Dualidad
Optimización I
Rosa Medina
Rev. 9 de mayo de 2020
1
Motivación
Ejemplo: Fábrica de Pinturas
Max
s.a
3x + 5y
x ≤4
2y ≤ 12
3x + 2y ≤ 18
x ≥ 0, y ≥ 0
¿Cuánto vale la función objetivo?
Buscamos una cota multiplicando
la 2a restricción por 23 ...
+
x
2y
3x+2y
4x+5y
≤
≤
≤
≤
4
12
18
40
/ 32
¿Podemos encontrar una cota
mejor?
Dualidad
3
Forma Canónica
Primal: problema original.
Max
cT X
s.a AX ≤ b
X ≥0
X , c ∈ Rn , A ∈ Rm×n , b ∈ Rm
4
Forma Canónica
Primal
Dual: problema complemento.
Max
cT X
s.a AX ≤ b
X ≥0
X , c ∈ Rn , A ∈ Rm×n , b ∈ Rm
5
Min
bT Π
s.a AT Π ≥ c
Π≥0
Π, b ∈ Rm , A ∈ Rm×n , c ∈ Rn
Forma Canónica
Primal
Pn
Max
s.a
j=1 cj xj
Pn
j=1 aij xj
≤ bi
xj ≥ 0 ∀j
∀i
Dual: problema complemento.
Pm
Min
bi π i
Pm i=1
s.a
∀j
i=1 aij πi ≥ cj
πi ≥ 0
∀i
Forma Canónica
Ejemplo: Fábrica de Pinturas
Primal
Max
s.a
3x + 5y
x ≤4
2y ≤ 12
3x + 2y ≤ 18
x ≥ 0, y ≥ 0
Dual
Min
4α + 12β + 18γ
s.a
α + 3γ ≥ 3
2β + 2γ ≥ 5
α ≥ 0, β ≥ 0, γ ≥ 0
8
Forma Canónica
Ejemplo:
Primal
Max
s.a
Dual
3x + 5y
x ≤4
2y ≤ 12
3x + 2y ≤ 18
x ≥ 0, y ≥ 0
Min
4α + 12β + 18γ
s.a
α + 3γ ≥ 3
2β + 2γ ≥ 5
α ≥ 0, β ≥ 0, γ ≥ 0
Maximización → Minimización
Dos variables → Dos restricciones
Tres restricciones → Tres variables
Construcción del Dual
¿Qué pasa si el PL no está en forma
canónica?
Max
c1 x1 + c2 x2 + c3 x3
s.a A11 x1 + A12 x2 + A13 x3 ≤ b1
A21 x1 + A22 x2 + A23 x3 ≥ b2
A31 x1 + A32 x2 + A33 x3 = b3
x1 ≥ 0, x2 ≤ 0, x3 irrestricta
9
Construcción del Dual
1. Asigne una variable dual por cada restricción primal.
2. Construya una restricción dual por cada variable primal.
3. Los coeficientes de la matriz A y el coeficiente de la función
objetivo de una variable primal, definen los coeficientes del
lado izquierdo y derecho, respectivamente, de la restricción
dual asociada.
4. Los coeficientes del lado derecho de las restricciones son los
coeficientes de la función objetivo del dual.
5. Para conocer el sentido de la función objetivo, las restricciones
y las variables, guı́ese por la siguiente tabla:
Construcción del Dual
Función objetivo
Variables
Restricciones
11
Maximización
≥0
≤0
irrestrictas
≤
≥
=
Minimización
≥
≤
=
≥0
≤0
irrestrictas
Restricciones
Variables
Construcción del Dual
Función objetivo
Variables
Restricciones
Maximización
≥0
≤0
irrestrictas
≤
≥
=
Minimización
≥
≤
=
≥0
≤0
irrestrictas
Ejemplo: Calcule el dual del siguiente modelo:
Min
40π + 50γ
s.a 2π + 5γ ≥ 5,000
π + 3γ ≥ 3,000
π ≥ 0, γ ≥ 0
12
Restricciones
Variables
Relaciones Primal-Dual
El dual del dual es el primal.
13
Relaciones Primal-Dual
Propiedad de la dualidad débil: para cualquier par de soluciones
factibles, X para el primal y Π para el dual, se cumple que:
c T X ≤ ΠAX ≤ b T Π
14
15
Relaciones Primal-Dual
Propiedad de la dualidad débil: para cualquier par de soluciones
factibles, X para el primal y Π para el dual, se cumple que:
c T X ≤ ΠAXP≤ b T Π
P
n
m
j=1 cj xj ≤
i=1 bi πi
Dem:
n
X
cj xj
n X
m
X
≤
(
aij πi )xj
j=1
=
j=1 i=1
m X
n
X
(
i=1 j=1
≤
m
X
i=1
bi πi
aij xj )πi
Relaciones Primal-Dual
Propiedad de la dualidad débil: para cualquier par de soluciones
factibles, X para el primal y Π para el dual, se cumple que:
c T X ≤ ΠAXP≤ b T Π
P
n
m
j=1 cj xj ≤
i=1 bi πi
...una solución factible para el problema de maximización es una
cota inferior para el problema de minimización y viceversa...
Relaciones Primal-Dual
Propiedad de la dualidad débil: para cualquier par de soluciones
factibles, X para el primal y Π para el dual, se cumple que:
c T X ≤ ΠAX ≤ b T Π
Ejemplo: Para el problema de la Fabrica de Pinturas una solución
factible es (x, y ) = (4, 3). Para su dual una solución factible es
(α, β, γ) = (1, 2, 1).
Relaciones Primal-Dual
Propiedad de la dualidad débil: para cualquier par de soluciones
factibles, X para el primal y Π para el dual, se cumple que:
c T X ≤ ΠAX ≤ b T Π
Corolario: Si c T X = b T Π entonces X y Π son soluciones óptimas
en sus respectivos problemas.
18
Relaciones Primal-Dual
Propiedad de la dualidad débil: para cualquier par de soluciones
factibles, X para el primal y Π para el dual, se cumple que:
c T X ≤ ΠAX ≤ b T Π
Corolario: Si c T X = b T Π entonces X y Π son soluciones óptimas
en sus respectivos problemas.
Ejemplo: Para el problema de la Fábrica de Pinturas, la solución
óptima es (x, y ) = (2, 6). Para su dual la solución óptima es
(α, β, γ) = (0, 23 , 1).
19
Relaciones Primal-Dual
Propiedad de la dualidad débil: para cualquier par de soluciones
factibles, X para el primal y Π para el dual, se cumple que:
c T X ≤ ΠAX ≤ b T Π
Corolario: Si c T X = b T Π entonces X y Π son soluciones óptimas
en sus respectivos problemas.
Corolario: Si un problema tiene una función objetivo no acotada,
entonces el otro problema no tiene soluciones factibles.
20
Relaciones Primal-Dual
Corolario: Si un problema tiene una función objetivo no acotada,
entonces el otro problema no tiene soluciones factibles.
Ejemplo:

Max
 s.a
Primal 

x
x
−x
x
≥
+
+
+
0,

y
y ≤ 3

y ≥ 1
y ≥0

Min
 s.a
Dual 

π
y
3π
−π
π
≥
+
+
+
0,

γ
γ ≥ 1

γ ≥ 1
γ≤0
γ
región factible
no acotada
π
no hay soluciones
factibles
x
Relaciones Primal-Dual
Corolario: Si un problema tiene una función objetivo no acotada,
entonces el otro problema no tiene soluciones factibles.
No es válido en la otra dirección
Ejemplo:

Max
 s.a
Primal 

x
x
x
−x
≥
+
−
+
0,

y
y ≤ −1

y ≤ −1
y ≥ 0

Min
 s.a
Dual 

π
y
−π
π
−π
≥
−
−
+
0,

γ
γ ≥ 1

γ ≥ 1
γ≥0
γ
no hay soluciones
factibles
no hay soluciones
factibles
x
π
Relaciones Primal-Dual
Condiciones de optimalidad de Karush-Kuhn-Tucker (KKT):
condiciones necesarias y suficientes de optimalidad para X ∗ , es que
exista Π∗ tal que:
1. Factibilidad primal: AX ∗ ≤ b, X ∗ ≥ 0
2. Factibilidad dual: Π∗ A ≥ c, Π∗ ≥ 0
3. Holguras complementarias:Π∗ (AX ∗ − b) = 0 y
(c − Π∗ A)X ∗ = 0
Teorema de las holguras complementarias: Sea X ∗ una solución
óptima y Π∗ la solución óptima de su dual.
πi∗ (Ai X ∗ − bi ) = 0
(cj − Π∗ Aj )xj∗ = 0
Relaciones Primal-Dual
Teorema fundamental de la dualidad: una de las siguientes
afirmaciones es siempre verdadera:
I
Los problemas primal y dual poseen solución óptima finita.
I
Ambos problemas son infactibles.
I
Un problema es no acotado y el otro es infactible.
Primal tiene solución óptima
Primal no acotado
Primal infactible
⇔
⇒
⇒
Dual no acotado
Dual infactible
⇒
⇒
Dual tiene solución óptima
Dual infactible
Dual no acotado o infactible
(no tiene solución óptima)
Primal infactible
Primal no acotado o infactible
(no tiene solución óptima)
Relaciones Primal-Dual
Ejemplo: Dado el siguiente problema, encuentre su dual y
resuélvalo gráficamente. Luego encuentre un punto óptimo del
primal por Teorema de las holguras complementarias.
Max
s.a
8x1 + 3x2 −
2x3
x1
− 6x2 +
x3
≥ 2
5x1 + 7x2 −
2x3
= −4
x1 ≤ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
Relaciones Primal-Dual
Ejemplo: Dado el siguiente problema, encuentre su dual y
resuélvalo gráficamente. Luego encuentre un punto óptimo del
primal por Teorema de las holguras complementarias.

Max 8x1 +
 s.a x1 −


5x1 +
x1 ≤ 0,

3x2 −
2x3
6x2 +
x3
≥ 2 

7x2 −
2x3 = −4
x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
Min
s.a
2π
−
π
+
−6π +
π
−
π
≤ 0,
4γ
5γ ≤
7γ ≥
2γ ≥
γ irr
8
3
−2
Relaciones Primal-Dual
Ejemplo: Dado el siguiente problema, encuentre su dual y
resuélvalo gráficamente. Luego encuentre un punto óptimo del
primal por Teorema de las holguras complementarias.
γ


Max 8x1 + 3x2 −
2x3

x3
≥ 2 
 s.a x1 − 6x2 +


5x1 + 7x2 −
2x3 = −4
x1 ≤ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0


Min 2π − 4γ
+ 5γ ≤ 8 
 s.a π


−6π + 7γ ≥ 3 


π
− 2γ ≥ −2
π ≤ 0, γ irr
(0, 1)
π
Relaciones Primal-Dual
Ejemplo: Dado el siguiente problema, encuentre su dual y
resuélvalo gráficamente. Luego encuentre un punto óptimo del
primal por Teorema de las holguras complementarias.


Max 8x1 + 3x2 −
2x3
 s.a x1 − 6x2 +

x
≥
2
3



5x1 + 7x2 −
2x3 = −4
x1 ≤ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0


Min 2π − 4γ
+ 5γ ≤ 8 
 s.a π


−6π + 7γ ≥ 3 


π
− 2γ ≥ −2
π ≤ 0, γ irr
1. (2 − x1∗ + 6x2∗ − x3∗ ) ∗ 0 = 0
2. (−4 − 5x1∗ − 7x2∗ + 2x3∗ ) ∗ 1 = 0
⇒ −4 − 5x1∗ − 7x2∗ + 2x3∗ = 0
3. x1∗ (5 − 8) = 0 ⇒ x1∗ = 0
4. x2∗ (7 − 3) = 0 ⇒ x2∗ = 0
γ
(0, 1)
π
5. x3∗ (−2 + 2) = 0
Reemplazando en 2: 2x3∗ = 4 ⇒ x3∗ = 2
Interpretación del Dual
Ejemplo: Imagine que la Fábrica de Pintura pudiera arrendar la
máquina mezcladora, ¿a qué precio tendrı́a que arrendarla para
mantener la misma ganancia máxima?. O si pudiera vender agua o
solvente ¿cuanto le conviene cobrar por tonelada?
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Interpretación del Dual
Ejemplo: Imagine que la Fábrica de Pintura pudiera arrendar la
máquina mezcladora, ¿a qué precio tendrı́a que arrendarla para
mantener la misma ganancia máxima?. O, si pudiera vender agua o
solvente ¿cuanto le conviene cobrar por tonelada?
Si decide no producir una tonelada de pintura de exterior, tendrı́a
una tonelada de agua libre y tres horas de máquina de mezcla
disponible; pero perderı́a 3 millones.
Si decide no producir una tonelada de pintura de exterior, tendrı́a
dos toneladas de solvente y dos horas de máquina de mezcla
disponible; pero perderı́a 5 millones.
Interpretación del Dual
Ejemplo: Imagine que la Fábrica de Pintura pudiera arrendar una
hora la máquina mezcladora, ¿a qué precio tendrı́a que arrendarla
para mantener la misma ganancia máxima?. O, si pudiera vender
una tonelada de agua o una tonelada de solvente ¿cuanto le
conviene cobrar?
Si decide no producir una tonelada de pintura de exterior, tendrı́a una
tonelada de agua libre y tres horas de máquina de mezcla disponible;
pero perderı́a 3 millones.Si decide no producir una tonelada de pintura de
exterior, tendrı́a dos toneladas de solvente y dos horas de máquina de
mezcla disponible; pero perderı́a 5 millones.
Para que sea conveniente arrendar la máquina o vender agua o
solvente, el precio debe al menos igualar la pérdida por no producir
esas toneladas de pintura.
Las variables duales representan el menor precio al cual se iguala la
ganancia por la venta de pinturas y la ganancia por arriendo y
máquina y venta de materias primas