M.T. CHIARADIA
L. GUERRIERO
G. SELVAGGI
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FISICA Il
ONDE ELETTROMAGNETICHE
?
~
EDITRICE ADRIATICA O.A.
M.T. CHIARADIA
L. GUERRIERO
G. SELVAGGI
FISICA II
ONDE ELETTROMAGNETICHE
?
~
EDITRICE ADRIATICA D. A.
BARI 2011
ISBN 978-88-96633-13-7
© Editrice Adriatica Divisione Arte S.r.l.
Via Andrea da Bari, 121
70121 Bari
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INDICE
PARTE QUINTA: ONDE ELETTROMAGNETICHE .......................................... 563
INTRODUZIONE ................................................................................................................................. 564
V.I.
ONDE ELETTROMAGNETICHE .................................................................................... 567
V.1.1.
V.1.2.
V.1.3.
V.1.4.
V.1.5.
V .1.6.
V. l. 7.
V.1.8.
V.1.9.
V.1.10.
V.1.14.
V.1.15.
Equazione delle onde elettromagnetiche ...................................................................................... 568
Campi E e B in un'onda piana ................................................................................................. :... 571
Propagazione nel cavo coassiale .................................................................................................. 574
Cavo coassiale ed equazioni di Maxwell ..................................................................................... 578
Onde piane nello spazio ............................................................................................................... 579
Impedenza caratteristica del cavo coassiale ................................................................................. 583
Impedenza caratteristica dello spazio vuoto ................................................................................ 584
Energia trasmessa dalle onde elettromagnetiche.......................................................................... 585
Vettore di Poynting ...................................................................................................................... 587
Il vettore di Poynting nei fenomeni statici o quasi statici.. .......................................................... 590
V.1.10.1. Vettore di Poynting per correnti stazionarie ............................................................... 591
V.1.10.2. Flusso di energia nella carica di un condensatore ....................................................... 592
Onde piane sinusoidali ................................................................................................................. 594
Onde sferiche e cilindriche ........................................................................................................... 596
Quantità di moto trasportata da un'onda e.m ............................................................................... 597
Esempio V.1.1. Momento associato al campo del solenoide infinito .......................................... 600
Pressione di radiazione ................................................................................................................. 603
Spettro della radiazione elettromagnetica .................................................................................... 604
V.2.
ONDE ELETTROMAGNETICHE PRODOTTE DA CARICHE IN MOTO ....... 607
V .2.1.
V.2.2.
V.2.3.
V.2.4.
V.2.5.
V.2.6.
V.2.7.
V.2.8.
Potenziali elettrodinamici ............................................................................................................. 608
Potenziali ritardati ........................................................................................................................ 610
Potenziali e campi associati ad una carica in moto lento ............................................................. 612
Potenziali prodotti da una carica in moto veloce ·········•.•·················· ............................................ 614
Campi E e B generati da una carica in moto ................................................................................ 617
Irraggiamento di onde e.m. da parte di cariche accelerate ........................................................... 619
Irraggiamento da un dipolo oscillante .......................................................................................... 620
Resistenza di irraggiamento di un dipolo oscillante .................................................................... 625
V.1.11.
V.1.12.
V.1.13.
PROBLEMI SULLE ONDE .............................................................................................................. 627
PARTE SESTA: OTTICA ......................................................................................................... 629
INTRODUZIONE ................................................................................................................................. 630
VI.I. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE DI ONDE PIANE DA SUPERFICI PIANE ..... 633
VI.1.1. Raggio di luce ............................................................................................................................... 634
VI.1.2. Leggi della riflessione e della rifrazione ...................................................................................... 635
II
INDICE
VI.1.3. Principio di Huygens .................................................................................................................... 637
VI. 1.3.1. Legge della riflessione ................................................................................................ 639
VI.1.3.2. Legge della rifrazione .................................................................................................. 640
VI.1.3.3. Riflessione totale ......................................................................................................... 642
Esempio VI.1.1. Prisma a riflessione totale ............................................................................... 644
Esempio VI.1.2. Determinazione del diametro del cerchio da cui emerge la luce
pi;oveniente da una sorgente posta in acqua .................................................... 644
VI.1.4. Principio di Fermat ....................................................................................................................... 645
VI.1.4.1. Legge della riflessione ................................................................................................ 646
VI.1.4.2. Legge della rifrazione .................................................................................................. 647
Esempio VI. 1.3. Spostamento prodotto da una lastra piana di vetro .......................................... 648
Esempio VI.1 .4. Deviazione prodotta da una serie di lastre piane parallele .............................. 649
VI.2. OTTICA ED EQUAZIONI DI MAXWELL .................................................................... 651
VI.2.1.
VI.2.2.
VI.2.3.
VI.2.4.
Introduzione .................................................................................................................................. 652
Equazione delle onde elettromagnetiche in presenza di mezzi lineari omogenei. ....................... 652
Riflessione e rifrazione delle onde piane elettromagnetiche........................................................ 653
Ampiezza delle onde elettromagnetiche riflesse e rifratte ........................................................... 659
VI.2.4.1. Campo E parallelo al piano di incidenza .................................................................... 659
VI.2.4.2. Campo E ortogonale al piano di incidenza ................................................................. 661
VI.2.4.3. Analisi delle formule di Fresnel .................................................................................. 663
VI.2.4.4. Coefficienti di riflessione e trasmissione .................................................................... 665
Esempio VI.2.1. Intensità riflessa alla superficie aria-vetro per un fascio di luce naturale
incidente ad un angolo di 70° .......................................................................... 667
VI.2.5. Onde e.m. nei mezzi materiali isolanti: indice di rifrazione ........................................................ 667
VI.2.5.1. Analisi dell'indice di rifrazione .................................................................................. 670
Esempio VI.2.2. Determinazione dei coefficienti di Cauchy per l'alcool .................................. 674
VI.2.5 .2. Velocità di gruppo e velocità di fase ........................................................................... 67 4
VI.3. STRUMENTI OTTICI .......................................................................................................... 677
VI.3.1. Introduzione .................................................................................................................................. 678
VI.3.2. Specchio sferico ........................................................................................................................... 680
VI.3.2.1. Oggetti estesi. Costruzione grafica delle immagini .................................................... 683
VI.3.2.2. Specchio piano ............................................................................................................ 686
Esempio VI.3.1. Visione di oggetti estesi mediante specchi piani ............................................. 688
Esempio VI.3.2. Proprietà degli specchi sferici.. ........................................................................ 689
VI.3.3. Diottro sferico ............................................................................................................................... 690
VI.3.3.1. Oggetti estesi. Costruzione grafica delle immagini ................................................... 693
VI.3.3.2. Diottro piano ............................................................................................................... 696
Esempio VI.3.3. Variazione della profondità apparente di una piscina
con l'angolo di osservazione ............................................................................ 696
VI.3.4. Sistemi ottici. Lenti sottili ............................................................................................................ 697
Esempio VI.3.4. Determinazione delle distanze focali di una lente sottile ................................ 701
VI.3.4.1. Oggetti estesi. Costruzione grafica delle immagini ................................................... 703
VI.3.4.2. Aberrazioni .................................................................................................................. 706
Esempio VI.3.5. Sistema ottico formato da due lenti sottili ....................................................... 707
Esempio VI.3.6. Lente acromatica .............................................................................................. 709
VI.3.5. Sistemi ottici centrati. Lenti spesse .............................................................................................. 710
Esempio VI.3.7. Piani principali in una lente spessa .................................................................. 712
VI.3.6. Strumenti ottici ............................................................................................................................. 714
VI.3.6.1. Lente di ingrandimento o microscopio semplice ........................................................ 715
VI.3.6.2. Microscopio composto ................................................................................................ 716
VI.3.6.3. Telescopio astronomico o Kepleriano ......................................................................... 717
Esempio VI.3.8. Sistemi ottici centrati ....................................................................................... 718
INDICE
III
VI.3.7. Prisma ........................................................................................................................................... 720
Esempio VI.3.9. Determinazione della espressione della rapidità di variazione dell'angolo
di deviazione di un prisma al variare dell'indice di rifrazione ........................ 724
Esempio VI.3.10.Deviazione prodotta da un prisma ................................................................... 725
VI.4. INTERFERENZA ................................................................................................................... 727
VI.4.1. Introduzione ....................... .:!.•••••.••••••••.......•.••••••••...............•.•••••••.•••••.•.••.••...•.......•.•.•.••..•••.••......•• 728
VI.4.2. Interferenza prodotta da due sorgenti coerenti ............................................................................. 730
Esempio VI.4.1. Visibilità del sistema di frange prodotto da due sorgenti
puntiformi parzialmente coerenti ·····································••u••········································ 785
Esempio VI.4.2. Distribuzione dell'intensità nella regione distante
da due sorgenti puntiformi coerenti ................................................................. 737
VI.4.3. Sorgenti coerenti. .......................................................................................................................... 739
VI.4.3.1. Dispositivo di Young .................................................................................................. 740
Esempio VI.4.3. Limite sulle. dimensioni dell'ampiezza a della fenditura
S0 nel dispositivo di Young .........: ................................................................... 746
Esempio VI.4.4. Misura dell'indice di rifrazione mediante tecniche interferometriche ............ 747
VI.4.3.2. Specchio di Lloyd ........................................................................................................ 749
Esempio VI.4.5. Figura di interferenza prodotta col dispositivo di Lloyd ................................. 750
VI.4.3.3. Interferenza da lamine sottili ....................................................................................... 752
Esempio VI.4.6. Calcolo della differenza di cammino ottico nel caso dell'interferenza
per riflessione da una lamina di spessore costante .......................................... 758
Esempio VI.4.7. Pellicole non riflettenti... .................................................................................. 758
VI.4.3.4. Frange di interferenza di uguale spessore ................................................................... 759
Esempio VI.4.8. Misura di piccoli spessori mediante tecniche interferometriche ..................... 761
Esempio VI.4.9. Frange di interferenza ottenute con un cuneo .................................................. 762
VI.4.3.5. Interferometro di Michelson ....................................................................................... 763
Esempio VI.4.10. Frange di interferenza ottenute con l'interferometro di Michelson ......................... 765
VI.4.4. Interferenza prodotta da N sorgenti coerenti.. .............................................................................. 766
Esempio VI.4.11. Determinazione dell'intensità luminosa di un massimo secondario .................... 770
Esempio VI.4.12. Distribuzione dell'intensità nella regione distante da N
sorgenti puntiformi coerenti. ............................................................................ 771
Esempio VI.4.13. Interpretazione della legge della riflessione speculare come effetto
dell'interferenza ............................................................................................... 773
VI.4.5. Onde elettromagnetiche stazionarie; esperienza di Hertz ............................................................ 774
VI.S. DIFFRAZIONE ....................................................................................................................... 777
VI.5.1. Introduzione ..................................................................,. ............................................................... 778
VI.5 .2. Diffrazione di Fraunliofer prodotta da una fenditura ................................................................... 779
Esempio VI.5.1. Diffrazione di Fraunhofer prodotta da una fenditura di larghezza a= 5A ..... 785
VI.5.3. Diffrazione di Fraunhofer prodotta da una apertura circolare ..................................................... 787
VI.5.4.1. Potere risolutivo di una apertura circolare .................................................................. 788
Esempio VI.5.2. Potere risolutivo di una lente convergente ....................................................... 790
Esempio VI.5.3. Potere risolutivo dell'occhio ............................................................................ 792
VI.5 .4. Diffrazione da disco opaco ........................................................................................................... 792
VI.5.5. Diffrazione di Fraunhofer da una doppia fenditura ...................................................................... 793
VI.5.6. Reticolo di diffrazione .................................................................................................................. 798
VI.5.6.1. Potere dispersivo e potere risolutivo di un reticolo ..................................................... 800
Esempio VI.5.4. Diffrazione prodotta da onde incidenti.ad
un angolo 8 su un reticolo "rozzo" .................................................................. 803
Esempio VI.5.5. Diffrazione prodotta da un reticolo di fase ottenuto
con la tecnica del blazing ................................................................................. 804
Esempio VI.5.6. Diffrazione di Fraunhofer prodotta da 5 fenditure .......................................... 805
IV
INDICE
VI.5.7. Diffrazione dei raggi X ................................................................................................................. 807
VI.5.8. Diffrazione di Fresnel ................................................................................................................... 810
VI.5.8.1. Metodo delle zone di Fresnel ...................................................................................... 811
VI.5.8.2. Reticolo zonato di Soret .............................................................................................. 814
VI.5.8.3. Diffrazione di Fresnel da apertura circolare ................................................................ 815
VI.5.8.4. Diffrazione di Fresnel da un disco opaco .................................................................... 817
VI.5.8.5. Diffraz~one di Fresnel da spigolo rettilineo ................................................................ 818
Esempio VI.5. 7. Determinazione della posizione dei punti di massima e minima
intensità lungo l'asse di una apertura circolare ............................................... 820
Esempio VI.5.8. Determinazione dell'intensità luminosa in un punto dell'asse
di una: apertura non simmetrica ...................... :................................................ 821
VI.6. POLARIZZAZIONE .............................................................................................................. 823
Vl.6.1. Introduzione .................................................................................................................................. 824
Vl.6.2. Sovrapposizione di onde polarizzate: polarizzazione ellittica e circolare ................................... 826
Esempio Vl.6.1. Determinazione dello stato di polarizzazione di un'onda ............................... 828
Esempio Vl.6.2. Determinazione della funzione d'onda di due onde di uguale frequenza
e polarizzate circolarmente in senso opposto, la cui sovrapposizione dia
un'onda polarizzata linearmente .............. :....................................................... 829
Vl.6.3. Polarizzatori. ................................................................................................................................. 829
Vl.6.4. Legge di Malus ............................................................................................................................. 831
Esempio VI.6.3. Intensità trasmessa da più polarizzatori ........................................................... 833
Vl.6.5. Polarizzazione per riflessione ....................................................................................................... 833
Esempio VI.6.4. Determinazione del grado di polarizzazione dell'onda rifratta
da una lastra piana di vetro .............................................................................. 835
Vl.6.6. Propagazione nei mezzi anisotropi ............................................................................................... 836
VI.6.6.1. Ellissoide degli indici di Fresnel.. ............................................................................... 838
Vl.6.6.2. Fronti d'onda in un cristallo uniassico ........................................................................ 841
Vl.6.6.3. Birifrangenza ............................................................................................................... 842
VI.6.6.3.1. Incidenza normale su una lastra birifrangente ........................................................... 844
Vl.6.6.3.2. Incidenza obliqua su una lastra birifrangente ............................................................ 846
Esempio Vl.6.5. Separazione tra il raggio ordinario ed il raggio straordinario prodotto
da una lastra piana di calcite ............................................................................ 847
· VI.6.6.4. Il prisma di Nicol. ........................................................................................................ 848
VI.6.6.5. Lamine di ritardo ......................................................................................................... 848
Esempio VI.6.6. Minimo spessore di una lamina a quarto d'onda o a mezz'onda ..................... 852
PROBLEMI DI OTTICA ................................................................................................................... 853
PARTE SETTIMA: RELATIVITÀ
INTRODUZIONE ................................................................................................................................. 868
VH.1. EQUAZIONI DI MAXWELL E PRINCIPIO DI RELATIVITÀ .............................. 871
VIl.1.1. Relatività Galileiana e velocità della luce .................................................................................... 872
VIl.1.2. Forza tra cariche elettriche viste da un sistema in moto .............................................................. 874
VIl.1.3. Contrazione di Lorentz. Massa e velocità .................................................................................... 87 6
VII.1.4. Esperimento di Michelson ............................................................................................................ 878
VII.1.5. Estensione del principio di relatività ai fenomeni elettromagnetici.. ........................................... 879
INDICE
V
vn.2. TRASFORMAZIONI DI LORENTZ ................................................................................ 883
VII.2.1.
VII.2.2.
VII.2.3.
VII.2.4.
Spazio e tempo nelle trasformazioni di Galileo ........................................................................... 884
Analisi del concetto di contemporaneità ...................................................................................... 885
Definizione operativa della contemporaneità ............................................................................... 886
Trasformazioni delle lunghezze e degli intervalli di tempo ......................................................... 887
VII.2.4.1. Trasformazioni delle coordinate trasversali al moto ................................................... 887
VII.2.4.2. Trasformazione àegli intervalli di tempo .................................................................... 888
VII.2.4.3. Trasformazione delle lunghezze parallele al moto ..................................................... 889
VII.2.5. Trasformazioni di Lorentz ............................................................................................................ 890
VII.2.6. Rappresentazioni di Minkowsky .................................................................................................. 893
VII.2.7. Velocità della luce e causalità ...................................................................................................... 895
VII.2.8. Addizione relativistica delle velocità ........................................................................................... 897
VII.2.9. Formalismo quadridimensionale .................................................................................................. 899
VII.2.9 .1. Quadrivelocità ............................................................................................................. 900
VII.2.9 .2. Quadriaccelerazione .................................................................................................... 902
VII.2.9.3. Quadrivettore Forza ..................................................................................................... 902
VII.2.9.4. Quadrivettore quantità di moto ................................................................................... 902
VII.2.10. Equivalenza massa-energia ......................................................................................................... 903
VU.3. TRASFORMAZIONI RELATIVISTICHE PER IL CAMPO
ELETTROMAGNETICO .................................................................................................... 907
VII.3.1. Invarianza relativistica della carica elettrica ................................................................................ 908
VII.3.2. Campo elettrico di una carica puntiforme .................................................................................... 908
VII.3.3. Forze magnetiche come effett~ relativistico ................................................................................ 910
VII.3.4. Forze tra conduttori paralleli percorsi da corrente ....................................................................... 912
VII.3.5. Trasformazione dei campi E e B .................................................................................................. 913
VII.3.6. Formulazione quadridimensionale dell'elettromagnetismo ......................................................... 916
VII.3.7. Mezzi polarizzati in movimento ................................................................................................... 920
SOLUZIONI ACCENNATE DEI PROBLEMI PROPOSTI .................................................... 925
nde elettroma natiche
lntroduzione ............................................................564
V.1 .
Onde elettromagnetiche ........................................567
V.2.
Onde elettromagnetiche prodotte
da cariche in moto ..................................................607
INTRODUZIONE
Le equazioni di Maxwell sintetizzano in forma matematica le proprietà
del campo elettrico e magnetico ed evidenziano lo stretto legame fra questi nelle situazioni dinamiche 1• Come vedremo nel seguito, è proprio
l'interdipendenza tra il campo elettrico e quello magnetico che permise a
Maxwell di pervenire ad una equazione differenziale per ciascuno dei due
campi, che presentava la struttura matematica delle equazioni differenziali utilizzate per descrivere la propagazione di onde meccaniche in un
mezzo elastico tridimensionale. In altre parole le perturbazioni prodotte
nel campo di forze elettromagnetiche potevano propagarsi nello spazio
sotto forma di onde, che Maxwell chiamò onde elettromagnetiche e di cui
analizzò le proprietà generali. Come i suoi contemporanei, anche Maxwell nello studio dei fenomeni elettromagnetici presuppose l'esistenza
dell'etere, un mezzo impalpabile che permeava tutto lo spazio e che
rendeva possibile, in base ad un modello meccanico, la propagazione
delle onde elettromagnetiche con una velocità che risultò essere pari a
quella della luce. Anche la riflessione, la rifrazione, l'interferenza e la
polarizzazione delle onde elettromagnetiche obbedivano a leggi identiche a quelle delle onde luminose, che quindi dovevano essere di natura
elettromagnetica: il lavoro di Maxwell permetteva così di inglobare
nell'elettromagnetismo l'ottica, che si era sviluppata come una scienza
autonoma.
Il declino della teoria dell'etere, sancito dai risultati negativi di numerosi esperimenti eseguiti per evidenziarne l'esistenza (tra cui ricordiamo
quello di Michelson-Morley), non ha comportato alcuna modifica
sostanziale nelle equazioni di Maxwell: queste descrivono
correttamente il comportamento del campo elettromagnetico sia nei
mezzi materiali che nel vuoto. Di conseguenza le perturbazioni prodotte
nel campo elettromagnetico anche nei punti dello spazio vuoto si
propagano in questo sotto forma di onde. Le onde elettromagnetiche
non hanno bisogno come quelle meccaniche di un mezzo materiale per
potersi trasmettere perché sono in grado di autosostenersi nello spazio
vuoto: infatti un campo magnetico variabile nel tempo genera un campo
elettrico in accordo alla legge di Faraday
(rotE=-dB!dt) e
quest'ultimo variando nel tempo rigenera il campo magnetico in
accordo alla legge di Ampère-Maxwell (rotB = µocodE!dt). La verifica
sperimentale della esistenza delle onde elettromagnetiche, previste da
Maxwell su base teorica, si ebbe alla fine del diciannovesimo secolo
quando Hertz le produsse in laboratorio e ne misurò la velocità di
propagazione, che risultò coincidere con quella della luce. La comprensione dei processi di generazione e di propagazione delle onde
elettromagnetiche è alla base delle moderne tecniche di comunicazione.
1. Tale legarne viene anche sottolineato dal termine campo elettromagnetico, comunemente utilizzato nell'analisi dei fenomeni che si verificano in tali situazioni.
INTRODUZIONE
565
In questa parte studieremo le caratteristiche generali delle onde elettromagnetiche nel vuoto e le verificheremo nel caso in cui esse si propagano
in una linea di trasmissione (cavo coassiale) e nello spazio circostante un
foglio piano di corrente. Verrà anche affrontato il problema della
conservazione locale dell'energia in presenza di fenomeni radiativi; a tale
scopo verrà introdotto il vettore tll.i Poynting, il cui flusso, indispensabile
nei bilanci energetici nelle situazioni non stazionarie, ci fornirà una
visione nuova di come avvengono i trasferimenti di energia anche nelle
situazioni stazionarie o quasi stazionarie.
Passeremo quindi ad introdurre i potenziali elettrodinamici da cui si derivano i campi elettrico e magnetico nelle situazioni dinamiche e mediante
i quali è possibile evidenziare meglio il legame tra gli stessi campi e le
rispettive sorgenti, distribuzioni di carica e di correnti. In particolare vedremo che tali distribuzioni, quando dipendono dal tempo (p = p(t) e
J=J(t)), generano onde elettromagnetiche che, propagandosi con velocità
finita (pari a c nel vuoto), raggiungono punti distanti dopo un intervallo di
tempo, il cui valore dipende dalla separazione tra il punto in esame e le
sorgenti. A causa di tale ritardo temporale, le espressioni dei potenziali A
e <p sono note come potenziali ritardati. Valuteremo in particolare le espressioni dei potenziali e dei campi nel caso in cui questi sono prodotti
da una carica in moto e da un dipolo oscillante.
Lo studio dell'elettromagnetismo verrà completato nell'ambito della Teoria
della Relatività Ristretta alla fine del presente volume. Le prove sperimentali dell'invarianza della velocità della luce in sistemi di riferimento inerziali e la necessità di rendere invarianti rispetto a questi tutte le leggi fisiche, sia quelle della meccanica che dell' elettromagnetism9, portarono Einstein a rivedere criticamente i concetti di spazio e tempo ed a formulare la
teoria della Relatività (1905). In tale ambito il campo elettrico e magnetico
non sono entità indipendenti ma solo componenti di una entità più complessa, il tensore del campo elettromagnetico.
nde elettr
natiche
V.1.1 . Equazione delle onde elettromagnetiche ................568
;
V.1.2. Campi E e B in un'onda piana ...................................571
V.1 .3. Propagazione n~I cavo coassiale ............................574
V.1.4. Cavo coassiale ed equazioni di Maxwell ..................578
V.1.5. Onde piane nello spazio ...........................................579
V.1.6. Impedenza caratteristica del cavo coassiale ........... 583
V.1. 7. Impedenza caratteristica dello spazio vuoto ........... 584
V.1 .8. Energia trasmessa dalle onde elettromagnetiche ... 585
V.1.9. Vettore di Poynting ...................................................587
V.1.1 O. Il vettore di Poynting nei fenomeni
statici o quasi statici ................................................590
V.1 .11 . Onde piane sinusoidali ............................................594
V.1.12. Onde sferiche e cilindriche ......................................596
V.1.13. Quantità di moto trasportata da un'onda e.m ........... 597
V.1.14. Pressione di radiazione ............................................ 603
V.1.15. Spettro della radiazione elettromagnetica ............... 604
V.1. - ONDE ELETTROMAGNETICHE
~.1.1. - Equazione delle onde elettromagnetiche
Vediamo ora come partendo dalle equazioni di Maxwell relative ai punti
dello spazio vuoto si perviene a due equazioni differenziali, una per il
campo elettrico ed una per il campo magnetico, le cui soluzioni descrivono l'evoluzione del rispettivo campo nello spazio e nel tempo, che si manifesta sotto forma di onde elettromagnetiche.
Le equazioni di Maxwell nello spazio vuoto sono
divE=0
divB =0
aB
rotE=-at
Valutiamo il rotazionale di entrambi i membri della legge di Faraday:
ricordando le proprietà degli operatori differenziali (cfr. § I.5. 8.) e la proprietà di invarianza delle derivate parziali del secondo ordine rispetto
all'ordine di derivazione, si ha
rot(rotE)= grad(divE)-V 2 E = _i_(rotB)
at
Tenendo conto della prima e della quarta equazione di Maxwell otteniamo
2
vzE
a(
aE)
a E
= at µoEo at = µoEo at2
cioè
(V.1.1.)
Analogamente, partendo dalla relazione rotB = µ 0 E0 aE/at , si può ottenere la seguente equazione differenziale per il campo magnetico
aB
V B=µoEo-22
2
at
(V.1.2.)
La (V.1.1.) e la (V.1.2.) sono equazioni differenziali lineari del secondo
ordine che collegano rispettivamente le derivate parziali seconde del
campo elettrico e del campo magnetico relative alle coordinate spaziali
con la corrispondente derivata seconda relativa al tempo. Ognuna di esse,
che ha come argomento un campo vettoriale (E= E(r, t) o B = B(r, t)),
riassume in forma compatta tre equazioni differenziali formalmente identiche, ciascuna delle quali ha per argomento una delle tre componenti scalari dei campi. Scriviamole in forma esplicita
569
V.1.1. - EQUAZIONE DELLE ONDE ELETTROMAGNETICHE
J
U
2
(r, t) a 2E,. (r, t) a 2Ei (r, t)
a Ei (r, t)
+----+-_a..-'---~-µc
(i=x,y,z)
ax 2
ay 2
az 2 - O O dt 2
2E.
I
2
2
2
éJ2Bi(r,t) + <1 Bi(r,t) + <1 Bi(r,t) _
ax 2
ay 2
az 2
-
(V.1.3.)
E <1 Bi(r,t)
µo
O
dt 2
(i=x,y,z)
(V.1.4.)
Possiamo quindi affermare che ogni componente del campo elettrico o
del campo magnetico soddisfa ad una equazione differenziale, in cui Maxwell riconobbe la struttura matematica delle equazioni differenziali già
utilizzate per descrivere. la propagazione di onde meccaniche in un mezzo
elastico tridimensionale. ·
Poiché ogni equazione è indipendente dalle altre, saremmo tentati di affermare che ciascuna componente del campo elettrico o di quello magnetico possa evolvere nello spazio e nel tempo in modo del tutto indipendente dalla presenza e dalla evoluzione delle altre componenti. Tuttavia,
come vedremo esplicitamente nel seguito e come del resto è espresso
chiaramente dalle equazioni di Maxwell da cui siamo partiti, i campi E e
B sono strettamente collegati tra loro e l'esistenza di una componente di
E implica necessariamente quella di un'altra componente di B.
Prendiamo in esame una qualunque delle sei equazioni differenziali che definisce il comportamento di una componente del campo E o di B. Abbiamo già
osservato che si tratta di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine, la cui soluzione più generale è una funzione delle tre coordinate spaziali e
del tempo (& =E(x,y,z,t), Bi =Bi(x,y,z,t)). Sappiamo inoltre che ogni soluzione di una equazione differenziale lineare si può esprimere come combinazione lineare, o sovrapposizione, di altre soluzioni della stessa equazione. In
particolare possiamo considerare soluzioni che dipendono da una sola coordinata spaziale e dal tempo, del tipo E=E(x,t), E=E(y,t) e E=E(z,t), più
semplici da determinare e che, come vedremo, rappresentano onde piane che
si propagano rispettivamente lungo l'asse X, Y e Z. La soluzione generale
sarà sempre esprimibile come sovrapposizione di soluzioni di questo tipo. In
altre parole, la linearità delle equazioni differenziali (V.1.3.) e (V.1.4.)
garantisce che la soluzione tridimensionale più generale si può sempre
ottenere come somma di un numero opportuno di onde piane che viaggiano
in diverse direzioni dello spazio.
Verifichiamo che una delle soluzioni del tipo Ei(x,t) rappresenta un'onda
piana. Infatti essa soddisfa l'equazione differenziale
2
2
<1 Ei (x, t)
<1 Ei (x, t)
-µs
ax2
- o o
at2
.J
che può essere riscritta, ponendo v = 1/ µ 0 s 0 , come
2
<1 Ei(x,t)
ax
2
2
1 <1 Ei(x,t)
v
2
dt 2
(V.1.5.)
Questa è l'equazione di D' Alambert. Si può dimostrare che le soluzioni
di questa equazione sono funzioni arbitrarie della variabile u che deve essere una combinazione lineare di x e t unicamente del tipo
u=x-vt
o
u
x+vt
(V.1.6.)
V.l.
570
ONDEELETIROMAGNETICHE
In altre parole la soluzione dell'equazione di D 'Alambert è una funzione
che non dipende separatamente da x e da t ma dalla loro combinazione
lineare, espressa dalle relazioni (V.1.6.).
Verifichiamo che la funzione f 1(u)=f1(x-vt) è soluzione della equazione
(V.1.5.). A tale scopo valutiamo le derivate prime di f1 rispetto a x et
dfI = dfl dU = dfl
dx du dx du
df1 df1 du
df1
df
-----v-- v -1
dt du dt
du
dx
⇒
Passando alle derivate seconde
risulta
d2 f 1
dx 2
_
-
1 d2 f 1
~ dt 2
Analogamente per f2(x+vt).
La soluzione più generale dell'equazione di D'Alambert è la funzione
Ei (x, t) = Af1(x - vt) + Bf2(x + vt)
combinazione lineare delle due funzioni: la prima, Af1(x-vt), con A costante arbitraria ed f 1(x-vt) funzione arbitraria dell'argomento (x-vt),
rappresenta un'onda piana che si propaga con velocità v nel verso positivo dell'asse X (onda progressiva); la seconda, Bf2(x+vt), rappresenta
un'onda piana che si propaga con la stessa velocità nel verso negativo
dell'asse X (onda regressiva). Ricordiamo che si parla di onde piane
quando il fronte d'onda, cioè il luogo dei punti in cui la funzione d'onda
assume valore costante ad un istante fissato, è un piano. Ora entrambe le
soluzioni f 1(x-vt) ed f2(x+vt) non dipendono dalle coordinate y e z e,
quindi, al generico istante di tempo t, assumono valore costante sul piano
di equazione x=cost, perpendicolare all'asse X.
Verifichiamo ora che la prima soluzione Af1(x-vt) rappresenta un'onda
progressiva: infatti il valore da essa assunto nel punto x 1 al tempo t1, cioè
per u1 =x 1-vt1, è uguale al valore che questa assume nel punto x2=x 1+~x
all'istante t2=t1+~t, per u2= x2 - vt2, cioè
f1(U1) = f1(X1-Vt1) = f1(U2) = f1(X2-Vt2)
purché
X
u1 = X1 - vt1 = u2 = (x1+~x) - v(t1+~t)
Fig. 1
Questa eguaglianza è verificata quando vale la relazione: ~ = v~t; in altre
parole, i valori che E assume nei vari punti all'istante t, si sono tra-
V.1.2.- CAMPIEEBINUN'ONDAPIANA
571
sferiti durante il tempo .M nel verso positivo dell'asse X con una velocità V= !J..x/!J..t.
Analogamente si può vedere come la soluzione Bf2(x+vt) rappresenta
un'onda piana che viaggia nel verso negativo dell'asse X. Infatti il valore
assunto dalla funzione d'onda nel punto X1 al tempo t1, viene successivamente assunto nel punto x2 al tenlpo t2= t 1+/J..t purché
⇒
/J..x =-v/J..t
L'onda quindi si sta propagando nel verso negativo dell'asse X con una
velocità v=-M/J..t.
La forma particolare della funzione arbitraria f 1(x-vt) o f2(x+vt) dipende
essenzialmente dal modo con cui le onde vengono generate. E' spesso
conveniente considerare onde piane sinusoidali, in quanto ogni soluzione
dell'equazione di D' Alambert (che ricordiamo è una equazione differenziale lineare) si può esprimere come somma o integrale di onde piane sinusoidali, propagantesi nella stessa direzione con la stessa velocità (cfr. §
IV.5.7. e§ IV.5.8.).
Valutiamo infine la velocità v di propagazione delle onde elettromagnetiche
V=
l
.JµoEo
=
l
✓ 4rc · 10- • 8.85 · 107
= 2.99792458 · 10 8 m
12
S
Tale valore coincide con quello della velocità della luce, la cui prima determinazione, eseguita dal danese Roemer, risale al 1666. Questa coincidenza portò Maxwell a dedurre la natura elettromagnetica delle onde luminose. In tal modo l'ottica può essere vista come una branca
dell'elettromagnetismo, pur essendosi sviluppata in maniera del tutto indipendente da questo.
V.1.2. - Campi E e B in un'onda piana
Esaminiamo in dettaglio quali proprietà devono avere il campo elettrico e
magnetico di un'onda piana per soddisfare in ogni punto dello spazio e ad
ogni istante di tempo le equazioni di Maxwell, da cui siamo partiti per ottenere l'equazione di D' Alambert.
Consideriamo il caso in cui la propagazione avvenga lungo l'asse X;
sappiamo che in questa situazione entrambi i campi E e B, soluzioni
dell'equazione di D' Alambert, devono essere funzioni solo delle variabili x et
E= E(x, t) = Ex (x, t)i + EY (x, t)j + E 2 (x, t)k
B = B(x, t) = Bx (x, t)i + BY (x, t)j + B 2 (x, t)k
L'indipendenza delle componenti del campo elettrico da y e da z e la
condizione divE = é)Ex + é)EY + é)Ez = O, portano alla relazione
ax
é)y
é)z
V.1.- ONDEELETIROMAGNETICHE
572
Analogamente per il campo magnetico
divB
= dBx + dBY
dx
dy
+ dBz
dz
=O ⇒
D~ queste due equazioni deduciamo che la componente del campo elettrico e
del campo magnetico nella direzione di propagazione oltre a non dipendere
da y e da z non dipendono neppure da x. Esse, quindi, devono avere lo stesso
valore in tutti i punti dello spazio: rappresentano campi uniformi.
Prendiamo ora in esame la terza e la quarta equazione di Maxwell e
proiettiamole sull'asse X
=(- aB)
dt
(rotB ), =
(µ,,, aE)
dt
(rotE),
X
⇒
dEZ - dEy = - dBX
dy
dZ
dt
⇒
dB
d/
X
dBY
-a;:= µoEo
⇒
dE
dtx
⇒
dBX =
o
dt
dEx =
o
dt
Le componenti Ex e Bx non dipendono neppure dal tempo: esse rappresentano campi uniformi e costanti che, quindi, non si propagano. In altre parole
sono una soluzione statica che non ci interessa, visto che ci stiamo occupando di fenomeni di propagazione. Concludiamo, quindi, che il campo elettromagnetico variabile che si propaga come onda non ha componenti parallele
alla direzione di propagazione. I vettori E e B giacciono nei piani perpendicolari alla direzione di propagazione. E' questa una caratteristica generale di tutte le onde e.m., che pertanto sono onde trasversali, e da essa dipende
in particolare il fenomeno della polarizzazione della luce.
Consideriamo le rimanenti relazioni tra B ed E, che si ottengono proiettando sugli assi Y e Z la terza e la quarta equazione di Maxwell
(rotE), = (-
aB)
dt
⇒
aBdt )
⇒
Y
(rotE ), = (-
2
(rotB ), =
(µ e a:),
0 0
⇒
dEX - dEZ = - dBy
dZ
dx
dt
dEY _ dEx = _ dB
dy
dX
dt
dB
dB
dzx - dxz = µoso
2
dEy
Tt
⇒
dEZ - dBy
dx
dt
=}
--=---z
dEY
dx
dB
dt
aB
ax
= -1-aEY
--
=} _ _
z
v2
at
Consideriamo soluzioni di tipo onda piana progressiva: By= f(x-vt).
Abbiamo dimostrato che per una funzione d'onda f(x±vt) sussiste un legame tra la sua derivata temporale e quella spaziale
df
dt
= ±v df
dx
Possiamo pervenire allo stesso risultato in maniera più intuitiva: trattandosi,
infatti, di valori del campo che si propagano con velocità v, la variazione ~f
V.1.2.- CAMPIEEBINUN'ONDAPIANA
573
del campo nel punto di coordinata x in seguito alla variazione temporale da t
a (t+~t) è equivalente alla differenza tra i valori assunti dal campo nello stesso istante di tempo in due punti separati da una distanza ~ (fig. 2), purché
sia ~=±L\t, cioè
ar
ar
at
ax
.M =-~t=-(±v~t)
f
da cui
Utilizzando questo risultato e la seconda e terza relazione precedente si ha
o
pc-Lix
lx
-..J. Lix=v~t I.-·
Fig. 2
Integrando si ottiene
B 2 =Ey/v
La relazione precedente indica che se nel campo elettrico che si propaga è
presente la componente y, deve necessariamente essere presente anche la
componente z del campo magnetico.
Procedendo in modo analogo a partire dalle altre due equazioni si ottiene
BY =-E 2 /v
che stabilisce un legame tra le componenti Ez e By,
Dalle due relazioni
e
segue che il campo elettrico e magnetico sono ortogonaH l'uno all'altro.
A tale scopo basta verificare che il prodotto scalare tra essi (E•B) sia nullo. Infatti
E• B = EYBY + EzBz = vBzBy - vByBz = O
in cui si è tenuto conto della condizione Ex=Bx= O.
Possiamo così concludere che i vettori E e B, oltre ad essere perpendicolari alla direzione di propagazione, sono anche normali tra loro. Il campo
E e la direzione di propagazione determinano un piano, detto piano di
polarizzazione. Il piano determinato da B e dalla direzione di propagazione si dice piano di vibrazione.
Verifichiamo inoltre che il campo E, il campo B e la direzione di propagazione (individuata nel caso in esame dal versore i) formano una
terna destrorsa. Consideriamo infatti il prodotto vettoriale tra E e B
X
V.1.- ONDEELETIROMAGNETICHE
574
i
j
k
2
ExB= O By
o
2
2
Ez =(E yB z -E z B y)i=(vB z +vB y)i=vB i
By
Bz
l
Noti pertanto E e B, la direzione ed il verso di propagazione sono determinati dall'avanzamento di un cavatappi levogiro che ruoti in modo da
sovrapporre E a B secondo l'angolo minore (regola della mano destra).
Osserviamo infine che in un'onda e.m. c'è un legame tra il modulo del
campo elettrico e quello del campo magnetico dato dalla relazione
E= /E 2 +E 2 = lv 2 B 2 +v 2 B 2 =vlB 2 +B 2 =vB
"
y
z
"
z
y
"
z
y
In particolare nello sazio vuoto risulta
E=cB
V.1.3. - Propagazione nel cavo coassiale
Per verificare queste proprietà del campo elettrico e magnetico nelle onde
consideriamo come primo esempio la propagazione di onde elettromagnetiche in una linea di trasmissione, cioè in un sistema formato da due conduttori separati da un dielettrico o dallo spazio vuoto. In questo caso cariche e correnti sui conduttori sono viste inizialmente come sorgenti dei due
campi; successivamente però verificheremo che la velocità di propagazione
del segnale elettrico è determinata unicamente dalle proprietà dei campi
stessi.
Consideriamo in particolare un cavo coassiale che, come sappiamo, è un
sistema costituito da un conduttore cilindrico, di lunghezza infinita, di
raggio R 1, circondato da una guaina cilindrica coassiale conduttrice, di
raggio R2. Nella presente trattazione trascureremo i fenomeni dissipativi
nei conduttori, in quanto supporremo che questi siano ideali (privi cioè di
resistenza) ed inoltre assumeremo che nell'intercapedine sia presente
spazio vuoto.
Se un elettromotore esterno viene connesso tra i due conduttori in modo
da stabilire tra questi una d.d.p. costante ~<po, (fig. 4) il processo corrisponde alla carica di un condensatore cilindrico che presenta una capacità
per unità di lunghezza pari a
Fig. 3
C _ C_
0
I
,,.
I
I
I
I
I
~--,-~-~--f--~
1
LÌ<j)o
r
I
I\
-------.---~-r-
2
~.
-----------~--V
\
Fig. 4a
\
-
R-
2nso
ln(R 2 /Ri)
Il generatore deve perciò trasferire energia al campo elettrico
che si stabilisce tra i due conduttori e fornisce infatti una carica q0=C0 ~<po per ogni unità di lunghezza. Il processo di carica
non è istantaneo ma procede nel tempo: infatti per caricare gli
ulteriori tratti del cavo il generatore deve fornire continuamente nuove cariche, così che si stabiliscono sui due conduttori
due correnti di verso opposto, dovute al moto di cariche di segno opposto nella stessa direzione. La presenza di queste correnti dà origine ad un campo magnetico, con linee di forza cir-
V.1.3. - PROPAGAZIONE NEL CAVO COASSIALE
575
colari, nello spazio tra i due conduttori. Si ha quindi anche un'energia
magnetica che deve essere fornita dal generatore esterno e che possiamo associare all'induttanza del sistema che per unità di lunghezza
vale
r
1
Per dedurre la legge di carica in funzione del tempo, seguiremo una procedura che storicamente ha portato alla così
detta equazione dei telegrafisti, che descrive la propagazione di segnali su linee e cavi. La procedura non fa esplicito
ricorso alle equazioni di Maxwell ma utilizza le leggi di Kirchhoff per i circuiti, pervenendo comunque al risultato corretto. Approssimiamo, quindi, la struttura continua (a costanti distribuite) del cavo coassiale, con una struttura discreta (a
costanti concentrate) formata da una sequenza di condensatori (la cui capacità L1C = C0L1f corrisponde a quella di un
tratto t1.e del cavo, ed in cui pensiamo immagazzinata
l'energia associata al campo elettrico) separati tra loro da
una sequenza di induttanze (di valore pari a &=Lot1.e, ugua-
Li<po
Fig. 4b
LiL
·~~;-;-11~
le cioè a quella di un tratto t1.e del cavo, in cui pensiamo immagazzinata l'energia associata al campo magnetico). Otteniamo così lo schema circuitale mostrato in fig. 5.
Fissiamo un riferimento, avente l'asse X coincidente con l'asse del
cavo e l'origine nell'estremità connessa al generatore e consideriamo due punti A e B nelle posizioni x ed x+.!1x. In tali posizioni la
d.d. p. tra i conduttori della linea non è la stessa nella fase transitoria a causa dei fenomeni di autoinduzione. Infatti, facendo riferimento alla maglia dello schema mostrato in fig. 5, la d.d.p. tra le
armature del condensatore in x+.!1x differisce da quella del condensatore in x a causa della f.e.m. di autoinduzione presente ai capi
dell'induttanza .!1L (che corrisponde al tratto di cavo tra A e B),
che, come sappiamo, dipende dalla rapidità con cui varia la corrente in funzione del tempo e dal valore t1L dell'induttanza. Applicando la seconda legge di Kirchhoff alla maglia in esame otteniamo la
relazione
dl
dl
L1cp(x + t1x)- t1cp(x)=-&- = -L 0 L1xdt
dt
Analogamente, la corrente I(x+.!1x), che parte da A e giunge in B, differisce da quella (I(x)) che arriva in A a causa della corrente che va a caricare
il condensatore t1C, che a sua volta dipende dalla rapidità con cui varia la
d.d.p. ai capi di questo. Infatti, utilizzando la prima legge di Kirchhoff al
nodo A si ha
I(x + t1x)- I(x)=- dq = -t1C d(t1cp) = -C t1x d(t1cp)
ili
ili
o
ili
2
li
r~.· Il -(x+Lix)
_.:!.
x
_.
x+Lix
Fig. 5
V.1.- ONDE ELETTROMAGNETICHE
576
Dividendo per LU le relazioni precedenti otteniamo
~cp(x + LU)-~cp(x) --L dl
LU
0
-
dt
I(x+LU)-I(x)=-C d(~cp)
o
~X
dt
Passando al limite per LU ➔ O, considerando cioè il cavo coassiale come
equivalente ad una sequenza di trattini infinitesimi, ciascuno dotato di capacità ed induttanza infinitesime, si ottiene un sistema di due equazioni
differenziali, ciascuna delle quali collega la rapidità di variazione nel
tempo di una delle due grandezze elettriche con la rapidità di variazione
dell'altra rispetto alla coordinata spaziale x
ò(~cp) --L di
0
òx dt
e ~=-C d(~cp)
O
òx
dt
Se ora deriviamo la prima relazione rispetto ad x e la seconda rispetto al
tempo, si ha
da cui si ottiene l'equazione
In maniera analoga si può ottenere una equazione del secondo ordine per
la corrente I
Troviamo così che sia la d.d.p. tra i due conduttori del cavo, sia la corrente circolante in essi variano in funzione della posizione e del tempo in
modo da soddisfare un'equazione differenziale, che ha la struttura matematica dell'equazione di D'Alambert. Infatti la relazione precedente può
essere riscritta nella forma
a1
2
a1
2
a
1 21
v Òt
- = C L -2 = -2 - -2
Òx2
O O Òt
avendo posto v = 1/,JC 0 L 0 •
Sappiamo che la soluzione dell'equazione di D' Alambert descrive la propagazione per onde: quindi la d.d.p. e la corrente si propagano nel cavo sotto forma di onde e sono descritte nella forma più generale dalle funzioni
~<p(x, t) = Af1 (x - vt) + Bf2 (x + vt)
l(x, t) =Cf1 (x - vt) + Df2 (x + vt)
ove v rappresenta la velocità di propagazione dell'onda, che è legata ai
parametri C0 ed Lo del cavo dalla relazione precedente.
V.1.3. - PROPAGAZIONE NEL CAVO COASSIALE
577
Possiamo pertanto affermare che quando un segnale elettrico viene applicato alla estremità libera del cavo sotto forma di una d.d.p. Acp0 (cosa che
richiede che una corrente venga erogata dal generatore), questa viene ad
interessare le varie porzioni del cavo in tempi successivi, allontanandosi
dal punto di applicazione con velocità v, il cui valore si ottiene sostituendo ad Lo ed a C0 le relative espressioni
La velocità con cui il segnale si propaga nel cavo è dunque la stessa che
abbiamo trovato per le onde e.m. nello spazio vuoto. Questo risultato ci
porta ad affermare che il fenomeno di propagazione della d.d.p. e della
corrente nel cavo dipende solo dall'interazione tra il campo elettrico ed il
campo magnetico nello spazio che separa i conduttori e non dalle caratteristiche e dalla geometria di questi. In altre parole i conduttori hanno solo
la funzione di limitare e guidare i campi in una regione definita dello spazio: E e B infatti sono nulli fuori del cavo come effetto delle distribuzioni
delle cariche e delle correnti. Anzi si può affermare che sono i campi E e
B che avanzando nel cavo determinano il trascinamento delle cariche e
delle correnti sui conduttori e non viceversa.
In fig. 6 è riportata la d.d.p. presente tra i due conduttori in funzione dix ad un generico istante di tempo t successivo all'istante
to (t>to) in cui il generatore di f.e.m. è stato collegato all'estremità
t>to
del cavo, inizialmente scarico: il cavo risulta carico fino
Ll<po
V=C
all'ascissa x=(t-to)c e scarico nei punti più lontani.
Se all'istante t1>to spostiamo l'interruttore nella posizione 2 di fig. 4a,
in modo da rimuovere il generatore ed annullare la d.d.p. all'estremità
x=c(t-to)
o
X
x = O cortocircuitando i due conduttori del cavo1, questa nuova situazione elettrica non può propagarsi istantaneamente a tutto il cavo ma
Fig. 6
deve procedere sempre in accordo con le equazioni differenziali che
abbiamo determinato in precedenza. Si ha così la formazione di un
secondo fronte che separa la regione in cui Acp ;t O dalla regione in
cui A<p=O. Questo fronte si sposta ancora con velocità
v=c=(LoCof112 e quindi non può mai raggiungere il fronte precedente. Abbiamo così ottenuto un impulso rettangolare di d.d.p. i cui
Ll<po --- -- '
v=c
v=c
fronti d'onda distano tra loro di Ax=Xo-X1 =c(t1-to)=cAt (fig. 7). Se
....----lliO
►
I
I
LlX
I
il nostro cavo ideale è infinitamente esteso, questo impulso continua
t.ii---------.._i
I
I
a propagarsi indefinitamente e nulla possiamo fare per annullarlo
o
agendo successivamente sulla estremità libera ove l'impulso è stato
generato, in quanto le successive perturbazioni inseguono l'impulso
Fig. 7
con la stessa velocità c.
i--------.
.
1. In alternativa per ottenere la situazione di d.d.p. nulla all'estremità x =Oavremmo potuto inserire un secondo generatore caratterizzato da una f.e.m. uguale ed opposta a quella
del primo. L'inserimento del secondo generatore dà luogo ad un'onda di tensione e ad
una di corrente uguali ed opposte a quelle prodotte dal primo generatore, che si propagano ancora con velocità pari a c. Pertanto nella regione interessata contemporaneamente
dalle onde prodotte dall'inserimento di entrambi i generatori sia la tensione che la corrente risultano nulle come mostrato in fig. 7.
V.1.- ONDE ELETTROMAGNETICHE
578
V.1.4. - Cavo coassiale ed equazioni di Maxwell
Per vedere come i fenomeni di propagazione in un cavo coassiale siano in
accordo con le equazioni di Maxwell, conviene collegare l'estremità della
linea con un generatore di f.e.m. alternata sinusoidale.
Ogni punto del cavo viene in tal modo sollecitato da una d.d.p.
che varia sinusoidalmente nel tempo con la stessa frequenza e la
stessa ampiezza che si ha in corrispondenza della sorgente. Tuttavia, il valore che la d.d.p. assume al generico istante di tempo in
corrispondenza della sorgente, andrà ad interessare punti diversi
del cavo ad istanti successivi, in quanto occorre un tempo finito
perché un segnale elettrico si propaghi da un punto all'altro.
In fig.8 sono indicati gli andamenti in funzione del tempo della
d.d.p. in due punti del cavo, posti rispettivamente a distanza x0 ed
x 1 dall'origine. Il ritardo e la distanza spaziale sono legati dalla
relazione
Fig. 8
Nella fig. 9 è invece rappresentato il valore istantaneo della
d.d.p. nelle varie posizioni x del cavo coassiale a due istanti
diversi, t0 e t 1• Anche in questa rappresentazione la traslazione
Ax delle due sinusoidi e la loro separazione nel tempo sono
collegate dalla relazione
X
Ax
Fig. 9
X
Fig. 10
Lungo il cavo coassiale si ha così una distribuzione di d.d.p. ed
una di correnti che si spostano rigidamente nel verso di propagazione con velocità c. Infatti nei punti ove ad esempio la d.d.p. è
massima, deve risultare anche massima la densità lineare di carica presente con segno opposto sui due conduttori affacciati e,
quindi, l'intensità di corrente di conduzione I che corrisponde al
moto di traslazione rigida degli addensamenti di carica medesimi
con velocità c..
Il moto delle cariche dà origine ad un campo magnetico, con linee di forza circolari e concentriche, il cui verso cambia assieme al verso della corrente di conduzione. Anche il campo B si
presenta con intensità che varia da punto a punto con legge sinusoidale: i suoi massimi corrispondono a posizioni in cui è pure massima la densità di carica mobile e con questa l'intensità
del campo elettrico.
Il fenomeno di propagazione fa variare l'intensità del campo E
nello spazio tra i due conduttori. Là rapidità di variazione nel
tempo del flusso <I>E dà origine ad una corrente di spostamento Is
radiale2, che risulta massima in un punto quando il campo E passa nello stesso punto per il valore zero. Notiamo così che, in ogni
2. Ricordiamo che la densità di corrente di spostamento, pari a Js
radiale come il campo E.
= e0élE/élt, risulta
V.l.5.- ONDE PIANE NELLO SPAZIO
579
istante, le linee di corrente di conduzione assieme alle linee di corrente di
spostamento formano dei cammini chiusi in accordo con la relazione3
div(J +µ e !}o
0 0
Notiamo inoltre che la corrente di spostamento gioca un ruolo fondamentale quando applichiamo il teorema di Ampère-Maxwell a cammini chiusi
y non concatenati con correnti di conduzione, come quello indicato in
fig.11: in questo caso la circuitazione di B è diversa da zero e dipende unicamente dalla corrente di spostamento.
Notiamo ancora che i vettori E e B sono perpendicolari tra loro ed inoltre
perpendicolari rispetto alla direzione di propagazione, in accordo con le
proprietà generali delle onde e.m. Inoltre, se indichiamo con À la densità
lineare dell'eccesso di carica in un generico punto del cavo, risulta l=Àc
nello stesso punto. Perciò, a distanza r dall'asse di simmetria, si hanno i
seguenti valori per l'intensità dei campi E e B
1
I
I
/1,
E=--21tc0 r
da cui
Ritroviamo anche in questo caso particolare tutte le proprietà trovate nel
§ V.1.2. per i campi E e B di un'onda elettromagnetica piana.
Osserviamo infine che la relazione I= Àc suggerisce che le cariche in eccesso si spostano lungo il cavo con velocità c. Questa affermazione non va intesa nel senso che gli elettroni liberi si muovono effettivamente con tale velocità nei conduttori (ricordiamo infatti che la loro velocità di deriva è solo
dell'ordine di qualche millimetro al secondo). Sono i campi che si propagano con velocità c ed avanzando nel cavo determinano il trascinamento
dell'eccesso di carica con la stessa velocità. Fisicamente però non sono le
stesse particelle che si spostano da un punto all'altro. Il fenomeno ci è ben
noto nel caso delle onde sulla superficie del mare: è la cresta dell'onda che
si sposta con velocità v ma non le molecole di acqua, che si muovono restando sempre prossime alle loro posizioni di equilibrio.
V.1.5. - Onde piane nello spazio
I due conduttori nel caso del cavo coassiale hanno reso possibile addensamenti di cariche e correnti di conduzione, rendendo così più intuitivo il meccanismo di propagazione. In realtà i conduttori hanno avuto il solo ruolo di
limitare i campi E e Balla regione dell'intercapedine, mentre il meccanismo
di propagazione è legato alle sole proprietà fisiche dello spazio vuoto.
Vogliamo ora analizzare in maggior dettaglio come i campi E e B possono autosostenersi nella propagazione nello spazio vuoto, in assenza di
conduttori.
3. Cfr. § IV.4.2.
I
Fig. 11
I
V.1.- ONDEELEITROMAGNETICHE
580
B
X
B
Supponiamo di avere una doppia distribuzione piana di cariche infinitamente estesa, con densità uguali ed opposte, in
modo che il sistema risulti globalmente neutro. Scegliamo il
sistema di coordinate in modo che il piano YZ coincida con
la doppia distribuzione piana di carica. Finché le cariche sono in quiete, esse non producono né campo elettrico, né magnetico. Supponiamo che all'istante di tempo t=to le cariche
positive vengano messe in moto nel verso positivo dell'asse
Z, dando così origine ad un foglio piano di corrente con densità lineare Js=Jsk. Questa dà origine ad un campo magnetico4 le cui linee di flusso sono parallele e concordi all'asse Y
nel semispazio x > O, opposte nel semispazio x < O. Il suo valore non dipende dalle coordinate y e z e vale
B =B
= µOJS
y
Fig. 12
y
Byi----~
I
V
:---+
x=-v(t-t:0)
I
x=v(t-t:0)
I
+---4
X
-v =---------1
:
-By
Fig. 13
2
E' ragionevole pensare che tale valore di B si stabilisce subito nei punti immediatamente a contatto col foglio di corrente
e va ad interessare gli altri punti più lontani con velocità di
propagazione v, da determinare in accordo con le equazioni
di Maxwell. A regime, B assume lo stesso valore a qualsiasi
distanza x dal piano di corrente, purché sia trascorso un tempo sufficiente per consentire la propagazione fino ai punti in
esame. Il fenomeno interessa contemporaneamente sia i punti che si trovano nel semispazio x>O che nel semispazio x<O.
Nel seguito studieremo in dettaglio i fenomeni nella regione
x>O; una trattazione analoga può essere ripetuta per la regione x<O.
Sulla base della terza equazione di Maxwell, si può prevedere che un campo elettrico deve essere generato dalla variazione nel tempo del campo magnetico: infatti nei punti raggiunti dal fronte d'onda questo passa bruscamente dal valore
B = O a B = µ 0 Js /2. Per valutare E consideriamo un cammino di circuitazione sul piano XZ di dimensioni R.. e ~x (fig.
14) nell'istante t in cui il campo B oltrepassa il lato di sinistra. Per la legge di Faraday si ha
d<I>
E•ds=---B =-B R..v
dt
Y
f
X
Tenendo presente che il campo elettrico è nullo nei punti non
ancora raggiunti dal fronte d'onda, l'unico contributo alla circuitazione di E deriva dal lato di sinistra, per cui si ha
f
E•ds=El=-ByR..v
Fig. 14
⇒
Ez =-vBY
Il segno negativo a secondo membro indica che il verso di
E è opposto a quello fissato come positivo sul cammino di
4. Cfr. l'esempio IIl.2.2.
V.l.5.- ONDEPIANENELL0SPAZI0
581
circuitazione, a sua volta legato dalla regola della mano destra alla orientazione della normale positiva parallela all'asse Y. Vediamo così che
mentre il campo magnetico avanza verso destra, genera un campo elettrico diretto nel verso negativo dell'asse Z. Tale campo E è costante nella
regione situata tra il foglio di corrente ed il fronte d'onda, com'è facile
constatare scegliendo opportuni cammini di circuitazione che abbracciano
sempre il fronte d'onda. Tale campo soddisfa l'equazione rotE=-òB/éh in
tutti i punti dello spazio e pertanto il suo rotore è diverso da zero solo sul
fronte del campo magnetico che si propaga.
Analogamente il campo elettrico che si propaga nel verso positivo
dell'asse X produce una variazione del flusso <I>E e quindi dà origine ad una corrente di spostamento che a sua volta genera un campo
magnetico, in accordo con la quarta equazione di Maxwell
Scegliamo ancora un cammino di circuitazione rettangolare nel
piano XY di dimensioni f e ~ (fig.15) a cavallo del fronte
d'onda del campo elettrico che si propaga, e fissiamo come verso di percorrenza positivo quello che si ottiene con la regola della mano destra avendo orientato la normale positiva secondo
l'asse Z. Tenendo conto che anche in questo caso il lato di sinistra è l'unico che contribuisce alla circuitazione, si ottiene
da cui
Vediamo perciò che sussiste una perfetta simmetria tra i campi E e B: se
da una parte il campo magnetico si può pensare come sorgente del campo
elettrico, a sua volta il campo elettrico si può pensare come sorgente del
campo magnetico.
Naturalmente perché i due campi si autosostengano, bisogna che il campo
elettrico rigeneri proprio il campo magnetico da cui a sua volta era stato
prodotto. In altre parole le due relazioni
devono essere tra loro consistenti. Cioè deve valere l'uguaglianza
2
BY = -µ 0 s 0 Ez v = -µ 0 e 0 (-BY v)v = µ 0 s 0 v BY
Ciò è possibile solo se v 2 = ljµ 0 s 0 cioè se v = 1/.Jµ 0 s 0 = c: i due campi
si generano reciprocamente solo se si propagano contemporaneamente
verso destra con velocità c.
Osserviamo che anche in questa situazione i campi che si propagano sono
mutuamente ortogonali e con la direzione di propagazione formano una terna
destrorsa; inoltre la relazione tra i moduli di B e di E è ancora E=cB.
X
Fig. 15
582
X
Fig. 16
B1
t>t1
By
v=c
..._..
I
I
I
o
xo=c(Ho)
X
B2
X1 =c(t-t1)
X
I
f-------+
,v=c
-By
Fig. 17
BT
By ···········.,.,- - - - .
1
~
v=c
~
: V=C
1
Xo
X
Fig. 18
Fig. 19
V.I.- ONDEELETTROMAGNETICHE
Come abbiamo già accennato, quando è stato messo in moto il
foglio di carica positiva, si è generato un campo magnetico anche nel semispazio x < O, di ugual modulo e diretto nel verso
negativo dell'asse Y, che ad istanti di tempo successivi va ad
interessare punti sempre più lontani dalla regione delle sorgenti. Questo secondo fronte d'onda si propaga nel verso negativo
dell'asse X generando un campo elettrico (fig. 16), che risulta
diretto nel verso negativo dell'asse Z in accordo con la legge
di Faraday, come nel semispazio x > O, che a sua volta propagandosi rigenera il campo B con modalità analoghe a quelle
discusse precedentemente.
Vediamo che cosa accade se ad un istante t 1 successivo a t0
annulliamo la corrente. Questa situazione di corrente nulla può
essere pensata come ottenuta sovrapponendo al primo un secondo foglio piano di corrente caratterizzato da una densità lineare J's uguale e contraria a Js, ad esempio mettendo in moto
al tempo t 1 il piano di cariche negative con la stessa velocità
data al tempo t0 a quelle positive. La nuova situazione fisica
genera due nuovi fronti d'onda che si propagano ancora con
velocità pari a c in versi opposti lungo l'asse X, ma che sono
caratterizzati da campi E e B uguali ed opposti a quelli generati precedentemente.
Vediamo ora quale è la situazione fisica nei punti del semispazio x>O ad un istante di tempo t successivo a t 1 • Con riferimento alla fig. 17, osserviamo che a tale istante il primo fronte
d'onda ha raggiunto la posizione x0 =c(t-t0 ), mentre il secondo
la posizione x 1 = c(t-t 1). Pertanto nei punti che si trovano fra
l'origine e la posizione x 1 il campo elettrico ed il campo magnetico risultanti sono nulli perché tali punti sono stati interessati da entrambi i fronti d'onda (fig. 18). I campi sono nulli
anche nei punti che si trovano a distanza x >xo in quanto non
sono stati ancora raggiunti dal primo fronte d'onda: per questi,
infatti, la situazione fisica non è diversa da quella che si sarebbe avuta qualora i due piani carichi fossero. rimasti in quiete nell'origine. I campi E e
B sono attivi solo nella regione compresa tra
i piani di equazione x=x 1 ed x=x0 , paralleli al
piano YZ, in quanto questi non sono stati
raggiunti all'istante considerato dal secondo
fronte d'onda. Abbiamo così uno strato di
spessore d = c(t0-t 1) che si allontana con velocità
c lungo l'asse X positivo, in cui sono
X
presenti entrambi i campi (fig. 19) e nulla
possiamo fare per annullarli agendo sempre
nell'origine, in quanto le successive perturbazioni si propagheranno sempre con la stessa velocità c. La situazione è identica a quella già esaminata nel caso del cavo coassiale.
d
d
e
u
u
V.1.6. -
583
IMPEDENZA CARATIERISTICA DEL CAVO COASSIALE
V.1.6. - Impedenza caratteristica del cavo coassiale
Valutiamo la corrente che viene fornita durante il processo di carica di un
cavo coassiale da un generatore di f.e.m. costante Li<p0 connesso ad una
delle due estremità del cavo stesso. Nel tempo dt viene caricato un tratto
di cavo di lunghezza dx = cdt, di capacità pari a
dC = C0 dx
= C0 cdt
e la carica dq necessaria risulta data da
dq = Licp0 dC =Licp0 C0 cdt
Viene quindi erogata dal generatore una corrente costante I pari a
uguale a quella che il generatore fornirebbe ad
una resistenza di carico Ro di valore
1
I
R o--I-- Li<po - fC
o
o
---------, ---\
I
1
_r-J
~
Se la linea che abbiamo supposta infinitamente
Fig. 20
lunga viene interrotta ad un certo punto e chiusa
su una resistenza R 0 =,JL 0 /C 0 , si
mantiene nel tratto di linea prece,.
dente lo stesso comportamento già
-----......
"
analizzato nel caso del cavo illimita------ . --------li.
to (fig. 21). Infatti la resistenza R0,
"
"
quando viene raggiunta dal fronte
d'onda con d.d.p. Licp0 , lascia fluire
la stessa intensità di corrente che sarebbe servita a caricare il resto della
Fig. 21
linea. Nel tratto di linea che precede
l'interruzione tutto procede come se
la linea fosse ancora infinita. La resistenza R0 prende il nome di impedenza caratteristica della linea. Un
segnale che si propaga su una linea, quando raggiunge un'estremità chiusa sulla resistenza R0 , viene completamente assorbito e non dà origine a
segnali riflessi. L'energia trasportata dal cavo viene totalmente dissipata
sulla resistenza.
Consideriamo ora brevemente cosa succede se si chiude la linea su una
resistenza R -=f: R0 . Un caso estremo si presenta quando R =oo, che corrisponde a linea aperta. Nel punto di interruzione la corrente deve essere
nulla in ogni istante. Questa stessa situazione di corrente nulla si può realizzare in un punto prefissato di una linea infinita se all'onda di corrente
che giunge in questo punto viaggiando dal generatore esterno verso i valori di x crescenti, si fa sovrapporre una seconda onda di corrente che
viaggia nel verso opposto e che in ogni istante abbia nel punto prescelto
valore uguale e di segno opposto alla perturbazione primaria. Quest'onda
..
----,
Ro
V.1.- ONDEELEITROMAGNETICHE
584
regressiva interessa negli istanti successivi il tratto di linea tra il punto a
corrente nulla e l'estremità ove è connesso il generatore. Si spiega in questo modo l'origine di un'onda riflessa prodotta nel punto ove la linea è
stata interrotta con una resistenza di terminazione infinitamente grande.
In questo caso si ha riflessione con inversione dell'onda di corrente.
Id modo del tutto analogo si possono spiegare le caratteristiche del fenomeno di riflessione che ha luogo quando una linea viene interrotta ed i
due conduttori vengono cortocircuitati (R =O). In questo caso è la d.d.p.
che risulta nulla nel punto di cortocircuito. Questa situazione è formalmente equivalente a quella che si realizza in un punto prefissato del cavo
infinito se all'onda di potenziale che si propaga nel verso positivo
dell'asse X si sovrappone un'onda regressiva che nel punto in esame sia
uguale ed di segno opposto rispetto all'onda incidente.
V.1. 7. - Impedenza caratteristica dello spazio vuoto
Vediamo come sia possibile fermare un'onda e.m. piana facendola incidere su un opportuno mezzo conduttore, senza dare origine ad onde riflesse. Prendiamo esplicitamente in esame il caso delle onde generate da
un foglio piano di corrente di densità Js, Ricordiamo che in questa situazione si generano due onde che si propagano da parte opposta con la stessa velocità, pari a c. Per fermare tali onde senza dare origine a onde riflesse, dobbiamo interporre sui loro cammini un piano conduttore. Questi
piani conduttori devono essere caratterizzati
da una conducibilità di superficie5 di valore
crc tale che il campo elettrico E dell'onda
incidente dia origine su ciascuno di essi ad
una densità lineare di corrente J's che impedisca al campo magnetico di propagarsi ulteriormente e, contemporaneamente, non ne
alteri il valore nella regione compresa tra i
piani conduttori medesimi.
Per determinare questo valore di crc cominciamo col valutare la densità lineare di corrente J's su uno dei due piani conduttori. Ricorriamo a tale scopo al teorema di Ampère e
valutiamo la circuitazione di B lungo il
cammino
y di fig. 22, imponendo le condiFig. 22
zioni By=O per x > Xo e By=µo}s/2 per x < x0 ;
si ha pertanto
da cui
J's
5. Poiché si tratta di una corrente superficiale la conducibilità
(ohmr 1•
O"c
ha le dimensioni di
y, t,8. -
ENERGIA TRASMESSA DALLE ONDE ELETTROMAGNETICHE
585
Vettorialmente risulta
(V.1.7.)
dove il segno meno tiene conto del fatto che J's, essendo parallelo al
campo elettrico, è diretto nel verso iiegativo dell'asse Z.
D'altra parte, per la legge di Ohm, deve risultare
(V.1.8.)
Dalla (V.1.7.) e dalla (V.1.8.) si ha
By
-=cr e cB y
µo
Questa condizione è soddisfatta se si pone cr e cµ 0 = 1, cioè
crc = _1_ =
C µo
M
µo
=
~
v-;;;
Calcoliamo ora la resistenza ohmica tra due lati opposti di un quadrato di
dimensioni unitarie che abbia tale conducibilità
Notiamo che sebbene il calcolo precedente sia stato eseguito assumendo i
lati del quadrato di dimensioni unitarie, si perviene allo stesso valore nel
caso in cui si valuti la resistenza tra i lati opposti di un quadrato di dimensioni arbitrarie. Per questo motivo tale resistività superficiale si misura in
Ohm/quadrato.
Si può pertanto concludere che se un'onda e.m. piana incide su un
niezzo materiale che presenta una resistività superficiale di 377
Ohm/quadrato, l'onda viene totalmente assorbita, senza dar luogo a
riflessioni. Tale valore, in analogia con quanto visto per la propagazione in un cavo coassiale, prende il nome di impedenza caratteristi-
ca dello spazio vuoto.
Verificheremo nel paragrafo seguente che questo mezzo conduttore è in
grado di assorbire tutta l'energia trasportata dall'onda e.m. trasformandola in calore (effetto Joule) in perfetta analogia con quanto visto nel caso
del cavo coassiale chiuso sulla propria impedenza caratteristica.
V.1.8. - Energia trasmessa dalle onde elettromagnetiche
Riprendiamo in esame il problema della propagazione delle onde elettromagnetiche prodotte da un foglio piano di corrente ed esaminiamolo dal
punto di vista energetico.
Sappiamo che le densità di energia associate ai campi E e B sono pari rispettivamente a
V.1.- ONDE ELETTROMAGNETICHE
586
e
Nel tempo dt il fronte d'onda che si propaga lungo l'asse X positivo avanza di una lunghezza pari a dx = cdt = dt/ µ 0 E0 , per cui in questo in-
.J
tervallo di tempo una quantità di energia viene trasferita nella nuova regione occupata dai campi. Valutiamo l'energia trasferita
unità di superficie nel tempo dt
(
\
d
s1
cf
\
e ricordando che E= cB, si ottiene
Fig. 23
La relazione precedente mostra che in un'onda e.m. la
quantità di energia associata al campo elettrico è pari a
quella associata al campo magnetico.
Nello stesso intervallo di tempo dt anche il fronte d'onda
che si propaga nel verso negativo dell'asse X avanza di
una uguale lunghezza, per cui l'energia complessivamente trasferita dalle due onde per unità di superficie risulta
doppia rispetto a quella già calcolata, cioè
2
d(dU/dS)= 2E 0 E cdt.
Quindi la potenza trasferita per un'area unitaria vale
o
q
e
dw
-=2E 0E 2c
dS
Questa potenza deve essere fornita dall'agente esterno che ha messo e
mantiene in moto il foglio piano di cariche in modo da produrre la densità
lineare di corrente Js. Ricordiamo infatti che nel modello da noi utilizzato
le cariche positive sono state trascinate nella direzione dell'asse Z positivo e ciò ha dato origine ad un'onda e.m. il cui campo elettrico è diretto
nel verso negativo delle Z. Occorre perciò agire con una forza esterna per
vincere l'azione del campo elettrico sulle cariche e, quindi, fornire una
potenza uguale ed opposta a quella spesa dal campo E. Il calcolo verrà
eseguito per unità di area in accordo a quanto fatto precedentemente
I
d
t
e
I
ti
e
e
w A = -dqEzAz = -(J sAY XEzAz) =-J E = - 2BY E = 2E cE2
AS
dtAS
AyAz
s z
µ0
z
0
dove abbiamo utilizzato la relazione Ez = -e By.
Concludiamo quindi che il lavoro speso per tenere in moto le cariche contro
il campo E indotto, corrisponde all'energia che le onde e.m. distribuiscono
nello spazio in cui si propagano. In altre parole il lavoro compiuto
dall'agente esterno sul foglio di corrente si trasforma in energia localizzata in
punti remoti dello spazio. Nell'ipotesi della conservazione locale
Il
rctT
\/
<
I
t
VJ .9. - VETTORE DI POYNTING
587
dell'energia6 , dobbiamo perciò ritenere che dell'energia si stia trasmettendo
attraverso le regioni intermedie nelle quali i campi B ed E hanno assunto un
valore statico, come vedremo in dettaglio nel seguito. Per il momento ci limitiamo ad osservare che nella regione ove i campi sono statici il principio di
conservazione locale dell'energia richiede che ogni elemento di volume trasmetta all'elemento successivo tutti l'energia che riceve dall'elemento precedente per mantenere inalterato il proprio contenuto energetico.
V.1.9. - Vettore di Poynting
Per estendere il principio di conservazione locale dell'energia anche ai
casi in cui siano presenti fenomeni di propagazione, è necessario
sviluppare un formalismo che permetta non solo di valutare il
contenuto di energia di ogni elemento di volume dello spazio, ma
anche di descrivere come questa energia passa da un elemento a quello
contiguo. A tale scopo consideriamo una situazione fisica in cui in una
regione dello spazio siano presenti generatori in grado di fornire
energia al sistema, elementi dissipativi (che assumiamo isotropi) per i
quali valga la legge di Ohm, ed un campo elettromagnetico. In questa
regione vale la legge di Ohm generalizzata che in forma differenziale
è data dalla relazione
ove si è indicato con E' il campo non conservativo dei generatori. Da
questa possiamo ottenere una relazione di bilancio energetico moltiplicando ambo i membri scalarmente per J e dividendo per CTc
J2
E'•J =--E•J
crc
Infatti possiamo osservare che per ogni elemento di volume E'•J è la
densità di potenza fornita dalle sorgenti di f.e.m., J2 /crc è la densità di
potenza dissipata per effetto Joule, -E•J è la densità di potenza spesa dalle
correnti contro il campo elettrico E.
Faremo vedere che quest'ultimo termine corrisponde alla densità di potenza spesa per creare i campi E e B nello spazio circostante fornendo le
corrispondenti quantità di energia. A tale scopo consideriamo la terza e la
quarta equazione di Maxwell7
é)B
rotE=-Òt
e
Moltiplichiamo la prima scalarmente per B e la seconda per E e poi sottraiamo membro a membro
(V.1.9.)
6. Cfr. § I.8.5.
7. Per semplicità assumiamo che nella regione in esame non si abbia polarizzazione dielettrica e magnetizzazione nel mezzo.
V.1.- ONDEELETIROMAGNETICHE
588
Ricordando che
div(ExB )= B • rotE-E •rotB
e che
B • aB = 1 a(B • B) = _!_ aB
at 2
at
2 at
2
la (V.1.9) può essere riscritta nella forma
1 aB 2 1 aE 2
1 .
-J•E=--+-E0 -+-d1v(ExB)
2µo at
2
Òt
µo
Sostituendo nella relazione che stabilisce il bilancio energetico si ottiene
1
1
E'•J =~+i.(.!.c 0 E 2 +--B 2 )+- div(ExB)
crc Òt 2
2µ 0
µ0
(V.1.10.)
Per cogliere il significato fisico di questa equazione, integriamola su un
volume finito dello spazio. Si ottiene
t:
Jf_(E••JdV = Jf
dV + !JJiudV +
Jf1:, div(ExB)dV
ove si è indicato con u la densità di energia associata al campo elettromagnetico: u = E0 E 2 /2+ B 2 /2µ 0 •
Vediamo così che la potenza fornita dalle sorgenti di f.e.m. presenti entro
la regione V considerata si ritrova in parte entro la stessa regione come
potenza dissipata per effetto Joule e come aumento nell'unità di tempo
dell'energia associata al campo E ed al campo B (i primi due termini a
secondo membro). Per completare il bilancio energetico prendiamo in esame il terzo termine a secondo membro che corrisponde ancora ad una
parte della potenza fornita dalle sorgenti. Per vederne il significato trasformiamolo in un integrale di superficie
dove abbiamo indicato con A la superficie chiusa che delimita il volume V.
L'ultimo termine nella relazione precedente corrisponde dunque al flusso
del vettore S = ExB/µo, detto vettore di Poynting. Possiamo concludere
affermando che una parte della potenza fornita dalle sorgenti entro la regione V considerata non la si ritrova entro la regione stessa né come potenza dissìpata né come aumento nell'unità di tempo dell'energia dei
campi, ma fluisce verso lo spazio esterno come flusso del vettore di Poynting attraverso la superficie chiusa che delimita detta regione. Il modulo di S deve essere quindi interpretato come quantità di energia elettromagnetica che fluisce per unità di superficie normale ad S nell'unità di
tempo; la sua unità di misura nel S.I. è il W/m2 (Watt/metro 2).
Verifichiamo la validità di questa interpretazione valutando il flusso di
energia in un caso semplice che abbiamo già trattato. Riprendiamo
l'esempio delle onde prodotte con il foglio piano di corrente: abbiamo vi-
589
yJ.9. _ VETTORE DI POYNTING
sto nel paragrafo precedente che nell'unità di tempo deve transitare attraverso una superficie unitaria ortogonale alla direzione di propagazione
una quantità di energia pari a
dU
dw
- - = - = c 0 E 2c
dAdt dA
che va ad occupare una regione dello spazio di forma di prisma
di base unitaria ed altezza c.
n vettore di Poynting S = ExB/µo nel caso in esame è parallelo
alla direzione di propagazione ed il suo modulo, che rappresenta
l'energia che attraversa una sezione unitaria nell'unità di tempo,
vale
I
E
2
S = -E B = - - = c c 0 E
µo
cµo
2
in accordo con il risultato trovato in precedenza.
Fig. 24
Il vettore di Poynting permette di estendere il principio di conservazione dell'energia, espresso in forma differenziale dalla relazione (V.I.IO.), anche ai casi in cui sono presenti fenomeni di propagazione.
Infatti il formalismo sviluppato permette non solo di valutare il contenuto di
energia di ogni elemento di volume dello spazio, ma anche di descrivere come questa energia passa da un elemento a quello contiguo.
In particolare nei punti dello spazio vuoto, dove J=0, la (V. I. I O.) si scrive
au +div (ExB) =O
at
µo
cioè
divS+ au =0
at
(V.I.Il.)
La relazione precedente è una equazione di continuità, formalmente identica alla relazione
divJ + ap =O
at
che abbiamo considerato come la formulazione matematica del principio
di conservazione della carica elettrica. In completa analogia possiamo affermare che la (V. I. 11.) rappresenta la formulazione matematica del
principio di conservazione dell'energia elettromagnetica nel vuoto:
l'energia e.m. contenuta in un volume V può cambiare solo se c'è un
flusso di energia (descritto mediante il flusso del vettore di Poynting) attraverso la superficie che delimita la regione considerata.
Osserviamo infine che nelle situazioni stazionarie, in cui au1at = O, nello
spazio vuoto il vettore di Pointing risulta solenoidale: divS=0. In tali casi
.nello stabilire i bilanci energetici non è necessario considerare il contributo legato al vettore di Poynting, cosa che d'altro lato abbiamo sempre fatto finora: infatti le situazioni che abbiamo considerato sono state stazionarie o quasi stazionarie.
590
V.1.- ONDE ELETTROMAGNETICHE
V.1.1 O. - Il vettore di Poynting nei fenomeni statici o
quasi statici
Fig. 25
Abbiamo visto come la propagazione di onde elettromagnetiche nello
spazio vuoto sia strettamente connessa con le variazioni nel tempo del
cainpo elettrico e del campo magnetico. Solo quando le variazioni di E e
di B sono molto rapide, l'energia trasportata fuori dalla regione delle sorgenti dalle onde e.m. diventa apprezzabile e va tenuta in considerazione
nei bilanci energetici. Nei casi stazionari o quasi stazionari l'energia fornita dalle sorgenti si ritrova sotto forma di energia dissipata per effetto
Joule e di energia localizzata nei campi E e B, così che si può ben trascurare il contributo legato al vettore di Poynting S. Anzi come abbiamo già
osservato nei casi stazionari e nello spazio vuoto (in assenza cioè di correnti) il vettore di Poynting è solenoidale e non può con il suo flusso far
variare il contenuto energetico di una qualsiasi regione dello spazio. Ciò
non toglie però che vi possa essere un flusso di energia entrante attraverso certe porzioni di una superficie chiusa bilanciato da un ugual flusso di
energia uscente attraverso le rimanenti porzioni della stessa superficie.
Il flusso del vettore di Poynting è però essenziale quando nella regione in esame sono presenti sorgenti di onde e.m In questa situazione non più stazionaria il vettore S non è più solenoidale e ci permette di valutare quanta energia complessivamente esce dalla regione delle sorgenti sotto forma di radiazione. Il vettore di Poynting è anche essenziale per i bilanci energetici quando nella regione considerata non sono presenti sorgenti di onde e.m. ma
semplicemente ci sono, nell'istante considerato, onde e.m. che si propagano.
Per meglio chiarire questi concetti, consideriamo ancora una volta
l'esempio dell'onda e.m. piana e progressiva prodotta dal moto del foglio piano di cariche positive. Supponiamo che il moto delle cariche abbia avuto inizio nell'istante t 1 e sia stato fermato nell'istante t2 , in modo
che i campi E e B siano limitati alla regione compresa tra due piani paralleli al piano YZ, separati tra loro da una
distanza d=c(tz-t 1 ) ed in moto con velocità c
nel verso positivo dell'asse X.
Calcoliamo il flusso del vettore di Poynting
attraverso le superfici cilindriche C 1, C2 , C3
indicate in fig. 25.
La superficie C 1 abbraccia, nell'istante considerato, il primo fronte d'onda che sta viaggiando verso destra con velocità c. Poiché il
X
vettore di Poyntig S = ExB/µo è non nullo solo
nella regione compresa tra i due fronti d'onda
ed in tale regione è parallelo all'asse X,
l'unico contributo al flusso di S deriva dalla
base a sinistra, su cui la normale positiva è diretta in verso opposto ad S. Il flusso netto in
questo caso risulta minore di zero ed indica
che dell'energia radiante sta entrando nella regione delimitata dalla superficie C 1: infatti c'è
energia che entra attraverso la base di sinistra,
mentre non ne esce ancora da quella di destra.
V.1.10.
IL VE'ITORE DI POYNTING NEI FENOMENI STATICI O QUASI STATICI
591
Procedendo analogamente si verifica facilmente che il flusso netto uscente attraverso la superficie C3 risulta maggiore di zero, in quanto questa
abbraccia il fronte d'onda, che è seguito da campi E e B nulli. L'elemento
di volume delimitato dalla superficie C3 si sta vuotando del suo contenuto
energetico: infatti c'è energia che esce attraverso la base di destra, mentre
riohne entra da quella di sinistra.
Valutiamo infine il flusso di S attraverso la superficie chiusa C2. Poiché
néll' istante considerato i campi E e B sono perfettamente costanti entro tutta
regione da essa racchiusa, il vettore di Poynting S risulta solenoidale in accordo alla relazione (V.1.11.) ed il suo flusso netto uscente deve essere nullo.
In altre parole nell'istante considerato il contenuto energetico di questo volume è costante ed il flusso del vettore di Poynting non porta alcun contributo al
bilancio energetico totale. Ciò nonostante se interpretiamo il risultato precedente di flusso nullo come conseguenza del fatto che c'è un flusso di energia
entrante attraverso la base di sinistra bilanciato perfettamente da un flusso di
energia uscente attraverso quella di destra, riusciamo a comprendere meglio
come l'energia elettromagnetica si stia trasmettendo da una regione all'altra
dello. spazio in accordo col principio di conservazione locale dell'energia:
l'energia e.m. che sta scomparendo dal volume C3 e sta comparendo nel volume Ci, transita per gli elementi di spazio intermedio (volume C2). Il vettore
S, pur non essenziale nel bilancio energetico dei casi stazionari, descrive comunque anche in questi casi il fluire solenoidale dell'energia e. m.
la
V.1.10.1. - Vettore di Poynting per correnti stazionarie
Consideriamo un conduttore cilindrico di raggio a e di resistenza
Ro per unità di lunghezza percorso da una corrente stazionaria di
U1tensità I. Per mantenere tale corrente deve essere applicata una
d.d.p. tra le due estremità del conduttore: si stabilisce quindi un
campo elettrico, che risulta parallelo all'asse del cilindro, non solo
nei punti interni ma anche in quelli immediatamente esterni al
conduttore e pari in modulo a
r---------,
E= Li<p = R 0 hI =R I
0
h
h
Il fluire della corrente dà origine anche ad un campo magnetico
con linee di campo circolari e concentriche con il conduttore
stesso; il cui modulo vale
4
I
h'I
I
..,I
B= µoI
2m
Vaiutiamo il vettore di Poynting in un generico punto nelle
immediate vicinanze della superficie del conduttore: S è diretto
radialmente, punta verso l'interno del conduttore e vale
S=_!__EB=-1-RoI µol = RoI2
µo
µ0
2na 2na
Il_ suo flusso attraverso una superficie cilindrica che abbraccia una porzione
di lunghezza unitaria del conduttore e contigua ad esso risulta negativo, indic~ndo che c'è un flusso di potenza entrante nel conduttore pari a
._ ________ ...,
Fig. 26
V. 1.- ONDE ELETIROMAGNETICHE
592
Utilizzatore
s
Fig. 27
Tale valore corrisponde alla potenza dissipata per effetto Joule in un tratto di conduttore di lunghezza unitaria.
Se ora pensiamo ad un'analoga superficie che circonda la regione sede della
sorgente di f.e.m. che mantiene la corrente stazionaria, vediamo che in corrispondenza dei punti di questa B mantiene il verso legato a quello della corrente, mentre il campo E risulta diretto in verso opposto alla densità di corrente J in quanto è l'elettromotore che fa muovere le cariche contro il campo
elettrostatico. Ne segue che il vettore di Poynting risulta questa volta diretto
verso l'esterno della superficie considerata indicando che
Sorgente
c'è un flusso di potenza uscente dalla regione contenente
l'elettromotore.
Questa nuova descrizione basata sulla interpretazione
estensiva del vettore di Poynting vede l'energia tra\
\
smessa dai generatori agli utilizzatori attraverso lo spaI
zio vuoto che li separa tramite i campi E e B anche nei
I'
I
casi stazionari, in contrasto con una visione più intuitiva che porterebbe a pensare che l'energia venga
trasmessa fluendo entro i conduttori di collegamento.
Naturalmente ogni elemento di volume nello spazio
vuoto che circonda questi conduttori, mantiene inalterato il proprio contenuto energetico, dato che in ciascuno di questi risulta divS= O.
V.1.10.2. - Flusso di energia nella carica di un
condensatore
Consideriamo ora una situazione quasi stazionaria: il processo di carica di
un condensatore. Consideriamo in particolare un condensatore piano avente armature circolari di raggio R, distanti h (fig. 28).
Durante il processo si ha un campo elettrico lentamente variabile, concentrato principalmente tra le armature, ma con linee di campo disperso anche
nello spazio esterno. La variazione di E comporta una variazione
dell'energia immagazzinata dal condensatore. Per calcolarne l'aumento
nell'unità di tempo trascuriamo per semplicità gli effetti di bordo ed assumiamo che il campo elettrico tra le armature del condensatore sia uniforme
come nel caso ideale di un condensatore indefinito. Ricordando che
l'energia immagazzinata al tempo t tra le armature del condensatore vale
-.-'
I
h:
I
I
I
I
_j_
UE
Fig. 28
=G e,E' }R'h
si ottiene
Per comprendere come questa energia venga trasferita al condensatore valutiamo il vettore di Poynting in corrispondenza dei punti di una superficie cilindrica che abbracci il condensatore. Infatti in tali punti oltre al campo elet-
V:1.10. _ IL VETTORE DI POYNTING NEI FENOMENI STATICI O QUASI STATICI
593
trico è presente anche un campo magnetico generato durante il processo di
carica da linee di corrente che si possono considerare chiuse se oltre alla corrente di conduzione si considera anche la corrente di spostamento. Tra le arrii.ature del condensatore e nello spazio immediatamente esterno le linee di
flusso di B risultano circolari e concentriche, orientate secondo la regola della rii.ano destra in accordo al verso llel campo E. Per valutare il modulo di B
consideriamo un cammino di circuitazione coincidente con una linea di campo. Dalla quarta equazione di Maxwell si ha
da cui
r dE
B=µoco 2 dt
Con riferimento alla fig. 28 è immediato verificare che in corrispondenza dei
punti della superficie cilindrica che abbraccia il condensatore l'orientazione
dei campi E e B è tale che il vettore di Poynting S punta radialmente verso
l'interno, indicando che c'è un flusso netto di energia per unità di tempo dallo spazio esterno verso la regione compresa tra le due armature pari a
-:::-◄--
dU E = ,f.( S • dA = - EB 21tRh =
dt
jj'A
µo
E
RdE
dE
=--µ 0 c0 --2nRh=-c 0 E-nR 2 h
µ0
2 dt
dt
pari cioè all'aumento nell'unità di tempo dell'energia immagazzinata nel
condensatore. Quindi anche in questo caso il flusso di energia per unità di
tempo prevedibile sulla base di una interpretazione estensiva del vettore
di Poynting spiega l'aumento di energia immagazzinata tra le armature .
.L'energia non va pensata entrante per mezzo dei conduttori, ma dallo
spazio vuoto tramite i campi E e B.
Da un punto di vista più intuitivo ciò si può giustificare pensando che il
processo avviene trasportando via via un numero sempre maggiore di cariche dei due segni sulle armature opposte. Ogni coppia di cariche (una
positiva ed una negativa) che si muove verso le armature genera un campo elettrico nello spazio circostante le cui linee di forza tendono a concentrarsi entro il condensatore, passando attraverso la superficie laterale
che lo delimita, man mano che le cariche si avvicinano alle armature (fig.
29 e 30). In questo tipo di descrizione il ruolo dei conduttori è solo quello
di permettere lo spostamento delle cariche che trascinano con sé i rispettivi campi localizzati nello spazio vuoto.
Possiamo concludere che da questo punto di vista, basato sulle equazioni
di Maxwell, i conduttori di carica elettrica non sono conduttori di energia.
L'energia elettromagnetica è trasportata senza perdite solo nei mezzi isolanti o nello spazio vuoto. Entro i conduttori l'energia elettromagnetica
viene trasformata in energia interna o, in altri termini, viene dissipata.
Vedremo più avanti che altre evidenze si potranno portare a favore di
questa interpretazione.
Fig. 29
Fig. 30
..
V. l. - ONDE ELETTROMAGNETICHE
594
V.1.11. - Onde piane sinusoidali
L'analisi dei fenomeni che faremo nel seguito farà riferimento spesso ad
onde piane armoniche. Per evidenziarne le caratteristiche, riprendiamo in
esame le onde generate da un foglio piano di corrente, coincidente con il
pi~no YZ e supponiamo che la densità lineare di corrente Js oscilli nel
tempo con legge sinusoidale
y
J 5 = J 0 coscot
Utilizzando la notazione esponenziale dei numeri complessi per rappresentare grandezze variabili sinusoidalmente8 si può scrivere
Per semplificare la notazione porremo semplicemente
Js
Fig. 31
B
=Joeirot
sottintendendo che del numero complesso prenderemo in
considerazione solo la parte reale.
Nei punti immediatamente vicini al foglio piano di corrente il campo B
segue le oscillazioni sinusoidali della corrente ed è in fase con questa. Invece nei punti che si trovano a distanza x non trascurabile dal foglio di
corrente, i valori del campo al tempo t sono uguali ai valori da esso assunti nell'origine ad un tempo precedente t', in quanto si deve tener conto
del tempo Lit necessario alla perturbazione a percorrere il tratto x. Essendo Lit=x/c, risulta t' = t - x/c e pertanto potremo descrivere il campo magnetico con la seguente funzione d'onda
B (x t) =B eiro(t-x/c)
y
X
Fig. 32
B
t
'
o
dove Bo prende il nome di ampiezza e l'esponente quello di fase
dell'onda. Osserviamo che l'ampiezza dell'onda piana non varia
con la distanza dalla sorgente.
Richiamiamo a questo punto le caratteristiche fondamentali delle
onde sinusoidali. Nelle fig. 32 e 33 sono riportati rispettivamente
l'andamento del campo in funzione dix a due istanti di tempo t1 e
t2, e quello in funzione di t in due posizioni x 1 e x2. La prima mostra l'esistenza di un periodo spaziale, cioè di un intervallo dopo
il quale la funzione si ripete identicamente, che è detto lunghezza
d'onda ed è indicato con À; la seconda mostra l'esistenza di un
periodo temporale, che indichiamo con T. Ricordiamo inoltre che
valgono le seguenti relazioni
CO=
21t
T
2nv = -
À= vT=cT
Fig. 33
ove si è indicato con v la frequenza.
8. Cfr. § IV.5.2.
595
y;J.l 1.- ONDE PIANE SINUSOIDALI
La funzione d'onda B(x, t) =B 0eiw(t-x/c) si può anche scrivere
che si interpreta dicendo che per 1 costante la fase dell'onda aumenta di
21t quando si passa data t+T, oppure che per t costante la fase dell'onda
cambia di 21t passando da x ad x+À.
Possiamo scrivere anche
B = Boeiro(t-x/c)
= Boei(rot-kx)
ponendo k = ro/c =2n/À; k è detto numero d'onda.
campo magnetico che si propaga genera, come abbiamo visto nel
§\T).5, un campo elettrico ad esso ortogonale. Nel caso in esame anche
E varia in maniera sinusoidale e possiamo verificare che esso oscilla in
fase col campo magnetico. Supponiamo infatti che sia presente uno sfasamento cp tra le due onde, così che il campo elettrico venga descritto
dalla funzione
n
Ez (x, t) = Eoei[w(t-x/c}tq>]
Per determinare il valore cp dello sfasamento imponiamo che i campi E e
B obbediscano alle equazioni di Maxwell. In particolare la terza equazione richiede che rotE =-àB/àt ; ricordando che nella situazione in esame
B ha solo la componente By ed E solo la componente Ez si ha
- àEZ -- àBY
ax
àt
⇒
_ iro Eoei[w(t-x/c }tq>] = _ iro Eoeiw(t-x/c )eiq>
c
c
= Boiroeiw(t-x/c)
La relazione precedente stabilisce l'uguaglianza tra due grandezze che
variano con legge sinusoidale. Poiché questa deve valere in ogni posizione x e ad ogni istante di tempo t, è possibile eliminare oltre al termine iro
il fattore ei<.o(t-xlc) da entrambi i membri ottenendo
L'uguaglianza tra due numeri complessi si ha solo se sono contemporaneamente uguali le parti reali e quelle immaginarie. Nel nostro
caso ciò implica che cp sia eguale a zero: nelle onde e.m. quindi
l'onda elettrica è in fase con quella magnetica. Quando in un punto il
campo E è massimo o nullo anche B nello stesso punto e nello stesso
istante è massimo o rispettivamente nullo. Inoltre anche per le onde
e.m. sinusoidali risulta verificata la relazione tra i moduli dei due
campi E/B = c. Il segno negativo che collega E 0 con Bo indica che
quando B è diretto nel verso positivo dell'asse Y, E è diretto in quello negativo dell'asse Z.
V.1.- ONDEELEITROMAGNETICHE
596
V.1.12. - Onde sferiche e cilindriche
Sebbene una qualsiasi onda che si propaghi nello spazio può essere ottenuta come combinazione lineare di un numero opportuno di onde piane
che si propagano in tutte le direzioni, a volte si ha a che fare con situazioni fisiohe che presentano simmetrie particolari che consentono di semplificare l'equazione delle onde, rendendo possibile la loro risoluzione in
maniera diretta. E' questo il caso delle onde emesse da una sorgente a
simmetria sferica di piccole dimensioni (sorgente puntiforme), che si trovi in un mezzo omogeneo ed isotropo. Si tratta di un problema che presenta una simmetria sferica attorno alla sorgente e che, pertanto, può essere studiato in un sistema di coordinate polari avente l'origine in questa.
L'isotropia della sorgente e del mezzo porta ad una indipendenza della
soluzione dell'equazione delle onde dalle coordinate angolari. Questa
viene a dipendere soltanto dal tempo e dalla distanza r del punto considerato dalla sorgente. Si può dimostrare che per r>>ro, essendo r0 la dimensione della sorgente, la soluzione più generale cercata è la funzione9
f (r-vt) f 2 (r+vt)
--E( r,t ) = 1~ - - - + ~
r
r
(V.1.12.)
combinazione di un'onda sferica uscente dalla sorgente e propagantesi
con velocità v verso valori di r crescenti e di un'onda sferica convergente
verso l'origine con la stessa velocità. Entrambi i termini che compaiono
nella (V .1.12.) rappresentano onde sferiche in quanto il fronte d'onda,
luogo dei punti raggiunti contemporaneamente da una perturbazione originata dalla sorgente, è una sfera di raggio r.
Consideriamo più in dettaglio il caso di onde sferiche di tipo sinusoidale
che si allontanano dalla sorgente. Esse vengono descritte dalla funzione
d'onda
Fig. 34
z
E(r, t) = A(r)sin(kr- rot)
y
dove A(r) rappresenta l'ampiezza dell'onda. Questa è funzione della distanza r del punto considerato dalla sorgente al contrario di quello che
accade per le onde piane, in cui l'ampiezza non varia con _la distanza
dalla sorgente. In particolare l'ampiezza di un'onda sferica deve essere
una funzione inversa dir, cioè A(r)=E0/r. Questo tipo di dipendenza è
richiesto dal principio di conservazione dell'energia. Sappiamo infatti
che le onde elettromagnetiche trasportano energia; in assenza di fenomeni dissipativi, l'energia che attraversa nell'unità di tempo una qualsiasi superficie chiusa che contenga la sorgente, pari al flusso del vettore di Poynting attraverso questa, deve rimanere costante al variare della
superficie considerata. Ciò richiede che, nel caso in cui si consideri una
superficie sferica concentrica con la sorgente, il flusso del vettore di
Poynting non dipenda dal raggio r della sfera considerata. Ricordiamo
che il modulo di S è dato da
Fig. 35
9. Cfr. a questo proposito il§ V.2.7.
V.1.13. QUAN1ITÀ DI MOTO 1RASPORTATA DA UN'ONDA E.M.
597
Esso pertanto risulta proporzionale al quadrato dell'ampiezza dell'onda.
Dal momento che l'area di una superficie sferica cresce col quadrato del
raggio, affinché il flusso di S resti costante al variare di r, l'ampiezza
dell'onda deve diminuire con l'inverso dir.
Consideriamo ora la situazione in cui sia presente in un mezzo omogeneo ed
isotropo una sorgente lineare come un filo rettilineo percorso da corrente, che
possiamo far coincidere con l'asse Z del sistema di riferimento. In questo caso le onde emesse nel mezzo si propagano con la stessa velocità lungo direzioni radiali in piani ortogonali all'asse Z ed i fronti d'onda risultano essere
superfici cilindriche coassiali con Z. La funzione d'onda che descrive
un'onda cilindrica armonica che si allontana dalla sorgente è la funzione
E(r, t) =
Jr
sin(kr - rot)
in cui la dipendenza dell'ampiezza da 1/✓r è richiesta dal principio di
conservazione dell'energia.
A grande distanza dalle sorgenti sia le onde sferiche che quelle cilindriche si
possono considerare localmente come onde piane in quanto una qualunque
porzione limitata del fronte d'onda può essere considerata piana.
V.1.13. - Quantità di moto trasportata da un'onda e.m.
Abbiamo visto nei paragrafi precedenti che un'onda e.m. che si propaga
trasporta energia, il cui flusso per unità di tempo è descritto per mezzo
del vettore di Poynting. Dimostreremo ora che un'onda e.m. trasporta anche una quantità di moto, per cui ogni qualvolta l'onda trasferisce ad un
materiale energia, trasferisce a questo anche un impulso parallelo alla direzione di propagazione e di modulo proporzionale all'energia trasmessa.
Per semplicità consideriamo l'effetto prodotto su una particella carica, inizialmente in quiete, da un'onda piana sinusoidale che si propaghi nel vuoto
secondo la direzione dell'asse X. Poiché i campi E e B devono essere ortogonali tra loro ed alla direzione di propagazione, possiamo assumere, ad
esempio, che il campo elettrico abbia la direzione dell'asse Z ed il campo
magnetico quella dell'asse Y: E= Ek, B =-Bj. La forza agente sulla particella quando è investita dalla perturbazione è la forza di Lorentz
y
e
X
F=q(E+vxB)
dove q è la carica della particella.
Poiché all'istante t=O questa è supposta in quiet~ (v=O), l'unica azione è
qovuta alla forza elettrica: la particella viene messa in moto ed acquista una
velocità Vz lungo l'asse Z. Sotto l'azione del campo elettrico la particella si
mette ad oscillare lungo l'asse Z con la stessa frequenza del campo. La presenza della velocità vz rende non nulla la forza qv x B dovuta al campo
magnetico. Questa risulta diretta lungo la direzione di propagazione ed il
suo valor medio in un numero intero di cicli di oscillazione è pari a
< FB > = q < V ZB > i
Tale valor medio risulta non nullo per effetto della componente del fasore
che rappresenta la variazione sinusoidale della velocità in fase col campo
q
Fig. 36
V.1.- ONDE ELETTROMAGNETICHE
598
magnetico 10• La particella sotto l'azione di questa forza media viene così
ad acquistare anche una velocità v x nella direzione di propagazione, che
tende ad aumentare lentamente nel tempo. Pertanto la forza agente sulla
carica q al generico istante t è data da
F = qEk - qv xBk + qv zBi
Calcoliamone il valore medio su un ciclo di oscillazione dei campi. Il valor medio del primo termine a secondo membro è nullo, in quanto E, essendo una funzione sinusoilale del tempo, oscilla con valore medio nullo.
Tale risulta anche il valore medio del secondo termine (q<vxB>k): infatti
B oscilla nel tempo mentre Vx si può ritenere costante in un ciclo di oscillazione, così che possiamo scrivere
q < v xB > k = qv x < B > k = O
in quanto il valor medio di B è nullo come quello di E.
L'unico termine ad aver valor medio non nullo è il terzo come abbiamo
già osservato in precedenza. In conclusione il valor medio della forza di
Lorentz agente sulla particella coincide col valor medio della componente
della forza nella direzione di propagazione dell'onda. Cioè
< F > =q < V ZB > i
A causa dell'azione di questa forza, la particella subisce una variazione della propria quantità di moto in accordo alla seconda legge della dinamica
.
dp
< F >=q<v B >1=<->
z
dt
(V.1.13.)
Per effetto combinato della forza elettrica e della forza magnetica abbiamo quindi che la carica q acquista un impulso nella direzione dell'asse X,
cioè nella direzione di propagazione dell'onda.
Valutiamo ora l'energia per unità di tempo che la carica q assorbe
dall'onda e.m.
dU
-=F•v=v•fqE+qvxB)=qv•E=qv
E
ili
~
z
Ritroviamo un risultato ben noto: è solo il campo elettrico in grado di
compiere lavoro sulla carica fornendole la corrispondente quantità di
energia.
Il valore medio nel tempo della potenza ceduta risulta quindi
dU
<->=q <vzE>
dt
Se teniamo presente che in un'onda e.m. si ha un rapporto costante tra i
moduli di E e di B (nel vuoto E= cB) possiamo scrivere quest'ultima nella forma
·
10. La velocità Vz oscilla nel tempo con la stessa frequenza di B ed E. Questa oscillazione
può essere decomposta in due oscillazioni sinusoidali rispettivamente in fase ed in
quadratura di fase con l'oscillazione di B ed E. Cfr. § IV.5.2.
y.1.13. -
QUANTITÀ DI MOTO TRASPORTATA DA UN'ONDA E.M.
dU
<->=qc<vzB>
dt
599
(V.1.14.)
Combinando le (V.1.13.) e (V.1.14.) si ottiene la relazione
dp
1 dU .
<->=-<->I
dt
c dt
che possiamo interpretare nel modo seguente: ogni qualvolta una particella (e quindi un materiale) assorbe da un'onda e.m. una certa quantità di
energia, assorbe contemporaneamente anche una corrispondente quantità
di moto nella direzione di propagazione dell'onda.
Si deve perciò assumere che l'onda e.m. non solo trasporta energia ma
anche una quantità di moto. Vedremo più avanti che ciò è vero in generale. Nel caso considerato, in cui l'onda e.m. si propaga nella direzione
dell'asse X, si ha
u.
p=-1
c
Questo risultato permette di spiegare l'apparente violazione del principio
di conservazione della quantità di moto o del momento della quantità di
moto che si osserva in alcune situazioni. Consideriamo ad esempio il caso
di un sistema isolato formato da due particelle cariche in moto, mutuamente interagenti. Siano v1 e v2 le rispettive velocità, che supponiamo parallele, come è mostrato in fig. 37. Su ciascuna carica agisce la forza di
Lorentz F=q(E+vxB). Con riferimento alla figura è facile verificare che
l'interazione magnetica dà luogo ad una coppia di forze F 1 e F 2 non collineari e quindi con momento 't -:/:. O. Ciò implica una variazione del momento della quantità di moto del sistema in accordo alla relazione
dL/dt='t. Questo risultato è in contrasto col principio di conservazione del
momento angolare: sappiamo infatti che in presenza di sole forze interne,
come nella situazione considerata, il momento angolare del sistema si deve conservare, cioè dL/dt=O.
In realtà se si considera la quantità di moto trasportata dalle onde e.m. 11
non si ha alcuna violazione del principio. Infatti l'interazione tra le due cariche non avviene come un'interazione a distanza, ma tramite l'emissione e
l'assorbimento di onde elettromagnetiche: una carica emette un'onda e.m.
(cosa che dà luogo ad una variazione della sua energia e quantità di moto)
che successivamente investe la seconda carica, trasferendole l'energia e la
quantità di moto sottratte alla prima. In ogni istante, se si vuole fare il bilancio energetico e della quantità di moto del sistema, occorre considerare
anche il contributo del campo e.m.
Consideriamo ora · la situazione illustrata in fig. 38 in cui è riportato
l'andamento delle linee del campo magnetico e del campo elettrico generati
Vz
Fig. 37
Fig. 38
11. Le onde e.m. trasportano un momento della quantità di moto orbitale che dipende dal
sistema di riferimento (L = rxp) ed un momento intrinseco analogo a quello visto per le
particelle. La proiezione di tale momento intrinseco nella direzione della propagazione
dipende dallo stato di polarizzazione dell'onda. Un'onda polarizzata circolarmente trasporta un momento intrinseco la cui proiezione nella direzione di propagazione vale
±U!co. Per un'onda polarizzata linearmente, la proiezione vale mediamente zero.
V. I.
600
Fig. 39
ONDE ELETTROMAGNETICHE
rispettivamente da un magnete permanente e da una carica puntiforme, entrambi in quiete. In tale caso il vettore di Poynting S=ExB/µo è diretto secondo le tangenti a circonferenze coassiali con il magnete. Ciò sembra indicare una circolazione di energia intorno al magnete. A tale energia dobbiamo
pensare associata anche una quantità di moto: quindi c'è anche un momento
della quantità di moto dovuto alla particolare combinazione dei campi elettrici e magnetici statici. La configurazione dei campi E e B ora illustrata può
essere realizzata anche nel dispositivo mostrato in fig. 39: un disco isolante,
che può ruotare senza attrito, porta in vicinanza del bordo delle sferette cariche positivamente ed uniformemente distribuite. Collegato rigidamente al
disco e disposto coassialmente all'asse di rotazione c'è un solenoide, in cui
inizialmente non scorre nessuna corrente. Il disco è in quiete così che il suo
momento angolare è nullo. Ad un certo istante di tempo viene lanciata una
corrente nel solenoide senza applicare coppie di forze motrici al dispositivo
meccanico. Nella fase transitoria, in cui la corrente cresce fino a raggiungere
il valore di regime, la variazione di flusso magnetico genera un campo elettrico indotto in accordo alla legge di Faraday
,( E'•ds = - d<I>B
j
dt
Fig. 40
Il contributo più rilevante al flusso di B deriva dal campo interno al solenoide, così che è il verso del campo interno che determina l'orientazione di
E'. Questo risulta tangente al bordo del disco, diretto in verso orario ed esercita sulle cariche positive un insieme di forze che, essendo tutte tangenziali e dirette in verso orario, presentano un momento risultante non nullo.
Sotto l'azione di questo momento il disco si mette in rotazione in senso orario ed essendo trascurabili le forze di attrito, continua a ruotare anche
quando il campo magnetico diventa stazionario e, quindi, il campo indotto
E' nullo, con una conseguente variazione del momento della quantità di
moto del sistema meccanico. Questo risultato sembra violare ancora una
volta il principio di conservazione del momento della quantità di moto, valido per un sistema isolato quale quello in esame. Se però oltre al momento
della quantità di moto del sistema meccanico si considera il momento della
quantità di moto associato al flusso circolante del vettore di Poynting (fig.
40), la cui direzione suggerisce la presenza di un momento angolare associato al campo e.m. opposto a quello meccanico, si può verificare che la
somma dei due momenti resta costantemente nullo durante il processo.
La situazione considerata non consente lo sviluppo formale dei calcoli in
maniera semplice. Per tale ragione rimandiamo all'esempio seguente la verifica formale delle conclusioni cui siamo pervenuti in maniera qualitativa.
ESEMPIO V.1.1.
- MOMENTO ASSOCIATO AL CAMPO DEL
SOLENOIDE INFINITO
Consideriamo il sistema costituito da un solenoide infinitamente esteso,
in cui inizialmente non scorra corrente, nel cui interno sia distribuita unifonnemente della carica con densità p. Il momento angolare del sistema
è nullo.
V:1.13. - QUANTITÀ DI MOTO TRASPORTATA DA UN'ONDA E.M.
601
Supponiamo che a partire da un istante di tempo t=O l'intensità della corrente nel solenoide aumenti in modo che l'intensità del campo magnetico
passi dal valore iniziale nullo al valore finale B 0• La variazione di B genera un campo elettrico indotto che, come sappiamo, ha linee di flusso
circolari, orientate come infig. 41, ed in un punto interno al solenoide la
sua intensità vale
L'azione di questo campo su(le,_ cqriche elettriche contenute nel solenoide
dà origine ad un momento meccanico 't che risulta parallelo all'asse e
diretto in verso opposto a B. Per.valutarne il modulo, dividiamo la distribuzione di carica in gusci cilindrici elementari di altezza h. Il corrispondente contributo al momento vale
Fìg. 41
dB
dt =rdF= r(2n: r dr h pET(r)) = h p-n: r 3 dr
dt
dr
,_..,I+I
Integrando su r si ottiene il momento totale della forza, che risulta pari a
dB R 4
t=hp-n:dt
4
Poiché la variazione del momento angolare di un sistema è uguale al
momento delle forze agenti su di esso, possiamo ottenere il momento totale della quantità di moto acquistato dalla distribuzione di carica: esso
risulta parallelo a 't ed il suo modulo si ricava integrando 't sul tempo
LM
=
.
R4
tdt =hpnB 0 o
4
i
t
Il sistema ha quindi acquistato un momento angolare meccanico in contrasto col fatto che per un sistema isolato il momento angolare deve conservarsi. Il momento angolare meccanico però è solo uno dei contributi al
momento angolare totale. Infatti dobbiamo tener conto anche del momento
angolare associato al campo e.m. Per valutare quest'ultimo è necessario
conoscere il vettore di Poynting, e, quindi, i campi E e B prodotti rispettivamente dalla distribuzione di carica e dalle correnti. Ricordiamo 12 che
una carica distribuita unifonnemente in un volume cilindrico genera un
campo elettrico radiale in piani ortogonali all'asse, il cui modulo in un
punto interno vale E = pr/ (2E 0 ) •
Tenendo conto delle direzioni dei campi E e B, il vettore di Poynting risulta in ogni punto interno al solenoide tangente a circonferenze coassiali
all'asse del sistema e di modulo pari a
S = EB =-1 __e:_B
µo
µo 2co
Ad ogni guscio cilindrico si può pensare associata una energia che fluisce
solenoidalmente pari a
12. Cfr. esempio I.3.8.
Fìg. 42
V. I. - ONDE ELETTROMAGNETICHE
602
2
dU(r) = S(r) hdr m
e
ed a questa una quantità di moto
dp(r)= dU(r) = rrphBr 2dr
e
diretta parallelamente ad S. Il momento angolare 13 corrispondente risulta diretto in verso opposto a B ed il suo modulo vale
3
dLei (r) = r dp(r) = rrphBr dr
Il momento totale associato si ottiene per integrazione su r
R4
Lei =hrrpB4
Lei come abbiamo già osservato è diretto in verso opposto a B (fig.
43 ); è
dunque concorde con il momento angolare meccanico LM e si somma a
questo, anziché compensarlo, per dare un momento angolare totale pari a
Fig.43
R4
Lei +LM =hrrpB2
Questo risultato incompatibile col principio di conservazione del momento della quantità di moto, è conseguenza del fatto che nei calcoli ci siamo
limitati a considerare il contributo dovuto ai campi presenti all'interno
del sistema: infatti, avendo trattato il caso al limite di solenoide di lunghezza infinita, abbiamo assunto BEST = O e con questa ipotesi risulta anche SEST = O.
Nella realtà però, anche nel caso di un solenoide molto lungo ma finito il
campo magnetico interessa anche lo spazio esterno così come il campo
elettrico. Faremo vedere che è proprio il momento angolare associato al
campo e.m. esterno che sommato ai due termini Lei ed LM precedentemente calcolati rende il momento angolare totale nullo. Per il calcolo di
quest'ultimo contributo procederemo considerando un solenoide di lunghezza.finita, che poi faremo tendere all'infinito.
Il flusso <1>8 emergente dalle estremità del solenoide vale
<I>B
Fig. 44
=B1tR2
Sul piano mediano a distanza r dal!' asse il campo B si può valutare assumendo che il flusso <1>8 emergente dalle estremità del solenoide coincida con quello dovuto a due masse magnetiche puntiformi, di segno opposto, localizzate alle estremità del solenoide. Ricordando che il campo di
ciascuna di queste masse è radiale, si ha che il campo magnetico totale è
verticale (fig. 44 ), diretto in verso opposto a quello interno, e di modulo
pari a
13. Il pedice CI sta per Campo Interno e sottolinea che il calcolo tiene conto solo del campo
e.m. interno al solenoide.
603
V.l. 14. - PRESSIONE DI RADIAZIONE
Il campo elettrico nello stesso punto è generato dalla carica contenuta entro il solenoide e vale
EEST(r)=-l_À =-l_n:R2p
2n:s 0 r 2n:s 0 r
Il vettore di Poynting nei punti esterni e vicini al piano mediano è diretto
in verso opposto a quello valutato nei punti interni, come conseguenza
dèl fatto che il campo magnetico esterno è diretto in verso opposto a
quello interno, mentre il campo elettrico è sempre radiale. Il suo modulo
vale
Procedendo come è stato fatto in precedenza per il calcolo del momento
della quantità di moto associato al campo interno, si ottiene come contributo dello spazio esterno al solenoide per una regione di altezza h simmetrica rispetto al piano mediano e piccola rispetto alla lunghezza del
solenoide
4
B R hfrdr
( ) -S ( )hdr 2nr ..:_ -_ _!_ np
dL CEr-ESTr
3
c
c
Integrando su re ricordando che d
1
2
2
= r2+f 2
d
si ottiene
1
4
LCE =-n:BpR h (
]1/2
2
Ll+(R/i)2
Questo risultato approssimato nel caso del solenoide di lunghezza 2f diventa rigoroso al limite per i che tende all'infinito e fornisce il contributo
al momento dovuto ai campi E e B esterni, che risulta pari a
R4
LCE =hrcpB2
LCE ha dunque stesso valore ma segno opposto rispetto alla somma dei
due contributi interni precedentemente valutati, così che risulta
LCE + Lei + LM
=O
in accordo col principio di conservazione del momento angolare.
V.1.14. - Pressione di radiazione
Abbiamo visto che quando un'onda e.m. viene assorbita da una sostanza,
cede a questa energia e quantità di moto. Il teorema dell'impulso permette di stabilire che la variazione della quantità di moto del materiale è pari
all'impulso della forza su di esso esercitata
V.I. - ONDE ELETTROMAGNETICHE
604
~p=
f Fdt=<F>~t
1t
Otteniamo così la forza media esercitata dall'onda sul corpo assorbente
<F>= ~p =_!_< dU >u
~t c
dt
dove u indica il versore nella direzione di propagazione dell'onda.
Ricordando che il modulo del vettore di Poynting rappresenta l'energia
elettromagnetica che fluisce attraverso l'unità di superficie normale ad S
nell'unità di tempo, si ha che la forza media esercitata dall'onda
sull'unità di superficie assorbente vale
<F>
1
dU
S
- - = - < - > u = - = c s 0 ExB
A
cA dt
c
L'impulso ceduto per unità di superficie e per unità di tempo è in modulo
pari alla pressione esercitata dalla radiazione sul corpo assorbente. Per
questa ragione il rapporto < F >/A è detto pressione di radiazione.
V.1.15. - Spettro della radiazione elettromagnetica
Lo spettro della radiazione e.m. ricopre un intervallo molto ampio di
frequenze o di lunghezze d'onda, che generalmente viene suddiviso in
varie regioni, i cui nomi hanno origine storica, e che si differenziano essenzialmente per la natura delle sorgenti e per gli effetti della loro interazione con la materia. La suddivisione più comunemente utilizzata è la
seguente
'Y<è,=·--..,w
c.-·.,-.~--····~=-,-m.- "·' -~ '->""Y• -~-~-· -•=•-~"~- .-..--,,- .w,,_,,_ ·---~,.,w.,,..
1/.~.,"-'"'·"'A"W" ✓""'" •>'~•"·''•Y••~•-M"- ✓
,'-,_.,,vcw,,o.Y" , ..,,.,,,,.._
···--•=WH-Y.,v.-,.,-;.,-,-,,.--,.,-.~-Y,•.Y.., ••.• ,,,,,.•.. ,,.Y"''"-,
Il Nome della regioneJ Lunghezza d'on~a AJFrequenza
l
!L.?~~~r~~i?
J 9:3--}:l.06JJ1. . . iL109 -l02Hz
11
Il ~cro0nde... ..... !!. 10=.-0.3m
... •·········· j I 3).2 ,.-::.!29,}!~...........
14
7
1
V
..
3
!Li~!:~:?~~~ .................. JLZ:8·10- --10~.?1
!Ll~~~.~i~~~i!~.
IL~ltr~~iol~~to .
ilraggi X ...
HEa?.~iJ .
J[ 3.8-10 -3-}0 ~gz.
13.:.8·1.9~7 -7.8:!9~~m :L7.9·1014.--3.8·1014gz.J
10
7
6-10- -3.8 · 10- m ...
?· 1017 -- 7.9 •1014 Hz
6,:l0-12::.?·l0~10 m. . :15 )0 19.--5 -}0 17 Hz.
!I
1
......iL
lj::;10=1om
.l~}-1018Hz
Le onde radio, dette anche onde a radiofrequenza, sono prodotte con dispositivi elettronici, essenzialmente circuiti oscillanti; in tale regione cadono le
bande AM (modulazione di ampiezza nell'intervallo 5.25-1705 kHz), FM
(modulazione di frequenza nell'intervallo 88-108MHz) e TV (nell'intervallo
54-980MHz) utilizzate nelle trasmissioni radiofoniche e televisive.
Le microonde sono ancora prodotte essenzialmente con dispositivi elettronici e trovano applicazioni nel campo delle comunicazioni e nei radar;
l'elevata frequenza che le caratterizza ne consente l'impiego anche per
l'analisi delle strutture atomiche e molecolari.
V. 1. 15. -
SPETTRO DELLA RADIAZIONE ELETTROMAGNETICA
605
Nell'infrarosso le onde sono prodotte da corpi caldi, in cui gli atomi sono stati eccitati con energia termica; esse sono utilizzate in molti campi
come la medicina, l'astronomia, la fotografia etc.
La regione della luce visibile, pur essendo molto stretta, riveste una
grande importanza perché ad essa è sensibile l'occhio umano; è prodotta
in generale da processi in cui vengono eccitati gli elettroni più esterni degli atomi e delle molecole. Essa ha dato luogo allo sviluppo dell'ottica, di
cui ci occuperemo nella parte VI.
.Le varie frequenze della regione visibile vengono percepite dall'occhio
sotto forma di colori; per una persona normale questi corrispondono ai
seguenti intervalli
La sensibilità dell'occhio umano è massima per lunghezze d'onda pari a
circa 560nm e si riduce all' 1% del massimo per lunghezze d'onda minori
di 400nm e maggiori di 690nm.
A causa del legame colore-lunghezza d'onda o colore-frequenza, le onde
caratterizzate da una ben precisa frequenza vengono dette monocromatiche.
Anche nell'ultravioletto la radiazione è emessa da atomi e molecole che
si trovano in uno stato eccitato. Il sole è una sorgente molto potente di
raggi ultravioletti, la maggior parte dei quali viene assorbita
dall'atmosfera terrestre e non raggiunge la superficie terrestre. Ciò è fondamentale per la vita: ricordiamo infatti che le radiazioni e.m. caratterizzate da piccole lunghezze d'onda hanno effetti distruttivi per le molecole
organiche. Per questa ragione i raggi ultravioletti trovano .impiego anche
nei processi di sterilizzazione. Ricordiamo infine che uno degli effetti
delle radiazioni ultraviolette è l'abbronzatura della pelle in quanto nella
loro interazione con le molecole degli strati superficiali di questa provocano la formazione della melanina.
I raggi X, scoperti da Rontgen nel 1895, sono prodotti dagli elettroni più interni degli atomi eccitati. Essi trovano largo impiego nella diagnostica medica in quanto danno luogo ad immagini nitide su lastre fotografiche ove sono
visibili gli organi interni, dato che i raggi X vengono assorbiti in modo differente dalle ossa e dai vari tessuti. Anche i raggi X sono in grado di distruggere molecole organiche, per cui vengono utilizzati nella cura del cancro.
I raggi y sono prodotti nei processi nucleari quali il decadimento dei nuclei e delle particelle elementari, gli urti tra particelle etc. Se assorbiti dagli organismi viventi possono causare gravi danni; opportunamente dosati
possono essere utilizzati nella cura dei tumori (cobalto terapia).
nde el ttromagnetich
prodotte da e riche in m
V.2.1. Potenziali elettrodinamici. .........................................608
V.2.2. Potenziali ritardati .....................................................61 O
V.2.3. Potenziali e campi associati ad una carica
in moto lento .............................................................612
V.2.4. Potenziali prodotti da una carica in moto veloce ....... 614
V.2.5. Campi E e B generati da una carica in moto .............. 617
V.2.6. Irraggiamento di onde e.m.
da parte di cariche accelerate ..................................619
V.2. 7. Irraggiamento da un dipolo oscillante .......................620
V.2.8. Resistenza di irraggiamento
di un dipolo oscillante ..............................................625
V.2. - ONDE ELETTROMAGNETICHE PRODOTTE
DA CARICHE IN MOTO
V.3.1. - Potenziali elettrodinamici
Sia in elettrostatica che in magnetostatica abbiamo visto che in generale la
derivazione del campo elettrico dal potenziale scalare e di quello magnetico
dal potenziale vettore presenta notevoli vantaggi rispetto alla determinazione
dei campi tramite il principio di sovrapposizione. fu particolare abbiamo visto che per problemi in cui la distribuzione delle correnti presenti la stessa
geometria di distribuzioni di carica per le quali la funzione potenziale <p(r)
sia nota, il potenziale vettore A(r) si ottiene sostituendo in questa µoJ al posto di p/fo. Vogliamo ora vedere se è possibile seguire una strada analoga anche nelle situazioni non stazionarie. A tale proposito cominciamo col ricordare che la derivazione del campo elettrostatico dal potenziale scalare <p tramite la relazione E = -V <p è resa possibile grazie al fatto che questo è conservativo e quindi irrotazionale in tutti i punti dello spazio
rotE=O
Vx(-V<p)=O
Analogamente, la non esistenza di masse magnetiche isolate rende il campo magnetico solenoidale in tutto lo spazio (divB = O) e consente di
derivarlo da un potenziale vettore A mediante la relazione B=rotA. Infatti
divB =0
Questa relazione però definisce A a meno del gradiente di una arbitraria funzione scalare f, e nei casi statici ciò viene sfruttato per imporre la condizione
divA=O, grazie alla quale il potenziale vettore viene a soddisfare una equazione formalmente identica a quella di Poisson dell'elettrostatica.
Nelle situazioni non stazionarie mentre il campo magnetico continua ad
essere solenoidale dovunque e quindi derivabile ancora da un potenziale
vettore A mediante la relazione B=rotA, nel caso più generale il campo E
non è necessariamente conservativo (sappiamo infatti che il campo prodotto dai fenomeni di induzione e.m. ha circuitazione non nulla) e quindi
non è derivabile dal potenziale scalare tramite la relazione E=-V<p.
Tuttavia se riscriviamo in termini del potenziale vettore A la terza equazione di Maxwell
rotE=- ~! =-! (rotA)=-roC~)
⇒
ro{
E+~~
)=o
(V.2.1.)
vediamo che il vettore (E+é)A/é)t) è sempre e dovunque irrotazionale e,
quindi, conservativo. Quindi è il vettore (E+é)A/é)t) che si può derivare
da un potenziale scalare <p tramite la relazione
é)A
E+-=-V<p
at
V.2.1. -
609
p0TENZIALIELETTRODINAMICI
II nuovo potenziale scalare <p coincide con quello elettrostatico nei casi
statici, in cui é)A/at =O.
Possiamo quindi riscrivere le equazioni che definiscono i campi E e B
mediante i potenziali <p ed A nella forma
é)A
E=-V<p-at
(V.2.2.)
B =rotA
(V.2.3.)
valida sia nei casi stazionari che in quelli non stazionari. In questi ultimi
il potenziale vettore A è ancora definito a meno del gradiente di una funzione scalare arbitraria f; vedremo però che nella scelta di f sarà conveniente imporre una condizione diversa da quella eseguita nelle situazioni
stazionarie.
Colleghiamo ora i potenziali <p ed A con le sorgenti (cariche e correnti)
che danno origine ai campi. A tale scopo facciamo uso delle rimanenti
equazioni di Maxwell
divE=__e_
e
So
Utilizzando la (V.2.2.) abbiamo
div(- grad<p- é)A )= _e_
dt
s0
==>
Analogamente, mediante la (V.2.3.), otteniamo
rot rotA = µ 0 J + µ 0 s 0 - a ( - grad<p - -é)A)
dt
dt
Per semplificare quest'ultima espressione, sfruttiamo l'arbitrarietà 1 nella
scelta
della
div A
in
modo
da
annullare
il
termine
grad(divA + µ 0 s 0 d<p/dt). Infatti per avere grad(divA + µ 0 s 0 d<p/dt) = O
basta scegliere A in modo che risulti
l. Occorre notare che, data l'arbitrarietà nella scelta di A, se lo si cambia in
A'= A + grad(f), bisogna cambiare anche <p in <p' = <p- òf/òt per ottenere gli stessi va-
lori di E e di B. Infatti
E'= -grad(<p')- òA' =-grad(<p- a(f ))-~(A+ grad(f ))= -grad(<p)- òA =E.
òt
òt
òt
òt
610
V.2. - ONDE ELETTROMAGNETICHE PRODOTTE DA CARICHE IN MOTO
La nuova scelta inoltre non modifica quella fatta nei casi statici: infatti, se
d<pldt=O, risulta ancora divA=O.
Con questa scelta le due equazioni di Maxwell, che legano i campi alle
rispettive sorgenti, si possono riscrivere in termini dei potenziali nella
forma .;,eguente
divE=_E_
So
(V.2.4.)
⇒
Con la scelta fatta per la divA, si perviene a due equazioni differenziali
distinte una scalare per il potenziale <p ed una vettoriale per A le cui soluzioni dipendono solo dalla distribuzione di carica p e, rispettivamente,
solo dalla distribuzione delle correnti J. Inoltre, nei casi stazionari, in cui
p e J non variano nel tempo, queste equazioni si riducono alle ben note
equazioni di Poisson
e
Notiamo inoltre che le equazioni (V.2.4.) anche in assenza di cariche e di
correnti (p = O, J =0) ammettono soluzioni non nulle per <p ed A. Infatti in
questo caso esse si riducono alle equazioni delle onde
(V.2.5.)
e
che hanno per soluzioni onde che si propagano con velocità V=(J1-0COX 112=c.
Dal momento che le due equazioni per <p ed A sono formalmente identiche sia nel vuoto che in presenza di cariche e correnti, basta risolverne
una per avere anche la soluzione dell'altra. Determinata infatti la soluzione <p(x,y,z,t), da questa si ottiene anche la soluzione A(x,y,z,t) sostituendo, come abbiamo già fatto nei casi stazionari, µ-oJ al posto di pico.
V.2.2. - Potenziali ritardati
Si può dimostrare che la soluzione generale delle equazioni dei potenziali
elettrodinamici (V.2.4.) nei punti interni ad un volume V, che non racchiude necessariamente tutte le sorgenti, è la seguente
tP]
<p(r,t)=-1-ff [_!__ d<p +(-! dq, +J,-q,
4ns 0 s rp dn
rpc dt rp
dn
+
_I_fff
47tE 0
V
p(r',t-rp/c)dV
rp
dS+
t-rp/c
V.2.2.- POTENZIALIRITARDATI
611
(i=x,y,z)
ove S rappresenta la superficie che delimita V ed il simbolo (d/dn) indica
l'operazione di derivazione nella direzione della normale esterna alla superficie S.
Le espressioni precedenti mostrano che per la determinazione dei potenziali in un punto P interno a V basta conoscere la distribuzione delle sorgenti nel volume stesso ed il comportamento dei potenziali in corrispondenza della superficie S che delimita V. Con questo secondo termine si
tiene conto del contributo di tutte le sorgenti esterne a V.
Per comprendere meglio il significato dell'integrale di superficie e divolume nelle relazioni precedenti consideriamo due casi limite:
la superficie S delimita le regioni che contengono le sorgenti ma si vogliono valutare i potenziali ed i campi nei punti esterni ad S. In questo
caso l'integrale di volume viene effettuato in quella parte dello spazio
ove p e J sono nulli e non dà quindi contributo. I potenziali sono quindi
completamente determinati dai valori che essi assumono nel tempo assieme alle loro derivate normali su tutti i punti della superficie chiusa
che delimita la regione con le sorgenti. Ciò significa che il potenziale in
un punto P al tempo t si può pensare come la sovrapposizione di infiniti
contributi provenienti dagli elementi dS della superficie, ciascun contributo determinato dal comportamento che tale potenziale aveva in
quell'elemento al tempo t' = t-r/c. Ciò significa che ogni contributo si
propaga da dS a P con velocità v = c e corrisponde al principio di Huygens dell'ottica e dell'acustica.
Si manda la superficie S all'infinito. In questa ipotesi nei casi di interesse fisico le sorgenti sono tutte distribuite all'interno della regione V
e si trovano a distanza finita dal punto potenziato P. L'integrale di superficie quindi si annulla e rimane solo l'integrale di volume. In tal
caso per la determinazione dei potenziali è necessaria solo la distribuzione delle sorgenti, come risulta dalle relazioni
I
cpr,t
( )=-41ts 0
fff -p(r',
t - rP / c)
----dV
v
(V.2.6.a)
rp
(V.2.6.b)
Il significato fisico di queste soluzioni è evidente. Al potenziale cp (o A)
nel punto P (individuato dal vettore di posizione r) nell'istante t, contribuiscono tutte le cariche (o le correnti) esistenti nella regione V. Tuttavia
ogni elemento di volume dV contribuisce con la carica (o la corrente) che
in esso è presente non all'istante t considerato, ma ad un tempo precedente t'=t-r/c, in quanto bisogna tener conto del tempo impiegato dal segnale per propagarsi dall'elemento dV al punto potenziato.
Possiamo visualizzare questo risultato immaginando una superficie sferica con centro nel punto potenziato P che parte con raggio infinito e si
contrae verso questo punto con velocità c, in modo da ridursi a P proprio
all'istante t considerato. Nel valutare il potenziale cp (o A) in P bisogna
z
612
V.2. - ONDE ELETTROMAGNETICHE PRODOTTE DA CARICHE IN MOTO
considerare i contributi relativi alla carica (o alla corrente) presente negli
elementi di volume dV nell'istante in cui questi vengono spazzati dalla
sfera esploratrice in modo tale che questi contributi raggiungano il punto
P al tempo t propagandosi con velocità c.
y forma della soluzione (V.2.6.) può anche essere giustificata nel
modo seguente: nei punti a grande distanza dalle sorgenti, queste soluzioni devono coincidere con quelle delle equazioni d'onda (V.2.5.)
valide per punti dello spazio vuoto, in cui p = O e J = O, per cui, come
abbiamo già visto nel caso delle onde elettromagnetiche, devono essere funzioni del tipo f=f(t-r/c).
Inoltre nei punti vicini alle sorgenti, essendo il ritardo r/c trascurabile,
le soluzioni (V.2.6.) debbono ridursi a quelle trovate per i potenziali
nei casi statici
-ff'f
cp(r,t)=-1
41te 0
p(r')dV e
Jv rp
A(r,t)=l:_Q_JJJ J(r')dV
41t
v rp
/at2 )
In altre parole, l'introduzione del termine ( -µ 0 s0 é) 2
nelle equazioni differenziali (V.2.4.) dà luogo ad un ritardo nei contributi di J e
p, indicato dal tempo t'=t-r/c. Per questo motivo queste soluzioni sono dette dei potenziali ritardati: esse contengono una ipotesi in più
rispetto a quanto contenuto nelle equazioni di Maxwell e cioè che la
densità di carica p e la densità di corrente J sono le cause dei potenziali.
Va infine notato che da un punto di vista matematico le equazioni dei potenziali ammettono una seconda soluzione, che si ottiene dalla prima so1
stituendo t =t+r/c al posto di t'=t-r/c. Queste soluzioni, che potremmo
definire dei potenziali anticipati, sono prive di significato fisico: infatti la
presenza del termine t' =t+r/c indicherebbe che il potenziale esistente in
P al tempo t dipende dalle cariche che saranno presenti a distanza rp ad un
tempo successivo t'= t+r/c.
V.2.3. - Potenziali e campi associati ad una carica in
moto lento
p
Fig. 2
Consideriamo una carica q distribuita con densità p entro una sfera di
raggio R ed in moto con una velocità costante v piccola rispetto alla velocità di propagazione delle onde e.m. (v <<c).In questa ipotesi si può trascurare il campo elettrico generato dai fenomeni di induzione rispetto a
quello di natura elettrostatica. La distribuzione di carica in moto corrisponde anche ad una densità di corrente J = pv e produce, quindi, oltre ad
un campo elettrico un campo magnetico. Per valutarli calcoliamo in un
punto P, posto a distanza r0 dal centro della sfera, sia il potenziale scalare
che il potenziale vettore. Nell'ipotesi che sia r0 >> R, si ha
cp(P)=-1
4ne 0
fff .E..dv
v rp
A causa delle piccole dimensioni della sfera possiamo approssimare rp
con r0 e, quindi, il potenziale risulta pari a
V.2.3. - POTENZIALI E CAMPI ASSOCIATI AD UNA CARICA IN MOTO LENTO
I
cp(P)=41tc 0
fffp
I fffp
-dV:::- d V =I- - fff pdV
v rp
41tc
vr
4rec r
v
0
0
613
q
0 0
Analogamente si ha
Dal confronto si ottiene la seguente relazione tra i due potenziali
A= µ 0 c0 <pv
che, come vedremo, possiede una validità più generale.
Noti i potenziali, possiamo valutare i campi E e B
essendo rotv=O in quanto per ipotesi v=cost.
Abbiamo così la seguente relazione tra i campi
B =µ 0 c 0 vxE
q
che, come quella tra i potenziali, è di validità più generale.
Nel caso in esame esplicitando l'espressione di E si ottiene per B
l'espressione che avevamo previsto sulla base della legge di Ampère-Laplace
Fig. 3a
Possiamo visualizzare questa situazione immaginando che la carica in
moto trascini con sé i campi E e B, le cui linee di flusso sono rispettivamente radiali per E e circolari per B, come mostrato in fig. 3a. In ogni
punto dello spazio il vettore di Poynting punta verso la retta che descrive
la traiettoria della carica in moto (fig. 3b). La densità di quantità di moto
trasportata dal campo e.m. vale
g=c 0ExB
Integrando g su tutto lo spazio otteniamo la quantità di moto totale p
associata ai campi. Il problema presenta una simmetria rispetto alla
direzione del moto; di conseguenza nel processo di integrazione le
componenti di g ortogonali a questa si cancellano a vicenda.
L'integrazione della componente di g lungo la direzione del moto fornisce la quantità di moto che risulta parallela alla velocità v della
distribuzione di carica e pari a
Fig. 3b
614
V.2. - ONDE ELETTROMAGNETICHE PRODOTTE DA CARICHE IN MOTO
Nella relazione precedente il termine 21t deriva dall'integrazione
sull'angolo polare2 '1'· Ricordando che E e B sono tra loro ortogonali e
che in modulo valgono rispettivamente
1 q
E=--41ts 0 r 2
e
si ottiene
2
4
2
2
q V 4( q
q
P = 3 µo 81tR = 3 81ts 0 R 81ts 0 c 2R
V
C
2
Il termine tra parentesi è proporzionale 3 all'energia elettrostatica associata ad una sfera carica di raggio R pari a
6
UE=
q2
5 81ts0 R
Possiamo quindi scrivere
Poiché nella meccanica la massa inerziale m definisce il rapporto tra
quantità di moto e velocità, p=mv, il risultato ottenuto può perciò essere
interpretato pensando che l'inerzia dei corpi derivi dalle proprietà dei
campi associati alle cariche elementari che li costituiscono. La massa elettromagnetica dovrebbe perciò valere
lOUE
m=-9 c2
evidenziando una relazione importante tra massa inerziale ed energia. A
parte il fattore di proporzionalità che dipende dal procedimento utilizzato,
e che a sua volta trascura altre forme di energia necessariamente presenti
per garantire la stabilità alla sfera carica, troviamo in questo modo una
prima indicazione di un principio di validità generale che collega la massa all'energia espresso dalla relazione
U=mc 2
V.2.4. - Potenziali prodotti da una carica in moto veloce
Consideriamo ora una distribuzione di carica q in moto veloce nel verso
positivo dell'asse X e valutiamo il suo contributo al potenziale in un
punto P sullo stesso asse. Utilizziamo a tale scopo l'immagine della sfera esploratrice che si contrae con velocità c in modo da ridursi al punto
P nell'istante t desiderato. La carica in moto viene raggiunta, spazzata e
superata dalla sfera esploratrice in modo che, se il moto della superficie
2. Usiamo il simbolo 'I' in luogo di <p per evitare confusioni con il potenziale scalare denotato con <p.
3. Cfr. § 1.8.6.
V.2.4. - POTENZIALI PRODOTTI DA UNA CARICA IN MOTO VELOCE
615
sferica e della distribuzione di carica sono concordi, il valore del potenziale in P risulta maggiore di quello che la stessa distribuzione genererebbe se fosse in quiete. Infatti, assumendo per semplicità che la forma
della distribuzione di carica sia un cubo di spigolo d0, come è schematizzato in fig. 4, la superficie della sfera esploratrice si muove
all'interno del volume carico per uh tratto di lunghezza d maggiore della lunghezza reale d0 • Pertanto ai fini del calcolo del potenziale è come
se la carica fosse più estesa in lunghezza pur conservando la stessa densità p. Quindi al contrario di ciò che accade nel caso di moto lento, il
potenziale in un punto P, posto a distanza r 0 dal centro della distribuzione grande rispetto alle dimensioni della distribuzione (ro >>do), non
coincide con quello di una carica puntiforme q, cioè
<p(P,
t)=-1-Jf'f
41tc 0
p(r', t-rp/c) dV :;t:-1_ _9_
Jv
rp
4ns 0 r0
X
La valutazione corretta del potenziale in P richiede la conoscenza della
carica q' equivalente alla distribuzione. Essa può essere calcolata
mediante la relazione di proporzionalità che si può stabilire tenendo
conto che nel tempo ~t in cui la sfera esploratrice avanza di un tratto di
lunghezza d con velocità c, la distribuzione di carica si sposta di un
tratto f con velocità v
d
f
c
V
~t=-=-
l-i-
[]
[]]
--- d
La carica equivalente q' si ottiene dalla proporzione
q':d=q:d 0
⇒
, qd
q=a;-=
q cf
V
□
~--1
- e -+-
⇒
⇒
do
1
,
Fig. 4
q
t-J) (1-;)
Il risultato precedente si riferisce al caso in cui il punto P si trova
sull'asse X, che coincide con la direzione del moto. Nella situazione più
generale esso è individuato rispetto al centro della distribuzione di carica
da un vettore di posizione r non parallelo alla velocità v di questa. Ciò
comporta che v non ha più la stessa direzione del raggio della sfera esploratrice ed il fattore correttivo viene a dipendere solo dalla componente Vr
della velocità in questa direzione, pari a Vr= v•r/r. Cioè
(V.2.7.)
Nella espressione di q' non compare nessun fattore legato alla forma e alle
dimensioni della distribuzione di carica, per cui la (V.2.7.) può essere utilizzata per una distribuzione qualsiasi ed anche per una carica puntiforme.
I potenziali prodotti dalla carica q in moto veloce risultano dati da
616
V.2. - ONDE ELETTROMAGNETICHE PRODOTTE DA CARICHE IN MOTO
1
1
<p(P, t)=-( q
) = --. [(
q
)]
4m~ 0 r 1- v r /c
4nz 0 r - r • v/c t'=t-r/c
(V.2.8.a)
A(P,t)=.&.. ( qv )=_&_[( qv
)]
1
41trl-vr/c
41t r-r•v/c t'=t-r/c
(V.2.8.b)
Nelle relazioni precedenti l'indice t'=t-r/c sta a ricordare che le grandezze
che compaiono in parentesi non vanno valutate al tempo t ma al tempo t'.
La relazione tra A e <p è data ancora da
A= µ 0 z 0 v<p
y
Fig. 5
p
come già visto per i potenziali generati da una carica in moto lento.
Le espressioni (V.2.8.) vengono chiamate potenziali di Lienard-Wiecher ed
indicano che il contributo al potenziale in un punto P dovuto ad una carica q
dipende dal suo stato di moto e dalla sua distanza da P all'istante t' = t-r/c,
precedente rispetto al tempo t in cui valutiamo i potenziali in P. Al limite se
la carica si muovesse con velocità v = c verso il punto potenziato, si avrebbe
in P un contributo infinitamente grande come se ci fossero infinite cariche
allineate nella direzione del moto. Tale contributo infinito risulterebbe però
presente solo nell'istante in cui la carica raggiungesse il punto P.
Valutiamo ora esplicitamente i potenziali A e <p generati da una carica
puntiforme q in moto con velocità v costante nel verso positivo dell'asse
X, come è mostrato in fig. 5. Calcoliamo in particolare il potenziale in un
punto P nell'istante t in cui la carica passa per l'origine O del sistema di
riferimento4 • Per quanto visto precedentemente, nel calcolo di <p(P,t) (o di
A) non bisogna considerare la carica nell'origine O, posizione da essa occupata al tempo t, ma nel punto Q più a sinistra di O, occupato ad un istante precedente t' scelto in modo tale che la distanza r di P da Q sia percorribile con velocità c in un tempo Llt=t-t'=r/c. Il punto Q deve distare
dall'origine di LlR=vLlt=vr/c e le coordinate spazio-temporali del punto
sorgente del potenziale in P(r0 ,t) sono date da Q(-vr/c,0,0,t-r/c). In altre
parole nelle espressioni per <p ed A a denominatore deve comparire r e
non r0 • Valutiamo perciò il termine r - r•v/c.
A tale scopo indichiamo con a l'angolo tra r e v e con 0 l'angolo tra r 0 e
v. Con riferimento alla fig. 5 si ha
r•v
rv
r- - = r - -cosa
=rc
c
!),,f, cosa
.J
= r02-
(!),,f, sm
. a )2
=
4. Nel dire questo introduciamo l'ipotesi che abbia significato fisico assoluto il concetto di contemporaneità tra eventi che avvengono in punti diversi dello spazio. Ci
chiediamo cioè qual è il valore che assume il potenziale in P contemporaneamente
al passaggio della carica puntiforme per O. Vedremo più avanti che l'analisi del
concetto di contemporaneità è alla base della teoria della relatività e che il giudizio
di contemporaneità dipende dall'osservatore e può essere diverso per osservatori in
moto relativo.
V.2.5. - CAMPI E E B GENERATI DA UNA CARICA IN MOTO
Poiché r sin a= r0 sin 0
617
r..L, si ha
2
r•v
V
. 2 0
r---=r0 1 --sm
=s
c2
c
Possiamo perciò scrivere
1
cp(P,t)=-- ~
4ns 0 s
A(P, t)= J:Q_~
e
4n s
Le relazioni precedenti mostrano che, nell'istante in cui la carica q passa
per l'origine, tutti i punti equidistanti da O, posti cioè su una sfera di raggio r0 , non hanno lo stesso potenziale: infatti il potenziale in P dipende
oltre che da r0 , dal rapporto v/c e dall'angolo 0. Il potenziale in P a distanza r0 coincide con quello che sarebbe pi:odotto da una carica stazionaria in O nei punti a distanza s = r0 .J1-(v 2 / c 2 )sin 2 0. Le superfici equi-
V
potenziali per una carica puntiforme in moto non sono più delle sfere,
come accade se essa è in quiete, ma degli ellissoidi (fig. 6) definiti dai valori costanti di s
<p = cost
⇒
s = cost
s
r =-;::======
.J1-(v 2 /c 2 )sin 2 0
Il potenziale risulta quindi massimo nei punti per cui sin0 è massimo, cioè
appartenenti al piano per O normale a v. Notiamo infine che per velocità piccole rispetto alla velocità c delle onde elettromagnetiche, le espressioni dei
potenziali diventano quelle già note per le cariche e le correnti stazionarie.
V.2.5. - Campi E e B generati da una carica in moto
Noti i potenziali <p ed A generati da una carica in moto, possiamo valutare
il campo elettrico ed il campo magnetico mediante le relazioni
E =-grad<p - dA(iJt
e
B =rotA
con
Nel calcolare le derivate rispetto al tempo, bisogna ricordare che
all'istante t la distribuzione dei potenziali coincide con quella che si aveva all'istante (t-dt) nei punti spostati rispetto a quelli considerati di -vdt.
In altri termini possiamo immaginare che la carica in moto trascini rigidamente con sé la distribuzione dei potenziali che viene a creare, per cui
è possibile sostituire nei calcoli la derivata temporale d/dt con -v•V. Nel
caso in cui v sia parallela all'asse X, la d/dt va sostituita con -vd/dx e per
le componenti di E si ottengono le relazioni
Fig. 6
V.2. - ONDE ELETTROMAGNETICHE PRODOTTE DA CARICHE IN MOTO
618
Tenendo conto che sin 2 0 = (y 2 + z 2)/rg e che rg = x 2 + y2 + z 2 , si ha
Analogamente, ricordando che Ay =Az =0 , risulta
2 2
E = - - - - 3 y ed
Y
41tE 0
s
(1 - v / e ) q
2 2
E =---- 3 z
z
4nE0
s
(1 - v / e ) q
Vettorialmente si può scrivere quindi
(1-v 2 /c 2 ) q
E=---- 3 r0
4nE 0
s
Per le componenti di B otteniamo
Bx=O
Bz
_µo qv(l-v2/c2) E
- 3
y - µoEo v Y
41C
s
Da queste relazioni si deduce che
B=µ0 e0 vxE
Eo
Eo
Poiché le componenti Ex, Ey, Ez sono proporzionali mediante lo
stesso fattore rispettivamente a x, y, z (cioè Ex: Ey: Ez= x:y:z), le
linee del campo elettrico sono radiali e provengono da O, cioè
dalla posizione che è occupata dalla carica q al tempo t, pur essendo stato valutato come generato dalla carica q mentre occupava la posizione Q, nell'ipotesi che questa si sia mossa con velocità costante v da Q a O (fig. 5). Le linee di B sono invece circonferenze concentriche, giacenti su piani paralleli al piano YZ e con
centro sull'asse X.
Se si pone ~=vie, il modulo del campo elettrico risulta pari a
2
2
(1 - ~ ) q / 2
2
2
1 q
1- ~
E =--- 3
+y +z = - - - - -2- -2 -34ne0 s
4ne 0 rg (1- ~ sin 0) / 2
vx
Fig. 7
e dipende da~ e dall'angolo 0, che il vettore di posizione r 0 forma
con la velocità. Se confrontiamo l'intensità del campo elettrico di
una carica in moto con i corrispondenti valori generati dalla stessa
carica in quiete, E= q/ (4ne 0 ri), troviamo che nei punti dell'asse
X (per i quali sin0=O) il campo è ridotto di un fattore (1-~2), men-
· ·6···
"{.2.•
IRRAGGIAMENTO DI ONDE E.M. DA PAR1E DI CARICHE ACCELERA1E
619
tre in quelli del piano x = O (in cui sin0 = 1), risulta moltiplicato per il
i/.J1 -~
2
fattore
• Ne segue che, quando la velocità della carica puntif()rme, ad esempio di un elettrone, si avvicina a quella della luce, il
campo tende a concentrarsi su un disco piatto, disposto perpendicolarmente alla traiettoria (fig. 8). Su questo disco il campo assumerebbe
un valore infinito nel caso limite in cui v valesse proprio c.
E
V
V.2.6. - Irraggiamento di onde e.m. da parte di cariche
accelerate
Sappiamo valutare i potenziali ed i campi generati da cariche in quiete o in
moto con velocità costante v. Studiamo ora i fenomeni che si verificano nella
fase transitoria di moto accelerato che porta una carica dalla situazione di
quiete a quella di moto uniforme.
Supponiamo pertanto di avere una carica q in quiete nell'origine del sistema di riferimento fino al tempo to. Improvvisamente, in un tempuscolo
successivo ~t, essa viene accelerata in modo da acquistare una velocità v
parallela all'asse X. Vediamo quale deve essere la distribuzione
delle linee di forza del campo elettrico ad un istante di tempo
t1>to+~t.
Dato che le perturbazioni elettromagnetiche si propagano con velocità finita c, al tempo t1 i punti che distano dall'origine più di
r1=c(t 1-to) non sanno ancora della accelerazione subita dalla carica q e vedono quindi il campo della carica in quiete.
I punti che distano dall'origine meno di r 1 vedono invece il campo prodotto dalla carica in movimento, che punta radialmente
verso la posizione "presente" della carica. Uno spessore ~r =c~t
consente un raccordo continuo per le linee di E tra le due regioni
(fig. 9). Possiamo in questo modo visualizzare in modo intuitivo
il meccanismo della produzione delle onde e.m. da parte di cariche accelerate: dal punto ove la carica ha subito l'accelerazione
parte allargandosi con velocità c una zona compresa tra due sfere
di raggi r 1 ed r2 =r 1+& in cui il campo elettrico ha un andamento
che tende a divenire trasversale, cioè perpendicolare alla direzione di propagazione. Possiamo anche intuire che l'intensità del
campo elettrico nell'intercapedine è tanto maggiore quanto
maggiore è la variazione di velocità e quanto minore l'intervallo
di tempo ~t in cui questa avviene. Il campo di radiazione deve
quindi dipendere dal valore dell'accelerazione ed è lecito attendersi anche una dipendenza dall'angolo 0.
Nella fig. 10 è visualizzato l'andamento del campo elettrico di
una carica q inizialmente in quiete nell'origine, che subisce successivamente due brusche accelerazioni, uguali ed opposte nella
direzione dell'asse X che la riportano in quiete. Durante ciascuna fase di accelerazione parte una perturbazione che introduce
una distorsione nelle linee di forza. La regione ove è presente la
perturbazione si allontana come un'onda sferica con velocità c.
Possiamo giustificare l'assunta continuità delle linee di forza
sulla base dell'invarianza relativistica della carica elettrica (in-
Fig. 8
Fig. 9
Fig. 10
620
V.2. - ONDE ELETTROMAGNETICHE PRODOTTE DA CARICHE IN MOTO
dipendenza di q dal suo stato di moto) e del teorema di Gauss. In tal modo il numero totale di linee di forza che attraversa qualsiasi superficie sferica centrata in O, è legato solo al valore costante della carica q.
V.2.7. - Irraggiamento da un dipolo oscillante
-.d:
I
I
I
I
I
I
X
_t_
Consideriamo due sfere metalliche, i cui centri siano a distanza d, aventi cariche uguali ed opposte +q e -q (fig. 11); il sistema costituisce praticamente
un dipolo di momento p =qd. Se le due sfere vengono collegate mediante un
filo o mediante la scarica tra due punte di uno spinterogeno, ha origine un
fenomeno di oscillazioni elettriche smorzate durante il quale la carica di ciascuna sfera assume alternativamente valori positivi e negativi. Il sistema può
essere assimilato ad un circuito oscillante in cui sia presente un condensatore
di capacità pari a quella presente tra le due sfere, un solenoide che tenga conto dei fenomeni induttivi generati dal campo magnetico prodotto dalla corrente ed una resistenza, con cui si tiene conto della diminuzione nel tempo
dell'energia immagazzinata nel sistema. Le due sfere cariche creano intorno
a sé un campo elettrico ed un potenziale che per distanze sufficientemente
grandi rispetto a d, ma non così grandi da dover considerare i ritardi dovuti
alla propagazione, devono coincidere con quelli generati da un dipolo
Fig. 11
<p=
1
41teo
pcos0
1
pz
= -2 - - - - - - - -
4na 0 r 3
r
in cui si è assunto che il dipolo occupi l'origine di un riferimento avente
l'asse Z parallelo a p, come è mostrato in fig. 11.
Analogamente, la corrente dovuta al moto di cariche secondo la direzione
del dipolo dà origine ad un potenziale vettore A ed ad un campo magnetico B. Trascurando i fenomeni di propagazione possiamo scrivere,
Vediamo ora come generalizzare queste soluzioni affinché possano essere
utilizzate per distanze qualsiasi, tenendo anche conto del ritardo dovuto
alla propagazione. Partendo dalle espressioni trovate per A e cp, cerchiamo una soluzione in cui A e cp dipendano ancora solo dalla posizione r e
soddisfino le equazioni generali dei potenziali elettrodinamici
e
con la condizione
La prima di queste equazioni può essere riscritta per punti distanti dalla
sorgente, dove J = O, nella forma
2
é) 2 A
V A-µ 0 a0 -
at
-=0
2
(V.2.9.)
V.2.7. - IRRAGGIAMENTO DA UN DIPOLO OSCILLANTE
621
le cui soluzioni devono essere del tipo A(r, t) = (Aof (r -ct))/r in quanto
la (V.2.9.) rappresenta l'equazione delle onde prodotte da una sorgente
puntiforme. Si tratta di onde sferiche visto che la propagazione avviene in
un mezzo omogeneo ed isotropo (lo spazio vuoto). Una soluzione del tipo
A(r, t) = (Aof (r-ct))/r, che coinpida per punti non troppo lontani con
quella già data, è la funzione
A(r,t)=~_!.(dp)
4rc r
dt
t'=t-r/c
ove la derivata dp/dt è valutata all'istante t' = t-r/c.
In altre parole al momento del dipolo p = p(t), funzione del tempo t, si sostituisce la stessa espressione in cui la variabile tè sostituita da t'=(t-r/c).
Con questa scelta per A, valutiamo <p in modo consistente. Dalla relazione divA= -µ 0 e0 d<p/dt otteniamo
d<p __ divA=- 1 div(µ 0 ldp(t-r/c)
dt
µ 0s 0
µ0s0
4rc r
dt
1_[_!.
= __
V• dp(t - r/c) +
41te 0 r
dt
J-
v(.!.)•
dp(t - r/c)]
r
dt
Ricordando che abbiamo assunto p parallelo all'asse Z, possiamo scrivere
div(dp )=.i_ dp
dt
dz dt
ed inoltre essendo t' = t - rie, risulta d/dt'=d/dt. Si ha quindi
1 [1
1 [1
éJq,
a dp dpéJ(l/r)]
a (dpJéJt'dr dp z]
dt = 4ns 0 r dz dt + dt dz = 4ns 0 r dt' dt dr dz + dt r 3 =
2
1 ( z d p z dp
= 4ns 0 cr 2 dt 2 +~dt
J
Una soluzione di questa equazione è la funzione
dp(t
-r/c)
<pr,t
( ) = -1 - ( z2 -- + 3z p (t ,=t-r/ c))
4rce 0 cr
dt
r
Notiamo che, fissato il periodo T delle oscillazioni del dipolo, per valori
dir<< cT = À, cioè nella regione dove il ritardo dovuto alla propagazione
è trascurabile, risulta che il primo termine in parentesi (dp/dt) è trascurabile rispetto al secondo, per cui in questo caso il potenziale assume
l'espressione
cp(r,t)=-l_pz =-l_pcos0
4rcs 0 r 3
4rcs 0 r 2
coincidente con quella del potenziale del dipolo ricavato nei casi statici.
Valutiamo ora i campi E e B a grande distanza dalle sorgenti mediante le
relazioni che li legano ai potenziali elettrodinamici
V.2. - ONDE ELETTROMAGNETICHE PRODOTTE DA CARICHE IN MOTO
622
B = rotA
E =-V<p òA(èJt
e
utilizzando per questi le espressioni ottenute in precedenza e valide in
generale.
Data la simmetria del sistema fisico in esame, è conveniente considerare
un sistema di coordinate polari r, 0, \jf. Le espressioni delle componenti
del rotazionale e del gradiente in coordinate polari sono le seguenti
(rotAt =
: [j_(sine A'I')- ÒAe]
r sm e ae
Ò\jl
(rotA)8 =
: òAr _ _!.i_(r A )
r sm e Ò\jl
r ar
"'
(Vcp) =
'I'
Fig. 12
I òcp
r sin e Ò\jl
Nel nostro caso le componenti polari di A valgono
Ar =.!:2__!.(dp
4rc r dt
J
cose
t-r/c
0 1 (dp
A 8 = -µ- 4rc r dt
J sme
.
t-r/c
A =O
"'
per cui risulta5
Br =(rotAt =
: [j_(sineA"')- òAe]=O
r sm e ae
Ò\jl
1ò(r A"')
---=O
r
dr
B =(rotA) =.!.[i.(-r.!:2__!. dp sine)-j_(.!:2__!. dp cose)~
=
"'
"' r ar
4rc r dt
ae 4rc r dt
Ut-r/c
=_!.[µo sin edzp .!..+µo_!. dp sin e]
= µo sin e[.!.. dzp +.!. dpl
2
2
r 4rc
dt c 4rc r dt
t-r/c
4rc r
c dt
r dt t-r/c
Esprimendo il potenziale <p in coordinate polari
p +1-dp]
( ) = -1 - [ 2
<pr,t
cose
4m~ 0 r
c r dt t-r/c
a
ax
5. Trattandosi di fenomeni di propagazione si può fare uso della relazione -
a
e at
1
V.2.7.
623
IRRAGGIAMENTO DA UN DIPOLO OSCILLANTE
si ottengono le componenti del campo elettrico
E =-(V<p) - é)Ar =- d<p - dAr
r
r
at
ar
at
=--1-[- 2p _ _3_ dp __l_dzp]cos0-µo .!_ dzp cos0=
4nc O
r 3 cr 2 dt c 2 r dt 2
4n r dt 2
= -1 - [2p
- +2-dp]
cos0
4nc O r 3 cr 2 dt t-ric
E = -(V <p) _ aA 0 = _.!_ d<p _ aA 0 =
0
0
at
r ae
at
2
1 - [p +1-dp]
.
µ0 1 d p .
=- sm0+----sm0=
2
4ns Or r
e r dt
4n r dt 2
2
dp- +1- d- p]
.
= -1 - [ -p3+ -1sm0
2
2
2
4ns O r
e r dt rc dt
t-r/c
E =-(V<p) - é)A'I' =0
'I'
'I'
at
Fig. 13
Le espressioni trovate per le componenti di B e di E valgono a qualsiasi
distanza dalla sorgente. Queste si semplificano se ci si limita a considerare punti distanti, per i quali risultar>> cT = À: in tal caso infatti si possono trascurare i termini che contengono a denominatore potenze di r più
elevate della prima. Si ottengono così le relazioni
E r =0
_!_(
2
P)
B = 1:2_
d
'I' 4n re dt 2
sin 0
E 'I' =0
t-r/c
Vediamo quali sono le caratteristiche più salienti dei campi prodotti da un
dipolo oscillante nei punti distanti. Solo le componenti E 0 e B'I' sono diverse da zero. I campi sono perciò trasversali rispetto alla direzione di
propagazione e normali tra di loro. Il rapporto tra i moduli vale
E
1
=---=e
B µ 0 E0 c
Quindi si tratta proprio di onde elettromagnetiche che si propagano in direzione radiale dalla sorgente. Notiamo inoltre che i valori di E e di B dipendono da sin0. Ne segue che l'intensità della radiazione e.m. emessa da
un dipolo oscillante non è la stessa in tutte le direzioni, ma è massima sul
piano equatoriale e nulla nella direzione del momento di dipolo.
624
V.2. - ONDE ELETTROMAGNETICHE PRODOTTE DA CARICHE IN MOTO
In fig. 14 sono riportate in un piano meridiano le linee
del campo elettrico generato da un dipolo oscillante ad un
generico istante di tempo dopo che il dipolo è stato messo in oscillazione. Ogni qualvolta il momento di dipolo si
annulla, le linee di E si chiudono ed al passare del tempo
si spostano verso l'esterno, mentre se ne formano altre
con verso opposto in quanto generate da un momento di
dipolo orientato anch'esso in verso opposto al precedente. Le linee di B sono invece circolari su piani ortogonali
alla direzione del dipolo e con i centri sull'asse del dipolo. Esse quindi sono ortogonali al piano di fig. 14 uscenti
o entranti in questo.
E' importante rilevare che mentre i campi statici diminuiscono con la distanza come l/r2, i campi di radiazione diminuiscono solo come 1/r. Possiamo vedere che questa
dipendenza da 1/r è intimamente connessa con il fatto che
le onde elettromagnetiche trasportano energia ed in un
mezzo non assorbente l'energia trasportata dall'onda si
conserva. Per valutare l'energia trasportata dalle onde
e.m. prodotte dal dipolo oscillante, calcoliamo il valore
del vettore di Poynting
z
Fig. 14
1
1
r
µo
µ0
r
S=-ExB=-E 8 Bw1 1
1
1
1 ( 2 J2
S(r t)=-- - -- ~ -- d 2P J2 sin 2 0 =
d P
sin 2 0
2
3
2
2
2
2
3
'
µ O 4m:: O 4n r c ( dt t-r/c
l61t f: O r c dt t-r/c
L'intensità della radiazione, cioè l'energia che attraversa nell'unità di
tempo l'unita di area disposta ortogonalmente ad S, dipende dal quadrato
di sin0 e dal quadrato della derivata seconda temporale del momento del
dipolo, cioè dal quadrato dell'accelerazione delle cariche. La potenza totale che passa attraverso una superficie sferica di raggio r al tempo t si ottiene per integrazione di S(r,t) sulla superficie della sfera
J
21t irc/2
Iit/2
S(r, 0, 'I') r 2 sin 0c:10d\j, =
S2nr 2 sin 0 d0 =
O -rc/2
-rc/2
2
rc/ 2
1
1 d 2p
=
2m 2 sin 3 0 d0 =
2
2 3 - 216,r Eo r e dt ,-,/e
w=
1,.,
=[-
( J
1
2
dz
2
(1-cos e)d(cos0)=
3 {
-1
81tf:0C dt t'=t-r/c
2 2
3 1
2 2
1 (d pJ
[
2
1 (d pJ
0 cos 0]
= - 81tf:0C3 dt2 t-r/c cos 3
-1 = 3 41teoC3
dt2 t-r/c
i
( J
Vediamo così che la potenza che attraversa la superficie sferica è indipendente dal valore del raggio. Questo risultato, ottenuto per il dipolo oscillante, è valido per una qualsiasi carica in moto accelerato: mentre una
V.2.8. - RESIS1ENZA DI IRRAGGIAMENTO DI UN DIPOLO OSCILLANTE
625
carica q in moto con .velocità v costante non irraggia energia (ma porta
con sé quella dei suoi campi E e B), la stessa carica accelerata emette radiazione e.m. con una potenza che vale
2 1 q2 2
w=----a
3 41te 0 c 3
dove a è l'accelerazione.
V.2.8. - Resistenza di irraggiamento di un dipolo
oscillante
Consideriamo un dipolo oscillante con legge sinusoidale
p =qd
=Po cosrot
Possiamo valutare l'intensità di corrente associata come
I= dq = ropo sin rot
dt
d
che presenta un valore quadratico medio pari a
Vaiutiamo anche la derivata seconda temporale del momento p che compare
nell'espressione della potenza irraggiata ed il suo valore quadratico medio
d2
_R = -ro 2 p cos rot
dt2
o
Quindi la potenza media irradiata vale
2
pJ
<w>=2 1 <(d
3 41Ce 0 c 3
dt 2
2
2
2
>=2ro d <I2>
3 41Ce 0 c 3
Ricordando che ro = 21CV = 21Cc/'A possiamo scrivere
ove abbiamo posto
Rract è la resistenza equivalente al dipolo, nel senso che la potenza irradiata dal dipolo è pari a quella che verrebbe dissipata per effetto Joule in una
resistenza di pari valore.
PROBLEMI SULLE ONDE
V.1. Un'onda e.m. piana e sinusoidale si
propaga nel vuoto lungo l'asse X. Sapendo
che il campo elettrico dell'onda è diretto
lungo l'asse Y, che la lunghezza d'onda è
pari a À=500nm, che l'intensità media vale
53.2 W/m2 , determinare:
a) la frequenza dell'onda;
b) l'ampiezza del campo elettrico;
c) la funzione d'onda che descrive il campo magnetico dell'onda.
V.2. Un'onda piana e.m. è generata da
un foglio piano di corrente coincidente con
il piano YZ di un riferimento cartesiano.
Supponendo che la densità lineare di corrente abbia la direzione dell'asse Z e vari
nel tempo con la legge Js=J0cosrot
(J0=10Alm, ro=6.28-107rad/s), determinare
a) le espressioni del campo elettrico e del
campo magnetico dell'onda;
b) i valori assunti dai due campi all'istante
t=5ms in un punto distante 50km dal
foglio di corrente;
c) la potenza media irraggiata per unità di
superficie, disposta ortogonalmente alla
direzione di propagazione.
V.3. Determinare l'impedenza caratteristica di
a) un cavo coassiale formato da un conduttore cilindrico di raggio a=lcm, circondato da una guaina cilindrica coassiale
di raggio interno b=lOcm;
b) una linea di trasmissione formata da due
piastre conduttrici parallele larghe d=2m
e distanti h=2cm;
c) una linea bifilare formata da due conduttori cilindrici di raggio r0=10cm, distanti
d=lm.
V.4. Una sorgente puntiforme irraggia
onde luminose monocromatiche sinusoidali
di lunghezza d'onda À=0.5µm con una potenza media di 60W, uniformemente distribuita in tutte le direzioni. Determinare a distanza r=2m dalla sorgente
a) l'ampiezza del campo elettrico;
b) l'ampiezza del campo magnetico.
V.5. Un'onda piana e.m. che si propaga
nel vuoto è descritta dalla funzione d'onda
Bx=0,
By=66.7· 10-8sin(41t· 106(z-3· 108t)),
B2 =0. Determinare:
a) il valore della lunghezza d'onda ed individuare a quale regione dello spettro
e.m. essa appartenga;
b) la direzione e la velocità di propagazione;
c) l'intensità media e la densità di quantità
di moto media trasportata dall'onda.
V.6. Una sorgente di microonde irraggia
la propria energia uniformemente in tutte le
direzioni. Sapendo che ad una distanza
r=lkm dalla sorgente l'ampiezza del campo
magnetico vale B=10-7T, assumendo che le
onde siano sinusoidali, determinare:
a) l'ampiezza del campo elettrico alla stessa distanza;
b) la potenza media emessa in un cono avente un angolo solido pari a O=10-3str.
V.7. Il campo elettrico di un'onda elettromagnetica
piana
sinusoidale
ha
un'ampiezza di 50V/m. Assumendo che
l'onda si propaghi nel vuoto determinare:
a) la densità di energia media trasportata
dall'onda;
b) la pressione di radiazione esercitata su
una superficie completamente assorbente disposta perpendicolarmente alla direzione di propagazione;
c) la pressione di radiazione esercitata su
una superficie completamente assorben-
628
PROBLEMI DI ELETTROMAGNETISMO
te la cui normale formi un angolo 0=30°
con la direzione di propagazione.
V.8. L'intensità media della radiazione
elettromagnetica emessa dal sole che raggiunge la superficie terrestre vale circa
1400 W/m2 • Assumendo che nei punti della
superficie terrestre tali onde possano essere
considerate piane e sisusoidali, determinare:
a) l'ampiezza del campo elettrico e del
campo magnetico;
b) la pressione di radiazione esercitata su
una lastra completamente assorbente,
nell'ipotesi di incidenza normale;
c) il valore della forza media esercitata dalla radiazione elettromagnetica solare
sulla superficie terrestre, supponendo
che questa sia completamente assorbente
e confrontarlo con quello della forza di
attrazione gravitazionale terra-sole.
Ricordiamo che mT=5.98- 1024kg,
RT=6.37-106m, ms=l.97· 1030kg,
dTs= 1.5- 1011 m.
V.9. Le onde radio emesse da un'antenna
lunga 20m hanno una frequenza
v=l.5· 106Hz. Assimilando l'antenna ad un
dipolo oscillante ed assumendo che la corrente ad esso associata sia sinusoidale con
un'ampiezza pari a 20A, determinare:
a) il valore della resistenza equivalente;
b) la potenza media irraggiata.
V.IO. Confrontare l'energia irraggiata da
un protone e confrontarla con quella da esso
acquistata quando viene accelerato
a) all'interno di un tubo lungo 40cm, ai cui
capi è mantenuta una d.d.p. di lOOkV;
b) nell'ultimo giro compiuto all'interno di
un ciclotrone di raggio r=lm, che utilizza una d.d.p. di lOkV oscillante ad una
frequenza v=2• 107Hz.
lntroduzione ............................................................630
Vl.1.
Riflessione e rifrazione di onde piane
da superfici piane ...................................................633
Vl.2.
Ottica ed equazioni di Maxwell ..............................651
Vl.3.
Strumenti ottici .......................................................677
Vl.4.
lnterferenza .............................................................727
Vl.5.
Diffrazione ..............................................................777
Vl.6.
Polarizzazione .........................................................823
INTRODUZIONE
L'Ottica è quella disciplina che studia le proprietà della luce ed i fenomeni collegati con la sua propagazione. Storicamente essa si è sviluppata in maniera indipendente dalle altre discipline fisiche e le sue origini
sono antichissime. Infatti già nell'Ottica di Euclide (300 a.C.) il carattere rettilineo della propagazione della luce in un mezzo omogeneo ed isotropo veniva considerato un principio fondamentale; la legge della riflessione era stata ottenuta nel I secolo d.C. da Erone di Alessandria sulla base di un principio teleologico in base al quale il percorso seguito
dalla luce doveva essere minimo. Per quanto riguarda invece la rifrazione, cioè il cambiamento della direzione di propagazione della luce nel
passaggio da un mezzo trasparente 1 ad un altro, sebbene già gli antichi
astronomi alessandrini avessero osservato il fenomeno, la relativa legge
fu determinata solo nel 1621 dal fisico matematico olandese Willebrord
Snell. Tutte queste osservazioni sperimentali potevano essere giustificate nell'ambito sia di una teoria ondulatoria che di una teoria corpuscolare della luce, che vedevano fra i propri sostenitori più illustri rispettivamente Christian Huygens e Isaac Newton. Tuttavia l'osservazione
sperimentale che un fascetto di luce nel passaggio da un mezzo otticamente meno denso ad uno più denso (ad esempio nel passaggio dall'aria
all'acqua) si avvicina alla normale alla superficie di separazione veniva
giustificato con una riduzione della velocità di propagazione dalla teoria
ondulatoria, con un suo aumento dalla teoria corpuscolare. Quest'ultima
infatti considerava la luce costituita da corpuscoli che, emessi dalle sorgenti quali il sole, una candela etc, quando si avvicinavano alla superficie di separazione tra due mezzi subivano l'azione di forze attrattive da
parte del mezzo otticamente più denso e quindi, oltre ad essere deviate,
subivano un aumento della propria velocità. A sostegno della teoria
corpuscolare della luce c'era anche il fatto che i fenomeni tipici connessi alla propagazione per onde quali l'interferenza e la diffrazione non
erano stati osservati nel caso della luce. In realtà Francesco Maria Grimaldi nel 1665 aveva notato che l'ombra di un filo sottilissimo illuminato era molto più larga di quella geometrica ma non era riuscito a darne una spiegazione convincente. Fu solo nel 1802 che Thomas Young
realizzò un dispositivo col quale evidenziò in maniera inconfutabile che
la luce produceva effetti intereferenziali del tutto analoghi a quelli prodotti dalle onde meccaniche ed alcuni anni dopo riuscì a produrre anche
effetti di diffrazione ottica. Egli interpretò questi risultati ipotizzando
che la luce fosse costituita da onde longitudinali (simili alle onde sonore) in accordo con la teoria di Huygens, che a tale proposito aveva postulato l'esistenza di una sostanza, l'etere, che permeava tutto lo spazio
ed in cui le onde luminose potevano propagarsi. Alcuni anni dopo
1. Definiamo trasparente un mezzo nel quale risultano trascurabili gli effetti di assorbimento e di diffusione della radiazione.
INTRODUZIONE
631
(1819) Fresnel ed Arago con una serie di esperimenti evidenziarono il
carattere trasversale delle onde luminose e questa scoperta mise in crisi
la teoria di Young: infatti l'etere, per consentire la propagazione delle
onde luminose trasversali con una velocità così elevata, avrebbe dovuto
essere un solido più rigido dell'acciaio. Questa richiesta era in evidente
contrasto col modello di Huygens in cui l'etere veniva considerato come un fluido meno denso dell'aria in quanto la sua presenza non avrebbe dovuto ostacolare il moto dei pianeti.
Come abbiamo già detto, attorno alla metà dell'ottocento Maxwell
nell'analizzare le proprietà delle onde elettromagnetiche trovò che queste si dovevano propagare con una velocità pari a quella della luce e che
le leggi che ne regolavano la riflessione, la rifrazione, l'interferenza erano identiche a quelle delle onde luminose. La scoperta di Maxwell,
provata sperimentalmente da Hertz alcuni anni dopo (1887), chiariva
definitivamente la natura delle onde luminose: esse sono onde elettromagnetiche caratterizzate da un particolare intervallo di frequenze a cui
è sensibile l'occhio umano, che percepisce sotto forma di colori diversi
le lunghezze d'onda corrispondenti. La teoria ondulatoria della luce
soppiantava così quella corpuscolare confermando le precedenti evidenze sperimentali quali la misura eseguita da Foucault nel 1860 della velocità di propagazione delle onde luminose nell'acqua, che era risultata,
in accordo col modello ondulatorio, essere minore di quella in aria.
Tuttavia verso la fine dell'ottocento e l'inizio del novecento furono osservati nuovi fenomeni dovuti all'interazione tra radiazione elettromagnetica e materia, quali l'effetto fotoelettrico, l'effetto Compton, etc. che non
potevano essere giustificati con la teoria classica delle onde, secondo la
quale l'energia trasportata è uniformemente distribuita sul fronte d'onda.
I risultati sperimentali invece potevano essere correttamente interpretati
se, come propose Einstein in un lavoro del 1905 per cui ebbe il premio
Nobel nel 1921, si ipotizzava che l'energia della radiazione fosse concentrata in granuli localizzati, detti fotoni: in altre parole nella sua interazione con la materia la luce si comportava come se fosse costituita da corpuscoli, privi di massa che si muovevano con velocità c. Essa cioè mostrava una natura corpuscolare.
Possiamo concludere le nostre
. considerazioni ricordando che la meccanica quantistica concilia le due teorie ipotizzando un dualismo onda-corpuscolo valido non solo per la radiazione ma anche per la materia: in altre parole a seconda della situazione fisica in esame sia la radiazione che le particelle possono mostrare il loro aspetto di onda o di
corpuscolo.
Nello sviluppo dell'ottica che daremo nel seguito seguiremo la trattazione
classica e considereremo, quindi, soltanto i fenomeni collegati con la natura ondulatoria della luce. Cominceremo il nostro studio descrivendo i
fenomeni della riflessione e rifrazione e ne giustificheremo le relative
leggi ricorrendo a due semplici principi: quello di Huygens e quello di
Fermat. Successivamente ricaveremo in maniera del tutto generale le leggi della riflessione e rifrazione nell'ambito della teoria elettromagnetica
della luce ricorrendo alle condizioni al contorno cui devono obbedire i
campi elettrico e magnetico alla superficie di separazione tra due mezzi.
Ricaveremo quindi una espressione in termini microscopici dell'indice di
632
INTRODUZIONE
rifrazione che ci permetterà di spiegare i fenomeni dell'assorbimento e
della dispersione della luce.
Utilizzando le leggi della rifrazione e della riflessione studieremo le proprietà degli strumenti ottici più semplici nell'ambito dell'ottica geometrica; passeremo infine allo studio dei fenomeni di interferenza, diffrazione
e polarizzazione nei quali si manifesta il carattere ondulatorio della luce e
che fanno parte della così detta ottica fisica.
e rifr zi ne
Vl.1.1. Raggio di luce ..........................................................634
Vl.1.2. Leggi della riflessione e della rifrazione ................... 635
Vl.1.3. Principio di Huygens ................................................637
Vl.1 .4. Principio di Fermat ...................................................645
VI. i. - RIFLESSIONE E RIFRAZIONE DI ONDE
PIANE DA SUPERFICI PIANE
Vl.1.1. - Raggio di luce
Fig. I
Fig. 2
Fig. 3
Alla base dell'ottica geometrica c'è il concetto di raggio di luce o
semplicemente raggio. Con tale nome si indica in generale il percorso
rettilineo lungo cui si propaga l'energia luminosa; questo in un mezzo
omogeneo ed isotropo 1 coincide con la direzione di propagazione
dell'onda. Ricordando la definizione che abbiamo dato di fronte
d' onda2 risulta che in tali mezzi questi sono perpendicolari ai raggi.
Pertanto nel caso di onde piane i raggi sono rette parallele fra loro
(fig. 1), mentre nel caso di onde sferiche sono rette che escono dalla
sorgente in tutte le direzioni (fig. 2).
Vediamo se è possibile realizzare un dispositivo che consenta di isolare
un raggio di luce. A tale scopo possiamo racchiudere una sorgente luminosa puntiforme in una scatola opaca che presenti un foro di diametro a:
si osserva che riducendo il diametro del foro si riducono anche
le dimensioni lineari della sezione del fascio di luce emergente,
cosa che suggerisce la possibilità di ottenere un raggio di luce
con un processo al limite. Invece l'esperienza mostra che quando le dimensioni del foro diventano confrontabili con la lunghezza d'onda della radiazione, si produce una dispersione angolare del fascio di luce emergente che cresce col rapporto ìJa.
Questo è il risultato del fenomeno della diffrazione, che si manifesta con particolare evidenza ogni qualvolta la luce incontra
un ostacolo le cui dimensioni lineari sono confrontabili con la
lunghezza d'onda. Possiamo pertanto concludere che il raggio
di luce è una astrazione non realizzabile sperimentalmente: il suo uso
nell'ambito dell'ottica geometrica presuppone che gli ostacoli che la luce
incontra sul suo percorso abbiano dimensioni lineari grandi rispetto a 'A.
Questo è anche il limite di validità dell'ottica geometrica che fa ricorso ai
raggi di luce per la derivazione delle sue leggi: i risultati dell'ottica geometrica sono quindi corretti fino a quando è possibile trascurare i fenomeni di diffrazione3 •
Nel seguito quando parleremo di raggio intenderemo un fascio la cui
sezione trasversale abbia dimensioni lineari sufficientemente piccole,
in modo da consentirne l'approssimazione con una linea retta, ma comunque grandi rispetto alla lunghezza d'onda della radiazione.
l. Ciò non è in generale vero come vedremo nel § VI.6.6.
2. I punti di un fronte d'onda sono quelli raggiunti contemporaneamente da una perturbazione originata nella sorgente.
3. Ricordiamo che lo spettro della radiazione elettromagnetica visibile è caratterizzato da
lunghezze d'onda À comprese all'incirca tra 400nm e 700nm così che in generale gli ostacoli hanno dimensioni lineari molto più grandi di À, e questo spiega anche perché il
fenomeno della diffrazione ottica non si osserva comunemente.
Vl.1.2. -
LEGGI DELLA RIFLESSIONE E DELLA RIFRAZIONE
635
VI .1.2. - Leggi della riflessione e della rifrazione
Come abbiamo già osservato, in un mezzo omogeneo ed isotropo, in assenza di ostacoli, la luce si propaga secondo percorsi rettilinei con una
velocità che risulta indipendente dalla direzione di propagazione. Questa
proprietà spiega alcuni dei fenomeni che si osservano, quali l'ombra
proiettata da oggetti illuminati e il funzionamento di alcuni dispositivi ottici come la camera oscura.
Vediamo ora cosa accade quando un sottile fascio di luce monocromatica,
cioè costituita da onde di un'unica frequenza, incide su una superficie piana
che separa due mezzi diversi, entrambi trasparenti, omogenei ed isotropi.
Sperimentalmente nella maggior parte dei casi si osserva che esso dà origine a due raggi: uno, detto raggio riflesso, si propaga nello stesso mezzo da
cui proviene il raggio incidente, l'altro, detto raggio rifratto, si propaga
nell'altro mezzo. Inoltre, per quanto riguarda la riflessione si osserva che:
il raggio riflesso è contenuto nel piano individuato dal raggio incidente e dalla normale alla superficie di separazione tra i due mezzi nel
punto di incidenza, detto piano di incidenza;
il raggio incidente e il raggio riflesso si trovano da parte opposta rispetto alla normale alla superficie di separazione nel punto di incidenza e formano con questa angoli uguali. Con riferimento alla fig. 4, indicati con ei e 8r gli angoli che formano con la normale in O rispettivamente il raggio incidente AO ed il raggio riflesso OB, detti angolo
di incidenza e di riflessione, risulta
e.
I
(VI. 1.1.)
=0 r
Queste proprietà esprimono le leggi della riflessione.
Per quanto riguarda la rifrazione risulta che:
il raggio rifratto si trova nel secondo mezzo ed è contenuto nel piano
di incidenza;
il raggio rifratto sta anch'esso da parte opposta rispetto alla normale.
Indicato con 0r· l'angolo che il raggio rifratto OC forma con la normale, detto angolo di rifrazione, si trova che il rapporto fra il seno
dell'angolo di incidenza ei e il seno dell'angolo di rifrazione 0r· è costante al variare di ei, cioè
sin ei
---=cost
sin er'
Il valore della costante è legato, per ogni fissata frequenza della radiazione incidente, alle caratteristiche dei due mezzi. Essa è detta indice di rifrazione relativo del secondo mezzo rispetto al primo e viene indicata col
simbolo n 21 , in quanto conveniamo di chiamare mezzo I quello in cui si
propaga il raggio incidente e mezzo 2 quello in cui si propaga quello rifratto. Pertanto la relazione precedente verrà riscritta nella forma
sin ei
.
smer'
= n21
(VI.1.2.)
Queste proprietà esprimono le leggi della rifrazione.
La (VI.1.2.) è nota come la legge di Snell, in quanto questi scoprì che, in
una situazione come quella illustrata in fig. 5, per qualsiasi valore
Fig. 4
636
VI. I. - RIFLESSIONE E RIFRAZIONE DI ONDE PIANE DA SUPERFICI PIANE
dell'angolo di incidenza rimane costante il rapporto fra le distanze OT ed
OS, che rappresentano rispettivamente la distanza percorsa dal raggio rifratto e quella che esso avrebbe percorso se non fosse stato deviato:
OT/OS = cost. Si può verificare facilmente che questa relazione coincide
con la (VI.1.2) se si considerano per i segmenti OT ed OS le relative espressioni trigonometriche. Infatti risulta
Fig .5
Fig. 6a
Fig. 6b
OT
OH sin0i
-=--=cost
OS sin0r' OH
⇒
sin0i
.
=cost = n 21
sm0r'
Osserviamo infine che i percorsi raggio incidente-riflesso e raggio incidente-rifratto non cambiano, invertendo il verso di propagazione della
luce. In altre parole ciascuno dei due percorsi è invertibile, in quanto
vengono semplicemente scambiati i ruoli dei due raggi (principio di invertibilità).
Abbiamo studiato i fenomeni della riflessione e rifrazione nell'ipotesi che la
superficie su cui incide la luce sia piana. Le relative leggi continuano a valere
anche se tale superficie non è piana ma regolare: infatti per ogni raggio incidente risulta interessata solo una piccola porzione della superficie che può essere approssimata con la porzione del piano tangente nel punto di incidenza.
Relativamente al fenomeno della riflessione va osservato che un raggio, a
seconda della rugosità della superficie su cui incide, può essere riflesso in
due modi diversi. Se la superficie è sufficientemente liscia, cioè se presenta
irregolarità che hanno dimensioni piccole rispetto alla lunghezza d'onda
della luce incidente, un fascio di raggi paralleli incidente su di essa dà luogo ad un fascio di raggi paralleli riflesso, come illustrato in fig.6a; in tal caso la riflessione è detta speculare. Nel caso di una superficie non finemente lavorata che presenta pertanto avvallamenti e protuberanze di dimensioni
non trascurabili rispetto alla lunghezza d'onda della luce incidente ha luogo
la riflessione diffusa, in quanto in questo caso la luce viene diffusa più o
meno in tutte le direzioni: ad un fascio di raggi paralleli incidente non corrisponde un fascio di raggi paralleli riflesso. Infatti, sebbene la legge della
riflessione sia verificata per ciascun raggio del fascio incidente, i raggi riflessi viaggiano in direzioni diverse, poiché la normale alla superficie nei
punti di incidenza dei vari raggi del fascio ha direzione diversa (fig. 6b).
Grazie alla riflessione diffusa si possono vedere gli oggetti illuminati: infatti una superficie diffondente invia comunque qualche raggio diffuso
nell'occhio dell'osservatore consentendone la visione.
Da quanto detto si deduce che la classificazione delle proprietà riflettenti
di una superficie dipende dalla lunghezza d'onda della radiazione incidente: una superficie che non sia un riflettore speculare per la luce, può
comportarsi come tale nel caso in cui la radiazione incidente abbia lunghezza d'onda maggiore.
Le leggi della riflessione e rifrazione sono alla base dell'ottica geometrica, in cui mediante relazioni geometriche tra i raggi di luce vengono ricavate le relazioni che spiegano il funzionamento degli strumenti ottici che
verranno descritti nel capitolo VI.3. Essa è stata sviluppata essenzialmente da Fermat e Cartesio nella seconda metà del seicento, periodo in cui fu
anche proposto da Huygens uno dei primi modelli ondulatori della luce.
Fermat ed Huygens enunciarono due principi, che hanno il loro nome e
VI. 1.3. -
PRINCIPIO DI HUYGENS
637
che, pur basandosi su postulati differenti, giustificano le leggi della riflessione e rifrazione, che abbiamo descritto precedentemente. In più nel ricavare la legge di Snell utilizzando il principio di Huygens l'indice di
rifrazione n21 verrà collegato con le velocità con cui la luce viaggia nei
due mezzi.
Nel seguito, quindi, dopo aver enunciato i due principi, ricaveremo basandoci su questi le leggi della riflessione e della rifrazione.
Vl.1.3. - Principio di Huygens
Il principio di Huygens rappresenta una semplice procedura con cui sulla
base della conoscenza della posizione di un fronte d'onda ad un istante di
tempo è possibile tracciare quella dei fronti d'onda ad istanti di tempo
successivi. Esso ha un ruolo importante nell'ottica oltre che per ragioni
storiche4 per il fatto che è alla base delle costruzioni di Fresnel con cui è
possibile interpretare i più semplici fenomeni di diffrazione. Possiamo
affermare, quindi, che esso fa da tramite tra l'Ottica geometrica e l'Ottica
ondulatoria.
Il principio di Huygens nella sua formulazione primitiva è abbastanza
semplice ed intuitivo e può essere enunciato nel modo seguente: dato un
fronte d'onda S all'istante di tempo t, ogni punto di questo può essere
considerato come sorgente di onde sferiche secondarie che si propagano con la stessa velocità di fase dell'onda primaria nel punto in esame. Il fronte d'onda S 1, relativo ad un istante di tempo successivo
t'=t+~t, è dato dalla superficie tangente o inviluppo delle onde secondarie sferiche a tale istante di tempo.
In fig. 7 è illustrata la costruzione di Huygens nel caso di un'onda piana
che si propaga lungo l'asse X in un mezzo omogeneo ed isotropo: da tutti
i punti di S, fronte d'onda al tempo t, vengono emesse a tale istante di
tempo onde sferiche secondarie, i cui fronti d'onda all'istante t'=t+~t
hanno raggio r = v~t, così che la superficie ad esse tangente è il piano S',
che rappresenta il fronte d'onda all'istante t'. Il procedimento può essere
ripetuto con le stesse modalità e consente di descrivere la propagazione
dell'onda nel mezzo.
Il principio di Huygens presenta alcune incongruenze:
per costruire il nuovo fronte d'onda utilizza infatti solo la parte in avanti delle onde sferiche secondarie; non viene in alcun modo giustificata la eliminazione delle parti all'indietro delle onde stesse, che darebbero luogo ad un secondo fronte d'onda inviluppo, che si propagherebbe in verso opposto a quello reale e che pertanto è privo di significato fisico;
il meccanismo proposto è intuitivo e si giustifica quando si ha a che
fare con un'onda meccanica che si propaga in un mezzo materiale: in
questo caso infatti i punti del generico fronte d'onda coincidono effettivamente con particelle del mezzo che, investite dalla perturbazione,
4. Ricordiamo ancora che il principio di Huygens è stato sviluppato nell'ambito di una delle prime teorie sulla natura ondulatoria della luce; esso fu proposto attorno al 1680 più di
un secolo e mezzo prima di quella elettromagnetica di Maxwell, in un periodo in cui le
conoscenze che si avevano sulla natura della luce erano limitate a poche informazioni
sul valore della sua velocità.
t' = t+Llt
S ', S'
... \
... ' )
"
-
vilt
Fig. 7
-
638
VI. I. - RIFLESSIONE E RIFRAZIONE DI ONDE PIANE DA SUPERFICI PIANE
entrano a loro volta in oscillazione diventando nuovi centri di propagazione della perturbazione. Questo meccanismo di propagazione era
alla base della teoria ondulatoria della luce di Huygens e lo aveva portato a ritenere che le onde luminose fossero onde meccaniche che per
propagarsi avevano bisogno di un supporto materiale: l'etere. Oggi noi
sappiamo che invece la luce è un'onda elettromagnetica, che per propagarsi non ha bisogno di alcun supporto materiale in quanto il campo
elettrico ed il campo magnetico sono in grado di autorigenerarsi e
quindi di propagarsi anche nel vuoto, dove cioè non sono presenti particelle che entrano in oscillazione. Come si giustifica allora l'uso del
principio di Huygens per lo studio della propagazione delle onde luminose anche nel vuoto?
Circa un secolo dopo attorno al 1818 Fresnel eliminò alcune di queste incongruenze. Infatti per spiegare i fenomeni di diffrazione nell'ambito di
una teoria delle onde meccaniche rappresentabili con una funzione scalare,
utilizzò la costruzione di Huygens con l'ipotesi aggiuntiva secondo la quale
le onde sferiche secondarie interferiscono fra loro. Con tale ipotesi aggiuntiva si ottiene quello che è noto come il Principio di Huygens-Fresnel, che
ancora oggi viene utilizzato nello studio di numerosi problemi di diffrazione ottica. In accordo al Principio di Huygens-Fresnel, considerato un fronte d'onda primario S al tempo t, ciascun elemento dS di questo può essere
considerato come sorgente di onde sferiche secondarie la cui ampiezza varia con la direzione di propagazione dell'onda sferica medesima. Infatti
detto 0 l'angolo che la normale a dS forma con la direzione di propagazione dell'onda sferica, l'ampiezza è massima per 0 = O e nulla per 0 ~ rc/2.
L'introduzione del fattore direzionale, che fa variare l'ampiezza delle onde
secondarie, permette di superare il problema connesso alla presenza del
fronte d'onda regressivo nella costruzione di Huygens.
Verso la fine dell'ottocento (1882), Kirchhoff dimostrò un teorema integrale (Teorema di Kirchhoff), con cui pose su solide basi matematiche l'idea
fondamentale della teoria di Huygens-Fresnel, che possiamo così riassumere. In un processo di propagazione per onde la perturbazione si propaga
gradualmente da un punto all'altro, così che la perturbazione al tempo t in
un certo punto è determinata dalla situazione presente ad un tempo precedente nei punti investiti a tale istante (t') dalla perturbazione stessa. Dal
momento che la trattazione di Kirchhoff risulta complessa dal punto di vista formale non la svilupperemo e ci limiteremo ad illustrarne i risultati finali, già visti nel caso dei potenziali ritardati (cfr. § V.2.2.).
Con riferimento alla fig. 8, sia S una arbitraria superficie geometrica che
racchiude tutte le sorgenti e P un punto esterno ad S. La perturbazione nel
punto P al tempo t può essere espressa dalla relazione
e
p
Fig.8
'l'(P,t)=
ffd\j/(P,t)= ffg(0)f(t~r/v)dS
s
s
Questa mostra che ciascun elemento di superficie dS contribuisce alla
perturbazione nel punto P, individuato dal vettore di posizione r rispetto a
dS, con un termine pari a
VI.1.3. - PRINCIPIO DI HUYGENS
639
dove
f(t - r/v)/r rappresenta un'onda sferica che, emessa da dS al tempo
t'=t-r/v, raggiunge il punto P al tempo t, in quanto, come sappiamo,
l'onda per propagarsi da dS a P impiega un tempo pari a r/v;
g(0) è un fattore direzionale che fa variare l'ampiezza delle onde sferiche con l'angolo 0 che la normale n a dS forma col vettore r.
In particolare se la superficie S coincide con un fronte d'onda emesso da
una sorgente puntiforme monocromatica, l'integrale di Kirchhoff coincide con il principio di Huygens-Fresnel. Si può dimostrare infatti che in
questo caso
le onde sferiche secondarie sono sfasate di n/2 in anticipo rispetto alla
perturbazione primaria; la loro ampiezza è proporzionale all'ampiezza
dell'onda primaria, all'elemento di superficie dS e all'inverso della
lunghezza d'onda 1/À;
il fattore direzionale g(0) risulta pari a g(0) = (1 +cos0)/2. Esso pertanto è uguale ad uno per 0 = O, mentre è nullo per 0 re. In tal modo si
elimina il problema del fronte d'onda regressivo.
Sfruttiamo ora il principio di Huygens per ricavare le leggi della propagazione quando l'onda incontra una superficie di discontinuità del
mezzo. Per il momento ci limiteremo a costruire i fronti d'onda riflesso e rifratto utilizzando la costruzione di Huygens, applicata ai punti
della superficie di discontinuità, che, quando vengono raggiunti dal
fronte d'onda verranno considerati come sorgenti di onde sferiche che
si propagano nei due mezzi.
Vl.1 .3.1. - Legge della riflessione
Consideriamo un'onda piana che si propaga
verso uno specchio piano. In fig. 9 è riportata
la posizione occupata da uno stesso fronte
d'onda a due istanti di tempo successivi t 1 e
t2 . Si è assunto in particolare che all'istante t2
il fronte d'onda abbia raggiunto la superficie
riflettente in corrispondenza del tratto AA 1•
La fig 9a mostra la stessa situazione nel piano ortogonale allo specchio che contiene il
raggio incidente A'A; i tratti rettilinei A'B' e
AB rappresentano la traccia del fronte d'onda
incidente rispettivamente al tempo t 1 e t 2 •
Ovviamente tutte le considerazioni che faremo in tale piano varranno in un qualsiasi altro piano ad esso parallelo, quale ad esempio
quello che contiene il raggio incidente A' 1A 1
di fig. 9. In fig. 9a è anche evidenziata la costruzione di Huygens che consente di ottenere la posizione del fronte.d'onda al tempo t2
nota quella al tempo t 1 • A partire da questa
Fig. 9
640
I
I
VI. I. - RIFLESSIONE E RIFRAZIONE DI ONDE PIANE DA SUPERFICI PIANE
costruiamo la posizione del fronte d'onda al tempo t 3=t2+.M,
utilizzando ancora il principio di Huygens.
A tale scopo prendiamo in esame oltre al punto A, il punto B
dello stesso fronte d'onda, scelto in modo tale che l'onda sferica
secondaria da esso emessa al tempo t2, raggiunga lo specchio nel
punto P all'istante di tempo t3 , cioè BP = r 1=v ~t. All'istante t2
anche il punto A emette un'onda sferica secondaria che si pro\ paga all'indietro (riflessione) nello stesso mezzo da cui proviene
r2
l'onda incidente; in particolare al tempo t3 essa ha raggio r 2 = v ~t
--14"----------'------"11'~----p
A
=r1. Il fronte d'onda all'istante t3 si ottiene come superficie inviFig. 9a
luppo delle onde sferiche secondarie emesse dal fronte d'onda
AB al tempo t2 e riflesse ad istanti di tempo successivi dai punti
dello specchio, quando tali punti vengono raggiunti dal fronte
d'onda primario (fig. 9b). Il fronte d'onda all'istante t3 è quindi
il piano passante per il tratto PP 1 di fig. 9 e tangente al cilindro
inviluppo di tutte le sfere di raggio r2 e centro sulla retta AA 1•
Pertanto il punto di tangenza ad ogni singola onda sferica appartiene al piano ortogonale allo specchio che contiene anche il corrispondente raggio incidente (piano di incidenza). Questa osservazione corrisponde all'enunciato della prima legge della riflessione: complanarità del raggio incidente, della normale nel punto di incidenza e del raggio riflesso.
Nel piano di fig. 9a, che contiene il raggio incidente A'A, la
traccia del fronte d'onda riflesso è data dal segmento passante
per P e tangente alla circonferenza di centro A e raggio r2• Detto
C il punto di tangenza, la retta AC rappresenta il raggio riflesso
Fig. 9b
corrispondente al raggio incidente A'A. Dimostriamo ora che
l'angolo di riflessione è uguale a quello di incidenza. Semplici
considerazioni geometriche mostrano che gli angoli che il fronte d'onda
incidente ed il fronte d'onda riflesso formano con lo specchio sono rispettivamente uguali a quelli che il raggio incidente A'A e il raggio riflesso
AC formano con la normale in A (angolo di incidenza 0i e angolo di riflessione 0r). Poiché i due triangoli rettangoli ABP e ACP sono uguali
(hanno infatti il lato AP in comune e i cateti AC e BP uguali per costruzione) risultano uguali anche gli angoli 0i e 0r, cioé 0i = 0rRestano così dimostrate le leggi della riflessione.
Vl.1.3.2. - Legge della rifrazione
Fig. 10
Consideriamo ora un'onda piana monocromatica che incide su una superficie piana che separa due mezzi diversi, ad esempio aria - vetro; sappiamo che si originano due onde, che abbiamo chiamato riflessa e rifratta.
Nota la posizione di un fronte d'onda incidente al tempo t, il principio di
Huygens consente di costruire i fronti d'onda riflesso e rifratto al tempo
t+~t, come superfici inviluppo delle onde sferiche secondarie emesse dal
fronte d'onda incidente al tempo t. La costruzione del fronte d'onda riflesso è identica a quella eseguita nel caso dello specchio piano. Interessiamoci, quindi, solo della costruzione del fronte d'onda rifratto.
La fig. 10 mostra la posizione occupata dal fronte d'onda incidente al
tempo t in cui esso raggiunge in A la superficie rifrangente. Su tale fronte
VI.1.3. - PRINCIPIO DI HUYGENS
641
d'onda consideriamo anche il punto B, scelto, come nel caso della riflessione, in modo tale che ali' istante t+.M l'onda secondaria da esso emessa
raggiunga la superficie rifrangente nel punto P propagandosi con una velocità v 1 (BP = r 1 = v 1~t). Nello stesso intervallo di tempo l'onda sferica
secondaria emessa da A al tempo t, si propaga nel secondo mezzo con velocità v2, diversa da v 1, e nel tempo ~t percorre il tratto
r2 = v 2~t = v 2r1 / v 1. Questa relazione mostra che r2 è minore di r 1 se v2 è
minore di v 1• E' necessario quindi fare un'ipotesi sulla velocità con cui la
luce si propaga nel mezzo 1 e nel mezzo 2, che, come abbiamo detto,
coincide con quella con cui si propagano le onde secondarie emesse rispettivamente da B e da A. Il modello di Huygens richiede che sia minore
la velocità nel mezzo otticamente più denso, in contrasto con la teoria
corpuscolare; tale ipotesi fu verificata sperimentalmente, come abbiamo
già detto, solo nel 1860 da Foucault, quando la comunità scientifica aveva
ormai accettato la natura ondulatoria della luce.
Nella situazione che stiamo studiando (aria-vetro) risulta quindi r 2 minore di r 1• Il fronte d'onda al tempo t+~t ( fronte d'onda rifratto) è la superficie tangente alla sfera di centro A e raggio r2 passante5 per P. Indicato
con C il punto di tangenza, AC rappresenta il raggio rifratto in A; esso
giace nel piano individuato dal raggio incidente AA' e dalla normale in A
alla superficie rifrangente come abbiamo visto nel caso della riflessione.
Per ricavare la relazione tra l'angolo di incidenza ei e quello di rifrazione
0r·, consideriamo i triangoli rettangoli ABP e ACP mostrati in fig. 10. Ricordiamo infatti che il fronte d'onda incidente AB e quello rifratto CP
formano con la superficie rifrangente un angolo pari rispettivamente a ei
e a 0r· . Vale la seguente relazione
AP
~=_r1_= AC = r2
sin 0i sin 0 i sin 0 r' sin 0r'
⇒
sin 0i
r1
V1
.
=-=-=n21
Slll 0r'
r2 V 2
La relazione precedente è la legge di Snell; essa consente inoltre di interpretare l'indice di rifrazione del mezzo 2 rispetto al mezzo 1, in corrispondenza di una fissata frequenza dell'onda incidente, come rapporto tra
la velocità della luce nel mezzo 1 e quella nel mezzo 2, cioè
(VI.1.3.)
n21 =
Vz
La (VI.1.3.) permette di definire l'indice di rifrazione assoluto di un mezzo (o semplicemente indice di rifrazione) come l'indice di rifrazione di
tale mezzo rispetto al vuoto; esso è dato dal rapporto fra la velocità della
luce nel vuoto (c) e quella nel mezzo (v), cioè
n=
c
V
Nella tabella sono riportati i valori degli indici assoluti di rifrazione di alcune sostanze ottenuti in corrispondenza della luce gialla del sodio.
5.
Ricordiamo infatti che allo stesso istante t+L\t, P viene raggiunto dall'onda sferica emessa da B al tempo t.
Tabella
~!.---1
•r•••~,-,, ,m,~•,
L.':'u.ot?
••
n
........... •,...,-1-e-sa_tt_am-en-t,
:t
1.00021
LYetro Crnw11 t .
1.5:
I i\ria····
...
~~qll~.(~5~(:)
•L
LI:)ia,IIlar.ite_. .
L<:J~ia~ci? .
1. Acetone
.:I.~---1-.3:
.. ;,...L.. -.... --2-.4-1'
L
1.3
;1..-----1.-3,
642
VI. I. - RIFLESSIONE E RIFRAZIONE DI ONDE PIANE DA SUPERFICI PIANE
Si può verificare banalmente che l'indice di rifrazione relativo tra due
mezzi è esprimibile in termini del rapporto dei corrispondenti indici di
rifrazione assoluti
Mediante la relazione precedente possiamo esprimere la legge di Snell
nella forma
(VI.1.4.)
che è quella più comunemente utilizzata. Essa infatti evidenzia meglio
che se n 1<n2 (la luce passa cioè da un mezzo otticamente meno denso ad
uno più denso) il raggio rifratto forma con la normale un angolo minore
di quello di incidenza.
La costruzione di Huygens che abbiamo utilizzato per dedurre le leggi
della rifrazione ci permette di stabilire ancora che, nel passaggio da un
mezzo all'altro la lunghezza d'onda di un'onda sinusoidale cambia mentre la sua frequenza resta inalterata6 • Infatti basta supporre che assegnato
il fronte d'onda al tempo t si voglia costruire quello al tempo t +T, dove T
è il periodo. In questa ipotesi risulta
e
da cui
Nel caso particolare in cui il primo mezzo sia il vuoto ed il secondo un
mezzo di indice di rifrazione n, si ha
⇒
(VI.1.5.)
dove si è indicato con A la lunghezza d'onda della radiazione nel vuoto e
con An quella nel mezzo di indice di rifrazione n. La (VI.1.5.) mette in evidenza il fatto che in un mezzo avente indice di rifrazione n la lunghezza
d'onda di una radiazione si riduce del fattore n rispetto a quella che la stessa radiazione ha nel vuoto, esattamente come accade per la sua velocità.
Nel seguito quando parleremo di lunghezza d'onda converremo di riferirci al valore che essa assume nel vuoto.
Vl.1.3.3. - Riflessione totale
Come abbiamo già osservato, nel fenomeno della rifrazione se n 1<n2 dalla
legge di Snell segue che 0i > 0r·, cioè l'angolo di rifrazione è più piccolo
di quello di incidenza. In altre parole nel passaggio da un mezzo ad un
altro più rifrangente, il raggio rifratto si avvicina alla normale. In questa
situazione, quindi, per ogni raggio incidente è sempre presente un raggio
rifratto in quanto per qualunque valore dell'angolo di incidenza risulta
6. Ricordiamo infatti che v=l/T, dove Tè il periodo di oscillazione.
643
VI.1.3.3.- RIFLESSIONETOTALE
sin0r· < 1. Invece nel caso in cui il fascio di luce provenga da un mezzo
più rifrangente (cioè n 1 > n 2), si ha
⇒
Al crescere dell'angolo di incidenza, l'angolo di rifrazione cresce più rapidamente (fig. 1 la). Di conseguenza esiste un particolare angolo di incidenza eL, detto angolo limite o critico, in corrispondenza del quale l'angolo di
rifrazione risulta pari a rc/2: il raggio rifratto è cioè tangente alla superficie
di separazione tra i due mezzi. Il valore dell'angolo limite relativo ad una
radiazione monocromatica di frequenza fissata si ottiene dalla relazione
sin0L =n 2 /n 1
Fig. I la
(VI.1.6.)
Per valori dell'angolo di incidenza superiori a quello dell'angolo limite
(0i>0L) dalla legge di Snell si ha
. 0 r'
SITI
ll1 .
=-Slll
ll2
0i
ll1 . 0
>-Slll L =
n2
1
cioè dovrebbe essere sin0r· > 1, condizione che non può essere soddisfatta
per alcun angolo 0r·. Possiamo concludere affermando che, quando n 1 >n2 e
l'angolo di incidenza supera il valore dell'angolo limite, non si ha più rifrazione: il raggio incidente non è più in grado di penetrare nel secondo mezzo e si riflette totalmente. Questo fenomeno è detto riflessione totale, in
quanto la luce incidente viene riflessa completamente senza dar luogo ad
un fascio rifratto: la superficie di separazione in tali condizioni si comporta
come uno specchio. Anzi si verifica sperimentalmente che, in condizioni di
riflessione totale, l'energia incidente si ritrova nel fascio riflesso praticamente senza perdite, cosa che invece non accade per gli specchi di uso comune in cui la perdita è di circa il 4%.
Osserviamo, infine, che il valore dell'angolo limite dipende non solo dalla natura dei due mezzi a contatto ma anche dalla frequenza dell'onda incidente da
cui dipende l'indice di rifrazione. Tuttavia, sperimentalmente si osserva che,
per le coppie di mezzi acqua-aria, vetro-aria, vetro-acqua, etc. a cui più frequentemente faremo riferimento, il valore dell'angolo limite non varia apprezzabilmente al variare della frequenza nella regione del visibile (ad esempio nel
caso acqua-aria si ha che eL 48.5° per tutte le frequenze). In altre parole un
raggio di luce bianca può subire riflessione totale senza venire apprezzabilmente scomposto. Per questo motivo solitamente il valore dell'angolo limite
viene calcolato utilizzando i valori tabulati 7 degli indici di rifrazione dei due
mezzi senza precisare il valore della lunghezza d'onda incidente.
Il fenomeno della riflessione totale viene sfruttato in numerose applicazioni in
quanto consente di deflettere un raggio di luce senza una apprezzabile perdita di
energia. Ad esempio alcuni strumenti ottici utilizzano prismi a riflessione totale
in luogo di superfici metalliche (specchi) non solo perché ciò comporta una minore perdita dell'energia incidente, ma anche perché la proprietà della riflessione totale risulta permanente nel senso che essa è esente da alterazioni delle superfici metalliche come la corrosione. La riflessione totale è anche alla base del
funzionamento delle fibre ottiche. Queste sono generalmente costituite da un
=
7. I valori degli indici di rifrazione tabulati in generale sono quelli ottenuti in corrispondenza di lunghezze d'onda corrispondenti alla parte centrale dello spettro visibile.
Fig. 1lb
644
Fig. 12
VI.I. - RIFLESSIONE E RIFRAZIONE DI ONDE PIANE DA SUPERFICI PIANE
sottile cilindro di vetro o di materiale plastico trasparente (per esempio plexiglass), il cui diametro può anche essere dell'ordine del µm, ricoperto da un sottile strato di un altro materiale trasparente, avente indice di rifrazione minore di
quello della parte centrale (fig. 12). Inviando da un'estremità della fibra un fascio di luce con un angolo opportuno (in modo cioè che l'angolo di incidenza
sulla superficie cilindrica interna sia maggiore dell'angolo limite), questo emerge dall'altra dopo aver subito una successione di riflessioni totali sulla parete
interna. In tal modo le fibre ottiche consentono di trasmettere la luce anche a
distanze notevoli con piccole perdite di energia in quanto queste ultime sono
dovute unicamente ali' assorbimento (non eliminabile del tutto) e non a rifrazioni laterali. Inoltre, riunendo in modo opportuno molte fibre ottiche si costruiscono le cosiddette guide di luce, che permettono di riprodurre ali' estremità lontana, con una risoluzione determinata dalle dimensioni della sezione trasversale
delle fibre, l'immagine presente all'ingresso in quanto nel trasferimento resta
praticamente inalterata la distribuzione geometrica e l'intensità dei colori.
Le fibre ottiche costituiscono una tecnologia in continua espansione che
trova molte applicazioni anche grazie al fatto che, per la loro flessibilità,
possono essere utilizzate per trasferire immagini lungo percorsi complicati. Un esempio è offerto dal loro impiego nella diagnostica medica (endoscopia)8, nei sistemi di controllo di impianti industriali, nei sistemi di trattamento e trasmissione delle immagini ed altro.
ESEMPIO Vl.1.1.
-
PRISMA A RIFLESSIONE TOTALE
Vediamo come si può realizzare un prisma a riflessione totale. Consideriamo un prisma avente per sezione trasversale un triangolo rettangolo
isoscele (fig. 13 ). Se si utilizza un vetro di indice di rifrazione pari a 1.51
e si assume che quello dell'aria sia praticamente 1, nel passaggio vetro aria è possibile avere riflessione totale per un angolo di incidenza maggiore dell'angolo limite, che in base alla (VI.1.6.) risulta pari a
A
A' '-----i---...:.A"
Fig. 13
sin 8L
= n 2 /n 1
1/1.51
⇒
8L
=41.5°
Pertanto un raggio che incide normalmente sulla faccia AA', raggiunge
l'ipotenusa AA" con un angolo di incidenza di 45° maggiore dell'angolo
limite: sulla faccia AA" si ha quindi riflessione totale e di conseguenza il
raggio di luce esce dal prisma unicamente dalla faccia A'A", in direzione
ortogonale a questa.
ESEMPIO
Vl.1.2. -
DETERMINAZIONE DEL DIAMETRO DEL CERCHIO
DA CUI EMERGE LA LUCE PROVENIENTE DA UNA
SORGENTE POSTA IN ACQUA
Consideriamo una sorgente puntiforme Sposta sul fondo di una piscina,
profonda h = lm. Assumendo che gli indici di rifrazione dell'acqua e
dell'aria siano pari rispettivamente a 1.33 ed 1 si ha che
8. Infatti per le piccole dimensioni e per la grande flessibilità le fibre ottiche possono essere
facilmente inserite ad esempio nell'esofago, nel sistema cardiovascolare etc. di un paziente, trasmettendo all'esterno l'immagine delle varie parti dell'organo esplorato.
Vl.1.4. - PRINCIPIO DI FERMAT
645
Pertanto tutti i raggi provenienti dalla sorgente, che hanno
un angolo di incidenza maggiore di 0L, sono riflessi totalmente alla superficie di separazione acqua-aria (fig. 14).
Solo i raggi compresi entro un cono di semiapertura 48.75°
sono rifratti, tutti gli altri sono riflessi totalmente
all'interno. Quindi, il diametro del cerchio da cui emerge
la luce proveniente da S vale
d = 2R = 2htg0L = 2.28m
Quando la sorgente è posta nell'aria si ha rifrazione per qualunque valore dell'angolo di incidenza ed essendo la situazione simmetrica a quella
esaminata precedentemente, il massimo valore del!' angolo di rifrazione
risulta pari a 48.75° che coincide con l'angolo limite 0L (principio di invertibilità).
VI .1.4. - Principio di Fermat
Come abbiamo già detto, nel primo secolo d. C. Erone di Alessandria ricavò le leggi della riflessione mediante un principio di natura teleologica secondo il quale la luce si propaga lungo un percorso minimo. Questo principio però non era in grado di spiegare il fenomeno della rifrazione. Misure
molto accurate degli angoli di incidenza e di rifrazione nel caso della superficie di separazione aria-acqua erano state eseguite già nel 140 d.C. da
Claudio Tolomeo, ma la legge che metteva in relazione i valori sperimentali dei due angoli fu ottenuta solo nel 1621 da W. Snell. Sottolineiamo che
tale legge si limitava ad interpretare i risultati sperimentali, non ne dava
una giustificazione. Fu il matematico francese Pierre Fermat che attorno al
1650 riuscì a spiegare il comportamento della luce sulla base di un principio noto come il principio di tempo minimo o Principio di Fermat, che
comprende come caso particolare quello del percorso minimo di Erone. Il
realtà è possibile riformulare il principio di Fermat, estendendone i limiti di
validità, in termini di un principio di stazionarietà, attribuendo a tale parola
il significato che ad essa si dà nella teoria del calcolo variazionale. In tal
caso l'enunciato del principio di Fermat9 è il seguente: per andare da un
punto all'altro, fra tutti i possibili percorsi la luce segue quello che richiede un tempo minimo o massimo o costante rispetto ai percorsi vicini, con cui si possono congiungere i due punti.
Come prima conseguenza del principio di Fermat si ha che, in un mezzo
omogeneo ed isotropo in assenza di ostacoli i percorsi della luce sono rettilinei in quanto, essendo questi i più brevi, richiedono un tempo minimo.
Del principio di Fermat si può dare un enunciato equivalente che fa riferimento al cammino ottico seguito dalla luce piuttosto che al tempo di
9. Il principio di Fermat si giustifica sulla base del fenomeno dell'interferenza delle onde
luminose che si propagano lungo percorsi vicini (il fenomeno verrà studiato in dettaglio
nel capitolo VI. 4.). Infatti solo quei cammini prossimi a quello di tempo stazionario sono caratterizzati da tempi di percorrenza che al primo ordine coincidono e questa condizione comporta una interferenza costruttiva fra le rispettive onde. Per tutti gli altri percorsi invece la differenza nei tempi di percorrenza dà luogo ad interferenza distruttiva.
Fig. 14
646
Vl.l. - RIFLESSIONE E RIFRAZIONE DI ONDE PIANE DA SUPERFICI PIANE
percorrenza del cammino geometrico. Prima di dame l'enunciato definiamo cosa debba intendersi per cammino ottico.
In un mezzo omogeneo ed isotropo avente indice di rifrazione n la luce si
propaga con velocità v = c/n; in un tempo ~t essa percorre un tratto, che
chiameremo cammino geometrico, pari a
1
c
~S
= V ~t = - ~t = - ~f,
n
n
dove ~f rappresenta il tratto che sarebbe stato percorso nello stesso intervallo di tempo nel vuoto. La quantità
~f = n~s
prende il nome di cammino ottico. La definizione precedente può essere
facilmente estesa al caso in cui la luce si propaga da un punto P 1 ad un
punto P 2 attraversando più mezzi omogenei, ciascuno caratterizzato da un
indice di rifrazione ni; il cammino ottico totale si ottiene come somma dei
cammini ottici percorsi nei singoli mezzi
f
=L~e. =Ln-~s.
I
I
.
I
I
I
dove con ~si si è indicato il percorso geometrico nel mezzo i-esimo.
Un mezzo non omogeneo può sempre essere pensato come una successione di infiniti mezzi omogenei di spessore infinitesimo 10 ; in tal caso il
cammino ottico totale è dato da
L'enunciato del principio di Fermat in termini del cammino ottico è il seguente: per andare da un punto all'altro, la luce segue il cammino ottico
minimo o massimo o costante. La dimostrazione dell'equivalenza dei due
enunciati è conseguenza della definizione di cammino ottico: questo è
minimo o massimo se tale risulta il tempo di percorrenza. Infatti
dove c, che è la velocità della luce nel vuoto, è una costante.
Dimostriamo ora le leggi della riflessione e della rifrazione sfruttando il
principio di Fermat.
Vl.1 .4.1. - Legge della riflessione
Consideriamo uno specchio piano e due punti P 1 e P2 posti al di sopra di
questo; ricerchiamo il cammino che segue la luce per andare da P 1 a P2
dopo aver colpito lo specchio. In base al principio di Fermat questo deve
essere quello di tempo minimo.
IO. Questa situazione si presenta ad esempio nello strato di aria presente sulla superficie di
una strada asfaltata in giornate molto calde. La densità dell'aria e, quindi l'indice di rifrazione cresce con continuità con la distanza dal suolo. Tale variazione continua
dell'indice di rifrazione fa sì che i raggi rifratti si incurvino verso l'alto creando la sensazione che essi siano stati riflessi da uno strato di acqua (miraggio).
VI.1.4.
PRINCIPIO DI FERMAT
647
Cominciamo con l'osservare che nel caso della riflessione sia la luce
incidente che quella riflessa viaggiano nello stesso mezzo. Pertanto la
richiesta che il tempo di percorrenza o il cammino ottico sia minimo
coincide con la richiesta di cammino geometrico minimo. Fissati i punti
P 1 e P 2 tracciamo il piano re che li contiene e che sia ortogonale allo
specchio (fig. 15). Il cammino che ricerchiamo deve giacere in tale piano. Infatti consideriamo un percorso che non sia contenuto in re e che
vada P 1 a P 2 dopo aver colpito lo specchio, ad esempio in Q come
illustrato in fig.15. Indicato con X il punto di intersezione della normale
al piano re passante per Q, semplici considerazioni geometriche
mostrano che il percorso P 1XP 2 è minore di P 1QP2 • Resta in tal modo
provato che il raggio incidente, quello riflesso e la normale nel punto X
di incidenza giacciono nello stesso piano (il piano re).
Per il percorso P 1XP2 , ricerchiamo la posizione del punto X di incidenza
che ne renda minima la lunghezza s. A tal fine, esprimiamo s in funzione
della coordinata x, che individua il punto di incidenza X rispetto ad O
(fig. 16)
La richiesta di lunghezza minima equivale a ricercare il valore di x che
renda nulla la derivata prima di s rispetto a x ( ds /dx= O)
ds 1 (
)-1/2
1{
)-1/2
2
- = - x 2 +h 2
2x+-\(d-x) +h' 2
2(d-xX-1)=0 ⇒
dx 2
2
x
d-x
✓x 2 + h 2
✓(d - x)2 + h' 2
Fig. 15
:
I
~-x-+'
:
I
Ì+-----:.- d
Fig. 16
Il termine a primo membro è sin8i, quello a secondo membro è sin8r;
l'uguaglianza sin8i = sin8r implica quella tra gli angoli
ei =8r
cosa che completa la dimostrazione delle leggi della riflessione.
Vl.1.4.2. - Legge della rifrazione
Consideriamo una superficie che separa due mezzi di indici di rifrazione
diversi, n 1 ed n 2 , e due punti P 1 e P2 posti in questi come è mostrato in fig.
17. Ricerchiamo il cammino che segue la luce per andare da P 1 a P2 : in
accordo al principio di Fermat, questo deve essere quello che richiede il
tempo di percorrenza minimo o, equivalentemente, quello a cui corrisponde il cammino ottico minimo.
Con una dimostrazione identica a quella fatta nel caso della riflessione, si
prova che il raggio incidente e quello rifratto giacciono nel piano ortogonale alla superficie di separazione che passa per i punti P 1 e P2 • Determiniamo ora la relazione che lega l'angolo di incidenza a quello di rifrazione. Cominciamo col valutare il cammino ottico totale; esso è dato da
Fig. 17
•
-------l>l
648
VI. I. - RIFLESSIONE E RIFRAZIONE DI ONDE PIANE DA SUPERFICI PIANE
Ricerchiamo la posizione del punto di incidenza X che renda minimo il
cammino ottico totale o, equivalentemente, il valore x in corrispondenza
del quale risulti d.€/ dx = O
d.€ =~(x 2 + h 2
dx
2
t112 2x + n22 ((d - x)2 + h' 2f 12 2 (d - xX-1)= O
x
nl
⇒
d-x
.Jx2 +h2
=n2
✓(d-x)2 +h'2
cioè
Resta così provata la legge della rifrazione.
ESEMPIO
Vl.1.3. -
SPOSTAMENTO PRODOTTO DA UNA LASTRA
PIANA DI VETRO
Consideriamo una lastra di vetro (n=l.5) delimitata da superfici piane e
parallele fra loro, distanti d=3cm Supponiamo che la lastra si trovi in aria
e che su di essa incida un raggio con angolo ei = 60°. Facciamo vedere che
il raggio emerge dalla lastra in direzione parallela a quella di incidenza e
che lo spostamento subito è funzione dello spessore della lastra.
Scriviamo la legge di Snell in corrispondenza delle due superfici che delimitano la lastra
⇒
n 2 sin 0\
n 1 sin 0\.
⇒
. 0' i =sm
. 0' r'
nsm
in cui abbiamo assunto che l'indice di rifrazione dell'aria coincida praticamente con quello del vuoto (n 1 :::1).
Essendo 0\ =0r' (fig. 18), si ha
sin 0i = n sin 0r'
Fig. 18
n sin 0\
sin 0\,
⇒
0.I =0'.f
Il raggio emerge in direzione parallela a quella di incidenza.
Valutiamo ora lo spostamento a subito dal raggio. Dalla fig. 18 si deduce
che
Lo spostamente cresce con lo spessore d della lastra.
Con i dati del problema risulta 0r·=35.26° e quindi
a=
3
sin(60° - 35.26°)= 1.54cm
cos35.26°
649
VI. 1.4.2. - LEGGE DELLA RIFRAZIONE
ESEMPIO
Vl.1.4. -
DEVIAZIONE PRODOTTA DA UNA SERIE DI LASTRE
PIANE PARALLELE
Supponiamo di avere un sistema fonnato da una serie di lastre piane parallele di diverso spessore e differente indice di rifrazione (fig. 19). Possiamo
far vedere facilmente che la direzione del raggio emergente dipende esclusivamente da quella del raggio incidente e dagli indici di rifrazione iniziale
e finale (n1 ed 14).
,
A tale scopo ricordianw che' la deviazione
che un raggio di luce subisce alla
I
superficie di separazione tra que/rhezzi/i detennina mediante la legge di Snell.
Nella situazione illustrata infig/(19,;telativamente alle tre superfici si ha
,I
n 1 sin 8i
= n 2 sin 8r'·
I
I
I
,
Fig. 19
da cui risulta
Dall'ultima relazione deduciamo che se gli indici di rifrazione iniziale e finale coincidono (n 1 =14), il raggio emerge in direzione parallela a quella di
incidenza.
Vl.2.1. lntroduzione ............................................................652
Vl.2.2. Equazione delle onde elettromagnetiche
in presenza di mezzi lineari omogenei .................. 652
Vl.2.3. Riflessione e rifrazione delle onde piane
elettromagnetiche ...................................................653
Vl.2.4. Ampiezza delle onde elettromagnetiche
riflesse e rifratte ......................................................659
Vl.2.5. Onde elettromagnetiche nei mezzi
materiali isolanti: indice di rifrazione .....................667
Vl.2. - OTTICA ED EQUAZIONI DI MAXWELL
Vl.2.1. - Introduzione
Nel capitolo precedente abbiamo affrontato lo studio delle leggi della riflessione e rifrazione della luce nell'ambito dell'ottica geometrica; nel
seguito ricaveremo le leggi che regolano i due fenomeni mediante le condizioni al contorno cui deve obbedire il campo elettromagnetico in corrispondenza della superficie di separazione tra due mezzi lineari ed omogenei diversi. Questa trattazione ci consentirà di estendere la validità di
tali leggi a tutte le regioni dello spettro elettromagnetico e ci fornirà anche le relazioni che legano l'ampiezza (e quindi l'energia) dell'onda riflessa e rifratta a quella dell'onda incidente.
Passeremo poi a giustificare la dipendenza dell'indice di rifrazione di un
mezzo dalla frequenza dell'onda mediante una trattazione basata sulle
equazioni di Maxwell, con cui otterremo una espressione in termini microscopici dell'indice di rifrazione.
Vl.2.2. - Equazione delle onde elettromagnetiche in
presenza di mezzi lineari omogenei
Nel §V.I.I. abbiamo dimostrato che, partendo dalle equazioni di Maxwell relative ai punti dello spazio vuoto, si perviene a due equazioni differenziali, una per il campo elettrico ed una per il campo magnetico, le
cui soluzioni descrivono l'evoluzione spazio-temporale del rispettivo
campo sotto forma di onde. Vediamo come si modifica la situazione in
presenza di un mezzo lineare omogeneo di costante dielettrica assoluta
E=KEo e permeabilità magnetica assoluta µ = Kmµo. Se facciamo l'ipotesi
che nella regione in esame non siano presenti né cariche né correnti libere
(pL=O, JL=O), le equazioni di Maxwell si possono scrivere nella forma
divB =0
òB
òt
rotE=--
1
ao
aE
aE
rotH=-rotB=-=c K-=Eµ
Òt
o òt
Òt
⇒
òE
òt
rotB = Eµ-
Le relazioni che abbiamo ottenuto differiscono da quelle valide nello spazio vuoto solo per la presenza nella quarta equazione della costante dielettrica assoluta E e della permeabilità magnetica assoluta µ in luogo della
costante dielettrica e della permeabilità magnetica del vuoto, Eo e µ0 rispettivamente. Pertanto procedendo in modo del tutto identico a quello
653
VI.2.3. - RIFLESSIONE E RIFRAZIONE DELLE ONDE PIANE ELETTROMAGNETICHE
seguito nel caso del vuoto, perveniamo all'equazione delle onde elettromagnetiche nei mezzi lineari ed omogenei
vzE = eµ é:i2E
at
V2B
2
= eµ azB
at
2
I campi E e B si propagano con una velocità pari a
V-
-
1
1
- - - -;::====
~
c
- ,Jc Kµ Km - ,JK Km
0
(VI.2.1.)
0
dove c è la velocità nel vuoto.
La VI.2.1. evidenzia che la velocità di propagazione delle onde e.m. è
strettamente legata alle caratteristiche del mezzo. A tale proposito osserviamo che in presenza di onde e.m. che si propagano in un mezzo lineare
ed omogeneo, i coefficienti e e µ, introdotti nei casi stazionari, vengono a
dipendere, come vedremo nel seguito, dalla frequenza dell'onda.
Inoltre ricordando che il rapporto c/v definisce l'indice assoluto di rifrazione di un mezzo (cfr. § VI.1.3.), dalla relazione precedente si deduce che
n=.JKKm = ✓
K
m quanto nei mezzi trasparenti il valore di Km è prossimo all'unità
(Km=l).
VI .2.3. - Riflessione e rifrazione delle onde piane
elettromagnetiche
La dipendenza della velocità di propagazione delle onde e.m. dalle caratteristiche del mezzo nonché le condizioni di continuità cui deve obbedire
il campo elettromagnetico in corrispondenza di una superficie che separa
due mezzi lineari ed omogenei diversi danno luogo ai fenomeni di riflessione e di rifrazione che, come sappiamo, si verificano quando un'onda
attraversa una superficie che separa due mezzi diversi. Di tali fenomeni
nel caso di onde luminose ci siamo occupati nel capitolo precedente affrontandone lo studio nell'ambito dell'ottica geometrica; nel seguito invece perverremo alle stesse leggi per un'onda e.m. di qualsiasi frequenza
seguendo una trattazione più formale basata proprio sulle condizioni al
contorno cui devono obbedire i campi E ed H alla superficie di separazione tra i mezzi. Prima di procedere alla derivazione delle leggi della riflessione e rifrazione facciamo una serie di osservazioni.
Ci limiteremo a prendere in esame soltanto onde piane 1 monocromatiche che incidono su superfici piane. Questa non è una limitazione in
quanto è sempre possibile approssimare porzioni limitate sia del fronte
d'onda che della superficie di separazione a superfici piane, per le
quali risultano valide e, quindi, applicabili localmente le relazioni trovate nel caso di superfici piane.
1. Ricordiamo a tale proposito le osservazioni fatte nel §V.1.1.
VI.2. - OTTICA ED EQUAZIONI DI MAXWELL
654
Assumeremo inoltre che il campo elettrico dell'onda e, di conseguenza,
anche quello magnetico oscillino mantenendosi ciascuno parallelo ad una
particolare direzione nello spazio. Quando si verifica questa condizione si
dice che l'onda è polarizzata linearmente. Anche questa richiesta non
rappresenta una restrizione. Sappiamo infatti che le onde e.m. sono trasversali: entrambi i campi, istante per istante, devono trovarsi su un piano
ortogonale alla direzione di propagazione e devono essere perpendicolari
tra di loro. Per una direzione di propagazione, è sempre possibile stabilire
nel piano ad essa perpendicolare due assi mutuamente ortogonali lungo
cui scomporre i due campi. Ciascuna componente rappresenta un'onda
polarizzata linearmente la cui ampiezza però può variare continuamente e
casualmente come accade per le onde luminose prodotte da sorgenti termiche. In altre parole, come vedremo in maggior dettaglio nel capitolo
VI.6. sulla polarizzazione della luce, un'onda piana non polarizzata può
sempre essere considerata come sovrapposizione di due onde linearmente
polarizzate lungo due direzioni mutuamente perpendicolari, la cui ampiezza varia rapidamente ed in maniera irregolare.
Osserviamo ancora che le condizioni di continuità alla superficie di
separazione tra due mezzi, cioè le leggi della rifrazione delle linee di
E e D e di B ed H, sono state stabilite nei casi statici2; in questi abbiamo dimostrato che nel passaggio da un mezzo all'altro in assenza
di cariche libere e correnti libere si conservano le componenti tangenziali di E e di H e quelle normali di De B. Possiamo estendere facilmente la validità dei risultati precedenti a situazioni dinamiche. Infatti
la continuità della componente normale di D è conseguenza del fatto
che in assenza di cariche libere il vettore Spostamento di Maxwell è
solenoidale sia nei casi statici che in quelli dinamici
Analoghe considerazioni valgono per il campo magnetico che è sempre solenoidale così che
Per quanto riguarda invece il campo elettrico questo non risulta in
generale conservativo, al contrario del campo elettrostatico: sappiamo
infatti dalla legge di Faraday che la sua circuitazione è uguale alla rapidità con cui varia nel tempo il flusso del campo magnetico concatenato col cammino di circuitazione, cambiato di segno. Pertanto la circuitazione di E lungo un cammino chiuso y che corre parallelamente
per un tratto di lunghezza R. ed a distanza !lR. molto piccola dalla superficie di separazione tra i due mezzi è data da
-ff aBat
s
•dS
dove S è una arbitraria superficie che poggia sul contorno y. Possiamo scegliere in particolare l'area /iS della superficie piana rac2. Cfr. a tale proposito§ I.10.5.2. l. e §IV. 3. 11.
Vl.2.3. - RIFLESSIONE E RIFRAZIONE DELLE ONDE PIANE ELETTROMAGNETICHE
655
chiusa dal cammino rettangolare di circuitazione. Osserviamo che
quando la lunghezza dei tratti ortogonali alla superficie di separazione tende a zero (/1f ➔ 0), anche /1S ➔ O mentre la derivata temporale di B nei punti di /1S resta finita. Possiamo quindi affermare
che il flusso di òB/éh attraverso /1S tende a zero, lim( òB • 11S) =O;
M➔\ Òt
di conseguenza risulta
⇒
Fig. 1
Analoghe considerazioni possono essere ripetute per il campo magnetizzante H. Infatti in assenza di correnti libere il teorema di Ampère-Maxwell generalizzato si scrive
• dS
1r,( H • ds =JIs ao
òt
Anche il flusso di òD!òt attraverso /1S tende a zero quando
per cui risulta
/1S ➔
O,
HIT =H2T
Resta così provato che alla superficie di separazione fra due mezzi lineari ed omogenei diversi le leggi della rifrazione delle linee dei campi E, D, B, H continuano a valere anche nei casi dinamici e, quindi,
anche nel caso di onde elettromagnetiche che attraversano la superficie di separazione fra questi.
Facciamo un'ultima considerazione di tipo formale. Sappiamo (cfr.
§V.I.IO.) che la funzione d'onda che descrive la propagazione di
un'onda piana lungo l'asse X può essere messa nella forma
E(x, t) = Eoei[(rot-kx)]
dove ricordiamo che k rappresenta il numero d'onda.
E' conveniente introdurre un vettore, che chiameremo vettore
d'onda e che indicheremo col simbolo k, il cui modulo sia ancora
pari a k=2n:/À e la cui direzione coincida con quella di propagazione dell'onda, cioè con quella dei raggi in una rappresentazione grafica della propagazione. In termini del vettore d'onda, la funzione
che descrive un'onda piana in un generico punto P individuato dal
vettore di posizione r rispetto all'origine del sistema di riferimento
scelto ed al generico istante di tempo t è data da
E(P, t)= Eoei[(rot-k•r)]
Nel caso in cui l'onda si propaghi lungo l'asse X risulta
k • r = ki • r = kx e quindi la funzione d'onda assume la forma che ci
è familiare E(x, t)= E 0 ei[(rot-kx)].
Passiamo a questo punto ad esaminare per un'onda piana elettromagnetica linearmente polarizzata i fenomeni della riflessione e della rifrazione
che si producono in corrispondenza della superficie di separazione fra
VI.2.
656
OTTICA ED EQUAZIONI DI MAXWELL
due mezzi lineari ed omogenei, aventi costanti dielettriche assolute E1 e E2
e permeabilità magnetiche assolute µ 1 e µ2
Fissiamo un sistema di riferimento in modo che la superficie L di separazione fra i due mezzi coincida con il piano XY (e quindi abbia
equazione z=O) e che la direzione di propagazione dell'onda incidente sia contenuta nel piano XZ (piano di incidenza). Nella fig. 2 è rappresentato il raggio incidente in O alla superficie L e l'angolo di incidenza ei che esso forma con la normale nel punto di incidenza;
questa coincide quindi con l'asse Z. Il vettore d'onda relativo
all'onda incidente ha solo le componenti x e z
z
dove abbiamo indicato con Ux e u 2 i versori degli assi X e Z in
luogo di i e k per evitare confusione con gli altri simboli utilizzati. La funzione che descrive l'onda piana incidente, nel piano che
contiene E~, ha pertanto la forma
Fig. 2
Per quanto riguarda la direzione di propagazione, l'ampiezza e la frequenza dell'onda riflessa e rifratta per il momento non facciamo alcuna
ipotesi. Pertanto i corrispondenti vettori d'onda, in termini delle componenti cartesiane, sono dati da
e
e le funzioni d'onda da
e
in cui ol ed u/ rappresentano le frequenze angolari dell'onda riflessa e
rifratta.
In corrispondenza della superficie di separazione dei due mezzi il campo
elettrico conserva la componente parallela e, quindi, nel sistema di riferimento fissato le componenti x ed y. Ricordando che nel primo mezzo
sono presenti sia l'onda incidente che quella riflessa, mentre nel secondo
solo l'onda rifratta possiamo scrivere le relazioni
EiX +ErX =Er'X
Eiy + Ery =Er'y
(VI.2.2.)
che devono valere in ogni istante di tempo t e in qualunque punto P del
piano L. In particolare, imponendo che le condizioni precedenti siano
soddisfatte al tempo t=0 nell'origine del sistema di riferimento
(x=y=z=0), si ottengono per le ampiezze delle onde le seguenti relazioni
(VI.2.3.)
che utilizzeremo nel paragrafo seguente per derivare le formule di Fresnel.
VI .2.3. - RIFLESSIONE E RIFRAZIONE DELLE ONDE PIANE ELETTROMAGNETICHE
657
Per avere invece informazioni sulle fasi delle onde, cominciamo col riscrivere le (VI.2.2.) nei punti di :E, che hanno coordinata z=O, esplicitando
i vari termini
Ricordando ancora una volta che queste relazioni devono essere soddisfatte per qualsiasi valore della coordinata temporale t e delle coordinate
spaziali x e y, concludiamo che devono essere uguali i coefficienti di ciascuna variabile presente negli esponenti dei vari termini. Cioè
(VI.2.4.)
Dalla prima relazione si deduce che l'onda riflessa e rifratta hanno la
stessa frequenza dell'onda incidente, cosa peraltro prevedibile dal momento che la frequenza dipende dalla sorgente e questa per l'onda riflessa
e rifratta è proprio la stessa che ha prodotto l'onda incidente. La terza relazione stabilisce la complanarità dei raggi riflesso e rifratto con il raggio
incidente: infatti poiché sono nulle le componenti y dei vettori d'onda
delle onde riflessa e rifratta, questi devono appartenere al piano XZ, che è
il piano di incidenza. Resta così provata la prima legge della riflessione e
della rifrazione.
Prendiamo infine in esame la seconda relazione: questa stabilisce che le
componenti x dei tre vettori d'onda sono uguali; in particolare rispetto al riferimento fissato risultano positive. Per quanto riguarda invece la componente
z, questa risulta dello stesso segno per i vettori d'onda relativi all'onda incidente e rifratta, di segno opposto per l'onda riflessa, in quanto questa si propaga all'indietro nel primo mezzo. Quindi, rispetto al riferimento fissato k~
k:·
k:
e
sono positive mentre
è negativa. Queste osservazioni ci portano ad
affermare che il raggio incidente e quello riflesso si trovano da parte opposta
rispetto all'asse Z. Lo stesso vale per il raggio rifratto.
Indicati con 0r e 0r· gli angoli più piccoli che il raggio
riflesso e rifratto formano con la normale nel punto di
incidenza, possiamo riscrivere la seconda relazione
delle (VI.2.4.) nella forma
kiX = ki sin 0.I = krX = kr sin 0 r = e·X = kr' sin 0.r
(VI.2.5.)
Poiché per definizione k = 2rc/'A = 2rc/ ( vT) segue che
ki
kr
=
2n
V1T
in quanto l'onda incidente e riflessa si propagano nello stesso mezzo. Invece per l'onda rifratta si ha
z
Fig. 3
VI.2. - OTTICA ED EQUAZIONI DI MAXWELL
658
r'
27t
k =-
v2T
Sostituendo nella (VI.2.5.) otteniamo
Cù.0
Cù.0
Cù.0
filn i=-filn r=-filn ~
V1
V1
Vz
cioè
⇒
Troviamo così che l'angolo di riflessione è uguale all'angolo di incidenza
mentre l'angolo di rifrazione è legato a ei dalla relazione
.
Vz
.
sm0r. =-sm0i
Vl
che mostra la stessa dipendenza dalle velocità di propagazione nei due
mezzi, trovata nel capitolo precedente mediante il principio di Huygens
nel caso della luce.
Le considerazioni precedenti, dedotte analizzando le fasi delle onde incidente, riflessa e rifratta, possono così essere riassunte:
il raggio riflesso e rifratto si trovano nel piano di incidenza;
rispetto alla normale il raggio riflesso e rifratto si trovano nel semipiano opposto a quello che contiene il raggio incidente;
l'angolo di riflessione è uguale all'angolo di incidenza (0r=0i );
l'angolo di rifrazione è legato all'angolo di incidenza dalla relazione
. 0i =-sm
V1 . 0
sm
r'
Vz
Queste sono le leggi della riflessione e della rifrazione: esse sono valide per onde elettromagnetiche di qualsiasi frequenza. Nel caso particolare di mezzi trasparenti e di onde luminose, il rapporto tra le velocità di propagazione nei due mezzi, come abbiamo già visto in ottica geometrica, è legato al rapporto tra gli indici di rifrazione
v1/v2
= n1/n2
così che la legge della rifrazione si può scrivere nella forma nota come
legge di Snell
Tutte le considerazioni inerenti l'angolo limite e la riflessione totale sono
già state analizzate nel capitolo precedente per cui non le ripeteremo.
Invece affronteremo il problema della valutazione delle ampiezze
dell'onda riflessa e rifratta e, quindi, della determinazione della frazione
di energia incidente trasportata da esse.
VI.2.4. - AMPIEZZA DELLE ONDE ELETTROMAGNETICHE RIFLESSE E RIFRATIE
659
VI .2.4. - Ampiezza delle onde elettromagnetiche
riflesse e rifratte
Abbiamo precedentemente determinato utilizzando solo le relazioni di
fase le leggi della riflessione e della rifrazione nei loro aspetti geometrici,
nel senso che abbiamo fissato solo le direzioni di propagazione delle onde
riflesse e rifratte, ritrovando i risultati ottenuti nell'ambito dell'ottica geometrica. Vogliamo ora determinare le ampiezze di tali onde in funzione
di quella dell'onda incidente utilizzando le relazioni (VI.2.3.) tra queste.
Poiché non abbiamo fatto alcuna ipotesi circa la direzione secondo cui
oscilla il campo elettrico (e di conseguenza, quello magnetico) dell'onda
incidente, che abbiamo assunto essere un'onda piana linearmente polarizzata, possiamo scomporre il vettore E in una componente parallela al piano di incidenza e in una perpendicolare a tale piano e trattare separatamente i due casi.
X
z
Fig. 4
Vl.2.4. '1. - Campo E parallelo al piano di incidenza
Supponiamo di considerare un'onda piana polarizzata linearmente
nel piano di incidenza, che assumiamo ancora coincidente con il
piano XZ, ed associamo alla direzione di propagazione dell'onda
incidente un versore ui ortogonale ad essa ed orientato positivamente nel verso indicato in fig. 4. Nella stessa figura sono anche
riportati i versori Ur ed Ur• che associamo rispettivamente alla direzione di propagazione dell'onda riflessa e dell'onda rifratta. Assumiamo inoltre che il vettore Ei sia concorde con il versore Uj.
In queste ipotesi si ha che
Biy =Ery =Er'y =0
Inoltre, ricordando che E, B e la direzione di propagazione devono
formare una terna destrorsa, segue che il campo magnetico
dell'onda incidente e di quella rifratta sono paralleli ali' asse Y,
mentre quello dell'onda riflessa è antiparallelo (fig. 5a e 5b). Le
stesse considerazioni valgono anche per il campo H, che nei mezzi
lineari è parallelo a B.
Le condizioni di continuità per le componenti parallele del campo
elettrico E e del campo magnetizzante H alla superficie di separazione portano alle seguenti relazioni per le ampiezze delle onde
H iOy
-
HrOy
z
Fig. Sa
X
= Hr'Oy
cioè
E~ cos0i + E~ cos0r =(E~+ E~ )cos0i = E~ cos0r,
H oi - Hro= Hr'o
Ricordando che B = µH e che B = E/ v = E.Jµ;, si ha H = E,J;jµ , da cui
z
Fig. 5b
660
VI.2. - OTTICA ED EQUAZIONI DI MAXWELL
Le due relazioni precedenti consentono di ottenere l'ampiezza dell'onda
riflessa e rifratta in funzione di quella dell'onda incidente, degli angoli
che definiscono le direzioni di propagazione e dei valori della costante
dielettrica e della permeabilità magnetica dei due mezzi e devono valere
per qualsiasi valore della frequenza dell'onda incidente, purché si considerino per E e µ i valori corrispondenti alla frequenza fissata. In particolare prendiamo in esame il caso di mezzi trasparenti e di onde elettromagnetiche nel visibile in quanto i risultati cui si perviene in tale situazioni
spiegano numerosi fenomeni tipici dell'ottica che storicamente sono stati
derivati per via sperimentale. Tali materiali sono caratterizzati dal fatto
che in generale hanno permeabilità magnetica che non differisce apprezzabilmente da quella del vuoto µo, per cui si può assumere che µ 1 :::µ 2 :::µo.
In questa ipotesi le relazioni precedenti diventano
(E~ + E~ )cos 0 i
E~ cos 0 r'
,F;(E~ -E~)=~E~
Dividendo ambo i membri della seconda per
l'indice di rifrazione di un mezzo è dato da
.j'E; e
ricordando che
si ottiene
(E~ +E~)cos0i =E~ cos0r.
n 1 (E~
E~)= n 2 E~
Infine utilizzando la legge di Snell si perviene alle relazioni
sin 0r.
.
sm 0i
(Bio - Ero)= Er'o
da cui
_ sin 0 i cos 0 i - sin 0 r' cos 0 r' E i =
sin er' cos er' + sin ei cos ei o
Vl.2.4. - AMPIEZZA DELLE ONDE ELETTROMAGNETICHE RIFLESSE E RIFRATIE
661
Abbiamo così trovato le ampiezze dell'onda riflessa e rifratta in funzione di
quella dell'onda incidente e degli angoli di incidenza e di rifrazione. I rapporti fra l'ampiezza dell'onda riflessa e quella dell'onda incidente e fra
l'ampiezza dell'onda rifratta e quella dell'onda incidente risultano pari a
rii=
E~
tg(0i -0J
E~ - - tg(0i +0r,)
(Vl.2.6.a)
(Vl.2.6.b)
Vl.2.4.2. - Campo E ortogonale al piano di incidenza
Consideriamo ora un'ondà piana polarizzata linearmente con il
campo elettrico perpendicolare al piano di incidenza (piano XZ) e
quindi parallelo all'asse Y del riferimento fissato; di conseguenza
il campo magnetico, che è sempre perpendicolare a quello elettrico, giace nel piano di incidenza, cioè
Biy =Bry
Br'y =0
La situazione è illustrata in fig. 6, in cui oltre ai campi elettrici, che si sono assunti paralleli all'asse Y, sono riportati anche
i campi magnetizzanti per le onde incidente, riflessa e rifratta;
la direzione di H per ciascuna delle tre onde è stata ottenuta
ricordando che esso è parallelo a B e che E, B e la direzione di
propagazione devono formare una terna destrorsa.
Le condizioni di continuità per le componenti parallele alla superficie di separazione del campo elettrico e di quello magnetizzante
portano alle seguenti relazioni per le ampiezze
z
Fig. 6a
In particolare per i mezzi trasparenti tenendo conto della legge di Snell e
delle relazioni
si ha
z
Fig. 6b
da cui
r
Eo
sin8r' cos0i sin8i cos8r, i
sin(8i -0r.) i
=- - - - - - - - - E o =------Eo
sin 8 i cos 8 r' + sin 8 r' cos 8 i
sin (8 i + 8 r' )
662
VI.2.
OTTICA ED EQUAZIONI DI MAXWELL
I rapporti fra l'ampiezza dell'onda riflessa e quella dell'onda incidente e fra
l'ampiezza dell'onda rifratta e quella dell'onda incidente risultano pari a
E~
rj_
sin(0i -0r')
=E~=- sin(0i +0r,)
t J_
=-E-~ -
E~·
(VI.2.7.a)
2sin 0r, cos0i
-si_n_(_0_i_+_0_r...,.·)-
(VI.2.7.b)
Le relazioni (VI.2.6.) e (VI.2.7.) sono note come formule di Fresnel
in quanto egli le ottenne per la prima volta sulla base di una teoria
elastica della luce; esse permettono di calcolare, a partire
dall'ampiezza dell'onda incidente, l'ampiezza delle onde riflesse e
rifratte mediante la conoscenza solo dell'angolo di incidenza e di
quello di rifrazione.
Nel caso di incidenza normale, ei = 0r = 0r· = O, le formule di Fresnel
danno un risultato indeterminato: in tale situazione infatti il piano di
incidenza perde significato, le componenti parallela ed ortogonale
sono parallele alla superficie di separazione e fisicamente equivalenti. Per studiare questa situazione conviene considerare il caso in cui
l'incidenza è quasi normale, cioè gli angoli ei, 0r e 0r· sono sufficientemente piccoli da consentire di approssimare i coseni all'unità
(cos0i =1, cos0r· ::::1) ed i seni e le tangenti agli angoli stessi. In questa ipotesi si ha che tg(0i±0r·) sin(0i±0r·) 0i ± 0r·, la legge di Snell si
può esprimere nella forma n 10i n 2 0r·• Sostituendo nelle (VI.2.6.) e
(VI.2.7.), si ottengono delle relazioni che, per entrambe le polarizzazioni, dipendono praticamente solo dagli indici di rifrazione n 1 e n 2
=
=
=
Queste relazioni diventano rigorose per incidenza normale e, in accordo a quanto osservato in precedenza, il rapporto tra l'ampiezza
dell'onda incidente e dell'onda riflessa (coefficiente di ampiezza
della riflessione) e quello tra l'ampiezza dell'onda incidente e
dell'onda rifratta (coefficiente di ampiezza della rifrazione) coincidono per entrambe le componenti e valgono
nl -n2
r=--n1
+ Ilz
2n
t = - -1 Il1 +n2
(VI.2.8.a)
(VI.2.8.b)
VI.2.4. - AMPIEZZA DELLE ONDE ELETTROMAGNETICHE RIFLESSE E RIFRATIE
663
Vl.2.4.3. - Analisi delle formule di Fresnel
Esaminiamo più in dettaglio le formule di Fresnel
1. -------------- -------- -
tg(0i -0r')
tg(0i + 0r')
-1. --------' _____ .1_1 - - - - - - 300
èp 60°
90°
E~
sin(0i 0r')
r.1 =-E-~= - sin(0i + 0r.)
t .l
Fig. 7a
E~ 2sin 0r, cos0i
=-.
=----,---~
E~
sin(0i + 0 r')
1. -------------------------
In fig. 7a e 7b sono riportati rispettivamente i rapporti
dell'ampiezza riflessa e rifratta con l'ampiezza incidente in
funzione dell'angolo di incidenza, calcolati nel caso in cui
l'incidenza avvenga sulla superficie di separazione aria-vetro
90° ai
30°
60°
(n 1 =1, n 2 =1.5): le curve in grigio ed in nero si riferiscono alla
Fig. 7b
situazione in cui il campo E è rispettivamente parallelo ed ortogonale al piano di incidenza. In fig. Sa e 8b le curve sono
state ottenute supponendo che l'onda incidente si propaghi nel
vetro e venga rifratta in aria (n 1 = 1.5, n2 = 1). Possiamo notare
che i valori assoluti dell'ampiezza riflessa quando E è ortogonale al piano di incidenza sono sempre più elevati dei valori
che si hanno quando E giace nel piano di incidenza,
r.1 I> I r11 I; in entrambi i casi tuttavia il valore assoluto
dell'ampiezza riflessa è molto più piccolo di quello
dell'ampiezza trasmessa per tutti gli angoli di incidenza, fatta
-1. -------+,--'---.....----.'
eccezione nel caso in cui n 1< n2 , per valori di Si prossimi a 90°
60°
30° 0'p
90°
(incidenza radente). Nel caso in cui n 1 > n 2 i coefficienti r.1 ed
Fig. 8a
r11 raggiungono in modulo il valore 1 per Si 41.81 °: questo
valore, come sappiamo, rappresenta l'angolo limite relativo
3. ----------------------alla superficie di separazione vetro-aria. Per valori di Si più
elevati si verifica il fenomeno della riflessione totale, così che
2.
risulta r11 I= r.1= 1.
Per comprendere il significato del segno positivo o negativo
dei coefficienti di ampiezza, cominciamo con l'osservare che
l. -----------------------essendo i coefficienti di ampiezza della riflessione grandezze
reali, le fasi delle onde incidente, riflessa e rifratta o coincidoo,________.....-----..--no o differiscono di 7C. Ricordiamo inoltre che mentre i vettori
f
30°
60°
elettrici dell'onda riflessa e rifratta sono univocamente deter90°
minati, i segni delle loro componenti dipendono dalla scelta
Fig. 8b
dell'orientamento dei versori positivi ui, Ur, Ur• (cfr. fig. 4 ). In particolare
la scelta dei versi utilizzata comporta che se alla superficie di separazione
tra due mezzi trasparenti le ampiezze delle onde riflesse e rifratte hanno
lo stesso segno di quella dell'onda incidente, cioè i campi elettrici riflessi
e rifratti hanno versi coincidenti con quelli assunti come positivi, le fasi
I
=
I
664
z
Fig. 9a
z
Vl.2. - OTTICA ED EQUAZIONI DI MAXWELL
dell'onda riflessa e rifratta coincidono con quella dell'onda incidente. Viceversa se le ampiezze riflessa e rifratta hanno segno opposto a quello
dell'ampiezza dell'onda incidente, cioè i campi elettrici delle onde riflessa e rifratta hanno versi opposti a quelli assunti come positivi, le corrispondenti fasi differiscono di 1C rispetto a quella dell'onda incidente.
Da una analisi delle formule di Fresnel risulta che l'ampiezza rifratta ha
sempre lo stesso segno di quello dell'onda incidente, cioè l'onda rifratta è
sempre in fase con l'onda incidente in corrispondenza della superficie di
separazione. La situazione è più complicata nel caso dell'onda riflessa in
quanto la sua relazione di fase con l'onda incidente dipende dallo stato di
polarizzazione di questa e dalla relazione esistente fra gli indici di rifrazione dei due mezzi.
In particolare se n 1 <n2, cosa che comporta 0i > 0r·, l'ampiezza riflessa risulta negativa per qualsiasi valore dell'angolo di incidenza se il campo elettrico oscilla perpendicolarmente al piano di incidenza: sulla superficie di separazione l'onda riflessa è in opposizione di fase con l'onda incidente. Se invece il campo elettrico è
parallelo al piano di incidenza l'ampiezza riflessa è di segno opposto a quella dell'onda incidente per valori dell'angolo di incidenza tali che 0i + 0r•<n/2; si annulla quando 0i+0r•= n/2; diventa
dello stesso segno dell'ampiezza incidente per ei + er' >n/2. In altre parole sulla superficie di separazione per 0i + 0r· < n/2 l'onda
riflessa è sfasata di 1C rispetto a quella incidente, per 0i + 0r· > n/2 è
in fase.
In fig. 9a sono riportati i campi elettrici delle onde incidente, riflessa e rifratta nel caso di incidenza normale; in fig. 9b sono riportate le componenti parallele ed ortogonali al piano di incidenza
dei tre campi nel caso di incidenza radente.
Guardiamo con attenzione il caso in cui 0i + 0r· = n/2. In tal caso
poiché la tg(0i+0r,) tende all'infinito l'ampiezza dell'onda riflessa si annulla: l'onda incidente viene pertanto totalmente rifratta.
In questo caso il raggio rifratto è ortogonale al raggio incidente e
l'angolo di incidenza corrispondente viene solitamente indicato
con 0p; il suo valore si ricava dalla legge di Snell
Fig. 9b
Questa relazione è nota come legge di Brewster, in quanto Sir D. Brewster la dedusse empiricamente nel 1812. L'angolo 0p è detto angolo di
Brewster o di polarizzazione, in quanto se si fa incidere ad esempio su
una lastra di vetro con un angolo pari a 0p un'onda piana non polarizzata (luce naturale), il fascio riflesso risulta polarizzato linearmente in direzione ortogonale al piano di incidenza. Infatti il campo elettrico
dell'onda incidente può sempre essere scomposto in una componente
perpendicolare ed in una parallela al piano di incidenza; quest'ultima
viene completamente rifratta e quindi nel fascio riflesso è presente solo
la componente ortogonale. Il fenomeno è anche noto come polarizzazione per riflessione e lo riprenderemo nello studio della polarizzazione
della luce.
Vl.2.4. - AMPIEZZA DELLE ONDE ELETTROMAGNETICHE RIFLESSE E RIFRATIE
665
Consideriamo ora il caso in cui n 1 > n 2 e quindi ei < 0r·• Se il campo elettrico oscilla perpendicolarmente al piano di incidenza l'ampiezza riflessa è
sempre dello stesso segno di quella incidente (r..L > O). Ciò implica che
l'onda riflessa è sempre in fase sulla superficie di separazione con l'onda
incidente.
Se invece il campo elettrico è parallelo al piano di incidenza, l'ampiezza
riflessa è dello stesso segno dell'ampiezza incidente se 0i+0r· < rc/2 (in fig.
10 è riportato il caso di incidenza normale), si annulla per il valore eì = 0'p
in corrispondenza del quale risulta 0i+0r· =rc/2, diventa di segno opposto a
quello dell'ampiezza incidente per ei > 0'r, in quanto per tali valori risulta
0i+0r· > rc/2. In altre parole sulla superficie di separazione per ei < 0'r
l'onda riflessa è in fase con l'onda incidente, per ei > 0'r è sfasata di re rispetto a questa. Per ei = 0'p si verifica anche in questo caso il fenomeno
della polarizzazione per riflessione, in quanto l'ampiezza riflessa della
componente parallela del campo elettrico si annulla. Utilizzando la legge
di Snell è facile verificare che i due valori dell'angolo di polarizzazione
0p e 0'r sono complementari, cioè 0p+0'r=rc/2.
Vl.2.4.4. - Coefficienti di riflessione e trasmissione
Dalla conoscenza dell'ampiezza del campo elettrico di un'onda armonica
si perviene facilmente alla determinazione dell'intensità ad essa associata. Ricordiamo che questa rappresenta l'energia media che attraversa
nell'unità di tempo l'unità di superficie disposta perpendicolarmente alla
direzione di propagazione. Essa quindi coincide con il valor medio del
modulo del vettore di Poynting e nel caso di onde piane sinusoidali la sua
espressione è data da
I =
I
t0
Jt+toSdt = 1 Jt+to ___Q_Q_
E B
cos
t0
t
t
µ
2
(kx - wt )dt
dove conto abbiamo indicato l'intervallo di tempo su cui si esegue la media. Ricordando che cos 20 = (1 +cos20)/2 si ottiene
0B 0 [
E1 r . 2(kx -w(t + t ) ) - sm
. 2(kx - cot) ]~
I =
- 1- --Lsm
0
2µ
2wt 0
Se l'intervallo di tempo to è molto maggiore del periodo T di oscillazione
dell'onda, il termine ooto risulta essere molto maggiore di 1 e, quindi, il
secondo termine in parentesi può essere trascurato rispetto all'unità. In
questa ipotesi l'intensità risulta proporzionale al quadrato dell'ampiezza
dell'onda elettrica in accordo alla relazione
I _ E 0 B0
_
E~ _ nE~
= ~ - 2µv = 2µ 0 c
(VI.2.9.)
E' quindi possibile valutare, mediante le formule di Fresnel, la frazione
della potenza incidente che viene riflessa e trasmessa; queste frazioni
vengono dette rispettivamente coefficiente di riflessione (o riflettanza di
una superficie) e coefficiente di trasmissione (o trasmittanza) e sono
date da
X
Er'
n2
z
Fig. 10
VI.2. - OTTICA ED EQUAZIONI DI MAXWELL
666
e
T=
W r'
= Ar.Ir'
wi
A)i
dove Ai, Ar ed Ar· rappresentano le sezioni del fascio incidente, riflesso e
rifratto. Detta A0 l'intersezione tra il fascio incidente con la superficie di
separazione dei due mezzi si verifica facilmente che
Ai = A 0 cos0i
Ar = A 0 cos0r
Ar. = A 0 cos 0r.
Poiché 0i = 0r, la sezione del fascio riflesso è uguale a quella del fascio
incidente, mentre quella del fascio rifratto è legata alla sezione del fascio
incidente dalla relazione
Fig. 11
Pertanto otteniamo che
ove si è tenuto conto del fatto che l'onda incidente e quella riflessa si
propagano nello stesso mezzo (n=n 1), mentre l'onda rifratta si propaga in
un mezzo diverso (n=n2).
I valori di R e di T dipendono dallo stato di polarizzazione e dalla direzione di propagazione dell'onda incidente. Tenendo conto delle formule
di Fresnel, si può verificare che, sia se il campo giace nel piano di incidenza che se è ortogonale a questo, vale l'uguaglianza
R+T=l
come richiesto dalla conservazione dell'energia.
Nel caso in cui la luce incidente non è polarizzata (luce naturale), il campo elettrico dell'onda assume nel piano perpendicolare alla direzione di
propagazione una direzione che varia rapidamente e casualmente nel
tempo. Scomponendo il campo elettrico dell'onda in due componenti mutuamente perpendicolari, una nel piano di incidenza, l'altra nella direzione ortogonale al piano di incidenza, per simmetria dobbiamo aspettarci
che l'energia si ripartisca in parti uguali fra le due componenti. Pertanto
la riflettanza in questo caso è data da
o
20°
Fig. 12
In fig. 12 sono riportati i valori del coefficiente di riflessione in funzione
dell'angolo di incidenza alla superficie di separazione aria-vetro per la
luce naturale. Nella stessa figura sono anche riportate le ricettività per le
componenti parallela e perpendicolare. Nel caso di incidenza normale o
prossima a questa (0i 0r· O) si ha
==
(n1 -nz)2
R=----
(n1 +n 2)2
Vl.2.5. - ONDE E.M. NEI MEZZI MATERIALI ISOLANTI: INDICE DI RIFRAZIONE
667
Quindi nel caso di una lastra di vetro posta in aria, viene riflessa circa il
4% della luce incidente, se questa ha direzione di propagazione prossima
alla normale alla superficie. Nonostante che la frazione di energia riflessa
sia piccola rispetto a quella trasmessa, nel caso in cui siano presenti più
superfici, la riflessione può far diminuire notevolmente l'intensità trasmessa. Di ciò bisogna tener conto nella progettazione di strumenti ottici
complessi.
ESEMPIO Vl.2.1. - INTENSITÀ RIFLESSA ALLA SUPERFICIE ARIA-VETRO
PER UN FASCIO DI LUCE NATURALE INCIDENTE AD
UN ANGOLO DI 70°
Consideriamo un sottile fascio di luce naturale incidente ad un angolo
0i=7O° sulla superficie di una lastra di vetro. Vogliamo valutare la frazione di questa che viene riflessa. Tale frazione coincide con la riflettanza R, che si determina con la relazione
Valutiamo pertanto l'angolo di rifrazione con la legge di Snell
Sostituendo si trova che R=O.17. Pertanto l'intensità riflessa è il 17% di
quella incidente.
Vl.2.5. - Onde e.m. nei mezzi materiali isolanti: indice
di rifrazione
Sperimentalmente si osserva che l'indice di rifrazione di un mezzo varia
con la frequenza della radiazione, per cui se ad esempio un fascio di luce
bianca attraversa un prisma di vetro, questa viene scomposta in vari colori. Tale fenomeno era stato osservato già da Newton attorno al 1672. La
dipendenza dell'indice di rifrazione dalla frequenza della radiazione può
essere giustificata sulla base della teoria elettromagnetica della luce. Nel
seguito illustreremo un procedimento che ci consentirà di ottenere una
espressione in termini microscopici dell'indice di rifrazione che renderà
conto dei fenomeni dell'assorbimento e della dispersione della luce.
Consideriamo pertanto la propagazione di un'onda e.m. in un mezzo materiale isolante, nel quale, ricordiamo, anche gli elettroni degli orbitali più
esterni sono legati ai rispettivi atomi, al contrario di quello che accade nei
conduttori. Sotto l'azione dell'onda incidente gli elettroni legati entrano
in oscillazione forzata e quindi a loro volta, movendosi di moto accelerato, emettono onde elettromagnetiche che si sovrappongono a quella incidente. Sia l'onda primaria che quelle secondarie emesse dagli elettroni
devono soddisfare le equazioni di Maxwell nello spazio vuoto che separa
i costituenti atomici e subatomici della materia e pertanto devono propagarsi con velocità c. Questa affermazione sembra contraddire i risultati
sperimentali relativi alla misura della velocità con cui si propagano i se-
VI.2. - OTTICA ED EQUAZIONI DI MAXWELL
668
gnali luminosi nei mezzi materiali isolanti: sappiamo infatti che in questi
la velocità di propagazione è minore di c ed il rapporto c/v tra la velocità
della luce di una certa lunghezza d'onda À nel vuoto e quella nel mezzo
materiale considerato definisce l'indice di rifrazione n = n(À) del materiale stesso.
La riduzione della velocità di propagazione nei mezzi isolanti dà luogo ad
un ritardo di fase con cui la perturbazione raggiunge un punto posto oltre
il materiale. Questo ritardo può essere interpretato come conseguenza del
fatto che la perturbazione oltre il materiale stesso si ottiene sovrapponendo all'onda incidente il contributo derivante dalle onde secondarie emesse
dagli elettroni oscillanti. Se si interpreta il ritardo di fase come effetto
della sovrapposizione delle onde secondarie a quella primaria, si perviene
ad una definizione microscopica dell'indice di rifrazione: questo risulta
essere un numero complesso, la cui parte reale ed immaginaria sono responsabili rispettivamente del ritardo di fase e dell'assorbimento
dell'onda.
Ci limiteremo per semplicità a considerare il caso della propagazione di
un'onda piana monocromatica. Ciò non è una restrizione: infatti, come
abbiamo già osservato (cfr. § V.1.1.) a causa della linearità delle equazioni di Maxwell, vale anche per le onde e.m. il principio di sovrapposizione
ed è quindi possibile studiare il comportamento di una perturbazione
qualsiasi scomponendola in onde piane sinusoidali. Un'onda piana sinusoidale di frequenza v = ro/(21t), che si propaga nel verso positivo
dell'asse delle X può essere descritta con il formalismo dei numeri complessi dalla funzione d'onda
E(x, t) = Eoeiro(t- x/c)uz
Fig. 13
dove abbiamo assunto che il campo elettrico oscilli parallelamente
all'asse Z del riferimento fissato.
Se sul cammino dell'onda viene introdotta una lastra sottile di materiale rifrangente di spessore ~x ed indice di rifrazione n si sa sperimentalmente che l'onda raggiunge un punto P situato a distanza x oltre la lastra con un ritardo. Infatti il tempo che avrebbe impiegato
l'onda ad attraversare lo spessore ~x di spazio vuoto è t0 ~x/c; invece in presenza dell'isolante il tempo diventa t 1 =n ~x/c. L'onda perciò
subisce un ritardo pari a
~t = t 1 - t 0 = (n -1) ~x/c
Tale ritardo comporta che l'onda nel punto P presenti una fase diversa rispetto a quella con cui essa sarebbe arrivata in P in assenza della lastra
piana. Il ritardo di fase è proporzionale al ritardo temporale
~<p = ro~t = ro(n -1) ~x/c
e l'espressione dell'onda sinusoidale diventa
E'(x, t)
Eoei(ro(t-x/c)-ò<p)uz = E(x, t) e-iò<p = E(x, t) e-iro(n-l)òx/c
Per piccoli valori di ~x possiamo eseguire uno sviluppo in serie del termine eiò<p ed arrestarlo al primo ordine
669
Vl.2.5. - ONDE E.M. NEI MEZZI MA1ERIALI ISOLANTI: INDICE DI RIFRAZIONE
e -illq>
=1- i~q>
per cui il modulo del campo risulta pari a
E'= Ee-illcp
=E-i~q>E = E-ico(n -1) LlX E= E+ ER
g
(VI.2.10.)
c
In altre parole l'introduzione della lastra produce uno spostamento di fase
che si può interpretare nella rappresentazione mediante fasori nel piano
complesso come l'aggiunta di un campo ER sfasato di 90° in ritardo rispetto a quello che si avrebbe senza lastra.
Vediamo ora se è possibile identificare questo campo ER con il campo
aggiuntivo introdotto dalle oscillazioni forzate degli elettroni del mezzo
rifrangente.
Per studiare tali oscillazioni dobbiamo considerare oltre alla forza elettrica generata dall'onda incidente e che induce le oscillazioni forzate,
una forza di richiamo di tipo elastico, che introduciamo per tener conto
del fatto che stiamo considerando elettroni legati, ed una forza frenante,
di tipo attrito viscoso, con cui si tiene conto del fatto che nelle sue oscillazioni l'elettrone irradia energia e questo fenomeno tende a frenarne il
moto.
Pertanto, ricordando che abbiamo assunto il campo elettrico dell'onda parallelo all'asse Z, l'equazione del moto di un elettrone del mezzo si può
scrivere nella forma
d 2z
dz
•
100
m--+ri-+kz=qE
0e t
2
dt
dt
(VI.2.11.)
Questa equazione, a regime, ammette come soluzione la funzione
z(t)=Aeirot; la costante A, determinata imponendo che z(t) sia soluzione
dell'equazione (VI.2.11.), risulta pari a
A=
qEo
m((ro; - ro 2 ) + iyro)
con
j
y=:
z
ffio
-
k
m
Ricordando che la velocità istantanea degli elettroni, pari alla derivata
dello spostamento rispetto al tempo, vale
dz
.
v = - = iroAe 1rot
dt
possiamo determinare la densità istantanea di corrente nella lastra
J = Nqv = NqiroAirotuz
dove N è il numero di elettroni oscillanti per unità di volume.
A causa del fatto che lo spessore della lastra è piccolo rispetto alle dimensioni lineari della base, possiamo considerare tale corrente equivalente a
quella di un foglio piano avente densità linèare pari a
J s = JLU = NqLlX iroAirotuz
9ì
Fig. 14
670
VI.2. - OTTICA ED EQUAZIONI DI MAXWELL
Questo foglio piano di corrente sappiamo che genera un campo B ed un
campo E oscillanti, ortogonali tra loro, pari a
B =µ O ~=µ 0 Nq~xiroAirot
y
2
2
µo N ql..lx
A
•
Airot
1ro
E z =-c B y =-c2
Le relazioni precedenti descrivono i campi nelle immediate vicinanze del
foglio di corrente. Se si considera invece un punto a distanza x da questo
dobbiamo introdurre per il campo così prodotto il ritardo dovuto alla propagazione. Si ottiene
Ez(x,t)=-µ; cNq~iroAiro<t-xtc) =
= - µo cqN~x iro
q
E(x, t)
2
m((ro 02 - ro 2) + iyro)
Abbiamo così che il campo dovuto all'irraggiamento da parte delle cariche oscillanti è proporzionale al campo incidente, come già avevamo ottenuto macroscopicamente considerando il ritardo dovuto alla ridotta velocità di propagazione dell'onda nel mezzo isolante. Ez quindi si comporta come il campo ER della relazione (VI.2.10.); imponendo che questi
coincidano si ricava
ER = -iro(n
1) ~E= Ez = - µo cqN~x iro
q
E
c
2
m((ro02 - ro 2) + iyro)
da cui
Nq 2
1
n-1=------2me0 (roJ - ro 2) + iyro
(VI.2.12.)
Otteniamo così una espressione dell'indice di rifrazione in termini microscopici, che ne evidenzia la dipendenza dalla frequenza ro della perturbazione.
Vl.2.5.1. -Analisi dell'indice di rifrazione
La relazione (VI.2.12.) mostra che l'indice di rifrazione è un numero
complesso, che può essere messo nella forma
n =n'+in"
ove
Nq2
ro2 _ ro2
n'= 1+ - - - - -0--2me0 (roJ-ro 2)2 +y2ro 2
Vl.2.5. - ONDE E.M. NEI MEZZI MATERIALI ISOLANTI: INDICE DI RIFRAZIONE
Il
Il
Nq2
671
"{O)
=-----------
2mco (ro~ -ro2)2 +y2ro2
In fig. 15 sono riportati gli andamenti della parte reale e della parte
immaginaria di (n-1) in funzione di ro, per valori vicini a quello di risonanza (mo); ritroviamo gli andamenti già noti per le oscillazioni forzate3. Nello studio di queste abbiamo anche visto che la parte reale
dell'ampiezza corrisponde a quella parte dell'oscillazione che non dà
origine ad assorbimento di energia (ampiezza elastica), mentre la parte
immaginaria corrisponde ad energia assorbita. Per evidenziare ciò, riscriviamo l'espressione della perturbazione dopo la lastra evidenziando la dipendenza dalla parte reale e da quella immaginaria
E'(x, t) = E(x, t) e -ico(n-l)Llx / e = Eoe+ico(t-x I e) e-ico(n'-l)Llx /e e con"Llx /e
ù)
Fig. 15
L'ultimo fattore, che dipende dalla parte immaginaria dell'indice di rifrazione n", è elevato ad un esponente reale negativo proporzionale allo
spessore Lix del materiale attraversato. Possiamo interpretare questo risultato affermando che l'ampiezza dell'onda (e quindi l'energia che ad essa
è legata) dopo il materiale è ridotta rispetto ad Eo e vale
E'o = Eoecon"Llx/c
In tal senso il coefficiente n" della parte immaginaria dell'indice di rifrazione è collegato con il coefficiente di assorbimento del mezzo: esso infatti dà origine ad una attenuazione esponenziale dell'ampiezza in funzione dello spessore Lix attraversato. Questo risultato è una conseguenza
del fatto che la parte immaginaria dell'indice di rifrazione dipende dal
fattore y, a sua volta legato al coefficiente d'attrito che è stato introdotto
per tener conto della perdita di energia da parte degli elettroni oscillanti.
Osserviamo inoltre che n" è funzione della frequenza ro della radiazione ed il
suo valore assoluto presenta un massimo alla frequenza di risonanza ffio, in
corrispondenza della quale la parte reale (n'-1) si annulla. Possiamo quindi
affermare che quando la radiazione incidente ha una frequenza prossima a
quella di risonanza l'assorbimento diventa il fenomeno dominante4 •
Prendiamo ora in esame la parte reale dell'indice di rifrazione. Come abbiamo già detto essa non dà luogo ad assorbimento di energia ma produce uno
sfasamento che è funzione della frequenza della radiazione incidente, che ricordiamo induce le oscillazione forzate. In particolare il termine (n'-1) è positivo per ro < ffio, nullo alla risonanza e negativo per ro > ffio. Pertanto, ricordando che il fasore ER =-iro(n-l)(Lixlc)E è spostato di 90° in ritardo rispetto
ad (n-l)E, si ha che la fase della radiazione indotta (fig. 16) è in ritardo di 90°
per ro << ffio, ritarda di altri 90° alla risonanza (Li<p =180°) e si porta a 270°
5
per ro >> ffio. In fig. 17 sono riportate le costruzioni per ro < ffio, ro = ffio, e
ro>roo; osserviamo che per ro = ffio, il campo E' torna in fase con E, ma risulta
avere un'ampiezza ridotta a causa dell'assorbimento. Invece per ro > ffio, la
fase di ER si porta tra 180° e 270° così che quella di E' risulta in anticipo su
3. Cfr. capitolo IV.5.
4. Ciò spiega la presenza di linee scure negli spettri che si osservano dopo che la radiazione
ha attraversato una sostanza.
5. Cfr. §V.5.11. fig. 18b e 18c.
Ll<p
o
--------,-------I
'
I
I
-90°
Fig. 16
Vl.2. - OTTICA ED EQUAZIONI DI MAXWELL
672
E. Interpretiamo questo risultato nel modo seguente: all'onda sinusoidale entrante si somma un'onda sinusoidale indotta che è sempre in ritardo di fase
rispetto alla sollecitazione. Trattandosi però di fenomeni periodici a regime,
un ritardo maggiore di 180° può apparire come un anticipo di fase minore di
180°.
Di conseguenza il mezzo rifrangente introdotto produce un rallentamento nella
velocità di propagazione della fase6 per ffi < ffio (v< c ). Infatti, come abbiamo
già visto, quando un'onda e.m. attraversa uno spessore b.x di un mezzo materiale di indice di rifrazione n = n'+i n", al ritardo di fase Aq>o dovuto al tempo
impiegato dall'onda primaria a percorrere la distanza b.x nel vuoto pari a
E
9ì
21t
(J)
À
c
Acp 0 = kAx =-Ax =-b.x
si aggiunge un ulteriore ritardo di fase Acp 1 dovuto alla parte reale
dell'indice di rifrazione dato da
g
(I)>
COo
Acp 1 = ffi(n'-1) b.x
c
E
Fig. 17
9ì
Il ritardo di fase complessivo conseguente all'attraversamento dello spessore b.x risulta pari a
ffib.x
(
) b.x n' ffiAx
Acp=A% +Acp1 =--+ffin'-1-=-c
c
c
Vediamo così che il ritardo di fase complessivo Acp è pari a n' volte il ritardo
di fase che si sarebbe avuto nel vuoto a parità di spessore b.x attraversato.
Tutto succede come se l'onda avesse attraversato lo spessore b.x con una velocità di fase v minore di c, cioè più lentamente che nel vuoto: v=c/n'.
Alla risonanza risulta v = c in quanto n'=l, mentre per ffi > ffio si ha un anticipo di fase che corrisponde ad una velocità di propagazione della fase
stessa maggiore di c. Infatti per ffi>ffio il valore di (n'-1), come abbiamo
già detto, risulta negativo e la parte reale dell'indice di rifrazione risulta
6. Ricordiamo cosa deve intendersi per velocità di fase di un'onda. A tale scopo
consideriamo un'onda piana sinusoidale descritta dalla funzione
E(x, t) = Eo cos (rot- kx) = 9ìe (Eo ei(Olt-kx))
La sua fase ad un dato istante to e in un punto individuato della coordinata Xo, è data da
<po=roto - kxo
e, come sappiamo, è comune a tutti i punti del piano X=Xo, perpendicolare all'asse X. Al
passare del tempo, la fase <p nei punti del piano x=:xo varia proporzionalmente al tempo
<p(t, x0) = rot - kxo
Se però, al passare del tempo, consideriamo piani corrispondenti a valori di x progressivamente crescenti in modo da far rimanere costante il valore della fase <po, cioè
<po =roto -kXo =rot - kx
possiamo dire che stiamo seguendo il moto di un piano avente fase costante. La velocità
con cui si muove un piano di fase costante viene detta velocità di fase v dell'onda e si
ottiene differenziando la relazione rot - kx=<po =cost
dx ro
rodt-kdx=O ⇒ v = - = dt
k
Per onde elettromagnetiche che si propagano nel vuoto, la velocità di fase è proprio c
v= c=
1/Jµ c
0 0
VI.2.5. - ONDE E.M. NEI MEZZI MA1ERIALI ISOLANTI: INDICE DI RIFRAZIONE
673
minore dell'unità. Ne segue che la velocità di fase v=c/n' risulta maggiore di c per tali valori della frequenza, pur non essendoci una reale propagazione di segnale con velocità v, come vedremo nel paragrafo seguente.
La dipendenza della parte reale dell'indice di rifrazione dalla frequenza e,
quindi, dalla lunghezza d'onda, spiega il fenomeno della dispersione cioè
della separazione delle varie lunghezze d'onda presenti nella radiazione incidente. In generale, quando n' cresce con ro, si parla di dispersione normale; in vicinanza della frequenza di risonanza COo, dove n' decresce bruscamente con ro, diventando uguale all'unità per ro = COo, si parla di dispersione anomala. E' possibile visualizzare l'andamento dell'indice di rifrazione in vicinanza di una risonanza. A tale scopo ricordiamo che l'indice di
rifrazione n' è legato mediante la legge di Snell ( n\ sin 0i = n' 2 sin 0r.) alla
deviazione angolare che un'onda luminosa piana subisce quando passa da
un mezzo rifrangente isotropo ad un altro. Possiamo quindi utilizzare la misura dell'angolo di rifrazione per visualizzare l'andamento dell'indice di
rifrazione in vicinanza di una risonanza.
Concludiamo le nostre considerazioni sull'indice di rifrazione osservando
che le sostanze con cui in generale avremo a che fare in ottica, come ad
esempio il vetro, presentano un assorbimento molto piccolo in quanto
nell'ampiezza
A=
qEo
m((roi - ro 2) + iyro)
il termine iyro risulta molto minore di ( roi - ro 2 ). Questi materiali sono
quindi caratterizzati da un indice di rifrazione praticamente reale, avente
la seguente espressione
2
N _ _ _1__
n:::n'=l+-q
2mE 0 ( roi - ro 2)
(VI.2.13.)
La relazione precedente evidenzia anche per queste sostanze la dipendenza dell'indice di rifrazione dalla frequenza e, quindi, dalla lunghezza
d'onda. Nel visibile in generale risulta ro < COo (dispersione normale) e,
quindi, n > 1; inoltre, poiché n cresce con ro, la luce blu viene deviata più
di quella rossa, in accordo alla legge di Snell.
In particolare se ro<<COo, la (VI.2.13.) può essere approssimata con la relazione seguente
2
_
Nq 2 (
ro
n - l + 2mE roi l - roi
0
J-r _1
Nq 2 ( 1 ro2 )
= + 2mE roi + roi
0
e, ricordando la relazione tra ro e À, si ottiene la relazione nota come formula di Cauchy
Il
con
A+
B
À,2
(VI.2.14.)
674
VI.2. - OTTICA ED EQUAZIONI DI MAXWELL
e
ESEMPIO
Vl.2.2. - DETERMINAZIONE DEI COEFFICIENTI DI CAUCHY
PER L'ALCOOL
Da misure sperimentali si trova che l'indice di rifrazione del!' alcool passa dal valore n 1 = 1.361 al valore n2 = 1.367 cambiando la lunghezza
d'onda della radiazione da À1 = 656.3nm a À.2 = 486.2. Determiniamo i
coefficienti A e B della formula di Cauchy.
Dalle relazioni
B
n2 =A+-2À2
sottraendo membro a membro si ha
n 2 -n 1
1
1
=B(-À,2
À,2 J ⇒
2
I
Sostituendo in una delle due relazioni di Cauchy si trova per il coefficiente A il valore A= 1.3537.
Possiamo ora determinare il valore che presenta l'indice di rifrazione
dell'alcool per una lunghezza d'onda À 3 = 589nm, intermedia tra leprecedenti. Si ha
Vl.2.5.2. - Velocità di gruppo e velocità di fase
Vediamo ora di analizzare meglio la relazione che intercorre tra la velocità di fase v e la velocità con cui si possono in realtà trasmettere segnali di
natura elettromagnetica.
La velocità di fase è stata definita per campi periodici che nello spazio
sono rappresentati da treni d'onde di lunghezza infinita e che hanno nel
tempo durata anch'essa infinita. Ricordiamo che un'onda piana di questo
tipo è rappresentata dalla funzione
E(x, t) =Eoei (rot- kx)
e che le superfici di fase costante sono definite dalla relazione
rot - kx
=cost
per cui la velocità di fase è pari a
dx ro
v=-=dt k
Vl.2.5. - ONDE E.M. NEI MEZZI MATERIALI ISOLANTI: INDICE DI RIFRAZIONE
675
In realtà si ha sempre a che fare con treni d'onda di lunghezza e durata
finita (generalmente chiamati pacchetti d'onda), che si possono pensare
come sovrapposizione di un continuo di onde monocromatiche (di durata
infinita) aventi ampiezza e fasi opportune. Se la propagazione avviene in
un mezzo rifrangente, a causa della dispersione le varie componenti monocromatiche si propagano con velocità di fase diversa ed il treno d'onda
si deforma, dilatandosi mentre si propaga. Il concetto di velocità di fase
diventa pertanto vago e si introduce quello di velocità di gruppo.
Cominciamo col considerare due onde monocromatiche di uguale ampiezza e di frequenza molto prossima, descritte dalle funzioni
E 1(x, t) = E 0 cos( ro1t - k 1x) e
E
X
Fig. 18
E 2(x, t) = E 0 cos( ro 2t - k 2x)
L'onda risultante dalla loro sovrapposizione, E(x,t)
è la funzione
E 1(x,t)+E 2(x,t),
in cui si è fatto uso delle relazioni trigonometriche relative alle somme
dei coseni. Essa può essere riscritta nella forma
E(x, t) = E' 0 cos(rot - kx)
da cui si deduce che l'onda risultante corrisponde ad una oscillazione che
si propaga con pulsazione ro=(ro 1+ro2)/2 e numero d'onda k=(k1+k2)/2. La
sua ampiezza pari a
ha andamento ancora sinusoidale caratterizzato da una
frequenza angolare ro'=(ro 1-ro2)/2 e da un numero
d'onda k'=(k1-k2)/2.
I piani di fase costante per l'oscillazione risultante sono
dati da
rot - kx =
ro1 +ro2
2
t-
k 1 +k 2
2
x = cost
r
r
l\f\f\f\f\f\f\f\f\l\f\
\fV VVVVlJ VlJ VV\
I\ (\ (\ (\ (\ (\ (\ (\ (\ (\ (\
VVVVVVVVVVV\
per cui la velocità di fase v è pari a
dx ro ro1 +ro2
v=-=-=~-~
dt k k 1 + k 2
Anche l'ampiezza dell'oscillazione, come abbiamo visto, è modulata secondo un'onda che si propaga e la
corrispondente velocità di propagazione si ottiene ancora una volta differenziando la relazione
v _ dx _ m1 m2
g - dt - k -k
1
2
Fig. 19
lii
676
VI.2. - OTTICA ED EQUAZIONI DI MAXWELL
Questa è la velocità con cui si muovono i massimi di ampiezza e viene
chiamata velocità di gruppo vg·
Per frequenze molto prossime si ha
co1 - co2
V---g - k - k
1
2
dco d(2nv)
---= dk - d(2rc(A)
dv
d(v/ì..)
-------d(l/ì..)
d(l/ì..)
= (Àdv-vdì..)/ì,} =v-À dv
- dì../ì..2
dì..
E
X
Fig. 20
e· ..................
(O
Fig. 21
Nei mezzi dispersivi in cui v cresce con À (dispersione normale),
la velocità di gruppo risulta minore di quella di fase. Nei casi di
dispersione anomala, la velocità di gruppo risulta maggiore di v.
Nel vuoto v e vg coincidono.
Se abbiamo un pacchetto d'onda che si propaga verso destra, cioè
un treno di onde limitato nello spazio e nel tempo, per il quale
l'ampiezza dell'oscillazione parte da zero, passa per un massimo
e poi ritorna a zero, si può vedere che la velocità di gruppo coincide con la velocità con cui si sposta l'intero pacchetto. Se la velocità di fase v è maggiore di vg, si ha che le singole oscillazioni
che compongono il pacchetto scorrono verso destra più velocemente del pacchetto stesso e sembrano nascere nell'estremità di
questo in A e morire nell'estremità B (fig. 20). Si può quindi pensare che la velocità con cui si propaga l'energia o il segnale sia Vg
e non v.
Nella regione di dispersione anomala, ove la velocità di fase varia
molto rapidamente con la frequenza, il pacchetto d'onda si deforma violentemente e anche la velocità di gruppo perde il significato di velocità di propagazione del pacchetto d'onda. Risulta
che la velocità del segnale coincide con la velocità di gruppo nelle
regioni di frequenza dove si ha la dispersione normale. Nelle regioni di frequenza ove vg > c, la velocità del segnale risulta sempre Vs< c, come indicato in fig. 21.
Vl.3.1. Introduzione ............................................................678
Vl.3.2. Specchio sferico ......................................................680
Vl.3.3. Diottro sferico ..........................................................690
Vl.3.4. Sistemi ottici. Lenti sottili .........................................697
Vl.3.5. Sistemi ottici centrati. Lenti spesse ..........................71 O
Vl.3.6. Strumenti ottici .........................................................714
Vl.3.7. Prisma ......................................................................720
Vl.3. - STRUMENTI OTTICI
Vl.3.1. - Introduzione
Nel presente capitolo studieremo gli strumenti ottici più comuni e ne
spiegheremo il funzionamento nell'ambito dell'ottica geometrica. Infatti
ricorrendo ancora al concetto di raggio luminoso ed alle note leggi che ne
regolano il cambiamento di direzione in corrispondenza ad una superficie
riflettente o rifrangente, deriveremo mediante semplici considerazioni
geometriche le equazioni che caratterizzano il comportamento di questi
strumenti. Ovviamente i limiti di validità delle relazioni così ottenute sono gli stessi di quelli visti nella definizione di raggio luminoso: i fenomeni di interferenza e diffrazione devono essere trascurabili e quindi le dimensioni lineari dei dispositivi in esame devono essere molto maggiori
della lunghezza d'onda della radiazione incidente. Nonostante queste limitazioni, le relazioni trovate nell'ambito dell'ottica geometrica consentono di trattare numerosi problemi pratici.
Nell'ottica geometrica ogni corpo che emette luce propria o diffusa viene
detto oggetto e da questo partono i raggi: se anche una parte di questi penetra nell'occhio dell'osservatore, egli vede l'oggetto. Oggetti estesi possono
sempre essere visti come un insieme di oggetti puntiformi. Per questa ragione prenderemo dapprima in esame situazioni in cui siano presenti solo
oggetti puntiformi per poi passare a considerare il caso di oggetti estesi.
Gli strumenti ottici più semplici sono gli specchi ed i diottri, cioè superfici rispettivamente riflettenti (o catottriche) e rifrangenti. Nel seguito ci limiteremo a considerare il caso di superfici sferiche; quelle
piane possono sempre essere viste come superfici sferiche di raggio
infinito. Sistemi ottici più complessi sono costituiti da una successione
di superfici riflettenti e/o rifrangenti, per cui è possibile utilizzare i risultati validi per ciascuna di queste per studiare il funzionamento
dell'intero sistema. I sistemi ottici che generalmente considereremo
presentano un asse di simmetria su cui si trovano i centri di curvatura
delle varie superfici. Tali sistemi vengono detti sistemi centrati e
l'asse di simmetria asse ottico.
Consideriamo un oggetto puntiforme posto in un punto O dell'asse ottico
di fronte ad un sistema centrato. Quest'ultimo ha il compito di raccogliere
almeno una parte dei raggi che escono da O e di deviarli in modo che
questi, dopo aver attraversato il dispositivo, convergano ancora in un unico punto I, avendo percorso tutti lo stesso cammino ottico. Infatti lo
strumento realizza una condizione di stazionarietà (cfr. § VI.1.4.) per tutti
i raggi che partono dall'oggetto e confluiscono nel punto immagine.
Quando si verifica rigorosamente questa condizione il sistema è detto
stigmatico. Negli strumenti comuriemente usati, lo stigmatismo si ottiene
con un'ottima approssimazione ricorrendo a diaframmi che limitano la
divergenza del fascio che colpisce il dispositivo consentendo la realizzazione della condizione di parassialità.
VI.3 .1. - INTRODUZIONE
679
Il punto I in cui convergono i raggi emessi da un oggetto puntiforme dopo
aver attraversato il sistema ottico ed essere stati deviati da questo viene
detto immagine reale dell'oggetto (fig. 1): un osservatore che guardi
l'oggetto attraverso il dispositivo ottico in modo tale che il suo occhio
raccolga anche solo una parte dei raggi emergenti
dall'immagine, vede l'oggetto in una posizione coincidente
con quella dell'immagine 1• In alternativa se si pone uno
schermo diffondente nella posizione in cui convergono i raggi che formano l'immagine, questa appare come un punto
luminoso osservabile da qualsiasi posizione. Poiché il percorso dei raggi è invertibile, di un oggetto posto in I il sistema ottico fornisce una immagine in O. I punti O ed I vengono detti otticamente coniugati. Come vedremo in generale è
possibile trovare una relazione che consenta di determinare la posizione
dell'immagine note che siano quella dell'oggetto e le caratteristiche del
dispositivo (raggio di curvatura delle superfici, indice di rifrazione dei
mezzi, distanza tra le varie superfici, etc.).
In alcuni casi può accadere che i raggi dopo aver attraversato il dispositivo siano divergenti, mentre i loro prolungamenti convergano in un unico
punto (fig. 2). Questo viene detto immagine virtuale per evidenziare il fatto che sebbene per l'osservatore i raggi sembrano ancora provenire da tale punto, in esso non si ha concentrazione di energia luminosa così che un'immagine virtuale non può essere osservata su uno schermo diffondente.
La visione diretta di un'immagine virtuale è possibile solo se
o
un fascette di raggi divergenti dal sistema ottico penetra
nell'occhio dell'osservatore: il sistema ottico, con cui si può
schematizzare l'occhio umano, trasforma il fascio divergente
in uno convergente in un punto della retina. Tale punto è
l'immagine reale finale dell'oggetto fornita dal sistema formato dal dispositivo e dall'occhio.
Nel caso di oggetti estesi, la posizione e le dimensioni delle immagini si
ottengono tramite le posizioni dei punti immagine relativi alle singole sorgenti puntiformi in cui si può suddividere l'oggetto esteso. Dal momento
che in generale le dimensioni lineari dell'immagine sono diverse da quelle
dell'oggetto, per misurare l'effetto introdotto dal dispositivo si introduce un
parametro, l'ingrandimento lineare, definito come rapporto tra una dimensione lineare dell'immagine e la corrispondente dell'oggetto. Talvolta
risulta più interessante valutare l'ingrandimento angolare che misura il
cambiamento dell'apertura del fascio che converge nell'immagine rispetto
a quella del fascio emesso dall'oggetto e raccolto dallo strumento.
Nel seguito dopo aver ricavato le equazioni dello specchio e del diottro
sferico, passeremo a studiare le lenti e successivamente dispositivi contenenti più lenti, come il telescopio ed il microscopio. Da ultimo studieremo il funzionamento dei prismi, che vengono in generale utilizzati per
scomporre la luce nelle sue componenti cromatiche.
1. Ricordiamo che sia in presenza di riflessione che di rifrazione il percorso di ciascun raggio è invertibile. Pertanto se ad un oggetto posto in O un sistema ottico fa corrispondere
una immagine nel punto I, ad un oggetto posto in I corrisponde una immagine in O.
Fig. 1
Fig. 2
680
VI.3. - STRUMENTI OTTICI
La procedura che si segue per determinare l'immagine fornita da un sistema ottico complesso contenente più superfici riflettenti e/o rifrangenti
è la seguente: individuata l'immagine dell'oggetto fornita dalla prima superficie, questa funge da oggetto per la seconda e così via fino ad ottenere
l'immagine finale. Osserviamo infine che in questo modo di procedere
può accadere di avere anche a che fare con "oggetti virtuali intermedi" in
cui, relativamente ali' elemento ottico in esame, convergono solo i prolungamenti dei raggi emergenti dall'elemento ottico precedente.
Vl.3.2. - Specchio sferico
1,,,_o
Uno specchio sferico è formato da una calotta sferica riflettente. Con riferimento alla fig. 3, che mostra l'intersezione della calotta con il piano della pagina, siano C il centro di curvatura e V il vertice della calotta. La retta CV è detta asse ottico o asse principale dello specchio.
Consideriamo un oggetto puntiforme O posto sull'asse ottico a distanza o
dal vertice (o=OV); vediamo in quali condizioni lo specchio fornisce una
immagine di O. Poiché per definizione l'immagine (se esiste)
è il punto di intersezione dei raggi emessi da O che sono stati
riflessi dallo specchio, consideriamo due raggi: il primo OV,
che viaggia lungo l'asse ottico, viene riflesso su sé stesso poiché incide con angolo nullo; il secondo OP viene riflesso in
accordo alla legge della riflessione (0i = 0r) ed interseca in I il
raggio riflesso in V. Consideriamo i triangoli OPC e CPI ed
!<!--- R -- .i
indichiamo con a,~ e y gli angoli che formano con l'asse ottio ,_______
co rispettivamente il raggio incidente, il raggio di curvatura ed
il raggio riflesso in P. Ricordando che nei triangoli un angolo
Fig. 3
esterno è uguale alla somma degli angoli interni ad esso non
adiacenti, si ha
r---------
cl
-4
Poiché 0 i = 0r segue che
p-a=y-p
⇒
a+y=2P
(VI.3.1.)
Facciamo ora l'ipotesi che il punto P sia stato scelto in modo tale che gli
angoli a, ~ e y siano sufficientemente piccoli da permettere
l'approssimazione del seno o della tangente con l'angolo stesso (ad esempio sina:::tga:::a). In altre parole utilizzando opportuni diaframmi si
fanno incidere sullo specchio solo raggi parassiali, cioè raggi che risultano molto vicini all'asse principale e formano con questo angoli piccoli.
In questa ipotesi il punto H di fig. 3, intersezione della normale per P
all'asse ottico con questo, si può ritenere coincidente con V con la stessa
approssimazione con cui risulta sin a= tga = a. Pertanto, indicati con R, i
ed h rispettivamente il raggio di curvatura, la distanza di I dal vertice della calotta e la distanza di P dall'asse ottico (R = VC, i = VI, h = PH), possiamo porre
h
h
a= tga=-=OH o
e
Vl.3.2. - SPECCHIO SFERICO
681
Sostituendo nella (VI.3 .1.) otteniamo la relazione
1
o
1
2
R
-+-=i
(VI.3.2.)
Questa mostra che la posizione del punto I rispetto al vertice V dipende
solo dalla posizione dell'oggetto e dal raggio di curvatura dello specchio
e non dall'angolo a del raggio OP considerato. Pertanto un qualunque altro raggio che provenga da O, purché parassiale, viene riflesso per I, che
quindi è l'immagine di O data dallo specchio sferico.
La relazione (VI.3.2.) prende il nome di equazione (di Cartesio) dello
specchio sferico: essa consente di determinare la posizione dell'immagine
se sono noti il raggio di curvatura e la posizione dell'oggetto. Raggi non
parassiali che partono da un oggetto puntiforme posto sull'asse
ottico, dopo essere stati riflessi dallo specchio intersecano
l'asse ottico nei punti di un segmento (fig. 4), dando luogo ad
un fenomeno noto col nome di aberrazione sferica. In presenza di aberrazione il sistema viene detto astigmatico. L'unica
eccezione è rappresentata dal centro di curvatura C dello specchio sferico: infatti di un oggetto puntiforme posto in C lo
strumento dà un'immagine puntiforme localizzata nello stesso
punto senza che venga imposta alcuna limitazione sull'angolo
che ciascun raggio incidente forma con l'asse ottico. Il centro
di uno specchio sferico è un punto anastigmatico (o stigmatico )2. Per avere di un oggetto puntiforme posto sull'asse ottico
un'immagine ancora puntiforme è necessario limitare l'angolo
di apertura del cono entro cui si trovano i raggi che colpiscono
lo specchio.
Osserviamo ancora che sebbene l'equazione (VI.3.2.) sia stata ricavata
per uno specchio concavo nel caso in cui l'oggetto si trovi a distanza
o> R dal vertice, essa continua a valere, come è possibile verificare
con costruzioni geometriche simili a quella seguita in precedenza,
qualunque sia la posizione dell'oggetto sull'asse ottico ed anche se lo
specchio è convesso purché si facciano delle convenzioni sui segni
delle tre variabili o, i ed R che compaiono nella (VI.3.2.). Precisiamo
a tale proposito che non esiste una sola convenzione; quella che adotteremo nel seguito, anche quando avremo a che fare con superfici rifrangenti o con sistemi ottici complessi, stabilisce che:
Rispetto alla direzione del raggio incidente sullo specchio lungo
l'asse ottico, un oggetto reale O precede V e nella (VI.3.2.) o deve
essere positivo; viceversa un oggetto virtuale O segue V (infatti in
O convergono solo i prolungamenti dei raggi incidenti sullo specchio) e nella (VI.3.2.) o si deve considerare negativo.
- Rispetto alla direzione del raggio riflesso dallo specchio lungo l'asse
ottico, l'immagine reale I segue V (in I convergono i raggi riflessi) e
nella (VI.3.2.) i deve essere positivo (i>O); viceversa l'immagine vir2. Anche se non verranno trattati in dettaglio, ricordiamo che negli specchi parabolici il
fuoco è un punto anastigmatico per raggi paralleli all'asse della parabola; questi infatti
vengono tutti riflessi nel fuoco. Per questo motivo nei telescopi astronomici vengono usati specchi parabolici.
o
Fig. 4
VI.3. - STRUMENTI OTTICI
682
tuale I precede V (in I convergono solo i prolungamenti dei raggiriflessi) e nella (VI.3.2.) i si deve considerare negativo (i<0).
Il raggio di curvatura R= VC è positivo per uno specchio concavo, negativo per uno convesso. Nel primo caso, R>0, il centro di curvatura C segue
V nella direzione del raggio riflesso, nel secondo, R <0, lo precede.
Osserviamo che l'equazione dello specchio fornisce, una volta che si sostituiscano ad o ed R i rispettivi valori con segno, il valore di i con il suo segno: in particolare se i risulta positivo l'immagine è reale, se negativo
l'immagine è virtuale.
E' facile verificare che mentre uno specchio sferico concavo fornisce di un
oggetto reale un'immagine che può essere sia reale che virtuale a seconda
della posizione occupata dall'oggetto stesso sull'asse ottico, uno specchio
convesso fornisce sempre immagini vir1;uali.
Per studiare come varia la posizione dell'immagine al variare di quella
dell'oggetto è conveniente introdurre il fuoco (o punto focale) F dello
specchio: questo è il punto in cui si forma l'immagine di un oggetto puntiforme posto sull'asse ottico a distanza infinita. In tal caso i raggi parassiali che colpiscono lo specchio sono paralleli all'asse ottico e vengono
riflessi nel fuoco come è mostrato in fig. 5. La distanza f di questo dal
vertice, detta distanza focale, si ottiene dalla (IV.3.2.) ponendo o= 00
Fig. 5
1
1
-=i
f
2
R
(VI.3.3.)
L'equazione dello specchio in termini della distanza focale può essere riscritta nella forma, che è forse quella più nota
1
1
1
o
i
f
-+-=-
... -:,
e
:
/I
-~
Fig. 6
R---li
Ovviamente per la proprietà di invertibilità del percorso dei raggi, e come
d'altro lato si deduce dalla (VI.3.2.), si ha che l'immagine di un oggetto
puntiforme posto nel fuoco si forma all'infinito.
La distanza focale ha lo stesso segno del raggio di curvatura, fissato dalle
convenzioni adottate. Nel caso di uno specchio convesso quindi essa è
negativa come si può osservare in fig. 6: se si fa incidere sullo specchio
un fascio di raggi paralleli all'asse ottico, provenienti da un oggetto lontano, in F convergono i prolungamenti dei raggi riflessi, per cui tale punto
rappresenta l'immagine virtuale dell'oggetto considerato.
Ritorniamo al problema della determinazione della pos1z1one
dell'immagine al variare di quella dell'oggetto. Nel caso dello specchio
concavo abbiamo già osservato che se l'oggetto si trova all'infinito
l'immagine si forma nel fuoco, se si trova nel centro ottico l'immagine si
forma ancora nel centro, se si trova nel fuoco l'immagine si forma
all'infinito. Pertanto possiamo affermare che:
spostando l'oggetto dall'infinito al centro di curvatura C dello specchio ( R ::; o < 00 ) l'immagine, che è sempre reale, si sposta dal fuoco
al centro di curvatura ( / ::; i::; R );
spostando l'oggetto dal centro di curvatura C dello specchio al fuoco
(/::;o::; R) l'immagine, che è ancora reale, si sposta da C all'infinito
( R::; i< oo );
683
VI.3.2. - SPECCHIO SFERICO
spostando l'oggetto dal fuoco al vertice ( / :=:;; o :=:;; R ) l'immagine diventa virtuale e quindi la sua distanza da V, che in base alle convenzioni adottate è negativa, varia tra - 00 :=:;; i :=:;; O .
Nel caso dello specchio convesso spostando l'oggetto tra l'infinito ed il
vertice ( O:=:;; o :=:;; 00 ) l'immagine è sempre virtuale e si trova tra il fuoco ed
il vertice ( -IRl/2 = f :=:;;i:=:;; O).
Osserviamo infine che, poiché i raggi incidenti e riflessi si propagano nello
stesso mezzo lungo direzioni fissate dalle leggi della riflessione (0i = 0r),
l'equazione (VI.3.2.) non dipende dall'indice di rifrazione di questo:
l'immagine di una sorgente ad esempio di luce bianca osservata su uno
schermo opaco è ancora bianca, in quanto i raggi corrispondenti alle diverse lunghezze d'onda che si propagano in una stessa direzione vengono riflessi lungo una stessa direzione e convergono tutti nello stesso punto. Pertanto gli specchi non presentano l'aberrazione cromatica, che invece generalmente è presente nel caso di superfici rifrangenti.
Vl.3.2.1. - Oggetti estesi. Costruzione grafica
delle immagini
Finora abbiamo considerato solo oggetti puntiformi, posti sull'asse ottico
dello specchio sferico. Se si considera un oggetto puntiforme O fuori
dall'asse, sulla base delle considerazioni precedenti è evidente che la sua
immagine si formerà sulla retta che congiunge O con il centro di curvatura
C, in quanto tale retta si comporta da asse ottico per l'oggetto considerato.
Per punti che si trovano a piccola distanza dall'asse principale (retta
CV), lo specchio continua a comportarsi come uno strumento stigmatico, per cui vale ancora la relazione (VI.3.2.). Pertanto nel caso
di un oggetto di piccole dimensioni normale all'asse ottico, come la
freccia OP di fig. 7, poiché esso può essere considerato come un insieme di oggetti puntiformi, le corrispondenti immagini con buona
o
approssimazione formano ancora un segmento ortogonale all'asse
(IP'), la cui posizione è determinata dalla relazione (VI.3.2.). Se ini+------· o vece l'oggetto ha dimensioni trasversali non trascurabili,
l'approssimazione precedente cessa di valere e si ha una aberrazione
detta curvatura di campo. Possiamo pertanto affermare che in priFig. 7
ma approssimazione uno specchio sferico fornisce di un oggetto di
piccole dimensioni normale all'asse una immagine ancora normale
all'asse: entro tali limiti esso è uno strumento aplanatico. In tal caso per
trovare l'immagine dell'oggetto OP basta determinare la posizione del punto P' immagine di P e tracciare la normale per P' all'asse ottico. Detto I il
punto di intersezione, la freccia IP' rappresenta l'immagine di OP. La posizione del punto P' si ottiene dall'intersezione di due raggi qualsiasi provenienti da P e riflessi dallo specchio. Nella costruzione grafica, si utilizzano
due dei seguenti raggi principali, riportati in fig. 7:
il raggio PQ parallelo ali' asse ottico dopo la riflessione passa per il fuoco;
- il raggio PF passante per il fuoco, che viene riflesso parallelamente
all'asse ottico;
- il raggio PC passante per il centro di curvatura, che viene riflesso su se
stesso;
1
Vl.3. - STRUMENTI OTTICI
684
P'
Fig. 8
il raggio PV incidente nel vertice che viene riflesso lungo la direzione
VP' che forma con l'asse ottico un angolo uguale a quello di incidenza.
In fig. 7, 8 e 9 sono riportati tre esempi di costruzioni grafiche.
In fig. 7 l'oggetto è posto di fronte ad uno specchio concavo ad una
distanza maggiore della distanza focale (o>f); l'immagine è reale,
capovolta e rimpicciolita.
In fig. 8 l'oggetto è posto ancora di fronte ad uno specchio concavo
ma ad una distanza minore della distanza focale (o<f); l'immagine è
virtuale, diritta ed ingrandita.
In fig. 9 l'oggetto è posto di fronte ad uno specchio convesso:
l'immagine è virtuale, diritta e rimpicciolita.
L'immagine di un oggetto esteso in direzione normale all'asse ottico,
come mostrano gli esempi precedenti, ha in generale dimensione diversa
da quella dell'oggetto. Indicate con y ed y' le dimensioni rispettivamente
dell'oggetto e dell'immagine, si definisce ingrandimento trasversale o
laterale il rapporto
y'
I
F',
e
m=y
Anche y ed y' hanno un prorio segno fissato da una convenzione: noi li
considereremo positivi se i corrispondenti segmenti si trovano al di sopra
dell'asse ottico, negativi se al di sotto. Pertanto se m è positivo
l'immagine è diritta, se m è negativo l'immagine è capovolta rispetto
all'oggetto.
Per valutare l'ingrandimento si può utilizzare uno dei quattro raggi
principali. In generale si utilizza quello incidente nel vertice. Con
riferimento ai triangoli rettangoli OPV e IVP' di fig. 10 e ricordando la
convenzione sui segni risulta
Fig. 9
y =OP =o tg8i
t
i-4---i-
·---- o----
V
.
-+i
y'=-IP'=-i tg8r
da cui, essendo 8 i = 8 r , si ha
y'
Fig. 10
: 'r+- z.f :.
!
!-----· o---- ~
,+-:-
1----
x---'-+!
Fig. 11
i
m=-=-y
o
La relazione precedente vale in tutte le situazioni, quali quelle illustrate
nelle fig. 8 e 9 ed anche se si ha a che fare con oggetti virtuali, a patto di
sostituire ad i ed o i rispettivi valori con segno. In particolare deduciamo
dal segno di m che nel caso di oggetto reale l'immagine è capovolta se
reale, diritta se virtuale; il viceversa accade se l'oggetto è virtuale.
Scegliendo un altro raggio principale si trovano espressioni diverse
per l'ingrandimento. Considerando il raggio passante per il fuoco (fig.
11) si ha
y=OP=(o- J)tgo
y'= -IP'= -AA'= - f
tgo
Vl.3.2. -
685
SPECCHIO SFERICO
y'
f
f
m=-=---=-y
O-j
X
(Vl.3.4.)
dove abbiamo indicato con x la distanza dell'oggetto dal fuoco (x = OP).
Considerando il raggio parallelo all'asse ottico che viene riflesso per il
fuoco (fig.12) ed indicando con x' la distanza dell'immagine dal fuoco
(x'=IF), si ha
p
O!.~:.
y =OP=QQ'= f tg<p
'V
1-+----
y'=-IP=-(i- J)tg<p=-x'tg<p
y'
(i- f)
x'
y
f
f
m=-=----
i+--
o----
Fig. 12
(Vl.3.5)
Infine considerando il raggio che passa per il centro di curvatura dello
specchio (fig. 13), che viene riflesso su sé stesso, si ha
p
y =OP= (o-R)tga
V
y'= -IP =-(R -i)tga
y'
m- -y
(R-i)
(o-R)
(Vl.3.6.)
Poiché il problema presenta una simmetria cilindrica attorno all'asse
ottico, possiamo affermare che l'immagine di un piccolo disco, di raggio
y, avente il centro sull'asse e disposto ortogonalmente a questo è ancora
un disco ortogonale all'asse avente raggio y'.
Consideriamo ora il caso in cui l'oggetto esteso si trovi nel fuoco (O= F)
ed eseguiamo la costruzione grafica (fig.14) dell'immagine utilizzando il
raggio PQ parallelo all'asse ottico, che viene riflesso nel fuoco, ed il
raggio per il centro di curvatura PC che viene riflesso su sé stesso. I due
raggi riflessi sono paralleli, in accordo col fatto che l'immagine di P in
questo caso si deve formare all'infinito e, quindi, un qualunque altro
raggio emesso da P, come PV, verrà riflesso ancora in una direzione
parallela a PC. Quanto detto per il punto P vale per un qualsiasi oggetto
puntiforme che si trovi sul piano 1t per F, perpendicolare all'asse ottico,
detto piano focale, purchè a piccola distanza dall'asse: i raggi provenienti
da un oggetto posto nel piano focale vengono riflessi lungo direzioni
parallele al raggio passante per il centro di curvatura. Poiché il percorso
dei raggi è invertibile si ha che l'immagine di un oggetto puntiforme
posto a distanza infinita fuori dall'asse si forma sul piano focale nel punto
di intersezione tra questo ed il raggio incidente passante per il centro di
curvatura. La situazione è illustrata in fig. 15.
Consideriamo infine il caso in cui l'oggetto si estende in direzione
parallela all'asse come la freccia OP mostrata in fig. 16. La freccia
immagine IP' si ottiene una volta determinate le posizioni dei punti I e P'
o per via analitica mediante l'equazione dello specchio o per via grafica.
Detta &' e & la lunghezza rispettivamente della immagine e
dell'oggetto, si definisce ingrandimento longitudinale il rapporto
Fig. 13
Fig. 14
Fig. 15
686
VI.3. - STRUMENTI OTTICI
Lix'
me=-=
LÌX
i2
-il
o 2 -o 1
Sostituendo nella relazione precedente ad i 1 e ad i2 le corrispondenti
espressioni ottenute mediante la (VI.3.2.) si ha
m,_ =
i 2 -i1
o 2 -o1
Ro 2
Ro 1
2o -R
2o -R
R 2 (o
-oz)
2
1
- ______
_..;..1 __ = -,(------,-x,-----,-x.,-----:-)
= -ml m2
o 2 -o1
2o 2 -R 2o1 -R o 2 -o1
in cui si è utilizzata l'espressione (VI.3.6.) dell'ingrandimento trasversale.
Se la lunghezza Lix dell'oggetto è piccola, risulta m 1 m 2 m e
l'ingrandimento longitudinale risulta dato da
= =
Fig. 16
(VI.3.7.)
Sempre nell'ipotesi di oggetti di piccola dimensione è possibile ottenere
la (VI.3.7.) partendo dall'equazione di Newton dello specchio in cui le
posizioni dell'oggetto e dell'immagine vengono riferite al fuoco invece
che al vertice. Tale equazione si deriva facilmente dalle espressioni
(VI.3.4.) e (VI.3.5.) dell'ingrandimento trasversale: infatti dalla relazione
f
x'
m=--=-x
f
si ha che
xx'= /2
che è l'equazione di Newton dello specchio sferico. Da questa si ricava
che x'= (/ 2 /x), da cui differenziando si ha
Lix'
/
LÌX
X
2
me = - = - - 2 =-m
2
Il segno negativo indica che mentre l'oggetto punta verso lo specchio,
l'immagine punta in direzione opposta.
Inoltre la relazione precedente mostra che l'ingandimento longitudinale è
diverso da quello trasversale e pertanto l'immagine di un cubo avente
spigoli di piccole dimensioni è un parallelepipedo, salvo che nel caso in
cui l'oggetto sia posto nel centro di curvatura dello specchio: in questa
situazione infatti risulta m =1 e, quindi, anche mt =1.
I I
I I
Vl.3.2.2. - Specchio piano
Lo specchio piano è quello che ci è più familiare. La sua equazione può essere dedotta da quella dello specchio sferico come caso limite per R➔00
1
1
-+-=O
o i
⇒
i=-o
(VI.3.8.)
L'immagine di un oggetto reale ottenuta con uno specchio piano è sempre
virtuale e posta simmetricamente allo specchio.
VI.3.2.2.
SPECCHIO PIANO
687
La relazione (VI.3.8.) può essere dedotta direttamente. Infatti, con riferimento alla fig. 17 consideriamo il raggio OV che incide in direzione ortogonale allo specchio e quello OQ che incide con un qualsiasi angolo 0i. I
loro prolungamenti si intersecano in I. Ricordando che 0i=0n i due triangoli
rettangoli OVQ ed IVQ sono uguali e quindi il punto I è disposto simmetricamente ad O dietro lo specchio. Poiché la posizione di I non dipende
dall'angolo 0i, qualunque altro raggio emesso da O verrà riflesso in modo
che il suo prolungamento passi per I, che è quindi l'immagine virtuale di O.
Osserviamo che nel caso dello specchio piano non è richiesta l'ipotesi di
parassialità come nel caso di quello sferico; esso è l'unico strumento privo
di aberrazione sferica (si dice che è uno strumento stigmatico).
Inoltre nel caso di oggetti estesi in direzione parallela allo specchio,
l'immagine risulta sempre virtuale diritta e di dimensione uguale a quella
dell'oggetto, qualunque sia la sua estensione: infatti l'ingrandimento trasversale è uguale ad 1
y'
Fig. 17
i
I
m=-=--=I
y
o
I
: t' P'
I
v
Nel caso di oggetti estesi in direzione normale allo specchio, l'immagine,
sempre virtuale, è di uguale dimensione ma la sua direzione è
opposta a quella dell'oggetto (fig.18): infatti l'ingrandimento
longitudinale è sempre pari a
Fig. 18
mt =-m 2 =-1
Da questo segue che dei tre assi di una terna destrorsa OXYZ,
lo specchio inverte la direzione solo di uno di essi (in fig. 19
solo la direzione di X' è opposta a quella dell'asse X) e la
trasforma in una terna sisnistrorsa: uno specchio quindi
scambia la destra con la sinistra ma non l'alto con il basso.
Possiamo concludere affermando che l'immagine fornita da uno
specchio piano, detta spesso immagine speculare, è priva di distorsioni e, come tutti gli specchi, di aberrazione cromatica (il
X
colore dell'immagine è uguale a quello dell'oggetto).
Facciamo ancora alcune osservazioni. Come abbiamo già detto
per poter vedere un oggetto è necessario che un fascio di raggi
proveniente da questo penetri nella pupilla
dell'occhio. A causa del piccolo diametro di questa,
la visione di un oggetto è legata solo al sottile fascio
che penetra nell'occhio. Questo fa sì che per vedere
l'immagine prodotta da uno specchio piano si utilizzi solo una piccola porzione di questo, come è mostrato in fig. 20 in cui i raggi che penetrano
nell'occhio dell'osservatore sono stati riflessi dalla
regione compresa tra Q e Q'. Se si guarda da un'altra
angolazione ovviamente si utilizza una porzione diversa dello specchio. Per questo motivo anche uno
specchio di dimensioni ridotte posto non necessariamente al di sotto si O consente all'osservatore di
Fig. 20
vedere l'immagine I, come è mostrato in fig. 21: I si
...•·······················
.
y
Fig. 19
I
I
I
I
I
I
-vr---q~ J;'"'~, -----1
I
I
1
,
, 1,
I
I
,' I
I
1;'
1.!l
Fig. 21
Vl.3. - STRUMENTI OTTICI
688
trova sulla normale da O al piano che contiene lo specchio (questo non viene intersecato dalla normale OV) in posizione simmetrica ad O.
Gli specchi piani vengono sostituiti con quelli curvi se si ha necessità di ottenere immagini reali o immagini anche virtuali di dimensioni diverse da quelle dell'oggetto. Ad esempio lo specchio sferico concavo fornisce immagini
reali di oggetti posti tra l'infinito ed il fuoco; di oggetti posti tra il fuoco ed il
vertice fornisce una imma&ine virtuale, diritta ed ingrandita, che si trova ad
una distanza dal vertice i I>o: in questo caso il campo di visuale risulta ridotto rispetto ad uno specchio piano, e quindi vengono utilizzati (specchi di
ingrandimento) per osservare oggetti di piccole dimensioni. Invece gli specchi convessi forniscono immagini virtuali diritte e rimpicciolite, poste ad una
distanza dal vertice i o, cosa che aumenta il campo di visuale rispetto allo specchio piano: essi vengono ad esempio utilizzati negli specchi laterali
delle automobili o negli specchi stradali posti in luoghi di scarsa visibilità.
I
I I<
ESEMPIO Vl.3.1. - VISIONE DI OGGETTI ESTESI MEDIANTE
SPECCHI PIANI
................P'
Come abbianw già osservato, per poter i:edere un oggetto, anche esteso, guar-
I
dando in uno specchio piano, non è necessario che questo sia illimitato. Ve-
h :+ o..
e
ho
A
1M
1
1
't ...
h'
:t:....:t-----~···-*····"""
p ~--- do---~
Fig.22
Fig. 23
diamo, quindi, in un caso particolare come si fa a determinare le minima dimensione di uno specchio che consenta all'osservatore di vedere l'intero oggetto. Consideriamo il caso di un osservatore, posto di fronte ad uno specchio
piano a distanza do=3m da questo, che si trovi addossato ad una parete che
presenta una striscia verticale alta h=3m Supponiamo che i suoi occhi si trovino ad una altezza da terra pari a ho=l.7m, e determiniamo la minima altezza
Cdello specchio e la distanza del suo bordo inferiore A da terra (fig. 22), che
consenta all'osservatore di vedere l'intera striscia.
Successivamente supponiamo che la parte inferiore dello specchio
compresa tra A e C (L~.C= 0.5m), venga oscurata. Cosa deve fare
l'osservatore per poter vedere ancora l'intera striscia?
Sappiamo che uno specchio piano fornisce di un oggetto
un'immagine virtuale, di uguale dimensione dell'oggetto, posta
simmetricamente a questo (fig. 23). Affinché l'osservatore possa
O"
vedere l'intera immagine QQ' dell'oggetto PP', è necessario che
nei suoi occhi penetrino raggi riflessi dallo specchio provenienti
dagli estremi P e P' dell'oggetto. Quindi la minima lunghezza Cdello specchio che consente la visione dell'oggetto coincide con il
tratto AB di fig. 23. Per determinarne il valore cominciamo con
l'osservare che i triangoli 0B0' e 0Q'0" sono simili perché hanno
angoli uguali. Pertanto si ha
00'
d
0'B
- - = -0- = - 00" 2d 0 0"Q'
⇒
0"Q'
0'B=-2
Analogamente mediante i triangoli 0A0' e 0Q0" si ricava che
00'
d
0'A
- - = - 0- = - 00" 2d 0 0"Q
⇒
0'A= O"Q
2
VI.3.2.2. - SPECCHIO PIANO
689
Sommando membro a membro si ha
O'B+O'A=R = O"Q' + O"Q =È_=l.5m
2
2
2
La distanza ho del bordo inferiore A dello specchio da terra si ricava immediatamente dalla similitudine dei triangoli OQP e AQA'
A'Q d
AA'
--=-0-=-PQ 2d 0
OP
⇒
AA'=h'= OP =~=0.85m
2
2
Dopo aver oscurato in parte lo specchio, essendosi ridotta la parte che consente la visione degli oggetti, l'osservatore per poter vedere l'intera striscia
PP' è costretto ad avvicinarsi allo specchio (fig. 24). Per detenninare la
nuova distanza d O dell'osservatore dallo specchio utilizziamo la similitudiP'
Q'
ne tra i triangoli CA'Q e O A " Q . _ •········· •·---·················································,·
,,
A'Q
A"Q
------
A'C
A"O
B
⇒
d' 0 =0.78m
~
~ • -------- :-léJ'' ------: r:o
1 1 1
-+-=o i f
stabilisce un legame tra le posizioni dell'oggetto, dell'immagine e del fuoco
rispetto al vertice. Pertanto, assegnate due di queste, è possibile detenninare la terza. Si voglia ad esempio detenninare nei 4 casi seguenti la distanza
focale sapendo che ad un oggetto, alto h=lOcm, posto nonnalmente all'asse
ottico ad lm da esso, corrisponde un 'immagine
a) virtuale posta a 3m dallo specchio;
b) virtuale posta a 0.28m dallo specchio;
e) reale e di dimensione doppia rispetto a quella del!'oggetto;
d) dire cosa cambia nel caso in cui lo spazio tra l'oggetto e lo specchio sia
riempito di acqua (n=l.33).
Dal!'equazione dello specchio sferico si ha che
f
',,',,,
A"l A'
'
:t: 'L··""-----'-"-;...-,..
p
-..Ìd'a~--- do ---~Q
I
Abbiamo visto che l'equazione dello specchio sferico
I
Fig. 24
P'
I
Fig. 25
=-!!-i+o
i
dove o ed i vanno sostituiti con il loro segno. Nei primi tre casi l'oggetto è
sempre reale e, quindi, o è sempre positivo, mentre per quanto riguarda il
valore di i, questo è negativo nei primi due casi in quanto l'immagine è virtuale, mentre è positivo nel terzo in cui l'immagine è reale. Sostituendo i
valori numerici si ha relativamente ai primi 2 casi
la= 1.5m, ./b=-0.39m
O'
e',,
I
ESEMPIO Vl.3.2. -PROPRIETÀ DEGLI SPECCHI SFERICI
,,,,,""
.,4"
Fig. 26
VI.3. - STRUMENTI OTTICI
690
Nel primo caso, la distanza focale risulta positiva indicando che lo specchio utilizzato è concavo, mentre nel secondo, essendo negativa, possiamo
dire che lo specchio utilizzato è convesso.
Nella terza situazione, è necessario determinare dapprima la posizione
dell'immagine dal valore dell'ingrandimento trasversale
y'
2y i
m=-=----
y
y
o
⇒
i= 2o = 2m
e successivamente la distanza focale che risulta pari a fc = 0.66m; si tratta
di uno specchio concavo.
E' molto semplice eseguire la costruzione grafica utilizzando due dei tre
raggi principali; in fig. 25, 26, 27 sono schematizzate le 3 situazioni.
Ricordiamo che l'equazione dello specchio sferico non varia se questo è
posto in un mezzo avente indice di rifrazione n; di conseguenza, non variano i valori delle distanze focali relative ai vari casi considerati se l'intero
sistema si trova in acqua.
Fig. 27
VI .3.3. - Diottro sferico
Fig. 28
Per diottro sferico si intende una superficie sferica o una parte di questa
(calotta sferica) che separa due mezzi diversi trasparenti, omogenei ed
isotropi. Ad esempio si può considerare un blocco di vetro posto in aria e
delimitato ad una estremità da una superficie sferica come è illustrato in
fig. 28. Siano n 1 ed n 2 gli indici di rifrazione dei due mezzi, R il raggio
della superficie di separazione, C il centro di curvatura di questa e V il
vertice della calotta; la retta CV è detta asse ottico o asse principale del
diottro.
Consideriamo un oggetto puntiforme O posto sull'asse ottico a distanza o
dal vertice (o = OV); vediamo se è possibile ottenere per rifrazione una
immagine di O ancora puntiforme. Poiché per definizione l'immagine (se
esiste) è il punto di intersezione dei raggi emessi da O
che sono stati rifratti dal diottro, consideriamo, come abbiamo già fatto nel caso dello specchio, due raggi: il
primo, OV, lungo l'asse ottico, nella rifrazione non viene
deviato in quanto, essendo nullo l'angolo di incidenza,
risulta tale anche quello di rifrazione in accordo alla legge di Snell; il secondo, OP, viene rifratto 3 in accordo alla
legge della rifrazione (n 1 sin0i = n 2 sin0r•) ed interseca in I
i
il raggio rifratto in V. Vediamo se I rappresenta
l'immagine di O, cioè se un qualunque altro raggio uscente da O dopo essere stato rifratto dal diottro passa
ancora per I. A tale scopo consideriamo i triangoli OPC e
IPC ed indichiamo con a, ~ e y gli angoli che formano
con l'asse ottico rispettivamente il raggio incidente, il segmento CP ed il
raggio rifratto in P. Ricordando che nei triangoli un angolo esterno è uguale alla somma degli angoli interni ad esso non adiacenti, si ha
3. La situazione mostrata in fig. 28 è relativa al caso in cui n 1 <n2, per cui l'angolo di rifrazione è minore di quello di incidenza in accordo alla legge di Snell.
Vl.3.3. - DIOTTRO SFERICO
691
ei =B+a
B=y+er.
(VI.3.9.)
A questo punto facciamo l'ipotesi che il punto P sia stato scelto in modo
tale che gli angoli a, ~ e y siano sufficientemente piccoli da permettere
l'approssimazione del seno o della tangente con l'angolo stesso (cioè ad
esempio sina = tga = a). In altre parole utilizzando ancora una volta opportuni diaframmi si fanno incidere sul diottro solo raggi parassiali, cioè
raggi che risultano molto vicini all'asse principale e formano con questo
angoli piccoli. In questa ipotesi risultano piccoli anche l'angolo di incidenza 0i che il raggio OP forma con la normale PC ed il corrispondente
angolo di rifrazione 0r·, così che la legge di Snell può essere riscritta nella
forma
⇒
Sostituendo in una delle relazioni (VI.3.9.), si ottiene l'equazione
(VI.3.10.)
Con riferimento alla fig. 28, detto H il punto di intersezione con l'asse
ottico della normale per P a questo, nell'ipotesi che si considerino solo
raggi parassiali si può ritenere che esso coincida con V come nel caso
dello specchio sferico. Pertanto, indicati con i ed h rispettivamente la distanza di I dal vertice della calotta e la distanza di P dall'asse ottico
(i=VI, h=PH), possiamo porre
h
a:tga=-
o
e dalla (VI.3.10.) otteniamo la relazione
nl
n2
n2 - nl
-+-=--0
i
R
(VI.3.11.)
Questa mostra che la posizione del punto I rispetto al vertice V dipende
solo dalla posizione dell'oggetto, dal raggio di curvatura del diottro, dagli
indici di rifrazione dei due mezzi e non dalla direzione del particolare
raggio incidente OP considerato. Pertanto un qualunque altro raggio uscente da O, purché parassiale, viene rifratto in modo da passare per I
che, quindi, è l'immagine di O data dal diottro sferico.
La relazione (VI.3.11.) prende il nome di equazione di Cartesio del diottro
sferico e consente, come nel caso dello specchio sferico, di determinare la
posizione dell'immagine se sono noti il raggio di curvatura, la posizione
dell'oggetto e gli indici di rifrazione dei due mezzi. E' bene precisare ancora una volta che essa è valida solo per raggi parassiali: in caso contrario i
raggi che partono da un oggetto puntiforme posto sull'asse ottico, dopo es-
692
Fig. 29
Vl.3. - STRUMENTI OTTICI
sere stati rifratti dal diottro intersecano l'asse stesso nei punti di un segmento, dando luogo al fenomeno dell'aberrazione sferica, già vista per gli
specchi sferici ed il sistema viene detto astigmatico. L'uso di diaframmi
che limitano il cono entro cui si trovano i raggi incidenti sul diottro consente di ottenere una immagine puntiforme, anche se con una riduzione
dell'intensità luminosa, ma non consente di eliminare l'aberrazione cromatica, da cui invece erano esenti gli specchi. Nella rifrazione infatti la luce incidente e quella rifratta si propagano in mezzi aventi indici di rifrazione diversi. A causa della dipendenza di questi ultimi dalla lunghezza
d'onda della radiazione, nel caso di oggetti che emettono luce policroma, i
raggi corrispondenti alle diverse componenti cromatiche vengono deviati
secondo angoli diversi e, quindi, si intersecano sull'asse ottico in punti
immagine che non si sovrappongono perfettamente.
L'equazione (VI.3.11.) è valida anche se la superficie che separa i due
mezzi rivolge all'oggetto la propria concavità, purché si adottino delle
convenzioni sui segni delle tre variabili o, i ed R, come abbiamo fatto nel
caso dello specchio sferico. Quella che adotteremo anche quando avremo
a che fare con sistemi ottici complessi, stabilisce che:
rispetto alla direzione del raggio incidente sul diottro lungo l'asse ottico,
un oggetto reale O precede V e nella (VI.3.11.) o deve essere positivo;
viceversa un oggetto virtuale O segu~ V (infatti in O convergono solo i
prolungamenti dei raggi incidenti sul diottro) e nella (VI.3.11.) o si deve
considerare negativo;
rispetto alla direzione del raggio rifratto lungo l'asse ottico, l'immagine
reale I segue V (in I convergono i raggi rifratti) e nella (VI.3.11.) i deve
essere positivo (i> O); viceversa l'immagine virtuale I precede V (in I
convergono solo i prolungamenti dei raggi rifratti) e nella (VI.3.11.) i si
deve considerare negativo (i<O);
il raggio di curvatura R= VC è positivo per un diottro che appare convesso se visto dall'oggetto, negativo per uno concavo. Nel primo caso,
R>O, il centro di curvatura C segue V nella direzione del raggio rifratto,
nel secondo, R<O, lo precede.
Osserviamo che l'equazione del diottro fornisce, una volta che si sostituiscano ad o ed R i rispettivi valori con segno, il valore di i con il suo segno: in particolare se risulta i > O l'immagine è reale, se i< O virtuale.
E' facile verificare che sia il diottro concavo che quello convesso forniscono di un oggetto reale un'immagine che può essere sia reale che virtuale a seconda della posizione occupata dall'oggetto stesso sull'asse ottico e dei valori degli indici di rifrazione dei due mezzi.
Per studiare come varia la posizione dell'immagine anche nel caso di
superfici rifrangenti, è conveniente introdurre i fuochi. Questi sono
due e vengono così definiti: il primo punto focale è la posizione F 1 in
cui deve trovarsi un oggetto puntiforme sull'asse affinché la sua immagine si formi a distanza infinita, come è mostrato in fig. 29. In tal
caso i raggi rifratti sono paralleli all'asse ottico. La distanza .fì di F 1
dal vertice, detta prima distanza focale, si ottiene dalla (VI.3.11.)
ponendo i = oo
693
VI.3.3. - DIOTIRO SFERICO
⇒
Poiché il percorso dei raggi è invertibile, il primo punto focale può essere definito equivalentemente come il punto in cui si forma l'immagine di
un oggetto posto sull'asse ottico a distanza infinita nel secondo mezzo.
Questa seconda definizione è quella che verrà utilizzata anche in sistemi
ottici più complessi.
Il secondo punto focale è il punto in cui si forma l'immagine di
un oggetto posto sull'asse ottico a distanza infinita nel primo
mezzo. In tal caso i raggi parassiali che colpiscono il diottro sono
paralleli all'asse ottico e vengono rifratti nel fuoco F 2 come è mostrato in fig. 30. La distanza.lì di questo dal vertice, detta seconda
distanza focale, si ottiene dalla (Vl.3.11.) ponendo o = oo
⇒
n1
Fig. 30
Il segno di .fi ed / 2 dipende dal segno di R e da quello della differenza
(n 2-n 1). La quantità (n 2-n 1)/R prende il nome di potere diottrico: se essa è
positiva il sistema è detto convergente, se è negativa divergente. Infatti
nel primo caso la direzione dei raggi rifratti forma con l'asse ottii:;o un
angolo minore di quello formato dalla direzione dei raggi incidenti, il
contrario nel secondo caso.
Tenendo conto delle relazioni che definiscono le due distanze focali è
possibile riscrivere la (Vl.3.11.) nella forma gaussiana
n1R
+ n2R
(n 2 -n 1 )o (n 2 -n 1 )i
=1
⇒
Vl.3.3.1. - Oggetti estesi. Costruzione grafica
delle immagini
Consideriamo ancora il caso di un oggetto esteso in direzione normale
all'asse ottico, come la freccia OP di fig. 31; la situazione fisica presenta una
simmetria attorno all'asse ottico, non cambia cioè se il piano di figura ruota
attorno a questo. Come abbiamo già visto nel caso dello specchio sferico,
l'immagine di un oggetto puntiforme che si trovi fuori dall'asse si forma sulla retta che congiunge l'oggetto con il centro di curvatura del diottro. Se la
distanza dell'oggetto dall'asse principale è piccola, la posizione
dell'immagine può essere ancora determinata mediante la relazione
(Vl.3 .11.) in quanto il diottro si comporta come uno strumento stigmatico. Di
conseguenza se la freccia OP è di piccole dimensioni, le immagini dei vari
punti in cui possiamo suddividerla formano un segmento perpendicolare all'asse (IP'). Entro tali limiti il
p
diottro è uno strumento aplanatico. Se invece
~::=:::==-~---tfa--.
l' oggetto ha dimensioni trasversali non trascurabili, - .L....._ __:::::::::....,,,.._ _-F==...,..~,,,......:;.=====..;.;,~__;__;_-,-_
0
l'approssimazione precedente non vale più ed ha luogo una aberrazione, detta ancora curvatura di campo.
E' possibile trovare graficamente l'immagine
Fig. 31
dell'oggetto OP: basta infatti determinare la posi-
VI.3. - STRUMENTI OTTICI
694
Fig.32
Fig. 33
zione del punto P' immagine di P e tracciare la normale per P' all'asse ottico. Detto I il punto di intersezione, la freccia IP' rappresenta l'immagine
di OP. La posizione del punto P' si ottiene dall'intersezione di due qualsiasi raggi provenienti da P e rifratti dal diottro. Solitamente si utilizzano
due dei seguenti raggi principali, riportati in fig. 31:
- il raggio PQ parallelo all'asse ottico, che dopo la rifrazione passa
per il secondo fuoco F2;
- il raggio PF1 passante per il primo fuoco, che viene rifratto parallelamente all'asse ottico;
- il raggio PC passante per il centro di curvatura, che non viene
deviato.
Nelle fig. 31, 32 e 33 sono riportati tre esempi di costruzioni
grafiche.
In fig. 31 l'oggetto è posto di fronte ad un diottro convesso ad
una distanza maggiore della prima distanza focale (o> fi); in
questo caso l'immagine è reale, capovolta e rimpicciolita.
In fig. 32 l'oggetto è posto ancora di fronte allo stesso diottro ma
ad una distanza minore della prima distanza focale (o < fi):
l'immagine è virtuale, diritta e ingrandita.In fig. 33 l'oggetto è
posto di fronte ad un diottro concavo. Le due distanze focali sono
negative per cui il secondo fuoco F 2 precede V nella direzione del
raggio rifratto lungo l'asse ottico, il primo fuoco F 1 segue V nella
direzione del raggio incidente lungo l'asse ottico: l'immagine è
virtuale, diritta e rimpicciolita.
L'immagine di un oggetto esteso in direzione normale all'asse
ottico, come mostrano gli esempi precedenti, ha in generale
dimensione diversa da quella dell'oggetto. Indicate con y ed y' le
dimensioni rispettivamente dell'oggetto e dell'immagine, si
definisce ancora ingrandimento trasversale o laterale il rapporto
m= y'/y
dove per il segno da attribuire ad y ed y' valgono ancora le stesse
convenzioni adottate per lo specchio sferico.
Per determinare l'ingrandimento possiamo considerare i triangoli OPV e
IP'V di fig. 34. Ricordando la convenzione sui segni risulta
y=OP=otg0i :::o0i
y' =-IP'= -i tg0 r'
=-i0 r'
da cui, tenendo conto della legge di Snell, n 10 i
y'
i0r'
Ì
n
1
m-----=--y
o0i
o n2
=n 20
r' ,
si ha
(VI.3.12.)
La relazione precedente vale in tutte le situazioni,
quali quelle illustrate nelle fig. 31, 32 e 33 ed
anche se si ha a che fare con oggetti virtuali, a
patto di sostituire ad i ed o i rispettivi valori con
segno. In particolare nel caso di oggetto reale
l'immagine è capovolta se reale, diritta se virtuale;
il viceversa accade se l'oggetto è virtuale. Altre
Vl.3.3. - DIOTTRO SFERICO
695
espressioni dell'ingrandimento si ottengono considerando il raggio passante
per il primo fuoco o il raggio rifratto per il secondo fuoco di fig. 34
(VI.3.13.)
Se conveniamo di indicare con x la distanza (o-fi) dell'oggetto dal primo
fuoco (x=OF1) e con x' quella dell'immagine dal secondo fuoco
(x'=F2 I=i-f2 ), l'ultima uguaglianza nella (VI.3.13.) si può riscrivere
nella forma
(VI.3.14.)
che è nota come equazione di Newton del diottro.
Consideriamo infine il caso in cui l'oggetto si
estenda in direzione parallela all'asse come la
freccia OP mostrata in fig 35. La freccia
immagine IP' si ottiene una volta determinate le
posizioni dei punti I e P' o per via analitica
mediante l'equazione del diottro o per via
grafica (fig. 35). Detta Ax' e Ax la lunghezza
rispettivamente della immagine e dell'oggetto,
si definisce ingrandimento longitudinale il
rapporto
tiJ;,:,_-_-~
~-+-?+----'◄--~---- o I
f1f2
f2
2
f2
. ' '
:+----Xz---+:
,..,..
__ ..,I
------+1"4-------- !J. ________
'
i t:i.x'
J. - - - - - - - - - - i2 - - - - - - - - - .1
Fig. 35
Se la lunghezza Ax dell'oggetto, e quindi anche quella Ax' dell'immagine,
è piccola, riscrivendo la (VI.3.14.) nella forma x'= f 1f 2 Ix e
differenziandola si ha
Lix'
:
Oz -----+!
2 n2
me = - = - - - = m - = - m -=-m 2
.LÌX
x
X
f1
nl
L'ingrandimento longitudinale è diverso da quello trasversale; il segno
negativo indica che se ad esempio l'oggetto punta verso il diottro (verso
valori della coordinata x decrescenti) come nella situazione illustrata in
fig. 35, l'immagine punta verso valori dix' crescenti.
Le superfici sferiche giocano un ruolo importante in ottica non solo perchè,
come abbiamo visto, la loro teoria è abbastanza semplice ma soprattutto
perchè sono facilmente realizzabili. Le aberrazioni generalmente presenti con
tali superfici vengono compensate negli strumenti ottici di tipo commerciale
ricorrendo a diverse superfici sferiche. Solo nella realizzazione di strumenti
di precisione, quali quelli utilizzati in ambito scientifico, per ridurre al
massimo le aberrazioni si fa ricorso a superfici asferiche.
VI.3. - STRUMENTI OTTICI
696
Vl.3.3.2. - Diottro piano
Il diottro piano può essere considerato come il caso limite di quello sferico per R ➔ 00 e quindi la sua equazione, dalla (VI.3.11.), risulta pari a
⇒
L'immagine di un oggetto puntiforme reale posto a distanza o da una
superficie rifrangente piana ed ottenuta considerando solo raggi parassiali
(cioè raggi che incidono quasi in direzione normale alla superficie) è
sempre virtuale.
La situazione ci è familiare: è infatti quella che si verifica quando si
guarda un oggetto posto ad esempio sul fondo di una piscina. Il diametro
molto piccolo della pupilla dell'occhio limita il cono dei raggi rifratti che
penetra in questo e che quindi dà luogo alla visione dell'oggetto. E' facile
verificare che l'oggetto appare sempre più nitido man mano che la
direzione di osservazione viene a coincidere con quella della normale alla
superficie libera dell'acqua. Infatti se l'osservatore è posto ad una
angolazione tale che i raggi che danno luogo alla visione dell'oggetto non
formano angoli piccoli con la normale, non è più possibile fare le
approssimazioni valide per raggi parassiali (la tangente dell'angolo non si
può sostituire con l'angolo) e quindi i !prolungamenti dei raggi rifratti non
si intersecano più in uno stesso punto: il diottro piano diventa uno
strumento astigmatico e l'oggetto appare sfocato.
Nel caso di oggetti estesi in direzione parallela alla superficie rifrangente,
l'immagine risulta sempre virtuale, diritta e di dimensione uguale a quella
dell'oggetto, qualunque sia la sua estensione: infatti l'ingrandimento trasversale è uguale ad uno
Per quanto riguarda l'ingrandimento longitudinale esso risulta pari a
2 n2
n2
n1
nl
me=-m - = - Concludiamo osservando che la teoria sviluppata relativamente alla
formazione di immagini mediante superfici riflettenti e rifrangenti è una
teoria approssimata: essa infatti è nota come teoria al primo ordine o
gaussiana in quanto fu sviluppata da Gauss.
ESEMPIO
Vl.3.3. -VARIAZIONE DELLA PROFONDITÀ APPARENTE DI
UNA PISCINA CON L'ANGOLO DI OSSERVAZIONE
Consideriamo una piscina profonda h. Se questa è piena di acqua, il fondo
della piscina appare ad una profondità h' diversa da quella reale. h' è detta
profondità apparente della piscina e si può verificare facilmente che il suo
valore varia con l'angolo lungo cui guarda l'osservatore.
VI.3.4. - SISIBMI OTTICI. LENTI SOTI'ILI
697
A tale scopo consideriamo un oggetto puntiforme posto sul fondo di una piscina. Se l'osservatore guarda lungo la normale OV, alla formazione
dell'immagine I osservata contribuiscono solo raggi parassiali; la posizione di I si ottiene dalla relazione
-<l
ponendo o=h, n 1=n, n 2=1.
L'oggetto O e, quindi, il fondo della piscina appaiono ad una profondità
i=h'=- Ilz o=-2._h
n 1
Il
Se invece l'osservatore guarda l'oggetto lungo una direzione qualsiasi,
viene meno l'ipotesi di parassialità e la posizione del punto I viene a
dipendere dal!' angolo di incidenza 0i del particolare raggio considerato.
Quest'ultimo è a sua volta legato all'angolo 0r· lungo cui guarda
l'osservatore dalla legge di Snell (n sin0i = sin0r,)_ Pertanto con riferimento
alla fig. 36 risulta
Fig. 36
h'= VP =htg0i =h sin0i cos0r. =È_
tg0r'
tg0r'
sin0r' COS0i
Il
✓1-sin 2 0r.
✓1-sin 2 0r./n 2
La relazione precedente prova che la profondità apparente della piscina, h',
dipende dal!' angolo 0r• lungo cui guarda l'osservatore.
Vl.3.4. - Sistemi ottici. Lenti sottili
Siamo ora in grado di considerare sistemi ottici più complessi, in cui cioè
siano presenti più mezzi trasparenti caratterizzati da indici di rifrazione
differenti e delimitati da superfici sferiche4 • Come abbiamo già detto, in
generale considereremo dispositivi in cui i centri di curvatura delle varie
superfici si trovano su una stessa retta: questa rappresenta l'asse ottico
del sistema, che a sua volta viene detto sistema ottico centrato. Supporremo inoltre che, ricorrendo ad opportuni diaframmi, sul dispositivo incidano solo quei raggi che soddisfano il requisito di parassialità, che cioè
sono molto vicini all'asse ottico e formano con questo angoli piccoli. In
queste ipotesi, di un oggetto puntiforme il sistema fornisce una immagine
puntiforme reale o virtuale, in quanto una sequenza di sistemi stigmatici
fa corrispondere ad un fascio di raggi divergenti da un oggetto puntiforme
un fascio di raggi convergenti nel punto immagine. Per determinarne la
posizione, seguiremo il metodo che abbiamo già illustrato: determinata
l'immagine fornita dalla prima superficie, questa funge da oggetto per la
seconda e così via.
Il primo sistema ottico che studieremo è la lente semplice, che è un dispositivo in cui un pezzo di materiale trasparente (generalmente vetro) è
delimitato da due superfici sferiche; una di queste può anche essere piana.
4. Ricordiamo che le superfici piane possono essere considerate come caso limite di quelle
sferiche per R➔oo.
Vl.3. - STRUMENTI OTTICI
698
Fig. 37
Detta R la distanza tra i vertici delle due superfici, se questa è piccola rispetto ai rispettivi raggi di curvatura la lente è detta sottile, in caso contrario spessa. Tutte le lenti di qualità sono composte in quanto formate da
più lenti semplici aventi lo stesso asse ottico.
In fig. 37 è mostrata una lente spessa di indice di rifrazione n2 delimitata
dalle calotte sferiche, aventi vertici V 1 e V 2 , centri C 1 e C2 e raggi di curvatura R 1 ed R2 rispettivamente. Questi ultimi vanno considerati positivi
o negativi a seconda che, in accordo alle convenzioni fissate, le superfici
siano convesse o concave rispetto alla direzione della luce incidente.
L'asse ottico è rappresentato dalla retta passante
per C 1 e C2 • Per semplicità si è assunto che il
mezzo a sinistra ed a destra della lente sia lo stesso ed abbia indice di rifrazione n 1• In fig. 37 sono
anche tracciati, nell'ipotesi che n 1 sia minore di
n 2 (ad esempio la lente sia di vetro e sia immersa
in aria), i percorsi di due raggi provenienti da un
oggetto puntiforme O posto sull'asse ottico a distanza o 1 dal vertice V 1• Il primo raggio si propaga lungo l'asse ottico e, quindi, nella rifrazione
da entrambe le superfici non viene deviato; il secondo subisce una prima deviazione in P in accordo alla legge di Snell ed
intersecherebbe, in assenza del secondo diottro, l'asse ottico nel punto 11•
Questo è quindi l'immagine di O fornita dal primo diottro. In realtà il
raggio rifratto in P subisce una seconda rifrazione nel punto P' del secondo diottro e va ad intersecare il raggio che si propaga lungo l'asse ottico
in I. Per il secondo diottro quindi 11 funge da oggetto virtuale; la sua immagine I è l'immagine finale fornita dalla lente. Determiniamone la posizione utilizzando le equazioni relative ai due diottri, nell'ipotesi che vengano considerati esclusivamente raggi parassiali
1
(VI.3.15.)
nz
nl
nl - nz
Oz
Ìz
Rz
-+-=---
(VI.3.16.)
Ricordiamo che nelle relazioni precedenti le distanze dell'oggetto e
dell'immagine sono valutate rispetto al vertice del diottro in esame ed inoltre queste, come pure i raggi di curvatura, possono essere sia positive
che negative in accordo alle convenzioni stabilite. Tenendo conto che
02
= R-il
dove R è lo spessore della lente, il sistema delle due equazioni precedenti
consente di determinare la posizione dell'immagine, nota quella
dell'oggetto.
Se la lente è sottile, lo spessore R della lente può essere considerato nullo,
così che l'equazione (VI.3.16.) relativa al secondo diottro diventa
Ilz
Il1
nz - Il1
l1
Ìz
Rz
--+-=----
(VI.3.17.)
VI.3.4. -
699
SIS1EMI OTTICI. LENTI SOTTILI
Sommando membro a membro le (Vl.3.15.) e (Vl.3.17.) si ottiene la
relazione
(Vl.3.18.)
Infine, poiché nell'ipotesi di lente sottile i vertici dei due diottri vengono
praticamente a coincidere con il centro C della lente, risulta conveniente
misurare la distanza dell'oggetto e dell'immagine da C. Indicandole rispettivamente con o ed i (fig. 38), possiamo riscrivere la (Vl.3.18.) nella
forma comunemente nota come equazione delle lenti sottili
Fig. 38
(Vl.3.19.)
Il centro C della lente è un punto che gode di una importante proprietà
che utilizzeremo spesso nel seguito, come ad esempio nella costruzione
grafica degli oggetti estesi: ogni raggio che è rifratto dalla prima superficie in modo da passare per C, dopo essere stato ancora rifratto dal secondo diottro emerge in direzione parallela a quella incidente. L'esistenza di
un punto che goda di questa proprietà può essere dimostrata sulla base
della teoria dei sistemi ottici centrati.
'
Nelle lenti sottili lo spessore è sufficientemente piccolo da permettere di
considerare in luogo delle due deviazioni che si hanno in corrispondenza
delle superfici che delimitano la lente, una sola deviazione totale che si
assume avvenga in corrispondenza dei punti del piano ortogonale all'asse
ottico e passante per il centro della lente, detto piano principale. In tale
ipotesi se un raggio passa proprio per il centro della lente sottile non viene deviato: l'effettivo percorso P 1PP'P'i viene sostituito col percorso rettilineo tratteggiato in fig. 39.
Per studiare come varia la posizione dell'immagine al variare di quella
dell'oggetto introduciamo anche per la lente sottile i due fuochi. Il primo
fuoco è il punto F 1 in cui deve trovarsi l'oggetto affinché l'immagine si
formi all'infinito (i= 00) : in tal caso i raggi emergono dalla lente parallelamente all'asse ottico (fig. 40). Possiamo affermare che quando la sorgente puntiforme si trova nel fuoco della lente, la porzione di fronte
d'onda sferico che la investe viene trasformato in un fronte d'onda piano.
Per l'invertibilità dei raggi il primo fuoco è anche il punto in cui converge un fascio di raggi paralleli che incida sulla lente da destra.
Il secondo fuoco è il punto F 2 in cui converge un fascio di raggi paralleli
all'asse ottico (fig.41), provenienti da un oggetto posto all'infinito (0= 00).
In questa situazione il fronte d'onda piano incidente sulla lente è trasformato in un fronte d'onda sferico convergente in F 2• Le due distanze focalif1 ed
fz si ottengono dall'equazione delle lenti sottili ponendo o= oo ed i= 00 rispettivamente; poiché da entrambe le parti della lente abbiamo assunto che
sia presente lo stesso mezzo, queste risultano uguali fra loro e pari a
_!_ = (n 2 -n 1
f
nl
)(_1 __1)
RJ
'I
C2
p
.,
·. i
i
Fig. 39
Fig. 40
' ' '
t
I
I
I
(VI.3.20.)
R2
La (Vl.3.20.) è nota come equazione degli ottici.
Fig. 41
,
VI.3. - STRUMENTI OTTICI
700
Mediante la distanza focale l'equazione delle lenti sottili può essere riscritta nella forma (detta gaussiana)
1
1
1
-+-=o i f
i
I
'
.é::n
:p~1
l ,,
·F2,,:
•....
'
'
I
f
!
.,.:: I
'
'
I
I
.
•
~
Fig. 42
I
(VI.3.21.)
La quantità D =1/f è detta potere diottrico della lente e, se f è espressa
in metri, si misura in diottrie.
Dalla (VI.3.20.) segue chef può essere sia positiva che negativa; nel primo caso la lente è detta convergente, nel secondo divergente. In fig. 40 e
41 è rappresentata una lente convergente biconvessa e sono evidenziati i
due fuochi come rispettivamente punto in cui mettere l'oggetto per avere
l'immagine all'infinito e punto in cui convergono raggi paralleli all'asse
ottico. In fig. 42 è invece riportata una lente divergente biconcava con i
fuochi che occupano posizioni che, relativamente alla lente, risultano
scambiate rispetto a quelle dei fuochi di una lente convergente, come
conseguenza del fatto che la distanza focale è negativa. In particolare si
osserva che un fascio di raggi paralleli ali' asse ottico viene rifratto dalla
lente in un fascio divergente da questa: sono i prolungamenti dei raggi
rifratti ad intersecarsi in F2, che pertanto è l'immagine virtuale
dell'oggetto posto all'infinito sull'asse ottico. In realtà si può dedurre facilmente dalla (VI.3.21.) che una lente dìvergente fornisce di un oggetto
reale un'immagine che è sempre virtuale; invece una lente convergente
fornisce di un oggetto reale un'immagine reale o virtuale a seconda che
l'oggetto si trovi a distanza maggiore o minore della distanza focale. In
particolare se o = 2f risulta i= 2f : l'immagine si forma in posizione simmetrica a quella dell'oggetto.
Osserviamo infine che il segno di/ dipende sia da quello dei raggi di curvatura che dalla differenza (n2 - ni) tra gli indici di rifrazione della lente e
del mezzo in cui essa è immersa, come si deduce dalla (VI.3.20.). Nelle
fig. 40, 41 e 42 si è supposto che la lente si trovi in aria così che la differenza (n2 - n 1) risulta positiva. La distanza focale della lente di fig. 41 è
positiva in quanto, secondo le convenzioni fissate, R 1 è positivo mentre
R2 è negativo
Invece nel caso della lente di fig. 42, R 1 risulta negativo ed R2 positivo
così che si ha
Fig. 43
Le stesse lenti, se vengono immerse in un mezzo avente indice di rifrazione minore di quello della lente (n 1 > n2 ), diventano rispettivamente divergente e convergente.
In fig. 43 sono riportate, come esempi, una lente piano-convessa ed una piano-concava che in aria risultano rispettivamente convergente e divergente.
In generale vale la seguente regola: se n 1< n2 , le lenti convergenti sono
Vl.3.4. - SIS1EMI OTI1CI. LENTI SOTIILI
701
più spesse al centro che al bordo, quelle divergenti più sottili al centro
che ai bordi. Il contrario accade se n 1 > n2•
ESEMPIO Vl.3.4.
-
DETERMINAZIONE DELLE DISTANZE FOCALI DI
UNA LENTE SOTTILE
Vediamo come si calcolano le distanze focali di una lente sottile di vetro
(n=I.5) nei seguenti casi:
a) lente biconvessa simmetrica (R1=R2=R=20cm) posta in aria;
b) lente biconvessa simmetrica (R1=R2=R=20cm) posta in un mezzo di indice di rifrazione n'=I.6;
c) lente biconcava (R1=30cm ed R2=20cm) posta in acqua (n'=l.33);
d) lente piano-convessa (R=20cm) in aria;
e) menisco convergente (R 1=20cm ed R2=30cm) posto in acqua (n'=l.33);
f) lente biconvessa simmetrica (R1=Ri==R=20cm) posta tra aria e
acqua.
Se da entrambe le parti di una lente sottile è presente lo stesso
mezzo, i due fuochi sono disposti simmetricamente (fi = f 2 = f) e la
loro distanza dalla lente si ottiene mediante la relazione
(VI.3.20.)
_!_= (n-n')(_l _ _
1
f
n'
R1 Rz
J
Fig. 44
Nel caso di una lente biconvessa, in base alle convenzioni fissate R 1 va preso
positivo, mentre R2 negativo. Pertanto nel caso a) e b) si ha rispettivamente
1 R
1
f = - - =-10=20cm
a
(n -1) 2 0.5
fb
n' R
1.6
) =-10=-160cm
n-n' 2 -0.1
=(
Nel caso a) la distanza focale risulta positiva e
quindi la lente è convergente: il fuoco F 1 si trova a sinistra della lente e in questo caso particolare coincide con Cz, F 2 a destra e coincide
con C 1 (fig. 44 ).
Quando la stessa lente viene posta nel mezzo di
indice di rifrazione n' > n (caso b, fig. 45), la distanza focale risulta negativa: la lente è divergente; il fuoco F1 si trova a destra della lente, F2 a sinistra. Per la lente biconcava (caso c, fig. 46), in
base alle convenzioni fissate R1 va preso negativo,
mentre R2 positivo. Pertanto nel caso c la distanza focale è pari a
fc =
n' ' (- R1R2 )=- l.3312=-93.88cm
R 2 +R 1
0.17
(n-n)
Fig. 45
Fig. 46
VI.3. - STRUMENTI OTTICI
702
Si tratta di una lente divergente: il fuoco F 1 si trova a destra della lente, F2
a sinistra.
Nel caso della lente piano-convessa (fig. 47a) si ha che R 1 = 00, mentre
R 2=R è negativo; la distanza focale risulta pari a
1
1
n-1
0.5
fd =-(-)R=-20=40cm
Fig. 47a
Fig. 47b
Ovviamente il valore della distanza focale non cambia se si invia luce sulla
supe,ficie curva anziché su quella piana. Infatti in tal caso (fig. 47b) risulta
R1 =Rpositivo, mentre R2 =
Nel caso del menisco convergente di fig. 48 immerso in acqua, il valore delle due distanze focali si ricava dalla relazione
00 •
⇒
fe
Fig. 48
=469.4cm
Consideriamo infine il caso in cui una lente biconvessa simmetrica viene
posta tra aria (n'=l) e acqua (n"= 1.33) come mostrato in fig.49. Determiniamo dapprima l'equazione della le,:ite combinando quelle relative ai due
diottri sferici
·
n' n n-n' n-n'
-+-=--=-01
il
R1
R
n n"
n
n" n"-n n-n"
-+-=-+-=--=-Oz
i2 -i1 i 2
R2
R
Fig. 49
Nelle relazioni precedenti, è stato posto R 1 =R ed R2 =-R in quanto, in base
alle convenzioni fissate, R 1 è positivo, mentre R2 è negativo; inoltre, ricordando che o 2 =f-i 1, poiché la lente è sottile (fi, :O) risulta o 2 =-i 1• Sommando membro a membro si ha
n' n" n-n' n-n"
-+-=--+-01
i2
R
R
⇒
n' n" 2n-n'-n"
-+-=---0
i
R
Ricordiamo che il fuoco F 1 è il punto in cui va posto l'oggetto affinché si
formi l'immagine all'infinito; pertanto si ha
n'
2n-n'-n"
⇒
n'R
f1 =----=29.85cm
2n-n'-n"
Il fuoco F2 è il punto in cui si forma l'immagine quando l'oggetto è posto
all'infinito; pertanto si ha
n"
2n -n'-n"
f2
R
⇒
n"R
f2 =----=39.70cm
2n -n'-n"
Come conseguenza del fatto che n':;t:n", le due distanze focali hanno valore
diverso.
VI.3.4. -
SISTEMI OTTICI.
LENTI SOITILI
703
Vl.3.4.1. - Oggetti estesi. Costruzione grafica
delle immagini
Consideriamo dapprima il caso di un oggetto esteso in direzione normale all'asse ottico, come la freccia OP di fig. 50 in cui
è mostrata una lente convergente in aria. La situazione fisica,
anche nel caso della lente sottile, presenta una simmetria attorno all'asse ottico, non cambia cioè se il piano di figura ruota
attorno a questo. Come abbiamo già fatto nel caso dello specchio e del diottro sferico, ci limiteremo a considerare oggetti di
dimensioni trasversali piccole in quanto entro tali limiti la lente
è uno strumento aplanatico.
E' possibile trovare graficamente l'immagine dell'oggetto OP: basta come sempre determinare la posizione del punto P' immagine di P e tracciare la normale per P' all'asse ottico. Detto I il punto di intersezione, la
freccia IP' rappresenta l'immagine di OP. La posizione del punto P' si ottiene dall'intersezione di due qualsiasi raggi provenienti da P e rifratti
dalla lente. Si utilizzano di solito due dei seguenti raggi principali, riportati in fig. 50:
il raggio PQ parallelo all'asse ottico, che dopo la rifrazione passa per il
secondo fuoco F2;
il raggio PF1 passante per il primo fuoco, che viene rifratto parallelamente all'asse ottico;
il raggio PC passante per il centro della lente, che non viene deviato.
Nelle fig. 50, 51 e 52 sono riportati tre esempi di costruzioni grafiche.
In fig. 50 l'oggetto è posto di fronte ad una lente convergente ad una
distanza maggiore della distanza focale (o> f ); l'immagine è reale e
capovolta.
In fig. 51 l'oggetto è posto ancora di fronte alla stessa lente ma ad una
distanza minore della distanza focale (o<f); l'immagine è virtuale, diritta
ed ingrandita.
In fig. 52 l'oggetto è posto di fronte ad una lente divergente; l'immagine
è virtuale diritta e rimpicciolita.
Se indichiamo ancora con y ed y' le dimensioni dell'oggetto e
dell'immagine, il cui segno è fissato con le solite convenzioni, si
definisce ingrandimento trasversale o laterale il rapporto
Fig. 50
Fig. 51
y'
m=y
L'espressione di m può essere ricavata utilizzando la corrispondente
espressione per il diottro sferico: infatti poiché la lente può essere
considerata come un sistema costituito da due diottri, il suo
ingrandimento è uguale al prodotto degli ingrandimenti forniti dai due
diottri in accordo alla relazione
y'
y' Y1
Y1 y'
m = - = - - = - - = m 1m 2
Y
Y1 Y
Y Y1
dove con y 1 abbiamo indicato la dimensione dell'immagine fornita dal
primo diottro che funge da oggetto per il secondo, e con m1 ed m2 gli
Fig. 52
Vl.3. - STRUMENTI OTTICI
704
ingrandimenti dei due diottri. Sostituendo a questi le rispettive
espressioni si trova che l'ingrandimento della lente sottile vale
i
m=--
(Vl.3.22.)
o
in cui con i 1 si è indicata la distanza dell'immagine dal primo diottro e
con o2 la distanza di questa dal secondo diottro; nel caso di lente sottile
risulta o2 = -i 1• A questo stesso risultato si perviene più semplicemente
utilizzando la costruzione grafica di fig. 50 considerando in particolare il
raggio per il centro della lente.
Utilizzando l'espressione dell'ingrandimento e l'equazione delle lenti
sottili, possiamo verificare che nel caso di lente convergente spostando
l'oggetto dall'infinito fino ad una distanza pari a 2/ dalla lente ( > o 2:: 2/),
l'immagine, che è sempre reale e capovolta, si forma tra/ e 2/ (f::;; i ::;; 2/) e
la sua dimensione cresce passando da quella di un punto (che si ha quando
l'oggetto è all'infinito), a quella dell'oggetto quando questo si trova a
distanza 2f Spostando ancora l'oggetto tra 2/ ed/ (2/ 2:: o 2:: f ), l'immagine,
ancora reale e capovolta, si forma tra il secondo fuoco e l'infinito (f::;; i <
e la sua dimensione diventa sempre più grande fino a divergere.
Consideriamo ora il caso in cui l'oggetto esteso si trovi nel primo fuoco
(O=F1) ed eseguiamo la costruzione grafica (fig. 53) dell'immagine
utilizzando il raggio PQ parallelo all'asse ottico, che viene rifratto in
modo da passare per il secondo fuoco, ed il raggio PC passante per il
centro che non viene deviato. I due raggi rifratti sono paralleli, in accordo
col fatto che l'immagine di P in questo caso si deve formare all'infinito;
pertanto un qualunque altro raggio emesso da P, come PQ', verrà rifratto
ancora in una direzione parallela a PC. Quanto detto per il punto P vale
per un qualsiasi oggetto puntiforme che si trovi sul piano 1t1 per F 1
perpendicolare all'asse ottico, detto primo piano focale, purchè a piccola
distanza dall'asse: i raggi provenienti da un oggetto O posto nel primo
piano focale (fig. 55) vengono rifratti lungo direzioni parallele al raggio
passante per il centro della lente così che i fronti d'onda relativi al fascio
che emerge da questa sono piani. Ricordando che il fronte d'onda è il
luogo dei punti raggiunti contemporaneamente dall'onda, possiamo
affermare che i tempi di percorrenza dei cammini che vanno dall'oggetto
O ad un fronte d'onda rifratto dalla lente, come S di fig. 54, sono uguali
fra loro. Tenendo conto della definizione di cammino ottico, segue che
anche i cammini ottici che vanno da O ai punti del fronte d'onda S sono
uguali fra loro.
Poiché il percorso dei raggi è invertibile si ha anche l'immagine di un
oggetto puntiforme posto a distanza infinita fuori dall'asse si forma sul
piano 1t2 per F 2 perpendicolarmente all'asse ottico, detto secondo piano
focale, nel punto di intersezione tra questo e il raggio incidente passante
per il centro della lente. La situazione è illustrata in fig. 55. Anche in
questo caso i cammini ottici percorsi dai raggi da un fronte d'onda
incidente (S' di fig. 55) al punto immagine I sono uguali fra loro.
00
00 )
Fig. 53
Fig. 54
S',
I
Fig. 55
705
VI.3.4. - SISTEMI OTTICI. LENTI SOTIILI
Per lo studio delle immagini di oggetti tridimensionali è utile
ricavare per l'ingrandimento trasversale altre due espressioni
considerando il raggio parallelo all'asse e quello passante per il
primo fuoco (fig. 56)
(i- l)tga
1 tga
l tg8
(o- l)tgò
io
m=--'----'--"'-=----'---
'
Come abbiamo già fatto nel caso del diottro e dello specchio, se
conveniamo di indicare con x la distanza dell'oggetto dal primo
fuoco (x=OF 1=o-1) e con x' quella dell'immagine dal secondo
fuoco (x'=F2I=i-l), la relazione precedente può essere riscritta
nella forma
x'
l
1
X
P"
~ - X - +i◄-_ __ '.
~- - X' - -~
:,... ____ o----+:
/ ~-----I----- ►::
Fig. 56
(VI.3.23.)
m=--=--
Da questa si ricava l'equazione di Newton delle lenti sottili
xx'= 12
(VI.3.24.)
che è considerata come l'espressione più semplice dell'equazione
delle lenti sottili. In essa le posizioni dell'oggetto e
dell'immagine vengono riferite rispettivamente al primo ed al secondo fuoco piuttosto che al centro della lente.
Dalla (VI.3.24.) si ottiene facilmente l'espressione dell'ingrandimento longitudinale. Consideriamo infatti il caso in cui
si abbia un oggetto che si estende in direzione parallela
all'asse come la freccia OP mostrata in fig. 57. La freccia
immagine IP' è stata ottenuta per via grafica. Detta &' e & la
lunghezza rispettivamente dell'immagine e dell'oggetto, si
definisce ingrandimento longitudinale o assiale il rapporto
&'
&
m =-
e
Se la lunghezza & dell'oggetto, e quindi anche quella dell'immagine,
sono sufficientemente piccole, differenziando la (VI.3.24.) si ha
da cui
&'
&
12
m =-=--=-m
e
x2
2
(VI.3.25.)
L'ingrandimento longitudinale è sempre negativo, in quanto se ad
esempio l'oggetto punta verso la lente e, quindi, verso valori della
coordinata x decrescenti, come nella situazione illustrata in fig. 57,
l'immagine punta verso valori crescenti dix'.
Dalla (VI.3.25.) si deduce inoltre che l'ingandimento longitudinale è in
generale diverso da quello trasversale e pertanto l'immagine di un cubo
avente spigoli di piccole dimensioni è un parallelepipedo, ad eccezione
Fig. 57
VI.3. - STRUMENTI OTTICI
706
del caso in cui l'oggetto sia posto a distanza pari a 2f dalla lente: in
questa situazione infatti risulta
m =I e, quindi, anche me =I.
L'immagine, anche in tale situazione è capovolta rispetto all'oggetto, per
cui non è una immagine speculare.
I I
I I
Vl.3.4.2. - Aberrazioni
La teoria delle lenti sottili (o di Gauss) che abbiamo studiato è valida solo
se i raggi che investono la lente possono essere considerati parassiali. Per
realizzare sperimentalmente questa condizione si fa ricorso a diaframmi
di piccola apertura, anche se questo comporta una riduzione dell'intensità
luminosa dell'immagine, e si considerano solo oggetti posti vicino
all'asse. Se vengono meno questi requisiti, il comportamento delle lenti
sferiche sottili si discosta da quello descritto in precedenza. Tali deviazioni sono dette aberrazioni.
Tra le più comuni, considereremo solo l'aberrazione sferica, il coma e la
curvatura di campo. A tali aberrazioni, in presenza di sorgenti che emettono luce policroma si aggiunge l'aberrazione cromatica di cui abbiamo
già parlato nel caso dei diottri.
Fig. 58
Aberrazione sferica, coma. Consideriamo la situazione illustrata in fig.
58 in cui un fascio di raggi par~lleli all'asse ottico, emesso da un oggetto
puntiforme lontano, posto sull'asse ottico, incide su una lente sottile: i
raggi in grigio sono parassiali e vengono deviati dalla lente in modo da
passare per il fuoco F 2; in nero è invece riportato un raggio che incide sulla lente in un punto lontano dall'asse ed emerge secondo una direzione
che interseca l'asse ottico in A ed il secondo piano focale in B. In maniera
analoga si comportano tutti gli altri raggi non parassiali. La lunghezza del
segmento in cui tali raggi vanno ad intersecare l'asse ottico (AF2), misura
l'aberrazione sferica longitudinale; la lunghezza del segmento in cui tali
raggi vanno ad intersecare il secondo piano focale (BF2), misura
l'aberrazione sferica trasversale. Se non si limita la sezione del fascio di
luce incidente sulla lente, l'immagine non è puntiforme ma, in generale, è
una macchia luminosa circondata da un alone.
Un problema analogo si verifica quando l'oggetto non è localizzato
sull'asse ottico. In tal caso l'immagine non ha più la forma di un dischetto circolare ma ha una forma allungata che ricorda quella di una
cometa, da cui il nome di coma, che si dà a questa aberrazione.
Curvatura di campo. Come abbiamo già visto nel caso degli specchi e
dei diottri sferici, se si sposta l'oggetto lungo una direzione perpendicolare all'asse, la sua immagine si sposta ancora in direzione ortogonale
all'asse solo se tali spostamenti sono piccoli; in caso contrario l'immagine
si forma nei punti di una linea curva, da cui il nome di tale aberrazione.
Aberrazione cromatica. E' conseguenza del fatto che nella rifrazione
la luce incidente e quella rifratta si propagano in mezzi aventi indici di
rifrazione diversi ed inoltre il valore di questi dipende dalla lunghezza
d'onda della radiazione. In particolare abbiamo fatto vedere nel
§VI.2.5.1. che l'indice di rifrazione di un mezzo trasparente si riduce al
crescere della lunghezza d'onda. Pertanto nel caso di oggetti che emettono luce policroma, i raggi corrispondenti alle diverse componenti
cromatiche, vengono deviati dalla lente secondo angoli diversi e, quindi
VI.3.4. -
SISTEMI OTTTCI.
707
LENTI SOTI1LI
si intersecano in punti immagine che non si sovrappongono perfettamente. Poiché l'immagine di un oggetto posto sull'asse a distanza infinita dalla lente si forma nel secondo fuoco F 2, l'affermazione precedente comporta che, al variare della lunghezza d'onda, F2 non si trova alla
stessa distanza dalla lente in accordo alla relazione (Vl.3.18.)
Per esempio nel caso di una lente di vetro in aria, la distanza focale relativa al blu è minore di quella relativa al rosso, sia se la lente è convergente (fig. 59) che divergente (fig. 60); se quindi si fa incidere su una
lente convergente un fascetto di luce bianca e si pone uno schermo diffusore ortogonalmente all'asse, l'immagine che si forma su questo è
formata da una macchia centrale circondata da un alone; il colore centrale passa dal rosso al blu avvicinando lo schermo alla lente.
Nel caso di oggetti estesi in direzione ortogonale all'asse, nell'ipotesi che
emettano luce policroma, si ha che le immagini relative alle varie componenti cromatiche, oltre a formarsi in posizioni diverse, risultano anche di
dimensioni diverse. Il fenomeno è detto aberrazione cromatica laterale.
Nel caso in cui la luce incidente sulla lente contenga due sole lunghezze
d'onda, utilizzando il diverso potere dispersivo di particolari mezzi rifrangenti è possibile compensare l'aberrazione cromatica: si fa ricorso
ad un sistema formato da due lenti sottili, una convergente, l'altra divergente, fatte di vetro differente, poste a contatto (doppietto acromatico
o lente acromatica) in modo tale che esso presenti la stessa distanza focale per i due colori (cfr. esempio VI.3.5.).
ESEMPIO Vl.3.5.
-
Fig. 59
f~Fig. 60
SISTEMA OTTICO FORMATO DA DUE
LENTI SOTTILI
Consideriamo il sistema ottico costituito da due lenti sottili, quale ad esempio quello mostrato in fig. 61: la prima è una lente biconvessa, avente distanza focale f1 =10cm, la seconda è biconcava difocalefz=-20cm, posta a
distanza f=5cm dalla prima. Supponiamo che un oggetto di altezza y=2cm
sia posto perpendicolarmente all'asse ottico a distanza o 1=20cm dalla lente biconvessa. Vediamo come si deve procedere per trovare l'immagine finale ed il suo ingrandimento.
I"
y
01
~------
y"
Ot
-----+;-.
fl, .Ì◄---- Oz - - - ~
!+---~-
i1
-----+!
l+- -- - - - - - - - - - - - - - - --
-------------------~
Fig. 61
Valutiamo la posizione dell'immagine !'fornita dalla lente biconvessa
708
Vl.3. - STRUMENTI OTTICI
1
1
1
-+-=01 Ì1 f1
⇒
L'immagine è reale; ricordando l'espressione dell'ingrandimento per una
lente sottile, ricaviamo il valore della sua lunghezza y'
y'=my=-i1 y/o 1 =-y=-2cm
Il segno negativo indica che l'immagine è capovolta; poiché
l'ingrandimento risulta unitario, la lunghezza dell'immagine coincide con
quella dell'oggetto, come mostra la costruzione grafica riportata infig. 61.
Per quest'ultima si sono utilizzati il raggio parallelo all'asse ottico, che
viene deviato in modo da passare per il fuoco Fz, ed il raggio passante per
il primo fuoco che emerge parallelo all'asse ottico.
L'immagine !'funge da oggetto virtuale per la lente biconcava; la sua posizione rispetto al centro ottico della lente è fissata dalla relazione
o 2 =f-ì1 =-15cm
ed il segno negativo, sulla base delle convenzioni fissate, indica che in esso
convergono i prolungamenti dei raggi (oggetto virtuale).
La posizione dell'immagine finale I" si ottiene dalla relazione
1
1
1
-+-=Oz iz
f2
⇒
.
02f2
z2 =---=60cm
Oz - f2
L'immagine finale è reale e si trova a distanza di 60cm dalla lente divergente. Nellafig. 61 è stata eseguita la costruzione grafica di I'' a partire da
I'. Di tutti i raggi che convergerebbero in P', abbiamo utilizzato il raggio
parallelo ali'asse ottico, che viene deviato in modo che il suo prolungamento passi per il fuoco F'2, e quello per il centro ottico della lente divergente
che non viene deviato. Il valore della lunghezza y" risulta pari a
,_
- iz
y "-m 2 y-m
2 m1 y---(-y)--8cm
Oz
L'immagine finale è capovolta ed ingrandita.
E' interessante considerare il caso in cui le due lenti sono a contatto così
che la separazione tra le due lenti è praticamente nulla (f O) come mostrato in fig. 62. Dalle due relazioni
=
1
1
1
-+-=01
il
f1
1
1
1
1
1
1
1
-+-=--+-=-+-=02 i2
f-i1 i2 -ii i2
f2
sommando membro a membro si ha
1 1
1
1
1
-+-=-+-=o i
f1
f2
f
Fig. 62
Il sistema si comporta come una lente sottile (lente composta) convergente
avente distanza focale f pari a
1
1
1
-=-+f
f1
f2
⇒
VI. 3.4. _
709
SISTEMI 01TlCI. LENTI SOTTILI
ESEMPIO Vl.3.6.
-
LENTE ACROMATICA
La relazione
1
1
1
-=-+f
f1 fz
detemzinata nell'esempio precedente, può essere sfruttata per progettare
una lente acromatica, cioè una lente composta mediante due lenti sottili fatte di materiali diversi, che presenti la stessa distanza focale per due lunghezze d'onda differenti 'A' e 'A".
Cominciamo col dimostrare che necessariamente una lente deve essere
1
11
convergente e l'altra divergente. Infatti, se indichiamo con f 1 ed f 1 le distanze focali della prima lente in corrispondenza delle due lunghezze
d'onda e conf'z edf"z quelle della seconda, imponiamo la condizione
1
1
1
1
-+-=--+--
f'i
f'z
f''i
f''z
⇒
(n\-l)d 1 +(n' 2 -l)d 2 =(n'\-l)d 1 +(n''z-l)d 2
⇒
(n\-n'\ )d 1 =(n" 2 -n'z)d 2
dove con d 1 e d2 abbiamo indicato il fattore geometrico (1/R 1 - 1/R 2 ) per
le due lenti, mentre con n' 1 ed n" 1 gli indici di rifrazione della prima lente in
corrispondenza delle due lunghezze d'onda e con n' 2 ed n" 2 quelli della seconda
Ricordiamo che l'indice di rifrazione cresce con la frequenza angolare (cfr.
§ VL2.5.l.) e, quindi, si riduce all'aumentare della lunghezza d'onda. Pertanto se 'A' <À11, la differenza (n' 1 - n''i) è positiva, mentre (n" 2 - n'2) è negativa. Perché possa sussistere l'uguaglianza
(n\-n"i )d 1 =(n" 2 -n'z)d 2
d 1 e d 2 devono essere di segno opposto e, quindi, una lente deve essere convergente mentre l'altra divergente.
Vediamo ora un esempio molto semplice che ci faccia comprendere come si
può progettare una lente che risulti acromatica per le lunghezze d'onda
'A'=0.441µm (violetto) e 'A"=0.633µm (rosso). Supponiamo che il sistema
acromatico (.fig. 63) sia fomzato da una lente convergente simmetrica
(R 1=R2=R) che in corrispondenza della lunghezza d'onda 'A' abbia distanza
focale f 'i =10cm e che la lente divergente sia a contatto con essa, così che
risulta R' 1 =R. Vogliamo detemzinare il valore del secondo raggio di curvatura R' 2 sapendo che gli indici di rifrazione delle due lenti in corrispondenza delle due lunghezze d'onda siano rispettivamente n'i =l.809 e n" 1 =l.75
per la lente convergente e n' 2 =l.55 e n" 2 =l.537 per la lente divergente.
Dalla relazione
Fig. 63
Vl.3.
710
STRUMENTI OTTICI
tenendo conto che in base alle convenzioni fissate R2 è negativo (R2 =-R),
possiamo ricavare il valore di R
1
- -=(n' 1-1)~
f'i
R
⇒
R = 2 (n' 1 -l)f'1 =16.18cm
Utilizzando la relazione
si ha
(
1 1)
n -n ")2
-= ("
n -n ')( - - - - 1
1 R
2
2
R R'
1
⇒
R' 2 =4.57cm
2
Nei casi pratici si fissano a priori i valori della focale della lente compensata e degli indici di rifrazione dei materiali e si determinano i raggi di
curvatura delle due lenti.
Vl.3.5. - Sistemi ottici centrati. Lenti spesse
I
I
I
1
:A1
B
-..------t11--:r;'.,.~
_!_ - - - - - - - .,,.
I
I
I
Come abbiamo visto nei paragrafi precedenti, nell'ipotesi di considerare
solo raggi parassiali, un sistema ottico centrato comunque complesso5
fornisce di un oggetto puntiforme un'immagine puntiforme reale o virtuale. Per determinarne la posizione, si può procedere in accordo al metodo
già illustrato nel§ VI.3.4: determinata l'immagine fornita dalla prima superficie, questa funge da oggetto per la seconda e così via.
In alternativa è possibile seguire una strada più rapida, una volta che siano
stati individuati quattro punti, posti sull'asse ottico, tramite i quali si possono descrivere tutte le proprietà ottiche del sistema. Tali punti sono i due
punti focali e i due punti principali e vengono detti punti cardinali.
Facciamo riferimento alla fig. 64 in cui sono tracciate solI
I
tanto le due superfici che delimitano il sistema ottico in eI
B
A2:
_ 1•,..,,,_......,,_
same e l'asse ottico. I due punti focali vengono definiti co1'
me sempre: il secondo fuoco F2 è il punto in cui si forma
l'immagine (reale o virtuale) di un oggetto posto nel primo
mezzo a distanza infinita sull'asse ottico; il primo fuoco F 1
è il punto in cui si fo1ma l'immagine (reale o virtuale) di un
oggetto posto nell'ultimo mezzo a distanza infinita sull'asse
ottico. I piani ortogonali all'asse ottico passanti per F 1 ed F2
sono detti piani focali.
Vediamo come si definiscono i punti principali. Un raggio
A 1 parallelo all'asse ottico, proveniente dal primo mezzo, viene deviato
dal sistema ottico ed emerge secondo una direzione che passa per F 2 ; indichiamo con B2 l'intersezione delle direzioni di tali raggi. La stessa cosa
può essere ripetuta per il raggio A2 che proviene dall'ultimo mezzo nella
stessa direzione del raggio A 1; esso emerge secondo una direzione che
passa per F 1• Sia B 1 il punto di intersezione delle direzioni di questi raggi.
Considerati i piani TI 1 e TI2 per B 1 e B2 perpendicolari all'asse ottico, indichiamo con P1 e P2 le rispettive intersezioni con questo. I piani TI 1 e TI2
I
I
Fig. 64
5. Nel caso più generale nel sistema sono presenti sia superfici riflettenti che rifrangenti.
VI.3.5. - SISTEMI OTIICI CENTRATI. LENTI SPESSE
711
sono detti piani principali, i punti P1 e P2 punti principali. In fig. 64 è
illustrato il caso particolare di un sistema ottico in cui i piani principali
cadono all'interno di questo, mentre i piani focali all'esterno. In generale
i piani principali e quelli focali possono cadere sia all'interno che
all'esterno del sistema ottico; infatti la loro posizione dipende dai raggi di
curvatura delle superfici rifrangenti, dalle posizioni relative di queste e
dagli indici di rifrazione dei mezzi presenti. In ogni caso però risulta che i
punti B 1 e B 2 sono punti coniugati. Infatti ai raggi F 1B 1 e A 1B 1 provenienti
dal primo mezzo (fig. 64) corrispondono rispettivamente il raggio che
emerge lungo la direzione B 2A2 e quello che emerge lungo B 2F 2. Queste
direzioni si intersecano in B 2 che quindi è l'immagine di B 1 e ciò prova
che B 1 e B 2 sono punti coniugati. In maniera analoga si prova che
l'immagine di un qualsiasi punto del primo piano principale si trova sul
secondo ad uguale distanza dall'asse ottico. Ricordando la definizione di
ingrandimento possiamo affermare che l'ingrandimento relativo ai due
piani principali vale m =+I.
Siamo ora in grado di eseguire la costruzione grafica di un oggetto OP
di piccole dimensioni ortogonale all'asse ottico. Il procedimento che si
segue ricalca quello illustrato nel caso di una lente sottile con una sola
differenza: in luogo di un solo piano principale se ne devono utilizzare
due. Pertanto riferiremo le posizioni dell'oggetto, dell'immagine e dei
fuochi ai rispettivi punti principali ed utilizzeremo i soliti simboli per
indicarne le distanze, come è mostrato in fig. 65. Per eseguire la costruzione grafica si utilizzano due raggi provenienti da P. La direzione
del primo, parallelo all'asse ottico, interseca il primo piano principale
nel punto B 1 ed il secondo in B 2 (punto coniugato di B 1) ed emerge passando per il secondo fuoco lungo la retta B 2F2.
Il secondo raggio è quello che passa per il
primo fuoco (PF 1); esso interseca il primo piano principale in C 1 ed emerge lungo la retta
parallela all'asse ottico passante per C 2, coniugato di C 1• Il punto P' intersezione delle rette
B2F2 e C 1C 2 è l'immagine di P fornita dal sistema e quindi IP' è l'immagine della freccia
OP. Dalla fig. 65 risulta che
f1
P1C1
-=-o BICI
e
Sommando membro a membro tali relazioni e tenendo conto che
B 2C 2 = B 1C 1 , B 2 P2 = B 1 P1 e C 1P1 + B 1P1 = B 1C 1 = B 2 C 2 , si ha
(VI.3.26.)
L'equazione (VI.3.26.) fissa una relazione tra l'immagine e l'oggetto per
un sistema ottico centrato, quando le loro posizioni sono riferite ai due
piani principali; essa è nota come la formula di Gauss ed è formalmente
identica a quella trovata per il diottro sferico (cfr. § VI.3.3.). Se invece le
posizioni dell'oggetto e dell'immagine vengono riferite ai fuochi (x=OF1,
TT2 ,
I
I
Fig. 65
Vl.3. - STRUMENTI OTTICI
712
x'=Fzl), la (VI.3.26.) può essere messa nella forma
(VI.3.27.)
nota come formula di Newton per i punti coniugati.
Si può dimostrare che se il sistema ottico è immerso in un unico mezzo,
così che gli indici di rifrazione estremi coincidano, risulta f 1 = f 2 .
ESEMPIO Vl.3. 7.
-
PIANI PRINCIPALI IN UNA LENTE SPESSA
Vogliamo determinare le posizioni del piani principali di una lente spessa,
avente indice di rifrazione n2, immersa in un mezzo di indice di rifrazione
n1. Con riferimento alla fig. 66, indichiamo con f'i e f' 2 le distanze del
primo e del secondo fuoco rispettivamente da V 1 e da V 2. Queste, come
sappiamo, si determinano facilmente dalle equazioni dei due diottri sferici
---
1; ---------
---
r
ii
i
r2
'21♦-
I
=-:+-/ 1~--- /1
Ì
:
2--+l
----+!
:
Fìg. 66
nl
n2
n2-n1
01
il
R1
-+-=--n
02
n
n
i2
R-
n
n
-
n2
1
2
1
1
+-=--+-=---
i1
i2
R2
in cui R è lo spessore della lente.
Ponendo i2 = 00 , si ottiene
(VI.3.28.)
Ponendo o1 = 00 , si ottiene
Solo nel caso in cui R 1 = -R2 ( il sistema è simmetrico) o nel caso di lente
sottile (R 0) i valori di f 'i ed f \ sono uguali; negli altri casi risultano
diversi.
=
713
VI.3.5. - SISTEMI OTIICI CENTRATI. LENTI SPESSE
Per valutare la posizione del primo piano principale rispetto al primo
fuoco, facciamo riferimento alla fig. 67, in cui sono riportati i piani
principali II 1 e II2 , la cui posizione deve essere determinata, e le superfici terminali della lente, che sono state approssimate con i piani tangenti ai rispettivi vertici. Supponiamo che sia presente in F 1 un oggetto puntiforme; la sua immagine finale, come
--- --sappiamo, deve formarsi all'infinito. Usando i
--piani principali possiamo costruire la retta A 1A 2
1F1 V1
:P1 P2: l,, _V2
~-f'i-+1
secondo cui emerge il raggio F 1C1 dalla lente e
11'
·~
.i
I
I
:
costruire l'immagine (virtuale) fornita dal primo
~-------- i1 - - -,- - - -- -~ - - ~- e- - -:-•i
j+--- /i---+,
I
j
diottro, che cade in 11.
TT1
TT2
Si verifica facilmente che
--- ---
Fig. 67
e
dove si è tenuto conto del fatto che i1 è negativo.
Poiché B 1P 1 =A2V2, si ha
Ricavando i1 dall'equazione del primo diottro con l'oggetto in F 1
ll1
llz
llz - nl
01
il
R1
-+-=--e tenendo conto della (VI.3.28.) si ha
Ripetendo la procedura con un oggetto in F2 (fig. 68) si determina h e si verifica che
li= f2 = f
come conseguenza del fatto che la lente è immersa in un unico mezzo.
Le distanze dei fuochi dai rispettivi piani principali di una lente spessa sono
uguali e la relazione di Gauss (V/.3.26.) e quella di Newton (Vl.3.27.) diventano
1
1
1
o
i
f
-+-=-
e
xx'= 12
identiche a quelle trovate per le lenti sottili.
Per queste ultime si dimostra facilmente che i piani principali coincidono
con il piano in cui si considera localizzata la lente.
Nel caso in cui il sistema ottico sia costituito da una sola superficie sferica riflettente o rifrangente, i due piani principali risultano coincidenti
Fig. 68
714
VI.3. - STRUMENTI OTTICI
con il piano ortogonale all'asse ottico e tangente alla calotta sferica e le
relazioni di Gauss e di Newton coincidono con le relazioni trovate in
precedenza per lo specchio sferico e per il diottro ( cfr. § Vl.3.2. e §
Vl.3.3.).
VI .3.6. - Strumenti ottici
cristallino
umor
vitreo
Fig. 69
L'occhio umano può essere assimilato ad un sistema ottico complesso;
una sua sezione schematica è riportata in fig. 69. Esso ha una forma quasi
sferica, con la parte anteriore più curva ricoperta da una membrana trasparente detta cornea, che consente il passaggio della luce. La
cornea può essere considerata come una superficie rifrangente
muscolo
pressoché sferica (R =8mm), che separa l'aria da un liquido,
l'umor acqueo (n 1 = 1.34), che riempie la regione posta dietro la
cornea e spessa d 1 :::0.3cm. Segue il cristallino che si comporta
retina
come una lente biconvessa quasi simmetrica ed è caratterizzato
da un indice di rifrazione n2 = 1.44. La regione oltre il cristallino, di spessore d 2 ::: 1.9cm, è riempita con una sostanza, l'umor
vitreo, che ha caratteristiche molto simili a quelle dell'umor acqueo. Entrambe queste sostanze sono gelatinose e costituite
prevalentemente da acqua, cosa che spiega il valore degli indici
di rifrazione. Sul fondo dell'occhio si trova la retina, che è una
pellicola formata da cellule sensibili alla luce ed in comunicazione con le fibre del nervo ottico, in grado di trasmettere le
sensazioni al cervello.
La cornea, l'umor acqueo, il cristallino e l'umor vitreo costituiscono un
sistema ottico che forma sulla retina le immagini reali degli oggetti osservati. La rifrazione avviene essenzialmente sulla cornea; il cristallino ha il
compito di focalizzare l'immagine sulla retina: la presenza dei muscoli
ciliari fa infatti variare la curvatura del cristallino a seconda della distanza
dell'oggetto osservato, in modo che l'immagine si formi sempre sulla retina (questo processo viene detto accomodamento).
La quantità di luce che entra nell'occhio è regolata da un'apertura, detta
pupilla, che si trova al centro dell'iride, posta subito prima del cristallino.
La pupilla ha un diametro che varia tra 8 e 2mm a seconda della quantità
di luce che arriva sull'occhio (processo di adattamento).
L'occhio normale è in grado mettere nitidamente a fuoco sulla retina
le immagini di oggetti che si trovano tra l'infinito, detto punto remoto, e quello che è noto come il punto prossimo o punto di visione
distinta. La distanza do del punto prossimo, cioè della più vicina posizione in cui può trovarsi un oggetto affinché possa essere visto nitidamente, cresce con l'età: per un bambino di 7 anni vale circa 10
cm, per una persona adulta vale circa 25 cm, per un anziano di 60
anni oltre un metro.
Per migliorare la visione di oggetti o di piccole dimensioni e vicini o di
grandi dimensioni e lontani è possibile utilizzare degli strumenti ottici,
quali la lente di ingrandimento o microscopio semplice, il microscopio
composto ed il telescopio, che illustreremo nel seguito.
VI.3.6. -
S1RUMENTI OTTICI
715
Vl.3.6.1. - Lente di ingrandimento o microscopio semplice
La dimensione dell'immagine di un oggetto che si forma sulla retina (o
dimensione apparente dell'oggetto) dipende dall'angolo di visione 0, cioè
dall'angolo sotteso dall'oggetto sull'occhio (fig. 70), che risulta fissato
dalla relazione
y
~f>
+-----d ______ _;,
tg0 =2'..
d
Fig. 70
dove y è la dimensione dell'oggetto e d la sua distanza dall'occhio.
Per aumentare l'angolo di visione l'oggetto deve trovarsi il più vicino
possibile all'osservatore e, quindi, perché possa essere percepito distintamente, nel punto prossimo. Indicando con d0 la distanza di tale
punto dall'occhio dell'osservatore, il massimo angolo di visione 00 è
determinato dalla relazione
y
tg0 0 = do
Per migliorare la visione di oggetti di piccole dimensioni
si può utilizzare una lente di ingrandimento, che è una lente •
sottile convergente avente una piccola distanza focale (tipicamente dell'ordine di qualche centimetro e pertanto minore di d0 ). Questa viene posta davanti all'occhio
dell'osservatore, che, quindi, vede l'immagine y'
dell'oggetto fornita dalla lente (fig. 71). Si fa in modo che
la distanza o dell'oggetto dalla lente sia minore della distanza focale, così che l'immagine risulta virtuale, diritta
ed ingrandita. In particolare se l'oggetto si trova in prossimità del primo fuoco, l'immagine si forma all'infinito
(fig. 72) e può essere osservata con l'occhio rilassato sotto
un angolo definito da
Fig. 71
tg0'=L
f
Si definisce ingrandimento angolare M di una lente convergente il rapporto tra le tangenti dell'angolo 0' sotto cui viene vista dall'occhio rilassato l'immagine dell'oggetto formata dalla lente e dell'angolo 00 sotto cui
l'oggetto è visto ad occhio nudo quando si trova nel punto prossimo
M= tg0
tg0 0
=L~=~= 25cm
f Y f
f
Per aumentare l'ingrandimento angolare bisogna far ricorso a lenti aventi
distanza focale molto piccola; in tal caso però è difficile che lo strumento
sia privo di aberrazioni. In pratica per una lente di ingrandimento M non
può superare il valore 3+8; se si usano lenti composte, in modo che si possano correggere le aberrazioni, l'ingrandimento angolare può raggiungere il
valore 20. Per ottenere un ingrandimento maggiore è necessario far ricorso
a strumenti più sofisticati come il microscopio composto.
Fig. 72
716
VI.3. - STRUMENTI OTTICI
Vl.3.6.2. - Microscopio composto
I
Il microscopio composto è un sistema ottico che viene utilizzato per osservare oggetti vicini di piccole dimensioni. E' costituito da due lenti
composte (corrette per aberrazioni) convergenti: la prima, detta obiettivo,
ha una distanza focale piccola e fornisce dell'oggetto una immagine reale
ed ingrandita, che viene vista dall'osservatore mediante la seconda lente,
detta oculare. Quest'ultima quindi viene utilizzata come lente di ingrandimento per osservare non direttamente l'oggetto ma la sua immagine
fornita dall'obiettivo. In fig. 73 è scheip.atizzato il dispositivo: l'oggetto da ossèrvare è posto v1cmo al fuoco F 1
dell'obiettivo
ad una distanza da questo
obiettivo
maggiore della distanza focale 11;
l'immagine I' risulta quindi reale, capovolta ed ingrandita e funge da oggetto per
l'oculare. Si richiede che l'immagine finale I (coincidente con quella fornita
dall'oculare) sia visibile per l'osservatore
sotto un angolo il più grande possibile:
pertanto I deve essere virtuale e notevolmente ingrandita rispetto ad I'. Questi requisiti vengono realizzati se I' cade tra
l'oculare ed il suo primo fuoco il più viciFig. 73
no possibile ad F' 1L' ingrandimento angolare del microscopio composto è definito come rapporto tra la tangente dell'angolo 0 sotteso dall'immagine finale I fornita dallo strumento e quella dell'angolo 00
sotteso dall'oggetto posto nel punto prossimo (o=d0) ed osservato ad occhio nudo
M
=~
=(_LJ(!!2..)=
m bMoc
tg0
I oc Y (L)(!!.2-J=
Y I oc
o
0
(Vl.3.3O.)
dove y ed y' rappresentano le dimensioni dell'oggetto e dell'immagine6
fornita dall'obiettivo edloc è la distanza focale dell'oculare.
La (Vl.3.3O.) mostra che l'ingrandimento angolare del microscopio composto è dato dal prodotto dell'ingrandimento trasversale dell'obiettivo
(m0 b) per l'ingrandimento angolare dell'oculare (Moc),
Inoltre, ricordando che è possibile esprimere l'ingrandimento trasversale
di una lente sottile mediante la relazione m =x'lf e che nel microscopio
composto l'immagine fornita dall'obiettivo cade in prossimità del fuoco
F' 1 dell'oculare, l'ingrandimento m0 b risulta pari a
x'
s
mb=--=-o
lob
lob
dove s, che rappresenta la distanza tra F 2 ed F'i, prende il nome di tiraggio
o lunghezza meccanica del tubo.
6. Ricordiamo che in base alle convenzioni stabilite y' è negativa.
VI.3.6. -
717
S1RUMENTI OTTICI
In definitiva l'ingrandimento angolare del microscopio composto è dato
dalla relazione
_
M-mb
M
_
oc
0
s 25cm
----lob
I oc
(VI.3.31.)
in cui tutte le grandezze sono espresse in centimetri. Il segno negativo indica che 0 e 0o hanno segno opposto.
La (VI.3.31.) mostra che per ottenere un elevato valore di M l'obiettivo
deve avere una distanza focale piccola (dell'ordine di qualche millimetro). L'ingrandimento angolare massimo ottenibile con un microscopio,
che utilizza lenti composte come obiettivo ed oculare, è dell'ordine di
2000 ed è limitato sostanzialmente dal fenomeno della diffrazione che
studieremo in seguito.
Vl.3.6.3. -Telescopio astronomico o Kepleriano
Il· telescopio è un sistema ottico che viene utilizzato per
osservare oggetti lontani, che pertanto sottendono angoli
di visione molto piccoli. Esso è costituito come il microscopio composto da due lenti convergenti: la prima, detta
obiettivo, ha una grande distanza focale e fornisce
dell'oggetto lontano una immagine reale e capovolta che
si forma nel secondo fuoco F2 e che viene vista
dall'osservatore mediante la seconda lente, detta oculare.
Quest'ultima ha il suo primo piano focale coincidente
con il secondo piano focale dell'obiettivo (F't =F2) e pertanto l'immagine finale risulta virtuale, capovolta e si
forma all'infinito (fig. 74).
Si definisce ingrandimento angolare M del telescopio il
rapporto tra le tangenti dell'angolo 0' sotto cui è vista
l'immagine finale e dell'angolo 0 che sottende l'oggetto
lontano
obiettivo
tg0'
M=tg0
Con riferimento alla fig. 74, detta y' la lunghezza dell'immagine fornita
dall'obiettivo risulta tg0 = y' I lob, tg0'=-y' I I oc e pertanto
M=_
lob
loc
dove il segno negativo tiene conto che 0 e 0' hanno segno opposto.
Per ottenere un elevato valore dell'ingrandimento angolare, quindi, la
distanza focale dell'obiettivo deve essere molto grande (anche
dell'ordine di alcuni metri), quella dell'oculare molto piccola. Di conseguenza la lunghezza dello strumento è fissata dalla distanza focale
dell'obiettivo.
oculare
Fig. 74
VI.3. - STRUMENTI OtfICI
718
obiettivo
Come abbiamo osservato l'immagine finale fornita dal telescopio è capovolta: questo non è un problema per l'osservazione di oggetti celesti ma
lo diventa se si utilizza lo strumento per vedere oggetti sulla terra. Per
ovviare al problema si introduce una terza lente convergente tra l'obiettivo e l'oculare (fig. 75) che capovolga l'immagine formata dall'obiettivo senza
modificarne le dimensioni. A tale scopo basta utilizzare una lente convergente di focale f posta in modo
che il fuoco F 2 dell'obiettivo ed il fuoco F'i
dell'oculare si trovino ad una distanza pari a 2f da
0'
questa, cosa che comporta un aumento della lunghezza del telescopio di una quantità pari a 4f
1+21+21~
Per poter osservare le immagini puntiformi di oggetti celesti poco luminosi è necessario costruire telescopi con obiettivi di grandi7 dimensioni in modo da
Fig. 75
raccogliere sufficiente flusso energetico. Le difficoltà connesse con la costruzione di lenti di grandi dimensioni e di qualità hanno portato a realizzare telescopi a riflessione in
cui l'obiettivo è costituito da uno specchio concavo, come nello schema
illustrato in fig. 76. Infatti, al contrario delle lenti, gli specchi non vengono attraversati dalla luce, e questo consente di utilizzare nella loro realizzazione anche materiali non di qualità; Inoltre come abbiamo già osservato gli specchi risultano esenti dall'aberrazione cromatica che invece va
corretta nel caso delle lenti8•
Nello schema di fig. 76 la luce riflessa dallo specchio concavo (che funge
da obiettivo) viene ulteriormente riflessa da un piccolo specchio piano e
l'immagine fornita da quest'ultimo viene osservata con l'oculare disposto
in direzione ortogonale all'asse del telescopio.
:
Fig. 76
'I
I
ESEMPIO
Fig. 77
Vl.3.8. - SISTEMI OTTICI CENTRATI
Nel seguito vengono considerati due sistemi ottici centrati e calcolata la
posizione e l'ingrandimento dell'immagine che il sistema fornisce di un
oggetto posto sull'asse ottico.
Cominciamo col considerare una sfera di vetro (n = 1.5), di raggio
R 2=20cm, nel cui interno sia presente una bolla d'aria sferica, di raggio
R 1 =5cm, il cui centro C' si trovi a distanza d=lOcm da quello della sfera
(fig. 77). Supponiamo che una frecciolina di altezza h = 1cm si trovi
all'interno della bolla d'aria a distanza a=2.2cm da C'. In questa situazione è possibile vedere la frecciolina sia ponendosi a sinistra, che a destra del sistema. Tuttavia a causa della asimmetria del sistema, la posizione apparente dell'oggetto e le sue dimensioni risultano diverse se
l'osservatore si pone da un lato o dall'altro del sistema. Nel seguito eseguiremo i calcoli relativamente al caso in cui l'osservatore si trovi a sinistra, lasciando allo studente il compito di esaminare la situazione in cui
7. Nel telescopio dell'osservatorio di Yerkes l'obiettivo ha un metro di diametro.
8. Nel telescopio dell'osservatorio di Monte Palomar lo specchio che funge da obiettivo ha
un diametro di 5m.
VI.3 .6. -
719
STRUMENTI OTTICI
l'osservatore è posto a destra, in quanto il procedimento da seguire è del
tutto analogo al precedente. Infatti in entrambi i casi il sistema ottico da
considerare è formato da due diottri sferici; questi per l'osservazione da
sinistra hanno vertici in V 1 e V2, mentre per l'osservazione da destra
hanno vertici in V'i e V'2.
Cominciamo col determinare l'immagine l 1 fornita dal diottro con vertice
in V 1, investito dai raggi parassiali che si propagano dall'oggetto verso
sinistra, utilizzando la relazione (VI.3.11.)
Il1
Il2
Il2 - Il1
0
i
R
-+-=--Nel nostro caso poiché l'oggetto si trova in aria (n 1=1) a distanza 01 dal
vertice V 1 pari a o1 = R 1-a = 2.3cm, i raggi vengono rifratti nel vetro
(n2=n) ed il raggio di curvatura R 1 è negativo, la relazione precedente diventa
1
Il
n-1
01
il
-!Rii
-+-=-da cui si ha
Si tratta di una immagine virtuale che, quindi, si forma a destra di V 1., di
altezza h 1 pari a
dove abbiamo indicato con m1, l'ingrandimento trasversale del primo diottro, che si valuta mediante la (Vl.3.12.).
L'immagine l 1 funge da oggetto per il diottro vetro-aria con vertice in V2;
pertanto
o 2 =V1V 2 -i 1 =27.8cm
Il
1
1-n
02
i2
-IR2I
-+-=-- ⇒
R2I02
I
i 2 =----'----=-34.53cm
(n-l)o 2 +n!R 2 I
Nell'ultima relazione si è tenuto conto che anche R2 è negativo. L'immagine
finale vista dall'osservatore posto a sinistra è virtuale e le sue dimensioni si
ottengono dalla relazione
Vediamo come si modifica la situazione se la sfera di vetro viene parzialmente argentata come mostrato infig. 78. La parte argentata si comporta da
specchio e riflette completamente i raggi di luce che si propagano verso destra: per poter vedere l'oggetto l'osservatore deve necessariamente porsi a
sinistra. A causa della riflessione, egli vede due immagini: la prima, rela-
Vl.3. - STRUMENTI OTTICI
720
tiva ai raggi emessi dall'oggetto verso sinistra, coincide con quella
determinata in assenza della parte argentata; la seconda è formata
dai raggi che, propagandosi verso destra, vengono riflessi dallo
specchio. Per la determinarne la posizione dovremo considerare il
diottro aria-vetro, con vertice in V' 1, lo specchio sferico con vertice
in V'2, il diottro vetro-aria, con vertice in V' 1, il diottro aria-vetro,
con vertice in V 1, il diottro vetro-aria, con vertice in V 2.
1
Il
n-1
-+-=-o\ i\ -IR 1
I
con
o\ =IR 1l+a=7.2cm
Fig. 78
-nlRrlo'r
i' 1=--"----=-6.28cm
(n-l)o\+IR 1I
1
1
2
- + - = -o\ i' 2 1R 2 1
i\=
con
o\ =(V\ V\ )-i\ =ll.28cm
IR2l 0 'i
,
=88.12cm
2o 2-IR 2I
Il
1 1-n
-+-=-0'3
i'3
IR1 I
con
o' 3 =(V\ V\ )-i\ =-83.12cm
-1Rrl 0 \
i' 3 =------,--,-=-12.2cm
(n -1) o\ +nlR 1 I
1
Il
n-1
-+-=-o\ i'4 -IR1 1
i' 4 =
-nlR 1lo'4
(n -1) o\ +IR 1I
Il
1
1-n
-+-= I I
0 's
i's - R2
con
o' 4 =2IR 1l-i' 3 =22.2cm
= -10.34cm
con
o' 5 =V1V 2 -i' 4 =35.34cm
IR2lo's
i' 5 =------,-=-57.32cm
(n -1) o' 5 -nlR 21
L'immagine finale è virtuale e si forma a destra del vertice V2 ad una distanza pari a 57.32cm da questo.
Lo studente può valutare l'ingrandimento come prodotto degli ingrandimenti relativi alle 5 superfici incontrate dai raggi.
Vl.3.7. - Prisma
Fig. 79
Consideriamo una lastra di materiale trasparente delimitata da due superfici
piane e parallele. Abbiamo visto (cfr. esempio VI.1.3.) che un raggio incidente su di essa, dopo aver subito rifrazione da entrambe le superfici,emerge
in una direzione parallela a quella di incidenza, spostata lateralmente rispetto
a questa come è mostrato in fig. 79. Se si vuol deviare un fascio di luce è necessario farlo incidere su un mezzo che non sia delimitato da facce parallele.
721
VI.3.7.- PRISMA
Uno strumento ottico molto semplice che si presta bene a tale scopo
è il prisma, che è costituito da un mezzo omogeneo, isotropo e trasparente limitato da due superfici piane formanti un angolo, detto
angolo di apertura o angolo rifrangente. Pertanto un raggio incidente sulla prima faccia del prisma viene deviato in accordo alla legge di Snelle, dopo aver subito un'altra rifrazione alla seconda faccia,
emerge secondo una direzione diversa da quella di incidenza, come è
mostrato in fig. 80. In questa è illustrato nella sezione principale del
prisma (che giace nel piano normale allo spigolo del prisma) il percorso di un raggio di luce incidente in A con angolo di incidenza 0i e
che emerge dal prisma in B. Indichiamo con 0r· l'angolo di rifrazione
in A, con 0\ e 0'r• rispettivamente l'angolo di incidenza e quello di
rifrazione in B, con a l'angolo di apertura del prisma. L'angolo 8 tra
la direzione del raggio incidente e quella del raggio emergente dal
prisma rappresenta la deviazione subita dal raggio di luce
nell'attraversare lo strumento ed è pertanto detto angolo di deviazione. Con riferimento alla fig. 80, sfruttando la proprietà che in un
triangolo l'angolo esterno è uguale alla somma degli angoli interni
ad esso non adiacenti, è facile dimostrare che
a=0,f +0'.I
(VI.3.32.a)
(VI.3.32.b)
D'altra parte per la legge di Snell risulta
sin 0i = n sin 0r'
. 0' i =sm
. 0' r'
nsm
(VI.3.33.)
dove si è indicato con n l'indice di rifrazione relativo del prisma rispetto
al mezzo in cui esso è immerso (di solito aria).
Il sistema di equazioni trascendente, che si ottiene dalle (VI.3.32.) e
(VI.3.33.), consente di determinare per via numerica il valore di n,
0r', 0\ e 0'r· in funzione dei valori di a, 8 e 0j.
La determinazione dell'indice di rifrazione n può essere fatta più semplicemente disponendo il prisma in condizioni di deviazione minima.
Infatti la (VI.3.32.b) mostra che 8 è funzione dell'angolo di incidenza
9
e presenta un minimo per 0i = 0'r·· A questo risultato si può giungere
9. Imponendo la condizione di minimo
do =l+ d0\, =O
d0;
d0;
si ha
d9'r·
d0;
= -1
Differenziando le (Vl.3.33.) e tenendo conto che d0r,
d0'r· = _ =
1
d0;
= -d0';
si ha
cos0; cos0';
cos0r, cos0'r·
Poiché tutti gli angoli nella relazione precedente devono essere minori o uguali di n/2, la
condizione precedente è soddisfatta solo se 0; =0'r· e 0'; =0r, .
e
Fig. 80
VI.3. - STRUMENTI OTTICI
722
più semplicemente osservando che, essendo il percorso dei raggi invertibile, lo stesso angolo di deviazione 8 si può ottenere con due diversi valori dell'angolo di incidenza, pari rispettivamente a 0i e 0'r·•
Lasciando fisso il punto di incidenza A e ruotando il prisma attorno ad
un asse parallelo agli spigoli in modo che l'angolo di incidenza vari
dal valore 0i a 0'r· (nell'ipotesi che 0i sia minore di 0'r,), si osserva sperimentalmente che la deviazione 8 diminuisce fino a raggiungere il valore Òmin e poi aumenta riportandosi al valore iniziale, quando l'angolo
di incidenza diventa pari a 0\,. Pertanto l'angolo di incidenza in corrispondenza del quale si ha la minima deviazione deve essere compreso
tra 0i e 0\,, comunque piccola sia la differenza 0\. -8i. Questa osservazione ci porta a concludere che la deviazione minima si verifica
quando la differenza 8'r· -8i è nulla, cioè quando 0i = 0\.: il raggio
incidente e quello emergente sono disposti simmetricamente rispetto
alla sezione del prisma. In condizione di deviazione minima risulta
anche 0r· =0\ = a/2: il raggio all'interno del prisma è ortogonale alla
bisettrice dell'angolo a e, nel caso in cui la sezione del prisma sia un
triangolo isoscele, esso risulta parallelo alla base.
Utilizzando le relazioni (Vl.3.32.) e (VI.3.33.) si ha che
•
(1
= nsm2
da cui
• Òmin + (1
sm---2 -n -- -nz -_ - - - ' •
(1
sm2
(VI.3.34.)
dove n 1 ed n 2 rappresentano gli indici di rifrazione assoluti rispettivamente del mezzo in cui è immerso il prisma e di quello di cui è fatto il prisma.
La relazione (VI.3.34.) consente di determinare l'indice di rifrazione n
misurando oltre all'angolo di apertura a del prisma soltanto l'angolo di
deviazione minima Òmin• Con questo metodo è possibile misurare l'indice
di rifrazione anche di un fluido: basta ricorrere ad un prisma cavo, riempito del fluido in esame.
Per quanto riguarda il valore dell'indice di rifrazione di un mezzo trasparente
abbiamo dimostrato nel§ VI.2.5.1. che questo è funzione della frequenza e,
quindi, della lunghezza d'onda della luce incidente; di conseguenza la deviazione subita da un fascio di luce nell'attraversare la superficie di separazione
fra due mezzi trasparenti varia al variare di À. Questo fenomeno è detto dispersione e fu osservato da Newton 10 negli anni che vanno dal 1668 al 1672.
In linea di principio anche una lastra di vetro, a facce piane e parallele
come quella di fig. 79, potrebbe essere utilizzata per studiare la composizione cromatica di un fascio di luce policroma che incida su di essa. Tuttavia a causa del fatto che i raggi, indipendentemente dalla lunghezza
10. Egli infatti notò che facendo incidere su un prisma di vetro un fascio di luce solare (luce
bianca), all'uscita da questo era presente un insieme di raggi aventi i colori
dell'arcobaleno, che formavano sulla parete scura del laboratorio delle immagini fantasmagoriche, che chiamò spettro.
723
VL'.3.7.- PRISMA
d'onda, emergono tutti in direzione parallela a quella di incidenza, i vari
colori in uscita dalla lastra si sovrappongono e quindi la dispersione non
risulta evidente. Se invece si usa un prisma la dispersione è chiaramente
visibile in quanto i vari colori emergono in direzioni diverse in accordo
alle relazioni (VI.3.33.). Lo strumento con cui si esegue l'analisi spettroscopica della luce emessa da una soraente è lo spettrografo, che a grandi
linee è schematizzato in fig. 81.
Lo schermo A, che presenta una piccola fenditura parallela allo spigolo
del prisma, è posto nel primo piano
focale di una lente convergente così
che un fascio di raggi divergenti, uscenti dalla fenditura, è trasformato
dalla lente in un fascio di raggi paralleli all'asse ottico. Dopo aver attraversato il prisma, il fascio di raggi è
scomposto nelle sue componenti
Fig. 81
cromatiche come conseguenza del
fatto che la deflessione subita in corrispondenza delle due facce del prisma è diversa per raggi aventi lunghezza d'onda differenti. Comunque
raggi dello stesso colore emergono dal prisma paralleli fra loro e vengono focalizzati da una seconda lente convergente sullo schermo opaco
B (posto nel secondo piano focale di questa), su cui è possibile osservare, a seconda che il fascio incidente contenga una o più componenti
cromatiche, una o più linee colorate che rappresentano le immagini della fenditura corrispondenti alle varie lunghezze d'onda. Questo giustifica il termine spettro a righe, che viene comunemente utilizzato per indicare la figura osservata sullo schermo B.
La dispersione in un prisma è definita dalla relazione
e misura quanto rapidamente varia l'angolo di deviazione o al variare della lunghezza d'onda. Essa può essere messa nella forma
D= do= do dn
dì.. dn dì..
in cui il primo termine dipende essenzialmente dalla geometria del sistema, mentre il secondo dal materiale di cui è fatto il prisma.
Utilizzando le relazioni (Vl.3.32.) e (Vl.3.33.), come faremo vedere
nell'esempio VI.3.7, si prova che
do
dn
sin a
cos0\, cos0r,
Nel caso in cui il prisma operi in condizioni di deviazione minima si ha
lu
Vl.3. - STRUMENTI OTTICI
724
d8
. a
2 sm2
-dn - --,-(8-mm-=+'---a---.-)
cos---2
Per poter valutare il termine dn/dÀ è necessario conoscere come varia
l'indice di rifrazione del mezzo al variare della lunghezza d'onda. Per
molte sostanze trasparenti la relazione che meglio approssima la dipendenza di n da À è la formula di Cauchy (cfr. § VI.2.5.1.)
B
n(À)=A+ À2
dove A e B sono costanti caratteristiche di ciascuna sostanza.
Nell'ipotesi che valga la formula di Cauchy si ha
dn
2B
dÀ
À
---3
e la dispersione risulta pari a
do
D = dÀ
2 sin%
=
(
2B )
(8min + a) !)[
cos---2
Il segno negativo indica che la deviazione diminuisce all'aumentare della
lunghezza d'onda, così che il rosso è deviato meno del violetto.
ESEMPIO
Vl.3.9. -
DETERMINAZIONE DELLA ESPRESSIONE DELLA
RAPIDITÀ DI VARIAZIONE DELL'ANGOLO DI
DEVIAZIONE DI UN PRISMA AL VARIARE
DELL'INDICE DI RIFRAZIONE
e
Ricordiamo che la dispersione in un prisma, che misura la rapidità con
cui varia l'angolo di deviazione 8 al variare della lunghezza d'onda, è definita dalla relazione
Valutiamo il primo dei due fattori che compaiono nella relazione
precedente.
Con riferimento alla fig. 82, dalla relazione a = 0 r' + 0\, differenziando si ottiene
⇒
Fig. 82
d0r.
d0\
dn
dn
--=---
Inoltre tenendo conto che l'angolo di deviazione, per un fissato
angolo di incidenza è legato ali'angolo con cui il raggio emerge
dal prisma dalla relazione o= 0i + 0' r' - a, si ha
725
VI.3.7.- PRISMA
dò
dn
d0'r·
dn
-=--
Utilizzando la legge di Snell in corrispondenza della superficie su cui incide il raggio
sin 0i = Il sin 0r'
si ricava che
d(sin eJ O .
d0r.
- - - = =sm 0r' +ncos 0r · - dn
dn
⇒
_d_0_r· =- sin0r. =--d_0'_i
dn
Il cos er.
dn
In maniera analoga in corrispondenza della superficie da cui emerge il
raggio si ha
. 0' i =sm
. 0' r'
nsm
⇒
d0'.
d0'.
ncos0'. - -1 +sin0'. =cos0' .--r
I
dn
I
r dn
⇒
d0' r'
cos 0' i d0' i sin 0' i
--=n--+--dn
cos 0\. dn
cos 0'r·
Pertanto l'espressione della rapidità di variazione dell'angolo di deviazione 8 di un prisma al variare dell'indice di rifrazione risulta pari a
dò d0\.
cos 0\ d0\ sin 0\
cos 0\ sin 0 r'
sin 0\
-=--=n--+---=n-------+--dn
dn
cos0'r· dn cos0~.
cos0\. ncos0r. cos0'r·
_ cos0\ sin0r. +sin0\ cos0r. _ sin(0\+0r.) _
sin a
----COS 0\. COS 0r'
cose~. cos0r' cos0\. cos0r'
ESEMPIO
Vl.3.10. -
DEVIAZIONE PRODOTTA DA UN PRISMA
Consideriamo un prisma di vetro (n = 1.6), avente angolo di apertura
a=6O°; vogliamo determinare
a) il valore dell'angolo~ sotto cui un raggio di luce deve colpire il prisma
affinché venga deviato di un angolo ò = 2~, dove ~ è l'angolo che il
raggio incidente forma con la normale alla bisettrice dell'angolo di apertura a del prisma (.fig. 83a);
b) il valore del minimo angolo di incidenza che consenta ad un raggio incidente su una faccia (ad esempio AC) di emergere dall'altra (BC) e la
deviazione da esso subita.
Da semplici considerazioni geometriche (.fig. 83b) risulta che
0 i = P+ a/ 2 =P+ 30°
dove ei è l'angolo di incidenza.
e
Fig. 83a
Vl.3. - STRUMENTI OTTICI
726
Indicando con er. l'angolo di rifrazione alla superficie AC e con
e
0\ e 0'r, rispettivamente l'angolo di incidenza e di rifrazione alla
superficie BC e ricordando (cfr. §VI.3. 7) che
u=0r' +0\
si ha
Richiedendo che sia 8=2P, si ottiene
0\. = p+ 30° = 0 i
Fig. 83b
Il raggio incidente e quello emergente devono essere disposti simmetricamente rispetto alla sezione del prisma e, quindi, sono in
condizione di deviazione minima. Pertanto
0.r =0'.I =a/2=30°
e
e dalla legge di Snell sin 0i = n sin 0r. si ricava il valore 0i=53.l3°
e, quindi, P=23.13°.
Per quanto riguarda il quesito b ), osserviamo che un raggio incidente sulla faccia AC non emerge dalla superficie BC se l'angolo
con cui incide su di essa supera l'angolo limite. Il più piccolo valore di ei richiesto si ottiene imponendo che in corrispondenza della
superficie BC (fig. 84) il raggio incida con un angolo 0\ =0vTale
valore si ottiene dalla relazione
n sin 0'.I = sin 0' r . = 1
Fig. 84
⇒
8' 1. = 38.68°
Dalla relazione a= 0 r' + 0\ si ricava il valore dell'angolo di
rifrazione er. = 21.32° e, quindi, mediante la legge di Snell
( sin 0 min = n sin 0 r') quello dell'angolo di incidenza, che risulta
pari a 0min=35.57°. Se l'angolo di incidenza è maggiore di 0min,
l'angolo di rifrazione supera il valore er. = 21.32° e, di conseguenza risulta 0\ < 0L: il raggio emerge dalla faccia BC.
La deviazione subita dal raggio che incide con l'angolo
risulta pari a
ò = emin + 0'r·-a = 35.57° + 90° -60° = 65.57°
0rnin
lnterf
Vl.4.1. lntroduzione ............................................................728
Vl.4.2. Interferenza prodotta da due sorgenti coerenti
di onde sferiche ......................................................730
Vl.4.3. Sorgenti coerenti ....................................................739
Vl.4.4. Interferenza prodotta da
N sorgenti coerenti .................................................766
Vl.4.5. Onde elettromagnetiche stazionarie;
esperienza di Hertz .................................................774
Vl.4. - INTERFERENZA
Vl.4.1. - Introduzione
Per lo studio dei fenomeni esaminati nei capitoli precedenti abbiamo fatto
ricorso al concetto di raggio di luce ed alle leggi che ne regolano il cambiamento di direzione in corrispondenza di una superficie riflettente o rifrangente. In tal modo, mediante semplici considerazioni geometriche,
siamo stati in grado di ricavare le equazioni che caratterizzano il comportamento degli strumenti ottici più semplici. Queste tuttavia hanno un campo di validità limitato: ricordiamo infatti che il concetto di raggio presuppone che le dimensioni lineari degli ostacoli con cui la luce interagisce siano molto maggiori delle lunghezze d'onda in gioco. Quando questa condizione viene meno, si producono fenomeni in cui si manifesta la natura ondulatoria della luce e che pertanto l'ottica geometrica non è in grado di
spiegare. Fra quelli più comuni possiamo citare i colori cangianti che si osservano su una bolla di sapone o su un sottile strato di olio galleggiante
sull'acqua, i contorni di un oggetto che si sfumano e si estendono quando
viene osservato socchiudendo le palpebre, fino a realizzare con queste una
sottile fessura. Si tratta di fenomeni di ;interferenza e diffrazione che trovano una corretta interpretazione solo nell'ambito della teoria ondulatoria
della luce, comunemente indicata col nome di ottica fisica.
In questo capitolo studieremo l'interferenza, mente nel prossimo ci
occuperemo della diffrazione.
Lo studio di entrambi i fenomeni si basa sul principio di sovrapposizione,
che possiamo così enunciare: la propagazione di un'onda in un mezzo
non viene alterata dalla presenza di altre onde nello stesso mezzo. La validità di tale principio, garantito dalla linearità delle equazioni delle onde
elettromagnetiche, consente di sovrapporre in un punto dello spazio due o
più onde nel senso che la perturbazione risultante si ottiene come somma
delle singole perturbazioni; inoltre, come vedremo nel seguito (§VI.4.3.),
nel caso delle onde emesse dalle comuni sorgenti di luce, tale principio
consente di trattare come indipendenti i vari treni d'onda finiti che nel loro insieme costituiscono il fascio di luce osservato.
Con il termine interferenza si individuano tutti quei fenomeni che si verificano ogni qualvolta in una stessa regione dello spazio si sovrappongono due o più onde, la cui differenza di fase rimane costante al passare
del tempo. Questo requisito è detto condizione di coerenza e le onde che
lo verificano sono dette coerenti.
E' relativamente semplice produrre onde coerenti e, quindi, osservare fenomeni di interferenza nel caso delle onde meccaniche come quelle generate sulla superficie dell'acqua da due punte che vengono fatte oscillare da
uno stesso dispositivo. In questo caso si osserva una figura stazionaria che
consiste nella presenza di punti in cui l'ampiezza dell'onda risultante risulta minore di quella delle singole onde (interferenza distruttiva), alternati ad
altri in cui l'ampiezza dell'onda risultante è maggiore (interferenza costrut-
VI.4.1. - INTRODUZIONE
729
tiva) (fig. 1). Si può infatti osservare che nei primi arrivano contemporaneamente la cresta di un'onda e l'avvallamento dell'altra così che gli effetti
tendono a compensarsi, mente negli altri arrivano contemporaneamente
due creste o due avvallamenti.
Se invece la differenza di fase tra le onde che si sovrappongono varia casualmente nel tempo la figura di interferenza non risulta più stazionaria e
le onde vengono dette incoerenti.
Nel caso delle onde luminose, come abbiamo già avuto
modo di osservare, si sono avute grandi difficoltà ad evidenziare i fenomeni di interferenza in quanto le sorgenti naturali sono incoerenti. Solo nel 1802, grazie al dispositivo
realizzato da Young è stato possibile produrre fenomeni di
interferenza, che hanno provato definitivamente la natura
ondulatoria della luce.
A questo punto dobbiamo evidenziare un fatto importante:
mentre è possibile osservare direttamente lo spostamento
che si produce sulla superficie dell'acqua in presenza di onde superficiali o le variazioni di pressione in un'onda sonora, non è possibile seguire direttamente la perturbazione ottica in quanto il campo elettrico (o quello magnetico) delle onde luminose
varia nel tempo con una frequenza molto elevata, dell'ordine di 1015Hz.
Risulta quindi necessario introdurre una grandezza che misuri gli effetti
osservabili della perturbazione ottica: questa è l'intensità luminosa I.
Ricordiamo (cfr. § VI.2.4.3.) che nel caso di un'onda che si propaga
l'intensità è l'energia media che nell'unità di tempo attraversa una superficie di area unitaria disposta normalmente alla direzione di propagazione
dell'onda; essa, quindi, coincide con la media temporale del modulo del
vettore di Poynting S valutata sul tempo di osservazione to. In particolare
nel caso di onde sinusoidali, se il tempo di osservazione è molto maggiore del periodo T di oscillazione, l'intensità risulta proporzionale al quadrato dell'ampiezza
1 2
I=<S>=-E 0
2µv
(VI.4.1.)
Pertanto nel caso di onde piane, poiché l'ampiezza è costante al variare
iella distanza del punto di osservazione dalla sorgente, il valore di I non
varia con essa. Invece in presenza di onde sferiche, poiché l'ampiezza è
lnversamente proporzionale alla distanza r del punto dalla sorgente (cfr.
}V.I.Il.), l'intensità si riduce con l'inverso del quadrato dir.
)vviamente, in base alla relazione esistente fra il campo elettrico e quello
nagnetico di un'onda e.m., l'intensità luminosa potrebbe essere espressa
mche tramite il campo magnetico. Tuttavia, solitamente si fa riferimen:o al campo elettrico in quanto la maggior parte degli strumenti usati
Jer la rivelazione delle onde luminose (incluso l'occhio umano) sono
;ensibili alla componente elettrica dell'onda e non a quella magnetica.
Je osservazioni precedenti giustificano il fatto che nel caso di onde lumi10se con il termine interferenza si indica un qualsiasi fenomeno in cui,
>er effetto della sovrapposizione di due o più treni d'onda indipenlenti coerenti, l'intensità risultante non è pari alla semplice somma
Fig. 1
VI.4. - INTERFERENZA
730
algebrica delle intensità relative alle singole onde, ma in alcuni punti
dello spazio è maggiore di questa (interferenza costruttiva) e in altri è
minore (interferenza distruttiva).
Nel seguito dopo aver analizzato la distribuzione dell'intensità luminosa nel
caso dell'interferenza prodotta da due sorgenti coerenti, passeremo ad analizzare i dispositivi con cui è possibile realizzare sorgenti luminose coerenti. Da
ultimo dopo aver trattato il caso dell'interferenza prodotta da N sorgenti coerenti, studieremo le onde stazionarie che si producono quando due onde elettromagnetiche coerenti si propagano in direzioni opposte. In questo contesto
esamineremo l'esperienza con cui Hertz per la prima volta verificò
l'esistenza delle onde elettromagnetiche, previste dalla teoria di Maxwell.
Vl.4.2. - Interferenza prodotta da due sorgenti coerenti
Consideriamo due sorgenti luminose puntiformi, S 1 ed S 2 , poste in un
mezzo omogeneo ed isotropo e supponiamo che le onde sferiche da esse
emesse siano sinusoidali e monocromatiche, così che in un punto generico P siano descritte dalle funzioni
E 1 (r1,t) = E 01 (r1 )sin(k 1r1 -ro 1 t + <p 1 )
E 2 (r2 ,t)=E 02 (r2 )sin(k 2 r 2 -ro 2 t+<p 2 )
p
Fig. 2
(VI.4.2.)
dove ricordiamo che
r 1 e r2 sono le distanze di P rispettivamente da S 1 ed S2 ;
Eo 1(r1) ed Eoi(r2) rappresentano le ampiezze delle due onde nel punto P;
<p 1 e <p 2 rappresentano le fasi iniziali delle onde; queste nel caso di treni d' onde sinusoidali di durata e lunghezza infinite sono delle costanti
che dipendono dalle sorgenti;
ro 1 e ffiz sono le frequenze angolari delle due onde, mentre k 1 e k 2 i rispettivi numeri d'onda relativi al mezzo in cui avviene la propagazione.
Ricordiamo infatti che nel passaggio dal vuoto ad un mezzo materiale
lineare ed omogeneo, la pulsazione angolare ro di un'onda non varia,
mentre il numero d'onda k si modifica in accordo alla relazione
k 0 = 21r/À 0 = 2n n/À = nk : in altre parole la riduzione nel mezzo della
lunghezza d'onda del fattore n comporta un aumento del numero d'onda
dello stesso fattore. Il termine k0 r=knr=kr0 può anche essere interpretato come prodotto del numero d'onda nel vuoto per il cammino ottico.
In questo paragrafo supporremo che la propagazione avvenga nel vuoto
(n=l), per cui r0 coincide con il cammino geometrico; qualora la propagazione avvenga in uno o più mezzi rifrangenti r0 rappresenterà il
cammino ottico.
Per determinare l'intensità risultante in P è necessario determinare la perturbazione risultante
Nella nostra analisi ci limiteremo a considerare il caso in cui i vettori elettrici delle due onde oscillino lungo direzioni parallele tra loro. Ciò consente di sommare i campi come grandezze scalari
yI.4.2. - INTERFERENZA PRODOTTA DA DUE SORGENTI COERENTI
731
Poiché si tratta di due perturbazioni sinusoidali, la loro somma può essere
eseguita ricorrendo alla rappresentazione mediante fasori o, equivalentemente, mediante esponenziali complessi (cfr § III.1.2. e seguenti). Nel
seguito verrà utilizzata la rappresentazione mediante fasori.
Ricordiamo che un fasore è un vettore il cui modulo è pari
y
all'ampiezza dell'oscillazione, che ruota in un piano cartesiano con frequenza pari alla frequenza di questa, in modo
che l'angolo che esso forma con l'asse X risulti uguale in
··,---······································ ·······•····
ogni istante di tempo t alla fase della perturbazione; la sua
',
,
Eoz I
proiezione sull'asse Y rappresenta proprio la funzione
E2=Eo2sin<l>2:
:
I
I
d'onda sinusoidale.
I
I
I
2
Se riportiamo su uno stesso diagramma i fasori con cui deI
... ..
............
I
scriviamo le onde emesse da S 1 e S2 nel punto P (fig. 3) ed
I
E1=Eo1 sin<l>1,
t
indichiamo con <I> 1 e <I>2 gli angoli che questi formano con
X
l'asse X, pari alle fasi delle due perturbazioni in P
Fig. 3
(<l> 1=k1r 1-C01t +(1)1 e <I>2=k2r2-C02t +(1)2), possiamo verificare
facilmente che la perturbazione risultante
coincide con la proiezione sull'asse Y del vettore ottenuto sommando con
la con la regola del parallelogramma i due fasori. Indicando con Eo i\ modulo di tale vettore e con <I> l'angolo che esso forma con l'asse X, la perturbazione risultante è data da
L'ampiezza Eo si ottiene mediante il teorema di Camot e vale
E~= E~1 + E~2 - 2E 01 E 02 cos(n- Li<I>) =
(VI.4.3.)
= E~ 1 + E~2 + 2E 01 E 02 cos Li<I>
essendo Li<I> l'angolo che i fasori formano fra loro (fig. 4), mentre la fase
<I> è definita da
m
E 01 sin <I> 1 + E 02 sin <I> 2
tg',V=-C..C...-----------'----"Eo1 cos<I> 1 +E 02 cos<I> 2
La relazione (VI.4.3.) mostra che il quadrato dell'ampiezza della perturbazione risultante non coincide con la somma dei quadrati delle ampiezze
delle onde interferenti; la presenza del terzo termine (solitamente detto
termine di interferenza) fa dipendere il risultato dalla differenza Li<I> tra
le fasi delle onde interferenti. Infatti, come abbiamo già osservato, gli
strumenti utilizzati per l'osservazione del fenomeno (incluso l'occhio
umano) non sono in grado di rivelare grandezze variabili rapidamente nel
tempo, per cui siamo interessati a determinare l'intensità luminosa proporzionale al valor medio del quadrato dell'ampiezza risultante, pari a
y
E···················································"····
···················
,
..
\~~···········
..........
•····••··
X
Fig. 4
732
VI.4. - INTERFERENZA
= Ei1 + Ei2 + 2E 01 E 02 < cos Li<I> >
essendo to l'intervallo di tempo necessario allo strumento per registrare le
variazioni.
Se Li<I> non varia nel tempo, la media temporale del termine cosli<I> coincide con cosli<I> e l'intensità luminosa risultante nel punto P vale
I= Il + 12 + 2.ji;I; cos Li<I>
(VI.4.4.)
dove abbiamo indicato con 11 ed 12 le intensità che si osserverebbero in P
in presenza solo della sorgente S 1 o solo di S2 .
Se invece durante il tempo to di osservazione Li<I> varia rapidamente in
maniera del tutto casuale ed incontrollabile, la media temporale del termine cos Li<I> è nulla. Di conseguenza il valor medio del quadrato
dell'ampiezza risultante coincide con la somma dei quadrati delle ampiezze delle due onde e l'intensità risultante è uguale alla somma delle
singole intensità
I= Il + 12
Nel caso in cui Li<I> = cost e, quindi le sorgenti sono coerenti, l'intensità
luminosa della perturbazione risultante non coincide in tutti i punti della regione in cui si studia il fenomeno con la somma delle intensità delle onde interferenti, ma a seconda del valore che la differenza di fase Li<I> assume nel
punto in esame l'intensità può assumere un qualunque valore compreso tra
( 11 + I 2 + 2..Ji];.) e ( 11 + 12 - 2..fi];.) . In altre parole ci sono punti in cui
l'intensità risulta maggiore della somma delle intensità delle onde interferenti, altri in cui è minore. Il fenomeno dell'interferenza è osservabile.
Nel caso di sorgenti incoerenti, in cui la differenza di fase tra le due
perturbazioni varia caoticamente durante il tempo di osservazione,
l'intensità risultante è pari in tutta la regione di osservazione alla somma
delle intensità: il fenomeno dell'interferenza non è più osservabile.
Analizziamo ora a quali requisiti devono soddisfare le sorgenti S 1 ed S2
affinché durante il tempo di osservazione in ciascun punto della regione
in esame la differenza di fase Li<I> tra le onde da esse emesse non vari nel
tempo. Poiché l'espressione di Li<I> è
(VI.4.5.)
nell'ipotesi che le onde siano armoniche di durata e lunghezza infinita
basta che esse abbiano la stessa frequenza, cioè che risulti
In tal caso infatti la differenza di fase diventa pari a
Li<I> = k(r2 - r1) + (<J) 2 - <J)1)
(VI.4.6.)
Nella relazione precedente compaiono due termini: il primo, legato alla
differenza dei cammini che seguono le onde per raggiungere il punto P, è
ovviamente sempre costante; il secondo risulta sicuramente tale in presenza di treni d'onda sinusoidali monocromatici di durata infinita, in
quanto le fasi iniziali <p 1 e <p2 sono singolarmente costanti nel tempo. Per-
VJ.4.2. _ IN1ERFERENZA PRODOTTA DA DUE SORGENTI COERENTI
733
tanto la condizione 00 1 = 002 = oo rende costante nel tempo la differenza di
fase A<I> tra due treni d'onda sinusoidali monocromatici di durata infinita:
il requisito di coerenza è realizzato.
Onde che presentino tali caratteristiche sono facilmente realizzabili con
generatori di onde e.m. che operino a bassa frequenza o a radiofrequenza;
basta ad esempio collegare due antenne con il medesimo oscillatore elettromagnetico. Lo stesso non accade per le onde emesse da una comune
sorgenti di luce: queste infatti sono costituite da pacchetti d'onda di durata e lunghezza finite che, anche se presentano stessa ampiezza e frequenza, sono caratterizzati da fasi iniziali diverse e non correlate fra loro. Ciò
comporta che nella sovrapposizione delle onde emesse da due comuni
sorgenti di luce le fasi iniziali <p 1 e <p 2 varino singolarmente e casualmente
nel tempo: tali sorgenti sono quindi incoerenti e non producono ùna figura stazionaria di interferenza.
Tuttavia, poiché nella la relazione (VI.4.6.) compare la differenza tra le
fasi iniziali delle due onde, per la realizzazione del requisito di coerenza
basta che la differenza <p2 -<p 1 resti costante nel tempo. E' per questo motivo, come vedremo in dettaglio nel seguito, che è possibile realizzare apparati sperimentali che consentono l'osservazione di fenomeni di interferenza in presenza di onde emesse da una comune sorgente di luce. Infatti,
ricorrendo ad opportuni artifici, in questi dispositivi si re~lizza
l'equivalente di due sorgenti coerenti a partire da un'unica sorgente reale.
Studiamo ora più in dettaglio la distribuzione dell'intensità luminosa
nello spazio circostante due sorgenti coerenti; siamo in particolare interessati a ricercare i punti in cui l'intensità assume rispettivamente valore
massimo e minimo.
In accordo alla relazione (VI.4.5. ), nei primi deve risultare cos A<I> = 1 e
quindi la differenza di fase tra le due onde in tali punti deve essere un
multiplo di 2rc
A<I>=2m1t
con
m=0,±1,±2, ....
Trattandosi di fenomeni periodici ciò equivale ad affermare che nei punti
di massima intensità le due perturbazioni si sommano in fase, cioè in essi
il massimo valore positivo (o negativo) di una perturbazione viene raggiunto nello stesso istante in cui è raggiunto il massimo valore positivo (o
negativo) dell'altra perturbazione. L'interferenza è detta costruttiva e il
valore dell'intensità è dato da
(VI.4.7.)
Analogamente i minimi di intensità si hanno nei punti m cui risulta
cos A<I> = -1 e quindi la differenza di fase è un multiplo dispari di re
A<I> = (2m + l)n
con
m =O,± 1, ± 2, ....
In questi punti le due onde sono in opposizione di fase, cioè il massimo valore positivo di una perturbazione viene raggiunto nello stesso istante in cui
è raggiunto il massimo valore negativo dell'altra perturbazione.
L'interferenza è detta distruttiva e il valore dell'intensità minima è dato da
(VI.4.8.)
VI.4. - INTERFERENZA
734
Il valore di m viene denominato ordine dell'interferenza.
I
Nella maggior parte dei casi, in tutti i punti della regione in cui si osserva il
fenomeno dell'interferenza i valori 11 ed 12 delle intensità si possono ritenere
costanti; questo accade, per esempio, quando tale
regione ha dimensioni lineari piccole confrontate
con r 1 ed r 2 e la distanza d tra le sorgenti S 1 ed S 2 è
anch'essa molto minore di r 1 ed r2. In tali condizioni
- -Imax
la distribuzione dell'intensità luminosa è quella riportata in fig. 5: il fenomeno dell'interferenza de, - - - I=I1+I2
termina la distribuzione locale dell'energia luminosa nella regione di osservazione, così che in alcuni
punti l'intensità risulta maggiore di I 1+Ii, mentre in
altri è minore. Tuttavia se si esegue la media spa21t 31t
ziale dell'intensità, questa risulta uguale alla somma
delle intensità (I 1+I2) in quanto la media spaziale
del termine di interferenza è nulla. Questo risultato
è in accordo col principio di conservazione
dell'energia: il fenomeno dell'interferenza ridistribuisce l'energia delle onde
interferenti concentrandola nei punti in cui l'interferenza è costruttiva a discapito di quelli in cui l'interferenza è distruttiva.
Per le osservazioni interferometriche nella maggior parte dei dispositivi
sperimentali si utilizzano schermi diffusori su cui il fenomeno si manifesta
con la presenza di regioni più luminose alternate a regioni meno luminose,
che sono comunemente note col nome di frange di interferenza. La forma
geometrica di queste dipende dalla posizione dello schermo rispetto alle
sorgenti. Infatti, come abbiamo visto, i punti in cui l'intensità è rispettivamente massima e minima soddisfano le relazioni
I I i -,---••
-31t -21t
-Tt
O
Fig. 5
1t
con m= O, ±1, ±2, ± ....
Queste possono essere riscritte nella forma
r2 - rl
<p2 - <pl
À
21t
-----+---= m
r2 - rl + <p2 - <pl
À
21t
= (2m + 1)
2
(massimi)
(VI.4.9.)
(minimi)
(VI.4.10.)
Al variare di m le relazioni precedenti definiscono due famiglie di
iperboloidi 1 di rotazione aventi i fuochi nelle due sorgenti puntiformi
ed asse coincidente con la retta S 1S 2 : le superfici luogo dei punti di
massima intensità sono dette superfici ventrali o antinodali, quelle di
minima intensità superfici nodali.
1. Ricordiamo che l'equazione del tipo rz-r 1=costante definisce un'iperbole i cui fuochi
sono S 1 e S2. Nel nostro caso, trattandosi di un problema definito nello spazio tridimensionale, le relazioni (VI.4. 9.) e (VI.4.10.) definiscono delle superfici iperboliche
di rivoluzione.
VI.4.2. - IN1ERFERENZA PRODOTTA DA DUE SORGENTI COERENTI
735
Le superfici di fase costante riportate in fig. 6 si riferiscono al caso in cui
la differenza di fase intrinseca tra le due sorgenti è nulla (Aq:> =0).
Le frange di interferenza rappresentano l'intersezione delle superfici nodali e ventrali con lo schermo diffusore.
Se questo è disposto perpendicolarmente
alla congiungente le due sorgenti, le frange sono circolari, cioè sono una successione di anelli chiari e scuri; se invece è
parallelo alla retta congiungente S1 ad S2,
le frange hanno la forma di iperboli (fig.
7). Queste ultime, nell'ipotesi che il fenomeno venga osservato limitatamente ad
una regione vicina al piano r 1=r2, assumono una forma praticamente diritta e perpendicolare alla linea S1S2.
Mentre la posizione delle frange dipende
dalla differenza di fase tra le onde interferenti, la qualità della figura di interferenza
da cui dipende la possibilità stessa di osserFig. 6
vare l'alternanza delle zone luminose e meno luminose, è legata alle ampiezze delle
perturbazioni, più precisamente al fatto che siano uguali o disuguali.
Nel primo caso anche le intensità I1 ed Iz sono uguali fra loro (I1=lz=Io) e
l'espressione (VI.4.4.) diventa
A<I>
I= 21 0 + 21 0 cosA<I> = 21 0 (1 + cosA<I> )= 41 0 cos 2 2
(VI.4.11.)
--.--m=l
~---m=2
---m=3
,,,,"
,,'
,,,,"
--- --
Da una analisi di questa si deduce che l'intensità nei punti di massimo - - e minimo, che ovviamente coincidono ancora con quelli in cui le due
onde sono rispettivamente in fase ed in opposizione di fase, vale nei
primi 410 (doppia rispetto alla semplice somma incoerente 210 ) ed è
nulla nei secondi2: ciò comporta che nella figuI
ra di interferenza le frange luminose si alternano a frange scure. Sottolineiamo che affinché
ci sia una interferenza completamente distruttiva tra onde luminose di uguale ampiezza è indispensabile che i rispettivi campi elettrici siano paralleli fra loro nella regione di osservazione: infatti, se ad esempio si fanno sovrapporre onde aventi i campi perpendicolari, la
perturbazione risultante non potrà mai avere
-31t -21t -1t O
1t
ampiezza risultante nulla.
Nel caso in cui le intensità 11 ed Iz sono diversè
Fig. 8
tra loro, le frange luminose, di intensità pari a
I 1 + I 2 + 2.,Jr;!;, si alternano a frange meno luminose di intensità I 1 + I 2
-
2.,Jr;!; .
2. La media spaziale dell'intensità in questo caso è 210 , pari ancora alla somma delle
intensità delle due perturbazioni in accordo alla conservazione dell'energia (fig. 8).
Fig. 7
- Imax=4Io
r--·
21t
31t
l=2lo
Li<I>
VI.4. - INTERFERENZA
736
Per una stima della visibilità delle frange si può far ricorso al così detto
parametro di visibilità, introdotto da Michelson, definito dalla relazione
V=
lmax -lmin
lmax
+ lmin
(Vl.4.12.)
Tenendo conto delle relazioni (Vl.4.7.) e (Vl.4.8.), il parametro V può
essere espresso in termini delle intensità delle due perturbazioni
nell'intorno del punto in esame
2ff,
V=---
11 + 12
Il parametro V varia tra 1 e O. Il valore V=l, che si ha quando le intensità
delle onde interferenti nel punto in esame sono uguali, corrisponde ad una
figura di interferenza che presenta contrasto maggiore; il secondo, che si
verifica quando l'intensità di una delle due perturbazioni è molto piccola
rispetto all'altra, corrisponde alla scomparsa del sistema stesso.
La discussione precedente si riferisce al caso in cui le sorgenti S 1 ed S2
sono perfettamente coerenti. Sebbene nel seguito studieremo solo situazioni in cui tale requisito è soddisfatto, è bene sottolineare che in
molti casi si ha a che fare con onde luminose che presentano una parte
incoerente che, per quanto visto in precedenza, non dà luogo ad interferenza. La parte incoerente produce una illuminazione uniforme sullo
schermo diffusore su cui si sovrappongono le frange create dalla parte
coerente. La presenza di questo fondo diminuisce il contrasto tra i
massimi ed i minimi di interferenza con una conseguente riduzione
della visibilità del fenomeno.
ESEMPIO Vl.4.1. - VISIBILITÀ DEL SISTEMA DI FRANGE PRODOTTO DA
DUE SORGENTI PUNTIFORMI PARZIALMENTE
COERENTI
Studiamo dapprima come si distribuisce l'intensità luminosa nello spazio
circostante due sorgenti puntiformi che emettono onde parzialmente coerenti. Supponiamo per semplicità che nel punto di osservazione le intensità relative a ciascuna sorgente siano uguali fra loro, cioè 11 =12 = Io e che
entrambi i fasci luminosi presentino la stessa frazione y di luce coerente.
In questa ipotesi conviene esprimere l'intensità di ciascuna sorgente in
termini della parte coerente e di quella non coerente
L'intensità risultante vale
Nella relazione precedente le due parentesi rappresentano rispettivamente la somma coerente e quella incoerente. Mediante semplici passaggi si
ottiene
ll!;!!"'f, ..
VJ.4.2. _ INTERFERENZA PRODOTIA DA DUE SORGENTI COERENTI
737
I= 4yl 0 cos 2 11<P/2 + 2(1- y)I 0 = 21 0 (1- y + 2y cos 2 11<P/2)
L'intensità massima vale
quella minima
lmax =2lo(l-y)
[l parametro di
visibilità delle frange vale
Imax -lmin 21 (1+y)-21 0 (1-y) 41 0 y
V = - - - =0 - - - - -=-=y
Imax +Imin 2lo(l+y)+2Io(l-y) 4Io
Esso dipende, come era prevedibile, esclusivamente dalla frazione di luce
coerente presente nelle onde interferenti. La parte non coerente produce
sullo schermo di osservazione una illuminazione uniforme su cui si sovrappone il sistema di frange che risulta sempre meno visibile
all'aumentare della parte incoerente fino a scomparire del tutto in presenza di fasci di luce completamente incoerenti.
ESEMPIO Vl.4.2. -DISTRIBUZIONE DELL'INTENSITÀ NELLA REGIONE
DISTANTE DA DUE SORGENTI PUNTIFORMI
COERENTI
Consideriamo l'interferenza prodotta in punti distanti da due sorgenti
coerenti puntiformi S1 ed S2, che emettono in fase (q:> 1 =q:>2) onde elettromagnetiche di uguale potenza (l 1=h=Io). Vediamo come si modifica la distribuzione dell'intensità risultante al variare della distanza d tra le due
sorgenti. Consideriamo in particolare quello che accade nei due casi:
d=IJ2 e d=À. Entrambe le situazioni si possono facilmente realizzare ad
esempio con sorgenti che emettano onde radio.
a) d=À/2
La relazione che fornisce l'intensità risultante nel generico punto P
risulta pari a
Q
p
Poiché per ipotesi il punto P è lontano dalle sorgenti, r 1 ed r 2 risultano
quasi paralleli per cui la loro differenza è praticamente pari a
r2
-
r1
=S H =d sin 0
2
dove abbiamo indicato con e l'angolo che il raggio r, che individua P
rispetto al punto medio tra S1 ed Sz, forma con l'asse del sistema (fig.
9), e che risulta praticamente uguale all'angolo che la retta S 1H, perpendicolare ad S2P, forma con S 1S2. Pertanto si ha
1(0) =41 0
cos'( ~ d sin 0 )= 41 cos'(; sin 0)
0
I massimi di intensità si formano in quei punti in cui risulta
Fig. 9
Vl.4.
738
n . e= mn:
-sm
2
4Io
Fig. 10
INTERFERENZA
sin0 = 2m
⇒
Tale relazione può essere soddisfatta solo per m=O e quindi per
0=0 (punto O difig. 9) e 0=1t (simmetrico di O rispetto alla congiungente S 1 con S 2) dove l'intensità vale 410 • Tali punti sono infatti equidistanti dalle due sorgenti per cui in essi le onde si
sommano in fase. Se invece si considera il punto Q allineato con
le sorgenti, la differenza di cammino ottico è pari a ìJ2 e, quindi,
le due onde in tale punto risultano in opposizione di fase (,1<[> =1t)
e si cancellano completamente fra loro (IQ = O). Formalmente si
può pervenire a questo risultato utilizzando l'espressione
dell'intensità 1(0) ed osservando che la posizione angolare del
punto Q è 0=n/2. Pertanto si ha
IQ = l(n/2) =41, cos'(; sin 0 )= 41, cos'(; )= O
Infig. 10 è riportato il grafico polare di I in funzione di 0; in esso
sono evidenti i due lobi che corrispondono ai massimi in corrispondenza di 0 = O e 0 =1t.
b) d=À
In questo caso l'intensità risultante in corrispondenza dell'angolo
0 risulta pari a
1(0) = 41 0 cos'
/1: = 41 cos' ( ~
0
d sin 0 )= 41 0 cos' (1t sin 0)
I massimi di intensità si formano in corrispondenza dei valori di
0 che verificano la condizione
1t sin e= ffi1t
sin0 =m
⇒
Tale relazione può essere soddisfatta oltre che per m=O (0=0 e
0=1t) come nel caso precedente, anche per m = ±1 (0 = ±1t/2). Infatti la differenza di cammino ottico nel punio Q è pari questa
volta a À e, quindi la differenza di fase a ,1<[> = 21t: le onde si
sommano ancora in fase e l'intensità vale 410 •
I minimi di intensità si formano in corrispondenza dei valori di 0
Fig. 11
per cui risulta
nsin 0 = (2m + l)n/2
⇒
sin0 =m +1/2
L'unico valore consentito è m=O: l' intensità è nulla per
0 =±re/ 6 e 0 =±5rc / 6 .
In fig. 11 è riportato il grafico polare di I in funzione di 0 che evidenzia che quando d=À la maggior parte dell'energia è irraggiata in
direzione assiale.
!f!L ,
VI.4.3- _ SORGENTI COERENTI
739
VI .4.3. - Sorgenti coerenti
Abbiamo visto che per poter osservare una figura stazionaria di interferenza è necessario che le onde siano coerenti, cioè che la loro differenza
di fase nei singoli punti dello schermo non cambi durante il tempo di osservazione.
Questo requisito non è soddisfatto dalle onde luminose emesse da sorgenti di luce ordinaria, quali quelle termiche (sole, candele, lampade ad incandescenza), o quelle a fluorescenza in cui avvengono scariche in un gas
a bassa pressione. Infatti, ciascuna di tali sorgenti è in realtà costituita da
un numero molto grande di sorgenti elementari, che emettono per un breve periodo di tempo e in maniera del tutto scorrelata tra loro. La luce osservata è il risultato della sovrapposizione di un numero molto grande di
pacchetti d'onda3 , ciascuno dei quali viene emesso da una sorgente elementare, cioè da un atomo eccitato, quando un suo elettrone passa da uno
stato di energia maggiore ad uno di energia inferiore. L'energia persa nella transizione si ritrova in energia della radiazione elettromagnetica emessa dalla sorgente; tale processo di emissione avviene in maniera non coordinata con quello degli altri atomi e in un tempo molto breve ~t che tipicamente non supera il valore di 10-8s. La luce emessa in una singola
transizione non può essere rappresentata da un'onda di lunghezza spaziale e di durata temporale infinite (onda armonica monocromatica, caratterizzata da una sola frequenza v), ma da un pacchetto d'onde di lunghezza
~R, e durata ~t finite, in cui è presente una banda di frequenze ~V= 1/~t
nell'intorno di una frequenza fondamentale v. Ciascun pacchetto d'onde
inoltre è caratterizzato da una direzione del campo elettrico E e da una
fase <p iniziale ben definite. Tuttavia poiché l'emissione da parte dei vari
atomi della sorgente o da parte dello stesso atomo è scorrelata, i vari pacchetti d' onde sono caratterizzati dagli stessi valori di ampiezza e frequenza, ma da piani di polarizzazione e da fasi intrinseche diverse. In generale, quindi, un fascio luminoso, essendo il risultato della sovrapposizione
di un numero enorme di pacchetti d'onde di lunghezza e durata finita, con
polarizzazioni e fasi distribuite in maniera casuale, mantiene la coerenza
per una durata temporale ~to (che può risultare anche molto più piccola di
10-8s) e per una estensione spaziale limitata ~R0 =c~to; ~to e ~R,0 vengono
chiamati rispettivamente tempo e lunghezza di coerenza.
Da quanto detto si deduce che sia le onde provenienti da due punti di una
stessa sorgente estesa che quelle provenienti da due sorgenti diverse, anche nell'ipotesi che si selezioni una componente monocromatica mediante un monocromatore che utilizzi, ad esempio, le proprietà dispersive del
prisma, non possono dar luogo a frange di interferenza. Più precisamente,
la differenza di fase tra le onde emesse da due sorgenti luminose indipendenti in un qualsiasi punto dello spazio varia nel tempo a caso: ad un certo istante possono sussistere, ad esempio, le condizioni per un minimo di
intensità e dopo un tempo dell'ordine di ~to quelle per un massimo o per
un altro valore intermedio. L'occhio4, la cui persistenza visiva (to) è di
3. Cfr. § VI.2.5.2.
4. Un discorso analogo vale se le frange non vengono osservate direttamente ma con
l'ausilio di uno strumento, come ad esempio una macchina fotografica.
Fig. 12
VI.4. - INTERFERENZA
740
circa un ventesimo di secondo (to >> .1to), non è in grado di apprezzare
queste rapide variazioni e percepisce solo un'illuminazione uniforme, pari alla somma delle intensità che ciascuna delle due sorgenti produrrebbe
separatamente in quel punto. Le frange di interferenza possono essere osservate solo se si dispone di strumenti sofisticati caratterizzati da un tempo di misura minore di .1to. In caso contrario, come del resto è accaduto
storicamente, bisogna ricorrere ad apparati sperimentali che, pur utilizzando una sorgente di luce incoerente, realizzano a partire da questa due
sorgenti coerenti. Tali dispositivi fanno uso di uno dei seguenti due metodi: nel primo, il fascio proveniente dalla sorgente viene suddiviso in
due o più parti mediante aperture praticate su uno schermo opaco o mediante superfici riflettenti, opportunamente disposte in modo che il fronte
d'onda primario venga diviso in parti che, dopo aver seguito cammini differenti, si sovrappongono in uno stesso punto. In questo caso si parla di
divisione del fronte d'onda.
Nel secondo metodo, il fascio primario viene suddiviso per mezzo di superfici parzialmente riflettenti: in questo caso si parla di divisione di ampiezza, in quanto i fronti d'onda delle onde risultanti hanno la stessa estensione del fronte d'onda incidente ma ampiezza inferiore.
Nel seguito descriveremo i dispositivi più comuni con cui si osservano le
frange di interferenza; cominceremo con quelli basati sulla divisione del
fronte d'onda, come il dispositivo di Young e lo specchio di Lloyd, successivamente esamineremo quelli che fanno ricorso alla divisione di ampiezza, come nell'interferenza da lamine sottili o nell'interferometro di
Michelson.
Vl.4.3.1. - Dispositivo di Young
A
B
Fig. 13
e
Nel 1802 ricorrendo a questo dispositivo Young produsse
per la prima volta le frange di interferenza per la luce,
provandone la natura ondulatoria.
In fig.13 è rappresentata una sezione dell'apparato: un fascio di luce monocromatico incide su uno schermo A in
cui è praticato un foro S0, di dimensione a confrontabile
con la lunghezza d'onda della luce incidente. Per semplicità5 assumiamo a :s; À, così che per il principio di Huygens,
S0 si comporta in prima approssimazione come una sorgente puntiforme di onde sferiche. In fig.13 gli archi neri e
quelli grigi rappresentano l'intersezione con la pagina dei
fronti d'onda sferici su cui la perturbazione assume rispettivamente valore massi~o positivo e massimo negativo ad
un generico istante di tempo. Le onde emesse da So incidono su un secondo schermo B su cui sono praticati due
piccoli fori identici S 1 ed S 2, disposti simmetricamente ri-
5. La condizione a~).. in pratica non è realizzabile; solitamente l'ampiezza dell'apertura,
sebbene confrontabile con À, risulta sempre maggiore di questa. In questo caso la figura di interferenza osservata può essere spiegata solo tenendo conto della diffrazione
prodotta da ciascuna apertura. Per tale ragione la situazione sperimentale in cui risulta
a> À verrà affrontato nel prossimo capitolo, dopo aver studiato il fenomeno della diffrazione.
vi:4.3.1. _ msrosmvo DI YOUNG
741
spetto ad S0• S 1 ed S2 sono pertanto raggiunti da settori diversi di uno stesso
fronte d'onda6 e si comportano a loro volta come due sorgenti di onde sferiche, che risultano coerenti: esse infatti sono caratterizzate dalla stessa pulsazione angolare (C01 =C02) e dalla stessa fase iniziale ( <p 1=<p2⇒ ~<p=O). Nei
punti in cui tali onde si sovrappongono danno luogo al fenomeno
dell'interferenza. In fig. 13 le linee continue corrispondono a punti di massima intensità, in quanto in essi le onde provenienti da S 1 ed S 2 si sovrappongono in fase: entrambe infatti assumono valore massimo positivo (2
fronti d'onda neri) o negativo (2 fronti d'onda grigi). Le linee tratteggiate
corrispondono invece a punti di minima intensità, in quanto in essi le due
funzioni d'onda assumono valore massimo rispettivamente positivo (fronte
d'onda nero) e negativo (fronte d'onda grigio).
La figura di interferenza viene osservata su un terzo schermo
opaco C, parallelo ai primi due e posto a distanza D da B
grande rispetto alla separazione d tra S 1 ed S 2 (D>>d). Si realizza in tal modo la condizione di parallelismo tra i campi delp
le onde interferenti: queste infatti, essendo originate dallo
stesso fronte d'onda, hanno lo stesso stato di polarizzazione in
corrispondenza dello schermo B e per raggiungere il generico
punto P dello schermo C si propagano lungo direzioni che risultano praticamente parallele7 (fig. 14).
Prima di passare ad analizzare in dettaglio le caratteristiche che
presenta la figura di interferenza, osserviamo che in generale i tre
------- D ------fori del dispositivo vengono sostituiti da fenditure lunghe e sottili, perpendicolari al piano di figura. In accordo al principio di
e
B
Huygens ciascuna di queste, nell'ipotesi che abbia ampiezza minore della lunghezza d'onda (a< À), si comporta come una sorFig. 14
gente rettilinea e la figura di interferenza risulta più visibile.
Le frange sono disposte simmetricamente rispetto ad O, punto di intersezione
dello schermo diffusore con l'asse del segmento S 1S 2 in cui si forma un massimo di intensità, detto massimo centrale: in O, infatti, le perturbazioni si sovrappongono in fase in quanto esso è equidistante da S 1 ed S2.
Per determinare la posizione P delle altre frange, è necessario valutare la
differenza fra i percorsi r 1 ed r 2, che seguono le onde per raggiungere tale
posizione. Nell'ipotesi che la distanza D dello schermo diffusore dalle
sorgenti sia grande rispetto alla loro separazione d (D>>d), r 1 ed r 2 risultano quasi paralleli per cui la loro differenza è pari a
(VI.4.13.)
dove abbiamo indicato con 0 l'angolo che il raggio r, che individua P
rispetto al punto medio tra S 1 ed S 2 , forma con l'asse del sistema. Esso
risulta praticamente uguale all'angolo che la retta S 1H, perpendicolare
ad S 2P, forma con S1S2.
p
------- o
6. Per questa ragione si parla di divisione del fronte d'onda.
7. Osserviamo infatti che è sempre possibile scomporre il campo elettrico delle perturbazione emesse da S1 ed S2 in una componente ortogonale e in una parallela al piano di
fig. 15. Nel punto di sovrapposizione P le componenti ortogonali sono sempre parallele tra loro, mentre quelle che giacciono nel piano di figura risultano praticamente parallele tra loro solo se il punto P è molto distante.
e
B
Fig. 15
VI.4. - INTERFERENZA
742
Sostituendo nelle relazioni (VI.4.9.) e (VI.4.10.) e tenendo conto che
<pr<p 1=0, si ha che le posizioni angolari dei punti rispettivamente di massima e di minima intensità soddisfano le condizioni
dsin0 = mÀ
(massimi)
(VI.4.14.a)
d sin0 = (2m +l)À
2
(minimi)
(VI.4.14.b)
con m=O, ±1, ±2, ± .... ± d!À. Infatti il valore di m non può crescere indefinitamente poiché deve essere soddisfatta la condizione sin0
1.
Dalle relazioni (VI.4.14.) si deduce che i punti di massima e di minima
intensità sono quelli per i quali la differenza di cammino delle due onde
risulta rispettivamente un multiplo intero e un multiplo semintero di lunghezze d'onda.
Come vedremo nel seguito, la regione su cui è possibile osservare frange nitide è quella prossima ad O. In questa l'intensità prodotta da ciascuna fenditura rimane costante al variare del punto P considerato: infatti sia la distanza
r di P da una singola fenditura che il fattore di obliquità che caratterizza
l'ampiezza delle sorgenti secondarie di Huygens (cfr. § VI.1.3.), pari a
I
I: ;
g(0) = (1 + cos 0 )/2
non variano apprezzabilmente nella regione centrale dello schermo C. Per
questo motivo le frange luminose sono caratterizzate dalla stessa intensità
(I=4Io) e sono intervallate da frange scure (I= O). La loro posizione sullo
schermo può essere individuata oltre che con l'angolo 0 anche con la distanza y da O. Questa, essendo 0 abbastanza piccolo da permettere
l'approssimazione sin0 tg0 0, per le frange luminose è data da
= =
y
max
=O
D
À-
'd'
D
D
2À-, .... mÀd
d
(VI.4.15.a)
per quelle scure da
ÀD
ÀD
3--, .... (2m+l)-2 d
2d
(VI.4.15.b)
Due frange luminose (o due frange scure) consecutive distano fra loro di
!iy=ÀD!d e fra di esse, a metà strada, c'è una frangia scura (o chiara); di
conseguenza le frange luminose e scure si susseguono ad ugual distanza,
pari a ÀD/(2d) . La distanza tra due minimi consecutivi è detta larghezza
della frangia e nella zona centrale dello schermo vale
!iy
D
= Àd
(VI.4.16.)
La larghezza delle frange dipende dalla distanza D tra le sorgenti e lo
schermo e cresce con questa. Per questo motivo spesso si preferisce far
riferimento alla larghezza angolare delle frange definita come distanza
angolare tra due minimi consecutivi e che risulta pari a
743
VJ.4.3_1.- msrosmvomYouNG
Poiché questa è inversamente proporzionale alla distanza d fra le sorgenti, per
produrre frang~ di ,interfere~a di larghez~ sufficient~ . da cons~ntirne
l'osservazione drretta e necessario che S 1 ed S2 siano molto v1cme una all altra.
Da una misura di D, de ~y è possibile risalire al valore della lunghezza
d'onda della radiazione monocromatica utilizzata. Misure di questo tipo
furono condotte da Young che per primo determinò la lunghezza d'onda
di una perturbazione luminosa.
vediamo ora come si modifica il sistema di frange se le onde
emesse da S 1 e S2 presentano una differenza di fase intrinseca
non nulla. Questa situazione si realizza ad esempio quando la
fenditura S0 non è equidistante da S 1 e S2, come illustrato in fig.
16. In tal caso, infatti, le onde emesse da S 1 e S 2 si originano da
r' 1
due fronti d'onda diversi, così che la differenza di fase intrinse- So -----r'2
ca risulta pari a
p
H' S2
Di conseguenza il massimo centrale, che corrisponde al punto in cui la differenza di fase tra le onde interferenti è nulla
(~<I>=O), non si forma più in O. Nella situazione illustrata in
fig. 16, in cui r' 2>r'i, questo si deve trovare in O' al di sotto
di O: infatti la relazione
O'
------- D
A
può essere soddisfatta solo se r2< r 1. Il sistema di frange è ancora simmetrico rispetto al nuovo massimo centrale.
In conclusione la presenza di una differenza di fase intrinseca non nulla
tra le onde interferenti produce uno spostamento delle frange rispetto alle
posizioni da esse occupate quando ~cp =0.
Sulla base delle osservazioni precedenti, si comprende facilmente perché
c'è un limite sulle dimensioni dell'ampiezza a della fenditura S0 oltre il
quale non si osserva più la figura di interferenza (cfr. a tale proposito
l'esempio VI.4.3.). Se non è soddisfatto il requisito a<À, la fenditura S0
può essere considerata come l'insieme di un gran numero di sorgenti rettilinee incoerenti, ciascuna delle quali dà luogo sullo schermo C ad un sistema di frange con il centro che cade in una posizione diversa, a seconda
della posizione della sorgente primaria. Di conseguenza, sullo schermo si
sovrappongono sistemi di frange di interferenza non completamente
coincidenti8 : all'aumentare dell'ampiezza a di S0 , le frange diventano
sempre più larghe e meno nette, come mostreremo nell'esempio VI.4.3.,
fino a produrre una illuminazione uniforme nel caso di una sorgente molto estesa.
8. In altre parole l'intensità risultante nei punti dello schermo C è pari alla somma delle
intensità relative alle figure di interferenza singolarmente prodotte da ciascuna sorgente rettilinea. Ciò è conseguenza del fatto che le sorgenti rettilinee sono incoerenti
e, come abbiamo dimostrato nel § VI.4.2., l'intensità risultante in un punto dello spazio in presenza di sorgenti incoerenti è pari alla somma delle intensità che ciascuna
sorgente produrrebbe in quel punto in assenza dell'altra.
e
B
Fig. 16
VI.4. - INTERFERENZA
744
Facciamo ancora una osservazione. Quando si utilizza una comune sorgente di luce, le onde da questa emesse sono in realtà pacchetti di estensione /j.f, 0 limitata (ad esempio in un tubo fluorescente /j.f, 0 è dell'ordine
di alcuni centimetri) ed ovviamente anche le onde emesse dalle fenditure
del dispositivo presentano la stessa caratteristica. Per questa ragione è necessario che la differenza di cammino complessiva fra le onde interferenti
in P, pari a
/j,_f,
= [(r2 + r' 2 )-(r1 + r\ )]
sia minore di /j.f,0 • Infatti, perché sia soddisfatto il requisito di coerenza, è indispensabile che nei punti di osservazione si abbia la sovrapposizione di onde originate dallo stesso pacchetto; in altre parole la differenza di cammino
ottico deve essere tale da garantire che in ogni punto dello schermo C il secondo pacchetto d'onda giunga prima che l'altro sia interamente trascorso. In
caso contrario nei punti dello schermo C si ha la sovrapposizione di pacchetti
originati da transizioni atomiche differenti, che come abbiamo già visto non
sono correlati fra loro: di conseguenza la differenza di fase tra le onde interferenti non rimane più costante nel tempo ed inoltre i piani di polarizzazione
dei campi elettrici relativi ai due pacchetti non risultano più paralleli. Non risulta quindi possibile osservare il fenomeno dell'interferenza. E' per questa
ragione che /j.f,0 viene detta lunghezza di cperenza.
E' possibile verificare sperimentalmente quanto affermato in precedenza
ricorrendo a dispositivi 9 come quello di Michelson che studieremo in
seguito, in cui è possibile far variare in modo molto semplice la
differenza di percorso /j.f, delle due onde interferenti; facendo crescere /j,_f,
a partire da un valore minore della lunghezza di coerenza, si osserva che
le frange diventano sempre meno nitide fino a sparire del tutto quando /j,_f,
diventa maggiore di /j.f,0 , lasciando lo schermo di osservazione illuminato
uniformemente. Si è infatti passati dalla sovrapposizione di onde
completamente coerenti a quella di onde completamente incoerenti.
La impossibilità di osservare il fenomeno dell'interferenza se la differenza dei cammini ottici supera la lunghezza di coerenza può anche essere
spiegato da un punto di vista differente. Un'onda armonica perfettamente
monocromatica ha una estensione ed una durata infinite. Un pacchetto
d'onda di lunghezza spaziale e durata finite è caratterizzato da una banda
di frequenze /j.y nell'intorno di una frequenza fondamentale v.
Proviamo ad analizzare come si modifica il sistema di frange osservato
quando la radiazione utilizzata non è monocromatica, ma contiene tutte le
lunghezze d'onda comprese tra due valori À1 e À2 (À1 < À2). La sorgente
della radiazione policroma può essere vista come un insieme di sorgenti
monocromatiche mutuamente incoerenti; ciascuna componente cromatica
produce una figura di interferenza e l'intensità totale nei punti dello
schermo di osservazione risulta pari alla somma delle intensità presenti in
tali figure monocromatiche.
Poniamoci per semplicità nella condizione in cui le fenditure S1 e S2 siano
equidistanti da S0 in modo che le posizioni dei massimi e dei minimi di
9. Il dispositivo di Young non si presta per tale verifica in quanto la differenza di percorso !::.R è generalmente sempre più piccola della lunghezza di coerenza !::..R0 .
vr.4.3.1.-
DISPOSITIVO DI YOUNG
745
intensità in ciascuna figura di interferenza siano fissate dalle relazioni
(VI.4.15.). Da queste si deduce che, ad eccezione della frangia centrale,
tutte le altre si formano ad una posizione che dipende dalla lunghezza
d'onda À ed inoltre la loro larghezza /)..y=ÀD/d cresce 10 con À. A causa
di ciò accade che i sistemi di frange relative a lunghezze d'onda diverse,
sovrapponendosi sullo schermo, possono causare una perdita di nitidezza
nella figura osservata.
Determiniamo quindi fino a quale ordine è possibile osservare frange nitide.
Per quanto osservato in precedenza le frange scompariranno quando la larghezza della regione in cui si formano i massimi dello stesso ordine m per
tutte le lunghezze d'onda presenti diviene uguale a quella che separa i massimi di ordine m ed m+l per la lunghezza d'onda À1• Di conseguenza il valore più elevato di m per il quale è possibile osservare frange nitide si ottiene
dalla seguente condizione: il massimo di ordine m per la lunghezza d'onda
'lvz coincide con quello di ordine m+ 1 relativo alla lunghezza d'onda À1
mÀ 2 = (m + l)À 1
da cui si ha
Il massimo ordine osservabile è inversamente proporzionale all'intervallo
/)..À delle lunghezze d'onda contenute nella radiazione incidente.
Per un pacchetto d'onda caratterizzato da una banda di frequenze /)..y
nell'intorno di una frequenza fondamentale v sussiste la relazione
À
V
IMI = j/)..vl =v/)..to
(VI.4.17.)
in cui si è tenuto conto che, per il teorema di Fourier, /)..y è determinato
dalla durata /)..to del pacchetto (/)..V= 1//)..to). Tenendo conto della relazione
precedente possiamo stimare il valore del massimo ordine m osservabile
nel caso in cui la radiazione sia costituita da pacchetti d'onda. Risulta
m
=v/)..t
0
In tale posizione la differenza di cammino ottico tra le onde interferenti
vale
come trovato in precedenza. Possiamo concludere affermando che
l'impossibilità di osservare frange di interferenza in punti in cui la differenza di cammino ottico tra le onde interferenti supera la lunghezza /)...€0
del pacchetto si può anche vedere come conseguenza del fatto che un
pacchetto d'onda non è mai rigorosamente monocromatico.
Sulla base delle considerazioni precedenti si deduce che se la sorgente di
luce utilizzata nel dispositivo di Young emette luce policroma, il sistema
10. Le frange che si osservano con luce rossa ad esempio sono larghe circa il doppio di
quelle prodotte con luce blu.
VI.4. - INTERFERENZA
746
di frange osservato presenta la frangia centrale dello stesso colore della
luce incidente e poche frange laterali di colorazione diversa. Infatti a partire da una certa distanza dalla frangia centrale, le frange di ordini diversi
e di diverso colore si sovrappongano dando luogo così ad illuminazione
uniforme.
'
Il problema della lunghezza di coerenza finita (o equivalentemente quello
di disporre di sorgenti non monocromatiche) è stato praticamente superato con la realizzazione, a partire dal 1960, dei laser (Light Amplification
through Stimulated Emission of Radiation), in cui il processo di emissione di luce da parte degli atomi viene stimolata, così che risulta coordinata
e coerente, con un conseguente aumento della lunghezza di coerenza che
risulta dell'ordine di 107m. Se si utilizza un laser come sorgente di luce,
inoltre, lo schermo A del dispositivo di Y oung non è più necessario e per
produrre le frange di interferenza basta fare incidere direttamente la luce
laser sullo schermo B.
ESEMPIO Vl.4.3.
-
LIMITE SULLE DIMENSIONI DELL'AMPIEZZA a DELLA
FENDITURA S0 NEL DISPOSITIVO DI YOUNG
-----
D'
A
B
Indichiamo con Ai e A2 gli estremi della fenditura So del dispositivo di
Young (fig. 17). Per quanto osservato nel paragrafo precedente, tutti i
punti compresi tra Ai e A2, quando sono investiti da una perturbazione,
si comportano come sorgenti incoerenti, ciascuna delle quali dà luogo
sullo schermo C ad un sistema di frange con il centro che cade in una posizione diversa, a seconda della posizione della sorgente primaria. Ricerchiamo la condizione per cui tali sistemi siano sufficientemente sovrapponibili, così che sullo schermo C si osservi una figura di interferenza
nitida.
A tale scopo valutiamo la differenza di fase intrinseca tra le onde emesse
da Si e S 2 quando vengono raggiunte da onde emesse da una sorgente
prossima ali'estremo Ai di S0
Fig. 17
dove abbiamo indicato con a l'ampiezza della fenditura S0, con d la distanza tra le fenditure Si e S2 e con D' la distanza tra gli schermi A e B.
La differenza di fase intrinseca tra le onde emesse da Si e S 2 quando vengono raggiunte da onde emesse da una sorgente prossima ali' estremo A 2
è pari a
Le frange luminose prodotte sullo schermo C dalla sorgente primaria
prossima ad Ai (curva 1 di fig. 18) coincidono con quelle buie relative
alla figura prodotta da A 2 ( curva 2 di fig. 18), quando risulta
Li <p = Li<pi - Li <p 2 = 2Li<p 1
2n a/2
=2Td
D' = n
VI.4.3.l. - DISPOSmvo DI YOUNG
747
Il risultato della sovrapposizione di tali sistemi è
una illuminazione uniforme (curva 3 difig. 18).
Poiché si vuole invece che i due sistemi siano
sufficientemente sovrapponibili deve risultare
b.<p< 1t
Fig. 18
La situazione è illustrata in fig. 19: in questo caso
la figura risultante (curva 3) dalla sovrapposizione dei due sistemi di frange relativi alle sorgenti
A1 ed A2 ( curve 1 e 2 di fig. 19) presenta massimi
e minimi distinti. Poiché tutti gli altri sistemi di
frange relativi alle sorgenti primarie comprese tra
A 1 e A 2 cadono tra quelli relativi alle sorgenti estreme, risulteranno sovrapponibili.
In conclusione, per avere frange di interferenza
sufficientemente nitide sullo schermo C,
l'ampiezza a dellafenditura So deve soddisfare la
condizione
Fig. 19
'AD'
a<-2d
ESEMPIO
Vl.4.4. -
MISURA DELL'INDICE DI RIFRAZIONE MEDIANTE
TECNICHE INTERFEROMETRICHE
Sono numerose le applicazioni basate su tecniche interferometriche. Ad
esempio è possibile misurare l'indice di rifrazione di un gas. Il principio
su cui si basa tale misura può essere compreso anche utilizzando un dispositivo come quello schematizzato in fig. 20.
Mediante una lente convergente avente il primo
fuoco in corrispondenza della fenditura S0, illuminata con luce monocromatica di lunghezza
L2
d'onda À, il fascio di raggi divergenti da questa
I
viene trasformato in un fascio di raggi paralleli.
S1
Questi dopo aver attraversato due tubi paralleli
di uguale lunghezza f,, muniti di finestre fatte
con materiale trasparente, incidono sullo
S2
schermo B, su cui sono praticate due sottili fenditure S 1 ed S2• La figura di inteiferenza viene
osservata sullo schermo C, coincidente con il
piano focale di una seconda lente convergente;
A
B
in base alle proprietà delle lenti sottili,
Fig. 20
l'osservazione fatta in questa configurazione è
equivalente a quella in cui lo schermo C è posto
ad una distanza infinita da B. Inoltre ricordando che i cammini ottici dalla
retta S1H ortogonale ai raggi paralleli incidenti sulla lente al generico
punto P di sovrapposizione sono ugualifra loro (cfr. § Vl.3.4.1.), si ha che
la differenza di fase tra le onde interferenti in P vale
p
o
e
VI.4. - INTERFERENZA
748
2
b. <I> = n d sin 0 + b. cp
À
dove ricordiamo che 6-<p rappresenta la differenza di fase intrinseca eventualmente presente.
Se in entrambi i due tubi c'è il vuoto, le onde emesse da S 1 ed S2 hanno
origine da uno stesso fronte d'onda: la differenza di fase intrinseca è nulla (6-<p=O) e la.figura di interferenza presenta il massimo centrale (6-<l>=O)
nel punto O, che coincide con il secondo fuoco della lente L 2• In tale punto infatti si soprappongono le onde emesse da S 1 ed S2 che si propagano
in direzione parallela all'asse ottico e che, quindi percorrono cammini
ottici uguali (à(!=O) per raggiungere il punto O.
Se uno dei due tubi, ad esempio T 1, viene riempito con un gas, avente indice di rifrazione n, le onde emesse da S 1 ed S2 presentano una differenza
di fase intrinseca non nulla, dovuta ad una differenza tra i cammini ottici
seguiti dalle onde emesse da So per raggiungere lo schermo B, pari a
2n
2n
6-<p=-:;:(f-nf) =--:;:f(n-1)
Per tale ragione il massimo centrale si sposta nel
punto O', posto al di sopra di O (fig. 21) ed individuato dalt' angolo 00 che verifica la relazione
L1
b.<!>
O'
S1
So
ii .._
I
A
•--e--•
0
2n
--:;:f(n -1) =O
⇒
.
f(n-1)
sm 0o=
d
o
T
2n .
=-:;:d
sm 0
S2
i+----B
Fig. 21
Nella figura di interferenza si osserva quindi lo
spostamento di un certo numero di frange nel
passaggio
dalla situazione in cui in T 1 c'è il
e
vuoto a quella in cui è presente il gas di indice
di rifrazione n. Da una misura di tale numero si
può risalire al valore dell'indice di rifrazione.
Supponiamo ad esempio che utilizzando luce di
lunghezza d'onda À=O.58µm e tubi di lunghezza f = 10cm si sia osservato lo spostamento di N = 25 frange. Ciò vuol dire che nel punto in cui si forma il massimo di ordine m quando in T 1 c'è
il vuoto, si sposta il massimo di ordine k=m-25 quando in T 1 c'è il gas.
Si ha pertanto
fz
2n
.
2n
2n
2n
À
À
À
-dsm0--f(n-1)=-mÀ--f(n-1)=2kn
À
f(n -1) = (m - k)À = 25À
⇒
n =1+
25À
f
⇒
=l.OOO145
In realtà questa misura non si può effettuare con il dispositivo descritto
in quanto per osservare le frange di interferenza le fenditure S 1 ed S2 devono essere molto vicine. Per tale ragione si utilizzano dispositivi interfe-
749
yI.4.3.2.- SPECCHIO DI LLOYD
rometrici (interferometro di Jamin) che consentono di evitare l'uso di
fenditure sottili ed impiegano fronti d'onda estesi con notevole vantaggio
per la visibilità delle frange.
Vl.4.3.2. - Specchio di Lloyd
In questo dispositivo, illustrato schematicamente in
fig. 22, si ricorre all'uso di uno specchio piano per
effettuare la divisione dei fronti d'onda emessi da
una sorgente coerente S in modo da realizzare due
sorgenti coerenti. Con tale dispositivo è possibile
osservare frange di interferenza in un intervallo di
lunghezze d'onda compreso tra 10-10m e 104m, ben
più ampio del visibile.
Nel caso in cui si ha una sorgente di luce ordinaria,
questa va posta dietro uno schermo opaco su cui è
praticato un piccolo foro S, che, come abbiamo visto
nel dispositivo di Young, si comporta come una sorFig. 22
gente di onde sferiche. Una parte di queste incide
direttamente su uno schermo C, posto a distanza D, mentre un'altra parte
vi giunge dopo aver subito riflessione su uno specchio piano, di lunghezza f, posto al di sotto di S a distanza b da questa. Poiché le onde riflesse
sembrano provenire dal punto S 1, immagine virtuale di S formata dallo
specchio, possiamo affrontare lo studio dell'interferenza prodotta con
questo dispositivo in maniera analoga a quanto fatto nel caso del dispositivo di Young: infatti anche la sorgente S e la sua immagine virtuale S 1 si
comportano come due sorgenti puntiformi coerenti. Nella figura di interferenza prodotta, tuttavia, si riscontrano due sostanziali differenze rispetto a quella ottenuta con il dispositivo di Young.
La prima è relativa alla regione dello schermo C su cui le frange possono
essere osservate: poiché l'interferenza è prodotta dalla sovrapposizione
della luce diretta e di quella riflessa dallo specchio, le frange si formano
limitatamente alla zona compresa tra i punti
P1 e P2 (la cui posizione è fissata dalla geometria dell'apparato), in quanto solo in tale regione può giungere oltre alla luce diretta an.f ....
che quella riflessa dallo specchio.
: b
La seconda è più sostanziale: infatti, se si
····--·-ff --.- -.--.- -.- _..0.. ,- -.- ....... -.- - porta lo specchio a contatto con lo schermo
I
----(fig. 23), nel punto O equidistante da S ed
!.Y.............. - - ------------- ~
S1 si osserva una frangia scura e non una
sl ◄---------------------------------- ♦
D
chiara come ci si aspetterebbe. Questo risultato può essere giustificato ricordando che il
e
Fig. 23
raggio proveniente dalla sorgente virtuale S 1
ha subito nella riflessione sulla superficie dello specchio uno sfasamento di n rispetto alla luce incidente, come già visto nella teoria elettromagnetica della riflessione sulla superficie che separa due mezzi
trasparenti diversi (cfr. § VI.2.4.3.). Poiché il raggio incidente proviene dal mezzo otticamente meno denso ed inoltre siamo in condizioni
di incidenza radente, sia la componente del campo elettrico parallela
si
dr
p
e
VI.4. - INTERFERENZA
750
al piano di incidenza, che quella ortogonale nell'onda rifessa sono dirette in verso opposto alle corrispondenti componenti nell'onda incidente. Ciò equivale a dire che l'onda riflessa è sfasata di 1t rispetto
all'onda incidente.
Lo sfasamento di 1t può essere interpretato come differenza di fase intrinseca ~cp tra le onde interferenti e deve essere sommato a quello che deriva
dalla differenza di cammino ai fini della determinazione della differenza di
fase complessiva ~<I>. Se continuiamo ad indicare con 0 la posizione angolare di P, la differenza di fase ~<I> è espressa dalla relazione
2x(r -r ) -x =-d
2x sm0-1t
.
~<I>=2
1
À
À
dove d=2b, in quanto S 1 si trova in posizione simmetrica ad S rispetto al
piano dello specchio.
Le posizioni angolari dei massimi e dei minimi si ricavano rispettivamente dalle relazioni
d sin0 = (2m + I)À
2
(massimi)
dsin0=mÀ
(minimi)
1
A causa dello sfasamento di 1t dovuto alla riflessione sullo specchio, le
posizioni dei massimi e dei minimi sono invertite rispetto a quelle ottenute col dispositivo di Young.
Osserviamo infine che anche nel caso del dispositivo di Lloyd, affinché il
sistema di frange possa risultare nitido è necessario rispettare tutte le
condizioni già discusse in quello di Y oung. Le frange prodotte con entrambi gli apparati vengono dette non localizzate, in quanto lo schermo
su cui possono essere osservate può essere posto in una posizione qualsiasi della regione di sovrapposizione coerente.
ESEMPIO Vl.4.5. -FIGURA DI INTERFERENZA PRODOTTA COL
DISPOSITIVO DI LLOYD
Il sistema di frange prodotto con tale dispositivo è legato alla sua geometria, cioè alle dimensioni ed alla posizione dello specchio piano rispetto
alla sorgente ed allo schermo di osservazione. In questo esempio vogliamo vedere come si modifica la figura di inteiferenza al variare della distanza dello specchio dallo schermo.
Supponiamo che la sorgente S emetta luce monocromatica di lunghezza d'onda À=550nm e si trovi a distanza D= Im dallo schermo Ce a
distanza b= 1mm al di sopra di uno specchio lungo f=20cm.
L'estremo B di questo è a distanza h=60cm dallo schermo C (fig. 24).
Determiniamo la larghezza del sistema di frange ed i relativi ordini.
Come abbiamo gia osservato è possibile vedere frange solo nella regione
compresa tra i punti P 1 e Pz, intersezione con lo schermo C dei raggi riflessi dagli estremi A e B dello specchio. Essi si trovano a distanza y 1 ed
y 2 da O, punto di intersezione dello schermo C con l'asse del segmento
SS1, che si determinano tramite le relazioni
751
YL4.3.2. _ SPECCHIO DI LLOYD
P2 ...........
t 0' =2'.L=_b_
g I
h D-h
⇒
.... ,..s
= _!!!!_ = 10-3 . 0.6 = 1.5mm
Yi D-h
0.4
t 0' 2 =--22__=
g
h+R
b
D-R-h
---:::;;::::::-,·..+·~2
I
I
~--.~
....__..:;:::::.-<::::::r ~ - - ;')\!iìl-•iilr!::'
bI
d ..!....
⇒
1
I
I
2, -
Y1 III
.......- - - -.......t ...t
- _ - ,;◄------♦-. - - - - - - - - - - - - - - - - o
h
f_
........ -:.:----
t . ........... ,.--
Sii
3
= b(h+R) = 10- -0.8 = mm
4
Yz D-R-h
0.2
·◄----------------------------------
D
Pertanto la larghezza della regione in cui si fonnano le frange di inte,ferenza è pari a L\y =2.5mm.
Per detenninare gli ordini delle frange chiare presenti in L\y, è necessario
conoscere le posizioni angolari dei punti P1 e P2 cioè gli angoli che i raggi
r 1 ed r 2, che individuano P1 e P2 rispetto al punto medio del segmento SS 1,
fonnano con l'asse del segmento stesso. Queste sono pari a
Fig. 24
I massimi di inte,ferenza si fonnano in posizioni individuate da un angolo e che soddisfa la relazione
d sin 0 = (2m + I) À
2
01 ~ 0 ~ 0 2
con
Gli ordini corrispondenti sono tutti gli interi m compresi tra i valori m 1 e
m2 che si detenninano dalle relazioni
2bsin0 1 =(2m 1 +I)À
2
⇒
m1 = 2b01 _ _!_ = 4.95
À
2
2bsin0 2 =(2m 2 +I)À
2
r2
⇒
:+: .......... ------ --I
1
----~~-----------
si ◄----------------------------------
2 9
m 2 = b - _!_ = 14.04
À
2
Pertanto gli ordini osservabili sono quelli compresi tra quinto ed il quattordicesimo ( 5 ~ m ~ 14 ).
Vediamo ora come si modifica la.figura di inte,ferenza portando lo specchio a contatto con lo schenno C (fig. 25). In tal caso le frange si fonnano nella regione compresa tra O ed il punto P2 posto a distanza y 2 pari a
y 2 = _!!!_ =
D-R
10
3
02
- • · = 0.25mm
0.8
La larghezza della regione di interferenza è pari a y 2 e le frange luminose osservabili sono quelle individuate da m compreso tra zero ed il valo-
re m2 che si detennina dalla relazione
D
Fig. 25
e
e
. VIA.
752
INTERFERENZA
con
m2 = 2h02 _ _!_=0.4
À
2
In questa situazione sperimentale si osserva solo la frangia di ordine
m=O.
Vl.4.3.3. - Interferenza da lamine sottili
p
I colori che si osservano quando luce solare incide su una bolla di sapone
o su uno sottile velo di olio galleggiante sull'acqua sono il risultato
dell'interferenza delle onde luminose riflesse dalle due superfici che delimitano la sottile pellicola di sapone o di olio. Questi fenomeni, facilmente osservabili ad occhio nudo, costituiscono due esempi di interferenza prodotta da lamine sottili. In questo paragrafo analizzeremo il caso in cui la lamina abbia spessore uniforme, mentre nei prossimi tratteremo quello di lamine a spessore variabile (cuneo, anelli di Newton).
Consideriamo quindi una lamina di spessore uniforme d ed indice di rifrazione n, compresa fra due mezzi aventi indice di rifrazione n 1 ed n2
rispettivamente. Supponiamo che essa sia investita dalla luce proveniente da una sorgente monocromatica e puntiforme S (fig. 26). In un generico punto P, che si trovi dalla stessa parte della sorgente S, si ha
l'interferenza fra il raggio 11 1, riflesso sulla superficie superiore dello
strato, e il raggio 2 che, provenendo sempre da S, emerge dalla pellicola
dopo aver subito rifrazione nel punto A, riflessione nel punto E e ancora
rifrazione in A'. Su un qualsiasi schermo diffusore, parallelo alla lamina,
si può osservare il sistema di frange così prodotto che, quindi, vengono
dette frange non localizzate: queste per simmetria hanno la forma di
anelli chiari e scuri con centro nel punto di intersezione tra la perpendicolare per S alla lamina e lo schermo stesso.
Vediamo ora cosa accade quando la lamina viene investita dalla luce proveniente da una sorgente estesa ancora monocromatica. E' questa la situazione che si presenta solitamente dal momento che anche le sorgenti
puntiformi sono realizzabili solo in modo approssimato e non sempre le
condizioni sperimentali sono tali da giustificare queste approssimazioni.
Poiché una sorgente estesa può essere considerata come l'insieme di tante
sorgenti puntiformi fra loro incoerenti, ciascuna delle quali produce un sistema di frange circolari come quelle descritte precedentemente, la distribuzione complessiva delle frange è data dalla sovrapposizione dei vari sistemi
di frange aventi centri differenti. Il risultato di tale sovrapposizione dà luogo
ad illuminazione uniforme e non si osservano, pertanto, frange non localizzate nitide. E' invece possibile osservare frange di interferenza per riflessione o
all'infinito o direttamente sulla superficie della lamina. Nel primo caso se la
sorgente è rigorosamente monocromatica lo spessore d può assumere qual!
Fig. 26
11. Useremo indifferentemente i termini onda e raggio, dal momento che questo, come
abbiamo già osservato precedentemente, rappresenta la direzione di propagazione
dell'onda corrispondente.
VI.4.3.3. - IN1ERFERENZA DA LAMINE SOTTILI
753
siasi valore, altrimenti non deve superare la lunghezza di coerenza. Invece
nel secondo caso, come vedremo, è sempre indispensabile che lo spessore d
non sia superiore ad alcune lunghezze d'onda della radiazione incidente.
Consideriamo dapprima il caso di interferenza per riflessione all'infinito. Questa condizione si realizza in laboraQ
torio ricorrendo ad una lente convergente (fig. 27), che,
come abbiamo visto, focalizza in uno stesso punto del
suo piano focale raggi che incidono su di essa parallelamente tra loro. Pertanto, su uno schermo diffusore coincidente con il piano focale della lente si osserva la stessa
figura di interferenza che si osserverebbe all'infinito. In
alternativa è possibile osservare direttamente le frange
con l'occhio rilassato, aggiustato per ricevere sulla retina
l'immagine di un punto a distanza infinita. Le frange coIl
sì osservate vengono dette frange per riflessione
Il1
all'infinito e poiché sono corrispondenti a raggi di uguali inclinazioni, come vedremo nel seguito, vengono anche dette frange di uguale inclinazione.
Con riferimento alla fig. 27 consideriamo raggi provenienti da punti diversi (S, S' ... ) della sorgente estesa, ma
incidenti sulla lamina con lo stesso angolo 0i, come ad esempio i raggi SP ed S'P'. Ciascuno di questi dà luogo ad
una coppia di raggi paralleli costituita da un raggio riflesso
(come il raggio 1 nel caso di SP) e ad uno rifratto;
quest'ultimo dopo aver subito riflessione sulla seconda superficie dello strato (punto E) emerge (nel punto A) lungo
una direzione parallela al primo e si sovrappone a questo
Q
all'infinito o in un punto (Q) del piano focale di una lente
convergente. Tutte le coppie di raggi così ottenute vengono
focalizzate dalla lente nello stesso punto ed in questo
l'interferenza tra i raggi di ciascuna coppia soddisfa la
stessa condizione, come vedremo in seguito. In questa situazione sperimentale le onde interferenti si originano per
divisione dell'ampiezza dell'onda incidente nei processi di
riflessione e rifrazione. E' questo, quindi, un esempio di
interferenza per divisione di ampiezza, in quanto i fronti
Il
d'onda delle onde interferenti hanno la stessa estensione
del fronte d'onda incidente ma ampiezza inferiore. Vale la
pena di precisare che nello studio dell'interferenza per riflessione generalmente ci si limita a considerare i raggi che
hanno subito una sola riflessione (raggi 1 e 2 di fig. 28).
Ciò è conseguenza del fatto che la riflettanza della superficie che separa due mezzi trasparenti è solitamente bassa,
come si può verificare facilmente mediante le formule di Fresnel (cfr. §
VI.2.4.3.), tenendo anche presente che gli angoli di incidenza sono piuttosto piccoli (in fig. 27 e 28, per ragioni di evidenza, l'angolo di incidenza è
stato ingrandito notevolmente rispetto al suo valore reale). Per questo motivo i raggi che emergono dopo aver subito più di una riflessione (raggio
3, ... ) hanno intensità molto piccole rispetto a quella dei primi due e quindi
possono essere trascurati.
E
Fig.27
s
E
Fig.28
VI.4. - INTERFERENZA
754
I
I
I
:d
n
I
I
I
Analizziamo il sistema di frange prodotto sullo schermo diffusore posto nel
piano focale della lente. La natura dell'interferenza nel generico punto Q di
questo dipende dalla differenza di fase .11<!> tra i due raggi di ciascuna coppia. Per determinare .11<!> bisogna tener conto oltre che del termine .!1<pe, legato alla differenza dei cammini ottici che seguono le onde per raggiungere
il punto Q, anche di una eventuale differenza di fase dovuta alla riflessione
e che tratteremo come una differenza di fase intrinseca .!1<p. A tale proposito
ricordiamo (cfr. §·VI.2.4.3.) che, quando un'onda incide sulla superficie
che separa due mezzi trasparenti diversi, dà luogo ad un'onda trasmessa
(rifratta), che è sempre in fase con essa, e ad un'onda riflessa, che risulta
ancora in fase con l'onda incidente, se questa si propaga verso il mezzo otticamente più denso, ed è invece sfasata di TC, se l'onda incidente si propaga
verso il mezzo otticamente meno denso. Per questo motivo il valore di .!1<p
va valutato di volta in volta tenendo conto dei valori degli indici di rifrazione della lamina e dei mezzi tra cui è inserita. Se, ad esempio, si considera la situazione fisica in cui l'indice di rifrazione della lamina risulta maggiore (o minore) di quello di entrambi i mezzi in cui essa è posta, come accade quando dalle due parti della lamina c'è lo stesso mezzo (n 1 =n2), .!1<p
vale TC, in quanto solo nella riflessione del raggio 1 (o del raggio 2) la luce
proviene dal mezzo otticamente meno denso.
Per quanto riguarda il termine L1<pe bispgna valutare la differenza dei cammini ottici che percorrono le onde per raggiungere il punto Q. Con riferimento alla fig. 29, tenendo presente che a partire dai punti A ed H i cammini ottici risultano uguali, la differenza di cammino ottico L1C è data da
L1C = n(PE + EA) - n 1PH
Mediante semplici considerazioni geometriche, che saranno illustrate in
dettaglio nell'esempio Vl.4.5., si ha che
n1
Fig. 29
(VI.4.18.)
L1C = 2nd cos 0 r·
e quindi la differenza di fase corrispondente vale
2n
L1<p e = - 2nd cos 0 r'
À
I punti in cui l'intensità luminosa è massima o minima sono quelli nei
quali la differenza di fase complessiva è rispettivamente un multiplo pari
o dispari di TC, cioè
2n
.11<!> = L1<pe + .!1<p = -2nd cos 0r. + .!1<p = 2m1t
massimi
À
.11<!> = .!1<p e + L1<p =
2
1t
2nd cos 0 r'
+ .!1<p = (2m + l)n
rmmm1
À
con m = O, 1, 2, ...
Nel caso in cui la lamina è a contatto da entrambe le parti con lo stesso
mezzo, essendo .!1<p = TC, i massimi ed i minimi di interferenza si hanno
nei punti in cui risulta
2n
.11<!> =-2n d cos0r. -n = 2mn
À
755
yI.4.3.3. - IN1ERFERENZA DA LAMINE SOTTILI
2
Li<I> = n: 2nd cos0r, - n: = (2m + l)n:
À
In tal caso i punti di massima o di minima intensità sono quelli per cui la
differenza di cammino ottico risulta un multiplo rispettivamente semintero o intero della lunghezza d'onda À
À
2n d cos0r' = (2m + 1)2
massuru
(VI.4.19.a)
2n d cos0r, = mÀ
mmnru
(VI.4.19.b)
Nel caso in cui la lamina abbia un indice di rifrazione intermedio rispetto a quello dei due mezzi tra cui è interposta, le riflessioni alla prima e alla seconda superficie sono della stessa natura e si compensano perfettamente (in entrambe le riflessioni
o non c'è sfasamento o c'è uno sfasamento di n:). Le posizioni
dei massimi e dei minimi soddisfano le relazioni
2 n d cos0 r' = mÀ
À
2ndcos0r, =(2m+l)2
massnru
(VI.4.20.a)
mmmu
(VI.4.20.b)
schermo
I massimi e i minimi si scambiano rispetto a quelli che si avevano nella situazione precedentemente considerata.
specchio
Le (VI.4.19.) e le (VI.4.20.) mostrano che, per un fissato valosemirifletre di À, ciascuna frangia si foqna in corrispondenza di un
tente
particolare valore dell'angolo di rifrazione 0r· (e quindi
dell'angolo di incidenza 0i) cosa che giustifica il nome di
frange di uguale inclinazione.
Se la sorgente estesa è posta in modo tale che sulla lente possano giungere raggi da tutte le direzioni, come nella situazione
schematizzata in fig. 30, in cui si utilizza a tale scopo uno
specchio semiriflettente, sullo schermo si formano, al variare
dell'inclinazione, frange di forma circolare con centro in O,
fuoco della lente. Tali frange nel caso di sorgente non monocromatica si presentano come anelli colorati.
Vediamo ora perché, in presenza di sorgente estesa, si possono
vedere direttamente le frange di interferenza localizzate sulla
superficie della lamina, nell'ipotesi che questa sia sottile.
d•
A tale scopo cominciamo con l'osservare che in presenza di una
't
sorgente puntiforme monocromatica S, anche sulla superficie superiore della lamina si forma un sistema di frange circolari con il cen- .
tro in O, intersezione della normale per S alla lamina (fig. 31), come
abbiamo già osservato in precedenza (frange non localizzate).
Si può dimostrare facilmente che se la lamina è sottile, le relazioni che
forniscono i massimi ed i minimi di intensità coincidono con quelle
che abbiamo determinato nel caso dell'interferenza per riflessione
all'infinito. Infatti prendiamo in esame il generico punto P sulla superficie superiore della lamina: in esso si ha interferenza tra i raggi 1 e 2,
Fig. 30
s
1\\
.
n1
o
È
Fig. 31
n
llz
VI.4. - INTERFERENZA
756
che hanno subito riflessione rispettivamente dalla prima e dalla seconda superficie della lamina stessa. Se questa è sottile e l'incidenza non
è troppo obliqua, il punto A in cui viene rifratto il raggio 2 è sufficientemente vicino al punto P in cui viene riflesso il raggio 1, da permettere di considerare i percorsi SP ed SA all'incirca paralleli e, di conseguenza, la differenza di cammino ottico tra le onde interferenti in P
vale ancora
!}_,f,
n2
Fig. 32
= 2 n d cose r'
Quindi nel caso in cui l'indice di rifrazione della lamina risulti maggiore
(o minore) di quello di entrambi i mezzi in cui è posta, i punti in cui si
possono avere massimi o minimi di intensità, al variare dell'angolo di incidenza, devono soddisfare rispettivamente le relazioni (VI.4.19.a) e
(VI.4.19.b).
Se sostituiamo la sorgente puntiforme con una, ancora monocromatica,
ma estesa, sulla superficie della lamina si formano più sistemi di frange
non sovrapponibili, corrispondenti ai diversi punti della sorgente. Ciò nonostante, un osservatore che guardi verso la lamina sottile può vedere sulla sua superficie delle frange di interferenza. Infatti poiché il diametro
della pupilla dell'osservatore è molto piccolo rispetto alla sua distanza
dalla lamina, alla visione del punto P contribuiscono solo i raggi che si
propagano all'interno del sottile cono di osservazione e che hanno praticamente la stessa direzione come mostrato in fig. 32. Inoltre, essendo la
lamina sottile e dovendo essere soddisfatta la legge della riflessione, ciascuna coppia di raggi interferenti in P deve avere origine da una sorgente
puntiforme (come Sin fig. 32) che si trova all'interno di una regione molto piccola compresa tra S 1 ed S2 (fig. 32). Per tale ragione gli angoli di incidenza delle coppie di raggi interferenti in P, che contribuiscono alla sua
visione, sono praticamente uguali fra loro. Ricordando che la differenza
di cammino ottico tra i raggi di una coppia vale !}.,f, =2ndcos0r·, segue che
le coppie di raggi interferenti in una piccola zona attorno a P sono caratterizzate dallo stesso valore della differenza di fase.
Ribadiamo che nel caso di sorgenti estese, affinché si possano vedere le
frange localizzate sulla lamina, è necessario che questa sia sottile, cioè di
spessore d non superiore ad alcune lunghezze d'onda della radiazione incidente. Infatti per spessori dell'ordine del centimetro, è facile verificare che
la differenza di cammino tra le onde interferenti nei punti della lamina presi
nell'intorno di P non è più valutabile con la relazione /}.f=2ndcos0r· ed inoltre cambia rapidamente per piccoli spostamenti da P. Di conseguenza nei
punti della piccola zona di osservazione nell'intorno di P le coppie di raggi
interferenti non sono più caratterizzati dallo stesso valore della differenza
di fase e non è più possibile vedere alcuna figura di interferenza localizzata
sulla lamina.
E' interessante studiare il caso particolare in cui la luce incide normalmente sulla lamina sottile; tale situazione si può realizzare sperimentalmente ricorrendo, ad esempio, ancora ad uno specchio semiriflettente come
mostrato in fig. 33. In questo caso risulta cos0r· 1 e le relazioni che forniscono i massimi ed i minimi di intensità possono riscriversi nella forma
=
757
VI.4.3.3. - IN1ERFERENZA DA LAMINE SOTTILI
À,
2 n d = (2m + 1)-
massimi
2nd=mÀ
mmum
2
se da entrambe le parti della lamina c'è lo stesso mezzo.
Dalle relazioni precedenti si deduce che, se lo spessore della lamina non varia e la sorgente è monocromatica, può esistere un solo valore di m in corrispondenza del quale è soddisfatta o la condizione di massima intensità o
quella di minima. Questo risultato diventa evidente se le relazioni precedenti
vengono riscritte nella forma
n'
n
n'
Fig. 33
d =(2m+1)~=(2m+l)~
4n
4
d=m~=2mÀ,n
2n
4
Queste mostrano infatti che se lo spessore della lamina è un multiplo dispari di Àuf4 sulla sua superficie superiore si forma un massimo, se è un
multiplo pari si forma un minimo.
Osserviamo infine che mediante una lamina di spessore costante si
possono produrre fenomeni di interferenza oltre che per riflessione
anche per trasmissione (fig. 34). In questo caso l'interferenza avviene
ancora tra coppie di raggi paralleli che provengono da uno stesso punto della sorgente: il primo emerge dalla lastra dopo aver subito rifrazione in A e B; il secondo emerge dalla lastra dopo aver subito due riflessioni interne in B e C. La natura dell'interferenza in Q' dipende
dalla differenza di fase tra le onde interferenti, che, anche in questo
caso, consta di due termini: il primo legato alla differenza di cammino
ottico, il secondo agli eventuali sfasamenti in riflessione, a seconda
dei valori degli indici di rifrazione dei mezzi. Semplici considerazioni
geometriche provano che la differenza di cammino ottico vale ancora
Li-€=2ndcos0r·, come in riflessione. Ricordando poi che l'onda trasmessa è sempre in fase con quella incidente, mentre l'onda riflessa si sfasa
di n se la luce proviene dal mezzo otticamente meno denso, è facile
verificare che la differenza di fase intrinseca Li<p differisce sempre di 1t
rispetto a quella valutata nell'interferenza per riflessione. In altre parole, in trasmissione le condizioni di intensità massima e minima risultano scambiate rispetto a quelle che si hanno in riflessione, per cui se
ad esempio la frangia centrale è luminosa in riflessione, risulta scura
in trasmissione e viceversa.
In generale si preferisce studiare l'interferenza in riflessione anziché in
trasmissione in quanto il sistema di frange prodotto risulta nel primo caso
più visibile. Infatti, ricordando che in generale l'ampiezza dell'onda riflessa è molto più piccola di quella dell'onda rifratta, le onde che interferiscono hanno praticamente la stessa intensità in riflessione, mentre in
trasmissione hanno intensità molto diverse. Di conseguenza, nel caso
dell'interferenza per trasmissione nei punti di minimo le due onde non si
cancellano completamente l'una con l'altra e ciò riduce la visibilità del
sistema di frange (cfr. § VI.4.2.).
Fig. 34
VI.4. - INTERFERENZA
758
ESEMPIO Vl.4.6. - CALCOLO DELLA DIFFERENZA DI CAMMINO OTTICO
NEL CASO DELL'INTERFERENZA PER RIFLESSIONE
DA UNA LAMINA DI SPESSORE COSTANTE
Con riferimento alla fig. 35, consideriamo un qualsiasi raggio (ad esempio SP) incidente su una lamina trasparente di indice di rifrazione n e
spessore d. Esso dà luogo ad un raggio riflesso e ad uno rifratto, che subisce a sua volta riflessione in E ed emerge dalla lastra in A. Questi due
raggi interferiscono all'infinito. Valutiamone la differenza di cammino
ottico
dove
AE=EP=d/cos0r.
e
HP = PA sin 0 i = 2d tg0 r' sin 0 i
Pertanto
Fig. 35
. 20
1 . 20
1
= 2nd--- - 2nd sm r' = 2nd - sm r'
cos0t
cos0t
cos0t
2nd cos 0 r'
avendo utilizzato la legge di Snell
n 1 sin 0i = n sin 0r.
ESEMPIO Vl.4.7. - PELLICOLE NON RIFLETTENTI
Fig. 36
Spesso le superfici presenti negli strumenti ottici vengono ricoperte di un
sottile strato di una sostanza trasparente per ridurre sensibilmente la riflessione della luce incidente su di esse e che potrebbe causare problemi
(perdite di luce etc.). E' il fenomeno dell'interferenza da lamine sottili
responsabile della riduzione della luce riflessa.
Supponiamo ad esempio di avere una lastra di vetro (n =1.5) e di ricoprirla con un sottile strato di fluoruro di magnesio (n' = 1.38). Ci chiediamo quale deve essere il più piccolo spessore di tale strato affinché il
sistema non rifletta luce di lunghezza d'onda À=O.55µm In altre parole
si vuole realizzare la condizione di interferenza distruttiva in riflessione
per la lunghezza d'onda considerata.
Poiché l'indice di rifrazione dello strato sottile è minore di quello del vetro, sia l'onda riflessa alla superficie superiore (aria-strato) che quella
riflessa alla superficie inferiore (strato-vetro) subiscono uno sfasamento
di 1t. Pertanto la condizione di interferenza distruttiva nel caso di incidenza normale risulta essere
2n'd = (2m + 1) À/2
Il più piccolo spessore d si ottiene per m=O e risulta pari a
VJ.4.3.4.-
759
FRANGE DI INTERFERENZA DI UGUALE SPESSORE
À
0.55
d=-=--=0.099µm
4n' 4-1.38
Se invece si desidera che il sistema non trasmetta la lunghezza d'onda À
e, quindi, lo strato appaia scuro in trasmissione, esso deve avere uno
spessore tale che risulti
2n'd =mÀ
Ricordiamo infatti che in trasmissione si ha interferenza tra un raggio
che ha subito solo rifrazione (raggio 1 difig. 37) e che quindi non ha subito sfasamenti, ed un altro (raggio 2) che emerge dopo aver subito riflessione alla superficie di separazione strato-vetro, dove ha subito uno
sfasamento di 1t, e a quella di separazione strato- aria dove non ha subito alcuno sfasamento.
Il più piccolo spessore d si ottiene per m=I e risulta pari a
Fig. 37
0 55
d=~= ·
=0.199 m
2n' 2 -1.38
µ
In entrambi i casi si tratta di spessori dell'ordine di poche centinaia di
strati atomici, dal momento che la separazione tra atomi è dell'ordine di
10-9m.
Vl.4.3.4.- Frange di interferenza di uguale spessore
Frange di questo tipo si producono con pellicole sottili, che presentano
spessore variabile. Nel seguito esamineremo esplicitamente il caso del
cuneo e degli anelli di Newton.
Per cuneo si intende una lamina sottile trasparente delimitata da facce
piane non parallele, che formano tra loro un angolo a dell'ordine del decimo di milliradiante. Esso può essere realizzato ad esempio mediante
due lastrine di vetro che ad una estremità sono a contatto e all'altra sono
separate da un sottile foglio di carta (fig. 38): la pellicola di aria compresa
tra di esse costituisce un cuneo.
Se si fa incidere su un cuneo un fascio di luce monocromatica proveniente da una sorgente estesa, un osservatore può vedere direttamente sulla
superficie superiore del cuneo un sistema di frange di interferenza localizzate, ottenute per riflessione. L'occhio dell'osservatore può essere sostituito da uno strumento ottico a pupilla stretta, che presenti cioè una apertura limitata in modo che i fascetti provenienti dai singoli punti della
superficie osservata siano caratterizzati dalla stessa inclinazione. In questa ipotesi per il cuneo valgono le stesse considerazioni fatte nel caso di
pellicole sottili di spessore costante e la differenza di fase tra le onde interferenti in un generico punto sulla superficie superiore di un cuneo di
indice di rifrazione n vale
2n
2n
Li<D =-LiR - LÌ<p =-2nd cos 0 r'
À
-
LÌ<p
À
Essa dipende essenzialmente dall'inclinazione dei raggi e dallo spessore d
del cuneo in corrispondenza del punto considerato. Pertanto in tutti i punti corrispondenti ad uno stesso spessore d si ha uno stesso valore della
Fig. 38
VI.4.
760
INTERFERENZA
differenza di fase delle coppie di raggi che contribuiscono alla visione,
per cui le frange di interferenza risultano parallele allo spigolo (fig. 39).
In particolare nell'ipotesi di incidenza normale e di cuneo immerso in un
unico mezzo, i massimi ed i minimi di intensità si formano in corrispondenza di spessori d che soddisfano le condizioni
) :
!+----
:
X - - - - -~
Fig. 39
À
2nd=(2m+l)-
massimi
(VI.4.21.a)
2nd=m'A
mmnru
(VI.4.21.b)
2
Se lo spessore variabile d viene espresso in termini dell'angolo a e della
distanza x dall'estremità O dove lo spessore è nullo, le relazioni precedenti diventano
À
2nxa= (2m+ 1)-
massimi
2nxa=mÀ
mmnm
2
Di conseguenza nel caso del cuneo di aria di fig. 38, si osserva che, indipendentemente dal valore di À, lo spigolo di contatto appare scuro in
quanto in esso l'interferenza è distruttiva (d = O soddisfa la condizione di
minimo). Le frange luminose sono centrate sulle posizioni
À
I
I
I
I
I
I
xmax
= 4a '
3À
5À
4a ' 4a
quelle scure su
tC
~
À
,,
ti
xmin
, 1
I I
I I
I I
I
I
3À
5'A
=-, - , - ....
2a 2a 2a
In fig. 40 è schematizzato il dispositivo con cui si producono le frange di
interferenza, note come anelli di Newton, in quanto furono da lui descritte per la prima volta e rappresentano uno dei primi studi quantitativi
dell'interferenza.
I
I
Il dispositivo è costituito da una lente piano-convessa di grande distanza
R1I
focale, la cui superficie curva è a contatto con una lastra piana di vetro.
I
I
I
Lo
strato di aria di spessore variabile compreso tra la superficie convessa
I
I
della lente e la lastra piana rappresenta una lamina sottile di spessore vaI
................... Yd riabile. Se su questa si fa incidere luce proveniente da una sorgente estesa
_ _ _o_ _ _......,l ..f con incidenza quasi normale si producono frange di interferenza localizzate che, a causa della geometria del dispositivo, risultano circolari con
centro in O, punto di contatto tra la lente e la lastra di vetro. Per questo
Fig. 40
motivo solitamente nello studio della figura di interferenza si fa riferimento ai raggi r degli anelli luminosi e scuri piuttosto che allo spessore d
della lamina ad essi corrispondente. Con riferimento alla fig. 40, indicato
con R il raggio di curvatura della superficie sferica della lente, la relazione che lega il raggio r allo spessore d è data da
I
I
I
I
I
I
r 2 =R 2 -(R-d)
2
2Rd-d 2 ::2Rd
dove si è tenuto conto del fatto che R è molto maggiore di d.
761
VI.4.3.4.- FRANGE DI IN'IERFERENZA DI UGUALE SPESSORE
Pertanto i raggi degli anelli luminosi e scuri, in accordo alle (VI.4.20.a e
b), soddisfano rispettivamente le seguenti relazioni
rmax
= ,JR(2m+l)A/2
rmin = ✓RIDÀ
con
m = O, 1, 2...
Dalle relazioni precedenti si deduce che la frangia centrale (r = O) deve
essere scura in riflessione (fig. 41) e che gli anelli non sono equamente
distanziati in quanto la relazione tra r ed m non è lineare.
Se il contatto tra la lente e la lastra non è perfetto, il sistema di frange
si modifica rispetto a quello precedentemente descritto. Ad esempio
sollevando la lente di un tratto pari a ì.J4, lo spessore della lamina in
O diventa uguale a quello corrispondente all'anello luminoso del primo ordine nel caso di contatto perfetto; la frangia luminosa del primo
ordine si sposta nel centro della figura di interferenza, che da scuro
diventa luminoso.
Quindi, per ogni spostamento della lente di un quarto di lunghezza
d'onda una frangia luminosa prende il posto della frangia scura di ordine
inferiore: il centro degli anelli diventa alternativamente chiaro o scuro, gli
anelli si restringono movendosi verso il centro, mentre nuovi anelli compaiono verso i bordi del sistema. Questo effetto può essere utilizzato per
misurare con estrema precisione spessori dell'ordine della lunghezza
d'onda della luce (cfr. esempio VI.4.8.).
Fig. 41
ESEMPIO Vl.4.8. -MISURA DI PICCOLI SPESSORI MEDIANTE
TECNICHE INTERFEROMETRICHE
Consideriamo un dispositivo per l'osservazione degli anelli di Newton e
supponiamo che il raggio di curvatura della superficie sferica della lente
piano-convessa sia R=50cm. Se questa è a contatto con una lastra piana
di vetro, illuminando normalmente il dispositivo con luce monocromatica
di lunghezza d'onda À=0.589µm, si osserva una successione di anelli luminosi (massimi) alternati ad anelli scuri (minimi). Vediamo come sifa a
determinare il valore del raggio di un anello luminoso, ad esempio il decimo. Come abbiamo visto nel § V/.4.3.4. i raggi degli anelli luminosi si
ottengono dalla relazione
rmax
=.JR (2m+ l)À,/2 = ✓0.5 · 9.5 -0.589 · 10-
6
'A
(2m'+l)2
m'=0,1,2 ...
-------.P. :+d
r
•• •••••••••••••••••••••··•••••••···••· A. •.• h
(r···
= 1.67mm
in cui si è tenuto conto che il decimo anello corrisponde all'ordine m=9.
Supponiamo di sollevare la lente in modo che il vertice O della superficie
curva disti di un tratto h dalla lastra di vetro (fig. 42 ). Il sistema di frange osservato si modifica in quanto in corrispondenza del generico punto
P della superficie curva della lente, la differenza di cammino tra le onde
inte,ferenti passa dal valore 2d a 2(d+h). Dalla condizione relativa ai
massimi di intensità
2(d + h)
O
Fig.42
VI.4. - INTERFERENZA
762
=
e dalla relazione 2Rd r 2 , che lega i raggi delle frange allo spessore d,
si deduce che i raggi degli anelli luminosi verificano l'equazione
rmax
= .JR(2m'+l)ì../2-2h
A parità di raggio l'ordine m' deve essere maggiore di m. In base a
questa osservazione dobbiamo aspettarci che, sollevando la lente, un
certo numero N di frange si sposti verso il centro, e che N nuovi anelli
compaiono verso i bordi del sistema. Una misura di N consente di risalire ad h.
Infatti supponiamo ad esempio che si spostino N =50 frange. Il valore di
h si ricava dall'uguaglianza
rmax = .JR(2m'+l)ì../2-2h =.JR(2m+l)ì../2
⇒
h=7.3625µm
essendo m'=m+50.
ESEMPIO Vl.4.9.
-
FRANGE DI INTERFERENZA OTTENUTE CON UN
CUNEO
Vogliamo caratterizzare il sistema cli frange osservato in riflessione che
si produce illuminando normalmente con luce monocromatica di lunghezza d'onda À=600nm un sottile cuneo di materiale trasparente, di indice di rifrazione n=l.42, lungo C=2cm e spesso all'estremo h=20µm,
poggiato su una lastra di materiale trasparente di indice di rifrazione
n'=l.6.
In questa situazione sia l'onda riflessa dalla superficie superiore che
quella riflessa da quella inferiore subiscono uno sfasamento di re. Pertanto si avranno massimi di interferenza nei punti in cui risulta
21t
Li<l> =-2nd = 2mrc
À
ove abbiamo indicato con d lo spessore del cuneo nella posizione considerata. Se questa viene individuata mediante la sua distanza x dal vertice
del cuneo, possiamo esprimere lo spessore d tramite la relazione
d::::xa
essendo
Fig. 43
Pertanto i massimi si avranno nelle posizioni in cui risulta
2nxmaxa=mÀ
mÀ
⇒
Xmax = - 2na
⇒
xmin
i minimi in quelle in cui si ha
=
(2m + l)À
4na
In corrispondenza dello spigolo x=O, si ha una frangia luminosa.
La separazione tra due frange consecutive luminose o scure vale
Vl.4.3.5. - IN1ERFEROME1RO DI MICHELSON
763
Ax rappresenta anche la larghezza di una frangia. Il numero di frange
per centimetro è (10-2/Ax) =47.33.
Vediamo cosa accade se sul cuneo incide normalmente oltre alla luce di
lunghezza d'onda À anche quella di lunghezza d'onda "A'=540nm. Poiché
la posizione e la larghezza delle frange crescono con la lunghezza d'onda
della radiazione, dobbiamo aspettarci che ci siano posizioni in cui si abbia la sovrapposizione di frange relative alle due lunghezze d'onda diverse. Valutiamo in particolare quali ordini si sovrappongono
nell'ipotesi che l'indice di rifrazione del cuneo sia praticamente lo stesso
per le due lunghezze d'onda. Dalle relazioni
2n.xmax a= mÀ
e
2n.xmax a= m' À,'
si deduce che gli ordini che si sovrappongono sono quelli per cui risulta
m "A' 540 9
-=-=--=m' À 600 10
⇒
' 10
m=-m
9
Affinché m' sia intero m deve essere multiplo di 9. Pertanto si sovrapporranno l'ordine 10 di "A' con l'ordine 9 di À, l'ordine 20 di "A' con l'ordine
18 di À e così via. Poiché il massimo ordine osservabile per À, che si ricava dalla relazione
2nh=mÀ
⇒
m = 2nh = 2 • l.42 · 20 = 94 _66
À
0.6
risulta m =94, gli ordini più grandi che si sovrappongono sono il centesimo di "A' con il novantesimo di À.
Vl.4.3.5. - Interferometro di Michelson
Questo dispositivo è stato utilizzato da Albert Abraham Michelson nel 1881
per eseguire il famoso esperimento (esperimento di Michelson-Morley conclusosi nel 1887) che, come sappiamo, ha giocato un ruolo molto importante
nello sviluppo della Teoria della Relatività12 (cfr.§ VII.1.4.).
Il dispositivo, rappresentato schematicamente in fig. 44, si basa sul
metodo di divisione di ampiezza per ottenere due sorgenti secondarie
coerenti a partire da una sorgente primaria. Infatti mediante due specchi piani S 1 ed S2 ed una lastra di materiale trasparente (solitamente
vetro) semiargentata 13 SR, si ottengono due sorgenti virtuali estese e
coerenti a partire da una sola sorgente reale estesa S.
Le posizioni degli specchi possono essere regolate accuratamente mediante viti micrometriche; inoltre, lo specchio S 1 può essere mosso in avanti e in dietro, mentre lo specchio S2 viene tenuto fermo. In fig. 44 si
12. Il risultato fondamentale ottenuto da Michelson, affiancato in seguito da Morley, fu la
prova che la velocità della luce non dipende dal sistema di riferimento.
13. Questa lastra viene anche detta separatore del fascio, in quanto lo spessore d'argento
depositato su di essa è abbastanza sottile da permettere che metà della luce incidente
venga trasmessa, mentre l'altra metà riflessa.
VI.4. - INTERFERENZA
764
considera il caso in cui i due specchi sono perpendicolari tra loro
e formano un angolo di 45° con la lastra SR, che rivolge la faccia
semiargentata verso lo specchio S2•
- - - 1s2
I
I
Ogni
raggio proveniente dalla sorgente estesa S e incidente sulla
I
I
lastra SR è diviso dalla superficie semiargentata in un raggio riflesso e in uno trasmesso di pari ampiezza, qualunque sia il valoI
re dell'angolo di incidenza: il primo (raggio 1) si propaga verso
I SR
I
lo specchio S 1, il secondo (raggio 2) verso lo specchio S2 . Una
1~-~---:--7-,,~...._...:...T---"--1 s
volta riflessi dai due specchi i raggi incontrano nuovamente la
2
lastra semiriflettente SR. Questa trasmette parzialmente il raggio
2
1 e riflette, ancora parzialmente, il raggio 2: si hanno così i raggi
1' e 2' di fig. 44 che si propagano nella stessa direzione e si sovrappongono in uno stesso punto dello schermo B, posto nel piano focale di una lente convergente.
Osserviamo che, a differenza del raggio 2, il raggio 1 attraversa
o
due volte lo strato di vetro SR e ciò comporta l'insorgere dei problemi connessi al fenomeno della dispersione (ricordiamo che
Fig. 44
n=n(À)) in presenza di sorgente policroma. Per ovviare a ciò, nel
sistema viene inserita lungo il percorso del raggio 2, parallelamente alla lastra SR, una seconda lastra A, identica alla prima, ma priva di
argentatura, detta lastra di compensazione. In tal modo i raggi interferenti
attraversano uguali spessori di vetro prima della sovrapposizione e, quindi, la loro differenza di cammino ottico coincide con la differenza di
cammino in aria, legata alla posizione dello specchio S1.
Inoltre la lastra semiriflettente fornisce dello specchio S2 una immagine virtuale Is 2, parallela allo specchio S1 e posta a distanza d = d2 - d 1 da questo.
Ne consegue che il raggio 2', che si sovrappone al' sullo schermo, sembra
provenire da Is 2: infatti, si può facilmente verificare che il cammino considerato in questa situazione è uguale a quello effettivamente percorso dal
raggio. La natura della interferenza tra i raggi 1' e 2' viene perciò a dipendere dal percorso compiuto dal raggio 1 nello strato di aria compreso tra S1
ed I52 . Questa situazione è simile a quella che si presenta nel caso di uno
strato di aria di spessore costante compreso ad esempio tra due lastre di vetro parallele fra loro e distanti d, che, come abbiamo già visto, dà luogo in
riflessione ad un sistema di frange circolari di interferenza (frange di uguale inclinazione §VI.4.3.3.). Anche nel caso dell'interferometro di Michelson la differenza di fase tra le onde interferenti dipende dalla differenza dei
cammini ottici da esse percorsi e dallo sfasamento L'.i<p pari alla differenza
fra il cambiamento di fase del raggio 1, dovuto alla riflessione interna sulla
lastra semiriflettente, e quello del raggio 2, dovuto alla riflessione esterna
su SR. Il valore di L'.i<p dipende, quindi, unicamente dalla natura del dispositivo semiriflettente utilizzato. Nell'interferometro di Michelson, tuttavia,
non essendoci cambiamento di mezzo (n 1 = n = n2) l'angolo 0r coincide con
l'angolo di incidenza 0i così che se Li<p = n, gli anelli luminosi e bui corrispondono ad angoli di incidenza tali che
1t ild1
I
----~----B
2d cos 0 i
(m + 1/2 )À
2d cos0ì = mÀ
(massimi)
(minimi)
dove ricordiamo che d coincide con la differenza d2 - d 1•
VI.4.3.5. - INTERFERO!l,ffi1RO DI MICHELSON
765
Allo stesso risultato possiamo pervenire in maniera più semplice osservando che le onde interferenti possono essere viste come provenienti dalle
immagini virtuali S' ed S" della sorgente estesa S, fomite dal sistema formato dagli specchi S 1 e S2 e dalla lastra semiriflettente. Queste si comportano come sorgenti coerenti e sono separate di una distanza pari a 2d in accordo con le leggi della riflessione (fig. 45). Ad ogni punto (P, P' ... ) di S'
ne corrisponde un altro (Q, Q' ... ) in S"; coppie di raggi paralleli che partono da punti corrispondenti e caratterizzate dalla stessa inclinazione vengono focalizzati in uno stesso punto dello schermo di osservazione. Poiché la
differenza di cammino ottico tra i raggi di una coppia vale Li.€=2dcos0i, segue che le coppie di raggi interferenti in uno stesso punto dello schermo
sono caratterizzati dallo stesso valore della differenza di fase.
Per le osservazioni precedenti le frange di interferenza prodotte con
l'interferometro di Michelson sono circolari con centro in O. Variando la
distanza d 1 (e quindi d) si osserva uno spostamento di frange: in particolare
per ogni spostamento pari a ì.J2 si ha lo spostamento di una frangia. Quindi, mediante il conteggio del numero di frange spostate, si possono eseguire
con questo dispositivo misure di precisione. Con un dispositivo di questo
tipo, anche se più elaborato, Michelson eseguì la misura del metro campione in termini della lunghezza d'onda di una riga rossa emessa dagli atomi
di cadmio con una precisione di 3- 10-7_ Per le elevate precisioni ottel).ibili
nella misura di lunghezze mediante tecniche interferometriche, tra il 1960
ed il 1983 il metro campione è stato ridefinito come 1650763.73 lunghezze
d'onda di una particolare radiazione emessa dal gas kripton 86.
ESEMPIO Vl.4.10.
- FRANGE DI INTERFERENZA OTTENUTE CON
L'INTERFEROMETRO DI MICHELSON
Q'
--~-~----B
I
I
:o
Fig. 45
I
I
I
I
d'I
In un inte,ferometro di Michelson gli specchi S1 ed S2 si trovano alla
stessa distanza d dallo specchio semiriflettente e la regione di sovrapposizione sullo schermo B delle onde da essi riflesse è quella di
un quadrato di lato .€=3cm Se luce di lunghezza d'onda À=600nm
incide sul dispositivo si osserva la fomzazione di 24 frange rettilinee.
Giustificare il risultato sperimentale.
Se gli specchi S 1 ed S 2 fossero ortogonali fra loro l'immagine
152 di S2 si sovrapporrebbe ad S 1 e non si osserverebbero
frange di interferenza. La presenza di frange rettilinee sullo
schermo B è quindi conseguenza del fatto che i piani dei due
specchi non sono perfettamente ortogonali; di conseguenza la
regione compresa tra S 1 e 152 è un cuneo, come mostrato infig.
46. Tenendo presente le considerazioni svolte nell' esempio
VI.4.9., possiamo anche valutare l'angolo a che forma S2 rispetto al piano ortogonale a S 1• In un cuneo la larghezza di
unafrangia vale
avendo tenuto conto del fatto che per l'aria n
=1.
-----"-----B
o
Fig. 46
VI.4. - INTERFERENZA
766
Poiché il cuneo è lungo R=3cm, e su di esso si formano 24 frange, la larghezza delle frange deve anche essere pari a
,e
3.10-2
Llx=-=--=1.25mm
N
24
Pertanto il valore di
a risulta pari a
11.
600-10-9
a= =----= 0.24mrad
2Llx 2 · (1.25. 10-3 )
Vl.4.4. - Interferenza prodotta da N sorgenti coerenti
So
A
Consideriamo infine il caso generale dell'interferenza prodotta da N sorgenti coerenti identiche, disposte linearmente ed equispaziate di una distanza d. Come abbiamo già fatto nel caso dell'interferenza da 2 sorgenti, ci
limiteremo a considerare la sovrapposizione delle onde solo in punti che si
trovino a distanza grande rispetto a d ed inoltre supporremo che in tale regione i campi elettrici di tutte le onde interferenti siano paralleli tra loro.
Questa situazione si può realizzare sperimentalmente ricorrendo ad un dispositivo simile a quello di Y oung, che sullo schermo B presenti N fenditure identiche, equispaziate (fig. 47). Subito dopo le fenditure è posta una
lente convergente che fa convergere in J.lilO stesso punto del suo piano focale raggi che giungono sulla lente paralleli fra loro. Pertanto, come abbiamo
già sottolineato più volte, la figura di interferenza che si
osserva su uno schermo C coincidente con il piano focale della lente convergente corrisponde a quella che si
IA'""t---=-1.---==-::alilillll'IP
osserverebbe all'infinito.
Cominciamo col considerare il caso in cui le sorgenti
emettano in fase; questo requisito è soddisfatto se nel
dispositivo schematizzato in fig. 47 tra gli schermi A e
B viene posta un'altra lente convergente (L') che abbia
la sorgente S0 nel suo fuoco. In tale ipotesi le onde sferiche emesse da S0 vengono trasformate in onde piane,
L'
L
che investono lo schermo B; quindi le onde emesse da
S 1••• SN hanno origine da uno stesso fronte d'onda e
e
B
pertanto sono caratterizzate dalla stessa fase iniziale
Fig. 47
(<p 1 = ... = <pN)- Nel generico punto P in cui si sovrappongono, la differenza di fase viene a dipendere esclusivamente dalla differenza di cammino ottico, che per
due sorgenti consecutive risulta pari a
(VI.4.22.)
dove 0 rappresenta la posizione angolare di P rispetto all'asse ottico della
lente L.
Per valutare l'ampiezza risultante E 0 utilizziamo ancora il metodo dei
fasori: si devono sommare N vettori, di uguale lunghezza 14 Eo, ciascuno
14. Poiché le sorgenti sono identiche ed i punti in cui si ha la sovrapposizione sono a
grande distanza, sono trascurabili le variazioni dell'ampiezza di ciascuna onda con la
distanza e con il fattore di inclinazione.
VI.4.4. - IN1ERFERENZA PRODOTTA DA N SORGENTI COERENTI
767
inclinato rispetto al precedente di un angolo pari alla differenza di fase
~<I>. Si ottiene in tal modo una poligonale regolare di N lati, inscrivibile
in una circonferenza di centro Ce raggio R (fig. 48). Da semplici considerazioni geometriche (in un triangolo l'angolo esterno è uguale alla
somma degli angoli interni ad esso non adiacenti) si deduce che
l'angolo al centro che sottende il singolo fasore è uguale a ~<I>, così che
quello che sottende la poligonale vale N~<I>. In fig. 48 è riportato il caso di N=5 sorgenti; l'ampiezza risultante, pari alla lunghezza del fasore
risultante OQ, vale
E0
. N~<I>
2
y
E sin (N ~<I>/2)
0
sin(~<I>/2)
= 2R sm
X
Fig. 48
essendo
E 0 = 2R sin ~<I>
2
Pertanto l'intensità risultante nel punto P risulta data da
2
2
I = I (sin(N~<I>/2) ) = I (sin(N7td sin0(A) )
0
0
0
sin(~<I>/2)
sin(7td sin 0/'A)
(VI.4.23.)
essendo 10 l'intensità che si avrebbe in P in presenza di una sola sorgente.
Nel caso di due sorgenti, la relazione precedente diventa
2
I 0 = I 0 ( sin ~<I> ) = 41 0 cos 2 ~<I>
sin(~<t>/2)
2
che coincide con la (VI.4.11.).
L'intensità è massima in tutti i punti in cui la differenza di fase ~<I>
tra le onde emesse da due sorgenti adiacenti è un multiplo di 21t:
infatti in tali punti i fasori sono tutti allineati con il primo (fig. 49);
l'ampiezza risultante vale NEo e quindi l'intensità N2Io.
Allo stesso risultato si perviene analizzando la (VI.4.23.): infatti
quando ~<l>=2m1t, in tale relazione si annullano sia il numeratore che il denominatore ed il limite cui tende il loro rapporto
risulta uguale a N. Pertanto
y
Emax-NEo
o
Fig. 49
Imax = N2Io
Questi massimi, per la ragione che spiegheremo in seguito, vengono detti
massimi principali e si formano nei punti in cui risulta
~<I>
n d sm
. 0 =mn
=2
À
X
⇒
dsin0=mÀ
;on m=O, ± 1, ± 2, .... ± d!À.
[ massimi principali corrispondono a direzioni per cui i cammini ottici
Jercorsi dalle onde emesse da due sorgenti consecutive sono multipli
nteri della lunghezza d'onda À, come avevamo già visto nel caso
iell'interferenza prodotta da due sorgenti coerenti. Pertanto, le posi-
768
VI.4. - INTERFERENZA
zioni dei massimi principali sono indipendenti da N; esse sono determinate solo dal rapporto ì.Jd.
I minimi di interferenza si formano nei punti in cui l'intensità risultante è nulla.
Perché ciò accada, nella (VI.4.23.) deve annullarsi solo il numeratore, cioè
sin N~<I> = O
2
Fig. 50
⇒
N~<I> = 2m' n:
o, in termini di cammino ottico 15
===iii-====F==i-:===ii.:==::i~
X
m'
dsin0 =-À
N
(VI.4.24.)
m' è un intero positivo o negativo, che però deve essere diverso
da O e dai multipli di N in quanto se m' è multiplo di N (m'=Nm)
risulta ~<I>=2mn, che rappresenta la condizione dei massimi
principali. Quindi deve risultare
X
m' = ±1, ± 2, .... ± (N -1), ± (N + 1), .... ± (2N -1), ± (2N + 1).....
,,~ - ' \ Ll<I> =288°
'
X
Em+1
===iii-====1-===i-:===ii.:===il~
La relazione precedente mostra che fra due massimi principali
consecutivi (che corrispondono ai valori m'=mN ed m'=(m+l)N)
si hanno N-1 minimi di interferenza. In particolare nel caso di
due sorgenti ritroviamo ché tra due massimi adiacenti c'è un solo minimo. Possiamo giustificare questo risultato anche osservando che nella rappresentazione delle funzioni d'onda mediante
fasori, c'è un unico modo con cui si possono disporre due fasori
di uguale lunghezza affinché l'ampiezza risultante e, quindi,
l'intensità risultante sia nulla (fig. 50). Invece nel caso di N sorgenti, fra due massimi consecutivi è possibile chiudere la poligonale in N-1 modi diversi. In fig. 51 sono riportate le costruzioni nel caso N=5 (il fasore in grigio è l'ultimo): tra i massimi
principali di ordine m ed m+ 1, si hanno 4 minimi consecutivi in
corrispondenza dei seguenti valori della differenza di fase
X
Fig. 51
~<l> = 2n:
2 2n: 3 2n: 4 2n:
5 '
5 ' 5 ' 5
pari rispettivamente a 72°, 144°, 216°, 288°.
Riprendiamo lo studio della distribuzione dell'intensità luminosa.
Come conseguenza del fatto che questa è una funzione positiva di
0, si ha che tra due minimi consecutivi deve esserci sempre un massimo.
Pertanto tra gli N-1 minimi di interferenza, che si formano tra due qualsiasi massimi principali successivi, ci sono N-2 massimi, che vengono detti
secondari in quanto in essi l'intensità è notevolmente minore di quella dei
massimi principali, come faremo vedere nell'esempio VI.4.11.
In conclusione sintetizziamo le caratteristiche della distribuzione
dell'intensità prodotta dall'interferenza di N sorgenti coerenti:
15. La relazione (VI.4.23) dei minimi può essere espressa anche nel seguente modo:
dsin0=(Nm±k)VN, dove m =O,± 1, ... ± dl'A determina l'ordine del massimo
principale che si vuole considerare, mentre k = 1,2, ... N-1 individua i corrispondenti
minimi.
VI.4.4. - INTERFERENZA PRODOTTA DA N SORGENTI COERENTI
769
i massimi principali di interferenza si formano in punti in cui le onde
emesse da due sorgenti consecutive sono in fase o equivalentemente
in punti in cui la differenza dei cammini ottici da esse percorsi è un
multiplo intero di lunghezze d'onda, cioè
dsin0=mÀ
con m=O, ±1, ±2,... d/À. In questi l'intensità vale
Imax = N2Io
cresce cioè con il quadrato del numero N delle
sorgenti;
i minimi, di intensità nulla, si formano in punti in
cui l'angolo al centro che sottende la poligonale
regolare dei fasori, pari ad N~<I>, diventa multiplo
di 21t, cosa che equivale a dire che la poligonale è
chiusa e l'ampiezza risultante è nulla; in termini
di differenza dei cammini ottici la condizione
precedente diventa
N=2
-2
-1
o
2
(dsin0)/À
Nd sin 0 = m'À
laflmax
con m' = ±1, ±2, ... ±N-1, N+l. .. ;
il numero N delle sorgenti non ha alcuna influenza sulla posizione dei massimi principali, che dipende dalla separazione d tra due sorgenti consecutive. Esso invece determina la posizione dei
minimi di interferenza e, di conseguenza, la larghezza dei massimi principali. In fig. 52 è riportata la distribuzione dell'intensità luminosa nel
caso di 2, 5 e di un numero molto grande di sorgenti. Si osservi che al crescere di N, poiché non
varia la distanza tra 2 massimi principali consecutivi, mentre aumenta il numero dei minimi compresi fra questi, i massimi principali diventano
sempre più stretti e più luminosi.
A conferma di ciò possiamo valutare la larghezza
angolare del massimo di ordine m che, come sappiamo, è pari alla differenza tra le posizioni angolari
dei due minimi ad esso adiacenti. Queste ultime si
ottengono dalla relazione (VI.4.24.) in corrispondenza di m'=Nm±l, cioè
N=5
-2
-1
A•
Nd(sin0m cos~0±cos0m sin~0)=(mN±l)À
2
(dsin0)/À
Jeflmax
r
-2
-1
Detto 0m l'angolo a cui si forma il massimo principale di ordine m, fissato
dalla relazione dsin0m=mÀ, possiamo porre 0=0m±~0 e sostituire nella
equazione precedente. Si ottiene
⇒
1
N grande
Nd sin 0 = (mN ± l)À
Ndsin(0m ±~0)=(mN±l)À
O
O
Fig. 52
1
2
(dsin0)/À
770
VI.4. - INTERFERENZA
Se N è grande, ~0 risulta sufficientemente piccolo da permettere le approssimazioni
cos~0 ::::1
e
Pertanto
~0=--À__
Nd cos0rn
La larghezza del massimo di ordine m è quindi data da
~ern =(0rn +~0)-(ern -~0)=2
'A
Nd cos0rn
Al crescere di N i massimi principali diventano più sottili e molto luminosi Ornax =N2I0), mentre i massimi secondari scompaiono a causa della
loro bassa intensità. In questa situazione si dice che il sistema diventa altamente direzionale, nel senso che la perturbazione risultante è rilevante
solo per valori ben determinati dell'angolo 0, che sono quelli in corrispondenza dei quali risulta ~<P = 2m1t. Questa proprietà viene sfruttata nel
campo radio con antenne trasmittenti o riceventi formate da schiere regolari di emettitori o ricevitori quando si desidera un effetto direzionale.
ESEMPIO Vl.4.11.
-
DETERMINAZIONE DELL'INTENSITÀ LUMINOSA
DI UN MASSIMO SECONDARIO
La relazione (VI.4.23.) consente di valutare l'intensità anche nel caso dei
massimi secondari, la cui la posizione, all'incirca a metà strada tra due
minimi consecutivi, corrisponde ad una differenza di fase pari a
dove ~<1> 1 e ~<1>2 rappresentano le differenze di fase tra le onde emesse da
due sorgenti consecutive nelle posizioni di due minimi consecutivi. Si può
verificare facilmente che per qualunque coppia di minimi consecutivi risulta sempre
~<1> 1 +~<1> 2
2
(2m'+l)rc
N
e, quindi, l'intensità del massimo secondario vale
2
essendo sin (N~ <I>/2)= sin 2 (m' re+ rc/2) = 1.
Poiché in generale N è molto grande, possiamo approssimare il seno con
l'angolo ottenendo
Vl.4.4.
INTERFERENZA PRODOTTA DA N SORGENTI COERENTI
771
Io
I :::::
a - ((2m'+l)n/2N)2
Ad esempio l'intensità del primo massimo secondario (m'=l) risulta pari a
10
4N 2 I 0
la= (3rc/(2N))2 = 9rc2 =0.047Imax
L'intensità del primo massimo secondario è il 4.7% dell'intensità di un
massimo principale.
ESEMPIO Vl.4.12. - DISTRIBUZIONE DELL'INTENSITÀ NELLA REGIONE
DISTANTE DA N SORGENTI PUNTIFORMI COERENTI
Nell'esempio Vl.4.2. abbiamo studiato la distribuzione dell'intensità risultante dall'interferenza di due sorgenti coerenti puntiformi in punti distanti, nei due casi d=IJ2 e d='A. Vediamo come si modificano tali distribuzioni in presenza di N=4 sorgenti puntiformi coerenti, equispaziate,
che emettano in fase con uguale potenza.
a) d=IJ2
La relazione che fornisce l'intensità risultante in corrispondenza della
posizione angolare 0 risulta pari a
s,
·+··········
I
I
I
I
I
I
r2
d==ì.J2 1
,t ......... ' ---
0_______
s2:
2
2
2
I -I sin (N~<I>/2) -I sin (Nrcdsin0/'A) -I sin (2nsin0)
0
0
0
asin 2(~<I>/2) sin 2 (rcdsin0/'A) sin 2(nsin0/2)
I massimi principali di intensità si formano in quei punti in cui risulta
7t . 0
-sm
=mn
2
⇒
Fig. 53
sin0 =2m
Tale relazione può essere soddisfatta ancora solo per m=O e quindi
per 0 = O e 0 = n: in corrispondenza di queste posizioni angolari
l'intensità vale 1610 •
Si hanno dei minimi di intensità quando
2nsin0 =m'n
⇒
m'
sin0=-
0==90°
2
La relazione precedente può essere soddisfatta per
m'=l e m'=2, a cui corrispondono le posizioni angolari 0=±nl6=±30° e 0=±nl2=±9O°. Tra due minimi consecutivi si ha un massimo secondario; questi si
formano in posizioni individuate da valori di
0 = ±nl 3 = ±60° (.fig. 54b ). In .fig. 54a è riportato il
grafico polare di la in funzione di 0, che possiamo
confrontare con quello ottenuto nel caso di 2 sorgenti
(fig. I O): i due lobi che corrispondono ai massimi
principali per e= O e e= n sono molto più stetti. Ciò è
dovuto al fatto che mentre nel caso di due sorgenti tra
s,
0==180°
s/--·--.. . . ........
Fig. 54a
...···•·
...........·(f::::30°
.-·
-----
VI.4. - INTERFERENZA
772
0=120°
i due massimi era presente un solo minimo per 0 = rc/2, nel caso di
4 sorgenti tra i due massimi principali sono presenti 3 minimi per
0 = rc/6, 0 = rc/2 e 0 = -rc/6. Questi sono evidenziati in fig. 54b in cui
è riportato un ingrandimento della parte centrale del grafico.
Quindi il sistema trasmette ( o riceve) praticamente solo lungo direzioni vicine alla direzione ortogonale a quella lungo cui sono disposte le sorgenti.
0=60°
b) d=À
Fig. 54b
In questo caso l'intensità risultante in corrispondenza della generica
posizione angolare 0 risulta pari a
0=90°
sin 2 N re d sin 0
2
0=150°
.,·•·····
...·•
I _ I sin (Nii<I>/2) _ I
e- o sinz(Lì<I>/2) - o
...·······
À
.
sm
z(1Cd.
0)
- sm
À
0=180°
I massimi principali si f01mano in corrispondenza di valori di
0 che verificano la condizione
rcsin0 = mrc
sin0 =m
e cioè perm=0 (0=0 e 0=rc) e perm=±I (0 =±rc/2), come nel
caso di 2 sorgenti. La loro intensità vale 16Io. Tra due massimi
principali si hanno 3 minimi in corrispondenza di valori di 0
per cui risulta
Fig. 55a
4rcsin0 =m'rc
0=13
=150°.
165.5
⇒
8.6°
,,•' 0=30°
_..-- 0=14.5°
⇒
sin 0 = m1/4
Sono consentiti i valori m' =±1, m '=±2, m' =±3: l'intensità
è quindi
nullaper0=±I4.5°, 0=±30°, 0=±48.6°.
Poiché tra due massimi principali consecutivi ci sono 3 minimi, sono presenti 2 massimi secondari. Come abbiamo visto
nell'esempio precedente, questi si formano nelle posizioni in
cui risulta
Lì<I>
. 0 = re sm
. 0 = -"--_.;../I_L
(2m'+IL
- = -re d sm
2
À
8
con m'=I e m'=2
Fig. 55b
⇒
⇒
.
(2m'+l)
sm 0 = - - 8
0 =22° e 0 =38.7°.
In fig. 55a è riportato il grafico polare di I in funzione di 0 che
evidenzia che i massimi prodotti dall'inteiferenza di 4 sorgenti
sono notevolmente più stretti rispetto al caso dell'inteiferenza da
2 sorgenti (fig. 11 ). I massimi secondari sono evidenziati in fig.
54b in cui è riportato un ingrandimento della parte centrale del
grafico di fig. 55a.
VI.4.4. - IN1ERFERENZA PRODOTTA DA N SORGENTI COERENTI
ESEMPIO Vl.4.13.
-
773
INTERPRETAZIONE DELLA LEGGE DELLA
RIFLESSIONE SPECULARE COME EFFETTO
DELL'INTERFERENZA
Abbiamo visto nell'esempio precedente che nell 'inte,ferenza prodotta da
N sorgenti coerenti, se la separazione d tra due sorgenti consecutive è
minore della lunghezza d'onda della radiazione emessa, c'è un solo massimo principale: quello di ordine zero.
Questo risultato può essere utilizzato per spiegare come mai, quando
un'onda luminosa incide sulla superficie di separazione tra due mezzi
con un angolo 0i :;t: O, l'onda riflessa si propaga lungo una direzione che
fonna con la nonnale un angolo uguale a quello di incidenza.
Quando l'onda incide sulla superficie, sollecita uno dopo l'altro gli atomi di questa; conseguentemente gli elettroni di ciascun atomo, posti in
oscillazione forzata dal campo elettrico dell'onda incidente, emettono
onde di uguale frequenza della radiazione incidente. Gli atomi eccitati
dall'onda incidente si comportano da sorgenti coerenti per cui la sovrapposizione in un punto dello spazio delle onde da essi emesse dà luogo al fenomeno dell'inte,ferenza. Prendiamo in esame quello che accade
nel mezza da cui proviene la radiazione incidente. Il risultato
dell'interferenza dipende dalla differenza di fase con cui si sovrappongono nel punto in esame le onde emesse dagli atomi eccitati. Limitiamoci a
considerare quelli che si trovano su una stessa linea, come illustrato in
fig. 56. Per la ricerca dei massimi principali di intensità bisogna valutare
la differenza di fase tra le onde emesse da due sorgenti elementari consecutive e ricercare lungo quali direzioni 0 questa è un multiplo di 2n.
Rispetto alle situazioni esaminate fino ad ora c'è una differenza: poiché
due atomi adiacenti vengono raggiunti dallo stesso fronte d'onda incidente (S) in istanti diversi, essi emettono onde che presentano una differenza di fase intrinseca pari a
e
A
2n (r., -r., ) =2n
. .
D."'=- d sm
1
't'
À
I+
À
I
I
dove d rappresenta la distanza tra due atomi consecutivi e À la lunghezza
d'onda della radiazione emessa dagli atomi eccitati, che risulta uguale a
quella dell'onda incidente. Osserviamo che nel visibile À (380-700nm)
risulta maggiore della distanza interatomica che è dell'ordine di 10-10m.
La differenza di fase totale è pari a
2
Li<l> = n (ri+i
À
2
+ r\+1 -ri - r\ )= n (d sin 0 -d sin 0i)
À
Affinché si abbia un massimo principale deve risultare Li<l>/2=mn, cioè
d(sin 0 - sin ei )= mÀ
Essendo d!À> 1, l'unico valore che mpuò assumere è m =0, per cui c'è
un solo massimo di intensità lungo la direzione 0 data dalla relazione
sin 0 - sin 0i
=O
⇒
e= e.
I
Fig. 56
VI.4. - INTERFERENZA
774
La legge della riflessione è una conseguenza dell'interferenza delle onde
irraggiate dagli atomi eccitati, che risulta costruttiva solo lungo la direzione 0 =0i.
Vl.4.5. - Onde elettromagnetiche stazionarie;
esperienza di Hertz
Siamo ora in grado di discutere l'esperimento con cui Heinrich Hertz per
la prima volta nel 1888 provò l'esistenza delle onde elettromagnetiche
nell'intervallo delle radiofrequenze 16, ne misurò la velocità di propagazione e verificò che era uguale a quella della luce, come previsto dalla teoria di Maxwell. Si tratta di un esperimento di interferenza che dà luogo
ad onde stazionarie.
In fig. 57 è illustrato schematicamente il dispositivo utilizzato da Hertz.
Il sistema elettrico formato da due sfere metalliche S ed S' collegate ciascuna ad una sferetta di piccolo raggio presenta una capacità C ed una
induttanza L. Un trasformatore
collegato al circuito cay
rica il sistema fino ad una
differenza di potenziale che
mette in contatto le due sfere provocando un passaggio
di carica oscillante tra di esse, come se il trasformatore
non fosse più collegato. Le
oscillazioni così prodotte
hanno tipicamente frequenze dell'ordine della decina
di MHz. Il sistema diventa
Fig. 57
così assimilabile ad un dipolo oscillante (cfr § V .2. 7. ):
le onde da esso irraggiate si propagano lungo l'asse X del riferimento
fissato, con il campo elettrico diretto lungo l'asse Y ed il campo magnetico lungo l'asse Z.
Perpendicolarmente all'asse X è posta una lastra conduttrice, che ha il
compito di riflettere l'onda incidente; questa, poiché la lastra è sufficient~m~nte lontana dal dipolo, può essere considerata approssimativamente
piana.
Ricordiamo che sulla superficie di un conduttore il campo elettrico può
avere solo la componente normale; per tale ragione il campo elettrico
dell'onda riflessa in corrispondenza della lastra deve essere sempre uguale ed opposto a quello dell'onda incidente; in tal modo la lastra diventa
sorgente di onde coerenti in opposizione di fase con l'onda incidente. A
causa di ciò, la sovrapposizione dell'onda incidente e di quella riflessa è
un'onda stazionaria. Verifichiamolo.
Il campo elettrico risultante dalla sovrapposizione dell'onda incidente e di
quella riflessa è dato da
16. E' per questa ragione che le onde elettromagnetiche nell'intervallo delle radiofre-
quenze vengono anche dette onde hertziane.
Vl.4.5. -
ONDE ELETTROMAGNETICHE STAZIONARIE; ESPERIENZA DI HERTZ
775
E(x, t) = E~ sin(mt + kx) + E~ sin(mt - kx)
Imponendo che esso sia nullo in corrispondenza della lastra conduttrice,
x=O, si ottiene
E(x = O, t) =E~ sin mt + E~ sin mt =(E~+ E~)sinmt =0
⇒
La perturbazione risultante è quindi data da
E(x, t) = E~ (sin(mt + kx)- sin(mt -kx))
Ricordando che
Lastra
riflettente
.
. A
2. (a-P)
(a+P)
sma-sml-'= sm----'--cos--2
2
nodo
Eo
"-..
si ottiene
E(x, t) = 2E~ sin kx cos mt
X
Nella espressione trovata non compare più il termine kx ± mt, caratteristico della propagazione; per questo motivo si dice che
l'interferenza delle due onde è un'onda stazionaria, cioè una oscillazione temporale con ampiezza
1+- - - ìJ2 - - Fig. 58
E 0 = 2E~ sin kx
Questa si annulla ogni qualvolta kx = mn; le posizioni in cui l'ampiezza è
nulla vengono detti nodi e si hanno in
X
=mÀj2
L'ampiezza del campo elettrico è massima nei punti, detti ventri, in cui
risulta
kx=(2m+l)rc
2
⇒
A
x =(2m+l)4
Vediamo ora come si comporta il campo magnetico.
Ricqrdiamo a tale scopo che in un'onda piana e.m. E, B, e la direzione
di propagazione formano una terna destrorsa. Quindi in corrispondenza
della lastra metallica il campo magnetico dell'onda riflessa è concorde
con quello dell'onda incidente (fig. 59). In x=O, mentre il campo
elettrico risultante ha ampiezza nulla (nodo), il campo magnetico
risultante ha ampiezza massima (ventre). Esso è espresso dalla
relazione
Eo
Fig. 59
Lastra
riflettente
"-..
B(x, t) = 2B~ cos kx sin mt
In fig. 60 sono riportate le ampiezze dei campi elettrico (Eo) e magnetico (Bo) dell'onda risultante in funzione della distanza dalla
lastra conduttrice riflettente: nelle posizioni in cui E0 ha valore
massimo Bo è nullo e viceversa. Dal punto di vista energetico pos-
X
Fig. 60
776
VI.4. - INTERFERENZA
siamo osservare che nei punti nodali di entrambi i campi il vettore di Poynting è nullo, per cui non c'è trasferimento di energia elettromagnetica
da una regione compresa tra due nodi ed un'altra. In ciascuna regione tuttavia al passare del tempo si ha una trasformazione di energia elettrica in
energia magnetica e viceversa.
Le proprietà dei campi risultanti possono essere verificate sperimentalmente utilizzando un risuonatore, cioè un anello di piccolo diametro che
presenta una piccola apertura, come mostrato in fig. 57. Se questo è posto
nel piano XY, viene interessato dal campo magnetico dell'onda risultante,
che essendo variabile nel tempo produce una f.e.m. indotta, responsabile
della formazione di scintille nell'apertura. Se il risuonatore è posto nei
punti nodali del campo magnetico, in esso non viene indotta alcuna f.e.m.
e quindi non si osservano scintille tra le sue estremità.
Hertz misurando sperimentalmente la distanza tra due nodi consecutivi,
determinò la lunghezza d'onda della radiazione emessa dal dipolo oscillante e, poiché egli conosceva la frequenza dell'oscillatore, valutò anche,
per la prima volta, la velocità di propagazione (v = ÀV). Questa come abbiamo detto risultò pari alla velocità della luce c.
Vl.5.1. Introduzione ............................................................778
Vl.5.2. Diffrazione di Fraunhofer
prodotta da una fenditura ...................................... 779
Vl.5.3. Diffrazione di Fraunhofer prodotta
da una apertura circolare .......................................787
Vl.5.4. Diffrazione da disco opaco .....................................792
Vl.5.5. Diffrazione di Fraunhofer
da una doppia fenditura .......................................... 793
Vl.5.6. Reticolo di diffrazione .............................................798
Vl.5.7. Diffrazione dei raggi X.............................................807
Vl.5.8. Diffrazione di Fresnel ..............................................81 O
Vl.5. - DIFFRAZIONE
Vl.5.1. - Introduzione
I
-
-
I
I
I
Fig. la
Fig.lb
Se si guarda un oggetto socchiudendo le palpebre fino a realizzare una sottile fessura, si osserva che i contorni di questo si sfumano e si estendono;
se l'oggetto è una sorgente di luce intensa, si osservano strisce di luce.
Questi sono due esempi di un fenomeno tipico di tutte le onde: la diffrazione. Essa si verifica quando una perturbazione incontra un ostacolo o
un'apertura, che determina una limitazione spaziale dei fronti d'onda.
Sperimentalmente infatti si osserva che oltre l'ostacolo le onde si propagano anche lungo direzioni diverse da quella di incidenza, per cui vanno ad
interessare anche la regione di ombra geometrica. Nel caso delle onde luminose tali deviazioni dalla propagazione rettilinea danno origine su di uno
schermo di osservazione, opportunamente posizionato, ad una serie di bande luminose alternate a bande scure, simili alle frange di interferenza.
La diffrazione risulta più evidente quando gli ostacoli e le aperture hanno
dimensioni lineari confrontabili con la lunghezza d'onda À della perturbazione incidente su di essi. In fig. )a e lb sono schematizzate le due situazioni che si verificano quando onde piane investono uno schermo su
cui è praticata una apertura di dimensioni rispettivamente molto maggiori
della lunghezza d'onda e praticamente uguale a questa. Tali situazioni si
possono osservare facilmente nel caso delle onde sulla superficie
dell'acqua o nel caso delle onde sonore; per la luce è più difficile osservarle a causa dei valori estremamente piccoli delle lunghezze d'onda
(0.38µm:s;; À :s; 0.78µm).
Fenomeni di diffrazione ottica furono accuratamente descritti per la prima
volta da Francesco Maria Grimaldi nella seconda metà del '600; tuttavia i
risultati dei suoi esperimenti furono giustificati da Newton nell'ambito
della teoria corpuscolare, come effetto delle forze che agivano sui corpuscoli luminosi. La loro interpretazione come fenomeni di diffrazione è
avvenuta solo nella prima metà dell'ottocento, soprattutto ad opera di
Fresnel (1818). Questi, utilizzando il principio di Huygens-Fresnel, che
abbiamo illustrato nel § VI.1.3, spiegò la diffrazione come effetto della
sovrapposizione delle onde secondarie emesse dalla porzione libera del
fronte d'onda in corrispondenza dell'ostacolo, cioè da quella parte a cui è
consentita la propagazione. La diffrazione veniva quindi interpretata come un fenomeno di interferenza fra un numero infinito di onde coerenti di
ampiezza infinitesima.
L'analisi di Fresnel fu posta su solide basi matematiche da Kirchhoff e,
sebbene approssimata, in quanto non tiene conto del materiale di cui è
fatto l'ostacolo o lo schermo su cui è praticata l'apertura e tratta i campi
come campi scalari, può essere utilizzata per studiare la maggior parte dei
problemi che si incontrano nell'uso degli strumenti ottici.
Per tale ragione, nel seguito nell'esaminare alcuni casi di diffrazione, valuteremo la corrispondente distribuzione dell'intensità luminosa osservabile spe-
VI.5.2. -
DIFFRAZIONE DI FRAUNHOFER PRODOTTA DA UNA FENDITURA
779
rimentahnente sulla base della sovrapposizione delle onde secondarie di Huygens-Fresnel, senza però attribuire a queste ultime un significato fisico. In
altre parole ai fini dei calcoli matematici supporremo che ogni elemento di
area dS di una apertura praticata su uno schermo opaco, quando viene raggiunto da un fronte d'onda, può essere sostituito da una sorgente puntiforme
che emette un'onda sferica avente stessa frequenza dell'onda incidente ed
ampiezza infinitesima in quanto proporzionale all'area dS.
II calcolo dell'ampiezza della perturbazione risultante, da cui dipende
l'intensità luminosa, risulta notevolmente semplificato nel caso della diffrazione di Fraunhofer. Infatti questa si verifica quando le distanze
dell'ostacolo rispettivamente dalla sorgente e dalla regione di osservazione sono sufficientemente grandi, da permettere di considerare piane sia le
onde incidenti sull'ostacolo che quelle da esso diffratte nella regione di
osservazione.
Quando la sorgente e/o la regione di osservazione si trovano a distanza
finita dall'ostacolo si produce la diffrazione di Fresnel. La determinazione della figura di diffrazione presenta in questo caso notevole difficoltà in quanto, a causa delle distanze finite in gioco, nei punti della regione
di osservazione le onde elementari di Huygens hanno ampiezza e fase differenti tra loro. Per tale motivo nel seguito studieremo dapprima la diffrazione di Fraunhofer e poi quella di Fresnel.
Lo studio della diffrazione è di grande importanza applicativa in quanto
la sua presenza, come vedremo in dettaglio nel seguito, limita le prestazioni degli strumenti ottici, nel senso che non permette di risolvere (cioè
di distinguere) le immagini di oggetti molto vicini.
Fig. 2
Vl.5.2. - Diffrazione di Fraunhofer prodotta da una
fenditura
Consideriamo la diffrazione che si produce quando onde piane
monocromatiche investono uno schermo opaco su cui è praticata una fenditura, cioè una apertura rettangolare molto lunga rispetto alla sua larghezza a (,€>>a), che invece è confrontabile
con la lunghezza d'onda della radiazione incidente. La distribuzione dell'intensità luminosa relativa al fascio diffratto dalla
fenditura viene osservata su uno schermo diffusore, che nel caso
della diffrazione di Fraunhofer deve essere posto a distanza
molto grande (teoricamente infinita) dalla fenditura o equivalentemente deve coincidere col piano focale di una lente convergente, posta a ridosso della fenditura. L'onda piana incidente
può, a sua volta, essere ottenuta ponendo una sorgente puntiforme a grande distanza dalla fenditura o nel primo piano focale
di un'altra lente convergente: sappiamo infatti che in tal caso le
onde sferiche emesse dalla sorgente vengono trasformate dalla
lente in onde piane (cfr. § VI.3.4). In fig. 3 è riportata la sezione
del dispositivo perpendicolare ai bordi della fenditura nel piano
contenente la sorgente S. Questa per semplicità è posta nel primo fuoco della lente L 1 in modo che i fronti d'onda piani che
investono lo schermo A sono paralleli a questo.
B
A
Fig. 3
780
Fig. 4
----- !2 -----A
B
Fig. 5
D,
I
A
B
Fig. 6
VI.5. - DIFFRAZIONE
L'ipotesi che la lunghezza della fenditura sia molto grande rispetto alla lunghezza d'onda della radiazione incidente rende del
tutto trascurabile la diffrazione nella direzione parallela ad essa: i
raggi diffratti giacciono quindi in piani paralleli a quello di fig. 3
e la lente L2 focalizza raggi paralleli in punti del segmento QQ',
come mostrato in fig. 4. Infatti se si utilizza il principio di Huygens-Fresnel per spiegare la diffrazione, ciascuna striscia di
lunghezza f, e di spessore dy della porzione libera del fronte
d'onda si comporta come una sorgente di onde cilindriche (corrispondenti alle superfici inviluppo delle onde sferiche secondarie
relative ai vari elementi di una striscia) e rende equivalenti le osservazioni fatte in piani ortogonali alla fenditura.
Le onde provenienti da tutte le strisce sono caratterizzate dalla
stessa frequenza e dalla stessa fase iniziale, in quanto sono originate dallo stesso fronte d'onda incidente. Inoltre, poiché lo spessore
dy si suppone uguale per tutte le strisce e l'osservazione della figura di diffrazione è fatta in una regione non molto estesa
nell'intorno della parte centrale 1, è ragionevole assumere che in
questi punti anche le ampiezze siano uguali fra loro.
Prima di procedere al calcolo dell'intensità nei punti dello
schermo di osservazione ricorrendo come nel caso
dell'interferenza al metodo dei fasori, risulta interessante fare
un'analisi qualitativa del problema. Questa, in base a semplici
considerazioni, consente di determinare la posizione dei minimi
e di spiegare la riduzione dell'intensità luminosa dei massimi rispetto al massimo centrale al crescere della distanza da questo.
Come abbiamo già fatto nello studio dell'interferenza, possiamo
individuare ogni punto P sullo schermo di osservazione anche
mediante l'angolo 0 che la direzione del fascio di raggi paralleli,
che la lente fa convergere in esso, forma con l'asse ottico (fig. 5).
Ricordiamo (cfr. § VI.3 .4.1.) che i cammini ottici percorsi tra un
piano ortogonale al fascio incidente sulla lente (DD' di fig. 5) ed
il punto in cui vengono focalizzati sono tutti uguali fra loro. Pertanto la differenza di fase tra le onde che si sovrappongono in P
deriva unicamente dalla differenza dei cammini percorsi dalla
fenditura al piano DD'.
A causa della simmetria del dispositivo, limiteremo la discussione ai punti che si trovano al di sopra di O.
Cominciamo col prendere in esame il punto centrale O,
coincidente con il fuoco della lente Lz. In esso si sovrappongono
le onde che si propagano lungo raggi che incidono sulla lente in
direzione parallela all'asse ottico (fig. 6). Di conseguenza tali
onde, poiché hanno la stessa fase iniziale ed hanno percorso cammini ottici uguali, si sovrappongono in fase dando luogo in O ad
un massimo di intensità, detto massimo centrale della figura di
diffrazione.
1. Questa condizione permette di trascurare le variazioni dell'ampiezza dovute alla differente distanza dei punti di osservazione dalle sorgenti e quelle dovute al fattore direzionale g(0), che possiamo assumere praticamente uguale a I.
VI.5.2. -
DIFFRAZIONE DI FRAUNHOFER PRODOTTA DA UNA FENDITURA
781
Consideriamo ora il punto P1 individuato da un angolo 0 1 (fig. 7) tale che la
differenza 11f tra i cammini ottici percorsi dalle onde provenienti
rispettivamente dal centro della fenditura e dall'estremo superiore sia pari a
mezza lunghezza d'onda: 11f = ìJ2. A causa di ciò queste due onde si sovrappongono nel punto P 1in opposizione di fase, così che l'ampiezza risultante è nulla. Lo stesso accade per qualunque altra coppia di onde provenienti da due elementi della fenditura separati fra loro da una distanza pari
ad a/2. Più precisamente, ad ogni elemento posto nella metà superiore della
fenditura ne corrisponde un altro nella metà inferiore a distanza a/2 dal
primo, da cui provengono onde che in P 1 si compensano completamente.
Di conseguenza, essendo l'ampiezza risultante nulla, l'intensità luminosa
risultante è anch'essa nulla: P 1 rappresenta il primo minimo di diffrazione.
La relazione che fissa il valore dell'angolo 01 è
a . e =À,
11-t/} =-sm
1
2
2
⇒
Con un procedimento analogo si dimostra che l'intensità è nulla in ogni
punto individuato da un angolo 0 in corrispondenza del quale la differenza tra i cammini ottici percorsi dalle onde provenienti da due elementi separati da una distanza pari a a/(2m) sia uguale a ìJ2 (il caso m = 1 è proprio quello che ha fornito il primo minimo). Pertanto le posizioni angolari
dei minimi di diffrazione si ricavano dalla relazione
a . e À,
-sm = 2m
2
⇒
asine =mÀ
(VI.5.1.)
con m= ±1, ±2, ...
Nelle altre posizioni angolari diverse da quelle fissate dalla (VI.5 .1.)
l'intensità risulta non nulla; essendo questa una funzione positiva e continua, dobbiamo aspettarci tra due minimi consecutivi un massimo, posto
all'incirca a metà strada tra essi. Prendiamo quindi in esame il punto P2 individuato dall'angolo 0 tale che la differenza tra i cammini ottici percorsi
dalle onde provenienti da due elementi separati da una distanza pari ad a/3
sia uguale a ìJ2. Se pensiamo la fenditura suddivisa in 3 parti uguali, le onde provenienti da coppie di elementi presenti nelle prime due parti interferiscono ancora distruttivamente nel punto di osservazione. In questo, però,
l'intensità luminosa non è nulla a causa della presenza delle onde che provengono dagli elementi della terza parte della fenditura. L'intensità risultante in P 2 è non nulla, ma molto inferiore a quella del massimo centrale
per due ragioni: ad essa contribuiscono solo le onde provenienti da un terzo
della fenditura e queste, quando si sovrappongono, non risultano perfettamente in fase fra loro. Con un procedimento analogo si deduce che
l'intensità luminosa dei massimi, detti massimi secondari, diventa sempre
più piccola al crescere dell'ordine in quanto ad essi contribuiscono solo
onde non perfettamente in fase e provenienti da una porzione sempre più
piccola della fenditura. Per questa ragione generalmente sullo schermo si
riescono a vedere solo poche frange disposte simmetricamente rispetto a
quella centrale, in cui si concentra la quasi totalità dell'energia luminosa.
Valutiamo ora l'intensità luminosa nel generico punto P dello schermo di
osservazione individuato dall'angolo 0. A tale scopo bisogna calcolare
o
A
B
Fig. 7
VI.5. - DIFFRAZIONE
782
t
l'ampiezza della perturbazione in P risultante dalla sovrapposizione delle
onde secondarie provenienti dagli elementi di larghezza dy in cui abbiamo suddiviso la fenditura (fig. 8), tenendo conto che le onde provenienti
da due elementi consecutivi sono sfasate in P di d<P=(21t/A)dysin0. Possiamo fare uso del metodo dei fasori come nel caso dell'interferenza da N
sorgenti. Poiché i vettori di fase nella diffrazione sono di ampiezza infinitesima e la differenza di fase fra due consecutivi è infinitesima, la poligonale dei fasori diventa un arco di circonferenza di centro C e raggio R
(fig. 9) e l'ampiezza risultante E 0 coincide con la corda OQ. Inoltre se indichiamo con ~<P la differenza di fase tra le onde che provengono dai due
estremi della fenditura, ~<P = (21t/A) asin0, da semplici considerazioni geometriche si ricava che l'ampiezza risultante E 0 è pari a
E 0 =2Rsina
Fig. 8
essendo
~<P
1C
•
a=--=-asm
2
À,
0
(VI.5.2.)
Possiamo esprimere E 0 in funzione dell'ampiezza risultante Em che si ha
nel punto centrale, in quanto quest'ultima è uguale alla lunghezza dell'arco
OQ. Infatti nel punto O dello schema di osservazione, corrispondente a
0=0, la differenza di fase d<P fra fasori consecutivi è nulla per cui questi
sono tutti paralleli tra loro e la lunghezza del fasore risultante Ero è pari
proprio alla somma delle loro lunghezze (fig. 9). Pertanto si ha
.
Em .
E sina
E e= 2R sma= 2 -sma = m-2a
a
o
Em
avendo tenuto conto che Em=R2a.
L'intensità luminosa, proporzionale al quadrato dell'ampiezza risultante,
vale
Fig. 9
. n:asin0
le = Im(sinaa
J2 = Im
sm
A
n:asin0
2
(VI.5.3.)
A
dove Im rappresenta l'intensità nel punto centrale dello schermo di
osservazione. Infatti per 0 = O risulta anche a= O ed il limite del rapporto
sina/a vale 1 così che l'intensità nel massimo centrale vale proprio
Ie=O = Im
Per tutti gli altri valori dell'angolo 0 l'intensità relativa, pari a
Ie/Im=(sinala)2, è sempre minore di 1 in quanto a=O corrisponde al punto
di massimo assoluto della funzione (sina/a)2.
Poiché l'intensità è una funzione positiva, i minimi si formano nei punti
in cui essa si annulla, cioè nei punti in cui risulta sin a= O. Tale condizione è soddisfatta quando a è un multiplo intero positivo o negativo di 1t,
cioè a= mn, con m -:t O, in quanto m = O corrisponde ad a= O che, come
783
VI.5.2. _ DIFFRAZIONE DI FRAUNHOFER PRODOTTA DA UNA FENDITURA
abbiamo visto, individua la posizione del massimo centrale della figura di diffrazione. I minimi si formano
quindi alle posizioni angolari 0 tali che
• 0
a= -1C a sm
= mn
'A,
⇒
asin0 = mA
con m = ±1, ±2, .. .±ìJa, confermando i risultati ottenuti sulla base dell'analisi qualitativa.
I massimi secondari si formano nelle posizioni in cui la
funzione (sinala)2 presenta dei massimi relativi e che si
possono determinare imponendo la condizione
j_(~J=
òa Im
-27C
-7C
=O
2 sin a acosa-sina
2
a
a
o
7C
27C
a
f(a)=a
I valori di a che rendono nullo il termine sina/a sono stati già discussi ed hanno fornito la posizione del massimo
centrale e dei minimi di intensità. Quelli che rendono nullo il termine (acosa-sina) forniscono le posizioni dei
massimi secondari e coincidono con le soluzioni
l'equazione trascendente tga =a. Tale equazione può essere risolta graficamente trovando i punti di intersezione
della funzione tga con la retta f(a) =a, come mostrato in
fig. 10. I valori di a che si ottengono non si discostano
Fig. 10
apprezzabilmente2 da quelli in cui risulta sin2a = 1, per
cui c'è da attendersi che l'intensità dei massimi secondari
si riduca rapidamente al crescere di a
Questo risultato formale può essere reso più evidente
con la rappresentazione mediante fasori. Infatti, come
abbiamo già fatto notare, nella regione di osservazione
le ampiezze delle onde secondarie provenienti da elementi di area infinitesima della fenditura e, quindi, le
lunghezze dei vettori di fase elementari con cui le rappresentiamo non variano. Di conseguenza al variare del
punto P di osservazione risulta costante anche la loro
somma, cioè la lunghezza dell'arco di circonferenza su
cui sono disposti. Invece con la posizione di P variano il
raggio ed il centro di curvatura dell'arco che dipendono
o
dalla differenza di fase d<I>=(2rr/A)dysin0 tra fasori conFig. 11
secutivi. Partendo dalla posizione del massimo centrale
in cui tutti i fasori sono allineati e, quindi, il raggio di
curvatura è infinito, man mano che si considerano punti sempre più distanti da esso, il raggio di curvatura si riduce e con questo la lunghezza
della corda OQ che lo sottende e che rappresenta l'ampiezza risultante E 0 •
La situazione è schematizzata in fig. 11 in cui per semplicità sono stati
riportati solo il primo (in nero) e l'ultimo fasore (in grigio). Aumentando
I I.
2. Infatti i primi due massimi secondari si formano nelle posizioni in cui risulta
a 1=±1.43rc ed a2 =±2.459rc mentre quelle corrispondenti in cui risulta sin2a= 1 valgono ±l.5rc e ±2.5rc.
Q
VI.5. - DIFFRAZIONE
784
ulteriormente la distanza del punto di osservazione si raggiunge una posizione in cui l'arco di circonferenza si chiude e l'ampiezza si annulla: abbiamo trovato la posizione del primo minimo di intensità. In questa la differenza di fase tra il primo e l'ultimo fasore che è anche uguale all'angolo
che sottende l'intero arco di circonferenza, risulta pari a Li<I>=2a=2n, per
cui si ritrova il risultato a=n, visto precedentemente. Considerando punti
ancora più distanti il raggio di curvatura si riduce ulteriormente, per cui i
fasori si dispongono su una curva costituita da un'intera circonferenza e
da un ulteriore arco. Ne consegue che l'ampiezza risultante diventa nuovamente diversa da zero ed aumenta, man mano che il raggio di curvatura
si riduce, fino a diventare uguale alla corda OQ', a cui corrisponde un valore della differenza di fase tra il primo e l'ultimo fasore pari circa a 3n,
così che a 3n/2. Questa è infatti la condizione che fornisce il primo
massimo secondario; un ulteriore aumento di Li<I> comporta
nuovamente una riduzione dell'ampiezza fino a quando per
Li<I>=47C questa si annulla e così via.
La figura di diffrazione, che può essere considerata come
l'immagine diffratta della sorgente utilizzata, è costituita
da una frangia centrale molto luminosa e da una successione simmetrica rispetto a questa di frange scure alternate a frange lumino:;e di intensità notevolmente inferiore
(cfr. esempio VI.5.1.) e rapidamente decrescente al crescere di 0. Nel caso in cui la sorgente puntiforme S è posta nel fuoco della prima lente, la figura di diffrazione si
presenta come una linea QQ' perpendicolare alla fenditura con il massimo centrale che cade nel fuoco della seFig. 12
conda lente come mostrato in fig. 12. Se la sorgente puntiforme si trova ancora nel primo piano focale della lente
L 1, ma è spostata rispetto all'asse ottico in direzione parallela alla fenditura (come S 1 in fig. 12), la figura di diffrazione Q 1Q'i risulta spostata
rispetto alla precedente.
Se quindi si considera una sorgente di luce rettilinea monocromatica parallela alla fenditura, poiché questa può essere vista come un insieme di
sorgenti puntiformi mutuamente incoerenti ciascuna delle quali dà luogo
sullo schermo B a un sistema di frange, l'intensità totale risulta pari alla
somma delle intensità prodotte dalle singole sorgenti. Per tale ragione la
figura di diffrazione risultante presenta delle frange che hanno la forma di
strisce parallele alla fenditura (fig. 13); tale figura rappresenta l'immagine
della sorgente lineare data fornita dal sistema.
Facciamo ancora delle osservazioni.
Dalla relazione a sin0 = mÀ , che fornisce le posizioni angolari dei minimi
di diffrazione, si deduce che queste dipendono dal rapporto tra la lunghezza
d'onda À della radiazione e l'ampiezza a della fenditura. In particolare la
posizione del primo minimo si ha in corrispondenza dell'angolo 0 1 tale che
=
Fig. 13
(VI.5.4.)
Quindi, al restringersi della fenditura, l'angolo 0 1 a cui si forma il primo
minimo aumenta e, di conseguenza, aumenta la larghezza del massimo
centrale; per questo motivo l'angolo 0 1 viene anche detto semilarghezza
VI.5.2. - DIFFRAZIONE DI FRAUNHOFER PRODOTTA DA UNA FENDITURA
angolare della frangia centrale. Nel caso particolare in cui
risulti a = À, il primo m.inim.o di diffrazione si ha in corrispondenza di 01=90°: il m.assim.o centrale si allarga in direzione ortogonale alla fenditura fino ad interessare tutto lo
schermo (fig.14), per cui la sua parte centrale risulta illuminata praticamente in modo uniforme. Questa condizione,
difficilmente realizzabile con le onde luminose, è stata da
noi assunta nello studio dell'interferenza prodotta dal dispositivo di Y oung e ci ha consentito di considerare le onde di
fratte da ciascuna fenditura di ampiezza costante nella parte
centrale dello schermo di osservazione, per cui le frange di
interferenza in tale regione sono risultate di uguale intensità.
Nel seguito studieremo il caso più realistico in cui a> À e
vedremo che la diffrazione che si produce in questa situazione rende differente l'intensità dei massimi di interferenza
dei vari ordini.
Nel caso in cui l'ampiezza della fenditura sia grande rispetto
alla lunghezza d'onda (a>> À), dalla relazione (VI.5.4.) si
deduce che l'angolo corrispondente al primo minimo è molto piccolo così che la regione luminosa sullo schermo di osservazione con buona approssimazione coincide con quella
prevista dall'ottica geometrica.
Osserviamo, infine, che nel caso in cui la fenditura rettangolare abbia una lunghezza R confrontabile con la larghezza a,
non risulta più trascurabile la diffrazione nella direzione parallela ad R così che nella figura di diffrazione sono presenti
frange nelle due direzioni disposte a forma di croce (fig. 15).
785
-20°
20° 0
Fig. 14
Fig. 15
ESEMPIO Vl.5.1. - DIFFRAZIONE DI FRAUNHOFER PRODOTTA DA
UNA FENDITURA DI LARGHEZZA a=5À
Cominciamo col valutare la larghezza della frangia centrale di diffrazione, prodotta da una fenditura di larghezza a=5À ed osservata sul piano focale di una lente convergente di lunghezza focale .f=25cm.. Dalla
relazione (VI.5.4.) otteniamo che la semilarghezza angolare 0 1 vale
sin0 1 =À=~=0.20
a 5'A
⇒
0 1 =12°
e la larghezza della frangia centrale è
2y1 = 2f tg0 1 = 10.6cm.
Quindi, con una fenditura larga 5 volte la lunghezza d'onda della luce
incidente, la frangia centrale è larga 10.6 cm..
E' immediato verificare che si hanno da entrambe le parti del massimo
centrale 5 minimi di diffrazione, come si deduce dalla relazione
a sin 0 = 5À sin 0 = mÀ
ponendo 0=90°, valore massimo consentito.
I
I
P1
.........
I
Y1
I
..:t........
P'i
~-----· f
------
Fig. 16a
VI.5. - DIFFRAZIONE
786
Le loro posizioni sullo schenno si ottengono con la relazione y =ftg0.
Pertanto si ha
sin 0 1 = 'A/5
⇒
Y1 = ftg0 1 = 5.31cm
sin 0 2 = 2À/5
⇒
Y 2 = ftg0 2 = 10.9cm
sin 0 3 =3À/5
⇒
Y3 = ftg0 3 =18.7cm
sin 0 4 = 4 ì,.,/ 5
⇒
y 4 =ftg0 4 =33.3cm
Detenniniamo l'intensità relativa dei primi due massimi secondari mediante la relazione Ia!Im = (sina/a,)2, assumendo che le loro posizioni
coincidano con quelle in cui sin2a= 1, cioè
con m intero positivo diverso da O.
Pertanto
1
----?-=0.045
e
2
(1 + 1/2)- 11:
p
y
I
~--7""'-
s
,,"--.-i---"---_..,_--'----!ll·.:+: ,....
o
---r i------
f
Verifichiamo così che l'intensità dei massimi secondari diminuisce molto rapidamente e per questo motivo quelli di ordine
superiore al secondo sono difficilmente visibili.
Vediamo ora come si modifica la figura di diffrazione se la radiazione incide sulla fenditura ad un angolo 6 = 20°, come mostrato in fig. 16b. In questo caso la differenza di cammino ottico tra le onde secondarie provenienti da due elementi adiacenti della fenditura ed interferenti nel punto P individuato
dall'angolo e vale
df = CD - AB= dy sin 0 - dy sin o
a cui corrisponde una differenza di fase pari a
Fig. 16b
d<I> = 211:dy(sin 0 - sin ò)/ì,.,
Il massimo centrale si fonna nel punto in cui le onde elementari provenienti dalla fenditura sono in fase fra loro (d<l>=O) e, quindi, nel punto O'
individuato dall'angolo 00 =ò=2O°.
Nei minimi l'intensità deve risultare nulla per cui la differenza di fase tra
le onde provenienti dagli estremi della fenditure deve soddisfare la condizione
Li<I> = 2a = 211:a(sin 0 - sin ò)/ì,., = 2mn
⇒
a (sin0- sin 6)= mÀ
con m intero :t:O
Quindi i minimi che si trovano sullo schenno di osservazione al di sopra
del massimo centrale si fonnano lungo le direzioni corrispondenti agli
angoli
VJ.5.3. -
DIFFRAZIONE DI FRAUNHOFER PRODOTTA DA UNA APERTURA CIRCOLARE
sin0 1 =sino+ A/ a= sino+ 1/5
⇒
01 = 32.82°
sin0 2 =sino+2A/a=sino+2/5
⇒
0 2 =47.9°
sin 0 3 =sino+ 3A/ a= sin o+ 3/5
⇒
0 3 = 70.39°
787
Il primo massimo secondario si fonna ad una posizione angolare che
soddisfa la condizione
a= n:a(sin 0 - sin o )/A= (m + 1/2)n:
⇒
sin0=sino+(l+l/2)A/a=sino+3/10 ⇒
0=39.94°
mentre la sua intensità resta invariata.
In conclusione la variazione dell'angolo di incidenza produce uno spostarnento della.figura di diffrazione così che si convoglia la maggior parte dell'energia luminosa lungo una direzione 00 i:- O e coincidente con
quella di incidenza.
Vl.5.3. - Diffrazione di Fraunhofer prodotta da una
apertura circolare
In questo paragrafo si vogliono esaminare le caratteristiche
principali della diffrazione prodotta da una apertura circolare
quando viene investita da onde piane monocromatiche. Il fenomeno riveste una grande importanza pratica dal momento
che i diaframmi solitamente utilizzati negli strumenti ottici sono di forma circolare.
Per la determinazione della figura di diffrazione si può procedere in modo analogo a quanto fatto nel caso di una fenditura
rettangolare considerando in ogni punto P dello schermo di
osservazione la sovrapposizione delle onde elementari provenienti da corone circolari concentriche di area infinitesima in
cui a causa della simmetria si può pensare suddivisa
l'apertura. La trattazione analitica del problema è tuttavia notevolmente più complessa di quella della diffrazione prodotta
da una fenditura per cui non la eseguiremo, ma ci limiteremo
ad analizzare qualitativamente i risultati cui si perviene. Data
la simmetria del dispositivo la figura di diffrazione che si osserva nelle condizioni di Fraunhofer è formata da un disco
centrale molto luminoso, detto disco di diffrazione o di Airy
(dal nome del fisico che per la prima volta nel 1835 risolse
questo problema da un punto di vista matematico), circondato
da anelli concentrici scuri alternati ad anelli luminosi di intensità rapidamente decrescente. Infatti la trattazione teorica mostra che l'intensità relativa ha un andamento molto simile a
quello ottenuto nel caso di una fenditura; esso è riportato in
fig. 18 in funzione del parametro a= nDsin0/A, dove D è il
diametro dell'apertura e 0 la posizione angolare del generico
punto sullo schermo di osservazione. In particolare si dimostra
che le posizioni dei primi due minimi soddisfano le condizioni
Fig. 17
o
Fig. 18
l.227t
2.237t
a.
VI.5. - DIFFRAZIONE
788
sin0 1 =l.22
Fig. 19
!:_
D
e
sin 0 2 = 2.23
!:_
D
(VI.5.5.)
dove i fattori 1.22 e 2.23 derivano dall'integrazione su tutte le sorgenti
secondarie. Si dimostra inoltre che circa 1'84% dell'intensità trasmessa
dall'apertura è concentrata nel disco di diffrazione, che quindi può essere
considerato come l'immagine della sorgente puntiforme posta all'infinito.
Se si elimina lo schermo A in modo che le onde piane investano direttamente la lente, le dimensioni finite di questa limitano i fronti d'onda che
la attraversano producendo il fenomeno della diffrazione. Di conseguenza
l'immagine di una sorgente puntiforme posta a grande distanza sull'asse
ottico della lente, anche in assenza di aberrazioni, non è mai puntiforme
come invece prevede l'ottica geometrica. Essa coincide con la figura di
diffrazione e, quindi, in pratica con il disco centrale, le cui dimensioni
sono fissate dalla posizione del primo minimo. Poiché in generale il diametro della lente è molto grande rispetto alla lunghezza d'onda (À<<D),
è possibile nella relazione (VI.5.5.) fare l'approssimazione sin0 1 0 1, per
cui il raggio del disco luminoso, detto raggio di Airy, vale
=
À
R :::1.22 f D
dove f è la distanza focale della lente.
Il risultato precedente trovato nell'ipotesi che la sorgente puntiforme sia a
grande distanza dalla lente, continua a valere anche nel caso in cui la sorgente si trovi da questa a distanza finita, ma maggiore della distanza focale. In questo caso, sebbene le onde incidenti siano sferiche, quando attraversano la lente si produce ancora il fenomeno della diffrazione e si può
verificare che l'immagine della sorgente puntiforme è anche in questo caso un disco di raggio R = l.22iìJD, essendo i la posizione dell'immagine
rispetto alla lente.
Poiché i fenomeni di diffrazione si verificano ogni qualvolta vengono
imposte delle limitazioni ai fronti d'onda, i risultati precedenti valgono
anche nel caso degli specchi sferici concavi, come quelli usati nei telescopi, per cui le immagini di sorgenti puntiformi distanti hanno le dimensioni del disco di Airy.
Vl.5.3.1. - Potere risolutivo di una apertura circolare
Una delle conseguenze più importanti della diffrazione, che è un fenomeno non eliminabile essendo strettamente connesso con la natura ondulatoria della luce, è che le immagini diffratte hanno dimensioni finite. Queste
limitano la possibilità di distinguere due sorgenti puntiformi, quando esse
sono separate da una distanza angolare molto piccola, come accade ad esempio nel caso di una stella doppia osservata con un telescopio. In altre
parole la diffrazione costituisce un limite al potere risolutivo o separatore di uno strumento ottico.
Per comprendere meglio il problema consideriamo due sorgenti puntiformi S 1 ed S2 poste a grande distanza da uno schermo su cui è praticata
una apertura circolare e supponiamo che le direzioni di propagazione del-
VI.5.3. -
789
DIFFRAZIONE DI FRAUNHOFER PRODOTTA DA UNA APERTURA CIRCOLARE
le rispettive onde3 formino fra loro un angolo 8. Questa situazione si verifica sperimentalmente quando l'obiettivo di un telescopio è focalizzato
all'infinito per osservare ad esempio due stelle. Poiché le due sorgenti
sono mutuamente incoerenti, le frange che si osservano su uno schermo
diffusore o su una lastra fotografica sono in realtà la somma di quelle relative alle due figure di diffrazione, singolarmente prodotte da ciascuna
sorgente e aventi il massimo centrale nella direzione coincidente con
quella di incidenza. Di conseguenza, dall'osservazione
della figura di diffrazione risultante non sempre si riesce
a distinguere la presenza delle due figure componenti e,
quindi, a risolvere le due sorgenti. Ad esempio nella situazione illustrata in fig. 2Oa, la distanza angolare ò tra i
~~...=J;::::::is=...;:+-l,..,=r,:-;;--_,;;.!-l-~.-:::ac •.
due fasci è piccola rispetto alla semilarghezza 0 1 del
massimo centrale di ciascuna delle due figure di diffrazione, per cui nella figura risultante (a tratto intero) non
si riescono a distinguere quelle corrispondenti a ciascuna sorgente (curve tratteggiate). Pertanto in questa situazione le due sorgenti non sono risolte. Se invece la
Fig. 20a
separazione dei due massimi centrali è più grande del
raggio di Airy di ciascuna figura di diffrazione, come
mostrato in fig. 2Ob, queste sono separate per cui le due
sorgenti sono pienamente risolte.
In fig.2Oc la separazione angolare tra le due sorgenti è
proprio uguale alla semilarghezza 01 del disco di Airy così che il massimo centrale di una delle due figure di diffrazione coincide col primo minimo dell'altra. Questa siSi---'---r--r.:=-r--;:-----fl
tuazione corrisponde, sulla base di un criterio pratico stabilito dal fisico inglese Lord Rayleigh (1842-1919), a
quella per cui le due sorgenti possono ritenersi appena
risolte. Più precisamente, il criterio di Rayleigh stabilisce che due sorgenti puntiformi S 1 ed S2 possono essere
risolte se i centri dei rispettivi dischi di diffrazione sono
Fig. 20b
separati da una distanza maggiore del raggio di Airy. In
base al criterio di Rayleigh, quindi, l'angolo minimo di
risoluzione di una apertura di diametro D vale
01
ÒR
=1.22 À/D
(VI.5.6.)
ed il rapporto
1
ÒR
::::::
S2
D
l.22À
(VI.5.7.)
definisce il suo potere risolutivo.
Dalla relazione (VI.5.7.) si deduce che questo cresce
con il diametro D del dispositivo: si giustificano così le
grandi dimensioni dei diametri degli obiettivi o degli
specchi dei telescopi, utilizzati nello studio dei corpi celesti. L'elevata apertura consente inoltre allo strumento
3. Assumiamo che le due lunghezze d'onda siano uguali, À. 1 =Àz=À..
S1
Fig. 20c
VI.5. - DIFFRAZIONE
790
di raccogliere una maggiore energia in modo da rendere le immagini più
luminose permettendo l'osservazione anche di sorgenti molto deboli. Ad
esempio uno dei più grandi telescopi ottici del mondo, quello
dell'osservatorio situato sul monte Palomar (USA), ha uno specchio di
5m di diametro, per cui il suo potere risolutivo per una lunghezza d'onda
incidente pari a 550nm, risulta pari a 1/oR= 7.45-106rad- 1ed è in grado di
distinguere due sorgenti aventi una separazione angolare di soli
1. 34· 10-7rad.
Osserviamo infine che la dipendenza dall'inverso della lunghezza d'onda
comporta che il potere risolutivo cresce al diminuire di quest'ultima; questa caratteristica viene sfruttata per osservare in dettaglio oggetti piccoli
(come batteri o virus) mediante microscopi elettronici che utilizzano, infatti, lunghezze d'onda minori di quelle della luce visibile.
ESEMPIO
Vl.5.2. - POTERE RISOLUTIVO DI UNA LENTE
CONVERGENTE
Consideriamo una lente, di diametro D = 2cm e distanza focale f = 5cm,
illuminata da un fascio di luce monocromatica di lunghezza d'onda
À=590nm emesso da una sorg<;nte puntifonne posta a grande distanza
sull'asse ottico. Nell'ottica geometrica abbiamo visto che, se non sono
presenti aberrazioni, i raggi provenienti da questa e rifratti dalla lente si
intersecano in un punto che rappresenta l'immagine della sorgentefomita dalla lente. Tale punto nel caso in esame coincide con il secondo fuoco. Se ora consideriamo la sorgente non come il punto da cui provengono
i raggi incidenti sulla lente, ma come quello da cui provengono le onde
che attraversano la lente, dobbiamo tener conto che le dimensioni finite
di questa limitano tali fronti, producendo una figura di diffrazione. In altre parole la lente si comporta come un'apertura circolare. Per tale motivo l'immagine della sorgente che si osserva su uno schenno diffusore
coincidente con il piano focale della lente non è in realtà puntifonne, ma
è la figura di diffrazione prodotta da questa. Poiché abbiamo supposto
che la sorgente sia abbastanza lontana, la figura di diffrazione è proprio
quella di Fraunhofer e possiamo assumere come dimensione
dell'immagine quella del disco centrale, il cui diametro d per la (Vl.5.5.)
è pari a
d=2y 1 ::::2f0 1 =2.44fÀ/D=3.6µm
=
Fig. 21
in cui si è fatto uso dell'approssimazione sin0 1 0 1•
Se ora avviciniamo la sorgente puntifonne alla lente, portandola a distanza o = 20cm da questa, la sua immagine si fonna ad una distanza i
che si ricava dalla relazione
⇒
i=6.66cm
In tal caso il diametro del disco centrale di diffrazione vale
d' = 2y\
=2 i0 = 2.44 i ÀjD =4.8µm
1
VI.5.3. _
DIFFRAZIONE DI FRAUNHOFER PRODOTTA DA UNA APERTURA CIRCOLARE
791
Determiniamo ora la più piccola distanza y0 a cui deve trovarsi un'altra
sorgente S', identica ad S, affinché le corrispondenti immagini siano risolte secondo il criterio di Rayleigh. In tal caso il centro del disco di diffrazione relativo ad S' deve coincidere con la posizione del primo minimo
della figura di diffrazione di S (fig. 22 ), per cui la loro separazione angolare è proprio
8R
=1.22 A/D =0.14 · 10-4rad
per cui Yo vale
y0
=o8R = 2.8µm
La distanza lineare y0 al limite di risoluzione è un parametro che viene
utilizzato soprattutto nel caso del microscopio in quanto stabilisce il limite dei dettagli che si possono distinguere nell'oggetto osservato. Questo
infatti può essere visto come un insieme di oggetti puntiformi, che illuminati con luce incoerente si comportano come sorgenti mutuamente incoerenti.
Solitamente il parametro y 0 viene espresso mediante l'angolo 2<1> di accettanza dell'obiettivo (fig. 22); se questo è piccolo (nel nostro caso
<P::::0.05rad) y 0 è dato da
Yo
OA
A
A
=1.22=
1.22- = 0.61D
2<1>
<I>
Dalla relazione precedente si deduce che per rendere più piccola la minima distanza risolubile con una data apertura della lente è necessario
utilizzare luce di lunghezza d'onda più piccola possibile. Senza cambiare
la sorgente, è possibile ridurne la lunghezza d'onda ponendo tra la sorgente e la lente un mezzo di indice di rifrazione n, in modo che la luce incidente su questa presenti una lunghezza d'onda ridotta del fattore 1/n
rispetto al vuoto. In effetti un calcolo rigoroso dovuto ad Abbe, valido
anche nel caso in cui <I> sia grande, come può accadere nel caso
dell'obiettivo di un microscopio, fornisce la relazione
y0
À
=0.61--.nsm <I>
dove n è l'indice di rifrazione del mezzo posto di fronte all'obiettivo. La
relazione di Abbe per piccoli angoli di apertura dell'obiettivo e
nell'ipotesi che il mezzo a contatto con questo sia il vuoto, coincide con
la relazione trovata da noi precedentemente. La quantità nsin<I> viene
detta apertura numerica dell'obiettivo, mentre l'inverso di y0 rappresenta il potere risolutivo lineare di questo. Per aumentare l'apertura numerica e, quindi, ridurre il valore della minima distanza lineare risolvibile
tra due punti si può sia aumentare l'angolo di accettanza, che utilizzare
mezzi di indice di rifrazione maggiore dell'unità. Tenendo conto che
quando <I>= 70° risulta sin<I> 0.94, si comprende che aumentando ulteriormente l 'accettanza l'apertura numerica non varia apprezzabilmente,
per cui è necessario porre davanti all'obiettivo un mezzo di indice di rifrazione n > 1.
=
Fig. 22
VI.5. - DIFFRAZIONE
792
ESEMPIO
Vl.5.3. -POTERE RISOLUTIVO DELL'OCCHIO
Le precedenti considerazioni possono applicarsi al caso dell'occhio umano. Abbiamo visto (cfr. § VI.3. 7.) che la pupilla ha un diametro D che
varia tra 2mm e 8mm. Pertanto la distanza minima angolare ÒR tra due
punti luminosi caratterizzati da una lunghezza d'onda À = 550nm risolubili dall'occhio varia tra
e
òR
2
:::1.22 _À_=l.22
Dmax
550 1 9
· ~; =0.82-10-4 rad
8·10
D'altra parte, poiché la visione dei particolari di un oggetto migliora se
lo si pone ad una distanza dall'occhio pari a quella del punto prossimo
(do = 25cm), possiamo valutare la più piccola separazione tra due punti
dell'oggetto osservato in tale posizione che possono essere risolti secondo il criterio di Rayleigh quando il diametro della pupilla assume i valori
estremi
Dobbiamo tuttavia osservare che i valori trovati precedentemente sono
più piccoli di quelli effettivamente risolubili dall'occhio. Infatti nella trattazione precedente non si è tenuto conto del fatto che due dischi di diffrazione, corrispondenti a due oggetti per poter essere risolti dall'occhio
devono interessare due sensori distinti ( coni e bastoncelli) della retina.
Sperimentalmente si trova la distanza limite y1 fra due oggetti deve essere pari a circa IOOµm.
Valutiamo ora quale deve essere la massima distanza L alla quale
l'occhio di notte può vedere distinti i fari di un'automobile che si sta avvicinando. Supponiamo che la separazione fra i fari sia pari a y = 1.42m,
che il diametro della pupilla valga D=2.5mm e che la luce dei fari abbia
lunghezza d'onda À = 550nm. In queste ipotesi, l'angolo minimo di risoluzione vale
per cui risulta
L=y/òR =5.2km
VI .5.4. - Diffrazione da disco opaco
Fig. 23
Abbiamo discusso nei paragrafi precedenti gli effetti della diffrazione di
Fraunhofer che si produce quando onde piane monocromatiche attraversano aperture praticate su uno schermo opaco. Analizziamo ora la situazione complementare e cioè la diffrazione prodotta a grande distanza da
oggetti opachi che ostacolano la loro propagazione; in particolare considereremo quella dovuta ad un disco (fig. 23). L'ampiezza della perturba-
VI.5.5. _ DIFFRAZIONE DI FRAUNHOFER DA UNA DOPPIA FENDITURA
793
zione risultante in un punto individuato dall'angolo 0 rispetto alla direzione di incidenza si può ancora determinare applicando il principio di
Huygens ai punti delle porzioni libere del fronte d'onda. Tuttavia è possibile risolvere il problema più semplicemente ricorrendo al principio di
Babinet in base al quale un disco produce la stessa figura di diffrazione di
una apertura di uguali dimensioni praticata su uno schermo opaco (fig.
24), in tutte le direzioni ad eccezione di quella di incidenza, 0=0.
Infatti, indichiamo con E01 e E02 le ampiezze delle perturbazioni nella direzione 0 risultanti dalla sovrapposizione delle onde sferiche provenienti dalle porzioni libere del fronte d'onda incidente rispettivamente nel caso
dell'apertura e del disco. La loro somma fornisce
l'ampiezza risultante dalla sovrapposizione delle onde
secondarie che provengono da entrambe le zone libere e,
quindi, poiché queste non hanno punti di sovrapposizione, coincide con l'ampiezza E 0 che si avrebbe nella direzione 0 in assenza di ostacoli. D'altra parte nel caso di
un'onda piana l'ampiezza a grande distanza risulta non
nulla solo nella direzione di propagazione 0 = O. Pertanto
per 0:;t:O si ha
Fig.24
Ea =E01 +E02 =0
da cui si ottiene che E01 = -E02 cioè le perturbazioni risultanti nelle due
situazioni complementari sono sfasate di n. Le intensità corrispondenti
invece sono uguali
Ia1
= Iaz
come stabilito dal principio di Babinet. Pertanto possiamo concludere che la
figura di diffrazione del disco coincide con quella dell'apertura circolare, che
abbiamo già analizzato, tranne che a 0 =O. Ciò è evidenziato dal picco netto
presente a 0 = O nella distribuzione dell'intensità dovuta alla diffrazione prodotta dal disco (fig. 25) e che dà luogo ad un puntino molto luminoso, al centro della figura di diffrazione, come vedremo con più dettaglio nel § VI.5.8.
Lo schermo con il foro circolare ed il disco di uguali dimensioni
dell'apertura rappresentano un esempio di schermi complementari, cioè
di schermi tali che le parti aperte di uno corrispondono esattamente alle
parti opache dell'altro e viceversa. Il principio di Babinet può essere applicato ad ogni coppia di schermi complementari ed afferma che le figure
di diffrazione da essi prodotte a grande distanza sono identiche tra loro
tranne che nella direzione del fascio incidente.
Vl.5.5. - Diffrazione di Fraunhofer da una doppia
fenditura
Siamo ora in grado di determinare la distribuzione dell'intensità luminosa
prodotta dalle onde diffratte dalle fenditure del dispositivo di Young, quando
queste hanno un'ampiezza a> À. Sudiamo il problema nelle condizioni in cui
si verifica la diffrazione di Fraunhofer, per cui supponiamo che lo schermo
B, su cui sono praticate le fenditure, si trovi a grande distanza sia dalla sor-
0
102
0
Fig. 25
794
s
B
Fig. 26
i•------· fz
B
Fig. 27
VI.5.- DIFFRAZIONE
gente che dallo schermo di osservazione in modo che risultino piane sia le
onde incidenti sullo schermo B che quelle diffratte nei punti di osservazione.
Sappiamo che una situazione equivalente si realizza in laboratorio mediante
due lenti convergenti poste a ridosso delle fenditure da parti opposte (fig. 26)
con la sorgente S posta nel primo piano focale della lente L 1 e lo
schermo di osservazione nel secondo piano focale di Lz. Per semplicità
assumiamo che la sorgente emetta luce monocromatica di
p
lunghezza d'onda À e che si trovi proprio nel fuoco di L 1 per cui i
fronti d'onda piani che investono lo schermo B sono paralleli a
questo. Supponiamo inoltre che le due fenditure siano parallele, di
uguale larghezza a molto minore della loro lunghezza, e che siano separate da una distanza d.
Ricordando le considerazioni svolte nel § VI.5.2. sulla diffrazione di Fraunhofer che si produce quando onde piane invee
stono normalmente una fenditura, possiamo affermare che uno
spostamento di questa parallelamente a se stessa non implica
alcun cambiamento nella figura di diffrazione. Infatti le posizioni dei massimi e dei minimi di intensità dipendono esclusivamente dalla direzione di propagazione delle onde che si sovrappongono in essi; ad esempio le onde che incidono sulla
lente L 2 di fig. 27 propagandosi lungo direzioni parallele al suo
asse ottico si sovrappongono in fase nel punto O, fuoco di L 2,
formando il massimo centrale di diffrazione sia se la fenditura
occupa sullo schermo B la posizione S 1 che la posizione S2 •
Pertanto se si illuminano due fenditure identiche parallele praticate su uno schermo opaco con luce proveniente da due sorgenti mutuamente incoerenti aventi stessa lunghezza d'onda, le
rispettive figure di diffrazione si sovrappongono perfettamente
sullo schermo diffusore C dando luogo a massimi più luminosi: in particolare se le due fenditure sono identiche, in ogni
punto l'intensità è doppia rispetto a quella che si avrebbe in
presenza di una sola fenditura. Se invece le fenditure S 1 ed S2
vengono illuminate con luce proveniente da una sola sorgente
(fig. 26), così che le onde da esse diffratte risultano mutuamente coerenti, la situazione risulta più complessa in quanto
bisogna tener conto dell'interferenza prodotta dalla sovrapposizione delle
onde provenienti dalle due fenditure. La situazione non è molto diversa
da quella esaminata nel § VI.4.3.1., in cui avevamo supposto che la larghezza delle fenditure fosse minore della lunghezza d'onda della radiazione incidente su di esse. Infatti in entrambi i casi le onde interferenti
sono quelle diffratte dalle due fenditure; solo che nella situazione che vogliamo esaminare ora le ampiezze delle onde interferenti, pur essendo
uguali fra loro punto per punto dello schermo di osservazione, non hanno
più ampiezza costante e pari a quella in O nella regione centrale4 dello
4. Nella situazione che si sta esaminando si suppone che le onde piane incidano normalmente sulle fenditure, per cui il punto O è proprio il punto di intersezione dello
schermo C con il raggio parallelo alla direzione di incidenza passante per il centro ottico della lente L2. Se l'incidenza non è normale tutte le considerazioni fatte per il
punto O vanno riferite al punto di intersezione dello schermo C con il raggio parallelo
alla nuova direzione di incidenza passante per il centro ottico della lente L2.
VI.5.5. _
795
DIFFRAZIONE DI FRAUNHOFER DA UNA DOPPIA FENDITURA
schermo C. Ciò comporta, come vedremo in dettaglio nel seguito, che i
massimi di interferenza non hanno più la stessa intensità.
Per determinare la perturbazione ottica risultante in un dato punto P individuato dalla posizione angolare 0, possiamo ancora ricorrere al metodo
dei fasori. A partire dal primo, che rappresenta la perturbazione proveniente dall'estremo A della fenditura S 1 (fig. 28), disponiamo i successivi
come abbiamo fatto nel caso di una sola fenditura in modo da ottenere
l'arco OQ di fig. 29. A partire da Q posizioniamo il fasore successivo,
che rappresenta l'onda proveniente dall'estremo D della fenditura S2 : esso deve quindi essere inclinato rispetto al precedente di un angolo y uguale alla differenza di fase tra le due onde provenienti da A' e D. Questa è
proporzionale alla differenza di cammino ottico DH (fig. 28) per cui y risulta pari a
·--~-y~L
d ,,
.. ·f-··,,......,dv sin0
-S1••······r··,.,,,._;;:-~
:
sin a
E01 = E02 = Elm - -
2n(d - a )sin 0
À
2nd sin 0
À
ti-V= 2a+ y=----+--'---......:.....-- = - - - -
e rappresenta la differenza di fase tra due raggi paralleli inclinati di un
angolo 0 provenienti dai centri delle aperture AA' e DD'. In altre parole tutto accade come nella situazione esaminata nel § VI.4.3.1. salvo
che l'ampiezza delle onde interferenti varia con 0 secondo la (VI.5.8.).
L'ampiezza risultante è quindi data da
Ei
= Ei1 + Ei 2 + 2E 01 E 02 cos ~<I>= 4Ei1cos 2 ~<I>/2 =
2
_
(E
)2(
sin
a
)
- 4 lm - - COS 2 ~<I>
a
e l'intensità da
.
''
d
0\
,I
10 •\H _ _ -
:····•·!~__Sz.......Y.I •..
!
I
~
-------
-I
Fig. 28
Q'
,,
dove ricordiamo che E 1m rappresenta l'ampiezza dell'onda diffratta da
ciascuna fenditura nella direzione definita dal fascio incidente (0 = O),
mentre 2a è la differenza di fase tra le onde provenienti dagli estremi di
ciascuna fenditura, cioè a n:asin0/À.
L'angolo che E 10 ed E 20 formano fra loro è dato da
2na sin 0
À
\
(VI.5.8.)
a
A""
'A'
•
I
2n
2n (d-a ) sm0
.
y=-DH=À
À
A partire dal fasore posto in Q si costruisce il secondo arco di circonferenza QQ', e quindi il fasore risultante OQ'. La sua ampiezza E 0 può essere valutata col teorema di Carnot mediante le corde E 01 ed E 02 sottese dai
due archi di circonferenza OQ e QQ'. Queste rappresentano l'ampiezza
della perturbazione diffratta rispettivamente dalla prima e dalla seconda
fenditura, per cui sulla base delle considerazioni precedenti risultano uguali fra loro e pari a
~---1~----
'I
2
,,
,
,(a,_,--'
6-~-
Ea
o
Fig. 29
796
VI.5. - DIFFRAZIONE
I 0 -_ 41lm (sin a )
2
a
COS
2
.6.<l>
2
Indicando con Im l'intensità risultante a 0 = O (Im = 41 1m)ed esplicitando le
espressioni di a e .6.<l> in funzione della posizione angolare 0, la relazione
precedente può essere riscritta nella forma
2
2
10 =lm(sin(na_sin0/1v)J cos (ndsin0)
nasm0/À
À
(VI.5.9.)
Essa mostra che il valore dell'intensità 10 dipende dal prodotto di due fattori, che possiamo indicare col nome di fattore di diffrazione e di interferenza rispettivamente. 10 , quindi, risulta nullo in tutti i punti in cui si annulla uno dei due fattori. Più precisamente l'intensità risultante è nulla
nelle posizioni angolari che soddisfano la condizione
a sin 0 = k:À
con
k = ±1, ± 2, ...
(Vl.5.10.)
in quanto, come abbiamo visto nello studio della diffrazione prodotta da
una singola fenditura, queste corrispondono a direzioni lungo cui nessuna
delle due fenditure fa giungere luce sullo schermo, (101 = 102 = 0).
L'intensità risultante 10 è ancora 1 nulla nei punti in cui le perturbazioni
emesse dalle due fenditure si sovrappongono elidendosi completamente,
(punti di interferenza distruttiva); le loro posizioni angolari devono, quindi, annullare il secondo fattore, per cui soddisfano la nota condizione
d sin 0 = (2m + l)"A/2 con m =O,± 1, ± 2, ...
(VI.5.11.a)
Invece nelle posizioni definite dalla relazione
d sin0=m,l
con m
0,±1,±2, ...
(VI.5.11. b)
le onde diffratte dalle due fenditure si rinforzano l'una con l'altra, interferendo costruttivamente; in tali punti si producono massimi di intensità pari a
2
I
max
=I (sin(nasin0/1v)J
m
• e/"l
na sm
/\,
Quindi sullo schermo di osservazione le frange luminose, intervallate a
quelle buie, cadono ancora in posizioni che, per un fissato valore della
lunghezza d'onda della sorgente utilizzata, dipendono esclusivamente
dalla separazione d fra le fenditure; esse tuttavia non sono ugualmente
luminose a causa del fattore di diffrazione, che dipende dall'ampiezza a
delle fenditure. Da questa infatti dipende per una fissata lunghezza
d'onda la larghezza del massimo centrale di diffrazione in cui, anche nel
caso di due fenditure, si concentra la quasi totalità della luce proveniente
da queste, per cui le frange maggiormente visibili sono quelle che cadono
nella regione compresa tra le posizioni definite da sin0=ÌJa e sin0=-ÌJa.
Quindi nel caso di fenditure molto sottili rispetto alla loro separazione
(a<< d), nel massimo centrale di diffrazione cade un elevato numero di
massimi e minimi di interferenza, per cui in prossimità della frangia cen-
VI.5.5. _ DIFFRAZIONE DI FRAUNHOFER DA UNA DOPPIA FENDITURA
797
trale si ha un certo numero di frange caratterizzate da intensità pressoché
uniforme. In altre parole nelle vicinanze della frangia centrale si realizza
la stessa condizione che nell'ipotesi a< 'A si realizzava nell'intera regione
di osservazione.
Al ridursi del rapporto dia il numero di
la
frange luminose che cadono nel massimo
centrale di diffrazione diminuisce, per cui
già le prime frange adiacenti a quella centrale possono presentare una intensità notevolmente inferiore ad essa, come mostrato in fig. 30 dove è riportato l'andamento
di la in funzione di sin0, nell'ipotesi che
sia d = 3.5a. Il grafico inoltre mostra che
nella posizione corrispondente al massimo
di ordine 7, cade il secondo minimo di diffrazione, per cui in tale pos1z1one
À
o À
l'intensità è nulla. Si dice che il settimo
d 2d 3d 4d
ordine manca o che la settima frangia è
soppressa. Questo risultato può essere geFig. 30
neralizzato: dal rapporto membro a membro tra le relazioni (VI.5.11.) e (VI.5.10.)
si deduce che ogni qualvolta il rapporto
m/k coincide con dia la frangia di ordine
la
m manca. Per confronto, in fig. 31 è riportata l'intensità che si osserverebbe sullo
schermo se le due fenditure fossero illuminate con due fasci di lunghezza d'onda À
mutuamente incoerenti. Osserviamo che a
0=0, l'intensità vale solo 2I1m , cioè è la
metà di quella che si ha nella stessa posiiJa
zione quando le onde diffratte dalle due
O
fenditure sono fra loro coerenti. Questo riFig. 31
sultato non è nuovo: la conservazione
dell'energia comporta che l'area racchiusa
tra la curva la e l'asse delle ascisse in fig. 30 deve coincidere con quella
corrispondente in fig. 31; il fenomeno dell'interferenza nel caso di sorgenti
coerenti ridistribuisce l'energia luminosa concentrandola in alcune regioni,
a discapito di altre. Se si fa variare la distanza tra le fenditure lasciando inalterata la loro ampiezza, cambia, come abbiamo già fatto notare, il numero di frange che si forma tra le posizioni definite dalla relazione sin0=±ÌJa,
ma non cambia l'area racchiusa dalla curva la e dall'asse delle ascisse.
Ricordiamo infine che nel caso di sorgente policromatica continuano a valere
le stesse osservazioni fatte nel § VI.4.3.1. Il sistema di frange osservato sullo
schermo è il risultato della sovrapposizione di quelli relativi alle singole
componenti cromatiche: solo la frangia centrale, la cui posizione è indipendente da 'A, contiene tutte le lunghezze d'onda della sorgente ed ha, quindi, lo
stesso colore di questa; le altre sono formate da frange di colore diverso corrispondenti alle diverse lunghezze d'onda componenti la sorgente, che possono risultare più o meno sovrapposte a seconda dei valori di 'A.
À
2a
!
À
7d
sin0
2).Ja sin0
798
VI.5. - DIFFRAZIONE
Vl.5.6. - Reticolo di diffrazione
A
B
Fig. 32
Possiamo generalizzare i risultati della diffrazione prodotta da due fenditu- .
re parallele al caso in cui su uno schermo opaco siano praticate N fenditure
parallele equispaziate e di uguale larghezza a in modo da realizzare un reticolo di diffrazione. La distanza d fra gli assi centrali di due fenditure successive è detta passo del reticolo, mentre il prodotto Nd è la sua larghezza.
In fig. 32 è schematizzato un reticolo che opera nelle
condizioni in cui la diffrazione prodotta da ciascuna fenditura sia quella di Fraunhofer; per semplicità supponiamo che la sorgente emetta luce monocromatica di lunghezza d'onda À e che questa incida normalmente sulle
fenditure. L'intensità nei punti dello schermo di osservazione è il risultato dell'interferenza che in essi si produce
o fra le onde diffratte dalle N fenditure. Poiché queste sono
mutuamente coerenti, la distribuzione dell'intensità luminosa può essere determinata in modo del tutto analogo a
quello esaminato nel § VI.4.4. nel caso dell'interferenza
prodotta da N sorgenti coerenti. L'unica differenza sta nel
fatto che le ampiezze delle perturbazioni provenienti dale
le fenditure pur ess,endo ancora uguali fra loro punto per
punto, variano con l'angolo 0 di osservazione secondo la
relazione
E
81
=
···
=E
8N
=E (sina)=E (sin(nasin0/'A)J
lm
lm
· 0/'l
a
rea sm
/\,
in cui E 1m rappresenta l'ampiezza delle onde diffratte da una singola fenditura nella direzione definita dal fascio incidente (0=0).
L'intensità prodotta dal reticolo è, quindi, data da
I =I
8
2
2
2
2
( sin a ) sin (N~<I>/2) = I sin (rea sin 0/'A) sin (Nrcd sin 0/'A)
Im
a
sin 2 (~<I>/2)
Im
(reasin0/'A)2 sin 2 (rcdsin0/'A)
Se indichiamo con Im l'intensità della frangia centrale la relazione precedente può essere messa nella forma
2
I = Im (sin(rea sin 0/À ))
8
N2
reasin0/À
2
(
sin(Nrcd sin 0/À )J
sin(rcdsin0/11.)
(VI.5.12.)
Come nel caso di due fenditure, nell'espressione di 18 compare il
prodotto fra due fattori, che possiamo chiamare ancora fattore di diffrazione e di interferenza. L'analisi del secondo evidenzia le caratteristiche che abbiamo già esaminato in dettaglio nel § VI.4.4. e cioè la
presenza di massimi principali intervallati da N-1 minimi di intensità nulla, che cadono nelle posizioni individuate rispettivamente dalle
relazioni
dsin0=mÀ
con
m =O,± 1, ... ,±À/d
d sin 0 = m''A/N
con
m'= ±1, ... ,±N -1, ± N + 1...
VI.5.6. - RETICOLO DI DIFFRAZIONE
799
La presenza tra due massimi principali consecutivi di N-2 massimi
secondari di intensità molto debole, fa sì che le frange luminose al
crescere di N diventino sempre più strette e nitide in quanto vengono ad essere separate da intervalli praticamente scuri, con un
conseguente aumento di contrasto nella figura osservata (fig. 33).
La presenza del termine di diffrazione ha due effetti: rende nulla
l'intensità anche nelle posizioni che soddisfano la condizione
asin0 =kl
con
·N=2
N=3
k =± 1, ... ,± ì./ a
e ciò può comportare l'assenza di alcuni massimi principali
(quelli per cui vale l'uguaglianza mlk= dia come abbiamo visto
nel caso di due fenditure). Il secondo effetto è ancora più rilevante in quanto rende l'intensità dei massimi principali ridotta
rispetto a quella del massimo centrale, che si forma nella direzione definita dal fascio incidente (0 =O nel nostro caso) in accordo alla relazione
N=
grande
Fig. 33
2
10 =I (sin(rcasin0/'A.)J
m rea sin 0/À
In altre parole anche nel caso dei reticoli l'intensità è modulata da.I fattore di diffrazione, per cui la luce è ancora concentrata essenzialmente
nel massimo centrale di diffrazione. Per tale ragione le frange maggiormente visibili sono quelle che cadono in prossimità di quella centrale. Per evidenziare l'effetto del fattore di diffrazione in fig. 34 sono
riportati i grafici dell'intensità relativa 10/Im
nel caso in cui N =5 ed N è molto grande, che
N=5
possono essere confrontati con quelli di fig.
52 ottenuti nel §VI.4.4. nell'ipotesi che
l'ampiezza delle onde interferenti non vari
con la posizione angolare 0. Sul secondo grafico di fig. 34 la curva tratteggiata rappresenta l'andamento del fattore di diffrazione.
I reticoli, che operano come quello descritto in
precedenza, sono detti reticoli di diffrazione per
trasmissione in quanto analizzano la luce che li
d
attraversa. Quelli di buona qualità vengono realaflm
lizzati incidendo con una punta di diamante: sotti, ' ...
N grande
I
li linee parallele su lastre di vetro: la parte comI
''
I
presa tra due solchi si comporta come una fendiI
tura. Il processo di fabbricazione è complesso e
costoso in quanto sono richieste precisioni elevate
per garantire la costanza del passo ed il paralleli...
'
smo delle linee, che in un buon reticolo possono
''
... ...
essere anche 10000 per millimetro. Una volta rea'
o À
lizzato con le modalità descritte, un reticolo può
d
essere usato come matrice per ottenere copie versando su di esso una sostanza colloidale, che una
Fig. 34
volta solidificata, viene staccata ed incollata su
l
d
3À
d
d
,sin0
\
\
I
I
\
\
I
I
'
l
I
l ,/
I
I
I
I
I
2À
d
3À
d
4À
d
sin0
800
VI.5. - DIFFRAZIONE
una sottile lastra di vetro. Si possono ottenere reticoli a trasmissione anche
fotografando un pezzo di carta bianca su cui sono state tracciate linee nere
parallele. Oltre ai reticoli a trasmissione in spettroscopia vengono anche usati
i reticoli a riflessione: in questo caso le incisioni sono praticate su superfici
metalliche molto levigate; queste nella parte non incisa riflettono specularmente (e, quindi, coerentemente) la luce incidente, mentre i solchi la diffondono in modo incoerente.
Vl.5.6.1. - Potere dispersivo e potere risolutivo di un
reticolo
collimatore
J
Fig. 35
La sottigliezza delle frange luminose (massimi principali) prodotte da un
reticolo rende quest'ultimo uno strumento molto valido in spettroscopia.
Infatti un dispositivo spettroscopico deve consentire di eseguire misure
con elevata precisione di lunghezze d'onda o di differenze tra lunghezze
d'onda vicine. A tale proposito ricordiamo che, se su un reticolo incide
luce policroma, la figura di diffrazione è data dalla sovrapposizione delle
figure corrispondenti alle singole lunghezze d'onda. Solo la frangia centrale assume la stessa posizione per tutte le lunghezze d'onda, mentre per
le frange di ordine superiore la loro posizione angolare 0 varia con la
lunghezza d'onda e cresce con questa in accordo alla relazione dsin8=mÀ.
Nel caso di luce bianca, quindi la frangia centrale risulta anch'essa bianca, mentre per tutti gli altri ordini
il rosso (ÀR = 700nm) subisce una deviazione maggiore del violetto (Àv=400nm). Ne consegue che la figura di diffrazione è formata, per ogni ordine, da righe
di colori diversi corrispondenti alle lunghezze d'onda
presenti nella radiazione incidente; l'insieme di tutte
le righe di un determinato ordine m costituisce lo
telescopio
spettro di ordine m.
In fig. 35 è schematizzato uno spettroscopio che utilizza un reticolo a trasmissione: la sorgente si trova di
fronte alla fenditura di un collimatore, mentre il reticolo è disposto perpendicolarmente all'asse di questo. La lente presente
nel collimatore trasforma le onde provenienti dalla fenditura in onde piane che incidono normalmente sul reticolo. I raggi diffratti ad un angolo 8
vengono raccolti dal telescopio: l'obiettivo li fa convergere in un punto
del suo piano focale, dove possono essere osservati per mezzo di un oculare. Ruotando il telescopio attorno ad un asse parallelo alle fenditure è
possibile osservare le righe corrispondenti ai diversi ordini e misurare le
loro posizioni angolari. Grazie alla semplice relazione (dsin8 = mÀ) che
lega la posizione angol_are della riga di un dato ordine alla lunghezza
d'onda della sorgente ed al passo del reticolo, è possibile eseguire con
questo misure assolute di lunghezze d'onda. Tuttavia i reticoli vengono
utilizzati soprattutto per disperdere e separare le componenti cromatiche
presenti in una radiazione non monocromatica, anche quando queste differiscono per valori estremamente piccoli di lunghezza d'onda. In tal caso, poiché le righe corrispondenti ai massimi principali hanno anche nel
caso di buoni reticoli una larghezza finita, i massimi corrispondenti ad
ordini successivi per le diverse lunghezze d'onda possono risultare par-
VI.5.6. -
RETICOLO DI DIFFRAZIONE
801
zialmente sovrapposti l'uno sull'altro5• In tale situazione per poter analizzare la composizione della sorgente è necessario operare una scelta sui
parametri caratteristici del reticolo, che sono il potere dispersivo ed il potere risolutivo.
Il potere dispersivo o dispersione angolare D è definito come il rapporto tra la separazione angolare d0 fra due righe spettrali di ordine m corrispondenti alle lunghezze d'onda À e À+ dÀ e la loro differenza d"A
D= d0
dì,.,
Esso misura quindi la rapidità con cui varia la pos1z1one angolare
all'interno dello spettro di ordine m al variare della lunghezza d'onda.
Differenziando quindi la relazione che fornisce le posizioni angolari dei
massimi principali
d cos 0d0 = mdÀ
si ricava per la dispersione l'espressione
D=
m
dcos0
(Vl.5.13.)
Questa mostra che il potere dispersivo è inversamente proporzio11ale al
passo del reticolo e direttamente proporzionale all'ordine m, cioè è tanto
più grande quanto più piccolo è il passo del reticolo e quanto più grande è
l'ordine osservabile. Esso non dipende dal numero di fenditure: infatti la
dispersione determina la distanza tra le righe spettrali corrispondenti alle
lunghezze d'onda À e À + d"A, ma non influisce sulla loro larghezza che,
come abbiamo visto, dipende invece dal numero di fenditure N.
Il potere risolutivo R è invece un parametro che caratterizza il reticolo rispetto alla sua capacità di separare due lunghezze d'onda À1 e À2 molto vicine. Infatti l'esistenza di una dispersione anche elevata non assicura che le
righe spettrali di ordine m corrispondenti alle due lunghezze d'onda appaiano distinte: ciò è conseguenza della larghezza finita delle righe stesse,
per cui se la differenza À2 -À1 è troppo piccola queste possono risultare sufficientemente sovrapposte da confondersi con un'unica linea. La situazione
è schematizzata in fig. 36: le due curve tratteggiate in nero e grigio rappresentano la distribuzione dell'intensità dei massimi principali di ordine m
relativi alle due lunghezze d'onda, mentre la curva a tratto intero rappresenta quella effettivamente visibile sullo schermo. Affinché il reticolo con-·
senta di rivelare la presenza delle due righe è necessario che la loro separazione angolare superi un valore minimo, che viene fissato solitamente con
il criterio di Rayleigh, che abbiamo già utilizzato per definire il potere risolutivo di una apertura. Esso stabilisce ancora che due righe possono essere
considerate appena risolte quando il massimo del primo picco coincide con
con uno dei due minimi adiacenti al secondo, come mostrato in fig. 37. In
tale condizione quindi la separazione angolare Li0 tra i massimi principali
5. Nel caso di luce bianca, poiché risulta ÀR < 2Àv solo lo spettro del prim'ordine non presenta righe di altri ordini, ed è detto "puro". Infatti il primo massimo per la lunghezza
d'onda più grande (ÀR) si ha in una posizione angolare (dsin0 1= ÀR) minore di quella del
massimo del second'ordine (dsin0 2=2Àv) della lunghezza d'onda minore (Àv).
Fig. 36
,,
I!
Il
Il
I
'
Fig. 37
VI.5. - DIFFRAZIONE
802
di ordine m relativi a À1 e À2 deve coincidere con quella che separa il massimo di una delle due lunghezze d'onda con il minimo ad esso adiacente.
Se la differenza t:J-... = À2 - À1 è sufficientemente piccola (solitamente è
dell'ordine di qualche angstrom) la separazione .18 fra i due massimi può
essere ottenuta tramite la relazione della dispersione e vale
.10 = rnLiÀ
dcos0
Quella che separa il massimo di ordine m relativo a À1 dal minimo ad esso successivo si ottiene dalle relazioni
d sin 0 = :mÀ 1
d sin(0 + .10 1 )= m'À 1 /N = (mN + l)Ài/N
Poiché .18 1 nel caso di un buon reticolo è piccolo, possiamo approssimarne il seno con l'angolo ed il coseno con l'unità ottenendo
dsin0+d.10 1 cos0=(m+l/N)À1 ⇒
mÀ1 + d.10 1 cos0
=(m + 1/N)À1
cioè
Imponendo che .18 1 coincida con L'.10 si ottiene il valore minimo LiÀ di cui
devono differire le lunghezze d'onda À1 e À2 affinché siano risolte
all'ordine m. Esso vale
In base al criterio di Rayleigh, si può anche richiedere che .18 coincida
con la separazione .18 2 tra il massimo di ordine m di À2 ed il minimo ad
esso precedente. In tal caso si ottiene che
Poiché entrambi i valori di LiÀ sono stati ottenuti utilizzando il criterio di
Rayleigh, si definisce potere risolutivo del reticolo il rapporto tra la lunghezza d'onda media À delle due linee spettrali che si vogliono separare e
la differenza LiÀ fra le loro lunghezze d'onda
e, sulla base delle relazioni trovate risulta pari a
À
R=-=Nm
(VI.5.14.)
.6.À
Il potere risolutivo è dato dal prodotto fra il numero N delle fenditure e
l'ordine m a cui si vogliono risolvere le due righe, cioè coincide con la
differenza espressa in termini di lunghezze d'onda tra i cammini ottici
percorsi dalle onde che provengono dalla prima e dall'ultima fenditura
803
VI.5 .6. _ RETICOLO DI DIFFRAZIONE
per raggiungere il punto di interferenza. Esso è invece indipendente dal
passo d del reticolo.
Ribadiamo che il potere dispersivo e quello risolutivo caratterizzano proprietà diverse. Ad esempio un sistema a due fenditure è caratterizzato dalla stessa dispersione di un reticolo di passo pari alla distanza d tra di esse,
per cui se d è piccola, entrambi i dispositivi producono frange luminose i
cui centri sono ben distanziati. Tuttavia le frange ottenute con il sistema a
due fenditure risultano notevolmente più larghe di quelle prodotte con un
reticolo (N>>2); quindi difficilmente, anche ponendosi all'ordine più alto
consentito esso riuscirà a separare due lunghezze d'onda vicine, mentre
ciò può essere ottenuto con il reticolo. Pertanto il sistema a due fenditure
presenta una buona dispersione ma un basso potere risolutivo.
ESEMPIO
Vl.5.4. -
DIFFRAZIONE PRODOTTA DA ONDE INCIDENTI AD
UN ANGOLO
ò SU UN RETICOLO "ROZZO"
Per reticolo "rozzo" intendiamo un reticolo che presenti un passo molto
grande rispetto alla lunghezza d'onda della radiazione incidente, d>>À.
Nel caso in cui venga illuminato normalmente (fig. 38a), i massimi principali si formano ad angoli piccoli in accordo alla relazione
0m
=sin 0 = m 'A/d
A
-
-
m
per cui le frange consecutive possono essere troppo vicine da far perdere
nitidezza al sistema prodotto su uno schermo diffusore o su una lastra fotografica. Vediamo invece cosa cambia quando la luce incide sul reticolo
ad un angolo ◊ come illustrato in fig. 38b. In questo caso la differenza di
cammino ottico tra le onde provenienti da due fenditure consecutive ed
interferenti nel punto individuato dall'angolo 0 vale
• - --
•
•I
..
p
---------------re::-o
V
L
Fig. 38a
lif =d sin 0 - d sin 8
per cui le posizioni angolari dei massimi principali devono soddisfare la
condizione
In particolare il massimo centrale si forma nel punto O' individuato dalla
direzione del fascio incidente, cioè 00 =◊.
Utilizzando le note relazioni trigonometriche la relazione che fornisce le
posizioni angolari dei massimi principali può essere riscritta nella forma
(e'm +8) . (0'm-8) _'\
2d cos---sm - = - - = Hl/\,
2
2
Poiché il passo è grande, d>> À, gli angoli 0'm a cui si formano i massimi
principali differiscono di poco da quello del massimo centrale (0 0 = ◊),
per cui valgono le seguenti approssimazioni
Si perviene così alla relazione
L
Fig. 38b
VI.5. - DIFFRAZIONE
804
d cos8(8'm -8)
=mÀ
Quindi la separazione angolare tra il massimo centrale e quello di ordine
m vale
Confrontando la relazione precedente con quella corrispondente nel caso
di incidenza normale ~0m=0m:mÀ!d, possiamo affermare che la separazione ~e•m che si produce con incidenza ad un angolo 8 è la stessa che
verrebbe prodotta con incidenza normale da un reticolo di passo inferiore pari a dcos8. Quindi facendo incidere su un reticolo rozzo luce con
una inclinazione prossima a 90° si ottiene una figura di diffrazione nitida, come quella prodotta da un buon reticolo illuminato normalmente.
ESEMPIO Vl.5.5. - DIFFRAZIONE PRODOTTA DA UN RETICOLO DI FASE
OTTENUTO CON LA TECNICA DEL BLAZING
Fig. 39
7Y
·-.-
·-·---··
d•
..t -
'
Fig. 40
Abbiamo visto nello studio dei reticoli che a causa della diffrazione
l'intensità è massimamente concentrata nello spettro di ordine zero e si
riduce rapidamente all'aumentare dell'ordine. Poiché i massimi di ordine zero relativi a tutte le lunghezze d'onda presenti nella radiazione
incidente si sovrappongono perfettamente, il reticolo non è utilizzabile
dal punto di vista spettroscopico nello spettro di massima intensità. Per
ovviare al problema sono stati realizzati su proposta di Rayleigh, reticoli in cui in ogni tratto rettilineo vengono introdotte ulteriori differenze di fase grazie ad un particolare profilo dei solchi come illustrato in
fig. 39 e ciò giustifica il nome di reticoli di fase dato a questi reticoli. In
altre parole, a seconda che il reticolo operi in trasmissione o riflessione, le onde trasmesse o riflesse dagli estremi di un solco a causa del diverso spessore attraversato presentano una differenza di fase aggiuntiva, per cui scegliendo un particolare profilo dei solchi si può concentrare l'intensità massimamente lungo una direzione che corrisponde ad
un ordine prestabilito.
Supponendo che su un reticolo avente 500 linee per millimetro ed un angolo di incisione (blaze angle) y incida in direzione normale rispetto al
piano del reticolo (fig. 39) luce di lunghezza d'onda À=500nm, determiniamo il valore dell'angolo y affinché il massimo rinforzato coincida con
quello del secondo ordine.
Il massimo della radiazione diffratta con questo dispositivo non è concentrata più lungo la direzione del fascio incidente come nel caso di un
reticolo piano, ma ad un angolo e= 2y (fig. 40). Affinché questo corrisponda alla posizione angolare del massimo del secondo ordine deve essere soddisfatta la condizione
d sin2y= 2À
essendo d = 10-3 /500 = 2µm. Pertanto si ha
y = 0.5 arcsin(2À/ d) = 15°
VI.5.6. -
805
RETICOLO DI DIFFRAZIONE
ESEMPIO Vl.5.6.
-
DIFFRAZIONE DI FRAUNHOFER PRODOTTA DA 5
FENDITURE
Consideriamo un'onda piana di lunghezza d'onda À=O.6µm che incide normalmente su uno schermo su cui sono praticate cinque fenditure parallele di uguale ampiezza a, separate da una distanza
d=3a=10µm. Vogliamo caratterizzare la figura di diffrazione che si
produce su uno schermo posto nel piano focale di una lente di focale
f=20cm.
Poiché d =3a, dobbiamo aspettarci che alcuni massimi principali siano soppressi. Infatti dalle relazioni
e
d sin 0 = mÀ
a sin 0 = kÀ
che forniscono rispettivamente le posizioni angolari dei massimi
principali di inte,ferenza e dei minimi di diffrazione si ricava che gli
ordini mancanti sono dati da
•----- f -----
Fig. 41
m=kd/a
3k
con
k=±l,±2...
Poiché il massimo valore di m è m = d!À= 10/0.6= 16, gli ordini mancanti sono ±3, ±6, ±9, ±12, ±15.
Nel massimo centrale di diffrazione cadono
quindi 5 frange luminose (O, ±1, ±2), mentre
nei massimi secondari di diffrazione solo due.
Per le frange di ordine 1 e 2 valutiamo le posizioni sullo schermo, le larghezze e le intensità
relative a quella del massimo centrale.
Le posizioni sono date da
Ie/Imax
'\\
,,
I
I
\
I
\
I
I
\
I
\
I
\
I
\
I
\
I
Y1 =ftg8 1 =f8 1 =fÀ/d=l.2cm
-5 -4 -3 -2 -1
Y 2 = ftg8 2 = f0 2 = f2À/d
2.4cm
essendo Y1 e Y2 le distanze dal massimo centrale.
Per determinare le larghezze delle frange è necessario conoscere le posizioni dei minimi che le delimitano. Queste soddisfano la relazione
Nd sin0 = (mN ± l)À
Pertanto nel nostro caso si ha
sin0\± =(1±1/5)À/d ⇒
0\+ =72mrad e
sin0' 2±=(2±1/5)À/d ⇒
0' 2+=O.132rad e 0' 2_=O.108rad ⇒
Li0 2 = 24mrad = Li0 1
⇒
0\_ =48mrad ⇒
Liy 2 = Liy 1 = 0.48cm
Valutiamo ora le intensità relative mediante la relazione (Vl.5.12.), tenendo conto che nel caso in esame a/d = 1/3. Per il massimo del primo
ordine si ha
o
1
Fig. 42
2
3
4
5
6
m
VI.5. - DIFFRAZIONE
806
2
2
~=(sin(reasin0/"A)) = 9sin (re/3) =0. 68
Im
rea sin 0/'A
re 2
2
2
~=(sin(reasin0/'A)) = 9sin (2re/3) =O.l?
Im
rea sin 0/À
4re 2
Verifichiamo quindi che l'intensità relativa diminuisce rapidamente allontanandosi dalla frangia centrale e nel massimo del
quarto ordine diventa pari a 0.04, rendendone molto difficile
l'osservazione. Per tale ragione se si vuole utilizzare il reticolo
per risolvere lunghezze d'onda vicine è necessario farlo o al primo o al secondo ordine. Valutiamo quindi il più piccolo intervallo
/::,,.À nell 'intomo di À che si riesce a separare a tali ordini. Utilizzando la relazione (Vl.5.14.) si ottiene
•-----
f -----
Fig. 43
/::,,.À = À/rnN =À/5 =0.12µm
per il primo ordine
/::,,.À = 'A/rnN =À/(2 · 5)=0.06µm
per il secondo ordine
Vediamo ora come si modifica il sistema di frange se la stessa
radiazione incide sulle fenditure ad un angolo ò =30° come è mostrato in fig. 43.
Come abbiamo dimostrato nell'esempio Vl.5.4. i massimi principali
di inteiferenza si formano lungo direzioni 0m che verificano la condizione
d(sin0m -sinò)=mÀ
Il massimo centrale (m=O) si sposta quindi nel punto O' posto al di sopra
di O a distanza
Yo =ftg0 0 =ftgò=ll.55cm
da esso. Le posizioni angolari dei minimi di diffrazione, come abbiamo
visto nell'esempio Vl.5.1., devono soddisfare la relazione
a(sin 0-sin 8)= kÀ
A causa della proporzionalità tra l'ampiezza a delle fenditure ed il passo d anche nel caso di incidenza non normale gli ordini mancanti sono
quelli per cui risulta m =kd/a con k =±1, ±2 .... Poiché il massimo valore positivo di di m è in questo caso m = ( 1-sinò)d/À = 0.5-10/0.6 8, gli
ordini mancanti al di sopra di O' sono il terzo ed il sesto. Invece al di sotto di O' si formano ordini fino a m=-(l+sinò)d/À=-1.5-10/0.6 =-25 e
quelli mancanti sono -3, -6, -9, -12, -15, -18, -21, -24.
Calcoliamo ora le posizioni e le larghezze delle frange di ordine 1 e 2.
Le posizioni sono date da
y 1 = f tg0 1 = f tg(arcsin(À/ d + 0.5))= f tg34.05° = 13.52cm
y 2 = ftg0 2 = ftg(arcsin(2Àjd + 0.5))= ftg38.32° = 15.8cm
essendo y 1 e y 2 la loro distanza da O, secondo fuoco della lente. Possiamo
osservare che la loro distanza è quasi raddoppiata rispetto a quella che
si otteneva per incidenza normale.
VI.5.7. _
807
DIFFRAZIONE DEI RAGGI X
Per detenninare la larghezza del massimo del primo ordine, valutiamo le
posizioni dei minimi ad esso adiacenti. Le posizioni angolari si ricavano
dalla relazione
sin 8'1± = (1 ± 1/N)'A,jd + sin 8 ⇒
'
0' 1-
0' l+ = 34.89° e
33.23°
mentre le loro distanze da O valgono
ftg0\_ = 13.10cm
y'1+ = ftg0\+ = 13.95cm e
Pertanto la larghezza angolare del massimo del primo ordine vale
~0 1 = 1.66°
=29mrad
mentre quella lineare
~Y'i =0.85cm
Procedendo analogamente per il massimo del secondo ordine si ottiene
⇒
sin 0' 2± = (2 ± 1/N)À/d + sin 8
8'2+ = 39.2°
e
0'z_ =37.44°
y' 2+ = ftg0'z+ =16.31cm
~0 2 = 1.76°
=30.7mrad
e
y'z_ = f
e
~y' 2 =0.99cm
tg0' 2_ = 15.32cm
Le larghezze delle due frange sono, quindi, circa raddoppiate rispetto a
quelle ottenute in incidenza normale. Invece i valori delle loro intensità
relative a quella del massimo centrale sono ancora pari a 0.68 e 0.17
rispettivamente. Anche il potere risolutivo non è cambiato; tuttavia
l'osservazione delle frange relative alle lunghezze d'onda À e À+~À è
migliorata rispetto al caso di incidenza normale, in quanto esse risultano più distanziate ed allargate. Infatti è immediato verificare che le
frange del primo e del secondo ordine che si ottengono con incidenza a
30° presentano le stesse caratteristiche geometriche di quelle del nono
e del decimo ordine ottenute con incidenza normale. In altre parole la
dispersione che si realizza con incidenza a 30° al primo e al secondo
ordine coincide con quella che si ottiene in incidenza normale al nono e
decimo ordine.
Vl.5. 7. - Diffrazione dei raggi X
Nel 1895 W. Rontgen scoprì che metalli bombardati con raggi catodici,
cioè con elettroni, emettevano radiazione di elevata energia, in grado di
penetrare attraverso corpi non trasparenti alla luce visibile, che egli chiamò raggi X. Questi furono rivelati grazie alla loro capacità di produrre
luminescenza su uno schermo fluorescente e di impressionare una lastra
fotografica. Oggi sappiamo che i raggi X rappresentano quella parte dello
spettro elettromagnetico caratterizzato da lunghezze d'onda comprese tra
6- 10-12m e 6· 10-10m e, come abbiamo già visto, sono prodotti dagli elettroni più interni degli atomi eccitati.
808
(/
Na+
ClFig. 44
Fig. 45
Fig. 46
VI.5. - DIFFRAZIONE
Agli inizi del 900 dei raggi X si sapeva ben poco: sebbene lo stesso Rontgen avesse avanzato l'ipotesi che dovevano essere onde elettromagnetiche generate dal rallentamento degli elettroni veloci in seguito alla collisione col metallo, si incontravano notevoli difficoltà per giustificare la
natura ondulatoria di tali raggi. Infatti per molto tempo nessun
esperimento provò che nel passaggio da un mezzo ali' altro i raggi
X subivano riflessione e rifrazione, ma soprattutto non si evidenziarono i fenomeni di interferenza e diffrazione. Fu solo nel 1910
che si stabilì che i raggi X avevano lunghezza d'onda molto più
piccola di quella visibile e dell'ultravioletto. Per tale motivo un
reticolo ottico, generalmente caratterizzato da un passo
dell'ordine del micron, non poteva essere utilizzato per analizzare
gli spettri dei raggi X, in quanto le righe prodotte erano così addensate da risultare non distinguibili. Nello stesso periodo furono
avanzate le prime ipotesi sulla struttura dei solidi cristallini secondo cui gli atomi in queste sostanze dovevano essere disposti
in modo regolare e ciò suggerì l'idea che un cristallo poteva essere utilizzato come un reticolo tridimensionale naturale per analizzare gli spettri dei raggi X.
In effetti un cristallo è costituito da celle che si succedono in maniera ordinata in tre dimensioni e ogni cella, a sua volta, è formata da atomi o ioni che/ sono regolarmente spaziati a distanza
dell'ordine di 10-10m. In fig. 44 è rappresentata la struttura del
cloruro di sodio i cui ioni Na+ e ci- formano un reticolo cubico:
sono proprio questi ioni che costituiscono gli ostacoli o i centri di
diffrazione per una radiazione che attraversa il cristallo. Infatti gli
elettroni degli ioni (o degli atomi) del cristallo sotto l'azione del
campo elettrico dell'onda elettromagnetica incidente si comportano come dipoli oscillanti che emettono in tutte le direzioni una
radiazione elettromagnetica coerente avente stessa lunghezza
d'onda di quella incidente. In altre parole il cristallo si comporta
come un sistema tridimensionale di sorgenti coerenti disposte secondo un reticolo spaziale regolare, per cui nello spazio circostante la perturbazione risultante è ancora dovuta alla sovrapposizione delle onde emesse dai centri di diffrazione. Si tratta di onde
reali in quanto emesse dai centri diffusori e non vanno confuse
con le onde secondarie di Huygens che abbiamo utilizzato per interpretare il fenomeno della diffrazione ottica.
Gli effetti di diffrazione da parte di un cristallo per lunghezze
d'onda dell'ordine di 10-10m furono previsti nel 1913 da Max von
Laue e verificati successivamente da Friedrich e Knipping con un
apparato sperimentale come quello schematizzato fig 45. Un fascio
collimato e a spettro continuo di raggi X colpisce un cristallo C (ad
esempio di cloruro di sodio o solfuro di zinco) e su una lastra fotografica si osserva una distribuzione di macchie, dette macchie di
Laue, ben distinte e disposte regolarmente attorno alla macchia
centrale che corrisponde al fascio trasmesso (fig. 46). Queste macchie sono dovute ai fasci molto intensi che si formano lungo direzioni ben definite come effetto dell'interferenza costruttiva fra le
onde prodotte dai centri di diffrazione.
809
VJ.5.7.- DIFFRAZIONEDEIRAGGIX
La relazione che permette di determinare le posizioni dei massimi
della figura di diffrazione per una fissata lunghezza d'onda dei
raggi X, fu determinata dai fisici inglesi H. e W.L. Bragg ed è nota come legge di Bragg. Per ricavarla facciamo le seguenti osservazioni. In un cristallo si possono tracciare diverse famiglie di
piani paralleli, detti piani reticolari, equidistanti e passanti per gli
atomi del reticolo cristallino. Le diverse famiglie sono caratterizzate da diversa inclinazione e diversa spaziatura d (detta distanza
interplanare) come schematizzato in fig. 47 in cui aa, bb, cc sono
le tracce di alcune di queste famiglie di piani paralleli.
Consideriamo ora un'onda piana che incide su di un cristallo e
indichiamo con 8 l'angolo6 che la sua direzione di propagazione
forma con una famiglia di piani reticolari, caratterizzata da una
distanza interplanare d (fig. 48). Gli atomi di ogni piano reticolare eccitati dall'onda incidente si comportano da sorgenti coerenti
per cui la sovrapposizione in un punto dello spazio delle onde da
essi emesse dà luogo al fenomeno dell'interferenza. Questa, per
quanto visto nell'esempio VI.4.12., risulta costruttiva per ciascun
piano reticolare solo lungo la direzione di riflessione speculare.
Si può verificare che per opportuni valori dell'angolo di incidenza 8, le onde riflesse da tutti i piani paralleli della famiglia considerata sono in fase e il fascio riflesso in quella direzione risulta
molto intenso. Infatti, poiché tutti gli atomi dei piani reticolari
che si trovano su una retta passante per il punto di incidenza e
perpendicolare ai piani stessi, costituiscono per l'onda incidente
un reticolo monodimensionale di passo d, si produce interferenza
costruttiva lungo direzioni 8 tali che la differenza di cammino ottico tra le onde emesse da due sorgenti contigue è un multiplo intero della lunghezza d'onda. Tali direzioni, come si deduce dalla
fig. 48, soddisfano la relazione, nota come legge di Bragg
2dsin 0
mÀ
con
m=l,2, ...
Per angoli di incidenza che soddisfano la relazione precedente il fascio
diffratto risulta molto intenso lungo la direzione di riflessione speculare e
ciò giustifica il nome di riflessione alla Bragg con cui solitamente viene
indicato il fenomeno
E' quindi possibile spiegare in maniera qualitativa la figura di diffrazione
che si forma su una lastra fotografica, come quella mostrata in fig. 46.
Come abbiamo già detto, questa è composta da macchie disposte regolarmente ed in numero finito attorno alla macchia centrale prodotta del
fascio trasmesso. Ogni macchia corrisponde alla traccia di una direzione
lungo cui si produce interferenza costruttiva fra le onde emesse dagli atomi di una particolare famiglia di piani cristallini eccitati da una lunghezza d'onda del fascio incidente. Ricordiamo infatti che ogni serie di
piani produce interferenza costruttiva ogni volta che la distanza d e
l'angolo 8 soddisfano la legge di Bragg per un fissato ordine m. Se si tie6. Nello studio dei raggi X si usa indicare la direzione dell'onda incidente mediante
l'angolo, detto angolo di radenza, tra il raggio e la superficie di incidenza piuttosto
che con la normale a questa.
Fig. 47
Fig. 48
810
Vl.5. - DIFFRAZIONE
ne presente che i fasci di piani paralleli su cui si può avere riflessione alla
Bragg sono in numero finito ed hanno posizioni precise legate alla struttura del cristallo, si capisce perché la figura di diffrazione presenta macchie disposte regolarmente ed in numero finito, una per ogni direzione di
fascio diffratto alla Bragg. Tale figura viene anche indicata col nome di
spettrogramma a punti di Laue.
Nei primi esperimenti la diffrazione dei raggi X fu utilizzata per studiarne
gli spettri. Oggi queste radiazioni giocano un ruolo molto importante nello studio delle strutture cristalline: infatti, la misura degli angoli di deflessione consente di determinare la distanza interplanare d in termini della
lunghezza d'onda del fascio monocromatico incidente. La diffrazione dei
raggi X è anche utilizzata nello studio di molecole biologiche caratterizzate da strutture complesse, come quella del DNA.
VI .5.8. - Diffrazione di Fresnel
Nei precedenti paragrafi abbiamo esaminato i fenomeni di diffrazione di
Fraunhofer che si possono osservare a grande distanza da un ostacolo,
come ad esempio uno schermo che presenti una o più aperture, quando
questo viene investito da onde piane. Vogliamo ora esaminare come si
modifica la figura di diffrazione se lo schermo di osservazione viene posto a distanza finita dall'ostacolo, vogliamo cioè studiare alcuni esempi
della diffrazione di Fresnel. Ricordiamo infatti che questa si produce
quando la sorgente, o lo schermo di osservazione, o entrambi sono a distanza finita dall'ostacolo diffrangente. Per tale ragione la diffrazione di
Fresnel viene anche indicata col nome di diffrazione nel campo vicino in
contrapposizione a quella di Fraunhofer che viene detta diffrazione nel
campo lontano. Il campo vicino si estende dall'ostacolo fino ad una distanza pari a r0 =D2/À, essendo D il diametro dell'ostacolo e À la lunghezza d'onda della radiazione incidente; il campo lontano si estende da r0
all'infinito.
Anche nel caso della diffrazione di Fresnel, per valutare l'ampiezza della
perturbazione nel punto in esame, possiamo assumere che l'ampiezza
dell'onda luminosa nei punti della porzione libera del fronte d'onda sia la
stessa che si avrebbe in assenza dell'ostacolo e, quindi, possiamo sovrapporre i contributi delle onde secondarie di Huygens provenienti da tali
porzioni. Tuttavia, poiché lo schermo di osservazione è a distanza finita
dall'ostacolo, i percorsi che congiungono le porzioni attive del fronte
d'onda al generico punto P dello schermo non sono più paralleli fra loro;
ciò comporta maggiori difficoltà nel calcolo delle differenze di fase con
cui le onde secondarie si sovrappongono in P e l'impossibilità di considerare praticamente tutte uguali le loro ampiezze come nel caso della diffrazione di Fraunhofer. Per tale ragione, sebbene l'osservazione sperimentale della diffrazione di Fresnel sia più semplice e più comune di quella di
Fraunhofer dal momento che non richiede l'uso di lenti, la sua trattazione
analitica risulta notevolmente più complessa in quanto richiede complicate operazioni di integrazione. Fresnel risolse il problema con un metodo
ingegnoso, noto come metodo delle zone di Fresnel, che consente di ottenere con ottima approssimazione l'ampiezza nei punti di osservazione
senza dover eseguire le complesse operazioni di integrazione.
VJ.5.8. - DIFFRAZIONE DI FRESNEL
Nel seguito dopo aver utilizzato questo metodo per determinare
l'ampiezza della perturbazione in un punto P posto ad una distanza assecrnata da un fronte d'onda piano che si propaga liberamente, in assenza
i::,
cioè di ostacoli, passeremo ad esaminare la diffrazione prodotta da
un'apertura circolare, da un disco circolare ed infine da uno spigolo
rettilineo. Per semplicità nelle tre situazioni considereremo solo il caso in
cui l'onda incidente sia piana ed inoltre ci limiteremo a valutare
l'ampiezza della perturbazione diffratta in punti la cui distanza
dall'ostacolo sia grande rispetto alla lunghezza d'onda À della sorgente.
Vl.5.8.1 . - Metodo delle zone di Fresnel
Questo metodo fu utilizzato da Fresnel per risolvere il problema della
propagazione rettilinea della luce sulla base della nuova formulazione
del principio di Huygens, come risultato cioè della mutua interferenza
fra le onde secondarie. Il metodo molto semplice sostituisce calcoli
notevolmente complessi e risulta di validità generale nello studio dei
fenomeni connessi con la propagazione delle onde.
Per i nostri scopi ci limitiamo a determinare la perturbazione in un
punto P posto a distanza r0 da un fronte d'onda piano nell'ipotesi che
r0 sia molto grande rispetto alla lunghezza d'onda À della radiazione
:;onsiderata. Per il principio di Huygens-Fresnel illustrato nel §'
VI.1.3., ciascun elemento di area dS del fronte d'onda si comporta nei
~onfronti di P come una sorgente di onde sferiche secondarie, la cui
1mpiezza è proporzionale all'area dS, è inversamente proporzionale
1lla distanza r di questa da P e dipende dal fattore direzionale g(0), es;endo 0 l'angolo trar e la normale al fronte d'onda (fig. 49). La perurbazione in P può essere ottenuta come sovrapposizione di tutte le
mde sferiche secondarie.
1 metodo di Fresnel consiste, una volta che si sia fissato il punto P,
tel suddividere il fronte d'onda in opportune zone, dette zone di Frenel, in modo tale che queste presentino la stessa area. Vediamo come
: possibile realizzare questo requisito. Poiché il problema presenta una
immetria per rotazioni attorno alla normale per P al fronte d'onda,
onviene scegliere come zone di Fresnel corone circolari concentriche
on il punto C, intersezione di tale normale con il fronte d'onda stesso
fig. 50). Le dimensioni delle zone anulari vengono fissate richiedeno che le distanze di P dal bordo esterno di due zone successive diffelscano di mezza lunghezza d'onda, cioè
rn
= rn-1
dS
p
Fig. 49
+ ìJ2
' facile verificare che tale suddivisione comporta che le aree di
1tte le zone siano uguali fra loro. Infatti, se si esprimono le distan~ r 1 , r 2 , ••• , r0 di P dal bordo esterno delle varie zone in funzione
L r0 tramite le relazioni
r1 =r0 +À/2
r2 =r1 +À/2=r0 +À
Fig. 50
VI.5. - DIFFRAZIONE
812
con n intero positivo
i raggi Rn di tali bordi circolari risultano dati da
2
2
2
R n = rn -
r02
2
1 212
2 - r0 = Il/\,r0 + 4 n /\, =Il/\,r0
= r0 + n À )
(
'1
'1
avendo trascurato il termine quadratico in quanto per ipotesi risulta
À<<r0 • Pertanto l'area della zona n-sima vale
An
Fig. 51
= rc(R~ -R~_1 ) = rcÀr0
L'indipendenza di An da n prova che le zone di Fresnel, in cui abbiamo
suddiviso il fronte d'onda per determinare la perturbazione risultante in P,
hanno stessa area. Di conseguenza le ampiezze delle onde secondarie che
provengono da zone diverse differiscono fra loro in P solo a causa del fattore direzionale g(0) e del fattore 1/r. Più precisamente al crescere del
raggio delle zone, entrambi i fattori comportano che l'ampiezza diminuisca lentamente ed in modo regolare. Ricordiamo infatti che la distanza da
P di due zone successive differisce solo di ìJ2.
L'ampiezza della perturbazione risultante in P può essere calcolata con il
metodo dei fasori, come nel caso della diffrazione di Fraunhofer. A tale
scopo consideriamo ciascuna zona di Fresnel suddivisa ulteriormente in
corone circolari elementari equivalenti, a ciascuna delle quali associamo
un fasore di ampiezza infinitesima. Questi vengono disposti uno dopo
l'altro a partire da quello che rappresenta la perturbazione proveniente
dalle immediate vicinanze del punto C, centro della prima zona, tenendo
conto che un fasore deve essere inclinato rispetto al precedente di un angolo infinitesimo pari alla differenza di fase con cui le onde corrispondenti si sovrappongono in P. Poiché la differenza di fase tra le onde secondarie provenienti dal bordo esterno e da quello interno di ciascuna zona è pari a n:, in quanto i cammini ottici da esse percorsi differiscono di
ìJ2 (rn-rn-I =À/2), i fasori elementari relativi ad ogni zona si dispongono
su una semicirconferenza, il cui diametro rappresenta proprio l'ampiezza
con cui la zona in esame contribuisce all'ampiezza risultante in P. Inoltre,
tenendo presente che le semicirconferenze relative a due zone successive
vengono costruite una dopo l'altra, si ha che i fasori risultanti relativi a
due zone adiacenti sono diretti in versi opposti come illustrato in fig. 51,
dove sono riportati i fasori relativi alle prime quattro zone di Fresnel (AB
=E 1, BC=E2, CD=E3 , DF=E4 ). In altre parole l'interferenza fra i fasori
risultanti relativi a zone adiacenti avviene in opposizione di fase; tuttavia
la loro cancellazione non è completa come conseguenza del fatto che nel
passaggio da una zona alla successiva, la lunghezza dei fasori elementari
si riduce. Si comprende quindi che la costruzione dà luogo ad una spirale,
che converge verso il punto O', centro del segmento AB, che rappresenta
il contributo E 1 della prima zona. Il segmento AO' rappresenta il fasore
risultante dalla sovrapposizione delle onde secondarie provenienti da tutte
le zone di Fresnel, per cui l'ampiezza e l'intensità in P valgono rispettivamente
e
-----VI.5.8. _
813
DIFFRAZIONE DI FRESNEL
In conclusione un fronte d'onda piano che si propaga in assenza di ostacoli verso un punto P produce in questo un'intensità luminosa pari ad un
quarto dell'intensità prodotta dalla sola prima zona di Fresnel.
Si può giungere allo stesso risultato osservando che l'ampiezza risultante
nel punto è P è data dalla somma delle ampiezze delle onde prodotte da
ciascuna zona di Fresnel, cioè
Ep = E 1 - E 2 + E 3
- •..
+ (- 1)°-1 E 0
dove il segno negativo tiene conto del fatto che i contributi delle zone pari sono in opposizione di fase rispetto a quelle delle zone dispari. La relazione precedente può essere riscritta nella forma
E 1 (E1
2
E =-+
- - E 2 +E3- ) + (E3
- - E 4 +Es- ) + ... + (En
----E_
+E )
p
2
2
2
2
2
2
nl
n
se n è dispari
(VI.5.15.a)
se n è pari.
(VI.5.15.b)
I termini in parentesi in entrambe le relazioni possono assumersi con
buona approssimazione uguali a zero poiché le ampiezze risultanti relative a due zone consecutive differiscono, come abbiamo gia osservato, di una quantità molto piccola, dal momento che la loro distanza da
P differisce solo di À/2. Ne consegue che il contributo di ciascuna zona pari può ritenersi compensato dai contributi delle due semizone adiacenti che la racchiudono, per cui l'ampiezza risultante in P è espressa dalle relazioni
E
E
E =-1 +-n
P
2
2
se n è dispari
se n è pari
Il contributo E 0 dell'ultima zona può considerarsi nullo in quanto
stiamo considerando un fronte d'onda piano illimitato (n ➔ 00 per cui
le due espressioni precedenti si riducono a Ep E 1/2, come visto in
precedenza.
In altre parole la perturbazione risultante in P prodotta dalla mutua interferenza della luce proveniente dalle varie zone del fronte d'onda che si
propaga verso il punto P, ha un'ampiezza minore di quella della sola zona
centrale. Quindi l'azione efficace del fronte d'onda in P deriva da un'area
inferiore a 7tÀr0 , che a causa dei valori estremamente piccoli di À risulta
sufficientemente piccola da far ritenere che il flusso di energia avvenga
praticamente lungo la retta che congiunge la sorgente con il punto. Si può
dimostrare che questo risultato vale anche nel caso in cui la distanza tra la
sorgente ed il punto P sia finito (fig. 52), per cui bisogna valutare
l'ampiezza in ·P costruendo il sistema di zone di Fresnel su un fronte
),
=
Fig. 52
VI.5. - DIFFRAZIONE
814
d'onda sferico. A causa della cancellazione per interferenza tra le onde
secondarie, la perturbazione in P è a tutti gli effetti ancora dovuta solo alle onde secondarie che hanno origine in una regione molto piccola intorno al punto A, per cui si può affermare che l'onda risultante si propaga
sempre rettilineamente dalla sorgente al punto di osservazione.
Prima di concludere vale la pena di sottolineare che per ogni punto in cui si
vuol determinare l'ampiezza e, quindi, l'intensità della perturbazione a partire dalla conoscenza di questa su un fronte d'onda, va costruito un sistema di
zone di Fresnel secondo le modalità descritte. In altre parole il sistema di zone di Fresnel è caratteristico del punto di osservazione per cui, ad esempio,
uno spostamento di esso parallelamente al fronte d'onda piano (dalla posizione P a Q) produce uno spostamento rigido analogo del sistema di zone di
Fresnel, così che il centro di questo passa da Ca C', come mostrato in fig. 53,
dove per semplicità è stata evidenziata solo la prima zona.
Fig. 53
Fig. 54
Vl.5.8.2. - Reticolo zonato di Soret
Il metodo delle zone di Fresnel trova conferma sperimentale nel funzionamento di un reticolo ideato e realizzato per la prima volta da lord Rayleigh nel 1871 e descritto in una pubblicazione da Soret nel 1875. Il dispositivo, come mostra la fig. 54, è costituito da una lastra trasparente che
presenta sulla superficie una serie di corone circolari opache concentriche
di uguale area, disposte in modo da coprire tutte le zone pari (o tutte quelle dispari) del sistema di Fresnel corrispondente ad un punto O posto ad
una fissata distanza r0 • Ciò giustifica il nome di reticolo zonato o lamina
di zona con cui viene solitamente indicato questo dispositivo. Esso può
anche essere realizzato disegnando semplicemente su un foglio bianco
una serie di cerchi concentrici di raggi opportuni; si realizza così una serie di anelli circolari che vengono quindi anneriti alternativamente. Infine
si fotografa il disegno da una distanza opportuna per avere la scala desiderata su lastra fotografica. Un reticolo zonato di elevata qualità può avere fino a parecchie migliaia di zone.
Per le sue caratteristiche, come vedremo nel seguito, il reticolo si comporta come un dispositivo focalizzante, nel senso che è in grado di concentrare la maggior parte dell'energia dell'onda incidente nel punto O
che, quindi, presenta una intensità notevolmente più elevata di quella che
esso avrebbe se l'onda potesse propagarsi liberamente in assenza di ostacoli. Consideriamo infatti un'onda piana monocromatica incidente sul reticolo. Alla perturbazione nel punto O contribuiscono soltanto le onde secondarie provenienti dalle zone di Fresnel coincidenti con le corone trasparenti, per cui risultano tutte dispari (o pari). Tali onde, come abbiamo
visto nel paragrafo precedente, interferiscono tutte costruttivamente, essendo in fase, per cui l'ampiezza risultante in O vale
Eo =Er +E3 +Es+ ...
L'intensità nel punto è quindi molto maggiore di quella che si avrebbe se
il fronte d'onda si propagasse liberamente in assenza del dispositivo, in
quanto in questo caso l'ampiezza risultante varrebbe solo E 0 =E 1/2. Se ad
esempio le zone attive sono 6 come in fig. 54 l'intensità in O è circa 144
volte maggiore rispetto a quella relativa alla propagazione libera.
VI.5.8. - DIFFRAZIONE DI FRESNEL
815
Poiché il reticolo zonato si comporta come un sistema focalizzante, può essere caratterizzato da una distanza focale f pari ad r0• Solitamente questà viene
espressa in termini del raggio esterno R 0 della n-sima corona del reticolo (ad
esempio la prima) e della lunghezza d'onda incidente tramite la relazione
R2 R2
f =ro =-n _ _
1
nÀ
À
Osserviamo che mentre nelle lenti convenzionali la distanza focale cresce
con la lunghezza d'onda, quella di un reticolo zonato è inversamente proporzionale À e può variare notevolmente cambiando À; per tale motivo il
dispositivo presenta una notevole aberrazione cromatica.
A differenza di una lente che ad un oggetto luminoso fa corrispondere
una sola immagine, il reticolo zonato può fornire più immagini della sorgente, nel senso che è in grado di focalizzare una notevole quantità di energia nei punti dell'asse del dispositivo posti ad una opportuna distanza
r<ro dal dispositivo stesso. Consideriamo infatti il punto P posto ad una
distanza tale che in ogni corona circolare del reticolo cadano 3 zone del
sistema di Fresnel ad esso relativo. Di queste, due si compensano reciprocamente per cui all'intensità in P contribuisce solo la terza. I contributi
provenienti dalle zone non compensate di tutte le corone circolari trasparenti del reticolo si sommano in P in fase. Per tale ragione l'intensità in P
è elevata, anche se minore di quella che si ha in O: infatti è solo un nono
di questa. Per il punto P la lamina si comporta come una lente la cui focale/' si ricava dalla relazione
in quanto per ipotesi il raggio esterno R' 3 della terza zona di Fresnel relativa a P coincide con il raggio R 1 del disco centrale del reticolo.
Con un procedimento analogo si prova che l'intensità risulta notevolmente intensa anche nei punti che si trovano a distanza ro/5, ro/7 ... dal reticolo
in quanto in ciascuna corona trasparente di questo cadono rispettivamente
5, 7 ... zone del sistema di Fresnel corrispondente.
Sebbene abbiamo esaminato solo il caso in cui la sorgente sia a grande
distanza dalla lamina di zona, si può dimostrare che questa si comporta
come un dispositivo focalizzante anche quando la sorgente si trova a distanza finita e la relazione che lega le distanze dell'oggetto e
dell'immagine alla distanza focale è identica a quella di una lente sottile
1
1
1
o
l
j
-+-=Inoltre poiché la luce diffratta dagli anelli trasparenti del reticolo può
propagarsi sia verso l'asse di questo, che divergere da esso, il dispositivo
agisce non solo da lente convergente ma anche da lente divergente.
Vl.5.8.3. - Diffrazione di Fresnel da apertura circolare
Utilizziamo il metodo delle zone di Fresnel per determinare la figura di
diffrazione che si osserva ad esempio su uno schermo diffusore B posto a
VI.5. - DIFFRAZIONE
816
B
Fig. 55
distanza r0 da un altro schermo opaco A che presenti una apertura circolare di raggio R, quando questa viene investita da un'onda piana monocromatica di lunghezza d'onda À (fig. 55). Supporremo ancora che la distanza r0 tra gli schermi sia grande rispetto a À (r0 >>À).
Prendiamo in esame dapprima il punto O, intersezione dell'asse
dell'apertura con lo schermo di osservazione, che ci aspettiamo rappresenti
il centro della figura di diffrazione a causa della simmetria del problema.
L'intensità in tale punto può essere valutata mediante il sistema delle zone
di Fresnel ad esso associato, che risulta concentrico con l'apertura circolare. Tuttavia la presenza dello schermo A fa sì che non tutte le zone siano
visibili da O, per cui all'ampiezza risultante contribuiscono solo quelle che
cadono sulla porzione libera del fronte d'onda coincidente con l'apertura.
Poiché l'ultima zona visibile è quella il cui raggio esterno Rn coincide con
il raggio R dell'apertura, il numero delle zone da utilizzare per determinare
l'intensità in O è fissato dalla condizione
R2 R z
n=-n = Àro Àr0
Fig. 56
Fig. 57
In particolare nel caso in cui risulti R 2 =Àr0 , solo la prima zona di Fresnel
oltrepassa l'apertura (fig. 56), per cui l'ampiezza in O vale E 0 =E 1: essa è
quindi doppia rispetto a quella che si avrebbe se l'onda potesse propagarsi liberamente. Il centro della figura di diffrazione appare luminoso ed è
caratterizzato da una intensità quattro volte maggiore di quella che si avrebbe in assenza dell'ostacolo.
Consideriamo ora il caso in cui risulti R 2 = 2'Ar0 : tale condizione può essere realizzata o avvicinando lo schermo di osservazione lasciando inalterata l'apertura o ingrandendo l'apertura mentre la distanza tra gli schermi A
e B resta invariata. In entrambe le situazioni si ha che all'ampiezza della
perturbazione in O contribuiscono le prime due zone di Fresnel (fig. 57).
Poiché i fasori risultanti corrispondenti a tali zone hanno praticamente
stessa ampiezza ma sono in opposizione di fase, l'ampiezza risultante in
O è nulla (EO =E 1 -E2 :::0) e tale risulta anche l'intensità. Quindi il centro
della figura di diffrazione appare scuro, mentre nel caso della diffrazione
di Fraunhofer esso è sempre luminoso.
Procedendo in modo analogo si può verificare che se il raggio R
dell'apertura coincide con il raggio esterno di una delle zone di Fresnel, cioè
il rapporto R2/(Àr0) è un intero n, il centro della figura di diffrazione appare
luminoso se n è dispari, scuro se n è pari. Pertanto spostando lo schermo diffusore, l'intensità nel punto O cambia da massima a minima a seconda che il
numero delle zone contenute nell'apertura passi da dispari a pari.
Se invece il rapporto R 2/(Àr0 ) non è un intero, l'ultima zona è contenuta
solo in parte nell'apertura per cui nel punto O l'intensità ha un valore intermedio rispetto a quelli precedenti.
Possiamo giungere alle stesse conclusioni costruendo la spirale dei fasori
con un procedimento analogo a quello illustrato nel§ VI.5.8.1.
Nel caso in esame bisogna tener presente che all'intensità in O contribuiscono solo le prime n zone di Fresnel, essendo n fissato dal raggio
R dell'apertura e dalla distanza di O da questa, tramite la relazione
n=R 2/Àr0 . Pertanto la costruzione della spirale dei vettori rotanti deve
Vl.5.8. _ DIFFRAZIONE DI FRESNEL
terminare con l'n-simo arco semicircolare: per esempio,
se n = 3 il vettore risultante coincide col segmento AD
(fig. 58a). Nel caso in cui il raggio R dell'apertura non
corrisponde ad uno dei raggi delle zone di Fresnel ma
comprende anche una frazione della zona successiva, la
punta dell'ultimo fasore non giace sulla verticale per A,
come mostrato in fig. 58b, e l'ampiezza risultante in O è
data dalla lunghezza del vettore AG.
Vediamo ora come si può determinare l'intensità in un altro punto P dello schermo di osservazione. Poichè P non si
trova più sull'asse dell'apertura (fig. 59), il sistema di zone
di Fresnel ad esso associato non risulta concentrico con
questa: ricordiamo infatti che nel passaggio dalla posizione
O alla posizione P il sistema di zone di Fresnel trasla rigidamente così che il suo centro passa da Ca C', intersezione
del fronte d'onda con la normale per P a questo. Anche
nella nuova posizione la perturbazione risultante si ottiene
dalla sovrapposizione delle onde secondarie provenienti
dalle porzioni delle zone di Fresnel che si trovano in corrispondenza dell'apertura; essa pertanto ha un'ampiezza generalmente diversa da quella valutata precedentemente nel
punto O. Possiamo comprendere facilmente che il valore
dell'intensità in P caratterizza anche tutti gli altri punti dello schermo di osservazione che si trovano alla stessa distanza di P da O. Infatti ciascuna zona attiva del sistema di
Fresnel associato ad esempio al punto P' presenta la stessa
area di quello relativo al punto P. Per questo motivo il sistema di frange è costituito da una successione di anelli
chiari e scuri con il centro che può risultare chiaro o scuro
a seconda del valore di R e di r0 (fig 60). Infatti
all'aumentare della distanza del punto di osservazione
dall'asse, l'intensità luminosa passa attraverso una serie di
valori massimi e minimi come conseguenza del fatto che
attraverso l'apertura zone successive di Fresnel (i cui contributi sono di segno opposto) gradualmente possono comJ?arire o scomparire.
E interessante notare che la precedente costruzione comporta che una certa quantità di luce sia presente nei punti
situati nella zona d'ombra geometrica dell'apertura; in
questo modo si giustifica la formazione di frange luminose anche nella zona che si trova al di là del bordo
dell'apertura.
817
A
Fig. 58b
Fig. 58a
Fig. 59
Fig. 60
Vl.5.8.4. - Diffrazione di Fresnel da un disco opaco
Consideriamo ora l'effetto di un ostacolo circolare, quale ad
esempio un disco opaco, interposto fra la sorgente di luce e
uno schermo diffusore (fig. 61). Sperimentalmente si osserva
che, indipendentemente dal raggio del disco, nel punto O
dello schermo posto sull'asse dell'ostacolo si forma un punto
ro
Fig. 61
818
Fig. 62
A
Fig. 63
Fig. 64
VI.5. - DIFFRAZIONE
luminoso, detto punto di Poisson, in quanto egli per la prima volta ne dedusse matematicamente l'esistenza come conseguenza della teoria della
diffrazione proposta da Fresnel. Questa macchia luminosa posta al centro
dell'ombra di un ostacolo circolare che secondo Poisson era così inverosimile da condannare definitamene la teoria ondulatoria della luce, fu invece
osservata sperimentalmente da Arago. Essa in effetti può essere spiegata
considerando la sovrapposizione in O delle onde secondarie provenienti
dalle zone di Fresnel in cui può essere suddiviso il fronte d'onda piano incidente sull'ostacolo e che risultano concentriche con esso. Poiché il disco
copre la parte centrale del sistema di zone (fig. 62), l'ampiezza della perturbazione in O risulta praticamente uguale alla metà di quella dovuta alla
prima zona non coperta dal disco in quanto ciascuna zona libera, può ritenersi compensata dai contributi delle due semizone adiacenti che la racchiudono, come abbiamo visto nel caso della propagazione in assenza di
ostacoli (VI.5.15.). In particolare se il disco ha dimensioni piccole rispetto
a r0, risulta coperto solo un esiguo numero di zone di Fresnel, per cui
l'azione della prima zona libera non differisce sostanzialmente da quella
della zona centrale coperta dall'ostacolo: pertanto l'ampiezza della perturbazione è E 0 :::E1/2, e l'intensità che si osserva sullo schermo in O differisce di poco da quella che si avrebbe in assenza dell'ostacolo.
All'aumentare delle dimensioni di questo, l'intensità in O diminuisce poiché cresce l'ordine della prima zona d(Fresnel non coperta, ma risulta comunque diversa da zero finché le dimensioni del disco restano finite. Questo risultato può essere anche giustificato valutando l'ampiezza della perturbazione in O mediante la costruzione della spirale dei fasori, analogamente a quanto fatto nel caso della propagazione libera. In questo caso tuttavia bisogna tener conto del fatto che il primo contributo efficace non proviene dal centro C del sistema di zone di Fresnel relativo ad O, bensì dal
contorno del disco opaco. Per tale ragione la spirale parte da un punto G
più interno rispetto ad A, punto di inizio nel caso della propagazione libera
(fig. 63). All'aumentare del raggio dell'ostacolo il punto G si sposta sempre più verso il punto terminale O' per cui l'intensità del punto di Poisson
diminuisce sempre di più senza però annullarsi mai. Quindi nella figura di
diffrazione prodotta da un ostacolo circolare il centro è sempre luminoso
mentre in quella dovuta ad una apertura circolare, al variare del raggio di
questa, il punto centrale diventa alternativamente luminoso o scuro.
I punti dello schermo di osservazione fuori dall'asse del disco ma equidistanti da O, sono caratterizzati da uno stesso valore dell'intensità luminosa come si può dedurre facilmente dall'analisi basata sul metodo delle
zone di Fresnel. Pertanto il punto di Poisson è circondato da anelli alternativamente chiari e scuri, che interessano anche la regione fuori
dall'ombra geometrica come mostrato in fig. 64. Tuttavia al crescere della distanza da O, gli anelli sullo schermo di osservazione perdono di contrasto dando luogo ad una illuminazione praticamente uniforme.
Vl.5.8.5. - Diffrazione di Fresnel da spigolo rettilineo
Consideriamo ora gli effetti di diffrazione che si possono osservare su
uno schermo diffusore posto a distanza r0 dallo spigolo rettilineo di un
ostacolo opaco piano come, ad esempio, il bordo di una fenditura rettili-
VI.5.8. - DIFFRAZIONE DI FRESNEL
819
nea indefinita, quando viene investito da un'onda piana monocromatica
di lunghezza d'onda À. A causa delle difficoltà che il problema presenta,
ci limiteremo a discutere qualitativamente la distribuzione dell'intensità
dell'onda diffratta e la giustificheremo analizzando le zone attive dei sistemi di Fresnel relativi ai punti di osservazione, che possono essere tracciati sul fronte d'onda nella posizione dell'ostacolo.
Cominciamo con un punto O posto al limite del bordo
dell'ombra geometrica dell'ostacolo (fig. 65): tutte le zone
del sistema di Fresnel risultano tagliate a metà da questo, per
cui metà dell'area di ogni zona, essendo nascosta, non contribuisce all'ampiezza in O. Di conseguenza l'ampiezza risultante in O è pari a metà di quella che si avrebbe in assenza di
ostacolo e, quindi, pari ad un quarto di quella relativa
all'intera prima zona di Fresnel. Se indichiamo con IL
l'intensità che si osserverebbe in O nel caso della propagazione libera, la presenza dell'ostacolo riduce l'intensità al valore I0 =Id4. Spostamenti del punto di osservazione in direzione parallela allo spigolo non fanno variare la parte attiva
del corrispondente sistema di zone di Fresnel: questa resta
sempre pari alla metà dell'intero sistema per cui l'intensità
nel punto O' è la stessa che in O. Quindi le frange di diffrazione che si producono sullo schermo B sono delle strisce parallele al bordo dell'ostacolo.
Consideriamo ora un punto P posto al di sopra dell'ombra
geometrica ad una distanza da O pari al raggio R1 della prima
zona di Fresnel (fig. 66), cioè R 1 =(Àr0)v2. L'ampiezza risultante in P è dovuta all'intera prima zona ed a frazioni delle
zone successive, che si riducono gradualmente rimanendo
comunque maggiori della metà dell'area. Per tale ragione il
contributo di ogni zona dispari è sempre maggiore di quello
della zona pari successiva così che l'ampiezza risultante, valutata mediante la (VI.5.15.), è maggiore di quella in assenza
di ostacolo. In altre parole, la presenza dello schermo opaco
non permette più che nel punto P si abbia la stessa compensazione fra le onde secondarie che si ha nel caso della propagazione libera, in quanto impedisce ad alcune di esse di
giungere in P. A causa di ciò l'intensità in P risulta
addirittura maggiore di IL, come abbiamo osservato precedentemente. Per la conservazione dell'energia, dobbiamo
aspettarci che l'aumento dell'intensità rispetto ad IL nei
punti a distanza R 1 dall'ombra geometrica sia compensato da
una riduzione rispetto ad IL in punti più distanti. In effetti si
osserva un minimo di intensità nei punti che si trovano a distanza R2 pari al raggio della seconda zona di Fresnel. Tale
minimo può essere giustificato osservando che nella
relazione (VI.5.15.)
Fig. 65
Fig. 66
820
VI.5. - DIFFRAZIONE
X
Fig. 67
o
X
Fig. 68
per compensare il contributo della seconda zona di Fresnel
(-E2), che è completo, è necessario considerare le onde secondarie che provengono da una regione più grande della
metà della prima zona dal momento che la terza è attiva solo
parzialmente. L'ampiezza risultante è quindi minore di E 1/2 e
l'intensità minore di quella relativa alla propagazione libera.
Alla frangia chiara di intensità maggiore di IL segue quindi
una frangia più scura di intensità minore di IL. All'aumentare
della distanza del punto di osservazione dal bordo dell'ombra
geometrica l'intensità luminosa passa attraverso una serie di
valori massimi e minimi a seconda che risulti scoperto completamente un numero rispettivamente dispari o pari del sistema di zone di Fresnel corrispondente e tende al valore IL
come conseguenza del fatto che quando la distanza è sufficientemente grande la parte del fronte d'onda non efficace
diventa trascurabile.
Se invece si considerano punti che si trovano nella zona
d'ombra geometrica, al crescere della loro distanza dal bordo
di questa l'intensità diminuisce progressivamente fino ad annullarsi completamente in quanto un numero sempre più grande di zone di Fresnel viene coperto dall'ostacolo. In fig. 67
sono riportati l'andamento dell'intensità in funzione della distanza dal bordo dell'ombra geometrica ed il sistema di frange
di diffrazione di luminosità variabile che si forma nella regione oltre il bordo dello schermo opaco in cui, secondo l'ottica
geometrica, si dovrebbe osservare luce uniforme.
Nel caso di una fenditura la figura di diffrazione può essere
considerata come la combinazione di quelle dovute a due spigoli rettilinei opposti; pertanto la distribuzione dell'intensità
ha l'andamento di fig. 68. Aumentando la distanza tra la fenditura e lo schermo di osservazione fino a riprodurre le condizioni di Fraunhofer, la distribuzione si modifica gradualmente
fino a coincidere con quella di fig. 10.
ESEMPIO Vl.5.7. -DETERMINAZIONE DELLA POSIZIONE DEI PUNTI DI
MASSIMA E MINIMA INTENSITÀ LUNGO L'ASSE DI
UNA APERTURA CIRCOLARE
Si consideri uno schermo opaco che presenti una apertura di raggio
R=lmm e sia À = 590nm la lunghezza d'onda dell'onda piana monocromatica incidente. Determiniamo le posizioni lungo l'asse
dell'apertura dei tre punti più distanti in cui l'intensità è massima e
quelle dei tre minimi.
Ricordiamo che l'intensità è massima o minima in punti dell'asse la cui distanza rn dall'apertura è tale che in questa cada un numero intero dispari o
pari di zone di Fresnel, cioè R 2 =nÀrn.
Quindi i 3 massimi più lontani si hanno in corrispondenza delle seguenti
distanze dall'apertura
VI.5 .8. -
821
DIFFRAZIONE DI FRESNEL
R2
r1 = -
À
= 1.695m
R2
r3 = - = 0.565m
3À
R2
r5 = - = 0.339m
5À
quelli di minima intensità per
R2
R2
r 2 = lÀ = 0.847m
r4 = - = 0.423m
4À
R2
r6 = - = 0.282m
6À
Pertanto il punto di minima intensità più lontano è quello corrispondente al valore n = 2, mentre quello di massima ad n . Quest'ultimo sebbene sia il più lontano dallo schermo è il più luminoso. Infatti per tale punto il raggio R dell'apertura coincide con quello della prima zona di Fresnel (R = Àr0 = R0) e di conseguenza in esso non ci sono gli effetti interferenziali distruttivi delle altre zone.
ESEMPIO Vl.5.8.
-
DETERMINAZIONE DELL'INTENSITÀ LUMINOSA IN
UN PUNTO DELL'ASSE DI UNA APERTURA NON
SIMMETRICA
Vediamo come si può determinare l'intensità luminosa in un punto P posto a distanza r0=lm sull'asse di una apertura avente la forma di una
mezza corona circolare di raggi a=lmm e b =l.58mm (fig. 69), quando
viene investita normalmente da un'onda piana monocromatica di lunghezza d'onda À=500nm
A tale scopo bisogna calcolare dapprima l'ampiezza risultante dalla sovrapposizione dei contributi relativi alle zone di Fresnel che cadono
nell'apertura. Ciascuna zona attiva contribuisce con un termine pari alla
metà dell'ampiezza della corrispondente intera zona di Fresnel.
Il numero di zone attive si ottiene come differenza tra i valori n2 ed n 1
relativi rispettivamente ai cerchi di raggio b ed a, cioè
Quindi, nell'apertura semianulare cade la metà della terza, della quarta
e della quinta zona di Fresnel. L'ampiezza risultante è pari a
E= E 3 /2-E 4 /2+ E 5 /2 = E 3 /2 = EL
dove EL rappresenta l'ampiezza in P nel caso della propagazione libera.
Di conseguenza l'intensità coincide con quella relativa alla propagazione libera
Fig. 69
'olarizzazione
Vl.6.1. Introduzione ............................................................824
Vl.6.2. Sovrapposizione di onde polarizzate:
polarizzazione ellittica e circolare .......................... 826
VI .6.3. Polarizzatori .............................................................829
Vl.6.4. Legge di Malus ................. ~··· .. ·· ................................831
Vl.6.5. Polarizzazione per riflessione ................................. 833
Vl.6.6. Propagazione nei mezzi anisotropi ........................836
olarizzazione
Vl.6.1. Introduzione ............................................................824
Vl.6.2. Sovrapposizione di onde polarizzate:
polarizzazione ellittica e circolare ..........................826
VI .6.3. Polarizzatori .............................................................829
Vl.6.4. Legge di Malus .........................................................831
Vl.6.5. Polarizzazione per riflessione .................................833
Vl.6.6. Propagazione nei mezzi anisotropi ........................ 836
Vl.6. - POLARIZZAZIONE
Vl.6.1. - Introduzione
Nel capitolo V.I. abbiamo verificato, partendo dalle equazioni di Maxwell, che le onde elettromagnetiche sono onde trasversali per cui in ogni
punto dello spazio e in qualunque istante di tempo i campi E e B, che sono fra loro ortogonali, risultano sempre perpendicolari alla direzione di
propagazione. Ciò vale ovviamente anche per le onde luminose che, come sappiamo, sono onde elettromagnetiche caratterizzate dall'intervallo
di frequenze a cui è sensibile l'occhio umano.
I fenomeni che abbiamo descritto nei capitoli precedenti non hanno evidenziato il carattere trasversale della onde elettromagnetiche: infatti la
riflessione, la rifrazione, l'interferenza e la diffrazione sono fenomeni che
si verificano per tutte le onde anche per quelle longitudinali, come quelle
sonore. Sono i fenomeni di polarizzazione, che costituiscono l'oggetto del
presente capitolo, quelli che evidenziano il carattere trasversale di
un'onda. Tra gli esempi più comuni di onde trasversali ricordiamo quelle
che si producono in una corda: se ad esempio ad una estremità di una
corda tesa viene impresso un impulso in una direzione si osserva che ogni
punto di questa, quando viene raggiunto dalla perturbazione che si sta
propagando lungo la corda, comincia a muoversi attorno alla posizione di
equilibrio in una direzione ortogonale a quella di propagazione. Nel caso
delle onde elettromagnetiche è il campo elettrico (o quello magnetico)
che vibra mantenendosi ortogonale alla direzione di propagazione.
Prima di passare ad esaminare i tipi più comuni di polarizzazione facciamo delle osservazioni.
Il carattere trasversale di un'onda come ad esempio un'onda piana che si
propaga nel vuoto lungo l'asse X di un sistema di riferimento cartesiano,
richiede che il vettore E giaccia in un piano parallelo al piano YZ, ma
non determina in questo la direzione che il campo assume istantaneamente. In altre parole, diversamente da un'onda longitudinale, se sono dati il
modulo (funzione di x e di t) del campo elettrico e la direzione di propagazione, l'orientazione di E (e, quindi, anche quella di B legata univocamente ad E e alla direzione di propagazione) resta indeterminata in quanto può essere qualsiasi nel piano ortogonale alla direzione di propagazione. Per ogni singolo caso, i vettori E e B hanno una orientazione che dipende dalle modalità con cui l'onda viene generata e in generale la direzione di propagazione non è l'asse di simmetria di un'onda elettromagnetica: questa asimmetria è una caratteristica delle onde trasversali, mentre
quelle longitudinali sono sempre simmetriche rispetto alla direzione di
propagazione. Ad esempio nelle onde emesse da un dipolo oscillante, a
grande distanza da questo, il campo elettrico oscilla sempre in un piano
contenente il dipolo e la direzione di propagazione restando ortogonale a
questa. In tal caso, quindi, in un punto dello spazio il vettore E ha una orientazione ben definita: quando si verifica questa condizione l'onda
825
VI.6.1. - INTRODUZIONE
è detta polarizzata. In particolare, le onde emesse da un dipolo oscillante
sono polarizzate linearmente in quanto in ogni punto dello spazio a
grande distanza da questo, il vettore E resta sempre parallelo alla direzione stabilita mentre il suo modulo può variare nel tempo. Nel caso di onde
elettromagnetiche polarizzate linearmente, la direzione del campo elettrico è detta direzione di polarizzazione, il piano individuato da E e dalla
direzione di propagazione dell'onda è detto piano di polarizzazione,
mentre quello individuato dal campo Be dalla direzione di propagazione
dell'onda piano di vibrazione.
La luce emessa dalle comuni sorgenti, detta anche luce naturale, non è
polarizzata. Ricordiamo infatti che la luce osservata è il risultato della
sovrapposizione di un numero molto grande di pacchetti d'onda, emessi da sorgenti elementari indipendenti fra loro. Sebbene ciascuna di
queste si comporti come un dipolo che irradia in una determinata direzione un treno d'onda (di durata ~t ~ 1o-s s), caratterizzato da una fase e
da uno stato di polarizzazione ben definiti, l'assenza di correlazione tra
i vari emettitori atomici fa sì che nel fascio di luce osservato il vettore
elettrico in un punto dello spazio presenti al passare del tempo una orientazione del tutto casuale e rapidamente variabile attorno alla direzione di propagazione. Per tale ragione Un'onda piana luminosa che si
propaga lungo l'asse X viene solitamente rappresentata come in fig. 1.
La simmetria attorno alla direzione di propagazione nella luce naturale
ha a lungo nascosto la sua natura trasversale. Solo operando in modo
opportuno si può polarizzare linearmente la luce naturale ed evidenziare anche in essa la asimmetria caratteristica delle onde trasversali. Infatti come abbiamo già osservato nel § VI.2.4.3., per ogni direzione di
propagazione di un'onda piana luminosa non polarizzata, è sempre
possibile stabilire nel piano perpendicolare a questa due assi mutuamente perpendicolari lungo cui scomporre il campo elettrico (o quello
magnetico). L'onda non polarizzata, quindi, può sempre considerarsi
come il risultato della sovrapposizione di due onde linearmente polarizzate con piani di polarizzazione fissi e mutuamente ortogonali. In
particolare se la direzione di propagazione coincide con l'asse X di una
terna cartesiana, gli assi Y e Z possono rappresentare le direzioni lungo
cui scomporre il campo E dell'onda, così che i piani XY e XZ rappresentano i piani di polarizzazione delle onde componenti. Queste, che
risultano polarizzate linearmente rispettivamente nella direzione Y e Z,
possono essere rappresentate dalle funzioni
Ey(x,t)
E 0 Y cos[(rot-kx)+cp]uy
Ez (x, t) = E 0 z cos[crot - kx) + <p]uz
z
(VI.6.1.)
dove con <p abbiamo indicato la fase iniziale, che nella luce naturale varia
casualmente e rapidamente nel tempo.
Il campo elettrico risultante si ottiene dalla somma vettoriale E(x,t)=Ey+Ez;
la sua direzione nel piano YZ può essere individuata con l'angolo a che
esso fo1ma istantaneamente con l'asse Z (fig. 2), espresso da
E
E 0 ,cos[(rot-kx)+cp]
tga=-Y =--}-~----~
Ez E 0 z cos[(rot - kx) + <p]
Fig. 1
Fig. 2
826
VI.6. - POLARIZZAZIONE
Esso varia come <p rapidamente nel tempo ed in modo del tutto casuale, rendendo simmetrica la direzione di E rispetto alla direzione di
propagazione.
Se si riesce ad eliminare una delle due onde componenti, la luce naturale
risulta polarizzata linearmente e mostra in tal modo la sua asimmetria rispetto alla direzione di propagazione. Con esperimenti di questo tipo storicamente è stata dimostrata la trasversalità delle onde luminose molto
tempo prima che ne fosse stabilita la natura elettromagnetica.
Uno strumento che sia in grado di evidenziare la asimmetria delle onde luminose deve necessariamente essere anch'esso asimmetrico. Per
tale ragione nell'analizzare la luce naturale si fa ricorso solitamente ad
un cristallo: in questo gli atomi sono disposti in modo da formare un
reticolo spaziale per cui le sue proprietà fisiche possono variare con la
direzione lungo cui vengono misurate. I cristalli che si comportano in
modo asimmetrico sono detti anisotropi; il passaggio della luce in un
mezzo anisotropo è stato il primo fenomeno che ha evidenziato la sua
natura trasversale.
Nel seguito, dopo aver esaminato i tipi più comuni di polarizzazione, discuteremo alcuni metodi con cui si può polarizzare linearmente la luce
naturale. Vedremo che è possibile polarizzarla sia mediante le così dette
lamine polarizzanti (dette anche polarizzatori) che sfruttando il fenomeno della riflessione (polarizzazione per riflessione). Da ultimo analizzeremo la propagazione di un'onda piana luminosa in un mezzo trasparente anisotropo ed analizzeremo in dettaglio il fenomeno della doppia
rifrazione. Vedremo inoltre che mediante cristalli birifrangenti è possibile modificare lo stato di polarizzazione di un'onda che li attraversi.
VI .6.2. - Sovrapposizione di onde polarizzate:
polarizzazione ellittica e circolare
Consideriamo due onde piane sinusoidali monocromatiche, di uguale frequenza che si propagano lungo l'asse X di un sistema di riferimento cartesiano; supponiamo che siano polarizzate rispettivamente lungo l'asse Y
e l'asse Z. Esse possono essere descritte dalle due funzioni
EY
(x, t) = E 0 Y cos[( cot - kx) + <p 1 ]uy
E 2 (xt) = E 02 cos[ccot - kx) + cpJu 2
(VI.6.2.a)
(VI.6.2.b)
In un dato punto dello spazio il vettore elettrico della perturbazione, risultante dalla sovrapposizione delle due onde polarizzate linearmente, è contenuto nel piano YZ e cambia nel tempo sia in modulo che in direzione.
Infatti la sua punta descrive nel piano ortogonale alla direzione di propagazione una curva le cui equazioni parametriche sono espresse dalle relazioni (VI.6.2.). Queste assumono una forma del tutto simile a quelle di
due moti armonici se, come abbiamo fatto nel caso dell'interferenza, indichiamo con Li<I> la differenza di fase tra le due onde (Li<I> = <p 2 -<p 1) e ridefiniamo l'origine dei tempi così che risulti cot'=[(cot-kx)+<pi]. Si ottiene
infatti
(VI.6.3.a)
Vl.6.2. - SOVRAPPOSIZIONE DI ONDE POLARIZZATE: POLARIZZAZIONE ELLITTICA E CIRCOLARE
827
(VI.6.3.b)
Se ~<I> è costante nel tempo, eliminando come si fa nella composizione di
due moti armonici il parametro t' si ottiene1 l'equazione
E2
E2
E E
_Y_+-2--2 Y 2 cos~©=sin 2 ~{[)
E;y E;2
EoyE0 2
z
(VI.6.4.)
che è quella di una ellisse. Per questo motivo si dice che l'onda risultante dalla sovrapposizione di due onde di uguale frequenza, polarizzate linearmente lungo due assi perpendicolari è polarizzata ellitticamente: la punta del vettore elettrico in un dato punto dello spazio al
passare del tempo descrive una ellisse nel piano ortogonale alla direzione di propagazione. Questa risulta inscritta in un rettangolo (fig.3)
con i lati paralleli agli assi Y e Z e di lunghezza pari a 2E0y e 2E02 , dal
momento che i valori di Ey ed E2 variano rispettivamente tra +Eoy e
-E0y e tra +E02 e -E02 . Inoltre si ha che la forma dell'ellisse e la sua
orientazione rispetto agli assi Y e Z dipendono dalle ampiezze delle
due onde e dalla differenza di fase ~<I> esistente tra queste. In particolare se ~<I> è un multiplo dispari di rc,/2 (~<I>= (2m+ 1)n/2 con m = O,
±1, ±2, ... ) la (VI.6.4.) diventa l'equazione di una ellisse avente gli
assi coincidenti con gli assi Y e Z
A
I
I
I
I
2Eozi-+------+---,.-+-I
y
I
I
I
•
◄-
- - - - - 2Eoy - - - - - +
Fig. 3
z
E2
E2
_Y_+_z_=l
E;Y E; 2
Nel caso in cui le ampiezze delle due onde componenti risultino uguali
CEox=Eoy) l'ellisse si riduce ad una circonferenza. L'onda risultante è polarizzata circolarmente: il vettore elettrico in un dato punto descrive una
circonferenza con velocità angolare costante, mantenendo costante il proprio modulo.
Sia nel caso di polarizzazione ellittica che in quello di polarizzazione
circolare, il vettore elettrico risultante può ruotare in senso orario o
antiorario rispetto ad un osservatore verso il quale l'onda si propaga,
a seconda che ~<I> sia minore o maggiore di n. Ciò può essere verificato facilmente considerando la posizione che occupa sulla curva la
punta del vettore elettrico in due istanti di tempo diversi, ma prossimi, ad esempio t' =0 e t"=~t (con ~t<T). Indicata con P' la posizione
al tempo t' e con P" quella al tempo successivo t", dalle relazioni
(VI.6.3.) si deduce che P" precede P' seO<~<I><n (fig. 4), poiché la
funzione coseno è decrescente fra O e n, mentre P" segue P' se
n<~<P< 2n (fig. 5), poiché la funzione coseno è crescente fra 7t e 2n.
In altre parole il vettore elettrico ruota in senso orario o antiorario a
1. Infatti risulta
E 2 = E 02 (cosmt'+Ll<I>) = E0 z<cosmt'cosll<I>-sinmt'sinll<I>); poiché
vale anche la relazione E Y = E OY cos( rot') , si ha
_s__~cos Ll<I> = -sin mt' sin Ll<I>
Eoz Eoy
Elevando al quadrato primo e secondo membro e semplificando si ottiene la (VI.6.4.).
y
Ll<j> =7t/2
Fig. 4
z
y
Ll<I> = 37t/2
Fig. 5
VI.6. - POLARIZZAZIONE
828
seconda che la componente lungo l'asse Z anticipi o ritardi rispetto a
quella lungo l'asse Y. Nel primo caso la polarizzazione è detta destrorsa nel secondo sinistrorsa.
Osserviamo infine che se ~<P è zero o un multiplo intero di 7C, cioè se risulta ~<P=mn con m=0, ±1, ±2, ... , la relazione (VI.6.4.) diventa
Ey -+ E 2
Eoy --Eoz
z
Fig. 6
dove il segno positivo o negativo corrisponde al caso in cui ~<P sia rispettivamente multiplo pari o dispari di 7C. La relazione precedente mostra che
l'ellisse degenera in un segmento rettilineo coincidente con una delle due
diagonali del rettangolo (fig. 6): l'onda risultante è quindi polarizzata linearmente.
E' bene sottolineare che allo stesso modo in cui la sovrapposizione di due
onde polarizzate linearmente con i piani di polarizzazione perpendicolari
tra loro dà luogo, in generale, ad un'onda polarizzata ellitticamente, ogni
onda polarizzata ellitticamente si può considerare come la sovrapposizione di due onde polarizzate linearmente su due direzioni mutuamente or- .
togonali, ma arbitrarie.
ESEMPIO Vl.6.1.
-
DETERMINAZIONE DELLO STATO DI
POLARIZZAZIONE DI UN'ONDA
Consideriamo l'onda elettromagnetica descritta dalla .funzione
E= E 0 cos (rot - kz + n/2)ux + E 0 cos (rot - kz)uy
P1
E
Si tratta di un'onda piana che si propaga lungo l'asse Z. Per determinarne lo stato di polarizzazione conviene riscrivere la .funzione d'onda
nella forma
E(z, t) = -E 0 sin (rot - kz)ux + E 0 cos (rot
kz)uy
)2
E
E
P3
in cui si è fatto uso delle note relazioni trigonometriche.
Valutiamo le due componenti parallele agli assi X ed Y nella posizione
z=0 a 3 istanti di tempo: t =0, T/4, T/2, dove T=2n/ro è il periodo temporale dell'onda. Si ottiene
Fig. 7
Le posizioni occupate dalla punta del vettore elettrico ai tre istanti di
tempo sono riportate in fig. 7.
Poiché l'ampiezza non varia, l'onda è polarizzata circolamiente in senso
antiorario, cioè la polarizzazione è sinistrorsa.
829
VI.6.3. - POLARIZZATORI
ESEMPIO
Vl.6.2. -DETERMINAZIONE DELLA FUNZIONE D'ONDA DI
DUE ONDE DI UGUALE FREQUENZA E
POLARIZZATE CIRCOLARMENTE IN SENSO
OPPOSTO, LA CUI SOVRAPPOSIZIONE DIA
UN'ONDA POLARIZZATA LINEARMENTE
Supponiamo di voler produrre un'onda polarizzata lineannente e descritta dalla funzione
E(z, t) = E 0 cos (kz - rot)ux
sovrapponendo due onde polarizzate circolarmente in senso opposto e
caratterizzate dalla stessafrequenza ro. Vogliamo determinare le loro espressioni.
Un'onda avente polarizzazione circolare sinistrorsa può essere descritta
dalla funzione
Es = E 0s sin (kz - rot)ux + E 0s cos (kz - rot)uy
che coincide con quella dell'esempio VI.6.1. in quanto sin(-a) = -sin(a)
e cos(-a)=cos(a).
Analogamente un'onda avente polarizzazione circolare destrorsa può essere descritta dalla funzione
E 0 = E 00 sin (kz- rot)ux -E 00 cos(kz- rot)uy
come è possibile verificare valutando E0 nella posizione z=O a 3 istanti
di tempo: t=O, T/4, T/2 (fig. 8).
L'onda risultante dalla sovrapposizione di Es e E0 è descritta dalla funzione
Affinché coincida con la funzione dell'onda polarizzata lineannente lungo l'asse X, è necessario che
cioè le due onde polarizzate circolarmente devono avere stessa ampiezza.
Dovendo inoltre vqlere l'uguaglianza
Es + E 0 = 2E 0s sin (kz - rot)ux =E= E 0 sin (kz - rot)ux
le ampiezze delle onde polarizzate circolarmente devono essere pari alla
metà di quella dell'onda polarizzata lineannente, cioè
Eos = Eoo = Eo/2
Vl.6.3. - Polarizzatori
In natura esistono alcuni cristalli anisotropi, come la tormalina, con cui è
possibile polarizzare linearmente la luce naturale.
Se si taglia una lamina di tormalina parallelamente ad una particolare direzione, che definiremo asse ottico (cfr. § Vl.6.5.), si può verificare spe-
P3
Eo
P2
Eo
Eo
P1
Fig. 8
830
Fig. 9
Fig. 10
Vl.6. - POLARIZZAZIONE
rimentalmente che la lamina assorbe notevolmente onde polarizzate linearmente lungo una direzione ortogonale all'asse ottico, mentre lascia passare praticamente senza assorbimento un'onda polarizzata linearmente
parallelamente a questo. Questa proprietà è detta dicroismo.
Vediamo cosa accade quando un'onda piana non polarizzata incide su
una lastra di materiale dicroico, propagandosi in direzione ortogonale alla
superficie della lamina come mostrato in fig. 9. Come abbiamo già osservato l'onda incidente può essere scomposta in due onde polarizzate linearmente una parallelamente all'asse ottico e l'altra ortogonalmente ad esso. Se lo spessore della lamina è scelto in modo opportuno è possibile avere la completa estinzione della componente del campo ortogonale
all'asse della lastra così che la luce trasmessa è praticamente polarizzata
parallelamente a questo. Una lamina che si comporta in questo modo viene detta lamina polarizzante o polarizzatore.
Il comportamento di una lamina di tormalina troverà la sua giustificazione fisica nello studio delle sostanze anisotrope, che esamineremo nel seguito. Per il momento possiamo limitarci a comprendere il suo funzionamento sulla base di un esempio meccanico. Supponiamo di far passare una corda attraverso una sottile fenditura praticata su una parete come illustrato in fig. 1O. Se si imprime ad una estremità della corda un impulso parallelo alla fenditura, questo la attraverserà liberamente; se invece l'impulso viene
impresso in direzione ortogonale alla fenditura viene bloccato e
non lo si ritrova dall'altra parte della parete.
La tormalina è un cristallo che non consente di realizzare lamine
polarizzatrici estese dal momento che si sfalda facilmente. Per tale
ragione già dal 1934 sono state realizzate lamine artificiali che
hanno proprietà polarizzanti del tutto simili a quelle dei cristalli
dicroici e che sono note col nome commerciale di lamine Polaroid. Queste lamine sono state inizialmente prodotte incorporando
in un materiale plastico molecole dicroiche che sottoposte a trazione si orientano tutte nella stessa direzione: questa si comporta
come l'asse ottico di un cristallo dicroico ed usualmente viene detta asse di trasmissione. Attualmente le lamine polaroid sono realizzate anche utilizzando materiale plastico (alcool-polivinilico)
caratterizzato da molecole estremamente lunghe che vengono allineate mediante un processo meccanico di stiramento. L'aggiunta
di iodio fa assumere proprietà dicroiche al materiale.
Tipicamente una buona lamina polarizzante trasmette fino all' 80% della
luce polarizzata parallelamente all'asse di trasmissione e meno dell' 1%
della luce polarizzata in direzione perpendicolare ad esso. Nel seguito per
semplicità assumeremo che i polarizzatori siano ideali, cioè in grado di
trasmettere il cento per cento della luce polarizzata parallelamente
all'asse di trasmissione e di assorbire completamente quella polarizzata
normalmente a tale asse.
Facciamo notare infine che i polarizzatori descritti in precedenza vengono
utilizzati nel visibile. Per polarizzare onde elettromagnetiche di altre regioni dello spettro è necessario ricorrere a dispositivi differenti. Ad esempio nel caso di microonde di lunghezza d'onda dell'ordine del centimetro (0.5cm::; 'A,::; 10cm) un buon polarizzatore può essere realizzato co-
1.6.4. - LEGGE DI MALUS
831
:ruendo una griglia metallica mediante sottili fili paralleli di passo picco> rispetto a À. Infatti se si fa incidere sulla griglia un'onda polarizzata
nearmente con il campo elettrico parallelo ai fili, l'onda verrà fortemen: assorbita in quanto gli elettroni liberi dei fili sollecitati dal campo E
ell'onda vengono accelerati lungo i fili e dissipano l'energia assorbita in
1lore per effetto Joule (fig. Ila). Se invece l'onda incidente ha il campo
lettrico ortogonale ai fili della griglia, gli elettroni possono essere acce:rati solo attraverso il diametro dei fili per cui l'energia da essi assorbita
solo una piccola frazione di quella incidente: l'onda attraversa la griglia
raticamente senza attenuazione (fig. 11 b).
Fig. Ila
'1.6.4. - Legge di Malus
"n qualsiasi dispositivo in grado di polarizzare la luce naturale consente
1che di analizzare lo stato di polarizzazione di questa; in tal caso il polazzatore funziona da analizzatore.
onsideriamo pertanto un dispositivo, come quello schematizzato in fig.
2, in cui dopo un polarizzatore è inserito un analizzatore, disposto in
todo che il suo asse di trasmissione formi un angolo 0 con quello del po.rizzatore. Un'onda piana di luce naturale incidente sul polarizzatore,
nerge da questo polarizzata linearmente con il campo eletico E parallelo al suo asse di trasmissione. Attraversando
analizzatore tale onda verrà più o meno assorbita a seconda
~Ila orientazione 0 dell'analizzatore rispetto al polarizzatore.
iù precisamente l'analizzatore lascia passare la parte corri>ondente alla componente E 0 del campo elettrico E parallela
proprio asse, pari a E0 =Ecos0. Ricordando che l'intensità è
·oporzionale al quadrato dell'ampiezza del campo, si ricava
1e l'intensità dell'onda trasmessa dall'analizzatore è legata a
1ella dell'onda incidente su di esso dalla relazione
10
Fig. llb
= Icos 2 0
)ta come legge di Malus in quanto fu scoperta sperimentai.ente nel 1809 da Etienne Louis Malus. Essa mostra che se si
iota l'analizzatore o il polarizzatore attorno alla direzione di
·opagazione dell'onda, l'intensità dell'onda trasmessa dal
spositivo varia tra un valore massimo pari ad I, quando gli
:si di trasmissione dell'analizzatore e del polarizzatore sono paralleli
ioè 0=0 o re), ed un valore minimo nullo quando i due assi sono ortogolli (polarizzatori incrociati), cioè 0=rc/2 o 3rc/2.
tilizzando un polarizzatore è possibile verificare che l'intensità di
1' onda luminosa non polarizzata, la luce naturale, è ugualmente ripartita
1 le due onde polarizzate linearmente in direzioni mutuamente perpencolari in cui si può pensare scomposta l'onda stessa.
tale proposito cominciamo con l'osservare che se si fa incidere normaiente su un polarizzatore un'onda di ampiezza E polarizzata linearmente
ngo una direzione che formi un angolo 0 con l'asse di trasmissione del porizzatore, l'intensità trasmessa da questo è proporzionale a cos20, in ac1rdo alla legge di Malus. Pertanto una rotazione del polarizzatore attorno
Fig. 12
Vl.6. - POLARIZZAZIONE
832
alla direzione di propagazione comporta una variazione nell'intensità trasmessa, rilevabile sperimentalmente. Se invece sul polarizzatore incide
un'onda piana non polarizzata, si osserva che ruotando il polarizzatore,
l'intensità dell'onda trasmessa da questo non varia: ciò è conseguenza della
simmetria del vettore E attorno alla direzione di propagazione. Infatti per
valutare l'intensità luminosa trasmessa dal polarizzatore è necessario considerare il valore medio del quadrato della componente dell'onda parallela
all'asse del polarizzatore: <(E0)2> = <E2 cos20>. Poiché durante l'intervallo
di tempo su cui si esegue la media l'orientazione di E varia casualmente è
necessario mediare su tutti i possibili valori di 0. Essendo <cos2 0>= 1/2, otteniamo che l'intensità della luce naturale trasmessa da un polarizzatore è
pari alla metà di quella della luce non polarizzata incidente su di esso, indipendentemente dall'orientazione dell'asse di trasmissione. Questo risultato
può anche essere interpretato formalmente nel modo seguente: a ciascuna
delle due onde polarizzate linearmente, in cui si può pensare scomposta
l'onda non polarizzata di ampiezza Eo, una parallelamente all'asse del polarizzatore, l'altra in direzione ortogonale a questo, si può associare
un'ampiezza media pari a
E.1
= E 11
✓
2
= E 0 cos45° =E 0 -
2
ed una intensità pari a
I.1 = I 11
I 0 cos 2 45° = I 0 /2
dove con Eo ed Io si sono indicate rispettivamente l'ampiezza e l'intensità
dell'onda non polarizzata.
Se dopo il polarizzatore viene posto un analizzatore l'intensità trasmessa
dal dispositivo è pari a I 0 = (I0 cos20)/2, dove abbiamo indicato con 0
l'angolo formato dai due assi di trasmissione.
Vediamo infine cosa accade quando si fa incidere normalmente su un
polarizzatore un'onda piana parzialmente polarizzata. Sperimentalmente si osserva che, ruotando il polarizzatore attorno alla direzione
di propagazione, l'intensità da esso trasmessa varia tra un valore massimo Imax ed un valore minimo Imin senza annullarsi mai. Più precisamente per ogni giro completo le posizioni in cui l'intensità è massima
sono a 180° una rispetto all'altra; lo stesso accade per le posizioni in
cui l'intensità è minima e la loro congiungente è ortogonale a quella
che individua le posizioni dei massimi. Questo risultato si giustifica
facilmente sulla base della legge di Malus e delle considerazioni precedenti. Infatti l'intensità incidente sul polarizzatore può essere scomposta nella parte non polarizzata INP e in quella polarizzata Ip. Nel fascio trasmesso la componente non polarizzata ha intensità sempre pari
a INp/2 qualunque sia l'orientazione del polarizzatore. Invece per luce
polarizzata, la parte trasmessa varia tra il valore Ip e zero a seconda
che l'asse del polarizzatore sia parallelo o ortogonale alla direzione di
polarizzazione dell'onda. Pertanto il valore Imin coincide con
l'intensità trasmessa della luce non polarizzata, Imin =INp/2, mentre Imax
con la somma delle intensità trasmesse relative alla luce non polarizzata e al massimo valore di quella polarizzata, Imax = INp/2+lp.
Vl.6.5. - POLARIZZAZIONE PER RIFLESSIONE
833
Si definisce grado di polarizzazione di un'onda parzialmente polarizzata
il rapporto
IP
P=--Ip + INP
Questo può anche essere espresso in termini dell'intensità massima e minima trasmesse dal polarizzatore tramite la relazione
p = I max -Imin
I max+ Imin
I valori che P assume variano tra 1 e zero a seconda che la luce sia completamente polarizzata o completamente non polarizzata. Nel primo caso
infatti Imin=O, mentre nel secondo Imax=Imin•
ESEMPIO Vl.6.3. -INTENSITÀ TRASMESSA DA PIÙ POLARIZZATORI
Un fascio di luce naturale viene fatta passare attraverso una serie di tre
polarizzatori, disposti in modo che ognuno abbia l'asse di trasmissione
ruotato di un angolo 8=45° rispetto al precedente. Vogliamo determinare la frazione dell'energia del fascio incidente che è presente nel fascio
che emerge dal terzo polarizzatore.
Detta 10 l'intensità luminosa del fascio incidente non polarizzato, quella
che emerge dal primo polarizzatore vale 11 = Io/2. Per il secondo polarizzatore, invece, dalla legge di Malus si ricava
2
1 Io
12 =1 1 cos 8=1 1 - = 2 4
Analogamente per il terzo polarizzatore si ha
2
Io
=2
8
12
13 = 12 cos 8 = -
Il fascio che emerge dal sistema è polarizzato normalmente a quello emergente dal primo polarizzatore e possiede solo 1/8 dell'intensità luminosa del fascio incidente.
VI .6.5. - Polarizzazione per riflessione
Nel capitolo VI.2. abbiamo studiato, utilizzando le condizioni di continuità per i campi E e B, i processi di riflessione e rifrazione che si verificano
quando un'onda piana elettromagnetica incontra la superficie di separazione fra due diversi mezzi lineari omogenei e trasparenti. Per le onde riflesse e rifratte abbiamo determinato, oltre alle direzioni di propagazione,
le ampiezze in funzione di quella dell'onda incidente sia quando
quest'ultima è polarizzata nel piano di incidenza che quando è polarizzata
nel piano ortogonale a quello di incidenza. In particolare abbiamo visto
che nel caso di un'onda polarizzata parallelamente al piano di incidenza,
l'ampiezza dell'onda riflessa risulta nulla quando la somma dell'angolo
Vl.6. - POLARIZZAZIONE
834
di incidenza e di quello di rifrazione è pari a 90°: si ha in questa situazione solo la formazione dell'onda rifratta che ovviamente ha lo stesso stato
di polarizzazione dell'onda incidente. Mediante la legge di Snell è possibile determinare il valore dell'angolo di incidenza 0P corrispondente a
questa condizione; si ottiene infatti
n I sin 0 P
Fig. 13
=n 2 sin 0 r' =n 2 sin(90 -
0 P)
⇒
dove n 1 ed n2 rappresentano gli indici di rifrazione dei mezzi in cui si
propagano rispettivamente l'onda incidente e l'onda rifratta. La relazione
precedente è la legge di Brewster e ricordiamo che l'angolo 0p è detto
angolo di polarizzazione: infatti è possibile polarizzare linearmente la
luce naturale facendola incidere ad un angolo pari a 0p sulla superficie di
una sostanza trasparente come quella di una lastra di vetro. Se 0i = 0p,
delle due componenti in cui si può scomporre il campo elettrico dell'onda
incidente, quella parallela al piano di incidenza viene completamente rifratta, mentre quella ad esso ortogonale viene sia riflessa che rifratta. Pertanto il fascio riflesso, sebbene di bassa intensità, risulta polarizzato linearmente in direzione ortogonale al piano di incidenza, come si può verificare sperimentalmente mediante un polarizzatore. Questo fenomeno è noto come polaHzzazione per riflessione.
Il fascio rifratto, invece, risulta di elevata intensità
ma solo parzialmente polarizzato. Tuttavia è possibile polarizzare completamente anche il fascio rifratto mediante successive rifrazioni, utilizzando ad
esempio un sistema di lastre di vetro piane e parallele separate tra loro da un piccolo strato di aria,
come mostrato in fig. 13. Nel caso di una lastra
piana, infatti, il fascio emerge da questa in direzione parallela a quella di incidenza, per cui l'angolo
di incidenza sulle lastre successive coincide con
quello relativo alla prima. Per tale ragione la condizione di polarizzazione per riflessione è soddisfatta
su entrambe le superfici di ciascuna lastra del sistema considerato. Di conseguenza poiché la componente elettrica ortogonale al piano di incidenza viene sempre riflessa, nel fascio rifratto dalle
lastre successive tale componente è sempre meno presente così che il fascio trasmesso è formato quasi completamente da onde polarizzate nel
piano di incidenza. Con un sistema di 8-1 O lastre, detto pila di Stoletov,
si ottiene una separazione praticamente completa della luce naturale incidente in due fasci di luce (uno riflesso ed uno rifratto) linearmente polarizzati in piani perpendicolari. Se si può trascurare l'assorbimento nel vetro, le intensità dei due fasci risultano uguali e pari alla metà di quella del
fascio incidente.
835
VI.6.5. - POLARIZZAZIONE PER RIFLESSIONE
ESEMPIO Vl.6.4.
-
DETERMINAZIONE DEL GRADO DI
POLARIZZAZIONE DELL'ONDA RIFRATTA DA UNA
LASTRA PIANA DI VETRO
Consideriamo un fascio di luce naturale incidente su una lastra piana di vetro (n = 1.5) ad un angolo pari all'angolo di Brewster (fig.
14). Vogliamo determinare il grado di polarizzazione dell'onda che
emerge da essa.
Come abbiamo gia osservato, nel fascio rifratto predomina la componente parallela al piano di incidenza rispetto a quella ortogonale:
infatti per 8i = 8p la prima viene solo rifratta mentre la seconda viene sia riflessa che rifratta. Il grado di polarizzazione dell'onda rifratta alla prima superficie in A si valuta tramite la relazione
IP
P=--lp +INP
I// -Ij_
I// +Ij_
(VI.6.6.)
Fig. 14
dove l'intensità della luce polarizzata rifratta coincide con la differenza
tra l'intensità rifratta della componente parallela e di quella ortogonale.
Ricordando ( cfr. §Vl.2.4.4) la definizione del coefficiente di trasmissione
(E~· )
2
T= wr. = Ar.Ir' = cos0r' n 2
wi
Aili
cos0i n 1 E~
= cos0r' n 2 t 2
cos0i n 1
e tenendo conto che l'intensità incidente è equipartita tra le due componenti (I1pl.L=lof2), possiamo riscrivere la (VI.6.6.) nella/orma
P= T11 -T..L
T11 +T..L
Valutiamo pertanto i valori di T11 e T..L. Per quanto riguarda T11, ricordando che la conservazione dell'energia richiede che T11 + R 11 = I e che per
8i=8p nel fascio riflesso la componente parallela è assente, si ha
T11 =1
Poiché 8i =8p=arctg(n)=56.3°, 8r·=9O° -8p=33.7°, Il1 = 1 ed Il2= 1.5, si
ottiene
Pertanto si ha P=O.O8.
Il fascio trasmesso subisce nuovamente rifrazione alla seconda superficie
in B. L'angolo di incidenza vale 8\ =8r•=33.7°,mentre l'angolo di rifrazione è proprio 8'r·= 8p=56.3°. Quindi anche in corrispondenza della superficie inferiore della lastra risulta 8\ + 8'r· = 90°, cioè l'angolo di inci-
VI.6. - POLARIZZAZIONE
836
denza coincide con quello di Brewster relativamente alla superficie di
separazione vetro-aria. Per calcolare i due coefficienti di trasmissione
bisogna tener presente che per entrambe le componenti la potenza incidente sulla superficie inferiore è quella trasmessa da quella superiore.
Pertanto
w\,
w\
w\.
T'=--=--
⇒
Twi
T* =
w\.
= T'T
(t't )2
wi
Poiché la componente parallela viene completamente rifratta sia in A
che in B risulta T1; =I, mentre per la componente ortogonale si ha
T; = (t'_1_t
J_
)2 = (2sin 56:3° cos 33.7° 2sin 33:7°cos56.3° )
sm90°
sm90°
2
= 0 _72
Il grado di polarizzazione dell'onda emergente dalla lastra piana è dato da
P= Ti:-T~ =0.16
T11 +TJ_
VI .6.6. - Propagazione nei mezzi anisotropi
Nello studio dei fenomeni ottici esaminati nei capitoli precedenti, abbiamo considerato l'indice di rifrazione di un mezzo trasparente
funzione solo della frequenza dell'onda che lo attraversa e, quindi, del
tutto indipendente dalla direzione di propagazione e dallo stato di polarizzazione dell'onda. In effetti questa assunzione è corretta fino a
quando si considerano mezzi otticamente isotropi come i gas, i liquidi,
i solidi amorfi (vetro), i cristalli a simmetria cubica. In questi materiali
la velocità di propagazione di un'onda luminosa ha uno stesso valore,
pari a v = c/n, qualunque sia la direzione di propagazione e la polarizzazione dell'onda. Vogliamo ora studiare la propagazione della luce in
un mezzo otticamente anisotropo, cioè in un materiale trasparente le
cui proprietà ottiche non sono le stesse in tutte le direzioni ma dipendono dalla direzione lungo cui vengono misurate. Questo comportamento è caratteristico della maggior parte dei solidi cristallini mentre
in generale è assente, come abbiamo osservato, nei liquidi e nei gas.
L'anisotropia è una conseguenza del fatto che la polarizzabilità delle
molecole può non essere la stessa in tutte le direzioni. Tale dipendenza
dalla direzione non produce effetti macroscopici rilevanti nel caso dei
liquidi e dei gas, dal momento che in questi mezzi le molecole sono
orientate in modo casuale per agitazione termica: essi, quindi, si comportano in modo isotropo fino a quando il campo elettrico non raggiunge valori particolarmente elevati. Nei solidi cristallini, invece, le
molecole non sono libere di ruotare intorno alla loro posizione di equilibrio ed inoltre hanno una ben precisa disposizione reciproca, per cui
le proprietà fisiche di questi materiali possono risultare differenti al
variare della direzione lungo cui vengono misurate.
L'anisotropia ottica presentata da questi solidi cristallini può essere
messa in evidenza facilmente ricorrendo all'uso di un polarizzatore
VI.6.6. -
PROPAGAZIONE NEI MEZZI ANISOTROPI
837
ed un analizzatore. Consideriamo infatti un fascio di luce monocromatica che incide normalmente su due polarizzatori disposti con gli
assi di trasmissione incrociati (fig.15). In queste condizioni sperimentali sullo schermo C non giunge luce.
Questa in generale riappare se si inserisce
fra i due polarizzatori, parallelamente ad
essi, una sottile lastra piana di materiale
anisotropo, tagliata opportunamente. Inoltre si osserva sperimentalmente che
ruotando l'analizzatore attorno alla direzione di propagazione, la luce sullo
schermo C varia periodicamente fra un
minimo e un massimo, senza mai diventare nulla. Questo risultato indica che la luce che emerge dalla lastra anisotropa non
è più polarizzata linearmente: infatti solo
in queste condizioni per qualsiasi orientazione dell'asse dell'analizzatore esiste
Fig. 15
una componente del campo parallela a
questo diversa da zero.
Se ora si riportano i due polarizzatori nella
situazione iniziale (polarizzatori incrociati) e si ruota la lastra anisotropa nel suo
piano, si osserva che per ogni suo giro
completo si hanno quattro posizioni, a 90°
una rispetto all'altra, in corrispondenza
delle quali la luce scompare sullo schermo C. Questo risultato indica
che per queste quattro posizioni della lastra la luce emerge da essa con
la stesso stato di polarizzazione della luce incidente su di essa. Alle
quattro posizioni sulla lastra possiamo far corrispondere due linee, tra
loro perpendicolari, che, come vedremo, rappresentano gli assi principali della lastra, detti anche assi ottici. Dalle osservazioni precedenti
si deduce che un'onda luminosa polarizzata linearmente conserva il
suo stato di polarizzazione, quando attraversa il mezzo anisotropo, solo se è polarizzata linearmente nella stessa direzione di uno dei due
assi ottici del mezzo, invece non lo conserva se la direzione di polarizzazione ha una generica orientazione rispetto agli assi. In
quest'ultimo caso, poiché l'onda elettromagnetica incidente sul materiale anisotropo può essere scomposta in due onde polarizzate linearmente lungo i due assi ottici della lastra, dobbiamo ipotizzare che le
due onde componenti si propagano nel mezzo con velocità di fase differenti. Infatti se così non fosse, all'uscita dal materiale esse si ricombinerebbero dando luogo ad un'onda avente lo stesso stato di polarizzazione di quella incidente: in un mezzo otticamente anisotropo per
una fissata direzione di propagazione di un'onda luminosa monocromatica sono possibili valori differenti della velocità di propagazione
che dipendono dalla direzione di polarizzazione. Si comprende quindi
che le proprietà ottiche di un cristallo anisotropo non possono più essere descritte con un unico valore dell'indice di rifrazione come nel
caso dei materiali isotropi.
Vl.6. - POLARIZZAZIONE
838
Nei dielettrici cristallini anisotropi, infatti, a causa della diversa polarizzabilità del mezzo nelle diverse direzioni, la suscettività dielettrica X non è
più una quantità scalare bensì un tensore2, per cui i vettori D, E e P in generale non sono paralleli tra loro. Più precisamente dallo studio delle proprietà dielettriche si trova che in ogni cristallo esistono tre direzioni tra loro
perpendicolari, dette assi principali o assi ottici, lungo cui i tre vettori risultano paralleli. Se si sceglie come sistema di riferimento quello che ha gli
assi paralleli agli assi principali del mezzo, il tensore K= 1+X risulta diagonale e tra le componenti cartesiane di D e E valgono le seguenti relazioni
dove K 1, K 2 e K 3 sono dette costanti dielettriche relative principali. Poiché queste generalmente non hanno lo stesso valore, si può verificare facilmente che il vettore D costruito con le componenti cartesiane non è parallelo ad E.
A causa del legame tra la costante dielettrica e l'indice di rifrazione (ricordiamo che n = c/ v ✓
c./ _.J;"; = ✓
K ), ai tre assi principali risultano
=
associati tre indici di rifrazione n 1, n 2, n 3 , indici di rifrazione principali,
tramite i quali è possibile studiare la propagazione della luce in un mezzo
anisotropo e spiegare i fenomeni sperimentali osservabili, come la birifrangenza.
E' facilmente intuibile che un'onda polarizzata linearmente lungo uno dei
tre assi principali (ad esempio E=Exux) si propaga nel mezzo anisotropo
con una ben determinata velocità di fase, v=c/n 1, conservando il suo stato
di polarizzazione, dal momento che in questo caso i tre vettori D, E e P
sono paralleli tra loro come accade nei mezzi otticamente isotropi. Nel
caso in cui il vettore elettrico dell'onda incidente non risulta parallelo ad
uno degli assi principali, lo studio rigoroso delle proprietà ottiche dei
mezzi anisotropi mostra che è sempre possibile scomporre l'onda incidente in due onde polarizzate in direzioni mutuamente perpendicolari
che attraversano il mezzo con velocità ben definite conservando il
proprio stato di polarizzazione. Per determinare le due direzioni ed i
corrispondenti valori delle velocità non è indispensabile ricorrere alla teoria elettromagnetica, ma basta seguire un metodo geometrico dovuto a
Fresnel, con cui egli spiegò il fenomeno della birifrangenza prima ancora
che si scoprisse la natura elettromagnetica della luce.
Vl.6.6.1. - Ellissoide degli indici di Fresnel
Il metodo geometrico proposto da A. Fresnel è basato sulla costruzione di
un ellissoide che ha i tre assi orientati secondo quelli principali del cristallo. Esso è spesso chiamato ellissoide degli indici di Fresnel in quanto
2. Infatti le relazioni che lègano le componenti cartesiane del vettore D a quelle di E sono date da
Dx
= co[cl +X11)Ex +X12Ey +x13EJ
Dy
= 80~21Ex +(l+X22)Ey +X23EJ
Dz
= 80~31Ex +X32Ey +(l+X33)EJ
,...
-
839
.zIONE
VI.6.6. - PROPAGAZIONE NEI MEZZI ANISOTROPI
rizza-
i suoi tre semiassi hanno lunghezza uguale ai tre indici principali di rifrazione. La sua equazione è quindi data da
1on è
n ge;protloro
,ri ri,a gli
iago-
ni
Poi; fa;pa-
(riano
,ali,
zzo
nndei
)po
ato
~p
fel
ad
iei
citri
il
li
oa
ra
ii
io
x2 y2 z2
- 2+ - +
-=
l
2
2
nJ
n2 n3
Il metodo di Fresnel prevede che per una fissata direzione di propagazione di un'onda piana, individuata dal versore u, si costruisca un piano perpendicolare a questa (cioè parallelo al fronte d'onda) e passante per il
centro dell'ellissoide. L'intersezione di tale piano con l'ellissoide è in generale un'ellisse, i cui assi insieme alla direzione di propagazione udeterminano i piani di polarizzazione delle due onde piane che attraversando il mezzo anisotropo conservano il loro stato di polarizzazione. Le lunghezze dei semiassi forniscono i valori degli indici di rifrazione associati
alle due onde e, quindi, consentono di determinare i valori delle rispettive
velocità di propagazione o di fase lungo 3 u.
Analizziamo ora il comportamento dei mezzi materiali sulla base delle loro
proprietà di simmetria, facendo sempre riferimento all'ellissoide di Fresnel.
I mezzi otticamente isotropi sono caratterizzati da un unico indice di rifrazione n (n 1=n2=n 3 =n): in questo caso l'ellissoide di Fresnel degenera in
una sfera e le sue intersezioni con un qualunque piano passante per il ,centro C sono cerchi, di raggio pari a n. Ciò comporta che le onde viaggiano in
tali mezzi con velocità pari a v=c/n in tutte le direzioni qualunque sia il loro stato di polarizzazione. Presentano questo comportamento ottico la
maggior parte dei mezzi non cristallini e i cristalli del sistema cubico.
I cristalli otticamente anisotropi possono essere suddivisi in due
gruppi: il primo comprende i materiali biassici, che sono caratterizzati da valori dei tre indici di rifrazione differenti fra loro
(n1 -:I:- n2 -:t; n3). Fanno parte di questo gruppo i cristalli dei sistemi
trigonale, tetragonale ed esagonale. Lo studio della propagazione in questi materiali è complesso e non verrà considerato.
asse
I cristalli del secondo gruppo, che comprende i sistemi triclino,
ottico
monoclino ed ortorombico, presentano due degli indici di rifrazione principali uguali (ad esempio n2=n 3); la direzione corrispondente al terzo indice, n,, viene definita asse ottico del
materiale. Ciò giustifica il nome di materiali uniassici, con cui
si indicano questi cristalli, il cui comportamento costituisce
l'oggetto delle nostre prossime considerazioni. Per questi materiali l'ellissoide degli indici diventa un ellissoide di rivoluzione
attorno all'asse ottico (fig. 16), che nel caso considerato è descritto dall'equazione
y
Fig. 16
(VI.6.7.)
Si osservi che, poiché la sezione perpendicolare all'asse ottico è un cerchio di
raggio n 2, un'onda piana che si propaga lungo l'asse ottico (fig. 17), qualun3. Si osservi che la direzione u, che è ortogonale al fronte d'onda delle onde componenti, in generale nei mezzi anisotropi non coincide per entrambe, come vedremo nel seguito, con quella lungo cui si propaga la rispettiva energia, cioè con il raggio.
Fig. 17
VI.6. - POLARIZZAZIONE
840
u
--- ------
---------e
Fig. 18
·-- ll1
·+ --
\,
Fig. 19
. •·
••
:::ristallo uniassico
:>ositivo (ns>no)
Jhiaccio
Juarzo
formalina
Vegativo (ns<no)
:::alcite
vtagnesite
iiderite
••
•
I[Ys'J p
que sia il suo stato di polarizzazione, lo conserva all'uscita dal materiale. Infatti in questo caso le due onde polarizzate su piani perpendicolari in cui si
scompone l'onda incidente viaggiano nel materiale con la stessa velocità
v0=c/n2: il cristallo si comporta come un mezzo isotropo.
Se invece l'onda incidente sul mezzo uniassico si propaga lungo una direzione u ortogonale all'asse ottico, come nella situazione schematizzata
in fig. 18, l'intersezione dell'ellissoide di Fresnel con il piano passante
per il suo centro Ce perpendicolare ad u è un'ellisse i cui semiassi hanno
lunghezza n 1 ed n2. Le due onde in cui scomponiamo l'onda incidente sono polarizzate linearmente lungo gli assi dell'ellisse ma si propagano
lungo u con velocità diverse pari rispettivamente a Vs=c/n 1 e v0 =c/n2 .
Consideriamo infine il caso di un'onda piana elettromagnetica che si
propaga in una direzione u qualsiasi. L'intersezione dell'ellissoide di
Fresnel con il piano passante per il centro C e perpendicolare ad u è ora
l'ellisse di assi SS' e PP' di fig. 19. L'asse SS', che giace nella sezione
circolare (ortogonale all'asse ottico), ha lunghezza sempre pari a 2n 2;
l'altro asse PP' che giace nella sezione principale, individuata
dall'asse ottico e dalla direzione di propagazione u, ha lunghezza 2nu
che dipende dalla direzione di propagazione u. Essa varia tra i valori
2n2 e 2n 1, a seconda che u sia rispettivamente parallelo o ortogonale
all'asse ottico. Le due onde polarizzate linearmente che non modificano
il proprio stato di polarizzazione propagandosi all'interno del materiale
lungo u vibrano rispettivamente in un piano ortogonale ed in uno parallelo alla sezione principale.
La prima si propaga con velocità v0 = c/n2 indipendentemente dalla direzione di propagazione. Per questo motivo tale onda viene detta ordinaria
e l'indice di rifrazione n2 viene solitamente indicato con il simbolo n 0
(n2=n0): per l'onda ordinaria il cristallo si comporta come un mezzo otticamente isotropo.
L'onda polarizzata parallelamente alla sezione principale ha una velocità Vu
che varia con la direzione di propagazione; in particolare, come abbiamo visto, tale velocità coincide con v0 quando la direzione di propagazione è parallela all'asse ottico, risulta uguale a Vs quando la direzione di propagazione
è normale all'asse ottico. Per questo particolare comporta• •······
mento l'onda viene detta straordinaria e l'indice di rifra~o~ ns ..· zione n 1 viene indicato con il simbolo ns (n 1 =ns)Un cristallo uniassico viene definito positivo quando risulta n0 < ns, per cui la velocità dell'onda ordinaria è maggiore di quella dell'onda straordinaria (v0 ~ Vu ~ Vs): in
questo caso l'elissoide di Fresnel è allungato nella direzione dell'asse ottico, come in fig. 16. Viceversa il cristallo è detto negativo quando risulta n0> n s e, quindi, la velocità dell'onda ordinaria è minore di quella dell'onda
straordinaria (vO :s; Vu :s; vs); l' elissoide è ora accorciato nella direzione dell'asse ottico.
In tabella sono riportati i valori n 0 e ns di alcuni cristalli uniassici in corrispondenza alla riga gialla del sodio, A=589.3nm.
Vediamo infine come si determina per una generica direzione di propagazione u dell'onda incidente la velocità Vu dell'onda straordinaria. Come
I
VI.6.6. -
PROPAGAZIONE NEI MEZZI ANISOTROPI
841
abbiamo già osservato, basta determinare la lunghezza nu del semiasse CP
di fig. 20 in quanto Vu = clnu. Indicato con 0 l'angolo fra l'asse ottico e il
versore u, per le coordinate del punto P sull'ellissoide valgono le seguenti
relazioni
y
e
Sostituendo nella (VI.6.7.) si ottiene l'equazione4
sin 2 e cos 2 e 1
--+--n2
n2
n2
s
o
u
(VI.6.8.)
che permette di determinare il valore di nu e, quindi, quello di Vu.
Moltiplicando ambo i membri della (VI.6.8.) per c2 si ottiene la relazione
2
2
(Vs sin 0 ) + (Vo cos 0 ) = Vu2
che consente di determinare Vu in funzione di v0 e Vs.
Vl.6.6.2. - Fronti d'onda in un cristallo uniassico
Per studiare la propagazione della luce in un cristallo uniassico possiamo
utilizzare, come vedremo nei prossimi paragrafi, il principio di Huygens. A
tale scopo è necessario determinare dapprima la forma del fronte d'onda
relativo ad una sorgente puntiforme posta all'interno del materiale.
Consideriamo pertanto una sorgente puntiforme S posta in un cristallo uniassico e ricordiamo che per definizione il fronte d'onda rappresenta la
superficie i cui punti sono raggiunti contemporaneamente dall'onda emessa ad un dato istante dalla sorgente. Mentre questa superficie risulta
sferica in un mezzo isotropo, in quanto la velocità di propagazione è la
stessa in tutte le direzioni, ci aspettiamo che presenti una forma più complessa nel caso di un mezzo uniassico, dal momento che per ogni direzione di propagazione si hanno due valori della velocità, una corrispondente
all'onda ordinaria ed una a quella straordinaria. Ci aspettiamo, quindi,
che il fronte d'onda sia rappresentato da una superficie doppia, una per
l'onda ordinaria e l'altra per quella straordinaria. In particolare all'onda
ordinaria deve corrispondere un fronte d'onda sferico in quanto per
quest'onda il cristallo si comporta come se fosse isotropo: ad un generico
istante t i punti di uguale fase si trovano su una superficie sferica di raggio r=tv 0 e di equazione
x2 +y2 +z2 -t2v2
o
La costruzione del fronte d'onda dell'onda straordinaria è più complessa
in quanto, al variare della direzione di propagazione u, la sua velocità di
fase varia tra i valori v0 , quando u è parallelo all'asse ottico, e Vs nelle direzioni normali a questo; di conseguenza nel tempo t lo spazio percorso è
diverso a seconda della direzione considerata. Tuttavia, poiché per direzioni di propagazione normali all'asse ottico la velocità dell'onda straordinaria è sempre pari a Vs c/ns, ci aspettiamo che il fronte d'onda sia
4. Ricordiamo che gli indici di rifrazione principali n 1 ed n2 nella relazione (Vl.6.7.)
vengono sostituiti rispettivamente con i simboli ns ed no.
Fig. 20
VI.6. - POLARIZZAZIONE
842
simmetrico attorno ad esso. Inoltre, poiché la propagazione lungo l'asse
ottico avviene con la stessa velocità per l'onda ordinaria e per quella straordinaria i corrispondenti fronti d'onda, devono essere tangenti nei punti
di intersezione con l'asse ottico. In effetti si può dimostrare che, se si assume come sistema di riferimento una tema avente l'asse X parallelo
all'asse ottico e l'origine nella sorgente S, l'equazione del fronte d'onda
straordinario all'istante tè data dalla relazione
asse
ottico
Fig. 21a
asse
ottico
·---
-------➔
s
tvo
I
8
Fig. 21b
Fig. 22
A
I
::±1
x2
y2 +z2
22+ 2 2 =l
t Vo
t Vs
(VI.6.9.)
che rappresenta un ellissoide di rotazione attorno all'asse ottico.
Possiamo così riassumere le considerazioni precedenti: il fronte d'onda
corrispondente ad una sorgente puntiforme posta in un cristallo uniassico
consiste di una sfera e di un ellissoide di rotazione attorno all'asse ottico;
inoltre, queste due superfici sono tangenti nei punti di intersezione con
l'asse ottico.
Nelle figure 21a e 21b sono rappresentate le sezioni massime contenenti
l'asse ottico dei fronti d'onda corrispondenti ad un cristallo positivo
(v0 >vs) e negativo (v0 <vs) rispettivamente. Sappiamo che nel caso di un
cristallo positivo la velocità dell'onda straordinaria è massima e coincide
con v0 nella direzione dell'asse otticb, mentre è minore nelle altre direzioni. In questo caso l'ellissoide è schiacciato ai poli ed è contenuto interamente nel fronte d'onda sferico dell'onda ordinaria. Nel caso di un cristallo negativo succede il contrario, ma ancora una volta lungo l'asse ottico le velocità delle due onde coincidono (v0 =v8 ); l'ellissoide è allungato ai poli e racchiude la sfera (fig. 21b).
In fig. 22 sono riportate, invece, le sezioni normali all'asse ottico del
fronte d'onda ordinario e di quello straordinario in un cristallo positivo: le
sezioni sono entrambe circolari poiché nel caso di propagazione normale
all'asse ottico anche l'onda straordinaria ha in tutte le direzioni la stessa
velocità v8 =c/n8 . Ciò accade anche nel caso di un cristallo negativo.
Facciamo un'ultima osservazione. Uno studio delle proprietà ottiche dei
cristalli uniassici basata sulle equazioni di Maxwell mostra che preso il
punto Q sul fronte d'onda straordinario (fig. 23) emesso dalla sorgente S,
la direzione SQ coincide con quella del vettore di Poynting lungo cui avviene il flusso di energia, cioè con il raggio. Essa tuttavia non coincide
con quella della normale u al fronte d'onda, ad eccezione del caso in cui
tale direzione coincida con quella dell'asse ottico (SB) e con una di quelle normali all'asse ottico (come SA). Invece per l'onda ordinaria il raggio
coincide sempre con la direzione ortogonale al fronte d'onda.
Vl.6.6.3. - Birifrangenza
Fig. 23
Vogliamo spiegare ora il fenomeno della birifrangenza. Questo fenomeno si verifica quando un'onda luminosa non polarizzata, che per
semplicità supponiamo piana, incide su una faccia piana di un cristallo
uniassico, ad esempio su un cristallo di calcite (CaCO 3) ben levigato e
tagliato in modo da formare una lastra a facce piane e parallele. Sperimentalmente si osserva che, ponendo questo cristallo su un foglio
Vl.6.6. -
PROPAGAZIONE NEI MEZZI ANISOTROPI
843
scritto, di ciascuna lettera si ha un'immagine doppia 5 • La doppia immagine trova spiegazione nel fatto che in generale dal cristallo emergono due fasci in direzioni parallele a quella del fascio incidente e separati fra loro; i due fasci risultano, inoltre, polarizzati linearmente
lungo due direzioni tra loro perpendicolari, come si può verificare sperimentalmente se si analizza il loro stato di polarizzazione mediante
un polarizzatore. In altre parole la lastra di calcite divide il fascio incidente in due fasci emergenti (fig. 24). Questa particolare proprietà
ha dato appunto origine all'aggettivo birifrangente, utilizzato per i
materiali anisotropi uniassici, e a quello di doppia rifrazione quando
ci riferiamo al fenomeno.
Sulla base delle considerazioni svolte nei paragrafi precedenti, siamo
portati ad identificare le due onde, in cui si scinde nel cristallo quella
incidente, con l'onda ordinaria e quella straordinaria. In particolare il
fascio che emerge nella stessa direzione del fascio incidente ci aspettiamo che corrisponda all'onda ordinaria, in quanto per essa il cristallo
si comporta come un mezzo isotropo e, quindi, deve valere la legge di
Snell. Il secondo fascio, che non segue la legge della rifrazione (fig.
24), deve corrispondere all'onda straordinaria. Per dimostrare la correttezza della nostra intuizione possiamo procedere in modo analogo a
quanto fatto nel caso della rifrazione alla superficie di separazione tra
due mezzi isotropi utilizzando il principio di Huygens. Tuttavia la situazione in presenza di mezzi anisotropi è più complessa. Infatti nella
costruzione del fronte d'onda al tempo t+Lit a partire da quello al tempo
t dobbiamo tener presente che, se la sorgente puntiforme secondaria si
trova all'interno della lastra birifrangente, da questa vengono emesse
due onde: quella ordinaria e quella straordinaria. Nel disegnare i rispettivi fronti d'onda, sferico ed ellissoidale, bisogna inoltre tener presente
che essi devono essere tangenti nei punti di intersezione con una retta
parallela all'asse ottico del cristallo e passante per la sorgente elementare considerata, come mostrato nelle figure 21a o 21b. Il fronte d'onda
dell'onda ordinaria e di quella straordinaria si ottengono costruendo la
superficie inviluppo rispettivamente delle onde sferiche e di quelle ellissoidali secondarie. Entrambe le onde si propagano in direzione ortogonale al rispettivo fronte d'onda; tuttavia mentre per l'onda ordinaria
tale direzione coincide con quella lungo cui avviene il flusso di energia,
cioè con il raggio, per l'onda straordinaria questo generalmente non si
verifica. Per quanto riguarda il loro stato di polarizzazione dobbiamo ricordare che l'onda ordinaria è polarizzata linearmente in direzione ortogonale alla sezione principale, individuata dalla direzione di propagazione e dall'asse ottico del cristallo, mentre l'onda
straordinaria è polarizzata linearmente nella sezione principale.
Nel seguito esamineremo le principali situazioni fisiche che si possono presentare quando un'onda piana non polarizzata incide su una lastra di calcite, che ricordiamo è cristallo negativo (no> ns, v0 < v 5),
lungo direzioni che formano angoli diversi rispetto alla normale alla
superficie del cristallo e rispetto all'asse ottico. Considereremo dap5. Questo fenomeno fu osservato già nel 1669 da Erasmus Bartolinus e fu descritto da
Huygens nel suo Trattato sulla luce, pubblicato nel 1678.
Fig. 24
844
VI.6. - POLARIZZAZIONE
prima il caso di incidenza normale alla superficie del cristallo e poi
quello di incidenza obliqua.
Vl.6.6.3.1. - Incidenza normale su una lastra birifrangente
N'
N
Fig. 25
N'
N
Fig. 26a
N'
N
Fig. 26b
N
N'
Fig. 27a
Esaminiamo dapprima il caso in cui l'onda piana incida normalmente su
una lastra di calcite tagliata in modo che l'asse ottico AA' sia normale alla
superficie del cristallo. La situazione è illustrata in fig. 25 nella sezione
principale. Eseguiamo la costruzione di Huygens a partire dal fronte d'onda
coincidente con la superficie della lastra. Ciascun punto di questo (O, O' ... )
si comporta come una sorgente elementare che emette nel cristallo due onde elementari: un'onda ordinaria sferica e un'onda straordinaria ellissoidale. La superficie inviluppo delle onde sferiche secondarie (PP') e quella inviluppo delle onde ellissoidali (QQ'), che rappresentano rispettivamente il
fronte d'onda ordinario e quello straordinario, sono piani paralleli al fronte
d'onda incidente (NN') come mostrato in fig. 25. Per la particolare direzione dell'asse ottico, i punti di tangenza dei due fronti d'onda con le rispettive onde elementari coincidono e sono allineati con la propria sorgente nella
direzione di incidenza. Pertanto i due fronti d'onda, essendo sovrapposti, si
propagano con la stessa velocità, pari a v0 . Il raggio straordinario, che si
costruisce congiungendo il centro O dell'onda secondaria ellissoidale con il
punto Q di tangenza fra questa e il fronte d'onda, risulta ortogonale al fronte d'onda straordinario. In questa situazione fisica quindi la direzione del
raggio straordinario, lungo cui avviene il flusso di energia, coincide con
quella di propagazione dell'onda straordinaria e con il raggio ordinario.
Sulla base delle considerazioni precedenti possiamo affermare che l'onda
emergente dalla lastra ha la stessa direzione di propagazione e lo stesso stato di polarizzazione di quella incidente. In altre parole in questo caso la lastra si comporta come un materiale isotropo e non si osserva il fenomeno
della doppia rifrazione.
Vediamo come si modifica la situazione se la lastra di calcite ha l'asse
ottico AA' parallelo alla sua superficie (fig. 26a). La costruzione dei fronti d'onda ordinario (PP') e straordinario (QQ') basata sul principio di Huygens mostra che anche in questo caso essi sono paralleli fra loro e al
fronte d'onda incidente, ma non sono più sovrapposti. Infatti la velocità
con cui avanza il fronte d'onda straordinario coincide con la velocità delle onde secondarie ellissoidali nella direzione ortogonale all'asse ottico
che vale v5 = c/ns, mentre l'onda ordinaria si propaga con velocità
v0 =c/n0 . La direzione di propagazione per entrambe le onde coincide con
quella di incidenza e con quella del proprio raggio, per cui anche in questo caso l'onda attraversa il cristallo birifrangente senza subire alcuna deviazione. Tuttavia, poiché l'onda ordinaria e quella straordinaria presentano all'uscita dal materiale una differenza di fase dovuta alle diverse velocità di propagazione, lo stato di polarizzazione dell'onda emergente,
come vedremo esplicitamente nel caso delle lamine quarto d'onda e
mezz' onda, è diverso da quello dell'onda incidente.
In fig. 26b è mostrata la stessa costruzione vista in una sezione ortogonale
a quella di fig. 26a.
In fig. 27a è schematizzata ancora nella sezione principale la situazione in cui
un fronte d'onda piano incide su una lastra di calcite tagliata in modo che
l'asse ottico AA' formi un angolo qualsiasi con la normale alla sua superficie.
VI.6.6. -
PROPAGAZIONE NEI MEZZI ANISO1ROPI
845
Per illustrare meglio il procedimento della costruzione di Huygens,
in fig. 27b i fronti d'onda secondari relativi alle singole sorgenti
puntiformi (O, O') sono stati disegnati per intero.
Possiamo osservare che il comportamento dell'onda ordinaria
non differisce da quello esaminato nei casi precedenti: le corrispondenti onde secondarie sono sferiche, il fronte d'onda ad esse
tangente è piano e la direzione OP, normale a questo, rappresenta sia la direzione di propagazione dell'onda che la direzione del
raggio ordinario. La situazione è diversa per l'onda straordinaria.
Infatti, in questo caso il fronte d'onda tangente alle onde secondarie ellissoidali è ancora piano, ma la direzione OQ" (fig.27b),
che rappresenta la direzione di propagazione dell'onda, normale
al fronte d'onda, non coincide con la direzione del raggio straordinario rappresentato dalla linea OQ che congiunge la sorgente
secondaria O con il punto Q di tangenza fra questa e il fronte
d'onda. Il raggio straordinario non è pertanto normale al fronte
d'onda e forma un angolo P con la direzione normale (OQ") a
questo.
Possiamo ancora osservare che il punto Q si sposta lungo la direzione del
raggio straordinario OQ con una velocità Vr, detta velocità di raggio, diversa dalla velocità Vu di propagazione dell'onda straordinaria come mostrato in fig. 28. Il valore di Vr si può ricavare dall'equazione (VI.6.9Ydel
fronte d'onda ellissoidale; infatti sostituendo in questa le relazioni
N'
N
Fig. 27b
x 2 =(0Qcos(a+~))2 =((vrt)cos(a+~)) 2
y 2 +z 2 =(0Qsin(a+~))2 =((vrt)sin(a+~)) 2
che esprimono le coordinate del punto Q, si ottiene la relazione
cos 2(a+~) sin 2 (a+~)
1
-----+-----=v2o
v2S
v2r
dove (a+P) rappresenta l'angolo compreso fra la direzione di propagazione del raggio straordinario e l'asse ottico.
Riassumendo i risultati precedenti possiamo affermare che l'onda ordinaria si propaga nella direzione di incidenza in accordo alla legge di Snell.
Anche l'onda straordinaria ha il fronte d'onda parallelo a quello di incidenza per cui si propaga nella direzione di incidenza con una velocità Vu
compresa tra v0 e v5 . Per quanto riguarda invece il raggio straordinario,
esso risulta deviato di un angolo P rispetto alla direzione di incidenza, per
cui non segue la legge di Snell. Come mostrato in fig. 29, all'uscita del
materiale si hanno due fasci di luce separati di d = hsinp, essendo h lo
spessore della lastra di calcite. Se questa viene ruotata intorno alla direzione del fascio incidente, il fascio ordinario resta fisso mentre quello
straordinario ruota attorno alla direzione di incidenza. Per quanto riguarda infine lo stato di polarizzazione, il fascio ordinario è linearmente polarizzato in direzione ortogonale alla sezione principale, mentre quello
straordinario è linearmente polarizzato nella sezione principale.
Fig. 28
... _____ _
Fig. 29
846
VI.6. - POLARIZZAZIONE
Vl.6.6.3.2. -Incidenza obliqua su una lastra birifrangente
Consideriamo ora il caso in cui un'onda piana incida su una lastra di calcite
lungo una direzione qualsiasi. Supponiamo inoltre che l'asse ottico sia normale alla superficie del cristallo di calcite e il raggio incidente sia contenuto
nella sezione principale, come mostrato in fig. 30. Per la costruizione del
fronte d'onda ordinario, la procedura è identica a quella seguita nel caso della
rifrazione alla superficie di separazione tra mezzi isotropi. Considerati quindi
due punti O ed O' del fronte d'onda incidente al tempo t, nel successivo intervallo L\t l'onda sferica emessa da O' raggiunge il punto O" sulla superficie
del cristallo, mentre l'onda sferica ordinaria emessa da O si propaga nel cristallo con velocità v0 ed all'istante t+L\t ha raggio r0 = vol\t. Il fronte d'onda
ordinario all'istante t+L\t si ottiene come superficie inviluppo delle onde sferiche secondarie emesse dai punti della superficie del cristallo compresi tra O
ed O" in istanti di tempo successivi a t quando tali punti vengono raggiunti
dal fronte d'onda incidente. Esso è il piano passante per O" e tangente alla
sfera di centro O. Il punto di tangenza Psi trova nel piano di incidenza ed il
segmento OP, che rappresenta il raggio ordinario, forma con la normale per
O alla superficie della lastra un angolo 0r' che soddisfa la legge di Snell.
Al tempo t dal punto O (e negli istanti successivi dagli altri
punti compresi tra O ed O") viene anche emessa un'onda
straordinaria ellissoidale, che al tempo t+L\t deve essere tangente ali' onda sferica secondaria emessa da O nel punto di intersezione con una retta parallela all'asse ottico (punto H di
fig. 30), come nel caso di incidenza normale. Il fronte d'onda
straordinario al tempo t+L\t è quindi il piano passante per O" e
Fig. 30
tangente agli ellissoidi secondari. Il raggio straordinario OQ si
trova per costruzione nel piano di incidenza e non risulta ortogonale al fronte d'onda, per cui non segue la legge di Snell.
Esso forma con la normale in O alla superficie del cristallo un
angolo diverso. da 0r·, per cui anche in questo caso si produce
il fenomeno della birifrangenza: un sottile fascio incidente
sulla calcite con un angolo 0i si divide in due fasci che si trovano nel piano di incidenza ed escono dalla lastra separati e
paralleli al fascio incidente; essi sono polarizzati linearmente
in direzioni mutuamente perpendicolari.
Consideriamo. ora la situazione in cui la lastra di calcite è
tagliata in mod.o che l'asse ottico AA' formi un angolo
Fig. 31
qualsiasi con la normale a questa (fig. 31 ). Per la costruzione del fronte d'onda ordinario e di quello straordinario
si procede in modo del tutto analogo al caso precedente. Il
raggio ordinario ha la direzione OP; esso risulta normale al
corrispondente fronte d'onda PO" e segue la legge di Snell.
Il
raggio straordinario ha la direzione OQ diversa da OP;
O"
esso non risulta normale al corrispondente fronte d'onda e
non segue la legge della rifrazione. Anche in questo caso si
ha il fenomeno della doppia rifrazione.
In fig. 32 è illustrata la situazione in cui il piano di inciA-------A'
denza coincide ancora con la sezione principale, ma
l'asse ottico è parallelo alla superficie della lastra di cal
Fig. 32
847
VI.6.6. - PROPAGAZIONE NEI MEZZI ANISOTROPI
cite. Osserviamo che il raggio straordinario si rifrange maggiormente
che quello ordinario, per cui si ha ancora il fenomeno della birifrangenza.
Se invece il piano di incidenza è normale alla sezione principale (fig.
33 ), nella costruzione del fronte d'onda straordinario bisogna tener
conto del fatto che nel piano di incidenza cade la sezione circolare
(normale ali' asse ottico) delle onde secondarie ellissoidali. In questo
caso quindi oltre al raggio ordinario anche quello straordinario risulta
normale al fronte d'onda e segue la legge di Snell. Infatti indicato con
ei l'angolo di incidenza e con 0r· e~ gli angoli di rifrazione rispettivamente del raggio ordinario e di quello straordinario, dalla fig. 30 si ha
O"
Fig. 33
0'0"= OO"sin 0.I = c~t
OQ = 00" sin p = c~t/n 5
dove si è tenuto conto della velocità di propagazione dell'onda incidente
e delle onde rifratte. Eliminando il tempo si ottengono le relazioni
sin0- =--=n
O'O"
0
sin0r.
OP
__
1
e
sin0- =--=n
O'O"
5
sinp
OQ
__
1
che mostrano l'indipendenza dei rapporti tra i seni dall'angolo di incidenza.
Anche in questo caso un sottile fascio incidente si divide in due fasci, polarizzati su piani ortogonali fra loro, che restano nel piano di
incidenza.
ESEMPIO
Vl.6.5. -
SEPARAZIONE TRA IL RAGGIO ORDINARIO ED IL
RAGGIO STRAORDINARIO PRODOTTO DA UNA
LASTRA PIANA DI CALCITE
Consideriamo un sottile fascio di luce non polarizzata incidente su una
lastra di calcite avente l'asse ottico ortogonale al piano di incidenza,
c:ome mostrato in fig. 34. Vogliamo determinare la separazione h tra il
raggio ordinario (no= l.658) e quello straordinario (ns=l.486) emergenti
ia una lastra di spessore d = 3cm, nel caso in cui l'angolo di incidenza
~ia di 60°.
'?icordiamo che in questa situazione anche il raggio straordinario segue
'a legge di Snell per cui si ha
sin0i =n 0 sin0 0
⇒
0 0 =31.48°
-::on riferimento alla fig. 34 risulta
QN=dtg0 0 =l.83cm e
QN'=dtg0 5 =2.15cm
h=(QN'-QN)cos0i =0.16cm
⇒
Fig. 34
848
VI.6. - POT ,ARIZZAZIONE
Vl.6.6.4. - Il prisma di Nicol
asse, ottico
Abbiamo visto che una lastra birifrangente divide un fascio di luce in due
fasci separati e polarizzati linearmente in piani mutuamente perpendicolari. Questo risultato suggerisce di realizzare con tali materiali dispositivi in
grado di eliminare uno dei due raggi e, quindi, di polarizzare linearmente
la luce naturale. Questi dispositivi sono detti polarizzatori a cristallo ed
uno dei più noti è il prisma di Nicol che, realizzato da W. Nicol nel
1828, è stato per più di un secolo il dispositivo più usato nello studio della polarizzazione.
Un prisma di Nicol è ottenuto tagliando opportunamente un cristallo di
calcite avente la forma di prisma quadrangolare, in modo da realizzare
la geometria di fig. 35 in cui l'asse ottico giace nel piano della figura e
forma un angolo di 45° con faccia del prisma di traccia MN. Il prisma
viene ancora tagliato lungo la diagonale MN' in due parti uguali,
che vengono poi incollate fra loro mediante un sottile strato di
balsamo del Canada, una resina il cui indice di rifrazione è
nb=l.55, intermedio fra i valori n 0 = 1.658 ed ns = 1.486 del cristallo di calcite.
Quando un sottile fascio di luce naturale incide sulla faccia MN si
scinde nel raggio ordinario e in quello straordinario che si propagano in direzioni differenti e risultano polarizzati su piani ortogonali tra loro. Sperimentalmente si trova che per un angolo di incidenza di 22° il raggio ordinario si propaga nel mezzo birifrangente ad un angolo di 13° rispetto alla normale alla superficie MN, per cui
giunge sulla superficie di separazione tra calcite e balsamo con un angolo
di incidenza pari a 77°. Quest'angolo di incidenza risulta maggiore
dell'angolo limite di riflessione totale che vale 0L = arcsin(ni/n0 ) 69°;
pertanto il raggio ordinario viene totalmente riflesso alla superficie di
contatto calcite-balsamo ed è poi assorbito dalla faccia inferiore MN' annerita. Il raggio straordinario, che non subisce riflessione totale in quanto
passa da un mezzo otticamente meno denso (ns = 1.48) a uno più denso
(nb=l.55), attraversa praticamente indisturbato la seconda metà del cristallo ed emerge dalla faccia M'N'. Dal prisma fuoriesce, quindi, soltanto
il raggio straordinario che risulta polarizzato linearmente nel piano di incidenza che contiene l'asse ottico: il prisma funziona, cioè, da polarizzatore. L'intensità della luce emergente è all'incirca il 40% di quella incidente, essendo la restante parte associata all'onda ordinaria e. ai raggi riflessi sulle superfici del prisma.
L'uso combinato di due prismi di Nicol, il secondo dei quali funzioni da
analizzatore, consente di determinare lo stato di polarizzazione di un fascio polarizzato.
~./M'
j6so
\ ~'>'N'
Fig. 35
=
Vl.6.6.5. - Lamine di ritardo
Le lamine di ritardo vengono realizzate ancora con cristalli birifrangenti e
servono a variare lo stato di polarizzazione di un'onda luminosa polarizzata che li attraversi.
Consideriamo infatti la situazione sperimentale schematizzata in fig. 36
in cui una lamina sottile birifrangente, tagliata con le facce parallele
Vl.6.6. - PROPAGAZIONE NEI MEZZI ANISOTROPI
849
all'asse ottico, è disposta perpendicolarmente alla direzione di propagazione di un'onda piana elettromagnetica monocromatica, linearmente polarizzata. Scegliamo come riferimento una tema cartesiana avente l'asse
X parallelo all'asse ottico della lamina e l'asse Z nella direzione di propagazione dell'onda. Questa è quindi descritta dalla funzione
y
E= E 0 sin(kz - rot)
dove con E 0 abbiamo indicato l'ampiezza, la cui direzionr supponiamo
formi un angolo a con l'asse X.
Per studiare la propagazione dell'onda all'interno della latra birifrangente, conviene scomporla lungo gli assi X e Y in quanto, essendo la sezione
principale del cristallo coincidente con il piano XZ, tali componenti coincidono proprio con l'onda straordinaria e con quella ordinaria che, attraversano il mezzo senza variare il proprio stato di polarizzazione. Prima di
penetrare nella lastra le due onde componenti sono ovviamente caratterizzate dalla stessa fase dell'onda incidente e da ampiezze pari alle proiezioni di E 0 sugli assi X ed Y
Ex = E 0 x sin(kz - rot) = E 0 cos asin(kz - rot)
EY = E 0 Ysin(kz- rot) = E 0 sin asin(kz- rot)
Come abbiamo visto nel § Vl.6.6.3.1., nella configurazione in esame le
direzioni di propagazione dell'onda ordinaria e dell'onda straordinaria
coincidono con l'asse Z (direzione di incidenza) lungo cui sono anche diretti i rispettivi raggi. Le due onde, quindi, attraversando la lastra birifrangente non si separano ma si sfasano in quanto hanno differenti velocità di fase, v0 = c/n0 e Vs= c/ns rispettivamente. Se la lastra ha spessore d,
all'uscita di questa la differenza di fase risulta pari a
(Vl.6.10.)
Pertanto, nei cristalli positivi, in cui ns > n0 , l'onda straordinaria è in anticipo su quella ordinaria, in quelli negativi è in ritardo (ns < n 0 ).
All'uscita dalla lamina entrambe le due onde riacquistano la velocità iniziale e non vi è quindi una ulteriore variazione di fase, per cui possiamo
descriverle con le funzioni
Ex =E 0 cosasin[k(z+n 5 d)-rot)]
EY = E 0 sin asin[k(z + n 5 d)- rot + Li<I>]
(Vl.6.11.)
Lo stato di polarizzazione dell'onda risultante dalla loro sovrapposizione
non coincide, in accordo a quanto discusso nel§ Vl.6.2., con quella di incidenza e dipende dal valore della differenza di fase Li<I>.
Lamina a quarto d'onda
Se la differenza di fase Li<P introdotta dalla lamina è: un multiplo dispari
di rc/2, cioè se risulta
1t
Li<I> = (2m + 1)2
(Vl.6.12.)
Fig. 36
VI.6. - POLARIZZAZIONE
850
con m intero positivo o nullo, l'onda trasmessa dalla lamina è polarizzata
ellitticamente, con gli assi dell'ellisse paralleli agli assi X e Y.
Quindi, una lamina birifrangente trasforma un'onda piana monocromatica
polarizzata linearmente in un'onda piana polarizzata ellitticamente quando il suo spessore d è un multiplo dispari di À/4: per questo motivo la lamina viene detta a quarto d'onda.
Un caso particolare si realizza quando l'onda incidente forma con l'asse
ottico del materiale birifrangente un angolo di 45°: le due onde componenti hanno la stessa ampiezza, E 0cosa = Eosina, e l'ellisse diventa una
circonferenza. E' perciò possibile ottenere luce polarizzata circolarmente
ponendo lungo il cammino di un'onda polarizzata linearmente una lamina
a quarto d'onda con gli assi ruotati di 45° rispetto alla direzione di polarizzazione dell'onda incidente.
Ricordiamo inoltre che il verso di rotazione del vettore elettrico
sull'ellisse o sulla circonferenza dipende anch'esso dalla differenza di fase ~<I>. In particolare se questa è pari a n/2 l'ellisse o la circonferenza
vengono descritte in senso antiorario, mentre se è pari a 3n/2 in senso orario. Per un cristallo positivo il primo caso (polarizzazione ellittica o circolare sinistra) si realizza quando lo spessore del cristallo vale
d=ìJ(4(n5 -n0 )), il secondo (polarizzazione ellittica o circolare destra)
quando d=3ìJ(4(n5 - n 0 )).
Sottolineiamo che per stabilire il verso di rotazione sull'ellisse o sulla circonferenza si deve tenere conto oltre che del valore di ~<I> anche del suo
segno derivante dalla differenza ~n=n5 -n0 .
Come vedremo in dettaglio in seguito, un'onda polarizzata ellitticamente
che incide su una lamina a quarto d'onda, emerge da questa polarizzata
linearmente ad un angolo a rispetto all'asse ottico fissato dalla relazione
tga=Eo/Eox- Analogamente se l'onda incidente è polarizzata circolarmente, quella che emerge dalla lamina è polarizzata linearmente a 45° rispetto
all'asse ottico.
Lamina a mezz'onda
Quando la differenza di fase ~<I> introdotta dalla lamina è un multiplo di
n,. cioè risulta
y
~<I>= mn
~S§~-
-
)ttico
Fig. 37
⇒
d=m--A__
2(n 5
-
n0 )
(VI.6.13.)
con m intero positivo, l'onda che emerge dalla lamina è polarizzata linearmente. La lamina è ora detta lamina a mezz'onda dato che lo spessore
d è proporzionale a ìJ2.
In particolare se m è dispari (~<I>=n, 3n .. .) all'uscita dalla lamina i campi
elettrici delle onde componenti sono descritti dalle funzioni
=E 0 cos asin[k(z + n 5 d)- cot]
EY =E 0 sin asin[k(z + n 5 d)- rot +~<I>]=
Ex
= -E 0 sin asin[k(z + n 5 d)- rot]
L'onda emerge dalla lamina polarizzata linearmente lungo una direzione
che forma un angolo -a con l'asse ottico (fig. 37). La direzione di oscil-
VI.6.6. - PROPAGAZIONE NEI MEZZI ANISOTROPI
851
lazione dell'onda emergente è ruotata perciò di un angolo 2a rispetto a
quella dell'onda incidente. In altre parole, per il particolare valore della
differenza di fase introdotta, la lamina produce solo un cambiamento di
segno di una delle due componenti. Per questo motivo se sulla lamina a
mezz'onda incide un'onda polarizzata ellitticamente o circolarmente, per
la luce emergente si ha soltanto un'inversione del senso di rotazione.
Se invece m è pari, cioè Li<I>=27t, 41t ... , l'onda trasmessa ha lo stesso stato di polarizzazione dell'onda incidente: la presenza della lamina a
mezz' onda è, quindi, ininfluente.
Osserviamo infine che se si fa incidere luce naturale su una lamina a
mezz'onda o su una a quarto d'onda, l'onda trasmessa è ancora non polarizzata in quanto nella luce non polarizzata sono presenti sequenzialmente
nel tempo tutti gli stati di polarizzazione.
Compensatori
Con lamine a quarto d'onda è possibile anche compensare differenze di
fase esistenti tra le componenti di un fascio di luce polarizzata. In questo
caso le lamine vengono dette compensatori.
Verifichiamo, infatti, che quando luce polarizzata ellitticamente incide
su di una lamina a quarto d'onda, ruotata in modo che il suo asse ottico coincida con uno degli assi dell'ellisse, la luce emergente da questa
risulta polarizzata linearmente. Con riferimento alla fig. 38 consideriamo una lamina a quarto d'onda di un cristallo negativo (per esempio calcite) il cui asse ottico sia parallelo all'asse X di un sistema cartesiano avente l'asse Z coincidente con la direzione di propagazione
dell'onda, che supponiamo abbia una polarizzazione ellittica sinistra6 •
Sappiamo che quest'onda si può considerare come la sovrapposizione
di due onde polarizzate linearmente nelle direzioni degli assi
dell'ellisse che coincidono con gli assi X e Y del riferimento: pertanto
l'onda parallela all'asse Y è in ritardo di n/2 rispetto a quella parallela
all'asse X. D'altra parte, la presenza di una lamina a quarto d'onda di
un cristallo negativo introduce un ritardo di n/2 nell'onda ordinaria,
parallela all'asse Y, rispetto a quella straordinaria, parallela all'asse
X. Pertanto, le due onde quando emergono dalla lamina presentano
una differenza di fase di 7t e sovrapponendosi danno luogo ad un'onda
polarizzata linearmente.
Si dice che la lamina a quarto d'onda ha compensato la vibrazione ellittica rendendola rettilinea.
Dalle relazioni (VI.6.12.) e (VI.6.13.) si evidenzia che esiste uno stretto
legame fra lo spessore d della lamina e la lunghezza d'onda À dell'onda
monocromatica incidente su questa: infatti la differenza di fase dipende
solo dal valore di d e di À. Per ottenere differenze di fase variabili bisogna
ricorrere a dispositivi, come il compensatore di Babinet, il cui spessore
possa essere variato.
Il compensatore di Babinet è formato da due sezioni cuneiformi di cristallo di quarzo, aventi angolo di apertura ~ molto piccolo e tagliate in
modo che in una sezione l'asse-ottico sia parallelo al lato di lunghezza
6. Ricordiamo che, per convenzione, il verso di rotazione del vettore elettrico si riferisce
ad un osservatore verso il quale l'onda si propaga.
y
Fig. 38
z
852
•
/
--
d1
I
d2
e
~/
''
'
VI.6. - POLARIZZAZIONE
R, nell'altra ortogonale a questo (fig. 39). Ne consegue che un'onda
polarizzata linearmente lungo la direzione R si comporta come onda
straordinaria nel primo cristallo e come ordinaria nel secondo; il viceversa si ha per un'onda polarizzata linearmente in direzione ortogonale ad R.
Se si fa incidere sul compensatore un sottile fascio linearmente polarizzato lungo una direzione formante un angolo a con l'asse ottico del primo
cristallo, lo sfasamento complessivo tra le due onde componenti dovuto
all'attraversamento dei due cristalli è praticamente pari a
@
Fig. 39
Per far variare la differenza di fase ~<I> si può sia spostare il compensatore in direzione verticale, in modo da far variare il punto di incidenza, che
spostare verticalmente uno dei due cunei, se questi sono montati in modo
da potere scorrere l'uno sull'altro. In entrambi i casi si produce una variazione della differenza d 1 -d2 e, quindi, della differenza di fase.
Vl.6.6. - MINIMO SPESSORE DI UNA LAMINA A QUARTO
ESEMPIO
D'ONDA O A MEZZ'ONDA
Detenninare il minimo spessore d che deve avere una lamina di quarzo
perché si comporti come lamina a quarto d'onda o a mezz'onda per luce
monocromatica di lunghezza d'onda À=589.3nm incidente nonnalmente
su di essa (ns= 1.553 e n0 = 1.544).
Nel caso di lamina a quarto d'onda, tenendo conto della relazione
(Vl.6.12.), lo spessore minimo si ha in corrispondenza di m=O, cioè
per la
lamina
À
a mezz'onda per la
d=----=32.74µm
2(n 5 - n 0 )
(Vl.6.13.)
si ha
quindi
PROBLEMI DI OTTICA
VI.l. Due specchi piani sono posti m
modo da formare fra loro un angolo y=20°,
come mostrato in fig. la.
a) Determinare in quale direzione deve incidere un raggio sullo specchio 2, affinché dopo aver subito 4 riflessioni possa
ripercorre a ritroso il cammino riemergendo lungo la direzione di incidenza.
b) Lo specchio 1 viene ruotato in modo da
disporlo ortogonalmente all'altro (fig.
1b). Eseguire la costruzione grafica delle
immagini della freccia OP formate dagli
specchi.
tura e stesso raggio di curvatura di S2,
nell'ipotesi che il vertice di S3 occupi la
posizione occupata nella domanda precedente dal vertice di S2•
Fig. 2b
Fig. 2a
Una lastra piana di vetro (nv=l.5) è
spessa d=lcm.
a) Considerato un raggio incidente sulla
lastra con un angolo 0i = 30°, determinare la distanza I!. tra la direzione del raggio incidente e quella del raggio emergente dalla lastra (fig. 3a).
b) Dimostrare che l'immagine fornita dalla lastra di un oggetto O posto a distanza h dalla
zezione centrale della lastra (fig.3b) si forma
dalla stessa parte di O ad una distanza h' minore di h e valutare la differenza h-h'.
VI.3.
Fig. la
Fig. lb
VI.2. Uno specchio sferico S 1 ha raggio
di curvatura R 1= 50 cm ed apertura d 1=5cm
e presenta nel centro un foro di diametro
d2=lcm, come mostrato in fig.2a. Un secondo specchio S2, di raggio di curvatura R2
ed apertura d 2 ha il centro di curvatura
sull'asse ottico di S 1 ad una distanza I!. dal
suo centro.
a) Quanto deve valere la distanza I!. affinché il fascio di raggi paralleli all'asse
raccolto da S1 venga completamente raccolto anche da S2 e dopo essere statoriflesso da S2 risulti ancora parallelo all'asse, come è mostrato in fig. 2a?
b) Lo specchio S2 viene spostato verso sinistra di 0.5cm. In quale punto dell'asse viene focalizzato dal sistema il fascio di raggi
paralleli all'asse incidente su di esso?
c) Dove viene focalizzato lo stesso fascio
se lo specchio S2 viene sostituito da uno
specchio concavo S3 avente stessa aper-
o
d
l+-- -"'.~::
i
h
Fig. 3a
Fig. 3b
Fig. 3c
854
PROBLEMI DI omcA
c) La lastra viene completamente immersa
in acqua (na =l.33). Con riferimento alla
fig. 3c, determinare il valore minimo
dell'angolo 0i con cui deve incidere un
raggio in A affinché non emerga dalla
superficie inferiore.
b) Se si sostituisce l'acqua con una lastra
di vetro (nv =1.5) di spessore h, di
quanto bisogna spostare la freccia dalla parete AA' della vasca affinché
l'osservatore veda l'immagine della
punta P ancora in A?
VI.4. Un blocco di vetro (nv=l.5) è delimitato da una superficie piana e da una sferica di raggio R=lOcm, come è mostrato in
fig. 4.
a) Dove viene vista dall'osservatore
l'immagine di una frecciolina, che dista
30cm dal vertice V?
b) Dove viene focalizzato un fascio di raggi che incide normalmente sulla superficie piana AB del blocco?
c) Rispondere alla domanda precedente nel
caso in cui la superficie sferica sia concava.
VI.6. Un oggetto alto y=2mm è posto ad
una distanza o=40cm dal vertice V I di una
lente spessa di vetro, avente raggi di curvatura R 1=30cm ed R2=20cm, spessore
.f=lOcm ed indice di rifrazione nv=l.5. Determinare:
a) la posizione e la natura dell'immagine;
b) la lunghezza dell'immagine;
c) le posizioni dei due fuochi della lente
rispetto ai vertici.
o
)
':◄-- f --+:'
Fig. 6
Fig. 4
VI.S. Sul fondo di una vasca cubica è disegnata una freccia OP lunga d=IOcm disposta come è mostrato in fig. 5. Un osservatore è posto in modo da vedere tutta la
parete AA' ma non la freccia.
a) Determinare quale deve essere il minimo
valore
dell'altezza
h
dell'acqua
(na=l.33) da versare nella vasca, affinché l'osservatore possa vedere l'intera
freccia?
A'
'
VI.7. Una sfera di vetro (nv=l.5), di raggio R=lOcm, è posta in un mezzo avente
indice di rifrazione n'=l.7.
a) Determinare la posizione dei fuochi e
dei piani principali.
b) Una freccia luminosa è posta di fronte
alla sfera ad una distanza di 60cm dal
suo centro. Determinare:
b 1) la posizione dell'immagine;
b 2) il suo ingrandimento. Si esegua la
costruzione grafica.
VI.8. Una lente composta è formata da due
lenti sottili convergenti, aventi distanza focale
pari rispettivamente ad .fi=lOcm ed .fì=20cm,
poste a distanza d=80cm. Determinare:
A
'
I\
'
'
'
',, A
p
Fig. 5
o
Fig. 8
855
PROBLEMI DI OTTICA
a) le posizioni dei fuochi della lente composta;
b) la posizione e l'ingrandimento trasversale di un oggetto posto a distanza o=5cm
dalla prima lente.
VI.9. Un sistema ottico è cost1tmto da
due lenti sottili di vetro, aventi distanze focali /=-10cm ed f'=12cm, poste a distanza d= 15cm. Determinare la posizione e la
natura dell'immagine che il sistema ottico
fornisce di un piccolo oggetto
a) quando questo è posto sull'asse ottico a
30cm dalla seconda lente a destra di
questa; si esegua anche la costruzione
grafica;
b) quando il sistema è immerso in acqua e
l'oggetto viene spostato a sinistra della
prima lente a 40cm da questa.
Si assuma Ilv = 1.5, Ila= 1.33.
\{
I\
/
V
\
Fig. 9
VI.IO. Due lenti sottili sono a contatto
fra loro: la prima è un menisco avente indice di rifrazione n =1.5 e raggi di curvatura R 1 =5cm ed R 2 = 10cm; la seconda è
piano-concava ed ha indice di rifrazione
n'=l.6 e raggio di curvatura R'=6cm. Trascurando lo spessore delle lenti, determinare:
a) le distanze focali delle due lenti sottili e
la distanza focale del sistema formato
dalle due lenti;
b) la seconda lente viene eliminata ed il
menisco viene ruotato di 90° in modo
che rivolga verso l'alto la concavità (fig.
10b). Questa viene riempita con olio avente indice di rifrazione n'. Il sistema
ottico che si realizza può essere a~similato ad una lente composta. Determinare
il suo potere diottrico e la posizione
dell'immagine di un oggetto posto a distanza di 10cm da essa.
VI.Il. Un cannocchiale ha come obiettivo
una lente convergente, di distanza focale /ob,
e come oculare una lente divergente di distanza focale f oc =-2cm; la distanza tra le
due lenti è d = 40cm. Determinare:
a) il valore di lob affinché un osservatore
con l'occhio posto a distanza pari a
lroc dall'oculare veda nel punto prossimo l'immagine di un oggetto posto a distanza infinita;
b) di quanto bisogna spostate l'oculare affinché l'immagine dello stesso oggetto
possa essere ;osservata con l'occhio accomodato all'infinito.
I
VI.I2. Una lastra di vetro (nv = 1.5), lunga
f = 40 cm, è delimitata da due superfici sferiche di ugual raggio R = 10cm. La prima è
a contatto con l'acqua (na = 1.33) contenuta
in un recipiente come mostrato in fig. 12,
mentre la seconda è a contatto con uno
specchio di ugual raggio.
a) Determinare le distanze focali del diottro
acqua-vetro e la distanza focale dello
specchio.
b) Un oggetto luminoso viene posto nell'acqua ad una distanza o= R dal vertice
V 1. Calcolare:
a) la posizione e la natura dell'immagine;
b) il suo ingrandimento trasversale.
Fig. 12
Fig. IOa
Fig. 10b
856
PROBLEMI DI OTTICA
VI.13. Una lente sottile biconcava di vetro
(nv= 1.5) ha raggi di curvatura R1 = 10cm ed
R2 = 15cm, ed è immersa in un mezzo trasparente di indice di rifrazione n' = 1.6. A
distanza d 40cm dalla lente è posto il vertice di uno specchio convesso di raggio
R=40cm. Determinare:
a) la distanza focale della lente;
b) la posizione e la natura dell'immagine di
un oggetto posto normalmente all'asse
ottico a distanza o=40cm dalla lente;
c) l'ingrandimento trasversale dell'oggetto
fornito dal sistema.
(
7
\, I
t
!
i
El
o
\
Fig. 13
VI.14. L'immagine di un oggetto posto a
sinistra di una lente sottile convergente non
simmetrica di indice di rifrazione nv 1.5 si
forma a destra della lente ad una distanza di
30 cm da questa. Se l'intero sistema (oggetto
e lente) viene immerso in acqua (na = 1.33),
l'immagine si forma a sinistra della lente ad
una distanza di 24.33 cm da essa.
a) Determinare la distanza focale f della
lente in aria.
b) La lente viene quindi immersa in un liquido trasparente di indice di rifrazione
n= 1.65. Determinare:
b 1) la distanza focale della lente nel liquido;
b 2) la posizione, la natura e la dimensione dell'immagine di un oggetto OP
lungo 1mm, posto perpendicolarmente all'asse ottico della lente nel liquido a distanza o=30cm dalla lente.
(\
t
o
Fig. 14
l
b3) L'oggetto viene ruotato di 90° in senso
orario attorno ad O in modo da risultare disposto lungo l'asse ottico. Determinare la lunghezza dell'immagine.
VI.15. Due lenti sottili biconvesse hanno
stessi raggi di curvatura R 1=30cm ed
R2=60cm ma sono fatte di materiali diversi.
Un fascio di raggi paralleli all'asse ottico
incide sulla prima lente: esso emerge dalla
seconda ancora parallelamente all'asse ottico se le due lenti sono poste ad una distanza
d = 55cm; esso viene invece focalizzato ad
una distanza i = 90cm dalla seconda lente,
quando questa si trova a distanza cf = 70cm
dalla prima. Determinare:
a) la distanza focale delle due lenti;
b) l'indice di rifrazione del materiale di cui
sono fatte le lenti.
Fig. 15
VI.16. Un piccolo oggetto è posto all'interno di una sfera di vetro (nv=l.5, R=9cm)
ad una distanza pari a 6cm dal centro. A destra della sfera, a distanza 2R dal suo centro, c'è una sottile lente divergente di vetro
avente in aria distanza focale f=-2R. Tutto
il sistema viene immerso m acqua
(na=l.33). Determinare:
Fig. 16
a) in quale posizione percepisce l'immagine un osservatore posto a sinistra del sistema ottico, specificando se si tratta di
una immagine reale o virtuale;
b) l'ingrandimento del sistema;
857
'ROBLEMI DI OTTICA
:) rispondere alle domande precedenti nel
caso in cui l'osservatore è posto a destra
del sistema ottico.
VI.17. L'immagine di una frecciolina di:tante 50 cm da una lente sottile si forma su
mo schermo diffusore posto dopo la lente
td una distanza d=20cm da questa. Una la:tra piana di vetro (nv = 1.5), spessa t = 2cm,
riene posta in modo che la sua sezione cenrale si trovi a distanza d/2 dallo schermo.
)eterminare:
t) di quanto bisogna spostare lo schermo
per poter osservare su di esso l'immagine;
>) l'ingrandimento di tale immagine.
:) Lo schermo viene riportato nella posizione iniziale; a quale distanza dalla lente bisogna porre la frecciolina affinchè
la sua immagine si formi sullo schermo
diffusore?
o
◄---
d
a) l'indice di rifrazione del liquido;
b) le distanze focali della lente;
c) l'oggetto viene allontanato fino a che la
sua distanza dalla lente diventa pari a
80cm.
Determinare
la
posizione
dell'immagine.
VI.19. Il sottile strato compreso tra una
lastra piana di un materiale trasparente di
indice di rifrazione n ed una lente sottile biconvessa fatta con lo stesso materiale è
riempito con un liquido avente indice di rifrazione n'=l.3, come mostrato in fig. 19.
Un fascio di raggi paralleli all'asse ottico
incide normalmente sulla lastra e viene focalizzato dalla lente in un punto posto a distanza di 21cm da questa. Se la lente viene
girata in modo che risulti a contatto del liquido l'altra superficie, il fascio di raggi
paralleli viene focalizzato in un punto posto
a distanza di 22cm dalla lente. Se la distanza focale della lente in aria vale/= 15cm,
determinare:
a) i raggi di curvatura della lente;
b) l'indice di rifrazione di questa.
---►
Fig. 17
vl.18. Una lente sottile convergente simnetrica di vetro (nv= 1.5) ha raggi di curvaura pari a R=30cm. Essa è separata da uno
:pecchio piano da un sottile strato di un li1uido trasparente di indice di rifrazione n'.
] sistema fornisce di un oggetto posto
:ull' asse ottico a distanza o=44cm dalla lene, un'immagine che si forma nella stessa
>osizione dell'oggetto. Determinare:
Fig. 18
Fig. 19
VI.20. Un prisma avente angolo di apertura a=50°, è fatto di vetro crown che presenta un indice di rifrazione n 1=1.514 in corrispondenza
della
lunghezza
d'onda
À1=656.3nm ed
un indice di rifrazione
n2=1.524 in corrispondenza della lunghezza
d'onda À2 =486.2nm. Determinare:
a) i coefficienti A e B che compaiono nella
formula di Cauchy per l'indice di
rifrazione;
b) l'angolo di separazione tra le due lunghezze d'onda se l'angolo di incidenza è
30°;
c) l'angolo di minima deviazione per le
due lunghezze d'onda ed i corrispondenti angoli di incidenza.
858
PROBLEMI DI OTTICA
Fig. 20
VI.21. La distanza focale dell'obiettivo di
un cannocchiale vale f 0 b=60cm, mentre
quella dell'oculare vale f oc=3cm. Le due
lenti si trovano ad una distanza s tale che
l'immagine finale di una stella risulti virtuale e si formi ad una distanza d=20cm
dall'oculare. Determinare:
a) di quanto si deve spostare l'oculare affinché l'immagine della stessa stella risulti reale e si formi a distanza d
dall'oculare;
b) il valore dell'angolo o sotteso da due
stelle sapendo che le loro immagini reali
formate dal cannocchiale avente
l'oculare nella posizione fissata nel quesito a) distano fra loro 0.8mm.
oculare
\V
s
r
a) la distanza tra le frange del terzo ordine
relative alle due lunghezze d'onda;
b) il più piccolo ed il più grande valore degli ordini in corrispondenza dei quali i
massimi di À1 si sovrappongono con
quelli di À2;
c) la più piccola distanza dal massimo centrale del punto in cui si sovrappone un
massimo di À1 con quelli di À2;
d) Una delle due fenditure viene allargata
in modo che risulti di ampiezza doppia
dell'altra. Determinare l'espressione
dell'intensità nella generica posizione
sullo schermo di osservazione.
Fig. 22
VI.23. Due sorgenti S 1 ed S2 , poste a distanza d=2m una dall'altra, sono eccitate
dallo stesso generatore in modo da presentare uno sfasamento di 1t l'una rispetto
all'altra. Esse emettono isotropicamente
con uguale potenza w=50kW onde sferiche elettromagnetiche di lunghezza
d'onda pari a À=0.5m. Assumendo che i
campi elettrici delle due onde siano paralleli, determinare:
y
-----~
Fig. 21
VI.22. La figura di interferenza prodotta
da un dispositivo di Young viene osservata
nel piano focale di una lente ({=50cm); la
distanza tra le fenditure vale d = 60µm. Se
sul dispositivo incide luce contenente due
lunghezze d'onda À 1=500nm e À2=600nm,
determinare:
S2 _ _ _ _ _ _ __.
X
Fig. 23
a) il valore delle ampiezze dei campi elettrici delle onde emesse dalle due sorgenti nel punto P dell'asse X posto ad una
distanza pari a 2À da S2;
859
PROBLEMI DI OTTICA
b) la differenza di fase tra le onde in P;
c) in quali punti dell'asse X positivo si
hanno massimi di intensità ed il valore
degli ordini relativi;
d) il valore dell'intensità nel punto più vicino ad S2 in cui si ha un minimo di intensità.
VI.24. Davanti alle fenditure di un dispositivo di Young viene posta una lastra trasparente di indice di rifrazione n=l.47 e
spessore s=0.5mm, come mostrato in fig.
24a; sia À=550nm la lunghezza dell'onda
piana incidente sulle fenditure, d=lmm la
distanza tra di esse ed f=50cm la distanza
focale della lente convergente, posta dopo
le fenditure.
a) Descrivere la figura di interferenza osservata nel piano focale della lente e calcolare la distanza fra i due massimi adiacenti a quello centrale e la loro larghezza.
b) Successivamente viene inserita, come
mostrato in fg. 24b, una seconda lastra
avente stesso indice di rifrazione della
prima che presenta uno spessore maggiore (s'= s+~) nella parte posta davanti
ad S 1• Da che parte si sposta il massimo
centrale? Calcolare il valore di /:is che
determina uno spostamento di due frange nel passaggio dalla prima alla seconda configurazione.
c) Con quale angolo deve incidere l'onda
piana sulle fenditure per rendere nuovamente simmetrico il sistema di frange
osservato?
forme monocromatica di lunghezza d'onda
À=589nm. Determinare:
a) la larghezza del sistema di frange che si
forma sullo schermo;
b) il numero delle frange scure osservate;
c) il valore della differenza di fase tra le
onde che interferiscono nel punto P di
coordinata y = 7mm ed il rapporto tra
l'intensità in P e quella di un massimo.
.t....ls
l
:t... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r
!;
P
◄ -----++---------
r--------e
h
D
--------
Fig. 25
VI.26. Una lamina sottile di spessore costante e indice di rifrazione n = 1.4, è poggiata su una lastra di vetro (nv = 1.5); il sistema si trova in aria. Sulla lamina si fa incidere luce di lunghezza d'onda À = 500nm
con angoli di incidenza che variano tra 25 °
e 35°. Determinare:
a) la condizione a cui deve soddisfare
l'angolo di incidenza 0i affinché si abbia
un massimo di l'interferenza all'infinito,
ottenuta per riflessione;
b) lo spessore della lamina affinchè la prima e l'ultima frangia siano luminose e il
numero totale di frange luminose osservate sia 7.
1
Fig. 26
Fig. 24a
Fig. 24b
VI.25. Si consideri il dispositivo di Lloyd
rappresentato in fig. 25 (b=5mm, D=lm,
.€=30cm, h=50cm). S è una sorgente punti-
VI.27. Un fascio di luce policroma F,
contenente tutte le lunghezze d'onda comprese tra À1 = 545.4nm e À2 = 666.6nm, incide normalmente su un sottile strato d'aria
di spessore uniforme d, compreso tra due
lastre di vetro .
860
PROBLEMI DI OTTICA
a) Determinare lo spessore dello strato
d'aria, sapendo che in riflessione si ha
un massimo di interferenza soltanto per
le lunghezze d'onda À1 e À,z.
b) Il fascio F viene sostituito con uno di luce bianca (380nmsÀs700nm); per quali
altre lunghezze d'onda si hanno massimi
di interferenza in riflessione?
neo. Il secondo viene posto davanti alle
fenditure di un dispositivo di Young come
mostrato in fig. 29. Facendo incidere sul dispositivo un'onda piana monocromatica di
lunghezza d'onda À=550nm, sullo schermo
di osservazione si nota lo spostamento di
una frangia rispetto alla situazione in cui il
cuneo non c'è. Assumendo che la distanza
tra le fenditure sia d=lcm determinare i valori di a ed n.
1
Fig. 27
VI.28. Un sottile strato di vetro (nv = 1.5)
di spessore d = 0.4µm, è posto in aria ed è
illuminato con luce bianca (0.38-0.7 µm).
Determinare per quali lunghezze d'onda si
ha un minimo in riflessione e l'ordine corrispondente nei due casi:
a) la luce incide normalmente alla superficie della lamina;
b) la luce incide con un angolo 0 = 20° rispetto alla normale alla superficie della
lamina;
c) nel caso di incidenza normale determinare per quali lunghezze d'onda si ha un
minimo in trasmissione e l'ordine corrispondente.
Fig. 29
VI.30., Si vuole determinare il raggio di
curvatura di una lente piano convessa mediante una esperienza basata sullo studio
degli anelli di Newton. Utilizzando una
sorgente estesa monocromatica di lunghezza d'onda À= 600nm in aria, si osservano in
riflessione 101 frange circolari luminose.
Determinare:
a) lo spessore h della lente;
b) il raggio di curvatura
della lente
assumendo che il suo diametro valga
D=4cm.
◄-------
D
------ -------------• v
..--=~--=---~h
Fig. 28
VI.29. Due cunei sono fatti con lo stesso
materiale trasparente, di indice di rifrazione
n, ed hanno stesso angolo al vertice a. Il
primo lungo L =lmm, illuminato con luce
monocromatica di lunghezza d'onda
À=500nm in incidenza normale, presenta
sulla sua superficie 5 frange luminose; l'ultima di queste si forma all'estemità del cu-
Fig.30
VI.31. In un dispositivo per l'osservazione
degli anelli di Newton la superficie piana su
cui poggia la lente piano-convessa viene sostituita, come mostrato in fig. 31, con una superficie sferica di raggio di curvatura R2 > R1,
essendo R 1 il raggio di curvatura della lente.
Sul dispositivo incide normalmente luce monocromatica di lunghezza d'onda À=640nm.
861
PROBLEMI DI OTTICA
a) Determinare l'espressione per il raggio
dell'm-simo anello luminoso.
b) Se il diametrio del terzo anello luminoso
vale r = 6mm determinare il raggio di
curvatura R 2 sapendo che R1 =80cm.
c) Lo spazio tra le due lenti viene riempito di
un liquido trasparente di indice di rifrazione n. Determinare n sapendo che la posizione precedentemente occupata dal terzo
anello luminoso è ora occupata dal quarto.
Fig.31
VI.32. Il sistema di frange che si osserva
illuminando con luce di lunghezza d'onda
À=500nm un interferometro di Michelson,
avente uno dei due bracci più lungo dell'altro
di 2cm, presenta un disco centrale scuro circondato da anelli concentrici luminosi e scuri.
Assumendo che lo sfasamento introdotto dalla lastra semiriflettente coincida con quello
prodotto da una lastra di vetro, determinare:
a) l'ordine del disco centrale;
b) l'ordine del terzo anello scuro e l'angolo
di inclinazione che lo individua.
c) Sul braccio più corto viene inserita una
ulteriore lastrina trasparente di indice di
rifrazione n = 1.4. Quale deve essere il
suo spessore affinché i cammini ottici
diventino uguali e non si osservino più
le frange di interferenza?
S1
--.I
I
I
I
I
I
I
d1:
I
I
fs
. /-Fig. 32
compensatore
VI.33. Un dispositivo interferenziale è
quello degli specchi di Fresnel: esso consiste di due specchi piani formanti fra loro un
piccolo angolo a. Una sorgente lineare S
monocromatica di lunghezza d'onda A è posta parallelamente all'intersezione dei due
specchi, ad una distanza R da questa. In fig.
33 è illustrato il dispositivo in una sezione
ortogonale all'intersezione dei due specchi.
A distanza f da questa è posto lo schermo
di osservazione.
a) Determinare l'espressione dell'intensità
luminosa in un punto dello schermo di
osservazione che si trova nella regione
di interferenza e la larghezza ~y di una
frangia luminosa;
b) se A=500nm, R=lm, f=2m e ~y= 1mm,
determinare il valore dell'angolo a e la
larghezza della regione in cui è possibile
osservare frange di interferenza.
Fig. 33
VI.34. Nella figura di diffrazione di
Fraunhofer prodotta da una fenditura di larghezza a illuminata normalmente con luce
di lunghezza d'onda A= 650nm, ed osservata nel piano focale di una lente convergente avente distanza focale/= 80cm, la distanza tra i due minimi del terzo ordine vale
~y=6mm.
a) Determinare la larghezza della fenditura
e quella del massimo centrale.
b) Come si modifica la figura di diffrazione
osservata nei seguenti due casi:
b 1) la fenditura viene allargata così che
a'=3a;
b2) la fenditura viene ristretta così che
a"=a/3.
VI.35. Su una fenditura rettangolare di
dimensioni a= 25µm e b = 75µm, praticata
862
PROBLEMI DI OTTICA
su uno schermo opaco (fig. 35), si fa incidere normalmente un'onda piana di lunghezza
d'onda À= 450nm. La figura di diffrazione
prodotta viene osservata su uno schermo
posto nel piano focale di una lente convergente (f=50cm).
a) Determinare le dimensioni del massimo
centrale.
b) Mantenendo costante l'ampiezza a si faccia crescere b in modo da poter trascurare
la diffrazione prodotta da b. Determinare:
b 1) il rapporto tra l'intensità della terza
frangia luminosa e quella del massimo centrale;
b2) il valore della lunghezza d'onda ì..,'
dell'onda piana che incidendo sulla
fenditura presenti il primo minimo di
· diffrazione nella posizione in cui si
forma il secondo massimo secondario
perÀ.
za focalef=40cm, il massimo centrale è largo Liy0 =4mm. Determinare:
a) la lunghezza d'onda dell'onda piana incidente normalmente sulla fenditura;
b) la larghezza del primo massimo secondario e confrontarla con quello del massimo centrale;
c) il rapporto tra l'intensità nel punto dello
schermo posto a distanza y=lmm dal
massimo centrale e quella del massimo
centrale.
d) Se si fa incidere sullo stesso dispositivo
normalmente alla fenditura luce bianca
(380mn.::;;ì..,::;7oonm), in una regione dello
schermo di osservazione di larghezza
Liy si osserva la sovrapposizione del
primo minimo di intensità relativo a
lunghezze d'onda che cadono in un intervallo LlÀ con il primo massimo secondario relativo a lunghezze d'onda
che cadono in un intervallo LiÀ Determinare le lunghezze d'onda che delimitano gli intervalli LiÀ e LiÀ e la larghezza
Liy della regione di sovrapposizione.
1
y
1
•
1
Fig. 35
VI.36. Su una asticciola sono tracciati due
linee distanti d = 3µm. Essa viene posta ad
una distanza pari a quella di visione distinta
da un osservatore ed illuminata con luce di
lunghezza d'onda À=550nm.
a) Assumendo che il diametro della pupilla
valga D = 3mm, è possibile osservare distintamente le due linee ad occhio nudo?
b) In caso negativo quale deve essere il valore della distanza focale di una lente di
ingrandimento che consenta di osservare
distintamente le due linee?
VI.37. Nella figura di diffrazione di
Fraunhofer prodotta da una fenditura di larghezza a=IO0µm ed osservata nel piano focale di una lente convergente avente distan-
VI.38. La figura di diffrazione di Fraunhofer prodotta da due fenditure, larghe a=5µm
e distanti d=50µm, è osservata nel piano focale di una lente convergente non simmetrica di vetro (nv=l.5), avente in aria distanza
focale f-=40cm. Illuminando normalmente
le fenditure con luce monocromatica di
lunghezza d'onda À=500nm, determinare:
a) il numero di massimi di interferenza
contenuti nel massimo centrale di diffrazione e la larghezza da questo occupata
sullo schermo di osservazione;
b) il numero di quelli che hanno una intensità maggiore del 30% di quella del massimo centrale;
c) il valore della lunghezza d'onda À1 più vicino a À che si riesce a separare al 2° ordine.
d) Il dispositivo viene immerso in acqua
(na=l.33). Determinare di quanto bisogna
spostare lo schermo per poter osservare su
di esso la figura di diffrazione di Fraunhofer prodotta in tali condizioni, indicando le
principali differenze che questa presenta rispetto a quella ottenuta in aria.
863
PROBLEMI DI OTTICA
VI.39. Un reticolo di diffrazione presenta
strisce scure di larghezza 2a separate da
strisce bianche di larghezza a= 2.5µm, come mostrato in fig. 39. Se sul reticolo si fa
incidere normalmente luce bianca (380nm
- 700nm), determinare:
a) il numero di ordini completi che si possono osservare su uno schermo posto a
grande distanza dal reticolo;
b) il minimo numero N di strisce bianche
che deve essere presente nel reticolo, affinché esso possa risolvere al primo ordine il doppietto del sodio costituito dalle lunghezze d'onda À 1=590nm e
Ài=590.6nm;
c) la larghezza angolare del massimo del
primo ordine per À1, assumendo che N
coincida con il valore calcolato al punto
b);
d) il rapporto tra l'intensità del massimo del
primo ordine e quella del massimo centrale.
-.i. ~:
2a
c) il valore della lunghezza d'onda À2 più vicina a 'A1 che può essere risolta al 2° ordine.
VI.41. Un fascio di luce bianca (380nm~
À ~ 700nm), incide su un reticolo di diffrazione avente 500 fenditure per millimetro, e
il sistema di righe prodotto è osservato nel
piano focale di una lente di focale f=50cm.
Lo schermo è presente solo nella regione,
larga 11h =3cm, compresa tra i punti A e B
di fig. 41 (OB=h= 15cm). Determinare:
a) i valori delle lunghezze d'onda che presentano massimi di intensità sullo
schermo ed i rispettivi ordini;
b) la larghezza minima che deve avere uno
schermo e la sua posizione rispetto ad O
affinché su di esso si osservino i massimi del primo ordine relativi a tutte le
lunghezze d'onda della radiazione incidente.
l
-~l·a~-
Fig. 39
VI.40. La figura di diffrazione prodotta da
un reticolo, avente 1000 fenditure, larghe a
e distanti d, facendo incidere normalmente
su di esso luce monocromatica di lunghezza
d'onda À1 = 550nm, è osservata nel piano
focale di una lente convergente avente distanza focale f = 30cm. Sapendo che sullo
schermo di osservazione la distanza tra il
massimo centrale ed il minimo immediatamente successivo al massimo del secondo
ordine vale 2cm e che il quarto ordine manca, calcolare:
a) la distanza d tra le fenditure e la loro
minima ampiezza consentita;
b) il rapporto tra l'intensità del massimo del
terzo ordine e quella del massimo centrale;
VI.42. Onde piane monocromatiche di
lunghezza d'onda À=0.6µm incidono secondo un angolo ò = 30° su un reticolo di
diffrazione, avente N =500 fenditure e largo
L = 5cm. Determinare:
a) la relazione che fornisce le posizioni angolari dei massimi principali;
Fig. 42
864
b) la posizione angolare del massimo centrale e la sua larghezza angolare.
c) Se si sostituisce il fascio di luce monocromatica con uno di luce bianca
(380-700nm), determinare le lunghezze
d'onda che hanno un massimo principale
nel punto O (fig. 42) ed il relativo ordine.
VI.43. Le frange del primo ordine prodotte
da un reticolo di diffrazione illuminato con
fascio di luce policroma contenente tutte le
lunghezze d'onda comprese tra 400nm e
600nm cadono entro una regione di apertura angolare Li0 = 10°. Determinare
a) il passo del reticolo;
b) il numero di ordini completi che si possono osservare.
c) Se il reticolo è largo 2cm
c 1) quanto vale il potere risolutivo ed il
potere dispersivo del reticolo al secondo ordine per À=400nm?
c2) A tale ordine esso è in grado di risolvere le lunghezze d'onda À1 = 550nm
e À2 =595nm?
VI.44. Un'onda piana contenente due lunghezze d'onda À1 e À2, che differiscono di
LiÀ= 5nm, incide normalmente su un reticolo il cui passo d è 4 volte maggiore
dell'ampiezza a di ciascuna fenditura. Il
sistema di frange prodotto è osservato su
uno schermo coincidente con il piano focale
di una lente convergente (f-=25cm). I massimi del secondo ordine relativi alle due
lunghezze d'onda si trovano sullo schermo a
distanza y 1 = 10.91 cm e y2 = 11.04 dal massimo centrale. Determinare:
a) il passo del reticolo e i valori delle due
lunghezze d'onda;
b) l'ordine m a cui la risoluzione del reticolo risulta ottimale, se si richiede che l'intensità del massimo di ordine m sia almeno il 40% di quella del massimo centrale;
c) il più piccolo valore LiÀ nell'intorno di
À1 che si riesce a risolvere a tale ordine
m, se il numero delle fenditure del reticolo è N=500.
PROBLEMI DI OTTICA
VI.45. Su un cristallo di cloruro di sodio
NaCl si fanno incidere raggi X di lunghezza d'onda À = 0.09nm. Ricordando che il
cristallo ha simmetria cubica di lato
a=0.282nm, determinare:
a) il valore dell'angolo a cui si forma la
prima riflessione di Bragg relativamente
al sistema di piani reticolari di fig. 45.
b) Se sugli stessi piani reticolari si fa incidere ad un angolo di radenza 0 = 30° un
fascio di raggi X contenente le lunghezze d'onda 0.03nm$À$;0.lnm, determinare per quali lunghezze d'onda si hanno massimi di interferenza.
Fig. 45
VI.46. Un'onda piana (À = 624nm) incide
normalmente su uno schermo opaco in cui è
praticata una apertura circolare di raggio
R=2.09mm. Su un secondo schermo posto a
distanza d = lm dall'apertura si osserva la
figura di diffrazione prodotta.
a) Il disco centrale appare luminoso o scuro?
b) Determinare la posizione più lontana
dall'apertura in cui bisogna porre lo
schermo per avere al centro della figura
di diffrazione un massimo di intensità.
c) Lo schermo di osservazione viene spostato in modo che passi per il punto P
posto sull'asse dell'apertura ad una distanza da questa tale che alla intensità in
P contribuisca solo 1/4 della prima zona
di Fresnel. Determinare l'intensità in P
in termini dell'intensità 10 che in esso si
avrebbe nel caso di propagazione libera.
VI.47. Su uno schermo opaco A è praticata una apertura avente forma di anello di
· raggi R 1 = 1mm ed R2 = 1.414mm (fig. 47a).
865
PROBLEMI DI OTTICA
a) Facendo incidere sullo schermo un'onda
piana di lunghezza d'onda À=440nm determinare l'ampiezza dell'onda diffratta
in un punto P dell'asse dell'anello distante 2.222m da questo in termini
dell'ampiezza E 0 dell'onda incidente;
b) Come si modifica
l'intensità in P se
dallo schermo A viene eliminato il disco
opaco centrale di raggio R 1?
c) Confrontare il valore dell'intensità trovato al punto a) con quella che si osserverebbe nel caso in cui il foro sullo
schermo A venisse ad assumere una
forma asimmetrica come quella mostrata
in fig 47b.
VI.SO.
a) Una lamina di ritardo si comporta come
lamina a quarto d'onda per le due lunghezze d'onda À1 =550nm e À,z=650nm.
Trascurando la variazione dei due indici
di rifrazione della lamina con la lunghezza d'onda, determinare la variazione di fase tra l'onda ordinaria e quella
straordinaria di ciascuna delle due lunghezze d'onda introdotta dal minimo
spessore della lamina e tale valore minimo, sapendo che la differenza fra i due
indici della lamina vale Lin = (ns - n0 )
=366-10-5 •
b) Rispondere alla domanda precedente
nell'ipotesi che la lamina si comporti
come lamina a mezz' onda.
VI.51. Un raggio di luce di lunghezza
d'onda À = 589nm incide normalmente su
un compensatore di Babinet, composto da
due sottili cunei di quarzo, come mostrato
in fig. 51. Ricordando che per il quarzo risulta Lin=(n5-n0 )=0.009
a) determinare lo spessore d2 affinché la
differenza di fase Li<I> tra l'onda ordinaria e quella straordinaria sia pari a
3n/2rad, nell'ipotesi che lo spessore d 1
sia pari a 3mm.
b) Se il fascio incidente è polarizzato linearmente lungo una direzione formante
un angolo di 45° con l'asse ottico del
primo cristallo, calcolare la minima differenza tra i due spessori affinché il fascio emergente sia polarizzato circolarmente.
1
Fig. 47a
Fig. 47b
VI.48. Un reticolo di Soret presenta 10
zone trasparenti e la prima, cioè la zona
centrale, ha un diametro D 1 = 2mm. Se sul
reticolo si fa incidere un'onda piana monocromatica di lunghezza d'onda A=400nm,
determinare:
a) il valore della distanza focale del reticolo;
b) l'intensità a tale distanza in termini di
quella relativa alla propagazione libera.
Vl.49. Un sottile fascio di luce naturale
incide sulla superficie dell'acqua contenuta
in una piscina (na= 1.33).
a) Determinare il valore dell'angolo di incidenza in corrispondenza del quale il
fascio riflesso risulta polarizzato linearmente.
b) Per tale angolo di incidenza valutare il
grado di polarizzazione del fascio
rifratto.
Fig. 51
~elatività
lntroduzione ............................................................868
Vll.1.
Equazioni di Max:well e principio di relativià ......... 871
Vll.2.
Trasformazioni di Lorentz .......................................883
Vll.3.
Trasformazioni relativistiche
per il campo elettromagnetico ...............................907
INTRODUZIONE
Il principio di relatività di Galileo stabilisce la completa equivalenza fisica di tutti i sistemi di riferimento inerziali1, nel senso che tutte le leggi
della meccanica sono invarianti rispetto ad osservatori in moto di traslazione uniforme fra loro. Pertanto da misure relative ad un qualsiasi esperimento meccanico, un osservatore non può dedurre qual è il moto del suo
laboratorio rispetto ad un altro sistema inerziale: nessun riferimento inerziale è privilegiato rispetto agli altri. Il principio di relatività galileiana
consegue immediatamente dalle relazioni di trasformazione, da un riferimento inerziale all'altro, delle coordinate spazio-temporali che identificano un evento rispetto ad un osservatore. Alla base di tali relazioni c'è
l'assunzione che gli intervalli di tempo e quelli di lunghezza siano assoluti, cioè invarianti per osservatori inerziali diversi. In altre parole se due
sbarre hanno la stessa lunghezza quando vengono confrontate in quiete,
si assume che esse risultino ancora uguali se confrontate mentre sono in
moto relativo tra loro. Analogamente per gli intervalli temporali.
Una volta che l'elettromagnetismo venne descritto in termini delle equazioni di Maxwell, apparve chiaro che t~Ji equazioni non erano invarianti
per trasformazioni galileiane. Si presentava quindi per la prima volta il
problema della non invarianza rispetto alle trasformazioni di Galileo delle
equazioni che descrivevano un'intera classe di fenomeni fisici. Ammettendo implicitamente la validità di tali trasformazioni, si rese necessario
specificare in quale riferimento inerziale le equazioni di Maxwell dovessero assumere la forma consueta e le onde elettromagnetiche dovessero
propagarsi con velocità c =(coµ 0f 112 •
Fino agli inizi del ventesimo secolo si riteneva che la propagazione delle
onde potesse avvenire solo in un mezzo materiale; quello in cui si trasmettevano i segnali luminosi era l'etere ed in questo la velocità valeva
c. In un qualsiasi altro riferimento in moto, con velocità costante vt, rispetto all'etere la velocità di propagazione della luce, ottenuta mediante
la relazione di trasformazione delle velocità di Galileo, doveva avere un
valore compreso tra c-vt e c+vt a seconda della direzione del moto relativo. Per i fenomeni elettromagnetici si ricercava, quindi, un riferimento
privilegiato, quello solidale all'etere, in cui la propagazione della luce
doveva avvenire con velocità c.
Tuttavia tutti gli esperimenti, fra cui ricordiamo quello di Michelson, fatti
per evidenziare l'esistenza di un tale riferimento assoluto diedero risultati
negativi. Anche i tentativi di giustificare questi risultati sperimentali, co1. Ricordiamo che si definisce inerziale un sistema di riferimento in cui è valida la prima
legge di Newton: in esso un punto materiale soggetto ad una forza risultante nulla si
muove con velocità costante. Il riferimento che meglio approssima la definizione data è
il così detto sistema delle stelle fisse, che è un sistema associato al sole con gli assi rigidamente collegati a quelle stelle che da secoli mantengono praticamente invariata la loro
posizione. Un qualsiasi sistema in moto rettilineo uniforme rispetto al sistema delle stelle fisse costituisce un riferimento inerziale.
869
INTRODUZIONE
me l'ipotesi della contrazione delle lunghezze di Lorentz o l'ipotesi di
trascinamento dell'etere, portarono ad altre contraddizioni. Negativi furono anche i tentativi di modificare le leggi dell'elettromagnetismo.
Dall'insuccesso dei tentativi fatti per conservare le trasformazioni di Galileo, che portavano al concetto di riferimento assoluto solidale con
l'etere, prese spunto la critica di Einstein relativa ai concetti di spazio e
di tempo assoluti, che culminò nel 1905 nella Teoria della relatività ristretta. A differenza dei suoi contemporanei Einstein partì dal punto di
vista diametralmente opposto, preferendo conservare la forma consueta
delle equazioni di Maxwell ed abbandonare le trasformazioni galileiane
ed i concetti di spazio e tempo assoluti. Einstein assunse come postulato
che la velocità di propagazione delle onde e.m. nel vuoto avesse lo stesso
valore c = (Eoµof 112 in ogni riferimento inerziale, indipendentemente dal
moto di questo rispetto alla sorgente e riformulò il principio di relatività
per tutte le leggi fisiche. Non solo eseguendo all'interno di un riferimento
inerziale esperimenti meccanici, ma anche eseguendo esperimenti di altra
natura come quelli elettromagnetici un osservatore non può dedurre il suo
stato di moto assoluto, ma solo quello relativo rispetto ad altri riferimenti
inerziali.
Nel seguito dopo aver illustrato i principali fatti sperimentali che dimostrarono l'inutilità del concetto di etere, definiremo operativamente la
contemporaneità e deriveremo le nuove relazioni di trasformazione delle
coordinate spazio-temporali di un evento nel passaggio da un riferimento
inerziale all'altro (trasformazioni di Lorentz). Da queste ricaveremo la
legge di composizione relativistica delle velocità e la nuova formulazione
delle leggi della meccanica. Da ultimo tratteremo le trasformazioni relativistiche del campo elettromagnetico.
1
::quazioni di Maxwell
3 princi io di relatività
Vll.1.1. Relatività Galileiana e velocità della luce ............... 872
Vll.1.2. Forza tra cariche elettriche viste
da un sistema in moto ............................................87 4
Vll.1.3. Contrazione di Lorentz. Massa e velocità .............. 876
Vll.1.4. Esperimento di Michelson ......................................878
Vll.1.5. Estensione del principio di relatività ai fenomeni
elettromagnetici ......................................................879
Vll.1. - EQUAZIONI DI MAXWELL E PRINCIPIO DI
RELATIVITÀ
Vll.1.1. - Relatività Galileiana e velocità della luce
y
Y'
Nella descrizione fisica dei fenomeni i concetti di spazio e di tempo hanno un ruolo essenziale. Ogni evento è infatti completamente identificato
quando sono note le sue coordinate spaziali (x,y,z) relative ad un riferimento prescelto L ed il tempo t in cui si è verificato. D'altra parte, nel
quadro della meccanica newtoniana, sappiamo come si trasformano le coordinate di un evento da un sistema L ad un
P(r,t)
diverso sistema L', in moto di traslazione uniforme rispetto
al primo. Se lo scorrimento avviene mantenendo ad esempio
l'asse X di L sovrapposto all'asse X' di L', nell'ipotesi che
le origini O e O' coincidano al tempo t=0, la relazione tra le
coordinate dello stesso evento nei due riferimenti è data dalle trasformazioni di Galileo
y'= y
Fig. 1
z'=z
t'= t
Le prime tre relazioni possono essere compendiate nell'equazione vettoriale
r'=r-v 1t
che, derivata rispetto al tempo, fornisce la legge di trasformazione delle
velocità
v'=v-v 1
da cui si deduce quella delle accelerazioni
a'= a
(se v1= cost)
E' implicito in questa formulazione il concetto di tempo assoluto, lo stesso cioè per tutti i riferimenti, e quello di spazio assoluto, nel senso che la
distanza tra le posizioni spaziali di due eventi contemporanei è la stessa
per tutti gli osservatori inerziali.
Da queste relazioni di trasformazione si può dedurre il principio di relatività di Galileo che stabilisce la completa equivalenza fisica di tutti i sistemi di riferimento inerziali. Ciò si può anche esprimere dicendo che tutte le leggi della meccanica sono invarianti rispetto a trasformazioni del
sistema di riferimento, purché il nuovo riferimento abbia un moto di traslazione uniforme rispetto al primo. L'invarianza delle leggi della meccanica può essere verificata prendendo ad esempio la legge fondamentale
VII. 1.1. - RELATIYITÀ GALILEIANA E VELOCITÀ DELLA LUCE
873
della dinamica, f = ma, per un sistema di punti materiali interagenti con
forze conservative, derivabili quindi da un potenziale cp. Per il generico
punto materiale essa viene espressa dalla relazione
d r.
~
mi - d
21 =fi =--"-' V <pi/rij)=
2
t
..
J;éJ
essendo rij = I ri- rj I .
Nel passaggio dal sistema :E al sistema :E', le trasformazioni di Galileo lasciano inalterati entrambi i membri di questa relazione: infatti l'ipotesi
del tempo assoluto comporta che a\= ai. Per quanto riguarda le grandezze
che compaiono a secondo membro osserviamo che, rimanendo invariata
nel passag,.gio da :E a :E' la distanza tra due qualsiasi particelle interagenti,
I r\-r'j I= I ri- rj I , le funzioni <pij restano inalterate e le loro derivate parziali rispetto a x\, y\ e z\ coincidono con quelle valutate rispetto a Xi, Yi e
zi (cioè d<pij !dx\= d<pij !dxi, d<pjjldy\ d<pjjldyi, d<pij !dz\ = d<pij !dzi). Possiamo quindi concludere che le equazioni fondamentali della meccanica
mantengono non solo la stessa forma, ma rimangono addirittura inalterate
nel passaggio dal sistema :E al sistema :E' mediante le trasformazioni di
Galileo.
L'equivalenza di tutti gli osservatori inerziali esclude quindi che i fenomeni
della meccanica possano mettere in evidenza un riferimento in quiete assoluta, privilegiato rispetto agli altri sistemi di riferimento.
Le equazioni di Maxwell sembrano invece comportarsi diversamente: infatti se le riteniamo valide in un sistema inerziale, la loro forma cambia
quando le traduciamo in un riferimento diverso mediante le trasformazioni di Galileo. Questa difficoltà può anche essere messa in evidenza dalla
equazione di propagazione delle onde elettromagnetiche
z
V E= µoEo
d2E
-2-
dt
da cui si deduce che tali perturbazioni si propagano con velocità
c=(µ 0 E.0 ) 112 • Ora tenendo conto della relazione di trasformazione galiliana
delle velocità nel passaggio da un riferimento inerziale ad un altro,
v'=v-vt, risulta che se la velocità delle onde e.m. è e in un riferimento dovrà diventare c'=c-vt in un altro in moto con velocità Vt rispetto al primo.
Di conseguenza la velocità delle onde e.m. dovrebbe risultare uguale a c
solo in un particolare sistema di riferimento.
Dalle osservazioni precedenti si deduce che, se si utilizzano le trasformazioni di Galileo, mentre per i fenomeni della meccanica tutti i sistemi inerziali sono equivalenti, per i fenomeni elettromagnetici sembra che
debba esistere un riferimento privilegiato in quiete assoluta. In tal senso
un osservatore potrebbe stabilire la propria velocità assoluta misurando
nel proprio riferimento di quanto differisce da c=(µ-0E.ol 2 la velocità delle
onde e.m. Questo punto di vista fu a lungo sostenuto dai fautori della teoria dell'etere, una sostanza sottilissima presente nello spazio vuoto, che
874
VII. I. - EQUAZIONI DI MAXWELL E PRINCIPIO DI RELATIVITÀ
permeava anche tutta la materia e che doveva avere proprietà elastiche
pari a quelle di un solido perfetto, onde consentire la propagazione delle
vibrazioni e.m. trasversali.
In conclusione, poiché utilizzando le trasformazioni di Galileo le leggi
della meccanica sono invarianti per osservatori inerziali diversi mentre
non lo sono quelle dell'elettromagnetismo, è necessario scegliere una delle tre ipotesi seguenti:
il principio di relatività o l'equivalenza di tutti i sistemi inerziali vale
solo per i fenomeni meccanici, mentre per quelli elettromagnetici si
può evidenziare un riferimento privilegiato, l'etere in quiete;
il principio di relatività e le trasformazioni di Galileo valgono anche
per i fenomeni elettromagnetici; di conseguenza le equazioni di Maxwell non sono corrette e devono essere modificate;
il principio di relatività vale sia per i fenomeni meccanici che per
quelli elettromagnetici ed inoltre le equazioni di Maxwell sono corrette; in tal caso le trasformazioni di Galileo e le leggi della meccanica
non sono corrette e devono essere riformulate.
Nel seguito illustreremo gli esperimenti più significativi che hanno permesso di rigettare le prime due alternative ed hanno portato Einstein a
formulare il principio di relatività per tutti i fenomeni fisici.
Vll.1.2. - Forza tra cariche elettriche viste da un
sistema in moto
1/,
1/,
Fig. 2
Analizziamo ora l'esperimento con cui Trouton e Noble cercarono di evidenziare l'esistenza di un sistema privilegiato in quiete assoluta per i
fenomeni elettromagnetici, previsto dalla prima ipotesi. E' a tale sistema
che si deve far riferimento quando si parla del campo elettrostatico isotropo prodotto da una carica puntiforme in quiete o del campo elettrico e
magnetico prodotti da una carica in movimento. Pertanto misure accurate
dei campi E e B prodotti da cariche puntiformi in quiete in un laboratorio
possono permettere di determinare la velocità di trascinamento di questo
rispetto al sistema privilegiato.
A tale scopo consideriamo due cariche puntiformi q 1 e q2 poste alle estremità dell'equipaggio mobile di una sensibile bilancia di torsione e trascinate con velocità Vt assieme al laboratorio rispetto all'ipotetico sistema
in quiete assoluta (fig. 2). La forza sulla carica q 1 può essere determinata
mediante l'espressione di Lorentz
F =q(E + vt xB)
ove E e B sono i campi prodotti dalla carica q2, anch'essa in moto con velocità Vt. Se scegliamo un sistema di riferimento che abbia l'asse X parallelo alla velocità Vt, i campi E e B generati da q2 hanno le espressioni
E = -grad<p- àA I àt (essendo A = µ0 Eo<pv) e B = µoEo vxE ricavate nel
§V.2.5. Le loro componenti cartesiane risultano pari a
E =- o<p
y
ay
E =- Ò<p
z
az
VII.1.2. - FORZA 1RA CARICHE ELETIRICHE VISTE DA UN SISTEMA IN MOTO
875
B X =0
Siamo perciò in grado di valutare le componenti cartesiane di vtxB
v2
v2
(vt xB)y =--+Ey (vt xB) 2 =--½-E 2
cc
(vt xB)x =0
e, quindi, quelle della forza sentita dalla carica q 1
In termini vettoriali si ha
dove ricordiamo che il potenziale <p è espresso dalla relazione
1
q2
1
q2
<p=----=-----=====
4rrco s
4rrco r.J1-~2sin20
Si può quindi introdurre un nuovo potenziale 'V= (1- ~ 2)<p, detto potenziale di convezione, il cui gradiente cambiato di segno fornisca la forza
sulla carica unitaria. In termini di \jf la forza F può essere riscritta nella
forma
y
X
da cui si deduce che essa è normale alle superfici equipotenziali (\jf=cost),
che coincidono, come sappiamo, con quelle su cui è costante la quantità
s = r.JI- ~2 sin 2 0 . Si tratta delle superfici di ellissoidi di rotazione appiattiti nella direzione del moto (fig. 3), che si possono ottenere contraendo delle sfere nella direzione della velocità Vt per un fattore di accorciamento pari a (1-~ 2)1'2.
La forza che q2 esercita su q 1, quando entrambe le cariche sono
trascinate rigidamente con velocità vt, non è più allineata con la
congiungente le due cariche, come nel caso statico. Ha così origine
una coppia che tende ad orientare l'asta nella direzione del moto se
le cariche sono dello stesso segno (fig. 4), o in direzione perpendicolare a questo se le cariche sono di segno opposto.
Nell'ipotesi che esista un riferimento in quiete assoluta per i fenomeni
elettromagnetici, si deve ritenere assai improbabile che tale riferimento
coincida con quello dei laboratori terrestri, dato che questi sono trascinati a grande velocità nel moto di rotazione della Terra intorno al proprio asse e intorno al Sole, nel moto del Sole nella Galassia, etc. Fa-
\jf=cost
Fig. 3
Fig. 4
876
VII. I. - EQUAZIONI DI MAXWELL E PRINCIPIO DI RELATIVITÀ
cendo uso di sensibili bilance di torsione Trouton e Noble tentarono perciò di
mettere in evidenza la coppia di forze dovuta al trascinamento. I risultati negativi di queste misure misero in evidenza che il riferimento privilegiato o
non esiste oppure stranamente coincide sempre col sistema di riferimento del
laboratorio terrestre 1•
Vll.1.3. - Contrazione di Lorentz. Massa e velocità
Sempre nell'ipotesi dell'esistenza di un riferimento privilegiato in quiete
per i fenomeni elettromagnetici, possiamo esaminare un'altra importante
conseguenza delle forze di interazione tra cariche che si muovono solidalmente tra loro, trascinate dal moto del laboratorio.
Consideriamo a tale proposito una sfera conduttrice carica per la quale è
ragionevole attendersi che il potenziale generato abbia la stessa espressione
di quello relativo ad una carica puntiforme. Ciò è stato verificato nel caso
in cui la sfera è in quiete: la densità superficiale di carica è uniforme, in
quanto le superfici equipotenziali sono sferiche. Se la sfera invece si muove
con velocità v rispetto al sistema privilegiato, le superfici equipotenziali
(\j/=cost) sono degli ellissoidi schiacciati nella direzione del moto, per cui
ci aspettiamo che le cariche tendano ad accumularsi nelle regioni di minima
energia potenziale, cioè ai poli. Se però la sfera si contrae nella direzione
del moto di un fattore (l-~2)1 12, la sua superficie ridiventa equipotenziale e
la carica deve distribuirsi nuovamente in modo uniforme.
Una situazione di questo tipo è stata ipotizzata da Lorentz per la distribuzione della carica dell'elettrone. Nel caso in cui esso sia in quiete, il suo
raggio classico R 0 può essere calcolato come abbiamo visto nel § 1.8.6.
richiedendo che l'energia del campo elettrostatico prodotto corrisponda
alla sua massa inerziale. Abbiamo trovato
I e2
2
UE==rnc
2 4nc 0 R 0
e
E
g
8/
'
B
I
I
I
I
t
V
Fig. 5
Possiamo ora approfondire ulteriormente questa corrispondenza
considerando il caso in cui l'elettrone sia in moto. Sappiamo infatti (cfr. § V.2.3.) che una carica in movimento si sposta solidalmente con i campi E e B che essa genera: le linee di E escono
radialmente dalla carica mentre quelle di B sono circolari, concentriche con l'asse del moto e giacenti sui piani perpendicolari a
v, come mostrato in fig. 5. Ogni punto dello spazio intorno alla
carica risulta pertanto sede di un campo elettrico e di un campo
magnetico tra loro ortogonali. Possiamo quindi valutare la quantità di moto trasportata dal campo elettromagnetico della carica in
movimento integrando su tutto lo spazio la densità di quantità di
moto g associata ai campi E e B che accompagnano la carica in
moto e che è data dalla relazione g = S/c2 = coExB, essendo S il
vettore di Poynting: S = ExB/µo.
1. Come vedremo più avanti, non esiste alcun riferimento inerziale privilegiato. Le leggi
dell'elettrodinamica che abbiamo ricavato sono valide ma vanno interpretate pensando
che quando si parla di quiete o di moto si deve sempre intendere quiete o moto rispetto
ali' osservatore che compie le misure.
VII.1.3. -CONTRAZIONE DI LOREN1Z. MASSA E VELOCITÀ
877
Per piccole velocità (v << c), sappiamo che il campo elettrico è quello
coulombiano per cui si ha
E =-1_ __g___~
4nc 0 r 2 r
µ 0 qv r vxE
-X-=-B =2
2
4n r
r
c
La quantità di moto totale del campo risulta parallela a v e vale
p=
ffJ
gsin0dV=
ff
8 0
2 2
2
gsin02nr sin0d0dr= ; : 2v [ ; r dr
Ricordando che per definizione la massa inerziale lega la quantità di moto
con la velocità, p=mv, si può pensare che il campo elettromagnetico fornisca inerzia alla carica q con un contributo pari a
4 UE
m ---o - 3 c2
Se ora consideriamo la stessa carica q in moto con velocità paragonabile a
quella delle onde e.m. (v c ), dobbiamo modificare le espressioni di E e
di B in quanto bisogna derivarle dai potenziali elettrodinamici; si ottiene
(cfr. § V.2.5.)
=
B= vxE/c
2
Integrando la nuova densità di quantità di moto su tutto lo spazio interessato dai campi E e B ed aggiungendo l'ipotesi che la distribuzione di carica, inizialmente sferica, si sia ora contratta per un fattore (l-p 2)1'2 nella
direzione del moto, si ottiene il valore della quantità di moto complessiva.
Essa risulta pari a
p=
4
UE
filo
-----;::==V=----;::==V
3 c2.J1 -p2
.Ji-p2
Quindi la massa inerziale di natura elettromagnetica cresce con la velocità
secondo il fattore l/(l-P 2)1'2. Questa dipendenza della massa dalla velocità è stata inizialmente verificata con fasci di elettroni accelerati entro tubi
a raggi catodici e deflessi contemporaneamente da un campo elettrico e
da un campo magnetico paralleli tra loro e normali rispetto alla velocità
VII. I. - EQUAZIONI DI MAXWELL E PRINCIPIO DI RELATIVITÀ
878
(cfr. § III.1.4.2.). Con i moderni acceleratori si possono imprimere alle
particelle subatomiche cariche velocità così prossime a quella della luce
che la loro massa inerziale può diventare anche decine di migliaia di volte
superiore rispetto a quella delle stesse particelle a riposo. In tutti i casi è
verificata la relazione
Quindi, mentre l'esperimento di Trouton e Noble, eseguito per evidenziare il moto assoluto rispetto all'etere di cariche in quiete rispetto
all'osservatore, aveva dato esito negativo, si sono ottenute verifiche sperimentali accurate dell'aumento della massa inerziale con la velocità della
carica. Si tratta però in questo caso di velocità rispetto al laboratorio terrestre e questa può coincidere con la velocità assoluta rispetto all'etere
solo se il laboratorio coincide con il riferimento privilegiato.
Vll.1.4. - Esperimento di Michelson
- .d_ - - -
T- - -
1s1
I
o
-----------B
Fig. 6
Abbiamo visto che nell'ipotesi che esista un sistema privilegiato in quiete
rispetto all'etere e che siano valide le trasformazioni di Galileo della
meccanica classica, ci si deve attendere una dipendenza della velocità
delle onde e.m. dalla velocità di trascinamento del laboratorio. Misure
molto precise sono state condotte per mettere in evidenza gli effetti di
questo trascinamento, e tra queste rivestono particolare importanza quelle
eseguite da Michelson mediante sensibili interlerometri ottici.
Ricordiamo2 che l' interlerometro di Michelson consta essenzialmente di un sistema ottico che focalizza su di uno schermo le
immagini di due sorgenti virtuali estese e coerenti, ottenute da
una stessa sorgente reale estesa S mediante una lastra semiriflettente SR e due specchi S1 ed S2• Posizionando opportunamente S1
ed S2 si possono produrre sullo schermo B sistemi di frange di
interlerenza di eguale inclinazione aventi forma circolare. In particolare la frangia centrale risulta chiara o scura in funzione della
differenza dei cammini ottici percorsi dai due raggi centrali.
La presenza di un moto di trascinamento deve dar luogo ad
una variazione dei tempi di propagazione rispetto a quelli valutati quando l'interferometro si trova in quiete nel sistema
privilegiato.
Se il trascinamento avviene con velocità v parallelamente al
braccio dell'interferometro di lunghezza .e 1, la velocità di propagazione del raggio 1 è pari a (c-v) all'.andata e (c+v) al ritorno, così che il tempo di propagazione è dato da
,
(
1
1 )
t 1 = .e 1 c - v + c + v
2.el
= c (1 - B2 )
Esso risulta diverso dal tempo di propagazione nell' interlerometro in
quiete, dato da t 1 =2.ei/c.
2. Cfr.§ IV.4.3.5.
VII. 1.5. - ESTENSIONE DEL PRINCIPIO DI RELATIVITÀ Al FENOMENI ELETTROMAGNETICI
879
Analogamente l'effetto del trascinamento sul tempo di propagazione lungo il braccio di lunghezza Jl. 2, perpendicolare alla velocità v, si può valutare tenendo presente che, a causa del trascinamento, la lastra semiriflettente SR si sposta di un tratto 2h mentre la luce percorre nei due versi la distanza di separazione tra questa e lo specchio S2 (fig. 7). Dovendo risultare quindi
t'z - (h 2 + Jl,; y;2
2
e
h
t'
_2
-
2
c
...........
V
si ha
Il tempo di propagazione passa perciò dal valore t 2 = 2Jl, 2/ c al valore
t
2R2
,
U2
----"-----,=====
2- (c2-v2)J/2 - c.J1-B2
Se ora ruotiamo l'interferometro di 90° in modo che il braccio Jl, 2 diventi
parallelo al moto, i tempi di propagazione diventano
Il
e
t2=
2Jl, 2
(
2)
cl-B
con una variazione nella differenza tra i tempi di propagazione pari a
~t=(t'\-t\)-(t''z-t'2)= 2(R1 +f.2)(11
2
2
c.J1-B
.J1-B
J=
=- 2(R1 +R2)(1+.!..B2).!..B2 =- Jl,l +f.2 B2
2
c
2
c
Ci si deve attendere perciò che la rotazione di 90° sia accompagnata da
uno spostamento di N frange di interferenza, ove
N = c~t
À
= (f. 1 + f. 2 ) B2
À
Pur essendo un effetto del secondo ordine in B, la precisione delle misure
era tale da consentire l'individuazione di un vento d'etere, cioè di una velocità dell'interferometro rispetto al sistema privilegiato di pochi km/s. Le
misure furono ripetute in periodi diversi dell'anno, con diversi valori della velocità della Terra rispetto al Sole e rispetto alla Galassia ma non evidenziarono alcuno spostamento di frange.
Vll.1.5. - Estensione del principio di relatività ai
fenomeni elettromagnetici
Varie ipotesi vennero inutilmente avanzate per conciliare il risultato negativo della esperienza di Michelson con l'idea dell'esistenza di un sistema privilegiato per i fenomeni elettromagnetici. Le principali sono state:
Fig. 7
880
*
i)-
'H"
I #
I
I
... J
A
I
T
t
/ :
J--1
I
j
I
I
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..,,
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+----- ►;
vAt
.
Fig. 8
------1-------
\V,,
,
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,~ . . -- -----L- -:
\
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\
\
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\
\
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\
\ \ 2cl(.
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\
\
\
\
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\
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Fig. 9
__ ),
-
I
I
I
I
,,
'
I
,
I
VII. I. - EQUAZIONI DI MAXWELL E PRINCIPIO DI RELATNITÀ
Contrazione di Lorentz-Fitzgerald. Come abbiamo visto nel caso
dell'elettrone di Lorentz, si può pensare che tutti i corpi si contraggono nella direzione del moto per il fattore (1-~ 2)1'2 • Ciò potrebbe spiegare il risultato negativo ottenuto con un interferometro a bracci uguali. Tuttavia, poiché anche con interferometri in cui uno dei due bracci
era molto più lungo dell'altro (,€ 1 >> f 2), come quello utilizzato da
Kennedy, si ebbero sempre risultati negativi, si giunse ad ammettere
che l'ipotesi della contrazione delle lunghezze non era sufficiente a
spiegare il mancato spostamento di frange.
Trascinamento dell'etere. Per sostenere l'idea di un sistema privilegiato per i fenomeni elettromagnetici, fu avanzata l'ipotesi che l'etere
venisse trascinato dal moto dei grandi corpi celesti, come la Terra. Di
conseguenza la propagazione dei fenomeni e.m. doveva avvenire con
velocità c anche rispetto alla Terra, che tuttavia non poteva essere
considerata un riferimento privilegiato. Tale ipotesi, sebbene fosse in
grado di giustificare i risultati negativi delle esperienze di Michelson e
di Trouton-Noble, risultò in contraddizione con il fenomeno
dell'aberrazione delle stelle fisse, che era stato osservato per la; prima
volta da Bradley (1727). Per tale fenomeno una stella allo zenith appare spostata di un angolo a= arctg(v/c), ove v è la velocità delJa, Terra
(fig. 8), per cui le stelle descrivono una piccola ellisse nel cielo durante il moto annuale della Terra (fig. 9). Ciò non potrebbe accadere se la
propagazione della luce avvenisse rispetto ad un etere trascinato dal
moto della Terra.
Il fallimento di tutti i tentativi effettuati per mettere in evidenza
l'esistenza dell'etere portò a concludere che sperimentalmente non era
possibile mettere in evidenza un sistema privilegiato in quiete assoluta o
definire uno stato di moto assoluto. Di conseguenza anche per i fenomeni elettromagnetici doveva essere valida l'equivalenza di tutti i sistemi inerziali. A questo punto restavano due alternative:
considerare valide le trasformazioni di Galileo e modificare le equazioni di Maxwell, per renderle invarianti per tali trasformazioni;
considerare corrette le equazioni di Maxwell e riformulare le leggi note della meccanica sulla base di nuove relazioni di trasformazione delle coordinate spazio-temporali.
Nel tentativo di modificare le equazioni di Maxwell, vennero sviluppate
varie teorie di emissione in cui si ipotizzò che la velocità della luce fosse
uguale a c rispetto alla sorgente3.
Essenzialmente le varie teorie si possono ricondurre a tre che differiscono
fra loro per quanto riguarda il comportamento della velocità delle onde
e.m. dopo una riflessione. Infatti secondo le tre teorie, dopo la riflessione
la velocità dell'onda vale c se viene misurata
a) rispetto alla sorgente reale;
b) rispetto allo specchio;
c) rispetto all'immagine.
La seconda e la terza ipotesi risultano in contraddizione con l'evidenza
sperimentale, in quanto prevedono effetti inesistenti del primo ordine in
3. Osserviamo che finora nelle equazioni differenziali della propagazione non è mai intervenuto il moto della sorgente.
VII.1.5. - ESTENSIONE DEL PRINCIPIO DI RELATIVITÀ AI FENOMENI ELETTROMAGNETICI
881
v/c. La prima ipotesi dovuta a Ritz prevede che la velocità della sorgente
appaia nelle espressioni dei potenziali ritardati nel modo seguente
cp(r1'
t)=-1-ffi
4ne 0
p(rz, t-r12/(c+v r ))dVz
G2
Analogamente per il potenziale vettore A.
Questa teoria spiegherebbe l'esito negativo delle misure di Michelson, che
utilizzava sorgenti luminose collegate col dispositivo e trascinate con questo dal moto terrestre. Nuove misure vennero perciò eseguite usando luce
di sorgenti extraterrestri, sempre però con esito negativo. Inoltre una teoria
di questo tipo farebbe prevedere una eccentricità apparente nei sistemi di
stelle binarie che in realtà non è stata mai osservata.
Se ne deve concludere che le equazioni Maxwell sono corrette nella forma nota. Occorre inoltre accettare l'evidenza che la velocità delle onde
elettromagnetiche è c in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Ne segue
che devono essere modificate le trasformazioni di Galileo, in particolare quella di trasformazione delle velocità: vA= vR+Vt.
Da questi fatti prese spunto l'analisi di Einstein relativa ai concetti di
spazio e di tempo assoluti, impliciti nella formulazione della fisica newtoniana. I postulati della teoria. di Einstein sono:
equivalenza di tutti i sistemi inerziali, sia per i fenomeni meccanici
che per quelli elettromagnetici;
validità delle equazioni di Maxwell che prevedono fenomeni di propagazione di onde con velocità c (indipendenza della velocità della luce dal moto della sorgente);
la velocità della luce c deve essere la stessa in tutti i sistemi inerziali
(indipendenza della velocità della luce dal moto dell'osservatore).
sformazioni di Lorentz
Vll.2.1.
Spazio e tempo nelle trasformazioni di Galileo .. 884
Vll.2.2.
Analisi del concetto di contemporaneità ............. 885
Vll.2.3.
Definizione operativa della contemporaneità ...... 886
Vll.2.4.
Trasformazioni delle lunghezze
e degli intervalli di tempo ..................................... 887
Vll.2.5.
Trasformazioni di Lorentz .................................... 890
Vll.2.6.
Rappresentazioni di Minkowsky ..........................893
Vll.2.7.
Velocità della luce e causalità ..............................895
Vll.2.8.
Addizione relativistica delle velocità ................... 897
Vll.2.9.
Formalismo quadridimensionale .........................899
Vll.2.1 O. Equivalenza massa-energia ................................903
Vll.2. - TRASFORMAZIONI DI LORENTZ
Vll.2.1. - Spazio e tempo nelle trasformazioni di Galileo
y
1:
Y'
1:'
Un evento viene definito dandone le coordinate spaziali e temporali:
E(x,y,z,t). Per distanza o separazione spaziale tra due eventi si intende la
distanza tra i due punti dello spazio in cui i due eventi avvengono, mentre
la distanza temporale tra gli stessi eventi è definita come differenza tra i
tempi t 1 e t2ad essi relativi.
Consideriamo ora due sistemi inerziali :l: e :l:' in moto relativo l'uno rispetto all'altro; in particolare consideriamo :l: come fisso e :l:' in moto con
velocità Vt nel verso positivo dell'asse X. Se i due sistemi sono sovrapposti nell'istante t=O, le trasformazioni di Galileo
x = x'+v t t'
x'=x-vtt
y=y'
y'=y
z=z'
z'=z
t = t'
Fig. 1
permettono di passare dalla conoscenza delle coordinate spaziali e
temporali di un evento P(x,y,z,t) in :l: a quelle dello stesso evento
P(x',y',z',t') in :l:'.
Se ora consideriamo due eventi P 1 e P 2, possiamo valutare nei due sistemi
di riferimento la loro distanza spaziale e temporale. Per la distanza temporale troviamo che
~t=t2 -ti =t'2-t'i =~t'
cioè la distanza temporale resta invariata passando da un sistema inerziale
all'altro. Nella meccanica Newtoniana la contemporaneità è assoluta
(~t=~t'=O) e ciò significa che se due eventi appaiono contemporanei ad
un osservatore, risultano tali anche per un osservatore in moto rispetto al
primo.
Consideriamo invece la separazione spaziale d tra i due eventi valutata
nei due sistemi. In generale i valori di de di d' non coincidono: infatti utilizzando le relazioni di trasformazione si ha
d' = X' 2-
X\
= (X 2 -
V
t t 2) - ( X 1 -
V tt 1 )
= (X 2 -
X 1 ) - V t (t 2 -
t1) = d -
V
t~t
Troviamo così che la distanza spaziale tra due eventi risulta la stessa nei
due riferimenti solo se tali eventi sono contemporanei.
Riassumendo possiamo affermare che le trasformazioni di Galileo portano a definire una distanza temporale invariante e con questa una
contemporaneità assoluta. Stabiliscono invece che la distanza spaziale
tra eventi è relativa al sistema di riferimento; questa risulta invariante
rispetto alle trasformazioni tra sistemi inerziali solo se è relativa ad eventi contemporanei.
vn.2.2. -
885
ANALISI DEL CONCETTO DI CONTEMPORANEITÀ
Il carattere assoluto del tempo (vale a dire t = t') consente di ricavare facilmente la relazione di trasformazione delle velocità tra i due sistemi. Infatti derivando rispetto al tempo la relazione x=x'+ vtf, si ottiene
dx dx' d(v/) dx'
- = - + - - - = - + v1
dt
dt
dt
dt
⇒
vA =vR +v 1
E' proprio quest'ultima relazione ad essere contraddetta dai risultati sperimentali, cioè dalla impossibilità di mettere in evidenza sperimentalmente il sistema privilegiato nel quale la velocità della luce risulti pari a
c=(µoEo)1' 2•
Vll.2.2. - Analisi del concetto di contemporaneità
Come abbiamo già fatto osservare, il postulato fondamentale della teoria
della relatività di Einstein è l'equivalenza di tutti i sistemi inerziali per
qualsiasi fenomeno fisico, inclusi quelli elettromagnetici; di conseguenza
la velocità della luce deve valere c = (µoEo)1' 2 in tutti i sistemi inerziali.
Facciamo vedere che questa affermazione è in contraddizione con la relazione di composizione galileiana delle velocità, VA=VR+Vt.
Supponiamo infatti che nell'istante t = O, in cui i due riferimenti L e L'
coincidono, venga emessa dall'origine comune (0=0') un'onda luminosa: questa si propagherà nello spazio circostante come
un'onda sferica avente centro nell'origine del proprio rifey
rimento sia per l'osservatore solidale a L che per quello solidale a L'. Infatti, se ciò non fosse vero si potrebbe stabilire quale dei due sistemi è in quiete e quale è in moto. Poiché il fronte d'onda è il luogo dei punti raggiunti contemporaneamente dall'onda nelle varie direzioni, l'apparente
paradosso può essere spiegato solo se si assume che la contemporaneità non è assoluta ma è relativa al sistema di riferimento. Infatti solo in tale ipotesi il luogo dei punti raggiunti contemporaneamente dall'onda per l'osservatore L
z
può essere diverso dal corrispondente per l'osservatore L'
(fig. 2), mentre se la contemporaneità fosse assoluta, lo
Fig. 2
stesso fronte d'onda sferico non potrebbe avere due centri
diversi.
Si rende perciò necessaria un'analisi del concetto di contemporaneità, nonché dei concetti di spazio e di tempo. La
contemporaneità deve essere definita operativamente in
modo da assicurare l'invarianza della velocità delle onde
taO ~' l '
I
e.m. nella trasformazione da un sistema inerziale all'altro.
La relatività del concetto di contemporaneità può essere
messa in evidenza dall' esempio seguente: due osservatori
---------------------------------~---e
+O
i
si trovano rispettivamente in O e in O', e supponiamo che
O' si muova con velocità Vt verso destra. Nell'istante in cui
O e O' coincidono viene emessa da O ed O' un'onda luminosa che si propaga sfericamente per entrambi gli osservatori (fig. 3). L'osservatore posto in O considera l'arrivo
Fig. 3
dell'onda in A contemporaneo all'arrivo in B, in quanto
j
~M(L@J)JJJr
w:••
I
~. ~··rt:~f f~ Tn~ r
886
VII.2. - TRASFORMAZIONI DI LOREN1Z
tali punti sono equidistanti da O e la luce deve percorrere i tratti OA e OB
in tempi uguali in quanto si propaga con la stessa velocità in entrambe le
direzioni. Inoltre per tale osservatore l'arrivo dell'onda in C deve precedere l'arrivo in D.
Invece, per l'osservatore posto in O' l'arrivo dell'onda in C risulta contemporaneo all'arrivo in D (punti equidistanti da O' nel sistema :E'), mentre l'arrivo in A segue l'arrivo dell'onda in B.
Da queste considerazioni risulta evidente che l'ipotesi della costanza della velocità della luce nei vari sistemi inerziali non è compatibile con il
concetto di contemporaneità assoluta, mentre si può mantenere la nozione
di contemporaneità assoluta solo per eventi che coincidono spazialmente.
Vll.2.3. - Definizione operativa della contemporaneità
Occorre a questo punto definire operativamente le coordinate spaziali e
temporali di un evento in ciascun sistema di riferimento. Tale problema
può considerarsi concettualmente risolto se possiamo associare a ciascun
punto di ogni sistema di riferimento le tre coordinate spaziali nonché un
orologio, in quiete rispetto al riferimento fissato, sul quale si possa leggere il tempo a cui si verifica l'evento nel punto considerato.
Per definire le coordinate spaziali dei vari punti in ciascun riferimento
possiamo utilizzare un regolo di lunghezza unitaria: questo infatti deve
avere le stesse proprietà in ogni riferimento rispetto al quale è in quiete.
Analogamente, per definire le coordinate temporali, si possono utilizzare orologi campione, la cui velocità di funzionamento deve essere la
stessa in ogni sistema inerziale in cui sono in quiete. Per non introdurre
ipotesi sul comportamento degli orologi durante il loro trasporto da un
punto all'altro del sistema, questi verranno sincronizzati in modo che
segnino lo stesso tempo dell'orologio situato nell'origine delle coordinate soltanto dopo che sono stati trasportati nelle rispettive posizioni. Il
processo di sincronizzazione può avvenire nel modo seguente: quando
l'orologio che si trova nell'origine O segna il tempo t=0, inviamo da O
un segnale luminoso. Un osservatore posto a distanza r da O in :E, quando riceve il segnale, deve regolare il suo orologio in modo che questo
segni il tempo t=r/c.
A questo punto possiamo stabilire che due eventi, che avvengono in posizioni diverse in :E, sono contemporanei quando gli orologi che si trovano
in queste due posizioni segnano lo stesso tempo. E' evidente che alla base
di questa nuova nozione di tempo c'è il postulato della costanza della velocità della luce in tutte le direzioni e per tutti i sistemi inerziali. Il risultato negativo delle esperienze di Michelson e di Trouton e Noble viene portato a livello di principio.
Questa definizione operativa di contemporaneità va tenuta presente quando misuriamo la distanza tra eventi che avvengono in un sistema in moto
rispetto al nostro. Per esempio abbiamo definito la lunghezza di un corpo
come la distanza tra le posizioni contemporanee dei suoi punti estremi;
essendo la contemporaneità diversa nei vari sistemi, segue che la lunghezza determinata da un osservatore rispetto a cui il corpo è in movimento può risultare diversa da quella misurata da un osservatore solidale
al corpo, rispetto al quale quindi il corpo è in quiete.
rn.2.4. -
TRASFORMAZIONI DELLE LUNGHEZZE E DEGLI INTERVALLI DI TEMPO
\nalogamente la distanza temporale tra due eventi dipende
lai tempi t1 e t2 segnati da due orologi in posizioni diverse.
\ causa della procedura di sincronizzazione degli orologi
1ei vari sistemi di riferimento, dobbiamo aspettarci che gli
ntervalli temporali valutati in due riferimenti I: e I:' in mo.o relativ~ risultino in generale differenti, cioè t2-t1 :;t:t' 2-t'i.
:::'.iò è conseguenza del fatto che la coordinata temporale per
mo stesso evento assume valori diversi nei due sistemi. Initti supponiamo che nell'istante in cui le origini di I: e I:'
;oincidono (O= O') vengano regolati a zero entrambi gli
)fologi presenti in O ed O', e che contemporaneamente sia
lnviato un segnale luminoso da una sorgente posta nel pun:o coincidente con O ed O' (fig. 4a). Quando il segnale luminoso arriva in A (fig. 4b), i due orologi di I: e I:'
:;oincidenti in quel momento con A vengono sincronizzati
:;on quelli nelle rispettive origini O e O', ponendo per lo
stesso evento (arrivo del segnale in A)
tA
= r/c
e
t'A
887
y
Y'
t=O
t'=O
(:)
=r'/c
X
X'
Fig. 4a
r:-1--1-1..1-.i...y=#!##::!::;:!::::::::±#~==flll!4
X'
E' da tener presente però che l'equivalenza dei vari sistemi di riferimento implica che le diverse valutazioni
della lunghezza o della durata dipendono esclusivamente
dalle diverse operazioni di misura e non da variazioni intrinseche degli oggetti che stiamo misurando.
Fig. 4b
Vll.2.4. - Trasformazioni delle lunghezze e degli
intervalli di tempo
Vediamo ora con quali trasformazioni bisogna sostituire quelle di Galileo
in modo da garantire l'invarianza della velocità della luce nei vari sistemi
di riferimento.
Tali trasformazioni devono permettere di passare dalle coordinate
(x,y,z,t) di un evento in un sistema I: a quelle (x',y',z',t') dello stesso evento in un sistema I:' in moto rispetto a I:; devono essere lineari in modo da
garantire la omogeneità dello spazio (ad esempio, l'origine non deve risultare fisicamente distinguibile dagli altri punti); infine devono essere
tali da non consentire in alcun modo di constatare, mediante misure fisiche, una differenza essenziale tra i due sistemi.
Vll.2.4.1. - Trasformazioni delle coordinate trasversali
al moto
Consideriamo due regoli rigidi AB e A'B' costruiti identicamente
posti uno nel riferimento I: e l'altro in I:' in modo che risultino paralleli agli assi Y ed Y' ed il loro punto medio M e M' si trovi
sull'asse X sovrapposto a X' (fig. Sa).
Il passaggio dell'estremo A' attraverso la retta passante per AB appare contemporaneo al passaggio dell'estremo B' attraverso la stessa retta sia nel sistema I:' che in I: (fig. 5b). Quindi, se la distanza
y
Y'
A'
A
B'
B
Fig. Sa
888
VIl.2. - TRASFORMAZIONI DI LORENTZ
A'B' misurata in :E risultasse inferiore alla distanza AB, la lunghezza del
regolo A'B' apparirebbe inferiore a quella di AB anche per un osservatore
posto in :E'. Si potrebbe in tal modo trovare un sistema privilegiato nel
quale il regolo assumerebbe la lunghezza minima.
Se i due sistemi devono essere fisicamente equivalenti deve perciò risultare AB=A'B' per entrambi gli osservatori. Di conseguenza le coordinate
spaziali trasversali al moto assumono gli stessi valori in :E e .:E', cioè
y=y'
e
z=z'
come nelle trasformazioni di Galileo.
Vll.2.4.2. - Trasformazione degli intervalli di tempo
Fig. 5b
Non possiamo confrontare la velocità di avanzamento di un orologio
campione posto in :E con quella di uno in :E' in quanto non possiamo tenerli vicini durante il confronto. Dobbiamo perciò confrontare l'intervallo
di tempo segnato dall'orologio in :E' con quello ottenuto confrontando le
letture di due orologi sincronizzati in :E e coincidenti con l'orologio in :E'
rispettivamente all'inizio e alla fine dell'intervallo .
A tale scopo prendiamo una sorgente luminosa S, connessa rigidamente con un orologio O' in :E' (fig. 6a). Questa invia lungo l'asse Y' un
raggio luminoso che viene riflesso dallo specchio Sp e ritorna alla sorgente S dopo un intervallo di tempo ~t' che, letto mediante l'orologio
O', risulta pari a
Y'
................. +····
Sr
I
I
I
I
! t
I
I
I
I
I
T
y'o
I
I
I
I
t
~t'= 2y' 0 /c
X'
Fig. 6a
Lo stesso fenomeno può essere descritto anche nel sistema :E rispetto al quale :E' si sta movendo con velocità Vt parallelamente all'asse
X. L'intervallo di tempo ~t impiegato dal raggio luminoso per ritornare alla sorgente dopo la riflessione sullo specchio viene valutato mediante le letture eseguite sui due orologi O ed 0 1 con i quali
O' coincide rispettivamente alla partenza e all'arrivo del segnale. Si
ha pertanto
⇒
y
Ricordando che y 0 = y'0 possiamo scrivere la relazione
~t'
~t =---;::==
.J1-
X
Fig. 6b
(VII.2.1.)
~2
La durata del fenomeno appare allungata in :E: si parla perciò di
dilatazione del tempo.
Questo risultato spiega l'aumento della vita media di particelle instabili quando si osserva il loro decadimento in volo ad esempio
in un laboratorio terrestre.
VII.2.4. - TRASFORMAZIONI DELLE LUNGHEZZE E DEGLI INTERVALLI DI TEMPO
889
Vll.2.4.3. -Trasformazione delle lunghezze parallele al moto
Supponiamo di avere una sbarra in quiete nel sistema L' e di disporla parallelamente all'asse X' (fig. 7a). La sua lunghezza t in questo sistema si
può determinare misurando l'intervallo di tempo Lit' che un raggio di luce
emesso ad una estremità impiega a ritornarvi dopo essere stato riflesso
all'altra estremità. Essendo Lit'=2f'/c, la lunghezza t risulta pari a
Y'
O'
X'
Fig. 7a
Nel sistema L la sbarra appare in moto con velocità Vt nel verso positivo
dell'asse X. Valutiamo la lunghezza f della sbarra in questo sistema con
un procedimento analogo a quello utilizzato in L
Notiamo che mentre la luce si propaga dall'estremo A
------- i\ ------all'estremo B, la sbarra si sposta in L di un tratto Lix 1 (fig: 7b),
tale che sia soddisfatta la relazione
1
•
B
Analogamente mentre la luce si propaga da B a C, la sbarra si
sposta di Lix2 ove
f_
A
2
LÌXz=VtC
X
Fig. 7b
Possiamo perciò scrivere che
f_
⇒
f1=--l-vt/c
⇒
Siamo in grado ora di valutare nel sistema L la lunghezza f della sbarra
mediante la misura dell'intervallo di tempo Lit impiegato dalla luce emessa dalla sorgente posta nell'estremo A per ritornarvi dopo essere statariflessa dall'estremo B. Infatti per l'invarianza della velocità della luce deve risultare
⇒
Ricordando inoltre la relazione (VIl.2.1.) che lega l'intervallo di tempo
Lit' misurato in L a quello Lit misurato in L, si ottiene
1
da cui
VII.2. - TRASFORMAZIONI DI LOREN1Z
890
La lunghezza della sbarra risulta perciò accorciata di un fattore (1-~2 ) 112
quando viene misurata nel sistema L rispetto al quale la sbarra si muove
con velocità Vt. Ritroviamo quindi la contrazione di Lorentz ma con un
significato completamente diverso. Mentre la contrazione di Lorentz si
supponeva reale e dipendeva dalla velocità assoluta rispetto ad un sistema
di riferimento privilegiato, la contrazione prevista dalla teoria della relatività è perfettamente simmetrica nei due sistemi in moto relativo fra loro:
l'osservatore solidale ad un sistema vede le lunghezze dell'altro sistema
contratte del fattore (l-~ 2)1'2 così come un osservatore dell'altro sistema
vede le lunghezze del primo contratte (e non dilatate) dello stesso fattore.
Abbiamo inoltre visto come la contrazione delle lunghezze sia accompagnata da una dilatazione del tempo. Questi effetti sono in realtà conseguenze della definizione operativa di misura di lunghezza e di tempo, definizione che è diversa nel sistema L per fenomeni che si svolgono su
corpi che in L sono in quiete o in movimento.
Vll.2.5. - Trasformazioni di Lorentz
Vediamo ora con quali relazioni si trasformano le coordinate (x,y,z,t) di
un evento in L in quelle (x',y',z',t') dello stesso evento in L nell'ipotesi
che le origini O ed O' dei due riferiµienti coincidano per t=t'=0.
Sia A l'evento che corrisponde all'arrivo di un lampo di luce
emesso da O= O' al tempo t = t' = O. Un osservatore in L valuta la distanza tra O ed A, che denoteremo con (OA)', come
somma delle distanze 00' e O'A
1
,
y
Y'
V
1
(OA)'= x'A +vt'A
dove t'A è il tempo di arrivo del segnale in A misurato in L
Per la contrazione delle lunghezze in moto, deve risultare
X'
1
•
X
(VII.2.2.)
da cui si ottiene la relazione
Fig. 8
X
_
A-
x' A +vt' A
.J1-~2
con
V
P=c
Analogamente possiamo ricavare come si trasforma la coordinata temporale. Infatti nell'esempio precedente devono anche valere le relazioni
e
Sostituendo nella (VII.2.2.) si ha
ct'A +~ x'A = ctA
c
.J1- p2
da cui si ricava la relazione di trasformazione per il tempo
vn.2.5. - TRASFORMAZIONI DI LORENTZ
891
Siamo quindi in grado di scrivere le trasformazioni che devono sostituire
quelle di Galileo per passare dalla descrizione di un evento in :E a quella
in :E' e viceversa. Queste sono dette trasformazioni di Lorentz e sono
espresse dalle seguenti relazioni
Da :E' a::E
Da :E a :E'
x'+vt'
X=--;::==
.J1-
x-vt
x'=--;:::==
.J1-
~2
y=y'
y'=y
z=z'
z'=z
~2
V
t--x
2
t'=
e
.J1-
~2
Se poniamo
1
y=---
V
~=e
.J1-
~2
possiamo riscrivere le trasformazioni di Lorentz in modo più compatto
nella forma
x' = yx-rict
y=y'
y'=y
z=z'
et = rix' + yct'
z'=z
et' = -rix + yct
oppure, in forma matriciale
X
y
z
et
o o 11
o 1 o o
o o 1 o
1l o o 'Y
'Y
x'
x'
y'
y'
z'
z'
et'
et'
o o -ri
o 1 o o
o o 1 o
-ri o o 'Y
'Y
X
y
z
et
Tali trasformazioni consentono di giustificare l'affermazione, apparentemente paradossale, che la luce si propaga per onde sferiche con centro in
O nel sistema :E ed allo stesso tempo con centro in O' nel sistema :E'. Infatti, un fronte d'onda sferico che in :E ha centro in O e si propaga con velocità e soddisfa la seguente equazione
x 2 +y2+z 2
c 2 t 2 =0
La relazione corrispondente nel sistema :E', ottenuta trasformando le coordinate spazio-temporali con le trasformazioni di Lorentz è espressa da
892
VII.2. - TRASFORMAZIONI DI LOREN1Z
Da questa si deduce che anche in I:' le coordinate soddisfano l'equazione
di un'onda sferica che si propaga da O' con velocità c.
Per chiarire meglio il significato di questa affermazione e collegarla con
la discussione del concetto di contemporaneità fatta nel § VII.2.2, consideriamo un lampo di luce emesso dall'origine ali' istante t = t' = O, nel momento in cui le origini O e O' dei due riferimenti coincidono. Dopo un
tempo unitario in I:, la luce colpisce uno schermo posto sull'asse X ed
uno sull'asse Y del sistema I:, messi entrambi a distanza pari a c
dall'origine (fig. 9). Abbiamo così due eventi A e B, contemporanei per
l'osservatore in O, le cui coordinate sono
--''
'
Valutiamo ora le coordinate degli stessi due eventi visti dall'osservatore
posto in O', che all'istante t=t'=0 coincideva con O. Usando le trasformazioni di Lorentz otteniamo
\
\
\
\
\
z' A-O
I
,___ __,_,_...,1,,,..A_ _ _ _ _
.►
1
)
O'
Fig. 9
X=X'
Le relazioni precedenti mostrano che i due eventi non appaiono più contemporanei all'osservatore O'; ciò nonostante anche per lui la luce si propaga in modo isotropo e con la stessa velocità c. Infatti per i lampi di luce
emessi da O' all'istante t'=0 ed arrivati rispettivamente in A all'istante t'A
ed in B all'istante t'B valgono le seguenti relazioni
2
2
x'! +y'! +z'!-c t'! =(y ri)2c -(y-11)2c 2 =0
e
Questa proprietà, dimostrata per la coppia di eventi che corrispondono
rispettivamente all'emissione del lampo di luce dall'origine 0(0,0,0,0) ed
al suo arrivo in A(xA,Y A,zA,tA) (o in B), si può generalizzare per qualsiasi
coppia di eventi P1(X1,Y1,z1,t1) e Pi(x2,y2,z2,ti) per i quali si definisce separazione spazio-temporale s, detta anche intervallo, la quantità
s2
=(x2 -x1)2 +(Y2 -y1)2 +(z2 -z1)2-c2(t2 -t1)2 =
= (~x)2 + (~y )2 + (~z)2 - c2 (~t)2
Risulta infatti che s2 è invariante per trasformazioni di Lorentz, cioè
8 ,2
= (&')2 + (~y•)2 + (~z•)2 _ c2 (~t•)2 =
=(&)2 +(~y)2 +(&)2-c2(~t)2 =s2
vn.2.6. -
893
RAPPRESENTAZIONI DI MINKOWSKY
In altre parole passando da un riferimento I: ad uno I:', mentre variano sia la distanza spaziale d (d=[(L\x)2 + (L\y) 2 + (L\z)2] 112 ) che la
separazione temporale L\t tra due eventi, rimane invariante la combinazione
Se ora poniamo x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z, x4 = ict (si sostituisce al tempo
una coordinata immaginaria x 4 ), tale invarianza assume un aspetto
più familiare
2
s 2 = (L\x 1 )2 + (L\x 2 )2 + (L\xJ + (L\x 4 )2 = Invariante
e ci permette di considerare le trasformazioni di Lorentz come rotazioni
in uno spazio quadridimensionale, che lasciano appunto invariato il modulo di vettori a quattro dimensioni.
Nella fisica prerelativistica i fenomeni erano descrivibili in un continuo
a tre dimensioni spaziali e la loro evoluzione avveniva in un continuo
temporale ad una dimensione. Nella fisica relativistica invece spazio e
tempo vengono a formare un unico continuo a quattro dimensioni (detto
anche cronotopo) per cui lunghezze e durate non sono che proiezioni di
entità quadridimensionali o quadrivettori sugli assi spaziali o sull'asse
del tempo.
Da questo punto di vista, il passaggio da un sistema di riferimento inerziale ad un altro corrisponde a riferire il fenomeno a due sistemi di assi
aventi la stessa origine rria ruotati l'uno rispetto all'altro. Non è quindi
strano che le proiezioni, distanze spaziali e durate temporali, risultino diverse nei due sistemi.
Vll.2.6. - Rappresentazioni di Minkowsky
Abbiamo visto che mentre nella meccanica classica spazio e tempo
sono entità indipendénti fra loro ed inoltre la coordinata temporale,
essendo assoluta, non varia nel passaggio da un riferimento inerziale
all'altro, nella relatività e' è una interdipendenza tra lo spazio ed il
tempo, per cui sia le coordinate spaziali che quella temporale assumono valori diversi per osservatori inerziali diversi. E' quindi necessario
nella descrizione di un fenomeno fisico mantenere associate sia le coordinate spaziali che quella temporale. H. Minkowsky per primo suggerì un metodo con cui si realizza tale tipo di descrizione in modo
molto semplice.
Se trascuriamo le coordinate y e z che non vengono modificate quando la
velocità di trascinamento è diretta lungo l'asse X, è possibile rappresentare gli eventi in un diagramma spazio-temporale a due sole dimensioni,
con ascissa x e ordinata et. In tale diagramma il moto di un punto viene
rappresentato da una curva, detta linea di universo, la cui direzione forma in ogni punto un angolo 0 = arctgp con l'asse et. Infatti
LlX V
tg0=-=-=P
cl\t e
Q
X
X
Fig. 10
VII.2. - TRASFORMAZIONI DI LOREN'IZ
894
L'angolo 0 è sempre minore di 45° e raggiunge tale valore per B= 1, cioè
per v=c. La retta a 45° rappresenta appunto il diagramma della propagazione di un raggio di luce 1•
Consideriamo ora un secondo sistema di riferimento I:' in moto rispetto al
primo (I:) con velocità Vt secondo l'asse X. Gli assi di questo nuovo sistema si possono tracciare sul precedente diagramma come due rette per
O, formanti angoli 0 con gli assi X e et (fig. 11), tali che tg0=vtfc. Infatti
l'asse et' rappresenta in L il diagramma del moto dell'origine O', che è
descritto dall'equazione
et'
V
⇒
o
x = v t t = _ t et = pct
e
X
Fig. 11
che è quella di una retta formante un angolo 0=arctgB con l'asse et.
Analogamente il nuovo asse spaziale X' rappresenta il luogo degli eventi
contemporanei a t' = O. Ricordando che et'= -rix + yct, la condizione
ct'=O equivale a porre ct=xB, da cui segue che
et
0'= arctg- = arctgp = 0
X
Con la rappresentazione di Minkowsky è possibile visualizzare il valore
relativo della contemporaneità. Infatti tutti gli eventi contemporanei nel
sistema mobile I:' sono rappresentati da una retta parallela all'asse X'; gli
stessi eventi si verificano nel sistema fisso L in istanti di tempo diversi fra
loro. Ad esempio gli eventi A e B, contemporanei in I:', appaiono separati
in L da un intervallo temporale ~t, che possiamo valutare facilmente facendo riferimento alla fig. 12. Si ottiene
c~t
-=tg0=P
⇒
~X
Fig. 12
V
~t=-t ~
c2
Nel riferimento L la distanza temporale tra A e B, contemporanei in I:', è
proporzionale alla loro distanza spaziale ~x.
Vogliamo ora segnare il punto che corrisponde alla lunghezza unitaria
sull'asse X', cioè trovare le coordinate (x,ct) nel sistema L del punto di
coordinate x' = 1 e t' = O in I:'. Le coordinate (x,ct) si trovano immediatamente con le trasformazioni di Lorentz
1
x=yx+ytct=yx=y= .Jl-P 2
I
I
I
e t = rix +yct' = rix = rt =
I
I
p
v1-p2
~
Le coordinate del punto x' = 1, t' =0 soddisfano pertanto la relazione
1. Abbiamo qui tacitamente assunto che la velocità della luce sia in natura la massima velocità con cui si possono muovere i corpi o propagare i segnali.
VII.2.7. -
VELOCITÀ DELLA LUCE E CAUSALITÀ
Ciò significa che il punto x'= 1, t'=0 si trova sull'arco dell'iperbole
di equazione
2
2 2
x -c t
895
ct=l
=1
che passa anche per il punto x= 1 dell'asse X (fig. 13).
In modo analogo possiamo trovare le coordinate (x, et) nel sistema
L del punto di coordinate x'=0 e et'= 1 in L' e verificare che anche
l'estremo dell'intervallo unitario si trova su un ramo (in grigio in
fig. 13) dell'iperbole di equazione
Fig. 13
c2 t 2 -x 2 =1
che passa anche per il punto di coordinata et= 1 dell'asse dei tempi.
Con l'ausilio del diagramma di Minkowsky possiamo ora visualizzare il fenomeno della contrazione delle lunghezze. Siano infatti
00 1 e AA 1 le linee di universo di un regolo, di lunghezza unitaria,
in quiete in L (fig. 14). O ed A' rappresentano invece le posizioni
delle estremità del regolo, viste contemporaneamente in L'. Come
si vede la lunghezza OA' in L' risulta inferiore a quella unitaria,
rappresentata da OU'.
Possiamo d'altra parte verificare facilmente che la situazione
nei due sistemi L e L' è perfettamente simmetrica. Infatti A'A' 1 e
00' 1 rappresentano in fig. 15 le linee di universo delle estremità
di un regolo OA', di lunghezza unitaria nel sistema L', dove è in
quiete. O ed A sono le posizioni delle estremità di tale regolo
viste contemporanee in L. Anche in questo caso la lunghezza
OA del regolo in L è minore della lunghezza unitaria OU: il regolo appare accorciato nel sistema rispetto al quale esso è in
movimento.
Vediamo infine il fenomeno della dilatazione dei tempi. Sia 00'
la linea di universo dell'orologio che coincide con l'origine di L'
(fig. 16). In O' l'orologio segna l'intervallo di tempo unitario.
La linea AO 1 corrisponde invece a tutti gli eventi che in L risultano contemporanei con l'istante finale dell'intervallo di tempo
unitario in L. Quindi l'orologio mobile incrocia in 0 1 un orologio del sistema fisso che segna il tempo unitario, mentre esso lo
segnerà solo in O'.
Simmetricamente l'orologio che coincide con l'origine O di L avrà
OA come linea di universo e incrocerà in A' (antecedente ad A) un
orologio di L' che segna il tempo unitario.
o
A
X
Fig. 14
o
AU
X
Fig. 15
et
,
,
,,
,,
ct>l A
ct=l ,,"
Vll.2.7. - Velocità della luce e causalità
Alcune importanti considerazioni sul rapporto causale tra eventi
possono essere rese intuitive sulla base della rappresentazione di
Minkowky.
o
Fig. 16
X
896
VIl.2.- TRASFORMAZIONI DI LOREN1Z
Lo spazio-tempo può essere suddiviso in tre regioni dalla superficie iperconica formata dalle linee d'universo dei segnali elettromagnetici che
passano per l'origine al tempo t=0.
La regione A esterna ai due iperconi contiene tutti gli eventi (come P di fig. 17) che possono risultare contemporanei con quello
che in L si verifica nell'origine O all'istante t = O, quando vengono osservati in opportuni sistemi di riferimento inerziali L'. La distanza spaziale che li separa da O non può risultare nulla in alcun
sistema di riferimento in quanto l'intervallo spazio-temporale
che separa l'evento P da O, che è invariante, risulta maggiore di
zero. Infatti
et
X
Fig. 17
et
I
,
I
,,
,
,,
,,
,
,,
,
I
I
I
I
I
I
I
I
X
P' ,'
Fig. 18
L'intervallo spazio-temporale che separa un qualsiasi evento della regione A da O viene perciò detto di tipo spazio.
Tutti gli eventi delle regioni B e C interne ai due iperconi possono,
invece risultare in opportuni sistemi di riferimento inerziali L 1
coincidenti spazialmente con O ma non contemporanei con O. Infatti possiamo tracciare delle linee d'universo che passano per O e
per un punto arbitrario, c9me P', scelto internamente a queste regioni. In questo caso nel sistema L', il cui asse temporale (et') coincide con la retta OP', s2=-c2t' 2 è negativo; a causa dell'invarianza
di s2, tale intervallo deve risultare negativo inogni riferimento inerziale. Per questa ragione l'intervallo separa un evento delle regioni
B e C da O si dice di tipo tempo. In particolare tutti i punti di B
corrispondono ad eventi che per qualsiasi osservatore inerziale
precedono l'evento O nel tempo, mentre i punti di C rappresentano
eventi che seguono O nel tempo.
In conclusione si può dire che nei confronti dell'evento O la regione A corrisponde all 'altrove adesso, quella B al passato assoluto e quella C alfa.turo assoluto. L'evento O può essere influenzato da eventi in B e può a sua volta influenzare eventi in C. Non
può influenzare o essere influenzato da eventi in A. D'altra parte
non è possibile definire univocamente quali siano gli eventi che
stanno avvenendo adesso nella zona dell' altrove, perché ciò dipende dal particolare sistema inerziale scelto.
Possiamo ora giustificare l'ipotesi della velocità della luce quale
limite superiore delle velocità possibili per i corpi dotati di massa inerte e per i segnali. A tale scopo supponiamo di avere un
evento P connesso causalmente con l'evento O: l'intervallo s2
tra i due deve essere di tipo tempo e l'evento P deve seguire
l'evento O per qualsiasi osservatore inerziale. Ciò non sarebbe
vero per un osservatore in moto rispetto a L con una velocità
superiore a c, come si può facilmente dedurre dalla fig. 18.
L'evento P precederebbe infatti nel tempo l'evento O (t' < O) per
l'osservatore solidale a L'. Solo se la velocità c è il limite superiore delle velocità fisiche, l'ordine temporale di due eventi legati dalla relazione di causa-effetto non risulta invertito in nessun altro sistema di riferimento.
VII.2.8. - ADDIZIONE RELATIVISTICA DELLE VELOCITÀ
Notiamo ancora che non ci può essere relazione causale tra
l'evento O e qualsiasi evento P nella regione A dell' altrove. Con
riferimento alla fig. 19, vediamo infatti che mentre per un osservatore in L' l'evento P segue nel tempo l'evento O, come nel sistema
L, per un osservatore in L" l'evento P risulta contemporaneo ad O
e per un terzo osservatore in L'" l'evento P precede O nel tempo.
Osserviamo infine che nelle considerazioni svolte in precedenza
l'evento O che si verifica nell'origine del riferimento non rappresenta un evento particolare. Quindi rispetto ad ogni evento P, che
può verificarsi in un punto qualsiasi del cronotopo, quest'ultimo
resta diviso nelle tre zone dell' altrove adesso (insieme degli eventi che non possono influenzare fisicamente P né essere influenzati
da esso), del futuro assoluto (insieme degli eventi su cui P può avere influenza fisica) e del passato assoluto (insieme degli eventi
che possono aver avuto un'influenza fisica su P).
897
et
''
''
''
''
''
,
''
, ''
,
,,
,,
,,
,'0
,
,,
,,
,
,,
,,
,
,,
,,
X' (L')
~
',
''
X
''
''
'
''
''
''
'
Fig. 19
Vll.2.8. - Addizione relativistica delle velocità
Consideriamo due sistemi inerziali Le L', il cui moto relativo sia di traslazione uniforme nella direzione X (fig. 20a).
Abbiamo visto che nella trasformazione dal sistema L al sistema L', il modulo s dell'intervallo spazio-temporale rimane costante. Se per semplicità continuiamo a trascurare le coordinate y e z che non vengono modificate quando
la velocità di trascinamento è diretta lungo l'asse X, possiamo scrivere
y
Y'
L
O'
Indicando la quantità ict con x4 si può scrivere
Fig. 20a
La relazione precedente permette di interpretare la trasformazione di Lorentz come una rotazione rigida nel piano complesso (X,ict) = (X 1,X4).
Confrontando le trasformazioni che descrivono una rotazione degli assi di
un angolo 0 con le trasformazioni di Lorentz
X' 1 = X 1 cos 0
+ X 4 sin 0
x ' 4 = - x 1 sin 0 + x 4 cos 0
vediamo che queste coincidono se poniamo
1
cos0 = - - - = y
-J1-~2
cioè tg0=iB, essendo 0 una quantità immaginaria.
In tal modo si può affermare che la trasformazione di Lorentz corrisponde ad una rotazione nel piano (X,ict) di un angolo immaginario 0
tale che tg0=iB.
Fig. 20b
X
X'
898
VII.2. - TRASFORMAZIONI DI LOREN1Z
Se introduciamo una quantità reale r, che prende il nome di rapidità, legata all'angolo immaginario di rotazione dalla relazione 0 = ir, le trasformazioni di Lorentz assumono la forma di una rotazione piana di un
angolo 0=ir, cioè
x\ = x 1 cos(ir)+ x 4 sin(ir)
x\ = -x 1 sin(ir)+ x 4 cos(ir)
D'altra parte, le funzioni trigonometriche di argomenti immaginari sono
strettamente connesse con le funzioni iperboliche
y= cos(ir)= cosh r
iTJ = sin(ir)= i sinh r
iP = tg(ir) = i tghr
così che possiamo riscrivere le trasformazioni di Lorentz in termini della
rapidità in una forma in cui non compare più l'immaginario
X\ = Xl cosh r
- et sinh r
ct'=-X1 sinh r
+ ctcosh r
Consideriamo ora un riferimento L" the si muove con velocità v2rispetto al
riferimento L' che, a sua volta, si muove con velocità v1 (parallela a v2) rispetto al riferimento L. Vogliamo trovare i parametri della trasformazione
di Lorentz che consente di passare direttamente da L" a L e viceversa. Ciò
corrisponde a comporre le due velocità v1 e v2.
Abbiamo visto che una trasformazione di Lorentz può essere interpretata
come una rotazione di un angolo 0 tale che tg0 = iJ3. Poiché la trasformazione da L" a L corrisponde all'applicazione di due trasformazioni successive da L" a L' e da L' a L, essa equivale ad una rotazione nel piano
complesso di un angolo complessivo 0 1+2=0 1+02 ove
tg0 1 = ip 1
e
tg0 2 = ip 2
Possiamo perciò scrivere
Abbiamo così trovato la regola di composizione relativistica di velocità
parallele
A
P1 +P2
1-'1+2 - 1+ P1P2
( II 3
V .2.. )
che differisce dalla nota regola di composizione di Galileo J3 1+2= J3 1+J3 2.
Solo nel caso in cui le velocità v 1 e v2 siano entrambe molto piccole rispetto a e e, quindi J3 1 e J3 2 risultino. molto minori di 1, il denominatore
nella (VII.2.3.) non differisce sostanzialmente dall'unità così che la composizione relativistica delle velocità fornisce gli stessi risultati di quella
galileiana.
vn.2.9. -
FORMALISMO QUADRIDIMENSIONALE
899
Sostituendo nella (VII.2.3.) ~ con la tghr, ricaviamo che
~l +~2
tghrl +tghr2
(
)
tghr1+2 =~ 1+2 = - - - = - - - - - - = t g h r 1 +r2
1+ ~ 1~ 2 1+ tghr1 tghr2
da cui si deduce che
r1+2 =r1 +r2
La relazione precedente mostra che, quando si combinano due velocità
parallele, la rapidità risultante è proprio la somma delle due rapidità, come succedeva per la somma delle velocità nelle trasformazioni di Galileo.
Siamo ora in grado di verificare che, se una delle due velocità è proprio
quella della luce c, la velocità risultante vale ancora c in accordo con il
postulato di invarianza della velocità della luce nel passaggio da un riferimento ad un altro. Infatti sia v1 = c e quindi ~1 = 1; sostituendo nella
(VII.2.3.) si ha
~l 2
+
1+~2
1 + ~2
=--=1
Notiamo infine che nel passaggio dal sistema :E al sistema :E' in motorispetto al primo con velocità Vt le trasformazioni di Lorentz fanno variare
anche le componenti della velocità trasversali rispetto alla direzio11e del
moto relativo tra i due sistemi: infatti nella relazione Ve=!i/l,/1::..t mentre l::..R
non viene alterato, se è una lunghezza trasversale rispetto alla velocità Vt,
gli intervalli di tempo risultano comunque dilatati.
Vll.2.9. - Formalismo quadridimensionale
Il principio di relatività stabilisce l'equivalenza di tutti i sistemi inerziali e
richiede che le leggi della fisica debbano assumere la stessa forma in tutti i
sistemi inerziali. E' possibile scrivere le leggi della fisica in modo che sia evidente come le varie grandezze si trasformino al variare del riferimento. Se
una equazione ha una forma che risulta invariante al variare del riferimento
inerziale, se cioè essa mantiene la stessa forma quando la sottoponiamo alle
trasformazioni di Lorentz, allora un esperimento correttamente descritto da
tale equazione deve dare risultati indipendenti dal riferimento scelto. In tal
caso si dice che l'equazione è in forma covariante e descrive correttamente
un fenomeno in accordo con la teoria della relatività.
Nel caso dello spazio tridimensionale, tutti i sistemi che differiscono per
una rotazione attorno ali' origine sono equivalenti (isotropia dello spazio).
In tale spazio l'introduzione dei vettori a tre dimensioni permette un metodo di analisi invariante rispetto alle rotazioni, con il risultato che tutte le
leggi fisiche si possono scrivere come equazioni vettoriali o scalari. Con
ciò si intende che tutte le leggi della fisica devono corrispondere a equazioni in cui entrambi i membri si trasformano nello stesso modo per una
rotazione del sistema: se a primo membro appare una quantità che si trasforma come un vettore, anche a secondo membro dovrà apparire un vettore; se a primo membro appare una quantità invariante per rotazioni, in
modo analogo dovrà comportarsi il secondo membro, che potrà ad esempio essere un prodotto scalare di due vettori A•B=AxBx+AyBy+A2 B2 che
non dipende dal sistema di riferimento.
VII.2. - TRASFORMAZIONI DI LORENTZ
900
Abbiamo visto che il principio di relatività per tutti i fenomeni fisici
porta a sostituire le trasformazioni di Galileo con quelle di Lorentz,
che possono essere considerate come rotazioni in un continuo spazio-temporale (x,y ,z,ict). Per analogia al caso tridimensionale ciò
suggerisce di considerare le coordinate di un evento P(x,y ,z,ict) come
componenti di un vettore a quattro dimensioni, o quadrivettore, il cui
modulo deve rimanere costante ruotando il sistema di riferimento. Il
quadrato del modulo di tale vettore è infatti il prodotto scalare del
quadrivettore per se stesso e coincide con la quantità quadratica s2
precedentemente definita 2
s 2 =0P•OP=x 2 +y 2 +z 2 -c 2 t 2 =x' 2 +y' 2 +z' 2 -c 2 t' 2
Una grandezza fisica potrà essere considerata un quadrivettore se le sue
quattro componenti si comportano come le quattro componenti di un intervallo (LU, /1y, /1z, ic/1t) quando vengono sottoposte alle trasformazioni
di Lorentz.
Se si moltiplicano le quattro componenti di un quadrivettore per una quantità
che sia invariante per trasformazioni di Lorentz, otteniamo le quattro componenti di un nuovo quadrivettore, cioè quattro quantità che passando da un sistema inerziale ad un altro si trasformano come (x,y,z,ict).
Quantità relativisticamente invarianti sono ovviamente tutte le caratteristiche di oggetti fisici o di fenomeni riferiti al sistema in cui questi appaiono
in quiete. Per esempio, se più osservatori determinano la lunghezza di un
corpo, trovano valori Ri diversi a causa della diversa contrazione di Lorentz.
Se però tali osservatori valutano la lunghezza di tale oggetto nel sistema in
cui esso è a riposo ottengono tutti lo stesso valore
R -
Ri
o-
-J1-p;
Lo stesso accade per un intervallo di tempo tra due eventi, quando sia riferito al sistema in cui i due eventi avvengono nella stessa posizione spaziale.
Si parla in tal caso di intervallo di tempo proprio, dato dalla relazione
d-r = dti ✓1-p;
A causa dell'equivalenza di tutti i sistemi inerziali, anche la massa di un
oggetto nel sistema in cui esso è in quiete deve risultare la stessa per tutti
gli osservatori inerziali. Tale massa mo viene detta massa a riposo.
Sulla base di queste considerazioni, possiamo ricavare alcuni importanti
quadrivettori che sono alla base della meccanica relativistica.
Vll.2.9.1. -Quadrivelocità
Consideriamo un punto materiale P di massa a riposo mo, in moto nel sistema inerziale L: in tale riferimento esso occuperà due posizioni, separate dal tratto ds (dx,dy,dz), a due istanti di tempo separati dall'intervallo
2. Il quadrato del modulo di un quadrivettore così definito può anche annullarsi o diventare
negativo, dato che la quarta componente è immaginaria.
VIl.2.9. - FORMALISMO QUADRIDIMENSIONALE
901
temporale dt. Possiamo considerare il passaggio del punto materiale P per
le due estremità del tratto ds come due eventi E 1(x 1,y 1,z1,t1) e
Ez(x1+dx,y1+dy,z1+dz,t1+dt).
La stessa coppia di eventi presenterà per un secondo osservatore inerziale
una separazione spaziale ed una temporale diverse. Noi sappiamo però
come passare dai valori dx, dy, dz, dt relativi al primo osservatore a quelli
dx', dy', dz', dt' relativi al secondo, facendo uso delle trasformazioni di
Lorentz. Nel formalismo quadridimensionale, diremo che le quantità
(dx,dy,dz,icdt) sono le componenti di un quadrivettore ds e che le trasformazioni di Lorentz permettono di descrivere lo stesso quadrivettore
ds in un sistema di riferimento ruotato rispetto al primo.
Vogliamo ora vedere come si trasforma la velocità del punto materiale P passando dal sistema L al sistema L'. Costruiamo a tale scopo un quadrivettore velocità, alle cui componenti possiamo applicare le trasformazioni di Lorentz.
Se dividiamo le componenti del quadrivettore ds per il tempo dt otteniamo delle quantità che dimensionalmente sono delle velocità ma che non
sono le componenti di un quadrivettore dato che dt non è un invariante.
Possiamo però dividere per il tempo proprio d-r, misurato nel sistema in
cui P è in quiete e che è legato al tempo dt dalla relazione
d1: = dt✓l- ~
2
Otteniamo così il quadrivettore velocità u
ds (
dx
dy
dz
icdt
2
2
2
u = d1: = dt.Jl- ~ 'dt.Jl- ~ 'dt.Jl- ~ 'dt.J1- ~ 2
J
Le componenti della quadrivelocità sono
Le prime tre componenti della quadrivelocità coincidono con le tre componenti della velocità ordinaria a meno del fattore 1/.J1 - v 2 / c 2 • Per piccole velocità tale fattore è praticamente unitario.
Il modulo della quadrivelocità è un invariate relativistico. Possiamo verificarlo facilmente valutando u2 nel sistema inerziale in cui P è in quiete:
in questo, essendo ~=O in quanto Vx=vy=Vz=0, si ha
-c2
u2
Per valutare la velocità di P in un altro sistema inerziale, basta applicare
le trasformazioni di Lorentz alle componenti (u 1, u2 , u3 , u4)
u\
u' 2
u' 3
u' 4
/i
y
o o
-ri
o 1 o o
o o 1 o
-ri o o y
U I
U2
U3
u4 /i
902
VIl.2. - TRASFORMAZIONI DI LOREN1Z
Vll.2.9.2. -Quadriaccelerazione
In modo analogo possiamo costruire un quadrivettore da cui ottenere
l'accelerazione del punto materiale P nei vari sistemi inerziali.
Se si divide la variazione della quadrivelocità du per l'intervallo di tempo
proprio d-c, si ottiene il quadrivettore accelerazione
du
1
a=-=-;::==
d1:
-J1-~2
du
dt
le cui componenti sono
Anche per la quadriaccelerazione, le prime tre componenti tendono alle
tre componenti dell'accelerazione ordinaria quando ~ tende a zero.
Vll.2.9.3. -Quadrivettore Forza
La relazione fondamentale della meccanica f = ma stabilisce un legame tra
la forza che agisce su un punto materiale e l'accelerazione che questo subisce. Per ottenere la corrispondente relazione relativistica, moltiplichiamo il quadrivettore a per l'invariante mo, massa a riposo del punto materiale P. Si ottiene in tal modo il quadrivettore F, detto forza di Minkowsky
le cui componenti sono
F1 =
✓l~p2 :( ✓:~V;2 J
=
✓1~p' :,( ✓:~v;, J
F,
Vedremo più avanti la relazione che sussiste tra la forza ordinaria e quella
di Minkowsky.
Vll.2.9.4. -Quadrivettore quantità di moto
Moltiplicando le componenti del quadrivettore velocità per l'invariante
mo, si ottiene un nuovo quadrivettore
vn.2.1 o. -EQUIVALENZA MASSA-ENERGIA
903
le cui componenti sono
mo v x
P1
= .J1-p 2
p3
= ..J1-p 2
mo v z
Le prime tre componenti coincidono con quelle della quantità di moto ordinaria a meno del fattore 1/(1-~2 )1'2, e tendono a questa quando~ tende
a zero.
Possiamo quindi considerare come definizione relativistica della quantità
di moto, valida anche per velocità prossime a quelle della luce, la relazione vettoriale classica p =mv, purché si assuma che la massa inerziale di
un corpo vari con la sua velocità secondo la relazione
mo
m=--;::==
.J1 - p
2
La legge fondamentale della dinamica può quindi essere riscritta nella
forma
valida anche per velocità prossime a quelle della luce.
Torniamo ora alla forza di Minkowsky. In termini del nuovo quadrivettore p, la componente Fi può essere scritta nella forma
~
1
d
..Ji-p2
dt
P·1
Le prime tre componenti della forza di Minkowsky si possono collegare
facilmente a quelle di una forza ordinaria. Infatti
dpi
dt
'1-p2F
1
V
La relazione precedente consente di determinare come si trasformano le
componenti di una forza ordinaria quando cambiamo riferimento inerziale.
Vll.2.10. - Equivalenza massa-energia
Vogliamo ora interpretare fisicamente la componente F 4 della forza di
Minkowsky e la quarta componente del quadrivettore quantità di moto p.
Partendo dalla relazione che definisce la forza di Minkowsky
du.
m0
du.J
F. = mo - -J = --;::==
di: ..Ji-p2 dt
moltiplichiamo ambo i membri per la corrispondente ui e sommiamo rispetto all'indice i che varia tra 1 e 4. In altre parole facciamo il prodotto scalare
VII.2. - TRASFORMAZIONI DI LOREN1Z
904
del quadrivettore forza di Minkowsky per il quadrivettore velocità. Il risultato di tale operazione rappresenta, come sappiamo, un invariante relativistico
4
4
u• F = "\:"' u. F. = "\:"' u.
~
1
~
1
i=l
i=l
Lui
1
mo
4
<lui = "\:"'
mo
1 ~ ru.2)
~ r:-::i" 2 dt ~
r:-::i" dt
vl-B
i=l
1
=
vl-B
4
Dal risultato precedente,
Fi =O, otteniamo
i=!
3
Lui~
(VII.2.4.)
=-u4F4
i=!
Possiamo riscrivere quest'ultima relazione in termini della velocità e della forza ordinaria ricordando che
e
(i=l,3)
Si ottiene
3
"\:"' u.F.
~
I
= v•f
1-f.t2
I
I-'
1=!
ove v•f è la potenza fornita dalla forza in questione. Sostituendo nella
(VII.2.4.) si ha
da cui si ricava che
i
V
•f
(VII.2.5.)
F4 =--;::==
c .J1-B2
In altre parole, la quarta componente della forza di Minkowsky è collegata al lavoro per unità di tempo compiuto dalle forze che agiscono sul corpo di massa mo (a meno del fattore 1/(c,Jl-B 2 )
).
Possiamo ora sostituire nella (VII.2.5.) l'espressione esplicita di F 4
Si ottieniene così
VII.2. - TRASFORMAZIONI DI LORENTZ
904
del quadrivettore forza di Minkowsky per il quadrivettore velocità. Il risultato di tale operazione rappresenta, come sappiamo, un invariante relativistico
4
4
4
u•F =""' u.F
=""'
u.
fio
dui
=""'
fio
1 _!/u.2) =
1
1
1
LJ
LJ
~ dt
LJ
~ 2 dt ~ 1
i=l
i=l
V1- ~
i=l V1- ~
Lui
4
Dal risultato precedente,
Fi =O, otteniamo
i=l
(VII.2.4.)
Possiamo riscrivere quest'ultima relazione in termini della velocità e della forza ordinaria ricordando che
e
(i=l,3)
Si ottiene
3
""'u-F= v•f
~ I I 1-R2
I=l
JJ
ove v•f è la potenza fornita dalla forza in questione. Sostituendo nella
(VII.2.4.) si ha
v•f
-ic
l-~2 =-u4F4 = .J1-~2 F4
da cui si ricava che
1
V •f
F = - -;:::::==
4
c .J1-~2
(VII.2.5.)
In altre parole, la quarta componente della forza di Minkowsky è collegata al lavoro per unità di tempo compiuto dalle forze che agiscono sul corpo di massa mo (a meno del fattore 1/(c.Jl-~ 2 )
).
Possiamo ora sostituire nella (VII.2.5.) l'espressione esplicita di F 4
Si ottieniene così
VII.2.10. - EQUIVALENZA MASSA-ENERGIA
905
2
dU
-J1-~2 J=v• f =dt
d ( m0c
dt
dove abbiamo uguagliato la potenza con la variazione per unità di tempo
dell'energia totale U. A meno di una costante di integrazione, che si può
porre eguale a zero, possiamo allora scrivere
2
U = moc
-J1- ~2
= mc2
La quarta componente del quadrivettore quantità di moto p 4 è uguale a
iU/c, cioè all'energia totale a meno del fattore i/c. Per questo motivo si
parla di quadrivettore impulso-energia di componenti (Px, py, Pz, i U/c).
L'invarianza del modulo di questo quadrivettore porta all'importante relazione relativistica
che collega l'energia totale U di un corpo al valore della massa a riposo
mo ed al valore della quantità di moto ordinaria p.
In particolare un corpo a riposo, avente massa mo, deve essere pensato
equivalente ad una quantità di energia
U =m 0 c
2
Abbiamo così derivato l'importante relazione tra massa ed energia, dovuta ad Einstein.
·rasf rmazioni relativistich
>er il cam
netico
Vll.3.1.
Invarianza relativistica della carica elettrica ........ 908
Vll.3.2.
Campo elettrico di una carica puntiforme ........... 908
Vll.3.3.
Forze magnetiche come effetto relativistico ....... 91 O
Vll.3.4.
Forze tra conduttori paralleli
percorsi da corrente .............................................912
Vll.3.5.
Trasformazione dei campi E e B ..........................913
Vll.3.6.
Formulazione quadridimensionale
dell'elettromagnetismo .........................................916
Vll.3.7.
Mezzi polarizzati in movimento ...........................920
Vll.3. - TRASFORMAZIONI RELATIVISTICHE PER IL
CAMPO ELETTROMAGNETICO
Vll.3.1.- Invarianza relativistica della carica elettrica
Riassumiamo brevemente i risultati trovati nel § III. 1.3. che hanno evidenziato la proprietà dell'invarianza relativistica della carica elettrica.
Mentre per una carica puntiforme in quiete la forza coulombiana è isotropa e può essere usata per determinare il valore della carica stessa, nel caso di una carica in moto esiste una direzione privilegiata e a priori non si
può ipotizzare che tutte le direzioni sono equivalenti. Per tale ragione, per
valutare la carica q contenuta in una certa regione conviene basarsi sul
teorema di Gauss, in quanto ciò corrisponde ad utilizzare il campo mediato in tutte le direzioni
L'evidenza sperimentale mostra inoltre che la carica contenuta entro una
regione dello spazio non varia facendo variare la velocità delle particelle
cariche; tale proprietà non è invece vera per la massa inerziale che, come
abbiamo visto nel § VII.2.4.4, dipende dalla velocità.
L'evidenza più forte della proprietà di invarianza della carica deriva dal
confronto della neutralità elettrica della molecola di idrogeno con quella
dell'atomo di elio. Ricordiamo che entrambi i sistemi sono formati dallo
stesso numero di elettroni e protoni; tuttavia nel primo gli elettroni e i
protoni si muovono con velocità relativamente poco differenti fra loro,
mentre nel secondo i protoni entro il nucleo hanno velocità assai più elevate di quelle degli elettroni, che invece si muovono con velocità confrontabili con quelle degli elettroni presenti nella molecola di idrogeno.
Ricordiamo ancora che l'invarianza relativistica della carica non va confusa con la sua conservazione. Si tratta di due proprietà diverse e l'una
non necessariamente implica l'altra. Ad esempio l'energia di un sistema
isolato si conserva, ma non è un invariante relativistico.
Vll.3.2. - Campo elettrico di una carica puntiforme
Vogliamo determinare le relazioni di trasformazione relativistiche del campo
elettrico generato da una carica puntiforme. A tale scopo, conviene considerare dapprima il comportamento del campo prodotto da distribuzioni piane di
carica, per le sue caratteristiche di parallelismo e di uniformità. Successivamente, utilizzando il principio di sovrapposizione, potremo estendere i risultati ottenuti ai campi generati da altre distribuzioni di carica ed, in particolare,
a quello di una carica puntiforme. Il significato fisico che abbiamo attribuito
al concetto di campo garantisce che le proprietà di trasformazione devono
corrispondere ad una caratteristica intrinseca del campo stesso e non alla particolare configurazione di cariche che lo ha generato.
VJI.3.2. - CAMPO ELETTRICO DI UNA CARICA PUNTIFORME
909
Consideriamo pertanto due distribuzioni piane di cariche, di densità +a e
-a, parallele tra loro ed al piano YZ di un riferimento I:, rispetto al quale
sono in quiete. Si abbia inoltre un riferimento I:', in moto rispetto a I: con
velocità v parallela all'asse X (fig. 1). Nel sistema in cui le distribuzioni
sono in quiete, il campo è perpendicolare ai piani e vale E=a/co.
Per valutare il campo elettrico nel sistema I:', ricordiamo che nella direzione del moto le lunghezze si accorciano del fattore (l-~2)112 =1/y, mentre la carica complessivamente distribuita sui piani non varia. Un osservatore in I:' quindi vede ancora due distribuzioni piane di carica, ma caratterizzate da una densità superficiale a' =ya: il campo E' è ancora normale
alle superfici, ma il suo modulo, che può essere ottenuto anche in I:' applicando il teorema di Gauss, risulta aumentato di un fattore y rispetto a E
y
Y'
Fig. 1
E'=yE
y
Il principio di sovrapposizione ci permette di generalizzare questo risultato e di concludere che le componenti del campo elettrico normali rispetto
alla direzione del moto si trasformano secondo la relazione
Y'
Consideriamo ora un osservatore in moto con velocità v perpendicolare rispetto alle distribuzioni piane di carica (fig. 2). Sappiamo che le dimensioni trasversali non vengono alterate dalla trasformazione di Lorentz e ciò, assieme
all'invarianza della carica garantisce che in questo caso la densità di carica rimane invariata nel passaggio da I: a I:'. Cambia invece la distanza tra i due piani carichi che risulta contratta del fattore (l-~2)1 12• Poiché il campo tra due piani indefiniti carichi non dipende dalla distanza tra questi, possiamo concludere
che in questo caso il campo in ha lo stesso valore che in I:. Concludiamo
quindi che in generale la componente del campo elettrico parallela alla direzione del moto relativo resta inalterata nel passaggio da I: a I:', cioè
1:'
V
X
o
O'
z
Z'
Fig. 2
r:
E' 11
X'
y
= E 11
1:
Applichiamo questi risultati al campo prodotto da una carica puntiforme q.
Sia I: il sistema in cui questa è in quiete. Se supponiamo che la carica q si
trovi nell'origine di I:, il campo elettrico generato a distanza r0 vale
Yo
q
E=-1_ _9_5!._
o
4nE 0 rg r0
Xo
X
Fig. 3a
e, quindi, le sue componenti cartesiane sono
_ 1 q x0
E X -4- - 7tEo ro2 ro
E =-l_..9_ Yo
y
47tEo ro2 ro
E = _1_ _9_ .:.Q__
z
Per un osservatore I:' in moto con velocità v parallela all'asse X si avrà
x'o=Xo.Jl-P
2
Y'o=Yo
1:' Y'
~E'y="{Ey
:
41tEo ro2 ro
z'o=Zo
E
----11
1 I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
q
In fig. 3a e 3b è riportata la situazione fisica vista rispettivamente
dall'osservatore I: nel piano XY e da I:' nel piano X'Y'. Possiamo notare
I
1
Y <FY0
I
E' x=EX
X'o=Xc/y
Fig. 3b
X'
910 VIl.3. - TRASFORMAZIONI RELATIVISTICHE PER IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
,,
.,
, ,,.
., ,
''
I
\
\
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
\
\
,
,,
''
I
I
che E'xfx' 0 = E'yfy'0 , cioè il campo elettrico continua a puntare secondo il
raggio vettore uscente da q anche per un osservatore in moto rispetto alla
carica q. Ritroviamo quindi per il campo elettrico di una carica in moto il
risultato ottenuto nel § V.2.5. facendo uso dei potenziali ritardati 1 •
Il campo risulta più intenso per angoli grandi rispetto alla direzione del
moto e pur essendo radiale non è più conservativo. Consideriamo infatti
un cammino di circuitazione y come quello indicato in fig. 4; si può verificare facilmente che
~,,,,~~
Fig. 4
Vll.3.3. - Forze magnetiche come effetto relativistico
-
4-+++++++++f --4
j---------+A
+v
-A
-vo
Fig. 5
Consideriamo due distribuzioni lineari infinite di cariche, aventi densità
+À e -À nel sistema di riferimento :E in cui sono in moto rispettivamente
verso destra e verso sinistra con velocità +v0 e -v0 (fig. 5). Tale doppia
distribuzione lineare appare globalmente neutra e percorsa da una corrente l=2Àvo.
Nel sistema :E+, ove le cariche positive sono in quiete, la loro densità lineare risulta inferiore a quella misurata in :E a causa della contrazione delle
lunghezze e dell'invarianza della carica. Lo stesso accade per la densità
lineare delle cariche negative nel sistema :E_ ad esse solidale.
Se indichiamo con Ào la densità a riposo, risulta
À
f
+A
4- + + +
-A
f~
+A+ + + + +
T
-vo
r
q.
I
I
+
Fig. 6
+v
V
À0 = Yo
ove
1
Yo=---
✓1-~~
e
Consideriamo ora una carica q puntiforme e positiva, posta a distanza r
dalla doppia linea, e in moto con velocità v parallela e concorde con la
velocità delle cariche positive (fig. 6). Chiamiamo :E' il sistema di riferimento in cui q è in quiete.
Nel sistema :E' la velocità delle cariche positive appare diversa da quella
delle cariche negative. Usando infatti la relazione (VII.2.3.) per la composizione relativistica delle velocità si ottiene
A causa della diversa contrazione di Lorentz per le lunghezze, anche le
densità di cariche risultano diverse
e
À'_ = y'_ À0 = y'_ (À/Yo)
In definitiva per la carica q in moto, la linea appare carica con densità
lineare
1. Ora però interpretiamo questo risultato in chiave relativistica come dovuto alle misure
fatte da un osservatore solidale alla carica. La stessa carica vista da un altro osservatore in moto assieme alla carica apparirebbe circondata dal campo elettrico a simmetria
sferica.
VIl.3.3. - FORZE MAGNETICHE COME EFFETTO RELATIVISTICO
cioè
'l •
I\,
911
2'A
= - - 2 yvv o
c
Poiché la linea appare carica negativamente, la carica q sente una forza
attrattiva di tipo elettrostatico. Per valutare tale forza, calcoliamo il campo elettrico generato dalla densità lineare di carica 'A' a distanza r da essa.
Utilizzando il teorema di Gauss si ha
⇒
,
A'
2Avv 0
E = - - = - y2 - - 2ns0r
c 2ns 0r
'\
I
/1.'
+ ~+ + + + + + + _f__ -
•-~
I
I
r,I I '
--- - -E'
✓
La forza sulla carica q, vista nel sistema in cui q è in quiete, vale quindi
2Avv0
f ' =qE' =-y---q
c 2 2ns 0r
Il segno negativo indica che la forza è diretta verso la linea carica.
Se vogliamo ottenere la forza f cui è soggetta la carica q nel sistema L,
dobbiamo ricordare la relazione che c'è tra la forza ordinaria e il quadrivettore forza di Minkowsky (§ VII.2.9.3.)
Poiché le trasformazioni di Lorentz lasciano inalterata la componente di
un quadrivettore trasversale alla velocità, nel passaggio da L' a L resta invariato il prodotto yf. Ora, tenendo presente che nel sistema L la carica q
ha P=O e"{= 1, mentre nel sistema L ha P=v/c e y= 1/(1-p2)1'2, l'aumento
di y nel passaggio da L a L del fattore 1/( 1-p2)1'2 deve corrispondere ad
una diminuzione dello stesso fattore della forza f sentita da q. In definitiva nel sistema L la forza sentita dalla carica q vale
1
1
f = f = _ 2Avv O q
"{
c 2 21tE 0r
Ricordando che I=2Av0 e che 1/(Eoc2)=µ 0 possiamo riscrivere la relazione precedente nella forma
µol
f =--qv=-Bqv
2nr
ove abbiamo posto B = µol/(21tr). La relazione precedente, scritta in termini vettoriali diventa
f =qvxB
Abbiamo così ritrovato la forza di Lorentz come effetto relativistico dovuto al moto della carica q. La forza che abbiamo attribuito all'azione del
campo magnetico generato dalla corrente può essere interpretato come un
effetto relativistico dovuto alla diversa densità di cariche positive e negative viste dalla carica q in moto. E' interessante notare che l'effetto di-
Fig. 7
912 VII.3. - TRASFORMAZIONI RELATIVISTICHE PER IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
et
+++++++++++++
\
o
X
Fig. 8
y
++++ ++++ ~
---------- .__
+!
+
-À,
)
-Vo
J
X
Fig. 9
Y'
o
pende dal prodotto 2Àv0 : poche cariche veloci possono produrre lo stesso
effetto di molte cariche lente.
Il fatto che un conduttore globalmente neutro per un osservatore in
quiete appaia invece carico per una carica in movimento può essere
spiegato come conseguenza della relatività della contemporaneità. Riportiamo infatti nel diagramma di Minkowsky per un osservatore in
quiete rispetto al conduttore, le linee di universo delle cariche positive
in moto verso destra e di quelle negative verso sinistra. In fig. 8 leprime sono nere e a tratto pieno, mentre le seconde sono grigie e tratteggiate. La neutralità del sistema è garantita dal fatto che per ogni tratto
dell'asse X, escono linee di universo in ugual numero per le cariche dei
due segni. Per un osservatore in moto con velocità v, gli eventi contemporanei sono quelli che si trovano su una parallela all'asse X'. Per tale
osservatore in una porzione finita OA della linea sono presenti contemporaneamente un numero diverso di cariche dei due segni.
Vediamo ora di giustificare le forze che agiscono su cariche elettriche in
moto in direzione perpendicolare rispetto alla direzione della corrente.
Consideriamo ancora la doppia distribuzione lineare di cariche di segni
opposti, che si muovono con velocità uguali e contrarie nel sistema di riferimento :E, ed una carica q che si avvicina alla doppia distribuzione con
velocità v (fig. 9).
Nel sistema di riferimento :E' in cui q è in quiete, le cariche della doppia distribuzione appaiono in moto con velocità inclinate in versi opposti (fig. 10).
Sappiamo d'altra parte che il campo di una carica in moto non ha più
simmetria sferica ma è schiacciato normalmente alla direzione del moto
(fig. Ila e llb). E' facile convincersi che ciò dà origine ad una forza risultante trasversale parallela alla linea carica.
X'
Fig. 10
\
\
,
,,
\
\
\
\
\
,,
E
\//
,
q
Fig. I la
\~--,--.,--,--,--,-_j
Vo
~::!::!::!:::!:::!::!:::!:::!::~-
'
:;: :;: :;: :;: :;: :;: :;: :;:
Fig. 12
Fig. llb
~~
Vll.3.4. - Forze tra conduttori paralleli percorsi da
corrente
Supponiamo di avere due conduttori percorsi da correnti discordi: gli ioni
positivi sono in quiete in entrambi, mentre gli elettroni si muovono in direzioni opposte, come illustrato in fig. 12. Nel sistema di riferimento :E i due
conduttori sono elettricamente neutri e non producono effetti elettrostatici.
VII.3.5. - TRASFORMAZIONE DEI CAMPI E E B
913
Invece nel sistema di riferimento solidale ad un elettrone in moto le densità lineari delle altre cariche risultano aumentate a causa della contrazione relativa delle lunghezze. La contrazione massima si ha per la distribuzione di elettroni dell'altro conduttore, dato che in questo caso la velocità
relativa è massima. Ogni elettrone vede quindi l'altro conduttore con un
eccesso di carica negativa e sente una forza repulsiva di tipo elettrico. Si
tratta della stessa forza che nel § III.2.4. è stata giustificata e valutata introducendo il campo magnetico prodotto dalle correnti.
In modo analogo si può spiegare l'attrazione fra conduttori metallici percorsi da correnti concordi.
I casi che abbiamo trattato corrispondono a situazioni di particolare simmetria e semplicità. In questi casi è stato possibile ricondurre le forze magnetiche alla legge di Coulomb ed al principio di relatività.
In generale, nelle situazioni reali di campi magnetici generati da distribuzioni arbitrarie di correnti, non è possibile ricondurre il campo B ad un puro effetto elettrico con la scelta di un opportuno riferimento :E'. Rimane tuttavia vero che, per ogni determinato punto dello spazio, ove sia presente un
campo B noto, è sempre possibile scegliere un nuovo riferimento :E' in cui
risulti B'=O.
E' interessante osservare che sebbene le forze magnetiche siano un effetto
relativistico, esse risultano apprezzabili anche quando la velocità delle cariche è piccola rispetto a quella della luce. Questo risultato è insolito. In ge2
nerale infatti gli effetti relativistici, essendo proporzionali a ~2=v2/c , risultano del tutto trascurabili fino a quando v non diventa una frazione apprezzabile della velocità della luce; di conseguenza per velocità ordinarie tutte
le leggi della dinamica relativistica si riducono a quelle della dinamica newtoniana.
Nel caso però delle forze magnetiche dobbiamo tener presente che in natura si hanno normalmente corpi globalmente neutri, in cui cioè una carica enorme positiva compensa perfettamente altrettanta carica negativa. Se
non ci fosse questa perfetta compensazione, forze notevoli di tipo elettrico si esplicherebbero tra i corpi. Ne segue che un debole squilibrio, dovuto a effetti relativistici del secondo ordine, produce effetti magnetici del
tutto apprezzabili.
Vll.3.5. - Trasformazione dei campi E e B
Consideriamo nel sistema di riferimento :E due distribuzioni
piane di carica di densità +cr e -<J, parallele al piano XZ ed in
moto con velocità v0 nel verso positivo dell'asse X (fig. 13).
Un secondo sistema di riferimento :E' si muove rispetto a :E
con velocità v, ancora parallela all'asse X.
Vogliamo valutare i campi E e B nei due sistemi.
Nel sistema :E il campo elettrico vale
EY
z
Z'
y
Y'
=cr/c 0
Inoltre, ciascuna distribuzione carica in moto poiché può
essere considerata come un piano di corrente di densità lineare J5=crv0 , genera un campo magnetico che a causa della
Fig. 13
914 VII.3. - TRASFORMAZIONI RELATIVISTICHE PER IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
particolare simmetria del problema può essere ricavato mediante il teorema di Ampère, come abbiamo fatto nell'esempio III.2.2. Il campo B risultante è nullo all'esterno dei piani mentre all'interno vale
Bz =µoJs =µocrVo
Nel sistema L' la velocità delle cariche appare diversa: infatti utilizzando
la composizione relativistica delle velocità possiamo scrivere
e
1
Per valutare la densità cr' vista in L cominciamo col valutare la densità
cr0 nel sistema in cui le cariche sono a riposo: cr0 risulta ridotta rispetto a
cr a causa della contrazione delle lunghezze che appare nel sistema L,
cioè
,
La densità cr' vista in L vale quindi
1
e la densità lineare di corrente J's risulta pari a
r s =cr'v'0 =rry(!- ~~ 0 )c ((Jl, - ~)i=rry(v 0 - v)
1-PPo
1
Possiamo ora calcolare le intensità dei campi E' e B' in L Si ottiene
•
che si può riscrivere in funzione di E e di B nella forma
Analogamente il campo magnetico, pari a B' 2
funzione di E e di B tramite la relazione
= µ 0 J'5 , si può riscrivere in
Riassumendo si ha
B', = { B, -
e: E,)
Analogamente, invertendo il ruolo degli assi X e Y e tenendo presente la
convenzione che lega la direzione di B a quella di Js si ha
VII.3.5. - TRASFORMAZIONE DEI CAMPI E E B
915
Per quanto riguarda la componente di E parallela alla velocità relativa dei
due sistemi, abbiamo già visto nel § VII.3.2. che questa non varia.
Per determinare la relazione di trasformazione della corrispondente componente del campo magnetico, consideriamo un solenoide infinito con asse parallelo alla direzione del moto relativo. Sappiamo che all'interno del
solenoide il campo magnetico vale B = µonI: esso dipende dal numero n di
spire per unità di lunghezza e dalla intensità di corrente I. Passando dal
sistema :1:: a :1::' si ha una contrazione delle lunghezze e una dilatazione del
tempo per cui risulta n' =')'Il ed I' =Ily.
I due effetti si compensano per cui la componente di B parallela al moto
relativo non cambia. In definitiva si ha
e
B'11=B11
Abbiamo così ottenuto la relazione di trasformazione del campo elettrico
e del campo magnetico da un sistema di riferimento ad un altro in moto
traslatorio uniforme
E'11
=E1,
E'1. =(yE+rtxcB)1.
cB'1. =(ycB-rtxE)1.
E'1. =y(E+vxB)1.
B'1. =
y(B - vxE/c
2
t
E' interessante notare la perfetta simmetria tra il campo E e il campo B (o
cB) nella trasformazione tra i sistemi inerziali.
Il risultato ottenuto stabilisce che, noti i valori di E e di B in un certo punto dello spazi.o-tempo di un sistema di riferimento :1::, risultano determinati i valori E' B' riferiti a qualsiasi altro sistema inerziale. Per il significato fisico che abbiamo attribuito al concetto di campo, la trasformazione
non deve dipendere dalle particolari sorgenti dei campi E e B. In altre parole i risultati che abbiamo ottenuto con una particolare geometria per le
sorgenti devono essere di validità generale.
Le relazioni trovate mostrano una interdipendenza tra B ed E che era già stata trovata sperimentalmente e descritta mediante le equazioni di Maxwell.
Supponiamo infatti che nel sistema :1:: (in quiete) risulti E=O e B:;t:O e di
considerare un conduttore in moto nel campo B con velocità perpendicolare rispetto ad esso (fig. 14).
Nel sistema :1::' solidale al conduttore mobile si avrà anche un campo elettrico E' così definito
z
e
E' 11 =E 11 =0
E'=E'1. =rtxcB = yvxB
Le cariche mobili, trascinate dal moto di :1::' sentiranno una forza elettrica
f'=qE'=yqvxB
o
X
V
Fig. 14
916 VII.3. - TRASFORMAZIONI RELATIVISTICHE PER IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
Abbiamo visto nel§ VII.3.3. che per ottenere la componente di una forza
diretta trasversalmente alla velocità Vr, passando da L a L occorre dividere la componente in L' per y. Nel sistema L, quindi, le cariche risultano
sottoposte ad una forza
1
f =f1/y=qvxB
Questa forza che abbiamo precedentemente spiegato come forza di Lorentz, può essere ora interpretata come forza dovuta al campo elettrico
visto da un osservatore solidale al sistema mobile L
L'interpretazione relativistica elimina così l'apparente asimmetria tra moto dei conduttori in un campo B stazionario e moto delle sorgenti rispetto
a conduttori fissi, asimmetria che richiedeva due meccanismi differenti
per spiegare la f.e.m. indotta osservata sperimentalmente in entrambe le
situazioni.
Analogamente se siamo in un sistema Love B=O ed E:;t:O e consideriamo
un osservatore mobile con L', tale osservatore vedrà anche un campo B'
dato dalla relazione
1
•
z
,
11xE
v
B =---=-yxE=-yµ 0 s 0 vxE
2
c
____
o
--+------~
{;:; .,,
~;,
----~
✓/-", _ __
V
X
c
Se ora consideriamo la circuitazione di B' lungo un cammino r
che abbia una parte mobile, come mostrato in fig. 15, otteniamo
!! B'•ds = B' R, = yµ
0 s 0 R,
lv x El= yµ 0 s 0 d<I>E
ili
e, ritornando al sistema L, si ha l'equazione
%
Fig. 15
che avevamo ottenuto nel definire la corrente di spostamento.
Vll.3.6. - Formulazione quadridimensionale
dell'elettromagnetismo
Se moltiplichiamo la quadrivelocità u per la densità di carica p0 misurata
nel sistema ove le cariche sono a riposo (p0 è quindi un invariante), otteniamo un nuovo quadrivettore J
PoVy
.J1-B 2
PoVz
,
.J1-B 2
'
Se ricordiamo che la densità di carica appare aumentata nel rapporto y
(cioè p=yp0 =po/(l-B 2) 112) quando la osserviamo da un sistema in moto
con velocità v=Bc, possiamo riscrivere le componenti del quadrivettore J
nel modo seguente
jl
=
pv X = J X
J2
= pv Y =J Y
VII.3.6. - FORMULAZIONE QUADRIDIMENSIONALE DELL'ELETTROMAGNETISMO
917
l3 = pv z = J z
La densità di corrente J e la densità di carica p, moltiplicata per ic, costituiscono quindi le componenti di un quadrivettore, che prende il nome di
quadricorrente.
Abbiamo visto che la carica elettrica si conserva in ogni sistema I:. Ciò si
esprime con l'equazione
divJ + òp/òt = O
Questa può essere riscritta nella forma
<)JX
ax
+ <)Jy + <)JZ + <J(icp) =O
òy
òz ò(ict)
che ci consente di esprimere l'equazione di continuità in termini della
quadricorrente
4
cioè
~ Ò]v =0
.k-lòx
V=l
V
La conservazione della carica si esprime quindi dicendo che la quadrivergenza della quadricorrente è nulla.
Come la divergenza tridimensionale è invariante per rotazioni del s1stema
di coordinate, cosi pure la quadridivergenza è invariante per trasformazioni di Lorentz.
La formulazione quadridimensionale mette quindi in evidenza il carattere
invariante della conservazione della carica.
Vediamo ora come si possono esprimere le equazioni dei potenziali.
Abbiamo visto nel§ V.2.1. che
z
V A-
µoEo
a2A
-2-
Òt
=-µoJ
e
con la condizione divA= -µ 0 E0 ò<.p/òt.
Ricordando che Eoµo= 1/c2 si può scrivere
a2
1 2
c Òt
a
a2
a2
ò(ct)
ò(ict)
-Eoµo-=
2 - -2 - = - - -2- = - - 2
Òt2
per cui le due equazioni dei potenziali diventano
Se ora introduciamo un nuovo quadrivettore 'I' , le cui componenti sono
918 VII.3. - TRASFORMAZIONI RELATIVISTICHE PER IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
vediamo subito che le due equazioni (una vettoriale e l'altra scalare) possono venir compendiate in un'unica equazione per il quadrivettore 'I'
a2'l' a2'l' a2'l' a2'l'
-a
2 +-a
2 +-a
2 +-a
2 =-µol
X1
X2
X3
X4
che si può riscrivere
La
4
2'1'
ax2 =-µol
V=!
V
Anche la condizione di Lorentz divA+ µ 0 s 0 aq>/at = O può venir espressa
con il nuovo formalismo
aAX + aAY + aAZ + d(iq>/c) =0
ax
ay
az
a(ict)
⇒
4
⇒
~ a'l'v =0
~ax
v==l
v
La condizione di Lorentz quindi si esprime dicendo che la quadrivergenza del quadripotenziale 'I' è nulla.
Vediamo ora come si possono esprimere i campi B ed E in termini del
quadripotenziale 'I'. Ricordiamo che B=rotA ed E=-Vq>-aAtat. Quindi
B = aAX _ aAZ = a'l'1 _ a'l' 3
y
dZ
dX
dX 3
dX I
aAY aAX a'l'2 a'l'1
B =--- --z
ax
ay
dX1 dX2
E =- d<{) - aAX =ic d'Jf 4 -ic d'Jf1 =ic(d'Jf 4 - d'Jf1)
x
ax
at
axl
dX4
dX1 dX4
E = - d<{) - aAY = ic(a'I' 4 - d'Jf 2)
y
ay
at
ax 2 ax4
E __ d<{) _ aAZ -ic(a'I' 4 _ d'Jf 3 )
z
az
at
dX3
dX4
La simmetria di queste relazioni suggerisce di costruire un tensore in
quattro dimensioni definito come
a'I'µ a'l'v
F =--vµ
Xv
Xµ
a
a
Le componenti di questo tensore sono
VII.3.6. - FORMULAZIONE QUADRIDIMENSIONALE DELL'ELETTROMAGNETISMO
. Ex
e
. Ey
o
Bz
-B y
-1-
-B z
o
Bx
-1-
By
-B X
o
e
. Ez
-1e
. Ex
e
1-
. EY
e
1-
. Ez
e
o
Fvµ =
1-
919
Si può dimostrare che, passando da L a L questo tensore si trasforma secondo la relazione
1
,
4
F'ik
=
4
I, :I,ailakrnFlm
P.=l m=l
ove si sono indicati con aie gli elementi della matrice della trasformazione
di Lorentz
o o -ri
o 1 o o
aie=
o o 1 o
-ri o o y
y
Se ad esempio vogliamo ottenere la componente Bx del campo magnetico
nel sistema L', basta sviluppare le sommatorie
B\ =F'23 = LeLma2i'a3mFem = 2,elauFe3l=Bx
Con l'introduzione del tensore Fvµ si rende evidente che i campi B ed E
non sono entità separate ma rappresentano le componenti di un unico tensore quadridimensionale. E' ora intuitivo che passando da un sistema L
ad uno L la corrispondente rotazione del sistema di assi (x,y,z,ict) faccia
variare le varie proiezioni e mescoli E con B.
Anche le equazioni di Maxwell assumono una forma particolarmente
simmetrica in questo formalismo. Vediamo infatti che l'equazione
1
,
si può seri vere nella forma
⇒
Se ora generalizziamo questa equazione, scrivendo
~ é)Fvµ _
,k.,J~-µolv
µ=I
µ
vediamo che facendo variare l'indice v da 1 a 4, otteniamo le equazioni
920 VII.3. - TRASFORMAZIONI RELATIVISTICHE PER IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
divE = p/s 0
Analogamente se traduciamo l'equazione di Maxwell (rotE
t = -( òBÒt J
X
otteniamo
⇒
ò(iEZ
le)
a(iEY
le) òBX
òz
òict
---- - ---- - - - =o
òy
cioè
Generalizzando questa equazione si ha
ÒFvµ
ÒFµÀ
ÒFÀv
axÀ
axv
Òxµ
--+--+--=O
e da questa, permutando gli indici otteniamo le equazioni
òB
rotE=--
òt
e
divB =0
Vll.3.7. - Mezzi polarizzati in movimento
Abbiamo già visto nel § IV.4.5. che le equazioni di Maxwell in presenza
di mezzi materiali sono date da
divD = PL
divB =0
òB
rotE=--
rotH=JL + -
òt
òD
òt
ove si è posto
D/e 0 =E+ P/E 0
µ 0 H=B-µ 0 M
Tali equazioni sono state ottenute per mezzi materiali in quiete, ma
l'equivalenza dei vari sistemi di riferimento inerziale impone che queste
equazioni debbono rimanere valide in questa forma non solo per
l'osservatore che vede il mezzo materiale in quiete, ma anche per osservatori per i quali il mezzo materiale è in movimento. Da tale equivalenza
possiamo dedurre le proprietà di trasformazione dei campi H e D e delle
densità Me P.
Le quattro equazioni di Maxwell hanno in presenza di mezzi materiali esattamente la stessa struttura di quelle scritte precedentemente per lo spazio vuoto ed a queste devono ridursi quando P ed M si annullano. Segue
da ciò che µ0H e Dleo devono trasformarsi rispettivamente come B ed E.
VII.3.7. -
921
MEzzI POLARIZZATI IN MOVIMENTO
Pertanto
Analogamente anche -µ0M e Pico devono trasformarsi allo stesso modo
Ponendo µoco= 1/c2, queste ultime si possono riscrivere nel modo seguente
e
Queste equazioni prevedono effetti relativistici sperimentalmente
verificabili, anche quando le velocità in gioco sono piccole rispetto a quella della luce.
Consideriamo un mezzo dielettrico polarizzato. Sia P la densità ;
di polarizzazione nel sistema :E in cui il mezzo è in quiete. La
magnetizzazione M sia nulla in questo sistema. Per un osservatore in :E', in moto con velocità v perpendicolare a P, le trasformazioni relativistiche prevedono che si presenti una magnetizzazione M' =y(vxP).
Questo effetto era prevedibile anche sulla base della teoria elettronica
classica. Infatti, un mezzo polarizzato omogeneamente si comporta
come una doppia distribuzione piana di carica di densità cr P•n. In :E'
il mezzo appare in moto con velocità Vp =-v e tali distribuzioni equivalgono a due fogli di corrente con densità lineare Js = CTVp. Nella geometria considerata, questi fogli di corrente generano nello spazio interno al dielettrico un campo magnetico, di modulo pari a
B=µ 0Js=µ 0 Pvp che, in termini vettoriali, si può scrivere come B = µoPxvp
e che risulta pari al campo B=µ0M che si ha in un magnete permanente
in quiete con la stessa geometria, se la magnetizzazione di questo vale
M=PXvp. Questo risultato coincide con quanto previsto dalle trasformazioni di Lorentz a meno del fattore y del secondo ordine in v/c, in
quanto nella derivazione classica abbiamo trascurato la variazione relativistica della densità di carica cr passando al sistema ove il mezzo
polarizzato appare in moto.
La verifica sperimentale di questo effetto è stata fatta da Rontgen ed Ei.chenvald, facendo ruotare un disco dielettrico posto tra le armature di un
condensatore carico (fig. 17). Il disco appare magnetizzato in direzione
radiale.
Un effetto analogo è previsto quando un mezzo magnetizzato viene a trovarsi in movimento rispetto ad un osservatore inerziale. Consideriamo infatti un magnete avente M:;t:O e P=O nel sistema di riferimento :E in cui si
Fig. 16
r---lllilllllilllm
_l
Fig. 17
..'t
I
922 VII.3. - TRASFORMAZIONI RELATIVISTICHE PER IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
Fig.18
Fig. 19
trova in quiete. Un osservatore in L' in moto con velocità v ortogonale ad
M, deve vedere anche una polarizzazione P', secondo le previsioni delle
trasformazioni di Lorentz: P' = -yvxM/c2• Quindi, un osservatore in L',
che vede il magnete in moto con velocità VM=-v, deve vedere il magnete
polarizzato con P' =yMxv/c 2•
Questo effetto fu previsto per la prima volta come conseguenza della teoria
della relatività. In realtà era già stato largamente impiegato nella tecnologia
delle macchine elettriche, senza che si fosse interpretata correttamente la
natura del fenomeno. Nel generatore unipolare vengono infatti prodotte
forti intensità di corrente con piccole differenze di potenziale.
In questo generatore un magnete di forma cilindrica viene posto in rotazione attorno al proprio asse, come schematizzato in fig. 18. La magnetizzazione M è parallela all'asse di rotazione. Mediante due contatti striscianti si realizza un circuito chiuso che va dall'asse di rotazione alla periferia del cilindro rotante, in cui scorre corrente come abbiamo visto nel
caso del disco di Barlow (cfr. § IV.l.7.1.) usato come generatore. In questo caso, però, il campo B è generato dallo stesso cilindro rotante.
Talvolta la corrente letta dall'amperometro viene erroneamente giustificata pensando che il magnete trascini con sé le linee di forza del campo B e
che queste taglino il circuito formato daj conduttori esterni come quando
questi si muovono rispetto al magnete tenuto fermo. Le linee di B non
sono oggetti reali connessi rigidamente al magnete. Nello spazio esterno
al magnete il campo B rimane costante durante la rotazione e non vi può
essere forza di Lorentz sugli elettroni del circuito esterno che è fermo. Più
correttamente, la corrente generata si può valutare quantitativamente considerando gli elettroni di conduzione del magnete che vengono trascinati
dalla rotazione di questo e che si muovono quindi nel campo B interno al
magnete stesso, che ha un valore costante nel tempo come il campo B applicato dall'esterno al disco di Barlow.
In realtà la spiegazione corretta del fenomeno richiede la presenza di un
campo elettrostatico entro e fuori il magnete rotante, riconducibile alla
polarizzazione P di questo come conseguenza dell'effetto relativistico.
Questo campo elettrico esercita una forza sulle cariche mobili del circuito
esterno, giustificando la forza elettromotrice unipolare, mentre invece
viene perfettamente compensato all'interno del magnete rotante dalla forza di Lorentz che il campo B genera sugli elettroni trascinati nella rotazione. Per meglio comprendere questa situazione, analizziamo il fenomeno con una geometria semplificata, considerando un magnete permanente
di forma lineare, di lunghezza infinita, con magnetizzazione M in direzione verticale (fig. 19). Nel sistema di riferimento L, in cui il magnete è
in quiete, una sbarretta conduttrice si muove con velocità v costante parallela alla lunghezza del magnete tagliando le linee del campo B prodotto dal magnete. La forza di Lorentz spinge le cariche mobili della sbarretta in moto e può produrre una corrente nel circuito se realizziamo due
contatti striscianti sul magnete stesso. La forza di Lorentz agisce solo sugli elettroni della barretta in moto, su cui esplica una forza pari a quella
dovuta ad un campo elettromotore di intensità E= vxB. La corrente che
circola è dovuta solo a questo campo. L'osservatore in L non vede alcuna
forza elettromotrice sugli elettroni del magnete in quiete. Se si interrompe
I
VII.3.7. - MEZZI POLARIZZATI IN MOVIMENTO
923
il circuito la d.d.p. misurata ai capi della sbarretta in L vale ~(j)=vBl, avendo indicato con ,e la lunghezza della sbarretta.
Cerchiamo ora di analizzare la stessa situazione vista da un osservatore in
un sistema L' in quiete rispetto alla sbarretta, che vede il magnete in moto
con velocità vM=-v (fig. 20). Questo osservatore vede una forza che agisce sugli elettroni della sbarretta, che per lui è in quiete, e deve attribuire
questa forza ad un campo elettrostatico. Questo campo E' può essere
spiegato solo come conseguenza della polarizzazione P' del magnete in
moto, secondo la previsione relativistica P' = yvMxM/c 2• Per l'osservatore
in L' la forza risultante sugli elettroni del magnete trascinati nel moto è
nulla in quanto la forza di Lorentz che agisce su questi, a causa del loro
moto nel campo B, che va pensato costante anche se il magnete si muove,
viene compensata dalla forza generata anche all'interno del magnete dal
campo elettrico prodotto dalla polarizzazione P, cioè
qvM xB+qE'=O
Fig. 20
⇒
Per l'osservatore nel sistema L' il campo E' è l'unico responsabile della
d.d.p. ~(j)' presente ai capi della sbarretta quando il circuito è aperto. Essendo VM=-v, ~(j)' coincide con ~(j).
Questo risultato può essere ottenuto anche classicamente. Infatti nella geometria lineare semplificata la magnetizzazione M genera un campo B
pari a quello dovuto a due distribuzioni superficiali di corrente con densità Js = Mxn sulle pareti laterali del magnete (fig. 21) e queste generano,
se si trascurano gli effetti di bordo, un campo interno di modulo
B=µoJ 5=µ,oM, e vettorialmente B = µoM.
Il campo elettrostatico interno deve compensare la forza di Lorentz e
quindi deve valere E'= -vMxB = -µo vMxM. Se ricordiamo che entro una
lastra piana di dielettrico con densità di polarizzazione P le <Jp equivalenti
creano un campo E=-P/eo, per ottenere il campo elettrostatico E' occorre
una polarizzazione P' = -eoE' = eoµo vMxM = -vxM/c 2 che coincide con la
previsione relativistica, a parte il fattore y.
Possiamo anche fare un modello che permetta di comprendere l'origine
della polarizzazione P in un magnete in movimento. Consideriamo una
spira circolare, percorsa da corrente, in moto con velocità v rispetto ad un
riferimento solidale al laboratorio come mostrato in fig. 22. Rispetto
all'osservatore solidale alla spira, questa presenta un momento di dipolo
magnetico M' diretto verso l'alto se la corrente scorre in verso antiorario.
Per tale osservatore, gli elettroni di conduzione si muovono nel verso orario con la stessa velocità di deriva e la spira risulta globalmente neutra in
quanto la carica negativa degli elettroni risulta compensata da quella positiva degli ioni del reticolo.
Consideriamo ora un osservatore solidale al laboratorio che vede la spira
muoversi con velocità v verso destra. Per tale osservatore la velocità degli
elettroni di conduzione appare aumentata da una parte e diminuita
dall'altra per cui tale osservatore riscontra uno squilibrio elettrico e quindi un momento di dipolo elettrico P (vxM')/c 2 perpendicolare rispetto a
M' ed a v.
'I
7'
~
I
Fig. 21
M'
V
---+
Fig. 22
924 VII.3. - TRASFORMAZIONI RELATIVISTICHE PER IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
L'invarianza della carica elettrica garantisce che se il sistema è globalmente neutro per l'osservatore solidale con la spira, tale deve risultare per
qualsiasi altro osservatore. Infatti in questo caso il sistema è isolato e le
cariche non possono né entrare né uscire dalla spira. Quindi l'effetto della
diversa definizione della contemporaneità, fa nascere nel sistema del laboratorio solo un dipolo elettrico, non un eccesso di carica.
SOLUZIONI ACCENNATE DEI PROBLEMI PROPOSTI
V.1.
a) V= lff=c/À=3· 108/5· 10-7 =0.6-10 15 Hz;
b) I =<S>=E02/(2µoc) ⇒ E 0 =200V/m;
c) Bz=B 0cos[2rcv(t-x/c)] con Bo= Eofc=6.6· 10-7T.
Y, , ,..- '. \
, .
I
V.2.
,-
a) À=cT=c27t/Cù=30m;
b) nel semispazio x>0 si ha
By= B0cos[ Cù(t-x/c)] con Bo= µo Jo/2 = 6.28· 10-6T
E 2 =-cBy=-cB 0cos[Cù(t-x/c)] =-E0cos[Cù(t-x/c)] con
E 0 =cB 0 = 18.8·102V/m. Se B è parallelo all'asse Y, E è diretto
nel verso negativo dell'asse Z e viceversa. Quindi in x = 50km
al tempo t=5ms si ha By=-3· 10-6T ed E 2 =902.4V/m;
I
.,
.I
f
'·I
l
I
I
essendo C0 ed Lo rispettivamente la capacità e l'induttanza per
1
2
R = ..l::2..1n!?_/ 1tco =--ln_!:.
2n a ln(b/a) 2n a
[&'"
v-;;
⇒
=138.16Q;
b) Poiché d >> h ai ·fini del calcolo del campo elettrico e
magnetico possiamo considerare le piastre conduttrici
come se fossero illimitate in entrambe le direzioni. Pertanto
_ C _ 1 cof,d _ E. d . _
_
I
_
Co - - - - - - - - 0
B - µoJs - µo - <l>B - BCh
C Ch
h' ~ - - d '
'
L - <l>B - µoh
0
CI
d
⇒
c) Linea bifilare: C0 =
R-
[&"
v-;;
1tEo , L 0 = µo ln d - ro
ln(d /r0 )
n
r0
!:_/ ln1tco
(d/r
R = J:g_ ln
1t
r0
µoh/cod - h
d
h
d
0)
=J:g_ ln !:_
!:_ v-;;
[&'" = 276.3Q.
= .!_ ln
n r0
'
-3.77Q·
n
r0
⇒
E
I
L'impedenza caratteristica di una linea di trasmissione si valuta con la relazione
unità di lunghezza della linea.
2
a) Cavo coassiale: C0 = 1tEo
L 0 = ..l::2..1n .!:.
ln(b/a)'
2n a
B
-i-
V.3.
,
I
I
I
c) < dU >= .!_cc E 02 = 4.7 kW.
dtdA
2 °
m2
R = .JL 0 /C 0
I
I
I
I
I
'
X
926
SOLUZIONI
V.4.
a) La potenza irraggiata coincide con il flusso del vettore di Poyntig attraverso
una sfera concentrica con la sorgente w =
#s •
dA = S4m
2
;
il suo valor me-
dio vale
1 E 0B 0
1 E~
2
< w >= ---4n:r
= --4n:r 2
2 µ0
2 µ 0c
b) B 0
⇒
=E 0 /c =10-7 T.
V.5.
a) By=66.7· 10-8sin[4n:-106(z-3· 108t)] =B 0sin[k(z-vt)] ⇒
k=2n:/À=4n:-10 6 ⇒ À=0.5·1O-6m=500nm. Tale lunghezza d'onda cade nel
visibile;
b) l'onda si propaga lungo l'asse Z con velocità v=3-10 8 =c;
1 E 0B 0
1 cB~
W
c) I=<S>=---=--=53.1,
2 µ0
2 µ0
m2
2
dp _ 1 dU k _ 1 ( s 0 E + B
dV
c dV
< dp >
dV
c
2
2
2µ 0
= 1 ( 2 B Jk _ 1 ( cB Jk = S k ⇒
c 2µ 0
c2 µ 0
c2
2
}
2
< S > k =6 · 1O-16 k.
c2
V.6.
!"=:::::::=tA
s
a) E0 =cB 0 =3OV/m;
b) Indichiamo con A la porzione della superficie sferica di raggio r e centro nella sorgente delle microonde che viene vista da questa sotto un angolo solido
Q= 1O-3str. La potenza media emessa in n è pari a·
1 E 0B 0
2
3
< w >=< S > A = - - Q r = 1.2 · 10 W.
2 µo
V.7.
a)
< dU >=_!_(s 0E~ + B~ ]=_!_E E20 =l.l·lO-s_I_.
dV
2
2
2µ 0
2 °
m3 '
b)
nel caso della superficie Ao completamente assorbente ed ortogonale alla
. .
d.
.
<F > <S> 1
_
N
d irez1one 1 propagazione Prad = - - = - - =-s 0 E 02 = l.1 · 10 8 - 2 ;
A0
c
2
m
nel caso in cui la direzione di propagazione u dell'onda formi un angolo
0=30° con la normale n alla superficie A completamente assorbente, bisogna
tener conto del fatto che la pressione esercitata dipende dalla componente
lungo n della quantità di moto trasportata dall'onda, diretta come u, e che
inoltre la superficie A è maggiore della sezione A0 del fascio incidente secondo la relazione A=Aofcos0. Pertanto
c)
927
SOLUZIONI
< F > cos 0
<F>
N
P'rad = __n _ = - - < F >cose = --cos 2e = prad cos 2e = 0.82 · 10-8 - 2
A
A0
A0
m
V.8.
⇒
a) I=< S >= _!_ EoBo = _!_E OcE O2 = 1400 W2
2 µo
2
m
E 0=10.26· 102V/m,
Bo=Eofc=3.42· 1o- T;
6
b) P
~
= < S > = _!. = 4 66 · 10-6 ~ •
c
c
·
m2 '
u
c) Poiché la pressione di radiazione è la forza media esercitata dall'onda
sull'unità di superficie ortogonale alla direzione di propagazione, la forza esercitata sulla superficie dA di figura vale
dFract = PractdAcos0u = Pract27tRi sin0d0cos0 u
12
F = ( fo" p 21tRi sin 0d0 cose = prad 21tRi
~
~
=
)u
⇒
~u
8
Fract 6· 10 N
Il modulo della forza di attrazione gravitazionale terra-sole è dato da
F
g
=
msmT = 6.67. 10-11 1.97 . 1030 . 5 .98. 1024
1.52 . 1022
y dis
=35. 1021 N
⇒
Fg>>Frad.
V.9.
2
a) Ricordiamo che Rract =
3..~(:!_)
3 c0 c À
. Nel nostro caso À =
~v = 200m, d=20m,
Rraa=7.88Q;
b) <w>=Rrad Il/2::: l.6kW
V.10.
a) Ricordiamo che la potenza irraggiata da una carica puntiforme q che si muo2 2 2
ve con accelerazione a vale w =
q a . Poiché ci troviamo in condizioni
3 4rcE 0 c 3
non relativistiche l'accelerazione del protone nel tubo è data da
eE e~<p
e2 2
e2
a = - = - - ⇒ Eact =w~t=---a
~t=---avr
essendo ~t il
m
md
r
61tEoC 3
61tEoC 3
tempo impiegato ad attraversare il tubo e vr la velocità finale. Poiché
1 2
.
.
e
e~<p ✓ 2e~<p
EK = -mvf = e~<p, s1 ottiene Eract =
-3
2
6nE0c md
m
2
2
2
1
Eract = e ,
EK
6nE 0c~ md
m
rabile rispetto ad EK.
✓ e~<p :::8.77·10-20 J ⇒
⇒
l'energiairraggiataètrascu-
928
SOLUZIONI
b) L'energia guadagnata dal protone in un giro compiuto in un ciclotrone vale
e2a2
LiEK = 2e~<p, mentre quella irraggiata vale Erad = wT =
T , dove
fotc 0C3
T=l/v ed a=ulr=(2nv)2r. Pertanto si ha
E
2
8 3 3 2 l
~ = e re \ r
2.2 · 10-14 J ; l'energia irraggiata è ancora trascuraEK
3s0 c
2e~<p
bile rispetto ad EK.
=
Vl.1.
a) a=90°-y=90°-03 ⇒ 03=y; ~=90°-203=90°-02 ⇒ 02=203=2y;
01 =02+y=3y=60°.
b) Si formano 3 immagini: 0 1P 1 è formata dai prolungamenti dei raggi riflessi
solo dallo specchio 1; 0 2P 2 è formata dai prolungamenti dei raggi riflessi solo
dallo specchio 2; 0 3P3 è formata dai prolungamenti dei raggi, che dopo essere
stati riflessi dallo specchio 1, vengono riflessi anche dallo specchio 2 e viceversa.
Vl.2.
a) In assenza di S2 il fascio verrebbe focalizzato da S1 nel fuoco F, che quindi
funge da oggetto virtuale per S2 . Poiché il fascio riflesso da S2 è parallelo
all'asse ottico, l'oggetto deve trovarsi nel fuoco F' di S2 • Pertanto
d /2 d /2
d
=
⇒
=
5cm ⇒ R2=10cm,
l~'I
IJT
lf'I d: lii=
RI
R2
2
2
C1C2 =R=---=20cm.
b) In assenza di S2 il fascio verrebbe focalizzato da S 1 nel fuoco F, che quindi
funge da oggetto virtuale per S2 ⇒ o'=-FV2=-4.5cm
⇒
1 1 1
-+-=- ⇒ i'=45cmdaV2.
o' i'
f'
c)
f"=-f'
⇒
1 1
1
-+-=o" i"
f"
⇒ i"=2.37cmdaV 2 .
Vl.3.
a) HA= dtger., HC = d tgei
⇒ AC = d (tgei -tger. ); R =AB= ACcosei
R = d sinei coser. -cosei siner. = d sin(ei -er.) = O.l 9cm;
cose(
cose(
b) equazione primo diottro piano .I..+ n_v = O
O
⇒ i =-nvo;
l'immagine del primo
l
diottro funge da oggetto per il secondo o'=d-i=d+nvo; quindi ~+..!:_=O ⇒
o' i'
i'=-o'lnv=-(d+nvo)I nv. L'immagine è virtuale e quindi si trova a sinistra della lastra e dista i' da V2 ; la sua distanza dal piano centrale della lastra vale
?+------ --+-.,.·,_.
1
h
h'=ltl-~=d+nvo
2
nv
d2 =h+(.!!:_-dJ<h
⇒
nv
1
h-h'=dnv- =0.33cm;
nv
j
929
SOLUZIONI
c) affinché il raggio non emerga dalla superficie inferiore della lastra, l'angolo di
incidenza in H deve essere ~0L; pertanto nv sin 0L = Il
⇒
0L=62.46°,
3
0r•=90°-0L=27.54°, n 3 Sin0i =nvsin0r'
⇒
0i mm. =31.43°.
Vl.4.
Ro
a) ~+!=1-nv ⇒ i= - - - - - = -10cm immagine virtuale
o i
R
nvR+o(nv-1)
posta a sinistra di V;
1 1-n
R- = - 20cm a sm1stra
. .
d.1 V ;
b) a=oo ⇒ -=--V ⇒ z. = - R
c)
0=00
⇒
1
i
Ilv
1-n
-R
⇒
-=--V
o
-1
i=~=20cm a destra di V.
nv-1
Vl.5.
•A'
a) na sin ei = sin er' ' er' = 45° e ei = 32.12°'
HP = htg0i = h-d ⇒ h = d/(1-tg0J = 26.86cm;
b) nv sin0\ = sin0r,, 0r, = 45° e 0\ = 28.12°,
?1/
HP = htg0\ = 14.36cm, HO=HP+d=24.36cm
⇒
0A=h-H0=2.5cm.
✓,
Ìl,
h
----1---••A
H :◄······P.····►O
h
h
Vl.6.
.
.
1 nv nv -1
a) d1ottro ana-vetro - + - = - o i
RI
n • 190
nv+ 1=1-nv
o ' =-t-z=
cm ' 0'
i' -IRzl
⇒
i = -180cm da V 1 ;diottro vetro-aria
⇒
i'= 58.46cm immagine reale a destra
di V2;
b)
m=m, ·m, =(- o!, }(- i':: )= -1.38
⇒
y'=my=-2. 76mm;
c) il secondo fuoco è il punto in cui si forma l'immagine di un og. -.nv = nv -1
getto posto a11 ,.mf"mito:
z
R1
i= 90cm;
⇒
o
' n •
80cm nv+ 1 =1--nv
o=-t-z=-
-IR2I
primo fuoco è il punto in cui si deve mettere l'oggetto affinché
,
0'
V1\
f2
l'immagine si formi all'infinito: n: = l- nvl
o
-R
1 2
·
n
'
50c ml, - +
nv - =
nv-- -l
1=-t-0=-
.fi
i
RI
⇒
⇒
o'=60cm,
F.
21 .43 cm da V 1JI=
'
:.-e--+:'
930
SOLUZIONI
Vl.7.
a) diottro aria-vetro o = oo
~= nv -n
R
nV n' n'-nV
o= 2R-i =95cm - + - =- I
•
, 0'
f2
I
⇒
-IRI
i=-75cm; diottro vetro-aria
⇒
Ji=-47.5cm da V2 ; poiché la sfe-
ra è una lente simmetrica si ha che f 1 =J2 =-47.5cm da V 1 come si può verificare imponendo che l'immagine finale si formi all'infinito; i due piani principali si trovano rispetto al corrispondente fuoco a distanza
II )
R(-IRI)
]
37 5
. . "d
f = n'nv , [ (
')
{
= - . cm , essi cornei ono e pasn v - n nv-n 2R+,R-R nv
sano per il centro della sfera;
b) Riferendo
le
posizioni
dell'oggetto
e
dell'immagine ai piani principali l'equazione
I
.
·.
. ..
della lente è _.!:_ + ! = _!_ , essendo o = 60cm,
o i f
J· .
Jl
. ·.. .. 1 .•
i4----l --,·-•...-.·~·.·.·.··.
•
I
F2
⇒
i=-23.07cm, l'immagine è virtuale e dista i dal
centro della sfera; m=-ilo=0.38. ·
I
I
I
Vl.8.
i1 = !1 = 10cm, o2= d-i1 = 70cm,
a)
1
1
f'2
f2
_!_ +-- = 02
⇒ f' 2 = 28cm a de-
1
stra dalla seconda lente; i2 =00 o2 =fi=20cm, i 1 =d-o2 =60cm, - -+_.!:_ = _!_
⇒
.
f' 2 = 12cm a sinistra della prima lente;
. 1ente -+1 1 = -1
b) pnma
o i f1
⇒
il
li
. 10cm;
z=-
1
seconda lente o' =d-i =90cm ..!._ + _!_ = - , o' i' f2
JJ-------
f'i
⇒
i' =25. 71cm dalla
seconda lente. L'immagine è reale e l'ingrandimento trasversale vale
d
m = m1 ·mz
=(-
!}(-:•,
)= -0.57; l'immagine è capovolta e rim-
picciolita.
Vl.9.
a)
1
1
1
-+-=o l
f'
⇒
. 20cm· o=
' d-i=. 5 cm,-+-=l l
l
i=
'
o' i'
f
stra dalla prima lente, immagine reale;
o
⇒
•I
10cm a smi· ·
i=
931
SOLUZIONI
b)
~ -(n,-1)( :, -:, ) ⇒
( :, -:,
hn,
_1 = nv -na (-1___1_)= nv -na
1
fa
Ila
R1 Rz
Ila (nv -l)f
1
nv -na
1
=------f'a
Ila (nv -l)J'
⇒
f'a=46.94cm;
1
..!..+_!_ = - o' i'
f'a
lente, immagine virtuale.
o' = d-i=34.78cm,
⇒
~l)f'
⇒
fa =-39.12cm;
1 1 1
-+-=O
i fa
⇒
i=-19.78cm,
i'=-134.22cm a sinistra dalla seconda
Vl.1 O.
1
1
a) Menisco _!_ = (n -1)(-- - --)
li
RI R2
⇒f
1 =20cm;
lente piano-concava..!:.._= (n'-1)(-~) ⇒ Jz=-lOcm, J__ = J_+J.. ⇒
f2
R
f
fif2
f=-20cm;
b) il sistema può essere assimilato ad un menisco, avente distanza focale
Jì=20cm, posto a contatto con una lente lente piano-convessa di indice di rifrazione n' =1.6 e raggio di curvatura R 2= 10cm, la cui distanza focale vale
1
1
-=(n'-1)- ⇒ .h=16,66cm; pertanto:
f3
R2
1
- =D=J_+J..=0.lldiottrie; !+!=..!:.._ ⇒ i=lOOcm,immaginereale.
f'
fif3
o i f'
o
Vl.11.
⇒
' d-i=
. d- _.. b, -l +l- =l- , esseno
d i=•I
23 cm m
.
o=
10
0'
i'
f oc
a)
o= 00 ,
b)
quanto deve cadere a distanza di 25cm dall'occhio, si ha o'= -2.19cm e
quindi fob=d-o'=42.19cm;
per poter essere osservata con l'occhio accomodato all'infinito deve risultare
i'=-oo e quindi o'= foc = -2cm = d'-fob ⇒ d'= fob + f oc= 40.19cm,
quindi ⇒ l'oculare deve essere allontanato di 0.19cm.
i =fob,
Vl.12.
a)
Distanze focali del diottro acqua-vetro:
f2=88.23cm; i=
00
0= 00
~=nv-na
f2
R
⇒
~ = nv -na ⇒ f1=78.23cm; specchio J=Rl2=5cm;
R
f1
Il
Il
Il -Il
b 1) diottro acqua-vetro: _a +-v = v
a ⇒ i=-12.93cm; specchio sfeo
i
R
1 1 1
,
rico: o =-e-i=52.93cm -+- =- ⇒ i=5.52cm·, diottro vetro-acqua:
' o' i'
f
,
I)
•
o
932
SOLUZIONI
⇒
i"= -50.18cm a destra di V 1,
l'immagine è virtuale;
b2) m = m1 • m2 • f1½ =(- ina )·(-~)-(- i',',nv )= -0.2, immagine capovolta
Oilv
O
O Ila
e rimpicciolita.
Vl.13.
a)
l_)
⇒
_!__ = nv ~n'(_l___
f
n
-R 1
R2
⇒
b) lente sottile: .!_+! = _!__
o i f
J=96cm;
i=-68.57cm;
2
' d- i= 1O8.57cm, -+l l =-specchio convesso: o=
o' i'
-R
l = -l
1ente sott1·1e: o "= d- i., = 56 .89 , cm -l + o" i"
f
della lente sottile; l'immagine è virtuah;;
o
e) m =m, · m, · m, =(-
⇒
' 16 .89cm;
i=-
i"=-139.64cm a destra
⇒
!}(-;, }(-;:. )=
O. 65 , immagine diritta e rimpicciolita.
Vl.14 .
t
o
[)
a)
V
.!_+_1 =(nv-1)(-1___1_), .!_ __1_= nv-na(_l___l_); sottraendo
O
30
R1 R2
O
24.33
Ila
Rl R2
1
1
membro a membro si ha - - + -- =[(nv -1)
30 24.33
_l _ _
l )=0.2cm-l
( R1 Rz
__o_..___I_ _+-'-+---- b1)
b2)
⇒
nv-na](-l___l_)
Ila
Rl Rz
1
f =[(nv-1)(- _ _
l
R1 R2
)rl
~
⇒
=10cm;
J'=[nv-n(_l _ _
1 Jr1=-55cm;
Il
Rl Rz ~
1 1 1
- +- =o i f'
⇒
i =-19 .4 lcm a sinistra della lente, l'immagine è virtuale; m
=-ilo=0.647, y'=m·y=0.647mm, immagine diritta e rimpicciolita;
b3) me = -m 2 = -0.42, IY.x' = -0.42mm, la freccia immagine è rimpicciolita e
capovolta rispetto all'oggetto, cioè punta verso sinistra.
Vl.15.
a) Prima situazione: o=oo
⇒
seconda situazione: o= 00
i= f 1; o'=d-f1 = fz poiché i'=oo
⇒
i= f 1;
⇒
f 1 +fz =d;
1
o'=d'-f1, i'=90cm, _!__+.!_ =-- ⇒
o'
i'
f2
SOLUZIONI
933
(d'-J.. -
⇒ (d'-d)·i'=
J2 )·i'= J2 (d'-J..)
⇒ essendo la len-
J2 (d'-d + Jz)
te convergente si scarta il valore negativo e, quindi, si ha f 2 =30cm e f 1=25cm;
-J ⇒
1
1
b) __!_ = (n 1-1)(- - f..
R1 -Rz
-J ⇒
1
1
1
n1=l.8, - = (n 2 -1)(- - f2
R1 -R2
n2=l.66.
Vl.16.
. .
3
nv Ila Ila - Dv
a) O sservatore posto a sm1stra: o= cm, - + - = ------o
i
-R
destra di V 1, immagine virtuale;
⇒
i=-2.76cm a
b) m = - i nv = 1.04 immagine diritta e leggermente ingrandita;
o na
c) osservatore posto a destra: la distanza focale della lente in acqua vale
f'= na (nv -l)f = -70.41cm; diottro vetro-acqua con vertice in V2
nv-na
nv na na-nv
o=l 5 cm,-+-=------o
i
-R
⇒
i=-16.4cm; lentesottileo'=R-i=25.4cm,
..!:_ + ..!. = __!_ ⇒ i'=- l 8.66cm a sinistra della lente,. immagine virtuale;
o'
i'
f'
.
inv
m = m1 · m 2 = - ona
(
J·(-di' ) = o.9 , 1mmagme
·
· d.mtta
· e nmp1cc10
· · · 1·1ta.
Vl.17.
1 1 1
a) -+- = o i f
⇒
J= 14.28cm;
inserita la lastra i funge da oggetto per il
.
.
.
' d 1-i=.
11 cm, -;-+-.-,
l nv = O
d1ottro
piano
ana-vetro:
o=
O
'
⇒ i=
1 o
•
.
. o =t-i =- 14 .5cm, - + d1ottro
piano
vetro-ana:
=
Il
•I
16 .5cm;
l
nV
o"
i"
⇒
i= 9 .66cm
•Il
o
da V 2; lo schermo deve essere allontanato di 0.66cm;
b) l'ingrandimento complessivo coincide con quello della lente in quanto
l'ingrandimento del diottro piano vale 1, quindi m= -ilo=-0.4;
.
·
· (vertice
· m
· V 2) : i=
· 9cm, nv+ l =O
c ) d1ottro
piano
vetro-ana
11
o"
.
.
. ( vertice
. m
. V ) : i•I =t-o
d1ottro
piano
vetro-ana
1
Il
i"
=15 .5cm
11
⇒ o=-
1 nv = o
-;-+-.-,
O
o'=-10.33cm; lente sottile: i=d1-o'= 19.33cm, !+! =..!:_
o i f
13 .5cm;
⇒
l
⇒ o=54.66cm.
Vl.18.
a)
2 nv -n'-l 1•·
·
de11 a lente sott1·1e e' -1 +-;n' =· i· funge d a
- - - ; 1mmagme
L , equazione
o l
R
oggetto per lo specchio e poiché lo spessore del liquido è piccolo si può por-
934
SOLUZIONI
re o'=-i e i'=-o':i; l'immagine i' funge da oggetto per la lente: o"=-i':-i,
n' 1 2n -n'-1
d'+I"
=
vR
, ed essendo i"=o tale equazione si può riscrivere
o
n' 1 2n -n'-1
1 n' 2n -n'-1
--+- =
v
e sommandola alla relazione -+- = v
si
i o
R
o i
R
ha
3_ = 2· (2nv -n'-1) ⇒ n'=l. 32 ;
R
o
b) o=oo
n'
2nv -n'-1
/2
R
-=----
⇒
1
f2=58.23cm;
-=
2nv -n'-1
R
⇒
fi =44.12cm;
1 n' 2n -n'-1
c) lente sottile: o=80cm, -+-= v
⇒ i=l29.85cm; specchio piao i
R
no: o'= -i e i'= -o'= i= 129.85cm; lente sottile o"= -i'= -129.85cm,
n' 1 2n -n'-1
-+-= v
⇒ i"=30.46cm.
o" i"
R
Vl.19.
a)
Lo strato di liquido può essere consid.erato come una lente sottile piano-convessa avente stesso raggio di curvatura della superficie della lente
posta a contatto; il fascio di raggi paralleli viene focalizzato nel fuoco della
l = - I con f = 15cm e ii1=2 1cm
1ente composta. Pertanto s1. ha: -I + f' f
li
1
n'-1
1 1
-=--=--+f'
-RI
f
f1
f2=22cm
⇒
⇒
⇒
1 1
1
R 1 =15.75cm· - + - = - con /=15cm e
' f" f f2
1
n'-1
1 1
-=--=--+f" -Rz
f
f2
⇒
R 2=14.14cm;
1
1
b) _!_=(n-1)(f
Ri -Rz
---) ⇒ n=l.49.
Vl.20.
a)
e
La formula di Cauchy dell'indice di rifrazione è n =A+ Bj').} ; pertanto:
B
B
Àz
À1
n 2 -n 1 = 2 -2
⇒
-15
B=5.2·10
2
m; A=l.5;
b) valutiamo per entrambe le lunghezze d'onda il valore dell'angolo 0'r•, che indicheremo con 0' 1 e 0' 2; per la lunghezza d'onda À 1 si ha sin0i=n 1sin0r, ⇒
0r•= 19.28°, 0\=a-0r=30.71 °, n 1sin0\=sin0'i ⇒ 0' 1 =50.653°; per la lunghezza d'onda À 2 si ha sin0i = n2sin0r· ⇒ 0r' = 19. 15°, 0\ = a-0r' = 30.85°,
n2sin0\=sin0' 2 ⇒ 0' 2=51.39° ⇒
Li0=0'z-0'i =0.737°;
c) in condizioni di deviazione minima risulta a=20r· ⇒ 0r·=25°;
per la lunghezza d'onda À1 si ha sin0li =n 1 sin0r. => eli =39.78° e
ò 1min = 20 1i -a= 29.56°; per la lunghezza d'onda Àz si ha
sin02i =n2sin0r' ⇒ 02i =40.096° e ò2min =202i -a.=30.192°.
SOLUZIONI
935
Vl.21.
a) L'immagine della stella formata dall'obiettivo cade nel secondo fuoco di questo e funge da oggetto per l'oculare;
l'immagine finale virtuale si forma in una posizione fissata
1
dalla relazione _!_ + _!_ = - - con o' = s-+0 b e i' = -d ⇒
o'
i'
f oc
Jc
oculare
1 = -1+ 1 ⇒ s- Job
+
·
·
-= -focd
- - ; ne1 caso mcm
S - fob
f oc d
f oc + d
l'immagine finale sia reale la relazione che deve verificare è
1 1
1
, ,
,
f.d
-'+ .,- =+- con o =s-+
e i =d ⇒ s'-+b
= d -oc + '•
Jc00
Jo
O
l
Joc
Joc
pertanto s'-s =
I!
\li,-----
2f. 2 d
oc
= 9.2mm ·
dz -
J;,,
,
b) dall'ingrandimento trasversale
L).y'
f.
L).y = =
oc
L).y'= 0.14mm
Imi d- foc
dell'oculare
⇒
◊=
si
ricava
che
L).y
tgò=-=0.23mrad.
fob
Vl.22.
a) sin01 =3À1/d=25· 10-3, sin02=3À,z/d=30· 10-3 , y 1 = ftg0 1=f0 1= 1.25cm,
yz=ftg02 =f02= 1.5cm, L). y=y2-Y1 =0.24cm;
b) perché i massimi di À1 si sovrappongano con quelli di 'A,2deve risultare:
dsin0 = m1À1 e dsin0 = m2À2 ⇒ m 1= m2Àz/À1= m 26/5 ⇒ m2 deve essere
multiplo di 5, cioè m 2=k5 con k =0, ±1, ±2... ; gli ordini massimi di sovrapposizione per À1 e À2 sono: m 2max = d/À2 = 100, che è multiplo di 5 per cui
m1max=6m2maxl5= 120; gli ordini più piccoli sono m1min=m2min=O;
c) dsin0=(m 2+1/2)À2 e dsin0=m 1À- 1 ⇒ m 2= m 15/6-l/2 con m 2 ed m 1 interi,
m1min=3 e m2min=2, per cui si ha sin0=3À1/d=25· 10-3 e Ymin= Y1 = 1.25cm;
d) se E 01 è l'ampiezza dell'onda uscente da una fenditura, quella uscente dalla
fenditura di ampiezza doppia è E 02 =2E01 ⇒ 12= 41 1, l'intensità vale
18 = 11 + 12 + 2..jr;i"; cos L).<l> = 51 1 + 41 1cos L).<l> = 11(1 + 8 cos 2(L).<l> / 2)) .
Vl.23.
a)
<w> 1
2
2
I=<S>=--=-ce 0E 0 con A=47tr ;r1=S1P=2.236m,r2=S2P=lm,
A
2
2
< w : = 77 4 V , E 02 =
< w : = 1729 V ,
ce 04nr1
m
ce 0 4nr2
m
2
2
in Psi ha: L).((> = 7t (r1 -r2)+n = 7t (✓
5-l)+n =5.94n;
.
À
À
E 01 =
b)
c)
2
per i massimi si ha:
L).((>
d2-(2m-1)2ì!/4
(2m - l)À
2
2
= 2n( x + d - x )/À + n = 2mn
x = ------->
d)
.J
O
⇒
297
m< .
⇒
y
⇒
....h
1·
1 mass1m1 s1 anno per g 1 or-
<lini m= 1 e 2 e le posizioni corrispondenti sono: x 1 =7.875m e x 2=2.29m;
2
2
per i minimi si ha: L).((> = 2n( x + d - x )/À + n = (2m + l)n ⇒
.J
936
SOLUZIONI
d2 -m2À2
x = - - - - > O ⇒ m < 2.47 , il punto di intensità minima più vicino ha
2mÀ
come coordinata il valore di x più piccolo; questo corrisponde al valore di m più
grande, cioè m=2 ⇒ Xmin= 1.5m; I 1(x,nin) =
~w >
2 2
4n:(x,nin + d )
= 0.1-k-~-,
m
Vl.24.
--- f
a) La figura di interferenza non si modifica per la presenza della lastra perchè,
essendo Io spessore costante, non introduce sfasamenti tra i raggi che giungono in S 1 ed S2 ⇒ il massimo centrale si ha per 0=0; i massimi adiacenti a
quello centrale si hanno per m=±l: y 1 =flJd=27µm ⇒ ~y=2y 1 =54µm; la
larghezza dei massimi è ~Y=flJd =27 µm;
b) Il massimo centrale si sposta verso l'alto. Infatti
---
~
~r
]
~<I> =TU2 -R1) =TL(r2 -s+ns)-(r1-(s+fu)+n(s+fu)) =
=
2
1t
À
[d sin0 0 -fu(n-1)]= O
⇒
d sin0 0 = fu(n-1) >O; poiché si sono
spostate 2 frange risulta fu=2ìJ(n-1)=2.3µm;
c) con riferimento alla figura, l'angolo di incidenza deve essere tale che
2
~<I>= 1t [d(sin 00 -sin0')-fu(n -1)]= O, poiché si richiede che 00 =0 si ha
À
--- f ---
sin0' = -fu(n-1)/ d
⇒
0'=-00 =-0.063°.
Vl.25.
-- .,,_.......-=!!!Il-?'=
~~~~t:. ------•~P.-------------•
2
·
f.
.
h
l
a) a=D-(.e+h) =20cm, tg0 1=bl(.e+a) = 10-2 , y 1 =hb/(.e+a) =5mm,
tg02 =bla=0.25, y 2 =(R+h)bla=20mm ⇒ ~y= 15mm;
b) minimi: 2bsin0=mÀ, m 1 =2bsin0i/À= 168.9 ⇒ m 1=169,
m 2 =2bsin0z/À=411.7 ⇒ m 2 =411, n=m 2 -m 1+1 =243;
2n
.
2n
YP
c) Yr=DtgO, ~<I>p =-2bsm0-n =.-2b--n = 236.7n ⇒
À
À
D
Ip/IM=cos2(~<I>/2) =0.78.
Vl.26.
a) Massimi: 2ndcos0r•=mÀ con Or· tale che sin0i=nsin0r,;
b) 2ndcos0 1 =mÀ, 2ndcos02 =(m+6)À; dalle due relazioni si deduce che 0 2 <0 1;
quindi 0 2 è l'angolo di rifrazione quando 0i=35° mentre 0 1 quando 0i=25°;
6À
⇒ 0 2 =24.18°,0 1 =17.57°, d = - - - - - = 2 6 µ m .
2n(cos0 2 -cos0 1 )
Vl.27.
a) Massimi per incidenza normale verificano la relazione 2d=(m+l/2)À
⇒
2d = (m+ 1/2)À2, 2d = (m+ 1+ l/2)À 1 in quanto i due massimi devono essere
SOLUZIONI
937
consecutivi
c)
⇒
d=
À,À,
1 2
2(À 2 -À 1)
=l.5µm e m=4;
calcoliamo i valori di m che corrispondono a Àmin=0.38µm e Àmax=0.7µm
2d
1
3·10-6
. mmax = - - - - =
-6
0.5 = 7.39 ⇒ mmax=7
Àmin 2 0.38 · 10
~
3
m . =
_ _!_ =
· l0-6
mm À,max 2 0.7. 10-6
0.5 = 3. 78
⇒
mmin = 4; gli ordini possibili
sono: m=4, 5, 6, 7 e le lunghezze d'onda À4 =666.6nm, À5 =545.4nm,
~=461nm, À7 =400nm.
Vl.28.
a) I minimi per incidenza normale soddisfano la relazione 2nvd = mÀ; quindi
mmax=2nvd/Àrain=3.l ⇒ mmax=3, mmin=2nvdlÀraax=l.7 ⇒ mmin=2, gli ordini possibili sono m = 2 e 3 e le lunghezze d'onda corrispondenti sono
À2=600nm e À3 =400nm;
b) i minimi per incidenza obliqua soddisfano la relazione 2nvdcos0r' = mÀ; per
Or·= 13.18° corrispondente a Oi = 20° si ha: mmax = 2nvdcos0r./Àroin = 3.07 ⇒
mmax = 3 e mmin = 2nvdcos0r-/Àmax = 1.66 ⇒ mmin = 2, quindi gli ordini possibili sono m=2, 3 e À2=584.16nm, À3 =389.44nm;
c) i minimi in trasmissione per incidenza normale verificano la relazione
2nvd = (m+ 1/2)À; il problema si risolve come nei casi precedenti e si trova
che è possibile solo l'ordine m=2 per À2=480nm.
Vl.29.
I massimi sul cuneo si hanno per 2nt=(m+0.5)À; per t=s deve risultare m= 4 e
quindi 2ns 2nLa = 4.5À ⇒ na = 4.5À!(2L). Sul dispositivo di Young le onde
giungono in corrispondenza delle fenditure con una differenza di cammino ottico
pari a nt2-[(t2-t1)+nt1], per cui la relazione dei massimi diventa: (n-l)(t2t1)+dsin0=mÀ1. Il massimo centrale si ha per m=O lungo la direzione 0 0 tale che
dsin00 =-(n-l)(ti- t 1)<0; quindi si sposta verso il basso e va ad occupare la posizione che in assenza del cuneo era occupata della frangia di ordine m = -1. Si
ottiene così la relazione (n-l)(t2-t 1)=À1con (ti-t 1)::::da. Dovendo risultare anche
na=4.5À/(2L), si ottiene a= l.07mrad e n= 1.05.
=
Vl.30.
a) Condizione di massimo in riflessione: 2t=(m+0.5)À, per t=h deve risultare
m=lOO ⇒ h=100.5À!2=30.15µm;
b) da rmax = .jR(2m+ l)À/2
⇒ R =(DI 2) 2 /(24.5À) = 6.63m.
Vl.31.
a)
I massimi si hanno quando
2d = 2(d1 -d 2 )= 2(_è_ _ __è_)= (2m + 1) À
2R 1 2R 2
2
⇒
◄--------
D
------ ------------..h
938
b)
SOLUZIONI
1
1
À
-=--(2m+l)R2 R1
r2
⇒
R2=86cm;
r2 = (2m'+l) À R,R2 = (2m + l)À R,R2 con m'=3 ed m=2
n R 2 -R 1
R 2 -R 1
⇒
n= 1.4.
Vl.32.
a) Poichè la lastra semiriflettente di vetro introduce solo uno sfasamento di 1t
nella riflessione esterna del raggio 2, la relazione che fornisce i minimi di
intensità è 2dcos0i =mÀ con d=2(d1-d2); il disco centrale si ha per 0i=O,
compen-
s
S2
per cui m 0 =2d/À=80000;
b) poiché cos0i::;; 1, il terzo anello scuro corrisponde all'ordine
m 3=m0-3=79997 e l'angolo che lo individua vale 0i=arccos(m3À/2d) =0.5°;
c) la lastrina deve avere uno spessore tale da rendere nulla la differenza dei
cammini ottici percorsi dai due raggi, cioè 2d=2(n-l)s ⇒ s=5cm.
2
Vl.33.
a) Le frange di interferenza sono prodotte dalla sovrapposizione
delle onde provenienti da S e riflesse dai due specchi: le due sorgenti coerenti interferenti sono quindi le immagini virtuali S1 ed S 2
di S formate dai 2 specchi che, per costruzione, si trovano sulla circonferenza di raggio R come mostrato in fig. La regione di sovrapposizione è limitata a quella compresa tra i punti P 2 e P 1 dello
schermo. Il raggio SO ha come raggi riflessi dai due specchi i raggi
OP1 ed OP2 • Con riferimento alla fig. poiché 0 1=02+a, è facile verificare che l'angolo compreso tra OP 1 ed OP2 vale 2a => d 2Ra
=
per cui 18 = 410 cos2(11<P/2) con 11<P/2 = rcd sin 0/À; i massimi si
hanno per dsin0=mÀ => 11y=(R+f)Àld;
b) 11y=(R+f)Àld=(R+f)À1(2Ra)
=> a=7.5·10-4rad
P2P1 :::2fa=0.3cm.
Vl.34.
a) /1y3=2ftg03 ⇒ tg0 3=11y3'2f=3.75·10-3 => asin03 :::atg03 =3À =>
a= 6Àf / 11y3 = 0.5mm, 11Yi=2fìJa=2mm;
b) a'=3a ⇒ 11y'i=2fìJ(3a)=0.66mm il massimo centrale si restringe;
c) a"=a/3 ⇒ !1y" 1 :6fìJa=6mm il massimo centrale si allarga.
Vl.35.
2
2
l = l [sin(na sin 0Y /À )] [sin(nbsin ex/ À)] => !1yi = 2.fìJa= lSmm,
m nasin0Y /À
nbsin0x /À
=
/1x 1 2fìJb=6mm;
2
bi) 1 = 1 [sin(nasin0/À)]
8
m na sin 0 / À
1
=> _le= --2-2
=0.016;
lm
(5/2) n
b2) asin0=À e asin0:::3À/2 => À =3À/2=675nm.
1
1
e
939
SOLUZIONI
Vl.36.
a) Per il criterio di Rayleigh la minima separazione tra due punti risolvibile corrisponde all'angolo OR dato da sinOR= l .22ì.JD = 22· 10-5 ⇒
dR=dotgOR= dol.22ì.JD=55.6µm con d0 =25cm; poiché d=3µm<dR le due
linee non sono distinguibili ad occhio nudo;
b) dall'esempio Vl.5.4. e ricordando che l'oggetto viene posto ad una distanza
dalla lente di ingrandimento pari a o::f si ha d=fl.22ìJD ⇒ f= 1.79cm.
Vl.37.
a) !ly::2fì.Ja ⇒ À-=ally/(2.f)=500nm;
b) il primo massimo è limitato dai minimi di ordine m= 1 e m=2, quindi
lly=fì.Ja=llyl2=2mm;
c) il punto di coodinata y= 1mm è individuato dall'angolo O tale che
sin0::tg0=ylf, per cui l'intensità relativa in esso vale
2
2
2
~=(sin a ) = (sin(rrasin0/À.) ) = (sin n/2 ) = ~ = 0.40;
Im
a
nasin0/À.
n/2
n2
d) asinO=À-, asin0::3À'/2 ⇒ À-=3À.'/2 ⇒ ì-,\ =380nm, À- 1=3À\/2=570nm,
À-2 =700nm, À-12 =2Àz/3=466.6nm ⇒ ll.À.= 130nm, ll.À.1 =86.6nm;
asin01 = À-1 ⇒ y, =fÀ-,la = 2.28mm; asin0 2 = À-2 ⇒ y 2 =fÀ-z/a = 2.8mm,
lly=0.52mm.
Vl.38.
a) Il numero delle frange di interferenza presenti nel massimo centrale di diffrazione dipende dalla sua larghezza, cioè dalla posizione del primo minimo di
diffrazione: sin0 1= ì.Ja ⇒ m = dsinOi/À- =dia= 10; poiché le frange corrispondenti a m=±lO non sono visibili, quelle visibili sono 19;
2
,.. = mld la condizione da
b) -18 = (sin(rrasin0/À-)
- - - - - - ) > 0 .30 , essendo sin0/1\.,
lm
nasin0/À.
2
2
imporre è ~=(sin(1tma/d)) =(sin(1tm/l0)) >0.30; questa è soddiIm
nma/ d
nm/10
sfatta fino all'ordine m=5, per cui 11 frange hanno intensità l 8 >0.30-Im;
c) R=ÌJ!lÀ-=mN ⇒ !l.À.=ÌJ4= 125nm ⇒ À-1=625nm;
d) la distanza focale della lente in aria è
venta -1= (nv
- - .-na
.c..
0a
fa
I
1
R1
J
i
1 =1 (nv
-na
---'---=0a
R2
f
----
-J,
1
_!_ = (nv -1{_l_ - -
I
\
RI
1-nv -1
in acqua di-
R2
J
⇒
+ 56cm; 1o
Ja=l
schermo deve essere allontanato di !lx =fa-!= 116cm. Quando il sistema è in
acqua i massimi principali di interferenza si formano ad angoli O che soddisfano la condizione nadsinO = mÀ-, mentre i minimi di diffrazione soddisfano
la condizione naasinO = kÀ-. Pertanto il numero di frange contenute nel massimo centrale resta invariato, mentre la larghezza angolare ll.0 delle frange si
riduce di un fattore Ila
I
940
SOLUZIONI
-
Vl.39.
a) Il passo vale d = 3a; il numero massimo di ordini completi si ricava
dalla relazione dsin0=mÀ con 0=90° e À=Àmax=7O0nm ⇒
m=dlAmax= 10.71 ⇒ gli ordini completi osservabili sono 10;
À, ed'
b) R = ~
= mN
!::,.'A,
c)
⇒
À,
a·
N = ~ = 983 ·
!::,.'A,
,
Ndsin0 1+=CN+l)'A e Ndsin0 1_=(N-l)'A
d)
⇒
t:,.0=0.167mrad;
2
2
~=(sin(nasin0/À)) =(sin(n/3)) = 68 .4%.
Im
nasin0/'A
n/3
-..:
''
'''
'
ls
~
Vl.40.
''
'''
''
''
a) Il minimo adiacente ad massimo del secondo ordine è individuato da 0 tale
che Ndsin0=(2N+l)À; essendo tg0=ylf=0.04 si ha d=27.53µm; il primo
minimo di diffrazione e il massimo di interferenza di ordine m=4 si formano
allo stesso angolo, cioè ⇒ dsin0 4 =4À e asin04 =À ⇒ a=d/4::::6.88µm;
i
2
2
b) ~=(sin(nasin0/'A)) =(sin(3n/4)) = 9 %.
Im
na sin 0 / 'A
3n I 4
,
'
c) R='A1//::,.À=2N ⇒ /::,.À=Ài/2N=0.27nm
'A' 2= À1-/::,.À= 549. 73nm.
,
À,z=À1+/::,.À=550.27nm o
Vl.41.
s /
.
a) d=(l0-3/500)=2µm, tg0 1=hlf=0.3 ⇒ 0 1= 16.7°; tg0 2=(h+l::,.h)/f=0.36 ⇒
02 = 19.8°; ordini possibili: dsin01 =m1Àruin ⇒ m1 = 1.5 e dsin02=m2Àruin ⇒
m 2= 1.78 quindi sullo schermo AB si possono osservare solo massimi di ordine m= 1 per lunghezze d'onda comprese tra À1=dsin0 1=574.7nm e
À2 =dsin0 2=677.4nm;
b) dsin0min=Àmin, Àmin=380nm ⇒ 0min=l0.95° ⇒ l'estremo B dello schermo
deve trovarsi a distanza hmin = ftg0max = 9.67cm da O; dsin0max = Àmax,
Àmax=700nm ⇒ 0max=20.48° ⇒ l'estremo A dello schermo deve trovarsi
a distanza hmax=/tg0max= 18.68cm da O ⇒ /::,.h=9cm.
$P1--..
\····
⇒
(f.
S1~:·:·::
~.-
---~
S2 ·
Vl.42.
~(\
11··+·····)················•···········o"
~l/
/j
~----------+
f
a) d = L/N = lOOµm, le posizioni angolari dei massimi principali si hanno per
d(sin0 - sinò)=m'A;
b) m=O ⇒ 00=ò, sin0'0±=(±l/NX'A/d)+sinò ⇒ 0'0+=30.045° e
0'0-=29.954° ⇒ t:,.0=0.09°;
c) 0=0 ⇒ m=-dsinò/À; gli ordini estremi sono m'=-dsinò/Àmin=-131.5,
m"=-dsinò/Àmax=-71.4 ⇒ le lunghezze d'onda, che hanno un massimo
in O, hanno ordini compresi tram' =-131 e m" =-72 e valori compresi
tra À =381.6nm e 'A"=694.4nm.
1
Vl.43.
a) dsin01 =À1; dsin(01+t:,.8)=À2
tg01 =À1sin!::,.0/('A2-À1 cos!::,.0)
⇒
⇒
dcos01 =(À2-'A 1 cos!::,.0)/sin!::,.0 ⇒
0 1= 18.11 °, 0 2=28.11 °, d= l.294µm;
=-
SOLUZIONI
941
b) il numero massimo di ordini completi si ricava dalla relazione dsin0 = mÀ
con 0=90° e À=Àmax=600nm ⇒ m=d/Àmax=2.15 ⇒ gli ordini completi
osservabili sono 2;
c 1) N =Lld= 15455, R=mN =2N =30910; D=m/(dcos0) con m=2 e 0 tale che
dsin0=2À ⇒ 0=38.2° e D = 1.96"104;
572 5
c2) À1 =550nm e À2=595nm sono risolte poiché Àmedio =
· = 12.7 << R.
/:iÀ,
45
Vl.44.
a) Y1 =ftg01 ⇒ 01 =23.57°; y2=ftg0 2 ⇒ 0 2=23.82°, dsin0, =2À1 e
dsin0 2 = 2À2 = 2(À1 +/:iÀ)
⇒ d = /:iÀ/(sin0z- sin0 1) = 3.2µm, À1 = 638nm e
À2=643nm;
2
2
I0 -(sin(nasin0/À))
_ 2 nsuta
• 1 I-'I
-08l ,
b) - - - - - - -(sin(nm/4))
- - - - - >0
_ .4 ,permw m-.
I 111
nasin0/À
nm/4
per m=3 risulta Iafl 111=0.09 ⇒ la risoluzione è ottimale al secondo ordine;
c) R=mN =À1//:iÀ ⇒ /:iÀ=0.638nm.
Vl.45.
a)
Da semplici considerazioni geometriche si deduce che la distanza tra
due piani reticolari
b)
vale
d=
a/ Js = 0.126nm;
2d sin 0 = À
⇒
0=20.92°;
À1=0.03nm, 2dsin0=m 1À1 ⇒ m1=d/À1=4.2 ⇒ mmax=4; À2=0.lnm,
2d sin 0 = m 2 À2
⇒
m2 = d/À2 = 1.26 ⇒ mmin = 2; le lunghezze d'onda per
1
cui si hanno massimi di interferenza a 0=30° sono À 2= dl2=0.063nm,
À 3 =d/3=0.042nm, À4 =d/4=0.0315nm.
1
1
Vl.46.
a)
b)
c)
n=R 2/(À d) =7 ⇒ essendo n dispari, il disco centrale appare luminoso;
2
d 111ax= R /À=7m;
con riferimento alla figura si ha:
E=2AO'sin22.5°=2(E 1/2)sin22.5°= E 1sin22.5° ⇒ I=I 1sin222.5°, con 11
intensità dovuta alla prima zona. Poiché 11= 4Io, essendo 10 l'intensità in P
nel caso di propagazione libera, si ha I=4I0sin 222.5° e, quindi, I/I0 =0.587.
A
Vl.47.
a) Calcoliamo il numero delle zone di Fresnel che cadono nel cerchio di raggio
R 1 ed in quello di raggio R 2 : n 1 = R; /(M) = 1, n 2 = R;/(M) = 2. Qundi
nell'apertura anulare cade solo la seconda zona di Fresnel per cui l'ampiezza
in P risulta I Ezl = E 1::::2E0 e l'intensità 12::::410 ;
b) nel caso dell'apertura circolare di raggio R 2 contribuiscono in P le prime due
zone per cui l'ampiezza risultante è praticamente nulla, cioè I=:0;
c) nel caso dell'aperura asimmetrica, all'intensità in P contribuisce l'intera prima zona e metà della seconda (cfr. figura); quindi E= E 1-I E 2 I 12 = Ei/2 = E 0
⇒ I/12= 1/4=0.25.
A
942
SOLUZIONI
Vl.48.
a) f = R~ = (D1 /2)2 = 2.5m
À
À
b) E=E1+E3+ ... :10-E1=20·E0
J
j
⇒
I/Io:4OO.
Vl.49.
a) L'angolo di incidenza in corrispondenza del quale il fascio riflesso risulta
polarizzato linearmente coincide con l'angolo di Brewster tg0p=n => 0p=53°;
b) il grado di polarizzazione del fascio rifratto, come abbiamo visto
T -T
nell'esempio VI.6.4., è dato da P = 11
.L , dove
01 = I e
T11+T.t
2
cose
r'
2 - cose r' ( 2 sin e,, cose i ) - o 926
04
T.L - - - n t . L - - - n
(,
)
- .
=> p_r.
=v. .
cose;
cose;
sin1_e; +er'
Vl.50.
a) A<I>1 =21td(ns-no)/À1 = (2m+ l)n/2, fi<I>2 = 21td(ns-no)/À2 = (2m'+ l)n/2, dividendo membro a membro si ottiene: (2m+I)=(2m'+l)l3/ll => m=6 e m'=5
e le differenze di fase valgono A<I> 1 = 131t/2, A<I>2 = 111t/2; dalla relazione
A<I> 1 =21Cd(n 5 -n 0 )/À1 =13n/2 diha d=l3ì..i/(4An):O.4mm;
I
•l
i
b) A<I> 1 =21td(ns-no)/À1= (2m+ l)1t, A<I>2=21td(n5-n 0 )/À2=(2m'+ l)1t, dividendo
membro a membro si ottiene: (2m+l) = (2m'+l)·l3/ll ⇒ m=6 e m'=5 ⇒
A<I> 1=131t, A<I>2=111t; dalla relazione A<I> 1 =21Cd.(n 5 -n 0 )/ì.. 1 =l3n si ha
A
I·:::f• I
.I
l~
l
i
i
I
I
I
Ii
''
'''
''
'
JJ,
''
''
'
'''
''
'
•
=0.8mm.
I
I
Vl.51.
a) Il raggio incidente si divide all'interno due cunei in due raggi che viaggiano
praticamente nella stessa direzione in quanto cx è molto piccolo; questi, quando emergono, risultano sovrapposti e sfasati di una quantità pari a
A<I> = 2n(d1 -d2 )(n5 -n 0 )/À = 3n/2, => d 2 = d 1 -3ì../(4An) = 2.95mm;
b) affinché l'onda emergente sia polarizzata circolarmente deve risultare
A<I>=(2m+l)n/2 ⇒ perm=Osiha (d 1 -d 2 )=À/(4An)=l6.3µrn .
i
~
j8---
~
-
•
d =l3ì.. 1 /(4An)
I
;·•
i
.~
--