Probability & Statistics 2장 확률 - 1 - Applied Mathematics Lee, Jeong Yeon Probability & Statistics [2.1] 표본공간과 사건 1. 시행 2. 표본공간과 사상 ① 표본공간 : 어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 가능한 결과의 전체 집합( 로 표시) ② 사건(사상) : 표본공간의 부분집합( ⋯ 로 표시) ③ 근원사건 : 사건 중에서 더 이상 세분할 수 없는 기본적인 사건 ④ 전사건 : 표본공간 자신의 집합(반드시 일어나는 사건) ⑤ 공사건 : (결코 일어나기 않는 사건) 공집합 P.83 예제2-2 - 2 - Applied Mathematics Lee, Jeong Yeon Probability & Statistics 3. 합사건, 곱사건, 여사건 표본공간 의 부분집합을 사건 라 할 때, ① ∪ : 사건 의 합사건 ② ∩ : 사건 의 곱사건 ③ : 사건 의 여사건 4. 배반사건 표본공간 의 두 사건 에 대하여 ∩ 일 때, 두 사건 는 서로 배반사건이라 한다. P.87 예제2-5 - 3 - Applied Mathematics Lee, Jeong Yeon Probability & Statistics [2.2] 확률 1. 확률의 의미 ① 수학적 확률 <정의> 어떤 시행의 결과가 유한개이고 각 근원사건이 같은 정도로 일어날 것이 기대될 때, 사건 가 일어날 수학적 확률 는 사건의 원소의 개수 표본공간 의 원소의 개수 - 4 - Applied Mathematics Lee, Jeong Yeon Probability & Statistics ② 통계적 확률 (1) 상대도수 – 어떤 조건하에서 실험 또는 관측한 자료의 총수를 이라 하고 그 중에서 어떤 사건 가 일어난 횟수를 라 할 때, 를 사건 가 일어날 상대도수라 한다. (2) 통계적 확률 - 이 한없이 커질 때 상대도수 의 값이 상수 에 한없이 가까워지면 이 를 사건 가 일어날 통계적 확률 또는 경험적 확률이라 한다. 그런데 실제로는 을 무한히 크게 할 수 없으므로 이 어느 정도 클 때 를 통계적 확률로 보는 것이 보통이다. - 5 - Applied Mathematics Lee, Jeong Yeon Probability & Statistics ③ 기하학적 확률(공리론적 확률) 동그란 원판의 부채꼴 모양에 서로 다른 색을 칠해놓고 다트를 맞히는 게임을 생각해보자. 이 때 빗금 친 부분에 다트가 꽂힐 확률은 얼마일까? 면적의 비율을 생각해보자. 즉 경우의 수가 무수히 많아서 그 수를 셈할 수 없을 때가 있다. 이런 때에는 가 일어날 확률 를 가 일어날 수 있는 영역의 크기 일어날 수 있는 모든 영역의 크기 로 정의하는데, 이를 기하학적 확률이라고 한다. - 6 - Applied Mathematics Lee, Jeong Yeon Probability & Statistics 2. 확률의 기본성질 표본공간 의 임의의 사건 , 전사건 , 공사건∅ 에 대하여 ⅰ) ≦ ≦ ⅱ) ⅲ) ∅ 3. 확률의 덧셈정리 ① 여사건의 확률 [정리] ② 확률의 덧셈정리 * ∪ 의 의미 : 또는 가 일어날 확률 / 중 적어도 하나가 일어날 확률 - 7 - Applied Mathematics Lee, Jeong Yeon Probability & Statistics ⅰ) 일반적인 덧셈정리 [정리] 두 사건 에 대하여 ∪ ∩ ⅱ) 배반사건의 덧셈정리 [정리] 두 사건 가 배반사건일 때, ∪ ③ 확률의 계산 ⅰ) ∪ ∩ ∩ ⅱ) ∩ ∩ ∪ P.92 예제2-9 ~ 예제2-10 - 8 - Applied Mathematics Lee, Jeong Yeon Probability & Statistics [2.3] 조건부 확률 1. 조건부 확률 ① 사건 가 일어났다는 가정 하에 사건 가 일어날 확률을 가 일어 났을 때 의 조건부 확률이라 하고 ∣ 또는 로 나타 낸다. ∩ ∣ ② (단, ≠ ) P.99 예제2-15 ~ 예제2-16 - 9 - Applied Mathematics Lee, Jeong Yeon Probability & Statistics 2. 확률의 곱셈정리 두 사건 에 대하여 일 때 ∩ ⋅ ∣ ∩ ⋅ ∣ [정리] 와 ∩∩ ⋯ ∩ ≦ ≦ 인 사건 ⋯ 에 대하여 ∩∩ ⋯ ∩ ∣ ⋯ ∣∩∩ ⋯ ∩ 증명 P.100 예제2-17 - 10 - Applied Mathematics Lee, Jeong Yeon Probability & Statistics [2.4] 독립사건 <정의> ⅰ) ∣ ⅱ) ∣ ⅲ) ∩ ⋅ 중 어느 하나라도 만족하면 사건 와 는 서로 독립(independent) 이라 한다. NOTE & ∩ ⇒ 와 는 서로 독립이 아니다. 증명 [정리] 임의의 두 사건 에 대하여 와 가 독립이면 와 도 독립이다. 증명 - 11 - Applied Mathematics Lee, Jeong Yeon Probability & Statistics <정의> ⅰ) ∩ ⋅ ⅱ) ∩ ⋅ ⅲ) ∩ ⋅ ⅳ) ∩∩ ⋅ ⋅ 를 만족하는 세 사건 는 서로 독립이다. * ⅰ),ⅱ),ⅲ)은 만족하나 조건ⅳ)는 만족하지 못할 경우 A,B,C 는 쌍독립(pairwise independent) NOTE 가 서로 독립이면 ∪ 도 독립이다. 증명 P.105 예제2-20 - 12 - Applied Mathematics Lee, Jeong Yeon Probability & Statistics 참고] Sampling(표본, 추출) rule ① Sampling with replacement(복원추출) →이 경우 각 시행은 독립 ② Sampling without replacement(비복원추출) →이 경우 각 시행은 종속 [ 보기 주머니 속에 흰 공 개, 붉은 공 개가 들어있다. 이 중에서 한 개 씩 두 번 꺼낼 때, 다음 각 경우에 대하여 두 개가 모두 흰 공일 확률을 구하여라. (1) 처음에 꺼낸 공을 다시 넣지 않는 경우(비복원추출) (2) 처음에 꺼낸 공을 다시 넣는 경우(복원추출) - 13 - Applied Mathematics Lee, Jeong Yeon Probability & Statistics 연구 : 첫 번째, 두 번째에 흰 공이 나오는 사건을 각각 라 한다. (1) ∩ ∣ × (2) ∩ ∣ × Advice : < 종속사건과 독립사건> ∣ (1) ∣ 곧 ∣ ≠ ∣ ∴ 사건 는 사건 에 종속 ∴ 사건 는 사건 에 독립 (2) ∣ ∣ 곧 ∣ ∣ - 14 - Applied Mathematics Lee, Jeong Yeon Probability & Statistics [2.5] 베이즈 정리 <정의> 분할(partition) 의 부분집합 ⋯ 가 ∪∪ ⋯ ∪ 를 만족하며 ≠ 인 에 대해 ∩ 일 때 ⋯ 를 의 분할이라 한다. [정리] 전확률정리(Total probability theorem) 사건 ⋯ 이 표본공간의 분할이고 이면, 임의의 사건 에 대하여 ∩ ∣ ∩ ∪ ∩ ∪ ⋯ ∪ ∩ - 15 - Applied Mathematics Lee, Jeong Yeon Probability & Statistics [정리] 베이즈정리(Baye's Theorem) 사건 ⋯ 이 표본공간의 분할이고 이면 ∩ ∣ ∣ ∣ : 사전확률(prior probability), ∣ : 사후확률(posterior probability) P.110 예제2-24 - 16 - Applied Mathematics Lee, Jeong Yeon