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剛體轉動慣量的測定
第五組
組員：林其遠、陳岱聖、邱子齊
目錄
一、實驗摘要
二、實驗原理
三、實驗步驟
四、實驗裝置圖
五、實驗結果
六、數據分析
七、問題與討論
八、參考資料
實驗摘要
本實驗旨在測定剛體的轉動慣量，這
是描述物體對轉動運動對抗的物理
量。通過正確測定剛體的轉動慣量，
我們能夠更深入地了解物體在轉動運
動中的行為。我們將透過實際操作與
計算，探討不同形狀的物體對轉動慣
量的影響。
而其中不同形狀的物體，計算轉動慣
量的公式亦會有所不同。例如:對於一
個質點質量為 m，到轉軸距離為 d 的
物體，其轉動慣量可表示為 I = m ⋅
d^2。
實驗原理
1.基本概念-轉動慣量的定義
質量為m的質點繞著固定軸做等速旋
轉(半徑為r，速度為v)，則其動能
為:k=1/2mv^2=1/2mr^2ω^2等於
1/2Iω^2
2.藉由計算，我們可以獲得圓環、圓板
等物體的轉動慣量之理論值。當物體
形狀太過複雜或質量分布不均勻而不
易計算時，就只能使用實驗的方法來
測量。如果只改變固定軸，質點至固
定軸的垂直距離亦隨之改變，相關的
定理如下:
(1)平行軸定理:若一個質量為 m 之物
體繞著通過質心的固定軸旋轉，其轉
動慣量為I0；若將該固定軸平行移動 d
的距離之後，則新的轉動慣量增為:
I=I+Md^2
(2)垂直軸定理:將薄片形物體的質心設
定在直角座標系統中的原點上，ｘｙ
平面平行於薄片，而ｚ軸垂直於薄
片。IX 與 IY 分別代表薄片形物體繞著
X軸與Y軸旋轉的轉動慣量。那麼，薄
片型物體繞著Z軸旋轉的轉動慣量則
為:Iz=Ix+IY
3.淨當物體的運動速度遠低於光速時，
物體的平移運動滿足第二定律的運動
方程式F = ma，其中m 為物體的慣性
質量，F 為體所受的淨外力，a 為運動
加速度。
4.對於轉動運動，物體的運動方程式
則須以淨力矩 τ、轉動體的轉動慣量
I，和角加速度α，分別取代平移運動
方程式中的作用力 F、慣性質量m 和
加速度 a，改寫為下式：τ = I α
旋轉台因受重力mg與繩子張力T的做
用，會產生直線加速度a，三者的關係
為mg-T=ma。
5.由力矩公式τ=rT=r(mg-ma)=r(mgmrα)=I0α
進而推得I0=rm(g-rα)/α
實驗步驟
1.裝置檢查與安裝：
(1)確保轉臺固定穩妥，質量測量裝置
校準正確，轉動慣量測量裝置靈敏度
調整適當。
(2)將轉動軸通過圓環或圓板或橫桿質
心。
2.測量物的基本測定：
(1)使用質量測量裝置準確測量上述剛
體的總質量 m，並記錄在數據表中。
(2)測量物若為圓板還須測量其半徑;
測量物若為圓環還須測量其環內的半
徑與外半徑;
測量物若為橫桿還須測量其長度L。
(3)以上的皆須測量三次，求其平均
值。
3.轉動慣量測定裝置設置：
(1)確認轉動慣量測定裝置已正確安裝
在轉臺上。
(2)將轉動慣量測定裝置歸零，確保測
量準確性。
4.確定轉軸位置：
(1)使用測量尺確定轉軸的位置，作為
測量距離的參考點。
5.剛體固定：
(1)使用固定裝置確保剛體牢固固定在
轉臺上，並保持平衡。
6.轉動慣量測定：
(1)利用公式I=rm(g-rα)/α 求出總轉動
慣量的I之平均值，
並利用疊加原理算出各轉動慣量的實
驗值，並和理論值比較。
(2)其圓板的轉動慣量-轉動軸通過質心
且直立旋轉須驗證------>垂直軸定理。
而圓板的轉動慣量-轉動軸未通過質心
且水平旋轉須驗證------>平行軸定理。
【 實驗裝置示意圖】
圓板的轉動慣量一轉動軸通過質心且
水平旋轉裝置
1.橫桿的轉動慣量一轉動軸通過質心且
水平旋轉裝置
2.圓板的轉動慣量一轉動軸未通過質心
且水平旋轉裝置
圓板的轉動慣量一轉動軸未通過質心
且水平旋轉裝置
圓環的轉動慣量一轉動軸通過質心且
水平旋轉裝置
實驗結果
一、旋轉台轉動慣量I0
次數
旋轉軸承
半徑
r(mm)
次數
1
2
3
10.62
10.55
10.32
質量m(公克）
平均
10.50
角加速度
α(rad/s^2)
轉動慣量
I0(kg.m^2)
1
12.7
14.36
9.07*10^-5
2
13.1
13.75
9.71*10*-5
3
13.0
12.93
9.99*10^~5
平均值
9.58*10^-5
標準偏差值
14.83%
二、圓板轉動慣量-通過質心水平旋轉
1
2
3
平均
圓板半徑
R(cm)
10.30
10.19
10.23
10.24
質量M(kg)
1.4447
1.4451
1.4412
1.4437
Idisc(1)=MR^2/2=(7.57*10^-3)kg.m^2(理論值）：Idisc(1)=Itot-I0
次數
質量m(公斤）
角加速度
（rad/s^2)
Itot(kg.m^2)
Idisc(1)
(kg.m^2)
1
0.10
0.56
0.1793
8.53*10^-3
2
0.15
0.90
0.1650
5.77*10^-3
3
0.25
1.47
0.1680
2.76*10^-3
平均值
5.69*10^-3
誤差百分率
-2.5%
三：圓環轉動慣量一通過質心水平旋轉
1
2
3
平均
圓環內半徑
r1(mm)
52.7
52.1
52.2
52.3
圓環外半徑
r2(mm)
61.2
61.0
60.1
60.8
質量M(kg)
1.4337
1.4228
1.4326
1.4297
Idisc =M(r1*2+r2*2)/2=(4.60*10^-3)kg.m*2(理論值）：Iring =Itot-Idisc(0)-I0
質量m(kg)
角加速度α
（rad/s^2)
Itot(kg*m*2)
Iring(kg.m*2)
1
200
1.23
0.0104
7.80*10^-3
2
250
1.32
0.0119
5.00*10^-3
3
200
1.12
0.0111
2.73*10^-3
平均值
5.18*10^-3
誤差百分率
+12.6%
次數
四、圓板轉動慣量一通過質心直立旋轉
半徑R=112.5mm、質量M=1.4527kg
I=MR*2/4=(4.60*10*-3)kg.m*2(理論值）；Idisc=Itot-I0
次數
質量m(g)
角加速度
α(rad/s^2)
Itot(kg.m^2)
Idisc(2)
1
250
3.52
0.0752
4.67*10^-3
2
210
3.22
0.0693
1.23*10^-3
3
220
3.47
0.0671
3.43*10^-3
平均值
3.11*10^-3
誤差百分率
-32.4%
驗證垂直軸定理：Idisc(2)=Idisc(1)/2
Idisc(1)=7.57*10^-3kg.m^2。 Idisc(2):4.60*10^-3kg.m^2
五、橫桿轉動慣量一通過質心水平旋轉
1
2
3
平均
橫桿長度
L(mm)
526.6
530.8
522.5
526.6
質量M(kg)
0.5726
0.5740
0.5705
0.5724
Irod=ML*2/12=(0.0132)kg.m*2(理論值）；Irod=Itot-I0
次數
質量m(g)
角加速度α
（rad/s*2)
Itot(kg.m*2)
Irod(kg.m^2)
1
200
1.52
0.6066
0.0412
2
210
1.56
0.6600
0.0122
3
220
1.53
0.6767
0.0289
平均值
0.0274
誤差百分率
+107.6%
六：圓板轉動慣量一通過質心水平旋轉
半徑R=253.2mm、質量M=2.0126kg、圓盤中心與轉台中心距離d=200mm
Idisc(3)=MR^2/2+Md^2=（0.1450）kg.m^2(理論值）；Idisc(3)=Itot-Irod-I0
次數
質量m(g)
角加速度α
（rad/s^2)
Itot(kg.m^2)
Idisc(3)
1
250
0.53
1.1552
0.0210
2
200
0.48
1.0218
0.1124
3
250
0.50
1.2155
0.0913
平均值
0.0749
誤差百分率
-48.34%
驗證平行軸定理Idisc(3)=Idisc(1)+Md^2
=7.57*10^-3+2.0126*(200*10^-3)^2=8.8*10^-2kg.m^2
實驗值=0.1450kg.m^2
數據分析
表格五、六在測橫桿與圓板轉動慣量
的未通過質心水平旋轉時，我們發現
誤差滿大的，有可能實驗物體的形狀
很複雜或不規則，那麼確定其幾何特
性（如質量分佈）可能會引入額外的
不確定性。像是橫桿的形狀與當下實
驗時的裝置，或是量測長度、角加速
度等的誤差，進而影響轉動慣量的
值。
造成誤差的原因:
轉動裝置繞軸的線沒有水平,有角度的
線繞一圈的長度較大,使得轉動的角速
度較小,而水平的線則相反,因此得到的
數據有時角速度大,有時角速度小,圖形
呈現波浪狀。
或是剛體方塊質量分布可能不均,且若
將方塊視為許多小塊,每塊的轉動不一
定相等,且因為分布位置關係,總和的轉
動慣量與計算的必定有落差。
問題與討論
問題:
Q1: 轉動慣量較大時，其物理意義為
何？
A1:具體而言，這表示需要較大的轉動
力矩才能使物體產生相同的轉動加速
度。物體的轉動慣量與其質量分佈和
形狀有關，較分散質量的物體通常有
較大的轉動慣量。
Q2: 轉動慣量和旋轉軸的方向及位置是
否有關？
A2:是的，轉動慣量的計算取決於物體
繞著的軸是怎樣的。對於一個固定的
物體，其轉動慣量相對於一個軸的方
向和位置會決定旋轉的難易程度。對
於不同的軸，同一個物體的轉動慣量
可能是不同的。
Q3: 如何直接測量懸掛物體落下的加速
度？
A3:可以使用一個實驗室工具稱為「自
由下落運動器」來測量懸掛物體落下
的加速度。該裝置通常包括一個固定
的垂直軌道，上方懸掛一個滑輪，滑
輪下方連接一個繩子，繩子的底端掛
著一個小質量，然後使用自由落體運
動的運動學公式 s=1/2at^2，其中s為
位移，t為時間，a為加速度。
Q4: 走鋼索的特技人員手握小花傘、短
竹棍、長竹棍、長鐵棒。何者為佳？
A4:一般而言，握住質量分佈均勻的物
體，如小花傘或短竹棍，有助於保持
平衡，因為這樣的物體對應的轉動慣
量較小。而握住質量分佈較不均勻的
物體，如長竹棍或長鐵棒，可能會增
加難度，因為這樣的物體具有較大的
轉動慣量，需要更大的力矩才能保持
平衡。
討論：
藉由此次的轉動慣量實驗，可透過光
電閘等裝置來測定轉動慣量，原來圓
板、圓環等不同的形狀，因 轉動的
難易度不一，會測出數值不一的物理
量，同時，這個實驗的公式也較繁
雜，除了背公式之外，也要懂背後的
物理意義，相較之下，我們的瓶頸也
較大。
爲
參考資料:
https://zh.wikipedia.org/zhtw/%E8%BD%89%E5%8B%95%E6%85%A3%E9%87%8F
https://www.jendow.com.tw/wiki/%E8%BD%89%E5%8B%95%E6%85%A3%
E9%87%8F
https://zh.wikipedia.org/zhtw/%E5%9E%82%E7%9B%B4%E8%BB%B8%E5%AE%9A%E7%90%86
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E8%BB%B8%E5%
AE%9A%E7%90%86