‫كلية العلوم – جامعة القاهرة‬
‫مقرر‪ :‬الجبر ر ‪ 212‬م ‪2‬‬
‫زمن االختبار‪ 20 :‬دقيقة – التاريخ‪ 12 :‬مارس ‪2024‬‬
‫قسم الرياضيات‬
‫‪ -1‬اذا كان ‪ V‬فراغ اتجاهي على مجال ‪ ، K‬و ‪ T‬مؤثر خطي على ‪ ، V‬اكتب تعريف "‪ T‬قابل للتمثيل القطري"‬
‫الحل‪:‬‬
‫يقال أن المؤثر ‪ T‬قابل للتمثيل القطري إذا كان الفراغ ‪ V‬منتهي البعد ووجد أساس ‪ B‬للفراغ ‪ V‬بحيث تكون المصفوفة ‪ [T]B‬مصفوفة‬
‫قطرية‬
‫‪ -2‬ليكن المؤثر الخطي ‪ T:P3P3‬معطى بـ )‪T(p(x)) = p(x) + p(x‬‬
‫‪ -1‬اوجد المصفوفة ‪ [T]S‬حيث } ‪ S = {1, x, x2, x3‬هو األساس الطبيعي للفراغ الخطي ‪P3‬‬
‫‪ -2‬اوجد القيم الذاتية للمصفوفة ‪ [T]S‬والمتجهات الذاتية المناظرة لها‬
‫‪ -3‬هل ‪ T‬قابل للتمثيل القطري؟ علل اجابتك‬
‫الحل‪:‬‬
‫‪T(1) = 1‬‬
‫‪T(x) = x + 1‬‬
‫‪T(x2) = x2 + 2x‬‬
‫‪T(x3) = x3 + 3x2‬‬
‫‪1 1 0 0‬‬
‫إذن ]‪[𝑇]𝑆 = [0 1 2 0‬‬
‫‪0 0 1 3‬‬
‫‪0 0 0 1‬‬
‫بما أن ‪ [T]S‬مصفوفة مثلثة‪ ،‬إذن قيمها الذاتية هي عناصر قطرها الرئيسي‪ ،‬أي ‪1, 1, 1, 1‬‬
‫‪ [T]S‬ليست قابلة للتمثيل القطري النها ال يمكن أن تشابة مصفوفة الوحدة ‪ ، I4‬حيث ال توجد مضفوفة تشابه ‪ I4‬سوى نفسها‬
‫𝑎 ‪0 1 0 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫𝑏‬
‫[‬
‫اليجاد المتجهات الذاتية للمصفوفة ‪ [T]S‬نوجد حلول المعادلة ‪ (I4  [T]S)v = 0‬أي ]‪] [ ] = [0‬‬
‫𝑐 ‪0 0 0 3‬‬
‫‪0‬‬
‫𝑑‬
‫‪0 0 0 0‬‬
‫‪0‬‬
‫𝑎‬
‫‪0‬‬
‫فراغ الحلول هو }𝐑 ∈ 𝑎 ‪ {[0] :‬وأي متجه غير صفري في هذا الفراغ هو متجه ذاتي للمصفوفة ‪[T]S‬‬
‫‪0‬‬
‫ملحوظة‪ :‬ما سبق يعني أن المتجهات الذاتية للمؤثر ‪ T‬هي كثيرات الحدود التي درجتها ‪0‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1‬‬