1
UNIVERSIDAD AGRARIA DEL ECUADOR
CURSO DE NIVELACIÓN
CARRERA DE ING. AMBIENTAL
PROYECTO DE AULA
MATEMÁTICA
AUTOR:
Natahsa navarrete
DOCENTE:
Manuel Cepeda
PERIODO: 2021 – 2022
CIUDAD-ECUADOR
2
LÓGICA MATEMÁTICA
TABLA DE VERDAD
La tabla de verdad es una herramienta utilizada en lógica matemática
para analizar y comprender el comportamiento de proposiciones
lógicas. Consiste en listar todas las posibles combinaciones de
valores de verdad (verdadero o falso) para las variables
proposicionales en una expresión lógica, y determinar el valor de
verdad de la expresión completa en cada caso.
p
V
V
F
F
P ∧ Q
V
F
F
F
q
V
F
V
F
P ∧ q p
V
V
V
V
OPERADORES LÓGICOS
Los operadores lógicos son símbolos o palabras utilizados en la
lógica y en la programación para realizar operaciones sobre valores
lógicos (verdadero o falso). Estos operadores se utilizan para
combinar, modificar o evaluar proposiciones lógicas. Los operadores
lógicos más comunes son:
Negación (¬): Niega una proposición.
P
¬P
V
F
F
V
3
Conjunción (∧): Si une dos proposiciones con "y", solo es verdadero
si ambas son verdaderas.
P
Q
P ∧ Q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
Disyunción Inclusiva (∨): Si al menos una de las proposiciones es
verdadera, unir dos proposiciones con "o" es verdadera.
P
Q
P ∨Q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
Disyunción Exclusiva (⊻): El símbolo indica que cuando las
proposiciones P y Q tienen el mismo valor lógico, el resultado es
falso.
P
Q
P ⊻Q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
4
Implicación (→): Crea una relación de condicionalidad en la que la
primera propuesta implica la segunda. Solo si la primera proposición
es verdadera y la segunda es falsa, es falsa.
P
Q
P →Q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
Bicondicional (↔): Crea una relación de doble implicación en la que
o ambas proposiciones son verdaderas o falsas.
P
Q
P↔Q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
FORMAS PROPOSICIONALES
Las formas proporcionales se refieren a la relación entre dos magnit
udes que mantienen una razón o cociente constante entre sí. En otras
palabras, dos variables son proporcionales si un cambio en una de e
llas se corresponde con una variación en la otra en la misma proporc
ión

Tautologías
La tautología es una fórmula que siempre es válida para cada valo
r de las
variables de ese enunciado.
5
La tabla de verdad es la siguiente:
UNA
CIERTO
CIERTO
FALSO
FALSO
SEGUNDO
Cierto
Falso
Cierto
Falso

(A → B) ∧ A
Cierto
Falso
Falso
Falso
A → B
Cierto
Falso
Cierto
Cierto
[(A → B) ∧ A] → B
Cierto
Cierto
Cierto
Cierto
Contradicciones
Una contradicción es una fórmula que siempre es falsa para cada
valor de sus
variables de declaración.
La tabla de verdad es la siguiente:
UNA
SEGUNDO
A ∨ B
¬ A
¬ B
(¬ A) ∧ (¬ B)
CIERTO
CIERTO
FALSO
FALSO
Cierto
Falso
Cierto
Falso
Cierto
Cierto
Cierto
Falso
Falso
Falso
Cierto
Cierto
Falso
Cierto
Falso
Cierto
Falso
Falso
Falso
Cierto

(A ∨ B) ∧ [(¬ A)
∧ (¬ B)]
Falso
Falso
Falso
Falso
Contingencia
La aleatoriedad es una fórmula que tiene valores verdadero y f
also para cada
valor de la variable en esta expresión.
La tabla de verdad es la siguiente:
6
UNA
SEGUNDO
A ∨ B
¬ A
CIERTO
CIERTO
FALSO
FALSO
Cierto
Falso
Cierto
Falso
Cierto
Cierto
Cierto
Falso
Falso
Falso
Cierto
Cierto
(A ∨ B) ∧ (¬ A
)
Falso
Falso
Cierto
Falso
7
CONJUNTOS
Un conjunto en matemáticas es una colección de objetos considerada
como un objeto en sí mismo. Los objetos en un conjunto pueden ser
cualquier cosa, como números, letras, colores, personas, entre
otros. Cada uno de los objetos en el conjunto se llama elemento o
miembro del conjunto.
Los conjuntos se pueden representar de diferentes formas, como
mediante listas, diagramas de Venn o mediante notación de
conjuntos utilizando llaves {}. Por ejemplo, el conjunto de
números pares se puede representar como {2, 4, 6, 8, ...}.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Las operaciones entre conjuntos son acciones que se realizan para
combinar, comparar o modificar conjuntos. Algunas de las operaciones
más comunes incluyen:
Unión o reunión de conjuntos.
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar
otro conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir
pero sin que se repitan.
Ej:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de
estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas
de Venn se tendría lo siguiente:
8
Intersección de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los
elementos comunes involucrados en la operación.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección
de estos conjuntos será A∩B={4,5}. Usando diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:
9
‒ Diferencia de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos
conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los
elementos que pertenecen al primero pero no al segundo.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de
estos conjuntos será A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:
10
Diferencia de simétrica de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos
conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los
elementos que no sean comunes a ambos conjuntos.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia
simétrica de estos conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
11
Complemento de un conjunto.
Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los
elementos del conjunto de referencia o universal, que no están en el
conjunto.
Ejemplo 1.
Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto
A={1,2,9}, el conjunto A' estará formado por los siguientes
elementos A'={3,4,5,6,7,8}. Usando diagramas de Venn se tendría lo
siguiente:
12
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica es una combinación de variables, constantes
y operadores algebraicos, como suma, resta, multiplicación,
división, potenciación, y radicación. Estas expresiones se utilizan
para representar relaciones matemáticas y se pueden evaluar para
obtener un valor numérico.
o Monomios
o Binomios
o Trinomios
o Polinomios
Suma:
3x + 5y + 2z 4x - 3y + z
Para sumar expresiones algebraicas se agrupan los términos semejantes y se suman los
coeficientes:
3x + (5y - 3y) + (2z + z) = 3x + 2y + 3z
Respuesta: 3x + 2y + 3z
Resta:
4a - 3b + 5c

2a + b - c
(4a - (-2a)) + (-3b + b) + (5c - (-c))
= 6a - 2b + 6c
Respuesta: 6a - 2b + 6c
13
Multiplicación:
(2x + 3)(x - 5)
= 2x(x) + 2x(-5) + 3(x) + 3(-5) = 2x^2 - 10x + 3x - 15 = 2x^2 - 7x 15
Respuesta: 2x^2 - 7x - 15
División:
(2x^2 - x - 3) / (x - 3)
Aplicando regla de división:
2x^2 - x - 3 = (2x + 3)(x - 3)
Respuesta: 2x + 3
PRODUCTOS DE 2 BINOMIOS
El producto de dos binomios se refiere a la multiplicación de dos
expresiones algebraicas, cada una de las cuales consiste en dos
términos. Esta multiplicación se puede realizar utilizando el método
de distribución, que implica multiplicar cada término del primer
binomio por cada término del segundo binomio y luego combinar los
términos similares.
14
EJEMPLO
Multiplicar los binomios:
(2x + 3)(3x - 5)
Aplicando la regla:

El término común es x

Los términos distintos son: 2 y 3
(2x + 3)(3x - 5) = (x)^2 + (2 + 3)x + (2 * -5) = x^2 + 5x - 10
Respuesta: x^2 + 5x - 10
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
El máximo común divisor (MCD) de dos números, denotado como M.C.D.
(a, b) o MCD (a, b), es el número más grande que divide exactamente
a ambos números. En otras palabras, es el mayor número que es
divisor común de los dos números.
Para calcular el MCD de dos números, se pueden seguir varios
métodos, como la descomposición en números primos y el método de
búsqueda de divisores comunes con menor exponente.
EJEMPLO
Hallar el MCD de:
8a^3b^2c y 12a^5bc^3

Factorizando: 8a^3b^2c = 8a^3b^2c
12a^5bc^3 = 12a^3(a^2bc)

El MCD es: MCD = 4a^3bc
15
MÍNIMO COMÚN MULTIPLO
El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números es el número más
pequeño que es múltiplo de todos los números dados. En otras
palabras, es el número más pequeño que es divisible por todos los
números dados.
Por ejemplo, considera los números 4 y 6. Los múltiplos comunes de 4
son 4, 8, 12, 16, ... y los múltiplos comunes de 6 son 6, 12, 18,
24, .... El mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12, ya que es el
número más pequeño que es múltiplo de ambos 4 y 6.
EJEMPLO
12xy y 8x^2y^3
Factorizando: 12xy = 4(3x)y8x^2y^3 = 8x^2(y)(y^2)
Mínimo común múltiplo:
mcm = 24x^2y^3
16
SIMPLIFICACION DE FRACCIONES
La simplificación de fracciones es el proceso de reducir una
fracción a su forma más simple, donde el numerador y el denominador
no tienen factores comunes excepto 1. Es decir, se busca expresar la
fracción de manera que el numerador y el denominador sean lo más
pequeños posible sin cambiar el valor de la fracción.
EJEMPLO
Simplificar la fracción 36/48
Paso 1: Encontrar el máximo común divisor (MCD) de 36 y 48. Los
factores de 36 son: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Los factores de 48
son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
El MCD común más grande es 12.
Paso 2: Dividir tanto el numerador como el denominador por el MCD.
36÷1248÷12=3448÷1236÷12=43
Por lo tanto, la fracción 36484836 simplificada es 3/4.
17
SUMA DE FRACCIONES
La suma de fracciones es una operación aritmética en la que se
combinan dos o más fracciones para obtener una sola fracción
equivalente que representa su suma total.
Para sumar fracciones, primero es necesario asegurarse de que tengan
el mismo denominador. Si no lo tienen, se encuentran equivalentes
con el mismo denominador. Luego, se suman los numeradores y se
mantiene el denominador común.
EJEMPLO
𝟓 𝟒 𝟓+𝟒 𝟗
+ =
=
𝟔 𝟔
𝟔
𝟑
RESTA DE FRACCIONES
Resta (de fracciones) Operación para encontrar la diferencia, o
proceso de quitar una fracción de otra para encontrar la cantidad
restante; representada por el símbolo -. Para restar fracciones,
primero se cambian todos los denominadores de las fracciones a su
mínimo común denominador (MCD).
EJEMPLO
1.
3
2
1
=
3-1
=1
2
2
-
2
2
18
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
. La multiplicación de fracciones es una operación matemática en la
que se realiza el producto de los numeradores y los denominadores
por separado. En otras palabras, se multiplican los numeradores y
los denominadores de las fracciones por separado y se coloca el
resultado en una nueva fracción. No hay límite en la cantidad de
fracciones que se pueden multiplicar al mismo tiempo.
EJEMPLO
6 5 10
𝑥 =
9 7 21
DIVISIÓN DE FRACCIONES
La división de fracciones es una operación aritmética en la que
se encuentra el cociente entre dos fracciones. Para dividir
fracciones, se multiplica la primera fracción por la inversa
(recíproca) de la segunda fracción.
El proceso para dividir fracciones es el siguiente:
EJEMPLO
4
4 7
4𝑥1
4
2
: 7 6 : 1 = 6𝑥7 = 42 = 21
6
19
SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS
:La suma y resta de polinomios es una operación algebraica en
la que se combinan dos o más polinomios para obtener un solo
polinomio resultante.
Un polinomio es una expresión algebraica que consiste en términos
sumados o restados, donde cada término es el producto de una
constante (llamada coeficiente) y una o más variables elevadas a
potencias enteras no negativas.
EJEMPLO
2𝑥 + 5𝑥 − 6
+ 3𝑥 − 6𝑥 + 3
𝟓𝒙 − 𝒙 − 𝟑
FRACCIONES COMPLEJAS
Una fracción compleja es aquella en la que el numerador y/o el
denominador contienen fracciones. La simplificación de una fracción
compleja implica transformarla en una fracción simple y reducida a
sus términos más simples y equivalentes. Se pueden utilizar
diferentes métodos para simplificar fracciones complejas, como
realizar las operaciones indicadas en el numerador y el denominador
o multiplicar por el mínimo común múltiplo de los denominadores.
20
Ejemplo:
𝟑
𝟏− =
𝟒
𝟒
𝟒
𝟑
𝟏
𝟒
𝟒
− =
𝟏
𝟏 + 𝟖=
𝟖
𝟏
𝟗
+𝟖=𝟖
𝟖
𝟏
𝟗
𝟖
𝟒
𝟐
R:𝟒 / 𝟖 + 𝟑𝟔 = 𝟏𝟖 = 𝟗
POTENCIACIÓN
La potenciación es la toma de un número denominado base como factor
tantas veces como lo indique otro número denominado exponente.
21
Se llama potencia a una expresión de la forma , donde es
denominada base y es denominado exponente. Su definición varía según
el conjunto numérico al que pertenezca el exponente. La base se
multiplica por sí misma las veces indicadas por el exponente menos
1, es decir, si decimos "elevar al cuadrado" se refiere a
"multiplicar una vez" y si decimos "elevar al cubo" se refiere a
"multiplicar dos veces".
Es importante señalar que existen algunas propiedades especiales cuando
se utilizan exponentes negativos.
Por ejemplo, cualquier número elevado a la potencia de 0 es igual a 1,
y el exponente negativo de cualquier número distinto de 0 es igual a su
inverso.
Por ejemplo, a^0 = 1 y a^(-n) = 1 / a^n.
El empoderamiento tiene aplicaciones en campos tan diversos como la
economía, la física, la biología y la informática.
Es una herramienta básica para calcular intereses, simular fenómenos
naturales y resolver problemas matemáticos generales.
EJEMPLO
2
2
(52) =(5)3 =53𝑥2 =56 =1562
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES:
22
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones
en las que se relacionan dos o más incógnitas. En un sistema de
ecuaciones, debemos encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen
todas las ecuaciones simultáneamente.
Cada ecuación lineal en el sistema es una ecuación de primer grado, lo que
significa que las incógnitas solo están elevadas a la potencia 1. Por
ejemplo, un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas x e y se
puede representar de la siguiente manera:
EJEMPLO
3x=5y+y=6y→10=5y
5=
2𝑦 + 3𝑦 5𝑦
=
→ 10 = 5𝑦
2
2
X=2y=2(2)=4
R:x=4y
y=2
ECUACIÓN CUADRÁTICA
Una ecuación cuadrática es una ecuación de segundo grado en la que el
mayor exponente de la incógnita es 2. Tiene la forma general de un
23
trinomio: ax^2 + bx + c = 0, donde a, b y c son coeficientes reales y a ≠
0.
Para resolver ecuaciones cuadráticas, se puede utilizar la fórmula
cuadrática. La fórmula cuadrática es una herramienta que nos permite
encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática de la forma ax^2 + bx
+ c = 0. La fórmula cuadrática es la siguiente: 𝑥
=
−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
EJEMPLO
𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟐
Vértice
Coordenada X
−
𝒃
𝟑
𝟑
=−
=−
𝟐𝒂
𝟐(𝟏)
𝟐
Coordenada y
𝟒𝒂𝒄 − 𝒃𝟐
𝟒(𝟏)(𝟐) − (𝟑)𝟐
𝟖−𝟗
𝟏
=
=
=−
𝟒𝒂
𝟒(𝟏)
𝟒
𝟒
Raíces
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
−𝟑 ± √(𝟑)𝟐 − 𝟒(𝟏)(𝟐) −𝟑 ± √𝟗 − 𝟖 −𝟑 ± √𝟏 −𝟑 ± 𝟏
=
=
=
𝟐𝒂
𝟐(𝟏)
𝟐
𝟐
𝟐
−𝟑+𝟏
1.-
𝟐
=
−𝟐
𝟐
= −𝟏
−𝟑−𝟏
2.-
𝟐
=
−𝟒
𝟐
= −𝟐
24
ECUACIONES CON RADICALES
Una ecuación con radicales o ecuación irracional, es toda aquella que
tiene una incógnita bajo el signo radical Para resolver ecuaciones de este
tipo se deben aislar las raíces que contienen las incógnitas en un miembro
de la ecuación y posteriormente elevar ambos miembros a una potencia igual
al índice de la raíz.
EJEMPLO
9
5
√𝑥 − 46 = 4 + 2
√𝑥 − 46 =
9(2) + 4(5)
4(2)
√𝑥 − 46 =
18 + 20
8
√𝑥 − 46 =
19
4
25
(√𝑥 − 46)2 = (
𝑥 − 46 =
19 2
)
4
361
16
𝑥=
361
+ 46
16
𝑥=
361 + 46(16)
16
𝑥=
1097
16
DESIGUALDAD LINEAL
Las desigualdades lineales, son exactamente iguales en forma, a las
ecuaciones lineales, con la diferencia de que el símbolo de igualdad por:

> 𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒

< 𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒

≥ 𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒

≤ 𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒

≠ 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒
Los símbolos representan relaciones desiguales entre los números planteados.
Las desigualdades lineales bidimensionales son expresiones en dos variables de la forma:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 < 𝑐 𝑜 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≥ 𝑐
donde las desigualdades pueden ser estrictas o no. El conjunto de soluciones de tal desigualdad se
puede representar gráficamente en un semiplano (todos los puntos de un "lado" de una línea fija) en el
plano euclidiano. La línea que determina los semiplanos (ax + by = c) no se incluye en el conjunto de
soluciones cuando la desigualdad es estricta. Un procedimiento sencillo para determinar qué
semiplano está en la solución ajustada es calcular el valor ax + by en un punto (x0, y0) que no está en
la línea y observar si se cumple o no la desigualdad.
26
Ejemplo
5𝑥 − 12 > 3𝑥 − 4
5𝑥 − 3𝑥 > 12 − 4
2𝑥 > 8
𝑥>
8
2
𝑥>4
DE CARTESIANO A POLAR
Para convertir de coordenadas cartesianas a coordenadas polares, utilice
la siguiente fórmula:
Calcula la distancia (r) desde el origen: r = √(x^2 + y^2)
Para calcular el ángulo con el eje x positivo (θ): θ = atan(y / x)
Dónde:
• (x, y) son las coordenadas rectangulares del punto.
• r es la distancia desde el punto inicial hasta el punto.
• θ es el ángulo con el eje x positivo.
Ejemplo
Sean las coordenadas cartesianas (2, 5)
La distancia
𝒓 = √(𝟐𝟐 ) + (𝟓𝟐 ) = √𝟒 + 𝟐𝟓 = √𝟐𝟗 ≈ 𝟓. 𝟑𝟖𝟓𝟏𝟔
27
Ángulo
𝟓
𝜽 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝒏 ( ) ≈ 𝟏. 𝟏𝟗𝟎𝟐𝟗
𝟐
𝟓
∴ (√𝟐𝟗, 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( ))
𝟐
DE POLAR A CARTESIANO
Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el
que cada punto del plano está definido por una distancia y un ángulo.
Este sistema es ampliamente utilizado en física y trigonometría.
En coordenadas polares, un punto está representado por dos valores: la
distancia desde el punto al origen, llamada coordenada radial (r), y el
ángulo formado por el vector que conecta el origen con el punto con
respecto al eje horizontal, es decir coordenadas angulares (θ).
Para convertir coordenadas polares a coordenadas rectangulares, utilice la
siguiente fórmula:
La coordenada X en coordenadas cartesianas se calcula como x = r * cos(θ).
La coordenada Y en coordenadas cartesianas se calcula como y = r * sin(θ).
Ejemplo
𝟓
(√𝟐𝟗, 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( ))
𝟐
Coordenada X
𝒙 = (√𝟐𝟗) ∗ 𝐜𝐨𝐬(𝟏. 𝟏𝟗𝟎𝟐𝟗) = 𝟐
Coordenada Y
𝒚 = (√𝟐𝟗) ∗ 𝐬𝐢𝐧(𝟏. 𝟏𝟗𝟎𝟐𝟗) = 𝟓
∴ (2, 5)
28
FUNCIÓN LINEAL
Una función lineal es una función matemática lineal representada por
la ecuación f(x) = mx b, donde myb son constantes reales.
Esta función se llama lineal porque su gráfica en el plano cartesiano es
una línea recta.
En la fórmula, m representa la pendiente de la línea y
el ángulo de inclinación de la línea. Si m es positivo, la recta tiene
pendiente ascendente, y si m es negativo, la recta tiene pendiente
descendente.
La constante b representa la intersección de la recta y el eje y,
también llamado origen.
Ejemplos
Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2

𝑚=1 ∧𝑏=2

(𝑚 ∧ 𝑏) ∈ ℝ

Tiene pendiente positiva y, por lo tanto, ascendente

Su intersección con el origen es la coordenada (0, 2)
29
Sea la función 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 3

𝑚 = −1 ∧ 𝑏 = 3

(𝑚 ∧ 𝑏) ∈ ℝ

Tiene pendiente negativa y, por lo tanto, descendente

Su intersección con el origen es la coordenada (0, 3)
Función cuadrática
Una función cuadrática es una función polinómica cuadrática, es decir, una
función que puede describirse mediante una ecuación de la forma f(x) =
ax^2 bx c, donde a, b y c son constantes reales y a ≠ 0.
El grado más alto en la función está el término cuadrático (ax^ 2) seguido
del término lineal (bx) y el término constante (c).
30
La gráfica de la función cuadrática es una parábola que se abre hacia
arriba cuando el coeficiente a es positivo y hacia abajo cuando el
coeficiente a es negativo.
Una parábola tiene un eje de simetría vertical, que es una línea
imaginaria que divide la parábola en dos partes simétricas.
Algunas propiedades importantes de las funciones cuadráticas son:
• El vértice de una parábola es el punto más bajo o más alto de la curva,
dependiendo de si la parábola se abre hacia arriba o hacia
abajo, respectivamente.
• El eje de simetría de una parábola pasa por el vértice y es una recta
vertical.
• Si el coeficiente a es positivo, el pico de la parábola tiene un valor
mínimo. Si el coeficiente a es negativo, el pico de la parábola tiene
un valor máximo.
• La concavidad de una parábola indica si la función es cóncava hacia
arriba (a > 0) o cóncava hacia abajo (a < 0).
Las funciones cuadráticas tienen varias aplicaciones en matemáticas
y otros campos como la física, la economía y la ingeniería.
Se utilizan para modelar situaciones en las que una variable depende del
cuadrado de otra variable, como el movimiento de un objeto debido a la
gravedad o la forma de una trayectoria parabólica.
Ejemplos
Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 2

𝑎 =1∧𝑏 =2∧𝑐 =2

(𝑎 ∧ 𝑏 ∧ 𝑐) ∈ ℝ

El vértice es la coordenada (-1, 1)
31

Es cóncava hacia arriba (𝑎 > 0)

Posee una cota inferior (𝑦 = 1)

No posee raíces reales
Sea la función 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 4𝑥 + 2

𝑎 = −1 ∧ 𝑏 = 4 ∧ 𝑐 = 2

(𝑎 ∧ 𝑏 ∧ 𝑐) ∈ ℝ

El vértice es la coordenada (2, 6)

Es cóncava hacia abajo (𝑎 < 0)

Posee una cota superior (𝑦 = 6)

Posee dos raíces reales 𝟐 + √𝟔 ∧ 𝟐 − √𝟔
32
Ejemplos
Convertir 1345 metros a millas
1345 𝑚 ∗
1 𝑚𝑖
= 0.8357 𝑚𝑖
1 609.34𝑚
Convertir 24 kilómetros por hora a metros por segundo
24
𝑘𝑚 1000 𝑚
1ℎ
𝑚
∗
∗
= 6.66667
ℎ
1𝑘𝑚
3600 𝑠
𝑠
Convertir 29 metros cúbicos a litros
29 𝑚3 ∗
Ejemplos (Área y perímetro)
Cuadrado
5
5
Área
𝐴 = 52 = 25
Perímetro
𝑃 = 4 (5) = 20
Triangulo Isósceles
3.4
3.4
3.2
2
Área
𝐴=
3.2 ∗ 2
= 3.2
2
Perímetro
1000 𝑙
= 29000 𝑙
1 𝑚3
33
𝑃 = 3.4 + 3.4 + 2 = 8.8
Triangulo Equilátero
2.4
2.4
2.1
2.4
Área
𝐴=
2.4 ∗ 2.1
= 2.52
2
Perímetro
𝑃 = 3 (2.4) = 7.2
Triangulo Escaleno
4.6
3.1
2.4
6
Área
𝐴=
6 ∗ 2.4
= 7.2
2
Perímetro
𝑃 = 4.6 + 3.1 + 6 = 13.7
Rectángulo
15
8
Área
𝐴 = 15 ∗ 8 = 120
Perímetro
34
𝑃 = 2 (15 + 8) = 46
Paralelogramo
6
7
8
Área
𝐴 = 8 ∗ 6 = 48
Perímetro
𝑃 = 2 (7 + 8) = 30
Rombo
5
8
4
Área
𝐴=
8 ∗ 4
= 16
2
Perímetro
𝑃 = 4 (5) = 20
Trapecio
2
4
2
5
Área
𝐴=
5+4
∗ 2=9
2
Perímetro
2
35
𝑃 = 4 + 5 + 2 + 2 = 13
Ejemplos MRU
Un móvil avanza con MRU a razón de 5 m/s durante 10 s. Calcular la
distancia recorrida.
V= 5 𝑚/𝑠
T= 10 𝑠
D= ¿?
𝑑 = 5 ∗ 10 = 50
∴ 50 𝑚
¿A qué velocidad debe circular un auto de carreras para recorrer 50km en
un cuarto de hora?
V= ¿ ?
T= 0.25 ℎ
D= 50𝑘𝑚
𝑉=
50
= 200
0.25
∴ 200 𝑘𝑚⁄ℎ
36
Ejemplo Teorema de Pitágoras
ℎ = √(24)2 + (20)2
= √576 + 400
= √576 + 400
¿?
24
= √976
ℎ = 31.24
20
Ejemplos Trigonometría
𝑆𝑒𝑛 (𝛼) =
𝑂𝑃
𝐻𝐼𝑃
𝐶𝑜𝑠 (𝛼) =
𝐴𝐷𝑌
𝐻𝐼𝑃
𝛽
𝑇𝑎𝑛 (𝛼) =
𝑂𝑃
𝐴𝐷𝑌
𝑆𝑒𝑛 (𝛼) =
25
5
5
28
5
𝛼 = 𝑠𝑒𝑛−1 ( )
28
𝛼 = 11.53
∝
𝑥
𝐶𝑜𝑠 (11.53) =
𝐴𝐷𝑌
25
𝛼 + 𝛽 + 𝜃 = 180
11.53 + 𝛽 + 90 = 180
25[𝐶𝑜𝑠 (11.53)] = 𝐴𝐷𝑌
𝛽 + 101.53 = 180
25[𝐶𝑜𝑠 (11.53)] = 𝐴𝐷𝑌
𝛽 = 180 − 101.53
𝐴𝐷𝑌 = 24.50 R//
𝛽 = 78.47 R//
r
Ejemplos vectores
37
Magnitudes escalares
Magnitudes vectoriales

Masa (kg, mg, lb)

Fuerza (N)

Longitud (km, m, inch)

Peso (kg, T)

Temperatura (F°)

Posición (x)

Presión (p)

Velocidad (𝑚/𝑠)

Tiempo (h, s, min)

Aceleración (𝑚/𝑠 2 )
Suma de vectores
Realice la suma de los siguientes vectores con el método del polígono
Realice la suma de los siguientes vectores dados sus componentes
rectangulares
𝑢
⃗ = 2𝑖 + 4𝑗 + 5𝑘 / 𝑟 = 3𝑖 + 𝑗 + 2𝑘
𝑢
⃗ + 𝑟(𝑥) = 2 + 3 = 5
𝑢
⃗ + 𝑟 (𝑦) = 4 + 1 = 5
38
𝑢
⃗ + 𝑟 (𝑧) = 5 + 2 = 7
𝑅⃗ = 5𝑖 + 5𝑗 + 7𝑘 R//
Realice la suma de los siguientes vectores con el método del paralelogramo
Encuentre el vector resultante de la siguiente suma
⃗⃗ = 20𝑚, 𝐸60°𝑁
𝑀
⃗ = 10𝑀, 𝐸30°𝑁
𝑁
⃗⃗ (𝑥) = 20 ∗ cos(60) = 10 𝑢
𝑀
⃗⃗ (𝑦) = 20 ∗ sin(60) = 17.32 𝑢
𝑀
⃗ (𝑥) = 10 ∗ cos(30) = 8.66 𝑢
𝑁
39
⃗ (𝑦) = 10 ∗ sin(30) = 5 𝑢
𝑁
𝑅⃗ (𝑥) = 10 + 8.66 = 18.66 𝑢
𝑅⃗ (𝑦) = 17.32 + 5 = 22.32 𝑢
𝑅⃗ = 18.66𝑖 + 22.32𝑗