Lineare Algebra
Übungsaufgaben
Prof. Dr. Stephanie Thorn
Aufgabe 1
Berechnen Sie:
3⋅
1 2
3 4
5 6
8
9
6
7
6
7
2 4
6
8 10 12
3
4
2
4
3 ⋅4 ⋅3
3
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Aufgabe 2:
Die drei Produkte Alpha, Beta und Gamma werden an drei den drei Standorten A, B
und C jeweils in einem zweistufigen Produktionsprozess gefertigt. Die reinen
kalkulatorischen Montagekosten pro Standort und Produkt lassen sich für die beiden
Produktionsstandorte den beiden folgenden Tabellen entnehmen.
kalk. Montagekosten Alpha
Prod.-Schritt 1 (pro ME)
A 1,00
B 1,50
C 1,30
Beta
Gamma
0,80
1,00
1,20
2,20
2,50
1,80
kalk. Montagekosten Alpha
Prod.-Schritt 2 (pro ME)
A
1,30
B
1,30
C
1,40
Beta Gamma
1,10
1,10
0,90
Zu den Montagekosten kommen noch Materialkosten hinzu. Diese sind standortunabhängig und betragen je Mengeneinheit für Alpha 12,70 Euro, für Beta 17,30 Euro
und für Gamma 20,00 Euro.
Zudem fallen Transportkosten für den Transport vom Produktionsstandort zum
Zentrallager an. Diese können der folgenden Tabelle entnommen werden.
Transportkosten
(pro ME)
A
B
C
Alph
a
1,00
1,50
1,60
Beta Gam
ma
0,80 1,70
1,60 2,60
1,60 2,00
Wie hoch ist die Summe der Material-, Montage- und Transportkosten jeweils an den
einzelnen Standorten und jeweils für eines der drei Produkte, wenn an jedem Standort
und von jedem Produkt einheitlich 1000 ME produziert würden?
2,10
1,90
2,20
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Aufgabe 3:
Gegeben sind die folgenden Matrizen, Vektoren und Skalare:
A
2 3 1
0 2 3 ,𝐵
1 3 2
Berechnen Sie λ A B
2 3
1 2 ,𝐶
2 𝑎
μB
3
1
4 5
,D
2 4
4,5
6
3
,μ
7
2, λ
1
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Aufgabe 4:
Gegeben sei das folgende Gleichungssystem:
3𝑥
𝑥
𝑥
𝑎𝑥
4
6
a) Bestimmen Sie α so, dass das Gleichungssystem keine Lösung besitzt.
b) Nehmen Sie nun an, dass α = -2 und lösen Sie das System durch den
Gauß-Algorithmus.
c) Fertigen Sie eine Skizze in einem Koordinatensystem an und
plausibilisieren Sie Ihre Lösung graphisch.
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Aufgabe 5:
Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß-Algorithmus
und geben Sie die Lösung in Abhängigkeit von a an:
2𝑥
𝑥
𝑥
2𝑥
2𝑥
𝑥
3𝑥
𝑎𝑥
4𝑥
75
50
50
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Aufgabe 6:
Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß-Algorithmus:
3𝑥
4𝑥
𝑥
2𝑥
3𝑥
2𝑥
𝑥
𝑥
2𝑥
7
2
6
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Aufgabe 7:
Geben Sie die Inverse der folgenden Matrix an:
A
2 4 14
0 1 2
3 6 22
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Aufgabe 8:
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3 2
a
und B
4 3
4
Für welche Wert von a und b ist B die Inverse von A?
Betrachten Sie die Matrizen A
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2
.
b
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Aufgabe 9:
Gegeben sind die folgenden Matrizen und Vektoren:
A
2
1
4
,B
2
2
1
4
,C
2
2 3 1
1 4 1
a) Berechnen Sie die Matrix AB
b) Berechnen Sie die Matrix CCT
c) Berechnen Sie die Matrix BC
d) Begründen Sie, ob die Matrizen (AB)2, CCT, BC invertierbar sind.
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Aufgabe 10:
Ein Hersteller von Wasch- und Reinigungsmittel stellt drei verschiedene
Waschpulver her:
• Vollwaschmittel
P1
• Buntwaschmittel
P2
• Wollwaschmittel
P3
Zur Herstellung von 1t des jeweiligen Waschpulvers werden die folgenden
Mengen an Inhaltsstoffen in kg benötigt:
P1
P2
P3
IN1
20
40
20
IN2
40
10
10
IN3
10
0
0
IN4
10
10
5
a) Welche Mengen der Inhaltsstoffe werden benötigt, um P1=10t, P2=20t und
P3=10t zu produzieren?
b) Welche Kosten entstehen für den Produktionsplan, wenn 1kg der Inhaltsstoffe die folgenden Einkaufspreise hat: In1=5€, In2=5€, In3=20€, In4=10€?