Add to collection(s) Add to saved
  1. No category
Uploaded by gabriel agudelo

Hipotesis de Modelado

advertisement 
1. Encontramos las coordenadas generalizadas y sus derivadas
π‘₯1
𝑙 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 )
π‘ž1 = [𝑦 ] = [ 1
]
−𝑙1 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 )
1
𝑙 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 )πœƒΜ‡1
π‘₯Μ‡
π‘žΜ‡ 1 = [ 1 ] = [ 1
]
𝑦̇1
𝑙1 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 )πœƒΜ‡1
π‘₯2
𝑙 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 ) + 𝑙2 𝑠𝑖𝑛(πœƒ2 )
π‘ž2 = [𝑦 ] = [ 1
]
−𝑙1 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 ) − 𝑙2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ2 )
2
𝑙 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 )πœƒΜ‡1 + 𝑙2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ2 )πœƒΜ‡2
π‘₯Μ‡
π‘žΜ‡ 2 = [ 2 ] = [ 1
]
𝑦̇ 2
𝑙1 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 )πœƒΜ‡1 + 𝑙2 𝑠𝑖𝑛(πœƒ2 )πœƒΜ‡2
2. Encontramos la velocidad, energía cinética y la energía potencial
Velocidad
𝑣𝑖 = π‘₯Μ‡ 𝑖 2 + 𝑦̇ 𝑖 2
2
𝑣1 2 = 𝑙1 2 πœƒΜ‡1
2
2
𝑣2 2 = 𝑙1 2 πœƒΜ‡1 + 2𝑙1 𝑙2 πœƒΜ‡1 πœƒΜ‡2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ) + 𝑙2 2 πœƒΜ‡2
Energía cinética
𝐾=
π‘š1 𝑣1 2 π‘š2 𝑣2 2
+
2
2
2
2
2
π‘š1 𝑙1 2 πœƒΜ‡1
π‘š2 (𝑙1 2 πœƒΜ‡1 + 2𝑙1 𝑙2 πœƒΜ‡1 πœƒΜ‡2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ) + 𝑙2 2 πœƒΜ‡2 )
𝐾=
+
2
2
Energía potencial
π‘ˆ = π‘š1 π‘”β„Ž1 + π‘š2 π‘”β„Ž2
π‘ˆ = π‘š1 𝑔𝑦1 + π‘š2 𝑔𝑦2
π‘ˆ = −π‘š1 𝑔𝑙1 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 ) − π‘š2 𝑔(𝑙1 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 ) + 𝑙2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ2 ))
3. Hallamos el lagrangiano
𝐿 =𝐾−π‘ˆ
2
2
2
π‘š1 𝑙1 2 πœƒΜ‡1
π‘š2 (𝑙1 2 πœƒΜ‡1 + 2𝑙1 𝑙2 πœƒΜ‡1 πœƒΜ‡2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ) + 𝑙2 2 πœƒΜ‡2 )
𝐿=
+
+ π‘š1 𝑔𝑙1 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 ) + π‘š2 𝑔(𝑙1 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 ) + 𝑙2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ2 ))
2
2
4. Aplicamos la fórmula de Lagrange
𝑑 πœ•πΏ
πœ•πΏ
[ ]−
= πœπ‘–
𝑑𝑑 πœ•πœƒΜ‡π‘–
πœ•πœƒπ‘–
Para i = 1
πœ•πΏ
= (π‘š1 + π‘š2 )𝑙1 2 πœƒΜ‡1 + π‘š2 𝑙1 𝑙2 πœƒΜ‡2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 )
πœ•πœƒΜ‡1
𝑑 πœ•πΏ
2
[
] = (π‘š1 + π‘š2 )𝑙1 2 πœƒΜˆ1 + π‘š2 𝑙1 𝑙2 πœƒΜˆ2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ) − π‘š2 𝑙1 𝑙2 πœƒΜ‡2 πœƒΜ‡1 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 ) + π‘š2 𝑙1 𝑙2 πœƒΜ‡2 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 )
𝑑𝑑 πœ•πœƒΜ‡1
πœ•πΏ
= −π‘š2 𝑙1 𝑙2 πœƒΜ‡2 πœƒΜ‡1 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 ) − (π‘š1 + π‘š2 )𝑔𝑙1 𝑠𝑖𝑛⁑(πœƒ1 )
πœ•πœƒ1
−
πœ•πΏ
= π‘š2 𝑙1 𝑙2 πœƒΜ‡2 πœƒΜ‡1 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 ) + (π‘š1 + π‘š2 )𝑔𝑙1 𝑠𝑖𝑛⁑(πœƒ1 )
πœ•πœƒ1
2
𝜏1 = (π‘š1 + π‘š2 )𝑙1 2 πœƒΜˆ1 + π‘š2 𝑙1 𝑙2 πœƒΜˆ2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ) + π‘š2 𝑙1 𝑙2 πœƒΜ‡2 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 ) − π‘š2 𝑙1 𝑙2 πœƒΜ‡2 πœƒΜ‡1 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 ) + π‘š2 𝑙1 𝑙2 πœƒΜ‡2 πœƒΜ‡1 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 )
+(π‘š1 + π‘š2 )𝑔𝑙1 𝑠𝑖𝑛⁑(πœƒ1 )
2
𝜏1 = (π‘š1 + π‘š2 )𝑙1 2 πœƒΜˆ1 + π‘š2 𝑙1 𝑙2 πœƒΜˆ2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ) + π‘š2 𝑙1 𝑙2 πœƒΜ‡2 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 ) + (π‘š1 + π‘š2 )𝑔𝑙1 𝑠𝑖𝑛⁑(πœƒ1 )
Para i = 2
πœ•πΏ
= π‘š2 𝑙2 2 πœƒΜ‡2 + π‘š2 𝑙1 𝑙2 πœƒΜ‡1 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 )
πœ•πœƒΜ‡2
𝑑 πœ•πΏ
2
[
] = π‘š2 𝑙2 2 πœƒΜˆ2 + π‘š2 𝑙1 𝑙2 πœƒΜˆ1 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ) + π‘š2 𝑙1 𝑙2 πœƒΜ‡2 πœƒΜ‡1 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 ) − π‘š2 𝑙1 𝑙2 πœƒΜ‡1 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 )
Μ‡
𝑑𝑑 πœ•πœƒ2
πœ•πΏ
= π‘š2 𝑙1 𝑙2 πœƒΜ‡2 πœƒΜ‡1 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 ) − π‘š2 𝑔𝑙2 𝑠𝑖𝑛⁑(πœƒ2 )
πœ•πœƒ2
−
πœ•πΏ
= −π‘š2 𝑙1 𝑙2 πœƒΜ‡2 πœƒΜ‡1 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 ) + π‘š2 𝑔𝑙2 𝑠𝑖𝑛⁑(πœƒ2 )
πœ•πœƒ2
2
𝜏2 = π‘š2 𝑙2 2 πœƒΜˆ2 + π‘š2 𝑙1 𝑙2 πœƒΜˆ1 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ) − π‘š2 𝑙1 𝑙2 πœƒΜ‡1 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 ) + π‘š2 𝑙1 𝑙2 πœƒΜ‡2 πœƒΜ‡1 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 )−π‘š2 𝑙1 𝑙2 πœƒΜ‡2 πœƒΜ‡1 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 )
+π‘š2 𝑔𝑙2 𝑠𝑖𝑛⁑(πœƒ2 )
2
𝜏2 = π‘š2 𝑙2 2 πœƒΜˆ2 + π‘š2 𝑙1 𝑙2 πœƒΜˆ1 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ) − π‘š2 𝑙1 𝑙2 πœƒΜ‡1 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 ) + π‘š2 𝑔𝑙2 𝑠𝑖𝑛⁑(πœƒ2 )
En resumen
2
𝜏1 = (π‘š1 + π‘š2 )𝑙1 2 πœƒΜˆ1 + π‘š2 𝑙1 𝑙2 πœƒΜˆ2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ) + π‘š2 𝑙1 𝑙2 πœƒΜ‡2 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 ) + (π‘š1 + π‘š2 )𝑔𝑙1 𝑠𝑖𝑛⁑(πœƒ1 )
2
𝜏2 = π‘š2 𝑙2 2 πœƒΜˆ2 + π‘š2 𝑙1 𝑙2 πœƒΜˆ1 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ) − π‘š2 𝑙1 𝑙2 πœƒΜ‡1 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 ) + π‘š2 𝑔𝑙2 𝑠𝑖𝑛⁑(πœƒ2 )
Forma matricial
𝜏1
𝜏 = [𝜏 ] ,
2
πœƒΜˆ
πœƒΜˆ = [ 1 ] ,
πœƒΜˆ2
𝑀(πœƒ) = [
(π‘š1 + π‘š2 )𝑙1 2
π‘š2 𝑙1 𝑙2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 )
2
π‘š 𝑙 𝑙 πœƒΜ‡ 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 )
𝐢(πœƒ, πœƒΜ‡) = [ 2 1 2 2 2
],
−π‘š2 𝑙1 𝑙2 πœƒΜ‡1 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 )
𝑔(πœƒ) = [
π‘š2 𝑙1 𝑙2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 )
]
π‘š2 𝑙2 2
(π‘š1 + π‘š2 )𝑔𝑙1 𝑠𝑖𝑛⁑(πœƒ1 )
]
π‘š2 𝑔𝑙2 𝑠𝑖𝑛⁑(πœƒ2 )
𝜏 = 𝑀(πœƒ)πœƒΜˆ + 𝐢(πœƒ, πœƒΜ‡ ) + 𝑔(πœƒ)
Despejar πœƒΜˆ
𝜏 = 𝑀(πœƒ)πœƒΜˆ + 𝐢(πœƒ, πœƒΜ‡ ) + 𝑔(πœƒ)
𝜏 − 𝐢(πœƒ, πœƒΜ‡) − 𝑔(πœƒ) = 𝑀(πœƒ)πœƒΜˆ
𝑀−1 (πœƒ) (𝜏 − 𝐢(πœƒ, πœƒΜ‡) − 𝑔(πœƒ)) = 𝑀−1 (πœƒ)𝑀(πœƒ)πœƒΜˆ
𝑀−1 (πœƒ) (𝜏 − 𝐢(πœƒ, πœƒΜ‡) − 𝑔(πœƒ)) = πΌπœƒΜˆ
𝑀−1 (πœƒ) (𝜏 − 𝐢(πœƒ, πœƒΜ‡ ) − 𝑔(πœƒ)) = πœƒΜˆ
Tenemos que hallar 𝑀−1 (πœƒ)
𝑀−1 (πœƒ) =
1
𝑑𝑒𝑑(𝑀(πœƒ))
∗ 𝐴𝑑𝑗(𝑀(πœƒ))
Primero hallamos su determinante
𝑑𝑒𝑑(𝑀(πœƒ)) = ((π‘š1 + π‘š2 )𝑙1 2 ) (π‘š2 𝑙2 2 ) − ((π‘š2 𝑙1 𝑙2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ))(π‘š2 𝑙1 𝑙2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 )))
𝑑𝑒𝑑(𝑀(πœƒ)) = ((π‘š1 + π‘š2 )𝑙1 2 ) (π‘š2 𝑙2 2 ) − (π‘š2 𝑙1 𝑙2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ))2
1
𝑑𝑒𝑑(𝑀(πœƒ))
=
1
2
2
((π‘š1 + π‘š2 )𝑙1 ) (π‘š2 𝑙2 ) − (π‘š2 𝑙1 𝑙2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ))2
Después hallamos los cofactores
𝐴𝑑𝑗(𝑀(πœƒ)) = [
π‘š2 𝑙2 2
−π‘š2 𝑙1 𝑙2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 )
−π‘š2 𝑙1 𝑙2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 )
]
(π‘š1 + π‘š2 )𝑙1 2
Por último, encontramos 𝑀−1 (πœƒ)
𝑀−1 (πœƒ) =
1
2
((π‘š1 + π‘š2 )𝑙1 ) (π‘š2 𝑙2 ) − (π‘š2 𝑙1 𝑙2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2
2
𝑀
−1 (πœƒ)
=
2
))2
[
π‘š2 𝑙2 2
−π‘š2 𝑙1 𝑙2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 )
−π‘š2 𝑙1 𝑙2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 )
]
(π‘š1 + π‘š2 )𝑙1 2
π‘š2 𝑙2 2
−π‘š2 𝑙1 𝑙2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 )
2
2
((π‘š1 + π‘š2 )𝑙1 ) (π‘š2 𝑙2 ) − (π‘š2 𝑙1 𝑙2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ))2
((π‘š1 + π‘š2 )𝑙1 ) (π‘š2 𝑙2 2 ) − (π‘š2 𝑙1 𝑙2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ))2
−π‘š2 𝑙1 𝑙2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 )
(π‘š1 + π‘š2 )𝑙1 2
2
2
2
[((π‘š1 + π‘š2 )𝑙1 ) (π‘š2 𝑙2 ) − (π‘š2 𝑙1 𝑙2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ))
((π‘š1 + π‘š2 )𝑙1 2 ) (π‘š2 𝑙2 2 ) − (π‘š2 𝑙1 𝑙2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ))2 ]
Encontramos el termino 𝜏 − 𝐢(πœƒ, πœƒΜ‡) − 𝑔(πœƒ)
2
𝜏1
(π‘š + π‘š2 )𝑔𝑙1 𝑠𝑖𝑛⁑(πœƒ1 )
π‘š 𝑙 𝑙 πœƒΜ‡ 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 )
𝜏 − 𝐢(πœƒ, πœƒΜ‡) − 𝑔(πœƒ) = [𝜏 ] − [ 2 1 2 22
]−[ 1
]
π‘š2 𝑔𝑙2 𝑠𝑖𝑛⁑(πœƒ2 )
2
Μ‡
π‘š2 𝑙1 𝑙2 πœƒ1 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 )
2
𝜏 − π‘š2 𝑙1 𝑙2 πœƒΜ‡2 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 ) − (π‘š1 + π‘š2 )𝑔𝑙1 𝑠𝑖𝑛⁑(πœƒ1 )
𝜏 − 𝐢(πœƒ, πœƒΜ‡ ) − 𝑔(πœƒ) = [ 1
]
2
𝜏2 + π‘š2 𝑙1 𝑙2 πœƒΜ‡1 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 ) − π‘š2 𝑔𝑙2 𝑠𝑖𝑛⁑(πœƒ2 )
Para simplificar el análisis declaramos las siguientes variables
𝐾1 = (π‘š1 + π‘š2 )𝑙1 2 ,
𝐾2 = π‘š2 𝑙1 𝑙2 ,
𝐾4 = π‘š2 𝑙2 2 ,
𝐾3 = (π‘š1 + π‘š2 )𝑔𝑙1 ,
𝐾5 = π‘š2 𝑔𝑙2
𝐾4
2
𝐾
𝐾
−
(𝐾
π‘π‘œπ‘ (πœƒ
2
1 − πœƒ2 ))
𝑀−1 (πœƒ) = 1 4
)
−𝐾2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2
[𝐾1 𝐾4 − (𝐾2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ))2
2
−𝐾2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 )
𝐾1 𝐾4 − (𝐾2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ))2
𝐾1
𝐾1 𝐾4 − (𝐾2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ))2 ]
𝜏 − 𝐾2 πœƒΜ‡2 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 ) − 𝐾3 𝑠𝑖𝑛⁑(πœƒ1 )
𝜏 − 𝐢(πœƒ, πœƒΜ‡ ) − 𝑔(πœƒ) = [ 1
]
2
𝜏2 + 𝐾2 πœƒΜ‡1 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 ) − 𝐾5 𝑠𝑖𝑛⁑(πœƒ2 )
Encontramos πœƒΜˆ
πœƒΜˆ = 𝑀−1 (πœƒ) (𝜏 − 𝐢(πœƒ, πœƒΜ‡) − 𝑔(πœƒ))
𝐾4
𝐾 𝐾 − (𝐾2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ))2
πœƒΜˆ = 1 4
−𝐾2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 )
[𝐾1 𝐾4 − (𝐾2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ))2
𝐾4
𝐾1 𝐾4 − (𝐾2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ))2
πœƒΜˆ1
[ ]=
−𝐾2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 )
πœƒΜˆ2
[𝐾1 𝐾4 − (𝐾2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ))2
−𝐾2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 )
2
𝐾1 𝐾4 − (𝐾2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ))2 𝜏1 − 𝐾2 πœƒΜ‡2 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 ) − 𝐾3 sin⁑(πœƒ1 )
[
]
2
𝐾1
𝜏2 + 𝐾2 πœƒΜ‡1 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 ) − 𝐾5 sin⁑(πœƒ2 )
𝐾1 𝐾4 − (𝐾2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ))2 ]
−𝐾2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 )
2
𝐾1 𝐾4 − (𝐾2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ))2 𝜏1 − 𝐾2 πœƒΜ‡2 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 ) − 𝐾3 sin⁑(πœƒ1 )
[
]
2
𝐾1
𝜏2 + 𝐾2 πœƒΜ‡1 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 ) − 𝐾5 sin⁑(πœƒ2 )
𝐾1 𝐾4 − (𝐾2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ))2 ]
Forma general
2
πœƒΜˆ1 =
2
𝐾4 (𝜏1 − 𝐾2 πœƒΜ‡2 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 ) − 𝐾3 sin⁑(πœƒ1 )) 𝐾2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ) (𝜏2 + 𝐾2 πœƒΜ‡1 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 ) − 𝐾5 sin⁑(πœƒ2 ))
−
𝐾1 𝐾4 − (𝐾2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ))2
𝐾1 𝐾4 − (𝐾2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ))2
2
2
𝐾4 (𝜏1 − 𝐾2 πœƒΜ‡2 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 ) − 𝐾3 sin(πœƒ1 )) − 𝐾2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ) (𝜏2 + 𝐾2 πœƒΜ‡1 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 ) − 𝐾5 sin⁑(πœƒ2 ))
πœƒΜˆ1 =
𝐾1 𝐾4 − (𝐾2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ))2
2
2
−𝐾2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ) (𝜏1 − 𝐾2 πœƒΜ‡2 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 ) − 𝐾3 sin⁑(πœƒ1 )) 𝐾1 (𝜏2 + 𝐾2 πœƒΜ‡1 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 ) − 𝐾5 sin⁑(πœƒ2 ))
+
𝐾1 𝐾4 − (𝐾2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ))2
𝐾1 𝐾4 − (𝐾2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ))2
πœƒΜˆ2 =
πœƒΜˆ2 =
2
2
𝐾1 (𝜏2 + 𝐾2 πœƒΜ‡1 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 ) − 𝐾5 sin⁑(πœƒ2 )) − 𝐾2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ) (𝜏1 − 𝐾2 πœƒΜ‡2 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 ) − 𝐾3 sin(πœƒ1 ))
𝐾1 𝐾4 − (𝐾2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ))2
En resumen
πœƒΜˆ1 =
πœƒΜˆ2 =
2
2
𝐾4 (𝜏1 − 𝐾2 πœƒΜ‡2 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 ) − 𝐾3 sin(πœƒ1 )) − 𝐾2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ) (𝜏2 + 𝐾2 πœƒΜ‡1 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 ) − 𝐾5 sin⁑(πœƒ2 ))
𝐾1 𝐾4 − (𝐾2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ))2
2
2
𝐾1 (𝜏2 + 𝐾2 πœƒΜ‡1 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 ) − 𝐾5 sin⁑(πœƒ2 )) − 𝐾2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ) (𝜏1 − 𝐾2 πœƒΜ‡2 𝑠𝑖𝑛(πœƒ1 − πœƒ2 ) − 𝐾3 sin(πœƒ1 ))
𝐾1 𝐾4 − (𝐾2 π‘π‘œπ‘ (πœƒ1 − πœƒ2 ))2
Se establece las siguientes definiciones
πœƒ1 = π‘₯1
𝐾1 = (π‘š1 + π‘š2 )𝑙1 2 ,
πœƒ2 = π‘₯2
𝐾2 = π‘š2 𝑙1 𝑙2 ,
πœƒΜ‡1 = π‘₯3
πœƒΜ‡2 = π‘₯4
πœƒ1̈ = π‘₯3Μ‡
𝐾3 = (π‘š1 + π‘š2 )𝑔𝑙1 ,
πœƒ2̈ = π‘₯4Μ‡
𝐾4 = π‘š2 𝑙2 2 ,
𝐾5 = π‘š2 𝑔𝑙2
Se obtiene las variables de estado
π‘₯Μ‡1 = π‘₯3
π‘₯Μ‡ 2 = π‘₯4
π‘₯3Μ‡ =
𝐾4 (𝜏1 − 𝐾2 π‘₯4 2 𝑠𝑖𝑛(π‘₯1 − π‘₯2 ) − 𝐾3 sin(π‘₯1 )) − 𝐾2 π‘π‘œπ‘ (π‘₯1 − π‘₯2 ) (𝜏2 + 𝐾2 π‘₯3 2 𝑠𝑖𝑛(π‘₯1 − π‘₯2 ) − 𝐾5 sin⁑(π‘₯2 ))
𝐾1 𝐾4 − (𝐾2 π‘π‘œπ‘ (π‘₯1 − π‘₯2 ))2
π‘₯4Μ‡ =
𝐾1 (𝜏2 + 𝐾2 π‘₯3 2 𝑠𝑖𝑛(π‘₯1 − π‘₯2 ) − 𝐾5 sin⁑(π‘₯2 )) − 𝐾2 π‘π‘œπ‘ (π‘₯1 − π‘₯2 ) (𝜏1 − 𝐾2 π‘₯4 2 𝑠𝑖𝑛(π‘₯1 − π‘₯2 ) − 𝐾3 sin(π‘₯1 ))
𝐾1 𝐾4 − (𝐾2 π‘π‘œπ‘ (π‘₯1 − π‘₯2 ))2
Download
advertisement