Capítulo
9
Índices de capacidad de procesos
Introducción
Como se estudió en el capítulo anterior, los procesos tienen variables de salida, los cuales, por lo
general, deben cumplir con ciertas especificaciones para que sea posible
considerar que tal proceso funciona de manera satisfactoria. Analizar la
capacidad o habilidad de un proceso
capacidad o habilidad de un proceso consiste en conocer la amplitud
de la variación natural del proceso para una característica de calidad dada;
esto permitirá saber en qué medida tal característica de calidad es satisfactoria. En este capítulo se
analizan los índices de capacidad que, como su nombre lo indica, son mediciones especializadas
en evaluar la capacidad, que permiten comparar procesos y detectar la necesidad de mejoras. Por
la sencillez de los índices, en ocasiones se abusa de su práctica y no se consideran sus limitaciones,
por lo que es muy importante conocerlos bien para hacer una interpretación correcta.
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❚ CAPÍTULO NUEVE Índices de capacidad de procesos
166
Procesos con doble especificación
En esta sección se supone que se tiene una característica de calidad de un producto o variable de
salida de un proceso, del tipo valor nominal es mejor. Esto es que, para considerar que hay calidad,
las mediciones deben ser iguales a cierto valor nominal o ideal (N), o al menos tienen que estar
dentro de ciertas especificaciones inferior (EI) y superior (ES).
Ejemplo 9.1
Una característica importante de los costales de fertilizante es que su peso debe ser de 50 kg. La especificación inferior para el peso es EI 5 49 kg, y la superior es ES 5 51. De los datos del ejemplo 14.4 se sabe que la media del peso
es m 5 49.76 y usando el rango medio se estima que la desviación estándar es s 5 0.51. Con base en esto se quiere
saber en qué medida el proceso ha estado cumpliendo con especificaciones. Una primera forma de averiguar esto es
graficar la distribución del proceso, suponiendo una distribución normal, con m 5 49.76 y s 5 0.51. Esta distribución
se muestra en la figura 9.1, de donde se descubre que el proceso no está centrado, ya que la media del proceso es
menor que 50; además, hay mucha variación ya que la distribución no cabe dentro de especificaciones. En seguida
se ve cómo las situaciones que se observan en la figura 9.1 son reflejadas por los índices de capacidad.
EI
Figura 9.1 Capacidad
del proceso del ejemplo
9.1.
48
49
ES
50
51
52
Índice Cp
El índice de capacidad potencial del proceso, Cp se define de la siguiente manera:
ES 2 EI
Cp 5 ————
6s
donde s representa la desviación estándar del proceso, y ES y EI son las especificaciones superior
e inferior para la característica de calidad. Como se puede observar, el índice Cp compara el ancho
de las especificaciones o variación tolerada para el proceso con la amplitud de la variación real del
proceso:
Variación tolerada
Cp 5 ———————
Variación real
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Procesos con doble especificación ❚
Decimos que 6s (seis veces la desviación estándar) es la variación real, debido a las propiedades
de la distribución normal (vea el apéndice), en las que se afirma que entre m 6 3s se encuentra
99.73% de los valores de una variable con distribución normal (incluso si no hay normalidad,1 en
m 6 3s se encuentra un gran porcentaje de la distribución debido a la desigualdad de Chebyshev
y la regla empírica, capítulo 8).
Interpretación del índice Cp
Para que el proceso pueda considerarse potencialmente capaz de cumplir con especificaciones, se
requiere que la variación real (natural) siempre sea menor que la variación tolerada. De aquí que lo
deseable es que el índice Cp sea mayor que 1, y si el valor del índice Cp es menor que uno, es una
evidencia de que no cumple con especificaciones. Para una mayor precisión en la interpretación, la
tabla 9.1 presenta cinco categorías de procesos que dependen del valor del índice Cp, suponiendo
que el proceso está centrado. Ahí se ve que el Cp debe ser mayor que 1.33, si se quiere tener un
proceso bueno, pero debe ser mayor o igual que 2 si se quiere tener un proceso de clase mundial
(calidad Seis Sigma). Además, en la tabla 9.2 se ha traducido el valor del índice en porcentaje de
artículos que no cumplirían especificaciones y en la cantidad de artículos o partes defectuosas por
cada millón producido (partes por millón, PPM). Una observación que se desprende de la tabla
referida es que los valores del Cp no son directamente iguales a un porcentaje de defectuosos.
Tabla 9.1 Valores del Cp y su interpretación.
Valor del índice
Cp
Cp ≥ 2
Clase o categoría
de proceso
Clase mundial
Decisión
(si el proceso está centrado)
Se tiene calidad Seis Sigma.
Cp . 1.33
1
Adecuado.
1 , Cp ≤ 1.33
2
Parcialmente adecuado, requiere de un control estricto.
0.67 , Cp ≤ 1
3
No adecuado para el trabajo. Un análisis del proceso es necesario.
Requiere modificaciones serias para alcanzar una calidad satisfactoria.
Cp ≤ 0.67
4
No adecuado para el trabajo. Requiere modificaciones muy serias.
Nota: Si el Cpk , Cp , entonces una vez que se centre el proceso se tendrá la clase de proceso que se indica.
En el caso del ejemplo 9.1, el índice Cp está dado por:
51 2 49
2
Cp 5 ———— 5 —— 5 0.65
6(0.51)
3.06
La variación tolerada es de 2, y la variación real es mayor, ya que es de 3.06 (vea la figura 9.1).
De acuerdo con la tabla 9.1, el proceso es de cuarta categoría, con una capacidad totalmente inadecuada y requiere modificaciones muy serias. En función de la tabla 9.2, se espera que si el proceso
estuviera centrado entonces arrojaría casi 7% de costales fuera de especificaciones, que corresponde
a 70 000 PPM, lo cual se considera muy inadecuado.
1
Hay una definición del índice Cp independiente de la distribución de la característica de calidad, creada por el reporte
técnico de ISO 12783:
ES 2 EI
Cp 5 ——————
P99.865 2 P0.135
1
donde P99.865 es el percentil 99.865 de la distribución de la característica de calidad, y P0.135 es el percentil 0.135. De esta
manera, cualquiera que sea la distribución, entre estos percentiles se ubicará 99.73% de los valores de la característica
de calidad.
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167
168
❚ CAPÍTULO NUEVE Índices de capacidad de procesos
Tabla 9.2 Los índices Cp , Cpi y Cps en términos de la cantidad de piezas malas, bajo normalidad
y proceso centrado en el caso de doble especificación.
Proceso con doble especificación
(índice Cp)
Con referencia a una sola especificación
(Cpi , Cps , Cpk)
Valor del
índice
(corto plazo)
% fuera de las dos
especificaciones
Partes por millón
fuera (PPM)
% fuera de una
especificación
Partes por millón
fuera (PPM)
0.2
54.8506
548506.130
27.4253
274253.065
0.3
36.8120
368120.183
18.4060
184060.092
0.4
23.0139
230139.463
11.5070
115069.732
0.5
13.3614
133614.458
06.6807
66807.229
0.6
07.1861
071860.531
03.5930
35930.266
0.7
03.5729
035728.715
01.7864
17864.357
0.8
01.6395
016395.058
00.8198
08197.529
0.9
00.6934
006934.046
00.3467
03467.023
1.0
00.2700
002699.934
00.1350
01349.967
1.1
00.0967
000966.965
00.0483
00483.483
1.2
00.0318
000318.291
00.0159
00159.146
1.3
00.0096
000096.231
00.0048
00048.116
1.4
00.0027
000026.708
00.0013
00013.354
1.5
00.0007
000006.802
00.0003
00003.401
1.6
00.0002
000001.589
00.0001
00000.794
1.7
00.0000
000000.340
00.0000
00000.170
1.8
00.0000
000000.067
00.0000
00000.033
1.9
00.0000
000000.012
00.0000
00000.006
2.0
00.0000
000000.002
00.0000
00000.001
Un aspecto a destacar es que la interpretación que se da en las tablas 9.1 y 9.2 se fundamenta en
tres supuestos: que la característica de calidad se distribuye de modo normal, que el proceso es estable
(está en control estadístico) y que se conoce la desviación estándar del proceso, es decir, la desviación
estándar no es una estimación con base en una muestra. La violación de alguno de estos supuestos,
sobre todo de los últimos dos, afecta sensiblemente la interpretación de los índices. Más adelante se
verá la interpretación de los índices cuando éstos se calculan (estiman) a partir de una muestra.
Si al analizar el proceso se encuentra que su capacidad no es compatible con las tolerancias,
existen tres opciones: mejorar el proceso, cambiar las tolerancias o sufrir e inspeccionar 100% de
los productos. Por el contrario, si hay capacidad excesiva, ésta se puede aprovechar, por ejemplo,
reasignando productos a máquinas menos precisas, acelerando el proceso y reduciendo la cantidad
de inspección.
Índices Cpk , Cpi , Cps
El índice Cp estima la capacidad potencial del proceso para cumplir con especificaciones, pero una
de sus desventajas es que no toma en cuenta el centrado del proceso, ya que en su fórmula para
calcularlo no incluye la media del proceso m. Una forma de corregir esto es evaluar por separado el
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Procesos con doble especificación ❚
cumplimiento de las especificaciones inferior y superior, a través del índice de capacidad para la
especificación inferior (Cpi ), y el índice de capacidad para la superior (Cps ), que se calculan de
la siguiente manera:
169
índice de capacidad
inferior (Cpi)
índice de capacidad
superior (Cps)
m 2 EI
ES 2 m
Cpi 5 ———— y Cps 5 ————
3s
3s
Estos índices sí toman en cuenta m y calculan la distancia de la media del proceso a una de las
especificaciones, que representa la variación tolerada para el proceso de un solo lado de la media. A
tal distancia se le divide entre 3s porque sólo se está tomando en cuenta la mitad de la variación
natural del proceso. Para interpretar los índices unilaterales se puede usar la tabla 9.2, que señala el
porcentaje de producto que no cumple con especificaciones.
En el ejemplo 9.1, del peso de los costales, se tiene que:
51 2 49.76
1.24
Cps 5 ————— 5 ——— 5 0.81
3(0.51)
1.53
49.76 2 49
0.76
Cpi 5 ————— 5 ——— 5 0.50
3(0.51)
1.53
Luego, como el índice para la especificación inferior, Cpi, es el más pequeño y es menor que
uno, entonces los mayores problemas están por la parte inferior (vea la figura 9.1). Si se usa la tabla
9.2, dado que Cpi 5 0.50, entonces el porcentaje de producto que pesa menos que EI 5 49 kg es
6.68%. Cabe notar que también en la especificación superior hay problemas, ya que Cps 5 0.81, por
lo que el porcentaje de producto que pesa más de ES 5 51 kg es 0.82% (vea la tabla 9.2).
Por su parte, el índice de capacidad real del proceso (Cpk ) se puede ver como una versión
corregida del Cp que sí toma en cuenta el centrado del proceso. Para calcularlo hay varias formas
equivalentes, una de las más comunes es la siguiente:
[
m 2 EI ES 2 m
Cpk 5 Mínimo ————, ————
3s
3s
]
Como se puede apreciar, el índice Cpk es igual al valor más pequeño de entre Cpi y Cps , es decir,
el índice Cpk es igual al índice unilateral más pequeño, por lo que si el valor del Cpk es satisfactorio
(mayor que 1.25), eso indicará que el proceso en realidad es capaz. Si Cpk , 1, entonces el proceso
no cumple con por lo menos una de las especificaciones. Algunos elementos adicionales para la
interpretación del índice Cpk son:
a
a
a
a
El índice Cpk siempre será menor o igual que el índice Cp. Cuando sean muy próximos, eso
indicará que la media del proceso está muy cerca del punto medio de las especificaciones,
por lo que la capacidad potencial y real son similares.
Si el valor del índice Cpk es mucho más pequeño que el Cp, esto indicará que la media
del proceso está alejada del centro de las especificaciones. De esa manera, el índice Cpk
estará indicando la capacidad real del proceso, y si se corrige el problema de descentrado,
se alcanzará la capacidad potencial indicada por el índice Cp.
Cuando el valor del Cpk sea mayor que 1.25 en un proceso ya existente, se considerará
que se tiene un proceso con capacidad satisfactoria. Mientras que para procesos nuevos
se pide un Cpk . 1.45.
Es posible tener valores del Cpk iguales a cero o negativos, e indicarán que la media del
proceso está fuera de las especificaciones.
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índice de capacidad
real del proceso (Cpk)
170
❚ CAPÍTULO NUEVE Índices de capacidad de procesos
A partir del ejemplo 9.1, del peso de los costales, se tiene que:
[
]
[
]
49.76 2 49 51 2 49.76
0.76 1.24
Cpk 5 Mínimo ———————, —————— 5 Mínimo ———, ——— 5 0.5
3(0.51)
3(0.51)
1.53 1.53
Esto en términos generales indica una capacidad muy pobre. Por lo tanto, cierta proporción
de costales no tiene un peso adecuado, como ya se había visto con los índices unilaterales y en la
figura 9.1.
Como el Cpk 5 0.50 es menor que el Cp 5 0.65, entonces existe un problema de centrado
del proceso, como se vio en la figura 9.1, por lo que la primera recomendación de mejora para ese
proceso sería que optimice su centrado, con lo cual alcanzaría su mejor potencial actual, que indica
el valor del Cp 5 0.65.
Índice K
índice de centrado
del proceso (K)
Como se ha visto a través del ejemplo 9.1, un aspecto importante en el estudio de la capacidad de
un proceso es evaluar si la distribución de la característica de calidad está centrada respecto a las
especificaciones, por ello es útil calcular el índice de centrado del proceso (K), que se calcula de
la siguiente manera:
K5
m2N
3 100
1
( ES 2 EI )
2
Como se aprecia, este indicador mide la diferencia entre la media del proceso, m, y el valor
objetivo o nominal, N (o target), para la correspondiente característica de calidad, y a esta diferencia
la compara contra la mitad de la amplitud de las especificaciones. El hecho de multiplicar por 100
ayuda a tener una medida porcentual. La interpretación usual de los valores de K es la siguiente:
a
a
a
Si el signo del valor de K es positivo, significa que la media del proceso es mayor que el
valor nominal, y será negativo cuando m , N.
Valores de K menores que 20% en términos absolutos se pueden considerar aceptables,
pero a medida que el valor absoluto de K sea más grande que 20%, indica un proceso
muy descentrado, lo que puede contribuir de manera significativa a que la capacidad del
proceso para cumplir especificaciones sea baja.
El valor nominal, N, es la calidad objetivo y óptima; cualquier desviación respecto a este
valor lleva un detrimento en la calidad. Por ello, cuando un proceso esté descentrado de
manera significativa, se deben hacer esfuerzos serios para centrarlo, lo que regularmente es más fácil que disminuir la variabilidad.
En el ejemplo 9.1 del peso de los costales, si se considera que el valor nominal N 5 50 kg,
entonces el índice K es:
K5
49.76 2 50
3 100 5224%
1
(51 2 49)
2
De esta forma, la media del proceso está desviada 24% a la izquierda del valor nominal, por lo
que el centrado del proceso es inadecuado y esto contribuye de manera significativa a la baja capacidad del proceso para cumplir con la especificación inferior, como ya se había visto a través de la
figura 9.1 y los anteriores índices de capacidad.
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Procesos con sólo una especificación ❚
Procesos con sólo una especificación
Existen procesos cuyas variables de salida tienen sólo una especificación, ya sean variables del tipo
entre más grande mejor, en las que lo que interesa es que sean mayores que cierto valor mínimo
(EI), o variables del tipo entre más pequeña mejor, en las que lo que se quiere es que nunca excedan
un cierto valor máximo (ES). Para evaluar la capacidad de estos procesos se utilizan los índices Cpi
o Cps que se vieron antes.
Ejemplo 9.2
Especificación inferior
En una armadora de autos, en el área de pintado, una característica de calidad es el espesor de la capa antipiedra en
la zona trasera de los arcos de rueda, que debe ser mínimo de 100 micras (EI 5 100). Para asegurar el cumplimiento
–
de esta especificación, se lleva una carta de control X 2 R; de la información proporcionada por esta carta se sabe
que el proceso está en control estadístico y que m 5 105 y s 5 6.5. En este caso no es posible calcular el índice Cp,
ya que sólo se cuenta con la especificación inferior; más bien, dado el tipo de variable, lo que se debe calcular es el
índice para la especificación inferior Cpi que, como ya se vio, está dado por:
m 2 EI
105 2 100
Cpi 5 ———— 5 ————— 5 0.256
3s
3(6.5)
lo que indica que la capacidad del proceso es muy mala. Esto se corrobora con la tabla 9.2, de la que se obtiene que
el proceso genera entre 18.4 y 27.4% de productos cuyo espesor de capa es menor que EI 5 100. Ajustando a 22%,
indica que se tienen 220 000 PPM (productos por cada millón) que no cumplen con dicha especificación.
Índice Cpm (índice de Taguchi)
Los índices Cp y Cpk están pensados a partir de que lo importante para un proceso es reducir su
variabilidad para cumplir con las especificaciones. Sin embargo, desde el punto de vista de G. Taguchi, cumplir con especificaciones no es sinónimo de buena calidad y la reducción de la variabilidad
debe darse pero en torno al valor nominal (calidad óptima). Es decir, la mejora de un proceso según
Taguchi debe estar orientada a reducir su variabilidad alrededor del valor nominal, N, y no sólo
orientada a cumplir con especificaciones. En consecuencia de lo anterior, Taguchi (1986) propone
que la capacidad del proceso se mida con el índice Cpm, que está definido por:
ES 2 ES
Cpm 5 ————
6t
donde t (tau) está dada por:
t 5 s 2 1 ( m 2 N )2 ,
N es el valor nominal de la característica de calidad, y EI y ES son las especificaciones inferior y
superior. El valor de N generalmente es igual al punto medio de las especificaciones, es decir, N 5
0.5(ES 1 EI). Note que el índice Cpm compara el ancho de las especificaciones con 6t, pero t no
sólo toma en cuenta la variabilidad del proceso, a través de s2, sino que también se preocupa por su
centrado a través de (m – N)2. De esta forma, si el proceso está centrado, es decir, si m 5 N, entonces
el Cp y el Cpm son iguales.
En el caso del ejemplo 9.1, sobre el peso de los costales:
C pm 5
51 2 49
2
2
6 0.51 1 (49.76 2 50)
5
2
5 0.59
3.38
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171
172
❚ CAPÍTULO NUEVE Índices de capacidad de procesos
Interpretación. Cuando el índice Cpm es menor que 1, eso indica que el proceso no cumple con
especificaciones, ya sea por problemas de centrado o por exceso de variabilidad. Por lo que en el caso
de los costales no se cumple con especificaciones y, como se aprecia en la figura 9.1, se debe tanto a
exceso de variación como a que el proceso está descentrado.
Por el contrario, cuando el índice Cpm es mayor que uno, entonces eso querrá decir que el
proceso cumple con especificaciones y, en particular, que la media del proceso está dentro de la
tercera parte media de la banda de las especificaciones. Si Cpm es mayor que 1.33, entonces el proceso cumple con especificaciones, pero además la media del proceso está dentro de la quinta parte
media del rango de especificaciones. En el caso del ejemplo 9.1, la quinta parte media de la banda
de especificaciones es 506 (1/5).
Estimación de los índices mediante una muestra
(estimación por intervalo)
Para calcular los índices de capacidad e interpretarlos se necesita conocer la media, m, y la desviación estándar, s, del proceso con una buena aproximación. Sin embargo, no siempre se conocen
estos parámetros, por lo que en esas situaciones será necesario utilizar datos muestrales y estimar
estos índices por intervalo. Sea x1, x2, . . . , xn, una muestra aleatoria del proceso, y x y S la media
y la desviación estándar de tal muestra. Si los índices se estiman usando x y S en lugar de m y s,
respectivamente, entonces la estimación puntual de los índices estará dada por:
kp 5 ES 2 EI ,
C
6S
x
EI
2
kpi 5
,
C
3S
kpk 5 ES 2 x
C
3S
k
C p k 5 Mínimo (Ckpi , Ckps )
kp m 5
C
ES 2 EI
2
S 1 ( x 2 N )2
y si la muestra es pequeña, de unas cuantas decenas (menor que 80, por ejemplo), es incorrecto
comparar los valores estimados con los valores mínimos recomendados para los índices. También
es erróneo interpretar los valores estimados de los índices como en la tabla 9.2, ya que los valores
mínimos son para los verdaderos índices, o índices poblacionales, y no para su estimación muestral.
Si los índices son estimados con base en muestras pequeñas, entonces un valor grande de un índice
muestral no necesariamente implica que se tiene una buena capacidad de proceso. Lo contrario
también es verdad: un valor pequeño del índice estimado no necesariamente implica mala capacidad del proceso.
Por lo anterior, lo que debe hacerse es una estimación por intervalo (vea Gutiérrez Pulido y
de la Vara, 2009), en la cual se toma en cuenta el error estándar de su correspondiente estimador
muestral (vea Kushler y Hurley, 1992). De forma específica, los intervalos de confianza para Cp, Cpk
y Cpm están dados por:
kp 6 Z
C
a /2
kpk 6 Z
C
a /2
kp
C
2(n 2 1)
kpk2
1
C
1
2(n 2 1) 9n
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Estimación de los índices mediante una muestra ❚
kpm 6 Z
C
a /2
kpm
C
n
1 ( x 2 N )2
1
2
S2
2
⎡
( x 2 N )2 ⎤
1
1
⎢
⎥
S2
⎣
⎦
donde n es el tamaño de muestra y Za/2 es el percentil de la distribución normal que determina la
confianza de la estimación (si se quiere trabajar con 95% de confianza, el valor de Za/2 es 1.96). De
esta manera, el verdadero valor del índice de capacidad del proceso se encontrará entre el intervalo
obtenido con las expresiones anteriores, con la confianza deseada.
Ejemplo 9.3
Supongamos que una característica de calidad tiene especificaciones de 50 6 1. Para tener una primera idea de la
capacidad del proceso para cumplir con esta especificación, se obtiene una muestra aleatoria de 40 unidades producidas por el proceso. De las mediciones de esas 40 unidades se obtiene que la media y la desviación estándar para
–
la muestra son: X 5 50.15 y S 5 0.289. Con estos valores se estiman puntualmente los índices:
512 49
Ckp 5
5 1.15
6(0.289)
⎛ 50.15 2 49 512 50.15 ⎞
Ck pk 5 Mín ⎜
,
5 Mín(1.33, 0.98) 5 0.98
⎝ 3(0.289)
3(0.289) ⎟⎠
Ck pm 5
512 49
2
(0.289) 1 (50.15 2 50)2
5 1.02
Para tener una idea del valor de los índices poblacionales del proceso, se calcula un intervalo de confianza a 95%:
C p : 1.15 6 1.96
C pk : 0.98 6 1.96
C pm : 1.02 6 1.96
1.15
2(40 2 1)
5 1.15 6 0.26
(0.98)2
1
1
5 0.98 6 0.24
2(40 2 1) 9(40)
1.02
40
1 (50.15 2 50)2
1
2
(0.289)2
5 1.02 6 0.22
2
⎡
(50.15 2 50)2 ⎤
⎢11
⎥
(0.289)2 ⎦
⎣
El 0.26, el 0.24 y el 0.22 en las anteriores ecuaciones son los errores de estimación para cada índice. De esta manera, con una confianza de 95%, el verdadero valor del índice Cp está entre 0.89 y 1.41; el de Cpk se localiza entre 0.74
y 1.22, y el de Cpm entre 0.80 y 1.24. Por lo tanto, con base en la muestra sería riesgoso afirmar que el proceso es
potencialmente capaz, ya que el valor real del Cp podría ser de hasta 0.89; pero también sería riesgoso afirmar que es
malo, ya que el verdadero valor del Cp podría ser 1.41. Lo mismo se puede decir respecto a la capacidad real, ya que lo
mismo puede ser mala (Cpk 5 0.74, Cpm 5 0.80) que buena (Cpk 5 1.22, Cpm 5 1.24). Para reducir esta incertidumbre
y el error de estimación, es necesario medir más piezas (incrementar el tamaño de muestra).
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173
❚ CAPÍTULO NUEVE Índices de capacidad de procesos
174
Preguntas de repaso y ejercicios del capítulo 9
1. ¿Cuándo se dice que un proceso es capaz o hábil?
2. Respecto a los índices Cp y Cpk explique:
estime los índices Cp , Cpk , Cpm y K, e interprételos con detalle.
c) Con base en la tabla 9.2 estime el porcentaje fuera de especificaciones.
a) ¿Qué mide el índice Cp?
b) ¿Qué significa que un proceso esté descentrado? Explique gráficamente con un ejemplo (vea
la figura 9.1).
c) ¿El índice Cp toma en cuenta lo centrado de un
proceso? Argumente su respuesta.
d ) ¿Por qué se dice que el índice Cp mide la capacidad potencial y el Cpk la capacidad real? Apóyese
en los puntos anteriores para explicar.
3. Si una característica de calidad debe estar entre
30 6 2, y se sabe que su media y desviación estándar están dadas por m 5 29.3 y s 5 0.5, calcule
e interprete con detalles los siguientes índices: Cp ,
Cpk , K.
4. Para el ejercicio 15 del capítulo 8, sobre el grosor de
las láminas de asbesto se tiene que las especificaciones son: EI 5 4.2 mm y ES 5 5.8 mm. Además
de las mediciones hechas en los últimos tres meses, se aprecia un proceso que tiene una estabilidad
aceptable, con m 5 4.75 y s 5 0.45.
d) Las estimaciones hechas en los dos incisos anteriores y las correspondientes interpretaciones
se deben ver con ciertas reservas dado que son
estimaciones basadas en una muestra. ¿Por qué
se deben ver con reservas?
6. Para el ejercicio 16 del capítulo 8, estime los índices
de capacidad Cp y Cpk utilizando todos los datos.
7. Para el ejercicio 18 del capítulo 8, estime los índices
de capacidad Cp y Cpk para cada propuesta. ¿Cuál
propuesta parece mejor?
8. Una característica importante en la calidad de la leche
de vaca es la concentración de grasa. En una industria en particular se ha fijado que el estándar mínimo
que debe cumplir el producto que se recibe directamente de los establos lecheros es de 3.0%. Si de los
datos históricos se sabe que m 5 4.1 y s 5 0.38.
a) Calcule el Cpi e interprételo.
a) Calcule el índice K e interprételo.
b) Con base en la tabla 9.2 estime el porcentaje fuera de especificaciones.
b) Obtenga los índices Cp y Cpk e interprételos.
c) ¿La calidad es satisfactoria?
c) Con base en la tabla 9.2 estime el porcentaje de
láminas que no cumplen con especificaciones:
del lado inferior, del superior y de ambos lados.
d ) En resumen, ¿el proceso cumple con especificaciones? Argumente su respuesta.
5. Los siguientes datos representan las mediciones
de viscosidad de los últimos tres meses de un producto lácteo. El objetivo es tener una viscosidad de
80 6 10 cps.
84
81
82
86
83
87
78
87
80
79
81
78
80
85
82
84
83
81
82
81
77
83
83
79
84
83
83
78
86
82
80
84
84
86
86
82
80
81
82
84
80
85
82
83
81
81
86
82
80
85
82
84
78
82
82
84
83
84
83
87
78
82
83
84
81
84
82
83
82
88
83
84
81
82
82
81
86
79
76
90
a) Construya una gráfica de capacidad de este proceso (histograma con tolerancias) y genere una
primera opinión sobre la capacidad.
b) Calcule la media y la desviación estándar y, considerando estos parámetros como poblacionales,
9. En una empresa que elabora productos lácteos se
tiene como criterio de calidad para la crema que ésta
tenga un porcentaje de grasa de 45 con una tolerancia de 65. De acuerdo con los muestreos de los últimos meses, se tiene una media de 44.5 con una
desviación estándar de 1.3. Haga un análisis de capacidad para ver si se está cumpliendo con la calidad
exigida (Cp , Cpk , K, Cpm , límites reales), represente
gráficamente sus resultados y comente.
10. El volumen en un proceso de envasado debe estar
entre 310 y 330 ml. De acuerdo con los datos históricos se tiene que m 5 318 y s 5 4. ¿El proceso de
envasado funciona bien en cuanto al volumen? Argumente su respuesta.
11. El porcentaje de productos defectuosos en un proceso es de 2.3%. Con base en la tabla 9.2 estime el
Cp de este proceso.
12. Si un proceso tiene un Cps 5 1.3, estime las PPM
fuera de especificaciones (apóyese en la tabla 9.2).
13. La especificación del peso de una preforma en un
proceso de inyección de plástico es de 60 6 1 g.
Para hacer una primera valoración de la capacidad
del proceso se obtiene una muestra aleatoria de n 5
–
40 piezas, y se obtiene que X 5 59.88 y S 5 0.25.
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Preguntas de repaso y ejercicios del capítulo 9 ❚
a) Estime, con un intervalo de confianza de 95%,
los índices Cp , Cpk y Cpm e interprete cada uno
de ellos.
b) ¿Hay seguridad de que la capacidad del proceso
sea satisfactoria?
c) ¿Por qué fue necesario estimar por intervalo?
175
14. Conteste los primeros incisos del problema anterior,
pero ahora suponiendo que el tamaño de la muestra
fue de n 5 140. ¿Las conclusiones serían las mismas?
15. Resuelva el problema 13, pero con n 5 40 piezas,
–
X 5 59.88 y S 5 0.15.
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