3

1
0

3
0

5 2
4 1

2 4
2
Lineare Algebra
Wintersemester 2023/2024
Prof. Dr. Stephanie Thorn
Diese Unterlage ist ausschließlich für Vorlesungszwecke bestimmt und
darf nicht, auch nicht auszugsweise, veröffentlicht werden.
Prof. Dr. Stephanie Thorn
Wirtschaftsmathematik, -statistik und Produktionswirtschaft
Lehrveranstaltungen: Beschreibende Statistik, Lineare Algebra
Produktion, industrielles Management, Supply Chain Planning
Sprechstunde: nach Vereinbarung vor Ort oder per webex, unter:
https://fh-dortmund.webex.com/meet/stephanie.thorn
Raum: EF44_130
Mail: stephanie.thorn@fh-dortmund.de
Unterlagen zur Veranstaltung finden Sie in ILIAS
2
Prof. Dr. Stephanie Thorn
Lineare Algebra
Einführendes Beispiel 1
Ein Betrieb B1 besitzt 3 Maschinen M1, M2 und M3. Auf der ersten
Maschine können je Zeiteinheit 50, auf der zweiten 85 und auf der dritten
80 Teile gefertigt werden. Ein Konkurrenzbetrieb B2 mit den gleichen
Maschinen stellt auf M1 55, auf M2 90 und auf M3 110 Teile in einer
Zeiteinheit her.
Prof. Dr. Stephanie Thorn
Literatur
 Kirsch, Siegfried: Wirtschaftsmathematik, 6. aktualisierte Auflage,
Herne 2023 (Kapitel G: Lineare Algebra)
 Kohn, Wolfgang; Öztürk Riza: Mathematik für Ökonomen, 4.
überarbeitete und ergänzte Auflage, Berlin 2018
(Teil II: Lineare Algebra)
 Lenze, Burkhard.: Basiswissen Lineare Algebra, 2. überarbeitete
Auflage, Wiesbaden 2020.
 de Longville, Mark: Wirtschaftsmathematik einfach erklärt,
Wiesbaden 2018 (Kapitel 5 und 6)
 Peters, Horst: Wirtschaftsmathematik, 5. aktualisierte Auflage,
Stuttgart 2022 (Kapitel 5: Lineare Algebra)
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4
Lineare Algebra
Gliederung
1. Matrizen
1.1 Begriff der Matrix
1.2 Spezielle Matrizen
1.3 Relationen zwischen Matrizen
1.4 Operationen mit Matrizen
2. Vektoren
2.1 Begriff des Vektors
2.2 Operationen mit Vektoren
2.3 Vektorraum
2.4 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren
3. Lineare Gleichungssysteme
3.1 Begriff des linearen Gleichungssystems
3.2 Gauß-Algorithmus
3.3 Bedingungen für die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme
3.4 Inverse einer Matrix
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5
Lineare Algebra
Matrix/ Matrizen
 a11

 a21
 a 31

A  Amn   ...
 ai 1

 ...

 a m1
a12
a13
... a1k
a22
a 32
a23
a 33
... a2 k
... a 3k
...
ai 2
...
...
ai 3
...
...
...
...
a m2
a m3 ... a mk
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...
aik
...
... a1n 

... a2 n 
... a 3n 

... ...   aik 
... ain 

... ... 

... a mn 
6
Lineare Algebra
Matrizen in den Wirtschaftswissenschaften (1)
Logistik / SCM: Transportmatrizen
Zeilenindices i: Absendeorte
Spaltenindices k: Empfangsorte
Ökonomische Bedeutung der Zellen aik:
• Entfernungen in km oder
• Fahrzeiten in min oder
• Kosten in € oder
• Kapazitäten in t oder …
für den Transport einer ME von Ort i zum Ort k
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7
Lineare Algebra
Beispiel für Transportmatrizen
Entfernung in km
A B C D E
B
A
E
A
B
C
D
E
Fahrtzeit in min
A B C D E
C
A
B
C
D
E
D
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8
Lineare Algebra
Matrizen in den Wirtschaftswissenschaften (2)
Rechnungswesen: Betriebsabrechnungsbogen
Zeilenindices i: Kostenarten eines Betriebes
Spaltenindices k: Kostenstellen eines Betriebes
Ökonomische Bedeutung der Zellen aik:
Kosten der Kostenstelle k von Kostenart i in GE
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9
Lineare Algebra
Beispiel für einen Betriebsabrechnungsbogen
(Quelle: Plinke, W.; Rese, M. (2002): Industrielle Kostenrechnung, 6. Aufl. Berlin u.a. 2002, S. 93.)
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10
Lineare Algebra
Matrizen in den Wirtschaftswissenschaften (3)
Produktion: Materialverflechtungsmatrizen
Zeilenindices i: Menge der Rohstoffarten
Spaltenindices k: Menge der Zwischenproduktarten
Ökonomische Bedeutung der Zellen aik:
Bedarf des Rohstoffes i in ME für
eine ME des Zwischenproduktes k
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11
Lineare Algebra
Beispiel für eine Materialverflechtungsmatrix
Fahrrad
B1: Rahmenkomplett
1
Vorderrad
1
Hinterrad
Sattel
1
2
Rahmen
Pedal
1
Kettenantrieb
B2: Lenkerkomplett
1
Lenker mit
Handbremse
2
Handgriff
1
Klingel
B1 B2
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
Vorderrad
Hinterrad
Kettenantr.
Rahmen
Pedal
Lenker mit H.
Handgriff
Klingel
In Anlehnung an: Zäpfel, G. (2001): Gründzüge des Produktions- und Logistikmanagement, 2. Aufl. München u.a. 2001, S. 64.
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12
Lineare Algebra
Matrizen in den Wirtschaftswissenschaften (4)
VWL: Verflechtungsmatrizen
Zeilenindices i: Menge der Industriezweige
Spaltenindices k: Menge der Industriezweige
Ökonomische Bedeutung der Zellen aik:
Verbrauch des Industriezweiges i in GE
am Output des Industriezweiges k
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13
Lineare Algebra
Beispiel für eine volksw. Verflechtungsmatrix
1.1 Input-Output-Tabelle 2007 zu Herstellungspreisen
- Inländische Produktion und Importe Mrd. EUR
Verwendung
Lfd.
Nr.
A ufko mmen
Input der P ro duktio ns bereiche1)
Gew. v.
H.v.
H.v.
B ergH.v.
H.v.
M ineralM abauErzg. v.
Textilien,
Nahrungsö lerz.,
schinen,
erz.,
P ro d. der
Erzg.
B ekleimitteln,
chemiFahrLand- u. Steinen
und
dung,
Geschen
B auzeugen,
u. Erden,
Fo rstB earb.
Leder,
tränken arbeiten
Erz.,
DVErzg. v.
wirtvo n
Ho lz,
und
Glas,
Energie
schaft,
M etallen Geräten,
P apier,
TabakVerarb. v.
e-techn. Sekundärund
Fischerei
waren
Steinen
Geräten ro hsto ffen
Gew. v.
u. Erden
Wasser
u.Ä .
5
6
7
8
DL der
Kreditinst. u.
Vers.,
DL des
Grundst.u. Wo hn.wesens
u. untern.bezo gene
DL
DL des
Gesundheits-,
Veterinäru. So zialw.,
Erziehungsu. Unterrichts-DL,
Entso rgungs-DL
DL der
ö ffentl.
Verwaltung,
Verteid.,
So zialvers.,
so nst. DL,
DL privater
Haushalte
zusammen
9
10
11
12
13
1
2
3
1
Erzeugn. der Land- u. Fo rstwirtschaft, Fischerei .....................
8,8
0,1
0,5
-
-
2,9
32,9
-
0,9
0,7
0,8
1,2
48,8
2
B ergbauerzeugnisse, Steine und Erden,
Energie und Wasser ..........................................................................
1,5
38,4
54,3
13,5
6,1
5,2
3,8
1,9
8,0
3,0
4,1
3,5
143,2
3
M ineralö lerzeugnisse, chemische Erzeugnisse,
Glas, Keramik, bearbeitete Steine und Erden .........................
5,2
2,4
134,8
10,8
37,0
13,0
5,3
28,9
19,5
2,8
8,9
2,6
271,1
4
M etalle .....................................................................................................
0,5
2,0
4,6
136,5
88,4
3,2
1,2
12,7
3,3
0,4
1,5
0,9
255,1
5
M aschinen, Fahrzeuge, DV-Geräte, e-techn. Geräte ............
1,4
6,3
5,3
5,9
285,5
2,3
1,4
13,3
15,0
3,4
5,0
7,0
351,6
6
Textilien, B ekleidung, Leder und Lederwaren, Erz.
des Ho lz-, P apiergewerbes, Sekundärro hsto ffe u.Ä . .........
0,3
0,5
5,3
3,6
9,9
54,9
3,2
6,2
9,6
8,5
4,1
3,2
109,3
7
Nahrungs- und Futtermittel, Getränke,
Tabakerzeugnisse .............................................................................
4,4
-
1,7
-
-
0,1
32,3
0,0
9,9
0,0
5,2
1,3
55,0
8
B auarbeiten ...........................................................................................
0,3
1,4
1,0
0,8
1,4
0,6
0,4
9,9
3,8
20,8
3,9
3,8
48,2
9
Handelsleistungen, Verkehrs- und Nachrichtenübermittlungs-DL, Gaststätten-DL .............................................
3,5
5,8
19,4
15,4
43,5
14,7
16,5
12,9
165,7
11,9
12,1
12,6
334,1
10
DL der Kreditinst. u. Versicherungen, DL des Wo hnungsw. und so nstige unternehmensbezo gene DL .............
8,2
11,0
39,3
14,8
76,1
19,8
19,4
32,5
112,8
274,3
32,2
27,0
667,4
11
DL des Gesundheits-, Veterinär- u. So zialwesens,
Erziehungs- u. Unterrichts-DL, Entso rg.leist. .........................
0,7
0,6
3,6
1,3
1,8
1,2
0,9
0,8
6,2
7,9
19,4
4,3
48,8
DL d. ö ffentl. Verwaltung, Verteid., So zialvers.,
DL vo n Kirchen, Kultur-DL u.Ä ., DL priv. Haushalte .............
0,3
5,1
2,0
0,9
4,0
3,9
1,3
1,7
7,0
18,9
4,1
26,9
76,1
12
4
DL des
Handels u.
Verkehrs,
DL der
Nachrichtenübermittlung,
B eherb.u. Gaststätten-DL
Quelle: http://www.destatis.de/  Volkswirtschaftliche Gesamtrechnungen  Input-Output-Rechnungen
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14
Lineare Algebra
Matrizen in den Wirtschaftswissenschaften (5)
Marketing: Übergangsmatrix der Marktforschung
Zeilenindices i: Menge der Konkurrenzprodukte
Spaltenindices k: Menge der Konkurrenzprodukte
Ökonomische Bedeutung der Zellen aik:
Anteil der Käufer, die vom Produkt i
zum Produkt k wechseln
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15
Lineare Algebra
Beispiel für eine Übergangsmatrix der
Marktforschung
Ein DSL-Anschluss wird in drei verschiedenen Tarifen angeboten. Zu Beginn des
Jahres nutzen 20% der Kunden T1, 40% der Kunden T2 und 40% der Kunden T3.
Der Anbieter beobachtet innerhalb eines Jahres die folgenden Wechsel der Tarife:
•von T1 wechseln 20% in den Tarif T2, 5% in den Tarif T3
•von T2 wechseln 30% in den Tarif T1, 10% in den Tarif T3
•von T3 wechseln 40% in den Tarif T2, 2% in den Tarif T1
Beginn
Jahr 1
75%
T1 20%
5%
30%
T2 60%
10%
2%
T3 40%
58%
Beginn
Jahr 2
T1
T2
T1
T1 0,75
T2 0,30
T3 0,02
T2
T3
0,20 0,05
0,60 0,10
0,40 0,58
T3
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16
Lineare Algebra
Matrizen in den Wirtschaftswissenschaften (6)
Beschreibende Statistik: Kreuztabelle
Zeilenindices i: Menge der Merkmalsausprägungen von
Merkmal A
Spaltenindices k:
Menge der Merkmalsausprägungen
von Merkmal B
Ökonomische Bedeutung der Zellen aik:
Anteil der Elemente, die die Merkmalsausprägungskombinationen i und k aufweisen
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17
Lineare Algebra
Beispiel für eine Häufigkeitsmatrix
Es wurden 20 Personen befragt, welches Waschpulver Sie bevorzugen.
Dabei sollten 50% der Befragten weiblich und 50% männlich sein.
Anzahl
Bevorzugte Marke
Waschpulver 1
Waschpulver 2
Sonstige
Gesamt
Geschlecht
Gesamt
weiblich
männlich
5
2
7
5
7
12
0
1
1
10
10
20
Prof. Dr. Stephanie Thorn
18
Lineare Algebra
Die transponierte Matrix At
Vertauscht man in einer (m,n)-Matrix A die Zeilen mit den
t
entsprechenden Spalten, dann heißt die entstehende Matrix A
die zu A transponierte Matrix
A = (a ik )

t
A = (ak i)
Beispiel
 4 3 6 7


A   8 2 5 9


1 4 3 2

4

3
t

A 
6

7
Prof. Dr. Stephanie Thorn
8 1

2 4
5 3

9 2
19
Lineare Algebra
Symmetrische Matrizen
t
Ist A = A, so heißt A symmetrisch.
Beispiel
 3 5 2


t
A   5 7 6  A


 2 6 9
Die Matrix heißt symmetrisch,
wenn die Elemente an der
Hauptdiagonalen gespiegelt sind.
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20
Lineare Algebra
Einige Bezeichnungen
a) Eine Matrix, deren Zeilen- und Spaltenanzahl gleich ist (m=n), heißt
quadratische Matrix.
b) Bei einer quadratischen (n,n)-Matrix bilden die Elemente a11, a22, ... , ann die
Hauptdiagonale.
c) Sind alle Elemente einer quadratischen Matrix unterhalb der
Hauptdiagonalen gleich 0, so spricht man von einer oberen Dreiecksmatrix.
d) Sind alle Elemente einer quadratischen Matrix oberhalb der Hauptdiagonalen
gleich 0, so spricht man von einer unteren Dreiecksmatrix.
e) Sind alle Nicht-Hauptdiagonalelemente einer quadratischen Matrix gleich 0,
so spricht man von einer Diagonalmatrix.
f) Sind alle Hauptdiagonalelemente einer quadratischen Matrix gleich 1 und alle
anderen Elemente gleich 0, so spricht man von einer Einheitsmatrix.
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21
Lineare Algebra
Relationen zwischen Matrizen
Zwei Matrizen Am1 n1 und Bm2 n2 heißen genau dann gleich (A = B),
wenn
a) m1 = m2 und n1 = n2
und
b) für alle i und alle k gilt: aik = bik.
Die weiteren Relationen zwischen Matrizen erhält man analog, indem
man das entsprechend „umkringelte“ Zeichen ersetzt:
a) kleiner (  )
b) kleiner oder gleich (  )
c) größer (  )
d) größer oder gleich (  )
Zwei Matrizen sind ungleich, wenn sie unterschiedliche Anzahl Spalten
oder Zeilen besitzen oder sich in mindestens einem Element aij
unterscheiden.
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22
Lineare Algebra
Beispiel 2 - Relationen
 7,00 7,50 


A1   2,00 2,80 
 3,00 3,50 


 8,00 8,30 


A 2   3,10 3,50 
 3,00 3,60 


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23
Lineare Algebra
Addition zweier Matrizen
Zwei Matrizen gleicher Ordnung, d.h. zwei Matrizen mit
jeweils gleicher Zeilen- und Spaltenanzahl, werden
addiert, indem man die entsprechenden, d.h. an gleicher
Stelle stehenden, Elemente addiert.
Amn + Bmn = (ajk) + (bjk) = (ajk + bjk)
Beispiel:
 1

3
2
4
3   0

1   1
2 5 7 6 8



 1 3 2   2 1
2
3
4   1
 
0   2
4
1
7 

1 
Nicht definiert, die Matrizen
sind nicht gleicher Ordnung
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24
Lineare Algebra
Subtraktion zweier Matrizen
Zwei Matrizen gleicher Ordnung, d.h. zwei Matrizen mit
jeweils gleicher Zeilen- und Spaltenanzahl, werden
subtrahiert, indem man die entsprechenden, d.h. an
gleicher Stelle stehenden, Elemente subtrahiert.
Amn - Bmn = (ajk) - (bjk) = (ajk - bjk)
Beispiel:
 1

3
2
4
3   0

1   1
2
3
4   1
 
0   4
0
7
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-1 

1 
25
Lineare Algebra
Beispiel 3: Addition & Subtraktion von Matrizen
Ein Betrieb B1 hat in vier Quartalen eines Jahres folgenden Verbrauch
von Rohstoffen in ME
R1
R2
R3
1.Quartal
8
4
13
2.Quartal
10
5
11
3.Quartal
9
3
12
4.Quartal
12
4
18
Für einen zweiten Betrieb B2 ergibt sich in den vier Quartalen folgende
Verbrauchsmatrix B für die gleichen Rohstoffe:
10 6 16 


12 8 12 

a) Ermitteln Sie die Verbrauchsmatrix A für B1.
B

8
5
13
b) Wie groß ist der Gesamtverbrauch?


c) Wie groß ist die Verbrauchsdifferenz?
13 4 17 
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26
Lineare Algebra
Rechengesetze bezüglich der Addition /
Subtraktion
Einige für reelle Zahlen geltende Gesetze lassen sich elementeweise auf Matrizen übertragen:
Kommutativgesetz: A + B = B + A
Assoziativgesetz:
(A + B) + C = A + (B + C)
Monotoniegesetze: a) A = B
b) A  B
c) A  B
d) A = B
e) A  B
f) A  C
A+C=B+C
A+CB+C
A+CB+C
A -C=B -C
A -CB -C
A -CA -C
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27
Lineare Algebra
Skalar / Skalarmultiplikation
Zur Unterscheidung zu Matrizen nennt man in der linearen
Algebra die Zahlen selbst (d.h. quasi Matrizen mit nur einer
Zeile und einer Spalte) Skalare.
Eine Matrix A wird mit einem Skalar s multipliziert, indem man
jedes Element von A mit s multipliziert:
s . A = s . (aik) = (s . aik)
(Skalarmultiplikation)
Beispiel:
 1
3
3
2
4
3   3
6
 
1    9 12
9 

3 
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28
Lineare Algebra
Rechengesetze bei der Skalarmultiplikation
Kommutativgesetz: s∙ A = A∙ s
Assoziativgesetz:
(s∙ t)∙ A = s∙ (t∙ A)
Distributivgesetze:
a) (s + t)∙ A = s∙ A + t∙ A
b) s∙ (A + B) = s∙ A + s∙ B
Monotoniegesetze: a) A = B  s ∙A = s∙ B
b) A  B  s ∙A  s∙ B
c) A  B  s ∙A  s ∙B
d) A  B  s∙ A  s∙ B
e) A  B  s ∙A  s ∙B
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für
für
für
für
für
Achtung: zwei
Varianten
sR
s 0
s 0
s 0
s 0
29
Lineare Algebra
Beispiel 4: Skalarmultiplikation
Die Produktionsmatrix A gibt die monatliche Produktion der beiden
Betriebe B1 und B2 auf den Maschinen M1, M2 und M3 an. Unter
der Annahme konstanter monatlicher Produktion (d.h. keine
saisonalen, konjunkturellen Schwankungen, keine Betriebsferien
etc.) wie groß ist die Produktionsmenge pro Jahr?
 50 85 80 
A 

 55 90 99 
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30
Lineare Algebra
Beispiel 5: Zusammenfassendes Beispiel
Drei verschiedene Erzeugnisse einer Firma werden in zwei Lagern
gelagert. Die Elemente aik der Matrix A geben an, wie viel ME der
Erzeugnisse i sich im Lager k befinden. Der Lagerbestand zu Beginn
eines Monats kann dargestellt werden durch die Matrix
 200 300 


A   450 100 
 600 900 


Aus den Lägern sollen im Laufe eines Monats dreimal die Mengen bik
(der Matrix B) und zweimal die Mengen cik (der Matrix C) entnommen
werden.
a) Welche Relation muss zwischen A, B und C erfüllt sein?
b) Ist diese Relation erfüllt, wenn  30 20 
 50 80 




B   50 15  C  100 20 
 80 100 
 80 150 




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31
Lineare Algebra
Zweistufiger Produktionsprozess (1)
R1
R2
Z1
R3
Z2
E1
R4
Z3
E2
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Z1
Z2
Z3
R1
3
2
0
R2
1
5
2
R3
0
4
1
R4
3
2
4
E1
E2
Z1
4
5
Z2
3
1
Z3
0
2
32
Lineare Algebra
Zweistufiger Produktionsprozess (2)
3

1

X 
0

3
2 0

5 2
4 1

2 4
 4 5


Y   3 1


0
2


 3 4  2 3  0 0

1 4  5  3  2  0

X Y 
 0 4  4 3  10

 3 4  2 3  4 0
3  5  2  1  0  2  18 17

 
1  5  5  1  2  2   19 14

0  5  4  1  1 2 
12 6 

 
3  5  2  1  4  2  18 25
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33
Lineare Algebra
Matrizenmultiplikation
Eine (m,n)-Matrix A und eine (n,p)-Matrix B werden nach
folgender Regel multipliziert:
 n


aik  bik  ai1b1k  ai2b2k ... ainbnk   aijb jk 


j

1


   

Die beiden Matrizen A und B werden also multipliziert, indem man
der Reihe nach die Elemente der Zeilen der ersten Matrix A mit den
entsprechenden Elementen der Spalten der zweiten Matrix B
multipliziert, diese Produkte addiert und die Summe der Produkte in
die durch Zeilen- und Spaltenindex bestimmte Stelle der
Produktmatrix übernimmt
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34
Lineare Algebra
Verträglichkeitsbedingung der
Matrizenmultiplikation
Die Multiplikation zweier Matrizen A und B kann nur dann ausgeführt
werden, wenn die folgende Verträglichkeitsbedingung gilt:
Die Spaltenanzahl der ersten Matrix A ist gleich der Zeilenanzahl
der zweiten Matrix B.
Man kann auch schreiben:
(n,m)-Matrix ∙ (m,k)-Matrix = (n,k)-Matrix.
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35
Lineare Algebra
Falk‘sches Schema
Um die praktische Berechnung des Produktes zweier Matrizen
übersichtlich zu gestalten, kann man das Falk´sche Schema
anwenden, welches hier beispielhaft gezeigt wird:
B


 6
A  7
 5
4 
2 
3 
2
1
7
-3 
 16 30 
 16 43 
 13 26 
AꞏB
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36
Lineare Algebra
Beispiel 6: Anwendung Matrizenmultiplikation
Betrachten wir einmal den Rohstoffverbrauch von 3 Rohstoffen in den 4
Quartalen eines Jahres:
Rohstoffbedarf
1. Quartal
2. Quartal
3. Quartal
4. Quartal
R1
8
10
9
12
R2
4
5
3
4
R3
13
11
12
18
Der Betrieb kann seine Rohstoffe von zwei Lieferanten L1 und L2
beziehen, die beide unterschiedliche Preise für die drei Rohstoffe
anbieten:
Preis je ME in €
L1
L2
R1
R2
R3
0,9
4,0
2,0
1,1
3,8
1,9
Wie hoch sind die Kosten, die pro Quartal bei den Lieferanten
entstehen?
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37
Lineare Algebra
Matrizenmultiplikation und Kommutativität
Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ !!!
A.BB.A
Es gilt aber:
bzw.
(A . B)t = Bt . At
A . B = (Bt . At)t
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38
Lineare Algebra
Rechengesetze der Matrizenmultiplikation (1)
Wenn die folgenden Produkte definiert sind (Verträglichkeitsbedingung!), dann gelten für die Matrizenmultiplikation die
folgenden Rechenregeln:
Assoziativgesetz
Distributivgesetze
(A∙ B) ∙C = A∙ (B∙ C)
a) (A + B)∙ C = A∙ C + B∙ C
b) A∙ (B + C) = A∙ B + A∙ C
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39
Lineare Algebra
Rechengesetze der Matrizenmultiplikation (2)
Monotoniegesetze
a) A = B  A∙ C = B∙ C für alle Matrizen C
b) A = B  C∙ A = C∙ A für alle Matrizen C
c) A  B  A∙ C  B∙ C
d) A  B  C∙ A  C∙ B
e) A  B  A∙ C  B∙ C
f) A  B  C∙ A  C∙ B
für alle Matrizen C mit C 0
für alle Matrizen C mit C 0
für alle Matrizen C mit C 0
für alle Matrizen C mit C 0
g) A  B  A∙ C  B∙ C
h) A  B  C∙ A  C∙ B
i) A  B  A∙ C  B∙ C
j) A  B  C∙ A  C∙ B
für alle Matrizen C mit C 0
für alle Matrizen C mit C 0
für alle Matrizen C mit C  0
für alle Matrizen C mit C  0
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40
Lineare Algebra
Zweistufiger Produktionsprozess - Recycling
Blickwinkel umgekehrt (Recycling), der Produktionsprozess wird
zerlegend betrachtet:
E1
Z1
R1
E2
Z2
R2
Z3
R3
R4
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41
Lineare Algebra
Potenzen von Matrizen
Sei A eine quadratische Matrix,
dann schreiben wir statt A . A auch A2 und allgemein
n
A

A

...

A

A

nmal
Für die n-te Potenz einer Matrix
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42
Lineare Algebra
Beispiel 7: Matrizenmultiplikation
Es wird ein zweistufiger Produktionsprozess betrachtet. In der ersten
Produktionsstufe werden aus den Rohstoffen Zucker, Kakao, Sahne und
Nüssen die Halbfabrikate Vollmich-, Zartbitterschokoladenmasse und
Nougatcreme hergestellt. Bei den Endprodukten handelt es sich um gefüllte Vollmilch-Osterhasen (E1) und gefüllte Zartbitter-Osterhasen (E2).
Je ME von Hk
H1
H2
H3
R1
R2
R3
R4
0,4
0,2
0,4
0
0,4
0,5
0,1
0
0,3
0,2
0,3
0,2
Je ME von Ek
E1
E2
H1
H2
H3
50
0
40
0
50
40
Wie viele Mengeneinheiten von den Rohstoffen werden benötigt, um
10.000 Stück von E1 und 20.000 Stück von E2 herzustellen?
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43
Lineare Algebra
Gliederung
1. Matrizen
1.1 Begriff der Matrix
1.2 Spezielle Matrizen
1.3 Relationen zwischen Matrizen
1.4 Operationen mit Matrizen
2. Vektoren
2.1 Begriff des Vektors
2.2 Operationen mit Vektoren
2.3 Vektorraum
2.4 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren
3. Lineare Gleichungssysteme
3.1 Begriff des linearen Gleichungssystems
3.2 Gauß-Algorithmus
3.3 Bedingungen für die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme
3.4 Inverse einer Matrix
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44
Lineare Algebra
Vektoren
Eine Matrix, die nur aus einer Spalte (Zeile)
besteht, heißt Spaltenvektor (Zeilenvektor).
Die Addition, Subtraktion und Skalarmultiplikation
kann dann, wie bei allgemeinen Matrizen
betrachtet werden.
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45
Lineare Algebra
Beispiel 8: Vektoren als spezielle Matrizen
In den drei Unternehmen U1, U2 und U3 werden unterschiedliche Produkte hergestellt und
dabei in einem Jahr Metalle in verschiedenen Mengen verbraucht:
•
•
•
Unternehmen U1: 500 t Kupfer, 600 t Zink, 100 t Wolfram
Unternehmen U2: 150 t Zinn, 40 t Nickel, 2.000 t Aluminium, 200 t Mangan, 250 t Zink
Unternehmen U3: 30.000 Unzen Gold, 120.000 Unzen Silber, 90 t Kupfer, 20 t Wolfram,
10 t Nickel, 20 t Mangan
Die durchschnittlichen Rohstoffkosten im betrachteten Zeitraum betragen:
Aluminium (Al)
1.500 $/t
Gold (Au) (Aurum)
500 $/Unze
Kupfer (Cu)
2.000 $/t
Mangan (Mn)
1.500 $/t
Nickel (Ni)
8.000 $/t
Silber (Ag) (Argentum)
15 $/Unze
Wolfram (W)
30.000 $/t
Zink (Zn)
800 $/t
Zinn (Sn)
18.000 $/t
a) Stellen Sie die jährlichen Rohstoffverbrauchsmengen der drei Unternehmen in Vektoren
einheitlicher Dimension dar! Wie hoch ist der Gesamtverbrauch?
b) Berechnen Sie die Rohstoffkosten pro Unternehmen und gesamt!
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46
Lineare Algebra
Skalarprodukt zweier Vektoren
Seien a und b zwei Spaltenvektoren mit m Komponenten.
Die spezielle Matrizenmultiplikation
 b1 
 
m
b


a t  b  a1 a 2  am    2    ai bi

  i1
b 
 m
heißt skalares Produkt der Vektoren at und b.
(Das skalare Produkt wird auch „inneres Produkt“ genannt)
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47
Lineare Algebra
Rechengesetze - Vektoren
Für das Skalarprodukt gilt - neben den Eigenschaften, die bereits
bei der Matrizenmultiplikation erwähnt wurden - das folgende
„Kommutativgesetz“
a t ꞏ b = bt ꞏ a
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48
Lineare Algebra
Betrag eines Vektors
Der Betrag eines Zeilenvektors a = ( a1 a2 … am) ist definiert
durch
a 
a a 
t
a  a  a
2
1
2
2
2
m

m
2
a
 i
i 1
Beispiel:
a = ( 1 2 3 4) 
a  1  4  9  16  30  5,477
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49
Lineare Algebra
Spezielle Vektoren
a) Vektoren mit dem Betrag 1 heißen Einheitsvektoren.
b) Vektoren mit dem Betrag 0 heißen Nullvektoren.
Alle Komponenten eines Nullvektors sind Null.
c) Vektoren, bei denen alle Komponenten 1 sind, heißen
summierende Vektoren.
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50
Lineare Algebra
Beispiel 9: Multiplikation Matrix / Vektor
von
nach
A
B
C
A
0,8
0,05
0,15
B
0,1
0,8
0,1
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C
0,1
0,1
0,8
51
Lineare Algebra
Vektorraum
Seien V eine Menge (Vektoren) und IR die reellen Zahlen (Skalare) mit zwei
Verknüpfungen
Addition:
+: V x V → V
Multiplikation:
*: IR x V → V
bzw. * : V x R → V
Falls die folgenden Rechengesetze gelten
Assoziativität
(v1 + v2) + v3 = v1 + (v2 + v3)
(s1 * s2) * v1 = s1 * (s2 * v1)
Kommutativität
v1 + v2 = v2 + v1
v1 * s1 = s1 * v1
Distributivität
(s1 + s2) * v1 = s1 * v1 + s2 * v2
s1 * (v1 + v2) = s1 * v1 + s1 * v2
Existenz neutraler Elemente
für die Addition mit dem Nullvektor v0 gilt v + v0 = v0 +v = v
und für die Multiplikation mit 1 gilt: 1 * v = v * 1 = v für alle v aus V
so heißt V mit diesen Verknüpfungen Vektorraum.
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52
Lineare Algebra
Beispiel 10: Befragung zur Altersstruktur (1/2)
1) Nr. des Fragebogens
2) Anzahl Personen im HH
3) Anzahl Erwachsene (≥18) im HH
4) Anzahl Kinder (<18) im HH
5) Anzahl Kleinkinder (≤6) im HH
6) Anzahl Schulkinder (>6;≤13) im HH
7) Anzahl Jugendliche (>13;<18) im HH
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53
Lineare Algebra
Beispiel 10: Befragung zur Altersstruktur (2/2)
Nr. Anzahl
davon
davon
davon
davon
davon
Personen Erwachsene Kinder
Kleinkinder Schulkinder Jugendliche
im HH
(Alter≥18)
(Alter<18) (Alter≤6)
(6<Alter≤13) (13<Alter<18)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
1
5
2
3
1
2
0
2
2
1
1
0
1
0
3
3
2
1
1
0
0
4
5
3
2
0
1
1
5
4
1
3
0
1
2
6
7
4
3
2
1
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
100
1
1
0
0
0
0
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54
Lineare Algebra
Linearkombination
Sind die Vektoren ai (i = 1,…, n) und
die Skalare si (i = 1,…, n) gegeben, dann heißt
der Ausdruck
n
a  s1  a1  s2  a 2   sn an   si  ai
i1
Linearkombination der Vektoren ai.
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55
Lineare Algebra
Lineare Unabhängigkeit
n Vektoren x1, x2,…,xn heißen linear unabhängig, wenn
die Gleichung 0 
n
s
i1
i
xi
(0 hier als Nullvektor!)
nur erfüllt ist, wenn si = 0 für alle si gilt.
Dies bedeutet also, dass es nur die eine Möglichkeit
gibt, den Nullvektor als Linearkombination der
Vektoren darzustellen, bei der alle Koeffizienten
auf Null gesetzt werden.
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56
Lineare Algebra
Beispiel 11: Lineare Abhängigkeit
Produktion Produktion
Monat "Alpha"
"Beta"
(Stück)
(Stück)
(0)
(1)
(2)
1
1.488
793
2
1.912
950
3
1.937
1.255
4
1.639
752
5
1.256
849
6
1.941
652
7
1.575
976
8
1.252
1.085
9
1.982
1.216
10
1.693
1.195
11
1.469
1.078
12
1.096
1.278
Umsatz Umsatz Umsatz
DB
"Alpha"
"Beta"
gesamt "Alpha"
(Euro)
(Euro)
(Euro)
(Euro)
(3)
(4)
(5)
(6)
744.000 634.400 1.378.400 148.800
956.000 760.000 1.716.000 191.200
968.500 1.004.000 1.972.500 193.700
819.500 601.600 1.421.100 163.900
628.000 679.200 1.307.200 125.600
970.500 521.600 1.492.100 194.100
787.500 780.800 1.568.300 157.500
626.000 868.000 1.494.000 125.200
991.000 972.800 1.963.800 198.200
846.500 956.000 1.802.500 169.300
734.500 862.400 1.596.900 146.900
548.000 1.022.400 1.570.400 109.600
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DB
"Beta"
(Euro)
(7)
118.950
142.500
188.250
112.800
127.350
97.800
146.400
162.750
182.400
179.250
161.700
191.700
DB
gesamt
(Euro)
(8)
267.750
333.700
381.950
276.700
252.950
291.900
303.900
287.950
380.600
348.550
308.600
301.300
57
Lineare Algebra
Gliederung
1. Matrizen
1.1 Begriff der Matrix
1.2 Spezielle Matrizen
1.3 Relationen zwischen Matrizen
1.4 Operationen mit Matrizen
2. Vektoren
2.1 Begriff des Vektors
2.2 Operationen mit Vektoren
2.3 Vektorraum
2.4 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren
3. Lineare Gleichungssysteme
3.1 Begriff des linearen Gleichungssystems
3.2 Gauß-Algorithmus
3.3 Bedingungen für die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme
3.4 Inverse einer Matrix
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58
Lineare Algebra
Beispiel 12: Lagerräumung
In einem Produktionsbetrieb sollen zwei Produkte P1 und P2 auslaufen.
Daher sollen nur noch so viele Mengen der Produkte produziert werden,
so dass die vorhandenen Rohstoffe verbraucht werden, die nur für diese
Produkte gebraucht werden.
Bedarf je
ME P1
R1
R2
4
3
Bedarf je Vorhandene
ME P2 Rohstoffmenge
7
2
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450
240
59
Lineare Algebra
Lineare Gleichungssysteme
m Gleichungen der Form
a11∙x1 + a12∙x2 + … + a1n∙xn = b1
a21∙x1 + a22∙x2 + … + a2n∙xn = b2
…
am1 x1 + am2∙x2 + … + amn∙xn = bm
bezeichnet man als lineares Gleichungssystem.
Es besitzt n Variablen xj, nꞏm Koeffizienten aij
und m absolute Glieder bi.
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60
Lineare Algebra
homogen und inhomogen lineare
Gleichungssysteme
Falls b1 = b2 = … = bm = 0, so heißt das
lineare Gleichungssystem homogen.
Andernfalls nennt man es inhomogen.
Jedes homogene lineare Gleichungssystem
besitzt immer zumindest die triviale Lösung
x1 = x2 = … = xn = 0.
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61
Lineare Algebra
Operationen mit linearen Gleichungssystemen
Zwei lineare Gleichungssysteme heißen äquivalent, wenn
sie dieselbe Lösungsmenge besitzen.
Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems
ändert sich nicht, wenn wir
(1.) eine Gleichung mit einer von Null verschiedenen Zahl
multiplizieren.
(2.) eine Gleichung (oder ein Vielfaches davon) zu einer
anderen addieren (oder subtrahieren).
(3.) die Reihenfolge der Gleichungen vertauschen.
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62
Lineare Algebra
Gozinto-Graph (1)
C 3
1
2
4
2
A
F
E
2
B
1
1
2
2
3
G
2
4
D
Werkstoffe
Zwischenprodukte
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Endprodukte
63
Lineare Algebra
Gozinto-Graph (2)
Die Zusammenhänge des Gozinto-Graphen können auch als
Gleichungen ausgedrückt werden.
Für a: a = c + 2 e + 4 f
bzw.
a–c–2e–4f=0
Für b: b = 2 c + 3 d + e + 2 g
bzw.
b–2c–3d–e–2g=0
Für c:
bzw.
c–3f–2g=0
Für d: d = 2 e + 4 g
bzw.
d–2e–4g=0
Für e: e = f + 2 g
bzw.
e – f – 2 g = 0.
c=3f+2g
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64
Lineare Algebra
Gozinto-Graph (3)
Es ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem:
a
- c
-2e-4f
b-2c-3d- e
-2g
c
-3f-2g
d-2e
-4g
e- f-2g
f
g
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=
0
=
0
=
0
=
0
=
0
= 200
= 120
65
Lineare Algebra
Gozinto-Graph (4)
g = 120, f = 200
 e = 200 + 240 = 440
 d = 880 + 480 = 1.360
 c = 600 + 240 = 840
 b = 1.680 + 4.080 + 440 + 240 = 6.440
 a = 840 + 880 + 800 = 2.520
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66
Lineare Algebra
Operationen mit linearen Gleichungssystemen
Zwei lineare Gleichungssysteme heißen äquivalent, wenn
sie dieselbe Lösungsmenge besitzen.
Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems
ändert sich nicht, wenn wir
(1.) eine Gleichung mit einer von Null verschiedenen Zahl
multiplizieren.
(2.) eine Gleichung (oder ein Vielfaches davon) zu einer
anderen addieren (oder subtrahieren).
(3.) die Reihenfolge der Gleichungen vertauschen.
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67
Lineare Algebra
Beispiel 13: Lineare Gleichungssysteme
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68
Lineare Algebra
Der Gauß‘sche Algorithmus (1)
Gegeben sei ein quadratisches, lineares
Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Variablen
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
…
an1x1 + an2x2 + … + annxn = bn
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69
Lineare Algebra
Der Gauß‘sche Algorithmus (2)
Schritt 1:
Falls a11 ≠ 0 muss nichts mehr gemacht werden.
Falls a11 = 0, so werden die Gleichungen derart
umsortiert, dass in der linken oberen Ecke ein
von Null verschiedener Wert steht.
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70
Lineare Algebra
Der Gauß‘sche Algorithmus (3)
Schritt 2:
Man dividiert die erste Gleichung durch ihren ersten
Koeffizienten (d.h. a11 oder den nach dem Umsortieren dort
stehenden – von Null verschiedenen – Wert aj1)
und erhalten ein Gleichungssystem der Gestalt:
a12
a
b
x 2  ...  1n x n  1
a11
a11
a11
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
…
an1x1 + an2x2 + … + annxn = bn
x1 
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71
Lineare Algebra
Der Gauß‘sche Algorithmus (4)
Schritt 3:
Nun wird von jeder der Gleichungen i = 2,…, n
das ai1- fache der ersten Gleichung abgezogen.
Für die neuen Koeffizienten a ik der Gleichungen
i = 2,…, n folgt dann
a1k
a ik  aik 
ai1
a11
und für die neuen rechten Seiten b i entsprechend
b i  bi 
b1
ai1
a11
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72
Lineare Algebra
Der Gauß‘sche Algorithmus (5)
Das lineare Gleichungssystem hat also nun die Gestalt
a12
a1n
b1
x1 

xn 
a11
a11
a11
a 22 x 2   a 2n xn  b 2

a n2 x 2   a nn x n  b n
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73
Lineare Algebra
Der Gauß‘sche Algorithmus (6)
Die Gleichungen 2 bis n bilden nun ein lineares
Gleichungssystem, in dem die Variable x1 nicht
mehr auftritt. Auf diese (n-1) linearen Gleichungen
können wir nun wieder die Schritte 1 bis 3 anwenden
und erhalten eine Gleichung, die die Variablen x2 bis xn
enthält und (n-2) Gleichungen mit den Variablen
x3 bis xn . Nach n Durchläufen haben wir also ein
Gleichungssystem in Dreiecksgestalt.
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74
Lineare Algebra
Pivotisieren
Man vertausche Zeilen, falls eine „1“ in
derselben Spalte, aber einer darunter stehenden Zeile …
(1) … bereits vorhanden ist.
(2) … durch Multiplikation mit einem Skalar entsteht.
(3) … durch Addition/Subtraktion einer anderen Zeile
entsteht.
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75
Lineare Algebra
Beispiel 14: Lösbarkeit lin. Gleichungssysteme
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76
Lineare Algebra
Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme (1)
Wir müssen den Gauß-Algorithmus bzw. die vollständige Elimination
durchrechnen, um zu erkennen, ob bzw. wie viele Lösungen ein
quadratisches lineares Gleichungssystem besitzt.
• Lässt sich die linke Seite der erweiterten Koeffizientenmatrix auf
Dreiecksgestalt bzw. Einheitsmatrix umformen, so existiert eine
eindeutige Lösung.
• Ergeben sich Zeilen, die sowohl im rechten als auch im linken Teil der
erweiterten Matrix nur Nullen aufweisen, so liegen unendlich viele
Lösungen vor.
• Ergibt sich mindestens eine Zeile, die auf der linken Seite nur
Nullen, aber auf der rechten Seite von Null verschiedene Zahlen
aufweist, so gibt es keine Lösung.
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77
Lineare Algebra
Beispiel 15: Lineare Gleichungssysteme
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78
Lineare Algebra
Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme (2)
eindeutige
Lösung
unendlich viele
Lösungen
keine
Lösung
Anzahl Variablen
kleiner als
Anzahl
Gleichungen
Anzahl Variablen
gleich
Anzahl
Gleichungen
möglich
möglich
Anzahl Variablen
größer als
Anzahl
Gleichungen
nicht
möglich
möglich
möglich
möglich
möglich
möglich
möglich
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79
Lineare Algebra
Beispiel 16: Matrizenmultiplikation
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80
Lineare Algebra
Die Inverse
Sei A eine quadratische (n, n)- Matrix.
Eine Matrix B, für die gilt
1

0
A  B  En   

0

0
0  0
1  0
  
0  1
0
 0
0

0


0

1
n Zeilen
n Spalten
heißt Inverse von A. Man schreibt A-1.
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81
Lineare Algebra
Beispiel 17: Berechnung von Inversen von
Matrizen
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82
Lineare Algebra
Aussagen über Inverse
A-1 ist ebenfalls eine (n, n)-Matrix.
Nicht jede quadratische Matrix besitzt eine Inverse.
Es gilt
(1) A ꞏ A-1 = E  A-1 ꞏ A = E
(2) (A-1)-1 = A
(3) (At)-1 = (A-1)t
(4) (A ꞏ B)-1 = B-1 ꞏ A-1
(Spezialfall für Skalar s ≠ 0: (s ꞏ A )-1 = 1/s ꞏ A-1 )
Prof. Dr. Stephanie Thorn
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Lineare Algebra