MERCADO DE DERIVADOS
MODELO DE BLACK &
SCHOLES
Profesor: Vladimir Quevedo
E-mail:
pcafgque@upc.edu.pe
Modelo de Valorización de
Black & Scholes
 El precio de un derivado debería ser igual al costo en que
incurrimos al constituir una cartera que replique el
payoff del derivado ante cualquier escenario de mercado.
 La réplica se puede constituir en forma estática (como
vimos en forwards) o dinámica (el peso de cada
instrumento dentro de la cartera se modifica en el
tiempo).
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Modelo de Valorización de
Black & Scholes
 El valor de un instrumento derivado equivaldría al valor
presente del payoff esperado y se requiere identificar
que función de probabilidad describe el comportamiento
del activo subyacente.
 El precio obtenido depende del modelo elegido. Los dos
parámetros claves que definen la dinámica de los
factores de riesgo son la volatilidad y la correlación entre
dichos factores
 B&S proponen que se puede crear un portafolio libre de
riesgo mediante una combinación de opciones y el activo
subyacente.
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Modelo de Valorización de
Black & Scholes





S=20
En tres meses el precio podrá ser 22 o 18
Tasa libre de riesgo=12%
Tenemos 2 activos (la acción y el call)
Valorice una opción Call que otorga el derecho de
comprar la acción a 21
Pista:
◼ Formar un portafolio de X acciones (long) y 1 opción
call (pos. corta) de modo tal que no exista
incertidumbre en cuanto al valor del portafolio. Si no
hay riesgo, el retorno del portafolio debe ser igual a la
tasa libre de riesgo.
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Modelo de Valorización
de Black & Scholes
S=20
Su= 22
Asuma un portafolio de X acciones y un call:
C1= 1
Si el precio sube a 22 => El valor del portafolio será:
22*X-1 (A)
Sd=18
C1=0




Si el precio baja a 18 => El valor del portafolio será:
18*X-0 (B)
A=B => 22X-1=18X , donde X=1/4
Por lo tanto un portafolio no riesgoso esta compuesto de 0.25 acciones y
una opción. El valor del portafolio es de 4.5 en el mes 3.
VP del portafolio: 4.5*e-0.12x3/12=4.367
El valor de la acción hoy es 20, entonces => 20x 0.25- C= 4.367
=> C=0.633
Si el valor del Call fuera inferior al hallado, implicaría que el portafolio
costaría menos que 4.367 y su rendimiento seria mayor a la tasa libre de
riesgo.
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Modelo de Valorización de
Black & Scholes

Todos los activos financieros tiene una evolución futura
definida por una parte determinística y una parte estocástica
(conjunto de v.a. (Yt)t∈I). La volatilidad es una propiedad de los
activos que mide la desviación típica (variabilidad) de la parte
estocástica Tendencia
Tendencia
Vol alta
Vol baja
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Modelo de Valorización de
Black & Scholes
 Cuando el activo subyacente es una acción se debería
cumplir que:
◼
◼
◼
St >0
S0= F0/(1+r)^t ( se puede estimar correctamente el precio
forward de no arbitraje)
La probabilidad de que el activo doble su valor es igual a la
probabilidad de que el activo disminuya su valor a la mitad.
 Estas tres propiedades se verifican en una distribución
logarítmica normal.
 El logaritmo natural de una variable con dist.
logarítmica se distribuye normalmente.
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Distribución Logarítmica Normal
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Modelo de Valorización de
Black & Scholes
 ¿Por qué usar B&S en lugar del
modelo binomial?
◼ B&S es una función explícita de los
parámetros que explican el valor de las
opciones.
◼ Simplifica los cálculos del valor y
sensibilidades.
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Modelo de Valorización de
Black & Scholes
 Supuesto principal:
◼ El precio del activo evoluciona de acuerdo con un
movimiento geométrico Browniano
 El precio del activo subyacente sigue un proceso
estocástico donde su media y volatilidad son constantes
(retornos siguen una distribución logarítmica)
LN(St/S0) ~ N(µT;σ2T)
◼ Las transacciones se realizan en forma continua.
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Modelo de Valorización de
Black & Scholes
 Es posible tomar posiciones largas y cortas
sin restricciones (los activos son infinitamente
divisibles).
 No hay costos de transacción o impuestos.
 Las opciones son estándar europeas y no se
distribuyen dividendos.
 Ausencia de oportunidades de arbitraje
 Es posible prestar y tomar prestado a la tasa
de interés libre de riesgo (constante).
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Modelo de Valorización
de Black & Scholes
c = S  N d 1  − e
− rt
( )
LN S
Donde, d 1 =

 N d1 −  T


+  r +
k
2

 T
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2


  T

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MERCADO DE DERIVADOS
OPCIONES EXÓTICAS
Profesor: Vladimir Quevedo
E-mail:
quevedo_gv@up.edu.pe
Clasificación
 Opciones exóticas son aquellas diferentes a
las opciones vanilla.
 Difieren en los derechos al vencimiento,
claúsulas adicionales o a la inclusión de
varios subyacentes.
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Clasificación
 Las principales opciones exóticas:
◼
◼
◼
◼
Opciones
Opciones
Opciones
Opciones
digitales
rango
barrera
asiáticas
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Opción Digital
 Opción digital de compra
◼ Derecho a recibir un importe fijo pactado si el
precio del subyacente supera el precio de
ejercicio al vencimiento.
 Opción digital de venta
◼ Derecho a recibir un importe fijo pactado si el
precio del subyacente es inferior al precio de
ejercicio al vencimiento.
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Opción Digital
 Opción digital de compra  Opción digital de venta
k
k
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Opción Digital
 Cash-or-nothing call
(otorga una unidad de efectivo
si el precio spot supera el strike al vencimiento)
 Asset-or-nothing call
(otorga una unidad del activo si
el precio spot supera el strike al vencimiento)
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Opción Digital
 Cash-or-nothing Put
(otorga una unidad de efectivo
si el precio spot esta por debajo del strike al vencimiento)
 Asset-or-nothing Put
(otorga una unidad del activo si
el precio spot esta por debajo del strike al vencimiento)
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Opciones Digitales: ejemplo
 Una entidad financiera ofrece a sus clientes
un depósito a un año de plazo cuyo tasa de
interés es de 9% pero se abona solo si el
precio de la acción del banco sube con
respecto a una cotización de referencia.
◼ Tasa de interés 5% anual
◼ Tasa de dividendos 2%
◼ Volatilidad 30%
Valorice este depósito estructurado
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Solución
 Valor al Vcto: 100 + 9*1[St>k]
1 St > k
 1[St>k]
0 St <= k
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Solución
OPCIONES DIGITALES
Input
Precio activo
Precio Ejercicio
Tipo libre de riesgo
Volatilidad
Tiempo
Rendimiento activo
Liquidación
Output
100,00 Asset-or-nothing call:
100,00 Asset-or-nothing put:
5,000%
30,00% Cash-or-nothing call:
1,00000 Cash-or-nothing put:
2,00%
9 Call europea
Put europea
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2023
58,685
39,335
4,110
4,451
13,0203
10,1234
22
Opción Rango
 El comprador de una opción tiene el
derecho a recibir un importe fijo pactado si
en el vencimiento el precio del activo
subyacente se encuentra dentro de un
determinado rango.
 Se puede expresa en función de dos
opciones digitales.
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Opción Rango
 Opción rango= CD(k)-CD(k*)
k
k*
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Opción Rango
 Un contrato da derecho al comprador a recibir
un millón de euros si el tipo de cambio se sitúa
en el rango (USD/EUR 0.80 y USD/EUR 0.85)
en un plazo de 30 días.
◼ TC 0.825 euros/US$
◼ Tasa de interés euros a 30d 2.6% y en $ 4.15%.
◼ Volatilidad 10%.
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Solución: Opción Rango
 Opción digital larga
Input
Precio activo
Precio Ejercicio
Tipo libre de riesgo
Volatilidad
Tiempo
Rendimiento activo
Liquidación
Output
0,825 Asset-or-nothing call:
0,700
0,80 Asset-or-nothing put:
0,122
2,600%
10,00% Cash-or-nothing call: 843 040,331
0,082 Cash-or-nothing put: 154 824,965
4,15%
1 000 000 Call europea
0,0257
Put europea
0,0018
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Solución: Opción Rango
 Opción digital corta
Input
Precio activo
Precio Ejercicio
Tipo libre de riesgo
Volatilidad
Tiempo
Rendimiento activo
Liquidación
Output
0,825 Asset-or-nothing call:
0,85 Asset-or-nothing put:
2,600%
10,00% Cash-or-nothing call:
0,082 Cash-or-nothing put:
4,15%
1 000 000 Call europea
Put europea
0,117
0,705
135 362,2
862 503,1
0,0017
0,0277
 Opción rango= 843 040-135 362= 707 678 euros
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Opción Barrera
 Primero se define un nivel del precio llamado
barrera. Si el precio del activo subyacente
cruza la barrera, se modifican los derechos de
la opción.
◼ Barrera Out = la opción muere
◼ Barrera In = la opción nace
 Adicionalmente, si en la fecha de contratación
el precio es superior a la barrera se denomina
down y si el precio es inferior a la barrera se
denomina up.
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Clases de Opciones Barrera








Compra up and in (B>=k) o (B<=k)
Venta up and in (B>=k) o (B<=k)
Compra up and out (B>=k) o (B<=k)
Venta up and out (B>=k) o (B<=k)
Compra down and in (B>=k) o (B<=k)
Venta down and in (B>=k) o (B<=k)
Compra down and out (B>=k) o (B<=k)
Venta down and out (B>=k) o (B<=k)
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Clases de Opciones Barrera
 Up-and-out: el subyacente comienza a fluctuar bajo
el barrier level y si lo alcanza, la opción deja de
existir (knock out).
 Down-and-out: el subyacente comienza a fluctuar
sobre el barrier level y si lo cruza, la opción deja de
existir (knock out).
 Up-and-in: el subyacente comienza a fluctuar bajo
el barrier level y si lo alcanza, la opción se activa
(knock in).
 Down-and-in: el subyacente comienza a fluctuar
sobre el barrier level y si lo cruza, la opción se
activa (knock in).
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Clases de Opciones Barrera
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Ejemplo
 Anticipando un incremento en el precio spot del TC
USD/PEN, un inversionista compra un Call a un mes para
comprar USD a 2.6 y una barrera de 2.57 (outstrike).
 El riesgo del KO Call a diferencia del Call vanilla es que si
se llega al nivel de 2.57, la opción expira
inmediatamente. Un inversionista asume ese riesgo a
cambio de pagar una menor prima. Con respecto a un
Call vanilla.
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Opciones Asiáticas
 La liquidación de la opción se realiza
mediante una media de precios.
 La frecuencia del cómputo se define en
el contrato (diaria, semanal, mensual,
etc.).
 CAt= Max(S-k,0)
 PAt= Max(k-S,0)
 También K puede ser la media
aritmética de los precios.
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