Принцип наименьшего
действия.
В поисках вариационных
основ
Сидоров Владимир Николаевич
член корр. РААСН, д.т.н., профессор, заведующий кафедры
Информатики и прикладной математики НИУ МГСУ
Принцип наименьшего действия
… природа ничего не делает напрасно, а было бы напрасно
совершать многим то, что может быть сделано меньшим.
Исаак Ньютон
Принцип наименьшего – фундаментальный закон природы.
…часто очень трудно найти формулу, которая
должна быть максимумом или минимумом … ,
поскольку необходимо знать цель, которую
природа полагает в своих действиях.
Леонард Эйлер
О фундаментальных законах природы
Фундаментальные законы в механике:
✓ принцип наименьшего действия (наименьшего пути,
наименьшего времени, наименьшего импульса, наименьшей
энергии…)
Поиск наименьшего пути
✓ и принцип сохранения (сохранение энергии, сохранение
материи, сохранение импульса, сохранения движения,
теплового баланса, сохранение момента …).
Принцип сохранения энергии
О роли законов состояния в математических моделях
Основа математической модели – закономерность (определяет физический смысл).
Закон состояния - устанавливает правила, взаимосвязи отдельных характеристик
изучаемого объекта.
Корректно построенная математическая модель - формулировкой исследовательской
математической задачи.
В поисках вариационных основ
…часто очень трудно найти формулу, которая
должна быть максимумом или минимумом … ,
поскольку необходимо знать цель, которую
природа полагает в своих действиях.
Леонард Эйлер
Идеи, закладываемые в вариационные математические модели, истекают из
«причин конечных».
Принцип наименьшего лёг в основу формулировки задачи об отражении луча света.
Задача о траектории луча света, отражающегося
от зеркала
В какой точке С плоской зеркальной поверхности mn глаз В увидит
источник света А?
Идея, заложенная в математическую модель - предположение о том,
что луч света самый короткий маршрут.
Герон Александрийский
Герон доказал, что луч света
от источника до глаза пойдет
только по траектории АСВ.
Задача о траектории луча света, отражающегося
от зеркала
Траектория АСВ примечательна тем, что
∠𝐀𝐂 𝒎 = ∠𝐁𝐂 𝒏
т.е.
«угол падения луча равен углу его отражения».
Это потому, что всегда при выполнении этого
условия:
𝐀𝐂 + 𝐂𝐁 < 𝐀𝐃 + 𝐃𝐁
где ADB – любой другой путь луча от источника А до глаза В, не удовлетворяющий условию.
Задача о траектории луча света, отражающегося
от зеркала
Если продолжить прямую АС до пересечения с линией ВВ’, перпендикулярной плоскости
зеркала, то видно, что прямая АСВ’ всегда короче любой линии ADB’
′
′
AC + CB < AD + DB ;
А равенство
𝐂𝐁 = 𝐂𝐁′
будет соблюдаться при равенстве углов:
′
∠B C 𝒏 = ∠BC 𝒏
Задача о траектории луча света, отражающегося
от зеркала
Сформулируем математически то же условие наикратчайшего
пути, принимаемое в качестве критерия решения задачи.
Сначала запишем зависимость длины любого маршрута
𝑺 = 𝐀𝐃 + 𝐃𝐁
луча, от угла падения луча α (будем считать, что
предполагаемая точка отражения луча D, находится на отрезке
EF):
𝒂
𝒃
𝑺 𝜶 =
+
,
𝒔𝒊𝒏𝜶 𝒔𝒊𝒏 β 𝜶
где a = AE, b = BF
Задача о траектории луча света, отражающегося
от зеркала
При некотором значении угла α, длина пути луча S
принимает наименьшее значение, здесь касательная к
графику функции f = S(α) горизонтальна и выполняется
условие:
𝒅𝑺
𝒂 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒃 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝒅𝜷
=−
−
∙
= 0;
𝟐
𝟐
𝒅𝜶
𝒔𝒊𝒏 𝜶
𝒔𝒊𝒏 𝜷 𝒅𝜶
Дальше угол наклона касательной к графику и производная
𝒅𝑺Τ
станут положительными и значение
S
будет
𝒅𝜶
возрастать.
Задача о траектории луча света, отражающегося
от зеркала
Значение угла α, при котором S приняло наименьшее значение и выполнилось условие:
𝒅𝑺
𝒂 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒃 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝒅𝜷
=−
−
∙
= 0;
𝟐
𝟐
𝒅𝜶
𝒔𝒊𝒏 𝜶
𝒔𝒊𝒏 𝜷 𝒅𝜶
При любом значении угла α расстояние c между проекциями E и F точек А и В на плоскость зеркала
свою постоянную величину:
𝒂
𝒃
𝒄=
+
= 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕,
𝒕𝒈𝜶 𝒕𝒈𝜷 𝜶
Продифференцировав это равенство, получим:
𝒅𝒄
𝒂
𝒃
𝒅𝜷
=−
−
∙
= 0,
𝟐
𝟐
𝒅𝜶
𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝒔𝒊𝒏 𝜷 𝒅𝜶
или
𝒅𝜷
𝒂
𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜷
=−
∙
𝟐
𝒅𝜶
𝒔𝒊𝒏 𝜶
𝒃
Задача о траектории луча света, отражающегося
от зеркала
Подстановка этого условия
𝒅𝜷
𝒂
𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜷
=−
∙
𝟐
𝒅𝜶
𝒔𝒊𝒏 𝜶
𝒃
в условие минимума S:
𝒅𝑺
𝒂 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒃 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝒅𝜷
=−
−
∙
= 0;
𝟐
𝟐
𝒅𝜶
𝒔𝒊𝒏 𝜶
𝒔𝒊𝒏 𝜷 𝒅𝜶
𝒅𝑺
𝒂 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒃 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝜷
𝒂
𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜷
𝒅𝑺
𝒂 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒂 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝜷
=−
+
∙
∙
= 0; или
=−
+
= 𝟎;
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝒅𝜶
𝒔𝒊𝒏 𝜶
𝒔𝒊𝒏 𝜷 𝒔𝒊𝒏 𝜶
𝒃
𝒅𝜶
𝒔𝒊𝒏 𝜶
𝒔𝒊𝒏 𝜷
Показывает, что выполнение условия минимума S возможно только, если
𝒄𝒐𝒔 𝜶 = 𝒄𝒐𝒔 𝜷,
т.е. в том случае, когда угол падения луча α равен углу его отражения β.
Задача о траектории преломляющегося луча света
Если полагать, что луч света, переходя из
прозрачной среды одной плотности в
прозрачную среду другой плотности, ищет
наикратчайший путь, то его траекторией от А
до В следовало бы считать прямую.
Задача о траектории преломляющегося луча света
Пьер Ферма, обобщая результаты исследований Снеллиуса и Декарта, в 1662 году решил
задачу о преломлении луча света, приняв за критерий её решения принцип наименьшего
времени.
Подобно тому, как Галилей, когда рассматривал
движение тяжёлых тел в природе, измерял отношения
этого движения не сколько расстоянием, сколько
временем, мы также рассматриваем не кратчайшие
расстояния или линии, а те, которые могут быть
пройдены легче, удобнее и за более короткое время.
Пьер Ферма
Задача о траектории преломляющегося луча света
Время, затраченное лучом на движение от А до В:
𝒂
𝒃
𝒕 𝜶 =
+
;
ν𝑰 ∙ 𝒔𝒊𝒏 𝜶 ν𝑰𝑰 ∙ 𝒔𝒊𝒏 𝜷 𝜶
Запишем условие, при котором значение α приносит
наименьшее значение величине t(α):
𝒅𝒕
𝒂 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝜶
𝒃 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝒅𝜷
=−
−
∙
= 0;
𝟐
𝟐
𝒅𝜶
𝝂𝑰 ∙ 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝝂𝑰𝑰 ∙ 𝒔𝒊𝒏 𝜷 𝒅𝜶
Задача о траектории преломляющегося луча света
Взаимосвязь между β и α при известных величинах
a, b и c:
𝒂
𝒃
𝒄=
+
= 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕;
𝒕𝒈 𝜶 𝒕𝒈 𝜷 𝜶
Продифференцировав это равенство по α, получим:
𝒅𝒄
𝒂
𝒃
𝒅𝜷
=−
−
∙
= 0,
𝟐
𝟐
𝒅𝜶
𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝒔𝒊𝒏 𝜷 𝒅𝜶
или
𝒅𝜷
𝒂
𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜷
=−
∙
.
𝒅𝜶
𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜶
𝒃
Задача о траектории преломляющегося луча света
Подставив формулу
𝒅𝜷
𝒂
𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜷
=−
∙
𝟐
𝒅𝜶
𝒔𝒊𝒏 𝜶
𝒃
в
𝒅𝒕
𝒂 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝜶
𝒃 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝒅𝜷
=−
−
∙
=0
𝟐
𝟐
𝒅𝜶
𝝂𝑰 ∙ 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝝂𝑰𝑰 ∙ 𝒔𝒊𝒏 𝜷 𝒅𝜶
мы приходим к физическому закону преломления света, моделирующему поведение луча
света при пересечении границы двух светопроводящих сред разной плотности:
𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝝂𝑰
=
;
𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝝂𝑰𝑰
При 𝝂𝑰 = 𝝂𝑰𝑰 условие Ферма повторяет условие
𝒄𝒐𝒔 𝜶 = 𝒄𝒐𝒔 𝜷
Задача о траектории преломляющегося луча света
Теперь представим, что луч света проходит в
трёх прозрачных средах разной плотности.
Если же и скорость светового сигнала к
последнему слою увеличивалась бы до
бесконечности, то основание кривой сливалось
бы с его границей с предпоследним слоем.
К задаче о брахистохроне
Вид этой гладкой кривой заинтересовал в 1696 году Иоганна Бернулли. В июне 1696 года
он опубликовал в немецком научном журнале «Акта Эрудиториум» предложение
математикам в полгода решить следующую задачу:
Найти линию, скользя или скатываясь по которой под собственным весом с начальной
скоростью, равной нулю, твердое тело прошло бы путь между двумя заданными точками,
не лежащими на одной вертикали, за наименьшее время.
О поиске аналогий в математическом моделировании
Природа всегда действует простейшим образом, как в данном
случае она с помощью одной и той же линии оказывает две
различные услуги.
Иоганн Бернулли
Иоганн
Бернулли
О поиске аналогий в математическом моделировании
В математической классификации задача о брахистохроне это т.н. вариационная задача.
Математический путь её решения заключается в поиске функции, приносящей
некоторому задаваемому в условии параметру экстремальное значение. Но здесь
условие экстремума не закладывается в основу решения задачи, а уже занимает место в
изначальном условии задачи.
С прикладной точки зрения это задача синтеза: т.н. задача оптимизации или задача
оптимального управления.
Спасибо
за внимание