 m 3 / min luego,
80 =
π
2 dh
dh
20
⋅ 40 − 12
⇒
=
≈ 0 '13m / min
4
dt
dt
49π
f ( x ) = sen ( x 2 ) + log ( 1 + x 2 )
Ejemplo:
Polinomio de Taylor de grado 1 (recta tangente) en x=0
T1 ( f ( x ), 0 ) = 0
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S
13
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Ejercicios: Funciones una variable
Polinomio de Taylor de grado 2:
T2 ( f ( x ), 0 ) = 2x 2
f ( x ) = 2x 2 + R2 ( f ( x ), 0 )
14
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
R2 ( f ( x ), 0 ) = Ο ( x 2 ) para x = 0
Ejercicios: Funciones una variable
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Polinomio de Taylor de grado 4:
1
T4 ( f ( x ), 0 ) = 2x 2 − x 4
2
1
f ( x ) = 2x 2 − x 4 + R4 ( f ( x ), 0 )
2
R4 ( f ( x ), 0 ) = Ο ( x 4 ) para x = 0
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
15
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Ejercicios: Funciones una variable
12 Se considera la función f ( x ) =
1
1+x
(a) Calcula una estimación del error de la aproximación de f ( x ) =
1
1+x
por su
polinomio de Taylor de grado 2 en el punto a = 0 cuando x pertenece al intervalo
0≤x ≤
1
2
(b) Calcula para esta función la diferencial en a = 0 e ∆x = 0.5 . Haz un bosquejo de esta
función y representa el valor obtenido.
(c) ¿Puedes dar una cota del error que se comete al aproximar
Solución
16
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2
3
por 1?
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
(a)
1
Consideramos la función f ( x ) =
derivando
1+x
−1/2
f ( x ) = (1 + x )
f '(x ) =
f '' ( x ) =
1⋅ 3
2
2
f ( 0) = 1
−1
−1
−3/2
f '(0) =
(1 + x )
2
2
−5/2
(1 + x )
f '' ( 0 ) =
3
4
El polinomio de Taylor de grado 2 es:
1
3
T2 ( f ( x ), 0 ) = 1 − x + x 2
2
8
Utilizando el resto de Lagrange el error es
f ( x ) − T2 ( f ( x ) ; 0 ) =
Si 0 ≤ x ≤
f ''' ( c )
3!
x3 =
1⋅ 3⋅ 5
3
2 3!
7/2
(1 + c )
x3
1
el error una estimación del error es
2
5
−7/2
(1 + c ) x 3
16
3
≤
1
2
1≤1 +c ≤1+ x
−7/2
−7/2
( 1+ x ) ≤( 1+c ) ≤1
0 ≤c ≤x ≤
(b)
c punto intermedio a 0 y a x
5 1
5
= 7
16 2
2
La diferencial es:
dy = f ' ( 0 ) ∆x =
−1
⋅ 0, 5 = −0,25
2
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S
17
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
Diferencial
1.5
Recta tangente
(xo,f(xo)
1
h
alfa
∆ y=f(xo+h)-f(xo)
y=f(x)
0.5
(xo+h,f(xo+h)
dy
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Para que se vea mejor la gráfica corresponde a un incremento de valor 3.
(c)
1
Se está pidiendo calcular una cota del error de sustituir f =
2
1
1+
1
2
=
2
3
por f ( 0 ) = 1 . Es decir acotar ∆y que sabemos que para incrementos pequeños se
puede aproximar por la diferencial, luego, ∆y ≈ 0.25 .
Otra forma es utilizar el resto de Lagrange
f ' (c )
1
∆y = f − f ( 0 ) =
x
2
1!
con 0 < c <
1
2
es decir,
1
1
−3/2
f − f ( 0 ) = − ( 1 + c )
x
2
2
con 0 < c <
1
2
Por el mismo razonamiento que antes
1
1
−3/2
1 1
f − f ( 0 ) = − ( 1 + c )
x ≤ ⋅ = 0, 25
2
2
2 2
13 Sea f ( x ) = x log ( 1 + x ) . Se pide:
(a) Escribir la fórmula de Taylor para f(x) en x=0 de orden n con el resto de
Lagrange.
18
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Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
(b) Dar una cota del error al aproximar
11
1
log
10
10
mediante el polinomio de Taylor
de grado 3.
Solución:
(a)
f ( x ) = x log ( 1 + x )
En primer lugar calculamos la derivada n-ésima.
Método 1: Calculamos las derivadas sucesivas
f ' ( x ) = log ( 1 + x ) +
f '' ( x ) =
x
1+x
(1 + x ) − x
−1
−2
1
+
= (1 + x ) + (1 + x )
2
1+x
(1 + x )
−2
+ ( −2 )( 1 + x )
−3
+ ( −2 )( −3 )( 1 + x )
f ''' ( x ) = ( −1 )( 1 + x )
f iv ( x ) = ( −1 )( −2 )( 1 + x )
−3
−4
n
f (n ( x ) = ( −1 )
n
= ( −1 )
f
(n
−( n −1 )
(n − 2 )!(1 + x )
n
+ ( −1 )
(1 + x )
n −1
n
−
2
!
+
(
)
n
1+x n
) (1 + x )
(
n
( 0 ) = ( −1 )
n
=
n
( −1 ) ( n − 2 ) ! ( n + x )
=
n
(1 + x )
f (n ( 0 )
(n − 2 )!
−n
(n − 1)!(1 + x )
n!
n
=
( −1 )
n −1
(n
≥ 2)
Método 2: Aplicando la fórmula de Leibniz
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S
19
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
n
n
(n
(n −1
f (n ( x ) = x log ( 1 + x ) + log ( 1 + x )
0
1
Calculamos entonces la derivada n-ésima de g ( x ) = log ( 1 + x )
1
−1
= (1 + x )
1+x
g ' (x ) =
−2
g '' ( x ) = ( −1 )( 1 + x )
−3
g ''' ( x ) = ( −1 )( −2 )( 1 + x )
n +1
g (n ( x ) = ( −1 )
−n
( n − 1) ! (1 + x )
n +1
, g (n ( 0 ) = ( −1 )
En el origen g ' ( 0 ) = 1
n ≥2
( n − 1) !
n ≥2
Nota: En esta última expresión si consideramos n=1 se obtiene la derivada
primera en el origen por lo que puede considerarse válida para
n +1
g (n ( 0 ) = ( −1 )
( n − 1) !
n ≥1
Por lo tanto,
n +1
f
(n
n
( −1 ) ( n − 1 ) !
( −1 ) ( n − 2 ) !
+n
=
(x ) = x
n
n −1
(1 + x )
(1 + x )
n
n
( −1 ) ( n − 2 ) !
( −1 ) ( n − 2 ) ! ( x
=
−
x
n
−
1
+
n
1
+
x
=
( (
) (
))
n
n
(1 + x )
(1 + x )
f
(n
n
( 0 ) = ( −1 )
(n − 2 )!
n
f (n ( 0 )
n!
n
=
( −1 )
n −1
(n
≥ 2)
La fórmula de Taylor será:
n
x log ( 1 + x ) = x 2 + ... +
20
( −1 )
n −1
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xn +
f (n +1 ( t )
( n + 1) !
x n +1
con t entre 0 y x
+ n)
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
Como
n +1
f
(n +1
(x ) =
( −1 )
( n − 1) ! ( x + n + 1)
n +1
(1 + x )
el resto es:
Rn =
f (n +1 ( t )
(n + 1)!
Apartado (b) Si consideramos x =
n +1
x n +1 =
( −1 ) ( t + n + 1 ) n +1
x
n +1
n
+
1
n
1
+
t
(
) (
)
1
la aproximación por este polinomio es
10
n
( −1 ) 1 n
1
1
1
log 1 + ≈
+ ... +
10
10 100
n − 1 10
cometiéndose por error,
n +1
Error = Rn
( −1 ) ( t + n + 1 ) 1 n +1
=
n +1
( n + 1 ) n ( 1 + t ) 10
con t entre 0 y
1
10
Una cota del error para n=3 es:
4
Error =
≤
( −1 ) ( t + 4 ) 1 4
4
12 ( 1 + t ) 10
≤
1
+ 4 = 41
12 ⋅ 105
12 ⋅ 10 10
1
0<t <
4
1
10
Donde se ha tenido en cuenta que:
1
10
1
Si 0 < t <
10
Si 0 < t <
⇒
⇒
⇒
1
41
+4=
10
10
11
1 < (1 + t ) <
10
(t + 4 ) <
11 4
4
1 < ( 1 + t ) <
10
⇒
⇒
1
4
11
10
<
1
4
<1
(1 + t )
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S
21
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
Por lo tanto una cota del error podría ser: Error ≤
41
12 ⋅ 105
14 Considera la función f ( x ) = x 1 + x .
(a) Determina la expresión del resto n-ésimo del polinomio de Taylor de la función en
x=0
(b) Determina el grado del polinomio de Taylor de la función f ( x ) en x=0 que permite
aproximar
2
con un error menor que una décima.
Solución:
(a) Aplicando la fórmula de Leibniz para obtener la derivada n-ésima de
f (x ) = x 1 + x
Se tiene que
n
n
f (n ( x ) = xg (n ( x ) + g (n −1 ( x ) siendo g ( x ) =
0
1
1/2
1 + x = (1 + x )
Por inducción puede probarse que
n
2n −1
( −1 ) 1 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ ( 2n − 3 )
−
1 + x ) 2
(
n
(n
2
g (x ) =
1
( −1 )
−
1+x) 2
n =1
(
2
n ≥2
Podemos considerar que la derivada
n
g
(n
(x ) =
( −1 )
1 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ ( 2n − 3 )
2n
2n −1
−
2
(1 + x )
n∈
tomando como convenio que en la fórmula anterior se tomará
1 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ ( 2n − 3 ) ≡ 1 si
Luego,
22
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
( 2n − 3 ) < 1
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
n +1
f (n ( x ) = x
( −1 )
2n
1 ⋅ 3 ⋅ 5... ⋅ ( 2n − 3 )
2n −1
n +1
+n
( −1 )
1 ⋅ 3 ⋅ 5... ⋅ ( 2n − 5 )
2n −1
(1 + x )
2n − 3
(1 + x )
La expresión del resto n-ésimo es:
f (n +1 ( t )
Rn ( f , x ) =
(n + 1)!
x n +1 con t un punto intermedio entre 0 y x
sustituyendo
f (n +1 ( t )
( n + 1) !
x
n +1
n +2
n +1
1 ⋅ 3 ⋅ 5... ⋅ ( 2n − 1 )
( −1 )
( −1 ) 1 ⋅ 3 ⋅ 5... ⋅ ( 2n − 3 )
= t
+n
2n +1
2n −1
2n +1 ( 1 + t )
2n ( 1 + t )
x n +1
( n + 1) !
con t un punto intermedio entre 0 y x.
(b) Se tiene que f ( 1 ) = 2 luego se trata de determinar el valor de n de forma
que
Rn ( f ,1 ) =
f (n +1 ( t )
( n + 1) !
1n +1 <
1
10
siendo t un punto intermedio a 0 y a 1.
Se tiene, aplicando la desigualdad triangular,
n +2
Rn ( f ,1 )
≤
n +1
( −1 ) 1 ⋅ 3 ⋅ 5... ⋅ ( 2n − 1 )
( −1 ) 1 ⋅ 3 ⋅ 5... ⋅ ( 2n − 3 )
1
=
t
+n
≤
2n +1
2n −1
( n + 1) !
2n +1 ( 1 + t )
2n ( 1 + t )
1 ⋅ 3 ⋅ 5... ⋅ ( 2n − 1 )
n +1
( n + 1 ) !⋅ 2
t
2n +1
(1 + t )
+
1 ⋅ 3 ⋅ 5... ⋅ ( 2n − 3 ) ⋅ n
( n + 1 ) !2
n
1
2n −1
(1 + t )
siendo t un punto intermedio a 0 y a 1.
k
Como 0 < t < 1 ⇒ 1 < ( 1 + t ) < 2 ⇒ 1k < ( 1 + t ) < 2k si k es natural
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S
23
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
⇒1=
k
(1 + t )
1k <
1
2k si k es natural ⇒
<
k
<1
(1 + t )
Luego,
Rn ( f ,1 ) ≤
1 ⋅ 3 ⋅ 5... ⋅ ( 2n − 1 )
n +1
( n + 1 ) !⋅ 2
+
1 ⋅ 3 ⋅ 5... ⋅ ( 2n − 3 ) ⋅ n
( n + 1 ) !2n
Para resolver el problema basta encontrar el número n que hace que:
1 ⋅ 3 ⋅ 5... ⋅ ( 2n − 1 )
n +1
( n + 1 ) !⋅ 2
+
1 ⋅ 3 ⋅ 5... ⋅ ( 2n − 3 ) ⋅ n
( n + 1 ) !2
n
≤
1
10
Dando valores a n vemos que se cumple para n=3, es decir,
R3 ( f ,1 ) ≤
1⋅ 3⋅ 5
4 !2
4
+
1⋅ 3⋅ 3
4 !2
3
≤
1
10
y el polinomio que se ha de tomar es de grado 3.
15
Calcular mediante el polinomio de Taylor con un error menor que una décima el valor
de
1
3
e2
Representar de forma aproximada la gráfica de la función y del polinomio de
Taylor obtenido en el apartado anterior.
Solución:
(a) Observamos que
1
3
e
2
= e −2/3 . Una posibilidad para hacer el ejercicio es
tomar como función f ( x ) = e x . El punto donde desarrollaremos será a=0 y
el punto donde aproximaremos la función por el polinomio de Taylor será
x =−
2
3
Como
f (n ( x ) = e x ∀n ∈ ⇒ f (n ( 0 ) = 1
es sencillo ver que la fórmula de Taylor es
24
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
∀n ∈ Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
f (x ) = 1 + x +
x2
xn
+ ... +
+ Rn ( f , x )
2!
n!
donde Rn ( f , x ) =
e t x n +1
siendo t un punto intermedio a 0 y a “x”
( n + 1) !
Haciendo x = −
2
3
2
se tiene que el error al sustituir f − = e−2/3 por el
3
polinomio de Taylor de grado n en el punto –2/3 es
2
Rn f , − =
3
2 n +1
et −
3
( n + 1) !
2
3
siendo − < t < 0
Como
2 n +1
e −
3
t
2
Rn f , − =
3
( n + 1) !
≤
2
− <t < 0
3
⇒et <e 0 =1
2 n +1
1 ⋅
3
2n +1
=
n
+
1
( n + 1) ! 3 ( n + 1) !
Hay que encontrar el valor de n que hace
2n +1
n +1
3
( n + 1) !
<
1
⇔ 10 ⋅ 2n +1 < 3n +1 ( n + 1 ) !
10
(I)
ya que así se tendrá:
2
2n +1
1
Rn f , − ≤
<
n
+
1
3
3
( n + 1 ) ! 10
Dando valores a n en la desigualdad (I)
n = 1 ⇒ 10 ⋅ 22 < 32 ⋅ 2 !
NO
n = 2 ⇒ 10 ⋅ 23 < 33 ⋅ 3 !
SI
Luego el polinomio buscado es el segundo
1
3
e2
= e −2/3 ≅ 1 +
−2
+
3
2 2
−
3
2!
= 1−
2 2
5
+ =
3 9
9
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S
25
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
16 La fórmula de Machin
1
1
1
π = 4arctg − arctg
4
5
239
puede usarse para aproximar los valores de π . Utilizar el desarrollo de Taylor
de
la
función arctg ( x ) hasta tercer orden y la fórmula de Machin para calcular el valor de π .
Dar una cota para el error de la aproximación justificando adecuadamente la respuesta.
Nota: En el caso de cálculos finales se puede dejar indicada la operación.
Solución:
Se considera la función f ( x ) = arctg ( x )
a =0
Las derivadas necesarias son:
f '(x ) =
1
f '(0) = 1
1 + x2
f '' ( x ) =
f ''' ( x ) =
−2x
2
(1 + x 2 )
6x 2 − 2
3
(1 + x 2 )
24 ( x − x 3 )
iv
f (x ) =
4
(1 + x 2 )
f '' ( 0 ) = 0
f ''' ( 0 ) = −2
1
3
El polinomio de Taylor en a=0 es: P3 = x − x 3
El error:
26
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Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
f ( x ) − P3 ( x ) = R3 =
24 t − t 3
4 !(1 + t
2
)
x4 ≤
(x
+ x
3
)x
4
(*)
siendo t un punto intermedio entre 0 y x.
El valor aproximado es:
π = 16arctg
1
1 5359397032
1
1
− 4arctg
≈ 16P3 − 4P3
=
≈ 3.1406
5
239 1706489875
5
239
y una estimación del error es:
1
1
11
1 1
18530137318094369864
error ≤ 16 + + 4
+
=
≈ 0.0053248
5 53 54
239 2393 2394
3479968693705631171875
Luego: π = 3.1406 ± 0.0053248
Observación: En la acotación (*) se ha utilizado la desigualdad triangular.
Podía
haberse
función g ( t ) =
obtenido
t − t3
(1 + t 2 )
otra
cota
por
ejemplo,
considerando
la
y observando que es creciente en el intervalo [0, 1/5].
Para valores de x en este intervalo se podrá acotar:
g (t ) =
t − t3
(1 + t 2 )
≤ g (x )
0<t <x
En este caso, para valores de x en el intervalo [0, 1/5] se tendrá:
f ( x ) − P3 ( x ) = R3 ≤
x − x3
(1 + x 2 )
x4 =
x 5 (1 − x 2 )
(1 + x 2 )
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S
27
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
De esta manera para x=1/5, x=1/239
1
1
1
1
arctg − P3 = f − P3 = R3
5
5
5
5
1
1
−
5 53 1
52 − 1
≤
=
4
55 ( 52 + 1 )
1 + 1 5
2
5
1
1
1
1
arctg
− P3
= f
− P3
=
239
239
239
239
1
1
−
239 2393 1
2392 − 1
= R3 ≤
=
4
2395 ( 2392 + 1 )
1 + 1 239
2392
17 (a)
(
5
)
Calcular la derivada enésima de la función f ( x ) = log ( 1 − x ) .
(b) Calcular el conjunto de números reales x de manera que el polinomio de MacLaurin
(
5
de f ( x ) = log ( 1 − x )
(c)
) de grado 3 permita aproximar f(x) con un error menor que 10
−4
Calcular de forma aproximada el valor de log ( 1'15 ) con la aproximación de la
ordenada de la recta tangente dando una estimación del error
Solución:
(a) Derivando
(
5
f ( x ) = log ( 1 − x )
f '(x ) =
) = 5 log (1 − x )
−5
−1
= −5 ( 1 − x )
1−x
→
f ( 0) = 0
→
f ' ( 0 ) = −5
'
−1
−2
f '' ( x ) = −5 ( 1 − x ) = −5 ( 1 − x )
→
f '' ( 0 ) = −5
−3
f ''' ( x ) = −5 ⋅ 2 ( 1 − x )
→
f ''' ( 0 ) = −10
…
−n
f (n ( x ) = −5 ⋅ ( n − 1 ) !⋅ ( 1 − x )
28
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
→
f (n ( 0 ) = −5 ⋅ n !
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
(a) El polinomio de Taylor de grado 3 es:
5
5
−5
f ( x ) = −5x − x 2 − x 3 +
x4
4
2
3
4 (1 − t )
Para que error = f ( x ) − T3 =
−5
4
siendo t intermedio a 0 y x:
x 4 < 10−4
basta que:
4 (1 − t )
Si x>0. Como el logaritmo solo está definido para valores positivos se
tiene
que
se
deberá
cumplir:
1 − x > 0 ⇔ x < 1.
Por
lo
tanto
supondremos que 0 < x < 1
Entonces 0<t<x<1
error =
0<1-x<1-t<1 como
−5
4
x
4 (1 − t )
Basta hacer
4
5
<
4
5 x
x = ⋅
4 1 − x
4
4
4 (1 − x )
4
x 4
5 x
4 ⋅ 10−4
x
−4
< 10 ⇔
<
⇔
<
x
0
<
<
1
1 − x
4 1 − x
5
1−x
4
4
⋅ 10−1 = A
5
Es decir,
x
A
< A ⇔ x < (1 − x ) A ⇔ x <
1−x
1+A
Si x<0 entonces x<t<0
error =
1<1-t<1-x
−5
4
4 (1 − t )
Basta hacer
x4 <
como
5 4
x
4
5 4
4 ⋅ 10−4
x < 10−4 ⇔ x 4 <
⇔x <
4
5
4
4
⋅ 10−1
5
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
29
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
(b) Si se aproxima por la recta tangente:
(
5
log ( 1 − x )
) = −5x − 2 (1 −5 t ) x
2
2
con t intermedio entre 0 y x
Se tiene que:
(
5
log ( 1'1 )
) = log ((1 − x ) ) ⇔ 1'1 = 1 − x ⇔ x = −0 '1
5
Luego
5 log ( 1'1 ) = −5 ⋅ ( −0 '1 ) −
5
2
2 (1 − t )
2
( −0 '1 ) con t intermedio entre 0 y -0’1
El valor aproximado es:
5 log ( 1'1 ) ≈ 0 ' 5
y una cota del error:
error = 5 log ( 1'1 ) − 0 ' 5 =
5
( 0 ' 01 ) <
2
−0 '1<t < 0
2 (1 − t )
0 <−t <0 '1
5 ⋅ 10−2
2
1<1−t <1'1
1
<1
1−t
18 Sea f ( x ) = x log ( 1 + x ) . Se pide:
(a) Escribir la fórmula de Taylor para f(x) en x=0 de orden n con el resto de Lagrange.
(b) Dar una cota del error al aproximar
11
1
log
10
10
mediante el polinomio de Taylor
grado 3.
Solución:
Apartado (a)
f ( x ) = x log ( 1 + x )
30
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
de
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
En primer lugar calculamos la derivada n-ésima.
Método 1: Calculamos las derivadas sucesivas
f ' ( x ) = log ( 1 + x ) +
f '' ( x ) =
x
1+x
(1 + x ) − x
−1
−2
1
+
= (1 + x ) + (1 + x )
2
1+x
(1 + x )
−2
+ ( −2 )( 1 + x )
−3
+ ( −2 )( −3 )( 1 + x )
f ''' ( x ) = ( −1 )( 1 + x )
f iv ( x ) = ( −1 )( −2 )( 1 + x )
−3
−4
n
f (n ( x ) = ( −1 )
n
= ( −1 )
−( n −1 )
(n − 2 )!(1 + x )
n
+ ( −1 )
(1 + x )
n −1
+
(n − 2 )!
n
n
(1 + x )
( 1 + x )
n
f (n ( 0 ) = ( −1 ) n
=
n
( −1 ) ( n − 2 ) ! ( n + x )
=
n
(1 + x )
f (n ( 0 )
(n − 2 )!
−n
(n − 1)!(1 + x )
n!
n
=
( −1 )
n −1
(n
≥ 2)
Método 2: Aplicando la fórmula de Leibniz
n
n
(n
(n −1
f (n ( x ) = x log ( 1 + x ) + log ( 1 + x )
0
1
Calculamos entonces la derivada n-ésima de g ( x ) = log ( 1 + x )
g ' (x ) =
1
−1
= (1 + x )
1+x
−2
g '' ( x ) = ( −1 )( 1 + x )
−3
g ''' ( x ) = ( −1 )( −2 )( 1 + x )
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
31
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
n +1
g (n ( x ) = ( −1 )
−n
( n − 1) ! (1 + x )
n +1
, g (n ( 0 ) = ( −1 )
En el origen g ' ( 0 ) = 1
n ≥2
( n − 1) !
n ≥2
Nota: En esta última expresión si consideramos n=1 se obtiene la derivada
primera en el origen por lo que puede considerarse válida para
n +1
g (n ( 0 ) = ( −1 )
( n − 1) !
n ≥1
Por lo tanto,
n +1
f
(n
n
( −1 ) ( n − 1 ) !
( −1 ) ( n − 2 ) !
+n
=
(x ) = x
n
n −1
(1 + x )
(1 + x )
n
n
( −1 ) ( n − 2 ) !
( −1 ) ( n − 2 ) ! ( x
=
−x ( n − 1 ) + n ( 1 + x ) ) =
(
n
n
(1 + x )
(1 + x )
f
(n
n
( 0 ) = ( −1 )
f (n ( 0 )
(n − 2 )!
n
n!
n
=
( −1 )
n −1
(n
≥ 2)
La fórmula de Taylor será:
n
x log ( 1 + x ) = x 2 + ... +
( −1 )
n −1
xn +
f (n +1 ( t )
( n + 1) !
x n +1
con t entre 0 y x
Como
n +1
f
(n +1
(x ) =
( −1 )
( n − 1) ! ( x + n + 1)
n +1
(1 + x )
el resto es:
Rn =
32
f (n +1 ( t )
(n + 1)!
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
n +1
x
n +1
( −1 ) ( t + n + 1 ) n +1
=
x
n +1
( n + 1) n (1 + t )
+ n)
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
Apartado (b) Si consideramos x =
1
la aproximación por este polinomio es
10
n
( −1 ) 1 n
1
1
1
log 1 + ≈
+ ... +
10
10 100
n − 1 10
cometiéndose por error,
n +1
Error = Rn
( −1 ) ( t + n + 1 ) 1 n +1
=
n +1
( n + 1 ) n ( 1 + t ) 10
con t entre 0 y
1
10
Una cota del error para n=3 es:
4
Error =
≤
( −1 ) ( t + 4 ) 1 4
4
12 ( 1 + t ) 10
≤
1
+ 4 = 41
12 ⋅ 105
12 ⋅ 104 10
1
0<t <
1
10
Donde se ha tenido en cuenta que:
1
10
1
Si 0 < t <
10
Si 0 < t <
⇒
⇒
⇒
1
41
+4=
10
10
11
1 < (1 + t ) <
10
(t + 4 ) <
11 4
4
1 < ( 1 + t ) <
10
1
⇒
Por lo tanto una cota del error podría ser: Error ≤
19
⇒
4
11
10
<
1
4
<1
(1 + t )
41
12 ⋅ 105
Encuentra un infinitésimo equivalente a la función f ( x ) = e x − e sen x en x=0
Solución:
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
33
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
Utilizando polinomios de Taylor analizamos el orden de la primera derivada no nula
en x=0. Se tiene que:
f ' ( x ) = e x − esenx cos x ⇒ f ' ( 0 ) = 0
f '' ( x ) = e x − esenx cos2 x + esenx senx
⇒ f '' ( 0 ) = 0
f ''' ( x ) = e x − esenx cos3 x + esenx 2 cos xsenx + esenx senx cos x + esenx cos x
⇒ f ''' ( 1 ) = 1 ≠ 0
Aplicando la fórmula de Taylor:
f (x ) = f ( 0) +
f '( 0)
1!
x +
f '' ( 0 )
2!
x2 +
f ''' ( 0 )
3!
x 3 + R3 =
1 3
x + R3
6
donde el resto es un infinitésimo de orden superior a tres. Por lo tanto f(x) es un
infinitésimo de orden 3.
Polinomio de Taylor
f ( x ) = ex − e
Polinomio de Taylor de grado 5 en x=0
T5 ( f ( x ), 0 ) =
34
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
1 3 1 4
3 5
x + x +
x
6
6
40
sen ( x )
Ejercicios: Funciones una variable
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
20 Calcular la parte principal de los infinitésimos:
(a)
x arctg
x
2
(b)
senx − x cos x
Solución:
x
f ( x ) = xarctg
2
Polinomio de Taylor: Apartado (a)
Polinomio de Taylor de grado 4 en x=0
T4 ( f ( 4 ), 0 ) =
1 2
1
x − x4
2
24
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
35
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Ejercicios: Funciones una variable
Polinomio de Taylor: Apartado (b)
f ( x ) = senx − x cos x
Polinomio de Taylor de grado 5 en x=0
T5 ( f ( 4 ) , 0 ) =
36
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
1 3
1
x − x5
3
30
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
21 Utilizando polinomios de Taylor calcular los siguientes límites:
x arctg
(a)
lim
x →0
x
2
2
cos x ( sen 2x )
=
1
(b)
8
sen x − x cos x
2
=
x → 0 x ( 1 − cos x )
3
lim
(c )
lim
x →0 ex
ex
+ senx
=1
Solución:
Función
f (x ) =
xarctgx
2
cos x ( sen ( 2x ) )
El polinomio de Taylor en x=0 es:
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
37
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Ejercicios: Funciones una variable
x
2
Función: f1 ( x ) = xarctg
Función: f2 ( x ) = cos(x ) ( sen ( 2x ) )
2
38
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Ejercicios: Funciones una variable
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Función
f (x ) =
senx − x cos x
x ( 1 − cos x )
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
39
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
40
Ejercicios: Funciones una variable
Función: f1 ( x ) = senx − x cos x
Función: f2 ( x ) = x ( 1 − cos x )
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Funciones una variable
Fundamentos Matemáticos I
Función
f (x ) =
senx
x
senx
=1
x →0 x
f ( 0 ) = lim
Las derivadas son:
f '(x ) =
f '(x ) = −
x cos x − s enx
x2
f ' ( 0 ) = lim
h
h →0
senx
cos x
senx
−2
+2
2
x
x
x3
f ''' ( x ) = −
f (0 + f ) − f (0)
f '' ( 0 ) = lim
=0
f '(0 + f ) − f '(0)
h →0
h
cos x
senx
cos x
senx
+3
+6
−6
2
3
x
x
x
x4
1
6
El polinomio de Taylor de orden 2 es T2 = 1 − x 2
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
41
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Ejercicios: Funciones una variable
Nota: Si en la solución de algún ejercicio crees que hay algún error ponte en contacto con la
profesora para su corrección.
42
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Matemáticas
1
1
EJERCICIOS RESUELTOS:
Funciones de varias variables
Elena Álvarez Sáiz
Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación
Universidad de Cantabria
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Func. varias variables
Fundamentos Matemáticos I
1
Dada las superficies
(1)
z = x 2 + y2
Se pide:
(a) Representar las trazas
(b) Obtener las curvas de nivel
(c) Realizar un bosquejo de su gráfica
Se trata de un paraboloide
Al cortar por planos x=cte: Parábolas z = cte + y 2
2
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
(2)
y =
x2 z2
−
4
9
Ejercicios: Func. varias variables
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Al cortar por planos y=cte: Parábolas z = x 2 + cte
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
3
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Ejercicios: Func. varias variables
Al cortar por planos z=cte (curvas de nivel): Circunferencias Cte = x 2 + y 2
4
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
(Cte > 0 )
Ejercicios: Func. varias variables
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
(2) Se trata de un hiperboloide
Curvas x=cte: Parábolas y = Cte −
z2
9
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
5
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Ejercicios: Func. varias variables
Curvas y=cte: Hipérbolas Cte =
Curvas: z=cte: Parábolas y =
2
6
x 2 z2
−
4
9
x2
− Cte
4
x +y
Representar el dominio de la función f ( x, y ) =
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
x 2 − y 2 e x −y
Ejercicios: Func. varias variables
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
El dominio es el conjunto de los puntos Domf =
{( x, y ) ∈ 2 / ( x . − y )( x + y ) ≥ 0,
x ≠ y}
es decir, los puntos del plano comprendidos entre las rectas x=y, x=-y salvo los de la recta
x=y, gráficamente
3
Se considera la función f ( x , y ) = e xy +
x
∂f ∂f ∂2 f
∂2 f
+ sen ( ( 2x + 3y ) π ) . Calcular
,
,
,
, fx ( 0,1 ) ,
y
∂x ∂y ∂x 2 ∂x ∂y
fy ( 2, −1 ) , fxx ( 0,1 ) , fxy ( 2, −1 ) .
Solución:
∂f
1
= ye xy + + 2π cos ( ( 2x + 3y ) π )
∂x
y
∂f
x
= xe xy −
+ 3π cos ( ( 2x + 3y ) π )
∂y
y2
∂2 f
∂x
2
2
= y 2e xy − ( 2π ) sen ( ( 2x + 3y ) π )
1
∂2 f
= e xy + xye xy −
− 6π2sen ( ( 2x + 3y ) π )
2
∂x ∂y
y
fx ( 0,1 ) = 1 + 1 + 2π cos ( 3π ) = 2 − 2π
4
Dada la función
xy 4 − x 4y
f (x , y ) =
x 3 + y3
0
x ≠ −y
x = −y
a) Hallar fx ( 0, 0 ) y fy ( 0, 0 )
b) Calcule fx ( x , y ) y fy ( x , y )
c) Es fxy ( 0, 0 ) = fyx ( 0, 0 ) ?
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
7
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Func. varias variables
Fundamentos Matemáticos I
Solución:
f (0 + h, 0) − f (0, 0)
h →0
h
a ) fx (0, 0) = lim
(0 + h )04 − (0 + h )4 0
= lim
h →0
(0 + h )3 + 03
h
−0
= lim
0
h →0 h 4
f (0, 0 + h ) − f (0, 0)
h →0
h
0(0 + h )4 − 04 (0 + h )
=0
fy (0, 0) = lim
= lim
h →0
= lim
0
h →0 h 4
03 + (0 + h )3
h
−0
=0
b) Supongamos ahora que ( x, y ) con x ≠ −y , entonces
fx =
fy =
(y 4 − 4x 3y )(x 3 + y 3 ) − (xy 4 − x 4y )(3x 2 )
(x 3 + y 3 )2
(4xy 3 − x 4 )(x 3 + y 3 ) − (xy 4 − x 4y )(3y 2 )
(x 3 + y 3 )2
En los puntos ( a, −a ) se tendrá:
fx (a, −a ) = lim
h→0
8
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
f (a + h, −a ) − f (a, −a )
h
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Func. varias variables
Fundamentos Matemáticos I
4
= lim
4
(a + h )( −a ) − (a + h ) ( −a )
−0
3
3
a
+
h
+
−
a
(
) ( )
h →0
h
4
4
(a + h )( −a ) − (a + h ) ( −a )
3
3
h →0
h ( a + h ) + ( −a )
= lim
5
Como el numerador tiende a 2a y el denominador a cero este límite no existe para a ≠ 0 .
c)
∂ ∂f
(0, 0)
∂y ∂x
∂fx
f (0, 0 + h ) − fx (0, 0)
∂ ∂f
(0, 0) = lim x
(0, 0) =
h →o
∂y ∂x
∂y
h
((0 + h )4 − 4.03.(o 3 + (0 + h )3 ) − (0(0 + h )4 − 04 (0 + h ))(0)
= lim
h →o
(03 + (0 + h )3 )2
h
h7
= lim
=1
h →o h 7
∂ ∂f
(0, 0)
∂x ∂y
∂fy
fy (0 + h, 0) − fy (0, 0)
∂ ∂f
(0, 0) = lim
(0, 0) =
h →o
∂x ∂y
∂x
h
3
4
(4(0 + h )0 − (0 + h ) ).((0 + h )3 + 03 − ((0 + h )04 − (0 + h )4 0)(0)
= lim
h →o
(03 + (0 + h )3 )2
h
−h 7
= lim
= −1
h →o h 7
Luego no se verifica que fxy(0,0)=fyx(0,0).
5
El precio de un piso P en función de la superficie S y de la calidad de los materiales C viene dado por una
función P ( S ,C ) . ¿Es razonable que
∂P
∂P
> 0 ? ¿Es razonable que
< 0?
∂C
∂S
Solución:
∂P
> 0 significa que a mayor calidad de los materiales aumenta el precio de la
∂C
vivienda. Parece razonable.
Si
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
9
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Ejercicios: Func. varias variables
∂P
< 0 significaría que al aumentar la superficie del piso el precio disminuiría.
∂S
Esto no parece lógico.
Si
Funciones diferenciables. Diferencial de una función de dos variables
6
f (x , y ) = x 2 + y 2 pruebe que es diferenciable en (0,0)
Sea
Solución:
Forma 1.- Utilizando la definición
a)
∂f
(0, 0)
∂x
b)
∂f
(0, 0) = 0
∂y
f (0 + h, 0) − f (0, 0)
h→0
h
= lim
(análogo al apartado a) ya que la función es simétrica)
c) f ( (0, 0) + (∆x, ∆y ) ) = f (0, 0) +
10
(0 + h )2 − 0
h2
= lim
=0
h→0
h→0 h
h
= lim
∂f
∂f
(0, 0).∆x +
(0, 0)∆y + ε(∆x, ∆y )
∂x
∂y
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
2
( ∆x )
2
+ ( ∆y )
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Func. varias variables
Fundamentos Matemáticos I
Entonces
f (∆x , ∆y ) = 0 + 0∆x + 0∆y + ε(∆x, ∆y )
2
ε(∆x , ∆y ) =
( ∆x )
2
( ∆x )
Veamos si
lim
(∆x ,∆y )→( 0,0 )
2
( ∆x )
2
+ ( ∆y )
⇒
2
+ ( ∆y )
2
=
2
2
( ∆x )
+ ( ∆y )
lim
ρ =0
+ ( ∆y )
ε(∆x , ∆y ) = 0
Utilizando coordenadas polares:
lim
(∆x ,∆y )→( 0,0 )
ε(∆x , ∆y ) =
ρ→0
ϕ ∈ 0,2 π
Luego la función es diferenciable.
Forma 2.Como en todos los puntos del plano existen las derivadas parciales y además son
continuas la función es diferenciable en todo ( x, y ) ∈ 2 . En particular en el (0, 0).
7
Considere la función f(x,y) dada por:
xy
, (x , y ) ≠ (0, 0)
f (x , y ) = x 2 + y 2
(x, y ) = (0, 0)
0,
a) Halle
∂f
( 0, 0 )
∂x
y
∂f
( 0, 0 )
∂y
b) ¿Es f(x,y) diferenciable en (0,0)?
c) ¿Qué puede concluir de (a) y (b) respecto a la diferenciabilidad de la función?
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11
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Func. varias variables
Fundamentos Matemáticos I
Solución:
a) Calculamos las derivadas parciales en el origen
(0 + h ) − 0
−0
f (0 + h, 0) − f (0, 0)
(0 + h )2 + 02
∂f
(0, 0) = lim
= lim
h →0
h →0
∂x
h
h
0.(0 + h )
2
f (0, 0 + h ) − f (0, 0)
0 + (0 + h )2
∂f
(0, 0) = lim
= lim
h →0
h →0
∂y
h
h
0
= lim
h →0 h 3
−0
0
= lim
=0
=0
h →0 h 3
b) Usemos la definición de diferenciabilidad:
f ( (0, 0) + (∆x , ∆y ) ) = f (0, 0) +
∂f
∂f
(0, 0)∆x +
(0, 0)∆y + ε(∆x , ∆y )
∂x
∂y
2
( ∆x )
2
+ ( ∆y ) ,
∆x .∆y
2
f (∆x , ∆y ) = ε(∆x , ∆y )
2
( ∆x )
2
+ ( ∆y )
entonces
2
( ∆x ) .( ∆y )
ε(∆x , ∆y ) =
2
2
( ∆x )
⇒
12
lim
(∆x ,∆y )→(0,0)
( ∆x ) .( ∆y )
2
2
( ∆x ) + ( ∆y )
2
( ∆x )
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2
+ ( ∆y )
=
lim
(∆x ,∆y )→(0,0)
+ ( ∆y )
( ∆x ) .( ∆y )
(( ∆x )
2
2
+ ( ∆y )
)
3
,
2
luego:
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Func. varias variables
Fundamentos Matemáticos I
pero calculando los límites radiales:
( ∆x ) .( ∆y )
lim
(∆x ,∆y )→(0,0)
∆y =m ∆x
(( ∆x )
2
2
+ ( ∆y )
)
3
2
∆x → 0
(( ∆x )
2
2
+ ( m ⋅ ∆x )
)
3
=
2
m
= lim
∆x → 0
( ∆x ). ( m ⋅ ∆x )
= lim
∆x ( 1 + m 2 )
3
2
nos damos cuenta que no existe este límite. Por lo tanto, la función dada, no es
diferenciable en el (0,0)
c)
Podemos concluir que el hecho de que las derivadas parciales existan en el (0,0) no
asegura diferenciabilidad en el punto
8
Sea la función
x 2y
,(x , y ) ≠ (0, 0)
f (x , y ) =
x 4 + y2
0,
(x, y ) = (0, 0)
1. Halle
∂f
(x , y )
∂x
y
∂f
(x , y )
∂y
2. ¿En qué direcciones v existe Dfv (0, 0)
?
3. ¿Es f(x,y) diferenciable en (0,0)?
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13
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Ejercicios: Func. varias variables
Fundamentos Matemáticos I
Solución:
a)
Si
( x, y ) ≠ ( 0, 0 ) ⇒
∂f
2xy 3 − 2x 5y
( x, y ) =
2
∂x
(x 4 + y2 )
Si (x,y) = (0,0), entonces
(0 + h )2 .0
f (0 + h, 0) − f (0, 0)
(0 + h )4 + 02
∂f
(0, 0) = lim
= lim
h →0
h →0
∂x
h
h
−0
= lim
0
h →0 h 5
=0
Así:
2xy 3 − 2x 5y
si ( x,y ) ≠ ( 0, 0 )
∂f
x
y
=
,
( ) ( x 4 + y 2 )2
∂x
Si ( x,y ) = ( 0, 0 )
0
x 6 − x 2y 2
si ( x,y ) ≠ ( 0, 0 )
∂f
Análogamente
( x , y ) = ( x 4 + y 2 )2
∂y
0
Si ( x,y ) = ( 0, 0 )
( PRUÉBELO ¡!!!)
Sea v = (a, b ) tal que ||v||=1
f ((0, 0) + tv ) − f (0, 0)
∂f
(0, 0) = lim
=
t →0
∂v
t
b)
at 2bt
4 4
2 2
f (tv ) − 0
f (at, bt )
= lim
= lim
= lim a t + b t
t →0
t →0
t →0
t
t
t
t 3 (a 2b )
a 2bt 3
a 2b
a2
= lim
= lim
= lim
=
t → 0 t a 4t 4 + b 2t 2
(
) t → 0 t 3 (a 4t 2 + b2 ) t → 0 a 4t 2 + b2 b
siempre que b sea distinto de cero.
En el caso de que b sea cero el vector v será (1, 0) y por lo tanto
f ((0, 0) + t ( 1, 0 )) − f (0, 0)
∂f
(0, 0) = lim
=
t →0
∂v
t
0
4
f (t, 0)
0
= lim
= lim t + 0 = lim = 0
t →0
t →0
t →0 t
t
t
Podemos concluir que la función posee derivadas direccionales en (0,0) en cualquier
dirección.
14
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Ejercicios: Func. varias variables
Fundamentos Matemáticos I
c)
Para saber si f (x,y) es diferenciable en (0,0), resulta más sencillo en este caso,
analizar primero la continuidad en (0,0). Veamos si existe
lim
(x ,y )→(0,0)
f (x, y ) : tomemos el
camino y = mx 2
lim
(x ,y )→(0,0) x
y =mx 2
x 2y
4
+y
2
= lim
x →0 x
x 2mx 2
4
2 4
+m x
= lim
x →0 1
m
+m
2
=
m
1 + m2
Como el límite depende de m (de la parábola) se puede concluir que f(x,y) no es
continua en (0,0) y en consecuencia, f(x,y) no es diferenciable en (0,0).
Notar que la existencia de derivadas parciales y derivadas
direccionales no implica
diferenciabilidad.
9
Estudia la diferenciabilidad de la siguiente función
xy
f ( x, y ) = x 2 + y 2
0
si ( x , y ) ≠ ( 0, 0 )
si ( x , y ) = ( 0, 0 )
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15
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Ejercicios: Func. varias variables
Fundamentos Matemáticos I
Solución:
(a) Calculamos inicialmente las derivadas parciales en el origen:
f ( ∆x , 0 ) − f ( 0, 0 )
∂f
0−0
= lim
=0
( 0, 0 ) = ∆lim
x →0
∆x → 0 ∆x
∂x
∆x
por simetría de la función
∂f
( 0, 0 ) = 0 .
∂y
Utilizamos la definición para ver si es
diferenciable. La función será diferenciable
si
f ( ∆x , ∆y ) − f ( 0, 0 ) −
lim
∂f
∂f
( 0, 0 ) ⋅ ∆x − ( 0, 0 ) ⋅ ∆y
∂x
∂y
2
( ∆x ,∆y )→( 0,0 )
( ∆x )
2
=0
+ ( ∆y )
Se tiene que
f ( ∆x , ∆y ) − f ( 0, 0 ) −
lim
2
( ∆x ,∆y )→( 0,0 )
=
lim
( ∆x ,∆y )→( 0,0 )
∂f
∂f
( 0, 0 ) ⋅ ∆x − ( 0, 0 ) ⋅ ∆y
∂x
∂y
( ∆x )
f ( ∆x, ∆y )
2
( ∆x )
2
=
+ ( ∆y )
2
+ ( ∆y )
lim
( ∆x ,∆y )→( 0,0 ) ∆x 2 + ∆y 2
( ) ( )
Este último límite no tiende a cero
(basta calcular los límites radiales o pasar
a coordenadas polares).
Por lo tanto la función no es diferenciable en el origen.
16
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∆x ⋅ ∆y
=
Ejercicios: Func. varias variables
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Relación entre la diferencial y la derivada direccional. Gradiente.
10
El conjunto de los puntos (x, y) con 0 ≤ x ≤ 5 , 0 ≤ y ≤ 5 es un cuadrado colocado en el primer
cuadrante del plano XY. Supongamos que se caliente ese cuadrado de tal manera que
T ( x, y ) = x 2 + y 2 es la temperatura en el punto P(x, y). ¿En qué sentido se establecerá el flujo de
calor en el punto Po ( 2, 5 ) ?
Indicación: El flujo de calor en la región está dado por una función vectorial C ( x, y )
porque su valor en cada punto depende de las coordenadas de éste. Sabemos por física
que C ( x, y ) será perpendicular a las curvas isotermas T ( x, y ) = c donde c es
constante. El gradiente y todos sus múltiplos verifican esta condición. En esta
situación nos dice la física que C = −K ∇T donde K es una constante positiva
(llamada conductividad térmica). Nótese que la razón del signo negativo es que el
calor fluye desde puntos de mayor temperatura a puntos de menor temperatura.
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17
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Ejercicios: Func. varias variables
Fundamentos Matemáticos I
Solución:
Como T ( 3, 4 ) = 25 el punto P está en la isoterma T ( x , y ) = 25 , que es un cuadrante
de la circunferencia x 2 + y 2 = 25 . Sabemos que el flujo de calor en Po ( 2, 5 ) es
C o = −K ∇To .
Como ∇T = 2xi + 2y j se tiene que ∇To = 6i + 8 j . Así el flujo de calor en Po es:
C o = −K 6i + 8 j . Como la conductividad térmica es positiva se puede afirmar que
(
)
el calor fluye en Po en el sentido del vector unitario:
− 6i + 8 j
(
u =
2
( −6 )
)
2
+ ( −8 )
3 4 =− i− j
5
5
ax +by
cos ( x + y ) − z = 0 en el punto
11 Hallar a y b para que la derivada direccional máxima de la función e
( 0, 0 )
sea 3 2 en la dirección de la bisectriz del primer cuadrante
Solución.La función z = eax +by cos ( x + y ) es continua por ser composición de funciones
continuas y es diferenciable por ser las derivadas parciales continuas en todo 2 :
∂f
= aeax +by cos ( x + y ) − eax +by sen ( x + y )
∂x
∂f
z y' =
= beax +by cos ( x + y ) − eax +by sen ( x + y )
∂y
z x' =
Esto significa que la derivada direccional en un punto siguiendo una dirección se
puede obtener como el producto escalar de la dirección por el gradiente en el punto
considerado.
Du f ( 0, 0 ) = ∇f ( 0, 0 ) , u = 3 2
Por otro lado el gradiente nos marca la dirección donde la derivada direccional es
máxima que en este caso es además la bisectriz del primer cuadrante luego en este
caso:
18
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Ejercicios: Func. varias variables
Fundamentos Matemáticos I
∇f ( 0, 0 ) = 3 2
u =
1
∇f ( 0, 0 ) =
∇f ( 0, 0 )
2 2
2 , 2
Calculando el gradiente en el origen:
∇f ( 0, 0 ) = ai + b j
se tiene que cumplir que:
a
b
u =
=
,
3 2 3 2
a 2 + b2 = 3 2
2 2
2 , 2
⇒a =b
Por lo tanto, resolviendo el sistema formado por estas dos ecuaciones:
a =b = 3
Determinar, si es posible, un vector unitario u de modo que la derivada direccional de la
1 − xy
función f ( x, y, z ) =
en el punto (1, 1, 1) y en la dirección de u sea 2 .
z
Puntuación: 10 puntos
En el punto (1, 1, 1) la función f es diferenciable por tener derivadas parciales primeras
continuas, luego la derivada direccional es:
Du f ( 1,1,1 ) = ∇f ( 1,1,1 ), u =
2
∂f
y
=−
∂x
z
∂f
( 1,1,1) = −1
∂x
Du f ( 1,1,1 ) =
( −1, −1, 0 ), (a,b, c )
∂f
x
=−
∂y
z
∂f
( 1,1,1) = −1
∂y
=
∂f
1 − xy
=−
∂z
z2
∂f
( 1,1,1) = 0
∂z
2
Se trata de resolver el sistema:
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19
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Func. varias variables
Fundamentos Matemáticos I
b = −a − 2
⇒ 2
2
2
2
a + b + c = 1
c = −1 − 2a 2 − 2 2a = −
−a − b =
2
(
2a + 1
2
)
< 0 NO
Que no tiene solución. Luego no es posible encontrar el vector pedido.
2
12 De una función z = f ( x , y ) diferenciable en todo se sabe que el plano tangente a f ( x, y ) en el punto
(1, 2) es: 2x + 3y + 4z = 1 . ¿Se puede calcular con estos datos la derivada direccional de f en la
dirección que une el punto (1, 2) con el punto (3,4)? Justificar la respuesta.
La dirección en la que nos piden calcular la derivada direccional es:
v = ( 3 − 1, 4 − 2 ) = ( 2, 2 ) ⇒ u =
1 1
v
=
,
2 2
v
Como el plano tangente en el punto (1, 2) es
2x + 3y + 4z = 1 ⇔
1
3
1
x + y +z =
(I)
2
4
4
que corresponde a la ecuación
∂f
∂f
( 1, 2 )( x − 1 ) + ( 1, 2 )( y − 2 ) = z − f ( 1, 2 ) (II)
∂x
∂y
se tiene que cumplir que
∂f
−1
( 1, 2 ) =
∂x
2
∂f
−3
( 1, 2 ) =
∂y
4
sin más que igualar los coeficientes en las dos expresiones (I) y (II)
Luego la derivada direccional pedida es:
∂f
∂f
Du ( f , ( 1, 2 ) ) = ( 1, 2 ), ( 1, 2 ) , u
∂x
∂y
13
20
Sea f : A ⊂ 2 → definida por
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−1 3 1 1
−5
−5 2
= , − ,
=
=
,
2
4 2 2
8
4 2
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Ejercicios: Func. varias variables
Fundamentos Matemáticos I
x3
f ( x, y ) = 2x 2 − y 2 − xy
0
( x, y ) ≠ ( 0, 0 )
( x, y ) = ( 0, 0 )
A) Dibujar el conjunto de puntos del plano donde f no está definida.
B) Calcular el límite direccional de la función en el origen a lo largo de la curva: y = x + x 2
C) Estudiar la continuidad y diferenciabilidad de f en el origen
D) Calcular los valores de fx ( 0, 0 ) y fxy ( 0, 0 )
E) Determinar en el punto P (2,-1) el valor de la derivada en una dirección que forma 60º con el eje
OX positivo.
Solución:
A) f(x, y) no está definida en aquellos puntos que anulen el denominador
2x 2 − y 2 − xy = 0 ⇔ y 2 + xy − 2x 2 = 0 ⇔ y =
x
−x ± x 2 + 8x 2
=
−
2x
2
Es decir, la función f no está definida sobre las rectas y = x e y = -2x.
B) El límite pedido es:
lim
( x ,y )→(20,0 )
y =x +x
f ( x , y ) = lim
x →0
x3
2
=
2x 2 − ( x + x 2 ) − x ( x + x 2 )
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21
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Func. varias variables
Fundamentos Matemáticos I
x3
lim
x → 0 2x 2
− ( x 2 + x 4 + 2x 3 ) − ( x 2 + x 3 )
= lim
x3
x →0 x 4
+ x3
=1
C) Si calculamos los límites radiales:
lim
( x ,y )→( 0,0 )
f ( x , y ) = lim
x3
x →0
y =mx
m ≠1,−2
= lim
2
x →0 2
2x 2 − ( mx ) − x ( mx )
x
− m2 − m
=0
Vemos que la función no es continua en el origen ya que aunque todos tienen el mismo valor
no coincide con el límite según la dirección del apartado b)Por no ser continua, tampoco puede ser diferenciable, ya que toda función diferenciable en
un punto debe ser continua en él.
D) Calculamos las derivadas parciales pedidas:
fx' ( 0, 0 ) = lim
f ( t, 0 ) − f ( 0, 0 )
t
t →0
t3
= lim 2t
t →0 t
2
=
1
2
Para calcular
fy ( t, 0 ) − fy ( 0, 0 )
fyx'' ( 0, 0 ) = lim
t
t →0
debemos calcular primero fy ' ( 0, 0 ) y fy ' ( t, 0 ) :
•
fy' ( 0, 0 ) = lim
•
fy' (x , y ) =
•
f ( 0, t ) − f ( 0, 0 )
t
t →0
t →0
−x 3 ( −2y − x )
2
=
( 2x 2 − y 2 − xy )
⇒ f 'y ( t, 0 ) =
x4
2
( 2x 2 )
= lim
=
0−0
=0
t
x 3 ( 2y + x )
2
( 2x 2 − y 2 − xy )
si ( x , y ) ≠ ( 0, 0 )
1
4
Ahora,
fyx' ( 0, 0 ) = lim
f 'y ( t, 0 ) − f 'y ( 0, 0 )
t →0
22
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t
1
−0
= lim 4
= ±∞
t →0
t
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Func. varias variables
Fundamentos Matemáticos I
luego no existe fyx'' ( 0, 0 )
E) En P (2,-1), f(x, y) es diferenciable, ya que se trata de una función racional con
denominador no nulo.
Podemos por tanto calcular, D f ( 2, −1 ) = ∇f ( 2, −1 ) , u
u
•
Calculemos ∇f ( 2, −1 )
f 'x ( x , y ) =
2x 4 − 3x 2y 2 − 2x 3y
f 'x ( 2, −1 ) =
•
2
( 2x 2 − y 2 − xy )
f 'y ( x, y ) =
25 − 3 ⋅ 4 + 2 ⋅ 23
4
=
81
9
x 3 ( 2y + x )
2
( 2x 2 − y 2 − xy )
f 'y ( 2, −1 ) =
8 ( −2 + 2 )
81
=0
π
π 1 3
u = cos , sen = ,
3
3 2 2
4 1 3
= 2
luego, D f ( 2, −1 ) = , 0 , ,
u
9 2 2
9
Nota: También se puede recurrir a la definición de derivada direccional, pero lleva más
operaciones.
14 Se considera la función real de dos variables
x 3 + y3
si ( x , y ) ≠ ( 0, 0 )
f ( x, y ) = x 2 + y 2
0
si ( x , y ) = ( 0, 0 )
(a)
Estudia, mediante la definición, para qué vectores unitarios u existe la derivada direccional de f en el
origen, Du f ( 0, 0 ) . Calcula dicha derivada direccional.
(b)
¿Cuánto vale el gradiente de f en el origen?
(c)
Estudia la diferenciabilidad en el origen
(d)
A partir del valor obtenido en (a) calcula el valor máximo de Du f ( 0, 0 ) , y la dirección u de forma
que Du f ( 0, 0 ) es máxima.
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23
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Func. varias variables
Fundamentos Matemáticos I
Solución:
(a) Se considera el vector unitario u = ( cos ϕ, senϕ ) utilizando la definición
Du f ( 0, 0 ) = lim
f ( t cos ϕ, tsenϕ ) − f ( 0, 0 )
t
t →0
=
t 3 ( cos3 ϕ + sen 3ϕ )
= lim
t →0
(b)
∇f ( 0, 0 ) =
t2
t
−0
= cos3 ϕ + sen 3ϕ
∂f
∂f
( 0, 0 ) i + ( 0, 0 ) i
∂x
∂y
Calculamos las derivadas parciales
t3
−0
f ( t, 0 ) − f ( 0, 0 )
2
∂f
t
t
0,
0
=
lim
=
lim
= lim = 1
( ) t →0
t →0
t →0 t
∂x
t
t
f ( 0, t ) − f ( 0, 0 )
∂f
= lim
( 0, 0 ) = tlim
→0
t →0
∂y
t
Por lo tanto, ∇f ( 0, 0 ) = i + j .
24
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0+
t
t3
t 2 = lim 1 = 1
t →0
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Func. varias variables
Fundamentos Matemáticos I
(c)
La función no es diferenciable en el origen porque en caso de ser diferenciable se
tendría que
Du f ( 0, 0 ) = ∇f ( 0, 0 ), u = i + j, cos ϕi + senϕ j = cos ϕ + senϕ
y por el apartado (a) la derivada direccional es Du f ( 0, 0 ) = cos3 ϕ + sen 3ϕ .
(d)
La
derivada
direccional
h ( ϕ ) = cos3 ϕ + sen 3ϕ ,
Du f ( 0, 0 ) = cos3 ϕ + sen 3ϕ
es
una
función
de
ϕ,
que es derivable, por lo tanto, el valor más grande se alcanzará
cuando
h ' ( ϕ ) = −3 cos2 ϕsenϕ + 3sen 2ϕ cos ϕ =
= 3senϕ cos ϕ ( − cos ϕ + senϕ ) = 0
senϕ = 0 ⇒ ϕ = 0
ϕ2 = π
1
π
3π
h ' ( ϕ ) = 0 ⇔ cos ϕ = 0 ⇒ ϕ3 =
ϕ4 =
2
2
π
5π
senϕ = cos ϕ
ϕ6 =
⇒ ϕ5 =
4
4
Como
h '' ( ϕ ) = 3 cos2 ϕ ( − cos ϕ + senϕ ) − 3sen 2ϕ ( − cos ϕ + senϕ )
+3senϕ cos ϕ ( senϕ + cos ϕ )
se tiene que los máximos y mínimos relativos son:
π
5π
h '' ( 0 ) < 0, h '' < 0, h '' < 0
2
4
π
3π
h '' > 0, h '' ( π ) > 0,
h '' > 0
4
2
MAXIMO
MINIMO
El máximo absoluto es en la dirección del eje positivo de las X o de las Y
π
π
u = ( cos 0, sen 0 ) = ( 1, 0 ) ó u = cos , sen = ( 0,1 )
2
2
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25
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Func. varias variables
Fundamentos Matemáticos I
cos(φ)3+sin(φ)3
1
0.5
0
-0.5
-1
0
1
2
3
4
5
6
φ
La representación de la función es:
15 Se considera la función:
xsen ( xy )
f ( x, y ) = x 2 + y 2
0
si ( x , y ) ≠ ( 0, 0 )
si ( x , y ) = ( 0, 0 )
Se pide:
(a) Estudiar la continuidad de f en todo punto del plano.
(b) Calcular
26
∂f
∂f
y
en todo 2
∂x
∂y
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Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Func. varias variables
Fundamentos Matemáticos I
(c) Estudiar la derivada direccional de f en el origen en cualquier dirección
(d) ¿Es f diferenciable en el origen?
Solución:
(a) En los puntos del plano distintos del origen la función es continua por ser cociente de
funciones continuas con denominador no nulo.
En el origen estudiamos el siguiente límite:
lim
( x ,y )→( 0,0 )
=
f ( x, y ) =
lim
x ⋅ sen ( xy )
lim
( x ,y )→( 0,0 ) x 2 + y 2
cos ϕ ( ρ 2senϕ cos ϕ )
sen α α ρ → 0
si α → 0 ϕ ∈ 0,2 π
ρ
=
=
lim
ρ cos ϕ sen ( ρ 2senϕ cos ϕ )
ρ2
ρ→0
ϕ ∈ 0,2 π
=
lim ρsenϕ cos2 ϕ = 0 = f ( 0, 0 )
ρ→0
ϕ ∈ 0,2 π
donde en el último límite se ha utilizado que el producto de un infinitésimo por una función
acotada es cero.
Por lo tanto la función es continua en todo 2
(b) Las derivadas parciales en puntos distintos del origen son:
sen ( xy ) + xy cos ( xy ) ( x 2 + y 2 ) − 2x xsen ( xy )
∂f
=
2
∂x
x 2 + y2
(
)
x 2 cos ( xy ) ( x 2 + y 2 ) − 2y xsen ( xy )
∂f
=
2
∂y
(x 2 + y2 )
En el origen:
∂f
( 0, 0 ) = tlim
→0
∂x
f ( 0 + t, 0 ) − f ( 0, 0 )
t
t ⋅ sen ( 0 )
= lim
t →0
f ( 0, 0 + t ) − f ( 0, 0 )
∂f
= lim
( 0, 0 ) = tlim
→0
t →0
∂y
t
t2
−0
lim
t
0 ⋅ sen ( 0 )
t2
t
t →0
−0
0
=0
t
0
=0
t →0 t
lim
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27
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Func. varias variables
Fundamentos Matemáticos I
Por lo tanto las derivadas parciales de primer orden existen en todo 2
(c) Calculamos la derivada direccional en cualquier dirección u = ( cos ϕ, senϕ ) utilizando
la definición:
Du f ( 0, 0 ) = lim
f ( 0 + t cos ϕ, 0 + tsenϕ ) − f ( 0, 0 )
t
t →0
t ⋅ cos ϕ ⋅ sen ( t 2senϕ cos ϕ )
2
= lim
2
2
2
t cos ϕ + t sen ϕ
t ⋅ cos ϕ ⋅ ( t 2senϕ cos ϕ )
−0
t2
= lim
t
t →0
=
−0
= senϕ cos2 ϕ
t
t →0
Luego, la derivada direccional de la función f en el origen en la dirección u = ( cos ϕ, senϕ ) es
Du f ( 0, 0 ) = senϕ cos2 ϕ
(d)
Método 1: La función no es diferenciable en el origen porque la derivada direccional en el
origen no es el producto escalar del gradiente en el origen por la dirección.
Método 2: Utilizando la definición de diferenciabilidad:
∆x ⋅ sen ( ∆x ⋅ ∆y )
lim
f ( ∆x , ∆y ) − f ( 0, 0 ) − ∆x ⋅ 0 − ∆y ⋅ 0
2
( ∆x ,∆y )→( 0,0 )
=
lim
( ∆x ,∆y )→( 0,0 )
( ∆x )
∆x ⋅ sen ( ∆x ⋅ ∆y )
(( ∆x )
2
2
+ ( ∆y )
3/2
2
2
=
+ ( ∆y )
=
)
lim
ρ→0
ϕ ∈ 0,2 π
( ∆x ,∆y )→( 0,0 )
ρ 3 cos2 ϕ ⋅ senϕ
ρ3
( ∆x )
lim
=
2
( ∆x )
2
+ ( ∆y )
2
=
+ ( ∆y )
lim cos2 ϕ ⋅ senϕ
ρ→0
ϕ ∈ 0,2 π
Como el último límite no existe por depender de ϕ , el límite no es cero y en consecuencia la
función no es diferenciable en el origen.
16
e x 2 +y 2 − 1
Sea f : 2 → definida de la forma: f ( x, y ) = x 2 + y 2
1
Se pide:
(a) Continuidad en (0,0)
28
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si ( x , y ) ≠ ( 0, 0 )
si ( x , y ) = ( 0, 0 )
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Func. varias variables
Fundamentos Matemáticos I
(b) Diferenciabilidad en (0,0)
(a) Continuidad en (0,0)
ex
lim
2
+y 2
−1
( x ,y )→( 0,0 ) x 2 + y 2
2
eρ − 1
lim
=
ρ2
ρ→0
ϕ ∈ 0,2 π )
=
2
e ρ −1≈ ρ 2 log e
1 = f ( 0, 0 )
Nota: En el último límite se puede aplicar también L’Hopital
2
lim
eρ − 1
ρ→0
ρ2
2
2ρe ρ
=1
ρ → 0 2ρ
= lim
(b) Diferenciabilidad en (0,0)
e(
fx ( 0, 0 ) = lim
f ( 0 + ∆x , 0 ) − f ( 0, 0 )
∆x
∆x → 0
= lim
∆x → 0
e(
2
∆x )
2
− 1 − ( ∆x )
3
=
lim
L ' Hopital ∆x → 0
( ∆x )
2
∆x )
−1
2
= lim
∆x → 0
2 ( ∆x )e(
2
∆x )
− 2 ( ∆x )
2
3 ( ∆x )
( ∆x )
−1
=
∆x
2
4 ( ∆x )e
2e ( ) − 2
= lim
=
lim
∆x → 0
3 ( ∆x ) L ' Hopital ∆x → 0
3
∆x
2
( ∆x )
=0
Por simetría fy ( 0, 0 ) = 0 .
Vemos si es diferenciable comprobando si se cumple:
f ( ∆x , ∆y ) − f ( 0, 0 ) −
lim
( ∆x ,∆y )→( 0,0 )
∂f
∂f
( 0, 0 ) ⋅ ∆x − ( 0, 0 ) ⋅ ∆y
∂x
∂y
2
( ∆x )
2
=0
+ ( ∆y )
Como
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Ejercicios: Func. varias variables
Fundamentos Matemáticos I
e(
2
2
lim
2
∆x ) +( ∆y )
−1
2
− 1 − 0 ⋅ ∆x − 0 ⋅ ∆y
2
( ∆x ) + ( ∆y )
2
( ∆x ,∆y )→( 0,0 )
( ∆x )
=
2
+ ( ∆y )
lim
ρ→0
ϕ ∈ 0,2 π )
e ρ − 1 − ρ2
ρ3
=0
la función es diferenciable en el origen.
Nota: Este último límite es el mismo que el de cálculo de la derivada parcial.
17
x 2y
si ( x , y ) ≠ ( 0, 0 )
Dada la función f ( x, y ) =
x 2 + y2
0 si ( x , y ) = ( 0, 0 )
(a) Estudiar la continuidad y diferenciabilidad en 2 (10 puntos)
(b) Calcular la derivada direccional en el punto (0, 0) según el vector v = ( 1,1 ) , el vector u = ( 1, 0 ) y
el vector u = ( 0,1 ) . (5 puntos)
Solución:
(a) Continuidad en (0,0).
lim
( x ,y )→( 0,0 )
f ( x, y ) =
lim
x 2y
( x ,y )→( 0,0 ) x 2 + y 2
=
lim
ρ→0
ϕ ∈ 0,2 π
ρ 3 cos2 ϕ ⋅ senϕ
ρ
2
=
lim
ρ
ρ→0
ϕ ∈ 0,2 π inf initésimo
2
cos
ϕ ⋅ senϕ = 0
a cot ado
como el valor del límite coincide con el valor de la función en el punto es una función continua
en el origen.
En el resto de puntos (x,y) distintos de (0,0) la función es continua por ser cociente de
funciones continuas con denominador no nulo en dichos puntos.
(b) Diferenciabilidad en (0,0)
En los puntos (x, y) distintos del origen la función tiene derivadas parciales
30
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Ejercicios: Func. varias variables
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fx ( x , y ) =
fy ( x , y ) =
2xy ( x 2 + y 2 ) − x 2y ⋅ 2x
(x
x
2
(x
2
2
+y
2
2
2x 2y + 2xy 3
)
(x
) − x y ⋅ 2y
2
(x 2 + y2 )
+y
2
=
2
2
+y
si ( x , y ) ≠ ( 0, 0 )
2
)
2
x 4 − x 2y 2
=
si ( x , y ) ≠ ( 0, 0 )
2
(x 2 + y2 )
y además son continuas por ser cociente de funciones continuas con la función del
denominador no nula en estos puntos (el denominador solo se anula si (x, y)=(0,0)). Por lo
tanto la función f es diferenciable en todos los puntos distintos del origen.
En el origen
f ( ∆x, 0 ) − f ( 0, 0 )
fx ( 0, 0 ) = lim
∆x → 0
fy ( 0, 0 ) = lim
∆x
f ( 0, ∆y ) − f ( 0, 0 )
∆y
∆y → 0
= lim
∆x → 0
0−0
=0
∆x
0−0
=0
∆y → 0 ∆x
= lim
Utilizando la definición vemos si es diferenciable:
2
lim
f ( ∆x , ∆y ) − f ( 0, 0 ) − fx ( 0, 0 ) ⋅ ∆x − fy ( 0, 0 ) ⋅ ∆y
2
( ∆x ,∆y )→( 0,0 )
( ∆x )
2
+ ( ∆y )
lim
( ∆x ,∆y )→( 0,0 )
( ∆x ) ( ∆y )
2
2
( ∆x )
2
=
+ ( ∆y )
1+
1
2
=
lim
ρ 3 ( cos2 ϕ ) ( senϕ )
ρ→0
ϕ ∈ 0,2 π
( ∆x ) + ( ∆y )
Que depende de ϕ , luego la función no es diferenciable en el origen.
2
lim
( ∆x ,∆y )→( 0,0 )
2
2
=
=
( ∆x ) ( ∆y )
2
2
( ∆x ) + ( ∆y )
ρ3
Nota: También se puede calcular el límite por radiales y ver que depende de la pendiente de la
recta por la que nos aproximemos al origen.
(b) Derivadas direccionales:
Al no ser la función diferenciable no es válida la expresión Du f ( 0, 0 ) = ∇f ( 0, 0 ), u
por lo
que debemos aplicar la definición de derivada direccional
v = ( 1,1 )
→
v
u = =
v
1 1
,
2 2
luego:
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1
1
f 0 + t
,0 + t
− f ( 0, 0 )
2
2
D f ( 0, 0 ) = lim
=
u
t →0
t
= lim
t
1 2 1
t
t
2
2
2
2
1
1
+ t
2
2
t →0
t
t3
2 2
2
1
= lim t
=
t →0 t
2 2
La derivada direccional en la dirección (1, 0) es la derivada parcial respecto a x y la derivada
direccional en la dirección (0, 1) es la derivada parcial respecto a y calculadas anteriormente y
cuyo valor en ambos casos es cero.
Plano tangente
2
18 De una función z = f ( x , y ) diferenciable en todo se sabe que el plano tangente a f ( x, y ) en el punto
(1, 2) es: 2x + 3y + 4z = 1 . ¿Se puede calcular con estos datos la derivada direccional de f en la dirección
que une el punto (1, 2) con el punto (3,4)? Justificar la respuesta.
La dirección en la que nos piden calcular la derivada direccional es:
v = ( 3 − 1, 4 − 2 ) = ( 2, 2 ) ⇒ u =
1 1
v
=
,
2 2
v
Como el plano tangente en el punto (1, 2) es
2x + 3y + 4z = 1 ⇔
1
3
1
x + y +z =
(I)
2
4
4
que corresponde a la ecuación
∂f
∂f
( 1, 2 )( x − 1 ) + ( 1, 2 )( y − 2 ) = z − f ( 1, 2 ) (II)
∂x
∂y
se tiene que cumplir que
32
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∂f
−1
( 1, 2 ) =
∂x
2
∂f
−3
( 1, 2 ) =
∂y
4
sin más que igualar los coeficientes en las dos expresiones (I) y (II)
Luego la derivada direccional pedida es:
∂f
∂f
Du ( f , ( 1, 2 ) ) = ( 1, 2 ), ( 1, 2 ) , u
∂x
∂y
−1 3 1 1
−5
−5 2
= , − ,
,
=
=
2
4 2 2
8
4 2
Regla de la cadena. Derivación compuesta.
19
x
Sea u = x 4y + y 2z 3 + ϕ donde
y
x = 1 + rset
2 −t
y = rs e
z = r 2s sent
3
∂u
Calcular
cuando r = 2, s = 1, t = 0 sabiendo que ϕ ' = −1
2
∂s
Solución.∂u
∂u ∂x
∂u ∂y
∂u ∂z
=
+
+
=
∂s
∂x ∂s
∂y ∂s
∂z ∂s
x 1
x −x
2rse −t + 3y 2z 2r 2sent
= 4x 3y + ϕ ' ret + x 4 + 2yz 3 + +ϕ '
y y
y y 2
Para r=2, s=1, t=0 se tiene que x=3, y=2, z=0. Sustituyendo estos valores en la
3
∂u
= 758
expresión anterior, así como ϕ ' = −1 , resulta que
2
∂s
20 Considerando x = r cos ϕ, y = rsenϕ transformar
expresar
∂2z
utilizando coordenadas cartesianas, es decir,
∂r ∂ϕ
∂2z
en función de z , x e y y sus derivadas parciales.
∂r ∂ϕ
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Ejercicios: Func. varias variables
Solución:
Aplicando la regla de la cadena, teniendo en cuenta que x = r cos ϕ, y = rsenϕ
(inversamente r =
y
x 2 + y 2 , ϕ = arctg ) se puede escribir,
x
∂z
∂z ∂x
∂z ∂y
∂z
∂z
∂z
=
+
=
cos ϕ +
senϕ =
∂r
∂x ∂r
∂y ∂r
∂x
∂y
∂x
x
x 2 + y2
+
∂z
∂y
y
x 2 + y2
∂z
∂z ∂x
∂z ∂y
∂z
∂z
∂z
∂z
=
+
=
( −rsenϕ ) + ( r cos ϕ ) = ( −y ) + x
∂ϕ
∂x ∂ϕ ∂y ∂ϕ
∂x
∂y
∂x
∂y
Derivando ahora respecto de r teniendo en cuenta que x e y dependen de r y ϕ
∂2z
∂
=
∂r ∂ϕ
∂r
r
x
∂z = ∂A ∂x + ∂A ∂y =
∂ϕ
∂x ∂r
∂y ∂r
llamamos
∂z
A=
∂ϕ
y
ϕ
2
2
∂z
x
∂2z
∂2z
y
y ∂ z + ∂z + x ∂ z
= −
+ −
−y
+x
∂y
∂x ∂y x 2 + y 2
∂x ∂y
∂x 2
∂x
∂y 2 x 2 +
=
∂2z
∂2z
+
−
2
∂x 2
x 2 + y 2 ∂y
xy
∂z
∂z
x 2 − y 2 ∂2z
x
−y
+
∂x
x 2 + y 2 ∂y
x 2 + y 2 ∂x ∂y
1
21 Dada u = g ( x , h ( x , y ) ), y = f ( t ) , calcular la razón de cambio (derivada) de u respecto de t.
Solución.Llamamos m = h ( x , y ) , entonces el esquema de dependencia es
x
u
x
m
y
Luego aplicando la regla de la cadena
34
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t
Ejercicios: Func. varias variables
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∂u
∂u ∂m dy
=
∂t
∂m ∂y dt
): Utilizar la regla de la cadena para probar
(a)
∂h
siendo h ( x, y ) = f ( x , u ( x , y ) ) . Poner además un ejemplo de función h (6 puntos).
∂x
Solución:
h ( x, y ) = f ( x, u ( x, y ) )
∂h
∂f
∂f ∂u
=
+
∂x
∂x
∂u ∂x
Por ejemplo
u = u ( x , y ) = xy
f (x , u ) = x 2 + u 2
h ( x, y ) = f ( x , u ( x , y ) ) = x 2 + x 2y 2
∂h
∂f
∂f ∂u
=
+
= 2x + 2uy = 2x + 2xyy = 2x + 2xy 2
∂x
∂x
∂u ∂x
dy
siendo y = h ( x ) = f ( x 2 + g ( x ) + g (2) ) , x = sen ( t ) . Poner además un
dt
ejemplo de función h (7 puntos).
(b) Calcular
Llamamos u = x 2 + g ( x ) + g(2) entonces:
Y----u----x----t
dy
dy du dx
=
= f ' ( u ) ( 2x + g ' ( x ) ) ⋅ cos t = f ' ( sen 2t + g ( sent ) + g ( 2 ) ) ( 2sent + g ' ( sent ) ) cos t
dt
du dx dt
Ejemplo: f ( u ) = u 2 , g ( x ) = e x
2
y = h ( x ) = ( x 2 + ex + e2 )
2
2
y = h1 ( t ) = ( sen 2t ) + esent + e 2
22 Calcular la expresión de las derivadas parciales respecto a “x” y a “y” de la función:
ω = f ( g ( x 2 ) + h ( y ), g ( x ) h ( y ) )
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Fundamentos Matemáticos I
Ejercicios: Func. varias variables
Considerando que g y h son funciones derivables y que f es una función diferenciable.
Se trata de calcular las derivadas parciales de ω = f ( u, v ) siendo
u = g (x 2 ) + h (y )
v = g ( x )h (y )
Aplicando la regla de la cadena:
∂ω
∂ω ∂u
∂ω ∂v
∂ω
∂ω
=
⋅
+
⋅
=
⋅ g ' ( x 2 ) ⋅ 2x +
⋅ g ' (x ) ⋅ h (y )
∂x
∂u ∂x
∂v ∂x
∂u
∂v
∂ω
∂ω ∂u
∂ω ∂v
∂ω
∂ω
=
⋅
+
⋅
=
⋅ h ' (y ) +
⋅ g ( x ) ⋅ h ' (y )
∂y
∂u ∂y
∂v ∂y
∂u
∂v
23 La temperatura de una placa viene dada por T ( x, y ) =
1−y
1 + x 2y 2
(a) ¿En qué dirección tendríamos que desplazarnos desde el punto (1,1) para que la temperatura
decrezca lo más rápidamente posible? Justificar la respuesta.
(b) ¿En qué dirección desde el mismo punto la variación de la temperatura es ¼? Justificar la
respuesta.
(c) Dada la curva en paramétricas ϕ ( t ) = ( cos t,1 + sent ) calcular el vector tangente a la curva en
t=0.
(d) Calcular (T
ϕ ) ' ( 0 ) . ¿Qué representa dicho valor?
Solución:
(a) Las derivadas parciales de T son
( 1 − y ) 2xy 2
∂T
( x, y ) = −
2
∂x
(1 + x 2y 2 )
∂T
−1 − 2x 2y + x 2y 2
( x, y ) = −
2
∂y
1 + x 2y 2
(
)
La dirección para que la temperatura decrezca lo más rápidamente es el vector
u =−
36
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∇T ( 1,1 )
∇T ( 1,1 )
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Ejercicios: Func. varias variables
Fundamentos Matemáticos I
Calculando el gradiente en el punto (1,1)
∂T
∂T
1
∇T ( 1,1 ) =
1,1 ) ,
1,1 ) = 0, −
(
(
∂x
∂y
2
luego
u = ( 0,1 )
(b) Como la función es diferenciable se trata de encontrar el vector v = ( cos ϕ, senϕ ) de
manera que
Dv ( f , ( 1,1 ) ) = ∇T ( 1,1 ), ( cos ϕ, senϕ ) =
−
1
4
senϕ
1
1
π
π π
4π
= ⇔ senϕ = − ⇔ ϕ = − ó ϕ = − − = −
2
4
2
6
6 2
6
(c) El vector tangente a la curva en t=0 es
ϕ ' ( t ) = ( −sent, cos t ) ⇒ ϕ ' ( 0 ) = ( 0,1 )
(d) Se tiene que (T
ϕ )( t ) = T ( ϕ ( t ) ) y por lo tanto esta función evalúa la temperatura
en los puntos de la curva dada en paramétricas. (T
temperatura
respecto
al
parámetro
t
en
ϕ ) ' ( 0 ) calcula la variación de la
el
punto
de
la
curva
ϕ ( 0 ) = ( cos 0,1 + sen 0 ) = ( 1,1 ) .
La dependencia de las variables es: T=T(x,y) con x=x(t)=cost, y=y(t)=1+sent
x
t
y
t
T
Aplicando la regla de la cadena
( 1 − y ) 2xy 2
dT
∂T dx
∂T dy
−1 + x 2y 2 − 2x 2y
=
+
=−
−sent ) +
cos t
(
2
2
dt
∂x dt
∂y dt
(1 + x 2y 2 )
( 1 + x 2y 2 )
Sustituyendo t=0, x=cos0=1, y=sen0=0 se tiene que
(T
ϕ ) ' ( 0 ) = −1
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37
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Fundamentos Matemáticos I
Ejercicios: Func. varias variables
Derivación implícita
2
2
2
24 Dada F ( x , y, z ) = x + y + z + xy + 2z − 1 , se pide:
A) determinar si F ( x , y, z ) = 0 define en el punto P (0,-1,0) a z como función implícita de x e y, es
decir, z = f(x, y)
B) Encontrar las derivadas parciales de primer y segundo orden de la función z=f(x,y) en el punto
(0,-1)
C) Hallar en (0,-1) el valor de dz y d 2z cuando dx = dy = 0.2.
SOLUCION:
A) F ( x , y, z ) = 0 define a z = f(x, y) en un entorno de P (0,-1,0) si
•
El punto P es un punto de la superficie, es decir, F (0,-1,0) = 0. En efecto,
F (0,-1,0) = 1 -1 = 0
•
Fx , Fy, Fz son continuas en un entorno de P. Es evidente ya que
Fx ( x , y, z ) = 2x + y
Fy ( x , y, z ) = 2y + x
38
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Ejercicios: Func. varias variables
Fundamentos Matemáticos I
Fz ( x, y, z ) = 2z + 2
son funciones polinómicas
•
Fz ( 0, −1, 0 ) ≠ 0 . Como Fz ( x, y, z ) = 2z + 2 se tiene
Fz ( 0, −1, 0 ) = 2 ⋅ 0 + 2 = 2
B) Para calcular las derivadas parciales de primer orden derivamos implícitamente la función
F ( x , y, z ) = 0 :
Respecto a x:
(1)
2x + 2z z x + y + 2z x = 0 ⇒ z x = −
2x + y
2z + 2
Respecto a y:
(2)
2y + 2z z y + x + 2z y = 0 ⇒ zy = −
2y + x
2z + 2
Para calcular las derivadas de segundo orden basta derivar (1) y (2) respecto a x e y
nuevamente:
2
2 + 2z x z x + 2zz xx + 2z xx = 0 ⇒ z xx = −
2 + 2 ( zx )
2z + 2
2zy z x + 2zz xy + 1 + 2z xy = 0 ⇒ z xy = −
2z x z y + 2zzyx + 1 + 2zyx = 0 ⇒ z yx = −
2z y z x + 1
2z + 2
2z x z y + 1
2z + 2
2
2 + 2zy z y + 2zzyy + 2z yy = 0 ⇒ z yy = −
2 + 2 ( zy )
2z + 2
Sustituyendo en (x, y)=(0, -1) (con z=0) se tendrá.
z x ( 0, −1 ) =
1
2
z y ( 0, −1 ) =
2
=1
2
1
2 + 2
4
5
z xx ( 0, −1 ) = −
=−
2
4
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S
39
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Func. varias variables
Fundamentos Matemáticos I
1
⋅1+1
= −1 = zyx ( 0, −1 )
z xy ( 0, −1 ) = − 2
2
2 + 2⋅1
z yy ( 0, −1 ) = −
= −2
2
2⋅
C) Para calcular la diferencial:
dz = z x dx + z ydy =
2
2
1
( 0,2 ) + 1( 0, 2 ) = 0.3
2
d 2z = z xx ( dx ) + 2z xy dxdy + z yy ( dy ) = −
=
1 −21
−21
=
= −0.21
2 4
4 * 25
5
5 1
1
1
+ 2 ( −1 ) + ( −2 ) =
2
2
45
5
52
TESTS
25 Supongamos
que
estamos
sobre
el
punto
P(−1, 5, 8)
en
una
colina
cuya
ecuación
es
z = 74 − x 2 − 7xy − 4y 2 . El eje Y señala hacia el norte y el eje X hacia el este, y las distancias
se miden en metros.
(a)
Para subir por la máxima pendiente desde el punto P me tengo que mover hacia el
noroeste
(b)
Para subir por la máxima pendiente desde el punto P me tengo que mover hacia el
suroeste
(c)
Para subir por la máxima pendiente desde el punto P me tengo que mover hacia el
noreste
(d)
Para subir por la máxima pendiente desde el punto P me tengo que mover hacia el sureste
N
NO
NE
SO
SE
O
S
Solución.Se tiene que:
40
E
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Ejercicios: Func. varias variables
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
(−1, 5, 8) verifica la ecuación z = 74 − x 2 − 7xy − 4y 2 (está en la colina).
Además
∂z
∂z
= −2x − 7y ⇒
( −1, 5 ) = 2 − 35 = −33
∂x
∂x
∂z
∂z
= −7x − 8y ⇒
( −1, 5 ) = 7 − 40 = −33
∂y
∂y
Luego la dirección donde hay máxima pendiente es:
∇f ( −1, 5 )
∇f ( −1, 5 )
−1 −1
=
,
2 2
2
26 Sea f ( x, y ) , una función continua con derivadas parciales primeras y segundas continuas en todo , tal
que su polinomio de Taylor de orden 2 desarrollado en el punto (1, -1) es
P2 ( x , y ) = 2 + ( x − 1 ) − 2 ( y + 1 ) + 6 ( x − 1 )( y + 1 )
Entonces la ecuación del plano tangente a la gráfica de f en el punto (1, -1, 2) es:
z = 2 + ( x − 1) − 2 ( y + 1 )
(a) Falso, el plano tangente tiene como ecuación z = 2 + ( x − 1 ) − 2 ( y + 1 ) + 6 ( x − 1 )( y + 1 )
(b) Falso, pues no podemos calcular la ecuación del plano tangente con los datos del problema.
(c) Falso, pues no podemos determinar si el punto (1,-1,2) pertenece a la gráfica de f.
(d) Verdadero, ya que f ( 1, −1 ) = 2, ∇f ( 1, −1 ) = ( 1, −2 )
.
Solución: (d) Por definición el polinomio de Taylor de grado 2 con derivadas parciales
primeras y segundas continuas en todo 2 (se cumple por tanto las hipótesis del teorema de
Shwartz: fxy = fyx )
∂f
∂f
( 1, −1 )( x − 1) + ( 1, −1)( y + 1 ) +
∂x
∂y
1 ∂2 f
2
∂2 f
∂2 f
2
+
( 1, −1 )( x − 1) +
( 1, −1 )( x − 1)( y + 1) + 2 ( 1, −1)( y + 1)
2
2! ∂x
∂x ∂y
∂y
P2 ( x, y ) = f ( 1, −1 ) +
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41
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Ejercicios: Func. varias variables
Fundamentos Matemáticos I
Además por tener las derivadas parciales primeras continuas en el punto (1, -1) es
diferenciable, y en consecuencia se puede calcular el plano tangente a la función en el punto
(1, -1, f(1,-1))=(1, -1, 2)
27 Sea f ( x, y ) , una función con derivadas parciales primeras nulas en el punto (1, 1). Determina la
afirmación correcta.
(a) Por tener derivadas parciales en el punto (1, 1) existe la derivada direccional de f en el punto (1, 1)
en cualquier dirección.
(b) Por tener derivadas parciales en el punto (1, 1) es diferenciable en el punto (1, 1)
(c) Por tener derivadas parciales en el punto (1, 1) no se puede concluir que es continua en el punto
(1, 1)
(e) La ecuación del plano tangente a la función f en el punto (1, 1) es un plano horizontal.
.
Solución (c).
Se han visto en clase ejemplos de la falsedad de las afirmaciones (a), (b), (d) y de la certeza de
la afirmación (c).
2
2 1+z
donde x = t 2 + t , y = t 2 + 1 , z = t 5 + 2 , entonces se verifica para t=0
28 Sea w = f ( x , y, z ) = x ye
que:
dw
( 0) = 0
dt
(a) Verdadero, aplicando la regla de la cadena tenemos
dw
∂f
dx
∂f
dy
∂f
dz
( 0 ) = ( 0, 0, 0 ) ( 0 ) + ( 0, 0, 0 ) ( 0 ) + ( 0, 0, 0 ) ( 0 ) = 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 = 0
dt
∂x
dt
∂y
dt
∂z
dt
(b) Verdadero, pues aplicando la regla de la cadena tenemos
dw
∂f
dx
∂f
dy
∂f
dz
( 0 ) = ( 0,1, 2 ) ( 0 ) + ( 0,1, 2 ) ( 0 ) + ( 0,1, 2 ) ( 0 ) = 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 = 0
dt
∂x
dt
∂y
dt
∂z
dt
(c) Falso, ya que w no es diferenciable en t=0 y por lo tanto no podemos aplicar la regla de la cadena.
(f) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta..
Solución (b) Para t=0 se tiene x=0, y=1, z=2. Es aplicación inmediata de la regla de la
cadena.
42
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Ejercicios: Func. varias variables
Fundamentos Matemáticos I
29 Sea z = f ( x , y ) = arctg ( 1 + x + y ) utilizando la diferencial un valor aproximado de:
z = arctg ( 1 + 0 '1 + 0 '1 ) es:
(a)
π
10−1
+2
2
4
1 + ( 1 + 2 ⋅ 10−1 )
10−1
(b) 2
2
1 + ( 1 + 2 ⋅ 10−1 )
π
+ 10−1
4
(g) Ninguna de las anteriores
(c)
Solución: (c) Basta tener en cuenta que:
∆z = f ( 0 '1, 0 '1 ) − f ( 0, 0 ) ≈ 0 '1 ⋅ fx ( 0, 0 ) + 0 '1 ⋅ fy ( 0, 0 )
f ( 0 '1, 0 '1 ) ≈ f ( 0, 0 ) + 0 '1 ⋅ fx ( 0, 0 ) + 0 '1 ⋅ fy ( 0, 0 )
Como
f ( 0, 0 ) = arctg ( 1 ) =
fx ( x , y ) =
1
π
4
fy ( x , y ) =
2
1 + (1 + x + y )
1
2
1 + (1 + x + y )
Se tiene que:
arctg ( 1 + 0 '1 ⋅ 2 ) ≈
π
0 '1
+2⋅
4
2
2
2
30 Sea z = f ( x , y ) = x + y + 4y − 2x + 5 se puede afirmar que los límites radiales de la función f en el
x 2 + 2y 2 − 2x + 8y + 9
punto (1,-2):
(a) no existen
(b) son todos iguales y valen cero.
(c) son todos iguales y valen 5/9
(h) dependen de la pendiente de la recta que se considere.
Solución (d)
lim
x 2 + y 2 + 4y − 2x + 5
( x ,y )→( 1,−2 ) x 2 + 2y 2 − 2x + 8y + 9
y + 2 =m ( x −1 )
2
= lim
x →1
x 2 + ( −2 + m ( x − 1 ) ) + 4 ( −2 + m ( x − 1 ) ) − 2x + 5
2
x 2 + 2 ( −2 + m ( x − 1 ) ) − 2x + 8 ( −2 + m ( x − 1 ) ) + 9
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S
=
43
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Ejercicios: Func. varias variables
Fundamentos Matemáticos I
2
= lim
x →1
x 2 + 4 + m 2 ( x − 1 ) − 4m ( x − 1 ) − 8 + 4m ( x − 1 ) − 2x + 5
2
x 2 + 8 + 2m 2 ( x − 1 ) − 8m ( x − 1 ) − 2x − 16 + 8m ( x − 1 ) + 9
2
= lim
x →1
x 2 + m 2 ( x − 1 ) + 1 − 2x
x2
2
( x − 1)
= lim
2
2
+ 2m 2 ( x − 1 ) − 2x + 1 x →1 ( x − 1 )
2
+ m2 ( x − 1)
2
+ 2m 2 ( x − 1 )
=
=
1 + m2
1 + 2m 2
31 Obtener la ecuación de la recta tangente a la curva C en el punto (1, 2) siendo C la curva intersección de la
superficie dada por z = f ( x , y ) = x 2 − y 2 y el plano x=1.
(c)
{x
{x
{x
(d)
ninguna de las anteriores
(a)
(b)
= 1, y = 2 + λ, z = −3 − 4 λ
= 1 + λ, y = 2, z = −3 + 2 λ
= 1, y = 2 + λ, z = −3
Solución (a): Se trata de la ecuación que pasa por el punto (1, 2, f(1,2))=(1,2,-3) y tiene
como pendiente la derivada parcial fy ( 1, 0 ) . Un vector director de esta recta es
v = ( 0,1, fy ( 1, 2 ) ) , la recta es:
{x
= 1, y = 2 + λ, z = −3 − 4 λ
Ya que fy ( x , y ) = −2y
32 Sea z = f ( x , y ) una función continua y con derivadas parciales continuas en el punto (1, 2) entonces si
∂f
∂f
( 1, 2 ) = 1 , ( 1, 2 ) = −1 entonces
∂x
∂y
(a)
la dirección de máximo crecimiento de la función en ese punto es la norma del
gradiente.
(b)
si desde el punto (1, 2) nos vamos en la dirección del eje y positivo el valor de z
aumenta
(c)
sea S el plano tangente a la superficie dada por z = f ( x , y ) en el punto
( 1, 2, f (a, b ) ) , entonces un vector normal a S en el punto ( 1, 2, f (a, b ) )
n = ( −1, −1,1 )
(d)
44
ninguna de las anteriores.
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es
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Ejercicios: Func. varias variables
Fundamentos Matemáticos I
Solución:
Un vector normal al plano tangente a la superficie dada por z = f ( x , y ) en el punto
( 1, 2, f (a, b ) )
es:
∂f
( 1, 2 ) , ∂f ( 1, 2 ), −1 = ( 1,1, −1 )
∂x
∂y
El vector n = ( −1, −1,1 ) es proporcional al anterior.
33 Supongamos que f es continua y tiene derivadas parciales continuas. Supongamos también que tiene
derivada direccional máxima igual a 50 en P(1, 2), que se alcanza en la dirección de P a Q(3,-4).
Utilizando esta información calcula ∇f ( 1, 2 )
(a)
1
3
∇f ( 1, 2 ) =
,−
10
10
(b)
∇f ( 1, 2 ) = 50
(c)
(d)
50
150
∇f ( 1, 2 ) =
,−
10
10
ninguna de las anteriores
Solución
Como f es continua y tiene derivadas parciales continuas entonces es diferenciable en
P. Por esta razón la derivada direccional se puede calcular como el producto escalar de
la dirección y el vector gradiente. Además la derivada direccional máxima se alcanza
en la dirección del gradiente
Du f ( 1, 2 ) = ∇f ( 1, 2 ) = 50
u =
1
∇f ( 1, 2 )
∇f ( 1, 2 )
El vector que une el punto P y Q es: PQ = ( 2, −6 )
1
3
Un vector unitario en esa dirección es: u =
,−
.
10
10
50
150
Por lo tanto, ∇f ( 1, 2 ) = ∇f ( 1, 2 ) u =
,−
10
10
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45
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Ejercicios: Func. varias variables
Fundamentos Matemáticos I
2
2
34 Sea C la curva de nivel que pasa por P(1, 1) de z = f ( x , y ) = x + y . Determina la pendiente en P(1,1)
de la tangente a la curva C.
(a)
-1
(b)
0
(c)
1
(d) ninguna de las anteriores
Solución:
2
2
La curva C es la curva de nivel K = x 2 + y 2 para valor de K = f ( 1,1 ) = ( 1 ) + ( 1 ) = 2 , es
decir, es la curva,
2 = x 2 + y2
Derivando implícitamente,
0 = 2x + 2yy '
en el punto (1, 1) la derivada es:
y' =
Sea z = f ( u ) una función derivable, u =
−x
= −1
y
y
∂z
∂z
entonces la expresión x
+y
+ xy es
x
∂x
∂y
(a)
y
f '
x
(b)
xy
(c)
no se puede calcular si no se conoce la función f
(d)
ninguna de las anteriores
Solución:
Llamamos u =
y
, entonces la dependencia de variables es
x
x
z −−−u
y
Aplicando la regla de la cadena
46
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Ejercicios: Func. varias variables
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∂z
dz ∂u
dz −y
=
=
∂x
du ∂x
du x 2
∂z
dz ∂u
dz 1
=
=
∂y
du ∂y
du x
Sustituyendo,
x
−y dz
∂z
∂z
y dz
+y
=
+
=0
x du x du
∂x
∂y
2
35 Dada z = x y + xy en el punto (1, 2) un vector perpendicular a la curva de nivel de f que pasa por el
punto (1,2) es
(a) (6,2)
(b) Paralelo al eje X
(c) Paralelo al eje Y
(d) Bisectriz del primer cuadrante
(e) Ninguna de las anteriores
Sol.- (a)
36 Sea z = f ( x ⋅ g ( y ) ) siendo f una función no constante. Si x ∂z + ∂z = 0 entonces
∂x
∂y
(a) g ( y ) = g ' ( y )
(b) x = g ( y )
(c) g ( y ' ) = g ( y )
(f) Ninguna de las anteriores
Sol.- (a)
37
x 3 + y3
si ( x , y ) = ( 0, 0 )
Se considera la función f ( x, y ) = x 2 + y 2
0
si ( x , y ) = ( 0, 0 )
La derivada direccional de f en (0,0) siendo la dirección u = ( cos ϕ, senϕ ) es
(a) cos3 ϕ + sen 3ϕ
(b) cos ϕ + senϕ
(b) 0
(d) Ninguna de las anteriores
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47
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Ejercicios: Func. varias variables
Sol.- (a)
38
4x 3
si ( x, y ) = ( 0, 0 )
Sea f ( x, y ) =
. Elige la respuesta correcta:
x 2 + y2
0
,
=
0,
0
si
x
y
(
)
(
)
(a) f ( x, y ) es continua en (0,0) ya que todos los límites direccionales por y=mx son 0
(b) f ( x, y ) es continua en (0,0) porque existen
(c)
∂f
∂f
( 0, 0 ) y ( 0, 0 )
∂x
∂y
f ( x, y ) no es continua en (0,0) porque aunque existen
∂f
∂f
( 0, 0 ) y ( 0, 0 ) no coinciden
∂x
∂y
(d) f ( x, y ) es continua en (0,0) porque para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que
4x 3
x 2 + y2
x 2 + y 2 < δ entonces
<δ
(e) Ninguna de las anteriores
Sol.- (d)
39
4x 3
si ( x, y ) = ( 0, 0 )
Sea f ( x, y ) =
. Elige la respuesta correcta:
x 2 + y2
0
,
=
0,
0
si
x
y
(
)
(
)
∂f
∂f
(a) f ( x, y ) no es diferenciable en (0,0) ya que
( 0, 0 ) ≠ ( 0, 0 )
∂x
∂y
(b) La derivada parcial de f respecto de x no es continua en (0,0)
(c) Es diferenciable en (0, 0) porque la derivada parcial de f respecto de x es continua en (0,0)
(f) Ninguna de las anteriores
Sol.- (b)
40
4x 3
si ( x, y ) = ( 0, 0 )
Sea f ( x, y ) = x 2 + y 2
. Elige la respuesta correcta:
0
si ( x , y ) = ( 0, 0 )
(a) fxy ( 0, 0 ) = 0
(b) Se cumple fxy ( 0, 0 ) = fyx ( 0, 0 )
48
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Ejercicios: Func. varias variables
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
(c) No existe fxy ( 0, 0 )
(d) Ninguna de las anteriores
Sol.- (a)
41
xy
si ( x, y ) = ( 0, 0 )
2
El plano tangente a la superficie gráfica de f ( x, y ) = x + y 2
0
si ( x , y ) = ( 0, 0 )
(a) No puede determinarse con la información dada
(b) El plano tangente no se puede calcular porque la función f no es diferenciable
(c) Es el plano z=0
(d) Ninguna de las anteriores
Sol.-.
2
42 Si cortamos la superficie gráfica de la función z = f ( x , y ) = xy + x por el plano y=2 se obtiene una curva
cuya pendiente en el punto (1, 2, 3) es
∂z
∂x
∂z
(b)
∂y
(a)
1 2
(c) Du f ( 0, 0 ) siendo u =
,
5 5
(g) Ninguna de las anteriores
Sol.- (a)
43 Sea f una función continua en todo punto de 2 tal que para cualquier
( x, y ) ∈ 2
se tiene que
∇f ( x , y ) = ( 1 + 2xy, x 2 + 2y + 2 ) . Entonces se verifica que f es diferenciable en todo punto de 2 y
además el valor máximo de la derivada direccional de f en el punto (0,0) se alcanza en la dirección del
vector v = ( 1, 2 )
(a) Falso, de las hipótesis del enunciado no podemos deducir que f sea una función
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49
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Ejercicios: Func. varias variables
Fundamentos Matemáticos I
diferenciable.
(b) Falso, aunque f es diferenciable, sin embargo
f (1,2) (0, 0) = ∇f (0, 0).(1.2) = (1.2).(1.2) = 5 < f (0,8) (0, 0) = 6
ya que
f (0,8) (0, 0) = ∇f (0, 0).(8, 0) = (1, 2).(0,8) = 16
(c) Verdadero, f es diferenciable pues existen las derivadas parciales de f y son funciones
continuas en todo R2. Además como ∇f ( 0, 0 ) = ( 1, 2 ) , entonces Dv f alcanza su valor
máximo cuando v = ( 1, 2 )
(d) Ninguna de las anteriores
Sol.- (c)
2
2
u +v
e
44 Sea z = f ( x , y ) = x + y donde x = e
derivadas parciales de z son
∂z
( 0, 0 ) = 2
∂u
y = u 2 + v . Entonces se verifica que para u=0 y v=0 las
y
∂z
( 0, 0 ) = 2
∂v
∂z
∂z
( 0, 0 ) = ( 0, 0 ) = 0
∂u
∂v
∂z
∂f
∂x
∂f
∂y
( 0, 0 ) = ( 0, 0 ) ( 0, 0 ) + ( 0, 0 ) ( 0, 0 ) = 0
∂u
∂x
∂u
∂y
∂u
(a) Falso, pues aplicando la regla de la cadena
∂z
∂f
∂x
∂f
∂y
( 0, 0 ) = ( 0, 0 ) ( 0, 0 ) + ( 0, 0 ) ( 0, 0 ) = 0
∂v
∂x
∂v
∂y
∂v
(b) Falso, ya que no podemos aplicar la regla de la cadena ya que no existe
∂z
( 0, 0 )
∂u
(c) Verdadero, aplicando la regla de la cadena:
∂z
∂f
∂x
∂f
∂y
( 0, 0 ) = ( 1, 0 ) ( 0, 0 ) + ( 1, 0 ) ( 0, 0 ) = 2 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 = 2
∂u
∂x
∂u
∂y
∂u
∂z
∂f
∂x
∂f
∂y
( 0, 0 ) = ( 1, 0 ) ( 0, 0 ) + ( 1, 0 ) ( 0, 0 ) = 2 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 = 2
∂v
∂x
∂v
∂y
∂v
(d) Ninguna de las anteriores
Nota: Si en la solución de algún ejercicio crees que hay algún error ponte en contacto con la
profesora para su corrección.
50
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INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 1
En el Aula Virtual se encuentra disponible:
● Material interactivo con teoría y ejercicios resueltos. Para acceder a ello deberá pulsar sobre los siguientes
enlaces una vez dentro de la asignatura
Pagina Principal >Apuntes>2. Números Complejos
● Material en pdf con el siguiente contenido:
- Repaso de números complejos a nivel de bachillerato
- Apuntes de teoría
- Ejercicios resueltos
- Problemas de examen resueltos
Para acceder a ellos se deberá pulsar sobre los siguientes enlaces una vez dentro de la asignatura:
Pagina Principal >Recursos Por Temas>Números Complejos
Antes de realizar estos ejercicios debes leer y comprender los siguientes apartados:
Necesidad de ampliar el conjunto de los números reales.
Definición del conjunto de números complejos » .
Forma binómica de un número complejo.
Representación gráfica de números complejos.
Interpretación geométrica de la suma.
Conjugado de un número complejo.
Módulo y argumento de un número complejo.
Primeras definiciones. Operaciones.
1
Representar gráficamente la región del plano donde se encuentran los afijos de los siguientes conjuntos de
números complejos
(a)
{z
∈ » / Im z > 0 }
(d)
{z
∈ » / 0 ≤ Im z ≤ Re z }
(b)
{z
∈ » / 2 < z < 3}
(e)
{z
∈ » / 0 ≤ Re z ≤ 1}
{ z ∈ » / Re ( z − i ) = 2 }
Solución:
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(c)
1
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 1
(a) Semiplano superior
b) El conjunto de los números complejos no es cuerpo totalmente ordenado.
c)
d)
e)
2
Demostrar las siguientes propiedades:
z =z
z ⋅w = z ⋅w
z + z = 2 Re ( z )
Solución:
z = a + bi
z = a − bi
z = a − bi = a + bi
Si z = a + bi entonces z + z = ( a + bi ) + ( a − bi ) = 2a = 2 Re z
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
2
z − z = i 2 Im ( z )
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BLOQUE 1
Si z = a + bi entonces z − z = (a + bi ) − ( a − bi ) = 2bi = 2i Im z
3
Localizar vectorialmente los números z1 + z 2 y z1 − z 2 cuando
(a)
z1 =
1
1−i
z2 =
i
1 − 3i
(b)
(
z1 = 1 + i 3
3
)
z2 =
2
1 − 3i
Solución:
(a) z1 = −i
4
z2 =
2 1
+ i
5 5
(b) z1 = −8
Dado los números complejos z = −1 + 2i , w =
(a)
2 + 3i
z2 =
1 3
+ i
5 5
, s = −i realizar las siguientes operaciones:
1
3
z − w Im ( s ) + szw
2
5
(b) 2zw − s 1023z
(c) s 1023 + s 1024 + s 1025 + s 1026
(d) s 1 + s 2 + s 3 + ... + s 123
(e) zw − z w
Solución:
13
7
26
(a)
2 − + i 2 +
5
2
5
(d) -1
5
)
(
)
(c) 0
(e) 0
Verificar cada una de las siguientes identidades
(a)
6
(
(b) −10 − 2 2 + i 4 2 − 5
z1z 2 = z1 z 2
(b)
z1 z1
=
z 2 z
2
(c)
z1 = z1
Verificar cada una de las siguientes identidades
(a)
arg ( z1z 2 ) = arg ( z1 ) + arg ( z 2 ) (b)
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z
arg 1 = arg ( z1 ) − arg ( z 2 )
z 2
3
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7
Resolver la ecuación e iϕ − 1 = 2 para ϕ
BLOQUE 1
( −π < ϕ ≤ π )
Solución: ϕ = π
8
Calcular
i 100
(a)
(b)
1/4
( −16 )
(c)
(1 + i
3
−10
)
Solución:
(a) 1
9
(b)
2 ( 1 + i ), − 2 ( 1 − i ) , − 2 ( 1 + i ) ,
2 (1 − i )
(c)
(
2−11 −1 + i 3
)
¿Qué número complejo está más cerca del origen: -3+2i ó 1+4i?
Solución: -3+2i
10 ¿Qué puntos del plano complejo están a una distancia de dos unidades del origen? ¿y del punto 1+i?
Solución:
{z
∈ » / z = 2} ,
{z
∈ » / z − (1 + i ) = 2 }
11 Representa el conjunto de puntos determinado por las condiciones:
(a) z − 1 + i = 1
(b)
z +i ≤ 3
(c)
z − 4i ≥ 4
Solución:
(a) Circunferencia de centro (1, -1) y radio 1
(b) Círculo de centro (0, -1) y radio 3 junto con la circunferencia de centro (0, -1) y radio 3
(c) Todos los números complejos menos los que se encuentran en el círculo de centro (0, 4) y radio 4.
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
4
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
12
BLOQUE 1
Describe geométricamente en el plano complejo las regiones cuyos puntos satisfacen las siguientes
ecuaciones:
(a) Re ( z ) < 1
(b) 0 < Re ( iz ) < 1
(e) z − 1 > 3
(f) z + z = z
(i)
z −3
≤2
z +3
z
(c) Im = 0
z
2
(d) z − z = i
(j) z − 1 + z + 1 ≥ 4 (k) z − 1 − z + 1 ≥
Solución:
(a)
y
1
-2
O
-1
1
x
-1
b)
y
1
-2
O
-1
1
2
-1
c) Las rectas x=0, y=0
d) y=1/2
e)
y
2
1
-2 -1
O
1
-1
-2
-3
f)
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
(h) Im ( z 2 ) < 2
(g) z − z1 = z − z 2
5
2
3 x
x
1
4
(
)
(l) z z + 2 = 3
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BLOQUE 1
g) Se trata de la mediatriz del segmento PQ siendo P el afijo de z1 y Q el afijo de z 2 .
h) La región comprendida entre las dos ramas de la hipérbola xy=1.
i) El exterior de la circunferencia de centro (-5, 0) y radio 4
j) Exterior de la elipse de centro (0,0) y semieje a=2 y b= 3 , es decir, de la elipse
1
es una hipérbola de focos F=1, G=-1.
4
La región comprendida entre las dos ramas de la hipérbola es:
k) La ecuación:
z −1 − z +1 =
z −1 − z +1 <
El resto de puntos serán los que cumplan:
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6
1
4
x2
22
+
y2
2
( 3)
=1
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 1
1
z −1 − z +1 >
1
4
z −1 − z +1 > ⇔
1
4
z −1 − z +1 < −
4
La región z − 1 − z + 1 >
1
es de las dos zonas sombreadas en el gráfico siguiente en la que se encuentra
4
el punto P
La región z − 1 − z + 1 < −
1
es de las dos zonas sombreadas en el gráfico siguiente en la que se
4
encuentra el punto P
l) Los puntos reales 1 y -3
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
7
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
13 Representa en el plano el conjunto A ∪ B ∪ C ∪ D :
A = {z ∈ » / z = 3}
3
1
C = z ∈ » / z − 1 − i ≤
2
2
B = { z ∈ » / z = 2 ∧ − π < arg ( z ) < 0 }
3
1
D =
z ∈ » / z + 1 − i ≤
2
2
Solución:
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
8
BLOQUE 1
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BLOQUE 1
Antes de realizar estos ejercicios debes leer y comprender los siguientes apartados:
Interpretación geométrica de la suma y el producto.
•
Módulo y el argumento de un número complejo.
•
La fórmula de Moivre.
•
Raíces enésimas de un número complejo y su representación gráfica.
•
La forma exponencial de un número complejo.
•
La función exponencial compleja y sus propiedades.
•
Definición de logaritmo complejo.
•
La fórmula de Euler.
•
Cómo calcular una potencia con base y exponente números complejos.
Interpretación geométrica de la suma y el producto
14 Elige tres puntos no alineados en el plano y considera el triángulo de vértices los tres puntos. Calcula el
transformado de este triángulo por la aplicación f ( z ) = 2z + ( 1 + 3i ) sobre cada uno de sus vértices. Haz
la representación gráfica e indica que transformaciones (dilatación, contracción, rotación, traslación) has
realizado.
Solución:
Dilatación (2) +Traslación (1+3i)
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
9
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 1
15 Considera el rectángulo de vértices 0, 1, 1+2i, 2i. Calcula el transformado de este rectángulo por la
aplicación f ( z ) = ( 1 + i ) z + 2 sobre cada uno de sus vértices. Haz la representación gráfica e indica que
transformaciones (dilatación, contracción, rotación, traslación) has realizado.
Solución:
Giro ( π / 4 ) +Dilatación ( 2 ) +Traslación (2)
16
Demostrar que si los puntos z1 , z 2 , z 3 son los vértices de un triángulo equilátero, entonces:
z12 + z 22 + z 32= z1z 2 + z1z 3 + z 2z 3
Potencias. Raíces enésimas.
17
10 3 + 10i −6
Escribir en forma binómica:
5 + 5i
Solución:
1
29
i
18 Calcula en función de sen ( ϕ ) y cos ( ϕ )
(a) sen ( 2ϕ )
(b) cos ( 2ϕ )
Solución: cos ( 2ϕ ) = cos2 ϕ − sen 2ϕ
(c) sen ( 4ϕ )
sen ( 2ϕ ) = 2senϕ cos ϕ
cos ( 4ϕ ) = cos4 ϕ − 6 cos2 ϕ sen 2ϕ + sen 4ϕ
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
(d) cos ( 4ϕ )
sen ( 4ϕ ) = 4 cos3 ϕ senϕ − 4 cos ϕ sen 3ϕ
10
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
19
BLOQUE 1
3 − i 4 1 + i 5
es mayor que -0.5?
¿Es cierto que la parte real de w =
3 + i 1 − i
Solución: Falso
20 Encontrar todas las soluciones de la ecuación z 3 = z
2
y representar tres de ellas. ¿Cuántas hay?
Solución: Hay 3 soluciones distintas (además de la trivial) que se obtienen para los valores de k siguientes:
k = 0 : z0 = 1
k = 1 : z1 = e
2π
i
3
k = 2 : z2 = e
2π
− i
3
21 Calcular:
4
(a) z =
6
1−
3i
(b)
( 1 + i )( 1 − i )
3
(1 +
3
)
3i
Escribe en forma binómica y exponencial el resultado.
Solución:
6
(a) z k =
2 −π
6
=
+ 2k π
3
2e
−π + 2k π
3
i
6
k = 0,1, 2, 3, 4, 5
6
π
(b) wo =
2
e
2
3
π
w1 =
3
2 i4
e
2
π
w2 =
3
2
e
2
=
i4
+ 2*0* π
3
+2π
3
=
+4π
1
6
i4
2
3
e
=
=
1
6
2
1
e
i
i
1
6
9π
12
e
2
π
12
=
π
π
1
cos + i
sen
6
12
12
2
2
1
6
9π
9π
1
cos + i
sen
12
12
6
2
2
1
=
17 π
12
i
6
5π
i π +
12
1
5π
i −π +
12
e
=
e
6
2
2
7π
7π
1
1
sen −
=
cos − + i
12
6
6
12
2
2
6
7π
i −
12
2
e
=
1
6
=
Fallos habituales:
Considerar que
4
3
( 1 + i )( 1 − i )
(
1+
3i
3
)
=
(1 − i )
(
1+
3i
)
3
( 1 + i )( 1 − i ) =
(1 − i )
(
1+
3i
3
)
2
En el conjunto de los números complejos hay n raíces n-ésimas de cualquier número complejo no nulo.
En el caso de que se esté calculando:
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
11
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
3
z3 = z
BLOQUE 1
k = 0,1, 2
arg( z 3 )+ 2k π
3
Para k=0 se tiene que una raíz es z pero hay dos más (las correspondientes a k=1 y a k=2).
22 ¿De qué número es raíz cúbica 2+3i? ¿De qué número es raíz décima 1 −
3i ?
Solución:
Potencias complejas. Logaritmo complejo.
23 Calcular:
1 + i
2
(a) z = log
1 − i
i
1 − i 1+i
(d) z =
2
Solución:
(a) z =
ii
(b) z =
=
1−i
(c) e
(b) z =
ii
1−i
(e) log3 + 3i
=
multiplicando
por el conjugado
k ∈»
−π +2κπ
2
(1
+ i) e
=
(1 − i )(1 + i )
−π + 2κπ
2
2
+
e
−π + 2κπ
2
2
2π
ln 2 − +2κπ
3
2π
2π
− isen ln 2 +
con k ∈ »
cos ln 2 +
3
3
ln 4 2 ln 18 + −π + k π
8
(e)
(
i
(d) e
π
4 + 2κπ
2
2
−
i
con k ∈ »
2
2
)( π 4 + 2k´π ) + i − ln 2 ( π 4 + 2k´π ) + ( −π 8 + k π ) ln
( ln 18 ) + ( π 4 + 2k´π )
4
2
2
24 Demostrar que los afijos de los valores de ( 1 − i )
2i
18
k, k´∈ Z
están en la misma línea recta
25 ¿De entre todas las raíces n-ésimas del complejo 1 +
real?
Solución: No existe
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
1+ i
)
1−i
2
log i = π + 4k π
i
e
(
(c) z = −1 + i 3
12
3i . ¿Hay alguna raíz cuyo logaritmo principal sea
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
26
Dado a + bi = log ω siendo ω tal que
ω
1+i 3
BLOQUE 1
es real y el módulo de ω es la unidad. Hallar a + bi .
Observación: Puede ser interesante considerar la expresión de ω de la forma: ω = e it = cos t + isent ya que
al tener módulo uno quedará perfectamente determinado si se conoce arg ( ω ) = t .
27 (a) Escribir el valor de cos ( 3x ) en función de sen ( x ) y cos ( x )
i
(b) Calcular el valor principal del complejo z=A+Bi donde A = ( −i ) , B = cos ( 3x ) siendo
x = arg umento ( 2 + i ) .
π
Solución: (a) cos ( 3x ) = cos3 x − 3 cos ( x ) sen 2 ( x )
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
(b) z = A + iB = e 2 + i
13
2
5 5
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 1
Antes de realizar estos ejercicios debes leer y comprender los siguientes apartados:
•
Extensión al plano complejo de las funciones trigonométricas e hiperbólicas.
•
Polinomios en » : Raíz de un polinomio, coeficiente de un polinomio, factorización, regla de
Ruffini.
•
Región acotada en »
•
Propiedades del módulo. Desigualdad triangular y desigualdad triangular inversa.
Funciones trigonométrica y funciones hiperbólicas
28 Calcular la parte real y la parte imaginaria del número complejo
3π
z = sen −
+ 2i
2
¿Es la parte real mayor que 2? Justificar la respuesta.
Solución:
29
e −2 + e 2
2
Determinar todos los números z complejos que verifiquen que
(a) senz = −3
(b) cot g ( z ) =
3 − 2i
Solución: (a)
π
+ 2κ1π − i ln 3 − 2 2
2
π
z = − + 2κ2 π − i ln 3 + 2 2
2
z =−
(b) z =
π
log 3
+ kπ + i
12
4
(
(
)
)
k1 ∈ »
k2 ∈ »
, k ∈»
30 Calcular la parte real de w = log ( sen ( 3i ) ) .
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
14
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 1
e 3 − e −3
= Ln ( Sh 3 )
Solución: ln
2
31 Representar las gráficas de las funciones Shx y Chx siendo x real.
Solución: En azul aparece la gráfica del coseno hiperbólico y en rojo la del seno hiperbólico.
32
(a) Resolver la siguiente ecuación Sh ( iz ) = −i siendo z ∈ »
(b) Resolver la ecuación: senz = 2 siendo z ∈ »
π
Solución: (b) z = + 2k π − i ln 2 ±
2
(
3
)
k ∈»
Polinomios
33 Escribir una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean 2+2i y 2-2i.
Recuerda: Si x1, x2 son las raíces de una ecuación de segundo grado ax 2 + bx + c = 0 entonces se cumple:
x1+x2=(-b/a); x1*x2=(c/a).
Solución: x2-4x+8=0
34 Resolver z 4 − z 2 ( 1 + i ) + i = 0
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
15
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
Solución: z = 1, − 1,
BLOQUE 1
2
2
2
2
+i
,−
−i
2
2
2
2
35 Demostrar que si zo es una raíz compleja no real de un polinomio con coeficientes reales entonces su
conjugada, zo , también es raíz del polinomio.
4
3
2
36 Sea p ( x ) = x − 3x + 5x − 27x − 36 un polinomio de manera que bi es una raíz. Factorizar el
polinomio.
Solución: 3i, -3i, 4, -1.
37 Determinar a y b números reales para que p ( x ) = x 4 + 2x 3 + ax + b tenga como raíz 1+i. Solución:
Solución: a=-4, b=12
Conjuntos acotados
38
Comprobar que si z 2 ≠ z 3 entonces se cumple:
z1
z2 + z 3
≤
z1
z2 − z 3
39 Acotar, si es posible, el siguiente conjunto:
z
A =
/ z ∈ », z = 2
z 2 + z ( 4 − 3i ) − 12i
Solución: El conjunto A está acotado por estar contenido en el círculo
unidad centrado en el origen.
5
A=
z ∈ » / z − 3i ≤
. Calcular en
2
forma binómica y representar las raíces cúbicas de i. ¿Cuáles de estas raíces están en la región A?
40 Dibujar la región del plano complejo definida por la expresión
Solución: El conjunto A es el interior de la circunferencia de centro (0, -3) y
de i son los números complejos:
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
16
radio 5/2. Las raíces cúbicas
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
zo =
41
3 1
3 1
+ i z1 = −
+ i
2
2
2
2
z 2 = −i
Acotar el conjunto de números complejos siguiente
e 2 + 3i ( z + 3 )
A=
/ z = 3 , a = 2
z 2 − 2az + a 2
Solución: Una cota puede ser: 6e 2
42
Determinar si el A = { z ∈ » / −z + 1 − i = −z − 1 + i
Solución: No está acotado.
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
17
}
está acotado
BLOQUE 1
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BLOQUE 2
En el Aula Virtual se encuentra disponible:
● Material interactivo con teoría y ejercicios resueltos. Para acceder a ello deberá pulsar sobre los
siguientes enlaces una vez dentro de la asignatura
Pagina Principal >Apuntes>3. Sucesiones
Pagina Principal >Apuntes>4. Series
● Material en pdf con el siguiente contenido:
- Repaso de sucesiones a nivel de bachillerato
- Apuntes de teoría
- Ejercicios resueltos
- Problemas de examen resueltos
- Resumen criterios de convergencia de series
Para acceder a ellos se deberá pulsar sobre los siguientes enlaces una vez dentro de la
asignatura:
Pagina Principal >Recursos Por Temas>Sucesiones
Pagina Principal >Recursos Por Temas>Series
SUCESIONES NUMÉRICAS
Definición
1 ¿Qué es una sucesión?
2 Escribir, cuando se pueda, el término general de las sucesiones siguientes:
−
La sucesión cuyo término es la suma de los anteriores y los dos primeros términos son
1. Esta sucesión recibe el nombre de sucesión de Fibonacci.
−
La sucesión cuyo término es el dígito del enésimo lugar decimal del número e.
−
La sucesión en la que el primer término es a y cada término se obtiene multiplicando el
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
1
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BLOQUE 2
anterior por una constante r. Este tipo de sucesiones se denomina geométricas.
3 Hallar los primeros 15 términos de la sucesión definida por:
1
a
si an es un número par
an +1 = 2 n
3an + 1 si an es un número impar
con a1 = 11
4
Obtener los cuatro primeros términos de cada una de las sucesiones siguientes, definidas por su
término general:
a ) an =
n
2n − 1
b) an =
3n 2 + 2
n+4
cos n
c) an =
en
d ) a n = 1 +
1 n
n
Sucesiones aritméticas y geométricas (repaso)
5 Determina el término general de la sucesión formada por el número de cuadrados coloreados.
n=1
n=2
n=3
….
Solución: http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/ac_sucesiones/index.htm
6 Determina el término general de la sucesión an que es la longitud de la diagonal del ortoedro
formado por n cubos consecutivos.
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
2
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BLOQUE 2
….
Solución: http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/ac_sucesiones/index.htm
7
Los habitantes de una ciudad han contraído una enfermedad, por suerte el doctor sabe fabricar
un aparato unipersonal que la cura. Trabajando a destajo el doctor puede fabricar diez aparatos
diarios. Ante la gravedad del caso hace la siguiente propuesta: “enseñará a los ciudadanos a
fabricar el aparato”.
Pero la enseñanza lleva su tiempo y solo podrá fabricar un aparato al día si a la vez enseña a un
aprendiz. El doctor y el aprendiz al día siguiente fabricarán cada uno un aparato y formarán a un
aprendiz cada uno.
¿Interesará a los ciudadanos? Algunos proponen que el doctor se dedique a fabricar sin perder
tiempo enseñando. ¿Cuántos aparatos tendrán al quinto día con cada método? ¿Y el sexto día?
Solución: http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/ac_sucesiones/index.htm
Límite de una sucesión
8 ¿Qué se quiere dar a entender al decir lim an = 8 ?
n →∞
¿Qué se quiere dar a entender al decir lim an = ∞ ?
n →∞
¿Qué es una sucesión convergente? Dar dos ejemplos.
¿Qué es una sucesión divergente? Dar dos ejemplos.
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
3
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 2
9
Demostrar, según la definición de límite, que se verifica:
limn →∞
1
rn
=0 ,
con r > 1 . ¿Qué
sucede si r < 1?
10 Demostrar, aplicando la definición de límite, que se cumple:
a) limn →∞
(d) lim
n →∞
(2n + 1)3 − (2n − 1)3
2n 2 − 1
= 2 b) limn →∞
=8
(n + 1)(n + 2)
3n 2 + 1
(c) lim
n2 + 1
= ∞ (f)
n →∞ 2n − 3
(g) lim
1
n +1
=0
(e)
n +1
=1
n →∞ n − 2
lim
lim
2n + 1
2
=
n →∞
3n
3
n 2 + 3n + 7
n →∞ n 3
+ 2n + 5
=0
11 Hallar para la sucesión 4 , 7 , 10 , 13 ,...
5 9 13 17
(a) El término que ocupa el lugar 123. b) Su límite y c) el término de la sucesión a partir del cual
la diferencia con el límite es, en valor absoluto menor que 1/100.
Solución: an =
3n + 1
370
3
, a
=
, lim a = , n > 6 ,
4n + 1 123
493 n →∞ n
4
12 Determinar, en caso de existencia, el límite de las siguientes sucesiones
−1
si n impar
an = n
n +1
si n par
n
nπ
1
bn = 1 + sen
2
n
Solución: an no tiene límite (los términos pares forman una subsucesión que tiende a 0 y los
impares una subsucesión que tiende a 1).
nπ
1
bn = 1 + sen =
2
n
1
k
( −1 )
1 +
2k − 1
0
si n = 2k − 1 (n impar )
no tiene límite ya que
si n = 2k (n par )
la subsucesión de los términos pares es 0 y una subsucesión de los impares (n=3+2m) tiende a uno
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
4
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 2
Sucesiones monótonas y sucesiones acotadas
13 ¿Qué es una sucesión monótona? Dar dos ejemplos
¿Qué es una sucesión acotada? Dar dos ejemplos
14
Dados los siguientes triángulos equiláteros inscritos en círculos, se pide:
Hallar el término general de la sucesión monótona decreciente de los radios de los círculos
circunscritos. Calcular la diferencia entre el radio del círculo enésimo y el siguiente en función de
n.
Solución: rn =
15
3
3n
Sea un triángulo rectángulo BAC
en el que ambos catetos tienen la misma longitud
AB = AC = 1 m. Se une M1 (punto medio de AB ) con N1 (punto medio de AC ).
Análogamente, se unen M2 (punto medio de AM1 ) con N2 (punto medio de AN 1 ) y así
sucesivamente, construimos triángulos semejantes tal y como muestra la figura.
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
5
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 2
Se considera la sucesión cuyos primeros términos son los siguientes:
a1 = BC
a2 = BC + M 1N 1
a3 = BC + M 1N 1 + M 2N 2
............................
a)
¿Está acotada superiormente la sucesión an ?
b)
En caso afirmativo, ¿es AB + AC una cota superior de la sucesión an ?
Solución: (a) Sí, una cota es 2 2
(b) No
16 Estudia la monotonía, acotación y convergencia de la sucesión: a = 100 n + 3
n
2
n +1
Indicación: Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función f ( x ) =
100 x + 3
x2 + 1
17 Estudia la monotonía, acotación y convergencia de la sucesión: a = 100 ( log n − 3 )
n
n
Indicación: Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función f ( x ) =
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
6
100 ( log x − 3 )
x
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
18
BLOQUE 2
Dar un ejemplo, en el caso de que sea posible, de
(a) Una sucesión que sea monótona creciente hasta el término 2000 y decreciente a partir del
2001.
(b) Una sucesión que sea convergente y no sea monótona
(c) Una sucesión que sea divergente y no sea monótona.
(d) Una sucesión que sea convergente y no acotada.
(e) Una sucesión acotada y no convergente.
19 Rellenar las siguientes tablas:
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7
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 2
Utilización de la relación entre monotonía, acotación y convergencia para el análisis de sucesiones
recursivas
20 Dada la sucesión a1 = 3 an = 1 + an −1 n ≥ 2 , determinar el carácter de la sucesión
es posible, su límite.
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
8
∞
{an }n =1 y, si
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 2
Applet Laboratorio
Solución: Demostrar que es monótona decreciente y acotada inferiormente (0 es cota). Su límite es:
1+ 5
2
21 Dada la sucesión a1 = a > 0
, an = a + ( an −1 ) 2 n ≥ 2 , determinar el carácter de la sucesión
∞
{an }n =1 y, si es posible, su límite.
Applet Laboratorio
Solución: Demostrar que es monótona creciente y no acotada superiormente. Su límite es infinito.
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9
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 2
22 Demostrar gráfica y analíticamente la existencia del límite de la sucesión recurrente:
a1 = 2
a
=
n +1
4an + 5
Determinar el supremo, ínfimo, máximo y mínimo del conjunto A = {an / n ∈ }
Consideramos la función f ( x ) =
4x + 5 cuya gráfica aparece en rojo en la figura siguiente.
Solución: Demostrar que la sucesión es monótona creciente y que está acotada superiormente por 5.
Su límite es 5. El supremo es 5 (no es máximo) y el ínfimo es 2 (sí es mínimo).
23 Demuestra de forma gráfica y analíticamente que la sucesión recursiva a = 1 a
n
n −1 + 5, a1 = 2
2
tiene límite.
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
10
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 2
¿Qué ocurriría si a1 = 15 ? ¿Sería la sucesión convergente o divergente?
Solución: Demostrar que la sucesión es monótona creciente y acotada superiormente por 10. Su
límite es 10.
24 Supongamos que deseamos calcular la raíz cuadrada de un número real y que, para ello, tomamos
una estimación inicial xo . Al tratarse de una estimación, cometemos un error h, por lo que:
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
11
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
( xo
BLOQUE 2
2
+ h) = a
Desarrollamos el cuadrado de la suma y nos quedará:
xo2 + 2xoh + h 2 = a
Despejamos h en la expresión anterior:
h =
x
a
h2
− o −
2xo
2
2xo
Si damos por sentado que xo es una buena aproximación a
a , podemos despreciar el término
2
h
pues el error cometido será pequeño por lo que:
2xo
h ≈
x
a
− o
2xo
2
Lo que nos induce a tomar como aproximación:
x
x
a
a
− o = o +
2xo
2
2
2xo
x 1 = xo + h = xo +
Repitiendo el proceso, tenemos el siguiente algoritmo:
x n +1 =
xn
2
+
a
2x n
Nota: Este es el método por el que extraen las calculadoras la raíz cuadrada
Consideremos ahora a=2.
(a) Si se tiene n números reales positivos x1, x 2 ,..., x n su media geométrica es menor o igual
que su media aritmética, es decir,
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
12
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
n
x1x 2 ...xn ≤
x1 + x 2 + ... + x n
n
2
Utilizando este resultado probar que a1 ≤ ( an ) para todo número natural.
(b) La sucesión
(c) Su límite es
∞
{an }n =1 es monótona decreciente y acotada inferiormente.
2.
Applet Laboratorio
Solución: (a) Basta tomar x1 = a1, x 2 =
an
Su límite es
a1
an
an +
≤
a1
an
2
a1
an
. Se tendrá
2
1
a1
2
es decir, a1 ≤ an + = ( an +1 )
an
2
2
CALCULO DE LÍMITES
25 Siendo a =
1
3 , a2 =
3 3 , a3 =
3 3 3 , etc. Calcular limn →∞ an
Solución: 3.
26
Calcular el límite de las sucesiones:
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
13
BLOQUE 2
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
(a)
an =
2πn + 5
cos
n + 2
n
Soluciones: a) 0
(b) an =
2
6
(b)
3
(c)
4
6n 2 + 4n + 8
3
BLOQUE 2
(c) an =
4n 3 + 2n 2 + 6
log n
.
log ( 5n )
1
27 Calcular los límites de las siguientes sucesiones:
(a)
a1 > 0
(b)
an =
(c)
an =
(d)
an =
(e)
an =
an =
1
1+n
n
2
n +1
2
nean −1
1
+
+
1
2+n
n
2
n +2
(n ≥ 2)
1
+ ... +
2
+ ... +
n + n2
n
2
n +n
cos1 + cos 2 + ... + cos n
n2
nsen ( n ! )
n2 + 1
n
(f) an =
(g)
( −1 ) ( 2n + 1)
an =
3n
( n − 1) !
(1 + 1 )(1 +
) (
2 ... 1 + n
)
Solución: (a) 0 (b) 1 (c) 1 (d) 0 (e) 0 (f) No tiene límite
(g)
0
28 Dadas las sucesiones:
an =
22n−1
n
2n
bn =
n
c n = 2 2n−1
(a)
Demostrar que a n < bn < cn
(b)
Demostrar que la sucesión {bn }n =1 es divergente
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
( n > 1)
∞
14
( n > 1)
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 2
Solución: (a) Demostrar por inducción (b) La sucesión an es divergente y por el teorema de
acotación bn también.
Infinitésimos e infinitos
29 Hallar el límite de las sucesiones:
(a)
n + 3
an = log
⋅ cos (n 2 + 5)
n + 2
(c)
an =
n!
2n −1 3n
Solución: (a) 0
(b)
4
(b)
1
1
8 n 6 ⋅ log 1 +
⋅ sen 3
2n
n
an =
n
2
π
−
2
(2n 2 + 5n ) ⋅ cos
6n + 3
(d)
an =
(c)
4n +1 + 3n
2n + 5
(d) ∞
30 Hallar el límite de las sucesiones:
(a)
an =
n!
n −1
2
(b)
3n
an =
( 2n ) !
n −1 n + 3
2
n
Solución:
Límites de la forma ∞0 , 00 , 1∞
31 Calcular los límites de las siguientes sucesiones:
a) an =
n
n 2 +1
2
2n + 4
2n − 1
b) bn =
n
4
e5
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
(b)
1+n
3+n
3n − 1 −n −3
5n + 2
3 − 2n n +1
b) cn =
5 − 3n
Solución: (a)
2n
d) dn =
1
(c)
2
3
(d) ∞
15
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 2
Expresiones irracionales
32 Obtener
(a) limn →∞
(
n2 − n2 + n
(c) limn →∞ ( n −
Solución: (a)
)
n
( n + a )( n + b ) )
1
2
(b)
n
(b) limn →∞
(
n 2 + 2n − n
)
(d) limn →∞
(
n 2 + 2n + n
)
n
1
e
Cálculo de límites utilizando distintos criterios
33 Calcular los siguientes límites:
(a )
n
an = cos ( 2πn )
Solución: (a) 1
(b )
n + a n
lim
n →∞
n + 1
(b) ea −1
34 Dados los siguientes infinitos
an =
en
n
, bn =
2n
n3
, cn =
nn
n!
, dn = n
n!
2
comparar an con el resto de sucesiones indicando cuál es de mayor orden.
Solución:
{an } es de mayor orden que {bn } , del mismo orden que {cn } y de menor
orden que {dn }
35 Calcular los siguientes límites:
1
(a )
lim ( n 2 + n )2n +1
n →∞
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
(b )
n + a 2n + 3
lim
n →∞
n + 1
16
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
(c)
log ( n + p ) n log n
lim
n →∞
log n
(e )
2 2 + log n
lim
n →∞
n + 1
(d )
BLOQUE 2
n +a − n +b
lim
n →∞
n +c − n +d
c ≠d
2
(g )
Solución:
lim
1 n ( 2n ) !
n!
(h )
n →∞ n
(h )
n →∞
3n −1
n
sen ( n )
(b) lim
n
n + ( −1 )
n →∞ n
+ cos ( n )
Solución: (a) 0 (b) 1
38
1
Calcular:
(d)
lim ( 1 + log ( n 2 − n − 2 ) − log ( n 2 + 3n − 5 ) )
n →∞
lim n n
2
n →∞
Solución: 1
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
17
0 <a <e
nn
(
e
37 Calcular:
lim
n →∞
n!
lim 1 + n + 1 − n
n →∞
Solución: e −12
(a)
lim a n
2 (a −1 )
p
(b) l = e
(c) l = e
(a) l = 1 ,
(g) 4/e
36 Calcular:
(f )
a −b
c −d
)
n
−2
(e) l = e
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 2
SERIES NUMÉRICAS
Ejercicios: Definiciones
1 Hallar el término general y el carácter de una serie cuya suma parcial n-ésima es:
(a)
Sn =
2n
n +1
Sn = −
1 − 3n +1
2 ⋅ 3n
Solución: (a) an =
(c)
2
n ( n + 1)
an =
(b)
n ∈
1
3n
Sn = −
3n +1 − 1
2
(c)
n∈
n∈
n ∈ . Observar que Sn − Sn −1 = an (b)
an = −3n
n∈
2 Obtener el carácter de las siguientes series:
2
∞
(a)
4n + 3
∑ n log 4n − 3
∞
(b)
n!
(c)
∑ 2n !+ 1
n =1
Solución: (a) Divergente
∞
∑
n =1
n =1
( 2n − 1 )
1
sen 2
4n 2
1
1 − cos
n
(b) Divergente(c) Divergente.
Son series de términos positivos cuyo término general no tiende a cero.
3 Estudiar el carácter de las siguientes series:
∞
∑
3
n
n =1 2
∞
−1
∑ 2n
n =1
∞
23n
∑ 5n
n =1
∞
∑
n +1
( −1 )
n =1
11n
Solución: (a) Convergente. (b) Convergente (c) Divergente
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
18
(d) Convergente
n ∈
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
4
BLOQUE 2
Usar la serie geométrica para demostrar que los siguientes números decimales periódicos son
racionales:
25 ' 365
1.
0 '12
2.
= 25 +
Solución: (a) 25 ' 365
365
25340
=
999
999
= 12
0 '12
100
(b)
1
1
1−
100
=
12
99
5 Calcular las siguientes sumas:
9 n
∑ 10 +
n =0
∞
(a)
1
n
( )
5
n
n 5
∑ ( −1 ) 9 +
n =5
∞
(b)
∞
∞
π
∑ arctg ( n ) − arctg ( n − 1) = 2
n =1
(c)
(d)
4+π−
∞
∑(
(h)
3
n =1
Solución: a) 10 +
(g)
9
40
∞
5
5 −1
(e)
(b)
3n + 2
∑ n 3 + 3n 2 + 2n
n =1
∞
1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
+ ...
3
4
2 22
2
2
2n
( n + 1) − n 3
1
n =1
1
7
∑ n ( n + 1)( n + 3 ) = 36
n =1
(f)
n
( 3)
∑ n ( n + 1) = 1
∞
(e)
1
(g)
1
∑ ( n + 3 )( n + 5 )
n =1
∞
)
1
∑ log 1 + n
(i)
n =1
−
55
14 ⋅ 9
4
+
1
2
3
(
3
(h) Divergente, Sn = ( n + 1 ) − 1
3 −1
)
(e) 2
(f) 4 + π
(i) Divergente, Sn = log ( n + 1 )
Ejercicios: Criterios de comparación
6
Utilizando el criterio integral demuestra la convergencia o divergencia de la serie armónica
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
19
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
∞
generalizada para los diferentes valores de p:
1
BLOQUE 2
p>0
∑ np
n =1
Solución: Para p>1 la serie es convergente. Para 0 < p ≤ 1 la serie es divergente
7 Estudiar la naturaleza de la serie aplicando alguno de los criterios de comparación:
∞
(a)
∞
1
(b )
∑n!
n =1
∞
n +2
∑ n 2 − n − 1 (e )
∑
n =1
∞
(g )
∑
n =1
n =1
n =1
∞
n
3
n +1
∞
1
1/2
( n + 1 )( 2n + 1 )
(h )
1
∑ tg n
(c )
n =1
∞
(d )
∞
1
∑ log n
(f )
∑3
n =1
sen ( n ) + 2
∑ n2 − n − 1
n +2
n5 + 1
∞
(i )
n =1
log n
∑n +1
n =2
Solución:
(a) Convergente (comparar con geométrica de razón ½).
(b) Divergente (comparar con la serie armónica).
(c) Divergente (comparar con la serie armónica)
(d) Divergente (comparar con la serie armónica
(e) Divergente (comparar con la serie armónica)
(f) Divergente (comparar con la serie armonica generalizada para p=2/3)
(g) Convergente (comparar con la serie armónica generalizada para p=3/2)
(h) Convergente (comparar con la serie armónica generalizada para p=2)
(i) Divergente
8 Estudiar la naturaleza de la serie aplicando alguno de los criterios de comparación:
∞
(a )
n 2 + 2n + 1
n 2 + 2n
∑ log
n =1
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
∞
(b )
∑
n =1
20
e1/n + 1
3
n +1
∞
(c )
∑
n =1
1
3/2
( n 2 + 1)
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
Solución: (a) Convergente
(b) Convergente
BLOQUE 2
(c) Convergente
comparar con la serie armónica generalizada para (a) p=2 (b) p=2 (c) p=3
Ejercicios: Suma aproximada
9
∞
Considera la serie
1
∑ na
(a>1). Determinar, en función del parámetro a, el número de términos
n =1
que es necesario tomar para calcular la suma con un error menor que ε = 10−2
10
π4
π4
con un error menor que una milésima, sabiendo que
=
90
90
Calcula el valor de
Solución: Basta tomar siete términos
11
∞
Se sabe que
1
∑
n =1 n
2
=
∞
1
∑ n4
n =1
π4
1
1
1
1
1
1
≈ 1+
+
+
+
+
+
≈ 1' 0815
4
4
4
4
4
90
2
3
4
5
6
74
π2
π2
obtener una aproximación de
cuando se consideran los tres
6
6
primeros términos de la serie. Dar una cota del error.
Solución: Utilizando el criterio integral: Error <
12
1
3
(a) Estimar el error cometido al tomar la suma parcial S100 como aproximación del valor de la
∞
suma de la serie
1
∑ n3
n =1
∞
(b) ¿Cuántos términos son necesarios para aproximar la suma de la serie
n =1
menor que 10−5 ?
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
21
1
∑ n3
con un error
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
105
= 100 5 ≈ 223.6 , es decir, n ≥ 224
2
Solución: (a) error < 5 ⋅ 10−5 (b) n ≥
13
BLOQUE 2
Estimar el error cometido al tomar la suma parcial Sn como aproximación de la suma de la serie
∞
(a)
S 40 ,
∑ ne−n
S10 ,
(b) S 40 ,
n =1
∞
(d)
∞
2
∑
n =1
∞
6
(c) S 40 ,
∑ n8
n =1
∞
1
(e)
2n −1
( 2n − 1 ) 2
S10 = ∑
n =1
∑ 5n
n =1
3n
+3
1
( 3n + 2 ) 23n +2
Solución:
14
Calcular el número de términos necesario para aproximar el valor de la serie con un error menor
que
10−2
∞
(a)
S 40 ,
∑ ne−n
S10 ,
(b) S 40 ,
n =1
∞
(d)
∞
2
∑
n =1
∞
6
(c) S 40 ,
∑ n8
n =1
∞
1
(e)
2n −1
( 2n − 1 ) 2
S10 = ∑
n =1
1
( 3n + 2 ) 23n +2
Solución:
Series de términos positivos
Criterio del cociente: Se considera la serie
∞
∑ an
cumpliendo
n =1
an
lim
n →∞ a
n −1
= L ó lim
n →∞
an +1
an
entonces si
∞
(a)
Si L < 1 la serie
∑ an es convergente
n =1
∞
(b)
Si L > 1 la serie
∑ an es divergente
n =1
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
22
=L
∑ 5n
n =1
3n
+3
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 2
15 Obtener el carácter de las siguientes series:
∞
(a )
∞
en
(b )
∑ 3n n !
∑
n =1
∞
(d)
n =1
n =1
∞
(g )
Solución:
n =1 22n
2
∞
(f )
∞
10n
∑
(h )
3
( n + 1)
∑
n =1
(n !)
∑ ( 2n ) !
n =1
(e )
∑ n 4n −1
(c )
en
∞
n +1
∞
n +1
∑
n =1 22n
n3
n
( log 2 )
3n
∑
n =1 22n
3
( n + 1)
8n +2
2
( n + 1)
(a) Convergente
(b) Convergente
(c) Divergente
(d) Convergente
(e) Convergente
(f) Convergente
(g) Divergente
(h) Divergente
Criterio de la raíz: Se considera la serie
∞
∑ an
cumpliendo lim n an = L entonces si
n →∞
n =1
∞
(c)
Si L < 1 la serie
∑ an es convergente
n =1
∞
(d)
Si L > 1 la serie
∑ an es divergente
n =1
16 Obtener el carácter de las siguientes series:
∞
(a )
∞
e 2n
(b )
∑ nn
n =1
∞
(d )
∑
n =1
(c )
n
n =1 3
n
1
1
1
+
∑ n n
n =1 2
∞
1
n
( log n )
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
∑
(e )
n
∑ 5 ( n + 1)
n =1
∞
n3
23
2
∞
(f )
n
3n 2
2
3n
∑ 3n + 1
n =1
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
n
1 e + 1
∑
n =1 n π
∞
∞
(g )
Solución:
(h )
BLOQUE 2
∞
1
∑ n nsen n n
(i )
n =1
n3
∑ en
n =1
(a) Convergente
(b) Convergente
(c) Convergente
(d) Convergente
(e) Divergente
(f) Convergente
(g) Divergente
(h) Divergente
(i) Convergente
Series alternadas
17 Calcular el carácter de las siguientes series
∞
(a )
(d )
∑
∞
n
n +1
n =1
( −2 )
∞
( −1 )
∑
(b )
n
5
n =1
Solución: (a) Convergente
(d) Convergente
∞
(e )
n +1
∑ ( −1 )
n =1
∞
n
(c )
2n − 1
n =1
3n + 3
2n
∑
n +1
( −1 )
3n + 2
4n 2 − 3
∑
n =1
∞
(f )
(b) No converge
n
∑ ( −1 )
n =1
n
( −1 )
log n
n
n
log 2n
(c) Convergente
(f) El término general no tiende a cero. No es convergente por la
condición necesaria de convergencia. No se puede aplicar
Leibniz.
18
Aproximar la suma de la serie alternada
∞
∑
n =1
n +1
( −1 )
n4
cuando se considera la suma parcial n-
ésima y S 40 estimar el error en la aproximación.
Solución: S ≈ 0.9470326439 y el error es menor que ±3.54x 10−7
19
¿Cuántos términos es necesario sumar para garantizar que la suma parcial n-ésima de la serie
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
24
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 2
n +1
∞
∑
( −1 )
n =1
n4
aproxima al valor real de S con un error menor que 10−10 .
Solución: n ≥ 4 1010 − 1 ≈ 315.2 , es decir, n ≥ 316
20
Estimar la suma de la serie
∞
∑
n
( −1 )
3
con un error menor que 0.01
n!
n =1
Solución:
21
Estimar la suma de la serie
∞
∑
n
( −1 )
10n
n =1
n2
con un error menor que 0.01 .
Solución:
Series de términos cualesquiera
∞
Una serie de términos cualesquiera,
∑ an , es absolutamente convergente si es convergente la serie
n =1
∞
de sus valores absolutos, es decir, si
∑ an
es convergente.
n =1
TEOREMA: Si una serie es absolutamente convergente entonces es convergente.
Si una serie es convergente pero no es absolutamente convergente se dice condicionalmente
convergente.
22 Estudiar el carácter de la serie en función del parámetro a ∈ Profesora: Elena Álvarez Sáiz
25
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
∞
BLOQUE 2
1
∑ nasen n
n =1
Solución: Si
0 ≤ a
es divergente, si
es convergente (ejercicio resuelto).
a < 0
23 Estudiar el carácter de la serie siguiente en función de los posibles valores de x
∞
∑
n =1
xn
( n + 2 )( n + x ) 5n
x >0
Solución: x>5 Divergente, si 0 ≤ x ≤ 5 convergente (ejercicio resuelto)
24 Se considera la sucesión an =
n
( n + 1 )( n + 2 ) bn
con b ∈ . Se pide:
∞
(a) Estudiar la convergencia de la serie
∑ an
n =1
∞
(b) Encontrar el valor de la suma
∑ an
para b = 1 .
n =1
∞
(c) Consideramos Sn la suma parcial n-ésima de la serie
∑ an para
b = 1 . Sin obtener la
n =1
expresión exacta de Sn encontrar una sucesión equivalente y demostrar que la expresión
obtenida realmente es equivalente a Sn.
Solución: Si b < 1 la serie no converge. Si b > 1 , la serie es convergente. Si b=1 la serie diverge.
Si b=-1 las serie converge (ejercicio resuelto).
25
Estudiar la convergencia y convergencia absoluta de la serie
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
26
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
∞
∑
cosn x
con x ∈ 0, π , a ∈ na
n =1
BLOQUE 2
según los valores de x y a.
Solución: Ejercicio resuelto
26 Estudia el carácter de las siguientes series. Justifica adecuadamente las respuestas.
∞
(a)
n +1− n
∑
n
n =1
∞
(c)
a
n +3
2
∑ 3n −1
(d)
2n + 9
∑ log n + 7
(g)
∞
n =1
n =1
n
( −1 )
∑3
2n + 5
∑ sen 2 3n 2 + 8
(e)
n =1
n
( −1)
(f) ∑ 2
n = 2 n log ( n )
∞
n 2 + 2n + 1
n 2 + 2n
∑ log
n =1
∞
n =1
∞
∞
(b)
, a∈
∞
(h)
n +1
∑
n =1
sen n
3
n + cos3 n
Solución: Ejercicios resueltos
(a) Es divergente si
−1
1
1
< a ≤ . Es convergente para < a . (b) Es convergente por comparación
2
2
2
con la serie armónica generalizada para p=2. (c) Convergente. (d) Divergente. (e) Convergente.
(e) Convergente. Absolutamente convergente. (f) Convergente. No absolutamente convergente. (g)
Es absolutamente convergente, luego es convergente.
27 Se considera para cada número natural n ∈ la ecuación:
n 6x 2 −
13
5
=
2
2
y se define para cada natural n ∈ el número an como la suma de las raíces positivas de
esta ecuación. Se pide:
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
27
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 2
Apartado 1.- Encontrar el supremo, ínfimo, máximo y mínimo del conjunto formado por
los números reales an , es decir, el conjunto
{ an
/ n ∈ }
∞
Apartado 2.- Calcular la suma aproximada de la serie
∑ an con un error menor que una
n =1
décima.
5
5
5
5
5
5
/ n ∈ (b) S ≈ +
+
+
+
(ejercicio resuelto)
3
3
n 3
1 23
3
4
53
Solución: (a) A =
28
n
( x − 1)
(a) Calcular en carácter de la serie ∑
para los diferentes valores de
n
n =1 ( n )( n + 1 ) ⋅ 3
∞
x ∈
(b) Acotar el error que se comete cuando consideramos como suma de la serie
n
( x − 1)
∑ n n + 1 ⋅ 3n
)
n =1 ( )(
∞
para x=4 los tres primeros términos
Solución:
29 (a) Demostrar que 1 < 1 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ ( 2n − 1 ) n ≥ 1
2 ⋅ 4 ⋅ ... ⋅ ( 2n )
2n
(b) Dar la definición de carácter de una serie numérica y estudiar el carácter de las siguientes
series:
∞
1.
1 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ ( 2n + 1 )
∑ 2 ⋅ 4 ⋅ ... ⋅ ( 2n + 2 )
n =1
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
28
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
∞
2.
1 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ ( 2n − 1 )
∑
n =1
2 ⋅ 4 ⋅ ... ⋅ ( 2n )
BLOQUE 2
x n para x>-1
Solución: (a) Demostrar por inducción. (b.1) Es divergente por comparación con la serie armónica
(tened en cuenta el aparatado anterior (a)
2n
30
Hallar los valores de a ∈ para los que la serie
∞
(a + 2 )
∑
n =1
a
sen
n 2 + 1
3n
solución en términos de intervalos justificando la respuesta.
Solución: Convergente en el conjunto −2 − 3, −2 + 3 (ejercicio resuelto)
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
29
sea convergente. Dar la
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 3a
Para realizar estos ejercicios debes conocer:
La representación gráfica y las propiedades de las funciones elementales.
La definición de continuidad y derivabilidad de una función en un punto
y la relación entre ambos conceptos.
Técnicas de cálculo de derivadas:
•
Derivadas de funciones elementales
•
Calculo de la derivada de la función suma, producto y cociente
•
Cálculo de la derivada de la función compuesta
•
Cálculo de la derivada de la función inversa
•
Derivación logarítmica
FUNCIONES DE UNA VARIABLE
−x
1 La función f ( x ) = e es:
a. Negativa para todo x>0
b. La misma que −e x
c. Decreciente para todo x
d. Siempre mayor que 1
2 Representa conjuntamente en el intervalo −π, π las funciones f ( x ) = sen ( x ) y g ( x ) = cos ( 2x )
2
3 Sea f ( x ) = sen ( log ( 1 + x ) ) . Calcular f ' ( x )
4 Calcular la derivada de la siguiente función: f ( x ) =
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
1
1
log ( x
1/2
+ 2x )
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 3a
5 Analizar la continuidad y derivabilidad de la función f ( x ) = 4 + x + 2 . Hacer también la
representación gráfica de la función.
x
6 Calcula lim
x →0 x 2
+x
2
7 ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a la curva y = log ( x + 1 ) en el punto cuya abscisa es
2?
3
8 De los posibles extremos de la función f ( x ) = x − x sobre el intervalo ( 2, 5 puede asegurarse:
x −2
a. No existen porque f’(x) no se anula en el intervalo
b. Tiene un máximo en x=2
c. Tiene un mínimo en el intervalo
d. Tiene un máximo en x=5
9
Encuentra la ecuación de la tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 2 siendo
f ( x ) = x 3 − 2x 2 + 4
10 Sea f x = 1 x 3 + 2x 2 + 3x + 1 . Halla los puntos de la gráfica de f en los cuales la tangente es
( )
3
horizontal.
11
Sea f ( x ) = log 2x + 1 . Halla los puntos en los que la tangente a la gráfica de f es paralela a la
recta de ecuación 2x − 3y + 20 = 0
12 Encuentra los valores de a y b para que f ( x ) = e x y g ( x ) = −x 2 + ax + b tengan tangente común
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
2
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 3a
en el punto de abscisa 0
13 En cada uno de los siguientes casos investiga la continuidad y la derivabilidad de la función f
x
e
f (x ) = 2
−x + x + 1
−x + 1
f (x ) =
2
−x + ax + b
si x < 0
si x ≥ 0
si x < 1
si x ≥ 1
CALCULO DE DERIVADAS
TIPO
FUNCIÓN
Tipo potencial
DERIVADA
y = xa
y ′ = ax a −1
a
y = f ( x )
y ′ = a f ( x )
a −1
.f ′ ( x )
Ejemplos:
•
•
y = x 4 ; y ′ = 4x 3
x
y =
x
2
; y=
−3
−1
2
1
x
2
2
=x
1
2 .x −2
=x
−3
2
;
5
•
3 −
3 1
3 1
3
3
=− x 2 =− .
=− .
=−
=−
2
5
2
2 52
2 x5
2x x
2 x
x
y = (3x 2 − 2)5 ; y ′ = 5(3x 2 − 2)4 .(3x 2 − 2)′ = 30x (3x 2 − 2)
•
y =
•
y =
y′ =
−3
.x
2
x
3
x 2 − 3 ; y = (x 2 − 3)
1
(2x + 5)2
;
1
3
1
3
TIPO
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
−1
=
−2
1 2
(x − 3) 3
3
y = (2x + 5)−2 ;
y ′ = −2(2x + 5)−3 .(2x + 5)′ = −2(2x + 5)−3 .2 =
Tipo raíz cuadrada
1
; y ′ = (x 2 − 3)3
−4
(2x + 5)3
FUNCIÓN
y =
x
DERIVADA
y′ =
3
1
2 x
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
y =
f (x )
y′ =
BLOQUE 3a
f ′(x )
2 f (x )
Ejemplo:
•
y =
x 2 − 3x ;
y′ =
2x − 3
2 x 2 − 3x
TIPO
FUNCIÓN
Tipo exponencial
DERIVADA
y = ex
y ′ = ex
f x
y =e ( )
f x
y = e ( ) .f ′ ( x )
y = ax
y = a x ⋅ log a
f x
y =a ( )
f x
y = a ( ) ⋅ f ′ ( x ) ⋅ log a
Ejemplos:
•
y = e −x ;
•
y = e 3x + 2 ; y ′ = e 3x + 2 .(3x + 2)′ = e 3x +2 .3 = 3e 3x + 2
•
y = 2x ;
•
y = 5x
2
+1
y ′ = e −x .(−1) = −e −x
y ′ = 22x .L2
;
y ′ = 5x
2
+1
.(x 2 + 1)′ .L5 = 2x 5x
TIPO
.L 5
DERIVADA
y′ =
y′ =
y = log f ( x )
y = loga x
y′ =
y = loga f ( x )
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
+1
FUNCIÓN
y = log x
Tipo logarítmico
2
y′ =
4
1
x
f ′(x )
f (x )
1 1
.
x log a
f ′(x )
1
.
f ( x ) log a
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 3a
Ejemplos:
•
y = log(2x 3 + 5x ) ;
•
y = log2 x ; y ′ =
•
y = log3 (4x + 1) ;
y′ =
(2x 3 + 5x )′
2x 3 + 5x
=
6x 2 + 5
2x 3 + 5x
1 1
1
.
=
x log 2
x log 2
y′ =
(4x + 1)′ 1
4
1
4
.
=
.
=
4x + 1 log 3
4x + 1 log 3
(4x + 1) log 3
TIPO
FUNCIÓN
Tipo seno
DERIVADA
y = senx
y ′ = cos x
y = sen ( f ( x ) )
y ′ = f ' ( x ) cos f ( x )
Ejemplos:
•
y = sen(4x − 1) ;
3
y ′ = cos(4x − 1).(4x − 1)′ = 4 cos(4x − 1)
•
y = sen x ;
y = (sen x )3 ; y ′ = 3(sen x )2 .(sen x )′ = 3sen 2x .cos x
•
y = sen x 2 ;
y ′ = cos x 2 .(x 2 )′ = 2x cos x 2
•
y = sen 2 (2x 3 + 2x ) ;
y = [sen(2x 3 + 2x )]2 ;
y ′ = 2sen(2x 3 + 2x ).[sen(2x 3 + 2x )]′ = 2sen(2x 3 + 2x ). cos(2x 3 + 2x ).(6x 2 + 2)
TIPO
Tipo coseno
FUNCIÓN
DERIVADA
y = cos x
y ′ = −senx
y = cos ( f ( x ) )
y ′ = −f ' ( x ) sen ( f ( x ) )
Ejemplos:
•
•
;
y ′ = sen 5x .(5x )′ = −5sen 5x
y = cos x ; y ′ = −sen x .( x )′ = −
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
1
2 x
5
sen x = −
sen x
2 x
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
TIPO
BLOQUE 3a
FUNCIÓN
DERIVADA
y = tgx
y′ =
Tipo tangente
y = tg ( f ( x ) )
y′ =
1
cos2 x
= 1 + tg 2x
1
2
cos f ( x )
.f ′ ( x )
Ejemplos:
1
•
y = tg 5x ;
•
y = tg 2x ; y = (tg x )2 ;
y′ =
2
cos 5x
5
.(5x )′ =
cos2 5x
y ′ = 2tg x .(tg x )′ = 2tg x .
TIPO
1
2
cos x
=
FUNCIÓN
2tg x
cos2 x
DERIVADA
y = ctgx
y′ =
y = ctg ( f ( x ) )
y′ =
−1
sen 2x
Tipo cotangente
−1
sen 2 f ( x )
.f ′ ( x )
Ejemplos:
•
y = ctg x 2 ;
•
y = ctg e x ;
TIPO
Funciones arco
y′ =
−1
2 2
sen x
y′ =
−1
sen 2e x
.(x 2 )′ =
.(e x )′ =
−2x
sen 2x 2
−e x
sen 2e x
FUNCIÓN
DERIVADA
y = arcsenx
y′ =
y = arcsenf ( x )
y′ =
y′ =
y = arccos x
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
6
1
1 − x2
1
1 − f 2 (x )
−1
1 − x2
.f ′ ( x )
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
y′ =
y = arccos f ( x )
y′ =
y = arctgx
y′ =
y = arctgf ( x )
BLOQUE 3a
−1
1 − f 2 (x )
.f ′ ( x )
1
1 + x2
1
1 + f 2 (x )
.f ′ ( x )
Ejemplos:
y = arcsen x 2 ;
•
;
•
y′ =
1
1 + (e x )2
y = arc cos 5x ;
•
y′ =
1
1 − (x )
.(e x )′ =
y′ =
.(x 2 )′ =
2 2
2x
1 − x4
ex
1 + e 2x
−1
2
1 + (5x )
.(5x )′ =
−5
1 + 25x 2
14 Calcular las derivadas de las siguientes funciones
2
3
1) f (x ) = 3x 3 + x 2 − x + 3 3 x
4) f (x ) =
7) f (x ) =
3x
24
x − 2x x
4
5 x3
ctgx
3
x
2
− ex
10) f (x ) = xarctgx
2) f (x ) =
x4
3x 2
3
6
+
−2− +
4
2
x
x3
3) f (x ) = x x +
6) f (x ) = x 3 ln x −
8) f (x ) = e x senx + e x cos x
9) f (x ) = 4x arcsenx
11) f (x ) =
5x − 2
2
4x − 1
12) f (x ) =
x
1
3
tgx
x
x + ln x
x
1 − arctgx
15) f (x ) =
16) f (x ) =
senx + cos x
senx − cos x
17) f (x ) =
tgx − ctgx
xsenx
18) f (x ) =
20) f (x ) =
x 3senx
ln x
21) f (x ) = xe x
3
x x2
x − ex
14) f (x ) =
7
−
x + ex
x − arctgx
arcsenx
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
x
5) f (x ) = x 2senx + x cos x
13) f (x ) =
19) f (x ) = xe x senx
1
2
x3
1
ln x
+ 2 ln x −
x
x
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 3a
15 Calcular las funciones derivadas de:
17
3) y =
2) y = x 4 − 3x 2 + 6
1) y = ( 4x 3 + 6x − 2 )
1
3
5
4) y = ( senx − cos x )
2
x −5
1
5) y = x ( arctgx )
6) y = ( 1 − x 2 ) ( arcsenx )
7) y =
9) y = cos3 x − cos(x 3 )
10) y = ln (senx )
11) y = log ( sen x )
5
3
sen 5x + cos 5x
2
x −1
x
2
1
arcsen
x
26) y =
1−x
2
1
18) y = arcsen ( 1 − e x )
19) y = ln e x + e 2x − 1
27) y =
x
)
1 + cos x
a
x
x 2 − 4 − 2 ln x +
2
(
x 2− 4
(
)
28) y = ln x + x 2 + 1
30) y = arcsen
1
arccos(senx )
x
1 + x2
33) y = cos
2
5) y =
ln x
3
2
x
x
1
6) y = 1 +
x
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
8) y = x
x3
(sen x ) 5
7
8
9) y =
1 − x
35) y = arctg ( tg 2x )
34) y = x + x + x
3) y = x
x
)
31) y = ln ln ln
1 + x
9
7) y = x
1
−
x6
x
25) y = x a 2 − x 2 + a 2 arcsen
1
xx
1−x
1+x
23) y = arcsen (1 − x ) + 2x − x 2
2
2) y = x x
1 senx
4) y =
x
x − cos x
20) y = x 5e
16 Calcula la derivada de las siguientes funciones utilizando derivación logarítmica:
1) y = x 3x
x + cos x
16) y = arctg
2
(
1 − cos2 x
29) y = ln (arcsenx ) + arcsen (ln x )
32) y = sen 2 ( sen 2 ( sen 2x ) )
12) y =
15) y = arccos 1 −
x
a 2 − x 2 + a ⋅ arcsen
a
arcsenx
+ 1)
14) y =
sen 5x − cos 5x
22) y = ln
21) y = 8
24) y =
( 2x
8) y = sen 3x + sen 2 3x
3
3
13) y = arcsen 1 − x 2
17) y = arcsen
3
(x + 2)
7
11
(x − 3) (x + 8)
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
10) y =
x
−
1
5sen 3 x
ln x
3
(arcsenx )
7
11)
( 1 − cos x )
tg 3x
x 2 + 1 3 senx
BLOQUE 3a
12) x 4
5
x3
x2 + 3
SOLUCIÓN: Puedes obtener la derivada de una función en Matlab utilizando el comando “diff”
>>syms x
>>diff(x^2+cos(x)*log(x),x)
>>pretty(diff(x^2+cos(x)*log(x),x))
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
9
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 3b
En el Aula Virtual se encuentra disponible:
● Material interactivo con teoría y ejercicios resueltos. Para acceder a ello deberá pulsar sobre los
siguientes enlaces una vez dentro de la asignatura
Pagina Principal >Apuntes>4. Funciones
● Material en pdf con el siguiente contenido:
- Repaso de números complejos a nivel de bachillerato
- Apuntes de teoría
- Ejercicios resueltos
- Problemas de examen resueltos
Para acceder a ellos se deberá pulsar sobre los siguientes enlaces una vez dentro de la
asignatura:
Pagina Principal >Recursos Por Temas>Funciones
Objetivos:
Conocer la definición de derivada y su interpretación geométrica.
Calcular derivadas de funciones elementales utilizando las siguientes técnicas:
o
Reglas de derivación (derivada de una suma, producto, cociente).
o
Derivada de la función compuesta: Regla de la cadena
o
Derivada de la función inversa.
o
Derivada de funciones implícitas.
o
Derivada de funciones en paramétricas
o
Derivada enésima.
Comprender la aproximación local que proporciona los polinomios de Taylor
o
Encontrar polinomios de Taylor para funciones derivables
o
Utilizar el resto de Lagrange para estimar la precisión de la aproximación.
o
Estudiar localmente una función (determinación de extremos)
Comprender la aproximación global que proporcionan las series de Taylor
o
Calcular el campo de convergencia de una serie de potencias
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
1
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
o
BLOQUE 3b
Desarrollar una función en serie de potencias.
DERIVADA: DEFINICIÓN Y TÉCNICAS DE DERIVACIÓN
1
Un estudio del medio ambiente de cierta comunidad suburbana indica que el nivel medio de
()
0, 5 p 2 + 17 partes por millón cuando la
monóxido de carbono en la atmósfera es de C p =
población es p miles de personas. Se estima que, dentro de t años, la población será de
p (t ) = 3,1 + 0,1t 2 miles de personas. ¿Cuál será la tasa de variación de nivel de monóxido de
carbono con respecto al tiempo dentro de tres años?
Solución: 0 ' 24 partes millon / año
2
Supongamos que un cubo de hielo se derrite conservando su forma cúbica y que éste volumen
decrece proporcional al área de su superficie. ¿Cuánto tardará en derretirse si el cubo pierde ¼
de su volumen durante la primera hora?
Solución: Aproximadamente 11 horas.
3
()
(
)
()
(
)
Consideremos g x = f x − a , entonces g ' x = f ' x − a . Explique esta derivada
gráficamente: compare las gráficas de f y g y argumente por qué las pendientes de las rectas
tangentes se relacionan como la fórmula indica.
Solución:
4
()
( )
()
( )
Consideremos h x = f 2x , entonces h ' x = 2 f ' 2x . Explique esta derivada gráficamente:
compare las gráficas de f y h y argumente por qué las pendientes de las rectas tangentes se
relacionan como la fórmula indica.
Solución:
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
2
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
5
Hallar
Solución:
6
BLOQUE 3b
u 2 + 3u
dy
si y = 2
, u = senx
dx
u −1
dy
−2senx − 3 − 3sen 2x
=
dx
cos3 x
Sean f, g y h funciones derivables en . Expresar en función de f(a), g(a), h(a) y de sus
derivadas f’(a), g’(a), h’(a) las derivadas de las siguientes funciones en x = a.
( ( ))
(( (
)))
( )
(c) f g h 2 x + 1
( ( ))
(g) f g
(a) f xf x
(b) f x 2
g (x ) + 1
(e) f 2
g (x ) + 1
(f) f 2 g 2x
((
x +2
(
( ))
(d) f x + g 1
))
Solución:
7
Se considera la ecuación:
x2
d 2y
dy
−
4
x
+ 6y = x 3
2
dx
dx
y se realiza el cambio x = e t . Escribir la ecuación después de haber realizado el cambio
considerando la variable y dependiente de t .
d 2y
dy
Solución: 2 − 5
+ 6y = e 3t
dt
dt
8
Deducir la derivada de las funciones:
(a)
f (x ) = arcsen (x )
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
()
()
(b) f x = arccos x
3
()
()
(c) f x = arc tg x
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
(d)
Nota:
9
d
argCh x
dx
(
)
(e)
d
arg Sh x
dx
(
y = argCh x ⇔ Chy = x
()
Hallar la derivada n-ésima de f x =
()
d
ar c sec x
dx
(
(f)
y = arg Sh x ⇔ Shy = x
17x + 5
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
Solución: Descomponer en fracciones simples:
Si g x =
)
BLOQUE 3b
)
Ch 2x − Sh 2x = 1
.
17x + 5
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
=−
6
29
23
+
−
x +1 x +2 x + 3
n
−(n +1)
A
entonces g (n (x ) = A (−1) n ! (x + a )
x +a
10 Hallar la derivada n-ésima de:
(a)
f (x ) = sen (x ) en x=0
(b)
f (x ) = cos (x ) en x=0
(c)
f (x ) = e x en x=0
(d)
f (x ) = log (1 + x ) en x=0
(e)
3 + x
en x=0
f (x ) = log
4 − x
(f)
f (x ) = sen (2x ) cos (2x ) en x=0 (utilizar fórmula del seno del ángulo doble)
n /2
(−1) sen (x )
si n par
Solución: (a) f (x ) =
n −1)/2
(
−1
si n impar
cos (x )
( )
0
si n par
(n
f (0) =
(n−1)/2
(−1)
si n impar
(n
También:
n π
f (n (x ) = sen x +
2
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
n π
f (n (0) = sen
2
4
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
()
f (n (0) = 1
(c) f (n x = e x
n +1
n +1
−n
( ) ( ) (n − 1)! (1 + x )
(d) f (n x = −1
n
() ( )
(
(e) f (n x = −1 n ! 3 + x
()
BLOQUE 3b
( )
( )
−n
)
(f) f x = sen 2x cos 2x =
f (n (0) = (−1)
(n − 1)!
−n
+ n ! (4 − x )
sen (4x )
2
Aplicar apartado (a) para obtener:
π
f (n (x ) = 2 ⋅ 4n−1sen 4x + n ⋅ . Este apartado está resuelto en el aula virtual.
2
()
()
11 Calcula la derivada de orden 30 de la función : f x = x 3sen x
()
()
()
()
Solución: −x 3sen x + 90x 2 cos x + 2610x sen x − 24360 cos x
12 Calcular la derivada 1002 de la función f x = x 1 + x en el punto 0.
()
n
()
Solución: f (n 0 =
(−1)
2n −1
n (2n − 5) !!
Aplicar fórmula de Leibniz. La notación k !! representa
k !! = k (k − 2)(k − 4)...2 si k es par
k !! = k (k − 2)(k − 4)...3 ⋅ 1 si k es impar
RECTA TANGENTE. APROXIMACIÓN LINEAL
13
Hallar un valor aproximado de
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
4 '1 utilizando la tangente a la curva
5
4 + x en el punto a=0
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
4 '1 ≈ f (0) + f ' (0)(0 '1 − 0) = 4 +
Solución:
14
1
⋅ 0 '1 = 2 ' 025
4
Obtener de forma aproximada los siguientes valores:
(a )
log (0.9)
()
(c )
(b )
e 0.4
log (0.9) ≈ −0.1
Solución: a
15
BLOQUE 3b
3
(c )
3
(b )
3
Utiliza la aproximación lineal de la función
(
(
50
)
aproximada 1.0002
50
)
Solución: 1.0002
,
3
3
8 ' 02
e 0.4 ≈ 1.4
(d )
70 ≈ 4.125
(d )
70
8 ' 02 ≈ 2 +
k
(1 + x )
0.005
≈ 2 ' 0016667
3
≈ 1 + kx
para calcular de forma
1.009
1 + 50 ⋅ 0.0002
1/3
(1.009)
1+
1
⋅ 0.009
3
POLINOMIOS DE TAYLOR
Cálculo de valores aproximados
16
En un entorno de a = 0 se aproxima la función y = 1 + x
1
P (x ) = 1 + x , obteniendo
2
Solución: error =
17
1
3/2
8 (1 + t )
<
mediante el polinomio
2 ≈ 1.5 . Dar una cota del error cometido.
1
8
(0 < t < 1)
Calcular, mediante la diferencial, una aproximación de cos(155º) y dar una cota del error
cometido.
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
6
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 3b
2
1 π
Solución: Error <
2 36
18
(a)
x
Obtener el polinomio de Taylor de grado 3 de la función y = log 1 − alrededor del
2
punto a= 0.
(b)
Obtener, mediante el polinomio anterior, un valor aproximado de log(0.5).
(c)
Hallar una cota del error cometido en dicha aproximación
1
2
Solución: T2 = − x −
19
1 2
1
x − x 3 , log (0.5) −0.6931 error < 0.25
8
24
¿Qué error se comete al sustituir e senx por 1 + x +
Solución: Error <
1 2
x ?
2
5 ⋅ 2, 72 3
x
6
()
20 Se considera la función f x =
1
1+x
()
(a) Calcula una estimación del error de la aproximación de f x =
1
1+x
por su polinomio de
Taylor de grado 2 en el punto a = 0 cuando x pertenece al intervalo 0 ≤ x ≤
1
2
(b) Calcula para esta función la diferencial en a = 0 e ∆x = 0.5 . Haz un bosquejo de esta
función y representa el valor obtenido.
(c) ¿Puedes dar una cota del error que se comete al aproximar
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
7
2
por 1?
3
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 3b
3
5 1
5
Solución: Ejercicio resuelto. (a) Una estimación del error es error ≤
= 7
16 2
2
(b) La diferencial es:
−1
⋅ 0, 5 = −0,25
2
dy = f ' (0) ∆x =
Diferencial
1.5
Recta tangente
(xo,f(xo)
h
1
alfa
∆y=f(xo+h)-f(xo)
y=f(x)
0.5
(xo+h,f(xo+h)
dy
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
1
(c) f − f 0 < 0,25
2
21
()
()
(
)
Sea f x = x log 1 + x . Se pide:
(a) Escribir la fórmula de Taylor para f(x) en x=0 de orden n con el resto de
(b) Dar una cota del error al aproximar
11
1
log mediante el polinomio de Taylor de
10
10
grado 3.
Solución: Ejercicio resuelto.
n
(
)
2
(a) x log 1 + x = x + ... +
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
(−1)
n −1
n
x +
Lagrange.
f (n +1 (t )
(n + 1)!
x n +1 con t entre 0 y x
8
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
(b) Error <
22
BLOQUE 3b
41
12 ⋅ 105
()
Considera la función f x = x 1 + x .
(a) Determina la expresión del resto n-ésimo del polinomio de Taylor de la función en a=0
()
(b) Determina el grado del polinomio de Taylor de la función f x en a=0 que permite aproximar
2 con un error menor que una décima.
Solución: Ejercicio resuelto.
(a)
f (n +1 (t )
(n + 1)!
x n +1
n +2
n +1
(−1) 1 ⋅ 3 ⋅ 5... ⋅ (2n − 1)
−1) 1 ⋅ 3 ⋅ 5... ⋅ (2n − 3) x n +1
(
= t
+ (n + 1)
2n +1
2n −1
n +1
n
(n + 1) !
+
+
2
1
t
2
1
t
(
)
(
)
(b) Polinomio de Taylor de grado 3.
23
(a) Calcular mediante el polinomio de Taylor con un error menor que una décima el valor de
1
3
e2
.
(b) Representar de forma aproximada la gráfica de la función y del polinomio de Taylor obtenido
en el apartado anterior
Solución: Ejercicio resuelto. El polinomio que se debe elegir es el de grado 2. Entonces:
1
3
e2
= e −2/3 ≅
5
9
()
24 Dada la función: f x =
x2 − 4
e x −2
(a) Calcular el polinomio de Taylor de esta función en a = 2 y obtener la expresión del resto de
Lagrange.
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
9
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 3b
( )
(b) Calcular de forma aproximada f 2.1 con el polinomio de grado 3 y dar una cota de error.
(
)
(
Solución: Tn = 4 x − 2 − 3 x − 2
n +1
Rn = (−1)
2
)
n
+ (x − 2) + ... + (−1)
(
))
(
e 2−t (n + 1)t 2 − 2t (n + 1) + n 2 − 3n + 4
(n + 1)!
n
n 2 − 5n
x − 2)
(
n!
n +1
(x − 2)
t un punto intermedio entre
2 y x.
2
3
f (2 '1) 4 ⋅ 0 '1 − 3 (0 '1) + (0 '1)
(0 '1) 4 (2 '1)
4
Una acotación podría ser: R3 <
+ 8 (2 '1) + 4
4!
2
x + 2
. Se pide:
2x − 2
25 Se considera f x = log
()
()
(a) Representa el dominio de la función f x
()
(b) Calcula el polinomio de Taylor de grado n de f x en a = 4 y determina la expresión del
()
resto enésimo de f x en a = 4
6 '1
6 ' 2 por el polinomio de
(c) Calcula una cota del error cuando queremos aproximar log
grado 3
()
(d) ¿Cuántos términos es necesario considerar del polinomio de Taylor de f x
en a = 4
6 '1
con un error menor que 10−1 ?
6 ' 2
para aproximar log
()
(e) ¿De qué orden es el resto del polinomio de taylor de grado 3 de f x en a = 4 ?
1 − 2n
n −1
n
−1
Solución: (a) Tn =
x − 4) + ... + (−1) (n − 1) ! n (x − 4)
(
6
6
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
10
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 3b
n +1
1
1
Rn =
x
−
−
4
(
)
n + 1 (t + 2)n +1 (t − 1)n +1
n
(−1)
(b) R3 <
26
1
104
1
+ 1 (c) Se necesitan n=1 términos
65 6 ⋅ 34
()
(
(a) Calcular la derivada enésima de la función f x = log 1 − x
) .
5
(b) Calcular el conjunto de números reales x de manera que el polinomio de MacLaurin de
5
f (x ) = log (1 − x ) de grado 3 permita aproximar f(x) con un error menor que 10−3
(
()
(c) Calcular de forma aproximada el valor de f x = log 1'15
)
con la aproximación de la
ordenada de la recta tangente dando una estimación del error
Solución:
Ejercicio
resuelto.
−n
f (n (x ) = −5 ⋅ (n − 1) !⋅ (1 − x )
→
( )
f (n (0) = −5 ⋅ n !
(c) 5 log 1'1 ≈ 0 ' 5 . Una cota del error puede ser: error <
27
(a)
5 ⋅ 10−2
2
La fórmula de Machin
1
1
1
π = 4arctg − arctg
4
5
239
puede usarse para aproximar los valores de π . Utilizar el desarrollo de Taylor de la función
arctg (x ) hasta tercer orden y la fórmula de Machin para calcular el valor de π . Dar una cota
para el error de la aproximación justificando adecuadamente la respuesta.
Solución: Ejercicio resuelto. π = 3.1406 ± 0.0053248 .
Cálculo de límites indeterminados
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
11
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
28
Calcula infinitésimos equivalentes para las funciones en x=0 utilizando polinomios de Taylor:
f (x ) = senx
f (x ) = tgx
f (x ) = log (1 + x )
2
( )
f (x ) = e x − sen x 3 − 1
f (x ) = cos x
29
BLOQUE 3b
Utilizando polinomios de Taylor calcular los siguientes límites:
x arctg
lim
(a)
(c )
(d)
x →0
x
2
2
cos x (sen 2x )
=
1
8
lim
(b)
x →0
sen x − x cos x
x (1 − cos x )
=
2
3
ex
=1
x →0 e x + senx
lim
lim
eax − cos (ax ) − sen (ax )
x2
x →0
30 Determinar el carácter de
(a es un número real no nulo)
sen 1 − 1
∑ n n
n =1
∞
Solución: Convergente
31
()
a) Sea Rn x el resto de Taylor de orden n de una función f(x) derivable infinitas veces en el
()
6
() ( )
(x ) + (x − a ) ?
punto a, ¿Es gn x = Rn x + x − a
un infinitésimo para x=a? ¿De qué orden es para x=a la
6
()
(b) Sea f (x ) un infinitésimo para x=a de orden p. Escribir f (x ) como
f (x ) = λ (x − a ) + g (x )
λ∈
siendo g (x ) un infinitésimo para x=a de orden superior a p.
función g 7 x = R7
p
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
12
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
32 Calcular lim
x →0
x − senx
3/2
(xsenx )
BLOQUE 3b
utilizando infinitésimos equivalentes.
()
33 Dada la función: f x =
x2 − 4
e x −2
(a) Calcular el polinomio de Taylor de esta función en x o = 2 y obtener la expresión del resto de
Lagrange.
( )
(b) Calcular de forma aproximada f 2.1 con el polinomio de grado 3 y dar una cota de error.
()
(c) Calcula la parte principal del infinitésimo f x =
x2 − 4
para x=2
e x −2
Estudio local de una función
34
35
()
Calcular los máximos y mínimos de la función: f x = x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x
()
Demostrar que la función: f x = e x − x −
x2 x3
−
tiene un mínimo en x=0.
2 ! 3!
SERIES DE POTENCIAS. SERIES DE TAYLOR
36
Calcular el radio de convergencia de las siguientes series de potencias:
n
xn
∑ n 2 2n
n =0
∞
(a)
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
∞
(b)
∑
n =0
n
n
(2n − 1) 2
n
(x − 1)
13
∞
(c)
∑
n =0
(−1)
n
n
n
(x − 2)
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 3b
n
xn
∑n
n =0
∞
(d)
∞
(e)
∑ n !x
n
∑
(f)
n =1
n =0
Solución: (a) R=2, −2,2
(e) R=0
∞
(f)
(
(b) R=2, −1, 3
)
(−1)
(2n + 1)!
(c) R = ∞
x 2n +1
(d)
R=1
R=∞
Ejercicio resuelto en el libro Colección Matemáticas, tomo 3 de la bibliografía.
37
Determinar el desarrollo en serie de potencias de las siguientes funciones en los puntos que se
indica:
5x − 1
x −x −2
(a)
f (x ) =
(c)
f (x ) =
(e)
f (x ) =
(g)
f (x ) = log (1 + x )
2
1
2
(1 − x )
2+x
1 + 2x + x 2
a=0
(b)
a=0
(d)
f (x ) =
1
x
a=0
(f)
f (x ) =
1
x +1
a=0
(h)
f (x ) =
Solución:
(a)
∞
n
3
f (x ) = ∑ 2 (−1) − n +1 x n
2
n =0
n
∞
(b)
f (x ) = ∑
(−1)
n =0
∞
(c)
x 2n +1
2n + 1
f (x ) = ∑ (n + 1) x n
x <1
x ≤1
x <1
n =0
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
f (x ) = arctg (x )
14
a=0
a =1
a=0
2
1+x
3
(1 − x )
a=0
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
∞
n
n
f (x ) = ∑ (−1) (x − 1)
(d)
BLOQUE 3b
x −1 < 1
n =0
∞
n
f (x ) = ∑ (−1) (n + 2) x n
(e)
x <1
n =0
∞
n
f (x ) = ∑ (−1) x 2n
(f)
x <1
n =0
n
∞
f (x ) = ∑
(g)
n =0
(−1)
n +1
∞
x n +1
x <1
2
f (x ) = ∑ (n + 1) x n
(h)
x <1
n =0
38
()
Representar en serie de potencias de x la función f x = 1 + x . Usar el desarrollo obtenido
1,1 comprobando que las cuatro primeros términos del desarrollo permiten
para calcular
obtener dicho valor con cuatro cifras decimales exactas.
Solución:
1,1 ≈ 1, 0488
Resuelto en el libro Colección Matemáticas Tomo 3 de la bibliografía.
2
39
(
)
Dada la serie potencial x − 2 +
(x − 2)
2
3
+
(x − 2)
3
+ ... , se pide:
(a)
Hallar el campo de convergencia
(b)
Obtener su suma y aplicar al caso x=1
(c)
Representar gráficamente la función obtenida en el apartado (b)
Solución: (a) 1, 3
)
(b)
f (x ) = − log (3 − x )
Resuelto en el libro Colección Matemáticas Tomo 3 de la bibliografía.
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
15
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
40
BLOQUE 3b
2x
1 + x 2 , se pide:
Dada la función f x = arcsen
()
(a) Desarrollar en serie de potencias de x
(b) Obtener el campo de convergencia del desarrollo obtenido
(c) Sustituyendo en dicho desarrollo x=1, la serie numérica permite calcular el valor de
π
.
4
Determinar el número de términos de la serie que deben tomarse, para obtener el valor
aproximado de
()
Solución: (a) f x =
π
con error menor que 0.1.
4
∞
n
∑ (−1)
n =0
x 2n +1
2n + 1
−1,1
(b)
π
≈ 0.8349
4
(c)
Resuelto en el libro Colección Matemáticas Tomo 3 de la bibliografía.
DERIVACIÓN IMPLÍCITA
41
()
Determina el punto de corte de la recta tangente a la gráfica de f x = x log x en el punto x=e
con el eje X.
2
e
Solución: , 0
42
Supongamos que la ecuación de Van der Waals para cierto gas es
P + 5 (V − 0.03) = 9 ' 7
V 2
Considerando el volumen como función de la presión P, usar derivación implícita para calcular
la derivada
dV
en el punto (5,1).
dT
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
16
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 3b
Solución:
43
Obtener la derivada de la función definida implícitamente por la ecuación
arctg
y
x 2 + y 2
= log
donde “log” representa al logaritmo neperiano y “a” es una
x
a
constante.
()
Solución: Derivar implícitamente suponiendo y = y x y simplificar
44 Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva siguiente en el punto (-2, 3)
4x 3 − 3xy 2 + 6x 2 − 5xy − 8y 2 + 9x + 14 = 0
Solución: Recta tangente : y − 3 = −
9
2
x + 2) . Recta normal: y − 3 = (x + 2)
(
2
9
6
y
4
2
x
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
-2
-4
-6
45
Hallar la ecuación de la recta tangente y de la normal a la curva de ecuación
x 3 + x 2 sen (2y ) + y 2 (x + 1) = 9 en el punto (0, 3).
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
17
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
Solución: Recta tangente
46
2y − 6 = −3x . Recta normal 3y − 9 = 2x
3 3
,
Halla la pendiente de la curva y = y − x en los puntos indicados
,
4 2
4
2
2
Solución:
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
BLOQUE 3b
18
3 1
,
4
2
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 3b
( )
47 ¿Tienen las tangentes a las curvas 2x 2 + 3y 2 = 5 e y 2 = x 3 algo en especial en los puntos 1,1 ,
(1, −1) ? Representa ambas curvas y justifica la respuesta.
Solución:
48 Calcula la ecuación de la tangente a las curvas siguientes en el punto que se indica
(
)
(en el gráfico en color magenta)
( )
(en el gráfico en color granate)
(a) x 2 + y 2 = 13 en −2, 3
(
)
(b) sen x − y = xy en 0, π
(
(c) x 2 + y 2
2
)
= 4x 2y en (1,1)
(d) x 3 + y 3 − 9
x
= 0 en (2,1)
y
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
(en el gráfico en color rojo)
(Folium de Descartes) (en el gráfico en color turquesa)
19
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 3b
Solución:
49
Calcula
d 2y
derivando implícitamente la función log (xy ) + xy 2 = 1
2
dx
Solución:
50
Calcular los ángulos que forman al cortarse las curvas definidas por x 2 + y 2 − 4x = 1 ,
x 2 + y 2 + 2y = 9 .
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
20
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 3b
Nota: El ángulo que forman dos curvas es el ángulo determinado por sus rectas tangentes. Se
puede calcular así tg α =
m1 − m2
1 + m1m2
donde m1 y m2 son las pendientes de las rectas tangentes.
1
1
Solución: En el punto (1, 2): arctg − arctg −
2
51
Calcular
3
dy
suponiendo que y(x) está dada implícitamente por la ecuación x arctgy = yChx
dx
(
)
2y 1 + y 2
dy
xThx − arctgy
Solución: y ' =
=
⋅
. Ejercicio resuelto.
dx
x
2y log x − 1 − y 2
DERIVACIÓN PARAMÉTRICA
52
()
Calcula la recta tangente a la curva en paramétricas x (t ) = cos3 t
con t ∈ 0,2π en el punto (1, 0).
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
21
()
()
()
, y t = sen t ⋅ cos t
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 3b
dy
dy
Solución: Aplicando la regla de la cadena se tiene que:
= dt .
dx
dx
dt
53
x = e t
dy
Calcular
si
, con t ∈ en el punto P(1,1)
y = 1 + t 2
dx
Solución:
54
dy
2t
dy
= t . En el punto P el valor de t=0 luego
dx
dx
e
=2
P
t2
t
Determinar los puntos de la curva x = 2
en los que la pendiente de la recta
, y= 2
t +1
t −1
tangente a la curva es cero.
Solución: No existe ningún punto.
55
Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva
t=0.
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
22
{x = Bt,
y = Ct − Dt 2 en el punto
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
Solución: y =
56
Calcular
C
x
B
3
d 2y
x = 2t + sen (t )
derivada
segunda
de
y = t 2 − cos (t )
dx 2
(
)
6t 2 + 2 cos (t ) + 1 − 12t 2 − 10sen (t )
d 2y
Solución:
=
2
dx 2
6t 2 + cos (t ) 6t 2 + cos (t )
(
)(
)
MATLAB
Polinomios de Taylor en Matlab
Para mostrar esta herramienta teclear en la ventana de comandos
>>taylortool
Se abrirá la ventana:
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
23
BLOQUE 3b
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
Representación de curvas en Matlab
Un vector frente a otro (de la misma longitud)
>>x=pi*(-1:0.01:1);
>>y=x.*sin(x);
>>plot(x,y) %Por defecto une los puntos (x(i),y(i)) mediante una poligonal
Una función en un intervalo
>>fplot(‘sin(x)’, [0 2*pi])
%Dibuja la función seno en el intervalo 0,2π
Una función en un intervalo
>>ezplot(‘sin(x)’) %Dibuja la función seno en un intervalo adecuado a la función
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
24
BLOQUE 3b
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
Una curva en paramétricas
>>ezplot(‘sin(t)’, ‘cos(t)’, [0 pi]) %Dibuja la curva x=sen(t), y=cos(t) con t ∈ 0, π
Una curva en implícitas
>>ezplot(‘x^2+y^2-1’) %Dibuja la curva x 2 + y 2 − 1 = 0
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
25
BLOQUE 3b
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 4
En el Aula Virtual se encuentra disponible:
● Material interactivo con teoría y ejercicios resueltos. Para acceder a ello deberá pulsar sobre los
siguientes enlaces una vez dentro de la asignatura
Pagina Principal >Apuntes>5. Funciones de varias variables
● Material en pdf con el siguiente contenido:
- Apuntes de teoría
- Ejercicios resueltos
- Problemas de examen resueltos
Para acceder a este material se deberá pulsar sobre los siguientes enlaces una vez dentro de
la asignatura:
Pagina Principal >Recursos Por Temas>Funciones de varias variables
DEFINICIONES BÁSICAS
Para realizar estos ejercicios debes conocer:
El concepto de función de varias variables
La relación que existe entre las curvas de nivel y su gráfica
El concepto de límite y de continuidad para funciones de varias variables como
extensión de los ya conocidos para funciones de una variable
Funciones de varias variables: dominio, gráfica, curvas de nivel
1
Representar gráficamente el dominio de las funciones siguientes:
f ( x, y ) =
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
log y
2
2x − 1
f ( x, y, z ) =
1
x +y
xz
2
f ( x, y ) =
x −y
log ( xy )
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
2
Representar el dominio de las siguientes funciones:
(a) f ( x, y ) =
3
4
BLOQUE 4
2
x +y
2 x −y
x −y e
x + 1
(b) f ( x, y ) = log
y − 2
(c) f ( x , y ) = y
x 2 − y2
x 2 + y2
Representa las curvas de nivel de las funciones:
(a) f ( x , y ) = x 2 + 4y 2 + 1
(b)
f ( x, y ) = −x 2 + y
Supongamos que las empresas de un país determinan el precio de sus productos de acuerdo con la
siguiente ecuación: P = ( 1 + a )
x
donde “x” es la productividad laboral, “y” es el salario, “a” el margen
y
de beneficios constante. Suponiendo a=3, ¿cuáles son los valores
(x, y) para los que el precio es el mismo
P=8?. Representarlos gráficamente.
5
Representa las siguientes superficies en 3 :
(a) f ( x, y ) = ax + by + c con a, b y c números reales (b) f ( x, y ) = x 2 + y 2
(c) f ( x, y ) =
6
x 2 + y2
(d) f ( x, y ) = x 2 − y 2
Representa las superficies de nivel para la función: F ( x , y, z ) = 4x 2 + 9y 2 + z 2 para las constantes k=0,
k=9, k=36
7
Une las siguientes definiciones de superficies con la imagen correspondiente:
x 2 + y2 = 8
x 2 − y2 − z 2 = 1
x 2 y2
−
=1
4
16
z =
x2
y2
+
=1
4
16
x2
y2
z2
+
+
=1
25
9
4
−x 2 − y 2 + z 2 = 1
x 2 + y2 = z
x2
z2
+
=y
1
4
z 2 y2
−
=x
9
4
x +y +z = 2
x 2 y2
z2
−
+
=1
4
16
9
x 2 y2
−
=z
9
4
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
x2
4
x 2 + y2 = z 2
2
x2
y2 z 2
+
−
=1
4
16
9
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
3
BLOQUE 4
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
Límites y continuidad (NO)
8
9
Utilizando la definición de límite comprobar:
lim
xy 2
( x ,y )→( 0,0 ) x 2 + y 2
=0
Estudiar la existencia del límite en el punto (1, 1) de la función f ( x, y ) = cos 3 xy − 1
Solución: El límite existe y vale 1
10 Calcula
x 2y
cos π
x 2 + y 2
( x ,y )→( 0,0 )
lim
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
4
BLOQUE 4
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
Solución: El límite existe y vale 1. Utilizar coordenadas polares.
11 Calcula
lim
e −x cos y
( x ,y )→( 0,π ) x + y + 1
Solución: El límite existe y vale
12 Calcula
lim
−1
π +1
x 2 + y2
( x ,y )→( 0,0 ) xy − x 3 + 1
Solución: El límite existe y vale 0.
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
5
BLOQUE 4
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
13
Estudiar el límite de la función f ( x, y ) =
(B)
xy
2
x +y
siguiendo la dirección: ϕ ( x ) = x 2 .
2
Por la recta y = x
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
6
BLOQUE 4
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
(c) Por la curva: y = x 3
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
7
BLOQUE 4
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
14
15
Estudiar el límite de la función f ( x, y ) =
x 2 − 4y 2
2x 2 + y 2
BLOQUE 4
siguiendo la dirección: ϕ ( x ) = x 3 .
Dadas las siguientes funciones
f ( x, y ) =
(a)
x −y
x +y
f ( x, y ) =
(b)
x 2y
x 4 + y2
Se pide:
Estudiar los límites direccionales según las direcciones:
(1) y=0
(2)
x=0
(3)
y=mx (4)
y=x2
Estudiar la existencia del límite doble.
Solución :
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
(a.1)
1
(a.2)
-1
(a.3)
8
1−m
1+m
(a.4)
1
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
(b.1)
16
0
(b.2)
0
(b.3)
0
Dadas las siguientes funciones
(a)
f ( x, y ) =
(c)
f ( x, y ) =
y2
x 2 + y2
x 2 − y2
x 2 + y2
(b)
(d)
f ( x, y ) =
f ( x, y ) =
xy 2
x2 + y4
x 2 − 4y 2
2x 2 + y 2
Se pide:
(1) Estudiar los límites radiales, según las curvas y = mx a
(2) Estudiar la existencia del límite doble.
Solución.1.
Ejercicio 4.2 (Colección Fundamentos Matemáticos)
2.
Ejercicio 4.6 (Colección Fundamentos Matemáticos)
3.
Ejemplo 4.5 (Colección Fundamentos Matemáticos)
4.
No existe el límite doble.
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
9
BLOQUE 4
(b.4)
1/2
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
17
BLOQUE 4
Estudiar la existencia del siguiente límite:
(a)
(c)
y
( x ,y )→( 1,0 ) x + y − 1
lim
(b)
xy 2
lim
( x ,y )→( 0,0 ) x 2 + y 4
x 2 + y2 − z 2
lim
( x ,y,z )→( 0,0,0 ) x 2 + y 2 + z 2
Solución: (a) No existe, por ejemplo el límite a lo largo de las rectas: C 1 ≡ y=0, C 2 ≡ x=1, son
respectivamente 0 y 1.
(b) No existe, por ejemplo el límite a lo largo de la recta C 1 ≡ y=x y de la curva C 2 ≡ y =
x , son
respectivamente 0 y 1/2.
(c) El límite a lo largo de la curva C 1 ≡ y = 0, z = 0 vale 1, y a lo largo de la curva
C 2 ≡ x = 0, y = 0 vale -1.
18
Dadas las siguientes funciones
(a)
f ( x, y ) =
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
xy − x 2 + y 2
2
x +y
2
(b)
f ( x, y ) =
10
xy
2
x + y2
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
Se pide estudiar la existencia del límite doble en el origen.
Solución:
(a) No existe el límite doble.
(b) El límite existe y vale cero.
2
19
Calcular el límite de la función f ( x, y ) =
( x − 1 ) log x
2
( x − 1) + y2
Solución: 0
20
Estudiar la continuidad de las funciones
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
11
en el punto (1, 0).
BLOQUE 4
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
x 2 + y2
(a)
f (x , y ) =
(b)
f (x , y ) =
(c)
x 3
( x , y ) ≠ ( 0, 0 )
f (x , y ) = x 2 + y 2
( x , y ) = ( 0, 0 )
0
x 3 + y3
x
x2 − y
Solución.- Discontinuidad no evitable en los puntos
(b)
Discontinua en los puntos
(c)
Es continua en 2
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
{(a, −a ) / a
∈ } .
{ ( a, a 2 ) / a ∈ } .
12
BLOQUE 4
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 4
DERIVABILIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Para realizar estos ejercicios debes:
Conocer el concepto de derivada direccional y su interpretación geométrica
Conocer las técnicas de cálculo de derivadas parciales
Conocer el concepto de diferenciabilidad y de diferencial y su interpretación
geométrica
Conocer cómo calcular la derivada direccional de una función diferenciable
Saber calcular y deducir la ecuación del plano tangente
Conocer la definición y las propiedades del gradiente
Derivada direccional
21
Se considera la función f ( x, y ) = x 2y − 4y 3 . Calcular D f ( 2,1 ) en los dos casos siguientes:
u
a) u = ( 1, −2 )
b) u es el vector en la dirección que une los puntos (2,1) y (4,0)
Solución: (a)
20
5
(b)
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
16
5
13
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
22
BLOQUE 4
El precio de un piso P en función de la superficie S y de la calidad de los materiales C viene dado por una
función P ( S ,C ) . ¿Es razonable que
∂P
∂P
> 0 ? ¿Es razonable que
< 0?
∂C
∂S
Solución:
∂P
> 0 significa que a mayor calidad de los materiales aumenta el precio de la vivienda. Parece
∂C
razonable.
Si
∂P
< 0 significaría que al aumentar la superficie del piso el precio disminuiría. Esto no parece
∂S
lógico.
Si
x
∂f ∂f ∂2 f
∂2 f
+ sen ( ( 2x + 3y ) π ) . Calcular
,
,
,
, fx ( 0,1 ) ,
y
∂x ∂y ∂x 2 ∂x ∂y
xy
23 Se considera la función f ( x , y ) = e +
fy ( 2, −1 ) , fxx ( 0,1 ) , fxy ( 2, −1 ) .
Solución:
∂f
1
= ye xy + + 2π cos ( ( 2x + 3y ) π )
∂x
y
∂f
x
= xe xy −
+ 3π cos ( ( 2x + 3y ) π )
∂y
y2
∂2 f
∂2 f
1
= e xy + xye xy −
− 6π2sen ( ( 2x + 3y ) π )
∂x ∂y
y2
∂x 2
2
= y 2e xy − ( 2π ) sen ( ( 2x + 3y ) π )
fx ( 0,1 ) = 1 + 1 + 2π cos ( 3π ) = 2 − 2π
24
Se considera la función f ( x, y ) = e −x
2
−y 2
.
(a) Encontrar todos los puntos en los que fx ( x , y ) = fy ( x , y ) = 0
(b) Calcular fx ( 1,1 ) y fy ( −1,1 )
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
14
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 4
Solución: (a) El punto (0,0) (b) fx ( 1,1 ) = −2e −2 , fx ( −1,1 ) = 2e −2
25
Se considera la función f ( x, y, z ) =
Solución: Solución: fx =
26
y
1
2 x
+
xy + log ( x 2z 3 ) − xtg ( z ) . Se pide: calcular fx , fz , fxy , fxyz
2
− tgz
x
fz =
3
− x sec2 z
z
fxy =
1
4 x y
fxyz = 0
1
πh ( R2 + Rr + r 2 ) (h es la altura, r
3
el radio de la base menor y R el radio de la base mayor). Estudiar la variación de dicho volumen (razón
El volumen de un tronco de cono viene dado por la fórmula V =
de cambio) cuando se produce un incremento arbitrario (no simultáneo) de cada una de las variables.
Analizar cuál es la forma más ventajosa de aumentar el volumen de un tronco de cono de dimensiones
R=10, r=4 y h=6.
Sol.- La variable que produce un incremento más rápido del volumen, para los valores dados, es h por lo que
la mejor opción será aumentar la altura del tronco del cono.
27
Hallar la pendiente de la recta que es paralela al plano XZ y tangente a la superficie z = x x + y en el
punto P(1, 3,2).
Solución: fx ( 1, 3 ) =
9
4
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
15
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
28
Hallar la pendiente de la recta que es paralela al plano XZ y tangente a la superficie z = x x + y en el
punto P(1, 3,2).
Solución: fx ( 1, 3 ) =
29
BLOQUE 4
9
4
Dada la función
xy 4 − x 4y
f (x , y ) =
x 3 + y3
0
a) Hallar fx ( 0, 0 ) y fy ( 0, 0 )
b) Calcule fx ( x , y ) y fy ( x , y )
c ) Es fxy ( 0, 0 ) = fyx ( 0, 0 ) ?
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
16
x ≠ −y
x = −y
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 4
Solución: Ejercicio resuelto.
−t
30 Comprobar que T ( x , t ) = e cos ( x / c ) satisface la ecuación del calor:
31
∂T
∂2T
= −c 2
∂t
∂x 2
Comprobar que f ( x, y, z ) = xyz + x 2y 3z 4 cumple fxyz = fyzx = fxyz
Diferenciabilidad
z −( x 2 +y 2 )
en grados.
e
32 Se considera la función temperatura T ( x, y, z ) = 85 + 1 −
100
1.
Encontrar todos los puntos cuya temperatura es 90 grados.
2.
¿Es diferenciable en 3 ?
(
Solución: (a) z = 100 1 − 5e x
33
Sea
2
+y 2
)
(b) Sí
f (x , y ) = x 2 + y 2 pruebe que es diferenciable en (0,0)
Plano tangente. Aproximación por la diferenciabilidad
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
17
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
34
BLOQUE 4
Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie z = arctg ( y / x ) en el punto de coordenadas
π
P 1, 3,
3
Sol.- 3 3x − 3y + 12z = 4π
35
Aproximar, mediante la diferencial, el área de un rectángulo de dimensiones 35.02 por 24.97
Solución: 874.45. Ejercicio 5.22 (Colección Fundamentos Matemáticos)
36
Un cajón abierto tiene longitud 3 m, anchura 1 m, y altura 2m. Está construido con un material que
cuesta 20€ por metro cuadrado y 30 € por metro cuadrado de fondo. Calcular el coste total del cajón y
utilice incrementos para estimar la variación del coste cuando la longitud y anchura aumentan 3 cm y la
altura decrece en 4 cm.
Solución:
El
coste
total
es:
C ( x , y, z ) = 30xy + 20 ( 2xz + 2yz ) .
aproximadamente
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
18
El
coste
aumenta
en
2
euros
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
37
BLOQUE 4
Se mide el radio y la altura de un cono circular recto con errores, a lo más, 3% y 2% respectivamente.
Utilice incrementos para aproximar el porcentaje máximo de error que se puede cometer al calcular el
volumen del cono si se utilizan estas medidas (la fórmula es V =
1 2
πr h )
3
Solución: El máximo porcentaje de error al calcular el volumen es de aproximadamente 8%.
38
Cuando se conectan dos resistencias R1 y R2 en paralelo, la resistencia total viene dada por
R=
R1R2
R1 + R2
Si la medida de R1 es de 300 ohmios, con un error máximo del 2%, y la de R2 es de 500 ohmios con un
error máximo del 3%, hallar el valor máximo de R.
Solución: El máximo porcentaje es de aproximadamente el 2’4%.
Relación entre la diferenciabilidad y la derivada direccional
39
40
Calcular la derivada direccional de f (x , y ) = e xyarctg ( x + y ) en el punto (2,1), según el vector (1, -1)
Hallar la derivada direccional de z = 3x 4 − xy + y 3 en el punto (1, 2) siguiendo la dirección que forma
con el eje X un ángulo de 60° .
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
19
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
41
BLOQUE 4
Se considera en el gráfico
Z
′)
( zϕ
(a,b)
= tgα
z = f (x, y)
Y
α
ϕ
(a, b)
X
la función z = f ( x , y ) definida por la ecuación 9 = y + x 2 + z 2 con z>0
π
3
(a,b ) = ( 2, 3 )
ϕ=
Calcular tg α .
Solución: tg α =
−4 − 3
2 2
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
. Ejercicio resuelto.
20
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
42
BLOQUE 4
Se considera en el gráfico
De una función z = f ( x , y ) diferenciable en todo 2 se sabe que el plano tangente a f ( x, y ) en el punto
(1, 2) es: 2x + 3y + 4z = 1 . ¿Se puede calcular con estos datos la derivada direccional de f en la dirección
que une el punto (1, 2) con el punto (3,4)? Justificar la respuesta.
∂f
∂f
Solución: Du ( f , ( 1, 2 ) ) = ( 1, 2 ), ( 1, 2 ) , u
∂x
∂y
43
=
−5 2
. Ejercicio resuelto.
8
x + 1
Se considera f ( x, y ) = log
. Se pide:
y − 2
x + 1
(a) Representa el dominio de la función f ( x, y ) = log
y − 2
(b) Calcula de forma aproximada f ( 5 '1, 8 ' 2 ) utilizando la diferencial
x + 1
(c) Determina las curvas de nivel de f ( x, y ) = log
y represéntalas
y − 2
x + 1
(d) ¿Es diferenciable la función f ( x, y ) = log
en el punto (5, 8)?
y − 2
x + 1
(e) Calcula la derivada direccional de f ( x, y ) = log
en el punto (5, 8) en cualquier
y − 2
dirección u
x + 1
(f) Demuestra que el vector gradiente a f ( x, y ) = log
en un punto (a, b) de su dominio es
y − 2
ortogonal a la curva de nivel que pasa por (a, b)
(g) Calcula
la
recta
tangente
a
la
curva
intersección
de
la
superficie
definida
por
x + 1
f ( x, y ) = log
y el plano que es perpendicular a z=0 y contiene a la recta que pasa por
y − 2
(5, 8, 0) y tiene por vector director (1, 1). Justifica la respuesta.
(h) Calcula
un
vector normal al plano tangente
x + 1
z = f ( x , y ) = log
en el punto (5, 8, 0).
y − 2
Gradiente
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
21
a
la
superficie
definida
por
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
44
BLOQUE 4
Dibujar la curva de nivel correspondiente a z=1 de la función f ( x, y ) = x 2 − y 2 y calcule un vector
(
)
normal a ella en el punto P 2, 3 .
Solución: El vector normal es ∇f 2, 3 = 4i − 2 3 j .
(
45
)
El conjunto de los puntos (x, y) con 0 ≤ x ≤ 5 , 0 ≤ y ≤ 5 es un cuadrado colocado en el primer
cuadrante del plano XY. Supongamos que se caliente ese cuadrado de tal manera que T ( x, y ) = x 2 + y 2
es la temperatura en el punto P(x, y). ¿En qué sentido se establecerá el flujo de calor en el punto
Po ( 2, 5 ) ?
Indicación: El flujo de calor en la región está dado por una función vectorial C ( x, y ) porque su valor en cada
punto depende de las coordenadas de éste. Sabemos por física que C ( x, y ) será perpendicular a las
curvas isotermas T ( x, y ) = c donde c es constante. El gradiente y todos sus múltiplos verifican esta
condición. En esta situación nos dice la física que C = −K ∇T donde K es una constante positiva
(llamada conductividad térmica). Nótese que la razón del signo negativo es que el calor fluye desde
puntos de mayor temperatura a puntos de menor temperatura.
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22
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BLOQUE 4
3 4 Solución: En el punto Po ( 2, 5 ) el calor fluye en el sentido del vector u = − i − j Ejercicio resuelto.
5
5
46
Supongamos
que
estamos
sobre
el
punto
P (−1, 5, 8)
en
una
colina
cuya
ecuación
es
z = 74 − x 2 − 7xy − 4y 2 . El eje Y señala hacia el norte y el eje X hacia el este, y las distancias se
miden en metros.
(a)
Para subir por la máxima pendiente desde el punto P me tengo que mover hacia el noroeste
(b)
Para subir por la máxima pendiente desde el punto P me tengo que mover hacia el suroeste
(c)
Para subir por la máxima pendiente desde el punto P me tengo que mover hacia el noreste
(d)
Para subir por la máxima pendiente desde el punto P me tengo que mover hacia el sureste
N
NO
NE
SO
SE
O
Solución (b). Ejercicio resuelto.
47
E
S
El potencial eléctrico de V voltios en cualquier punto (x, y ) en el plano XY y V = e −2x cos(2y ) . La
distancia se mide en pies.
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23
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48
BLOQUE 4
Encontrar la rapidez de cambio del potencial en el punto (0, π / 4) en la dirección del vector
π
π
unitario u = i + sen j .
6
6
Encontrar la dirección y la magnitud de la máxima rapidez de cambio de V en (0, π / 4) .
La temperatura es T grados en cualquier punto (x , y, z ) en el espacio IR 3 y T =
60
2
2
x + y + z2 + 3
. La
distancia de mide en pulgadas.
Encontrar la rapidez de cambio de la temperatura en el punto (3, −2, 2) , en la dirección del vector
−2i + 3 j − 6k
Encontrar la dirección y la magnitud de la máxima rapidez de cambio de T en (3, −2, 2)
49
Una ecuación de una superficie es z = 1200 − 3x 2 − 2y 2 , donde la distancia se mide en metros, el eje X
apunta al este y el eje Y apunta al norte. Un hombre esta en el punto correspondiente a (−10, 5, 850) .
a)
¿Cuál es la dirección de la ladera más pronunciada?
b)
Si el hombre se mueve en la dirección del este, ¿esta descendiendo o ascendiendo? ¿cuál es su
rapidez?
c)
Si el hombre se
mueve en la dirección suroeste ¿esta ascendiendo
rapidez?
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24
descendiendo? ¿cuál es su
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25
BLOQUE 4
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50
Supongamos
que
estamos
sobre
el
punto
(−1, 5, 8)
en
BLOQUE 4
una
colina
cuya
ecuación
es
z = 74 − x 2 − 7xy − 4y 2 . El eje Y señala hacia el norte y el eje X hacia el este, y las distancias se miden
en metros.
a) Si nos movemos hacia el sur, ¿subimos o bajamos? ¿a qué velocidad?
b) Si nos movemos hacia el noreste, ¿Subimos o bajamos?, ¿a qué velocidad?
c) ¿En que dirección esta el descenso más escarpado?
Solución:
51
Hallar a y b para que la derivada direccional máxima de la función eax +by cos ( x + y ) − z = 0 en el
punto ( 0, 0 ) sea 3 2 en la dirección de la bisectriz del primer cuadrante.
Solución: a = b = 3 . Ejercicio resuelto.
52
Determinar los valores de a, b, y c tales que la derivada direccional de f ( x, y, z ) = axy 2 + byz + cz 2x 3 en
P(1, 2, -1) tenga un valor máximo igual a 64 en una dirección paralela a OZ.
Solución:
53
La derivada direccional de una función polinómica dada f ( x, y ) en el punto Po ( 1, 2 ) es 2 2 en
dirección hacia P1 ( 2, 3 ) y −3 en dirección hacia P2 ( 1, 0 ) . Calcúlense
derivada direccional de f en Po ( 1, 2 ) en dirección hacia P3 ( 4, 6 ) .
Solución:
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26
∂f
∂f
y
en Po ( 1, 2 ) , así como la
∂x
∂y
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BLOQUE 4
REGLA DE LA CADENA. DERIVACIÓN IMPLÍCITA. EXTREMOS.
Para realizar estos ejercicios debes:
Saber calcular la derivada parcial de una función
Saber calcular la derivada de la función compuesta: Regla de la cadena
Saber
determinar si
es
posible la derivada de una función definida
implícitamente y calcular el plano tangente en un punto a una superficie
definida implícitamente.
Obtener los extremos de una función de dos variables con y sin ligaduras.
Regla de la cadena
54
La temperatura de un punto (x,y) de una placa metálica es T (x , y ) = 4x 2 − 4xy + y 2 , con T en ºC y (x,y)
en metros. Una hormiga camina sobre la placa a lo largo de una circunferencia de radio 5 metros y centro
el origen, con velocidad angular ω = 0.01 rad/s. Calcular la velocidad con la que varía la temperatura en
su recorrido cuando se encuentra en el punto de coordenadas (3, 4).
Solución:
55
dT
= −0.44º C/s .
dt ( 3,4 )
Un cilindro circular recto varía de tal manera que su radio r crece a la tasa de 3cm/minuto y su altura h
decrece a la tasa de 5cm/minuto. ¿A qué tasa varía el volumen cuando el radio es de 10 cm y la altura de
8 cm?
Solución:
56
dV
= −20π ≈ 62 ' 8318 .
dt
x = 1 + rset
x
Sea u = x 4y + y 2z 3 + ϕ donde y = rs 2e −t
y
z = r 2s sent
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27
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Calcular
Solución:
57
BLOQUE 4
3
∂u
cuando r = 2, s = 1, t = 0 sabiendo que ϕ ' = −1
2
∂s
∂u
= 758 . Ejercicio resuelto.
∂s
Si u = u ( x , y ) es una función con derivadas parciales primeras y segundas continuas se define la función
laplaciana de u como: ∆u =
∂ 2u
∂x 2
+
∂2u
∂y 2
(a)
Si u ( x, y ) = f ( r ) con r ( x , y ) =
(b)
Comprobar
que
la
expresión
x 2 + y 2 expresar la laplaciana de u en función de r.
de
la
laplaciana
de
u(x,y)
en
coordenadas
polares
1
1
( x = r cos ϕ, y = rsenϕ ) es ∆u = urr + ur + uϕϕ
r
r2
58
Considerando x = r cos ϕ, y = rsenϕ transformar
expresar
Solución.
59
∂2z
en función de z , x e y y sus derivadas parciales.
∂r ∂ϕ
∂2z
∂2z
+
−
2
∂x 2
x 2 + y 2 ∂y
xy
∂z
∂z
x 2 − y 2 ∂2z
−y
+
x
. Ejercicio resuelto.
∂x
x 2 + y 2 ∂y
x 2 + y 2 ∂x ∂y
1
Dada u = g ( x , h ( x , y ) ), y = f ( t ) , calcular la razón de cambio (derivada) de u respecto de t.
Solución.
60
∂2z
utilizando coordenadas cartesianas, es decir,
∂r ∂ϕ
∂u
∂u ∂m dy
=
. Ejercicio resuelto.
∂t
∂m ∂y dt
Calcular el valor de E = ( y 2 − xz ) ω´x + ( x 2 − yz ) ω´y + ( z 2 − xy ) ω´z teniendo en cuenta que ω = ω ( u, v )
y que u = x 2 + 2yz , v = y 2 + 2xz .
Solución. E=0.
61
Encontrar las funciones forma g ( a x + by ) , con a y b constantes reales y siendo g una función real
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28
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BLOQUE 4
derivable infinitas veces que cumplen que su derivada segunda respecto a x mas su derivada segunda
respecto a y es cero.
Solución. g ( a x + by ) = A ( ax + b ) + C
62
A,C ∈ .
En los siguientes ejercicios, obtener las derivadas parciales usando la regla de la cadena.
a) u = (yz )x , x = es +t , y = s 2 + 3ts , z = sent ,
b) u = x 3y , x 5 + y = t , x 2 + y 3 = t 2 ,
du
dt
c) x = a cos θ cos φ, y = b cos θ cos φ, z = csenϕ ,
d) z =
63
∂z ∂z
,
∂x ∂y
1+u
∂z ∂z
, u = − cos x , v = cos y ,
,
1+v
∂x ∂y
En los siguientes ejercicios, suponer que w es una función de todas las otras variables. Hallar las
derivadas indicadas en cada caso.
a) 3x 2 + 2y 2 + 6w 2 − x + y = 12;
∂w ∂w ∂2w
,
,
∂x ∂y ∂x ∂y
b) x 2 − 2xy + 2xw + 3y 2 + w 3 = 21;
c) w − e wsen (y / z ) = 1;
64
∂u ∂u
,
∂s ∂t
∂w ∂w ∂2w
,
,
∂x ∂y ∂x ∂y
∂w ∂w
,
∂z ∂y
Sea z = f ( x , y ) donde x = at , y = bt , con a y b constantes. Suponiendo que se verifican todas las
condiciones de diferenciabilidad, calcular
Solución:
d 2z
dt 2
= a2
∂ 2z
∂x 2
+ 2ab
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d 2z
dt 2
en función de las derivadas parciales de z.
∂ 2z
∂ 2z
+ b2
∂x ∂y
∂y 2
29
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65
BLOQUE 4
r + s
2
∂w
Sea w = 4x + y 2 + z 3 donde x = e rs , y = log
, z = rst 2 . Calcular
.
t
∂s
Solución:
r + s
2
∂w
2
= 8rse rs +
+ 3r 3s 2t 6
log
t
∂s
r +s
66 La temperatura de una placa viene dada por T ( x, y ) =
(a)
1−y
1 + x 2y 2
¿En qué dirección tendríamos que desplazarnos desde el punto (1,1) para que la temperatura
decrezca lo más rápidamente posible? Justificar la respuesta.
(b)
¿En qué dirección desde el mismo punto la variación de la temperatura es ¼? Justificar la
respuesta.
(c)
Dada la curva en paramétricas ϕ ( t ) = ( cos t,1 + sent ) calcular el vector tangente a la curva en
t=0.
(d)
Calcular (T ϕ ) ' ( 0 ) . ¿Qué representa dicho valor?
Solución:. Ejercicio resuelto.
67
Mediante distintos experimentos se ha podido comprobar que una magnitud ondulatoria como la luz
verifica la siguiente ecuación de onda
∂2w
∂t 2
= c2
∂ 2w
∂x 2
Probar que la siguiente función es solución de la ecuación de onda: w = tg ( 2x − 2ct ) .
68
Suponiendo que la función dada por z=f(x, y) y sus derivadas parciales de primer orden son diferenciables
en todo punto del plano (x, y) se pide transformar la ecuación:
a2
∂2z
∂x 2
mediante el cambio de variables u = a x + y
69
=
∂2z
∂y 2
con a ≠ 0
v=ax-y
Si z = f ( x , y ) y x = x ( u, v ) , y = y ( u, v ) calcula la expresión de
de z respecto de “x” e “y” y respecto de “u” y “v”.
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30
∂2z
∂u 2
mediante las derivadas parciales
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70
(a)
BLOQUE 4
x + 1
Se considera z = g
siendo g una función derivable de cualquier orden. Se hace el cambio de
y − 2
x = r cos ϕ
variable a coordenadas polares
. Expresa la ecuación del plano tangente a la superficie
y = r senϕ
x + 1
definida por z = g
en las nuevas coordenadas.
y − 2
(B)
Se considera
E = z xx + z xy
x + 1
z = g
y − 2
siendo g una función derivable de cualquier orden. Calcula
.
Derivación implícita
71
Se considera en el gráfico
Z
( z′ϕ )
= tg α
(a, b)
z = f ( x , y)
Y
α
ϕ
(a, b)
X
la función z = f ( x , y ) definida por la ecuación 9 = y + x 2 + z 2 con z>0
π
3
(a,b ) = ( 2, 3 )
ϕ=
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31
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BLOQUE 4
Calcular tg α
Solución. Ejercicio resuelto.
72 Calcular
Solución:
73
∂z
∂z
y
en la superficie definida de forma implícita: xy 2 + z 3 + sen ( xyz ) = 0
∂x
∂y
y 2 + ( yz ) cos ( xyz )
∂z
=−
∂x
3z 2 + ( xy ) cos ( xyz )
2xy + ( xz ) cos ( xyz )
∂z
=−
∂y
3z 2 + ( xy ) cos ( xyz )
Considera la intersección de los dos planos siguientes: π1 ≡ x + y + z = 2 , π2 ≡ x − y + 3z = 1
(a) En este sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas ¿se puede considerar que z e y son función de
x? ¿por qué?. Si es así, obtén dicha expresión.
(b) ¿Cuál es el vector director de la recta intersección de los dos planos? Calcula la expresión vectorial y
paramétrica de la recta definida por las ecuaciones:
x +y +z = 2
x − y + 3z = 1
74
Se
considera
ahora
la
curva
intersección
de
la
superficie
36x 2 + 4y 2 + 9z 2 = 45
y
de
x 2 + y 2 + z = 0 .Comprueba que un punto de la curva es ( 1, 0, −1 ) .
¿Cuánto valdrá la pendiente de la recta tangente a esa curva en el punto P suponiendo que el sistema de
dos ecuaciones con dos incógnitas
36x 2 + 4y 2 + 9z 2 = 45
2
2
x +y +z = 0
define a x = x ( y ), z = z ( y ) ?
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32
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
75
BLOQUE 4
xu + yv − uv = 0
Supongamos que el sistema
yu − xv + uv = 0
define a u y v como funciones: u = u ( x , y ) , v = v ( x, y ) de x e y. Utilizando derivación implícita calcular
∂u ∂v
,
.
∂x ∂x
76
Hallar las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal al cono z 2 = x 2 + y 2 en el punto donde x=3,
y=4 y z>0.
Solución: Ejercicio resuelto.
77
Dada F ( x , y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 + xy + 2z − 1 , se pide:
A)
determinar si F ( x , y, z ) = 0 define en el punto P (0,-1,0) a z como función implícita de x e y, es
decir, z = f(x, y).
B)
Encontrar las derivadas parciales de primer y segundo orden de la función z=f(x,y) en el punto
(0,-1).
C)
Hallar en (0,-1) el valor de dz y d 2z cuando dx = dy = 0.2.
Solución: Ejercicio resuelto.
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33
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 4
EXTREMOS
78
79
Calcular los extremos relativos de f ( x, y ) = 3x − x 3 − 2y 2 + y 4
Calcular los extremos absolutos de la función f ( x, y ) = x 2y + y 2 − 4xy + 2y + 5 en el dominio D dado
por el triángulo de vértices A(2,0), B(4,2) y C(0,2)
Solución: La función toma como valor mínimo absoluto 4 (en P(2,1)) y como valor máximo absoluto 13 (en
B(4,2) y en C(0,2))
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34
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
80
BLOQUE 4
Calcular los máximos y mínimos de la función: f ( x, y ) = −x 2 − y 2 cuando los puntos (x,y) verifican
ϕ ( x, y ) = x 2 + 2 = 0 .
En rojo aparece representado los puntos ϕ ( x , y ) = x 2 + y = 0 y en azul la curva imagen
81
Calcular los máximos y mínimos de f ( x, y ) = x 3 − xy + y 2 + 3 sometida a la condición de que los
puntos (x, y) satisfagan la ecuación de la elipse x 2 + 2y 2 = 1 .
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35
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
82
BLOQUE 4
Se desea construir una caja de forma que el perímetro de la base más la altura sea de 84 cm. ¿Cuál serán
las dimensiones de la caja de mayor volumen?
Solución: El punto que hace el volumen máximo con la restricción dada es (14,14,28)
MATLAB
Para generar una malla de puntos en los que evaluar una función de dos variables.
meshgrid(x,y)
meshgrid(x)
%Es equivalente a meshgrid(x,x)
Ejemplo.%Para evaluar la función f(x,y)=x^2*y en el dominio –2<x<2,
% -3<y<3
>>[X, Y]=meshgrid(-2:.2:2,-3:0.5:3);
>>Z=X.^2.* Y
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36
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 4
Gráficos tridimensionales.
plot3(X,Y,Z,S)
Dibuja el conjunto de puntos (X,Y,Z) donde X, Y y Z son vectores fila y S son las opciones de
dibujo.
plot3(X1,Y1,Z1,S1,X2,Y2,Z2,S2,...)
Dibuja sobre los mismos ejes los gráficos definidos por las tripletas (Xi,Yi,Zi) con las
opciones de dibujo por Si.
Ejemplo.%Para evaluar la función f(x,y)=x^2*y en el dominio –2<x<2,
% -3<y<3
>>[X, Y]=meshgrid(-2:.2:2,-3:0.5:3)
>>Z=X.^2.*Y
>>plot3(X,Y,Z)
Gráficos de superficie.
surf(X,Y,Z,C)
Representa el gráfico de superficie de la función z=f(x,y) con los colores especificados en C (este
último parámetro se puede ignorar).
surfc(X,Y,Z,C)
Representa el gráfico de superficie de la función z=f(x,y) junto con el gráfico de contorno
correspondiente (curvas de nivel)
Ejemplo.>>%Para evaluar la función f(x,y)=x^2*y en el dominio –2<x<2,
>> % -3<y<3
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37
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 4
>>[X, Y]=meshgrid(-2:.2:2,-3:0.5:3);
>>Z=X.^2.*Y;
>>figure(1)
>>surf(X,Y,Z)
>>figure(2)
>>surfc(X,Y,Z)
Gráficos de malla.
mesh(X,Y,Z,C)
Representa el gráfico de malla de la función z=f(x,y) con los colores especificados en C (este
último parámetro se puede ignorar).
meshc(X,Y,Z,C)
Representa el gráfico de malla de la función z=f(x,y) junto con el gráfico de contorno
correspondiente (curvas de nivel)
meshz(X,Y,Z,C)
Representa el gráfico de malla de la función z=f(x,y) junto con una especie de cortina en la
parte inferior.
Ejemplo.>>%Para evaluar la función f(x,y)=x^2*y en el dominio –2<x<2
>>% -3<y<3
>>[X, Y]=meshgrid(-2:.2:2,-3:0.5:3);
>>Z=X.^2.*Y;
>>figure(1)
>>mesh(X,Y,Z)
>>figure(2)
>>meshc(X,Y,Z)
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38
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 4
>>figure(3)
>>meshz(X,Y,Z)
Gráficos de contorno (curvas de nivel).
contour(Z,n)
Representa el gráfico de contorno para la matriz Z usando n líneas. El segundo parámetro es
opcional.
contour3(Z,n)
Representa el gráfico de contorno en tres dimensiones para la matriz Z usando n líneas. El
segundo parámetro es opcional.
Ejemplo.>>%Para evaluar la función f(x,y)=x^2+y^2 en el dominio
>> –2<x<2, -3<y<3
>>[X, Y]=meshgrid(-2:.2:2,-3:0.2:3);
>>Z=X.^2.+Y.^2;
>>figure(1)
>>contour(Z)
>>figure(2)
>>contour3(Z)
Gráficos de densidad
pcolor(X,Y,Z)
Representa el gráfico de contorno para la matriz (X,Y,Z) utilizando densidades de colores.
Ejemplo.>>%Para evaluar la función f(x,y)=x^2+y^2 en el dominio
>>%–2<x<2, -3<y<3
>>[X, Y]=meshgrid(-2:.2:2,-3:0.2:3);
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
39
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
BLOQUE 4
>>Z=X.^2.+Y.^2;
>>pcolor(X,Y,Z)
Representación
view([x,y,z])
Sitúa el punto de vista de la figura en el indicado por las coordenadas (x,y,z).
ginput
Nos devuelve las coordenadas (x, y) del punto una vez seleccionado en la gráfica.
Para calcular los límites iterados de una función de dos variables en el punto (a, b)
Ejemplo.>>syms x y
>>f=x^2+y^2
>>limit(limit(f,x,a),y,b)
>>limit(limit(f,y,b),x,a)
Para calcular el límite de una función según una dirección x=g(t), y=h(t) cuando t tiende a cero.
Ejemplo.>>syms x y t
>>f=x^2+y^2;
>>nf=subs(f,{x,y},{g(t),h(t)})
>>limit(nf,t,0)
Para calcular el límite de una función en coordenadas polares cuando nos aproximamos al punto (a, b)
Ejemplo.-
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
40
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN
>>syms x y
>>f=x^2+y^2;
>>syms r theta
>>polar=subs(f,{x,y},{a+r*cos(theta),b+r*sin(theta)})
>>limit(polar,r,0)
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
41
BLOQUE 4
Matemáticas
1
1
MATLAB:
Comandos y ejemplos
Elena Álvarez Sáiz
Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación
Universidad de Cantabria
Ingeniería de Telecomunicación
Matlab: Comandos y ejemplos
Fundamentos Matemáticos I
Para obtener un número con los decimales indicados en dígitos:
vpa(número, dígitos)
Ejemplo:
>>
vpa(pi,30)
Operadores elementales:
Operador
Utilización
Ejemplo
+
Adición
2+3=5
-
Sustracción
2-3=-1
*
Multiplicación
2*3=6
/
División
2/3=0.6667
^
Potenciación
2^3=8
Operadores entre arrays
Utilización
Ejemplo
.*
Multiplicación término a
[ 2 3] .* [ 2 4 ] =
término
= [4 12]
División término a
[ 2 3] ./ [ 2 4 ] =
término
= [1 0.7500]
Potenciación término a
[ 2 3] .^ 2 = [4 9]
./
.^
término
Funciones elementales:
2
Funciones
Utilización
Ejemplo
exp(x)
Exponencial de x
exp(1)=2.7183
log(x)
Logaritmo natural
log(2.7183)=1.0000
log10
Logaritmo en base 10
log10(350)=2.5441
sin(x)
Seno de x
sin(pi/6)=0.500
cos(x)
Coseno de x
cos(0)=1
tan(x)
Tangente de x
tan(pi/4)=1.000
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Ingeniería de Telecomunicación
Matlab: Comandos y ejemplos
Fundamentos Matemáticos I
asin(x)
Arco coseno de x con
imagen en el rango
asin(1)=1.5708
[0,
]
acos(x)
Arco coseno de x con
imagen en el rango
,
atan(x)
acos(1)=-6.1257e-17
[-
]
Arco tangente de x con
imagen en el rango
,
atan2(y,x)
atan(1)=0.7854
[-
]
Arco tangente de y/x
atan2(0,-1)=3.1416
con imagen en el rango
[-
,
]
sinh(x)
Seno hiperbólico de x
sinh(3)=10.0179
cosh(x)
Coseno hiperbólico de x
cosh(3)=10.0677
tanh(x)
Tangente hiperbólica de
tanh(3)=0.9951
x
Para representar vectores:
plot(x,y)
dibuja un vector de abscisas “x” y ordenadas “y”
plot(y)
dibuja el vector “y” considerado como abscisas su índice. Si “y” es
complejo es equivalente a dibujar plot(real(y),imag(y)).
plot(x,y,s)
Realiza el gráfico con el estilo indicado en “s”. Para ello “s” debe ser una
cadena de caracteres formada por uno o ningún elemento de las tres
columnas siguientes:
y
m
yellow
magenta
c
cyan
r
red
.
point
-
solid
o
circle
:
dotted
x
x-mark
-.
dashdot
plus
--
dashed
+
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
3
Ingeniería de Telecomunicación
Matlab: Comandos y ejemplos
Fundamentos Matemáticos I
g
green
*
star
b
blue
s
square
w
white
d
diamond
k
black
v
triangle (down)
^
triangle (up)
<
triangle (left)
>
triangle (right)
p
pentagram
h
hexagram
Ejemplo:
n=1:10
a=2.^n;
plot(a,’bo’)
%Para ver más opciones teclea la orden:
help plot
Para crear una ventana de dibujo:
figure(n)
Ejemplo:
>>
x=-pi : 0.1: pi;
>>
figure(1);
>>
plot(x,sin(x),’b. ’);
>>
figure(2);
>>
plot(x,cos(x), ’gd-’);
hold on
hold off
Permite dibujar dos gráficas en una misma ventana
de dibujo.
Ejemplo:
4
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Matlab: Comandos y ejemplos
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
>>
x=-pi : 0.1: pi;
>>
hold on
>>
figure(1);
>>
plot(x,sin(x),’b. ’);
>>
plot(x,cos(x), ’gd-’);
>>
hold off
Para manejar números complejos:
i
Es la unidad imaginaria en Matlab
abs(s)
Valor absoluto de los elementos de “s” o módulo en el caso de ser complejos.
Ejemplo:
>>
z=2+3i; w=5+7i;
>>
abs(z)
%
Devuelve
>>
abs([z,w])
%
Devuelve
3.6056
3.6056 86023
angle(h)
Retorno el ángulo de fase en radianes de cada elemento de la matriz h con
elementos complejos.
Ejemplo:
>>
z=2+3i; w=5+7i;
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
5
Ingeniería de Telecomunicación
Matlab: Comandos y ejemplos
Fundamentos Matemáticos I
>>
angle(z) % Devuelve
>>
angle([z,w])
0.9828
%
Devuelve
0.9828 0.9505
real(z)
Devuelve la parte real de z
Ejemplo:
>>
z=2+3i; w=5+7i;
>>
real(z)
% Devuelve
2
>>
real([z,w])
% Devuelve
2
5
imag(z)
Devuelve la parte imaginaria de z
Ejemplo:
>>
z=2+3i; w=5+7i;
>>
imag(z) % Devuelve
>>
imag([z,w])
% Devuelve
7
conj(z)
Devuelve el conjugado de z
Ejemplo:
>>
6
z=2+3i; w=5+7i
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
3
3
Matlab: Comandos y ejemplos
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
>> conj(z)
% Devuelve 2.0000-3.0000i
>>
conj([z,w])
% Devuelve
2.0000-3.0000i
5.000-7.000i
Para representar números complejos
plot(z)
Si z es un número complejo el comando plot dibuja el punto de coordenadas
(real(z),imag(z)).
compass(z)
Representa el número complejo como una flecha que tiene su origen en el punto
(0,0).
Ejemplo:
>>
z=3+2*i;
>>
figure(1);
>>
plot(z);
>>
figure(2);
>>
compass(z);
>>
% Esto es equivalente a:
>>
compass(real(z),imag(z));
Para manejar polinomios:
Los polinomios se representan en Matlab como un array de coeficientes. Por ejemplo,
el polinomio:
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
7
Ingeniería de Telecomunicación
Matlab: Comandos y ejemplos
Fundamentos Matemáticos I
p ( x ) = x2 + 2 x + 1
se escribirá en Matlab
>> p=[1 2 1];
roots(polinomio);
Calcula las raíces del polinomio. Es decir resuelve x 2 + 2 x + 1 = 0 .
Ejemplo:
>> r=roots(p);
poly(array)
Calcula los coeficientes del polinomio que tenga las raíces que se indiquen en
array.
Ejemplo:
>> raices=[1 1 1];
>> p=poly(raices);
polyval(polinomio,array)
Evalúa el polinomio en cada uno de los puntos del array.
Ejemplo:
>> x=-3 : 0.1: 5;
>> y=polyval(p,x);
% Dibuja la gráfica de la función polinómica
% en el dominio indicado
>> plot(x,y)
8
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Matlab: Comandos y ejemplos
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
conv(polinomio1,polinomio2)
Realiza el producto de los polinomios operando entre los arrays de los
coeficientes.
Ejemplo:
>> p1=[ 2 3 1];
>> p2= [5 –2];
>> p3=conv(p1,p2);
deconv(polinomio1, polinomio2)
Realiza el cociente entre el primer y el segundo polinomio.
Ejemplo:
>> [cociente, resto] =deconv(p3,p1)
Para construir objetos simbólicos:
syms arg1 arg2 ...
Es la forma abreviada de escribir:
arg1 = sym('arg1');
arg2 = sym('arg2'); ...
Si se quiere indicar el tipo del objeto simbólico se puede escribir:
syms arg1 arg2 ... real
Es la forma abreviada de escribir:
arg1 = sym('arg1','real');
arg2 = sym('arg2','real'); ...
syms arg1 arg2 ... positive
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
9
Ingeniería de Telecomunicación
Matlab: Comandos y ejemplos
Fundamentos Matemáticos I
Es la forma abreviada de escribir:
arg1 = sym('arg1','positive');
arg2 = sym('arg2','positive'); ...
syms arg1 arg2 ... unreal
Es la forma abreviada de escribir:
arg1 = sym('arg1','unreal');
arg2 = sym('arg2','unreal'); ...
Ejemplo:
>>
syms x
>>
y=sin(x)+3^x+8/(x+1)
Para hacer una sustitución simbólica simple de “var” en “valor” en la expresión “f”:
subs(f,var,valor)
Ejemplo:
>>
syms x
>>
y=sin(x)+3^x+8/(x+1)
>>
subs(y, x, 2)
Para realizar la gráfica de una función simbólica en un dominio y en la ventana de dibujo
indicada en fig:
ezplot(f, [a,b], fig)
Ejemplo:
>>
syms x
>>
y=sin(x)+3^x+8/(x+1)
>>%El segundo y el tercer parámetro son opcionales.
>>
10
ezplot(y, [-2,2])
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Matlab: Comandos y ejemplos
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Para resolver de forma simbólica ecuaciones algebraicas:
solve('eqn1','eqn2',...,'eqnn')
solve('eqn1','eqn2',...,'eqnn','var1,var2,...,varn')
solve('eqn1','eqn2',...,'eqnn','var1','var2',...'varn')
Ejemplo:
>>
% Calculamos las raíces de un
polinomio genérico de grado 3.
>>
syms x a b c d
>>
v=solve(a*x^3+b*x^2+c*x+d)
>>
r=subexpr(v(1))
>>
s=subexpr(v(2))
>>
t=subexpr(v(3))
Para escribir simplificada o de forma más habitual una expresión:
pretty(expresion)
Ejemplo:
>>
syms x
>>
pretty(sin(x)^2+(cos(x)+3)/(sin(2*x)+5))
simplify(expresion)
Ejemplo:
>>
syms x
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
11
Ingeniería de Telecomunicación
Matlab: Comandos y ejemplos
Fundamentos Matemáticos I
>> pretty(simplify(cos(x)*cos(x)-sin(x)*sin(x)))
Para construir objetos simbólicos:
syms arg1 arg2 ...
Es la forma abreviada de escribir:
arg1 = sym('arg1');
arg2 = sym('arg2'); ...
Si se quiere indicar el tipo del objeto simbólico se puede escribir:
syms arg1 arg2 ... real
Es la forma abreviada de escribir:
arg1 = sym('arg1','real');
arg2 = sym('arg2','real'); ...
syms arg1 arg2 ... positive
Es la forma abreviada de escribir:
arg1 = sym('arg1','positive');
arg2 = sym('arg2','positive'); ...
syms arg1 arg2 ... unreal
Es la forma abreviada de escribir:
arg1 = sym('arg1','unreal');
arg2 = sym('arg2','unreal'); ...
Ejemplo:
>>
syms x
>>
y=sin(x)+3^x+8/(x+1)
Para hacer una sustitución simbólica simple de “var” en “valor” en la expresión “f”:
subs(f,var,valor)
Ejemplo:
>>
12
syms x
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Matlab: Comandos y ejemplos
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
>>
y=sin(x)+3^x+8/(x+1)
>>
subs(y, x, 2)
Para realizar la gráfica de una función simbólica en un dominio y en la ventana de dibujo
indicada en fig:
ezplot(f, [a,b], fig)
Ejemplo:
>>
syms x
>>
y=sin(x)+3^x+8/(x+1)
>> % El segundo y el tercer parámetro son
opcionales.
>>
ezplot(y, [-2,2])
Para resolver de forma simbólica ecuaciones algebraicas:
solve('eqn1','eqn2',...,'eqnn')
solve('eqn1','eqn2',...,'eqnn','var1,var2,...,varn')
solve('eqn1','eqn2',...,'eqnn','var1','var2',...'varn')
Ejemplo:
>>
% Calculamos las raíces de un polinomio
genérico de grado 3.
>>
syms x a b c d
>>
v=solve(a*x^3+b*x^2+c*x+d)
>>
r=subexpr(v(1))
>>
s=subexpr(v(2))
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
13
Ingeniería de Telecomunicación
Matlab: Comandos y ejemplos
Fundamentos Matemáticos I
>>
t=subexpr(v(3))
Para obtener el límite de una expresión simbólica “f” cuando la variable “n” tiende al valor
“a”
limit(f,n,a)
Ejemplo:
>> syms n
>> limit(1/n,n,inf)
Para obtener la derivada de orden n una función simbólica respecto de la variable x.
diff(f,x,n)
Ejemplo:
>> syms x y
>> f=sin(x*y)/x; diff(f,x,3)
Las funciones que simplifican la forma de las expresiones simbólicas son:
collect (p)
Reúne los términos iguales
horner(p)
Cambia a la representación anidada o de Horner
expand(p)
Expande los productos en sumas
factor(p)
Factoriza la expresión (a veces) si el argumento es una función
simbólica. Si se trata de un número proporciona la factorización en
números primos.
simplify(p)
simplifica
una
expresión
identidades algebraicas.
14
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
mediante
la
aplicación
de
diversas
Ingeniería de Telecomunicación
Matlab: Comandos y ejemplos
Fundamentos Matemáticos I
simple(p)
Utiliza diferentes herramientas de simplificación y selecciona la forma
que tiene el menor número de caracteres
pretty(p)
Visualiza la expresión de una manera similar a la utilizada en la
escritura habitual.
Para calcular la suma entre los valores a y b de la variable
symsum(f,a,b)
symsum(f,s,a,b)
Ejemplo:
>> syms n
>> symsum(1/n,1,inf)
Para descomponer un polinomio en fracciones simples
[R,P,K] = residue(B,A)
Encuentra la descomposición en fracciones simples de dos polinomios B(s)/A(s).
Los vectores B y A contendrán los coeficientes del numerador y del denominador
en potencias descendentes de s.
Si no hay raíces múltiples,
B(s)
R(1)
R(2)
R(n)
---- = -------- + -------- + ... + -------- + K(s)
A(s)
s - P(1)
s - P(2)
s - P(n)
Si P(j) = ... = P(j+m-1) es un cero of multiplicidad
m, entonces aparecen
términos de la forma
R(j)
R(j+1)
R(j+m-1)
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
15
Ingeniería de Telecomunicación
Matlab: Comandos y ejemplos
Fundamentos Matemáticos I
-------- + -----------s - P(j)
+ ... + ------------
(s - P(j))^2
(s - P(j))^m
Ejemplo:
>> [R,P,K]=residue([1],[1 1 0])
R=
-1
1
P=
-1
0
K=
[]
Para obtener el límite de una expresión simbólica “f” cuando la variable “n” tiende al valor
“a”
limit(f,n,a)
Ejemplo:
>> syms n
>> limit(1/n,n,inf)
Para obtener la derivada de orden n una función simbólica respecto de la variable x.
diff(f,x,n)
Ejemplo:
>> syms x y
>> f=sin(x*y)/x; diff(f,x,3)
Para integrar una función simbólica
int(función,variable,LímiteInferior, LímiteSuperior)
16
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Matlab: Comandos y ejemplos
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Ejemplo:
>> syms x
>> int(1/x,x,1,4)
Funciones básicas elementales.
sin
Seno
sinh
Seno hiperbólico
asin
Arco seno
asinh
Arco seno hiperbólico
cos
Coseno
cosh
Coseno hiperbólico
acos
Arco coseno
acosh
Arco coseno hiperbólico
tan
Tangente
tanh
Tangente hiperbólica
atan
Arco tangente
atan2
Arco tangente en cuatro cuadrantes
atanh
Arco tangente hiperbólica
sec
Secante
sech
Secante hiperbólica
asec
Arco secante
asech
Arco secante hiperbólica
csc
Cosecante
csch
Cosecante hiperbólica
acsc
Arco cosecante
acsch
Arco cosecante hiperbólica
cot
Cotangente
coth
Cotangente hiperbólica
acot
Arco cotangente
acoth
Arco cotangente hiperbólica
exp
Exponencial
log
Logaritmo natural
log10
Logaritmo decimal
pow2
Potencia en base 2
sqrt
Raíz cuadrda
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
17
Ingeniería de Telecomunicación
Matlab: Comandos y ejemplos
Fundamentos Matemáticos I
fix
Redondeo hacia cero
floor
Redondeo hacia menos infinito
ceil
Redondeo hacia más infinito
round
Redondeo hacia el entero más próximo
mod
Módulo (cociente entero de la división)
rem
Resto entero de la división
sign
Función signo
Para calcular el límite de una función simbólica de variable x cuando se tiende al valor a.
limit(función,x,a)
Ejemplo.>>syms x
>>f=sin(x)/x
>>limit(f,x,0)
Para calcular el límite de una función simbólica de variable x cuando se tiende al valor a por
la derecha o por la izquierda.
limit(función,x,a,’right’)
limit(función,x,a,’left’)
Para obtener la derivada de orden n una función simbólica respecto de la variable x.
diff(f,x,n)
Ejemplo.>> syms x y
>> f=sin(x*y)/x
>> diff(f,x,3)
Para calcular el polinomio de Taylor de orden n-1 de la función f en el punto “a”
taylor(f,a,n)
Ejemplo:
18
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Matlab: Comandos y ejemplos
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
>> syms x
>> y=sin(x)+3^x+8/(x+1)
>> taylor(y,2,4)
Para realizar la gráfica de una función simbólica en un dominio y en la ventana de dibujo
indicada en fig:
ezplot(f, [a,b], fig)
Ejemplo:
>>syms x
>>y=sin(x)+3^x+8/(x+1)
>>% El segundo y el tercer parámetro son opcionales.
>>ezplot(y, [-2,2])
Para representar un polinomio se considera un vector fila conteniendo todos los coeficientes en
orden decreciente, incluyendo ceros.
Ejemplo:
>>P=[1 0 –1 3 4]
>>% Se trata del polinomio x 4 − x 2 + 3 x + 4
Para manipular polinomios se tienen las siguientes funciones:
roots
Calcula las raíces de un polinomio
poly
Construye un polinomio con unas raíces específicas
polival
Evalúa un polinomio
residue Desarrolla en fracciones simples
polyfit Ajusta un polinomio a unos datos
polider Derivada de un polinomio
conv
Multiplicación de polinomios
deconv División de polinomios
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
19
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Matlab: Comandos y ejemplos
Para representar un polinomio
Ejemplo:
>>x=linspace(-1,5)
>>vy=polyval(y,x)
>>plot(x,vy)
Para calcular la derivada de un polinomio definido como el vector de sus coeficientes
polyder(polinomio)
Ejemplo:
>> p=[2 3 4 –1]
>> polyder(p)
Función que determina si una expresión es infinito
isinf(Vector)
Devuelve uno donde el elemento de Vector es +Inf o –Inf y 0 donde no lo sea.
Ejemplo:
>> isinf([pi NaN Inf -Inf])
Para generar una malla de puntos en los que evaluar una función de dos variables.
meshgrid(x,y)
meshgrid(x)
%Es equivalente a meshgrid(x,x)
Ejemplo.%Para evaluar la función f(x,y)=x^2*y en el dominio –2<x<2,
% -3<y<3
>>[X, Y]=meshgrid(-2:.2:2,-3:0.5:3);
>>Z=X.^2.* Y
20
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Matlab: Comandos y ejemplos
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Gráficos tridimensionales.
plot3(X,Y,Z,S)
Dibuja el conjunto de puntos (X,Y,Z) donde X, Y y Z son vectores fila y S son
las opciones de dibujo.
plot3(X1,Y1,Z1,S1,X2,Y2,Z2,S2,...)
Dibuja sobre los mismos ejes los gráficos definidos por las tripletas (Xi,Yi,Zi)
con las opciones de dibujo por Si.
Ejemplo.%Para evaluar la función f(x,y)=x^2*y en el dominio –2<x<2,
% -3<y<3
>>[X, Y]=meshgrid(-2:.2:2,-3:0.5:3)
>>Z=X.^2.*Y
>>plot3(X,Y,Z)
Gráficos de superficie.
surf(X,Y,Z,C)
Representa el gráfico de superficie de la función z=f(x,y) con los colores
especificados en C (este último parámetro se puede ignorar).
surfc(X,Y,Z,C)
Representa el gráfico de superficie de la función z=f(x,y) junto con el gráfico de
contorno correspondiente (curvas de nivel)
Ejemplo.-
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
21
Ingeniería de Telecomunicación
Matlab: Comandos y ejemplos
Fundamentos Matemáticos I
>>%Para evaluar la función f(x,y)=x^2*y en el dominio –2<x<2,
>> % -3<y<3
>>[X, Y]=meshgrid(-2:.2:2,-3:0.5:3);
>>Z=X.^2.*Y;
>>figure(1)
>>surf(X,Y,Z)
>>figure(2)
>>surfc(X,Y,Z)
Gráficos de malla.
mesh(X,Y,Z,C)
Representa el gráfico de malla de la función z=f(x,y) con los colores especificados
en C (este último parámetro se puede ignorar).
meshc(X,Y,Z,C)
Representa el gráfico de malla de la función z=f(x,y) junto con el gráfico de
contorno correspondiente (curvas de nivel)
meshz(X,Y,Z,C)
Representa el gráfico de malla de la función z=f(x,y) junto con una especie de
cortina en la parte inferior.
Ejemplo.>>%Para evaluar la función f(x,y)=x^2*y en el dominio –2<x<2
>>% -3<y<3
>>[X, Y]=meshgrid(-2:.2:2,-3:0.5:3);
22
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Matlab: Comandos y ejemplos
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
>>Z=X.^2.*Y;
>>figure(1)
>>mesh(X,Y,Z)
>>figure(2)
>>meshc(X,Y,Z)
>>figure(3)
>>meshz(X,Y,Z)
Gráficos de contorno (curvas de nivel).
contour(Z,n)
Representa el gráfico de contorno para la matriz Z usando n líneas. El segundo
parámetro es opcional.
contour3(Z,n)
Representa el gráfico de contorno en tres dimensiones para la matriz Z usando n
líneas. El segundo parámetro es opcional.
Ejemplo.>>%Para evaluar la función f(x,y)=x^2+y^2 en el dominio
>> –2<x<2, -3<y<3
>>[X, Y]=meshgrid(-2:.2:2,-3:0.2:3);
>>Z=X.^2.+Y.^2;
>>figure(1)
>>contour(Z)
>>figure(2)
>>contour3(Z)
Gráficos de densidad
pcolor(X,Y,Z)
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
23
Ingeniería de Telecomunicación
Matlab: Comandos y ejemplos
Fundamentos Matemáticos I
Representa el gráfico de contorno para la matriz (X,Y,Z) utilizando densidades
de colores.
Ejemplo.>>%Para evaluar la función f(x,y)=x^2+y^2 en el dominio
>>%–2<x<2, -3<y<3
>>[X, Y]=meshgrid(-2:.2:2,-3:0.2:3);
>>Z=X.^2.+Y.^2;
>>pcolor(X,Y,Z)
Representación
view([x,y,z])
Sitúa el punto de vista de la figura en el indicado por las coordenadas (x,y,z).
ginput
Nos devuelve las coordenadas (x, y) del punto una vez seleccionado en la
gráfica.
Para calcular los límites iterados de una función de dos variables en el punto (a, b)
Ejemplo.>>syms x y
>>f=x^2+y^2
>>limit(limit(f,x,a),y,b)
>>limit(limit(f,y,b),x,a)
Para calcular el límite de una función según una dirección x=g(t), y=h(t) cuando t tiende a
cero.
Ejemplo.>>syms x y t
>>f=x^2+y^2;
24
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Matlab: Comandos y ejemplos
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
>>nf=subs(f,{x,y},{g(t),h(t)})
>>limit(nf,t,0)
Para calcular el límite de una función en coordenadas polares cuando nos aproximamos al
punto (a, b)
Ejemplo.>>syms x y
>>f=x^2+y^2;
>>syms r theta
>>polar=subs(f,{x,y},{a+r*cos(theta),b+r*sin(theta)})
>>limit(polar,r,0)
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
25
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Matlab: Comandos y ejemplos
NÚMEROS COMPLEJOS: EJEMPLOS Y PROGRAMAS
1
Operaciones con números complejos
x=-4:0.1:4;
y=-4*ones(1,length(x));
z=x+i*y;
%%A=((5.9997)*(z +(0.1667-0.1667i))) ./ (z +(6.9997+1.9999i))
A=1./z;
%%A=((0.4667+2.0667i)*(z +(0.3465+0.4654i))) ./ (z +(1.4+2.2i));
a1=real(A);
b1=imag(A);
hold on
plot(a1,b1)
%%
x=-4*ones(1,length(x));
y=-4:0.1:4;
z=x+i*y;
A=1./z;
a1=real(A);
b1=imag(A);
plot(a1,b1)
%%
x=-4:0.1:4;
y=4*ones(1,length(x));
z=x+i*y;
A=1./z;
a1=real(A);
b1=imag(A);
plot(a1,b1)
%%
x=4*ones(1,length(x));
y=-4:0.1:4;
z=x+i*y;
A=1./z;
a1=real(A);
b1=imag(A);
plot(a1,b1)
%
%%
t=-2*pi:0.1:2*pi;
x=3*cos(t);
y=3*sin(t);
z=x+i*y;
A=1./z;
a1=real(A);
b1=imag(A);
plot(a1,b1)
%%
t=-2*pi:0.1:2*pi;
x=1+(1/3)*cos(t);
26
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Matlab: Comandos y ejemplos
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
y=1.5+(1/3)*sin(t);
z=x+i*y;
A=1./z;
a1=real(A);
b1=imag(A);
plot(a1,b1)
%%
%%
t=-2*pi:0.1:2*pi;
x=-1+(1/3)*cos(t);
y=1.5+(1/3)*sin(t);
z=x+i*y;
A=1./z;
a1=real(A);
b1=imag(A);
plot(a1,b1)
%%
t=-pi:0.1:0;
x=2*cos(t);
y=2*sin(t);
z=x+i*y;
A=1./z;
a1=real(A);
b1=imag(A);
plot(a1,b1)
2
Potencias de números complejos: Dado z=i
(a)
Calcula w = z n para n=1,...,10
(b)
Representa dichos valores en el plano complejo.
(c)
¿Qué ocurre con w cuando n crece indefinidamente?.
(d)
Repite los apartados anteriores con z=0.99 i y z=1.1i
%Dado z=i
%
(a) calcular z^n para n=1,2...10
for n=1:10
v(n)=i^n;
end
%
(b) Representar estos números complejos
plot(v)
%
¿Qué ocurre cuando n tiende a infinito?
%
(c) Repetir los resultados cuando z=0.99 i y z=1.1 i
for n=1:10
v(n)=(1.1*i)^n;
end
plot(v)
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
27
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Matlab: Comandos y ejemplos
SUCESIONES Y SERIES: EJEMPLOS Y PROGRAMAS
1
Convergencia de una sucesión
clear;
%Definimos el número de términos de la sucesión
%y los extremos inferior y superior donde queremos
%representar la sucesión
nInferior=input('Da el valor de n a partir del cual quieres dibujar
la sucesión:
');
terminos=input('Da el número de términos a dibujar:
');
nSuperior=nInferior+terminos-1;
x=linspace(nInferior,nSuperior,terminos);
syms n
suc=input('Da la sucesión en función de n:
');
for k=1:terminos
an(k)=double(subs(suc,n,nInferior+k-1));
end
%Dibujamos la sucesión en verde y con puntos
plot(an,'g.')
%Damos el valor de epsilon
epsilon=input('Da un valor para epsilon:
');
%Dibujamos la recta y=limite+epsilon, y=limite-epsilon
limite=limit(suc,n,inf)
y1=ones(terminos)*double(limite+epsilon);
y2=ones(terminos)*double(limite-epsilon);
hold on
plot(y1,'b')
plot(y2,'b')
2
Representación de las sumas parciales enésimas de una serie y cálculo de su límite.
%Fichero "SumaParcial.m"
clear;
%Definimos el número de términos de la sucesión
%y los extremos inferior y superior donde queremos
%representar la sucesión
disp(' ');
syms n
suc=input('Da el término general de la serie en función de n:
');
nInferior=input('Da el valor de n a partir del cual quieres dibujar
la sucesión de sumas parciales:
');
28
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Matlab: Comandos y ejemplos
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
terminos=input('Da el número de términos a dibujar:
');
nSuperior=nInferior+terminos-1;
x=linspace(nInferior,nSuperior,terminos);
valorAnterior=nInferior-1;
suma=double(symsum(suc,1,nInferior-1));
disp('
');
disp('El valor de las sumas parciales es:');
disp('-----------------------------------');
for k=1:terminos
an(k)=double(subs(suc,n,nInferior+k-1));
suma=suma+an(k);
sumParcial(k)=suma;
disp(['Sn para n = ' num2str(nInferior-1+k) ' ----> '
num2str(sumParcial(k))])
end
disp('
');
%Dibujamos la sucesión
disp('Da un número para indicar en que ventana de dibujo ');
valor=input('quieres pintar la sucesión y la suma parcial n-ésima:
');
figure(valor)
hold on
plot(an,'g.')
text(2.5,an(2),'Sucesión');
%Dibujamos la suma parcial en rojo y con *
plot(sumParcial,'r*')
text(2.5,sumParcial(2),'Suma parcial');
%El valor de la suma parcial n-esima es:
disp('
');
');
disp('El valor de la suma parcial n-ésima es:
disp('---------------------------------------');
syms m
pretty(subs(symsum(suc,1,m),m,n))
%La suma de la serie es:
');
disp('
disp('La suma de la serie es:
');
disp('-----------------------');
pretty(symsum(suc,1,inf))
3
Clasificación de una serie numérica
%clasificacion.m
disp(' ');
disp('"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
""""""')
disp('"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
""""""')
syms n positive
suc=input('Da el término general "an" de la serie en función de n:
');
if abs(suc) == suc
disp('----------------------------------------------------------------------')
disp('Se trata de una serie de términos positivos.')
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
29
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Matlab: Comandos y ejemplos
disp('Por lo tanto es una serie o bien convergente o bien
divergente.')
disp('
')
disp('----------------------------------------------------------------------')
disp('El limite del termino general an es')
limite=limit(suc,n,inf,'left');
pretty(limite)
if limite == 0
disp('
')
disp('----------------------------------------------------------------------')
disp('La condición necesaria de convergencia no da
información.')
disp(' ');
disp('...............................................................
........')
disp('
');
disp('Utiliza el fichero "criterios.m" para determinar si es
posible su caracter.')
else
disp('
')
disp('----------------------------------------------------------------------')
disp('La condición necesaria de convergencia indica que la
serie es divergente')
end
else
if abs(suc) == (-1)*suc
disp('----------------------------------------------------------------------')
disp('Se trata de una serie de términos negativos.')
disp('Por lo tanto es una serie o bien convergente o bien
divergente.')
disp('
')
disp('----------------------------------------------------------------------')
disp('El limite del termino general es')
limite=limit(suc,n,inf,'left');
pretty(limite)
if limite == 0
')
disp('
disp('----------------------------------------------------------------------')
disp('La condición necesaria de convergencia no da
información.')
disp(' ');
disp('...............................................................
........')
disp('
');
disp('Utiliza el fichero "criterios.m" para determinar si es
posible su caracter.')
else
')
disp('
disp('----------------------------------------------------------------------')
30
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Matlab: Comandos y ejemplos
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
disp('La condición necesaria de convergencia indica que la
serie es divergente')
end
else
disp('--------------------------------------------------------------')
disp('La serie es alternada o de términos cualesquiera');
disp(' ');
disp('--------------------------------------------------------------')
disp('El limite del termino general es')
limite=limit(suc,n,inf,'left');
pretty(limite)
if limite == 0
disp('
')
disp('--------------------------------------------------------------')
disp('La condición necesaria de convergencia no da
información.')
disp(' ');
disp('...............................................................
........')
');
disp('
disp('Estudia la convergencia absoluta o si se trata de ')
disp('una serie alternada la convergencia por el criterio de
Leibniz')
else
')
disp('
disp('--------------------------------------------------------------')
disp('La condición necesaria de convergencia indica que la serie no
es convergente')
end
end
end
disp(' ')
disp(' ')
4
Criterios de convergencia de una serie
clear;
%Definimos el número de términos de la sucesión
%y los extremos inferior y superior donde queremos
%representar la sucesión
disp(' ');
syms n m positive
suc=input('Da el término general "an" de la serie en función de n:
');
disp('
');
disp('Escribe 1 si deseas utilizar el criterio del cociente:');
disp('Escribe 2 si deseas utilizar el criterio de la raiz:');
disp('Escribe 3 si deseas utilizar el criterio de comparación:');
disp('Escribe 4 si deseas utilizar el criterio integral:');
disp(' ');
valor=input('.......
');
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
31
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Matlab: Comandos y ejemplos
disp(' ')
if valor==1
disp('El cociente a(n)/a(n-1) es ')
an1=subs(suc,n,n-1);
cociente=(suc/an1);
pretty(simple(cociente))
disp(' ');
disp('El limite de a(n)/a(n-1) es ')
limite=limit(cociente,n,inf,'left');
pretty(limite)
disp(' ')
if double(limite)<1
disp('La serie es convergente')
else
if double(limite)>1
disp('La serie es divergente')
else
disp('Como el límite es 1 utilizo el criterio de Raabe')
disp('y calculamos lim(n*(1-a(n)/a(n-1))) cuyo valor es');
limiteRaabe=limit(n*(1-cociente),n,inf,'left');
pretty(simple(limiteRaabe))
disp(' ');
if double(limiteRaabe)>1
disp('La serie es convergente')
else
if double(limiteRaabe)<1
disp('La serie es divergente')
else
disp('Duda por el caso de Raabe')
end
end
end
end
else
if (valor == 2)
disp('La raiz n-ésima de a(n) ')
raiz=suc^(1/n);
pretty(simple(raiz))
disp('El limite de la raiz n-ésima de a(n) es ')
limite=limit(raiz,n,inf,'left');
pretty(limite)
if double(limite)<1
disp('La serie es convergente')
else
if double(limite)>1
disp('La serie es divergente')
else
disp('Utiliza otro criterio')
end
end
else
if (valor == 3)
disp(' ')
disp('Escribe:')
disp('
1 para comparar con la serie armónica
generalizada.')
disp('
2 para comparar con cualquier otra serie.')
opcion=input('.......
');
disp(' ')
if opcion == 1
32
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Matlab: Comandos y ejemplos
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
disp('
Introduce el valor de p para comparar')
valorp=input('
con la serie de término general
1/n^p:
');
armonica=1/(n^valorp);
limite=limit(suc/armonica,n,inf,'left');
disp(' ')
disp('El límite (n^p)*an es ')
pretty(limite)
disp(' ')
if and(limite~=0,isinf(double(limite))== 0)
disp('Como el límite es distinto de cero
y de infinito ...')
if valorp>1
disp('La serie es convergente ');
else
disp('La serie es divergente ')
end
end
else
disp('
Introduce el término general de la
sucesión ')
bn=input('
función de n:
con la que deseas comparar en
');
limite=limit(suc/bn,n,inf,'left');
disp(' ')
disp('El límite an/bn es ')
pretty(limite)
disp(' ')
if and(limite~=0,isinf(double(limite))== 0)
disp('Como el límite es distinto de cero
y de infinito ...')
disp(' ')
disp('Las dos series tiene el mismo
carácter')
end
end
else
if (valor == 4)
disp(' ')
disp('Escribe:')
1 si la sucesión an es monótona
disp('
decreciente.')
disp('
2 si la sucesión an es monótona creciente.')
opcion=input('.......
');
disp(' ')
if opcion == 1
disp('Una sucesión equivalente a la suma parcial nésima es:')
equivalente=subs(int(suc,1,m),m,n) ;
pretty(simple(equivalente))
disp(' ')
disp('y su limite cuando n tiende a infinito es ')
aa=int(suc,1,inf);
pretty(simple(aa))
if isinf(double(aa)) == 0
disp('Es una serie convergente.')
else
disp('Es una serie divergente.')
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
33
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Matlab: Comandos y ejemplos
end
else
disp('La sucesión que acota inferiormente a la suma
parcial n-ésima es')
inferior=subs(int(suc,1,m),m,n);
pretty(inferior)
disp('y su limite es ')
limite=limit(inferior,n,inf,'left');
pretty(limite)
disp('La sucesión que acota superiormente a la
suma parcial n-ésima es')
superior=subs(int(suc,1,m)+suc,m,n);
pretty(superior);
disp('y su limite es ')
limite=limit(superior,n,inf,'left');
pretty(limite)
end
else
end
end
end
end
disp(' ')
disp('El valor que da Matlab para la suma de la serie es: ')
vpa(limit(symsum(suc,1,m),m,inf,'left'))
5
Criterio integral
clear;
%Definimos el número de términos de la sucesión
%y los extremos inferior y superior donde queremos
%representar la sucesión
disp(' ');
syms n
suc=input('Da el término general de la serie en función de n:
terminos=input('Da el número de términos a considerar:
');
disp('
');
disp('El valor de las sumas parciales es:');
disp('-----------------------------------');
an(1)=double(subs(suc,n,1));
sumParcial(1)=an(1);
disp(['Sn para n = 1 ' ' ----> ' num2str(sumParcial(1))])
figure(1)
hold on
plot([0 1 1 0],[0 0 an(1) an(1)],'r')
for k=2:terminos
an(k)=double(subs(suc,n,k));
sumParcial(k)=sumParcial(k-1)+an(k);
disp(['Sn para n = ' num2str(k) ' ----> '
num2str(sumParcial(k))]);
plot([k-1 k-1 k k],[0 an(k) an(k) 0],'r')
end
plot([terminos 0],[0 0],'r');
%Dibujamos la sucesión
plot(an,'go')
34
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
');
Matlab: Comandos y ejemplos
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
for k=1:terminos
text(k+0.1,an(k),strcat('an(',num2str(k),')'))
end
ezplot(suc,[0,terminos])
title('Cota superior de la suma parcial n-ésima')
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
figure(2)
hold on
for k=2:terminos
plot([k-1 k-1 k k],[0 an(k-1) an(k-1) 0],'r')
end
plot([terminos 0],[0 0],'r');
%Dibujamos la sucesión
plot(an,'g.')
ezplot(suc,[0,terminos])
for k=1:terminos
text(k-0.5,an(k),strcat('an(',num2str(k),')'))
end
title('Cota inferior de la suma parcial n-ésima')
%El valor de la suma parcial n-esima es:
disp('
');
disp('El valor de la suma parcial n-ésima es:
');
disp('---------------------------------------');
pretty(symsum(suc))
%Una sucesión que acota a la suma parcial n-ésima es:
disp('
');
disp('Una sucesión que acota inferiormente a la suma parcial n-ésima
es:
');
syms m
disp('------------------------------------------------------');
pretty(subs(int(suc,1,m),n,m))
disp('Una sucesión que acota superiormente a la suma parcial n-ésima
es:
');
syms m
disp('------------------------------------------------------');
pretty(subs(int(suc,1,m)+an(1),n,m))
%La suma de la serie es:
');
disp('
disp('La suma de la serie es:
');
disp('-----------------------');
pretty(symsum(suc,1,Inf))
6
Número de términos que es necesario considerar para calcular la suma de una serie con un error dado.
%Fichero "SumaAproximada2.m"
clear
syms x m
disp(' ');
disp('------------------------------------------------------------------------');
disp('------------------------------------------------------------------------');
syms n m
suc=input('Da el término general "an" de la serie en función de n:
');
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
35
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Matlab: Comandos y ejemplos
disp(' ');
error=input('Da el error con el que quieres obtener la suma de la
serie:
');
cotaError=int(suc,n,m,inf);
disp(' ');
disp('"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
"""""""""""')
disp('Una cota superior del error es: ' )
pretty(subs(cotaError,m,n))
disp('------------------------------------------------------------------------');
j=1;
aux=subs(cotaError,m,j);
while aux>error
j=j+1;
aux=subs(cotaError,m,j);
end
disp('
')
disp (['El número de términos a coger es ' num2str(j)])
aproximado=double(symsum(suc,n,1,j));
disp('------------------------------------------------------------------------');
disp(['La suma parcial de orden ' num2str(j) ' es:
'
num2str(aproximado,12)])
disp('------------------------------------------------------------------------');
disp('El valor exacto que da Matlab es: ')
suma=symsum(suc,n,1,inf);
pretty(suma)
disp(['de valor ' num2str(double(suma),12) '...'])
disp(' ')
disp('------------------------------------------------------------------------');
disp(['La diferencia entre el valor exacto y el aproximado es '
num2str(double(suma-aproximado),12)])
disp(' ')
36
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Matlab: Comandos y ejemplos
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
FUNCIONES DE UNA VARIABLE: EJEMPLOS Y PROGRAMAS
1
Polinomio de Taylor
clear;
syms x
disp(' ');
disp(' ');
f='sin(x)';
punto=0;
salir=0;
while salir == 0
disp(' ')
orden=input('Da el orden del polinomio de Taylor: ');
figura=input('Da el numero de la ventana de dibujo: ');
extremoInferior=input('Da el extremo inferior del intervalo donde
quieres la representación: ');
extremoSuperior=input('Da el extremo superior del intervalo donde
quieres la representación: ');
figure(figura)
hold on
puntos=linspace(extremoInferior,extremoSuperior,80);
poli=taylor(sin(x),orden+1);
resto2=abs(sin(x)-poli);
%gamma(n+1)=n!
estimacion=((abs(x))^(orden + 1))/gamma(orden+2);
restoNsimo=subs(resto2,puntos);
estimacionNsima=subs(estimacion,puntos);
restoNsimo
plot(puntos,restoNsimo,'r');
plot(puntos,estimacionNsima,'b');
title('El resto en rojo, la estimación en azul');
disp('-------------------------------------------------------------------------------')
disp('Escribe 0 si deseas continuar con otro polinomio');
disp('Escribe 1 si deseas terminar');
salir=input(' .... ');
end
2
Acotación del resto de Taylor
clear
syms x m
disp(' ');
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
37
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Matlab: Comandos y ejemplos
disp('------------------------------------------------------------------------');
disp('------------------------------------------------------------------------');
syms n m
suc=input('Da el término general "an" de la serie en función de n:
');
disp(' ');
numTerminos=input('Cuantos términos quieres sumar:
');
disp('"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
"""""""""""')
aproximado=double(symsum(suc,n,1,numTerminos));
disp(' ')
disp(['El valor aproximado es ' num2str(aproximado,12)])
disp('------------------------------------------------------------------------');
disp('El valor exacto es ')
suma=symsum(suc,n,1,inf);
pretty(suma)
disp(['de valor ' num2str(double(suma),12) '...'])
disp(' ')
disp('------------------------------------------------------------------------');
cotaErrorInferior=int(suc,n,numTerminos+1,inf);
cotaErrorSuperior=int(suc,n,numTerminos,inf);
disp(' ');
disp(['El error cometido es un valor verificando '
num2str(double(cotaErrorInferior),12) ' <= error <= '
num2str(double(cotaErrorSuperior),12)])
disp('------------------------------------------------------------------------');
disp(' ')
disp(['La diferencia entre el valor exacto y el aproximado es '
num2str(double(suma-aproximado),20)])
disp(' ')
38
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Matlab: Comandos y ejemplos
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: EJEMPLOS Y PROGRAMAS
1
Límites direccionales
clear
clf;
%PUNTO DONDE SE ESTUDIARA EL LIMITE
disp('
')
syms x y
funcion=input('Da la expresión de la función con x e y como variables
independientes:
');
a=input('Da la abscisa del punto:
');
b=input('Da la ordenada del punto:
');
disp(' ')
disp('-----------------------------------------------------------')
disp('En la figura 1 se muestra el gráfico de superficie ')
disp('En la figura 2 el gráfico de contorno ')
disp(' ')
disp('-----------------------------------------------------------')
disp(' ')
%Representamos la gráfica de la función
[X, Y]=meshgrid(a+(-1:.03:1),b+(-1:0.03:1));
Z=subs(funcion,{x,y},{X,Y});
figure(1)
colormap('default')
surfc(X,Y,Z)
shading interp
title('Gráfico de la superficie')
%Las líneas de contorno
figure(2)
colormap gray
contour3(X,Y,Z,20)
title('Lineas de contorno')
disp(' ')
disp('============================================================')
disp(' ')
%LIMITES RADIALES
syms m
radiales=limit(subs(funcion,y,b+m*(x-a)),x,a);
disp(['Los límites radiales son ' num2str(double(radiales))])
%Devuelve 0
%DIBUJO DE UN CAMINO y=F(x)
disp(' ')
disp('-----------------------------------------------------------')
disp('pulsa una tecla para ver un camino hacia un punto')
disp(' ')
pause
curva=input('Da la expresión de la curva en función de x: ');
vx=a+(-1:0.03:1);
vy=subs(curva,x,vx);
vz=subs(funcion,{x,y},{vx,vy});
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
39
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Matlab: Comandos y ejemplos
figure(1);
colormap gray
hold on
plot(vx,vy,'r')
plot3(vx,vy,vz)
hold off
%LIMITE DE LA FUNCION SEGUN UN CAMINO
disp(' ')
dire=subs(funcion,y,curva);
direccion=limit(dire,x,a);
disp(['El límite siguiendo la dirección dada por la curva es '
num2str(double(direccion))])
%LIMITE "en polares"
disp(' ')
disp('-----------------------------------------------------------')
disp(' ')
syms r theta
pol=subs(funcion,{x,y},{a+r*cos(theta),b+r*sin(theta)});
polares=limit(pol,r,0);
disp(['El límite en polares es ' num2str(double(polares))])
2
Representación de una función de dos variables. Curvas de nivel y gradiente.
clear
clf;
%PUNTO DONDE SE ESTUDIARA EL LIMITE
')
disp('
syms x y
funcion=input('Da la expresión de la función con x e y como variables
independientes:
');
xMin=input('Da el valor mínimo para x:
');
xMax=input('Da el valor máximo para x:
');
yMin=input('Da el valor mínimo para y:
');
yMax=input('Da el valor máximo para y:
');
disp(' ')
disp('-----------------------------------------------------------')
disp('En la figura 1 se muestra el gráfico de superficie ')
disp('En la figura 2 el gráfico de contorno ')
disp('En la figura 3 las curvas de nivel y el campo gradiente')
disp(' ')
disp('-----------------------------------------------------------')
disp(' ')
%Representamos la gráfica de la función
[X, Y]=meshgrid(xMin:.1:xMax,yMin:0.1:yMax);
Z=double(subs(funcion,{x,y},{X,Y}));
figure(1)
colormap('default')
surfc(X,Y,Z)
shading interp
title('Gráfico de la superficie')
%Las líneas de contorno
figure(2)
%colormap gray
contour3(X,Y,Z,20)
title('Lineas de contorno')
%Las líneas de contorno
figure(3)
40
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Matlab: Comandos y ejemplos
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
cs=contour(X,Y,Z,20);clabel(cs);
[X1, Y1]=meshgrid(xMin:0.5:xMax,yMin:0.5:yMax);
Z1=double(subs(funcion,{x,y},{X1,Y1}));
[px,py]=gradient(Z1,0.5,0.5);
hold on
quiver(X1,Y1,px,py)
hold off
title('Curvas de nivel y gradiente')
disp(' ')
disp('============================================================')
3
Extremos de funciones de dos variables. Método del hessiano.
clear
clf;
clear
%Trabajamos en lo que sigue con la función en
%forma simbólica.
syms x y
f=input('Da la expresión de la función con x e y como variables
independientes: ');
disp('***************************************************************
*****')
disp('
PASO 1')
disp('-----------')
disp('La derivada parcial de f respecto a x es:')
fx=diff(f,x);
pretty(fx)
disp(' ')
disp('La derivada parcial de f respecto a y es:')
fy=diff(f,y);
pretty(fy)
disp(' ')
%Resolvemos el sistema fx=0, fy=0.
disp('***************************************************************
*****')
disp('
PASO 2: Resolvemos el sistema fx=0, fy=0. La solución es:')
disp('-----------')
[coordx,coordy]=solve(fx,fy);
numPuntos=length(coordx);
for k=1:numPuntos
disp(['Punto ' num2str(k) ' = (' num2str(double(coordx(k))) ','
num2str(double(coordy(k))) ')'])
end
%Calculamos las derivadas parciales segundas.
fxx=diff(fx,x);
fxy=diff(fx,y);
fyx=diff(fy,x);
fyy=diff(fy,y);
%Construimos la matriz hessiana y el hessiano.
hessiana=[fxx fxy;fyx fyy];
disp(' ')
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
41
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Matlab: Comandos y ejemplos
disp('***************************************************************
*****')
disp('
PASO 3: Construimos la matriz hessiana:')
disp('-----------')
pretty(hessiana)
hessiano=det(hessiana);
disp('
')
disp('***************************************************************
*****')
disp('
PASO 4: Estudiamos para cada punto si es definida positiva
o definida negativa:')
disp('-----------')
disp('
')
%Estudiamos los puntos con gradiente nulo
for k=1:numPuntos
px=coordx(k);
py=coordy(k);
if and(imag(px)==0,imag(py)==0)
disp(['PUNTO ' num2str(k) ': (' num2str(double(px)) ','
num2str(double(py)) ') : '])
disp(' ')
disp('
La matriz hessiana en ese punto es ')
pretty(subs(hessiana,{x,y},{px,py}))
%Estudiamos el hessiano en el punto
hes=double(subs(hessiano,{x,y},{px,py}));
%Evaluamos fxx en el punto.
val=double(subs(hessiana(1,1),{x,y},{px,py}));
if and(hes>0,val>0)
disp('
Es un mínimo relativo.')
else
if and(hes>0,val<0)
disp('
Es un máximo relativo.')
else
if hes<0
Es un punto de silla.')
disp('
else
disp('
Hay que estudiar el signo de la diferencial
segunda.')
end
end
end
disp('----------------------------------')
end
end
disp( ' ')
disp(' ')
4
Extremos condicionados
clear
clf;
%PUNTO DONDE SE ESTUDIARA EL LIMITE
disp('
')
syms x y
42
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Matlab: Comandos y ejemplos
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
funcion=input('Da la expresión de la función con x e y como variables
independientes:
');
a=input('Da la abscisa del punto:
');
b=input('Da la ordenada del punto:
');
disp(' ')
disp('-----------------------------------------------------------')
disp('En la figura 1 se muestra el gráfico de superficie ')
disp('En la figura 2 el gráfico de contorno ')
disp(' ')
disp('-----------------------------------------------------------')
disp(' ')
numPuntos=30;
extremoSuperiorX=2;
extremoInferiorX=-2;
extremoSuperiorY=2;
extremoInferiorY=-2;
incrementoX=(extremoSuperiorX-extremoInferiorX)/numPuntos;
incrementoY=(extremoSuperiorY-extremoInferiorY)/numPuntos;
%Representamos la gráfica de la función
[X,
Y]=meshgrid(extremoInferiorX:incrementoX:extremoSuperiorX,extremoInfe
riorY:incrementoY:extremoSuperiorY);
Z=subs(funcion,{x,y},{X,Y});
figure(1)
colormap('default')
surfc(X,Y,Z)
title('Gráfico de la superficie')
%DIBUJO DE UN CAMINO y=F(x)
disp(' ')
disp('-----------------------------------------------------------')
disp('pulsa una tecla para ver un camino hacia un punto')
disp(' ')
pause
curva=input('Da la expresión de la curva en función de x: ');
vx=extremoInferiorX:incrementoX:extremoSuperiorX;
vy=subs(curva,x,vx);
vz=subs(funcion,{x,y},{vx,vy});
figure(2);
hold on
plot(vx,vy,'r')
plot3(vx,vy,vz)
colormap gray
[X, Y]=meshgrid(-2:0.1:2,-6:0.1:6);
Z=subs(funcion,{x,y},{X,Y});
surfc(X,Y,Z)
shading interp
hold off
5
Plano tangente
clear;
clf;
syms x y
disp(' ')
funcion=input('Da la función de dos variables con x e y como
variables independientes:
');
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S
43
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Matlab: Comandos y ejemplos
puntoX=input('Da la abscisa del punto donde quieres calcular el plano
tangente:
');
puntoY=input('Da la ordenada del punto donde quieres calcular el
plano tangente: ');
fx=diff(funcion,x);
fy=diff(funcion,y);
fab=subs(funcion,{x,y},{puntoX,puntoY});
fxab=subs(fx,{x,y},{puntoX,puntoY});
fyab=subs(fy,{x,y},{puntoX,puntoY});
ztangente=fab+fxab*(x-puntoX)+fyab*(y-puntoY);
disp('====================================================')
disp('La ecuación del plano tangente es: ')
pretty(ztangente)
[X, Y]=meshgrid(puntoX+(-0.4:.05:0.4),puntoY+(-0.4:0.05:0.4));
Z1=subs(funcion,{x,y},{X,Y});
Z2=subs(ztangente,{x,y},{X,Y});
num=length(X);
disp(' ')
disp('====================================================')
disp(' ')
disp('Escribe 1 para dar un punto donde evaluar la función y el plano
tangente:')
disp('Escribe 2 para terminar')
valor=input('....... ');
while valor==1
disp('Da un punto "próximo" al punto en el que desarrollas')
abscisa=input('
la abscisa es:
');
ordenada=input('
la ordenada es:
');
disp(' ')
disp('---------------------------------------------------------------------')
disp(['El valor de la función en ese punto es '
num2str(double(subs(funcion,{x,y},{abscisa,ordenada})))])
disp(['El valor de ztan en ese punto es '
num2str(double(subs(ztangente,{x,y},{abscisa,ordenada})))])
disp('Escribe 1 para dar un punto donde evaluar la función y el
plano tangente:')
disp('Escribe 2 para terminar')
valor=disp('....... ')
disp(' ')
end
%for k=1:num
% for k1=1:num
% disp(' ')
% disp('----------------------------------------------------------------')
% disp(['El valor de la función en el punto '
num2str(double(X(k,k1)),4) ',' num2str(double(Y(k,k1)),4) ' es '
num2str(double(Z1(k,k1)),4)])
% disp(['El valor de ztan en el punto ' num2str(double(X(k,k1)),4)
',' num2str(double(Y(k,k1)),4) ' es ' num2str(double(Z2(k,k1)),4)])
% end
%end
%disp(' ')
%disp('----------------------------------------------------------------')
%disp('En forma de tabla ')
%disp(' ')
%disp('El valor de la función es ')
%double(Z1)
44
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Fundamentos Matemáticos I
%disp('El valor de ztan es ')
%double(Z2)
figure(1)
hold on
colormap('default')
surfc(X,Y,Z1)
%figure(2)
surfc(X,Y,double(Z2))
hold off
6
Aproximación por el poliniomio de Taylor de funciones de dos variables
clear;
clf;
syms x y
disp(' ')
disp(' ')
funcion=input('Da la función de dos variables con x e y como
variables independientes:
');
puntoX=input('Da la abscisa del punto:
');
puntoY=input('Da la ordenada del punto: ');
disp('')
fx=diff(funcion,x);
fy=diff(funcion,y);
fxx=diff(fx,x);
fxy=diff(fx,y);
fyy=diff(fy,y);
fab=subs(funcion,{x,y},{puntoX,puntoY});
fxab=subs(fx,{x,y},{puntoX,puntoY});
fyab=subs(fy,{x,y},{puntoX,puntoY});
fxxab=subs(fxx,{x,y},{puntoX,puntoY});
fxyab=subs(fxy,{x,y},{puntoX,puntoY});
fyyab=subs(fyy,{x,y},{puntoX,puntoY});
taylorVar=fab+fxab*(x-puntoX)+fyab*(y-puntoY)+1/2*(fxxab*(xpuntoX)^2+fyyab*(y-puntoY)^2+2*fxyab*(x-puntoX)*(y-puntoY));
disp('-------------------------------------------------------------')
disp(' ');
disp(['El polinomio de Taylor de grado 2 centrado en el punto: ('
num2str(puntoX) ',' num2str(puntoY) ') es: '])
pretty(taylorVar)
disp('')
[X, Y]=meshgrid(puntoX+(-1:.06:1),puntoY+(-1:0.06:1));
Z1=double(subs(funcion,{x,y},{X,Y}));
figure(1)
colormap('default')
hold on
surfc(X,Y,Z1)
%figure(2)
Z2=double(subs(taylorVar,{x,y},{X,Y}));
colormap('default')
surfc(X,Y,Z2)
hold off
figure(2)
colormap('default')
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S
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Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Matlab: Comandos y ejemplos
surfc(X,Y,Z2)
title('Polinomio de Taylor de orden 2')
hold off
disp(' ')
valor=1;
disp('===============================================================
')
while valor==1
disp('Da un punto "próximo" al punto en el que desarrollas')
abscisa=input('
la abscisa es:
');
la ordenada es:
');
ordenada=input('
disp(' ')
disp('-------------------------------------------------------------')
disp(['El valor de la función en ese punto es '
num2str(double(subs(funcion,{x,y},{abscisa,ordenada})))])
disp(['El valor del polinomio de Taylor en ese punto es '
num2str(double(subs(taylorVar,{x,y},{abscisa,ordenada})))])
disp('
')
disp('Escribe:')
disp('
1 si deseas evaluar la función y el polinomio de Taylor en
un punto')
disp('
2 para terminar')
valor=input('.......... ');
disp(' ')
end
46
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