CHƯƠNG 3
BÀI TOÁN ĐẾM
I. BÀI TẬP
Bài 1: Có bao nhiêu xâu khác nhau có thể lập được từ các chữ cái Alphabet (A, B, C…,
Z) trong từ.
Yêu cầu:
a) Dùng tất cả các chữ cái?
- Sắp xếp vị trí của 26 chữ cái: có 26! cách.
b) Ba chữ A phải đứng liền nhau?
Chưa hiểu đề lắm.
Bài 2: Có bao nhiêu xâu khác nhau có năm hoặc nhiều hơn các ký tự có thể lập được từ
các chữ cái trong từ EVERGREEN?
-
Có 4 chữ E
-
Có 1 chữ V
-
Có 2 chữ R
-
Có 1 chữ G
-
Có 1 chữ N
-
Sử dụng hoán vị lặp: (9!) / (4! * 2!) = 7560 cách
Bài 3: Một nhóm bạn gồm n bạn nam và n bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các bạn
này thành một hàng sao cho
a. nam, nữ đứng xen kẽ nhau?
- sắp xếp n bạn nam: có n! cách.
- sắp xếp n bạn nữ: có n! cách
- nam đứng trước hoặc nữ đứng trước: có 2 cách
=> vậy có 2 * (n! * n!) cách
b. các bạn nam ngồi liền nhau
- sắp xếp nam: n! cách
- n bạn nữ thì có n+1 khoảng trống.
=> có (n+1)*n! cách sắp xếp
Bài 4: Một nhóm bạn gồm n bạn nam và n + 1 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các bạn
này thành một hàng sao cho nam, nữ đứng xen kẽ nhau
(n+1)! * n!
Bài 5: Có bao nhiêu cách xếp 10 người vào bàn tròn tiệc cưới, hai cách ngồi được xem
như nhau nếu cách này có thể nhận được từ cách kia bằng cách quay bàn đi một góc nào
đó?
10! cách
Bài 6: Có bao nhiêu cách xếp 10 người vào bàn tròn. Biết rằng các vị trí ngồi được đánh
số từ 1 đến 10?
10 * 10! cách
Bài 7: Có bao nhiêu cách xếp cô dâu và chú rể cùng 6 vị khách mời vào bàn tròn. Biết
rằng cô dâu luôn ngồi cạnh chú rể?
2 * 7!
Bài 8: Một nhóm sinh viên trong đó có 10 em đang học môn XSTK, 7 em đang học môn
TRR và 9 em đang học môn CTDL. Hỏi có bao nhiêu cách cử một đoàn 5 người? Trong
đó: trưởng đoàn là XSTK, hai phó đoàn có ít nhất một TRR và hai người tháp tùng phải
có ít nhất một CTDL? Biết rằng không có chức danh kiêm nhiệm.
Bài 9: Hãy chứng minh công thức:
Ank
n!
n k !
Bài 10: Một nhóm gồm 6 bạn sinh viên nữ và 8 bạn sinh viên nam. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn 5 bạn đi dự hội thảo? Yêu cầu, trong 5 bạn được chọn đi phải có ít nhất 3 bạn nam.
Chọn 3 nam: 56*15
Chọn 4 nam: 70*6
Chọn 5 nam: 56
1316 cách
Bài 11: Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài 10
=> Số đầu tiên là số 1 nên chỉ xét 9 số sau thôi:
a) Có đúng 3 số 0
9C3 = 84 cách
b) Số các số 0 bằng số 1?
9C5 = 126 cách
c) Có ít nhất 7 số 1
9C6 + 9C7 + 9C8 + 9C9
Bài 12: Tổ bộ môn CNPM có 5 giảng viên nam và 4 giảng viên nữ. Hỏi có bao nhiêu
cách lập một hội đồng gồm 4 thành viên? Yêu cầu số thành viên nam không ít hơn số
thành viên nữ.
2 nam 2 nữ
3 nam 1 nữ
4 nam
16+14+5=35
Bài 13: Có bao nhiêu cách xếp 5 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh thành một hàng, sao cho
không có ít nhất 3 viên bi nào cùng màu xếp cạnh nhau?
9! – (5C3 !)*7 – (4C3 !)*7 – (5C4 !)*6 – (5C5 !)*5 – (4C4 !)*6
Bài 14: Chứng minh công thức:
Cnk
n!
k! n k !
Bài 15: Có bao nhiêu cách lập một số có 4 chữ số? Biết rằng mỗi chữ số không được
dùng quá 1 lần.
9*9*8*7 = 4536
Bài 16: Biển số xe có dạng XXX-NNNN, trong đó X là môt ký tự trong 26 chữ cái, N là
một ký số trong 10 chữ sô thập phân. Giả sử thành phố Đà Nẵng có 10 triệu dân và mỗi
người chỉ sở hữu được một xe máy. Hỏi với cách cấp biển số dạng này có đủ quản lý xe
máy cho 10 triệu dân TP hay không? Chứng minh nhận định của bạn là đúng.
- Số cách biển số xe có thể nhận : 26*26*26*10*10*10*10 = 175750000
Đủ
Bài 17: Có bao nhiêu cách để mua 15 quả trái cây từ 3 loại Cam, Xoài, Quít. Trong đó
cam có ít nhất 2 quả và xoài có ít nhất 1 quả ? Biết rằng số trái cây hiện có của mỗi loại
không ít hơn 15 quả.
Bài 18: Hỏi phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?
x1 + x2 + x3 = 5, trong đó x1 1, x2 1, x3 1
Bài 19: Có bao nhiêu nghiệm nguyên của phương trình: x + y + z + w = 20, trong các
trường hợp:
a) x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, w ≥ 0
b) x ≥ 0, y ≥ 0, z > 0, w > 2
Bài 20: Có bao nhiêu nghiệm nguyên của phương trình: x + y + z + w < 20 trong các
trường hợp:
a) x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, w ≥ 0
b) x ≥ 0, y ≥ 0, z > 0, w > 2
