Figunl P4.4·6
AlA
;,
~ t)
'"
+
,
TJ H
"cO)
IF
,
8n ~ ~
~ >
-
+
)'( 1)
-
Figura P4.4·7
4.4·7 Determine a tensiio )"(1) de safda do circuilo
da Fig. P4.4· 7 para cnndir,;6es iniciais i,(O) =
1A e 1',(0 ) = 3V.
4.4-8 Para 0 circ uito da Fig. P4.4-B. a cha\'c cstll na
posir,; iio a por urn tongo perfodo de tempo
quando e la c movida para a posir,;iio b inslan-
taneamenle em r = O. Detennine a corrente
y(r) para I 2: O.
4.4-9 Mostre q ue a fun<;iio de transferencia que relaci ona a tensiio de safda 1'(1) com a lensiio
de c nt rada .I:(r) para 0 circuito com amp-op
da Fig. P4.4-9a e dada por
438
STNA IS '" SISTEMAS LINFA IlliS
(c) M:mtcndo OS outros componentes con!>tnntcs, qua l C 0 efeito geTal na resposTa
em am plitude para enlradas de baixa
freqUe neia, se aumen larrno~ a resisten-
pianos
f
f
1m
1m
cia R'!
(d) Manlendo os outros componenles consTantes, qual e 0 efeilo geral na cesposla
em <lmplitude parn cntradas de alta [reqUencia, sc aumentannos a rcsislencia R'!
..«/) - - -
- 2
- 2
- I
- I
:::r::
C• ....,,,
(a)
(b'
Figu ra P4.1O-2
4.10-3 Projclc urn filtro pas.~a-faixa de segullda ordem com freqacncia centr.!l w 10.0 ganbo
deve ser zero para w 0 e para w 00. Sek cione p6los em - 0 ± j lO. Dcixe sua rcsPOSf.l
em lernlOS de il . Explique a inOucncia de a na
respasta em freqOcncia.
(0'
=
v
=
=
=
A
(s 4.10_4 0 sistema LClT descrito por H(.\·)
I )/(.f + I ) passui resposta em amplitude umI . Patricia Posiliva alimm que
tdria [flUrt)[
n safda y(t) deste sistema e igual a enlradax(t)
pois 0 sislema passa-tudo. Cintia Cfnica tlao
conconia, --E... ta .! a aula de .fin(lis e sistf!lIIas~_
ela rcdama. ''Isso tell! que sec mais complieado!"' Q uem telll nlzllo, Patricia ou Cfntia? 1ustifiquc sua resposta.
=
c
D~/
V
( h'
F igu ra P4,9-4 (a) Diagrama de circui to para
a malha de filtro do PLL (b) Possive is gnifi cos de resposta e m amplitude para a malha de
filtro do PLL.
4.1 0-1 Usando 0 metodo grtfico da Se.:;ao 4 . 10- 1.
obtenha urn eslxx;o da re.'iposta em amplituOc
e fase pur.! urn sistema LCIT de-;cri{O pela scguin te fun t;iio de transferencia
s2 - 2s+50
H(s)
= :'-+.!..J,"+
, .. _ 50
(s - I - j7)(s - I + j7)
(s
+I -
j7)(s
+ I + j7)
qual e 0 lipo dcste fil tro?
4. 10-2 Usando tl me toda gr.jfico da Sct;ao 4.10-1 ,
desenhe urn csblx;o da resposla em ampli tude e fuse dos sistemas LC IT cujos gri1ficos
de p6Jos-zeros esli'io mostrados nn Fig.
P4.JO-2 .
e
4.10-5 Dois estudan te.... Jo3o c Pedro. discordam sobre a fum;30 de urn sistema anal6gko dado par
H 1(.t) = 1'.1000 LOgico afirma que 0 sistema
possui urn .-:ero em $ = O. Pedro Rchelde, por
outTO lado, obscrl'lI que a funr;1io do sistema
pode ser rccscn ta como H1(s) = 1/$- 1c arlffil3
que iSlo implica em urn pOlo do sistema em $ =
00. Quem eSla correlo? Pur que? Quais.sao os
p6lose zeros do siSlema His) "" l/.t?
4.]0-6 Urna fun<;iio de lratlsferencia radonal H(.t} e
gcr.!lmente uri lizada pam represcntar urn filITO anaJ6gieo. Por que fl(s) cleve sec esritamente propria pam. fillros pa.%a-baixas e pa~­
sa-faixa? Por que 11($) deve ser propria para
filtros pa..sa-aitas e para-fai xa?
4_10-7 Para urn dado IiITro de ordem N. poc que a laxa de atenuar;ao dn banda fillrada de urn fi ltro
pa.~sa-baixas somenle de p6los
melhor do
que de filrnL" l.."Om zeros finitos?
e
4.10-8
13 pllssIl'el, com cocficientes rea is Uk, b J. h2.
ti l . tl2]
E
R). que
°sistema
CAI'huLo 4
A..'fALISC DE SI!ITE.'MS EM T EMPO Co:fl1Kuo U SANDO A TRAKSFOHMADA DE L APLACC
4.M-4 Urn filtro passa·buixus ana l6gico com frequencia de corte we pode sec tr.msfonnado em
um Iillro passa.altns com freqUencia de cone
w~ usnndo umn rcgm de trnnsforma~ilo ReCR: eada resistor R; e substilUfdo po!' urn eap.1citor C;' = IIR,w . C cOldn capOlcitor C, c
substitufdo por urn resistor R;' = I/C(.tJc'
Urili'l-c esta regra para pmjctM um filtro
passa-altas de BU\lerwonh de ordem 8 com (d.
= 2,.,.4000 seguindo os passos Olbaixo:
(a) Projete urn filtm passa-baixas de Butterwort h de ordem 8 com w. = 2Jr4000
usando quatro estngios do cireuito de scgunda ordem de Sallen-Key, oa fonna
mostradu na Fig. P4.M-2. Escolhn os valores dus resislOres e cupacitores pard ca·
da cstagio. Escolha os resiltJres de tal forma que a trnnsforma~ili() RC-CR rcsulte
em capac i tore.~ de I nF. Ate e.~tc ponto. (IS
val ores dos componentes sao reaHsticos?
. (b) Dcsenhe urn e.<otIigio de Sallen-Key lransformado pclo RC-CR. Detennine a fuo~ao de tmosfercncia H (s) do eSlllgio
lr,tnsformado em teonus das varia\'eis
R ,:R1 :C. ' eC1 '·
(c) Transfonne 0 filtro·passa-baixas projcta.
do na parte (a) usando a transfonna~ao
RC-CR. Forn~a os valorcs dOli re.~isIOTe5
e capacilores para cada estagio. Os valores dos eomponentes 530 rcalisticos"
Usando ll(s) obtido na prute b, trdee a
resposta de ampl itude de cadn ~oo alem
da resposta de amplitude total. A resposta
total parcce com urn filtm passa-a llas de
Butterwonh?
Trace os p6l0s e zeros do filtro pas~a­
altas 00 pla no cornplcxo s. Como estas
posi~Oes podern ser cornparadas com as
posi~Oes do filtro passa-baixlls de Butterworth.
-1,,\-1·5 Repita 0 Prob. P4.M-4 usando 00, ::= 2;"1"1500 c
urn fihro de ordem 16. Ou scja, scriio nett'>Sllrios
oito estllgios de scgullda ordem oeste projelo.
4.[\'1·6 Em vez de urn fi ltro de Butterworth, rep ila 0
Prob. P4.M-4 para urn filtro passa-baixas de
Chebyshev com R = 3dB de ri pple na banda
passante. Como cada est<igio transformado
de Sallen- Key possui gaoho unitario para w
= 00, urn crro total de ganho de ~ e
aceitavcl.
..I-.M-7 A funliao butter do toolbox de processamento de sin nis do MATLAB ajuda a projetM
filtros anal6gicos de Buuerworth. Utilize 0
441
hel p do MA11..AB para aprcJXIe r a USMO comando butter. Para cada urn dos seguintes
ca.~us, pmjete 0 filtro. lrace os p6los e zeros
do IlI U"O no plano eompleJI:O.f e trace a resposfa em arnpli tudeem decibel 20 log,oIH(jw)l.
(a) Projetc urn fi hro passa-baixas anal6gico
de ordem seis com w~ = 2.rr3500.
(b) Projetc urn filtro passa-altas ana16gieo de
ordern seis com w~ = 2;r3500.
(c) Projete urn filtro passa-faixa ana l6giL'O de
ordcm ~is com banda passante entre 2 e
4kH1:.
(d) Projetc urn fillro pm-d-faixa anOll6gico de
ardern seis com banda fillrada enlre 2 e 4
kH,.
4.1'11-8 A
fun~iio
4.1\1-9 A
fun~ao
chebyl do toolbox de proccssamen tode sinais do MA1LAB ajuda no projcto de fihms tipo I de Chebyshev. Urn fillrO lipo I de Chebyshev po.~s ui urn ripple de banda
passante e uma banda mIrada suave. Ajustando 0 ripple da banda passante para R,. = 3dB,
repita 0 Prob. P4.M-7 usando 0 cornafldo
chebyl. Com tados os outros parimelros
constantes, qual co ereito geral da redu~l'iO de
R,..o ripple permilido na banda passante?
cheby2 do toolbox de pTocessamento de sinnis do MATLAB ajuda no projc10 de filtros tipo TJ de Chebyshev. Urn trlt ro tipo n de Chebyshcv passui uma banda passante suavc e urn ripple de banda filtrada. Aj ustando 0 ripple da banda filtrada para R,. =
2OdB. repitn 0 Prob. P4 .M-7 w;ando 0 comando cheby2. Com todos os outros parimetros
constantes, qual eo efcito geral da redU~30 de
RT> a menor· nten u~ao dn banda filtrada?
4.M-l0 A func,;:ao ellip do too lbox ck proccssamento de sinais do MATLAB ajuda no pmjelo de
filtms elfpticos. Urn filtro eifptico possui urn
ripple tnnto fin banda pas.'\Unte quan to na baDda fihrnda. Ajustundo 0 ripple da banda passante para RI' = 3dB e 0 ripple da banda filtrada para RF = 20 dB Tepita 0 Prob. P4,M-7
u5ando 0 comandO' ellip.
4.M-U Usando a defini~ C:,{x) = cosh{N cosh -,(x)),
prove a rel..,:ao reclIDliva C.,{x) = hC", _,(x} CN _ix).
4.1\"1-12 Prove que OS p6los de urn filtm de Chebyshev,
lucalizados em P. = w. sc n (~ sen (t/f,) + jw,
cos (~) cos (¢.) estilo em Ulna clipsc. [Dica: A
equat;ao de urna eJipse no pla no .r)'
•
,
b
(xla)'+(ylb) = I. na qual a~ constantes a e
defillem os eixos maior e menor da cJipse.]
e
C,\PiTULO 5
ANALISE Of: SJ~'TF.Mt.s fo.\l TEMPo DJSCJl.ETO USA1'~l>O A TRANSFORMt.P,\ 2
457
Alcm disso, COmO /Il! [n ) ~ z/(z - li
Ponamo,
6
;;.6- 6z+ 5
Z5 (Z
IF
EXERCiclO ES.S
°
Usando apcnas fatode que u[n] ¢::;- z/(z. - I) e a propriedade de desJocamento para a dircita [Eq. (5.15)J, determine n rraos rormada I dos sinais da.~ Figs. 5.2 e 5.3.
RESPOSTAS
Veja
° Exemplo S.2d e 0 E xerdeio ES.la.
CONVOLUc:;Ao
A propriedade de convoJm.ao 00 tempo afirma que set
eOlao (COIII'O/lIrao no {emf/o j
(5.1')
Prova. E~sa propri: dadc sc apJic n a seqih!ncias causais e nao causnis.lrelllos prova-Ja para 0 caso mnis geral
de scqilcncias nao C3usais, na qual 0 somat6rio de convolur;ao varia de --00 a 00.
lemQs,
Alterandu a ordcm do sOlllot6rio, temos
x
Zl xdn J *x~[IJJ] =
L
00
xl[ml
L
~
=
L
x~ IIJ - 1111;:-"
~
XI [III ] Z--
L
xl[r J.C ·
• Tambi!m ex isle a propricrladc de c"m·" lu~·ao M freq\l~llcia. a qual afirm a que
Xl[,Jixl[lIj
<==>
_ 1_ . !Xl[U}X l
2;rJ
['-]11
1/
It/II
460
S IMIS E SISTEMA S l!NEAIWo.'i
I
xlI! - 2JII I111
71
X lz;]
I
+ :.t[ "
,
X (/1 -
I
i]
1
-, X [Z] + ,xl- i ]
"7
,' o.
3111[11]
.-,
[)eslocamcn to il. csquerda
+ x( -
2]
I
+ - x[ ,
2]
~
+ x[-3J
L .t[n Jz-"
...
xll! + mJuln]
z" X Iz; J - z'"
+ 1]1/[11]
x iII + 2)11 [111
~ X[: ] -
: 2X[z] - ;:~ x[OI - zx[ I ]
xl" + 3JI/[IIJ
,:3 X[;::] _ :.1.-.:[OJ - ~ Zx[ 1 1- ::...-[2J
rrxIIlJu[n]
d
- : - X[z]
x III
u[OJ
Mu hi pJicar;ilo por y "
Mulliplicm;:all porI!
d~
X I [z]X 2 f:l
Convolur;ilO no lempo
Rcversao no tempo
.t[ - 1I1
X II I : ]
Valor inicial
.1"[01
lim X I: ]
lim{: - I)XI :)
lim xlN)
Valor inkial
:_ 1
N _ oc
p6los de
(: - I)X[:] denIm do cfrculo unilfuio
VAWR ES lNIClAL E FlNAL
Para urnx[n l caul'<ll.
xtOJ
=
lim X [z]
,-00
(5.23a)
Esse resllltado C obtido direlam en le da Eq. (5. 9).
l
TambCm podemoo mOS lrar que ~e (.0 - I )XIz] nao possui pOlos fora do cfrcu[o unildrio. entao
lim xl N] = lime: -
N _:<:
,_ I
[)XI:J
(5.23b)
Todas cssas propriedades da transfurmada : cslao lismdas na Tabela S.2.
5.3 SOLU<;AO DE EQUA<;:UES DlFE REN<;A LINEA R ES PELA TRANSFOR1\'L\DA Z
a
A propriedadc de deslocamento no tempo (dcslocamenlo direi la ()u csqllerda) possi bililOll a resolur;ilo de equao.
~Ocs difcrenl;a Ji neares com (.:ocficic nles constantes. Tal (.:omo no caso da transformada de Laplace com eqlla'tOe.<i
di ferent.-iais, II trunsfonnada: converte C(jlltlr;acs diferenr;a em eqlla<;i5cs algebricas que fMXIcm ser faci lmentc reO.
solvidas oblendo-se uma SOlll<;OO no dominio z. Detcnninando-se a lJ'ansformada Zinversa da sol ~ao no domfnio
: obttm·sc a solu'tlio de.'\<:jada no dominio do tempo. Os scguintcs e:o:.emplos demonstra m es~ proccdimento .
•Is,,, pode scr mOSlr<liJo iJo fUIn que
x[n]- .T[1l -
•
11
'}
oe=;. { I - ~
X[:1 =
~~1 (: - ~)XIZI = ~~~(,: -
(z - I)X[:::]
I )X[d
~
=
~o.~ J~!'
,
.,
(: - I)X[:::]
L IX[III -
"--""0
,
=
x(n - 1]):-
L.,
=
I.I[111 - x[" - 1]):-·
,J~m,., x(N]
CAPITULO 5
A NALI SE DE SISTEM AS F_'l T E.\lPO DISCRETO USANOO A TR ANSFORMADA Z
46 1
5.5
Resolva
Y[II + 2) - 5Y[1/ + I] + 6),[111 = 3xr" + IJ + 5.r[IIJ
se a~ condi (foes iniciais fOTem )'[- 1] = 11/6, y[-2 1= 37/36 e a entrada for xlII] =
(5. 24)
(2r~ulll I.
Como vere mos. equa(fOes diferenc;a pode m ser reso[ \'ida~ usamln a propriedade de des[ocamenlo para a di rei la ou esquerda. Como a equm,1io diferen~·a. Eq. (5.24), e51ti na fonna operador avarx;o. () usn da propriedade de (\(:slocamenio para a eMj ucrda da Eq. (S.17a) e (S.17b) poUc para-er se r apropriado para essa soluliao. Infe lizmeme. como ,-islo nas Eqs. (5.17a) e (5.17b). C5Sas propricdadcs neces~lam do conhecimento
das COIldi~~ au:x.iliarcs y[OJ, y[ I ]. .... yiN - I) em vez das coodiliOf:s inid ai ~ )'1- 11. )i-21. .... Y[--1I}, as quais
gerJlmcnle sao fomecidas. Essa difieuldade pode ser supcr.tda exprcssando II equaliao diferem;a (5.24) na
(omla de operador atraso (oblida subslitui ndo II por 11 - 1) e. COlao. usandu a propricdade de dcslocamento
parol a direi la: A Eq. (5.24) na forma operador alrdl;O e
Y[IIJ - 5)"[/1 - I] + 6)' [11 - 21 = 3x[n - 11 + 5x ll1 - 2J
(5.25)
Podemos. agora. uLilizar a propriedade de des[ocamenLO pard a direi ta pard calculannos a Iransform ada l.
desla equ a(fao. Anles disso, porem. de\'cmos eslar dentes do significado de lerm os mrno Y[II -' 11 prcsentcs
na equaC;:io. Isso impliea Y[11 - 1111111 - [I UU Y[II - I]I/[II]? Em qualquer equa~ao. precisamos ter a[guma referincia tempor.tl/! = e todo tenno e rderenciado a este instante. Logo. Y[II - k] signifiea y[U - k]II[II].
Lcmbcc-se tambem de que apesar de cstannos considernndo a si tuilli10 para 1/ <:= 0, Y[ 1I1 esta prcsenle mesmo
ante.~ de 1/ = 0 (na fonna de condi¢e.~ iniciais). Agora,
°
. Y[lI JII[IIJ
¢:::::::>
y(d
Y [II - I}I/[IIJ
¢:::::::>
I
: }'[z]
\'[1/ -
-
2[IILIIJ
+ y[-
I
II
IJ = -zY(z] + "6
I
1
I
Y[z] + - y[-I} + y [-21 = - Y[d
Z2
z·
,,2
¢:::::::> -
II
37
+ -6 z+36
-
ObseiVando que para uma entrada causal X[II].
xl - II = x[- 2J = . . . = X[ - II] = 0
obtemos
X[ I/ - I ]II[II]
X [II -
¢:::::::>
2JulllJ ~
,- Xfzl + xl- Ij ,
+0 =
=- z
z z 0. 5
z
I
_2
~
X[ ;:]
1
+ :.:. x [-
-:-,'" ,
z 0.5
.
I
[] + .r[- 2J = _2 X[.;:J + 0 + 0 =
<.
Em gcml.
X[II - rju [1I1
I
-;---'-;=
z(z
0,5)
,
¢:::::::>
- x [z}
"
'Omra :lboTlla~cm tdelerminar y[O] .)"[I ]. y[21 • ...• y[lI[ de )'[- 1[,JI-2 [• ...• )1-111 imcralivamcnlC, lal como na Se~lio 3.5- 1 e, .mlao, aplicando:l propriedade de dcslocarncnlo para u e~l[ uenl~ na Eq. (5.24).
CAP/roLO 5
ANAUS E DE Srl:>"TEMAS EM TEMPO D1SCRF.TO USANDO A TII.ANSFORMADA Z
467
Mostre que a fllDt;:l'iO de lransferencia de urn alraso UnilanO e liz.
e
Se 11 entrada do alrnso unirario for x[njl/[II}, en tao sua saida (Fig. 5.7) dada por
Y[II ] = X[II - 1]1/[/1 -
X[ II - 1[11 111 - l)
x[nJllfn]
XI"
Figura 5.7
11
YlzJ -
t X[zJ
Alraso nni lano ideal e sua funljAo de IransferC:ncia.
A ttan~funn ada z dessa equa~o resu lta em l veja a Eq. (5.15a)1
1
,
YrzJ = - X[z]
= H[ z]X[z]
Logo. temos que a run~ao de transfeIincia do atraso un itario C
1
,
(5.40)
H[zJ = -
EXE RCicIO E5.13
Urn sistema em tempo discrete e descn to pela scguinte funyiio de transfeIincia:
HIl l=
2:-0,5
(z + O.5)(z
I)
(a) Determine a resposta do sistema a entrada x [lll = T(o ~ I}I/[II) se todas as eondi90es inieinis forem nulas.
(b) Escreva a equur;iio diferenlja que relaeiona 11 saida Y[II] com a ent rada xlll] para el;te sistema.
R ES POSTA S
+ O,3( j rJ lI[l1]
Y[II + 2]- O,5Y[11 + 1]- 0,5yll1] = xIII + IJ -
(a) y ln l = ~ [~ - 0 ,8(-0,5)",
(b)
0 ,5x[lI]
5.3·2 Estabilidade
A Eq. (5.34) mOS[flI que 0 denominador de H[z] e Q [z]. 0 qual e aparentemente idc:nlieo ao poiinornio carnete ·
ristieo Q[)1, d efinido no Capitulo 3. Isso signifiea que 0 dcnominador de H[z] eo polin6mio C3metenstieo do
sistema? Pode ou ni!o set 0 caso. Se P[z] e Q[z] Ila Eq. (5.34) possufrem qualquer falor comum, e!es iran se can·
eelar c 0 denominador efetivo de H [z) nan Sera neeessariamente igual a Q[zl. Lembre·se que u funr;ilo de trans·
fere ncia Hlz], tal como fIlllj, e dctinida em termos de d~eri r;OcS extem ns do sistema. Por oUlro lado, 0 polinBmio Q [z ] e uma descrilji!o interna. Obviamcnte, pode mos determinar ape nas a cstabilidade ex tern a de H[z]. ou
~ja, a estabilidade 81 BO. Se lodos m p61()1; de Hfz] cSliverem dentro do circulo unitirio, todos os lennos em
hlzl QO exponenciais decre.~cen tcs e, como mostrado na So,;ao 3.10, "[n] sera absollllrunente somavei. Conseqilente mcnte, 0 sistema sem Bm o eslivel . Caso eontrario, 0 siste ma i\era BIBO instavel.
468
SINhlS E SISllOMhS L[,.~EARES
Sc P[z.] e Qlzl nilo possufrem falores comuns, entao 0 den o minado r d~ 11[z] e identieo a Qlz).' Os p6los
de Hl z i silo as ra(zes canlcterfsticas do sistema. Podemos. agora, determinar a estabi lidade intema. 0 eriH!'riO de estabilidade da Se~ao 3.10- 1 pode set reafinn ado em lennus dos pMos de HIt:I, como mo~t rado a
scguir.
1. Urn sistema LDIT IS asSin!Olkamente est<l. vel ~e e somenle ~e todos os p610s de sua funqao de trans-
ferene ia fl [z] estiverem dClltra do cfn;ul0 unitan \). Os p6los p(J(lcm ser repetidos au simples.
2. Urn sistema LDIT e ins.tfivel se e somenfe se uma ou as dullS condio;:6e:; a seguir exisfirc m: (i) a41 mcnos
urn p610 de H[zl e.~live[ fora do drculo unitano: (ii) ExiSlirem pOlos repelidos de H{zl subre 0 circulo
unilmo.
3. Urn sisTema LDIT e marginaimente t:~ t;ivel sc e somente se mo eJlis tirern p6los de Il[z) fora do d rculo uniTanO e exi~ti rem alguns. p6100 .~i mplcs sOOre 0 circulo Uni!Mn.
EXERCicIO E5 .14
Mostre que um·aCIIlllulador. cuja resposta ao imp ulso e hili ] = u[/I ], C marginalmente estavel mas 8180
in~tavel.
5.3-3 Sistemas Inversos
Se Hlzl e11 fum;ao dc transferencia de um sistema S. entao SI' seu ~istema inversu. possui uma fUl1'iilOde trans·
ferencia Hllz] dada por
I
HJzJ = li[z)
&sn equa'i.1o segue do fato do siSTema inven;o SI dcsfazer a opef1l'iilo de $. Logo, se HI z1 e colocado em serie com H j[z]. a funo;: 1io de lram.ferencia lotal do sistema (sisTema idemidade) e uni tana. Por cxemplo. um acu·
mufador. cuja funO;:30 de transfcrencia e li[z] = v (l. - I ), c urn siSIel/lu de diferem;a alrds. cuja fum,ao de trnnsfereneia e H,[z] = (l - I)!z, sao sis!emas invcrsos. Similannell!e, se
z- 0 4
H lz] = z
0:7
A fun o;:1iu de transferencia do sistema invcrso e
H[_I ~, - O .7
" .
z - 0 .4
como ncccss m o pela propriedade HtzlliJzl = I. Logo. temos que
hIll 1* II! [/I] = ,s [II]
EXERCicIO E5.15
Determine a res posta ao impuiso de urn aeumulador e de urn si~ lema de difere~a alTas. MOSlre que a convoluo;:ilo
duas rcsposlaS ao impulso resuifa em an ].
da~
' Nao h:i como delt:Jminar so;: e~i-'!~m 00 nAo falmes comu ns em P(zl c Q[ : : ! que irio:se c.ancclar. pois e1l1 n!l.<.'Ia del:enni n~ de H [::].
gerntmenleoblClllos 0 te.<lltrado final ap6s OS eancdamenlos j.i k""rn oconi,Jo. Quando IIlitiZRJl1<}S a de>eri<;:iill inlema do sistema pa_
r.. obtCffiJOS QlzJ. CllW lunttl. obtcmo;; Q[.:j pum, nao alt~rado porqualqucr fu\Or comum ~'()m PI;:]'
470
SIN.... !S Il S!~'TF...\4I\S L LNEARES
¥[z l
h~'_1
(c)
,ont i n\l(l~ilo.
Fig uru 5.8
Obtenha as
(i)
(ii)
rcaliza~Oes
direta canonica e Iransposla dircta canooica das seguintes
2
(iii)
de Iransfcre nci a.
z+7
4z +28
(iv)
z2+6z+5
z+5
4z+28
z+1
Toda.\ a.\ qut.tm
,
fun~i">e~
fu n~Oes
de trnnsferencia sao casos C5peciais de HI ~ 1 cia Eq. (5.41).
(i)
H[zl = -
2
-5
z+
Para este caso, a fun ..ao de transrerencia ~ de primeira ordcm (N = 1). Portanto. iremos pn:!:isar de apenas urn almoo para e.~ la rea1i7.u.. ao. Os coeficienles de realimema.. 1io e alimen ta.. 1io direttl sao
,
bo=O.
b, =2
Utilizamos a Fig. 5.8 como nosso modelo. red uzindo-o para;) caso de N = I. A Fig. 5.9a lllostra a forma
direta canonK:a (FDm. e a Fig. 5.9b sua transposta. As duas realiza ..&:S sao quase idenlicas. A diferen ..a 6
(jue na form~ FD II, 0 ganho 2 e fornecido na saida c na lranspos ta 0 meslIlo gan ho
cfornecido na cntmda.
C Af1rulO 5
ANALISE DE SIS'rJ:.MAS F_\l TEMPO DJSCRETO USAJ\L>O A T RA NSFORMADA Z
4 77
A Fig. 5.14 momll 0 grafico das resposlas em amplitude e fllse em fun(ao de n, Podemos, agora, delerminar a respoS!.1 em ampllmde e fase para as v6.rias entr<ldas.
(n) xrlll = I" = I
Como 1" = (e1~' com n = O. a re.~pos ta em amplitude e
H[e i ll ] = r.=n~i=;e=,,,,,, ~
JI ,64
I ,6cos (0)
HI ,f l. A partir da Eq. (5.49a). oblerno~
I
-JO.04
- = 5=
JLO
Logo
s
f a)
_'C<+-------~-L.--------+--------=L-------C,C..C------C3".~--"nc--o-
-"JV '
V
(bl
Figura 5.14
Resposl!1 em freqiiencia para urn sistema LDIT.
Estes valorcs tam~m podem seT Obtidos direlamenle da Fig. 5. J4a e 5. 14b, re~pccl jva mcnte. corre spon·
dendo a = O. Desta forma, a resp<)Sta do Sls1cma a cntrada 1
n
e
)'[11 ) = 5W) = 5
(b ) .rr/l]
para todo
II
= cOS[(J!i6)1I - 0,2]
Aqui!1 = tr16. De acordo com as Eqs. (5.49)
LH[e j ;r/6 J = - Ian- I
0,8 sen n6:t
[ 1 - 0,8cos '6
1
= - 0,9 16 !'ad
(5.5 1)
CAPiT ULO 5
AI'IAuSF. DE SISTEMAS E.\ l TE..\tp() D ISCllli"ll) USAJ'<"DO A TRANSFORMADA Z
479
EXEM PL Q DE CO MPUTADOR C5.1
Usanda a MAT LA B , determine a rcsposta em frcqiicncia do sistema do Excmplo 5 .1 O.
»
»
Omelt"- '" 1 j n:lPl'cel-pl, p i , 4 00) ;
H = ttlll 01,11 -0.81, - l) ;
»
»
1L000ga " s\lueeze{fr eqrcs:;> IH . Clmega»;
subp l o ~ 12 . 1.1) ; plot: l OIr,eqa. a b:l 0I_0meq.:t) , • k') ; a x is t:iqht ;
»
xl.:tbell ' \Omeqa ' ) ; ylabcl I' IHleA{j \()nc<:!") I I ') ;
»
subplo t I2 , 1 , ~) ; plot 10"'''91', " ng le I H_Otr.eg a) >a O/ pi , ' k ' ) ; <ll< i ~ Li q h t ;
x l .. bel('\Cmega' ) , ylaoo l( ' \ anq le HfeAlj \ Ontega) I Id eg] ' ) ;
»
,
'\
4.>
4
3'>
3
2.'
2
1.5
1
-3
-2
-1
,0-
.-, V
0
n
-'" 3
2
3
V
2
3
\
IJ
"
1
2
1
0
\
1
n
Figura CS.I
Com cntiirio. A Fig. 5. 14 mOSInl os g.rnficos da resposta em amplitude c fuse como fun~Oe... de n . Estes gr:'ificos. alcm das Eqs. (5.49). indicarn que a resposta em freqiieocia de um sistema e m tem po rl Lo;creln e li ma f" n.
~lIo contfnua (e nao discreta) da freqii encin O. NiJo exiSle nenhuma contrad:t;ao neste fato. Este comportamcnto csimplesmente um ll indica~ao de que a v:tri fivel de freqiiencia 0 6 contfnua (ass ume todos os poss fvei ~ valores) e, p!Jt1anto, a resposta do sistema exi ~ te para tado valor de n.
EXE RCicIO E S.18
Para urn sistema especificado pela cquat;i'io
)' [n
+ IJ-
a,5y! n1 = X[II ]
Determine a re spOSta e m amplitude e fasc. Determine a re sposta do sistema a entrada senoidal COS( I000I (1U3» amostrada a cada T = 0.5 ms.
CI\PfTuLo 5
ANALISE Oil SISTEMAS H I T EMPO D lSCRETO USAh1)() A TRANSFORMAIlA Z
485
5.12
Determine 0 imervalo de amostragem maxi mo T que pode SCI" ulilizado em um oscilador em tempo discre10. 0 qual gent uma sen6ide de 50 kHz.
Neste ca~o a freqUcncia m ai~ aha significrtnte eJ. = 50kHz. Portanto, a partir da Eq. (5.60b)
T < -
I
2JA
= lOJ..ls
o inlcl"\'alode amostrdgcm deve sel" menardo que 10000s. A freqilencia de amoSlragcm ef. =
lIT> 100 I.:H7_
13
Urn ampfificador em tempo discrcto usa um imervalo dc amostragcm T =
de urn sinal que podc ser proce~sado POI" csle amplificadof sem aliasil1g"!
2SJ1~·.
Qual
e a maior frcqUcncia
A partir da Eq. (5.60a)
f.
I
< 2T = 20 kH:£
5.6 R ESPOSTA EM FREQutNCIA A PARTTR DA POSI CAO DOS P OLOS-ZEROS
As respostas em frcqUe ncia (resposlas de amplitude e fase) de urn sislema s30 delerm inadas pe[a~ po5 i~Ocs dos
p6los-zeros da fun"ao de transferencia H[ t; ]. Tal como em sistemas em tempo contlUUO, e possive! delerminar
rapi dameme a resposla em amplitude e fase. aJem de se leI" uma ideia das propriedadcs de fil rragern de sistemas
em lempo discrelo usando uma ticnica grafiea. A fuU/i30 generiea de lransferencia HId de ordcm N da Eq.
(5.34) pode ser descn la na forma f3lorada por
(5.62)
Podcmos calcu lar Hlzl graficamenle usando os cooceilos di~cut idos nn S~ilo 4. 10. 0 segmento de linha direciona J de ~ a z no plano complexn (Fig. 5. 18a) representa 0 numero compJexo z - z,. 0 lamanh(l dcstc scgmcn10 e It - z~ e seu angulo com 0 cixo horizontal e L( z - zJ
.
Para calcular a resposta em freqileneia H[cf1] caicuiamos H[z] para z '" tfl. Mas para z = /', Izl = I c Lz.: U ,
tal que Z ", ,;0 represenla um pon to no cfrculo unilirio com an~ulo n l.'Om 0 cixo horizontal. Coneclarnos todos
os zeros (Zl' z2''''' z_v) c lodos os p6los (Yl" Y!o .... Y.v) ao pon to I" como ind icado na Fig. 5.lgb. Sejam r l, I"!'"" . • rIi
os comprimcnlos e ¢j' tP:-... , tP... os angulos. respectivamentc, da.,> linhns concclando !" zzo ..., z.~ ao ponto ,II. Similarmenle, scjam d 1, t4, ... , d N os L"Omprimcmos e 91, 9:!' ... , 0.,,05 angu los, re.~pectivamente, das Iinhas conectando }'i. r2>"" 1'...: ao ponto,fl. cnlao,
(5.63)
(5.64)
490
SINA IS E SISTEMAS LINFARES
,..
,~
"
Iyl "
I
l = t~/·
I.'" =
2SO;r)
:B.5 .-
.---~ - -. -
... _....
hi = {).96
hi .,+
/
.'
, fr/ 4
,. ,
Iyl =
0.83
(W '" 0)
6..11 -_ •. -
- •• ~.- .-- ••.•.••
w_
o
1r/4
~)
(b)
n-
,.[,.1
-,
- hf
- I
(e)
Figura 5.20
Projelo de urn filuu passa-faixa.
EXE MPLO DE COMPUTADOR C5.2
Ulilize 0 MATLAB pam calcular e trdr;ar a resposla em frcqOencia do fillro passa-faixa do Exemplo 5. 14
para os seguilllcs casos:
(a) Iyi = 0.83
(b) Iyl = 0.96
(c) Iyl = 1l,99
~>
em";!11 _ 1i;l".,.." el-pi.pi.40971 : o;;:.....=q _ 10 . 83 0 . 96 0 .99) :
»
E _
7e,o~
»
to,"
II Z 1. :
I .. r.')lh( ........... gl,
lit::;. : '
»
»
(2""!F h 1"-"""\11 . 1""!I"t.h (O::'.E-gil) ) ,
~
==-=1"1 11 0 -1 1. 11 - sqrt(2, _g _"-";;- (,,>,
s ut:plOL 12.! . 1) ; p l OL (0::-""11'" .. bs Ii! U . ,) ) , 'k-' ... .
Or::"q~
»
» ,,:.< ~.
.ilOS ( ii(2.
:)) •
' k-
'. (b"",, . 1Ib3 I!l( 3. : » . ' k- . '),
Lilli::, x l.:>be1 I ' \Cmcll" ' ) , yl.w..l( ' IH["A{j
I\~= I
»
_......"dl'tll)
»
s ut:plot a, :,2) ;
»
g-"",g(,"'A21.o--~"I'
_ O.81'.'(b )
,,~O l lo:.eo;; l1
1'".r.~ 1
\(J:'"""Il~ III ');
= 0.96 '. 't<: ) '\<;"-=-". 1'" 0 ,99 '. 0)
, ,,,.g l e C:lll , : II, ' k - ' , .. .
Cl!Deq8 . "'>g:e (:I(2 , : II .' k - '. o=-qll . llngl e IE{J.: I', 'k-. ' I ;
»~x ~a ti\ll'~ ;
x]"be l('\Cml!Il""I : ylall<!1( ' \ 8'l<;le t: [.,A(1 \C'''''''\I'' ) ] ' r.:td l '),
>:> l ~""d(' (.:t)
' \ \< ....-::.:l1li1 _ O.Sl','lb)
I\~=.al
= O.9~·,' (<:)
1\\1 ,,=1 .O.99' . ())
CAPtruLO 5
ANALIS E DE SISTEMAS EM TEMPO DTSCRETO USAl'<DOA TRANSFOR.\1ADA Z
100
I
80
I::
1
"
40
])
~
::
(
I'
-3
ly1 = 0.83
1y1 = 0.96
....... 1yl == 0.99
---
1
~
20
491
o
2
""
2
3
!l
-- ,',
15
1
5
0
5
1
- 1. 5
""I
,,
\':,,
,
,
,,1
\\ o
..
' '~
)
2
Iyl - 0.8.3
Iyl = 0.96
....••. 1)'1== 0.99
---
" ---
2
)
n
Figura C5.2
Projete urn filtro Noh.:h de segunda ordern que tenha tran~missao nula em 250Hz c uma nipida reeuperao;ao
de ganho para a unidade nos dois lado~ de 250 Hz. A freqiiencia mais alta a ser processada e/, = 400 Hz.
Neste caso, T < 112/" = 1,25 x 10-). Vamos escolher T = lo-J. Pard a freqiieneia de 250 Hz, n :=: 2n(250)T
= n/2, Portanto, a frequeneia de 250 Hz e representada pelo ponto / ' :=: fit'" = j no circulo unitario. como
mostrado na Fig. 5.12a. Como precisamos de transmissiio zero nesta fr~qi.iencia, devemos eolocar urn zero
cm z = fl1!Il. = j e seu conjugado em z :: e-f1!ll. = -j. Tambem preeisamos de uma rapida rec uperao;ao de ganho
nos dois lados da freqiiencia 250 Hz. Para isto, co\ocamos dois p6los pr6ximos aos zeros, para eance1ar ()
efeito dos dois zeros quando nos movemos para longe do ponto j (eorrespondentc a freqiieneia 250 Hz). Por
eSla raziio, vamos usar p6\os em ±ja, eom a < 1 para estabilidade. Quanto mais pr6ximo os p6los cstiverern
dos zems (quanto mais proximo a estiver de I), mais rapida a recuperar;iio de ganho nos dois Jado de 250
Hz. A fllno;ao de transfereneia resultante e
H[71 = K (z - j)( z + j)
~
(z - ja ) (z
o ganho CC (ganho para.Q = 0, ou z =
I ) deste filtro
H[l J =K
+ ja)
e
2
1 + a2
2
Como precisamos de urn ganho CC unitano, devemos selecionar K = ( 1 + a )/2. A funo;iio de transferencia se torna. portanto,
(5.68)
492
SINAIS E SIS1E\1AS
LINEAREs
e de aeordo com a Eq. (5.50)
_0
~
IHle] JI- =
(I
+ a 2 )2
(I
A Fig. 5.21b rnostra
deste fi[tro.
+ l )(e- i20 + I )
"0'
4
- 2(1
(e i20
·' 0
(el" +a-)(e
J_
'
+a-)
+ 112f(1 + cos 2Q)
+ 1I ~ + 2a! cos 2Q)
IHldtll1 para va[ores de
a = 0.3; 0.6 e 0,95 . A Fig. 5.21e rnostra a rea li zll~ao
n ~ "'/2
Co. " 5IX},..)
,, - 0_9S
0 - 0
(..
0)
-j
o
,.,
0->
,
{",n
1000;;-
,OJ
,,'
Figura 5.21
Projeto de urn filtro notch (para-faixa).
EXE R C.ic.IO ES .21
~~~""-'''''-'o!....!~~~
______-,--______________
Use 0 argumeDio grifico para mostrar que urn fiJtro com fun\;ao de traIl5ferencia
Hlz i =
funCiona como urn mlro passa-altas.
Fa~a
z - 0.9
,
urn rascunho da rcsposta em amplitude.
.~
CAPiruLO j
MALlSF. DE StsrEMAS EM T EMPO D tSCRETO USANf)() A TRA.IIISffiRMADA 7.
495
H[zl
K8(t )
TK&("l
II (f)
TI/[1I1
TK
T,
Z- l
T2 Z
(z
I)'
+ I)
1')z(%
2(~
2
~
I) l
~T
Tl ze~T
(z
Tnr'" eos (bl
+ 0)
Tre""""nT l:OS (ImT
0= tan- I
+ 8)
e"'T)~
Trzt z: cos 0 - e""""1· cos (bT - 9) I
~1
(2e
aT COS
bT):;. + e-!<IT
Aa-H )
( .4.~
E<,ta fUnI,iio de tranSfert!lIcia]lOde ser facilmeme reaiizada como expJicado na S~ao 5.4. A Tabcla 5.3 1isla
varioo. pares de H~(s) c suas H [z] correspooocmcs. Por cxcmplo. para realizar um inlegrador digilal, examinamos sua func;ao H~(.f) = lIs. A partir da Tabela 5.3. correspondente a His) = lis (par 2), delerminamos Hid =
Imnsformndn TzI(z ~ I). ESle 6 exatamcntc 0 resu ltado obtido no Exemplo 3.7 usamJo oulra abordagcm.
Note que HaUw) na Eq. (5.72a) [au (S.74 )1 nao l': limilada em faixa. Conseq(lememente, lodas esta..~ realir.a<;ik.s silo nproximada.~.
EsCOLHA DO I NTERVALO DE AMOSTRAGEM
T
o critl':rio de invarianeia ao irnpulso (S.71) foi obtido eonsiderando-se que T -+ O. E.~1.a considera~io nio l':
oem prlitica e nem necessaria para um projclo satisfat6rio. E\' itar 0 aliasillg l': a eonsiderac;ao mnis imporlanIe para II cscolha de T. Na Eq. (S.6Oa). mostr;:uuos que para urn intervalo de arnoslrdge m de T scgundos, a fremai~
alta que podc ser am oslrada scm aliasiug e Ifl. T ou 7f.!T radianos por segundo. Isso implica que
H. UfJ). a rcspoSla em freq uenc ia do mtro nnal6gieo da Fig. S.22b nilo deve ler comJXmentes cspcctrais all':m
da freq iii!ncia rrlT radianos por segundo. Em outras palavras. para evitar 0 olic/sillg. a resposta em freqiie ncia
do sistema H.(~·) deve seTlimitada em faixn a JrlTradianos pOT seg undo. Veremos postcriormenlc, no Capftu10 7, que a resposta cm freqUen eia de urn sistema LCIT realiz~vel nlio pode sllr limitada em fa ixa. Ou seja, a
n:sposta gcrnlmeme existe pard IOd.,s as freqilencias ate 00 . Portanto, e impasslvel reali7..ar c:utamcnte um
sistema LCIT digitahllcnte sem aliasing. Grd~as a Deus a rcsposra em freq(lcneia de lodo sistema LCIT reali z:ivel diminui eom a freq iiencia. Isw pcrmite urn eompromisso en tre a reali7.a~ao digital de um sistcn«1
LCIT com urn nl\'c! de aliasing ace itave l. Quanlo menor 0 valor de T. menor 0 alit/sillg e melhor a aproximaIjiio. Como e i mpos~i\'eI fazer IH.(jco)1zero, fieamos satisfeit05 por fazc-Io suficientcmente pequeliO para frequ encias aci ma de 1f.1T. Como rcgrd nipida,' cscoUlemos T lal que IH.Uw)1paT3 a frequencia w = rrlT scja menor do que urna ceria fras-ao (geT31rnenle 1% ) do valor de pieo de III. Uco)l. 1s10 garante que 0 ereilo de alia·
sillg possa set negligenciado. 0 pico de IH.(jco)1 geralmenle ocorre para w = 0 par.. filtros pa~a-ba ixas e nn
freqUencia de centro w, para m lms passa-raixa.
qoencia
, r-~r~ um si nal C()lH ptcxO.l]n/. ~ propri ew de de ~"ersilo no
lempo !! modificad~ par~
... ·l ~1!1
~
X'[ I / .;:· ]
496
SI.'IIAIS E SISlE.\tAS LINIOAKI:S
Projete urn fihro digi tal para realizar urn filtro passa-baillas de Butterworth de primcira ordcrn com [un~ao
de transfcrencia
(5.75)
Paw ~se filtro. delenninOlrmos H[l.] corrcsponJente de acordo co m Ol Eq. (.5.13)(ou par 5 da Tabcla 5.3),
dada por
wrT z.
HI, I ~
(.5.16)
,~ ,
A seguir, seledonamos () valor de T pelo criterio de acordo lvm () qual 0 ganho em (l) "" rr.JT cai para 1%
00 ganho mixi mo 00 filtro. Entretan!o. essa escolh~ n"OSlIlI.<I ~m urn pmjcto l ao born que 0 afi(lSing e impcrcepth-cl. A resposta de amplitude resuhnmc e tao proxima da rcsposla desejada que dificilrncnte irem os notar 0 efeilo de aliasing em /lOSSO gr.1fi co. Para efeito de dernonstrn9ao do efcito de aliasillg. deliberndamcnIe iremos seleciOllllr urn criterio de 10% (em vez de 1%). DeslOl [00113 obtemos
Neste caso.jH.Uw)L.....
Observe que
= I. 0 qual ocorre cm ill =
IH,,(jw)1 ~
O. Usando 0 criterio de 10%, temos IHJ ltfT)\
= 0, I .
We
W
Logo.
IH.. (rr / T)1 ~
~=
;r I T
~
0. 1
rrl T = Hk"c = IW
PortanlO, 0 criterio de 10% res ulla em T = 10-6n. 0 criterio de 1% leria resuhado em T "" IO-7n. A su b~­
ti t ui~ao de T = lO-6 n na Eq. (.5.16) reSlllta em
HI'I
~
0 ,31 42z
,
0.7304
(s.n)
A realizn/iiio ellnOnica deste fillro esta mostrndOl nOl Fig. 5.24a. Para delerminarmos a resposta em freqUcncia desse fi llro digital. reescrevcmos Hizi como
0,3 142
H[z) = 1 -07304y- 1
,
"
Portanto,
0.3 142
0.7304r,..T
(I
0.3 142
0,7304coswT) + jO.7304 scnwT
Conseqiientemente,
IH[eJ.,TJI =
7iF"'lfi",,~~O.
~3~14~2~f¥iT.j'''''5''
J(l
0,7304 coswT):! + (0.7304 sen wTF
0.3 142
-~~~~
J I,533 1,4608 cos wT
(5.7Ka)
CAPInILO 5
LHLe
A NhuSE rn.: SISTEMAS EM T EMPO D ISCRETQ USM"DO A TRANSFORMADA Z
iwT
]= - lun
_I (
0.7304 sen wT )
1 0,7304 co~rvT
497
(5.78b)
Esta resposla em freq Uenciu difere dn resposta desejada Hufjw) porque 0 efcito de uliu.I'inS faz com que
as freqiiencias aeima de nIT apare"am nas freq Hencias abaixo de tr.lT. Isto geralmenle resulta em 11m aumenlo de ganho pam freqiien cias abai xo de tr.lT. Por exem plo. 0 ganho do fi ltro renliz.1do para 00 = 0
H[~J = H[ I]. Esle valor, obtido pela Eq. (5.77) 1.1654 em vez do valor desej ado de L POOemos compensar parcialmeme esta diston;ao mllitiplicando H[z] 011 Hj tOlrl por uma eonstante de normaliz." " ao K =
H .(O)lHf I I = 1/ 1,1654 = 0,858 . Isto for~u 11 ganho resuhante de H I d J a ser igual a 1 para 00 = O. 0 valo r normalizauo 6 H.[l.] = 0,R58Hlz] = 0,R58(O, Inzl(z - 0.7304». A resposta em amplitude da Eq . (5.7Ra)
6 multipJicada por K = 0,858 e apresentada nn Fig. 5.24b para u fa ixil de freqiieneia de 0 S (.I)!> nlT = 10~.
A conslantc mu ltiplieativa Knao possui efeito na resposta em fase da Eq. (5 .78b). a qual 6 mostrada nu
Fig.5.24c.
A1!'!m disso. a resposta em freqiH!:ncia desejada. de acordo com a Eq. (5.75) com (.1)< = lOS
e
e
.~
e
10'
jw + 10'
Portanto.
,
As respostas em amplitude e fase sao mostradas (em pontilhado) na Fig. 5.24b e S.24c para efeilO de
comparao;ao com a re ~po s ta do filt ro digital rea1i;o;ado. Observe que 0 comportamenlo da resposta em amplitude do filtro anaJ6gico e digital c muito pr6ximo para a faixa w ~ 00, = 10l. Entrctanto. para freqih!ncias mais altas, existe urn aliasing considcnl.vel, espcciaimenle no espeetro de fase. Se l ives~emos utilizado 0 criterio de 1%, a resposta em frequ~ncia teria sido mais pr6ximn para mais umn Meada na faixa de
freqiiincia.
xflll
)'[11]
0.7304
,oj
IUaUw)1
----... _-.. _-.-.....................
5 X llf
,bj
.' igu ra 3.24 Exemplo de um projetu de filtro pelo melodo de invarianeia ao impulso: (n) realizao;ao do
filtro. (b) rCliposta em amplitude e (c) rcsposta em fa<.e.
500
SINAIS E SISTEMAS LlNEARES
'\
ifl)
"I
. ---
.-
,
,
,:i'{IJ
-'In)
•
•
~\I)
(OJ
(,)
Figura 5.25
Conexiio entre a transfonnada dc Laplace e a transformada z.
Como a transformada de Laplace de 8.,1 - 117) e e-
mT
•
oc
Xes) = Lx ln]e-""T
(5.82)
n =O
,
oc
Yes) = LY(II]e - ,,,r
(5.83)
,, = 0
A suhstitui<;iiO das Eqs. (5.82) e (5.83) na Eg. (5.81) resulta em
I: Y[Il ]e-,nr = Hle,r]
" ~O
[fX[lIle-_<nT]
,, = 0
Introduzindo uma nova variavel z '" e,T, esta equar;ao pode ser expressa par
oc
L
oc
y[n]z- n = HlzILx[1l1z-"
,,=(1
00
YlzJ = H[z]X[zl
na qual
oc
X[z] = LX[1l1z- "
,,=0
,
N
Y[z] = L
Y[ll jz - n
,,~
Fi<.:a claro de nossas di.~cussi)es que a transform ada z pode ser considerada como sendo a lransronnada de Laplace com a mudanr;a de variavcl z == e,r ou s = (117) In z. Observe (jue a transfIJrmw;ilo z =: e,r transforma 0 eixo
imaginario do plano s (s= jw) em urn circulo unitario no plano z (z = e,T =: e,"T, au Itl = 1). 0 SPE e SPD no plano s sao mapeados dcntro c fora, rcspcctivamente, do drculo unill1rio no plano z.
506
S I:'iAL~ ~ SISTEMAS Ll NEARES
5.9-2 Utilizacrao da Transformada z Bilateral para a Amilise de Sistemas LD[T
Como a trunsformada l bil:tt~ra l pode trabalhar com sinais nl\o ca usais, podemos utilizar cssa traMformada para analisar sj~temas lincar~~ nl\o causais. A resposta yin I de estadu nulo e dadn par
y[nl = Z - I{X[dH[z ll
desde qucXl zIH[z] exista. A RDC dc X1 z]H[z] e a rcgiiio oa qun l liln to X] zl Quanto HI;::I cxistem. o Que signifiea que a regiao e a parte comum da RDC de X[.:;} e H[z]'
Para urn sistema causal especificado pcla fum,ao dc tr.m sfet'incia
H
detenT1in~
,
r,r ~ ::-''
;;-,z 0,5
a resposta de estado nulo para a cntrada
x[ ,,1 = (O.lWu[1I1
z
+ 2(2)- 11[-(11 + 1)1
2;::.
-z(: + 0,4)
xt;: . J = <:-0.8 - z - 2 = (<:
0,8)(z
2)
A ROC corre~1Xlndemc ao tenno causal eIzi > 0.8 e a correspondcnte ao lenno anticausal eIII < 2. Logo. a
RDC de Xlz) e a rcgiiio comum. dada por 0.8 < IzI < 2. Logo.
-z(z + 0,4)
[e] - (, _ 0.8)(,
2)
X - _
0.8 <
III
<
2
P()rtanto.
_;::.2(Z + 0,4)
,c.8"""'(,:-,'")
Y[z I = XlzJ Hid = ;:(,C-CO".5i)7.(,"--CO
Como 0 sistema ecausal. a ROC de lIl z ] c! Izi > 0,5. A ROC de Xlz]
convergencia para XLzI e H{zl e 0,8 < III < 2. Portanto.
-z!(;:
Y[, ]
+ 0.4)
~ :-(,---'0".5"')(:-",'-',;O~.8)"(_'~
')
0.8
<
c0,8 < III < 2. A regill.o cum um de
1;:1 < 2
Expandindo ¥Izl em frat;1'les parci ais modificadas. tcmos
y[~l -
~
-
-
,
z 0.5
8(')8(
- -3 '-)
z- 2
+ -3 z
0.8
0.8 < Izi < 2
Como a ROC se estende pam fOTa a panir do pOlo em 0,8. os dois p6Jos em 0,5 e 0,8 eorrespondcm a sequencin causal. A ROC sc cstende para dcntro a partir do p6\0 em 2. Logo. 0 p610 em 2 corrcsponde a seqUencia anlicausal. Ponanto,
YI"] = [-(0.5)" + ~ (O.8 )"] 1/[11] + ~ (2Yllr- (1I + 1)1
508
S1NA1S E SIS'll2MAS
LlNEARES
5.10 RESUMO
Nl:ste capitulo, diswtimos a an:iliSI: de sistl:mas lineares, discretos e invariantes no tcmpo atraves da transforrnada z. A trans forrnada z transforrna as equa<;5es diferen<;a de sistemas LDIT para equai;cks algebricas. Portanto, 0 problema de resolu<;ao de equa<;6es diferen<;a sc rcduz para a resolu<;ao de equa<;Oes algebricas.
A fun<;:iio de tran~ferencia Hlzi de urn sistema LOfT e igual arazao da transformadaz da saida peJa trans formada z da entrada, quando todas as condi<;6es iniciais sao nulas. Portanto, se Xlz) e a transformada z da
cntrada x(n] c Y[z] c a transfonnada z da saida yin I correspondente (quando todas as condi<;6es iniciais sao
nula~) , ent.~o Ylzi = HlzJXlzJ. Para urn sistema LDIT especilicado pela equa~iio diferem;a Q[ElY[Il] '"
P[Elx[nj, a fu nqao de transferencia e H[z] = P[z]/Q[z]. Alem disso. HIzl e a transfonnada z da re~postu hln]
do sistema ao impulso unitario. Mostramos no Capitulo 3 que a rcsposta do sistema a uma exponencial de
dura<;ao intinita z" c H(z]:." .
Tambem vimos que a transformada z e uma ferramen ta qlle expressa lim sinal x[n] como a soma de I:xponenciais na fonna z" para lima faixa dc valores continuos de z. Usando 0 fato de que a resposta de urn sistema LDIT
a z" e H f:lz", delenninamos a resposta do sistema a x[n] como sendo a soma das respostas do siSlema a tadas as
componentes na forma z" para uma faixa dc valores continuos de z.
Sistemas LDlT podcm scr realizados por mulliplicadores e~calares, somadores e atrasos de tempo. Uma dada funq.1o de transferencia pode ser sintetizada de diversas fonnas. Discutimos as reaJizaqOes can6nica, lransposta can6nica, cascata (serie) c para1cla. 0 procediml:nto de reali%at;a:o e idenlico 01.0 de sistemas cm tempo continuo com lis (integrador) substituido por liz (atraso unitario).
Na Set;iiu 5.8 muSlramos que sistemas em tempo discreto podem ser analisados pela lransfunnada de Laplace
tal como se eles fossem sistemas (!m tempo continuo. De falo, mostramos que a transformada z a transformada
de Laplace com uma mudant;a dl: variavel.
A maioria dos sinais de entrada e dos sistema pniticos sao eausais. COllseqiientemente, geralmente trabalhamos com sinais causais. A re~trit;iio de lodus os sinais ao tipo causal simplifica muito a analisc pela transformada z. A RDC de um sinal se lorna irrelevante no processo de amilise. Este casu especial da lransfonnada z (a qual
e reslrila a sinais causais) e chamada de transfonnada z unilateral. Grande parte do capftulo trabalha com csta
transformada. A Se<;1!o 5.9 discute a forma geral da transformada z (transformada z bilateral), a qual pode tmbalhar com sinais c sistemas causals e niio causais. Na transformada bilateral. a transformada inversa de Xl,} nao
unica, dCpl:ndendo da ROC de Xld Porlanto, a RDC possui urn papel crucial na transformada z bilateral.
e
e
R EFERENCtAS
1. Lyons, R. G. Unden-tanding Digital Signal Processing . Addison-Wesley, Rl:ading, MA, 199·
2. Oppenheim. A.
v., and R.
W. Schafer. Discrete-Time Signal PmcessilJ;':, 2nd cd.
Prenlicl:-Hall, Upper Saddle River, NJ, 1999.
3. Mitra, S. K. Di;.:i/al Signal Processing. 2nd ed. McGraw-HilL New Yurk, 2001.
MATLAB
Se~ao
5: Filtros IIR em Tempo Discreto
Avan<;os recentes na tecnologia aumentaram dramaticamente a popularidade de filtros em tempo discreto_ Ao
conlrario de liltros em tempo continuo. a performance de filtros em tempo discreto nao c afctada pela variaqao
dos compollentes, temperatura, umidade ou tempo de uso. A 16m disto, hardware digital e facilmente reprogramado. 0 que pennile a mudanqa adequada da fun<;iio do dispositivo. Por exemplI), alguns aparclhos de audi"ao
sao programados em fun<;ao da resposta necessaria para um dado usuano.
Tipicamente, filtros em tempo discreto sao catcgorizados como resposta infinita 01.0 impulso (llR) ou respos ta finita ao impulso (FlR). Um metoda popular para a ob tenqao de urn filtro llR em tempo dislTeto C pela trans formaqao de urn projeto de filtro em tcmpo continuo correspondente. 0 MATLAB facilita em muito este processo. Apesar do projelo de fihros fIR em tempo discrl:lo serem enfatizados nesta seqiio, metodos para 0 projeto de filtros FIR em tempo disereto serao considerados em MATLAB Set;ao 9.
CAPfru.D S
ANALISE OF. SISl'loMAS E.\\ TEMI'O OISCRETO USAKDO A TItANSR)R.\tADA z
5 09
MS.1 Rcsposta em Freqliencia e GrMicos de P6los-Zcros
do comportamento de fil tros. Si milar a ~ i slcmas em LC mpo contfnuo, run¢CS de Inmsferencia rJcionais para sistemas LD IT rcaUza\'ei~ sao reprcscntados no domlnio z por
A ~spoola em freq uc:ncia e graficos de p6los-zeros facili tam a camcterizac;ao
(MS. I)
Quando apenas os primeiros (N I + I) cocficientes do nu memdor sao n1l.o nul os c apenas
I) eoeficientes do denominador sao n~o nulos. a Eq. (MS . 1) simplifieada pam
o~ primciro~
e
Hlzl =
. .., b - l
HI J = "'
_YI,_J = _,_
L...t.,(l tZ
Xlz]
A Lz]
L:~ atz -k
=
" ' ....,
b ...·,-l
L...l.,(l tZ
L:~atz""-t
z...·,- ,'{,
(N! +
(M5.2)
A fonna da Eq. (M5.2) possui divcrsas vantagens. Ela pode ser mais c:fieicnte do que a Eq. (M5. 1). ainda funciona quandoNI = Nl N e e:s ta mais proxima da nola<;iio das func;Oes inlemns do MAlLA.8 para prucessameoto de sinnis em tempo discrcto.
o lado di rello dn I:::q. (M5.2) e a forma mais conveniente para d lculos usando 0 MATLAB. A reposta em
freq ui!n cia H (J' ) e obtida fazcndo z ",;0, na qu al Q possui unid ade de mdlanos. Gc:ralmente, n = wT, nn qua l
we a freqUcncia em tempo contfnuo em rJdianos por seg undo e Te o pc:riodo de amostragcm em segundos.
Defini ndo 0 \'Ctor de cocficientes A :: [aO' a .... 0,,2] de taman ho (Nl + I) e 0 vetor de coeficientes 8 = IbO'
h, ..... b,vl ] de tamanho (N, + I ). 0 programa "MSSPI calcula H(tfl) usando a Eq. (M5.2) para cada frcqUencia
no vctor de entmda n.
=
function [H] _ MSS Pl (B, A, Omeqa) i
'" MSSPl.m: MATLAB Se~ao 5, Programa 1
t Arquivo . m de furu;:ao que calcula a resposta em fre qu.@nc i a para sistemas LDIT
'" Entradas:
B '" vetor de coeficientes de reallmenta~ ao
A
vetor de coeficient es da malha direta
omega = Vetor d e f reqQ encias [rad] ,
tipicamente ·pi ~= Omega <= pi
'" Sa l daa:
H : resposta em freqUenc i a
N_l • lenght (B) -l ; N_2 = lenght(A)-l;
H _ polyval (B , e xp (j *Omega )) . /polyval lA, exp tj - Omega)) . *exp (j ' Omega * (N_ 2 - N_ l) ) ;
•
•
=
Note lIuC devido ao esquema de indcxa~i\o do MAILAB. A (x) colTCsponde ao coeficientc a' _1 e B (x) corresponde ao cocficienle hi- I' Tambem e possivel uliJizar a fu nc;1I0 fre qz do toolbo_{ de processmncnto de .~ina i s
para Cllicular a rcsposla em frcqUencia de um sistema dcsc ri lo pela Eq. (M5 .2). Sob eer1a~ circullstancias especiais, a func;ao bode do toolbox de coMm ie de sistema~ Iam bC m pode ser ulili.,.ada.
o progrnma MSSP2 calcula e trJ({a os p6los e lCros de urn ~islem a LDIT descrito vela Eq. (M5.2) usando no\'amenle os vetOTeS B e A.
=
MSS P2 (B , A) ;
f unction [p,z]
'" MSSP2 .1lI : MATLAB Se<;ilo 5 , Pr ograma 2
'" Arqu i vo .m de funcao que c aleula e t ra<;a as p610s e zeros de um sistema LDIT
'" Eotrad a s :
B
vetor de coe f i cientes de reali menta~ao
\
A = veto r de coe fiei ent es da malha direta
=
N_ l ~ l enght(B)- l ; N_ 2 = lenght (A)- li
p = r oots ( [A, zeros( 1,N_l- N_2) ]); Z • root s {IB,zeros (1.N_2-N_l] 1 ;
uCirc _ e xp (j * li ns pae e(O ,2~p i , 2001 ) I '" calcula 0 clreulo uni tatio para 0 grifico
de p61os-zeros
510
SlNAIS E SISTD,J,\S LU\EARES
plot ( real (pi , imag (p l , 'xk', real ( z ) ,imag (z) , 'ok' ,real (uc irc ) ,
imag(ucirc), 'k: 'J;
xlabel (' Real' ) ;ylabel ( ' :I maginary ') ;
ax ~ axis; dx = 0 . 05 * (ax ( 2 ) -ax ( 1 ) ) ; dy _ 0 .05 * (ax(4)-ax(3)) ;
axis ( ax + [ - dx,dx , - dy,dy)) ;
o lado dircito da Eq. (M5.2) ajuda a explicarcomo as raizes sao ca!culadas. Quando N\ *N:, 0 termo zNl - .'·\
im plica em uma raiz adicional na origcm. Se N\ > N~, as rdl..:es sao polos, os quais sao adici{)nado~ concatenando A com zeros (N_ I - N_ 2, 1); comu N~ - N\ S; 0, zeros (N_ 2 - N_ l, 1) produz um conjunto vaLio e B nao
alterado. Se Nl > N\, as fai~.es sao zeros, os quais sao adicionados concalenando B com zeros ( N_ 2 c N_ 1, 1) .
ComoN,- N1 S 0, zeros (N_ 1 QN_ 2, 11 produz uma salda varia eA pemJancce malterJdu. Os pOlus c zeros sao
imlicados par 'x ' e ' 0' em preto. respcctivameme. Para referi:ncia visual, () drcu lo unitario tam bem e mostrado.
A ultima linha em MS5P2 cxpande os eixos do grafteo tal que as posh;oes das raizes nao fiquem obseurecidas.
e
M5.2 Fundamentos de Transformat;ao
A traMfonnar,;ao de filtros em tempo continuo em filtros em tempo discreto come<;a com a fun<;ao de transferencia desejada em tempo continuo
Y( S )
~"h
B()
.\'
H(s) = -- ~ -- =
X es)
A(s)
L.... •. -l!
k + I>'-M'\'
"N
M- l
N k
L..k=UGlS
Por convenie ncia, H(s) c rcprcsentado na fonna fatorada por
(M5.3)
na qual z"e p. silo os pOlos e 7.ero~ do sistema, respcctivamente.
Uma n:gra de mapeamento convene a fuw;ao raciunal H(s) em uma funr,;ao radunal H(z). A restril< uo de
que 0 resn ltado seja racional garantc que a reali7.ar,;ao do sistema possa ser feila com apenas atrasos, somadores e multiplicadorcs. Existem vari as regras de mapeamento possfveis. Por questoes 6bvias , uma boa transfo rma~au !cnte a mapcar 0 eixo (I) no cfrculo unittirio. ffi = 0 em z = 1, ffi = cc em z = -I e 0 semi-plano csquerdo no interior do cfrculo unitario. Colocadu de outra fomla, senuides mapeadas em scnuides, frcqucn(;ia
zero mapeada em frequencia zero, alta freqiiencia mapeada em alta freqUencia e sistemas estaveis mapeados
em sistemas estaveis.
A SeIJilo 5.8 sugcrc que a transformada z pode ser considerada como sendu a transformada de Laplace (;om
uma mudan~a de variavd z == e,r all.\" == (li])ln z. na qual Teo intervale de amostragem. Portanto e tenlador converter nm fi llro em tempo continuo em um filtro cm tempo discrew substiruindo s == (lI])ln z em H(s), ou H[z]
= H(s)1J 3 ( '~",' infeli7.mente, esta abordagem nao e pnitica porque H lzJ resultante nao ~erti racional c, portanto, nao poder:] sef implementada usando blocos padrOes. Apcsar de nao sel" considerada aqui, a transformar,; ao
chamada z-cnmbinl1da uti liza a relar,;ao z == e,r para transformar os p6Jos e zeros do sistema, tal que a conexao
possui algum merito.
MS.3 Transforma.yao pela Diferen.;a Atrasada de Primeira Ordcm
Considere 11 funr,;ilo de transferencia H(s) :: Y(s)/X(s) = s, a qual corresponde a urn diferenciador de primei ra ordem em tempo continuo
d
\'(1) = - xU)
J,
Uma aproximar;ao que se asseme1ha ao teorema fundamental de etilculo c a diferenr,;a atrasada de primeira
ordcm
CAPfruLO 5
ANALISE DE S ISTE.\1hS EM n..\1.PO DtSCRETO USANOO A T RANSFORMADA Z
5 11
Pal'll urn intl;.':rvalo de amostragem T e t = liT. n apro;.; i1l1 arrll o correspondeme em tem po disere to e
y[n l
=
xlIlJ-xln - I J
T
a qll al posslii a seguinte ftul<;iio de transferencia
iSIO im pliea em uma rcgra dl: trans fonn ar,:ao que lIti liza. II Illudan<;a de vllrilivei~' = ( I - z-'}IT ou z::: 1/( 1 s "/) . Esta regra de trao ~fonna~ ilo inte ressante porq ue 0 resultado H[.::] e rac ional c possui 0 meS1l10 numew
de p6los e leros que H (s). A Ser,:iio 3.4 discute essa estrategill de transfo11Tlat;iio de maneira diferen te. descrc vendo a rel a!tiio entre equa!tOes di feren!ta e equat;Oes diferenciais.
I
Ap6s alguma a lgebra, subslituindo s = (I - 1.- )lT na &j. (MS.3) obtemos
e
(M 5.4)
o sistema em tempo discreto possui M zeros em I/( I !tao
pre ~erva
Tzt ) eN p6Jos em I1(tITp,). E.~ l a regfa de trlll1sfo11Tla-
a estabilidadcdo sistema mas nao mllpeia 0 eh o wno cfrculo unitmo (vcja 0 Prob. 5.7-9).
o Program.. MSSPJ milir..a 0 metoda dc difereu!ta atrasada de primeira ordem da Eq. (M5.4) para converte
=[all'
=
aNI e R (b.v _/J' b.~._ .t( .
em urn liltro em tem po discreto. A forma do filtro em tempo discreto segue a Eq . (\1 5.2).
urn fillro em tempo continuo descrilo pelo vetor de coeficiente,. A
(II •••••
I.· ·· .
b.... l
function [ad. Adl _ MSSP3(a,A,T);
" MSSP3.m: MATLAB Se9ao S. Programa 3
\ Arquivo.m de fun~ ao para a tran s fOPma9a o pela diferen~a atrasada de
t primeira ordem
t de urn f iltro em t empo continuo descri to per a e A em urn f iltro em tempo discreto
B .. vetor de coeficie ntes de r ealimentao;:ao
" Entrada a:
A • vetor de c oe fic ientes da malha direta
T _ intervalo de amostragem
Bd = ve to r dos coefic ientea de realiment ao;:io do filt ro em
It Saldll.s;
tempo discreto
Ad z vetor dos coef ici entes de malha direta do fi ltro em
tempo discreto
,
•
,
:.: • r oo ts (B);
gal n
zd
z
Ed ..
MS.4
p
..
rOOl: 9 (AI ; \ r ai zes no domini o s
= 3(1 )/~(1) · prod {1/T-~)/ pr od{1/ T- p) ;
l . /{ l-T- z) ; pd = 1 . /{1 - T~y ) ; , raizes no dominio z
Ad .. po ly (pd ) ;
q ain ~ polY( 2 d) ;
Transforma~ao
Bilinear
A transfo11Tl«<;ao bilinear e bascuda em uma aproxima!t3.0 melhor do que a diferen!taatr:JSatla dc primeira onJe1l1.
Novamcnte, eonsidere 0 difere nciador cm tempo contfnuo
d
Y(I ) = - x(r )
dt
Repre~n tando
0 sinal x(t) por
x(l) =
'
d
- x (r) dr
,-r dr
l
+ X(I
- T)
512
SINAIS E S ISTEMAS L U\'EARES
Fazendo / = nT e substimindo a integral pela aproxi maJ,:ii.o trapezoidaL lemos
T
[d- ;r(IIT) + -elldX(I1T - T)1+x (I1T 2 dl
X(IIT) = -
Substimindo yet) por (dldt)x(t). 0 sistema em tempo discreto equivalente
T
X[II] = 2(yrlll
+ Y[1I -
11) +xllI
T)
c
- Ij
Ustlfldo as trans formadas z. a funr;ao de trnnsfercncia e
Hlz j =
Y[z]
2(1 - Z- I)
XrzJ =
T(\
+z ')
A mudanr;a de variivel s = 2( \ - z-')IT( I + z-') ou : = (I + sTI2)(1 - sTfl) e ehamada de transfonnaf,:ii.o bilaterdL A lransformaf,:110 b ilateral nilo somente resulta em uma fun<;ao Hlz] racional, como tambcm mapeia COITetamente 0 eixo w no circulo unilano (veja 0 Prob. 5.6- I I a).
Ap6s algu ma ;j] gcbra. substituindo s = 2(1 - z-')l7"(1 + Z-I) o a Eq. (MS.3), obtemos
(MS.S)
Alem dos M zeros em (I + z.Tn)l( 1 - z~Tn) e Np6los em (I + p.TI2)/(l - fJ1T/2). existem N - M zeros ern
- 1. Como filtros em tempo continuo pruticos requerem M:-::; N para estabilidadc, 0 nil mero de zeros adicionados
6 fel i7.menle scmpre nao negarivo.
o programa t-IS5P4 converte urn fil lro em tempo contfnuo descrito pelos vetores de coeficientes A = I'\. al"'"
ooYl e H = lb.~ _ M' b N _ M+ 1' '' ' ' bN ] em um filtro em tempo discreto usando a lHlnsfoouUI;iio bilinear da Eq. (MS.S).
A fonnado fi ltro em tempo discreto segue u Eq. (MS .2). Sc dis poniveL tambem e possfvcl utilizar a fu nrvao bilinear do toulbux de p rocessamento de sinais pard calcular a tHlnsi"onna<;ao bilinear.
function [Bd, Ad] ~ MS5P4 (B ,A, T) ;
\ MSSP4 . m: MATLAB Se9ao 5, Programa 3
'" Arquivo . m de fun9ao para a transforma9ao bilinear de urn
filtro em tempo continuo
l descrito par B e A em urn filtro em tempo discreto.
'Ir 0 tamanho de B nao pode exc~d~r A.
\" I>ntradas:
B
vetor de coeficientes de realimenta9ao
A = vetor de coeficientes da malha direta
T _ intervalo de amostra gem
'd _ vetor dos coefi cientes de realimenta9ao do
Saidas:
fi lt ro em tempo discrete
Ad_ vetor do" coef icientes de malha direta do
fil t ro em tempo discrete
,
,
,•
,•
if
(lenght (8) ~lenght fA) ) ,
disp('Ordern do nurnerador nao pode exceder a ordem do denominador. 'J; return
end
z ~ roots(B); p = roots (A) ; t raizes no domlnio s
gain . real {B(1)jA {1) ~ prod(2jT-z)jprod{2jT - p);
zd • (1 +z *Tj2 ) ; pd _ (1+p~Tj2).j (1 - p*T j 2 ); \ raizes no dornlnio Z
bel • gain*paly { [zd ; - ones (lenght (A) - l enght (B) , 1) I ) ; Ad = poly (pd) ;
Tal como em mu itas ling uagens de alto nfvel. 0 MATLAB pO$s ui estru ruras gerai~ de if.
if expressao
cornandos;
CAPjT1JLO 5
/w.J.l.lSE OIl S ISTEMAS 1:\l TEMPO D1SCRIIT(l USANIX) A ThANSFORMADA Z
513
else1f expressao
comandOB;
else,
comandOB;
end
Ne~tc programa 0 comal1do i f testn M > N. Quando verdadeiro. I1 ma rncnsngem de crco
mando retl,lrn finali z.a a execw;ao do programa prevenindo eITO.~.
1\15.5
Tra n sforma~il o
e mostrad a e II co·
Bilinear com Pre-Warping
A tfansfo rmn".1I) bilinear mapcia lOtiO 0 cixo w infin ito no fini to cfrculo uni l:1rio (z ;; d'D) de acordo com ()J =
(21D tan (Q/2) (veja 0 Prob. 5.c· l lb). De forma equivalentc. Q '" 2 arctan (wTI2). A nao Iinearidade da fun~i1o
ta ngente causa uma eompress.iio nn freqUencin, ger,Jlmcme ehamada de ",(Irping em freqiic:neia. 0 que d i ~10rce
a tnmsforma(jiio.
Para ilUS(far () efeito de distor~1io. considere a Iransformar;1io bi li ne ar de urn mlro pas~a ·baixa , em tempo
continuo com freqUenda de corte w.. ;; 21[3000 radls. Se urn sistema digital alvo utili 7..a uma taxa de amostragem
de 10 kH z. entao T ", lIeI 0.000) e w.. e mapeado para
= 2 arctan (wJ12) = 1,5 116. Portanto. a freq iiend a de
corte transformada e menor do que a freqiiencia desejada no=- OOJ ; O,6n = 1.8850.
FreqU€neias de corte ~ao importantes e devem ~ lilo predsa~ quanto possfve!. Ajustando 0 par:imetro Tusa·
do na tfansformar;1io bilinear. llm!\ freqUencia ern tempo contfnuo pode ser mapcada e1<atamente em umu fre·
quencia em tem po discreto. 0 processo echamado de pre· warping. Continuando no ultimo exemplo, aju~lando
T ;; (2100,) tan (n )2) ::::: 1/6848 podemos teT 0 pre· warping apropriado par.. garan tir que 00, '" 2n:3000 seja rna·
peado em Q , = 0.61[.
n..
MS.6 Exemplo:
Tra nsforma~iio
de Filtro de Butterworth
Para ilustrar as tCc nica~ de transformar;ao. considere urn filtro pas~.bai "a5. em tempo continUO, de dtc ima or·
dem de Butterworth com freqiiellcia de corte wc :: 21t3000, ta l como projelado em ~{A.TL AB S~ao 4, lnidalmente, determinamos os velores de eoefieientes em tempo contfn uo A e n.
omega.c = 2.pi*3000; N:10;
»poles ", roots([(j*omega.c)A(-2 *N),zcros(1,2 *N-l),11);
»
»
»
poles" pales{find(polcs<O»;
B "' 1 ; A "' poly (poles) ; A " !\/A(cnd);
Os progrnmas MSSP3 e MS5P4 sao utilizados paTa executar a~
mcira ordem e bilinear, respcctivamente.
trans formar; Oe~
de difcrcnr;a
atra~ ada
,.,.omega", linspace(O, pi, 200) ; T:: 1/10000; Omega_c '" omega_c OT;
»[Bl/All == MS5P3 (B ,A,T ); t tra nB formacao de difere nca atraeada de
primeira ordem
»IB2 ,A2j "MS5P4 (B, l'.,T ); " transformacao bilinear
»IB3 ,A3] '" MS5P4 (B, A, 2/omega_c Otan (Omega_ c/2» ;' bilinear com pre -warping
As respos tas em magni tude sao e[)j(;uladas usando MS5P l e, ell!i'!o, lTar;auas.
»
H1J:log
ab,,(MS5?l{Bl,Al ,O;nega»;
H2mag " (Ibs(MS5Pl(B?:,A2,Qrr.ega»;
0»
H3!11<lg = ab!l(MS5PI(B3.A),O!ncga»;
»
plOl (Orr,ega, (Omeg a< =O:ne\l(l _ c) , 'k' ,O:neg" , Hl maq, 'k- . ' ..
Omega. ii2mag. ' k - - ' ,O:(\eg(l. H3rnag, ' k : ' ) ;
0»
axi6([0 pi -.05 1 .5 J) ;
0»
xlabel (, \Omega [radl'); ylabel (' Respost a em Magnitude') ;
>,.l egend(' Ideal', 'Di f erenca at ras ada de prime1ra ordem'. 'Bilinear',.
' Bilinear com pre - warp i ng ' ) ;
»
o resultado de cada m6todo de tnUlsformar;a:o esta mostrndo na Fig. M5.1.
de pri.
514
SINA!S F. SISTEMAS LINEARI!S
I. 5
!deal
Difercnqa Oll-asada de primcirn ord~m
--- lJi lirlC3J'
•...... Bil inear com pre-v.'arping
--
,
,
,
,
,
5
,,
,
,
,
,
,
,,
0
o
05
,,
,,
,,
,,
,
"-
,,
,
\
,,
,
"
"
~,
2,5
2
1.5
n
Figura MS.l
\.
3
(f'~d/amo:ma)
Comparar;ao entre as
vAria~
lecnicas de tran5formao;~o.
Apesar da djfercnt;a atrasada de primeira mdcm re~ultar om fi ltro passa-baix as. 0 metoda causa uma distoeriao siguificame qoe pode 1(JmiiT (} liltro inaceittivel com relao;ao afi'cqllcilcia de corte. A transformao;ilo bilinear e melhor, mas. como predilo. a freq uencia de corte fica mellor do que a valor desej ado. A transformo·
0;110 bilinear com pre-warping aloca adeq uadamente a freq uencia de corte e produz uma resposla do fi ltro bern
accitavcl.
MS.7 Problemas de Determina~ao de Raizes PoLinomiais
Nu mericarnente, e dificil dctcrrninar com prec i~(} a~ mizes de om poli n8mio. Considere, porexemplo, um polio
n8mio simples que possui quollU ru fzcs repet idas em - I , (.I' + l)~ '" s' + 4i + 6.l + 4.1' + I. 0 oomando roots do
MATLAU retorna (} surpreendente resultado:
»
!:\;l:'!
rOO~G( ( l
~
= -1 . 000 2
6 4 11)'
-1 . 0000 - 0.0002 i
- 1.00 00 + 0.0002i
-0 . 9998
MeSlllo para este polinomio de grall baixo, 0 MATLAB nuo relorna a~ rafzcs verdadeiras,
a problema piora se 0 grail do pOli nomio aumenta. A transfonmlo; Do bilinear do filtro de Butterw(Jrth de de·
chon ordem, porexemplo, dcvcria ter 10 zeros em - I . A Fig. MS.2 mostrd que os zeros, cakulados pelo MSSP2
com 0 com:mdo roots nao e.~tao corretamente posicionadas .
,"
0,6
,
0
'0
'0
'"
.......,..
",,
"
"
,
0.4
\
,i
0. 2
\I
0
E -0.2
,
~
.- -'
-.~.,
(1.11
0
-0.4
-0.6
- 0.8
•
././'
"
'" ,
-,
"
1.5
.... ..../"
",
- 0.5
0
0,5
Real
Figura MS.2
P610s e zeros calculados usando 0 comando root s .
520
SI NAI,'; 10 S IST EM AS
(b)
E.~reva
LIl\'EARES
a eq ua~ao de diferenp rel acio-
nando a safda)111] e a en trada .llll ].
xiII )
•
• ~ )111)
c;:)
5.3-19 Repi ta 0 ?mh. 5.3-1 8 para X[II] '" 1/[1/] e
-A,
2: + 3
HI , I ~ OI'~2~
)J,-=- 3)
1 ~}-----'r----'
5.3-20 Repit30 Prob. 5.3- 18 para
6(5, - I)
H (.::] = 6:2 5~ + 1
c a entrada .ltll]
(a)
--<,
e
Figura 1'5.4-1
EstnJlura para implementar hili).
(4 ) -~ 1I [1!]
(a) Detenn ioc os coeficieotes
(b) (4 )-1- - 21 11 [11 - 2 1
(I,:) {4) - I.-2I u [IIJ
(d) (4)-- "[,, - 2J
5.3-2 1 Repila 0 Prob. 5.3- 18 para xtn) '" 11[11 ] e
H I, ) ~
2, - 1
"
,--"i~=
z- 1.6z + 0.8
implerncotar h(1I] u>kindo a estru tUr:l
moslrada oa Fig. P5.4- 1.
(b) Qual e a resposw )'. 1"] de estado ou10 deste sistema. dada uma enlmda em degmu
unitano dcslocada .\'[/1] "" Illl1 + 3 )'!
5.4-2 (a) Mostre a rc aliza~no na forma direta can6niea. eaSC3ta e pam[e!a de
5.3·22 Determi ne as func;&s de transferencia correspondcnles a cada um dos sistemas cspecificados pclas cqua~Oes diferen<;a dclS Probs. 5.32.5.3-3, 5.3-5 e 5.3-8.
5.3-23 Detemlinc h[I1]. a resposta ao im pulso unitiirio dos sis temas dcscritos pelas seg uintes
H _ _ z(3z- I,8)
I·d - Z2 .! + 0.1 6
(b) Determine a transposta das
oblidas ua parte (a).
,, ~+ ?
+ 3)"[1/ - I I + 2)"J II - 21 = X[II ] +
3xlll - I] + lX[II - 2J
(b) "V[II + 2 J + 2}'III
+ 1J + Y(II] = lxl" +
"
(a) )'[1/)
+ 0.5Y[II
- 2 [ = X[I1 J +
5.3·24 Determ ine h[II] . a resposla ao impulso ullitiirio dos sislema.<; dos Probs. 5.3- 18. 5.3- 19 e
5.J-21.
H lz l =
e
e
?
~2 + Z +0, 16
5.4-4 Repita 0 ?mb. 5.4-2 para
3.8z - 1, 1
0 ,-)(:
"
H[::1= (:
0.6z + O. 25)
5.4·5 Repi ta 0 Prob. 5.4·2 pa ra
H[z] =
5.3-25 Um sistema possui resposta ao impulso h[II]
= ifIll - 3].
(a) Determine a resposta ao impulso do sistema invel'llo "-' III].
(b) A inversa est3.vel? A ;lI\oc rsa cau sal?
(I,:) Seu che fe pedi u para "oc~ impleme nlar
,,-1(111 da melhor forma possivel. [)e.'lLTC\'a seu projcto tomando 0 cuidado de
idemifiear q ualquer possh-e l deficiE ncia.
rcul iz.1~S
S.4-3 Repita 0 Prob. 5.4-2 para
cqua~Oes:
2] - .l( lt + II
(c) Y[II [ - Y[II - 1J
AI e Al para
(z
z (\ ,6 z - [,S)
0,2)(Z2 + Z + 0 ,5)
5.4-6 Rcpita 0 Prob. 5.4-2 para
Hl zl = Z(2.;:2 + 1,3z + 0,96)
(z + 0,5)(z - 0.4)2
5.4·7 Realin:: 0 shtema cuja func;ao de Irdru>fcrf.nc ia
H[zJ =
2-' + .'
'
~
e
:4' _4
+ 0 S-2 + ,. + .
5.4·1 Urn sistema possu; resJXlsta ao impul so dada
P'"
+ ")
h[1I 1 = [( I .j81
" + ( ' ;/,") "] 11111 1
F,.stc siste ma pode ser im plernentado de
acordo wm a Fig. P5.4· I.
5.4·8 Reali:te urn sistema cuja fu tu;iio de Imusferencia seja dada por
,
H [, ) ~
L "'-"~
CAI'fTUI.O 5
A'lALL"E OE SISTlrMAS E.\t TEMPO DISCRETO USMmo A T II.ANSR)RMADA Z
•
I
1\
o9
o.8
\
u.7
"" o.6
c
~ o. 5
:s
0
o. 4
o3
o.2
u. I
-
0
-"'" --'rrfl
0
n
F igura P5.6-3
5 23
-
,,(2
\
\
~
r.
0
--:r -TTrl
n
•. n
r.
Rcsposta em frequc{]cia de urn siste ma LIT est:!ivel e real.
5.6-6 (a) Realize urn filtro digi tal cuja
ru{]~iiO
de
transferencia scja dada por
H] ;; ] = K
z+ I
,- a
(b) Trace a resposta em amplitude dcste fihro
assumindo 101< 1.
(c) A fCsposta em ampli tude dc;;te flltro passabaius c! maxi ma emil =0. A Jargurnde fai)l.a de 3 dB a frequeocia oa qual a resposta
em ampJirude eai pard 0.7U7 (00 1/.[i) de
seu valor mb-imo. Determine 11 Jnrgurn de
faixa de 3 dB desle filtro qUll{]do a = 2.
e
5.6-7 Projete urn filtro notch digital que rejci te
completamcnte a frcquencia de 5000Hz e que
lenha uma rnpida recupera"ao nos do is lados
tie 5000 Hz para urn ganho unitario. A frcqueneia mais alIa a Sl:f proccssada 20 kHz
(F ~ = 20.000). [Dica: Use 0 Exempl0 5. 15 .
Os zeros deve m estar em efi<H para til eorrcspondente a 5000Hz c os p610s de\·em es tar
em (Ie"., com {/ < I . Deixe sua resposta em
termos de o. Real ize este lil tro usando a forma can6nica. Determine a resposta em ampl itude do IiItTO. ]
e eonsta nte com a freqi'icncia Isto c urn
filuo passa IUdo de primeira ordem. [Diea: Mostre que a razao da<; distiincias de
qualqueI" pon to ao circulo unilario ao zero (e m <: = Ifr) c ao p610 (e m z '" ,.) e a
eonstame Ifr.]
Generalizecste resultudo pard mostrdrquc
urn ~ istema LDiT com dois (lOlos em :: '"
re'" ~ dois zeros em z'" ( 1/r)e#9 (r:-::; I) e
urn filtro pa.<;...a-tudu. Em ootras IJiIlavrols,
mostre que a resposta em amplitude de um
sistema com fu~1io de trnnsferencia
e
=
z 2 _ (2rcosO)z+r 2
e I;onstante cnm a treqiiencm.
5.6-9 (3) Se 11 1[11 ] c h,[n], a rcsposta ao impulso de
dois sistemas LDIT. sao re lacionada<; pOI"
h~llli = (-I tllllll ]. entik) mosm: que
H1 [ei° ] = H,leilU±."']
5.6-8 Mostre que urn sistema LDIT de prillleira ordem eom urn pOlo em z = rc urn zero em z ""
IIr(r :>; I) e urn filtro passa ludo. Em out ras
palavras, moslre que a resp(j~ta em amplitude IH[otIJI de urn sis tema com run~ao de
transferencia
5.6-10 Mapcamcntos. lais como a transform~ bili-
,- -
Hl z] = - '
,-,
Como 0 espectro de freq Uencia de Hz[dU j
esta relacionado com u de HI] .JD ),!
(b) Se H,[z] represenla urn filtro passa-baixas ideal com freqUencill de eone n... trace H~I~J. Qualtipo de filrro t H l [?']'!
1" 5 1
near. s1io uteis na eonvel1'\lio de filtms em tempo continuo para filtms em temIX' discrctu.
CAPjruLO 5
Al\'AUSE DE SJSTEMAS EM T~\1ro D JSCREm USANDO A TRA:-<SFORMADA Z
(b) Mostre que esta transforma<;ao mapt:ia 0
semi-plano esquerdo do plano s no interior
do cireulo ullilano no plano z, 0 que garanIe que a eSlabilidade seja conservada.
5.9-1 Detennine a transformada 2 (se ela existir) e a
RDC corrcspondente para cada urn dos scguintes sinais
(11 + 1)1
2"ulll]-3"u[ - (n+ l) ]
(0,R)"1I11l] + (0,9)"1/[- (11 + 1)]
( 0.8)" + 3(0,4nul - (n + 1)1
1(0,8)" + 3(OAY]II(n]
(0.8)"u[n] + 3(0,4 )"11[-(11 + 1)]
(a) (0,8)"u[lI]
(0)
(e)
(d)
(e)
+ 2"111 -
(f)
(g) (0,5) jJrl
(h) llll[ - (n
+ I)]
5.9-2 Obtenha a transformada z inve rsa de
525
Irus p(ilos podem cstar prcsentcs. Lembre-se de
que urn sinal absolutamente somavel satisfaz
L~,,,oIxln II < OC.
(a) xrll] pode ser de lado esquerdo? Explique.
(b) x[nl pode ser de lado direilo? Explique.
(e) x[n] pode ser de dois lados? Explique.
(d) .1'[11] pode ser de duraiti!o finila? Expliq ue.
5.9-7 Considcre um sistema causal com funitiio de
transferencia
Quando apropriado, considere condiyOes inieiais nulas.
(a) Determine a safdaYI [n] destc sistema em
resposta ax l[n] == (3/4)"11[11] .
(b) Determine a safda }"~lnJ desle sistema em
resposta a x2 [IJ 1= (/4)".
5.9-8 SejaxlnJ = (-1 )" 11[11 - no] + auI- II] . Delermine as restri<;Oes do niimero complexo u. e do
inteiro 110 tal que a transformada z X(.::) existe
com regiao de convergencia I < Izi < 2.
qu ando a RDC e
(a) lz1>2
(b) e ~2 < Izl < 2
ee) 1.;::1 < e ~1
5.9-3 Utilize a expansao em fra<;6es pareiais, tabelas da transformada z e a regiao de eonvergencia (I z I < 1/2) para determinar a transform ada
z inven;a de
5.9-9 Usando a definio;ao. calcule a trnnsformada
z bilateral, inc1uindo a rcgiao de convcrgcncia (RDC) das seguintes fun<;Oes de valor
complexo:
(a) xdn] = (_j)- nU[_Il] + 0[-11]
(b) X2[1I] = (j)" cos (/1 + 1)11 1nJ
(c) XJ[n] = j senh [n]lt! -/I + l J
(d) x~l/J I = L:~==-x (2j)"S[1l - 2k]
5.9-4 Considerc 0 sistema
H(z) =
,(, - l)
(Zl _ ¥)
(a) Desenhe 0 diagrama de p61os-zeros para
H(z) e identifique todas as possiveis regi6es de eonvergEncia.
(b) Descnhe 0 diagrama de p61os-zeros para
11'(z) e identifique todas as possiveis regi5es de eonvergencia.
5.9-5 Urn sinal .1'[11] em tempo discrete possuir uma
transfommitao z racional que eontem um p610
em z = 0,5. Sabendo quexJ[nJ = (1/3)"x[ll] e absolutamente somavel e x!(Il] = (1/4)'x[/I] nao e
absulutamcnte somavel. determine se x(ll] C
urn sinal de lado esquerdo, lado dircilO ou de
dois lados. Justifique sua resposta.
5.9-6 Seja .1'[11] um sinal absolutamente somavel com
tmnsformar;ao z rncionaI X(z). Sabe-se queX(z)
possui urn pOlo em z = (0.75 + U,75}) e qU(; ou-
5.9-10 Utilize a expansao em frait6es pru-ciais. tabcla
de transformada z c a rcgiilo de cunvergencia
(0,5 < Izi < 2) para determinar a transformada z
inversade
( a) X1(z) =
1
1 + .u. z
•
(b) X 2 (z) =
1+
, '(2 ,
!z
•
I
1)(1
2 _
~z
+ 2z
I)
,
5.9-11 Utilize a expansiio em frao;()es parciais, labela
de transformada Z e 0 fato de que os sistemas
sao estaveis pan! delenninar a transform ada l
inversa de
(') HI(')~( l - "2')( 1 + "2z
I ,)
,+1
5.9-]2 Inseri ndo N zeros entre cada amostra de urn
degrau un itano, oblemos 0 sinal
CAPtruLO 6
ANAUSE DE $ ."{,\IS NO TEMPO CONTfNt!O: A Sil:RIE DE FoURIER
Tabcla 6.2
'.
C.
n
n
0,504
1
2
3
4
0,244
0,125
0,084
0,063
0,0504
0,042
0.036
,
6
1
0
-75,96
-82,87
-85,24
-86,42
-87.14
- 87.61
-87.95
EX E MP LO DE CQM PUTA DO R C6.1
Seguindo 0 Exemplo 6. 1. calculc e Irace os coeficienl<!s de Fourier para 0 sinal peri6dico da Fig. 6.2a.
N<!ste cltcmplo 1(, ;;; J[ C COo;;; 2. As expressOes para aO' a,.. b•• C. c 8. s1Io dctcrminadllS no Exc mplo 6.1.
,. ,. " _
I:l~ i
"~"'I(1I
_ (1 . 50' ; ol.-,,( r.• ·,J :
»
0-,,( 1) _ t' ; b_n( n_ l) _
»
C_ ,,( l ) _
~.(l) , ~_~(" ' l)
=
5qr < i~nln _! ).A2.b..>"'I(~.1) . A2J ;
,. ,. t h ()t.:l....r. ( l l At' ; t i>Q;:ol __"l( l"H l) :
»
(l . 5 {/' . 2 . 1I1 ~ 16 . " . -2 1;
o . s o , . e . ". /(1 ~ 1 6 . ". ~7.) ,
~tan l { - h_n(:... !l
, "-" I r. · l l) ;
n " ( O.n ] ;
»c~t:
~~ bp l0l( 2, ) .1 1 ;
r.t em (n.a-" .' ~ ' I,
ylabel( '~ _ n ' l ;
x }"be l ( ' n ' ) ;
,.,. "uo;. l o t (1, 2 , 2 );
~< o."" lr",b _ ",'k· l i
»,.,,,bj.>1 ,, ~. ( 2 ,2, 3) ;
"L",,.( ,,,C_,, .' k ' ) ; yl .. b<;>ll ' C-" ' ) ; x l Oll>el (' ,, ' ) ,
,.,.
"~!Jp l<x12 , 2 , ~I ;
y l",bt! l( ' h_ n ' j ; x h!)eH 'II' ) ,
,, ".<r\ln . t :'..,t/lJl.'k' l: yh.belt'\,." .."""-,, i .:""dl ' j , x l .. t:d l ' II ' );
0.1 , - - - - - - - - ,
0.25
0.6
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o.
o
- 1.5
1!
, ,
2
4
,
6
-!6
oc----;:---;-2
4
"
2
53 5
A NAu SE DE SIN..oJS 1\"0 TF~\fl'O COJ\'TfNUO; A SERlE DE FoURIER
CAPITULO 6
537
Ncste cnso, 0 perfodo t Tn == 2. Logo,
'"
~1=2 =if
~
:c(t) =
ao +
L
,., a~ cos
1171:1
+ b~ sen
II Tf t
na qu al
!
It I <
2M
x(t ) =
{ ZA(J - r)
!, <
,
I < ~
Nt:Ste caso, sen1 vantajoso escolher 0 intervalo de integratjllo de -\12 a 3/2, em vez de urn de 0 a 2.
VIDa r.ip ida anti lise na Fig. 6.3a mostrJ que 0 valor malio (ec) de x(/) e zero, tal que 110 == O. Alem disso.
a"
j 'I'
= 2x{r ) ( OS lI1Tt dl
2 - 112
=
j '" 2Atcos lI1t1dl + 1'" 2 A( l
-1/2
- f)eos mrldl
1/2
A detenninatjilo detalhada dcssas integrais mostra que ambas possllcm valor zero. Portanto.
a~
=0
b rr =
t il 2Arsen ll1Tt dr + t /2 2A(l -
J - I/l
t)
sen
fl1T1 tit
.JI/2
o c:llcul-o dctaUI:ldo dessa intcgral resulta em
8A sen ("")
b. = IJ2Tf!
2
0
"P"
8A
-
,.
IJ 2Tf l
-n l if l
fl
= I. S.9, 13.
II
= 3.7,1 1. 15, .
Ponamo.
8A [
X(I)= ](2 senn l - ijI senhl+ I senSnt -
2S
I sen7rrt + . . .]
49
(6.16)
Pant trartar 0 espectro de r"Ourier. a sene deve ser conven ida para a fnnna tngonometricacnm pacta wi co:
mo na Eq. (6. 12). Neste casu, podemos fazer Tapidamentc cssn llllldano;a convertendo os tcrmos em seno panl Icrrnes em cnsseno com urn deslocamento de fa!ie adequado. Par cxemplo,
!ienkl = cos(kl - 90")
- sen kr = cos (kl
+ 9(}0)
Usando essas identidades, a Eq. (6. 16) pede sec expres~a por
538
SINI\JS E SISTEMAS LlNEARE~
x(f) =
8A [
Tt
2 COS (li" I - 90") +
9"I COS (3li"1
I
+ 90") + 25 cos (5m - 90°)
+~
COS(7li"1+90C) + "'l
49
Ncsta ~cric, todas a.> harmuni!;as pares estao ausentes. As fases das harmonicas fmpares se aheram de
-900 pant 90". A Fig. 6.3 mostra 0 espectro de amplitude e fase de x(I) .
Urn sinal peri6dico X(I)
e representado por uma serie trigonometrica de Fourier como
x(t) = 2 + 3 cos 21 + 4sen21 + 2sen (31 +
3~")
-
co~
(7t + 150°)
Expresse essa serie como uma serle trigollometrica compacta de Fourier e trace a espectro de amplitude
e rasedex(t).
Na serie trigollomelrica compacta de Fourier, o~ teonos em seno e cassella de mesma freqUencia sao
combinadas em urn dnico termo e todos as termos sao descritos na fonna de cosseno com amplitudes
positivas. Usando as Eqs. (6.12), (6.13b) e (6.13c), temos
3 cus2t
+ 4 sen 2t = 5 cos (2t -
53. 13°)
AlCm russo,
,
- cos (7t
+ 150') =
cos (71 + 150' -
1 80~ )
= cos (7/ _
3~")
Portanto,
xU)
= 2 + 5 cus (2t - 53 ,13°) + 2cos (3t - 6U') + cos (7t - 30")
Nestc caso, apcnas quatro eomponcntcs (incluindu a cc) estiio presentes. A amplitude cc e 2. As Ires componentes restantes possuem freqiiencia ffi= 2, 3 e 7, amp litudes 5. 2 e I e fuses _53,13°. -600 e - 30", respeclivamente. 0 espectru de amplitude e fase para ~se sinal esta mostrado na Fig. 6.4a e 6.4b, respcctivamente.
t
5
c.
2
.............. _ ..
2
]
4
(,)
Figura 6.4
Espectm de Fourier do sinal.
5
6
7
AA.uISE DE SlNAIS NO T t; MPO CONTiN"uo: A SERlE DE FOURIER
CAPiTULO 6
- 30"
539
""-"-------- --- --- -
- 53,13°
- 6(1'
( 6)
Figura 6.4 Cont inuar;iio.
Delerm ine a scrie trigonometrica compacta de Fourier para 0 sinal de pulso quadrado mostrado na Fig. 6.5a
e trace sell espectru de amplirude e fase .
- ).
-"
- 2r.
2
2
,,)
t
C.
0.5
2
5"
0
2
4
6
8
2
)Co
(6)
Figura 6.S
(a ) Sinal peri6dico de pulso quadrado e (b) seu espectro de Fourier.
Neste caso, 0 periodo e To = 21t C ~) = 21riTo = 1. Ponanto.
~
x(t)
=
ao + L
n=J
an cos lit
+ b" sen n1
10
w_
CAptruw 6
ANALISE DE SmAls /'iO T EMPO CONTINUO: A SERlE DE FOURIER
543
2A[sen lft --sen
1
1
1 sen 4rrt+ .. .]
2nt+-sen
3:rr t - -
(b) x{t)= rr
~
2A [
cos (lf t
rr
+
6.1·3
2
4 '
1
90") + - cos ( 2 1ft + 90°)
-
2
~ cos (41l'1 + 9In +
Dctermina~ao
3
I
+ """COS
(31ft -
3
90°)
J
...
da Freqiiencia e Periodo Fundamental
Vimos que todo sinal peri6dico pode ser ex presso como a soma de scn6ide de uma frcqtlencia fundamental lao
e suns harmOnicas. Ent rehmto. podemos pcrgu ntar se a soma de sen6ides de qllaisqlU!r freqUencias represenia
urn sinal peri6dico . Sc sim, como podemos determinar 0 periodo'/ Considere as segui ntcs tres fun~i'les:
XICI)
= 2 +7 cos (tt
X2(1) = 2 cos (21
Xl(t) =
+ 91)
+ 3cos
(1 t +
02) +
5 cos G I +0.1)
+ 81) + 5 Sen ( lft + 82)
3 sen (Ml + 8) + 7 cos (6v21 + ¢)
Lembre-se de que loda rrequencia em urn sinal periooioo
e urn multi plo intei ro da freq Ucncia fundamental
%. Pottanto, a raziio de quaiMJuer duas freqUencias e na fomla 1111 n.
na qual III C /I silO inteiros. Isso signifiea
que a nu:ao de qu aisque r duas frequencias e urn numero racional . Quando a razao de duus freqtlencias e urn numero racional, as freqtlenci as silo ditas serem harlllonicalllellle re lacionadas.
maior numero no qual todas as freq{l eneias s:'io multiplos inteiros a freqUeneia fu ndamental. Em outras
palolYraS, a freqUen cia fundamental e 0 maior jalor comum (MFC) de tOOns as freqliencias da scrie, As frequencia~ no espeetro de x,(t) ~ao 112, 2J3 e 7/6 (niio consideramos a compone nte ee). A rnzao da~ frequencias suces·
SiV3S e 3:4 e 4 :7, rcspectivamente. Como os dois nu meros sao racionai ~, todas as tres freq iiencias no espectro
sio hamlOnicamente relacionadas e 0 sinal X, (I) periooico, 0 MFC, ou seja. 0 maior numero no qualll2.1f3
e 7/6 sao multi plos in teiros e 1/6. t AIem d isso. 3(116) = 112.4(116) '" 213 e 7(116) == 7/6. Portanto, a frequcncia
fundamental e 1/6 e as tres freqUeneias do cspcctro sao 0 lerceiro, quarto c selimo harm{jni cos, Observe que a
componente de freqMncia fundamental esta ausente ncssa serie de Fourier,
sinal xlt) nao peri6dico porque II razao de dua s freqUencias no es pectro e 2In, 0 qua l nau urn numero raeionaL 0 sinal x)(t) e peri6dico porque a ral.iio das freqUe neias 3 .,fi e 6,fi e 112, um nume ro racio nal.
o maior fator comum de 3.,fi e 6 ,fi e 3 J2. Portanto, a freqUencia fu ndamental c CI\J := 3J2 e 0 periodo c
o
e
e
o
e
e
(6,2 1)
EXE RclcIO E6.2
Determine se 0 si nal
.r(t)
= cos (11+ 30")
+ sen (31 + 45")
, eou nlio periooico, Se ele fo r peri6dico, determine II freqiiencia e 0 perfodo fundamental. Quaj~ harmonicas eg·
t50 presentes em X(I)?
• 0 m:UOf falOl'coowm de a/b,. alb ....., a.lb. ~ a rvJo cIos MFC do oonjunto dIl.'l numendorcs (a,. a" .. , a.J peto MMC (mcOOf multiplo comum) do coojllnto dllS denomi nadores (h,. h, . .... b.), Pol' excmpJo, p:IIll 0 (:onjunto (213 , 6fT. 2). 0 MFC do conj ul\to de I\umeradotes (2. 6, 2) ~ 2, 0 MM C 00 conjunto de denllmin!idores (3. 7. J) c: 21 . Portunlo. 212t eo maior "timero Ill) qlLllt 2f3, 617 e 2 ~o
mllttip]os intcirm,
CAriruw 6
ANAliSE DE SINAIS KO T E.\lPO COI\'Ti;WO: A Sl'!:RIF. DE foURIER
55 1
EXERCiclO E 6.3
Por inspe\1i.o dos sinais das
amplitude.
Fig~.
6.2a, 6.00 e 6.6b, detemJine a taxa assi nt6tica de decaimcnto dus cspectros de
RESPQSTA
Jill. Vn~ e l in. respectivamenle.
EXEMPLO DE COM PUTADO R C6.2
Analogamentc a Fig. 6 .7 , dcmonstre a sfntese da forma de onda quadrada da Fig. 6.5a somaooo sucessivamente, passe a pa.'>so, as Ci.Jmponentes de Fourier.
,.,." = in ! ine( · """l(t~pi!2,2 .. pi.l<:p;'J
linllp a r:o(-2 ~ p:i,2 · t>~, lOOOl ;
; t :
,.". sollIlterlll-<; : zeros (lb , lcn(j'th (t ) ) ; "'''mterms (1 , : ) = t 12 ;
»
for n : l:s'ze(s ...otenns,1i - l ;
s~~erm5(n ~ l,:) = 12 / (yi #n) ' sin (pi " n / 2)) ' cos(n or) ;
»
»
C"G
»
~,
»
'O~ N,. [O , 1:2 : sb.c/ SlXll.crms ,I )-1].
>,
Z
Cill!".sulIIlsu","tet"L<;); fiQure tl l ; elf ; ind '" 0 ;
ind
=
ind o1 ; lIuhplotI3, 3. ind) ;
»
plo::. (t,xjilN+l,:), ' k'.t.xlt ) , ' J:--' ) ; IIxisll - 2 ' pi 2 op' - 0 . 2 } . ;>;] ) ;
>,
xlabc1 r ' t ' ) ; yl al>o l( [ ' x_ I ' , num2str IN) , ' } ( ~l ' J I ;
»
,,'"
~
".•
•
f--'---i- :-+1
o .---' ,----
0.5
,
~, O.
,
,
)
,
o
~o.
o
~ 0.5
1M
,
1M
,
II
,
u h
,
o
,
o
•
"
:
•
•
:
,
u
,
r
..,
, ... ,
,
~
0.5
o :IA,.
,
,
:r o.,
0
u
,
,
,.....
o h
,
o
,
0
o,
w·,
...
...
--
, o, ,
,
,
r-'
f'/'.
"
, ,...
I"-
,
•
,
,
(W
,
Figura C6.2
, ".
,- --.
~
,...
,
I-
o
,
,
552
SJNAJS I: SJ~'TEMAS LlNEARES
NorA H IST6RICA DO FEN6 MF.NO GIBBS
Falando genericameme. fum;ik.<; prohJemalicas com comportamento eSlranhQ silo invenladas por male mal ie~s.
Ra rdmCnJc vcmos lais panicuJaridade.<; na p~l ica. No easo do [cnOmeno Gibbs, enlretanJo, a hisl6ria se in\'erte.
Urn ~m portamcmo inlrigame foi observndo em urn objeto sim ples. um sintetizador de ondas mccfulico. e, enlAo. lodos os matematicos conhccidos na cpoca paniram nn busca para. iden ti fiear 0 que e.<;tava ocul to.
Alben Michelson (dn celebre Michelson-MoTley) foi urn hornern energic(l e pnltico que desenvolveu inslrumemos fisicos engenh osos de cxtrllordinfirin precisao. a mllioria na art:a de 6ptica. Seu nnalisador hann8nieo, desCl\volvido em 1898, podia cakul<lT os primciros 80 eocficientes da serie de Fourier de urn sinal x(t) e.~ peci fi cado
por qualquer descfi<;iio grMica. 0 inRl nunen to tambem podia ser utiUzado coma ~i nleti7.ador harm8nieo. 0 qual
trayava uma fum;ao x(t) gemda pcla soma dos primeiros 80 harmfmicos (eomp onentes de Fourier) de amplitudes
c fases arbimirias. Esse analisador. p<'lrtanto, ti nha a habilidade de verificnr ~ua pr6pria opern'Yno pela an:l. li ~ de
um sinal J11) e. enlaO. sumando as 80 eomponentes resuilantes. verifiear quao pcrlO a aproxima"ao CSlava dc.\"(I).
Michelson obsen'ou que 0 inslmmento verificava mu ito bern a maioria dos sinais analisados. Entretanto.
qua ndo tenlO" analisar uma func;:ao descontfnua. tal como uma onda quadrdua,' um componamento curioso foi
obscrvado. A soma das 80 corn ponenle.<; mOSlT3va um CIlrnportalllcmo oscilat6rio com urn sobre-sinal de 9% na
proximidade dos puntos de des~:ont inujdade. A.lem disso. e.~se comportamcnlo ern uma earacterfslica constante.
indcpendcnte do nilmero de tennos w mados. Um grande nilmcro de termos lomava as oscilac;:Oes proporcionalmen le mais rapidas. mas indepclldc ntc do numero de termos somados, 0 sobre-sinal pennanecia em 9%. Esse
componamcnto intrigante fez. com que Mic helson suspt:it.c;sc dc al gum defei to medinieo em scu sinlelizador.
Ele escn:vt:u sua observa,<ao e m um anigo em Nature (dezembro de 1898). Josiah Wi llard Gibbs, professor cm
Yule. inves tigou e elucidou e.~!'oe componamenlO pam um sinal em denle de serra peri6dico em um ani go em Nas
flIre. Poslcriormente, em 1906. BOcher generaliw u n resultado para qualq uer func;:ao ( om dcscontinuidade. Foi
B&her que deu nome de !en6meno Gibbs a esse componamenlO. G ibbs momou que 0 comportamcnto peculiar na sflllese de uma onda quadrdda era inc rcnle ao eomponamento da sen c de f'Ourier, devido a eonvcrgencia
nao uniforme nos pomos de descollli nuidade.
Entrelanto, nao foi n fim da hist6ria. Tanto B& her quamo Gibbs eslavam com a impressao de q ue cssa propricdadc thma permanecido ocul la ale 0 lrabal ho publicado por Gibbs em 1899. Sabc-se. agora. que 0 chamado
fenomeno Gibbs havia sido observado em I R4R por Wilbmhan do Trinil)' College, Cambridge. 0 qu al viu claramente a comporLamenlO dn 50mBdos componentes da serie de Fooricr do sinal peri6dicn de deme de serra. poslerionm:me investigado por Gibb~.9 AparenlelllenlC, seu tmbalho n1l.0 era con hecid'o par vfuias pessoas, incJuindo Gibbs e Bt>cher.
°
Alben Michelson
, Na realidadc. foi urn .,inal denle de SCml peri6dico.
Josiah Willard Gibbs
554
SINA IS F. SISTlOMAS LtNEARES
Podemos rclacionar Dn (;Om os coeficienles a" e b. da serie trigonomctrica. Fazcndo 1/
temos
Do =
:=
0 na Eq. (6.29b), ob(6.30a)
(/(1
Atem disso. para n of. 0,
Dn = -
11
To
,
D _n = 1-
x(t) (;Os I/Ulu! dr -
To
1
TOTo
.£
..!.-
X(I) Senl/lVoi dl = -I (a" - jiJ,,)
TO.To
2
.£
x(r)senm1!lItdl= -1 (an+jb. )
x(l)eosnlVoldl+..!.-
'Til. 7"
(n.30b)
(6.3Oc)
2
E~~e~ resultados sao viiiidos para .( I) gencrico, real ou complexo. Quando x(t)
Eqs. (n.30b) e (6.30e) mostram que Dn e D-n sao conjugados.
ereaL an e h. sao reais e as
(6.31)
~ _ ~
Alem disso, a partir das Eqs. (6.13), ubservamos que
" - J'b =
n
n
'( ~) =Cej6.
V'la n2+hlej"~"
"
Logo
(6.32a)
Do = ao = Co
D - n -- 1('
2 ne
jf?,
(6.32b)
Porlan to,
(6.33a)
(6.33b)
Note que IV"' silo as amplitudes e LD. sao us angul us das virias compunentes exponenciais. A partir da s Eqs.
(6.33). \cmos que quando x(t) e real, u espectro de amplitude ( ID.I em funo;ao de w) e llma Cum;au par de 00 e 0
espectro de angulu (L.n" em func;iio de (0) e uma funo;ao fmp ar de 00: Para xCt) complexo, D" e D"""" sao geralmente nao conj ugados.
Determ ine a serie exponencial de Fourier do sinal da Fig. 6.2a (Exemplo 6. 1).
Neste.caso, 1~ = Jr. lilo = 2rrJ1~ = 2 e
N
XCI) =
L
• _ _ 00
na qual
D.e j2n1
558
SlNAIS E SISTE-\IAS Ll NeARCS
+
IDnl
, T1
12
I
6
3
16
t
,
1
T ,
, , w_
o
"
T
12
3
T
,
9
U
3
•
3
6
9
j
j
12
w_
-2
(bJ
"'iguro 6.11
.,
L D. w
Continuar;iill.
componentes trigonometricas espectrois el(i~tem nas freq{leocias 0.3, 6 e 9. As oom ponentes exponenda is cspr:clr"Jis existem em 0, 3, 6, 9 e -3. -6. - 9. Considc:re prim!iro 0 espectro de amplitude. A componente cc pc:rmanece inaitemda, ou ~ej ll. Do"'" C" '" 16. Agora. IV.1 Uffia funlJao par de (0 e ID.I '" ID. . .I = C.n..
Portanto. todo 0 espectro res tantc dc ID.I para n posilivo c mctade do !:SpecITll lri gonom':trioo de amplitude
C. e () especlro InJ para II nqrutivo': a imagem rcflcticla com relar;llo ao eixo vertical do espeetro pam n positivo, como mostTado nn Fig. 6.1 1b.
espeetro de angul o LD. = 8. para 11 POSilivo e -8. para n n ~ga.tivo, como moslrado na Fig. 6.1 1b. lrcmos veriti em·, agora, que O~ dois cOllj u nto~ especlrais represent a:n 0 mesmo sinal.
sinal x(t), cujo espectro t:rigonometrico es ta mostrado na Fig. 6. 11a. poss ui qualro componentes espectrais
nas rreqill!ncias 0, 3. 6 c 9. A componentecc e 16. A ampli tudee ra~e do componente de freqiieneia 3 silo 12
e -1tI4, rcspectivmm:n te. POrlaolo. esta componente pode ser descrila por 12 cos (3/ - m'4). Procedendo da
mesilla maneira, nos podemos csercvcr a sene de Fourier de x(t) por
A~
e
o
o
x(t)
=
16 + 12COS(3t -
i) + 8cos (6t-~)
+4eos(9t- : )
Considr::re agora 0 espectro exponeneial cia Fig. 6.11b. Ele eOIl\E!m componentes de frcqOcneias 0 (ee), ±3, ± 6
e ±9. A componente ee ~ Do = 16. A componente tI" (freqO cncia 3) t-ossui magnitude 6 c angulo - 1t/4. Portanlo, a
fo~a dcssa compont:nle ~ 6e joi' e ela pode ser desc rita pm (lie-J<i~)i'·. Similannente, a componente de freqil€ncia
-3 e (6e.):.I4)e )\ .. Procedendo da mesma muneira, x' (t) , 0 sinal eorrespondente ao espcctro da Fig. 6. 11b C
.i(r)
= 16 +
[6e-i.~/4ej.11
+
6ej·~14e-jll]
+
[4e-J",/z eJ6r
+
4eiK/2e - j6r]
+ [2e-J-f4eJ9I + 2eiK/4e -i9J]
= 16 + 6 [e/0l-"./4.
+ e - j(3l-1r/4.j + 4 [e1l60-".!2J + e -JI6r-"'/2)]
+ 2[eil91-.. /4) + e - JIW-"./41]
= 16+ 12eos (31 - : ) +8 cos (61
- ~) +4co~ (91 -
:j
Claramente, os dois w nju)l \()s d~ !:~peClro representam 0 meslIlo sinal peri6dieo.
L ARGURA DE F AIXA DE UM SINAL
A dilcrcnr;a entre a freqiiencia mais al la e a mais baixa das oomponentes espeetrais de urn sinal e a /(Irgura de
/uixa do ~in al. A largura de faixa do sinnl eujo espcetro expollenciai csta moslr..do na Fig, 6. l lb C 9 (e m rodia·
nos). A freq iiencia nmis alta C 9 c a mais baixa e O. NOle que a componente de fn:qiiem:ia 12 possui amplitude
zero e. p<)J1allto. inel(istente. AIc~m d i ~ro. a mellor freqiiencia e 0 e 11110 -9. Lembre-se de que a freqUe nci;) (no
~Illido eo nvencional) das eomponentes cspcetrais em (1) = -3, -6 c-9 na rcalidadc c 3. 6 c 9.' A l:lrgura de faixa pode scr mais tilcilmente vista no esp~c tm lrigonomelrieo da Fig. 0.11 a.
e
, AIgul1s aulor~, d<fi"" m a largum de fui)(u ~1)mO s~ndl> a di rer~ n~" entre a maiore Ine nor (n~~ati,"a) fre'liiencias U" espectro ex~men .
cia!. A !m1!.lItil de [ai.ta. de acordo com essa dcfini\~o. c: dllas VCl,eS a de!i nida aqui. Na rcalidadc. c~sa [onna define n~o u la!j;u!li de
fAi~a
do sinal. mal sim a larg ura c5peclral (largura do espectm expo""oc ial do
~inat).
CAPITULO 6
AI\AUsIl 00 SINAIS 1\0 T E.\IPO Co."I,'l"lNUO: A SERtE DE FOURIER
567
de scr represc ntado como a soma de suas componcntes de di versas fomms, dependendo da escolha do siste ma de coordcnadas. Vamos cornCljar com al guns cam.:eitos biisicos sobre \'elorcs c, entao. apl icarcrnos esses
conceilOs a sinnis.
6.5-1 Componente de urn Vetor
Urn \"Ctor e especificado per sua magni tude e sua d i ~iio. lremos rcpresentar velores em negrilo. Por exemplo.
x e urn {;eTto velar com mag nilude ou comprimenlo Ixl. Para os dais vetores x e y lllO~lnldos na F ig. 6.17, definilllos seu prodUIO interno (au escalar) por
x . y = Ixllylcos 0
na q ual
x ,por
(6.46)
9c 0 angu lo entre o s vetores. Usando essa definlljao. podemos expressar Ixl. 0
corn primento do velor
(6.47)
Scja a C()mponente de x ao longc de y ser cy . como mestrado na Fig. 6.17. Geometricamentc, a eomponente de
x ao longo de y ea projet;ao de x em y, scndo oblida desenhand o uma li nha perpendicular da penta de x ate 0 \"Ctor y, como il ustmdo na Fig. 6.17. Qual e a significado malerMtlco da componente de urn \'etor ao Jongo de oulm
\'Ctor? Como visto na Fig. 6.17, 0 \'Clor x pode ser de.l;(;rilo em temles do velor y por
x = cy+e
(6.48)
Enlretanto. essa nao e a unica fonna de cxpressru" x em lennos de y. Da Fig. 6. 18, a q ual mostnl duns de outras infinila.'i possibilidade.". temos
(6.49)
Em cada um a t1essas tris rcpresema<;Oes. x e represemado em Icrmos de y mais oulro vclor chamndo de vetor de erro. Sc aproximarmos x percy.
(6.50)
a enu Tla aproximaljoo e 0 vetor e = x - cy. Similarmente. os erros nas uproMmUIjOes ne.~sa~ IigunlS sao e ,
(Fig. 6. 18a) e eJ (Fig. 6.18b). 0 tjuc e unico com relal(iio a aproximnljil.o da Fig. 6. 17 Co que 0 ve lor de erro e 0
mt:nOf. Podemos delinir, dcssa forma, matctllaticnmente a componcntc de urn vetor x ao longo do \'C lor y como
sendo cy , na qual c e escolhido para minimizar 0 tamanho do vetor eTTO e = x - cy. Agora. 0 tamanh o da componcnles de x ao longo do velor y e Ixl cos (J. M a.~ tambCm e eb 'l como visto na Fig. 6. 17. Portanto,
,
•
J<igura 6.17
,.
cy
)'
Componente ( proje'iiio) de urn ,·elor ao longn de outro velor.
,
L -_
_
_
,l - - _ ),
"
L -_
_
\
, - )'
_ _ _"
.,y
(a)
Figu ra 6.18
Apmximal(ao de urn velor cm (ennos de oulre vetor.
ev·
( b)
568
SINAlS F. SISTEMAS l.JNEAIH2S
elyl = Ixl cosO
Muhiplicando os dois lados por IYI.
clyl2 = Ixllyl cos 6 = x . y
PonanlO,
x·Y
I
y. \' lvi'
..
.
(6.5 1)
C =-- ~- X ' v
.
A panic da Fig. 6.17. fica aparente que quando x c y sao perpendiculares, ou orlogonais. entao x posMli compimente zero an longo de y. Conseqiicntemente, C "" O. Tendo a Eq. (6.5 1) em mente, tlefi nimos, dessa forma, x
c y como sendo Qnogmwis sc 0 produlo imemo (au escalar) dos dois vClOrcs for 7.ero. ou seja, sc
(6.52)
6.5-2 Companu;lio de Sinal e Componcnte de Sinal
o conceitl) de componente de \'Clorc ortogonalidac.le pode seT cstentlido a sinais. Considere 0 problema de apm-x ima~1io de urn sinal real xCt) ern termos de oulm sinal real y(r) em urn intervalo (11' 11 ) :
(6.53)
.T(t) ::::: eyer)
o erro
ee,) da
aproxim~ao
e
.T (r) - ey(r)
e(t) = { 0
,, < 1 «2
(6.54)
ellSO contr.irio
ScJecionamos. agora. um critcriu para a "melhor aproxirna(,:ao'·. Sabemos que a energia do sinal e um a
posslvelmedida dn tamanho do sinal. Panl uma melbor aproxima4iiio. ircmos ulilizar 0 crilcrio que rninimj·
7.aO tamanho ou energia do ~inal dc CfTa e(/) de ntro do in tervalo (',. t~). E.~sa energia E. e dada por
c
e
Note quc 0 lado direito uma integral dcfinida co m / como varill.vel de integra~iio. Logo, £~ uma fun~ao do
paramctro c (e nao I) c E, sera miltima para alguma cscolha de c. Para minlmizar E,. uma condi<;ilo nccess;iria e
dE
= 0
de
--~
(6.55)
0"
-d
de
[j"
1= 0
(X(/) - ey(t )f dt
h
Expalltlindo 0 lenno quadrilico dentm da integral. obtc mos
<I[j"
-.
(Ic
1- -ded [2c j "
x ~ (/)dr
II
X(1))'(t) dt
II
1+ -de"[e j"")'2( /) dt1
1
A partir dn quallemos
-2 j l' x(t) y(t)dt + 2c j l! l et) dt = 0
I,
II
= 0
CAPiruLo 6
ANALISE OF.
SI:>lAIS NO TF.MPO CmrrfNliO: A SERrE DE FOURIER
57 1
Aluz dcsse resul tado, precisamU5 rcdcfinir a ortogonalid adc para 0 casu c omplcxo da seguinte forma : duas
rU fl(;i'ic.~ complexas X,(l)
exi t) sao orlogonais no intervalo (t, < t < tll se
"
J"
xr(J)x;(t ) d t = 0
Qualquer uma da~ igualdadcs
~
(6.65)
suficienle . Essa e a defillivao geral para ortogonalidadc, a qual sc rcduz para
a Eq. (6.57) quando as funvOes siio reais.
E XERclCIO E6 .8
Mo~ lre que para 0 intel:valo (0 < I < 2TC). a "lllelh or" aproxilllw;ao do sinal quadrndo xC,) da Fig. 6.1.9 em teonos
do sinal J' edada por (21jrr.)? Verifique que 0 sinal de erro e(t ) = .\{t ) - (2Ijrr.)i e ortogo nal com 0 sinal tI'.
ENERGJA DA SOMA DE SINAIS ORTOGONAIS
Sabemos que 0 quadrado do tamanho da soma de dois ve tores ortogonais e igual ii soma do quadrado du tamanho dos dois vetores. P0I1anto, sc os I'ctorcs x e y tOTem orrogonais, e se z = x + y, entao
1"emos um resultaJ o similar para sinais. A cnergia da soma de dois sinais ortogonais Ii igual ii soma das cnc rgias dos dois sinais. Portanto, se os sinais x (t ) e yet) sao ortogonais em urn intcl""alu (tl' I 2 ), e se z(t) '" xU) + y(t),
en tao
Eo = E., + £,.
(6.66)
Iremos provar es~e resultadu pum ~in u i s t:omp1c)(Q~ dos quais os sinais reais sao urn casu especiul. A partir
da Eq. (6.63), temos que
f"
. I,
!x(t ) + y(t )!~ dt =
J"
" Ix (t )!! d t
J"
+ "
1
ly (t )1 dl
J'.
+ "
x (I) )" (t ) dr
+
J"
I,
x ~ (t)y(t) dt
(6.67)
o ul timo rcsultado seguc dirctamcntc do fato dc qu e, devi do il. ortogonaJidade, as du as integrals dos produtos .1.\t)y'(t) e x' (t)y(t) sao zero [Veja a Eq. (6.65)]. Esse resultado pocic seT estendido para a soma de qnaJqucr
numcro dc sillais mutuamcnlc ortogonais.
6.5-4 Representa-;lio de Sinais por urn Conjunto de Sinais Ortogonais
Nesta sevao, iremos mostrar uma forma de representar um sinal pcla soma de sinais ortogonais. Nova mc ntc, ircmos nos benellciar da infomla<,:ao oh tida de um problema similar com vetorcs. Sabemlls que urn vetor pOOe ser
reprcsentado pcla soma de velores ortogonais, os qu ais form am um sistema de coordenadas de um cspar;o vetorial. 0 prohlema em sinais e anaiogo e 0 resulLado para sinais e similar ao para vetores. Port anto, va mos rever 0
casu de representaifao ve lorial
E SPA(O VETORlAL ORTOGONAL
Vamos in vest igar um espaifO " d ori al Cartesia no tridimensional, descrito por {res "ctores mutuamente ortogonais x I' Xl e Xl' como ilustrado na Fig. 6.20. Primeiro. ircmos buscar a aprox imaifao de li m vetor tridimensional
x em term05 de duis vctorcs mutu amcntc ortogonais XI e x2:
572
SIl'A1S E S IS"['£MAS
o
~m)
Llt\EARES
e desta aprox ima~iio e
00
x = CIXI
+C1X2
+e
Tal como no urgume nlO geometrico anterior, vemos na Fig. 6.20 que 0 lamanho de e e mfnimo 'luando e e
perpendicular ao plano x] ~ X l' e CIXI ~ Cl "'2 sao as proje~5cs (eomponenlcs) de x em x, C Xl' respectivamente.
Portanto, as c(Jnstanlcs c 1 e ("l sao dadus pcla Eq. (6.5 1). Obs.erve que 0 velor erro C oTtogonal aos ve tores XI
e X:!.
Vamos delerminar. agora. a "melhor" aproxillla~ao de x em tcrmos dos Ires velores muluamente ortogonais
X I' X:! e "'J:
(6.68)
A Fig. 6.20 mOSlra que uma unica cscolha de c i • cle c, existe para a qual a Eq. (6.68) nlio ~ mais uma aproximar;.'\o mas uma igualdade
(6.69)
x· x/
-
(6.7001)
c;= -
X; . X;
I
= - -, X' X;
Ix;l-
;= 1,2.3
(6.70b)
Note que 0 ~rro na aproxima(/ao e zero quando x C aproximado em termos de Ires vetores mUluamente 0[logonais: x" x 2 e Xl_ A ra:-M> c que x c urn vetor tridimensional, e os vetore.~ x" Xl e Xl represemam um eVIIjunto completo de vetores ortogonais no esp a~o tridimensional. 0 termo "completo", neste caso. signiJicll que
e impossfvcl obl~ r outro velor x.. nesse espa~o. 0 qual sera ortogonal com todos (lS u es velores x" x 2 e Xl'
Qualq uer vetor nesse esp~o pocte seTrcpre.~n lado (com erro zero) em term()s destes tres vetores. Tais vetores sau conilecidos como vetrJl"es de base. Se urn conjunto de velores [XI) nlio ~ eompleto. 0 eTTO na lIproxim ll~ilo gerllimente nilo senl zero. Portanto, no easo tridimensional discutido llIllerionnent~, geral mente na~ c!
posslvel represcntar urn vetor x em termos de ~penas dois vetores base scm urn erro.
A escolha dos vetores de base nao e unica. De fato, 11m conjunto de veLOrcs base corre~ponde a uma escolha
parti(;ular do sistema de coordcnadas. Ponanto. urn vetor uidimcnsional x podc ser rc presenuado pur diferenles
forma.~, depemlendo do s i stem~ de eoordenadas utilizadu.
,
Figura 6.20
R eprcsen l ~ltaO
de um velor em urn espa,<o tridimensional.
574
SlNA1S F. SrSTBIAS LII\'EARES
~
-I
£,
J"
(6.76b)
i= I .2 .... , N
x(r)x/ (r)dr
I.
A compa ra«ao tlas Eqs. (6.76) com as Eqs. (6.70) for~osamenle lraz a lon3 3 anal ogia de sinai s e velores.
Propriedade dn dctermina"iio: A Eq. (6.76) mOSlra uma prupricdadc interM~anle dos coeticientcs c 1'
(;1' ....
c~~
o valur 6timo de quulquer cocticicnle na aproxima(fiio (6.72a) ein.:Iependentc do ntimero de tennos utiUllIdos
na nproximar;Ao. Por exemplo, .~e ulili/.ann(lS apenas urn termo (N = I) ou doi~ tennos (N == 2) 011 qualquer numero de termos. 0 valor 6timo do coeficiente (: 1 sed. 0 mesmo Ldado pcln Eq. (6.76)]. A van tagclll dcssn aproximar;iio do sinal XCI) por um conjunlo de sinais nmtuamente ortogMaiS que podemos continuar adicionando termos 11. aproximar;;ao scm pcrturbar os termos anteriores. Essa propriedade de determinariio dos va lores uus coe·
fi cienles m ui lo imporlante do pomo de visia pnitico.'
e
e
E NERGJ A DO SINAL DE E RRO
Q uando os cocficientes c, da a proxima~o (6.72) sao esco l hi do.~ de acoruo com as Eqs. (6.76), a energin do ~i·
nal de elTQ na aproxlmatriio (6.72) 6 minimizada. Estc valor minima de E, dado pela Eq. (6.74):
e
E, = [ '
I,
[X(l) -
t "'' X,,(t)] '
d,
,, _ I
SubstituinC:o as Eqs. (6.71) e (6.76) nessa equa~iio obtemos
(6.77)
Observe que como 0 lenno c:Ej • (! Ilao negativo, a energia E, do eITe, geraJmente decrcsee quando N, 0 nCimero de
termo s. 6 au mentado. Logo, e poss{vel que a energia do erro ~ 0 qu:uxlo N ~ 00. Quando isso acontece. 0 conjunto tie si nais ortogonal Ii dito cQmpleto. Neste caso. a Eq. (6.72b) niio e mais uma aproxim~iio, mas urna igualdade
~
=
t
L (;~x,,( ( )
..,
(6.78)
C(lmr are essa s i!\;a~~o e(lm a aproxima>;Jo polinomial de x{r). Sup<mha que prcclreUios \J~lerm inar uma aproxima~[\o Je ilois pont(ls
de x(r) por urn poli n<imio ern I. QU seja. 0 polin"miQ t: igual a x(r) ern Jo;, fX1nto5. II ell' Essn apr<Jximw;~o pode sef obtida es(:olheni.kJ
!all polin6rnio <k< f>rimeir.. ",.dem a" + ",' com
.0: (/11 ::
110
+ (11/1
e
X( /.) =
U(I
+ 111/2
A solu,,~o de~",..s ~~, ,,,,uUa nos valorcs descjados de a"e II" ram uma aprox ima~!Io de uis pontn•. ~ve~cscolhct 0 polinO.
miOlro+
+
COm
tJ,' tJ!
i:: 1. 2c3
A aproJl.irmu;llo melhor.. pam uma quamidade maior<le ponlus (poliniimio de mais allll oru.:m). mas OS oocficicntcs ..... a ,• a, . ... nllo
possucm a propriecl:uJ~ dadetennin~ikl. Toda \"Cz que aomentannos 0 nUmerode ICfnlOS no poliniimio. teremos que rccakular os coe·
fieienles.
ANALISF. DE SU\AIS NO T01PO COJ\'liNUO: A StRl£ DE FoURIER
CAPiTUU> 6
579
RESPOSTA
X(I )
~-2
N
..,
1
E N sen
lit
,
ALGUNS EXEMPLOS DA SERlE DE FOURIER GENERAUZADA
Sinais sao velOres em 10005 as 5enlidos. Tal como urn vetor. urn sinal pode ser representado pcla soma de suru;
compunenles de diversa.~ formas. Tal como urn siSlema coordenado de \'etor c!' f(lml ado poT velores mutuamente ortogono.i~ (relangular, cilinurico, esftrico), lamMm tcmo~ urn ~ istema coordenado de sinal (sinais de base)
formado poe uma variedade de conju ntos de sinais muruamenle onogonais. Existe um grande numero de conjuntos de sinais ortogonai~ que podc ser ulili:t.ado como base pam si nais para a seric de Fourier gencrali:t.ada. Al guns conjuntlls de sinais conheeidos siio funt;Oes trigonom~trieas (sen6ides). funt;Oes exponenciais. rUIl\Oe.~ de
Walsh, Funr;oes de Bessel. Poliuomios de Legendre. fun,<ties de Laguerre. polinomios Jo.cobjanos. poiinomios
de !-Iennite e polin6rnios de Chebyshev. As fun~Oes de major interes.o;e nl'Sle li yro sao or; conjulllOli trigunOIlIblTiCOS e exponenciais discutidos anterionnenle neste capitulo.
SERLE LEGENDRE DE FOURIER
Um (.'Qnju nto de polinomio de Legendre p.(t) (n = O. 1,2. 3, ... ) forma urn conjullto completo de fum;Oes mUluamenle ortogonais nO intcrvalo (- I < r < I). Es.~ polinornios podem seT defiuidos pela f6nnula de Rodrigues:
1 d"
Pn(t) = --(r~ _I)ft
2-n! dIn
II
=0, 1.2 .. . .
Dcssa equar;no lemos,
poet) = I
'~I(t )=1
a,l - D
PJ(t) = n,l - ~ t )
P~(t ) =
e assim por diante
Podemos verificar a onogonalidade desscs polinomios moslrando quc
L:
p.. (t ) PR(r)dl =
{O2
2m
+I
m
#- /I
(6.M7)
/11=11
Dessa forma. podemos e.xpressar a funr;ao .t{I) em tertIKY.; tic polinomilJs de Legendre no intervalo (- I < f < I)
1""
x(t)
=
CoPo(/)
+ CIPI(t) + .. . + ..
(6.M8)
na qual
l~ x(t)P,(I)dt
c, =
1-,
1 P/(t)dl
= 2r + 1
2
l'
_,
X(I)Pr(l)d/
(6.89)
Observe que apesar da rcpresenlllr;ao da serie seT vfl,Jida no intervalo (-I. I), ela pode ser estentlida pam qualquer intervalo aplicando 0 escalamento temporal aprupriado (yeja 0 Prob. 6.5-8).
5 80
SINAlS F. SISTEMAS L INEARFS
Vamos ctm ~idenu' 0 ~inal quadrado lTIostrado na Fig. 6.23 . Essa funrrao pode ser rcpresentada pela serie de
Fourier de Legendre:
.T(I}
o
I
-1 1------'
I~
F igu r a 6.2..l
Os (;odicientes
Coo ("
el ,
•. ,
c, podem ser obtidos da Eq . (6. 89). Tentos que
xV)
,
Co
=
(I
=
(1
=
~
1:
2
· · -1 < 1 < 0
x(t ) dr = 0
11
~ 11
~
2 _I
~ { -' 1
(x (l ) dt =
x (t)
(~t l
-1
2
~_ ( LI
f I dt
- 2~)
_11
t cll ) =
0
-~2
(It = 0
Esse fcsu ltado c oblido dirc tamente do fato de que 0 integrando e uma fun((ao fmparde t. De fato, isso e
valido para lodo C, para valores p a rc~ de r, ou sej a.
CO = C~=C4 = CI> =" ' = O
Alem disso,
c)
=
~2
11
_1
X(/ )
(~r3
- ~,)
dt = ~ r t (~fl - ~t) dt +
2
2
_ 1_1 2
2
l'- (~IJ - ~f)
0
2
2
dt] =
~8
De forma semelhante, os coejicienles i"j> c,. ... podem ser calculados. Dessa forma, obtemos
(6.90)
S ERLE TRIGONOM IITRICA DE F OURIER
Jt. provamos l veja a Eq . (6.7)] que 0 eonjunlo de sinais trig onometricos
11 , COSWo I ,
COS 2wul , . .. , COSnW{lI , •.
senwot , sen2Wot, .. . , sen ll CUot, ... j
(6.9 1)
ANALISE DE SL'INS
CAPiTULO 6
NO TEJ\IPO CmrriNuo:
A SERlE DE FOURIER
589
max=7.174!
- 0.008 -0.004
.' igura M6.6
Sinal de teste met)
COlli ()"
o 0.004
r (,egundos)
0.(0);
aleat6rio dctenninado usando rand ( 'state' , 0)
»ploti t ,m_randO,'k'); axisl [- O.Ol,O. Ol. -lO,lO ] );
» xl abell'L [~ec ] '); y bbe l ('m(t ) [volts] ' ) ;
»
textlt(max_i nd),m_rdndOlma~i ndl,
[ ' \leEti;l.rrm.J max
=
',num2s:: r(m_ randO (miix_ind )) I);
Para urn vetor de entrada, 0 comando max retoma 0 valor maximo e 0 indice correspondenre aprimeira ocorrencia desse valor maximo. Similarmente, apesar de nao ter sido milizado, 0 comando min do MA1LAB detcrmina c localiza 0 valor minimo. 0 comando text (a, b, c I anota na tigure. corn:nte 0 texto c na posi~ao (a. b) .
As facilidades do hel p do MA1LAB dcscrevcm as varia~ propriedades disponiveis para ajustar a aparencia e 0
formalO uti!lzado pelo comando text. 0 comando \leftarrow produz a sfmbolo f-. Similarmente, \righ~
tarrow, \uparrowe \dol-marrow produzem as sfmbolos -7, i , t. respectivamente.
Fases escolhidas aieatoriamcntc soffern de uma falha fatal: existe pouea garantia de performance 6tima. Par
exemplo, repelindo 0 experimento com rand ( 'state' . 1) teremos uma magnitude m~b;ima de 9,1 volls, como mostrado na Fig. M6.7. Esse valor e significativamcllIe maior do ljue 0 valor anterior de 7,2 volm. Claramente. ~ mdhnr suhstituir a 501ur;iio a1eat6ria por uma solur;~o atima.
o que e"6timo"? Vfuias escolhas exislem. mas 0 criterio de sinal desejado natLlralmente sugere que a fa>e atirna
minimize a magnitude maxima de m(t) para todo f. Para determinar esta fase 6tima, 0 comando fm i nsearch do
MA1LAB e bastallle uti!. Primeiro. a fun~ao a ser mininulll.ua, chamada de flln~iio objelivo, edefinida.
'!:hetd', ' t ' . ' omeGa ' I ;
A ordem do argumento i n l ine e importanle: fminse a rch miliza 0 primciro argumcnto de entrada como
variavel de minimiza~i!o. Para mini mizar em e, como dcscjado, () deve seT 0 primeiro argumento da fun~ao objetivo maxmagm.
10
8
6
4
:f
:;
~
2
0
-2
-4
-6
-8
- 10
r(:;egumlU$)
Figura M Ii.7
Sinal de teste m(t) com Cf)m ()" alemerio determinado usando rand ( , state' , l) .
590
StNAlS Ii SISTEMAS L INEARES
A seguir, u vt:10r tempo
»
t
=
ereduzido para eonter apenas urn pcrfodo de m(t).
li nS Y(lce ((),O . Ol , 2fJl) ;
Um perfodo completo garante que touus os valores de met) sejam considerados. 0 tamanho reuuziuo de r ajuda a gamutir que a fun~1io seja execmada rapidamente. Qualquer valo r inicial de 8 e aleatoriamente escolhido
para cnme~ar a busca.
»
»
T(lnd( 'st at.e' ,0); thcta_ init = 2 ~ pi* r.and(N , 1) ;
th et~_opt = fminse arch (maxmagm, theti'l_in it , [ l ,t,omega ) ;
e
Note que fm insearch tenta minimizar maxmagm pam u~ando urn valor inidal theta _init. Varias tccnicas
numericas de minimizm;ao sao eapazes de determinar apenas mrnimos locais e fminsearch nao euma excevao. Como rcsultado, fminsearch nem sempre produz uma unica sulu~a(). O~ cn1cht:1es \'azio.~ indicarn que nenhuma opl,':an especial e necessaria e os argumentns orden ados restantes sao entrndas secundfuias da funl,':ao objetivo. Detalhes
completos du formato de fminsearch estiio dispuniveis a partirda~ facilidades do help do MATLAB.
A Fig. M6.8 mostra 0 sinal de teste com fase otimizada. A magniTUde maxima e reduzida para urn valor de
5,4 volts, u que rerre~enta uma signifiealiva melhoria cunsiderando 0 ricn original de 20 volts.
Apesar dos sinais mostrados nas Figs. M6.5 ate M6.8 aparentemenle serem diferentes. todos eles possuem 0
mesmo espectro de magnitude. Eles diferem apenas nu espet:tro de fase. E interessante investigar as similaridades e diferenr;as desses sinais, mas de forma distinta de grafieos e matematiea. Por exemplo, existe uma diferenl,':a audfvcl entre estes sinais'! Para compuradores equipadus cum placas de sum, 0 comando sound do MATLAB
pode ser lltilizado para esse prop6sito.
Ps • 8000; t • [O:1/Fs:21; \- registro de dois segundos com taxa
\- de amostragem de 8 kHz
»m_O _ m(theta,t,omega); "m(t) usando Eases zero
»
sound(m_ O/20 , Fs ) ;
»
Como 0 comando sound limita as magnitudes que excedem urn, a vetor de entrada e escalonadn por (no.
Os sinals restantes sau criados e tocados de maneira semelhanle. Quao bern 0 ouvido humane distingue as diferem;as no espectro de fase?
max = 5.4235
I
Figura M6.8
Sinal de teste m(l) (;Urn
(segundos)
fa~es utimizada~.
6 .• -1 Para cada urn dns sinais peri6dicos mostrados
na Fig. P6.6- J, determine a serle trigonomclrica compacta de Fourier e trace 0 espectro
de amplitude c fase. Se os termos em seno ou
cosseno estiverem ausentes da serie de Fourier. explique.
(a) Determine a serie trigonometrica de Fourier para yet) mostrado na Fig. P6.1-2.
(b) 0 sinal Y(I) pode serobtido usando a reversao temporal de x(t) mostrado na Fig. 6.2a.
Use esse fato para ohter a scrie de Fourier
para yet) dos resultados do Exemplo 6.1.
CAPITULO 6
ANALISE DE STh'AIS NO TF:MI'O CoNTtNuo: A SERif DE FOUl(lER
593
-,
(b)
Figura P6.l -S
Con linua~iio .
(I) % '" I e conlenh a apc nas hannonicas fmpares que nan sej3m exclusivamente se·
nos Oll cossenos.
[Diea: para as partes (d) , (e) e (t). voce precisara util izar a simelria de mci a onda disc utida
no ?rob. 6.1-5. Termos em cosseno implicam
possfve l com ponente cc. J
6.1 ·6 Em um imerval o fin ito. urn sinal podc ser repre~entado pOt m ars do que urna serie de
Fourier trigonomctriea (o u ex pollcneial). Por
exemplo. se quisermos representar X(I) = t
em urn intervRlo 0 < t < I por uma se rie de
Fourier com freqUfnci a fundamental Ct\f = 2.
podemos dcscnhlU' urn pulso x(t) = I no in terva lo 0 < r < I e repelir 0 pulso a cada Jt scgundos, tal que 10 '" It e % == 2 (Fig. P6.16a).
Se quisennos que a freqU encia fund amen tal
% seja 4. re peti m os 0 pulso a eada rr./2 .~e·
gundos. Se qui sermos que a serie cun tenharn
apena~ tcrmos em cosseno com % = 2. constru imos 0 pUISO .I(t) == III em - I < I < l eo rcpeti mos a cada It segundos (Fig. 6. 1-6b). 0
sinal res ullan te sen!. uma fu n~ao par com pcrfodo 1[ . lAlgo. sua ~erie de Fou rier tera ape·
nas lennos em cosse no com Ct\, == 2. A serie
de Fourier resu ltante representa x(t) = I em 0
< t < I , como desejado. Nao precisa mos nOS
preocupar com 0 que ela representa fom desse intervalo.
Traee urn sinal peri6dico x(t) tal que .I{t) "" t
para 0 < « 1 e que a serie de Fourier pam x(t)
satisfa~a as ~eg u intes co tldi~Oes.
(a) at'" 11./2 e contenha todas as harm5nica~,
ma~ apcnas termos em casseno.
(b) % '" 2 e conlen ha tudas as hann6n ica~.
mal> apenas termos em seno.
(e) % '" ill e (:on tenha todas as harm6nieas
que nao sejam exdusivamcntc senos ou
COS'ieno ~.
(d) % = I c cont enha apen a~ hann6nicas frnpares e tennos em cossellO.
(e) % = ill e eont enha apena~ harmOnicas
fmpares. ma~ apc:nas termos em seno.
;1
"
Fi ~u ra
P6.1-6
1I~
(. )
;1
1r
1_
Voce deve arenas tra~ar 0 sinal periM ico x(/)
que satisfa~a as condi ~rlCs dad as. Niin determine os valores dos cocficientes de Fourier.
6.1·7 In ronne. co m raz5cs. so os seg uintes si nais
silo peri6dicos 0lJ nao. p.J ra os sinais peri6dicos, determine 0 perfodo e infonne q uais harmOnicas estao presenteS na ~€rie .
(a) 3 sen t+2sen 3t
(b) 2+5sen 4t + 4cos7r
(c) 2scn 31 + 7e05 7f f
(d) 7ens
(e) 3eos
+ 5 sen 21ft
./it + 5L"OS 21
1ft
5, +3coo s+3sen
"
(,"7+ 30' )
(f) sen'2
(5
+ cos"4t
(g) se n 31
(h) (3sen2t+scn 5/)2
(i) (5 sen 2/)3
6.3-1 Para cada urn dos sinais peri6dicos da Fig.
P6.1· I, obtenha a serie exponencial de Fourier c trace
0
espec(ro corre~po nden te .
6.3-2 Urn sina l.x(I) com perfodo 21'[ e especificado
em urn pe riodo por
M ~ M
"
r.
(b)
,_
CAPiruLO 6
A:V.LIS£ DE SINAIS NO TF~\II'O CmrriNuo: A SERlE OF. rQUIUF.R
c
na qual c escolhido para minimizur a eoergia
do crro.
(a) Muslre que y(l) e 0 erro 1.'(1) = .\'(1) - cy(/)
silo onogonais no intervalo (11' IJ.
(b) Voce pode explicar o re.~ultado em Icnnos
da analogia sinal-vetor?
(c) Veriliquc esse resullauu para 0 sinal qua·
dradox(t) da Fig. 6.19 e sua aproxima<;iio
em lermo); un sinal sen I.
6.5·6 Represente 0 sinalx(t) most rado na Fig. P6.54a no imervalo de 0 II I pela sene lri gonomctrica de Fourier com freqiiencia fundamental
% = 211". Ca1culc a energia do erro na reprcsc nta~o de x(1) usando apenasos N primeiros
termos dessa sene para N'" J, 2, 3 e 4.
6.5·' Representex(t) = t nointervalo(O, I)por uma
sen e trigonometrica de Fourier que: tenha
(a) % = 21re apenas tennos em scno.
(b) % '" 1fe apenas lennos em senll.
(e) % '" rr e a penn.~ lennos em cosseno.
6.5-3 Se .1(/) e y(/) sao ottogonais, mome. emilo.
que a energia do sinal x(1) + )'(1) e iucnlica a
energia do sinal .t{I) - y( /), sendo dada por E~
+ E,.. ExpJ ique esse rcsuiladu usando a analo·
gia com vetor. Em geral, moslre que para si·
najs onogonais .\"(1) e Y(I) e para qu alqucr par
de constantes Teais arbitnirins l"1 e c1• as ener·
g ia:; de CtA(/) + c !,)"(r) c c ~\"(t) - c,y( l ) ~ ideot ica~, dadas por c:E~ + c;E}.
Voce pode ntili zar um tenno ce, se ne<:essano,
nessus series.
6.5-8 No Exem plo 6. 12, reprcsentamn~ a fun"ao da
Fig. 6.23 pelo palinomio de Legendre.
(a) Uti lize os resultados do Ellem plo 6.12
pa111 rc presenlar 0 sinal g(t) da Fig. P6.58 peJo polin3mio de Legendre.
(b) Calcule a energia do em J para as ap«)l[ ima'
c;Oes tcndo urn e dois tcmlOS (nao nu los).
6.5·4 (a) Para os sinais x(t ) e y(t ) mostrados Ila Fig.
P6.5·4, obtcnha a componentc na forma
yet) comido em .l{t). Em OUiras palavra.~,
oblenha 0 valor 61imo de c na aprol[i ma"ao .li/)::';: CJ(t) de tal fonna que a energia
do sinal de erro seja minima.
(b) Obtenha 0 sinal de erro e(l) e sua energia
E,. Moslrc que o,sinal de eno eortogonal a
)"(/) e que E. '" c-E<+ E.. Voce pode explicaresse resultado
termos de "etcres'!
6.5·9 Fun"Ocs de Walsh, as qu ais podcm assumir
apenas dois \'aiores tle amplitude. formam urn
eonj unto com pleto de fum.Ocs ononorma is e
possui grande importilucia prlitica em aplica,,6es di gi ta is. pois elas podem ser facilmente
geI'"Jdas poTein:ui ros l6gicCls e porque a multipJicar.;ao com e.~sas fun"lSes pude set implemcntada simplcsmeme atraves de chaves de
reversiio de poJarid adc. A Fig. Ptl.5-9 mosl.l*d
as primeira.~ oito funr;6es dessc conj unto. Represente X(I) dn Fig. P6.5-4 no interval o (0, I)
usando a ~ne Walsh de Fooriercom essas oito fum;Ocs de base. Calcule a energia de e(/),
o erro da nprol[inlUtriIo. usando os primeiros N
em
6.5·5 Para os sinais x(t) e )"(/) mOSlratlo na Fig.
P6.5-4. obtenha a enmponp.nu· nll forma x(t )
contida em y(t). Em outras palavra,\, obtenha
o valor otimo de (. na aproxima~ao y(l) '" net)
de lal forma que a cnCIgia do sinal de crro seja minima. Qual II ene rgill do ~i na l de em )·!
e
x(1)
o
y {l)
()
(.,
(b'
Figura P6.5-4
-.
Figura P6.5-S
597
o
- I f - --
•
---'
CAPiTULO 7
ANALISE DE S 1NA 1S NO TEMPO COl\T!NUO: A TRANSFOR;\.lADA DE FOURIER
l X( - W) = - l X(w)
603
(7. 11,,)
Portan!o, para :r(I) rea l, 0 espectro de amplitude lX(w~ e uma fun~ao par e 0 espectro de rase LX(m) e uma
fu nt,<.lio impar de 00. Esses resultados fomm oblido_~ anlerionncntc, pam 0 espectro de Fourier de um sinal peri6dico /Eq. (6.33)], e nao dC"cm ter sido uma surprcsa.
C._," 7.1
Delcnninc a Iransfonnada de Fourier de
I!
"'1/(1).
Pela tkfini"ao [Eq. (7.8a)1.
X(w) =
1
~ e--Q'II(I)e- J"" dJ = 1~ e - (" ... '· .... d l =
_ ""
0
_M as Ie ;OJ1 J = I. Ponanto. quando
Portanto.
1 -t
00, e-l q
X(w) =
+
(l
• }O>.<
1
00
- I . e- {"+'"
. '' 1
JW
!I
.
= i -oJ e- J"
a+ Jw
=00 se (/ < 0, mas sera igual a 0 se a > O.
.>0
Expressando a + jm na fonna polar como J1I2+ w 2 e j ....-· (.., ..,. oolemos
Ponanto,
LX(w)
=
- Ian- I
(~)
(7. 12)
o CSpeClro de amp litude IX(m)1 e 0 cspectro de fase LX(w) e~l.lio mOSlrdtlos na Fig. 7.4b. Observe que
IX(w)1 t uma fUll'jilo parde we LX(w) e uma fun'jao fmpardc cu, como esperndo.
Ix{w)\
I/o - . .
o
0 ····
' ...
~~ -
-,
.~
•
(.,
Figu ra 7.4
e .....1I(t) e se u CSpeclro de Fourier.
........ L XCIOI)
..
~ ""~
( b'
.....
604
SINAIS E SISTEMAS
LIl\EARES
E XISTENCIA DA TR ANSFORMADA DE FOURIER
No Exemplo 7.1. observamos que quando a < O. a integral de Fourier de e""'UCT) nao converge. Logo. a transformada de Fourier de e-<:I,I(t) nao existe se a < 0 (exponencial crescente). Claramente, nem lodos os sinais possuem
sua IrJnsfunnada de fourier.
Como a lransfonnada de Fourier C oblida aqui como urn caso limite da serie de Fourier. cia possui as quali·
ficat;5es basiem; <la serie de Fourier, lais como a igllaldade lIa lIIedia, e al; eundit;5es de eonvergencia em uma
fonna adequadamenle modifieada tambem se aplicam it Iransfonnada de Fourier. Pode ser moslrado que se .r(t)
possui energia finita. ou seja. se
1:
2
IX(f) 1 dt <
(7. 13)
00
entao a transfonnada de Fourier X(m) C finita e converge para.r(f) na media. Isso significa que, se fizennos
j-(t) =
lim - I
2;r
11' _ 00
1'"
.
X(w)eJ""dw
_ 1\'
entao a Eq. (7.8b) implica
J~ Ix(1) -
2
i(f) 1 dl = 0
(7. 14 )
Em OUlras palavras,x(t) e sua integral de Fourier ]lado di reilo da Eq. (7.8b)] podem ser diferentes em alguns
valores de t. scm. com isso, conlradizer iL Eq. (7.1 4). lremos discutlr. agora. urn eonjunto altemativo de criterios
dev ido a Dirichlet para a convergencia da transfonn ada de Fourier.
Tal como na serie de f ourier, se .x(t) siltisfizer certas condj,;Ocs (colldir;oes de Dirichlel). garante-se a convergencia de sua transfonnada de Fourier em todos os ponlos nos quais X(f) e contInuo. Alcm disso, nos puntos de
descontinu idade. X(I) converge para 0 valor medio entre os dois valores de .1(/) dos dois lados da deseont inuidade. As condic;6e.s de Dirichlel sao mostradas a seguir:
I . .1(/) deve ser absolUlamentc integravel, nu seja,
I:
l.r(t) ] dt <
00
(7. 15)
Se essa condit;ao for smisfeita. garantimos que a integral do lado direito da Eq. (7.8a) possuini urn valor
filJito.
2 . xCI) deve pussuir apenas urn numero finito de descontin uidades finitas delllro que qualquer intervalo
finito.
3. x(rj deve conter apenas urn numem linito de maximos ou minimos dentm de qualqucr intervalo [milO.
Reforc,:amos que, apcsar das condj~OeS de Dirichlet serem suficieflles para a existencia e cOlJl'ergencia pontua!
da transformada de Fourier, elas nao sao neces.s anas. Por exemplo. vimos no Exemp!o 7. 1 que urna cxpuncncial
creseeflle. a qual viola a primeira condi~iio de Dirichlet em (7.15) nao pussui a transformada de Fourier. Ma~ 0 sinai na forma (sen ut)!'. 0 qua! viola essa condit;ao pussui transfonnada de Fourier.
Qualquer sinal que pode ser gerddo na pratica satisfaz as cond i~fJeS de Dirichlet e. ponanto. possui sua transformada de fourier. Ponanto. a existencia fisica de urn sinal e uma eondit;ao suticiente pard aexistcncia de sua
transfonnada.
L INEARIDADE DA TRANSFORMADA DE FOURIER
A transfonnada de Fourier e linear, 01.1 stja, se
,
enlao
(l. l n)
C .... PlTULO 7
ANA u SE DE SINAIS NO TEMPO COt-.'TINUO: A l'RAN"SFORM .... DA DE F OURIER
605
A pruva IS trivial e ~gue diretamente da Bq. (7.8a). Esse resu ltado podc ser estendi do p.'lJ'a qual quer nu mem
finito de Lennos. Elc pode ser estendido para urn nU111Cro infiniLo de tennos sornen te 5C as condi~Oe~ neccssarias
pam altera~iio da ordem das operm;oes de soma e in!egra~ao furcm satisfeitas.
Avalia~ao Fisica da Transform ada de Fourier
Na compreensiio de qualquer aspecto da transfonnada de Fouricr, deve mos relembrar quc a represenl~ao de
Fouricr e uma fonna de cxpressar urn sinal em tcrmos de sen6ides (ou exponencial) de dura,iio infUlita. 0 espectro de Fou rier de urn sinal indica a.<; ampliLudes c fases relativa.~ das sen6ides quc ~o neces!clrias para sintetizar 0 si nal. 0 cspectro de Fourier de urn sinal peri6dico POSSU! ampl itudes lini tas c cxi sle em freqiic:ncias
di scretas (Ub e seus mult iplos). Tal espccti'o f6.cil de ser visualizado, mas 0 espectro de urn sinal nao peri6dico nao 6 tuo fdciI de se r vb ualizado porque e l ~ 6 urn cspcctro contfnuo. 0 conceitu de cspcctro con tin uo pode
ser avaliado considcrando 'um fenomeno am'\logo, mais tangivcl. Um cxemplo fami liar de distribu ilOao contin ua
t! 0 carrcgamenlo d~ uma lrave. COllsidere uma lrave carregada com pesos D" D1' D y ,," D. em ponlos uniferme menle espa~ados >". y!' ... , y. , COIllO mostrado na Fig . 7.5a. A carga lolal \Vrda Inwe dada pcla soma do;·
sas cargas em cada um des II pon tus;
7.1-1
e
e
i =1
Censidere, agora. 0 caso de uma trav~ cuntinuamcntc carregada, como mostrada na Fig. 7.5 b. Neste cas\),
de aparentcmente haver uma cursa em lodo pento, a carga em qualqucr ponto e zero. I~so nail significa
quc nilo existe carga na travc. Uma medida signilkativa da ca rga nesta SilUalOiio nao e a cal'ga no ponto. m.'1S a
densidade de carga por unidade de c omprimento naqueJe ponto. Seja X(y) a dcnsidade de carga por uni dade de
comprimento na U'ave. Tcmos, entae, que a carga sobre urn compri mcnto da !rave 6)' (6y -+ 0), em algum ponto ), t! X(y)6y. Para obtennos a carga IOtal na Irave dividimos a Lr.we ~m segmentos dc intcrvale 6)' (6)' --+ 0). A
carga sobre 0 IH~simo segmcnto de tamanho toy t! X(ll toy)toy. t\ carga total Wr e dada por
ape.~ar
WT =
~
,.
lim L X (nl'.y) toy
0,._0
1"
,",
X (y) d.1'
"
A carga agora existe em todo ponto. Cy C. agorJ, uma vari~vel co ntinua. No casu da carga discrcta (Fig. 7.5a).
II carga exisLe apenas cm n pontos discretl)s. Nos ouLro , pomus nli o cxistc carga. Por OUITO lado, no caso da cu r~a continua, a carga ~:>:jste em todo ponto. mas em qual quer ponLn especffico y a carga zero. A carga em urn
pequeno intcrvalo toy. entretanLo, t JX(IIto)') j6y (Fi~ 7.5b). Porta nte. apesar da carga no pomo y ser zero. a cafgs relaliva a aquele ponto XC)').
Uma situalOiiO an~ loga e:>:ata exi~tc no case do cspectro de sina l. Quanto.I(t) e peri6dic(), (1 cspccuo e discreto e .r(t) pode ser descri!o pela soma de ~:>:ponenci ai~ di screta.~ com amplitudes fi nilas:
e
e
x(r) =
L
Doe'"''''
"
P<.lnl um sinal nllo peri6dico, 0 cspcctro se torna continuo. Ou seja, n espectro existc pal'll todo valor de W, mas
a amplitude de (ada componeme no espa:Lm t! z~ro. A medida significmiva aqui ntio e a ampli tude da componenX(y)
Vj
V2
D)
r,
Y,
D.
f)n
LL~J
r,
Fi~ura
7.5
y,
,.,
• • •
Y.
Ana!ogia dc pcso-carga com a transfonnada dc Fourier.
,b,
C",>fruLO 7
ANALL'W DE SINAlS:-f() TEMPO Cmnl.",'UO:" ThANSFORMADA DE Fot:RiER
611
ou
1 <===> 2Jr8(w)
(7.23b)
Esse resultado mosrm que 0 cspttlro de urn sinal eonsmnle X(I) = I e urn impuho 2m5(ro). como ilustmdo na Fig. 7. 12.
o resultado (Eq. (7.23b)] poderia ter sido an tecipado com base qualitativa. Lembre-sc de que a trons formada de Fourier de x(r) e a represcnt~ao cspeclral de .\"(t) em lermos de eomponemes exponenciais de dura~lio infi nita na forma e'.... Para representar urn sinal eonstante .l"{t) "" I , precisamos de uma unica exponeneial de durat;ao infinira d'"' com (0 =
resuhando em urn especlro em uma uniea freqilcncia W = O. Omra
forma de analisar e.~sa situat;ao c quex(t).: I e urn sinal ee, 0 qual possui uma liniea frequeneia, (0= 0 (ee).
0:
x(1) = 1
Figura 7.12
X(w) - 2r.1i(w)
u
o
(oj
(b)
(a) Urn sinal eonstante (ee) e (b) seu e~pcetro de Fourier.
Se urn impulsoem w=o e0 espcclro de urn sinal cc. oque urn impulsoem W = %rcpresentara·! lrcmos responder essa questilo no pr6ximo exemplo.
7.5
Obtenhaa transfonnada de Fourier inversa de
8(w - ~.
Usnndo a propriedaue de amoslragc m dn fu no;:ilo impulso, oblemos
Portanlo,
I
_
2Jr
.
(!J"'"
=
J(w - Wo)
0"
(7.24a)
E<t.se rc5u llado mostra que 0 espcctro de uma exponencial de dur<lltiio infi nila ~ e u rn unieo impulso em (() = COo. Podemos obter n mesma eonclus:l.o usamlo mot ivos qualilativos. Para rep resentar a expo-
• A consume multiplicali\';l 2:;: no ~Iro rX(lfI) '" 21r~ClI)1 po<k confllndir Uln pouo...... Como I '" ,,- ~"OI1l ClI '" o. pode parecerqoc a
tr.lJlSrOl"TMdade Fouricrlk .•~') = I de\~ sctum impul so COil! roo;:. unil~ria. em \ude 2~ Lembrc. entn1anIO. que na ITllnSrU..mada de
Fourier .1"(1) e sinldil.ado por CJlp<me nciais nilu de amp!iWdc X{nAw)£l.ClI mas d e amplilfJde 1121r\"Czes X(II£l.ClI)6lf1. como vislu na Eq.
(7.66b!. Se 'i\~mus ulm~ado a , ..... i.:i\<t:lf(hertr.). em \·C~ Ik <0. 0 l:Sp«tm leria sido urn impulso llrulmo pum.
6 12
SINAI!> E SISTEMAS LII\"EARf_~
nellcial de du raifilo inli nila ~~, preci samos de lima uni ca exponencial de d uraif ilo infi nita ~" com W =
~t, Porlamo, 0 especlro c conslituido por uma unica componente na freqilencla w = Wo.
A panir da Eq. (7.24a), Icmos que
(7.24b)
Oblcnha a trnnsfonnada de Fourier da senoide de durn~ilo infinita cos
r. -
I
=
(.)
Figura 7. 13
Le!llbrc-~e
av (Fig. 7. 13a).
(b)
(a) Sinal cosseno e (b) seu CSpeclIO de Fourier.
Ja f6rmula de Eulcr,
cos Wol = ~(el-
+ e-J-
)
Adicionando as Eqs. (7.243) e (7.24b) e ustlndo 0 rcsultado anterior. obte mos
cos wltl
¢::::::::>
;r[5(Ul + Wo)
+ 5(w -
Wo)]
(7.25)
o espcclm de cos mrJ e constitufdo por dois im pulsos cm % e-%> como m05trndo na Fig. 7.13h. 0 re-su hado tambCm pode ser obtido usand o motives qualitativos. Uma se noide de du~~ao infinil:l cos
podc
sef ~i n tet.i zada P OT duas exponenciais de dura~1I0 infinita. ~~ e e-ifttI. Portanlo, 0 espectre de Fourier constiturdo pm apenas duas componenles de freqUencia % c - Wo.
av
c
7.7
(Transformada de Fourier de um Sinal
Podemos utilizar a serie de Fourier para dcscrever um sinal peri6dico pela soma de exponencinis nu formn ~"rfAJ1. cuja transformada de Fo uri er e oblida na Eq. (7.24a) . Logo, pmlemos obler faci lmenle a transformada de rou rier d e um sinal peri6dico usando a propriedade da Iineari dade da Eq. (7. 16).
A sene de Fourie r de um smal periOdico x(1) com perfodo TDc dada por
~
2.
'"' = -To
x (t) = LOne}"'''''
~"'--oo
Oblendo a transfom lada de Fou rier dos dois lado. lemos'
=
X (w ) = 21t
L
D.5{u; - nU.\:J)
, Assumimus, aqu i. que a propriffiadc da linearidade pode seTcslendida par~ uma soma infini13.
(7 .26)
CAf'fnJl .o 7
ANALISf. DE SIKAIS NO TF.MPO CmrrfNuo: A T kANSFOR!\IAIl,\ Dt;
Frn!Jut:K
6 13
A serie de Fourier para urn trem de impulso unitario 8",(1). mo~trado na Fig. 7 .1 4a, foi delenninada no
Exemplo 6.7. 0 coelicic nte D. de Fourier para esse sinal. \'islo na Eq. (6 .37), t a constante D. ;;: I n~
•••
• ••
2To
To
Figura 7.14
o
,.,
• ••
• ••
TO
Ibl
(a) Trem de impul50 un ifonne e (b) sua transformada de Fourier.
A partir da Eq. (7.26), a transform ada de Fourier do !rem de impulso ull itiirio e
= Wo<'i... (w)
(7.27)
o cSpeclro correspolldcllte emostrado na Fig. 7.14b.
......,.• 7.9
Obtenha a tm nsfonnada de Fourier dn funr;iio degra u unil5rio 1/(/).
Se tenlamlOS obler a trnnsfonnada de Fourier de 1/(1) diretamente pc:la
de terminndo pOl"que
U(w) =
1
~
. [ .
Idt)e ~J"' dl
t' ~J"' dl
=
~OO
inte~lio.
-._,-J«
I
= _
JW
0
tercmos urn resu ltado in-
IN
(>
o limite superior de e-JOI quando I ~ 00 resulta em uma resposta indetenn inada. Logo, abordamos esse
problema considerdndo 1/(1) como sendo a exponencial decresl.:entc e-u(l ) no limite quando a ~ 0
(Fig.7. 15). Logo.
1/(1)
= li me-'''I/(I)
d- ' O
U(w)
= ~lim
Tk-<l'II(t» =
_o
._0 + jw
li m -~'C
a
(7.28a)
Exprcssar 0 lado direito em termos de sua parle real c imaginaria resulta em
U (w) = lim
n_ O
1
a
- j 1w 2
[ a1 +w1
a +w
= Iim [ 2 a
. _0 a +wl
1+jw
I
(7.28b)
C!.l'frulO 7
ANALISE DE SINAIS NO TEMPO CO:qTh'UO: A TRANSFORMA!)A OE FOURIER
615
Observe que
sgn (I) + l
= 2u(l )
sgn (I) = 2u(I) - 1
=}
Usando os resultados das Eqs. (7.23b). (7.29) e a proJlfiedade da l.i nearidade, obtemos
2
sgn (I) <==? - .
(7.30)
JW
EXER cicIO E7 .2
Mostre q ue n transfol1llllda de Fourier inversa de X(ro) mostfada na Fig. 7.17
e x(t) -
(Wr/lf) sine (CtV). Trnce
x(t).
X(w )
{'
.:<.
w,
Figura 7.17
EXERCtcIO E7 .3
Mostre que cos (%1 + l1) ~ x[15(ro + roo)e:JII + 15(00 - w.,)t!~ .
7.2-1 Conex3o entre as Transformadas de Four ier e Laplace
A tn:msformada de Laplace geral (bilateral) de
Ul11
sinal X(l), de acordo com a Eq. (4.1) e
X es) = [
Faz:endu s = jw nessa equa~50 lemos
X {j(u) =
1:
x(r )e- " dl
(7.3la)
x(l)e- i .... dt
(7.3 l b)
na qual X(jOJ) = X(.f)!. - It' Mas n integral do lado direitu define X(OJ). a tr:msformada de Fourier de X(I). Iss() signilica que a transformada de Fourier pode ser obtida dn transfonnadade Fourier correspondentc fazendo.s = jof!
Em outras palavras. C 'Ierdadeifo que XUOJ) = X(w)'! Sim e nao. Sim. IS verd ndciro nn mllionll do~ casos. Po.
exemp lu, qualldox(t) '" e-I/(/). sua trnnsformada de Fourier e I/(s + a) c XUw) = I/(jOJ + 0). a qual e igual a
X(w) (assumindo 0 < 0). Entrelanto, para a fu n~ao de grau unilario U(/), a transfonnada de Laplace
e
lI(t)
I
Res> 0
.,
{::=> -
A trans formada de Fourier e dada por
U( I )
I
¢=:> -.-
JW
+ lTo(w)
618
SINA IS E S ISTEMAS LINI!A RES
Pro"'a. Da Eq. (7 .8b) podemos cserever.
Logo
2Jfx (-t) =
I:
X(u)e- J·, du
Troca ndo I por w oblelllOS a Eq. (7.32).
?:.Il
Nes te exemplo. iremos aplicar a pmpriedade dOl duaJidade [Eq. (7.32)] para 0 par da Fig. 7. 19a.
X(w)
-,,
0
,
,.
, ,-
",
- -,-
2
w_
(.)
<I"
,.
I,
X( ....)
o
,
,
w_
(b)
Figura 7.19 Propried3de da dualidade da transform:lda de Fourier.
Da Eq . (7.21). lemos qu e
ret(~) ~ Oinc(~r)
-------
~
xl"~
X(..)
Alc!m disso, X(I) c o meSlllO qu eX(w) com w SUbSlil ufdo por I. e .x(-w) e 0 mesmo qucx( t) com r subsli·
lu[do por -((). Porta ll(O, a propriedadc da duaJidade (7.32) rcsulta em
c:)
~
-----X I' )
(-r
= 2Jfre{~)
W
rs ine
2.rrcl
..
...
1"",(-.. ,
)
(7.33)
'
Na Eq. (7.33 ), ul ili7.amos 0 fOliO de que rel (-x) '" rel (x) porque reI e uma fun~o par. A Fig. 7. 19b mos Ira esse par grdfieameme. Obse rve a Irocn nos p apei~ de I e co (com 0 pequeno aju ~te do fator 1n ). Esse resullado aparece como paT 18 da Tabela 7.1 (com l1l :: W).
CAPnuLO 7
ANAUSE DE SINAIS NO Ta.wo CONTINUO: " TRANSFOR-"IADA DE FOURIER
Como urn interessante exercfcio,
dade da dualidade.
Tahela 7.1
N"
° lei lor Jeve gerar ° dual de carla par da Tabcla 7.1 apJicando a proprie.
Transformad as de Fourier
x(t)
X(w)
e- aru(t)
!
2
e"'U(-t)
3
e-<1111
a
+ j(IJ
,
jw
u>O
">0
2"
4
re - mu(r)
5
Ilre - Wlll(t)
6
J(I)
7
(/2
+ w2
">0
(a
+ jw}2
"",0
Il!
(a + jw)n+l
8
e
9
cos wal
IT[b"(,.,J - wa)
10
sen wot
pr[8(w
"
u(t)
7I"8(w)
"
sgn r
13
cos WQI II (t)
jill
a
- [J(w -
14
sen "'Jot lI (r)
-
2;r8(w - Wu)
"""
JW
2
2j
J«([J - (~} J
+ -.-I
2
a
+ J(w + U\J}]
+ wn } -
jw
+ Ii(w + wal] + ([Jii, w'
Wo) - li{w + U\J) ] + ,
"" ,p
WQl
[b"(w -
("0
""
15
e--<" sen (.[Jur lI(r)
16
e- al cos U\JI u(l)
17
ret( ~)
IS
-sinc(Wt)
ret C% )
19
" (~ )
.
Zsmc-
20
271"
21
L
+ jw)2 + w~
a + jw
(a + jrv)2 + Wi~
(a
ni ne
a:>
0
a>O
(~T)
\V
a
\V
.
tv,)
2"
SIllC '
'('"')
""4
,
"C';;, )
>
~
(j(t - nT)
n ~ _""
22
a>O
2;r8(w}
j
e- I' / 2J'
619
"'" "_-LX
J(w - nWo)
" I'·
a.,fSi
2;re-<l"-"'-
2a
Wo=r
S INA IS E S I ~l1iM AS LINEARE.'i
620
EXE RCicIO E7.4
Aplique a propriedude du dllalidlldc aos pares 1,3 e 9 (Tabela 7 1) pal'J mOSlrar que
(a)
1/01 + a)
¢=}
(b) 20. /(/ 2 + a 2)
(e) 8(t + to)
21f e""'u(-w)
¢==}
+ 8(t -
21fe- "i<.1
to) <===> 2eos tow
PRQI'R IEDAD E DE Es CALAMENTO
50
X(/)
¢=}
X (W)
entilo, para qualqller constante real (/,
x (at)
¢=}
_I X
lal
(~)
(7,34)
a
Prova. Para uma eonSlante rea l po~itiva G,
.
1 (W)
= -1 1~ x(u)el- J"",,100 dll = - X
a -oo
a
-
a
Similarmenle, podemos demonstmf que sc a < O.
x(a r)
¢=}
(W)
a
-- I X a
Desta forma obtelllos a Eq. (7.34).
S IGNIFICADO DA P ROPRlEDAD E DE ESCALAMENTO
A fu n ~i!.o x(llf) n::presemu a fun~ao .t(l) eomprimida no tempo relo fator a (veja a Se<;1io 1.2-2). Similarmente, a
fum;ao X «(I)'a) representa a fum;:i!.o X(w) c)( pandida na frcqilcncia pelo mesmo fator a. A propriedade de escalamemo (lfinlla que a compresstJo 110 tempo de lin! sinal resulta I/O ~xpans(io do .~ell especlro e a expansiio I/O rem·
po de 11m sinal resulla IIll i'fmrprf!.f siio de sell especlro. Intuilivamenle, a eomprcssi!.o no lempo pelo futor a signific.'1 que 0 sinal esLi variando mais ropido, peio ralor a. t Para ~intct i zar esse sinal, a.~ rreqUcncias de suas c,)mpcmenles senoidais dcvcm ser aumemadas por urn rawr a, irnplicando a expansao do seu especlrO pc:!o rator a.
Similanllcnte, urn sinal expan didu no tempo varia mais lenlamcntc. logo as freqUf:n cilC; de suas componen t~
~a:o dim inufdas, implicando a compres~a() de seu cspcetro de freqUencia. Por exemplo, 0 sinal cos 2aV Ca me~·
rna que 0 sinal cos 0+1 com primido no lempo por urn fator 2. Obviamente, 0 especlro do primeifO (im pulso em
±2al) I! uma versao expand ida do espcctro do ultimo (impulw em ±%). 0 e feilo desse esealamenlo e~ta de·
monstrado na Fig. 7.20.
RECI PROCIDAOE DA D URACAO DO S INAL E SUA LARGURA DE FAIXA
e
A propriedade de escaiamenlo implica que se x(/) for ala.-gada, se u espectro eSlreilado. e vice-versa. Dobrun·
do a duralVao do sinaL d ivi dim ~ pela mClade sua largura de faixa, c vice-versa. lsso sugerc que a largura de f ... i·
xa de urn sinal e invcrsameme proporc ional It dllrat;iio ou largu rn (em segundos) do sina1. f Jii vcrificamos esse
, Estaml)S assumindo 4ue a). I, apesar do ar'!:ull)(:nto ainJa ,er ,,;ilido se" < 1. Ne,te caso, n compffi'lsao '" lorna UUl~ c;o;panSau PI'T Un!
["mr I/a e "ice·vcrsa.
I Quando urll sinal p,mui dum~lIo inlinita. devemos considcrar sua tlunll;aCl cfctiva ou cquivalente. Nlio existe urna "niea (\(:fi ni ~!io de
dura~~o ere];va do ,inaL Uma p<:>SI;(,'cl d.llinil,au ~ dada pela Eq. (2.67 ).
CAl'iTULO 7
A NALIsE OF. SINAIS 1'0 T EMPO COr."J1NUO: A TRANSr.oKM,\OA DE FOIJKIER
623
tempo '0 resu l!a em um des locljlllenlo de fase de 1ri2 ua sen6ide superior e em urn desloc amcnto de fase de 1f na
sen6ide inferior. Isso comprova 0 fluo dt: que paro "bter WH mesmo alnlSO de tempo, sen6ide.\· de mais alfa!reqiiencia dl:l'em so/l-er 11m deslocl1l1/tnft) de fau proporcilmaimeme maiur. 0 principio do dcslocamen to de fase
linear e muito importanre e iremos enconlni-Io novamentc em transmissiio de sinljl scm disl0ntao c ap l ica~'i
de liltragem .
7.13
Obten ha a transfonnada de Fourier de c"""v-ro!,
Essa funr;ao, momada na Fig. 7.23a, e uma vemo des locllda no tempo de e"""'~ (mOS[radll lla Fig. 7.21 II), A
paltirda.~ Eqs. (7.36) e (7.37). [emos
e-"IHnl
~
a2
20
(7.38)
e-J....
+w2
r"
o especlro dc e-"~ (Fig. 7.23b) e 0 mcsmo de e....~1 (Fig. 7.2 1b), exeeLO pelo desl ocarnento de fase adicionnl de - fiX\>"
Observe que 0 de~ locamc nto de tem po /" resulta em urn cspcctro de fa~e linear -Cito" E~ le r:xemplo demonslni claramen!e 0 cfeito do d cslocamento no tempo.
X(f) _ e-"~-10:01
o
"
LX(w) =
( b)
(,)
Figunl7.23
"'"
Efe ilO do deslocamcnto no lemp[) no especlro de Fouri er de urn sinal.
7.1.4
Oblenha a Ilallsformada de Fourier do pulse de porta .I{t) ilustrado na Fig. 7.24a.
o pul~o x(/) e 0 pul~[) de porta ret (fir:) da Fig. 7.10 atra~do por 3114 segundo~ . Lugo, de acordo com a &j.
(7.37a). sua tr.rn~formada de Fourier e a Lransfm1l1ada de Fourier de rt:t (tIt) nlultiplicada por e...,..3'd4 J• Portnnto,
X(w)
~ n. ine
-
(W'2 )e-
J .. (1</4l
o e~pec tru de ampli tude 1X(c:u)i (m ustrado na Fig. 7.24b) do pulso e 0 Illesmu do indicado na rig. 7'\Ck:.
Mas 0 especllo de fase passu; um lenno linear adicionado igual a - 3ro114. Logo. 0 el;pcctro de fa...c de x(,)
(Fig. 7.24a) e id2ntico no da rig. 7.10 rnais urn tem}o linetu' -3wt14, como moslrado na Fig. 7.24c.
CAPiTuLo 7
A~LISE DE SmAlS I«) TEMPO Cmml';uo: A T'RANsH>II.MADA DE fouRIER
627
EXERCicIO E7 .7
TrdCC 0 sinal e-Moos 101. Determine a tnmsfonnada de f'OUricr dcste sinaI e trace sell espectro.
:RESPOS TA
.X(w) = (w
I
I
10)2+ 1 + (<<1+ 10)2 + I
Vcja a Fig. 7.21b para n cspcetro de i ·...]IJ.
APLlCA!;AO DA MODULA!;AO
A modulat;lio e uti! no deslocamento do especlTo do sinal. Alg umas situa~Oes que nece~ilam de urn dC5l ocamento espa::tral sao apresc madas a seguir.
I. Sc varies s inais. lodos ocupamlo a mesma fai;(a de freq[JC:nda. sao trnnsm itidos simultancamente em uma
m~ma mid ia de trnJlsJlli~u, de.~ irno intcrferir urn no Otltro. Sera impossiveJ separar ou recupero-los on
receptor. Porexemplo. se toda.~ as csta¢es de radio decidi!>Sem trnnsmitir si nais de audio si multaneamente. 0 receptor olio seria capaz de distiogu i-Ios. Esse problema e resoillido usando (I moduI3~lio. Pam isso.
cada estat;iio de riidio possui um3 freqiiencia de ponador distinla e cada estat;l\o lransmilc urn sinal modulado. Esse procetlimento de.~ loca 0 especlm do sinal para sua banda a1ocada. a qual lIDo e ocupada por
nenhuma oUlra esta~ao. Urn receptor de mdio pode escolher qualqucr csta!tA0 sintortizando na banda da
estar;iio dcsejada. 0 rece ptor deve. emao, demodular 0 sinal reccbido (desf37..cndo 0 efeiln da modu lm;ao).
A demodulat;ao, ponanto. consiste em outro deslocamcnto espcclral necc.<;sID;O para reslaurar 0 sinal a
sua banda original. Note que lanlO a modu lat;ao quan to a dcmodula~30 imp1cmcntam 0 desiocamento cspet:lml. Conscq ucntemenlc, a operat;iio de demodllla~ao e similar i'I modulm,:ao (vcja a S~1Jo 7 .7).
Esse m~todo de trnnsmissiio de varios ~i nai ~ simul taneamentc c m um canal (:om partilhando sua fai u de frcqiicncia e chamado de multiplexarlio pur dil'isilo de frequem.:ia (roM -).
que esle ml!todo
'A
o vclho eo uro. mas algumas vezes C oum dos lolas
• N. de T.: F"'Iutncy.di.·jsim, m"l,ipitxj,'R.
A.'1AU SI£ DE SI:-IAIS NO 1'£\11'0 CO~ UO: A TRANSFORMADA DE FoURII!R
CAI'fruu17
629
(cmos q ue
.~(t) '" 1I(t) = [X(r)lI(t -
r) dr =
!~ X(T) dr
Agora, dn propriedade de eonvol u~iio no temjXI[Eq. (7.42)J, temos que
X(t)*II {t)
=
j'
~
X(w)
- . - +1rX(O).1(w)
~=
x(r)dr
{=:::::}
X(w)
[~ +;r<Htv)]
lW
]W
Na obtem.ao do ul timo resuJtado a Eq. (1.23a) roi ut ilizada.
EXERCicIO E7.8
Utilize a propriedade da eonvolm;1io no tempo para mo~trar que x(1)*O(t) '" x(l).
EXERCicIO E7.9
~
Utilize a propriedade de convolur;ao no !emjXI para moslcar que
e~o' lI(t)
* e ~b' u(t) =
_ 1_
h- o
[e ~O'
_ e~!JIIII(t)
DlFER ENCJA~Ao E INTEG R A~AO NO T EMPO
S,
X(I).;=} X(w)
entao
dx
-
d,
j ' x(r)dr
.;=}
jwX (w)
X(rv)
~
- . - +]fX(O).1(w)
~X
Provu. A
difereneia~1io
dos dois
tempor
(integllu;ao 110 tempo)
(7.46)
(7.47)
JW
lado~
dn Eq. (7.Sh) resulta em
dx
1 j~ jwX(w)e iOJl dw
- ~ dl
211"
Es~ re~ ultado
(defece ncia~ao no
~OO
mostra que
TV.mdo 1IJ1e:IIM se a U"lImfQf'Tllad.a de d"C/ul exislir. Em ouua.~ pilll1'·r.L~. ,Iva' de,'C sali,rHtcr a, condi~iles de Dirichlet. A priu\eira comJi ~ao de Dirichlet implica
Tambem prcci.o;.amOJ; que A{f} ~ 0 quandQ I ~ too. Ca,o contnirio x(1) fIOssuira Ullla ~'UmpoDente cc. a qual sera pen:litla na dife...,ncia~iio c. pottantu. naouis\in\. uma re13~Ao d~ um-p;>ra-um cntrc x(') e IWdt.
630
SINAlS E SISTEMAS LI NEARES
dx
-
d,
{==}
jwX(W)
A aplicmjiio repetida dessa propriedade leva a
d"x
-d'
'"
¢==}
(jwl X(w)
(7.48)
A pmpriedade de in tt:gra~1io no tempo [Eq. (7.47)] ja foi provada no Exemplo 7.1 6.
As propricdades da transform ada de Fourier estao r~ umidas nn Tnbela 7.2.
Opera~oes
Tabela 7.2
da tmnsfonnada de Fourier
Oper-.u;ao
x (t)
X(w)
Mul tip1icalW3.0 escalar
h er)
H (w)
Adi'riio
.1:1(1)+ .1:1( / )
X I (W)
Conjug ado
x¥(t)
X" (-w)
Dualidade
XCI)
21tx(-w)
Escalonamenlo (0 real)
x(ar)
I~I X (~)
Deslocamenlo no tempo
x (t - to)
X (w)e-J""o
Deslocamenlo na frequeneia (wo real)
x(t )eioo.o.
X(w-WU)
Convol u~ao
no tempo
Xt (I) .Xl (l )
X 1(w)X 2 (w)
COllvolu~iio
n a frequeneia
Xt(I ).l l(/)
Difercnei a~'iio
1
21t X dw ) .X1(w )
d"x
no tempo
(jw)" X «('J)
d,"
1~ X(II ) dll
Integra<;;ao no tempo
+ Xl (W)
X(w)
- .- + ;rX(O)<I(w)
JW
7
Uti lize a propriedade do:: dife rencint;do no tempo pard obler
6.(r/-r) apresenlado fia Fig. 7.27a.
a lransfonnada de Fourier do p ulso Triangular
Para delenn inarmos a transformada de Fourier desse pulso, iremos diferenciar 0 pulso sucessivamente . como mostrado na Fig. 7.27b e 7.27e. Como dxldt e urna constante. sua derivada, d'xldr', c zero. Mas dxldt
possui dcscontinuidades com urn saIto positivo de 21rem [ 0:: ±rt2 e urn sallo negalivo de 4hem t = O. Lembre que a derivada de urn sinal em um saito de descontinuidade um impulso naquele ponto de fo~a igual
ao total do salta. Logo, cixldr, a deri vada de dx/dl. econsfirufda por uma seqUencia de impulsos, como mastr<ldo na Fig. 7.27c, ou seja,
e
~:.; = ~ [8(1+ ~) - 2<1(1) +<I(r -~) 1
U~ando
(7.49)
a propried ade de diferenciat;ilo no tempo fEq. (7 .46)1.
d' x
dl2
<==>
(jW)2 X (OJ) =
- (,i
X(w)
(7.50.1)
C APITULO 7
ANALISE DE SI .... AIS NO TEMPO ComINUO: A T RA1"SfON:-.1AOA DE F OURlilN
633
+,
EXER C1cIO E7.11
Para 0 sistema do Excmplo 7.18, moslre.:quea re~pos la d~ cstado oulo a entrada e'l/(-t) e y(t) '" II3 [e'u(- t) +
e-lJl/(I)] [Dica: utilize o 'par 2 (Tabela 7.1) para dctenuinar a transfonnada de Fourier de e'u(- I) .]
E NTENDIM ENTO HEuRfSTICO DA REsPOSTA DE S ISTEMA L IN EAR
Na deterrni nllijilo da respo sta de urn sistema linear a unUl entrada arbitniria. 0 me todo no domfnio do temp o utiliza II integral de convolw,:iio e 0 metoda no dominio da freq Ue nci a mili:.w a in tegral de Fo uri er. Apesat da,> ap:m;:nt es difercnljas dos dois me todos, suas filosofias sao surpree nden terne nte sim ilare.'>. No caso
do domfnio do tem po, e.x pre.~sa mos a enlr.tda xCt) pela soma de suas componen tes impulsivas. No caso do
d omlnio da freqiienci a, a ent rada c descrita pela soma de e:<ponenciais (ou sen6ides) de duraljllo infillita.
No primeiro caso, a rcsp osta y et) obtida pelo somat6rio das re spostas do sistema as componen tes imp ulsi vas resulta na in tegral de convo!w;ilo. No do minio da frequc!ncia, a respo sta ob tida pclo somntorio da resposta do ~i ~ tema ~s componentes eJlp onc ne inis de dur,iI.ao infinita resultil na integral de Foo ri er. Essas
;l!,,;ias putJem se r descrilas matemalicamcnte como apresentado a seguir:
I . Para a caso no domlnio do tempo,
5(t)
.t (l) =
===}
1:
x(r)S(l
her)
~ r)dt
,
)'(1) =
J~ x(r)h(1 -
r ) dr
mostnl que a resposta ao
impulso do sistema e h(/)
descreve X(/) pela soma
de componentes impulsivos
dcscreve y et ) como sendo a soma das respostas
as componenlCS impulsiva~ da en trada x(l)
2. Para 0 easo no domfnio da frcqilencia..
ejWl
x (t ) = - I
==}
1~
""' -
1
H (w)ejf))l
X(w)eJ.... dw
00
Y(I) = - I
2;r _""
X (w) H (w)eJ""dw
mostnl que a res posta do sistema
ejOJt ~ H (w)e J....
most!"".. X(I) como sendo a soma de
componcntcs exponenciais da
dUnlt; il.O infinila
descreve Y( I) como sendo a soma das rcspostas
as componentes exponenciais da entrada x(1)
o pOlliO dl:: vista do do rnfniu da freqilencia "enxerga'" 0 sistema em termo~ de sua re spostn em freqliencia
(resposta do sistema:i varias co mpo nentes senuidais). Ele en.xerga urn sinal (': umo a soma de v:iri ns com ponentel> senoidais./\ transmissiio de urn si nal de c:n trada atraves de urn sistema (linear) vjSHI como a lrnnsmissiio de
v:irias com ponellle.~ !;(:noidais da en trada alraves do sistema.
.
Niio c por coincidencia que utiliwmos a fu nijAo impulso na anAlise nodomfnio do tempo c a exponencial tr' no
estudo no dominio da freq lieneia. As duas fun~Ocs silo duais uma da outra. Portanto, :t transfonnada de Fo urier de
urn impulso 0(1 - 1) e e..,',." c II transformada de Fourier de dmJ e urn impulso 2lf8.,W - Ctb). Essa dualid(lde tempo·
jreqllillcia C um tema conslMte na tran~fomlnda de Fourier e ~istemus lineares.
c
7.4-1
Disto~a o
do Sinal Durante a n-ansmissao
Para urn sistema com rcsposta em freqiicncia H (W), se X(w) e Yew) silo 0 especlro dos si nais de entrada e saida,
respccti vamen te, entao
Y(w ) = X (w) H (w)
(7.53)
634
SINAIS Ii SISTEMAS LlNEARES
A transmissiio de urn sinal de entrada x(t) atraves desse sistema 0 altera para 0 sinal de saida )~I) . A Eq. (7.53)
mostra a natureza dessa mudan<;a ou mudifica~ao. Aqui. X(w) e Y(m) sao 0 espcctro da entrada c da safda, rcspectivamente. Portanto, H(w) ca respusta espectral do sistema. 0 espcctro de safda Cobtido pclo espeCLro de entrada
multipJicado pela rcspusta espectral do sistema. A Eq. (7.53), a qual mostra c1aramente a formatat;iio (ou modificat;ao) cspcctral do sinal pelo sistema. podc ser descn la na forma polar por
Portanto,
IY(w)1 = IX(w)I IH(w)1
LY(w) = LX(w )
+ LH(w)
(7.54a)
(7.54b)
Duran te a transmissao, 0 espectro de amplitude do sinal IX(w)1 e alLe rado para IX(w)IiH(w)! . Similarmenteo 0 espectro de fase do sinal de ellirada LX(w) e aherado para LX(w) + LH(w). Urna componente especLral do sinal de freqUcncia we mod ificada em amplitude peln fator IHew)! e deslocado em fase por urn ungulo Lll(w). Clardmenle, !H(m)1 e a rc sposta em amplitude e LH( w) e a resposta em fase do sistema. Os
gd.ficos de IH(m)1 e LH(w) como funt;oes de mmostram rapidamenLe como n sistema modifica as amplitudes e fases das varias entradas senoidais. Essa e a razao pela qual H(w) tambem eehamado de resposta em
jreqiiencia d o sistema. Dunmte a transmissao atravCs do sistema, algumas componentes de freqm~ncia podem ser amplificadas em amplitude, enquanto que outras podem ser atenuadas. As fases rciativas das varia~ componentes Lambem sao altcradas. Em geral. a forma de onda da safda ~enidiferenle da forma de onda da entrada.
TRANSMISSAO SEM DISTOR<;AO
Em varias aplic~r;Oes . tal como a amplificat;ao de sinais ou a transm.issiio de sinais de mcnsagem em urn canal
de cumunica.t;ao, precisamos que a forma de onda de safda seja uma replica da forma de onda de entrada. Em
tais easos, precisamos minimizar a dis!op;iio causada peln amp!ificador ou pelo canal de comunicar;ao. Portanto. e de in teresse pratico determinar as e:lractcrf.~ticas de um sistema que permita a passagcm de um sinal sem
diston,:iio (Irall.1"111iss{lo sem dis/on;do).
A transm.issao c dim ser sem dislOrt;aO se a entrada e a safda possuirem formas de onda identicas, diferenciando por uma constante tllultiplicativa. Uma saida atrasada que mantcm a funn:l de onda dll entrada t.amMm e eonsiderada com o sem dislOrt;ao. Porranto, na trJnsm issiio sem disIOp;lio, a en trada x(f) e a safda y(t) satisfazem a
condit;ao
(7.55)
,\ tmnsformada de Fourier dessa equa<;iio resulta em
Yew) = GoX(w)e - i "'"
M:ls
Yew) = X(w)H(w)
Purtanto,
Essa e a resposta em freqUencia necessaria para urn sistema pam a tmnsmissilo scm disturt;ao. A partir dcss~
equar;ao tern os,
IH(w)! = Go
LHew) =
- wfd
(7 .56a)
{7.56b)
Esse resultadu mostra que para a transmissao sem distort;ao. a resposla em amplitude IH(w)1 deve ser uma
constante e a reposta em fase LH(w) deve ser uma funyao linear de w com inciinat;ao - I", Ila qualld e 0 atraso
da saida eom rc1ar;ao a entmda (Fig. 7.28).
CAPiT ULO 7
A;\IALISE 1)£ $U\,\IS
NO TEMPO CoNTiNuO: A TRANSFOR."fA.DA VE FOURIER
635
LH(w)
Figura 7.28
Resposta em freqiieneia de urn sistema LCIT para a transmissao sem distorl,;ilo.
MEDIDA DA VARIAC;AO DO ATRASO DE T EM PO COM A FREQOENCIA
o gantlO IH(w)1'" Go signifiea que toda eomponente espectral e multiplieada pcla eonstante Go' Tambem em eonexiio com 0 qu~ foi visto na Fig. 7.22, uma fa~e linear LH(w) '" - WId signifiea que toda cornponentc especrral e
atra<;.ada por I" segundos. Issn resulta em um sinal de safda igual a Go vezes a componente espectral atra~ada por
scgundos. Como cada cornponente e~pecl1al e aLcIlu>"la IK'lu IIlc~IJJU fatur (Go) ~ atnlsada exatamente pclo mesmo total (r.,), 0 sinal de safda sera uma replica cia entrnda (a nao ser pelo fator de atenuayiio Go c pclo atrow td ).
Para uma tran.~mi ssilo scm diston;ao. precisamos de uma carJcterfstica de lase linear. A fao;e nao 6 apcnas
fun!{iio de w, mas tambem deve cruzar a origem em w'" O. Na praliea. vanos sistemas pnssuelll uma caraeterfsliea de fa~e que pode ser apenas aprox imadamente linear. Uma (onna eonveniente de j ulgar a linearidade da fase e obter 0 grafieo da inclina!{iiO de LH( ro) em fu tu;iio da freqiiencia. Essa incli na~iio, a qual e uma constante
para urn sistema ideal de fase linear (IFL), e uma fun"ao de wno CiciO gerJI e poclc ser deserila por
IJ
(7.57)
'r
Se 1. ( w) for constame, todas as componenLes serao atrasad;c; pe!o mesmo intervalo de tempo Mas se
a inclinat;ao nao for constante, 0 atraso de tempo varia com a freqiiencia . Essa vari a!,'=ao s ignifi ca que
componentes de freqiiencia diferenles sofrerdo a trasos de tem po d ifcremes e, eonseqiientellleme, a forma
de onda de safda nao sera uma replica da fo rllla de onda de entrada. Como veremos, tiw) possui urn importante. pape! em s istema pas"a fai}'a . "cuoJu dJalllaoJu oj", 111111)"0 de grupo uu alm~u oJe envelope. Obscrve
que t d constante [Eq. (7.56b)] implica tI constante. Note q ue LH(w) '" 90 - Wl ! tambe-m poss ui uma constame 1%. Logo, urn atraso constante de grupo e uma condi~ao mais relaxada.
Geralmente se pensa (erroneamente) que somente uma rcsposla em amplirude IH(w)1 plana pode garantir a
qualidade do sinal. Um sistema que poss ui uma re.~posta em ampl itude plana ainda pode distorcer um sinal deixando-o irreeonheci've l se sua resposta de fase nao for linear (f d eOllstante).
'r
NAT UREZA DA DISTORc;AO EM SINAIS DE AUDIO E V fDEO
Falando genericameme, 0 ouvido humano pode facilmente perceber a distoi\ao de ampl itude ma~ e relativamente insensfvel adistorl,;ao de fao;e. Para que adistor"iio de f;c;e se tome perceptive!. a varim;ao no atraso [variayiio
na inc1ina~ao de LH(w)] deve ser compara"el a durat;iio do sinal (ou a dura"ao fisicamente perceptIve!, no casu
do proprio sinal ser longo). No casu de sinais de audio, eada sflaba pronunciada pode ser eonsiderada um sinal
individua1. A dura!,'=ao media de uma sflaba pronunciada e da ordem de grandeza de 0.01 a 0.1 segundo. Os sistemas de audio podem possuir fases nao lir.eares, mas mesmo assirn podern rcsultar em distorl,;Oes nao percepI fve i ~ porque em sistemas de audio praticos, a varia~ao maxima na inclina~iio oJe LH{w) e apenas uma pcqucna
fra~ao de milissegundos. E<;sa e a verdade sob a afinnativa de que " 0 ouvido humano e relativamente insenslvel
adistoll{iio de fase ."~ Como resultado, os fabricantes de equi pamentos de audio disponibilizam apena~ IH(w)l. a
caraeterfstica de resposta em amplitude de seus sistemas.
Pard sinais de VIdeo, por outm lado, a silua~ao C e)(atamente a oposta. 0 OUIO hu mano e sensivel adistoll{iio
de fase, mas relativamenle insensfvel a distoi\ao de amplitude. A disLOrl,;aO de amplitude em sinais de televisiio
se manifesta como a des trui~ao parcial dos valores de meio tom relalivos da figura resuitanle, mas esse efcito
geralmente nao e.aparente ao olho humano. A distorr;iio de fase (fase nao linear). por omro lado, causa alrasos
de tempo diferentes em elementos diferentes da fig ura. 0 resultado e- ullla figuro borrada. e seu efeito e facil-
638
SlNAIS E SISTEMAS LINl)I\RES
Ig =
2AlT - O,4lT _, ~ ,
2000lT
- 0
,
o eixo veltieal C intercepLado em ¢o = -D An. Logu, usan do a Eq. (7.59) com ganho Go '" 2. obtemos
yet) = 2x(J - IS) cos [wAt - ts ) - O,4lT]
1\ Fig. 7.3Od mostra a saida yet), a qual e eonstituida peJu envelupe de puho x(f) modulado atrasado por 1 ms
e pela fase a portadom altemda por-DAn. A safda nao mostra dislof\ ao no envelope X(I), apenas 0 arraso. A mu·
dan\a de fase da poT1adora nao afeta a forma du envelope. Logo, a transmissao c eonsidcf'Jda scm di,ton;ao.
(b) A Fig. 7.30t: mOSlra que quando we = 4000)"[, a inclina\ao de LH(w) e nula, logo 18 '" U. Alem disso,
o ganho e Go '" 1,5 C a inlerseo;ao da tangente com eixo vertical e %'" - 3, 1n. Logo,
°
y et) = 1,5x(t)cos (wcf - 3.l1r )
E~sa
lamrem e uma transmissiio sem dislof\ao pelos m e~mu s mnlivos do casu (a).
t
x(t)
o
0]
,-
,,'
t
z(t)
'. 0,1
0 '
(b'
t
2
iH(wl] 1,5
o
- 0,4.,,-
- 2,411'
- 3,1.,,-
2000.,.-
L H(w)
.. . . . .. . . .
~ :-:-",~---
,,'
Figura 7.30
w-
4000.,.-
CJ\ PlTU!..o 7
t
ANALISE DE S INA IS 1'0 TIt\ IPO C ONTINUO:
A T RANSFORMADA
DE
FOURIER
639
2
yet)
,00 I
0.10)
o
I
W
Figura
7,30
Con til\ua~ao .
L.
..- -_
_ __
7 .5 FILTROS IDEAlS E PRATICOS
Fil lros ideni~ pennitem a transnllss3.o scm dislon;iio de certas fa ixas de fre quEncia enqunmo stlp rimem com·
pletameme as freq uencias res tantcs. Urn fi ltro ideal passa-faixas (Fig. 7.3 1). por ellempio. perrnile que tOOas
as componentcs abaixo de (jJ == IV radls passem scm dis ton;ao c su prime tooas as outras componenles acima de
00= IV cadis. A Fig. 7.32 aprcsenta as earacteristicas de urn fi ltro ideal passa-altas c passa-faixa.
/, (1)
w
'.
IV
If(w) = - WId
•
IV
> '"
r,)
rb)
Figura 7.3 1 Filtro passa-baillas ideal: (a ) respostn em freqiiencia e (b) resposta ao impulso.
L H(w)
---- .. / .--
IIf(w)1
o
(,)
LIf(w )
----<--.. ....
I.,'J .
""
IIHr.)1
0
I
.
--'"'.'-.
(b)
Figura 732 Respostas de um filt ro ideal (a ) passn-altas e (b ) pnssa-failla.
CAI'truLO 7
ANALISE DI! SINAlli "0 TEMPO COr.TtNuo: A l'RANSFORMADA I)E FOURIER
643
A Eq. (7.63) pode sec interprelada como sendo a encrgia do sinal x(/) que resu lta das conlribui~s das
em:rgia.~ de IOOas a.~ componentes especlrais do sinal x(t). A energia total do sinal e a area sob lX(ru)~ (di\'i~
dida por21t). Se considcrarmos uma pequcna faixa 6ru(6w~ 0), co mo il ustrado na Fig. 7.34. II clle....;ia6E~
das compone ntes c:speclrais nessa faixa e a area sob lX(w)f ne..~sa faixa (dividid n por 2n) .:
(7.65)
Portanto, II contriooi",ao de encrgia pela~ componentes nesta faiKa de /if(cm hertz) se~ lX(w)l .1[ A cnergia
total do sinal e a soma da~ energias de todas a~ faixas, scndo indicada pcla area sob IX(w)lzcomo na &j. (7.63).
Assim sendo.IX(w)f e a dCl1sidadc espectral de cl/ergia (por unidade de largura de faixII em hertz).
l
Para sinais rea is. X(w) e X(-w) sao conjugados e IX(m)l e uma rum;ao par de OJ porque
l
IX(w)1 2 = X(w)X'(w) = X(w)X(-w)
Logo. a Eq. (7 .63) pode ser descrita port
,1
00
Ex = -
rr ,
IX(wWdw
(7.66)
t.:
A energia do sinal, II qual rcsulta das cont ribui~6es de todas a~ componentcs em fn:qUencia de W= 0 a 00,
e d ada por (lIn vezes) a area sob IX(co)F de co= 0 II 00. A energia contribufda pelas componcntes especlrais de
frcqU~ncias cntTe WI e ill, e
'1"'
6.£.. _ -
H
IX(IV)I' d w
(7.67)
~
o
Figura 7.34
lntcrpreta,<iio da dellsidadc cspeclr.ll de energia de urn sinal.
Determine a energia do sinal x(t) = ([''''I/(T). Dclcnnine a freqiiencia IV (r.Klls) tal que a eoergia conlribufda pclas componentes espectr.us de tlKiaS as rn;:q(lellcia<; abaixo de W seja 95% da energia £, do sinal.
Temos
(7.68)
' Nl Eq. (7.66), a.'!$Umimos que: X(ao) noioCOOl.!m nm impulso em m = O. So: tal imfltllwCAislir, el>! de\'e '"'r inlcgr..do em separadorom
um faInT de ganlll) de 11211. em vel. (\e J/II.
644
SINA IS E SIS1E\.IAS Li NEARfS
Podemos verlfiear e.~se re$ululdo pelo teorem:! de Parseval. Para estc sinal
1
X(w) =~
. -'Jw+a
,
E.,= -1
I
iT
1~ IX(w)11dw = -1 1~
iT
0
1
W
Q
'
+<1
2dw= - ' tan - I
Jra
wl~'
=~
-
a 0
2<1
A bi.ixII ru = 0 II W-"" W contim 95% da ene rgia do sinal. ou seja. 0.95I2a . Portanto, da Eq. (7.67). com
W:z = W,obtemos
WI
=0e
=
~ tan-I
iTa
O,95lT
- 2
-1W
= Inn
~
n
===}
Il)
a
I' ~
II
_'_tan- I IV
lT a
a
IV = 12.7060 r.l(lIs
(7.69)
Esse result ado indica que as componentes espectrai s de X(I) na faix a de 0 (ce) a l2.706a fadls (2.02a Hz)
contribuem co m 95% do total da energia do sinal. As com ponentes cspectrais restantcs (na faix a de 12,706a
radls a 00) contribllem apena... co m 5% da energia do sina1.
.
EXERCicIO E7.13
Utilize 0 tcorema de ~val para moslrar q ue a encrgia do si nal x(l ) = 2al(/ + ,l) e 2111a. [Dica: oblcnha X(tD)
usando () par 3 da Tabela 7.1 e a propricdade da dua lidade.]
L ARGURA DE F AIXA ESSE.!'{CIAL DE UM SINAL
o ~pectro de todos os sinai... praticos sc cstende ao infini to. EntrelanllJ, como a energia de qualquer sinal pflitico
e finita, 0 cspcctro do si nal dcve apmx imar dc 0 qu ando a) 00. A maior parte da energia do sinal esu colltida
-jo
denim de lima ccrta faixa de 8 Hz: c a energia conlribufda pelas componentes al~m dc B Hz pede ser negligenciadl!. P OdCIIlOS, porlanto, sllprimir 0 espectro do sinal al1!m de B Hz com pouco efeito na forma e encrgia do sinal.
A largura de faixa B ~ chamuda de l<1rgum dejnix{1 esst:llcial do sinal. 0 crilc:riO pnra a se1er;ilo de B dependc da
tolerancia de erro em uma a pl ica~1io particular. Podemos, pot exemplo. sclecionar 8 para ser a faixa que contem
t
95% da energia do Mnal. Essa figura pode seTmaior 011 menor do que 95%, depcndendlJ da prccis1lo requcrida.
Usando esse criterio, podcmos detenn illar a largura de faixa essencial de um si nal. A largura de f<l ixa essencial B
parJ 0 sinal e......u(t). usando 0 crilirio de 95% daencrgia, foi oblida no Exemplo 7.20 como scndo 2,020 Hz.
A suprcss!l.o de lnuas as componentcs cspectrai~ de xU) al~m da largura de faixa essencial rcsulta em um si·
nal.i(I), 0 qual e uma boa apruximaqiio de x (t). Sc util izarmos os criterio dc 95% para a largm!l de faixa essencial, a cl1crgia do eITO (a direren~a ) x(r) - ; (1) 5% de Ero
e
7.7 APLI CA~A O EM COMUNICAC;OES: MODULA~AO E1H AMPLlTUDE
A modllla,iio cnusa urn deslocamento e.~ pectrnJ no sinal, sendo uti lizada para ganhar certas vantagen~ mencionadas em nossa discussao do propricdade de deslocamento na rreqUencia. Fulando genericamente. ex istem duas
classe.~ de modul aqao: mod uJ aqllo em ampJjlUde (linear) c moduJaqao cm ungulo (nilo linear). Ncsta ~ao, iremos discu tir algumas formas pnitkas de modu l ~iio em am plitude.
sinaj .~ passa·baixa. a l arg~ra de faixH ~ssellCialt:l!IlMm pode ser dclinhla como sendo a fl"("qOi!n<::i u na qual 0 valor do espcctru de
amplitude to uma pcquena fr.. ~ao (aproximatlamc:mc 1%) do .","u "'lor de pic\). No ElIemplo 7.20. pot exe mplo. 0 valor de picc, 0 qual
ocorrem em tu=O til".
t Para
CAPiTuLo 7
A,\lALl SE DE SlNAIS NO TEMPO CoNTiNUO: A TRANSFOR!l.1,\Di\ DE FOURlIlR
647
M(w)
t1.1'
(,)
DSB spe<:trum
rr/ 2
LSBt
tUSB
w _
(b)
Figura 7.36
Exemplo de modulagao DSB-SC.
DEMOD ULACAO DE SINAIS DSB-SC
A modula~ llo DSB-SC translada ou desloca 0 especLro de freqiiencia para a esqucrda ou direita por W c (isLO IS, para +wc e -w,.}, como viSLo na Eq. (7.70). Para recuperar 0 sinal originalm(t) do sinal mooullldo, dcvemos transladar novamente 0 espectro para sua posi,<ao orig inal. 0 processo de recuperaqiio do sinal de
mcnsagem do sinal modulado (deslocando novamente 0 espectro para sua posi.;iio original) e chamado de
demodulaqdo. ou dClcq-ii(}. Ohserve que. se 0 espectro do sinal modulado da Fig. 7.35c for deslocado para
a esquerda e para a direi!a por w. (e dividido pela rnetade), obteremos 0 espcctro ilustcado na Fig. 7.37b, 0
qual contem 0 espectro banda-base desejado e um espectro indesejado em ±2wc ' Esse espectro indesejado
pode ser rcmovido por urn filLro passa-baixas. Portanto, a dcmodulaqiio, a qual e quase identica 11 mod ulaqao. consiste na multipliclH,ao do sinal modulado de entrada met) cos wJ pela portadora cos wi seguido por
urn filtro passa-baixas, como mostmdo na Fig. 7.37a, Podemos vcrificar cssa conclusao dire!amente no domfnio do tempo observando que 0 sinal e(/) da Fig. 7.37a e
e(r ) = met) cos 2 wot
= 1rm(t) + m(t ) cos 2we /]
,
m(t) cos !tV
"2 m(l)
(,)
...............................
..,
..,
"
( b)
Figura 7.37
(7.72a)
Demodula,<ao de DS8-SC: (a) demodulador e (b)
~spectro de e(t).
650
SINAIS E SISTEMAS LINEAR K~
'C__ '(.)
A
+ tII{l) > 0 paru 1000 t
A
+ m( l) :> 0
par.!
tado I
. L.
A
,-
,-
(b)
(0)
~ EnvelOpc
A
+ 111(1)
En velupe
[A
+ tII( l~
,".
....
:"
'-~
(, )
(d)
Figura 7.38
Urn sinal A}.<{ (a) pam dois va lores de A (b, e) e sellS respectivm envelopes (d , e).
Eq. (7.76) mostra qucp > 1 (sobremoduialjRO, moslraua nl! Fig, 7,38e). Ncste easa, a opPrccisnremos, e ntiio, Ulilizar Ii demodula~ao sincrona. Nole
que a demouulalj50 s(ncrona pode ser utilizada para qualquer valor de p (veja 0 Prob. 7. 7-6). 0 detector de
envelope. 0 qual e consideravelmen te ma is simples e mais bar,itO do que 0 detec tor sincrono 56 pode seT ut ilizado quan do ~ S 1.
Quando A <
/lip, Ii
yaD de dctec'1 ~o de envelope nao emals vi:1vel.
Trace 'PAlI(t) pam fnd ice~ de modula'130 j.J :::: 0,5 (50% de modulalfoo) e J1 ;;:: I (100% de mudulll'1ao) quando
m(l) = B cos 00..'. Esse easa e Teferenciado como motiltlordo de /0/1/ porq ue 0 sinal tic modula<,'Uo C ullla senoide pura (ou tom),
Neste CasO.lllp
'"
Be
0
indicc de modula"ao, dc acorda com
B
~ =­
A
Ii
Eq. (7.76), c
652
SINAIS E SISTEMAS L Th.'EARI!S
Destarga do
capudtOT
f)R
C
Si nal AM
+
'"eli)
(,)
-.....
",
......
..... ...... .....
,,'
..•...
...
~.
....
.•.•..
....
......
......
......
...... ....
(b)
Figura 7.40
OcrnoduJar;iio peJo detector de envelope.
A safda OJ/) do detector de envc:lope e A + met) mais um ri pple de freqUe ncia we" 0 tenno cc A pode ser bloq ueado pOT urn capacitor ou por urn fil tro HC passa-al ta~ simp les. 0 ri pple reduzido por outro filtro RC (passa-baixas) . No caso de sinais de ~u dio, as alto-falantes funcionam como filtres pa~sa -ba i xas. 0 que au mema ainda mais a supre.<;siio do ri pple de alta frcqiicllcia.
c
7.7-3
Modul a~ao
em Faixa Lateral Simples (SSB)
Considere, agora. 0 espectro banda-b'lse M (w) (Fig . 7 .4la) e 0 espet:tro do sinal modulado DSB-SC 111(1) cos 00<,
(Fig. 7.4 l b). 0 espectro DSB da Fig. 7.4 lb pDss ui duas faixas laterais: a faixa superiore a inferior (USB e LS I3 ),
as duas eOlllendo a infomlar;ao completa de M (w) [veja as Eqs. (7. 11)]. Obviamente, e redundante tra nsmitir as
d ua~ fahas laterais. urn processo que requer 0 dobre da lurgura de faixa de sinal banda-bas e. Urn esquema no
qual ape na$ uma faixa lateral c transmi tida ehamado de rronsmissilo jai:w /arera/.fimpies (SSB). a qual n:quer
aptnas mc mdc da largura de faixa do sinal DSB. PortanlO, transmitimos apcnas as faixa~ laterdis superior (Fig.
7.41 c) ou apenas as faixas laterais inferior (Fig. 7.4 ld).
Um sinal SSB pode ser dcmodulado coerenlemenle (demodula~1io sincrona ). Por exemplo. a muh i pl ica~ao
de urn sinal USB (Fig. 7 .4 le) por 2 (;(}S (I)! dcs loca seu especlro para a csquerda e d ireita por m e' resultando no
cspectro d a Fig. 7.41 e. A filtragem usando urn filtro passa-baixas desse sinal rcsulta no sinal banda base desejado. 0 caS<, e similar com um sinal LSB. Logo. a demodulaqiio de sinais SSB identica a sinais DSB-SC, e (J demod ulador sincrono da Fig. 7.37a pode demod ul ar sinais SSB. Note que estam05 falando de sinais SSB scm a
porlUil ora, logo. cles sao sinais de pOl1adora suprimida (SSB-SC).
e
e
CAPITULO 7
A NAuSI! ilL: SINhlS NO T E\IPO CONTINUO: A T KAiXSFORMADA Ill! F O URIER
655
Pam obler 0 USB, 0 fillIO deve passar todas as com ponen tes aeima de w, inailerndas, e su primir com pletamcnle tock; as componcntcs llbaixo de w~, Tal ope~ao rcquer urn IillrQ ideal, 0 qual nao realiulye!. Entre tan10, podemos n:alizar uma boa aproxi mw;30 do /i1tro ~ existi r algtlma separ4~ao en tre a faix!!. passallle e a fa ixa
mIrada. Fclizmemc, 0 sinal de VOl fom ece e.ssa condir;ao, poi ~ seu cspcctro lno~lrd pouco con teud o de potencia
na origem (Fig. 7.43). Alem disso, testes de Ilrliculac,: ao pa ra sinais da fa la mostram que componellles ahaixo de
300 Hz nao sao im porrames. Em OUlra." palav ro,ls, podemos suprimir todllS as componcntes da fala abauo de 300
Hz scm afetar aprec ia\,e!mente a in tcligibilidade.' Portanto, a fiilragem da faixa lateral indcscjada se toma relati vameme simples para sina is de fala porquc lemos uma transi 'i'iio de 600 Hz ao rcdor da freqiiencia de corte w•.
p..tr.t alguns sinais. nos qua is temos uma considcr:hd potencia em baj;l[llS freq iiencias (30 redor de w = 0). lecnieas SSB ellusam uma dislon;ao considernvel. Esse C0 caso de sinais de vIdeO. Consc:qiknlcmem e, pard sinais
de vIdeo, em vez de SSB, utilizamos outm Iccnica. a f aixa loreroll'I!.I"tigiai (VSB*). a qual e um compromi ~S()
enlre SSB e DSB. Ela herd a as yatllagens de SSB c DSB mas evila suas desvantagens ao custo de urn pequc no
Rcrescimo de largura de faun. Sinais VS B silo relalivamentc s imples de serem gcrados e sua~ largu ras de faixa
sao apena." urn pouco maio r (Iipicamente 25%) do que sinais SS B. Em sinais VSB, em vez de rejeitar uma faixa laleml eomplelamente (Ial como em SSB), ace itamos urn corte gradual de uma faixa laterJI.~
e
7.7·4
M ul ti p l ex a~ao
por Divio;;ao na Freqiiencia
A muhiplexa<;iio de sinais pennite a transmissao de varios sin ais em urn mesmo canal. Po~ terio rmenle. no CapllUlo 8 ( Se~ao 8.2-2), iremos disc ut ir a mu lliplcxa<;ao por divisllo no tempo (T DM), na qual varios si na is
co mpanilbanl no tempo 0 mes mo can al. lal com urn cabo ou fi bra 6plica. Na muh iplcxa<;110 por d ivisiio na freqUencia (FDM"), 0 uso da modula<;ao, como il ustrado na Fig. 7.44, faz com que v.l.i.rios sin:!is compart il bem
a bmlda de um mcsmo canal . C:!da sinal e mOOulado por uma freqUencia de pertadora diferente. As varias pertadoras sao adeq uadamentc separadas par.t evilar a sobreposi<;ao (ou intcrferencia) enlre os espcctros dos drios sinais modulados. Essa.~ JXJrtadoras slio chamada.~ de.~jlb-pon(ldQra~. Cada sinal pede utilizar um tiro di feren te dc modu laifijo, por exemplo, DS B-SC, AM .. SSB-SC. VS B-SC ou mesmo ou tras fonna.~ de modu latjilo nao disc utidas [Tal como FM (modulatjilo em freq iiencia) ou PM (modula<;1io em fase»). 0 espectm do sin:!1 modu lado pode sec se pa rado por urn pcqueno guarda banda pant cvilar a inlerferencia e para faeililar a separm;ao do sinal pelo reccptor.
Quando todos os espenros dos sinais modulados sao adicionados, temos urn sinal com poslo que pode ser
considerado como urn novo sinal banda-base. Alguma.~ \,ezes, esse sinal banda-base composlo podc ser ulilizudo pam modular urna portadora de a lta frcquencia (freqiiencia de radi o. ou R F) para a transmissiio.
No receptor, 0 sinal de e ntr.tda c inicialmente demodulado pela ponadom RF, oblendo 0 si na l banda·base
eomposto, 0 qual, cnlno. fi llrado por passa-faixas para sepamr os sinais mod ulados. Cada si nal modulado C.
e nliio. individual menlc dcmodulado pel a sub-ponadora adeq uada para oh tcrnos lodos o~ sinais banda-basc
e
b.l.i.~ icos.
>
0
""
0
u
<0
"
"
a.
3200
Figura 7.43
--
11Hz) --
Especlro de vuz.
' Similanncme. a su~ de componml« do sinal da (ala acima de 3500 H1. nSo ~lta em uma m~a apreci.a'-cl na illtcligibiJi-
• N. de T.: V"sligial Sidt!8{Jful.
... N. tie T.: FUquc"cy·d il'isi()Jt mu/ripl".Ung.
656
SINMS E SISTE.\lAS LINEA-RES
w-·
<.)
Moduludor
I
(e)
Figura 7.44
7.8
MultipJexaylio POI'- d ivisao em freqO~ncia: (a) espectro fDM, (b) transmis!;Or e (e) receptor.
TRUNCAGEM DE
DADos: FuN«;OES
DE
JANELA
GeraJmente prcrisumos lru ncardados ern J iversas sirna¢e.", deSlle c41culos numericos ate projcto de fil1.n)~. Por
exem plo. se precisamlOs caleular [lumericamenle a transfOlTuada de Fourier de algum sinnl. digamos e-'II(/), leremo~ que d~prczar 0 sinal !!! '11(1) alem de nlgu m valor suficienlemente grande de I (tipieamente aci ma de cinco constantes de tempo). A rdzao e que. em d lculos numericos. devemos tTabalbar com dados de durnr;;ao fini ·
tao SimiJanncntc. a respmta an impuho 11(1) de um fihro ~1;a-baix.as ideal e nao causaJ e aproxima-sc de zero
assintoticamente quando I~ ....-+ DC. Em urn projeto pnilico. ptXlemos querer despre7N h(t) alem de urn va10r suficienlemenle grande de I~ para lomar It(l) cau.~al e de durnr.;ao fin ila. Na amostragem de sinal. para e liminar 0
658
SINAIS E SISTEMAS LINEAlI.5S
x(t)
fI
fI
1
o
V
V,V
V
Wo
W-
V
,,)
Taxa dt: lvI/off
o
T
T
.
,;. -4r.T
2
2
.
.. -- O,217T
;
.
w-
'b)
1\
x,.,(t)
,
T
2
o
~
" "')
__
U
' .......... V ! I V~ y'w _
Wo
''
41T
2
V,V
IWx(w)1
(\U ,toI
...., \ } \ : Jo ........
Wo
T
o
0
L6bulo principal
X
T
:
-<
-,:;
:-
L6bulo>
lalerais
L6bulo principal
(dB)
-10
L6bulos laterais
- 13.3
-20
Taxa de roll{)jf
- 20 dB/decada
-._-.- ------ - ---- ..... -.-.
-30
1(J7T
T
207T
T
(d)
Figura 7.45
lanelamcnto e seus cfcitos,
bulos laterals. Obviamente, queremn~ lohulns laterais men ores com uma taxa de deeaimcnto mais IApida (alta taxa de rollojf). A Fig. 7.45d, a qual apresenla IWR(w)1em funqao de ((I, mostra claramente as caracterfsticas de J6bulo principal e lobulos latemis, com a amplitude do primeiro 16bulo lateral -I 3.3 dB
abaixo da amplitude do 16bulo principal e os 16bulos laterais decaindo a uma taxa de -6 dB/oitava (ou
- 20 dBfd&:ada).
Ate este momento, discmimos os efeltos no espectro do sinal truncado (truncagem no dominio do tempo).
Dcvido 11 dualidadc tcmpo-freqiiencia, 0 efeilO da tnmcagem espectral (truncagem no domfnio da frcqUencia) na
forma do sinal e similar.
660
SINAIS E SISTEMAS L INEAltf-S
ExiSlem centenas de janelas, todas com caracteristicas diferentes, mas a cscolha depende da apli~lIo particular.
A Janda rclangular possui 0 16bulo pri ncipal mais estreilo. Ajrulela de Banltm (triangular. lam\x':m charnada de Fejer ou Cesaro) e inferior ii janeL1 de Hanning em todo.~ os I.Titen05. Pot essa ru1io ela raramenle e util i7~a na prutica. Hanni ng preferida ii Hamming na amilise espectral POrljue ela possui urn decaimento dos 16bulos lalerais mais
rupido. Para aplica<;i'ies de filtragem. POf QUtro lado, ajancla de Hamminge escolhida porque ela possui a menor magnilude do 160010 lateral para UOlIl dada Jargura de 16bulo principal AjaneJa de Hammi ng e. geralmenle. a mu is ulilizada como jane la de llSO gemJ. A janelll de Kaiser. a qual utiliza lola), u rLlm;ao de Bessel de o[[lem zero modificada.
cmais vcrsalil e mais aj LlstaveJ. A seJe~lIo de urn valor adequado de a (0 S (l:S 10) pcmute ao projetisla aj ustar ajllnela para uma ap lica\;au particular. 0 par5mclfo acontrola 0 compromisso 16bulo principal-16bulu lateraL Quando a
'" O. ajanela de Kaiser e ajanela retangu]lIT. Para a= 5.4414. ela e aj anela de Hanuuing e quando u= 8. ~85. cia ca
jane la de Blllckman. Quando a aumenta. a largura do 16buln princ ipal aumenta e 0 nivel do 16bulo lateral dimin ui.
e
l a bela 7.3
N"
Algumas fum.Des de janela e suas caracteristicas
Lafgura
d o l6b ulo
principal
J IlJH'!a III (t)
Relangular: reI (
~)
4;r
Bartlett: '"
3
Hanning: 0.5 [I + CIlS
,
Hamming: 0,54 + o,46 cQS
5
B l nc km~n: 0.42+ 0,5 cos
(~ t ) ]
(2T'
T )
T +O.ORcm ("')
T
("')
6
(dB/oct)
- 13. 3
-12
-26,5
- IS
- 31 ,5
-6
- 42,7
12.
T
-IS
- 5R, 1
1 r. 2:T
T
-6
-59.9(0:=R,I68)
'rrT
(21T )
rolloU
Nh'el d O' pico
do 16buio
lateral (dB )
-6
T
,
Taxa de
8,
T
8,
T
7.S· 1 Usando Janelas no Projeto de Filtros
lremos projetar urn fil tro passa-baixas ideal de largur4 de fma IV radls com resposta em frcq Ucncia H (w ). Ct~
mo mostr4J n na Fig. 7,47e ou 7.47f. Para esse filtro . a resposta au impulso her) = (WI If) sine ( IVr) (Fig. 7.47c)
nao causal e. portanto. nao rcnli z.'lvel. A tnme agem de h{l) por uma janc1a adequada (Fig. 7.47a) 0 lorna reali zlivel, apesar de 0 filtro resultanle ser, agora. uma aproxima((ao do tiltro ideal desejado: Iremos util izar a jane1a re langu lar U'Ii{t) e a janela triangular WJ( t ) (Bartlcll) para truncar h(t) c. e nt~o. examinaremos os filtms rcsul·
lnmes. As rcspos tas ao impulso tnm cadas hi t) = h(l) wit) c hl- t) '" h(r)w/(t) silo m ostrada~ na Fig. 7.47d. Lu·
go. a resposta em frcqih~ncia do filt m janclado c a eonvolw; ao de fl(O) com a transfonnada de Fourier da jane-la, co mo ilustrado na rig. 7,47e c 7.47f. Podemos fazer as segu intes obse rvaljOes:
c
I. 0 especrro do filtro jane lado mos trd esplI/JwllIellto especlm/ nas b-ordas e. em vez de urn chnvea men to
repenti no, existc uma lra ns i~~o gradual da fma passante pa ra a fnixa fil tmda do m tro. A faixa de lra osi,ao e menor (2JrlT radls) para 0 ca~o retangular do que par.! 0 caso tri angu lar (4!rIT radls).
2. Apesar de H(m) ser li milado em faixa. os filtros janelados nao s!io, mas 0 comportamelllo da faixa fi llr4da do easu triangular e superior ao do ca.~(J retangul ar. Para a j uncln relnngular, 0 vazamento na faixa fi ltrad a di min ui lcntamen te (1/0) em comparaljao com a j ane la triangular (11M) . Alte:m dis so . 0 ea~o retangular poss ui urn pico maior da amplilude do 16bulo lateral do que para a jancla triangLilar.
, Al~ m d~ Inmcagcm. prec isamos ~trasru- a fulllt~o uuncada por TI2 para luma-la causa l. Enlretanto. 0 alIasu de tempo apenus ad iciona
111M [w;e li near ao cspccltO. ",m aherar 0 CSPCClro de amplitude. Ponanlo, jl<Ira simplificw- nussa discus.sau, ;rern<>:< ignomr 0 alrusu.
662
S INAIS E S ISTEMAS Ll l\'EARES
7.9 Rr..suMo
No CapItulo 6. rcpresentamos sinais peri6dicos como sendo a soma de sen6idcs a u c:xponenciais (de duragao infin; ta) (sir;c dc Fourier). Neste eapftulo, eSlendcmos esse resuhado pur-J sinais nao peri6dicos, os qua is sao n::.
presentados pela integral de Fourier (e m vez da st!rie de Fourier). Urn sinal n1\o peri6dieox(t) pode seT imaginado emno um sinal pcri6dico com perfodo To --t co, tal que a integral de Fou rier c basicamente a st!rie de Fou rier
com freg Uencia fundamenlal tendendo a zero. Portanto, para sinais nlio peri6dicos, a especlro de Fo urier t! eo ntfnuo. Essa continui dadc signifiea qu e 0 sinal e representado pela soma de sen6idcs (o u exponenciais) de todas
as rreqiiencias em urn intervalo con tInuo de freqUencia. A transformada de Fourier X(w). panama, C a densid ade espcetml (por unidade de largurn de faixa em hertz).
Urn a1\peclo sempre pre.<>enle nn transfonnada de Fourier e 1\ua dualidade entre tempo e freqUencia, a qual
tambCm imp1iea dualidadc entre 0 s imll .l(t) e sua lraosfonnada X(w). Essa dualidade If devida a..<; qua.<>e simetricas equag3es pam a tr.msformada de Fourier direta c in\'ersa. 0 princfpio da dualidade pos!>ui con!>eqi1cncias de
longo aleanee e resulta em van as in focma<;Oe." valiosas na analise de si nais.
A propriedade de escalamento da transformada de Fourier leva 11. conclusau de q ue a begum dc faixa c inver~cnte proporcionaJ 11. d ura<;ao do sinal (eompri memo do sinal). 0 des locamento no tempo de u rn ~ina l n1\o altera 0 e~pectro de ampli tude, mas adiciona uma com punente de fase linear aO!>e u e~pr:ctro de fase. A multi p1icayi!.o de urn sinal por uma exponencial t!"tI desluca 0 espeetro para a direila por COo. Na pnitica. 0 des loea rn ento espectral e obtido mul tiplieando 0 sinal par uma scn6ide. tal corn cos !OJ (em vcz da exponencial l'V). Esse
processo 6 ehamado de modular.;lio em ampl itude. A multiplica<;ao de dois si nais resul ta na convol ur.;lio de ReUS
espcetrlH, enquanto que a convolu930 de doi ~ sinais rcsulta na multipJi cn<;l!.o de sellS espectffis.
Para urn sistema LClT com resposta em freqU encia H(w), 0 espectro de cntmr.ia e safda X(m) e Yew) sao reI:!·
cionados pela C<.ju;u;ao Y(m) = X(w)H(w). Essa cqua<;iio e valida somcmc para sistemas assintoticarncmc es.tljveis.
EJa famb6m se aplicada a sistema." marginai mente estaveis sc a cntrada nao contiver nenhuma scn6ide de amplitude finila na freqUcncia natura l do sistema. Para siS1cma~ .."sintotica menle instaveis, a resposta em freqUeneia
H(m) niio CII. iste. Para a transmissilo se m d islO~iio de urn sinal atravcs de urn siMema LCrr. a rcsposla em anlplifude IH(w)1 do sistema (\eve:<;eT conSlame e a resposla em fase L H(w) deve ser uma fUIl\iio lim:ar de w na fa ixa
de imeresse. FillI<n; ideais, os quais permilem a transmis...ao se m distot)il.o de uma ce rta faixa de freqUeneias c suprimcm todas as freqiiencias rcslantes, si\o fisicamente nao realizdvcis (nlio causai~). De fato. e irupossfvcl constmir urn sistema fisico com ganho zero [H(w) = OJ em uma faixa finit a de fregtii!ncias . Tais sis tcmaR(os quais incluem filtro~ ideais) podem scr fCali zados somentc com um atraso de tempo infin ite na resposta.
A energia de urn ~inalx(t) e igun\ a 1/21rvezes a drca sob IX( W)ll (teorema de ParsevaJ). A en ~rgia contri bu(d:a pclas componenres espcctrJis dentro de uma faixa lif (em hertz) dada por I X(wfl~f Port.""UJ.to, \X(w)f a
densi dade espcct r-Jl de energia por unidatle de largura dc faixa (em hertz).
processo de modula"iio desloca 0 espectro do sinal para freqilencias difercn tCl;. A modula"ao util izada
por \-arias raz6c!i.: para transmit ir varias mensagcns simuhaneamcntc em urn mesmo canal pam efeilo de uliliza~ao da grande largura de fa ixa do canal, para irrJdiar eficazmente polencia em urn link de rad io. pam des locar 0
especlro do sinal para freqUcncias mais ahas para superar dificuldades associadas com 0 processamen to de ~i­
nnl em baixas frcqiiEncias e pam detuar a perrnuta entre largura de faixa de transmissao e a potencia de transm issiio necessaria para transmi tir dad~ em uma ccrta taxa. Falando genericamenre. existem dois tipos de 1110dularyao, modul a<;iio cm amplilude e em fingulo. Cada classe possui diversas sub-classes.
Na pnltica, geralmen te precisamos truncar dados. A truneagcm c como vc r os dados atraves de uma janela, a
qU1l1 permi le que :apenas ccrns por~OeS dos dadas sejam vistas, ocu1tando (suprimindo) 0 restante. A tm nCllgem
abrupta de dades res ulta em uma ja nc1a rctang ul ar. a qual associa peso unitdrio aD dado dentm da jane!a e peso
zero par-J os dados rcstantes. lanclas amortecida.~, por outro lado, rcduzem 0 peso grad ual mente de I a O. A trullcagem de dados pode causar alguns problemas i []~perados. Por exemplo, na detenllina<,:Ao da tn msformadll de
Fouricr, 0 janclamento (truncagem de dades) resu1ta urn espalhamenlo espectrnl (difusao cspectr.~l ) que e caraetcrislica da ru n~1io de janeJa utilizada. Umajanela retang uJar resulta em menos espalhamenlo, ma~ ao custo de
um gra nde e oscilat6rio VU7,amen\o espectrnl pam fom da fai xa do .~inal. 0 qual decai lentamen te corn lIw. Em
com para"ao ajane la retangular. jancJas amortecidas geralmente poss uem urn es palhamento espectral maior (di(usllo), mas 0 vazamcnto espectral e menor e decai mais rapidamcn te com a freqilcncia. Se ten[armos reduzir 0
vllzamento especlral usando uma jnncJa mais suave, 0 espaJhamento espec tra! aumenta. Felizmente, 0 espal hamen to espeetraJ pode ser rcd uzido aurnentando a largura da jancJa. Portanto, podcmos obler uma dada combilla~iio tie cspalhamenlo espectral (IMguru de fui:>ia de \ransi~ao) e caraclerislicas de vazamento escolhendo uma
funliao de janela amortecida adequada com uma largurn T suticicntemente gmnde.
c
o
e
e
CAPfruLO 7
ANA LISE OF. SINAIS NO TE..\fPO CmniN UO: A T RANSFORM ADA DE FouRIER
10(0'';1
wd l ) =
4(I / T )2)
fo(a)
{
o
667
II I < T /2
caso contrfu"io
Feliz.nlE:nle, 0 latido dajanclll de Kai!;er C piOT do que sua mordida! A fu~ao 'a(x ), uma fu n~iio de Bessel rnodilieada de primeiro tipo, pode ser ca1culada de aeordo com
{. ( x)
=
L: 2~k'.
00
(
')'
,~
ou, mais simpiesmente, usandll a fun~1io o essel i (0, xl do MATLAB. De fato. 0 MATIAB supona uffia
grande variedadc de fun~Oe.s de Bessel, indui ndo fUnl,,-OCs de Bessel de primeiro e segundo tipo (besselj e
bessely), fun(lOes de Besscl modificadas de primeiro e segu ndo tipo (besse l i e bes se1k), run~Oes Hankel
(bessel h) e fun(loes Airy (airy).
o prognlOu
MS7E'3 calcula janclas d e Kaiser pam tempos I usando os paramctros T eo..
funct ion [w_K l _ MS 7P3 (t,T, alpha)
, MS7PJ.m , MATLAB Se ~ao 7, Programa 3
.. Arquivo . m de flln~ aO que calcula uma j anela de Kaiser de la rgura T usanda
.. 0 para metro alpha. Alpha t amb~m pode ser uma string identi fic adora :
\ 'retangular', 'Hamming ' ou 'Bla ckman' .
.. Entradas:
t _ vari!vel independente da fun~a o de j a nela
T _ largu ra da j anel a
al pha ~ parame tro de Ka iser ou s tring identificadora
.. Saldas:
"'_K
fun(:ao da j anela dO! Kaiser
0
•
•
K
it strm:rnpi (alpha , 'retllngular', 1) ,
alpha " 0;
elseif 5trn~~i (alp~~, 'H~ing',]I,
alDh8 " 5 .H14;
e l !J Qi f strncmpj (l'I lpha, 'Blackman ' , 1) ,
a.1"ha " 8.885;
el seif isa(alpha, 'char')
dlsp( ' Identif icador de string nao re conhecido, , )retur n
"ed
w_K'" zeros{size(tll; i '" find(abs {tl<T/2Ii
w-K (i) • be s !;e l i (0. <l lpha *sqrt (1-4 ..;; el) . ~ 2! (T ~ 2 1 ) ) /besf.:Oe li (0, alp ha ) 1
Lembre-sc de que 0. = 0, a '" 5,4414 e a. == 8,885 com:.spondem a janclas re[&ngular. Hamnling e Blackman,
respectivarnente. MS?P3 foi escrilo para pcrmitir que csses ca~os cspeciais da janela de iUliser f>Cjam idenlifieRdos peJo nome, em vel. de pelo valor a. Apesar de desnecc:ssliria. essa cllrac!erfstica com'enientc e obtida com a
aj uda do camanda atrncmpL
o comando strncmpi (51, S2 , N) compara as primeiros N canlcteres das s/rillgs 51 e 52 , ignonmdo maiusculo au minfsculo. Dc fanna mais completa. 0 MATLAB possui quatro variantes dc compara"iio de srrings:
5trcmp, s trcmpi, s trn cmp e strncmpi. As comparn~Oes sao rcstri la~ aos N primciros caraclercs quando
n estivcr prescme: mailisculo e minusculo igllOrJdo quando i cstiver prescllie. POrtanto. MS7P] idcntifil:a qualquer strin8 al pha que came~a com a letra r ou R como janela retangular. Para evitar a confusao com ajanela
Hanni ng, as Ires prime iros car,icteres dcvem coinc idir para idemificar ajanela Hamming. 0 oornalldo isa (alpha, ' char') dctenni na se alpha e uma siring decaracleres. Os docurnentos d e aj uda do MATLAB aprescn[am as OUlras classes que a comando i sa pode identificar. Em MS7P], iea e utili zado para tenninar a cxecu~!io
se uma sIring idcntificadorn alpha niio for recon hecida como urn dos Ires casos especiais.
A Fig. M7.5 mostra os Ires casas cspeciais de janelas de Kaise.- de du ~o un itana geradas por
e
»
t. '" [-0 .6:, 001:0 . 61: 1" = 1 ;
»
plO L (t. MS ·/P3 (t, T, ' r ' ), ' }.- '. t ,1157<'3 (t, T. 'h a m' ), 'k : " t,!>!S7P] (t, ,!" 'b' ), 'k--')
>,.
<o",is([-0 ,6
»
leg end!' He tangul"r' , '1I,"Trni ng' , ' Blackrr,a,,' ) :
0.6
-, 1
I,L1); x hoell't.'): yl<lbf! I( 'w_ K{t.)');
i
CAP/"ruLO 7
A NhuSI! DE S IN."JS NO TEMPO CON'TiNDO: A T RANSFOR.\lADA DE F OU RIER
669
.«I)
.t (l )
,--
e"
o
o
T
T
(. )
(b)
Figura P7.1-4
.xV)
.\'{ /l
4!----,
2
,
[)
2
(, )
( b)
Figura P7 .1-5
,--...JI
X(.)
I'
I
2
2
Figura P7.1·6
X {w )
X(w)
~~-P-~
o
cos '"
o
rr
2
(b)
(, )
FigurllP7.1-7
(e) sine « w/ S)
-
ilustra como espectros de fase difere ntes (coIn
a lI1esmo espcetro de am plitude) repres~ntam
sinais tOlal mente di fcre ntes.J
2IT)
(f) sinc(r / S) rel(t / l0lT)
7.2-2 1\ partir tla dcfmi"ao (7.gb). mostrc que a
de Fou rier de r~ t (/ - S) e ~ i n c
(ai2)e ) l"'. Iraee 0 espe!.:tru de am plitude e fase res ultante.
tran_~ rurmada
,.
7.2-3 A partir da dcfini"ao (7 .Bb), mustrc que a
tra nsformada de f ourier inversa de ret
10 )/211) e sin!.: ( Jll)e" .
«co -
7.2-4 Obten ha a [musforma da de Fourier inversa de
X(w) para 0 espcctro ilustrado nit Fig. P7.2-4.
[Diea: X(w) '" jX(W) je"4(0IJ. Esle pm blen13
7.2-5 (a) Voce pode obler It trans formada de Fou·
rier de e"'u(t) quando a > 1 ra~.en do s '"
j ro na transformada de Fourier de eG!!l(t)'!
Explique.
(b) Oblenha a trallsfonnada de Fourier de
.t(t) mOSlrado nu r ig. P7. 2-S. Voce pode
obler u lransformada de Fou rier de xCI)
fazendo .~ = j ill nessa tr... nsformada de
Fourier? Explique. Verifiqutl SLla rcspo~ta
delenninando as transfonnadas de Fourier e Laplace de x (I ).
ANALI~E DE SINAlS NO TEMPO CONTINUO: A TRAI' lSFORMADA DE FOURIER
CAPITULO 7
671
sen I
T
0
T
, -,
- 1
o
(a)
Ib)
1
COS I
o
o
71'/2
T
(e)
(d)
Figura M .3-3
,
,
- 4 - 3 - 2
2
3
4
432
2
3
4
Cb)
Figura P7.3-4
7.3-5 Prove os seguintes resultados. os quais sao duais um do outro:
x(t ) sen
I
W(Jt <==}
2}X(w - 00)
-X(w+0o)]
I
~[x(t
.I
+ T)
7.3-6 Os sinais da Fig. P7.3-6 sao sinais modu lados
com portadora cos lOt. Obtenha a transfonn ada de Fourier desses sinais usando as propriedades apropriadas da transfonnada de Fourier
e a Tabela 7.1. Trace 0 espedrn de amplitude
e fa sc para a Fig. P7 .3-6a e P7.3-6b.
- x(t - T ) J {==} X(w) sen Tw
2
Utilize 0 ullimo resultado e a Tabela 7.1 para
delerminar a transfonnada de Fourier do ~inal
da Fig. P7.3-5
3
o
- 4 -3 -2
- 1
Figura P 7.3-5
1
0,
"
'"
-. _.'
.....
- 3"
.
" ,"
Ib)
rr~V VVVvrv VVV3rr
Ie)
Figura P7 .3·6
4
CAPillJl.O 7
A,.'1ALlSa;: DE SI:>{AlS NO TEMPO CmlTiJ\1JO: A ThANSFOR MADA OE FOURIER
de um a fuu,.1I.o triangu lar de um segundo
com amplit ude de pica i guaJ a urn. Le mbre5e de que a fum; ao tria ng ular pode sex COll Stru lda pcla convolu,.iio de dois pulso~ retaogu lures.
7.M-5 Um sinal x{f) de pulso quadrado com cicIo de
trabalho do:: 113 e pcriodo To e de~rito r or
X(I) =
{
X(f
I
- 1"0/6 :5 t :5 To/6
0
TO/ f :5
+ To)
111 :5 To/2
V,
(a) Utilize a a mostragcm especlral para dete mlinar os coeticientes DRda serie de
Fourier de x(l) para To = In. Calcule c tmce D~ para (0"; n"; !O).
6 77
(b) UtiliZe II amostragem e.~pcctral para delenniuar os coeficientcs D. da sedc de
Pourier de x(t) par.. To = 1t. Calcu\c e Irllce D. para (0 .,; /I"; 10). Como esse resultado se campara com sua resposta da pIITte (a)? 0 que podc ser dito sobrc a relu,.ao
de To e D. para 0 sinal X(I), 0 qual possui
urn cicio de trnbalho fi xo de J!3?
7.1\1-6 Deternline a lrans formada de Fourier do pulso Gaussia no definido por XCI) = eO
". Trace
tanlO xCI) qunnto X(w). Como as duas curvas
podem sercomparadas? [Dica:
para qualquer a rc;:al
Oil
im;:agimirio.J
CAPITULO 8
AMOSTRAGEM: A POl\'TE E."fIRE CONTINUO E DISCRliTO
683
x(t)
X(w)
2rrB
(a)
(b)
(c )
(d)
..... xU)
,....-
....
.
w- _
2rrB
Fiilro
X(w)
,+-;/ passa-baixa
.
~'.
2rrB
o
f,
(0
(0)
Figura 8.3
B
Efeito da amoslragem pnlliea.
A razao desse resuhado se lorna aparenle quando consideramos 0 falo de que a reeonstnl(.ao de x(t) requer 0
conheci mento dos valores das amostras de Nyquist. Essa infonnao;ao esta disponfveJ uu embutida no sinal xCt)
amostrado na Fig. 8.3e porq ue a fon;a do II-<:simo pulso e x(nI). Par a provar analiticmnente esse rcsultado. observamos que 0 trem de pulsos amostrado p-!t) mostrado na Fig. 8.3c. semlo urn sinal peri6dico, pode ser desceito por uma serie trigonometrica de Fourier
00
J!r(t) =
CII +
LC
n
cos (Ilw.,l
+ tI/J)
ws=rh
0= 1
:f(I) = x(IjPr(t) = x (l) [Co + ~ Cn cos (I/Wsf + 8")]
(8.7)
~
= CoX(I)
+L
"-,
CnX(I) cos (nw,f
+ On)
o simll amostrado X (I) e constitufdo por Cw~(I), C, x(t) cos (wl + til )' C!.r(t) cos (2 w,! + 8l ) • .. Note que 0
primeiro tenno CoX(I) 6 0 sinal desejado e todos os oUlros termos sao sinais modulados com cspcctro centrado
em ±W,. ±2w" ±3w, .... como ilustrado fla Fig. 8.3f. C!aramentc, 0 sinal ;r(r) pode ser rec uperado por urn fillro
p&;sa-bai~as x (t), como mostrado fla Fig. 8.3d. Como antes, e necessmo que (0, > 4nB (auf, > 2B).
684
StNA tS F. SISTEMAS LL'JEARES
Para demonstrar a amostragem pn'ilic;), con5idere 0 sinal_T{r) = sinc~(5 m) nmoslrado pela ~eqiienci a de pulretang ulares 1',(1), aprcsenlndu na rig. 8Ac . 0 perfodo de pl.l) e 0, 1 segundo, ra l que a freqiiencia fun damental (n qual e a freqiiencia de nmo~lrage m) e 10 Hz. Logo, 6),:: 201t. A serie de Fourier parol pit) pocIe
...er des<:rita como
S(!~
~
Pr(' ) = Co
+L
..,
C w cosnw, l
0.2
- 101'1'
,
(,)
- 0,3
X(w)
,
W··
j( H /.)_
(b)
0.2
- 0.1 0
(,)
.'
,
\
,
.'
,
,
~ X( I )
'
".
....
0.3
..
\.
n,2
0.1 0
20
,
20
f
(.)
(d)
!<'iAura 1:1.4
,
Exemplo de uma amOSl:ragem pr.ilica.
Logo,
X(I) = x(t)Pr(t)
= C1 x (l)
+ Crx(f) cos lOn f + C2X(/) cos40lTI + C3X(I) COS60lTI +".
(Hz) -+
CAPITuLO 8
Utilizamlo as Eqs. (6.8) obternos C, = ! c
4
A"'IOSTRAGEM: A PONTE ENTRE CONTINUO E D ISCREfO
e"
685
= .l. se n ("") ConscqiicllIemente. temos
"" •
4'
x (t) = x(t)prCt)
= ~ x(1)
+ C1x (t) cos20lTi + C2 x ( t) cos40JTt + C).l (t) cos60nl +
I
X(w) = 4"X (w)
C]
+T
lX (w - 20lT)
+ X (w+ 40n)l +
+ X(w + 20lT )] +
G
2-lX(w - 40lT)
C,
2 [X (w - 60n)+X(w+60n)J+"
na qual ell = (2inlt) sen (llw4). 0 cspcctro e constimido por X(m) repetindo pcriodieamcme a cada 20n
radls (10 Hz). Dessa forma, nao existe sobreposil,':ii.o entre os cielos e X{ w) pode ser recuperado usando
um fi ltro passa-haixas ideal com Jargura de faixa dc 5 Hz. Urn tiltro passa-baixas ideal dc ganho unitario (e largura de fa ixa de 5 Hz) ira permitir que arenas 0 primeiro tenno do lado di reito da eq ua,<ao an terior passe complet<lrnente. suprirnindo todos os outros lermos. Logo, a safda J(I) sera
yet ) = tX(I)
EXERCicIO EB .2
Mostre que 0 pulso b;\sico p{/) utiliwdo no ITem de pulsos de amostragem da Fig. 8.4c nao pode ter area zero sc
quisermos reeonstruir x(l) fillrando (filtro passa-baixas) 0 si.nal amostrado.
8.2 RECONSTRUyAO DO SINAL
o processo de reeonstn](;ao de urn sinal em tempo continuo X(I) a p:mir de suas amostras tambem e cham~do de
iJllelpo/at;iio. Na SeI,Cao 8. 1, vimos que urn sinal X(I) limitado em faixa a B Hz podc ser cxatamente ret:onstmi-
do (imerpolado) de suas amOS[ffiS se a freqUencia de amostragcm J, ext:eder 28 Hz ou 0 intervalo de amostmgem
T for mellor do que I/2 B. fusa rceonstm",to C fe ita passando 0 sinal amostrado atravcs de um filtro pas~a-haixa~
ideal de ganho T e com larg\lfa de faua de qualquer valor entre 8 eJ, - 8 Hz. Do ponto de vista pm!ieo, uma boa
est:olha e (J va lor med iojfl = 1/2T HI. ()U Jr/T r,uIis. Esse valor permi!e pequenos dcsvios nas t:arat:terlstieas do
filtro ideal em qualquer lado da freqiiencia de. cone. Com C SS :l ,"_,,,,,!h,, .-i ... f ....qiii';ncin .-it' cortt' e 0 eanho T, 0 fi lITO passa-b<lixas ideal neeessario para a recons trQ(;iio (ou interpola,<i'io) e
H (w )
~
Tre,(-"'-) ~ Tre,(WT)
2rrj .
2:;r
(lUI)
o pnx.:esso de interpolaI,Cao aqui deserito e expresso no domfnio da freqiicncia como li ma opera,<i'io de filtragem. Ircmos examinar esse processo do POlliO de "ista do domfnio do tempo.
DOM INIO DO TEMPO: UMfI SIMPLES INTERPOLA(Jl.O
Considere 0 sistema de illlerpola,<1io mostrado na Fig. 8.5a. Comc,<amos com llm simples filtro dc interpola,<ao.
cuja resposta ao impulso c ret (Iff), mostrado na Fig. R.5b. Essa resposta c um pu1so de porta eentrada na origem. tendo altura unitaria e largura T to imervalo de amostragem). lremos determinar a safda desse tiltro quando a entrada C0 sinal amostrado x (I), constituido de urn trem de impuiso com 0 /I-esimo imp ulso em I = fiT com
for','ax(nn. Cada amostra em X(I)_ sendo urn impulso. prodnl.na S<lfda urn pulso de porta de altura igual a for,<a da amostra. Por exemplo. a Il-esima amostra e urn impulso de fnr<;ax(lI1) localizado em t = liT e pode ser deseri to por X(II1)O(l - II1) . Quando esse impulso passa atraves do filtro. ele protluz na saidn um pulso de puna de
6 88
SrNAIS E SISH.MAS LL"IEARES
Obtenha u sinal x(/) li mitado em fai xa a B Hy. e clljas amostras silo
x(O)
= I
,
x(± T) = x(±2T)
= x(±J T ) = ... = 0
scndo que 0 intervaJo de amostragem T c () intcrvaJo de Nyquist para x(l), ou seja, T", I/2R.
Como tem()i; o~ va lores de amostras de Nyquist, usa-mos a f6nn ula de im!::rpol a~ao (R. l l b) pant eonstruir X(/)
de suns amoslras. Como apcmts uma amostra de Nyquist e difcreme de zero. tercmos upo::na~ urn termo (correspondent!:: a II '" 0) no ~omalorio do Indo direi to da Eq. (8.llb). Portanto,
X(/)
(8.1 2)
= sine (21r B I)
Esse sinal 6 apresemado na Fig. S.6b. Obsen'e q ue esse 6 0 unico sinal que
Hz c
va lore~
p o~s ui
largurarlfl faixa B
amostrados .t(O) '" L c x("T)" 0 (n .t- O). Nenhu m OUlro sin al sat isfuz es.~ as condi,Ocs.
8.2-1 Dificuldades Praticas na Rcconstrw;ao do Sinal
Considere 0 procedimemo de reconstru"do do sinal i[uSlrJ.do na Fig. 8.7a. Se x{1) 6 amostrado oa taxa de
Nyq uist!, ;= 2B H:t, 0 especlf{J X (ro) cOllsisle em repeti~Ues de X( w) sem quaJquer espa~amen to entre dc1o~
suces s ivo~. como indicado nu Fig. 8. 7b. Par.! rec uperar .l;(t) de X(I). precisamos passur (} si nal aOlomado X(/)
atra\'es de um filtro passa-hnixns ideal. 1llos(radu em pontilhado na Fig. 8.7b. Como vista na Se'jiio 7.5_ lal riJ-
.<0) .......,
---l.~-I, AP10strador
!. ideal
Fillro p:I'isa-baixa ,-_'."~)_
com CQne ,i ....
x(r)
•
lBH7.
t
8 r (1)
(. )
X(m)
w,
( b)
X(m)
...
.
,
f
i
i
w,
w-
(c)
Figura 8.7 (a) RcoonstffilYaio do ~i nnl a partir de suas amos(ras. (b ) espectro do sinal amomado na taxa de
Nyquisi. (e) cSpcclro dt) sinnl amomado acim n da ta xa de Nyqui"1.
CAPiTUU> R
AMOSTRAGE.\I; A PON'JE E.'ITRE CO~I'UO F. DtSClu:.,o
689
tro C nan reali;clveL pode ndo ser aproximado apenas com um atr:lSO de tempo infinilO. Em outras palavras.
podemos recupernr a sinal x(t ) de suas am~tra~ com alrnso de tempo infinito. Uma so l u~ao pmtica para esse
problema e amoslrar 0 sinal a uma taxa superior a taxa de Nyquist (j, > 28 ou w, > 4n"8). 0 resultado X (w) e
constituido de repcliljOcs de X(w) com urn intervalo entre dcl os suces5.ivos. como ilustrado na Fig. 8.7c. Podemo~, agora, recuperar X(w) de X(w) usando urn filtro passa-baixas com uma earacterfstica dc corte gradual. mnstrada em pontil hado na Fig. 8.7e. Mas mesmo nesle casu. se 0 espectro indcscjado deve !\Cr suprirni do, 0 ganho do filtro deve .ser zero alem de al guma fn::qui:ncia (\'ejn n Fig. 8.7c). De acordo com 0 eriter io
de Paley-Wiener IEq. (7.6 1)1, e irnpos."h'e l rea lizar ate mesrna esse fi ltro. A unica vantagem, neste caso. eq ue
o fi ltro n:querido pode ~er np roxlmado com urn alra~o de tcmpo menor. Tudo isso significa que e impassivel
recuperar exatamente. nn pratiea. urn sinal X(I) [intilado em faixa a panir de suus amostra~ , mesmo sc a taxa
de nmoslragem for maior do que a taxa de Nyquist. Entretanto. qllando a taxa de amostragem au menta, 0 sinal rec uperado se aproxirna m ais do sinal desejado.
A T RA I(:AO DO A UASfNG
Existe oUlra di ficuldade pr.l.lica fundamental na 1'C<:0nslruc;ao de urn sinal a partir de suas a m~Ira.~. 0 tearema da amoslragem roi provado eonsidcrando que 0 sina l .\~l) e limi tado em fuixa. Todos (}!i sina is I"rlticos .filo
limitados 110 tempo, ou seja, des sao de duralj30 au largu ra finita . Podemos demonstrar (veja 0 Prob. 8.2-1 4)
quc urn sinal nao pode set li milado no tempo e limilado em fa ixa simultaneamente. Se um sinal c limitado no
tempo. ele nao pode ser lim ilado em faixa. e vice versa (mas de pode ser simultancamente nllo limit:ldo no
tempo c nao li mi tado em faixa). ClaramenlC:. todos os s inai s pralicos. os qu ais sao necessarinmenle li milados
no tempo. sao nao limitauos em faixa, como mostr.tdo na Fig. 8.8a. Eles possuem uma largu ra de faixa in 11nila. e 0 espectrn X ( w) e constituido por ciclos sobrcpostos de X(m) repetindo a cadaf. Hz ( a freq ilencia de
amostragem). como ilu5tr.tUO na Fig. 8.8b.' Dcvido.it largura de faixa infinita neste ca.-.o. a sobreposil;ao C1\pectral C inev ila\'l~I, independente da ta xa de amostrage rn. Amostrar cm taxa.~ mais altas rcdu )'_ mas nao elimina. a sobreposiljiio entre c iclos e.~pectrtl.is repetidos. Devido li. sobrepos i~iio das caudas. X (m) nao possui
mais a informar;ao completn de X(ro). nao sendo mais possfvel , mesmo tcorieamente. recupe nar exatamcnte
.1'(1) do sinal amostrado X(I). Sc 0 sinal amostrado passar atraves de urn fi ltro passa-baixa~ ideal com freq iii: ncia de corte 1/1 Hz. a safda n ao sem X( m) mas X.(lU) (Fig. 8. 8c), 0 qual ~ uma \'!~rs1io de X(ro) distorcida em
[unlj1io de duas eausas sc:paradas;
I. Perdu da cauda de X(W) alcm de II I > /,12 Hz..
2. ReaparecimcnlO de sua cauda invcn ida, ou dobrada, para dentro do cspectro. Note que 0 espectro Cll.l za Ila frcqiiencia/f2 :: lilT Hz. Essa freqUi!ncia e ehamada de freqile ncia dc doblYl (011 freqUene!a de
dobp,lmento). 0 especlro pode ser visto como se a calida pcrdida fosse. na real idade, dobmda de volta
para dentro do especLro. na freqiicncia de dobra. Por (:xemplo, a compo nente de freqUi:neia (jf2) + f
aparecc "personificad a" como uma componente de freqtiencia mais baixa (jf2) - f. no sinnl rcconstrufdo. Pmtanto. as eomponenlcs de freqilencia ac ima dc 1/2 reapnreccm como componcntes de frequellcias abaixo de//2. Essa inversiio da cauda. conhccida como dobramclI(v espec/lYI1 ou aliasillg, e mostrada em sombreado Ila Fig. 8.8b e tambc!rn na Fig. 8.8c. No processo de alit/sillg. nau somente exislC
a perda dc lodas as componellles de freqiieneia aeima da freqllCnda de dobrafj2 Hl.. como tambem essas mesm a~ freqUE!lleias reaparecem com componemes de freqUene ia ma is baixa, como mostrado na
Fig. 8.8b Oil K8c. Tal l/liming destr6i H ill tegridade das componentes de frcq Uencia nbnixo da frequencia de dObraJ,/2. como indicado na Fig. 8.8c.
o problema de ali(uillK e antilog-o ao de urn eXCrcito com 11m pelol1io quc secre tamemc desertou P.1 n.L 0
lado ini migo. 0 pelotao e ntre tanto, ostcnSl\'ameme leal a o exercito. 0 exercito e~la em um risco dup lo.
Primeiro. 0 e.'\ercito perdeu sell pelotao enq uan lo fo~a de ataquc. Alem disso. d urante uma batalha, 0 exercilO terti que enfrentar a sabotagem dos traidores e tera que encontrar OutTO pelotao leal para neu tmlizar os
trn idores. Portanto. 0 e)(crci tn perdeu dois pelotOes em uma atividadc nao- produliva .
c.
• A FiS. &.8b mostra que. de um numero infinilo de ciclos repelidos, 3pelUS os ciclos espearnis \";7jnhos se sobupi'lem. ~ C uma Ii_
s ura.. tJ.e a1gurna fomra. simplilicad.'l. Na rcalid:K1e. lotios os ciclos .., sobrcp/lcm e inlt:~nr com os outroS cicio!<. dcvioJo 3 larxurn in_
finiur de todos os cspec"n" tklS simUs pr.ilic05. Fdivneme. lado« us e5pcctl'05 pr.ilicos lamtrem lb..:m dcc<rir p;ar~ alias frl!qii&r<:i::rs..
I.\SO TtiUlla em um~ imM'erincia 10131 insignific-,url': dos cicio« que niio OS \'i7jnho!; imcdiat(1;S. Quando lal consilkr..,'io n!io " juSlifi_
l1.lda. OS c~kulm d~ "lit1.fi'~~ <Ie lom.1nr urn POOl'U mais compllcados.
CAPITULO 8
!
J.
A\I~IRAGE.\I: A
Po,,'TE "~'('fRE CONTiNUO E DISCRETU
693
f.
2
f./2
-,
J.
3M2
2J.
5fJ2
3j,
i-
3/.
i-
J.
(,)
t
1/,,1
f.
2
f,
3/,/2
'1/,
( b)
Figura 8.9
Frcqiiencias aparentes de lima sen6idc amostrnd a: (a)f. em fun~ao dele (b)
If .. ! = If - Ill!.!
111
urn inteiro
Vol em. funpjo def
(S.I Sb)
o gr6.fico da freg iii!ncia apareme V.I cm fun.;ao def c most r.ldo na Fig. 8.9b. t Como csper.ldo. a freqUencia aparcnle
If..1 de quaJquer scn6idc amoslrada. indcpendente de s ua fregiic ncia, esni sempre na faixa de 0 a
//2 Hz. EniretanlO. quandoI .. c nega tivo. a fase da sen6ide apa re nle sofre uma mudan.;a de s inal. As freqtii: neias nas qu ais essa mudam;a de rase ocorre eSlao mOSl roldas so mbreadas na Fig. 8.9b.
Considere, POT exemplo, a scn6idc COS (21fji .... 9) roml == 8000 Hz. amostmda a uma taxa!, == 3()(X) Hz. Usando a Eq. (8. 15a). obtcmo.~ j. == 8000 - 3 X 3000 == -1000. L.ozo.1r..1 = 100(1 As nmoslrns aparccerao c omo:\e livesscm vindo de uma sen6ide cos (200m - 9)- Observe a mudan~a de sinal na rase em fu.n~ao del.. ser negali\·o.'
A!uz do dcselH'olvimento ante rior. vamos considerar II sent'iidc de freqiiencia j '" (/,12) +f amoslrada a uma
lalla de f. Hz. Dc aeonlo com a Eq. (8. 15a).
I,
/a = 2'
+!: -
(I
x !.) =
J.!
-2
+ ~
e
Lo.go, a freqUc nci a aparentc lfJ :: (f,f2) -f:.. confirmando nosso rcsuhado lmteri or. Emretanlo. a fase da scn6idc iffi subre uma mudanc;a de sinal parquef. c negath·o.
A Fig. 8. 10 mostr.t como sen6ides com duas fn:qUencias d iferentes lamostradas na mesma talla) geram
conjuntos ident it:os de amostras . A:'i duas scn6ides sao allloSl roldas na taxa!. = 5 Hz (T '" 0.2 segundo). As
freqiienci a~ Uas duas sen6ides, 1 Hz (perfodo I) e 6 Hz (pcrfodo 1/6). difercm porf. = 5 J-\ l..
A raziio para 0 aliasing pode ser vista claramente na Fig. 8.10. A rail do problema e a taxa de amoslragem,
a qual pocIe ser adequada para a scn6ide de freqiicncia mais baixa, mas e obviamentc inadcquada para a sen6ide de freqiienciu mills alta. A figura TTJQstra d arnmente que entre runO$(ms sucessivas da scn6ide de Illni ~ alta ftcqiiencia, ellistem osci Ja~Ocs, a:'i quais siio ignoradas. nilu scndo reprcsen tadas nas amostra~, indicandO uma Ulxa
sub-N yquist de a moslrn~e m. A freqiiencia do sinal aparen tc .l~(/) e scmpre a menor frcqiienc ia passfvel qu e estll denlro da failln If I SI,12 . Pon nnlo, (l freq iicncia aparente das amoSiras deSle cxemplo c 1 Hz. Sc essas llmosIras (orem escolhida~ para reconstruir um sinal usando urn fi llro c om largura de fuixa deffl. iremos obter a sen6ir.lc de freqii encia igual a 1 H z.
' Os gr:ifi~"O$ das Fi8$. 8.9 e "1&. .5.16 silo id~nticos.Is.<;o ocorre porque a .... noidc am(~<lrada ~ b~,icallle n\e uma scnoide em tempo dis~'RIO.
' Para ~ mudaru;~ do sinal da f:!lie. CWlmos ussumindo 0 sinatllll f()rm:J. cos (21ift + 9). Se '" forma for sen (2;Vt + 9). a "'gra ml.llla urn
pouro_t deixado como "xcrekio para 0 kilOl" ITlOSlrar qut: quando L < n, cssa ;so:nnjdc aparecc como -sen (21tfJl ~ 9.1. PonanlO. ntem
mudan~a da fa.~. a IImpliwde l~mbC'm muda de sinal.
d.,
696
SINA IS E SISTEMAS LIt>.'E.\RF~~
.« I)
(a)
......•.
,
'.".
/
/
. ...
"~ . .
(b)
A
Ior.:ali~as-iio
dos
-+~,----,D-,-_D,-,--,D-'---L~'----"~_--'L~_-'~'--...J.I~_~:-",:~:~~~sat:~~~:·
('J
(d)
Figura 8.11
Sin<lis modulados em pulw. (a) 0 sinal. (b) 0 sinal PAM. (e) 0 sinal PWM (PDM). (d ) O.inal PAM.
'<I(r)
.•...
"..../.
..
'
~
.........
.......... .
" " "
..••.
.•..•..
.,.•.. ..'
..'
.......
.
•...
'
....
....
..•.•.. ...... •.II, ..... . ......
.... .............
Figura 8.12
....
Multiptexac;ao por divisjo no te:m po de dois sinais.
A grande vamagem da comunica9ao d igital sobre a comunicaltao ana16giea. e: ntTetanto, e a possibilidade
de rcpctidnras regenerativas. Em sistemas de trans missao anal6gica. 0 sinal de mensagem se toma progressiva mente mais fraco a medida q ue eie viaja ao tongo do canal (cnminho da transmissao), enquanto q ue 0 n lldo do canal e: a distor<;1'io do sina l, sendo acumuiativos, sc tomam progressivamente mais fortes . Em iiltimn
inst1lncia. 0 sinaL superado pdn ru fdoe pela diston;ao, ficara mlllilado. A ampilficar;ao c de puuca ajuda, pois
eJn im aumclltar 0 silla! e 0 ruido na mcs ma pmpnr<;1'io. ConscqUcntementc. a distancia na qua! a mensagem
ana16gica pode: seT tra nsmitida ~ limitada pela polencia transmitida. Se 0 caminho de transmissilo for suficiell-
698
SINA lS IS SISll!MAS LINEARF.5
giu.)5 decimais. de 0 a I 5. ~ chamado de r;Odigo binorio /la/uml (CBN). Pard L nlvcis de quanlizaJ,;ao. precis.1mo~ de um mlnimo de h dfgitos do c6digo binnrio. tal que 2 ~ = Lou b = log~ L.
A cada urn das 16 nlve is c associada unla palavra de c6digo de qualro digitos. Portamo, cada amOSlnl nesse
e:xcmplo 6 t;odificada poe qualro dfgilos bimirios. Para transmilir ou processar digi lalmen lc 0 dado bimirio, peedsamos associar urn pulso cMlrico distinto a cuda lim dos dois estados bimirios. Uma fomm possfvel e associar um
pulse negativo para 0 bin.m(J 0 e urn pulso positi\'o para 0 binMo J . tal que cada amostrd t, agord. represcntada
po!" um grupo de quatro pulsos hin drios (cOOi80 de pulso). como indicado na Fig. &. 14b. 0 sinal b imirio resultante ~ urn sinal digital obtido do sinal anal6gico .I(t) atravcs dn convcruio ND. No jargiio de cornunica~flCS. tal sinaI c cbarnaclo de si nal modulado pot cooigo de pulso (PCM).
A convenientc contrds-ao de "d(gilo binario" (hil/al)' dig it) para hir se tomou uma <lbre via\ao padrilo na industria e se ra adoluda neste livro.
A largura de faixa do si na l de audio e aproximadamente 15 kHz, mas testes subjetivos mostmm que a articulal;oo (inte:ligibilidade) do si nal nao ~ afetudn se todas as componentes ncima de 3400 Hz forcm suprimidas. J Co1110 ohjctivo da comunical,'ao via {elefone e a inteligibilidade. em vez da alta fide lidade. as componente.o,; acima de
3400 Hz sao climinadru; pot urn filtrO passa-baixas: 0 sinal resu ltanle enlao. amostrado a urna taxa de 8000
amostrns/s ( & kHz). E5sa taxa e inlcncionalmcnte maior do que a tax a de Nyquist de 6,11 kHz para evitar filtros
nlio reali;-1ivcis necessarios para a reconslru~1io do sinal. Cadu amo5tnl fi nalmente qunnti zada em 256 nf..cis (L
'" 256), 0 que requcr urn grupo de nito pulst'1S binanos para codificar catJa amostra (2' = 256). Ponanlo, um sinal
digitnlizado de lelef!)ne cons iste em urn total de 8 x &000 = 64,000 01.1 64 kbitsls, ncccssitando de 64.000 pulsos
binanos poe segundo para <l sua transmiss1io.
COli/pac, disc (CD), urna aplkaJ,;iio recente de aha fidclidade da coovcr;;1io AID. requcr urna largur.. de fai xa do sinal de: audio de 20 kH7.. Apcsar de ll iaxa de umostragem de Nyqnist SCt de apcn as 40 kH ~., uma 13Xa de
amostragem real de 44, I kHz e Ulili zada pcla mesma razao me ncionada anteriorrnente. 0 sinal quantizado em
urn nume:ro de nlvcis ninda maior (L = 65.536) pam reduzir 0 e rro de quanti za~i\o. As amostra<; codificadns em
bi nario s1io, agora. gravadas no CD,
e.
e
o
c
(,)
Figura 8,14 Conve rsao an al6gi co para digital (AID ) de urn sinal: (a) quan ti zar;1iO e
(b) l;odificar;ao de pulso .
• ComPO!'lC1l\e$ abaUode 300 H7, tambim podcm "". suprimidu sem afCI3r a 3f1H:ulaljlo.
CAPtruLO 8
AMOSTR AGEM : A P O:>ITE E""lll£ CONTINUO E DISCR ETO
70 l
o lco rernn da amoslragcm espectral afirma que 0 espectro X(w) de urn sio:lI x(/ ) limi tado no lempo de durayaO Tsegundos pode seTre<:onSU"ufdo das arn OSlras de X(ev) tornadas a uma taxa R nmostrasfH z, em R > T(a largura ou duraylio do sinal ), em scgundos.
A Fig. R.15a mOSlra urn sinal limilado no te mpo .t(f) c su a tnmsfomlnda dc Fourier X(ro) . Apc snr de X(w) geralinenle seT complcxo. c adequado para nossa linha de raciocfnio mostrar X(m) como uma rUII'Ylio real.
(8.16)
Conslruimos, agora. X~ ( f). urn sinal pcriOdieo formado pela rcpeti'Yao de .t{1) a eada To segu ndos (Til> 1), co" Esse: sinal peri6d it:e pode seT de serilo pcla seguinte serie exponencial de Fo urier:
mo mostrado na Fig. 8.15b.
00
Xr.(t)
==
L
D nein"'v'
2.
T,
Wu = -
na qual (nssumindo To> r)
r
n~ = ~
(. x(t)e-j~"" df = ~
x(/)e - j"""'dl
1o Jo
1oJo
A parti r da Eq. (S. 16)_ te mos que
J)~
1
= - X (/lttlo )
r"
Esse res ultado indica q ue os cocficienles das series de Fo urier para x.,~(t) sao (I/T,J vezcs os va lores d ns
.
amostras do espectro de X( w ) tomadns a intervalos de t1\.r Isso signit1ca q ue 0 espectTl) do si nal peri6dico
xl: ( r) eo espectro X(to) a mostr~do. como ilustrado na Fig. S. 15b. Desdc q ue 7;, > T. os eiclos sucessh'os de
.
X(I) que aparcee m cm x,/ /t) nao se sobrepoem e x(t) pude ser reeuperado de xrP). Tal rccu pera'Y1io 101p lica
indiretamen te que X( to) pode ser reCOllslru(do de suas amo:\tras. Essas amostra.'I sao se p.lrnd as pela frcqUentia funda rncllt alfv::: liTo Hl do sinal peri 6dico xrY). Logo, II eon di~i'io para a recllpera'Y1io e To > T.
ou seja.
fo <
I
,
~Hz
Portunto, para sermos eapa;r..cs de rcconstruir 0 especlro X (w) das amoslras de X(to). as amostras devem ser
lomndas em intervalos de frcqiianci afo < liT Hz. 5e Re a laxa de am oslragelll (amoslras/Hz), entao
-
1
t,
:> T
(8. [7)
amOstra.<J'Hl
I NTERPOLA<;:AO ES PECTRAL
Co nsidere urn sinal limitado no tempo a T segundos e centrado em T,. Iremos mostrar_ agord. que 0 cspeClro
X(to) de x(t) pode ser rC{:onstru ido das amost ra~ de X(m) . Para esse easc. usalldo 0 dual da abordagelll ul ilizada para obtermos a f6rm ulll de interp()lar;1io da Eq. (8. I I b). o btemos a formula de inle rpola~Jo espec tm,t
To:> T
(S.18)
Pa ra 0 caso da fig. 8. 15, T, = Trfl. 5e 0 pulso .t(t) estiver ce ntrado oa origem, enlao T, ::: 0 e 0 termo exponential do ex tremo direito da Eq. (8 .18) desaparece. Nesse casu, a Eq. (8. IR) fic a se ndo (l dua l ex alo da
Eq. (S. l lb) .
• E'l<a formula pude OCT <lhIida <>bservando que 3 lramJormada <k r omieT (Ie x/pJ C 211'
L. D.$(W - II I4,)
r" eja a I!q. (7.26)].
poo.:mos I'\,'Cupcrnr .[(1) de xr.(tJ multiplitando (:Sle ultimo pot rei (r - T,)lTp ' cuja tr1ln>fonnada de r'(luriu e T. sine ( w1:.n~""". L0go. X( ....)<! lnn ues aconvol~l\od~sas duas lrnnsformadas de Fourier. 0 qll!' resulta na r:q. (8. 13).
CAPiTULO 1:1
-,t
A~IOSTRAGE.\I: A P<»."TE E.'ITR£ CON"riN"UO E D ISCKETO
t
):
t
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"
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e
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0
A
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r-
-1 ~
.....
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0
•,
t
o
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70 3
704
SINAI!> Ii SI~TR1A5
LrNE,\RES
Ma~,como
,
, _ To _ f.
T
/,
I
/0=T,
_
V'
\ 0-- - - - 1 0
1
(8.20b)
(8.2Oc)
AUASING E VAZAMENTO NOS CALCULOS NUMER1COS
1\ r ig. 8.16f mOSlra a presenr;a de utiasing nas amostrdS do cspeetro X(w). Esse erro de aliasing pode set reduzido 0 tanto q uanta for desejado aumenta ndo a freqiiineia de amostrngemf. (d iminuindo 0 intervalo de amostmgem T = 11:). Entretanto, 0 nliusing nunca pode ser diminado pam .t(/) limitado em tempo. porq ue 11 espcclro X(w) nAo limitado em faixa. Se Ijvessemos com~ado com urn sinal lelldo urn espcetro X(w) limitado COl
faixa, n30 haveria aliming no espc<.:Iro da Fig. 8.16f. lnfelizmente, essc lipo de si nal seria na~ limilado no tc:mpo e sua repet i¥3o (na I--l g. 8.16c) resuharia em uma sobreposi~ao do sinal (afiasing no dom lnio do tempo). Nc:ssc caso. tcr(amos que nos eontentar com erros nas amostras do sinal. Em outms palavra.... na detcnnina~llo da
trrmsforrnada de Fourier, direta uu invcrsu. nurncricamente, podemus rcduzir 0 erro 0 quanto quisermos. m:ls 0
CITO nunCII poded ser eliminado. Isso e viilido para 0 ealcuio numerico das transformadas de Fourier direta ou
inversa. independente do nu~todo utilizado. Por exemplo, 5e detenninannos a trnnsfonnada de Fourier diretamente pela integrar;ao numeriea. u ~and() a Eq. (7.8a). existin'i. um eTTO porque 0 intervalo de integrar;ao!J,! nunca podeni se r zero. Considerar;Oe.<; simi lares se apiieam 11 eompUla~1i1J numcriea da transfonnada invers:l. PortanlO. delfemos ler em mente a natuTeza desse erro em nossos re.~ultados. Em nOS~1~ discUS50cS (Fig. 8.16). assumimos que .t(I) e um si nal limitado em tempo. Se .I"{/) nao for limitado em tempo, pre:dsarcmos Iimi ta-Io no
tempo porque os calcuios numerieos s6 podem ser realizados em dados finit os. Alem dissa. essa truncagem dc
dados resulta em eno dcvido 010 c:spalhame nto espectrnl e vazamc:nto, como diseulido na Ser;ao 7.8. 0 vazamcnto tam~m cau,o;a alia.fil/g. 0 vazamento pode ser reduzido usando umn janeJa amortecida para a trum:agem do
sinal. Mas essa eseolha aumenta 0 espalhnmento espectral. 0 espalhamento espectml pode serreduzido aumenmndo 0 tarnanho da jancla (isto C, mais dados). 0 que aumenta To. reduzindofo (liumentando a re.~ol!/riio t:specI rol ou n:.mfllr;iio em jreqiiellcia).
e
EFEITO DE CERCA DE P OSTES
o metoda de dlcu lo numerieo resulta apenas em vaiores em amostms unironnes de X( m). Os picos ou va les
de X«(I) podcm estar entre dua~ amost ras. permanecendo ocultos, dando uma fal sa imagem da real idade. Ver
amostras como ver 0 sinal e seu cspcct ro por tr:lS de uma "l."t:Tea de postes'-, com postes muito altos C mu ito largos c eolocados pr6ximos urn dos oUlros. 0 que estii escondido iltr3S dos postes c mu ito mais do que podemos ver. Tais res ultados equivocndos podcm ser e\'itados usamJo ullla qUllntidade de amostra..,.. N", suficicntemente gra nde para aumcutar a resolu~1io. T:lmbCm pode mos utilizar prcenc hi mento uulo (que sera di scUlido posteri onnente ) ou a fOnnu la de illlerpolar;ao espc:<:trai [Eq. (8. 18)1 para determinar os vaiores de X(w) entTe as alllostras.
c
P ONTOS DE DESCONTINUIDI\DE
Se x(1) ou X(w) passuir um saito de descontinuidade no ponto de amo~tragem. 0 va lor da amostra deve ser considerndo como scndo a media do~ valorcs dos dois Jauos d:l dcseontinuid:lde. pois a reprcsentar;ao de Fourier no
pontO de desconti nuidade converge: para 0 va lor medio.
DETERMINA<;AO DA T RAL'lSFORMADA D ISCRETA DE FOURIER (TOF)
Sc .1'(,(1 ) e X(ratJ sao a l1-esima e r-<!sima amostra.,. de .\"(t ) e X(w). respect i\,amente. entao dcfinimos
rilivei~
nO\~J.S
va-
x. e X, dadas por
x. :: T X(I1T)
'Iij
_ - x(nT)
N"
(It2 ia)
CAPtlVLO 8
AMosrRAGEM: A Po~ m.rj'RE CON'r fNUo E D ISCRETO
705
(8.2 Ib)
ua qu~1
2rr
WI)
(S.2Ie)
= 211"/0 = T,
lrclllO~ mostrar que x" e X, ..:stiio relaciona das pelas seguintes equa<;6cs: t
X, =
"'-,
E x"e- i'o"a
(8.22a)
.""
2rr
QO=WoT= -
N,
(8.22b)
E~~a~
equa<;OeS definem as trt7lls/ol1l1odas de Fourier Di.w;retos direta e inve~a. com X.. a tJansformada di~­
(.Tcla de Fouricr (IDFD) dircta de x.' e .t. a trdJI~1'onllada disc-rela de Fourier inversa (TOFl) de X" A IlQta<;1I0
e
e
tarnbl5m utili;r.ada para indica! que .t " e X, sao urn par TDF. Lembre que x. TrfN., VCZe.~ a ll-tsima muO!\ tr:l. de
x(t) e X, e a r-esima amostni de X(w). Conhecendo os valores das amostras de x(t}, podemos utiliza! a TDF para caleular os valore~ d1ts amostras de X(ro) - e vice versa. Note, entretanLO, que x, e Ullla fun ~iio de /1 ( /1 '" O. I.
2, .... No- I), em vez de t c que X, e uma fu n~i'io de r (r = 0, I. 2, ... , No - I), em vez de w. Entrctanto, tanto x.
quanto X, silo seqilencias peri6dicas de periodo No (Fig. 9. 16c c 8.161). Tais scquenciM sao ehamada... ~ ijen­
. cia~ periOdicas No. A prova dn rclacionarnento TDF nil Eq. (8.22) segue dirctamente dos resultados do teorema
da arnostragem. 0 sinal amos!rado x(t) (Pig. 8.1 6c) pode ser de~crito por
....0- 1
x(t) = L
Como 0 (t -
lin
(8.23)
x(nT)o(r -liT)
."""
¢:}
e-",,,,r, a lransfonuada de Fourier da Eq. (8,23) n:.suha em
.vo-J
X(w) =
E x(IIT )e- i "",r
(8.24)
.=,
Mas da Fig. S.lr lou Eq. (8.4)1, Ilea claro que no in tervalo Iwl:::; roj2. X(w), a tnmsfonnada dt) Fourier de
x (r) (! X(ro)lT. ass um indo urn aliasing neg1igcnci~ve l. Logo.
,'1.-1
X(w) = T X(w ) = T
L
x (nT)I!- J',,,,r
,, =II
.Vo - l
X,
Se
fh:enn~
-=
X(r% ) = T
L x(lIT)c.""
nk
",.,r
(8 .25)
%T == flo, collio. das Eqs. (8.20a) e (S.20b)
n
"
2
2rr
"o=<'.!.\:1 1 = 7f !oT = -
(1l.26)
No
• Nas Eqs. (8. 22a) c (~.22b)." ,omat6(io {; calculado e 0 a No - 1, E mOSlrado nn Se~a" 9.1-2 [Eqs. (9.12) e (9.13)J que n so mm6lio po-tle..,r cal,u loo" em qualllocT N. "'Diems slICcssi",os de" 011 r.
CAPITULO 8
A,\IOSTRAGEM: A PoNTE E.'lTRE COI\'TINUo E DI.SCRETO
707
Alcnt dis so, 0 intervalo de amoslragem T = Ilf. [Eq (S.20b) J e,
I
T < - 2B
(S.29b)
Uma ve l dt:lcrminado 8. podemos escolher T de ncordo com n &t. (S.29b). Nelli di sso,
I
In ==To
(S.30)
na q UlI lfo e a resolu,·iio de lreqlienciu [scpara"ao entre amostra.~ de X(w)]. Logo, se/o for dada, podemos Cl;I;Qllier Tode acorda com a Eq. (8.30). Con heccndo Toe T. detenni nnmos Ng usando
To
No = T
PREENCHIMENTO NULO
Lembrc-se de que observar X, e e() rno ohservar seu espectro X(co) alraves de lima l;ercn de postes. Se 0 in tervnlo
d e amostrdgcm em frcqilencia/ o nao for suficien tcmente pequeno, podcremos perdce alguns delalhe.'I significa ti-
vas, oblendo uma figur.! ilus6n a. Para obtennos um numero maiorda amostrns. preci ~amos redu7;irI. •. Como/~:::
l!To, urn numero maior de amostras requer urn au mc nto no valor de 7;., 0 periodo dc repeti"iio de x(r). E~sa opfillo
aumcnta N", 0 mimern dc alllostras dex(t), peJa adi"ao de amostras falsas de valor O. Essa adi"iio de ;Imostras fa lsag e chamada depreenchimemo 111110. Pon anlO, 0 preenChi memo nulo aumentao numero de amostrns e podc nos
ajudar a ohler uma figura llle lhnrdo especlroX(ro) a panir de SUilS alllostms X,. Para continuannos com nossa analogia com a cen.:a de postes, 0 preenehimeoto nulo ~ como utilizar mais postes, portm mnis fi nos.
PREENCHIMENTO NULO N AO MELHORA A PREclsAo o u R ESOLU<;Ao
Na realidade, nao e~lamos ob~ervando X(w) atraves de uma cerea de postes. Eslalllos observando uma versao distordda de X(w) resultante dn truncagcm de .l(t). Logo. devcrnos ler em mente que!(e a eeten fosse trdnsparenle, verfamos a rcalidade distorcida pclo aliasing. Ver atnn"ls de uma cetea de postes si mplesmenle nos fomecc uma \'1 sao imperfeita da realidade representada impcrfeitarnentc. a preenchimenlo nulo nos pennite enxcrgar mais amosIra>; dn realidadc imperfeita. Ele ou nea pode reduzir a impcrfei~lI.o que esta atras da cerca. A imperfei"ilo, causada
pelo aliasing, pode sec apeoas dim.inufda pcla redur.;iio do in tervalo de amostrdgclll 1: Observe que. redulindo 1~
3ument8-sc NIT 0 numero de nmoslraS e, conscqiienlemcme. au menla-se tambem 0 numero de postes e retluz-se
suas larguras. Mas, oestel:a5O, a realidade
da certa tambem rn elhorada, alem de vennos rnais dcla.
atras
e
Urn slnal ....~t) possui d ura~1Io de 2 ms e largura de faixa esseneial de 10 kHz.
freq iie ncia de 100 Hz na TOP lfo = 100). Detennine No.
E desejavel uma resol~iio de
Para lermosfo::: 100 Hz. a durar;ilo To efetiva do sinal deve ser
I
I
10
100
To = - = -
= 10 ms
c
Como a d ura~lIo do sinal de arenas 2 ms, preci samos de um preenchimento nulo por 8 ms. Alem dissu,
B :: 10.000. Logo,/. ::: 2B:: 20.000e T = l/f. :: 50 I1s. Logo.
t.
20 .000
10
100
No = - =
= 200
C APtruLO 8
AMOSTR,\GEM; A PONTI; E/I.'TR E C Ot>.'TIN UO F. O l5CRETO
709
o segundo passo e Octcrminar To- Como 0 sinal nao c limi tado no tempo, devemos tm nca-Io em To, tal
que .11To) « 1. Uma escolha razojvel c To:: 4. pois x(4) == e-3 :::; 0.000335 « 1. 0 result3do c No = T,jF 0:
254,6, 0 que nao e uma potencia de 2. Logo . e.'>I:olhernos 7;, == 4 e T = 0,0 r5625 :: 1164, resu ltan do em No::
256,0 que e uma pOli! m:ia de 2.
Ohserve que existe uma grande !1exibilidade nn escnl ha de T e 7;,. depemlendo du precisao de sejada e dn
capacidade eompUl:lcional disponf,·el. Poderfamos. por exemplo. teT e~o l hido T == 0,03 J 25. resullando cm
No'" 128. apesar de.~sa escolha resultar Clll um enn de aliasillS um pouco maior.
Como 0 sinal possui um saito d e descontinuidade em I == 0, a pri mei ra amostra (elll f::: 0) Q,5, a media
dos valores dos dois lados da de5(;ontilluidade. Culculamos X, (a TOt-1 das amostras de e-bl/(t) osundo a Eq.
(8.22a). NOle que X, C a r-e..~i ma arnostra de X(ill), e que cssas amosl ras esliio cspaqadas por fo = l l T« == 0,25
Hz. (%'" lr12 rar.Vs.)
Como X, e peri6dica com perfodo No. X,::: X(,. ~",;r tal que X2~ '" Xo- Logo, precisamos trao;; ar X, no intervalo r '" 0 a 255 (c n1l0 256), Alcm di sso, devido a sua periodicidade, X..... == X(..... 2~). e os val ores de X,
no interval0 de r= - 127 a -I sao identicos aos do intcrvulo r '" 129 a 255. Logo, X m '" X':!9' X_ I~ '"
X,»."' X_I '" X,~. Mais ainda. devido ~ propriedadc de simetria de conj ugado da Irallsformada de Fourie r.
X., '" X;, segue que X , '" X; , X_~ == X; ..... X_m = X";2li' Logo. precisamos de X, somcnte na faixa de T = 0
:I N/l ( 128 neslc caso).
A Fig. 8.17 mostra os grMicos cakulados de IXJe LX,. 0 espcctro exato e mosLmd" pchl CUl"va comfnua
para cfeito de (ompamljllo. NO le 0 ca~am cnt o quase perfeito entre os dois conjunlos de es peclros. Mostramos 0 gnUico para apcllas os prirneirl)S 28 pontOS, em vez de todos os 128 pontos. 0 que Leria tornado a figura mui lo densa, difieultando a cOmpaTlllj30. Os pontos estao em inlervalos de lITo = 1/4 Hz au £l\, '" 1,5708
mdls. As 28 amOS!r.iS, poJ111nto, mOSlrdm 0 grafieo nll faixa de w = 0 a ill = 28(1 ,5708) ... 44 radh ou 7 Hz.
Neste exemplo, j:J (onhecfamos X( ill) de alllcmao e, ponamo. pude mos fazer uma cscoJ ha adequada de
R (ou da freq ilenda de amostragem/'). Na pnhica. geralme Uie n~o conheceml)S X( ill) de alllem1io. De [a10, cssa e a grandezu que lentamos deLenninar. Ncsses casos. devemos lentar adivi nha r in teJigentemente
B ou J, a parLir de evidc ncias circun~Landais. Oevcmos. enmo. conlin uar Ii reduzir 0 ,,"lor de T e reca kuJar a transfonnada ate que 0 resultauo sc estabilize den lro de urn numero de dfgitos signiticativos. 0 pro·
grama do MATI- AB, 0 qual implement~ a TOF usando 0 algoriullo dn FFT, e apresentado no Exemplo de
Compulador C8.l .
c
t
0
I I
10
20
t
LX(w)
- 0.5
-, \
Valur"" HT
Figura 8.17
Transformada di screta de r'Ourier de um sinal exponencial e "1/(1) .
7 10
SINAlS E S llo"'1i:MAS L INf.A RES
EX EMPL O DE COM PUTADOR Cg. l
Usando 0 MAT LAB, rcpila 0 Exemplo 8.8.
lnicialmente ut ilizamos 0 comando fft do r..1ATI..AB para calcular a T DE
»
»
T_ O
»
»
X
= 4; tCD '" 256;
T > l'_O/N_O;
>
"->
t. = (O:'I': T * (N_D-l» ';
T *exp(-2 *t) ; x (l) "T ' (ex p( -2 * T _ O)+1)/2;
" f f t (x) ; :!" = ( - N_0I2:N_0/2-1J '; omega_r" r * 2 * pi /T_O ;
A transrormada de Rlurier \'erdadeira lambem e calculara parn cfcito de wmpar~ao,
On:egil .. lins pace( - pi /T ,pi /'T' ,40971 ; x"
»
1 . /(j . omega ~2 1 ;
Por simpJicidade de cOlllparalfoo. mostramos 0 c:speclm para uma fa il[a restrita de freqOencia.
s~ lot(211);
»
»
plot (omega , aba (X) , ' k ' ,omegil_r, f fts hift (ilbs (JLrI I , ' ko' ) ;
»xlabell ' \omega ') ; ylabel{ ' IXI\omega )I ' j
» ax is{ {-O.OI 40 - 0 . 01 0.51);
» legenol ' True F1" , [ ' DFT with 1'_0 " ' ,nurn2str(T_O) ,
»
" N_O = ', num2str(}LD)J,0) ;
» sub;;> lot (;212);
» p lot (o:oega, angle IX) , 'k ' , orn(!g~r , f fu; h if t (angle (X_r) ) , ' ko' ) ;
»xlilbel('\ornegil ' ) ; ylabelC' \<lngle X (\omegal ' J
» ax is([ -O .Ol 40 -pi /2-0 . 01 0 , 011) ;
» l eg eno( ' TF verdade ira', [ ' TOP com 1'_ 0" ', num2SLr(T_ O) , .
»
N_O = ' ,num2str(N_Olj , 0) ;
o.
o.
, o.
~
0
TF vcrdadeira
OFT com To = 4. N~ = 256
0
TF venladeira
OFT corn TI) - 4, No .. 256
o.
oI
0
o
5
10
15
20
,
25
30
40
w
o
'""' - 0.5
,;
"
I
-
5
Figura CS.l
10
15
2()
•
25
30
35
40
AMOSTRAGEM: A P ONTE F~'ITRE C ONTfNUO 10 DISCRETO
CAM111LO 8
711
Utilize a T DF pam enlcuJar a transforrnada de Fourier de 8 ret (t).
Estn fu n~'ao de porta e sua transrormada de Fourier sao mos tradas na Fig. 8.18a e 8.18b. Para determina r
o valor do inl.ervalo de amostragem T. devemos obler a largura de fai)[a essendal B. Na Fig. 8.lgb. vemos
q ue X(ro) deeai lenlamenle com ro. Logo, a 1argura de fai)[a essencial Be maior. Pur e)[cmplo. para B c:
15.5 Hz (97.39 rad/s). X(w) 0;:; -0, 1643. 0 qual ~ (lprmimadamente 2% do valor dc pico em X(O). Logo. a
largura de faixa es~encial esta muilo acima de 16 Hz se ulilizarmos 0 criterio de I % do valor de pica da
amplitude para a dcte rmin a~Ao ua larg ura de fui)[a essencial. Entre lanto. iremos adotar. dcliberadamente
B 0;:; 4 por duas raloes; para mostrar 0 e feito de aliasing e porq ue a utilizar;ao de B:> 4 resu ltari a e m uma
enorme q uantidadc de amOSlrdS, as quais nllo poderiamos mostrnr na pagina sem pcrdcrmos de vista os
puntos essenciais. PonanlO. iremos. intencionnlmente, aceilar a aproximar;ao para e)[empli licarmos graficamenle os conceilos da TDF.
A cscoilla de B 0;:; 4 resulta em urn interval0 de amostragem T o;:; 1128 0;:; 118. Olhando nova mente 0 ~pcc1m da Fig. 8.ISb, vcmos que a escolha de uma resolu(,;ao de frcqo8nc ia iguaJ afo 0;:; 1/4 H~ ~ rdwiivel. Tal cscolha nos fornecera 4uatro amostras em cada 16bul0 de X(w). Neste caso. Tn= II/" = 4 segundos e No 0;:; Tr/T
"" 32. A durar;ao de x(l) de apcnas I segundo. Devcmos repeti-Io a eada 4 ~egu ndos (T~ 0;:; 4). como mostrado na Fig. 8. 18c, c tomarmos amostras a cada Jl8 ~gundo. Essa cscolha rcsulta em 32 amOSlras (No = 32).
Alcm disso.
e
x" = T.r (IIT)
= ~x(nT)
Como _l{t) '" 8 reI (I). os valores de x" sao I. 0 ou 0,5 (nos po n to~ de de.~continuidade), como apresenlado na Fig. 8.18e. na qua l .r~ e mostrada como uma funr;ao tanto dc I quanta de n, por conlleniencia.
Na ohtem;;iio da IDE considerdmos que .\"(1) com~a em t "" 0 (Fig. 8.1 00) e. entao, IOmamos No amostras
no illlervalo (0, TO>. No casa mua!. entretanto, x(/) comcr;a em - 112. Essa dificuldade e rad lmente resolvida
quando perccbcmos que a T DF obti da par esse procedimenlo e, na realidade. a TDP de x. repetindo periodicamente a cada To segundos. A FIg. 8.ISe indica daramente a repet i~30 peri6dica do segmenlOx. no imcrlIulo de _2 a 2 segundos. resultando no mesmo sinal que a repeti t;ao pcri6dica do segmento x" no interval0
de 0 a 4 segundos. Logo, a TDP das am OSlras tomadas de -2 a 2 segundos e a mesma das amostrdS tomadas
de 0 a 4 scgundos. Ponalllo. indepcndente de onde .l (t) cornelia. podemos semprc tomar as amostras de x{t)
e de Stla.~ eXlensfleS pcri6dicas no interval0 de 0 a To- No easo arual. os valores da.~ 32 amoSlras sao
x.
~ {~
0,5
O ~ II~3
e
29 ::: 11:::31
5 ::: II ::: 27
n = 4. 28
Observe que a liltima nmostra esta em t =- 3l18. e nao em 4, porque a repeti" ao do sinal comcr;a em 1==4
c a amostra em t "" 4 C II mcsma da amostra em t = 0_ Temos. agora, No '" 32 e ilo = 2nt32 '" rrlJ6. Ponanto.
[veja a Eq. (8.22a»)
,
, 't-o
x(r)
n.s
0.5
(.J
712
S [NA IS E S ISTEMAS L rNF'ARE.<;
81
X(w )
w _
- 8"
-4"
-4
-2
2:;
- 2"
0
471"
8..-
2
4
f (Hz) -
' h)
x /r
- 2
-4
' e)
8
x,
f
~Exato
,.
::
\
V
:~ :
r!
f
o
-4
Figura 8.18
-2
V~ l on::s da
\
FIT
Iih:110.
\
...1'1'
...... ./ ~ J6
...
o
2
4
31
f
(H z) - -
Tmnsformada discrela de Fourier de um pubo de porta.
"
X,. = Lx"e - ;r{"/1 6)n
n =l)
Os valores de Xr sao calculados de aeonla cam essa equar;ao e mos trndos na Fig 8.18d.
CAl'iTULO 8
AMOSTRAGEM: A PONTE EI\'TlIE COI\'Ti:-luo E DISCKL'1'O
713
As amOSlr,,",~ X, eSliio separadas porlo = IITu 1-11_ Neste ca.w. To = 4. logo, a resolm. iio de frcqiJencia/u e
1/4 Hz, como desejadu. A freqOcnc ia de dobnl ef.n. = B = 4 Hz, correspondendo a r = Nrfl = 16. Como X,
i pcri6dico de periodo No (No = 32). os I'alores dc X, para r = - 16 a /I = - I sao os mesmos para r = 16 a II =
3 1. Por excm plo,XIl = X_ l~ XIt = X_w e ass.im pordianle. A TDFnos forncce as mnoslras do c:specllU X(w).
Pam cfcilo de comp~o, a Fig. R. I8d tamhtm mostra a cu rva sornbn:ada 8 sine (ai2), a qual i a 1Tan.'Iformada de Fourier de 8 ret (t ). Os valuft!' de X, calcul ados da equa<;:iio dn TDF rnostram urn crro de lliiasillg. 0
qual c clarruncnle vi~o na l."Ornparar;iio do.~ dois grli ficos sohrepOslOs. 0 ecru em X, c aproximadamemc 1,3%.
EmrclllJlto, 0 errode (Ifias/IIK aurnellla rJpidamemc com r . Porcxemp]o. 0 erro em Xc. IE apro",i madameme 12%
eo erro em XIO e 33%, 0 erro em XI' sau a.~susladores 72%. 0 c:rro pcrcc:ntual aumenta mpidamcme proximo
da freqiJencia dedobra (r= 16) porquc .l~t) possui urn saito dc dc:scominuidade. 0 que fazcnm que X(w) decaia
lentamcmc: COllI lieu Logo. proximoda frcquencia de dobra, a cauda in\'enida (dcvido aoafiw-illg) e muito pro",ima do pr6prio X(w). Alem di sso, os va lores finais sail a difcrcnr;a entre os valures exatos e os valores dobrados (os quais sao mu ito pr6ximos Jos valorcs exatos), Logo, 0 CITO perccntual proximo 11 freqiienda de dobra
(r = 16, neste caw) muito alto. apesar docrro absoluto ser mui to pequeno. Cl:muneme. para s.inais com sallOS de desconlinuidnde, 0 erro de aliasillg pr6ximo Afreqiiencia de dobm semprc sera allO (em Icrmo:> percenTllais). independentc da escoUlIl de Nrr Pam garunlir urn erro de aliasillR negligem:i3l'el em qunlquer va lor r . J evcmos g:mmlir que No» r, Es....a obsec"at,;ao IS ' 'lilida pam lotios os sinais com :>altos de descontinuidadc.
c
EXEM PL O DE COM P UTADOR CR.2
Usando 0 MATLAB, .-cpila 0 Exe mplo 8.9,
Inicialmen te, usamos 0 eomnndo f f t do MATI...AB paracalcular a TOF.
»
»
'1'_0 "
4 ; N_O = 3 2; 'T '" T_D /N_ O;
><-1". " (o!lesll .4) D,S zerO!ll1.2JI 0 . 5 ollc~n.Jl l ';
»~~ " f ft( x_n) ; r " [ - N_O / 2 : N_O/2-1J ' ; o~ega_r "
~ * 2 * pi / 7_0 ;
A trnnsformada de Fourier \'e rdadeira lamb€m i calculada para eomparm;ao.
»
omega
:i llspace (-pi/1' . pi /'i . 40971 ; x '" a *o;inc (omega /(2 *pi») ;
=
A seguir, 0 espectro IS aprc.sen lado
»fi'tll.l r~ (ll ;
1I11D;;:lul (2 , l , l) ;
»
plo~
»
:<l .. ~ lI
»
I~<]en d('T!'
»
»
3uO(. [ ot(2, 1,2 1 ;
»
"lot [Qor."'!l<l., lI/1g \ '" 00 ' 'k ' • <me<; .. _~ • f f t.r.hi f ;: (.. ng 1e 1"'_ r ll , 'i<o ' I ;
(""''''>101. ab,; ( Xl , ' k ' • = e gll_' . if " s hl
' \02eO .l ' ) ;
"
f~
tab:; (lLr) ) , ' ko ' ) ;
yllObcll ' [X (\(>lI'Iell" II " ; ,,.,,, in ~ i~hl
verdadcira', { ' 'i'_O" ', nuIl'2s t:c I'l'_OI ,.
~O
=
' , r.uIh2 "t~IN_OIJ , O);
>;.- x l .. bel{ ' \ OIr.eg,, ' ) ; yl"bcl{' \.:ln <J1e X!\O"''''l <l. ) ' ) ; "xi'.ll l 25 7.5 - . 5 3 . 5 1) ;
Ob~rvc que a nproximar;ao da IDF nl10 segue perfeilamentt: a lra nsfonnada de Fou rier verdadei ra. cs·
pecialmente em altas frc:qiiencias. Tal como no Exem plo 8,9, isso ocorre em fUil'Vilo do parJ.metro H IeI' si·
do dcliberndumenle cscolhido muito pequeno,
714
SINAIS E SISTEMAS Llr-;EARES
,
/\
6
4
2
25
20
~
15
10
5
TP verdadeira
0
~
o
LO
5
10
15
"
5
10
15
211
To = 4.No = 32
25
w
3. 5
3
2 .5
"
S
I
o.5
0
-0S
- 25
,_0
15
10
5
o
-
25
w
Figura CS.2
8.5-1 Algumas Propricdade.., da TDF
A transfonnada diserc ta de Fourier IS basieamente a transformada d~ Fourier de 11m sinal amostrado periodiea·
mente repetid"l. Logo, as propriedades apresentadas anteriomlcnte para a transfonnada de Fourier tambem se
aplieam para a TOP.
L rNEARIDADE
Se x.
¢=>
X, e~"
<=}
G" eOlao
(lUI)
A prova e trivial.
Sr METRIA DE CONJUGADO
Oa propriedace de conjugar.;50 x *(t)
~
X*(- co), temos que
x"•
+----;0
X'_ ,
(R.32a)
A paItir dc;;sa cqua<;iio e da propriedade de reven;ao no tempo. obtemos
•
x_"
+----;0
X 'r
(8.32b)
Quando x(t) creal, entiio a propriedade de sirnetria de conjllgado afinna que X*(w) = XC- co). Logo, para x" real,
Alem dissc, X, e periooica com perfodo No, logo
X; = X ~_ .
(832)
.. c
Dcvido a e,sa propriedadc, precisamos calcular apenas mctade das TOFs para x. real. A outra mctade
conjugado.
e0
D ESLOCAMENTO NO TEMPO (D ESLOCAMENTO CIRCULAR)t
(8 .33)
7 16
SII'1A IS F. SISTHIi\S LI NEARf$
Figu ra 8. 19
Descri~ao grati ca
da con\"olu(,;;Ju peri()dica.
8.5·2 Algumas Apli ca~oes da TDF
II TOF IS iitil nao apenas no ealcuJo da Irnn~ fonnada de Fourier diccla e inversa, ma.o; lambCm em oulras aplicaIjOcs. lUis como eOllvolu~ao. cOlTe l a~a(l e lillrdg~m. 0 usa do cficiente algorilmo de FFf, discul ido bre\'emelile
(Se(jiio 8.6). a toma panicuJarrnellle illleressant~.
CONVOtu(,AO LL;~ EAR
Seja ,\~t) c g(t) dois sinms a serem convoluldos. Em geral, esse!; sinais podelllier di ferelllcs dura(joes no tempo.
Pam convoluir esses sinais usando suas amoSlras. de!; de\'Cm sec amoslrados na mesma !axa (nao aba ixo da taxa de Nyquist para qualquer dos si nnis), Sejax. (0 $11 $ N, - I) e g. (0 S 1/ S N! - I ) sc rcm as sequencia.<; discrelas corres(Xlndemes que representam essas amos!r.as. Agom,
c(t ) = x (t) ,., g(r )
e se definirmos Ires seq ucncias como x" '" Tr(lIn. g. '" Tg(lIn e c. = Tc(IID. entao'
na qU1.Il delinimos 0 somal6rio de convoJw;ao linear de dua.o; sequeneias disc relas x. e g. por
x
c. = x• • g.
=
L
X,g. _i
t=- x
DeviOo a propriedade da largura da co",'olu\ao. e. existc para O:s; " S N, + N~ - I. Para scnnos capazes de
U1i li~.3r a Ifcnica dcconvolu~i\o peri6dica da T OE dc\"cmos garamir q ue a corwolu(jao peri6dica resultc no mesmo re.<;u ltado da (.'Onvolll(;ao linear. Em oUlra.~ pala\'ras, 0 sinal resu h an le da convolur;ao peri6dica dc"c Icr 0
mesmo tamunhu (N1 + N~ - I) do sinal re.<;ull:m le da convolm,ao linear. Esse pa~so pode sec obtidu ad icionando
Nl - I amoslras falsa\ de valor zero II.\'. C Nt - I amoslras fa lsa~ de valor zero u 8. (prcenehlmento nul o). Esse
procedime nlo aller.! () Iamanho de x. e 8. para N I + N~ - I. A convoll1 ~lIo peri6dica C, a~ora . idenlica 11. convolu~1I0 linear, exceio pelo fato de cIa se repelir periodicamente com periodo Nt + N"! - I. Urn poueo de reflexllo ira
mostmf que. neste ca.'iO, 0 procedimento de eon\"oJ u\ ao circular dn Fig. 8. 19 em um cicio (O:S" It S ,v, + N~ - I)
ide ntieo 11 convo lUl,;ao linear da s duns seqUencias x. e g. Podcmos milizar a T OF para eaJcuiar a convo!ur;1iox.",
R. em tre.~ pa.<;sos. mOSlrados a scgui r:
e
I. Oblen ha a.~ TDFs X, e G,. eorrespondentes aos sinais ,f. Cg. adequadamcnte preenchidos,
2. Mulliplique X, (Xl! G,.
3. Detennine a TDFI de X,G,. Esse procedimento de convolu~ 1io. quando implemenlado pclo algori lmo de
transfonnada r.ipida de r-ou rier (disculida posteriorme nte) e chamado de CO/tI"O/lIfii(} rdpida,
t
Podemos mosml1 'lIlC' c. _ lime ",.r•• It" Como T .. n na p~lica. c~iSlir.l algum erro nessa eq u:u;iio. "-= erro c inen:nte a ,':!rios nIClados n\tn~ricos util izatlus pm:! ca\cular a corwolu<;ilo <Ie sinais em tempo conlinu".
7 18
SIt{AIS E SISTIOMAS L II'EARES
Hi obtivemos 32 pontos da TDF de.x( t) (veja a Fig. 8.18d). A seguir. mu1tiplicamos X, por H,. Para obtermos
0 1Ilf'""~1TI'.' vHlor de.f" = III. ulili7.ado na dctcrmimlo;'.!io uos 32 pontos da TDF de .t(t). Como X,
possui periodo 32. H, lambem deve ter pcrfodo 32 com amuStnlS separadas por 1/4 Hz. Esse fato significa
que If, deve ser repetido a cada 8 Hz ou 161"1: radis (veja a Fig. 8.2Oc). As 32 amOSlras rcsultantes de H, no
inteJ"\'alo (0:$ (J):S; 1611") ~o mostrddas a seguir:
H, . U!il i 7nmo~
H,
~ {~
0,5
O::;:r::'-::7
9::;:,.::.-::23
,
25::.-::r::;:3 1
1"=8.24
Mul tiplicamos X, pm H,. As amoslras do sinal descjado Y. suo obtidas pcJa TDF inverSIi de X,H,. 0 sinal
de saida resultante 6 il ustmdo na Fig. 8.2Od. A Tabela 8.2 apresenta 0 valor das amostras de x. ' X" H" Y, e Y.'
Tabcla 8.2
N!!
x.
X,
H,
X, HT
y.
0
8.000
8,000
O,92S5
3
7,179
5,027
233 1
UlO9
2
7. 179
5,027
2331
4
0,000
0.000
- 1,323
-1,497
-0,8616
-1.323
- 1,497
- 0,8616
5
6
7
8
9
10
Ii
12
13
14
15
16
17
18
I'
20
21
22
23
2'
25
2.
27
28
29
10
31
0.5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,5
I
0,000
O,5S03
0,6682
0,3778
0,000
1
I
0.5
0
0
0
0
0,000
0.000
0,000
0,000
0,000
-0.2 145
- 0.1 989
-0,06964
0
0
O,O{)()
0
0.000
0
-0,06964
-0. 1989
-0.2145
0.000
0
0
0
0
0.3778
0
0.6682
0,5803
0
0
0.000
0.5
1
1
0,000
0,000
0,000
0.000
0,000
0,000
0,000
0.000
0.000
0.000
-0.86 16
- 1.497
-1.323
0.000
2.33 1
5.027
7,179
O,]](){)
-0,86 16
- 1,497
- 1.323
0,000
2.331
1
5,027
7, 179
1.090
0,9123
0.4847
0.08884
- 0,05698
- 0.01383
0,02933
0,004837
- 0,0 1966
- 0,002156
0,01534
0,0009828
-0.0 1338
-0,OOO2S76
0.012&0
- 0.0002876
- 0,01338
0,0009828
0,01534
- 0,002156
- 0,01966
0.004837
0.03933
- 0,01383
- 0,05698
0,08884
0.4847
0.9123
1.090
1,009
720
S!/'JA!S C SISTf~\1AS LtNf..A kf.5
C OMO A FFT REDuz 0 N UMERO DE CALCULOS?
E fadi entender a magica dn FFr. 0 segredo e~ta na lilleandade dn transfonnada de Fouriere, uunbCm. da TDE
Devido 11 Jinearidtlde, podemos ca!cular a transfomlada de Fourier de urn sinal .t(t) eomo a soma das lransformadas de Fourier de segmenlOS de ..-(t) de durd~ao rnais curta. 0 mesmo prindpio se aplil:u ao calculo dn TDE
Considcre urn si nal de comprimen ro No "" 16 amOSITaS. Como visto anleriorrn cnte, 0 c('\lcu[o dD TOF des~ll seqUencia requcr N~ "" 256 multiplil:a-.5cs e NJ..Np - I) '" 240 ad i~Oes. Podernos dividiressa ~cqiiellcia em seq Uendas mais cu rt as. calla uma de tnmanho 8. Pard cakular a TDF de l:lI.da urn de'SSes segmenlOS, precisamos de 64
multi plica!fOe.~ e 56 adi~6es . Portamo. predsamos de urn total de 128 lIlultiplica~i'ics e 11 2 adi,<Oes. Suponha que
tenhamos dividido a ~iienci a orig inal em qualm segmen tos de tamanho 4 cad a UIl1. Para calcular a TDF de radu segmenlo, precisaria mos de 16 mult i pl ic~6es e 12 ad i~Oes. Logo. precisarfamos de um tOlal de 64 multiplicaljOes e 48 adi~Oc:s, Sc di v idinno~ II sequencia em oilo scgmentos de tama nho 2. precisaremus de 4 mu ltiplicaC;6cs c 2 adic;flCs para cada segmento, IOtalizando 32 IllUltiplica,,6es e 8 adi,,6es. Ponama, romos. capazes de redu~Oes 0 TIIJmCm de mulliplica¢es de 256 para 32 e 0 numcm de adiC;Ocs de 240 para 8. Alem dis so, :l!gu ma.~
dcssas llllllliplic3'<OcS silo por I ou ~l. Toda cssa fant:\stica cconomia t:1ll nUll1em de dlc ulos 6 realizada pela
FFT sem qualquer aproximllqilo! Os va lores oblidos prla A-T sao idcllticos aos obticios pela TOE Nestc excm·
plo. iremos considerar um v(llor relativamente pequeno de Nu '" 16. A n:du,<iiO em Ilumcro de calculus muito
mais drastica para alios valores de Iv",.
o algori lmo de FFT e silllplificad o se escolhermos Nn como sendo uma palenci a de 2, apesar dt: ta l c sco!ha
nilo ser cssenciaJ. Pm conveni ~ncia. dcfinimos
c
(8.37)
tal que
0\'.-1
Xr =
L :rw IV,~:
O.:::r':::No~ !
(8.38(1)
.d>
,
O::::" :5 No ~1
(RJ'b)
Apesar de cxisfirem varia~ varia~Oes do rugoritmo de Tukey -Cooley, cles podem ser agrupados em dois lipes
biisicos: decim(1t;iio em tempu e decimar;l/Oem freqUh lcia.
o ALGORITMO DE DECIMA(AO EM T EMPO
Neste casu, dividimos a seqii<!ncia de dadns x~ com No pontos em du as st:qU encias de (N,J2) pontos constilu (das
de amostras de nume ros pares e fmpares, respectivamcntc. COillO mustrado a segui r:
.
.\ '0.
x!. x~ . .... .\) ' 0-1 .
•
'
"",~ia 3.
.
.
X I • •r ) • .1:5 •• . •• .1:"'0 _1
""I~'
,..
Emile. da Eq. (8. 3&1),
( ....~fll -l
X, =
"L
(No{l) -I
:rz." 'V....~,"
0 + L
X2n + 1
,VN,(!Jr ~ t "
(&.39)
AII!Ol disso, como
(8.40)
722
SINAIS E SI STEMAS LINEARES
Xo
X.
GO
x,
X,
NO'" 4
C,
.',
"'0 = 2
OFf
'.
X,
A,
X,
W,
DFf
x,
X,
G,
x.
C
•
w~
x,
x,
H,
x,
'.
No - 2
DFT
X,
H,
wi
x,
B,
w~
.',
No = 2
OFf
X,
No = 4
x,
x,
"
II ,
~IV&
X,
"
- Wg
Df'T
X.
"2
- lVi
X,
h
- IV~
H,
x,
X.
- W~
No" 2
OFT
.\"7
- Wi
,,)
,b)
,'"
"
x,
X,
- I
X,
"
'.
-I
X,
- Wi
x,
.',
X, ~----~'-~'-~~->'i--,t'-----'"-_.,'"'~ X6
•
" ?'-----,.'''''-----~0¥'-----------~0 x,
- j
- I Vij
(c)
Figura 8.22
Passos sucessivos em uma FFf de S pontos.
-IV~
- IV~
X,
730
SJNA!S E S I ~-rEMA S L II\'EARllS
AS
[Nota: Em varios problemas, os gnificos do
espectro siio mostrados como fu ll(fOcS da freqUcncia f Hz por conveni!ncia, apesar de os
r6t ulos dos ci);.os se rem em fu n ~Oes dc W, co.
mo em X( w), Yew) , ctc. 1
amostragem para esse sinal de fonn a que a
PO~110 nao corrompida da fai)(3 possa ser TCcu perada. Se tivcrmos que fil tra r 0 especlTO
eorrumpido an tes da amos trage m. qual seria a
me nur taxa de amos trngem?
8.1-1 A Fig. P8.1-1 rnos lra 0 espcetm de Fourier
8.1-6 Urn sinal x{r) = .o.«(t - 1)12). em tempo conti·
dos sinais xl(t) e xir). Delermine a laxn de
nmoSlragem de Nyqu ist para os si nais xl(l),
nuo. CanlOslrado com tres taxas: 10,2 e I Hz.
Tr,u:e os sinais amostrJdos re.~ultaDtcs, Como
..1'(1) e limi tado no tempo, sua largu ra de faixa
infinita. Entretan to , gran de parle de sua
energia csni concentrada em lima J)e4uena fai xu. Voc£: pode delcrminar a menor taxa de
amoslragem rnzo:1vd que ira permitir a recOnstru1;llo desle sinal com urn peq ueno erro?
A re~posla n~o uniea. Fa~a uma considera~llo rawavel do que voce define como sendo
om eITo "negJigenekivel" ' ou ·'pequeno" .
-"~ttl. '~I\I). x;(I) e XI(t~~l(t).
IU-2 Delerillinc a taxa de nillostragem de Nyquist e
o intcrvalo de amostmgem de Nyquist para os
si n 3 i~
(a) sine 2 (lOOm)
(b) 0.01 sinr? (lOO;rt)
(c) sinc(IOOn t)+ 3 sine" (60rrl)
Cd) sine (50:r 1) sine CI OO;r I)
S.1-3 (a) Trace lX(w)l, 0 espec:tro de am plitude do
sinal.t{t) = 3 cos 6m + sen 18m + 2 cos
(28 - £)m, na qual If IS urn 1II1mero muito
peq ueno --t O. Detennine a taxa de amostrogem mfnima neeessfu"ia para sennos eapazes de reconstruir x(t) dessas amOSlrJ.s .
(b) Trut.'e 0 espeetru de amplitude do si nal
amos trndo quando a taxa de amostragclll
25% aci ma da taxa de Nyquist (rnOSlre
apena~ 0 espeetro de freqiiencia na faixa
de ±SO Hz). Como voce reconslruiria .r(I)
dessas amostras?
e
8.1-4 (a) Oblenlia 0 teorema da amostragem consi·
de rando 0 fato de (j u~ urn sinal amO~lrado
x(t) '" .nOS-rtl) e usa ndo a propriedade de
c()nvolu~l\o no tempo da Eq. (7.43),
(b) Para urn trem a nl1lostragem conSli1Ufdo
d~ im pul sos unitario s deslocados insmotes II T + rem vez de em /I T (para valorcs
inleiros positivos e negativos de /I), determine 0 espectro do sinal amoslrado.
8.1-5 Urn sinal e limitado em faixa a 12 kHz. A faixa en tre 10 e 12 k Hz foi tilo eorrompida por
mido (jue a infonmurao IIcssa banda nao pode
ser recuperada. Determine a menor ta)(a de
o
Figura PS.!-I
271 X 1O~
c
e
8.1-7 (a) Urn sinal x(1) '" 5 sine! (5 111') + cos 20m IS
amostrndo a uma taxa de 10 Hz. Obtenha
o espectro do sinal amostrado. Pode .T(t)
ser ret:On~trufd o pela filtrllge m passa-bai.
);.as do sinal amostradn?
(b) Repi ta a pilrte (a) para uma freqUencia de
alliostmgem de 20 Hz. Voce pode reconstruiT 0 sinal de suas arnostrJs? Exp lique.
l
(c) Se -'~t) '" 5 sine (5m) + sen 20m. voce pode reeonSiruir x(t) das amostras de x(t) a
ullia ta)(a de 20 Hz? Explique sua re.~posta
com a(s) represcnta~(i'ies) especrral(is).
l
(d) Para :I"(t) = 5 si ne (5m) + sen 20m, \-ott
pode reconstruir x(t) das aIllOSIra!l de .1(1) It
uma taxa dc 21 1'17;? Exp!ique soa resposta
com a(s) representa~l\o(Ocs) espc:etral(is).
Comente seilS resultados.
8.1-S (a) A mais aha freqiiencia no CSpeclTO K( ill)
(Fig. P8.1-8a) do sinal pa~sa-fnix a x(r) c
30 Hz. Logo. a men or freqUcnda de
umostragem necessaria pam umos trar x(l)
IS 60 Hz. M ostre 0 espc:clTO do sinal
amoslrado a uma taxa de 60 Hz, voce pode reconslru ir x(t) a pani r dcssas 3m().~­
trJS? Como?
o
CAJ>lWLO 8
8.2·4 No texm. pam ercito de alllostrJgem. milizamos pulsos estrdtos limilados no tempel. tal
cornu impulsos ou pulsos rctrmgulot res de lotrgum menor do que 0 inltrvlllo de amos trngem
T. Mostre que nao c necessoirio restringir a largura do pulso de amostragem. Podem()~ ulil izar pUlsos de amostragtm com d\lr~lI;:lio arbi·
traria menle grande e, ainda assim, sermos eapazes de reconsuuir 0 sinal l~t) desde que a taxa de pulws nau scja menor do Que a taxa de
Nyqui st parn .t(/).
Considerc .\"(t) como sendo limitndo em faixa
n 8 Hz. 0 pulso de amostragem a ser utilizndo
n exponencial e-"(I). Multiplicamos x(t)
por um tre m peri6dico dc pulsos ex ponenciais
na fomHl e.....U(I) espa",ados T segu ndos. Ob tenha 0 espec tro do sinal amosl rado c mostre
que X(I) pode ser n::eonstmido a panir des!;c
sinal amostrado desde que a taxa de amostra gem nllo seja menor do que 28 Hz, uu T <
1128. Explique como voce reconmuiria .tit)
do sinal rullostrado.
c
8.2·5 No Exemplo 8.2. a amosrmgelll dosinul .\"(/) foi
I"c alizada multiplicando 0 sinal por urn trem de
pul~JS pAt). resultando no sinal amostrndo
moslrndu na Fig. SAd. Esse pmcedime nto c
chamado de wnostmgem !la/uml. A Fig. P8.25 Illostra a chamada amosTragem de topo pial/I!
du I1lcsmo sinal xC,) == si n,? (5m).
(a) Mo~tre que 0 sinal xC' ) pode ser rceupc ra·
do das amostras de IOpO plano ~e a la~a
de amos tragem nao for mellor do que a
taxa de Nyquist.
(a) 8 Hz
(b) 12 Hz
(c) 20 H"I.
(d ) 22 H7.
(e) 32 Hz
8.2·7 Uma sen6ide de rreqUcn6afo desconhecida e
amostrada a lIllla taxa de 60 Hz. A fregUencia
aparente das amostras e 20 Hz.. Determine!.,
.'ie soubermos quefu esta na fain
(a) 0-30 Hz
(b)
3~0
Hz
(c) 60-90 H7.
(d) 90-120 H ~.
8.2-8 Um sinal.t(l) = 3 cos 6m + cos 16m + 2 cos
20m C aillostrilda a uma taxa 25% acima da laxa de Nyquist. Trace 0 espectrodo sinal amos·
trado. Como voce reconsuuiri a X(I) a partir
destas amostras? Se a freqUcncia de amostra.
gem for 25% abaixo da taxa de Nyq uist, quais
serlio as freqUenci a.~ das sen6ides pre$Cn!es na
safdn do filtro cuja freqUencia dt cone igual
a frcq Ucncill de dobra? Nao t~reva a salda.
simp[csmenre fom~a as frequencias das scn6i dc pre$Cntcs na safda.
c
8.2·9 (a) Momc que 0 sinal x(t). recon stru ldo de
suus al1l ostras x(n.n, usando a Eq. (It 1t u)
possui lurgura de faixa B ~ 1/21" Hz.
(b) Mostrc que X(I) e 0 sinal de menor largu.
ra de faixa que passa mraves das amostrJS
x{n1). {Diea: utili ze 0 metodo redUCTio ad
absurdulII.]
8.2-10 Em sistemas de eomunical,;ao digital.
':.
, .[(/)
.,. "'. ,
- 0,3
\. ,.
" ,
-
0.2
Figura P8.2·5 Amostras de topel plant).
-0, 1 0
(b) ExpJique como voce rccuperarin X(I ) das
amos trns de topo plano.
(c) Obtenha a expresslio para 0 es peclro do
sinal amos tmdu X ( OJ) e obtenha um rnscunho dela.
8.2·6 Uma scn6ide de freqUenciajo H:f. t! a1TIOSlraua
a uma ta~af. == 20 Hz. Obtenha a freq Uencia
aparente do sinal amostrado sefo for
733
A M OSTRAG EM: A PO"TF. FNrRE CONTiNUO E D rSCRETO
u:.o
e fi eiente da targu m de fai xa do canal e garnnt ido pelll transmissao de dados digitais
codificudos atHlvtS de pulsos de iargura de
faixa timilada. Infelizmenre, pulsos de larg ura de faixtl limitada nao sao limitados nu
tcmp o, ou seja. eJcs possuem dura"ao inJin i·
ta, 0 q ue luz com que pulsos represe ntando
dfgilOs sucessivos imertiralll e cansem erro~
na leitu ra do valor verrladciro do pu[so. E~sa
di fi cu td ade pode ser resolvida formatando
urn pulso ,>(r) de lal fonna que c 1c scja limilado e m fai xn e. mesmo m;si m, cause imcrferenc ia zero nos instn ntes de amoslragcm. Pa·
ra trans miti r R pulsos por segundo, prccisa'
1ll0S de li ma largura de faixa de, no mini mo,
RI2 Hz (veja 0 Peob. 8.1- 10). A largura de
fa ixa de p(/) deve ser RI2 Hz e SLiUS amostrus,
de forma a nao ea u~urem interferencia elll
todos os o Ulro~ instantes de amostragClll. de·
\'em satisfu:f.er a condi",50
CJ
734
SINAIS E SISTEMAS LINEARES
{~
p (lIT) =
11=0
II :F 0
,
X(I )
Como a taxa de pulso c R pulsos por segundo.
os instante.~ de amostrage m estao localizados
em intervalos de I/R segundos. Logo. a eondi"ilo anteri or garan tc que yualqucr pulso m'io
ini interferir com a ampli tu de de qunJquer outro pulso em seu centro. Obtenho. pet). Tal 1'(1)
un ieo, no sentido de que nenhum O'Jtro pulso sntisfaz a eondi,<ao duda'!
e
8.Z-11
Mostre que
T=R
p (lI T) =
{~
11 = 0
I
T=-
R
Mostre que essa eanwr;ao ~ sat isfei to. ~omen­
t~ sc 0 especlro p ew) do pl1ho possui si metria
fmpar com rela!tao au cunjunto de ei xos pontilhados como moslnnlo na Fig. P8.2-1 1. A
la rgura de fnixa de p(w) kR/2 Hz (I S k S 2).
e
8.2-13 Um sinul limitado em faixa a B Hz 6 amoSIn!do a uma taxaj, = 2B Hz. Mustre que
1/
/I
#- 0, I
1"
x(n T )
=-'2B-
g~ava sinai~
de 4udio
digitalmente atravcs de urn dKlig a bin:lrio.
Presu ma que a largura de fnixa do si nal de audio de 15 kHz.
(a) Q ual a wa de Nyquist?
(b) $e as alllostra~ de Nyquis t forem quant izadas em 65.536 niveis (L = 65.536) e.
eOl rlo. codificada;; Cill bimirio. qU ill 0 nu mero de dfgitos bimUios nccessrul M para
eodifiear uma amostra?
e
0.5
Hgura P8.2-U
_00
8.3-1 Um compacTdisc leO)
~ r--------~~P(w)
o
-X>
8.2-14 Prove que urn sinal nao pede ser si multaneamente limitado no tempo e limitado elll faixa.
JDiea: mostre que a oonsidera"an cuntrario. leva a uma contradi"aa. Prcsuma que urn sinal
possa ser simultaneamente limitadO no tempo e
li mi l3do em fnixa. tal que X(w) = 0 parJ l~ 2:
2trB. Ne.~le casu. X( ait = X(w) ret (ca'4nB ' ) par.. rr > B. Esse fato significa quex(t) c igua! a
.\~t) II' 2B' si ne (2trlJ't ), 0 gual nau pode ser li mitada no Ic: mpo porque a fu n~au sine se estc:nrlt:
au infinito.]
= 0,1
todo
00
JD ica: utilize a propricdade de ortugonaiidade
da fun"rlo sine do Prob. 7.6-5.]
8.2-12 As amostras de Nyq uist de urn sinal .(1) limitado em faixa a B Hz s30
{~
( 00
1_ x(t) dl = T L
e
x(nT ) =
si nc (:br B t)
I 2BI
Esse pulso. chamado de pulso duobiliOriO,
mi lizado em apliea~Des de transmisdo d igittlJ.
o
problema de imerferencia de pJlso em
Ir.lnsmissao digital de dad~ foi apresc ntado
110 Prob. 8.2- 10. no qual oblivemos uma forma de polso p(/) para eliminar a interiercncia.
infelizmentc, 0 pulso obtido e nlin apenas nao
cnusnl (c nao ~ca1i l:iiYcl). mas tnmbe," pass u;
um serio probh:m a: devido no se ulelllo dceaimenta (par lit). e le lende a severo.s inrerfereneias dcvido a pequenos desvios panltnctricos.
Para faze-Io decair rapidamenle. Nyq'Jis( propOs relaxar a condi!tilo de largura de faixa de
812 Hz para kRI2 Hz.. com I :S k s: 2. 0 pulso
ai nda deve atcndc r a propciedade de n.io intcrferencia com oUlros pulses. por exemplo,
=
R
"2
e
CAPiTULO 8
J\.\10STRAGE"I: A PONTI.: F,/\'TIlE COl\'TfN UO E DISCRETO
Comenle ~e a fun~ao dc jancla aj udou ou
mnlpalhou a amilise.
8,1\1-5 Rc:pita 0 Prob, 8,M-4 u'mndo 0 sinal comple-
. -I J
:c.O\\I1
=
5.J"2'-•
.W100
1 +~n .-.!,VlOO + 0,
e
.
8,M-6 Este problema inves tiga a ir.lc~ia de preenchimenlo nulo aplicado no dominio da freqii encia. Qu:ando solicilado. tnlce a magni tude da
T DF dc lilmnnho N cm funf,:ao da frequ encia
/,. na qual!,. = rlN.
(a) No MATLAB , erie um vctor x que cnn h~m um perfooo da sen6ide xlII] '" cos
«JV2)11). Trace 0 r~uhado. Quin "senoitlnl" 0 sinal pa rece ser'!
(b) Ulilize 0 comnnllo ff t para calcular a
TDF Xdo velor x. Tracc a magnitude dcs
coeficientes dn TDF. Eles fazem sentido"!
(c) Preencha com zeros 0 ,'elor da TDF pard
ubter um velor total de lamanho 100. inselindo 0 mlrncro apropriado de zeros no
melo do \'eLor x . Chame essa ~cqiiencia
prce nchida com zeros de y, Por que o~
zeros sao inseridos no melo, em vez dc
737
no li m? Calcule a TDF inversa de y C
trace 0 result ado, Quai ~ si m ilari dades
exiSlem entre 0 novo sinll l y c 0 sinal
original x? Quais sao as difcrem;as entre
x e y? Qual 0 de iltl do preenc himento
nulo no domfn io da frcqiiencia? Quao si,
mila r e esse tipo de prccnehimcnto nulo
110 preenchi mcntll nulo no domini o do
tcmpo?
(d) Obtenha uma modificar;an gencrica ao
proccdimcnlo de prccnchimemo nulo no
dominio da freqiicncia par.! gamntir quc a
amplirudc do sinal resultante no domfnio
do tempo fique inaltemdo.
(e) Con ~idcre urn perfodo tla onda quadrad.-!
de.~LTita pelo vetor de tamanho 8 e igual a
11 1 I I - I -1 - 1 - I], PreenchaL'Qm :£eros
a TOF desse vctor de tal forma que 0 Lamanho fiquc sendo 100 e chanJe 0 res ultado de S, Escalone S de acoruo com a pane
(d). calcule a TDF inversa e Irace 0 rcs ul lado. 0 novo sinal S[II] no domInio do
tempo sc parcce com UIlUI enda quadrada?
Explique.
746
S L><AIS E S I ~IEM"S
LL'<EARES
Esta eq ua~Iio e uma progressiio gcometrica com rariio comu m e~~1IIl6-"". Ponamo (veja a Ser.;:ao (B.7-4)),
_'_ ) e-J(IU1rT/ 16) [C"-j(~.5"'/16) _ eJ H.J"' / 16)]
(
32
e -/I~'1l 6J
[e
t'i(O.JxT/16)]
jI0.5... /161
(4.516")
,)"0(
32
sene,::r)
(9. 19)
,
• ) .eo (4,5,-'1,)
(
=
32 ~en (O,5r ~)
r2o = -
.6
ESle especlro (com sua cXlensao pen (il.hca) t IllOSlrado na Fig. 9.2b:
EXEM PL O DE COM P UTADOR C9 .1
Repita 0 Exemplo 9.2 usando 0 MATLAB.
» !C O" 32; n = (O ,N_ O-I);
» x _ n" [oneall,S) zeros/l,2)) ones(l,4)];
»
Eo"t" r = 0 , )1.
»
X_r(r~l) = sum(x_n.~exp(-j . r · 2 . pi /N_O . n))/32 ;
» "'fld
» subplot(2,1,1) ; r = n; stem(r, r ea l(X_ r), ' k');
» xl abe l ('r'); y l ab e l( ' ~r'); a xis( l a 31 - . 1 0.3);
» legend ( 'S FTD per ealcule direto' ,0);
»
X_ r a fft(~fl)/N_ O ;
» subplot(2,1.2); stem(r.realOLr),'k');
»xlabel('r'); ylabel( ' lLr'); a x is(IO 31 - . 1 0.3J);
» legend ( 'SFTD pela FFT '. 0) ;
• Estri lumente fabndo, a f6rmula de somal6rio de: progresS/;o &"",""tri ca se aplicasomcme ~ a raz!o COmum t·J,*m, .. 1. Quando r= 0, ~~_
S~ mZlloe uniliiria. Logo, n Eq. (9.19) c vMida pant valores cit: r .. o. Pam caso de r = O. 0 somal6ri o da Eq. (9. 1~b) ~ dado por
,
°
nLx [nl = n
.~
Feli-.;menle ,O >-alor<le
Do ca]culadu a panirda Eq. (9.]9) tambCme 9 .32. Logo, a Eq. (9.] 9 ) i
wlida plII1I lado r.
CAPITuLO 9
oJ
o.2
:.t o.1
0
ANALISE DE FouRIER DE SINAIS E,\! TEMpo D ISCRETO
747
o SFITI por
calcu lo direlO
.,
II
.. 0' ..
'll
,
-0. 10
10
,
IS
li,
20
,j,
I
30
2S
0.3
10 SFTD pela wrl
02
~.
0.1
0
- 0.1
II
0
'jl
,
.,
JO
""
0'
IS
,
.. 0"
20
I
"Ij'
"
30
l<'igura C9. 1
9.2
REPRESENTAt:;AO DE SINAL NAO PE IUODICO P£LA INTEGRAL DE FOURIER
Na Se~ao 9.1 . reprc~cnlamos sinais peri6di(.:os pda soma de exponell(.:iais (de d llra~iio infinita). Nes ta se~1I0. ire"
mos estendcr csta representayao para sinais nao pcri6dico5. 0 prOl:edimen to c conceituaimente identieo 010 utilizado no Capitulo 7 para sinais oontfnuos no lempo.
Aplicando 0 proccsso de li mite, podcmos mOSlrar que urn sinal nlio peri6dicox[n 1 pode ser descrito pela soma continua (integral) de exponenciais de dnraljllo intinita. Para repn!sen lar urn si nnl n1l0 periOdicoxlnl, ta l como 0 rnu~ lrado nn Fig. 9.3a, por sinais exponenciais de dnr~J'io infinita, vamos eo nstTlIir mll novo sinal peri6dieo XNO [II ] fonn~do pela repetiljiio do sinal X[II] (I cada No unidades. como mostrado na fig. 9.3b. 0 pcrfodo No
fcito gr.tnde 0 suficicnte para evitar a sobrcposiljao entre os cicJos rcpetidos (N~ ~ 2N + I). 0 sinal periOdico
l ;."in] pode ser rcpresen lado pela serie exponencial de Fourier. Se fi:r.ennos No ~ "". 0 sina l .rf ll] se repetirA ap6s
um intcrvalu infi nito e. portanlo,
e
Logo. a scrie de Fourier represcntando .\".~ol nl t3mbc!m ir:i represenlar x(n J no limite No ~ "'. A serie ex polrencial de Fourier para x~[ " J e dada por
XNO[II] =
L
'D,e j ,f4,1o
2rr
no = -
, _INnl
N"
(9.20)
naqu al
(9.2 1)
Os Jimiles para {) somat6rio do lado direito da F..q. (9.21) deveffi ser de-N aN. Mas, co mox[n ] = 0 para 1111 >
N. nao ha problema se os limi te.~ forem de ....... a "'.
E inleressamc observar como a natureza do espcclrO mnda quando No aumenta. Para compreendcr eSle comportamento. vamos definir X(n), urn a ftmljao continua de n, como
00
X(n);::
L: x [nJe -jO~
•• -:<:
(9.22)
750
S INA IS E S ISTEMAS L1NEAKES
SIMETRIA DE CON JUGADO DE
X(Q)
A panir da Eq. (9.30), obtemos qu e n TFTD de x*{nl e
00
L
DTFTl x'[Il JI =
x'rllje- m ll = X ' {~Q)
(9.32a)
Em oUlra.~ pnlavras.
x ' rlll
Para x [nJ ["(:;11. a Eq. (9.32b) se red uz. a xi II]
-¢==}
~x
X '(- Q)
(9.32b)
*(- n ). 0 que impHea que. paraxfn] real
X (Q ) = X" (- Q)
e
POrlanto. para x[n] real. X(n) e X(- O) slio eonjugados. Como X(n ) geralmente eomplexo, temos tanto 0 espeelro de amplitude qu anto fase
x (n) = IX (n) leiLX(O)
Devido a simctrin de eonj ugado de x(n). temos que para xiII] real:
IX (Q) I = IX(-Q)I
LX(n) =
Portanto, 0 especlTO de amplitude
par de n para x [n l real.
- LX(~ n)
r.Ycn)1e uma funr<ao par de n e° espectro de fase LX(Q ) cuma fun~ ao [111-
ArRECIA(AO FfSICA OA TRANSFORMA DA DE F OURIER EM TEMPO D ISCRETO
Para comp reender vliriQS aspectos da trarlsfonnada de Fourier, devemos lembrar que a rcpresenta9lo de ['{)urier euma
fonna de exprcssar 0 sinalx[II] como a soma de exponenciais (ou sen6ides) de durayao infinill1. 0 especU"O de Fourier de urn sinal ind ica as amplitudes c fases reJatillas dns exponenciais (ou sen6ides) necesslirias para ~inLetiz.ar 411].
Uma expJicao;1I.o detalhada da natureza de tal somat6rio em uma faixa contInua i.le frcqUencias 6 aprcsclltada
naS ~ao7. 1- 1.
E XISTENCIA DA TFTD
Como je-""'I = I , a pan ir da Eq. (9.30), lemos que a existencia de X(n ) e garanl ida se X[II } ror absolutamente somavel.ou seja,
~
L::
IX[Il]1 < 00
(9.33a)
e
15s0 mostra que a co ndir<ao de ser absolutamente somlivcl uma condi~ao suficiente para a existencia da reprcsentar<ao da TFTD. Essa condit;ao tambCm garante sua conlle rgencia uniforme. A desiguaJdade
lt~ IXI"lIr ~ .t:;.IX[<OIl'
e
Illostra que a energia de uma sequencia absolutnmente somavel finita. Entrelal11o. nem todos os sinais de energia tinita sao ahsolutamente somaveis. 0 sinal :t[II] '" sille (II) urn exemplo. Para lais sinais, a TFID converge,
nlio un iformemente, mas na med ia. 1
Re.~um il1do. X(!l) exislc para uma condi(,:.iio fmca
e
(9.33b)
Garame-se que a TFTD para esta eondio;1!:o converge para a media. Porranto, a TFTD do sinal exponencial mente crcsccnle Y"II /1l1 nllo exisle quan do Irl > 1 porque 0 sinal vio la as condir<.1o (9.33a) e (9.33b). Ma~ a TFTD
, bsosignifica
lim
.11_00
1"
_~
X (nJ -
•
L
" __ M
x[II I.. - Ja.
CAI'llULO 9
ANAuSE DE
FOURIER DE SIN/\IS E,\ ! THIPO DISCRElD
75 1
°
exisle pard 0 sinal sille (II), 0 qual viola (9.33a), mas satisfaz (9.33b) (veja 0 exempio 9.6). A](!"ll\ disso, se uso
de "KIl), a fUllltao impuiso em Icmpo continuo, for pennitido, podemos obler a TI--ID de alguns sinais quc violam tanto (9.33a) quanto (9.33b). Tais sinais nao sao absoiutamente somaveis e nao possuem energia finita. Por
exemplo, como visto nos pares II e 12 da Tabela 9.1, a TFfD de xlII] = I para louo II C.l]II ] == ~ cxistcm, apcsar dcsta funr;Oes violarem a~ cOlldil,;ao (9.33a) c (9.33b).
Tabela 9.1
N"
Tabcla eurla de transfonnadas de Fo urier em tempo discreto
X[II ]
1i[1I -
X{Sl)
k1
e - j Hl
k inleim
e i {/
2
y"/I[lIl
3
- y"ul-(1/
4
y"
,
lIyn,,11l 1
6
yn cos (noll
7
U[/I]-U[1/ -
e iQ
Iyl
y
eiQ
+ 1)]
(e j Q
M1
v)'
eiP.[e iQ
cos 0 - y cos (Q o - 0)]
elm (2y cos Qo)e iQ + y '
sen(MQj2) e- iQ \.u - lj!2
sen(Qj2)
f re. (n -2rr,)
2n,
8
l =-x>
9
IU
n, SlOe
. , ("''')
--
-
211"
2
ull! J
~
II
para lodo II
2](
L
Ii(Q - 2;rk)
k=-'X
~
12
2;r
L
Ii(Q - 110 - 2;rk)
l ~ -oc
~
13
;r
L
SeQ - n o - 'brk )
k _ _ oo
14
senQ.1I
j"lr
L•
l= - x
15
(cos 11011) II[IIJ
16
(sen Q.II) IIllIJ
I
Iyl > 1
1 - 2ycosn + y~
+ 0)/1[" I
<
+ Ii(n + Q o -
2;rk)
Ii(Q + Q o - hk) -1i(Q - Q o - hk)
Iyl
-<
1
Iyl
<
I
Iyl
-<
I
CAPlnJL O 9
A"ALlSE OE FOURIER DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO
IX(f1)1
5
- 317
o
- 2.,-
753
,.
311"
f1 -
2rr
3.
n-
(b)
LX(H)
/~
/-h
- 21T
t 0.932
0
- rr
rr
(, )
Figura \1.4
Continuao;iio.
Obtenha a TFTD de y"u[- (n + ll] . mostrado na Fig. 9.5.
Fazcndo n == - nJ. tcmos
X[II] =
L" (I_ e in )~ =
m_ 1
Y
I
_e ln
+
(I_ e )' + (I_ ein )' + .
in
Y
Y
Y
Esla fun<;ao t! uma serie geonH'!lrica com razao comum /'/y. Portantll, a panir da Se~ao B.7A,
X($?l = -y-,-)~O~~I
Iyl > 1
(9.36)
(ycosQ - l) - j yscnSl
Portanto,
IX(S1) 1 = r,~'T~~~
Jl+y?
LX(rl) = lan- I [
2ycosQ
y sen Q
ycosQ - l
1
(9.37)
ExcelO pela mudano;a dc sinal, csta transformada de Fourier (e seu espl:c\ro de Fourier correspondenle) e
identica a de x [n] == y"1I[nj. Mesmo assim nan M ambigiiidade nu dcterminao;ao da TIFTD de X(O) == 1I(~ -in
755
9
X(n)
n_
Figura 9,6
Continua~i'i.o
E XEMPLO DE CO M PUTADOR C9,2
Repita 0 Exemplo 9.5
u~do 0
MATLAB
;>:>
SYIIIS Omeg!l n M
>;>
X ,. si lllpli fy (nymsUll! ( exp ( - j . Cl::neg .. . n ~ ,n, - 1M - I ) 12 ,
,.
11 ( - 1 ,c><p (;
. ar,'..;.... d)
(11'- ] )
!2 ) )
) ~ (- e xp ( - 112 . i ' Clr:Ic9a . (M.- l) ) +"'><1' (10-1. _Omeqa . (M +1) ) )
, Cal c ul a a e xprl!ll s lio s imb6li ca X( OIno) ga ) para M _ 9:
,." arneqa "
l1:l:>pace (-p i, pi , lQOO) : M '"
9 - on",o( si ~e ( Ome'J a ll:
X ~ ijubr,( X);
"" subp lot{2,1,l); plot(frneqa.dtw,(Xl,'k'l: axis(l - pi pi Ii 9]l ;
;»
x hbel('\Omeg a ' ): ylnbel ('X(\Omeqo1l ' I;
"" le .. ",,,d(' T FTD pel0 c U cu l o s i mb6l ico', 0) ;
t ealen!a a $
a~stras
do X (Omeqa ) usando a FFT:
> :> ~
5 12 ; M " 9;
» x .. (o"e s (1 , O"~11/21 ze r os O. N-!<\ ) enoSll, (M -1I!2)1 :
» X " t lL( x ): Omega s (-N/2:K/2- 1 ) . 2 ' p i/N:
»
subplo L( 1.1.2): plot(Omega.± ft.!lh;f t(!l o 3 (Xj) ,'k.' ) : o1X13«( - pi pi 0 9 1 1 :
,.:>
xl aoe l('\Oroeg a ' ) : yl<lbel('X(\cme Qa )' ) ;
»legend('amostras da Tf"m p ela f"TT'.OJ:
-
8
TITO pelo
clk:ulo simb(ilico
c:1;" 6
2
°_3
-2
2
3
j. Amos(rns d~ TFDT pela FTT I
8
6
~4
I
!
2
°_3
Figura C9,2
-2
-I
,
\
3
C APITULO 9
A NA LISE DE FOUIUllR DE SINAlS llM TEMPO D 1SC I! EiO
757
9.2-2 Conexao entre a TFTD e a Transformada z
A co nex ao entre a tnmsform aua z (bilateral) e a n 'T D e similar a existente entre a tnmsformada de Laplace e a
tran sform ada de Fo urier. A transformada z de xlnJ, de acordu (;om n Eq. (5.1) C
~
X[tl =
Fazenuo z::::
L
x[l/]t-~
(9.42a)
;n nesta cqu a~110, ubremos
K reilll
=
~
L: x[n lt: - m..
(9.42b)
~= - ""
o so matori o do lado di reito d efine X(n ), a n'T D de X[II ]. Tsto significa que a TFTD pode ser Oblidil da
lransformad a Z eorrespondentc, fazendo z '" ~ll ? Em uutras palnvra~, valido afirmar que XI;?] '" X(Q )'! Sim,
I!: valido na ma laria dos casas. Por excmplo. quandu X[II] '" (I'I/[liJ, sua transform ada z 6 d(z - a), e Xrell l =
~/(/' - a) . a qua l e iguaJ a X(n ) (assumindo ~II < I ). Entrctanlo, para a fun r;ao degrau unitar io u(n l. a trans·
rormada z e Y(z - I). e Xltfil '" ~1/(,;u - I). Como observudo nn Tabela 9. 1. par 10. isto nan c igual a x (n )
nes te caw.
Obtcmos Xld'll fazendo Z ",;a na Eq. (9.42a). Ista signifi(;;l que a somat6ri u do lado direi to da Eq. (9. 42a)
con verge para z = l"'-. 0 que signitic n que 0 d rculo unitario (carac tcrizado por z =~) cstli na regillo de convergellcia de Xlzi. Logo. a regra geral que su mcnte qu ando a RDC de X[z) ind ui 0 cfrculo uni tan o t que! '" til
cm X [z ] resul ta na TFTD X(Q ). Isto!Oe aplica a todoxln 1absolutamente wmavcl. Sc a ROC de Xl zi cxd ui 0 cir(; ulo unitano, X[tfi] '" X(Q ). ISla se aplica a todo xlnl exponcndalmente crescentc au que seja conStanlCau 05die eom uma nmpJitude (;onstn nte.
A ra1..au pllea este comporta mento peculiar tem algo a vcr com a natureza da (;ollvcrgenda dn tra nsfonnnda l
c da THD.'
Esta discuss:io mustra qu e, apesar dn TFTS puder ser eonsi deradu urn eusa especial da truns formada 1.. pre·
cisam05 restri ngi r estc esCOJlO. ESle aviso e ratificado pelo fato de urn sinal peri6dico possui r TFTD, ape.~ da
sua tp,msformadu Z nilo existir.
e
e
9.3
PROPRIIWADES DA
TFTD
Na pr6xima !Oe"ilo. iremos nbscrvar uma enncxiio en tre a TfT D c a TFTC (tran.<;formada de Fourier e m tempo
continuo). Por esHI ramo, 11.<; propriedades da TFTO s1l0 muito similares as da TFTC, como as segui nte~ discusS(ies mostrnm.
LINEARIDADES DA
TFTD
Se
x,[11 1 ~ X L(n )
,
entilo
aLxl [n 1+ (/2x2 l11 J {::::::::} ti l X I (Q)
A prova
+ G2 X 2 (n)
(9.43)
etri vial. 0 resul tado pode ser esteotlida p.1rn qualquer ~oma fi nita.
• Para explicar cS LII ponl<>, co nsidcro a fLm~aO degmu unilano 1I[IlJ e su~s tr~nsformada •. Tanio a lmn sfornmda ;;: quando a TFrD , inl. ti7.am xIII] "!.:lndu u pone nc iais de d ur~mo infinita na forma ~'. 0 va lor de z pcxIe (~I(U" ~m qualquer 1ig:u no plano co mplexu ~ pam a
transfonnuda:. mDS ek deVil eslar restrilO oodrculo unidrio(~ " ,P) pam OC,,-'II) Ib T FTD_ A fu~ k>dcgrau unillirio~ facilmente sin·
'Clizada pela transrorma(la z cum urn C:Spcetro relati~nlC simples de Xlzl '" !1ft - t). alntvCS da cscolha de z f",a do cireulo onitario
(a ROC de "LII] ~ Izl > I). Na TFrD. enlreLanlu. emamos limilado« a valores de ~ SOll1Cnle dcolro dOcln:ulo unitirio (: ,, 1"). A fun~il" u[/ll aindR pode ser ~ i n lcLilada por valo<es de ;; no circulo unitlirio. mas 0 CSpccll'Q e mai ocomplicado do quc <;c cstiv(!ssemlJ'i livres para csoolher z em quaJquer Jugar, inclu indo a rcgiiio fllf Udo cfreulo " nit~rio. Pm "otro lado. quando xj"l (! absnlul.<!ment. somavel. a rcgiao d~ convergtncia da tran ~form!lda Z inf1ui " dreulo llllit~rio. e pode111()S sinteli7.ar .<[11 J usando z ao Iongo d" dn: ulo unila·
rio nas dum lmnsformadas. h to re,u llAem XI/') = X(O).
C APfl1.JLo 9
A"IAUSE DE KX.'lUER DE SC'WS 01 TEMPO DlscRETo
759
EXERciClO E9 .6
Na Tabela 9.1, oblenha 0 par 13 do par 15 usando a propriedadc de reversiio tempo-freqiien cia (9.48).
MULTIPLlCA<;: Ao POR II : DIFERENCIA (:Ao NA FREQO ~NCIA
d X (n )
dn
/1.1' (111 '¢:=} j
(9.50)
o resuJtlldo segue diretamemc da di ferencia~ao. com rela~50 a il, dos dai s lados d~ F...q. (9.30).
Utilize a propriedade dll Eq. (9.50) lmultiplicaq~o por 11 ] c 0 par 2 ua Tab ~l a 9. 1 para obler (J par 5 ua Tabe-
la 9.1.
o par 2 afirma que
ei O
y" u tn] = "",,i;",--"y
Iy l <
J
9.51
Logo, da Eq. (9.50),
nY"II[IIJ
=
d { ejfl }
y/,jfl
j-.
~ ~;,:.-~
dQ eJu _ y
(t'iO _ y) 2
Iyl
< I
11 qu al conlinlla 0 par 5 da Tabe la 9. I.
PROPRlEDADE DE DESLOCAMENTO NO TEMPO
S,
x ln]
¢=>
X(S'l)
entao
para k inteiro
(9.52)
Esta propriedadc pode ser provada pcla substilUilJ[io direta na equac;llo que define a tran.sforma r,:1!o direla. A
partir da Eq. (9.30), ohlemos
~
x ln - k]
<==}
L
~
x fll - k]e - /!ln =
L
x [mJe- ifllm +I'1
x
=
e - jfU:.
L
xlmje- Jfl," = e- jHJ X(S'l)
Este resul tado mostra que arra.m r um .rillu/ por k OII1(Jsl ras /lau a/tem sell e~pectm de ampUlI/de. 0 espec /ro
defilSe, entre/wI/a. i a//erado /Xlr -k n. Esta fase adicionada e oma fun"ao lincar de U com inc1inaiJ-iio-t.
EXPLICAC;AO FfSICA DA FASE LINEAR
alraso de tempo em um sinal re~ ulta em um dcslocamento linear de fase em seu espectro. A explicar:r uo heu ristiea pam cste resultado e semelhantc Ii utilizada par'! sinais contin uos no tempo. mosli-ada na S~i\o 7.3 (vcja
a Fig. 7.22).
o
760
S lNII IS Ii SISTEMAS LINEARF.S
Obtenhn a TFfD de x lnl = (1/4) sinc (n(II - 2)14), mostrada nn Fig. 9.8a.
No Exemplo 9.6.
dClel11lillam ()~
. e
"41 SlO
("0)
""4 <==>
(n -2""'
)
/2
~ ret
L
rr
. . = _ 00
Utili zando a propricdadc de deslocamento 110 tempu [Eq. (9.5 2)], oblemos (para k intciro)
1. (rr(,,-2»)
4
<==>
"4 sine
~
L ret
"'=--<»
(
n-
2rrm) , -1m
rr/2
(9.53)
o cspectro do sinal deslocado t5 mOSlrado oa Fig. 9.8b.
Ix(n)1
1
"
• ••
•
L X (O) '" -2fi····
.
•
2r.
~
'.'.
\
....
_ 11:
4
p. . . :
~
.
•••
'.
27i"·.'.
n_
..•.
(a)
0.25
8
o 2
(b)
Figu ra 9.8
Dc51ocamento de .\i n] por k uilidades aiterd a fase de X(n ) por k n.
E XE RC i c IO E9.7
Verifique 0 rcsultado da Eq. (9.40) n partir do par 7 da Tabela 9. 1 e cia propriedade de deslocamento de tempo da lFID.
PROPRIEDADE DE D ESLOCAMENTO NA FREQOENCIA
So
xllll <==>
X(n )
cnt:io
(9.54)
Esta prop ricdade e duaJ il. propriedade de des[ocamenlo no tempo. Pam proVat a propriedade de deslocnmcnto nn freqilencia, lemos, a partir da Eq. (9.30),
00
xlnJe N clJ
¢=::::>
L
~=-""
00
x lnJejO'"e-j[b, =
L
x[nj(1 - jm - !l, )n = X(n - n ,,)
762
S1NA1S E. SISTEMAS LrNEA RF~<;
41 X(O)
• ••
• ••
,• ,
•
2;r
To
0
2.
To
fl_
(,)
I ." I
,
X(n - 05;>")
•• •
•••
-,
•
3.
2"
- •4
To
0 "
4
I I n_
2"
2
( b)
I ." I ,
X(n
+ 0_<;1T)
•••
_UL
•
2.
2
•2 •4
0
3:;
To
"
4
n_
2"
2
(e)
051X(fi - 0.5.,.)
+
X(n
+ U.51r)J
4
I
I
I
I 1T/ 2 I 2
_ .e2
4
2.
_ 1T
I
O
•2
-
4
I
I
I
3.
To
2.
2
I
,
5.
I
n_
(d)
"igura 9.9
Instancia de moduhujao para 0 ExempJo 9.10a.
X(O)
4
•• •
1.
•
,•
0
•4
(.)
Figura. 9.10
Ins{iincia de modulac;iio pard 0 Exemplo 9. lOb.
•
2.
n_
•••
764
SINAIS E S!STEMAS
LINEARES
Para uois sinais continuos. peri6dlcos. dcfinimos a convolw.ao periOdica, representada pelo sfmbolo ® comot
X,(Q )@ X2 (Q ) = - ' l X ,(II) X 2{Q - II)dll
br
2:r
A convolw,;ao aqui nao e a convolUl;ao linear utilizada ate entiio. Esta c a convolUl;iio peri6dica (ou circular),
aplicfivel a cOIlvolUl.ao de duas fum;6cs peri6dicas, continnas, com 0 mesmo perfodo. 0 limite de inteb'Td~iio na
cOllvol u~iio se estende por apena~ urn perfodo.
A prova da propriedade da eonvolUl;iio no tempo e idemica a apresentada na S e~iio 5.2 IEq. (5.1S)I . TuU
do 0 que precisarnos fazcr e substituir z por d • Para provar a propriedade de convoluvao na freqiiencia
(9 .58b), tcnlOS
XI[II]X2 [11]
<==> ""%;00 x lllljxlflJ]e- i>l"
n~oo X2[IJ] [2~ 1~ x 1(u)e- j""du] e-jr/"
=
Alterando a ordem do somat6rio e da integral, obtemos
SexIIIJ
~
X(f.!), entiio mostre que
II
00
'""' x[k] <===>rrX(O) '""' Il(Q - 2;rk)+
L..
L..00
<__
. =- 00
eiD
.
X(Q: )
e l ll _ I
(9.59)
Observe que a soma do lado direito da Eq. (9.59) e xln) "' 11111), porque
xlllJ ,. /lllIJ =
L
X[k]II[1I -
kJ =
L
x(kJ
Na obteno;ao desse resultado, utilizarnos 0 fato de que
U[11 -
k] =
g
k<11
k:>IJ
Logo, da propriedade da convoluo;iio no tempo (9.58a) e do par 10 da Tabcla 9.1. temos que
.t;xX[k] <===> XeQ:) (;r It-"" 8eQ: - 2](k)
+ ej~i0.
1)
devido il periodicidade de 21t, XeO) = X(2ltk). Alcm disso, X(n)O(D. - 2nk) = X(2nk)O(n - 2nk) =
X(O)O(n - 2ltk). Logo,
"
~
'""' x[k] <==:- lTX(O) '""' 8(Q - 2Jrk)
L..
L..
k= _ o<o
l = _ oo
eiD
+0.
el
- l
X(Q)
E XERC icIO E 9.9
Na Tabela 9.1, obtenha 0 par 9 do par S, assumindo no 57r12. Utilize a propriedade de convolUl;ao no tempo.
'N a Eq. (iL,6). dcf'nimos a con\'oiu,~o pcri6dica para duas scqiicncias di>trela.,. peri6dicas. de forma difcrcnlc. Ape_ar de eslarmo,
uliiizamio () m~'m" ,imholo ® para 0 caso discrcto c comrnuo, 0 significado ficar.l dam a parrirdo COIllCXIO.
CAPiru LQ 9
ANALISE DE FOUIUI!H. DEl SINA!S at T EM PO D! SC RETO
765
TEOREMA DE PARSEVAL
So
emllo E,. a energia de x[nJ.
cdada por
(9.60)
Para provar essa propriedade. temos. da Eq. (9.44),
X ' (n ) =
L"
x 'll1] e jfln
(9.6 1)
"=-""
Agora,
.t .,., I.TrIlW= ..~.",x'[n]X[1I1 = .~,,/ ·tIlJ
O blenha
[~
1. x(n)e.>JI'Z" dn]
=
2~ 1.~ x(n) l~ x· rIl JeiU" ]
~
_I
21f
r
Jl3
X (Q) r (n) dn = _[
dQ
r
2;r J~
[X(Q) 11dQ
aenergia de .\111] '" sine (U,n). ass umindo no< /c.
Do par 8, Tabela 9.1 , 0 espcctro m t faixa fundamental de x(n] c
sine(r.!GII)
~ '!!"' ret (~)
Q~
2r.!c
Logo, do teorema de Pal1icvat da Eq. (9.60). lemos
E, = - I
.
211"
Ob~rvand o que re I (MU,) = t pard
l' .'n.. [
-, re t
-:t
(,~J]' dQ
In)s n.. e zero caso conmi rio. a integral anlt:rior resulta em
A Tabela 9.2 resu me IOOas as propricdadcs da T FTD \-1 stas ate cste momento.
Tabda 9.2
Opcnl~ao
Propriedades da TITD
X[II ]
Linearidade
Conj uga\,iiu
.,' [11]
X(Q)
766
S INAJS E SISTEMAS LINEAIU!S
Tabela 9.2
Continua~3o
Multiplica~i'io
escala
aX(II]
Mult i pli~iio
por
11.1:[11]
J
Revcrsao no tempo
.1.'[-11 )
X(- Q )
Dcsloc.:amento no tempo
.t [1I - kJ
X(Q)e - jkO k inleiro
o X(Q)
. dX (Q )
dQ
Deslocamento na frequcncia
X(Q - n c)
Convol u~ao
no tempo
X t (Q)X2(n)
Convol u~ao
na frequencin
~
L Ixln lll
Ex =
Teorema de Pc rseval
~=-oo
9.4 A NALISE DE SISTEl\'lA
LIT EM T EMPO DISCR ETO PELA TFTD
Considere um sistema linear, invariante e em tcmpo discreto. com resposta h[lI] ao impulse un itMio. Devemos
detenniutlf a resposta ylllJ do sistema (est ado nulo) para n entr'.Ida .1:(n). Sej a
.t (Il J {:::::::> X ( Q)
y [II ]
{:::::::>
,
Y (Q)
hI III
¢:::::::}
H (n)
Como
v(1I1 =:t(lIl *h[lI ]
(9.62)
Y(Q) = X { r.!)H(Q)
(9.63)
De tlcordo com a Eq. (9.58a), temos que
Esse resu JtaJo e sim.iIIiT 110 obtido para ~ i stcmas continuos no tempo. Vamos eJ;.aminliT0 parel de H (Q), n
TFfD dll resposta fI[II' ao impulse unitario.
A Eq. (9.63) e valida somen te para sistemas Bma t::>ta\'ei~ e lambem Jmra si~temas marginalmente estaveis
se a entradll n30 contiver os modos naturais do sistema. Nos outros casas. n respos ta cresce com It , nao possuindo transfonnada de Fourier: AJem disso, a en trada x[ll ] tambem precisa possuir a transfonnnda dc Fu urier. Para os casos nos quais a Eq. (9.63) nao se apJi ca, podcmos utilizar a Iransfunnada z: para a ami1i ~e do sistema.
A Eq. (9.63) mostra que 0 t::>peclrO de freqiicncia do sinal de safda e 0 p rodU IO do especlrO de frcquencia do
sinal dc entrada pela respo~ta em freq iiencia do sistema. A pan ic dessa eq ua~lio. oblemos
lY(ml
,
~
IX(QII IH(QII
i Y(m = i X(Q)
(9.64)
+ i f/ (Q)
e
(9.65)
Esse resultado mostra que 0 espectTO de am plitutk de saida 0 prodUIO do especlrO de amplitude de entrada
peln respos ttl em amplitude do sistema. espectro de fase de sarda a soma do espectro de rao;e de entrada e a
respusta de fase do sistema.
Tambem podcmos interprctar a Eq. (9.63) em tennos do ponto de vista do domfnio dll freqiicllcia, no qual vemos 0 sistema em lemlOS de sua resposta em freqUencia (rcsposla do sistema a vtlrias com ponenles expollenciais
ou senoidais). domfnio da frcquEncia enxerga 0 sioal como a soma de varias componenles exponenciais ou ~-
a
e
a
t Ela nao e \'~lidn pafll.sistemas nssintolkamenle inSlt\·ciscuja resposla h[lIl no impulso llilo possui n ·TD. N" cnoodo sincma ser marginal mtnlC cSI~\'el e a enuada nlIo C(lIller telTTlOS de modot do Si'lema, a resposta n~o cresce C(lm I! e, poruml", posllui ttlosfonnada de
Fourier.
ANALISE DE F OURIER oF. SINAIS EM TEM PO D ISCREl"O
CAPIHJU) 9
767
A lransmis~!lo do sinal atnivCs de urn sistema (linear) c vista como a tnmsmissil.o de varias componente~ cxponenciais ou sennidais do sinal de cntrada atraves do si~lema. Esse conceito rode SCT entendido mostrando as rcia"Oes ent rada-~lda por setas dirccionais, como mostrndo a seguir:
noidai~,
~
ejo.
lI (Sl) e j o.
a qual mustra que a resposta do sistcma a til;, e H(Q)t!l;, e
x LII I =
-1-1
2;r u
X (Q)do. dO.
a qual mustra xl III como a soma de (;omponente~ cxponenciais de durJ."iio infinita. Utilizando a propriedade da
linearidade,ohlemos
yllll = _I
2rr
1
2.~
X(Q )lI (Q)ei Slo dO.
a qual fomece y[1I I cumo a soma das respostas a wdas eomponentes de entrJ.da, sendo equivalente a Eq. (9.63).
Portan lO, X(O) C 0 especrm de entradn e Y(ll) C 0 espcclro de ,sllfda, dado pot X(O )ff(O).
Urn sistema LDIT cespeeificado pe\a equa"iio
Y[1I1 - O,5Y[1I - I] = x[n1
(9.66)
Ohlenha H (n ), a resposta em freq[iI~ncia desscs sistema. Detennine a rcsposlRY[1I1 (estado nulo) sc a entrada for xlllJ = (0,8)",,[11).
Sejax!IIJ ¢::> X(O) e y[II]
¢::>
YCO). A TFfD dos dois lados un Eq. (9.66) resu lta em
(1- O.5e - il1 ) Y(Q) = X(m
De acordocom a Eq. (9.63),
Yin)
fl (n) ~ ~
X (n)
1
ejo.
,-'-co
r jO
elO - 0.5
Alcm disso, X[II! = (O,H)"u[IIJ. Logo,
2e iO
Y(Q) "" X(Q ) H (Q ) = kjO _ O,8)(ejO
0.5)
Podcmos expres~ 0 lado dire ito como a soma de dois lennos de primeird ordcm (expansi'io em fra"Oes
p:an:iais modificado, como disculido na Se.rao 8 .5-6), como mostrado a seguir. t
Y(Q )
'Na quat
_,!
eiO _
I
'+=-'-'=
0,5
0,8
elrl
Y(O) ~ urna fun~o da ,-.trii,,,1 tI"'. L.ogo, x =.!' pard a cornpan~~ocorn a npn:ssUo da ~ B.5..(,.
ANALtSE DE FOURIER DE Sll'~AlS £'.t TeIl'O OISCREm
CAPITuLO 9
771
h[IIJ
n< = .:!.
4
o
FIgura 9.14
9.5 CONExAO DA
,
4
Rea li7.a!Oao aproximada de urn fihro
pa~!>3-baixas
11,= 12
ideal pela truncagcm de ~ua resposta ao impulse.
TFfD COM A TFfC
Considere um sinal em tempo continuo x,(t) (Fig. 9.15a) com tr.ansfonnada de Fourier X,.(Q) limitada em faixa
a 8 Hz (Fig. 9. 15h). E.~se sina l c amostr.l.I./o com urn intcrvalo de amostr.agcm 1: A taxa de amostragem e igual
allixa de Nyquist. ou scj ... T '5. 1128. 0 sinal :lAI) amostrado (Fig. 9. ISc) podc scrdeserito por
00
L
xAI) =
.=-
..lAnT).5 (1 - liT)
A transfonnada de Fourier em tempo con tinuo da eqUiU{ao anterior c
00
X~ (w)
=
L
.=-
xe(IIT) e - j~T'"
(9.72)
Na Se.:;ao 8. 1 (Fig. 8. 11). mostramos que X, e X,(w)lTrepetindo pcriodicamente com um perfodo w, = 27f/1.
como ilustrddo na Fig. 9. 15d. Vamos constroir urn si nal x[n] em tempo discreto lal que sua II-e..;ima amostrd seja igual ao ..-alor da II-csima amostra de x,(t). como mostrddo ua Fig. 9. J 5e, ou seja,
(9.73)
,-
0
- 2r.8
ru - _
0 2-rrB
(hj
('j
x,(t)
.T .
~
2T
4T
0
,-
2w
•
-7 - 7'
(oj
{)
2r.B
2.
w_
2.
n_
T
(dj
xlII I
,2
4
0
xe(1)
,,-
-2.
«j
Figu ra 9.15
Conexlio enlre a TFTD e a ttansformada de Fourier.
-.
0
(f)
•
CAPfTULO 9
ANALISE DE. FOUR IER DEi S1NA1S liM TEMPO OlSCR£TO
773
Esse 6 precisamentc 0 par TOF das Eqs. (8.22). Por e~ cmplo. para crucular a SFfn pam 0 sinal peri6dico da
Fig. 9.2li, Ulilizamos os seguintes valores de x. = xfn]/No
0 :::; 11:::; 4 e
28:sn:s3i
5:S11:527
C1.lc llI0~ nu~l'icos ern modernos processnmentos digitais de smais s1l0 convenienlemen te cxccutados pela lran~­
furmada di~re la dt: Fourier. apresenlada na Sc..1Io 8.5. Os cfilculos da T OF podem ser eficientemente executlldos
usando 0 aigori tmo da transform ada rfipida de Fourier (FFT), d i~lIlido na Se<;AQ 8,6. A TDF e. de fato. 0 burro de
earga de modeffios processamcntos digitaL~ de sinais. A mmsfOffilada de Fourier em tempo dis(:ITtu (TFTD) e a
trans fonnada inve~ de Fourier em lempo discreto ( rlFTD) podem sercak uladas usandoa TOE Para urn si nal.t[nl
com No ponlos. sua TDF rcsu lta em exalamente N., amostras de X(O ) em interva los de fTc:tJiienda de 2TdNry Podemos obler urn nuTl1C ro maior de amosn-.1S de X(fl) preenchendox{IIJ co m urn nu me l'o suficiemede amostraS com \'alor zero. A TDF [.'Om N., ponIOS de .l llll fomece \~.t lores exatos das amostnls da T ..~ro ~xll! l poss ui r urn tamanho finito Nrr Sc 0 tamanho de xl nl for infin ito. precisaremos ulili711T uma fun~ao j mteia apropriada para tru ncal' xlnl.
Devido iI propriooade da convelw'iio, podemos uli lizar a TDF para calcul ar a convolu~o de doi s si nais .l(nJ
C11(111. como discuLidu na S c~ao 8.5. Esse proctxiimcnto. chamado de convolu .. 110 rapida. reqller 0 preenchimen10 dos uo is sinais com UIll nLlmCTIJ adequ ado de zeros. !omando a convulw.:ao lincar dos dois sinais idl!nlica 11
cOl1vo lll .. 1\o circular (ou pc riOdica) dos sj nni ~ pretn(.:hidos. Gran des blocos de dados podem ser proce~ sados seccionanuo os dado s em blocos menores e proccssando estes blocos menoces em ~eq L'len(.:ia. Tal proccdimento re1
que! me n(),~ memoria e reduz 0 tempo de processamento.
9.6 G ..: NERALIZAy\O DA TFTD PARA A TRANSFORl\1ADA Z
Sistemas LDIT podem ser analisados usando a TFfD. ESSt melndo, entrclan lO, possui as scguintcs limita~Ocs:
I , A existcncia da TITD e gamntida SOlllCnle pm! sinais absolutameme so maveis. A TITD nao ex.iste para sinais ,:Q111 (':ITscimcn!o exponencial ou mesmo linear. Isse significa quc () mctodo da 1FTD e aplicavel a ~omenle lima c1asse limitadn de entradas.
2. Alcm disso, esse metod o pode ser ap licado somcntc sistcmas lIssimoticamCllle estl'ivcis OIl BIBO estaveis. de nao pode ser utilizndo pnra sistemas instfiveis ou rne~mo margi nalme nle eSLaveis.
E~sas
e
sa(l scrias limita ..oes ao eSludo da analisc de sistcmas LD IT. Nil relilidadc, a primcira Iimita..110 tnm-
c
be rn a ca ll_~a da st:gunda limita.. 1Io, Como a TFTD ~ incapaz de lidar com sinais c.:rescentes, cia inca paz de
!idar eom siSlemas instaveis ou marg inai mellle estfiveis.' Nosso objetivo 6, portan to, e..~ lender 0 conceito da
TF-TO ue forma quc ela possa lra balhar com sinais c;o::poncncialmente crcscc ntcs.
Goslanamos de saber 0 que callsa essa lim ita..ao 11 TFfD. tomando-a incapaz de trabalhar com si nais expo·
nencl:l hncntc crescentes. Le mbre-!:e dt: qu e till TFID cstamos utili zando scn6idcs Oll exponcnciais nil fOfllIa 1''''
para sintetizar urn sinal X!II ! arbitr:iri o. Esses si nais ~o sen6ides com amplitudes co nSlanle..\. Eles sail incapazes
de sinte tizar sinais exponencialmenle crescentes, !lao importa quantas componcntes scjam somadas. Nossa esperan..a , portanto. cst~ cm tentar si ntet izar xlIII usando exponencials IH.I sen6ides e~ ponencialmentc cresccntcs.
Esse objetivo e alcan\ado ge ncralizando II vari ~vel de freqUencia de jQ pam (] + j D., ou scja, usando expo nentiais nOl forma ei" . ;o;,. em vez de exponenciais e'Th<, 0 procedimento e pralit:amente 0 mtsmo utili zado paru estendcr II tra nsform ada de Fourier pur.t a trunsformada de Laplace.
Vamos definir uma nova vari ~\'el X(j Q)= X(O). Logo
XUQ)
=
-
L
x[nle- jo..
(9.79)
,
1".
.t rnl = - I
X(j!J) eJQ"dQ
2rr _'"
' u:mhre-~
(9.80)
de que a saida de um ~i!ICm~ insla~e! t,;reM:e eXI""""ncialmente. Alem diss(), a .•alda do:: urn sistema marl'in almemc estlivel
a cmrndas em m"d<)~ar""teri~t;cos ( rcscc com 0 tempo.
780
SINAIS E SISTEMAS LINEAII.ES
aproximar;ao de H j.Q). mas Jambem aumentam a complexidade. Urn balanr;o e necessario. Podemos e.'w:olhcr
urn va lor intermediario de N '" 21 para Uli li zarmos M59P2 par.!. projclar 0 fibro.
:>:> "
'"
1~S51'2(N , "~d) ;
21 : h _
Pard avalinr a quali dade do fillm. a resposta cm frcqu encia e calculada atr.tves do prograJlla MS5Pl.
,.,. Clne \l " '" li " " pl<<.:c {O , 2 *pi , lOOO) ; ," <>-.,..pl.,.s - lins pacl!(O , 2 · pi · (1-1/N) , t..'. ',
»
H
~
Y.S5P l( h , I , Omcq ~ ) ;
:>:> "',Jbplo~( 2 , L l) :
stenl ([O : N- lj , h , ' )< ' ) ; x l .. h cl{ ' n ' ) ; ylabel( ' hlnj ' ) ;
>~
s ubplot12 ,I , 7. ) ;
»
pl<.>l ( "''':Iv Ies , ii_c (s<>-':!PI e s) , ' ko '
, Ott.'!"" , IL
d (O:r.C'l" I , ' k : ' , Cl::lega , .. 1m (10 , ' k ' ) ;
,.,. .uti s{ I O 2 . pi - 0 . 11. 6 11 , x l"bel! ' \Orr.e<;;a ' ) ; yIabe l{ ' III(\O:ncqa) J ') ;
~,.
lege:l:i ( ' _":"OS ~rdS' , ' I)e, ... j"do ' , • Rc,," I • , OJ ;
Como moslrado ua Fig. M9.3. a respoola em freqfiencia do filtro coincide com a respmta desejada nos valores amoslr'ados <k H~{ D.). A rcsposta 100al. entrelanto. passui urn ripple significali\'o entre os pomos amostratlos,
pnuicamc ntc inviabilizando a ULili;.r.alj'iio do filtro. Aumcntar 0 tamaullo lIo filLl!) uriu lIilllinui 0 problema do ripple , A Fig. M9.4 mostra a rcsposta do fibro para N == 41.
P,lra cntender 0 comportamento pobrc de liltros projetados com MS9P2 . 1cmbre-se de que a rcsposta ao im pulso de urn filtm pa.s~a-bai;o;as ideal a funr;llo sine com piw centrado em zero. Pensando de omra forma. 0 pico dn
fu nljao sine ecentrado em II = 0, pois a fdSC de H jD.) e zero. Limitada Ii ser causal. a respnsla ao impulso do filtro
projetado ainda pasSU! um pico em /I == 0, mac; nau pode ind uir ,',dores para II neglith'o. Como resultadu. a fu~l\o
sinc espal hada de maneira mio natural com fortes desconlinuidades nos dois lados de f/[I/ ]. Descontinuidatlcs fortes no dominio do tempo aparecem como oscilat;aes de altn frequencia no domIn io da freqficocia. 0 que explica II
lTlOli\'o pclo qu.11 H(Q) apresent3 um ripple significath·o.
Para mel horM 0 comportamento do filtro. 0 pico tla fun.,-ao sine mo\'ido para" = (N - 1)12. 0 l.-en lro da (CSpusla do filtro de tamanho N. Dessa forma. 0 pico IlIio e espalhado. gr.mdcs desconlinuidaJes noo csliio p~n­
les e II ripple da rcsposta em frequenci a e. cnnseqfie ntcmcll ic. re<lu zido, Com as propriedades da TOP. urn deslocnmento delieo de (N - I Y2 no dominic do le mpo requer um fator de escala de e-A-" - , v> no domlnio t1a froqiicllciu.' Obsen'e que 0 fator de escala e-1f/l,"-'V> afeta npena,c; a rase. nao a magnitude, resultando em urn filtro
de fase linear. 0 programa M59P ) implemenla 0 prucedimcnlo.
c
e
e
0.25
0.2
0.15
5- 0. 1
~
0.05
0
-0_05
-0.1
0
I)J. ,
III •
2
4
•
, 1 1,
10
•I
Il
14
j I
.J!
Ib
"
I. 5
"
,
..
I
o
o
jo' igum M9.3
,.
\[''j't;tU
, ..¥..v.vv.'i'l'f' ..
3
n
4
s
Am~=
..... Desc:jado
- - Real
6
Filtro FIR passa-baixa,~ de tamanho 2 1 usando fase ...era .
• Tccnic~Jllo,;nlC. a Jlropriedade de dc>locaJII~ nIU req uer que (N - 1)12 scja ime im. 0 que OCQ~ somenle para fIitrus <Ie umanhO Imp;!(. A
pen~lIima linha doprogramaM5 9P) implcmc nlU urn fHlnrdc~lID. lltt1:li..ario p3fl1llCOU100aro de~locamenlu frac:ion~ rio dcscj~­
do par1I fillrt)!; de (amanho paf. A oblen~.io m3lcm~liea d""a COIT~ii.o n10 t lri"ial ~ 030 ~r.I aprescnlada "'Iu,_ Aqucles que ~'i'·crcm
hcsilalllc.~ e m ulil'7.ar esse fmor de corre~~l1 {)I~rem ulililar uma fOTm:! allemali"a: 5i InJlJesmenle rHn-'lIonde (N - 1)12 pam 0 inle iru mais
pm~jI1lO. Apesar do deslocamen(o arn:dundadu .<e r urn poueo difercnl" du cemro pam filtrus de tamanhu par. Jl""icameule nilu exj~,j­
rn di rerenc;a na camelcrislica du tiltn). Mcsl1Io nssi m. u ce nlro "e rdadciro c desejado jXl«Juc a n:~posta an impulsu re.~ultanIC Csimilric a. 0 qu~ redU7. pela mcladc 0 nllmero de: muh iplic~lks "",-~i,,-. para implcmcmar 0 fillro.
•
CAPITUl.O 9
ANA Ll SF. DE FOlJR.IEH DE SLNAts E.\l TEMPO DI SCR.I:.TO
78 l
0.3
0.2
<
~
0.1
- 0.1
.. .. ."
.",
II
0
5
,-
10
J5
20
25
-", '
35
30
'0
"
LI
o
A JTtIh1T8S
.. De5cjado
- - Real
~ U5
-
2
Figura M9.4
3
n
•
,
6
Filtro FlR passa-baix ns dt! l:lIlIanho 4 1 lIsando fas¢ zero.
function {hj _ MS9P3 IN. H_dl ;
" MS9P3 .m: MATLAB SeQao 9, Prog rama 3
'" Arquivo.m de
fun~ ao
para projetar urn filtro FIR de tamanho N pel s amostragem
t oa respasta ern magnitude H dese jad a . A tas e e
def~nida
para 0 deslocam .. nt.n
rl ..
t h[nJ por (N-l)/2 .
It Entradas:
•
t Said"s:
N = tamanho do filtra FIR desej ado
H d : fun9ao 1nline que define a respo s ta em magnitud e dese j ada
h = r espos ta ao impulso lcoe flcien~e s do filtra FIR)
t Cria a s N amostr as de freqliencia 19ualme nte espac adas :
Omega _ linspace (0 , 2_ pi _( 1_1 !N). N)';
t Anoetra a r esposta em magnitude desej a da:
H = H_d(OmegaJ 1
t Define a fase para 0 d esloc amento de hlnl por (N- I) /2 :
H . H .*exp (-j ' Of!\ega*I( N-l )/ 21 ) ;
H(fix(N/ 2)+ 2:N,1)
• H(fix (N/2) +2:N, I ) * (I - I)~(N-I »
;
h. real(ifft(H»;
A Fig. M9.5 most ra 0 r~ uh ado para N '" 21 usando MS9P3 pam calcu1 ar IItIlJ. Como csperudo. a rcsPOSIU ao
impulso parccc como a fUll lO'ao sinc com 0 pico cc ntrado em 1/::: 10. Alem disso. 0 ripple da resposta em frequencia e mLlito red uzido. Corn MS9P 3. :lurn entando-se N. melhora-se a qua Hdade do fiilro , como mos lradu na Fig.
M9.6 Jl'II'a 0 1: 11.'>0 de N:: 41. Apcsar de :l respos/a em magnitude ser necessana para eslabelecc r a forma ger,l] tia
resposta do liltro. e a se]~ao adeq uada da fase que garante a aceitabilidade do eomportamento do Iiltro.
Pam .Justrar a Ilexihilidade do metodn de projeto. considere urn fihm passa-faixa com faha passante em (nl4
< Inl < "-/2).
;»
ILd
in l inc ( r ' (=d (O:ncgll. 2 o p;) >pi {1) & inood (orr.IIga. 2.pi I <pi 12) .. ' , ...
, i"'oc. (Omelia, 7. . pi) >1 , pi n ) & (r:'.od(Orr-"''JII, 2 . p i) <'/ ~ pi { 4 1 '1) ;
A Fig M9.7 ilustra 0 res ultadu para N = SU. Note que esse filtro de tamanhu par lI1ilizar lim des)(X;ament O fracion~ri o. sc ndo simc!trico com rela'jiio a II = 24,5.
Ape~r de 0 projeto de filtros FIR alrav6; da amoslrngem na frequencia ser mui to fled"e!. elc nem foe'llpre C
apropriado. Cuidados ex tremos ~ao neeessarios para liltros. tuis como di ferenciadorcs d igi tai ~ e elementos para
(l caJclllo da trnnsformuda de Hi lbert, qu e neces~itam de earaeterfsticas de fase especiais para a opera~a(l adcquada . AJem disso, se a amostragem de rrcquencia OCOfTcr pr6xima a pontus de descolllin liidades de H/ n), erros de uTTcdondamenlO podem, em casos Taros, corromper II simetria desejada dOl rcspos ta em magn itude dcse jada. Tais casus sao corrigidos aj usundo a pos i~llo dos sallos de descontinuidade problcm1ilicos ou aherJn dn 0
valor de N.
782
SINAIS E SISTEMAS LJNEAIlliS
0.25
0.2
O. [.5
"
~
0.1
0.0.5
0
-0.05
-0'[0
,
.!II
•
2
6
4
!II 111.1j!"
8
10
12
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I.2
I
-:::=:: O.
,,
; ~:
~
•
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Amoslras
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-Real
4
o. 2
h
0
.. .. .. .. .. ..
o
Figura M9.S
2
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,
4
3
II
•
Filtro FIR passa-bai",as de tamanho 2\ usando fase linear.
0.3,--------,;--------.
; :; •• " •• , ••• 1·.!1. 111 )111. !.·1 ••• , ••••••
1
,
10
20
"
1.2
25
30
40
"
I
=0.8
S. 0.6
~ 0.4
0.2
o
t\'!
o
Figura M9.6
,
3
,
4
n
,
,
,
•
._....
AmO$lf"dS
-
Real
De.~jado
,
Filtro FIR passa-bai",as de tamanho 41 usando fase linear.
0.2
0. 1
" -0.1
~
Il
-0.2
0
,
10
15
20
25
30
35
40
4.5
"
I.2
I
8
2"
_ o.
O.
••
••
•
.......
6
Figu ..... 1\19.7
De.~jado
-Real
~ 0.4
o.2
o
o
Amostras
2
3
n
4
,
6
Filtro FIR passa-fai xa de lamanho 50 usando fase linear.
CAPITULO 9
ANAliSE DE F OtiRIF.R DE SINAIS EM
9.1 -1 Obtenha a serie de Fourier em tempo discre lO
(SJ-.I D) e trace seu cspectro IV,I c LV, para
o ~ r:5 No - I para I) scguinte sinal pcri6dico:
_I
9.1·2 Repita 0 Prob. 9. 1·1 para .q:II1 '" I.VS 2,2101 cos
3,3ml.
'""" IX(IIJI1 = "
No ~ =i
~
"'. )
~
9.1 -4 Obtenha a serle de Fourier em tempo discreto
e 0 corn::spondeme e!>p«:tro de amp lilUOc c
fase para 0 ,1"[111 mostrado na Fig. P9.I-4.
(8.28).]
9.1·8 Respontla sim 00 n30 e juslifique suas rcspostas com urn exemplo IIproprilldo ou proYIl.
(a) A soma de seqiiCncias nllo pcri6dica.~ em
tempo discreto scmpre peri6diea'!
(b) A soma de scqiU!neias peri6dicas em tempo discrete e scmpre n:io pcri6dica?
9.1·5 Rcpita 0 Prob. 9. 1-4 panulnJ muslnido na Fig.
P9.1 -5
c
Prob, 9.1-4 para xlIII moslrado na
Fig. P9.1·6
0
xlnJ
12
n_
Figura P9.1-4
,
- 12
I
1
9
-6
xIII]
1
I
0
,
1
tS
6
-,
f' igura P9.1-5
- 2N(I
Figura 1'9.1-6
- N,
o
IVrl~
, . (.\'0)
No le>:lo [Eq. (9.60)], obth'c mos 0 teorema
de Parse val para a TFTD. [Diea: sc II! C
eompk:xo, emao Iwl2 = ww' c utilize a Eq.
9.1-3 Repi la 0 Prob. 9.1·1 para X[II} '" 2 cos 3,2n(n
- 3).
,
783
9.1-7 Urn sinal peri6dicoxlnl, com periodo No, c re·
presenlado por sua SFTD na Eq. (9 .8). Prove
o ~orerna de Parseval (pard it SFrD). 0 qua l
afirmaque
x[1I1 = 4cos 2,4JTII + 2 sen 3.211"1/
9. 1-6 Repita
TF....ro DISCRIoTO
2}.'0
11-
CAPfnrto 9
A:.~ DE E'olj·RIER DE SC'WS Dol Taoo Dlsur£to
785
X(fl>
•4
o
(a)
n-
(b)
Figura P9.2-9
3
3
0
..
)
-
0
6
3
.
-
(b)
(II)
.1·ln I
.l (II I
9
4
- )
3
0
3
..
-
2
0
..
2
-
(d)
Figura 1'9.2-10
9.2-11 Determine a TFfO inversa de XeD) (mostrado apenas pard Inl s ./f) pal1l 0 cspectro ilustrado na Fig. P9-2 . 11. [Dka: x(n) =
Uj
IX(il)Ie'-<Xl • Este problema iluSlra como cspcclfOS de rase c.liferentes (com 0 meSIllO especlro de amplitude) rcpresentam sjnais totalmcnle diferentes.J
9.2- 12 (a) Moslre que 0 ~i na l expandido no tempo
:'.(111 na Eq. (3.4) lambem poc.le seTdcserilo por
xAII I =
L
x[1:18[11 ~
LkJ
1= - -
(b) Obtenha a TFTD de x.lnl determi nando
a T FTD do lado direilO da equII.!Sao da
parte (a).
(c) Utilize () resuhado da parte (b) e a Tabel:!
9. 1 para dctermin:!r a TFTD de dill. rnOStrado na Fig. P9.2-12.
9.2- 13 (a) Uma rlipida nlhac.la na Eq. (9.29) mostra
que a equ ~ao da TFfI) inversa e identiCII a tra nsform ada dc Fourier invers..
(tempo contin uo), Eq. (7.8bl. para um silIal X( I) limitado ern faix.a a "It rndls. Logo. devemos ser capazes de uti lizar a l'abela 7. 1 de transfonnada de Fourier em
tempo contllluo para dele mli narmos os
pares da TFTD que correspondem aos
prue.~ da~ transtOrmadas em tempo continuo para sinais limilados em faixa. Ulilize esse ralo para obler os pares 8, 9 , 1I ,
12. 13c: 14 daTFTDda Tabela 9 .1 alrd\'Cs dos pUTes aprupriados da Tabda 7. 1.
(b) Este mctodo pode ser u lili7.ado para obler os pares 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 15 e 16 da
Tabela 9.1 ? Ju slifitjlle filla resposta com
ra7.0es c:specifieas.
9.2-14 Os seguimcs sinais no domfll io da freqilencia
s1l0 TFTDs VlIlidas·! Rc:spo nda sim ou nAu e
justifique sua respo~la .
(a) X(Q)=Q + if
(b) XCU) == j +;r
(e) XeD) = scn(lOU)
(d) X(Q)=scn(U / lO)
(e) X (U ) = 8(Q)
ANALISE DE FOUl~IER DE S1NA1S EM T E..\I I'O D ISCREro
CAPiTUlO 9
x[ III
T
4
f
,,-
0
T
0
4
(. )
- --- ..........
_.. 4
,, -
4
(Ol
·~2[1I1
T
. 1"] 1111
4
i
f
0
-4
.Trl,,)
4
4
787
4
,, -
0
2
,, -
2
(d)
(e,
-
4
-,
...~["l
T
T
-2
2
0
,
,,-
(,)
Figu ra P9.3-2
1
Ti
4
.11111
1
III.6
6
2
2
- 12
11 _ _
-4
-R
()
(.,
4
12
It-
(0,
Figura P9.3-6
1
-,
.«,'
2
-4
4
,
,, -
-2
-I
Figura P9.3-7
9.3-8 Usando apena~ 0 par 2 dn Tabcla 9.1 e a pro-pricdade da convolur;ao, obtcnha a TFTO inversa de X(1"!) '" c¥lj(;n - rf
9.3-10 Dopar~ <=> 2rui(0: -(0:J2)),dentmda fai xa fundamental , e da propriedade dn convolu"ao. oblenha a TFrO de elqy.. Assuma 0.. < ill.
9.3·9 Na Tabela 9. 1, voce tern 0 par I. A partir dessa informa(fao e ulilizando alguma propriedalIc(s) adequada(s) da TrID, obtenha os pares
2.3. 4.5. 6 c7. Porexempio. oom~andoeom
o par I, obtenha 0 par 2. Do par2, milize propriedades adequadas da TFTD para obler 0
par 3, dos pares 2 e 3, oblenha 0 par 4, e assim
pordiame.
9.3-11 A panir da defi ni,<ao e das propricdades da
TFfD, moslre que
,
(b)
L
(- IYsinc(Q<rI) = 0
1.1< <
1f
Qc < n /2
00
(ti)
(C)
L (-I)~~i nc ~( Qcll)"" O
j"
sen(MQ/2j
= 21f
_. scn(Q / 2)
Qc< 1f/2
tll/parM
(a) Determine II respost a 11[111 ao imput.~o e a
respust3 em freqil~ncia H(n) paTa 0 :Lcu·
muJador.
(b) Utilize os resuhados na pan e (a) para delenninar a TFlD de u[n1.
9.4·5 A resposta em freqlit!m::ia de um
LDIT p.ar.. IOI:S lfe
fI(f2 ) = re i
9.3-12 MOSlre "lue a cnergia do sinal .tJ r) espeeifieado nu Eq. (9.73) idcnlica a T vczes a ene r.!:ia
do ~inal X!II) ~1ll tempo diserelo, as.~ umindo
que .x/ r) e limilado em fu ilta a B:S 112T Hz.
(Diea: Iembre-se de que fun.,lIes sine silo orlogonais. 0 1.1 stju.
c
(<Xl sine 11f (r
J_~
=
{~
_ III ») sine [1f (r - II) ] dl
III
=
/I
e entradu dada
I! i
·o
eJ~
n + 0.32
·0
+eJ + 0,16
rot
x[1I1 = (-O.S )"U [Il]
9.4·2 Rcpila 0 Prob. 9.4-1 par.!.
H (r!.)=,
(~}:-/20
Determine a saida Y[III desse sistema se a elltrada .lfllJ for dada per
(a) sinc (7t 1l / 2)
( b) sine (7tI1)
(c) sinc~ (7t1l/4)
~ x(n). cn tao. mostrc que
(-1)".\·[111 ~ x(n - n").
(b) Trace y"u[II 1c (- }1"1I[1I1 para y'" 0.8. Veja 0 espectro pam y"u[1l1 nu Fig. 9.4b e
9At:. A part ir desses espectros. lrace 1.1
espeetro para (-»"U[ II].
9.4-6 (a) Se .\1111
(c) Um filtro passa- bai);.a~ ideal com frcqUi~ncia de corte O r espccificOIdo pela
te$p<lsta em frcqutncia H (n ) '" ret
(Ma J. Detenni ne sua resposta h[lI] ae
impuJsu. Oblcnha a resposla em freqUt!ncia pllra 0 fil tm cujll resposta ao impulse
e (- I)"h/II] . Trace a re~ posta em frequ~n­
cia desse Iillro. Qual 0 liro dcsse filtro?
e
9.4-1 Uti lize 0 metodo da TFrD para obler a respo~ta y[nJ de cstado nulo do sistema causal
com rcsposla em freqlienci a
H(Q)=
s i ~lema
+ 0 32
ej!l.
" j.n + e/ll
•
+ 0.16
e Clllrada
9.4-3 Repita 0 Prob. 9.4- 1 parJ
,1 0
H( n) = e/U
0.5
,
e
9.4-7 Urn filtrn euja n:sposta h[1l1 ao im pulso!! modificlldo como moslTudo na Fig. 1'9.4-7. Detennine a resposta 11,(11) ao impulso do filtro
resultante. Determine. lambem, a Te.<;po.<;la em
fre q ii~neia Hr (n ) dll filt ro rcsultante em termos un respos ta em frequcncia mO). Como
H (n) e H r(fl) eSlno re [aeionados '!
9.4·8 (a) Conside re urn sislema LDIT S; . e,<;pecifieado por uma cqua.,ne diferc lI({a nn forma das Eqs. (3.17a ). (3.17b) ou (3.24) no
Capilulo 3. Construfmos oUlro sistema oS;
subSliluindo os coefieienles uJ (i '" o. I.
2, ...• N) pelos coeficienles (- I)'l1r e surn,1ituitll;lo 1000,5 os coc::fkientes bl (i = 0, l.
2..... N) por coeticientcs (-1 )'b;. C01110 llS
resposta.'\ em frcquc:nda des doi~ siste-
mas estdo relaeionada.~?
9.4·4 Um sistema lIcurlluludor possui a proprieda.
de de que Unlll entraua X[II) TCSl.lliu em uma
safda
•
y lll] =
L
1=-"",
.flk]
S; rcpresent3 um filtro passa-baixas.
qual () tiro de filtro espedficado pur~?
(c) Qual () tipo de filtro (passa-oaixas, pas-
( b) Se
su-alias_etc.) cspccificado pela equa.,ao
difercfll;a
Y[lr1- O.8Y!1I - 11 = X[II]
796
SINAIS F. SI .~ rEM AS L INF.ARE$
No eircuito da rig. 10.2, subslituimos 0 ind utor por uma fOllle de corrente com correnle q] e 0 capadlOr
por uma fonte de tensiio com tens50 q!. como mostrndo na Fig. 10.3. 0 circu ilo resultante t! constituido
por quarm res islore.<;, duas fontes de teos1l0 e uma fonte de correnlc. Podemos detenninar a tensi'lo vI- do
indulor c a corrente i, do capacitor usando 0 principia da supcrposi.,:iio. E~te passo pode seT realizado por
inspct,:al). POT exemplo, vL passui tres componentcs vindas de tres fOnles. Para calcular a componente devido a x. u~sumimo s que (} l 0 (circuito aberta) e q, 0 (eurto-eircuilO). Com essas eondir;5es, todo 0 dreuilO do lado direito do resistor de 20: fi cani aberto e a com ponen te de vL devido a x c a tensiio no re~ i s­
lor de 20. Essa te n ~il.o e. clarJmente, ( 1/2)x. Simi lannente, para obtcrmos a componente de t't dev ido II
(fl' curto-circuitamos x e q). A fon le (Ii enxcrga urn re~i ,tor equivalente de 1 O . e, logo, vL = -ql' Continuundo nesse processo, verificamos que a componente dc VI. devido a (12 e -q~. Logo.
=
=
.
VL = q l
=
,
lx - QI -
Q2
(1O. 12a)
Usando 0 mesilla proccdimento. oblemos
.
I~
==
I .
'iQ2 =
I
(} l -
3q2
(lO. 12b)
E~.~as equar;6es ~iio identieas as e4 ua~OeS de es tado (10. 11 ) ohlida~ ameriormente.
2"
,
In
q,
+
"/.
+
+
Figura 10.3
t
20
20
Diagrama equivalcnlc IiO circuiro da Fig 10.2.
10.2-2 E qual;oes d e Estado a parti r d a FUDI;3o de Transferencia
Ere lat ivamcnte simples delermi nllT as ~ua~6es de cstado de urn sistema espe<:i ficado por sua fun\ilo dc IrJnsferencia.' Considere, por cxcmplo, urn sistema de pri mcira ordem com funr;i'lo de transfcrencia
H(s) = -
I
-
,+a
(10. 13)
A rea1iza~ao do sistema aparece na Fig. 10.4. A safda q do intcgmdor serve cornu variavel de eslado natura l.
pois. na realiz:u;ilo prati ca. a~ eond ir;Oes iniciais sao col ocada~ na .~ a{da do integrador. A entrada do intc£ru l IS naturalmcnte ri. Da Fig. 10.4. temos
• Ene prl.....""dim<;nlo "'qu~r mod i fica~OeS M! 0 . i'lema con l;"c, <;()njuntos unido~ ~l1leme l'om capaciwres e fonl~s de leus§o QU can·
ju ntos unidos so m"me mm indulores e fonles de corr"me. No caW de L'OnjunlUS un idu. sorncnl~ <-'Om C3.pacilorcs c fon le, de len·
~o. Irxios as \cnsUc1i tlus capacilon:$ n30 podem ser indepcndenlcs. Uma Icnsllo de ('ap~ci lor podc scr e>o pressa em lermtls das (lU'
Irns lensOes dos capacilores e a M(S) fonle(s) de lensiu no <;()njuolo. Conscqile.uemenle. uma das lensOes dos capacilOl"es n:lo (lode ser uliliZ3da como '"llri;i,d (!., esLado, e u capacilor 0110 de..e SCJ" 5lIbSlilUido por uma fon~ de telL""". Similarm"nlO', em urn ~"On·
jumo unido somcutc rom indutore .• e fonles de corrente, um indulor n~o pode scr SU bSliluldo pnr uma fonlc de corrente. Se Ilou·
ver conjunlO.• com wmenle C3p<lCil(m:s un idos ou romenl" indulores uni dos. nJo baveru nenhu ma oulru complie~ao. Em conju n·
lOS com r.omemc capacilorcs e fonles de len$llo lmidos -dOll <;()njunlos somcmc com ind ulorcs c fomcs de correnle uni das. lemM
lliJi cu ldadcs Il(!ic;onais nos lenn os ~n\'Oh'e ndu as deriwdas da entrada. Esse prob lema (lOde ""r ,olucinnado rederinino.k t as vari~·
"e is de e,cd". A, vari;1>'eis 1k eSlado fil\~is n!lo serlo as \ell'r;", do, capacilnre .• IlU as correme.' do, indulOreS.
!
lmpJidlamcnlc . prcs umimos que 0 siSlemal! co mmhh'cI e UbSL"Tvii"d , 1"0 implicn que nuo c..uslem cancclamcmos de p6los/zcros na
de Iransfc.-.!ncia. Sc lai s co ncelanlenWS ex islirem. a dcscri,ao por "ariA"cis decslndo rcprcsema apcnas a pane do sistema que
~ eo ntrohlvd e ob.\ervavcl {a (lane do ,istem" que acopJa a salda it enrrada). Em OUims pa lavras. a dcscr; ,~o ;merna rcp"-'$elliada pe·
1 :L~ eqUlUi'k,. de e,w.du nao i; melhor do que a descri~~o eXl ema representad<l pela equ~.'lo de emrada-safda.
fun~~o
CAPjTUUJ 10
-
,
1
ANALISE NO ESPA(O DE EsrADOS
797
q
I
,I
)'
q
}' Igura 10.4
q = -aq+x
y=q
(10.14a)
( IO.l4b)
Na S~ao 4.6, mostmmos que urna dada fu n~ao de transferend a poclc ser realizada de di versa... fonnas.
Conseqiicniemellle. devemos sec eapaze~ de obler difercllles descri~iles no espa~o de estados do mesma sistema usando difercntes realiza/i'Oe.~. Essa considera~ao ficarfi mais clara pelo exem plo a sC1;uir.
Determine a de.'iC ri/i'ilo no espa/i'o de e~tados do sistema e.~peci fjcado pela fun(fao de transferencia
2s + 10
sJ +8s +19s+ 12
11 (s) = .--~=;-c~--,-~
I
(IO. ISa)
( 1O.ISb)
~
2
= ----1- _ __
s+ 1 s+3
~
+ _ ,_
_\-+4
(lO. ISe)
''>
i'.1
",
:<:>, - J9
;£ .
j
•
l:
h,
- 12
•
I q, ,
-
!'
i'2
•
1,
I
2
I
,
I
i',
10
- 19
k
(0
(,'
-8
I
1
"
-12
(b,
Figura 10.S Realil,llI;ocs do sistema na rorrna (a) ean6nica. (b) transposta. (e) cascala e (d) para!t:la.
798
S INAIS "SISTEMAS LINEARES
•
- 3
2
y
5
•
•
(0)
y
(d)
Figura 10.5
Conlinu:!(;ao.
lremos uti lizar 0 p!"OCt:dimcnto desenvolvido na S~1I0 4.6 para reali zar H(s) da &J. (1 0.15) par qualm
furmlls: (i) a forma direla II (FO U) e (ii ) a traosposla da mn [Eq. (1O.15a)], (iii) a realiza~au em cascata
[Eq. (10. ISb)] e (iv) a reali:l-ll!jiio paralela [Eq. (1O. ISc)]. Essas rcaliza~Oes estiio lIlostradas na Fig. 10.5. Como mencionado antcriormente, a saidn de cada integrador naluralmenle, uma vari(ive l de estado.
e,
F ORMA DIRETA
IT E SUA T RANSPOSTA
Iremos real izar 0 sistema usando a fanna canonica (forma direta 0 e sua IIallsposta) disculida na ~ao 4.6. Se ~
lhcnnos as vari;lveis de eslado como scndo as saida<; dos trCs inlegradon:s . ql' ql C%. cntao. de al"OIdocom a Fig. 10.5,
q2 :::: ql
( 1O. 16a)
q) = -l2ql - 19qz - 8ql + X
A lem disso. a saida y IS dada por
( 1O.16b)
As Eqs. (1O.16a)!>!Io as equ~Oes de cstado, e a Eq. (1O. 16b) e a equa~.1io de saidu. Na forma matricial obtemos
[::l- [~ ~ ~l. [::l+[~]x
ql
- 12
- 19
,
A
- 8
qJ
1
,
'-...-'
( 1O.17a)
802
$rNAIs E SISTE.>.tAS LINEARfS
-
<
L '":,
•
J
bo
,j1/
•
l:
,
-
'0
i,
~
"
t l:
A,
I
",1),
•
b,
'#
I
,
};
}; . d
i2
U-
L
- ~h
~"
!
Z2
};
y
~
,.'
....... ,.'
....
'.
- 0.
:1
•
,•
•
b,v - l
•
I
(~
(a)
F igura 10.6
Rea lizar;(Jes de um sistema LelT de ordem N na (al [CnIta direta II e (b) nn forma paratela.
b,,_,
y = [bl>'
+ boX
Na Fig. lO.6b, as N safdas dos inlegradorcs, ZI' Z2 •....
ra,obtemos
ZN'
silo
a~
(lO,28b)
vaiaveis de cs tatio. Por inspe~ ao dessa figu -
(IO.29a)
,
(10.2%)
ou
i,
"
i N- 1
iN
-
"0
0
0
0
"
0
0
0
0
Zl
"
0
; · ..... _1
0
Z~ _ l
0
0
'N
'N
+
,,
x
(lO.30a)
"
"
( 1O.30b)
Observe que a forma diagonalizada da malli ... de eSlado [Eq. (10.308)] possui os p6los da fun~1l de transfcrenda como os elementos de sua diagonal . A pre~en(j,1 de poles repelidos em H (s) ini modificar urn pouco 0 pro-
cectimcnto. A forma de lrabalhar com csses ca:;os e discutida on Scr;ao 4.6.
Fica claro .. partir dil discuss;lo anterior que a descrir;ao porcspar;o de CSlados nao ~ unica. Pard qu alquer rcaliZ3r;ao de H (J) obtida de intcgJ1ldores, m lJlt ipli cadore~ escalaTes e somndores podcmos encontrar uma descrir;iiu por espat,:o de estados. Como cxistem incontaveis possfveis rcaJiza~Oes para H (s), exislem incontllveis pos-
sfveis dcscri!;Oes por espa.;:o de eMados.
10.3 SOL U<,:AO DE EQUA<;OES DE EsTADO
As equa~e.~ de cstado de urn sistema linear sao N cquaiYoes diferenciais simultiincas de primeinl c rclem. Estudamos lecnieas para a resolU!;iio de equa<;Ocs Iineares nos Capftllios 2 e 4. As 11lcsmas t~cnicas podem ser apIi !.:adas para as eqlla<;Oes de estado scm qual qller modificll'iao. Entn:tanto. ~ mais convcnicme obtcnnos li ma solu<rilo lI lili7.ando diretamentc a nOla9ao malricial.
Essas equ a~oe 5 podem ser resoJvidas tnnto no dominio do tempo quanto no dominio da freqtlencia (t ransfonnada de Laplace). relat ivamente mais faci l lrabalhar do dorninio dn freq iicncia do q lle no dominio do
te mpo. Por essa razM. iremos considcl1IT primeiro a solU9aO pcla lra nsfonna da de Laplace.
t
10.3-1
Solu ~Iio
pela Transformada de Laplace de
Equa~oes
de Estado
A i-esima cqua9ao de cstado IF..q. ( 10.6a)llXlssui a fonna
(l0.3 1a)
iremos obler a transformada de Laplace deslIl cqm19ao. Scja,
q;(l) {:::::::;. QJ(s)
tal que
~
q;(r)
s Q;(s) - q;(O)
Alcm disso, scja
X;(/)
<=::}
X; (.I")
A transftlrmada de Laplace da Eq. (1 0.31a) resul la em
s Q; (x) - q;(0)
=
+ ai2 Q 2(.I") + ... +
+ bj2 X1(5) + ... + b;j X I (.~ )
ail
QI (.1')
(Ii ....
Q .... (5)
+ hI! X I (s)
(lO.3I b)
Obtcndo as lransformadas de Laplace de todas as N cqt1a~Oes de cstado, obtemos
,
Q I(S)
q, (O)
a"
a ll
u'"
Q l(5)
Q!(s )
(f2(O)
Uu
a"
a2/.'
Q2 (S)
aNI
aN:
aNN
,------
QN(S)
-----Q (.)
qN (O)
'----v-'
q {O)
•
A
Q,v (S )
Q (.)
(1O.32a)
CAPiTULO 10
Vamos considerar um sistema com
cq\la~1\o
ANALISE NO EsPAfj'O OE EsTAOOS
807
de estado
[q2q, ] = [-20
1][q,]
[I 0] [",,]
q~ + 1 1
-3
x!
( [OAOa)
e eq ua",iio de said:!.
(lO AOb)
Neste easo.
(iO.4f.Ic)
,
41(5)
= (sl -
Ar l
'13
- 1 ] - ' = [ u+I)
u+2I
= [;
s +3
-2
(lOA I)
Vt I)(. \!l
Logo, a matriz H (.f) de funlliio de transferenda ~ dada por
H(s) = C ¢I(s)H
+D
-[: ~l [1'+~!~+2)
o
2
(. +lX<Hl
fJ+;)';:+2)
,~
-
[
, .;.2
1(._2)
(, + 1){, + 2)
($ '
..'~",+2)1
( 10.42)
, 1+' ,' 12
(. +I)(H2)
e a res[X)sla de C5lado nulo e
y es ) =
Lem bre-se de que
H(.~) X (s)
ij-esimo elemento da mntriz de fun"ao de transferencia da Eq. (10.42) representa a
qtlC relaciona a safd a y.(t) com a entrada )(;Ct). Por exemplo, a f un~;j(l de transfer!:ncia que relac iuna a safda YJ com a entrdda x! ~ HJi~') ,
0
funr;fio de transfer€ncia
5
2
+ 55 + 2
f1 , (,) - -'-:-'c~~
)
- (s + 1)(.~+2)
EXEM PLO DE COM PUTADOR 10 .3
Repila u Excmplo 10.6 usando 0 MAlLAB.
ANA.uSE NO EsPJ.c;o DE ESTAOOS
CAPtruLO 10
Neste ponlo, a lei lor im lembrar que AI'
entrada nula e da fonlla
809
4 .... ;""5110 os p6\os da fUlltj1l0 de lransfer&!cia, enliio II re.<;posta de
(10.45)
£ <;sc ta to tamMm c6bvio pcJa Eq. ( 10.37). 0 den ominador de todu eicmenlO d a res posla de en tnlda nula dH
matriz C<J)(s)q (O) 6!sI - A! = (1' - AjKI' - ~) ... (1' - AN)' Ponamo, a exp.1.nsao por fra,,6es parciais e n _~ ubscqOen ­
Ie tnm~iormada de Laplace inversa im resul tar na componente de entmda nu la na forma da Eq. ( 10.45).
S o]u ~a o no Domfnio
A equal,;ao de estado ~
10.3-2
do Tempo de Equa~oes de Estado
q=Aq + Hx
( 10.46)
Mostramos, agora, que a solutjao da cquatjao diferencial velorial (10.46) C
(1 0047)
An tes de prosseguinnos. de\·emos definir a exponencial da malriz que apa!Cl:e na Eq. ( 10.47). Uma exponeneial de uma matriz e defi nida por uma serie infio ita identica a Ul ilizada na ddinitjlio da cxpooencial de urn escalar. Devemos defill ir
(1O.48a)
( 10.4gb)
Por excmp10, !;C
eOlao
(10.49)
,
A
1
,1
I]" ~ [2 ,]" ~ [" ~,1
[0
=
2!
2
1 2 2 3 2 ,1
( 10.50)
e assim por diantc.
Podemos mostrar que a serie infini(a da Eq. (1 OASa) t absolu ta e un iformcmeme convergen le para todo
valor de I. Conseqiientcmente, cia potJe ser difercnciada au in tegrada lermo a Lermo. Porta nto, para OblCfmo~ (dldt}e"'. diferenciamos a ~erie do lado direilD dn Eq. (10.48a) terma a terma:
d A
A 3/ 2 A 4 / 3
2
_ e ' = A + A ,+ - - + - - + ..
dr
2!
31
A 2/2
A 313
2~
31
=A [ I + A, + - + - + · ··
= Ae
A
]
'
A .serie infi nita do Jada d ireita da Eq. ( 10.5Ia) tambtm pode ser descrila por
!!...e'" =
[I -I- AI + _A_"_' + _A_,,_3 + . .. + . .. ] A
til
21
= e A' A
31
( IO.5la)
(I0.51 b)
812
SINAIS E SISTEMAS LJNEAKES
Para eSle caso, as miles caracterislicas sao dadas por
lsi-AI =
s
,
+ 12
36
.~
J
+1
=s2+ I3s +36= (s+4){s +9) = O
As miles sao 4, = - 4 e }'2 == - 9, logo,
e
e
Al
= flo I
+ fiJ A
= G e-l'
1]
~ ~e-9') [~
~ [ ( ~3 e--41
-' 2
[- 36 -I
(10.60)
+ ~ e-9')
~ ( ~e.....t,
+ e-9')
A compunente de entrada nula e dada par lveja a Eq. ( 1O.57a)}
( - ~ e-~'
[
+ ~ e-9' )
~( _e--41
[~l
+ e- 9t )
(IQ.61a)
Note a presenr;a de 1/(/) na Eq. (10.6 1a) indicando que a resposla comer;a em I = O.
A componenle de eslado nulo e e'" * Bx [\'cja a Eq. ( 1O.57b)1, na qual
Rx =
[']I
3
1/(/ ) =
[',,(0]
3
11(/ )
e
Note novamenlc a presenr;a do lemo It(t ) em cada elemento de e '\'. Isso ocorre porque as limites da integral de convolur;ao sao de 0 a T [Eqs. (10.56) 1. Portama,
TI(e-~ - e- 9' )u (t )
e,\ I* Bx(f) =
* U(/)]
Ue--l' ~ ~e- 'II) II(/) * It (t)
* u(t) + ~e-9' 1I(/) * 11 ft)]
~ ~ e -4'1I(t) * 1/(/) + ~ e -9' II(t) * I/ (t)
_ [~ fse --41 Il(I )
A substitui\ifio das integrais de convolur;ao da equar;ao anterior utilizando a tabela de convo]w;:fio (Tabela 2.1) resu lta em
CAPfTULO 10
eA I~ Ux(t)
A,."I..\USE NO EsrAGO 1)1;: EsTAOOS
41
= [- k(1 - e- )1I (t) + :&(1 -
8 13
e- 91 )1I (t)]
-l(I - e-~)u(l) + t(l - e-"')u(l)
[(:k + ~e -4' -
~
t( e -~
(l0.6 Ib)
;fte- ?')u(I)]
- e- 91 )u(t)
A somlj das duas componentes [Eq. ( 10.61 a) e Eq. (10.6 1b)[ fornece a sol u"ao dcsejada para q(f):
q(f)
41
= [ql(t)] ~ [C-k - Me- + ~;Ie-~I)u(t)]
( ~J e-'"
q2(t)
+ ¥e- 'lt )u{t)
(lO.6 Ic)
fuse resul tado confi nna a solu"ao obtida pelo metodo no dominio da freqiicncia lveja II Eq. ( IO.36b)J.
Uma vez que as vari~vei s de estado ql e ql tenham sido obtidas pa ra I ~ 0, todas as tlemais variiivei ~ podem
~er dete nn inadM utilizandu a eq uu,,50 de ~arda.
A SACOA
(\ equa9iio de ~afda edada par
y et ) = Cq (t) + O.'I:(t )
=
yet)
C [eAlq (O)
+ e"'. fix (r)J + 0 " (1)
(1O.62a)
Como os elementos de n sao constantes.
e'" * 8 x(l)
= eM fi * x(1)
Com esse resultado, a Eq. ( 10.62a) se torna
yet)
= C[eA'q (O) + eA' B * x (t)J + I).'{ (l)
( 1O.62b)
Lembre-se, agora, de que a convolu"ao de x(t) COlli urn irn pulso unit!l.rio 8(t) rcsulta em XCI). Vamos definir
uma matri:!. dia go nal B(I),j xj. tal que os !ermos de sua diagonal sejarn funyOcs de impulso unitario. Des~a I"orrna. fica 6bvio que
8(1)
* x (1) = x(t)
e a Eq. ( I O.62b) podc seT descri ta por
y et )
= CLeA' q (O) + e AI R * X(I)] + D8(1) * X(I)
( 10.63a)
= C eAlq (O) + (C eAIB
( 1O.63b)
+ 08(1)]. X(I )
Com a 1l00ac'[o ,p(l ) para /', a Eq. (lO.63b) pode screxpressa por
yet ) = Ct;(r)q (O) +lC¢ (t)B + D8(r)]n:(r)
-....-..-'
TC'pO<,a oJ<
"""*'" l1l.I1.>
.
A resp0sta de estado 0\110, uu seja, a rcspo~ta quando q (O) '"
y(t)
.
'
( l U.63c)
"""""', de a1Mlu nolo
°
c
= [Cq,(I) H + 0 8(1)] * x(1)
(IO.64a)
CAPi"rul..o to
ANAlisIO NO Esp.~ DE EsrAOOS
815
10.4 TRANSFORMAC;AO LINEAR DO VETOR DE EsTADO
Na Sc~tio 10.1, vimos q ue 0 e5lado de urn sistema pode ser cspeci fi cado de divcrsas fomms. Os conjunLOs
de todas as possfveis variaveis de estado sao rclacionados - e m outras palavr3s, se ti vermos urn detenn..inado conjunto de vuriaveis de eslado, somos eapazcs de n:lacioml-Io COUlO oulTO conjunto. Eslamos particuiarmeme interessados em urn ti po linear de reJar;iio. Sejam ql' q, ..... q",e w" wl''''' w". dois conjunlos difercnte.~ de variiivcis de cstado es pecificnndo 0 mesmo sistema. Esscs conjUll\os sao relucionados po r uma
equ:u;ao lincar pm
WI
= Pllql
+ PI 2Q! + ... + p,,..q,..
W2
= P21q,
+ Pl1q2 + ... + Pu,q ...·
(l0.67a)
00
w,
W
'1
---w.
•
p"
PI 2
Pli
P ?!
Pm
p/;!
,•
n;:
~cP"1 '--...--,
(1O.67b)
Definindo 0 vetor w e a rna!riz P como mostrndas aci nm. podemos cscre\'er a Eq. (10.67) como
w = Pq
(1O.67c)
c
(1O.67d)
c
Ponamo, 0 vetor de eSlados q transronnudo em OUtro vetor de estado w atrrtve.<; da Imnsformar;-;;:o Unear da
Eq. (10.67c)
Se wnhccennos w. podercmos detenninar q usando a Eq. (1O.67d), desde que p-I exista. Isso e equivalente a
dizcr que P e uma maltiz nao singular' (IPI ~ 0). Ponamo, se P e urna ma(ri~. nao singular, 11 velor w definido pela
Eq. ( 10.67e) tambCm e um vetor de csrado. Considere a equar;i'io de eSllldo de urn sistema
q = Aq + Bx
(1O.68a)
w = Pq
(10.6gb)
S,
ell11l0
q
= p - IW
q = p - I\\<
Logo. a equa<;ao de e.~\.ll.do (1O.6R):<.C lorna
p- I W = AP-I w + Bx
0'
( 10.6&:)
= .Aw + Hx
( lO.68d)
' Ess.a oondi"ao eequi""l~n(e a diu< que [ada.. as N equ;x;'-""" da EQ. (1O.67a) r.ao ]inearmentc Indcpe,"j"nles. ou seja. ncnhulllD das N
""lu~~Oc§ p<><J" serap=-"" comoa ctlmbilllll;ao tineardas ""lu~Ocs restrnles..
CAPinJLO 10
»
»
817
[ 0 1; - 2 -3 1 ; B = [1 ; 21.
[11; 1 - 11 ;
Ah (]t ;; P* A*inv{Pj , B:h at ;; P. 3
1\ =
p
=
l\ha t
=
»
A NALISE NO EsPA(O DE EsTADOS
-,
3
R':J"t =
0
-1
3
-1
Portamo.
.
= [-' O][W,] + [ 3]x ( 1)
[ ",,]
3 - 1
w~
W2
- I
na qual
( 1O.69a)
,
(10.69b)
A Eq. (10.68d) e a cqua~ao de estado do mesmn sistema, rna... expn:ssada em termos do vetor de estado w.
A cqua~ao de saida tambem e modificada. Seja a equa~iio original de saida igual a
y = Cq + Ox
Em termos da nova variavel de estado w, essa equar;iio se toma
y = C(p- I W)
+ Dx
=Cw+ Dx
na qllal
( IO.69c)
INVARlANCIA DOS AmOVA LORES
Vimos que os polos de lodas as possiveis funr;o.es de tnlnsferem;ia de urn sistema silo ns autovalores da matriz
A. Se transformannos 0 velor de estado de q para w, as variaveis w I' w~, ... , w.,. serno as eombina~Oes lineares
de q" q" ... q", e. porramo. podem ser cnnsiderddas como as saidas. Logo, os pOlos das funr;6cs de Irdnsfcrencia
relacionando w,. w,..... w'" com as vMias enlrada~ lamMm devem ser os amovalores da matriz A. Por omro la-
do. 0 sistema lambem e especificado pela Eq. (1O.68d). Isso signifiea que os pOlos das funr;5c5 de transferencia
dc\'cm ser os autovalores de A. Porranto, os autovalores da matriz A permanecem inaltemdos para a transforma<;iio linear da~ variliveis, rcprescntada pela Eq. (10.67), e os aUiovalores da matriz A e da matriz A (A== PA P-')
sao identieos. COllseqiientemenie, as equar;5cs caracteristicas de A c Alambem sao identicas. Esse res ultado
tambem pode ser provado alternativamenle como mostrado a seguir.
Considere a malriz P(sl - A)p-'. Temos
P(sl - A)p- I = Ps W - 1 - PAP- ' = s PW- 1 -
A = sT - A
Oblendo 0 dclerminante dos dois Jado.
IPlisI - AIIP-'I = lsI - AI
OS determinantes de !P!e
!p-I!silo recfprocos um do outro. Logo,
IsI - AI
=
lsI - AI
(10.7 1)
818
$1"AlS B SIST EMAS L INI!ARES
Esse e: 0 resui tado desejudo. Mostramos qu e as equa(,':OeS caracteristicas de A e
tovalores de A e Asao idenlicos.
No fuemplo 10.9, a malriz A e dada pcrr
A sao identicas. Logu, os au -
A equa,,:lo caracteristica e
,
-I
lsI - AI = 2
=sl+ 3s+2=O
H3
Ale:m disso,
A~ [-23 -I01
. =
lsi - AI
[,+2
0
1=.r' +3.r+2=0
s+ 1
-3
Esse rcs lIltado eontirma que as equa" Oes cameteristicas de A e A sao identicas.
10.4·1 Diagonalizat;ao da Matriz A
POTdiversas ra~.Oes . e dcsejavel tomarmos a malriz A diag ona1. Se A nao for diagonal. podemO!l tra nsformar as
variavcis de estado de tal [onna l/lle a matriz resultante A seja diagona1. ' rode seT mos trado que para qualqucr
malTiz A diagon al os e lementos da d iagonal dessa matriz sao necessariamente AI' ~ •.., A.\. (os au lo\NJ lore~) dn
rnnlriz. Cnnsiderc n matriz diagonal A;
A~
a,
0
0
0
0
a, 0
0
0
0
0
aN
A eq ua"i'io carJcteristiC3 e dada por
ls i - AI =
(.\" - ad
0
0
0
(s - u!)
0
0
0
0
0
0
(s-aN)
(s - UI)(S - al) '" (.f - aN) =
~ O
0
Logo, o s autovaiores de A sao a l • u1• .. " a.~. Os elementos nao nulos (diagonal ) da matriz diagonal sao,
ponanlO, os autovalores AI' 4 ... , AN. rr·emos reprcscntar a matriz diagonal por urn simbolo e.~pecial. A;
A,
o
0
o
o
A,
0
o
o
0
0
Vamos, agora. considcfllr a transforma(.Can do vetor de estado A tal que a mlltriz
di agonal A.
t
( 10.72)
A resultantc seja a matriz
Ne.,sa discussilo. pre~umimos aUlI)valore., dislinl05. Se os aul"~all>fes nlG forem di stinllls, podemos rcduzir a
di~gonalizada
moditicada (Jordan).
ntillrl1.
par.. unu forma
CAPiTULO J 0
A NALlSE !'IU EsPA(fO DE EsTAOOS
82 1
A reali;O-.lIliiio dcssas equar;Oes esUi mostrnda na Fig. iO.7b. Pode ser visto na Fig. 1O.7a que os estados z,
e ~ sao desacoplados, enqu3nto que os estad05 q, c q2 (Fig. iO.7b) estiio 3coplados. Deve ser ressaltado que
a Fig. 1O.7a e 1O.7b sao realizu<;Ocs do mesmo sistema.
,
~'"
~~
4
~<.-,;:
.,
<;;,:§;'5;-
~~.
,
,
$1
'1' <,
-I
3 $&
~:£-""
-.,q •
•
q,
~t~
1]
I~,
2
Z2
t"i'"
~;~ •
t
f'l'li <,
-3
Dua.~
,A
q,
(,'
Figura 10.7
Ifl"
,,:~
W!~
-2
(12
(b,
rt:alizaliOes de urn sistema de segunda ordem.
E X E M PLO D E C O MP UTA D O R CIO.5
I~epi tao Exempl0 10. 10 usandoo MATLAB. ICuidado: P c B nao sao un icas. 1
»
»
»
I'
,
,
'v,
, [1 ; 2 ] ;
J;
,
Gi g (A) ;
L a mbda ]
P
inv(V) ,
A
=
Laobda
Bh" t =
(0 1; - 2 - J
L GIJbQa,
BhaL
,
P~8
1.4142
2.2 3 61
2.8284
2 . 2 36 1
-1
o
o
-2
5 . 65 6 9
6 . ·,082
Portanlo,
,~ [, , ] ~ [2 .8284
."1:2
[q, ]
1.4142]
= Pq
2 .236 1 2.236 1 ql
e
[~'
o ] ["] +
- 2
-<2
[5.656'
] x (t)
6.7082
=
_
Az+ R;r.::
, Neste ca.\U, lI'mos apena.~ a.~ equ~ de est:3do ~i mutadas. As ~fdas 010 e~tao nt{)l;tradas. ru ~aftlas sao contbioa<;OCs linearcs da.\ \'3.riavL-is <Ie CSlOOO (e entmtlm;). Logo, a eq uat;ao de saitla potle ser focilmente in~"OJjXIJ3.da nc:s.scs diagramas.
CAPITuLO 10
A.'lALISE NO EsPAC;O 1)F; F.srAOOS
823
(b)
(1igurn 10,8
C o nlinua~ilo
Nos dais casus, as vari:l.vcis d e es Latlos slio idenlificadas como sendo as safdas dos dois imcgr.ldores, q !
e qt. As equa<;oes de estado para 0 sistema da Fig. 10.8a slio
ill
=
q]
q2 =
,
+.Y
(1 0.79)
ql-fh
Logo,
A=l~
~l]
lsI -
c = [1
AI =
., - ,
I -,
o
s+ l
- 21
1= (s - l )(s
+ 1)
PorlanlO
,
,
(10.80)
l re mos utili zar 0 proccdimento da Ser,:ao 10.4-1 para diago llalizarmos esse sislema. Dc acordo com a Eq.
( 1O.74b), te mos
[a' 0] [P"
- 1
P2J
P"] [P"
P2I
P 22
-
",,] ['
Pn
1
~,]
A solu<;ao para essa cquar;lI.o l
Pl2
Escol hendo I' ll
'"
=0
e
I e P'1 == 1, lcmos
(l0.81a)
SINAIS E SI!>TF~\II\S LINEARES
824
Todas as Hnhas de sao diferentes de zero, logo 0 sistema c controlavel. Alem disso
Y=Cq
,
=
Cp~ I Z
=
Cz
o ]-' =
-2
( 1O.8Ib)
II
[I
(lO.Slc)
A primeira col un a de t e zero. [kssa forma, 0 modo 2, (correspondenLe a)., = I) e nao observavel. 0 sistema e, port.1nto, contro!avel mas nao observavel. Chegamos a essa mesma conclusao reali7,.ando 0 sistema
com variaveis de esLadn diagonalizadas 2, e Z1' cujas equaI,fies de est ado sao
z=Az+ Bx
Cz
y=
De aco rdo com as Eqs. (10.80) e (10.81), temos
z, = Z, + x
Zl=-Z2+ X
,
y=
Z1
A Fig. 1O.9a mostra a n:alizar;iio dessas equa<;6cs. Fica claro que os dois modos sao contro!aveis. mas 0
primciro modo (correspondente a..1., = I) e nao obscrvave1 na safda.
As equar;6es de estado para 0 sistema da Fig. 1O.8b sao
4, =-q, +x
q~ =ql - ql
• ... . . . .. . ...... . .... . .
(10.82)
+ q2 = - 2ql +q2+X
_._ . ...._.......................... .
.,. - I
)'
(a)
"
,
,
x
,
1
.+1
(b)
Figuras 10.9
Equivalentes dos sistemas da Fig. 10.8.
"
L
~
y
CArlroLo 10
ANALISE NO E.~PA<;O DE EsrADOS
825
e
Logo
0]
A ~ [- I
-2
c ~ [0 I]
1
IsI - AJ=
H
I
,-o ,1 =(s+ I)(s -
I
- I
I)
lal que A, = - 1 e A:z '" I, c
A~
-I
[
o
~]
(10.83)
DiagonaJ izando a matri z, tcmM
0]
P"] = fJIll p,,] [-I
- 2 I
P"
[
"',
P 22
U,21
P~l
A SOIU<j30 para essa equac;lio resu ila em P'1 ::: -P, ~ e Pn '" O. Escolhendo P" = - I e P11'" 1. obtemos
e
B ~ PB ~ [~ I ~][:] ~ [~]
( 1O.84a)
C ~ CP- ' ~ [0 Ij [~ :] ~ [, Ij
(IO.84b)
Logo, 0 modo cOlTC5pondenlc a A, = 1 nlio e controltiveJ. Entretanlo, como
nenhuma da.~ (:oluna~ de Ce nula, os dois modus sao ubscrvli.\'eis na saida. Dcssa forma , 0 sistema e ubscryiivcl mas oao controlavel.
Obtcmos a mesma (:onclusilo realizando 0 sistema com as variliveis de cstado diagonalizadas l , c Z:. As
du as equac;6es de CSlado sao
A primeira lin ha de
fi e lero.
z= I\ z + Bx
y = Cz
A partir das Eqs. (10.83) e (1O.84), tcmus
e, ponanlo,
)'=ll+ Z~
( 10.85)
A Fig. JO.9b mOSlra a rcal i'l..ar,:iio dessas equac;6es. Claramente, os dois modus sao observl1veis na salda,
mas 0 modo (:orre."pondentc a A, = I nao e comroJavcl.
826
SINA IS F. SISTEMAS L1KilARI!S
EX EM PL O DE COMPUTAD O R C 10 .6
Rep il:l
° Exempio 10.11 usa ndo ° l\1 AT LA B.
(a ) Sislemn da Fig. IO.RIl
»
»
fl 0;1 -1) ; ! ) " I I ; 0 ) ; C "" [ 1 - 7.] ;
IV, Lanbd,., J "eiglA) ; P" inv(V} ;
A"
»disp( ' p,.,a_e (a) ,' ), BhaL
Parc e t al :
Bhu t. "
- 0 . 5000
1 . lISO
C:lilt "
-2
~
[' · Ii , C.a L ""
C. inv( ? )
u
Cumn tOOas as linhas de Bh.il t (8) sao di ferenll:l:i de zero. 0 sistema c eontrolavel. Emre tanlO, uma coluna de Chat. (C) c zero. logo urn modo c nao observavel.
(b) Si~lema oa Fig. 10.8b
» A " [-10 ;- 2 \1 ; B = :1; 1]; c " [011 ;
» IV , l...,,,,bda ] " cig (A) ; p"inv (V) ;
»cil;p t'Pa rte (b j : ' ),
Parte ( b ) ,
filtu!".. "
Ahat. " P . D, Ch ilt. " C« lf\v( p).
0
1. . 4 1 47.
Chat
-
1 . COOO
0 . 7 0,\
Uma d a~ linhas de Bhat (in t'! :t:el"O, logo um modo c niio co nlroliivei. Como Lndas as co)u nns de Chat.
(e ) sao di fere nlt:s de zero. 0 si~lema e observavel.
l O.S-l Incapacidade da
Descri ~ao
por
Fu n~ao
de Transfen!ncia de urn Sistema
o Exemplo J 0.1 1 demonma a incap acidnde da funr;ilo de lransferencia em desercver urn sistemn LIT genCrico.
Os sistemas dn Fig. 1O.8a e 1O.8b possuem a mes mn funl;50 de trnnsferenda
H (,,) _ _ 1 _
,+1
McstliO assim, os dois sistemas sao diferentes. Sua verdadeira natu reza ~ revcJada na Fig. 10.9a e 10.9b. rc spectivamemc. Os dois sistemas s1l0 inslaveis, mas suas fU llojOes de Iransfere ncia H(s) := II(,~ + I) n1l0 dao uma
unica di ea d isso. E os sistemas sao diferenle~ do ponto de vista de contmlabi lidade e observabilidad: . 0 sistema da Fig. 10.8a t'! controlavel mas nao obse .....6vel, enquan to que 0 sistema da Fig. IO.8b e obseJ"Vrivel mm; nao
comrolavel.
A descri'i3.o por funr;50 de tran~fCTcncin de um ~istema o lha para 0 sistema lIpen a~ dos terminais de entrada
e saida. Conseqi1en!CmenIC, n de5Cri~a() por f\ln~iio de tra llsfereneia pode espeeifieM apenas a parte do sistema
que neoplu os tcrminais de entrada aos terminais de safda. A pllrtir da f ig. 10.9a e 10.% , vemos que nos dois casos, apcllilS a parte do sistema que possui fu n'ilio de lrans ferencia H (s) := lI(s + I) acopla a en trada 1i safda. Esse t'! II mot ivo pclo qual os dois sistemas possucm a mesma fUIloj"ao de trans fer€neia H (s):= III) + I).
A dcscrioj"ao por varitive l de estado {Eqs. (10.79) e (10.82) 1, por oulIU lado. contem tada a informa:;ao sobre
esses sistemas, descrevendo·os compJctamente. A rotziio e que a descri~ao por variaveis de estado e uma descri~50 imernn, e n50 a deseri'ilio externa oblida do eomportamcnto do sistema no~ terminais extCnlOS.
Aparcntemenle, a fUllojilo de Lrall~ferC ncia falha 010 dese rever comp lctamente esses sistemas, pois as fun~t>C.S de transferinda desses s istema~ possue m urn fator comum.~ _ I 110 numcrador e no denom i n ~dor. Esse
CAPIT ULO
iO
ANAUSE NO EsPAc;o DE EsTAIX)S
827
e
falnr comum cancclarlo no sistema na Fig . 10.8. com a conseqiientc perda de i nfonna~ao . Ta l situ3yaO OCOfre quando urn sis tema enao eonlrohi\'el ou nuo ob~er ... avel. Se 11m sistema for tanto conlrohivel quan to obser....1...e l (0 qu al e 0 easo na maioria dos sistema~ pnlticos). a fum,ao de transferenc ia desere vera completamente 0 sistema. Ern t<lis casos. as dese riyOes interna e ex terna silo eq uivalentcs.
10.6 ANALISE POR E..sPA(:O DE E."ITADOS DE SIsrE~1A S EM TEMPO D ISCRETO
Moslrmnos que uma equa~ao difere neial de ordem N pode sef de~eri la em termos de N t:qu ao;6cs di fen::m:iais de
primeira ordem. No procedimento amllogo a seguir. veremos que uma eq ua\;iio diferenp gem5rica de ordem N
pode ser dcscrita ern termos de N equayOes diferenp de primeira ordem.
Considere a funyao ck lransfereoeia em z
+ b 1z," - 1 + .. . + bN_1z + hI>'
+ (lI Z,\ '- 1 + ... + (I.,, _ tZ + aN
H [z;l = boz'"
z.."
( 1O.&6a)
A entrada x[1I1e a saida Y[IIJ desse sistema est1io reJac ionadas pe~ 3 equa~iio difcreny3
(Eli
+ al £,11- 1 + ... + a .... _ 1E + lI,~ »'1 11 /
(iO.86h)
= (boE"" + htE,v-1 + ·· · + b ... IE+ b.,·)x [n]
A realizalJi'io on FDU de ssa equa(,;iio C5ta apreseolada oa Fig. 10.10. Os sinais que apareeem nll." safdas dos N
elemeotos de utraso sao reprcscmndas pm qt[1I1. ql [1I1, ... , qNl!l l. A c ~trnda do pri meiro al mso C q.~.{n + 1/. Pudemos cscrever N equac;:6es. uma parol cada entrada de cada atraso:
+ IJ =
l!l lll + 1] =
ql[1I
q2[1I]
q) [11 1
( 10.87)
q .... _I[II +
IJ = q,.,. [II]
qdll + 11 = -a .....ql[II ) Yin] - bNqt rnl
lI .... _lq![II J - .. . -al q .... [II] +.((IIJ
+ b,v_ tQ2[II I + ... + ht,! ,v l n ] + buq,v"l"t [II)
POdeOlOS elimioar q.,._ tl1lJ dessn equa.;ao usando n ultima equac;:1in do cooj uoto ( 10.87). obtendo
y[n l
+ (b N _ 1 - boa,v _I)ql 11l) + ... + (hi - boat )q,.,. [I/J + box [n]
bN11 [1/ 1 + b .... _ lq2 [II] + .. . + btqN[1I J + box [n]
= (b" =
botl.~·)ql rll l
( IO.R&)
on qual ~ = b,-b,p,.
As Eqs. ( 10.!!7) silo NcquayOes d i reren~a de pri meira ordem com N variaveis 1 t[II/. ql [n], .... q.~ I III. Essas vari,heis sao imedialamenle r«:onhecida~ cornu variavcis de eslado. pais a especiricac;:ao dos seus va lores iniciais
na Fig. 10.1 0 ira delerminar unieamcOIe a resposla yin J para urn dado xIII]. Porta nto, as Eqs. ( 10.87) rcprcSC-lllam as equ alJOes de estado. c a Eq. (10.&8 ) e a cqunc;:1I.o de saida. Na ronna mal riciul. podc mos eserever es<;ll.\
equayOes por
ql [n
+ II
0
Ql [11
+ 11
0
0
0
0
0
0
ql[lI]
0
0
qdn]
0
+
q.v _tfll
q,.,.[n
+ 11
+ 11
q(~ .,.11
0
-a,
0
- lI .... _l
0
- a li_2
•
•
0
- lI2
110'_1[11]
- a,
q .... [II}
.tln )
0
'--------- ----•
q l~t
(1O.89a)
CAPiTULO 10
ANALISE NO ESPAt;:O DE ESTADOS
829
,
+ Bxln 3J + 8x[1I -
q [n - 1] = Aq[n - 2]
21
(1O.92b)
qln - 2J = Aqln -
3]
(1O.92c)
q[l] = Aq[O]
+ Bx[O]
Substituindo a Eq. (I O.92b) na Eq . (1O.92a), obtcmos
q rn] =A2q[n -2] + ABxln - 21 +Bx[I1 -I ]
Substituindo a Eg. (1 O.92e)
ne~sa equa~ao,
temos
qlnJ = A'q[n - 3] + A 2 Bx[n - 3]
+ ABx[fl -
2] + BX[II - 1]
Continuando dessa forma, obtemos
q [fll = A"q[Ol + Ar. - 1Bx[0] + A,,- 2Bx[11 + ... + Bxln -ll
.-,
= A"q[O]
(lO.93a)
+ LA,,-I -mBxlmJ
"~
o limite superior do somat6rio da Eq. (IO.93a) e nao negativo. Logo.
mo a soma de convolu(,:iio
II;::
1, C 0 somat6rio
ercconheeido co-
1J * Bx[n1
A,,- Iurn Conseqiientemente
<tll! J = A"q [01 + A,, -
IU
[/I - 1]
"
,
'---,...--'
cntnlda nul.
* Bx[n]
(1O.93b)
'
0>(000 ",ulo
y[n1 = Cq + Ox
= CA"q[O] + LCA,,-I - mBx[mJ
= CA" q[O]
Na
Se~l!o
+ CAn- lUll! -
I]
+ Ox
*' Bx[nJ + Ox
(10.94a)
(1O.94b)
B.6-5. mostnl.lllllS que
A" = ti'IiI + ti'IA
+ Ih A2 + ... + ti'tH AN- 1
(l0.95a)
na qual (msumindo N autovalores distintos de A)
Po
f,
,v-I
e
A"
~" ' " }'U
,
I
ie,
ie'
I
;' 2
A;
)'N
),~.
A,' N-I
, N- I
A,
),N - I
"
-,
I.j
"
~'1
..
(1O.95b)
A,~'
sao os N !lutovaiores de A.
Tambclll podemos determinar A" pcla formula da transformada z, a qual sera obtida posleriormcnte, na Eq.
(10. 102):
(1O.95e)
830
StNAIS t:! SISTEl>1AS
LL'<E.ARf_-;
Dllda a Je.'>Cri~ao por cspat,;o de e~l(ldos do sistema da Fig. 10.1 1. Obtc nhll a safda yIn ! se a entrada for ~1n]
= I/[nl e as conJ i ,,6t~s iniciais forcm qllOJ = 2 e qJO] = 3.
-
·~ l l! 1
1-
•
I£"
•
5
!
,
,
1
•1
G
•
•
- 1
q I [Il ]
-
)i lll
5
• l
Ql1"J
I
Figura 10. 11
Reconheccndo que q1lnj = ql[1I + I J. a.s equa~ de eslados siio [\'cja a Eq. (1 0.&9)]
II] [0
q ,[n +
[ q~tll + I] -
-~
: ] [q,[n
l] +
q~ [IIJ
(j:
[O
lx
I
(10.963)
,
(1O.%b)
Para dctcllllinar a sollll;ao CEq. (10.94)1, devemos. primeiro. dClcrminar A". A equ~iio caracteri~tica de A 6
pLr - A I =
Logo, A.1= 113 e
~
A -I . 5+ -I ( ') ( ')
I
il
.'I
). -(;
=
}.~
- -:A
6
6
=
A- -
3
A- -
2
= 0
= In s ilo os autQvalores de A e [vcja II Eq. (1O.95a) [
nn qual [vcja a Eq. (1 O.95b)]
,
A~ = P(3)-~- 2(2)-"J [~ ~] + [-6(3)-4~6(2r"l [~~ ~]
~ [3(3)-" - 2(2)-~
(3) -- - (2)- -
-6(3)- "
-2(3)- '
+ 6(2)-"]
+ 3(2r-
(10.9 7)
834
SINAIS f. SISTEMAS L INEARES
De aeonlo com a Eq. ( 10.1033)
~~.r [~] +
YlzJ = r- I
- I
[-I
:-~
][]
0
-'
~
[:] +[-1
~[ - I
---+--+--+--+
- z-j z-i z- I : -1 ----z-j
-8z
21 z
12:
12z
1 8~
6:
z-~
PonanlO,
Y[1I1 = r_ 8(3) -n
,
+ 2 1(2) -~.+ .12 + 6(3)-n -
",">,,"11' do " ntr.l<h nul.
•
.
1 8(2) - ~] u[l1]
""pool' 0. u,>d<> nulo
TR ANSFORMA(AO LI NEAR, CONTROLABILIDADE E QSSERVAB ILIDADE
procooimen to para transform:u;i\o linear semel hante ao utili zado no easo em tempo continuo (Se<;iio 10.4).
Sc w 0 vetor de estado tTan~form(ldo. dado por
o
e
c
w=Pq
tm luo
,
Y[lI j = (CP- I)w + D x
A controlabili dade e obser...abil idacle podem ser in'icslig-oldas diagonalizando a mauiz. como explicado na Se·
C;:'Io 10A.. 1.
10.7
Rt-:SUMO
Um siSTe ma lit: onlem N pode SCT de~, ri\() em te nnos de N variuve is chave - as variaveis de estado do sisre mt!. As variaveis de estado nan slio uniens, pelo contrario, e1as podem set se lecio nadas por diversas fllrmas.
Cada poss[vel sa(da do siste ma pode se r descrita como a comb in a~1i() linear das vari aveis de estado e das enlradas. r Ortlloto. as variii.\'cis de eSladCls dcscrcvcm todo 0 sistema. nilo somente a rcl ac;iio entre ce rta(s) entrada(s) e safdu(s). Por essa razlio. a descri~ao por variavcis de cstados ~ uma de.<;crir;ao interna do sistema. Tal
deserir;1io C. pon amo, a descri~ao mnis gera l do sistema e cont~m a infotmar;iio das dcscri~6es extcm as. tais
como resposta ao impulso c func;ao de tr.msrcrencia. A dcscric;lio por \'ariavel de cstado tam bem pode ser cs ..
tcnd ida para sistemas com parJ metrO!\ vari antcs no te mpo e s i stema~ nAo li neares. Uma descric;ao CXlcma de
urn sistema pode nao eameterizar co mplC:lamentc 0 sistema.
As equaC;Oes de cstado de urn sistema podem ser cscritas di rclamcnte do conhecimento da estrulUra do sistemt!, das elJua~rJts do sistema ou da reprcscJlta(Jiio em diagmma de blocos do sistema. As cq u a~6cs de cstado sao
constituidas de um co nj unto de N ClJUaliOcS difere nciais de primeira ordem e podcm seT reso lvidas pero~ mc:lOdos no domio io do lempo ou no dominio da freqUcncia. E,;:istem procedimentos adeq uados pam transfonnat um
dado conj uoto de variave is de estado em oulTO I:onj unto. Como a conjunto de vnriavcis de estado nilo unico.
c
C..oJ>!TULO 10
ANALISE 1\0 EsPM;O 1>10 EsTAOOS
84 1
matriz. A". Para tlTna matri z qu adrada A e u m /I t llpecffieo, 0 M ATLAB rctoroa A ~ alravcs do operador A. A p arti r do si stemu do exemplo 10.1 2 c n = 3, temos
»
A = [ 0 1; - 1/6 5 / 6 ] ; n " 3 ; A" n
a ns "
-0 . 1389
- 0 . 0880
0 . 5278
0 . )009
o meslllo res u!tado tarn bt!:m Co btido digit undo A*A*A.
Gera!ment c. e uli! resolver A· simbolicamen te. Observando qu e A" = Z-' [(1 - z-!Ar 'l,
pode prodLl/.ir Llllla expressilo sim b6lica para A".
»
syms;:; n ; An "
0
too lbox .~imb6lieo
sirepljf y { iz tt a p.s(jnv( eye{2)- :.: A( _ l) ~ !\ )))
[ - 2 "(l-n )... )"{J - nl , 6 · 7,"I- n )-6 . )"(- nJ]
r - 2 " I - n ) .. 3 " ( - n) , 3 _ 2" ( - n)
- 2~ 3"
(- n ) ]
e
Observe que esse r~ultad o identieo It Eq. ( 10.97), oblida anleriormente . A substitui!(ao do elisa n = 3 em
A."1 fomece urn resultado identieo ao obtido com 0 eomand" A An utili zado anterionnellle.
»
s ubsl An,n ,
~l
a:"ls =
- 0 . 13 A9
- 0 . 0880
O. S27H
0 . 3009
Pam si~ le mas em tempo continuo. a ex ponenc ial de Matri z i " gcra lmente c necessaria. 0 comando expm
pode calcular a exponencial da matriz simbolicamen tc. Usando 0 sistema do c)(cmpio 10.7 . (emus:
» "y ms t ; P. "
eAt =
[
[ -122 / 3 ; - 3 6 -1) ; c At - simp lify ( e xp::n(A *t) I
- 3/5 ~ c x'p (- 4 *t J t B/5 ' e xp (-9 *t ), - 2 Il S' e xp [- 9 ~ c) .. 2 / 1's *exp (- 4. t ) I
8 / 5*e xp(- 4 oL) - 3/ 5*exp(-9 *tJ)
36 /5 ~ expl - 9 * t ) - 36/5 . exp { - 4 * t) ,
fuse resultado e idemico ao rc sultado apres<: ntado pc\a Eq . ( 10 .60). Si mi lar ao ca,o e m tempo d iscreto,
um resultado identi co e obtido di gilando syms 13 ; simplify (ilap lace I inv I s · eye ( 21 -A ) ) ) .
Para urn r e~pceffico. a expuncncial de malriz tamtxm e faciimente cakulada. scja por substilUi«iio uu rnanipula',;iio d irerll. r(m~idcl"l'. 0 e a~o de f = 3.
»
subsleAt , t ,3 1
nns = 1 . 0c-00 4 •
-0 . 03 69
0 . 0082
-0 . 44 24
0 . 0 983
a eomanda expm ( A~ 3)
pmdul'; 0 mesmo res uhado.
10.1·1 Con vc rt a eada um a das ~ eg uintes cq u3i¥Oes
di ferenci ais de seg un da o rdcm em urn co n·
j unto dc eq um;:iies d ifereneia is de primeira
ord em (equatj Oes de e.~tad o). Inform e q ua l
delses conj un tos reprc~e ll l" cl.Jual,' CIes uno
li neares .
(a) y+ l0j + 2y =x
(b) y + 2e·'·y + log .y =.r
(c) i+rPr(y),V+ 4>:l (y)y = x
10.2·1 Escrcva as eq uao;t le5 dc cstndo pard u circuilo
RLC au Fig. P10.2-1 .
10.2-2 Escreva as equa~i'ies de cstado e safd a parol. 0
ci rcuito da Fig. P l 0.2-2.
10.2-3 Esc rcVll as equatjOes de estadn e de saida para
o eircuito da FiJ:. PIO.2-3.
10.2·4 Escreva as cq uni¥Oes de eSlado c dc saida para
o circ uito eletri co da Fig. PIO.2·4 .
10.2-5 c..<;crcva as cquatjOes deestado e de sarda para
o ci rcuilo da Fi y. P JO.2·5.
10,2-6 Escrevn as eq ua~5e.~ de cswdo e de ~ nfda para
o sistema mostrndo na Fig. P I0.2-6.
CAPiTULO 10
IF
ANALISE KO EspA<;O Ill: EsrADOS
843
(b)
H(.f )
=
sJ + 7s 2 + 12.\'
(s+I)J(s + 2)
+
In
2fi
)'
10.3-1 Obtenha 0 veto( de eMado q(l) usando 0 metodo da transformatla de Laplace se
4 = Aq + Kx
na qual
J<1gura 10.2·5
=
'1 (0)
[n
x (t)
=0
10.3·2 Rcpilll 0 ?rob. 10.3- 1 pam
A~
FigUfll 10.2·6
10.2·7 Escrcva a'i. equa¢cs de eslado c de said:'! para
o sistema mostrado na fi g. P I 0.2-7.
!""""""""""''''''''''''' ''''''''''''''''''''''''''''''''''''''',,~
"•
[-'
q(O) =
1
[!J
.rCt)
= sen
1001
10.3-3 Rcpita 0 Prob. 10.3- 1 para
<1(0) =
[~I]
.r(I) = 1/ (1)
10.3-4 Repita0 Prob. 10.3-1 p;lra
;:
,
,,,,,,,"',,,,,,,,
A,
.,.>.~;
"
~
A= [~I
.
......,,,,,,,,,,,,,,,,"'....,,,,,,,,,,,,,,,,,,,"',,,,,,
q (O)
~2]
B=[~ :]
= G]
Figura PI O.2·'
10.2-8 Pa ra urn s istemll cspecificado pcla fun/fao
de tr::msfcrencia
H(s) =
3J + IO
s2+ 7.f+ 12
10.3-5 Ut iJi ....e () metodo da trnnsfonnada de Laplace
para obler a re~po~la)' pam
Ii
na qual
A~ [-3
1]
-2 0
em cascliin e fonna em pnralelo. A lem dis so,
escreva a'i. equa~Ocs eorre~pondentcs de s."\fda.
1' 1
4s
- (s + l )(s+ 1r
H(s)- ~~~-=
+ BX(I)
)" = Cq + DX(I )
escreva 0 conjunto de equa¢CS de eslado para
a rea l iza~llo pela FOIl sua transposta. forma
10.2-9 Repila 0 ?rob. 10.2-8 para
= A<I
,
C
= [0
x(1)
" ~ [~]
IJ
= I/(t )
q (O)
= [~]
844
S INAIS E SIS7E..\I AS Ll :-''EARES
10.3·15 Repita 0 Prob. 10.3·5 usando 0 metodo do domfn io do tempo.
10.3-6 Repita 0 Prob. 10 .3-5 parol
A ~ [=: ~ll B~ [~l
X(I)
= lI(t )
q (O) =
10.3-16 Repita 0 Prob. 10.3-6 usando 0 mctodo do domfniu do tempo.
10.3-17 Detemline a matriz h (l) de rcSposta an impulso un it:irio para 0 sistema do Prob. 10.3·7,
usttndoa Eq. (10.65).
[~]
10.3·18 Dctennine a matriz h (/) de resposta ao impulso unitario pam 0 si ~teO\a do Prob. 10.3-6.
10.3·7 A fun({an de transfcrencia H (s) no Prob. 10.28 e realizada como a cascata de H1(s) scg uida
por H~(.f). na qual
10.3-19 Determine a matri7. h (r) de resposta ao impulso unilann para 0 sistema do Pmb. 10.3·10.
10.4-1 As equarr6cs de estado de
sao dada'i per
Ulll
ceno sistema
q! = (J~+2r
q~
= ~q l - l/2 +x
de e~tado w tal que
Sejam as safdas desses su bsislemas as vari(l·
veis de estadu ql e (h. rcspct.:li vamente. Escre·
\'a as cqua¢es de estado e a equa~iio de safda
parol esse siste ma e verifique que R (.f) =
Defina
C¢(s) B + O.
Determine as equ~OeS de estado do si5tema
eom w como sendo 0 vetor dc c.stado. Determine as raizes caracterfsticas (auto\'ll.lores) da
matriz A nas cqua({Oes de e.~tado original e
tmnsformada.
10.3·g Dctcnnine a matriz H(s) de fun~ao de transfe·
Tencia para 0 sistema do Prob. 10.3·5.
10.3·9 Delennine a ntatriz H (s) de run~o de transfe·
rem:i a para 0 sistcma do Prob. 10.3·6.
UIllIlOVO \ 'CIOT
WI
=q ~
10.4-2 As equao;6es de estado de urn t.'Crto sistema sao
10.3·10 Dctcnnim:: a ITUltri Z H(s) de
rencia pam 0 sistema
q=
fun~ao de
transfe·
q!
Aq + Bx
na qual
=
~2]
c
B [~
=
~ [~:]
~]
D
= ~2LJ1
-
X/2 + 2x
(n) Dctcnnine um novo vetor w (em tennos do
\'etor q) lal que as equalfflCs de eSlado Ie-
y = Cq + Dx
A [~I
ql = q !
x=
[;:;;~]
~ [~ ~]
10.3·11 Repita 0 Prob. J 0.3- 1 usando 0 metodo do domfn io do tempo.
10.3- 12 Repila 0 Prob. 10.3·2 usando 0 metoda do domfnio do tempo.
(b)
suJtantC5 e.~tejam na fonna diagona1i7..acla.
para a safda y dada por
y=Cq + Dx
naqua l
0 = 0
detennine a saida y em ICrmos do novo
velor de eslado w.
1004·3 Dado Ulll sistema
10.3-13 Rellita 0 Prob. 10.3·3 usando 0 metodo do dominic do tempo.
10.3- 14 Repila 0 Prob. 10.3-4 usando 0 metodo do domfnio do tempo.
Detemline um novo vetor w tal que as equafiOcs de ~tado scjam diagonalizadas.
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