Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
------------------------------------------------------------------------------------
Đại số tuyến tính
Chương 5: Không gian Euclid
• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh
Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5.1 – Tích vô hướng của hai véctơ. Các khái niệm liên quan.
5.2 – Bù vuông góc của không gian con.
5.3 – Quá trình trực giao hóa Gram – Schmidt.
5.4 – Hình chiếu vuông góc, khoảng cách đến không gian con.
5.1 Tích vô hướng
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa tích vô hướng
Tích vô hướng trong R-kgvt V là một hàm thực sao cho
mỗi cặp véctơ u và v thuộc V, tương ứng với một số thực ký
hiệu (u,v) thỏa 4 tiên đề sau:
a. (u, v V ) (u, v)  (v, u)
b. (u, v, w  V) (u  v, w)  (u, w)  (v, w)
c. (  R, u, v V ) ( u, v)   (u, v)
d. (u V ) (u, u)  0;(u, u)  0  u  0
Không gian thực hữu hạn chiều cùng với một tích vô
hướng trên đó được gọi là không gian Euclid.
5.1. Tích vô hướng
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Trong không gian R2 cho qui tắc
x  ( x1, x2 )  R2 ; y  ( y1, y2 )  R2
( x, y )  (( x1, x2 ),( y1, y2 ))  x1 y1  2 x1 y2  2 x2 y1  10 x2 y2
1. Chứng tỏ (x,y) là tích vô hướng.
2. Tính tích vô hướng của hai véctơ u  (2,1), v  (1, 1)
Giải.
2. Tính tích vô hướng của hai véctơ u  (2,1), v  (1, 1) là
(u, v)  ((2,1),(1, 1))
 2.1  2.2.(1)  2.1.1  10.1.(1)  10
5.1. Tích vô hướng
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Trong không gian P2 [x] cho qui tắc
p( x)  a1x 2  b1x  c1; q( x)  a2 x 2  b2 x  c2  P2 [x].
1
( p, q)   p( x)q( x)dx
0
1. Chứng tỏ (p,q) là tích vô hướng.
2
p
(
x
)

2
x
 3 x  1, q ( x)  x  1
2. Tính tích vô hướng của
2. Tích vô hướng của hai véctơ (p,q) là
1
1
( p, q)   p( x).q( x)dx   (2 x 2  3x  1)( x  1)dx  1
0
6
0
5.1. Tích vô hướng
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa độ dài véctơ
Độ dài véctơ u là số thực dương ký hiệu bởi ||u|| và được
định nghĩa như sau
|| u || (u, u )
Véctơ có độ dài bằng 1 gọi là véctơ đơn vị.
Chia một véctơ cho độ dài của nó ta được véctơ đơn vị.
Quá trình tạo ra véctơ đơn vị được gọi là chuẩn hóa.
5.1. Tích vô hướng
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bất đẳng thức Cauchy-Schwatz
Trong không gian Euclid V, ta có bất đẳng thức sau
| (u, v) ||| u || .|| v ||
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u và v phụ thuộc tuyến tính.
Bất đẳng thức tam giác.
Cho hai véctơ u và v của không gian Euclid V.
|| u  v ||  || u ||  || v ||
5.1. Tích vô hướng
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa khoảng cách giữa hai véctơ
Cho hai véctơ u và v của không gian Euclid V, khoảng cách
giữa hai véctơ u và v, ký hiệu bởi d(u,v), là độ dài của véctơ
u – v. Vậy d(u,v) = ||u – v||
Định nghĩa góc giữa hai véctơ
Cho hai véctơ u và v của không gian Euclid V.
Góc  giữa hai véctơ u và v là đại lượng thỏa
cos  
(u, v)
|| u || . || v ||
5.1. Tích vô hướng
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Trong không gian R3 cho qui tắc
x  ( x1, x2 , x3 )  R3 ; y  ( y1, y2 , y3 )  R3
( x, y)  (( x1, x2 , x3 ),( y1, y2 , y3 ))
 5x1 y1  2 x1 y2  2 x2 y1  3x2 y2  x3 y3
1. Chứng tỏ (x,y) là tích vô hướng.
2. Tính tích vô hướng của hai véctơ u  (2,1,0), v  (3, 2,4)
2. (u, v)  ((2,1,0),(3, 2, 4))  5.2.3  2.2.(2)  2.1.3  3.1.(2)  0.4
(u, v)  22.
5.1. Tích vô hướng
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Trong không gian R3 cho qui tắc
x  ( x1, x2 , x3 )  R3 ; y  ( y1, y2 , y3 )  R3
( x, y)  (( x1, x2 , x3 ),( y1, y2 , y3 ))
 5x1 y1  2 x1 y2  2 x2 y1  3x2 y2  x3 y3
3. Tìm độ dài của véctơ u  (3, 2,1)
|| u || (u, u)  ((3,2,1),(3,2,1))
|| u || 5.3.3  2.3.2  2.2.3  3.2.2  1.1
|| u || 82
5.1. Tích vô hướng
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Trong không gian R3 cho qui tắc
x  ( x1, x2 , x3 )  R3 ; y  ( y1, y2 , y3 )  R3
( x, y)  (( x1, x2 , x3 ),( y1, y2 , y3 ))
 5x1 y1  2 x1 y2  2 x2 y1  3x2 y2  x3 y3
4. Tìm khoảng cách giữa hai véctơ u  (1, 2,1) vaш
v  (3,0, 2)
d (u, v) || u  v ||  (u  v, u  v)  ((2,2, 1),(2,2, 1))
d (u, v)  5.(2).(2)  2.(2).2  2.2.(2)  3.2.2  1.1
d (u , v)  17
5.1. Tích vô hướng
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Trong không gian R3 cho qui tắc
x  ( x1, x2 , x3 )  R3 ; y  ( y1, y2 , y3 )  R3
( x, y)  (( x1, x2 , x3 ),( y1, y2 , y3 ))
 5x1 y1  2 x1 y2  2 x2 y1  3x2 y2  x3 y3
v  (2,1,0)
5. Tìm góc giữa hai véctơ u  (1,0,1) vaш
cos  
(u, v)
12
12


|| u || . || v ||
6. 31
186
12
 a  arccos
186
5.1. Tích vô hướng
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho hai véctơ p(x) và q(x) của R-Kgvt P2[x], đặt
1
( p, q)   p( x)q( x)dx
1
1. Chứng tỏ (p,q) là tích vô hướng.
2
2. Tính (p,q) với p ( x)  2 x  3 x  1; q ( x)  x  3
1
1
1
1
( p, q)   p( x).q( x)dx   (2 x 2  3x  1)( x  3)dx
 12
5.1. Tích vô hướng
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho hai véctơ p(x) và q(x) của R-Kgvt P2[x], đặt
1
( p, q)   p( x)q( x)dx
1
3. Tìm độ dài của véctơ p( x)  2 x  3
|| p || ( p, p)

1
 p( x). p( x)dx
1

1
 (2 x  3) dx
1
2
62

3
5.1. Tích vô hướng
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho hai véctơ p(x) và q(x) của R-Kgvt P2[x], đặt
1
( p, q)   p( x)q( x)dx
1
4. Tính khoảng cách giữa hai véctơ p(x) và q(x) với
p( x)  x 2  x  2; q ( x)  x 2  2 x  3
d ( p, q) || p  q ||  ( p  q, p  q)
 (3x  1,3x  1) 
1
2
 (3x  1) dx
1
2 2
5.1. Tích vô hướng
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho hai véctơ p(x) và q(x) của R-Kgvt P2[x], đặt
1
( p, q)   p( x)q( x)dx
1
2
5. Tính góc giữa hai véctơ p ( x)  x  x; q ( x)  2 x  3
( p, q )
cos  
|| p || . || q ||
1

 p(x)q(x)dx
1
1
1
2
[p(x)]
dx
[q(x)]
dx


1
2
1
5.2. Tích vô hướng
---------------------------------------------------------------------
Định nghĩa sự vuông góc
Hai vectơ u và v được gọi là vuông góc nhau, nếu
(u,v) = 0, ký hiệu u  v
Định nghĩa
Véctơ x vuông góc với tập hợp M, nếu
(y  M ) x  y
5.1. Tích vô hướng
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa họ trực giao
Tập hợp con M của không gian Euclid V được gọi là họ
trực giao, nếu
(x, y  M ) ( x  y ) thмx  y.
Định nghĩa họ trực chuẩn
Tập hợp con M của không gian Euclid V được gọi là họ
trực chuẩn, nếu
1. M trцп
c giao.
2. (x  M ) || x || 1.
5.1. Tích vô hướng
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mệnh đề
Véctơ x vuông góc với không gian con F khi và chỉ khi x
vuông góc với tập sinh của F.
Chứng minh.
Hiển nhiên.
Giả sử x vuông góc với tập sinh f1, f 2 ,..., f m .
f  F  f  1 f1   2 f 2  ...   m f m
Xét tích vô hướng ( x, f )  ( x,1 f1   2 f 2  ...   m f m )
 ( x, f )  1 ( x, f1 )   2 ( x, f 2 )  ...   m ( x, f m )
 ( x, f )  0 hay x vuông góc f.
Vậy x vuông góc với F.
5.1. Tích vô hướng
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Trong không gian R3 với tích vô hướng chính tắc cho
không gian con
x1  x2  x3  0 
F  ( x1, x2 , x3 )

2x1  3x2  x3  0 
cho véctơ x = ( 2, 3, m). Tìm tất cả m để x vuông góc với F.
Bước 1. Tìm tập sinh của F
{(4,-3,1)}
Bước 2. x  F  x vuoвng goщ
c vфщ
i taд
p sinh cuы
a F.
 x  (4, 3,1)  ((2,3, m),(4, 3,1))  0  4.2  (3).3  1.m  0
 m  1.
5.2. Bù vuông góc của không gian con
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa bù vuông góc của không gian con
Cho không con F của không gian Euclid V. Tập hợp
F   { x  V | x  F}
được gọi là bù vuông góc của không gian con F.
Định lý
Cho không con F của không gian Euclid V. Khi đó
1. F  laш
khoвng gian con cuы
a V.
2. dim( F )  dim( F  )  dimV
5.2. Bù vuông góc của không gian con
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Các bước tìm cơ sở và chiều của không gian F 
Bước 1. Tìm một tập sinh của F. Giả sử đó là
{ f1, f 2 ,..., f m}
Bước 2. Tìm không gian con bù vuông góc.
y  F   y  F  y vuoвng goщ
c vфщ
i taд
p sinh cuы
aF
 ( y, f1 )  0
 y  f1
 ( y, f )  0
y f
2

2 
 heдthuaа
n nhaб
t AX  0.


...
...


( y, f m )  0
 y  f m
F  laш
khoвng gian nghieд
m cuы
a heд
.
5.2. Bù vuông góc của không gian con
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ. Cho F  (1,1,1),(2,1,0),(1,0, 1)  là không gian
con của R3. Tìm cơ sở và chiều của F  .
Giải.
x  ( x1, x2 , x3 )  F   x  F
 x  (1,1,1)

  x  (2,1,0)
 x  (1,0, 1)

 x1  x2  x3

  2 x1  x2
 x x
 1 3
 0
 0
 0
 x1  

  x2  2
 x  ( , 2 , )   (1, 2,1)
 x 
 3
 =1.

cơ
sở:
{(1,-2,1)};
Dim
F
 F  (1, 2,1) 
5.2. Bù vuông góc của không gian con
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ. Cho
F  ( x1, x2 , x3 )  R3 | x1  x2  x3  0 & 2 x1  x2  x3  0
là không gian con của R3. Tìm cơ sở và chiều của F  .
Giải. Bước 1. Tìm tập sinh của F.
 x1  x2  x3  0
x  ( x1, x2 , x3 )  F  
2 x1  x2  x3  0
 x1  2

  x2  3  x  (2 , 3 , )   (2, 3,1)
 x 
 3
Vậy tập sinh của F là {(2,-3,1)}
Bước 2. Tương tự như ở ví dụ trước.
5.3 Quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Khi làm việc với không gian Euclid V, ta làm việc với cơ sở của
không gian véctơ.
Theo định lý trên và ví dụ ở slide trước ta thấy nếu cơ sở là trực
chuẩn thì công việc tính toán rất nhanh (tính tọa độ, tính tích vô
hướng của hai véctơ, tính độ dài, khoảng cách, …)
Yêu cầu đặt ra: tìm một cơ sở trực chuẩn của không gian Euclid V.
Bước 1. Trước hết, ta chọn một cơ sở tùy ý E của V.
Bước 2. Dùng quá trình Gram – Schdmidt sau đây đưa E về cơ sở
trực giao.
Bước 3. Chia mỗi véctơ cho độ dài của nó ta được cơ sở trực chuẩn.
5.3 Quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Quá trình Gram – Schmidt là quá trình đơn giản dùng để
tìm một cơ sở trực giao, sau đó là cơ sở trực chuẩn cho một
không gian con của không gian Euclid.
Định lý (quá trình Gram – Schmidt)
Cho E  { e1, e2 ,..., em} là họ độc lập tuyến tính của không
gian Euclid V.
Khi đó có thể xây dựng từ E một họ trực giao
F  { f1, f 2 ,..., f m}
sao cho  f1, f 2 ,..., f m  e1, e2 ,..., em 
5.3 Quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Quá trình trực giao hóa Gram – Schmidt
Chọn f1  e1
Tìm
f 2  e2  1 f1
 ( f 2 , f1 )  (e2 , f1 )  1 ( f1, f1 )  0  (e2 , f1 )  1 ( f1, f1 )
(e2 , f1 )
 1  
( f1, f1 )
(e2 , f1 )
 f 2  e2 
f1
( f1, f1 )
Tмm f3 фыdaп
ng f3  e3  1 f1   2 f 2
(e3 , f1 )
(e3 , f 2 )
f3  e3 
f1 
f2
( f1, f1 )
( f2 , f2 )
(ek , f1)
(ek , f 2 )
f k  ek 
f1 
f2 
( f1, f1)
( f2 , f2 )
(ek , f k 1)

f k 1
( f k 1, f k 1)
Khi đó {f1, f2, ..., fm} là cơ sở trực giao của W.
5.3 Quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt
------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ
Trong R4 cho họ đltt E= {(1,0,1,1), ), (0,1,1,1), (1,1,1,1)}
Dùng quá trình Gram –Schmidt tìm họ trực giao, họ trực chuẩn.
F  { f1, f 2 , f3}
Chọn f1  e1  (1,0,1,1)
(e2 , f1 )
2 1 1
2
f1  (0,1,1,1)  (1,0,1,1)  ( ,1, , )
Tìm f 2  e2 
( f1, f1 )
3 3 3
3
f 2  (2,3,1,1)
(e3 , f1 )
(e3 , f 2 )
2 2 1 1
f1 
f2  ( , , , )
Tìm f3  e3 
( f1, f1 )
( f2 , f2 )
5 5 5 5
Chọn f3  (2,2, 1, 1) Họ trực giao cần tìm F  { f1, f 2 , f3}
Chọn
Chia mỗi vectơ cho độ dài của nó ta được họ trực chuẩn
1 1   2 3
1
1   2
2 1 1  
 1
,
,
,
,
,
,
 ,0, ,  , 
,

3 3   15 15 15 15   10 10 10 10  
 3
5.3 Quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Trong không gian R4 với tích vô hướng chính tắc cho
không gian con
x1  x2  x3  x4  0 
F  ( x1, x2 , x3 , x4 )

2x1  3x2  x3  3x4  0 
Tìm chiều và một cơ sở trực chuẩn của F.
Bước 1. Chọn một cơ sở tùy ý của F: E  { (2, 1,1,0);(0, 1,0,1)}
Bước 2. Dùng quá trình Gram Schmidt đưa E về cơ sở trực giao
F  { f1, f 2}
Chọn f1  e1  (2, 1,1,0)
(e2 , f1 )
f1  (2,5,1, 6)
Tìm f 2 ở dạng f 2  e2 
( f1, f1 )
Bước 3. Cơ sở trực chuẩn là:
5
1 6  
 2 1 1   2
,
,
,
 , , ,0  , 

 6 6 6   66 66 66 66  
5.4. Hình chiếu vuông góc, khoảng cách.
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trong không gian Euclid V cho không gian con F và
một véctơ v tùy ý.
Véctơ v có thể biễu diễn duy nhất dưới dạng:
v  f  g | f F & g F
véctơ f được gọi là hình chiếu vuông góc của v xuống F:
f  prF v
Nếu coi véctơ v là một điểm, thì độ dài của véctơ g là khoảng
cách từ v đến không gian con F.
d(v, F ) || g |||| v  prF v ||
5.4. Hình chiếu vuông góc, khoảng cách.
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài toán. Cho không gian con F và một vectơ v.
1) Tìm hình chiếu vuông góc của v xuống F.
2) Tìm khoảng cách từ v đến F.
Giải câu 1). Tìm một cơ sở của F. Giả sử đó là: { f1, f 2 ,..., f m}
v  f  g  x1 f1  x2 f 2  ...  xm f m  g
 x1 ( f1, f1 )  x2 ( f1, f 2 )  ...  xm ( f1, f m )  ( g , f1)
 x ( f , f )  x ( f , f )  ...  x ( f , f )  ( g , f )
 1 2 1
2 2 2
m 2 m
2

...

 x1 ( f m , f1 )  x2 ( f m , f 2 )  ...  xm ( f m , f m )  ( g , f m )

(v, f1)

( v, f 2 )
...
...
 ( v, f m )
Giải hệ tìm x1, x2 ,..., xm  prF v  f  x1 f1  x2 f 2  ...xm f m
câu 2). d (v, F ) || g |||| v  prF v ||
5.4. Hình chiếu vuông góc, khoảng cách.
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Trong không gian R4 với tích vô hướng chính tắc cho
không gian con
x1  x2  x3  x4  0 
F  ( x1, x2 , x3 , x4 )

2x1  x2  3x3  3x4  0 
1) Tìm hình chiếu vuông góc của véctơ x  (1,1,0,1) xuống F.
2) Tìm khoảng cách từ véctơ x  (1,1,0,1) đến F.
1). Tìm một cơ sở của F: E  { f1  (2, 1,1,0), f 2  (2,1,0,1)}
 6 x1  5 x2  1
 x1 ( f1, f1 )  x2 ( f1, f 2 )  ( x, f1 )


5 x1  6 x2  1
 x1 ( f 2 , f1 )  x2 ( f 2 , f 2 )  ( x, f 2 )
1
1
4 2 1 1
 x1  , x2 
 prF x  x1 f1  x2 f 2  ( , , , )
11
11
11 11 11 11
2). d( x, F ) || g |||| x  prF x ||   7 , 13 , 1 , 12   3
 11 11 11 11 