ANIQ INTEGRAL TUSHUNCHASI TADBIQ QILIB YECHILADIGAN
MASALALAR
REJA:
1. Aniq integralning ta`rifi va uning geometrik ma`nosi.
2. Aniq integralning xossalari.
Aniq integralning ta`rifi va uning geometrik ma`nosi
Aniq integral- matematik analizning asosiy tushunchalaridan biridir.
Egri chiziqlar bilan chegaralangan yuzalarni, egri chiziq yoylari uzunliklarini,
hajmlarini, ishlarni, tezliklarni, yo’llarni, inersiya momentlarini hisoblash
masalasi u bilan bogliq.
[a,b] kesmada y=f(x) uzluksiz funksiya berilgan bo’lsin. Quyidagi
amallarni bajaramiz.
1) [a,b] kesmani a= x0,x1,x2,....,xn-1,xn=b nuqtalar bilan n ta qismga
ajratamiz va ular quyidagicha joylashgan bo’lsin.
a= x0<x1<x2<....<xn-1<xn=b
Bularni qismiy intervallar deymiz.
1 2
a=x0 x1
3
x2
n
x3
xn-1 xn=b
õ
2) Qismiy intervallarning uzunliklarini quyidagicha belgilaymiz:
x1=x1-x0 ; x2=x2-x1 ; x3=x3-x2 ;....... xi=xi-xi-1 ;.... xn=xn-xn-1 ;
3) Har bir qismiy intervalning ichidan bittadan ixtiyoriy nuqta olamiz:
1, 2, 3,...... n-1, n
4) Olingan  nuqtalarda funksiyaning qiymatini topamiz:
f(1); f(2);f(3),...... f(n-1); f(n)
5) Har bir funksiyaning hisoblangan qiymatini tegishli qismiy intervalning
uzunligiga ko’paytiramiz:
f(1) x1; f(2) x2 ; f(3) x3,...... f(n) xn
6) Hosil bo’lgan ko’paytmalarni qo’shamiz va  deb belgilaymiz.
=f(1) x1+ f(2) x2+f(3) x3+..... + f(n-1) xn-1 +f(n) xn ;
Shunday qilib, hosil bo’lgan  yig’indi f(x) funksiya uchun [a,b] kesmada
tuzilgan integral yig’indi deb ataladi va quyidagicha belgilanadi.
n
   f ( i )xi (1)
i 1
Bu integral yig’indining geometrik ma`nosi, agar
f (x )  0 bo’lsa,
u holda
asoslari x1 , x2 ,... xn va balandliklari f(1), f(2),... f(n) bo’lgan to’g’ri
to’rtburchak yuzlarining yig’indisidan iborat.
Agarda bo’lishlar sonini, n ni orttira borsak ( n   )da u holda eng katta
intervalning uzunligi nolga intiladi, ya`ni max xi
 0 bo’ladi.
Ta`rif: Agar S integral yig’indi [a,b] kesmani qismiy [xi-1, xi ]
kesmalarga ajratish usuliga va ularning har biridan 1 nuqtasini tanlash
usuliga bog’liq bo’lmaydigan chekli songa intilsa, u holda shu son [a,b]
kesmada f(x) funksiyadan olingan aniq integral deyiladi va quyidagicha
belgilanadi.
b
 f (x)dx
a
f(x) dan x bo’yicha a dan b gacha olingan aniq integral deb o’qiladi.
Bu yerda f(x) integral ostidagi funksiya [a,b] kesma-integrallash oralig’i; a
son integralning quyi chegarasi, b son integralning yuqori chegarasi;
Shunday qilib, aniq integralning ta`rifidan quyidagini yozish mumkin.
b
n
 f ( x)dx  lim 
max xi 0 i 1
a
Aniq
f ( i )xi
integral hamma vaqt mavjud bo’lavermas ekan. Aniq integralning
mavjudlik teoremasini quyida keltiramiz. (Isbotsiz).
Teorema: Agar f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo’lsa, u
integrallanuvchidir, ya`ni bunday funksiyaning aniq integrali mavjuddir.
b
Shunday qilib,
 f (x)dx aniq integralning qiymati y=f(x) funksiyaning
a
grafigi bilan va x=a, x=b to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli
trapetsiyaning yuziga son jihatdan teng bo’ladi.
1- Izoh: Aniq integralning chegaralari almashtirilsa,
integralning ishorasi
o’zgaradi.
b

a
a
f ( x)dx    f ( x)dx
b
2-Izoh. Agar aniq integralning chegaralari teng bo’lsa, har qanday funksiya
uchun quyidagi tenglik o’rinli ;
а
 f ( x )dx  0
a
haqiqatdan ham, geometrik nuqtai nazardan egri chiziqli trapetsiya asosining
uzunligi nolga teng bo’lsa, uning yuzi ham nolga teng bo’ladi.
Aniq integralning asosiy xossalari
1- xossa: O’zgarmas
ko’paytuvchini aniq integral belgisining
tashqarisiga chiqarish mumkin.
b
b
a
a
 Аf ( x)dx  А f ( x)dx
b
Isbot:  Аf ( x)dx 
a
n
lim 
Af ( i )xi  A
max xi 0 01
n
lim 
max xi 0 01
b
f ( i )xi  A f ( x)dx
a
2-xossa: Bir necha funksiyalar algebraik yig’indisining aniq integrali
qo’shiluvchilar aniq integrallarning algebraik yig’indisiga teng.
b
b
b
a
a
a
Masalan:   f1 ( x)  f 2 ( x)dx   f1 ( x)dx   f 2 ( x)dx
3-xossa. Agar [a, b] kesmada f(x) va  (x) funksiyalar uchun f(x)  
b
b
a
a
(x) shart bajarilsa, u holda  f ( x)dx    ( x)dx bo’ladi.
4-xossa: Agar [a,b] kesma bir necha qismga bo’linsa, u holda [a,b]
kesma bo’yicha aniq integral har bir qism bo’yicha olingan aniq integrallar
yig’indisiga teng.
Masalan: a<c< b bo’lsa, u holda
b
с
b
a
a
с
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
5-xossa: Aniq integralning qiymati funksiyaning ko’rinishiga va
integrallash chegaralariga
bog’liq, lekin integral ostidagi ifodaning
harflariga bog’liq emas.
b
с
b
a
a
a
 f ( x)dx   f ( t )dt   f ( z)dz
Tayanch ibora va tushunchalar: Egri chiziqli trapetsiya, parabolik
trapetsiya, trapetsiyalar formulasi, Simpson formulasi
Berilgan [a,b] kesmada uzluksiz bo`lgan f(x) funksiya uchun F(x)
boshlang`ich funksiyani topish mumkin bo`lsa, N`yuton Leybnits formulasi
b
bo`yicha
 f ( x)dx
aniq integralni hisoblagan edik. Lekin har qanday
a
uzluksiz funksiya uchun uning boshlang`ich funksiyasini hamma vaqt topish
qiyin, bazi hollarda esa boshlang`ich funksiyani elementar funksiyalar orqali
ifodalab bo`lmaydi.
Masalan.
sin x
 x dx,
cos x
 x2
2
2
dx
,

 x
 dx,  sin x dx,  cos x dx,

1  k 2 sin 2 x dx,
dx
 ln x , .
Bunday
hollarda
N`yuton
Leybnits
formulasidan
foydalana
olmaymiz. Shuning uchun ularni taqriban bo`lsa ham hisoblashga to`g`ri
keladi. Aniq integrallarni taqribiy hisoblaydigan bir qancha usullar mavjud.
Ushbu paragrifda ulardan uchtasini: to`g`ri to`rtburchaklar, trapetsiyalar
hamda parabola (Sinpson) usullarini keltiramiz.
1. To`g`ri to`rtburchaklar usuli
f(x) funksiya [a,b] segmentda berilgan va uzluksiz bo`lsin. Bu
b
funksiyaning aniq integral 
f ( x)dx
ni taqribiy ifodalovchi formulani
a
keltiramiz.
Hisoblashlarda aniq integralni yuzini ifodalovchi yig`indi limiti deb,
b

ya`ni
n
f ( x)dx lim  f  ( xi  xi 1 ) (1)
n
a
i 1
ko`rinishda
mulohaza
yuritiladi.
[a,b] kesmani a  x0 , x1 , x2 ,...., xn  b nuqtalar bilan teng n ta
bo`lakka bo`lamiz . Har birining uzunligini h 
ba
, xi  a  ib (i  0, n)
n
deb olamiz.
x  xi
bo`lganda f(x) funksiya qiymatlarini
yi  f ( xi )  f (a  ih) (2) deb belgilaymiz.
(1) fomulaning o`ng tomonidagi yig`indini
 i  xi 1 yokixi deb, quyidagi ikkita formulani hosil qilamiz:
b

f ( x)dx 
a
b
 f ( x)dx 
a
ba
[ y0  y1  ....  yn 1 ], (3)
n
ba
[ y1  y2  ....  yn ], (4)
n
(3) va (4) formulallarga aniq integralni taqribiy hisoblashning to`g`ri
to`rtburchaklar formulasi deyiladi.
11-chizmada quyidagilar tasvirlangan: agar f(x) musbat va o`suvchi
funksiya bo`lsa, u holda (3) formula “ichki” to`g`ri to`rtburchaklardan
tuzilgan zinapoyasimon shaklning yuzini tasvirlaydi. (4) formula esa “tashqi”
to`rtburchaklardan tuzilgan zinapoyasimon shaklining yuzini tasvirlaydi.
Integrlni to`g`ri to`rtburchaklar formulasi bilan hisoblashda qilingan xato n
son qancha katta (ya`ni bo`linish qadami h qancha kichik) bo`la borishi bilan
(3) va (4) formulalar aniqroq bo`la boradi, ya`ni
n   da va h   da
ular aniq integralning haqiqiy qiymatini beradi.
2. Trapetsiyalar formulasi
Agar ordinatalar chizig`ining egri chiziq bilan kesishgan nuqtalarini
zinapoyali siniq chiziqlar bian emas , balki ichki chizilgan siniq chiziqlar
bilan tutashtirsak (3) va (4) formulalarga nisbatan xatosi kamroq bo`lgan
taqribiy formulani keltirib chiqaramiz: (12-chizma).
Bu holda egrai chiziqli aABb trapetsiyaning yuzi yuqoridan
AA1 , A1 A2 ,...., An 1 B vatarlar bilan chegaralangan to`g`ri chiziqli
trapetsiyalar yuzlarining yig`indisiga teng bo`ladi. Natijada trapetsiyalar
formulasini hosil qilamiz.
y  y2
y
 yn 
 y  y1
f ( x) dx  h  0
 1
 ....  n 1

2
2
2


a  y0  yn

h
 y1  y2  ....  yn 1  (5),
2


b
bunda h 
ba
, xi  xi 1  h, (i  1, n), x0  a, x n  b.
n
(5) ga trapetsiyalar formulasi deyiladi.
3. Parabolalar (Simpson) formulas
[a.b] kesmani juft sonda n=2m bo`laklarga ajratamiz.
x0 , x1 vax1 , x2  kesmalarga mos va berilgan y=f(x) egri chiziq bilan
chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzini
M ( x0 , y0 ), M 1 ( x1 , y1 ), M 2 ( x2 , y2 ), uchta nuqtadan o`tuvchi va o`qi oy o`qi
parallel bo`lgan ikkinchi darajali parabola bilan chegaralangan egri chiziqli
trapedsiyaning yuzi bilan almashtiramiz. (13-chizma).
13-chizma
14-chizma
Bunday egri chiziqli trapetsiyani parabolik trtapetsiya deb ataymiz.
O`qi Oy o`qqa parallel bo`lgan parabolaning tenglamasi
y  Ax 2  Bx  C (6)
ko`rinishda bo`ladi. A,B va C koeffitsentlar
parabolaning berilgan uch nuqta orqali o`tish shartidan bir qiymatli ravishda
aniqlanadi. Shunga o`xshagan parabolalarni kesmalarning boshqa juftlari
uchun ham yasaymiz. Shunday yasalgan parabolik trapetsiyalar yuzlarining
yig`indisi integralning taqribiy qiymatini beradi (14-chizma ).
Lemma. Agar egri chiziqli trapersiya (6)parabola , Ox o`q va oralig`i
2h ga teng bo`lgan ikkita ordinata bilan chegaralangan bo`lsa, u holda uning
h
yuzi S ( y0  y1  y2 )(7) ga teng, bunday y0 va y2 chetdagi ordinatalar y1
3
esa egri chiziqning kesma o`rtasidagi ordinatasi.
Isboti [1], 455 betda.
(7) formuladan foydalanib, quyidagi taqribiy qiymatlarni yozamiz.
x2

f ( x)dx 
a  x0
x4

f ( x)dx 
x2
x2 m  b

x2 ( m 1)
f ( x) dx 
h
( y 0  4 y1  y 2 )
3
h
( y 2  4 y3  y 4 )
3
h
( y 2 ( m 1)  4 y 2 ( m 1)  y 2 m
3