수학의 정석 수학(상) 5.실수 ☯ ☯ 기본 문제 05-01 기본 문제 05-02 1.다음 물음에 답하여라. (1) ≤ 일 때, P 을 간단히 하여라. (2) 가 실수일 때, Q 를 간단히 하여라. 4. 보다 크지 않은 최대 정수를 로 나타낸다. 의 값을 모두 구하여라. (2) 가 보다 작은 자연수일 때, , 를 동시에 만족하는 의 개수를 구하여라. (3) 을 만족하는 의 값을 구하여라. (1) 가 보다 작은 자연수일 때, ☯ 유제 05-01 에서 (1) 일 때와 일 때의 P 의 값을 구하여라. (2) ≥ 일 때와 일 때로 나누어 P 를 간단히 하여라. 2. P ☯ 유제 05-03 5. 보다 크지 않은 최대 정수를 로 나타낸다. (1) 가 보다 작은 자연수일 때, , 를 동시에 만족하는 의 값을 모두 구하여라. (2) ≤ 일 때, 를 만족하는 의 개수를 구하여라. ☯ 유제 05-02 3. 이고, 일 때, 를 간단히 하면? ① ② ③ ④ ⑤ - 1 - 수학의 정석 수학(상) 5.실수 ☯ ☯ 기본 문제 05-03 6.다음 기본 문제 05-04 물음에 답하여라. 8.정수 (1) 으로 나누어 떨어지고, 로 나눈 나머지가 인 정수를 정수 을 써서 가장 간단한 식으로 나타내어라. 를 으로 나눈 나머지는 각각 이다. (1) 을 으로 나눈 나머지를 구하여라. (2) 를 으로 나눈 나머지가 일 때, 정수 를 으로 나눈 나머지를 구하여라. (2) 으로 나누어 떨어지거나, 로 나눈 나머지가 인 자연수 중에서 보다 작은 수의 개수를 구하여라. ☯ ☯ 유제 05-04 7. 이하의 자연수 중에서 으로 나눈 나머지가 이고, 로 나눈 나머지가 인 수의 개수를 구하여라. 유제 05-05 9.정수 , , , , 를 로 나눈 나머지는 각각 , , , , 이다. 다음 수를 로 나눈 나머지를 구하여라. (1) (2) (4) (5) - 2 - (3) 수학의 정석 수학(상) 5.실수 ☯ ☯ 기본 문제 05-05 10.다음 기본 문제 05-06 식을 간단히 하여라. 12. (1) 일 때, 다음 식의 값을 구하여라. (1) (2) (3) (2) (3) ☯ 유제 05-06 11.다음 각 식을 간단히 하여라. (1) (2) ☯ 유제 05-07 13. 일 때, 다음 각 식의 값을 구하여라. (1) (2) (4) (5) (3) - 3 - (3) 수학의 정석 수학(상) 5.실수 ☯ ☯ 기본 문제 05-07 14. 의 기본 문제 05-08 16.다음 정수부분을 , 소수부분을 라고 할 때, 물음에 답하여라. 일 때, 의 값을 구하여라. (1) 의 값을 구하여라. 일 때, 의 값을 (2) 구하여라. ☯ ☯ 유제 05-08 15. 의 소수부분을 , 의 소수부분을 라고 할 때, 의 값을 구하여라. 유제 05-09 17.다음 물음에 답하여라. (1) 일 때, 의 값을 구하여라. (2) 일 때, 의 값을 구하여라. 일 때, 의 값을 구하여라. (3) - 4 - 수학의 정석 수학(상) 5.실수 ☯ ☯ 기본 문제 05-09 18.다음 기본 문제 05-10 물음에 답하여라. 21.계수가 (1) 을 만족시키는 유리수 의 값을 구하여라. 유리수인 다항식 를 로 나눈 나머지는 이고, 로 나눈 나머지는 이다. 를 로 나눈 나머지를 구하여라. (2) 유리수 가 를 만족할 때, 의 값을 구하여라. ☯ 유제 05-12 ☯ 유제 05-10 가 유리수이고, 다항식 가 로 나누어 떨어질 때, 를 로 나눈 을 만족하는 유리수 에 대하여 의 최댓값을 구하여라. 22. 19. 나머지를 구하여라. ☯ ☯ 유제 05-11 20.유리수 를 만족할 때, 가 의 값을 구하여라. 유제 05-13 23. 의 다항식 를 로 나누면 나머지가 로 나누면 나누어 떨어진다고 한다. 가 이고, 유리수일 때, 이 다항식을 로 나눈 나머지를 구하여라. - 5 - 수학의 정석 수학(상) 5.실수 ☯ 연습문제 이고, ≠ 일 때, 의 값은? 의 값의 범위가 다음과 같을 때, P 을 간단히 하여라. 24. (1) ≥ 30. (2) ≤ ① ② ④ ⑤ ③ (3) 31. 일 때, 다음 식의 값을 구하여라. 두 양의 정수 가 있다. 를 로 나눈 나머지가 이고, 25. 를 로 나눈 나머지가 일 때, 를 로 나눈 나머지를 (1) (2) (3) 구하여라. 26.다음을 일 때, 다음 값을 구하여라. 단, 는 보다 크지 않은 최대 정수를 나타낸다. (1) (2) 32. 간단히 하여라. (2) (1) 33. 27. 일 때, 의 값은? ① ② ③ ④ ⑤ (1) 다음 식을 만족하는 자연수 의 값을 구하여라. (2) 34. 무리수 의 소수부분이 에 관한 이차방정식 의 해 일 때, 유리수 의 값을 구하여라. 28. 29. 이 양의 정수일 때, 다음 값을 구하여라. , 일 때, 다음 값을 구하여라. (1) (2) (3) - 6 - 수학의 정석 수학(상) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 정답 정답 정답 정답 정답 정답 정답 정답 정답 (1) (1) ⑤ (1) (1) (1) (1) (1) (4) 5.실수 (2) 일 때 P , 일 때 P (2) (3) (2) (2) (2) (2) (5) (3) 10. 정답 (1) (2) (3) --------------------------------------------------------------------------------- 11. 정답 (1) (2) (3) 12. 정답 (1) (2) 13. 정답 (1) (4) 14. 정답 15. 정답 (2) (5) 16. 정답 (1) 17. 18. 19. 20. (3) (3) (2) 정답 (1) 정답 (1) 정답 정답 (2) ± (3) (2) --------------------------------------------------------------------------------- 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 정답 정답 정답 정답 정답 정답 정답 정답 (1) (2) (3) (1) (2) ④ 29. 정답 (1) (2) (3) 30. 정답 ① --------------------------------------------------------------------------------- 31. 정답 (1) (2) 32. 정답 (1) 33. 정답 (1) , 34. 정답 (3) (2) (2) , - 7 - 수학의 정석 수학(상) 5.실수 정답 및 풀이 1. 정답 (1) (2) (1) ≤ 일 때 ≥ 이므로 , 5. 정답 (1) (2) (1) 이면 가 정수이므로 는 의 배수이다. 또, 이므로 ∴ P (2) ≥ 일 때 이므로 Q 일 때 이므로 이면 가 정수이므로 는 의 배수이다. 곧, 는 과 의 최소공배수인 의 배수이다. 는 보다 작은 자연수이므로 (2) 가 정수이므로 에서 는 정수이어야 한다. ≤ 에서 ≤ Q ∴ 따라서 모든 실수 에 대하여 Q ∴ (1) 일 때 P ≥ 일 때 P 2. 정답 (1) 일 때 P , 일 때 P (2) ≥ 일 때 P , 일 때 P (1) 일 때 따라서 의 개수는 6. 정답 (1) (2) (1) 으로 나누어떨어지는 정수는 ( 은 정수) ⋯⋯① P × 의 꼴로 나타낼 수 있다. 이 중 로 나눈 나머지가 인 일 때 P × 경우를 찾으면 된다. 이때, 을 로 나눈 나머지는 중 하나이므로 (2) ≥ 일 때 ≥ 이므로 을 ( 은 정수) P 의 꼴로 표현한 다음, 이 식을 ①에 대입한다. 일 때 이므로 일 때 일 때 × × 일 때 일 때 P × 3. 정답 ⑤ 이므로 이 중에서 로 나눈 나머지가 인 경우는 마지막의 정석 을 로 나눈 나머지에 관한 문제는 에서 따라서 이므로 이다. ⇨ 에 을 대입! (2) 보다 작은 자연수 중에서 으로 나누어 떨어지는 수는 (준 식) ⋯ 이므로 개 ⋯⋯② 보다 작은 자연수 중에서 로 나누면 나머지가 인 수는 4. 정답 (1) (2) (3) (1) (2) 이면 가 또, ⋯ 이므로 개 ⋯ 이므로 개 따라서 구하는 개수는 개 정수이므로 는 의 배수이다. ③에서 이 보다 작은 자연수이므로 은 이면 가 정수이므로 는 의 배수이다. 부터 가능하다는 것에 주의한다. (1) 로 나눈 나머지가 인 수 중에서 으로 곧, 는 와 의 최소공배수인 의 배수이다. 따라서 는 × × × ⋯ × 의 개다. (3) 에서 여기에서 좌변이 정수이므로 우변도 정수이다. ⋯⋯③ ②, ③에서 중복되는 수는 나누어 떨어지는 수를 찾을 수도 있다. 곧, ( 은 정수)의 에 ( 은 정수)를 대입한 다음 으로 나누어 떨어지는 경우를 찾는다. 따라서 가 정수이므로 도 정수이다. ⇦ (정수) (정수)=(정수) ∴ 따라서 준 식은 ∴ 7. 정답 로 나눈 나머지가 인 정수는 (는 정수)의 꼴로 나타낼 수 있다. 또, 는 (은 정수) 중 하나의 꼴로 나타낼 - 8 - 수학의 정석 수학(상) 5.실수 수 있다. 이므로 로 나눈 나머지는 이다. 이것을 에 대입하여 정리하면 (5) 이 중에서 으로 나누어 나머지가 인 경우는 이다. × 따라서 ≤ ≤ 인 경우는 일 × 때, 의 개이다. 여기에서 , 는 정수이고, 이것을 각각 X Y 로 놓으면 (준 식) X Y XY X Y 8. 정답 (1) (2) , , ( 은 정수)라고 하자. 이므로 를 로 나눈 나머지는 이다. (1) (2) (1) (준 식) 10. 정답 (1) 여기서 은 정수이므로 을 으로 나눈 나머지는 (3) (2) ( 는 정수, )라고 하면 (2) (준 식) 문제의 조건에서 를 으로 나눈 나머지가 이므로 를 으로 나눈 나머지도 이다. 이때, 에서 이므로 를 으로 나눈 나머지는 1° 여기서 위와 같이 를 을 써서 구별하지 않고, ( 은 정수) ⋯⋯ ① (3) 과 같이 같은 문자 을 써서 나타내면 안 된다. 왜냐하면 만일 ①과 같이 놓고서 다루면 일 때 , 일 때 이므로 (준 식) 와 같이 가 연속인 정수일 때에 한해서만 다룬 셈이 되고, 이를테면 과 같은 경우는 제외되기 때문이다. 2° (1), (2)에서 두 수의 합 또는 곱을 으로 나눈 나머지는 두 수를 으로 나눈 나머지의 합 또는 곱만 생각해도 된다는 것을 알 수 있다. 11. 정답 (1) (2) (1) (준 식) 9. 정답 (1) (2) (3) (4) (5) , , , , ( 는 정수)라고 하자. (1) 이므로 로 나눈 나머지는 이다. (3) (2) (준 식) (2) 이므로 로 나눈 나머지는 이다. (3) 이므로 로 나눈 나머지는 이다. (4) - 9 - 수학의 정석 수학(상) 5.실수 14. 정답 이고 (3) 이므로 ∴ 이므로 (준 식) ∴ 12. 정답 (1) 15. 정답 이므로 (3) (2) 이므로 × × ∴ , (1) × × × (2) × 16. 정답 (1) (2) (1) 에서 양변을 제곱하면 (3) ∴ 그런데 를 로 나눈 몫은 × × × 이고 나머지는 이므로 이라고 하면 (2) , 이고, , 이므로 그런데 13. 정답 (1) (2) (4) (5) (3) , (1) ∴ × (2) × 1° (1)에서 조건이 으로 주어질 때가 (3) × (4) (준 식) × (5) (준 식) × (5)에서는 (3)의 결과를 이용해도 된다. ∴ 있다. 이때에는 근의 공식을 써서 의 값을 구하면 ± 이다. 곧, 에서 어느 것이 조건으로 주어지든 푸는 방법은 같다. 2° (1)을 다음 방법으로 구할 수도 있다. (준 식) 3° (2)의 에서 - 10 - 수학의 정석 수학(상) 5.실수 ∴ 에서 그런데 이므로 이다. ∴ 따라서 주어진 의 값을 간단히 하면 이다. ∴ ∴ × × ①에서 가 유리수라는 조건이 없으면 ②라고 17. 정답 (1) (2) ± (1) 할 수 없다. (3) 「 ⇔ 」인 것은 「 가 유리수일 때」 에 성립하기 때문이다. 따라서 ✻부분을 반드시 확인하는 습관을 에서 들여야 하고, 특히 서술형 답안을 작성할 때에는 답안지에 이를 반드시 밝혀야 한다. 양변을 제곱하면 ∴ 그런데 를 로 나눈 몫은 이고, 나머지가 이므로 19. 정답 준 식을 에 관하여 정리하면 는 유리수이므로 도 유리수이다. (2) 를 로 나누면 몫이 이고, 나머지가 이므로 ∴ , ∴ ∴ 또는 , 또는 따라서 의 최댓값은 이므로 그런데 에서 ± ± (준 식) ± (3) 20. 정답 의 양변을 세제곱하면 준 식을 전개하면 ∴ 는 유리수이므로 도 유리수이다. ∴ 곧, ∴ (3)은 다음 공식을 이용한 것이다. 18. 정답 (1) ∴ × × (2) 21. 정답 (1) 준 식의 분모를 유리화하면 몫을 Q , 나머지를 라고 하면 에 관하여 정리하면 Q 이므로 문제의 조건으로부터 , ⋯⋯ ① 는 유리수이므로 도 유리수이다. ∴ ⋯⋯ ✻ ⋯⋯ ② ⋯⋯ ③ ⋯⋯ ④ 그런데 의 계수가 유리수이므로 도 유리수이다. 따라서 도 유리수이므로 ④에서 ⋯⋯ ⑤ ⋯⋯ ⑥ ③, ⑤, ⑥을 연립하여 풀면 ⋯⋯ ✻ 22. 정답 연립하면 풀면 (2) 준 식을 전개하면 ∴ 는 유리수이므로 도 유리수이다. ∴ 곧, 로 나누어 떨어진다. 이므로 는 ∴ - 11 - 수학의 정석 수학(상) 5.실수 전개하여 정리하면 ≤ (나머지) 이기 때문이다. 는 유리수이므로 도 유리수이다. ∴ 곧, ∴ 따라서 를 로 나눈 나머지는 (2) 26. 정답 (1) , (1) , , ∴ (준 식) 23. 정답 P 로 놓으면 P 를 로 나눈 나머지가 이므로 P ⋯⋯ ① 곧, P 를 로 나누면 나누어 떨어지므로 P (2) 세 번째 항의 분자, 분모에 각각 을 곱하면 × (준 식) 전개하여 정리하면 27. 정답 ④ 는 유리수이므로 도 유리수이다. ∴ ② ① 하면 ∴ 이 값을 ③에 대입하면 이고, ①에 대입하면 이므로 ⋯⋯ ② ⋯⋯ ③ ∴ (준 식) ∴ P 따라서 P 를 로 나눈 나머지는 P 24. 정답 (1) (2) (3) P 에서 (1) ≥ 일 때 ≥ , 이므로 P (2) ≤ 일 때 , ≥ 이므로 P (3) 일 때 , 이므로 P 28. 정답 , 로 놓으면 (준 식) 25. 정답 (단, 은 음이 아닌 정수) (단, 은 음이 아닌 정수) ⋯⋯ ① ⋯⋯ ② 라고 하자. ①을 ②에 대입하면 29. 정답 (1) (2) 양변을 각각 제곱하면 × ⋯⋯ ③ 따라서 를 로 나눈 나머지는 이다. ③에서 이므로 를 로 나눈 나머지가 이라고 해서는 안 된다. ⋯⋯ ① ⋯⋯ ② (1) ① ② 에서 (2) ① ② 에서 (3) - 12 - (3) 수학의 정석 수학(상) 5.실수 30. 정답 ① ⋯⋯ ① ⋯⋯ ② 32. 정답 (1) (1) 이므로 그런데 ∴ (2) 준 식 ① ② 하면 ≠ 이므로 (2) ⋯⋯ ③ ① ② 하면 여기에 ③을 대입하면 33. 정답 (1) , (1) 준 식의 양변을 제곱하면 ⋯⋯ ④ 에 ③, ④를 대입하면 ∴ (2) , , 는 자연수(유리수)이므로 , 연립하여 풀면 양변을 제곱하여 얻은 식으므로 원칙적으로는 ∴ 일 때 원래 식이 성립하는지 확인해야 한다. 에서 이중근호를 푸는 방법에 또, 따라 , × ∴ 이와 같이 풀 수도 있으나, 일반적인 방법은 아니다. 31. 정답 (1) (2) (3) ± ± ± ± (복부호동순 따라서 준 식은 ) 이므로 , 는 자연수(유리수) 이므로 , (1) (준 식) , 는 자연수이므로 둘째 식에서 첫째 식에 대입하면 (2) 34. 정답 이므로 이므로 (3) ∴ (2) (좌변) 따라서 소수부분은 이 값은 의 해 이므로 ∴ 는 유리수이므로 연립하여 풀면 - 13 -