SOAL-SOAL ELIPS
𝑥2
𝑦2
1. Sebuah elips mempunyai persamaan 25 + 16 = 1 . Tentukanlah:
a. Koordinat pusat, fokus, dan puncak dari elips
b. Panjang sumbu mayor dan sumbu minor
c. Gambarkan elips tersebut!
Jawab:
a. Gunakan
𝑥2
25
+
𝑦2
16
𝑥2
𝑦2
+ 𝑏2 = 1
𝑎2
=1
A = 5, b = 4 dan c = √a2 − b 2 = √52 − 42 = √9 = 3
Koordinat titik pusat di O(0,0)
Koordinat focus di F1(-3,0) dan F2(3,0)
Koordinat titik puncak di A(-5,0) dan B(5,0)
Titik potong dengan sumbu y di C(0,-4) dan D (0,4)
b. Panjang sumbu mayor 2a = 2 . 5 = 10
Panjang sumbu minor 2b = 2 . 4 = 8
c. Gambar elips y
4 D (0,4)
B (-5,0)
F1
0
F2
A (5,0) X
C (0,-4)
2. Carilah persamaan elips dengan fokus (0, 2) dan direktris = 4 ...?
Penyelesaian:
Fokus F1 (0, 2) dan F2 (0, -2) dan sumbu 𝑦 sebagai sumbu panjang (𝑎 < 𝑏) dalam hal ini 𝑐 = 2.
Direktris :
d1 : 𝑦 =
𝑏
𝑒
= 4 → 𝑏 = 4𝑒 … … … … … . (𝑖)
𝑐 = 𝑏𝑒 = 2 → 𝑏𝑒 = 2 → 𝑒 =
2
𝑏
… … . (𝑖𝑖)
Dari persamaan ....(i) dan (ii) diperoleh :
𝑏 = 4𝑒 ↔ 𝑏 = 4
2
↔ 𝑏2 = 8
𝑏
Maka :
𝑎2 = 𝑏 2 = − 𝑐 2
𝑎2 = 8 − 4
𝑎2 = 4
Jadi persamaan elips adalah :
𝑥2
4
+
3. Diketahui elips dengan persamaan
𝑦2
8
=1
(𝑥−4)2
25
4
+
(𝑦−3)2
4
=1
, tentukan :
a.
Koordinat titik pusat, koordinat titik puncak, koordinat titik ujung sumbu minor dan koordinat focus.
b.
Persamaan sumbu utama, persamaan sumbu sekawan, panjang sumbu mayor dan panjang sumbu
minor.
c.
Nilai eksentrisitas dan persamaan direkstriks.
d.
Panjang latus rectum
e.
Gambar
Jawab:
(𝑥−4)2
25
4
+
(𝑦−3)2
4
=1
, merupakan elips horizontal dengan a2 =
b = 2, dari hubungan 𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2 , didapat 𝑐 2 =
a.
25
4
25
9
−4=4
Koordinat titik pusat di M (4,3)
Koordinat titik puncak
5
1
𝐴1 (p – a,q) = (4 − 2 , 3) = (1 2 , 3)
5
1
𝐴2 (𝑝 + 𝑎, 𝑞) = (4 + 2 , 3) = (6 2 , 3)
Koordinat titik ujung sumbu minor B1 (p, q-b) = (4, 3-2) = (4,1)
B2 (p, q+b) = (4,3 + 2) = (4,5)
3
1
Koordinat focus 𝐹1 (𝑝 − 𝑐, 𝑞) = (4 − 2 , 3) = (2 2 , 3)
3
1
𝐹2 (𝑝 + 𝑐, 𝑞) = 4 + 2 , 3) = (5 2 , 3)
5
a = 2 dan 𝑏 2 = 4
4
3
𝑐=2
b.
Persamaan sumbu utama adalah y=3 dan persamaan sumbu sekawan adalah
x =4
5
Panjang sumbu mayor = 2a = 2 ( ) = 5
2
panjang sumbu minor = 2b= 2(2) = 4
𝑐
b. Nilai eksentrisitas 𝑒 = 𝑎 =
3
2
5
2
3
= 5 = 0,6
5⁄
𝑎
1
𝑎
5⁄
1
c. Persamaan direktrik 𝑔1 = 𝑝 −𝑒 = 4 −3⁄2 = −6 𝑔2 = 𝑥 = 𝑝 + 𝑒 = 4 + 3⁄2 = 8 6
5
d. Panjang latus rectum =
2𝑏 2
𝑎
=
2(4)
5⁄
2
=
5
16
5
e. Gambar
𝑥2
4. Selidiki apakah garis 𝑥 − √3 𝑦 − 8 = 0 memotong, menyinggung/tidak memotong sama sekali elips 16 +
𝑦2
4
=1
Penyelesaian:
Garis 𝑥 − 2√3 𝑦 − 8 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 2√3 𝑦 + 8 = 0 … … … (1)
𝑥2
Elips 16 +
𝑦2
4
= 1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 2 +4𝑦 2 − 16 = 0 .........................(2 )
Substitusi ( 1) ke ( 2) sehingga di peroleh :
(2√3 𝑦 + 8)2 + 4𝑦 2 − 16 = 0
12𝑦 2 + 32√3 𝑦 + 64 + 4𝑦 2 − 16 = 0
16𝑦 2 + 32√3 𝑦 + 48 = 0
𝑦 2 + 2√3 𝑦 + 3 = 0
𝐷 = (2√3 )2 − 4.3
𝐷 = 12 − 12 = 0, karena D = 0, maka garis tersebut menyinggung elips.
Titik singgungnya dapat di cari sebagai berikut :
(𝑦 + √3)2 = 0 → 𝑦 = −√3
𝑥 = 2√3 𝑦 + 8
= 2√3. (−√3) + 8 = −6 + 8 = 2
Di dapat titik singgung (2, −√3)
5. Persamaan garis singgung pada elips
𝑥2
42
𝑦2
+ 162 = 1 , dengan gradient m = 3. Tentukan persamaan garis
singgung tersebut!
Jawab:
𝑥2
𝑦2
+ 162 = 1 , diperoleh 𝑎2 = 4 , 𝑎 = 2
42
𝑏 2 = 16 , 𝑏 = 4 Persamaan garis singgunngnya adalah:
𝑦 = 𝑚𝑥 ± √𝑏 2 − 𝑎2 𝑚2
𝑦 = 3𝑥 ± √42 − 22 32
𝑦 = 3𝑥 ± √4 × 9 + 16
𝑦 = 3𝑥 ± √36 + 16
𝑦 = 3𝑥 ± √52
Jadi persamaan garis singgungnya adalah 𝑦 = 3𝑥 ± √36 + 16
𝑥2
6. Tentukan persamaan kedua garis singgung pada elips 25 +
𝑦2
16
=1
Disuatu titik pada elips yang ordinatnya 2.
Penyelesaian:
Titik – titik pada elips yang ordinatnya 2, abisnya didapat dari :
𝑥2
22
𝑥2
3
75
5
+
=1 →
=
→ 𝑥2 =
→ ± √3
25 16
25
4
4
2
5
5
Titik – titik itu adalah M (2 √3, 2) dan N (− 2 √3, 2)
5
Persamaan garis singgung di M (2 √3, 2) adalah :
𝑥1 𝑥
𝑎2
+
𝑦1 𝑦
𝑏2
= 1 atau
𝑏 2 x1x + 𝑎2 y1y - 𝑎2 𝑏 2 = 0
16
5
√3 𝑥 + 25.2𝑦 − 25.16 = 9
2
40√3 𝑥 + 50𝑦 − 400 = 0
4√3 𝑥 + 5𝑦 − 40 = 0
5
Persamaan garis singgung di M (− √3, 2) adalah
2
5
16.(− 2 √3 ) 𝑥 + 25.2𝑦 − 25.16 = 0
−4√3𝑥 + 5𝑦 − 40 = 0
4√3𝑥 − 5𝑦 + 40 = 0
7. Tentukan persamaan garis singgung pada elips,
(𝑥 − 1)2
12
+
(0 −2) 2
16
Penyelesaian:
Dicari dahulu titik – titik potongnya dengan sumbu 𝑋 → 𝑌 = 0
(𝑥 − 1)2 (0 − 2)2
+
=1
12
16
(𝑥 − 1)2 1
(𝑥 − 1)2
3
+ =1 →
= (𝑥 − 1) = 9
12
4
12
4
𝑥 − 1 = ±3 → x1 = 4. Didapat M (4, 0)
𝑥 − 1 = −3 → x2 = -2 . Didapat N (-2, 0)
Garis singgung di M (4, 0)
( 𝑋1−1) (𝑋−1)
12
(4−1)(𝑥−1)
12
+
+
(𝑦1−2) (𝑦 – 2)
16
(0−2)( 𝑦−2)
16
=1
=1
(𝑥 − 1) ( 𝑦 − 2)
+
= 2(𝑥 − 1) − (𝑦 − 2) = 8
4
8
2𝑥 − 2 − 𝑦 + 2 = 8
2𝑥 − 𝑦 − 8 = 0
Garis singung di N (-2, 0)
(𝑥1 − 1 )(𝑥 − 1) (𝑦1 − 2)( 𝑦 − 2)
+
=1
12
16
= 1 dititik potong nya dengan sumbu x.
(−2 − 1) (𝑥 − 1) (0 − 2) (𝑦 − 2)
+
=1
12
12
(𝑥 − 1) (𝑦 − 2)
+
= 2(𝑥 − 1) − (𝑦 − 2) = 8
4
8
2𝑥 − 2 − 𝑦 + 2 = 8
2𝑥 − 𝑦 − 8 = 0
8. Tentukan persamaan garis singgung pada elips𝑥 2 + 2𝑦 2 − 16 = 0 dititik 𝑃(2√2, 2) ?
Jawab:
𝑥 2 + 2𝑦 2 − 16 = 0
𝑥 2 + 2𝑦 2 = 16
𝑥2 𝑦2
+
=1
16 8
Di titik 𝑃(2√2, 2)
𝑥2
+
16
𝑦2
8
2
=1 ↔
(2√2)
16
+
(2)2
8
= 1 𝑗𝑎𝑑𝑖
16
16
=1
𝑥2
ini artinya 𝑃(2√2, 2)terletak pada elips16 +
𝑥𝑥1 𝑦𝑦1
+ 2 =1
𝑎2
𝑏
↔
𝑦2
8
= 1,jadi persamaan garis singgungnya:
(2√2)2 (2)2
+
=1
16
8
2√2𝑥 + 4𝑦 = 16
√2, x + 2y = 8
1
2𝑦 = 8 − √2
𝑦 = 4 − 2 √2,
9. Jarak maksimum bumi dari matahari adalah 94,56 juta mil,dan jarak minimum nya adalah 91,45 juta
mil,bagaimana eksentrisitas dari orbitnya dan bagaimanakah diameter mayor dan diameter minornya?
Penyelesaian:
Matahari
a
A
c
c
Dengan melihat rotasi pada gambar kita dapat melihat bahwa 𝑎 + 𝑐 = 94,56 𝑎 − 𝑐 = 91,45
Dalam menyelesaikan persamaan-persamaan untuk a dan c maka di peroleh a = 93,01 dan c = 1,56
𝑐
1,56
Maka 𝑒 = 𝑎 = 93,01 = 0,017 dan diameter mayor dan diameter minornya dalam juta mil adalah
2𝑎 = 186,02 2𝑏 = 2√𝑎2 − √𝑐 2 = 185,99
𝑥2
𝑦2
10. Tentukan persamaan garis singgung pada elips 30 + 24 = 1 yang sejajar dengan garis 4x – 2𝑦 + 23 = 0
Penyelesaian :
Garis yang sejajar dengan garis 4x-2y + 23 = 0 mempunyai gradien 2.
Persamaan garis singgung pada elips dengan gradien 2 adalah :
y = 𝑚𝑥 ± √𝑎2 𝑚2 + 𝑏 2
y = 2𝑥 ± √30. 22 + 24
2x − 𝑦 + 12 = 0 𝑑𝑎𝑛 2𝑥 − 𝑦 − 12 = 0.
11. Di Washington D.C., terdapat taman elips yang terletak di antara Gedung Putih dan Monumen
Washington. Taman tersebut dikelilingi oleh suatu jalan yang berbentuk elips dengan panjang sumbu
mayor dan minornya secara berturut-turut adalah 458 meter dan 390 meter. Apabila pengelola taman
tersebut ingin membangun air mancur pada masing-masing fokus taman tersebut, tentukan jarak antara air
mancur tersebut.
Pembahasan:
Karena panjang dari sumbu mayornya 2p = 458 maka kita peroleh p = 458/2 = 229 dan p2 = 2292 =
52.441. Sedangkan panjang sumbu minornya 2q = 390, sehingga q = 390/2 = 195 dan q2 = 1952 = 38.025.
Untuk menentukan f, kita dapat menggunakan persamaan fokus.
Jadi, jarak antara kedua air mancur tersebut adalah 2(120) = 240 meter.
12. Jika lithotripter tersebut memiliki panjang (sumbu semi mayor) 16 cm dan berjari-jari (sumbu semi
minor) 10 cm, seberapa jauh dari titik puncak seharusnya batu ginjal tersebut diposisikan agar diperoleh
hasil yang maksimal?
Pembahasan:
Dari soal, kita dapatkan panjang sumbu semi mayornya adalah q = 16, sehingga q2 = 162 = 256 dan
panjang sumbu semi minornya adalah p = 10, sehingga p2 = 102 = 100. Dengan menggunakan persamaan
fokus,
Sehingga, jarak titik puncak dengan titik fokus di mana batu ginjal diposisikan dapat ditentukan sebagai
berikut.
Jadi, agar diperoleh hasil yang maksimal, batu ginjal tersebut seharusnya terletak pada jarak 28,49 dari
titik puncak lithotripter.
13. Suatu kelengkungan tanah yang berlubang berbentuk setengah ellips dengan lebar alas 48 meter dan
tinggi 20 meter. Berapa lebar kelengkungan itu pada ketinggian 10 meter dari alas !
Pembahasan:
Gambar diatas memperlihatkan sketsa lengkungan dan sumbu-sumbu koordinat dapat dipilih sedemikian
hingga sumbu-x terletak pada alas dan titik asal adalah titik tengah alas. Maka sumbu utama ellips terletak
sepanjang sumbu-x, pusatnya di titik asal, a = ½ 48 = 24, b = 20.
Persamaan ellips berbentuk :
≫
𝑥2
𝑦2
+
=1
576 400
Pada ketinggian 10 meter, berarti untuk nilai y = 10 akan diperoleh x yang menyatakan lebar setengah
lengkungan pada ketinggian 10 meter. Jadi :
≫
𝑥2
102
+
=1
576 400
sehingga diperoleh :
x2 = 432 , x = 12√3
Dengan demikian pada ketinggian 10 meter dari alas, lebar kelengkungan adalah AB = 24 √3 meter.
14. Sebuah satelit mengitari bumi dengan lintasan berbentuk ellips. Jarak terdekat satelit terhadap bumi
adalah 119 mil dan jarak terjauh 881 mil. Tentukan persamaan baku ellips tersebut jika pusat ellips adalah
titik ( -2, 1).
Pembahasan :
Diketahui:
a) Jarak terdekat satelit terhadap bumi (sumbu minor/sumbu pendek) : 119 mil
b) jarak terjauh satelit terhadap bumi (sumbu mayor/sumbu panjang) : 881 mil
c) titik pusat M (α,β) : (-2,1)
Ditanya: Persamaan baku elips?
Jawab:
Persamaan elips yang berpusat pada (α,β) adalah :
(𝒙 − 𝜶)𝟐 (𝒚 − 𝜷)𝟐
+
=𝟏
𝒂𝟐
𝒃𝟐
Dari persamaan diatas sudah diketahui titik pusatnya, yakni :
α = -2
,
β=1
1
Dan untuk mencari 𝒂𝟐 adalah : 𝑎 = 2 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 ;
1
Untuk mencari 𝒃𝟐 adalah : 𝑏 = 2 𝑚𝑖𝑛𝑜𝑟;
1
2
1
2
.881 = 440,5 ; 𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑎2 = 440,52 = 𝟏𝟗𝟒𝟎𝟒𝟎, 𝟐𝟓
.119 = 59,5 ; 𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑏 2 = 59,52 = 𝟑𝟓𝟒𝟎, 𝟐𝟓
Titik fokusnya : 𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2 = 194040,25 − 3540,25 = 190500, 𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑐 = √190500 = 436,5
Maka persamaannya :
(𝒙 + 𝟐)𝟐 (𝒚 − 𝟏)𝟐
+
=𝟏
𝟒𝟒𝟎, 𝟓𝟐
𝟓𝟗, 𝟓𝟐
(𝒙 + 𝟐)𝟐
(𝒚 − 𝟏)𝟐
+
=𝟏
𝟏𝟗𝟒𝟎𝟒𝟎, 𝟐𝟓 𝟑𝟓𝟒𝟎, 𝟐𝟓
15. Bumi mengitari matahari dengan lintasan berbentuk ellips dengan matahari pada salah satu fokusnya.
Jarak matahari terhadap bumi yang terdekat adalah 9,3 x 106 mil, sedangkan jarak yang paling jauh
adalah 9,6 x 106 mil. Tentukan persamaan lintasan bumi tersebut jika matahari terlatak pada salah satu
titik fokusnya dan menganggap titik pusat adalah (0, 0).
Pembahasan :
1
Untuk mencari a adalah : 𝑎 = 2 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 ;
1
Untuk mencari b adalah : 𝑏 = 2 𝑚𝑖𝑛𝑜𝑟;
1
2
1
2
.9,6 .106 𝑚𝑖𝑙 = 4,8 .106 𝑚𝑖𝑙
.9,3 . 106 𝑚𝑖𝑙 = 4,65 .106 𝑚𝑖𝑙
Karena titik pusatnya (0,0) maka bentuk persamaannya :
𝒙𝟐 𝒚𝟐
+
=𝟏
𝒂𝟐 𝒃𝟐
𝒙𝟐
𝒚𝟐
+
=𝟏
(𝟒, 𝟖 . 𝟏𝟎𝟔 𝒎𝒊𝒍)𝟐 (𝟒, 𝟔𝟓 . 𝟏𝟎𝟔 𝒎𝒊𝒍)𝟐