2-Мавзу: Очиқ калитли шифрлаш
алгоритмлари
Дискрет Логорифмлаш муаммосини ечиш алгортмлари
• Function field sieve
• Index calculus algorithm
• Number field sieve
• Pohlig-Hellman algorithm
• Pollard’s rho algorithm for logarithms
• Pollard’s kangaroo algorithm
• Quantum Algorithm by Peter Shor
Криптография 2
Полиг-Хэлман алгоритми (Pohlig-Hellman)
Эйлер теоремаси:
• Агар, 𝑎, 𝑚 ўзаро туб сонлар бўлса у ҳолда 𝑎𝜑(𝑚) ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) бўлади, бу ерда
𝜑(𝑚) – Эйлер функцияси.
𝜑 𝑁 = 𝑝𝑞 тенг бўлсин, ЭКУБ 𝑝, 𝑞 = 1. 𝑎 𝑥 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑁) ни ечиш учун ПолигХелман алгоритми қуйидаги ёндашувга асосланади. 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑝 тенг бўлсин.
• Бундан
𝑎𝑥 ≡ 𝑏
𝑎𝑞𝑥 ≡ 𝑏𝑞
𝑎𝑞(𝑎0+𝑎1𝑝) ≡ 𝑏𝑞
(𝑎𝑞 )𝑎0 (𝑎𝑎1 )𝑝𝑞 ≡ 𝑏𝑞
• 𝑎 𝑞 ва 𝑏𝑞 топулгунча, 𝑎0 ни танлаш йўли билан топамиз ва 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑝
топулгунча, кейин 𝑥 ≡ 𝑎0 𝑚𝑜𝑑 𝑝.
• Худди шу йўл оқали 𝑥 ≡ 𝑏0 𝑚𝑜𝑑 𝑞 ни ҳам топамиз. Шундан сўнг қолдиқлар
ҳақидаги Хитой теоремасидан фойдаланиб 𝑥 ни топамиз.
Криптография 2
Полиг-Хэлман алгоритми (Pohlig-Hellman)
Мисол
• 3𝑥 ≡ 22 𝑚𝑜𝑑 31 ни топиш талаб этилсин.
• Дастлаб Эйлер функциясини ҳисоблаймиз, 𝜑 31 = 30,
факторлари 30=5*6 тенг бўлган.
• Дейлик 𝑥 = 𝑎0 + 5𝑎1 бўлсин, бундан:
(3𝑎0+5𝑎1 )6 ≡ 226 𝑚𝑜𝑑 31
36𝑎0 330𝑎1 ≡ 8 𝑚𝑜𝑑 31
(36 )𝑎0 (3𝑎1 )30 ≡ 8 𝑚𝑜𝑑 31
16𝑎0 ≡ 8 𝑚𝑜𝑑 31
қайсики
келиб чиқади, 𝑎0 ни қийматини танлаш йўли орқали топамиз, бунда
𝑎0 = 2, 𝑥 = 2 + 5𝑎1 тенгликдан 𝑥 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 5 келиб чиқади.
Криптография 2
Полиг-Хэлман алгоритми (Pohlig-Hellman)
Кейинги сон учун:
• 𝑥 = 𝑏0 + 6𝑏1 бўлсин, бундан:
(3𝑏0+6𝑏1 )5 ≡ 225 𝑚𝑜𝑑 31
(35 )𝑏0 (3𝑏1 )30 ≡ 225 𝑚𝑜𝑑 31
26𝑏0 ≡ 6 𝑚𝑜𝑑 31
келиб чиқади, яна танлаш йўли орқали 𝑏0 ни қийматини топамиз, бунда
𝑏0 = 5, 𝑥 = 5 + 6𝑏1 тенгликдан 𝑥 ≡ 5 𝑚𝑜𝑑 6 келиб чиқади.
• Демак
𝑥 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 5
𝑥 ≡ 5 𝑚𝑜𝑑 6
Қолдиқлар ҳақидаги Хитой теоремасидан 𝑥 = 17 келиб чиқади.
Криптография 2
Полиг-Хэлман алгоритми (Pohlig-Hellman)
7𝑥 ≡ 26 𝑚𝑜𝑑 41 топинг?
Криптография 2
Асосий ва қўшимча адабиётлар учун тавсиялар
• Асосий адабиётлар
 Christof Paar·Jan Pelzl. Understanding Cryptography: A Textbook for
Students and Practitioners. Verlag Berlin Heidelberg 2010.
 Keith M. Martin. Everyday Cryptography Fundamental Principles and
Applications. United Kingdom, 2017
• Қўшимча адабиётлар
 Акбаров Д. Е. “Ахборот хавфсизлигини таъминлашнинг криптографик
усуллари ва уларнинг қўлланилиши” – Тошкент, 2008 – 394 бет.
 Stamp Mark. Information security: principles and practice. USA, 2011.
Криптография 2