Thống nhất chi tiết môn “Phương pháp tính (MT1009)” *
Bộ môn Toán Ứng dụng - Trường đại học Bách Khoa - Đại học quốc gia TPHCM
Ngày 25 tháng 4 năm 2023„
*
©
Tài liệu lưu hành nội bộ (Bộ môn Toán ứng dụng, Khoa Khoa học ứng dụng, ĐHBK-ĐHQG-HCM). Tuyệt đối không được sử dụng và lưu hành bên ngoài Bộ môn TUD nếu
không được sự đồng ý của BCN Bộ môn TUD.
„
Học kỳ áp dụng: HK222.
Mục lục
I.
PHÂN BỔ SỐ TIẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II. BÀI TẬP LỚN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III. ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.
1
1
2
PHÂN BỔ SỐ TIẾT
Chương
Chương 1: Sai số và phương trình phi tuyến
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính
Chương
Chương
Chương
Chương
3:
4:
5:
6:
Nội suy
Đạo hàm và tích phân
Phương trình vi phân
Xấp xỉ trị riêng
ÔN TẬP
II.
Số tiết (15 tuần) Tuần (15 tuần)
5
1-2-3
5
3-4-5
Kiểm tra giữa kỳ
6
6-7-8
4
9-10
6
11-12-13
2
14
2
Số tiết (12 tuần)
4
4
Tuần (12 tuần)
1-2
3-4
4
4
6
2
5-6
7-8
9-10-11
12
15
BÀI TẬP LỚN
1. Mỗi nhóm tối đa 5 sinh viên, tối thiểu 3 sinh viên.
2. Nội dung chủ đạo của BTL: sinh viên đọc và tìm hiểu các phương pháp không học trong chương trình, sử dụng lý thuyết để giải quyết các bài toán thực tế do giảng
viên yêu cầu hoặc sinh viên tự tìm hiểu.
3. Giảng viên phải có kế hoạch giao và hướng dẫn sinh viên thực hiện BTL, không gởi sinh viên bài giải BTL.
4. Giảng viên phải đánh giá BTL theo tiêu chí đánh giá đã được thống nhất và gởi lại file đánh giá chi tiết các nhóm BTL cho giảng viên phụ trách môn học (thầy
Đậu Thế Phiệt) vào cuối học kỳ.
1
III.
ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT
Nội dung
Nội dung chi tiết
Quy ước chung,
hiệu
CHƯƠNG 1: Sai số và phương trình phi tuyến (4 tiết).
1.1 Các loại
sai số
1. Khái niệm về sai số: sai số
thực sự, sai số tuyệt đối, sai số
tương đối,
2. Sai số của hàm số.
1.2 Công
thức sai
số tổng
quát,
khoảng
cách
ly
nghiệm
1. Chứng minh công thức sai số
tổng quát.
2. Định nghĩa, định lý nhận biết
khoảng cách ly nghiệm.
1.3 Phương
pháp chia
đôi.
1. Mô tả pp chia đôi.
2. Chứng minh công thức sai số.
Bài tập cơ bản
Ví dụ minh hoạ
Sai số tuyệt đối của giá
trị gần đúng p∗ : ∆p∗ , sai
số tương đối của giá trị
gần đúng p∗ : δp∗ .
1. Xác định các loại sai số
và sai số của hàm
1. Cho giá trị chính xác và giá trị gần đúng là p = π và
p∗ = 3.14.
(a) Xác định sai số thực sự, sai số tuyệt đối, sai số tương
đối.
2. Mô hình khí lí tưởng được cho bởi P V = nRT . Trong
phòng thí nghiệm, các dữ liệu có được như sau: P =
1.00 ± 0.01 atm, V = 0.100 ± 0.001 m3 , N = 0.00420 ±
0.02 mol, R = 0.08206 ± 0.03.
a) Đánh giá sai số tuyệt đối, tương đối của T .
xn : nghiệm ở bước lặp
thứ n + 1.
• ∆xn : sai số tuyệt đối của
nghiệm xn so với nghiệm
chính xác.
2. Cho bài toán thực tế
có sẵn phương trình
hoặc bài toán đơn
giản sinh viên dễ lập
phương trình
1. Tìm xn (n ≤ 3)
2. Tìm xn hoặc số lần lặp
n + 1 sao cho nghiệm
xn có sai số ít hơn ϵ cho
trước.
3. Độ dịch chuyển của một vật đang dao động tắt dần được
mô tả bởi phương trình x = 8e−0.5t cos 3t. Tìm thời gian
t để vật có độ dịch chuyển là 4. Sử dụng phương pháp
chia đôi trên đoạn [0, 1].
a) Thực hiện 4 bước lặp(t3 )
b) Tìm số lần lặp tối thiểu để giá trị gần đúng có độ
chính xác nhỏ hơn 10−5 .
•
•
ký
2
Nội dung
Nội dung chi tiết
Quy
hiệu
ước
chung,
ký
Bài tập cơ bản
Ví dụ minh hoạ
1.4 Phương
pháp lặp
đơn.
1. Định nghĩa: điểm bất động, ánh
xạ co.
2. Định lý về sự tồn tại duy nhất
điểm bất động.
3. Mô tả phương pháp lặp đơn,
điều kiện hội tụ.
4. Chứng minh các công thức
đánh giá sai số: công thức tiên
nghiệm, công thức hậu nghiệm.
3. Cho bài toán ở dạng
tìm nghiệm phương
trình x = g(x), g(x) là
ánh xạ co.
• Tìm
nghiệm bằng
phương pháp lặp đơn
• Đánh giá sai số tiên
nghiệm, hậu nghiệm.
• Xác định số lần lặp
tối thiểu để nghiệm
có độ chính xác cần
thiết.
4. Cho phương trình x = g(x) = 5−x trên đoạn [a, 0.7].
(a) Xác định a để phương trình x = g(x) có duy nhất
nghiệm và g(x) là ánh xạ co trên đoạn đã cho.
(b) Với a tìm được, xấp xỉ nghiệm phương trình với 2
bước lặp.
(c) Đánh giá sai số x2 bằng cách sử dụng cả hai công
thức.
(d) Tìm số bước lặp tối thiểu để nghiệm có độ chính xác
trong 10−3 (sử dụng cả 2 công thức).
1.5 Phương
pháp
Newton.
1.
2.
3.
4.
5.
4. Cho phương trình
f (x) = 0
• Tìm
nghiệm gần
đúng với 2 bước lặp
• Đánh giá sai số .
• Xác định số lần lặp
tối thiểu để nghiệm
có độ chính xác cần
thiết.
5. Quan sát phản ứng của một loại thuốc X khi tiêm vào
bệnh nhân, người ta thấy nồng độ thuốc trong máu thay
đổi theo mô hình m(t) = 3e1/9 te−t/3 (mg/mL), t đo bằng
giờ.
(a) Trong nửa giờ đầu tiên, hãy xác định xấp xỉ thời
điểm mà nồng độ là 0.25(mg/mL), lặp 2 lần.
(b) Đánh giá sai số của kết quả tìm được.
(c) Tìm số bước lặp tối thiểu để nghiệm có độ chính xác
trong 10−3 .
Nội dung phương pháp.
Xây dựng công thức.
Cách chọn x0 .
Điều kiện hội tụ.
Đánh giá sai số.
CHƯƠNG 2: Hệ phương trình tuyến tính (4 tiết).
2.1 Phân tích
LU
Phân tích
Cholesky
1. Định nghĩa, công thức của ma
trận L,U. Chỉ phân tích theo
Dollitle.
2. Nhắc lại định nghĩa: Định
thức con chính, ma trận đối
xứng xác định dương.
3. Điều kiện để ma trận xác định
dương.
4. Công thức của ma trận
Cholesky.
1. L: ma trận tam giác
dưới.
2. U : ma trận tam giác
trên.
5. Cho ma trận A, tìm
ma trận L, U để A =
LU
3
Nội dung
Nội dung chi tiết
Quy
hiệu
ước
chung,
ký
Bài tập cơ bản
Ví dụ minh hoạ
2.3 Chuẩn
vecto,
chuẩn ma
trận, số
điều kiện
1. Định nghĩa và tính chất: chuẩn
vector, chuẩn ma trận.
2. Định nghĩa và ý nghĩa của số
điều kiện.
1. ∥ · ∥1 , ∥ · ∥∞ : chuẩn 1,
chuẩn vô cùng.
6. Cho ma trận A
(a) Xác định các
chuẩn vô cùng,
chuẩn 1, số điều
kiện ma trận A.
2.4 Phương
pháp lặp
1. Định nghĩa sự hội tụ của dãy
vecto.
2. Công thức lặp tổng quát.
3. Định lý hội tụ.
4. Đánh giá sai số.
5. Ma trận đường chéo trội
nghiêm ngặt.
6. Công thức ma trận và tường
minh của phương pháp lặp
Jacobi, Gauss-Seidel.
1. Khi phân tích A = D −
L − U , D : ma trận
đường chéo của A , L :
ma trận tam giác dưới,
U : ma trận tam giác
trên.
7. Cho hệ phương trình
AX = B
(a) Xác định nghiệm
xấp xỉ X (2) .
(b) Đánh giá sai số.
(c) Xác định số bước
lặp tối thiểu để
nghiệm có độ
chính xác cần
thiết(công thức
tiên nghiệm).
1. Tỷ sai phân của
cấp p của f đới
với
x0 , x1 . . . xk :
f [x0 , . . . , xk ].
6. Cho bảng số liệu 3
điểm với các nút x0 <
x1 < x2 .
(a) Tỷ sai phân
(b) Xây dựng đa thức
nội suy
8. Hàm y = f (x) có giá trị cho bởi bảng số như sau
x 0 1 2
y 1 4 5
(a) Tìm giá trị f [0, 1, 2].
(b) Xấp xỉ giá trị của f (x) tại 0.4.
7. Cho hàm y = f (x)
(a) Xây dựng đa thức
nội suy qua 3
điểm.
(b) Đánh giá sai số.
9. Hàm y =
KIỂM TRA GIỮA KỲ.
CHƯƠNG 3: Nội suy (4 tiết).
3.1 Nội suy
đa thức
1. Định nghĩa nội suy đa thức
2. Sự duy nhất của đa thức nội
suy
3. Nội suy Lagrange
4. Tỷ sai phân
5. Nội suy Newton tiến/lùi
6. Trường hợp điểm cách đều
7. Đánh giá sai số.
4
1
trên đoạn [2, 4]
x
(a) Xây dựng đa thức nội suy P (x) đi qua ba điểm 2, 3, 4
xấp xỉ với f (x).
(b) Đánh giá sai số lớn nhất giữa f (x) và P (x) trên
đoạn [2, 4].
Nội dung
3.2 Spline
bậc 3.
Nội dung chi tiết
Quy
hiệu
ước
chung,
ký
1. Lý do, định nghĩa, tính chất
spline bậc 3.
2. Công thức xây dựng cho điều
kiện biên tự nhiên và ràng
buộc.
Bài tập cơ bản
10. (a) Xây dựng spline
bậc 3 xấp xỉ hàm
f (x).
(b) Xác định các hệ
số của spline.
Ví dụ minh hoạ
8. Cho spline bậc 3 tự nhiên của hàm f (x) trên [0, 2] như
sau

3

 1 + 2x − x , nếu 0 ≤ x < 1
S(x) = 2 + b(x − 1) + c(x − 1)2 + d(x − 1)3 ,


nếu 1 ≤ x ≤ 2
(a) Xác định a, b, c, d.
(b) Xấp xỉ giá trị của f (x) tại x = 0.5.
9. Đồng hồ đo dữ liệu của một xe hơi chạy trên đường tại
một số mốc thời gian như sau:
Thời gian(giây)
Khoảng cách(m)
Vận tốc(m/s)
0
0
22
3
67
23
5
117
24
(a) Sử dụng spline ràng buộc, xác định vị trí sau khi
xuất phát 4.5 giây của xe.
(b) Trong khoảng thời gian 5 giây, vận tốc lớn nhất của
xe là bao nhiêu?
3.3 Xấp xỉ
hàm thực
nghiệm.
1. Định nghĩa phương pháp bình
phương cực tiểu
2. Xét các dạng f (x) = A + Bx,
f (x) = A + Bx + Cx2 , f (x)
tổng quát.
11. Xấp xỉ bảng dữ liệu 10. Tăng trưởng của một loại vi khuẩn trong một môi trường
cho sẵn bởi các mô
chất lỏng được cho bởi bảng sau:
hình:
tuyến
tính,
parabol, hàm mũ
Ngày thứ
0
14
8
12
Lượng vi khuẩn(×106 ) 67.38 74.67 91.69 101.60
a) Xây dựng các mô hình: y = A + Bx + Cx2 , y = AeBx
để mô tả lượng vi khuẩn y vào ngày thứ x. Mô hình nào
cho kết quả tốt hơn?
CHƯƠNG 4: Xấp xỉ đạo hàm và tích phân (4 tiết).
Chỉ xét trường hợp 3 điểm
4.1 Xấp
xỉ 1. Các công thức: sai phân tiến,
đạo hàm.
lùi, trung tâm cho 3 điểm cách
đều.
5
Nội dung
4.2 Xấp xỉ
tích
phân.
Nội dung chi tiết
Quy
hiệu
ước
1. Xấp xỉ tích phân xác định
Rb
f (x)dx trong 2 trường hợp:
a
f (x) cho bởi biểu thức và f (x)
cho bởi bảng số.
(a) Phương pháp hình thang
mở rộng, đánh giá sai số.
(b) Phương pháp Simpson
mở rộng, đánh giá sai số.
(c) Phương pháp cầu phương
Gauss, chủ yếu xét
trường hợp n = 2.
chung,
ký
Bài tập cơ bản
Ví dụ minh hoạ
12. Tính tích phân bằng 11. Cho
các phương pháp và so
Hãy
sánh sai số.
(a)
(b)
(c)
(d)
tích phân
R5
√
1
dx. Với số đoạn chia n = 8.
−4
tính tích phân bằng các phương pháp sau
Newton-Leibniz
Phương pháp hình thang mở rộng, đánh giá sai số.
Phương pháp Simpson mở rộng, đánh giá sai số.
Phương pháp cầu phương Gauss, đánh giá sai số
bằng cách so sánh với kết quả chính xác.
3
x2
CHƯƠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN (6 tiết).
6.1 Phương
trình vi
phân cấp
1.
12. Một bể chứa nước có hình nón bị thủng lỗ tròn ở dưới
đáy, nước bị chảy ra khỏi bể với vận tốc
√
p
dx
x
= −0.6πr2 2g
dt
A(x)
1. Phương trình vi phân cấp 1
(a) Phương pháp Euler.
(b) Phương pháp Euler cải
tiến.
(c) Phương pháp
Runge-Kutta bậc 4.
x là mực nước trong bể, r là bán kính lỗ thủng, A(x) là
diện tích măt cắt của bể tại vị trí cách x(đơn vị) phía trên
lỗ thủng. Giả sử r = 0.03(m), g = 9.8(m/s2 ), mực nước
ban đầu là 2.4(m), thể tích nước ban đầu là 163(m3 ). Với
bước chia h = 20 giây.
(a) Sử dụng phương pháp Euler, Euler cải tiến để xác
định mực nước trong bể sau 1 phút.
6
Nội dung
Nội dung chi tiết
Quy
hiệu
ước
chung,
ký
Bài tập cơ bản
Ví dụ minh hoạ
13. Cho bài toán điều kiện đầu y ′ = 1 + (t − y)2 , y(2) = 1.
1
là nghiệm chính
(a) Chứng minh hàm số y = t + 1−t
xác của phương trình.
(b) Sử dụng phương pháp Runge-Kutta bậc 4 xấp xỉ
nghiệm tại t = 3 với bước chia h = 0.5. Đánh giá
sai số dựa vào nghiệm chính xác ở câu a).
6.2 Hệ
phương
trình vi
phân cấp
1.
a)Phương pháp Euler.
b)Phương pháp Euler cải tiến.
6.3 Phương
trình vi
phân cấp
2: bài
toán
Cauchy.
a)Phương pháp Euler.
b)Phương pháp Euler cải tiến.
14. Hệ Lotka-Volttera mô tả liên hệ giữa sói-thỏ(săn mồi-con
mồi) được biểu diễn bởi hệ phương trình vi phân
dx
= 0.08x − 0.001xy
dt
dy
= −0.02y + 0.00002xy
dt
với x(t), y(t) là số lượng thỏ, sói trong quần thể tại thời
điểm t( đo bởi tháng). Biết khi t = 0, x = 100, y = 400,
lấy bước chia h = 0.5.
a) Tìm số lượng mỗi loài sau 1 tháng bằng phương
pháp Euler.
b) Tìm số lượng mỗi loài sau 1 tháng bằng phương
pháp Euler cải tiến
7
Nội dung
6.3 Phương
trình vi
phân cấp
2: bài
toán biên
tuyến
tính.
Nội dung chi tiết
Quy
hiệu
ước
chung,
ký
Bài tập cơ bản
1. Phương pháp sai phân hữu hạn
Ví dụ minh hoạ
15. Độ võng w(x) tại vị trí x tính từ biên bê trái của một
thanh dầm có tiết diện ngang hình chữ nhật chịu tải
trọng đều được mô tả bởi phương trình
S
qx
d2 w
(x) =
w(x) +
(x − l),
2
dx
EI
2EI
trong đó dầm được thiết kế sao cho hai đầu không bị
võng.
Giả sử thanh dầm được thiết kế với đặc tính như sau:
chiều dài l = 120(m), tải trọng phân bố q = 1.25(kg/m),
modun đàn hồi E = 2109 × 107 (kg/m2 ), lực kéo tại biên
S = 454(kg), moment quán tính trung tâm I = 2.6 ×
10−4 (m4 ).
(a) Xấp xỉ độ võng tại điểm giữa của dầm với bước chia
l
h= .
2
CHƯƠNG 6: XẤP XỈ TRỊ RIÊNG (2 tiết).
7.1 Nhắc lại
một số
kiến thức
đại số
tuyến
tính
1. Định nghĩa: trị riêng, vector
riêng của ma trận.
2. Hệ vector độc lập tuyến tính,
trực chuẩn, trực giao.
8
Nội dung
7.2 Phương
pháp lũy
thừa tìm
trị riêng
có
module
lớn nhất
Nội dung chi tiết
Quy
hiệu
ước
chung,
ký
Bài tập cơ bản
Ví dụ minh hoạ
−2
16. Cho ma trận A =
6
a) Tìm chính xác các
ứng của ma trận.
b) Xấp xỉ trị riêng có
kết quả chính xác.
1. Ý tưởng phương pháp (Thống
nhất dùng công thức trong sách
Burden. )
THI CUỐI KỲ: 30% câu hỏi tự luận+ 70% câu hỏi trắc nghiệm.
Một số lưu ý
1. Các kết quả đánh giá sai số luôn được làm tròn lên.
2. Các kết quả chuẩn ma trận, chuẩn vecto, số điều kiện làm tròn
lên với trường hợp số lẻ.
9
−3
7
trị riêng và vector riêng tương
modun lớn nhất và so sánh với