كلية العلوم – جامعة القاهرة
مقرر :الجبر ر 212م 2
زمن االختبار 20 :دقيقة – التاريخ 12 :مارس 2024
قسم الرياضيات
-1اذا كان Vفراغ اتجاهي على مجال ، Kو Tمؤثر خطي على ، Vاكتب تعريف " Tقابل للتمثيل القطري"
الحل:
يقال أن المؤثر Tقابل للتمثيل القطري إذا كان الفراغ Vمنتهي البعد ووجد أساس Bللفراغ Vبحيث تكون المصفوفة [T]Bمصفوفة
قطرية
-2ليكن المؤثر الخطي T:P3P3معطى بـ )T(p(x)) = p(x) + p(x
-1اوجد المصفوفة [T]Sحيث } S = {1, x, x2, x3هو األساس الطبيعي للفراغ الخطي P3
-2اوجد القيم الذاتية للمصفوفة [T]Sوالمتجهات الذاتية المناظرة لها
-3هل Tقابل للتمثيل القطري؟ علل اجابتك
الحل:
T(1) = 1
T(x) = x + 1
T(x2) = x2 + 2x
T(x3) = x3 + 3x2
1 1 0 0
إذن ][𝑇]𝑆 = [0 1 2 0
0 0 1 3
0 0 0 1
بما أن [T]Sمصفوفة مثلثة ،إذن قيمها الذاتية هي عناصر قطرها الرئيسي ،أي 1, 1, 1, 1
[T]Sليست قابلة للتمثيل القطري النها ال يمكن أن تشابة مصفوفة الوحدة ، I4حيث ال توجد مضفوفة تشابه I4سوى نفسها
𝑎 0 1 0 0
0
0
0
2
0
𝑏
[
اليجاد المتجهات الذاتية للمصفوفة [T]Sنوجد حلول المعادلة (I4 [T]S)v = 0أي ]] [ ] = [0
𝑐 0 0 0 3
0
𝑑
0 0 0 0
0
𝑎
0
فراغ الحلول هو }𝐑 ∈ 𝑎 {[0] :وأي متجه غير صفري في هذا الفراغ هو متجه ذاتي للمصفوفة [T]S
0
ملحوظة :ما سبق يعني أن المتجهات الذاتية للمؤثر Tهي كثيرات الحدود التي درجتها 0
.
1
0