My Weekly Planner 剛體轉動慣量的測定 第五組 組員:林其遠、陳岱聖、邱子齊 目錄 一、實驗摘要 二、實驗原理 三、實驗步驟 四、實驗裝置圖 五、實驗結果 六、數據分析 七、問題與討論 八、參考資料 實驗摘要 本實驗旨在測定剛體的轉動慣量,這 是描述物體對轉動運動對抗的物理 量。通過正確測定剛體的轉動慣量, 我們能夠更深入地了解物體在轉動運 動中的行為。我們將透過實際操作與 計算,探討不同形狀的物體對轉動慣 量的影響。 而其中不同形狀的物體,計算轉動慣 量的公式亦會有所不同。例如:對於一 個質點質量為 m,到轉軸距離為 d 的 物體,其轉動慣量可表示為 I = m ⋅ d^2。 實驗原理 1.基本概念-轉動慣量的定義 質量為m的質點繞著固定軸做等速旋 轉(半徑為r,速度為v),則其動能 為:k=1/2mv^2=1/2mr^2ω^2等於 1/2Iω^2 2.藉由計算,我們可以獲得圓環、圓板 等物體的轉動慣量之理論值。當物體 形狀太過複雜或質量分布不均勻而不 易計算時,就只能使用實驗的方法來 測量。如果只改變固定軸,質點至固 定軸的垂直距離亦隨之改變,相關的 定理如下: (1)平行軸定理:若一個質量為 m 之物 體繞著通過質心的固定軸旋轉,其轉 動慣量為I0;若將該固定軸平行移動 d 的距離之後,則新的轉動慣量增為: I=I+Md^2 (2)垂直軸定理:將薄片形物體的質心設 定在直角座標系統中的原點上,xy 平面平行於薄片,而z軸垂直於薄 片。IX 與 IY 分別代表薄片形物體繞著 X軸與Y軸旋轉的轉動慣量。那麼,薄 片型物體繞著Z軸旋轉的轉動慣量則 為:Iz=Ix+IY 3.淨當物體的運動速度遠低於光速時, 物體的平移運動滿足第二定律的運動 方程式F = ma,其中m 為物體的慣性 質量,F 為體所受的淨外力,a 為運動 加速度。 4.對於轉動運動,物體的運動方程式 則須以淨力矩 τ、轉動體的轉動慣量 I,和角加速度α,分別取代平移運動 方程式中的作用力 F、慣性質量m 和 加速度 a,改寫為下式:τ = I α 旋轉台因受重力mg與繩子張力T的做 用,會產生直線加速度a,三者的關係 為mg-T=ma。 5.由力矩公式τ=rT=r(mg-ma)=r(mgmrα)=I0α 進而推得I0=rm(g-rα)/α 實驗步驟 1.裝置檢查與安裝: (1)確保轉臺固定穩妥,質量測量裝置 校準正確,轉動慣量測量裝置靈敏度 調整適當。 (2)將轉動軸通過圓環或圓板或橫桿質 心。 2.測量物的基本測定: (1)使用質量測量裝置準確測量上述剛 體的總質量 m,並記錄在數據表中。 (2)測量物若為圓板還須測量其半徑; 測量物若為圓環還須測量其環內的半 徑與外半徑; 測量物若為橫桿還須測量其長度L。 (3)以上的皆須測量三次,求其平均 值。 3.轉動慣量測定裝置設置: (1)確認轉動慣量測定裝置已正確安裝 在轉臺上。 (2)將轉動慣量測定裝置歸零,確保測 量準確性。 4.確定轉軸位置: (1)使用測量尺確定轉軸的位置,作為 測量距離的參考點。 5.剛體固定: (1)使用固定裝置確保剛體牢固固定在 轉臺上,並保持平衡。 6.轉動慣量測定: (1)利用公式I=rm(g-rα)/α 求出總轉動 慣量的I之平均值, 並利用疊加原理算出各轉動慣量的實 驗值,並和理論值比較。 (2)其圓板的轉動慣量-轉動軸通過質心 且直立旋轉須驗證------>垂直軸定理。 而圓板的轉動慣量-轉動軸未通過質心 且水平旋轉須驗證------>平行軸定理。 【 實驗裝置示意圖】 圓板的轉動慣量一轉動軸通過質心且 水平旋轉裝置 1.橫桿的轉動慣量一轉動軸通過質心且 水平旋轉裝置 2.圓板的轉動慣量一轉動軸未通過質心 且水平旋轉裝置 圓板的轉動慣量一轉動軸未通過質心 且水平旋轉裝置 圓環的轉動慣量一轉動軸通過質心且 水平旋轉裝置 實驗結果 一、旋轉台轉動慣量I0 次數 旋轉軸承 半徑 r(mm) 次數 1 2 3 10.62 10.55 10.32 質量m(公克) 平均 10.50 角加速度 α(rad/s^2) 轉動慣量 I0(kg.m^2) 1 12.7 14.36 9.07*10^-5 2 13.1 13.75 9.71*10*-5 3 13.0 12.93 9.99*10^~5 平均值 9.58*10^-5 標準偏差值 14.83% 二、圓板轉動慣量-通過質心水平旋轉 1 2 3 平均 圓板半徑 R(cm) 10.30 10.19 10.23 10.24 質量M(kg) 1.4447 1.4451 1.4412 1.4437 Idisc(1)=MR^2/2=(7.57*10^-3)kg.m^2(理論值):Idisc(1)=Itot-I0 次數 質量m(公斤) 角加速度 (rad/s^2) Itot(kg.m^2) Idisc(1) (kg.m^2) 1 0.10 0.56 0.1793 8.53*10^-3 2 0.15 0.90 0.1650 5.77*10^-3 3 0.25 1.47 0.1680 2.76*10^-3 平均值 5.69*10^-3 誤差百分率 -2.5% 三:圓環轉動慣量一通過質心水平旋轉 1 2 3 平均 圓環內半徑 r1(mm) 52.7 52.1 52.2 52.3 圓環外半徑 r2(mm) 61.2 61.0 60.1 60.8 質量M(kg) 1.4337 1.4228 1.4326 1.4297 Idisc =M(r1*2+r2*2)/2=(4.60*10^-3)kg.m*2(理論值):Iring =Itot-Idisc(0)-I0 質量m(kg) 角加速度α (rad/s^2) Itot(kg*m*2) Iring(kg.m*2) 1 200 1.23 0.0104 7.80*10^-3 2 250 1.32 0.0119 5.00*10^-3 3 200 1.12 0.0111 2.73*10^-3 平均值 5.18*10^-3 誤差百分率 +12.6% 次數 四、圓板轉動慣量一通過質心直立旋轉 半徑R=112.5mm、質量M=1.4527kg I=MR*2/4=(4.60*10*-3)kg.m*2(理論值);Idisc=Itot-I0 次數 質量m(g) 角加速度 α(rad/s^2) Itot(kg.m^2) Idisc(2) 1 250 3.52 0.0752 4.67*10^-3 2 210 3.22 0.0693 1.23*10^-3 3 220 3.47 0.0671 3.43*10^-3 平均值 3.11*10^-3 誤差百分率 -32.4% 驗證垂直軸定理:Idisc(2)=Idisc(1)/2 Idisc(1)=7.57*10^-3kg.m^2。 Idisc(2):4.60*10^-3kg.m^2 五、橫桿轉動慣量一通過質心水平旋轉 1 2 3 平均 橫桿長度 L(mm) 526.6 530.8 522.5 526.6 質量M(kg) 0.5726 0.5740 0.5705 0.5724 Irod=ML*2/12=(0.0132)kg.m*2(理論值);Irod=Itot-I0 次數 質量m(g) 角加速度α (rad/s*2) Itot(kg.m*2) Irod(kg.m^2) 1 200 1.52 0.6066 0.0412 2 210 1.56 0.6600 0.0122 3 220 1.53 0.6767 0.0289 平均值 0.0274 誤差百分率 +107.6% 六:圓板轉動慣量一通過質心水平旋轉 半徑R=253.2mm、質量M=2.0126kg、圓盤中心與轉台中心距離d=200mm Idisc(3)=MR^2/2+Md^2=(0.1450)kg.m^2(理論值);Idisc(3)=Itot-Irod-I0 次數 質量m(g) 角加速度α (rad/s^2) Itot(kg.m^2) Idisc(3) 1 250 0.53 1.1552 0.0210 2 200 0.48 1.0218 0.1124 3 250 0.50 1.2155 0.0913 平均值 0.0749 誤差百分率 -48.34% 驗證平行軸定理Idisc(3)=Idisc(1)+Md^2 =7.57*10^-3+2.0126*(200*10^-3)^2=8.8*10^-2kg.m^2 實驗值=0.1450kg.m^2 數據分析 表格五、六在測橫桿與圓板轉動慣量 的未通過質心水平旋轉時,我們發現 誤差滿大的,有可能實驗物體的形狀 很複雜或不規則,那麼確定其幾何特 性(如質量分佈)可能會引入額外的 不確定性。像是橫桿的形狀與當下實 驗時的裝置,或是量測長度、角加速 度等的誤差,進而影響轉動慣量的 值。 造成誤差的原因: 轉動裝置繞軸的線沒有水平,有角度的 線繞一圈的長度較大,使得轉動的角速 度較小,而水平的線則相反,因此得到的 數據有時角速度大,有時角速度小,圖形 呈現波浪狀。 或是剛體方塊質量分布可能不均,且若 將方塊視為許多小塊,每塊的轉動不一 定相等,且因為分布位置關係,總和的轉 動慣量與計算的必定有落差。 問題與討論 問題: Q1: 轉動慣量較大時,其物理意義為 何? A1:具體而言,這表示需要較大的轉動 力矩才能使物體產生相同的轉動加速 度。物體的轉動慣量與其質量分佈和 形狀有關,較分散質量的物體通常有 較大的轉動慣量。 Q2: 轉動慣量和旋轉軸的方向及位置是 否有關? A2:是的,轉動慣量的計算取決於物體 繞著的軸是怎樣的。對於一個固定的 物體,其轉動慣量相對於一個軸的方 向和位置會決定旋轉的難易程度。對 於不同的軸,同一個物體的轉動慣量 可能是不同的。 Q3: 如何直接測量懸掛物體落下的加速 度? A3:可以使用一個實驗室工具稱為「自 由下落運動器」來測量懸掛物體落下 的加速度。該裝置通常包括一個固定 的垂直軌道,上方懸掛一個滑輪,滑 輪下方連接一個繩子,繩子的底端掛 著一個小質量,然後使用自由落體運 動的運動學公式 s=1/2at^2,其中s為 位移,t為時間,a為加速度。 Q4: 走鋼索的特技人員手握小花傘、短 竹棍、長竹棍、長鐵棒。何者為佳? A4:一般而言,握住質量分佈均勻的物 體,如小花傘或短竹棍,有助於保持 平衡,因為這樣的物體對應的轉動慣 量較小。而握住質量分佈較不均勻的 物體,如長竹棍或長鐵棒,可能會增 加難度,因為這樣的物體具有較大的 轉動慣量,需要更大的力矩才能保持 平衡。 討論: 藉由此次的轉動慣量實驗,可透過光 電閘等裝置來測定轉動慣量,原來圓 板、圓環等不同的形狀,因 轉動的 難易度不一,會測出數值不一的物理 量,同時,這個實驗的公式也較繁 雜,除了背公式之外,也要懂背後的 物理意義,相較之下,我們的瓶頸也 較大。 爲 參考資料: https://zh.wikipedia.org/zhtw/%E8%BD%89%E5%8B%95%E6%85%A3%E9%87%8F https://www.jendow.com.tw/wiki/%E8%BD%89%E5%8B%95%E6%85%A3% E9%87%8F https://zh.wikipedia.org/zhtw/%E5%9E%82%E7%9B%B4%E8%BB%B8%E5%AE%9A%E7%90%86 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E8%BB%B8%E5% AE%9A%E7%90%86