Appendix.
PPL 問題：
假定原先有兩點 A,B 和直線l
1. 連直線 AB 交l於一點 C
2. 以 AB 為直徑做圓 D
3. 做點 C 對圓 D 的切線，令其交 D 於一點 E
(事實上有兩點，這裡只取一點)
4. 以 C 為圓心 CE 為半徑做圓，令此圓交l於兩點 F,G
5. 分別過 A,B,F；A,B,G 三點做外接圓，即得所求
思路：
今天若我們想做出一個題目所求的圓
顯然我們關心的是如何找出那個未知的切點(圖上的 F)
那麼我們就可以用 PPP 做圖求出結果
那麼原命題變成找出這麼樣子的一個點 F
由圓外冪性質，可以知道CB ∗ CA = CF 2
故我們希望可以找出 CF 線段長
再次使用圓外冪的性質，以 AB 為直徑做圓
便可以知道CB ∗ CA = CE 2
於是我們便有了希望的 CF 長度。
PLL 問題：
假定原先有點 A 和直線l1 , l2
1. 做𝑙1 , 𝑙2 的角平分線 h
2. 做 A 對 h 的對稱點A′
3. 對 A, A′ , l1 做 PPL 即為所求
思路：
在我們有 PPL 的做法之後，這個問題就變得十分簡單
因為所做出來的圓必定對角平分線對稱
(其圓心必在角平分線上)
故，當隨便給一點 A 之後，我們知道A′ 也
在圓上，把它找出來之後就變得容易處理
反演應用：
Q：給定一直線上三點 A,C,B，分別以AC, BC, AB為直徑做圓
O1 , O2 , O3 ，試做一圓與此三圓相切
A：
1. 以 C 為圓心，適當長為半徑做圓 C
(此長度應小於 min{AC, BC, AB}
2. 分別以O1 , O2 , O3 對 C 做反演得
O1′ , O′2 , O′3 (其中O1′ , O′2 為直線，O′3 為圓
3. 將O′3 "往上下平移一個O′3 "分別得到兩圓C1 , C2
(事實上我們是希望做出一個新
圓，和O1′ , O′2 , O′3 都相切，而這
裡平移是最簡單的作法)
4. 取C1 , C2 對圓 C 做反演得C1′ , C2′
5. C1′ , C2′ 即為所求
思路：
事實上原先的問題並不好處理，於是我們思考能不能設計反
演取得更簡單的處理方式
這是為什麼我們要取 C 為圓心做一個圓的關鍵
這樣可以讓𝑂1 , 𝑂2 都通過這個反演中心，從而反演過後成為
一條直線
因此原本的問題變成作O1′ , O′2 , O′3 都相切的圓再反演回去即可
(因為原先相切的圖形反演後仍然相切，反之亦然(保角變換)
CLL 問題：
給定兩直線𝑙1 , 𝑙2 和一圓 O，求做一圓和圓 O,𝑙1 , 𝑙2 都相切
1. 將𝑙1 , 𝑙2 向圓的方向平移，得到兩新直線𝑙1′ , 𝑙2′
2. 取圓 O 的圓心 O 點對𝑙1′ , 𝑙2′ 做 PLL 作圖，得到兩圓𝑂1 , 𝑂2
3. 以𝑂1 為圓心 r(O1 ) + r(𝑂)為半徑畫圓O1′
(𝑁𝑜𝑡𝑒. 𝑟(O1 )為圓O1 的半徑(上課的步驟正在做這件事情)
4. 以𝑂1 為圓心 r(O2 ) + r(𝑂)為半徑畫圓
5. 另外一個方向則是將𝑙1 , 𝑙2 向遠離圓的方向平移，得到兩新
直線𝑔′1 , 𝑔′2
6. 類似的仿造，只
是半徑需要改取
成r(O3 ) − r(𝑂)
思路：
1. 面對此問題一個
很自然(?)的想法，是將 O 點對兩直線做 PLL
2. 然後我們會發現做圖所得的圓，”還蠻像”結果的但缺少了
一點平移，且很顯然我們需要平移圓 O 的半徑，
3. 上面的做圖法正是在做這件事情
(Note.為求圖形簡潔，只標O1′ 的部分，搞懂O1′ 剩下都是仿造
PPC 問題：
給定兩定點 A,B 和一圓 O，求做一圓和圓 O,A,B 都相切
1. 過 AB 作任一適當大小的圓 M(此圓須和圓 O 交於兩點)
2. 令圓 M 和圓 O 交於兩點 C,D
⃡ , ⃡AB，令其交於一點 E
3. 連𝐶𝐷
4. 做 E 對圓 O 的兩切線，令
切點為 G,F
5. 取 G,A,B；F,A,B 分別做圓
即為所求
思路：
1. 過三點本身即可決定一圓，
又題目本身需要過兩點，於是我們關心的是
那個「在圓上的切點」究竟要如何找到
2. 而我們的作圖過程中就是從圓冪上找方法
2
∵ 𝐸𝐴 × 𝐸𝐵 = 𝐸𝐹 = 𝐸𝐷 × 𝐸𝐶
所以我們可以知道 F 就是那個要找的切點
PCC 問題：
給定一定點 A 和兩圓 O，求做一圓和圓 O,A,B 都相切
1. 做兩圓外(內)公切線，令切點為 B,C,D,E(其中 B,D 是切O1 的
點，C,E 是切O2 的點
⃡ , 𝐷𝐸
⃡ 交於一點 F
2. 連接𝐵𝐶
3. 過 A,B,C 三點做圓O3
4. 連𝐹𝐴，令其交O3 於一點 G
5. 對 A,G,O1 (或O2 )做 PPC 即為
所求
思路：
1. 類似地我們去思考，能否造出那個 G 點，以讓我們可以做
PPC 做圖
2. 那麼我們去思考，如果有這麼一
個點，會發生什麼事
證明：(下稱紅色小圓O4 )
1. 令O4 和O2 交於一點 J
⃡ ，令其和O4 交於一點I ′ ，和O1 交於一點𝐼
2. 連接𝐹𝐽
⃡ 交O1 於另一點 H，
(這邊注意，I 和I ′ 不見得是同一點)令𝐹𝐽
O2 於另一點 K
3. I=I ′ 的證明：
Goal：I=I ′ (如果有I=I ′ ，我們有(第 23 點後~)
4. ∵ I ′ , J, A, G 共圓 ⇒ 𝐹𝐴 × 𝐹𝐺 = 𝐹𝐼′ × 𝐹𝐽
5. ∵ A, G, B, C 共圓 ⇒ 𝐹𝐴 × 𝐹𝐺 = 𝐹𝐵 × 𝐹𝐶
6. 𝐹𝐵 × 𝐹𝐶 = 𝐹𝐴 × 𝐹𝐺 = 𝐹𝐼′ × 𝐹𝐽
7. 連𝑂2 𝐾, 𝑂2 𝐶, 𝑂2 𝐽, 𝑂4 𝐽, 𝑂4 𝐼, 𝑂2 𝐼,
𝑂2 𝐵, 𝑂2 𝐻
8. 顯然綠色的角都等
9. 藍色皆為 90 度，也相等
10.
考
慮
四
邊
形
𝑂2 𝐶𝐹𝐽, 𝑂1 𝐵𝐹𝐻
11.
我們有兩紅色角相等
12.
又∠𝑂1 𝐵𝐻 = ∠𝑂1 𝐻𝐵，∠𝑂2 𝐶𝐽 = ∠𝑂2 𝐽𝐶
13.
以上，我們有△HBF 跟△JCF 相似
14.
1
̂ ⇒△FCK~△ FJC
另外由於∠FCK = ∠FJC = 2 𝐶𝐾
15.
類似地△FBI~△FHB⇒△FCK~△FBI
𝐹𝐽
𝐹𝐶
𝐹𝐾
𝐹𝐶
16.
= 𝐹𝐵 (From13)， 𝐹𝐼 = 𝐹𝐵 (𝐹𝑟𝑜𝑚15)
𝐹𝐻
17.
⇒ 𝐹𝐻 =
18.
∵ ̅̅̅̅
𝐹𝐵2 = 𝐹𝐼 × 𝐹𝐻, ̅̅̅̅
𝐹𝐶 2 = 𝐹𝐾 × 𝐹𝐽(外冪)
𝐹𝐽
𝐹𝐾
𝐹𝐼
⇒ 𝐹𝐼 × 𝐹𝐽 = 𝐹𝐾 × 𝐹𝐻
19.
2
⇒ ̅̅̅̅
𝐹𝐵2 × ̅̅̅̅
𝐹𝐶 2 = 𝐹𝐼 × 𝐹𝐻 × 𝐹𝐾 × 𝐹𝐽 = (𝐹𝐼 × 𝐹𝐽)
(最後一個等號是 apply16)
20.
⇒ 𝐹𝐵 × 𝐹𝐶 = 𝐹𝐼 × 𝐹𝐽
21.
Compare with (6)，I=I’
22.
於是我們知道O4 和O1 有一個交點 I
23.
(接續第 2 點的想法，如果有這麼樣的一個圓，我們有)
24.
𝐹𝐴 × 𝐹𝐺 = 𝐹𝐼 × 𝐹𝐽
25.
又𝐹𝐶 = 𝐹𝐽 × 𝐹𝐾
26.
𝐹𝐵 = 𝐹𝐼 × 𝐹𝐻 (可以這樣
2
2
寫的原因是因為I=I ′ )
27.
2
2
𝐹𝐵 × 𝐹𝐶 = 𝐹𝐼 × 𝐹𝐻 ×
𝐹𝐽 × 𝐹𝐾
28.
From 17. 𝐹𝐼 × 𝐹𝐽 = 𝐹𝐾 × 𝐹𝐻
29.
⇒ 𝐹𝐵 × 𝐹𝐶 = (𝐹𝐼 × 𝐹𝐽)
30.
(apply 24 we have) ⇒ 𝐹𝐵 × 𝐹𝐶 = (𝐹𝐴 × 𝐹𝐺)
31.
⇒ 𝐹𝐵 × 𝐹𝐶 = 𝐹𝐴 × 𝐹𝐺 i.e. A,B,C,G 四點共圓
2
2
2
2
2
2
而這是為什麼我們做出這麼樣子的一個 G 點後，就可
以保證我們想要的結果的原因
Pf2(by 老師 at week6):
⃡ 和𝑂
⃡ 1 𝑂2 交於一點 F
1. 令𝐵𝐶
2. 令存在這麼樣的一個圓，令
I,J 分別為其切點
⃡ 交於一點F ′
⃡ 令其與𝐵𝐶
3. 連𝐼𝐽
4. Claim: F=F ′
⃡ 交圓𝑂1 於另一點 H
5. 令𝐼𝐽
⃡ 交圓𝑂2 於另一點 K
6. 令𝐼𝐽
7. 連𝑂2 𝐾, 𝑂2 𝐶, 𝑂2 𝐽, 𝑂4 𝐽, 𝑂4 𝐼
𝑂2 𝐼, 𝑂2 𝐵, 𝑂2 𝐻
8. 顯然綠色的角都相等
9. 藍色皆為 90 度，也相等
10. ∴△ FCO2 ∼△ 𝐹𝐵𝑂1 (𝐴𝐴相似)
11. △ F ′ O2 J ∼△ 𝐹 ′ 𝑂1 𝐻(𝐴𝐴相似)
𝐶𝑂
𝐹𝑂
12. By10：𝐵𝑂2 = 𝐹𝑂2
1
𝐽𝑂
13. By11： 𝐻𝑂2 =
1
1
′
𝐹 𝑂2
𝐹 ′ 𝑂1
14. ∵ 𝐶𝑂2 = 𝐽𝑂2 = 𝑂2 的半徑；𝐵𝑂1 = 𝐻𝑂1 = 𝑂1 的半徑
𝐹𝑂2
𝐹 ′ 𝑂2
1
1
15. ∴ 𝐹𝑂 = 𝐹′ 𝑂 ⇒ F = F′
16. ∵ ∠𝑂2 𝐶𝐽 = ∠𝑂2 𝐽𝐶；∠𝑂1 𝐵𝐻 = ∠𝑂1 𝐻𝐵
17. 又∠𝑂1 𝐵𝐹 = ∠𝑂2 𝐶𝐹 = 90∘ ；∠𝑂1 𝐻𝐼 = ∠𝑂2 𝐽𝐾
18. 且∠𝐵𝐹𝐻 = ∠𝐶𝐹𝐽 ⇒ ∠𝐽𝐶𝐹 = ∠𝐻𝐵𝐹 ⇒ 𝐶𝐽 ∥ 𝐵𝐻
1
̂
19. ∵ ∠𝐶𝐵𝐼 = ∠𝐵𝐻𝐼 = 2 𝐵𝐼
20. 又∠𝐵𝐻𝐼 = ∠𝐶𝐽𝐹(∵ 𝐶𝐽 ∥ 𝐵𝐻)
21. By19&20 ⇒ ∠𝐶𝐽𝐹 = ∠𝐶𝐵𝐼 ⇒ B, I, J, C 四點共圓
22. ⇒ 𝐹𝐵 × 𝐹𝐶 = 𝐹𝐼 × 𝐹𝐽
23. ⇒ 𝐹𝐼 × 𝐹𝐽 = 𝐹𝐴 × 𝐹𝐺(𝐴, 𝐽, 𝐼, 𝐺共圓)
24. ⇒ 𝐹𝐵 × 𝐹𝐶 = 𝐹𝐴 × 𝐹𝐺 ，即 A, B, C, G 共圓
PCC 問題(反演法)：
給定一定點 A 和兩圓𝑂1 , 𝑂2 ，求做一圓和圓 O,A,B 都相切
1. 以 A 為圓心，適當長為半徑畫
圓𝑂3 (綠圓)
(實際上這個圓多大都可以自
己方便繪圖即可)
2. 分別以 O1 , O2 對O3
做反演，得兩圓𝑂1′ , 𝑂2′
3. 做𝑂1′ , 𝑂2′ 的公切線𝑙1, 𝑙2 , 𝑙3, 𝑙4
4. 分別以𝑙1, 𝑙2 , 𝑙3, 𝑙4 對O3 反演，所得圖形即為所求
思路：
1. 從頭到尾抓準反演的性質，原先相切的圖形，反演後仍然
相切
2. 又因為原先不過反演中心的直線，反演後會得到過反演中
心的圓
3. 我們就可以得到想要
的結果
PLC 問題-反演做法
藍色的 A, l, o 為給定
1. 已 A 點為圓心，適當長
為半徑，畫一反演圓 d
2. 分別做l, o 對 d 之反演得𝑙 ′ , 𝑜′
3. 做𝑙 ′ , 𝑜′ 之公切線 j
4. (紅線，理論上有四條，為求整潔只畫一條
5. 將該四線對 d 做反演即為所求
LCC 問題
所有實線之圖形𝑙, o, m 為給定
1. 將大圓向內/向外，縮小/放大小
圓半徑，得兩藍色虛圓，稱小的
𝑜′ 大的𝑜⋆
2. 將小圓向內縮小小圓半徑，退化
至一點 M
3. 將直線平移小圓半徑，得兩桃紅
色虛線，稱靠內側的𝑙 ′ 外側的𝑙 ⋆
4. 對𝑜′ , 𝑙 ′ 及 O 點做 PLC 作圖可得下圖之紅圓(實際上有四個，
僅列出需要的兩個)
5. Note.這裡我們可以選取{𝑜′ , 𝑙 ′ }, {𝑜′ , 𝑙 ⋆ }, {𝑜 ⋆ , 𝑙 ′ }, {𝑜 ⋆ , 𝑙 ⋆ }共四
種
6. 注意到這裡的相切情形是縮放後的情況，於是我們需要將
圖形放大(縮小)回來，即得所求
(具體做法：取紅圓中心點 p，𝑜′ 中心點 q，連接 pq 令其交
o 於一點 r，最後以 p 為圓心 pr 為半徑做圓即得所求
7. Note.實際上還有另外三個圖形需要也需要做，才會得到最
後八種結果
(下面把其他三種情況的圖形列出)
CCC 問題
事實上 CCC 問題和 CCL 是
類似的
我們可以用類似的作法
將最小的圓縮放置一個點上
再用 PCC 作圖後
縮放回來即可
點到夠遠的直線作圖
1. 在兩直線𝑙1 , 𝑙2 上任取兩點
A，B 連直線 AB，上方任
取一點 C
2. 做 A,B,C 之第四調和點 S
3. 平面上任取一點 M
⃡ 交𝑙2 於一點 P，𝑙1
4. 連接𝑆𝑀
於一點 Q
⃡ , ⃡𝐴𝑃交於一點 R
5. 連接𝑄𝐵
6. 連接 RC 即為所求